Zahlentheoretische Analysis: Wiener Seminarberichte 1980-82

Lecture Notes in Mathematics Edited by A. Dold and B. Eckmann

Zahlentheoretische Analysis Wiener Seminarberichte 1980-82

Herausgegeben von Edmund Hlawka

Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo

Herausgeber Edmund Hlawka Institut fiir Analysis, Technische Mathematik und Versicherungsmathematik, Technische Universit~t Wien Wiedner Hauptstra6e 8-10, 1040 Wien, Austria

AMS Subject Classification (1980): 10 K05, 05A15, 52A 22, 65-XX. 69-XX ISBN 3-540-15189-3 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo ISBN 0-38?-15189-3 Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin Tokyo CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek. Zahlentheoretische Analysis: Wiener Seminarberichte / hrsg. von Edmund Hlawka. - Berlin; Heidelberg; NewYork; Tokyo: Springer, 1985. (Lecture notes in mathematics; Vol. 1114) ISBN 3-540-15189-3 (Berlin ...) ISBN 0-387-15189-3 (New York...) NE: Hlawka, Edmund [Hrsg.]; GT This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photocopying machine or similar means, and storage in data banks. Under § 54 of the German Copyright Law where copies are made for other than private use, a fee is payable to "Verwertungsgesellschaft Wort", Munich. © by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1985 Printed in Germany Printing and binding: Beltz Offsetdruck, Hemsbach/Bergstr. 2146/3140-543210

V 0 R W0 R T

Der v o r l i e g e n d e

Band e n t h ~ I t

mathematischer Institute

Vortr~ge,

verschiedener

die

Universit~ten

meinschaft

im Z e i t r a u m von 1980 - 1982 in

Damit w i r d

eine Tradition

fortgesetzt,

in d e r B i b l i o t h e k wahrt.

im J a h r e

1956 m i t

unter anderen:

sind

statt.

Arbeitsge-

der S t r u d l h o f g a s s e

in

den

V o r t r ~ g e wurden

Institutes

- lange aufbe-

f a n d a u f meine Anregung h i n Die d a m a l i g e n V o r t r a g e n d e n waren

das Ehepaar P r o f e s s o r H. R e i t e r ,

einer

Hans Hahn am

Die A u s a r b e i t u n g e n e i n i g e r

groBem E r f o l g

G. D i r a c ,

Leider

Wien i n

Arbeitsgemeinschaft

W. N~bauer, K. P r a c h a r , Schmidt.

von P r o f .

des Seminars - des s p ~ t e r e n

Eine ~ h n l i c h e

in

Wien g e h a l t e n w u r d e n .

die

M a t h e m a t i s c h e n S e m i n a r der U n i v e r s i t ~ t 20er J a h r e n begonnen w u r d e .

von A n g e h ~ r i g e n bzw. G~sten

G.J.

Fischer,

Rieger,

in d e r Z w i s c h e n z e i t

L.

J.

Hejtmanek,

Schmetterer,

W.M.

zwei d e r d a m a l i g e n V o r t r a g e n d e n

von uns g e g a n g e n . Im W i n t e r s e m e s t e r

1980/81 wurde d i e s e T r a d i t i o n

und im W i n t e r s e m e s t e r 1982

fortgesetzt.

semester

1981/82 sowie

Der e i n z i g e

1981/82 d e r O r t

Wien in das I n s t i t u t

fur

im d a r a u f f o l g e n d e n

Unterschied

Analysis,

Bezirk

Der T r a d i t i o n gilt

allen

und d i e

ich j e t z t

C. B u c h t a , hofer,

A.

H. R i n d l e r ,

wurde,

entsprechend trugen j~ngere

H.G.

mit

die

Feichtinger,

W. R u p p e r t ,

will:

W. F l e i s c h e r ,

J.

also

vonder

Strudlhof-

Bezirk.

Semestern v o r g e t r a g e n G. B a r o n , F.

W. N a r k i e w i c z ,

R. S c h n a b l ,

der U n i v e r s i t ~ t

K o l l e g e n v o r und mein Dank

diesen drei

Namen a n f U h r e n

Kovacec, V. L o s e r t ,

H. Z a s s e n h a u s .

in

dab im W i n t e r -

T e c h n i s c h e M a t h e m a t i k und V e r -

in d i e G u ~ h a u s s t r a ~ e im 4.

Vortragenden,

Sommersemester

bestand darin,

vom m a t h e m a t i s c h e n I n s t i t u t

s i c h e r u n g s m a t h e m a t i k d e r TU Wien v e r l e g t gasse im 9.

w i e d e r aufgenommen

haben

N. B r u n n e r ,

Haslinger,

P. K i r s c h e n -

W.G. Nowak, H. P r o d i n g e r ,

SchoiBengeier,

R. T i c h y ,

F.

Vogl,

IV Die b e h a n d e l t e n Themen s i n d aus dem I n h a l t s v e r z e i c h n i s

ersichtlich,

a b e r i n s b e s o n d e r e wurden Themen z u r T h e o r i e d e r G l e i c h v e r t e i l u n g , reellen

und k o m p l e x e n A n a l y s i s ,

Zahlentheorie,

der W a h r s c h e i n l i c h k e i t s r e c h u n g

Mathematik besprochen. wurden von Herrn Doz. Dr.

Herrn

Weise b e r e i t

und im k l e i n e n

Prof,

erkl~rt

Arbeitsberichte

Kreis

diese

Vortr~ge

in

der

Arbeitsgemeinschaften

von Herrn

Doz. T i c h y

verteilt.

Eckmann von E T H - Z U r i c h , hat,

der a n a l y t i s c h e n

und d e r G r u n d l a g e n

dieser

S c h o i B e n g e i e r bzw.

Buchta h e r g e s t e l l t

Dank g i l t

der K o m b i n a t o r i k ,

der

Mein b e s o n d e r e r

der sich

die

und Herrn

in

Lecture

liebensw~rdiger

Notes a u f z u -

nehmen. Um das Buch n i c h t

zu u m f a n g r e i c h zu g e s t a l t e n ,

wurden n u r d i e

aufgenommen, d i e a n a l y t i s c h - z a h l e n t h e o r e t i s c h e tr~ge,

die

inzwischen

in

Zeitschriften

Methoden b e n U t z e n .

erschienen

verliegenden

Lecture

Notes e n t w e d e r n i c h t

bzw.

und m i t

neuen E r g e b n i s s e n v e r s e h e n .

Ich

gekUrzt hoffe,

dab d i e L e s e r d i e s e r

haben w e r d e n ,

wie es damals bei

Vortr~ge

in den L e c t u r e

den H~rern d i e s e r

sondere Herrn

Wien 1984

Doz.

Dr.

Notes danke i c h a l l e n R. T i c h y ,

der die

wurden

Vor-

in d i e

oder umgearbeitet

der L e k t U r e d i e s e l b e

FUr das Zustandekommen der neuen Fassung d i e s e r lichung

sind,

aufgenommen

bei

Vortr~ge

Vortr~ge

Vortr~ge

Freude

der F a l l

war.

zur V e r ~ f f e n t -

V o r t r a g e n d e n und i n s b e -

Koordination

Edmund Hlawka

durchgefUhrt

hat.

I N H A L T S V E

RZE

I CHN

I S

C. Buchta: ZUFALLIGE POLYEDER - EINE OBERSICHT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . W. F l e i s c h e r :

EIN DISKREPANZBEGRIFF FOR KOMPAKTE RAUME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F, H a s l i n g e r : NEWTON'SCHE INTERPOLATIONSPOLYNOME UND GLEICHVERTEILUNG . . . . . . . .

I 14 16

E. Hlawka: OBER EIN PRODUKT, DAS IN DER INTERPOLATION ANALYTISCHER FUNKTIONEN IM EINHEITSKREIS AUFTRITT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

E. Hlawka: BEMERKUNG ZUM LEMMA VON DU BOIS-REYMOND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

E. Hlawka: BEMERKUNG ZUM LEMMA VON DU BOIS-REYMOND 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

P. K i r s c h e n h o f e r : ASYMPTOTISCHE UNTERSUCHUNGEN ZUR DURCHSCHNITTLICHEN GESTALT GEWISSER GRAPHENKLASSEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P. K i r s c h e n h o f e r , H. P r o d i n g e r und R.F. T i c h y :

OBER DIE ZIFFERNSUMME

NATORLICHER ZAHLEN UND VERWANDTE PROBLEME . . . . . . . . . . . . . . . . . . P° K i r s c h e n h o f e r und R. F. T i c h y : GLEICHVERTEILUNG IN DISKRETEN R~UMEN . . . . . . . V. L o s e r t :

55 66

GLEICHVERTEILUNG VON FOLGEN, DIE DURCH ADDITIVE HALBGRUPPEN DEFINIERT SIND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V. L o s e r t :

40

77

GLEICHVERTEILTE FOLGEN UND FOLGEN, FOR DIE FAST ALLE TEILFOLGEN GLEICHVERTEILT SIND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W.G. Nowak: EINIGE BEITR~GE ZUR THEORIE DER GITTERPUNKTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84 98

H. P r o d i n g e r : DIE BESTIMMUNG GEWISSER PARAMETER BEI BIN~REN B~UMEN MIT HILFE ANALYTISCHER METHODEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

118

R. Schnabl: OBER EINE C~-FUNKTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

134

J. S c h o i B e n g e i e r : DER NUMERISCHE WERT GEWISSER REIHEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143

J, S c h o i B e n g e i e r : OBER DIE DISKREPANZ DER FOLGEN (n~)

148

........................

R.F. T i c h y : BEMERKUNG ZU EINEM LEMMA AUS DER VARIATIONSRECHNUNG . . . . . . . . . . . . . .

154

ZUFALLIGE POLYEDER

-

EINE OBERSICHT

Christian Buchta

1. DIE KONVEXEHOLLE VON ZUFALLSPUNKTENIM EUKLIDISCHEN RAUM Um die Mitte des vorigen Jahrhunderts hat Sylvester die Frage aufgeworfen, wie groB die Wahrscheinlichkeit p i s t , dab sich vier aus einem ebenen konvexen K~rper K "beliebig" (das heiBt unabh~ngig voneinander nach der Gleichverteilung) gew~hlte Punkte zu einem konvexen Viereck verbinden lassen. Man sieht leicht (vgl. z.B. Czuber [25]), dab p=I-4F3(K ) g i l t , wobei F3(K) den Erwartungswert des Fl~cheninhalts der konvexen HUlle von drei Zufallspunkten bezeichnet. (Der Fl~cheninhalt von K sei 1.) Durch verh~Itnism~Big einfache Rechnungen erh~It man F3(Dreieck) 3~ T~ ' F3(Paralle11 289 logramm) = T4-4F' F3(regulares Sechseck) = SrS-SlT, F3(Ellipse ) = TSTz. Diese Resultate stammen von Woolhouse [68], Crofton [24] und Deltheil [26]. 1939 zeigte Alikoski [2], dab

F3(regul~res m-Eck) = 9c°s2m+52c°s m +44 36m2 sin2

(

_~) m=

Blaschke [8], [9] bewies fur beliebige konvexe K~rper K die Absch~tzung 35 48~2

I F3(K) ~I-~ '

wobei das linke Gleichheitszeichen fur Kreis und Ellipse, das rechte fur das Dreieck g i l t . Die Verteilungsfunktion (und damit auch die h~heren Momente) des Fl~cheninhalts eines zuf~lligen Dreiecks wurde von Alagar [1] bestimmt, f a l l s K ein Dreieck i s t , und von Henze [35] in den F~llen eines Kreises und eines Parallelogramms. Die h~heren Momente des Fl~cheninhalts eines zuf~lligen Dreiecks in einem Dreieck sowie in einem Parallelogramm hatte zuvor bereits Reed [49] berechnet. R~nyi und Sulanke [50], [51] haben 1963 einen neuen Weg eingeschlagen und begonnen, das asymptotische Verhalten der Erwartungswerte der Eckpunktzahl (En), des Umfangs (Ln) und des Fl~cheninhalts (Fn) der konvexen HUlle von n Punkten fur n ~

zu un-

tersuchen. Der Fall, dab K eine konvexe Scheibe mit glattem Rand i s t (das heiBt, dab die Randkurve genUgend oft differenzierbar und ihre KrUmmung K positiv und beschr~nkt i s t ) , wurde von den beiden Autoren ersch~pfend behandelt; es ergeben sich folgende Werte ( L i s t die L~nge des Umfangs und F der Fl~cheninhalt von K):

En

~

I-~-) 113 r / -~-)

(n-+~o) ,

0 L O, wobei i/sina

I

0

d1+I

. m

Die auftretende Konstante Z i=1

(. _

)

~-l(~i)

wird in [16] ngher untersucht. Sie i s t

unter allen konvexen m-Ecken bei festem m genau dann minimal, wenn a l l e Winkel gleich groB sind; sie strebt gegen unendlich, wenn das Polygon ausartet. FUr die Differenz zwischen dem Fl~cheninhalt F von K und dem Erwartungswert Fn des Fl~cheninhalts der konvexen Hi~lle von n in K gew~hlten Zufallspunkten erh~It man mit derselben Methode 2mF log n + 0 1(I~ F - Fn = ~ n \n/

(n ~ )

Man gewinnt so ein Resultat, das man auch aus dem eben erw~hnten Ergebnis von R~nyi und Sulanke betreffend den Erwartungswert der Eckpunktzahl mit Hilfe der von Efron [28] gezeigten Relation

F - Fn = ~

F

En+1

f o l g e r n kann. Betrachten w i r nun wieder eine f ~ t e Zahl n z u f ~ l l i g e r hen konvexen KSrper K gew~hlt werden. Groemer [29],

Punkte, welche aus einem ebe-

[30] hat nachgewiesen, dad der

Erwartungswert Fn(K ) des Fl~cheninhalts der konvexen HUIle von n solchen Punkten genau dann sein Minimum unter a l l e n konvexen K~rpern K mit F l ~ c h e n i n h a l t i annimmt, wenn K eine E l l i p s e i s t ,

und in diesem Fall g i l t 27 Jr

F n ( E l l i p s e ) = I + ~2 ( 2 ~I

(x-sinx)

(vgl.

[13])

n sinxdx

0 FUr n = 3 gewinnt man so die l i n k e Seite der Ungleichung von Blaschke: T~z 35 175 23023 175 23023 F3(K ) ~ ; weiters F4(K ) ~TF~Z , F5(K ) ~72-~z - ~ , F6(K ) ~1~-~7 -~-3-0-4-~F . . . . . In [12] wird Fn(K ) f u r b e l i e b i g e konvexe m-Ecke K und a l l e natUrlichen Zahlen n bestimmt: ES wird jedem Seitenpaar (s i , sj) l(i,j,n)

(1 ~ i < j ~ m) f u r jedes n e i n e Zahl

zugeordnet, die sich aus den L~ngen der beiden Seiten, i h r e r Lage zueinander

sowie n errechnet, und durch diese Zahlen Fn(K ) ausgedrUckt:

Fn(K) = 1 - ~

i

Z i<j

I(i,j,n+l) .

