可換環論 (紀伊國屋数学叢書 1)

紀伊 國屋数学叢書 1

編 集委 員 伊藤 戸田

清 三   (東京大学名誉教授) 宏 

(京都大学名誉教授)

永田

雅 宜   (京都大学名誉教授)

飛田

武 幸   (名古屋大学名誉教授)

吉沢

尚 明   (京都大学名誉教授)

永田

雅宜

可換 環 論 紀伊國屋書店

序

  可 換 環 論 は,数

学 の い ろ い ろ な 分 野 に現 わ れ る 可 換 環―

数 の な す 環 な ど― 動 機 に な つ て,そ kind環

は,有

お よ び,そ

函 数 の な す 環,整

れ ら の 上 の加 群 の 一般 的 扱 い が,重

の 進 展 を続 け て 来 て い る.例

え ば §3.5で

要 な発 展 の

紹 介 す るDede

限 次 代 数 数 体 に お け る整 数 全 体 の な す 環 の 一 般 化 で あ る.§10.2

で 紹 介 す る 「収 束 べ き 級 数 環 」 は 多 変 数 函 数 論 の 基 礎 的 部 分 の 一 つ で あ る.ま た,本

書 の 主 対 象 と し て 取 り上 げ た 部 分(第4章

密 接 な 関 連 を も つ.そ

の ゆ え に,可

∼ 第10章)は,代

数幾 何 学 と

換 環 論 は 数 学 に お け る一 つ の 基 礎 的 分 野 で

あ る と い え る.   可 換 環 論 が 数 学 の 重 要 な 一 分 野 と し て 認 め られ る よ うに な っ た の は,W. Krullの

業 績 に 負 う と こ ろ が 大 で あ る と思 う.彼

表Krull[1])に

は1935年

た さ ら に,そ

記 文献

頃 の 可 換 環 論 の 要 約 が 述 べ られ て い る が,そ

単 な る 要 約 で は な く,Krullの あ る.ま

の 著Idealtheorie(後

れは

創 意 と工 夫 が 非 常 に 多 く盛 り込 ま れ て い る の で

の 後Krull自

身 を含 め て,多

く の 人 々 に よ っ て,可

換

環 論 の 発 展 が な さ れ て 来 た の で あ る.  

そ の よ うに 基 礎 的 分 野 で は あ る が,現

在,大

充 分 な 時 間 を 割 く余 裕 は な い 状 況 に あ る.そ

学 の 講 義 に お い て,可

換 環論 に

こ で 本 書 は 自 ら進 ん で 勉 強 し よ う

とす る人 々 の 参 考 書 と し て 用 い られ る こ と に 主 眼 を お い て 執 筆 され た.  

と こ ろ で,可

換 環 論 の 研 究 方 法 と し て は,1955年

法 を 受 け つ い で 来 た が,1955年 [1],Grothendieck[1]参

照)の

頃 ま で はKrull[1]の

手

頃 か ら 「ホ モ ロ ジ ー 代 数 」(Cartan-Eilenberg 発 展 が 見 られ,そ

の 手 法 が 可 換 環 に も 取 り入

れ られ る よ うに な っ た.(Auslander-Buchsbaum[1]∼[4],Serre[1]∼[3] な どが そ の 典 型 と い え よ う.)  

本 書 の 執 筆 に あ た っ て は,な

た が っ て,予

る べ くself-containedに

備 知 識 と し て 要 求 す る もの は,極

し た い と考 え た.し

め て 基 礎 的 事 項 に 限 っ た.こ

の

方 針 に従 い,か つ,ホ モ ロジー 代数 の手 法 の紹 介 をす る とす れ ば,ホ モ ロジー 代 数 の基礎 の 紹 介 に 多大 のペ ー ジ を費 す こ とに な るの で,今 回 は一 応 断念 した. ま た別 の機 会 が あ れ ば,そ の 方 面 の紹 介 もし たい とは思 っ てい るが,さ

しあ た

り,読 者 自身 が,い ろ い ろ な文献 で,そ の方 面 も,必 要 に応 じて勉 強 され る こ とを希 望 して お く.   読 者 の 更 な る勉強 の た め と,本 文 中 の引 用 の た め に必 要 と思 わ れ る文 献 若 干 を,一 覧 表 に して,本 文 の あ とへ つ け加 え てお く.し か し,そ こに は重 要 な文 献 を全 部 挙 げて い る わ け では ない こ とに注 意 して 頂 きた い.特 に,代 数 幾 何 学 との 関連 の深 い 文 献(Abhyankar,Chow等

の 多数 の論 文 を含 む)に,可

換環

論 と して も重 要 な もの が数 多 く存 在 す る.   こ の序 文 を終 え るに あ た っ て,本 書 の 出版 に関 し,お 世 話 に な った方 々,特 に,紀 伊 國 屋 書 店 出版 部 の渦 岡 謙 一 氏 に,謝 意 を表 した い. 1974年5月 永 田 雅 宜

目

次

序 序

章  集 合 お よ び 群 に つ い て の 予 備 知 識

  0.0.  集 合 に つ い て の 基 本 的 記 号    0.1.  写

1

像

 

2

  0.2.  順 序 集 合

 3

  0.3.  類 別 と同 値 律

  5

  0.4.  群

 6

  0.5.  正 規 部 分 群 と準 同 型

  9

  0.6.  位 相 に つ い て 13 第1章 

加

  1.0.  環

群

と 体

  1.1.  加

14

群 

20

項式環 

26

  1.3.  テ ンサ ー 積

  29

  1.4.  完 全 系 列

 31

  1.2. 多

  1.5.  体  

  34

問

第2章 

題 

40

イ デ ア ル の一 般論

  2.0.  整 域 と素 イ デ ア ル     2.1.  イ デ ア ル に つ い て の 演 算,根   2.2.  準 素 イ デ ア ル   2.3.  商

環

  2.4.  整 拡

大  

 

43 基

 47  49 52 58

  2.5.  素 元 分 解 の 一 意 性  

問

第3章

  63

題 

68

  Noether環,付

値 環 お よ びDedekind環

  3.0.  Noether環

  71

  3.1.  準 素 イ デ ア ル 分 解

 76

  3.2.  局 所 環 の 定 義

 

81

  3.3.  付

 

85

値 環

  3.4.  Noether環

の整 拡 大

  92

  3.5.  Dedekind環

 97

  3.6. 

い くつ か の 商 環 の 共 通 部 分

 

問

第4章

  有 限生 成 環

題

 100

  4.0.  正 規 化 定 理   4.1.  正 規 化 定 理 の 応 用 例   4.2.  正 則 性

第5章

問

 

104  107   110

  4.3.  幾 何 学 的 意 義  

  100

題

 111   113

  局 所 環 の完備 化

  5.0.  イ デ ア ル に よ る位 相   5.1.  べ き級 数 環

  115   118

  5.2.  半 局 所 環 の 完 備 化

 120

  5.3.  完 備 化 の 平 坦 性

  128

  5.4.  平 坦 性続 論

  133

  第6章 

問

題 重

複

  6.0.  Hilbert特   6.1.  λ 多 項 式

  137 度 性函数

  140  143

  6.2.  上 表 元

  144

  6.3.  重 複 度 の 定 義

  148

  6.4.  パ ラ メ ー タ ー 系 で 生 成 され る イ デ ア ル

  150

  6.5.  Cohen-Macaulay環

  154

  6.6.  Krull‐ 秋 月 の 定 理

   160

 

  163

問

第7章 

題 syzygy

  7.0.  syzygyの

定義

  7.1.  正 則 列

  166   169

  7.2.  正 則 局 所 環

   172

 

問

題

  176

第8章

  完 備 局所 環 とそ の応 用

  8.0.  完 備 局 所 環 の 性 質

  178

  8.1.  完 備 局 所 環 の 構 造 定 理

 180

  8.2.  整 閉 包 の 有 限 陸

  188

  8.3.  Noether整

 190

域 の整 閉 包

  8.4.  素 イ デ ァ ル 鎖 の 長 さ  

問

題

第9章

  幾 何 学 的 局所 環

  9.0.  局 所 域 

 

195  197

200

  9.1.  解 析 的 不 分 岐 性

 201

  9.2.  解 析 的 正 規 性

 202

  第10章 

問

題

  207

Hensel環

  10.0.  不 分 岐 拡 大

 208

  10.1.  Hensel化

  212

  10.2.  べ き 級 数 環

 218

 

問

第11章 

題 諸

  例

  11.0.  極 大 条 件 と極 小 条 件   11.1.  Noether環

のKrull次

  224 元

  225

  11.2.  素 イ デ ア ル 鎖   11.3.  特 殊 な 正 則 局 所 環   11.4.  Noether整

223

   

226 228

域 の整 閉包

  11.5.  正 規 局 所 環 の 完 備 化

 230  

233

  11.6.  局 所 整 域 の 完 備 化

  235

  11.7.  イ デ ア ル の 素 因 子

 240

文 献

表

 

245

索

引

 

248

記 号

表

 255

序

章 集合および群について の予備知識

  0.0.集

合 に つ い て の 基 本 的 記 号

  集 合,そ

の 元,部

で あ ろ う.ま

た,集

分 集 合,空

集 合,共

合 に つ い て の,次

通 部 分 な どの基 本 概 念 につ い て は既 知 の 記 号 は 自 由 に使 う:

  ∈,∋ 

(元aが

集 合Mの

元 で あ る と き,a∈M,ま

 

, 

(元aが

集 合Mに

属 し な い と き, 

,ま

た は 

 

, 

(NがMの

部 分 集 合 で あ る と き, 

,ま

た は 

  ⊂,⊃

  ( 

っ て は,本  

, 

書 の 

か つN≠Mの を ⊂ で 示 し,本

(NがMの

  ∩,∪

と き,N⊂M,ま

そ れ ぞ れM1∩M2∩

… ∩Mn(ま

書 の ⊂ を 

で 番 号 づ け ら れ た 集 合Mλ(λ

集 合,共

通 部 分 は そ れ ぞ れ ∪Mλ,∩Mλ)

  {￨} 

  BがAの

た は{a￨P}で

}を

  ×,Π  

(積 集 合.集

はM1×M2×

… ×Mnで

集 ま り に つ い て,そ   ま た,論

共 通 部 分,和 … ∪Mn(ま

件Pを

集合 は

た は 

).

全 体 の和

み た す 集 合Mの

元a全

示 す.)

部 分 集 合 で あ る と き,A-BはBのAに

わ ち,{ 

)

∈Λ)の 集 ま りが あ る と き,Mλ

(あ る 条 件 を み た す 元 の 集 合.条

体 は{a∈M￨P}ま

献 によ

ま た は 

),M1∪M2∪

集 合Λ

)

で 示 し て い る も の も あ る.)

合M1,M2,…,Mnの

た は 

)

た はM⊃N)(文

部 分 集 合 で な い と き, 

  (共 通 部 分 と和 集 合;集

た はM∋a)

お け る 補 集 合,す

な

示 す. 合M1,M2,…,Mnの 示 す.集

合

積 集 合{(al,…,an)￨ai∈Mi} Λ で 番 号 づ け られ た 集 合Mλ(λ

れ ら全 体 の積 集 合 は 

理 記 号 と し て,∀(任

も成 立 す る と き,A⇒B),⇔(AとBと

意 の),∃(存

∈Λ)の

で 示 す.) 在 す る),⇒(Aが

成 立 す れ ばB

が 同 値 で あ る と き,A⇔B)も

自 由 に 使 う.

  0.1.写

像

  集 合Mの

各 元 に集 合Nの

そ の 規 則 をMか nがmに

らNの

中 へ の 写 像 とい う.fが

対 応 す るNの

元,す

号 を 使 う と き と,mf=nの

な わ ちmの

そ の よ う な 写 像 で,m∈M,

像 で あ る と き,fm=nの

型 の記

型 の 記 号 を使 う と き と が あ る.M1がMの

合 で あ る と き,fM1(ま を示 す.fM(ま

元 を 一 つ ず つ 対 応 させ る 規 則 が 与 え られ た と き,

た はM1f)に

よ り{fm￨m∈M1}(ま

た はMf)がNと

部分集

た は{mf￨m∈M1})

一 致 す る と き,fはMか

らNの

写 像 で あ る と い う.fがMか

らNの

上 へ の 写 像 で,Mの

が 互 に 異 な る と き,fはMか

らNへ

の 一 対 一 写 像 で あ る と い う.

  MがNの

部 分 集 合 で あ る と き,∀m∈M,fm=mと

な 埋 め 込 み ま た は 自 然 単 射 とい う.[単

照).MがNの

  集 合M1,…,Mnの

ら にM=Nの

積 集 合M1×

成 分ai(iは

固 定)を

得 ら れ る.こ

の 写 像 を積 集 合  

Mjが

のfは

と き,fは … ×Mnの

対 応 させ れ ば,M1×

空 で な い と き,こ

な る 写 像fを

書 で も,準

部 分 群 で あ れ ば,上

て い る こ と に 注 意 せ よ.]さ

相 異 な る元 の像

自然

射 と い う語 は 考 え る対 象 如 何 に よ っ て,

い ろ い ろ な 意 味 に使 わ れ る こ とが あ る.本 (§0.5参

上へ の

同型 の特 別 な場 合 に使 う そ の 意味 での 単 射 に な っ 恒 等 写 像 と よ ば れ る.

元(a1,…,an)に

… ×Mnか

か ら成 分Miへ

対 し て,そ

らMiの

の

中 へ の写 像 が

の 射 影 とい う.(す

べての

の 射 影 は 上 へ の 写 像 に な る.)無 限 個 の 集 合 の 積 の と き

も 同 様 で あ る.   fが

集 合M1か

ら集 合M2の

の 中 へ の 写 像 で あ る と き,M1の を 対 応 さ せ れ ば,M1か と の 積 とい う.fmの き に は,fgで g(fm),後

らM3の

中 へ の 写 像 で,gが

示 す の が 習 慣 に な っ て い る.(そ

  集 合 に は,そ

ら集 合M3

よ る 像 のgに

中 へ の写 像 が 得 られ る.こ

型 の 記 号 の と き に は,積

者 で はmfg=(mf)gと

集 合M2か

各 元mに,mのfに

はgfで,mfの うす る と,前

よ る像

の 写 像 をfとg 型 の記 号 の と 者 で は(gf)m=

な る か ら で あ る.)

の 元 の 多 さ を 示 す も の と し て,濃 度 な る も の を考 え る.集

合N

の 濃 度 は#(N)で

示 す こ と に す る.有

で あ る.(空 集 合 の 濃 度 は0.)自 い わ れ る.(有

限 集 合 の と き は,そ

然 数 全 体 の 集 合 の 濃 度 は 可 付 番(無 限)で あ る と

限 と可 付 番 無 限 と を 合 わ せ て 可 付 番 とい う こ と も あ る.)実

体 の 集 合 の 濃 度 は 連 続 の 濃 度 と い わ れ る.積 #(M)×#(N)で

示 す.有

は 後 の 定 理0.1.3参 る と き,Mの

集 合M×Nの

限 の と き は 数 の積 と一 致 す る.無

照.一

濃 度 とNの

適 当 な 部 分 集 合N1と 合N1へ

の元 の数 が そ の濃 度

般 に,集

合Mか

ら集 合Nへ

濃 度 は 等 し い も の と定 め る.集

同 じ濃 度 を も つ と き,す

な わ ちMか

の 一 対 一 写 像 が あ る と き,#(N)≧#(M)と

数全

濃度 は 濃度 の積 限 の と きに つ い て の一 対 一 写像 が あ 合Mが

集 合Nの

らNの

定 義 す る.す

部分集 る と次 の こ

とが 成 り立 つ:   濃 度 比 較 可 能 定 理   M,Nが

集 合 で あ る と き,

  (イ)  #(M)≧#(N),#(N)≧#(M)の

少 な く と も一 方 が 成 り立 ち,

  (ロ)  も し 両 方 が 成 り立 つ な ら ば,#(M)=#(N).   ま た,次

の こ と が 成 り立 っ.

  定 理0.1.1.  はMの

集 合Mの

考 え れ ば,S(M)の

濃度

濃 度 よ り(本 当 に)大 き い.

  定 理0.1.2. 

上 で,Mの

続 の 濃 度 で あ る.し   定 理0.1.3.  m′ ∈M}の

部 分 集 合 全 体S(M)を

濃 度 が 可 付 番 無 限 で あ れ ば,S(M)の

た が っ て,実

Mが

濃度は連

数 全 体 は 可 付 番 で は な い.

無 限 集 合 で あ れ ば,積

濃 度#(M)×#(M)はMの

  上 の 諸 定 理 の 証 明 に つ い て は,集

集 合M×M={(m,m′)￨m∈M,

濃 度 と一 致 す る. 合 論 に つ い て の 成 書 を み られ た い.

  0.2.  順 序 集 合   集 合Mに a,b∈Mを

お い て,次 とれ ば,a≧bで

の条 件 をみ たす 関 係

あ る か 否 か は 確 定 し て い る)と き,こ

順 序 と い い,Mを

順 序 集 合 と い う:

  (1)  ∀a∈Mに

つ い て,a≧a

  (2)  a≧b,b≧a⇒a=b

≧ が 定 義 さ れ て い る(す な わ ち の 関係 ≧ を

  (3)a≧b,b≧c⇒a≧c.   な お,a≧bの bbま

たは

か く.

