Математика. Часть 2: Учебно-методическое пособие по специальности 060108 (040500) - ''Фармация''

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Математика Часть II Дифференциальные уравнения Учебно-методическое пособие Специальности 060108 (040500) — Фармация

Воронеж 2005

Утверждено научно-методическим советом математического факультета 1 сентября 2005 года Протокол №1

Составитель Шабров С.А.

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре математического анализа математического факультета Воронежского государственного университета Рекомендуется для студентов 1 курса всех форм обучения Учебно-методическое пособие написано в соответствии с программой курса «Математика». Оно содержит краткие теоретические сведения и задачи для самостоятельного решения.

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется соотношение вида F (x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n) ) = 0 между независимым переменным x, его функцией y и производными y 0 , y 00 , . . . , y (n) . Функция y = ϕ(x) называется решением этого дифференциального уравнения, если после замены y на ϕ(x), y 0 на ϕ0 (x), . . . , y (n) на ϕ(n) (x) оно обращается в тождество. Иногда требуется найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (n−1)

y(x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y00 , . . . , y (n−1) (x0 ) = y0

.

Эта задача носит название начальная задача Коши.

1. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными могут быть записаны в виде y 0 = f (x)g(y), а также в виде f1 (x)g1 (y)dx + f2 (x)g2 (y)dy = 0. Для решения такого уравнения надо обе его части умножить или разделить на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входило только x, в другую — только y, и затем проинтегрировать обе части. Однако при делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестные x и y, могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в нуль. Пример 1. Решить уравнение xyy 0 + 1 = y dy Решение. Заменяя y 0 на , имеем dx xy

dy + 1 = y, dx

или xydy = (y − 1)dx.

Разделим обе части последнего равенства на x(y − 1): dx ydy = . y−1 x Переменные разделились, что позволяет нам проинтегрировать обе части Z Z ydy dx = , y + ln |y − 1| = ln |x| + C y−1 x 3

При делении на x(y − 1) могли быть потеряны решения x = 0 и y − 1 = 0, т. е. y = 1. Непосредственной проверкой убеждаемся, что y = 1 — решение, а x = 0 — нет. Уравнения вида y 0 = f (ax + by) сводятся к уравнению с разделяющимися переменными заменой t = ax + ay. Однородные уравнения могут быть записаны в виде y 0 = f (y/x). Чтобы решить однородное уравнение, можно сделать замену y = tx, после чего получается уравнение с разделяющимися переменными. Пример 2. Решить уравнение (x + 2y)dx − xdy = 0. Решение. Сделаем замену y = tx. Тогда dt = xdt + tdx. Подставляя в уравнение, имеем (x + 2tx)dx − x(xdt + tdx) = 0,

или (1 + t)dx = xdt.

Разделив переменные и проинтегрировав, получим ln |x| = ln |t + 1| + ln |C|, Откуда x=C

³y

или x = C(t + 1). ´

+1 . x Некоторые уравнения можно свести к однородным с помощью замены y = z m . Сделав в уравнении указанную замену, число m подбирают так, чтобы уравнение стало однородным. Если этого сделать нельзя, то уравнение этим способом не сводится к однородному. Пример 3. Свести к однородному уравнению 2x4 yy 0 + y 4 = 4x6 . Решение. После замены y = z m уравнение принимает вид 2mx4 z 2m−1 z 0 + z 4m = 4x6 . Последнее уравнение становится однородным, если степени всех его членов равны между собой: 4 + (2m − 1) = 4m = 6. Эти равенства удо3 влетворяет одновременно, если m = , следовательно, уравнение можно 2 3/2 свести к однородному заменой y = z . Уравнение y 0 + a(x)y = b(x) называется линейным. Чтобы его решить, надо, разделяя переменные, решить однородное уравнение y 0 + a(x)y = 0, 4

и в общем решении последнего заменить произвольную постоянную C на неизвестную функцию C(x). Затем y подставляют в неоднородное уравнение и находят C(x). Уравнение y 0 + a(x)y = b(x)y n , (n 6= 1) называемое уравнение Бернулли, сводится к линейному уравнению заме1 ной n−1 = z. y Уравнение Риккати y 0 + a(x)y + b(x)y 2 = c(x), в общем случае не решается в квадратурах. Однако если известно частное решение1 y1 (x), то заменой y = z +y1 (x) уравнение Риккати сводится к уравнению Бернулли. Задачи для самостоятельной работы I Решить уравнения 1. y 0 = y

