Высшая математика: Методические указания для студентов 1-го курса заочного отделения геологического факультета. Часть 2

М и ни сте р ство о б щ е го и пр о ф е сси о нально го о б р азо вани я Ро сси й ско й Ф е де р аци и Во р о не жски й го судар стве нный уни ве р си те т М ате м ати ч е ск и й ф ак у льте т К а ф едр а у р а вн ен и й в ча ст н ы х пр о и зво дн ы х и т ео р и и вер о ят н о ст ей

М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К АЗАНИ Я по высш е й мате мати ке для студе нто в 1 кур са зао чно го о тде ле ни я ге о ло ги че ско го ф акульте та Ч асть II

С о стави те ли : Г.Б.С авче нко , С .А.Ткаче ва

Во р о не ж – 2000

2 ВВЕ Д Е НИ Е Н асто ящ и е ме то ди че ски е указани я пр е дназначе ны для студе нто взао чни ко в ге о ло ги че ско го ф акульте та и являются пр о до лже ни е м «М е то ди че ски х указани й по высш е й мате мати ке . Ч асть I». Указани я со де р жи т не о б хо ди мые те о р е ти че ски е све де ни я и по др о б но е р е ш е ни е ти пи чных пр и ме р о в по р азде лу «М ате мати че ски й анали з. И нте гр ально е и счи сле ни е ф ункци й о дно й пе р е ме нно й ». 1. Не о пре де ле нны й и нте грал П .1. П е р во о б р азная и не о пр е де ле нный и нте гр ал f (x) называе тся такая П е р во о б р азно й ф ункц и е й для ф ункци и ф ункци я F (x) , пр о и зво дная ко то р о й р авна данно й ф ункци и F / ( x) = f ( x) . О б о значе ни е

∫

f ( x) dx = F ( x ) + C ,

где F / ( x) = f ( x) . Ф ункци я f (x) называе тся по дынте гр ально й ф ункц и е й , а выр аже ни е f ( x) dx - по дынте гр альным выр аже ни е м. П .2. С во й ства не о пр е де ле нно го и нте гр ала 1о . П р о и зво дная не о пр е де ле нно го и нте гр ала р авна по дынте гр ально й ф ункци и ; ди ф ф е р е нци ал о т не о пр е де ле нно го и нте гр ала р аве н по дынте гр ально му выр аже ни ю, т.е .

∫

/

∫

   f ( x)dx  = f ( x); d f ( x)dx = f ( x)dx .   2о . Н е о пр е де ле нный и нте гр ал о т ди ф ф е р е нци ала не ко то р о й ф ункци и р аве н сумме это й ф ункци и и пр о и зво льно й по сто янно й , т.е .

∫

dF ( x) = F ( x) + C .

3о . П о сто янный мно жи те ль мо жно выне сти и з по д знака и нте гр ала, т.е . е сли k = const ≠ 0 , то

∫

kf ( x )dx = k

∫

f ( x) dx .

4о . Н е о пр е де ле нный и нте гр ал о талге б р аи че ско й суммы двухф ункци й р аве н алге б р аи че ско й сумме и нте гр ало в о тэти хф ункци й в о тде льно сти

3 П .3. Таб ли ца о сно вныхи нте гр ало в x n +1 + C , n ≠ −1 ; n +1

∫ dx 2. ∫ x = ln x + C ; ( ); 3. ∫ dx 4. ∫ 1 − x = arcsin x + C = − arccos x + C ; (a > 0) ; 5. ( ); ∫ 6. ∫ e dx = e + C ; ; 7. ∫ 8. ∫ cos xdx = sin x + C ; ; 9. ∫ dx 10. ∫ sin x = −ctgx + C ; ( ); 11. ∫ dx 12. ∫ x + k = ln x + x + k + C ; ( ); 13. ∫ dx x x 14. = arcsin + C = − arccos + C , (a > 0 ) . ∫ a −x a a 1.

x n dx =

dx

1+ x

= arctgx + C = −arcctgx + C1;

2

1

2

ax a dx = + C, ln a x

x

a≠0

0 < a ≠1

x

sin xdx = − cos x + C

dx

cos 2 x

= tgx + C

2

dx

x2 − a2

=

1 x−a ln + C, 2a x + a

a≠0

2

2

dx

2

x +a 2

2

=

x x 1 1 arctg + C = − arcctg + C1, a a a a

2

a≠0

1

П .4. Н е по ср е дстве нно е и нте гр и р о вани е Вычи сле ни е и нте гр ало в с по мо щ ью не по ср е дстве нно го и спо льзо вани я таб ли ц ы пр о сте й ш и х и нте гр ало в и о сно вных сво й ств не о пр е де ле нных и нте гр ало в называе тся не по ср е дстве нным и нте гр и р о вани е м.