  順 序 集 合Mに

ず 成 立 す る と き,Mは

対 し て,a≧b,b≧aの

全 順 序 集 合 で あ る と い う.順

一方が必

序 集 合 の 部 分 集 合 は(同 じ

順 序 で)順 序 集 合 に な り,全 順 序 集 合 の 部 分 集 合 は 全 順 序 集 合 に な る.   順 序 集 合Mに

お い て,(イ)a∈Mに

す る よ う なaをMの

つ い て,b∈M,b≧a⇒a=bの

極 大 元 とい う.(ロ)a∈Mに

成 立 す るaをMの

最 大 元 と い う.(ハ)大

成立

つ い て,b∈M⇒a≧bの

小 関 係 を 逆 に し て,極

小 元,最

小

元 を そ れ ぞ れ 定 義 す る.   順 序 集 合Mに

お い て,任

意 の 空 で な い 部 分 集 合 都 必 ず(そ れ 自身 を 順 序 集

合 と考 え て)極 大 元 を もつ と き,Mに 小 条 件 も同 様 に定 義 す る.Mに 番 号Nか

お い て,極

お い て,al≧a2≧

ら先 で はaN=aN+1=…

  定 理0.2.1. 

… ≧an≧ …

な らば必 ず あ る

と な る,い い か え れ ば,a1>a2>…>an>…

と い う列 は 必 ず 有 限 で 終 る と き,Mに 小 関 係 を 逆 に して,昇

大 条 件 が 成 り立 つ とい う.極

お い て,降

鎖 律 が 成 り立 つ と い う.大

鎖 律 が定 義 さ れ る.

極 大 条 件 と昇 鎖 律 とは 互 に 同 値 で あ り,極

小 条 件 と降 鎖 律 と

は 互 に 同 値 で あ る.   証 明.  a11と

し よ う.b1Rが

の う ち 少 な く と も一 つ がb1Rに c1=b1c′1の 伴. 

形 でc1が

元 は 既 約 元 で あ る か ら,(ⅰ)は

理 の 前 で 証 明 した.(ⅱ)を,nに

既 約 で あ れ ば 明 ら か で あ る か ら,n=1の 素 イ デ ア ル で,c1…cm∈b1Rゆ 属 す る.c1∈b1Rと

既 約 ゆ え,c′1は

正 則 元.し

で あ り,c′1c2はc2と

つ とき は

え,c1,…,cm

し て も 一 般 性 を失 わ な い. た が っ て,c1とb1と 同 伴 ゆ え 既 約 元.し

は同 た

が っ て,帰 b2,…,bn全

体 と は,適

に な る.し Rの

納 法 の仮 定 に よ り,n-1=m-1で

あ り,c′1c2,c3,…,cn全

当 な 順 序 に な らべ る と,対

た が っ て(ⅱ)を

得 る.逆

応 す る もの同 士 が 互 に同伴

に,(ⅰ),(ⅱ)が

正 則 で な い 既 約 元 と し,bc∈pRと

成 立 し た と し よ う.pが

す る.bc=pq(q∈R).b,c,qを

ぞ れ 既 約 元 の 積 で 表 わ し て,b=b1…bm,c=c1…cn,q=q1…qtと bmc1…cn=pq1…qt.し

た が っ て,(ⅱ)の

う ち 少 な く と も 一 つ がpと し た が っ て,pRは   問.  整 域Rが

同 伴.し

項 イ デ ア ル がR以   整 域Rか

一 方 がpの

素 元 で あ る. 

素 元 分 解 環 で あ る ⇔Rに

二 元b,cの

す る と,b1…

た が っ て,b,cの

素 イ デ ア ル で あ り,pは

お い て,上

倍 元 で あ っ て,bとcと

は 正 則 元 以 外 に は な い ⇒aはbcの

それ

条 件 に よ り,b1,…,bm,c1,…,cnの

の(ⅱ*)と   (ⅱ*)aが

体 と,

倍 元.(い

倍 元 で あ る. (証 明 終)

の 定 理 の(ⅰ)と

次

が 成 立 す る:

に 共 通 な 約 元(公 約 元 とい う) い か え れ ば,"bR+cRを

含 む単

外 に な い ⇒bR∩cR=bcR".)

ら整 列 集 合Iの

中 へ の 写 像vが,次

在 す る と き,RはEuclid(ユ

の 二 条 件 を み た す よ うに 存

ー ク リ ッ ド)環 で あ る と い う:*)

 (イ)  (ロ)   た と え ば,(1)有

理 整 数 環Zに

上 の 一 変 数 の 多 項 式 環K[X]に

お い て,絶 お い て,次

対 値 を考 え た と き,(2)体Kの 数 を 考 え た と き は,い

条 件 をみ た す か ら,そ

れ ら の 環 はEuclid環

  環Rに

の イ デ ア ル も単 項 で あ る と き,単

い う.さ

お い て,ど

ら に整 域 で あ れ ば,単

  定 理2.5.3. 

Euclid環

項 イ デ ア ル 整 域 の0で   証 明.  RがEuclid環 に はaが

の 例 に な る. 項 イ デ ア ル環 で あ る と

項 イ デ ア ル 整 域 と い う.

⇒ 単 項 イ デ ア ル 整 域 ⇒ 素 元 分 解 環.ま

な い 素 イ デ ア ル で あ れ ば,pは で,aが

ず れ も上 の

た,pが

単

極 大 イ デ ア ル で あ る.

そ の イ デ ア ル で あ る とす る.最 初 の ⇒ の 証 明

単 項 イ デ ア ル で あ る こ と を 示 せ ば よ い.a=0な

ら ば 明 白 ゆ え,a≠0

  *)  多 くの文 献 で は ,さ らに,「aがbの 約 元,b≠0な らば,  」 とい う条 件 を付 加 して い る が,実 用 上,そ の条 件 は不 要 で あ る と思 え るの で,本 書 で は この 条 件 の な い定 義 を採 用 した.

とす る.上

の 定 義 に お け るvを

と り, 

列 集 合 の部 分 集 合 で あ る か ら,Jの な るaの

元aを

と る.aの

な るq,rが ら,r=0で

あ る.r=b-aq∈aゆ

り,m1=p1Rな

定 によ

素 イ デ ア ル で あ る か ら,p1は

素元 で あ

るa1∈Rが

こ の よ うに し て,a=p1p2…pnanな

単項イデアル

存 在 す る(定 理2.0.2).仮

あ る.a1が

上 と同 じ こ と を適 用 し て,a1=p2a2な

得 る.anが

た が っ てRは

元 有 限 個 の 積 と し て 表 わ し得 る こ と を

あ る.m1は

ゆ え,a=p1a1な

最小 元 で あ る こ とか

単 項 イ デ ア ル 整 域 で あ る と仮 定 し よ う.

含 む 極 大 イ デ ア ルm1が る 元p1が

る.  a1に

え にa=aR.し

も正 則 元 で も な い 元aが,素

示 せ ば よ い.aRを

と る. 

え,v(a)がJの

に 後 の ⇒ 証 明 を し よ う.Rが

Rの0で

れは整

最 小 元 が 存 在 す る.そ れ を α と し,v(a)=α

任 意 の 元bを

な くて は な ら ぬ.ゆ

整 域.次

と お く.こ

正 則 元 で な い な ら ば,

る 素 元p2とRの

る 素 元p1,…,pnとRの

い つ か 正 則 元 に な れ ば,証

元a2と

を得 る.

元anと

を順 次

明 は 完 了 し た こ と に な る.ど

のanも

正 則 元 で な い と し よ う.明 らか に,  とお け ば,容 元bが

易 にaはRの

あ る.b∈

っ て 矛 盾.し

∪aiRゆ

た が っ て,あ

と の 証 明 に は,上 a=p1…pn(piは pi∈p.し

で のaと

イ デ ア ル で あ る こ と を 知 る.ゆ え,∃n,b∈anR.す るanは

極 大 イ デ ア ル を生 成)と

た が っ て,pは

…

,Xn]も

Rが

こ で,一

式 とい う概 念 と,二 項 式f(X)が

様 の こ とを考 え る と

る と,p∋p1…pnゆ

え,∃i, (証 明 終)

素 元 分 解 環 で あ れ ば,Rの た が っ て,特

上 のn変

数 の 多 項 式 環R[X1,

に,体Kの

上 のn変

数 の多

素 元 分 解 環 で あ る.

  証 明.  一 変 数 の と き の 証 明 を す れ ば,あ 白 で あ る.そ

後の こ

の 定 理 の 証 明 を 目標 に す る:

素 元 分 解 環 で あ る.し

項 式 環K[X1,…,Xn]も

明 が 完 了 し た.最

生 成 元 を と り,同 な る.す

る とな

極 大. 

  こ の 節 の 残 余 の 部 分 で は,次   定 理2.5.4. 

る と, 

正 則 元 で あ り,証

し て,pの

え にa=bRな

と はnに

つ い て の帰 納 法 に よ り明

変 数 の 多 項 式 環R[X]を

考 え る.そ

つ の 補 題 と を利 用 す る.素

元 分 解 環Rの

原 始 多 項 式 で あ る と は,f(X)の

の た め,原

始多項

上 の一 変 数 の多

係 数 全 体 の公 約 元 が正 則 元 以 外

に は な い と き に い う.   補 題2.5.5. 

Rの

素 元pはR[X]の

  証 明. 

素 元 で も あ る.

に つ い て,そ

な わ ち,係

数 にpで

わ り き れ な い も の が あ る)と と表 わ し,aiの

ち,番

号iの

一 番 小 さ い も の をaα

る.f(X)g(X)に

れ らがpR[X]に

お け るXα+β

ai∈pR, 

う ち,pで

と し,bjに

の 係 数cα+β

属 し な い(す

し よ う.  わ りきれ ない もの の う

つ い て の 同 様 の も の をbβ とす は

 で あ る.i1の

す る の は 上 と同 様.

と る.f(X)=af1(X),f1(X)は

題2.5.5に

よ り,aは

有 限個 の素 元 の積 と

考 え よ う.f1(X)をK[X]の

元 の 積 に 分 解 す る:f1(X)=p1(X)…pr(X).r=1な

元 と し て,素

ら,系2.5.7に

よ り,f1(X)

と き を 考 え よ う.p1(X),…,pr-1(X)に

ら の 係 数 の 共 通 分 母 をdiと

つ い て,そ

らに,そ

れ ら の 係 数 の 共 通 因 子 を く く り出 し て,pr(X)に

p1(X),…,pr-1(X)は り,f1(X)は

原 始 多 項 式 で あ る と し て よ い.す

順 次p1(X),…,pr-1(X)で

pr(X)∈R[X].f1(X)は 系2.5.7に

原 始 多 項 式.し

よ

た が っ て, た が っ て,

積 で あ る.  (証 明 終)

上 の 多項 式 環R[X1,…,Xn]に

おい て,

項 式 環 の 素 イ デ アル であ る.も っ と一

イ デ アル であ る と き,

  2.  Sが,環Rの

積 閉 部 分 集 合 で, 

φ の 核 をnと

す る.qが

で あ る と き,Rか

準 素 イ デ ア ル で,q∩S=空

ら商 環RSへ

な ら ば,q⊇nで

示 せ.

問   1.  環Rの

題2.5.6に

題2.0.

素 イデ アル で あ る とき,Rの

pで 生 成 され た イ デ ア ルpR[X1,…,Xn]は,多 般 に,aがRの

か け 直 す こ と に よ り, る と,補

素 元p1(X),…,pr(X)の

問   1.  pが 環Rの

し て よ い.さ

わ り き れ る こ と を 知 る.し

原 始 多 項 式 ゆ え,pr(X)も

よ り,f1(X)も

れ

し, 

な る分 解 に お き か え る こ と に よ り,p1(X),…pr-1(X)∈R[X]と

同型

わ

上 のn変

題2.2.

数 の 多 項 式 環P=R[X1,…,Xn,]に

お い て,

の 自然 準 あ る こ とを

 (イ)  qがRのp準

素 イ デ ア ル ⇒qPはpP準

  (ロ)  f∈Pに

対 し,Inh(f)はfの

と,f,g∈Pに

素 イ デ ア ル.

係 数 全 体 で 生 成 し た イ デ ア ル を示 す こ と に す る

対 し,

  2.  φ:R→R′

が 環 と し て の 準 同 型 で あ る も の とす る.こ

  (イ)  q′ がR′

の 準 素 イ デ ア ル な ら ば, 

で あ る.も

しq′ が 素 イ デ ア ル で あ れ ば,qも

  (ロ)  qがRの

は準 素 イ デ アル 素 イ デ ア ル で あ る.

準 素 イ デ ア ル(ま た は 素 イ デ ア ル)で あ っ て も,φqは

あ る と は 限 らな い.(例 qに

の と き,

つ い て は,qが

示 せ よ.)次 に,φR=R′

準 素 イ デ ア ル(ま

で あ れ ば,φ

た は 素 イ デ ア ル)で

準 素 イ デ アル で

の 核 を含 む よ うな イ デ ア ル

あ る こ と と,φqが

そ うで あ る

こ と と が 同 値 で あ る こ と を示 せ.   3.  pが

環Rの

素 イ デ ア ル,qがp準

素 イ デ ア ル で, 

で あ れ ば,q:aは

p準 素 イ デ ア ル で あ る.

問

  1.  環Rの

積 閉部 分 集合Sに

題2.3.

よ る商 環RSは,次

の よ うに定 義 して も よい こ と を確

か め よ.   まず,積 集 合R×S={(r,s)￨r∈R,s∈S}に,次

の同 値 関係 ∼ を定 義 す る:

 この 同 値 関係 に よる 同値 類 の集 合Q=R×S/∼

にお い て,(r,s)の

類 をr/sで 示 し,

さ らに,次 の算 法 を導 入 す る.

  す る と,Qは RSと

環 に な る. 

を 自 然 準 同 型 と定 義 し て,さ

ら に,Qを

商環

定 め る.

  2.  Rが

環,SiがRの

ら に,Rの

積 閉 部 分 集 合(iは

ど の 極 大 イ デ ア ルmを

あ る集 合Iを

動 く), 

と っ て も,∃Si,Si∩m=空

集 合,の

,さ 成 立 す る もの と

す る.   MがR加

群 で, 

  [ヒ ン ト:各RSiが

が 成 立 す れ ば,M=0. 平 坦 で あ る こ と を 使 っ て,Mに

つ い て の 仮 定 か ら, 

を 得 る こ と に注 意 せ よ.]

問   1.  aがRの

イ デ ア ル,Sが

の と き,htaとht(aRS)と   2.  Rが

環R′

題2.4.

積 閉 部 分 集 合 で,a∩S=空

集合

で あ る も の と す る.こ

の 関 係 に つ き 論 ぜ よ.

の 部 分 環 で あ り,aがRの

イ デ ア ル で あ る と き,次

の 定 義 を す る.

b∈R′

がaの

上 に 整 で あ る と は,「

∃n(自

の 成 立 す る と き に い う.あ

然 数), 

る加 群bがaの

上 に 整 と は,bの

各 元 がaの

上 に 整 で あ る と き に い う.  (イ)R′

の 元bがaの

か つ, 

上 に整  (自 然 数)bρc=0.

  (ロ)  RとR′

と の 中 間 環R"の

の 上 に 整 で あ れ ば,cはaの   (ハ)  aのR′ 定 義 す る.R′   3.  環R′ R(x)の

イ デ ア ルbがaの

に お け る 整 閉 包aと に お け るRの が 部 分 環Rの

上 に整 で あ り,R′

の 元cがb

上 に 整 で あ る. は,R′

整 閉 包 をRと

の 元 でaの

上 に 整 で あ る もの 全 体 と し て

す れ ば,aはRの

上 に 整 で あ り,xが

イ デ ア ル に な る.

不 定 元(変

数)で

あ る と き,R′(x)は

上 に 整 で あ る こ と を示 せ.

問

  1.  有 理 整 数 環Zの 素 数 な らば,pZは

素 イ デ アル は{0}ま

題2.5.

たはpZ(pは

極大 イ デ アル で あ っ て,Z/pZはp個

  2.  単項 イ デ アル整 域 にお い て は,0以

素数)の 形 で あ る.逆 に,pが の元 か ら成 る体 で あ る.

外 の元 を含 む素 イ デア ル は,極 大 イ デ アル で

あ る.   3.  A,Bが こ とを示 せ.次

単 項 イ デ アル環 で あ る と き,そ の 直和 

も単 項 イ デ アル環 で あ る

に,そ の応 用 とし て,前 問 の単項 イ デ アル整 域 を,単 項 イデ アル環 に 変

えれ ば,反 例 の あ る こ とを示 せ.   4.  整 域Rが 素 元 分 解 環 で あ るた め の必 要 充分 条 件 は,(イ)Rに おい て,単 項 イ デ アル につ い て の極 大 条 件 が 成立 し,(ロ)R以 外 の単 項 イ デ アルは 高 さ1の 素 イ デ アル に 含 まれ,さ

らに,(ハ)高

さ1の 素 イ デ ア ルは 単項 で ある とい う三条 件 をみ たす こ と

で あ る.   5.  素 元 分 解環 は正 規 環 で あ る.