Zur I l l u s t r a t i o n ein Beispie[: Es sei K ein Dreieck. Da Fn(K) invariant gegenUber affinen Abbildungen von K i s t , k~nnen wir uns darauf beschr~nken, das gleichseitige Dreieck (mit Fl~cheninhalt 1) zu betrachten. FUr dieses i s t l(l,2,n)

= I(2,3,n) = l(l,3,n)

=

-E- ' k=l

woraus Fn(Dreieck ) = 1 - ~ 2 folgt,

I also F3 = ~

, F4 =

n Z k=l ~

1

-F

43 3 ' F5 = ~ ' F6 = ~ - 0 ' " "

Der h~herdimensionale Fall ( d )

3) i s t w e i t .weniger gut untersucht. Kingman [38] hat

g e z e i g t , da6 f u r den Erwartungswert V(d) des Volumens der konvexen HUIIe von d + I Zud+l f a l l s p u n k t e n in e i n e r d-dimensionalen Kugel mit Volumen 1

v(d) d+l -1 d+1 = Yd+l Y(d+l) 2 g i l t • (Dabei i s t yp = 2-(p+I) r(p+l) {r(~ +1)} -2 • FUr natUrliche Zahlen p i s t dazu

die rekursive Definition Yo := ~I ' Yp+l := {2~(p+l)yp}-I ~quivalent.) FUr Ellipsoide (mit Volumen I ) ergibt sich derselbe Wert, fur andere konvexe K~rper stets ein gr~Berer (Groemer [29]). Diese Aussage l ~ t

sich wie im zweidimensionalen Fall auf eine

beliebige Zahl z u f ~ l l i g e r Punkte verallgemeinern (Groemer [30]), allerdings kennt man V~ d)" fur n > d + 1 nur im dreidimensionalen Fall (vgl. [13], wo diese Werte aus einer Arbeit von Efron [28] gefolgert werden). In diesem Zusammenhang i s t auch auf ein Res u l t a t von Sch~pf [62] zu verweisen. In der L i t e r a t u r mehrmals erw~hnt wird das Problem, den Erwartungswert V4 des Volumens der konvexen HUlIe yon v i e r in einem Tetraeder (mit Volumen i ) gew~hlten Zufallspunkten zu bestimmen (siehe z.B. Alagar [ i ] , I Henze [35], Kinqman [38], Klee [39], Reed [49]); die Vermutung__ von Klee, daB V4 =~'~T g i l t , wurde durch Monte Carlo-Experimente widerlegt: ~F i s t der dem tats~chlichen Weft am n~chsten kommende Stammbruch (vgl. [39]). In [15] wird f u r den Erwartungswert Vn des Volumens der konvexen HUIIe von n solchen Punkten ein Integralausdruck angegeben, aus dem 1 - Vn ~

l°gn2n

(n-~)

gefolgert wird. Hinzuweisen i s t auch auf die Arbeiten von Reed und Ruben [49], [55]. FUr beliebige dreidimensionale konvexe K~rper K i s t nur die Beziehung V5 = ~ V4 bekannt (siehe [14]); f u r n ) 5 h~ngt das Verh~Itnis von Vn+I zu Vn von K ab. (Das entsprechende Resultat in der Ebene i s t die Relation V4 = 2V3. ) Asymptotische Untersuchungen in h~heren Dimensionen wurden - abgesehen vom erw~hnten Tetraeder - bisher offenbar nur f u r streng konvexe K~rper K, deren RandhyperflNche BK dreimal s t e t i g differenzierbar i s t , durchgefUhrt. FUr beliebiges d sind die Differenz zwischen der mittleren Breite B von K und dem Erwartungswert an d e r m i t t leren Breite der konvexen HUIIe von n in K z u f ~ l l i g gew~hlten Punkten sowie der Erwartungswert Sn d e r Seitenfl~chenzahl dieses Polyeders bekannt: 2 {d +112/(d+l) B-Bn ~T-~T~d ~d_i] F(i~-I-) I "(d+2)/(d+l) ~ fV~2/(d+l)a°~'-6-} :

+ o

-"n-'' '[1-

@K 2 d-I Sn ~ Pd Pd2-1 [ d + 1 1 ( d 2 + l ) / ( d + l ) r ( - ~ - ) d(d+l)!PdZ \Pd_l-----/

I

/ n \(d-l)/(d+l) K1/(d+l) do~---~-)

(n ~ )

,

(n~)

•

BK

dabei bedeutet V das Volumen yon K, K die Gau~-Kronecker-KrUmmung von @K, o das Oberfl~chenmaB auf ~K und Pd das Volumen der d-dimensiona]en Einheitskugel. Diese Resultate stammen von Schneider und Wieacker [60], [67] und verallgemeinern h i n s i c h t l i c h der Seitenfl~chenzahl ein Ergebnis von Raynaud [48]. Im Fall d = 3 hat Uberdies Wieacker [67] fur die Differenz zwischen dem Volumen V von K und dem Erwartungswert Vn des Volumens der konvexen HUIIe von n in K z u f ~ l l i g gew~hlten Punkten

V - Vn ~ ~[~ I K1/4 dok-~/V~1/2 j (n ~ ~) aK und fur den Erwartungswert Ender Eckpunktzahl dieses Polyeders En

~Tp~ 35

I

KI/4 d~LV / n11/2 )

(n ~ ~)

aK gezeigt. In h~heren Dimensionen sind die entsprechenden Resultate nur fur die Kugel bekannt (Wieacker [67]). In [18] werden die Erwartungswerte der Oberfl~che, der m i t t l e r e n Breite und der SeitenfINchenzahl der konvexen HUlle einer beliebigen Zahl n yon Zufallspunkten in einer d-dimensionalen Kugel e x p l i z i t angegeben. Beispielsweise ergibt sich fur den Erwartungswert der Oberfl~che eines zuf~lligen Simplex (n = d + 1) in einer Kugel mit Oberfl~che I d+l d -I T Yd+I Yd(d+1) " Das hier gel~ste Problem kann auch als Verallgemeinerung der von Apsimon [ 3 ] , Deltheil [26], Hammersley [34], Lord [42] und Watson [65] untersuchten Frage nach der Verteilung des Abstands zweier in einer Kugel gew~hlter Zufallspunkte angesehen werden. Erw~hnt sei in diesem Zusammenhang auch eine Arbeit von Hall [33], in der unter Zuhilfenahme eines Resultates von Baddeley [4] die Wahrscheinlichkeit bestimmt wird, dab ein Zufallsdreieck in einer Kugel spitzwinkelig i s t ; vgl. dazu auch [151. Ein entsprechendes Ergebnis f u r ein Zufallsdreieck in einem Rechteck stammt von Langford [40]. Vom Standpunkt der Approximation i s t es gUnstiger, die Zufallspunkte nicht im Inneren des K~rpers K zu w~hlen, sondern auf seiner Randhyperfl~che. Auf diesen Gesichtspunkt wird in [19] eingegangen: Es werden zun~chst die Erwartungswerte der Oberfl~che, der mittleren Breite und der Seitenfl~chenzahl der konvexen HUIIe einer beliebigen Zahl n von Zufallspunkten am Rand einer d-dimensionalen Kugel e x p | i z i t e r m i t t e l t und sodann i h r asymptotisches Verhalten fur n ~

untersucht. Dabei zeigt sich, dab die Oberfl~-

che und die m i t t l e r e Breite des Zufallspolyeders mit der Geschwindigkeit O(-T~T(~dz-i-y) gegen die Oberfl~che beziehungsweise die m i t t l e r e Breite der Kugel streben. Dagegen ergibt sich im F a l l , dab die Zufallspunkte im Inneren der Kugel gew~hlt werden, bloB die Konvergenzordnung 0~( _ -. ~ ' -

)

Die Seitenfl~chenzahl strebt schneller

nach unendlich, wenn die Punkte am Rand gew~hlt werden: O(n) t r i t t an die S t e l l e yon O(n(d-1)/(d+l)).Das asymptotische Ergebnis betreffend die m i t t l e r e Breite l~Bt sich auf den Fall ausdehnen, dab die Zufallspunkte am Rand eines beliebigen hinreichend glatten konvexen K~rpers gew~hlt werden. Das Auftreten der Konvergenzordnung

mor, nsw r ;

,onver ozor nun

Ann~herung hinreichend g l a t t e r konvexer K~rper durch bestapproximierende Polyeder,

wenn die Hausdorffmetrik oder die Symmetrische-Differenz-Metrik als AbstandsmaB verwendet wird (vgl. Betke und Wills [7], Bronstein und Ivanov [10], Dudley [27], Gruber und Kenderov [32], Schneider [58] sowie Schneider und Wieacker [61]). In der Literatur (Miles [43], Ruben [54]) wird auch die VerteilungdesVolumenszuf~lliger Simplices untersucht, deren Eckpunkte zum Teil im Inneren und zum Teil am Rand einer Kugel gew~hlt werden. Andere Verteilungen als die Gleichverteilung wurden bisher nur sporadisch betrachtet. Zu erw~hnen sind die Arbeiten von R~nyi und Sulanke [50] sowie von Efron [28] betreffend die Normalverteilung; weiters die Untersuchungen von Carnal [22], der rotationssymmetrische Verteilungen studiert hat. 2. DIE KONVEXEHDLLE VON ZUFALLSPUNKTENAUF KOMPAKTENMETRISCHENMANNIGFALTIGKEITEN

Es liegt nahe, den kompakten Bereich des Euklidischen Raumes, aus dem die Zufallspunkte ge~6hlt werden, dutch eine kompakte metrische Mannigfaltigkeit zu ersetzen. Eine Teilmenge K einer kompakten metrischen Mannigfaltigkeit heiBt konuex (vgl. Bangert [6], Walter [64]), wenn fur je zwei Punkte x,y E K alle geod~tischen Linien (das heiBt alle Kurven minimaler L~nge auf der Mannigfaltigkeit, die x und y verbinden) ganz in K enthalten sind. Die konvexe HUlle einer Menge ist die kleinste konvexe Menge auf der Mannigfaltigkeit, welche die Menge enth~It. Im Fall der d-dimensionalen Sphere S(d) = {x E Ed+l:l[x[i : 1} (Ed+l bezeichnet den (d+l)-dimensionalen Euklidischen Raum) ist die Metrik durch die minimale Euklidische L~nge aller Kurven auf S(d), die zwei Punkte verbinden, definiert. Eine konvexe Menge auf S(d) ist entweder in einer Halbsph~re enthalten oder mit der Sphere ident. Die konvexe HUlle von n Punkten auf einer Sphere ist fast sicher in einer Halbsph~re enthalten, wenn die Punkte selbst diese Eigenschaft haben. Von Wendel [66] wurde die Wahrscheinlichkeit p~d)," dab n auf der Sphere unabh~ngig nach der Gleichverteilung gew~hlte Punkte in einer gemeinsamen Halbsph~re liegen, bestimmt;

p.d) _

1

~

k=o

(n~l).

Weiters zeigten Cover und Efron [23], dab der Erwartungswert des Volumens ~d) der konvexen HUlle n solcher Punkte unter der Bedingung, dab alle Punkte in einer gemeinsamen Halbsph~re liegen,

v~d) = \fn-l~d) / (2 k=O ~ \/ nk- l );~ = \fn-1~ / \( 2n Pn(d)~) d ] betr~gt. (Dabei ist das Oberfl~chenmaB auf der Sphere zu 1 normiert.) Mithin kennt man den Erwartungswert V~ d)" des Volumens der konvexen HUlle von n auf S(d) zuf~llig und gleichverteilt gew~hlten Punkten:

Das entsprechende Problem fur den Torus wird in [20] studiert. Der d-dimensionale Torus T(d) i s t der Quotientenraum Ed/zd, wobei Zd das System a l l e r Gitterpunkte des ddimensionalen Euklidischen Raumes Ed bezeichnet. Durch p(x,y) = infIIx-y+III wird eine

I~Z~ Lebesgue-MaB Metrik auf T (d) definiert. (T(d),~d) , wobei ~d fur das d-dimensio6ale steht, i s t zum d-fachen Produkt von (T(1),Ul) isomorph: d (T(I)

I

I c T (I) heiBt ~nd~me~iom~e ZJ_le, wenn I ein Teilintervall yon [0,I) oder das Komplement eines T e i l i n t e r v a l l s von [0,I) i s t . Eine d-d~mem~ion~e Ze2~e i s t das Cartesische Produkt yon d eindimensionalen Zellen. Zu jeder konvexen Teilmenge K ~ T (d) gibt es eine kleinste Zelle Z(K), die K enth~It. Z(K) i s t das Cartesische Produkt yon d eindimensionalen Zellen mit L~nge l < # oder L~nge l = 1. Es bezeichne t = t(K) die Anzahl der eindimensionalen Zellen der L~nge l = 1; t(K) wird der Typ yon K genannt. Die konvexe HUlle von n zuf~llig und g l e i c h v e r t e i l t auf T (d) gew~hlten Punkten i s t mit Wahrscheinlichkeit

eine konvexe Menge vom Typ t. Der Erwartungswert des Volumens der konvexen HUIIe unter der Bedingung, dab diese eine konvexe Menge vom Typ t i s t , betr~gt

v~d) (t)

~n+l~ d-t

= k~}

(d-t)

Wn

'

wobei W~d) den Erwartungswert des Volumens der konvexen HUlle von n Zufallspunkten im O- ,mens on

en

,n,e

swOr,e

ze c,ne

,).

den Erwartungswert V~d) des Volumens der konvexen HUlle yon n auf T(d) unabh~ngig und g l e i c h v e r t e i l t gew~hlten Punkten: =

Z (d){n+1~ d-t (I-2n-~_ )t

t:o

t:o

W(d-t)

kT}

ZU bemerken i s t , dab man W~I) = ~ n-1 durch elementare Rechnungen erh~It; W2) wird in [12] explizit bestimmt:

fur W~3) wird in [20] ein Integralausdruck angegeben.

3. DER DURCHSCHNITTZUFALLIGER HALBR/~UME Auch die Untersuchung z u f ~ l l i g e r Polyeder, die als Durchschnitt z u f ~ l l i g e r Halbr~ume erzeugt werden, i s t untrennbar mit den Namen R~nyi und Sulanke verbunden. Die beiden Autoren studieren in [52] eingehend den ebenen Fall. Sie betrachten einen beschr~nkten konvexen Bereich K der Ebene, der in seinem Inneren einen konvexen Bereich B enth~It, und w~hlen n z u f ~ l l i g e Geraden, die den Bereich K, nicht aber den Bereich B treffen. (Die Geraden werden unabh~ngig voneinander gew~hlt; ihre Verteilung i s t durch das bewegungsinvariante Euklidische Geradenma~ d e f i n i e r t . ) Der Durchschnitt jener dutch die Geraden definierten Halbr~ume, die B enthalten, i s t ein konvexes Polygon. I s t die Randkurve von B genUgend oft differenzierbar und ihre KrUmmungKpositiv und beschr~nkt, so ergibt sich fur den Erwartungswert En der Eckpunktzahl des Zufallspolygons LI

/2~ I/3

( n ~i/3 ?I~),, JI K2/3 ds ~[~-[~j + 0(i)

En=

(n ~ )

;

0 dabei bedeuten L1 und L2 den Umfang von B und Ko Ist hingegen B ein konvexes m-Eck, dann erh~It man En = - ~ log n + 0(I)

(n ~ ~) .

Auf die Ahnlichkeit dieser Resultate mit den in Abschnitt 1 erw~hnten Ergebnissen sei hingewiesen; der genaue Zusammenhang wurde von Ziezold [69] untersucht. Besonders interessant - auch im Hinblick auf Anwendungen - i s t der Fall, dab B zu einem Punkt ausartet, also der Durchschnitt von Halbr~umen betrachtet wird, die a l l e den Ursprung enthalten. R~nyi und Sulanke wiesen fur diese Situation im ebenen Fall (d=2) 2 (n ~

En ~-2-

~)

nach. Wolfgang Schmidt [57] gelang es zu zeigen, dab der Erwartungswert E~d) der Eckpunktzahl des entstehenden Zufallspolyeders auch fur d > 2 gegen einen endlichen Wert strebt, wenn die Zahl n der zuf~lligen Halbr~ume gegen unendlich geht. Sulanke und Wintgen [63] errechneten schlieBlich diesen Wert: d]

2

(n

(Pd bezeichnet wie oben das Volumen der d-dimensionalen Einheitskugel.) Ein Resultat von Schneider [59] besagt, dab dieser Wert unter allen Verteilungen maximal i s t , bei denen die AbstSnde der Hyperebenen vom Ursprung g l e i c h v e r t e i l t sind, die Orientierung dagegen beliebig i s t ; mit anderen Worten: E(d) wird bei isotropen Verteilungen maximal. n

Zu v ~ l l i g anderen Ergebnissen gelangt man, wenn man voraussetzt, dab die Abst~nde der

Hyperebenen vom Ursprung a l l e gleich seien. Kelly und Tolle [36] zeigten fur den Erwartungswert E~ d)" der Eckpunktzahl eines solchen Polyeders, das durch isotrop vert e i l t e Hyperebenen erzeugt wird, die asymptotische Absch~tzung d d(d-6)/2 n,< E~d) ~.-" Bd d (d-5)/2 n , wobei ~ und B von d und n unabh~ngige Konstanten sind. In [17] wird dieses Resultat verbessert. Es wird E~ d)" fur beliebige natUrliche Zahlen d und n e x p l i z i t angegeben und

E d) ~

2

-(d-l) ¥(d-l) 2 r d - i

n

n~)

gefolgert. (Dabei i s t wie oben yp = ~-(p÷l)

r(p+l) {r ( ~ + i ) } - 2 . )

Zu erw~hnen i s t in diesem Zusammenhang auch eine Arbeit von Pr~kopa [47], der lineare Ungleichungssysteme mit zuf~lligen Koeffizienten betrachtet und den Erwartungswert der Eckpunktzahl des L~sungspolyeders untersucht. Eine andere Methode zur Erzeugung zuf~lliger Halbr~ume wurde von Carlsson und Grenander [21] diskutiert: Die beiden Autoren betrachten einen ebenen hinreichend glatten konvexen K~rper K, dessert Randkurve in der Form (x(m), y(m)), 0 < m < 2,, dargestellt wird. Sie w~hlen nach einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung n Winkel, betrachten fur jeden Winkel die zugeh~rige Tangente an K und definieren als Zufallspolygon den Durchschnitt jener von diesen Tangenten erzeugten Halbr~ume, die K enthalten. Untersucht wird das asymptotische Verhalten der Differenz zwischen dem Fl~cheninhalt des Zufallspolygons und dem Fl~cheninhalt von K, wenn die Zahl n der z u f ~ l l i gen Halbr~ume gegen unend'lich strebt.