4 П р и ме р ы 1.

∫

x 4 − 2 x 3 + 3x 2 x

dx =

2

( x 2 − 2 x + 3)dx = x 2 dx − 2 xdx + ∫ ∫ ∫

∫

x3 + 3 dx = − x 2 + 3x + C 3

2.

∫

2

∫

 1   = 1 − x2  

 2 1  dx = 1 − + x2 x4  

∫

∫

dx − 2 x − 2 dx +

∫

x − 4 dx =

1 2 1 x + 2 x −1 − x − 3 + C = x + − +C x 3x 3 3

3.

∫

4.

∫ sin

ctg 2 xdx =

∫

 1  − 1dx =  2  sin x 

dx 2

x cos 2 x

=

∫ sin

∫ sin x − ∫ dx = −ctgx − x + C dx 2

cos 2 x + sin 2 x 2

x + cos 2 x

=

∫ sin x ∫ cos x = dx

2

+

dx

2

− ctgx + tgx + C 5.

∫

x 1 cos 2 dx = 2 2

=

∫

(1 + cos x )dx = 1

2

∫

dx +

∫

1 cos xdx = 2

1 1 x + sin x + C 2 2

П .5. И нте гр и р о вани е путе м по две де ни я по д знак ди ф ф е р е нци ала Е сли

∫

f ( x) dx = F ( x) + C и

∫

u = ϕ (x) , то

f (u ) du = F (u ) + C .

Н е о б хо ди мо и ме ть в ви ду пр о сте й ш и е пр е о б р азо вани я ди ф ф е р е нци ала 1. dx = d ( x + b), b = const

5 1 d (ax + b ), a = const ≠ 0 a 1 3. xdx = d x 2 + b 2 4. sin xdx = −d (cos x) 5. cos xdx = d (sin x) 2. dx =

(

)

Во б щ е м случае ϕ / ( x) dx = dϕ ( x) . П р и ме р ы Н ай ти и нте гр алы 1.

∫

(2 x + 3)2 dx

1 Н а о сно вани и пр е о б р азо вани я 2 ди ф ф е р е нци ала и ме е м dx = d (2 x + 3) 2 2 (2 x + 3)2 dx = 1 (2 x + 3)2 d (2 x + 3) = 1 (2 x + 3) + C = 2 2 3 1 = (2 x + 3)2 + C 6

∫

2.

∫

∫

x + 4dx =

∫

(x + 4)

1 2

d (x + 4) =

3 2

2 (x + 4) + C = 3

2 = ( x + 4) x + 4 + C 3

3.

∫

4.

∫

1 = x2 + 1 2

5.

∫

tgxdx =

6.

∫

x x  x x cos dx = 4 cos d   = 4 sin + C 4 4 4 4

dx = ax + b

∫

1 d ( ax + b) 1 a = ax + b a

xdx

∫

∫

∫

d (ax + b) 1 = ln ax + b + C ax + b 2

(

) = 1 d (x2 + 2) = 1 ln(x2 + 2)+ C 2 ∫ x2 + 2 2 x2 + 2

d x2 + 2

∫

sin x d (cos x) dx = − = − ln cos x + C cos x cos x

∫

6 7.

∫ 1 + 4 x ∫ 1 + (2 x ) dx

=

2

1

2

1 2

dx =

∫

d (2 x)

1 = arctg 2 x + C 1 + ( 2 x) 2 2

П .6. М е то д по дстано вки И нте гр и р о вани е путе м вве де ни я по дстано вки ) о сно вано на ф о р муле

∫

f ( x) dx =

∫

но во й

1.

∫ xe

x2

(ме то д

f [ϕ (t )]ϕ / (t ) dt ,

где x = ϕ (t ) - ди ф ф е р е нц и р уе мая ф ункц и я пе р е ме нно й П р и ме р ы.