第3章

  Noether環,付

値 環 お よ びDedekind環

  3.0.  Noether環   Rが

環 で,MがR加

群 で あ り,Mが

部 分 加 群(R部

つ い て極 大 条 件 をみ た す と き,MはNoether加 い う こ と を は っ き り示 す と き に は,Noether 加 群 と い う表 現 を す る.環RがR加 はNoether環

R加

群 と か,Rの

群 と し てNoether加

群 と

上 のNoether 群 で あ る と き,R

で あ る とい う.

  定 理3.0.1.  条 件 は,Mの

分 加 群 を意 味 す る)に

群 で あ る と い う.R加

環Rの

上 の 加 群MがNoether加

群 で あ るた め の必 要 充 分

任 意 の 部 分 加 群 が 有 限 個 の 元 で 生 成 され る こ とで あ る.し

っ て 特 に,環RがNoether環

⇔Rの

たが

任 意 のイ デ アル が 有 限 個 の元 で生成

さ れ る.   証 明.  ま ずMがNoether加 Nに

含 ま れ て,有

大 条 件 に よ り,Fの ば, 

群 で あ る と し,Nは

中 に 極 大 な も の が あ る.そ

を と り,N1=N0+nRと

が っ て,N=N0∈F.ゆ

え にNは

れ をN0と

す れ ば,N0の

あ るか ら,昇 鎖 律 の成 立 を示 す.

直 し て,ai∈Nsな

るn(i)を

る 一 定 数sを

極 大 性 に 反 す る.し

た

大 条 件 と,昇

に,Mの

任意

鎖 律 とは 同値 で

れ は 仮 定 に よ り有 限 個 の 元a1,…,at 各iに

つ い て と り,大

と る と, 

っ て 昇 鎖 律 が 成 立 し,定 理 の 証 明 が 完 了 した.    問.  aがNoether環Rの

ら

 な る部 分 加 群 の列 が あ

は 部 分 加 群 で あ る.こ

で 生 成 さ れ る.ai∈Nn(i)な

す る.極

す る.N≠N0な

有 限 個 の 元 で 生 成 さ れ る.逆

の 部 分 加 群 が 有 限 個 の 元 で 生 成 さ れ た と す る.極

れ ば, 

そ の 部 分 加 群 と す る.

限 個 の 元 で 生 成 され る 部 分 加 群 全 体 の 集 合 をFと

イ デ ア ル(a≠R)な

き い もの に と り

と な り,Ns=N*.し

たが (証 明 終)

ら ば,R/aもNoether環

で あ る.   定 理3.0.2. 

RがNoether環

で あ れ ば,R加

MがNoether加

群Mに

群 ⇔Mは

つ い て,

有 限 生 成.

  証 明.  ⇒ は 前 定 理 の 特 別 な 場 合 で あ る ．〓 の 証 明 を し よ う.Mの a1,…,arを

と る.rに

た が っ て,Mの a1aで

つ い て の 帰 納 法 で 証 明 す る.r=1の

部 分 加 群Nに

あ り,aはRの

の 元b1,…,btで (注意:R加

生 成 され,し

で生成 され た部分 加 群 

て,Mの

と き を考 え よ う.Mの

はNoether加 部 分 加 群Nに

こ れ は 有 限 加 群 で あ る(M1がNoether加

ciに

次に 群 で あ る と仮 定 し お く.

生 成 元c1,…,csを

な る形 のNの でNが

元niを

と る.各

と る.N1の

生成

生 成 さ れ る こ と を い え ば よ い.N∋nを

と

ゆ え, 

る. 

し た が っ て,証   定 理3.0.3. 

(Hilbertの

成 され た環 はNoether環   証 明.  一 個 の 元xで 易 ゆ え,R[x]を

明 が 完 了 し た. 

た が っ て,bは

(証 明 終)

基 底 定 理)Noether環Rの

上 に有 限個 の 元 で生

で あ る. 生 成 され た環R[x]に

考 え る.R[x]の

イ デ ア ルaを とお く.す

有 限 個 の 元b1,…,brで

aiで 

つ い て 証 睨 す れ ば,あ

は 有 限R加

理 に よ り,a′

はR加

f1,…,fs,a1,…,arがaの

最 大 をmと

とは 容

と る.b={c∈R￨∃n, 

る とbはRの 生 成 さ れ る.各biに

イ デ ア ル で あ る.し 対 し て,aの

の 形 の も の を一 つ ず つ と る.こ

て く る πi(i=1,…,r)の お く.a′

生 成 さ れ る.

対 し て,N1=M1∩Nと

イ デ ア ル で あ る.aの

れ らn1,…,nsと

有 限個

群 だ か ら). 

対 し て, 

元 と,こ

で あ る か ら,aは

た だ し 

r-1個

れ はRの

と る と,N=

た が っ て,Nはa1b1,…,a1btで

群 と し て は, 

と お く.こ

と き:M=a1R.し

対 し て,a={x∈R￨a1x∈N}を

イ デ ア ル.RがNoether環

生成元

元

こ にで

す る. 

群R+Rx+…+Rxm-1の 群 と し て 有 限 生 成.そ

と 部 分 加 群 に な る か ら,前 の 生 成 元 をf1,…,fsと

生 成 元 で あ る こ と を示 そ う.a∈aを

定

す る. と る.a=

をnに 納 法 で 示 そ う.n<mな n≧mと

ら ば,a∈a′

し,n-1次

ゆ え,fiの

つ い て の帰

一 次 結 合 で か け る か ら正 し い.

以 下 の も の に つ い て は 正 しか っ た と す る.c0∈b.し

っ て, 

と お け ば,a*∈aで

に つ い て,nよ

り 小 さ い 次 数 で 表 わ し 得 る.し

たが あ り,x

た が っ て, 

ゆ え に 

し た が っ て 

(証明終)   次 にCohenの

定 理 と よ ば れ る,Noether環

う.そ の た め に,ま   補 題3.0.4. 

の 一 つ の 特 徴 づ け を証 明 し よ

ず 次 の 補 題 を示 す:

aが 環Rの

イ デ ア ル で,b∈Rと

が有 限 生 成 イ デ ア ル で あ れ ば,aも   証 明. 

a1,…,an∈aで,し

…,anを

と る.ま

か

す る.a+bR,a:bの

有 限 生 成 で あ る. で あ る よ うな 元a1,

も 

た, 

と な る よ う な 元c1,…,cmを

は 明 白 で あ る.x∈aな

と お く. 

と る. 

らば,x∈a+bRゆ

と な る よ う なy1,…,yn,z(∈R)が

え., 

双方

あ る. 

ゆ え, 

す る と, 

(証 明終)   定 理3.0.5.(Cohenの 条 件 は,Rの

定 理)環RがNoether環

す べ て の 素 イ デ ア ル が 有 限 生 成 で あ る こ と で あ る.

  証 明.  必 要 条 件 で あ る とい う こ と は,定 で あ る.逆

を 証 明 し よ う.Rの

に,RがNoether環 Fと す る.仮 Fの

Fは

限 生 成 で な いRの

空 集 合 で は な い.{Nλ￨λ

λi∈Λ,ai∈Nλi.す

(∀i).∴Nμ=∪Nλ.こ 帰 納 的 で あ る.し

素 イ デ ア ル で は な い.∴

最 後 の 部 分 に よ り明 白

す べ て の 素 イ デ ア ル が 有 限 生 成 で あ っ て,さ

で な い と し よ う.有 定 に よ りFは

理3.0.1の

整 列 部 分 集 合 で あ る も の と し よ う.ＵNλ

さ れ れ ば,∃

で あ るた めの必 要充 分

れ はNμ

∈Λ}が,包

イ デ ア ル全 体 を 含 関係 に よる

が 有 限 個 の 元a1,…,anで

る と,μ=max{λ1,…,λn}に

よ り,Nμ

∈Fに

∈F.ゆ

た が っ て,Fに

反 す る.ゆ は 極 大 元Nが

∃a,b∈R,ab∈N, 

え に,∪Nλ あ る.仮 .す

ら

生成 ∋ai え に,

定 に よ りNは る と,N+aR,

N:aRはNよ

り本 当 に 大 き く な り,Nの

有 限 生 成 で あ る.ゆ

え に,補

題3.0.4に

極 大 性 に よ りN+aR,N:aRは よ り,Nも

有 限 生 成 に な り,N∈F

に 反 す る. 

(証 明 終)

  次 の 定 理 は,イ

デ ア ル に よ っ て 位 相 を考 え る場 合 に,重

  定 理3.0.6.(Artin-Reesの の 加 群 で,N,N′ な 自然 数rに

がMの

補 題)MがNoether環Rの 部 分 加 群 で,aがRの

 はNoether環 定 元(変 数)x1,…,xsを xs)∈R[x1,…,xs]で 体 をSnと

有 限 生 成 で あ る.す

理3.0.3に

対 し,n次

イ より

と り,不

斉 次 式f(x1,…, と な る よ う なf(x1,

す る. 

と お き,Sで

生 成 さ れ たR[x1,…,xs]

な わ ち,Sの

次 数 をdiと

で あ る(定 理3.0.3) 適 当 な 元f1,…,fα

し,そ れ らの 最 大 をrと

と仮 定 し よ う.  n次

(n-di)次

自然 数nに

す る.R[x1,…,xs]はNoether環

生 成 され る.各fiの c∈anN∩N′

考 え る.各

がRの

生 成 元a1,…,asを

あ っ て, 

の イ デ ア ル をBと か ら,Bは

有 限 生 成 ゆ え,定

に な る こ と に 注 意).aの

当

自然 数):

最 後 で述 べ た 「イ デ ア ル 化 の 原 理 」 に よ り,Ｍ

デ ア ル で あ る も の と 仮 定 し て よ い(Mが

… ,xs)全

上 の有 限生成 イ デ ア ル で あ る と き,適

よ り,次 の 等 式 が 成 立 す る(た だ し,nは

  証 明.  §1.1の

要 な 役 割 を す る:

f∈Sゆ

に よ りBが

す る. 

かつ

え, 

の 項 だ け に 着 目 し て も 等 式 が 得 られ る か ら,giは

斉 次 式 で あ る と仮 定 し て よ い.す

逆 の 包 含 関 係 は 明 白 ゆ え,こ

る と, 

の 定 理 の 証 明 が 完 了 し た.   (証 明 終)

  上 の 定 理 の 応 用 と し て 得 られ る 若 干 の 定 理 を示 そ う.そ れ らは,イ

デ ア ルの

べ き で 位 相 を入 れ た と き の 扱 い に し ば し ば 重 要 な 役 割 をす る.   定 理3.0.7.(Krullの

共 通 部 分 定 理)MがNoether環Rの

成 加 群 で あ り,aがRの

イ デ ア ル で あ る と き,

上 の有 限 生

  し た が っ て,特

に, 

な ら ばxはMに

関す る零 因

子 で は な い.   証 明.  証 明 す べ き 等 式 の 右 辺 をNで xm=0.す

表 わ そ う.m∈N⇒

る と, 

∃x,x-1∈a,

ゆ え に 

し よ う. 

とお く と,前

逆の証明 を

定 理 に よ り, 

と な る か ら,N′=aN′

を 得 る.す

る と, 

は 系2.1.7の

証 明 と 同 様 に し て 知 ら れ る.    定 理3.0.8. 

(証 明 終)

MがNoether環Rの

イ デ ア ル で,xがRの

上 の 有 限 生 成 加 群 で あ り,aがRの

元 で あ る と き,適

い 任 意 の 自 然 数nに

当 な 自然 数rを

と れ ば,rよ

り大 き

対 し て,

  証 明.  す る と    系3.0.9.  rを

上 の 記 号 の 下 で,NがMの

と れ ば,よ

bの

対 し て 適 用 す れ ば よ い. 

環Rの

イ デ ア ルaが

べ き零 で あ る.特

根 基 

は,bを

の 場 合 に は,任

生 成 元 で,aidi=0で

つ い て,a1,…,asのd次

b1,…,bsが

つ い て,R/biはNoether環

  証 明.  sに

意 のイ デ ア ル

あ る と す れ ば,d>Σ(di-1)

以 上 の 単 項 式 に お け るaiの

上 に な る .∴ad=0.後

半 は,R/bの

に前半 を適 用 す れ ば よい. 

  補 題3.0.11. 

各iに

ら に つ け加 え よ う.

法 と し て べ き零 で あ る.

d′iの う ち 少 な く と も一 つ はdi以

ル 

(証 明 終)

有 限 個 の べ き零 元 で 生 成 さ れ る な ら

に,RがNoether環

  証 明.  a1,…,asがaの な る 自 然 数dに

当 な 自然 数

対 し,

に つ い て の 基 礎 的 結 果 の 若 干 を,さ

  補 題3.0.10.  ば,aは

部 分 加 群 で あ れ ば,適

り大 き い 任 意 の 自 然 数nに

  証 明.  前 定 理 を,M/Nに   Noether環

(証 明終)

環Rの

次数 イデ ア

(証明終) イ デ ア ル で あ っ て,(イ) 

で あ る な ら ば,RもNoether環

つ い て の 帰 納 法 を 利 用 す れ ば,s=2の

(ロ)

で あ る.

とき に証 明 す れ ば 充分 で

あ る こ と が 容 易 に わ か る.そ

こ でs=2と

仮 定 す る.b1∩b2=0ゆ

した が っ て,  b2と

こ のb1+b2はb1と

の 直 和 で あ る か ら, 

して,b2も

す な わ ち,b1は

有 限 生 成 で あ る.さ

ゆ え,∃i(1ま

え, 

た は2) 

て,pがRの

.す

り,RはNoether環

お い てp/biが

有 限 生 成 で あ る.ゆ

有 限 生 成 で あ る.

え にCohenの

で あ る. 

  定 理3.0.12. 

定理 によ (証 明 終)

RがNoether環

環RSもNoether環

様 に

素 イ デ ア ル が あ れ ば,b1b2=0

る と,R/biに

biも 有 限 生 成 で あ っ た か ら,pも

有 限 生 成 で あ る.同

で,Sが

積 閉 部 分 集 合, 

な ら ば,商

で あ る.

  証 明.  定 理2.3.4に

よ り明 白. 

(証 明 終)

  3.1.  準 素 イ デ ア ル 分 解   Noether環

の イ デ ア ル が,有

る と い う事 実 は,Noether環 で あ り,E.Noetherに

の イ デ ア ル を扱 う上 で,一

つ の大 変基 本 的 な こ と

よ っ て 与 え ら れ た 結 果 で あ る.こ

の 証 明 を 主 目 的 と し よ う.な 身 は0個

限 個 の 準 素 イ デ ア ル の 共 通 部 分 と し て 表 わ し得

お,便

の 節 で は,そ

の結 果

宜 上(集 合 論 に お け る 扱 い に 従 っ て),環

自

の 準 素 イ デ ア ル の 共 通 部 分 と考 え る.

  環Rの

イ デ ア ルaが

ま た はa=c」   定 理3.1.1. 

既 約 で あ る とは,「b,cが

の 成 立 す る と き に い う.す Noether環Rの

る と,次

イ デ ア ル で,a=b∩c⇒a=b の こ とが 成 立 す る:

イ デ ア ルq(≠R)が

既 約 で あ れ ば,qは

準

素 イ デ ア ル で あ る.   証 明.  qが

準 素 イ デ ア ル で な い と す る.ab∈q, 

の 二 元a,bが

あ る.bn=q:bnR(n=1,2,…)と

ゆ え, 

.ゆ

えに

bN=bN+1.a=q+aR,b=q+bNRと 証 明 が 完 了 す る.  qi+ar1=q2+bNr2(qi∈q,ri∈R)と ゆ え, 

な るR お く.

  RはNoether環 お く.a≠q,b≠qゆ は 明 白. 

で あ る か ら,∃N, え,α ∩b=qを

を 示 そ う.c∈a∩bと

表 わ せ る.bc=q1b+abr1ゆ

示 せ ば, す る.c=

えbc∈q.他

方, ゆえに

(証 明終)

a∩b=q. 

  注 意.  上 の 定 理 の 逆 は 成 立 し な い.例 の 極 大 イ デ ア ル で あ っ て,mの て,ど

のaiも

上 のn変

え ば,mがNoether環Rの

生 成 系a1,…,an(n≧2)が

省 き 得 な い 場 合 を考 え て み よ う.(そ

数 の 多 項 式 環K[X1,…,Xn]の

既 約 で は な い.(証

成系 とし

の よ うな 例 に は,体Kの

極 大 イ デ ア ル 

に よ る 商 環 が あ る.)こ の と き,m2は

と な り,m2は

唯一 つ あ り,生

準 素 イ デ ア ル で あ る が,例

え ば,

明 は 各 自 試 み よ.)

