Моделирование и прогнозирование состояния окружающей среды: Методические указания к лабораторному практикуму. Часть 1. Выпуск 2 (Maple)

cop yv .2

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к лабораторному практикуму по дисциплине «МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СОСТОЯНИЯ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ» для специальности 6.070800 «Экология и охрана окружающей среды»

Fre e

Часть 1. Выпуск 2 (Maple)

Рассмотрено на заседании кафедры „Прикладная экология и охрана окружающей среды“, протокол № 1 от 03.09.2009 Ут в е р ж д е н о на заседании учебно издательского совета ДонНТУ, протокол № 3 от 29.10.2009

Донецк - ДонНТУ - 2009

cop yv .2

УДК 502.5:004.428:519.6 (076.5) Методические указания к лабораторному практикуму по дисциплине «Моделирование и прогнозирование состояния окружающей среды», (для студентов специальности 6.070800 — “экология и охрана окружающей среды” дневной и заочной форм обучения). Часть 1. Выпуск 2 (Maple) / Составил: А.Н. Гороховский. – Донецк: ДонНТУ, 2009. -130 с.

Fre e

В объёме одного семестра содержатся сведения для успешного выполнения лабораторных работ по дисциплине «Моделирование и прогнозирование состояния окружающей среды», которые посвящены воспроизведению и исследованию некоторых классических математических моделей в области экологии. Весь цикл работ разбит на три тематических блока: простые функциональные зависимости, статические матричные балансовые модели, динамические модели в дифференциальной форме. В конце каждого тематического блока работ приведены примеры выполнения со всеми необходимыми комментариями и рекомендациями по оформлению лабораторных отчётов, даны перечни вопросов для самопроверки и список рекомендуемой литературы. Выполнение работ основано на системе компьютерной математики (СКМ) Maple, которая является признанным мировым сертифицированным лидером в области аналитических вычислений. Рассмотренные здесь приёмы моделирования и программные инструменты могут быть применены в дальнейшей работе над курсовыми работами по этой и другим дисциплинам.

Составил:

доцент А.Н. Гороховский

Ответственный за выпуск:

зав.кафедры ПЭиООС, профессор В.В. Шаповалов

2

cop yv .2

СОДЕРЖАНИЕ Вводное занятие. Общие вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . 0.1 Задачи лабораторного практикума . . . . . . . . . . . 0.2 Методика выполнения лабораторных работ . . . . . . 0.3 Обзор возможностей СКМ Maple . . . . . . . . . . . 0.3.1 Запуск и краткое описание интерфейса Maple 0.3.2 Работа с Maple. «Быстрые» клавиши . . . . . 0.3.3 Структура документа Maple. . . . . . . . . . 0.3.4 Основные объекты и синтаксис Maple . . . . 0.3.5 Типы переменных . . . . . . . . . . . . . . . . 0.3.6 Стандартные математические функции . . . . 0.3.7 Сообщения Maple и реакция на ошибки . . . 0.3.8 Справочная система . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

1 Блок лабораторных работ № 1. «Исследование простых функциональных зависимостей в экологии средствами СКМ Maple» . . . 1.1 Описание встречающихся в работе команд Maple . . . . . . 1.2 Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Задание к блоку лабораторных работ № 1 . . . . . . . . . . 1.4 Варианты к заданиям блока лабораторных работ № 1 . . . .

Fre e

2 Блок лабораторных работ № 2. «Матричные преобразования и модели в экологических задачах прогнозирования состояния окружающей среды» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Лабораторная работа № 2.1. Простые операции с матрицами и векторами. Матричная модель Петерсена . . . . . . . . . . 2.2 Лабораторная работа № 2.2. Транспонирование. Обратная и ортогональная матрицы. Решение СЛАУ . . . . . . . . . . . 2.3 Лабораторная работа № 2.3. Эколого-экономическая балансовая модель Леонтьева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Описание встречающихся в работе команд Maple . . . . . . 2.5 Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Задание к блоку лабораторных работ № 2 . . . . . . . . . . 2.7 Варианты к заданиям блока лабораторных работ № 2 . . . .

3

5 5 6 6 7 9 11 13 16 18 18 20

22 28 32 34 35

42 42 44 46 51 55 55 59

cop yv .2

3 Блок лабораторных работ № 3. «Применение обыкновенных дифференциальных уравнений для моделирования динамических систем» 3.1 Общие сведения о дифференциальных уравнениях и представление их решений в Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Лабораторная работа № 3.1. Логистическая модель «Динамика популяций». Аналитическое решение ОДУ и их исследование средствами Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Лабораторная работа № 3.2. Модель Вольтерра-Лотка «Хищник - Жертва». Приближённое и численное решение дифференциальных уравнений и их систем средствами Maple . . . 3.4 Лабораторная работа № 3.3. Модель «Хищник - Жертва» c логистической поправкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Лабораторная работа № 3.4. Модель трофической цепи «Продуценты – Консументы – Редуценты» . . . . . . . . . . . . . 3.6 Описание встречающихся в работе команд Maple . . . . . . 3.7 Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Задание к блоку лабораторных работ № 3 . . . . . . . . . . 3.9 Варианты к заданиям блока лабораторных работ № 3 . . . .

77 77

81

83 86 87 89 90 92 94

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Приложение А Пример выполнения 1-го блока работ . . . . . . . . . 104

Fre e

Приложение Б Пример выполнения 2-го блока работ . . . . . . . . . 110 Приложение В Пример выполнения 3-го блока работ . . . . . . . . . 119

4

cop yv .2

Learning by doing. Единственный интуитивно понятный интерфейс — материнская грудь. Всё остальное требует обучения.

ВВОДНОЕ ЗАНЯТИЕ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ

0.1

Задачи лабораторного практикума

Fre e

Математическое моделирование, основанное на совокупности математических постулатов и методов, приспособленных к особенностям биологических и экологических объектов, требует от студентов умения самостоятельно проводить анализ свойств рассматриваемых объектов. Поэтому без лабораторных занятий теоретическая часть данного курса не может быть усвоенная целиком. Задачами лабораторного практикума являются: 1) Оказывать содействие развитию общего научного мировоззрения. 2) Дать студентам современное научное представление о методах построения и компьютерных способах анализа математических моделей биологических и экологических объектов. 3) Показать роль математического моделирования и прогнозирования в задачах экологии. 4) Передать определенный комплекс знаний по математическому моделированию состояния окружающей среды, необходимый для успешного изучения последующих дисциплин. Студенты, выполняя под руководством преподавателя лабораторные роботы, с помощью систем компьютерной математики (СКМ), знакомятся с современными методами и инструментами построения математических моделей. Осуществление численных экспериментов на математических моделях, позволяет понять влияние разнообразных условий (факторов) на поведение моделируемых систем. Все это дает возможность лучше понять сущность применения моделей для прогнозирования состояния окружающей среды, глубже освоить самые важные понятия, постулаты и законы, лучше закрепить в памяти теоретический материал.

5

Методика выполнения лабораторных работ

cop yv .2

0.2

Fre e

1) Прочитать полностью методику выполнения лабораторной работы. При первом чтении не следует задерживаться на математических выводах формул, нужно лишь составить общее представление о том, что излагается и отметить особенно трудные или неясные места. 2) Дальше перейти к выполнению поставленной в лабораторной работе задачи. Для этого целесообразно воспользоваться примером выполнения, который приведен в конце каждой работы. Чтобы лучше усвоить материал занятий, необходимо в электронных документах давать пояснения значений новых независимых терминов и названий, формул и обозначений переменных, которые входят в модели. Это поможет и при защите работ. 3) Закончив выполнение лабораторной работы, необходимо ответить на контрольные вопросы, которые находятся в конце каждой работы. При ответах на вопрос нужно стараться не пользоваться учебником и конспектом лекций. К защите лабораторной работы она должна быть проверена через Internet1) распечатана2) на бумаге формата А4. На первой странице должен быть указан номер варианта, дисциплина, группа, фамилия и инициалы студента. При защите, ответы на контрольные вопросы должны быть кратко мотивированными. Зачет и Экзамен. К зачету (экзамену) допускаются студенты, которые выполнили и защитили все лабораторные работы. 0.3

Обзор возможностей СКМ Maple

Система аналитических вычислений Maple — интеллектуальный лидер среди СКМ и один из наиболее хорошо организованных, мощных, надёжных и одновременно достаточно простой инструмент для проведения любого исследования, где требуется математика. С его помощью можно провести весь цикл математического исследования самых сложных задач. 1) 2)

http://peooc.donntu.edu.ua/predmets/ или oc/predmets/. С одной или двух сторон, и / или уменьшенной на 50%, т. е. по 2 стр. на одной

стороне.

6

cop yv .2

Для профессионала, прежде всего, выбор этого пакета обусловлен его универсальными математическими возможностями, широкой распространенностью среди специалистов3) и на различных операционных системах (Unix, Linux, Windows, Mac OS). Одними из наиболее замечательных особенностей Maple являются: возможность объединять в одном документе вычисления, поясняющие комментарии и иллюстрирующие графики; подготовка текста документа возможна как в самой среде Maple, так и в любом текстовом редакторе; возможность проводить вычисления с любой мыслимой точностью. Maple постоянно совершенствуется (рис. 1), развивая аппарат математических вычислений4) . Благодаря этому, решение экологических задач, а особенно выполнение модельных экспериментов становится более наглядным и удобным. Однако, не следует забывать, что для квалифицированного Рисунок 1 использования даже такой «умной» системы необходимы хотя – Maple v.13 бы начальные знания из области математики и программирования. В конце методических материалов дан список литературы, который поможет найти такую информацию. 0.3.1 Запуск и краткое описание интерфейса Maple

Для запуска программы в среде OC Windows необходимо выполнить: Пуск → Программы → Maple 6 → Maple 6. Для запуска в ОС Linux (UNIX) можно вызвать в консоли команды:

Fre e

xmaple ~/maple13/bin/xmaple

Или щелчком мышки по пиктограмме Maple на рабочем столе (рис. 1). Время загрузки исполняемого модуля зависит от версии программы. После запуска появляется окно Maple (рис. 2). Его оформление также зависит от версии. В верхней части окна Maple расположена строка главного меню (пункты File, Edit, View, . . . ), ниже — строка панели инструментов с множеством кнопок для часто выполняемых операций. Затем следует рабочая область документа, в которой должны размещаться формулы, 3) 4)

http://forum.exponenta.ru — русскоязычный форум по Maple. На данный момент последней версией пакета является v.13: www.maplesoft.com.

7

cop yv .2

Рисунок 2 – Окно Maple v.6 с двумя документами и тремя палитрами

Fre e

текст, рисунки и др. В нижней части окна находится строка состояния, которая содержит информацию о времени выполнения расчётов, занимаемой и доступной памяти. Для быстрого набора мышкой математических функций, операций, матриц, констант, греческих букв и специальных символов можно включить соответствующие палитры (рис. 2) выполнив из главного меню: View → Palletes → Show All Palletes. Первоначально создаётся новый безымянный документ — Untitled. Поэтому необходимо сразу присвоить ему имя, которое бы указывало на его содержимое. Для этого используют команду File → Save или комбинацию клавиш . Результаты работы могут быть сохранены в файлах различных форматов. По умолчанию, текущий документ (область ввода и вывода, комментарии, текст, графика) записываются в файл формата Maple Worksheet с классическим расширением .mws или в новом формате — .mw в современных версиях Maple. При записи в файлы в других форматах (например, Maple Input, Maple Text) сохраняются только области ввода, тексты комментариев и результаты расчётов в обычном текстовом виде. Часто эти форматы ис8

cop yv .2

пользуют для взаимной совместимости между старшими и младшими версиями Maple, а также в случае подготовки и/или редактирования документов в обычных текстовых редакторах. Для проверки работ через Internet необходимо отсылать файлы в формате Maple Input или Maple Text. Печать Maple-документов осуществляют через главное меню выполнив: File → Print...5) . Если предполагается выполнить распечатку работы на компьютере, где не установлен Maple, тогда Maple-файл через главное меню экспортируют в формат PDF: File → Export As → PDF...6) 0.3.2

Работа с Maple. «Быстрые» клавиши

Fre e

Работа с Maple происходит в режиме сессии — после приглашения (>) пользователь вводит команды и математические выражения с клавиатуры, мышкой выбирая их в окнах палитр или через главное меню. Возможны два способа представления вводимой информации: – стандартный математический — на экране дисплея дроби, интегралы, суммы и др. конструкции представляются привычной математической записью; – нотация Maple — при помощи текстовых эквивалентов. Например, на рисунке 2 для документа One.mws использована стандартная математическая нотация7) , а для документа Two.mws — нотация Maple. После нажатия клавиши <Enter> эти конструкции воспринимаются и исполняются Maple. Результат этой работы отображается в новой строке снизу. В случае внесения исправлений в команды, Maple автоматически НЕ обновляет все результаты вычислений, поэтому надо ещё раз понажимать <Enter> или выполнить Edit → Execute → Worksheet. 5)

Если к компьютеру в данный момент не подключен принтер, тогда можно подготовить печатную версию документа в виде .ps файла (PostScript), который можно распечатать, например, с помощью ghostview (GSview) http://www.ghostscript.com. 6) В последней версии Maple 13 есть возможность экспорта в широко распространённый формат PDF, который можно распечатать, например, через Acrobat Reader. Если версия Maple младше, тогда PDF файл формируют через печать на виртуальном принтере, например, PDFCreator. 7) Во второй строке (>) показана нотация Maple для 1-й строки.

9

cop yv .2

В режиме Maple нотации каждая команда должна завершаться точкой с запятой (;) или двоеточием (:). После нажатия клавиши <Enter>, в первом случае в новой строке будет выведен результат исполнения команды или сообщение об ошибке. Во втором — происходит исполнение команды, но при этом результат не выводится. Таким образом, получив (или не получив) ответ, пользователь вводит новые инструкции и так далее — взаимодействие с Maple происходит в режиме диалога. Если интерпретатор Maple посчитал введённое законченным предложением, то команды выполняются, в противном случае Maple ожидает завершение ввода. Обнаружив ошибку, Maple печатает на следующей строке сообщение о ней. При синтаксической ошибке символом ^ указывается первая не распознанная литера. Для отмены всех сделанных назначений (например, использования пакетов функций, присвоений переменным результатов расчётов) и начала нового сеанса без выхода из Maple используется команда restart8) .

Fre e

Точные и приближенные вычисления. По умолчанию, если в выражениях не встречается числа с десятичной точкой, Maple проводит вычисления с максимальной точностью. Как только в выражении обнаруживается дробное число, вычисления выполняются с погрешностью округления, т.е. с плавающей запятой. В общем случае, для перехода к арифметике с плавающей запятой надо задать соответствующую команду. Одной из таких команд является evalf9) , у которой первый параметр — вычисляемое выражение, а необязательный второй — точность вычислений. По умолчанию, точность определяется системной константой Digits. Например, число π: > evalf(Pi,50);

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751

Как видно, можно проводить вычисления с любой точностью. Для быстрых вычислений с плавающей запятой имеется команда evalhf. Эта команда использует арифметику процессора и сопроцессора 8)

Следует помнить, что различные документы, открытые в одном сеансе Maple, используют общую память и значения переменных одного документа, сохраняются при переходе к другому. 9) От англ. evaluate — выражать в числах.

10

cop yv .2

напрямую поэтому все операции происходят с точностью этих устройств. Для быстрой и комфортной работы в среде Maple используют сочетания клавиш, которые собраны в таблице 1. Таблица 1 – «Быстрые» клавиши Maple Клавиши

Действие

Редактирование документа

Enter Shift+Enter

Ctrl+Del

Выполнить текущую группу (строку) команд

Создать разрыв строки с её продолжением на следующей новой строке (в математическом режиме) Удалить текущую строку

F3

Разделить (разбить) группу команд на две группы

F4

Объединить команды (области) в одну группу

F5

Переключение режима ввода

Ctrl+M

Переключить область ввода в математический режим (Maple нотация)

Ctrl+T

Переключить область ввода в текстовый режим

Ctrl+K

Вставить математическую строку (группу) выше текущей

Ctrl+J

Вставить математическую строку ниже текущей

Ctrl+Shift+K

Вставить текстовую строку выше текущей

Ctrl+Shift+J

Вставить текстовую строку ниже текущей

Оформить строку в виде раздела (подраздела)

Ctrl+,

Отменить оформление строк в виде раздела (подраздела)

Ctrl+С

Копирование в буфер обмена выделенного блока

Ctrl+V

Вставка из буфера обмена

Ctrl+Z

Отменить последнюю операцию редактирования

Ctrl+%

Максимальный масштаб отображения

Fre e

Ctrl+.

Файловые операции

Ctrl+N, Ctrl+O, Ctrl+S — Создать, Открыть, Сохранить документ Ctrl+F4

Закрыть текущий документ

0.3.3 Структура документа Maple. Документ Maple может содержать следующие области: 11

cop yv .2

С математическим режимом — строки с командами и математическими выражениями. Обычно начало таких строк (слева) обозначено знаком больше (>), а расположенный в них текст окрашен в красный цвет. Переключить текущую строку в такой математический режим можно двумя способами: – с помощью или командой Insert → Maple Input. При этом способе запись математических конструкций происходит в Maple нотации, т.е. с помощью их текстовых эквивалентов; – с помощью или командой Insert → Standart Math Input — стандартная запись математических конструкций. Вывода результатов исполнения команд, алгоритмических операций и математических выражений. Расположенный в них текст окрашен в синий цвет. Здесь также располагаются образы матриц, векторов, двумерной и трёхмерной графики.

Fre e

С текстовым режимом — содержат описательную часть документа, например, поясняющий текст, короткие комментарии. Обычно цвет текста в этой области черный. Переключить текущую строку в текстовый режим можно с помощью или создать командой Insert → Text. Для вставки в этой области сложных конструкций с привычной (стандартной) математической записью нужно нажать или выполнить команду Insert → Standart Math При необходимости некоторые области могут быть объединены в группы (Execution Group), которые исполняются целиком по нажатию клавиши <Enter>. Это объединение выполняют клавишей или командой Edit → Split or Join → Join Execution Group при этом объединяется текущая группа с расположенной ниже. Для разбивки группы используется клавиша или команда Edit → Split or Join → Split Execution Group при этом отделяется текущая строка группы от стоящей выше. Группы автоматически выделяются слева квадратными скобками. Для структурирования документа используют иерархию разделов (Section) и подразделов (Subsection), которую создают с помощью команд Insert → Section или Subsection (). 12

cop yv .2

0.3.4 Основные объекты и синтаксис Maple

Fre e

Простейшими объектами в Maple являются числа, константы, строки и имена. Использование рациональных чисел, радикалов и констант (число π, мнимая единица и др.) позволяет проводить абсолютно точные вычисления, так как при этом не возникает погрешностей округления. В Maple применяются круглые, квадратные и фигурные скобки. Назначение круглых скобок — задавать порядок вычислений при построении математических выражений, а также обрамлять аргументы функций и параметры в записи команд. Квадратные скобки [ ] — нужны для формирования списков, а также работы с индексными величинами последовательностей, списков, множеств, массивов и таблиц. Фигурные скобки { } — для формирования множеств. Знаком процента (%) обозначается предшествующий результат, два знака процента (%%) — предпоследний результат и, наконец, %%% — пред предпоследний результат при последовательной работе с документом. Старшинство выполнения арифметических операций соответствует стандартным математическим правилам: сначала проводится возведение в степень (^), затем умножение (∗) и деление (/), а в конце — сложение (+) и вычитание ( − ). Операции выполняются слева направо, для изменения порядка используются круглые скобки. Для операций отношения имеются знаки >, =, eq:=x=38; x;

eq := x = 38 x

Здесь переменной eq присвоено уравнение x=38, но это не означает, что переменная x получила значение 38. Для того чтобы это произошло, нужно ей присвоить это значение: > x:=38: x;

38

Чтобы освободить конкретную переменную от предшествующих назначений, нужно ей присвоить её имя, заключённое в прямые одинарные кавычки — прямые апострофы (’)10) . Например: > ex:=x^2+exp(y): ex;

x2 + e y

> ex:=’ex’: ex;

ex

Константы. В Maple представлены все основные математические константы. В таблице 2 перечислены важнейшие из них. Таблица 2 – Важнейшие математические константы Описание

Pi exp(1) I Infinity gamma Catalan true, false FAIL

Числоa π = 3.1415926 . . . Основание натурального логарифма е = 2.71828 . . . √ Мнимая единица ( −1) Бесконечность (∞) Константа Эйлера, равная 0.5772156649 . . . Константа Каталана, равная γ = 0.915965594 . . . Булевы константы: истина, ложь Специальная (неопределённый результат)

Fre e

Имя

a

10)

Число π задаётся при помощи Pi, а pi означает греческую букву π.

Клавиша прямого апострофа находится слева от клавиши <Enter>.

14

cop yv .2

Переменные. У переменной Maple должно быть имя — набор символов, начинающийся с буквы, причём большие и малые буквы различаются. Кроме букв11) могут быть заданы цифры и знак подчёркивания12) . Для защиты значений переменной от изменений существует команда protect, а для снятия зашиты — unprotect. Важнейшими стандартными переменными Maple являются Digits и Order, определяющие число значащих цифр для результатов вычислений (по умолчанию 10) и порядок разложения (по умолчанию 6-й порядок). Для их переопределения достаточно присвоить им новое значение. Список всех стандартных переменных можно получить командой anames(environment) Строки и символы. Строкой (string) называется любой набор символов, заключённый в двойные кавычки. Фраза, заключённая в одинарные кавычки — воспринимается Maple как символ (единое целое). Например: > Symbol:=5; > v1:="String": v2:=’Symbol’: v3:=‘Symbol‘: %%%,%%,%;

Symbol := 5

v1 := ”String”,

v2 := Symbol,

v3 := 5

> v1[4], v2[1], v2+1, v3+2;

”i”,

51 ,

6,

7

Fre e

Команды и пакеты. Выражения и переменные обычно служат параметрами команд Maple. Стандартное обращение к некоторой команде command выглядит следующим образом: command(par1, par2, ...);

Здесь command — имя команды, а par1, par2 — её параметры. Результат выполнения команды может быть присвоен некоторой переменной. Наиболее важные команды содержаться в ядре Maple и вызываются автоматически. Остальные команды являются частью пакетов (библиотек), поэтому до вызова этих команд данный пакет должен быть загружен как: 11) 12)

Буквы могут быть как английские так и русские, которые тоже различаются. Желательно, чтобы длина имени не превышала 500000 символов.

15

cop yv .2

> with(package);

Здесь package — имя пакета. Если из пакета package нужна одна команда command, то её можно загрузить, указав через запятую так: > with(package, command);

Можно также использовать вызов команды с префиксом пакета: > package[command](par1, par2, ...);

0.3.5 Типы переменных

По умолчанию переменные считаются скалярными и имеют строковый тип string. Кроме этого в Maple существует множество других типов переменных: последовательность (exprseq), списки (list, listlist, listlistlist), множество (set), массив (array), разложение (series), вещественный (float), целый (integer), дробь (fraction), функция (function), индексная переменная (indexed), процедура (procedure) и др. Последовательность — exprseq. Переменная этого типа получается как последовательность выражений Maple, разделённых запятыми. Например, переменной ex присваивается последовательность 5, y2 , abc: > ex:=5, y^2, ’abc’;

Последовательности выражений удобны для накопления условий, уравнений, переменных и пр.13) Используя последовательности, можно организовать множественные присваивания:

Fre e

> a,b,c:=1, 22, 333:

При помощи операции объединения или конкатенации ( || ) и переменной можно создавать комбинированные имена. Например: > 1..3: A||%;

A1, A2, A3

При помощи знака повторителя $ можно создавать последовательности из символов и чисел. Например: > ex:=A$3, $2..5, x[k]$k=-1..1, i^2$i=1..3; 13)

Для обозначения пустой последовательности имеется специальная константа

NULL.

