Universidad De Magallanes Algebra I

UNIVERSIDAD DE MAGALLANES - FACULTAD DE CIENCIAS - DPTO. DE MATEMÁTICA Y FÍSICA PROGRAMA DE ASIGNATURA 1.- 2.- IDENTI...

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UNIVERSIDAD DE MAGALLANES - FACULTAD DE CIENCIAS - DPTO. DE MATEMÁTICA Y FÍSICA

PROGRAMA DE ASIGNATURA 1.-

2.-

IDENTIFICACIÓN 1.1 1.2 1.3 1.4

DEPARTAMENTO CARRERA NOMBRE DE LA ASIG. CÓDIGO

1.5 1.6 1.7

PREREQUISITOS N° HRS. SEMANALES SEMESTRE

MATEMÁTICA Y FÍSICA INGENIERÍA CIVIL Y DE EJECUCIÓN ÁLGEBRA I ALI"0"", ALI"02", ALI"03", ALI"!5", ALI""6", ALI ""9" INGRESO 6-2-0 I

OBJETIVOS GENERALES Lograr un dominio del Álgebra Elemental a nivel de comprensión y aplicación para: Formular Resolver Demostrar Desarrollar problemas y Transferir los conocimientos adquiridos a nuevas situaciones problemáticas.

3.-

UNIDADES PROGRAMÁTICAS 3.1 3.2 3.3 3.4 3,5 3.6 3.7.1 3.7.2 3.7.3 3.7.4

4.-

Introducción a las Estructuras Algebraicas El cuerpo ordenado completo de los Números Reales Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Trigonometría El cuerpo de los Números Complejos El Anillo de los Polinomios. Inducción Sumatorias y Productorias Progresiones Teorema del Binomio

SISTEMA DE EVALUACIÓN 4.1 4.2

Pruebas globales escritas. Examen escrito

(4ses.) (9ses.) (3ses.) (5ses.) (5ses.) (5ses.) (2ses.) (2ses.) (2ses.) (2ses.)


5.-

BIBLIOGRAFÍA 5."

AYRES F. , Álgebra Moderna, Schaum-McGraw-Hill, (1992) .

5.2

BRITTON J. R., KRIEGH R. B., RUTLAND L. W., Universitarias Tomo I, C. E. C. S. A., (1972).

5.3

FLEMING W., VARBERG D., Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica, Prentice-Hall Hispanoaméricana, (1991).

5.4

GOLES E., Álgebra, Dolmen, (1993) .

5.5

LEHMANN CH., Álgebra, Limusa-Wiley, (1991).

5.6

LEITHOLD L., Matemáticas Previas al Cálculo (Análisis Funcional y Geometría Analítica), Harla, S. A. (1994).

5.7

OTEYZA de E., LAM E., HERNÁNDEZ C., CARRILLO A. M., Matemáticas, Prentice Hall, 1998.

5.8

ROJO A. O., Álgebra I, El Ateneo, (1989).

5.9

STEIN S. K. , BARCELLOS A., Cálculo y Geometría Analítica, McGraw-Hill, (1995).

5."0

SWOKOWSKI E. W., COLE J. A., Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica, International Thompson Editores, (1999).

5Þ""

TAYLOR H E., WADE T. L., Matemáticas Básicas con Vectores y Matrices, Limusa-Wiley, (1977).

5."2

VANCE E. P., Álgebra y Trigonometría Moderna, Addison-Wesley Iberoamericana, (1986).

5."3

ZILL D. G., DEWAR J. M., Álgebra y Trigonometría, McGraw-Hill, (1992).

Matemáticas


G U Í A N° 01 Esta guía tiene por objetivo que el alumno distinga una función de A en B de una relación de A en B; que dada una función f de A en B, indique el dominio de f; que determine por qué motivo una relación f de A en B no es función de A en B (según definición); que construya una función de f de A en B para conjuntos A y B sencillos.

Definición 1: Sean A y B conjuntos. Una relación e de A en B es un subconjunto del producto cartesiano A ‚ B.

Definición 2: Sea e una relación de A en B. Llamaremos dominio de la relación e al subconjunto de A Dom e ³ ex − A / (x, y) − ef

Definición 3: Sea f una relación de A en B. Diremos que f es una función de A en B si: (3.1)

Dom f = A

(3.2)

(x, y) − f y (x, z) − f

Ê

y = z.

EJERCICIOS: (1)

Sean A = ea, bf, B = ecf. Escriba todas las relaciones de A en B.

(2)

Sean A = ea, b, cf, B = ecf . Escriba todas las relaciones de A en B.

(3)

Escriba el dominio de las relaciones en (1) y (2).

1

INGENIERÍA - ÁLGEBRA

I - Siglo XXI - EBJ/AFC/MLG/scj


(4)

Separe las relaciones de A en B de (") y (2) en las que son funciones de A en B y las que no lo son. Justifique.

(5)

Dados A = em, n, pf, B = er, sf, construya una función f de A en B.

(6)

Sean A = e", 2, 3, 4, 5f, B = em, n, pf y f = e(", m), (2, n), (3, p), (4, m)f. Decida si f es función de A en B. Fundamente.

(7)

Sea el diagrama de flechas correspondiente: f A

B

a.

.x

b.

.y

c.

.z

d.

.w

7.1)

Determine Domf.

7.2)

Escriba f como conjunto de pares ordenados.

7.3)

Indique el Recf.

7.4)

Decida si f: A qqqp B, es epiyectiva y si es inyectiva. Fundamente.

7.5)

Dibuje el diagrama cartesiano.

2




(8)

Sean A = e0, 2, 3, 4, 5, 6f y f una relación de A en A definida por: Ú 4,

f(p) ³ Û 6, Ü 3,

si p es par si p = 0 si p es impar

Decida, justificadamente, si f es función. (9)

Dado el diagrama: g K

T

4

35

8

"6

3

" 69

"0

64

"3

9 " 00

33 Determine:

(10)

a)

Si g es función de K en T.

b)

Si su respuesta es afirmativa, determine la ley de correspondencia.

Sean A = e˜, , ‰,

f y B = š # b·h, 1a2 , a2 , a·b› "

Encuentre una función H de A en B que esté relacionada con el concepto de área y establezca la ley de correspondencia.

3




(11)

(12)

Se define F: ™ qqqp ™ tal que F(n) ³ n  3. Demuestre que F es una función biyectiva. Sean A = ex, y, z, uf, B = e", 3, 5, 7, 9f y f = e(x, 3), (z, "), (u, 9), (y, 5)f Determine: a) c) e)

(13)

f aex, zfb

b)

f aeufb

d)

f " ae3, 5fb

f)

f aex, y, zfb f " ae5fb

f " ae", 3, 5, 9fb .

Sean A = ex, y, z, tf, B = e1, 3, 5f y g = e(x, ") , (y, ") , (z, 5) , (x, 3) , (t, 3)f Decida si g es función de A en B. Fundamente.

(14)

Dados A = es, t, pf, B = ex, yf y f = eas, xb, at, xb, ap, ybf (a)

Decida si f es función de A en B. Fundamente.

(b)

Indique si es Verdadero (V) o Falso (F) .

(b.1)

(x, y) − f

(b.2)

y−A

(b.3)

t−f

(b.4)

(p, y) − f

(b.5)

(y, t) − A

(b.6)

(s, x) − f

(b.7)

y−A‚B

(b.8)

(s, y) − A ‚ B .

£££££ ¶¶¶¶¶¶ £££££

4




G U Í A N° 1 Unidad Programática: Objetivos:

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS.

El alumno deberá ser capaz de —

Conocer e identificar los conceptos de operación binaria interna y de estructura algebraica.

—

Identificar las propiedades de una operación binaria interna en un conjunto dado.

—

Verificar las propiedades de una operación binaria interna.

—

Identificar las siguientes estructuras a) b) c) d)

grupo grupo abeliano anillo cuerpo

—

Demostrar que una estructura abeliano, anillo o cuerpo.

dada

es

un grupo, grupo

—

Describir y utilizar las propiedades inherentes a una estructura algebraica (grupo, anillo, cuerpo).

—

Establecer y demostrar algunas consecuencias que se deducen de las estructuras algebraicas.

—

Identificar, establecer y demostrar algunas propiedades de las estructuras : (™, +, ·) (, +, ·) (‘, +, ·)

1


I - Siglo XXI - GR. ALG./scj


[1]

En ™+ se define la operación binaria interna æ por : 1.1 1.2 1.3

[2]

aæb ³ ab .

Determine si la operación æ es conmutativa. ¿La operación æ es asociativa? En caso que exista, calcule el elemento neutro para la operación æ.

Sea B = e(a, b) − ‘2 / a = bf y se definen en B las leyes de composición internas ‰ y ˜ como: (a, a) ‰ (b, b) ³ (a  b, a  b) (a, a) ˜ (b, b) ³ (ab, ab) Sabiendo que : (B, ‰) es un grupo abeliano, ˜ es asociativa y conmutativa. Demuestre que : (B, ‰, ˜) es un cuerpo.

[3]

Sea S =  ‚  y se define en S la ley de composición interna # como: # : S ‚ S ————p S ((a, b), (c, d)) ¸——p (a, b) # (c, d) ³ (a  b, cd) ¿Existe elemento inverso en el conjunto S, para la operación # ?. Justifique.

[4]

Sea el conjunto operaciones + y ·

2

T = ex % ‘ / x = a  bÈ3 ; a,b − ™f. Considere las usuales en ‘ . ¿Es (T, +, · ) un anillo?. Justifique.




[5]

Sean K = ea, b, c, df y las operaciones binarias internas mediante las siguientes tablas: a a b c d

ˆ a b c d

b b c d a

c c d a b

d d a b c

æ

a b c d

a a a a a

b a b c d

ˆ y æ definidas

c a c a c

d a d c b

Las operaciones ˆ y æ son asociativas y además la segunda distribuye a la primera. 5.1 5.2

[6]

a)

c ˆx=b

b)

(x ˆ d) æc = b .

Dado el conjunto M = e", – ", i, – if y como ley de composición interna, la multiplicación usual con i# = – ". 6.1 6.2 6.3

[7]

Determine si (K, ˆ , æ ) es un cuerpo. Justifique su respuesta. Resuelva en (K, ˆ , æ ) las ecuaciones:

Construya la tabla de doble entrada. Demuestre que (M, ·) es grupo abeliano.(Suponga que · es asociativa) Resuelva en (M, ·) la ecuación x3 = – ".

Dadas las operaciones definidas mediante las tablas siguientes: + 0 " 2

0 0 " 2

" " 2 0

2 2 0 "

· 0 " 2

0 0 0 0

" 0 " 2

2 0 2 "

Determine todas las soluciones del sistema de ecuaciones: 2·x + y = 0 œ x + ( – 2)·y = "

3




[8]

En A = ea, b, cf se define la ley de composición interna ‰ por: a c a b

‰ a b c

b a b c

c b c a

8.1

Determine el elemento inverso de (a ‰ c – " ). Justifique.

8.2

Suponga que ‰ es asociativo en A. Resuelva en (A, ‰) justificando cada uno de sus pasos la siguiente ecuación: (b ‰ x) ‰ c = c ‰ a

8.3

[9]

Fundamente las razones por las cuales la ecuación anterior admite una solución única en A.

En ™ se definen las operaciones ‡ y · , por: a ‡ b³ ab"

y

a · b ³ a  b  ab .

Suponiendo que (™, ‡ ) es grupo abeliano. Demuestre que (™, ‡ , · ) es un anillo conmutativo con unidad.

[10]

Sea S = ea, bf con las leyes adición y multiplicación definida por: + a b

a a b

b b a

· a b

a a a

b a b

Verifique si (S, +, · ) es un anillo.

4




[11]

Dado el conjunto D = e0, ", 2f y las leyes de composición interna definidas por: $ 0 " 2

0 " 0 2

" 0 2 "

2 2 " 0

# 0 " 2

0 " 0 2

" 0 " 2

2 2 2 2

Determine si el conjunto D posee neutro para cada ley dada y además encuentre el simétrico de cada elemento (en caso que exista).

[12]

Sean J = e(u, v) / u − ‘ • v − ‘ f y la operación binaria interna en J dada por: (x, y) # (r, t) ³ (r#  xy, 0) Averigue si # es asociativa en J. Fundamente.

[13]

Sea G = ] – ", " [ = e u − ‘ / – "  u  " f .Se define ˜ la operación binaria interna en G por: ab a ˜ b ³ "ab 13.1 13.2

[14]

Para cada u − G, determine su inverso con respecto a la operación ˜ . Calcule

2 œ É3 ˜

( – ") 5



–"

Sea G = ‘ ‚ ‘ – e(0, 0)f y se define la ley de composición interna * como: (a, b) * (c, d) ³ (ac, bc  d) 14.1

¿Es verdad que: para todo (a, b); (c, d) perteneciente a G se cumple que: [(a, b)*(c, d)] – " = (a, b) – " * (c, d) – " ?. Fundamente su respuesta.

14.2

5

Calcule [(", "0)*(2, 7)] – " .




[15]

Sean F = e f : A ——p ™ f , ˜ una operación binaria interna en F, tales que ˜ : F ‚ F ——p F (f, g) l——p f˜g

donde

(f ˜ g)(a) ³ f(a)  g(a) ,

a a − A.

Demuestre que (F, ˜) es un grupo abeliano.

[16]

En A = ™ ‚ ™, se definen las leyes de composición internas + y · como: (a, b) + (c, d) ³ (a + c, b + d)

y

(a, b) · (c, d) ³ ( ac, 0 ) .

Suponiendo que ( A , + ) es un grupo abeliano. Averigue si ( A, +, · ) posee estructura de cuerpo. Justifique.