4. SCHLUSSBEMERKUNGEN Als Anwendungsbeispiel zu Abschnitt 1 i s t das "Poisson forest problem" yon D.G. Kendall (vgl. Ripley und Rasson [53]) zu nennen, das in der Aufgabe besteht, aus der Realisierung eines ebenen homogenen Poisson-Prozesses in einer kompakten konvexen Menge diese Menge zu bestimmen. Die Ergebnisse in Abschnitt 3 sind insbesondere fur die l i neare Programmierung von Interesse (vgl. z.B. Kelly und Toll e [36], Pr~kopa [47],

R~nyi und Sulanke [52], Sulanke und Wintgen [63]). Hinweise auf die Literatur zu verwandten Fragen findet man in der Monographie von Kendall und Moran [37] sowie in den Erg~nzungen dazu von Moran [44], [45], L i t t l e [41] und Baddeley [5]; weiters im Buch von Santal6 [56]. Altere Werke stammen von Czuber [25] und Deltheil [26]. Auf neuestem Stand i s t der Dberblicksartikel von Gruber [31], welcher der Approximation konvexer K~rper im allgemeinen gewidmet i s t und

10 die stochastische Approximation in diesem gr~Beren Zusammenhang d a r s t e l l t . Besonders zu erw~hnen sind die Diplomarbeiten von Wieacker [67] und MUller [46]. LITERATUR [ I]

V.S. Alagar: On the d i s t r i b u t i o n of a random t r i a n g l e . J. Appl. Prob. 14 (1977), 284-297.

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13

[64] R. Walter: Konvexit~t in riemannschen Mannigfaltigkeiten. Jber. d. Dt. Math.Verein. 83 (1981), 1-31.

[65] G.N. Watson: A quadruple integral. Math. Gaz. 43 (1959), 280-283. [66] J.G. Wendel: A problem in geometric probability. Math. Scand. 11 (1962), 109-111. [67] J.A. Wieacker: Einige Probleme der polyedrischen Approximation. Diplomarbeit, Freiburg im Breisgau 1978. [68] W. Woolhouse: Educational Times, 1867. [69] H. Ziezold: Ober die Eckenzahl zuf~lliger konvexer Polygone. Izv. Akad. Nauk Armjan. SSR Ser. Mat. 5 (1970), 296-312.

I n s t i t u t f u r Analysis, Technische Mathematik und Versicherungsmathematik Technische Universit~t Wien Wiedner HauptstraBe 6-10 A - 1040 WIEN

EIN DISKREPANZBEGRIFFFOR KOMPAKTE RAUME W. Fleischer-F

Abstract. This note is a summary of the paper "Charakterisierung einer Klasse linearer Operatoren" by W. Fleischer, published in Sitzungsberichte der Osterr. Akad. Wiss., math.-naturw. KI., 191 (1982), 157-163.

Man betrachte fur f aus LI[0,I] die Funktion Tf Uber [0,1] mit (Tf)(x) = I S C[o,y)~)f(y)dy. Dabei sei C[o,y)die charakteristische Funktion des Intervalles[O,y). 0 x2 Wegen ](Tf)(xl)-(Tf)(x2) ] = IS f(y)dyl und l(Tf)(x)I ~ l~H1 ist T ein beschr~nkter xI linearer Operator von LI[0,I] in C[0,I]. Bezeichnetm ~ie endliche Folge (xl,x 2. . . . . XN) (0 ~ x n < I fur alle N n) und LN das beschr~nkte lineare Funktional aus (LI) * I

durch LN(f) = ~

?

L (Tf) (Xn ) n:1 1

so g i l t :

LN(f) = N 1

N

~ n=l

N

I

definiert

(*)

S (Tf) (x)dx, 0

1

1 1

- S S C[o,y)(X)f(y)dy O0

S C[o,y)(Xn)f(y)dy 0 1

dx =

1

OS ~I nZ1=C[o'y)(Xn)f(y)dy - OSf(Y) SOC[o'y)(X)dxdy = I

N

S (~ Z C [ o , ~ n) " y)f(y)dy. Wegen (LI) * = L~ ist somit IiLN[I: o n=1 N

O~y

= C(X), so s t e l l t

T einen Diskrepanzoperator dar.

[bezeichne die abgeschlossene HUIIe des l i n e a r e n Teilraumes~/TB,1>von C(X), der vom Wertebereich TB von T und der Funktion i d e n t i s c h g l e i c h I aufgespannt wird.] Dieser D i s k r e p a n z b e g r i f f e n t h ~ I t a l l e bekannten B e g r i f f e als S p e z i a l f ~ l l e . Es kUnnen a l l e Diskrepanzoperatoren c h a r a k t e r i s i e r t werden. Das i s t Hauptaufgabe e i n e r A r b e i t , die in den Sitzungsberichten ersch~enen i s t ( v g l . obiges Z i t a t ) . SATZ 2. I s t der Operator T kompakt und ~ , I > dann A - g l e i c h v e r t e i l t

= C(X), so i s t die Folge w = (x k) 9enau

zu p, wenn lim IILNI 1 = 0 g i l t . N-~o

SATZ 3. I s t w = (x k) genau dann A - g l e i c h v e r t e i l t T kompakt undoo

f u r a l l e z mit Izl > r . Daher i s t auch die Bedingung (~) in Satz 1 erf i i l l t und { Pn}n=O i s t eine Schauder-Basis f u r •R"

18

I s t umgekehrt {Pn}n=O eine Schauder-Basis fur die Bedingung (~) e r f U l l t . Daraus e r g i b t sich lim I nZ: l o g n n÷~ k=I Man kann nun z e i g e n , durch

eine

dab s i c h

Linearkombination gz(¢)

approximieren

l~Bt.

l i m -I zn n÷~ n k = l und d a h e r i s t

jede der

= log

Nun e r h ~ I t

IZ-Zkl

so i s t nach Satz 1

= t o g I z I.

stetige

Funktion

a u f Tr g l e i c h m ~ B i g

Funktionen

lz-¢l,

lzl > r,

¢

Tr

man w i e d e r g(z

k

{Zk}k= I gleichverteilt

) = fI g ( r e 2 ~ i t ) d t 0 auf

Tr .

Mit H i l f e eines allgemeinen Satzes Uber Biorthogonalsysteme in nuklearen Fr~chetr~umen (siehe: [ i ] ) kann man nun auBerdem eine f u n k t i onalanalytische Charakterisierung g l e i c h v e r t e i l t e r Folgen angeben (siehe: [ 2 ] ) .

LITERATUR HASLINGER, F.: Complete biorthogonal systems in nuclear (F)-spaces, Math. Nachr. 83, 305-310 (1978). : On Newton's i n t e r p o l a t i o n polynomials, J. Approximation Theory 22 , 352-355 (1978). : Polynomial expansions and expansions by Pincherle sequences in spaces of holomorphic functions, Colloquia Mathematica, Janos Bolyai Society 35. Functions, series, operators, 595-610, Budapest 1980. 4

KALMAR, L.:

Ober I n t e r p o l a t i o n , Matematikai ~s Physikai Lapok, 120-149 (1926).

5

WALSH, J . L . :

I n t e r p o l a t i o n and Approximation, Amer.Math.Soc. C o l l . P u b l . , 1935

Doz.Dr.F. Haslinger I n s t i t u t fur Mathematik U n i v e r s i t ~ t Wien Strudlhofgasse 4 A-1090 Wien AUSTRIA

OBER EIN PRODUKT, DAS IN DER INTERPOLATION ANALYTISCHER FUNKTIONEN IM EINHEITSKREIS

AUFTRITT E. Hlawka

Abstract.

In this a r t i c l e

for a p r o d u c t circle.

arising

uniformly

distributed

in i n t e r p o l a t i o n

This is a c o n t i n u a t i o n

problems

of a p r e v i o u s

sequences

are u s e d to give e s t i m a t e s

for a n a l y t i c

paper

functions

on the u n i t

[i].

In der Arbeit im Landau Gedenkband, 1968 erschienen, betrachte ich das Produkt N

WN(Z) =

~ (z - ~n ) n=1

Dabei i s t ~n = e2~iq)n f u r n = I . . . . . N. Dabei i s t ON=(~I . . . . . Einheitskreisintervall

~N)eine Folge auf dem

I : 0 s m < I . Es wird dann gezeigt ( H i l f s s a t z 2) l o c - c i t .

FUr jedes z mit Izl > I i s t

(1)

Izl(~+11) 2DN ~ I~N(Z)I 1/N ~ 1z1(~_+11) 2ON

,

Dabei i s t DN die Diskrepanz der Folge o N (Zur D e f i n i t i o n von DN sei auf das Buch[2] des Verfassers verwiesen. Der Beweis von (1) stUtzt sich auf die Formel ( f s t e t i g d i f f e r e n z i e r b a r e , periodische Funktion mit der Periode 1): N

(2)

I~

1

nZ1 f(~n)=

-

1

0f f(m)dm] ~

DN f ' (l ~ ) I d e t o

I re 2 v i ~ g e s e t z t und die Funktion Zum Beweis von ( I ) wird ¢ = ~= f(~) = Inll

- ¢e2~i~]= ½ ]n (I + r 2 - 2r cos 2 ~ ( ~ ) )

betrachtet und (2) angewendet. Aus ( I ) f o l g t auch die Absch~tzung f u r Izl < I I- z

2DN

I/N

2DN

Ein K u n s t g r i f f ermSglicht die Absch~tzung ( H i ] f s s a t z 4) loc. c i t . fUr Izl = 1 : (4)

I~N(Z)l 1/N ~ ~(D)

,

20

(5)

#(D) = v / T2

(6)

R2 = 4D + ~6D 2 + I

wobei D = DN i s t ,

(7)

w~hrend das Maximumprinzip angewendet auf ( I ) nur

imN(Z) j I I N S B(O)

geliefert (8)

(,I+~D~D2*I)2D ,

h a t t e , wobei B(D)= RI ( 1 + w / ~ + 2D

I)2D

mit (9)

RI = 2D + V ~

+ I

ist. I/N Wir wollen in der vorliegenden A r b e i t mN (Hauptwert) und (10)

arg mN

untersuchen. Wir nehmen nun in (2) (11)

f ( ~ ) = arctg

r sin 2 ~ 1-r cos 2~m

Dabei i s t 0 ~ r < I . Wir haben dabei, was keine Einschr~nkung bedeutet, = r , also 6 = 0 angenommen. Es i s t f ' ( m ) = - r r-cos 2 ~ 2~ • 1+r2-2r cos 2~m I Wit setzen r = cos 2~mo m i t O~ mo < 4" Es i s t dann cos 2 ~ ° - cos 2 ~ (12)

f'(~)

= - cos 2 ~

271-

.

o 1+cos22~mo_2COs 2~mo cos 2~m I

Es i s t nun

f

if'(~)id~zu

berechnen.

0

I Es i s t ja

~ f ( ~ ) d ~ = O, da f eine ungerade Funktion i s t , denn es i s t f ( 1 - ~ ) = - f ( w ) . O

Es i s t 1/4

mo

i If(m)Idm :

I

0

0

1/4 tf'(~)Id~p + J If'(~)Id~o ~0

Es i s t f u r 0 < ~ < ~o sicher [cos 2 ~ o - cos 2~mi = cos 2 ~ - cos 2~o~also ~o nf,(m)idm o

~

~o ~

cos 2~m-cos 2~mo

o

1+r2-2r cos

2~

~o cKp = ~ f'(m)dm = f(O),f(mo) 0

=f(~o o)

21 r sin 2 ~ o r I - r sin 2~ o = arctg {1-r 2

= arctg

J e t z t betrachten w i r I/4 f

I/4 If'(~)Ickp = -

f

%

f'(~)ckp = - ( f ( ~ )

- f(~o )) = f(~o ) - a r c t g

%

Es i s t also I/4 f

If'(~)Id L3/8M = K, ein Widerspruch. Somit i s t Satz I bewiesen. J e t z t s t e l l e n w i r ein GegenstUck zum Lemma von Du Bois-Reymond auf: SATZ 2. Es sei g s t e t i q d i f f e r e n z i e r b a r a uf E un__dd mN eine Folge mit Diskrepanz DNWeiters sei e -> 0 gegeben und f u r a l l e s t e t i g e n f mi_~_t N

(11)

I X(f) = ~

~

f(xk) = 0

gelte

1=k

(12)

I~

Dann g i l t

N

I

~ g ( x k ) f ( x k) I --< k=1

N ~

f2(xk)

k=1

f u r a l l e x aus I

(13)

Ig(x) " ~(g)I
- I t 2" 2. trm ) (I_u~-I)L ~ - )~[rm-2 "

Weiters g i l t wegen 2u t-1 (1_ut-1) 2 2u Y(z)Y(zut-l) = i ut-1) 2 Y(z)Y(zut-1) ut-2(1-u) 2 (l-u) 2 ( < ( l - 22u u ) y(z)y(zu t-1),zrmu(t-1)pm> = ( t - 1 ) < ~

2ut-i

Da fur p,r wie in 2.13 = =

'

y(z)y(zu t-1),zrmu(t-1)pm>

44

y2(z) =

_

i s t damit das Lemma bewiesen. Aus 2.7 ergibt sich, dab h(z,u) jedenfalls analytisch i s t fur z,zu~G, u#l. Die Singularit~t u=l i s t fur zEG allerdings hebbar, da fur z~G lim h(z,u) = zy'(z) + y(z) = U-~I

zYt(z) 1_tzy(zlt_l,, + y(z) .

Damit haben wir (2.16)

h(z,u) i s t analytisch fur z,zucG.

Um das asymptotische Verhalten fur m+~ der Koeffizienten , p,r wie in 2.13, zu ermitteln,

fUhren wit die erzeugenden Funktionen

(2.17)

hp,r(X ) = ~ xrm n~O ein. Unser wesentliches Anliegen wird es nun sein, das lokale Verhalten eines ~quivalents zu hp,r(X ) in der N~he seiner (logarithmischen) Singularit~t zu untersuchen. Wir beginnen mit dem folgenden LEMMA 2.

FUr alle x mit Ixl< q

gilt

hp,r(X ) = ~_~TfC1 h(x/sP,s r) Tds , wobei C=C(x) eine positiv o r i e n t i e r t e einfache geschlossene Kurve im Gebiet {sE~: s#0 & x/sPEG & xsr-P~G, G aus 2.7} ist. Beweis. Nach 2.16 konvergiert h(z,u) = ~ b .znu J n,j~0 n,j absolut und gleichm~Big auf kompakten Teilmengen von ~2 mit Iz[O so w~hlen, dab f u r O<e<E(w) die Kurve F

C

beiden Seiten des Schnittes [ 0 , I ]

l~uft,

entlang der

aber die S c h n i t t e S. n i c h t e r r e i c h t . J Wahl e i n e r derartigen "zul~ssigen" Kurve c sei l(w) durch 3.1 d e f i n i e r t . E

Es g i l t LEMMA 4.

dann l(w) i s t a n a l y t i s c h in

G = ~ - [1,=[

.

Nach

47 Beweis.

Sei WoEG und ~ e i n e feste Kurve, die f u r w° im obigen Sinn z u l ~ s s i g i s t .