пе р е ме нно й

t.

Н ай ти и нте гр ал dx

dt , по дставляя по луче нные 2 значе ни я в по дынте гр ально е выр аже ни е , по лучи м 2 dt 1 1 1 2 xe x dx = et = et dt = et + C = e x + C . 2 2 2 2 Э то тпр и ме р мо жно р е ш и ть и по -др уго му (см.п.5) 2 2 1 2 1 1 2 xe x dx = e x d x2 = e x d x2 = e x + C 2 2 2 П о ло жи м x 2 = t , то гда 2 xdx = dt ,

2.

∫

∫

∫

∫

∫

∫

( )

xdx =

∫ ()

x x − 2dx

Ч то б ы и зб ави ться о тко р ня, по ло жи м x−2 =t Во зво дя в квадр атэто р аве нство , най де м x : x = t 2 + 2, dx = 2tdt . П о дставляя по луче нные р аве нства в по дынте гр ально е выр аже ни е , по лучи м

∫

x x − 2dx =

( t 2 + 2)⋅ t ⋅ 2tdt = (2t 4 + 4t 2 )dt = ∫ ∫

∫

∫

∫

cos x dx 1 + 4 sin x

5

3

2 2 t5 t3 2 4 = 2 t 4 dt + 4 t 2 dt = 2 + 4 + C = ( x − 2 ) + ( x − 2 ) + C 5 3 5 3

3.

7 П о ло жи м 1 + 4 sin x = t , о ткуда 1 + 4 sin x = t 2 , 4 cos xdx = 2tdt , 1 cos xdx = tdt . 2 С ле до вате льно , 1 tdt cos x 1 1 1 2 dx = = dt = t + C = 1 + 4 sin x + C . t 2 2 2 1 + 4 sin x

∫

4.

∫

∫

ln 7 x dx x

П о ло жи м ln x = t ,

∫ 5.

∫

∫

1 dx = dt , сле до вате льно , x

ln 7 x dx = x

∫

t8 ln 8 x t dt = + C = +C. 8 8 7

dx sin x cos x

Разде ли м чи сли те ль и знаме нате ль на cos 2 x , по лучи м 1 1 2 2 1 = cos x = cos x . tgx sin x cos x sin x cos x cos 2 x dx = dt . П о ло жи м tgx = t , то гда cos 2 x Таки м о б р азо м

dx

∫ ∫

dx = sin x cos x

∫

cos 2 x = tgx

dx sin x x П о лагая = t , по лучае м 2

6.

∫

dt = ln t + C = ln tgx + C . t

8

∫

dx = sin x

∫

dx = x x 2 sin cos 2 2

∫

 x d  2 = x x sin cos 2 2

∫

dt x = ln tgt + C = ln tg + C . sin t cos t 2

Тр и го но ме тр и че ски е по дстано вки a 2 − x 2 , то по лагают x = a sin t ,

1) Если и нте гр ал со де р жи тр ади кал о тсюда

a 2 − x 2 = a cos t . x 2 − a 2 , то по лагают x =

2) Если и нте гр ал со де р жи тр ади кал

a , cos t

о тсюда x 2 − a 2 = atgt . x 2 + a 2 , то по лагают x = atgt ,

3) Е сли и нте гр ал со де р жи тр ади кал о тсюда x2 + a2 =

∫

П р и ме р . Н ай ти

a . cos t

x2 + 1 dx . x2

П о ло жи м x = tgx , сле до вате льно , dx =

∫

cos 2 t

= ∫ tg t cos t sin t cos t dt sin t + cos t dt cos t = = dt = + ∫ sin t cos t ∫ sin t cos t ∫ cos t ∫ sin t dt = 1 d (sin t ) 1 1 = ln tgt + + = ln tgt + − +C = cos t ∫ sin t cos t sin x x2 + 1 dx = 2 x

∫

dt

tg 2t + 1 2

2

2

⋅

dt

2

=

cos t cos 2 t 2

⋅

dt

2

2

2

2

2

1 + tg 2t x2 + 1 2 = ln tgt + 1 + tg t − + C = ln x + x + 1 − +C tgt x 2

П .7. И нте гр и р о вани е по частям Е сли u = ϕ (x) и v = ψ (x) - ди ф ф е р е нци р уе мые ф ункци и , то

.