6. y 0 − y = 2x − 3

2. xydx + (x + 1)dy = 0

7. x2 y 0 = 1/y 8. (x + 2y)y 0 = 1 y 9. y 0 = x √ 0 10. y = 4x + 2y − 1

3. xy 0 = 2y p 4. y 2 + 1 dx = xydy 5. yy 0 = x II Решить однородные уравнения

6. 2x2 y 0 = y 3 + xy √ 7. 2y 0 + x = 4 y p 8. 2xy 0 + y = y 2 x − x2 y 2 p 2 9. xyy 0 = x6 − y 4 + y 2 3 10. 2y + (x2 y 2 + 1)xy 0 = 0

1. (x − y)dx + (x + y)dy = 0 2. (y 2 − 2xy)dx + x2 dy = 0 3. y 2 + x2 y 0 = xyy 0 y 4. xy 0 = y cos ln x p 5. xy 0 = x2 − y 2 + y

III Решить линейные уравнения первого порядка

1

которое иногда удается подобрать исходя из вида свободного члена уравнения

5

1. y 0 + 2y = x

5. y 0 − 3y = (x − 1)ex

10. xy 2 y 0 = x2 + y 3 √ 11. xy 0 − 2x2 y = 4y xy x 12. 2y 0 − = 2 y x −1 13. (2x2 y ln y − x)y 0 = y

6. y 0 = (x2 + 1) sin x

14. (x + 1)(yy 0 − 1) = y 2

7. 2x(x2 + y)dx = dy

15. x2 y 0 + xy + x2 y 2 = 4

8. (xy 0 − 1) ln x = 2y

16. xy 0 − (2x + 1)y + y 2 = −x2

9. (x + 1)(y 0 + y 2 ) = −y

17. y 0 + 2yex − y 2 = e2x + ex

2. xy 0 − 2y = 2x4 3. y 0 − 2y = ex 4. y 0 + y = e−x

2. Решение дифференциальных уравнений второго порядка Для того чтобы решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами y 00 + ay 0 + by = f (x), необходимо решить однородное уравнение y 00 + ay 0 + by = 0. Для нахождения общего решения последнего уравнения необходимо найти корни характеристического уравнения λ2 + aλ + b = 0. Если уравнение имеет два различных корня λ1 и λ2 , то общее решение имеет вид yoo (x) = C1 eλ1 x + C2 eλ2 x . Если уравнение имеет один корень λ1 кратности 2, то общее решение принимает вид yoo (x) = (C1 + C2 x)eλ1 x . Наконец, если√характеристическое уравнение имеет комплексные корни2 a −D λ1,2 = − ± i , то общее решение однородного уравнения имеет вид 2 2 √ √ ¶ µ −D x −D x + C2 sin yoo (x) = e−ax/2 C1 cos . 2 2 2

Через i обозначена мнимая единица, т. е. i2 = −1

6

Частное решение неоднородного уравнения ищут методом вариации произвольных постоянных — постоянные C1 и C2 заменяются на неизвестные функции, т. е. решение ищут в виде y1 (x) = C1 (x)ϕ1 (x) + C2 ϕ2 (x) (здесь обозначено ϕ1 (x) = eλ1 x , ϕ2 (x) = eλ2 x , если D√> 0; ϕ1 (x) = eλ1 x −D x и ϕ2 (x) = xeλ1 x , если D = 0; ϕ1 (x) = e−ax/2 cos и ϕ2 (x) = 2 √ −D x , если D < 0). Подставляя в исходное уравнение, поe−ax/2 sin 2 лучим систему ½ 0 C1 (x)ϕ1 (x) + C20 (x)ϕ2 (x) = 0, C10 (x)ϕ01 (x) + C20 (x)ϕ02 (x) = f (x) Решая полученную систему, найдем неизвестные функции C1 (x) и C2 (x): Z Z e1 и C2 (x) = f (x)ϕ1 (x)dx + C e2 C1 (x) = − f (x)ϕ2 (x)dx + C e1 и C e2 — произвольные постоянные). Отсюда находим общее решение (C неоднородного уравнения Z Z yon (x) = −ϕ1 (x) f (x)ϕ2 (x)dx + ϕ2 (x) f (x)ϕ1 (x)dx + yoo (x). Если правая часть имеет вид f (x) = eλ0 x (Pn (x) cos βx + Qn (x) sin βx), где Pn (x) и Qn (x) — многочлен степени n, то частое решение ищется в виде y1 (x) = xµ eλ0 x (An (x) cos βx + Bn (x) sin βx), где An (x) и Bn (x) — многочлены степени n с неопределенными коэффициентами, и µ равно кратности корня λ0 + iβ (или λ − iβ, если β 6= 0). Пример 4. Решить дифференциальное уравнение y 00 + 4y 0 + 4y = (4 − 6x)e−2x Решение. Решим сначала однородное уравнение y 00 + 4y 0 + 4y = 0. Характеристическое уравнение λ2 + 4λ + 4 = 0 имеет один корень λ1 = −2 кратности 2. Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид yoo (x) = (C1 + C2 x)e−2x , 7

и частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде y1 (x) = x2 e−2x (Ax + B), так как λ = −2 является корнем характеристического уравнения кратности 2. Подставляя в уравнение, будем иметь (6Ax + 2B)e−2x − 4(3Ax2 + 2Bx)e−2x + 4(Ax3 + Bx2 )e−2x + + 4(3Ax2 + 2Bx)e−2x − 8(Ax3 + Bx2 )e−2x + + 4(Ax3 + Bx2 )e −2x = (4 − 6x)e−2x . Приводя подобные, деля на положительное выражение e−2x , и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными ½ 6A = −6, 2B = 4. Решая которую, найдем A = −1 и B = 2. Тогда частное решение неоднородного имеет вид y1 (x) = x2 (2 − x)e−2x , и yon (x) = x2 (2 − x)e−2x + (C1 + C2 x)e−2x есть общее решение неоднородного уравнения. Решить линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 1. y 00 + 4y = x

10. y 00 − 8y 0 + 17y = e4x (x2 − 3x sin x)

2. y 00 − 2y 0 + y = ex

11. y 00 − 9y = e−3x (x2 + sin 3x)

3. y 00 + y = sin x 4. y 00 − 9y = (x − 1)e3x

12. y 00 − 2y 0 + y =

ex x

1 sin x

5. y 00 − y 0 = (x2 + 1) sin x

13. y 00 + y =

6. y 00 − y = 2ex − x2

√ 14. y 00 + 2y 0 + y = 3e−x x + 1

7. y 00 − 9y = e3x cos x 8. y 00 − 2y 0 + 2y = ex + x cos x

15. x3 (y 00 − 2) = x2 − 2

9. y 00 − 8y 0 + 20y = 5xe4x sin 2x

16. y 00 + 2y 0 + y = xex + x−1 e−x 8

3. Применение дифференциальных уравнений для решения прикладных задач Пример 5. В баке находится 100л раствора, содержащего 10кг соли. В бак непрерывно подается вода (5л в минуту), которая перемешивается с имеющимся раствором. Смесь вытекает с той же скоростью. Сколько останется соли в баке через час? Решение. Пусть Q(t) кг — количество соли в баке в момент времени t Q после начала истечении смеси из бака. Тогда есть ее концентрация 100 Q · 5dt — количество соли, вытекающее из бака в данном растворе, a 100 за время dt мин. Следовательно, имеем дифференциальное уравнение dQ = −0, 05Qdt Здесь знак «−» указывает на то, что количество соли в баке уменьшается. Интегрируя уравнение, получаем Q = Ce−0,05t . Поскольку при t = 0 в баке имелось 10 кг соли, то C = 10. Таким образом, Q = 10e−0,05t есть решение данной задачи. Полагая в последнем равенстве t = 60 мин., получаем, что количество соли в баке через час равно 10e−3 кг≈0,5 кг. Пример 6. В сосуд, содержащий 10 л воды, непрерывно поступает со скоростью 2 л в минуту раствор, в каждом литре которого содержится 0,3 кг соли. Поступающий в сосуд раствор перемешивается с водой, и смесь вытекает из сосуда с той же скоростью. Сколько соли будет в сосуде через 5 минут? Решение. Примем за независимое переменное время t, а за искомую функцию y(t) — количество соли в сосуде через t минут после начала опыта. Найдем, на сколько изменится количество соли за промежуток времени от момента t до момента t + ∆t. В одну минуту поступает 2 л раствора, а в ∆t минут — 2∆t литров; в этих 2∆t литрах содержится 0, 3 · 2∆t = 0, 6∆t кг соли. С другой стороны, за время ∆t из сосуда вытекает 2∆t литров раствора. В момент t во всем сосуде содержится y(t) кг соли, следовательно, в 2∆t литрах вытекающего раствора содержалось бы 0, 2∆t · y(t) кг соли, если бы за время ∆t содержание соли в сосуде не менялось. Но так как оно за это время меняется на величину, бесконечно малую при ∆ → 0, то в вытекающих 2∆t литрах содержится 0, 2∆t(y(t) + α) кг соли, где α → 0 при ∆t → 0. Таким образом, в растворе, втекающем за промежуток времени (t, t + ∆t), содержится 0, 6∆t кг соли, а в вытекающем — 0, 2∆t · (y(t) + α) кг. 9