16

ex := A, A, A, 2, 3, 4, 5, x−1 , x0 , x1 , 1, 4, 9

cop yv .2

Доступ к элементам последовательности достаточно прост: для выбора элемента нужно в квадратных скобках указать его порядковый номер (целое число). Если номер положительный — отсчёт идёт слева направо; при отрицательном — наоборот, т.е. от конца последовательности. Для выбора нескольких последовательных элементов нужно указать диапазон. Примеры: > ex[2], ex[-3], ex[7..-5];

A, 1, 5, x−1 , x0

Список — list. Последовательность выражений в квадратных скобках является переменной типа list: > lex:=[ex];

lex := [A, A, A, 2, 3, 4, 5, x−1 , x0 , x1 , 1, 4, 9]

Тот же список получится по команде list(ex). Обращение к элементам списка аналогично рассмотренному для типа последовательностей exprseq. Для превращения списка назад в последовательность достаточно поставить после имени переменной пару квадратных скобок. > lex[]:

Fre e

Множество — set. Заключив последовательность выражений в фигурные скобки, получают переменную типа множество (set). Обычно, в виде множеств задают системы уравнений и получают найденные Maple решения уравнений: > s:={ex};

s := {1, 2, 3, 4, 5, 9, x−1 , x0 , x1 , A}

Уже из примера видно, что в этих объектах удаляются одинаковые элементы и происходит некоторое их упорядочивание. Команда set(ex) эквивалентна приведенному примеру. Массив — array. Массивы позволяют организовывать данные, используя для индексации отрицательные числа и нуль. Массив создаётся по команде array(FUN,DIA,LIS). 17

cop yv .2

Её параметры имеют следующее назначение: функция FUN задаёт свойства массива (symmetric – симметричный, antisymmetric – косометричный, sparse – разреженный с нулями для не упомянутых элементов, diagonal – с ненулевой диагональю, identity – единичный, package – со специальной процедурой ввода элементов); переменная DIA — диапазон изменения индексов; LIS — список элементов массива. Каждый из параметров может быть опущен, но по крайней мере один диапазон или список элементов должен быть задан. Например, создание пустого массива из четырёх элементов: > A:=array(-1..2);

Таблица — table. При помощи команды table можно организовать данные в виде массива-таблицы с необязательно числовой индексацией элементов: table(FUN,LIS) Здесь функция FUN определяет свойства таблицы, а список элементов LIS формируется в виде пар равенств: Индекс=Значение. Для задания свойств можно использовать методы, перечисленные ранее. 0.3.6 Стандартные математические функции

Список изначально определённых в Maple функций довольно большой, поэтому в таблице 3 перечислено подмножество используемых в настоящих лабораторных работах. Справку о всех имеющихся в Maple функциях можно получить, выполнив команду ?inifunction. Сообщения Maple и реакция на ошибки

Fre e

0.3.7

Если появилось эхо (повторение) введённой команды или область вывода пуста, то либо Maple отказывается выполнить команду из-за неполноты информации, либо не может её выполнить, т.к. уравнение не решается, интеграл не берётся и т.п. В этом случае надо задуматься о том, что делается: подключен ли нужный пакет, решается ли в принципе поставленная задача, нет ли других подходов, методов и команд. Если появилось сообщение: Warning, unable to evaluate of the functions to numeric values in the region; see the plotting command’s help page to

18

Команда exp(x)

cop yv .2

Таблица 3 – Математические операции и функции в Maple Назначение

экспонента числа x

ln(x) или log(x) натуральный логарифм числа x log10(x)

десятичный логарифм

логарифм по основанию a √ sqrt(x) корень квадратный x √ surd(x,n) корень n-степени n x 1 1 подобны для положительных x: root(x,3) → x 3 , xˆ (1/n) → x n log[a](x)

abs(x) x! frac(x) round(x) trunc(x) floor(x) ceil(x) sin(x),

модуль числа x

факториал числа x

дробная часть выражения x

округление к ближайшему целому

округление отбрасыванием дробной части округление к меньшему целому округление к большему целому

тригонометрические функции (аргументы в радианах)

cos(x), tan(x), cot(x), sec(x), csc(x) arcsin(x),

обратные тригонометрические функции

arccos(x), arctan(x), arccot(x), arcsec(x), arccsc(x) Dirac(t)

Дельта-функция Дирака

GAMMA(z), GAMMA(a,x), Beta(x,y) Гамма- и бета-функции

интеграл ошибок

Fre e

erf(x)

ensure the calling sequence is correct

Её причиной может являться: – в формуле указана переменная с неизвестным именем (неопределённая); – в знаке присваивания (:=) отсутствует символ : или =. Если появилось сообщение: Plotting error, empty plot

Это значит, что при обращении к графической команде в выражениях, которые задают рисуемые объекты присутствует неопределённая переменная. 19

cop yv .2

Чтобы определить какая из переменных является ошибочной (неопределённой) — попробуйте в соседней свободной строке по очереди вызвать все переменные, входящие в формулу, по образцу: > переменная;

Для правильно заданных переменных должен появиться числовой результат, для неправильных — имя переменной. После исправления ошибки выполнить пересчёт всего документа: Edit → Execute → Worksheet Перед использованием новой переменной, например, name надо проверить, что это имя не занято, командой: > ?name

Появление окошка справки с этим именем будет означать существование такой команды. 0.3.8 Справочная система

В Maple хорошо продумана справка, которую можно получить, обратившись к пунктам меню Help или непосредственно из командной строки (>). Для этого в строке ввода набираются вопросительный знак (?) и имя команды. Например, запрос о пакете, команде или служебном слове diff выглядит следующим образом: > ?diff

Fre e

Для вывода информации о формате diff используется команда с двумя вопросительными знаками ??diff, а для получения примеров из справки — ???diff. Наконец, сведения о родственных для diff командах можно получить по запросу: related(diff)

20

cop yv .2

Таблица 4 – Сообщения и возможные причины их появления Сообщение

Что означает и Что делать

Невозможно извлечь корень

true

Истина. Результат соответствует ожидаемому

false

Ложь. Результат не является ожидаемым

FAIL

Неопределённый результат

_Zцифра

Некоторое (любое) целое число (где цифра = 1, 2, . . . )

_Zцифра _Nцифра

Любое целое положительное число

_Bцифра

Любое бинарное число: 0 или 1

_Cцифра _Tцифра

Некоторая константа

Ci

Интегральный косинус

RootOf

Maple не может выразить корни в радикалах или это требует дополнительных усилий. В этом случаем решение можно найти одной из команд: allvalues(sl), convert(sl,radical) или численно evalf(sl) (где sl — решение). Вывод решений без RootOf можно получить, присвоив системной переменной _EnvExplicit = true.

Fre e

_NOROOT

RealRange

При решении найден интервал

Open

При решении найден открытый интервал

21

БЛОК ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ № 1. «ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОСТЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ В ЭКОЛОГИИ СРЕДСТВАМИ СКМ MAPLE»

cop yv .2

1

Цель работы — познакомится с основными приёмами создания, редактирования формул, графиков и текста в системе компьютерной математики (СКМ) Maple для анализа простых функциональных зависимостей, используемых в экологических задачах прогнозирования. В данной работе рассматриваются примеры простых функциональных зависимостей, которыми часто оперируют в экологии при построении математических моделей. С помощью графических средств СКМ Maple анализируется влияний параметров моделей на траектории линейного, обратно-пропорционального, дробно-линейного, степенного, показательного, логарифмического и периодически изменяющегося процесса. Выполнение работы начинается с Создания документа командой File → New (или ). 1.1 Линейная зависимость. В экологии полная (функциональная) линейная зависимость между двумя изменяемыми величинами встречается на сравнительно не очень больших интервалах их варьирования. Так, в ихтиологии примером такой зависимости на ранней стадии развития рыб является их вес (w), который линейно изменяется с возрастом (τ) через коэффициенты (a и b): w(τ) = a · τ + b (1.1)

Fre e

Не сложно догадаться, что физический смысл коэффициентов a и b — вид (точнее скорость роста) и вес особей в начале наблюдения. Создадим эту зависимость в Maple-документе простым набором текста, как показано в примере выполнения (приложение А, с. 104). Для анализа влияния коэффициентов a и b на характер получаемых линейных траекторий задаются их начальными значениями из таблицы 1.2 на стр. 35, а диапазон их варьирования выбирают таким же как в примере. С помощью графической команды plot создают два рисунка с графиками влияния параметров a и b. Для построения графиков пределы изменения независимой переменной τ подбирают самостоятельно.

22

cop yv .2

1.2 Обратно-пропорциональная зависимость. Примером использования обратно-пропорциональных функций в экологии является зависимость типа «хищник-жертва». В частности, такие взаимоотношения имеют популяции волков и зайцев. В определенный период развития численность зайцев (z) тем меньше, чем больше численность волков (v). Такая связь, через коэффициент пропорциональности (c) имеет вид: z(v) =

c v

(1.2)

Создадим необходимые определения в Maple-документе (см. пример выполнения на с. 104) и проанализируем влияние коэффициента c на вид получаемых траекторий зависимости (1.2). Для анализа задаются списком [ в квадратных скобках ] значений коэффициента c из таблицы 1.3 на стр. 35. Диапазон изменения независимой переменной v (численность хищников) подбирают самостоятельно. При построении графика, первым параметром команды plot указана команда map, которая путем подстановки списка значений параметра c формирует список зависимостей (1.2) со своими коэффициентами.

Fre e

1.3 Дробно-линейная зависимость Моно и Михаэлиса-Ментен. В экологии известно, что между количеством пищи и скоростью ее потребления микроорганизмами существует сильная связь, которую выражают через дробно-рациональную функцию. Зависимость скорости поглощения (M) микроорганизмами питательных веществ (субстрата) от его концентрации (s) можно описать известным уравнением Ж.Моно и Михаэлиса-Ментен: M(s) =

Mmax · s , Km + s

(1.3)

где Mmax — максимальная скорость поглощения субстрата; Km — постоянная Михаэлиса (константа полунасыщения), которая равна такой концентрации субстрата, при которой скорость его поглощеM ния достигает половины максимальной скорости, т.е. M(s) = max . 2

23

cop yv .2

Графиком функции является гипербола, которая называется гиперболой Михаэлиса (рис. 1.1). Когда концентрация субстрата неограниченно увеличивается (s → ∞) скорость поглощения стремится к постоянной величине M(∞) → Mmax . Рисунок 1.1 – Гипербола Михаэлиса Такая прямая, к которой уменьшается расстояние от точек кривой проецирующихся в бесконечность, называется асимптотой. С помощью Maple проанализируем влияние коэффициентов Km и Mmax на вид получаемых траекторий кривых функции (1.3). Для анализа задаются списком значений коэффициентов Km и Mmax из таблицы 1.4 на стр. 36. При построении кривых в параметрах команды plot используется команда map2, которая позволяет задать список варьирования для второго аргумента функции (1.3) — Km . Диапазон изменения независимой переменной s (концентрация субстрата) подбирают самостоятельно.

Fre e

1.4 Степенная зависимость. Ранее была рассмотрена линейная зависимость «вес – возраст» (1.1) для раннего или непродолжительного периода развития. В случае описания более длительных периодов развития, вместо кусочно-линейных кривых предпочтение отдают степенной зависимости: w(τ) = a · τ b + c




(1.4)

Создадим зависимость (1.4) в Maple-документе и проанализируем влияние параметров a и b на вид получаемых графиков (см. пример выполнения). Для анализа задаются параметром начального возраста (c), а также списком значений скорости роста (a) и безразмерным порядком роста (b) из таблицы 1.5 на стр. 37. Диапазон изменения τ (возраст) подбирают самостоятельно. 1.5 Показательная и логарифмическая зависимости. При определении показательной зависимости в качестве аргумента (например, x) вы24

ступает показатель степени:

cop yv .2

y = ax

Обратной для показательной функции является логарифмическая: x = loga (y)

Fre e

Графики показательной и логарифмической функции представлены на рисунке 1.2. Когда в показательной функции за основание степени a принято иррациональное число e = 2.71828, то зависимость называется экспоненциальной. Логарифмическая функРисунок 1.2 – Графики показательной и ция с основанием равным числогарифмической зависимости лу e называется натуральным логарифмом: y = ln(x). При изучении различных природных процессов, включая и биологические, наиболее часто встречаются зависимости между переменными величинами, которые описываются показательными и логарифмическими функциями с основанием e. В лабораторной работе рассматривается несколько примеров такого вида функций. Модель № 1. Для большинства биологических процессов, в том числе и размножения различных популяций, значение переменной, характеризующей численность популяции, не может неограниченно увеличиваться. Хорошее описание этих процессов даёт экспоненциальная функция с отрицательным показателем. Численность большинства популяций сначала увеличивается, а затем остается постоянной и не превышает некоторой величины Nmax :
N (t) = Nn + (Nmax − Nn ) · 1 − e −k·t ,

(1.5)

где k — коэффициент удельной скорости роста популяции, который определяется экспериментально для каждого вида; Nn — начальная численность популяции; 25

cop yv .2

Nmax — максимально возможная численность популяции или «ёмкость среды». Прямая N (∞) = Nmax является горизонтальной асимптотой графика функции (1.5). Создадим эту зависимость и её асимптоту в Mapleдокументе и проанализируем влияние коэффициента k на вид получаемых кривых. Для построения траекторий используют список значений параметра k из таблицы 1.6 на стр. 38. Диапазон изменения t (время) подбирают самостоятельно. Модель № 2. Данная экспоненциальная модель рассматривает воздействие вредных веществ (токсинов) на организм животных, которое приводит к сокращению продолжительности их жизни. Если дозу воздействующего на организм токсина обозначить через p, среднюю продолжительность жизни животных при благоприятных условиях (в отсутствии токсинов) обозначить через Tm и учесть действие неограниченного количества токсина (p → ∞), которое сокращает продолжительность жизни T до величины Tp , то процесс его воздействия хорошо описывается следующей экспоненциальной функцией: T (p) = T p + (Tm − Tp ) · e −k·p ,

(1.6)

Fre e

где k — восприимчивость организма к токсину. Создадим зависимость (1.6) в Maple-документе и проанализируем влияние параметра k на вид получаемых кривых. Для построения кривых используют список значений параметра k из таблицы 1.7 на стр. 39. Диапазон изменения p (доза токсина) подбирают самостоятельно. 1.6 Экспоненциально-степенная зависимость Берталанфи. Одним из основных принципов моделирования является принцип развивающейся модели и его наглядным подтверждением является эта модель. Здесь для наилучшего описания14) изменения веса животных с возрастом применяется формула Берталанфи — сочетание экспоненциальной и степенной зависимости:  3 w(t) = Wmax · 1 − e −α·t , (1.7) где Wmax — максимально возможный вес особи;

14)

По сравнению с линейным (1.1) и степенным законом (1.4).

26

cop yv .2

α — удельная скорость роста для данного вида. Создадим эту зависимость в Maple-документе и проанализируем влияние α на вид получаемых кривых. Для построения графика используют значения параметров модели из таблицы 1.8 на стр. 40. Диапазон изменения t (возраст) подбирают самостоятельно.

Fre e

1.7 Периодическая (циклическая) зависимость. Когда рост популяции завершен, её численность начинает совершать колебания вокруг некоторой более или менее постоянной величины. Часто эти колебания бывают вызваны сезонными или годовыми изменениями условий жизни: температуры, влажности, пищевой обеспеченности. Примером сезонных колебаний численности популяций являет теплое время года — тучи комаров, леса, полные птиц, поля, заросшие васильками. Все это практически сходит на нет в зимний период. У некоторых популяций колебания численности носят правильный циклический характер. Наличие подобных колебаний связано с действием механизмов популяционной регуляции: они срабатывают автоматически, как только плотность превысит некоторое пороговое значение15) . Наблюдаемые год от года колебания численности некоторых видов птиц (например, городского воробья) или рыб (уклейка, ряпушка, бычки) дают пример нерегулярных изменений величины популяции, связанных, как правило, с изменениями климатических условий или загрязненности среды обитания веществами, оказывающими губительное воздействие на организмы. Периодическое колебание численности популяции (N ), которое можно наблюдать в течение одного полного цикла через равные промежутки времени, описывается циклической зависимостью:     2·π·z 2·π·z + d · cos (1.8) N (z) = f + b · sin r r где f , b, d — некоторые экспериментально подбираемые параметры; r — число измерений численности популяции, в течение одного полного цикла через равные промежутки времени; z — порядковый номер измерения (временной интервал). 15)

По этой причине их рассматривают как один из главных механизмов, предотвращающих перенаселение.

27

cop yv .2

С помощью Maple проанализируем влияние эмпирических параметров b и d на вид получаемых кривых зависимости (1.8). Для построения графика используют значения параметров модели из таблицы 1.9 на стр. 41. Диапазон изменения z подбирают самостоятельно. 1.8 Математический анализ функций выполняют для модели, которая представлена в контрольной работе задачей «Прогнозная оценка экологического оптимума и наихудшего состояния природной среды». Модель и её параметры берут в соответствии со своим вариантом. Сначала командой iscont выполняют проверку на непрерывность модели в области значений [−10 . . . 10]. Далее командой discont (и singular в Maple 13) находят точки, где непрерывность нарушается. Строят график функции командой plot. Командами minimize, maximize, extrema находят значения максимумов и минимумов — экстремумов16) . С помощью графика и команды fsolve осуществляют приближенный поиск глобальных минимумов и максимумов методом перебора всех dC = 0, которое задаётся командой diff(C,v)=0. кандидатов для условия dv

1.1 Описание встречающихся в работе команд Maple map(FUN,LIST)

и

map2(FUN,LIST)

Fre e

Эта команда применяет функцию FUN к каждому элементу объекта LIST, в качестве которого может выступать список, множество или выражение. Например: > map(cos,[0,Pi/2,Pi]);

[1, 0, −1]

> map(x->x^3,[-1,2,a]);

[−1, 8, a3 ]

> map(f,[a,b],1,c);

[f (a,1, c), f (b,1, c)]

Последний пример демонстрирует подстановку в функцию f 1-го параметра, а для подстановки 2-го параметра, используется команда map2: 16)

Не для всех функций значения экстремумов могут быть найдены этими коман-

дами.

28

> map2(f,A,[a,b],c);

cop yv .2

[f (A, a, c), f (A, b, c)]

plot({func1,func2, ...}, x=a..b, y=c..d, ops)

Fre e

Эта команда двумерной графики в зависимости от входных параметров позволяет рисовать графики функций одной переменной, параметрически заданных функций, наборов точек и т.д. в декартовых, полярных и др. типах координат. func1, func2, . . . — выражения, зависящие от переменной x; a..b — диапазон изменения переменной x (отрезок оси абсцисс). Если одним из концов диапазона является бесконечность (∞ — команда infinity), то выводится график асимптотического поведения функции; c..d — выводимый интервал по оси ординат. Необязательные многочисленные параметры ops — управляют цветом, шрифтами, видом осей координат и заголовка, стилем графики и видом линий, масштабированием, типом координат и разрешением17) . В лабораторной работе использованы следующие параметры: – title="Name" — заголовок рисунка; – linestyle=n — тип выводимой линии: сплошная (1), точечная (2), пунктирная (3), и т.д. По умолчанию n = 1; – color= colorvalue — цвет выводимых линий. В качестве colorvalue может выступать, например, одно из следующих названий цвета: aquamarine, black, blue, navy, coral и т.д. Кроме этого можно определить свой уникальный цвет; – labels=[strX, strY] — надписи по осям координат. По умолчанию принимаются имена выводимых переменных. iscont(f,x=a..b, ops)

Эта команда проверяет непрерывность выражения f, зависящего от переменной x, на отрезке интервалом a..b. В качестве необязательного параметра ops может быть задано ’closed’ (закрытый) или ’open’ (открытый) интервал. Результатом выполнения команды является булева константа «истина» (true — непрерывна), «ложь» (false — есть разрывы) или FAIL — 17)

Подробную справку можно получить командой ?plot.

29

когда команда не может определить результат:

cop yv .2

> iscont(ln(sin(x)),x=-infinity..+infinity);

f alse

discont(f,x)

Эта команда находит точки, в которых нарушается непрерывность выражения f по переменной x. > discont(ln(sin(x)),x);

_Z2~

Здесь _Z2~ означает любое целое положительное число. fdiscont(f,domain,res,var,ops)

Эта команда находит координаты разрыва функции f или её первой производной. Здесь domain — изучаемая область, res — точность расчёта, var — имя независимой переменной. > fdiscont(1/x,x=-1..10,0.0001,newton=true);

[0.]

singular(f,vars)

Эта команда находит сингулярные точки (разрыва) функции18) f, зависящей от нескольких переменных vars. > singular((ln(x)-ln(y))/(x^2-y^2-1),{x,y});

p {x = + 1, y = y}, {x = − y2 + 1, y = y}, {y = 0, x = x}, {x = 0, y = y} y2

Fre e

p

extrema(f,constr,vars,’s’)

Эта команда используется для исследования экстремумов функции f одной и многих переменных vars. Здесь constr — ограничения, ’s’ — имя переменной, которой будут присвоены координаты точек экстремумов. minimize(f,vars,ranges,ops)

и

maximize(f,vars,ranges,ops)

18)

Математическая сингулярность (особенность) — точка, в которой функция стремится к бесконечности или имеет какие-либо иные нерегулярности поведения.

30

cop yv .2

Эти команды служат для поиска минимума и максимума функции f. Здесь vars — переменные, по которым осуществляется поиск, ranges — область изменения переменных, причём здесь может стоять строка infinite (∞), т.е. минимум или максимум будет разыскиваться на всей числовой оси. Одним из возможных параметров ops является location — заставляет вывести найденные координаты. piecewise(c1,f1, c2,f2, ..., cN,fN, Other)

Задаёт для набора условий c1, c2, . . . cN выполнение выражений f1, f2, . . . fN. Если все условия ложны — выполняется выражение Other. Оно может отсутствовать (по умолчанию, 0). Пример: > eq:=piecewise(x>0,1, x=0,0, x fsolve(cos(Pi*x)=x, x, -0.94..-0.56);

−.7898326284

Нужный диапазон или начальную точку приближения можно определить, построив график исследуемой функции для одной переменной ко31

cop yv .2

Таблица 1.1 – Параметры команды fsolve Параметр a..b или x=a..b

Назначение

Задание интервала [a,b] для поиска решений Начальное приближение

x=s

avoid={x=s}

Поиск решений, отличных от x=s

complex

Поиск комплексных решений (одного для трансцендентных уравненийa и всех для полиномов)

fulldigits

Использование арифметики с мантиссой константы Digits

maxsols=n

Поиск n наименьших решений (для полиномов)

a

Трансцендентное уравнение (зависимость) — не являющееся алгебраическим, т.е. содержащее показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции.