  こ の 節 の 初 め に 述 べ た 結 果 だ け を 証 明 し よ う とす る な ら ば,上

記 定 理 と次 の

定 理 との 両 方 で 充 分 で あ る.   定 理3.1.2. 

Noether環Rの

任 意 の イ デ ア ル は,有

限個 の既 約 イ デ アル

の 共 通 部 分 と し て 表 わ し得 る.   証 明.  Rに

は 有 限 個 の 既 約 イ デ ア ル の 共 通 部 分 と し て は 表 わ し得 な い イ デ

ア ル が あ っ た と し よ う.そ Noether環

の よ うなRの

で あ る か ら,Fの

ア ル で は な い.ゆ ょ り, 

イ デ ア ル 全 体 をFと

極 大 元aが

え に,∃b,c(イ

存 在 す る.aは

仮 定 に よ り既 約 イ デ

デ ア ル),a=b∩c,a⊂b,a⊂c.aの

ゆ え に, 

うふ う に 表 わ し得 る.す

極大性 に は 全 部 既 約,と

る と, 

反

(証 明 終) 素 イ デ ア ル 分 解 の 可 能 な こ と が わ か れ ば,§2.2で

に 定 理2.2.5)に

よ り,余 分 の な い 表 現,あ

在 が わ か り,素 る.極

い

と な り,a∈Fに

す る.    さ て,準

す る.Rは

因 子 の 一 意 性,極

証 明 し た こ と(特

る い は も っ と強 く,最 短 表 現 の 存

小 素 因 子 に 属 す る準 素 成 分 の 一 意 性 な ど を 知

小 素 因 子 で な い 素 因 子 に 属 す る(最 短 表 現 に お け る)準 素 成 分 は,一

で は な い.一

つ の 素 イ デ ア ルpを

共 通 部 分 が,pに

定 め た と き,そ

れ に含 まれ る準 素成 分 全 部 の

よ っ て 定 ま る こ と は 定 理2.2.4の(ロ)で

こ と も,想 起 し て お くべ き で あ ろ う.ま

た,定

意的

理2.2.5の

示 した通 りで あ る 直 前 の 問 に よ り,次

の こ と の 成 立 す る こ と も想 起 した い.   定 理3.1.3. 

aがNoether環Rの

イ デ ア ル で あ る と き,aの

全 体 をp1,…,pα

と す れ ば,{x∈R￨(xmada)はR/aの

非 零 因 子}

極大素因子

  こ こ で,次

数 付 き環 の 場 合 に つ い て ふ れ よ う.次 数 付 き 環 の 「次 数 」 の 概 念

に は い ろ い ろ 一 般 な も の が あ る が,本 は0お

書 で は,一

番 基 本 的 な場 合 と し て,次

よ び 自然 数 全 体 の と き に 限 定 し よ う.環Rに,次

与 え られ た と き,R=ΣRiは

ま た,そ

の よ うな直 和 分解 が

次 数 付 き 環 で あ る とい い,各Rα

斉 次 元 で あ る とい う.(斉 次 元fの

次 数 を 示 す に はdeg

の よ う な 直 和 分 解 を与 え る こ と を,次

数

fな

の元 を α次 の る 記 号 を用 い る.)

数 を 付 け る と い う.

(加群 と して の直 和)

  こ の条 件 は,R0が に 注 意 せ よ.x∈Rの

環 で あ っ て,RiはR0加

群 で あ る こ と を示 し て い る こ と

と き, 

と な る よ う なxiはxのi次

部

分 と呼 ば れ る.   環 と し て 同 一 で あ っ て も,次 次 数 付 き 環 と し て は,別 い 環Rに

数 の つ け 方(上

の 環 で あ る と考 え る の は 当 然 で あ る.次

対 し,R0=R,R1=R2=…=0と

が で き る.こ

の よ うな 直 和 分 解)が 異 な れ ば,

し て,次

の よ うな 次 数 付 け を,自

数 付 き環 で な

数 付 き環 を定 義 す る こ と

明 な 次 数 付 け とい う.

  自 明 で な い 次 数 付 け の 簡 単 な 例 に は,多

項 式 環 に お い て,通

常 の 次数 で斉 次

元 を考 え た 場 合 が あ る.

が次 数 付 き環 であ る とき,R加

Mの

直和分解 

き に い う.こ

が 与 え られ,さ

の と き,Mα

の 元 に 対 し,i次

が 

部 分 はRの

群Mが

次 数 付 き加 群 で あ る とは, の成 立 す る と

ら に, 

の 元 は α 次 斉 次 元 で あ る とい わ れ る.こ

の と き,M

元 の と き と 同 様 に 定 義 さ れ る.Mの

部 分 加 群N

と一 致 す る とき,NはMの

き 部 分 加 群 で あ る と い わ れ る.(こ れ は,Rの

斉 次部 分 加 群,ま た は,次 数 付 イ デ ア ル に つ い て も適 用 さ れ,斉

次 イ デ ア ル が 定 義 さ れ る.)次 の こ と は 明 白 で あ る.   補 題3.1.4. 

上 の よ うなMの

必 要 充 分 条 件 は,Nの   さ て,Noether環   定 理3.1.5. 

部 分 加 群Nが

斉 次 部 分加 群 で あ る た めの

斉 次 元 で 生 成 され る こ と で あ る. に 関 し て は,次

の結 果 は 基 礎 的 で あ る.

が 次 数 付 き環 で あ る と き,

RがNoether環

⇔R0がNoether環

で あ っ て,RはR0上

有 限 個 の斉

次 元 で 生 成 さ れ る.そ の よ う な 生 成 元 と し て は, 

をイ デ アル と して生成 す る斉 次元 を とれ ば よい.   証 明. 〓

は定 理3.0.3に

ば,aR∩R0=aで

よ り明 白.⇒

あ る か ら,R0の を 得 る.ゆ

え に,R0はNoether環

が あ れ ば,

をイ デ

と る. 

を,α

と き は 明 白 ゆ え,α>0の x,bi共

につ

と き を 考 え よ う.  に 斉 次 元 ゆ え,yiを

次部 分 にお きか えて も等 号 が成 立 す るか ら,yiが

元 で あ る と仮 定 し て よ い.す よ

…

で あ る. 

とす る と, 

yiの 

イ デア ル な ら

イ デ ア ル の 昇 鎖a0⊂a1⊂a2⊂

ア ル と し て 生 成 す る 斉 次 元b1,…,bsを い て の 帰 納 法 で 示 そ う.a=0の

の 証 明:aがR0の

る と,deg

yi<deg

x=α

ゆ え,帰

納 法 の仮 定 に

(証明 終)

り,yi∈R0[b1,…,bs]. 

 さ て,準

素 イ デ ア ル 分 解 に つ い て は,次

  定 理3.1.6. 

斉次

Rが

の 定 理 が成 立 す る.

次 数 付 き環 で,aがRの

る.こ の と き,RがNoether環

斉 次 イ デ ア ル で あ る も の とす

で あ れ ば,次

 (1)  有 限 個 の 斉 次 準 素 イ デ ア ルq1,…,qsが

の こ と が 成 立 す る. 存 在 し て,a=q1∩

… ∩qs.

 (2)  aの 素 因 子 は す べ て 斉 次 素 イ デ ア ル で あ る.  こ の 証 明 の た め に,ま  定 理3.1.7. 

ず 次 の こ と か ら証 明 し よ う.

次 数 付 き環 

の 斉 次 イ デ ア ルq≠Rに

に含 ま れ る 斉 次 元 全 体 で 生 成 さ れ る イ デ ア ル をpと 件 が 充 た さ れ れ ば,qは

準 素 イ デ ア ル で,pは

a,bが

す る.こ

対 し,  の と き,次

の条

素 イ デ ア ル で あ っ て,

斉 次 元,

証 明,  ま ず,  t-sお

よ びv-uに

∈qでqは b∈q.v-u=0の (s+u)次

を, つ い て の 二 重 帰 納 法 で 証 明 し よ う.t-s=0の

斉 次 ゆ えasbjaq.  と き も 同 様 で あ る.一 部 分 に 等 し い か ら,asbu∈q.さ

ゆ え,仮

定 に よ り 

般 の 場 合:asbuは  て, 

と き:Σa

sbj

ゆ え に の で あ る が,

asbu∈qゆ

ゆ え に,v-uの

え, 

も し  as∈pな

な ら ば, 

ら ば, 

で あ る.他

ゆ え に,t-sの

を得,そ 方, 

の とき は よ い.も

ゆ え に,上

の結 果 か ら,qが

で

「 」 で示 し た

準 素 イ デ アル で あ る こ とは明 白 で

で あ っ た と し よ う. 

あ る. 

ゆ え,ｃ=Σai,cn-1=Σbjの

て,cn-1∈qを

と し て み る と,

とき に

得 る か ら,こ れ は 矛 盾 で あ る.ゆ

「

」 内 の こ と を適 用 し

え に 

を得,定

明 が 完 了 し た.    系3.1.8. 

し,

ゆ え, 

小 さ い と き に よ り, 

部 分 の 証 明 が 完 了 した.こ

小 さ い と き に 帰 着 さ れ, 

理 の証

(証 明 終)

次 数 付 き環 の 斉 次 準 素 イ デ ア ルqに

つ い て, 

は斉 次 素 イ デ

ア ル で あ る.  問.  一 般 に,aが

次 数 付 き 環 

斉 次 イ デ ア ル で あ る.(上   定 理3.1.6の ルaに

の 扱 い と は 無 関 係 に,直

証 明  定 理3.1.1,3.1.2に

対 して,「a=b∩c,b,cが

せ て 考 え る.定 理3.1.7に も の と し て,全

お い て,「 既 約 」 を,斉

よ り,定 理3.1.1の

く同 様 に で き る.定 理3.1.2に

す る こ と か ら,全

も

接 証 明 せ よ.)

斉 次 イ デ ア ル ⇒a=bま

次 イ デ ア ル 」 に変 更 して 考 え る)は,斉

とか ら,(ロ)を

の 斉 次 イ デ ア ル で あ れ ば, 

た はa=c」

証 明 は,a,bが

次イデア に変 化 さ

斉 次元 で あ る

相 当 す る 分(「 イ デ ア ル 」 は 「斉

次 イ デ アル につ い て の極 大条 件 が成 立

く同 様 に 証 明 さ れ る.ゆ

え に,(イ)を

得 る.(イ)と

得 る. 

系3.1.8 (証 明 終)

  こ の 節 の最 後 に,素 因 子 す な わ ち付 随 素 イ デ ア ル の 特 徴 づ け を 与 え て お こ う.   定 理3.1.9. 

aがNoether環Rの

ア ル で あ る と き,pがaの   証 明.  a=q1∩   ⇒ の 証:  はp準

… ∩qnが

と り,b=cdと

 〓

の 証: 

素イデ

∃b∈R,p=a:b.

準 素 イ デ ア ル に よ る 最 短 表 現 と す る.

と し て よい. 

素 イ デ ア ル(周 題2.2.3).そ

dを

イ デ ア ル(≠R)で,pがRの

素 因子 ⇔

す る とa:c=q1:c こ で, かつ 

なる

お け ば よ い. 各qi:bは 

準 素 イ デ アル で ある か ま た

はRで

あ る か ら, 

  3.2.局

と な るiが

あ る. 

(証 明 終)

所 環 の 定 義

  局 所 環 と か,半

局 所 環 と か 呼 ば れ る も の は,文

ろ に 差 異 が あ る.そ

献 に よ っ てそ の意 味 す る とこ

の う ち二 つ の 例 を示 せ ば:

  (1)  極 大 イ デ ア ル が 有 限 個 し か な い環 を半 局 所 環 とい い,特

に極 大 イ デ アル

が 唯 一 つ の環 を局 所 環 と い う.   (2)  上 の そ れ ぞ れ,さ

らにNoether環

と い う条 件 を 加 え て,同

じ言葉 をつ

か う.   大 切 な の はNoether環 そ の 場 合,単 あ り,ま

の 場 合 で あ る か ら,本 書 で は(2)の

に環 と し て の 構 造 だ け で な く,特 別 な 位 相 を 導 入 す る の が 普 通 で

た 便 利 で あ る が,位

相 の 導 入 は 次 章 で 行 な う こ と に し て,こ

論 的 側 面 だ け か らの 定 義 を述 べ よ う.す   Noether環Rの

る と,上

半 局 所 環 で あ る と は,Rが

の 極 大 イ デ ア ル 全 体 が 丁 度m1,…,maで 整 域 で あ れ ば,半

  特 に,Noether環Rが で あ る とい い,ま を用 い る.さ

た,そ

半局所環である

半 局 所 環 で あ っ て,そ

あ る こ と を意 味 す る も の とす る.さ

局 所 整 域 とい う. 唯 一 つ の極 大 イ デ ア ルmを

の こ と を示 す の に,(R,m)が

ら に整 域 で あ れ ば,局

定 義 に お い て,「Noether環 そ れ ぞ れ 擬 半 局 所 環,擬

こで は環

の(2)は:

極 大 イ デ ア ル の 数 が 有 限 で あ る と き,Rは

と い う.(R,m1,…,ma)が

ら にRが

立 場 で 定 義 す る.

もつ と き,Rは

局 所環

局 所 環 で あ る とい う表 現

所 整 域 とい う の は 同 様 で あ る.上

の二 つ の

」 とい う条 件 を 「環 」 と い う条 件 に ゆ る め た と き, 局 所 環 と い う.さ

ら に 整 域 で あ れ ば,擬

半 局 所 整 域,

擬 局 所 整 域 と い う.   定 理3.2.1. 

(R,m)が

擬 局 所 環 で,Mが

 (イ)  とす る と き, 

がMを

がM/mMを

  (ロ)  従 っ て,特 に,  Λ'を ど の よ う に と っ て も

生 成 す る ⇔uλ'=(uλ

群 で あ る と き, mod

mM)∈M/mM

生成 す る. がMを

, 

有 限 生 成R加

生 成 し,か はMを

つΛ

の真 部 分 集合

生成 す る こ とが ない ⇔

{uλ￨λ∈Λ}がM/mMの,体R/m上   こ の(ロ)の と き,極

条 件 が 充 た さ れ る と き,SはMの

小 基 の 元 数 は 有 限 で あ り,そ

て,Mに

次 独 立基

極 小 基 で あ る と い う.こ

の

れ は極 小基 の え らび方 には無 関 係 であ っ

よ っ て 定 ま る.

  証 明.  N=ΣuλRと (イ)に

の 加 群 と し て の,一

お け ば,定

理2.1.5を

利 用 し て(イ)を

よ り明 白 で あ る.最 後 の こ とは,(ロ)に

得 る.(ロ)は

よ り極 小 基 の 元 数 がM/mMの

長 さ(ベ ク トル 空 間 と して の 次 元)に 等 しい こ と に よ る.    問.  上 記(イ)は,Rが

環,mが

そ のJacobson根

(証 明 終)

基 で,Mが

有 限生成

R加 群 の と き に一 般 化 さ れ る こ と を示 せ.   §2.3に

お い て,環Rの,イ

れ に 関 し,次

デ ア ル に よ る 商 環 とい う概 念 を導 入 し た.そ

の定 理 が 成 立 す る.

  定 理3.2.2. 

RがNoether環

半 局 所 環 で あ る.Raの

でaが

そ の イ デ ア ル で あ れ ば,商環Raは

極 大 イ デ ア ル はaの

極 大 素 因 子pに

得 られ る も の とい う こ と で 特 徴 づ け られ る.特 Raは

にaが

よ りpRaの

準 素 イ デ ア ル で あ れ ば,

局 所 環 で あ る.

  証 明.  RがNoether環 し た が っ て,Raの

で あ る か ら,RaもNoether環(定

理3.0.12).

極 大 イ デ ア ル の 特 徴 づ け の 分 を証 明 す れ ば 充 分 で あ る が,

そ れ は定 理3.1.3に

よ り容 易. 

  定 理3.2.3. eが

擬 局 所 環(R,m)の

  証 明. 

(証 明 終) べ き等 元eな

ゆ え,e≠1な

ら ば,極

ら ば,e=1.

大 イ デ ア ル は 少 な く と も二

つ は あ る. 

(証 明 終)

  こ こ で,「 支 配 」 と い う概 念 の 導 入 を し て お こ う.重 合 で あ る が,一 (イ)R′ 〓Rで,こ R′ ⇒a′R≠R,か デ ア ル,の

般 に は 次 の よ う に定 義 さ れ る:環Rが の 両 者 は 単 位 元 を共 有 し,(ロ)a′ つ,(ハ)mがRの

〓Rか

示 す.二 つm′=m∩Rで

要 な場 合 は 局 所 環 の 場 環R′ がR′

を支 配 す る と は, の イ デ ア ル,α ′≠

極 大 イ デ ア ル ⇒m∩R′

三 条 件 の 成 立 す る と き に い う.こ

こ と を,R′1と

す る.Rpを

所 環 で あ る と仮 定 し て よ い.p=p0⊃p1⊃ 定 して 矛 盾 を 示 せ ば よ い.必 中 間 に は,他

(∀i).bと

あ

ら 明 白 で あ り,s=1の

… ⊃ps+1な

要 な らpとp1と

とれ ば,p1+bRはp準 し て はaiの

一 つ,例

の 間 を細 分 し て,p0とp1と

ゆ え,前

の

る と,p∋b〓p1な ∃m,aim∈p1+bR

あ る と仮 定 し て よ い.各i≦s−1

と書 き 表 わ す.  とれ ば, 

局

る素 イ デ ア ル 鎖 が あ る と仮

素 イ デ ア ル で あ る.∴ え ばasで

とき

考 え る こ と に よ り,(R,p)が

の 素 イ デ ア ル は 存 在 し な い と仮 定 して よ い.す

に 対 し,  デ ア ルqを

(証 明 終)

の極 小 素 因 子 で あ れ ば,htp≦s.

