Une introduction aux problèmes inverses elliptiques et paraboliques (Mathématiques et Applications) (French Edition)

´ MATHEMATIQUES & APPLICATIONS Directeurs de la collection : G. Allaire et M. Bena¨ım 65 ´ MATH EMATIQUES & APPLICAT...

Author: Mourad Choulli

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´ MATHEMATIQUES & APPLICATIONS Directeurs de la collection : G. Allaire et M. Bena¨ım

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´ MATH EMATIQUES & APPLICATIONS Comité de Lecture 2008–2011/Editorial Board 2008–2011 RE´ MI A BGRALL INRIAet Mathématiques, Univ. Bordeaux 1, FR [email protected] G R E´ GOIRE A LLAIRE ´ CMAP, Ecole Polytechnique, Palaiseau, FR [email protected] MICHEL BENAÏ M Mathématiques, Univ. de Neuchâtel, CH [email protected]

L AURENT MICLO Analyse, Topologie et Proba., Univ. Provence, FR [email protected]

OLIVIER CATONI Proba. et Mod. Aléatoires, Univ. Paris 6, FR [email protected] T HIERRY COLIN Mathématiques, Univ. Bordeaux 1, FR [email protected] MARIE-CHRISTINE COSTA CEDRIC, CNAM informatique, Paris, FR [email protected] JACQUES D EMONGEOT TIMC, IMAG, Univ. Grenoble I, FR [email protected] N ICOLE E L K AROUI ´ CMAP, Ecole Polytechnique, Palaiseau, FR [email protected]

P HILIPPE ROBERT INRIA, Domaine de Voluceau, Rocquencourt, FR [email protected]

J OSSELIN G ARNIER Proba. et Mod. Aléatoires, Univ. Paris 6 et 7, FR [email protected] S T E´ PHANE G AUBERT INRIA, Saclay, Îles-de-France, Orsay et ´ CMAP, Ecole Polytechnique, Palaiseau, FR [email protected] CLAUDE L E BRIS CERMICS, ENPC et INRIA Marne la Vallée, FR [email protected] CLAUDE L OBRY INRA, INRIA, Sophia-Antipolis et Analyse Systèmes et Biométrie Montpellier, FR [email protected]

VAL E´ RIE P ERRIER Mod.. et Calcul, ENSIMAG, Grenoble, FR [email protected] BERNARD P RUM Statist. et Génome, CNRS, INRA, Univ. Evry, FR [email protected]

P IERRE ROUCHON ´ Automatique et Systèmes, Ecole Mines, Paris, FR [email protected] A NNICK S ARTENAER Mathématiques, Univ. Namur, BE [email protected] ¨ E RIC S ONNENDR UCKER IRMA, Strasbourg, FR [email protected] S YLVAIN S ORIN Combinat. et Optimisation, Univ. Paris 6, FR [email protected] A LAIN T ROUV E´ CMLA, ENS Cachan, FR [email protected] J EAN P HILIPPE V IAL Management Studies, Univ. Geneva, CH [email protected] CE´ DRIC V ILLANI UMPA, ENS Lyon, FR [email protected] E NRIQUE Z UAZUA Matemáticas, Univ. Autónoma Madrid, ES [email protected]

Directeurs de la collection :

G. ALLAIRE et M. BENAÏ M Instructions aux auteurs : Les textes ou projets peuvent eˆ tre soumis directement a` l’un des membres du comité de lecture avec ´ copie a` G. A LLAIRE OU M. BENAÏ M. Les manuscrits devront eˆ tre remis a` l’Editeur sous format LATEX2e (cf. ftp://ftp.springer.de/pub/tex/latex/svmonot1/).

Mourad Choulli

Une introduction aux problèmes inverses elliptiques et paraboliques

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Mourad Choulli Université Paul Verlaine-Metz Ile du Saulcy 57045 Metz cedex France [email protected]

ISSN 1154-483X ISBN 978-3-642-02459-7 e-ISBN 978-3-642-02460-3 DOI 10.1007/978-3-642-02460-3 Springer Dordrecht Heidelberg London New York Library of Congress Control Number: 2009929714 Mathematics Subject Classification (2000); 46E30, 46E35, 42B25, 35B45, 35B65, 35B50, 35J20, 35K65, 35J70, 35K55, 82D10, 35R30, 35J25, 35K20 © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009 Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 interdit les copies ou les reproductions destinées à une utilisation collective. Toute représentation, reproduction intégrale ou partielle faite par quelque procédé que ce soit, sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants cause, est illicite et constitue une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. Maquette de couverture: SPi Publisher Services Imprimé sur papier non acide Springer est membre du groupe Springer Science+BusinessMedia (www.springer.com)

A Sophie, Florent et Pierre

Avant-propos

Cet ouvrage est consacré à une introduction aux problèmes inverses elliptiques et paraboliques. L’analyse mathématique des problèmes inverses a connu un essor considérable ces dernières décennies par l’intérêt porté tant par les mathématiciens purs que par les mathématiciens appliqués à ces problèmes. Notre objectif est de présenter quelques méthodes récentes pour établir des résultats d’unicité et de stabilité. Notons que la stabilité est fondamentale pour la mise en place de méthodes numériques. En effet, la plupart des problèmes inverses sont mal posés au sens de Hadamard. Nous traiterons quelques problèmes inverses elliptiques, qui sont devenus maintenant classiques : conductivité inverse, détection de corrosion ou de fissures et problèmes spectraux inverses. Parmi les problèmes inverses paraboliques que nous considérerons figure le problème classique de retrouver une distribution initiale de la chaleur et la localisation de sources (de chaleur ou de pollution par exemple). Nous nous intéresserons aussi à l’identification de coefficients ou de nonlinéarités. Nous adressons cet ouvrage à tous ceux qui souhaitent s’intéresser à l’analyse mathématique des problèmes inverses.

Metz, mai 2009

Mourad Choulli

Introduction

Les problèmes inverses, parfois appelés problèmes d’identifiabilité, se rencontrent dans diverses disciplines et sont d’origines variées. Expliquons d’abord sur un exemple simple ce que peut être un problème inverse. Nous considérons une barre de fer rectangulaire que nous faisons chauffer à l’une de ces extrémités. La diffusion de la chaleur à l’intérieur de la barre est modélisée par un problème aux limites pour une équation de la chaleur. Le problème est alors le suivant : pouvons-nous déterminer le coefficient de diffusion en mesurant la température de la barre à l’autre extrémité ? Combien de mesures sont-elles nécessaires pour s’assurer que nous déterminons le coefficient de diffusion de manière unique ? Dans la pratique, nous souhaitons calculer ce coefficient. Pour ce faire, nous commen¸cons par remplacer le modèle continue par un modèle discret. Une difficulté peut alors apparaˆıtre a` ce moment là, puisque l’unicité du coefficient de diffusion à partir des mesures n’a aucune raison de subsister pour le modèle discret. Ceci est étroitement lié au problème de stabilité. C’est-à-dire comment pouvons nous contrôler les perturbations sur le coefficient de diffusion (dues au fait de remplacer le modèle continue par un modèle discret et aux erreurs de calculs) par les erreurs que faisons sur les mesures ? Nous donnons une formulation mathématique de ce problème. La barre de fer est représentée par un domaine Ω de R2 ou R3 . Un modèle possible pour la diffusion de la chaleur a` l’intérieur de Ω est le problème aux limites suivant ⎧ ∂t u − div(a(x)∇u) = 0, dans Ω × (0, T ), ⎪ ⎪ ⎨ u = 0, dans Ω × {0}, u = f, sur Γ1 × (0, T ), ⎪ ⎪ ⎩ ∂ν u = 0, sur Γ2 × (0, T ), o` u f représente la source de chaleur sur la partie Γ1 du bord de Ω, Γ2 est le reste du bord et a(x) est le coefficient du diffusion, supposé constant en fonction du temps. Pouvons-nous alors déterminer le coefficient a(x) à partir des mesures

X

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u = g,

M × (0, T ),

M étant une partie de Γ2 ? Pour ce problème, nous examinons d’abord l’unicité, ce qui correspond à l’injectivité de l’application qui a` a associe g. Nous nous intéressons ensuite a la stabilité. Plus précisément, nous souhaitons établir une estimation de la ` forme d1 (a1 , a2 ) ≤ ω(d2 (g1 , g2 )),

pour d1 (a1 , a2 ) voisin de zéro,

o` u ω est une fonction croissante, définie sur ]0, +∞[ et telle que ω(s) tend vers 0 quand s converge vers 0. Par d1 et d2 , nous désignons des distances définies respectivement sur l’ensemble des coefficients et l’ensemble des mesures. Notons que, dˆ u à l’effet régularisant des équations elliptiques et paraboliques, le module de continuité ω, ici et dans la quasi-totalité des autres cas, est un logarithme ou une puissance de celui-ci. Il existe des exemples o` u il a été démontré que c’est optimal. D’o` u la notion de problème mal-posé au sens de Hadamard. Pour cette raison, si nous souhaitons calculer a à partir de g, en minimisant par exemple une fonctionnelle de la forme J(a) = u − g2L2 (M×(0,T )) , nous devons utiliser une méthode de régularisation, de type de Tikhonov par exemple. Concernant les mesures, il y a plusieurs possibilités. Nous pouvons par exemple remplacer ce qui précède par u(·, ti ) = gi ,

sur M, 1 ≤ i ≤ N,

avec ti , 1 ≤ i ≤ N , des points de (0, T ). Nous pouvons aussi faire varier f . Nous nous donnons un ensemble J fini ou infini. Pour chaque fj , j ∈ J, nous avons une mesure gj . Dans ce cas le problème inverse consiste en la détermination de a ` a partir de l’application Λ : fj → gj . Dans l’exemple que nous venons d’évoquer, il s’agissait d’un problème inverse dans lequel nous essayons de déterminer un coefficient. Il existe aussi d’autres types de problèmes inverses, par exemple les problèmes inverses géométriques. Citons un exemple faisant partie d’une large gamme de problème de contrˆ ole non destructif. Nous considérons le problème d’identifier et de localiser la corrosion a` l’intérieur d’un pipeline. Ces contrôles sont très important par exemple en industrie pétrolière car ils permettent de prévenir des dégradations qui peuvent déboucher sur des incendies difficiles à maˆıtriser. Deux types d’inspection des pipelines sont possibles. Nous pouvons par exemple envoyer un courant électrique sur la partie extérieure du

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pipeline et mesurer ensuite le potentiel résultant sur cette même partie. En général, le potentiel est solution d’un problème aux limites pour l’équation ` partir des mesures, nous essayons de localiser la corrosion de Laplace. A et de déterminer son étendue. Les modèles mathématiques existant dans la littérature sont en dimension deux, ce qui correspond dans l’exemple présent a une section du pipeline. Le problème aux limites est posé sur un domaine ` dont une partie de sa frontière intérieure est inconnue (ce qui modélise la partie corrodée). Dans l’autre méthode d’inspection, nous procédons par imagerie thermique. Le problème aux limites est similaire, sauf que l’équation de Laplace est remplacée par l’équation de la chaleur. Pour l’un ou l’autre des modèles, le problème inverse consiste à déterminer la partie inconnue du bord du domaine à partir de mesures frontières. Là aussi, les questions centrales sont l’unicité et la stabilité. C’est-à-dire, est-ce que les mesures dont nous disposons sont suffisantes pour déterminer de manière unique la partie inconnue du bord du domaine ? Quelle distance choisissons-nous pour quantifier les perturbations du bord inconnu ? Peut-on contrˆ oler ces perturbations par les erreurs éventuelles sur les mesures ? La formulation de ce problème inverse est relativement simple. La section du pipeline est représentée par un domaine Ω de R2 , dont la frontière extérieure est notée Γ1 et la frontière intérieure Γ2 . La partie corrodée de Γ2 , inconnue, est notée γ. Si f est le courant électrique que nous appliquons sur Γ1 (en fait f est supportée sur une partie de Γ1 ) alors le potentiel électrique a l’intérieur de la section du pipeline est solution du problème aux limites ` ⎧ ⎨ Δu = 0, dans Ω, ∂ν u = f, sur Γ1 , ⎩ ∂ν u = 0, sur Γ2 . Nous considérons le problème de déterminer γ à partir de mesures sur une partie M de Γ1 : u = g, sur M. Pour la stabilité, il est usuel pour ce type de problème de munir l’ensemble des parties inconnues γ du bord par la distance de Hausdorff dH . Dans ce cas, nous avons des résultats de stabilité de type dH (γ1 , γ2 ) ≤ ω(d(g1 , g2 )),

pour dH (γ1 , γ2 ) assez petit,

pour une certaine distance d sur l’ensemble des mesures. Citons aussi un autre problème inverse géométrique très important. Il s’agit du problème de détection de mines antipersonnel. D’une manière générale, nous essayons de détecter un objet, ayant une conductivité différente du milieu qui l’entoure, par des mesures électriques. Le procédé est similaire a celui de la détection de la corrosion. Il consiste à appliquer un courant ` électrique sur la partie extérieure du milieu qui entoure l’objet recherché et mesurer ensuite le potentiel résultant sur cette même partie. Dans l’exemple

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présent, le potentiel est solution d’une équation elliptique sous forme divergentielle. Nous utilisons alors les mesures pour trouver la forme de l’objet et sa conductivité. Si D désigne l’objet inconnu que nous souhaitons détecter et si Ω est le milieu qui l’entoure, alors le potentiel à l’intérieur de Ω est solution du problème aux limites div[(a(x)χΩ\D + b(x)χD )∇u] = 0, dans Ω, ∂ν u = f, sur ∂Ω. Ici, χΩ\D , χD sont les fonctions caractéristiques respectives de Ω \ D et D ; a(x) et b(x) sont les coefficients de conductivité respectifs de Ω \ D et D. Nous nous intéressons alors a` la détermination de D et b à partir des mesures, o` u M est une partie du bord de Ω, u = g,

sur M.

Pour la stabilité, nous pouvons envisager, là encore, le cas o` u l’ensemble des sous-domaines inconnus est muni de la distance de Hausdorff. Il existe bien d’autres problèmes inverses géométriques. Par exemple, les problèmes de détection de fissures ou de cavités, pour ne citer que ces deux l` a. Un point qu’il est important de remarquer dès à présent. Les exemples de problèmes inverses que nous venons de voir sont non linéaires. En fait, hormis quelques cas particuliers, c’est le cas de tous les problèmes inverses, au moins ceux qui sont les plus intéressants à étudier. Il y a une classe de problèmes inverses de nature différente de ceux que nous avons présenté plus haut. Il s’agit des problèmes spectraux inverses. Le plus fameux d’entre eux concerne le problème de savoir si nous pouvons deviner la forme d’un tambour seulement en entendant les fréquences des vibrations qu’il peut produire : “can we hear the shape of a drum ?” Un autre problème spectral inverse consiste à se demander s’il est possible de déterminer la métrique d’une variété riemanienne sans bord à partir du spectre de l’opérateur de Laplace-Beltrami sur celle-ci. Nous citons aussi le problème classique concernant la reconstruction d’un opérateur de Schr¨ odinger Aq = −Δ + q, q étant un potentiel, a` partir de certaines de ces données spectrales. Ce problème en dimension un a été étudié de manière intensive à partir de 1920, surtout par l’école russe (nous pouvons citer les monographies de B. M. Levitan [Le] et V. A. Marchenko [March]). Sur le même sujet, le livre de J. P¨ oschel et E. Trubowitz [PT] est une exellente référence. Par contre, en dimension supérieure les progrès sont plus récents. Dans cet ouvrage nous présentons une sélection de problèmes inverses ellip` travers cette sélection, nous mettons en évidence un tiques et paraboliques. A large éventail de techniques d’analyse mathématique pour les équations aux

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dérivées partielles, utilisées pour établir des résultats d’unicité et de stabilité. Toutefois, le contenu reste purement introductif et loin de couvrir toutes les techniques possibles. Nous n’avons pas non plus chercher a` inclure les résultats les plus récents, nous avons préféré plutôt présenter de manière assez détaillée quelques résultats, qui sont maintenant devenus, pour la plupart, classiques. Cet ouvrage se compose de trois chapitres. Le premier rassemble l’essentiel des résultats concernant les espaces fonctionnels et les résultats d’existence et de régularité pour les équations elliptiques et paraboliques dont nous aurons besoin tout au long du reste de l’ouvrage. Les énoncés des résultats qui ne seront utilisés que ponctuellement seront rappelés au moment approprié dans les deux autres chapitres. Le but de ce premier chapitre et de donner des définitions et des énoncés précis des théorèmes que nous utiliserons dans la suite, afin d’éviter des renvois permanents à d’autres ouvrages. Le second chapitre sera consacré aux problèmes inverses elliptiques. Nous débutons par une construction de solutions “optique géométrique”. Nous avons gardé l’appellation “optique géométrique”, qui est celle utilisée dans la littérature. Pour nous ¸ca sera tout simplement des solutions particulières et, pour la clarté de l’exposé, nous ne donnerons pas le lien avec l’optique géométrique. Le lecteur intéressé pourra se faire une idée de l’ “optique géométrique” en se référant par exemple a` Taylor [Ta]. Ces solutions “optique géométrique” sont alors utilisées pour démontrer la densité des produits de solutions des équations de Schr¨ odinger. Le résultat de densité permet de déduire d’une fa¸con assez simple que nous pouvons déterminer de manière unique le potentiel dans une équation de Schrödinger a` partir de l’opérateur dit de Dirichlet-Neumann (DN en abrégé) (ou Steklov-Poincaré). Un résultat de stabilité pour ce problème inverse se démontre aussi en utilisant les solutions “optique géométrique”. Tout ceci fait partie du premier paragraphe, qui contient en plus deux autres méthodes de construction des solutions “optique géométrique”. L’une que nous pouvons qualifier de directe et l’autre est fondée sur une inégalité de Carleman globale. Les inégalités de Carleman sont, selon les points de vues, des inégalités d’énergie ou des estimations a priori dans des ` notre connaissance, les inégalités de Carlemen gloespaces Lp avec poids. A bales sont très récentes et ont été introduites la première fois par Fursikov et Imanuvilov pour étudier la contrˆ olabilité de certaines équations d’évolution. Par contre, les inégalités de Carleman locales sont, elles, beaucoup plus anciennes. Elles ont été inventées pour démontrer des résultats de prolongement unique. Le second paragraphe du second chapitre est dédié à un problème spectral inverse. Nous étudions une généralisation au cas multidimensionnel d’un résultat en dimension un assez ancien, dˆ u a` Borg et Lenvinson. Sans être vraiment très précis, il s’agit du problème de savoir si nous pouvons reconstruire un opérateur de Schr¨ odinger-Dirichlet (ou Schr¨ odinger-Neumann) sur un domaine borné, à partir de ses valeurs propres et les traces de ses fonctions propres (ceci n’est pas en fait tout a` fait correct puisque, contrairement

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a` la dimension un, les valeurs propres sont multiples). Pour l’unicité, nous nous ramenons au problème de déterminer un potentiel dans un opérateur de Schr¨ odinger a` partir d’une famille d’opérateurs DN. Nous montrons aussi un résultat de stabilité, en ramenant celui-ci à un problème de stabilité pour un problème inverse pour l’équation des ondes, dont la démontration est fondée sur l’utilisation de solutions particulières, dites “beam solutions” pour l’équation des ondes avec potentiel et les propriétés de la transformée rayon X. Le résultat de stabilité que nous avons trouvé dans la littérature faisait intervenir de manière explicite uniquement un nombre fini de valeurs propres et les traces des fonctions propres correspondantes, l’autre partie est contenue dans un reste. Un tel énoncé n’est pas très intéressant puisqu’en dernière partie de ce paragraphe nous montrons qu’en fait la version multidimensionnelle du théorème de Borg-Levinson est encore vraie en se donnant uniquement les valeurs propres et les traces des fonctions propres à partir de n’importe quel rang (c’est-à-dire les propriétés asymptotiques des valeurs propres et les traces des fonctions propres sont suffisantes pour reconstuire l’opérateur considéré). La version que nous donnons fait intervenir la totalité des valeurs propres et les traces des fonctions propres. Il suffisait en fait d’utiliser des topologies adéquates qui, d’ailleurs, apparaˆıssent naturellement. Pour établir l’extension de la version multidimensionnelle du théorème de Borg-Levinson, nous avons utilisé la méthode dite “born approximation” provenant des techniques de “scattering” inverse. Dans le troisième paragraphe du chapitre 2, nous construisons des solutions singulières locales pour des opérateurs elliptiques sous forme divergentielle. Ses solutions ont des singularités de type une puissance de l’inverse de la distance ` a un point donné, ce qui est assez naturel pour des équations elliptiques. A ` quoi serviront ces solutions singulières ? Pour répondre a` cette question, nous remarquons que l’idée de départ est très simple. Pour étudier le problème de conductivité inverse, nous commen¸cons par appliquer la formule de Green aux différences de solutions de deux problèmes, chacun avec une conductivité différente. Après quelques “manipulations” élémentaires, nous débouchons sur une relation d’othogonalité. Dans celle-ci, nous notons que si nous avions des solutions ayant une certaine singularité, alors nous pourrions tirer de cette relation d’orthogonalité des résultats d’unicité et de stabilité de la conductivité ` la fin de au bord. D’ailleurs, c’est ce que nous faisons dans ce paragraphe. A celui-ci, nous donnons aussi une alternative aux solutions singulières. Elle consiste à exhiber des fonctions test particulières qui ont, en quelque sorte, un comportement locale proche d’une version intégrée du comportement des solutions singulières au voisinage de la singularité. Pour le problème de la détection de la corrosion, sous certaines conditions, nous pouvons nous ramener à un problème inverse pour un coefficient frontière. Dans le quatrième paragraphe du chapitre 2, nous démontrons quelques résultats de stabilité logarithmique pour ce problème, à partir d’une seule mesure répartie sur une partie du bord. Dans le cas d’un domaine

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rectangulaire ou une couronne, les résultats se démontrent très simplement “à la main” par une analyse de Fourier. Le résultat que nous démontrons dans le cas d’un domaine régulier quelconque est, quant a` lui, fondé sur une inégalité de Carleman. Le cinquième paragraphe du chapitre 2 est consacré à deux problèmes inverses géométriques, l’un concernant un problème de conductivité inverse et l’autre provient de l’étude de la résistance du contact entre le métal et le semi-conducteur dans un matériau semi-conducteur. En nous fondant sur des techniques de dérivation par rapport au domaine, empruntées à l’optimisation de formes, nous démontrons des résultats de stabilité lipschitzienne pour ces deux problèmes dans le cas o` u l’ensemble des sous-domaines inconnus est donné par une famille à un paramètre. Dans le sixième et dernier paragraphe du chapitre 2, nous étudions un problème inverse pour la détection de fissures dans le cas d’une équation elliptique sous forme divergentielle. Nous utilisons des outils “sophistiqués” fondés sur l’analyse complexe dans le plan (généralisation de la fonction conjuguée, transformation quasi-conforme, point critiques géométiques, . . . etc), notamment le comportement des solutions au voisinage des points critiques géométriques, pour établir un résultat de stabilité logarithmique pour le problème de déterminer des fissures régulières à partir d’une mesure frontière. Dans le cas de fissures irrégulières, en utilisant la notion de point conductif et des résultats de convergence “par rapport au domaine” de solutions de problèmes elliptiques posés sur des domaines non réguliers, nous montrons un résultat d’unicité dans le cas o` u l’opérateur elliptique est réduit au laplacien. Le chapitre trois est, quant à lui, consacré aux problèmes inverses paraboliques. Nous commen¸cons dans un premier paragraphe par démontrer un résultat d’existence pour un problème consistant en la détermination du coefficient du plus bas degré dans une équation parabolique linéaire a` partir de la mesure au temps final. Nous démontrons ensuite un résultat d’unicité pour la détermination du terme non linéaire dans une équation parabolique semi-linéaire à partir d’une mesure frontière. Pour établir ces deux résultats, nous avons utilisés des arguments fondés essentiellement sur le principe du maximum. Le second paragraphe de ce troisième chapitre est dédié à des problèmes inverses paraboliques dont nous montrons la stabilité par des méthodes utilisant des inégalités de Carleman globales. Ces inégalités se montrent directement, tout simplement en utilisant des intégrations par parties et quelques “manipulations”, pas trop “sophistiquées”. Un point délicat que nous n’avons pas traité ici est la preuve de l’existence de la fonction poids que nous utilisons, qui doit posséder certaines propriétés particulières. Dans le troisième paragraphe du chapitre trois, nous étudions un problème inverse dans lequel nous essayons de déterminer une source singulière apparaˆıssant dans une équation parabolique a` partir d’une mesure frontière.

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Nous montrons des résultats l’unicité par une méthode directe utilisant l’unicité du prolongement, des solutions particulières de l’équation de Helmholtz et le théorème de M¨ untz. Nous considérons le problème de déterminer la condition initiale dans une équation parabolique au paragraphe quatre du chapitre trois. Grˆ ace à la transformation de Reznitskaya, nous nous ramenons a` un problème inverse pour l’équation des ondes pour lequel nous avons un résultat de stabilité lipschitzienne. De retour au problème de départ, nous remarquons qu’une réécriture de la transformation de Reznitskaya dans de nouvelles variables permet de ramener celle-ci à une transformée de Laplace, ce qui permet d’exhiber une norme pour la mesure frontière, construite sur celle d’un espace de BergmanSelberg. Pour cette norme, le résultat de stabilité est lipschitzien. Le paragraphe cinq du chapitre trois est consacré à la détermination du terme de plus bas degré dans une équation parabolique a` partir de la trace, en un temps donné, de l’opérateur DN parabolique. Le développement de la solution de notre équation parabolique dans la base des fonctions propres de l’opérateur de Schr¨ odinger associé à notre équation permet, grˆ ace à un lemme algébrique, de se ramener à l’unicité d’une série de Dirichlet. Dans ce cas notre problème original devient alors équivalent a` un problème spectral inverse, dont nous avons montré l’unicité par la version multidimensionnelle du théorème de Borg-Levinson. Au paragraphe six du chapitre trois, nous construisons avec les même outils qu’au premier paragraphe du chapitre 2 des solutions “optique géométrique”. En suivant les grandes lignes du premier paragraphe du chapitre deux, nous démontrons des résultats d’unicité et de stabilité pour le problème qui consiste a déterminer le terme de plus bas degré à partir d’un opérateur DN. ` Dans le septième et dernier paragraphe du chapitre trois, nous reprenons le problème du premier paragraphe concernant la détermination du terme non linéaire dans une équation parabolique semi-linéaire a` partir d’une mesure frontière. Nous montrons un résultat de stabilité pour celui-ci. Nous écrivons la différence de deux solutions, chacune correspondante a` une non linéarité, en terme de la solution fondamentale de l’équation de la chaleur pour des conditions au bord de Neumann. Le point important dans notre démonstration réside dans une minoration de cette solution fondamentale. Cette minoration résulte en fait, par un principe de comparaison, d’un résultat intéressant en lui même, qui concerne l’établissement d’une minoration gaussienne pour le noyau de la chaleur associé au laplacien-Neumann sur un domaine régulier.

Table des mati` eres

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Rappels et compl´ ements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Espaces Lp et espaces de Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Espaces Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Espaces Lp (a, b; X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Les espaces de Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Ouverts réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Quelques éléments de la théorie des distributions . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Les espaces H s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Les espaces W m,p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Les espaces H k (a, b; X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Quelques formules d’intégration par parties . . . . . . . . . . . 1.3.5 Espaces de type HΔ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.6 Inégalités de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.7 Dérivation tangentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Equations elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Régularité elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Problème de transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Principe du maximum pour les solutions classiques . . . . 1.4.4 Principe du maximum et inégalité de Harnack pour les solutions variationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.5 Unicité du prolongement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.6 Fonctions harmoniques sphériques et fonctions de Gegenbauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Equations paraboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Régularité parabolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 1 2 3 4 5 5 6 7 9 9 11 13 14 14 15 16 17 17 19 20 21 22 23 24 24 28

XVIII Table des matières

1.5.3 Unicité du prolongement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.4 Un petit aper¸cu de la théorie des semi-groupes . . . . . . . . 30 2

Probl` emes inverses elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1 Détermination d’un potentiel dans l’équation de Schrödinger : construction de solutions “optique géométrique” . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.1 Solutions “optique géométrique” et densité des produits de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.2 Détermination du potentiel a` partir de l’opérateur DN . 42 2.1.3 Détermination du potentiel a` partir d’un opérateur DN partiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.1.4 Une méthode directe de construction de solutions “optique géométrique” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.1.5 Construction de solutions “optique géométrique” a` l’aide d’une inégalité de Carleman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.2 Un problème spectral inverse : un théorème de Borg-Levinson multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.2.1 Unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.2.2 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.2.3 Retour sur la stabilité du problème hyperbolique . . . . . . 74 2.2.4 Une extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.3 Détermination de la conductivité à la frontière : une méthode de solutions singulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2.3.1 Construction de solutions singulières . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2.3.2 Stabilité dans le détermination de la conductivité à la frontière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.3.3 Une alternative aux solutions singulières . . . . . . . . . . . . . . 97 2.4 Détermination d’un coefficient frontière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 2.4.1 Cas o` u le domaine est une couronne : une méthode de décomposition en série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 2.4.2 Cas d’un domaine rectangulaire : méthode fondée sur la transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 2.4.3 Cas d’un domaine quelconque régulier : une méthode d’inégalité de Carleman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 2.5 Stabilité pour deux problèmes inverses géométriques : méthode utilisant la dérivation par rapport au domaine . . . . . . 124 2.5.1 Identification d’un sous-domaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 2.5.2 Un problème de conductivité inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 2.6 Détection de fissures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 2.6.1 Applications quasi-conformes, fonctions courant et points critiques géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 2.6.2 Stabilité de la détermination d’une fissure régulière . . . . 142 2.6.3 Points conductifs et points de capacité . . . . . . . . . . . . . . . 152 2.6.4 Unicité de la détermination de fissures irrégulières . . . . . 153

Table des matières

3

XIX

Probl` emes inverses paraboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 3.1 Identification d’un coefficient ou d’une nonlinéarité : méthodes fondées sur le principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . 159 3.1.1 Identification d’un coefficient : existence . . . . . . . . . . . . . . 159 3.1.2 Unicité de la détermination d’un terme nonlinéaire . . . . 161 3.2 Détermination d’un coefficient ou d’une source : méthode d’inégalités de Carleman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 3.2.1 Inégalité de Carleman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 3.2.2 Inégalité d’observabilité pour l’équation de la chaleur . . 169 3.2.3 Stabilité de la détermination d’un terme source . . . . . . . 170 3.2.4 Stabilité de la détermination d’un coefficient . . . . . . . . . . 174 3.3 Détermination d’une source singulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 3.4 Stabilité de la détermination d’une distribution initiale de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 3.5 Une conséquence de la version n-dimensionnelle du théorème de Borg-Levinson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 3.6 Détermination d’un coefficient dépendant du temps : méthode fondée sur les solutions “optique géométrique” . . . . . . 192 3.6.1 Solutions “optique géométrique” et densité des produits de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 3.6.2 Un résultat d’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 3.6.3 Un résultat de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 3.7 Stabilité de la détermination d’un terme semilinéaire . . . . . . . . . 203 3.7.1 Minoration gaussienne pour la solution fondamentale . . 204 3.7.2 Démonstration des Théorèmes 3.33 et 3.34 . . . . . . . . . . . . 211

Litt´ erature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

Notations

∂i u

dérivée partielle de u par rapport a` la variable xi

2 ∂ij u

dérivée partielle seconde de u par rapport aux variables xi et xj

∇u = (∂1 u, . . . , ∂n u) gradient de u divP = ni=1 ∂i Pi divergence de P = (P1 , . . . , Pn ) J P = (∂i Pj ) matrice jacobienne de P = (P1 , . . . , Pn ) n Δu = i=1 ∂ii2 u laplacien de u 2 u) Hu = (∂ij

∇τ u divτ P Δτ u

matrice hessienne de u

gradient tangentiel de u divergence tangentiel de P l’opérateur de Laplace-Beltrami appliqué à u

∂ u = ∂1α1 . . . ∂nαn u α

ν

pour α = (α1 , . . . αn ) ∈ Nn

vecteur normale unitaire sortant

∂ν u

dérivée de u dans la direction de ν n |α| = i=1 αi si α = (α1 , . . . αn ) ∈ Nn |E|

mesure de Lebesgue de l’ensemble E n ξ · η = i=1 ξi ηi si ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ Cn et η = (η1 , . . . , ηn ) ∈ Cn n 1 |ξ| = ( i=1 |ξi |2 ) 2 si ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ Cn ξ α = ξ1α1 . . . ξnαn

si ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ Cn et α = (α1 , . . . αn ) ∈ Nn

α! = α1 ! . . . αn !

si α = (α1 , . . . αn ) ∈ Nn

· X

norme de l’espace de Banach X

·, · X ,X crochet de dualité entre l’espace de Banach X et son dual X

1 Rappels et compl´ ements

Dans ce premier chapitre nous regroupons les propriétés principales des espaces fonctionnels que nous utiliserons et quelques résultats classiques (surtout de régularité) concernant les équations elliptiques et paraboliques. Nous donnons aussi un aper¸cu concis sur les distributions et la théorie des semigroupes.

1.1 Espaces Lp et espaces de H¨ older 1.1.1 Espaces Lp (Ω) Soit Ω un ouvert de Rn . Nous rappelons que L1 (Ω) désigne l’espace (des classes d’équivalences) de fonctions intégrables au sens de Lebesgue. C’est-àdire, comme nous le faisons habituellement, nous confondons deux fonctions qui co¨ıncident presque partout (p.p. en abrégé). Pour f ∈ L1 (Ω), nous notons

f L1 (Ω) =

|f (x)|dx. Ω

Lorsqu’il n’y aura aucune confusion, nous écrirons

Ω

|f | au lieu de

Ω

|f (x)|dx.

Nous rappelons aussi que L (Ω), 1 ≤ p < ∞, est l’espace p

Lp (Ω) = {f : Ω → R; f mesurable et |f |p ∈ L1 (Ω)}, et que L∞ (Ω) = {f : Ω → R; f mesurable et il existe C > 0 telle que |f | ≤ C p.p. sur Ω}. Avec les notations f Lp(Ω)

1 = ( |f |p ) p , si 1 ≤ p < ∞, Ω

M. Choulli, Une Introduction aux Probl` emes Invereses Elliptiques et Paraboliques, Math´ ematiques et Applications 65. DOI: 10.1007/978-3-642-02460-3 1, c Springer -Verlag Berlin Heidelberg 2009

2

1 Rappels et compléments

et f L∞ (Ω) = inf{C; |f | ≤ C p.p. sur Ω}, il est bien connu que Lp (Ω) est un espace de Banach pour la norme · p , pour tout p, 1 ≤ p ≤ ∞. Pour 1 < p < ∞, nous notons p l’exposant conjugué de p, c’est-à-dire 1 1 + = 1, p p et pour p = 1, nous posons p = ∞. Th´ eor` eme 1.1. (Inégalité de H¨ older) Soit 1 ≤ p ≤ ∞. Si f ∈ Lp (Ω) et p 1 g ∈ L (Ω) alors f g ∈ L (Ω) et f gL1(Ω) ≤ f Lp(Ω) gLp (Ω) . Lorsque Ω est borné, si f ∈ Lp (Ω), 1 ≤ p ≤ ∞, alors, pour 1 ≤ q ≤ p, l’inégalité de Hölder nous donne 1 1 |f |q ≤ ( |f |qr |) r ( 1) r , Ω

Ω

Ω

o` u r = pq . Nous en déduisons le Corollaire 1.2. Si Ω est borné et si 1 ≤ q ≤ p, alors Lp (Ω) ⊂ Lq (Ω) et 1

1

f Lq (Ω) ≤ |Ω| q − p f Lp(Ω) . Les preuves des résultats de ce sous-paragraphe se trouvent dans n’importe quel ouvrage traitant de l’intégration au sens de Lebesgue (voir par exemple P. Malliavin [Mal] ou W. Rudin [Ru]). 1.1.2 Espaces Lp (a, b; X) Nous donnons une brève introduction de l’intégrabilité au sens de Bochner des fonctions, définies sur un intervalle, a` valeurs vectorielles. Pour une étude complète et détaillée, nous renvoyons le lecteur à J. Diestel et J. J. Uhl Jr. [DU]. Soient X un espace de Banach et −∞ < a < b < +∞. Une fonction f : [a, b] → X est dite simple s’il existe E1 , . . . , Em des ensembles mesurables de [a, b] et x1 , . . . , xm ∈ X tels que f (t) =

m

i=1

χEi (t)xi .

1.1 Espaces Lp et espaces de H¨ older

3

Nous dirons que f : [a, b] → X est mesurable s’il existe une suite de fonctions simples (fk ), fk : [a, b] → X, telle que fk → f p.p. sur [a, b]. Une fonction f : [a, b] → X mesurable est dite intégrable (au sens de Bochner) s’il existe une suite de fonctions simples (fk ), fk : [a, b] → X, telle que

b

f − fk X = 0.

lim k

Dans ce cas,

b a

a

f (t)dt est défini par

b

f (t)dt = lim k

a

o` u

b a

b

fk (t)dt, a

fk (t)dt est défini de manière naturelle.

Th´ eor` eme 1.3. (Bochner) f : [a, b] → X mesurable est intégrable si et seulement si f X ∈ L1 (a, b). Pour 1 ≤ p ≤ ∞, nous posons Lp (a, b; X) = {f : [a, b] → X intégrable telle que f X ∈ Lp (a, b)}. Comme dans le cas scalaire, nous ne faisons pas la distinction entre deux fonctions égales presque partout. Muni de la norme f Lp(a,b;X) =

a

b

f pX

p1

si p < ∞

et f L∞(a,b;X) = inf{C; f (t)X ≤ C p.p. sur [a, b]} si p = ∞, Lp (a, b; X) est un espace de Banach. 1.1.3 Les espaces de H¨ older Soit Ω un ouvert borné de Rn . Pour 0 < α < 1, nous dirons que f ∈ C 0 (Ω) est hölderienne d’exposant α si [f ]α = sup{ Nous notons alors

|f (x) − f (y)| ; x, y ∈ Ω, x = y} < ∞. |x − y|α

4


C α (Ω) = {f ∈ C 0 (Ω); [f ]α < ∞}, que nous munissons de la norme f C α (Ω) = f C 0 (Ω) + [f ]α . Plus généralement, pour tout k ≥ 0 entier, nous définissons l’espace C k,α (Ω) par C k,α (Ω) = {f ∈ C k (Ω); ∂ β f ∈ C α (Ω), β ∈ Nn , |β| = k}. Cet espace, muni de la norme

f C k,α (Ω) =

∂ β f C 0 (Ω) +

β∈Nn , |β|≤k

[∂ β f ]α ,

β∈Nn , |β|=k

est un Banach. α

Si T > 0 est un réel donné et Q = Ω × (0, T ), C α, 2 (Q) désignera l’espace des fonctions f ∈ C 0 (Q) telles que [f ]α, α2 = sup{

|f (x, t) − f (y, s)| α ; (x, t), (y, s) ∈ Q, (x, t) = (y, s)} < ∞, [|x − y|2 + |t − s|] 2

et pour k ≥ 0 entier, nous posons α

α

C 2k+α,k+ 2 (Q)={f ∈C 2k,k (Q); ∂ β ∂tγ f ∈ C α, 2 (Q), (β, γ)∈ Nn ×N, |β|+2γ= 2k}. α

C 2k+α,k+ 2 (Q) est un espace de Banach lorsque nous le munissons de la norme

f C α, α2 (Q) = ∂xβ ∂tγ f C 0 (Q) (β,γ)∈Nn ×N, |β|+2γ≤2k

+

(β,γ)∈Nn ×N,

[∂xβ ∂tγ f ]α, α2 .

|β|+2γ=2k

Une étude approfondie des espaces C α (Ω) est faite dans le D. Gilbarg α et N. S. Trudinger [GT], et celle des espaces C 2k+α,k+ 2 (Q) dans le O. A. Ladyzhenskaja, V. A. Solonnikov et N. N. Ural’tzeva [LSU]. 1.1.4 Ouverts r´ eguliers Soit Ω un ouvert borné de Rn de frontière Γ . Nous dirons que Ω est de classe C ∞ si Γ est une variété indéfiniment différentiable de dimension (n−1), Ω étant localement d’un seul cˆ oté de Γ . En d’autres termes, Ω est une variété a bord de classe C ∞ , de bord Γ . Nous introduisons les notations ` Q = {y = (y , yn ) ∈ Rn−1 × R; |y | < 1, −1 < yn < 1}, Q+ = {y = (y , yn ) ∈ Q; yn > 0}, Q0 = {y = (y , yn ) ∈ Q; yn = 0}.

1.2 Quelques éléments de la théorie des distributions

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Notons que, d’après la définition, si Ω est de classe C ∞ alors nous pouvons trouver O1 , . . . Ok une famille finie d’ouverts bornés de Rn recouvrant Γ , telle que, pour chaque j, il existe ϕj un C ∞ -difféomorphisme de Oj sur Q vérifiant ϕj (Oj ∩ Ω) = Q+ et ϕj (Oj ∩ Γ ) = Q0 . De plus, si Oj ∩ Oi = ∅, il existe un homéomorphisme Hij de ϕi (Oi ∩ Oj ) sur ϕj (Oi ∩ Oj ), de classe C ∞ et a` jacobien positif, tel que ϕj = Hij ◦ ϕi sur Oi ∩ Oj . Si dans la définition ci-dessus nous rempla¸cons ϕj est un C ∞ -difféomorphisme de Oj sur Q par ϕj est une bijection de Oj sur Q telle que ϕj et ϕ−1 j sont lipschitziennes, pour tout j, alors Ω sera dit un ouvert lipschitzien. En modifiant la régularité des fonctions ϕj , nous devinons aisément comment définir d’autres types de régularité de l’ouvert Ω : C k , C k,α , k entier et 0 < α < 1, etc.

1.2 Quelques ´ el´ ements de la th´ eorie des distributions 1.2.1 D´ efinitions Soit Ω un ouvert de Rn . Pour K ⊂ Ω compact, nous posons DK (Ω) = {ϕ ∈ C ∞ (Ω); supp(ϕ) ⊂ K}. DK (Ω) est un espace de Fréchet quand il est muni de la topologie définie par la famille de semi-normes pK,m (ϕ) =

sup |α|≤m, x∈K

|∂ α ϕ(x)|.

Soit D(Ω) = ∪DK (Ω), la réunion étant sur la collection de tous les compacts K de Ω. Nous notons que D(Ω) n’est rien d’autres que l’espace des fonctions de C ∞ (Ω) qui sont a` support compact. Même si nous ne l’utiliserons pas, la topologie habituelle sur D(Ω) est celle qui en fait une limite inductive des espaces de Fréchet DK (Ω). Un résultat très important dans les applications est le Th´ eor` eme 1.4. D(Ω) est dense dans Lp (Ω). Nous considérons maintenant D (Ω), le dual topologique de D(Ω). C’esta-dire l’espace des formes linéaires continues sur D(Ω). ` Voici un critère simple qui permet de vérifier si une forme linéaire sur D(Ω) est continue.

6


Proposition 1.5. Une forme linéaire u sur D(Ω) est dans D (Ω) si et seulement si, pour tout K ⊂ Ω compact, il existe une constante positive C et un entier positif k tels que |u(ϕ)| ≤ C

sup |α|≤k, x∈K

|∂ α ϕ(x)|, ϕ ∈ DK (Ω).