мандой plot. Для систем с двумя и тремя неизвестными можно воспользоваться графическими командами implicitplot и implicitplot3d, примеры использования которых приведены в лабораторных работах № 3. 1.2

Контрольные вопросы

Fre e

1. Перечислите основные возможности Maple для выполнения математических преобразований и анализа. 2. С помощью какой последовательности команд выполняют запуск СКМ Maple? Создание, сохранение и печать Maple-документов? 3. В чём схожесть и отличие между такими типами данных Maple как: последовательности выражений, списки, множества и массивы? Как задают диапазон значений? 4. Какими символами должна заканчиваться каждая команда Maple? После нажатия какой клавиши происходит выполнение команд? 5. Найдите в работе графические команды, с помощью которых были построены графики. 6. Назовите типы функциональных зависимостей, рассмотренных в работе. Какие зависимости называются трансцендентными? 7. Поясните физический смысл и возможную размерность парамет32

9.

10. 11.

12.

Fre e

13.

cop yv .2

8.

ров линейной зависимости (1.1). Чему равен начальный вес особей в этой модели? Какая из представленных на графике популяций развивается быстрее и каким параметром модели этот рост регулируется? Какая из прямых соответствует максимальному и минимальному значению коэффициентов a и b? На примере зависимости «хищник-жертва» дайте характеристику обратно-пропорциональным функциям. Как влияет коэффициент пропорциональности на траекторию кривой (1.2)? Поясните физический смысл и возможную размерность параметров дробно-линейной зависимости Моно и Михаэлиса-Ментен (1.3). При какой концентрации питательных веществ скорость их поглощения будет равна максимально возможной Mmax ? Подтвердите этот вывод расчётом в Maple. Покажите на графиках для модели Моно и Михаэлиса-Ментен асимптоты к построенным кривым. Поясните возможный физический смысл параметров степенной зависимости (1.4). Какое влияние они могут оказывать на ее траекторию? Прокомментируйте графики кривых размножения популяции, описываемых показательной зависимостью (1.5). Какое влияние могут оказывать параметры этой модели на ход кривых? Покажите на графиках точки, соответствующие параметрам Nn и Nmax . Какая связь (прямая или обратная) в модели между N и k? Поясните физический смысл параметров модели воздействие токсинов на продолжительность жизни организмов (1.6). Покажите на графике точки, соответствующие параметрам Tm и Tp . Какая связь (прямая или обратная) в модели между T и k? В чем преимущество и недостатки показательно-степенной модели Берталанфи (1.7) перед её аналогами (1.1) и (1.4)? Измените модель так, чтобы она учитывала вес особи на начало наблюдения. Какой вид колебаний описывает зависимость (1.8)? С чем обычно связаны правильные циклические колебания и нерегулярные изменения в популяциях?

14.

15.

33

Задание к блоку лабораторных работ № 1

cop yv .2

1.3

1) С помощью СКМ Maple постройте и графически проанализируйте следующие простые функциональные зависимости: линейная зависимость (параметры в таблице 1.2): w(τ) = a · τ + b

обратно-пропорциональная зависимость (параметры в таблице 1.3): c z(v) = v дробно-линейная зависимость, формула Моно и Михаэлиса-Ментен (параметры в таблице 1.4): M(s) =

Mmax · s Km + s

степенная зависимость (параметры в таблице 1.5):
w(τ) = a · τ b + c

экспоненциальные зависимости (параметры в таблицах 1.6 и 1.7):
N (t) = Nn + (Nmax − Nn ) · 1 − e −k·t T (p) = Tp + (Tm − Tp ) · e −k·p

показательно-степенная зависимость, модель Берталанфи (параметры в таблице 1.8):  3 w(t) = Wmax · 1 − e−a·t

Fre e

периодическая (циклическая) зависимость (параметры в таблице 1.9):     2·π·z 2·π·z N (z) = f + b · sin + d · cos r r

2) Для построения графиков пределы изменения независимых переменных (τ, v, s, t, p, y, z) подберите самостоятельно. 3) Для выполнения части 1.8 «Математический анализ функций» используйте модель, её параметры и диапазон исследования своего варианта, которые заданы в задаче «Прогнозная оценка экологического оптимума и наихудшего состояния природной среды» контрольной работы. 34

Варианты к заданиям блока лабораторных работ № 1

cop yv .2

1.4

Таблица 1.2 – Параметры линейной зависимости (№ — вариант): w(τ) = a · τ + b №

a

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.21 0.19 0.22 0.2 0.23 0.21 0.24 0.2 0.13 0.15

b

№

a

b

№

a

b

№

a

b

0.28 0.21 0.3 0.29 0.22 0.31 0.35 0.36 0.21 0.29

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.2 0.21 0.23 0.18 0.17 0.18 0.21 0.14 0.14 0.16

0.27 0.33 0.28 0.37 0.21 0.35 0.19 0.24 0.22 0.22

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

0.23 0.16 0.14 0.23 0.2 0.14 0.19 0.19 0.22 0.22

0.29 0.38 0.22 0.37 0.25 0.24 0.36 0.33 0.37 0.25

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

0.19 0.14 0.19 0.15 0.16 0.16 0.22 0.21 0.18 0.15

0.24 0.19 0.28 0.27 0.34 0.21 0.37 0.35 0.25 0.26

Таблица 1.3 – Параметры обратно-пропорциональной зависимости c (№ — вариант): z(v) = v

c1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

7492 7412 6281 6704 5897 3853 6828 4471 4247 3689 3783 5697 6338

c2

c3

№

c1

c2

c3

№

c1

c2

c3

5916 5224 5176 5332 4971 2279 4789 2589 2900 2470 2501 4213 5226

9465 8350 8408 8934 6476 5108 7918 6071 7063 6728 5256 6497 8384

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

7824 2916 3682 6441 3241 3687 6561 6498 5216 2680 8407 3041 3485

5198 900 2307 4624 1222 2349 4824 4694 3199 4039 6282 1454 1899

10136 4684 4832 5500 5784 4527 9754 8570 6881 5703 7963 4875 4445

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

3588 4891 4156 4119 7471 7300 3369 5004 6668 3535 4473 4573 5259 5652

2991 6342 3706 2969 5728 6302 2007 3466 4651 1586 2314 6194 4883 3561

5253 8485 7250 5996 9152 8853 5592 6585 8015 4423 6212 7382 6565 8746

Fre e

№

35

36

Fre e Km + s

Km1

40 67 48 74 69 42 43 78 51 54 48 52 52 44 69 60 71 45 45 50

№

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

60 107 61 97 82 99 107 148 94 105 119 73 91 106 93 78 116 68 86 114

Km2

80 159 129 131 132 82 155 120 88 140 107 121 111 113 127 114 92 160 150 90

Km3 900 1795 1677 1205 1634 1545 1348 1450 905 1265 1677 1337 1395 1480 1587 1277 1702 967 1374 1683

Mmax 2 1100 1279 2187 1644 1319 1048 1971 2041 1338 1423 2058 1139 1841 2062 1732 1551 1006 1176 1218 1304

Mmax 3 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

№ 64 63 77 46 43 67 60 74 59 33 69 70 57 63 65 62 49 101 50 45

Km1 33 22 110 106 77 107 113 120 111 65 99 45 109 104 98 103 111 68 109 72

Km2 104 150 96 138 119 155 93 103 86 134 105 111 135 143 108 147 86 24 145 116

Km3 1279 1335 996 816 1157 1175 1105 1149 879 998 784 781 746 897 1081 1035 805 750 1051 840

Mmax 1 1628 1665 1789 1198 1410 1419 1750 1706 1438 1547 1389 1512 1518 1083 1276 1387 1081 1318 1358 1387

Mmax 2 1830 2133 1456 1630 1986 1856 1375 1474 1821 1803 1806 1101 2113 2004 1624 1675 1350 2089 1957 1045

Mmax 3

cop yv .2

700 812 814 1165 1148 1386 1584 824 712 713 887 848 702 1030 775 1011 1378 1361 1657 1142

Mmax 1

Таблица 1.4 – Параметры дробно-линейной зависимости, формула Моно и Михаэлиса-Ментен Mmax · s ; Mmax = Mmax 1 и список Mmax = [Mmax 1 , Mmax 2 , Mmax 3 ] (№ — вариант): M(s) =

37

Fre e

a1

0.004 0.006 0.009 0.007 0.008 0.006 0.009 0.004 0.005 0.006 0.006 0.008 0.008 0.008 0.006 0.008 0.008 0.008 0.008 0.008

№

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.008 0.012 0.011 0.009 0.016 0.017 0.012 0.009 0.009 0.009 0.011 0.012 0.014 0.015 0.015 0.012 0.01 0.011 0.009 0.013

a2

0.01 0.016 0.014 0.018 0.019 0.015 0.021 0.015 0.017 0.013 0.02 0.02 0.019 0.012 0.02 0.018 0.019 0.018 0.017 0.019

a3 4 7.12 7.69 7.16 4.03 7.39 6.42 6.2 6.19 7.83 7.74 7.81 6.44 7.92 4.86 4.52 6.74 5.03 5.74 4.36

b2 4.9 9.73 8.45 6.43 6.17 6.49 9.51 7.67 5.03 9.56 6.38 6.44 9.15 8.82 5.11 5.43 5.56 6.66 9.03 7.34

b3 180 185 187 188 182 183 190 191 194 186 192 193 195 181 199 201 202 203 204 205

c 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

№ 0.005 0.009 0.006 0.009 0.006 0.01 0.005 0.006 0.005 0.008 0.007 0.01 0.007 0.008 0.009 0.008 0.007 0.006 0.006 0.007

a1 0.016 0.01 0.009 0.01 0.011 0.011 0.012 0.017 0.014 0.012 0.018 0.012 0.009 0.014 0.011 0.01 0.01 0.016 0.016 0.018

a2 0.015 0.013 0.016 0.014 0.017 0.02 0.014 0.014 0.019 0.021 0.013 0.017 0.021 0.012 0.013 0.013 0.016 0.011 0.012 0.016

a3 9.91 9.05 7.8 7.53 9.8 6.08 6.97 7.9 6.1 4.32 8.67 6.15 9.99 3.11 9.98 6.33 8.35 5.06 9.78 7.79

b1 4.57 3.18 3.88 4.26 7.04 4.04 5.32 6.68 4.04 6.19 5.05 4.33 4.53 5.19 7.24 7.15 6.33 4.17 4.74 6.89

b2 6.24 5.94 5.5 8.94 6.68 7.49 8.41 9.8 9.31 8.47 3.02 8.82 6.14 7.05 8.92 4.59 4.4 6.63 6.64 4.22

b3

206 207 208 209 210 196 197 220 219 218 217 216 215 214 213 212 184 187 188 205

c

cop yv .2

5 6.81 6.78 8.04 5.51 8.62 8.43 9 7.23 6.32 9.5 9.22 5.97 9.54 7.72 7.59 9.25 9.38 7.78 9.6

b1


Таблица 1.5 – Параметры степенной зависимости (№ — номер варианта): w(τ) = a · τ b + c ; b = b1 и список b = [b1 , b2 , b3 ]

№

k1

cop yv .2

Таблица 1.6 – Параметры показательной зависимости (№ — вариант):
N (t) = Nn + (Nmax − Nn ) · 1 − e −k·t k2

k3

Nn

Nmax

№

k1

k2

k3

Nn

Nmax

1

0.65 0.29 1.48

80 1100

21

0.25 0.62 1.69 139 1134

2

0.41 0.61 1.35

99 1628

22

0.26 0.54 1.62 119 1148

3

0.24 0.68 1.01 153 1150

23

0.36 0.53 1.51 137 1912

4

0.22 0.68 1.59

92 1849

24

0.23 0.44 1.27

82 1559

5

0.23 0.51 0.95

98 1466

25

0.27 0.51 1.19

92 1197

6

0.45 0.23 1.73

89 2054

26

0.43 0.21 1.63 114 1576

7

0.25 0.57 1.02 154 1349

27

0.21 0.69 1.25 120 2056

8

0.26 0.64 1.39 145 1158

28

0.33 0.78 1.26 134 1624

9

0.25 0.54 0.99 138 1397

29

0.28 0.56 1.48

10

0.43 0.23 0.97 133 1786

30

0.28 0.67 1.15 141 1829

11

0.26 0.63 1.29 134 1450

31

0.29 0.47 0.99

12

0.23 0.48 1.41 128 1538

32

0.27 0.73 0.96 148 1243

13

0.34 0.48 0.93 149 1716

33

0.4 0.74 1.59

14

0.35 0.43 1.15 132 1792

34

0.4 0.66 1.72 121 1132

15

0.36 0.52 1.53 116 1160

35

0.28 0.58 1.31 116 1953

16

0.33 0.61 1.02 120 1484

36

0.37 0.63

93 2043 92 1818 88 1661

1.1 141 1463

0.3 0.65 1.44

91 1759

37

0.36 0.76 1.44 136 1299

18

0.32 0.45 1.65

99 2197

38

0.35

19

0.36 0.45 1.34 117 1176

39

0.32 0.62 1.34 156 1560

20

0.37 0.73 1.03 143 2198

40

0.36

Fre e

17

38

0.7 1.29 130 1120 0.7 1.73 157 1486

cop yv .2

Таблица 1.7 – Параметры показательной зависимости (№ — вариант): T (p) = Tp + (Tm − Tp ) · e −k·p №

k1

k2

k3

Tp Tm

№

k1

k2

k3

Tp Tm

0.18 0.33 0.68

5 40

21

0.21 0.12 0.64

9 65

2

0.15 0.25 0.65

5 67

22

0.11 0.39 0.61

7 59

3

0.22 0.11 0.37

7 67

23

0.19 0.37 0.49

6 77

4

0.17 0.23 0.58

8 79

24

0.16 0.27 0.38

6 54

5

0.18 0.34 0.42

8 78

25

0.23

6

0.18 0.21 0.44

5 66

26

0.14 0.21 0.57

7

0.17 0.37 0.54

8 71

27

0.16 0.21 0.36 10 55

8

0.13 0.26 0.37

9 62

28

0.23 0.38 0.58

6 53

9

0.15 0.37

0.6

7 65

29

0.12

0.6

6 55

10

0.17 0.39 0.28

6 51

30

0.15 0.34 0.53

8 57

11

0.13 0.29 0.65

7 62

31

0.13 0.39

0.6

5 73

12

0.13 0.32 0.61

6 46

32

0.22 0.34 0.58

7 47

13

0.21 0.12 0.65

6 46

33

0.18 0.35 0.41

7 61

14

0.21 0.33 0.41

6 79

34

0.13 0.22 0.59

5 76

15

0.17 0.34 0.49

5 53

35

0.22 0.51 0.36

9 53

16

0.21 0.35 0.42 10 67

36

0.22 0.39 0.69

7 44

17

0.18 0.32 0.64

5 48

37

0.23 0.53 0.37 10 72

18

0.17 0.32 0.68

8 80

38

0.2 0.33 0.61

5 77

19

0.13 0.36 0.59

5 72

39

0.2 0.39 0.54

7 61

20

0.11 0.29 0.68

9 78

40

0.15 0.26 0.64

8 78

Fre e

1

39

0.4

0.3

0.6 10 41 6 54

cop yv .2

Таблица 1.8 – Параметры показательно-степенной зависимости, модель Берталанфи (№ — вариант):  3 w(t) = Wmax · 1 − e−a·t №

a1

a2

a3

Wmax

№

a1

a2

a3

Wmax

0.57 1.04 1.36

45

21

0.47 1.05 2.14

148

2

0.39 0.88 1.39

123

22

0.35 0.66 1.92

107

3

0.47 0.61 2.39

98

23

0.49 1.12 2.27

154

4

0.45 1.16 2.28

114

24

0.55 1.13 1.85

92

5

0.31 0.82 1.61

92

25

0.6 1.11 1.32

157

6

0.33 1.18

1.9

146

26

0.45 1.01 2.16

85

7

0.51 0.91 1.91

102

27

0.33

0.9 2.33

110

8

0.62 0.84 2.01

140

28

0.5

1.2 2.22

111

9

0.51 0.76

2.2

159

29

0.36 1.04 1.23

143

10

0.52 1.06 1.51

109

30

0.5 1.14 1.28

135

11

0.55 1.14 2.15

111

31

0.61 0.87 1.97

99

12

0.49 0.96 1.26

128

32

0.43 1.22 1.53

155

13

0.52 0.88 2.04

112

33

0.35

0.9 2.14

81

14

0.62 1.18 1.52

87

34

0.48

0.9 1.31

113

15

0.58 0.88 1.71

114

35

0.38 0.73 1.41

108

16

0.54 0.79 1.76

87

36

0.52 1.08 2.22

132

17

0.48 0.81 1.37

147

37

0.35 1.01 1.92

153

18

0.32 1.19 1.89

97

38

0.52 0.96 1.23

103

19

0.49 0.92

1.8

140

39

0.36 1.05 1.91

96

20

0.33 0.64 1.69

100

40

0.51 0.75 1.89

130

Fre e

1

40

41

Fre e r

r

b1

3.34 3.78 4.08 5.48 6.67 4.67 6.24 4.54 5.15 4.23 4.70 3.70 3.55 4.51 6.63 4.50 5.00 5.77 4.49 3.58

№

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-15.72 -23.94 -25.81 -27.78 -25.82 -30.40 -21.39 -19.11 -15.92 -20.14 -25.40 -23.91 -28.41 -30.20 -20.78 -21.03 -18.45 -25.05 -22.98 -22.97

b2 20.5 31.77 21.34 21.05 40.79 32.21 25.64 29.52 23.66 38.83 35.98 29.60 37.28 22.41 32.82 36.94 21.75 31.58 33.52 24.18

d2 25 36 28 25 42 37 33 38 50 43 39 47 34 36 36 29 42 27 35 47

f 12 18 22 16 19 23 17 15 15 22 18 23 23 20 14 14 18 23 13 23

r 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

№ 3.66 4.30 5.01 3.51 5.69 3.84 4.11 5.75 6.59 4.16 5.53 4.03 6.69 6.51 4.61 4.49 4.10 5.50 4.98 5.27

b1 -20.21 -21.61 -26.71 -30.36 -30.19 -24.73 -30.13 -26.97 -18.47 -26.71 -15.77 -15.74 -26.49 -20.92 -28.02 -30.53 -18.62 -26.40 -17.83 -23.38

b2 -29.39 -34.82 -38.80 -33.49 -21.62 -35.95 -21.01 -28.98 -31.26 -32.02 -20.74 -38.80 -34.41 -21.45 -31.28 -26.45 -34.05 -33.69 -39.95 -38.15

d1 29.39 34.82 38.80 33.49 21.62 35.95 21.01 28.98 31.26 32.02 20.74 38.80 34.41 21.45 31.28 26.45 34.05 33.69 39.95 38.15

d2 32 32 38 45 27 27 44 36 43 30 27 38 47 40 44 34 46 29 32 38

f 13 21 14 16 22 15 15 21 22 20 23 15 20 24 13 18 14 20 13 22

r

cop yv .2

-20.5 -31.77 -21.34 -21.05 -40.79 -32.21 -25.64 -29.52 -23.66 -38.83 -35.98 -29.60 -37.28 -22.41 -32.82 -36.94 -21.75 -31.58 -33.52 -24.18

d1

Таблица 1.9 – Параметры периодической (циклической) зависимости 2 · π · z 2 · π · z + d · cos (№ — номер варианта): N (z) = f + b · sin

cop yv .2

2 БЛОК ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ № 2. «МАТРИЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И МОДЕЛИ В ЭКОЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СОСТОЯНИЯ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ» Цель работы — познакомиться с основными матричными операциями, основанными на них статическими балансовыми моделями, решениями систем алгебраических уравнений (СЛАУ) для задач прогнозирования состояния окружающей среды. 2.1

Лабораторная работа № 2.1. Простые операции с матрицами и векторами. Матричная модель Петерсена

Fre e

Основными матричными операциями, используемыми в методиках прогнозирования воздействия на окружающую среду (ОС), являются умножение матрицы на число, сложение и перемножение матриц, транспонирование, нахождение обратных матриц и определителей. По определению, чтобы умножить матрицу на число, нужно умножить на это число все элементы матрицы. Суммой двух матриц одинаковой размерности называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых. Операция умножения матрицы на матрицу определяется более сложным образом. Пусть заданы две матрицы: A согласованная с B, т.е. число столбцов A равно числу строк B. Если   " # b11 b12 a11 a12 a13   A2×3 = , B3×2 =  b21 b22  , a21 a22 a23 b31 b32

то произведением матриц A и B называется матрица AB2×2 " # (a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 ) (a11 b12 + a12 b22 + a13 b32 ) A· B = , (a21 b11 + a22 b21 + a23 b31 ) (a21 b12 + a22 b22 + a23 b32 ) Произведение матриц A и B обозначается AB и зависит от порядка сомножителей. Если AB = BA, то матрицы A и B называются перестановочными. В множестве квадратных матриц определена единичная матрица — квадратная матрица, все диагональные элементы которой — единицы, а 42

остальные — нули: 

... 0 ... 0 ··· ··· ... 1

cop yv .2

1 0   0 1 E=  ··· ···  0 0

     

Fre e

Единичная матрица чаще всего обозначается буквой E или En , где n — порядок матрицы. Непосредственным вычислением можно проверить основное свойство единичной матрицы AE = EA = A. Скалярной матрицей называется диагональная матрица с одинаковыми числами на главной диагонали. Единичная матрица — частный случай скалярной матрицы. Из приведенных ниже вычислений в Maple будет видно, что умножением на матрицы специального вида можно переставить в матрице столбцы или строки, вычислить сумму элементов любых строк или столбцов, получить матрицу, равную какой-либо её строке или столбцу, осуществить умножение матрицы на число. С помощью этих операций в Maple реализуется матричная модель анализа воздействия хозяйственной деятельности человека на окружающую среду, предложенная Петерсеном. В этой модели рассматриваются две группы матриц A и B, а также вектор G. В группе матриц A определено первичное воздействие19) элементов конкурирующих проектов строительства или реконструкции некоторой территории на параметры окружающей среды: качество поверхностных вод, воздуха, почв, биотические сообщества и т.д. Часто эти воздействие оценивают в баллах в интервале [−3 . . . + 3]. В группе матриц B в тех же величинах оценивается вторичное воздействие, которое могут оказать измененные под влиянием проектов компоненты природной среды на социальные факторы: плотность населения, уровень здоровья, производство продуктов, услуг, занятость и т.д. В лабораторной работе рассматриваются матрицы Петерсена (A1, A2 и B) — воздействия элементов проектов 1 и 2 на окружающую среду и социум, а также вектор весов значимости социальных факторов G. 19)

Например, количество хозяйственных объектов без очистки и с биологической очисткой сточных вод, наличие газопылеочистительных установок, площади отведенные под твердые отходы и сельскохозяйственные угодья, энергетические установки и т.д.

