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16r, done pour 1es faib1es nombres de points a ca1culer. Ce resu1tat est egalement val able lorsque c'es! Ie nombre de points a transformer qui est limite, ce qui est aussi un cas frequent en analyse de spectre. Un exemple courant de transformee partielle est celle qui porte sur des donnees reelles.
3.3 ..1 Transformee de nombres reels et TFD impaire
atransformer sont n~e1s, les prQprletes enoncees au ehapitre 2 indiquent que les nomb res transformes X(k) et X(N ~ k) sont complexes conjugues, c'est-a-dire que X (k) ~ X(N ~ k); alors il suffit de ca!culer I'ensemble des X k
Si le;5 nombres
avec 0 ·"" k ""
~ ~ 1 e( Ie resultat precedent s'applique :
[X1o I'l ~ T I'l [x10 I'l + J) I'lT I'l [x1, I'l ~2
2
' 2
2
2
(3.13)
'2
Dans ce cas precis il est ppssible de n'effecluer qul·une seule fois Ie calc.ul de la transformee TN ' en tenant compte de la propriBi6 suivante de la Transformee de 2
Fourier D1screte; si la suite tTanSformee est telle qU,e :
a transformer
xi< est purement i maginaire, la suite
X(k)~~X(N~k)
Dans ces conditions 1a procedure- po ur Ie calcul de· la tran:?formee dlune ~uite reelle est la s-uivante :
~
Former a partir desx(k) unesuite comp.1exe de
Y (k) ~x (2k)
termes
N 2 ~ 1.
~
Calcu1er la transformee Y (k) de la suite y (k) 'avec 0 "" k ""
~
Calculer les nombres cherches Par l't;xpression:
X(k)~
avec
* jx(2k + 1) avec 0 "" " ""
~
1 )] + 21je 2, [Y(k)+ - (N Y . 2'~k
Nee Y (N) a "" k os 2' Z ~ Y (0).
-jz,o "l" [Y
(N)
2 ~k ~ Y(k)
J
~ ~ 1. (3:.14)
3.3
87
Les transformees partielles
En regroupant les facteurs on peut ecrire so us' une autre forme:
X(k) avec A (k) ~
1
2
~ A(k) Y (k) + B (k) Y ( ~ -
(1 - JWk) el B (k) ~
La !ransformeeinverse s:obtien! en calculant:
1
2
(1 + JWk).
a partir des N" 1 termes X(k) JANrrrEs DE ·CAr;CULS DANS-DNERsES TFR. mllltipliq~tions ~6mpl~~ ~s
Md\tiOus
qe..m~mo.ira
N log, 0N)
2N
TID complexe
~ log, (~)
TED impaire.-donnees reelles
Tlog, (N)
N 2 log,
TID doublement impairedonnees d:elles paires
N s log2(2N)
N . (N) T log, 4
N
Pos\ti'6ns
cQrnplex e.!]
C~ 2)
N N 2
-
L'interel des transformees imp aires apparai t olairement. Jl faul c,,;pendant noter que d'autres algorithmes pe rmettent d'obtenir avec les donnees reelles et reelles symetriques des reductions encalcul un peu superieures ['7], mais sans aVoir la facilite de mise en ceuvre, en particulier pOlir les realisations rrrarerlelles·, qu~of frent les transformees impaires. Une particularite Be la transform6e do\!blement impaire appliqlJee Ii line sllite reelle antisymetrfque est qu~ elle est identique a la transformee inverse; il n1y a pasde distinction, mis
a part
l'e facteur d'echelle
~,
entre transfo rmees directe et
inverse dans ce cas. La transformee de Fourier d'une s1.:lite reelle symetrique intervient par exemple dans Ie cakul de la deLlsite spectrale i\nerg6tique d'un signal a partir de la fonetion d'autocorrelation.
3.3.3
les Transformees discretes en cosinus et sinus
Les transformees considerees jusqu'a present a nt des coeffidents complexes. Des transformeeS' discretes de la meme famille peuvent etre obtenues partir des parties n~,.e lles et imaginaires des coefficients comp lexes. On peut ainsi d6finir :
a
• Uue transformee de Fourier Discrete en cosinus (TFD-cos) : 1 N
XFd k)~-
) L x (n) cos (2rt!lk --
N-! . ~o
N
(~.30 )
,. Une transformee de Fourier Discrete en sinus (TFD-sin) :
1
X.FS (k) ~ N
n;o x (n) sin (2rt!lk) -N
N-!
(3.'3 1)
3.3
93
Les transformees partielles
• Une transformee en cosinus discrete (TeD) :
XCD(O) ~
Vi
N-I
N 'n~O x (n)
()
(21t(2n+l)k) X CD (k) -- N2 N~' /::'0 x n cos 4N
(3.32)
alaquelle correspond 1a transformee inverse: 1
.
x(n)= ,rXCD(O)+ y2
N-1
L
k~l
XCD(k)cos
(21t(2n + l )k) 4N
• U ne transformee en sinus.discrete (TSD) :
(k) =
X SD
~
i,'
2 N x (n) sin ( 21t (n + 1) (k + 1) ) N + 1 n~O 2N + 2
(3.33)
A l' aide de manipUlations comparables ~ celles des donnees dans les paragraphes precedents, on peut etablir des relations entre la TFD et ces diverses transformees ainsi qu'entre ces transformees elles-memes. Par yxemple, d'apres les definitions, il vient : TFD (N) ~ TFD-cos (N) - j TFD-sin eN) Considerant la transformee en cosinus, il vient : N/2-1
XFd k) ~ n~o x (2n)cos
(21tnk) N/4-1 N/2 + n~o [x (2n+l ) +x (N -2n-l )J cos (
21t(2n +'l)k) 4.N/4
c'est-a-dire que la transformee en c.osinus d'ordre N peut 's e calculer a l'aide d?urte transformee en cosinus d'ordre ;~
TFD-cos (N) ~ TFD-cos (~) + T CD
• XCD(k)~ ~ •
N
Nt' [x (2n ) cos 21t(4n+l)k 4N n=O
'<e
?
8o
+x ('~n.+
"0
~
~
~
(~)
De memela transformee en cosinus discrete (TeD) -~'eGrit :
],
g
et d'une transfonnee discrete d'ordre N /4, soit
sous.forme concise :
]
• ·m
~
c'est-a-dire
qu~ e.n
posant, pour 0 ~ fl.~N/2 -1 :
yen ) ~x(2n) yeN -n-l) ~x(2n + 1)
1)
cos
21t[4(N-n-l)+1]k 4N
3 • Autres algorithmes de (alcul rapide de la TFR
94
il vlent;
·X . (k) _ 2 L CD - N
N~l ( ) 2rr(4n + i )k ~ y n Gas 4" n=O 1,
et en develappant Ie cosinus :
TCD (N) ~ GaS
!~ TFD-GOS (N) - sin ~~ TFD-sin (N)
ce'qui s'ecrit egalement, en fauction des donnees et sous une forme concise :
TCD(x) ~ 2e(k) Re {e- i ,(O)~
-aveC-
;~ ·TFD (y)}
(:>.34 )
1
V2 el9(k)~1pourk~1, ... , N-1.
Atnsi, 1a transformee en COSlnUS discrete d'ordre N peut se calculer a l'aide d'Ll:ne transformee de Fourier discrete de meme Drdre. Compte tenu du fait que seule la: partie n~elle est utilisee dans Fexpression ci-dessus', on peut meme calculer 2TOD, en utilisant egalement la partie imaginaire. La meme methode s'applique a la transformeeinverse et on peut calculer 2TCD inverses avec une TFD inverse, en effeGtuant les operations indiquees it laiigtlre 3.3. Les relations enlre les varia bles :
FIG. 3.3
Calcul de 2 TeD inverses avec u.ne TFD inverse de m({me dimension
it I' entree de la TFD inverse sonl les suiv.nles [8J :
.
So~
Co(xr) + 100 (X2 )
v'2
2 Sk
; SNfl ~
~/2 (Xl ) + j CNfl (X2)
~ {[Ck(X , ) + ~ _ k(x2 lJ GOS ( ;~ ) + [~~ k(Xl) ~ ~~ k(X2)l sin ( ;~ )} + j {[Ck(X1) +
·avee k
~
V2
~-k(Xo)l sin (;~ }r [Ck(x2l - ~-k(Xl)J cos (:)
1, .. " N -1 ; k;., N/2.
De meme en sortie de la TFD inverse,:
-t, (2p) = Re (s(P )) ; X, (2p + 1) = Re [seN - p - 1)); x2(2p) ~ 1m [s(P)); x 2 (2p + 1) = 1m [s(N - p -1 ))
3.3
95
Les transformees partlelles
La methode permet de reduire la quantite de caleuls en compression d'images, par exemple, Parmi les transformees a coefficients reels, on peut aussj mentionner la transformee, dite de Hartley discrete (TOO), definie jOar' : 1
XHD(k) ~ N
n~O x(n)
N-1
[
cos 21t
k
k]
~ + sin 21t ~
(335)
et pour 1a transformee inverse :
x(n )=
N-1
L
k~O
[ nk nk] XHD(k) cos21t-tsin21t-
N
N
La liaison avec la TFD est donnee par [9] : 1 . X (k) = 2: [XHD(k) +XHD (N ~ l-k)~}(XHD(k)-XHD (N -l-k))]
(3.36)
La transformee en cosinltS cliscrete est utilisee en compression de l'informatique, notamment en tr.aitement d1images. En effet, elle fournit pour les ·signaux d'images une approximation de la transformation propre, qui permet de representer un.signal par Ie minimum de cornposantes. Ce pouvoir de compression provient du fait qu'elle elimine les discontinuites de bord de la TFD mentionnees au paragraphe 2.1, car elle correspond a I. TFD d'une suite symetrisee. Pour pouvoir effectuer cette symetrisation avant d'.appliquer la TFD, 'il faut eviter d1avoir une valeur a l'indice zero, c.e qui est obtenu en prenont la suite u (n) telle gue: u(2p)~O
; Op2N-l
"(2pt1) =u (4N-2p ~ 1 ) =x(P)
; OpN-l
La TFD d' ordre 4N de la suite u;(n ) conduit, apres simplifications, a'l'expressibn (3.32) .