[17]

Para G = ‘ ‚ ‘ – e(0,0)f se definen las leyes de composición interna: ‡ y $ ‡ : G × G —————p G ((a, b), (c, d)) l——p (a, b) ‡ (c, d) ³ (ac  bd, ad  bc) $ : G × G —————p G ((a, b), (c, d)) l——p (a, b)$(c, d) ³ (a  c, b  d) Considere que (G , ‡ ) es grupo abeliano y averigue si (G , ‡ , $) es un anillo.

[18]

Sea P = ‘ ‚ ‘ – e(0,0)f y se define la ley de composición interna ˆ : P ‚ P ————p P ((x, y), (z, w)) l——p (x, y) ˆ (z, w) ³ (x  z, y  w) ¿Existe elemento inverso en el conjunto P para la ley ˆ ?. Justifique.

6




[19]

Sea E = e0, ", 2, 3f y se definen las leyes de composición internas ˜ y ‰ mediante las tablas de doble entrada. ˜ 0 " 2 3

0 0 " 2 3

" " 2 3 0

2 2 3 0 "

3 3 0 " 2

‰ 0 " 2 3

0 0 0 0 0

" 0 " 2 3

2 0 2 0 2

3 0 3 2 "

Sabiendo que (E, ˜) es grupo abeliano y que ‰ es asociativa. Encuentre, si existe(n), la(s) solución(es) de cada una de las ecuaciones siguientes : 19.1 19.2

[20]

x ‰ (3 ˜ 3) ‰ (" ˜ 2) = 0 (3 ˜ 0) ‰ (" ˜ ") ‰ x = "

Sea L = e a0 , a" , a2 , a3 , a4 f. Se define la ley de composición interna ‰ como : Ú ai ‰ aj ³ aij , si i  j  5 Û Ü ai ‰ aj ³ aij5 , si i  j 5

20.1

Construya la tabla de doble entrada para la ley ‰ .

20.2

Averigue si (L, ‰) posee estructura de grupo abeliano. Asuma la asociatividad de la ley ‰ .

♠♠♠♠♠ ♥♥♥ ♠♠♠♠♠

7





1

NÚMEROS REALES.

El alumno deberá ser capaz de: –

Demostrar propiedades de los números reales que involucran los axiomas de cuerpo y/o axiomas de orden.

–

Resolver una inecuación lineal, expresando su solución como intervalo o como unión y/o intersección de intervalos.

–

Resolver analíticamente una inecuación cuadrática, expresando su solución como intervalo o como unión de intervalos.

–

Resolver ecuaciones con una variable que involucren la función valor absoluto.

–

Aplicar las propiedades de la función valor absoluto para obtener expresiones equivalentes como desigualdades.

–

Demostrar desigualdades que involucren tanto la aplicación de las propiedades de ellas, como el uso de las técnicas de demostración utilizadas en la obtención de dichas propiedades.

–

Aplicar correctamente las propiedades de las desigualdades para resolver una (in)ecuación dependiente de uno o más parámetro(s), estableciendo las restricciones y/o análisis pertinentes.

–

Decidir, justificadamente, si un conjunto es acotado y determinar sus elementos notables, cuando existan.




NÚMEROS REALES 2.1 [1]

Utilizando las propiedades algebraicas de ‘, demuestre que: a)

a · 0 = 0;

b)

– (" · a) = (– ")· a;

c)

a(– b) = (– a)b = – ab;

d)

– (– a) = a;

e)

ab = (– a)(– b);

f)

(a–" )–" = a;

g)

(ab)– 1 = a– 1 · b– 1 ;

a a, b − ‘ – e0f

h)

a c adbc  d = bd ; b

a a, b, c, d − ‘, b Á 0, d Á 0

i)

–0 = 0

j)

– a  b = – (a  b);

k)

a  (b  c) = (a  b)  c;

2

aa−‘ aa−‘ a a, b − ‘

aa−‘ a a, b − ‘

a a − ‘ – e0f

a a, b − ‘ a a, b, c − ‘




[2]

[3]

l)

(a  b)(c  d) = ac  ad  bc  bd;

m)

ab = 0

n)

a # = b#

Ê (a = 0

” b = 0);

Í (a = b

a a, b, c, d − ‘

a a, b − ‘

” a = – b);

a a, b − ‘.

Resuelva en ‘, fundamentando cada paso, las siguientes ecuaciones: a)

ax  b = c

b)

5x  8  3x  2 = 2x

c)

3(x  2) = 5x

d)

7(2  4x) = 5(x  9)

e)

(x  ")·(x  2) = 0.

Determine, justificadamente, el resultado de: (M"  N"  P" )·(M2  N2  P2 ) donde M" , N" , P" , M2 , N2 y P2 son números reales.

♣♣♣♣♣

3

♥♥♥

♣♣♣♣♣




NÚMEROS REALES 2.2 1)

Use las propiedades algebraicas y de orden en ‘ para demostrar que: 1.1)

(0Ÿab) y (0Ÿcd)

1.2)

0Ÿab

1.3)

a0

1.4)

ab0

1.5)

ab Á 0

Ê

1.6)

a"

Ê

1.7)

0ab

1.8)

(a  b  c)2 3(ab  bc  ca)

1.9)

p  p 2 para todo p en ‘

Ê

ac  bd

Ê a2  b2

Ê

" a

0

Ê

" a



" b

a2  b2  0 a2  a

Ê a  Èab

 "# (a  b)

"

1.10) Si p. q − ‘ y 1.11) 0  p  "

Ê

p  q entonces

p  "# (p  q)  q

p2  p

1.12) a2  b2  c2 ab  ac  bc para todos números reales a, b y c 1.13) 2(p3  q3  r3 )  qr(q  r)  pr(p  r)  pq(p  q) para todos p, q, r en ‘+ Ayuda: x3  y3  x2 y  y2 x 1.14) 0 Ÿ x Ÿ y

4

Í

Èx Ÿ Èy .




2)

Demuestre que para todos a, b − ‘+ , a Á b se tiene que: " " a b  a2  a  b b2

a)

a  b  2Èab

c)

" (a  b) #

e)

3)

4)

b2

ab b  a

d)

a2  b2  2ab

2ab

 (ab)

Sean a, b, c, x, y, z − ‘, tales que: Demuestre que:

a2

b)

a2  b2  c2 = "

y

x2  y2  z2 = 1.

ax  by  cz Ÿ ".

Si a, b 0, demuestre que:

È(a  b) Ÿ Èa  Èb .

Entregue un ejemplo numérico donde se cumpla la desigualdad en forma estricta.

5)

Sean a, b, c, d números reales positivos tales:

a c  d . Pruebe que: b

a ac c  bd  d . b " #

Deduzca que

6)

7  11  45 .

Si a, b, c son números reales positivos no todos iguales demuestre que: (a  b  c)(bc  ca  ab)  9abc.

7)

Pruebe que x3  "3 x2  "2 x

x

para todo x  0. ¿Cuándo es válida la igualdad?

♣♣♣♣♣♣♣ æ æ æ ♣♣♣♣♣♣♣ 5




NÚMEROS REALES 2.3 1)

2)

Resuelva las siguientes inecuaciones lineales en una variable expresando su solución como intervalo o como unión de intervalos: 1.1)

a)

5x  3  4

1.2)

a)

"2x  3  5x  2  2x  4

b)

x  "0  5x  "2  8x  "2

b)

4x  5  3

1.3)

a)

a2x"b ! ax"b

b)

(– 2x") Ÿ2 (x3)

1.4)

a)

5x 4 ax%b

b)

" x (x") ax"b

d)

x (3x6)

c)

x  3 ax  2b x  #

e)

1  ax2b  5 .

"

"

a4x"b



2 4 (x2)

Resuelva las siguientes inecuaciones cuadráticas: 2.1)

a)

(x  3)(x  2)  0

b)

(x  4)(x  5) 0

2.2)

a)

5x2  8x  3  x2  3x

b)

2x2  4x  3 Ÿ 3x  2

2.3)

a)

x2 x6 0 x2 3x4

b)

(x2 4) 2 ("x2 )

c)

x2 5x6 x 4  x 3 x2 7x12

d)

" 3  (2x") (2x2)

e)

"  x2  2x  2 .

6




3)

Resuelva las siguientes ecuaciones e inecuaciones lineales de una variable que involucran a la función valor absoluto. 3.1)

a) c)

3.2)

3.3)

a)

b)

k3x  2k = 5  x.

kx  5k  kx  "k 8

k4x  3k  k"2x  "k Ÿ 6

e)

º (x2) º  2

a)

(3x")

kx"kk2x3k 3x4

kxk4 kxk5  kxk5 kxk4

d) f)

b)

5 Ÿ k6x  5k  "2

¹3¹  " x

º (x3) º  3 (4x")

x"  2  2x  " x"

d)

kkxk  3k  kkxk  5k .

Aplique las propiedades de la función valor absoluto para demostrar que las proposiciones dadas son equivalentes. 4.1)

x − ]  4, 1[

4.2)

x − ex − ‘ / k2x  3k  5f

5)

kx  2k  kx  2k = 3

b)

c)

c)

4)

kx  3k = 4  x

1

3

x − ]  _, 5 [  ] 5 , _ [

x − ex − ‘ / k5x  2k  "f .

5.1)

Determine el conjunto de valores de m 2 mx  (m  ")x  m = 0 tenga raíces reales.

5.2)

Aplique correctamente las propiedades de las desigualdades para resolver la inecuación lineal dependiente del parámetro a . a)

5.3)

b)

kax  2k  3 .

Determine los valores de k para los cuales las raíces de la ecuación cuadrática dada sean complejas. a)

7

ax  3  "

para que la ecuación

x2  kx  k = 0

b)


(k  ")x2  2kx  " = 0 Þ



6)

5.4)

Calcule los valores de k para los cuales x2  (2k  ")x  k(k  3)  0 para todo x − ‘ .

5.5)

Determine los posibles valores de k − ‘ de modo que la ecuación kkkkx2  kx  1 = 0 admita dos soluciones reales y diferentes.

Resuelva las siguentes inecuaciones: 6.1) 6.3) 6.5) 6.6) 6.7) 6.8) 6.9)

7)

È(x2)2 Ÿ0 x2 x2

6.2)

(x2)4 (x2 3) 0 (x")2 (x2 x")

6.4)

Èx  6  Èx  "  È2x  5

se

verifica

que

Èx Èx4 x

Èx  "  È2x  3

8x  3  È(x  6)(x  9) 6x  3  È  x2  x  6 2x  Èx  "  0

Èx2  x  "  (x  2) .

Determine cuáles de los conjuntos siguientes son acotados inferiormente, superiormente, cuáles son acotados y cuando corresponda, obtenga máximos, mínimos, supremos, ínfimos. 7.1) 7.3)

d  _,

3

 4]

ex − ™ /  "  x  "f

7.5)

šx − ‘ / x = (  ")n  n , n − ›

7.6)

, n −  œx − ‘ / x = È ( 5 n2)

8

7.2)

[5, _[

7.4)

šx − ‘ / x = n , n − › "

"

(2n3)




8)

Determine supremo e ínfimo (si existen) de los siguientes conjuntos A, B, A  B, A  B para: 8.1)

9.-

A = ex − ‘ / kxk  k"  xkfß B = ˜x − ‘ / x2  "  !™

8.2)

A = ex − ™ / x = 2n  "fß

B = ex − ™ / x = 7nf

Sean

A = ex − ‘ / k3x  7k Ÿ  4xfß

B = ex − ‘ / kxk  kx  "k "f

9.1) Determine (si existe) sup A 9.2) Explícite el conjunto de cotas superiores de B.

10)

Sean los conjuntos A, B, C y D dados respectivamente por: A = ™, B = ]7, 10[, C = e15f, D = A  B  C. 10.1) Determine si existen o no, y en caso de existir, indique cuáles son: maxD, mínD, ínf D, supD . 10.2) ¿D es acotado? Justifique.

11)

Sean A, B subconjuntos de ‘ y sea c  0. Se definen los conjuntos A  B y cA como sigue: A  B ³ ea  b / a − A, b − Bf y

cA ³ eca / a − Af

Supongamos que A y B están acotados superiormente. Demuestre que: sup(A  B) = supA  supB

y que

sup(cA) = c(supA).

¿ Qué sucede con sup(cA) si c  0 ?

‘‘‘‘‘

9

♣♣♣

‘‘‘‘‘‘




G U Í A N° 3

UNIDAD PROGRAMÁTICA: ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS.

Objetivos:

[1]

El alumno deberá ser capaz de

—

Simplificar expresiones exponenciales y/o logarítmicas.

—

Aplicar correctamente las funciones exponenciales y/o logarítmicas en la resolución de problemas que las involucren.

—

Resolver ecuaciones, sistemas de ecuaciones exponenciales y/o logarítmicas, analizando el conjunto de soluciones posibles.

Escriba el equivalente exponencial de los siguientes enunciados:

1

A)

log2 "6 = 4

B)

log3 8" = 4

C)

log"0 = "

D)

log 0." = – "

E)

log8 2 = 3

"

F)

loga x = b

G)

logb a = – c

H)

ln" = 0.


I - Siglo XXI - JVG/scj


[2]

[3]

Determine x % ‘ tal que: A)

logx 8 = 3

B)

logx 0.0" =  2

C)

log(ax) = log(ab# )

D)

log(x5) 3 = 2

E)

3x = 27

F)

5x = 3

G)

x3/2 = "25

H)

3 È x = 8.

Aplique las propiedades de los logaritmos para escribir el desarrollo de las expresiones : Èab

A)

logŠ bc ‹

B)

C)

logâ2  b2 ‰

D)

logˆ4x" ‰

E)

ab logŠ c ‹

F)

logÊ bc3

G)

log 5b2 x3 

H)

logŒ (a2 b) 

I)

[4]

"

a

2

2aÈ3

log( c 

a4

a2 b2

logâ3  b3 ‰.