Приращение количества соли за это время y(t+∆t)−y(t) равно разности найденных величин, т. е. y(t + ∆t) − y(t) = 0, 6∆t − 0, 2∆t · (y(t) + α). Разделим на ∆t и устремим ∆t к 0. В левой части получится производная y 0 (t), а в правой получим 0, 6 − 0, 2y(t), так как α → 0 при ∆t → 0. Окончательно получаем дифференциальное уравнение y 0 (t) = 0, 6 − 0, 2y(t). Решая его, получим y(t) = 3 − Ce−0,2t . Так как при t = 0 соли в сосуде не было, то y(0) = 0. Полагая в последней формуле t = 0, найдем y(0) = 3 − C; C = 3. Подставляя это значение C, получим y(t) = 3 − 3e−0,2t . При t = 5 в сосуде будет y(5) = 3 − 3e−0,2·5 = 3 − 3e−1 ≈ 1, 9 кг соли. Задачи для самостоятельного решения 1. Сосуд объемом в 20л содержит воздух (80 % азота и 20 % кислорода). В сосуд при непрерывном перемешивании каждую секунду втекает 0,1 л азота, вытекает такое же количество смеси. Через какое время в сосуде будет 99 % азота? 2. В воздухе комнаты объемом 200м содержится 0,15 % углекислою газа CO2 . Вентилятор подает в минуту 20м3 воздуха, содержащего 0,04 % CO2 . Через какое время количество углекислого газа в воздухе комнаты уменьшится втрое? 3. Скорость остывания (или нагревания) тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Температура окружающего воздуха поддерживается равной 20o С. Когда тело остынет до 25o С, если за 10 минут оно охладилось от 100o С до 60o С? 4. В сосуд, содержащий 1 кг воды при температуре 20o С, опущен металлический предмет с массой 0,5 кг, удельной теплоемкостью 0, 2cH2 O и температурой 75o С. Через минуту вода нагрелась па 2o С. Когда температуры воды и предмета будут отличаться одна от другой на 1o C. Потерями тепла на нагревание сосуда и прочими пренебречь. 5. Кусок металла с температурой a помещен в печь, температура которой в течение часа равномерно повышается от a до b. Скорость 10

нагрева металла пропорциональна разности T температур печи и металла, коэффициент пропорциональности равен k. Найти температуру тела через час. 6. Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки 1,5 м/с, а через 4с скорость ее 1 м/с. Когда скорость лодки уменьшится до 1 см/с? Какой путь может пройти лодка до остановки? 7. За 30 дней распалось 50 % первоначального количества радиоактивного вещества. Через сколько времени останется 1 % от первоначального количества? 8. Согласно опытам, в течение года из каждого грамма радия распадается 0,44 мг. Через сколько лет распадется половина имеющегося количества радия? 9. В исследованном куске горной породы содержится 100 мг урана и 14 мг уранового свинца. Известно, что уран распадается наполовину за 4, 5 · 109 лет и что при полном распаде 238 г урана образуется 206 г уранового свинца. Определить возраст горной породы, считая, что в момент образования горная порода не содержала свинца, и пренебрегая наличием промежуточных радиоактивных продуктов между ураном и свинцом (так как они распадаются намного быстрее урана). 10. Количество света, поглощаемое слоем воды малой толщины, пропорционально количеству падающего на него света и толщине слоя. Слой воды толщиной 35 см поглощает половину падающего на него света. Какую часть света поглощает слой толщиной в 2 м? 11. Парашютист прыгнул с высоты 1,5 км, а раскрыл парашют на высоте 0,5 км. Сколь времени он падал до раскрытия парашюта? Известно, что предельная скорость падения человека в воздухе нормальной плотности составляет 50м/с. Изменением плотности пренебречь. Сопротивление пропорционально квадрату скорости. 12. Футбольный мяч весом 0,4 кГ3 брошен вверх со скоростью 20м/с. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости и равно 0,48 Г при скорости 1 м/с. Вычислить время подъема мяча и 3