3.3.4 La transformee en cosinus discrete a 2 dimensions .:ijj ~
,
La tr.ansformee en cosinus discrete a deux dimensions (TCD-2D ) est definie, pour un ensemble de N X N donnees reelles, par les equations:
."••••
2 4e(k~: C~) :~: ~t>(n"n2)
X('s,k )=
],
•c
21t(2n1 + l )k,
o
cos
c
•
4N
cos
21t(m, + 1) k2 4N
(3.37)
'1C
8 -§ ~
~
3
et: N -1
x (n1, n,) = L
kl =0
N -1
~ E('s) e(k,) X (k ~)
k;~O
"
cos
.(21t ('Zn1 +1)k1 ) 4N
cos
(21t(2fl;;+ 1)k,) 4N
3 • Autres algorithmes de (alcul rapide de la TFR'
96 aveC :
1
e(k)~;fi
pour
k~O
e (k) ~ 1
pour
k,* Q,
Cette trans-formee est separable et peut erre calculee de la maruere suivante :
L-)~"I (k) N~' X (' k:l"/}2 N e" 2 kJ
n,~O
COS
21t(2n2+1)1[f 1a transformee en Z de la suite x (/1) cOl'noide avec sa transformee de Fourier. C'est-a-dire que l'analyse d'un systeme discret peut se (aire. ay~q' 1& transfQ)1l1ee en Z el, pO\lr connall,e 1& repon~e en freq\!eJ)q~ , suffit de remplacer Z paT e i""fr Cette transformee possede une transformee inverse. Snit r 'Un contour ferme eontenant lous les points singuliers, bu poles, de X(Z) ainsi que I'origine; on peut e-.crire:
a
zm-1X(Z)~
L'"
x(n)Zm-l-n~x .(m)Z· '+
L
Zm- ' -nx(n)
ni'm
n=-q;.
et .d'~pres Ie theoreme des
re~id'Us
:
x(m)~~f 2TC} p
zm-1X(Z)dZ
(4.7)
4.2
La transformation en Z
Par exemple si X(Z)
~
111
1
1- pZ
on obtient par applioation directe de l'equation
l '
ci-dessus : ~ pn
:>;(n)
pour
x(n)~O
n
~
0
pour li < O
De me me ii X(Z) definie par:
l-p,Z' correspond la suitex(n) teUe que: N
x(n)~
L a.p" i= 1 I
x(n)~O
I
pour
n""O
pour
n< O
U'ne condition de stabilit6 apparalt tres sirnplement en observant que la suite
x (n) est bornee si, et seulement si Ipil < 1 pour 1 "" i "" N, c'est-a-dire que les poles de X(Z) sont ii ]'interieur du cerele unite.
Dans ces exemples, les termes de [a su1te x(n ) peuvent aussi etre obtenus directement par developpement en serie. Quand X(Z) est une fraction rationneUe une methode tres simp'le pour obtenir 'les pren1ier~~ valeurs de 'la suite x (n) consiste afaire une division de polyn6mes. Par exemple pour:
1+2Z-1+Z-2+Z-3
X(Z) ~ l-Z '-SZ 2+12Z
3
la division directe donne :
X(Z) ~ 1 + 3Z- 1 + 12Z~ 2 + 25 Z.- 3 + . . . d'ou ~
x(0) = 1 ;
x(1)~3 ; x(2)~12; x (3)~25
,o
" La transformation en Z 'possede la propriete de linearite·. D'autre I'art ]'a transfor• .31mee en Z de la suite :retardee x(n -~) s'e.crit:
• ~
•o
g
l•
ii -a. • -g~
8 @
Xno(Z) ~ z~n0X(Z)
(4 .8)
Ces deux proprietes .gont utiliseys pour calculer la transformee en Z, Y (Z), de 1a suite y(n) obtenue en sor~ie d'un systeme iineaire discret, par convolution des suites x (n) et h (n) qui ont pour transformees X(Z) et H(Z). En calculant la transformee en Z des deux membres de l'equation de convolution(4.3) :
Y0)~Lb(m) x(li-m) ~
4 • Les systemes linea ires discrets invariants dans Ie temps
112
il vient ; Y(Z) ~
l: m
h(m)Z-mX(Z)~H (Z) . X(Z)
('4,9)
Par suite la transform6e en Z ~ruIi produit de convo.lution est Ie produit des transformees. La fonction H (Z) est appelee fonction de transfert en Z du systeme LIT c'onsidere. La transformee en Z du produit de deux suites -,,(n) ~ "" (n) .x,,(n) estla fonetion X, (Z) definie par :
L
X3(:Z;)~ 2~j Xl(V)~(~)V-ldV Le contour dlinregration est
( 4.10)
al'int6rleur du domaine de conveI;gence des fon,ctions
~ (V) etX2 (~). L~ application
aux suites causales arne-ne
a introduire
1a transformation en Z
monolaterale.
La transformation en Z monolaterale de la suite x (n) s'ecri! : ~
X(Z)
~
l:
X (n.)
z-n
n=O
(4.11)
Les proprietes sont res memes que celles de la transformation d6finie par 1a relation (4.6), sauf pour les suites retardees. En effet la transformee de la suite x (n = no) s~ ecrit : .no
ro
Xno(Z) ~
l:x(n - no) z-n~z-no.x ( Z)+ n =0
l:x (-n ) Z-("9- h )
(4.12)
n=1
L ~interet de cette transformation est de prendre en compte- les conditions initiales et de fai're apparaltre les regimes transito'ires dans l'etude de la reponse d'un
systeme. D'autre part elle permet de determiner a partir de X(Z) extremes de la suite x (n). La valeur initialex (0) s'ecrit: x (0) ~ Urn X(Z) :z: ~w
le~
valeur.
\4.13)
eLla valeur finale, obtenue encaleulaht la transformee de la suite x(n + 1) - ,~(n) : x (00) ~ lim (Z-l) X(Z) ~ lim (1- Z-l)X(Z-) Z--d
l---+l
(4.14)
Pour .des developpements plus importants sur la transformation en Z et ses applicatlons, on peut se reporter a la reference [6.], Les resultats ei'-dessus s'appllquent au caleu! de la puissance. des signaux discrets,
4.3
4.3
tnergie et puissance des :s;gnaux-discrets
113
ENERGIE ET PUISSANCE DES SIGNAUX DISCRETS
Soit a calculer l'energie E du signal represente pa, la suite- .t(n), dont la Transformee en Z s' ecrit X(Z) . Par definition : 00
lh
L lx (ll )12 n=-w
La sultex3(n) deDnie par:
peut etre consideree comme Ie praduit de deux suites, xl (n) et -'2 (n) telles
(4.25)
au encore en utilisant l'egalite (4.15) :
(4.26) .:ijj ~
,o
Ces resultats, d'un grand interet pratique, sont souvent utilises par la suite, par exemple pour l'evaluation des puissances de bruit de calcul dans les filtres.
."••" ],
•
5o
•
'1C
8o
4.5
SYSTEMES DEFINIS PAR UNE EQUATION AUX DIFFERENCES
'0
~
~
Les systemes LIT, les plus interessants sont les systemes ou les suites d'ent'ree et sortie sont liees par 'TIne equat ion aux differences' lineaire a coefficients constants. 3 En effet d'une part ils correspondent it des realisations simples et d'autre part ilg o @ constituent line excellent~ modelisation de nombreux systemes naturels.
~
4 • Les systemes linea ires discrets invariants dans Ie temps
116
Un systeme de ee type d'mdre Nest defini par larelalion suivante : N y(n)~
N
L ai" (fl -i)- L biy(n,-i)
i =O
1= 1
(4.27)
En appliquant la transformation en Z aux deux membres de eetle equation, et en designant par Y(Z) et X(Z) les tTansformes des suites y (n) elx (n), on obtient: N
Y(Z) ~
N
L
aiZ-iX(Z) -
i=O
L
biZ-iy(Z)
1=0
(4.28)
sait- :
Y(Z) ~ H(Z) X(Z) avec,:
(4.29) La fonction de transfert du systeme H(Z) est une fraction ralionnelle. Les qi et
bj sa.-nt les coefficients du systeme; certains coefficients peuvent etre nuts, ce qui est Ie cas par exemple quand les deux sommationS de l'expTession (4.27) portent Sl1r des nombres de termes differents. Pour faire apparaltre 1a reponse en frequence, il suffit de remplacer dans B(Z), la variable Z par e i2nl.
La fonetion H(Z) s'ecrit so us forme d'un quotient de deux polynomes N (Z) et D(Z) de degre N et qui possedent N racines Zi et Pi respectivement avec
1~ i
~ .N.
En meitant en evidence ces racines, une autre expression de H(Z) apparail :' N
IDt
1 N eZ) (1- Zi Z - ) H(Z) ~ D(Z) ~ ao ~N:'---IT (1-P i Z-1)
,
(4.30)
~1
ou aoest un fcic!eur d'echelle; on peut eerire: N
IT (Z-Zil
H(Z) ~ "0 -,-'cc'~''-----Y
3,
Calcu\erla r~ponse y (n) iila.suite x (n) teile que : 0~n~5
x(n) = all, avec a=0,7 pour x (n) ~ 0
aiiJeurs.
Rep6nse a la suite :
X(II)~COS (2;n)
pOUT
0~n~7
x (11) ~ 0 ailleurs. 2 Montrer que.la Transfonnee en Z de la suite' causaie x(n) definie par :
x (n) = nTe-'cV1T pour n;;. 0 x (n) ~O
n< O
pou r
a pOl1r expression ;
Te- aT Z-l X(Z) - ;C;--~~ - (1- e
,T
Cal euler les transform,ees inverses de In (Z -
tlons sur a et b pour que la suite obtenue converge.
