Высшая математика (часть 2). Конспект лекций

10. Дифференцируемость  функции. Дифференциал функции  Определение.  Функция f(x) называет ся дифференцируемой в т очке x, если ее приращение Dy  в  эт ой т очке мож ет  быт ь предст авлено в виде Dy = A × Dx + o ( D x) ,  (1.10.1)  где А не зависит  от Dx , но вообще зависит  от  x.  Оказывается, что, если функция f(x) имеет в точке x конечную производную f ¢ ( x ) , то она  дифференцируема в этой точке, то есть имеет место представление (1.10.1), где  A = f ¢( x) .  Обратно, если функция f(x) дифференцируема в точке x (имеет место (1.10.1)), то она имеет в  этой точке конечную производную f ¢ ( x )  =  A .  Этот факт устанавливает следующая теорема.  Теорема. Для т ого, чт обы функция f(x) была дифференцируемой в т очке x, необходимо и  дост ат очно, чт обы она имела конечную производную в эт ой т очке. И т огда  A = f ¢( x) .  Доказат ельст во. Достаточность условия. Функция f(x) имеет в точке x конечную  производную f ¢ ( x ) . В этом случае была доказана формула (1.1.2), в которой можно  положить f ¢ ( x ) =  A . Тогда формула (1.1.2) совпадает с представлением (1.10.1), что  означает дифференцируемость f(x) в точке x.  Необходимость условия. Пусть f(x) дифференцируема в точке x. Тогда из (1.10.1),  предполагая Dx ¹ 0 , получаем Dy  o ( Dx ) = A + ,  Dx  D x откуда, переходя к пределу при Dx ® 0  и используя определение o ( Dx ) , получаем  Dy  lim =  A .  Dx ® f  D x  Это означает, что существует конечная производная f ¢ ( x )  =  A n  Таким образом, наличие конечной производной f ¢ ( x )  в точке x эквивалентно  дифференцируемости функции f(x) в этой точке.  Поэтому процесс нахождения производной  называют еще дифференцированием функции.  Определение.  Первое слагаемое  A × Dx = f ¢( x ) × D x в разлож ении (1.10.1) называет ся главной линейной част ью приращения Dy  (при Dx ® 0 ). Эт о слагаемое называют  дифференциалом функции и обозначают  символом dy (или df):  dy = df  = f ¢ ( x ) × D x .(1.10.2)  Ут верж дение.  Дифференциал и приращение независимой переменной x равны меж ду собой:  dx = D x .  Доказат ельст во. В самом деле, пусть y=x. Тогда  dy = 1 × D x (по формуле (1.10.2)). Но y=x.  Поэтому  dy = dx и  dx = Dx n  В связи с этим дифференциал записывают в виде  dy = f ¢( x dx )  (1.10.3)

Замечание. Из определения (1.10.3) следует, что dy f  ¢ ( x )  =  ,  dx  то есть производная f ¢ ( x )  равна отношению дифференциала dy к дифференциалу dx в точке  x.  11. Свойства дифференциалов  Поскольку  dy = f ¢( x dx )  , нахождение дифференциала сводится к нахождению производной.  В связи с этим легко доказывается справедливость следующих формул: d ( u ± v ) = du ± dv  d ( u × v ) = udv + vdu  d ( c × u )  = c × du  ( c = const )  (1.11.1)  æ u ö vdu - udv  d ç ÷ = ( v ¹  0 )  è v ø v 2  Здесь предполагается, что u и v ­ дифференцируемые в точке x функции. 

12. Геометрический смы сл дифференциала  На рис. 1.12.1 изображена функция  y =  f ( x) и касательная (T) к графику в точке М.  Очевидно, что f ¢ ( x ) =  tga . Тогда из рис. 1.12.1 следует, что  dy = f ¢ ( x )Dx = tga × D x =  AB .  Таким образом,  дифференциал функции  y в точке  x, соответствующий  приращению Dx , равен приращению ординаты точки, лежащей  на касательной. 

Рис. 1.12.1 иллюстрирует тот факт, что для зависимой переменной  y Dy ¹  dy ,  так как Dy - dy = M 1 A = o ( D x) . 

