Lecture Notes in Mathematics A collection of informal reports and seminars Edited by A. Dold, Heidelberg and B. Eckmann, Z0rich
48 G. de Rham. S. Maumary M. A. Kervaire Universit~ de Lausanne
Torsion et Type Simple d'Homotopie Expos6s faits au S6minaire de Topologie de I'Universit6 de Lausanne
1967
Springer-Verlag. Berlin. Heidelberg-New York
All rights, especially that of translation into foreign languages, reserved. It is also forbidden to reproduce this book, either whole or in part, by photomechanical means (photostat, microfilm and/or microcard)or by other procedure without written permission from Springer Verlag. 9 by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1967. Library of Congress Catalog Card Number 67-31231. Printed in Germany. Title No.7368.
INTRODUCTION
Ces Notes r e p r o d u i s e n t de T o p o l o g i e
de l ' U n i v e r s i t @
dee expos@s fairs au S ~ m i n a i r e
de Lausanne,
saul un en 1960.
Lee deux p r e m i e r e s
nombre restreint
d'exemplaires,
sons ioi sane changement, r@pondre ~ de n o m b r e u s e s utiles comma
introduction
plain d~veloppement.
of the Am. Math.
1963-64
multioopi6es
@pule@as,
saul quelques
l'ann@e
nous
~ un
lee reprodui-
c o r r e c t i o n s mineures,
Nous eep@rons
qu'elles
pour
seront
~ une belle th~orie qui est encore en
Pour lee treveux plus r~cents,
le lecteur ~ l'excellent Bulletin
@ditions,
@tent
demandes.
durent
article Soo.
de J. M i l n o r
vol 72
(1966),
nous r e n v o y o n s
: n W h i t e h e a d Torsion p 358-426.
G. de Rham
IP J
TABLE DES
Og
Introduction
I.
DE RHAM G.-
MATIERES
Propri~t~s
des sommes
et des s~ries II.
DE RHAM G.-
Torsion
de Gauss
de Dirichlet
d'un complexe
~ autoi3
morphismes III.
MAUMARY
S.-
Type simpie
d'homotopie
(th~orie 37
aIg~brique) IV.
MAUMARY
S.-
Type simpie
d'homotopie
g~om~trique)
55 65
Vm
MAUMARY
S.-
Th~or~me
de Mazur
VI.
OE RHAM G.-
Th~or@me
de dualit~
sion et appiications VII.
(th~orie
KERVAIRE Michei
A.-
Le th~or@me
pour ia toraux noeuds de Barden
OE RHAM G.-
Type d'homotopie et des espaces
83
Mazur - StaIiing VIII.
74
des rotations
ienticulaires
9B
-I-
I.
PROPRIETES DES
SOMMES
DE
GAUSS
THEOREME
DE
Expos~ de
Le pour
but
comprendre
le t h ~ o r ~ m e
de
la
des
les
caract~res
th~or@me
En de
1.
appelie
1)
X[a)
= X(b)
2)
X(eb)
= X(a)
3)
X(a)
=
II
m
0
. L'~l~ment que
X
(a) 0
DE
DIRICHLET
de
de
ia
un
probl~me
et
diff~omorphie les
premiers th~or~me
de
d'une de
nombres,
topoIogie des
rota-
simpies
n'ont du
n~cessaire
des
pius
d~monstratlon
le
est
th~orie
Dirichlet
hombres par
qui
pas
~t~
c~l~bre progression
Franz.
m]
caract~re propri~t~s
(mod
X(b)
r
de
fonction
> 1,
un
(mod m)
X(a)
classes ce
ab~lien,
= 1.
est
ie
a
si
m)
r~sidueIles
groupe
(a,m)
~ 0
(mod
groupe
arithm~tlque
:
a ~ b
caract@res
des
toute
pour tous e n t i e r s
(a,m)
sl
m)
suivantes
sl
unit~
= 1
aux
ce
propri~t~s
s~ries
a reproduit
~ ia m u l t i p l i c a t i o n R(m)
dens
des
se t e r m i n e
si
existe
multlpiicatlf
tei
des
th~or@me
Ienticulaires
reietif
[mod
rassembler
d'un
des
SERIES
FRANZ
de
intervient
et
on
L'expos~
jouissant
rapport
m)
DirichIet
On
est
d~monstrations
passent
Caract~res
X(n)
qui
especes
(mod
arithm~tique.
expos~
DES
G. de Rham
d~monstration
des
Seules
rappei~es.
cat
Franz,
(classification tions).
de
ET
et (a,m)
, qui
b = 1
forment
Isomorphe (mod
m)
caract@re
au
per groupe
premi@res princlpaI
X~
On
a
Ies
relations
suivantes
(m) si X=Xo
(1.1)
7 n[mod
x(n) m)
(On
trouvera
der
elgebreischen
sition
le
suivente
PBOPOBITION complet an
de
~
iS(m) si X(n]
O
sl
0
per
example,
Zahlen).
De
ces
relations
: Bi
~(m)
n-1 (mod m)
=
X#Xo
d~monstration
dens on
E. va
sl
n~l
HecKe
(mod
m)
: Theorie
d~duire
la
propo-
:
(1.2)
pour
0
les
nombres
, a s s o c i ~ s ~ un s y s t ~ m e n ~ m parcouru par n , satisfont ~
(mad m) p r e m i e r s
restes
x[n)=
IS
=
tout
caract~re
a
x[mod
, ces
m)
nombres
sont
nuls.
n
Solt et
nI
0
en
tel
que
de
[a,m]
9>0 = 1
cela, =
1
~ e
X(x) donc un
(mod =
I 9
syst~mes
=
ano
=
=
[mod
9]
I
~vident
et
1
a = @
a-1 et
, donc = 9o
= ym x
X(a)
et de
[mod
On
de
Blots
= ano
caract@re tout
~(m)
x(mod
entier
m)
e
le
plus
petit
satisgaisant
.
que
9
= 9o
. Soit
9o).
(mod
=
. Per Le
a
quelconque
.
pour
~ I
9/m
partlcull@re
~ x(nnl] X
du
I
+ zg,
1
m).
= 0
X(a)
e
veleur
~ an n
que
(9,m)
Si
complet
, d'oO
[mod
tel
m;
PROPOSITION
x(n)
posons
divissur
I
une
conducteur
est
satisgaisant x
no
appelle
et
II
(a,m]
~ en n
(1.1)
On entier
e99et no n I m
= ~ x C n 1) X
vertu
Pour
en
< m.
On
Montrons a
peut
d'o8 9)
en
un
entier
posant
x
d'un
entiers
= a-ym
entraSne ne
divise
m
satisgaisant
des
9o
conducteur
9
trouver
. Cele
suite
que
peut
y
= 1+z9
X(X)
= X(a)
@tre
ing@rieur
carect@re
(mod
m)
m 9
= m
, on
dit
(1.$)
: Si
9
de r e s t e s
(mod
m]
oomplets
que
est
is
un d i v i s e u r
premiers
de r e s t e s
career@re
(mod
9]
~ mest
est
de m
propre.
, tout
la r ~ u n i o n
premiers
~ 9 .
de
syst~me ~(m) ~[9]
et
z
, et ~ 9, est
-3-
Montrons premiers f (mod
~
m
contient
entler
premier
m
ne
~ un
y
x
= 1 + zm
= e-yf
et
satisfait
de
f).
il
proposition
fait par
que le
faur
y a
(1.3) est
sous-groupe
nombres
sont
PROPOSITION
suffit
il
m)
clesses,
(x,m)
= 1
d6pend on
s
X(Y)
et
pas
du
y s xx'
choix
des 1
car (mod
si
que
~
(mod
m)
f
f)
est
~
, et
m)
premiers
congru
m
l'entier
, est
o
premier
~ m
z
se
(mod
(mod f ) .
dlvise
de
I~.
au
que
Un s y s t ~ m e
(Ceie
quotient
r~slduelies
pour
a l o r s en c l a s s e s , ~(m) ~(f) nombres.
contlent
et
x[mod
(mod
est
Ii@
de
R(m)
m)
dont
au
ies
de c o n d u c t e u r
m)
, tel que
f)
X = Xo •
f
est
9 Xo
m)
pour
x'
1
,
f).
, car
avec
a'
isomorphe
x'(mod
f),
x
b ~ a e ' ( m o d m)
m
classes
(mod
(mod de
et
imm~diatement
X'(a),
x s a
(a,f) posant
sl
= I, •
(x,m)
s l(mod
en
f)~
choisissent
: X(X) :
[y,m) donc
: I •
x
Cette et
valeur
x s y
: I
tel
(mod
et
= X(X) Remarquons
1,
et
cenoniquement
d~flnit
= a-1
o
f
cheoune
le c a r a c t ~ r e p r i n c i p a l
On
,
premiers
associ~ un c a r a c t @ r e propre ~tant
~
(mod
(mod
le p r o d u i t d e s f e c t e u r s o On p e u t a l o r s t r o u v e r d e s
yf+zm
: A tout c a r a c t @ r e
(1.4)
testes
restes
f).
et
~
de
m
f.
~
de
premier
Solt
premier
r~suite
congrus
e
~
= I
form~
complet
complet
pas
(b,m)
(mod @(f)
R(f)
m.
divisent
x z a(mod
:
syst~me
entier ~
, ~tant
o
restes
II
tout
setisfaisant
(a,m)
(mod f )
complet
z
~
Si b ~ a
qui
tout
syst@me
f)
entiers
LB
un
que
de
(mod
que
, c'est-~-dire
premiers
et
d'abord
et il 2)
il n'y
n'y
apas
apas
~tant
le
de
que de
le
caraot@re
caract@re
caract~re
caraot@re
principal
dont
propre
principal.
le
(mod
a un
conducteur 2),
le
seul
oonducteur est
~gal
caract~re
~gal ~ 2,
que ne f),
-4-
Proprl~t~s
2.
On
des
sommes
de
Gauss
somme
de
Gauss
Cx,~)
=
appalls G
[
un
caract~re
PROPOSITION une
racine
pour
tout
(2.1)
(mod
: Si
primitive entier
X est
m-i~me
k et
: Supposons
d'oO
= x(k)
qua
k~ p a r c o u r t ~).
racine
Remarquons primitive Sir
et
un
x(K)
~ 1 . Alors
G (X,~)
qua
de
l'unlt~.
~
racine
l'unit~,
m-i~me
(mod m)
propre
on a G
(X,r k)
et
= ~(k)
G
(X,r
= V~m
(k,m)
x(ks
= 1.
~k~
complet
nous
pes
de
Alors
= ~(k)
X(s
= X(ks
~(k)
G(X,~)
restes
pss
dO
(mod
m)
supposer
en m ~ m e que
temps
r solt
une
l'unlt~.
une
racine
k tel
= r
de
n'avons
diviseur
un a n t l e r Ck
de
syst@me
un v r a i
trouver
la # o r m e
m]
m-i~me
peut
une
un c a r a c t @ r e
~
n'est
{d = I p o u r
etr
d'abord
r (car
de
m)
IG(X,r
O~monstretion G ( X , ~ k)
m)
expression
XCg)
s off X est
touts
d de m
qua
la
primitive
(k,m)
relation
m-i@me
, comma = 1,
de
X est
l'unit~,
propre,
k ~ 1 (mod
ci-dessus
d]
montre
on et
qua
= 0 . Supposons
meintenant
cine
primitive
m-i~me
x(K)
= 0 , la p r e m l @ r e Pour
~tablir
I
de
(k,m)>l.
l'unit~,
partle la
de
seconds
Alors
donc (2.1)
Ck n ' e s t
G ( X , r k) est
partie,
pes
= 0 ,
et
une
ra-
comma
~tablie. remarquons
I G ( x , ~ n) I 2 = ~ ( m ) I G ( x , ~ ) I
que
2
n (mod m) car
en
vertu
la
somme
non
de
la r e l a t i o n
nuls
sont
tous
qu'on
vlent
~gaux
et
d'~tabllr,
il y e n
a @(m)
les .
termes
de
-5-
Ensuite
on e :
I
I
Ic;cx,~;":31 ~ =
n(mod m]
I
n(mod m]
I
=
XC s
n[mod m)
=m
Note ~t~
: Cette
=fm
PROPOSITION
est
communlqu~e
(2.2)
(mod ~]
per
Naresimhen
G (X,r k]
r6sulte
f-i~me
(mod m] de o o n d u o t e u r
de Z'unit~,
= @(mY G ( X ' , r ~(~)
~'(k)
en e ~ # e t
G (X,; k]
et
le
proposition
G (X',~ k]
,
m
(2.2]
m'e
M. C h e n d r e s s k h a r e n ,
on
a~
X' ~tant
le
G (X,;)
k]
p o u r tout e n t i e r
~C~)
I1
et
assooid ~ X ,
G (X,r k]
et p a r suite
= m $(m]
doe & M. R a g h a v a n
: Si X eet un o a r a o t ~ r e
et ~ one raoine p r i m i t i v e oaraotere propre
x(k]
;
dfimonstratton
obligemmsnt
X[&]
I (mod m)
s IG ( X , r
r-nC~-k]
tn(s
xCg.} ";Ck}
s
donc
"XCk]
s
immfidietement
= ~(m)
r~sulte
~tant r e m p l a c ~
G (X',
alors per
de
[1.3)
que
;k)
de ~ 9
(2.1)
appliqu~e
k
et
-6-
3.