っ て,pが 

る 元bを

qn=qN.

整 域 ゆ え,q=0.∴htp=1.  

  定 理3.2.7.(Krullの

え に,降

す な わ ち, 

は 準 素 イ デ ア ル で,  と こ ろ が, 

お く.

補 題 に よ りq=p1.す

な る素 イ な わ ち,p1は

 の 極 小 素 因 子 で あ り,帰 納 法 の 仮 定 に よ りhtp1≦s−1.    さ て,局

所 環 の パ ラ メ ー タ ー 系 の 定 義 を し よ う.(R,m)が

き,a1,a2,…,asがRの

素 イ デ ア ル で あ る と き に い う.

  上 で 証 明 し たKrullの

標 高 定 理 は,次

  定 理3.2.8.RがNoether環

の イ デ ア ルaの

局 所 環 で,aがm準素

b1,…,ba(αα (補 題2.0.5).す

に よ り,ba+1が

す な わ ちmを

(R,m)が

ゆ え,前 定 理

る と, 

(証 明 終)

局 所 環 で,Krull

dim R=hで

生 成 す る 元 の 数 の 最 小,はh以

成 す るh個

則 パ ラ メ ー タ ー 系 と い う.

  証 明 はKrullの 理3.2.10. 

あ る と き,lengthm/m2,

上 で あ る.

あ る と き,Rは

の 元 の 組 を,正

も

ゆ え に 

ゆ え, 

  特 に,lengthm/m2=hで

  3.3.付

な わ ち,何

求 め る も の で あ る. 

  定 理3.2.9. 

dim

と き,す

の 高 さ α の 極 小 素 因 子 全 体 をpa1,

定 ま っ て い な い と き も含 め る), 

Krull

R,

パ ラ メ ー タ ー 系 で あ る.

  証 明. 

 定

高 さ がhで

がa=1,…,hに

に,(R,m)が

…,bhはRの

dim

の 結 果 を 与 え る:

で,そ

元b1,…,bhで, 

の が あ る.特

局所 環 で あ る と

パ ラ メ ー タ ー 系 で あ る と は,(イ)s=Krull

か つ(ロ)ΣaiRがm準

き,aの

(証 明 終)

正 則 局 所 環 で あ る とい い,mを

生

標 高 定 理 に よ り明 白. な らば,

前 定 理 の 仮 定 の 下 で,x1,…,xr∈m, 

R/ΣxiR=h−r.

値

環

  擬 局 所 環 の 特 別 な 場 合 に,付

値 環 が あ る.付

値 環 は,付

値 の 理 論 に密 接 に 関

連 す る も の で あ る が,環 論 的 に も重 要 で あ る.付 値 との 関 連 は 他 書 に ゆ ず っ て, こ こ で は環 論 的 側 面 を 考 え よ う.   環Rが る と き,Rは

整 域 で あ り,し か も,「a,b∈R⇒a∈bRま 付 値 環 で あ る とい う.こ

の と き,KがRの

た はb∈aR」

の成 立 す

商 体 で あ れ ばRは

Kの

付 値 環 で あ る とい う.

  定 理3.3.1. 

整 域Rの

商 体 がKで

あ る と き,次

の 三条 件 は互 に同 値 で

あ る:   (イ)  Rは

付 値 環 で あ る.

  (ロ)  a∈K,a≠R⇒a−1∈R.   (ハ)  Rは

擬 局 所 環 で あ り,さ

ら に,Rの

有 限生 成 のイ デ アル は単 項 イ デ ア

ル で あ る.   証 明.  (イ)⇔(ロ)は   (イ)⇒(ハ)の as∈mと

明 白 で あ る.

証 明:m={x∈R￨xはRで

逆 元 を も た な い}と

お く.a1,…,

す る.付 値 環 の 定 義 とsに つ い て の 帰 納 法 に よ り,∃ α,ai∈aαR(∀i). と な り,mは

し た が っ て,  極 大 イ デ ア ル で あ り,さ

ら に,Rの

イ デ ア ル,ゆ

え に,mは

唯一 つ の

有 限 生 成 の イ デ ア ル が 単 項 で あ る こ と もわ

か っ た.   (ハ)⇒(イ)の

証 明:0≠a,b∈Rと

b′=b/cはRの

す る.aR+bR=cR(∃c∈R).a′=a/c,

元 で,a′R+b′R=R.Rが

か ら,a′R,b′Rと と も 一 方,例

も にmに

え ばa′

  系3.3.2. 

つ,単

  こ の よ うなRで   定 理3.3.3.  は,(イ)mが

は 正 則 元.す

る とaR=cRで

あ り,b∈aR.(証

明 終)

付 値 環 で あ る た め の 必 要 充 分 条 件 は,Rが

局

項 イ デ ア ル 整 域 で あ る こ と で あ る.

体 で は な い も の を,離 擬 局 所 整 域(R,m)が

単 項 イ デ ア ル で あ り,さ

  そ して,こ

もつ

含 ま れ る こ と は な く,し た が っ て,a′,b′ の 少 な く

Noether環Rが

所 環 で あ り,か

唯 一 つ の 極 大 イ デ ア ルmを

散 付 値 環 と い う.

離 散 付 値 環 で あ るた め の必 要 充分 条 件 ら に(ロ)Krull

の 条 件が 充 さ れ る と き,Rの0で

dim

R=1.

な い イ デ ア ル はmの

べ きに 限

る.   証 明. 

必 要 性:(イ)は

明 白.m=pR(p∈R)と

ア ル で あ っ た と す る.q〓pRゆ 2.1.5に Krull

よ り(M=q,N=0と dim

R=1.

す る.qがm以

え,q=pq1,か

つq1=q:p=q.ゆ

し て 適 用),q=0を

得 る.Rは

外 の素 イ デ え に定 理 体 で は な い か ら,

  充 分 性:m=pR(p∈R)と と す る.Krull aはpRに

dim

し,aがRの0で

R=1ゆ

え,aを

含 む 素 イ デ ア ル はpRだ

るmの

ら ば,a=pnR=psR.s1と

デ ア ル で あ る と仮 定 し て よ い.す

え,

す る.Rの

ゆ え,1−p0はRの

を充 た す も の が あ る.Vの

は 極 大 元Rが

唯 一 つ の 極 大 イ デ ア ル で あ る.次

か つpがAの

付 値 環Vで,素

部

と っ て み れ ば,pRB〓1ゆ

上 に整 に な り,系2.4.7(イ)に

付 値環 で あ る. 

の付 値 環

た が っ て,Fに

∃p0,…, 

Bが 唯 一 つ の 極 大 イ デ ア ル で, 

含 むKの

易 に わ か る よ う にFは

付 値 環 で あ る こ と を示 そ う.x∈K,x〓Rと

性 に よ り,pR[x]∋1,す

唯一 つ

の 仮 定 の も と で,Aを

充 た す も の 全 体 をFと

ず,RのpRを

ら ばR=K

考 え る こ と に よ り,p=p1がAの

の 極 大 イ デ ア ル で あ る と仮 定 し て よ い.こ

あ る.ま

得 られ る.

つ い て の 帰 納 法 を利 用 す る.n=0な

と き:Ap1を

分 環Sで,pS〓1を

形 でVが

明 白.(2)⇒(1):W=V∩Kと よ り,W=RB(∃B素

な い な らば,mがWの

お く と, イ デ ア ル).Bが

正 則 元 を含 み,し

た が っ て,

正 則 元 を含 む こ と に な り矛 盾.∴W=R.

  以 下(3)と(1),(2)と

の 同 値 の 証 明 をす る の で あ る が,そ

の た め に,次

の付

値 の 独 立 性 定 理 を利 用 す る(こ の 定 理 の 証 明 は後 で す る).   定 理3.3.9. 

R1…,Rnが

体Kの

付 値 環 で,そ

の 極 大 イ デ ア ル が 

が 成 立 す る も の とす る.こ

で あ り, 

極 大 イ デ ア ル は 丁 度n個

で,そ

の

の と き,  で あ り,さ

れ ら は, 

ら にDmi=Ri.   さ て,(3)と(1),(2)と

の 同 値 を,次

の(イ),(ロ),(ハ)の

三段 階 に 分 け て 行

な う.   (イ) LがKの す る.定

有 限 次 正 規 拡 大 の 場 合:そ

理3.3.7に

大 イ デ アルmの

よ り,Lの

付 値 環Vで,そ

上 の 非 分 離 次 数qを

こ で,定

整(LのK

の 基 本 対 称 式 のq乗

がRの

は 正 規 環 で あ る か ら,Dも

理3.3.9に

極

を考 え る. 

∈D⇒xはD∩K=R上

と れ ば, 

え に,D〓R.各Vσ

∴D=R.そ

の 極 大 イ デ ア ルBがRの

上 にあ る もの が存 在 す る.  の基 本 対 称 式

る か ら).ゆ

のGalois群G(L/K)をGと

よ り,(3)に

元 にな

正 規 環 で あ り,

い う よ う なRm全

体 はVσ

全

体 で あ り,こ の 場 合 の 証 明 が で き た.   (ロ)  LがKの を と る.L*の 包R*の

有 限 次 拡 大 の 場 合:Lを 付 値 環V*で,V*∩K=Rと

V*∩Lと

な る も の は,KのL*で

付 値 環 で,V∩K=Rで

な る も の が あ り,V*∩K=Rゆ

あ れ ば,L*の

の よ う なVの

し て 得 られ る も の と い う こ と に な る.し

た が っ て,そ

し て,(3)がVの

そ こ で,定

お く.(ロ)に

の よ う なVの

理3.3.9を

利用

に,VがLの

はL′

よ り, 

付 値 環 で,V∩K=Rで え, 

とす る.L′=

が 付 値 環 で あ る こ と:x∈L, 

の 付 値 環 で あ る か ら, 

は 容 易.ゆ

理3.3.5(ロ))ゆ

特 徴 づ け は,

特 徴 づ け を 与 え る こ と を 知 る.

 (ハ)  一 般 の場 合: 

た.逆

の整 閉

付 値 環V*でV*∩L

え に,こ

数 は有 限 で あ り, 

K(x)と

有 限 次 正 規 拡 大 体L*

極 大 イ デ ア ル に よ る 商 環 と い う こ と に よ っ て 特 徴 づ け られ る((イ)に

よ る).VがLの =Vと

含 むKの

p =(Vの

え に(3)⇒(1)が

あ っ た とす る.Vは 極 大 イ デ ア ル)∩Rと

わか っ 正 規 環(定

お け ば,

定 理3.3.5(イ)と,Rmが V=Rp(問

付 値 環 で あ る こ と か ら,V,Rpは

題3.3.1参

ゆ え にpはRの

照).V≧Rゆ

え,pはRの

付 値 環 で あ り,

極 大 イ デ ア ル の 上 に あ る.

極 大 イ デ ア ル で あ る(系2.4.7). 

  定 理3.3.9の

証 明 に は,次

  補 題3.3.10.  こ の と き,Kの

(証 明終)

の 補 題 を利 用 す る:

R1,…,Rn,K,D等 任 意 の 元aに

は 定 理3.3.9に 対 し,次

お け る と 同 様 とす る.

の 条 件 を充 た す 自 然 数s≧2が

存在す

る: (1+a+…+as-1)-1お   証 明.各iに

よ びa/(1+a+…+as-i)が

つ い て,上

の二元

∈Riと

sが す べ て のiに

共 通 に と れ れ ば よ い か ら).

  (イ)a〓Riの

と き:a-1=bと

と な り,分 母 はRiの で,こ

  (ロ)  a∈Biの

元.

い う条 件 を 考 え よ う(そ の よ う な

お く と,b∈Bi,

正 則 元(Riの

れ ら二 元 はRiに

と も にDの

元 で,Biに

属 し な い か ら)ゆ え,無

条件

属 す る.

と き:1+a+…+as-1がRの

正 則 元 で あ る か ら,無

条件 で

あ る.   (ハ)  a∈Ri,a-1∈Biの

と き:sがRi/Biの

標 数 の倍 数 で ない な らば よい

こ と は 明 白.   (ニ)  a∈Ri,at-1∈Bi(∃t),a-1〓Biの の 最 小 をdと

す る と,他

のtはdの

数 で な け れ ば,1+a+…+as-1はRの

の 揚 合sは

  し た が っ て,全

な る 自然 数t

た が っ て,sがdの

倍

条 件 に 適 す る.

と き:1+a+…+as-1はRiの

正則 元 で あ

有 限 個 の 特 定 の 自 然 数(>1)の

倍 数 で ない

無 条 件. 体 と して は,sは

と い う条 件 に な る か ら,sの   定 理3.3.9の

倍 数 で あ る.し

正 則 元 と な り,sは

  (ホ)  a∈Ri,at-1〓Bi(∀t)の り,こ

と き:at-1∈Biと

存 在 が い え る. 

証 明.  D〓Riゆ

え,Dmi〓Riは

(証 明 終) 明 白.a∈Riと

題 に よ り ∃S,(1＋a+…+as-1)-1,a(1+a+…+as-1)-1∈D.a∈Riゆ

す る.前 え,1+

補

a+…+as-1∈Ri.ゆ

え に,(1+a+…+as-1)-1はRiの

正 則 元.∴(1+a+…

+as-1)-1〓mi. ∴Ri= Dmi.し

た が っ て,m1,…,mnは

ゆ え,mj〓mi.し

互 に相 異 な る こ と もわ か る.さ

た が っ て,前

⇒ ∃i,m〓miを

示 せ ば よ い.m〓mi(∀i)と

他 方,m1,…,mnが

も 含 ま れ な い.し

え に ΣaibiはDの

仮 定 し て み よ う.∃ai∈m,ai〓mi.

題2.0.5).そ

こ で,Σaibiを

正 則 元,こ

と は 異 な り,例

れ がmに

入 る の は 矛 盾. 

Rが

(証 明 終)

え ば 準 素 イ デ ア ル 分 解 の 定 理 は(Krull次

変 扱 い 易 い 面 も持 っ て い る.そ

正 規 環 で,Rの

の 付 値 環 す べ て の 共 通 部 分 はRと

元〓1の

デ アル全 体 が包 含 関係 で全 順 序 集合

付 値 環 が一 般 可 換 環 論 で 重 要 な 理 由 の う ち の,主   定 理3.3.11. 

れ は どの

値 環 と い うの は 非 常 に特 殊 な 環 で あ り,

と き を 除 い て)成 立 し な い の で あ る が,イ に な っ て い る な ど,大

作 る と,こ

た が っ て, ゆ

  今 ま で こ の 節 で 見 て き た よ う に,付 Noether環

極 大 イ デア ル

互 に 包 含 関 係 の な い 素 イ デ ア ル で あ る か ら,∃bi(i=1,…,

n),bi〓mi,bi∈mj(i≠j)(補 mjに

半 の 証 明 の た め に は,mがDの

ら に,Ri〓Rj

要 な も の で あ る:

商 体 がKで

一 致 す る.逆

の こ と と次 の 定 理 とが,

あ る と き,Rを に,付

含 むK

値 環 い くつ か の 共 通 部

分 と し て 表 わ し得 る整 域 は 正 規 環 で あ る.   証 明.  最 後 の 部 分 は,付

値 環 が 正 規 環 で あ る こ と か ら明 白 で あ る.前

証 明 を し よ う.「x∈K,x〓R⇒

∃V,VはKの

を 示 せ ば よ い.y=x-1,R′=R[y]と xm+1を

∃ai∈R, 

を 知 る が,こ はR′

お く.も

れ はRが

を含 み,yがVの り,こ のVが

付 値 環 で,x〓V,R〓V」 し,yがR′

の 正 則 元 な ら ば,

か け て み れ ば,xがR上

整 で ある こ と

整 閉 で あ り,x〓Rと

の 正 則 元 で は な い.ゆ

え に 定 理3.3.7に

い う こ と に反 す る.ゆ よ り,Kの

非 正 則 元 で あ る も の が存 在 す る.す

 こ の 節 で はNoether整

え に,y

付 値 環Vで,R

る とx=y-1〓Vで

求 め る も の で あ る. 