Рис. 1.12.1

Дадим еще одно определение касательной (не параллельной оси OY) к кривой (К) (эквивалентное предыдущему  определению):  Определение. Прямая (Т) называется касательной к кривой  y =  f ( x)  в точке  M(x, f(x)), если расстояние r ( Dx ) от точки M 1 ( x + Dx ,  y + D y )  на кривой до прямой (Т) в направлении оси OY  есть r( Dx ) = o( D x) .  На рис. 1.12.1 прямая (Т) будет касательной, если M 1 A = o ( D x ) . Очевидно, что это будет тогда и только  тогда, когда функция f(x) дифференцируема в точке x. Итак  кривая  y =  f ( x)  имеет касательную (не параллельную оси OY) в точке M(x, f(x)), тогда и только тогда,  когда функция  f(x) дифференцируема в точке x. 

В дальнейшем, при рассмотрении функций двух переменных, определение касательной плоскости к некоторой  поверхности будет дано путем естественного обобщения данного определения. 

13. Непреры вность  и дифференцируемость  функций  Ут верж дение.  Если функция f(x) дифференцируема в т очке x, т о она и непрерывна в эт ой т очке:  диффе р енци р уемост ь Þ неп р е рывност ь .  Доказат ельст во. Функция f(x) дифференцируема в точке x. Значит существует в этой точке  производная f ¢ ( x ) . Непрерывность f(x) в точке x в этом случае доказана ранее (см.  Замечание 3, параграф "Определение производной")n  Замечание. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно:  непрерывност ь Þ /  дифференци руемост ь  .  Пример 15. Рассмотрим снова функцию из примера 2.  Решение. Эта функция непрерывна в точке x=1. В самом деле:  При Dx > 0: Dy  = f ( 1 + Dx ) - f ( 1 )  = ( 2 - ( 1 + Dx )) - 1  =  D x ,  При Dx 1, вообще говоря, не обладает  свойст вом инвариант ност и (в от личие от  случая n= 1).  Доказат ельст во. Покажем это на примере второго дифференциала. Если x ­ независимая  переменная, то справедлива формула (1.15.2)  d 2 y = f ¢¢( x dx  )  2 .  Пусть теперь  y =  f ( u) , где  u = j ( x) .  Тогда d 2 y = d (dy ) = d [ f ¢ ( u ) × du ] = d ( f ¢ ( u ) ) du + f ¢ ( u ) d ( du )  =

(1.15.4)  = f ¢¢ ( u ) du 2  + f ¢ ( u ) d 2 u = f ¢¢ ( u ) du 2  + f ¢( u ) j ¢¢ ( x dx  )  2 . Здесь мы использовали правило нахождения дифференциала от произведения и свойство  инвариантности первого дифференциала, в силу которого d ( f  ¢ ( u ) ) = f  ¢¢ ( u ) du .  Сравнивая формулу (1.15.4) с формулой (1.15.2), замечаем, что к слагаемому f ¢¢ ( u ) du 2  добавляется слагаемое f ¢ ( u ) j ¢¢ ( x dx  ) 2  ,  не равное, вообще говоря, нулю.  Поэтому форма второго дифференциала не сохраниласьn  Замечание. Если  u = j ( x ) = Ax + B , то j ¢¢( x )  = 0 . Поэтому, если u ­ линейно зависит от x, то  форма второго дифференциала сохраняется.