9

∫

udv = uv −

∫

vdu .

( 7.1.)

Э та ф о р мула пр и ме няе тся в случае , ко гда по дынте гр альная ф ункц и я пр е дставляе тпр о и зве де ни е алге б р аи че ско й и тр ансце нде нтно й ф ункци и . В каче стве u о б ычно выб и р ае тся ф ункци я, ко то р ая упр о щ ае тся ди ф ф е р е нц и р о вани е м, в каче стве dv - о ставш аяся часть по дынте гр ально го выр аже ни я, со де р жащ ая dx , и з ко то р о й мо жно о пр е де ли ть v путе м и нте гр и р о вани я. П р и ме р ы. 1. Н ай ти

∫

x ln xdx .

dx П о лагая u = ln x, dv = xdx , и ме е м du = , v = x О тсюда

∫ 2. Н ай ти

x2 x ln xdx = ln x − 2

∫

∫

∫

x2 xdx = . 2

x 2 dx x 2 x2 ⋅ = ln x − +C . 2 x 2 4

x sin xdx

П о лагае м x = u, sin dx = dv , о тсюда, du = dx, v = − cos x , по лучи м

∫

x sin xdx = x( − cos x) −

3. Н ай ти И ме е м

∫

∫

∫

( − cos x) dx = − x cos x + sin x + C .

e x sin xdx

∫ ∫ . = −e cos x + e d (sin x) = −e cos x + e sin x − e sin xdx ∫ ∫ e x sin xdx = x

e x d ( − cos x) = −e x cos x + x

x

x

С ле до вате льно ,

О ткуда

∫

e x sin xdx = e x sin x − e x cos x −

∫

e x cos xdx = x

e x sin xdx .

10

∫ ∫

2 e x sin xdx = e x (sin x − cos x) + C ex e x sin xdx = (sin x − cos x ) + C 2

.

П .8. П р о сте й ш и е и нте гр алы, со де р жащ и е квадр атный тр е хчле н 1о . И нте гр ал ви да

∫ px + qx + r dx

2

путе м до по лне ни я квадр атно го тр е хчле на до по лно го квадр ата по ф о р муле

[

]

px 2 + qx + r = p ( x + k )2 ± a 2 сво ди тся к о дно му и з двухи нте гр ало в u du 1 = arctg + C , ( 8.1. ) 2 2 a a u +a du 1 u−a = +C ln ( 8.2. ) u 2 − a 2 2a u + a где u = x + k .

∫ ∫

2о . И нте гр ал

∫ px

mx + n 2

dx

+ qx + r сво ди тся к и нте гр алу ви да (8.1) и ли (8.2) и и нте гр алу

∫

udu

1 = u2 ± a2 2

∫ 1 2

∫

П р и ме р ы. 1.

∫ 2x

dx 2

− 5x + 7

=

(

d u2 ± a2 u2 ± a2

) = 1 ln u 2 ± a 2 + C .

dx = 5 25   7 25   2 x − 2⋅ x +  +  −  4 16   2 16  

5  5 d x −  x− 1 1 1 4  4 +C = = ⋅ arctg = 2 2  2 31 31 5 31 x−  + 4 4 4  16  2 4x − 5 = arctg +C 31 31

∫

( 8.3. )

2

.

11 2.

∫

6x + 5

dx

2

x + 4x + 9 Выде ли м в знаме нате ле по лный квадр ат x 2 + 4 x + 9 = ( x + 2 )2 + 5 . С де лае м по дстано вку x + 2 = t , о ткуда x = t − 2, dx = dt , по это му

∫ x + 4 x + 9 ∫ (x + 2 ) + 5 ∫ t + 5 ∫ t 2tdt dt 7 t =3 −7 = 3 ln (t + 5)− arctg +C ∫t +5 ∫t +5 5 5 6x + 5

6x + 5

=

2

dx =

2

6(t − 2) + 5 2

dt =

6t − 7 2

+5

dt =

2

2

2

Во звр ащ аясь к пе р е ме нно й x , по лучае м 7 x+2 6x + 5 dx = 3 ln x 2 + 4 x + 9 − arctg +C. 2 5 5 x + 4x + 9