43

2.2

cop yv .2

Итак, в матрице A хозяйственные (производственные) факторы первично воздействующие на ОС — строки, а параметры окружающей среды — столбцы, т.е. строки воздействуют на столбцы. В матрице B параметры ОС20) , вторично воздействующие на человека (социум) — строки, а социальные факторы — столбцы, т.е. опять рассматривается воздействие строк на столбцы. Произведение этих матриц AB определяет непосредственное воздействие производственных факторов проекта на социальные факторы. Умножив полученную матрицу на вектор весов значимости социальных факторов G, получают результирующий вектор-столбец ABG, сумма значений которого является Агрегированной Оценкой воздействия проекта AO. Лучшим является проект с большей AO. Лабораторная работа № 2.2. Транспонирование. Обратная и ортогональная матрицы. Решение СЛАУ

Для прямоугольных матриц определена операция транспонирования. Рассмотрим произвольную прямоугольную матрицу A. Матрица, получающаяся из матрицы A заменой строк столбцами, называется транспонированной по отношению к матрице A и обозначается AT :     a11 a12 . . . a1n a11 a21 . . . am1      a21 a22 . . . a2n   a12 a22 . . . am2  T    A=  ··· ··· ··· ··· , A =  ··· ··· ··· ···      am1 am2 . . . amn a1n a2n . . . amn

Fre e

Квадратная матрица A называется обратимой, если существует квадратная матрица X, удовлетворяющая соотношениям AX = XA = E. Матрица X называется обратной к матрице A и обозначается A−1 , т.е. AA−1 = A−1 A = E. Квадратная матрица A, для которой AT = A, называется симметричной. Элементы такой матрицы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны. Квадратная матрица U, для которой U −1 = U T , называется ортогональной матрицей. Определитель ортогональной матрицы равен ±1. 20)

Те же, что и в матрице A, но расположенные в столбцах.

44

cop yv .2

Определителем квадратной матрицы A, называется число a a ... a 11 12 1n n a21 a22 . . . a2n X <j> = det A = a1j · (−1)j+1 · M1 , · · · · · · · · · · · · j=1 an1 an2 . . . ann <j>

где M1 — определитель квадратной матрицы порядка n − 1, полученной из матрицы A вычеркиванием 1-й строки и j-го столбца. При решении задач моделирования и прогнозирования состояния окружающей среды необходимость вычислять определитель возникает достаточно часто. Среди наиболее распространённых применений — исследование моделей, которые включают системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Для СЛАУ:   a11 · x1 + a12 · x2 + ... + a1n · xn = r1     a · x + a · x + ... + a · x = r 21 1 22 2 2n n 2 ,  · · ·     a · x + a · x + ... + a · x = r m1 1 m2 2 mn n m матрица постоянных коэффициентов A, вектор правых частей R и вектор неизвестных X будут иметь вид:       a11 a12 . . . a1n r1 x1        a21 a22 . . . a2n   r2   x2       A=  ··· ··· ··· ··· , R =  ... , X =  ...        am1 am2 . . . amn rm xn

Fre e

Рассмотренную СЛАУ можно записать и в сокращённой матричной форме: A · X = R. В случае m < n (число уравнений меньше числа неизвестных) СЛАУ называют недоопределённой. Такие системы либо имеют бесконечное число решений, либо не имеют решений вообще. В случае m = n, СЛАУ называют нормальной. Справедливо следующее утверждение: если определитель ∆ = det A матрицы отличен от нуля, т.е. матрица невырождена (не сингулярная) , то система имеет единственное решение x1 , x2 , . . . , xn , определяемое формулами Крамера ∆ xi = i , где ∆i — частный определитель матрицы, полученный из матри∆ цы A заменой i-го столбца вектором R. 45

cop yv .2

Если матрица системы невырождена, то у нее существует обратная матрица и тогда решение системы легко получить, умножив обе части уравнения A · X = R на матрицу A−1 : A−1 · A · X = R · A−1 ,

поскольку A−1 · A = E и E · X = X, то X = R · A−1 . В случае m > n (число уравнений больше числа неизвестных) СЛАУ называют переопределённой. Наиболее известным методом решения таких систем является метод наименьших квадратов21) . Этот способ позволяет найти наиболее вероятные значения неизвестных. Далее в примере рассмотрено выполнение этой части лабораторной работы. 2.3 Лабораторная работа № 2.3. Эколого-экономическая балансовая модель Леонтьева

Fre e

Модели этого типа являются наиболее распространенными и применяются при решении проблем взаимодействия природы и общества. Их построение основано на использовании методов линейной алгебры и систем, описываемых дифференциальными уравнениями. В качестве примера, рассмотрим многоуровневую модель взаимодействия экологических и экономических систем. В общем виде такая модель должна включать следующие блоки: 1) межотраслевого баланса; 2) динамики природных ресурсов; 3) принятия управленческих решений. Главной целью (решением) этой модели является устранение проблемных ситуаций, связанных с принятием решений, эффективных с точки зрения сегодняшнего дня, но не эффективных для будущего. Модели этого типа обладают достаточной сложностью и включают как СЛАУ, так и системы уравнений в интегральной и дифференциальной форме. В рамках данной лабораторной работы рассматривается только структура и методы анализа одного из блоков модели — блока межотраслевого баланса (МОБ), который представлен многоотраслевой моделью Леонтье21)

МНК был предложен независимо Гауссом (Gauss, 1794-95) и Лежандром (Legendre, 1805-06) для решения астрономических задач.

46

Fre e

cop yv .2

ва22) в виде СЛАУ. Как известно, межотраслевой баланс — метод анализа взаимосвязей между различными секторами экономической системы. Это означает, что каждый сектор выступает одновременно производителем и потребителем. Кроме полезного продукта по каждому сектору экономики происходит образование и выбросы загрязняющих веществ в окружающую среду, количество которых можно представить через удельные величины, например, приходящиеся на 1-цу выпуска каждого вида продукции. Цель балансового анализа — определить сколько продукции должен произвести каждый сектор для того, чтобы удовлетворить все потребности экономической системы в его продукции и, при этом, не нарушить установленных норм выбросов загрязняющих веществ в окружающую среду. Рассмотрим упрощенную модель межотраслевого баланса, состоящую из трех секторов — сельского хозяйства, промышленности и домашних хозяйств. В качестве единицы измерения объемов товаров и услуг каждого сектора выберем их стоимость. Предположим, что вся продукция сельского хозяйства составляет 200 денежных единиц, из них 50 единиц потребляется внутри самого сектора, 40 единиц — в промышленности и 110 — в домашних хозяйствах. Продукция промышленности составляет 250 единиц, из них 70 единиц потребляются в сельскохозяйственном производстве, 30 — в секторе промышленности и 150 — в домашних хозяйствах. Домашние хозяйства производят 300 единиц продукции, из них 80 единиц потребляются в сельском хозяйстве, 180 — в промышленности и 40 — внутри самого сектора. Эти данные сведены в таблицу межотраслевого баланса 2.1. Числа в строках таблицы, показывают, как распределяется произведенная продукция каждого сектора, последний элемент строки — объем произведенной сектором продукции (общий выпуск). Данные в столбцах показывают, какую продукцию потребляет каждый сектор в процессе производства, последнее число в столбце — суммарные затраты сектора. Из таблицы видно, что все сектора являются производящими, при этом вся произведенная продукция потребляется в различной степени этими же 22)

Леонтьев В.В. (1906–99) — Нобелевский лауреат (1973), внесший огромный вклад в развитие экономики многих стран мира.

47

cop yv .2

Таблица 2.1 – Таблица межотраслевого баланса для простейшей эколого-экономической модели региона Сельское Промыш- Домашние хозяйство ленность хозяйства

Общий выпуск

Сельское хозяйство

50

40

110

200

Промышленность

70

30

150

250

Домашние хозяйства

80

180

40

300

Затраты

200

250

300

–

Fre e

производящими секторами. Такая модель межотраслевых связей называется замкнутой. В замкнутой модели объем затрат каждого сектора (сумма элементов в столбце таблицы) равен объему произведенной продукции (сумма элементов в соответствующей строке). Таблицы межотраслевого баланса описывают потоки товаров и услуг между секторами экономики в течение фиксированного промежутка времени, например в течение квартала, полугодия или года. Такие данные, сохраняемые в таблицах, естественно описывать и анализировать в терминах матричной алгебры. Для замкнутой экономической системы баланс между общим выпуском и затратами каждого сектора можно описать равенствами: n X j=1

bkj =

n X

bik ,

k = 1, 2, . . . , n,

i=1

где bkj (bik ) — количество товаров и услуг k-го (i-го) сектора экономики, потребляемого в j-м (k-м) секторе.  n Матрица B = bij i,j=1 называется матрицей межотраслевого баланса (матрицей Леонтьева). На практике экономика региона представляет собой открытую систему межотраслевых связей, в которой вся произведенная продукция (совокупный продукт) разделяется на две части: одна часть продукции (промежуточный продукт) идет на потребление в производящих секторах, а 48

xi =

n X j=1

cop yv .2

другая ее часть (конечный продукт) потребляется вне сферы материального производства — в секторе конечного спроса. При этом потребление в секторе конечного спроса может меняться. Для открытой системы межотраслевой баланс будет иметь вид: bij + yi =

n X

aij · xj + yi

или

xi −

j=1

n X

aij · xj = yi

i = 1,2, . . . , n

j=1

или СЛАУ в развернутом виде:   (1 − a11 ) · x1 − a12 · x2 . . . − a1n · xn = y1     −a · x + (1 − a ) · x . . . − a · x = y 21 1 22 2 2n n 2  ··· ···     −a · x − a · x . . . + (1 − a ) · x = y n1 1 n2 2 nn n n

(2.1)

или в матричном виде:

X · (E − A) = Y

(2.2)

где E — единичная матрица; X = xi — объем выпуска i-го сектора (объем товаров и услуг, произведенных в одном из n производящих секторов), i = 1, 2, . . . , n; Y = yi — конечный продукт i-го сектора (объем продукции i-го сектора, потребляемой в секторе конечного спроса); bij — количество продукции i-го сектора, которое расходуA = aij = xj

Fre e

ется при производстве единицы продукции j-ro сектора (коэффициенты прямых затрат). bij — объем товаров и услуг i-го сектора, потребляемых в j-м. Приведенная система (2.1) описывает структуру связей и означает, что в сектор конечного спроса от каждого производственного сектора поступает та часть произведенной продукции, которая остается после того, как обеспечены потребности производящих секторов. Предположим, что в течение некоторого промежутка времени коэффициенты прямых затрат аij остаются постоянными, а конечный спрос изменяется. Это означает, что существует линейная связь между выпуском и затратами и изменение выпуска хотя бы в одном секторе экономики влечет за собой пропорциональное изменение затрат всех производящих секторов. Коэффициентами пропорциональности этой связи являются элементы 49

cop yv .2

структурной матрицы. То есть в линейной модели «затраты – выпуск» соотношения баланса описывают связь неизвестного выпуска с заданным спросом. Эти соотношения позволяют определить, каким должен быть совокупный выпуск в каждом секторе, чтобы удовлетворить изменившиеся потребности общества. В системе с заданной структурной матрицей A спрос Y всегда удовлетворяется, если существует вектор выпуска X = Y (Е − A)−1 , все компоненты которого неотрицательны. Для этого необходимо выполнение условий Хаукинса-Саймона: 1−a −a . . . −a 11 12 1n 1−a −a21 1 − a22 . . . −a2n a12 11 > 0, . . . > 0, 1 − a11 > 0, ··· · · · · · · · · · a 1 − a 21 22 −an1 −an2 . . . 1 − ann т.е. определители системы (2.1): общий и составные — положительны. Далее, если обозначить общий объем загрязняющего вещества через Z, то для расчета загрязнения окружающей среды каждым сектором и всеми одновременно необходимо дополнить систему уравнений (2.1) еще одним балансовым уравнением: Z = c1 · x1 + c2 · x2 + . . . + cn · xn ,

(2.3)

Fre e

где сi — нормы выбросов загрязнителя на единицу продукции xi . Объём этой части и пример выполнения работы представлен в приложении Б.

50

Описание встречающихся в работе команд Maple

cop yv .2

2.4

столбцы с номерами от i до j.

matrix(n,m,[val1,val2,...])

Создаёт матрицу. Здесь n — число mulrow(M,i,ex) и mulcol(M,i,ex) строк, m — число столбцов матрицы, val1, val2, ... — значение Умножение строки или столбца с номером i матрицы M на выражение элементов матрицы. или число ex. vector(n,[val1,val2,...])

Создаёт вектор (одномерный мас- diag(B1,B2,...,Bn) сив). Здесь n — размерность вектора (число элементов), val1, val2, Создание диагональной матрицы с ... — значение элементов вектора. элементами (или квадратными матрицами) B1,B2,...,Bn, располоrowdim(M) и coldim(M) женными на главной диагонали. Определяет число строк или столбцов матрицы M scalarmul(M,expr) vectdim(V)

Скалярное умножение (каждого элеОпределяет число элементов (размента) матрицы или вектора M на мерность) вектора или списка V. выражение или число expr. multiply(A,B)

swaprow(M,i,j) и swapcol(M,i,j)

Fre e

Умножает матрицу A на матрицу (вектор) B. Другой способ — с помоПерестановка местами строк или щью команды evalm(A&*B). Число столбцов матрицы M с номерами i столбцов A = числу строк B и j. row(M,i)

и

col(M,i)

Извлекает (без удаления) из матрицы M i-строку или i-столбец.

norm(M, normtype)

Вычисляет нормы вектора или delrows(M,i..j) и delcols(M,i..j) матрицы M. В качестве необязаСоздание новой матрицы из матри- тельного параметра типа нормы цы M, в которой удалены строки или normtype может быть указано 123) , 23)

Первая норма: матрицы — наибольшая сумма по столбцам; вектора — сумма модулей всех его элементов.

51

rank(M)

cop yv .2

224)25) , infinity26) (используется transpose(M) по умолчанию) или frobenius27) . Создаёт транспонированную матриНормы для матрицы и вектора разцу по отношению к матрице или векличаются. тору M. inverse(M)

Вычисляет ранг матрицы M — макВычисляет обратную матрицу к матсимальное число линейно независирице M. Это можно сделать и другим мых строк. способом: evalm(1/M). trace(M)

orthog(M)

Вычисляет след матрицы M — сумму Проверка на ортогональность квадеё диагональных элементов. ратной матрицы M. sum(expr, var=var1..var2)

testeq(a=b)

Суммирование элементов выражеПроверка на эквивалентность друг ния expr, которое зависит от передругу выражений a и b. менной суммирования var, при этом var1..var2 — пределы суммиро- equal(A,B) вания. Проверка на эквивалентность друг print(ex1,ex2,...,exN) другу матриц A и B.

Fre e

Выводит информацию о ходе решения, результаты, сообщения и пр. Здесь ex1,ex2,...,exN — любые выражения Maple, т.е. если переменной ex ничего не присвоено, то печатается просто её имя, иначе — печатается её содержимое.

convert(expr,form,...)

Преобразовывает одни объекты expr в другие с изменением их типа на тип form, например, list, set, array и др. geneqns(M,x,b)

24)

Вторая норма: матрицы — её наибольшее сингулярное значение; вектора — модуль вектора, т.е. корень квадратный из суммы квадратов его элементов. 25) Сингулярная (вырожденная) матрица — квадратная матрица, у которой определитель равен 0. Сингулярные значения матрицы M — квадратные корни из собственных значений матрицы MT = M, где MT — транспонированная матрица. 26) Бесконечная норма: матрицы — наибольшая сумма по строкам; вектора — модуль максимального элемента из его абсолютных значений. 27) Евклидова норма — корень из суммы квадратов всех элементов.

52

форме, name — имя переменной для параметрической формы.

cop yv .2

Создаёт в виде множества систему уравнений из матрицы коэффициентов при неизвестных M и вектора правых частей b (если он задан). Здесь x — имя или список имён для неизвестных.

submatrix(M,R,C)

Формирует подматрицу из матрицы M, включающей элементы строк R и столбцов C, которые могут быть заgenmatrix(eqns,vars,ops) даны в виде списка или диапазонов Создаёт матрицу коэффициентов целых номеров. при неизвестных из списка или subvector(M,R,C) множества уравнений eqns. Здесь vars — список или множество имён Выделяет из матрицы M вектор с для неизвестных; ops может быть: элементами, которые заданы списflag — означает поместить свобод- ком, диапазоном или целыми номеные члены в матрицу с коэффициен- рами строк R и столбцов C в этой тами в последнем (справа) столбце, матрице. ’b’ — свободные члены поместить solve(eqns,vars) в отдельный вектор b. Решение разнообразных уравнение, copyinto(A,B,m,n) заданных множеством eqns, отноКопирует матрицу A в матрицу B на- сительно неизвестных vars. чиная с элемента под номером m, n. implicitplot(ex,x=a..b,y=c..d,op) Рисует график функции ex двух пеСоздаёт не связанную копию масси- ременных x и y, заданных неявно в прямоугольнике [a,b] × [c,d]. Здесь ва или таблицы a. expr — могут быть несколько уравdet(M) нений в виде множества, а в качеВычисляет определитель матрицы M. стве op могут выступать параметры команды plot (см. с. 29). linsolve(A,B,’r’,name)

Fre e

copy(a)

Находит решение СЛАУ, которая задана матрицей коэффициентов при неизвестных A и вектором или матрицей свободных членов B. Необязательные параметры: ’r’ — получить решение в параметрической

implicitplot3d(ex,x=a..b,y=c..d, z=p..q,op)

Строит неявно заданную поверхность ex в параллелепипеде [a,b] × [c,d] × [p,q]. Здесь выражение ex зависит от переменных x, y, z, а в

53

cop yv .2

качестве op могут выступать пара- число столбцов. метры команды plot (см. с. 29).

subs(Old=New,expr) spacecurve({[expX],[expY],[expZ]} subs(s1,...,sn,expr) , var=a..b, ops)

Строит кривую в трёхмерном пространстве. Кривая задаётся параметрически выражениями координат [expX],[expY],[expZ], зависящими от одной переменной var, которая изменяется в интервале a..b. В качестве ops могут выступать параметры команды plot (см. с. 29).

Выполняет замену (подстановку) переменной Old выражением New в объекте expr, который может быть представлен выражением, списком, множеством и т.д. Во втором варианте команды: s1,...,sn — уравнения, список или множество уравнений. display([str1,str2,...], ops)

leastsqrs(A,b,ops)

Находит решение нормальных и переопределённых СЛАУ методом наименьших квадратов. Здесь A — матрица или список уравнений (выражений), b — вектор или список имён переменных, ops — ’optimize’. concat(A,B,...)

Fre e

Создаёт новую матрицу, горизонтальным слиянием матриц A,B,..., которые должны иметь одинаковое число строк. Синонимом этой команды является команда augment. stackmatrix(A,B,...)

Получает матрицу, за счёт вертикального слияния матриц или векторов A,B,..., имеющих одинаковое

Эта команда позволяет совместить на одном рисунке графические образы, полученные при помощи различных графических команд. Для этого результат действия каждой команды должен быть присвоен переменным (str1, str2). Здесь в квадратных скобках стоит список (или массив), элементами которого являются графические структуры str1, str2, . . . (полученные в результате действия двумерных графических команд), а в качестве параметров ops могут выступать все описанные ранее для команды plot. Кроме этого, display с применением параметра insequence=true можно использовать для создания мультипликации.

54

Контрольные вопросы

cop yv .2

2.5

Fre e

1. Назовите основные операции с матрицами, используемые в методиках прогнозирования воздействия на окружающую среду. 2. Что такое перестановочная, скалярная, единичная, транспонированная, обратная, симметричная и невырожденная матрица? 3. На основании каких величин выполняют анализ воздействия деятельности человека на окружающую среду и оценивают последствия этой деятельности для социума в методике Петерсена? 4. Опишите методы, с помощью которых можно находить решения СЛАУ в Maple. Для чего в одном из этих методов находят определитель матрицы? Какая СЛАУ называется переопределённой и каким методом можно получить её решение? 5. Из каких блоков состоит многоуровневая модель взаимодействия экологических и экономических систем? 6. Сформулируйте цель, которую преследуют при решении СЛАУ модели межотраслевого баланса. 7. Какая модель межотраслевых связей называется замкнутой, а какая открытой? Что означают коэффициенты прямых затрат в матрице Леонтьева? 8. Сформулируйте условия Хаукинса-Саймона. К какому результату при решении СЛАУ межотраслевого баланса можно прийти, если они не выполняются? 9. Найдите и покажите в созданном Maple документе балансовое уравнение, которое описывает выбросы. Сколько всего загрязняющих веществ выбрасывалось? Что означают переменные в этом уравнении? 2.6

Задание к блоку лабораторных работ № 2

Лабораторная работа № 2.1. Задание 1. Числовые значения для матрицы M этой части работы находятся в таблицах 2.2–2.4 на с.59–61. Создайте квадратную матрицу M. Определите её размерности. С помощью единичного вектора вычислите суммы элементов матрицы M по строкам и столбцам. Определите размерность результата. Умножая на векторы специального вида, выделите (двумя способа55

cop yv .2

ми) строку и столбец, соответственно равные i-й строке и j-му столбцу матрицы M, где i и j заданы в условии (см.˙табл. 2.2–2.4). С помощью встроенных Maple-функций по отдельности удалите из матрицы M диапазон строк (1 . . . i) и диапазон столбцов (1 . . . j). Должны получиться новые матрицы или векторы. С помощью встроенных Maple-функций умножьте i строку и j столбец матрицы M на число (i + j). Двумя способами (с помощью встроенных Maple-функций и диагональной матрицы) умножьте матрицу M на число (i + j). Двумя способами (с помощью встроенных Maple-функций и специальной матрицы) переставьте строки и столбцы матрицы M: 1) для нечетных вариантов — 1-ю(й) и 3-ю(й); 2) для четных вариантов — 2-ю(й) и 3-ю(й). Лабораторная работа № 2.1. Задание 2. Числовые значения для этой части работы находятся в таблицах 2.5 — 2.11, на с.62–68. С помощью матриц Петерсена — A1, A2 и B, описывающих антропогенное воздействие двух проектов на окружающую среду и социум, а также вектора весов значимости социальных факторов G — выполните расчет агрегированных оценок воздействия на социум. На из основании сделайте выбор наилучшего проекта. Лабораторная работа № 2.2. Задание 3. Числовые значения для этой части работы находятся в таблицах 2.5 — 2.11, на с.62–68. В качестве вектора-столбца V используется 1-й столбец матрицы A2.

Fre e

Доказать, что матрица H = E − 2 ·

V · VT |V |2

является ортогональной.

Проверить для нее свойства ортогональной матрицы. Лабораторная работа № 2.2. Задание 4. Числовые значения для этой части работы находятся в таблицах 2.12 — 2.14, на с.69–71. Для СЛАУ с матрицей правых частей (свободных членов) дополнительно взять вектор R из следующего варианта28) . Для решения СЛАУ командой solve с двумя и с тремя уравнениями взять из матрицы A и вектора R: ⇒ 1,6,11,16,21,26,31,36 варианты — уравнения: [1, 3] и [2, 3, 4]; 28)

Для последнего варианта использовать данные из первого варианта.

56

cop yv .2

⇒ 2,7,12,17,22,27,32,37 варианты — уравнения: [2, 3] и [1, 2, 3]; ⇒ 3,8,13,18,23,28,33,38 варианты — уравнения: [1, 3] и [1, 2, 4]; ⇒ 4,9,14,19,24,29,34,39 варианты — уравнения: [2, 3] и [1, 3, 4]; ⇒ 5,10,15,20,25,30,35,40 варианты — уравнения: [1, 2] и [2, 3, 4]. Для переопределённой СЛАУ взять в качестве 5-го уравнения — 1-е уравнение из следующего варианта (из матрицы A и вектора R)28) . Исследуйте и, если единственное решение существует, найдите по формулам Крамера, методом обратной матрицы, с помощью команд linsolve (для свободных членов, заданных матрицей) и solve — решение СЛАУ. Сделайте проверку правильности полученных решений29) . С помощью команд Maple implicitplot, implicitplot3d и display постройте графики и поверхности пересечения функций СЛАУ, включающие 2 и 3 уравнения. Методом наименьших квадратов получить решение переопределённой СЛАУ. Для этого воспользоваться Maple функцией leastsqrs. Сделайте проверку правильности полученного решения.