Determine la expresión que corresponda al desarrollo de: A)

loga  2logb

B)

log(a  b)  log(a  b)

C)

xlog2  (x  5)log3  log2

D)

" " logx  log(x  3) # #

E)

log(x  3)  log(2x)  log(x  5)

F)

nloga  alogn

G)

 2loga x  3loga (2x)  loga (x  2) H)

I)

"  log3 a  # log3 a3  4log3 a6 .

2

2logx  3logy  z

"




[5]

Calcule el resultado de las siguientes expresiones : A)

log3 27  log2 8  log5 "

B)

log2/3 Š 243 ‹  log2/3 Š 32 ‹

C)

Ò6Ó

32

243

4 ŠlogÈ "0‹)ˆlog"/4 "6‰alog32 8b

625

32 ) log2/3 ( 243 )

D)

log3/5 ( 8"

E)

logmn (m²  n²  2mn)logmn (m²  n²  2mn) .

Resuelva las siguientes ecuaciones: A)

2x = 64

B)

22x" = "

C)

5x" = 2

D)

3x2 = 2x3

E)

2"x3 = 32x

F)

ax3 = "

G)

2b3x = 3

H)

ax = "04

I)

25x  6·5x  5 = 0

J)

72x  7x "  8 = 0

K)

52x2 + " = a"0  5x b5x

L)

logx5  log2 x  6 = 0

M)

alog2 xbalog2 x + "b = 2

N)

log(7x  9)2  log(3x  4)2 = 2

O)

log(x  ")  log(2x  ") = log(x  2)  log(5x  7)

P)

" "  Ð3logx) = " (4logx)

3




Ò7Ó

[8]

Resuelva los siguientes sistemas: A)

2logx  log y = 3 log(xy) = 3

B)

log2 (x3 y) = 6 a2log2 xbalog2 yb = 6

C)

logx (ay) = p logy (bx) = q

D)

logx  log y = 3 5x2  3y2 = 11.300

E)

log2 x  log2 y = # log2 a xy = a2

F)

22x  22y =  240 3·2x  2·2y =  20

G)

3x  3y = 6 3xy2 = 18

H)

3bx  by = 2b2 bxy = b4

I)

32x  logy = 109 3 x Èlogy = 30

J)

3"xy = 4y 22x" = 33yx

5

Explícite el conjunto solución del sistema de ecuaciones œ

logx 100 – logy 10 = 0 logx + logy = 1 .

♠♠♠♠♠ ♣♣♣ ♠♠♠♠♠

4





El alumno deberá ser capaz de: –

Evaluar expresiones trigonométricas que involucren los ángulos 1/3, 1/4, 1/6 ó sus múltiplos, sin usar calculadora.

–

Dado el valor de una función trigonométrica, determinar los valores de las demás funciones.

–

Simplificar expresiones trigonométricas.

–

Aplicar correctamente las funciones trigonométricas en la resolución de problemas que las involucren.

–

Aplicar las identidades trigonométricas fundamentales en la demostración de otras identidades.

–

Resolver ecuaciones trigonométricas analizando el conjunto de soluciones posibles.

NOTA :

Las identidades y ecuaciones trigonométricas involucran los siguientes contenidos : – – – –

1

TRIGONOMETRÍA.

Ángulos simples. Suma y diferencia de ángulos. Múltiplos de ángulos. Transformación de sumas en productos y viceversa.




(1)

Evalúe las expresiones a) c) e)

(2)

b) c)

(5)

sen a–191Î$b cotg a–351Î%b coseca–581Î$b

sen 2 sena–""1Î'b

b) d)

tg 4 tg a–51Î%b

Determine los valores de sen!, cos! y tg! bajo las condiciones siguientes: a)

(4)

b) d) f)

Indique el signo de cada expresión (no use calculadora) a) c)

(3)

sena271Î%b tg a231Î'b seca–1311Î$b

5

sen! = 13 4 cos! =  5 1 tg! =  3

tal que

0  !  1/2

tal que

0  !  31/2

tal que

1/2  !  1

Determine el valor de las otras funciones trigonométricas de ! si: 2

a)

sen! = 3

c)

sec! = 5

7

3

b)

cos! =  5

d)

sen! = 5 y cos!  0

4

e)

se-! = È2 y ! pertenece al segundo cuadrante.

f)

cotg! =  4 y ! pertenece al cuarto cuadrante.

Evalúe

2

3

X=

cos(2!)sen2 ˆ! 731 ‰ tgˆ! 321 ‰

"

si sen! =  # y cos!  0 .




(6)

Verifique las siguientes igualdades: a)

sen2 Š 3 ‹  cos2 Š 3 ‹ = 1

c)

4sen2 Š 6 ‹  3sec2 Š 4 ‹  2cotg2 Š 6 ‹ = 1

d)

senŠ 6 ‹  cosŠ 2 ‹  senŠ 2 ‹cosŠ 3 ‹ = 0

e)

(7)

21

71

1

cosŠ 3 ‹ = Ê # Š1  cosŠ 3 ‹‹

31

1

cotgˆ 16 ‰tgˆ 13 ‰secˆ 14 ‰ cosŠ 321 ‹senˆ 12 ‰

21

"

1

b)

51

1

1

= È2

Exprese en forma más simple a)

b)

(8)

21

tgˆ! 12 ‰ sen(!) cos!   sen(1!) cotg! senˆ! 12 ‰

cos(! 12 ) sec(!) tg(1!) sec(21!) sen(1!) cotg(! 12 )

Demuestre o refute a) b)

1

1

1

31

sen("  2 ) cos(1  " )cotg("  2 ) = sen("  2 )sen("  2 )tg(  " ) sen(1  " ) tg(1" )

tg"

· tg("  1 ) · 2

cos(21" ) sen"

= sen"

c)

sen!(sec!  cosec!)  cos!(sec!  cosec!) = sec! cosec!

d)

cotg2 !  cos2 ! = cotg2 ! cos2 !

e)

cos! sen!  = sen!  cos! "tg! "cotgA

3




(9)

(10)

Demuestre que a)

tg! sen!  cos! = sec!

b)

Ê "sen" = sec"  tg"

c)

sen3 !  cos3 ! = (sen!  cos!)("  sen!cos!)

d)

tg(" # )tg# = tg" "tg(" # )tg#

Transforme los siguientes productos en sumas. a)

(11)

sen(3!) cos(5!)

b)

cos! senŠ 2 ‹ !

Transforme las siguientes sumas en productos. a)

(12)

"sen"

senŒ 3   senŒ 6  5"

5"

b)

cos(6" )  cos(7" )

Demuestre que a)

sen(7!)sen(5!) = tg! cos(7!)cos(5!)

b)

"  tg(2!) tg! = sec(2!)

c)

senxseny = tgŠ "# (x  y)‹ cosxcosy

d)

sen(5x)sen(2x) cos(2x)cos(5x)

e)

sen(2x)sen(5x)senx cos(2x)cos(5x)cosx

4

= cotga7x/2b = tg(2x)




(13)

f)

tgx cotgx tgx + cotgx

g)

tgŠ # (x  y)‹  tgŠ # (x  y)‹ = cosxcosy

h)

senx sen(x  2y)  seny sen(y  2x) = sen(x  y)sen(x  y)

= 2sen2 x  "

"

2senx

"

=’

i)

"sen(#!) "sen(2!)

j)

"tg! sec!  "tg! sec!

“

tg!" tg!"

=

2

2cos! "tg!

Resuelva las siguientes ecuaciones trigonométricas, obteniendo su conjunto solución en [0, 21[ S=š 6 , 6 › S = e0,1.23, 5.05f 1 51 71 ""1 S=š6, 6 , 6 , 6 › 71 ""1

a)

4sen2 x  8senx  3 = 0

b) c)

4senxcosx  senx = 0 1 sen# x = 4

d)

2sen2 x  3cosx = 0

e)

cosecx = "  cotg# x

f)

4cos2 xcosecx  8cos2 x  3cosecx = 6

g) h) i) j) k) l) m)

21 41

tg# x  Š1  È3 ‹tgx  È3 = 0 secx  tgx  cosecx  cotgx = 0 2tgx  2senx  2tg# x senx = 0

3tgŠx  12 ‹  tgŠx  12 ‹= 0 sen(2x)  cosx = 0 1

1

senx =  senŠ 2 ‹

S=š6, 6 , 6 , 6 › 1 1 51 41 S=š 4 , 3 , 4 , 3 › 51

1

71

""1

S=š4, 4 › 1 51 S = š0, 3 , 1 , 6 › 1 51

S=š4, 4 › 1 3 1 1 51 S=š2, 2 , 6, 6 › 1 51

S = š0, 3 › # 1 71 191 S = š 12 , 12 › Šsen(2x)  È3 cos(2x)‹  5 = cosˆ2x  6 ‰ x

41

4

S=9

n)

senx sen(2x) sen(3x) = 5

o)

sen3 x  cos3 x = 1  # sen(2x)

5

S=š 3 , 3 › 1 S=š2›

"

S = š0, 2 ›


1



(14)

(15)

(16)

(17)

Sea ABC un triángulo rectángulo de catetos a y b, hipotenusa c y altura correspondiente a la hipotenusa h. Resuelva el triángulo rectángulo, en cada caso, con los siguientes datos: 21

a)

!= 9

c)

!= 3

1

a = 0."[m]

b)

71

" = 36

h = 0."5[m]

a  b = 0."[m]

Sea ABC un triángulo cualquiera de lados a, b, c. Resuelva, en cada caso, con la información dada: a)

a=b

hc = 8[m]

b)

! = 12

" = 36

c = 0.4[m]

c)

a = "5[m]

b = "8[m]

! = 2"

d)

a = 5[m]

b = 4[m]

e)

a = 4[m]

b = È"0 [m]

cos # = 8

a)

Demuestre que el área de un triángulo ABC se puede obtener como: " " " Área = # absen# = # bcsen! = # acsen" .

b)

Determine el área de un triángulo ABC dados AC = 7.4", AB = 86.9 y el ánguloBAC = 1.20[rad].

1

71

c = "2[m]

3

c = È2 [m]

Un asta de bandera está colocada verticalmente en lo alto de un edificio; a 12 [m] de distancia, los ángulos de elevación de la punta del asta y de la parte superior 1 1 del edificio son de 3 [rad] y 6 [rad] respectivamente. Determine la longitud del asta. (R: ¸ 13.86 [m])

6




(18)

Un observador cuyos ojos están a 45 [m] por encima de una carretera, halla que el ángulo de elevación de la punta de un poste es 0.3022[rad] y el ángulo de depresión del pie del poste es 0.1501[rad]. Determine la altura del poste y la distancia al observador. (R: ¸ 13.77 y 29.75 [m])

(19)

Determine el ángulo de elevación del sol cuando la sombra de un poste de 4 [m] de altura es de 2È3 [m] de largo.

(20)

El ángulo de elevación de la parte superior de una torre es de 1 [rad],acercándose 100[m] se encuentra que el ángulo de elevación es de 6 1 [rad]. Determine la altura de la torre. 3

(21)

Un trozo de alambre de 5.5 [m] se dobla para formar un triángulo. Un lado tiene 1.5 [m] y el otro 2 [m]. Determine los ángulos del triángulo.

(22)

Demuestre que para cualquier triángulo ABC se cumple: a)

a2  b2  c2 = 2(bc cos!  ac cos"  ab cos# )

b)

cos# cos" cos!  b  c = a

a2 b2 c2 2abc

(23)

En un triángulo rectángulo, la diferencia de los cuadrados de sus catetos es igual al doble del producto de éstos. Calcule la medida de sus ángulos agudos. 1 $1 ŠR: 8 , 8 ‹

(24)

Un barco navega 120 millas náuticas en dirección N ".396 E y luego 200 millas náuticas en dirección S 0.3491 O. ¿A qué distancia se encuentra entonces del punto de partida y en qué dirección?

7




(25)

Un cable con extremos fijos a un postre y a un terreno llano, forma con éste, un ángulo de 1.2217[rad]. En un punto situado a 0.635 [m] más lejos del poste que el cable, el ángulo de elevación del extemo superior del poste es de 0.6458[rad]. ¿Cuál es la longitud del cable?

(26)

Desde un barco que se halla en el mar, el ángulo que subtienden dos puntos A, B 1 es de 6 [rad]. El barco navega 4000 [m] en dirección de A, el ángulo es 1 entonces de 4 [rad]. ¿A qué distancia está el barco del punto B ?

(27)

Tres ciudades A, B y C ubicadas en línea recta se abastecen de energía eléctrica de una central D. La distancia entre A y B es p, la distancia entre B y C es q, la distancia entre D y C es a, y la distancia entre D y A es c. Calcule la distancia entre D y B en función de a, c, p y q.

(28)

En el triángulo de la figura rectángulo en C, se tiene que b = AC = 0.90[m] y p = BD = 0.96[m]. Calcule " = n ABC C b hc A____________________________B D p

PPPPPPP ‡ ‡ ‡ PPPPPPP

8




G U Í A N° 5 Unidad Programática: NÚMEROS COMPLEJOS. Objetivos:

1

EL alumno deberá ser capaz de –

Visualizar la estructura (‚ , +, ·) como cuerpo .

–

Desarrollar las expresiones que involucren la suma (resta), multiplicación y división con números complejos, expresados en la forma (a, b) o (a  ib) .

–

Conocer y aplicar las propiedades de: conjugación, módulo, parte imaginaria y parte real de un número complejo .

–

Aplicar correctamente las propiedades que se deducen de la igualdad de números complejos .

–

Resolver ecuaciones en ‚ .

–

Expresar un número complejo dado en forma canónica, en forma polar y viceversa .

–

Multiplicar, dividir, obtener potencias y raíces de números complejos expresados en forma polar .