(

∫

3о . И нте гр ал

∫

)

dx px 2 + qx + r

сво ди тся к о дно му и з и нте гр ало в: du u = arcsin + C , a a2 − u2 du = ln u + u 2 + a + C . u2 + a 4о . И нте гр ал ви да

∫ ∫

∫

( 8.4. ) ( 8.5. )

px 2 + qx + r dx

сво ди тся к о дно му и з двухи нте гр ало в u 2 k u 2 + k du = u + k + ln u + u 2 + k + C , 2 2

∫ ∫

2 u 2 u 2 a a − u du = a −u + arcsin + C . 2 2 a 2

2

5о . И нте гр ал ви да

∫

mx + n

px 2 + qx + r сво ди тся к р азо б р анным выш е и нте гр алам. П р и ме р ы.

( 8.6. ) ( 8.7. )

.

12 3.

4.

∫

∫

dx 2 + 3x − 2 x 2

x+3 2

x + 2x + 2

1 2

∫

dx =

1 2

=

dx 25  3 −x−  16  4

∫

2

2x + 2 2

1 4x − 3 arcsin +C 5 2

=

x + 2x + 2

dx + 2

∫

dx

(x + 1)

2

+1

=

= x 2 + 2 x + 2 + 2 ln x + 1 + x 2 + 2 x + 2  + C   5.

∫

1 − 2 x − x 2 dx =

+ arcsin

∫

2 − (1 + x )2 d (1 + x ) =

1+ x +C 2

6о . И нте гр алы ви да

∫ (mx + n)

5о . Н ай ти

dx

px 2 + qx + r 1 = t пр и во дятся к и нте гр алам ви да mx + n

с по мо щ ью о б р атно й по дстано вки

П р и ме р 6.

∫ (x + 1) x + 1 dx

2

1 dt П о лагае м x + 1 = , dx = − t t2

∫(

dx x + 1) x 2 + 1

=−

=−

1+ x 1 − 2x − x2 + 2

1 2

∫

=

∫

−

1  1 t −  + 4  2

(

dt t2 2

1 1   − 1 + 1 t t 

dt 2

И ме е м

=−

)

=−

∫

dt 1 − 2t + 2t 2

=

. 1 1 1 ln t − + t 2 − t + + C = 2 2 2

1 1 − x + 2 x2 + 1 ln +C x +1 2

13 П .9. И нте гр и р о вани е тр и го но ме тр и че ски хф ункци й 1о . И нте гр алы ви да

∫

sin ax cos bxdx,

∫

sin ax sin bxdx,

∫

cos ax cos bxdx

нахо дятся с по мо щ ью тр и го но ме тр и че ски хф ункц и й 1 sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] 2 1 cos a cos b = [cos(a − b) + cos(a + b)]. 2 1 sin a cos b = [sin( a − b) + sin(a + b)] 2 2о . И нте гр алы ви да I m, n =

∫

sin m x cos n xdx ,

где m и n - че тные чи сла нахо дятся с по мо щ ью ф о р мул по ни же ни я сте пе ни 1 1 1 sin 2 x = (1 − cos 2 x ), cos 2 x = (1 + cos 2 x), sin x cos x = sin 2 x . 2 2 2 Е сли хо тя б ы о дно и з чи се л m и ли n - не че тно е , то по лагают(пусть m = 2k + 1)

∫

∫

I m, n = sin 2k +1 x cos n xdx = − sin 2k x cos n d (cos x) =

∫(

2

)

1 2

k

.

= − 1 − cos x cos xd (cos x ) n

П р и ме р ы. 1.

∫

sin 9 x sin xdx =

∫

2.

∫

cos 2 3 x sin 4 3 xdx =

[cos 8 x − cos10 x]dx =

∫

1 1 sin 8 x − sin 10 x + C . 16 20

(cos 3x sin 3x )2 sin 2 3xdx =

14

( sin 2 6 x − sin 2 6 x cos 6 x )dx = ∫

∫ 1  1 − cos12 x  = − sin 6 x cos 6 x dx =  8 ∫ 2  sin 2 6 x 1 − cos 6 x 1 dx = ⋅ 4 2 8

=

2

.

1  x sin 12 x 1  =  − − sin 3 6 x  + C 8 2 24 18  3.