Fre e

Лабораторная работа № 2.3. Задание 5. Числовые значения для этой части работы находятся в таблицах 2.15 — 2.19, на с.72–76. Исследуйте заданную таблицей межотраслевого баланса модель эколого-экономической системы (в таблицах строки и столбцы означают: A и I — сельское хозяйство, B и I I — промышленность, C и I I I — транспорт, IV — сектор конечного спроса (домашние хозяйства), Σ — общий выпуск, Z — выбросы загрязняющего вещества на единицу продукции каждого сектора, Y — заданный (новый) конечный спрос на продукцию). Найдите: общий выпуск для каждого сектора и сравните с Σ, суммарное количество выбросов, структурную матрицу коэффициентов прямых затрат, объем выпуска каждой отрасли по заданному конечному спросу (Y ), зависимость выпуска каждой отрасли от конечного спроса. Проверьте выполнение условий Хаукинса-Саймона. Найдите, как должен измениться выпуск каждого сектора и выбросы загрязняющего вещества при указанном увеличении спроса (k%) на продукцию одного из производящих секторов. Для номеров вариантов №: 29)

Если единственного решения не существует измените вектор правых частей (R) так, чтобы для него можно было найти решение вышеприведенными методами.

57

cop yv .2

⇒ № = 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40 — на продукцию A (сельское хозяйство); ⇒ № = 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38 — на продукцию B (промышленность); ⇒ № = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39 - на продукцию C (транспорт); k% формируется для вариантов № следующим образом: ⇒ № = 1 − 10: k% = №; № − 5; ⇒ № = 11 − 20: k% =

Fre e

2 № ⇒ № = 21 − 30: k% = − 5; 3 № ⇒ № = 31 − 40: k% = − 5; 4

58

Варианты к заданиям блока лабораторных работ № 2

cop yv .2

2.7

Таблица 2.2 – Лабораторная работа № 2.1. Задание 1 (варианты 1–12) i=1 0.64 -0.14 0.91 1.69

j=1 1.74 1.07 1.44 -3.89

Вариант 2 0.7 M= 2.07 1.38 0.73

i=1 0 0.25 -0.16 0.26

j=2 1.79 1.31 1.06 -2.51

Вариант 3 1.92 M= 3.42 1.29 1.03

i=1 1.48 0.64 0.53 0.82

j=3 1.76 0.86 0.37 -3.34

Вариант 4 0.99 M= 3.23 1.28 1.49

i=1 0.91 -1.06 1.09 1.23

j=2 0.82 1.89 1.38 -2.51

Вариант 5 1.52 M= 2.74 1.58 1.75

i=2 0.42 -0.24 -0.41 0.34

j=1 1.09 1.6 -0.14 -2.4

Вариант 6 1.31 M= 3.04 1.13 0.39

i=2 0.59 -0.6 0.45 0.56

j=2 1.8 0.52 -0.49 -2.84

Fre e

Вариант 1 0.45 M= 2.49 1.99 1.61

-0.44 0.96 0.43 1.29

Вариант 7 1.32 M= 2.84 1.61 1.67

i=2 0.12 -1.15 -0.29 1.65

j=3 1.1 1.73 0.77 -2.26

-0.42 -0.35 -0.69 0.47

-0.92 0.33 0.49 1.71

Вариант 8 0.69 M= 3.47 0.93 0.74

i=2 -0.35 -0.57 -0.24 0.9

j=1 1.37 0.78 0.13 -3.64

0.72 0.45 -0.46 0.69

0.75 -0.64 0.43 1.32

Вариант 9 0.11 M= 2.7 2.43 0.76

i=3 0.09 0.46 -0.08 0.53

j=1 0.78 1.21 -0.2 -3.16

-0.77 -0.01 0.93 0.83

0.38 0.2 0.55 1.33

Вариант 10 1.69 M= 3.62 1.72 0.46

i=3 -0.11 0.52 1.14 1.72

j=2 0.7 1 0.88 -3.95

0.98 0.17 -0.73 1.73

-0.93 0.7 0.92 1.45

Вариант 11 0.69 M= 2.58 1.23 1.52

i=3 1.33 0.28 -0.48 0.29

j=3 0.85 0.53 0.75 -2.49

-0.02 0.12 -0.17 0.33

0.95 1.21 -0.28 1.32

Вариант 12 1.63 M= 2.18 1.3 1.71

i=3 1.35 -0.11 0.54 1.63

j=2 1.54 0.46 1 -2.4

1 0.3 -0.18 1.11

59

cop yv .2

Таблица 2.3 – Лабораторная работа № 2.1. Задание 1 (варианты 13–26) i=1 -0.44 0.23 0.71 1.56

j=1 2.27 1.13 1.25 -3.5

Вариант 14 0.46 M= 3.54 1.85 1.39

i=1 0.3 0.61 0.65 0.8

j=2 1.17 1.36 1.45 -2.53

Вариант 15 0.38 M= 3.25 1.48 0.32

i=1 0.96 0.25 0.05 1.78

j=3 2.11 0.9 -0.33 -3.73

Вариант 16 1.32 M= 3.52 1.41 1.24

i=1 0.08 0.57 1.11 0.68

j=1 1.91 1.7 1.24 -3.2

Вариант 17 1.68 M= 2.71 1.27 2.11

i=2 0.1 0.49 0.33 0.11

j=1 1.85 0.28 1.42 -2.61

Вариант 18 0.77 M= 3.64 0.74 1.46

i=2 1.1 -0.01 0.4 0.18

j=2 1.75 1.24 0.87 -3.75

Вариант 19 1.5 M= 3.22 1.67 1.05

i=2 0.83 -0.48 1.04 0.98

j=3 0.81 1.7 0.24 -2.27

Fre e

Вариант 13 0.24 M= 2.93 1.29 0.58

0.87 1.12 -0.14 0.82

Вариант 20 1.89 M= 3.95 2.28 1.01

i=2 0.23 -0.6 1.16 0.36

j=2 1.76 0.65 0.1 -2.4

0.12 -0.64 0.94 0.21

-0.53 0.86 -0.15 0.07

Вариант 21 0.85 M= 2.12 0.52 2.16

i=3 1.29 0.39 0 1.51

j=1 2.17 0.7 1.26 -3.74

-0.39 -0.63 -0.78 1.5

0.62 -0.37 -0.53 1.14

Вариант 22 1.27 M= 2.53 0.89 1.07

i=3 0.8 -1.25 -0.31 0.04

j=2 1.84 0.24 1.17 -3.82

-0.69 -0.29 -0.11 1.07

-0.46 0.77 -0.28 1.19

Вариант 23 0.55 M= 2.5 1.93 0.66

i=3 1.48 0.65 1.04 0.74

j=3 1.49 0.3 1.2 -2.92

0.81 0.29 0.11 1.95

0.34 1.07 0.51 1.44

Вариант 24 0.08 M= 2.49 2.28 1.62

i=3 0.9 -0.58 -0.33 1.62

j=1 1.21 1.78 0.85 -2.71

0.14 0.14 -0.76 0.44

-0.21 -0.08 -0.52 0.61

Вариант 25 0.08 M= 2.11 1.55 0.38

i=1 0.03 -1.21 0.53 0.3

j=1 0.68 0.73 0.73 -3.53

-0.84 -0.63 -0.78 1.49

-0.59 -0.58 0.81 1.17

Вариант 26 1.05 M= 2.78 2.01 0.42

i=1 0.05 -0.84 -0.3 1.6

j=2 0.87 1.24 0.78 -3.24

0.99 1.04 0.21 0.1

60

cop yv .2

Таблица 2.4 – Лабораторная работа № 2.1. Задание 1 (варианты 27–40) i=1 1.49 0.56 0.79 1.05

j=3 2.31 0.19 -0.39 -3.43

Вариант 28 0.67 M= 2.06 1.81 0.82

i=1 0.08 -0.28 0.18 1.91

j=2 1.19 1.41 -0.46 -3.33

Вариант 29 0.12 M= 3.19 0.87 0.21

i=2 0.89 0.31 0.66 1.94

j=1 0.91 0.22 1.09 -3.09

Вариант 30 0.23 M= 3.02 2.42 0.58

i=2 0.74 0.38 0.02 0.55

j=2 1.2 0.46 0.34 -2.1

Вариант 31 0.08 M= 2.3 1.46 1.95

i=2 1.23 0.52 0.71 0.01

j=3 2.4 0.62 1.15 -3.46

Вариант 32 1.61 M= 3.58 1.14 1.17

i=2 0.2 0.49 0.08 1.33

j=1 0.99 0.71 -0.41 -4

Вариант 33 0.4 M= 3.29 2.34 0.66

i=3 0.55 0.31 0.78 0.78

j=1 2.14 0.66 -0.4 -3.06

Fre e

Вариант 27 1.66 M= 3.94 1.56 1.18

0.02 0.43 0 0.58

Вариант 34 1.94 M= 3.97 1.53 0.44

i=3 0.8 0.18 -0.24 0.87

j=2 2.21 0.3 0.03 -3.51

-0.17 0.34 0.57 0.72

0.41 -0.49 -0.5 0.72

Вариант 35 1.64 M= 2.12 1.14 1.01

i=3 1.01 0.33 -0.41 1.4

j=3 2.49 1.04 0.19 -3.78

-0.12 1.12 0.76 0.46

-0.92 -0.09 0.94 0.63

Вариант 36 1.93 M= 3.85 1.83 1.13

i=3 1.26 0.26 0.99 1.96

j=1 1.21 1.52 0.96 -3.44

-0.03 -0.33 -0.7 1.96

0.03 1.17 -0.49 1.49

Вариант 37 0.46 M= 3.49 1.85 1.57

i=1 0.89 0.59 0.77 1.75

j=1 1.92 1.92 0.34 -3.25

0 -0.6 -0.18 1.14

-0.09 -0.17 0.11 1.83

Вариант 38 0.23 M= 2.81 1.53 1.88

i=2 0.74 -0.11 0.46 1.54

j=2 1.99 1.04 0.82 -2.78

0.19 -0.48 -0.73 0.38

-0.64 0.18 0.95 0.58

Вариант 39 1.85 M= 2.93 1.97 0.29

i=3 0.42 -1.25 0.16 1.88

j=3 0.6 0.19 0.69 -2.69

-0.95 0.64 -0.2 0.54

0.58 -0.62 -0.6 0.04

Вариант 40 1.45 M= 3.84 2.00 1.04

i=1 0.48 -0.17 1.32 0.38

j=3 2.32 0.36 -0.22 -3.01

-0.88 0.05 0.24 1.74

61

cop yv .2

Таблица 2.5 – Лабораторная № 2.1-2. Задание 2-3 (варианты 1–6) Вариант 1 2 0 A1= 1 -2 0 Вариант 2 -1 -2 A1= 1 -2 1 Вариант 3 -2 1 A1= -2 3 -1 Вариант 4 3 -1 A1= -1 2 -2

1 3 -2 0 -1

0 0 1 2 -2

3 -1 3 -3 0

-1 0 2 0 1

2 3 2 -1 2

-3 -1 2 3 1

-1 2 -2 -1 2

Fre e

Вариант 5 0 -3 A1= -1 2 -3

2 2 3 2 -2

Вариант 6 0 0 A1= 1 0 2

2 3 -2 -1 3

1 2 1 -2 -2

2 -1 -1 3 -1

2 3 -1 1 2

A2=

A2=

A2=

A2=

A2=

A2=

V -1 2 3 -2 -3

1 0 3 0 1

-2 -1 0 -2 -2

V 0 2 -1 2 -1

1 -2 -2 3 -1

-3 2 -2 1 0

V 2 -1 0 -2 0

-1 -2 -1 0 1

0 -3 1 0 -1

V 0 -3 -1 2 1

-2 0 0 -2 -2

-1 1 -1 -1 0

V 2 3 -1 -3 -3

-1 -2 0 0 1

-2 2 3 -1 3

V -3 2 -3 -1 -1

3 0 -1 0 -2

-1 3 2 -2 -3

62

B=

-1 -1 2

-2 -2 3

-2 0 3

-1 0 3

G=

3

7

9

4

B=

-3 0 -1

3 -1 -2

-2 -2 -3

-1 2 -1

G=

8

5

10

10

B=

2 2 -3

-2 1 -3

-1 3 1

-2 0 -3

G=

6

2

4

1

B=

2 0 -2

1 -1 1

0 -3 -3

1 1 -2

G=

1

3

8

3

B=

2 0 -1

0 0 3

1 -1 -1

3 0 -3

G=

9

1

9

1

B=

3 -2 0

-2 -2 1

0 0 2

-1 -1 -3

G=

6

3

7

9

cop yv .2

Таблица 2.6 – Лабораторная № 2.1-2. Задание 2-3 (варианты 7–12) Вариант 7 2 1 A1= 2 -1 2 Вариант 8 2 -2 A1= 3 -1 1 Вариант 9 -1 -1 A1= 1 -2 1

1 -3 -2 0 -2

2 1 2 -2 -2

0 3 0 -1 -2

Вариант 10 2 -3 2 3 A1= 2 1 -1 -1 1 0

-3 1 2 1 0

-3 3 0 0 3

1 0 -2 1 3

Fre e

Вариант 11 -2 1 2 -3 A1= -2 0 0 -2 1 2

1 -1 -1 -1 -1

Вариант 12 -3 0 0 2 A1= -2 2 -2 1 2 -1

0 0 1 -2 0

1 2 1 2 2

A2=

A2=

A2=

A2=

A2=

A2=

V 1 2 0 2 -3

1 2 -3 1 2

-1 3 -2 0 2

V -2 1 0 2 2

-3 2 0 0 2

2 -2 -1 0 2

V 1 -1 -1 3 0

-3 0 1 -2 0

1 0 -3 2 -2

V -1 -1 0 1 1

2 -1 -3 -3 -2

0 2 2 -1 -1

V -1 1 2 -2 1

3 -1 -2 0 -2

2 2 -1 -3 -3

V -2 1 2 -1 0

1 1 3 -1 2

-2 -3 3 -1 2

63

B=

0 3 -2

-2 1 -3

-2 -2 2

0 3 0

G=

8

1

3

4

B=

1 1 2

-3 3 -1

-1 -1 2

1 -2 0

G=

4

5

10

2

B=

1 2 0

-2 0 -2

-3 -1 -1

3 2 -2

G=

2

7

9

6

B=

-2 -2 1

1 3 0

-2 2 -1

2 -1 0

G=

2

2

3

5

B=

-1 0 1

2 0 -3

-2 -1 1

-1 -2 0

G=

4

8

4

6

B=

3 -3 -2

0 1 -2

3 -1 1

0 -1 3

G=

1

5

10

8

cop yv .2

Таблица 2.7 – Лабораторная № 2.1-2. Задание 2-3 (варианты 13–18) Вариант 13 2 -2 -2 -1 A1= 1 3 -1 -2 -3 0 Вариант 14 2 1 -1 -3 A1= 1 1 3 -2 0 2 Вариант 15 -2 -2 3 -2 A1= -2 -1 -1 0 2 2 Вариант 16 1 0 -1 3 A1= -1 -1 3 -2 0 2

-2 3 2 3 2

1 0 3 3 0

1 3 1 2 3

Fre e

Вариант 17 2 0 -1 -2 A1= 0 1 -2 2 -1 1

-3 0 1 1 0

Вариант 18 3 -2 0 -1 A1= 2 2 1 -1 -2 -1

2 -3 -1 -3 -1

-2 -2 -3 3 0

A2=

A2=

A2=

A2=

A2=

A2=

V -3 2 -1 0 1

-3 3 1 1 -3

3 0 -3 1 3

V 3 0 0 -2 0

-2 -3 2 -2 1

1 1 1 2 0

V 2 0 2 -2 0

-2 -2 2 1 0

-1 2 1 -2 -3

V 2 1 -1 -1 2

-3 -2 -3 0 -2

2 0 1 3 -1

V 0 1 2 0 0

-2 -3 -3 1 -1

1 0 -3 -2 1

V -3 1 2 1 -2

-1 2 0 2 3

-1 0 0 -1 2

64

B=

0 -1 -2

2 0 0

-2 3 -2

-1 -2 2

G=

7

10

3

8

B=

-1 1 -2

-2 -1 1

0 -1 -3

-3 2 -2

G=

5

2

6

7

B=

1 -2 2

1 2 -2

0 2 2

3 2 1

G=

3

1

6

5

B=

2 2 0

3 2 2

-2 -1 -1

1 3 0

G=

8

9

2

5

B=

2 0 -1

0 2 1

1 2 1

-1 -1 -2

G=

2

7

8

9

B=

-1 -1 1

0 -1 2

-1 0 -2

-3 -2 -3

G=

5

6

3

6

cop yv .2

Таблица 2.8 – Лабораторная № 2.1-2. Задание 2-3 (варианты 19–24) Вариант 19 1 -2 2 -2 A1= -2 0 3 -1 -2 0 Вариант 20 -2 2 2 0 A1= -3 -2 -3 -1 0 -1 Вариант 21 -1 -3 -2 0 A1= -3 0 -3 2 -1 1

Вариант 22 1 -1 -3 -2 A1= 0 2 -2 1 0 1

0 1 -2 0 1

-2 0 -3 -2 -1

-2 -1 -1 0 1

Fre e

Вариант 23 0 2 -1 -1 A1= 3 1 2 -2 -2 -1

0 -3 -3 1 2

Вариант 24 2 0 0 2 A1= 1 -1 1 0 2 2

3 -1 -1 -3 -1

-3 0 0 2 -3

A2=

A2=

A2=

A2=

A2=

A2=

V -1 2 2 0 -2

1 3 -3 -1 2

1 3 2 0 3

V 2 1 -3 2 2

2 0 3 3 -2

-2 -2 0 2 1

V 1 2 1 1 2

3 -2 3 -3 0

0 -1 3 -1 -3

V -1 -2 1 -3 0

-2 -2 0 -1 -1

1 -2 0 0 0

V -3 2 2 2 3

2 -3 0 -2 2

-2 1 -2 -2 1

V 1 -1 1 -1 -2

3 2 2 3 -1

-1 -3 1 1 -1

65

B=

0 0 1

3 1 -1

-2 -1 1

1 -1 1

G=

8

4

9

7

B=

0 -1 -1

-1 -2 1

2 0 -3

0 -2 0

G=

4

2

6

9

B=

2 1 2

-1 2 3

1 -3 -1

1 2 -2

G=

6

9

1

6

B=

2 -2 1

-1 -1 -2

1 0 2

0 0 -1

G=

9

3

5

1

B=

-1 0 0

3 1 -1

-1 0 -1

-1 -2 2

G=

8

7

3

6

B=

1 0 1

-1 -1 -2

0 -1 -1

3 1 2

G=

8

7

2

10

cop yv .2

Таблица 2.9 – Лабораторная № 2.1-2. Задание 2-3 (варианты 25–30) Вариант 25 -1 1 2 0 A1= 1 2 2 2 -3 -2 Вариант 26 -1 -2 0 2 A1= -1 -2 1 0 -3 1

Вариант 27 -1 -1 -2 -3 A1= 1 0 -2 1 -2 -3 Вариант 28 -3 2 -1 -2 A1= -3 0 1 -1 3 3

0 0 2 1 -1

-1 1 -2 2 3

2 2 2 0 2

Fre e

Вариант 29 2 -2 -1 3 A1= 0 -2 3 1 2 -2

2 -1 0 3 -1

Вариант 30 2 -1 0 1 A1= 2 -2 -2 2 1 -2

-1 -1 -2 3 2

0 1 -1 -2 -1

A2=

A2=

A2=

A2=

A2=

A2=

V 1 3 -2 -1 3

0 -3 3 -3 -3

1 -3 0 0 2

V -2 -2 0 1 -1

1 -2 1 2 -2

1 0 -2 0 1

V -1 -2 0 1 -1

0 -1 2 1 2

2 -3 2 -1 -1

V 1 -2 0 0 -3

2 1 -1 3 3

2 2 3 2 -2

V -3 0 -1 2 3

1 2 -3 2 3

-3 3 -3 -1 -2

V 1 0 2 0 0

2 1 -2 1 0

2 3 0 0 0

66

B=

0 -2 0

-2 3 3

2 2 0

0 3 0

G=

10

2

4

3

B=

3 -2 3

2 1 0

0 2 -2

3 1 -1

G=

8

6

4

6

B=

-2 3 1

-2 -1 -3

-1 1 1

3 1 -3

G=

10

8

9

7

B=

-3 2 2

1 -3 1

-1 -2 0

3 -3 3

G=

5

2

1

4

B=

2 2 3

0 0 2

1 2 -1

0 3 -3

G=

1

3

7

2

B=

0 3 2

0 0 2

-2 2 -3

-1 2 2

G=

9

7

5

6

cop yv .2

Таблица 2.10 – Лабораторная № 2.1-2. Задание 2-3 (варианты 31–36) Вариант 31 1 -3 1 1 A1= -2 3 0 -1 2 3 Вариант 32 2 -2 1 3 A1= -3 3 -3 -2 -1 3 Вариант 33 2 2 -2 2 A1= 2 0 -2 2 -1 1

Вариант 34 -2 0 -3 2 A1= 3 -2 1 2 1 2

0 0 0 -1 -1

-1 0 -3 0 0

1 -2 2 -1 1

Fre e

Вариант 35 1 0 -2 0 A1= -3 -1 0 2 0 2

-1 -1 -1 3 -1

Вариант 36 -1 2 -3 1 A1= -1 1 1 0 0 2

3 2 -2 -2 1

2 -2 0 0 2

A2=

A2=

A2=

A2=

A2=

A2=

V -1 2 -1 2 2

-3 -2 1 0 3

2 -1 -2 1 0

V 2 2 1 1 2

3 -2 1 0 3

1 -1 0 0 -3

V 1 2 0 0 1

2 -1 2 0 2

-3 1 1 2 -1

V 2 -1 0 2 1

2 1 0 1 -2

3 0 -1 2 -1

V 2 -2 3 -2 -3

-1 -2 3 1 1

2 -2 3 -2 2

V 0 -2 1 -2 -2

-1 3 -1 3 2

1 1 0 -2 0

67

B=

-2 1 2

1 2 -2

2 1 2

2 1 -1

G=

5

10

9

2

B=

-3 2 2

2 -3 -3

1 1 1

-1 1 -2

G=

2

8

4

7

B=

-2 2 -2

1 0 2

3 -2 1

-2 -3 0

G=

1

8

2

3

B=

2 -2 -2

2 -1 3

-2 2 -2

1 -2 3

G=

8

5

4

2

B=

-1 1 1

0 0 2

-1 3 -1

-2 2 0

G=

2

8

9

1

B=

-2 0 -1

-1 2 -2

-3 -3 2

-2 2 0

G=

4

5

3

9

cop yv .2

Таблица 2.11 – Лабораторная № 2.1-2. Задание 2-3 (варианты 37–40) Вариант 37 -2 2 2 -1 A1= -1 3 -2 3 0 -1 Вариант 38 3 0 2 0 A1= -1 -2 -1 0 1 1