INGENIERÍA

- ÁLGEBRA I - Siglo XXI - EBJ/AFC/JVG/scj


1.-

Obtenga la forma a  bi de los siguientes números complejos: 1.1

("  4i)(3  ""i)  ("  i)"

1.2

("  i)3 ("  i)

1.3

’ ("i) “

1.4

("i) i  i Þ ("i)

2i

4

i18  3i7  i2 ("  i4 )  (  i)26 .

2.-

Calcule:

3.-

Resuelva las ecuaciones siguientes: 3.1 3.2

4.-

(1  i)z œ 2  i .

z3  z2  z  " œ ! ˆF1: z3  z2  z  " œ zˆz2  "‰  ˆz2  "‰‰Þ

Demuestre que el número complejo z œ "# ("  È3i) ecuación:

5.-

Obtenga las tres soluciones de la ecuación z3  " œ !. Denótelas por ", a y b, demuestre que: 5.1

6.-

satisface la siguiente

" 3  z œ". (z")

a œ b2

5.2

b œ a2

5.3

Dados z, w − ‚, demuestre que: 6.1

z·w œ w·z

6.3

(– z) œ – a z b

2

6.2 6.4

INGENIERÍA

(– z) " œ –ˆz " ‰, z Á !

Šz‹ œ z "

ab œ 1 .

"

,zÁ!.



7.-

Sean w, z − ‚, demuestre que: 7.1 7.3

8.-

Re(w)  kwk

7.2

Reaw zb  – kwkkzk .

Reaw zb  kwkkzk

Factorice la expresión dada, en factores de primer grado, en el cuerpo de los números complejos. 8.1

x2  x  "

8.2

8.3

2x2  2x  "

8.4

"6 # x 8"

 49

3x2  2x  " Þ

Ayuda: Si q  ! entonces (x  p)2  q œ ˆx  ˆp  iÈq ‰‰ˆx  ˆp  iÈq ‰‰. Como ilustración considere 4x2  "2x  "3 œ 4Šx  Š 32  i‹‹Šx  Š 32  i‹‹ Þ

9.-

Demuestre que para todos x, y − ‘ :

10.-

Suponga conocida la posición de z en el plano complejo. Describa geométricamente la posición relativa de los siguientes números complejos.

11.-

kx  yik Ÿ kxk  kyk Ÿ È2 kx  yik .

"0."

zz

10.2

z i

10.4

" z

10.5

z z

10.3 10.6

z kzk

z2 .

Pruebe que kz  wk2  kz  wk2 œ 2ˆ|z|2 + |w|2 ‰ e interprete geométricamente este resultado.

3

INGENIERÍA



12.-

13.-

Halle el lugar geométrico de los puntos en el plano que representan a los números complejos que satisfacen las relaciones: 11.1

" Ÿ k z  z0 k Ÿ 2

11.2

aRez  bImz œ c; a, b, c − ‘

11.3

! Ÿ Imz  "

11.4

kz  "k  k z  "k œ 2 Þ

Exprese en forma polar los siguientes números complejos: 13.1 13.4 13.6

–4

– È7  iÈ2"

13.2

– 6i

13.5

–2  i

Š"  È3‹  Š1  È3‹i Þ

Š "# a"  iÈ3b‹

13.3

18

È 2  iÈ 2

14.-

Demuestre que

15.-

Realice las operaciones indicadas y reduzca a la forma más simple. 15.1

( È3  i)3

Š"  iÈ3  Š"  È3‹i‹

15.3 15.5

asen!  sen"  i(cos!  cos" )bn

15.6

("i) ("i) Œ Ð"i)   Œ ("i)  .

15.4

3

ŠÈ3 i‹Š"iÈ3‹

("i) ("i)2

2

16.-

15.2

œ".

("i)

3

Calcule la parte real, la parte imaginaria y el módulo de ’ "cos" isen" “ "cos!isen!

4

INGENIERÍA



17.-

18.-

Calcule : 17.1

las raíces cuadradas de i.

17.3

las raíces cuartas de – "6i y de ".

17.4

las raíces quintas de ".

17.5

las raíces cuartas de

17.6

las raíces cuartas de – 2  i2È3 y compruebe gráficamente.

20.-

21.-

Š8È2i8È2‹ 384 Œ È 128i 3

las raíces cúbicas de "  i.

.

Sean ", w, w# las raíces cúbicas de ", demuestre que : 18.1

19.-

17.2

ˆ"  w2 ‰ 4 œ w

18.2 ˆ"  w  w2 ‰ˆ"  w  w2 ‰ œ 4.

Resuelva las siguientes ecuaciones : 19.1

z2  z  " œ !

19.3

z4  " œ !

19.2 19.4

2z2  3z  2 œ !

(2  2i) z2  (""  9i)z  ("6  6i) œ !

Determine los seis números complejos que son elementos del conjunto solución de z6  " œ !Þ (Ayuda: Use suma por diferencia). Si n −  y z Á !, se define z– n ³ azn b– " . Calcule: 21.1 ("  i)

–3

21.2

" Œ– #

È3 – 4 i 2 

y demuestre que si

z = r(cos!  isen!) entonces z– n œ r– n (cos(– n!)  isen(– n!)) .

5

INGENIERÍA



22.-

Si n y m −  son números primos relativos (es decir, el único divisor común es ") y z œ r(cos!  isen!) demuestre que la ecuación wn œ zm tiene exactamente n soluciones w! , w" , …… , wn–" , las que están dadas por: wk = rm/n Šcos’

m(!2k1) m(!2k1) “  isen’ “‹ n n

k œ !ß ", … , (n – "). La relación wn œ zm sirve para definir "zm/n " .Además, calcule 22.1 22.3

23.-

("  i)3/2

22.2

2/5

22.4

"

(– "6i)3/4 È3 Œ #

 i "2 

2/3

.

Utilice el Teorema de De Moivre para demostrar que: cos(5!) œ cos5 !  10cos3 !sen2 !  5cos!sen4 !.

24.-

Demuestre que: Para todo entero positivo n, "sen!icos! ’ "sen!icos! “ œ cosnˆ 12  !‰‘  isennˆ 12  !‰‘. n

25.-

Sean z, w − ‚, demuestre que: 25.1 25.2

kz  wk kzk  kwk .

kkzk  kwkk Ÿ kz  wk. Sugerencia: Escriba z œ z  w  (  w), y use (25.1) .

26.-

Si z, w − ‚ y kz  wk œ kz  wk , demuestre que ReŠ w ‹ œ !.

27.-

Si u, v − ‚, demuestre que auv  uvb − ‘ .

z

6

INGENIERÍA



28.-

Dado el número complejo z œ (", 4), determine el número complejo w tal que el triángulo formado por: !, z, w sea equilátero.

29.-

Exprese en forma binomia y polar: e1 i

29.1

30.-

e"i1/6

29.2

29.3

Demuestre que: z œ x  yi Ê kez k œ ex

30.1

30.2

e"i

Imz  0 Ê ¸eiz ¸  " Þ

EJERCICIOS MISCELANEOS 1.-

Resuelva " 4 Œe 4  Z  2  i Im(4  È3 i) œ !. 1i

2.-

5

Sean z œ ei! , w œ rei" ; pruebe que: "r2 i2rsen(" !) zw œ y que, en particular "r2 2rcos(" !) zw

Re’ "w “ œ "r2 2rcos" . "w

3.-

"r2

("+i)n

Calcule ("i)n2 , donde n es un número entero positivo. Resp.:

7

2i (n")

INGENIERÍA



4.-

Resuelva cada uno de los sistemas de ecuaciones.

4.1

(3  i)x  (4  #i)y œ 2  6i (4  2i)x  (2  3i)y œ 5  4i

Resp.:

4.2

x  iy  2z œ "! x  y  2iz œ 2! ix  3iy  ("  i)z œ 3!

3.1 x œ "  i, y œ i 3.2 x œ 3  ""i, y œ  3  9i,

5.-

z œ "  7i

Demuestre que: ("  iÈ3)("  i)(cos!  isen!) œ 2È2 ŠcosŠ "2  !‹  isenŠ "2  !‹‹ 71

71

1 i·z œ rŠcosŠ 2  !‹+ i senˆ 12  !‰‹.

6.-

Sea z − ‚ pruebe que:

7.-

Sea z − ‚ tal que z  Š z ‹ œ 2cos!. Pruebe que À "

zm  Š zm ‹ œ 2cos(m!). "

Ayuda: Escriba z en forma polar y luego aplique la Fórmula de De Moivre.

♣♣♣♣♣ 111 ♣♣♣♣♣

8

INGENIERÍA



G U Í A N° 6 Unidad Programática: POLINOMIOS. Objetivos:

1

El alumno deberá ser capaz de

—

Utilizar correctamente la división sintética para hallar cuocientes y restos en divisiones del tipo P(x) : (x  r) .

—

Resolver problemas que involucren el teorema del factor y/o el teorema del resto .

—

Determinar los ceros de polinomios con coeficientes enteros, racionales y reales .

—

Explicitar un polinomio si se conocen sus ceros y las multiplicidades de tales ceros .

—

Determinar los restantes ceros de un polinomio si se conocen algunos de ellos.

—

Factorizar un polinomio ya sea en , ‘ o ‚ .

—

Descomponer en fracciones parciales una función racional propia .




1.-

Dados los polinomios sobre ‘ P(x) = 2x5  3x4  x3  2x2  x  " S(x) = 6x6  x2  x  2 T(x) = x4  2x3  3 Calcule:

2.-

1.1

U(x) = 2P(x)  3S(x)  T(x)

1.2

W(x) = 6P(x)  È2 T(x)

1.3

Z(x) = S(x)  5T(x)  eP(x) .

Dados los polinomios siguientes, calcule su producto y deje expresado el resultado como un nuevo polinomio, en el cual ya no existen términos semejantes.

3.-

2.1

2x2 y3  5xy2  7à

6x5 y  2x2 y2  3x  "

2.2

2x2 y  3xy2  xy;

5xy2 – 2x2 y + xy – 2 .

Evalúe los siguientes polinomios. 3.1

P(x) = 2x5  2x3  x2  "

si x = – 2

3.2

Q(x) = 3x5  4x4  "0x3  2x2  6x  2

si x = – 3

3.3

R(x) = x4  x2  x  "

si x = 2 .

Para P(x) = x4  3x3  2x  ". Determine el valor de verdad de la siguiente aseveración: 2P( – ") = P(3) – "Þ

4.-

2




5.-

Efectúe las siguientes divisiones.

6.-

5.1

4x4  5x2  7x  3 : 2x2  3x  2

5.2

2x3  5x2  22x  "5 : x2  3

5.3

8x5  "8x3  6x2  6x  22 : 2x2  5

5.4

"3x3  3x  "0x5  "6  6x2  4x4 : 3  2x2 .

Use la definición de igualdad de polinomios para calcular el valor de las constantes : A, B, C, D 6.1

2x2  3x  " = Ax2  B(x  2)  C(x  ")

6.2

2x2  3x  " = A(x  ")2  B(x  ")  C

6.3

x3  3x2  2x  7 = A(x  ")3  B(x  2)2  C(x  ")  D

6.4

"6x3  " = A(2x  ")3  B(x  ")2  C(x  ")  D .

7.-

Determine el valor de la constante a y el cuociente si (x  2) es un divisor del polinomio P(x) = x3  ax2  ax  6. Factorice completamente a P(x) .

8.-

Factorice completamente Q(x) = x3  "9x  30 .

9.-

Determine los ceros racionales (en cada caso) del polinomio R(x) .

3

9.1

R(x) = 2x3  3x2  ""x  6

9.2

R(x) = x3  6x2  ""x  6

9.3

R(x) = x3  2x2  4x  2"

9.4

R(x) = 2x3  3x2  "2x  7 .




10.-

Exprese cada uno de los polinomios como producto de tres factores lineales (cuando sea posible). 10.1

x3  x2  "6x  20

10.3

3x3  8x2  "5x  4 .

10.2

x3  7x  6

11.-

Determine k sabiendo que x  " es un factor de x5  2kx2  2 .

12.-

El resto al dividir x4  "3x  k por (x  3) es 20. Determine el valor de k .

13.-

Determine a y b tales que x4  ax2  b tiene como factores a (x  ") y (x  2) .

14.-

Factorice completamente. 14.1

P(x) = x4  "0x3  35x2  50x  24

14.2

Q(x) = x4  6x3  3x2  26x  24 .

15.-

Determine el valor de k y los ceros del polinomio P(x) = 9x4  25x2  "0kx  k2 si (x  ") y (x  2) son factores .

16.-

Determine la forma de los infinitos polinomios de grado 3 que tienen a 2 como un cero y a – 7 como cero de multiplicidad 2 .

17.-

Si P(x) es mónico y tiene grado 4. Determine P(x) sabiendo que tiene como ceros a los números reales : "# , – "3 , – 7 y 5 .

18.-

Un polinomio P(x) de grado 3 tiene como ceros – ", 0 y 2. Determine sus coeficientes. ¿Es P(x) único?.

19.-

Un polinomio mónico P(x) tiene un cero en x = 2. Determine P(x). Señale otro polinomio no mónico A(x) de grado 3 con los mismos ceros .

4




20.-

Los polinomios P(x)= 4x3 – x2  3 y G(x)= ax(x  ")(x – 2) – bx(x  ")  cx + d son iguales. Determine a, b, c y d .

21.-

Si A y B son raíces de una ecuación cuadrática ax2  bx  c = 0, a Á 0, demuestre que A  B = – b/a y A·B = c/a .

22.-

Demuestre que si A, B, C son raíces de ax3  bx2  cx  d = 0, a Á 0 entonces A  B  C = – b/a ; AB  BC  AC = c/a ; ABC = – d/a .

23.-

Si A,B y C son raíces de 2x3  5x2  3x  " = 0 encuentre los valores de: 23.1 23.3

4A  4B  4C  7ABC A2  B2  C2 .

A– "  B– "  C– "

23.2

24.-

Si – 2 es un cero de 3x3  5x2  bx  "0. Determine b y determine la suma y el producto de los otros dos ceros.