Da

die S c h n i t t e Sj s t e t i g von w abh~ngen, g i b t es eine offene Umgebung U(Wo), f u r die dieselbe Kurve F e b e n f a l l s z u l ~ s s i g i s t ,

dh. der Integrand in 3.1 i s t a n a l y t i s c h

f u r wEU(Wo) und sc~ . Nach einem wohlbekannten Satz i s t damit l(w) a n a l y t i s c h in U(Wo). Dasselbe Argument kann f u r jedes Wo~G verwendet werden. Im weiteren werden w i r zeigen, dab l(w) in der N~he von w=1 folgende l o k a l e Entwicklung g e s t a t t e t : LEMMA 5. Es e x i s t i e r e n Konstanten u>O und 0 mit ~/21 und l(o,w) wle in 3.5. FUr ~>1, ~ genUgend nahe bei 1, gibt es Konstanten u>O und 0 mit ~/2<e_~+l a k ( Q ; n ) Q ( J ) q ( j + l )

'

woraus das Resultat unmittelbar f o l g t . FUr die weiteren Betrachtungen beachten wir, dab =

fur

n~tO

=

~

~j

j_>O und m-1 S(Q,~;n) n=O

= j~O ~

wj

~[ [ Q - ~ J - 0

q(j+l) L~I-~J]

dr"

Da fUhrende Nullen keinen Beitrag zur gewichteten Ziffernsumme ergeben, kann die obige Reihe durch eine endliche Summe ersetzt werden. Es erweist sich dazu als zweckm~Big, die folgende Notation einzufUhren: FUr eine natUrliche Zahl m bezeichnet O (m) = i die eindeutig bestimmte ganze Zahl i ~ O mit Q(i) ~ m < Q(i+l) (d.h. zur Darstellung von m werden Q ( m ) + l Stellen ben~tigt). Mit dieser Bezeichnung ergibt sich fur j ~ Q (m) +1 und n~m- 1: n m-I ~T(T~

-< Q(Q*(m) + i)


q-1, P~I gewicbteten Ziffernsumme im q-~ren Zahlensystem ist gegeben durch Mq(~;m)

logq p = m H(logqm)

q-1

~TFT~

'

wobei H(x) die i n (3.5) beschriebene stetige, periodische Funktion ist.

4. DIE DIFFERENZSUMME IM q-AREN ZAHLENSYSTEM Als weitere Anwendung des in #bschnitt 2 hergeleiteten Lemmas 2 behandeln wir fur das q-~re Zahlensystem nun die Gewichtsfolge ( ( - l ) J ) . (Differenzsumme, alternierende Summe, Wechselsumme) KOROLLAR 2. gegeben durch

Der Mittelwert Mq(±;m) der Differenzsumme im q-~ren Zahlensystem ist

Mq(±;m~,, = q-1 1 1 I+1 --2-- Z (-1)j ~ ~. j=O j=l mit 1 = Llogqm] un_d_dg(x) aus (3.2).

(-1) j g ( ~ ) qJ

Der erste Term im obigen Ausdruck nimmt dabei folgende Werte an: q-i 2

1 Z (-1) j j=O

=

q-1 2

1 gerade

0

l ungerade

(4.1)

Der zweite Term kann wie folgt umgeformt werden: I+I 1 Z (-I) j g(q-~) qJ = j=l I+i I+I = 1 ~ g(q~) qj 1 m m Z g (--~'~) qj " j=l j=l q j gerade j ungerade Mit der Substitution s = 1 + l - j ergibt sich g(mqS-l-1) ql+l-s _ I Z g(mqS-l-1) ql+l-s ] s~O m s~O s gerade s ungerade q l - s - { l Ogq m} g(q s-l+{l Ogq m} )

= (-1)I+1[s

s~O gerade

-

1-{logq m} = (-1) I+1 q Zur AbkUrzung setzen wir

X q s_>O s ungerade

1-s-{logq m}

g(q

2t-l+{logq m} t~_>C) q-2t g(q

)

s-l-{logq

m})

]

-2t-1 t>_OZ q

g(q

2t+{logq m}

62 h±(x) =

Z q-2t g(q2tx) t~O

(4.2)

und erhalten ( 1)i+ 1 q 1-{logqm} [ {log m} - 1 h±(q q ) Wir fUhren zwei weitere Hilfsfunktionen

{logqm}) _ i ~ h±(q ]

ein: (4.3)

H2x()

:

_

Mit dieser Notation iBt dann

Hl(lOgq m) Mq(±;m)

fur Llogqm] gerade (4.4)

=

H2(logqm)

fur llogqm] ungerade .

Diese Darstellung l ~ t sich noch vereinfachen: Sei Hi(x ) fur Lx] gerade

H±(X) =

(4.5) H2(x )

fur Lx] ungerade.

Man sieht s o f o r t , dan H±(x) periodisch mit Periode 2 i s t . Weiters i s t H±(x) s t e t i g : H±(O+) = HI(O+)= q~ + q[h (¼)

I ~h±(1)]

Da g(k)=O fur k E~, ist h±(1)=O und -q-I ~-, h,(~) = g(~) = sodal5 H+(0+)

= 0.

Wei ters i s t H±(l-) = Hl(l- )

= q~

+

h+(1)

I - ~ h+(q).

Nun i s t h ± ( q ) = 0 und daher q-i H±(1-) = - T - " AuI~erdem i s t H±(I+) = H2(1+ )

= H2(0+ )

=

SchlieBl ich i s t H±(2-) = H2(2- )

= H2(I- )

=

q [ h ± ( q1-) h,(1)

Damit haben w i t folgenden Satz vollstSndig bewiesen:

i ~h

(1)]

q-1 = T

= H±(I-) .

0 = H(O+).

63

SATZ 3. FUr den Mittelwert Mq(±;m) der Differenzsumme i m q-~ren Zahlensystem gilt: Mq(±;m) = H±(logqm) miteiner steti~en, periodischen Funktion H± mit Periode 2 und H±(O) = O. Im weiteren werden die Fourierkoeffizienten der Funktion H±(x) bestimmt. Es ist H±(x) =

Z hk ek~ix k E~

mit i hk = ~

2 e_k~ix ~ H±(x) dx = a k + bk + c k ,

wobei (fUr k ~ 0 , k=0 wird sparer diskutiert) ak

= Tq-I

b k = TI =

} e-k~ix dx = (1 - ( - i ) k) 0 fi ql-{x} h±(q{X}-l) e -k~ix dx 0

I (1 - ( - i ) k)

1

} i

q l - { x } h±(q { x } - l )

e-k~ix dx

} ql-X h+(q x-I ) e-k~ix dx 0

und ck =

-

1

}

~

0

I (I - ( - I ) k)

q-{X} h (q{X}) e-k~ix dx + } I

} q-{X} h±(q{X}) e-k~ix dx 1

ql-X h±(q x-l) e-k~ix dx.

Daher i s t h k = 0 fur k gerade, k~0. FUr k ungerade ergibt sich 2 bk + Ck = _ [ ql-X h±(qX-1) e-k~ix dx 0 _

2

} (q2)l-x h±(q2X-1) e-2k~ix dx

qo _

1

q2 t~0~ i

Mit der Substitution

e-2k~ix dx.

u = q 2t+2x-1 erhalten wir

I

[ ~-~ U 1/q G(1 + k~i

bk+C k = ~ 1

q-2t+2-2x g(q2t+2x-l)

exp(-2k~i logqU) du

mit co

ols =1:q

du

fur Res > O.

64 In [3;(12)] hat Delange gezeigt: G(s

=

q-1 qS-1 s-1 q - q ~(s-1) 2 s--:T + s-Tgz-IT

fur Res >0, s ~ l . Setzt man in diese Formel ein, erh~It man hk fur k ungerade. Schlie~lich bestimmen wir noch h0: Wegen H±(0)

= h0 +

Z h2s+l sE77

H±(1)

= ho

~ h2s+l SE 2Z

= 0

und _

-

q-1

2

gilt

q-1

h0 = - I - - "

SATZ 4. Die Fourierentwicklung der periodischen Funktion H±(x) aus Satz 3 i s t gegeben durch H±(X)

Z hk e k~ix k ETZ

=

mi t q-1 ho = T bzw.

I 0 hk

=

fU__r k ~erade, k ~0

q+l ~, )k~i , (I + ~ k~i j ~-1

f~_r k ungerade

tITERATUR

[1]

R. BELLMAN, H.N. SHAPIRO, On a problem in additive number theory, Ann. Math. Princeton

[2]

~ 49 (1948), 333-340.

L.E. BUSH, An asymptotic formula for the average sum of the digits of integers, Amer. Math. Monthly 4__77(1940), 154-156.

[3]

H. DELANGE, Sur la fonction sommatoire de la fonction "somme des chiffres", L'Enseignement math. 21 (1975), 31-77.

[4]

P. FLAJOLET, L. RAMSHAW, A note on Gray Code and Odd-Even Merge, SIAM J. Comput. (1980), 142-158.

[5] P. KIRSCHENHOFER, Subblock occurrences in

the q-ary representation of n, SIAM

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65

[7] P. KIRSCHENHOFER, R.F.TICHY, On the d i s t r i b u t i o n of d i g i t s in Cantor representations of integers, J. Number Th. 18 (1984), 121-134. [8] L. MIRSKY, A theorem on representations of integers in the scale of r , Scripta Math., New York 15 (1949), 11-12. [9] H. PRODINGER, Generalizing the sum of d i g i t s function, SIAM J. Alg. Disc. Meth. (1982), 35-42. [I0] K.Bo STOLARSKY, Power and exponential sums of d i g i t a l sums related to binomial c o e f f i c i e n t p a r i t y , SIAM J. Appl. Math. 32 (1977), 717-730. [11] J.R. TROLLOPE, An e x p l i c i t expression for binary d i g i t a l sums, Math. Mag. 4_1 (1968), 21-25.

Peter Kirschenhofer

Helmut Prodinger

Robert F. Tichy

I n s t i t u t fur Algebra

I n s t i t u t fur Algebra

I n s t i t u t fur Analysis,

und Diskrete Mathematik, Abteilung fur

und Diskrete Mathematik, Technische Mathematik und Abteilung f~r

Diskrete Mathematik,

Theoretische ~nformatik, Abt.f.Techn. M~thematik,

Technische Universit~t Wien

Technische Universit~t

Technische Universit~t

Wien

Wien

Wiedner HauptstraBe 8-10

Wiedner HauptstraBe 8-10 Wiedner HauptstraBe 8-10

A-I040 WIEN

A-I040 WIEN

Versicherungsmathematik,

A-I040 Wien

GLEICHVERTEILUNG IN DISKRETEN R~UMEN P. Kirschenhofer und R. F. Tichy

Abstract.

This

distribution

paper

of

contains

sequences

a

survey

on discrete

as well

as

some

new

results

concerning

uniform

spaces.

I . EINFOHRENDE OBERSICHT. Im folgenden bezeichne A = {a I . . . . . a~} eine endliche Menge und N ein ( n i c h t t r i v i a l e s ) (Z

WahrscheinlichkeitmaB auf A, d.h. N(a~)~ > O, f u r j = I . . . . . m und

Z

N(aj) = I .

j=1

I s t w = w I . . . . . wN (w i £ A) ein (endliches) Wort Uber A, so i s t die Diskrepanz D(1)(w) definiert

durch N

(1.1)

D(1)(w) = max I ~ 1_ O. Die Diskrepanz D(S)(w) h~ngt f u r s ~ 2 im allgemeinen stark v o n d e r Reihenfolge der Buchstaben im Wort w ab. Der folgende Satz besagt, dab unter allen Umordnungen eines vorgegebenen Wortes w der Maximalwert der Diskrepanz dann a u f t r i t t , wenn a l l e gleichen Buchstaben des Wortes w zu Bl~cken zusammengefaBt werden: SATZ 3. FUr das Wort w Uber dem Alphabet A mit (w;a i ) = n i (I ~ i ~ ~) bezeichne nI n das Wort ~ = a I . . . . . a m - dann ~ i l t : D(S)(w) S D(S)(~) FUr spezielle W~rter w kann die Diskrepanz e x p l i z i t berechnet werden. Es sei A = {a,b} und p(a) = p(b) = ½, dann i s t

(1.9)

D(S~(ab)n) =(n+[s/2]) " s . ( 2~) - I _ 2-s

f u r I ~ s ~ 2n

sowie

(1.10)

D(S)(anbn) = ([s/2]n ) ( s _ [ sn / 2 ] ) (2~)-I

2-s

f u r I ~ s S 2n.

FUr Folgen Uber einem endlichen Alpabet A konnten Verallgemeinerungen yon Satz I in folgender Richtung e r z i e l t werden ( v g l . [ 6 ] ) :

69 SATZ_4. Es e x i s t i e r e n ( e x p l i z i t

angebbare) Konstanten C 1 ( s ~ ) ,

C2(s,~) mit der Eigen-

schaft: O< C1(s,a)

<sup i n f sup N D~S)(w) < C2(s,~). ~ N=>S

Die untere Absch~tzung kann sogar SATZ 4_'

sup i n f limsup

Im Fall ~ = 2 g i l t

in fo]gender Weise v e r s c h ~ r f t werden:

~(s)(~) N uN ,

__> C3(s,~) > O.

die folgende e x p l i z i t e

~(s)(~) N [N

Forme] ( v g l .

s =~

SATZ 5.

sup i n f l imsup

Weiters g i l t

I etwa fiJr das MaB p mit N(a) = N(b) = ~

(1.11)

inf~ limsuplNN -~= D~S)(~) =~s(s+1)

[8] ).

.

L

Die oben eingefUhrten Diskrepanzbegriffe f u r WSrter bzw. Folgen kSnnen in naheliegender Weise auf Matrizen (Felder) bzw. Doppelfolgen (und Mehrfachfolgen) v e r a l l g e m e i n e r t werden. Im einfachsten Fall t e s t e t man dabei a n s t e l l e des Auftretens der SubwSrter (Subbl~Jcke) ineinem Wort d~s A u f t r e t e n

von Submatrizen in e i n e r M a t r i x . Genauer:

FUr zwei Matrizen W,U mit Elementen aus A bezeichne (W;U) die Anzahl, wie o f t U als T e i l m a t r i x in W vorkommt (aber n i c h t unbedingt als geschlossener 51ock), sowie

W;U

die Anzahl, wie o f t U als (geschlossener) T e i l b l o c k in W vorkommt. Man gelangt dann zu den folgenden Diskrepanzbegriffen f u r eine mxn-Matrix W: (1.12)

D's;t'(w)

m -I ( tn)- I -N(U)I, I(W;U)(s)

= max

f u r I _...

0-1 s

m i t I _ - < i / o >

3.

;

;

( 2 . 3 ) mN = Os m i t 2 < s < < I / 2 T > . Zun~chst behandeln w i r F a l l

I.

Wir haben (2.4)

N = +

Es i s t

+ S

daher

(2.5)

[~0N;O0 ] = < ( 2 i - I ) / 2 ~ > - i + s - I

,

und w i r e r h a l t e n AO0:=[ ~N;O0] - o 2 ( N - 1 ) =

=

-i+s-1-o

2

-

< ( 2 i - I ) / 2 T > o 2 - so 2 +

Nun drUcken w i r durch = a + aus und benUtzen d i e I d e n t i t ~ t AO0 = ~ ( - I - 2 o )

I

O2

- {a + ½} m i t H i l f e

des B r u c h t e i l s

d e r Zahl a + I / 2

o +%= I :

+ (S-I)(I-o)

- { ( 2 i - I ) / 2 ~ + ½ . ~ } ( I - o 2) + I o2 + ~}

+ {i/~

In Absch~tzung von AO0 g e l a n g t man, indem man d i e Absch~tzung f u r s aus ( 2 . 1 ) und (;ie triviale

Absch~tzung f u r d i e B r u c h t e i l e 0

'~00 ->-2 ( - I - 2 o ) - I sowie

+ o2 = _ ~__ ~ i o>

9 9 3 I < - Z '~00 = 2 + I - 2o2 + o ~ ~ 2 - o ~ < =

Weiters i s t (2.6)

verwendet:

[~N;11] = < i / o > - i

;

sodaB

~11 := [~N;11] - T2(N-1) =

3

,

72

+

= < i / o > _ i _ < i / c s > T _ < ( 2 i _ 1 ) / 2. c > ~ c 2 _ S

I

.[2

•(1+T(1-2T)) - { i / o + ½}(I-T 2) +

+ { ( 2 i - I ) / 2 C + I}T2 - (S-1)~ 2

,"

und, indem wir wie oben vorgehen A11 > --12(I+T-2T2)-(1-T2)-T2 11

+

(%-T2) >

-I

,

= I

Ferner i s t (2.7)

[mN;01] = i

und dami t 401:=[mN;01]

-oT(N-I)

=

= i - ~-~T

- (S-I)~

=

C..

F_

d.h. A01 ~ - o- oT = - ( I - T 2) Z - I , 401 ~ -OT + 20~ ~ I SchlieBlich (2.8)

ist

auch

[mN;10]

= i

,

sodaB 410 = 401 • Im F a l l 2 e r g i b t

sich

[mN;O0] = < ( 2 i + I ) / 2 T > - i - I [mN;11] = - i + s - I (2.9)

[~N;01] = i + I

[~N;10] = i Im F a l l

3 ist

(2.10)

[mN;O0] = s - I ,

[~N;01] = [mN;10] = [WN;11] = 0 .