S~ries
de
On si
le
~(s)
en
signant s~rle
d~inl par
par
~ la
converge,
dlverge
pour
o>~
on
l'angle
IS-Sol~H
, et
. Le
hombre
En
utillsent
(o-o o)
d~duit sa
des
qua
somme
~ est
la
de
quel
qua
soit
absclsses
des
est
d'Abel,
qua
s = s o = Oo+it o ells
plan
s~rie
~(s)
appel~
transformation
pour du
In~rleure
en
la
converge s ns
borne
oO
de
. En
points ~our
holomorphe
absclsse
complexe
oO
o>~
dens
convergence
d~la
,
le
deml-
de
le
s~rle.
tre
qus
pour
sl
a>O
les
. Per
PBOPOSITION
:
principal,
L
encore
sommes suite
Si
S
= ~ a K I
n
, car
Sn
est
de m , et est
donc
= ~
peut
@tre
qu'un
il
deml-plan quel
qua
o>0. solt
(I -e--) ~(s) as
de
salt
ce
1
une
(mod
fonction
convergence
m)
different
et est
p~riodique
se
de
somme,
de
p61e
sevoir
qu'on
-an ns
un
qua
~teblit a>O
avec
le
la
analytlquement
l'entler
=
s~rle
d~mon-
conver~e
du c a r a c t ~ r e
holomorphe
pour
ns
que
slnguiier,
suEfit
le
on
de
n
, de p ~ r i o -
born~e.
prolong~e
point
suite,
i'on
d'Abel,
born~es,
converge
X(n)
alors
L'absclsse
1 , male
sont
un c a r a c t ~ r e
n=l
o>0
transformation
:
X est
(s,X)
Is
~onction
dens
simple ~(s)
tout
eu
se
s~rie
de
ie
point
laisse
rapldement
en
!
~ I
est
~gele
ns Riemann
plan, s = I
oO
~(s) ella
. Pour
prolonger remerquant
n'e
la
dens
le
qua,
.
an
=
sl I 1 1 - e
n ~ 0
[mod
si
=
n
0
a] [mod
e]
.
-7-
Les
sommes
et
sa
S
somme
commun
sont
n est
born~es,
holomorphe
& routes
les
de
dens
~onctlons
sorte
qua
cette
le d e m i - p l e n
entl@res
o>0. a
1
a
~tant
s = 1 , ~(s)
est
point
1.
a = 2 on
E(s)
En
avec
prenent
r~sidu
(s)
= -~
an
I
v~ri~ie
et si a n >0
.~
le d e m l - p l a n
qua
a
S
1 est
p61e
a>O
sau~
simple
pas
de
f(s)
relative
au
taylor
de
convergarait
en
un
point
~(k)[s = k
tousles
Sl0) o s ~ r i e est
~
(st_ s )k =
de
et
f(Sl ) =
Cette
au
est un p o i n t s i n g u l i e r de ~(s)
o~
~ n'~tait
tions,
= 1 - e
z~ro
-(s-1)log
n
: Si
comma
saul
Si ~ est l ' a b s c i s s e de c o n v e r g e n c e
:
O~monstration
i~(sl)
dens
Le
converge
1 .
(3.1)
PROPOSITION
holomorphe
s~rie
S1
impossible
puisque
-8-
PROPOBITION
(3.2)
: ~i X est un c a r a c t ~ r e
c a r a o t ~ r e principal,
Pour
on a
L(1,•
on
utillsera
p
ECs)
percourt
tousles 1
= ~ C1 P
[mod
=
-1
L[S,Xo)
(1
n
= ~ p
S
eu
le d e m l - p l e n
de
est
_Yo
En
is
particuller
ceract@re
principal
Xo[P) __]-ls p
sorta
=
qua
P(s)
donc
la d e m l - p l e n
s = 1
des
du
et
L[S,Xo)
caract@re
dens
de m o n t r e r o>0
pas
fonctlons
= E L(s,X) X
holomorphe
loE
Q(s)
=
le ~ o n c t l o n
" '
p,k
kp
d'autre
LCs,x)
prlncipei, , 6tendu
le d e m l - p i a n que
P(s)
comma
point
~[s],
singulier
, oO
X est
s'annulalt
& tousles o>0
. Pour
n'est
d'Euler
L(s,x)
entraSne,
=
~
p,k
pour
a,
un
log
P(s)
ks X xCp k:~ = ~CmJ X
dens
pes
pour
au
point
holomorphe
o>1
, l'expression
~
p k =_ICmod m)
carect@re
~teblir
x(pK) ks kp
= OCs)
un
cerect~res
.
L'identit6
d'oO
1 -1 [1- --]s p
R p~m
.
l'une
distinct
le p r o d u l t
su~Ire
point o >0
Si
serelt
premiers.
P
simple
m)
nombres
[1
S
(mod
d'Euler
P
, at si
- 1)
Plm pole
l'identlt~
P
m]
;(s)
s)
d i s t i n c t du
(1- X(p))-I
= P
oO
m)
~ 0
le d 6 m o n s t r e t l o n ,
LCs,x)
Cmod
ks kp
s = 1 (mod m),
(3.2), dens
il
tout
-9-
On
a
le
coefficient
alnai
0 pas
si
un
n
congru
d~veloppement
n'est ~
1
pas
(mod
Pour
~gal
est
an
s
une
de
O(s)
en
~
~(m) k
si
n = p
d'un
nombre
puissance
s~rie
de
pas
m,
on
r~el,
a
e
I
(mod
premier
oO
m) ou
et n'est
m).
les
termes
de
cette
s~rle
ne c o n s e r v a n t que ceux pour Iesquels k = $(m) k p ~ 1 (mod m) ~ t a n t a I o r s v ~ r i ~ i ~ e pour tout vise
k
Dirichlet,
Ia
sont
, is p
~ 0
. En
condition
premier
qul
ne
dl-
minoration
O(s)
>
1 s~(m)
~.
P P Cette
s~rie
divergeant
pour
s =
9
l'abscisse
de
convergence
~(m)
de
O[s)
est
1
> -
Le r~dult que
on(s) que
La
0
des
, et
il
s~rle
de
de
o>0
sulte
Note
:
m
en
sera
=
de
=
t-il
&
1
O(s)
qul
n'est
ach@ve
Landau
la
Olrlchlet
+
> 0
suite
m@me
P(s)
, qui
Par
de
+
de
& termes
Oirlchlet
~ 0
, qui
converge
les
puissances
toutes
qui
~ termes
convergent
en
m~me
se lors-
temps
pour
02(s)
+
2:
~tant a.
"
+
maJor~e
O'apr@s
donc
..
pas
on(s) n!
par
(3.1),m
holomorphe
d~monstratlon.
+
"'"
O(s) est
, ella un
point
a sin-
dans
tout
le
deml-
(Remarque
: il
en
r~-
I).
d~monstration
donn~e
s~ries
de
convergence
Chendrasekharan
a ~t~
deux
Oirichlet
Olrichlet
, ce
La
de
s~ries
P(s)
qua
de
convergent.
e O(s)
absclsse
gullet
M.
sont
=
plan
s~rie
premi@res
P(s)
m~me
produit
& une
les
$(m)
par st
qui M.
ci-dessus me
Siegel
Hecke.
signale dens
m'a
~t~
qu'une
ses
communiqu~e
d~monstration
cours.
L'id~e
par analogue
remonte
semble-
-10-
4.
Th~or@me
de
Nous de
DirlchIet
Oirichlet
allons
Ca,m)
=
premiers
congrus ~
Si
: a
d'Euler
il existe
1j (mod
L'expression
quels
le
c~l~bre
th~or@me
:
THEOREME
dentit~
passant,
~tablir,_en
de
peut
une infinit~
de nombres
m].
log
LCB,X)
s'~crire,
en
d~duite
s~parant
ci-dessus
les
termes
de
l'i-
pour
les-
k = 1 Co
LC ,x]= Z •
log
p La
derni@re
~. C
p
st
1 + 2p2S
s~rie
reste
1
3p
principal, Par
born~e
Pour simple
log
en
L ( s , X o)
~
que
= I
[mod
=
I • k=2 kp
valeur
absolue
2. de
n'y
r en
et
d~signons
~j de
dens ~n+l
Solent qui
sont
epas,
m
touJours
(6.1). d~fini
Soit par
~1 9 ~1"'" . '~m' racines et
P(r)
par
zj
le
la
les
primitives
= 0
rK
~m
racines
h-i~mes
de
caract~risl'unit~.
= P(r
) . Supposons m 9 O, o coordonn~e compiexe associ~e
restriction
zk+ 1 = zK+ 2 =
...
de = Zm
r = 0
au
sous-espace de
sorte
qua
les
-31 -
pour
k=O
P ( r k _ I) l'on
on est
retrouve un
d~J~
o invariant
sous-complexe
&eCP(r),
P(r k)
est
espace
invariant
complexe
un
c6t~
du
~
lule
b
form~
par
de
consid~r~e P(rk),
et
et
r =r m (5.2)
de
de
g(rk),
Les O(r K) ~k ~k exp
par
de
la
e
-1
avec
le
-1
coefficient
~a
que
IC(_~ ~K =
~k
_
r
b
vertu
est
borde
et par s u i t e
~k
qua
b
~igure dens
ou r e n v e r s e
e
de
d'un
une
cel-
cellulelre ceiIules
P(r K) (5.1)
a
est on
une
e
fondementai
(d~termin~
lois
de m e n i ~ r e yPkb
Ies
syst@me
chang~e
ala
sous-
g(rk_l))
un
r
sous-
coordonn~es
complexe
de
et
P(r K)
la r o t a t i o n .
de
le
ceIiule
de
par
un e n t l e r
b
conserve
et
forment
l'effet
. Alors
le
le
~ z k = O.
P ( r k _ I)
dens
= Ae(g(rk),
~K
cellule
et
~(r k)
qu'en
une
de
d~flnlt
par
b
Sous
le c o e f f i c i e n t
seion
et
2~ zk = T qui
arg
zk
P(rk),
le 2 - p I a n
P ( r k _ 1)
sorte
. Solt
(21~/h)
d'orienter
-1
de
e
et
dans
dens
satlsfelsant
P(r K)
"Joint"
, Soit
celiules
evec
+I ou
0 = arg
P(rk_l))
= exp
ie
marqu~
Ae(P(rk),
(2i~lh)
d@finie
est
contenu Dens
points dens
transform~es
- P ( r k _ 1)
n-2(m-k)
d~flnlt
simpiexes les
P(rk_l))
n+l-2(m-k).
nk-1
toutes
Ae(P(rk),
tousles
qui
De m~me,
(6.5)
venons
zk < ~
de d i m e n s i o n
subdivision
qua
dimension contient
tousles
m E k=1
=
dimension
invarlant
zk
et
pour
de
nk=n-2(m-k) poiygone
associ~
b
de
0 <arg
dimension
P(ro))
complexe
P ( r k _ 1)
L'in~geIit~
par
r
d6duit
(6.4)
et
la r o t a t i o n
,
zk
en
la
a
et
mod est
figure
eussi
~k
tei
multipli~
cellule y
h)
y kb ,
a
Con-
dens
De
dens ~Y ~k a
~a evec le c o e f f i c i e n t l'orlentatlon.
1)b
si
r
conserve
l'orientation
1 )b
sl
r
renverse
l'orlentetion
On
a donc
-32-
O'autra
part,
ab = 0 mod P ( r k _ 1)
Dens eu
calcul
sont
de
de
lecas
la
rang
DO
torsion
1,
on
r
evac
i'axposent
lecas pair
DO
r
perca
h-i@me
de
supposent
+1
obtlent
qua
at
6(y)
AeCP(r),
DO r =
(-1) n
et
l'orlentatlon, distincte
un
cholsl
~t~
salon
h,
l'on
= E
=
(~
qua
n
0
eat
obtient
= - ~
PCr
-~
.
m = ~ k=l
))
=-E
Oe
ou
une
+
syst@mas
~E
eat
pair
eat
m~me
at
(~ k -
E
ou
pair,
temps
et
C"
Impelr.