25.-

Halle un polinomio de grado 4 con un cero de multiplicidad 3.

26.-

Halle el polinomio de menor grado con coeficientes racionales que tenga entre sus ceros (2  È3) y ("  i) .

27.-

Examine la multiplicidad de los ceros – " y " en los polinomios 27.1 P(x) = x16  "

27.2 Q(x) = x5  x4  x  "

27.3 R(x) = 2x7  x6 .

28.-

Verifique que Q(x) = x4  5x2  6 carece de ceros racionales.

29.-

Determine la solución de la ecuación polinomial x4  4x3  2x2  "2x  3 = 0, dado que (2  È5 ) es un cero de P(x) = x4  4x3  2x2  "2x  3.

30.-

Halle el polinomio de menor grado con coeficientes racionales que tenga entre sus ceros 2i y 2 .

5




31.-

Si i es un cero de P(x) = x4  x3  x2  x  2 determine los otros ceros.

32.-

Demuestre que todo polinomio de grado 5 con coeficientes reales tiene por lo menos un cero real. Escriba un polinomio con coeficientes racionales de grado 4 con ( 3  È7 ) como cero de multiplicidad dos.

33.-

34.-

Escriba un polinomio de cuarto grado con coeficientes racionales que tenga a (È2  È5 ) como uno de sus ceros .

35.-

a) b) c) d) e)

Determine el número posible de ceros reales positivos de P(x) . Determine el número posible de ceros reales negativos de P(x) . ¿Cuáles son los posibles ceros racionales de P(x)? . Factorice P(x) como producto de factores lineales y de factores cuadráticos irreducibles . Factorice P(x) como producto de factores lineales .

Para P(x) = 35.1

x5 – x4 – 5x3 + 5x2 – 36x + 36

35.2

x4 + 6x2 + 9

35.3

x4 + x3 + x2 – 4x – 20

35.4

"2x4 + 4x3 – 23x2 + x + 6

35.5

x3 – 2x2 + 4 x – 4

35.6

2x5 – x4 – 3x3 – 3x2 – 5x – 2

5

"

los ceros de Q(x)= x5  x3  4x2  3x  2, sabiendo que cada " ("  iÈ3) y "# ("  iÈ3) tiene multiplicidad dos. #

36.-

Determine todos uno de los ceros

37.-

Descomponga en fracciones parciales : 37.1

37.3

6

– x22

x2 2x8 x2 "2x"8 x3 6x2 9x

37.2

37.4

x5 "

(x2 x")2 (x2 ")2 x2 2x8




37.5

2x3 3x6 x3 2x2 9

37.6

x3 x2 2x x2 2x8

37.7

2x3 7x5 x4 4x2 4

37.8

" x3 x

37.9

" (x ")2 (x2)

37.10 (x2)(x2 x2)

(x2)2

ALGUNOS PROBLEMAS DE PRUEBAS GLOBALES. 1.-

Dados:

-

p(x) = 3x5  2x3  5x2  " q(x) = 2x4  4x3  5x2  2 h(x) = 2p(x)  q(x)

Determine :

1.1

h(x)

1.2

h(3)  h( – ") + 3 .

2.-

Halle los valores reales de a y b de modo que sean iguales los polinomios r(x) y s(x) , donde r(x) = 5a2 x2  2a2 x  2b2 x2 y s(x) = 3b2 x  53x2  6x .

3.-

Sea p(x) = 2x3  bx2  cx  d. Encuentre las constantes reales b, c y d, si se sabe que p(0) = 2  b . Al dividir el polinomio por (x  ") da resto (b  d) . Un cero del polinomio p(x) es ".

4.-

Si el polinomio p(x) = x4  ax3  bx2  "8x  "2 se divide por (x  ")(x  3) el resto es (2x  3). Determine los valores de a y b .

5.-

Determine las raíces y el coeficiente k de la ecuación polinomial x3  3x2  kx  75 = 0 sabiendo que una raíz es la opuesta de la otra .

7




Dado el polinomio p(x) = 6x3  n2 x2  mx  3n, obtenga m y n de modo que :

6.-

6.1 Al dividir p(x) por (x  2) el resto sea 2". 6.3 m y n son números enteros .

6.2 – 1 sea un cero de p(x).

7.-

Dado el polinomio p(x) = a2 x5  b2 x4  abx3  5x2  2x  26. Determine todos los valores a y b, (si los hay) de modo que (x  ") sea un divisor de p(x) y que al dividir p(x) por (x  ") el resto sea – 24 .

8.-

Determine a y b % ‘ para que el polinomio p(x) = x4  2x3  x2  ax  b, sea divisible por (x2  ") y encuentre todos los ceros reales de p(x) .

9.-

Determine a y b en el polinomio p(x) = x4  ax2  b y factorícelo completamente si dos de sus factores son (x  ") y (x  2) .

10.-

En cada caso determine los ceros y factorice el polinomio dado 10.1 10.2

q(x) = x4  4x3  "0x2  28x  "5 r(x) = 2x5  4x4  4x3  8x2  "0x  4 .

Al dividir x3  bx2  cx  d por (x  p)2 se obtiene exactamente (x  a) Demuestre las siguientes afirmaciones:

11.-

11.1

b  2p = a

11.2

c  p2 = 2ap

11.3

d = p2 a .

12.-

Sea p(x) un polinomio tal que gr(p(x))  3. Si se sabe que al dividir p(x) por (x  3) el resto es 2, que 2 es un cero de p(x) y además p(4) = 6, encuentre el resto al dividir p(x) por (x  2)(x  3)(x  4) .

13.-

Descomponga en fracciones parciales

5x3 8x 2"

H(x) = (x2 4x5)(x") ( Calcular el valor de las constantes es parte del ejercicio. )

.

♠♠♠♠♠ ♣♣♣ ♠♠♠♠♠

8




G U Í A N° 7 Unidad Programática: NÚMEROS NATURALES

Objetivos: El alumno deberá ser capaz de:

1



Demostrar proposiciones algebraicas mediante el método de inducción.



Calcular el valor de expresiones que contengan símbolos de sumatoria y/o productoria.



Deducir fórmulas para expresiones que contengan símbolos de sumatoria y/o productoria.



Dado un conjunto ordenado determinar si sus términos están en Progresión Aritmética o Progresión Geométrica.



Explicitar una Progresión Aritmética o una Progresión Geométrica, conociendo la información adecuada.



Dada una expresión binomial determinar el término k-ésimo, el término independiente, el(los) término(s) central(es) de su desarrollo.



Aplicar los contenidos de la unidad en la resolución de problemas prácticos.




INDUCCIÓN. 1)

En los problemas del 1.1 al 1.8 demuestre la fórmula que se indica utilizando la inducción matemática. Suponga que n es un entero positivo o no negativo.

1.1

"  3  5  ...  (2n  ") = n#

1.2

n(n3) " " " "  2·3·4  3·4·5  ...  n(n1)(n2) = 4(n1)(n+2) 1·2·3

1.3

" " " " n  6  1#  ...  n(n1) = (n1) #

1.4

"  22  32  42  ...  (  ")n – " n2 = # ( – ")n – " n(n  ")

1.5

2n  "  n

1.6

("  h)n  "  nh , con h  – "

1.7

3n  "  2n

1.8

(xn  yn ) es divisible por (x  y), x Á y

2)

Considere la fórmula siguiente:

"

"  3  ...  (2n  ") = 25  (n  ")2 , n − . 2.1

Demuestre que si ella es verdadera para algún natural n, entonces lo es también para n  ".

2.2

¿ Es verdadera para todo n −  ?

3)

Demuestre que las siguientes proposiciones se cumplen a partir de cierto n0 Halle el valor mínimo de este n0.

3.1

2n  n#

3.2

2n  n3

3.4

3n2  2  "5n  20

3.5

(p  2)x  3p 3.6

2

3.3


7n  6  2n2  8 7n  4n  "00n


.


3.7

73n"  "92n"  "2 es divisible por 342

3.8

1 2 n 1  3x  â  (n1)x = "  (n1)x . 2x

SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS. 4)

Resumir mediante sumatorias o productorias

4.1

2  4  8  â  2n

4.2

1 1 1 1  2·3  3·4  â  n(n"Ñ 1·2

4.3

x·x2 ·x3 ·…·xn2

4.4

"2 ·22 ·32 ·……·(n  ")2 .

5)

Calcule las siguentes sumas: 5.1

!3Š " ‹ "0

k=0

5.3

6)

k

5.2

#

4

i="

j="

5

k="

!!aij  3

!Š 1 k2  2k ‹

5.4

7

!!î2  3j ‰ 4

3

i="

j="

Determine una fórmula para las siguientes sumas: 6.1 6.2

! k2

k="

Âyuda: (k  ")3  k3 = 3k2  3k  "‰

! k3

Âyuda: (k  ")4  k4 = 4k3  6k2  4k  "‰

!kk!

6.4

!( – ")n k2

6.6

n

n

k="

6.3

n

k="

6.5

n

k="

3

!(2k  ")2 n

k="

! n

k="

" k(k")




6.7

! xk , x Á " n

6.8

k="

! n

6.9

7)

n

k="

ŠAyuda: ak = (km) , ak1 = (km1) ‹

1 (km1)(km)

k=1

!k2k 1

1

Demuestre por inducción que: 7.1

!kqk– " = n

k="

7.2

" ˆ "  (n  ")qn  nqn– " ‰ a"qb2

!ˆk2  "‰kx = n(n  ")x n

k="

º ! ak º 

! k ak k

n

7.3

n

k="

k="

8)

Calcule la suma de todos los múltiplos positivos de "7, menores que "000.

9)

Calcule

!a3k  "b y demuestre por inducción la fórmula hallada. n

k="

10)

Examine algunos de los valores de los productos

# Š"  n

10.1

k="

" ‹ (k")

# Š"  n

10.2

k="

" ‹ (k")2

para valores pequeños de n y conjeture fórmulas generales para ellos. Demuestre sus conjeturas por inducción. 11)

12)

Calcule y simplifique:

Demuestre que

! #  2k(k  2) n

n

k="

k=3

(k2 "2k)  k2

!axak  bk b2 0, para todo x real. n

k=0

4




13)

14)

De (12) deduzca que ”!ak bk • Ÿ ”!a2k •”!b2k • . n

n

n

k=0

k=0

k=0

Si a1 , a2 , ..., an − ‘  e0f. Demuestre que

2 ”!ak •”! ak • n .

15)

n

n

k="

k="

"

Calcule "  3x  6x2  "0x3  ...…  "# (n  ")(n  2) xn Þ

COEFICIENTES BINOMIALES. TEOREMA DEL BINOMIO.

ˆ n ‰= ˆ n ‰ ,

Si

2)

Demuestre que si x −  y n − 0 , entonces

12

obtenga

ˆ n ‰ y ˆ 22 ‰.

")

8

ˆx‰ˆ n

17

x ‰ n"

n

" ‰ œ ˆ xn"

3)

Si n, k −  y k  n  2. Demuestre que:

4)

Resuelva en  el sistema

ˆ n ‰ = ˆ n2 ‰  2ˆ n2 ‰  ˆ n2 ‰ k k2 k1 k

x Š y" ‹

4Š y ‹ x

5

= =

x Š y" ‹

5Š y" ‹ x




5)

5.1 Determine el séptimo término en el desarrollo de ˆ3x  2Èx ‰"0 . 5.2 Determine el término independiente de x en el desarrollo de Šx  x ‹ 2

6)

7)

"2

.

En el desarrollo de Š1  x  6x‹ , obtenga el término independiente de x. (Si existe). "

"0

n En el desarrollo de ˆxÈx  x4 ‰ el coeficiente del tercer término es mayor que el coeficiente del segundo término en 44 unidades. Determine el término independiente x.

8)

Determine una relación entre a y n, de modo que en desarrollo de ("  a)n aparezcan dos términos consecutivos iguales.

9)

Calcule n tal que el coeficiente del cuarto término sea el doble del coeficiente del quinto término en el desarrollo de (a  b)n .

10)

Demuestre que el coeficiente central del desarrollo de (a  b)2n es igual a la suma 2n – " de los coeficientes de los términos centrales del desarrollo de (a  b) .

11)

¿Cuántos términos contiene el desarrollo de aa  b  c  dbn ?

12)

Encuentre el coeficiente de x2 en el desarrollo de Šx3 y4  xy2 ‹ . "

6


"4



13)

13.1 Encuentre el término intermedio del desarrollo de Š a  a‹ 3

12

.

13.2 Si se tiene aAx  Byb5 calcule A y B si el coeficiente del tercer término es "2 y el del sexto término es 32. 13.3 Encuentre el coeficiente del término que contiene a2 b2 cd en el desarrollo de (a  b  c  d)6 .

14)

Sean n, k − , n  k. Calcule A, donde

A = "  3ˆ " ‰  32 ˆ 2 ‰  ââ  3k ˆ k ‰  ââ  3n . n

15)

Dado el binomio Šx + x3 ‹ "

15.1 15.2

16)

n

n

20

¿Cuál es el término independiente? Calcúlelo, si existe.

Demuestre que

nx  ’ "# (n  ")“ . n

PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS. 1)

Determine la suma de n términos de las progresiones que se indican: 1.1 49, 44, 39, ……

n = "7

1.2 3, 73 , 53 , ……

n = 20

1.3

7

" " " , , , …… ("Èx) ("x) ("Èx)

n = 10




1.4 ", È3, 3, ……

n = "2

1.5 "# , 3" , 29 , ……

n= 7

1.6 – "3 , "# ß – 34 , ……

2)

n = 8.

Interpole 2.1 2.2

18 medios aritméticos entre – 35x y 3x . 5 medios geométricos entre 3 59 y 40 "# Þ

3)

Si a1 = – 2 y d = 4 ¿cuántos términos deben considerarse para que la suma sea "60? .