Si u ∈ D (Ω), nous définissons ∂ α u, α ∈ Nn , par ∂ α u(ϕ) = (−1)|α| u(∂ α ϕ) ϕ ∈ D(Ω). Vu la proposition précédente, il est clair que ∂ α u ∈ D (Ω). Soit ω un sous-ouvert de Ω. La restriction de u ∈ D (Ω) à ω, notée u|ω , est l’élément de D (ω) donné par ˜ ϕ ∈ D(ω), u|ω (ϕ) = u(ϕ), o` u ϕ˜ est le prolongement de ϕ par 0 sur Ω\ω. Ceci nous permet de définir le support de u ∈ D (Ω), noté supp(u), comme étant le complémentaire du plus grand ouvert sur lequel u est nulle. Le plus souvent C ∞ (Ω) est noté E(Ω). Nous rappelons que E(Ω) est un espace de Fréchet lorsque nous le munissons de la topologie définie par la famille de semi-normes ϕm,K =

sup |α|≤m, x∈K

|∂ α ϕ(x)|,

o` u m parcourt N et K parcourt une famille dénombrable de compacts croissants dont la réunion est égale a` Ω. Nous pouvons montrer que E (Ω), le dual topologique de E(Ω), s’identifie au sous-espace des distributions de E (Rn ) qui sont a` support compact dans Ω. Terminons ce sous-paragraphe par remarquer que l’espace D(Ω) permet de définir des espaces locaux : si X(Ω) est un Banach de fonctions définies sur Ω, nous posons Xloc (Ω) = {f ; ϕf ∈ X(Ω), ϕ ∈ D(Ω)}. 1.2.2 Produit de convolution Pour k ≥ 0 entier, l’espace des fonctions de C k (Rn ) à support compact est noté Cck (Rn ). Le produit de convolution d’une fonction f ∈ Cc0 (Rn ) et g ∈ L1loc (Rn ) est donné par f (x − y)g(y)dy. (f ∗ g)(x) = Rn

Un résultat classique concernant l’effet régularisant du produit de convolution est

1.2 Quelques éléments de la théorie des distributions

7

Th´ eor` eme 1.6. Soient f ∈ Cck (Rn ) et g ∈ L1loc (Rn ). Alors f ∗ g ∈ C k (Rn ) et ∂ α (f ∗ g) = ∂ α f ∗ g, α ∈ Nn , |α| ≤ k. Si de plus g ∈ C l (Rn ), alors f ∗ g ∈ C k+l (Rn ) et ∂ α+β (f ∗ g) = ∂ α f ∗ ∂ β g, α, β ∈ Nn , |α| ≤ k et |β| ≤ l. Une extension naturelle du produit de convolution de deux fonctions est le produit de convolution entre une distribution et une fonction. Cette extension consiste à définir u ∗ ϕ, u ∈ D (Rn ) et ϕ ∈ D(Rn ), de la manière suivante : (u ∗ ϕ)(x) = u(ϕ(x − ·)). Nous montrons que u ∗ ϕ ∈ C ∞ (Rn ) et ∂ α (u ∗ ϕ) = ∂ α u ∗ ϕ = u ∗ ∂ α ϕ, α ∈ Nn . Si de plus u ∈ E (Rn ), alors u ∗ ϕ ∈ D(Rn ). Ceci suggère la possibilité de définir le produit de convolution entre deux distributions dont l’une est à support compact par (u ∗ v) ∗ ϕ = u ∗ (v ∗ ϕ), ϕ ∈ D(Rn ). En effet, cette relation définie bien un unique élément u ∗ v de D (Rn ) comme le montre le Th´ eor` eme 1.7. Soient u ∈ D (Rn ) et v ∈ E (Rn ). Alors il existe un unique élément de D (Rn ), noté u ∗ v tel que (u ∗ v) ∗ ϕ = u ∗ (v ∗ ϕ), ϕ ∈ D(Rn ). 1.2.3 Transform´ ee de Fourier Nous rappelons que la transformée de Fourier d’une fonction f ∈ L1 (Rn ) est donnée par F f (ξ) = e−ix·ξ f (x)dx, ξ ∈ Rn . Rn

a décroissance rapide a` l’infini. C’estSoit S(R ) l’espace des fonctions C ∞ ` a-dire ` n

S(Rn ) = {ϕ ∈ C ∞ (Rn );

lim

|x|→+∞

xα ∂ β ϕ(x) = 0, α, β ∈ Nn }.

La topologie de S(Rn ) peut-être définie par la suite dénombrable de seminormes dαβ (ϕ) = sup |xα ∂ β ϕ(x)|, α, β ∈ Nn x∈Rn

8


qui en fait un espace métrisable complet. Si

aαβ = 1 α, β∈Nn

alors la métrique d(ϕ, ψ) =

aαβ

α, β∈Nn

dαβ (ϕ − ψ) 1 + dαβ (ϕ − ψ)

induit sur S(Rn ) une topologie équivalente a` celle définie par la famille de semi-normes (dαβ ). Dans le reste de ce paragraphe, nous utiliserons l’opérateur de dérivation Dj = −i∂j . L’espace S(Rn ) est bien adapté pour la transformée de Fourier. En effet, nous avons le Th´ eor` eme 1.8. L’opérateur ϕ → F ϕ est un isomorphisme de S(Rn ) sur n S(R ) qui vérifie F (Dj ϕ) = ξj F ϕ et F (xj ϕ) = −Dj F ϕ et nous avons la formule d’inversion F 2 ϕ = (2π)n ϕ, ˇ o` u ϕ(·) ˇ = ϕ(−·). D’autre part, il n’est pas difficile de montrer la Proposition 1.9. Soient ϕ, ψ ∈ S(Rn ). Alors F ϕψ = ϕF ψ, Rn

Rn

ϕψ = (2π)−n

Rn

Rn

F ϕF ψ,

F (ϕ ∗ ψ) = F ϕF ψ, F (ϕψ) = (2π)−n F ϕ ∗ F ψ. Puisque ϕ → F ϕ est un isomorphisme sur S(Rn ), nous pouvons donc l’étendre a` S (Rn ). Si u ∈ S (Rn ), nous définissons F u comme étant l’unique élément de S (Rn ) qui vérifie F u(ϕ) = u(F ϕ), ϕ ∈ S(Rn ).

1.3 Espaces de Sobolev

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Nous définissons aussi u ˇ ∈ S (Rn ) comme l’unique élément de S (Rn ) tel que u ˇ(ϕ) = u(ϕ), ˇ ϕ ∈ S(Rn ). Le résultat que nous énon¸cons découle du Théorème 1.6. Th´ eor` eme 1.10. La transformée de Fourier est un isomorphisme sur S (Rn ) muni de sa topologie pré-faible. De plus, nous avons la formule d’inversion F 2 u = (2π)n u ˇ, u ∈ S (Rn ). Comme conséquence des Théorèmes 1.6 et 1.7, nous avons Th´ eor` eme 1.11. f ∈ S(Rn ) → F f ∈ S(Rn ) se prolonge en un isomorphisme 2 sur L (Rn ). De plus, nous avons la formule de Parseval : f g = (2π)−n F f F g, f, g ∈ L2 (Rn ). Rn

Rn

Comme dans S(Rn ), la transformée de Fourier sur S (Rn ) transforme le produit de convolution en produit de fonctions et inversement. Plus précisément, nous avons le Th´ eor` eme 1.12. (a) Si u ∈ E (Rn ) et v ∈ S (Rn ) alors u ∗ v ∈ S (Rn ) et F (u ∗ v) = F uF v. (b) Si ϕ ∈ D(Rn ) et u ∈ S (Rn ) alors F (ϕu) = (2π)−n F ϕ ∗ F u Nous remarquons que si u ∈ E (Rn ) alors F u peut-être définie par Fu(ξ) = u(e ) et que F u s’étend en une fonction entière sur Cn . En particulier, F δ = 1, δ étant la masse de Dirac en 0. Ceci et les formules du théorème précédent permettent d’établir ix·ξ

F(Dj u) = ξj F u et F (xj u) = −Dj F u, u ∈ S (Rn ). Pour faire ce paragraphe, nous nous sommes basé sur L. Hörmander [Hor1] (voir aussi L. Schwartz [Sc1] pour une étude complète et détaillée de la théorie des distributions).

1.3 Espaces de Sobolev 1.3.1 Les espaces H s Pour s ∈ R, nous posons

10


H s (Rn ) = {u ∈ S (Rn ); (1 + |ξ|2 ) 2 F u ∈ L2 (Rn )}. s

Nous pouvons vérifier que H s (Rn ) est un espace de Hilbert lorsqu’il est muni du produit scalaire s n (u, v)H (R ) = (1 + |ξ|2 )s F u(ξ)F v(ξ)dξ. Rn

Les principales propriétés des espaces H s (Rn ) sont collectées dans le ument dans H t (Rn ) si s ≥ t. Th´ eor` eme 1.13. (i) H s (Rn ) s’injecte continˆ (ii) D(Rn ) est dense dans H s (Rn ), pour tout s. (iii) H 0 (Rn ) = L2 (Rn ) étant identifié avec son dual, nous avons, pour tout s > 0, (H s (Rn )) co¨ıncide algébriquement et topologiquement avec H −s (Rn ). Nous définissons maintenant les espaces H s (Γ ). Pour simplifier l’exposé, nous supposons que Γ est la frontière d’un ouvert borné Ω de classe C ∞ . D’o` u, il existe O1 , . . . Ok une famille finie d’ouverts bornés de Rn recouvrant Γ telle que, pour chaque j, il existe ϕj un C ∞ -difféomorphisme de Oj sur Q vérifiant ϕj (Oj ∩ Ω) = Q+ et ϕj (Oj ∩ Γ ) = Q0 , a-dire o` u Q, Q+ et Q0 sont comme dans le sous-paragraphe 1.1.4. C’est-` Q = {y = (y , yn ) ∈ Rn−1 × R; |y | < 1, −1 < yn < 1}, Q+ = {y = (y , yn ) ∈ Q; yn > 0}, Q0 = {y = (y , yn ) ∈ Q; yn = 0}. Soit (αj ) ∈ D(Γ ) une partition de l’unité subordonnée au recouvrement (Oj ). αj = 1 sur C’est-à-dire, pour chaque j, αj ∈ D(Γ ), supp(αj ) ⊂ Oj ∩ Γ et Γ. Tout élément f ∈ L1 (Γ ) se décompose alors de la manière suivante f=

k

αj f.

j=1

Nous posons ϕ∗j (αj f )(y ) = (αj f )(ϕ−1 j (y , 0)), si |y | < 1.

αj étant a` support compact dans Oj ∩ Γ , ϕ∗j (αj f ) est à support compact dans {y ∈ Rn−1 ; |y | < 1}. Nous considérons donc ϕ∗j (αj f ) comme définie sur Rn−1 . L’application linéaire f → ϕ∗j (αj f ) est continue de D(Γ ) dans D(Rn−1 ) et se prolonge en une application linéaire continue de D (Γ ) dans D (Rn−1 ).


11

Pour s ∈ R, nous définissons H s (Γ ) par H s (Γ ) = {u ∈ D (Γ ); ϕ∗j (αj u) ∈ H s (Rn−1 ), j = 1, . . . , k}. Cette définition est indépendante du choix du système de cartes locales (Oj , ϕj ) et de la partition de l’unité (αi ). Pour chaque système (Oj , ϕj , αj ), k

1 uH s (Γ ) = ( ϕ∗j (αj u)2H s (Rn−1 ) ) 2 j=1

est une norme hilbertienne sur H s (Γ ). Les différentes normes, obtenues en faisant varier le système (Oj , ϕj , αj ), sont toutes équivalentes. Dans le théorème qui suit, nous rassemblons les propriétés principales des espaces H s (Γ ). ument dans H t (Γ ) si s ≥ t. Th´ eor` eme 1.14. (i) H s (Γ ) s’injecte continˆ (ii) D(Γ ) est dense dans H s (Γ ) si s ≥ 0. (iii) En identifiant H 0 (Γ ) = L2 (Γ ) avec son dual, nous avons (H s (Γ )) = H −s (Γ ) si s ≥ 0. Nous renvoyons à J. L. Lions et E. Magenes [LM] pour un exposé complet sur les espaces H s , y compris les espaces H s (Ω). 1.3.2 Les espaces W m,p Soit Ω un ouvert de Rn de frontière Γ . Partant du fait que L1loc (Ω) s’injecte dans D (Ω), nous définissons, pour m ∈ N et 1 ≤ p ≤ ∞, l’espace W m,p (Ω) par W m,p (Ω) = {f ∈ Lp (Ω); ∂ α f ∈ Lp (Ω) α ∈ Nn , |α| ≤ m}, o` u ∂ α f est sous-entendu au sens D (Ω). W m,p (Ω), quand nous le munissons de sa norme naturelle

f W m,p (Ω) = ∂ α f Lp(Ω) ,

(1.1)

|α|≤m

est un espace de Banach. Dans le cas p = 2, comme nous le faisons d’habitude, nous posons W m,2 (Ω) = H m (Ω). Ce dernier est alors un espace de Hilbert pour le produit scalaire

12


(f, g)H m (Ω) =

∂ α f ∂ α g.

Ω

|α|≤m

Notons que la norme associée à ce produit scalaire est équivalente a` celle donnée par (1.1). Nous énon¸cons deux théorèmes classiques d’injections. Th´ eor` eme 1.15. Si Ω un ouvert borné de Rn et si W01,p (Ω) est la fermeture de D(Ω) dans W 1,p (Ω), alors np

(i) W01,p (Ω) s’injecte continˆ ument dans L n−p (Ω) pour p < n, et dans C 0 (Ω) pour p > n. (ii) Il existe une constante positive C = C(n, p) telle que pour tout u ∈ W01,p (Ω) u

np

L n−p (Ω)

≤ C∇uLp (Ω)n , si p < n, 1

1

sup |u| ≤ C|Ω| n − p ∇uLp(Ω)n , si p > n. Ω

Th´ eor` eme 1.16. Soit Ω un domaine borné de Rn de classe C 0,1 . ∗

ument dans Lp (Ω), p∗ = (i) Si mp < n alors W m,p (Ω) s’injecte continˆ et l’injection de W m,p (Ω) dans Lq (Ω) est compacte pour tout q < p∗ .

np n−mp ,

ument (ii) Si 0 ≤ k < m − np < k + 1, k entier, alors W m,p (Ω) s’injecte continˆ n k,α m,p k,β dans C (Ω), α = m − p − k, et l’injection de W (Ω) dans C (Ω) est compacte pour tout β < α. Nous rappelons aussi le théorème de trace : Th´ eor` eme 1.17. Nous supposons que Ω est borné et de classe C k , k ≥ 1. Alors l’application u → (u, ∂ν u, . . . , ∂νk−1 u) de D(Ω) → (D(Γ ))k se prolonge en une application, encore notée u → (u, ∂ν u, . . . , ∂νk−1 u),

k−1 1 linéaire continue de H k (Ω) → j=0 H k−j− 2 (Γ ). Cette application est surjective et il existe un relèvement linéaire continu R : g = (g0 , . . . , gk−1 ) ∈

k−1

1

H k−j− 2 (Γ ) → Rg ∈ H k (Ω)

j=0

tel que ∂νj Rg = gj , 0 ≤ j ≤ k − 1. Et nous terminons ce paragraphe par le


13

Th´ eor` eme 1.18. Soit Ω un ouvert quelconque. Si u ∈ H 1 (Ω) alors u+ = sup(u, 0), u− = sup(−u, 0), |u| = u+ + u− ∈ H 1 (Ω), et

∇u+ = χ[u>0] ∇u, ∇u− = χ[u 0 un réel tel que a(x)ξ · ξ ≥ λ|ξ|2 p.p. x ∈ Ω et ξ ∈ Rn ,

(1.11)

avec a(x) = (aij (x)). Pour les problèmes aux limites elliptiques, nous disposons de résultats de régularité hölderienne. Plus précisément, nous avons le Th´ eor` eme 1.25. Sous les hypothèses suivantes : (a) Ω est de classe C 2,α , (b) aij , bi , c ∈ C α (Ω), f ∈ C α (Ω) et g ∈ C 2,α (Γ ) (resp. g ∈ C 1,α (Γ )), (c) c ≤ 0, (d) q ∈ C 1,α (Γ ), le problème aux limites Eu = f, dans Ω, u = g, (resp. ∂ν u + qu = g), sur Γ,

(1.12)

admet une unique solution u ∈ C 2,α (Ω). De plus, il existe une constante C > 0, ne dépendant que des normes des coefficients de E dans C α (Ω), Ω, α et λ (dépendant aussi de la norme de q dans C 1,α dans le second cas), telle que uC 2,α (Ω) ≤ C(f C α (Ω) + gC 2,α (Γ ) ) (resp. uC 2,α (Ω) ≤ C(f C α (Ω) + gC 1,α (Γ ) )). Si q ∈ L∞ (Ω), nous désignons par Aq l’opérateur Aq = −Δ + q ayant pour domaine D(Aq ) = H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω). Nous utiliserons au prochain chapitre a` plusieurs reprises le

18


Th´ eor` eme 1.26. Nous supposons que Ω est de classe C 2 . Soit q ∈ L∞ (Ω) telle que 0 n’est pas dans le spectre de Aq . Alors, pour tout couple (F, f ) ∈ 3 L2 (Ω) × H 2 (Γ ), le problème aux limites non homogène −Δu + qu = F, dans Ω, u = f, sur Γ, admet une unique solution u ∈ H 2 (Ω). De plus, nous avons l’estimation uH 2 (Ω) ≤ C(F L2 (Ω) + f

3

H 2 (Γ )

),

o` u la constante C dépend uniquement de Ω et q. Un autre résultat, pour l’opérateur div(a∇·), que nous aurons l’occasion d’utiliser au chapitre 2, est le suivant : Th´ eor` eme 1.27. Soit a ∈ L∞ (Ω) telle que a ≥ a0 > 0 p.p. dans Ω, supposé 1 lipschitzien. Alors pour tout ϕ ∈ H 2 (Γ ), il existe un unique u ∈ H 1 (Ω) solution du problème aux limites div(a∇u) = 0, dans Ω, u = ϕ, sur Γ. Ce résultat est une conséquence immédiate du théorème de Stampacchia. De plus la solution est caractérisée par a|∇u|2 dx = min{ a|∇v|2 dx; v ∈ Kϕ }, Ω

Ω

o` u Kϕ est le convexe fermé Kϕ = {v ∈ H 1 (Ω); v|Γ = ϕ}. Avec plus de régularité sur Ω et les coefficients de E, il est possible de démontrer que les solutions de (1.12) sont de classe H 2+k . Dans le cas du laplacien nous avons le Th´ eor` eme 1.28. Soit k ≥ 0 un entier et nous supposons que Ω est de classe 3 C 2+k . Si f ∈ H k (Ω) et g ∈ H k+ 2 (Γ ) alors le problème aux limites −Δu = f, dans Ω, u = g, sur Γ, admet une unique solution u ∈ H 2+k (Ω). Pour une étude détaillée et systématique des équations elliptiques, nous renvoyons le lecteur à D. Gilbarg et N. S. Trudinger [GT], J.-L. Lions et E. Magenes [LM], O. A. Ladyzhenskaja et N. N. Ural’tzeva [LU] (voir aussi R. Dautray et J.-L. Lions [DL], L. C. Evans [Ev], M. Renardy et R. C. Rogers [RR]).

1.4 Equations elliptiques

19

1.4.2 Probl` eme de transmission Soient Ω un domaine de Rn , de frontière Γ et ω un ouvert, ω ⊂ Ω, que nous supposons lipschitzien. Soit E un opérateur du second ordre de la forme

Eu = ∂j (aij ∂i u), i,j

avec a = (aij ) ∈ L∞ (Ω)n×n vérifiant la condition d’ellipticité a(x)ξ · ξ ≥ λ|ξ|2 p.p. x ∈ Ω et ξ ∈ Rn , pour une certaine constante λ > 0. Grˆ ace au théorème de Lax-Milgram, il est aisé de démontrer que, pour tout f ∈ L2 (Ω), le problème aux limites Eu = f, dans Ω, (1.13) u = 0, sur Γ, admet une unique solution variationnelle. C’est-` a-dire, il existe un unique u ∈ H01 (Ω) tel que a∇v · ∇u = f v, v ∈ H01 (Ω). Ω

Ω

Si les aij sont continues sur ω et Ω\ω, (1.13) se découple en deux problèmes, l’un sur ω, et l’autre sur Ω\ω ; la solution de chacun des deux problèmes étant liée à l’autre par des relations dites de transmission. Avant de donner un énoncé précis, nous introduisons quelques notations. Nous posons

∂νE u = aij cos(ν, xi )∂j u i,j

et si w est une fonction définie sur Ω, nous notons wi = w|ω , we = w|Ω\ω . Nous considérons aussi les opérateurs

E iu = ∂j (aikl ∂i u), E e u = ∂j (aekl ∂i u). k,l

k,l

Th´ eor` eme 1.29. Nous supposons que, pour tout k, l, aikl ∈ C(ω) et aeij ∈ C(Ω\ω). Alors les deux assertions suivantes sont équivalentes : (i) u ∈ H01 (Ω) est la solution variationnelle du problème aux limites (1.13). (ii) (ui , ue ) ∈ H 1 (ω) × H 1 (Ω\ω) est la solution du problème de transmission

20


⎧ i i E u = f i, ⎪ ⎪ ⎪ e e e ⎪ ⎪ ⎨E u = f , ui = ue , ⎪ ⎪ ⎪ ∂ν i ui + ∂νEe ue = 0, ⎪ ⎪ ⎩ eE u = 0,

dans D (ω), dans D (Ω\ω), 1 au sens H 2 (∂ω) 1

2 au sens (H00 ) (∂ω), 1 2 au sens H (Γ ),

1

2 o` u H00 (∂ω) = {v ∈ H 1/2 (∂ω); il existe w ∈ H01 (Ω), w|∂ω = v}.

Nous renvoyons à R. Dautray et J. L. Lions [DL] pour une démonstration de ce théorème. Concernant la régularité hölderienne, d’après un résultat énoncé dans O. A. Ladyzhenskaja et N. N. Ural’tzeva [LU], nous avons le Th´ eor` eme 1.30. Soit 0 < α < 1 et on suppose que ω et Ω\ω sont de classe C 2,α . Si f ∈ C α (Ω) et si, pour tout i, j, aij ∈ C 1,α (ω) ∩ C 1,α (Ω\ω), alors u, la solution de (1.13), est dans C 2,α (ω) ∩ C 2,α (Ω\ω). 1.4.3 Principe du maximum pour les solutions classiques Tout au long de ce sous-paragraphe Ω désigne un domaine borné de Rn , de frontière Γ . Soit E un opérateur aux dérivées partielles de la forme

2 Eu = aij (x)∂ij u+ bi (x)∂i u + c(x)u, i,j

i

o` u les fonctions aij , bi et c sont supposées continues sur Ω, et la matrice (aij (x)) est symétrique définie positive pour tout x ∈ Ω. En d’autres termes, E est un opérateur elliptique du second ordre. Th´ eor` eme 1.31. (Principe du maximum faible) Nous supposons que c ≡ 0. Soit u ∈ C(Ω) ∩ C 2 (Ω) telle que Eu ≥ 0 (resp. Eu ≤ 0) dans Ω. Alors max u = max u (resp. min u = min u). Ω

Γ

Ω

Γ

Corollaire 1.32. (Principe de comparaison) Nous supposons que c ≤ 0. Soient u, v ∈ C(Ω) ∩ C 2 (Ω) telles que Eu ≤ Ev dans Ω et u ≥ v sur Γ . Alors u ≥ v. Th´ eor` eme 1.33. (Principe du maximum fort) Soit u ∈ C(Ω) ∩ C 2 (Ω) telle que Eu ≥ 0. Nous supposons que l’une des conditions suivantes est satisfaite : (i) c = 0, (ii) c ≤ 0 et max u ≥ 0, (iii) max u = 0, et que u est non constante. Alors u ne peut pas atteindre son maximum en un point de Ω.


21

Lemme 1.34. (Hopf) Nous supposons que Ω est de classe C 2 . Soit u ∈ C 1 (Ω) ∩ C 2 (Ω) telle que Eu ≥ 0. S’il existe un x0 ∈ Γ tel que u(x0 ) > u(x) pour tout x ∈ Ω, et si l’une des trois conditions suivantes est vérifiée : (i) c = 0, (ii) c ≤ 0 et u(x0 ) ≥ 0, (iii) u(x0 ) = 0, alors ∂ν u(x0 ) > 0. La preuve des résultats énoncés dans ce sous-paragraphe se trouvent dans la plupart des ouvrages traitant des équations elliptiques (voir par exemple, D. Gilbarg et N. S. Trudinger [GT], M. Protter et H. Weinberger [PW] ou M. Renardy et R. C. Rogers [RR]). 1.4.4 Principe du maximum et in´ egalit´ e de Harnack pour les solutions variationnelles Soit Ω un ouvert borné de Rn de frontière Γ . Soit E un opérateur différentiel d’ordre deux sous forme divergentielle. C’est-à-dire

Eu = − Di ( aij Dj u + ci u) + di Di u + du. i

j

i

Nous supposons que E est strictement elliptique : il existe une constante positive λ telle que

aij (x)ξi ξj ≥ λ|ξ|2 p.p. x ∈ Ω, ξ ∈ Rn , i,j

et que les coefficients de E sont bornées. Nous associons à E l’opérateur différentiel bilinéaire

aij Dj uDi v + (ci uDi v + di Di uv) + duv. E(u, v) = i,j

i

Pour f ∈ D (Ω), nous considérons l’équation Eu = f, dans Ω. 1,1 Nous dirons que u ∈ Wloc (Ω) est une solution faible de (1.14) si E(u, v) = f, v , v ∈ D(Ω). Ω

Aussi, si u ∈ H 1 (Ω), nous dirons que u ≤ 0 sur Γ si u+ ∈ H01 (Ω).

(1.14)

22


Si u, v ∈ H 1 (Ω), u ≤ v sur Γ signifie bien évidemment que u − v ≤ 0 sur Γ , au sens mentionné ci-dessus. Nous définissons, pour u ∈ H 1 (Ω), supΓ u comme suit sup u = inf{k ∈ R; u ≤ k sur Γ }. Γ

Th´ eor` eme 1.35. (Principe du maximum) Sous l’hypothèse d + Di ci ≥ 0 dans D (Ω), si u ∈ H 1 (Ω) est une solution faible de Eu = 0 dans Ω alors sup u ≤ sup u+ . Ω

Γ

Th´ eor` eme 1.36. (Inégalité de Harnack) Nous supposons que Ω est connexe. 1 Soit u ∈ Hloc (Ω) une solution faible positive de Eu = 0 dans Ω. Alors pour tout compact K de Ω, nous avons sup u ≤ C inf u, K

K

o` u C est une constante positive qui ne dépend que des normes dans L∞ (Ω) des coefficients de λ−1 E, n et dist(K, Γ ). Le lecteur trouvera dans D. Gilbarg et N. S. Trudinger [GT] une preuve des deux derniers théorèmes. 1.4.5 Unicit´ e du prolongement Soient Ω un ouvert borné de Rn , de frontière Γ , et E un opérateur aux dérivées partielles de la forme

2 Eu = aij (x)∂ij u+ bi (x)∂i u + c(x)u, i,j

i

o` u les fonctions aij sont de classe C 1 sur Ω, bi et c sont supposées mesurables et bornées sur Ω, et la matrice (aij (x)) est symétrique définie positive pour tout x ∈ Ω. Th´ eor` eme 1.37. Nous supposons que Ω est connexe. Soit u ∈ H 2 (Ω) tel que Eu = 0. Soit ω un sous-ouvert de Ω. Si u = 0 sur ω alors u est identiquement nulle. Corollaire 1.38. Nous supposons que Ω est un ouvert connexe de classe C 2 . Soit γ un sous-ouvert de Γ . Soit u ∈ H 2 (Ω) tel que Eu = 0 et u = ∂ν u = 0 sur γ. Alors u est identiquement nulle. Nous renvoyons le lecteur à J. C. Saut et B. Scheurer [SS1] pour une démonstration du théorème ci-dessus et son corollaire.


23

1.4.6 Fonctions harmoniques sph´ eriques et fonctions de Gegenbauer Nous rappelons que le laplacien (ou l’opérateur de Laplace-Beltrami) sur la sphère est la trace Δτ du laplacien sur la sphère : Δτ u(ξ) = Δx u(

x )|x=ξ . |x|

Pour une fonction u de classe C 2 sur un ouvert de Rn \ {0}, nous avons la formule du laplacien en coordonnées polaires dans Rn (Δu)(rξ) =

1 1 ∂r (rn−1 ∂r )u(rξ) + 2 Δτ (rξ). rn−1 r

Considérons le système de coordonnées sphériques ⎧ ξ1 = r sin θn−1 . . . sin θ2 sin θ1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ξ2 = r sin θn−1 . . . sin θ2 cos θ1 .. . ⎪ ⎪ ⎪ = r sin θn−1 cos θn−2 ξ ⎪ ⎪ ⎩ n−1 ξn = r cos θn−1 . Pour ξ = ξ(r, θ1 , . . . , θn−1 ) ∈ rS n−1 , l’expression de Δτ dans le système de coordonnés sphériques est la suivante : Δτ u(ξ) = [ sinn−21 θn−1 ∂n−1 sinn−2 θn−1 ∂n−1 + 1 ∂ sinn−3 θn−2 ∂n−1 + . . . sin2 θn−1 sinn−3 θn−2 n−1 1 . . . + sin2 θn−1 ... sin2 θ2 ∂12 ]u(ξ), avec ∂i =

∂ ∂θi ,

i = 1, . . . , n − 1.

Pour k ∈ N, nous considérons l’équation Δτ Y = −k(k + n − 2)Y, sur S n−1 .

(1.15)

Proposition 1.39. (i) Pour tout k ∈ N, l’ensemble Ykn des fonctions Y solutions de (1.15) est un espace vectoriel de dimension finie. Précisément, nous avons dimY01 = 1, dimY1n = n, dimYk2 = 2,

dimYk3 = 2k + 1,

dimYk4 = (k + 1)2 ,

k ≥ 1,

et d’une manière plus générale dimYkn =

n

dimYln−1 .

l=0

a deux orthogonaux dans L2 (S n−1 ) et (ii) Les espaces Yk = Ykn sont deux ` 2 n−1 ) est la somme hilbertienne des sous-espaces Yk . L (S

24


Nous appelons les éléments de Ykn les fonctions harmoniques sphériques d’ordre k de Rn . Nous définissons le polynˆ ome de Gegenbauer Ckp , k ∈ N et p ≥ 0, par la formule suivante Ckp (t) =

0≤l≤[ k 2]

(−1)l (2t)k−2l Γ (p + k − l) , l!(k − 2l)!Γ (p)

o` u [x] est la partie entière de x et Γ est la fonction eulérienne usuelle. Nous avons C0p (t) = 1, C1p (t) = 2pt et C2p (t) = 2p(p + 1)(t2 −

1 ), 2p + 2

C3p (t) =

4 3 p(p + 1)(p + 2)(t3 − t). 3 2p + 3

Il est démontré que Ckp est solution de l’équation différentielle (1 − t2 )

d2 d P − (2p + 1)t P + k(2p + k))P = 0. dt2 dt

(1.16)

En utilisant cette équation différentielle et l’expression de Δτ dans le système des coordonnées sphériques, nous démontrons que n−2

Y (x) = Y (x1 , . . . , xn ) = Ck 2 (

xn ), avec r = |x|, r

est une fonction harmonique sphérique et que H = rk Y est harmonique sur Rn \ {0}. Le lecteur intéressé, par les détails des résultats de ce sous-paragraphe, pourra consulter N. J. Vilenkin [Vi].

1.5 Equations paraboliques 1.5.1 R´ egularit´ e parabolique Soient Ω un domaine borné de Rn , de frontière Γ , T > 0 un réel et Q = Ω × (0, T ). Nous dirons qu’un opérateur P de la forme

2 Pu = aij (x, t)∂ij u+ bi (x, t)∂i u + c(x, t)u − ∂t u, i,j

i

o` u aij , bi et c sont des fonctions mesurables sur Q, est uniformément parabolique s’il existe λ > 0 un réel tel que a(x, t)ξ · ξ ≥ λ|ξ|2 p.p. (x, t) ∈ Q et ξ ∈ Rn , avec a(x, t) = (aij (x, t)).

1.5 Equations paraboliques

25

Soient Σ = Γ × (0, T ), Σ0 = Ω × {0} et

2 aij (x, 0)∂ij v+ bi (x, 0)∂i v + c(x, 0)v. P0 v = i,j

i

Comme dans le cas elliptique, nous avons le résultat de régularité hölderienne Th´ eor` eme 1.40. Sous les hypothèses suivantes : (a) Ω est de classe C 2,α , α

α

α

(b) aij , bi , c ∈ C α, 2 (Q), u0 ∈ C 2,α (Ω), f ∈ C α, 2 (Q) et g ∈ C 2+α,1+ 2 (Σ), (c) P0 u0 −∂t g(·, 0) = f (·, 0) et g(·, 0) = u0 sur Γ (conditions de compatibilité), le problème aux limites

⎧ ⎨ P u = f, dans Q, u = u0 , dans Σ0 , ⎩ u = g, sur Σ, α

admet une unique solution u ∈ C 2+α,1+ 2 (Q). De plus, il existe une constante α C > 0, ne dépendant que des normes des coefficients de P dans C α, 2 (Q), Ω, α et λ, telle que uC 2+α,1+ α2 (Q) ≤ C(f C α, α2 (Q) + gC 2+α,1+ α2 (Σ) + u0 C 2,α (Ω) ). Avant de donner les premiers résultats d’existence et de régularité des solutions faibles, nous nous pla¸cons d’abord dans un cadre abstrait. Soit H un espace de Hilbert muni d’un produit scalaire (·, ·), et notons | · | la norme associée à ce produit scalaire. Soit V un autre espace de Hilbert, de norme · , dense dans H et qui s’injecte continˆ ument dans H. En identifiant H ` a son dual, nous avons V ⊂ H ⊂ V . Pour T > 0, nous nous donnons, pour presque tout t ∈ [0, T ], une forme bilinéaire a(t, u, v) : V × V → R vérifiant (a) t → a(t, u, v) est mesurable, pour tout (u, v) ∈ V × V . (b) |a(t, u, v)| ≤ M uv, p.p. t ∈ [0, T ] et pour tout (u, v) ∈ V × V . (c) a(t, u, u) ≥ αu2 − C|u|2 , p.p. t ∈ [0, T ] et pour tout u ∈ V , o` u α > 0, M > 0 et C sont des constantes. Th´ eor` eme 1.41. (J.-L. Lions) Pour tout f ∈ L2 (0, T ; V ) et pour tout u0 ∈ H, il existe un unique u tel que u ∈ L2 (0, T ; V ) ∩ C([0, T ]; H), u ∈ L2 (0, T ; V ) et

u (t), v V ,V + a(t, u(t), v) = f (t), v V ,V , p.p. t ∈ [0, T ], v ∈ V, u(0) = u0 .

(1.17)

26


Soient aij , bi et c ∈ L∞ (Q). Si a(x, t) = (aij (x, t)), nous supposons qu’il existe λ > 0 tel que a(x, t)ξ · ξ ≥ λ|ξ|2 , p.p. (x, t) ∈ Q, ξ ∈ Rn . Nous appliquons le théorème ci-dessus à H = L2 (Ω), V = H01 (Ω) et

a(t, u, v) = aij (x, t)∂i u∂j v + bi (x, t)∂i uv + c(x, t)uv, Ω

i,j

i

Ω

Ω

pour avoir : pour tout f ∈ L2 (0, T ; H −1(Ω)) et pour tout u0 ∈ L2 (Ω), il existe un unique u ∈ L2 (0, T ; H01 (Ω)) ∩ C([0, T ]; L2 (Ω)) avec u ∈ L2 (0, T ; H −1(Ω)) vérifiant (1.17). Nous appelerons u la solution faible du problème aux limites ⎧ ⎨ ∂t u − i,j ∂j (aij ∂i u) + i bi ∂i u + cu = f, dans Q, (1.18) sur Σ0 , u = u0 , ⎩ u = 0, sur Σ. Nous notons que u vérifie la première équation de (1.18) dans D (Q), la seconde est satisfaite dans L2 (Ω). Quant a` la troisième équation de (1.18), elle est contenue dans le fait que u ∈ L2 (0, T ; H01(Ω)). Nous considérons maintenant l’espace H 2,1 (Q) donné par H 2,1 (Q) = L2 (0, T, H 2 (Ω)) ∩ H 1 (0, T, L2 (Ω)). Afin d’énoncer un théorème de trace pour cet espace, nous notons, pour r et s deux réels positifs, H r,s (Σ) = L2 (0, T, H r (Γ )) ∩ H s (0, T, L2(Γ )). 3 3

Th´ eor` eme 1.42. Soient u ∈ H 2,1 (Q) et v ∈ H 2 , 4 (Σ). Alors 3 3

1 1

(i) (u, ∂ν u)|Γ ∈ H 2 , 4 (Σ) × H 2 , 4 (Σ). 1

(ii) v(·, 0) ∈ H 2 (Γ ). (iii) u(·, 0) ∈ H 1 (Ω) and u(·, 0)|Γ = u|Γ (·, 0). (iv) Les deux opérateurs 3 3

1 1

u ∈ H 2,1 (Q) → (u|Σ , ∂n u|Σ , u(·, 0)) ∈ H 2 , 4 (Σ) × H 2 , 4 (Σ) × H 1 (Ω) 3 3

1

v ∈ H 2 , 4 (Σ) → v(·, 0) ∈ H 2 (Γ ), sont bornés. (v) L’opérateur 3 3

τ : u ∈ H 2,1 (Q) → F0 = {(u0 , g) ∈ H 1 (Ω) × H 2 , 4 (Σ); u0 |Γ = g(·, 0)} u → (u(·, 0), u|Σ ) (borné) est surjectif.


27

On note que nous pouvons, d’une manière tout a` fait standard, démontrer que (u0 , g)∗ = inf{uH 2,1 (Q) ; τ u = (u0 , g)}, (u0 , g) ∈ F0 , définie une norme équivalente a` la norme suivante (u0 , g) = u0 H 1 (Ω) + g

3 3

H 2 , 4 (Σ)

.

Nous donnons maintenant un résultat de régularité H 2,1 pour un problème parabolique non homogène. Pour cela nous avons besoin de faire un certain nombre d’hypothèses. h1) aij ∈ L∞ (Q), 1 ≤ i, j ≤ k, et il existe deux constantes positives λ et Λ telles que λ|ξ|2 ≤ (aij (x, t))ξ · ξ ≤ Λ|ξ|2 , p.p (x, t) ∈ Q, ∀ξ ∈ Rn . h2) ∂k aij ∈ L∞ (0, T ; Ln (Ω)), ∂t aij L∞ (0, T ; Ln/2(Ω)), 1 ≤ i, j, k ≤ n, bi ∈ L∞ (0, T ; Ln(Ω)), 1 ≤ i ≤ n et c ∈ L∞ (0, T ; Ln/2(Ω)). h3) Il existe : R+ → R+ décroissante avec limσ0 (σ) = 0 telle que χA ∂k aij (·, t)Ln (Ω) + χA ∂t aij (·, t)Ln/2 (Ω) + χA bi (·, t)Ln (Ω) +χA c(·, t)Ln/2 (Ω) ≤ (σ), pour tous 1 ≤ i, j, k ≤ n, pour presque tout t ∈ (0, T ) et pour tout ensemble mesurable A tel que |A| ≤ σ. Nous notons

2 Eu = aij (x, t)∂ij u+ bi (x, t)∂i u + c(x, t)u. i,j

i

Th´ eor` eme 1.43. Soient u0 ∈ H01 (Ω), g u0 |Γ = g(·, 0). Si Ω est de classe C 2 et satisfaites, alors le problème aux limites ⎧ ⎨ ∂t u − Eu = f, u = u0 , ⎩ u = g,

3 3

∈ H 2 , 4 (Σ) et f ∈ L2 (Q) tels que si les hypothèses précédentes sont dans Q, dans Σ0 , sur Σ,

admet une unique solution u ∈ H 2,1 (Q). De plus (i) Pour (u0 , g) = (0, 0), il existe une constante positive C, définie par une fonction croissante de T , qui ne dépend que de Ω, λ, Λ et (σ) telle que uH 2,1 (Q) ≤ Cf L2 (Q) . (ii) Si en plus aij , bi , 1 ≤ i, j ≤ n, et c sont dans L∞ (Q) alors si M ≥ max(aij L∞ (Q) + bi L∞ (Q) ) + cL∞ (Q) , i,j

28


il existe une constante positive C, définie par une fonction croissante de T , qui ne dépend que de M , Ω, λ, Λ et (σ) telle que uH 2,1 (Q) ≤ C f L2(Q) + u0 H 1 (Ω) + g 32 , 34 ). H

(Σ)

Pour démontrer le Théorème 1.43, nous utilisons d’abord le Théorème 1.42 (v) pour nous ramener a` une condition initiale et une condition au bord nulles et nous appliquons ensuite le Théorème II de [Ar] et les remarques qui le suivent (voir aussi [MPS]). Nous citons aussi un autre résultat de régularité que nous aurons l’occasion d’utiliser au chapitre 3. Th´ eor` eme 1.44. Nous supposons que Ω est de classe C 2 . Si f ∈ Lp (Q), 1 < p < ∞, alors le problème aux limites ∂t u − Δu = f, dans Q, u = 0, sur Σ ∪ Σ0 , admet une unique solution u ∈ Lp (Q) telle que 2 u ∈ Lp (Q), 1 ≤ i, j ≤ n. ∂t u, ∂i u, ∂ij

De plus ∂t uLp(Q) +

∂i uLp(Q) +

i

2 ∂ij uLp(Q) ≤ Cf Lp (Q) ,

i,j

o` u C est une constante indépendante de f . Ce théorème s’étend au cas d’une condition initiale dans l’espace de Sobolev W 2−2/p,p (Ω) et une condition au bord dans l’espace de Sobolev-Besov W 2−1/p,1−1/2p (Σ). Nous revoyons à [LSU] pour la définition précise de ces espaces et les énoncés de la régularité Lp dans un cadre général. Pour une étude détaillée des équations paraboliques, nous référons à O. A. Ladyzhenskaja, V. A. Solonnikov et N. N. Ural’tzeva [LSU], A. Friedman [Frie] et G. M. Lieberman [Lie]. 1.5.2 Principe du maximum Nous énon¸cons les principes du maximum faible et fort pour les opérateurs paraboliques. Ω étant un domaine borné de Rn de frontière Γ , nous posons D = Ω × (0, T ],

Q = Ω × (0, T )

et Σp = (Γ × [0, T ]) ∪ (Ω × {0}) (la frontière parabolique de Q). P désigne un opérateur aux dérivées partielles de la forme


Pu =

2 aij (x, t)∂ij u+

i,j

29

bi (x, t)∂i u + c(x, t)u − ∂t u,

i

o` u les fonctions aij , bi et c sont supposées continues sur Q, et la matrice (aij (x, t)) est symétrique définie positive pour tout (x, t) ∈ D. Th´ eor` eme 1.45. (Principe du maximum faible) Nous supposons que c ≡ 0. Soit u ∈ C(D) ∩ C 2,1 (D) telle que P u ≥ 0 (resp. P u ≤ 0) dans D. Alors max u = max u (resp. min u = min u). D

Σp

D

Σp

Corollaire 1.46. Nous supposons c ≤ 0. Soit u ∈ C(D) ∩ C 2,1 (D) tel que P u ≥ 0 (resp. P u ≤ 0) dans D. Alors max u = max u+ (resp. min u = min u− ). D

Σp

D

Σp

En particulier, si P u = 0 dans D alors max |u| = max |u|. D

Σp

Th´ eor` eme 1.47. (Principe du maximum fort) Soit u ∈ C(D) ∩ C 2,1 (D) telle que P u ≥ 0 dans D et nous posons M = maxD u. Nous supposons que l’une des trois conditions suivantes est satisfaite : (i) c = 0, (ii) c ≤ 0 et M ≥ 0, (iii) M = 0 et que u = M en (x0 , t0 ) ∈ D. Alors u = M sur Ω × [0, t0 ]. Proposition 1.48. Nous faisons l’hypothèse que Ω est de classe C 2 . Soit u ∈ C 1 (D) ∩ C 2 (D) satisfaisant P u ≥ 0 dans D et nous notons M = max u. En outre, nous supposons qu’il existe (x0 , t0 ) ∈ Γ ×(0, T ] tel que u(x0 , t0 ) = M et u < M sur Q ; et que l’une des trois conditions suivantes est vérifiée : (i) c = 0, (ii) c ≤ 0 et M ≥ 0, (iii) M = 0. Alors ∂ν u(x0 , t0 ) > 0. La preuve des différents résultats, que nous avons énoncé dans ce sousparagraphe, se trouvent dans les ouvrages classiques traitant des équations paraboliques (voir par exemple A. Friedman [Frie], M. Protter et H. Weinberger [PW] ou M. Renardy et R. C. Rogers [RR]).