Z
'l'
a),
Z et etablir les condi(Z-a) (Z-b)
=-,,;c;---;cc
121
Exerc:ices
3 Calculer la Transformeeen Z de 1a ·n fponse impulsionnelle hen) =r"
sin [(n+ 1)8] sin
.c el
hen) ~ 0
n73-0
n' -K
au K et L sont des entiers finis; l'approximation est d'autant meilleure que ces nombres sont pius grands. La proptiete de causalite, qui Iraquit Ie fait que dans un filtre reella sortie ne peut preceder l'entree dans Ie temps, implique que 1a :reponse impulsimmelle hen) soit nulle pour n < O. D'a1?res les relations (5.5) et (5.6), si Ie filtre est 'causal, alors L ~ 0 et il vient ; K
HL (f) ~
L
an
e-i""fnT
n =0
Il en resulte que toute fonction de filtrage numerique stab.!e et causale peut etre approchee par la fonclion de transfert d ' un filtre RIF.
a
Le filtrage phase lineaire Gorrespond, pbl.!r la fe-ponse 'en freq\.lence , pression suivante :
H(f)
~
R(f) e-io(f)
al'ex-
(5Jl)
au R (f) est une fonction reelle au la phase 'Jl (f) est une fonation lineaiTe ql (f ) ~ 'Jlo + 2rcf~; 'C est une constante donnant Ie temps de propagation a travers Ie filtre. . 11 fa1,J..t bien noter que cette condition he correspond pas, en toute rigueur, ~ une linearite de la phase. En effet, les changements de signe de R (f) amiment de. discontinuites de -n; sur la phase; celle-ci peut se decomposer en une compos ante discrete et une compos ante continue, a laqueJle la condition ci-dessus impose 'la linearite . Cependant, par extension, les filtres etudies sont difs aphase l1neaire. La reponse impulsionnelle d'un tel filtre s'"crit:
h(t)
~ e-ioo
fmR(f) e
i2.[(H)
df
(5..12)
En supposant d'abord 'Jlo nul et en d6composant la fonction reelle R (I) en une partie paire P (f) et une partie impaire I (f), il heM:
h(tH)~2
f
P(f) cos (2rcft) df+2}
J: I (f) sin (2ITft)df
Si l'on impose ala fonction h (I) d 'eue noelle, il vient :
h (t + "0)
~ 2 J: P (I) cos (2ITft) df
5.2
Fonctio'ns de transferl realisable.s
127
Cette relation montce que la reponse impulsionnelle est symetrique par rapport all point t ~ ~ de l'axe des temps, c'est-a-dire que 1es coefficients du filtre doivent etre symetriques. Deux configurations se presentent alors, suivant que Ie nombre de coefficients N est pair ou impair. • N ~ 2]'> + 1 : 1e filtre a un temps de prop.agation 't ~ PT. La fonction de transfert s'ecrit:
(5.13)
• N
~ 2P : 1e filtre a comme temps de propagation ~ ~ ~ - ~)r" La fonction
de transfert s'ecrit :
(5.14) Les h;, coefficients du filtre, constituent la reponse du filtre numerique a la suite. unitaire. En negligeant les rep]iements de spectre, ils peuvent aussi etre consideres comme les eohantillons, preleves avec la periQde T, de la reponse impulsionnelie continue h (t) du filtre qui ala meme reponse en frequenee que Ie filtre numerique dans l'intervalle (-
2~' 2~)'
mais sans' 1a periodicite sur l'axe Nr/2
La cantrepartie de ia reduction des ondulations en bandes passante et affaiblie est un elargissement de 1a bande de transition.
5.,3
131
Calcul des coefficients
La fonction qui presente les ondulatiollS les plus faibles pour une largeur donnee du lobe principal, est la fonctibn dite de Dolf-Ttihebycheff: G(x)
G(x)
~
cas [K cos- 1 ('La cos ru;).] ch [K ch 1 ('Lall
~
ch [K ch- 1 ('La cos ru;)l ch [K ch- 1 ('La)l
pOUT
(5.20) pOUT
et
avec
Xo ::::
1t1
xo~x ~ l-xo
l~xo .:o::; x ~ l
1 ) ; K est un nombre entier et Zo 'Un parametre. Cette fanccos- 1 ( Zo
tion, que mantre la fi£ure 5.10, presente un lobe principal de largeur B, tel que :
B~2.xo~ ~ cos- ~) 1
(
et des lobes,secondaires d'amplitude constante egale a: 1 A ~ ch [K ch
"
~ o ~
lo
('La) .
J'IG ,-S.l.o ., Pp nction de Dplf-Tchebycheff
.."•• ~
1
Elle 'est periodique et sa transformee de Fourier inverse est constituee d'ul1 ensemble de· K + 1 valeurs discretes non nunes, utilisees pour ponderer les coefficients du d6yeloppement en serie de Fourier de )a fonction de filtrage a approchef.
"0
-a Exemple 1i Soit 11 calculer les coefficients d'un filt;re passe-bas de frequence d'e'
[
~ l
~
2
~1
01] o o
2,
A:' ~
;
1
[ 1 1 1] 1
~ L,
1
~1
~1
~1
Le filtre A' est dit de Sobel et A" de Prewitt. Dans les pweedures d'extraction des contours' dans une image" ils sont 'utilises deux: fois, camme Gi-dessus' et apres: rotation de 90°, Les coefficients des filtres a deux dimensIons peuvent etre calcules directement a partir des specifications dans Ie domaine des frequences a deux dimensions. Quand la re-ponse impulsionnelle est une Jonction paire par rapport aux deux variabl!3s, la reponse en frequence e-t les coefficients peuvent etre obtenus a partir d' un filtre it une dimension et a pha&e line~ire. En effet soit H(0») la reponse en frequence d'un'tel filtre, qui, d'apn,s (5.13) en negligeant Ie terme de phase, s'exprime par: p
L j= l Or 1 11 existe entre cos. i(J) et cps- ro une relation polynomiale : cos icil ~ T, (cos OJ)
(5.69)
au Ti Cx') est 1e polynome de 'Pchebycheff de degre i. Dans ces conditions H ( 0») s'ecl'jt alJssi ; p
H(OJ)~
L
g,(cosro),
(5.70)
i=O
Ensuite,
le changement de variables: K-1 L-l
cos.0) ~ H, (0)" "l2) ~
L 1=0 L
k=O
t (k, I) cos kill, cos lcilo
(5.71)
5.15
Fillres RIF a deux dimensions
conduit
163
ala fonetion adeux variables suivante : L-1
I~O 1 (k, I)
) COS
k"'1
COS ''''"
(5.72)
qui peut @tre reecrite sous la forme : N2-1
L
j =O
h ij cos
j"'1
(5.73 )
cos j "'"
avec :
N1
~
2KP + 1; N2 ~ 2LP + 1
La [onction t(k, l) peut etre choisie pour qu'a chaque valeur de '" corresponde un contour dans Ie plan ("'!, ","). PaT exemple pour: cos '" ~
1
'2 [cos "'I + cos"," + cos "'1 cos"," -
1]
(5:74)
on obtiellt approximativement une symetrie circulaire, comme Ie montre Ie cieveloppement limite de cos "'1 pour (01 petit. La figure 5.29 montre un exemple de reponse de filtre calcule par cette methode. La realisation d'un filtre a deux dimensions peut se faire par application directe de la definition (5.66) . Dans Ie cas des filtres deduits d'une [onction monodimensionnelle, la realisation peut etre simplifiee en utilisant la relation (5.72) et en proc6dant comme pour un filtre a une dimension et P + 1 coefficients gi (0 ~ j ~ P), mais dans lequelle retard est remplace par la cellule a deux dimensions correspondant ilIa [onction If1 ("'1 ' "'") [13].
a
FIG. 5.29 . Filtre RJF it deux dimensions calcule partir d'llnfiltre 1-D it phase lineaire
Un cas de realisation particulierement simple est celui des filtres dits separabIes, pour lesquels la matrice des coefficients est dyadique, c'est-a-dire:
A N1Nz =
V1V~
5 • Les fittres a n§ponse impulsjonnelle fin ie (RIF)
164
ou V, el V 2 sonl des vecleurs. Nors, confbrme)11enl a la relation (5.68) , 1a [pnotion de transfert$e faotOTiSe :
($.75) Les specifications de leis flltres sont soumises a deslimitafions. D'abmd, elles doi",ent corresp(1 '
a)
Fig. 5.35. Filtr"e en IOsilnge; a) b) c) d)
Reponse impulsionnelle Reponse wJrwuellCe Coupe horizotda.le. de la repouse Rep"ons."e ii. ·l'e-c.helon unite
flit
a5) x 8"cfJe/ficienrs
!requence ~
'" max =
rc
"2 -
sin CO GOS(J)-
Arc. cos b;
b
ro ; cos ill > b
(6..H)
cos co = b
sin co q> (ro)~ rc+Arctg cosro-b -ro;
cosro(00), il faut ajouter la valeur 00, La [onGtion ( - , ~ YL (nj FIG. 6. 9.b..
6.4
Realisation d.'un filtre ii enco'Che et de son complement
STRUCTURES POUR LA REALISATION
Les 'cellules sont realfsees par des circuits qui effectuent directe;ment les oper'ations repr:esentees dans llexpression des fonctions d~ transfert. Le terme Z-l correspond a un retard d1une periode 6lementaire et est realise par une mise en memoire; les coefficients utiliser dans les circuits sont ceux de la fonotion de transfert aveC' Ie meme signe pour Ie numerateur et Ie signe oppose pour Ie denominateur. Le circuit qui correspond directementil la relation de definition de la celiule
a
du second ordre. purement recursive est donne par la figure 6.11. Les nomores de sortie yen) sont retardes deux fois, mUltiplies par les coefficients - b 1 ,et - b2 avant efetre ajoutes aux nombres d'entreex (n ). Le circuit comprend deux memoires de donnees et deux memQlreS de coefficients. 11 -taut effectuer, pour obtenir chaque nombre de sOTtie, deux multiplications et deux
additions.
6.4
193
Structures pour fa realisation
xln)
}----~---_y(h)
f--+-- y(n-l)
+
f-----o--~
FIG ,6.11.
y (n -1)
Circuits de fa cellule purement recursive
La cellule du second ordre generale peut@tre realisee conformement ·a la reIation de defihition. Cependant, it fatit alars deux memo ires de donnees pour les nombres d' entree et deux memo ires pour les nombres de sortie. La ·structure 0 btenlle n' est pas canonique, elle ne con'lporte pas Ie minimum d'elements. En effet, il suffit de deux memoires de donnees, si la fonction de transfert est factorisee comme suit :
c'est-a-dire que les calouls. correspond ant 'au denominateur sont effeatues en premier et ceux qUI correspondent au numerateur ensuite. La structure, dite D-N, est representee sur la figure 6.12; elle correspond a I' introduction des deux variables internes u, (n) et u2 (n) formant un vecteur d'etat U Cd) a N ~ 2 dimensions. Le syste-me est decrit par les equations suivantes :
u, (n + 1) ~x(n) - b,u,(n) - b2u2 (n ) u, (n + 1) ~ U1 (n) yen ) ~ aQx (n) - aob,u, (n) -aQb2u2(n) + a,u! (n) +"zUe (n) Ou encore, SOllS forme matricielle, conformement a (4.34) :
U (n+l) ~ [ -~1 y en) o
g .~
8
.§
-a.
~
-g2].U (n) +[~]x cn)
(6.47)
[- Gob, + a,, - aob2 + a2l U en) + aot(n)
Cette representation d'etat conduit ains} a une realisatIon canonique ayant Ie nOlnbre minimal de variables 'internes et par suite de memoires. , D'apn3s les resuJtats du paragraphe 4.6 il existe line structure duale correspondant aux variables- internes VI (n) et V 2 (n ) telles que: (n + ~ b1. [VI (n)] + [ - aob , + a, ]x(n) [VI v2 (1J + 1) - b2 . 0 v2 (n) - aOb 2 + "2
1)] [- 1]
y en) ~ v, (n) + aox (n )
6 • Cellules de iiltres a n!!ponsaimpulsionnelle infinie
194
y (n)
Fm. 6.12.