4)

Los términos de lugar 2, 3" y último de una progresión aritmética son 34" , "# y – "3 , respectivamente. Determine el primer término y el número de términos. 2

5)

El quinto término de una progresión geométrica es 8" y el segundo 24. Determine la citada progresión .

6)

Si tres números diferentes a,b y c están en progresión geométrica, demuestre que: " " " , 2b , (bc) están en progresión aritmética. (ba)

7)

Demuestre que los recíprocos de los términos de una progresión geométrica forman también una progresión geométrica.

8)

Determine una progresión geométrica tal que a4  a6 = "20 y

8


a7  a9 = 960.



9)

Calcule dos números tales que su medio aritmético sea 20 y su medio geométrico sea "8.

10)

El producto de 3 números en progresión aritmética es "20 si se multiplican el primero por "5, el segundo por "2 y tercero por "0 resulta una progresión geométrica. Determine los números.

11)

El producto de 3 números en progresión aritmética es 750 y la suma de ellos es 30. Obtenga los números.

12)

Calcule 12.1

7 3" "  34  16  "645  256  ââ

12.2 x(x  y)  x2 ˆx2  y2 ‰  ……  xn axn  yn b 12.3 %(  752  743  754  745  ââ 13)

En la progresión aritmética: – 7, – 5, – 3, … ¿Existe algún término igual a 65?

14)

14.1

Obtenga el medio geométrico entre È7  È3

14.2

Interpole 3 medios geométricos entre 24 y 32 .

y

È7  È3.

15)

En cierto cultivo, las bacterias se duplican cada 20 minutos ¿Cuántas veces el números original de bacterias hay en el cultivo al cabo de 2 horas, suponiendo que ninguna desaparece?.

16)

Encuentre 3 números en progresión geométrica, sabiendo que su suma es de 26 y de tal manera que el más grande sobrepase en "0 unidades a la suma de los otros dos.

♣♣♣♣♣ 111 ♣♣♣♣♣

9




PRUEBAS Y EXAMENES

INGENIERÍA - ÁLGEBRA I


PRUEBA GLOBAL N° 1 ———————————————————————————————————— La prueba que usted lee en este momento consiste en 6 (1) INSTRUCCIONES: (seis) preguntas, todas ellas del mismo valor relativo o porcentual. En cada pregunta usted deberá argumentar matemáticamente; su desarrollo será evaluado atendiendo a los siguientes conceptos: (a) corrección matemática, (b) creatividad y originalidad, (c) presentación, orden, legibilidad, claridad, precisión. Coloque su nombre en cada una de las hojas y procure (2) responder cada una de las preguntas que se le formulan. Duración de la prueba: 90 minutos. Esto es más que (3) suficiente para resolver todas las tareas planteadas en esta prueba, de modo que trabaje acusiosamente y con calma.

———————————————————————————————————— PREGUNTAS: [1]

Sean A = ea, b, c, df y B = e1, 2, 3f. Determine, justificadamente, si la relación Ri ( i = 1, 2, 3, 4 ) de A en B es una función. Si es una función, dé su recorrido. (1.1) (1.2) (1.3) (1.4)

[2]

R" = e(a, "), (b, 2), (c, "), (d, 2)f

R2 = e(a, "), (b, 2), (a, 2), (c, "), (d, 2)f R3 = e(a, 3), (b, 2), (c, ")f

R4 = e(a, "), (b, "), (c, "), (d, ")f.

Sea T = ex − ‘ / x Á "f y consideremos sobre dicho conjunto la ley de composición interna asociativa, ‡, dada por

1

(2.1)

Determine si ( T, ‡) es grupo.

(2.2)

Calcule ã2‡3b" ‡(  2‡4)™ .

m‡p ³ m  p  pm.

"


I - Abril 06 de 2000 - EBJ/AFC/HSB/JVG


[3]

Sea un anillo ( A,  , · ) demuestre que: (  b)·a·(  a) = b·a2 para todos a, b − A.

[4]

Resuelva la siguiente ecuación en el cuerpo ( ‘,  , · ) 5  4x  6  x = (  3)  5x. Fundamente cada paso.

[5]

En el cuerpo ordenado ( ‘,  , · , Ÿ ) demuestre que se cumple: Si a  0 entonces a2  a  "  0.

[6]

Si a, b − ‘ , demuestre que:

È(a  b) Ÿ Èa  Èb .

Entregue un ejemplo numérico donde se cumpla la desigualdad en forma estricta.


2


I - Abril 06 de 2000 - EBJ/AFC/HSB/JVG


PRUEBA GLOBAL N° 2 ———————————————————————————————————— La prueba que usted lee en este momento consiste en 6 (1) INSTRUCCIONES: (seis) preguntas, todas ellas del mismo valor relativo o porcentual. En cada pregunta usted deberá argumentar matemáticamente; su desarrollo será evaluado atendiendo a los siguientes conceptos: (a) corrección matemática, (b) creatividad y originalidad, (c) presentación, orden, legibilidad, claridad, precisión. Coloque su nombre en cada una de las hojas y procure (2) responder cada una de las preguntas que se le formulan. Duración de la prueba: 90 minutos. Esto es más que (3) suficiente para resolver todas las tareas planteadas en esta prueba, de modo que trabaje acusiosamente y con calma. (4)

¡QUE LA FUERZA LOS ACOMPAÑE!

———————————————————————————————————— PREGUNTAS: En las preguntas [1] y [2] para cada una de las inecuaciones planteadas escriba el correspondiente conjunto solución como intervalo o como unión y /o intersección de intervalos. [1]

" x (x"Ñ Ðx"Ñ

[2]

k3  4xk  k"2x  "k Ÿ 6.

[3]

Considere el siguiente subconjunto de los números reales A =šx − ‘ / x = 2  2n ; n = 0, ", 2, …… , › "

(3.1) (3.2) (3.3)

1

Dibuje su representación en la recta real. Indique si A es acotado superiormente y si A es acotado inferiormente. Fundamente. En el caso que exista señale: máx(A), mín(A), sup(A) e ínf(A). Justifique.


I - Mayo 11 de 2000 - EBJ/AFC/GPO/JVG


[4]

Para a, b − ‘  e"f demuestre la identidad logarítmica loga x = "  loga b. logab x

[5]

Dada la ecuación exponencial 5x"  5x  5x3 = "5" entregue su conjunto solución.

[6]

Determine el conjunto solución del sistema de ecuaciones log5 x  log"" a""y b = 7 xy

= 5"2


2




PRUEBA GLOBAL N° 3 ———————————————————————————————————— La prueba que usted lee en este momento consiste en 7 (1) INSTRUCCIONES: (siete) preguntas, todas ellas del mismo valor relativo o porcentual. En cada pregunta usted deberá argumentar matemáticamente; su desarrollo será evaluado atendiendo a los siguientes conceptos: (a) corrección matemática, (b) creatividad y originalidad, (c) presentación, orden, legibilidad, claridad, precisión. Coloque su nombre en cada una de las hojas y procure (2) responder cada una de las preguntas que se le formulan. Duración de la prueba: 90 minutos. Esto es más que (3) suficiente para resolver todas las tareas planteadas en esta prueba, de modo que trabaje acusiosamente y con calma.

———————————————————————————————————— PREGUNTAS: [1]

Verifique que: sen(31/2)cos(51/6) tg(81/3)cotg(51/4)

[2]

È32 2(È3")

Demuestre la siguiente identidad trigonométrica: "tg2 ˆ x2 ‰ cosx = "tg2 ˆ x2 ‰

[3]

=

.

Determine el conjunto de soluciones básicas de la ecuación trigonométrica: 2sen2 x  3cosx = 0.

1


I - Junio 1' de 2000 - EBJ/AFC/GPO/JVG


[4] Un asta de bandera está colocada verticalmente en lo alto de un edificio; a una distancia de 12[m] del edificio, los ángulos de elevación de la punta del asta y de la parte 1 1 superior del edificio son 3 y 6 [rad] respectivamente. Determine la longitud del asta.

[5]

Encuentre la parte real y la parte imaginaria de ("i)9

z = ("i)7

[6]

.

Demuestre que : ReŠ zw ‹  ReŠ zw ‹ = " . z

[7]

w

Resuelva en ‚ la ecuación : z3  i = 0.

♦♦♦

2

♣♣♣


♦♦♦

I - Junio 1' de 2000 - EBJ/AFC/GPO/JVG



———————————————————————————————————— PREGUNTAS :

[1]

Utilizando división sintética, verifique que (x  2) y (x  ") no son factores del polinomio p(x) = x4  x3  ""x2  9x  "8.

[2]

Determine todas las raíces de la ecuación polinomial: 4x4  3x3  4x  3 = 0.

[3]

Dado p(x) = x4  cx2  d, determine los valores de c, d y factorícelo completamente, sabiendo que (x  ") y (x  2) son dos factores de p(x).

1


I - Julio !' de 2000 - EBJ/AFC/GPO/JVG


[4]

Descomponga en fracciones parciales 5x3 8x2"

H(x) = (x2 4x 5)(x")

.

( Calcular el valor de las constantes es parte del ejercicio. )

[5]

Demuestre por inducción que para todo entero positivo n se cumple que : 1 1 1 1  6  12  ……  n(n") 2

[6]

6.1

Sea A = ex" = 8, x2 = 8, x3 =  ", x4 = ", x5 =  3f . Calcule : ! e3x2i  3 f  #

6.2

n

= (n") .

5

4

i="

j="

e xxj"j f .

(6pts)

Use el símbolo de suma, para abreviar la notación en : ( "  2  3  ……  n)2 = 24  34  44  …… (n  ")4 .

(4pts)

Resultados : Viernes 07/07/2000 de 15:45 a 16:15 [hrs] PM en la salas 21 y 22

♠♠♠

2

♣♣♣


♠♠♠

I - Julio !' de 2000 - EBJ/AFC/GPO/JVG


EXAMEN ———————————————————————————————————— INSTRUCCIONES: El examen que usted lee en este momento consiste en 10 (1) (diez) preguntas, todas ellas del mismo valor relativo o porcentual. En cada pregunta usted deberá argumentar matemáticamente; su desarrollo será evaluado atendiendo a los siguientes conceptos: (a) corrección matemática, (b) creatividad y originalidad, (c) presentación, orden, legibilidad, claridad, precisión. Coloque su nombre en cada una de las hojas y procure (2) responder cada una de las preguntas que se le formulan. Duración del examen : 150 minutos. Esto es más que (3) suficiente para resolver todas las tareas planteadas en este examen, de modo que trabaje acusiosamente y con calma.

———————————————————————————————————— PREGUNTAS : [1]

Sea G = ]  ", "[ y consideremos en G la ley de composición interna ˜ definida por 1.1

(ab)

a ˜ b ³ ("ab) . Para cada c % G, determine el elemento inverso de c con respecto a la ley de composición interna, ˜ .

1.2

[2]

Calcule š # ˜Š  5 ‹› "

"

Resuelva la inecuación:

"

.

È(x  ")  È(2x  3) .

Deje

expresada

solución como intervalo o como unión y/o intersección de intervalos. [3]


[4]

logx "00  logy "0 = 0 logx  logy = " .

Determine el conjunto solución de la siguiente ecuación trigonométrica: sen(2x)cosx  cos(2x)senx = ".

1


I - Julio 20 de 2000 - EBJ/AFC/GPO/JVG

la


[5]

Un observador determina que el ángulo de elevación a una torre es ![rad]; avanza 1 a[m] hacia la torre y el ángulo de elevación es 4 [rad]; sigue avanzando otros 1 b[m] y el ángulo es de ( 2  !)[rad]. Demuestre que la altura de la torre está ab

dada por H = ab . [6]

Calcule el valor de x (en la forma binómica) si : Š "i ‹ = Š xi ‰ . "i

[7]

xi

Utilice división sintética para determinar todos los ceros del polinomio P(x) = x4  x3  "6x2  4x  48.

[8]

Sin calcular el valor las constantes, descomponga en fracciones parciales 8.1

(x3) (x2 "0x25)2 (x4 ")2 x4  2x3 3x" . (x5)(x3)(x4)

8.2

[9]

Demuestre por inducción que para todo entero positivo n 7(n")  5 es divisible por 6 .

Calcule : S = ! k(k  2) . (Ayuda: Utilice las propiedades de la sumatoria y 2000

[10]

n " las sumas conocidas : !k = # n(n  "); k=3

k=1

!k2 = " n(n  ")(2n  ") ) . 6 k=1 n

Resultados el Jueves 20 de julio de 2000 a las 17:30 horas en sala 23

2


I - Julio 20 de 2000 - EBJ/AFC/GPO/JVG



———————————————————————————————————— PREGUNTAS: [1]

S = a‘  e!fb ‚ ‘. Definamos la operación binaria

Considere el conjunto interna ‡ en S como

(u, v)‡(x, y) ³ (ux, vx  y) Demuestre que (S, ‡) es un grupo y verifique que tal grupo no es abeliano. (Ayuda: La operación ‡ es asociativa.) [2]

Sea E = e0, 1, 2, 3f y se definen las leyes de composición internas ˜ y ‰ mediante las tablas de doble entrada. ˜ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

‰ 0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 0 2

3 0 3 2 1

Sabiendo que (E, ˜) es grupo abeliano y que la operación ‰ es asociativa. Determine, si existe(n), la(s) solución(es) de cada una de las ecuaciones siguientes: (2.1) (2.2)

x ‰ (3 ˜ 3) ‰ (1 ˜ 2) = 0 (3 ˜ 0) ‰ (1 ˜ 1) ‰ x = 1

1


I - Septiembre 08 de 2000 - EBJ/JGH/GPO/JVG


[3]

Usando las propiedades algebraicas y de orden en ‘, demuestre que: Si a, b % ‘+ ; a  b, entonces

Èab  a + b  b. 2

En los problemas [4] y [5] para cada una de las inecuaciones planteadas, escriba el conjunto solución como intervalo o como unión y/o intersección de intervalos. [4]

kx  2k  kx  "k Ÿ 5.