Dens
Wk
im-
qua
la m ~ m e
(6.5)
est
~ une
racine
expression
r~suIte
an
eiors
1)c
salon
racine
C'
reportent
_1)•
exectement (6.4)
DO
Be
9
h en
en
qua
h-i@me
r
renverse
quelconque
de
ou
conserve
l'unlt~
1.
facteur
qua
pr@s
~k
remplec~a
at
(E-gk_
le
; sl
-~k
1)
veleur
forme
l'una ~k
par
catta
de
arbltreirement
conJugu~es
les
e(y)
P(rk_l))
&
e(y)
Reppelons qu'&
l'orlentetlon,
l'orlantatlon,
~ ~tant
de
pour
sl
-1
premier
l'unlt~
(6.6)
ou
renverse
que
conserve
(n ~ 3)
Ae(O(rk),
.
" at
Ek nous
de
la t o r s i o n
n'est
•
. Effectlvament,
des
daux
evlons
reclnes
pris
d~termln~e
nous
avons
caract~rlstlquas
l'autre,
~k
auralt
comma
= -~;-l'=k(z;gk
- 1)
on
eurelt
bien
l a m~ma r ~ s u l t e t
Nous sulvant
sommas
& un t e l
melntenant
an
fectaur
masure
pr@s.
d'~tabllr
le t h ~ o r @ m e
:
T B E O R E M E : (6.7)
: Si
valents,
r'
r
et
P(r)
ont
et
P(r')
sont c o m b i n a t o i r e m e n t
les m~mes racines
caract~ristiques.
~qui-
-33-
Si les
palres
en vertu
P(r)
(P(r),
de
et
P(r')
~(r))
(5.1),
elias
caract@blstlques
vaisnt
~gales
&
~gal
tement
la c o n c l u s i o n .
1
eat
Raisonnant pour
les
vlseur et
rotations
de
h,
P(r'),
~tant
0
de
ont
m~me ou
~ dim
Par
d'ordre
et
r'
r)
ont
-1
P~(r)
< h
d.
r
Cela
ies m @ m e s
et ~tant
d@~Inle raclnes
Si
aussl,
h = 2
les
+ 1,
entraSne
ce qul
supposons h > 2.
P(r(d )) cellules
r'
sont
de
st
les
le
~qulvalents
, le nombre
@qulvalsnts,
(rotation
O
torsion.
sous-complexes
suite,
P~(r'))
r~currence,
d'ordre
comblnatolrement
~iques
(P(r'),
form, s de t o u t e s
ristlques.
r
lea
comblnatolrement
et
1
par
sont
ont ont
vrai
& partlr
d
est
et
P(r'(d ))
lalss~es
r'
caract~-
caract~rls-
dlviseur
par
r
diP(r) d y ,
par
raclnes
comma
caract~rlstlques,
~tabli
de
raclnes
vral
sont
un vral
~Ixes
lea m ~ m e s
de
qul
Imm~dia-
Si
tout
raclnes
is t h ~ o r ~ m e
les m ~ m e s
pour
ceiiss
et
de
h,
& partlr
O
suite
P(r
) st 0
P(r o')
sont
Isomorphss
st
Ies
palres
(P(ro),
Pf(r))
et
(P(r'), 0
P~(r'))
ont
la m~me
O'autre
Ao(P(r),
et
une
part,
P~(r))
expression
9acteurs
~tant
torsion. en vertu
(6.3)
et
AeCP(ro), P~Crl).
=
analogue
~gaux
de
avec
an vertu
r'
de
au
(6.6),
m g k=l
lleu
de
l'hypothOse
de
Pk (E
r.
on a
-1)
Les
premiers
r~currence,
on sn
d~duit m
PK CE
-1)
=
d m ~ k=l
C•
k=1 pour
toute
racine
oerr~s
des m o d u l e s
(6.8)
m N k=l
(;
Pk
-1)
h-i@me (pour
[E
-Pk
de
P'k CE
-1)
l'unlt~ E # •
~limlnsr
-1)
=
et
le ~ a c t e u r
m Y k=l
(E
P'k
en ~ g a l a n t
ind~termln~
-1)(E
-P'k
-1)
les (•
d
)
-34-
Solt
my
congrus et
le ~
a
-- m
theses
du
tion),
lls h)
d'or. qul
(mod
m' le n o m b r e v Les a n t l e r s a
PK"
-~K
(K
= 1 .....
analogue
relatif
, d~finis
par
m)
qui
aux
~K'
v
sont K
parcourant
V
complet
d'entiers
th~or~me sont
et
de
tous
qua
pros
r
racines
premiers
Franz nuls.
~ l'ordre
r~sulte sont
entiers
h),
- m' V
syst~me
(mod
des
v
V
un
nombre
et
(voir Les
primitives
ce
h,
les
ont
satis~ont
s~mlnaire
entiers
avec r'
~
PK'
-PK
antlers
les
d'ordre
pour
une
hypo-
d~monstra-
coincident
~K
" -~'K
m~mes
racines
h,
qui
ce
aux
donc
"
caract~rlstlques
ach~ve
la
d~mons-
tratlon. Dans primitives
une
est
un
appel~e drent
Is m ~ m e
par
raclnes
oQ
toutes
vides,
1
et
le
il
sont
facteur
est
inutile
par
et
don't
l'espace
combinatoire
universals puissance
r
de
et
lents,
et
sugfit
qu'une
il
L(r')
puissance
rk
r
l'orientation,
n
est
le
quotient
une
P(r'),
r' de
P[r)/G
topologique G,
est
= 1 , r
sont
entre
laquelle
que
r'
aura
pour
qua
les
combinatoirement
air r,
les
identiques.
~quivalents,
~qulvalence dans
une v a r l e t 6 k r engen-
et
L(r K)
m~mes
k 6tant
= L(r)
sous-Jacent,
combinatoirement
solent
que
de
et
r, de s o r t e k r Ainsi,
que
L(r)
L(r)
sont
et
et
(K,h)
induit
P(r) k
caract~rlstiques
rotations
suite
L(r')
Milnor
racines
P(r)
Si
et
de
sur
lentlculaire.
lentlculaires
t~ristiques
~
r conserve
des
L(r)
gaut
,
groupe
oaract~ristiques
il
caraot~ristiques sont
~gal
les
h > 2
le
groupe
~quivalence
~ une
P(ro)
complexes
librement
espace
rev~tements
et
racines
d~inition
cellulaire,
sn
Si
pond
cas
op~re
de un
par
d'ordre
complexe
quotient
leur
le
primitives G
les
Pf(r)
lenticulaires,
Darts
impair,
est
toutes
r~currence.
Espaces
sont
o0
h,
Pf(r))
~alre
7.
cas
d'ordre
AB(P(ro), de
le
leurs
r'
corres-
les
m~mes
espaces ~qulva-
raclnes premier
caracavec
-35-
I'ordre L(r')
h
de
sont
r
la
plexes
de
r'
. Oans
ce
cas 9
0
un
complexe
oaraot~ristique
cellulaire
d'Euler-Poinoar~
~ automorphismes
P(r)
x 0
et
ils
ont
la
de
on
que
iss
puissances
membres
de
sltifs,
ils
cines
d~duit
(6.8) sont
comma
~gauc
universels
ci-dessus
rement qu'une
et
puissance
sphere
impaire,
on
ne
r' r
k
de
x
de
r
rien
en
trivialement
sur
0m
et
i'on
d~duit
= -(-1) m
En
r~duit
P(r)
x 0m
~
fixe,
et
de
0
de
x Dm
plexe
N(r)
point
n'ayant
N(r)
se
point
is
un
point
pas
de
volsinage
, et
de
L(r) M(r)
x 0
deux
sont
po-
m~mes
ra-
sont
les
en
d~duit
On
~
Q
sont
un
une
re-
combinatoi-
une
est
vari@t~
On
de
ou
dimension
ouvert.
op~rer
Ies
de
auto-
bord
(5.3)
x Sm-l)
x S m-1
M(r)
disque
sphere
probi~me
9 P(r)
O)
,
groups
singulier
x 0m
est
des
membres les
compte
avec
~
=A e E(P(r))
un
des
point
0
, on
automorphismes
a
aveo
d~dult 0
par
combina-
tenant
@
faisant
et
P(r]
complexe
l'on
M(r)
, en
(5.2)
r@duisant un
ie
. C'est
Ae(MCr)
au
et
com-
caract~ristiques
pour Pour
et
x 0m
x
les
: L(r')
prenant
conclure
Si
sont
ont
x
racines
paire.
0
X
P ( r p)
L(r')
L(r)
P(r)
avec
quotient
connexe,
En
r'
L(r')
et
et
dimension
peut
et
m~mes
Ae(P(r)
Le
simplement
x Q
deux
et
et
~
Consid~rons
x S m-1
laissant
L(r)
d'e•
ces
r
x 0
x O
ales
s'appIique
S 2n
morphismes
complexes
~
torsion.
comma
P(r)
L(r)
m~ms
suite
L(r)
si
~qulvalents,
et
par
Or de
qua
Cela
P(r)
~gales,
caraot~ristiques.
v~tements
une
sont
X
P(r')
~quivalents, en
flnl est
toirement (5.3),
1as
isomorphes.
Soit dont
et
un
= A eC ( P ( r ) )
d'automorphlsmes 0
, image
hom~omorphe en
~
r~duisant
rev~tement
de
un le
est
de
0
N(r)
com-
, saul
espace bord
un
cartesian.
L(r)
ramifi~
x S m-1 en
O.
-36-
Solent m~me
mani@re
N(r)
et
entier
M(r')
tel
sont que
combinatolrement L(r)
=
Or, type
mlnalre,
si
les p a l r e s
L(r)
et
expos~
5)
de d i m e n s i o n
3 non
d'homotople,
par
qui
associ~s
41xe
de
@quivalents, O)
et
de
M(~).
la
SI
il e x l s t e
(M(r'),
entra~ne
m > 4.
= exp(2i~/7)
d'a441rmer
Comme
comme
exempIe
ies ~,~
expos~
hom~omorphes
~ trois
sans
de M I I n o r
de
0')
un
sont
cl-dessus
,
~
8),
, on
~tre
dimensions Mazur
N(r) des
~
d~dults -1
et
voit
que
~,
~
sont
ientlculalres
ayant
ie m @ m e
rotations 2
N(r)
comblnatolrement
,
ont
ce S~-
N(r')
espaces
des
st
(volr
et
~qulvaients
espaces -I
B.
qua
il e x l s t e
comblnatoirement
(volr
ie c o n t r e - e x e m p I e
sont
un t h ~ o r @ m e
permet
caract~ristiques
~tre
ce
complexes
le point
(M(rK),
L(r')
d'homotople,
sl
vent
, O'
combinatoirement
~qulvaIent~s,
hom~omorphes
ctnes
r'
les
.
L(r')
Is m ~ m e
N(r')
~ la r o t a t i o n
N(r') k
et
~
-1
et
,
~
type
de ra-
-2
N(F')
avec peu-
~qulvaients.
C'est
~ la H a u p t v e r m u t u n ~ .
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UeberdecKung. 1 7 3 ( 1 9 3 5 ) p. 2 4 5 - 2 5 3 )
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(Commentarii
Ies c o m p I e x e s avec Math. Helv. 1 2 ( 1 9 3 9 ) ,
torsion.
topologlques 4 3 ( 1 9 3 6 ) , p.
de 737-742)
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7.
G.DE RHAM : C o m p l e x e s & a u t o m o r p h i s m e s et h o m ~ o m o r p h l e di44~rentlabie (Ann. Inst. F o u r i e r I I ( 1 9 5 0 ) p. 51-67)
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G.OE RHAM : R e l d e m e l s t e r ' s t o r s i o n I n v a r l a n t and r o t a t i o n s o4 S n, (in " D 1 4 4 e r e n t i a i A n a I y s l s " , p u b l i s h e d 4or the Tata I n s t i t u t e o4 4 u n d a m e n t a l r e s e a r c h , B o m b a y - O x 4 o r d U n i v e r s i t y Press 1964, p. 27-36)
9.
J.H.C. W H I T E H E A D : S l m p i e 7 2 ( 1 9 5 0 ) p. 1-57)
homotopy
types.(Am. Journ.o4
Math.
-37-
III.
TYPE
SIMPLE
D'HOMOTOPIE
Expos~
1.
Le
melles a une
groupe
de
Whitehead
A = 77G
d'~l~ments
de
injection
x
3nm [x)
syst@me
qua
est
de
iim
les
dens
de
combinaisons dens
dens
lin~eires
~.