Cellule du second ordre en s(rncture D-N
Cette autre structure canonique est representee sur la figure 6.13. Elle rement effectuer d'abord les operations du numerateur de la fanction de tra~fert en Z et est dite N-D. ~
" [ n) ~--'r---1
}---~..-~ y(
nJ
Z-1
Fm. 6.13.
Cellule du second Qrdre en structure N-D.
La cellule du second ordre elliptique est generalement realise.e cornme indique Sill" la figure 6.12-bis. 11 faut effectuer quatre multiplications ; celie qui porte sur Ie coefficient "0. designe par [acteur d'echelle, est effectuee soit sur les nombres d'entreex (n), soit en sortie de la cellule comme sur la figure. Le gain en caloul par rapport aux schemas precedents apparait clairement
6.4
Structures pour fa realisation
195
~
x(n)
FIG. 6.12 bis.
y(n)
Cellule du second ordre elliptique
La ce1lule de dephaseulpur constitue un cas particulier pour la reallsation. En effet, ia structure canonique ne permet pas d'exploiter ies particularites de ceUe fonction ~ amplitude du signal canst ante et memes' va1eurs des coefficients a\! numerateur et au denominateur. Dne structure a2 multiplicationS adaptee acette fonction est donnee a la figure 6.14. La re1ation d'entree-sortie correspondante s'ecrit:
yen)
~
x(n)
x(n -2) + b, lx(n-1) - )'(n -1)l + bzlx(n ) - yen -2)] ~-~------z+
."••••
l . -_ _.F
],
•c
'-- - - - - - . c . , ( +
+-_... y(n)
L..-_ _ _ _ _
o c
•
'5.
8o
FIG. 6,14.
Cellule de dephaseu.r au secondcordre
a2 multiplications
"0
~
~
Au lotal, il faut 2 multiplications, 4 additions et 4 memoires. A noter que Ie
1i dephilSelir, par definition, n'a pas de factew d'echelle, la figure 6.14 permet de ne
8' @
mettre en memoire que des signaux d~ amplitude CQnstante, ce qui minimise la longueur des memotres et simplifie les estimations de bruit de calcul.
6 • Cellules de filtres a flaponse impulsionnelle infinie
196
Pour optimiser la cellule et redulfe Ie volume de circuits necessaires par multiplication il est important de minimiser Ie nombre.de bits de chacun des filGteun" Le cas des coefficients va etre examine en premier.
6.5
LIMITATIONS DU NOMBRE DE BITS DES COEFFICIENTS
La limitation du nombre de bits des coefficients se traduit par Ie fait qu'ils ne peuvent prendre qu'un nombre limite de valeurs; 'il s~ en suit que les poles ont un nOlnbre limite de p'Qsitlpns ppssibles a finte-rieur du :
(7:26)
Une representation de la fonction T 2(U) pour It ~ jm est donnee par la .figure '7.5 ou sont indiques le~ parametres correspondant a kl tel que:
IT Ii'" )1 ' , k--..........,.-
~
1---'''"''-----''"'-,\,
, ,,I
-'A.'
- - -- -
- -
.....
~- ~
--:;;-..:---
o Pw,75.
Fonction .defiltrage elliptique
La fonction sn 2(m, k) "scille entre 0 et.L pour m < m, ·et entre l'infini pour m ." m,. On montre que l'ordre n du fillre est determine k, i.cteur de selectivite, tel que. :
par Pexpression ;
n=
K ( k)K(~)
K(k,)K(v'1="k2 )
v'N-l
e
. et
a paTtie des parametres k, et
7.2
215
CalGul direct des coefficients par les fonctions modeJes
au K (k) est l'integrale elliptique complete de premiere espece : K ( k) ~
de "2 Jo (1 - k" sin' e)z1
(7.27-bis )
Cette integrale se oolcule par 1a methode d'apprm;imation 0
(7.36)
en considerant que Ie numerateur etle denominateur sont de meme deg.re N pair. Soit D(I) la fonctipn it approcher par la reponse en frequence du fillre HCt); Pee art entre ces fenctions fepre-sente- une errel,lf qu'il est possible de mini miser au sens des rnoihdres carn~-s, en un nombre de points, egal a No, de l'axe de$ frequences; 'il vient alors :
La valeur E est fOIl,ction d'un ensemble de 2N + 1 parametres, qui sont ies du 'filITe :
coeffi~ients
ayec.
Le minimum cprrespona que :
1 ~ i '>S.
N
2
al'ensemble des valeurs des 2N + 1 patametres xk tel
Pour Ie parametre ao il vient en posant H (Z) ~ aoR, (Z)
D'DU la valeurdeao : No -1
n~olD ([nl lt H , Ctn) 1
tJo
=
No-l
(7.37)
1: IH, (In)[2 n =0
Le probleme'd'optimisation se trouve ramene a2N variables. La procedure consisle a partir d'une fooction H~(Z) initiale., fournie par exemple par la methbde de calcl1! direct des filtres elliptiques donnee au paragraphe precedent, et asu,pposeT que lIon se trouve suffisamment pres de l'optimum pour que la fonction E puisse etre assimilee a une fonction quadratique des 2N
73
Techniques iteratives
221
parametres X}c Alors Poptimum cherche est fourni par un ac-croisselnent des parametres donne par Ie vecteur ~ 2N elements AX tel que', BE
2N
E (X +AX) = E(X) +
L k=l
-a-!u;k
En desjgnant par A la matrice ments :
Xk
1
+ -2
a 2N lignes
~N
2N
L L k=l /=1 et
a No colonnes
qui a pour ele-
et par A Ie vecteur col'Onne aNo tertnes em tels que:
La condition des moindres carn~s est obtenue en ecrivant que Eex + AX) est extremum. Comme au panlgraphe 5.4 pour Ie calcul des coefficients aes fillres RIF, il vient :
La methode consiste ens\lite a reiteTer Ie calcul avec les nouvelles valeurs des parametres, ce qui ooit conduire l'optirrtum c'herche. Les chances d'atteindre ce but et la rapidite de la methode dependent des accroissements donnes am parametres; la meilleure strategie est sans doute celle qui est fournie par I'algorithme de Fletcher et Powell [7]. Pour s'assurer de la stabilite du systeme obtenu on peut contr6ler la stabilite a chaque etape au madifier Ie systeme obtenu en re!11plac;ant les poles Pi exterieurs
a
au cercle unite par 1 ~ ce q:ui pe modifie pa.$le module de la reponse en frequence
Pi
,o
a une constante pres. Dans ce deTnieT cag. it faut en general reprendre la procedure d'optimisation pour aboutir al'optimum. La minimisation de 1'erreur quadratique moyenne peut etre appliquee a d'autr.e s fonctians que la reponse en frequence, par exemple Ie temps de propagation·de .g roupe [8].
."••"
~ 7,3.2 Approximation au sens de Tchebycheff
•o o
~ Ce ccitere correspond a une limitation de 1'amplitude des ondulations .de la S reponse en frequence du filtre dans certaines plages de frequence , ce qui est Ie cas o ] Ie plus comant. ; Une methode eleganteconsiste a faire appel a.l'alg0rithme utilise pour le .calcuI des coefficients des filtres RIF a phase lineaire, l'algorithme de R e mez. La technique de calcul consiste a partir d'une fanction de filtrage initiale J-L, (Z) proche de la fonction H (Z) chercMe. Cette f,mction peut etre' par exemple de 'D-
222
7 •
Les filtres
a flaponse impulsionnelle infinie
type elliptique et avoir ete caicui';e par la methode du paragraphe 7.2.4 en utilisant un gabarit adapte; elle ~'ecrit :
Les zeros des fo.nctions de filtrage etant en general sur Ie cercle unite, Ie numerateur N (Z) peut etre considere camme la fonclian de transfert cl'un filtre RIP a phase lineaire. La premiere €tape de la technique iterative consiste a calculer une npuvelle valeur du nUrnerateur, N j (Z), par l'algorithme dann6 prececlemment. Dans ce call cuI Do(t) est la fonction a approcher en balide passante et IDoU)1 est lltilisee comme ponderation.
Ensuite on recherche une nouvelle valeur du denaminateur Dl (Z). On peut chercher directement une fonction ql!i approche IN j (f) I dans la bande passante en utilisant Ie prOgramme de calcul de filtre RIF. Une methode plus sat[sfallianle cOl1siste autiliser une adaptation des techniques de calcul des flUres analogiques. En suppasant que 1a fanctian cherchee H (f), 'lui s'6crit :
N(!)
H(f) ~ D (f) sOJt telle que :
on peut poser :
et II vient :
La figure 7.9 represente les fal)ctians IG (1)1 et IN (1)1 dans Ie cas a'un filtre passe-bas. Les zeros de la fanction G (Z) sant sur Ie cerele unite et, pour la calculer, on peut utiliser une procedure. basee sur un programme de calcul de filtre· RIF. La I [anclion de panderalian est detell11inee a partir de IN (1)1 ' ED aptimisant airisi alternativel)1ent en ban.de aifaiblie et en banqe passante, on abou!i!, en quelques, iterations a la fanctian de filtrage cherchee. Les coeffiGients du filtre sont ensuite obtenus en ne conservant pour H (Z) que les poles qlli sont it l'inte"rieur du cerele unite, afin que Ie fillre sait stable.
7.4
Filtres bases sur les fanctions spheroiaales
213
IG (I) I
VIG 7 .9, Fonctwns N(f) et G(j) p;JUr un filtre passe-bas L,
La figure 7.10 montre un mtre de VOle telepho.nique qui a ete caleule en utilisant celie methode. Des techniques d'optimisation plus gener-ales peUvenl aussi conduire au filtre cherche, notammen! la programmation lineaire [3]. 1
IH (Ill de 0,9235 +j 0,189
30
, I
I
;:1 I
I
20 -0,1.515'
0,7326
,I I I
,
0,1.
I
I I I'
.'•••"•
I
o
],
•c
1000
2000
1.000 f H,
FIG . 7,10. Filtre calcule par une teGhnique iterative
o c
•
'1C
8
~
~
7.4
FlLTRES BASES SUR LES FONCTIONS SPHERO"iDALES
~
• -g ~
8 @
Au lieu de chercher a approcher un gabarit ou une fonction, Ie critere de calcul des: coefficients peut etre la maximisation de la concentration de l'energie dans une baude de. frequence.