Die Absch~tzung der Gr~&en 4 i j

in beiden F ~ l l e n wie in F a l l

kann

I erfolgen.

Damit wurde bewiesen: sup i n f sup ( N - I ) p m N

~2)(m)

~

3

FUr d i e u n t e r e Absch~tzung w i r d das f o l g e n d e s c h ~ r f e r e R e s u l t a t g e z e i g t : SATZ 8L

sup i n f l i m sup (N-s+1)

~s)(~)

~

2s-I 2

73 ~.~L~J.~.

Es sei Cs: -- sup i n f lim sup (N_s+1)D.~s)(m)^c und c > O . p ~ N-~o

Dann g i b t es zu jedem n i c h t t r i v i a l e n (2.11)

-C s - ~ No(E). T r i v i a l e r w e i s e g i b t es in dieser Folge unendlich v i e l e N > No(e), sodaB mN+s = FUr diese N g i l t (2.12)

°JNlS auch

[mN+2s_l;O s] = [~N;O s]

,

und wegen der D e f i n i t i o n von Cs f u r f a s t a l l e dieser N (2.13)

-C s

_

~c ~ [~N+2s-1 ;0 s] _ (N+s)~(o)S < = Cs +

C

Aus (2.11) und (2.12) f o l g t aber (2.14)

-C s

(2s-1)p(O) s - ~ < [WN+2s_1;O s] -(N+s)p(O) s < CE(2s-1)p(O) s =

=

Wir w~hlen nun ein Ma8 p mit (2s-1)p(O) s > 2s-I 2 2s-I Angenommen, es w~re Cs = T -6 und 6 > 0 . Dann f o l g t aus (2.14) [mN+2s_1;O s] -(N+s)p(O) s < - ~

+ e-6

und aus (2.13) [~N+2s I ;Os] - (N+s)p(O)S > - 2s-I 2

E 2 + ~ ,

-

_~ woraus sich f u r e
O.

°

Wir schreiben

Die Funktion A(x) i s t

in R Z ,

modulo ~, wenn

in diesem Beweis im folgenden A(x) s t a t t monoton. Daher i s t

die Bedingung ( i i )

÷ I f u r ein k >~ und a l l g e m e i n e r

lim ~

Ax(X ).

~quivalent

= i f u r ein re-

X~

elles

~ > O. F o l g l i c h

genUgt as, den Satz f u r ~ = i zu beweisen.

Zun~chst zeigen w i r die Notwendigkeit der beiden Bedingungen, v g l . Kuipers, N i e d e r r e i t e r [ i ] Th. 1.3. F a i l s Yc__~Z f u r ein n > 0 , f o l g t nat U r l i c h auch X ~ CI ~ und die Folge X= {x n} kann n i c h t g l e i c h v e r t e i l t sei n mod I . Nehmen wir nun an, dab x÷~ lim ~ A(×) lim i n f

< I.

Da

~ 1. Dies i s t

7 A([XI+2)

folgt

~quivalent

zu

daraus:

X~

lim i n f ~ n÷~


0 die

(ii)

erfUllt.

Da dann auch f u r

jedes

Folge {nx k} diese Bedingungen e r f U l l t ,

X = { x k} d i e B e d i n g u n g e n yon {ny k} e r z e u g t e

genUgt es, zu zeigen, da~ daraus

folgt: N

lim ~ ~ N÷~ k=l

e(xk)

= O.

~st A(x) < N < A(x+l , so g i l t :

N

A(x)

I Z e Xk)k=l Da nach ( i i )

z e ( x k ) I ( Q + l ) x p . Nach ( i i ) k o n v e r g i e r t daher IA(xj

~-1_

fur x k > x + Qyp:d k = O. Daraus f o l g t :

dkl +

c a r d { k ~ A ( x ) : t k ~ Q}

a(x) ebenfalls

gegen O. FUr genUgend groBe x g i l t

a(X)Ia Z k=l

(x) -1- dkl +

daher:

Z d k < ~. k=A(x)+1

Bezeichnet ( f , p ) das I n t e g r a l einer Funktion f bezUglich eines MaBes ~, so f o l g t : I A ( x ) - 1 A(x)

k=l

e(xk)l

= l < e , ~ > l _< l < e , # *

v>l + s

Q k=O

= I~/e,p>II~e,v>l + s
0

(d.h. die Dichte von Y in ~O,x] w~chst h~chstens polynomial) und wenn Y nicht in ~

enthalten i. st f u r jedes m> O, dann i s t die Folge X = {x n}

g l e i c h v e r t e i l t modulo ~. Beweis.

FUr x > 0 gebe p(x) an, wie o f t x in der Folge X = {x n} a u f t r i . t t .

Sei ~(y) = ~{yn:_~n E Z }

(q(O) = 0). Wie im klassischen F a l l der p a r t i t i -

onen ganzer Zahlen (siehe z . B . H . H . Ostmann i i ] , x p(x)=

Z p(x-y)~(y) y~x

(Beweis m i t t e l s F o u r i e r t r a n s f o r m a t i o n ) .

gilt

die I d e n t i t ~ t

81 Ist

Y' e i n e

p"(x))

Teilmenge

und ~ ' ( y )

d u r c h Y'

(bzw.

X' (bzw. X")

von Y und Y " = Y \ Y ' ,

(bzw. Y")

fur

fur

an S t e l l e

die

p(x) = S p ' ( x - z )

~"(y))

von Y d e f i n i e r t

X entsprechenden

p"(z).

sind.

Folgen.

wir

p'(x)

Funktionen,

(bzw. die

Ebenso s c h r e i b e n

Man s i e h t

leicht,

wir

da~

F a l l s Aye,X) ~ cx k f u r x ~ O, setzen w i r

Z<X -

Y'

Man s i e h t ] e i c h t ,

so s c h r e i b e n

die entsprechenden

=

{Yl . . . . .

Yk+1

}"

dab Ax,(X ) ~ dx k+l f u r x > xl

von Bateman und Erdbs f o l g t

sogar:

Ax,(X )

( m i t H i l f e der Methoden

~ d~k +1

fur

eine

Konstante

d > 0). Satz

2 erh~It

PROPOSITION.

man nun aus d e r f o l g e n d e n Wenn lim x÷~

AAxx' (' (XX+) I ) = I

-

Proposition:

und

x÷~lim~A y ( x )

= 0, dann g i l t

auch Ax(X)

lim

= i.

X÷~

Beweis d e r P r o p o s i t i o n .

Sei

~ > 0 fest.

Dann g i b t

Ax,(X+I ) ~ (l+a)Ax,(X) 6 E = Ax,(zl(a))

Sei Es

fUr

gilt:

xp"(x)

Daraus f o l g t :

z

=

zp"(z)

=

~

so dab

z ~ Zl(~ ). .

z p"(x-y) y~x

Z<X

es e i n Z l ( ~ ) ,

~"(y).

p"(x-z)

S"(z

Z<X

mit s"(z)

=

S

o"(w) = S {

y : y~z,y

Y"} • z Ay,,(z).

W i gilt

(6)

2i lima. =~, i÷~ i

daher i s t

nun:

Xj : ( - I ) j xj

),

Folge:

e i n e Folge

teilt

2

) ~ c(ai-l)"

S.

s I•

i

min(-~4-,l)

gleichverteilten

Zun~chst w~hlen w i r Eigenschaften:

+

a •

< (a - 1 ) ( 4 + an i ~

Konstruktion

a.

~ i+l 2

fur

~ 2i < j ~

2i+1,

und fUr j ~ 10 ~ 2 i + ks i < j ~ ~ 2 i + ( k + l ) s i ,

i gerade, 0~ k
_ 4

2i_i (7) s. , i u n g e r a d e , i ~ 3 . 1

PROPOSITION 2. ErfUllen die Gewichte (pj) die Eigenschaften ( 1 ) , ( 2 ) , dann i s t die in ( 6 ) , ( 7 ) d e f i n i e r t e Folge ( x j ) g l e i c h v e r t e i l t bezUglich ( p j ) ; fur fast a l l e Teilfolgen (mj) yon ~ i s t aber (Xm.) nicht g l e i c h v e r t e i l t bezUglich ( p j ) . J Beweis.

Wir betrachten zun~chst: ~i = (P i + l - P 2 i ) 2

-1

2i+1 (

~ x j p j ) ( i ~ 0). i=2i+i

I s t i ungerade, so i s t nach (1) und (7) I s t i gerade, i > 0 so g i l t

2i+1 z xjpj = 0 und daher ai = O. j=21+1

nach (1) und (7):

r~

~r-

i

+

J

t~

r~

i.-,

I

~°

v

I

IA

v

>
T ~

n > ~1 5 2 i , g i l t

Da aus mn >

2i f o l g t :

Daher e r h ~ I t

man insgesamt:

2i-1 > 2i-5

S

Pnl(

n z .) j=[n-~l-Z[]+l xmjpJ si

_ la n - 2 i - 1 > ~ i-1 " ai-I"

((ai-1-1)2i-I

S

_

(l-ai-

.

- 1T~ )) "

+ ai-l(an-2i'li-1

_ 1)) -1

.

i

i-5

_> (1-ai_1-~)((ai_1-1)2i-1 - ai_l)al2_l Wegen der Bedingungen (2) k o n v e r g i e r t der Nenner gegen I , k o n v e r g i e r t der Z ~ h l e r aber n i c h t gegen O. Daher g i l t :

+ai_I)

wegen (6)

n

inf i

p~l

' p~j~ i° _z~l~lXmj

.)

>0.

W~re die Folge (Xm.) gleichverteilt bezUglich pj), so mUBten 0 n

I n -~-~] eoenO

gieren

nicht

und,

da P

~

Daher

onver-

so dab

Wir definieren nun:

J

• lim 21Y(ai-1 ) = O. i÷~

ben~tigen

w i r eine zu-

(8)

-1

g3

yj

= (-1) j

fur

~ 2 i < j _ 5

j _< 20

2i + k s i < j 2 wurde dies von RANDOL [43] und KR)~TZEL [24] durchgefUhrt. Es ergab sich, dab bei genUgend groBem a (n~mlich a ~ s + 2 ) Ps(R) stets genau vonder Ordnung O ( R ( S - 1 ) ( 1 " l / a ) ) i s t (vgl. auch FRICKER [ I i ] ,

S.IIO). M i t t e l s einer feineren Exponentialsummenabsch~tzung l~Bt sich

nun r e l a t i v l e i c h t zeigen, dab dieses Ergebnis auch noch fur a = s + l SATZ 7 [30]. Es sei

gilt:

s ~- 2 ' ~(s): = ( s - 1 ) / ( s + l ) und Pm s (R) der G i t t e r r e s t des dutch (I0) definierten Bereiches fur a = s + l . Dann gel ten die Absch~tzungen

106

p~ s (R) = O(Rs - l - ~ ( s ) ) ,

p~s (R) = ~+ (R s - l - ~ ( s ) )

und genauer die asymptotische Darstellung p~s (R) = (CsFs(R) + o ( I ) ) R s - l - ~ ( s ) mit Cs = 2s-~(s) - l - a ( s ) s ( s + l ) ~ ( s ) r ( l + l / ( s + l ) ) S - i co

Fs(R) = Z n - l - ~ ( S ) s i n ( 2 ~ n R - ~ ( s ) ~ / 2 ) • n=1 Eine neuartige Situation ergibt sich, wenn wir den Exponenten a in (10) im Intervall Oa somme de deux carr~s des nombres entiers, Prace m a t . - f i z . 18, 1-59 (1908). [50]

Smith, R.A.: The c i r c l e problem in an arithmetic progression, Canad.Math.Bull. I__ii, 175-184 (1968).

[51]

Smith, R.A. und Subbarao, M.V.: The average number of divisors in an arithmetic progression, Canad.Math.Bull. 24, 37-41 (1981).

[52]

Suryanarayana, D.: On a paper of S. Chowla & H. Walum concerning the d i v i s o r problem, J. Indian Math. Soc. 41, 293-299 (1977).

[53]

Szeg~, G.: Beitr~ge zur Theorie der Laguerreschen Polynome. I I , Zahlentheoretische Anwendungen, Math. Z. 25, 388-404 (1926).

[54]

Tarnopolska-Weiss, M.: On the number of l a t t i c e points in planar domains, Proc.Amer.Math.Soc. 69, 308-311 (1978).

[55]

Titchmarsh, E.C.: The theory of the Riemann Zeta-function, Clarendon Press, Oxford, 1951.

[56]

Vinogradov, I.M.: Spezielle Varianten der Methode der trigonometrischen Summen (Russisch), Nauka, Moskau, 1976.

[57]

Walfisz, A.: Ober ein Teilerproblem von Ramanujan (Polnisch mit deutscher Zusammenfassung), Prace m a t . - f i z . 35, 101-126 (1928/29).

Adresse des Verfassers: I n s t i t u t fur Mathematik Universit~t fur Bodenkultur Gregor Mendel-StraBe 33 A-1180 Wien, ~sterreich

DIE BESTIMMUNG GEWISSER PARAMETERBEI BINAREN BAUMEN MIT HILFE ANALYTISCHER METHODEN

Helmut Prodinger

Abstract.

This paper deals with the average number of nodes with a special property

in binary trees with n nodes. Generating

functions

tic functions. A detailed singularity analysis the considered numbers. form. The asymptotic computed

The local expansions

allows to get asymptotic

~-functions

formulas for

are derived by use of the Mellin trans-

expansion involves periodic

in terms of Riemann's

are set up and considered as analy-

terms; the Fourier coefficients

are

etc.

1. EINLEITUNG i s t entweder ein B l a t t ( [ ] ) o d e r ein ( i n n e r e r ) K n o t e n ( 0 ) m i t

Ein b i n d e r B a ~

einem l i n k e n und rechten Unterbaum; diese sind s e l b s t bin~re B~ume. Die Familie ~ r bin~en ~e

8

= m

8 erfOllt

+

/~ 8"

(vgl. [3]).

also die formale Gleichung

(1) B

I s t bn die Anzahl der bin~ren B~ume mit n Knoten und B(z) = ~n~O bn zn'

so e r g i b t sich aus ( i ) B(z) = 1 + z(B(z)) 2

bzw.

B(z) = - I- ~- ~

und

bn = ~ ni ) . ,2n.

(2)

Ein b i n ~ r e r Baum kann verwendet werden, um einen arithmetischen Ausdruck darzus t e l l e n . Ein B e i s p i e l i l l u s t r i e r t

das am besten:

-

Um e i n e n a r i t h m e t i s c h e n

-

((X+Y)x((Z+U)-V))

Ausdruck a u s z u w e r t e n , b e n S t i g t man e i n e Anzahl yon ~ Z ~ -

registern. Die m i n i m a l e Anzahl s o l c h e r H i l f s r e g i s t e r

h ~ n g t nur vom Baum t a b

und w i r d

119 mit Reg(t) abgek~rzt. Interessanterweise i s t dieser Parameter n i c h t nur in der I n f o r matik von Bedeutung, sondern auch in den Naturwissenschaften. Der Leser sei auf [ 3 , 5 , 6,8,10]

verwiesen.

Die Regis.terfunktion i s t in i n d u k t i v e r Weise wie f o l g t d e f i n i e r t : Reg({Z]) Reg(

= 0

A tI

~ max { R e g ( t l ) , R e g ( t 2 ) )

}

falls

Reg(tl) ~ Reg(t2)

falls

Reg(tl) = Reg(t2)

=

(3)

t2

~ 1 + Reg(tl)

Diese D e f i n i t i o n e r l a u b t es, von unten nach oben f o r t s c h r e i t e n d ,

jedem Knoten bzw.

B l a t t eine n i c h t n e g a t i v e ganze Zah] zuzuordnen, n~m]ich die R e g i s t e r f u n k t i o n des von dem Knoten i n d u z i e r t e n Unterbaumes. Die R e g i s t e r f u n k t i o n kann man dann an der Wurzel ablesen:

~0

2

3

~0 ~0

~0/~

]

~_

~0 ~0

I

0

~0

(4)

~

~0 ~0 Der M i t t e l w e r t Dn d e r

R e g i s t e r f u n k t i o n , wo a l l e B~ume mit n Knoten als g l e i c h

wahrschein]ich angesehen werden, i s t in l e t z t e r Z e i t o f t s t u d i e r t worden: [ 3 , 5 , 6 , 8 , i0].