Pour
GL(m,A)
0
n
donn~e
(x 0)
=
v~rifier
groupes
GL(n,A).
matrices
; on
Dens
for-
< m
on
par
1
que
(GL(n,A),
d~signe
la
x E GL(n,A)
suite ,
(n
par nous
E N)
J
GL{A)
) est un nm se l i m i t e
identifierons &
leur
image
toucanonl-
GL(A). Consid~rons
par
les
matrices
est
une
matrice
d'Indice
qui
Pour que
de
le la
:
dont
vaut
SL(A)
sous-groupe
forme
carrie
(s
PROPOSITION ]
quant
G
1 E GL(m-n,A), facile
inductlf
inductive Jours
,
des
groupe
coefficients
~ "
E GL(n,A)
II
l'anneau
d'un
de GL(n,A)
x
o0
W(G)
G
Jnm
algQbrique)
S. Maumary
de
Solt
(ThQorie
1
tousles
de
, i # j
,
X r A
oO
(Eij)
sont
nuls
saul
celui
termes
est le groupe
engendr~
= 1 - XEij
=
des c o m m u t a t e u r s
i,
dlstincts
J,
k,
on
a,
en
remar-
.
( I + X E i j ) (1,~Ejk) ( 1 - X E i j ) (1-~EjK) .(1-XEij-pEjk+X~Eik)
GL(A)
.
trois Indlces -I
(1+XEij)
I+XEij
SL(A)
l+XgEik
= (I+XEij+~EjK+X~EiK). 9
-38-
ce
qul
montre
que
:
SL(A) Pour lation qua xy
noterons
m yx
quels
~
l'incluslon
solent par
; on
contraire,
~,8
slmplement
qua
SL(A)
, GL(A)
~il~xiste
transformations
nent
~L(A)
v~rlfler
d'~qulvalence
nous
des
C
r
x m y x
, y
blocs 9
SL(A)
. Nous
dans
dont
tels
que
allons
GL(A).
les
a successivement,
introdulsons
pour
1,
x,
qua
effet, blocs y
re-
= ~y8 ~ ,
montrer
En
matrices
x
la
falsons appartlen-
dans
GL(n,A),
; I ~ I Xll I Xll I oXl: xl0; I Xlx i x~ ; I -x
0
En avec
y
dire
que
xy
-x
appllquant
c SL(A)
et
SL(A)
: myx8
, m,
2n
premieres
eat
/
par
I 0
d'abord
ce
SL(A)
st
r~sultat volt
8(yx) -1
qu'il
nous
maintenant
le
0
, ..+g.. ".,I
1
cas
x,
: ~(yx)
-1
de
y r GL(A), et
transformer
qua
xy CG
comme
g
r
G
les
~ yx de
forms
oO
y
, c'est-&-
8(yx) -I
sous-groupe Ia
y = x
, d'oO
montrer
de
oO
~ x-lyx
pour
a suffit
pour
matrices
y
E SL(A)
coionnes
etles
au
qua
Enfln,
J x y x - l y -1 (yx)
9
remarquera llgnes
on
Invarlant.
8 r SL(A)
Consld~rons engendr~
1
x E GL(A) 9
SL(A) est i n v a r l a n t -I -I xyx y r SL(A) . On
0
GL(A)
-39-
s G de
contient ia
base
les
matrices
canonique
mutateurs,
donc
D@finition
I
:
de
G
•
contient
le
distincts
groups
des
com-
commutatif.
= GL(A)/r
est le g r o u p e
G
l'on n o t e -
canonique
GL(A)
:
vecteurs
. C'est un g r o u p s a b $ l i e n que
~
l'homomorphisme
Remarques 1)
est
G
L'homomorphisme T
T(x)
et
deux
On dit qua le g r o u p e W ( G )
ra additivement.
dit que
permutent
A
GL(A)/r
de W h i t e h e a d du groupe
s'appelle
qui (N)
W(G)
de torsion etj pour tout
est la torsion de la m a t r i c e
x
s
j on
GL(A)
x .
:
La
torsion
ne
d~pend
d'une
que
metrics
des
triangulaire
torsions
de
par
et
x
y.
blocs
En
e~et
0.
exaote
ou,
oe
qui
(C) Bent tous nuls. n il e x l s t e un o _ ~ r a t e u r nd Ii
encore
,
tels que
T'
(~)
.
met
un
est
+ d6
au
Comme
eeyolique
les
: 1 de
m~me,
si
modules
la
les C
n
i
suite
~0
o
groupes (i
d'homologie
z 0)
: C
~C
sent
tel
que
:
ndn
fibres,
C remplaoer
d~formation
= ndnd
si
d 1 ~C I ._._---~ C
deformation
+ dn
de
dit
. . . . . .
revient
avantageux
op~rateur 6d
C
de
d'~quivalence).
aoyolique.
d n > C - - ~ n
H
est
T
sans peine qu'il s'agit d'une relation
Torsion
sont ~qui-
C'
note C ~ C'
(On v~rifie
et
C
+ dndn
n
par
6
: -- nd
+ dn
-- I C
qui
-42-
mels q u l
Joult
de 16 p r o p r l 6 t ~
6 2 = ndnndn = n2dn -
n2dndn = n2dn -
Le m o r p h l s m e C
car
B2 =
[d
+
6) 2 = d 6
Consid~rons
= 1@ 20
Cpelr
B = d + 6
les
+ 6d
eat
e10rs
= 1c
modules
n2dn = 0
suivants
:
Ctm p
de
3
&
C
la t o r s i o n
de
un a u t o m o r p h l s m e de
.
C2t
Ls r e s t r i c t i o n
,
@ i~0 est
pair
un
C2i+1 tsomorphtsme
:
@ I. Cp, e t r
0..
~ Ctm p
Montrons psnd
que
du
que
syst@me
~ 0
C
et
non
de
l'homomorphlsms
l'op~rateur
de
B
ne d~-
d~formation
m
cholsl. et
Solt
n
un a u t r s
~ = d + 6
et
C
o p ~ r 6 t e u r de d ~ f o r m a t l o n
considQrons le
C
pair
T{I
+
oommutatlf
~6)
=
d
.
.
imp
L
m
Ii e s t
d~flnlt
dlegremme
1 + 66
C
qul
1+66
Cim p
pair
car
dT6
+
T
=
d
+
T
+6
~d6
=
u
= d, + 6 + 6 -
1 +~6 tion
est &
Cpatr
un
tsomorphlsme est
~rlangulelre
simple par
car
6 + ~6d la
blocs
=
metrics :
(1
+ ~6)~ de
sa
restrt-
-43-
C
C2
o
CO
/
\
1
0
C2
~6
1
C4
0
"~6
1/
1
/ et
la m a t r i c e
de
se
restriction
C
/
C1
&
Cim p
C
1
est
3
1
0
C3
~6
1
C5
o
~
f
Le d i e g r e m m e
cm q u i
\ montre
permet
de
D~finition 5 : l~on note
1
~(c)
que
poser
le d ~ i n i t i o n
suivente
:
On appelle torsion dtun complexe acyolique la torsion ~ : Cpeir
~(~)
C
et
de ~ Cim p
o~ ~ se d~finit par un op~rateur de d~formation quelconqueJ oarr~ nul.
de
-44-
Remarques
:
Pour tout
i
Z
0
la suite
,
exacte
de m o d u l e s
(sans
G-famille
de bases) dn ~dCi+l ~
0
est
sclnd~e.
phlsme
~
c"
sous-modules
= dCim p
Cim p
-- d C p a i r 9
dans
et c ' .
A-
devlennent et
On a s l o t s
Cpalr/dClmp i n v e r s e de
Cim p
st 0 '
sclnd~s
slots ceres
sntant
la suite
est
o0
K
des
un corps
scalalres,
d
est
et
6
> dCim p . D ' cO
commutales mo-
st les bases
des v o l u m e s
o0
per B
indult
est
vectorlels
y dormant
E@] = ( d o ~ 6 )
dis-
dlstlngu~s
l'isomorphlsme l'isomorphlsme
d~t[a]
=
D(c'/c").
que
T(C' @ C") que
dC pair
2, p. 20].
II est clair
Remsrquons
st l ' i s o m o r -
6Cim p
espaces
Cimp/dCpslr
expos~
et i m p a i r
Par e x t e n s i o n
des
~dCpair
(cf. de Rham,
est
@
A ~ K
~ @).
Cpalr
pair
~0
en
un h o m o m o r p h l s m e
cl-dessus
tingu~es
>6Ci_ 1
Cpair
(par e x a m p l e
dules
lee
se d ~ c o m p o s e n t
Consld~rons tif
Ainsi,
nd ~C i
le
= T(C')
suits ,I.
C'
qua
,
exacts i'
C'
C'
fg
= 1C,
et
A tout
M[f)
= g
qu'une
s'il gf
§
>0
__~,..
> 0 ....
-)-0
~ 0
homotoplque.
A-syst@mes
application
f
pO
@ 0 ' n-1 --~ 0 ._-, . . . .
C dlt
et
,
on
de
syst@mes
f - g = d'h ce
; 0__#,..
C s C'(E).
donn~s f,
=1 m
n
+C',
d'une
syst~me]
~]
, , ,13__~Cni C'n
n
Torsion
s'il
del
~C'
I.
0
Etant (de
-I
~ fli rl
C'
ce
~C
l/
Cl:)
~C
C'
qua h
et
f
deux
et
: C
g
applications
sont
~C'
telle
En @f
m
. application
exlste = 1C
une et
morphisme
f
:
C
~C'
application
l'on :
f
note
C
J,C'
f
g
est
: C'
: C ~ C'
on
peut
une
~qutvalance
>C
telle
soient
a f ( c i _ 1 + c~)
ci_ 1 r
Ci_ 1
=
@ (-dci_
1
=
-fdc
+ d'fc
I-1
9
+ f c i-I
I-1
Ci
e
C
le
- d + f
i
+ d'c~
= 0
qua
.
associer
B'f = d'
P
Ci_ 1 @ C i
effet,
qua
+ hd
suivant
M(f] i
homotopes
,
) =
on
a
syst@me
-49
On dit ou
is
cone
suite
0 est
st
Si
f
exacte
) M(f)
est
en
une
tent
) C
que
suite
~qulvalence
~Hi[M(f))
que
H(M(f)) Ainsi
H(f)
6
D~finition pique
f
(mod
C)
)0 de
A-modules.
homotoplque
Si
C ~ C'
, la
suite
= 0
pulsque
M(f)
un
est
: On a p p e l l e
:
9 (f)
f
C ~ C'
et
= ~(C')
-
l'~quivalence :
H(C)
H(C')
st
systems
torsion
Y HiLI(C')
> .... isomorphes
sont
acyclique:
d'une
~(f)
~(M(f))
dquivalence
de son c y l i n d r e
homoto-
(mod
C).
: f
St
H(f)
;Hi_I[C)
f : C ~ C' , la t o r s i o n
Remarques
2)
l'application
d'homologie
montre
1)
de
A-syst@mes
sclnd~e
Hi(C')
par
de ~C'
exacte
is c y l i n d r e
f
de
La
est
M(f)
que
-
C
=
C'(E)
En
effst,
sans
un
isomorphlsme
.
si
C,
~(C)
C'
sont
~(f)
hypoth@ses
do
MCf)
:
M(1 C)
: ...
....
a
un
lsomorphisme
simple
= 0
l'isomorphisme
sur
C ----~ C 17
est
f
sur
MCf)
~0 ~
on
.
homotoplque alors
acycliques,
M(I C)
:
.@C '
,-d
,17-7
i
17
f,
1 $
-1
est
n-2 @ C'n-1 ~ " " ' ~ C O - ~ v
1el
~0
~Cn~Cn_IeC
n -de(d
> Cn - 2 @Cn_I --~. " --)'Co +1 )
-50-
O'autre M
sulvant
o
M
l+d
part,
:,
,.
'r~ :
Icn ---~0 ~ C
~(1 C)
r
9 Cn
1!
= 0
est
s'~crit T(~)
. Consid'~rons
le d i a g r a m m e
~ M(~)im p
qu'il
9 (~) ~(f)
~
est :
est
commutatif
+ T(1C)
= T(~)
""
~0
~
et
=
C
~
"
de
pair
~
--~ CO ;,0
A-modules
suivant:
C'
imp
-1
: Cpair @Cim p
il f o u r n i t
la
relation:
- Z T(~21+1)
encore
= E
(-1)
i+1
simple,
: C = C'.
m(~ i ) 9 (~i ) = 0
pour
tout
i
et,
par
consequent,
0
ne d 6 p e n d
homotopique tels
l"f
~M(1)im p
i Si
syst@me
~C
Cn - 2eC n
~Un_ I ~ C n
= Cim p eCpair
~vident
au
l
t
Z T(921)
qui
~ C
x~ 1
1"~ 1
M(1)pair
isomorphe
1Cn_1 +0 C
: C imp @ C' p a i r
M(~)pair
3)
simplement
trivial)
o
~O --+C n
Ainsi,
II
(M
est
1
M(1 C)
b
M(1 C)
qua
g
qua , car
de
la c l e s s e
sl d e s
g - h = d'k
+ k)
est
un
morphlsmes
g,
de h
l'~quivalence
: C
~C'
sont
+ kd k
alors ~Q
d'homotopie
: C
Isomorphlsme
) C' simple
de
M(g)
sur
M(h)
.