7 •
124
Les filtres
a flaponse impulsionnelle infinie
Soit A. un scalaire representant cette concentration et dMini par Pexpression ;
'A~ rIC H(I)
1
H(I) dl/f'lH(I) H(I ) dl
(7 .38)
2
au [- 10' j,] est la bMde dans laquelle on cherche .a concentrer l'energie. Pour: p
H (I)
L
~
ane- j2rr'j"n
n=-P
il vient, par calcul direct:
(7.39)
Ou encoresous forme matricielle:
C'est une equation aux valeurs propres et les coefficients du filtre sont les elemepts du vecteur propre associe a la plus grande valeur :propre de la matrice car:... sin(n -m)2rcIG ree R. dont les elements sont les termes (. . )
-
"
n-m -n:
Les elements des vecteurs prop res de I. matrice R soht "ppeles s equences spheroid ales [9]. Unfiltre RIF a ainsi ete obtenu. Il est egalement possibLe cI:obtellir un filtre RII. En eITet, soil Ie filtre purement recursif tel que:
[H(I)[2 ~
N
1
1
+[ :nL 1b =
tJ
2
ei2ntn [
a nrinimiser l'energie du cienominateur dans la bartde [- I,,f,], sous la condition JH (toll 2 ~ ~ . Alars Ie caleul precedent peut etre reconduit, en caleulant les coeffi.cients Qn (1 '" n '" N ) a partir des elements du vecleur propre associe a la plus petite valeur propre de la malrice pour lequel les coefficients sont caJcules de marne-re
spheroidale. D'abard Ie [acteur d'echelle du vecteur propre est choisi tel que· :
IH (t)12 ~
~. Ensuite on Qalcule les poles de l'extension analytique de [H (1) 12 et Ie
fil\re H (Z) est obtenu ·en ne conservant que celjX qui sont a l'interieur du cerCle unite, pour fournir un filtre stable. Les calculs peuvent etre simplifies par I'utilisation de procedures it~ratives et l'exploitation des propri6tes de la matrice sphetoic\ale [9].
7.5
Les structures representant fa fonction de transfert
215
Exemyie: Soit: Le veeteur'propte minimal V min s'ecrit: V~'n '"
[1,0
~
2;773 - 2,773
1,0]
S1 T d6signe l'a matrice dont les elements sbnt Ies terp:;les' ej21tfc(n ~ nt) avec 1 ~ n, m '" N, Ie f""teur d'6chelle correspond ant ,al'egalite Yin'n TVmin ~ 1 a pour valeur
10,46, Apres factorisation de l'extension analytique H(Z) H(Z-l ), I. fonction de transfert du filtre obtertu est 10 suivante : H(Z)
~
00704 (Z _ 0,73 + jO,446) (Z ~ 0,73 - j 0,446) (Z - 0;'141)
La methode de calcul , presentee ,pour Ie filtrage passe-bas, s'etend -au cas des fillres passe-bande,
7.5
LES STRUCTURES REPRESENTANT LA FONCTION DE TRANSFERT
Les filtres RIl peuvent etre realis'6s par des circuits qui effectuent directement les operatfons representees dans l'expressjon de leur fonctIon de transfert. Le terme Z-1 correspond a. un retard d~une periode d'echanti1lonnage, realise par une mise en memo ire ; 'les coefficients a mettre en reuvre dans 'les -circuits 'sont eeux de Ia fonation de transfert, avec Ie meme signe pour Ie numerateur et Ie signe oppose pour Ie d6nominateur. Seules. les structures canoniques, c'est-a.-dire celles qui demandent Ie minimum d'operateurs e lementaires, circuits de calcu1 et memorres, sont ~xaminees . .'!:::i
'ii. 7.5.1
les structures directes
]I Elles correspondent a une realisation globale de la fonction de transfert en Z, So it .•~ arealiser Ie fi1tre purement re9ursif de fonction de transfert :
~ ~
c
,~ 8
1
H(Z)~ - - N - i l+LbZ1
i=1 -
o
"0
~
~
.'l
1i
"
o
@
Un nombre de 1a suite. de sortie y (n) est obtenu suite d'entreex(n) par la relation: N
y(n)~ x(n)-
L- b;y(n- l)
i=l
a partir des nQm:bre~ de la
7 •
226
Les filtres
a reponse impulsionnelle infinie
qui clonne les operations aeffectner clans la realisation du filtre. Le sehemacorrespondant e&t donne par la figure 7.11. Le circuit comprend N memoires de donnees poUr stocker les y (n - i) (t ~ 1, ... , N) . Le caleul de dhaque element de la suite de sortie necessite N multiplications el N additions.
• (n)
} - - - - . - - - y (n)
--_._y (n-lj
FIG. 7.11. Cireuit de filtre purement recur-sit
Un filtre RIT general peut etre considere comme la mise en cascade d'un filtre p\lfement recursif et d'Un filtre RIF. Quahd Ie numerateur et Ie denominateur de la f,mction de transfert sont de meme degre, le circuit obtenu est celui de la figure 7.12. II correspond a la fonclion de transfert en Z sulvante : . N
La.Z-; H (Z)
j
=9
I
~ --oc; - - N
1+Lb.Z-; j=
1 !
Comme Ie denominateur est caleule en premier, la structure est dite D-N. L'ordre des operations. pel,l.t etTe inverse et Ie numeratettr oalcule en premier, La structure dite N-D se deduit de la precedente par une transposition; elle est donnee par iafigure 7.13. Les nombres stockes dans les memo ires sont des somrnes partielles. Une particularite ihteressante est que chague nombre yen) ou xen) est multiplie par tous les coeffioients sllccessivement, ce qui peut simplifier la mis,e en ·",uvre dela multiplication .. Comme les cellules du seco.nd ordre, ces structures pel.!-vent et-re d6crites par les equations d'etat (4.34) et (4.37), en introduisant les variables ui (n) et v;(n) avec 1 :-:; i~N ,
7.5
227
Les structures representant fa fonction de transfert
FiG. 7.12.
• (n!.
FIG.7. l l
Filtres RJl e.n stmcture. directe D-N
yIn)
Filtre RII en structure dire'ete N-D
7 • Les filtres a n§ponse.impulsionnelle infinie
228
La matrice du systeme A sleerit :
-b,
o 1
(7.40)
o De meme it vient :
1
o o
B=
a
o C'= (a, - aob ~ -aob2 •
• .• , aN - aob N ) " En pratique les structures directes sont peu utilisees car elles presentent des diffiCu1t;;s de realisation, liees a 1a limitation du hombre de bits des coefficients, qui conduisent apreferer les structures decomposees.
7.5.2 les structures decomposees Au lieu de realiser H (Z ) directement, on peut effectuer une decomposition en ,somme ou produit de fonctions elementaires du premier ou de second ort;lre reaiisees'separement. La decomposition en produit correspond a 1a structure cascade ou.Ie filtre es;i realise par une suite de cellules du premier et du second ordre : I
N
,I], (1_Z,Z-1) H (Z) ~ ao
N
IT f =l
(1- Pi Z - 1 )
l -ZZ-1 = "0 " " . p' 1 1- .Z
(7.41 )
,
-
1-2Re(Z;)Z-1 + IZi l ~ Z- 2 1- 2Re(Pj )Z 1 + I Pj l2Z 2 Celte structure est 1a plus utilisee car el1e presente, en plus de sa modu1arite des caracteristiques avantageuses de faible sensibilite aux arrondis des coefficients et au bruit de caleul. La fonction H (Z.) se decompose a..ussi ~n ftactions rationne)]es; i1 vient :
(7.42)
7.5
Les structures representant fa fonction de transfert
229
La realisation corresponci it la mise en paralJe1e de M celiules elementaires camme indiql!e sur la figure 7.14.
yin)
Fm , 7.14.
Struct}1re'paraltele
Les nombres yen) son! obtenus par sommalion des nombres isus des differentes cellules auxquelles sontappliques les nombres tren!ree x (n). L,e ehoix entre ces oifferentes forn'le:$ oe realisation est cQnoitionne par les faoi1ites de mise en ce-uvre par 1es incidences de la limitation du nombre de bits dans 1;;1 representation des coefficients sur l~s caracteristiques du mtre re;;tlise et par la puissance du bruit de calGul produi!. 1
7.5.3
Structure
a base de dephaseurs
Les fanctions de transfert de type Butterworth, Che.bycheff oil elliptiq)le peuyent se decomposer en une somme de .deux dephaseurs [:LO]. Pour une telle f011ction , it vient:
H(Z)
~ N(Z) ~ ~ [A, (Z) + A, (Zl] D(Z)
(7.43)
2
§
ou A, (Z) et A, (Z) son! des fonGtions de tramfer! de dephaseurs. Le caleul de A, (Z) et A, (Z) it partir de H (Z) fait intervenir 1" fonction
~
cQmplementaire G (Z) ~
.'ijj
~ ~~i
telie que :
],
(7.44 )
•
c o c
.~
On suppose que 1a fanGtion de depart H (Z) est tene qlle
N (Z) est Un poly-
§ nome symetrique et M(Z) est antisymetrique, c'est-a-dire : "0
~
(7.4~)
~
• 1i ~
§
o
@
Dans Ges Gonc\itions, il vient, en Gombinant (VII-44) et (VII-45) :
N(Z)N (Z) +M(Z)M(Z)
~D
(Z)D(Z)
(7.46)
7 •
230
Les filtres
a reponse impulsionnelle infinie
et
[N (Z) + M(Z)] [N (Z) -M (Z)] ~ Z-ND (Z-l ) D (Z)
(7047)
On pem remarquer que les zeros de N (Zi) + M (Z) et N (Z) - M (Z) som conjugues harmoniques, et que ce sont les zeros de D (Z) et leurs inverses.-En designa1)t par P; (i ~ 1, ... , N) les poles du filtre, done les zeros de D (Z), on peut ecrire, aune constante pres: ,
N (Z)
+M(Z) ~
N
II (1_Z-1P; ) / =1
n
(Z-l _P;)
(7.48)
1='+1
e.t N
7
N (Z) -M ( Z) ~n (Z-Lp; ) j=l
II (l_Z-lP;) i=r:+l
au r estIe nombre de zeros it l'interieur du cercle unite pour Ie polyn6me N (Z) + M (Z). En divisant par D (Z), on obtient: N
. II (Z-l_ P,)
H (Z) + G (Z) ~ '_~_n_"_ __
(7.49)
II (1_Z-1P,) .I=r+.1
et,de meme
, n (Z-Lp;l H(Z)-G(Z)~ '_~_'- - -
,
(7.50)
Les dephaseurs A, (Z) et A 2 (Z) ont les expressions suivantes :
(7.51) Finalement, Ie filtre H (Z) et son complement G (Z) sont obtenus par Ie schema de la figme 7.15.
x(n)
A.,(Z) FIG.7.15.
Realisation d'un filtre RI! et dufiltre comptementaire par un c:ouple de dephaseurs
7.. 6
Limitation du nombrede bits des coefftcients
La procedure generale pour Ie caleul des dephaseurs tique par 'exemple est la sllivante : - Cakuler une. fonction de transfert H (Z)
2]1
a partir d'un filtre ellip-
~ ~ ~~~ de filtre. ellipJique d'ordre,
N impair.