30


1.5.3 Unicit´ e du prolongement Nous introduisons d’abord une définition. Soient O un ouvert de Rn × R et ω un sous-ouvert de O. Nous définissons l’ouvert ω 1 comme étant l’ensemble des points (x, t) ∈ O pour lesquels il existe (x1 , t) ∈ ω tel que le segment joignant (x, t) a` (x1 , t) est contenu dans O. Et par induction sur k nous définissons une suite (ω k ) de sous-ouverts de O par : ω k+1 = (ω k )1 , k ≥ 1. L’ouvert donné par ωhc = ∪k≥1 ω k est appelé la composante horizontale de ω dans O. Nous remarquons que si ω est connexe alors ωhc l’est aussi. Soient Ω un ouvert de Rn , de frontière Γ , Q = Ω ×(0, T ) et P un opérateur parabolique de la forme

2 Pu = aij (x, t)∂ij u+ bi (x, t)∂i u + c(x, t)u − ∂t u, i,j

i

o` u les fonctions aij sont de classe C 1 sur Q, bi et c sont supposées mesurables et bornées sur Q, et la matrice (aij (x, t)) est symétrique définie positive pour tout (x, t) ∈ Q. Th´ eor` eme 1.49. Soit u ∈ H 2,1 (Q) tel que P u = 0 et u = 0 dans un sous ouvert connexe U de Q. Soit ω l’ouvert connexe maximal contenant U sur lequel u = 0. Alors ω = ωhc . Nous supposons que Ω est connexe et de classe C 2 et soit γ une partie ouverte et non vide de Γ . Corollaire 1.50. Soit u ∈ H 2,1 (Ω × (t1 , t2 )) tel que P u = 0 et u = ∂ν u = 0 sur γ × (t1 , t2 ). Alors u = 0 dans Ω × (t1 , t2 ). Le lecteur trouvera une preuve du dernier théorème et son corollaire dans J. C. Saut et B. Scheurer [SS2], par exemple. 1.5.4 Un petit aper¸ cu de la th´ eorie des semi-groupes Soit X un espace de Banach. Une famille (T (t))t≥0 de L(X) est dite un semi-groupe fortement continu ou C0 -semi-groupe si elle satisfait aux propriétés suivantes : (s1) T (s + t) = T (t)T (s), t, s ≥ 0, (s2) T (0) = I, (s3) Pour tout x ∈ X, t ∈ [0, +∞) → T (t)x ∈ X est continue.


31

Soit (T (t))t≥0 un C0 -semi-groupe de L(X) ; nous considérons l’opérateur A : X → X définie par la formule Ax = lim

h0

T (h)x − x . h

En général A est un opérateur non borné, et son domaine est donné par T (h)x − x existe}. h0 h

D(A) = {x ∈ X; lim

` première vue, D(A) peut être réduit a` {0}. En fait, ce n’est jamais le cas A puisque nous pouvons démontrer que D(A) est dense dans X. L’opérateur A est appelé le générateur infinitésimal du semi-groupe (T (t))t≥0 . Nous définissons l’ensemble résolvant ρ(A), d’un opérateur non borné A : X → X, comme étant l’ensemble des λ ∈ C tels que λI − A est un isomorphisme sur X. Pour λ ∈ ρ(A), nous posons Rλ (A) = (λI − A)−1 . Une question intéressante que nous pouvons nous poser est de savoir quand est-ce qu’un opérateur non borné, a` domaine dense, est le générateur infinitésimal d’un C0 -semi-groupe. La réponse à cette question est donnée par le théorème de Hille-Yosida suivant : Th´ eor` eme 1.51. Soit A : X → X un opérateur non borné ` a domaine D(A) = {x ∈ X; Ax ∈ X} dense dans X. Alors A est le générateur d’un C0 -semi-groupe (T (t))t≥0 vérifiant T (t)X ≤ M eωt , avec M ≥ 1 et ω ∈ R deux constantes, si et seulement si les deux conditions suivantes sont satisfaites : (i) A est fermé. (ii) Si λ ∈ R et λ > ω alors λ ∈ ρ(A) et Rλ (A)n X ≤

M , n ∈ N. (λ − ω)n

Dans ce qui suit, nous noterons etA le C0 -semi-groupe dont le gérérateur infinitésimal est A. Nous considérons maintenant les semi-groupes analytiques. Un C0 -semigroupe etA est analytique s’il vérifie les deux conditions suivantes : (a1) il existe θ ∈ (0, π2 ) telle que etA s’etend en une famille d’opérateurs bornés pour tout t ∈ Sθ = {0} ∪ {z ∈ C; |arg(z)| < θ} et les conditions (s1) et (s3) sont satisfaites pour tout t ∈ Sθ . (a2) t ∈ Sθ \ {0} → etA ∈ L(X) est analytique. Comme dans le théorème de Hille-Yosida, nous avons une caractérisation des générateurs de semi-groupes analytiques en terme de leur résolvante :

32


Th´ eor` eme 1.52. Soit A : X → X un opérateur non borné a ` domaine dense. Alors A est le générateur d’un semi-groupe analytique si et seulement s’il existe ω ∈ R telle que Σω = {λ ∈ C; λ > ω} ⊂ ρ(A) et, de plus, il existe une constante C pour laquelle Rλ (A)L(X) ≤

C λ ∈ Σω . |λ − ω|

(1.19)

Dans ce cas, ρ(A) ⊃ Sω,δ = {λ ∈ C; |arg(λ − ω)| < π2 + δ} pour un certain δ > 0 et l’estimation (1.19) est encore valable pour λ ∈ Sω,δ . De plus le semi-groupe etA est représenté par 1 eλt Rλ (A)dλ, etA = 2iπ Σ

a ei( 2 +δ ) ∞ contenu dans o` u Σ est n’importe quel chemin de e−i( 2 +δ ) ∞ ` Sω,δ , δ < δ. π

π

Soit A le générateur infinitésimal d’un semi-groupe analytique tel que son spectre σ(A) = C \ ρ(A) est contenu dans le demi-plan {λ ∈ C; (λ) < −δ}, δ > 0. Nous définissons sin(πα) +∞ −α (−A)−α = λ (λI − A)−1 dλ, 0 < α < 1, π 0 et pour β positif non entier (−A)−β = (−A)−[β] Aβ−[β] . En fait, nous pouvons définir directement (−A)−α , pour tout α > 0, par une intégrale de contour (voir par exemple A. Pazy [Pa] pour de plus amples détails). Plus tard, nous utiliserons le fait que, pour tout α > 0, l’opérateur (−A)α etA , t > 0, est borné et (−A)α etA X ≤ Mα t−α e−δt ,

(1.20)

o` u Mα est une constante positive. Pour tout α > 0, (−A)−α est un isomorphisme sur X. Son inverse, noté naturellement (−A)α , est un opérateur (non borné) fermé et à domaine dense D((−A)α ) = R((−A)−α ). Nous donnons un résultat de régularité pour un problème de Cauchy pour le générateur d’un semi-groupe analytique. Th´ eor` eme 1.53. Soient A le générateur d’un semi-groupe analytique etA dans X et 0 < α ≤ 1. Si x ∈ X et f ∈ C 0,α ([0, T ]; X), alors le problème de Cauchy u (t) = Au(t) + f (t), 0 < t ≤ T, u(0) = x,


33

admet une unique solution u ∈ C([0, T ]; X) ∩ C 1,α (]0, T ]; X) avec Au ∈ C 0,α (]0, T ]; X). Dans le cas x = 0, nous avons la régularité suivante pour u : u ∈ C 1 ([0, T ]; X) ∩ C 1,α (]0, T ]; X). Pour q ∈ L∞ (Ω), positive et non identiquement nulle, nous désignons par A l’opérateur Au = Δu + q(x)u, avec D(A) = H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω), ou bien Au = Δu + q(x)u avec D(A) = {u ∈ H 2 (Ω); ∂ν u = 0 sur Γ }. Dans ce cas, il est bien connu que −A est le générateur d’un semi-groupe analytique et σ(A) ⊂ {λ ∈ C; (λ) > 0}, et donc les puissances fractionnaires de (−A)α de A sont bien définies, pour α ∈ R. Le lecteur trouvera une étude détaillée de la théorie des semi-groupes, par exemple dans J. A. Goldstein [Go] ou A. Pazy [Pa].

2 Probl` emes inverses elliptiques

2.1 D´ etermination d’un potentiel dans l’´ equation de Schr¨ odinger : construction de solutions “optique g´ eom´ etrique” Nous considérons le problème inverse qui consiste à déterminer q ∈ L∞ (Ω), Ω étant un domaine régulier de Rn , a` partir de l’opérateur Dirichlet-Neumann (ou Steklov-Poincaré) Λq donné par : Λq : ϕ → ∂ν u, o` u u est la solution de (−Δ + q)u = 0 dans Ω et u = ϕ sur Γ . Le point clé dans la preuve de l’unicité pour ce problème inverse est la densité de produits de solutions. Précisons ce que nous entendons par densité de produits de solutions. Nous prouvons que u l’espace vectoriel engendré par les produits u1 u2 est dense dans L1 (Ω), o` uj , j = 1, 2, décrit l’ensemble des solutions H 2 de (−Δ + qj )uj = 0 dans Ω, qj ∈ L∞ (Ω). Ce dernier résultat repose essentiellement sur la construction de solutions “optique géométrique” pour l’équation (−Δ+qj )uj = 0. C’est-à-dire des solutions de la forme uj = e−ix·ξ (1 + wj ), avec ξ ∈ Cn vérifiant ξ · ξ = 0 et wi tend, en norme L2 , vers 0 quand |ξ| tend vers ∞. En d’autres termes, des solutions qui sont des perturbations des exponentielles harmoniques e−ix·ξ . Comme autre application des solutions “optique géométrique”, nous donnons et démontrons un résultat de stabilité logarithmique pour le problème inverse q → Λq . 2.1.1 Solutions “optique g´ eom´ etrique” et densit´ e des produits de solutions Nous commen¸cons par introduire quelques notations spécifiques à ce paragraphe. Nous notons Dj = −i∂j et, pour α = (α1 . . . , αn ) ∈ Nn , Dα = D1α1 . . . Dnαn . Dans ce qui suit, P (D) désigne un opérateur différentiel linéaire à coefficients constants. C’est-` a-dire M. Choulli, Une Introduction aux Probl` emes Invereses Elliptiques et Paraboliqu es, Math´ ematiques et Applications 65. DOI: 10.1007/978-3-642-02460-3 2, c Springer -Verlag Berlin Heidelberg 2009

36

2 Problèmes inverses elliptiques

P (D) =

aα D α ,

|α|≤m

o` u m ≥ 0 est un entier et aα ∈ C, pour chaque α. Nous associons à P (D) son symbole P (ξ) :

P (ξ) = aα ξ α , ξ = (ξ1 , . . . ξn ) ∈ Cn . |α|≤m

Nous utiliserons aussi la fonction

1 |Dβ P (ξ)|2 ) 2 . P˜ (ξ) = ( β

Si ξ, η ∈ R et γ ∈ N , nous avons comme conséquence de la formule de Taylor,

(iξ)β . Dγ P (ξ + η) = Dγ+β P (η) β! n

n

β

Nous déduisons de cette dernière identité qu’il existe une constante positive C, dépendant uniquement de n et m (le degré de P ), telle que P˜ (ξ + η) ≤ (1 + C|ξ|)m , ξ, η ∈ Rn . P˜ (η)

(2.1)

Pour 1 ≤ p ≤ ∞, nous introduisons l’espace Bp,P˜ = {u ∈ S (Rn ); P˜ F u ∈ Lp (Rn )}, que nous munissons de sa norme naturelle : up,P˜ = P˜ F uLp(Rn ) . Rappelons que F désigne la transformée de Fourier. Notons loc Bp, = {u ∈ S (Rn ); ϕu ∈ Bp,P˜ , ∀ϕ ∈ D(Rn )} P˜

et si O est un ouvert de Rn , nous posons Bp,P˜ (O) = {u = v|O ; v ∈ Bp,P˜ }. Nous utiliserons un peu plus loin le Lemme 2.1. Soient u ∈ B∞,P˜ et v ∈ D(Rn ). Alors uv ∈ B∞,P˜ et uv∞,P˜ ≤ Cu∞,P˜ , o` u C est une constante qui dépend uniquement de v, n et m (le degré de P ).

2.1 solutions “optique géométrique”

37

Preuve. D’après le Théorème 1.12, F (uv) = (2π)−n F u ∗ F v. D’o` u P˜ (ξ)F (uv)(ξ) = (2π)−n P˜ (ξ)F (u)(ξ − η)F (v)(η)dη. Cette identité, combinée avec (2.1), implique |P˜ (ξ)F (uv)(ξ)| ≤ (2π)−n sup |P˜ (τ )F (u)(τ )|

(1 + C|η|)m |F(v)(η)|dη,

τ

o` u la constante C dépend uniquement de n et m.

Nous énon¸cons un résultat concernant l’existence d’une solution fondamentale d’un opérateur différentiel linéaire à coefficients constants. Nous rappelons que F ∈ D (Rn ) est une solution fondamentale de l’opérateur P (D) si P (D)F = δ, o` u δ est la mesure de Dirac en 0. Nous avons, d’après le Théorème 10.2.1 de [Hor2] et sa preuve, le loc vérifiant Th´ eor` eme 2.2. P (D) possède une solution fondamentale F ∈ B∞, P˜

∈ B∞,P˜ et il existe une constante positive C, qui dépend uniquement de n et m, telle que F ˜ ≤ C. (2.2) cosh |x| ∞,P F cosh |x|

Ce théorème est le point clé pour démontrer le résultat suivant : Th´ eor` eme 2.3. Soit X un ouvert borné de Rn . Alors il existe E ∈ L(L2 (X)) possédant les propriétés suivantes : (i) P (D)Ef = f pour tout f ∈ L2 (X), (ii) pour tout opérateur différentiel linéaire Q(D) ` a coefficients constants tel |Q(ξ)| est borné sur Rn , Q(D)E définit un opérateur borné sur L2 (X) et que P˜ (ξ) Q(D)EL(L2 (X)) ≤ C sup

ξ∈Rn

|Q(ξ)| , P˜ (ξ)

o` u C est une constante positive dépendant uniquement de n, m et X. Preuve. Pour f ∈ L2 (X), nous notons f0 son extension par 0 en dehors de X. loc Soit F ∈ B∞, une solution fondamentale de P (D) ayant la régularité du P˜ Théorème 2.2. Nous définissons alors l’opérateur E comme suit

E : f ∈ L2 (X) → (F ∗ f0 )|X . La propriété (i) résulte tout simplement de

38


P (D)(F ∗ f0 ) = P (D)F ∗ f0 = δ ∗ f0 = f0 . Nous fixons maintenant ϕ ∈ D(Rn ) telle que ϕ = 1 dans un voisinage de la fermeture de X − X = {x − y; x, y ∈ X}. Nous vérifions aisément que [(ϕF ) ∗ f0 ]|X = [F ∗ f ]|X et donc Q(D)Ef L2 (X) ≤ Q(D)(ϕF ) ∗ f0 L2 (Rn ) = F [Q(D)(ϕF ) ∗ f0 ]L2 (Rn ) . Or F[Q(D)(ϕF ) ∗ f0 ] = Q(ξ)F (ϕF )F f0 . Par suite, Q(D)Ef L2 (X) ≤ Q(ξ)F (ϕF )L∞ (Rn ) f L2 (X) .

(2.3)

Nous utilisons alors l’identité Q(ξ)F (ϕF ) =

F Q(ξ) ˜ ], P (ξ)F [(ϕ cosh |x|) ˜ cosh |x| P (ξ)

le Lemme 2.1 et le fait que F satisfait à (2.2) pour déduire Q(ξ)F (ϕF )L∞ (Rn ) ≤ C sup

ξ∈Rn

|Q(ξ)| . P˜ (ξ)

Ceci et (2.3) entrainent alors (ii).

Nous introduisons maintenant la notion d’opérateur elliptique. On dit que P (D) est elliptique si

aα ξ α = 0 pour tout 0 = ξ ∈ Rn . |α|=m

Nous disposons du résultat de régularité Th´ eor` eme 2.4. Soit X un ouvert borné de Rn et nous supposons que P (D) est elliptique. Si u ∈ D (X) est telle que P (D)u ∈ L2 (X), alors u ∈ B2,P˜ (X). Ce résultat est un cas particulier du Théorème 11.1.8 de [Hor2]. Ci-dessous, Pa (D), a ∈ (Cn \ Rn ) ∪ {0}, désigne l’opérateur différentiel

Pa (D) = −Δ − ia · ∇ = Dj2 + aj Dj Comme Pa (ξ) = |ξ|2 + a · ξ, Pa (D) est donc elliptique. Rappelons que si Ω est un ouvert borné de Rn de classe C 2 , alors (voir par exemple J.-L. Lions et E. Magenes [LM]) H 2 (Ω) = {u = v|Ω ; v ∈ H 2 (Rn )}. En notant que Pã (ξ) ≥ C(1 + |ξ|2 ), C étant une constante indépendante de ξ, nous obtenons comme conséquence du Théorème 2.4 le


39

Corollaire 2.5. Si Ω est de classe C 2 et si u ∈ L2 (Ω) vérifie Pa (D)u ∈ L2 (Ω), alors u ∈ H 2 (Ω). Pour q ∈ L∞ (X), nous posons Sq = {u ∈ H 2 (X), −Δu + qu = 0 dans X}. Comme nous l’avons dit plus haut, le résultat de densité des produits de solutions, que nous énon¸cons un peu plus loin, est fondé sur la construction de solutions “optique géométrique” de l’équation (−Δ + q)u = 0. C’est l’objet de la proposition suivante : Proposition 2.6. Soient X un ouvert borné de Rn , q ∈ L∞ (X) et M > 0 tels que qL∞ (X) ≤ M . Alors nous pouvons trouver une constante positive C, ne dépendant que de M , pour laquelle : pour tout ξ ∈ Cn tel que ξ · ξ = 0 et |ξ| > C, il existe wξ ∈ H 2 (X) vérifiant wξ L2 (X) ≤ et

C |ξ| − C

(2.4)

uξ = e−iξ·x (1 + wξ ) ∈ Sq .

Preuve. Clairement, en prolongeant q par 0 en dehors de X, il suffit d’établir le résultat pour Ω ⊃ X de classe C 2 (nous pouvons par exemple prendre pour Ω une boule) et prendre ensuite des restrictions à X. Notons d’abord que wξ doit être une solution de l’équation −Δw + 2iξ · ∇w = −q(1 + w) dans Ω.

(2.5)

Nous posons Pξ (η) = −2ξ · η + η · η. D’après le Théorème 2.3, il existe Eξ ∈ L(L2 (Ω)) tel que (2iξ · ∇ − Δ)Eξ f = f, pour tout f ∈ L2 (Ω) et 1 P˜ξ (η) K 1 ≤ , ≤ K sup |ξ| η∈Rn |∇Pξ (η)|

Eξ L(L2 (Ω)) ≤ K sup

η∈Rn

o` u la constante K ne dépend que de n et Ω. Nous considérons l’application

(2.6)

40


Fξ : L2 (Ω) → L2 (Ω) f → Eξ [−q(1 + f )]. Nous avons KqL∞ (Ω) f − gL2 (Ω) , f, g ∈ L2 (Ω), |ξ|

Fξ f − Fξ gL2 (Ω) ≤

par (2.6). Par suite, Fξ possède un unique point fixe wξ ∈ L2 (Ω) dès que |ξ| > C = KM . Comme Pξ (D)wξ = −q(1 + wξ ) ∈ L2 (Ω), wξ est dans H 2 (Ω) par le Corollaire 2.5. Pour finir, nous utilisons wξ L2 (Ω) ≤ Fξ wξ − Fξ 0L2 (Ω) + Fξ 0L2 (Ω) C (wξ L2 (Ω) + 1). ≤ |ξ| Nous utilisons maintenant ce dernier résultat pour établir le Th´ eor` eme 2.7. Soit X un ouvert borné de Rn , n ≥ 3. Si q1 , q2 ∈ L∞ (X) alors F = vect{uv, u ∈ Sq1 , v ∈ Sq2 } est dense dans L1 (X). Nous aurons besoin du Lemme 2.8. Si n ≥ 3, alors pour tout k ∈ Rn et pour tout R > 0, il existe ξ1 , ξ2 ∈ Cn tels que |ξj | ≥ R,

ξj · ξj = 0,

ξ1 + ξ2 = k, j = 1, 2.

(2.7)

Preuve. Soient k1 , k2 ∈ Rn non nuls, orthogonaux a` k et orthogonaux entre eux (notons que ceci n’est possible que si n ≥ 3) tels que |k2 |2 = Nous posons

|k|2 + |k1 |2 . 4

ξ1 = ( k2 + k1 ) + ik2 , ξ2 = ( k2 − k1 ) − ik2 .

(2.8)

Nous vérifions aisément que ξ1 et ξ2 ont les propriétés requises dès que |k2 | est assez grand. Preuve du Th´ eor` eme 2.7. Nous raisonnons par l’absurde. Si F n’était pas dense dans L1 (X) alors, par le théorème de séparation de Hahn-Banach (voir


41

par exemple H. Brézis [Bre] ou L. Schwartz [Sc2]), il existerait f ∈ L∞ (X) non identiquement nulle telle que f gdx = 0, g ∈ F. (2.9) X

Fixons k ∈ Rn , k = 0. D’après le Lemme 2.8, pour R assez grand il existe ξ1 , ξ2 ∈ Cn tels que |ξj | ≥ R,

ξj · ξj = 0,

ξ1 + ξ2 = k, j = 1, 2.

Nous appliquons alors la Proposition 2.6 pour avoir l’existence de wξj ∈ H 2 (X), j = 1, 2, telle que wξj L2 (X) ≤

C , R−C

o` u la constante C est indépendante de R, et uj = e−iξj ·x (1 + wξj ) ∈ Sqj . Comme u1 u2 ∈ F , (2.9) implique e−ik·x f dx + zdx = 0, X

(2.10)

X

avec z = e−ik·x (wξ1 + wξ2 + wξ1 wξ2 )f . Or wξj converge vers zero dans L2 (X) quand R tend vers +∞. Par suite, nous passons à la limite dans (2.10) pour avoir e−ik·x f dx = 0, k ∈ Rn . X

C’est-à-dire que F f = 0 et donc f = 0, ce qui aboutit a` une contradiction. Nous énon¸cons aussi un autre résultat de densité qui nous sera bien utile pour résoudre un problème spectral inverse au paragraphe 2.2. Pour q, q1 , q2 ∈ L∞ (X) et λ, μ ∈ R, nous notons Sq (λ) = {u ∈ H 2 (X); (−Δ + q − λ)u = 0 dans X} et F (q1 , q2 , μ) = vect ∪λ≤−μ Sq1 (λ)Sq2 (λ). Th´ eor` eme 2.9. Soit X un ouvert borné de Rn , avec n ≥ 2. Soient M > 0, q1 , q2 ∈ L∞ (X) telles que q1 L∞ (X) , q2 L∞ (X) ≤ M . Alors il existe λ0 > 0 qui dépend uniquement de M et Ω tel que F (q1 , q2 , λ0 ) est dense dans L1 (X). Pour montrer ce théorème, nous procédons de la même manière que dans la preuve du Théorème 2.7 ; sauf qu’à la place de la proposition 2.6 et du Lemme 2.8 nous utilisons la

42


Proposition 2.10. Soient M > 0 et q ∈ L∞ (X) telles que qL∞ ≤ M . Alors il existe λ0 > 0, qui dépend uniquement de M et Ω pour lequel : pour tout λ ≤ −λ0 et pour tout ξ ∈ Cn vérifiant ξ · ξ = λ, il existe wλ,ξ ∈ H 2 (X) telle que C wλ,ξ L2 (Ω) ≤ |λ| u la constante C est indépendante de λ et u = e−iξ·x (1 + wλ,ξ ) ∈ Sq (λ), o` et ξ. et le fait que si λ < 0, k ∈ Rn et k1 est orthogonal a` k, avec |k1 |2 = alors ξ1 et ξ2 donnés par ξ1 =

|k|2 4

+|λ|

k + ik1 et ξ2 = ξ1 2

vérifient ξ1 · ξ1 = ξ2 · ξ2 = λ et ξ1 + ξ2 = k. Pour la construction des solutions “optique géométrique” nous nous sommes largement inspiré de V. Isakov [Isa1]. Dans ce même article, l’auteur exhibe aussi des solutions “optique géométrique” pour les opérateurs (∂t − Δ) + q et (∂tt − Δ) + q, et d’autres. Nous donnons au sous-paragraphe 2.1.4 une construction plus directe qui est due a` P. Hähner [Ha]. Nous verrons aussi au sous-paragraphe 2.1.5 une autre fa¸con de construire les solutions “optique géométrique”, qui sont nulles sur une partie de la frontière. Elle est fondée sur une inégalité de Carleman. Signalons aussi que les deux articles de J. Sylvester et G. Uhlmann [SU1], [SU2] contiennent une construction de solutions “optique géométrique” sur l’espace tout entier, dans des espaces de Sobolev appropriés. 2.1.2 D´ etermination du potentiel ` a partir de l’op´ erateur DN Soit Ω un domaine borné de Rn de classe C 2 et de frontière Γ . Si q ∈ L∞ (Ω), nous désignons par Aq l’opérateur Aq = −Δ + q ayant pour domaine D(Aq ) = H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω). D’après le Théorème 1.26, si q ∈ L∞ (Ω) est telle que 0 n’est pas une valeur 3 propre de l’opérateur Aq et si ϕ ∈ H 2 (Γ ), alors le problème aux limites non homogène (−Δ + q)u = 0, dans Ω, (2.11) u|Γ = ϕ, admet une unique, solution uq,ϕ ∈ H 2 (Ω) et il existe une constante C, indépendante de ϕ, telle que uq,ϕ H 2 (Ω) ≤ Cϕ Il en résulte que l’opérateur

3

H 2 (Γ )

.

(2.12)

2.1 solutions “optique géométrique” 3

43

1

Λq : ϕ ∈ H 2 (Γ ) → ∂ν uq,ϕ ∈ H 2 (Γ ) est borné. Le premier résultat que nous nous proposons de démontrer est le Th´ eor` eme 2.11. Pour i = 1, 2, soit qi ∈ L∞ (Ω) telle que 0 n’est pas valeur propre de Aqi . Si n ≥ 3 alors Λq1 = Λq2 ⇒ q1 = q2 . 3

Preuve. Nous faisons l’hypothèse que Λq1 = Λq2 . Soient ϕ ∈ H 2 (Γ ) et v ∈ Sq1 (Sq1 est défini au sous-paragraphe précédent). Nous montrons sans peine que u = uq1 ,ϕ − uq2 ,ϕ satisfait à (−Δ + q1 )u = (q2 − q1 )uq2 ,ϕ , dans Ω, (2.13) u|Γ = ∂ν u|Γ = 0. Nous appliquons la formule de Green à u et v pour avoir 3 (q2 − q1 )uq2 ,ϕ vdx = 0, ϕ ∈ H 2 (Γ ), v ∈ Sq1 . Ω 3

u Or {uq2 ,ϕ ; ϕ ∈ H 2 (Γ )} = Sq2 . D’o` (q2 − q1 )gdx = 0, g ∈ F, Ω

o` u F = {uv; u ∈ Sq1 , v ∈ Sq2 }. Il s’ensuit que q1 = q2 car F est dense dans L1 (Ω) par le Théorème 2.7. Pour a ∈ W 2,∞ (Ω), a ≥ a0 > 0, nous considérons le problème aux limites non homogène div(a∇w) = 0, dans Ω, (2.14) w|Γ = ϕ. 1

Notons que si w est une solution H 2 de (2.14) alors v = a 2 w est une solution H 2 de 1 1 (−Δ + a− 2 Δa 2 )v = 0, dans Ω, (2.15) 1 v|Γ = a 2 ϕ, et réciproquement. Il en résulte que (2.14) admet une unique solution wa,ϕ ∈ H 2 (Ω) et que l’opérateur 3

1

Σa : ϕ ∈ H 2 (Γ ) → ∂ν wa,ϕ ∈ H 2 (Γ ) est borné. Dans ce qui suit, nous notons l’ensemble des b ∈ W 2,∞ (Ω) qui vérifient b ≥ b0 , pour un certain b0 > 0, par W+2,∞ (Ω) et, pour a ∈ W+2,∞ (Ω), nous

44

2 Problèmes inverses elliptiques 1

1

3

posons qa = a− 2 Δa 2 . Aussi, nous désignerons par vqa ,ϕ , ϕ ∈ H 2 (Γ ), la solution H 2 du problème aux limites (−Δ + qa )v = 0, dans Ω, v|Γ = ϕ. D’après ce qui précède, nous avons 1

∂ν w

1

a,a− 2 ϕ

C’est-à-dire,

1

= ϕ∂ν a− 2 + a− 2 ∂ν vqa ,ϕ .

1

1

1

Σa (a− 2 ϕ) = ϕ∂ν a− 2 + a− 2 Λqa ϕ.

(2.16)

Comme conséquence du Théorème 2.11, nous avons le Corollaire 2.12. Soient a1 , a2 ∈ W+2,∞ (Ω) telles que a1 = a2 , ∇a1 = ∇a2 , sur Γ,

(2.17)

et Σa1 = Σa2 . Alors a1 = a2 . Preuve. Nous avons Λqa1 = Λqa2 par (2.16) et donc qa1 = qa2 par le Théorème 2.11. C’est-` a-dire, 1 1 −1 −1 (2.18) a1 2 Δa12 = a2 2 Δa22 . 1

1

Nous posons y = a12 − a22 . Nous déduisons de (2.18) 1

1

Δy = Δa12 − Δa22 1

−1

1

1

= a12 a2 2 Δa12 − Δa22 1

1

− 12

= a12 Δa22 (a2 Mais −1 a2 2

−

−1 a1 2

1

=

−1

− a1 2 ).

1 1 2

1

1 2

1 2

(a2 + τ [a1 − a2 ])2

0

1

dτ (a12 − a22 ).

En utilisant (2.17), nous concluons que y vérifie Δy + cy = 0, dans Ω, y = ∂ν y = 0, sur Γ, o` u 1 2

1 2

c = −a1 Δa2

0

1

1 1 2

1

1

(a2 + τ [a12 − a22 ])2

dτ.

Il s’ensuit que y = 0 par le Corollaire 1.38 (unicité du prolongement). Par suite, a1 = a2 . L’hypothèse (2.17) dans le corollaire 2.12 n’est pas vraiment nécessaire. En effet, nous avons


45

Th´ eor` eme 2.13. Soient a1 , a2 ∈ W+2,∞ (Ω) telles que a1 − a2 ∈ C 1 (Ω). Si Σa1 = Σa2 alors a1 = a2 et ∇a1 = ∇a2 sur Γ. Ce théorème sera démontré au sous-paragraphe 2.3.3. Nous terminons ce paragraphe par un résultat de stabilité conditionnelle pour le problème inverse qui consiste à déterminer q à partir de Λq . Th´ eor` eme 2.14. Soient q1 , q2 ∈ L∞ (Ω) vérifiant q1 − q2 ∈ H01 (Ω) et q1 L∞ (Ω) , q2 L∞ (Ω) , q1 − q2 H 1 (Ω) ≤ M. Alors il existe deux constantes positives C, D qui ne dépendent que de M , n et Ω telles que q1 − q2 L2 (Ω) ≤ C ln

D Λq1 − Λq2

2 − n+2

si Λq1 − Λq2 est assez petit, o` u Λq1 − Λq2 est la norme de Λq1 − Λq2 dans 3 1 2 2 L(H (Γ ), H (Γ )). Avant de donner le preuve de ce théorème, nous montrons d’abord un lemme. Lemme 2.15. Soient q1 , q2 ∈ L∞ (Ω) vérifiant q1 L∞ (Ω) , q2 L∞ (Ω) ≤ M. Alors il existe r0 > 0 tel que pour tout k ∈ Rn et pour tout r ≥ r0 , nous pouvons trouver u1 ∈ Sq1 et u2 ∈ Sq2 possédant les propriétés suivantes : (i) pour j = 1, 2, uj = e−iξj ·x (1 + wξj ), avec ξj ∈ Cn , ξj ·ξj = 0 et ξ1 + ξ2 = k, (ii) wξj L2 (Ω) ≤

C |k|+r ,

(iii) uj H 2 (Ω) ≤ Ceδ(r+|k|) , o` u les constantes C et δ ne dépendent que de M et Ω. Preuve. Rappelons que Pξ (η) = η · η − 2ξ · η. En utilisant l’estimation

P˜ξ2 ≥ |Pξ |2 + |Dj2 Pξ |2 , j

nous arrivons aisément à montrer 2, si, |η| ≤ 4|ξ|, P˜ξ (η) ≥ |η|2 si |η| > 4|ξ|. 2 ,

46


Pour 1 ≤ k, l ≤ n, on note Qk (η) = ηk et Qk,l (η) = ηk ηl , η = (η1 , . . . , ηn ) ∈ Rn . Si |ξ| ≥ 1, un calcul simple nous donne sup η∈Rn

|Qk (η)| , P˜ξ (η)

sup η∈Rn

|Qk,l (η)| ≤ 8|ξ|. P˜ξ (η)

(2.19)

1 (|k| + r), Soient k ∈ Rn et ξ1 , ξ2 donnés par (2.8). Puisque |(ξj )| ≥ 4√ 2 −iξj ·x d’après la Proposition 2.6, il existe uj = e (1 + wj ) ∈ Sqj pourvu que r ≥ r0 , pour un certain r0 indépendant de ξj . De plus,

wj L2 (Ω) ≤

C . |k| + r

Or, d’après la preuve de la Proposition 2.6, wj = Eξj (−qj (1 + wj )) ∈ H 2 (Ω). Ceci, (2.19) et le Théorème 2.3 (ii) entrainent alors wi H 2 (Ω) ≤ C(|k| + r). Il en résulte immédiatement l’estimation uj H 2 (Ω) ≤ Ceδ(|k|+r) .

Preuve du Th´ eor` eme 2.14. Dans cette démonstration C, C , C0 et C1 sont des constantes génériques. Soit uj ∈ Sqj , j = 1, 2, comme dans le lemme ci-dessus. Nous appliquons alors la formule de Green à uq2 ,u1|Γ − u1 et u2 pour avoir (q2 − q1 )u1 u2 = [Λq2 − Λq1 ](u1|Γ )u2 . Ω

Γ

Nous en déduisons −ik·x (q2 − q1 )e = − (q2 − q1 )e−ik·x (w1 + w2 + w1 w2 ) Ω Ω + [Λq2 − Λq1 ](u1|Γ )u2 . Γ

Si q désigne l’extension par 0, en dehors de Ω, de q2 − q1 , nous obtenons |ˆ q (k)| ≤ C(

1 + Λq1 − Λq2 e2δ(|k|+r) ), |k| + r

par les estimations données au Lemme 2.15. Pour simplifier les notations, nous posons γ = Λq1 − Λq2 et ρ = |k| + r. L’inégalité précédente s’écrit alors


47

1 |ˆ q (k)| ≤ C( + γeCρ ). ρ Si |k| ≤ α, pour ρ0 = r0 + α, le minimum sur [ρ0 , +∞) de la fonction est atteint pour ρ∗ tel que −

1 ρ

+ γeCρ

1 + CγeCρ∗ = 0. ρ2∗

1 −Cρ∗ . Notons que la condition ρ∗ ≥ ρ0 est satisfaite si C’est-à-dire γ = Cρ 2 e ∗ 1 −Cρ est décroissante. Par suite, si γ γ est assez petit car la fonction ρ → Cρ 2e est assez petit, nous avons

|ˆ q (k)| ≤ C( Or

1 Cγ

1 C C C C + 2 ) ≤ (1 + ) = , si |k| ≤ α. ρ∗ ρ∗ ρ∗ ρ0 ρ∗

= ρ2∗ eCρ∗ ≤ 2e(C+1)ρ∗ et donc C0 1 = γ1 . ≤ ρ∗ ln( C11 γ )

Il en résulte que |ˆ q (k)| ≤ Cγ1 , si |k| ≤ α.

D’o` u

|k|≤α

|ˆ q (k)|2 ≤ Cαn γ12 .

(2.20)

D’autre part, comme q ∈ H 1 (Rn ), q2H 1 (Rn ) 1 M2 2 |ˆ q (k)| ≤ 2 |k|2 |ˆ q (k)|2 ≤ ≤ . α |k|>α α2 α2 |k|>α

(2.21)

(2.20) et (2.21) impliquent q2L2 (Rn ) = ˆ q 2L2 (Rn ) ≤ Cαn γ12 +

M2 , pour tout α ≥ 0. α2

Le minimum sur [0, +∞) de la fonction α → Cαn γ12 + tel que 2M 2 γ12 − 3 = 0. nCαn−1 ∗ α∗ 2

M2 α2

est atteint en α∗

1

2M n+2 et donc C’est-à-dire, α∗ = ( nCγ 2) 1

4

q2L2 (Rn ) ≤ Cγ1n+2 . Pour faire ce sous-paragraphe, nous avons adapté les différents résultats existant dans la littérature. Spécialement, G. Alessandrini [Al1], [Al2], V. Isakov [Isa3], J. Sylvester et G. Uhlmann [SU1], [SU2].

48


2.1.3 D´ etermination du potentiel ` a partir d’un op´ erateur DN partiel Soit Ω un domaine borné de Rn de classe C 2 et de frontière Γ . Soit γ un 3 fermé de Γ d’intérieur non vide. Introduisons Hγ2 (Γ ), le sous-espace fermé de 3 H 2 (Γ ), donné par 3

3

Hγ2 (Γ ) = {ϕ ∈ H 2 (Γ ); ϕ = 0 sur Γ \ γ}. Rappelons qu’au sous-paragraphe 2.1.2 nous avons noté Aq , q ∈ L∞ (Ω), l’opérateur Aq = −Δ + q ayant pour domaine D(Aq ) = H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω). D’autre part, nous avons vu que si 0 n’est pas dans le spectre de Aq alors 3

1

Λq : ϕ ∈ H 2 (Γ ) → ∂ν uq,ϕ ∈ H 2 (Γ ) définit un opérateur borné, o` u uq,ϕ ∈ H 2 (Ω) est la solution du problème aux limites (−Δ + q)u = 0, dans Ω, u|Γ = ϕ. Nous en déduisons que l’opérateur 3

1 Λ˜q : ϕ ∈ Hγ2 (Γ ) → ∂ν uq,ϕ|γ ∈ H 2 (γ)

est aussi borné. Th´ eor` eme 2.16. Nous supposons que n ≥ 3. Soient q1 , q2 ∈ L∞ (Ω) telles que Γ ∩ supp(q1 − q2 ) = ∅. Alors Λ˜q1 = Λ˜q2 implique q1 = q2 . La démonstration de ce théorème utilise le lemme suivant dans lequel, pour q ∈ L∞ (Ω), nous notons Sq = {u ∈ H 2 (Ω), −Δu + qu = 0 dans Ω}. Lemme 2.17. Soit ω un ouvert de Rn tel que ω ⊂ Ω et Ω \ ω est connexe. Alors S˜q donné par S˜q = {u ∈ Sq ; u = 0 sur Γ \ γ} est dense dans Sq , pour la norme de L2 (ω). Preuve. Nous raisonnons par l’absurde. Nous supposons donc qu’il existe v ∈ Sq tel que uv = 0, ∀u ∈ S˜q . (2.22) ω

Soit G = G(x, y) la fonction de Green pour −Δ + q avec une condition de Dirichlet sur le bord. C’est-` a-dire, G(·, y) est la solution du problème aux limites


49

(−Δ + q)G(·, y) = δy , dans Ω, G(·, y) = 0, sur Γ.

Si u ∈ S˜q alors une intégration par parties nous donne u(x) = ∂νy G(x, y)u(y)dσ(y), x ∈ Ω. γ 3

Donc, pour ϕ = u|Γ ∈ Hγ2 (Γ ), nous avons u(x) = ∂νy G(x, y)ϕ(y)dσ(y), x ∈ Ω.

(2.23)

γ 3

Inversement, si u est donnée par (2.23) pour un certain ϕ ∈ Hγ2 (Γ ) alors u satisfait a` (−Δ + q)u = 0 dans Ω. D’autre part, nous vérifions aisément, comme ci-dessus, que u ˜ ∈ H 2 (Ω), la solution du problème aux limites (−Δ + q)˜ u = 0, dans Ω, u ˜|Γ = ϕ, est donnée par ∂νy G(x, y)ϕ(y)dσ(y), x ∈ Ω.

u˜(x) =

(2.24)

γ

Par suite, u = u˜. En particulier, u = 0 sur Γ \ γ. Nous en déduisons que tout 3 élément de S˜q est donné par la formule (2.23) pour un certain ϕ ∈ Hγ2 (Γ ). Par conséquence, vu (2.22), v(y)∂νy G(x, y)dσ(y) = 0, x ∈ γ. ω

Nous définissons

G(x, y)v(y)dy, x ∈ Ω.

w(x) = ω

Clairement, w ∈ H 2 (Ω), w = ∂ν w = 0 sur γ et v dans ω (−Δ + q)w = v = 0 dans Ω \ ω. Il s’ensuit, d’après le Corollaire 1.38 (unicité du prolongement), que w = v dans Ω \ ω, ce qui entraine que w = ∂ν w = 0 sur ∂ω. Mais (−Δ + q)w = v dans ω. Nous multiplions cette équation par v et nous faisons une intégration par parties pour avoir ω v 2 = 0. Donc v = 0 dans ω. Or (−Δ + q)v = 0 dans Ω. Par suite v = 0 par le Théorème 1.37 (unicité du prolongement). Ceci donne la contradiction recherchée et termine la preuve.