-51 -
4)
Si
~
: C ~ C'
piques,
on
,
g
: C'
i C"
e~et,
le m o d u l e
c i!'
deux
@quivalences
homoto-
a ~(g~)
En
sont
e
ci
O
1
:
= M(~) c~
Q~
+ ~(~)
~(g)
@
MCg)
~
,
muni
de
la
di~rentielle
ci-1
d" '-
Ci-1 set
un
A-syst@me
et
)-M(~)
0 qul
i-I ~L ~ on
a
- - )
la
Ci-2
suite
D
exacts
> M(g)
>0
donne
9 (O) D'autre
pert,
~(~)
=
le m o d u l e
+ z(g)
O'
.
: M(gg)@
M(-1C,)
muni
de
la
dig-
g~rentielle
"
est
un
A-systems
0 ce
qul
g
et
~1
a
la
d'
suite
D'
exacts
p M(-1C,)
>0
donne
et
c o m m a Iel
~-~elest
on
a
: ~(D')
T(O)
? :
est simple me simple
l'on
~M(gf)--+
T(O')
O~finition
d'
= ~(g~) un
Isomorphisme
d'oO
notre
h
assertion
On dit qu~une ~quivalence
stil exists des syst~mes tels que
le diagramme
simple
de
BUr
D ,
9
.
homotopique
triviaux
0
T,T'
~ : c ~ c' et un isomorphis-
-52-
T
C
C eT
soit
simple,
~ z
Preuve
:
i
une
est
La
~quivalence
et il suffit
condition
est
~qulvalence
que
~C
T'
homotopique
~(~)
n~cesselre.
homotopique
r
0
~C'e
commutatif.
Pour q u ' u n e
il faut
> C'
h
homotopiquement
THEOREME
-
= 0
f : C ~ C'
.
Remerquons
; en
soit
effet,
tout
la
d'abord
qua
suite
S
.~ - ~ C ~ T
m
~ T
~0
P est
sclnd~e
d~formatlon
et n
comma : T
C@T
T
est
bT
,
Ir
= sp
ecycllque,
1T
= d"n
+ rid"
suite
qua
p' sl
I'on
9 On
s(d"rl
+ nd")p
=
=
sd'~Ip
+ snd"p
=
+
[snp]
un
op~rateur
peut
alors
T(1)
est
>M(1C = 0
d
applique
les
)
~M(i)
~T
~ 0
une
r~sultats
~qulvalence cl-dessus
homotopique &
le
suite
simple exacte
S'
volt
~crlre
.
~gelement
O'
on
de
exacte 0
montre
admet
=
= d[snp)
La
il
qus
p'
0 = T(1T,)
)T'p~,C'
est
un
@ T'~
inverse
= T(p's')
~C'
homotoplque
= T(p')
+ T(B')
~ O
de
s'
= T(p')
et
:
-53-
Comma
?
est
homotope
~
p'hl
T(f)
La c o n d i t i o n is ce
plus
sur
k
inf~rleure g
: E
est
Indlce
n
qu'il
exlste
des
~
et
application
k
une
= C @T
= 0
suffisante.
grand
tel
)E'=
et
comme
C
syst@mes
~
0
est
un
isomorphlsme
(Cette
hypoth@se
O~signons et
simple
consid~rons
par le
en
trivialement
B
Im
=
d
diagramme
0
et
f
par
T'
a
de
DE
H dont
~. EK/'B k
groupe
los
&
)C'
: E' k - 1
.
k:O).
pour
le
r~curren-
dimension
, p'
Inf~rieurs
par
syst~me
= p'gl
: C
vraie
suivant,
) Nk
T,
i
degr~s
est
, on
d'un
. Montrons
avec oO
qul
dimension
trivlaux
C' @ T'
= 0
.
Appelons
qua
T{h)
d'homologle
lignes
). B k _ 1.
sont
de
exactes
> 0
i
m
On
en
d~dult
qua
g
est
un
Isomorphisme.
0
,, B k
~- E k
o
,.
,
r
Le
dlagramme
EK/B k
exact
~0
,L
montre
alors
g' telles on
a
= E~
qua dono
qu'il
des
applications
~ Ek
l-gg' ~g'
existe
~0
= d's' = g
~',
s,
(g'
se
~'(1-gg')
oonstruit =
~,-~g'
,E .l
,
en
relevant :
o
g
~'
;
:
-54-
ce qul
montre
que
1 -gg'
d
E' k+l
On
P : EK.~.-,tB ~
i
;
enfln
S
1-gg'
rel@ve
'
.
, B~
pose d
del
.
d
> EK_ 1 ---.-.---k , , . g
g
2
. . .
oO
gk
est
un
stationnaire
C
Ek -
d' isomorphisme
Lorsque
E k r E~
-g
d'el
T'
k ) {dim C. dim C ' }
i
saul
Isomorphlsme
C
@
avec Ia p I u s
car
0
0-
De Isomorphlsme
" " J
,
on a b o u t i t
& la
situation
suivante :
trlvlaux;
dlmenslon
-I
simple.
T
g
plus,
9
> C'
=E T,
d'
f = p'gl, grande,
et
,H
>E
".~j[n
/B nl n
~ Hn'
~ En' I B 'n ~
= T(g)
g
Isomorphisme
c'est-&-dlre
le d l a g r a m m e
simple.
~ C'
=E'
dens
:(f)
p'
T'
n.
commutetlf
Alors
& Iignes
§
= • T(g n)
simple
en t o u t e
gn
est
un
exactes
>0 i~-1 B~n -1
= 0
B
~0
.
Alnsl,
g
n
est
= B' = 0 n
un
-55
TYPE
IV.
SIMPLE
D'HOMOTOPIE
Expos~
1.
CW-complexes
(Pour An
introduction
Un s~per~
to
r~unlon
~tant
tenue
dens
r~currence
Homotopy
pour
une
le
sous-complexe
de
la m a n i ~ r e U
Chap.
41nl
application
un
pourra
consulter
VII,
K
"cellules"
est
en
: HILTON
Cambridge
1961).
un
topologlque
espace
telles
:
qua
continue
(K m=
hom~omorphlsme
K n-1
lecteur
localement
~ ( K n , K n-l) un
Maumary
Theory,
de
g~om~trique)
cellulalre
d~tails
disJolnte
( o n , a o n)
415n
de
(Th~orie
S.
de
homologle
CW-complexe
e n = 4 ( D n) 4:
et
plus
-
r~unlon
sur
en
4ini.
des
et
cellules
cheque
Autrement
e i pour
cellule
dlt
K
i ~ m)
~tant
s'obtlent
con-
par
sulvante Dn
canon.
Kn-1
On
Kn-1
t.J4
=
~
e
n
disJointe 4
est
une
dire
application
cellule K n-1
application
de
4
dimension
L~ 4 O n
Pour Toute
Si
n
> K n-1 de
> Kn-1
des
4
= 4'
exlste
une
bord
LJ O n
g
4
~L
homotople
on 4
peut
pour
~ K n-1 K
et
: K ~ L
(c'est-@-dlre
: K.
pour
, elles 4t
On
sont telle
g ( K n)
le
la
~
connaissant K n-1
nouveau
nouvelle
complexe cellule
) .
admet C
Ln
une
approximation
) .
cellulalrement
homotopes
que
n+1
4t
une
a
on
continue qua
Ainsi
attacher
de
L) 4 L.
e n.
i~ormer
ceract@ristique
CW-complexes
application
cellulalre 2)
ao n
(l'applicatlon On
1)
:
caract~ristique
(K n ) C L
) .
(il
est
-56-
3]
Tout
rev~tement
4)
Si une
K
application
~I(K) ment
de
~I(L)
f : K
de
K),
complexe
a
est
, ~n-1) le bord
induit
que
singuli~re
sur
~
2.
Passage
, ce qul
systOme
K
induit
est
l'homologle de
d'un
fibre
(on c o n s i d ~ r e
C(K]
des
groupss
~ coefficients
(s
entiers)
,~n-2)
associ~e
~
du s y s t ~ m e
(~n
~n-1)
eat
, j
HI(K)
1K),
pour
cellule
au-dessus
est
9 ~n-1)
~gale
~ l'ho-
sont
libres
localement
~ini
~ un
de bases.
~n-1)
et i n d u i s a n t
C(K)
H (~n n
CW-complexe
un r a v ~ t e m e n t
= Hn(Kn,
rev~te-
homotopique.
le syst~me
singuli~re
(K
par e x c i s i o n .
avec ~ a m i l l e
Cn(K)
>H(~)
une ~ q u i v a l e n c e
K .Les g r o u p e s
~C(K)
tons
H(K)
J >Hn_l exacte
un i s o m o r p h i s m e
canonique.
se voit
~tant
~n
~
relative
de la suite
par l'inJection
mologie
>L
a >Hn_ 1(s
On sait
CW-compiexe.
K, on a s s o c i e
H (~n 9 ~n-1) (homoiogie n muni de is d i ~ r e n t i e l I e Hn(~n
un
et un i s o m o r p h i s m e
universel
A tout
est
simplement
C'est comme
lequel
un
~I(K~
le g r o u p e
une base
de c h a q u e
connexe
K, nous
-module operant
naturelle
cellule
de
pose-
~ gauche
~ gauche
est ~ o r m ~ e
e n ~ K . Toutes
sur d'une
les bases
n a t u r e i l e s e n g e n d r e n t une m~me ~ l ( K ) - ~ a m i i i e . II est c l a i r qua Cn dn )Cn_ 1 c o m m u t e avec ~I(K) de sorte qua C(K) est un ~I[K)~
-syst~me
~ gauche.
Une a p p l i c a t i o n application application
cellulaire C(~)
de
cellulaire ~ : K C(K)
)~ dans
: K
~L
se r e l ~ v e
(non unique) C(L)
associ~e
en une
qui induit
une
~ l'homomorphlsme
-57-
4,
: HI(K)
la 4 o r m e
)HI(L) ~
,
a r HI(L)
l'automo~phisme Si homotopes
F~
et
donc
: K
ft
(qu'on
de
4t
~gal
FI
Induisent
~C(41)
= C(4 o)
cation C(4)
' 41
par
rel~vement
partlculier,
4
continue, d~41nle
]
THEOREME
~quivalence induise
Preuve
4
rel~vement
de
Aiors
-~ 1 [
~;
~ '
--
Ainsi
si
oO
~ une
1E . C(4)
car
~?'~ =
4
est
Si 4,
,
alors
et
alnsl une
4
:
,
oa ~ t a n t
applications
cellulaires solt
Ft
F 1 = a41
un
,
(associ~es
&
4o,)
. C(4)
= C(~)
approximation pr@s,et
pour
touts
cellulalre
isomorphisme
continue
4
:
applide
simple
K
4, pr~s.
soit une
)L
4 : K = L , il faut et il suffit qurelle homotopique
~
C(4)
: C(K}
un r e l ~ v e m e n t
homotoplque
I
>?~'
de
g)
= ?~'
44'~
~ C(L).
de tel
4, qua
et
~'
un
4'f
: 1~
.
sl
K ~ L,
C(4)
est
(volt
peut
zC~)
de
la
Indult
idsnti4ier C(4)
torsion
= zCCC~))
de
C(4)
=
~qulvalence,
Hilton,
homotopique
comme d ~ 4 i n i t i o n
une
l'homomorphlsme
on
= 1E C(4')
C(L)
~quIvalence
:
4,
de
par
homotopes
application
= 1[
que
l'~quivalence
o~
est
si
R~clproquement,
donc
homotople
en
cellulalre),
pose une
rel~vement
t = 0 , donc
= 4o,
l'on
(inverse
C(4')
isomorphlsme,
pour
: K -: L , soit f'
deux
supposer
~ est
homotopique
Si
sont
oa 41.
une ~quivalence
:
~L
4,
Indult
applications
Pour qurune
:
HI(L)
4~
eutre
change
de
~
,
~ . Touts
qul
peut
des
En
est
ce
int~rleur
fo
par
d~4inl
deviant
r NCHICK))
4
Homotopy
HI(K)
4
per
1
C(K)
4,
est
: H(K)
theory,
avec lin~aire.
~H([) p.
HI(L)
un
113).
par
On p o s e
-58-
Soit (suppos~e
M(f)
, Is
cellulaire),
cyllndre
de
c'est-~-dlre
l'appllcatlon
l'~qulvalence
Is
quotient
r
(K x I ) u
L------+KuLu(K
homotoplque
de
(KxI)~
L
f, per
x ~)
donn~e p a r r
= x,r
= f(x),r
= (x,t),@(y) x
C'est f
un
CW-complexe
)L
: K
fl@che
~tant
l'InJection ~I(K)
sclnde
une
r@trectlon.