16. Дифференцирование параметрически заданны х функций  Пусть имеются две функции  ì x = j ( t )  ,  где t  Π(t 1 ,  t 2 ) .  (1.16.1)  í î y = y ( t )  Пусть, кроме того, для функции  x = j ( t )  имеется обратная функция  t  = j -1 ( x) . Тогда  переменная y может быть выражена через x: y = y (j -1 ( x) ) .  (1.16.2)  Таким образом, уравнения (1.16.1) определяют некоторую функцию y = f ( x )  = y (j - 1 ( x) )  ( x Î ( a , b) ) ,  где  a  = j ( t1 ) , b = j ( t 2 ) . В этом случае говорят, что функция y=f(x) задается  парамет рически (в виде уравнений (1.16.1)).  Нетрудно получить выражение для производной y x ¢ , не используя явного выражения y от x, а  пользуясь лишь уравнениями (1.16.1). Предположим дополнительно, что функции  x = j ( t )  и  y = y ( t )  дифференцируемы и j ¢ ( t )  ¹ 0  при t  Π(t 1 ,  t 2 ) . В силу инвариантности формы  первого дифференциала формула  dy = y x¢ dx ,  а значит и формула dy y x ¢ =  ,  (1.16.3)  dx  верна, по какой бы независимой переменной (одинаковой в обоих случаях) ни были  вычислены дифференциалы dx и dy. В нашем случае  dx = x dt  t¢  ,  dy = y dt  t¢  .  Подставляя эти выражения в формулу (1.16.3), получаем y ¢ y x ¢ = t  .  (1.16.4)  x t ¢  (Нижний индекс в этой формуле указывает, по какой переменной находится производная).  Отметим, что данная формула дает выражение для y x ¢  как функции от t. Параметр t и  переменная x связаны соотношением  x = j ( t ) . Поэтому производная y x ¢  может быть  записана как параметрически заданная функция: y t ¢ ì ï y ¢ x ( t ) = ¢ x t  (1.16.5)  í ïx  = j ( t ),  î от которой вновь может быть взята производная по x по правилу (1.16.4). Поэтому для  второй производной y x ¢¢  получаем ¢ ì æ y t ¢ ö ï ç ÷ t  ï è x t ¢ ø x y ¢¢- y x  ¢ ¢¢ í y x ¢¢ = = t  t  3 t  t  (1.16.6)  x t ¢ ï ( x t ¢ ) ï  î x = j ( t )  Пример 18. Пусть функция y=f(x) задана параметрически  ì x = cos t  ,   где t  Π(o, p ) .  í î y = sin t Требуется найти y x ¢  и y x ¢¢ .

Решение. Функция  x = cos t строго убывает на (o, p ) , и поэтому имеет обратную функцию.  Кроме того. y t ¢ =  cos t  и x t ¢ = - sin t  ¹  0  при t  Π(o , p ) . Тогда по формуле (1.16.5) получаем cos t  ì = - ctg x  ï y ¢x  = ( - sin t ) ,  í ï x = cos t  î а по формуле (1.16.6) имеем ì æ 1  ö ¢ ïï ( - ctg t ) t  çè sin 2  t ÷ø 1  == - 3  .  í y ¢¢x  = ( - sin t ) sin t  sin  t  ï ï  î x = cos t  Замечание. Формула (1.16.5) позволяет записать уравнение касательной к кривой (К), если  ее уравнение задано в параметрической форме. Пусть в последнем примере нужно найти  p  уравнение касательной при  t = .  4  Очевидно, что p  æpö y 0 ¢ = y x ¢ ç ÷ = - ctg  = - 1 ;  è 4 ø 4 

p  2  p  2  æpö æpö x 0  = x ç ÷ = cos  = ;  y 0  = y ç ÷ = sin  = .  è 4 ø è 4 ø 4  2 4  2 Используя уравнение (1.4.1), получаем  æ æ 2 ö 2 ö ç y ÷ = -ç x ÷ ,  2  ø 2  ø è è x + y - 2  =  0 . 

17. Основны е теоремы  о дифференцируемы х функциях  Определение.  Функция f(x) имеет  в т очке x0  максимум (минимум), если эт у т очку мож но  окруж ит ь т акой окрест ност ью ( x 0  - d ,  x 0 + d ) , содерж ащейся в промеж ут ке, где  задана функция, чт о для всех ее т очек x (кроме самой т очки x0) выполняет ся  неравенст во  f ( x ) ).  При эт ом т очка x0  называет ся т очкой максимума (минимума), а  соот вет ст вующее значение функции f(x0) ­ максимумом (минимумом). Точки  максимума или минимума называют ся т очками экст ремума.  Заметим, что наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке могут не быть  экстремумами. На рис. 1.17.1  f(x1) ­ максимум,  f(x2) ­ минимум.  f(a) ­ наименьшее на [a, b] значение,  f(b) ­ наибольшее на [a, b] значение.  Теорема (Ферма).  Если функция f(x) дифференцируема в т очке x=c  и имеет  в эт ой т очке экст ремум, т о f ¢ ( c ) =  0 . 