- C(l.lculer les coefficients du polyn6me antisymetrique M (Z) a partir de N (Z) et D (Z) en lItilisant (7.46). - Determiner les inverses des poles de H (Z) qui sont des racines du PQI)!nomeN(Z)+M (Z) - Calculer A, (Z) et ~ (Z) par la relation (7.51). Une approche simplifiee, quand }'ordre Nest peu eleve, consiste dir.e ctement A, (Z) et Az (Z) par cambinaison des poles. Ainsi, pour:
arechercher
H (Z) ~ 0,05:46 1 + 1,8601Z- 1 + 2,9148Z - 2 + 2,9148Z- 3 + 1,8601 Z-4 + Z -5 (1-0,4099Z ') (1-0,6611Z '+0,4555Z 2)(1-0,4993Z '+0,844SZ ' )
il 'Vient : A (Z ) _ 0,4555 - 0~6611Z-1 + Z-2 . 1 - - 1-0,6611Z-1+0,4555Z 2 '
A (Z) ~ (- 0,4099 + Z- l) (0;8448 - 0,4993 Z-l + Z-2) 2 (1- 0,4099 Z ')(1_ 0,4993 Z 1 + 0,8448 Z 2)
.. ow ~
La structure a base de depha:$eurs est int6ressante car elle fournit de~ filtres complementaires avec les memes calculs, ce qui est utile dal\s les banes de filtres, comme indique aux chapitres 11 et 12. De plus, elle .est mains sensible que les autres structures aux arrondis des. coefficients. II est remarquable d'observer que les filtres decomposables en somme de dephaseurs sont entierement definis par leurs poles. En fait, la realisation en somme de dephaseurs de la figure (7.15) est la realisation la plus effie ace pour un filtre elliptique, puisqu'elle uecessite un nombre de multiplications egal a I'ordre du filtre.
,o
"•
·31
],"
7.6
LIMITATION DU NOMBRE DE BITS DES COEFFICIENTS
•5 La. nilse en reuvre des bperations de filtrage implique la limitation du nombre' de o
.~
bits des coefficients du filtre qui constituent un des termes des multiplications. 8o L'incidence sur la complexite. est importante car la multiplication est souvent Ie ] facteur Ie plus critique. II faut done rechercher Ie nombre de bits minimal qui per~ mette de satisfaire alix contrainte:$ imposees ala fonction de filtrage. -g La limitatIon du nombre de bits du faoteur d'echelle ao se traduit par une 8' modification du gain du filtre;, mais n~aifecte pas la forme de la reponse.en fre@ quence. Le gain du filtre €tant specifie avec Une certaine tolerance aune frequence ~
7 • Les filtres a reponse impulsionnelle infinle
232
donnee, par exemple 800 Hz pour une voie te1ephonique, ;1 faut s' assurer que la representation binaire de ao permet de $atisfaire cette cbntrainte. La limitation du nombre de bits des autres coefficients modifie la fonction de transfert en introduis'a nt des polyn6mes parasites eN (Z) et eD (Z) au numerateur et 'all denominateur, On a en fait 1a fonctian de transfer! HR (Z) teJle que :
H (Z) ~ N (Z) + eN (Z) R D (Z) + eDCZ)
(7.52)
Si I'on designe par oai et Obi (1 '" i '" N) les errenrs d'arrondi faites sur les ces fanctions parasites s~ecrivent en fanction de la frequence normaiisee (f, ~ 1) : co~fficjents,
N
N
"" (I) ~
L
Oai e- j2rrfi;
j= l
eD (I) ~
L i =l
Obie-j2rrf i .
En fait ces expressions constituent les developpements en serie de Fourier de fonctions periodiques de 1a frequence. L'ega1ite de Besse1-Parseva! (1.7) qui relie la puissance d'un signal a celie de ses compos antes permet d 'eorire, si I, ~ 1 :
' f
N
)eN (1),12 d/~ i~l loail'
Si q designe l' eche1on de quantification:
et 1111e borne est dbtenue pour
leNU)1par :
ieNU)i '" N ~ Une estimation statistique
(j
de
leN(f) 1peut
(7.53) etre obtenue en tonsiderant les
oai comme des variables aleatoires uniformeme)1t reparties sur l'intervalle [- ~, ~ Elleest eva1uee a partir de la v-aleur effieace de 1a' fonction eN (f). II vien't : 0 2
~
' f Q
1
2
ieNU)1 2d/~ N 'L 12
D'ou : (7.54) Cette e&timation est valable a la fois pour leNU)1et leD (/) 1~ elle est nettement ihterieure a la borne (7.53) donnee d-dessus et en fait beaucoup plus proche de la realite, des que N depasse quelques ·unites. Les consequences de. l'arrondi de& coeffic!'ents peuvent etre analysees sepan~ ment pour Ie numerateuT et Ie denominateur de la fonction de transfert, en considerant 1a bande affaiblie d'une part et la bande passante de t:an tre. En effet en examinafit la configuration des poles et des zeros dans Ie pl&n des Z, on observe
7.6
233
Limitation du nombre de bits des coefftcients
que les poles determinent la reponse du filtre en bande passante et les zeros en bande affaiblie. - En bande affaiblie, Farrondi des cpeffioients du denomJnatellr peut etre neglige et, avec comme VaTiable ro=2rrf; il vient:
HR () ro
=
N(ro) + eN(ro) 'ID (ro)1
L'erreur sur la r6ponse est alors estin'lee par:
Si Ie gabarit impose que les ondulations en bande affaiblie soient inferieures en module a 0" en partageant la tolerance en deux parties eM!es, l'une pour les ondulations en l'absence d~erreur d~ aITondi sur les coefficients et Falitre pour tenir compte de l'erreur due acet arrondi, 'il vient:
(7.55) - En bande passante, l'arrondi des coefficients dt! nurnerateur peut etre neglige :
. N(ro) HR(ro) = D(ro) +eD(ro)
N(ro) [
= D(ro)
eD(ro) ]
1- D(ro)
(7.56)
a
Si les-ondulatio ns en bande passante dOlvent etre inf6rielires e n module 01' l'ineg et L2 , 1a secbnde constitue un bon compromis; c'est celle qui est retenue dans la suite de ce. paragraph~. II faut aussi :remarquer qu'elle faciIite les verifications experimentale.s et les mises au point araide de; signaux sinusQ'idaux. On designe par Hln et K;' les yaleurs suiyantes pour la cellule de rang i ,
Hln = mal
0
X, (I) ~ jX R (I) pour 1< 0
1 C'est-a-ciire que x,(t) est obtenu a parfir de X
R
(t) paT une rotation egaie a ~ des
o @
composantes. La transformation de Hilbert coflsiste en une mise en quadratl!re des.
9 • Signaux complexes - Filtres de quadrature -Interpolateurs
286
composantes du signal; c'est une operation defiltrage avec laore-ponse en frequenee Q (f) repr6sen!ee sur la figure 9.3.
o
•
o
•
'i FIG "9.2.
Sp.ectre d'un signa] analytique
a (I) FIG. 9.3.
Repoflse enfrequence du jiltrs de quadrature
o -i l - - - - - -
Exemple:
~ [[A(t) cas (2rrtr)- B(t) sin (2rrtr)]d/
(9.21)
xI (r)~ [[A(t).sin (2lttr) +B(t) cas (2lttr)]dt
(9.22)
xR (r)
Les proprietes des signaux analytiques Gontinus peuvent se transposer aux signaux discrets moyennant certaines adaptations. Un signal disere! 'a une !ransformee de Fourier periadique, Un signa'! discre! analytique x en) dectuit d'un signal reel, est un signal diseret dont la transfarmee de
Faurier x" (t), qui ala periatie f,~ 1, s'anmile pDUf -
~ "" t < 0 (fig. 9.4).
Si un signal diseret x(n) est obtenu par eehantillonnage d'un signal continu analytique x (t) it '!a frequenee t, ~ 1, il eanvien! de remarquer que la restitution de
9.2
Signal analytique,
287
signal contlnu a partir des vaieurs discretes est abtenue par un filtre de re~titution qui ne conserve que les compos&ntes du sign~l comprises dans la bande (0, t,) cOmme Ie montre la figure 9.4. La formule de restitution correspond ant a l'e'xpression (1.57) , s'ecrit:
x (t) =
. L x (n) sin [1t(l-nll .. e i n(I -n) 1t(t- nJ
(9.23)
n~- ~
I
-I
~
Q
•
o FIG . 9.4.
Spectre d'un signal analytique disc ret et filtre d'interpolation
Par suite l'echantillonnage n ' apporte pas de degradation au signal analytique ,t"
(t) si son spectre ne 'c antient pas de compo:santes aux frequences -superieures. Oll
egale
at,. D'oll Ie theoreme de l'echantillonnage: p'?,UT un signal analytique:
Un signal anaiytique qui" ne contient pas de composantes it des frequences superieures DU egale aim est entierement determine par la suite de ses valeQrs prelevees·a des instants espaces de T =
~
,
."••" ],
g•
.~
l.
La suite x (n) se decompose en une suite ree-lle X R (n) et une suite imaginaire x:r(n ), telle que:
Les transformiies de Fourier correspondantes XriR(f) et Xnr(f) sont obtenues i\ partir de la transfonnee de Fourier Xn (f) par les relations (9.19) et (9.20) donnees precedemment.
8o
1
'0
O< t < 2
~
~
•
~
,.
-g o
@
pour
1
-2 (f) est lineaire et pre$ente la perioc!ioite
-l
par:
o
o
•
(10.32)
1.
Pa'r suite, elle s'exprime
~
,.
(10.33)
1i o
©
ou
~Yl
Tepresente Ie plus grand enlier contenu dans x.
10 • Le (iltrage multicadence
324
Pour l'amplitude. on peut reprendre la relation (10.8), avec la symetrie de H (f), ce qui conduit a ~
e-;2,1; H (f) ~ flU) - H (~ -I) 1
a la
En introduisant la proprlete d'antisymetrie par rapport
frequenc" :;-
demon tree au pmagraphe (10.4), il vient :
IH1 (f) I ~ 2IH(f)I-l ;
f,
o ""f"" -'-4-
Les ondulations sont doubles de celles de H (f) et la fonction s' annule pom
f~ ~ , frequence qui correspond au changement de phas.e de It. La figure 10.8 represente les fonctions IH, (f) I et q>(f) qui caracterisentle filtre. La phase
est conslante el prend les valeurs
f
(f) ~ q> (f) + 2IT f,
(10.34)
a ou IT.