(resp.
K
~quivalences
est
obtenue
en
(O,13
&
Cn_ 1 ( L )
Dono
que
T(f)
D~finition ple si
C(M)
e n)
et
: Une ~ q u i v a l e n c e
dWhomotopie
On note a l o r s
K
K
et
.
.
sur
L
et
deuxi~me
pour
r
~ 1,
isomorphlsme
)L
une
naturelle
base
naturelle bord
de
dans
le
C(M)
@
et de
= C(M)
L
et est
de
C(M)
de
C(L)
donn~
par
d Cn_ 1 [K)
de
mod C(K)
: K ~ L(Z)
obtlent
C (K)
@" ' ~
oylindre
, on
C(K)
1
si et s e u l e m e n t
~ L(E)
e I
K ,- ) M
homotopique f
t
; la
un
[K)
est
et on note
=0
(M,K)
-
(C(M,K)
,
>L
Cn - 2 (K)
mod C(K)
~(f) ~ 0
d~formation
indult
is
Cn
On dit que simple
base
~)
= T(C(M,K))
per
, ainsi
C(f)
e L
.
une
@
d
On v o l t
~
Juxtaposant
C (L)
y
~qulvalences
) M
identifi~
M
~I(M)
lea
K
r
dens
,
M(f)
Doric
L)
) sur
relevant
r~tracte InJ.
K
(resp.
~I(L)
des
(e n x
se
se
de
En
qul
r K
= y
C(f) )
mod C ( K ) .
.
f : K ~ L
est dite
.
appartiennent
au m~me
si il e x i s t e
f
: K
type
~ L(Z)
sim-
-59-
THEOREME
2 :
binatoire.
Le type simple d'homotopie
(En d'autres
tion identique Preuve
:
de
(M(i),
K K)
termes,
3,
expos~
2)
O~formatlons
Si tel
qua
une
O
dont
est
op~ratlons traction melles
une
une
K n = K'.
la
une
fl~che
expansion
On a
THEOREME
$
classe
formelles
F
homotopiques
.
donc
= 0
application
de
Ki-----~Ki+ 1
indique
la
K i , une
K
Ki
fondamentel
de
mod
O.
Une
form~
O,
K
suite
son et
la
relation
de
est finle
inverse
de
deux appel~ de
une
telles con-
contractions
et
for-
avec
formelle IF]
forme
des K
F
K0 = K ,
=
(K i)
on
appIicatlons > K 1.
l'InJectlon r~traction
: II
si
K
7K'
>K r = K'
> ...
si
con-
1+1 est Ki+ 1
est
une
une
.
K'
Pour que
est l~ensemble
d'~qulvalence
(Klli=o,..,n
[FIEF-l]
. LWensemble
simples.
(~ a u t o m o r p h l s m e s )
9ormelle.
d'homotople
de
K
premiere
deformatlon
de
de
formelle,
formelle
teile
Soient
K ~ K'(Z)
K)
= 0
K) O T
d'expanslons
K 5 K'(O)
m~me type d'homotopie. que
suite
= IF 2 F I ]
:
la
expanslon
d~formatlon
formelle
[F4EF ~
(M(1K),
= T(1 K)
syst~me
~l~mentaire
Une
formelle
contraction
un borde
appel~e
une la
T(i)
est l'applioa-
K' , on a T/i]
de
= C(M(1K),
sous-complexe
d~formatlon
alors
contenant
un
seconde
notera
Pour
K)
admette
formelle. une
subdivision
entraine
formelle
On
sld~re
0
sara
sara
exlste
qul
est
la
expanslon
~K'
oom-
formelles
K mod
cellules
oO
ce
i : K
dans une subdivision
C(M(1), (cf.
si
est un invariant
des
= [I]
deuz CW-oomplexes K ~ K'(D)
EF]
, il faut
pour routes
des classes
connezes,
du
et il suffit
les d~formations
d~homotopie
dr~quivalenoes
-80-
Preuve
: La
une
expansion
dre
de
J
n~cesslt~ formelle,
l'Identit~
: Ki
est
~Ki+l
T(f)
= 0
. Si
donc
est
simple.
sion
ou
le
pius est
g
un
une
mod
une
d~formatlon O
en
vertu
K
du
est
formeiie)
solt C(P,K) 0 ... U
C(Q,K)
est
O
donc le
d
Iemme
Donc
P
P
2,
0
est
une
rei
K.
~
L
: en de
L(D)
K
dens , on
. Enfln
Par
i
Avent falsons
quelques
s L(~)
n+l es
K
n+2 eI
L)
vlent
P
part,
telle k_) de
r
CF] de
(F
T(f)
et
rel
f
ces
entraSne
de
P
si
deux
. D'eutre
cylin-
; l'InJectlon
f
expan=
0
.
le
cyllndre
il
exlsta
qua
...
volr
n+2 et
U
qu'elors
yC(Q~K) ~ C(P,K) 5 0 ( Z )
.
kO
~...
simple.
En
perticulier
formelle
ailleurs si
.~_-~0
P
K
= K
se o
U
F1
s = t de
contrecte en
oO
K
st
rel
K
touJours
en
est
(en+l
= e
n
x
o I
,
Po
cyl.
de
. Per r~currence sur les cellules o obtlent une contraction F2 : P ~L : K
>L i
> P
r r IF2]
d'eborder remerques.
se
sclnde
une
la
o
)
princi.Donc
an
r
pour t o u t
@IK
~L r
d~monstretlon
.
,@ ~ [ F2 F I J des
lemmas
par . for-
,
P
@
~-CF1],
: K
. On
effet,
K Comma
@
d@formation
n+l
= Po U e n U e
de
K
r EF]
n+l
isomorphisme
contracte
pales
~ C
un
Bur
f
les
le
est
forme
ast
principele P
se
d n+2
s K(D)
mellement lule
~ C
le
dens
~ O(Z)
1 ~-dessous
de
un
qua
C(g) ~ C(P) t e l C(K) Or
est
homotoplque
donc
lemme
Ki
inverse
volt
U
F mod
>Ki+ 1
Donc
On
n+l eI
de
: Ki
slmple.
formelle
= K U
F
~qulveIence g
e
sl
~l~menteira
[F-I~,
On
car
syst@me
R~ciproquement @
cylindre
c
contraction
de
~vldente,
indlqu~s,
cel-
-61
Supposons
qu'on
sit
-
deux
complexes
partir d'un compiexe K en a t t a c h a n t n e 0 , e~ par deux applications 4o , homotopes
par
ft
disjointes,
le
K u
e~
e~ ~
9 Alors
compIexe
une
)Kuen
se
contracte
suffit
de
sur
O~
former
attachant
&
n+l-cellule
kj n el
o
un
K
une
complexe
Q*
on
suppose
qua
traction rei
K
c'est
un
d'une
n-ceiluie,
F
O*
&
ces
des
~
De
la
comma
m@me
si
cellules &
sous-complexe
rencontre
ni
eno ni
situation
suivante
K*
tei
dans
Q*
K*
qu'il pour
une
0*
F'
, on
se
K*
e~
consid@re
formelle
Nous une
que
expansion
peut K*.
obtenir II de
O*
est
q
~ 0
de ).
Ia
F'
est
form@
a prolong@
formelle n que e
: par
permis
un
q-cellules
r@de
qu'on
ne
une
rencontre
alors
d'aJouter
l'expansion.
complexe
t o u t e d@formation 4 o r m e l l e
y a autant
par
un
d@fini
K
prolonger
est
K
est 0
dirons
dens
formeiie
FF'(0*)
tel
F
dens
d@formation
K
~
=
remener
. Aiors
-K* est
~
contraction
K
F
tout
en
que
peut @tre prolong@e en une d@formation f c r m e l l e (c'est-~-dire
: on
01
n
9 c'est-~-dire
K*,
' il
rencontrent
ne
qui
e
ajout~es
O*
se
et
contenant
4ormeiIe
derni@res
" e~
(x)
o
O~
e
Be; C 0
g:I~ual~Iul~o--~
entre
Plus g~n@ralement, s i le
e on
. Si
sous-complexe
admet
complexe
d@formation aucune
01
sont
attachant
, y E ai n
en
obtient
en
x e in
. Be?m C K* peut ~K Donc, par une
on
obtenu
, e~
4t[Y)
K
K*
si
sont
g(y,t)
celluie
~
qui
n eo
= f
interm@dieire
K*
K*
sous-compiexe
0*
=
ceIiuIes
g(x,O)
n
O*
>K
1'application
complexe
un
Car
en+l
e~ U
par
K.
les
41(x)
cels
et
rel
form@s
g(x,1)
et
Appliquons un
en o u
01
respectivement $n-1 41 :
0 o s 01(D) K U
O o,
contenant
K*
>K
Q*
dens
~Q 0
tel tel
- K
K K
que
-62-
1
ZEMME
Si
:
v@rifient Q
~ P(D)
~I[P,K) rel
pour
n
th@se
assez
:
vide).
L)
e
n+l
de
n+2 eI
U
S
( > dim
(P-K)
U
+ 3
un c o m p l e x e
~ p-1
,
...
L} e
n+2 r
)
r@currence
dimension
: 3DP
#. 1
#i
le 8 o u s - c o m p l e x e
: P
- K
(pour
p
ne
= O,
contlent l'hypo-
Soit
applications
donc
...
Hypoth@se
de
#1"
les
U
grand
celluie est
et
tel que
K
D@monstratlon aucune
connexe
V l ~ I , il e x i s t e
= 0
n+l K L) e I
Q =
P
le c o m p l e x e
~--Pe i
i
ceract@rlstlques
) pp-1
aln p
:
d@#init,
si
p
des
un
1,...,s
p-cellules
= KP-1
> 0
=
de
P-K
(P,K)
Ce
. On
a
C K
~l@ment
de
~
dernier
P ~tant
nul,
II
existe :
g
telle sud
de
a D P +1
O-cellule
de
un
dans
chemin
). P
P*
(i
varie
de
exlste
#ormelle qua et
P* le
, in p
p1
= #i ( ]Dp+ , 3] p) _ Le
r@sultat @tre
_p+l
U
, et
hombre
qua
dans
p
= 0
O-celluie
sur
) K
q
une
= h@misph@re
K*
tout
pour
p+l Ei
proicngement
pour
&
h@mlsph@res
U
un
O
aussl
reii@e
=
~p+l
= K U
lee
9 Kp )
nord
et
, car toute de
K
par
l'expanslon
~p+2
et
sont
vaut
. Formons
= PUg i
K*
) (pp+l
]
aiors
- K
m@me
application
- K peut
1 ~ s
sous-complexe II
[ 1;1 p + I
~il ]Dp_
qua
une
- K
p+2
P U 6i
cp
est P*
une
, c'est-~-dire P
- Ken
expansion
>0 mI
contlent
a~P+2
K
de
autant 0
dimension
en
ia
de
)
.
simple
de
contraction q-cellule
dimension ~ p
Le
+ 3
5 p,
K.
-63-
Cela
ech~ve
l'induction
Dens
ces
C(Q,K) est
ecyclique.
cellules est
eu
et
2 :
Q,
K
Preuve
~ C
Cn+l[Cn+2)
d-n+2 ei
LEMME
: 0
signs
Si
vide
per
le
un
~[H~-module
de
hombre
que
fini
torsion
(xij)
J = indice
colonne
rel
K
(xij)
torsion
nulle,
peut
d'op~rations
~tre
ligne
(colonne)
per
* 1
II.
Multiplier
une
ligne
(colonne)
par
x E HI(O)
Changer la m a t r i c e
IV.
Remplecer
Chacune formation
des
une
llgne
operations
formelie
u
de
en Ii
(u o) 0
par
ci-dessus 0 rei
K
1
ii
peut :
systems per
n ~ 1
ou + lj
r~duite
du t y p e
une
III.
lee
,
.
Multiplier
).
du
ligne
de
base
donn~e
Ii
droite
de
i = indice
est
Q ~ K(D)
libre,
. La
!e m e t r i c s
C(O,K)
signifie
~0
~ Cn+l
H = HI(K)
ceils
alors
: L'hypoth@se
metrics
est
syst@me
connezes,
d n+2
-n+1 ej
j)':x i j
le
le s y s t ~ m e
eiYn+2)
pr@s
=
.
p
conditions,
ei'n~l (resp.
dcnc
sur
suivent
~ gauche
l'op~ration ,
& le
per
(~
inverse.
i ~ j
se r ~ a l i s e r
:
une
d~-
-64-
I.
0
inchang~,
tion If.
0
III.