Рис. 1.17.1

Доказат ельст во. Для определенности будем считать, что точка с ­ точка максимума. Тогда,  для достаточно малых Dx > 0 , имеем f ( c + Dx )  - f ( c )  < 0 ,  D x откуда в пределе при Dx ® +0  получим, что f ( c + Dx ) - f ( c ) lim  £  0 .  (1.17.1)  Dx ®+0  D x Если Dx 0 ,  D x откуда в пределе при Dx ® -0  получим, что f ( c + Dx ) - f ( c ) lim  ³  0 .  (1.17.2)  Dx ®-0  D x Поскольку производная f ¢ ( c )  существует (по условию), то пределы (1.17.1) и (1.17.2)  совпадают и равны f ¢ ( c ) : f ( c + Dx ) - f ( c )  f ( c + Dx ) - f ( c )  f ( c + Dx ) - f ( c ) f  ¢ ( c )  = lim  = lim  = lim  .  Dx ® 0  Dx ®+0  Dx ®- 0  Dx  Dx  D x  Откуда с учетом (1.17.1) и (1.17.2) получаем: f ¢ ( c ) = 0 n  Теорема (Ролля).  Пуст ь функция f(x) определена и непрерывна на от резке [a, b], дифференцируема в  инт ервале (a, b) и значения функции на концах от резка равны, т о ест ь f(a)=f(b).  Тогда сущест вует  т очка c Î (a ,  b )  т акая, чт о f ¢ ( c ) =  0 .  Доказат ельст во. В силу 2 й  теоремы Вейерштрасса функция f(x) достигает на отрезке [a, b]  своего наибольшего М и наименьшего m значений. Пусть x1  и x2  ­ точки на [a, b] такие, что  m = f ( x 1 ) £ f ( x ) £ f ( x 2 ) =  M для всех x Î [a ,  b ] .  Если x1  и x2  совпадают с концами отрезка [a, b], то m=M и, следовательно, функция f(x)  постоянна на [a, b]:  f ( x ) = m = M  =  const .  В этом случае f ¢ ( x ) = 0  для всех x Î ( a ,  b ) , и утверждение теоремы выполнено.  Пусть теперь хотя бы одна из точек x1, x2  является внутренней точкой отрезка  [a, b]. Пусть для определенности такая точка есть x2. Тогда x2  ­ точка максимума. По условию  функция f(x) дифференцируема на (a, b). Поэтому функция f(x) дифференцируема и в точке  x2. Но тогда, по теореме Ферма: f ¢ ( x 2 ) =  0 ,  то есть утверждение теоремы выполняется при c=x2.n  Замечание 1. Теорема Ролля теряет силу, если хотя бы в одной точке (a, b) производная f ¢ ( x )  не существует. В примере 2 функция не дифференцируема в одной точке x=1. Для  этой функции, не существует точки cÎ(0, 2) такой; что f ¢ ( c )  =  0 . В теореме нельзя также  заменить непрерывность на [a, b] на непрерывность на (a, b). Примером является функция  ì1 ,  если  x = 0 ;  y = í î x ,  если  0 < x £ 1 .  Точка x=0 ­ точка разрыва. Точки cÎ(0, 1), где f ¢ ( c )  = 0  не существует.