.2 f
Finalernent Ie circuit dont la reponse en frequence est la fanction e -/ ]"; y:. H, (f) approche un dephaseur pur dans les 1;landes utiles, c'est-a-dire en bandes passante et affaiblie ; Ie nombre de ses coefficients et sa complexite dependent du degre d'approximation, c'est-a-dire de la bande de transition Af et de I'ondulation en amplit\lde o. Ces r~s\lha\s sont it rapprocher de ceux du paragraphe 9.3.
o
"
h
T '" (f) + 2" T
~
f
2
i.. r-----::::..;' fe
2"
1fe
fe
f
"2 o -~
I
IT
2
FIG "10 :8.
Fonction Hi (f5 du filtre demi-bande
10.5
325
Fitlrage par reseau polyphase
Le filtre demi-bancle se presente comme un reseau a 2 branches, se-ion la figure 10.9., La repanse globale correspond a la samme des repanses des' Cleux branches camme Ie monti;e la figure 10,11.
Z-2M
H,IZ') Fro,lJ19 . Piltr.e demi-bande avec dephaseuIs
x(n)~.-~-
Y'(n) FIG. 10.10.
Bane de deuxfiltres
S, I'an change Ie signe de la fanctian H J (f), alars, camme Ie mantre la figure 10.11, ull fillre passe-haut est 0btenu, Aihsi un ensemble de deux filtres est obtenu avec, les memes cakulS, Soient Bo(Z) et B j (Z ) les fanctians de transfer! de ces filtres ; Ie: systeme correspond ant, represente sur la figure 10.10, est caracterise par Fequatiop matricielle suivante:
1] [Z'Z"H 2M (Z2) ]
-1
J
H
"••
'., •
H,
]
•c o c
• '"'8o
I Ie
Iz. I
"0
~
~
• -g
H,
~
o5' @
I
'--....l..--f I
FIG. 10.11.
Ij..eponse en W1I:pliiude duJ iLfre ·demi-bande·
(W.35 )
10 • Le filtrage multicadence
326
On reconnait la matrice de la Transformee de Fourier d'orclre 2. La generalisation de ce resultat a un bane de N fiUres fa,it intervenir une Transformee de Fourier d'ordre N. On peut aussi remarquer que, en changeant dans H, (I) Ie signe d'un coefficient sur deux, la reponse en frequence se trouve dec alee de ; ) et on obtient Ie filtre de quadrature du paragraphe 9.3. Les resultats obtenus pour Ie filtre demi-bande se generalisent facilement a un filtre RIF utilise pour reduire au dever la frequence d'echantillonnage par Ie facteur N. Soit H(Z) la fonction de transfert en Z d' un tel filtre. En supposant qu'il possede KN coefficients. on.peut ecrire: KN
H
(Z) ~
L
,N-l
a;Z- ; ~
L
z- nHn CZ n)
(10.36)
n =O
i "'Oo1
aveo:
Ce filtre peut e tre realise par un reseau a N branches, suivant la figure 10.12, appele reseau polyphase, car chaque branche a une reponse en frequenc e qui approche celle d'un Mphaseur pur. Les dephasages sont constants par plage de frequence et multiples entiers de
~
Quand il y a changement de frequence
d'echantillonnage dans un rapport N , les circuits des differentes branches du reseau ope-rent
a la frequence ~
FIG.
19. 12. Filtrage par reseau polyphase
Les filtres a Reponse Impulsionnelle Infinie ayant des selectivites plus grandes que les filtres a Repanse jmpulsionnelle Fink, it est interessant d'etudier les filtres multicadence a elements recursifs.
10.6
Filtrage multicadence
a ~"jments RII
327
10.6 FlLTRAGE MULTICADENCE
A ELEMENTS RII
La technique de base pour Ie caleul d' un filtre multicadenee a elements EII consiste a faire ie meme type de decomposition de Ia fonction de transfert dll filtre RII giobal H(Z) qll.e celui qu.e faurnit Ia relation (10.36). La fonction H(Z) est supposee etre un" fraction rationnelle au Ie denominateur et Ie numerateur sont de me-me degre.
Une telle decomposition est obtenue en faisant apparaitre les poles de H(Z) : K
TI (Z- Zk)
tI(Z) ~ go ~kKo;c ~ l~_-
(10.37)
IT (Z-P k )
k~ l
En utitisant I'identite : ZN - Pk' ~ (Z-Pk)(ZN- l + Z'H Pk + " .. On ob.tient :
+ Pk'-J)
(10.38)
K
IT (2- Zk)
(ZN-l + Pk ZN-2 t . .. t Pk' ~ l ) H (Z ) ~ a ..k.::c ~ l"---- _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ o
K
EVZN -PrJ qui s-'ecrit SO llS une -autre far:me : KN
L
H(Zl ~
a·Z- i j= O I ---'-.:c"K'----1 + IT b Z-Nk k= l
.k
11 vient alors :
(10.39)
"• .~
•
o u encore :
],
(1OAO)
•c o
c
.~
Totltes les branches du reseau polyphase sont determinees. Eiles ant tautes la
§ me-me partie recursive et se distinguent par la partie non 'recursive camme Ie i montte la relatioli (lOAO) . Dans Ie principe, la difference par rapport au para.'l
graphe precedent est que les dephase:uTs RII obtenus, pris rindividuellement, ne
8"
La structure pour realiser Ie filtre multicadence SOllS cette forme est donn6e la figure 10.13 dans Ie cas de [,augmentation de frequence d'eohantillonnage.
-g sont pas aphase lineaire. ©
a
10 • Le filtrage mu/ticadence
328
y (nl
------------
FIG. 10.13.
akN+n
Augmentation de frequence d'echantillonnage par une structure recursive
1
a la cadence NT' mais on peut observer qu~il y a a un nombre de multiplications egal a KN + K + 1. Une realisation directe du
TOlls les calculs se font
faire filtre RII demande dans les memes conditions (2K + 1). N multiplications. Par suite la decomposition apporte un gain qui est seulement de Fordre du facteur 2. Le v eritable interet de cette decomposition est pour les banes de filtres . Dans la procedure ci-dessus, il faut toutefois remarquer que la 'p'a rtte recursive du circuit de la figure 10.13 correspond a des pOles "leves a la puissance N , Cette transformation est representee sur la figure 10.14 pour K ~ 8.
pr.
/
, I I
/'
/
•
,
,
' \
,
•
- -"-
\ \
, p, I
•
\ ,•
,
,, ,
•
pN
,, •
, ,
•
•
J
I
-
J
"I / /' /
,I' I
FIlS. 10 .14. Poles du riseau 'polyphasfi R
Bane de fillres par reseau polyphase et TFD
10.7
Elle mont,e que les poles se dispersent gnent de ce oerole [5]. En effet 8i l'ona :
329
a !'interieur du cercle
unit6 et 8'e10i-
IPkl ~ 1- E aveo E tres petit et 1'0s1tif il vient apres elevation ala puissance N : IPrl = l-Nf C'est un element tres favorable pour l'incidence sur la fonction de transfert d~ la representation des coefficients du denominateur, comme Ie montre Ie paragraphe 7.'1 et en partioulier la relation (7.66). En fait, la structure est realisable sous forme direote albrs. "Iue Ie filtre initial n..e I'est pas, Le"s incidences de la limitation du llOlnbre de bits des coefficients s'analysent obmme all ohapitre 7, Il en est de meme de l'evaluation de la puissance du bruit de ealeu!.
10.7 BANe DE FILTRES PAR RESEAU POLYPHASE ET TFD Un calcwateur de Transformee de Fourier Discrete constitue un bane de filtres(paragraphe 2.4) qui sont bien adaptes au filtrage multioadenoe. Cependant il faut remarquer que les filtres ainsi realises presentent des recouvrernents importants. Pour arneliorer la discrimination entre les composante.s du signal, on effeolue une ponderation des nombres avant applioation de la TFD. Les coefficients de ponde-ration sont les e-chantillons d~ fonctions dites fen-etres d'analys.e speotrale. La realisation de panos de filtres par reseau polyp'hase et TFD oonstitue. en fait la generalisation des fenetres d'analyse speotrale [6, 7J. Soit a realiser un bane deN tiltr.es qui oouvrent la bande [a,!, ] et sont obtenus
par transtalion en frequenee d'un filtre de base au filtre prototype, de ia valeur m .
~
avec , l % m ~ N-l.
Si H(Z) est la fonction de. transfert en Z du filtre, une translation en frequenoe
"••
'. ],"
de m.
f.
Nse tr'aduit par un changement de vcrriable de Z en Z .e
o
•
'<e
m
N; G'est-a-dire
que Ie filtre d' indice m a pour fonotion de transfert Bm (Z) telle que
•c
c
j2Jt
BmCZ) ~ H(Z.e
m j2H
N')
8
] ~
~
En appliquant ia In filtre passe-bas a nombre impair de coefficients' dont tous les coefficients d 1indice pair sont nuls 1 sauf le coefficient central qui est ega! a['unite. Par e.xemple, pour M ~ 2 coefficients differents, il vient:
P (Z)
~ h3
Th,
ezt
Z-J + h, Z- 4 + h 3Z- 6
(11.15)
11 • Fillres OMF el onde/ettes
338
et les coefficients des filtres passe-bas Ho(Z) et H, (-Z) sont soumis a la contrainte que, dans leur produit, leB coefficients des termes en Z-1 et Z;-5 sont nuls. 11 reste des degres de liberte qui sont \ltllises pour oblenir des proprietes particulieres. Dans un premier exemple, on choisit des pblynomes de degre different!?, a coefficients syrnetriqlles et ayant des zeros 'au point Z=l . Alar-s, en prenant :
H1(-Z)~ ~ (l+Z-I? Ho(Z) ~ (1
+ Z~ l)(ex" + a.,Z-1 + a.,Z-z + ex"Z-3)
(11.16)
la condition de reconstitution parfaite impose que, dans Ie produit P (Z), Ie coefficient du !erme Z-I soit nul et celul du terme Z-3 egal
a I'unite, ce qui donne ex" ~ - ~
3
eta.,
~8 '
Finalemen!: 1 (11.17) 8 Les deux filtres ainsi ob\enus So)]t a la base de la transf9J;m~ti9.!l reversible,1l1ilisee dans la norme de compression des images fixes JPEG2000, dans l'option sans perte. Les reponses en frequence des filtres sont donnees a la figure 11.3. 11 faut noter ie desequiJibre des deux sous-bandes, les filtres ne sont pas du type clemiNyguist. Ho(Z)~
- [-1 + 2Z-I + 6Z- 2 + 2Z- 3 _Z- 4 j
.Amplitude 1,4
1,2
K,I-Z)
0.8 0,6
0,4
0.2 .0
o
0,05
0.1
0,15
0.2
0.25
0.3
0.35
0,4
0,45
0,5
Frequence FIG . 11.3.
Reponse eft fri?quence des flUres dans fa norme ]PEG sans pel tt?'