50


Preuve du Th´ eor` eme 2.16. Nous procédons de manière similaire à la preuve du Théorème 2.11. Pour i = 1, 2, soit ui ∈ S˜qi . D’après la formule de Green, nous avons (q1 − q2 )u1 u2 dx = (∂ν u1 u2 − u1 ∂ν u2 )dσ. (2.25) Ω

γ

Soit v1 ∈ H 2 (Ω) la solution du problème aux limites (−Δ + q1 )v1 = 0, dans Ω, v1|Γ = u2|Γ . Comme Λ˜q1 = Λ˜q2 , nous avons alors ∂ν v1 = ∂ν u2 sur γ. D’autre part, de nouveau par la formule de Green, nous obtenons 0= (q1 − q1 )u1 v1 dx = (∂ν u1 v1 − u1 ∂ν v1 )dσ. Ω

(2.26)

(2.27)

γ

Nous combinons (2.25), (2.26), (2.27) et nous utilisons v1|Γ = u2|Γ pour conclure (q1 − q2 )u1 u2 dx = 0, ui ∈ S˜qi i = 1, 2. ω

Il s’ensuit que (q1 − q2 )u1 u2 dx = 0, ui ∈ Sqi i = 1, 2, ω

par le Lemme 2.17. Nous terminons alors la preuve comme celle du Théorème 2.11. C’est-` a-dire en utilisant le fait que F = vect{u1 u2 ; ui ∈ Sqi , i = 1, 2} est dense dans L1 (Ω). L` a encore le Théorème 2.16 s’applique au problème de conductivité inverse. Plus précisément, nous considérons la détermination du coefficient de conductivité à partir d’un opérateur Dirichlet-Neumann partiel. Nous reprenons les notations de la fin du paragraphe 2.1.2. Pour a ∈ W 2,∞ (Ω), a ≥ a0 > 0, nous considérons le problème aux limites non homogène div(a∇w) = 0, dans Ω, 3 (2.28) w|Γ = ϕ ∈ Hγ2 (Γ ). Nous avons vu plus haut que ce problème admet une unique solution wa,ϕ ∈ ˜ a par H 2 (Ω). Nous définissons alors l’opérateur Dirichlet-Neumann partiel Σ 3

ã : ϕ ∈ Hγ2 (Γ ) → ∂ν wa,ϕ|γ ∈ H 12 (γ). Σ De fa¸con similaire qu’auparavant, nous montrons sans peine


ã (a− 12 ϕ) = ϕ∂ν a− 12 + a− 12 Λ˜qa ϕ, Σ 1

51

(2.29)

1

o` u qa = a− 2 Δa 2 . Pour i = 1, 2, soit ai ∈ W 2,∞ (Ω), ai ≥ a0 > 0, et nous supposons que ˜ a2 et a1 = a2 dans un voisinage de Γ . De la dernière identité nous ˜ Σa1 = Σ u, q1 = q2 par le Théorème déduisons Λ˜q1 = Λ˜q2 , avec qi = qai , i = 1, 2. D’o` 2.16, ce qui implique, comme au paragraphe 2.1.2, que a1 = a2 . En résumé, nous venons de démontrer Th´ eor` eme 2.18. Soient a1 , a2 ∈ W 2,∞ (Ω), ai ≥ a0 > 0, i = 1, 2, telles que ˜ a1 = Σ ˜ a2 implique a1 = a2 . a1 = a2 dans un voisinage de Γ . Alors Σ Les résultats de ce paragraphe proviennent essentiellement de H. Ammari et G. Uhlmann [AU]. 2.1.4 Une m´ ethode directe de construction de solutions “optique g´ eom´ etrique” Nous introduisons d’abord quelques définitions. Dans ce qui suit, (e1 , . . . , en ) désigne la base canonique de Rn . Notons le cube (−R, R)n par Q et posons Z0 = {α = (α1 , . . . , αn ) ∈ Rn ; Observons que

αj R α1 R 1 − ∈ Z et ∈ Z si j ≥ 2}. π 2 π

π π e1 + Zn 2R R si α = (α1 , . . . , αn ) ∈ Z0 . Z0 =

et donc |α1 | ≥

π 2R

1 (Rn ) est dite Q-périodique si Nous rappelons qu’une fonction u ∈ Hloc

u(· + 2Rej ) = u(·), 1 ≤ j ≤ n. Remarquons qu’une fonction Q-périodique est entièrement déterminée par ses 1 (Rn ) des fonctions Q-périodiques sera valeurs dans Q. Le sous-espace de Hloc 1 1 1 noté Hper (Q). Clairement, Hper (Q) est un sous-espace fermé de Hloc (Rn ). 2 Nous définissons aussi Hper (Q) par 2 1 1 (Q) = {u ∈ Hper (Q); ∂j u ∈ Hper (Q), 1 ≤ j ≤ n}. Hper

Nous introduisons aussi les fonctions Z0 -quasi-périodiques. Une fonction iπx1 1 u ∈ Hloc (Rn ) est dite Z0 -quasi-périodique si la fonction x → e− 2R u(x) est 1 Q-périodique. L’ensemble des fonctions, de Hloc (Rn ), Z0 -quasi-périodiques, 1 1 noté HZ0 (Q), est un sous-espace fermé de H (Q). De la même manière, nous 2 définissons HZ2 0 (Q) comme étant l’espace des fonctions de Hloc (Q) qui sont Z0 -quasi-périodiques. Nous vérifions sans peine que

52


HZ1 0 (Q) = e

iπx1 2R

1 Hper (Q) et HZ2 0 (Q) = e

iπx1 2R

2 Hper (Q).

Pour α ∈ Z0 , nous posons ϕα (x) = (2R)− 2 eiα·x . n

(2.30)

Nous vérifions aisément que ϕα est Z0 -quasi-périodique, (ϕα )α∈Z0 est une base hilbertienne de L2 (Q) et ∇ϕα = iαϕα ,

Δϕα = −|α|2 ϕα .

Nous donnons maintenant quelques propriétés des fonctions Q-périodiques. 1 Soient u, v ∈ C 1 (Q) ∩ Hper (Q). En remarquant que σ → νj (σ) est antipériodique sur ∂Q, 1 ≤ j ≤ n, nous avons uvνj dσ = 0, 1 ≤ j ≤ n ∂Q

et par suite,

∇uvdx = −

u∇vdx.

Q

Q

2 (Q), σ → ∇u(σ) · ν(σ) étant anti-périodique, Aussi, pour u, v ∈ C 2 (Q) ∩ Hper nous avons ∂ν uvdσ = 0, u∂ν vdσ = 0. ∂Q

∂Q

D’o` u

Δuvdx =

Q

uΔvdx. Q

Nous nous donnons u, v ∈ C 2 (Q) deux fonctions Z0 -quasi-périodiques. Donc ϕ et ψ, données par ϕ(x) = e−

iπx1 2R

u(x),

ψ(x) = e−

iπx1 2R

v(x)

sont Q-périodiques et ∇u = e

iπx1 2R

∇ϕ +

iπ iπx1 e 2R ϕe1 , 2R

∇v = e

iπx1 2R

∇ψ +

iπ iπx1 e 2R ψe1 . 2R

Des dernières formules, nous déduisons iπ (∂ν uv − u∂ν v)dσ = (∂ν ϕψ − ϕ∂ν ψ)dσ + ϕψe1 · νdσ = 0. R ∂Q ∂Q ∂Q De cette identité, nous tirons ∇uvdx = − u∇vdx Q

Q

(2.31)


et

53

Δuvdx =

Q

uΔvdx.

(2.32)

Q

Un argument classique de densité permet d’étendre (2.31) (resp. (2.32)) a` u, v ∈ HZ1 0 (Q) (resp. u, v ∈ HZ2 0 (Q)). Proposition 2.19. Soient s ∈ R, s = 0, ξ ∈ Rn tel que ξ·e1 = 0 et posons ζ = iξ + se1 . Alors, pour tout f ∈ L2 (Q), il existe un unique ψ ∈ HZ1 0 (Q) ∩ H 2 (Q) tel que −Δψ − 2ζ · ∇ψ = f, dans Q. (2.33) De plus ψL2 (Q) ≤

R f L2 (Q) . π|s|

Preuve. Comme (ϕα )α∈Z0 est une base hilbertienne de L2 (Q), (2.33) est équivalente a` −Δψ − 2ζ · ∇ψ, ϕα = f, ϕα , pour tout α ∈ Z0 , o` u ·, · désigne le produit scalaire usuel sur L2 (Q). Des formules (2.31) et (2.32), nous déduisons −Δψ − 2ζ · ∇ψ, ϕα = (α · α − 2iζ · α)ψ, ϕα , pour tout α ∈ Z0 . Comme |α · α − 2iζ · α| ≥ |(α · α − 2iζ)| = |2sα1 | ≥

|s|π , R

(2.34)

nous concluons ψ, ϕα =

f, ϕα , pour tout α ∈ Z0 . α · α − 2iζ · α

Nous avons donc ψ=

α∈Z0

f, ϕα ϕα α · α − 2iζ · α

et, par (2.34), ψL2 (Q) =

α∈Z0

R2 |f, ϕα |2 ≤ f L2 (Q) . |α · α − 2iζ · α|2 |s|2 π 2

Pour terminer, nous notons que ψ ∈ H 2 (Q) résulte tout simplement des résultats de régularité elliptique.

54


Corollaire 2.20. Soit ζ = iξ + η, avec ξ, η ∈ Rn vérifiant ξ · η = 0 et η = 0. Si X est un ouvert borné de Rn , alors il existe un opérateur borné Eζ : L2 (X) → H 2 (X) tel que ψ = Eζ (f ) ∈ H 2 (X) est solution de −Δψ − 2ζ · ∇ψ = f.

(2.35)

De plus Eζ L(L2 (X),H 2 (X)) ≤

C , |η|

o` u C est une constante, indépendante de ξ et η. Preuve. Sans perte de généralité, nous supposons que 0 ∈ X. Fixons alors un R > 0 tel que pour toute rotation S de Rn autour de l’origine, S(X) ⊂ Q = (−R, R)n . Nous nous donnons η ∈ Rn , η = 0, nous posons s = |η| et nous considérons S une rotation autour de l’origine telle que Se1 = ηs . Pour f ∈ L2 (X), nous notons son prolongement, sur Rn tout entier, par 0 en dehors de X par f0 . 1 1 (Rn ) alors v(x) = u(Sx) ∈ Hloc (Rn ) et vérifie Si u ∈ Hloc

ζ0 · ∇v(x) = (Sζ0 ) · (∇u)(Sx),

Δv(x) = Δu(x),

o` u ζ0 = iS ∗ ξ + S ∗ η. Donc pour trouver une solution de (2.35), il suffit de résoudre v ∈ H 2 (Q) ∩ HZ1 0 (Q),

−Δv − 2ζ0 · ∇v = g,

o` u g(x) = f0 (Sx). D’après la Proposition 2.19, ce dernier problème admet une unique solution telle que vL2 (Q) ≤

C gL2(Q) . s

Il suffit de poser Eζ (f ) = (v ◦ S ∗ )|X , qui possède bien les propriétés requises. Proposition 2.21. Soit ζ = iξ + η, avec ξ, η ∈ Rn vérifiant ξ · η = 0 et η = 0. Si X est un ouvert borné de Rn et q ∈ L∞ (X), qL∞ (X) ≤ M , avec M une constante positive donnée, alors nous trouvons une constante K > 0, qui ne dépend que de M , pour laquelle pour tous |η| ≥ K et f ∈ L2 (X), il existe ψ ∈ H 2 (X) vérifiant −Δψ − 2ζ · ∇ψ + qψ = f (2.36) et ψL2 (X) ≤

C f L2 (X) , |η|

o` u C est une constante, indépendante de ξ et η et f .


55

Preuve. Notons que l’équation (2.36) est équivalente a` −Δψ − 2ζ · ∇ψ = −qψ + f. Si Eζ est l’opérateur du Corollaire 2.20, nous sommes donc ramenés à résoudre ψ = Fζ (ψ) = Eζ (f ) − Eζ (qψ). Nous avons Eζ ≤

C |η| .

(2.37)

Donc si |η| ≥ 2CM alors

1 ψ1 − ψ2 L2 (X) , 2 pour tous ψ1 , ψ2 ∈ L2 (X). Donc, Fζ étant une contraction stricte sur L2 (X), (2.37) admet une unique solution ψ ∈ L2 (X), et comme Eζ envoie L2 (X) dans H 2 (X), ψ ∈ H 2 (X). Finalement, Fζ (ψ1 ) − Fζ (ψ2 )L2 (X) = Eζ (qψ1 ) − Eζ (qψ2 )L2 (X) ≤

ψL2 (X) ≤ D’o` u, puisque

CM |η|

C CM f L2(X) + ψL2 (X) . |η| |η|

≤ 12 , ψL2 (X) ≤

2C f L2(X) , |η|

ce qui termine la preuve. Les résultats de ce sous-paragraphe sont dus à [Ha]. 2.1.5 Construction de solutions “optique g´ eom´ etrique” ` a l’aide d’une in´ egalit´ e de Carleman

Soit Ω un domaine borné de Rn , de frontière Γ . Même si ce n’est pas toujours nécessaire, nous supposerons que Ω est de classe C 2 . Pour ξ ∈ S n−1 = {η ∈ Rn ; |η| = 1}, nous introduisons les ensembles Γ± (ξ) = {x ∈ Γ ; ±ν(x) · ξ > 0}. Dans tout ce sous-paragraphe, les fonctions que nous considérerons seront a valeurs complexes. ` Nous commen¸cons par démontrer la Proposition 2.22. Pour tout λ > 0 et pour tout u ∈ C 2 (Ω), u = 0 sur Γ , 4λ2 −2λ(x·ξ) 2 e |u| dx + 2λ e−2λ(x·ξ) (ξ · ν)|∂ν u|2 dσ m2 Ω Γ+ (ξ) e−2λ(x·ξ) |Δu|2 dx ≤ Ω − 2λ e−2λ(x·ξ) (ξ · ν)|∂ν u|2 dσ, (2.38) Γ− (ξ)

o` u m = sup{|x|; x ∈ Ω}.

56


Preuve. Soient λ > 0, u ∈ C 2 (Ω) u = 0 sur Γ et v = e−λ(x·ξ) u. Si L = e−λ(x·ξ) Δeλ(x·ξ) = Δ + 2λξ · ∇ + λ2 , alors |e−λ(x·ξ) Δu|2 = |Lv|2 .

(2.39)

Nous écrivons L = L+ + L− , avec L+ = Δ + λ2 et L− = 2λξ · ∇. Donc |Lv|2 = |L+ v|2 + |L− v|2 + 2(L+ vL− v). Nous utilisons la formule 2(ξ · v∇v) = ξ · ∇(|v|2 ) pour avoir 2 (ξ · v∇v)dx = ξ · ∇(|v|2 )dx = (ξ · ν)|v|2 dσ = 0, Ω

Ω

car v = 0 sur Γ . D’autre part, pour 1 ≤ i, j ≤ n, 2 2 (∂ii v∂j vξj )dx = −2 (∂i v∂ij vξj )dx + 2 2 Ω

(2.40)

Γ

Ω

(∂i v∂j vξj )νi dσ

∂Ω

2 et donc, puisque 2(∂i v∂ij v) = ∂j (|∂i v|2 ),

(div(|∇v|2 ξ)dx + 4λ (∂ν v∇v · ξ)dσ Γ Ω |∇v|2 (ξ · ν)dσ + 4λ (∂ν v∇v · ξ)dσ. = −2λ

(Δv(ξ · ∇v))dx = −2λ

4λ Ω

Γ

Γ

Or v = 0 sur Γ . Donc son gradient tangentiel est nul sur Γ . D’o` u, ∇v = ∂ν vν et par conséquence Δv(ξ · ∇v)dx = 2λ |∂ν v|2 (ξ · ν)dσ 4λ Ω Γ = 2λ (e−2λ(x·ξ) |∂ν u|2 (ξ · ν))dσ. (2.41) Γ

(2.40) et (2.41) impliquent 2 (L+ vL− v)dx = 4λ (Δv(ξ · ∇v))dx + 4λ3 (ξ · v∇v) Ω Ω Ω = +2λ e−2λ(x·ξ) |∂ν u|2 (ξ · ν)dσ. (2.42) Γ

Maintenant, d’après la Proposition 1.22, nous avons 4λ2 4λ2 |L− v|2 dx = 4λ2 |∇v|2 dx ≥ 2 |v|2 dx = 2 e−2λ(x·ξ) |u|2 dx. m m Ω Ω Ω Ω (2.43) Vu (2.42) et (2.43), nous obtenons


e−2λ(x·ξ) |Δu|2 dx =

57

|Lv|2 dx

|L− v|2 + 2 (L+ vL− v)dx Ω Ω 4λ2 e−2λ(x·ξ) |u|2 dx + 2λ e−2λ(x·ξ) |∂ν u|2 (ξ · ν)dσ, ≥ 2 m Ω Γ

Ω

Ω

≥

ce qui entraine (2.38). Comme conséquence de cette proposition, nous avons le

Corollaire 2.23. (Inégalité de Carleman) Soient q ∈ L∞ (Ω) et M ≥ qL∞ . Alors il existe deux constantes positives λ0 et C, qui ne dépendent que de Ω et M , telles que : pour tout λ ≥ λ0 et pour tout u ∈ C 2 (Ω), u = 0 sur Γ , 2 −2λ(x·ξ) 2 e |u| dx + λ e−2λ(x·ξ) (ξ · ν)|∂ν u|2 dσ Cλ Ω Γ+ (ξ) e−2λ(x·ξ) |(Δ − q)u|2 dx ≤ Ω −λ e−2λ(x·ξ) (ξ · ν)|∂ν u|2 dσ. (2.44) Γ− (ξ)

Preuve. Pour u ∈ C 2 (Ω), u = 0 sur Γ , nous avons |Δu|2 ≤ 2|(Δ − q)u|2 + 2q2L∞ |u|2 ≤ 2|(Δ − q)u|2 + 2M 2 |u|2 . Vu la Proposition 2.22, il suffit de choisir λ0 telle que 0 < poser 2C =

4 m2

−

4 m2

2M 2 . λ20

−

2M 2 λ20

et de

Nous fixons ξ ∈ S n−1 jusqu’` a la fin de la preuve du Lemme 2.24 et soit q ∈ L∞ (Ω). Pour λ ∈ R, nous munissons L2 (Ω) du produit scalaire équivalent (·, ·)λ donné par (f, g)λ = e2λ(x·ξ) f (x)g(x)dx. Ω

La norme associée à ce produit scalaire sera notée · λ . Quand L2 (Ω) est muni du produit scalaire (·, ·)λ , nous le noterons L2λ (Ω). Clairement, le dual de L2λ (Ω) s’identifie a` L2−λ (Ω). Plus précisément, pour tout ϕ ∈ L2λ (Ω) , il existe un unique g ∈ L2−λ (Ω) telle que ϕ(f ) = (g, f )0 pour tout f ∈ L2λ (Ω). Soit X = {w ∈ C 2 (Ω); w|Γ = 0 et ∂ν w|Γ+ (ξ) = 0}. Nous considérons alors Y le sous-espace de L2λ (Ω) donné par Y = (−Δ + q)X .

58


Lemme 2.24. Il existe deux constantes positives λ0 et K, qui ne dépendent que de Ω et M , M ≥ qL∞ (Ω) , telles que pour tout λ ≥ λ0 et pour tout f ∈ L2 (Ω), il existe v ∈ HΔ (Ω) vérifiant (−Δ + q)v = f, dans Ω, v|Γ− (ξ) = 0, et v−λ ≤

K f −λ . λ

Preuve. Soient λ0 et C (qui dépendent uniquement de Ω et M ) les deux constantes du Corollaire 2.23. L’inégalité de Carleman (2.44), avec −ξ à la a la place q, nous donne place de ξ et q ` Cλ2 w2λ ≤ (−Δ + q)w2λ ,

(2.45)

pour tout λ ≥ λ0 et pour tout w ∈ X . Notons que, pour établir (2.45), nous avons utilisé Γ− (ξ) = Γ+ (−ξ). Nous définissons sur Y la forme anti-linéaire l comme suit l : Y → C : l((−Δ + q)w) = (f, w)0 , w ∈ X . Nous remarquons que l, donnée comme ci-dessus, est bien définie. En effet, si w1 , w2 ∈ X sont telles que (−Δ + q)w1 = (−Δ + q)w2 alors w1 = w2 par (2.45). De plus, (2.45) nous fournit aussi |l((−Δ + q)w)| ≤ f −λ wλ ≤

f −λ √ (−Δ + q)wλ , ∀w ∈ X . λ C

C’est-à-dire,

f −λ √ hλ , h ∈ Y. (2.46) λ C En d’autres termes, l est continue sur Y. Nous invoquons alors le théorème de prolongement de Hahn-Banach (voir [Sc2] par exemple) pour conclure que l se prolonge en une forme anti-linéaire continue, encore notée l, sur L2λ (Ω). D’o` u, il existe un unique v ∈ L2−λ (Ω) tel que |l(h)| ≤

v−λ = l,

(2.47)

l étant la norme de l comme élément de L2λ (Ω) , et l(w) = (v, w)0 , w ∈ L2λ (Ω). En particulier, (f, w)0 = (v, (−Δ + q)w)0 , w ∈ X . De plus (2.46) et (2.47) impliquent

(2.48)


59

1 v−λ ≤ √ f −λ . λ C Comme D(Ω) ⊂ X , nous déduisons, de fa¸con standard, de (2.48) que (−Δ + q)v = f, dans D (Ω), et par suite v ∈ HΔ (Ω). Nous utilisons ensuite la formule d’intégration par parties du Théorème 1.20 et (2.48) pour déduire v∂ν w = 0, pour tout w ∈ X , Γ

et donc v = 0 sur Γ− (ξ). Nous utilisons maintenant ce lemme pour démontrer la

Proposition 2.25. Soient q ∈ L∞ (Ω) et M ≥ qL∞ (Ω) . Nous pouvons alors trouver deux constantes positives λ0 et C, ne dépendant que de M et Ω, telles que : pour tout λ ≥ λ0 et pour tout ρ = λ(ξ + iη), avec ξ, η ∈ S n−1 , ξ · η = 0, il existe u ∈ HΔ (Ω) telle que (−Δ + q)u = 0 dans Ω et u = eρ·x (1 + w), o` u w ∈ HΔ (Ω) vérifie C . λ Preuve. Soient λ0 , K comme dans le Lemme 2.24 et soit λ ≥ λ0 . Il existe alors v ∈ HΔ (Ω) telle que (−Δ + q)v = −qeρ·x , dans Ω, v|Γ− (ξ) = 0, w|Γ− (ξ) = 0 et wL2 (Ω) ≤

et

K qeρ·x −λ . λ = eρ·x (1 + w), nous vérifions sans difficulté que

v−λ ≤ Si w = e−ρ·x v et u = v + eρ·x

1

w

L2 (Ω)

= e

−ρ·x

v

L2 (Ω)

1

K K|Ω| 2 K|Ω| 2 M qL∞ ≤ , = v−λ ≤ qeρ·x −λ ≤ λ λ λ

(−Δ + q)u = 0 dans Ω et w|Γ− (ξ) = 0.

Les résultats de ce paragraphe correspondent à une partie de l’article de A. L. Bukhgeim et G. Uhlmann [BU]. Dans ce même article, les auteurs utilisent les solutions “optique géométrique”, données par la Proposition 2.25, pour démontrer l’unicité de q dans −Δ + q, a` partir d’un opérateur DirichletNeumann partiel. C’est un résultat qui généralise le Théorème 2.6. Le lecteur intéressé pourra consulter l’article original pour les énoncés précis et les démonstrations (voir aussi le Problème 5).

60


2.2 Un probl` eme spectral inverse : un th´ eor` eme de Borg-Levinson multidimensionnel 2.2.1 Unicit´ e Dans ce sous-paragraphe Ω est un domaine borné de Rn de classe C 2 . Nous notons sa frontière par Γ . Comme au paragraphe précédent, Aq , q ∈ L∞ (Ω), est l’opérateur −Δ + q ayant pour domaine D(Aq ) = H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω). Nous rappelons que le spectre de Aq est constitué de valeurs propres, comptées avec leur multiplicité, −∞ < λ1,q ≤ λ2,q ≤ . . . ≤ λk,q → +∞, et que Aq possède une base de fonctions propres (ϕk,q ). Nous verrons plus loin 1 que, pour chaque k, ϕk,q ∈ H 2 (Ω) et donc ∂ν ϕk,q ∈ H 2 (Γ ). Notre objectif ici est de démontrer le Th´ eor` eme 2.26. Soient q1 , q2 ∈ L∞ (Ω) et (ϕk,q1 ) une base de fonctions propres de Aq1 . Nous supposons que, pour tout k, λk,q1 = λk,q2 et qu’il existe (ϕk,q2 ) une base de fonctions propres de Aq2 telle que ∂ν ϕk,q1 = ∂ν ϕk,q2 pour chaque k. Alors q1 = q2 . Nous montrons d’abord quelques résultats préliminaires. Dans la suite, pour q ∈ L∞ (Ω), σ(Aq ) et ρ(Aq ) désignent respectivement le spectre et l’ensemble résolvant de Aq , c’est-à-dire, σ(Aq ) = {λk,q , k ≥ 1} et ρ(Aq ) = C\σ(Aq ). 3

D’après le Théorème 1.26, si λ ∈ ρ(Aq ) et si f ∈ H 2 (Γ ) alors il existe un unique uq,f (λ) solution du problème aux limites −Δu + qu − λu = 0, dans Ω, u = f, sur Γ, et l’opérateur Λq (λ) : f → ∂ν uq,f (λ) 3 2

1

est borné de H (Γ ) dans H 2 (Γ ). Soient maintenant q1 , q2 ∈ L∞ (Ω) et λ ∈ R tels que λ < 0 et |λ| ≥ 2M , o` u M ≥ max(q1 L∞ , q2 L∞ ). Nous posons u = uq1 ,f (λ) − uq2 ,f (λ). Alors il est aisé de voir que u est la solution du problème aux, limites −Δu + q1 u − λu = (q2 − q1 )uq2 ,f (λ), dans Ω, u = 0, sur Γ.

2.2 Théorème de Borg-Levinson multidimensionnel

Par une application de la formule de Green, nous obtenons |∇u|2 + (q1 − λ)u2 = (q2 − q1 )uq2 ,f (λ)u. Ω

D’o` u

Ω

61

(2.49)

Ω

|λ| uL2 (Ω) ≤ q1 − q2 L∞ (Ω) uq2 ,f (λ)L2 (Ω) 2

et donc uL2(Ω) ≤

4M uq2 ,f (λ)L2 (Ω) . |λ|

(2.50)

u v0 et v1 sont les solutions D’autre part, nous avons uq2 ,f (λ) = v0 + v1 , o` respectives des problèmes aux limites −Δv = 0, dans Ω, v = f, sur Γ, et

−Δv + q2 v − λv = (λ − q2 )v0 , dans Ω, v = 0, sur Γ.

Comme précédemment, nous avons l’estimation v1 L2 (Ω) ≤

4q2 − λL∞ (Ω) v0 L2 (Ω) ≤ 8v0 L2 (Ω) . |λ|

Or, d’après le Théorème 1.26, v0 L2 (Ω) ≤ Cf 32 , o` u C dépend uniqueH (Γ ) ment de Ω. Il en résulte que uq2 ,f (λ)L2 (Ω) ≤ Cf

3

H 2 (Γ )

.

(2.51)

Cette estimation, en combinaison avec (2.50), entraine uL2(Ω) ≤

C f 32 . H (Γ ) |λ|

(2.52)

Une nouvelle application de l’estimation du Théorème 1.26 conduit a` uH 2 (Ω) ≤ C(|λ|uL2 (Ω) + q2 − q1 L∞ (Ω) uq2 ,f (λ)L2 (Ω) ). Ceci, (2.51) et (2.52) impliquent uH 2 (Ω) ≤ Cf

3

H 2 (Γ )

,

(2.53)

o` u la constante C ne dépend que de Ω et M . Nous faisons alors appel a` l’inégalité d’interpolation

62

2 Problèmes inverses elliptiques 1− s

s

2 2 uH s (Ω) ≤ CuL2 (Ω) uH 2 (Ω) , 0 ≤ s ≤ 2,

pour conclure que uH s (Ω) ≤

C 3 , 0 ≤ s ≤ 2, s f H 2 (Γ ) |λ|1− 2

o` u C est une constante qui dépend uniquement de Ω, M et s. Nous en déduisons que, pour 0 ≤ t ≤ 12 , ∂ν uH t (Γ ) ≤

C |λ|

1−2t 4

f

3

H 2 (Γ )

, 3

car l’opérateur de trace w → ∂ν w|Γ est borné de H t+ 2 (Ω) dans H t (Γ ). Par 3 suite, · t désignant la norme dans L(H 2 (Γ ), H t (Γ )), Λq1 (λ) − Λq2 (λ)t ≤

C |λ|

1−2t 4

.

En particulier, nous avons le Lemme 2.27. Pour 0 ≤ t < 12 , lim Λq1 (λ) − Λq2 (λ)t = 0.

λ→−∞

Les espaces H s (Ω), 0 ≤ s ∈ R, se construisent à partir des espaces H (Ω), m entier positif, par interpolation. Pour 0 < s < 1 et m ≥ 0 entier, H m+s (Ω) constitue un espace intermédiaire entre H m (Ω) et H m+1 (Ω). Le lecteur intéressé pourra consulter J.-L. Lions et E. Magenes [LM] pour avoir plus de détails sur la construction des espaces H s (Ω), ainsi que les théorèmes de traces pour ces espaces. m

Nous énon¸cons maintenant un second lemme. Lemme 2.28. Soit q ∈ L∞ (Ω). Alors pour tout entier m > 3 f ∈ H 2 (Γ ) et pour tout λ ∈ ρ(Aq )

n 2,

pour tout

dm 1 Λ (λ)f = −m! f, ∂ν ϕk,q ∂ν ϕk,q , q dλm (λk,q − λ)m+1 k≥1

o` u f, ∂ν ϕk,q =

f ∂ν ϕk,q dσ. Γ

Preuve. Pour λ ∈ ρ(Aq ), nous posons Rq (λ) = (Aq − λ)−1 . D’après la Proposition 2.30 ci-dessous, Rq (λ)h =

k≥1

1 (h, ϕk,q )ϕk,q , h ∈ L2 (Ω), λk,q − λ


63

(·, ·) désignant le produit scalaire dans L2 (Ω) et λ ∈ ρ(Aq ) → Rq (λ) ∈ L(L2 (Ω), H 2 (Ω)) est holomorphe. 3

Soient f ∈ H 2 (Γ ) et F la solution du problème aux limites −Δu = 0, dans Ω, u = f, sur Γ. Nous vérifions facilement que uq,f (λ) = F − Rq (λ)[(q − λ)F ] et donc λ ∈ ρ(Aq ) → uq,f (λ) est holomorphe. D’autre part, il est aisé de voir dm que u(m) = dλ m uq,f (λ), m ≥ 1, est la solution de −Δu + qu − λu = mu(m−1) , dans Ω, u = 0, sur Γ. C’est-à -dire, u(m) = mRq (λ)um−1 = . . . = m!Rq (λ)m u0 , ou encore u(m) = m!Rq (λ)m {F − Rq (λ)[(q − λ)F ]}.

(2.54)

A l’aide de la formule de Green et de l’identité (q − λ)ϕk,q = (λk,q − λ)ϕk,q + Δϕk,q , nous obtenons ((q − λ)F, ϕk,q ) = (λk,q − λ)(F, ϕk,q ) + f, ∂ν ϕk,q . Il s’ensuit que Rq (λ)m+1 [(q − λ)F ] =

k≥1

1 ((q − λ)F, ϕk,q )ϕk,q (λk,q − λ)m+1

= Rq (λ)m F +

k≥1

1 f, ∂ν ϕk,q ϕk,q . (λk,q − λ)m+1

Nous admettons pour le moment que la série ci-dessus est convergente dans H 2 (Ω) pour m > n2 . (2.54) entraine alors u(m) (λ) = −m!

k≥1

(λk,q

1 f, ∂ν ϕk,q ϕk,q . − λ)m+1

Par suite,

1 dm Λq (λ)f = ∂ν u(m) (λ) = −m! f, ∂ν ϕk,q ∂ν ϕk,q . m dλ (λk,q − λ)m+1 k≥1

64


Pour compléter la preuve, il nous reste à montrer la convergence dans 1 H 2 (Ω) de la série de terme général (λk,q −λ) m+1 f, ∂ν ϕk,q ϕk,q . Nous rappelons d’abord que si (μk ) est la suite des valeurs propres de A0 (i.e. Aq avec q = 0), alors il existe deux constantes positives C1 et C2 , qui dépendent uniquement de Ω, telles que 2 2 (2.55) C1 k n ≤ μk ≤ C2 k n . (Le lecteur trouvera une démonstration de ces estimations dans O. Kavian [Ka1].) D’autre part, nous montrons facilement, à l’aide de la formule du min-max (voir par exemple R. Dautray et J.-L. Lions [DL]) pour les valeurs propres, que μk ≤ λk,q + qL∞ (Ω) ≤ μk + 2qL∞ (Ω) . Ceci, combiné avec le fait ϕk,q H 2 (Ω) ≤ C|λk,q |ϕk,q L2 (Ω) = C|λk,q | (voir le Théorème 1.26), conduit a`

1 1 f, ∂ν ϕk,q ϕk,q H 2 ∼ 2m quand k → +∞. (λk,q − λ)m+1 k n

Ce qui achève la démonstration. 3 2

Preuve du Th´ eor` eme 2.26. Soit f ∈ H (Γ ). D’après le lemme 2.28, il existe λ0 > 0 tel que n dm [Λq1 (λ)f − Λq2 (λ)f ] = 0 pour tous m > , et λ ≤ −λ0 , dλm 2 et donc Λq1 (λ)f − Λq2 (λ)f est un polynˆ ome en λ. D’o` u Λq1 (λ)f − Λq2 (λ)f = 0 pour tout λ ≤ −λ0 par le Lemme 2.27. Pour conclure, nous utilisons le théorème suivant : Th´ eor` eme 2.29. Soient q1 , q2 ∈ L∞ (Ω). Nous supposons qu’il existe λ0 > 0 tel que Λq1 (λ) = Λq2 (λ) pour tout λ ≤ −λ0 . Alors q1 = q2 . La démonstration de ce théorème est quasi-similaire à celle du Théorème 2.11 sauf qu’il faut utiliser le Théorème 2.9 à la place du Théorème 2.7. Nous terminons ce paragraphe par la preuve du résultat que nous avons utilisé pour démontrer le Lemme 2.28. Proposition 2.30. i) Pour tout λ ∈ ρ(Aq ) et pour tout h ∈ L2 (Ω), Rq (λ)h =

k≥1

1 (h, ϕk,q )ϕk,q . λk,q − λ

ii) Soit λ ∈ ρ(Aq ). Alors il existe deux constantes δ > 0 et C > 0 pour lesquelles


65

Rq (λ + μ) − Rq (λ) − μRq (λ)2 L(L2 (Ω),H 2 (Ω)) ≤ C|μ|2 , ∀μ ∈ C, |μ| ≤ δ. (2.56) En particulier, λ ∈ ρ(Aq ) → Rq (λ) ∈ L(L2 (Ω), H 2 (Ω)) est holomorphe. Preuve. i) Nous fixons λ ∈ ρ(Aq ) et h ∈ L2 (Ω). Pour 1 ≤ k < l, nous avons (−Δ + q − λ)

l

i=k

1 (h, ϕi,q )ϕi,q = (h, ϕi,q )ϕi,q . λi,q − λ l

i=k

Ceci et le Théorème 1.26 nous permettent de conclure qu’il existe une constante C > 0 (qui dépend de q et λ) telle que

l

i=k

l l

1 1 (h, ϕi,q )ϕi,q H 2 (Ω) ≤ C (h, ϕi,q )ϕi,q L2 (Ω) = C( (h, ϕi,q )2 ) 2 . λi,q −λ i=k

i=k

Or la série de terme général (h, ϕi,q )2 converge vers h2L2 (Ω) et donc la série de terme général λi,q1−λ (h, ϕi,q )ϕi,q converge vers sa somme dans H 2 (Ω), qui est aussi un élément de H01 (Ω). Nous utilisons maintenant le fait que (−Δ + q − λ)[Rq (λ)h −

i≤k

1 (h, ϕi,q )ϕi,q ] = h − (h, ϕi,q )ϕi,q , λi,q − λ i≤k

et de nouveau le Théorème 1.26 pour déduire que Rq (λ)h −

i≤k

1 (h, ϕi,q )ϕi,q H 2 (Ω) ≤ Ch − (h, ϕi,q )ϕi,q L2 (Ω) . λi,q − λ i≤k

Le résultat s’ensuit alors puisque le membre de droite dans l’inégalité ci-dessus converge vers 0 quand k tend vers +∞. ii) Soit λ ∈ ρ(Aq ). Ce dernier étant ouvert, il existe donc δ > 0 tel que λ + μ ∈ ρ(Aq ) pour tout μ ∈ C, |μ| ≤ δ. Comme u = Rq (λ + μ)h, h ∈ L2 (Ω) et |μ| ≤ δ, vérifie (−Δ + q − λ)u = μu + h, nous avons alors Rq (λ + μ) = μRq (λ)Rq (λ + μ) + Rq (λ). D’o` u, Rq (λ + μ) − Rq (λ) − μRq (λ)2 = μRq (λ)[Rq (λ + μ) − Rq (λ)]. Nous utilisons encore une fois le Théorème 1.26 (appliqué à u = Rq (λ)[Rq (λ + μ) − Rq (λ)]h) pour conclure que

66


[Rq (λ + μ) − Rq (λ) − μRq (λ)2 ]hH 2 (Ω) ≤ C|μ|[Rq (λ + μ) − Rq (λ)]hL2 (Ω) , (2.57) o` u C est une constante indépendante de μ. D’autre part, pour h ∈ L2 (Ω), [Rq (λ + μ) − Rq (λ)]h = μ

(λk,q

k≥1

1 (h, ϕk,q )ϕk,q − λ − μ)(λk,q − λ)

et donc [Rq (λ + μ) − Rq (λ)]hL2 (Ω) ≤ KhL2(Ω) ,

(2.58)

1 (λk,q −λ−μ)(λk,q −λ)

uniformément en k avec K > 0 une constante qui majore et μ. Nous combinons (2.57) et (2.58) pour avoir (2.56). Le Théorème 2.26 a été démontré indépendamment par A. Nachman, J. Sylvester, G. Uhlmann [NSU] et R. G. Novikov [No]. La démonstration, de ce théorème, que nous donnons ici suit les grandes lignes de celle proposée dans [NSU]. Nous verrons au sous-paragraphe 2.2.4 un résultat dˆ u a` H. Isozaki [Iso] qui dit que la conclusion du Théorème 2.26 reste valable seulement avec λk,q1 = λk,q2 et ∂ν ϕk,q1 = ∂ν ϕk,q2 ` a partir d’un certain rang. 2.2.2 Stabilit´ e Les notations sont celles du paragraphe précédent. Soient 0 ≤ q ∈ L∞ (Ω), (λk,q ) la suite des valeurs propres de l’opérateur Aq et (ϕk,q ) une base oru, rappelons le, Aq est l’opérateur thonormale de fonctions propres pour Aq o` −Δ + q avec pour domaine D(Aq ) = H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω). Dans ce qui suit C est une constante générique ne dépendant que de Ω et q. Puisque ϕk,q est solution du problème aux limites (−Δ + q)ϕ = λn,q ϕ, dans Ω, ϕ|Γ = 0, alors, d’après le Théorème 1.26, elle vérifie ϕk,q H 2 (Ω) ≤ Cλk,q ϕk,q L2 (Ω) = Cλk,q et donc ∂ν ϕk,q

1

H 2 (Γ )

≤ Cλk,q .

2

Mais λk,q ≤ Ck n (voir (2.55)). D’o` u ∂ν ϕk,q Nous en déduisons que la suite (k − 1

2

1

H 2 (Γ )

2m n

≤ Ck n .

∂ν ϕk,q

1

H 2 (Γ )

(2.59) ) ∈ l1 dès que m >

n 2

+ 1.

Ici, nous avons noté par l , comme nous le faisons habituellement, l’espace


67

de Banach des suites numériques dont les séries associées sont absolument convergentes. Il est muni de sa norme naturelle. Nous fixons n2 + 1 < ζ ≤ n + 1 et soit w = (wk ) la suite donnée par 2ζ wk = k − n pour chaque k ≥ 1. Nous considérons alors l’espace de Banach 1

1

l1 (H 2 (Γ ), w) = {g = (gk ); gk ∈ H 2 (Γ ), k ≥ 1, et (wk gk que nous munissons de sa norme naturelle

g 1 12 = wk gk 1 l (H (Γ ),w)

k≥1

1

l (H 2 (Γ ),w)

1

H 2 (Γ )

) ∈ l1 }

.

D’autre part, si μ = (μk ) désigne la suite des valeurs propres de A0 , c’est`-dire les valeurs propres du laplacien avec une condition Dirichlet au bord a alors, d’après une conséquence de la formule du min-max, |λk,q − μk | ≤ qL∞ (Ω) k ≥ 1. Il en résulte que la suite λq = (λk,q ) appartient a` l’espace affine ˜l∞ = μ + l∞ , l∞ étant l’espace de Banach des suites numériques bornées. Nous munissons ˜l∞ de la distance d∞ (λ1 , λ2 ) = (λ1 − μ) − (λ2 − μ)l∞ = λ1 − λ2 l∞ , ˜∞

pour λi ∈ l , i = 1, 2. Nous sommes en mesure d’énoncer maintenant le résultat de stabilité que nous allons démontrer dans ce sous-paragraphe. Th´ eor` eme 2.31. Soit, pour i = 1, 2, qi ∈ L∞ (Ω). Nous fixons 0 < α < 1 et soit M une constante telle que M ≥ qi C α (Ω) , i = 1, 2. Il existe alors une contante positive C qui ne dépend que de M et α telle que q1 − q2 L∞ (Ω) ≤ C(d∞ (λq1 , λq2 ) + ∂ν ϕq1 − ∂ν ϕq2 1

1

l (H 2 (Γ ),w)

)β ,

2α min(α, 1 )

4 2 )( (2α+n)(2n+5)(n+α+ avec ∂ν ϕqi = (∂ν ϕk,qi ), i = 1, 2, et β = (1− (1−2t)+n+4 15 ). ) 2

Avant de donner la preuve de ce théorème, nous démontrons un certain nombre de résultats intermédiaires. Nous commen¸cons d’abord par une extension du lemme 2.6. Dans ce qui suit, nous fixons 0 ≤ t ≤ 12 . Lemme 2.32. Soit l un entier positif donné. Soient q1 , q2 ∈ L∞ (Ω) vérifiant 0 ≤ q1 , q2 ≤ M , pour une certaine constante positive M . Alors il existe C, une constante qui ne dépend que de Ω et M , telle que

dj C [Λq1 (λ) − Λq2 (λ)]t ≤ 1−2t , λ ≤ 0 et 0 ≤ j ≤ l, j j+ dλ 4 |λ|

o` u, comme dans le dernier sous-paragraphe, · t désigne la norme de 3 L(H 2 (Γ ), H t (Γ )).

68

2 Problèmes inverses elliptiques 3

Preuve. Nous nous donnons f ∈ H 2 (Γ ). Pour i = 1, 2 et λ ∈ ρ(Aq1 )∩ρ(Aq2 ), soit uqi ,f (λ) comme dans le sous-paragraphe précédent. C’est-à-dire uqi ,f (λ) est la solution du problème aux limites −Δu + qi u − λu = 0, dans Ω, u = f, sur Γ. u(λ) = uq1 ,f (λ) − uq2 ,f (λ) est alors la solution du problème aux limites −Δu + q1 u − λu = (q2 − q1 )uq2 ,f (λ), dans Ω, u = 0, sur Γ. Comme dans la preuve du Lemme 2.27, nous montrons u(λ)L2 (Ω) ≤

M uq2 ,f (λ)L2 (Ω) |λ|

(2.60)

et uq2 ,f (λ)L2 (Ω) ≤ Cf Donc u(λ)L2 (Ω) ≤

3

H 2 (Γ )

.