∫

(

∫

)

sin10 x cos 3 xdx = sin10 x 1 − sin 2 x d (sin x) =

. sin11 x sin13 x = − +C 11 13 3о . Е сли че тно сти , то

m = − µ , n = −ν

I m, n =

∫ sin

dx µ

ν

=

x cos x

- ц е лые о тр и цате льные чи сла о ди нако во й

∫ sin

1 µ

ν −2

x cos

ν −2 µ 2 1  2 d (tgx) = 1 + tg 2 x 2 

(

)

d (tgx) = x

(

)

µ +ν −1 2

.

 1 + tg x 1 + d (tgx) µ  tg x tg x   Вчастно сти , к это му случаю сво дятся и нте гр алы π x  d  d x +  dx 1 dx 2 2  . = µ −1 и = ν π  µ x µ x ν sin µ x 2 cos x sin cos sin  x +  2 µ 2  П р и ме р ы. =

∫

∫

∫

∫

4.

∫ cos x ∫ cos x

5.

∫ sin x 2 ∫

dx

4

dx

3

1

=

=

2

1

3

∫

d (tgx ) =

2

∫

1 ( 1 + tg 2 x )d (tgx ) = tgx + tg 3 x + C . ∫ 3

∫

dx 1 x dx = tg − 3 ⋅ = 2 3x 3x 8 6x sin cos cos 2 2 2

15 2

 2 x 1 + tg  2 dx 2  ⋅ = x x 8 cos 2 tg 3 2 2

   −3 x 1 2 x  x  = + + tg  d  tg  = . tg 8 2 tg x 2  2     2  2 x tg 1 1 x 2 +C = − + 2 ln tg +  4 2 2 2x  2tg   2

∫

4о . И нте гр алы ви да

∫

∫

R (sin x cos x )dx ,

где R - р аци о нальная ф ункци я о т sin x и cos x , пр и во дятся к и нте гр алам о т р ац и о нальных ф ункци й но во й пе р е ме нно й с по мо щ ью по дстано вки x tg = t , пр и это м 2 2t 1− t2 2dt . sin x = , cos x = , dx = 2 2 1+ t 1+ t 1+ t2 Е сли R (− sin x, cos x) = R (sin x, cos x) , то це ле со о б р азно пр и ме ни ть по дстано вку tgx = t , пр и это м sin x =

t 1+ t

2

, cos x =

1 1+ t

2

, x = arctgt , dx =

dt 1+ t

2

.

П р и ме р ы.

∫

dx 3 + sin x + cos x З де сь по дынте гр альная ф ункци я являе тся р аци о нально й ф ункц и е й о т x sin x и cos x . П р и ме няе м по дстано вку tg = t 2 6.

16

∫ =

dx = 3 + sin x + cos x

∫t

dt 2

+t +2

=

∫3+

∫  t + 1 

2t 1+ t2

dt 2

+

=

7 + 2 4



=

1

∫ 5cos x + 9sin

2t 1+ t

2

=

1+ t2

∫ 2(t

1+ t2 2

)

⋅

∫  t + 1  2tg

2

2

2dt

+ t + 2 1+ t

 1 dt +   2



2 2t + 1 2 arctg arctg +C = 7 7 7 7.

1− t

2

⋅

=

2

1 2 2 +C =. arctg = 2 7 7  7  +  2   2  t+

x +1 2 +C 7

dx

2

2

x П о дынте гр альная ф ункци я не ме няе тся о тзаме ны sin x на ( − sin x) , cos x на ( − cos x) , то е сть R (− sin x, cos x) ≡ R (sin x, cos x) . П р и ме ни м по дстано вку

∫ 5cos x + 9sin x ∫ 5 + 9t dx

2

2

=

1+ t2 2

⋅

dt 1+ t

2

=

∫ 5 + 9t ∫ ( 5 ) + (3t ) dt

2

=

1 3

d (3t ) 2

2

= .

1 1 3t 1 3tgx = ⋅ arctg +C = arctg +C 3 5 5 3 5 3 Л и те р атур а 1. Ш и паче в В.С . Высш ая мате мати ка. –М .: Высш ая ш ко ла, 1996. – 479с. 2. Ш и паче в В.С . С б о р ни к задач по высш е й мате мати ке . –М .: Высш ая ш ко ла, 1993. –192с. С о стави те ли : С авче нко Гали на Бо р и со вна Ткаче ва С ве тлана Анато лье вна Ре дакто р : Буни на Т.Д .