3.4.Noether環

半の

あ

(証 明 終)

の整 拡 大 域 に つ い て の 正 規 性 の 特 徴 づ け,お

よび整 拡 大 に関

す る 結 果 を述 べ る.   一 般 にRが

環R*の

部 分 環 で 単 位 元 を 共 有 す る と き, 

をRのR*に 合 に は,整

と い う概 念 に 強 い 関 連 を も つ.す

  定 理3.4.1.  Q(R)に

お け る 導 手 と い う.こ

な わ ち,次

上 の 記 号 の 下 で,RがNoether環

  し た が っ て,こ

の条 件 の 成 立 す る 場 合,R*はR上

  他 方,R*がQ(R)に   証 明 ．〓

含 ま れ るR加

の こ と が 成 立 す る: 全商環

R:R*.(こ

  ⇒ の 証:R:R*の

非 零 因 子〓

部 分 加 群R*もNoether加

全 商環 の元 で

表 わ せ る.す

る と,c1…cs∈

と い う仮 定 は 不 要 で あ る.) を と る.dR*〓Rゆ

え,R*はR加

群 と して)Noether加

全 商 環Q(R)の 成 立 す れ ば,aはR上 得 ら れ,し

元,bがRの 整 で あ る.

た が っ て,R:R[a]はbを

定 理 に よ り こ の 系 を得 る. 

ア ル の と き,a∈R,a〓pな   上 の 定 理3.4.1を

え ばRが

とい う仮 定 を省 い た の で は 正 し くな 付 値 環,pが0で

ら ばa-1p〓pで

あ る こ と か らわ か る.

れ らは 似 て は い る が,条

ど ち らの 場 合 も正 規 環 で あ る が,前

  定 理3.4.3. 

も極 大 で も な い 素 イ デ

応 用 す る の に 有 効 な 定 理 と し て は,次 に述 べ る 定 理3.4.3,

二 つ が あ る.こ

者 で はR*が

含 (証 明 終)

  注 意.  こ の 結 果 は,RがNoether環 の よ うな こ とは,例

の

(証 明 終)

RがNoether環,aがRの

  証 明.  amb〓b(m=1,2,…)が

群d-1R

群 で あ る か ら,そ

群 で あ る. 

イ デ ア ル で 非 零 因 子 を含 み,ab〓bが

む か ら,前

成 立 す る.

と る． 各aiはRの

非 零 因 子)と

の 部 分 加 群 で あ る.d-1Rは(R加

整 で あ る.

群 の場 合 に も,(*)は

の 部 分 に はRがNoether環

  系3.4.2. 

群 と し て 有 限 生 成.

な るaiを

の 証: 

あ り,ai=bi/ci(bi,ci∈R;ciは

Rは

の場

含 ま れ て い る 場 合 に は, 非 零 因 子 を含 む ⇔R*がR加

3.4.5の

にNoether環

で,R*がRの

  (*)  R:R*が

い.そ

れ は,特

件 は 少 し ち が う.す

者 で はR*が

な わ ち,

整 域 で あ る の に 対 し,後

整 域 とい う仮 定 が な い. Rが

正 規 環,f(x)がRの

上 の モ ニ ッ ク多 項 式 で,aがf(x)

の(あ る拡 大 体 にお け る)根 で あ る とす る.f(x)の

導 函数 

を

と り,R[a]の(商

体 内 に お け る)整 閉 包 をR*と

  証 明. f(x)の

根 をa=u1,…,ur(r=degf(x))と

と お く.f′(x)=Σgi(x)で

し,gi(x)=f(x)/(x-ui)

あ る か ら,f′(a)=g1(a)で

が 既 約 の と き に 証 明 し さ え す れ ば よ い.aが aは

分 離 的 と仮 定 す る.Rの

る.G=G(R′/R)と か さ な いGの

上 の,aを

お く.Gの

σ∈Hσi).fσ(x)=f(x)ゆ

た が っ て,f(x)

含 む 最 小 のGalois拡

つ い て,aσi=uiな

丁 度Hσi(i=1,…,r)の

え,

大 環R′

対 応 す る も の(R*の

す る.各uiに

とれ ば,Gは

あ る.し

非 分 離 的 な ら,f′(a)=d=0ゆ

部 分 群 で,R*に

元 全 体)をHと

σ2,…,σr∈Gを

す れ ば,

を と 元 を動

るσ1=1,

和 に な る(aσ=ui⇔

え, 

に な る.  と す る.R*の

元bを

任 意 に と る と,  b,cjは

Hの

元 で は 不 変 で あ る か ら, 

はG不

変.し

た が っ て, 

(証 明終)

∴bf′(a)∈R[a]. 

  系3.4.4. 

RがNoether正

規 環,Rの

商 体 がK,LがKの

代 数 拡 大 体 で あ る と き,R〓R′〓Lで,Rの

有 限 次分 離

上 に 整 で あ る よ うな 環R′

はR

の 上 の 有 限 加 群 で あ る.   証 明.  L=K(a)な 関 係が あ る.aの す る とR[a]の え,定

るa∈Lを 代 りにCcoaを

と る.coan+…+cn=0(co≠0,ci∈R)な 考 え れ ば,aはRの

整 閉 包R*はRのLに

理3.4.1,3.4.3に

る

上 に 整 で あ る と し て よ い.

お け る整 閉 包 に な る.aは

よ り,R*はR[a]上

R加 群 と し て も有 限 加 群 で あ る.R′

の 有 限 加 群.し

は そ の 部 分 加 群 ゆ え,R上

る.f(x)の

Rが

判 別 式d,す

正 規 環,f(x)がRの

  証 明. d=0な 表 わ す.ま

分 解 体Lで 

を 考 え,ま

R′ の 全 商 環Q(R′)に

お け るR′

ず,Rの0で

た,R′=R[x]/f(x)R[x]と

の 整 閉 包 をR*と

ら明 白 ゆ え,d≠0と な い 元 は,R′

(証 明 終)

上 の モ ニ ック多 項式 で あ る とす

な わ ち,f(x)の

し た と き の, 

たが っ て,

の 有 限 加 群.  

  定 理3.4.5. 

分離的ゆ

と お く.

す れ ば,dR*〓R′.

仮 定 す る.xmodf(x)R[x]をaで で 非 零 因 子 で あ る こ と に注 意 し て お く.

f(x)の

各 根aiに

在 す る.さ

対 し,R準

て,b∈R*と

同 型φi:R*→Lで,φia=aiと

す る と, 

な る もの が存

(uj∈K=Rの

こ の 関 係 式 が,u0,…,un-1を

商 体).す

る と, 

未 知 数 とす る連 立 方 程

式 に対 す る解 を与 え る もの とみ なせ ば,そ の係 数 の行 列 式 は  あ り,d=D2と

な る.φib,ajはR上

した が っ て,dujもR上

で

整 で あ る か ら,DujはR上

整 に な る.duj∈Kゆ

整 と な り,

え,duj∈R.∴db∈R[a]=

R′. 

(証 明 終)

  次 に,Noether正   補 題3.4.6. 

規 環 の 特 徴 づ け に 関 す る結 果 を ま と め て み よ う. a,b,c,dが

環Rの

零 因 子 な ら ば,aR:c〓bR:d.し

元 でad=bcで

あ る もの と す る.aが

た が っ て,a,bが

非

と も に 非 零 因 子 な らば,

aR:c=bR:d.

 証 明.  (証明 終)   定 理3.4.7. pがNoether環Rの も の と す る.pの で あh,そ

元aが

素 イ デ ア ル で,Rpは

非 零 因 子 で あ り,b∈aR:pな

の 導 手R:R[b/a]はpを

xで

生 成 され る.ゆ

ゆ え にy∈p.ゆ

しy〓pと

は 前 補 題 に よ る).す え に定 理3.3.4に

え に(b/a)p〓p.ゆ

し て み る と, 

る と,p=xR:yと

な りpRpは

よ りRpは

付 値 環 に な り,矛 盾 で あ る.

え に 系3.4.2に

よ り こ の 定 理 を得 る.  

  系3.4.8. 

局 所 環(R,m)が

整

含 む.

  証 明. x∈p⇒bx=ay(∃y∈R).も (中 央 の〓

付値 環 で は ない

ら ば,b/aはR上

正 規 環 で,Krull

dim

R=1な

(証 明 終)

ら ば,Rは

離

散 付 値 環 で あ る.   定 理3.4.9. 

pがNoether環Rの

む も の とす る.す   pがaRの

素 イ デ ア ル で,pは

非 零 因 子aを

る と,

素 因 子 ⇔(イ)htP=1で,Rpが

離 散 付 値 環.

ま た は(ロ)∃b∈R,b/aがR上 がpと

一 致 す る.

整 で,導

手R:R[b/a]

含

  証 明. 

⇒ の 証:pがaRの

素 因 子 で,(イ)は

3.1.9に

よ り,∃b∈R,p=aR:b.す

か つ,導

手cがpを

p.ゆ   〓

成 立 し な い と 仮 定 す る.定

る とb∈aR:pゆ

含 む.d∈cな

理

え,b/aはR上

整,

ら ば,ba/a∈R.∴bd∈aR,d∈aR:b=

え に,c=p. の 証:htP=1な

ら ば,pはaRの

立 し た と し よ う.す

極 小 素 因 子 で あ る.そ

る と,pRpが

導 手Rp:Rp[b/a]と

こ で,(ロ)が

成

一 致 す る.(b/a)p〓R

ゆえ

ゆ え, 

に,pRpはaRpの

素 因 子 で あ り,pがaRの

素 因 子 で あ る こ と を知 る.  (証 明 終)

  系3.4.10. pがNoether環Rの の 素 因 子 で あ れ ば,pに

素 イ デ ア ル で,aが

含 ま れ る 任 意 の 非 零 因 子bに

非 零 因 子,pがaR

対 し,pはbRの

素因

子 で あ る.   証 明.定 ad.補

理3.1.9に

題3.4.6に

よ り,∃c∈R,p=aR:c.b∈pゆ

え,∃d∈R,bc=

よ り,aR:c=bR:d.∴p=bR:d.ゆ

え にpはbRの

素 因 子. 

(証 明 終)

  定 理3.4.11.  R上

RがNoether環

整,b/a〓Rと

す る.す

い も の が 存 在 す る か,ま   証 明.結 (qiはpi準

で,a,b∈R,か る と,aRの

た は,aRは

論 を 否 定 す る と,準 素)に

極 小 素 因 子pでRpが

付 値 環.bRの 整,か

こ で,qj′ の う ち にqiに

Rが

… ∩qn

準素 イ デ アル に よ る

つRpiが

正 規 環 で あ るか

含 ま れ る も の が あ る.∴bR

な わ ち,b/a∈R. 

  補 題3.4.12. 

付値環でな

素 イ デ ア ル に よ る 最 短 表 現aR=q1∩

最 短 表 現q1′ ∩ … ∩qs′ を と る.b/aがR上

〓aR,す

非 零 因 子,b/aは

極 小 で な い 素 因 子 を もつ.

よ り,htpi=1,Rpiは

ら,bRpi〓aRpi(∀i).そ

つ,aは

(証 明 終)

正 規 環 な らば,Rの

商 環Rs(Sは

積 閉 集 合)も 正 規 環

で あ る.   証 明.  aがRS上 がR上

整  整 ⇒(Пsi)a∈R⇒a∈Rs. 

  定 理3.4.13.(Krullの

定 理)  RがNoether整

(証 明 終) 域 で あ る と き,Rが

正規

環 で あ る た め の 必 要 充 分 条 件 は,次   (イ)  pが

高 さ1の

  (ロ)  pが

非 正 則 元a(≠0)に

の 二 条 件 の 成 立 す る こ と で あ る:

素 イ デ ア ル な ら ばRpは

付 値 環.

よ っ て 生 成 さ れ た イ デ ア ルaRの

素 因子 な ら

ば,htP=1.   証 明 は 補 題3.4.12,定

理3.4.11,系3.4.8に

よ り容 易.

  3.5.Dedekind環   Krull次

元1のNoether正

規 環 をDedekind環

一 つ の 重 要 な 例 か ら始 め よ う.そ

の た め に,次

代 数 拡 大 体 を 代 数 数 体 と い う.Q上 整 数 環Zの

の 次 数 を も っ て,そ

け る整 閉 包)を

の 次 数 と定 め る.有

含 ま れ る代 数 的 整 数 全 体 の な す 環(す 意 味 す る.次

  定 理3.5.1. 

の こ とは 系3.4.4に

有 限 次 代 数 数 体Kの

の

理 数 体Qの

上 に 整 で あ る よ うな 複 素 数 を 代 数 的 整 数 と い う.代

整 数 環 と は,Kに

ら にZ加

とい う.Dedekind環 の定 義 をす る:有

理

数 数 体Kの

な わ ち,ZのKに

お

よ り明 白 で あ る.

整 数 環RはDedekind環

で あ り,さ

群 と して 有 限 生 成 で あ る.

  Dedekind環

に つ い て の 重 要 な 結 果 は,イ

わ す こ と に つ い て の 結 果 で あ る が,そ

デ ア ル を素 イ デ ア ル の 積 と し て 表

れ を 述 べ る の に は,分

数 イ デ ア ル も含 め

る 方 が す っ き りす る の で 分 数 イ デ ア ル の 定 義 か ら始 め よ う.一 Q(I)がIの

商 体 で あ る と き,Q(I)のI加

な 元b(≠0)に

よ り,ba〓Iと

に よ り,c-1aと

整 域,

群 と し て の 部 分 加 群aで,適

な る も の を,Iの

除 外 して 定 義 す る こ と も あ る.)す

般 にIが

当

分 数 イ デ ア ル と い う.({0}を

な わ ち,c∈I,c≠0と,Iの

表 わ し得 る も の が 分 数 イ デ ア ル で あ る.こ

イ デ ア ルaと れ に対 し,Iの

イ デ

ア ル を 整 イ デ ア ル と よ ぶ.   さ て,DがDedekind環

で あ る も の と し よ う.各

離 散 付 値 環Dp(系3.4.8参

照)を

を 考 え る.Dの と な るnで る が,定

商 体Q(D)の0で

よ り,そ

の 極 大 イ デ ア ルpDpの

な い 元xに

あ る と定 め る.(x∈Dpな

理3.3.3に

考 え,そ

極 大 イ デ ア ルpに

生 成 元 πp

対 し,vp(x)はxDp=πpnDp

ら ば,n≧0,x〓Dpな

の よ うなnは

対 し,

確 定 す る.こ

ら ばndegf=dな

と 

書 式 順 序 で 

れ をM1と

Y2,…,Ynに

つ い て, 

以 内 の 異 な る 単 項 式 

た が っ て,fに

る

とお い て,fをX1,

多 項 式 に 展 開 す る.M=X1α1…Xnαnに

とに つい て,辞

無

形 に と る こ と も で き る.

と り, 

と お け ば,d次

る.し

略記す るこ

の 文 字 の と き も同 様 に す る.

  補 題4.0.1. 

qの 倍 数tを

く面 倒 を省

であ

現 わ れ るMiの し よ う.そ

つ い て の 多 項 式)と

うち

ω(Mi)の

最 大 な もの は唯一 つ で

して,M=X1ω(M)+(X1に な る か ら,fをX1,Y2,…,Ynの

つ い て 低 次 の,X1, 多項 式

に 展 開 す れ ば,f1=a1X1ω(M1)+(X1に 式)と

な る.そ

つ い て 低 次 の,X1,Y2,…,Ynの

こ で,K[Y1,…,yn]上,X1はXω(M1)+a1-1(Xに

低 次 の 項)−a1-1Y1=0の

整 で あ る.Kが

無 限 体 の 場 合 は,Yi=Xi+ciX1と

定 め れ ば よ い こ と は,上

の 証 明 か らわ か る.fのd次

とれ,以

  定 理4.0.2. 

あ る か ら,そ

…

,Ynで,次

れ が0で

な い よ うc2,…,cnを

係数 は 定めれば にな

え らん で ゆ け ば よ い. 

(多 項 式 環 の 正 規 化 定 理)aが

体Kの

イ デ ア ル で 高 さ がrで

の 性 質 を も つ も の が あ る.た

  (1)K[X]はK[Y]=K[Y1,…,Yn]の Y1,…,Yrで

斉 次 成 分 をfd

え, 

下 順 次ciを

K[X]=K[X1,…,Xn]の

元 にな る よ

つ い て 展 開 した と き のX1dの

よ く,そ れ に は,fd(1,X2,…,Xn)≠0ゆ る よ うc2が

お い て,fをX1,Y2,…,

つ い て 最 高 次 の 係 数 がKの

とす る とき,fをX1,Y2,…,Ynに fd(1,−c2,…,−Cn)で

整 で あ る.

え,K[X1,…,Xn]はK[Y1,…,Yn]上

多 項 式 に 展 開 し た と き,X1に

うciを

つ い ての

根 で あ る か ら,X1はK[Y1,…,Yn]上

K[Y1,…,Yn,X1]∋Xi(i≧2)ゆ

Ynの

多項

(証 明 終)

上 のn変

数 の多 項 式環

あ る と き,K[X]の

だ し π はKの

元Y1,

素 体 と す る.