O
inchang~, mels -1 ~n+l (x ei ) . subit
[~in+l)
ei
remplace
on
el +2
avec
[~+1)
une
expansion [contraction) qui n§ n+l cellules ek et eI telles
dek +2
-- el +1
Soit
n+2 0i = 0 - ei
une
-n+2
on p r e n d
l'orlente-
oppos@e
deux
IV.
meis
rood K
cellule
~
n+2
xel +2
par
eJoute
(supprime)
qua
. pour
par
un
une
certain
i
application
Attachons dens
la
~
classe
0i d'ho-
motopie
aei +2 + ae~ +2 e ~n+l O'une
part
ar
n+2 0 = Oi~)e i O'eutre
n+2
n+2 = as i
(KL) e l +1 U ... LJ esn+l
dens
H n + l ( O i)
n+2 = OiL)r
part,
on
-- O'(O)
rel
e le d i a g r e m m e
d'oh
n+l KL) e I U
> Cn+l(O',K)
II
IL
g n + 2 [ O ' , T)
~
T = K ~ e n+l I u
oO
verticaux
sont
ceux
de
Cn+I(Q''K)
~gn+l(KUe~
rev~tement
donc
simplement
) compos~s
tion
des
> g n + l ( T , K)
et
oO
les
isomorphismes
s
~
(le
gn+l (T)
... u en+l
Cn+2(Q',K)
O'
n+l ... U e s
commutati~
d
Cn+2(O',K)
) "
Hurewicz
g n+2 [ O ' , K v e
n1 * l
+1 ~
U . . . u en+ls ) "''uen+Is " K )
KUe~+Iu
...Ue
connexe
puisque
avec
les
:
n+l @
n+2
Isomorphlsmes
~tant ~ 3,
induit
par
et
indult
Indults
K par
O'
, par
la p r o j e c -
Ainsl, on
identi~ie
les
cellule
rev~tements. n+2 e dens
Cn+ 2
et
Rn+2
celluie
e n+l
Cn+ I
et
gn+l.OOnc
de m @ m e c a l l a s d ' u n e n de n +2 = ~. n + 2 + d e J+2
dens
" et
images
d'une
i
-85-
V.
THEOREME
Expos~
1.
Fibres
vectoriels
Un (E,
B,
p)
k-fibr~
form~
de
S.
de
DE
MAZUR
Maumary
diff~rentiables.
vectoriel deux
diff~rentiable
vari~t~s
application surJective -1 c B , p (x) est un e s p a c e
p
x
vectorlel
un
phe
U x ~k
~
espaces
voisinage 9 le
base
forment V
torial
, la
Un
pour
et
l'exemple
des
un
&
x
x x~K
n-fibr~
fibre
tangent
de
: E
diff~omorphisme
vectoriels
Citons V n qui
U
en x
~B
et
que
pour
dimension -1 p (U) est un
B
k
, tout
et
qu'il
diff~omor-
isomorphisme
des
.
vecteurs
point
de
induisant
pl(x)
E
telIe
iequeI
vectorial
cheque
l'obJet
diff~rentiabies
d'une
existe
est
tangents
& une
dlff~rentiable x
6 V
~tant
vari~t~
~(V)
l'espace
de vec-
.
morphisme
(E,
B,
p)
f
~(E',B',p')
de
fibr~
vectoriel diff~rentiable est u n e a p p l i c a t i o n diff~rentiable f -I E rE' q u i i n d u i t Bur c h e q u e f i b r e p (x) de E une application une
lin~aire
dens
application
une
fibre
diff~rentleble
~q(y) ~
: B
f
E
d'une
vari~t@
Par V
une
en
telle
d~duit que
~.B'
exemple,
dans
~B'
On
1
B
commutatif.
E'
,.E'
~ soit
de
une
vari~t@
application V'
induit
diff~rentiable une
application
f
-66-
des
~ibr~s
tangents
telle
que
T
fT TCV)
~CV')
1
+
V
solt
commutatlf.
Etant vari~t~
B
tlabie et
[
~LV'
donn~e
dens
la
base
(E',B',p'),
une
une
on
application
de
appllcetlon B'
d'un
peut
di~rentable
k-~Ibr~
construlre
~ibr~
~
: E
E
vectorlel
un
~E'
~
di~ren-
K-~Ibr~
teile
d'une
~*E'=(E,B,p)
qua
;E' p'
B
soit (b,
commutatl~. e')
tels
natureIIes.
E
est
que
Les
On v ~ r i ~ l e q u e ~ t a n t d o n n ~ une
la
~(b)
~Ibres
pattie
= p'(e') de
E
~*E' Jouit appiicatlon (E 1 ,
B,
de , p
sont de de
~
sent
isomorphes
ie p r o p r l ~ t ~ ~ibr~s
pl ) -
des
les
couples
projections
~ ceiIes
de
universelle
E'
~ commutatl~,
il
Induisant
caract~rise
f
exlste
(E 1, unique
-,> E '
B
B,
une
& un
8 de
1~
B*
application
pl )
l'identlt~ f'E'
~,
la
> (E, base
de
~ibr~
B,
p)
telle
Isomorphisme
que
pros
: g*E' e : ~8
: on
.
sulvante
~{E',B',p')
a
E~
Cela
et
~orm~e
que
telle
solt
B x E'
9
l'eppelle
:
-67-
fibr~
induit
tiables me
de
de
E'
m~me
par
produit
si
la
s'il
d'un
exacte E"
dans
et
E de
de l'est
Un
sur
oomme
B
x B
~B
morphisme
du
injectif
fibr~
dit
On
ceux
inJectif
peut
(surjectif)
som-
fibr~
sont
est
fibre.
: la le
morphismes
chaque
diff6ren-
additive
d~finie
Les
B.
Ia
~ E'
, E'
~tant
et
peut
fibre
et
surjective)
TCV)
v(f)
(E,B,p)
la
d6finir
et
de
plus,
vectoriel : E nulle
f
chaque
E
une
induit
que
de
de
une
le
noyau
p
d'un que
f
: V
appelle
de
~(E)
>V'
voisinage
de
(resp. (rasp.
appel6 par
vectorial
fibr~
4). T(E)
;p*T(B)
diff~rentiable p*E
existe
qu'un
voisinage
de
& un
V'
tel
la
ouvert
que si
.
la d'un
fCV)
V'
vari6t6
d'un
fibr~
plongement
est
nulle par
diff6ren-
donn6e
~ ~ = f
section de
de f
et
V
voisinage
isomorphe
de
de
base
tel
est
est
annul~
plongement
. Un
f
localement
inJective
= p*~(B)@
tubulaire
E
ouvert
un
E
mal
d~pende
immersion
l'application
~ibr@
un
voir
une
coker
fibr~
sur
de
voit
ne
l'unit6).
le
~V'
suffit
se
qui
tubulaires.
diff~rentiable
de
orthogonaux
application
dont
alors
m6trique
>V'
(resp.
sorte
fibre),
: cela
: V
~f*~(V')
p*E
Soit On
f
ainsi
Voisinages
tiable.
soit
~0
compl~mentaires
partition
projection
est
sur
dans
~ l'immersion
C'est par
une
example, Alors
~ E"
diff~rentiablement
par
submersion).
induit
E"
introduire
raccorde
normal
~ E exacte
Par
~
est
(c'est-&-dire
(on
l'on
2.
cat~gorie
,p')
vectoriels
suite
E ~E~
que
une
morphisme
0 est
fibres
p x p')
l'identit~
(ker)
. Les
diagonale
B x B,
surJectif)
coker
(E',B
l'appllcation
induisent
ie
f
forment
et
(E x E'.
[rasp.
par
base
(E,B,p)
induit
qui
de
un
,
~ = section ferm~
du
fibr~
: il nor-
isomorphisme
-68-
qui
9.
prolonEe
De plus,
si
l'on m u n i t
deux
tels
voisinaEes
E
EI~/~ d'une un
m~trique
ne d ~ p e n d a n t
isomorphisme
A-dire
a
@ est
que
On peut m~s
de
f
ne d ~ p e n d a n t en b o u l e s
isotope
~V' que
de
: E(r)
~V'
#
pri~t~
d'unlcit~
de
la fibre,
pros
on m u n i t
des
pr~c~dente
respectant
des E
sont
isotopes
le m ~ t r i q u e ,
voisinages
d'une
ce qui
vecteurs
est
ils
c'est-
@1~ .
~
la fibre,
form~
V'
consid~rer
:
E(r)
Alors
que
de f l b ~
aussi
: V
~
permet de
E
m~trique
de
le fibr~
longueur
~erm~
de
devient
ce ces
fer-
riemannienne
de d ~ f i n i r
un v o i s l n a g e dens
tubulaires
f
~ r
. Le pro-
: si
V !
ECr) sont
dsux
: E
voisinaEes ~E 1
El(r)
tubulaires
de f i b r ~
respectant
0 < r I < r , # l ~ I E l ( r 1)
soit
compecte,
forte.
3.
Homotopie
gentielle trivieux 4.
l'isotopie
E~T~
de
si
r
il e x i s t e
la m ~ t r i q u e
isotope
&
un i s o m o r p h i s m e
tel
@ I E ( r 1)
que
pour
Si
V
est
homotopique
~T~T(V)
eT'
r : V oO
~V'
T, T'
est
sont
des
dite
ten-
flbrQs
V .
sur
d'isomorphisme.
que
dimension
E' 9 T '
f,
tangentielle.
~quivalence
Pour ri@t~
est
Une
Crit@re
de
oO
deux
k-fibres
n,
k
T,
T'
> n sont
vsctoriels soient trivieux.
E,
E'
isomorphes,
sur il
une
suffit
veque
-69-
5,
Limites
inductives.
D~f~nition -
V,
dans
Appelons
plongement
int~rieur
W
vari~t~s
diff~rentiables
W
tel que
~(V)CW
ticulier, :
:
l~image
par
et
~
~ bord
~(~)
ouvert
~W
V
un plongement
-
ouvert
d~un ouvert
~ :
dans
de
V
W . (En par-
est un ouvert,
et
dim
Vi
st
V
=
dim W ,) Consld~rons
plongemen~
une
int~rlsurs
ouverts
~1
V1
qul
Soit est
donne
une
Vi
suite
V
est
une
'
de
~3
de
U~V
vari~t~
de
~ ....
sous-vari~t~
de
vari@t@s
topologlque sl
vari~t~s
i c N
>V 3
crolssente
= ~ Vi l'espece i o u v e r t sl st s e u l e m e n t i
fi
~ une
V
tout
infinie
~2
~V 2
Identi~Ions ce
suite
dens
i
est
de m @ m e
Vi+ I
V ICV lequel
ouvert
dimension
per
2 CV S C un
ensemble
dens que
~.i ....
V i pour
les
Vi
:
@
soit
x c V
voisinage eu
9 et U
J
de
x
le
plus
petit
hom~omorphe
&
~j x
dens
( V i , f i) i E H
form~
On par
ne
Vj
x E Vj
est
: un
hom@omorphe
les
sucoessifs
d~but.
Enfin,
dif~omorphe
~i ~
Soient int~rleurs
ouverts.
V
veri~t~s pas
ou si
~ ~j+~CUI?
eppelle
change
diff~omorphlsmes est
dens
que
fj§ > fjCU)
V
9 Elle
gements au
~n
tel
voisinage U
de
Indlce
si
on
on
si
Vi on
limite
inductive
et
plongements
un
syst@mes J
tels
,
g
~V i
les
compose
supprime
a deux
: Vi
le
un
nombre
nombre
que
fi~i
,
de
syst@me ~i
~Ini
~inl
(Vi,~ i)
du
de
plon-
veri~t~s
(V~,~)
=~i+I
"
~i
et "
V
V' f
: V Les
)W limites
: W
induotives
~V
deux
plongements
des
-70-
f
V
g
~ W
V
g.-F
~gelss.
6.
Theorems
THEOREME
de
:
avec
Soient
est d i f f ~ o m o r p h e
est
o'
:
contraction
de
E
sur ~
:
o~
ce
= o'~
Cele
nous
Solt
mt
m~
: E[r)
b o
(car
E(r)
ces
ml(E(r)) On
r
deuz
k-fibres
compaotes
: E
E
sans
eat une ~ q u i -
>E 1
des v a r i ~ t ~ s
a par
o,
o'
compact
)
r
> 0
int~rieurs
le
et
E I , alors
o0
E
voisineges
une
de
Thom).
On
E(r) peut
= o ' I E ( r 1)
~(r)
> E(r),
. Or
om I
> 0
sont
donc
pour
,m t
(rasp.
pIcngements
, o~
de
radlele
om I = o'm I
)E(r)
qua
: E(r)
tubulaires
t
: E(r)
o
nulle
contraction
de
di~o-
.
. Pour
chemln
montrer
un
isotopes.
de
o l E ( r 1)
r~alise
homotopes
section
(th~or~me
E
donc
= E ( r 1)
un
.
de
ellons
pour
deux
)E(r)
(o')
Dcnc
> ...