Вариант 39 1 1 -2 2 A1= 1 0 2 0 -3 -2

3 1 -2 3 -1

0 1 1 3 3

Fre e

Вариант 40 0 1 1 0 A1= 2 0 2 -2 0 -2

2 1 0 2 3

1 2 1 2 1

A2=

A2=

A2=

A2=

V -2 -1 -1 -2 1

-1 2 0 -1 0

-2 0 0 3 -1

V -2 -3 3 -2 0

0 2 -1 3 -1

0 1 1 -2 1

V 3 3 -2 1 -1

2 -2 -2 -1 3

1 -2 1 -3 0

V -2 0 -1 2 -2

-3 -2 -1 2 -3

-3 1 1 0 1

68

B=

1 2 -1

0 1 2

-1 0 1

1 1 1

G=

4

6

8

7

B=

3 2 0

1 1 -1

3 3 -1

-1 -1 -2

G=

8

2

7

5

B=

2 0 -1

-2 3 3

-3 -3 1

1 0 -1

G=

6

2

10

3

B=

-2 0 0

-2 0 1

-3 -1 1

3 -2 2

G=

9

4

6

3

cop yv .2

Таблица 2.12 – Лабораторная работа № 2.2. Задание 4 (варианты 1–12)

0.61 A= -0.26 -0.21 0.05

Вариант 0.65 -0.20 0.40 0.23

2 0.30 0.42 0.41 0.31

0.65 A= 0.26 0.01 0.30

Вариант 0.35 0.00 0.28 0.29

3 0.87 0.10 0.92 0.00

0.36 A= 0.51 0.30 -0.09

Вариант 0.60 0.47 0.24 0.03

4 0.40 0.70 0.40 0.68

0.22 A= -0.24 0.60 -0.10

Вариант 5 -0.32 -0.04 0.25 0.49 -0.30 0.09 0.76 0.13

0.27 A= -0.01 0.31 0.76

Вариант 0.25 0.02 0.16 -0.24

0.34 0.05 0.04 -0.26

0.44 0.08 0.47 0.20

0.51 0.48 0.53 0.09

-0.23 0.81 0.53 0.60

0.20 0.07 0.22 0.87

Fre e

0.47 A= 0.07 0.01 -0.08

Вариант 1 0.09 0.60 0.17 -0.27 -0.37 -0.23 0.53 0.27

6 0.12 0.45 0.47 0.56

0.49 0.23 0.10 0.08

-0.01 A= 0.88 0.59 0.61

Вариант 0.42 0.09 0.21 0.12

7 0.64 0.80 0.37 0.79

-0.39 0.22 -0.02 0.26

0.19 R= 0.14 0.33 0.68

0.46 A= 0.31 0.78 0.51

Вариант 8 0.00 -0.13 0.11 0.91 0.58 0.15 0.48 0.10

0.40 0.66 0.24 0.34

0.30 R= 0.27 -0.30 -0.14

0.44 R= 0.55 0.27 0.63

0.54 A= 0.80 0.66 0.35

Вариант 9 0.11 0.25 0.03 -0.33 0.30 0.21 0.25 -0.20

0.06 -0.19 -0.36 0.64

0.43 R= 0.05 -0.19 -0.01

0.24 R= 0.07 0.46 0.30

Вариант 0.27 -0.13 A= 0.16 -0.07 0.20 0.49 0.01 0.39

10 0.28 0.37 -0.29 0.42

0.59 -0.19 0.77 0.48

-0.58 R= 0.94 0.61 0.68

0.32 R= 0.62 0.30 0.54

Вариант 0.25 0.47 A= 0.33 -0.10 0.86 0.36 -0.13 0.11

11 0.97 0.27 0.68 0.61

0.33 0.53 -0.06 0.39

0.93 R= -0.07 0.47 -0.31

0.18 R= 0.30 0.84 0.87

Вариант -0.03 0.57 A= 0.35 0.65 0.07 -0.12 0.25 0.18

12 0.78 -0.04 0.46 0.37

0.13 0.02 0.30 0.58

0.05 R= 0.18 0.17 0.39

0.54 R= -0.03 -0.39 0.36

0.26 R= 0.08 -0.01 0.54

69

cop yv .2

Таблица 2.13 – Лабораторная работа № 2.2. Задание 4 (варианты 13–26) 13 0.52 0.04 -0.19 0.00

Вариант 0.64 0.13 A= -0.33 0.81 0.42 0.07 0.13 -0.06

14 0.22 0.39 0.40 0.69

Вариант 0.80 0.46 A= 0.06 0.74 0.77 0.85 0.01 0.14

15 -0.38 0.87 0.66 0.60

Вариант 0.24 0.76 A= 0.54 -0.13 0.67 0.36 0.14 -0.22

16 0.47 0.71 0.25 0.20

Вариант 0.03 0.35 A= 0.26 0.27 -0.11 -0.14 0.13 0.36

17 0.15 0.49 0.45 0.18

Вариант 0.12 0.45 A= 0.30 -0.31 0.69 0.18 0.34 0.24

18 -0.27 0.52 0.82 0.69

Вариант 0.52 0.31 A= 0.21 0.14 0.40 0.04 0.60 0.29

19 -0.14 0.62 0.26 0.37

0.61 0.35 0.05 -0.42

0.05 0.50 0.69 0.24

0.06 0.73 0.59 -0.01

0.97 0.05 0.83 -0.08

-0.13 0.61 0.47 0.79

Fre e

Вариант 0.91 0.18 A= 0.33 -0.07 0.78 0.13 0.23 0.22

-0.02 0.19 0.04 0.44

-0.14 0.61 0.82 0.75

0.42 R= 0.50 0.68 0.79

Вариант 0.29 0.06 A= -0.12 0.49 0.27 -0.03 -0.07 0.58

20 0.22 0.37 0.26 0.53

0.03 0.20 0.08 -0.13

0.49 R= 0.64 0.75 0.56

0.44 R= -0.36 0.23 0.52

Вариант 0.70 0.54 A= 0.47 0.41 0.16 0.01 0.10 0.31

21 0.55 0.10 -0.18 0.16

0.13 0.17 0.56 0.01

0.33 R= 0.47 -0.18 0.87

0.05 R= 0.29 -0.19 0.17

Вариант 0.36 0.50 A= 0.10 0.12 -0.17 -0.25 0.31 -0.02

22 0.15 -0.08 0.23 0.12

0.47 -0.05 0.66 0.51

-0.25 R= 0.50 0.03 -0.22

0.24 R= 0.64 0.65 0.51

Вариант 0.41 0.48 A= 0.13 0.37 0.22 0.63 0.20 0.03

23 -0.28 -0.49 0.70 0.24

0.81 0.40 0.72 -0.13

0.36 R= -0.08 0.76 0.40

0.12 R= 0.60 0.19 0.14

Вариант 0.64 -0.23 A= -0.07 0.36 0.38 0.29 0.77 0.39

24 -0.12 -0.06 -0.34 -0.04

0.51 0.01 0.56 0.79

0.29 R= 0.50 0.48 -0.17

0.78 R= 0.24 0.00 0.04

Вариант 0.27 0.69 A= -0.22 -0.09 0.31 0.14 0.48 -0.23

25 0.10 0.52 0.50 0.29

0.90 0.14 0.38 0.14

-0.46 R= -0.03 0.50 0.52

0.10 R= 0.16 0.74 0.43

Вариант 0.31 0.22 A= 0.28 0.43 -0.23 0.14 -0.29 0.60

26 -0.46 0.17 0.40 0.16

0.61 0.54 0.58 0.46

0.02 R= 0.35 0.37 -0.26

70

cop yv .2

Таблица 2.14 – Лабораторная работа № 2.2. Задание 4 (варианты 27–40) 27 0.48 0.82 0.49 -0.09

Вариант 0.51 -0.02 A= 0.70 -0.36 0.10 0.21 0.09 -0.04

28 0.05 0.78 0.53 0.57

Вариант 0.05 0.26 A= -0.34 0.13 0.66 0.59 0.12 -0.01

29 0.66 0.34 0.49 -0.31

Вариант -0.04 0.80 A= 0.61 0.06 0.56 -0.51 0.56 0.11

30 -0.01 0.02 -0.03 0.37

Вариант 0.67 0.04 A= 0.39 -0.35 0.02 0.80 0.08 0.56

31 0.33 0.19 0.51 0.19

Вариант 0.23 -0.14 A= 0.61 0.52 0.81 0.14 0.58 0.07

32 0.50 -0.55 0.35 0.59

Вариант 0.90 0.03 A= 0.40 0.12 0.35 0.44 0.88 -0.20

33 0.20 0.61 -0.45 0.33

0.84 0.39 0.34 0.14

-0.19 0.08 0.84 -0.09

0.09 -0.64 0.03 0.14

0.65 -0.60 0.55 -0.12

0.55 0.17 -0.35 0.03

Fre e

Вариант 0.59 0.13 A= 0.16 0.20 -0.18 0.24 0.08 0.79

0.32 0.76 -0.24 0.92

-0.39 0.13 0.83 0.51

0.63 R= 0.38 -0.17 0.27

Вариант -0.23 -0.13 A= 0.25 0.11 0.20 0.47 0.33 0.27

34 0.23 0.06 0.55 0.97

0.34 0.17 0.35 -0.14

-0.10 R= 0.36 0.16 0.88

-0.01 R= 0.47 -0.19 0.53

Вариант 0.10 -0.28 A= 0.23 0.46 0.22 -0.38 0.64 0.49

35 0.62 0.40 0.31 0.87

0.36 -0.12 0.24 0.00

-0.13 R= -0.06 0.28 -0.22

0.14 R= 0.40 0.61 0.25

Вариант 0.20 0.01 A= -0.03 0.78 0.16 -0.17 0.79 -0.25

36 -0.12 0.43 0.50 0.17

0.57 0.19 0.32 0.45

0.00 R= 0.29 -0.17 0.08

0.80 R= 0.34 0.69 -0.01

Вариант 0.24 0.08 A= 0.69 -0.09 0.24 0.17 0.19 0.57

37 0.04 0.16 0.60 0.10

0.20 0.48 0.01 0.66

-0.48 R= 0.37 0.45 0.22

0.51 R= 0.81 0.26 0.61

Вариант 0.55 -0.07 A= 0.02 0.00 0.36 0.75 0.56 0.13

38 -0.13 0.71 0.16 0.01

0.32 0.14 0.02 0.92

0.04 R= 0.07 -0.11 0.22

0.83 R= 0.76 -0.16 0.17

Вариант 0.22 -0.08 A= -0.02 0.33 0.75 -0.20 0.34 0.74

39 0.24 0.50 0.42 0.39

0.76 0.81 0.15 -0.28

0.15 R= 0.88 0.39 -0.23

-0.20 R= 0.17 0.76 0.03

Вариант 0.46 0.21 A= 0.27 0.01 0.19 -0.16 0.58 0.38

40 -0.09 -0.32 0.41 0.25

0.56 0.82 0.16 -0.01

0.30 R= 0.75 0.76 0.33

71

72

Fre e

III 250 200 150

III 350 280 210

Вариант 7 I II A 70 52 B 23 45 C 17 62

III 150 120 90

Вариант 3 I II A 30 28 B 10 25 C 7 38

Вариант 5 I II A 50 40 B 16 35 C 12 50

III 50 40 30

Вариант 1 I II A 10 16 B 3 15 C 2 26

IV 80 43 47

IV 60 36 42

IV 40 30 37

IV 20 23 32

Σ 552 391 336

Σ 400 287 254

Σ 248 185 172

Σ 96 81 90

Y=

Y=

600 450 400

410 300 300

300 250 190

Z=

Z=

Z=

Z=

0.24 0.22 0.43

0.44 0.24 0.29

0.13 0.17 0.41

0.36 0.5 0.05

Вариант 8 I II A 80 58 B 26 50 C 20 68

Вариант 6 I II A 60 46 B 20 40 C 15 56

Вариант 4 I II A 40 34 B 13 30 C 10 44

III 400 320 240

III 300 240 180

III 200 160 120

III 100 80 60

IV 90 46 50

IV 70 40 45

IV 50 33 40

IV 30 26 35

Σ 628 442 378

Σ 476 340 296

Σ 324 236 214

Σ 172 132 132

Y=

200 150 110 Z=

0.51 0.5 0.07

Y=

Y=

Y=

650 450 400

500 400 350

400 250 250

Z=

Z=

Z=

0.27 0.05 0.08

0.46 0.08 0.3

0.36 0.15 0.03

cop yv .2

Y=

Y=

100 100 110

Вариант 2 I II A 20 22 B 6 20 C 5 32

Таблица 2.15 – Лабораторная работа № 2.3. Задание 5 (варианты 1–8)

73

Fre e

13 II 58 50 68

15 II 70 60 80

Вариант I A 100 B 33 C 25

11 II 46 40 56

Вариант I A 60 B 20 C 15

Вариант I A 80 B 26 C 20

II 64 55 74

9

Вариант I A 90 B 30 C 22

III 500 400 300

III 400 320 240

III 300 240 180

III 450 360 270

IV 11 53 55

IV 90 46 50

IV 70 40 45

IV 100 50 52

Σ 780 546 460

Σ 628 442 378

Σ 476 340 296

Σ 704 495 418

Y=

Y=

800 600 500

660 400 350

500 400 300

Z=

Z=

Z=

Z=

0.45 0.02 0.42

0.03 0.05 0.18

0.42 0.17 0.09

0.21 0.08 0.38

Вариант I A 90 B 36 C 27

Вариант I A 90 B 30 C 22

Вариант I A 70 B 23 C 17

16 II 64 65 86

14 II 64 55 74

12 II 52 45 62

10 II 70 60 80

III 450 440 330

III 450 360 270

III 350 280 210

III 500 400 300

IV 100 56 57

IV 100 50 52

IV 80 43 47

IV 110 53 55

Σ 704 597 500

Σ 704 495 418

Σ 552 391 336

Σ 780 546 460

Y=

800 600 500 Z=

0.23 0.1 0.34

Y=

Y=

Y=

720 610 520

730 600 460

600 400 350

Z=

Z=

Z=

0.34 0.16 0.3

0.5 0.03 0.25

0.38 0.51 0.19

cop yv .2

Y=

Y=

710 500 420

Вариант I A 100 B 33 C 25

Таблица 2.16 – Лабораторная работа № 2.3. Задание 5 (варианты 9–16)

74

Fre e

21 II 47 55 98

23 II 489 496 254

Вариант I A 190 B 498 C 420

19 II 94 80 104

Вариант I A 140 B 46 C 35

Вариант I A 60 B 30 C 140

17 II 82 70 92

Вариант I A 120 B 40 C 30

III 161 236 119

III 300 365 696

III 700 560 420

III 600 48 360

IV 3 466 130

IV 73 45 150

IV 150 66 65

IV 130 60 60

Σ 843 1696 923

Σ 480 495 1084

Σ 1084 752 624

Σ 932 650 542

Y=

Y=

Y=

Y=

746 1504 157

100 400 600

Z=

Z=

Z=

Z=

0.22 0.19 0.06

0.1 0.08 0.47

0.12 0.14 0.31

0.34 0.16 0.38

Вариант I A 158 B 167 C 400

Вариант I A 111 B 216 C 167

Вариант I A 150 B 50 C 37

24 II 291 169 10

22 II 82 262 110

20 II 100 85 110

18 II 88 75 98

III 90 311 40

III 436 457 499

III 750 600 450

III 650 520 390

IV 33 200 407

IV 216 438 373

IV 160 70 67

IV 140 63 62

Σ 1008 701 582

Y=

1100 750 620

Z=

0.4 0.06 0.41

Σ 572 847 857

Σ 845 1373 1149

Σ 1160 805 664

Y=

Y=

Y=

233 940 414

60 685 1164

1250 850 700

Z=

Z=

Z=

0.31 0.1 0.31

0.25 0.16 0.11

0.43 0.2 0.36

cop yv .2 1200 800 700

1000 700 600

Вариант I A 130 B 43 C 32

Таблица 2.17 – Лабораторная работа № 2.3. Задание 5 (варианты 17–24)

75

Fre e

29 II 297 336 208

31 II 359 378 456

Вариант I A 35 B 108 C 333

27 II 335 429 215

Вариант I A 409 B 99 C 12

Вариант I A 317 B 411 C 11

25 II 65 404 313

Вариант I A 13 B 350 C 145

III 137 13 89

III 81 73 255

III 182 61 449

III 140 30 159

IV 128 221 448

IV 29 324 140

IV 171 354 13

IV 191 30 255

Σ 659 720 1326

Σ 724 1144 614

Σ 1097 943 689

Σ 409 814 872

Y=

Y=

Y=

Y=

405 816 1404

747 986 650

Z=

Z=

Z=

Z=

0.35 0.26 0.41

0.1 0.03 0.08

0.26 0.45 0.42

0.05 0.36 0.42

Вариант I A 467 B 135 C 52

Вариант I A 251 B 138 C 267

Вариант I A 257 B 136 C 340

32 II 159 130 207

30 II 68 239 125

28 II 251 283 382

26 II 43 422 485

III 434 238 77

III 3 145 264

III 390 471 254

III 490 256 197

IV 22 469 72

IV 35 32 466

IV 296 410 414

IV 383 342 370

Σ 974 1375 1407

Y=

1104 1023 678

Z=

0.27 0.07 0.46

Σ 1082 972 408

Σ 357 554 1122

Σ 1194 1300 1390

Y=

Y=

Y=

529 1001 488

344 50 639

712 1300 1484

Z=

Z=

Z=

0.23 0.16 0.37

0.11 0.21 0.13

0.34 0.12 0.21

cop yv .2 1302 565 973

284 558 279

Вариант I A 58 B 355 C 355

Таблица 2.18 – Лабораторная работа № 2.3. Задание 5 (варианты 25–32)

76

Fre e

37 II 342 241 460

39 II 138 199 198

Вариант I A 133 B 12 C 346

35 II 370 160 17

Вариант I A 493 B 230 C 98

Вариант I A 249 B 57 C 458

33 II 290 214 272

Вариант I A 308 B 445 C 299

III 78 79 479

III 280 136 372

III 122 46 485

III 62 340 87

IV 471 428 472

IV 174 112 241

IV 169 170 311

IV 262 266 152

Σ 820 718 1495

Σ 1045 546 1531

Σ 1154 606 911

Σ 922 1265 810

Y=

Y=

Y=

Y=

912 332 747

225 440 321

Z=

Z=

Z=

Z=

0.14 0.43 0.28

0.38 0.17 0.33

0.06 0.35 0.18

0.38 0.51 0.19

Вариант I A 154 B 181 C 131

Вариант I A 105 B 4 C 245 40 II 69 141 325

38 II 239 265 255

Вариант 36 I II A 225 6 B 382 271 C 82 236

34 II 326 149 401

III 54 70 281

III 107 413 499

III 86 366 112

III 242 281 228

IV 377 412 47

IV 240 476 366

IV 78 302 471

IV 25 159 306

Σ 723 1006 1330

Y=

790 1043 886

Z=

0.28 0.32 0.1

Σ 654 804 784

Σ 691 1158 1365

Σ 395 1321 901

Y=

Y=

Y=

724 851 879

556 1226 1388

427 806 73

Z=

Z=

Z=

0.42 0.37 0.39

0.17 0.07 0.43

0.05 0.14 0.47

cop yv .2 1245 702 922

267 401 861

Вариант I A 130 B 417 C 395

Таблица 2.19 – Лабораторная работа № 2.3. Задание 5 (варианты 33–40)

cop yv .2

3 БЛОК ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ № 3. «ПРИМЕНЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ» Цель работы — на основе классических моделей, применяемых в экологии познакомиться с основными приёмами моделирования и исследования поведения динамических систем. В данном блоке лабораторных работ рассматриваются модели, построенные на применении обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)30) . С помощью стандартных команд Maple получают аналитические и численные решения ОДУ, проводят исследование моделей в пограничных состояниях, а через графические средства — придают наглядность результатам. 3.1

Общие сведения о дифференциальных уравнениях и представление их решений в Maple

Fre e

Методы теории дифференциальных уравнений31) являются наиболее эффективными для создания математических моделей, которые описывают динамику32) экосистем, учитывая взаимодействие, как между отдельными элементами экосистемы, так и между элементами экосистемы и внешними факторами среды, в которой функционирует каждый элемент. Возможности дифференциальных уравнений, как аппарата моделирования, очень велики, поскольку они могут описывать разные виды динамики биологических и экологических процессов. Одним из базовых понятий является производная или касательная к точке кривой y = f (x), т.е. такая прямая, которая имеет с кривой одну общую точку при бесконечном приближении к ней. Тангенс угла наклона α касательной к оси абсцисс определяется следующим равенством: f (x + ∆x) − f (x) dy ∆y = lim = , ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x dx

tan α = lim

где величина ∆y называется приращением (изменением) функции при при30)

Одной из характерных особенностей ОДУ является то, что неизвестные функции в этих уравнениях зависят только от одной переменной. 31) Основы теории заложены А. Пуанкаре и А.М. Ляпуновым в конце XIX века. 32) Динамика (от греч. δυναµις — сила): состояние движения, ход развития, изменение какого-либо явления под влиянием действующих на него факторов.

77

cop yv .2

ращении (изменении) ее аргумента на величину ∆x, которое стремится к нулю. Производная широко используется в различных методах анализа, причём от эффективности вычисления производной зависит вообще возможность реализации применяемых методов анализа. В общем случае процедуры интегрирования и дифференцирования являются достаточно трудоёмкими для исследователя и потому содержат массу возможностей для внесения ошибок в конечный результат. Для получения аналитических, приближенных и численных решений дифференциальных уравнений в Maple применяется универсальная команда dsolve или функции пакета DEtools, которые позволяют дополнительно отображать численное решение в графическом виде, включая построение фазового портрета. Во всех случаях для команды dsolve используется единый формат: dsolve(ODE, VAR, OPS)

Fre e

Здесь ODE — дифференциальное уравнение или система из этих уравнений относительно неизвестных VAR. Для решения задачи Коши33) в уравнения ODE нужно включить также начальные условия, а для краевой задачи — соответственно краевые условия на начале и конце интервала интегрирования. Дополнительные условия OPS позволяют указать способ решения type=... и используемый метод method=... (табл. 3.2). В уравнениях для указания производной применяются команды diff и оператор D, который используется и для обозначения производной в начальных и краевых условиях. Оператор D имеет следующий синтаксис: (D@@n)(func)(var)

В этой записи n — целое число, означающее порядок производной,

33)

Задача Коши состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям (данным). Начальные данные задаются в нулевой точке, например, для дифференциальных уравнений функции y(x) первого dy(0) порядка при x = 0 : y(0) = A, а для второго порядка — дополнительно = B. Решение dx отыскивается при x > 0. От краевых задач задача Коши отличается тем, что область, в которой должно быть определено искомое решение, здесь заранее не указывается.

78

cop yv .2

параметр func — имя функции, а var — независимая переменная этой функции. Например, с помощью этого оператора производную второго поd 2 f (x) рядка функции f (x): следует задавать как: dx2 > (D@@2)(f)(x);

(D (2) )(f )(x)

Система уравнений оформляется в виде множества: уравнения, начальные или краевые условия записываются через запятые и берутся в фигурные скобки. По умолчанию (параметр type=exact) Maple старается найти явное (аналитическое) решение для неизвестных функций. При невозможности это сделать решение выводится в неявном виде34) . Если число краевых или начальных условий меньше порядка системы, то в ответе будут фигурировать неопределённые константы _C1, _C2 и т.д. Для уравнений первого порядка может быть использовано параметрическое представление, и тогда в ответе будет константа _T. При неполном задании уравнения (отсутствует знак равенства и правая часть) Maple сам дополняет уравнение нулевой правой частью: > de := diff(y(x),x,x)+4*diff(y(x),x)+3y(x)+2;



de :=

   d2 d y(x) + 4 y(x) + 3 y(x) + 2 dx2 dx

> dsolve(de,y(x));

Fre e

2 y(x) = − + _C1 e(−3 x) + _C2 e(−x) 3 Как видно решение дифференциального уравнения второго порядка найдено в виде суммы экспонент с произвольными константами _C1, _C2. Если определить задачу Коши и задать начальные условия, то командой dsolve можно получить следующее решение: > ic := D(y)(0)=0, y(0)=-1: dsolve({de,ic},y(x));

1 2 1 y(x) = − − e(−x) + e(−3 x) 3 2 6 Здесь переменная начальных условий ic имеет тип последовательность (exprseq) и фигурные скобки позволили объединить её с уравнением de, чтобы получить тип множество (set). Для объединения множеств 34)

Если требуется решение обязательно в явном виде, то необходимо указать дополнительное условие type=explicit (или просто explicit). В общем случае, константа _EnvExplicit задаёт способ представления решений.