C f 32 . H (Γ ) |λ|

(2.61)

(2.62)

Pour simplifier les notations, nous posons u2 (λ) = uq2 ,f (λ). Nous pouvons vérifier que u2 (λ) est solution du problème aux limites −Δu2 + q2 u2 − λu2 = u2 , dans Ω, u2 = 0, sur Γ. En utilisant les arguments ayant servis pour établir (2.60) et (2.61), nous montrons M u2 (λ)L2 (Ω) ≤ u2 L2 (Ω) . |λ| Ceci et (2.61) impliquent u2 (λ)L2 (Ω) ≤

C f 32 . H (Γ ) |λ|

Puisque u (λ) est solution du problème aux limites −Δu + q1 u − λu = u(λ) + (q2 − q1 )u2 (λ), dans Ω, u = 0, sur Γ, elle vérifie alors u (λ)L2 (Ω) ≤

M u(λ) + (q2 − q1 )u2 (λ)L2 (Ω) . |λ|

Cette dernière, inégalité (2.62) et (2.63) entrainent

(2.63)


u (λ)L2 (Ω) ≤

M C u(λ) + (q2 − q1 )u2 (λ)L2 (Ω) ≤ f 32 . H (Γ ) |λ| |λ|2

69

(2.64)

Nous avons aussi, d’après l’estimation H 2 du Théorème 1.26, u (λ)H 2 (Ω) ≤ C(|λ|u (λ)L2 (Ω) + u(λ)L2 (Ω) + u2 (λ)L2 (Ω) ) Nous en déduisons u (λ)H 2 (Ω) ≤

C f 32 , H (Γ ) |λ|

(2.65)

qui résulte de (2.62), (2.63) et (2.64). Les inégalités (2.64), (2.65) et l’inégalité d’interpolation 1− s

s

2 2 2 wH wH s (Ω) ≤ CwL2 (Ω) 2 (Ω) , 0 ≤ s ≤ 2, w ∈ H (Ω),

nous permettent de conclure u(λ)H s (Ω) ≤

C 3 , 0 ≤ s ≤ 2. s f H 2 (Γ ) |λ|2− 2

De ceci, nous tirons ∂ν u (λ)H t (Γ ) ≤ Donc

C 1−2t |λ|1+ 4

f

3

H 2 (Γ )

.

d C [Λq (λ) − Λq2 (λ)]t ≤ 1−2t . 1+ dλ 1 4 |λ|

Nous venons donc de montrer le résultat pour l = 0 et l = 1. Le cas général s’obtient tout simplement par induction sur l. Posons F (λ) = Λq1 (λ) − Λq2 (λ). La formule de Taylor avec reste intégral nous donne, pour 1 ≤ j ≤ n, F

(j)

(0) =

n

(−λ)p−j p=j

(p − j)!

F

(p)

0

(λ) + λ

(−τ )n−j (n+1) F (τ )dτ. (n − j)!

Nous admettons pour le moment le Lemme 2.33. F (n+1) (λ)t ≤ δ,

(2.66)

o` u δ = C(d∞ (λq1 , λq2 ) + ∂ν ϕq1 − ∂ν ϕq2 1

1

l (H 2 (Γ ),w)

).

70


Vu le Lemme 2.32, nous déduisons de cette estimation F (j) (0)t ≤ C(|λ|−j− et donc

F (j) (0)t ≤ C(|λ|−

1−2t 4

1−2t 4

+ |λ|n−j+1 δ)

+ |λ|n+1 δ), si |λ| ≥ 1.

En particulier, F (j) (0)t ≤ C min(ρ− ρ≥1

o` u θ =1−

1−2t 4

+ ρn+1 δ) = Cδ θ ,

(2.67)

4 (1−2t)+n+4 .

Notons Q = Ω × (0, T ) et Σ = Γ × (0, T ). Le point important dans la preuve du Théorème 2.31 consiste d’abord a` établir un résultat de stabilité pour un problème inverse hyperbolique. Nous considérons alors le problème ⎧ 2 ⎨ (∂t − Δ + q)u = 0, dans Q, u(·, 0) = ∂t u(·, 0) = 0, (2.68) ⎩ u|Σ = f. Soit Ξ = {h ∈ H 1 (0, T ; H 3/2 (Γ )) ∩ H 2 (0, T ; L2(Γ )); h(·, 0) = ∂t h(·, 0) = 0}. D’après le Théorème 3.1 de [LM], Vol II, et sa preuve nous déduisons que, pour chaque f ∈ Ξ, le problème aux limites ⎧ dans Q, ⎨ ∂t u0 − Δu0 = 0, u0 (·, 0) = ∂t u0 (·, 0) = 0, dans Ω, ⎩ 0 u |Σ = f, admet une unique solution u0f ∈ L2 (0, T ; H 2 (Ω)) ∩ H 2 (0, T ; L2 (Ω)) et u0f L2 (0,T ;H 2 (Ω))∩H 2 (0,T ;L2 (Ω)) ≤ C0 f H 1 (0,T ;H 3/2 (Γ ))∩H 2 (0,T ;L2 (Γ )) , pour une certaine constante positive C0 . Maintenant pour q ∈ L∞ (Ω) et f ∈ Ξ, nous considérons le problème aux limites ⎧ ⎨ ∂t u1 − Δu1 + qu1 = qu0 , dans Q, dans Ω, u1 (·, 0) = ∂t u1 (·, 0) = 0, ⎩ 1 u |Σ = 0. Puisque qu0 ∈ H 1 (0, T ; L2 (Ω)), ce problème admet une unique solution u1q,f ∈ L2 (0, T ; H 2(Ω)) ∩ H 2 (0, T ; L2(Ω)) et u1q,f L2 (0,T ;H 2 (Ω))∩H 2 (0,T ;L2 (Ω)) ≤ C1 qu0 H 1 (0,T ;L2 (Ω)) ≤ C1 f H 1 (0,T ;H 3/2 (Γ ))∩H 2 (0,T ;L2 (Γ )) ,


71

o` u C1 et C1 sont deux constantes positives. Ceci résulte tout simplement d’un théorème de J.-L. Lions (voir [LM]). Nous en déduisons que le problème aux limites (2.68) admet une unique solution uq,f = u0f + u1q,f ∈ L2 (0, T ; H 2 (Ω)) ∩ H 2 (0, T ; L2 (Ω)) et l’opérateur Dirichlet-Neumann hyperbolique défini par 1

Hq : f ∈ Ξ → ∂ν uq,f ∈ L2 (0, T ; H 2 (Γ )) est borné. Nous nous intéressons au problème inverse qui consiste à la détermination de q ` a partir de Hq . Nous n’allons pas considérer directement Hq comme 1 opérateur borné de Ξ dans L2 (0, T ; H 2 (Γ )) mais nous utiliserons seulement sa restriction, encore notée Hq , au sous-espace de Ξ donné par 3

Ξ0 = {g ∈ H 2(n+2) ((0, T ); H 2 (Γ )); ∂tj g(·, 0) = 0, 0 ≤ j ≤ 2n + 3}. Pour q1 , q2 , dans L∞ (Ω), nous noterons Hq1 − Hq2 t la norme de de Hq1 − Hq2 , considéré comme opérateur borné de Ξ0 , muni de la norme de 3 H 2(n+2) ((0, T ); H 2 (Γ )), a` valeurs L2 (0, T ; H t (Γ )). Nous avons le Th´ eor` eme 2.34. Soit, pour i = 1, 2, qi ∈ L∞ (Ω). Nous fixons 0 < α < 1 et soit M > 0 une constante telle que M ≥ qi C α (Ω) . Soit T = diam(Ω) + 3. Alors il existe une contante positive C, qui ne dépend que de M et α, telle que q1 − q2 L∞ (Ω) ≤ CHq1 − Hq2 κt , o` u κ=

2α min(α, 12 ) . (2α+n)(2n+5)(n+α+ 15 2 )

La démonstration de ce théorème fera l’objet principal du prochain sousparagraphe. Preuve du Th´ eor` eme 2.31. Comme précédemment, nous posons δ = d∞ (λq1 , λq2 ) + ∂ν ϕq1 − ∂ν ϕq2 1

1

l (H 2 (Γ ),w)

.

Dans un premier temps, nous montrons Hq1 − Hq2 t ≤ Cδ θ , avec θ comme ci-dessus. C’est-à-dire θ = 1 − utiliserons le

4 (1−2t)+n+4 .

(2.69) Pour cela, nous

Lemme 2.35. Soit f ∈ Ξ0 . Alors Hq f =

n+1

[

j=0

dj Λq (λ)]|λ=0 (−∂t2 f ) + Rq f, dλj

(2.70)

72


avec Rq f =

1

∂ ϕ n+ 52 ν q,k k≥1 λq,k

t

sin

λq,k (t − s)ds−∂s2(n+2) f (·, s), ∂ν ϕq,k .

0

De fa¸con similaire a` la preuve du Lemme 2.27, nous montrons Rq1 − Rq2 t ≤ Cδ. Ceci, l’identité (2.70) et l’estimation (2.67) impliquent Hq1 − Hq2 t ≤ C(δ + δ θ ). Par suite, Hq1 − Hq2 t ≤ Cδ θ , pour δ assez petit. Nous combinons cette dernière estimation avec le Théorème 2.34 pour avoir q1 − q2 L∞ (Ω) ≤ Cδ β , 2α min(α, 12 ) 4 (1−2t)+n+4 )( (2α+n)(2n+3)(n+α+ 12 ) ).

o` u β = θκ = (1 −

D’o` u le résultat.

Il nous reste à montrer les Lemmes 2.33 et 2.35. Preuve du Lemme 2.33. D’après le Lemme 2.28, nous avons F (n+1) (λ) = −n! +n!

k≥1

1 f, ∂ν ϕk,q1 ∂ν ϕk,q1 (λk,q1 − λ)n+2

k≥1

1 f, ∂ν ϕk,q2 ∂ν ϕk,q2 . (λk,q2 − λ)n+2

Nous décomposons F (n+1) (λ) en trois termes F (n+1) (λ) = I1 + I2 + I3 , avec I1 = −n! I2 = −n! I3 = −n!

k≥1

1 1 − ]f, ∂ν ϕk,q1 ∂ν ϕk,q1 , (λk,q1 − λ)n+2 (λk,q2 − λ)n+2

k≥1

1 f, ∂ν ϕk,q1 − ∂ν ϕk,q2 ∂ν ϕk,q1 , (λk,q2 − λ)n+2

k≥1

1 f, ∂ν ϕk,q2 [∂ν ϕk,q1 − ∂ν ϕk,q2 ]. (λk,q2 − λ)n+2

[

Pour I1 , nous avons I1 Mais

1

H 2 (Γ )

≤ n!f L2 (Γ ) |

(λk,q1

1 1 − |∂ν ϕk,q2 2 1 . n+2 H 2 (Γ ) − λ) (λk,q2 − λ)n+2


|

73

1 1 1 1 − | ≤ max( n+3 , n+3 )|λk,q1 − λk,q2 | (λk,q1 − λ)n+2 (λk,q2 − λ)n+2 λk,q1 λk,q2 ≤

C k

2(n+3) n

|λk,q1 − λk,q2 |,

o` u nous avons utilisé (2.55) dans la dernière inégalité. Par suite, comme (voir (2.59)) 2 ∂ν ϕk,q2 12 ≤ Ck n , H (Γ )

I1

1 2

H (Γ )

≤ Cf L2 (Γ ) d∞ (λq1 , λq2 )

k≥1

1 k

2(n+2) n

.

(2.71)

Nous procédons de fa¸con identique pour démontrer I2

1

H 2 (Γ )

+ I3

1

H 2 (Γ )

≤ Cf L2(Ω) ≤ Cf L2(Ω) ≤ Cf L2(Ω)

1

∂ν ϕk,q2 λn+1 k≥1 k,q2

1 2(n+1) n

k≥1

k

k≥1

kn

1 2ζ

− ∂ν ϕk,q2

1

H 2 (Γ )

∂ν ϕk,q2 − ∂ν ϕk,q2

∂ν ϕk,q2 − ∂ν ϕk,q2

1

1

H 2 (Γ )

H 2 (Γ )

.

D’o` u, I2

+ I3

≤ Cf L2 (Ω) ∂ν ϕq1 − ∂ν ϕq2 1

.

(2.72)

Le résultat est alors une conséquence immédiate de (2.71) et (2.72).

1

H 2 (Γ )

1

H 2 (Γ )

1

l (H 2 (Γ ),w)

Preuve du Lemme 2.35. Nous fixons q, f et, pour simplifier les notations, nous utiliserons simplement u ` a la place de uq,f . Nous décomposons u sous la forme suivante : n+1

uk + r, (2.73) u= k=0 k

o` u les u et r vérifient

et

(−Δ + q)u0 = 0, dans Q, u0 = f, sur Σ,

(−Δ + q)uk = −∂t2 uk−1 , dans Q, uk = 0, sur Σ, pour 1 ≤ k ≤ n + 1, ⎧ ⎨ (−∂t2 − Δ + q)r = −∂t2 un+1 , dans Q, r(·, 0) = ∂t r(·, 0) = 0, ⎩ r = f, sur Σ.

74


Nous pouvons démontrer sans trop de difficultés que ∂ν uk = (

∂ k ) Λq (λ)[−∂t2 f ] ∂λ |λ=0

(2.74)

et r=

1 n+ 52

∂ν ϕq,k

λq,k

k≥1

t

sin

λq,k (t − s)ds−∂s2(n+2) f (·, s), ∂ν ϕq,k . (2.75)

0

(2.70) résulte alors de (2.73), (2.74) et (2.75). 2.2.3 Retour sur la stabilit´ e du probl` eme hyperbolique Rappelons les notations : Q = Ω × (0, T ) et Σ = Γ × (0, T ).

Dans ce sous-paragraphe nous démontrons le Théorème 2.34. La preuve nécessite quelques résultats préliminaires. Nous commen¸cons par le Lemme 2.36. Pour fi ∈ Ξ0 et ui = uqi ,fi , i = 1, 2, nous avons (q1 − q2 )u1 u2 = f1 (Hq1 − Hq2 )(f2 ). Q

(2.76)

Σ

Preuve. Puisque les ui sont les solutions variationnelles de (2.68) pour q = qi et f = fi , nous avons (−∂t u1 ∂t u2 + ∇u1 · ∇u2 + q1 u1 u2 ) = f2 Hq1 (f1 ) (2.77) Q

et

Σ

(−∂t u1 ∂t u2 + ∇u1 · ∇u2 + q2 u1 u2 ) =

Q

f1 Hq2 (f2 ).

(2.78)

Σ

Nous soustrayons, membre à membre, (2.77) de (2.78) pour avoir (q1 − q2 )u1 u2 = f2 Hq1 (f1 ) − f1 Hq2 (f2 ). Q

(2.79)

Σ

Comme Hqi est auto-adjoint (conséquence immédiate de la formulation variationnnelle de (2.68)), (2.79) entraine (2.76). Dans un second lemme nous montrons l’existence de solutions particulières de l’équation (−∂t2 + Δ + q)u = 0, (2.80) avec q ∈ L∞ (Ω).


75

Lemme 2.37. Soient χ ∈ C0∞ (Rn ), ω ∈ S n−1 et ρ > 0. Alors (2.80) admet une solution de la forme uq,± = χ(x + tω)e±iρ(x·ω+t) + wq,± ,

(2.81)

o` u wq,± ∈ C([0, T ], H01 (Ω)) vérifie ∂t wq,± ∈ C([0, T ], L2 (Ω)), wq,± = 0 sur Σ et wq,± (·, 0) = ∂t wq,± (·, 0) = 0. De plus, il existe une constante positive, qui ne dépend que de Ω, T et M ≥ qL∞ (Ω) , telle que wq,± L2 (Q) ≤

C χ ˜ H 3 (Rn+1 ) , ρ

(2.82)

avec χ(x, ˜ t) = χ(x + tω). Preuve. Dans cette démonstration, pour simplifier les notations, nous utilisons u± (resp w± ) au lieu de uq,± (resp. wq,± ). Nous montrons l’existence de u+ . Celle de u− se démontre de la même manière. Nous commen¸cons d’abord par noter que w+ doit être la solution de l’équation ⎧ ⎨ (−∂t2 − Δ + q)w = −e±iρ(x·ω+t) (∂t2 − Δ + q)χ(x + tω), dans Q, w(·, 0) = ∂t w(·, 0) = 0, ⎩ w = 0, sur Σ. L’existence de w+ , dans l’espace approprié, est assurée par les résultats classiques concernant la résolution des équations hyperboliques (voir par exemple J.-L. Lions et E. Magenes [LM]). t Nous posons maintenant W+ (x, t) = 0 w+ (x, s)ds et θ = −(−∂t2 − Δ + q)χ(x + tω). Il n’est pas difficile de vérifier que W+ est solution de l’équation ⎧ t ⎨ (−∂t2 − Δ + q)W = 0 eiρ(x·ω+s) θ(x, s)ds, dans Q, W (·, 0) = ∂t W (·, 0) = 0, ⎩ W = 0, sur Σ. Nous appliquons l’inégalité d’énergie classique (voir par exemple J.-L. Lions et E. Magenes [LM]) à W+ pour conclure t eiρ(x·ω+s) θ(x, s)dsL2 (Q) . (2.83) w+ L2 (Q) = ∂t W+ L2 (Q) ≤ C 0

Mais t eiρ(x·ω+s) θ(x, s)ds = 0

1 iρ

t

∂s eiρ(x·ω+s) θ(x, s)ds 0

1 1 t iρ(x·ω+s) e ∂s θ(x, s)ds + eiρ(x·ω+t) θ(x, t) iρ 0 iρ 1 − eiρx·ω θ(x, 0). iρ

=−

76


Cette identité et (2.83) impliquent w± L2 (Q) ≤

C χ ˜ H 3 (Rn+1 ) . ρ C0∞ (Rn ),

Preuve du Th´ e or` eme 2.34. Soit ϕ ∈ a` support dans la boule unité, telle que Rn ϕ2 = 1. Soient 0 < ≤ 1 et x0 ∈ Rn tel que 1 < dist(x0 , Ω) < 2. Nous posons alors χ(x) = − 2 ϕ( n

x − x0 ).

Notons que le choix de x0 et β implique que le support de χ(x+tω), considérée comme fonction des variables (x, t), n’intersecte ni Ω × {0}, ni Ω × {T }. Par conséquence les solutions uqi ,± de (2.81) données par le Lemme 2.37, i = 1, 2, correspondantes au χ défini ci-dessus, vérifient uqi ,± (·, 0) = ∂t uqi ,± (·, 0) = 0. Nous posons u1 = uq1 ,+ , w1 = wq1 ,+ , u2 = uq2 ,− , w2 = wq2 ,− . Nous appliquons alors le Lemme 2.36 avec u1 et u2 pour obtenir 2 (q1 − q2 )χ (x + tω) = − (q1 − q2 )(χ− w1 + χ+ w2 + w1 w2 ) Q Q + u1 (Hq1 − Hq2 )(u2 ), Σ

o` u χ± = χ(x + tω)e

±i(x·ω+t)

. Par suite, C | (q1 − q2 )χ2 (x + tω)| ≤ −3 ρ Q

+u1 L2 (Σ) Hq1 − Hq2 t u2

3

H 2n+4 (0,T ;H 2 (Γ ))

,

(2.84)

par (2.82), o` u nous avons utilisé le fait que χ ˜ H 3 (Rn+1 ) ≤ K−3 , pour une certaine constante K ne dépendant que de ϕ. Pour poursuivre la preuve, nous admettons pour le moment le lemme suivant : Lemme 2.38. Pour tous 0 < ≤ 1 et ρ ≥ 1, nous avons u1 L2 (Σ) ≤ C−1 et u2

3

H 2n+4 (0,T ;H 2 (Γ ))

≤ C−(2n+6) ρ2n+4 ,

o` u C est une constante qui ne dépend que de T , Ω et ϕ.


77

Les estimations de ce lemme et (2.84) impliquent, avec q = q1 − q2 que nous prolongeons par 0 en dehors de Ω, x + tω − x0 1 )dx ≤ C−(2n+7) ( + ρ2n+4 Hq1 − Hq2 t ). (2.85) q(x)−n ϕ2 ( ρ n R Dans cette inégalité le membre de gauche fait apparaˆıtre la composée de deux transformées appliquée à q. C’est ce que nous allons expliciter maintenant. Nous définissons la transformée régularisante de paramètre par y−x R f (x) = )dy, f ∈ L1 (Rn ). f (y)ϕ2 ( n R La transformée rayon-X, qui envoie les fonctions de Rn sur les fonctions définies sur L, l’espace des droites orientées de Rn (usuellement, L est identifié a T S n−1 , l’espace tangent à S n−1 ), est donnée par ` Xf (l) = f = f (x0 + tω)dt, l

R

o` u x0 est un point quelconque de la droite l et ω est le vecteur unitaire tangent ` l. Notons que Xf (l) ne dépend pas du choix de x0 . Avec ces nouvelles a notations, (2.85) se réécrit sous la forme 1 |XR q(l)| ≤ C−(2n+7) ( + ρ2n+4 Hq1 − Hq2 t ), ρ

(2.86)

pour toute droite l qui passe par un point x0 qui vérifie 1 < dist(x0 , Ω) < 2. Mais toute droite qui intersecte Ω1 = {x; dist(x, Ω) ≤ 1} passe aussi par un x0 tel que 1 < dist(x0 , Ω) < 2, et, puisque R q est à support dans Ω1 , XR (l) = 0 pour toute droite l qui n’intersecte pas Ω1 . Nous en déduisons que (2.86) est valable pour toute droite l. Il s’ensuit 1 XRqL2 (T S n−1 ) ≤ C−(2n+7) ( + ρ2n+4 Hq1 − Hq2 t ). ρ Cette estimation et le lemme (voir [LN] pour la preuve) Lemme 2.39. f

1

H − 2 (Rn )

≤ CXf L2(T S n−1 ) .

entrainent R q

1

H − 2 (Rn )

1 ≤ C−(2n+5) ( + ρ2n+2 Hq1 − Hq2 t ). ρ

D’autre part, nous avons par interpolation 1

R qL2 (Rn ) ≤ CR q 2 − 1 H

2

1

(Rn )

R q 2

1

H 2 (Rn )

.

(2.87)

78


Comme

1

R q 2

1

1

H 2 (Rn )

≤ C− 2 ,

(cette estimation se démontre facilement en revenant à la définition de R ), nous déduisons 1 1 R qL2 (Rn ) ≤ C− 2 R q 2 − 1 n . H

2

(R )

Cette estimation, combinée avec (2.87), nous donne 1 1 R qL2 (Rn ) ≤ C−(2n+7+ 2 ) ( + ρ2n+4 Hq1 − Hq2 t ). ρ

(2.88)

Pour tirer de cette dernière une estimation pour qL2 (Rn ) , nous utiliserons le lemme suivant : Lemme 2.40. Soient 0 < < 1 et f ∈ C α (Rn ), f nulle en dehors de Ω. Alors il existe une constante positive C = C(Ω) telle que f − R f L2 (Rn ) ≤ Cα˜ f C α(Rn ) , avec α ˜ = min(α, 12 ). Preuve. Si dist(x, ∂Ω) > , nous avons alors x−y )[f (x) − f (y)]dy| |f (x) − R f (x)| = | −n ϕ2 ( |y−x| f ∈ H 1 (Γ ), nous avons

n 2

et pour tout

dm 1 dm Λq1 (λ)f − m Λq2 (λ)f = −m! f, ∂ν ϕk,q1 ∂ν ϕk,q1 m dλ dλ (λk,q1 − λ)m+1 N

k=1

+m!

N

k=1

= −m!

(λk,q2

1 f, ∂ν ϕk,q2 ∂ν ϕk,q2 − λ)m+1

(λk,q1

1 f, ∂ν ϕk,q1 ∂ν ϕk,q1 . − λ)m+1

N

k=1

En intégrant m fois cette identité, nous concluons Λq1 (λ)f − Λq2 (λ)f = − −

N

1

k=1

(λk,q1 − λ)

N

1

k=1

(λk,q2 − λ)

f, ∂ν ϕk,q1 ∂ν ϕk,q1 f, ∂ν ϕk,q2 ∂ν ϕk,q2 +

m−1

λk Lk ,

k=0

u le résultat car Lk = 0, pour o` u Lk ∈ L(H 1 (Γ ), L2 (Γ )), pour chaque k. D’o` tout k, par le Lemme 2.27. Preuve du Th´ eor` eme 2.41. Soit 0 = ξ ∈ et (tA , θA ,√ωA ) comme dans la méthode “Born approximation”. Puisque |ϕ√tA ,ωA | = e tA ωA et |ϕ√tA ,θA | = √ e tA θA , nous déduisons de (2.94) que ϕ√tA ,ωA et ϕ√tA ,θA sont bornées quand A tend vers +∞. D’après le Lemme 2.44 on a

84


Λq1 (tA ) − Λq2 (tA )L(H 1 (Γ ),L2 (Γ )) ≤

C , pour A assez grand. |tA |

D’o` u [Λq1 (tA ) − Λq2 (tA )]ϕ√tA ,ωA , ϕ√tA ,−θA Λq1 (tA ) − Λq2 (tA )L(H 1 (Γ ),L2 (Γ )) ϕ√tA ,ωA H 1 (Γ ) ϕ√tA ,−θA L2 (Γ ) . Mais il existe des constantes Ki , i = 1, 2, 3, indépendantes de A, telles que ϕ√tA ,ωA H 1 (Γ ) ≤ K1 ϕ√tA ,ωA

3

H 2 (Ω) 1 4

3

4 ≤ K2 ϕ√tA ,ωA L2 (Ω) ϕ√tA ,ωA H 2 (Ω) 3

≤ K3 |tA | 4 . 3

La première inégalité s’obtient par la continuité de l’opérateur w ∈ H 2 (Ω) → w|Γ ∈ H 1 (Γ ), la seconde par interpolation ; quant a` la troisième, elle s’obtient par un calcul explicite. Par conséquence, [Λq1 (tA ) − Λq2 (tA )]ϕ√t ,ω , ϕ√t ,−θ ≤ C|tA |− 14 , A A A A ce qui implique lim [Λq1 (tA ) − Λq2 (tA )]ϕ√tA ,ωA , ϕ√tA ,−θA = 0.

A→+∞

Nous utilisons alors la définition de Sqi , i = 1, 2, pour conclure lim [Sq1 (tA , θA , ωA ) − Sq2 (tA , θA , ωA )] = 0.

A→+∞

D’autre part, nous déduisons du Théorème 2.43 e−ix·ξ (q1 (x) − q2 (x)). lim [Sq1 (tA , θA , ωA ) − Sq2 (tA , θA , ωA )] = A→+∞

D’o` u

Ω

e−ix·ξ (q1 (x) − q2 (x)) = 0.

Ω

En d’autres termes, ξ étant arbitraire, la transformée de Fourier de q1 − q2 est nulle et par suite q1 = q2 . Le résultat principal de ce paragraphe est dˆ u a` H. Isosaki [Iso].

2.3 Méthode de solutions singulières

85

2.3 D´ etermination de la conductivit´ e` a la fronti` ere : une m´ ethode de solutions singuli` eres 2.3.1 Construction de solutions singuli` eres R > 0 étant fixé, nous considérons sur BR = B(0, R) l’opérateur elliptique L définie par

Lu = ∂i (aij (x)∂j u). i,j

Nous supposons que, pour chaque x ∈ BR , la matrice (aij (x)) est symétrique, aij ∈ W 1,p (BR ), i, j = 1, . . . , n, avec p > n ; et il existe deux constantes positives λ et M telles que

λ−1 |ξ|2 ≤ aij ξi ξj ≤ λ|ξ|2 , x ∈ BR , ξ ∈ Rn (2.95) ij

et aij W 1,p (BR ) ≤ M, i, j = 1, . . . , n.

(2.96)

Dans ce sous-paragraphe, nous nous proposons de démontrer le Th´ eor` eme 2.45. Pour tout m ∈ N et toute fonction harmonique sphérique de 2,p (BR \ degré m, normalisée par Sm W 2,∞ (S n−1 ) = (m+n)−2 , il existe u ∈ Wloc {0}) solution de (2.97) Lu = 0, dans BR \ {0} qui est de la forme ⎧ x ⎨ ln |x|S0 ( |x| ) + w(x), u(x) =

⎩

si n = 2, m = 0, (2.98)

x ) + w(x), sinon, |x|2−n−m Sm ( |x|

2,p o` u w ∈ Wloc (BR \ {0}) vérifie

|w(x)| + |∇w(x)| ≤ C|x|2−n−m+β dans BR \ {0}, et

p1

|Hw|p r 0. Dans le reste de ce sous-paragraphe, nous supposons que qi , ai et g sont choisies de telle sorte que ui , ∂t ui ∈ C 2,1 (Q) et que u0 > 0. Comme au dernier sous-paragraphe, γ est une partie fermé de Γ , d’intérieur non vide, et Σγ = γ × (0, T ). Nous démontrons le

3.2 méthode d’inégalités de Carleman

175

Th´ eor` eme 3.7. Soit 0 0 tel que δ ≥ max(q0 L∞ (Ω) , q1 L∞ (Ω) ). Alors il existe une constante positive C, dépendant de u0 , θ et δ, telle que q1 − q0 L2 (Ω) ≤ C(∂ν (u1 − u0 )H 1 ((0,T ),L2 (γ)) + (u1 − u0 )(·, θ)H 2 (Ω) ). Quitte à remplacer T par 2θ, nous pouvons toujours supposer que θ =

T 2

.

Dans ce qui suit ϕ est la fonction définie par (4.3). Pour démontrer le Théorème 3.8, nous aurons besoin du lemme suivant. Lemme 3.8. Soit A ∈ L∞ (Ω)n . Alors il existe une constante positive C, qui dépend de A et T , telle que t e2λϕ (A · ∇ u(·, s)ds)2 ≤ C e2λϕ |∇u|2 , T 2

Q

Q

pour u ∈ L2 (0, T ; H 1(Ω)). Preuve. Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, nous avons t t 2λϕ 2 2λϕ e |A · ∇ u(·, s)ds| ≤ C e | |∇u(·, s)|2 ds|, T 2

Q

(3.28)

T 2

Q

pour une certaine constante C. Nous posons f = |∇u|2 et r(t, s) = e2λ(ϕ(x,t)−ϕ(x,s)) . Puisque ϕ < 0 et ∂s ϕ(x, s) =

−T − 2s ϕ(x, s), s(T − s)

nous vérifions aisément que sgn∂s r(t, s) = −sgn( T2 − s). Par suite, T 2 T ] ; s ≥ t} ∪ {(t, s) ∈ [ , T ]2 ; s ≤ t}. 2 2

r(t, s) ≤ r(t, t) = 1 sur {(t, s) ∈ [0, Comme

e2λϕ |

Q

t T 2

T 2

f (x, s)ds| =

T 2

dxdt Ω

0

T

t

e2λϕ(x,s) r(t, s)f (x, s)ds,

dxdt

+ Ω

T 2

e2λϕ(x,s) r(t, s)f (x, s)ds

t

T 2

nous concluons que

e2λϕ |

Q

t T 2

f (x, s)ds| ≤ T

e2λϕ f. Q

176

3 Problèmes inverses paraboliques

D’o` u le résultat par (3.28).

Preuve du Th´ eor` eme 3.8. Les différentes constantes qui apparaissent dans cette preuve peuvent dépendre de u0 , θ et δ. Nous posons u = u1 − u0 et q = q0 − q1 . Alors il n’est pas difficile de montrer que u vérifie ∂t u − Δu + q1 (x)u = qu0 , dans Q, u = 0, sur Σ. Nous écrivons u sous la forme u = u0 v. Après un calcul élémentaire, nous trouvons que v satisfait à ∂t v − Δv + B · ∇v − qv = q, dans Q, v = 0, sur Σ, o` u B = −2

∇u0 . Il s’ensuit que w = ∂t v vérifie u0 ∂t w − Δw + B · ∇w + qw = −∂t B · ∇v, dans Q, w = 0, sur Σ.

En utilisant le Lemme 3.8, nous obtenons t T e2λϕ (∂t B · ∇v)2 dxdt = e2λϕ (∂t B · ∇ w(·, s)ds + ∂t B·∇v(·, ))2 dxdt T 2 Q Q 2 t e2λϕ (∂t B · ∇ w(·, s)ds)2 dxdt ≤2 Q

T 2

T e2λϕ (∂t B · ∇v(·, ))2 dxdt 2 Q T e2λϕ |∇v(·, )|2 dxdt], ≤ M [ e2λϕ |∇w|2 dxdt + 2 Q Q +2

o` u M est une certaine constante positive. Ayant cette inégalité en vue, une application du Théorème 3.4 fournit l’existence de deux constantes λ et C telles que e2λϕ (λg)−1 (Δw)2 + (λg)−1 (∂t w)2 + (λg)|∇w|2 + (λg)3 w2 dxdt Q T 2 2λϕ e2λϕ (λg)(∂ν w)2 )dσdt. ≤ C( e |∇v(·, )| dxdt + 2 Q Σγ Nous en déduisons T [(Δw)2 + (∂t w)2 + |∇w|2 + w2 ]dxdt ≤ K( |∇v(·, )|2 dxdt 2 Q0 Q (∂ν w)2 )dσdt, (3.29) + Σγ

3.3 Détermination d’une source singulière

177

o` u Q0 = Ω × ( T4 , 3T 4 ) et K est une certaine constante positive. Mais q = ∂t v − Δv + B · ∇v − qv, c’est-à-dire t T w(·, s)ds + (∂t − Δ + B · ∇ − q)v(·, ). q = (∂t − Δ + B · ∇ − q) T 2 2 D’o` u, en posant P u = ∂t u − Δu + B · ∇u − qu, t 2 2 T 2 2 q dx = q dxdt = [P w(·, s)ds + P v(·, )]2 dxdt T T T 2 Ω Q0 Q0 2 t T 4 [(P w(·, s)ds)2 + (P v(·, ))2 ]dxdt ≤ T T Q0 2 2 T [(Δw)2 + (∂t w)2 + |∇w|2 + w2 ]dxdt + v(·, )2H 2 (Ω) , ≤ L( 2 Q0 o` u L est une constante positive. Cette dernière estimation et (3.29) donnent T 2 (∂ν w)2 dσdt + v(·, )2H 2 (Ω) ), qL2 (Ω) ≤ C( 2 Σγ pour une certaine constante positive C. La conclusion s’ensuit en utilisant le fait que ∂ν w = −

u(·, T2 ) ∂t u0 ∂ν ∂t u0 1 T ) = . ∂ u − u − ∂ ∂ u, et v(·, ν t ν u20 u20 u0 2 u0 (·, T2 )

3.3 D´ etermination d’une source singuli` ere Soient Ω un domaine borné régulier de Rn , n = 2, 3, (nous pouvons le supposer C ∞ pour simplifier) de fontière Γ et γ une partie fermé de Γ d’intérieur non vide. T > 0 étant fixé, nous posons Q = Ω × (0, T ),

Σ = Γ × (0, T ),

Σγ = γ × (0, T ).

Nous considérons dans un premier temps la détermination d’une source singulière de la forme m

f= λi (t)δai , ai ∈ Ω, (3.30) i=1

a partir de la mesure frontière ∂ν u|Σγ , o` ` u u est la solution du problème aux limites

178


⎧ ⎨ ∂t u − Δu = f, dans Q, u(·, 0) = 0, dans Ω, ⎩ u = 0, sur Σ.

(3.31)

Nous savons (voir J.-L. Lions et E. Magenes [LM] par exemple) que, sous l’hypothèse λi ∈ L2 (0, T ), le problème aux limites (3.31) admet une unique solution u = uf ∈ L2 (Q) telle que Δuf , ∂t uf ∈ L2 (0, T ; H −2(Ω)) (noter que f ∈ L2 (0, T ; H −2(Ω)) car n ≤ 3). Par suite, u ∈ C([0, T ]; H −1 (Ω)) par les résultats classiques d’interpolation (voir J.-L. Lions et E. Magenes [LM]). En ˜ = Ω ˜ × (0, T ), avec Ω ˜ = fait, nous avons un peu plus de régularité sur Q Ω \ (∪i ai )), comme le montre le lemme suivant ˜ Lemme 3.9. uf ∈ H 2,1 (Q). Preuve. uf étant linéaire en f , il nous suffit de considérer le cas f = λδa . Soient H est la fonction de Heaviside (c-à-d la fonction caractéristique de (0, +∞)) et H(t) w(x, t) = n (4π) 2

0

t

|x−a|

e 4(t−s) n λ(s)ds = (Hλ) ∗(t) (t − s) 2

H

e

|x−a| 4t n

t2

.

Clairement, w est de classe C ∞ sur (Rn \ {a}) × [0, +∞[ et est la solution du problème aux limites ∂t w − Δw = f, dans Rn × (0, +∞), w(·, 0) = 0, dans Rn . Il s’ensuit que v = uf − w est la solution du problème aux limites ⎧ ⎨ ∂t v − Δv = 0, dans Q, v(·, 0) = 0, dans Ω, ⎩ v = −w|Σ , sur Σ. 3 3

Maintenant, puisque w|Σ est au moins dans H 2 , 4 (Σ) et w(·, 0) = 0 sur Γ , nous déduisons du Théorème 1.43 que v est au moins dans H 2,1 (Q). D’o` u, 2,1 ˜ uf ∈ H (Q). L’unicité du problème inverse, mentionné ci-dessus, est une conséquence de la propriété de l’unicité de prolongement. i i i Proposition 3.10. Pour i = 1, 2, soit fi = m k=1 λk δaik , λk non identiquement nulle pour chaque k. Alors ∂ν uf1 = ∂ν uf2 sur Σγ implique m1 = m2 = m, λ1k = λ2k et a1k = a2k . Preuve. Puisque problème inverse est linéaire par rapport a` f , il nous suffit ˜ de montrer que uf = 0 sur Σγ implique f = 0. Comme uf ∈ H 2,1 (Q), ˜ (∂t − Δ)u = 0 dans Q et uf = ∂ν uf = 0 sur Σγ , nous déduisons du Corollaire


179

˜ Mais comme uf ∈ L2 (Q), 1.50 (unicité du prolongement) que uf = 0 dans Q. nous concluons que uf est identiquement nulle, et donc f l’est aussi. Le reste de ce paragraphe est consacré à l’identification d’une source de la forme m

λk (t)χBk (x), F (x, t) = i=1

o` u Bk est la boule de centre ak et de rayon > 0, et χBk est la fonction caractéristique de Bk . Puisque F ∈ L2 (Q), le problème aux limites ⎧ ⎨ ∂t u − Δu = F, dans Q, u(·, 0) = 0, dans Ω, ⎩ u = 0, sur Σ.

(3.32)

admet une unique solution uF ∈ H 2,1 (Q) (voir le Théorème 1.43). Nous montrons d’abord un résultat d’unicité du prolongement pour l’équation (3.32). Lemme 3.11. Nous supposons que, pour chaque k, λk (t) = 0, pour tout t ≥ T ∗ , avec 0 < T ∗ < T . Soit u ∈ H 2,1 (Q) telle que ⎧ m ⎨ ∂t u − Δu = F = i=1 λk (t)χBk (x), dans Q, u(·, 0) = 0, ⎩ u = ∂ν u = 0, sur Σγ . Alors u est identiquement nulle. ˜ = (Ω\∪k Bk )×(0, T ). Nous déduisons Preuve. Comme ∂t u−Δu = 0 sur Q ˜ par le Corollaire 1.50 (unicité du prolongement). D’autre que u = 0 sur Q part, puisque ∂t u − Δu = 0 dans Ω × (T ∗ , T ), nous avons aussi u(·, T ) = 0 par l’inégalité d’observabilité (3.15). Pour k, j ∈ N, nous considérons la fonction vk,j = e−νj (T −t) wk,j (x), o` u νj est un réel positif et wk,j une solution de l’équation de Helmholtz νj wk,j + Δwk,j = 0, dans Ω.

(3.33)

Une application de la formule de Green nous donne T m

˜ i (t)e−νj t dt = 0, wk,j (x)dx λ i=1

Bi

0

˜ k (t) = λ(T − t). D’autre part, d’après le théorème de la moyenne pour avec λ l’équation de Helmholtz, nous avons

180


wk,j (x)dx = |Bi |wk,j (ai ) Bi

√ sin( νj ) . √ νj

Il en résulte m

|Bk |wk,j (ai )

k=1

√ sin( νj ) T ˜i (t)e−νj t dt = 0. λ √ νj 0

Nous admettons pour le moment que nous pouvons choisir les wk,j telles que la matrice (wk,j (ai ))1≤k,i≤m soit inversible pour chaque j. Dans ce cas la dernière identité implique √ sin( νj ) T ˜i (t)e−νj t dt = 0. (3.34) λ √ νj 0 √ Nous choisissons alors νj de telle sorte que sin( νj ) = 0 et

1 = +∞. νj

(3.35)

j≥0

De (3.34) nous déduisons d’abord T −νj t ˜ dt = 0. λ(t)e 0

Ensuite, par (3.35) et le théorème de M¨ untz (voir par exemple [Sc4]), nous ˜ = 0 et donc λ = 0 aussi. concluons que λ Nous complétons la preuve par la construction de wk,j telles que la matrice Bj = (wk,j (ai ))1≤k,i≤m soit inversible pour chaque j. Fixons j et soient bk des points situés dans le complémentaire de Ω. Considérons alors l’équation νj wk,j + Δwk,j = δbk , dans Rn . Il est bien connu que wk,j est explicitement donnée par ⎧ i√νj |x−bk | ⎪ si n = 3 ⎨ e 4π|x−bk | , wk,j (x) = ⎪ ⎩ 1 (1) √ 4i H0 ( νj |x − bk |), si n = 2, (1)

o` u H0

est la fonction de Hankel.

Nous affirmons qu’il existe un choix de bk , distincts, qui assure l’inversibilité de la matrice Bj . En effet, si tel n’était pas le cas nous aurions Ψ (b1 , . . . , bm ) = dét(Bj ) = 0, (b1 , . . . , bm ) ∈ (Rn \ Ω)m .

(3.36)

Fixons b2 , . . . , bm , Ψ (b1 , . . . , bm ) définie alors une fonction Φ(b1 ). Clairement, Φ admet une extension analytique, encore notée Φ, dans le domaine Rn \ ∪i {ai }. (3.36) entraine


Φ(b1 ) = 0, b1 ∈ Rn \ ∪i {ai }.

181

(3.37)

Mais, si nous passons a` la limite quand b1 tend vers a1 nous constatons que tous les termes dans Φ(b1 ) tendent vers une valeur finie, sauf (Bj )1,1 , qui lui converge, en module, vers l’infini, ce qui contredit (3.37). Ce lemme va nous permettre de démontrer un résultat d’unicité pour le problème inverse qui consiste à la détermination d’une source F de la forme F (x, t) =

m

λk (t)χBk (x),

i=1

a partir de la mesure ∂ν uF |Σγ . ` Proposition 3.12. Pour i = 1, 2, soit Fi (x, t) =

mi i=1

(i)

λk (t)χB (i) (x) telle k

que pour chaque k, λk (t) ≥ 0 et λk (t) = 0 pour t ≥ T ∗ , pour un certain T ∗ vérifiant 0 < T ∗ < T . Supposons que ∂ν uF1 = ∂ν uF2 sur Σγ . Alors m1 = (1) (2) (1) (2) (i) m2 = m, λk = λk et ak = ak , 1 ≤ k ≤ m, o` u ak est le centre de la (i) boule Bk . (i)

(i)

Preuve. Notons d’abord que u = uF1 − uF2 vérifie ⎧ mi (1) mi (2) ⎪ ⎪ ∂t u − Δu = i=1 λk (t)χBk(1) (x) − i=1 λk (t)χBk(2) (x), dans Q, ⎨ u(·, 0) = 0, (3.38) ⎪ sur Σ, ⎪ u = 0, ⎩ ∂ν u = 0, sur Σγ . Comme nous l’avons fait dans la preuve précédente, la dernière équation de (3.38) entraine, grˆ ace à l’inégalité d’observabilité (3.15), que u(·, T ) = 0. (2)

(1)

Supposons qu’il existe ak = aj . Nous multiplions alors la première équation de (3.38) par le polynˆ ome harmonique suivant w(x) =

m2

(2)

(x1 + ix2 − aj )

m1

(1)

(x1 + x2 − aj ),

j=1

j=1,j =k

si n = 2, et w(x) =

m2

(2)

(x1 + ix2 − Qj )

m1

(1)

(x1 + x2 − Qj ),

j=1

j=1,j =k

si n = 3, o` u le plan (x1 , x2 ) est choisi de manière à ce que les projections (i) (Qj )j des (aij )j restent distincts. Une simple application de la formule de Green nous donne alors T (2) (2) λk (t)dt = 0, w(ak ) 0

182

3 Problèmes inverses paraboliques (2)

(i)

et par suite, λk = 0. Mais ceci contredit le fait que nous avons supposé les λk (1) toutes non identiquement nulles. Nous concluons que {ak , k = 1, . . . m1 } = (2) {ak , k = 1, . . . m2 }. Donc, après avoir eventuellement changer l’ordre, m1 = (1) (2) m2 = m et ak = ak , k = 1, . . . m. Il en résulte que u satisfait à, o` u λk = (1) (2) λk − λk , ⎧ ∂t u − Δu = m ⎪ i=1 λk (t)χBk(1) (x), dans Q, ⎪ ⎨ u(·, 0) = 0, ⎪ u = 0, sur Σ, ⎪ ⎩ ∂ν u = 0, sur Σγ . Nous appliquons alors le dernier lemme pour déduire que λk = 0 pour chaque k, ce qui termine la démonstration. Ce sous-paragraphe est préparé à partir de l’article de A. El Badia et T. Ha-Duong [EH].