через Г (грамм-сила) обозначается техническая единица силы, 1 Г=1г · g ≈ 0, 0098Н, где g = 9, 8 см2 — ускорение свободного падения. 1кГ=1000Г.

11

наибольшую высоту подъема. Как изменятся эти результаты, если пренебречь сопротивлением воздуха? 13. Пусть жидкость вытекает из некоторого сосуда через отверстие в √ нем со скоростью, равной 0, 6 2gh, где g = 10 м/с2 , h — высота уровня жидкости над отверстием. За какое время вся жидкость вытечет из цилиндрического бака с диаметром 2R = 1, 8 м и высотой H = 2, 45 м через отверстие в дне диаметром 2r = 6 6 см? Ось цилиндра вертикальная. 14. Решить предыдущую задачу в предположении, что ось цилиндра расположена горизонтально, а отверстие находится в самой нижней части цилиндра. 15. Воронка имеет форму кругового конуса радиуса R = 6 см и высоты H = 10 см, обращенного вершиной вниз. За какое время из воронки вытечет вся вода через круглое отверстие диаметра 0,5 см, сделанное в вершине конуса? 16. В прямоугольный бак размером 60см × 75см и высотой 80см поступает 1,8л воды в секунду. В дне имеется отверстие площадью S = 2, 5 см2 . За какое время наполнится бак? 17. Резиновый шнур длиной 1 м под действием силы f кГ удлиняется на kf метров. На сколько удлинится такой же шнур длины l и веса P под действием своего веса, если его подвесить за один конец? 18. Найти атмосферное давление на высоте h, если на поверхности Земли давление равно 1кГ/см2 и плотность воздуха 0,0012г/см3 . 19. Для остановки речных судов у пристани с них бросают канат, который наматывают на столб, стоящий на пристани. Какая сила будет тормозить судно, если канат делает три витка вокруг столба, ко1 эффициент трения каната о столб равен , и рабочий на пристани 3 тянет за свободный конец каната с силой 10 кГ? 20. На вращающийся в жидкости диск действует замедляющая его движение сила трения, пропорциональная угловой скорости вращения. Найти зависимость угловой скорости от времени, если вначале диск вращался со скоростью 100 оборотов в минуту, а по истечении одной минуты — 60 оборотов в минуту. 12

21. В закрытом помещении объемом V м3 находится открытый сосуд с водой. Скорость испарения воды пропорциональна разности между количеством q1 водяного пара, насыщающего 1 м3 воздуха при данной температуре, и количеством q водяного пара, имеющимся в 1 м воздуха в рассматриваемый момент (считаем, что температура воздуха и воды, а также величина площади, с которой происходит испарение, остаются неизменными). В начальный момент в сосуде было m0 г воды, а в 1 м3 воздуха — q0 г пара. Сколько воды останется в сосуде через промежуток времени t? 22. Масса ракеты с полным запасом топлива равна M , без топлива она равна t, скорость истечения из ракеты продуктов горения равна с, начальная скорость ракеты равна нулю. Найти скорость ракеты после сгорания топлива, пренебрегая силой тяжести и сопротивлением воздуха. 23. Цилиндрический резервуар с высотой 6 м и диаметром основания 4 м поставлен вертикально и наполнен водой. За какое время вода, заполняющая резервуар, вытечет из него через круглое отверстие радиуса 1/12 м, сделанного в дне резервуара? 24. Определить время, необходимое для установления одинакового уровня в двух сообщающихся сосудах. Малое отверстие между сосудами имеет площадь ω м2 . Площади горизонтальных сечений первого и второго сосудов составляют S1 м2 и S2 м2 , в начальный момент уровень жидкости в первом сосуде находится на высоте h1 м от отверстия, а во втором — на высоте h2 м (h2 < h1 ). 25. Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа пропорциональна в каждый момент времени его фактической стоимости. Начальная стоимость равна A0 . Найти стоимость оборудования по истечении t лет. 26. Некоторое вещество преобразуется в другое со скоростью, пропорциональной количеству непреобразованного вещества. Известно, что количество первого равно 31,4 г по истечении 1 ч и 9,7 г по истечении 3 ч. Определить: 1) сколько вещества было в начале процесса; 2) через сколько времени после начала останется 1 % первоначального количества. 27. В коническую воронку с отверстием площадью ω см2 и углом 2α при вершине конуса налита вода до уровня H см над отверстием. 13