Es g i l t : Dn

=

log 4 n

+

D(log 4n)

+

0(-~)

;

(5)

* s t e h t f ~ r eine p o s i t i v e Zahl, D(x) i s t s t e t i g und periodisch mit Periode 1. Schreibt man D(x) = ~ LkE-ZZd Ke 2k~ix , so g i l t : do

1 = - ~ - ~

dk

= ogl~(×k)

1

y

- T~

1

+ log 22~

,

2k~i r ( X k / 2 ) ( X k - i ) , k ~ 0 , Xk = I - ~ "

Wir wollen uns h i e r jedoch einer anderen Fragestellung zuwenden: Gewisse Knoten veranlassen die R e g i s t e r f u n k t i o n zu wachsen; in (4) sind diese ~ i t i s o h e n vorgehoben. Es wird im folgenden g e z e i g t , dab f ~ r Kn, die m i t t l e r e schen Knoten in einem bin~ren Baum mit n Knoten, folgendes g i l t : Kn

= ~

+

log2n

+

K(log4n)

+

o(1),

wo K eine periodische Funktion mit Periode 1 i s t .

Knoten her-

Anzahl von k r i t i -

120

Der erste Term n/3 scheint bereits in i m p l i z i t e r Form in [11| auf.

2. ERZEUGENDE FUNKTIONEN Wir bezeichnen mit R bzw. S die Familie der bin~ren B~ume mit Registerfunktion P P ±p bzw. ~p, sowie mit Rp(Z) und Sp(Z) die entsprechenden (gew~hnlichen) erzeugenden Funktionen. Weiters sei c = ~ LEMMA 1.

1-u 2 u 2p u . l_u2P~

Rp

S p

=

Rp

l_u 2

u2p

u

1_u2 p

_

~-I Beweis.

, sowie z = u / ( l + u ) 2, d.h. u = ( 1 - c ) / ( l + c ) .

(6)

(7)

u

1-u 2p

I-~

" Z+u2p

(8)

Der folgende Beweis wurde gemeinsam mit P. KZRSCHENHOFER gefunden und

g e s t a t t e t eine wesentlich schnellere Herleitung von ( 6 ) - ( 8 ) als dies bisher m~glich war. Es wird nut (7) bewiesen; (6) und (8) folgen dann, weil Sp - Sp+1 = Rp. Aus (3) fol gt unmi t t e l bar (9) RD

R _

p-I

Sp

S_

-1

Rp I3\Sp

B

P (10)

p-1

B\Sp_1 Sp

Aus (10) e r g i b t sich Sp =

ZS2p_l +

Sp

=

l-2zB+2zS

1

=

2ZSp(B-Sp_l),

bzw. ZS2p_l p-i Wit beachten c = 1-2zB und nehmen den Kehrwert: c

i

2

÷

.

p-1 Wir m u l t i p l i z i e r e n mit c/z und addieren i : c 1

c

1

1)2

c

1)2 p

Man rechnet l e i c h t nach, dab c/z = (1-u2)/u und 1 + c/zB = 1/u i s t , und e r h ~ I t

121

1-u 2 1 u T = P

- i +

u

1 2p

1-u 2p u 2p

,

das i s t (7). [] Im folgenden schreiben w i r f o r den Koeffizienten von z n in f ( z ) immer [ z n ] f ( z ) u.~. AuBerdem vereinbaren wir eine K u r z s c h r i f t : Sei

~(z) = ~

f ( z , u ) u=l"

Up = Rp_I/Rp; es i s t dann U1 = ( 1 - 2 z ) / z . Weiters sei [znum]Vp(Z,U) die An-

zahl der bin~ren B~ume mit n Knoten, Registerfunktion p und m k r i t i s c h e n Knoten, AuBerdem sei Qp = Vp_i/V p. Die uns interessierende Gr6Be Kn i s t dann

[zn] Z Vp(Z) Kn =

~ [ z n] B(z)

LEMMA 2.

V0 = O,

V

(11)

V1 = z / ( 1 - 2 z ) ; f o r p > 2 g i l t :

7 +1-1

= R P

P

Beweis. V0 = t

Von (9) e r h ~ I t man und

Vp = 2z Vp J~

V.J +

zu Vp-i 2 ' p ~ 1;

Wir d i v i d i e r e n durch Vp und subtrahieren die analo.qe Ungleichung f o r p+l: 0

V2 P = 2z Vp + zu Vp+l

V2 o-I ; _ zu__v___ P

0

2 = u+

p>l.

2 Qp+l " Qp '

Wir beachten Qp(Z,l) = Up(Z), d i f f e r e n z i e r e n nach u und ersetzen u durch I : 0

=

2 + ~ p + l - 2 ~p Up , p ~> 1.

Daraus e r h ~ I t man Up

:

2PuI...Up_ I

~p-I

I

+

2p IUI...Up_ 2

,

p~2.

2P-IuI...UD_I

ES i s t V1 = z u / ( l - 2 z ) , daher Q1 = ( l - 2 z ) / z u und QI = 2 - 1/z. Weiters g i l t U l . . . U P = I/Rp. Demnach e r h ~ l t man f d r p ~ 2: Qp Rp-1

2P oder

Rp-2

-

Rp-1

+2p

I

:

Rj-1

j:22 -T -

RO

+ Q

T'

122

-

Rp-1

FOr p ~ 1 g i l t ~p Rp +

j=1

23

I

-

Qp Vp = Vp_ 1, und daher Up%

= Vp_ I .

Diese Rekursion f o r % wird nach demselben Muster wie vorhin gel~st:

Vp u1...u P =Vp_I u1...up_ I

-

Rp u1...up_ I ,

oder for p ~ 1 I

%

Vp_1

R

Vl

I~jj

R

Hieraus e r g i b t sich die Behauptung unmittelbar. LEMMA 3.

2s ns

Beweis. ns

:=

::

~ 2j ~ ( _ l ) k + l uk2 j j~s k>1

= 2s

u

l_u 2s

Wir setzen ~ n~l

@ (n) un s

mit

es(n)

=

j~s;k

~

=n

( - i ) k+l 2j

Sei nun n = 2m(1+2~) mit m > s: m

C)s(n)

=

m-i ~ 2j j:s

=

Z 2 j ( _ i ) i +n2-j j=s

+

2m = 2s "

Also g i l t T1s

2s u2m(1+2~)

Z

=

= 2s

n~ ;~0 SATZ 1. m(n)

Z uk2 s k>l

= 2s

Die arithmetische Funktion m sei d e f i n i e r t durch

= i,

falls

n = 2m(1+2i)

Dann g i l t : V(z)

= 1~uU) u

2 1-u2 Z ~(k) u k>l

Uk

Beweis. Aus Lemma 2 erhalten wir V mit

2s

u l_u 2s

= VO + V l +

~

Vp

= R1 + p ~ Rp

A1 -

A2

123

p R.2 j AI

:

Z

Rp

j!2 ~

j-l

3

Rk

Z

k=l

und

p A2 = ( 1 - ~ z ) ES ist

~

R o2j

Rp j!2

Zp~l Rp = - 1 + B = u, sodaB wit uns A2 zuwenden k~nnen: 2u-Ii+u) 2 2u

A2 =

1+u2 = - --2-u:

l+u 2

:

1+u2 --~-~-

1_u2J 2j ~ J~

1-u2J 2j 1+u2J 2j

Z j~2

1_oFr j=2Z

( 1 ) k+1 k2j u

Z k~l

u4 4

Tu

p

1-u2j

u ~

2j

1+u2J

2j u~__~ 1_u2J

"

Z j'~2

u2p

u2p Z 2p+---1P~J 1-u

l+u 2j

l+u 2 -

1-u 2

1+u2 = --2-~-q2

2u3 =

1-u 4

l-u 2

Die Berechnung von A1 ist ~hnlich:

At--

2k

u i-°2 1_2--~T ~1

Z k~1

_

u

j;)k+1 ~ u2k

1-u 2

~

u

k>l

u

~ },

i

~

7

1-u2J• 2J ~+u2J

u2J . 2j

j~+1 i+o2~

Die letzte Summe ist nk+l; daher g i l t : 2k u

1-u2

AI =

u

2k+1 u

k~>l~ l_u21~TT 2 l_u21~-~

2u2 + 2 1-u2, Z -I_-i?z~ ~ k~ 2u2 =

- ~

Die Summe ist

l_u 2 +

2 ~

u3"2k-1 (1-u 2k-~ ) ~

k>0;~0

u3.2k-1

(~+i) u

~.2 k

2 u2p Z -l_u p~j u 1_u2P+-~1-

1"24 X u2k(I+2~)

=

~

k>l;~>l

m(n) un ,

n>l

sodaB der Beweis sich durch Zusammenfassen e r g i b t . Es wird noch ein zweiter Beweis angegeben, der auf e i n e r Idee von P. FLAJOLET beruht. Er i s t k~rzer, aber man e r z i e l t

keine Formel f u r Vp f u r festes p.

Man denke sich einen bin~ren Baum mit p k r i t i s c h e n Knoten, Man betrachte einen ausgezeichneten dieser k r i t i s c h e n Knoten v.

k Der Auszeichnung von v e n t s p r i c h t eine e i n d e u t i g e Z e r l e g u n g ; t E

p>O

Damit jeder k r i t i s c h e Knoten gez~hlt w i r d , mu~ man jeden auszeichnen. Mit anderen Worten, V(z)

=

~ n~O

I

(n+Z) ~ I

u

~

(l+u-~

p>O

1-u 2

~u

u

(2~)

(

z

Zn

i•2 -

R2

P

2P+I

)

~2 P

~

p>O

U

(I_u2P+I)2

1-u 2

p>l ; ~>~I

•(n)

un ,

n>l

u

mit ~(n)

=

~

2 .

n=~2P;p,~l Sei nun n = 2 m ( I + 2 i ) , dann g i l t ~(n)

=

m ~ D=I

-2n#

=

(1+2i)

•

m-1 ~

2j

=

(I+2i)(2m-I)

=

n - i -

j=O

d.h. -

~

-

2

~

w(n)

u

,

n>l wie behauptet.

[]

Man kann auch eine " e x p l i z i t e "

Formel f Q r [ z n] V(z)

angeben:

2 m(n),

125 SATZ 2.

[ Z n] V(Z)

2n

=

- 2

(n_i)

Z m(k) k~>l

[

2n (n+l_k)

2n 2n ] - 2 (n_k) + (n_Z_k) .

Die Berechnung erfolgt mit der Cauchy'schen Integralformel:

Beweis.

[zn] V(z)

i

[

(o+)

(o+) ( l+u ) ~ [u n] u(l+u) 2n

-

dz ,..2n+2 un+l

V(z) [

1_u2 u

-

co(k) uk] k~1

2 [u n] (l-u)2 (l+u)2n u k~l

~ ~(k) uk ;

hieraus ergibt sich die BehauDtung unmittelbar.

3. ASYMPTOTIK Um das asymptotische Verhalten von Kn zu bestimmen, kann man wie in [5,8] vorgehen: Der erste Schritt i s t , die Binomialkoeffizienten in Satz 2 zu approximieren; die auftretenden Summen ~k>1 m(k) kb exp(-k2/n)

kSnnen dann m i t h i l f e der Mellin-Transfor-

mation ausgewertet werden, oder abet dutch p a r t i e l l e Summation und Information ~ber ~k 1 g i l t :

n+l.

,

2k~i k ~ 0 , Xk = ~ .

128 [ z n]

c

[ z n]

B

n + i

i --

Weiters g i l t

[z n]

4-

2

,

•

[7]

log ( l - z ) - ( 1 - z )

n

m

-m-1

log n

n

-m-1

*

P'

~ locn

= 2 ~

(y + 2 log 2 - 2)

(r( 1

und daher, u n t e r Beachtung von P ( - ~ ) (vgl.

, ,

1

: -2~,

F'(-~)

[15]):

s

[ z n]

1 4 n [ n -3/2 log n = 2 ~ 2~

s

log

1 4 n n -3/2

r I

=

log n

+

(y

n -3/2 2 ~ +

+

2 log 2

+

. ..

2)

(y + 2 log 2 - 2) 4~ + ...

]

Weiters i s t [ I ]

1-Xk [ z n]

s

1-Xk

4n n

=

--.--2----i

r (~-~-) und [ z n]

B

1

:

(2n)

=

~

4n

+

...

soda6 w i r e r h a l t e n Kn

= ½ (n+l)+ i

+ ~--l~

7[

[

~

+

+

(~

log n

"y

]

l +

...

(

I

+ 3--I-65-7 " -~) +

2 log 2

-

2)

_i

+ . ..

Xk/2

+ ~

r(Xk)

((Xk-1)

r(-7-) Die e n d g ~ I t i g e Formel e r g i b t

r(×k) '~ F(X~_7-)Xk/2und n

=

=

e

2xk-I

sich u n t e r Beachtung von { 1 5 ] :

×k+l

P(×k/2 ) F ( T )

2k~i log 4n

[]

/

r(L~)

=

~ r(×k/2 ) (Xk-l)

+ "'"

l ]

129

4. DIE HOHERENMOMENTE $ATZ 4. Das s-te Moment K~S)t der Anzahl de r kritisChen Knoten, wobei alle bin~ren B~ume mit n Knoten als gleich wahrscheinlich angesehen werden, e r f O l l t folgende ' Beziehung (s > I ) : K~s)

~ ~ n s.

Beweis. Es wird hier darauf verzichtet, eine genauere Formel herzuleiten, obwohl dies nach dem Muster des vorigen Ka!pitels mSglich w~re. Wir verwenden die Idee von P. Flajolet und geben nur eine Beweisskizze: [z n] ( ~ K(S) n

=

(m+l)S-Z (2m) zm) z ~ (Rp(Z)) 2 " mD~O 1 (2n) n+l

Der Z~hler i s t asymptotisch ~qoivalent mit [z n] ~

mS-I 2m zm I

(m)

~

(Rp(Z))2

7[ p>o

z = 1/4 bedeutet u = 1; daher kann der zweite Faktor wie folgt ausgewertet werden:

2D 2 1 ~ p ~ O u÷l l i m (1-u2 U u 7[ T -2p~ ) I-

1 p~O~.(~p) 7[

=

2

1

= 3"

Also g i l t K(S) n

~ nS-i (2nn) I n-I (2n) 3

i s = ~ n .

s. BER DIE LI,KSSEITIGE H HE BI, RE Wir wenden uns nun einer anderen, jedoch sehr ~hnlichen Fragestellung zu (vgl. { 8 ] ) . Die Vorgangsweise i s t ~hnlich wie vorher; daher k~nnen wir uns kQrzer fassen. Die linksseitige HShe h i s t fdr bin~re B~ume wie folgt definiert (vgl [2,91): h([])

=

0

h ( t ~ / ~ X 2)

= max { 1 + h ( t l )

, h(t2) }

I

Folgende Analoga zu den kritischen Knoten kSnnen betrachtet werden: Ein Knoten heiBt Z~nks-abhEngig,. f a i l s die (]inksseitige) HShe seines linken Unterbaumes um 1 kleiner i s t als die des Knotens.

130 Ein Knoten hei6t rechts-abh~ngig, f a l l s sein rechter Unterbaum dieselbe H6he hat. Treffen beide Bedingungen zu, heiBt der Knoten links-rechts-abh~ngi#. Es werden nun die entsprechenden Mittelwerte I n, r n, mn d e r Anzahl der abh~ngigen Knoten betrachtet.

SATZ 5.

2

rn

(2 - T 7)

= =

mn

(

~

Beweis.

-T

7 2)

n +

( 1-~ - ~ 5 72)

+ O( ) ,

n

17 5 (2--4F-~

+ O( ) .

+

2)

Se~ Ch(Z ) die erzeugende Funktion der Anzahl der B~ume mit H~he =h, Es

g i l t [2,9]:

Ch(Z )

=

(Z+u)

F 1 - u h+z

1 - uh ] I _ u~T] "

L

Sei nun Lh(Z,y ) bzw. Rh(Z,y ) die erzeugende Funktion der B~ume mit H~he h, wobei der K o e f f i z i e n t von zny m sich auf die B~ume mit n Knoten und m l i n k s - bzw. rechts-abh~ngigen Knoten bezieht. Weiters sei L(z)

=

~

h;;~O

Eh(Z)

bzw.

#(z)

Indem man die Idee von P. F l a j o l e t

~

h~O

.

Rh(Z)

bendtzt, erh~It man

[(z)

:

1

z

~

Ch

~ i~h+l

C. i

~(z)

=

I

z

~ h~-I

Ch

~ i~h-1

C. 1

'

Es sei d(k) die Anzahl der T e i l e r von k und ~(k) die Summe der T e i l e r von k. ~leiters sei f ~ r den Augenblick A = k~>1 d(k) uk =

U

F(z) ~ U

-

+

~

und

B =

Ch CO + ~

U

~ k>l U

c.1

u

r 1-ui+2

u ~

r ui+3 u i+2 +

u(l+u)

~

~

Ch

C. I

l~~1 ~ :

i"~

+

= i "+~u

.l-u .I

i

(l+u) A

u(1~Z

_

(l+u)

1-u 1 .