3.4 Détermination d’une distribution initiale de la chaleur

183

3.4 Stabilit´ e de la d´ etermination d’une distribution initiale de la chaleur Soit Ω un domaine borné de classe C 2 de Rn , n = 2, 3, et de frontière Γ . Nous considérons l’équation de la chaleur ⎧ ⎨ (∂t − Δ)u = 0, dans Ω × (0, +∞), u = 0, sur Γ × (0, +∞), (3.39) ⎩ u(·, 0) = f. Pour tout f ∈ L2 (Ω), (3.39) admet une unique solution (forte) u = u(f ) ∈ C([0, +∞); L2 (Ω)) ∩ C 1 ((0, ∞); L2 (Ω)) telle que Δu ∈ C((0, +∞); L2 (Ω)) et u(·, t)|Γ = 0 pour t > 0 (voir le Théorème 1.53). Dans ce paragraphe, nous nous intéressons à la stabilité du problème qui consiste à déterminer f ` a partir de ∂ν u(f )|Γ ×(0,+∞) . Notons que l’unicité pour ce problème inverse (linéaire) est une conséquence immédiate du la propriété de l’unicité du prolongement pour l’opérateur ∂t − Δ. En effet, si ∂ν u(f )|Γ ×(0,+∞) = 0 alors u(f ) est identiquement nulle par le Corollaire 1.50 (unicité du prolongement) et donc f = u(·, 0) est aussi identiquement nulle. A cause de l’effet régularisant, ce problème est mal posé. Il ne faut pas donc s’attendre à une stabilité de type Lipschitz pour les normes naturelles du problème. Notre objectif dans ce paragraphe est d’établir un résultat de stabilité lipschitzienne avec une norme L2 pour f et une norme pour ∂ν u(f )|Γ ×(0,+∞) construite à partir d’une norme sur un espace de BergmanSelberg. A cette fin, nous rappelons que, pour μ > 12 , l’espace de Bergmanu P + = {z = p + iq; p > 0}, est l’espace des fonctions Selberg Hμ (P + ), o` + analytiques f : P → C avec une norme finie 12 1 f Hμ (P + ) = |f (z)|2 (2p)2μ−2 dpdq . Γ (2ν + 1)π P+ Proposition 3.13. [Sa] Pour f ∈ Hμ (P + ), nous avons f Hμ (P + ) =

k≥0

1 k!Γ (k + 2μ + 1)

+∞

|∂pk (pf (p))|2 p2k+2μ−1 dp

12

. (3.40)

0

Inversement, toute f de classe C ∞ sur {p; p > 0} ayant la quantité de droite dans (3.40) finie admet une extension analytique, encore notée f , sur P + qui appartient ` a Hμ (P + ) et vérifie limp→+∞ f (p) = 0.

184


Par abus de langage, nous noterons encore f ∈ Hμ (P + ) quand f vérifie les hypothèses de la seconde partie de la proposition. En d’autres termes, nous confondons f , qui est définie sur (0, +∞), avec son extension analytique sur P +. Si γ est une partie ouverte de Γ , nous considérons Bμ (γ×(0, +∞)), l’espace de Banach des fonctions g : γ × (0, +∞) → C mesurables telles que 3

p ∈ (0, +∞) → p 2 g(x, et gBμ (γ×(0,+∞)) =

γ

3

1 ) ∈ Hμ (P + ), p.p. x ∈ γ 4p

p 2 g(x,

12 1 )Hμ (P + ) dσ(x) < ∞. 4p

Le résultat de stabilité que nous allons démontrer dans ce paragraphe est le suivant : Th´ eor` eme 3.14. Fixons x0 ∈ Rn et μ ∈ (1, 54 ) arbitraires et posons γ = {x ∈ Γ ; (x − x0 ) · ν(x) > 0}. Alors il existe une constante positive C, ne dépendant que de Ω, x0 et μ, telle que C −1 f L2 (Ω) ≤ ∂ν u(f )Bμ (γ×(0,+∞)) ≤ Cf H 2 (Ω) , f ∈ H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω). Notons tout de suite que γ est exatement la partie “minimale” du bord qui permet d’avoir une inégalité d’observabilité pour l’équation des ondes. Celle-ci intervient de manière essentielle dans notre preuve. De manière précise, grˆ ace a la transformation de Reznitskaya, nous avons ` +∞ η2 1 u(f )(x, t) = √ ηe− 4t w(f )(x, η)dη, (x, t) ∈ Ω × (0, +∞), (3.41) 2 πt3 0 o` u w(f ) est la solution de l’équation des ondes ⎧ 2 dans Ω × (0, +∞), ⎨ (∂t − Δ)w = 0, w = 0, sur Γ (0, +∞), ⎩ w(·, 0) = 0, ∂t w(·, 0) = f.

(3.42)

Rappelons que d’après les résultats classiques de régularité de l’équation des ondes (voir par exemple V. Komornik [Ko] ou J.-L. Lions et E. Magenes [LM]), si f ∈ H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω) alors (3.42) admet une unique solution w(f ) ∈ C([0, +∞); H 3 (Ω) ∩ H01 (Ω)) ∩ C 1 ([0, +∞); H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω)) ∩C 2 ([0, +∞; H01 (Ω)) et w(f )(·, t)H 3 (Ω) , ∂t w(f )(·, t)H 2 (Ω) ≤ f H 2 (Ω) .

(3.43)

Dans tout le reste de ce paragraphe nous fixons arbitrairement f ∈ H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω). Les quantités μ, x0 et γ sont comme le Théorème 3.14. C sera une constante générique, ne dépendant que de Ω, μ et x0 .

3.4 Détermination d’une distribution initiale de la chaleur

Lemme 3.15. +∞ γ

0

Preuve. Soit

185

(∂ν w(f )(x, t))2 t3−4μ dσ(x)dt ≤ Cf 2H 2 (Ω) .

W (t) = γ

(∂ν w(f )(x, t))2 dσ(x) = ∂ν w(·, t)2L2 (Γ ) , t > 0.

Par (3.43) et la continuité de la trace v ∈ H 2 (Ω) → ∂ν v|γ ∈ L2 (γ), nous avons W ∈ C([0, +∞); L2 (γ)), (3.44) W (t) ≤ Cf 2H 2 (Ω)

et

W (t) = 2

∂ν w(f )(x, t)∂t ∂ν w(f )(x, t)dσ(x). γ

Cette identité et l’inégalité de Cauchy-Schwarz impliquent |W (t)| ≤ 2∂ν w(f )(·, t)L2 (γ) ∂t ∂ν w(f )(·, t)L2 (γ) . Nous utilisons de nouveau la continuité de la trace v ∈ H 2 (Ω) → ∂ν v|γ ∈ L2 (γ) pour avoir |W (t)| ≤ Cf 2H 2 (Ω) , t > 0. Comme W (0) = 0, le théorème des accroissements finis entraine alors W (t) ≤ t sup |W (s)| ≤ Ctf 2H 2 (Ω) .

(3.45)

0≤s≤t

Il s’ensuit +∞ 0

W (t)t3−4μ dt =

1 0

W (t)t3−4μ dt +

≤ Cf 2H 2 (Ω) ≤ Cf 2H 2 (Ω)

1 0

+∞ 1

W (t)t3−4μ dt

t4−4μ dt +

1 5−4μ

+

1 4μ−4

+∞ 1

t3−4μ dt

≤ Cf 2H 2 (Ω) , o` u nous avons utilisé (3.44) et (3.45).

Comme nous l’avons dit plus haut, nous utiliserons une inégalité d’observabilité pour l’équation des ondes : Proposition 3.16. (L. F. Ho [Ho], V. Komornik [Ko] ou J. L. Lions [Lio] ) Sous l’hypothèse T > 2 sup |x − x0 |, x∈Ω

f L2(Ω) ≤ C∂ν w(f )L2 (Γ ×(0,T )) .

(3.46)

186


Preuve du Th´ eor` eme 3.14. Puisque n ≤ 3, H 3 (Ω) s’injecte continˆ ument 1 dans C (Ω). Par suite (3.43) implique |∂ν w(f )(x, t)| ≤ Cf H 2 (Ω) , (x, t) ∈ γ × (0, +∞). ∞ Nous pouvons donc intervertir dans (3.41) 0 . . . dη et ∂ν , ce qui nous donne √ 2 πt3 ∂ν u(f )(x, t) =

+∞

η2

ηe− 4t ∂ν w(f )(x, η)dη, (x, t) ∈ γ × (0, +∞).

0

Nous prenons t = p1 et nous faisons le changement de variable s = η 2 dans le membre de droite pour obtenir √ +∞ 1 π 1 )= e−sp ∂ν w(f )(x, t), (x, t) ∈ γ × (0, +∞). (3.47) 3 ∂ν u(f )(x, 2 p2 4p 0 Rappelons que la transformée de Laplace d’une fonction g ∈ L1loc (0, +∞), notée Lg, est donnée par : +∞ Lg(p) = e−sp g(s)ds, p > 0. 0

Nous pouvons alors réécrire (3.47) sous la forme √ 1 π 1 ∂ν u(f )(x, ) = v(x, p) = (Lψ(x, ·))(p), (x, p) ∈ γ × (0, +∞). (3.48) 2 p 32 4p o` u nous avons posé ψ(·, s) = ∂ν w(f )(·,

√

s), s > 0.

D’après une inégalité isométrique pour la transformée de Laplace (voir D.-W. Byun et S. Saitoh [BS]) +∞ ψ(x, t)2 t1−2μ dt = w(x, ·)Hμ (P + ) , x ∈ γ, (3.49) 0

dès que l’un des deux membres de cette inégalité est fini. C’est le cas du membre de droite car +∞ +∞ ψ(x, t)2 t1−2μ dt = 2 [∂ν w(f )(x, t)]2 t3−4μ dt 0

0

et

+∞

[∂ν w(f )(x, t)]2 t3−4μ dt < ∞, p.p. x ∈ γ par le Lemme 3.15.

0

Nous concluons alors

3.5 Une conséquence du théorème de Borg-Levinson

+∞

1 w(x, ·)Hμ (P + ) , p.p. x ∈ γ, 2

[∂ν w(f )(x, t)]2 s3−4μ ds =

0

ce qui est équivaut à +∞ [∂ν w(f )(x, t)]2 t3−4μ dt = γ 0

187

3

1 p 2 ∂ν u(f )(x, 4p )2Hμ (P + ) dσ(x) (3.50) = π8 ∂ν u(f )2Bμ (γ×(0,+∞)) . π 8

Γ

Cette identité combinée avec l’inégalité du Lemme 3.15 implique ∂ν u(f )Bμ (γ×(0,+∞)) ≤ Cf H 2 (Ω) .

(3.51)

D’autre part, Si T < 2 supx∈Ω |x − x0 | alors, d’après la Proposition 3.16, f L2(Ω) ≤ C∂ν w(f )L2 (Γ ×(0,T )) .

(3.52)

Mais T γ

0

[∂ν w(f )(x, t)]2 dt ≤ T 4μ−3 ≤ T 4μ−3

T γ

0

[∂ν w(f )(x, t)]2 t3−4μ dt

+∞ γ

0

(3.53) [∂ν w(f )(x, t)]2 t3−4μ dt.

Nous utilisons maintenant (3.52) et (3.53) pour avoir f L2 (Ω) ≤ C∂ν u(f )Bμ (γ×(0,+∞)) .

(3.54)

La preuve est donc complète puisque (3.51) et (3.54) constituent les deux inégalités que nous voulions démontrer. Le Théorème 3.14 est dˆ u a` S. Saitoh et M. Yamamoto [SaY].

3.5 Une cons´ equence de la version n-dimensionnelle du th´ eor` eme de Borg-Levinson Soit Ω un domaine borné de Rn de classe C 1,1 et de frontière Γ . Nous considérons le problème aux limites ⎧ ⎨ ∂t u − Δu + q(x)u = 0, dans Q = Ω × (0, T ), u = f, sur Σ = Γ × (0, T ), (3.55) ⎩ u(·, 0) = 0. 3

Si f ∈ C 1,α ([0, T ]; H 2 (Γ )), avec 0 < α ≤ 1 donné, et si R est l’opérateur de relèvement donné dans le Théorème 1.17, alors nous vérifions sans peine que v(·, t) = Rf (t) est dans C 1,α ([0, T ]; H 2 (Ω)). Par suite, w = u − v est la solution du problème aux limites suivant

188


⎧ ⎨ ∂t w − Δw + q(x)w = F = −(∂t v − Δv + q(x)v), dans Q, w = 0, sur Σ, ⎩ w(·, 0) = 0.

(3.56)

Nous avons F = F1 + F2 , avec F1 = −∂t v ∈ C 0,α ([0, T ]; H 2(Ω)), F2 = Δv − q(x)v ∈ C 1,α ([0, T ]; L2 (Ω)). Donc, d’après le Théorème 1.53, (3.56) admet une unique solution w ∈ C 1 ([0, T ]; L2(Ω)) telle que Δw ∈ C([0, T ]; L2(Ω)) (et donc u ∈ C([0, T ]; H 2 (Ω)) d’après la régularité et les estimations à priori H 2 pour les problèmes elliptiques). Il en résulte que (3.55) admet une unique solution u = uq,f ∈ C 1 ([0, T ]; L2 (Ω)) ∩ C([0, T ]; H 2 (Ω)) et l’opérateur 3

1

Υq : C 1,α ([0, T ]; H 2 (Γ )) → H 2 (Γ ) : f → ∂ν uq,f (·, t0 ) est borné, o` u 0 < t0 < T est donné. Dans ce paragraphe, nous démontrons Th´ eor` eme 3.17. L’application q ∈ L∞ (Ω) → Υq est injective. Nous aurons besoin de quelques résultats préliminaires. Pour q ∈ L∞ (Ω), nous notons par (λn,q ) la suite des valeurs propres, comptées avec leur multiplicité, de l’opérateur Aq = −Δ + q avec D(Aq ) = H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω). Soit (ϕn,q ) une base de fonctions propres, ϕn,q associée à λn,q . Si 0 < δ < t0 , nous posons 3

X0 = {f ∈ C 1,α ([0, T ]; H 2 (Γ )); f (t, ·) = 0 pour t ∈ [t0 − δ, t0 ]}. Lemme 3.18. i) Soit

∂ν ϕk,q (σ)∂ν ϕk,q (σ )e−λn,q t , (σ, σ , t) ∈ Γ × Γ × (0, T ]. Ψq (σ, σ , t) = k≥1 1

1

Alors la série Ψ (·, ·, t) converge dans H 2 (Γ ) × H 2 (Γ ), uniformément sur tout compact de (0, T ]. ii) Pour tout f ∈ X0 , Υq (f )(σ) = − 0

t0 −δ

Ψq (σ, σ , t0 − τ )f (σ , τ )dσ dτ.

Γ

Preuve. i) Nous avons vu au sous-paragraphe 2.2.1 que ∂ν ϕk,q

1

H 2 (Γ )

≤ Cλk,q ,

o` u C = C(Ω, q) est une constante. Par suite, si I est un compact de (0, T ] et = min I alors

1 Ψq (·, ·, t) 12 ≤C λ2k,q e−λk,q , t ∈ I. 2 H (Γ )×H (Γ )

k≥1


189

D’o` u le résultat puisque la dernière série converge.3 ii) Nous décomposons uq,f , f ∈ X0 dans la base (ϕn,q ) :

ρk (t)ϕk,q . uq,f (t) = k≥1

Comme ρk (t) =

uq,f (·, t)ϕk,q dx, uq,f (·, t)ϕk,q dx = (−Δ + q)ϕk,q uq,f (·, t)dx. λk,q ρk (t) = λk,q Ω

Ω

Ω

Une simple application de la formule de Green nous permet de conclure que ρk est la solution de l’équation différentielle ρ (t) + λk,q ρ(t) = − ∂ν ϕk,q (σ )f (t, σ )dσ Γ

qui vérifie ρ(0) = 0. A l’aide de la formule de Duhamel, nous obtenons t ρk (t) = − ∂ν ϕk,q (σ )e−λk,q (t−τ ) f (σ , τ )dσ dτ. Γ

0

Il en résulte

t0 −δ

uq,f (x, t0 ) = 0

avec Φq (x, σ , t) =

Φq (x, σ , τ )f (σ , τ )dσ dτ,

Γ

ϕk,q (x)∂ν ϕk,q (σ )e−λk,q t , (x, σ , t) ∈ Ω × Γ × (0, T ].

k≥1

Clairement, le même argument que ci-dessus montre que Φq (·, ·, t) converge 1 dans H 2 (Ω) × H 2 (Γ ) uniformément sur tout compact de (0, T ]. Le résultat s’ensuit alors en notant que ∂ν(σ) Φq = Ψq . Dans la suite, nous aurons besoin de distinguer les valeurs propres de Aq . Pour cela, nous continuerons de noter par (λn,q ) la suite des valeurs propres distinctes de Aq . Nous noterons par (ϕin,q )1≤i≤mn,q une base du sous-espace u mn,q est la multiplicité de λn,q . propre associée à λn,q , o` m

Lemme 3.19. Pour chaque k, ∂ν ϕk, q 1 , . . . , ∂ν ϕn,qk,q sont linéairement indépendants dans L2 (Γ ). Preuve. Soient c1 , . . . , cmk,q des réels tels que

mk,q

ci ∂ν ϕik,q = 0 sur Γ.

i=1 3

Noter que λk,q ∼ k

2 n

par (2.55).

190


Posons ϕ =

mk,q i=1

ci ϕik,q . Nous vérifions que ϕ est telle que

−Δϕ + (q(x) − λn,q )ϕ = 0, dans Ω, ϕ = ∂ν ϕ = 0, sur Γ.

Par suite, ϕ est identiquement nulle par le Corollaire 1.50 (unicité du prolongement). C’est-à-dire mk,q

ci ϕik,q = 0, dans Ω. i=1 m ϕ1k,q , . . . , ϕk,qk,q

Mais . . . = cmk,q = 0.

sont linéairement indépendants dans L2 (Ω). D’o` u c1 =

Avant de débuter la preuve du Théorème 3.17, nous énon¸cons un lemme algébrique et un lemme sur d’unicité pour les séries de Dirichlet vectorielles. Lemme 3.20. Soient l, m deux entiers positifs non nuls, X un ensemble non vide, fi : X → R, 1 ≤ i ≤ l, et gj : X → R, 1 ≤ j ≤ m, des fonctions non identiquement nulles telles que l

fi (x)fi (y) =

i=1

m

gj (x)gj (y), x, y ∈ X,

(3.57)

j=1

et f1 , . . . fl (resp. g1 , . . . , gm ) sont linéairement indépendantes. Alors l = m et, notant F (x) = (f1 (x), . . . , fm (x))t , G(x) = (g1 (x), . . . gm (x))t , il existe M une matrice m × m orthogonale telle que F (x) = M G(x), pour tout x ∈ X. Nous donnons le preuve de ce lemme un peu plus loin. Lemme 3.21. Soit X un Banach. Sous les hypothèses suivantes : i) Pour chaque k ≥ 1, xk , yk ∈ X, xk = 0 et yk = 0. ii) (λk )k≥1 et (μk )k≥1 sont deux suites positives strictement croissantes qui convergent vers +∞. iiI) Il existe σ > 0 telle que k≥1 e−λk t xk X et k≥1 e−μk t yk X convergent pour t > σ. Si

k≥1

e−λk t xk =

k≥1

Alors λk = μk et xk = yk , pour k ≥ 1.

e−μk t yk , t > σ.


191

Preuve. Elle résulte tout simplement de l’unicité des s´ eries de Dirichlet sca laires (voir D. V. Widder [Wi]) appliquée aux séries k≥1 e−λk t x , xk et −μk t x , xk , t > σ, avec x ∈ X arbitraire. k≥1 e Preuve du Th´ eor` eme 3.17. Soient q1 , q2 ∈ L∞ (Ω). D’après le Lemme 3.18, Υq1 = Υq2 entraine

t0 −δ

Ψq1 (σ, σ , t0 −τ )f (σ , τ )dσ dτ = −

Γ

0

t0 −δ

Ψq2 (σ, σ , t0 −τ )f (σ , τ )dσ dτ,

Γ

0

u, pour i = 1, 2, pour f ∈ X0 , o` k,q i

m

l l ∂ν ϕk,qi (σ)∂ν ϕk,qi (σ ) e−λk,qi t ,(σ, σ , t) ∈ Γ ×Γ ×(0, T ]. Ψqi (σ, σ , t) = k≥1

l=1

Il en résulte Ψq1 = Ψq2 et donc, d’après l’unicité des séries de Dirichlet vectorielles (Lemme 3.21), nous concluons λk,q1 = λk,q2 , k ≥ 1

(3.58)

et mk,q1

∂ν ϕlk,q1 (σ)∂ν ϕlk,q1 (σ )

l=1

mk,q2

=

∂ν ϕlk,q2 (σ)∂ν ϕlk,q2 (σ ), (σ, σ ) ∈ Γ ×Γ, k ≥ 1.

l=1

(3.59) Puisque, par le Lemme 3.19, les ∂ν ϕlk,qi , 1 ≤ l ≤ mk,qi sont linéairement indépendantes, nous pouvons appliquer le lemme algébrique, énoncé ci-dessus, pour conclure que mk,q1 = mk,q2 = m et il existe une matrice m × m orthogonale M telle que (3.60) F1 (σ) = M F2 (σ), σ ∈ Γ, t efinissons avec Fi = (∂ν ϕ1k,qi , . . . , ∂ν ϕm k,qi ) , i = 1, 2. D´ 1 m t , . . . , ψk,q )t = M −1 (ϕ1k,q2 , . . . , ϕm (ψk,q k,q2 ) . 2 2 1 m (ψk,q , . . . , ψk,q ) définie alors une nouvelle base de l’espace propre associé à 2 2 λk,q2 . En effet,

Ω

r s ψk,q ψk,q = 2 2

=

m α=1

m α=1

m

t β=1 Mrα Msβ

m

Ω

β ϕα k,q2 ϕk,q2

β=1 Mαr Msβ δα,β

=

m α=1

m β=1

t Mαr Msα

= (M M t )sr = δsr . car, M étant orthogonale, M M t = I. (3.60) s’écrit maintenant sous la forme l ∂ν ϕlk,q1 = ∂ν ψk,q , 1 ≤ l ≤ m = m(k), k ≥ 1. 2

(3.61)

192


Vu le Théorème 2.12, (3.58) et (3.61) entrainent q1 = q2 , ce qui termine la preuve du théorème. Preuve du Lemme 3.20. Soit V (resp. W ) l’espace vectoriel engendré par {f1 , . . . , fl } (resp. {g1 , . . . , gm }). f1 étant non identiquement nulle, il existe x1 ∈ X tel que f (x1 ) = 0 et, comme f1 , f2 sont linéairement indépendantes, il existe x2 ∈ X pour lequel f1 (x1 ) f2 (x1 ) dét = 0. f1 (x2 ) f2 (x2 ) Par induction, nous montrons qu’il existe x1 , . . . xl des points de X tels que la matrice l × l ⎛ ⎞ f1 (x1 ) f2 (x1 ) . . . fl (x1 ) ⎜ f1 (x2 ) f2 (x2 ) . . . fl (x2 ) ⎟ ⎜ ⎟ P =⎜ . .. ⎟ .. .. ⎝ .. . ⎠ . . f1 (xl ) f2 (xl ) . . . fl (xl ) soit inversible. En prenant x = xj dans (3.57), nous trouvons P F (y) = QG(y), y ∈ X, o` u Q est la matrice l × m donnée par ⎞ ⎛ g1 (x1 ) g2 (x1 ) . . . gm (x1 ) ⎜ g1 (x2 ) g2 (x2 ) . . . gm (x2 ) ⎟ ⎟ ⎜ Q=⎜ . ⎟. .. .. .. ⎠ ⎝ .. . . . g1 (xl ) g2 (xl ) . . . gm (xl ) C’est-à-dire, nous avons F (y) = M G(y), pour tout y ∈ X, avec M = P −1 Q. Il résulte que V ⊆ W . De la même manière, puisque F et G sont interchangeables, nous montrons que nous avons aussi W ⊆ V . Par suite, i = m car {f1 , . . . , fl } (resp. {g1 , . . . , gm }) sont linéairement indépendantes. Il reste a` montrer que M est une matrice orthogonale. De (3.57), nous tirons (M t M − I)G(x) · G(y) = 0, x, y ∈ X. D’o` u M t M = I car {g1 , . . . , gm } sont linéairement indépendantes.

Ce paragraphe a été préparé à partir de l’article de B. Canuto et O. Kavian [CK1].

3.6 D´ etermination d’un coefficient d´ ependant du temps : m´ ethode fond´ ee sur les solutions “optique g´ eom´ etrique” Les preuves de certains résultats que nous donnons ici sont similaires à celles du paragraphe 2.1. Cependant, pour le confort du lecteur et afin d’avoir une lecture indépendante de celle du paragraphe 2.1, nous détaillerons toutes les démonstations. Dans ce paragraphe, nous supposons n ≥ 2.

3.6 Méthode de solutions “optique géométrique”

193

3.6.1 Solutions “optique g´ eom´ etrique” et densit´ e des produits de solutions Nous utiliserons les mêmes notations qu’au paragraphe 2.1 du Chapitre 2 : Dj = −i∂j et, pour α = (α1 . . . , αn ) ∈ Nn , Dα = D1α1 . . . Dnαn . Nous considérons l’opérateur différentiel linéaire à coefficients constants

P (D) = aα D α , |α|≤m

o` u m et un entier et aα ∈ C. Si k1 , . . . kn sont des entiers positifs, on pose αi |α : k| = ki . Si (ki )1≤i≤n est telle que

P (D) = aα D α , |α:k|≤1

nous notons

P ◦ (D) =

aα D α .

|α:k|=1

Nous dirons que P (D) est semi-elliptique si P ◦ (ξ) = 0 pour tout 0 = ξ ∈ Rn . Soit Pa± = ±∂t − ia · ∇x − Δx , o` u a ∈ Cn . Le symbole de Pa± est alors donné par Pa± (ξ, τ ) = ±iτ + a · ξ + ξ · ξ, (τ, ξ) ∈ Rn × R. Clairement (Pa± )◦ (ξ, τ ) = ±iτ + ξ · ξ et donc Pa± est semi-elliptique. Nous rappelons que P˜ est défini par

1 P˜ (ξ) = ( |Dα P (ξ)|2 ) 2 . α

Th´ eor` eme 3.22. [Hor2] Soit X un ouvert borné de Rn+1 et supposons que P (D) est semi-elliptique. Soit u ∈ D (X) vérifiant P (D)u ∈ L2 (X). Alors il existe v ∈ S telle que P˜ (ξ)F v ∈ L2 (Rn+1 ) et u = v|X . Si Pa± est comme ci-dessus, alors 1

[Pã± (ξ, τ )]2 ≥ M [1 + |ξ|2 + (1 + τ 2 ) 2 ], pour une certaine constante M . Rappelons d’autre part que l’espace H 2,1 (Rnx × Rt ) peut être défini par 1

H 2,1 (Rnx × Rt ) = {u; [1 + |ξ|2 + (1 + |τ |2 ) 2 ]F u ∈ L2 (Rnx × Rt )}. Si Q = Ω × (0, T ), o` u Ω est un domaine de classe C 2 de Rn , il est démontré dans J.-L. Lions et E. Magenes [LM] que H 2,1 (Q) = {u|Q ; u ∈ H 2,1 (Rnx × Rt )}. Comme conséquence du dernier théorème, nous avons

194


Corollaire 3.23. Si u ∈ L2 (Q) vérifie Pa± u ∈ L2 (Q), alors u ∈ H 2,1 (Q). Dans toute la suite X désignera un ouvert borné de Rn+1 , n ≥ 2. Pour q ∈ L∞ (X) nous posons Sq± = {u ∈ H 2,1 (X); ±ut − Δu + qu = 0 dans X}. Proposition 3.24. Soit q ∈ L∞ (X), qL∞ (X) ≤ M . Alors il existe une constante C, qui ne dépend que de Q, n et M pour laquelle : pour tout (ξ, τ ) ∈ Cn × C tel que ∓iτ + ξ · ξ = 0 et |ξ| > C, il existe wξ± ∈ H 2,1 (X) vérifiant wξ± L2 (X) ≤ et

C |ξ| − C

(3.62)

u± = e−i(ξ·x+τ t) (1 + wξ± ) ∈ Sq± .

Preuve. Soient Ω un un ouvert borné de Rn de classe C 2 et T > 0 tels que X ⊂ Q = Ω × (0, T ). Clairement, il nous suffit de démontrer la proposition avec Q ` a la place de X. Notons d’abord que wξ± doit satisfaire a` l’équation ±wt + 2iξ · ∇w − Δw = −q(1 + w) dans Q.

(3.63)

Soit Pξ± (η, μ) = ∓iμ+2ξ·η+η·η. Par le Théorème 2.3, il existe Eξ± ∈ B(L2 (Q)) tel que (±∂t + 2iξ · ∇ + Δ)Eξ± f = f, pour f ∈ L2 (Q), et Eξ± L(L2 (Q)) ≤ K ≤K

sup (η,μ)∈Rn ×R

1 P˜ξ± (η, μ)

1

sup

± (η,μ)∈Rn ×R |∇η Pξ (η, μ)|

≤

K , |ξ|

o` u la constante K ne dépend que de n et Q. Nous introduisons l’application Fξ± : L2 (Q) → L2 (Q) f → Eξ± [−q(1 + f )]. Nous avons KqL∞ (Q) f − gL2 (Q) |ξ| KM f − gL2 (Q) , f, g ∈ L2 (Q), ≤ |ξ|

Fξ± f − Fξ± L2 (Q) ≤

(3.64)


195

par (3.64). Par suite, Fξ± possède un unique point fixe wξ± ∈ L2 (Q) dès que |Im(ξ)| > C = KM . Comme Pξ± (D)wξ± = −q(1 + wξ± ) ∈ L2 (Q), wξ± est dans H 2,1 (Q) par le Corollaire 3.23. Nous complétons la preuve en remarquant que wξ± L2 (Q) ≤ Fξ± wξ± − Fξ± 0L2 (Q) + Fξ± 0L2 (Q) ≤

C (wξ± L2 (Q) + 1), |ξ|

ce qui donne (3.62).

Comme conséquence de l’existence de solutions “optique géométrique”, nous avons Th´ eor` eme 3.25. Soient p, q ∈ L∞ (X). Alors F = vect{uv, u ∈ Sp+ , v ∈ Sq− } est dense dans L1 (X). Nous utliserons le Lemme 3.26. Soit (k, l) ∈ Rn × R, k = 0. Nous pouvons trouver une constante positive R0 telle que si R ≥ R0 alors il existe (ξ± , τ± ) ∈ Cn × C vérifiant |ξ± | ≥ R,

∓iτ± + ξ± · ξ± = 0,

(ξ+ , τ+ ) + (ξ− , τ− ) = (k, l).

Preuve. Soit 0 = k ⊥ ∈ Rn un vecteur orthogonal à k. Posons ⎧ k lk ⊥ ⊥ ⎪ ⎨ ξ− = 2 + k + i( 2|k| + k ) 2 2 τ− = 2l + 2|k ⊥ |2 + i l −|k| 4 ⎪ ⎩ (ξ , τ ) = −(ξ , τ ) + (k, l). + + − −

(3.65)

(3.66)

Nous vérifions sans peine que (ξ± , τ± ), donné par (3.66), vérifient la seconde et la troisième inégalités de (3.65). La première condition de (3.65) est aussi satisfaite si nous choisissons |k ⊥ | assez grand. Preuve du Th´ eor` eme 3.25. Nous raisonnons par l’absurde. Si F n’était pas dense dans L1 (X) alors il existerait, par le théorème de séparation de Hahn-Banach, f ∈ L∞ (X) non identiquement nulle telle que f gdxdt = 0 pour g ∈ F. (3.67) X

Fixons (k, l) ∈ Rn × R, k = 0 arbitraire. D’après le Lemme 3.26, pour R assez large, il existe (ξ± , τ± ) ∈ Cn × C tel que |ξ± | ≥ R,

∓iτ± + ξ± · ξ± = 0,

(ξ+ , τ+ ) + (ξ− , τ− ) = (k, l).

196


Nous appliquons alors la Proposition 3.24 pour déduire qu’il existe wξ± ∈ H 2,1 (Q) vérifiant C , wξ± L2 (Q) ≤ R−C pour une certaine constante positive C, indépendante de R, et telle que u+ = e−i(ξ+ ·x+τ+t) (1 + wξ+ ) ∈ Sp+ , et

u− = e−i(ξ− ·x+τ− t) (1 + wξ− ) ∈ Sq− .

Puisque u+ u− ∈ F , (3.67) implique e−i(k·x+lt) f + z = 0, X

(3.68)

X

avec z = e−i(k·x+lt) (wξ+ + wξ− + wξ+ wξ− )f . Mais wξ± tend vers zéro dans L2 (X) quand R tend vers +∞. Nous passons donc à la limite dans (3.68), quand R tend vers +∞, pour conclure e−i(k·x+lt) f = 0 Q

et donc F f = 0 (F f étant la transformée de Fourier de f ). Par suite, f est identiquement nulle. D’o` u la contradiction. 3.6.2 Un r´ esultat d’unicit´ e Soient Ω un domaine borné de Rn de classe C 2 et de frontière Γ , Q = Ω × (0, T ), Σ0 = Ω × {0} et Σ = Γ × (0, T ). Nous introduisons l’espace 3 3 ,4

0H 2

3 3

(Σ) = {ψ ∈ H 2 , 4 (Σ); ψ(·, 0) = 0 sur Γ }. 3 3

Rappelons (voir le Théorème 1.43) que si q ∈ L∞ (Q), ϕ ∈ 0 H 2 , 4 (Σ) le problème aux limites ⎧ ⎨ ∂t u − Δu + qu = 0, dans Q, u = 0, sur Σ0 , (3.69) ⎩ u = ϕ, sur Σ, admet une unique solution uq,ϕ dans H 2,1 (Q) telle que uq,ϕ H 2,1 (Q) ≤ Cϕ

3 3

H 2 , 4 (Σ)

,

pour une certaine constante positive C indépendante de ϕ.

(3.70)


197

Soit Γ un fermé d’intérieur non vide de Γ et notons Σ = Γ × (0, T ). La continuité de l’opérateur de trace 1 1

w ∈ H 2,1 (Q) → ∂ν w|Σ ∈ H 2 , 4 (Σ ) et (3.70) nous permettent alors d’affirmer que l’opérateur 3 3

1 1

Λq : 0 H 2 , 4 (Σ) → H 2 , 4 (Σ ) ϕ → ∂ν uq,ϕ|Σ est borné. Nous nous proposons de démontrer le résultat d’unicité suivant, o` u D0 = 3 3 {ϕ ∈ 0 H 2 , 4 (Σ), ϕ = 0 en dehors de Σ }, Th´ eor` eme 3.27. L’application q ∈ L∞ (Q) → Λq|D0 est injective. Pour q ∈ L∞ (Q), notons Sq0 = {u, u = uq,ϕ pour un certain ϕ ∈ D0 }, SqT = {v, v(., t) = u(., T − t) pour un certain u ∈ Sq0 }. Le Théorème 3.27 résultera du résultat de densité suivant Proposition 3.28. Soient p, q ∈ L∞ (Q). Alors Fp,q = vect{uv, u ∈ Sp0 , v ∈ SqT } est dense dans L1 (Q). Le preuve de cette proposition utilise le Lemme 3.29. Soient q ∈ L∞ (Q), ω ⊂ Q un ouvert tel que ω ⊂ Q et f ∈ L2 (ω). Si f udxdt = 0, u ∈ Sq0 (resp. SqT )4

(3.71)

f udxdt = 0, u ∈ Sq+ (resp. Sq− ),

(3.72)

Q

alors

Q

o` u Sq± = {u ∈ H 2,1 (Q), ±ut − Δu + qu = 0 dans Q}. Preuve. Soit w ∈ H 2,1 (Q) l’unique solution du problème aux limites ⎧ ⎨ −∂t w − Δw + qw = f, dans Q, w = 0, sur ΣT , ⎩ w = 0, sur Σ. 4

Nous identifions f avec sont prolongement par 0 en dehors de ω.

198


Nous appliquons la formule de Green a` w et u = uq,ϕ , avec ϕ ∈ D0 , pour avoir f udxdt + ϕ∂ν wdσdt. 0= Q

Σ

Par suite, (3.71) implique ϕ∂ν wdσdt ϕ ∈ D0 .

0= Σ

Il en résulte ∂ν w|Σ = 0. Soit T0 tel que Q0 = Ω × (0, T0 ) ⊂ Q \ ω. Puisque −∂t w − Δw + qw = 0 dans Q0 , w = 0 dans Q0 par le Corollaire 1.50 (unicité du prolongement). En particulier, w = 0 sur Σ0 . Par conséquence, (3.72) se déduit facilement d’une nouvelle application de la formule de Green, appliquée a w et u ∈ Sq+ . Pour terminer, nous notons que le même argument est valable ` si nous rempla¸cons Sq0 et Sq+ par SqT et Sq− . Preuve de la Proposition 3.28. Il suffit de démontrer que Fp,q est dense dans L1 (ω) pour tout ouvert ω, ω ⊂ Q. Si Fp,q n’était pas dense dans L1 (ω) pour un certain ω, ω ⊂ Q, alors, d’après le théorème de séparation de HahnBanach (voir par exemple L. Schwartz [Sc2]), il existerait f ∈ L∞ (ω) non identiquement nulle telle que f zdxdt = 0, z ∈ Fp,q . ω

Ceci et le Lemme 3.29 entraineraient f zdxdt = 0, z ∈ vect{uv, u ∈ Sp+ , v ∈ Sq− }. ω

u f Mais ce dernier espace est dense dans L1 (ω) par le Théorème 3.25. D’o` serait identiquement nulle, ce qui aboutirait a` une contradiction. Le Théorème 3.27 est une conséquence de cette dernière proposition et du Lemme 3.30. Soient p, q ∈ L∞ (Q). Si Λp|D0 = Λq|D0 alors (p − q)zdxdt = 0, z ∈ Fp,q .

(3.73)

Q

Preuve. Soient u1 = up,ϕ , u2 = uq,ϕ et w = u2 − u1 , o` u ϕ est un élément arbitraire de D0 . Un simple calcul nous montre que w vérifie ⎧ ⎨ ∂t w − Δw + qw = (p − q)u1 , dans Q, w = 0, sur Σ0 ∪ Σ, ⎩ ∂ν w|Σ = 0. Notons que la derière identité résulte de ∂ν u1|Σ = ∂ν u2|Σ qui est une conséquence de Λp|D0 = Λq |D0 . (3.73) peut se démontrer maintenant aisément en appliquant la formule de Green à v ∈ SqT et w.


199

3.6.3 Un r´ esultat de stabilit´ e Comme au sous-paragraphe précédent, Ω est un domaine borné de Rn de classe C 2 et de frontière Γ , Q = Ω × (0, T ), Σ0 = Ω × {0} et Σ = Γ × (0, T ). 3 3

Considérons X = {(u0 , g) ∈ H 1 (Ω) × H 2 , 4 (Σ); u0|Γ = g(·, 0)}, qui est un 3 3 sous-espace fermé de H 1 (Ω)×H 2 , 4 (Σ) par le Théorème 1.42. Nous munissons X de sa norme naturelle f X = u0 H 1 (Ω) + g

3 3

H 2 , 4 (Σ)

, pour f = (u0 , g) ∈ X ,

qui en fait un espace de Banach. Rappelons (voir le Théorème 1.43) que si q ∈ L∞ (Q) et f = (u0 , g) ∈ X alors le problème aux limites ⎧ ⎨ ∂t u − Δu + qu = 0, dans Q, u = u0 , sur Σ0 , ⎩ u = g, sur Σ, admet une unique solution u = u(q, f ) ∈ H 2,1 (Q) et u(q, f )H 2,1 (Q) ≤ Cf X , pour une certaine constante C dépendant de M , M ≥ qL∞ (Q) . En notant que u(q, f )(·, T − ·) est aussi dans H 2,1 (Q), la dernière estimation et la continuité de l’opérateur de trace 1 1

w ∈ H 2,1 (Q) → (w|ΣT , ∂ν w) ∈ H 1 (Ω) × H 2 , 4 (Σ), avec ΣT = Ω × {T }, nous permettent de conclure u(q, f )|ΣT H 1 (Ω) + ∂ν u(q, f )|Σ

1 1

H 2 , 4 (Σ)

≤ Cf X ,

(3.74)

o` u C = C(M ) est une constante positive. En d’autres termes, l’opérateur linéaire 1 1

Λq = (Λ1q , Λ2q ) : X → H 1 (Ω) × H 2 , 4 (Σ) f → (u(q, f )|ΣT , ∂ν u(q, f )|Σ ) est borné. De plus, vu (3.74), l’application q → Λq envoie les bornés de L∞ (Q) 1 1 sur les bornés de L(X ; H 1 (Ω) × H 2 , 4 (Σ)). Notre objectif dans ce paragraphe est de démontrer le

200


Th´ eor` eme 3.31. Pour i = 1, 2 soit qi ∈ L∞ (Q) telles que q1 − q2 ∈ H01 (Q) et qi H 1 (Q) , qi L∞ (Q) ≤ M. Alors

q1 − q2 L2 (Q)

1 ≤ C log δΛq1 − Λq2

1 − n+3

,

si Λq1 − Λq2 est suffisamment petit, o` u C et δ sont deux constantes positives dépendantes de M , et Λq1 − Λq2 désigne la norme de Λq1 − Λq2 dans 1 1 L(X ; H 1 (Ω) × H 2 , 4 (Σ)). Preuve. Posons Sq±i = {u ∈ H 2,1 (Q);

±ut − Δu + qi u = 0

dans Q}.