Найти зависимость между переменной высотой уровня воды h в воронке и временем истечения t. Определить полное время истечения. Вычислить его при ω = 0, 1 см2 , α = 450 , H = 20 см. 28. Найти время, в течение которого вся вода вытечет из конической воронки, если известно, что половина вытекает за 2 мин. 29. Из эксперимента известно, что скорость радиоактивного распада пропорциональна количеству вещества. Найти полу период распада радиоактивного вещества (время, за которое распадается половина вещества). 30. Из эксперимента известно, что скорость размножения бактерий при достаточном запасе пищи пропорциональна их количеству. За какое время количество бактерий увеличится в m раз по сравнению с начальным их количеством? 31. На материальную точку массы m действует постоянная сила, сообщающая точке ускорение a. Окружающая среда оказывает движущейся точке сопротивление, пропорциональное скорости ее движения, коэффициент пропорциональности равен y. Как изменяется скорость движения со временем, если в начальный момент точка находилась в покое? 32. Материальная точка движется по прямой со скоростью, обратно пропорциональной пройденному пути. В начальный момент движения точка находилась на расстоянии 5 м от начала отсчета пути и имела скорость v0 = 20 м/с. Определить пройденный путь и скорость точки через 10 с после начала движения. 33. Ускорение локомотива, начальная скорость которого равна v0 , прямо пропорционально силе тяги F и обратно пропорционально массе поезда m. Сила тяги локомотива F (t) = b−kv(t), где v(t) — скорость локомотива в момент t, a b и k — постоянные величины. Определить зависимость силы тяги локомотива от времени t. 34. Материальная точка массы m движется вдоль координатной прямой Ox. Работа силы, действующей на точку, пропорциональна времени t от начала движения (коэффициент пропорциональности равен k). Найти закон движения точки, если в начальный момент (при t = 0) точка находилась в покое на расстоянии s0 от начала отсчета.

14

35. Парашютист спускается на парашюте, имеющем форму полусферы радиуса R = 4 м. Его масса вместе с массой парашюта равна 82 кг. Найти скорость v парашютиста через 2 с после начала спуска и путь, пройденный за время t. Считать, что сила сопротивления воздуха F = 0, 00081sv 2 , где s — площадь наибольшего сечения, перпендикулярного направлению движения; v — скорость движения. 36. Метеорит, находящийся под влиянием земного притяжения, из состояния покоя начинает прямолинейно падать на Землю с высоты h. Какой была бы скорость метеорита при достижении им поверхности Земли, если бы отсутствовала земная атмосфера? Радиус Земли R = 6377 км. Истечение жидкости через отверстие в сосуде. Скорость истечения жидкости через малое отверстие в сосуде, находящееся на расстоянии h ниже уровня жидкости в сосуде без учета трения, была бы равна скорости √ свободного падения тела с высоты h, т. е. 2gh. С учетом трения√зависимость скорости v от h определяется законом Торричелли: v = µ 2gh, где g — ускорение свободного падения; µ — так называемый коэффициент расхода, который определяется эмпирически и зависит от жидкости. Для воды µ = 0, 62, для керосина µ = 0, 6.

Решить следующие задачи 1. Сосуд, площадь S = S(h) поперечного сечения которого есть известная функция высоты h, наполнен жидкостью до уровня H. В дне сосуда имеется отверстие площади σ, через которое жидкость вытекает. Определить время t, за которое уровень жидкости понизится от начального положения H до произвольного 0 6 h 6 H, и время T полного опорожнения сосуда. 2. Круглый цилиндрический бак с вертикальной осью, диаметром 2R и высотой H наполнен водой. Из бака вода вытекает через круглое отверстие диаметром 2a в дне бака. Определить время опорожнения бака. 3. В прямолинейной трубе радиуса R течет жидкость. Скорость течения v каждого слоя жидкости увеличивается с приближением этого слоя к центру трубы (оси цилиндра). Найти v как функцию расстояния r соответствующего слоя жидкости от оси цилиндра. 15