[5]

("x2 )(x2 x") È(x")2 (x2 2x8)  0.

[6]

Sea A © ‘, tal que A = ñ −  / 5  n2  " Ÿ "97™ + ]1, "4[ . (6.1)

Indique si A es acotado superiormente o acotado inferiormente o acotado. Fundamente su respuesta.

(6.2)

En caso de existir determine : máx(A), mín(A), supA, ínf(A). Justifique.

♦♦♦

2

♣♣♣


♦♦♦

I - Septiembre 08 de 2000 - EBJ/JGH/GPO/JVG



———————————————————————————————————— PREGUNTAS: [1]

Determine el conjunto solución de la ecuación exponencial-logarítmica: 2 3 2 š(log x)"› 25 š2log(x )› Š5‹ = Š 4 ‹ .

[2]

Obtenga el conjunto solución del sistema de ecuaciones: log x  3log3 y = 7 xy = "0"2

[3]

Calcule sen(4!) sabiendo que tg! = È3 y que cos! = # . "

1


I - Octubre 13 de 2000 - EBJ/JGH/GPO/JVG


[4]

Demuestre la siguiente identidad trigonométrica : cos2 !  cos2 (!  " )  2cos!cos" cos(!  " ) = sen2 " .

[5]

Determine el conjunto de soluciones básicas de la ecuación trigonométrica :

[6]

Dos lados adyacentes de un paralelógramo forman un ángulo ! y dichos lados tienen longitudes a y b. Determine las longitudes de las diagonales del paralelógramo. (Considere que la suma de los ángulos interiores de un paralelógramo es de 21[rad] ).

È2 cosx = cotgx.

£££££ §§§ £££££

2


I - Octubre 13 de 2000 - EBJ/JGH/GPO/JVG



———————————————————————————————————— PREGUNTAS: [1]

Demuestre que el número complejo w = 1  i satisface la ecuación:

w2  2w  2 = 0

[2]

Si z = x  iy obtenga las partes real e imaginaria del número complejo: z1

! = z1

[3]

Sea z un número complejo de módula 1, o sea, kzk = 1. Calcule:

" = kz  1k2  kz  1k2

1


I - Noviembre 10 de 2000 - EBJ/JGH/GPO/JVG


[4]

Determine la forma polar (trigonométrica) del siguiente número complejo: i

z = #2i

[5]

Sea w =  8i, exprese en la forma canónica (binomial) las raíces cúbicas de w.

[6]

Resuelva la ecuación z4  2iz2  1 = 0.

z2  i = 0 y use su respuesta para resolver la ecuación

£££££ §§§ £££££

2


I - Noviembre 10 de 2000 - EBJ/JGH/GPO/JVG



———————————————————————————————————— PREGUNTAS: [1]

Dado el polinomio P(x) = x4  "2x3  55x2  ""4x  90, se sabe que el polinomio es divisible por x  3. Escriba P(x) como producto de factores.

[2]

Determinar el valor de las constantes "p" y "q" si cuando el polinomio cuártico s(x) = x4  px3  qx2  18x  12 se divide por (x  ")(x  3) el resto es 2x  3.

[3]

Determinar un polinomio P(x) con coeficientes reales, de grado tres, de modo que 3i y 4 sean ceros de P(x) y que además P(  ") = 50.

1


I - Diciembre 06 de 2000 - EBJ/JGH/GPO


2x3 3x6 . x3 2x2 9

[4]

Descomponer en fracciones parciales la expresión

[5]

Demostrar, utilizando inducción matemática la siguiente proposición: P(n): n2  n es divisible por 2,

[6]

a n − .

Calcular: (6.1)

! (5  j)2 , sabiendo que.

2427 j=7

n !j = " n(n  "); # j="

(6.2)

!j2 = " n(n  ")(n  2) 6 j=" n

# ! 5k . 3

60

k=" i=0

£££££ §§§ £££££

2


I - Diciembre 06 de 2000 - EBJ/JGH/GPO


EXAMEN INSTRUCCIONES:

El examen que usted lee en este momento consiste en 10 (1) (diez) preguntas, todas ellas del mismo valor relativo o porcentual. En cada pregunta usted deberá argumentar matemáticamente; su desarrollo será evaluado atendiendo a los siguientes conceptos: (a) corrección matemática, (b) creatividad y originalidad, (c) presentación, orden, legibilidad, claridad, precisión. Coloque su nombre en cada una de las hojas y procure (2) responder cada una de las preguntas que se le formulan. Duración del examen : 180 minutos. Esto es más que (3) suficiente para resolver todas las tareas planteadas en este examen, de modo que trabaje acusiosamente y con calma.

———————————————————————————————————— PREGUNTAS : [1]

Dado (™, ‰, ‡) donde las operaciones binarias internas están definidas por: b‰a³ab

y

u ‡ v ³ uv  "

Determine (justificando adecuadamente) si la operación ‡ distribuye a la operación ‰ . [2]

Resuelva la siguiente inecuación: k 2x  kxk k Ÿ ". Escriba la solución como intervalo o como unión y/o intersección de intervalos.

[3]


[4]

6y" = 2x 4x  3y" = 0

.

Resuelva en ]  1, 31/2] de la siguiente ecuación trigonométrica: cosx  cos(2x) = 0

1


I - Diciembre 18 de 2000 - EBJ/JGH/GPO/JVG


[5]

Dos torres de control están ubicadas a una distancia de d [kms]. Desde la primera de ellas con rumbo !rad se localiza un incendio. A partir de la segunda torre, el incendio se observa con rumbo " rad . Calcule la distancia desde la primera torre al incendio.

Œ"iÈ3

3

[6]

Compruebe aplicando el Teorema de De Moivre que:

[7]

Dado el polinomio

"

= 8 a22ib 4

.

P(x) = 2x5  4x4  4x3  )x2  "0x  4

determine todos sus ceros y escriba la correpondiente factorización.

[8]

Dada la función racional:

G(x) =

x4 x3 +x2 " (x4 "6)

obtenga su descomposición en fracciones parciales (debe calcular las constantes).

[9]

Demuestre por inducción que para todo entero positivo n se cumple que " " " "  6  "2  ââ  n(n") #

[10]

=

n Þ (n")

Deduzca una fórmula para las siguiente suma: ! (k  ")4  ! k4 .

n 2

n

k=2

k="

Resultados: Jueves 21 de diciembre de 2000 a las 11:30 horas en sala 23

2


I - Diciembre 18 de 2000 - EBJ/JGH/GPO/JVG


PRUEBA GLOBAL N° 1 ———————————————————————————————————— La prueba que usted lee en este momento consiste en 6 (1) INSTRUCCIONES: (seis) preguntas, todas ellas del mismo valor relativo o porcentual. En cada pregunta usted deberá argumentar matemáticamente; su desarrollo será evaluado atendiendo a los siguientes conceptos: (a) corrección matemática, (b) creatividad y originalidad, (c) presentación, orden, legibilidad, claridad, precisión. Coloque su nombre en cada una de las hojas y procure (2) responder cada una de las preguntas que se le formulan. Duración de la prueba: 90 minutos. Esto es más que (3) suficiente para resolver todas las tareas planteadas en esta prueba, de modo que trabaje acusiosamente y con calma. ¡QUE LA FUERZA LOS ACOMPAÑE!

(4)

———————————————————————————————————— PREGUNTAS: [1]

Considere la función f:  qqqp e0, "f

f(n) ³ œ

n

(1.1) (1.2)

[2]

"

" si n es par 0 si n es impar

3

Calcule A = 4 f(2)  4 f( f(3)  2f("0) ). ¿ f es una función inyectiva? Justifique.

3 Dados S = ˜x − ‘ / x = È a , a − ™™ y la operación æ definida como: 3 3 3 È u æÈ v ³ È uv .

Determine si (S, æ) tiene la estructura de grupo.

1


I - Abril 24 de 2001 - EBJ/AFC/GPO/JVG


[3]

Sea (T, ˜) un grupo abeliano. Dados a, b, d − T, calcule un x − T tal que sea solución de la ecuación: a˜x˜b˜x = x˜d. Fundamente cada paso y haga la comprobación.

[4]

Considere (  e0f, ‰, ‡) donde las operaciones binarias internas ‰ y ‡ están definidas por: a‰b ³ ba

y

a‡b ³ a  b  2

Indique (justificando) una propiedad de cuerpo que no se cumpla.

[5]

Demuestre la siguiente identidad en (‘,  , ·): (a  b  c)2 = a2  b2  c2  2ab  2ac  2bc,

a a, b, c − ‘.

Señale explícitamente cada propiedad o teorema que haya utilizado.

[6]

Dados los números reales no nulos a, b, y c, deduzca la siguiente igualdad: c" (ab) a" b"  = . c c ab

Justifique cada aserto.


2


I - Abril 24 de 2001 - EBJ/AFC/GPO/JVG



———————————————————————————————————— PREGUNTAS:

[1]

Sabiendo que 60 Ÿ F Ÿ 80, use las propiedades de las desigualdades para 5

determinar el intervalo de variación de C si se cumple C œ 9 (F  32).

[2]

Sean a, b − ‘+ , considere a  b. Demuestre que: a3  b3  a2 b  b2 a.

[3]

Dado el conjunto

A œ šx − ‘ / x œ ""  n , n − ›  ˜x −  / x3  "000™ "

determine en caso que exista: mín(A), máx(A), ínf(A), sup(A). Justifique su respuesta

1




[4]

2

"

Si sen! œ 3 con ! en el segundo cuadrante y sen" œ 5 con " en el primer cuadrante. Calcule el valor exacto de la expresión: sen(!  " ).

[5]

Demuestre la siguiente identidad trigonométrica: " "sen #

[6]



" œ 2sec2 # . "sen#

Dada la ecuación trigonométrica: cotg2 x  3cosecx  3 œ ! determine su conjunto solución en [!, 21[ .


2


I - Junio 14 de 2001 - EBJ/AFC/GPO/JVG


En las preguntas [4] a [6] para cada una de las inecuaciones planteadas escriba el correspondiente conjunto solución como intervalo o como unión y/o intersección de intervalos.

[4]

3x" È2x2 0.

[5]

kx  3k  kxk  12.

[6]

(x2 5x6) (x4)  (x3) . (x2 7x12)


2





———————————————————————————————————— PREGUNTAS: En los problemas ["] y [2] resuelva la correspondiente ecuación. En cada caso verifique la(s) solución(es) y escriba el conjunto solución.

2

8(5x +x) œ ". 4(x")

["]

logˆ"Èx"‰ œ 3. 3 logŠÈ x40‹

[2]

[3]

Determine y verifique el conjunto solución del sistema de ecuaciones: 22x  22y œ 20 2xy œ 8

1




PRUEBA GLOBAL N° 1' ———————————————————————————————————— La prueba que usted lee en este momento consiste en 6 (1) INSTRUCCIONES: (seis) preguntas, todas ellas del mismo valor relativo o porcentual. En cada pregunta usted deberá argumentar matemáticamente; su desarrollo será evaluado atendiendo a los siguientes conceptos: (a) corrección matemática, (b) creatividad y originalidad, (c) presentación, orden, legibilidad, claridad, precisión. Coloque su nombre en cada una de las hojas y procure (2) responder cada una de las preguntas que se le formulan. Duración de la prueba: 90 minutos. Esto es más que (3) suficiente para resolver todas las tareas planteadas en esta prueba, de modo que trabaje acusiosamente y con calma. ¡QUE LA FUERZA LOS ACOMPAÑE!

(4)

———————————————————————————————————— PREGUNTAS: [1]

(1.1)

Sean A = e1, 2, 3f y B = ea, b,c, df. Escriba una relación de A en B que tenga 4 elementos.

(1.2)

Considere la función f: ™ qqqqp ™ n Calcule

[2]

5

p f(n) ³ œ

k 2k

si n = 2k si n = 2k  "

"

A = 6  3 f( 3f("4)  4 ).

Sea S =  ‚  y se define en S la ley de composición interna # como: # : S ‚ S qqqqp S ((a, b), (x, y)) p (a, b) # (x, y) ³ (a  x, by) Determine si ( S, # ) es un grupo. Justifique.

1




[3]

Sea (T, ‡) un grupo abeliano. Demuestre que para todos a, b − T se satisface

[4]

Se definen en ™ las leyes de composición interna: ‡ y ‰ respectivamente por

(a‡b)" = ˆb" ‰‡â" ‰.

a‡b ³ a  b  2 y a‰b ³ ab  2a  2b  2. ¿La operación ‰ distribuye a la operación ‡?

[5]

Resuelva en (‘,  , ·) la siguiente ecuación, fundamentando cuidadosamente cada paso (x  2)("  x) = (3  2x)(x  2) .

[6]

Dados w un número real y a, b números reales no nulos tales que a Á b. Deduzca la siguiente igualdad w/a wb = . "/b a

Justifique cada aserto.


2




PRUEBA GLOBAL N° 2' ———————————————————————————————————— La prueba que usted lee en este momento consiste en 6 (1) INSTRUCCIONES: (seis) preguntas, todas ellas del mismo valor relativo o porcentual. En cada pregunta usted deberá argumentar matemáticamente; su desarrollo será evaluado atendiendo a los siguientes conceptos: (a) corrección matemática, (b) creatividad y originalidad, (c) presentación, orden, legibilidad, claridad, precisión. Coloque su nombre en cada una de las hojas y procure (2) responder cada una de las preguntas que se le formulan. Duración de la prueba: 90 minutos. Esto es más que (3) suficiente para resolver todas las tareas planteadas en esta prueba, de modo que trabaje acusiosamente y con calma.