Soient u+ ∈ Sq+1 , f = (u0 , g) = (u+ |Σ0 , u+ |Σ ) et notons par v + la solution du problème aux limites ⎧ ⎨ ∂t u − Δu + q2 u = 0, dans Q, u = u0 , sur Σ0 , ⎩ u = g, sur Σ. Nous appliquons alors la formule de Green à w = u+ − v + et v − ∈ Sq−2 pour avoir + − − − (q2 −q1 )u v dxdt = (wt −Δw+q2 w)v dxdt = wv dx− ∂n wv − dσ. Q

Q

ΣT

Σ

Mais w|ΣT = u+ |ΣT − v + |ΣT = Λ1q1 (f ) − Λ1q2 (f ) et ∂ν w|Σ = Λ2q1 (f ) − Λ2q2 (f ). D’o` u (q2 −q1 )u+ v − dxdt = [Λ1q1 (f )−Λ1q2 (f )]v − dx− [Λ2q1 (f )−Λ2q2 (f )]v − dσ. Q

ΣT

Σ

(3.75) Pour poursuivre la preuve, nous utiliserons le lemme suivant, dont la preuve sera donnée un peu plus loin, Lemme 3.32. Pour i = 1, 2, soit qi ∈ L∞ (Q), qi L∞ (Q) ≤ M . Alors il existe r0 > 0 pour lequel : pour tous ζ ∈ Rn+1 et r ≥ r0 , nous trouvons u+ ∈ Sq+1 et v − ∈ Sq−2 qui vérifient (i) u+ = e−iζ+ ·(x,t) (1 + wζ+ ), v − = e−iζ− ·(x,t) (1 + wζ− ), avec ζ+ , ζ− ∈ Cn+1 et ζ+ + ζ− = ζ. (ii) wζ+ L2 (Q) , wζ− L2 (Q) ≤

C r. 2

(iii) u+ H 2,1 (Q) , v − H 2,1 (Q) ≤ Ceδ(r+|ζ| ) . Les constantes C et δ ne dépendent que de M et Q.


201

Soit r0 comme dans le lemme ci-dessus. Soient ζ ∈ Rn+1 , r ≥ r0 et u+ , v − satisfaisant a` (i)-(iii) du Lemme 3.32. Alors (3.75) implique (q2 − q1 )e−iζ·(x,t) dxdt = − (q2 − q1 )(wζ+ + wζ− + wζ+ wζ− )dxdt + Q Q 1 1 − [Λq1 (f ) − Λq2 (f )]v dx − [Λ2q1 (f ) − Λ2q2 (f )]v − dσ, (3.76) + ΣT

o` u f = (u

+

Σ

+

|ΣT , u |Σ ).

Soit q égale a` q1 − q2 , prolongée par 0 en dehors de Q. F q étant la transformée de Fourier de q, de (3.76) nous déduisons C + Λ1q1 (f ) − Λ1q2 (f )H 1 (Ω) v − H 1 (Ω) r + Λ2q1 (f ) − Λ2q2 (f ) 12 , 14 v− 32 , 34 ,

|Fq(ζ)| ≤

H

(Σ)

H

(Σ)

o` u nous avons supposé que r0 ≥ 1. Nous utilisons v − |ΣT H 1 (Ω) + v − |Σ ≤ cv − H 2,1 (Q)

f X ≤ cu+ H 2,1 (Q) ,

(pour une certaine constante c) et le Lemme 3.32 (iii) pour conclure 1 δ(r+|ζ|2 ) + Λq1 − Λq2 e , |Fq(ζ)| ≤ C r pour r ≥ r0 , o` u les constantes C et δ sont indépendantes de r et ζ. 1

1 log γ1 ] 2 (γ est supposé suffisamment Posons γ = Λq1 − Λq2 et ρ0 = [ 2δ petit). De la dernière inégalité nous tirons 1 1 + γ 2 eδr , si r ≥ r0 et |ζ| ≤ ρ0 . (3.77) |Fq(ζ)| ≤ C r 1

Supposons que δγ 2 ≤ e 1 2

−δr0 2 r0

−δr1 2 r1

. Alors, comme e

−δr r2

est décroissante, il existe

. Par conséquent, (3.77) implique r1 ≥ r0 tel que δγ = e 1 1 1 1 + 2 ≤C 1+ , si |ζ| ≤ ρ0 . |Fq(ζ)| ≤ C r1 δr1 δ r1 Or e(

√ 2+δ)r1

≥ r12 eδr1 =

1

1

δγ 2

(3.78)

. Ceci et (3.78) donnent

|Fq(ζ)| ≤ C[log

1 −1 ] , δ2 γ

si |ζ| ≤ ρ0 . 1

(3.79)

D’autre part, puisque q ∈ H 1 (Rn+1 ), (1 + |ζ|2 ) 2 F q ∈ L2 (Rn+1 ) et donc

202


|ζ|≥ρ

F q(ζ)2 ≤

1 ρ2

|ζ|≥ρ

|ζ|2 F q(ζ)2 ≤

1 4M 2 1 (Rn+1 ) ≤ q . H ρ2 ρ2

En tenant compte de (3.79), nous obtenons l’estimation q2L2 (Rn+1 ) = F q2L2 (Rn+1 ) ≤ C(ρn+1 [log

1 δ2γ

]−1 +

1 ), ρ2

(3.80)

pour ρ ≤ ρ0 . Maintenant la fonction ρn+1 [log δ21γ ]−1 + ρ1 =

1 ρ2

atteint son minimum en

1 1 n+3 2 log 2 . n+1 δ γ 1

1

2 1 Nous avons ρ1 ≤ ρ0 si [ n+1 log δ21γ ] n+3 ≤ [ 2δ log γ1 ] 2 . Bien entendu cette estimation est vraie dès que γ est suffisamment petit. Nous prenons alors ρ = ρ1 dans (3.80) pour avoir 2 1 − n+3 , q2L2 (Rn+1 ) ≤ C log 2 δ γ

ce qui termine la preuve.

Preuve du Lemme 3.32. D’après la Proposition 3.24, il existe r0 , qui dépend de M , tel que pour tout (ξ, τ ) ∈ Cn × C vérifiant ∓iτ + ξ · ξ = 0 et |ξ| ≥ r0 correspond wξ ∈ H 2,1 (Q) avec les propriétés wξ L2 (Q) ≤

C |ξ|

et

u = e−i(ξ,τ )·(x,t)(1 + wξ ) ∈ Sq± ,

(3.81)

avec q = q1 ou q2 . u Pξ± et Eξ± sont les mêmes que dans la Soient P = Pξ± et E = Eξ± , o` preuve de la Proposition 3.24. Il n’est difficile de voir que |η|2 (1+|ξ|2 )P˜ (η,μ)

|η| , |μ| P˜ (η,μ) P˜ (η,μ)

et

sont bornées. Ceci, le Théorème 2.3 (ii) et le fait que wξ = E(−q(1 + wξ )) entrainent wξ H 2,1 (Q) ≤ C(1 + |ξ|2 ). Donc

uH 2,1 (Q) ≤ C(|τ | + |ξ| + |ξ|2 )eδ(| ξ|+| τ | ).

(3.82)

Si ζ = (k, l) ∈ R × R, soient ζ+ = (ξ+ , τ+ ) et ζ− = (ξ− , τ− ) comme dans (3.66). La conclusion résulte alors aisément de (3.81) et (3.82) en prenant r = |k ⊥ | dans (3.66). n

3.7 Stabilité de la détermination d’un terme semilinéaire

203

3.7 Stabilit´ e de la d´ etermination d’un terme semilin´ eaire Dans ce paragraphe, nous établissons un résultat de stabilité pour le problème que nous avons étudié au sous-paragraphe 3.1.2 et pour lequel nous avons démontré un résultat d’unicité. Soit Ω un domaine borné de Rn , de frontière Γ , et notons Q = Ω × [0, T ], Σ0 = Ω × {0}, et Σ = Γ × [0, T ]. Même si ce n’est pas toujours nécessaire, nous supposons, pour simplifier, que Ω est de classe C ∞ . Nous considérons le problème aux limites ⎧ ⎨ Δu − ∂t u = f (u), dans Q, u = 0, dans Σ0 , ⎩ u = ϕ, sur Σ.

(3.83)

α

Nous supposons que ϕ ∈ C 2+α,1+ 2 (Σ) pour un certain α, 0 < α < 1, et vérifie ϕ ≥ 0, ϕ(·, 0) = 0, ϕ ≡ 0. Posons M = max ϕ. Σ

Nous pouvons montrer (voir par exemple O. A. Ladyzhenskaja, V. A. Solonnikov and N. N. Ural’tzeva [LSU]) que si f ∈ C 1 (R) est positive, croissante et f (0) = 0 alors le problème aux limites (3.83) admet une unique soluα tion u = uf ∈ C 2+α,1+ 2 (Q). Notons alors par F l’ensemble des fonctions f ∈ C 1 (R) satisfaisant f (0) = 0, f ≥ 0 et pour lesquelles le problème aux α limites (3.83) admet une unique solution uf ∈ C 2+α,1+ 2 (Q). Nous noterons la constante de Lipschitz d’une fonction h, définie sur [0, M ], par L(h). C’est-à-dire L(h) = inf{C ∈ R+ ; |h(t) − h(s)| ≤ C|t − s|, t, s ∈ [0, M ]}. Soit

F0 = {h ∈ F ; h est lipschitzienne sur [0, M ]}

et, pour R > 0, notons FR = {h ∈ F0 ; hC 1 [0,M] + L(h ) ≤ R}. Soit K une constante donnée et posons D = {z ∈ C; z > 0, |z| < K}. De manière usuelle A(D) désigne l’espace des fonctions analytiques sur D. Si R > 0, nous définissons l’ensemble F˜R = {h ∈ F0 ; h = H|R+ pour un certain H ∈ A(D) ∩ C(D),

HC 1[0,M] + L(H ) + HC(D) ≤ R}.

Nous nous proposons dans ce paragraphe de démontrer les deux théorèmes suivants :

204


Th´ eor` eme 3.33. Fixons N ≥ 1 un entier et R > 0 une constante. Il existe deux constantes positives C et δ telles que si f , g ∈ FR , f − g change de signe au plus N fois sur [0, M ] et f − gC 1 [0,M] ≤ δ, alors 1

N

f − gL∞ (0,M) ≤ C∂ν uf − ∂ν ug L(n+2) ∞ (Σ) . Th´ eor` eme 3.34. Fixons 0 < m ≤ M tel que 2m < K et R > 0 une constante. Alors pour tout ∈ (0, 13 ), il existe deux constantes positives C et δ > 0 telles que f − gL∞ (0,M) ≤ C ∂ν uf − ∂ν ug θL∞ (Σ) , pour f , g ∈ F˜R , f − g a un signe constant sur [0, m] et f − gC 1 [0,M] ≤ δ. Ici √ 1 1 1 θ = ( − )exp( 3π( − k)), n+2 3 2 o` u k est le plus petit entier tel que km ≥ M . La preuve du Théorème 3.33 utilise une minoration gaussienne de la solution fondamentale d’un opérateur parabolique de la forme P u = Δu − ∂t u + c(x, t)u. Ces minorations étant intéressantes en elles mêmes, nous les démontrerons au prochain sous-paragraphe. Un second sous-paragraphe sera, quant a` lui, consacré à la preuve des Théorèmes 3.33 et 3.34. 3.7.1 Minoration gaussienne pour la solution fondamentale Le point clé consiste à établir une minoration gaussienne pour le noyau de la chaleur associé au laplacien Neumann. Rappelons que le laplacien Neumann sur Ω, noté ΔN , est (moins) l’opérateur associé à la forme bilinéaire a(u, v) = ∇u · ∇vdx, D(a) = H 1 (Ω). Ω

Il est bien connu que ΔN est le générateur dans L2 (Ω) d’un semi-groupe analytique (etΔN )t≥0 . De plus, il existe 0 ≤ p(t, x, y) ∈ C ∞ ((0, +∞) × Rn × Rn ), appelée noyau de la chaleur de ΔN , telle que tΔN e f (x) = p(t, x, y)f (y)dy, p.p. x ∈ Ω, (3.84) Ω

pour f ∈ L2 (Ω). Nous utiliserons la majoration gaussienne suivante : pour tout > 0,


p(t, x, y) ≤ C et t− 2 e−c n

|x−y|2 t

, t > 0.

205

(3.85)

o` u c et C sont deux constantes positives, avec C dépendant de . (Le lecteur trouvera une démonstration de cette inégalité dans E. B. Davies [Da] ou E. Ouhabaz [Ou].) Proposition 3.35. Il existe une constante positive C telle que p(t, x, x), ≥ Ct− 2 , t > 0 et x ∈ Ω. n

(3.86)

Preuve. Fixons x ∈√Ω. Nous considérons séparément les √ cas (a) 0 < t ≤ 1 et (b) t ≥ 1. Soit B(x, t) la boule de centre x et de rayon t. Pour le cas (a), nous avons d’après la majoration gaussienne (3.85),

√ Ω\B(x,α t)

p(t, x, y)dy ≤

√ Ω\B(x,α t)

n

|x−y|2 t

dy

2

≤ Cee− 2 α c

Cet t− 2 e−c

n c √ t− 2 e − 2 Ω\B(x,α t)

|x−y|2 t

dy

2

≤ C e− 2 α , c

pour certaines constantes postives C et C . Donc, il existe α0 > 0, indépendante de t et x, pour laquelle 1 (3.87) √ p(t, x, y)dy ≤ 2 , pour tout α ≥ α0 . Ω\B(x,α t) La propriété de semi-groupe e(t+s)ΔN = etΔN esΔN et la propriété de symétrie p(t, x, y) = p(t, y, x) impliquent t p( , x, y)2 dy. p(t, x, x) = 2 Ω Par suite, p(t, x, x) ≥ ≥

√ B(x,α0 t)∩Ω

p( 2t , x, y)2 dy

1√ √ ( |B(x,α0 t)∩Ω| B(x,α0 t)∩Ω

≥ Ct− 2 (1 − n

√ Ω\B(x,α0 t)

p( 2t , x, y)dy)2 ,

o` u C est une constante positive. D’o` u p(t, x, x) ≥ en utilisant (3.87).

p( 2t , x, y)dy)2

C −n t 2, 4

206


Examinons maintenant le cas (b) t ≥ 1. De la propriété etΔN 1 = 1 nous tirons 1 = Ω p( 2t , x, y)dy. Ceci et l’inégalité de Cauchy-Schwarz entrainent t t 2 1 = ( p( , x, y)dy) ≤ |Ω| p( , x, y)2 dy = |Ω|p(t, x, x). 2 2 Ω Ω Comme t ≥ 1, nous avons p(t, x, x) ≥

1 −n t 2, |Ω|

ce qui termine la preuve.

Proposition 3.36. Etant donnée T > 0. Alors il existe deux constantes positives δ > 0 et c > 0 telles que √ n p(t, x, y) ≥ ct− 2 , 0 < t ≤ T, x, y ∈ Ω, |x − y| ≤ δ t. (3.88) Preuve. Nous distiguerons deux cas : (i) n est impair et (ii) n est pair. Dans cette démonstration C désigne une constante générique. (i) Supposons que n = 2p + 1 et notons k = p + 1. D’après les théorèmes classiques de régularité elliptiques (voir par exemple J.-L. Lions and E. Magenes [LM]) nous déduisons que l’opérateur (1 − ΔN ) est un isomorphisme de H k (Ω) sur H k−2 (Ω). Aussi, puisque k− n2 = 12 nous concluons que H k (Ω) s’in1 k jecte continˆ ument dans C 2 (Ω). Or p(t, ·, y) ∈ D((1 − ΔN ) 2 ) pour tout t > 0 k k (ici D((1 − ΔN ) 2 ) est le domaine de la puissance fractionnaire (1 − ΔN ) 2 de l’opérateur 1 − ΔN ). Ainsi, 1

|p(t, x, y) − p(t, x , y)| ≤ [p(t, ·, y)] 12 |x − x | 2 1

≤ C|x − x | 2 p(t, ·, y)H k (Ω) 1

(3.89)

≤ C|x − x | 2 (1 − ΔN ) 2 p(t, ·, y)L2 (Ω) , x, x , y ∈ Ω, o` u [u] 12 =

sup x,y∈Ω, x =y

k

|u(x) − u(y)| 1

|x − y| 2

.

La troisième inégalité de (3.89) est une conséquence d’un résultat de D. Fujiwara [Fu]. Notons p˜ le noyau de la chaleur associé à l’opérateur −1 + ΔN . De (3.85), avec = 1, et (3.89) nous déduisons p˜(t, x, y) = e−t p(t, x, y) ≤ Ct− 2 , t > 0, n

(3.90)


207

et 1

|˜ p(t, x, y) − p˜(t, x , y)| ≤ C|x − x | 2 (1 − ΔN ) 2 p˜(t, ·, y)L2 (Ω) , x, x , y ∈ Ω. (3.91) Comme et(−1+ΔN ) est un semi-groupe holomorphe borné sur L2 (Ω) et que le spectre de 1 − ΔN est inclu dans [1, +∞[, nous avons (voir la formule (1.21)) k

(1 − ΔN ) 2 e 2 (−1+ΔN ) L2 (Ω) ≤ Ct− 2 e− 2 , t > 0. k

t

k

t

t

u, (3.91) implique De plus p˜(t, ·, y) = e 2 (−1+ΔN ) p˜( 2t , ·, y). D’o` t 1 k t p( , ·, y)L2 (Ω) , x, x , y ∈ Ω. |˜ p(t, x, y) − p˜(t, x , y)| ≤ C|x − x | 2 t− 2 e− 2 ˜ 2 (3.92) Puisque 1 1 t t t p( , ·, y)L2 1 (Ω) ˜ p( , ·, y)L2 ∞ (Ω) ˜ p( , ·, y)L2 (Ω) ≤ ˜ 2 2 2 − 2t et Ω p˜(t, x, y)dx = e , nous déduisons de (3.90) t n t ˜ p( , ·, y)L2 (Ω) ≤ Ct− 4 e− 4 . 2 Une combinaison de cette estimation et (3.92) nous donne 1

1

3t

|˜ p(t, x, y) − p˜(t, x , y)| ≤ C|x − x | 2 t− 2 − 4 e− 4 , t > 0, o` u nous avons utilisé − k2 −

n 4

n

= − n2 − ( k2 − n4 ) = − n2 − 14 . Par suite, 1

1

|p(t, x, y) − p(t, x , y)| ≤ C|x − x | 2 t− 2 − 4 , 0 < t ≤ T. n

(3.93)

L’estimation (3.88) résulte alors de (3.86), (3.93) et de l’inégalité suivante p(t, x, y) ≥ p(t, x, x) − |p(t, x, y) − p(t, x, x)|. (ii) Soit n = 2p, s = p + 1 + , avec 0 < < 1 donné. Comme s − n2 > 1, ument dans C 1 (Ω) (voir R. A. Adams [Ad] ou J.-L. H s (Ω) s’injecte continˆ Lions et E. Magenes [LM]). D’autre part, d’après le Lemme 6.35 de D. Gilbarg ument dans C 0,1− (Ω) et et N. S. Trudinger [GT], C 1 (Ω) s’injecte continˆ uC 0,1−(Ω) ≤ KuC 1(Ω) , u ∈ C 1 (Ω),

(3.94)

o` u la constante K est indépendante de . Comme nous l’avons fait dans le cas précédent, en utilisant le fait que (−1 + ΔN ) définie un isomorphime de H s (Ω) sur H s−2 (Ω) (voir par exemple J.-L. Lions et E. Magenes [LM]), nous avons |˜ p(t, x, y) − p˜(t, x , y)| ≤ C|x − x |1− (1 − ΔN ) 2 p˜(t, ·, y)L2 (Ω) , s

pour x, x , y ∈ Ω.

(3.95)

208


De nouveau l’holomorphie de et(−1+ΔN ) sur L2 (Ω) nous donne (−1 + ΔN ) 2 e 2 (−1+ΔN ) ≤ CM ()t− 2 e− 2 , t > 0. s

t

s

t

(3.96)

Ici la constante M () est explicitement donnée par M () =

Mm Γ (m − 2s )

+∞

rm− 2 −1 (1 + r)−m , s

(3.97)

0

o` u m est un entier satisfaisant à m − 1 < 2s < m et Mm est une certaine constante dépendante de m (voir M. Renardy and R. C. Rogers [RR] par exemple). De la même manière qu’en (i), Nous déduisons de (3.95) et (3.96) |˜ p(t, x, y) − p˜(t, x , y)| ≤ CM ()|x − x |1− t− 2 − n

1+ 2

3t

e− 4 , t > 0.

(3.98)

Quand 0, 2s converge vers un α ∈ [m − 1, m[ (α = m − 1 si p est impair) et, par (3.97), M (0) = lim0 M () < ∞. Nous passons a` la limite, quand 0, dans (3.98) pour avoir 1

3t

|˜ p(t, x, y) − p˜(t, x , y)| ≤ C|x − x |t− 2 − 2 e− 4 , t > 0. n

Le reste de la preuve est identique a` celui de (i).

(3.99)

Th´ eor` eme 3.37. Nous avons l’estimation p(t, x, y) ≥ Ct− 2 e−C n

|x−y|2 t

, x, y ∈ Ω, 0 < t ≤ T,

(3.100)

pour une certaine constante positive C. Preuve. Fixons x, y ∈ Ω et 0 < t ≤ T . Comme Ω is connexe, il existe un chemin γ : [0, 1] → Ω joignant x ` a y, avec γ constante par morceaux. Pour tout entier positif k et yi = γ( ki ), i = 0, 1, . . . k, il n’est pas difficile de démontrer qu’il existe une constante c ≥ 1, indépendante de k, telle que |yi − yi−1 | ≤

c |x − y|, i = 0, . . . , k − 1. k

1

(3.101)

1

Si 2c|x − y| ≤ δt 2 (et donc |x − y| ≤ δt 2 ), (3.100) résulte immédiatement de 1 la Proposition 3.36. Nous supposons alors que 2c|x − y| > δt 2 . Notons par m ≥ 2 le petit entier satisfaisant 2c

|x − y| m

1 2

1

≤ δt 2 , 1

t 2 ) . o` u c est comme dans (3.101). Soient xi = γ( mi ), i = 0, 1, . . . m et r = 14 δ( m Nous utilisons la propriété de semi-groupe et la positivité de p pour conclure


209

t t t , x, z1 )p( , z1 , z2 ) . . . p( , zm−1 , y)dz1 . . . dzm−1 m m m Ω Ω (3.102) t t t ... p( , x, z1 )p( , z1 , z2 ) . . . p( , zm−1 , y)dz1 . . . dzm−1 . ≥ m m m B(x1 ,r) B(xm−1 ,r)

p(t, x, y) =

...

p(

Si z0 = x et zm = y, alors |zi −zi−1 | ≤ |xi −xi−1 |+2r ≤ c

|x−y| |x−y| +2r ≤ c +2r ≤ 4r, i = 0, . . . , m−1. 1 m m2

C’est-à-dire

t 1 ) 2 , i = 0, . . . , m − 1. m Une application de la Proposition 3.36 nous fournit, o` u ωn est la mesure de la boule unité de Rn , nm t ... cm ( )− 2 dz1 . . . dzm−1 p(t, x, y) ≥ m B(x1 ,r) B(xm−1 ,r) |zi − zi−1 | ≤ δ(

≥ ωnm−1 rn(m−1) cm (

nm t − nm t n(m−1) t ) 2 = ωnm−1 ( ) 2 cm ( )− 2 m m m

≥ C C m t− 2 , n

avec C et C deux constantes positives. Il existe donc deux constantes positives b et C telles que (3.103) p(t, x, y) ≥ C e−bm . De la définition de m nous déduisons m−1≤(

2c 2 |x − y|2 ) . δ t

Cette dernière inégalité et (3.103) donnent (3.100).

Remarque. (i) Il existe une minoration plus précise dans le cas d’un domaine convexe Ω . Nous pouvons démontrer que le noyau de la chaleur pour le laplacien Neumann pour un domaine convexe est minorée par le noyau de la chaleur du laplacien dans l’espace tout entier. C’est-` a-dire p(t, x, y) ≥ (4πt)−n/2 e−|x−y|

2

/4t

.

En fait cette estimation caractérise même la convexité du domaine Ω. Nous renvoyons le lecteur intéressé à I. Chavel [Cha] et ses réferences pour de plus amples détails. (ii) La constante qui apparaˆıt dans le dernier théorème dépend bien évidemment de T . Nous choisissons T = 1 et nous itérons la minoration

210


du Théorème 3.14 pour déduire (avec l’aide de la propriété de semi-groupe (etΔN /k )k = etΔN t > 0) p(t, x, y) ≥ Ct− 2 e−ωt e−C n

|x−y|2 t

, x, y ∈ Ω, t > 0,

o` u C et ω sont des constantes positives. Notons que nous ne savons pas, pour un domaine régulier quelconque, si dans la dernière estimation est encore valable avec ω = 0. Dans le reste de ce sous-paragraphe nous déduisons des résultats précédents une minoration gaussienne pour la solution fondamentale associée au problème aux limites, o` u s ∈ (s0 , t0 ) est arbitrairement fixé, ⎧ ⎨ ∂t u(x, t) = Δu(x, t) + c(x, t)u(x, t), dans (s, t0 ) × Ω, limts u(t, x) = u0 (x), sur Ω, (3.104) ⎩ ∂ν u(x, t) = 0, sur (s, t0 ) × Γ. Les fonctions u0 et c sont continues respectivement dans Ω et [s, t0 ] × Ω. Soit U (x, t; y, s) une fonction continue dans la région : s0 < s < t < t0 , x ∈ Ω, y ∈ Ω. Alors U est appelée solution fondamentale du problème aux limites (3.104) si pour tout u0 ∈ C(Ω), la fonction u(x, t) définie par u(x, t) = U (x, t; y, s)u0 (y)dy Ω

est solution de (3.104). Nous renvoyons à S. Itˆ o [It] pour l’existence et l’unicité de la solution fondamentale. D’après le Théorème 11.1 de S. Itô [It] (principe de comparaison pour la solution fondamentale), nous avons U (x, t; y, s) ≥ V (x, t; y, s), o` u V est la solution fondamentale de (3.104) quand c est remplacée par −λ = − max |c|. D’autre part, un calcul simple nous donne V (x, t; y, s) = e−λ(t−s) p(t− s, x, y). Donc comme conséquence du Théorème 3.37, nous avons le Corollaire 3.38. U satisfait ` a l’estimation U (x, t; y, s) ≥ Ce−λ(t−s) (t − s)− 2 e−C n

pour une certaine constante positive C.

|x−y|2 t−s

, x, y ∈ Ω, s0 < s < t < t0 , (3.105)


211

Notons que nous avons aussi U (x, t; y, s) ≤ W (x, t; y, s),

(3.106)

avec W la solution fondamentale de (3.104) quand c est remplacée par λ = max |c|. Comme ci-dessus, cette inégalité résulte du Théorème 11.1 de S. Itô [It]. Les inégalités (3.85) et (3.106) nous permettent alors de conclure U (x, t; y, s) ≤ Ceη(t−s) (t − s)− 2 e−C n

|x−y|2 t−s

, x, y ∈ Ω, s0 < s < t < t0 , (3.107)

o` u η et C sont des constantes positives. 3.7.2 D´ emonstration des Th´ eor` emes 3.33 et 3.34 Nous montrons d’abord deux lemmes. Lemme 3.39. Soit U (x, t; y, s) la solution fondamentale du problème aux limites (3.104) et T > 0. Alors il existe une constante C = C(T, n, Ω, max |c|) telle que t0 1 U (x0 , t; y, s)dyds ≥ C, (3.108) lim inf n+1 r→0 r t0 −r B(x0 ,r)∩Ω pour x0 ∈ Γ et 0 < t0 < t ≤ T . Preuve. Soient x0 ∈ Γ et 0 < t0 < t ≤ T . D’après (3.105), nous avons

t0

t0 −r B(x0 ,r)∩Ω

U (x0 , t; y, s)dyds ≥ C

t0

(t−s)− 2 e−C n

|x0 −y|2 t−s

dyds,

t0 −r B(x0 ,r)∩Ω

(3.109) pour une certaine constante positive C. x ) ∈ (0, +∞) × S, o` u S et la sphère Soit Ψ : x ∈ Rn \ {0} → (r, ω) = (|x|, |x| n unité de R . Comme Ω est régulier (en particulier Ω à la propriété du cône intérieur en x0 ) il existe γ ⊂ S, d’intérieur non vide, telle que

Ψ (B(x0 , r) ∩ Ω) ⊃ (0, r) × γ, pour tout r > 0 suffisamment petit. Par suite, nous déduisons de (3.109)

t0

t0 −r

U (x0 , t; y, s)dyds ≥ K

B(x0 ,r)∩Ω

t0

r

ds t0 −r

u2

(t − s)− 2 e−C t−s un−1 du, n

0

o` u K est une constante, qui ne dépend que de T , n, λ et |γ|. Mais s → (t−s)− 2 est décroissante. D’o` u

n

(t − s)− 2 ≥ (t − t0 + r)− 2 ≥ (T + r)− 2 , s ∈ (t0 − r, t0 ), n

n

n

212


et donc t0 t0 −r

U (x0 , t; y, s)dyds ≥ Kr(T + r)− 2

n

r

u2

e−C t−t0 un−1 du.

0

B(x0 ,r)∩Ω

Par la règle de l’Hˆ opital.

1 r→0 rn

r

lim

u2

e−C t−t0 un−1 du =

0

1 . n

Par conséquence lim inf r→0

1 rn+1

t0

t0 −r

KT − 2 , n n

U (x0 , t; y, s)dyds ≥ B(x0 ,r)∩Ω

(3.110)

ce qui termine la preuve du lemme.

Lemme 3.40. (i) Il existe une constante positive C (qui dépend de R > 0) telle que uf 1+α, 1+α ≤ C, f ∈ FR . 2 C

(Ω×[0,T ])

(ii) Il existe une constante C telle que uf − ug C 2+α,1+ α2 (Ω×[0,T ]) ≤ C L(f − g), f, g ∈ FR . Preuve. Pour (i), l’estimation hölderienne du Théorème 4.1, p. 191 de A. 1+α Friedman [Frie] nous permet d’affirmer que si u ∈ C 1+α, 2 (Q) est solution de l’équation de la chaleur, o` u h ∈ C(Q), ⎧ ⎨ Δu − ∂t u = h, dans Q, u = 0, sur Σ0 , ⎩ u = 0, sur Σ, alors u

C 1+α,

1+α 2

(Q)

≤ chC(Q) ,

(3.111) α

o` u la constante c ne dépend pas de h. Soit Φ ∈ C 2+α,1+ 2 (Q) la solution du problème aux limites ⎧ ⎨ ΔΦ − ∂t Φ = 0, dans Q, Φ = 0, dans Σ0 , ⎩ Φ = ϕ, sur Σ. Soit v = uf − Φ. Il est aisé de voir que v est ⎧ ⎨ Δv − ∂t v = f (uf ), u = 0, ⎩ u = 0,

solution du problème aux limites dans Q, dans Σ0 , sur Σ.


213

Il résulte de (3.111) v

C 1+α,

1+α 2

(Q)

≤ cf (uf )C(Q) ≤ cR.

(3.112)

D’après l’estimation h¨ olderienne du Théorème 1.40, ΦC 2+α,1+ α2 (Q) ≤ c ϕC 2+α,1+ α2 (Σ) ,

(3.113)

pour une certaine constante positive c . α

Comme C 2+α,1+ 2 (Q) s’injecte continˆ ument dans C 1+α, déduisons de (3.112) et (3.113) u

C 1+α,

1+α 2

(Q)

1+α 2

(Q), nous

≤ cR + c ϕC 2+α,1+ α2 (Σ) = C,

o` u c est une constante positive. Nous avons donc montré (i). Nous démontrons maintenant (ii). Soient f , g ∈ FR et u = uf − ug . Alors u est la solution du problème aux limites ⎧ ⎨ ∂t u = Δu + cu + [g(ug ) − f (ug )], dans Q, u = 0, dans Σ0 , ⎩ u = 0, sur Σ, avec

c(x, t) = −

1

f (ug (x, t) + τ [uf (x, t) − ug (x, t)])dτ.

0

Nous avons cC α, α2 (Q) ≤ L(f )(uf C α, α2 (Q) + ug C α, α2 (Q) ). Nous obtenons, en utilisant (i), cC α, α2 (Q) ≤ 2RC = λ. Une nouvelle fois l’estimation h¨ olderienne du Théorème 1.40 nous permet de conclure qu’il existe une constante positive C qui dépend de λ et non de f et g telle que uC 2+α,1+ α2 (Q) ≤ C g(ug ) − f (ug )C α, α2 (Q) . Or g(ug ) − f (ug )C α, α2 (Q) ≤ L(f − g)ug C α, α2 (Q) ≤ CL(f − g). Noter que nous avons utilisé (i) pour établir la seconde inégalité. Les deux dernières estimations impliquent

214


uC 2+α,1+ α2 (Q) = uf − ug C 2+α,1+ α2 (Q) ≤ C CRL(f − g) = C L(f − g).

D’o` u le résultat. Preuve du Th´ eor` eme 3.33. Nous la donnons en deux étapes. Etape 1. Soit m = sup{r ∈ (0, M ]; f − g a un signe constant sur [0, r]}. Dans un premier temps, nous démontrons l’estimation 1

A = max |f − g| ≤ ∂ν uf − ∂ν ug Ln+2 ∞ (Σ) . [0,m]

(3.114)

Si A = 0 alors il n’ y a rien a` montrer. Nous supposons donc que A > 0. Par le Lemme 3.3, il existe Tm ∈ (0, T ] telle que ug (Ω × [0, Tm ]) = ug (Γ × [0, Tm ]) = [0, m]. Soit η ∈ [0, m] pour laquelle |(f − g)(η)| = A. Comme (f − g)(0) = (f − g)(m) = 0, nous déduisons que 0 < η < m. Soit Tη ≤ Tm telle que ug (Ω × [0, Tη ]) = ug (Γ × [0, Tη ]) = [0, η]. Nous avons Tη < Tm . Car sinon ug (Ω × [0, Tm ]) = ug (Γ × [0, Tm ]) = [0, η], ce qui est impossible puisque η < m. Nous choisissons alors (x0 , t0 ) ∈ Γ × (0, Tm ) tel que ug (x0 , t0 ) = η. Soit u = uf − ug . Comme nous l’avons vu dans solution du problème aux limites ⎧ ⎨ ∂t u = Δu + cu + [g(ug ) − f (ug )], u = 0, ⎩ u = 0, o` u

1

c(x, t) = −

le lemme précédent, u est dans Q, dans Σ0 , sur Σ,

f (ug (x, t) + τ [uf (x, t) − ug (x, t)])dτ.

0

Rempla¸cant, si nécessaire, u par −u, nous pouvons toujours supposer que g − f ≥ 0 sur [0, m]. D’après le Théorème 9.1 de S. Itô [It], nous pouvons exprimer u en fonction de U , la solution fondamentale associée au problème de Neumann pour l’opérateur P u = ∂t u − Δu − c(x, t)u. Précisément, nous avons t u(x, t) = U (x, t; y, s)[g(ug ) − f (ug )](y, s)dyds Ω

0

t U (x, t; y, s)[∂ν uf − ∂ν ug ]dσ(y)ds,

+ 0

Γ

pour x ∈ Ω et t ∈ [0, T ]. Comme u = 0 sur Γ × [0, T ], nous concluons


215

t U (x, t; y, s)[g(ug ) − f (ug )](y, s)dyds Ω

0

t U (x, t; y, s)[∂ν uf − ∂ν ug ]dσ(y)ds,

= 0

(3.115)

Γ

si (x, t) ∈ Γ × [0, T ]. D’autre part, η = |ϕ(x0 , t0 )| = |ϕ(x0 , t0 ) − ϕ(x0 , 0)| = |∂t ϕ(x0 , θt0 )|t0 , pour un certain θ, 0 < θ < 1. Par suite, η ≤ Ct0 , o` u, ici et jusqu’à la fin de la preuve, C est une constante générique. De la même manière, comme (f − g)(0) = 0, A = max |f − g| = |(f − g)(η)| ≤ Cη. [0,m]

Donc A ≤ Ct0 .

(3.116)

Posons d = ∂ν uf − ∂ν ug L∞ (Σ) . 1 n+2

1

, alors (3.116) implique (3.114). Nous supposons donc que d n+2 < Si t0 ≤ d t0 . Pour un d suffisamment petit (d’après (ii) du Lemme 3.40, d est petit si f − gC 1 [0,M] l’est), nous avons

t0

t0

1 −d n+2

n+1

B(x0

1 ,d n+2

U (x0 , Tm ; y, s)dyds ≥ Cd n+2 , )∩Ω 1

1

par le Lemme 3.39. D’autre part, si (y, s) ∈ B(x0 , d n+2 ) × (t0 − d n+2 , t0 ), |f (ug (y, s)) − g(ug (y, s))| ≥ |f (ug (x0 , t0 )) − g(ug (x0 , t0 ))| −L(f − g)|ug (y, s) − ug (x0 , t0 )| = A − L(f − g)|ug (y, s) − ug (x0 , t0 )| ≥ A − L(f − g)C(|y − x0 | + |s − t0 |) 1

≥ A − Cd n+2 ,

(3.117)

216


o` u nous avons utilisé (i) du Lemme 3.40 dans la seconde inégalité. D’o` u Tm U (x, Tm ; y, s)[g(ug ) − f (ug )](y, s)dyds 0

Ω

≥

t0 1

U (x0 , Tm ; y, s)[g(ug ) − f (ug )](y, s)dyds

1

t0 −d n+2

B(x0 ,d n+2 )∩Ω

n+1

1

≥ Cd n+2 (A − Cd n+2 ).

(3.118)

Nous avons d’après la preuve du Théorème 1 de S. Itô [It] |

Tm

0

U (x0 , Tm ; y, s)[∂ν uf − ∂ν ug ]dσ(y)ds| ≤ Cd.

(3.119)

Γ

Mais d’après (3.115), Tm 0

U (x0 , Tm ; y, s)[g(ug ) − f (ug )](y, s)dyds

Ω

Tm

U (x0 , Tm ; y, s)[∂ν uf − ∂ν ug ]dσ(y)ds.

= 0

Γ

Nous concluons donc que (3.114) résulte de (3.118) et (3.119). Etape 2. Soit m ˜ = sup{r ∈ (m, M ]; f − g a un signe constant sur [m, r]}. Nous allons démontrer 1

A˜ = max |f − g| ≤ Cd (n+2)2 . [m,m] ˜

(3.120)

o` u d est comme précédemment. C’est-` a-dire d = ∂ν uf − ∂ν ug L∞ (Σ) . Notons encore une fois que si A˜ = 0 alors il n’y a rien a` montrer. Nous pouvons donc supposer que A˜ > 0. Une nouvelle application du Lemme 3.3 nous permet d’affirmer qu’il existe Tm ˜ Si η˜ est tel que(f − g)(˜ η ) = A˜ alors, ˜ pour lequel ug (Ω × [0, Tm ˜ ]) = [0, m]. comme dans l’étape précédente, nous pouvons choisir (x1 , t1 ) ∈ Γ × (Tm , Tm ˜) satisfaisant ug (x1 , t1 ) = η˜. Sans perte de généralité, nous pouvons supposer que g − f ≥ 0 sur [0, m] et f − g ≥ 0 sur [m, m]. ˜ Puisque (f − g)(m) = (f − g)(m) ˜ = 0, une simple application du théorème des accroissements finis nous donne A˜ = (f − g)(˜ η ) − (f − g)(m) ≤ C(˜ η − m),

(3.121)


217

et A˜ = (f − g)(˜ η ) − (f − g)(m) ˜ ≤ C(m ˜ − η˜).

(3.122)

Notons K = C(R) la constante dans l’estimation du Lemme 3.40 (i). Soit ν ∈ (0, 1) à notre dispostion ; nous considérons deux cas ν

d n+2 ≤ min(

˜ − η˜ Tm η˜ − m m , , ), 2K 2K 2

(3.123)

et

˜ − η˜ Tm η˜ − m m , , ). (3.124) 2K 2K 2 Dans le cas (3.124), nous obtenons immédiatement de (3.121) et (3.122) ν

d n+2 ≥ min(

ν A˜ ≤ Cd n+2 ,

ou

ν −1 n+2 d . A˜ ≤ 2R ≤ 4RTm

Le choix de ν =

1 n+2

conduit alors a` (3.120).

Considérons maintenant le cas (3.123). Nous posons Q1 = {(y, s) ∈ Ω × [0, Tm ˜ ]; 0 ≤ ug (y, s) ≤ m}, ˜ Q2 = {(y, s) ∈ Ω × [0, Tm ˜ ]; m ≤ ug (y, s) ≤ m}, et, pour x ∈ Γ , J1 (x) = −

U (x, Tm ˜ ; y, s)[g(ug (y, s)) − f (ug (y, s))]dyds Q1 Tm ˜

0

U (x, Tm ˜ ; y, s)[∂ν uf (y, s) − ∂ν ug (y, s)]dσ(y)ds, Γ

U (x, Tm ˜ ; y, s)[f (ug (u, s)) − g(ug (y, s))]dyds.

J2 (x) = Q2

Nous déduisons de (3.115) J1 (x) = J2 (x), x ∈ Γ.

(3.125)

Soit ν

ν

B1 = {y ∈ Ω; |y − x1 | < d n+2 } × {s ∈ (0, Tm ˜ ]; t1 − d n+2 < s < t1 }. Par (3.123) et Tm < t1 < Tm ˜ , nous avons ν

ν

t1 − d n+2 > Tm − d n+2 > Tm −

Tm Tm = . 2 2

De plus, pour tout (y, s) ∈ B1 , nous obtenons par le Lemme 3.40 (i)

218


|ug (y, s) − η˜| = |ug (y, s) − ug (x1 , t1 )| ≤ ug C 1 (Q) (|y − x1 | + |s − t1 |) ν

≤ 2Kd n+2 ≤ min(˜ η − m, m ˜ − η˜) et donc m ≤ ug (y, s) ≤ m, ˜ (y, s) ∈ B1 .

(3.126)

Par le Lemme 3.39 et (3.126), nous avons U (x, Tm J2 (x) ≥ ˜ , y, s)[f (ug (y, s)) − g(ug (y, s)]dyds B1 ≥ min [f (ug (y, s)) − g(ug (y, s)] U (x, Tm ˜ , y, s)dyds (y,s)∈B1

≥ Cd

B1

ν(n+1) n+2

min [f (ug (y, s)) − g(ug (y, s))].

(y,s)∈B1

D’autre part, de fa¸con identique a` (3.117), nous montrons ν f (ug (y, s)) − g(ug (y, s)) ≥ A˜ − Cd n+2 , (y, s) ∈ B1 .

D’o` u J2 (x) ≥ Cd

ν(n+1) n+2

ν

(A˜ − Cd n+2 ), (y, s) ∈ B1 .

(3.127)

Nous estimons maintenant J1 (x). Par (3.114) et la définition de Q1 , |J1 (x)| ≤ Cd

1 n+2

Tm ˜

U (x, Tm ˜ ; y, s)dyds

0

Tm ˜

U (x, Tm ˜ ; y, s)|∂ν uf (y, s) − ∂ν ug (y, s)|dσ(y)ds

+ 0

Ω

Γ

1

≤ Cd n+2 + Cd.

(3.128)

Ici le premier terme est estimé par le Théorème 8.3 du Chapitre 2 de S. Itˆ o [It] ; tandis que le second terme est estimé de la même manière que (3.119). L’identité (3.125) et les estimations (3.127), (3.128) impliquent ν 1 A˜ − Cd n+2 ≤ Cd n+2 −

ν(n+1) n+2

+ Cd1−

1 − ν(n+1) Le choix optimal de ν est réalisé quand n+2 n+2 = 1 a ν = n+2 . Pour ce choix de ν, nous avons donc `

ν(n+1) n+2

ν n+2

.

(3.129)

, ce qui correspond

1

1 A˜ ≤ Cd n+2 + Cd (n+2)2 .

Nous poursuivons alors cet argument pour compléter la preuve du théorème.