79

cop yv .2

нужно применять команду объединения union . Например, решим данное уравнение в виде краевой задачи, задав краевые условия в виде множества: > bvp := {D(y)(0)=0, y(1)=-1}: dsolve({de} union bvp, y(x));

1 (−3 x) 2 e(−x) 3e y(x) = − − (−1) + 3 3e − e(−3) 3 e(−1) − e(−3) Для проверки того, что найденное решение SOL удовлетворяет уравнению или системе ODE, имеется команда odetest(SOL,ODE) . Например, для рассматриваемого уравнения можно получить:

> odetest(%,de);

0

Для решения нелинейных задач, которые не поддаются аналитическим методам, могут быть использованы численные процедуры. При этом должны быть заданы численные значения всех параметров. Когда решения в замкнутой форме35) нет, а численные подходы невозможны или нежелательны, то могут быть использованы приближённые методы. В этом случае команду dsolve вызывают с параметром36) : а) series — для поиска решения в виде разложения в ряд; б) laplace — для применения метода преобразования Лапласа. Для численного решения дифференциальных уравнений командой dsolve нужно указать параметр numeric одним из способов: dsolve(ODE, VAR, type=numeric, OPS); dsolve(ODE, VAR, numeric, OPS);

Fre e

Дополнительные параметры OPS определяют метод (method=MET) численного решения задачи Коши и ряд параметров этого метода. В качестве MET могут выступать методы, например, Рунге-Кутты-Фельберга порядка 4/5 (rkf45) и другие (см. табл. 3.2)37) . Далее рассматриваются модели развития и планирования эксплуатации возобновляемых природных ресурсов — промысловых и охотничьих угодий, лугов и прочих экосистем. 35)

Замкнутая форма решения — решение в виде аналитической формулы, использующей конечное число простейших операций над элементарными функциями. 36) Системной переменной Order указывается порядок разложения. 37) Для ряда методов есть свой набор параметров и их описание можно найти в справке (Как? см. с.20). По умолчанию используется метод rkf45, а в результате выполнения dsolve создаётся процедура, к которой можно обращаться для вычисления отдельных значений и построения графика решения на заданном интервале.

80

Лабораторная работа № 3.1. Логистическая модель «Динамика популяций». Аналитическое решение ОДУ и их исследование средствами Maple

cop yv .2

3.2

Fre e

Наиболее простым описанием динамики отдельно взятой популяции может служить классическая логистическая модель «Динамика популяций», предложенная П. Ферхлюстом в начале XIX века для описания динамики человеческого населения и Р. Пёрлом уже в 20-е годы XX столетия применительно к биологическим сообществам. Здесь как и в других моделях к основным динамическим показателям, которые характеризуют изменения в популяции с течением времени38) , относят: рождаемость, смертность и скорость прироста. Сама модель сформулирована следующим образом. В благоприятных условиях находится некоторое сообщество особей одного вида (популяция), которое в момент времени t0 = 0 имеет численность (биомассу) x0 . В каждый последующий момент времени скорость увеличения биомассы пропорциональна уже имеющейся. Возникающие явления отмирания за счёт внутривидовой конкуренции снижают численность популяции пропорционально квадрату имеющейся в наличии. Если обозначить численность популяции в момент времени t через x, а ее изменение за время ∆t через ∆x, тогда можно записать следующие приближенные равенства: ∆x+ ≈ k · x · ∆t — изменение численности популяции за счет естественного прироста и смертности; ∆x− ≈ −α · x2 · ∆t — уменьшение за счет внутривидовой конкуренции. Складывая два процесса получаем: ∆x ≈ ∆x+ + ∆x− = (k · x − α · x2 ) · ∆t,

(3.1)

где k — коэффициент максимальной удельной скорость роста популяции, который представляет собой разность между естественным приростом A и смертностью B: k = A − B; α — коэффициент внутривидовой конкурентной борьбы. 38)

Статические показатели характеризуют состояние популяции в данный момент времени, например, к ним относят: численность, плотность, показатель структуры.

81

В дифференциальной форме соотношение (3.1) имеет вид:

cop yv .2

dx = k · x − α · x2 dt

(3.2)

Это ОДУ и представляет собой модель изменения численности популяции во времени. Теперь для того чтобы найти какова биомасса будет в определенный момент t, нет необходимости ждать (и это не всегда возможно) — достаточно воспользоваться моделью (3.2). Уравнение (3.2) является классическим ОДУ первого порядка с разделяемыми переменными. Его тип и автономность39) определяют с помощью команд odeadvisor и autonomous : [_quadrature], true

Полученный результат говорит о том, что аналитическое решение (3.2) и анализ можно осуществить с помощью команды dsolve. Вначале, чтобы преобразовать (3.2) к зависимости численности популяции x от времени t, т.е. получить решение, например, в виде задачи Коши необходимо задать начальные условия x(t0 ) = x0 . Далее решение упрощают Maple командой simplify и получают искомую зависимость: x(t) :=

x0 · k · exp(k · t) α · x0 · exp(k · t) + k − α · x0

(3.3)

Fre e

Правильность решения (3.3) проверяют командой odetest. Далее проводят математическое исследование уравнения (3.3). Вначале выполняют проверку на непрерывность и сингулярные точки в области [0; +∞[. Следующий важный прикладной вопрос: Когда и сколько с популяции без ущерба для неё собирать «урожая», т.е. изымать её часть из экосистемы, чтобы суммарный «урожай» был бы максимален. Момент времени t, когда скорость прироста биомассы максимальна находят, используя команду solve:   k − α · x0 1 tv = · ln k α · x0 В дальнейшем это значение подтверждается расчётом экстремума командой extrema. 39)

ОДУ или система дифференциальных уравнений называются автономными, если их правая часть явно не зависит от независимой переменной.

82

cop yv .2

Полученный результат таков (рис. 3.1): начиная с этого момента tv необходимо вести непрерывный сбор урожая поддерживая величину биомассы не выше значения, которое находят опять командой solve, но для параметра x0 :

Рисунок 3.1 – Изменение численности 1 k популяции во времени x0 := · 2 α Максимально возможную численность популяции (ёмкость среды) находят с помощью команды предела Limit для условия её бесконечно большой продолжительности существования: k t→∞ α Этот же результат, но в числовом виде получают и с помощью команды maximize. В этих условиях скорость изменения численности популяции будет стремиться к нулю: dx lim →0 t→∞ dt Минимум численности популяции находят командой minimize. Удобным средством экспресс исследования является графическое представление результатов. Для такого анализа в работе используется команда из пакета student — showtangent(f(x),x=a), которая показывает на графике касательную к функции f(x) в точке x=a. С помощью графических команд plot и display получают графи-

Fre e

lim x(t) →

dx

d2 x

ки изменения функций x(t), и 2. dt dt В следующей части этого блока лабораторных работ рассмотрены ситуации межвидового взаимодействия популяций и учет этого обстоятельства значительно усложняет модели. 3.3

Лабораторная работа № 3.2. Модель Вольтерра-Лотка «Хищник - Жертва». Приближённое и численное решение дифференциальных уравнений и их систем средствами Maple

В условиях реального биоценоза каждая входящая в него популяция взаимодействует одновременно со множеством других, причём эти 83

cop yv .2

взаимодействия могут относиться к различным типам, основными из которых являются: нейтрализм, конкуренция, антагонизм, хищничество, паразитизм, мутализм, симбиоз и пр. Поскольку популяции нескольких видов оказывают влияние друг на друга, возникают связанные системы дифференциальных уравнений (СДУ), как, например, в модели Вольтерра-Лотка «Хищник - жертва»40) . В этой модели между особями одного вида нет соперничества. Животные-жертвы x(t) при отсутствии хищников размножаются пропорционально своей численности с коэффициентом приращения g > 0, а животные-хищники y(t) при отсутствии добычи (жертв) вымирают пропорционально своей численности с коэффициентом s > 0. Из-за встреч жертв с хищниками (вероятность встречи пропорциональна произведению обеих популяций) количество жертв уменьшается (с коэффициентом а > 0), а количество хищников возрастает (с коэффициентом b > 0). Описание этих процессов представлено следующей СДУ:   d x(t) = g · x(t) − a · x(t) · y(t) dt  d y(t) = b · x(t) · y(t) − s · y(t) dt

(3.4)

Fre e

Таким образом, в модели предполагается экспоненциальный закон прироста жертв (при отсутствии хищников) и убыли хищников (при отсутствии жертв). Теперь чтобы начать биологическую игру, надо задать начальные численности: для жертв — x0 , а для хищников — y0 . Как обычно, поиск решения явной (разрешенной относительно старшей производной) СДУ (3.4) начинают с анализа типа уравнений (команда odeadvisor) и проверкой на автономность (autonomous). Координатами стационарной точки (3.4) будут являться точки экстремумов — соответствующие началу роста популяций, т.е. минимумам функций x(t) и y(t): g yv = — численность хищников, соответствующая началу и оконa

чанию роста жертв xv =

ков

d x(t) = 0. dt

s — численность жертв, соответствующая изменению хищниb

d y(t) = 0. dt 40)

Начало математическому описанию динамических систем взаимодействия популяций было положено В. Вольтерра в 30-х годах XX века.

84

Fre e

cop yv .2

Эти результаты находят командой solve (см. пример выполнения). Далее командой dsolve с параметром series находят приближенное решение СДУ (3.4) методом разложения в полиномы 3-го порядка. Порядок задают системной переменной Order. Результаты представляют рисунком командами plot и display. Следующим этапом находят численное (более точное) решение. Для этого вызывают команду dsolve с параметрами numeric и method=MET. В качестве MET берут название метода численного интегрирования для своего варианта из таблицы 3.2. Результаты представляют с помощью графических команд: 1) plots — двухмерная развёртка во времени колебания численности популяций жертв и хищников (риc. 3.2); 2) phaseportrait — двухмерный фазовый портрет динамики численностей с предельными циклами для 2-х вариантов начальных условий (рис. 3.3); 3) DEplot3d — трёхмерный фазовый портрет динамики численностей во времени с одним постоянным фокусом колебаний. Полученный в пункте 1 график (риc. 3.2) показывает, что процесс имеет колебательный характер. Вначале хищники уничтожают много жертв, и их популяция Рисунок 3.2 – Динамика численности не успевает восстанавливатьпопуляций жертв и хищников ся. Уменьшение количества пищи через некоторое время начинает сказываться на популяции хищs ников, и, когда число жертв достигает величины xv = число хищников b тоже начинает сокращаться вместе с сокращением жертв. Сокращение популяции происходит до тех пор, пока число хищниg ков не достигнет величины yv = . С этого момента начинает расти попуa ляция жертв. Через некоторое время пищи становится достаточно, чтобы обеспечить прирост хищников, обе популяции растут, и процесс повторяется снова и снова. На риcунке 3.2 четко виден периодический характер s процесса. Количество жертв и хищников колеблется возле величин xv = b

g и yv = . a

85

3.4

cop yv .2

Периодичность процесса проявляется и на фазовой плоскости, которая получена в пункте 2: фазовая кривая x(t), y(t) — замкнутая линия (рис. 3.3). g Самая левая точка yv = — a точка, где число жертв достигает наименьшего значения, а саРисунок 3.3 – Фазовая плоскость мая правая — пик их численности. Между этими точками хищники сначала убывают до нижней точки s xv = , где достигают минимума, а затем растут до верхней точки кривой. b Таким образом, фазовая кривая охватывает точку с координатами s g xv = , yv = , а система (3.4) имеет стационарное состояние. b a Если в начальный момент система находится в стационарной точке, то численности популяций x(t), y(t) не будут изменяться во времени и останутся постоянными. Всякое же другое начальное состояние приводит к периодическому колебанию численностей. Не эллиптичность формы траектории, охватывающей центр, отражает не гармонический характер колебаний. Лабораторная работа № 3.3. Модель «Хищник - Жертва» c логистической поправкой

Fre e

В этой лабораторной работе рассматривается модель конкурирующих популяций с «логистической поправкой» p · x(t)2 и p · y(t)2 для жертв и хищников соответственно:   d x(t) = g · x(t) − a · x(t) · y(t) + p · x(t)2 dt (3.5)  d y(t) = b · x(t) · y(t) − s · y(t) + p · y(t)2 dt

С её помощью моделируют ситуации положительного (+p) или отрицательного (−p) влияния на экосистему. и поведение решений в окрестности стационарной точки меняется в зависимости от величины и знака параметра p. Как и в предыдущей модели (3.4) поведение системы (3.5) обосновывается стационарной точкой, соответствующей началу и концу роста популяций, найденной командой solve: b·g+p·s d yv = — численность хищников, для x(t) = 0 2 b·a+p

dt

86

a·s−g·p

d

3.5

cop yv .2

xv = — численность жертв, для y(t) = 0 b · a + p2 dt Численное решение (3.5) рассматривают в виде задачи Коши. Для этого вызывают команду dsolve с параметрами numeric и method=MET. В качестве MET берут название метода численного интегрирования для своего варианта из таблицы 3.2. Результаты представляют с помощью графических команд: plots — двухмерная развёртка во времени колебания численности жертв и хищников; phaseportrait — двухмерный фазовый портрет с незамкнутой траекторией; DEplot3d — трёхмерный фазовый портрет в одной плоскости с одним фокусом колебаний. В случае положительного влияния (дополнительное восполнение популяций) стационарная точка является неустойчивым фокусом и амплитуда колебаний численности видов растет. Как бы близко ни было начальное состояние к стационарному, с течением времени состояние системы будет сильно отличаться от стационарного. При отрицательном влиянии (внутривидовая конкуренция за пищу при ограниченных ресурсах, изымание биологических объектов из экосистемы) стационарная точка превращается в устойчивый фокус, а решения — в затухающие колебания. Лабораторная работа № 3.4. Модель трофической цепи «Продуценты – Консументы – Редуценты»

Fre e

В этой работе имитационный эксперимент проводится на модели, которая описывает трофическую цепь «Продуценты – Консументы – Редуценты» на примере пищевой цепи «Корнеплоды – Зайцы – Волки»:  d   x(t) = a · x(t) − b · x(t) · y(t) − c · x(t) − k · x(t)2   dt  d (3.6) y(t) = d · x(t) · y(t) − e · y(t) · z(t) − f · y(t) dt      d z(t) = g · y(t) · z(t) − h · z(t) − i · z(t) dt

Здесь x(t), y(t), z(t) — текущие численности популяций (на момент времени t) соответственно: корнеплодов, зайцев и волков. Коэффициенты: a — скорости размножения (всхожесть) корнеплодов в конкретных условиях (температура, количество влаги, природный состав почв и т.д.); 87

Fre e

cop yv .2

b — скорости поедание корнеплодов, зависящий от физиологической потребности зайцев в данном корме (наличие другого корма); c — снижения роста корнеплодов (гибель) из-за антропогенных факторов (загрязнения, выкашивания и т.д.); k — конкуренции корнеплодов за среду обитания; d — скорости размножения (рождаемости) зайцев; e — скорости поедание зайцев волками, зависящий от физиологической потребности волков (наличия других видов жертв); f — скорости гибели зайцев от антропогенных факторов (охота, загрязнение ОС); g — скорости размножения (рождаемости) волков; h — скорости гибели волков по естественным причинам (болезни, старость); i — скорости гибели волков от антропогенных факторов. В данной модели естественной причиной гибели корнеплодов считаются зайцы. Корнеплоды считаются основной пищей зайцев, а они в свою очередь — основной пищей волков. Естественной причиной гибели зайцев являются волки, у которых нет естественных врагов (консументов более высокого уровня). Скорость поедания корнеплодов зайцами пропорциональна произведению их численностей (b · x · y). Аналогично, скорость поедания зайцев волками — произведению их численностей (e ·y ·z). Скорость размножения зайцев — произведению их количеств и корнеплодов (d · x · y), а скорость размножения волков — произведению их численности и зайцев (g · y · z). Таким образом, модель (3.6) позволяет отразить гомеостаз экосистемы в изменяющихся условиях среды. Рост популяции корнеплодов приводит к росту популяции зайцев, а она в свою очередь к снижению первой. За счёт присутствия положительных и отрицательных обратных связей происходит саморегуляция экосистемы. Такое состояние может быть нарушено антропогенными факторами, которые представлены в этой лабораторной работе функциями времени vZ(t) и vV (t) (рисунки 3.4 и 3.5, а также см. пример выполнения): vZ(t) =

n −m·(t−3.9) ·e · (signum(sin(0.2 · t · m + 5.5)) + 1) 2 n vV (t) = · (signum(sin(0.8 · t · m + 4)) + 1) 2 88

(3.7) (3.8)

3.6

cop yv .2

На рисунке 3.4 представлена функция для антропогенного воздействия, которое начинает оказывать значительное влияние на экосистему (или некоторую популяРисунок 3.4 – Эпизодически цию) в определённый момент времени, а затем затухает. К такому экспоненциальное воздействие (3.7) воздействию можно отнести радиоактивное или химическое загрязнение, уменьшающееся по закону трансформации (распада), как правило, экспоненциальному. На следующем рисунке 3.5 изображена функция постоянноэпизодического, т.е. на протяжении некоторого периода времени антропогенного воздействия, за пределаРисунок 3.5 – Эпизодически ми которого оно прекращается. Тапостоянное воздействие (3.8) кую функцию можно применить, например, во время сезона охоты или выкашивания лугов, когда из экосистемы изымается постоянное количество популяций в единицу времени. Полное уничтожение популяций задают нулевыми значениями их численностей в начальный момент времени: x0 , y0 , z0 . Описание встречающихся в работе команд Maple

Fre e

autonomous(ODE,VARS,IVAR)

Тестирует дифференциальное уравнение ODE или систему дифференциальных уравнений (в виде списка) на автономность. Здесь VARS — зависимые переменные; IVAR — независимая переменная. Если система автономна, то эта функция возвращает true, иначе — false. odetest(SOL,ODE)

Выполняет проверку правильности решения SOL для дифференциального уравнения ODE.

odeadvisor(ODE) odeadvisor(ODE, y(x), [type1, type2, ...], help)

89

cop yv .2

Классифицирует ОДУ ODE. Здесь y(x) — искомая функция; type1, type2, ... – подмножество типов классификации; help — указывает надо ли выводить справку по поводу методов решения данного вида ОДУ (выводится в отдельных окнах). simplify(EX,OPS)

Упрощает выражение EX. Можно указать дополнительные условия упрощения OPS rhs(EQN) lhs(EQN)

Выделение правой или левой части из уравнения EQN. limit(EXPR,x=VAL,DIR) Limit(EXPR,x=VAL,DIR)

Вычисляет предел выражения EXPR (функция или n-й член последовательности). Здесь x=VAL — точка, в которой вычисляется предел; в качестве необязательного DIR задают: left (предел слева), right (предел справа), real (действительный) или complex (комплексный). alias(NEWNAME)

Вводит новое имя NEWNAME для уже существующих функций или переменных. 3.7

Контрольные вопросы

Fre e

1. Дайте определение понятия «производная функции». Чем отличается задача Коши от краевой задачи? 2. С помощью каких команд Maple можно получить аналитическое решение и выполнить исследование динамических моделей на основе дифференциальных уравнений? 3. В чём заключаются характеристические особенности ОДУ? Что такое математическая сингулярность? Чем характеризуется замкнутая форма решения? Что вкладывают в понятие динамика? 4. Опишите параметры и слагаемые, входящие в модель «Динамика популяций» (3.2). Какие процессы они описывают? 5. Укажите соотношение параметров модели (3.2), которое опреде90

7.

8.

9.

10.

Fre e

11.

cop yv .2

6.

ляет состояние экосистемы при бесконечно большой продолжительности ее существования. Покажите это состояние на графике. Как будет изменяться состояние экосистемы (3.2) в зависимости от первоначального уровня популяции? Что означают на графике 1-я, 2-я и 3-я линии? Найдите на графике момент времени, когда скорость прироста биомассы будет максимальна. Какому соотношению параметров модели «Динамика популяций» оно соответствует? Опишите параметры и слагаемые, которые входят в модель Вольтерра-Лотка «Хищник-жертва» (3.4). Какие процессы они описывают? С помощью какого метода и команды Maple было получено решение СДУ составляющих модель «Хищник-жертва»? Что представляют собой начальные условия и конечное решение? Прокомментируйте полученный график двухмерной развёртки во времени и фазовую кривую. Какие критические состояния проходит экосистема (3.4)? Соотношения каких параметров модели определяет эти состояния? Укажите как будет меняться состояние экосистемы в зависимости от первоначального уровня «хищников» и «жертв». Укажите процессы, которые приводят к наблюдаемым изменениям в каждом случае. При каких начальных условиях кривые численности станут прямыми линиями, которые показаны на графике двухмерной развёртки во времени? Найдите на фазовой кривой точку стационарного состояния экосистемы (3.4). С чем связана не эллиптичность формы траектории фазовой кривой? Укажите отличия модели «Хищник – жертва» от этой же модели, но с логистической поправкой (3.5). Какие ситуации можно моделировать с помощью этой модели? Опишите параметры и слагаемые, которые входят в модель трофической цепи «Продуценты – Консументы – Редуценты» (3.6). К какому типу принадлежат уравнения СДУ? Какие процессы они описывают?

12.

13.

14.

91

3.8

cop yv .2

15. Прокомментируйте результаты имитационных экспериментов на модели пищевой цепи «Корнеплоды – Зайцы – Волки». К каким последствиям для экосистемы могут привести антропогенные воздействия: полное выкашивание, полное и частичное истребление зайцев и волков, влияние выбросов загрязняющих веществ? Задание к блоку лабораторных работ № 3

Лабораторная работа № 3.1. Числовые значения для этой части работы находятся в таблице 3.1 на с.94. С помощью встроенных команд Maple выполнить аналитическое исследование и решение ОДУ модели «Динамика популяций» (3.2): тип и автономность, упростить решение и проверить его правильность и непрерывность на интервале t ∈ [0; +∞[, найти точки сингулярности, максимальную и минимальную численность популяции, её предельную скорость роста для заданных параметров модели. Определите момент времени, когда скорость роста биомассы макdx , касательную симальна. Постройте графики: скорости роста биомассы dt к точке перегиба (максимальной скорости роста), изменение количества d2 x

Fre e

популяции и её скорости (ускорения 2 ) во времени. dt Лабораторная работа № 3.2. Численные методы решения СДУ, начальные условия и параметры модели для этой части работы находятся в таблицах 3.2 – 3.4 на с.95 – 97. С помощью встроенных команд Maple выполнить аналитическое исследование СДУ, которая описывает взаимодействие популяций в модели Вольтерра-Лотка «Хищник-жертва» (3.4): тип и автономность, точки соответствующие началу и окончанию роста популяций (координаты стационарной точки). Получить приближенное решение СДУ (3.4) методом разложения в ряд 3-го порядка и построить графики полиномов: x(t) и y(t) . С помощью команд Maple найти точное решение СДУ (3.4) численным методом указанным в варианте задания и построить: двухмерную развёртку во времени; двухмерный фазовый портрет c предельными циклами для 2-х вариантов начальных условий; трёхмерный фазовый портрет динамики численностей во времени с одним постоянным фокусом колеба92

ний.