Замечание 2. Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл. Если выполнены условия  теоремы, то на графике (см. рис. 1.17.2) функции y=f(x)  существует точка (c ,  f ( c ) )  касательная в которой параллельна  оси OX, так как f ¢ ( c ) = tga  = 0  и a = 0 .  Теорема (Лагранжа).  Пуст ь функция f(x) определена и непрерывна на  от резке [a, b] и дифференцируема в инт ервале (a, b).  Рис. 1.17.2  Тогда сущест вует  т очка cÎ(a, b) т акая, чт о f ( b ) - f ( a )  f  ¢ ( c )  = или  b - a  Рис. 1.17.3 f ( b ) - f ( a ) = f ¢( c )( b - a ) .  Доказат ельст во. Рассмотрим функцию f ( b ) - f ( a )  j ( x ) = f ( x ) ( x - a ) -  f ( a ) .  ( b - a )  Очевидно, что j ( a ) = j ( b) = 0 ,  функция j ( x ) непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b). В силу теоремы Ролля,  существует точка cÎ(a, b) такая, что j ¢ ( c ) = 0 . В данном случае f ( b ) - f ( a )  j ¢ ( c ) = f ¢ ( c ) = 0,  ( b - a )  и поэтому f ( b ) - f ( a )  f ¢ ( c ) = n  (1.17.3)  ( b - a )  Замечание 3. Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл. Правая часть  равенства (1.17.3) есть тангенс угла наклона хорды, соединяющей точки (a ,  f ( a ) )  и (b ,  f ( b ) )  графика функции y=f(x). Левая часть равенства (1.17.3) есть тангенс угла наклона  касательной к графику в точке ( c .  f ( c ) ) . Если функция y=f(x) удовлетворяет условиям  теоремы Лагранжа, то теорема утверждает, что найдется такая точка c, что касательная в  точке ( c .  f ( c ) )  параллельна описанной выше хорде (рис. 1.17.3).  Замечание 4. Часто теорема Лагранжа записывается в такой форме Df  = f ( x + Dx ) - f ( x ) = f ¢ ( ~  x ) D x ,  где ~  x  Î ( x ,  x + D x) .  Поэтому теорему Лагранжа называют теоремой о конечных приращениях.  Теорема (Коши).  Пуст ь:  –  функции f(x) и g(x) непрерывна на от резке [a, b] и дифференцируема в  инт ервале (a, b);  – g ¢ ( x ) ¹  0  в каж дой т очке x Î ( a ,  b ) .  Тогда сущест вует  т очка cÎ(a, b) т акая, чт о f ¢ ( c )  f ( b ) - f ( a )  = .  (1.17.4)  g ¢ ( c )  g ( b ) - g ( a )  Доказат ельст во. Рассмотрим функцию f ( b ) - f ( a )  j ( x ) = f ( x ) [ g ( x ) - g ( a ) ] g ( b ) - g ( a )  Здесь  g ( b ) - g ( a ) ¹ 0 . В противном случае  g ( b )  =  g ( a ) и, в силу теоремы Ролля, 

выполнялось бы равенство g ¢ ( c )  для некоторого c Î (a ,  b) , но по условию g ¢ ( x ) ¹ 0  для  любого x Î ( a ,  b) .  Функция j ( x )  непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и j ( a )  = j ( b) . По теореме  Ролля найдется такая точка с, что j ¢ ( c ) = 0 .  В данном случае f ( b ) - f ( a )  j ¢ ( c ) = f ¢( c ) g ¢ ( c ) = 0 ,  g ( b ) - g ( a )  откуда f ¢ ( c )  f ( b ) - f ( a )  = n  g ¢ ( c )  g ( b ) -  g ( a ) 

18. Раскры тие неопределенностей. Правило Лопиталя  Отношение  f ( x )  g ( x )  æ 0 ö представляет собой неопределенность вида  ç ÷  при  x ® a , если  è 0ø lim  f ( x) = 0  и  lim g ( x) = 0 .  x ® a 

x ® a 

Раскрыть эту неопределенность ­ значит найти  f ( x )  lim  ,  x ® a  g ( x)  если он существует. 

Теорема 1. (Правило Лопиталя).  Пуст ь:  A. Функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некот орой окрест ност и  т очки a, за исключением, быт ь мож ет , самой т очки a;  B.  lim  f ( x ) = lim g ( x) = 0 ;  x ® a 

x ® a 

C. g(x) и g ¢ ( x ) ¹ 0  в окрест ност и т очки a, за исключением, быт ь мож ет , самой  т очки a.  Тогда, если сущест вует  конечный или бесконечный (равный + ¥ или ­¥) предел  f ¢ ( x )  lim  ,  x ® a  g ¢ ( x)  т о сущест вует  предел  f ( x )  lim  ,  x ® a  g ( x)  причем  f ( x )  f ¢ ( x )  lim = = lim  .  (1.18.1) x ® a  g ( x )  x ®a  g ¢ ( x) 