219

Preuve du Th´ eor` eme 3.34. Soient f , g ∈ F˜R telles que f − g a un signe constant sur [0, m]. Soit k le plus petit entier qui vérifie km ≥ M . Comme l’image de la fonction r → kr est égale a` [0, km] M , nous pouvons trouver p tel que kp = M . Rappelons que D, défini au début du paragraphe, est donné par D = {z ∈ C; z > 0, |z| < K}, o` u K est une constante positive. Nous utiliserons la proposition suivante, dont nous donnerons la preuve un peu plus loin, Proposition 3.41. Soient 0 < ≤ 1 et C > 1 deux constantes. Soit h ∈ C(D) analytique dans D. Supposons que |h| ≤ C sur D et |h| ≤ sur [0, p]. Alors pour tout μ tel que 1 √ 1 0 < μ < e 3π( 2 −k) , 3 Nous avons |h| ≤ C 1−μ μ sur [0, M ]. Nous continuons la preuve du Théorème 3.34. Comme f − g a un signe constant sur [0, p], nous déduisons de la première étape du Théorème 3.33 1

|f − g| ≤ ∂ν uf − ∂ν ug Ln+2 ∞ (Σ) sur [0, p]. Vu cette estimation, la Proposition 3.41 entraine μ

|f − g| ≤ (2R)1−μ ∂ν uf − ∂ν ug Ln+2 ∞ (Σ) sur [0, M ], pour 0 < μ < 13 e

√ 3π( 12 −k)

, ce qui termine la preuve.

Preuve de la Proposition 3.41. Fixons L > 0 arbitraire tel que L > 2p et L ≥ M √ . Soit 0 < δ < γ < p − δ; posons A = (γ − δ, 0), B = (γ + δ, 0) et P = (γ, 3δ). Nous appliquons le théorème de Lindelöf (énoncé ci-dessous) à f dans le triangle ΔABP pour avoir, en notant que ≤ C, δ 2 1 |f (γ + i √ )| ≤ C 3 3 , 3 p si 0 < δ < γ < p − δ. Posons O = (0, 0), P1 = (p, 0), P2 = ( p2 , 2√ ) et 3 p p P3 = ( 2 , − 2√3 ). En faisant varier (γ, δ) tel que 0 < δ < γ < p − δ, nous obtenons 2 1 |f (z)| ≤ C 3 3 , z ∈ ΔOP1 P2 .

Nous faisons un raisonnement similaire dans le cas z < 0 pour avoir 2 1 ˆ = ΔOP1 P2 ∪ ΔOP1 P3 . |f (z)| ≤ C 3 3 , z ∈ D

(3.130)

220


Ici et dans ce qui suit, nous identifions z = x+iy, x, y ∈ R avec z = (x, y) ∈ R2 . Nous considérons le cercle C de centre (L, 0) passant par les points P2 et u P3 . C’est-à -dire C = {(x, y) ∈ R2 ; (x − L)2 + y 2 = r2 }, o` & p2 − 3pL + 3L2 . r = r(L) = 3 La coordonnée x du point d’intersection de C avec la demi-droite OP2 est 3L−p et l’hypothèse 2p < L imlique 3L−p > p2 . Donc l’arc inférieur P2 P3 est 2 2 ˆ Par suite, (3.130) nous donne inclu dans D. 2

1

|f (z)| ≤ C 3 3 , z ∈ l’arc inférieur P2 P3 de C.

(3.131)

Introduisons maintenant le secteur ' απ απ ( S = z ∈ C; 0 < |z − L| < r, − < arg(z − L) < . 2 2 o` u απ eels et la droite passant par les points P0 et 2 est l’angle entre l’axe des r´ P2 , avec P0 = (L, 0). Donc 2 p √ √ α = arctan π 2 3L − 3p 2

1

Comme < C et K > p2 , |f | ≤ C sur l’adhérence du secteur S, et C 3 3 < C. Nous pouvons donc appliquer, après une rotation d’angle π, le théorème de Carleman, énoncé ci-dessous. Nous obtenons |f | ≤ C 1−( sur p2 ≤ x ≤ L. D’o` u, pour et C ≥ 1,

p 2 1

|f | ≤ C 1− 3 (

1 L−x α r )

2

1

(C 3 3 )(

1 L−x α r )

,

≤ x ≤ M , en notant que L − x ≥ L − M , ≤ 1 L−M r

1

)α

1

3(

L−M r

1

)α

,

p ≤ x ≤ M. 2

(3.132)

Comme < C 1−θ θ pour < C, 0 < θ < 1 et |f | ≤ sur [0, p], l’inégalité (3.132) s’étend a` [0, M ] tout entier. En utilisant 1 √ 1 M 1 L−M 1 ( ) α = e 3π( 2 − p ) L→+∞ 3 r 3 lim

(cette limite se calcule aisément grˆ ace à la règle de l’Hˆ opital), l’inégalité recherchée s’obtient en passant à la limite, quand L → +∞, dans (3.132). Pour terminer, voici les énoncés des deux lemmes que nous avons utilisé dans la dernière preuve :


221

Lemme 3.42. (Carleman) Soit f une fonction analytique dans le secteur D = {z = (r, θ); 0 < r < R, −

απ απ 0 telle que |∇v|2 dx + qv 2 dσ ≥ C, v ∈ H 1 (Ω) ∩ BL2 (Ω) , Ω

Γ

o` u BL2 (Ω) est la boule unité de L2 (Ω) (raisonner par l’absurde). En déduire que 2 vq = |∇v| dx + qv 2 dσ Ω

Γ

1

est une norme équivalente sur H (Ω). 1

1

1

2. Montrer que pour tout f ∈ H − 2 (Γ ) (H − 2 (Γ ) étant le dual de H 2 (Γ )), il existe un unique u ∈ H 1 (Ω) solution du problème variationnel ∇u · ∇vdx + quvdσ = f, v 12 , v ∈ H 1 (Ω). −1 2 Ω

Γ

H (Γ ),H

(Γ )

3. Vérifier que Δu = 0 dans D (Ω) et 1

∂ν u + qu = f dans H − 2 (Γ ). 4. Montrer qu’il existe une constante positive M qui dépend uniquement de Ω et q telle que uH 1 (Ω) ≤ M f − 21 . H

(Γ )

III. Dans cette partie Γ = Γ 1 ∪ Γ 2 , o` u Γ1 et Γ2 sont deux ouverts non vides de Γ .


225

Soit f ∈ C(Γ ) telle que supp(f ) ⊂ Γ2 et, pour i = 1, 2, soit qi ∈ C(Γ ) avec supp(qi ) ⊂ Γ1 . Nous supposons que (4.1), avec q = qi , admet une unique solution ui ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω). Nous faisons aussi l’hypothèse suivante : u1 = u2 sur Γ2 . Vérifier que u = u1 − u2 satisfait à Δu = 0 dans Ω

et u = ∂ν u = 0 sur Γ2 .

En déduire que u ≡ 0 et puis que (q1 − q2 )u2 = 0 sur Γ1 . Conclure ensuite que q1 = q2 .

Probl` eme 3 Soit Ω un domaine borné de Rn de classe C 2 et de frontière Γ . Nous supposons qu’il possède la propriété suivante : il existe une fonction non constante ρ ∈ C 2 (Ω) telle que Δρ ≥ 0 dans Ω et ρ = 1 sur Γ . Pour T > 0 fixé, nous posons Q = Ω × [0, T ],

Σ0 = Ω × {0},

ΣT = Ω × {T },

Σ = Γ × [0, T ].

I. 1. Vérifier que δ = min ∂ν ρ > 0 et que ρ < 1 dans Ω. En déduire que, pour Γ

tout λ > 0, il existe θλ ∈ C 2 (Ω) qui satisfait aux propriétés suivantes : θλ ≥ 1 dans Ω,

θλ = 1 sur Γ,

−∂ν θλ ≥ λ sur Γ.

2. Soient ψ ∈ C(Ω), p, ϕ ∈ C(Σ). Soit u ∈ C 2,1 (Q) une solution de l’équation ⎧ ⎨ (Δ − ∂t )u = 0, dans Q, u = ψ, sur Σ0 , ⎩ (∂ν + p)u = ϕ, sur Σ. Soient λ > 0 et μ deux réels et v = eμt θλ u. Montrer que v est solution d’une équation de la forme ⎧ ⎨ (Δ + B · ∇ + c − ∂t )v = 0, dans Q, v = θλ ψ, sur Σ0 , ⎩ (∂ν + r)v = eμt ϕ, sur Σ, et que l’on peut choisir λ et μ de telle sorte que c ≤ 0 et r ≥ 0. 3. Nous supposons que ψ ou ϕ est non identiquement nulle, ψ ≤ 0, ϕ ≤ 0 et que ψ s’annule au moins en un point de Ω. Montrer alors que u < 0 dans Ω × (0, T ].

226


Nous faisons maintenant l’hypothèse suivante : il existe P et Φ0 deux sousespaces de C(Σ) tels que i) Φ0 est dense dans L2 (Σ), ii) Si p ∈ P alors (x, t) → p(x, T − t) ∈ P , iii) Pour tout p ∈ P et pour tout ϕ ∈ Φ0 , pϕ ∈ Φ0 , iv) pour tout α ∈ C ∞ (Σ) et pour tout ϕ ∈ Φ0 , αϕ ∈ Φ0 , v) pour tout p ∈ P et pour tout ϕ ∈ Φ0 , il existe un unique u ∈ C 2,1 (Q) solution de l’équation ⎧ ⎨ (Δ − ∂t )u = 0, dans Q, (4.2) u = 0, sur Σ0 , ⎩ (∂ν + p)u = ϕ, sur Σ, tel que u|Σ ∈ Φ0 . Remarque : Noter que la condition v), ci-dessus, implique que toute fonction ϕ ∈ Φ0 doit nécessairement satisfaire a ` ϕ(·, 0) = 0. Nous posons ΦT = {f ; f (x, t) = ϕ(x, T − t), ϕ ∈ Φ0 }. II. 1. Vérifier que pour tout p ∈ P et pour tout f ∈ ΦT , l’équation ⎧ ⎨ (Δ + ∂t )w = 0, dans Q, w = 0, sur ΣT , ⎩ (∂ν + p)w = f, sur Σ,

(4.3)

admet une unique solution w ∈ C 2,1 (Q). 2. On fixe p ∈ P et, pour ϕ ∈ Φ0 , on note uϕ la solution de (4.2). Soit g ∈ ΦT telle que guϕ dσdt = 0, ϕ ∈ Φ0 . Σ

Appliquer la formule de Green a` uϕ et w, la solution de (4.3) avec f = g, pour conclure que wϕdσdt = 0, ϕ ∈ Φ0 . Σ

En déduire que g est identiquement nulle. III. Nous nous donnons p1 , p2 ∈ P , Γ un ouvert non vide de Γ et nous posons Σ = Γ × [0, T ]. Soit 0 ≤ β ∈ ΦT non identiquement nulle, supp(β) ⊂ Γ × [0, T ), et soit z ∈ C 2,1 (Q) l’unique solution de l’équation ⎧ ⎨ (Δ + ∂t )z = 0, dans Q, z = 0, sur ΣT , ⎩ (∂ν + p1 )z = β, sur Σ.


227

1. Montrer que z > 0 sur Ω × [0, T ). Pour ϕ ∈ Φ0 , on note uiϕ la solution de (4.2) avec p = pi , i = 1, 2. Nous faisons alors l’hypothèse suivante : u1ϕ = u2ϕ sur Σ , ϕ ∈ Φ0 . ´ 2. Ecrire l’équation satisfaite par uϕ = u1ϕ − u2ϕ . Appliquer ensuite la formule de Green à uϕ et z pour déduire (p2 − p1 )zu2ϕ ϕ ∈ Φ0 . 0= Σ

3. Conclure que p1 = p2 . Le lecteur pourra utiliser [Ch3] pour construire un corrigé de ce problème.

Probl` eme 4 Dans ce problème Ω est un domaine borné de R3 de classe C ∞ (pour simplifier), de frontière Γ . ∞ I. 1. Montrer que si q ∈ L∞ + (Ω) = {p ∈ L (Ω); p ≥ 0 p.p.} est non identi2 quement nulle et f ∈ L (Ω), alors il existe un unique u = uq (f ) ∈ H01 (Ω) tel que ∇u · ∇vdx + quvdx = f vdx, v ∈ H01 (Ω). Ω

Ω

Ω

C’est-à-dire que uq (f ) est l’unique solution variationnelle du problème aux limites −Δu + qu = f, dans Ω, u = 0, sur Γ. ` q ∈ L∞ erateur (borné) A + (Ω), nous associons l’op´ 1

Πq : L2 (Ω) → H − 2 (Γ ) : f → ∂ν uq (f ). 2. Soient q1 , q2 ∈ L∞ + (Ω) tels que Πq1 = Πq2 . En appliquant une formule d’intégration par parties appropriée à u = uq1 (f ) − uq2 (f ) et v ∈ H 2 (Ω) vérifiant (−Δ + q1 )v = 0 dans Ω, montrer que (q1 − q2 )uq2 (f )vdx = 0, Ω

pour tout f ∈ L2 (Ω). En déduire que q1 = q2 . II. On considère le problème aux limites −Δu = F (u) + f, dans Ω, u = 0, sur Γ,

(4.4)

228


o` u F : R → R est une fonction continue décroissante vérifiant : il existe a > 0, b > 0 tels que |F (s)| ≤ a + b|s|, pour tout s ∈ R. Soit f ∈ L2 (Ω). Nous dirons que u ∈ H01 (Ω) est une solution variationnelle de (4.4) si ∇u · ∇vdx = F (u)vdx + f vdx, v ∈ H01 (Ω). Ω

Ω

Ω

1. Montrer que si u ∈ H01 (Ω) est une solution variationnelle de (4.4) alors il existe une constante C, qui ne dépend que de Ω, F (0) et f L2 , telle que ∇uL2 ≤ C. (Utiliser le fait que s(F (s) − F (0)) ≤ 0 pour tout s.) 2. Montrer que (4.4) admet au plus une solution variationnelle. Nous introduisons l’application T : L2 (Ω) × [0, 1] → L2 (Ω) : (w, λ) → T (w, λ) = u, o` u u est la solution faible de −Δu = λ(F (w) + f ), dans Ω, u = 0, sur Γ. 3. Vérifier que T est compacte. Montrer ensuite, en utilisant le théorème du point fixe énoncé ci-dessous, que T (·, 1) admet un point fixe. (Notons qu’un point fixe de T (·, 1) est une solution variationnelle de (4.4).) Th´ eor` eme 4.44. (Leray-Schauder) Soient X un espace de Banach et T : X ×[0, 1] → X une application compacte (c’est-` a-dire T est continue et envoie les parties bornées de X ×[0, 1] dans les parties relativement compactes de X). Si T (·, 0) = 0 et si {x ∈ X; x = T (x, λ), pour un certain λ} est borné, alors T (·, 1) admet un point fixe. III. Pour F satisfaisant les hypothèses de la seconde partie et f ∈ L2 (Ω), on note par uF (f ) la solution variationnelle de (4.4). Soit SF l’application définie par SF : L2 (Ω) → H01 (Ω) ∩ HΔ (Ω) : f → uF (f ). 1. Montrer que SF est lipschitzienne. Dans la suite de cette partie nous supposons que F est décroissante, dérivable, et que sa dérivée F est lipschitzienne et bornée. (En particulier F vérifie les hypothèses de la seconde partie.) 2. Montrer que SF est Fréchet-différentiable et, pour f , g ∈ L2 (Ω), SF (f )(g) = v, o` u v est la solution variationnelle du problème aux limites −Δv − F (uF (f ))v = g, dans Ω, v = 0, sur Γ.


229

(Pour f , g ∈ L2 (Ω) et z = uF (f + g) − uF (f ) − v, établir d’abord que |∇z|2 ≤ z[F (uF (f + g)) − F (uF (f )) − F (uF (f ))(uF (f + g) − uF (f ))]. Ω

Ω

Utiliser ensuite le théorème des accroissements finis et le fait que H 1 (Ω) s’injecte continˆ ument dans L4 (Ω).) IV. Nous notons par F l’ensemble des fonctions F ∈ C 1 (R) telles que F est décroissante, F (0) = 0, et F est lipschitzienne et bornée ; et nous rappelons que si F ∈ F et w ∈ H01 (Ω) alors F (w) ∈ H01 (Ω) et ∇F (w) = F (w)∇w (en fait la condition F lipschitzienne n’est pas nécessaire ici). ` F ∈ F , nous associons l’opérateur (lipschitzien) A 1

ΛF : L2 (Ω) → H − 2 (Γ ) : f → ∂ν uF (f ). Soient F1 , F2 ∈ F telles que ΛF1 = ΛF2 . 1. Montrer que F1 (uF1 (f )) = F2 (uF2 (f )), f ∈ L2 (Ω). 2. Montrer que pour tout f ∈ L2 (Ω), ∇uF3−i (f ) · ∇Fi (uFi (f ))dx = Fi (uFi (f ))F3−i (uF3−i (f ))dx Ω Ω f Fi (uFi (f ))dx, i = 1, 2. + Ω

En déduire que f F1 (uF1 (f )) = f F2 (uF2 (f )), pour tout f ∈ L2 (Ω). Ω

Ω

En dérivant cette dernière identité par rapport a` f , conclure que F1 = F2 sur {s = uF1 (f )(x); x ∈ Ω, f ∈ L2 (Ω)}.

Probl` eme 5 Soient Ω un domaine borné de Rn , n ≥ 3, de classe C 2 et Γ = ∂Ω. Pour ξ ∈ S n−1 = {η ∈ Rn ; |η| = 1} et ≥ 0, nous posons Γ± = {x ∈ Γ ; ±ν(x) · ξ > ±}. Pour i = 1, 2, nous nous donnons qi ∈ L∞ (Ω) telle que 0 n’est pas une valeur propre de l’operateur −Δ + qi ayant pour domaine H01 (Ω) ∩ HΔ (Ω).

230


Soit hΔ (Γ ) = {ψ = u|Γ ; u ∈ HΔ (Ω)}. Pour ϕ ∈ hΔ (Γ ), nous notons ui (ϕ) ∈ HΔ (Ω) la solution du problème aux limites (−Δ + qi )u = 0, dans Ω, u = ϕ, sur Γ. Nous fixons ξ ∈ S n−1 , k ∈ Rn et soit l ∈ S n−1 tel que k · l = ξ · l = 0 (noter que ceci est possible car n ≥ 3). Si λ0 et C sont comme dans le Corollaire 2.23, nous posons k−l k+l , ρ2 = λ ξ − i , avec λ ≥ λ0 , ρ1 = −λ ξ + i 2 2 et nous faisons l’hypothèse suivante : ∂ν u1 (ϕ) = ∂ν u2 (ϕ) sur Γ− (ξ) pour tout ϕ ∈ hΔ (Γ ), o` u > 0 donné. Soit w2 ∈ HΔ (Ω) une solution de (−Δ + q2 )u2 = 0 dans Ω de la forme w2 = ex·ρ2 (1 + ψ2 ), o` u ψ2 ∈ HΔ (Ω) vérifie ψ2 |Γ−0 (ξ) = 0 et ψL2 (Ω) ≤

C . λ

(Une telle solution existe d’après la Proposition 2.25.) Si w1 = u1 (w2|Γ ), nous posons u = w1 − w2 . 1. Montrer que u ∈ H 2 (Ω) et vérifie ⎧ ⎨ (−Δ + q1 )u = qu2 , dans Ω, u = 0, sur Γ, ⎩ sur Γ− , ∂ν u = 0, o` u q = q2 − q1 . Soit v ∈ HΔ (Ω) telle que v est une solution de (−Δ + q1 )v = 0 dans Ω de la forme v = ex·ρ1 (1 + ψ1 ), avec ψ1 ∈ HΔ (Ω) vérifiant ψ1 |Γ+0 (ξ) = 0 et ψ1 L2 (Ω) ≤

C . λ

(Là aussi, l’existence de v est assurée par la Proposition 2.25, avec −ξ à la place de ξ.)


2. Démontrer que

231

qu2 vdx =

∂ν uvdσ.

(4.5)

(ξ) Γ+

Ω

´ 3. Etablir l’estimation 2 | ∂ν uv| dσ ≤ |Γ+ (ξ)| (ξ) Γ+

(ξ) Γ+

e−2λx·ξ |∂ν u|2 dσ,

puis utiliser le Corollaire 2.23 pour déduire K e−2λx·ξ |∂ν u|2 dσ ≤ , λ Γ+ (ξ)

(4.6)

pour λ assez grand, o` u K est une constante indépendante de λ. 4. Utiliser (4.5) et (4.6) pour conclure qˆ(k) = e−ix·k q(x)dx = 0. Ω

5. Vérifier que si 0 < < alors il existe V un voisinage de ξ dans S n−1 pour lequel

∂ν u1 (ϕ) = ∂ν u2 (ϕ) sur Γ− (η), pour tous η ∈ V et ϕ ∈ hΔ (Γ ). En déduire que qˆ = 0 puis que q = q2 − q1 = 0. (Rappelons que la transformée de Fourier d’une distribution a` support compact s’étend en une fonction entière sur Cn , voir par exemple [Sc1].) Nous renvoyons à [BU] pour un corrigé de ce problème.

Probl` eme 6 Soient Ω un domaine borné lipschitzien de Rn de frontière Γ et A l’ensemble des a ∈ L∞ (Ω) telles que a ≥ α > 0 p.p. sur Ω, o` u α est une constante. 1 Pour a ∈ A et ϕ ∈ H 2 (Γ ), nous notons par ua,ϕ ∈ H 1 (Ω) l’unique solution du problème aux limites −div(a∇u) = 0 dans Ω,

u = ϕ sur Γ.

Rappelons que ua,ϕ est caractérisé par Ja (ua,ϕ ) = min Ja (v), v∈Kϕ

o` u

a|∇v|2 dx et Kϕ = {v ∈ H 1 (Ω); v = ϕ sur Γ }.

Ja (v) = Ω

232


Nous introduisons la forme quadratique a|∇ua,ϕ |2 dx

Qa (ϕ) = Ja (ua,ϕ ) = Ω

et l’application 1

T : (a, ϕ) ∈ A × H 2 (Γ ) → T (a, ϕ) = ua,ϕ . I. Fixons a0 ∈ A et notons par B l’opérateur borné qui envoie H −1 (Ω) dans H01 (Ω) qui est donné par : B(f ) = wf , o` u wf est l’unique solution variationnelle dans H01 (Ω) de l’équation −div(a∇w) = f dans Ω. ` b ∈ L∞ (Ω) nous associons l’opérateur Ab : A Ab : H01 (Ω) → H −1 (Ω) : w → −div(b∇w). 1. Vérifier que Ab est borné et Ab L(H01 (Ω),H −1 (Ω)) ≤ bL∞ (Ω) , quand H01 (Ω) est muni de la norme w → |∇w|L2 (Ω) . 2. Démontrer qu’il existe η > 0 tel que, si bL∞ (Ω) ≤ η, alors T (a0 + b, ϕ0 ) − T (a0 , ϕ0 ) = −(I + BAb )−1 BAb T (a0 , ϕ0 ). En déduire que T est analytique. u q est la II. 1. Vérifier a ∈ A → Φ(a) = Qa est analytique et Φ (a0 )(b) = q, o` forme quadratique 1 b(x)|∇ua0 ,ϕ |2 dx, ϕ ∈ H − 2 (Γ ). q(ϕ) = Ω

2. On suppose que a0 est une constante positive. Démontrer que si Φ (a0 ) = 0 alors b(x)∇u1 · ∇u2 dx = 0, u1 , u2 ∈ H(Ω), Ω

) o` u H(Ω) = {v ∈ H 1 (Ω); Δv = 0 dans Ω} qui est l’orthogonal dans H 1 (Ω) * de H01 (Ω) . En déduire, par un choix approprié, de fonctions exponentielles de H(Ω) que b = 0. C’est-à-dire que Φ(a0 ) est injective. Pour le corrigé de ce problème, le lecteur pourra consulter [Ka2].


233

Probl` eme 7 Soient Ω un domaine borné lipschitzien de Rn de frontière Γ et A l’ensemble des a ∈ L∞ (Ω) telles que a ≥ α > 0 p.p. sur Ω, o` u α est une constante. Pour a ∈ A, nous désignons par (λa,k ) et (ϕa,k ) respectivement la suite des valeurs propres, comptées avec leur multiplicité, et une base de fonctions propres, ϕk associée à λk , de l’opérateur Aa u = −div(a∇u),

D(Aa ) = {u ∈ H01 (Ω); div(a∇u) ∈ L2 (Ω)}.

Rappelons (voir le Théorème 1.21) que pour w ∈ {u ∈ H 1 (Ω); div(a∇u) ∈ 1 L (Ω)}, a∂ν w est bien défini comme élément de H − 2 (Γ ) et 2

a∂ν w

1

H − 2 (Γ )

≤ C(∇wL2 (Ω) + div(a∇w)L2 (Ω) ),

(4.7)

avec C = C(Ω, a) une constante positive. 1

I. Soit a ∈ A et, pour λ ≥ 0 et ϕ ∈ H 2 (Γ ), notons uλ,ϕ ∈ H01 (Ω) l’unique solution variationnelle de div(a∇u) + λu = 0 dans Ω,

u = ϕ sur Γ.

(4.8)

Dans la suite, pour simplifier les notations, nous utiliserons simplement a la place de, λa,k , ϕa,k et uλ,ϕ . λk , ϕk et uλ ` 1. Démontrer uλ 2L2 (Ω) =

k≥1

α2k 1 , avec αk = −a∂ν ϕk , ϕ − 12 . H (Γ ),H 2 (Γ ) (λk + λ)2

En déduire lim uλ 2L2 (Ω) = 0.

(4.9)

λ→+∞

2. Démontrer lim |∇uλ |2L2 (Ω) = 0. ) * Faire un raisonnement par l’absurde.

(4.10)

λ→+∞

3. Soient 0 < < diam(Ω), Ω = {x ∈ Ω; dist(x, Γ ) < } et η ∈ C ∞ (Ω) vérifiant 0 ≤ η ≤ 1, η = 0 dans Ω 2 , ´ Etablir

η = 1 dans Ω \ Ω ,

aη |∇uλ | dx + 2 2

0= Ω

|∇η| ≤ −1 .

aηuλ ∇uλ · ∇ηdx +

2

Ω

η 2 u2λ dx. Ω

234

)


* Mutiplier (4.8) par η 2 uλ , puis faire une intégration par parties. En déduire η∇uλ L2 (Ω) ≤ Cuλ L2 (Ω) ,

(4.11)

o` u C = C(a, ) est une constante positive. Nous avons donc en particulier lim ∇uλ 2L2 (Ω\Ω ) = 0,

λ→+∞

comme conséquence de (4.9) et (4.11). 4. Soient σ0 ∈ Γ , D un voisinage de σ0 dans Ω et γ un voisinage de σ0 dans Γ tel que γ ⊂ (D ∩ Γ ). Dans cette question, nous supposons que ϕ est telle que supp(ϕ) ⊂ γ. En procédant comme dans 2, démontrer lim ∇uλ 2L2 (Ω\D) = 0.

λ→+∞

(4.12)

` a ∈ A, nous associons l’opérateur II. A 1

1

Λa,λ : H 2 (Γ ) → H − 2 (Γ ) : ϕ → a∂ν ua,λ . Noter que par (4.7), l’opérateur Λa,λ est borné. Dans ce qui suit, nous supposons que a1 , a2 ∈ A ∩ C 1 (Ω) sont telles que λ1,k = λ2,k ,

a1 ∂ν ϕ1,k = a2 ∂ν ϕ2,k ,

pour chaque k,

(4.13)

o` u, pour simplifier les notations, nous avons posé λj,k = λaj ,k et ϕj,k = ϕaj ,k , j = 1, 2. 1. En s’inspirant de la preuve du Théorème 2.26, démontrer, o` u nous avons posé Λj,λ = Λaj ,λ , j = 1, 2, Λ1,λ = Λ2,λ , λ ≥ 0. 2. a) Vérifier que pour tout λ ≥ 0, u1,λ L2 (Ω) = u2,λ L2 (Ω) . ´ en utilisant le fait b) Soit K = {w ∈ H 1 (Ω); w = ϕ sur Γ }. Etablir, ) * a2 |∇u2,λ |2 dx + λ u2λ dx = min a2 |∇w|2 dx + λw2 dx , Ω

Ω

w∈K

Ω

a2 (|∇u1,λ |2 − |∇u2,λ |2 )dx ≥ 0. Ω

3. Nous supposons qu’il existe σ0 ∈ Γ tel que a1 (σ0 ) > a2 (σ0 ). Alors il existe D un voisinage de σ0 dans Ω et une constante positive C tels que a1 ≥ a2 + C dans D.


235

Soit γ un voisinage de σ0 dans Γ tel que γ ⊂ (D ∩ Γ ) et fixons ϕ telle que supp(ϕ) ⊂ γ. a) Démontrer l’identité (a1 − a2 )|∇u1,λ |2 dx + a2 (|∇u1,λ |2 − |∇u2,λ |2 )dx = 0. Ω

Ω

)

1 , faire une inégration par En partant de Λ1,λ ϕ − Λ2,λ ϕ, ϕ − 12 H (Γ ),H 2 (Γ ) * parties. En déduire (a1 − a2 )|∇u1,λ |2 dx ≤ 0. (4.14)

Ω

b) Montrer que

(a1 − a2 )|∇u1,λ |2 dx = +∞.

lim

)

λ→+∞

D

(4.15)

* Utiliser (4.10) et (4.12). En notant que (4.15) contredit (4.14), on conclut que a1 = a2 sur Γ. Un corrigé de ce problème est disponible dans [Ka2].

Quelques probl` emes ouverts

Nous donnons une sélection de problèmes inverses elliptiques et paraboliques ouverts. Nous nous sommes limités à quelques problèmes parmi les plus significatifs. Bien évidemment, il y en a tant d’autres. Soient Ω un ouvert borné et régulier de Rn , de frontière Γ , Q = Ω × (0, T ) et Σ = Γ × (0, T ). Nous considérons le problème aux limites ⎧ ⎨ Δu + p(x)u − ∂t u = 0, dans Q, u(·, 0) = a, (5.1) ⎩ u = g, sur Σ Un premier problème inverse classique dans ce cas consiste à déterminer p = p(x) a` partir de la donnée finale u(·, T ). Si p est connu dans un sousdomaine ω de Ω, nous avons unicité et stabilité [CY3] pour ce problème. De même si nous rempla¸cons dans (5.1), l’opérateur Δ par sΔ, s > 0 étant le paramètre de diffusion, alors le problème est génériquement, par rapport a` s, bien posé. Plus précisément, nous avons unicité et dépendance continue, sauf peut être pour un ensemble au plus dénombrable de paramètres s [CY4]. En dehors de ces deux cas le problème, en toute généralité, reste ouvert. Le second problème qui reste ouvert aussi concerne la détermination p = p(x) à partir de la donnée frontière ∂ν u sur Σ ou sur une partie de celle-ci. Revenons au problème de conductivité inverse, pour lequel nous avons démontré un résultat de stabilité pour une famille a` un paramètre (voir 2.5.2). De nouveau Ω un ouvert borné et régulier de Rn . Nous considérons le problème aux limites div((1 + χD )∇u)) = 0, dans Ω, (5.2) u = f, sur Γ. Le problème inverse que nous avions considéré au sous-paragraphe 2.5.2 consistait à déterminer D ` a partir de la mesure frontière ∂ν u sur γ, γ étant une

238


partie de Γ . Pour ce problème, nous savons (voir par exemple [Isa3] pour une démonstration) qu’il y a unicité si D est un polyhèdre convexe ou si une partie du bord de D est supposé connue (d’ailleurs nous retrouvons cette condition dans l’énoncé du Théorème 2.79). En dehors de ces cas, le problème, en toute généralité, reste ouvert. Nous avons le même problème ouvert pour le problème inverse que nous avons étudié au sous-paragraphe 2.5.1. Il s’agissait, dans un matériau semiconducteur, de tester la résistance du contact entre le métal et le semiconducteur. Nous introduisons le problème aux limites −Δu + χD u = 0, dans Ω, (5.3) u = f, sur Γ. Pouvons-nous alors déterminer de fa¸con unique D à partir de la mesure frontière ∂ν u sur γ, γ étant une partie de Γ . Nous avons démontré dans le Problème 1 que nous avons unicité si une partie du bord de D est connue. Nous avons aussi unicité dans le cas o` u D est un polygone convexe (voir [SuY]). Comme pour le problème de la conductivité inverse, hormis ces deux cas, le problème en toute généralité reste ouvert. Le problème de déterminer le potentiel dans une équation de Schrödinger ` partir d’un opérateur DN partiel reste ouvert malgré les progrès récents. a Le dernier résultat en date, dont nous nous donnons pas les détails ici, est ´ dˆ u a` C. E. Kenig, J. Sj¨ ostrand et G. Uhlmann [KSU]. Enon¸ cons le problème en toute généralité. Soit encore une fois Ω un ouvert borné et régulier de Rn , de frontière Γ , et notons Γ0 et Γ1 deux parties fermés de Γ , d’intérieurs ` q ∈ L∞ (Ω) telle que 0 n’est pas valeur propre de l’opérateur non vides. A Aq = −Δ + q ayant pour domaine H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω), nous associons l’opérateur de DN partiel Λ˜q : f ∈ {h ∈ H 1/2 (Γ ), supp(h) ⊂ Γ0 } → ∂ν u|Γ1 , o` u u est la solution du problème aux limites −Δu + qu = 0, dans Ω, u = f, sur Γ.

(5.4)

Le problème inverse (ouvert) consiste alors à déterminer q à partir de Λ˜q .

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Index

h-tube, 149 Anti-périodique, 52 Application compacte, 228 Base hilbertienne, 53 Cartes locales, 11, 99 Composante connexe, 141, 155, 156 horizontale, 30 Conditions de compatibilité, 25, 161 de transmission, 19, 133 Coordonnées sphériques, 23 Courbure moyenne, 16 Dérivée directionnelle, 128 Dilatation complexe, 138 Distance de Hausdorff, 143, 157 Distorsion, 138 Distribution vectorielle, 13 Divergence tangentielle, 16 Domaine simplement connexe, 138, 140 Dual topologique, 6 Ensemble résolvant, 31 Equation de Helmholtz, 179 de Schr¨ odinger, 238 Espace de Bergman-Selberg, 183 de Deny-Lions, 153 des droites orientées, 77

métrisable complet, 8 tangent, 77 Espaces locaux, 6 Estimations de Schauder Lp , 88 de Schauder intérieures, 86 h¨ olderiennes, 110 Exponentielle harmonique, 35 Exposant conjugué, 2 Fonction LA -sous-harmonique, 141 LA -sur-harmonique, 141 Q-périodique, 51 Z0 -quasi-périodique, 51 caractéristique, 125, 130, 223 conforme, 138 courant, 139, 140, 154 de Green, 48, 86 de Heaviside, 178 harmonique, 116 harmonique conjuguée, 139, 154 harmonique sphérique, 24, 93 intégrable au sens de Bochner, 3 intégrable au sens de Lebesgue, 1 mesurable, 3 quasi-conforme, 138, 139, 144 quasi-régulière, 138, 139 simple, 2 Fonctions propres, 60, 170, 188, 233 Forme anti-linéaire, 58 différentielle exacte, 139

248

Index

Formule de Green, 43, 46, 50, 63, 81, 106–108, 113, 114, 116, 135, 198, 226 de Taylor, 69 du min-max, 64 Fréchet-différentiable, 228 Frontière parabolique, 28 Générateur infinitésimal, 31 Gˆ ateaux-différentiable, 126 Gradient tangentiel, 16 Inégalité d’énergie, 75 d’interpolation, 61, 120 d’observabilité, 179, 184, 185 de Carleman, 57, 121, 122, 169 de H¨ older, 2, 88 de Harnack, 22, 129, 148, 150 de Poincaré, 95, 100 Intégrales de Cauchy, 148 Interpolation, 62, 77, 84 Laplacien en coordonnées polaires, 106 Lemme de Hopf, 21, 103, 111, 112, 122 de Hopf dans un coin, 111 Limite inductive d’espaces de Fréchet, 5 Méthode “Born approximation”, 81 Majoration gaussienne, 204 Matrice orthogonale, 190, 191 Mesure de Dirac, 37 Minoration gaussienne, 204 Noyau de la chaleur, 204 Opérateur de Laplace-Beltrami, 16, 23 de relèvement, 187 de Steklov-Poincaré, 35 de trace, 113–115, 135, 199 différentiel linéaire ` a coefficients constants, 35, 193 Dirichlet-Neumann, 35 elliptique, 38, 111 semi-elliptique, 193 sous forme divergentielle, 21 uniformément elliptique, 17 uniformément parabolique, 24

Point h-accessible, 150 conductif, 152, 155, 157 critique géométrique, 140, 145, 146 de capacité, 153 Polygone convexe, 238 Polynˆ ome de Gegenbauer, 24, 89, 94 Principe de comparaison, 20, 210 du maximum, 22, 129, 141, 145, 146, 160, 162 du maximum faible, 20, 29 du maximum fort, 20, 29, 122, 174 Problème de Cauchy, 32, 106, 119, 146 de conductivité inverse, 50 de transmission, 19, 131, 134, 135 Produit de convolution, 6 Propriété du cˆ one intérieur, 211 Puissance fractionnaire, 33 Régularité elliptique, 206 h¨ olderienne, 17, 20, 25 intérieure, 125 locale, 99 Règle de l’Hˆ opital, 212 Relèvement linéaire continu, 12 Séries de Dirichlet vectorielles, 190 Scattering inverse, 81 Semi-groupe analytique, 31, 204 Solution de Perron supérieure, 141 fondamentale, 37, 89, 204, 210, 211, 214 variationnelle, 19 Suite dénombrable de semi-normes, 7 Théorème de Bochner, 3 de Carleman, 220, 221 de compacité d’Ascoli, 160 de convergence dominée, 88 de Hille-Yosida , 31 de J.-L. Lions, 25 de la moyenne, 179 de Lax-Milgram, 19, 154 de Leray-Schauder, 228 de Lindel¨ of, 219, 221

Index de de de de

M¨ untz, 180 Privaloff, 145 prolongement de Hahn-Banach, 58 représentation de Bers-Nirenberg, 139 de séparation de Hahn-Banach, 40, 198 de Stampacchia, 18 de trace, 12, 14, 15, 95 des acrroissements finis, 96 Topologie pré-faible, 9

249

Transformée de Laplace, 186 de Reznitskaya, 184 régularisante, 77 rayon-X, 77 Unicité du prolongement, 44, 49, 129, 130, 136, 137, 155, 178, 179, 183 Valeurs propres, 60, 170, 188, 189, 233 Variété ` a bord, 4 Variété indéfiniment différentiable, 4

Déjà parus dans la même collection 1. T. Cazenave, A. Haraux : Introduction aux probl` emes d’´ evolution semi-lin´ eaires. 1990 2. P. Joly : Mise en œuvre de la m´ ethode des ´ el´ ements finis. 1990 3/4. E. Godlewski, P.-A. Raviart : Hyperbolic systems of conservation laws. 1991 5/6. Ph. Destuynder : Mod´ elisation m´ ecanique des milieux continus. 1991 7. J. C. Nedelec : Notions sur les techniques d’´ el´ ements finis. 1992 8. G. Robin : Algorithmique et cryptographie. 1992 9. D. Lamberton, B. Lapeyre : Introduction au calcul stochastique appliqu´ e. 1992 emes aux limites ellip10. C. Bernardi, Y. Maday : Approximations spectrales de probl` tiques. 1992 11. V. Genon-Catalot, D. Picard : El´ ements de statistique asymptotique. 1993 12. P. Dehornoy : Complexit´ e et d´ ecidabilit´ e. 1993 13. O. Kavian : Introduction ` a la th´ eorie des points critiques. 1994 ´ 14. A. Bossavit : Electromagn´ etisme, en vue de la mod´ elisation. 1994 15. R. Kh. Zeytounian : Mod´ elisation asymptotique en m´ ecanique des fluides Newtoniens. 1994 16. D. Bouche, F. Molinet : M´ ethodes asymptotiques en électromagn´ etisme. 1994 17. G. Barles : Solutions de viscosit´ e des ´ equations de Hamilton-Jacobi. 1994 18. Q. S. Nguyen : Stabilit´ e des structures ´ elastiques. 1995 19. F. Robert : Les syst` emes dynamiques discrets. 1995 20. O. Papini, J. Wolfmann : Alg` ebre discr` ete et codes correcteurs. 1995 21. D. Collombier : Plans d’exp´ erience factoriels. 1996 22. G. Gagneux, M. Madaune-Tort : Analyse math´ ematique de mod` eles non lin´ eaires de l’ing´ enierie p´ etroli` ere. 1996 23. M. Duflo : Algorithmes stochastiques. 1996 24. P. Destuynder, M. Salaun : Mathematical Analysis of Thin Plate Models. 1996 25. P. Rougee : M´ ecanique des grandes transformations. 1997 ¨ rmander : Lectures on Nonlinear Hyperbolic Differential Equations. 1997 26. L. Ho ćhal, C. Sagastiza ´ bal : Optimisation 27. J. F. Bonnans, J. C. Gilbert, C. Lemare num´ erique. 1997 28. C. Cocozza-Thivent : Processus stochastiques et fiabilit´ e des syst` emes. 1997 ´ Pardoux, R. Sentis : M´ ethodes de Monte-Carlo pour les ´ equations 29. B. Lapeyre, E. de transport et de diffusion. 1998 30. P. Sagaut : Introduction ` a la simulation des grandes échelles pour les ´ ecoulements de fluide incompressible. 1998 31. E. Rio : Th´ eorie asymptotique des processus al´ eatoires faiblement d´ ependants. 1999 32. J. Moreau, P.-A. Doudin, P. Cazes (Eds.) : L’analyse des correspondances et les techniques connexes. 1999 33. B. Chalmond : El´ ements de mod´ elisation pour l’analyse d’images. 1999 34. J. Istas : Introduction aux mod´ elisations math´ ematiques pour les sciences du vivant. 2000 35. P. Robert : R´ eseaux et files d’attente : m´ ethodes probabilistes. 2000 36. A. Ern, J.-L. Guermond : El´ ements finis : th´ eorie, applications, mise en œuvre. 2001 37. S. Sorin : A First Course on Zero-Sum Repeated Games. 2002

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Une introduction aux problèmes inverses elliptiques et paraboliques (Mathématiques et Applications) (French Edition)

Introduction a la theorie des points critiques: et applications aux problemes elliptiques (Mathematiques et Applications) (French Edition)

Introduction à la théorie des points critiques et applications aux problèmes elliptiques (Mathématiques et Applications)

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Une irrepressible et coupable passion

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Modèles aléatoires: Applications aux sciences de l'ingénieur et du vivant (Mathématiques et Applications)

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Hymnes et prières aux Dieux de Babylonie et d'Assyrie

Hymnes et prières aux dieux de Babylonie et d'Assyrie

Modélisation et statistique spatiales (Mathématiques et Applications)

Entre mère et fils : Une histoire d'amour et de désir

Lois de Conservations Eulériennes, Lagrangiennes et Méthodes Numériques (Mathématiques et Applications) (French Edition)

Optimisation et contrôle stochastique appliqués à la finance (Mathématiques et Applications) (French Edition)

Mécanique céleste et contrôle des véhicules spatiaux (Mathématiques et Applications) (French Edition)

Dynamiques complexes et morphogenèse : Introduction aux sciences non linéaires

Pathologie hypophysaire et grossesse French

Thermodynamique: fondements et applications

Polynomes Orthogonaux et Applications

Codage, cryptologie et applications

Synthese et catalyse asymetriques French

Trajectoires geodesiques et horocycliques French

Introduction aux transferts thermiques - Cours et exercices corrigés

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