11.3
339
Decomposition et reconstitutlon parfaite
Une decomposition en deux sellS-bandes egales peut etre obtem,J.e en abandonnant l'option de phase lineaire et en factorisant comme suit Ie filtre demi-bande : (11.18)
c'est-a-dire que les fillres Ho(Z) el H, (- Z) ant les memes coefficients mais. dans l'ordre inverse et Ie polynome P(Z) est de degre 2)( et possede 2K +1 coefficient. En fonction du nombre M de coefficients different, dans Ie filtre demi-bande, on a l'egalite 2K +1~4M, c'est-a-dire K ~ 2M - L Le fait que l'entier K soit impair permet de satisfaire la relation (11.2) et, avec Go(Z) ~ Z-kH o (Z-'), ~ (Z) ~ - Z-kHo (Z-l) et G, (Z) ~ - Ho (- Z), on verifie que les conditions (11.1) et (11.3) sont sa tisfaites. La procedure de cal cuI des coefficients est celle des filtres RIF a pj1ase minimale decri!e au paragraphe 5.1S. Au coefficient central d' un filtre demi-bande, on ajoute l'ondulation, ce qui rend les zeros ·sut Ie cercle unite doubles, puis, les fac..., teurs a phases minimales et maximales sont extra its [3]. Comme exemple, on considere Ie cas d'un filtre P(Z) a 2K + 1 ~ 15 coefficients, . specifications h ~ 21 - 12 ~ 0,2. Les M ~ 4 coefficients dif ferents ant calcule avec les pour valeurs:
h,
~
0,62785 ; h3
~
0,18681 ; h5 ~ 0,08822 ; h7 ~ 0,05297
L'ondulation a pour valeur 0 = 0,047 et Ie coefficient central devient: ho = 1,047. En prenant un des zeros qui sont sur Ie cercle unite et ceux qui sont al'interieur, on obtient pour Ie premier filtre:
Ho (Z)
.:ijj ~
."••" ],
•c o c
•
'1C
8o
"0
~
~
• 1i ~
,.
o
@
+ 0,5111 Z-I + 0,2715 Z-L 0,0885 Z-3- 0,1346 Z-4 + 0,0338 Z-s + 0,0973 Z-L 0,0703 Z-7
~ 0,3704
La reponse en frequence correspondante est donnee a la figure 11.4. Par rallport au fillre d'origine, l'ondulation en bande affaiblie est devenue VB.
11 • F-illres OMF et'oflde/ettes
340
Amplitude
1.4 ,-------------------r-----~--~--~--_,
0,8 0,6
0,4
°°
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0 ,5
Frequence
lim. 11.4, Reponse en !requenGe- dufiltre
d!analyse'passe~ bru
Dans les caracteristiques a retenir 'pour les facteurs de F(Z), it en est une qui est interessante pOhlr la compression des sighagx et des. images en particulier, c'est la regularite de 1a re-ponse en frequence. En filtrage, cette caract6ristique se traduit par I", pr",sel)ce ge ~erQs multiples all point Z ~ ~ 1 dans la fonction ge transf~rt. Sur Ie plan des prinoipes, l'approc'he est justifiee par la \hel'>rie,des; ondelettes',
11.4 ONDELETTES La tMorie des ondelettes a pour obj'edtif la representation de,S signaux dans Ie domaine temps-frequence. C'est une repr.esentation que Fanalyse- de Fourier n'e permet pas, car elle suppose Ie -signal periodique ou de duree infinie. Ainsi, pour localiser un. signal a la fois dans. Ie temps et en frequence avec la transformee de Fourier, i1 faut introduire une fene-tre glissante. La transformee en "mdelette utilise comme base de decomposition des fonclions dites ondelettes, deduites d'une fonclion ge'neratrice par translation et dilatation, Elle perlnet d'analyser des signaux de duree quelconque [4, 5]. En pratique~ la transformee en ondelettes discrete correspond a un banc. de filtres nbn uniforme 'e t une approche efficace pour la mise en re1:1vre consiste a metfre en cascade des banes de 2 filtres comme ceux des paragraphes precedents, avec reduction par 2 des frequences d'echantillonnage a chaque etage et memes coefficients pour Ies filtres. Les operations de translation et dilatation sont effec-
11.4
Ondelettes
341
tuees automatiquement par les changements de frequence d'echantillonnage. La structure· en arbre ainsi obtenue est illustree la figure 11.5 POtjf l'analyse. Bien entendu, on peut aussi obtehir un bane de filtres uniforme en completant la branche basse sur Ie schema.
a
Xln)
FIG. 11.5. Bane de fiIfres non unifonne, par structure en arbre.
.:ijj ~,
"•
.~
i
•c
Hour Ie calcul des coefficients, l'objeciif est a'aUeindre la regularite maximale, c.' est-'-dire d'avoir dans la fonclion P (2':) Ie maximum de zeros au point Z ~ - 1 . Un filtre demi-bande • N coefficients differents possede 4N - 1 coefficients en tout et est de degre 4N - 2. Ce filtre ayant 2 (N - 1) coefficients nuls, la fonction P (Z) comporte un facteur de degre 2 (N - 1). Alors, Ie facteur rest ant est au maximum de degre2N. Ensuite, il faut factoriser P (Z) pour obtenir les deux filtres d'analyse et synthese.. Dans une solution a phase minimale, les filtres obtenus possedent 2N coefficients e.\ la fonction de transfert en Z du filtre passe-bas presente N zeros au point Z = - 1 du plan complexe. COl1lme dans les paragraphes precooents, les valeurs numeriques peuvent etre determinees directement en cQrnbinant cette contrainte:avec les conditions d'annulation des coefjicients des termes impairs dans Ie produit P (Z). On peut aussiobtenir P (Z) et factoriser. Le tableaU 11.1 donne les coefficients des fillres Ho (Z) pour les premieres valenrs de N. Les coefficients des autres filtres intervenant dans Panalyse et la synthese, H, (Z), Go (Z) el G, (Z) selon la figure 11.1, sont donnes par : 2N
Ho(Z)~ i~,ho,iZ-; ;h"i~(-l)'ho.2N.l_i i I?I,i~hl~.N+1-i
(11.1.9)
Les repons,e s en frequence sont donnees a la figure 11 .6. On remarq'ue la similitude avec les reponses des filtres de Butterworth du paragraphe 7.2.3; qui posseii dent les memes zeros au point Z ~ -1, ont egalement la propriet" (1e reconslitu-E. lion parfaite quand 1;, frequence de coupUre est placee au milieu de la bande utile • et .ant 'une reponse en frequence monotone.
g
l• ...J
,.
1i o
@
11 • Fillres OMF et'ondeleltes
342
Tableau 11.1. N~2
0,482963 0,(l36516 0,224144 -0,129410
COEFFICIENTS DE.S ONDELETTES
I'l ~ 3 O,Sl32671 0;806892 0,459878 - 0,135011 - 0,085441 0,035226
A PHASE MJNrMALE
1'1 = 5
N ~4
0,230378 0,714847 0,630881 - 0,027984 - 0,187035 0,030841 0,032883 - 0,010597
0,160102 0,693828 0,724307 0,138427 -0,242295 -0,032245 0,077571 -0,006242 -0,012581 -0,003336
Am~li!Ude
1.5 r--~-~-~-~-~-~-~-~-~---'
I ". - .. ,,- .. -" .." ..." ...--.".. "" "". '." " -" ""-,,- --- - " ,,-- --" ""-"". "" -- -" "- -
N =1
0 ,5
N =5
0k-~=-~~~~~~~~~~-;~~~ 0,05 0,1 0 ,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0.4 0.45 0,5 Frequence FIG. 11.6.
Reponse en friquences des ondelettes
aphase minimale
II est egaletnent possible d' obtenir des. filtres. a phase lineaire, en donnant au~ fi ltre spasse·bas el passe·haut des nQmbres de coefficients differents et impairs. Par exemple, Ie tablea u 11.2 donne les coefficients des filtres (9,7) utilises dans la norme JPEG 2000, pour la compression ave0 taux ele,>,,, et pertes [6].
11.4
Ondelettes
3 43
Tableau 11.2. -
FILTRES POUR COMPRESSlmN AVEC PERTE pANs
Zi =
±0
1 =
i
±1
1
= ±2
1 =
±4
H" (2 )
HI(Z)
0,602949 0,266864' -0,078223 - 0,016864
1,115087 - 0,591272 - 0,057544 0,091272
JPEG 2000
L'evaluation de 1a precision de reconstitution se fail par Ie c.llcul de I. reponse impulsionnelle de l'ensernble analyse-synthese. En multipli.nt par Hl (- Z) 1'e polynome obtenu en annulant les coefficients d'indice impair dans Ho(Z) et en ajout.nlle produit par Ho(- Z) du polynome obtenu en .nnql.nlles coefficients d'indice pair dans HI (Z), on verifie que Ie poly nome obtenu • son coefficient centr.l egal a l'unite et ses autres coefficients nuIs, avec vn ecart inferieur ecart provient de l'arrondi des valeurs qes. coefficients.
1,4
a 2.10- 6. eet
Amplitude
1.2
0, 8
0,6
0,4
0, 2
"••
'. • ],
•
c o c
•
'1C
g
] ;
-g
8' ©
o
o
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
P,35
Q,4
P.45
0 ,5
Frequence
Fig. 11.7.
Reponse en frequence des filtres dans la nonneJPEG 2000 avec perte
La figure 11.7 montre les, reponses en frequence des filtres HO (Z) et ~ (Z)/2, qui font encore appar'ltre un desequilibre dans Ie part.ge du signal, m.is plus faibie que celui de la figure 11.3, les filtres ayant davantage de coefficients, Ces filtres ont la moitie de leurs zeros aux points Z = ± 1 du plan complexe, ce qui donne 'nne grande fegularite aux re-ponses. en frequence, propriere importante en traitement d'im'ges, Cependant, il faul signaler que celie '. ppn;,che produit une
11 • Fillres QMF el onde/eltes
344
arnplificati,m du bruit a la synthese. En effet, dans la cQrnpression des images, une operation de quantification a lieu apres I' analyse et la synthese apporte une 'amplification du bruit de quantification pa r Ie facteur 1,243. Ce factellr est plus eleve que pour d'auhes techniques de caicul des filtres QMF. En ce qui concerne la complexite arithmetique, il faut SO\lligner que Ie nombre de multiplications est tres proche de celui de la technique polyphase, car il est possible de profiter de la syrnetrie des coefficients, ala fois dans la partie analyse et dans la partie syntMse.
11.5 STRUCTURE EN TREILUS La factorisation (11.8) du filtre derrti-bande peut egalement se faire avec la representation en treillis, en annulant un coefficient sur deux. La structure modulaire-
obtenue est donnee a la figure 11.8.
(------- -,
I
---- ~ - ' ~ . ~~- . ,
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i
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