.

i ~~ l

__l~u A -

l-u I

uA + g

-

A- ~ -

,

U

Wie in Satz 2 finden wir daher [z n] ~(z)

= [u n] u(l+2u)(l+u) 2n-2

=

jl2n-2~ ~n_l

+ P i2n-21

_ ~n_2 j ,

und daher 3n-2 (n+l) In = ~ In ~hnlicher Weise geht man nun bei ~(z) vor: Nan beachtet zun~chst, dab i ~(k) u k = ~ j uiJ = ~ u k>l i ,j>l i>l ( l - u i ) 2

l

Daher g i l t

i~1 ~ u2i

:

•

=

u

ui

Z

(1-(:1-ui))

i>l

Z~O C.

~+1

l-ui+l :

u(l+u)

:

u(1-uz)

= B-A.

(l-ui) 2 Ch l"ui

Z

-

l

ui+l

~ ; ~ j

ui

ui+l I

ui+l

l-u2 u u _

-

l+Uu A

1-u~2 Bu

u -

I~

i + 1 - u

+ ~ -

B

+

.

Wieder kann man eine " e x p l i z i t e "

T---,J

+

"

-

A

-

Z i~

u2i. (l-u1) 2

-

l-u 2 -

-

U

B

FZ., Formel f{]r die Koeffizienten

finden:

132

[z n] R(z)

=

(2nn+l)

~ k~l

o(k) [

2n 2n 2n ) ] (n+l_k) - 2 (n_k) + ( n - l - k j -

Das asymptotische Verhalten wird wieder m i t t e l s der lokalen Entwicklung von R(z) fflr z +1/4 gefunden. Man ben~tzt o(k) k-s

:

~(s-l)

C(s)

k~l und Z q(k) e-tk Ic>~l 2 ~

24-~

-

1

:

]c+i~ r "c - i 2

~

~

+

( - ~ )

r(s)

+

C(s) ds

t -s C(s-1)

•

Insgesamt ergibt sich 1 ~2 ~ (2 - T )

R(z) ~

2 ii 1 + ~ ( T --i-~ )

+

...

Hieraus ergibt sich r n nach dem Muster von Kapitel 3. Um m zu finden, beachtet man, dab n

1

n

+

r

n

-

m

n

=

n.

DANKSAGUNG. Die Endfassung dieser Arbeit wurde e r s t e l l t , w~hrend der Autor das Laboratoire de Recherche en Informatique der Universit~t Paris XI (Orsay) besuchte.

F~r die gew~hrte Gastfreundschaft sei an dieser S t e l l e herzlichst gedankt. Weiters sei angemerkt, dab Diskussionen mit

Philippe Flajolet fur die Abfassung

dieser Arbeit sehr h i l f r e i c h waren.

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Sitzungsberichte der Osterreichischen Akademie der Wissenschaften, im Druck. [15] E.T.WHITTAKER, G.N.WATSON, A course of modern analysis, Cambridge U n i v e r s i t y Press, 1927.

Helmut Prodinger, I n s t i t u t f u r Algebra und Diskrete Hathematik, Abteilung f u r Theoretische Informatik, Technische U n i v e r s i t ~ t Wien, GuBhausstraBe 27-29, A:I040 W~EN OSTERREICH

OBER EINE C °° FUNKTION -

R. Schnabl

Abstract.

In this p a p e r a C - f u n c t i o n is c o n s t r u c t e d such that its T a y l o r e x p a n s i o n

is a p o l y n o m i a l in all d y a d i c - r a t i o n a l s but it is not analytic in any interval.

Im folgenden wird eine C~- Funktion auf R angegeben, deren Taylorreihe in jedem dyalisch-rationalen Punkt ein Polynom i s t , die aber in keinem echten Intervall ein Polynom i s t . Sie i s t daher in keinem Intervall reell-analytisch. Sie i s t 1-periodisch und ihre Einschr~nkung @auf [0,1] wird als Fixpunkt eines Funktional-lntegraloperators T charakterisiert. Die Konstruktion von ~ erfolgt mit Hilfe eines zu T adjungierten Funktional-lntegraloperators U, dessen polynomiale Eigenfunktion eine Folge von Appellpolynomen (Cn) bilden. Verschiedene Eigenschaften dieser Appellpolynome werden angegeben und die Koeffizientenfunktionale der Entwicklung nach diesen untersucht. Weiters werden Konvergenzs~tze fur die Folgen (Un) und (Tn) angegeben. AbschlieBend wird mit Hilfe von@ eine beschr~nkte, nicht abklingende L~sung der Funktional-Differentialgleichung y ' ( x ) = 4y(2x), x ~ O, konstruiert.

I. DER FUNKTIONAL-INTEGRALOPERATOR U.

Sei fur f E[C 0,1]Uf durch x+1

T (I)

(Uf)(x) = 2

S

f(t)dt,

x E [0,1],

X

gegeben. SATZ I. U:C[0,1] + C{0,I] besitzt die folgenden Eigenschaften:

135

a) U i s t ein positiver linearer Operator, UI = I , und U bildet Polynome vom Grad n mit FUhrungskoeffizienten I in Polynome vom Grad n mit FUhrungskoeffizienten 2-nab. x

b) DUJF =

Uf, f E C [0,11.

c) Zu jedem n = 0 , 1 , 2 , . . .

Dabei i s t

(df)(x)

= ~ f ( t ) d t und (Df)(x) = f ' ( x ) . o e x i s t i e r t , genau ein Polynom Cn vom Grad n mit F U h r u n g s k o e f f i -

zienten I , sodaB (2)

UCn = 2-nCn.

d) C'n = n Cn_1, n = 1,2 . . . . , d.h. die Folge (Cn) bildet eine Folge yon Appelpolynomen [2]. e) E s e x i s t i e r t genau einWahrscheinlichkeitsmaB N au__~f[0,1], sodaB I I (3) f (Uf)(t)d~(t) = f f ( t ) d p ( t ) , fur a l l e f E C[0,I]. 0 1 o f) lim unf = ~ f ( t ) d ~ ( t ) , glm. auf [0,1], fur a l l e f E C[0,I]. n-~o o Beweis. a) i s t unmittelbar klar. b) folgt durch direktes Nachrechnen: x+1 x+1 x (DUJf) (x) = D2 ~ ~ f(s)dsdt = f(s)ds f(s)ds = (Uf)(x). (4)

x

0

o

o

c) f o l g t durch Induktion nach n und unbestimmtem Ansatz aus a). Wegen UCnI = 2 DUJC~ = 2 DU(Cn-Cn(O)) = 2 D(2 "n Cn-Cn(O) = 2n-1C'n, f o l g t nach c) C'n = n Cn_ I . Da U e i n p o s i t i v e r l i n e a r e r Operator i s t und UI = I , l~Bt der zu U adjung i e r t e Operator U* den Raum der WahrscheinlichkeitsmaBe auf [ 0 , 1 ] ,

versehen mit der

schwach-Stern Topologie, i n v a r i a n t . U* b e s i t z t also nach dem Fixpunktsatz von Schauder-

Tychonoff einen Fixpunkt ~. FUr diesen g i l t (3). Wegen (2) i s t ~I

Cn(t)d~(t) = 0 fur

a l l e n E ~. Dadurch sind die Momente von V und damit auch N eindeutig bestimmt. Aus (2) und (3) folgt nun lim unf =fl f ( t ) d N ( t ) , glm. auf [ 0 , 1 ] , zun~chst fur alle n-Ko o Polynome f . Da I[UII= I folgt daraus (4) fur beliebige f E C[0,I] durch Approximation mit Polynomen. Wir untersuchen nun den zu U adjungierten Operator U*:C[0,1]* + C[0,I]*. Durch direktes Nachrechnen erh~It man Satz 2. SATZ 2. a) Sei o E C[0,I]*, ein re~dl~res BorelmaB auf [0,1], s ( t ) , t E [ 0 , I ] , s(O)=O eine Verteilungsfunktion yon o, dann g i l t I I (U*o)(f) = 2 ~ f ( t ) s ( Z t ) d t + 2 S f ( t ) ( s ( 1 ) - s(2t-1))dt, J I o fur alle f E C[0,I]. U*o besitzt also eine Dichte. b) Ist g E L I [ 0 , I ] und g die Dichte yon o, do(t) = g(t)dt, dann g i l t fur die Dichte Tg von U*o.

136

x 1 4 f g(2t)dt, fur 0 ~ x ~ o 2 (5)

(Tg) (x) =

I 4 f g(2t-1)dt, f u r ~ ~ x S I. x

c) Das in Satz le) durch (3) e i n d e u t i 9 bestimmte WahrscheinlichkeitsmaB ~ b e s i t z t eine Dichte ¢ und es 9 i l t T~ = ~. I s t g

L1[0,1] und Tg = g, dann i s t g = @? g ( t ) d t . o

2. 61GENSCHAFTEN VON SATZ 3. Die durch I (Uf)(t)~(t)dt

=

o

I f f(t)~(t)dt, o

bzw. durch

I

fur alle f E C[0,I],

I @(t)dt = I , o

I T@ = ¢,

f ¢(t)dt

: I,

o

e i n d e u t i g bestimmte Funktion auf [0,1] b e s i t z t die folgenden Eigenschaften:

a) b)

E C~[0,1],

¢(0) = ¢ ( I ) = O, n(n-1)

@n(t) : En, 1 4 n 2

~

@(2nt-l) fur

1 = 0 , 1 , . . . . . 2 n - I , n = 1,2, . . . . . En+1,21 = E n , l '

@(~) = 2. l ~-~ < -I+I ~- , ~ t =

mit E l , 0 = I , eI,1 = -I un.__dd

en+1,21+I = - E n , l "

c)

~(t)

d)

@(n~~-~ 1 ) = O, fur l = 0,1,2 . . . . . . 2n

> 0 fur t E ]0,1[,

@(t) = ¢ ( I - t ) ,

@(n-I)(2- ~ ) # O, f u r l = 1,3 . . . . . . e) Die F o u r i e r t r a n s f o r m i e r t e I

yon

n = 1,2 . . . . . ,

2 n - I , n = 1,2

ist

-is

@(s) = f @(t) e - i t S d s = e--Eo

t E [0,1].

~ n=2

sin s 2n s , s E R. -2n

Beweis. a) - d) e r g i b t sich ] e i c h t aus der C h a r a k t e r i s i e r u n g von ¢ a l s n o r m i e r t e r Fixpunkt der Transformation T. Zur Berechnung von ~ ziehen w i r (3) heran. ¢(s)

=

I qb(t) e i t S d t =

I @(t) Ue- i t s

o

o

I o

-is

-is

dt =

=1-e

s ~(~)

=

137 .s

12n 1-e 11 - - - e

-i~

co

= ~(0)

n =I

n =2

2n

Da @(n)(o) = 0 f u r a l l e n

co

I

co

t n cos

~ n:2

f o l g t unmittelbar:

sin t 2n dt = 0 t 2n t

sin 2~

~ t n sin t

dt =0

Z n2~

co

2n

= 0,I,...,

und

~

sin 2~

11

!

SATZ 4 .

co

t 2n

f u r n = 0,1,2, . . . . d.h. die Momente der signierten Ma•e auf ~ mit Dichten sin t

cos

co 2n t II ----£---- bzw. s i n ~ n:2 ~ 2n

sin t

2n

n=2 ~ 2n

sind a l l e gleich Null. Aus den Eigenschaften 3a) und 3d) von SATZ 5. ~(t) : ~ ( t - [ t ] ) ,

f o l g t nun:

t E ~ i s t eine C~-Funktion auf ~, deren Taylorreihe in jedem

dyadisch-rationalen Punkt ein Polynom i s t , und zwar in Punkten t = ~n' m ungerade n EI~ 2 ein Polynom vom (genauen) Grad n - l , und in Punkten t = m, m E ~, das Nullpolynom, i s t in keinem I n t e r v a l l r e e l l - a n a l y t i s c h . BEMERKUNG. Diese Eigenschaft von

steht im Konstrast zu einem Satz von Corominas und

Balaquer, dab eine C~-Funktion auf einem I n t e r v a l l , deren Taylorreihen in jedem Punkt des I n t e r v a l l s mindestens einen verschwindenden Koeffizienten haben, ein Polynom i s t (Donoghue [ I ] ,

Seite 52).

Bevor wir die Transformation T weiter untersuchen, s t e l l e n wir einige Eigenschaften der Appellpolynome (Cn) zusammen. Die Beweise ergeben sich l e i c h t aus obigem und der Theorie der Appelpolynome [2].

3. DIE FOLGE DER APPELLPOLYNOME(Cn).

SATZ 6. Die Folge (Cn)n=0,1, 2 stimmt:

i s t durch jede der folgenden Aussagen eindeutig be-

(A) Co = I , C1(x). : n Cn_1(x), x E [ 0 , I ] ,

138

Cn(X) (x)dx = O, n = 1,2 ....

x• ) - Cn(~)

(B) Co : I , Cn(

= n

~-~ Cn_1(x), x E [ 0 , I ] ,

I Cn(X)@(x)dx = O, n = 1,2 . . . . . 0 (C) Co = Iund

n

~ (~) Ck(X)Bn_k(X), n = 0,1,2 . . . . . Cn(X) = -'~ 2I k=o dabei ist (B n) die Folge der Bernoullipolynome [2] ~o tn = etx oo 2t/n (D) ~ Cn(X) n~" ]I n=o n=1 et/2n_1 SATZ 7. I So@(n)(t) (-1)k

Ck(t ) ~. dt : 6nk' n,k = 0,1,2 . . . . .

Cn d.h. die Fol~en ((-I~ n n--Fund (@(n)) bilden ein Biorthogonalsystem auf [0,1]. Beweis. Wegen @(n)(o) = ¢(n)(I) = O, n = 0,1,2 . . . . . folgt I ¢(n

I

)(t)Ck(t)dt

= (-I) n f @(t)Ck(n)(t)dt

o

o

= O, fur n > k, = (-1)kn! fur n = k I

=(-I) n f @(t) n(n-1) . . . (n-k+1)Ck_n(t)dt = O, o fur n < k. SATZ 8. FUr die Koeffizientenfunktionale (Ln) der Entwicklung nach den AppeIpolynomen

(Cn), f(z) ~ ~ Ln(f)Cn(Z), n=o gilt:

Ln(f)

: (_1)n n~

I ~ f(t)¢(n)(t)dt

=

0

:

2n

I

n-T

o

@(t) (&n I

m 2n

f)(

~n ) d t ,

n = 0,1,2 . . . .

Beweis. Aus der Theorie der Appellpolynome [2] oder aus Satz 7 folgt: Ln(f) = n-T1

} f(n)(t)@(t)dt - (-1)nn-T. } f ( t ) ~ ( n ) ( t ) d t = o o

139 I

: ~nI.

f @(t)(unfn)(t)dt. 0

Nun f o l g t durch Induktion (unf(n)(t)

= 2n(An1_1_ f ) ( ~ n ). 2n

Dabei i s t ~ h f ) ( t )

= f(t+h)-f(t).

4. DIE TRANSFORMATION T.

Wir untersuchen nun den Operator T : L I [ o , I ] ÷ L1[O,1],d.h.den zu U adjungierten Operator U* eingeschr~nkt auf die MaBe auf [0,1] mit einer Dichte. Wir betten LI [0,1] in LI(~) ein, indem wir die Funktionen aus LI [0,1] als Funktionen aus LI(~) auffassen, die auBerhalb [0,1] gleich Null sind Sei LI cL1(~) das Bild von LI [0 I] bei dieser Ein•

0

bettung. Es g i l t nun (Tf)(x) = 4

x I f f ( 2 t ) d t = (Sf) * (SX)(x), x E~, f E Lo , x-I/2

mit ( S f ) ( s ) = 2f(2x) und X die Indikatorfunktion

des I n t e r v a l l s [0,1]. Aus der D e f i n i -

t i o n von T e r g i b t sich nun: SATZ 9. I a) Tnf E cn-I(R) n L°I fur alle f E Lo. 1

b) ~

1

(Tf)(t)g(t)dt

= ~

O

f(t)(Ug)(t)dt,

I

I

c) ~ ( T f ) ( t ) C n ( t ) d t o

d) IITfll I

f C k~, g E C[0,11.