———————————————————————————————————— PREGUNTAS:

[1]

De acuerdo a la ley de Hooke, la fuerza F requerida para estirar un resorte x unidades de longitud más allá de su largo natural, está dada por F œ 4.5x. ¿Si 10 Ÿ F Ÿ 18, cuáles son los correspondientes valores de x?

[2]

Sean a, b, c − ‘ , demuestre que bc(b  c)  ab(a  b)  ac(a  c) 6abc.

[3]

Dado el conjunto A œ šx − ‘ / x œ 3  n , n − ™ ›  ex − ‘ / 2  x  8f (3.1) Determine 3 cotas superiores y 3 cotas inferiores del conjunto A. (3.2) Decida fundamentadamente, si A tiene supremo e ínfimo. "

1




En las preguntas [4] a [6] para cada una de las inecuaciones planteadas escriba el correspondiente conjunto solución como intervalo o como unión y /o intersección de intervalos.

[4]

Èx Èx4 Ÿ x.

[5]

¹2  (x") ¹  6.

[6]

x2 3x4  2. x3

x


2




Apéndice A RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS. En los Problemas de Aplicación de la Trigonometría es conveniente tener presente lo siguiente: (a) Mediante la utilización del Teorema del Coseno es posible determinar: 

La longitud de un lado de un triángulo conociendo las longitudes de los otros dos y la medida del ángulo comprendido por estos últimos o



Los ángulos conociendo los tres lados.

(b) Mediante la utilización del Teorema del Seno es posible determinar: 

La longitud de un lado de un triángulo conociendo el ángulo opuesto y otro par lado-ángulo opuesto o



La medida de un ángulo de un triángulo conociendo el lado opuesto y otro par lado-ángulo opuesto.

De los Teoremas de Congruencia de triángulos en geometría plana elemental, sabemos que un triángulo dado queda completamente determinado si se conoce uno de los siguientes conjuntos de datos: (1) (2) (3) (4)

REMARK:

Un lado y dos ángulos. Dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos. Dos lados y el ángulo comprendido. Los tres lados.

Luego, los Teoremas del Seno ( casos (1) y (2) ) y del Coseno ( casos (3) y (4) ) debieran bastarnos para resolver cualquier triángulo bien determinado.


I - Siglo XXI - GR.ALG.


Apéndice B Las principales propiedades de la parte real, parte imaginaria, conjugado y módulo de un número complejo se dan en el siguiente

TEOREMA 6 :

Sean

z, w − ‚,

entonces:

(6.1) z = z Í z − ‘ (6.2) z = z (6.3) z + z = 2Rez (6.3') z -z = 2iImz (6.4) Re(z + w) = Rez + Rew (6.4') Im(z + w) = Imz + Imw (6.5) ( z + w ) = z + w (6.5') (z  w)=z  w (6.6) zw = z · w (6.7) z/w = ( z/w ), (6.8) kzk= ¹ z

¹

2 (6.9) zz = ¸z¸ =

(6.10) ¸zw¸ = ¸z¸·¸w¸

w Á 0

¸z¸2

(6.11) ¸z/w¸ = ¸z¸ / ¸w¸ ,

(6.12) ¸Re( zw )¸ Ÿ ¸z¸·¸w¸

w Á 0

(Desigualdad de Schwarz)

(6.13) ¸z + w¸ Ÿ ¸z¸ + ¸w¸

(Desigualdad triangular)

(6.14) ¸¸z¸  ¸w¸¸ Ÿ ¸z  w¸




Apéndice C RAÍCES DE UN NÚMERO COMPLEJO. DEF.1 :

Sea

w − ‚

dado.

a todo número complejo

z

Llamaremos raíz n-ésima de w,

tal que zn = w

OBS. 1 :

Si

w = 0

entonces tiene una única raíz n-ésima,

a saber z = 0.

En el caso general suponga que w = rcis) Á 0

z = scis:

y

zn = sn cisn: = rcis)

ó equivalentemente

sn cos (n:) + isn sen (n:) = rcos) + irsen) luego por igualdad de números complejos 

sn cos(n:) = rcos) sn sen(n:) = rsen)

elevando al cuadrado y sumando miembro a miembro tenemos S2n = r2 Ê

n s = È r

y por otra parte cos(n:)  cos) = 0 Ê n:  ) = 2k1 ;

Í

2senŠ

k − ™*

n:) n:) senŠ 2 ‹ = 0 2 ‹

¾

: = )n2k1

k %™*

pero notemos que sólo para k = 0, ", . . ., (n  ") obtenemos valores de : en los cuales cos: ( sen:) son diferentes.

2




Por lo tanto n wk = È r cisŠ

)2k1 , n ‹

k = 0, ", . . ., (n  ")

son las n-raíces n-ésimas de w. Los siguientes hechos se verifican por simple inspección. (a)

n ¸ wk ¸ = È r

k = 0, ", . . ., (n  ").

para

(todas las raíces tienen el mismo módulo). (b) para

:k"  :k =

()2(k")1) n

k = 0, ", . . ., (n  ").

(La diferencia entre los consecutivas es constante). DEF. 2

()2k1) 21 = n n



( EULER ) :

argumentos

Si

de

dos

−‘

x

raíces

entonces

ix

e = cosx + isenx TEOREMA 1:

Para todo

x −‘

"

cosx = # (eix + e-ix ) OBS. 2 :

(1)

z = ¸z¸ei)

♣♣♣♣♣♣♣

2

♣♣♣

se verifica "

sen x = #i (eix - e-ix ) (2)

zn = rn ein) .

♣♣♣♣♣♣♣




Apéndice D División Sintética o Método de Hörner. Este método de gran ayuda poder dividir rápida y efectivamente un polinomio p(x) por otro de la forma b(x) = (x  r). El método (algoritmo) que se presenta a continuación se llama división sintética (método de Hörner o regla de Rufini).

Pasos del Método. [1]

Ordenar los coeficientes del dividendo p(x) en orden de potencias decrecientes de x (si alguna potencia de x no aparece le corresponde un 0 como coeficiente), tales números se ubican en la primera fila.

[2]

Consideremos el divisor de la forma (x  r). Las filas 2 y 3 se construyen del siguiente modo. Se baja a la tercera fila el primer coeficiente del dividendo, se multiplica éste por r y el producto se suma al segundo coeficiente del dividendo, colocando el resultado en la tercera fila. Luego se multiplica esta suma por r y este producto se suma al tercer coeficiente del dividendo, anotando de nuevo el resultado en la tercera fila. Se repite el proceso hasta que se suma un producto al término constante del dividendo, escribiendo también el resultado en la tercera fila.

[3]

Este último número de la tercera fila es el resto, los demás números son los coeficientes del cuociente, que es un grado menor que el dividendo.

Ejemplo:

Determine el cuociente y el resto que resultan de dividir el polinomio p(x) = 4x5  30x3  50x  2 por el polinomio b(x) = (x  3).

Desarrollo:

Como b(x) = x  3 = x  (  3) se tiene que r =  3.

3

4 Æ 4

0  12  12

 30 36 6

0  18  18

 50 54 4

2  12  14

luego el resto es r(x) =  14 y el cuociente q(x) = 4x4  12x3  6x2  18x  4 .




Apéndice E FRACCIONES PARCIALES DEF.: Se llama función racional a toda expresión del tipo p(x)

F(x) œ q(x)

en donde p(x) y q(x) son polinomios con coeficientes reales, y gr(q(x)) ".

NOTA: Si el grado del polinomio p(x) es mayor o igual al grado del polinomio q(x), entonces el Algoritmo de la División nos dice que existen polinomios s(x) y r(x) tales que como se sabe p(x) œ s(x)q(x)  r(x), con gr(r(x))  gr(q(x)) o r(x) œ !. Por lo tanto p(x)

F(x) œ q(x) œ

q(x)s(x)r(x) r(x) œ s(x)  q(x) . q(x)

Luego el "problema" de una función racional arbitraria F(x), se ha reducido al de las "funciones racionales propias", es decir, en donde el grado del numerador es menor que el grado del denominador. Con el fin de expandir este tipo de funciones en unidades "elementales", usaremos los siguientes resultados: TEOREMA 1: Todo polinomio q(x), con gr(q(x)) ", puede ser siempre factorizado usando factores lineales o cuadráticos irreducibles del modo siguiente: q(x) œ a(x  !" )n" (x  !2 )n2 ââ(x  !r )nr ââ â(x2  a" x  b" )m" ââ(x2  as x  bs)ms en donde los factores (x2  aj x  bj ) son tales que ?j = a2j  4bj  0 ( j œ ", 2, … , s). TEOREMA 2:

Si el polinomio q(x) de grado no nulo, se factoriza de acuerdo al p(x)

Teorema ", entonces la función racional propia q(x) puede ser escrita como una suma de fracciones, en donde cada factor (x  !i )ni y cada factor irreducible (x2  ai x  bi )mi dan origen, respectivamente, a las siguientes fracciones parciales A (x!i )k

BxC (x2 ai xbi )j

en donde k œ ", 2, … , ni ; j œ ", 2, … , mi .

1




CASO 1. El denominador es un producto de factores lineales y distintos; vale decir q(x) œ a(x  !" )(x  !2 )ââ(x  !r ). En este caso, la descomposición en fracciones parciales garantizada por el Teorema 2 es de la siguiente forma: p(x) A" A2 Ar œ (x!  (x!  ââ  (x! . q(x) ") 2) r)

CASO 2. El denominador es del tipo q(x) œ (x  !" )n" (x  !2 )n2 ââ(x  !r )nr . En este caso, cada factor (x  !i )ni , da origen a ni fracciones parciales del tipo Ai (x!i )k

k œ ", 2, … , ni .

CASO 3. El denominador contiene factores cuadráticos irreducibles, sin repetición, vale decir q(x) es de la forma q(x) œ a(x  !" )n" (x  !2 )n2 ââ(x  !r )nr (x2  a" x  b" ) ââ(x2  as x  bs). En este caso, rige la misma descomposición que en el caso 2, agregándole la siguiente suma B" xC" 2 (x a" xb" )

B xC

B xC

 (x2 2a x2b )  ââ  (x2 s a xrb ) . 2 2 s s

CASO 4. Este es el caso general establecido en el Teorema 2. Aquí cada factor (x  !)n y cada factor irreducible (x2  ax  b)m da origen a n y m fracciones parciales respectivamente.

2




FUNCIÓN EXPONENCIAL - FUNCIÓN LOGARÍTMICA 1)

ax ·ay = axy ;

a − ‘  e"f; a x, y − ‘

2)

a x / a y = a x y ;

a − ‘  e"f; a x, y − ‘

3)

ax ·bx = (a·b)x ;

a, b − ‘  e"f; a x − ‘

4)

ax / bx = (a/b)x ;

a, b − ‘  e"f; a x − ‘

5)

(ax )y = axy ;

a − ‘  e"f; a x, y − ‘

6)

x = logb y Í bx = y ;

7)

b

8)

logb bv = v ;

9)

logb (MN) = logb M  logb N ;

10)

logb (M / N) = logb M  logb N ; b − ‘  e"f, a M, N − ‘+

11)

logb (Mp ) = p(logb M) ;

12)

loga N = logb a b

log b u

b − ‘  e"f, a y − ‘ , a x − ‘ b − ‘  e"f, a u − ‘+

=u ;

log N

b − ‘  e"f, a v − ‘

;

b − ‘  e"f, a M, N − ‘+

b − ‘  e"f, a M − ‘+ , a p − ‘ a, b − ‘  e"f, a N − ‘


I - Siglo XXI - JVG


TRIGONOMETRÍA I. Valores de sen! y cos!, si ! [rad]

0

1 6

sen!

0

cos!

"

" # È3 2

1 4 È2 2 È2 2

0 Ÿ ! Ÿ 21

1 3 È3 2

1 2

1

31 2

21

"

0

–"

0

" #

0

–"

0

"

II.Valores de sen! y cos!, respecto a P! Si Si Si Si

P! P! P! P!

− 1er cuadrante − 2do cuadrante − 3er cuadrante − 4to cuadrante

entonces sen!  0 entonces sen!  0 entonces sen!  0 entonces sen!  0

y y y y

cos!  0 cos!  0 cos!  0 cos!  0

III.Funciones pares e impares

sen(– !) = – sen!, a ! − ‘ cos(– !) = cos!, a ! − ‘

1

La función seno es una función impar La función coseno es una función par


I - Siglo XXI - GR. ALG.


IV.Identidades Trigonométricas cos2 ! + sen2 ! = 1 tg2 ! + 1 = sec2 ! cotg2 ! + 1 = cosec2 ! cos(! + " ) = cos!cos" cos(!  " ) = cos!cos" sen(! + " ) = sen!cos" sen(!  " ) = sen!cos"

 sen!sen"  sen!sen" + sen" cos!  sen" cos!

tg! + tg"

tg(! + " ) = 1tg!tg" tg! tg" 1tg!tg" ! 1cos! ¹sen( 2 )¹ = É 2 ! 1+cos! ¹cos( 2 )¹ = É 2

tg(!  " ) =

cos(2!) = cos2 !  sen2 ! = 1  2sen2 ! = 2cos2 !  1 sen(2!) = 2sen!cos! 2tg!

tg(2!) = 1tg2 ! sen!cos" = "# (sen(! + " ) + sen(!  " )) sen" cos! = "# (sen(! + " )  sen(!  " )) cos!cos" = sen!sen" =

" (cos(!  " )  cos(!  " )) # – #" (cos(!  " )  cos(!  " ))

senu  senv = 2senŠ 2 ‹cosŠ 2 ‹ uv

uv

senu  senv = 2cosŠ 2 ‹senŠ 2 ‹ uv

uv

cosu  cosv = 2cosŠ 2 ‹cosŠ 2 ‹ uv

uv

cosu  cosv = – 2senŠ 2 ‹senŠ 2 ‹ uv

2

uv


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