上 に 整 で あ る.(2)a∩K[Y]は

(標数p≠0

生 成 さ れ る.(3) 

の ときは   証 明.  rに つ い て の 帰 納 法 で 証 明 す る.r=0な お け ば よ い.r≧1と る.帰

す る.イ

納 法 の 仮 定 に よ り,a′

み た すY′1,…,Y′nが 2.4.12 

に よ

に つ い て,上

の(1),(2),(3)に

え,Xi=Yiと あ る よ うに と 相 当 す る条 件 を

系

あ る.  (問 題2.5.5). 元f(Y′1,…,Y′n)で,a′

代 り にf(0,…,0,Y′,…,Y′n)を

ら  補 題4.0.1を

デ ア ルa′ 〓aを,hta′=r−1で

り, 

ゆ え に,a∩K[Y′]の あ る.fの

らばa=0ゆ

∩K[Y′]に

考 え て も 同 じ条 件 を み た す か

ゆ え),f∈K[Y′r,…,Y′n]と こ のfとK[Y′r,…,Y′n]と

属 し な い もの が

仮 定 し て よ い.

に 適 用 す れ ば,K[Y′r,…,Y′n]

の 元f=Y"r,…,Y"nで,K[Y′r,…,Y′n]がK[Y"r,…,Y"n]の 整 で,Y"i=Y′+Y′rmi(i>r)で

あ る も の が あ る.Y1=Y′1,…,Yr-1=Y′r-1,

上 に

Yr=Y"r,…,Yn=Y"nと はpの

お く.(3)は

作 り方 か ら明 ら か.(p≠0の

倍 数 に と る.)K[Y]上,K[Y′]が

か ら,(1)が

整 で,そ

の 上 にK[X]が

の 素 イ デ ア ル で あ る か ら,*)  っ て,(2)が

a1,…,anで

に は な り得 な い.し

成 り立 つ. 

  系4.0.3.(有

限 生 成 環 の 正 規 化 定 理)**)  環Aが 生 成 され れ ば,Aの

htaと

体Kの

上 に有 限個 の元

元z1,…,ztが,(1)AはK[z1,…,zt]の 代 数 的 独 立 で あ る よ う に とれ る.

な る多項式 環K[X]と

  証 明.  を と り,そ

れ に 前 定 理 を適 用 し てY1,…,Ynを

す る.K[X]か

(j=1,…,t;t=n-r)と

らK[a]へ

とす る.φYr+j=zj

整 ゆ え,K[a]=φ(K[X])

整 で あ る.  と な り, 

な る 関 係 が あ っ た とす る と,  に よ り,ci1…it=0に

な る.し

た が っ て,z1,…,ztはK上

的 独 立 で あ る.  整 域 で あ る場 合 に つ い て,こ

商 体Q(A)の

代 数 的 独 立,か

数 拡 大 体 で あ る と き に い う.こ

適 当 な 元w1,…,wtを

の 性 質 を もつw1,…,wtの

離 的 の 場 合 に は 次 の 形 に 変 形 され る が,本 引 用 の 「可 換 体 論 」 補 題3.9.4参

な る.高

れ がKの

上 に分離

とれ ば,(イ)w1,

っ,(ロ)Q(A)はK(w1,…,wt)の

分 作 用 素 に よ っ て 特 徴 づ け られ る こ と を利 用 し て,上

  *)  高 さ は 丁 度rに

代 数

(証 明終)

  上 で 扱 っ た よ うな 環Aが

…,wtはK上

そ のイ デ

得 た とす る.r=

の 自然 準 同 型 をφ

お く.K[x]はK[Y]上

はK[z1,…,zt]=φ(K[Y])上

的 で あ る と は,***)Aの

たが

(証 明 終)

上 に 整,(2)z1,…,ztはK上

ア ルaと

整である は 高 さ ≧r

で, 

成 り 立 っ. 

と き はmi

分 離 的代 組 の 特 徴 づ け が,微

で 述 べ た正 規 化 定 理 は分

書 で は 証 明 は し な い.(例

照).

さ は

が 素 イ デ アル で あ る こ とか ら明

白.(2)が 成 り立 つ こ と か ら(実 は も っ と一 般 に 定 理3.2.7を rに な る こ と が わ か る.  **)  Noetherの 正 規 化 定 理 と もい わ れ る .  ***)  も っ と一 般 な 整 域 に つ い て の 分 離 的 とい う概 念 が あ る が,本   例 え ば 「可 換 体 論 」(永 田[2])参

え ば,脚 注

照.

使 え ば)高

さが丁 度

書 で は 省 く.他

書,

  系4.0.3に

お け るAが

ztは 上 記(1),(2)の

整 域 で あ り,さ

他 に,さ

ら にK上

分 離 的 で あ れ ば,z1,…,

ら に,(3)Q(A)がK(z1,…,zt)の

上 に分 離 的

代 数 拡 大 体 で あ る よ う に 選 ぶ こ と が で き る.   他 方,体

の 上 で な く,整 域 の 上 の 有 限 生 成 環 に つ い て は,上

正 規 化 定 理(4.0.2,4.0.3)は   定 理4.0.4. 

次 の 二 定 理 の よ う に 一 般 化 さ れ る:

aが 整 域Iの

上 のn変

の イ デ ア ル で あ る も の とす る.Iの r=htaK[X]と で,次

お く,す

数 の 多 項 式 環I[X]=I[X1,…,Xn]

商 体 をKと

る と,I[X]の

す る.a∩K=0と

元Y1,…,Yn,お

はY1,…,Yrで

(2) 

っ,Iの0以

素 整 域.)

環Rが

上 に 有 限 個 の 元b1,…,bnで

わ す と き,π[b1,…,bn]の ztはI上

整 域Iの

非 零 因 子 で あ る も の と す る.Iの 元z1,…,ztと,Iの

元b(≠0) 整 で あ り,

生 成 さ れ,(3) 

(こ こ に π はIの

外 の 元 はRの

仮 定 す る.

よ びIの

の 条 件 を み た す も の が あ る:(1)I[b−1][X]はI[b−1][Y]上

  定 理4.0.5. 

で述 べ た二 っ の

元a(≠0)と

生 成 さ れ,か 素整 域 を πで表 を,(イ)z1,…,

代 数 的 独 立,(ロ)R[a-1]はI[a-1,z1,…,zt]上

整 で あ る よ うに

と る こ と が で き る.

  定 理4.0.4の る と,(3)は

証 明.  定 理4.0.2をK[X]とaK[X]と 明 ら か に 成 立 す る.Y1,…,Yr∈aK[X]ゆ

各XjがK[Y]上 I[Y]上

整. 

  定 理4.0.5.の

え, 

整 で あ るか ら, 

が

とお け ば よ い. 証 明.  定 理4.0.3の

証 明 と同 様 の 方 法 で,定

用 し て 証 明 さ れ る. 

 4.1.正

に 適 用 す る.す

理4.0.4を

利

(証 明 終)

規化 定 理 の 応 用 例

  この節 で は,正 規 化 定 理 の環 論 的 応用 例 と して,素 イ デア ル鎖 の長 さ,Hilbert零 点定 理,お よび,整 閉 包 の有 限性 につ い て の体 の上 に有 限 生 成 の環 に お け る結果 を述 べ る こ とにす る.   素 イ デ ア ル鎖 につ い て は,次 の定 理が 成 立 す る.

  定 理4.1.1. 

整 域Aが

体Kの

上 に 有 限 個 の 元 で 生 成 され て い る と す る.

 が 素 イ デ ア ル の 昇 鎖 で,各piとpi+1と ル は 存 在 せ ず,ま

た,ptは

極 大 で あ る とす る.す

の 間 に は素 イ デ ア

る と,t=trans.degKAで

あ る.   証 明.  Kの

上 に代 数 的 独 立 なAの

元z1,…,znが

の 上 に 整 で あ る.tに は 体 で あ る.し て,π=0と

た が っ て,補

と に適 用 し て,zi∈p1と

よ る 帰 納 法 を利 用 す る.t=0な

題2.4.4に

な り正 し い.t>0と

よ り,K[z]も

し よ う.補

と れ ば, 

体Kの

ら ば,A

体 で あ る.し

たがっ

題4.0.1をK[z]とp∩K[z]

仮 定 し て よ い.A/p1と 

と に帰 納 法 の 仮 定 を 適 用 す れ ば,t-1=n-1.し   系4.1.2. 

あ っ て,は 

た が っ て.t=n.(証

上 に 有 限 個 の 元 で 生 成 され た 整 域Aの

明 終)

素 イ デ ア ルpを

trans.degKA=trans.degK(A/P)+htp.

  特 に(イ)mがAの

極 大 イ デ ア ル で あ れ ば,A/mはK上

(ロ)pか

終 わ る 素 イ デ ア ル の 降鎖 で 細 分 で きな い もの の長 さは

ら始 ま り0で

必 ずhtpに

代 数 的 で あ る.

等 し い.

  証 明.0とpと

を 通 る よ う な,前

定 理 に お け る素 イ デ ア ル の列 を と って み

れ ば 明 白. 

(証 明 終)

  こ の 系 の(イ)を

使 っ て,次

  系4.1.3.(Hilbert零 Aに

お い て は,一

aの 根 基〓

の 二 つ の 結 果 を得 る:

点 定 理)*)  体Kの つ の イ デ ア ルaを

上 に有 限 個 の 元 で 生 成 さ れ た 環

含 む 極 大 イ デ ア ル 全 体 の 共 通 部 分〓

は,

に 等 し い.

  証 明. 

は 明 白.   と し て よ い.(イ)aが

の 証 明 に は, 

素 イ デ ア ル の と き:A∋f≠0と

の 極 大 イ デ ア ルm′

を と れ ば,A[f−1]/m′

A/(m′ ∩A)もK上

代 数 的.し

ゆ え に,f〓.ゆ

え に, 

を 考 え る こ と に よ り,

はK上

た が っ て,m′ (ロ)一

す る.A[f-1]

代 数 的 ゆ え(前

∩A=mはAの

極 大 イ デ ア ル.

般 の と き:素 イ デ ア ルpに

  *)  なぜ これ を零 点 定理 とい うか につ い て は §4.3で 述 べ る.

系(イ)),

つ い て,

(イ)を

適 用 す れ ば, 

  系4.1.4. 

∴ b〓 ∩p=〓=0. 

環Rが

大 イ デ ア ル はn個

体K上n個

(証 明 終)

の 元 で 生 成 さ れ た 環 で あ る と き,Rの

の 元 で 生 成 さ れ る.

  証 明.  多 項 式 環K[x]=K[X1,…,Xn]か る.mがRの あ る.φ-1(m)がn個

類 をciと

の 元f1,…,fnで

上 へ の 準 同 型φ

極 大 イ デ アル で

仮 定 し て よ い.XiのR/mに

す る.Lo=K,Li=K[c1,…,ci](i=1,…,n)と

おける

お く.系4.1.2(イ)

代 数 拡 大 体 で あ る か ら,各LiもKの

項 式fi(i=1,…,n)を

があ

生 成 され れ ば,mはφf1,…,φfnで

た が っ て,R=K[X]と

に よ りR/mはKの る.多

らRの

極 大 イ デ ア ル で あ れ ば,φ-1(m)はK[X]の

生 成 さ れ る.し

極

代 数拡 大 体 で あ

次 の よ う に と る:ciのLi-1上

の最 小 多 項式

 を と り,各aijのK[X1,…,Xi-1] に お け る 代 表 元aijを

と お く.作

と っ て,

り方 か ら,  の 極 大 イ デ ア ル.ゆ

特 に, 

え に,mはf1,…,fnで

生 成 され る.    次 に,整

(証 明終)

閉 包 の 有 限 性 に ふ れ よ う.証

  定 理4.1.5. 

体Kの

体L′

を とれ ば,AのL′

る.し

た が っ て,A′

上 に有 限 生 成 な 整 域Aの に お け る 整 閉 包A′ もK上

つ,z1,…,ztが

はA加

有 限次 代 数 拡大

群 と して有 限 生成 で あ

元z1,…,ztで,AはK[z]=K[z1,…,

代 数 的 独 立 と な る も の が あ る.A′

L′ に お け る整 閉 包 で あ る.し 分 離 的 な らば,系3.4.4に

商 体Lの

有 限 生 成 で あ る.

  証 明.  正 規 化 定 理 に よ り,Aの zt] 上 整,か

明 し よ う と い う定 理 は:

た が っ て,も

よ り,A′

し もL′

はK[z]加

はK[z]の

がK(z)=K(z1,…,zt)上

群 と し て 有 限 生 成 と な り,定

理 の 主 張 は 正 し い.  L′ がK(z)上

分 離 的 で は な い も の と仮 定 し よ う.こ

は 素 数 で あ る(定 理1.5.4).pの と を と れ ば, 

適 当 な べ き ｑ と,Kの が

の と き,Kの

標 数p

適 当 な 元c1,…,cm

zt1/q)上 分 離 的 に な る.[そ

の 証 明:非

に よ っ て 証 明 す る.y∈A′

がK[z]上

分 離 次 数[L′:K(z)]iに

つ い て の 帰納 法

非 分 離 的 で あ る と き,そ

の 最 小 多 項 式 

を考 え る(定 理1.5.4).eiの と し て 現 わ れ るKの

元 全 体(iも

動 か す)をc1,…,csと

上yはr次

係数

す る. 

の 多項 式 の根 に な るか ら, 

帰納法の仮 定 に よ り 証 明 が 完 了 す る.]そ

こで,  に お け る 整 閉 包A**を

の  に よ り,A**はA*加

群 と し て 有 限 生 成.と

て 有 限 生 成 ゆ え,A**もK[z]加 A′ もK[z]加

  4.2.正

則

群 と し て 有 限 生 成.ゆ

群 とし

えに そ の部 分 加 群

性 で あ り,さ

ら に,ど

の 素 イ デ ア ルpを

定 理6.5.13,系7.2.3参

照),Rは

とっ て も商 環

則 局 所 環 は 必 然 的 に 整 域 で あ り,

大 イ デ ア ル に よ る 商 環 だ け で 充 分 で あ る が,そ

  ま ず,正

離性

(証 明 終)

正 則 局 所 整 域 で あ る と き(実 は,(イ)正

ま た(ロ)極

こ ろ が,A*はK[z]加

群 と し て 有 限 生 成. 

  環RがNoether環 Rpが

と る と,分

れ らは 後 で 扱 う.

正 則 環 で あ る とい う.

則 環 に つ い て の 次 の 注 意 か ら始 め よ う.

  定 理4.2.1.  則 環 で あ る.逆

R1,…,Rnが に,環Rが

正 則 環 で あ れ ば,そ 正 則 環 で あ っ て,し

の 直 和 

も正

か も 零 因 子 を も て ば,Rは

二

つ 以 上 の 正 則 整 域 の 直 和 に 分 解 す る.   証 明.  前 半:直 (piはRiの

和 

素 イ デ ア ル)の 形 で,こ

と一 致 す る こ と か ら,前   後 半:0=qi∩ qi+qj≠Rと

の 素 イ デ ア ル に よ る 商 環 は(Ri)pi

半 が 出 る.

… ∩qsが0の す る と,qi+qjを

は な くな り,仮 RはR/qiの

の 素 イ デ ア ル は, 

定 に反 す る.し 直 和 で あ る.ま

準 素 イ デ ア ル に よ る 最 短 表 示 で あ る とす る.i≠j, 含 む 極 大 イ デ ア ルmを た が っ てChinese た,qiを

とれ ば,Rmが

remainder

含 む 素 イ デ ア ルpに

整域 で

theoremに

よ り,

つ い てRpが

整域

で あ る か ら,qiは

素 イ デ ア ル で あ り,R/qiは

と同 じ理 由 に よ り,直   さ て,こ

整 域 で あ る.ま

和 因 子 は 正 則 環 で あ る. 

Rが

R[X1,…,Xn]も

(証 明 終)

正 則 環 で あ れ ば,Rの

上 のn変

数 の 多 項 式 環R[X]=

正 則 環 で あ る.

  証 明.  nに

つ い て の 帰 納 法 を利 用 す れ ば,n=1の

あ る こ と が わ か る か ら,一 合 に 証 明 す れ ば,あ

変 数 と仮 定 す る.ま

と は 易 し い か ら,Rは

の 素 イ デ ア ル で あ る とす る.p=B∩Rと

とき に証 明 す れ ば充 分 で

た 前 定 理 に よ り,Rが

お く.R[X]Bが

の 元a1,…,amに

pm =0がRの

正 則 局 所環 で あ る よ る商 環 で あ る か ら,

局 所 環 で あ る と仮 定 し て よ い.htp=mと

り,pはm個

整 域 の場

整 域 で あ る と仮 定 す る.BがR[X]

こ と を 示 せ ば よ い.R[X]BはRp[X]のBRp[X]に

し よ う.Rの

よ っ て 生 成 され る.ま

正則 性 に よ

た,p=p0⊃p1⊃

…⊃

素 イ デ ア ル 鎖 な ら ば, 

R[X]の り,こ

半 の証 明

こ で 証 明 し よ う と い う主 定 理 は:

  定 理4.2.2. 