Доказат ельст во. Будем считать, что a ­ конечное число (случай a=¥ см. ниже (Замечание  4.)). Введем функции  ì f ( x ),  если x ¹ a ,  ~  ì g ( x ),  если  x ¹ a ,  ~  f ( x )  = í g ( x )  = í î  0 ,  если x = a .  î  0 ,  если  x = a .  ~  ~ ( x )  определены и непрерывны в точке a, так как  Функции  f ( x )  и  g  ~  ~  ~ ( x )  = g  ~ ( a )  = 0 .  lim  f ( x ) = f ( a ) = 0 ;  lim g  x ® a 

x ® a 

Кроме того, эти функции непрерывны на [a, x] и дифференцируемы на (a, x). Применяя к  этим функциям теорему Коши на [a, x], получаем  ~  ~  ~  ~  f ( x )  f ( x ) - f ( a )  f ( x )  f  ¢ ( c )  = ~  ~ ( a )  = g  ~ ( x )  = g  ~ ¢ ( c ) , где  a  < c 0). x ®0

1  ln x  æ ¥ ö 1  Решение.  lim x a ln x = lim  -a = ç ÷ = lim  x -a -1  = - lim xa =  0 .  x ® 0  x ® 0  x  è ¥ ø x ®0  - ax  a  x ®0  æ ¥ö При раскрытии неопределенности ç ÷  использовалось правило Лопиталя.  è ¥ø Использование этого правила законно, поскольку функции  ln x  и  x -a  удовлетворяют условиям теоремы 1.  2.  Неопределенность ( ¥ - ¥ ) .  Пусть  f ( x ) ® +¥  и  g ( x ) ® +¥  при  x ® a .  Очевидно, что  æ 1  1  ö ç ÷ è g ( x )  f ( x ) ø 1  1  æ 0 ö f ( x ) - g ( x )  = = ­ неопределенность вида  ç ÷ .  1  1  è 0ø æ 1  ö æ 1  ö ×  ç ÷ ç ÷ f ( x )  g ( x ) è f ( x ) ø è g ( x ) ø 3.  Неопределенности вида 1¥  , 0 0  , ¥ 0  , для выражения u v  сводятся к неопределенности

( 0 × ¥ ) . В самом деле:  v

u v  = e ln u  =  e v ln u  (u>0) 

(1.18.2) 

Очевидно, что выражение вида  v × ln u представляет собой неопределенность вида

( 0 × ¥ )  (проследите это самостоятельно).  Если существует предел lim ( v × ln u )  =  A ,  x ® a 

то существует и предел lim v ln u 

lim ( u v )  = lim e v ln u  = e x ® a x ® a 

x ® a 

= e A . 

tg x 

æ 1 ö Пример 23. Найти  lim ç ÷  .  x ®+0 è x ø Решение. Это неопределенность вида ( ¥ 0  ). Воспользуемся формулой (1.18.2)  æ 1 ö L = lim ç ÷ x ®+0 è x ø

tg x 

æ 1 ö ln ç ÷ è x ø

tg x 

= lim e 

æ 1 ö tg x ln ç ÷ è x ø

= lim e 

x ®+0 

x ®+0 

- lim  tg x ×ln x 

= lim e - tg x ×ln x  = e  x® + 0  x ®+0 

. Выражение ( tgx × ln x ) при 

æ ¥ö x ® 0  дает неопределенность вида ( 0 × ¥ ) . Сведем ее к неопределенности вида ç ÷ :  è ¥ø - lim  tg x ×ln x 

- lim 

ln x 

L = e  x ® +0  = e  x ® + 0 ctg x .  Раскроем эту неопределенность с помощью правила Лопиталя (функции  ln x  и  ctgx  удовлетворяют условиям теоремы 1.): ( ln x ) ¢

ln x 

- lim 

x ® +0 ctg x 

x ® +0 

- lim 

( ctg x ) ¢

æ 1 ö ç ÷ è x ø 1  ö x ® +0 æ ç - 2  ÷ è sin  x ø

- lim 

lim 

sin 2  x  x

L = e  = e  = e  = e  .  Воспользовавшись первым замечательным пределом x ® + 0 

sin x  ® 1  при  x ® 0 ,  x получаем окончательно  sin 2  x  x ® +0  x 

L = e 

lim 

lim  sin x

= e x ® + 0 

= e 0  = 1 .