O

< Ilfll I

'

:

I

~o

f ( t ) C n ( t ) d t , f E L°I und n = 0,I,2,.

f E LI

0

IITfl~up < 211flll, f E L I

O'

I e) D T f = 2 TDf, f E CI(I~) n Lo. Wir beschreiben nun das Konvergenzverhalten der I t e r i e r t e n von T. SATZ 10. a) I s t f E L°I ~und k = 0 , I , 2 , . . . , dann g i l t 1

l imcrnf)(k) = @(k) ~ f ( t ) d t , glm. auf [ 0 , I ] . n -*c°

o

140

b) Ist f~L~, s E N,

I

~ f(t)Cl(t)dt

= O, fur 1 : 0 . . . . . r - l ,

0

und k = 0,I,2 . . . . . dann g i l t : lim 2ns(Tnf)(k) = s-T!-.(-1) ~(k+s) ~I f(t)Cs(t)dt, glm. auf [0,I]. n-~oo o Beweis. FUr f E C [0 I] nLI g i l t wegen 0

(DTf)(x) = 4f(2x) - 4f(2x-1) IIDkTkfIlsu p = IIDk-IDTTk-lfllsup = = llDk-1(4(Tk-lf)(2x)

- 4(Tk-lf)(2x-1))Ilsup

8 llDk-ITk-lfJlsup~

....

8 k IIfIlsu p . Die Folge (DkTnf)n>k+2 i s t wegen < 8 k llTn-kfllsup k+1, und wegen IIDk+ITnfJlsup ~ 2.8k+11Jfl11, n ~ k+2, gleichm~Big beschr~nkt und gleichgradig stetig. Sei nun g ein H~ufUngswert bezUglich gleichm~Biger Konvergenz auf [0,1] der Folge (Tnf), lim Tnlf = g, fur eine geeignete Teilfolge

( n l ) . Dann g i l t : 1

I-~ 1

(Tnlf)(t)h(t)dt

= ~

0

nl

f(t)(U

h(t)dt.

0

FUr 1 + ~ ergibt sich I

I

f g(t)h(t)dt

= S f(t)dt

0

fur a l l e h E C [ 0 , I ] .

0

I

S h(t)~(t)dt, 0

I Daraus f o l g t g = @ f

f(t)dt,

und

0

I lim Tnf = ¢ S f ( t ) d t , n -~0 und k > 3 sei Gk(~) = (m,n)#(O,O)

Dann i s t bekanntlich Gk(~ ) = 2 ~ ( k ) + 2 ( - I ) k/2 wobei ~k(n) =

nZ=l Ok_1(n)e 2~inT,

z d k. din

PROPOSITION _I. (FUr k: 5) siehe [ I ] ) FUr IxI < 1 un___dkEf Beweis. = =

=

S

n=l ~

i s t Fk(X) = Ek(X) - (2k+2)Ek(X2) +2k+IEk(X4).

Ek(X ) - 2kEk(X 2) - 2Ek(X2 ) + 2 . 2 k E k ( X 4) = nkx n l-x n nkx n

- - - 2

2~n l - x n

=

(2n)kx2n

~

n=l s

l - x 2n nkx 2n

2~n l - x - - ~

~ -2

=

(

~

nkx2n

~

= -

(2n)kx4n

Z

n=l l-x--x-2-~ n=l nkx n 2x n ---

2~n l - x n

(i-

Die Lambertsche Reihe Ek i s t nun gleich

l-x

l + x n"

=

4n

Fk(

)

x)

=

"

z ok(n)x n. Also i s t fur ungen=l

rades k > 3 Ek(e2~iT ) = (Gk+l(iT) - 2~(k+I)) k ! ( - l ) ( k + 1 ) / 2 -

Es sei

jetzt die Folge der Bernoullizahlen m-1 S e t z t man in durch z ( m i)Bi = 0 definiert. i=O halten wir

(2~)k+1

(Bi)i> 0 durch Prop.

i fur

B o = 1 und Bm_ 1

k 2k-l,

so e r -

144

F2k_l(e-X )

_ (2k-1)! k (~)2(~-~)~-i~ ( - 1 ) (G2k

(22k-i-1) ((2k-1)]~ 2~,-I)

(22k-1+2)

G2k(

i)

+

22kG2k(2i))-

k (2k). Nun ist bekanntlich (2) Gk(-!)= Tk Gk(T),

woraus sich G2k(~i ) = 22k( -1 )k G2k(2i) S e t z t man das ein und verwendet erhalten wir

ergibt.

I ~(2k)=-(-~--TT. (-i) k-I

22k-I

~ 2k B2k, so

PROPOSITION 2. FUr k > 2 ist S 2 k _ l = ( 2 k -(2~) 1)!~1)

(22k - 2 + 1 ) G 2 k ( i ) ) + B2k(22k-l_1). 4k

k (4 k 1+(-11 2 k G2k(2i)-

Aus der T r a n s f o r m a t i o n s f o r m e l (2) f o l g t G4k+2(i) = 0. S e t z t man in Prop. 2 f u r k 2k+1, so e r h a l t e n w i r das bekannte R e s u l t a t KOROLLAR I .

(Siehe [4]

oder

[2])

B4k+2 24k+1 1 S4k+1 =T(-2-ETI~ ( - ) fur

k > I.

Die Formel i s t auch f u r k = 0 r i c h t i g . S e t z t man f u r k 2k, so e r h a l t e n w i r KOROLLAR 2. $4k_1 : ( 4( 2k -~1F) E!

(24kG4k ( 2 i ) - ( 24k-2+ 1)G4k ( i ) )

+ B4k ( 2 4 k - 1 _ i ) . 8k

Wir b e t r a c h t e n j e t z t die W e i e r s t r a & f u n k t i o n mit den Perioden 1 und i . Wegen G6(i ) = 0 genUgt s i e der D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g ~,2 = 4~3_ 60~G4(i) " LEMMA I . Beweis. setzt

Es i s t

fur

Differenziert 1

z = L~, so e r h ~ I t

k ~ 3 Gk(2i ) = 2 - k G k ( i ) + man ~(z) = z -2 +

~(k-2)(~)1

~ m~Z [i] ~0

(-1) k 2k(k-1) !

( ( z - ~ ) - 2 - ~ -2)

k-2 mal und

man

~(k-2)(~)

= (_1)k(k_l)!

2k

~

(m+in)-k.

21m Nun i s t =

diese Summe g l e i c h

z (m+in) -k m 21 0n

z (m+in) -k = 2]n 21m#0

z ( m + 2 i n ) - k - 2 -k s (m+in) "k - z ( 2 n i ) -k 2-k( n~o(nl) m#0 m#0 = Gk(2i) n~0 Gk(i)" -~ nE~ nE~

145

: Gk(2i ) - 2 - k G k ( i ) . Daraus e r h ~ I t k>_ 3

man das bekannte

-

=

Ergebnis,

dab f u r

ungerades

o.

Setzt man in Korollar 2 fur G4k(2i) obiges ein, erh~It man $4k-I

(_4_k~ (~(4k-2)(~) 1 - 24k ( i ) ) + B4k ( 2 4 k - I , i ) (2 x ) ~ (4k-1)! -2G4k 8k

"

Die Eisensteinreihen genUgen nun bekanntlich der Rekursion

G2k

=

3 (4k2-1) (k-3)

k-2 z (2j-1)(2k-2j-1)G2jG2k_2 j=2

j,

so daI3 w i r

k-I (3) G4k(i ) erhalten.

=

3

(16k2-1)(2k-3)

Es genUgt a l s o ,

E

j=l

(4j-1)(4k-4j-l)

G4j(i)G4k_4j(i)

fur k >-2

G4(i ) zu kennen.

Aus der D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g fur ~'(~) = 6~2(~) - 6 0 8 4 ( i ) ) . Differenziert man k-2 mal (k>_ 3 ) , ~(k) = 6

k-2

~ sehen w i r

~' = 6~2 - 60G4(i), (also

so e r g i b t sich nach Leibniz (ki2)

~(j)~(k-2j)

j=O Setzt (4)

man s t a t t

k 2k (k_> 2 ) ,

~ ( 2 k ) ( ~~)

k-1 = 6 z j=o

so e r h a l t e n

w i r die R e k u r s i o n

2k-2 ~ ( 2 j ) ( ~ ) ~ ( 2 k - 2 j - 2 ) ( ~ ) 2j )

Es b l e i b e n a l s o nur ~(~) und G4(i ) zu b e r e c h n e n . Nun i s t b e k a n n t l i c h f u r z ~ ( 0 , i ) ~(z) > 0 ( d i e F o u r i e r e n t w i c k l u n g von G4k(T ) e r g i b t G 4 k ( i ) > O , so dab ~(z) > 0 aus der L a u r e n t e n t w i c k l u n g von ~ f o l g t ) . Die D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g von ~ e r g i b t daher d i e bekannte Formel (5)

1

G4(i ) = ~

2

1

~ (2).

Der Wert von ~(~) i s t wohlbekannt. Der V o l l s t ~ n d i g k e i t halber fUhren ,1+i~ wir die Rechnung durch. Wir benUtzen, dab ~ £ T ~ = 0 und ~( ) ~0 fur 0 < t < I.

146

Aus (5) f o l g t i

(1+i)/2 f 1/2

=

~,2 = 4~(2_~2(~)). Also gibt es ein c E { - 1 , 1 } ,

dz = E

(1+i)/2 f 1/2

Die S u b s t i t u t i o n

9'

w = ~-z ~(

= ~ ~ ~ ( )

B(

, ),

F(~)

=

(z)dz 2J~(z)(~2(z)_~2(~) 1 ) ergibt

wo B d i e

i ~i = ~E

g ~

so dab

dw 2/w(w 2 _

~ ( ~ ) - 1 / 2 1f z_3/4 ( l - z ) - i / 2dz = 0

Betafunktion

bezeichnet.

Es i s t

' aus F(s) F(1-s) = sin ~s f o l g t r(~)F(~)= ~ ,

so dab

r(~)8 wit

~(~)=~

~(~) = ~

i

r(~)4 erhalten. Damit erhalten wir G4(i) =

r

und 96072 = ak ( )4k+4 ~(2k)(~) 4(2~)k+i r ,

. Die Rekursion (4) ergibt

wobei ao = a I = 1 und a k =

j=O (2k-2 ajak_ jEN

. Es i s t a2 = 3, a3 = 18,

bk r( ) 8k 2-4k x -2k Analog i s t G4k(i)=-(-~-~z-T~F.

a4 = 33.7, a5 = 24.33 .7 . . . . .

wobei bI : ~ 0 und bk+ 1 : 612k+12k_111~k+l) z ( 4 .j - 24kk )bj bk+1_j (k _>I ) . k+5) j = l b2

=

~,

Daraus

b3 -

23.33.7 ~ ,

erhalten

THEOREM i .

bkE~

•

wir:

Es sei

und b k + l : 6 ((2k+1 2k-1

$4k-I

Es i s t

_

a o = a l _ I und a k =

k-1 s

--

j=O

(4k+1 (4k+5

j =sl

( 2k-2 2j ) a j a k - j - l "

(4j_2)bjbk+l_j.

Es sei

b i = 19 1

Dann i s t

1 r(~)8k -22kbk ) +B~k (24k-1 1) 4(2x)~ (a2k-1 .

Wir bemerken, dab aus Theorem 1 und [3] f o l g t , dab $4k_1 transzendent ist. Beispiel .

3

z n n=l l + e ~rn = ~

2~n

3

7

F(~) 81 - ~

147

LITERATUR [I]

APOSTOL, T.M.: Modular Functions and D i r i c h l e t Series in Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, Springer Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, (1976).

[2]

BERNDT, B.C.:

[3]

CUDNOVSKII, G.V.: Algebraic independence of constants connected with the functions of analysis, Dokl. Ukrain. SSR Akad. Nauk 8_, 4p (1976).

[4]

GLAISHER, J.W.L.: On the series which represent the twelve e l l i p t i c and four zeta functions, Mess. Math. 18, 1-84 (1889).

Analytic Eisenstein sereies, theta-functions and series relations in the s p i r i t of Ramanujan, J. reine angew. Math. 303/304, 332-365 (1978).

Doz.Dr. Johannes SchoiBengeier I n s t i t u t fur Mathematik Strudlhofgasse 4 A-1090 Wien AUSTRIA

OBER DIE DISKREPANZ DER FOLGEN (n~)

J.

Gegeben sei heiBt

eine irrationale

DN(~ ) = die D i s k r e p a n z

SchoiBengeier

Zahl

sup 0[ < ~ Nun i s t aber ND~(~) : ~+

]N~ _ ~ ] _ 0 C - I

B i s h e r war u~(~) kannt (bzw. f u r lad-bcl = 1). Die e x p l i z i t e

nur -f u r

beund ~ = i +2~ ( s i e h e [ I ] ) am+b Zahlen c~--~T~' wobei a , b , c , d E Z ,

ergibt

nun, wenn a l l e

a i gerade s i n d ,

= ~ ~ I max( s ai+ I z ai+1). m÷~ °gT-~m 21i~m 2~i~m

FUr d i e anderen m i s t daraus a l s KOROLLAR. I s t

ist.

~ = ~Z ( s i e h e [ 2 ] )

d i e dazu ~ q u i v a l e n t e n

Formel

u~(a)

beschr~nkt

d i e Bestimmung von u~(m) noch o f f e n .

~ = [ao,a I .... ,ae_l]

m i t P e r i o d e e und s i n d a l l e im F a l l und

e 9erade

im F a l l

e ungerade

~(~)

ein rein

ai gerade, =

O~i

periodischer

(Siehe [4]).

=

Kettenbruch

< e, so f o l g t

i 4log(qe_l~+qe_2)

max(2 ]i<e E ai+ I,

1-1

~(~)

Man e r h ~ I t

1 81 °g(qe-lC~+qe-2 ) i=O a i + I •

2 ~ i<e a i + l )

153 LITERATUR [1]

DUPAIN, Y.: R~partition et discr~pance, Thase Univ. Bordeaux I (1978).

[2]

DUPAIN, Y.-SOS, V.T.: siehe: Lyle Ramshaw, J. Number Theory, Vol. I__33, No. 2, 1981.

[3]

SCHOISSENGEIER, J.: On the Discrepancy of (n~), Acta A r i t h . , in p r i n t .

[4]

SCHOISSENGEIER, J.: On the Discrepancy of (n~) I I , in preparation.

[5]

SOS, V . T . :

On the Discrepancy of the sequence { n ~ } , C o l l . M a t h . S o c . J . Bolyai 13 (1976), Topics in Number Theory, by P. Turan (Ed.)

Doz. Dr. Johannes SchoiBengeier I n s t i t u t fur Mathematik Universit~t Wien Strudlhofgasse 4 A-I090 Wi e n AUSTRIA

BEMERKUNG ZU EINEM LEMMA AUS DER VARIATIONSRECHNUNG Robert F. Tichy

Abstract.

In a p r e v i o u s p a p e r of this b o o k E. H l a w k a proves

a d i s c r e t e a n a l o g o n - in-

v o l v i n g u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d s e q u e n c e s - of the L e m m a of Du B o i s - R e y m o n d ~ w h i c h is o f t e n u s e d in v a r i a t i o n a l

calculus.

H l a w k a ' s r e s u l t to h i g h e r d i m e n s i o n s

In the p r e s e n t n o t e a g e n e r a l i z a t i o n of is given.

In !3] hat E. Hlawka mit H i l f e g l e i c h v e r t e i l t e F

Folgen ein diskretes Analogon zum f o l -

genden Satz angegeben: I s t f eine s t e t i g e Funktion auf E = [ 0 , I ]

und i s t

I

f2(x)dx = 0, so ist f(x) : 0 fur alle x E E. 0 Dieser Satz kann zum Beweis des Lemmas von Du 5ois-Reymond verwendet werden, welches in der Variationsrechnung eine wichtige Rolle spielt (vgl. z.B. das 5uch von P. Funk [I] ). Ebenso wie der obige Satz kann eine mehrdimensionale Fassung gezeigt werden: I s t f eine s t e t i g e Funktion auf Es = [ 0 , I ] s und i s t

f 2 ( x ) d x = O, so i s t f ( x ) = 0 s

fur alle x E Es" In der vorliegenden A r b e i t wird ein diskretes Analogon dieses Satzes gezeigt. Dazu N

wird f u r e i . vorgegebenes gewichtetes M i t t e l

P = (pk), k = I . . . . . N und P(N) =

~

k=1 angenommen, dab es eine Folge m = mN = (Xl . . . . . x N) von Punkten x k E Es = [ 0 , 1 [ s und ein~E > 0 g i b t , soda• N

(I)

I p--~

Z k=1

f2(xk) ]