(R,p)が

た,前

は

素 イ デ ア ル 鎖 ゆ え,  の 環 はEuclid環

た は(ロ)極

であ

で あ る か ら,そ

大 イ デ ア ル で あ り,後

が っ て,Bは,(イ)の に は,m+1個

者 の 場 合 で も一 つ の 元 で 生 成 され る.し

場 合 に はm個

の 元 で 生 成 さ れ,htB≧m,(ロ)の Krullの

の 元 で 生 成 され, 

に つ い て の不 等 号 は等 号 で あ り,R[X]Bは

  4.3.幾

た 場合

標 高 定 理 に よ り,高

さ

正則 局 所 環 で あ る.  (証明 終)

何 学 的 意 義

  代 数 的 閉 体 Ω を と り,Ω Sn(Ω)の

は(イ)0ま

の 素 イ デ ア ル 

の 上 のn次

元 ア フ ィ ン 空 間Sn(Ω)を

点 は Ω の 元 に よ る 座 標(a1,…,am)で

示 し得 る.こ

考 え よ う.

の 意 味 で, 

と考 え て よ い.  Ω の 上 のn変

数 の多 項 式 環

Ω[X]=Ω[X1,…,Xn]の をaの

る.ま

た,Sn(Ω)の

∀p∈V,f(p)=0}を,VのK上

部 分 集 合Vと

部 分 集 合aに

零 点 集 合 とい う.V(a)で Ω の 部 分 体Kと

対 し 

示 す こ とにす

に 対 し,{f∈K[X]￨

の 零 化 イ デ ア ル とい う.IK(V)で

示 す こ

と に し よ う.K[X]の

元fは,P→f(P)と

と考 え られ る が,Vに

制 限 し て 考 え る こ と も で き る.す

がV上 V上

い う こ と で,Sn(Ω)上

で 同 じ函 数 ⇔f-g∈Ik(V).そ

る と,f,g∈K[X]

こ で,K[X]の

の 函 数 の 集 合 は 環K[X]/IK(V)と

な る.こ

の 性 質 が 座 標 環 に 反 映 す る と い う見 地 か ら,体

の 函数

元 全 体 で 得 られ る

の 環 をVの

座 標 環 と い う.V

の上 に有 限生 成 の環 は重 要 で あ

る.   こ の 立 場 で,点 し,イ

と イ デ ア ル の 対 応 を 考 え る と,点p=(p1,…,pn)∈Vに

デ ア ル 

で は,イ

れ が極 大 イ デ ア ル ⇔ い.§4.1で

述 べ たHilbert零

  aがK[x]の 座 標 がK上

す べ て のpiがK上

デ ア ルIk(P))が

点 定 理 は,次

の よ う に 言 い か え ら れ る: あ る と き,VOは,Vの

代 数 的 で あ る よ う な も の 全 体 とす る.こ

点 でそ の

の と き,

え ば 次 の こ と を 示 す:a,bがK[X]の

  これ ら の 事 実 が,系4.1.3に

対 応 す る.「 そ

代 数 的 」 とい う事 実 に 注 意 さ れ た

イ デ ア ル で,V=V(a)で

 こ の こ とは,例

対

イ デ ア ル で あ る と き,

「零 点 定 理 」 と い う言 葉 が つ け ら れ て い る 所 以

で あ る.   次 に 整 閉 性 に 関 す る 話 題 に 移 ろ う.以 ア ル で あ り,さ か は,し

ら に)a=Ik(V)と

下,V=V(a)(aはK[X]の

仮 定 し よ う.座

素イ デ

標 環K[X]/aが

ば し ば そ の 性 質 を 探 る 上 で 重 要 な こ と で あ る.そ

整 閉か どう

の函 数 論 的意 義 を大

ま か に述 べ よ う. が

K[X]/a上

す る と,Vの 々n個

に き ま り,い

な い こ と は,K[X]/aの

整 で あ っ た と す る と,  ど の 点 で も,多

わ ゆ る極 を も た な い.と 商 体 の 元 で,V上

い う わ け で,K[X]/aが

性 質 を 探 る の に,函

の よ う な現 象 は 大 き な 障 害 に な り得 る.と

§4.1で 証 明 した よ うに,K[X]/aの

整 閉で

の 函 数 と し て 極 は も た な い の に,

正 則 で は な い も の の 存 在 を 意 味 す る こ と に な る.Vの 利 用 す る こ と が 多 い の で,こ

価 函 数 と考 え れ ば,高

商 体 内 で の 整 閉 包A′

数 を

こ ろ が,

は 有 限 生 成 で あ る.

そ し て,A′

とK[X]/aと

の 素 イ デ ア ル の 対 応 は 第2章

い ろ な よ い 性 質 を も っ て い る の で,A′ と な る イ デ ア ルbを す れ ば よ い)を 利 用 して,Vの   最 後 に,正

ろ

を座 標 環 に も つ よ う な 集 合  と り,Sm(Ω)に

お け るV(b)をWと

性 質 を し ら べ る の に 役 立 て得 る の で あ る.

則 性 の 幾 何 学 的 意 義 に ふ れ よ う.

  前 と 同 様,V=V(a),aはK[X]の Vの

で 見 た よ う に,い

点P=(p1,…,pn)に

つ い て,aの

の 階 数rankJ(P)を

考 え る.す

こ とが 知 られ て い る.そ 点 で あ る とい う.こ   PがVの

素 イ デ ア ル でa=IK(V)と 生 成 元f1,…,faを

る と,一

の と き,正

と っ て.行

般 に,rankJ(P)≦htaが

して,rankJ(P)=htaで

単純 点 ⇔

仮 定 し よ う. 列

成 り立 つ

あ る と き,PはVの

単純

則 性 との 関 連 と し て,

Ω[X]/α Ω[X]のI(P)/α

Ω[X]に

よ る 商 環 

が正 則 局所 環. とい うこ と が成 立 す る.(こ

こ で は 証 明 し な い.)

問   1.定

理4.0.2に

お い て,Kが

題4.0.

無 限 体 で あ る と き は,(3)の

代 りに,次

の(3′)に

し

て も よ い こ と を示 せ.   (3′)Yr+iは,x1,…,Xnの

一 次 結 合(i=1,…,n−r).

問   1.環Rが p⊂qで

体Kの

上 に 有 限 個 の 元 で 生 成 さ れ た とす る.p,qがRの

あ る と き,pとqと

で き な い も の(す

題4.1.

を 結 ぶ 素 イ デ ア ル の 鎖p=ｐ0⊂p1⊂

な わ ち,各pi-1とpiと

… ⊂prで,こ

の 間 に は 素 イ デ ア ル が な い)を

素 イ デ ア ル で, れ 以 上 細分 とれ ば,そ

の

長 さrは

次 の式 で与 え られ る.

問

 1.  環Rの

上 の一 変数 多項 式 環R[x]が

題4.2.

正 則 環 で あれ ば,Rも

正 則 環 であ る.

第5章

  5.0.イ

 局所環の完備化

デ ア ル に よ る 位 相

  一 般 に,aが

環Rの

2,…}を0の

イ デ ア ル で,MがR加

基 本 近 傍 系 と して 位 相 を入 れ る こ と が で き る.す UがMの

開集 合 ⇔

 問.  こ の と き,Mに

進 位 相 空 間Mの

の 位 相 をa進

お け る加 法 は 連 続(す

っ て 与 え られ る,M×Mか

な わ ち,

∀x∈U,∃n,x+anM〓U

に よ っ て 開 集 合 を定 義 す る の で あ る.こ

らMへ

位 相 と い う. によ

な わ ち, 

の 写 像 が 連 続,た

だ し,M×Mに

積 空 間 の 位 相 を考 え る)で あ る こ と を示 せ.ま

進 位 相 を考 えれ ば,Rの

元 とMの

に よ っ て 与 え られ るR×Mか

は 随 分 大 き い 差 が あ り,い

た,Rに

はa もa

元 との乗 法 も連 続(す なわ ち,  らMへ

  一 般 の 位 相 空 間 の 場 合 に は,T0空

か し,イ

群 で あ る と き,{anM￨n=1,

の 写 像 が 連 続)で あ る こ と を示 せ.

間 と い う条 件 と,距

わ ゆ るHausdorff空

離 空 間 と い う条 件 に

間 は そ の 中 間 に 位 置 す る.し

デ ア ル に よ っ て 上 記 の よ う に位 相 を 導 入 した と き に は,次

の こ とが 成

立 す る:   定 理5.0.1. 

R,a,Mは

上 と 同 様 と し,Mにa進

位 相 を考 え た とき,次

の 二 条 件 は 互 に 同 値 で あ る.  (イ)  MはT0空

間 で あ る[す

な わ ち,x,y∈M,x≠yな

らば,∃n, 

また は   (ロ)

 この 条件 がみ た され る とき は,M×Mの (ⅱ)x≠yな とな る よ う に と り,r(x,y)=2-nと

ら ば,自

上 の実 数 値 函数rを,(ⅰ)  然 数nを, 

定 義 す れ ば,Mの

位 相 はrを

距離函数 と

す る距 離 空 間 の位相 と一致 す る. に注 意 す れ ば,(イ)

 証 明.  ⇔(ロ)を

容 易 に 得 る.(ロ)の

条 件 か ら,rが

定 義 され て い る こ と は 確 か で

あ り,三 角 不 等 式r(x,y)+r(y,z)≧r(x,z)も

容 易 に わ か る.rを

す る 距 離 空 間 と し て の 位 相 で は,「UがMの がUに 定 義 に よ りy+an+1Mで

こ ろ で,上

(証 明 終)

え ば,普

通 の 直 線,平

間 は そ の よ うな 例 で あ る .し か し な が ら,a進

異 な っ た 現 象 が 見 られ る.例   定 理5.0.2. 

え ば,部

R,a,Mは

面,も

っと

位 相 で は大 分

分 加 群 に つ い て は 次 の こ とが い え る.

上 と同 様 と し,Mにa進

位 相 を入 れ て 考 え る.

部 分 加 群 で あ る と き に は, Nが,Mの

開 集 合 ⇔∃n,N〓anM.

  こ の 条 件 が み た され る と き,Nは   証 明．   Nが

閉 集 合 で も あ る.

開 集 合 な らば,0∈Nゆ

anM〓Nと

す る と, 

開 集 合.次

に,Nが

開 集 合 で あ る.ゆ

え,∃n， 

逆 に,

(部分 加 群 だ か ら).ゆ

開 集 合 で あ る と き,Nを

  系5.0.3.  にa進

も開集 合 で あ り,そ の補集 合Nは

え に, 

R,a,Mは

合 が  N*)は, 

上 と同 様 と し,NはMの 閉 包N*(す

部 分 加 群 で あ る と き,M な わ ち,Nを

含 む最 小 の閉 集

と一 致 す る.

  証 明.  定 理5.0.2に

よ りN+anMは を 得 る.逆

集 合 ゆ え, 

閉 集 合.ゆ に, 

対 し て,∃bn∈N,∃cn∈anM,x=bn+cn.こ

∴x∈N*. 

閉集 合 (証 明 終)

位 相 を考 え た と き のNの

anM)∩Nを

え にNは

法 とす る各 類x+NはMの

で あ る. 

nに

ら ば∃n,  のWは,rの

集 合 で 同 時 に 閉 集 合 で あ る よ うな 部 分 集 合 は,

の空 間 自身 に 限 られ て い る.例

一 般 にEuclid空

Nが

開 集 合 ⇔x∈Uな

含 ま れ る 」.と

あ る か ら,位 相 の 一 致 が わ か る. 

  多 くの 位 相 空 間 の 例 で は,開 空 集 合 と,そ

距離 函数 と

意 味 し,xの

ど ん な 近 傍 もNと

も閉

え に 

とす る と,各 の こ と は,bn=x-cn∈(x+ 共 通 元 を も つ こ と を 示 す.

(証明終)

  次 の 定 理 は,位

相 群 の 一 般 論 で よ く知 られ て い る も の の 特 別 な 場 合 で あ る.

  定 理5.0.4. 

R,a,M,Nは

え た と き,そ のa進

れ がT0空

上 と 同 様 とす る.M=M/Nにa進

間 で あ る(定 理5.0.1参

位 相 に よ り,NがMの

 証 明.  定 理5.0.1に

照)た

位 相 を考

め の 必 要 充 分 条 件 はM

閉 集 合 で あ る こ とで あ る.

よ り,MがT0空

すな

間 ⇔ 

(証 明終)

わ ち,    こ の 節 の 残 余 の 部 分 に お い て は,RがNoether環

でMが

有 限生 成 の 場 合

の 結 果 を 述 べ よ う.   定 理5.0.5.  Mは

R,a,M,Nは

上 と同 様 と し,さ

有 限 生 成 で あ る とす る.す

る と,Nのa進

ら にRはNoether環

で，

位 相 は,Mにa進

位相 を

与 え た も の の 部 分 空 間 と し て の 位 相 と 一 致 す る.   証 明. 

anN〓anM∩Nは

明 白 ．Artin-Reesの

補 題 に よ り, 

(証明終)   定 理5.0.6. 

RがNoether環

れ る も の とす る.R加

群Mが

進 位 相 に よ っ て は,Nは

 証 明.M/Nは

基mに

有 限 生 成 で,NがMの

必 ずMの

含 ま

部 分 加 群 な ら ば,a

閉 集 合 で あ る ． し た が っ て,特

有 限 生 成 で あ るか ら,Krullの

に,

共 通 部 分 定 理(特 に後 半)に

ゆ え に最 後 の等 式 を得,し た が っ て,Nは

よ り, 

5.0.3参

で,aがRのJacobson根

閉 集合(系

照). 

(証 明終)

  上 の結 果 を,特 に半 局 所 環 の場 合 に適 用 して,次 の基 礎 的 結 果 を得 る.   定 理5.0.7. 

(R,p1,…,pr),(R′,P′1,…,P′s)が

とす る.そ

して,R′

あ る も の と仮 定 す る(問 題1.1.4参 然 にR加

はR多

元 環 で あ りR加

照).MがR′

群 と考 え る ． こ の と き,Mに

と も に 半 局 所 環,

群 と して有 限生 成 で

加 群 で あ る と き,そ

お け るm′進

位 相 とm進

れ を自

位 相 とは一

致 す る.   証 明.  R′/mR′

はR/m加

直 和 だ か ら,R′/mR′

群 と し て 有 限 生 成 で,R/mはr個

はArtin環

で あ る ． した が っ て,mR′

の 体R/piの を含 むR′

の素

イ デ ア ル は 極 大 で あ る(定 理3.2.4).逆 はRの

準 同 型 像 で,R′

し た が っ てR′ (定理2.4.6)で

の 部 分 環(単 位 元 共 有)で あ り,R′

はR上

整 で あ る.し

あ り,し

の単 位 元)}

はR上

た が っ て,p′i∩RはRの

た が っ てp′i〓mR′.ゆ

有 限 加 群.

極 大 イ デ アル

え に,〓m′

と な り,∃s と な り,m′

そ こ で, 

(自然 数),  m進

(1はR′

に, 

位 相 の 一 致 が わ か る. 

進位相 と (証 明 終)

  こ の 節 の 最 後 に あ た っ て,局

所 環 や,も

っ と一 般 に,半

局 所 環 の と き の 自然

位 相 の 定 義 を し て お こ う.   (R,p1,…,ps)が り,m進

半 局 所 環 で あ る と き,そ

位 相 を考 え る.こ

のJacobson根

れ は 特 に 断 ら な い 限 り,Rの

基 

をと

上 の有 限生成 加 群 に

常 に 適 用 し,そ

れ に 特 に 言 及 す る と き に は,自

然 位 相 と よぶ.

  す な わ ち,例

え ば,Mが

上 の 有 限生 成 の加 群 で あ る とい

う と き に は,Mにm進 る.勿

論,必

局 所 環(R,m)の

位 相 とい う もの は 一 応 必 ず 考 えて お く とい うの で あ

要 に 応 じ て,m進

位 相 以 外 の 位 相 を 考 え る こ と も あ る が,そ

の場

合 に は そ の 旨 を 明 示 す る の で あ る.

  5.1.べ   Rが

き 級 数 環

環 で,x1,…, 

xrが

不 定 元 で あ る と す る(と い う よ り は,単

え る べ き か も 知 れ な い).Fdはx1,…,xrに 群 と し よ う(d=0,1,2,…).形 合Fに,次

の よ う な,自

式 的 な 無 限 和 

つ い て のR係 者 は,も

別 す る 必 要 の あ る と き に は,後 て 表 わ す.し につ い て のR係

斉 次 式全 体 の なす 加

(た だ しai∈Fi)全

体 の集

然 な 算 法 を導 入 して 環 に す る こ とが で き る ：

  こ のFを,x1,…,xrに べ き 級 数 環 と い う.(前

つ い てd次

に 記 号 と考

ば し ば,R[[x]]に

数 の べ き 級 数 環,ま

た は,形

っ と広 い 意 味 に 使 用 さ れ る の で,そ 者 を使 う.§8.1参

照.)R[[x1,…,xr]]に

よ っ て 略 記 され る.こ

式的

の 場 合 と区 よっ

の 環 の 元 を,x1,…,xr

数 の(形 式 的)べ き 級 数 と い う． ま た,Σai(ai∈Fi)に

つ い て,

an≠0,か

つ,j