4. Пустой железный шар находится в стационарном тепловом состоянии (т. е. в состоянии, при котором температура в разных точках тела разная, но в каждой отдельной точке с течением времени не изменяется). Внутренний радиус шара 6 см, внешний — 10 см, температура внутренней поверхности 200o С, внешней — 20o С. Найти температуру в точках, находящихся на расстоянии 9 см от центра шара. 5. Цилиндрическая катушка изготовлена из медной проволоки. При прохождении через катушку электрического тока выделяется теплота. Вывести формулу для температуры T = T (t) установившегося режима как функции времени t. 6. Скорость увеличения площади молодого листа виктории-регии, имеющего форму круга, пропорциональна радиусу листа и количеству солнечного света, падающего на него. Количество солнечного света пропорционально площади листа и косинусу угла между направлением лучей и вертикалью к листу. Найти зависимость между площадью s листа и временем t, если в 6 ч утра эта площадь составляла 1600 см2 , а в 18 ч того же дня 2500 см2 . Принять, что угол между направлением луча Солнца и вертикалью в 6 ч утра и в 18 ч равен 90o , а в полдень — 0o . 7. Поглощение светового потока тонким слоем воды пропорционально толщине слоя и потоку, падающему на его поверхность. При прохождении через слой толщиной 1 м поглощается 1/4 первоначального светового потока. Какая часть светового потока дойдет до глубины h? 8. В цилиндрическом сосуде объемом V0 атмосферный воздух адиабатически (без обмена теплоты с окружающей средой) сжимается до объема V1 . Вычислить работу сжатия.

4. Уравнение химической кинетики Химическая реакция протекает при постоянной температуре и такова, что из m объемов вещества A и n объемов вещества B образуется m + n объемов вещества C. В начальный момент времени известны количества веществ: a — объем вещества A, b — объем вещества B. Определить количество вещества C в момент времени t = T . Коэффициент пропорциональности k принять равным 1. 16

№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

m 7 3 2 4 6 4 3 7 4 9

n 2 2 3 5 7 3 3 7 5 2

a 7 3 2 4 6 4 3 7 4 9

b 2 2 3 5 7 3 3 7 5 2

T 5 10 7 2 8 2 3 7 4 4

Пример 7. Найти количество вещества C в момент времени T = 12, если n = 5, m = 1, a = 5, b = 1. Решение. В соответствии с законом действующих масс скорость образования вещества C (химической реакции) пропорциональна концентрациям реагирующих веществ. Обозначим через x(t) — объем вещества C в момент времени t. Тогда объемы веществ A и B в момент времени t 5 1 будут равны, соответственно, 5 − x(t) и 1 − x(t). Скорость реакции 6 6 dx есть производная от объема x(t) вещества C по времени: . Тогда dt µ ¶µ ¶ dx 5 1 = 5− x 1− x . dt 6 6 Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными: dx µ ¶µ ¶ = dt. 5 1 5− x 1− x 6 6 После интегрирования получаем Z Z 36 dx = dt 5 (6 − x)2 Откуда

36 1 = t + C. 5 6−x

Из последнего находим x(t) = 6 − 17

36 5t + 5C

Для определения значения постоянной C полагаем в последнем равен6 стве t = 0. Так как x(0) = 0, то C = . 5 Таким образом, 36 x(t) = 6 − . 5t + 6 Окончательно, находим x(12) = 6 −

36 41 =5 . 77 77

Литература [1] Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах : учеб. пособие для студентов втузов : в 2-х ч. / П. Е. Данко, А. Г. Кожевникова. – М. : Высш. школа, 1997. – Ч. 1. – 303 с. [2] Шипачев В. С. Основы высшей математики : учеб. пособие для втузов / В. С. Шипачев. – М. : Высш. школа, 1994. – 479 с. [3] Павлушков И. В. Основы высшей математики и математической стастики : учебник для медицинских и фармацевтических вузов / И. В. Павлушков. – М. : ГЭОТАР-МЕД, 2003. – 424 с. [4] Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г. Н. Берман. – СПб. : Профессия, 2003. – 432 с.

18

Составитель

Шабров Сергей Александрович

Редактор

Тихомирова О.А.

19