Fre e

cop yv .2

Лабораторная работа № 3.3. Численные методы решения СДУ, начальные условия и параметры модели для этой части работы находятся в таблицах 3.2 – 3.4 на с.95 – 97. Подобно предыдущей работе 3.2 надо выполнить анализ и найти численное решение СДУ (3.5) как для задачи Коши. Результаты представить двухмерной развёрткой во времени, двухмерным фазовым портретом с незамкнутой фазовой траекторией и трёхмерным фазовым портретом (см. пример выполнения). Лабораторная работа № 3.4. Численные методы решения СДУ, начальные условия и параметры модели для этой части работы находятся в таблицах 3.2 и 3.5 – 3.7 на с.95 и 98 – 100. Подобно предыдущей работе 3.2 надо выполнить анализ и найти численное решение модели «Корнеплоды – Зайцы – Волки», заданной СДУ (3.6) как для задачи Коши. Представить в виде графиков двухмерной развёртки во времени результаты модельных экспериментов антропогенного влияния на экосистему (3.6): 1) полное уничтожение корнеплодов; 2) полное истребление зайцев и волков; 3) частичное истребление волков на протяжении определённого периода времени (сезон охоты); 4) внезапный выброс загрязняющего вещества (авария), снижающего репродуктивность травоядных (зайцев). В последнем случае дополнительно представить трёхмерный фазовый портрет динамики всех популяций (см. пример выполнения в приложении В на с. 119).

93

Варианты к заданиям блока лабораторных работ № 3

cop yv .2

3.9

Таблица 3.1 – Лабораторная работа № 3.1. Начальные условия и параметры модели «Динамика популяций» (№ — вариант) №

x0

k

α

№

x0

k

α

№

x0

k

α

1

0.57 0.97 0.12

14

0.4 0.67 0.06

27 0.05 0.86

0.08

2

0.58 0.69

0.4

15 0.14 1.82 0.66

28 0.68 1.15

0.17

3

0.37 0.63 0.07

16 0.58 0.37 0.08

29 0.38 0.89

0.65

4

0.19 0.33 0.54

17 0.16 0.58 0.42

30 0.21 1.06

0.2

5

0.12 0.95 0.13

18 0.22 1.49 0.63

31 0.47 0.98

0.1

6

0.05 0.13 0.06

19 0.38 0.43 0.16

32 0.25 0.78

0.11

7

0.41 0.96 0.75

20 0.88 1.15 0.25

33 0.77 1.45

0.24

8

0.93 0.52 0.02

21 0.27 0.85 0.06

34 0.38 1.25

0.29

9

0.28 0.76 0.03

22 0.18 0.93 0.76

35 0.51 0.79

0.17

10 0.24 0.83 0.14

23 0.08 0.87 0.49

36 0.74 1.88

0.64

11 0.58 1.45 0.51

24 0.64 0.82 0.31

37 0.49 0.87

0.21

12 0.91 1.14 0.12

25 0.21 1.44 0.92

38 0.14 2.13

0.91

13 0.87 0.59 0.08

26

39 0.48 0.78

0.13

0.2 0.94 0.37

40 0.85 0.98 0.35

Fre e

x0 — начальная численность популяции; k — интегральный коэффициент прироста и отмирания; α — коэффициент внутривидовой конкурентной борьбы.

94

95

Fre e

rosenbrock_dae

5

classical[foreuler] classical[heunform] classical[impoly] classical[rk2] classical[rk3] classical[rk4] classical[adambash]

rosenbrock

4

7 8 9 10 11 12 13

dverk78

3

mebdfi

rkf45_dae

2

6

rkf45

Maple-функция

1

Метод

Многошаговый

Методы Рунге – Кутты порядка 2, 3, 4

Методы Эйлера

6–13

Версия Maple 14

Метод classical[abmoulton]

Maple-функция Многошаговый

Название и описание

6–13

Версия Maple

6–13 6–13 6–13 6–13 6–13 6–13 6–13

9-13

9–13

9–13

6–13

9–13

20 21 22 23 24 25 26

19

18

17

16

15

lsode[adamsfull] lsode[adamsdiag] lsode[adamsband] lsode[backfunc] lsode[backfull] lsode[backdiag] lsode[backband]

lsode[adamsfunc]

taylorseries[series]

taylorseries[lazyseries]

gear[polyextr]

gear[bstoer]

Ливенморские методы решения систем «жёстких» уравнений

Разложения в ряд Тейлора

Гира одношаговые с простой экстраполяцией

6–13 6–13 9–13 6–13 6–13 6–13 9–13

6–13

6–13

6–13

6–13

6–13

cop yv .2

Рунге – Кутты – Фельберга порядка 4/5 Усовершенствованный rkf45 Рунге – Кутты порядка 7/8 Рунге – Кутты – Розенброка Усовершенствованный rosenbrock Неявный усовершенствованный метод обратного преобразования

Название и описание

Таблица 3.2 – Лабораторные работы № 3.2–3.4. Численные методы решения СДУ в СКМ Maple

№

cop yv .2

Таблица 3.3 – Лабораторные работы № 3.2–3.3. Начальные условия (ini1, ini2) и параметры модели Вольтерра-Лотка «Хищник – Жертва» (№ — вариант). Варианты 1–20 ini1 ini2 Метод (табл. 3.2) x01 ; y01 x02 ; y02

1

1

2

3

3

7

4

8

5

9

6

10

7

11

8

12

9

13

10

14

11

15

12

16

13

17

14

18

15

19

16

20

17

21

18 19

a

s

b

p

156 ; 8

82 ; 15

0.58 0.04 0.61 0.024

0.00031

163 ; 6

81 ; 9

0.43 0.05 0.41 0.026

0.00027

179 ; 7

91 ; 9

0.56 0.03 0.38

0.02

0.00033

194 ; 7

73 ; 12

0.52 0.05 0.56 0.028

0.00025

172 ; 10

55 ; 14

0.47 0.06 0.44 0.026

0.00029

103 ; 9

83 ; 10

0.42 0.05 0.37 0.019

0.00029

142 ; 7

59 ; 8

0.58 0.06 0.47 0.026

0.00029

149 ; 9

73 ; 11

0.43 0.05 0.34 0.016

0.00037

176 ; 7

70 ; 12

0.51 0.06 0.37

0.02

0.00035

169 ; 9

65 ; 11

0.57 0.04 0.37 0.027

0.00037

169 ; 9

90 ; 14

0.41 0.06

0.6 0.017

0.00034

100 ; 6

92 ; 11

0.42 0.04 0.38 0.023

0.00035

144 ; 7

84 ; 8

0.47 0.05 0.46

0.02

0.00043

112 ; 6

82 ; 16

0.58 0.05 0.38 0.015

0.00035

119 ; 7

83 ; 16

144 ; 7

0.02

0.00031

92 ; 10

0.34 0.05 0.33 0.027

0.00024

173 ; 7

77 ; 13

0.62 0.05 0.41 0.014

0.00025

23

200 ; 8

94 ; 13

0.54 0.05 0.33 0.022

0.00023

24

162 ; 7

86 ; 13

0.51 0.05 0.51 0.026

0.00034

54 ; 15

0.41 0.05 0.37 0.016 0.00038

Fre e 20

g

25

139 ; 9

0.4 0.05

0.4

g — коэффициент увеличения численности жертв при отсутствии хищников; a — коэффициент уменьшения численности жертв хищниками; s — коэффициент уменьшения численности хищников при отсутствии жертв; b — коэффициент увеличения численности хищников за счёт поедания жертв; p — логистическая поправка на условия обитания.

96

cop yv .2

Таблица 3.4 – Лабораторные работы № 3.2–3.3. Начальные условия (ini1, ini2) и параметры модели Вольтерра – Лотка «Хищник – Жертва» (№ — вариант). Варианты 21–40 №

ini1 ini2 Метод (табл. 3.2) x01 ; y01 x02 ; y02 1

22

3

23

7

24

8

25

9

26

10

27

11

28

12

29

13

30

14

31

15

32

16

33

17

34

a

s

b

p

163 ; 6

70 ; 16

0.47 0.05 0.52 0.027

0.00028

199 ; 7

81 ; 14

0.39 0.03 0.49 0.022

0.00017

103 ; 9

69 ; 13

0.57 0.06 0.37 0.016

0.00030

161 ; 10

56 ; 9

0.4 0.06 0.44 0.016

0.00019

107 ; 7

98 ; 11

0.4 0.04 0.57 0.027

0.00040

170 ; 9

61 ; 11

0.42 0.05 0.42 0.022

0.00019

157 ; 6

58 ; 9

0.46 0.05 0.54

0.02

0.00026

154 ; 5

84 ; 15

0.58 0.03 0.46 0.015

0.00035

185 ; 6

66 ; 13

0.49 0.03

0.4 0.022

0.00021

149 ; 5

77 ; 15

0.57 0.06 0.59 0.019

0.00046

155 ; 9

96 ; 16

0.36 0.04 0.37 0.014

0.00035

153 ; 6

71 ; 9

0.6 0.05 0.48 0.024

0.00037

159 ; 5

56 ; 15

0.51 0.04 0.49 0.027

0.00042

18

135 ; 7

55 ; 11

0.59 0.04 0.45

0.02

0.00027

35

19

165 ; 8

81 ; 16

0.59 0.05 0.53 0.026

0.00048

36

20

116 ; 9

86 ; 16

0.5 0.03 0.37 0.023

0.00021

37

21

138 ; 6

92 ; 16

0.54 0.06 0.52 0.016

0.00045

38

23

154 ; 7

64 ; 13

0.52 0.06 0.46 0.015

0.00030

39

24

118 ; 6

65 ; 12

0.32 0.03 0.57 0.016

0.00034

40

25

165 ; 6

60 ; 12

0.51 0.03 0.54 0.019 0.00032

Fre e

21

g

97

18

cop yv .2

Таблица 3.5 – Лабораторная работа № 3.4. Параметры модели трофической цепи «Продуценты – Консументы – Редуценты» (№ — вариант)

19

11.2 10.5 2.8 0.4

№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

b

13.7

c

k

d

e

f

g

h

i

8 0.2 6.4 4.5

0.1

7.2

8.5 2.5 0.4 3.9 4.2 0.1 3.7 8.1

0.2

13.1

5.6 2.5 0.2 2.9 7.1 0.1 5.4 5.1

0.1

10.7

6.3 3.2 0.3 4.1

8

0.2

8

7.6 3.4 0.4 2.7 5.3 0.2 4.1 5.6

0.2

10.3

9.1 3.9 0.3 2.7 4.7 0.2 3.6 6.6

0.1

9.5

8 0.1 5.4 7.9

0.2

12.9

7 2.3 0.3 3.5 6.9 0.2 5.8 6.3

0.2

13.2

6 3.4 0.3 3.9 4.5 0.1 5.3 5.4

0.2

7.1

8.4 3.8 0.4 4.5

3 0.2 4.4

7 0.2 5.4

13.6

7.3 3.8 0.3 3.8 6.6 0.2

11.5

7.5 3.1 0.2 4.8

6 5.7

0.1

10 10.6 3.6 0.2 4.6 4.1 0.2 3.8 5.1

0.1

9.6

9.8 2.9 0.3 2.8 6.3 0.1 4.5 5.1

0.2

6.9 3.5 0.4 4.3 7.9 0.2

5 6.6

0.1

9.6

6.6 2.6 0.3 3.2 4.2 0.1 5.5 4.3

0.2

13.1

9.7 3.4 0.2 4.2 4.4 0.1 3.6 8.4

0.1

11.9

9.3

0.2

12.9

6.5 2.2 0.4 3.4 4.7 0.2 6.3

10.6

7.4

4 0.4

5 0.1 3.4

0.2

7

4 6.1 0.2 3.5 8.3 7

0.2

5 4.2 0.2 4.5 5.1

0.1

7.8 2.5 0.3 4.8 4.2 0.1 4.5 6.9 0.2

Fre e

20

a

a — размножение (всхожесть) корнеплодов; b — поедание корнеплодов зайцами; c — снижение роста корнеплодов (гибель из-за загрязнения, выкашивания); k — конкуренция корнеплодов за среду обитания; d — размножение (рождаемость) зайцев; e — поедание зайцев волками; f — гибель зайцев от антропогенных факторов (охота, загрязнение); g — размножение (рождаемость) волков; h — гибель волков по естественным причинам (болезни, старость); i — гибель волков от антропогенных факторов.

98

cop yv .2

Таблица 3.6 – Лабораторная работа № 3.4. Параметры модели трофической цепи «Продуценты – Консументы – Редуценты» (№ — вариант) № 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

b

9

c

k

d

e

f

g

h

5.6 2.8 0.3 3.4 5.5 0.1 4.1 6.1

7.8 10.4 3.5 0.3

3 5.7 0.2 4.9

i

0.1

7

0.2

11.9

9.5 3.5 0.2

5 4.9 0.1 3.5 5.1

0.1

12.1

7.7 2.4 0.4 4.7 5.2 0.2 5.9 8.1

0.1

12.3

9.3 2.3 0.3 4.6 6.4 0.1 4.7

7

0.2

9.7

2 0.3 4.6 5.7 0.1 5.1 6.9

0.1

11.1 10.6

4 0.2 4.3 5.2 0.2 6.4 5.5

0.2

11.5

5.8

2 0.3 2.5 4.9 0.1 3.4 4.4

0.2

13.9

9.5 2.2 0.3 4.1 6.9 0.1 4.7 4.8

0.1

7.6

3 0.2 4.2 4.8 0.2 3.4 8.4

0.2

10.6

9 3.4 0.4 3.1 4.9 0.1 5.1 6.8

0.2

11.2

7 2.4 0.4 4.7 4.8 0.2 4.8 4.9

0.1

9.8

7.9

9.3

6.2 3.5 0.2 3.9

8 0.2 5.8 6.2

0.1

34

14

8.9 2.3 0.2 2.9 6.9 0.1 5.8 5.4

0.1

35

11.8

8.7 2.9 0.3 3.2 5.9 0.2 5.6 6.7

0.1

36

9.2

5.4 2.9 0.4 3.5

5 6.8

0.1

37

8.2

8.8 3.2 0.3 4.4 6.7 0.1 4.6 4.9

0.1

38

12.4

9.2 3.7 0.3 3.9 5.3 0.1 4.3 6.5

0.2

39

9.6

8.6 3.6 0.4 3.5 5.1 0.1 5.2 5.7

0.2

40

13.2

Fre e

33

a

5 0.2

9.7 3.1 0.3 3.6 4.9 0.1

99

4 5.9 0.2

cop yv .2

Таблица 3.7 – Лабораторная работа № 3.4. Начальные условия (ini) модели трофической цепи «Продуценты – Консументы – Редуценты». (№ — вариант). x01 = y02 = z02 = 0, x03 = x02 , z03 = z01 m1 = n1 = 1, m2 = 1, n2 = 2.5 №

Метод (табл. 3.2)

1

14

2

15

3

16

4

17

5

18

6

19

7

20

8

21

9

23

10

24

11

25

12

1

13

3

14

7

15

8

16

9

17

10

18

y01

№

Метод (табл. 3.2)

5.7 5.4

21

1

z01 x02 y03

10.8 0.7

y01

z01 x02

10.4 0.8

y03

6.1

3.1

8.1

0.9

7 4.9

22

3

10

0.8

5

4

9.2

0.8

6.7 3.4

23

7

8.5

0.9

7.3

3.3

11.9 0.9

4.3 4.6

24

8

8.7

1

5.8

3.7

0.6

5 5.7

25

9

10.1 0.7

7.6

3.6

8.6

0.9

5 4.5

26

10

9.4

0.6

6.5

5.3

7.7

0.6

8

4

27

11

9.5

0.6

7.7

4.9

6.7

1

5.4 4.8

28

12

8.1

0.7

4

4.6

8.7

1

6.6 5.8

29

13

7.5

0.9

6.7

4

8.9

0.5

5.7 4.4

30

14

10.6 0.5

4.7

5.9

10.8

1

6.3 5.4

31

15

6.7

0.7

4.8

4.4

12

0.6

4.8 3.8

32

16

9.5

0.9

7.2

6

6.8

0.7

6.3 3.7

33

17

9.8

0.6

7.5

3.3

9.1

0.9

4.6 4.3

34

18

9.9

0.6

7.6

5.5

6.5

0.7

6.2 3.3

35

19

7.6

0.5

4.4

5.8

9.6

0.5

6.6 3.4

36

20

6.7

0.9

6.2

3.8

9

0.5

5.4 3.1

37

21

9.8

0.7

7.8

4.8

11

11.8 0.9

7.4 3.5

38

23

10.8 0.7

4.3

4.9

19

12

8.1

0.6

5.7 5.5

39

24

9.3

0.9

4.7

3.2

20

13

9.5

0.8

6 4.5

40

25

8.4

0.9

7.5 3.6

Fre e

8.1

Начальные количества (iniJ) для таблицы 3.7: x0J — корнеплодов, y0J — зайцев, z0J — волков, для модельного эксперимента антропогенного воздействия J: J = 1 — полное уничтожение корнеплодов (ini1), J = 2 — полное истребление зайцев и волков (ini2), J = 3 — два варианта: частичное истребление волков и выброс загрязняющего вещества, снижающего репродуктивность травоядных (ini3).

100

cop yv .2

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Fre e

1. Яремчук, Ф. П. Алгебра и элементарные функции : Справочник / Ф. П. Яремчук, П. А. Рудченко. — 3-e, перераб. и доп. изд. — К.: Наукова думка, 1987. — 647 с. 2. Меншуткин, В. В. Математическое моделирование популяций и сообществ водных животных / В. В. Меншуткин. — Л.: Наука, 1971. — 196 с. 3. Семевский, Ф. Н. Математическое моделирование экологических процессов / Ф. Н. Семевский, С. М. Семенов. — Л.: Гидрометеоиздат, 1982. — 280 с. 4. Оценка современного и прогнозного состояния природной среды: (Методы, тенденции,последствия) / Под ред. И. И. Букс, Л. Т. Мяч. — М.: Гидрометеоиздат, 1990. — 155 с. 5. Петросян, Л. А. Введение в математическую экологию / Л. А. Петросян, В. В. Захаров. — Л.: ЛГУ, 1986. — 224 с. 6. Дьяконов, В. П. Maple 9 в математике, физике и образовании / В. П. Дьяконов. — М.: СОЛОН-Пресс, 2004. — 688 с. 7. Говорухин, В. Компьютер в математическом исследовании. Maple, MATLAB, LATEX. Учебный курс / В. Говорухин, В. Цибулин. — СПб.: Питер, 2001. — 624 с. 8. Базыкин, А. Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций / А. Д. Базыкин. — М.: Наука, 1985. — 181 с. 9. Смит, Д. М. Модели в экологии: Пер. с англ. / Д. М. Смит. — М.: Мир, 1976. — 184 с. 10. Свирежев, Ю. М. Устойчивость биологических сообществ / Ю. М. Свирежев, Д. О. Логофет. — М.: Наука, 1978. — 352 с. 11. Вольтерра, В. Математическая теория борьбы за существование: Пер. с франц. / В. Вольтерра. — М.: Наука, 1976. — 288 с. 12. Уильямсон, М. Анализ биологических популяций / М. Уильямсон. — М.: Мир, 1975. — 271 с.

101

%, %%, %%%, 13

cop yv .2

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Fre e

Maple команды, 15 alias, 90 autonomous, 82, 89 col, 51 coldim, 51 concat, 54 convert, 52 copy, 53 copyinto, 53 delcols, 51 delrows, 51 DEplot3d, 85 det, 53 diag, 51 diff, 78, 79 discont, 30 display, 54 dsolve, 78, 80 equal, 52 evalf, 10 evalhf, 10 extrema, 30 fdiscont, 30 fsolve, 31 geneqns, 52 genmatrix, 53 implicitplot, 53 implicitplot3d, 53 inverse, 52 iscont, 29 leastsqrs, 54 lhs, 90 Limit, 83, 90 limit, см. Limit linsolve, 53 map, 28 map2, 28 matrix, 51 maximize, 31

minimize, 31 mulcol, 51 mulrow, 51 multiply, 51 norm, 51 odeadvisor, 82, 90 odetest, 80, 89 orthog, 52 phaseportrait, 85 piecewise, 31 plot, 29 print, 52 protect, 15 rank, 52 rhs, 90 row, 51 rowdim, 51 scalarmul, 51 showtangent, 83 simplify, 90 singular, 30 solve, 53 spacecurve, 54 stackmatrix, 54 submatrix, 53 subs, 54 subvector, 53 sum, 52 swapcol, 51 swaprow, 51 testeq, 52 trace, 52 transpose, 52 union, 80 unprotect, 15 vectdim, 51 vector, 51 Maple константы, 14, 79 π, 14 Infinity, 14

102

Digits, 10, 15 FAIL, 14, 29 Order, 15 true, false, 14 Мнимая единица, 14 Maple пакеты, 15 DEtools, 78 student, 83 Агрегированная оценка, 44 Асимптота, 24 Взаимодействия популяций, 84 Воздействие эпизодическое, 89 Гомеостаз, 88

Динамика, 77

Ёмкость среды, 26, 83

Зависимость Берталанфи, 26 линейная, 22 логарифмическая, 24 Моно и Михаэлиса-Ментен, 23 обратнопропорциональная, 23 периодическая, 27, 85 показательная, 24 степенная, 24 трансцендентная, 32 экспоненциальная, 25 Задача Коши, 78 Замкнутая форма решения, 80 Коэффициенты прямых затрат, 49 Краевая задача, 78

открытый, 48 Михаэлиса гипербола, 24 константа, 23 МНК, 46

Связи обратные, 88 Сингулярность математическая, 30 Скобки квадратные, 13 круглые, 13 фигурные, 13 СЛАУ, 45 недоопределённая, 45 нормальная, 45 переопределённая, 46 След матрицы, см. trace Стационарное состояние, 86 точка, 84, 86

cop yv .2

Матрица вырожденная, см. сингулярная единичная, 42 Леонтьева, 48 межотраслевого баланса, см. Леонтьева не сингулярная, см. невырожденная невырожденная, 45 обратная, 44 ортогональная, 44 Петерсена, 43 перестановочная, 42 симметричная, 44 сингулярная, 51 скалярная, 43 транспонированная, 44 Межотраслевой баланс, 47 замкнутый, 48

Нормы, см. norm

ОДУ, 77 автономное, 82 Операция арифметическая, 13 отношений, булева, 13 присваивания, 13 Определитель, 45 Показатели динамические, 81 статические, 81 Производная, 77

Fre e

Ранг матрицы, см. rank

103

Устойчивый фокус, 87 Фазовая кривая, 86

Хаукинса-Саймона условия, 50

Приложение А Пример выполнения 1-го блока работ

104

105

106

107

108

109

Приложение Б Пример выполнения 2-го блока работ

110

111

112

113

114

115

116

117

118

Приложение В Пример выполнения 3-го блока работ

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130