( E 1 , M I , P I)
. Si
Nous
est
o'~
au
Int~rleur.
isotope
~
donne
ram~ne
,
diff~rentiables
sont f o r t e m e n t
&
qui
= Identlt~,
ment
E(r)
Si
isotope
p)
dl~rentleble
~l(r)
> E(r)
~ortement
M,
k Z n+2
Deux plongements
D~monstration
-f.g
) ...
E1 .
Une
: E(r),
(E,
tangentielle
~
dl~omorphe
LEMME
n, et
~omotopique
morphisme
) ...
g.'f
> V
,~ W
M, M 1 v a r i ~ t ~ s
b o r d de d i m e n s i o n valence
~ .f
9f . g
"f
, V
Mezur.
(MAZUR)
vectoriels,
g
~W
V
%4 sont
+"
V
~
supposer dens
0 < rI < r
telle est
est
un
o ' m 1)
et
m
qua plongeest
int~rleurs.
isotopes
E(r).
fortement
-71 -
En Alors
Igs
perticulier,
iimites
supposons
a
a
E(r)
a'
car
successivement
a >E(r)
a l1
>E(r)
/~ ~0
E(r)
Prenons
slots
radials
digg~omorphe
le de
a
E(r) est
a
on
~:1
contraction
ouverts.
o t
E(r)
I1
la
soient
~ ECr)
a > E(r)
E(r)
a'
a
~ E(r)
~ ECr)
di~omorphes
O'
et
o'
ECr)
E(r)
a
inductives
E(r)
sont
que
&
la
E(r)
E(r)
limits
E(~)
sur o
~ E(r)
C
E(r)
plongement
8:1
~E(r)
a 2 E(r) 9 La o
ECr)
etc.
par
d~fini
limite
inductive
> ...
inductive C
> E(2r)
> E(4r)
C
>...
0
qui un
est
E
ou
plOngement
E(r)
En
int~rieur
conclusion,
ouvert
si
a
homotope
~
: E(r)
rE(r)
I'identit~,
Ie
est
limite
inductive E(r) est
di~f~omorphe
Le une
vari~t~ Pour
th~or@me
E(r) (ou
sere
La
e > 0
, il
plongement
~.
Alors
E
est
un
nition
du
~ibr~
> E(r)
E(r)
est bord
exists
Si
e
voisinage normal,
a
~...
).
d~montr~
E(r)< g de
construction
: M---,E 1 sans
a
ainsi
homotopique
compacts
tout
>
E(r)
ouverts. @~
un
~
~quivalence
int~rieurs
a
quand
nous
aurons
~El(r)
par
des
~
se
~aire
peut
une
application
di~rentiable
de
dim
une
donc
est
n
une
dans
e-approximation
assez
petit,
tubulaire
de
~
, on
a
v(~)
~
~
vari~t~
r
est
: en
de
plongements comma
f * T ( E 1)
suit:
d'une de
dim r
homotope
e~fet,
r~alis~
par
= T(M)@
~ 2n par
&
~.
d~iv(~)
-72-
et
par
ailleurs,
~ * T ( E 1)
= E*r
1)
; r ~tant
une
@quivalence
tangentielle, @ * T ( E 1) oQ
To
T'
sont
des
~ibr~s
~ * T ( E I) o~
T,
T'
E*T(E)
sont
= ~(M)
exists
un
@
E
ce @
91br~
(par
exempIe
pace
euclidien)
dimension
Donc
d'oO
E ~v(9)
sur
fibr@s
triviaux
9
T
~
T(M)
E @ T'
M
tel
normal
au
@
qua
T(M)@
plongement
@triviaI des
~
~Ibres
de
v[s
r~sulte
de
i~
que
~
trivial
de
M
dans
et
E
est
E(r)
est
r = rI
car
E l ( r 1)
d'oO
en~In
ouvert
~
: E(r)
~El(r)
pIongement ~1 ).
tel
int~rieur (~1
section
,
~1(rl)
0 , car
@
soit
(E(r))C
rl>
= ~1
F
en
nombre
de
Mais
.
prolonge
certain
El(r) ~
r > 0
se
. Pour
g~
M.
un
es-
> n
.
>E I
topique
sur
E e trivial.
: E
qua
E*
~inalement
~
un
Appliquons
9 T'
ouvert
tient
E.
donne
sur
F = ~ibr~
e T'
~*T(E) comma
v(~)
commune
Ii
T ~
qui
F
v(9) La
@
~[E) triviaux
consid@r~s
TOM) Ii
@ T ~
~
qua
~
un = ~
ouvert nulla
compact.
g de
E1
g~
-~ ~
=~ g~ =
"FgE1 -'=' E1 ~
identit~
-Fg ~ ' i d e n t i t @
On
plongement pour
peut
plongement . De
: El(r)
Oonc
un
" ~1
un
supposer
int~rleur
m~ma,
on
> E(r) inverse
obtel homo-
-73-
A P P
E N D
I C E
Ap~llcation
: Equivalence
Etant de
vari~t~s
ment
donn~e
stable
une
s'il
on
exlste
dlt
homotopique
qua
M1
et
r M2
: M1
)M 2
sont
stable-
undlgg~omorphisme M 2 x ]Rk
: M 1 x ]~k tel
vari~t~s.
~qulvalence
difg6rentiabIes,
~quivalentes
de
que
M1 x IR K proj.
r
~.M 2 x ]Rk
Pl
proj,
P2
r M1
solt
homotopiquement Pour
M1
et
qua
M2
~
N~cessit~
qua
une
M2
commutati~. deux
soient
soit
~
vari~t~s
stabIement
compactes
sans
~qulvalentes,
6qulvalence
homotopique
iI
bord faut
de et
tangentieIIe
1 K)
=
e 1 k} (M 2
x IR K } =
=
Suffisance
:
th~or@me
M2 sont
de
~ se
M 1 x ~k de
M 2 x pk
Si
dimension
n,
homotopiquement
T ( v 1)
en
. Pour
une
~qulvalence
k i n+2
, on
tengen-
appiique
Mazur :
sont
@ 1 K)
trivlalement
application
plong6es
ouverts
prolongs ~ x id.
k)
x
= p~CTCM 1)
Autre
sufflt
:
1
ie
il
n
:
9
tlelle
dim
dans
deux
~n+k
9 K ~ n+2
dlgg~omorphes,
= p * ~ ( M 1)
vari~tQs
car
~) p * v I
ils
compactes ~qulvalsntes leurs sont
= p*(LM1
sans
bord,
par
voisinages
r
~( :E~n * k )
et
:MI----?M 2
tubulaires
parallQllsables
@ v 1)
MI
:
-74-
V[.
THEOREME
BE
DUALITE
POUR
LA
Expos~
1.
Bref
reppeI
Etant cellulelre L
de
K,
paire
K,
K,
des
un
agissant ~tant
L,
tout
correspondre
un
Deux s'il et
existe S2 @
d~formation et
BS(KL
(Volt
module de
de
et
il
de
S1
et
une du
Ies
C"
matrices
m@me groups
ciasse de
un
nous
C",
Maumary S
est un
dans
S2
un
de un
qui
T1
Whitehead
~ la
et
K',
Ker
L'
la
dit
eo~cllque,
les syst~mes
BS(K,L)
torsion). si
Ker
d'homotopie
de
: C
on
TI
e J.
d~termine
et
S1 ~
en l'autre par une
~ , qui
Whitehead
qua
sont c o m b i n a t o i r e m e n t
Kern
de
~quivaIents
teIs
. Alors
cat
fait
le
sur
C"
lui
eppei~s
T2
(pour tout
isomorphisme
A
.
~t~
a aiors
et
repr~sentent
~(S)
invariant
associ~
anneau
L)
ont
op~rateur
= Bn+n B = I
est
avons
compIexe
B)
(au sens de Whitehead)~
S.
d'un
sous-complexe
9S(K,
On
K, L
a+ql et
~(G)
triviaux
existe
(~+q)2
~
d'automorphlsmes
= (C',
isomorphes.
suppl~menteire
B+n
G
9(G))-syst~me
syst~me
einsi,
n2 = 0
L)
sont ~quivalents
L')
Le
torsion.
ou si lrune peut ~tre chang~e
l'expos~
enest
e
formelle
NOEUDS
G)-syst@me
: Si les paires
~quivalentesj
AUX
Rham
la
finl,
systemes
soient
APPLICATIONS
de
complexe
syst@mes
des
T2
THEOREME
(A,
de
et
un
homomorphisme
ET
iibrement,
S(K, et
G.
groupe
(Z(G),
le
de
d~finltlons
donn~
K/G
TORSION
C"
= Im
sur
B = Im
n
, tel
n
est
n
La C'
B
s'il
que un
sous-
restriction
,
,C isomorphlsme ; cette
i'appeiIera
ciasse
appartiennent est
la W - t o r s i o n
un de
~i~ment S
-75-
Elle
n'est
THEOREME
d~finie
que
pour
S
ecycllque.
e
le
La condition n~cessaire et suffisante pour que deux
:
syst~mes acycliques soient ~quivalents, m~me
On
crest qu'ils aient la
W-torsion.
OOROLLAIRE
Zes classes d'~quivalence de syst~mes acycliques
:
forment, par rapport ~ la somme directe au groupe de Whitehead. triviauxj
@j
un groupe isomorphe
Za classe nulle est form~e des syst~mes
deux classes sont oppos~es
(leur somme est nulle) si
les syst~mes de l'une se d~duisent des syst~mes de ltautre en permutant
SI d~termlnant facteurs
est
appel~
D'une
.
Ia
A
le
est
on
T(S) ; iIs 8 , 8 ( y ) 9 o0 y
forme
(torsion
d~slgn~e
pr~clse,
commutetlf,
de
RF-torslon
meni~re
par ~
RF-torsion
est
un
~I~ment
les
de
A
per
unlt~s
est
matrices
de
et
C"
l'anneau des
des
syst~me,
et
C'
A(sS)
cause du
le
de
de
ne
des
le
par
d~termlnant
AB(K,L)
quotient
sous-groupe
. Ce
que
Reidemelster-Frenz)
fecteur
groupe
consld~rer
dlff~rent
E G
ou
ce
peut
sl
du
S
= S(K,L).
ind~termin~,
Ie
du
toutes
groupe
unlt~s
de
la
de
forme
•
DualitY.
2.
Nous tel
que,
pour
tout
phisme
de
~(G)
phisme
de
A
l'on
c
C
r
pour
y
et
f
, y
A
, nous
que
8(y)
A-module
consld~re ~ C*
&
comme ,
dens
c G
dens tel
Tout que
consid~rons
est
d~flnl
homomorphlsme
de
C1
dens
de
C~
d~flnl
. Et
llbre
A-module ~ A
per
l'antleutomorphisme si
supposons -1 8(y ) .
=
un
If
dens
= y
gauche
I c A,
C~
Z(G)
C2
C
a
~ gauche
, son
=
est
donn~
d~slgnent
per
e
la
=
un
un en
<e,
C*
= Hom(C,A)
convenant
valeur
I
est
h'f>
homomor-
entlautomor-
duel
h*
un
que
de
fen
. Si
h
sl c
est
l'homomorphlsme .
,
un
-78-
Nous
eppellerons
(C'*,C'*, et " C"*
a*)
,
sont
son
I]*
du
, ~tent les
Soi't S
dual
,,-- -.
que
les
duales
des
bases
l'op~rateur
duel.
Le dual
de
dlstlngu~es
dlstlngu~es
d'homotopie
d'un
et ce d e r n i e r
= c,,
est
+n*IC'*
l'inverse a*
Par
suite,
%(S*) T(S)
si
sont .
S*
syst@me
C'*
C'
et C"
ecyclique
,c,
lee
Et c e l a
sur
une
avec
touJours
cellules
~o~ro do~
meintenent
syst~me
c2 q = l~ i ~ i
phlsme
l'on
notere clots
che~nes
c~ = ~
S , les m a t r i c e s
conJugu~es
a(eS)-I
=
~
K
o;
set
dual
un c o m p l e x e
l'on qul
le p r o d u i t
a;
~
alnsl
les
scalelre.
bord
bV,
sont
lee sce-
on ~o~ont
a un i s o m o r p h l s m e de
r~gulier
Is p r o d u l t
d~termlne
permet
de
un
homomor-
du
identifier,
A-moet
Le dual
a*
de
r~clproque
K*
de
a
6 (cobord).
seit
qu'il
comblnetolrsment
existe
~qulvelent & n-q r e s p o n d e n t eux c e l l u l e s e qul c o r r e s p o n d e n t aux celllules
Un
complexe
K , form~
de
cellules
~176
0
bq
K
qul corq-1 de K et en plus de c e l l u l e s 8 i e~-q dens bK. En posent J~
et
~1
evec
G . Si
c;-~
c;
celles
de
.
d~flnlssons
ot
chaSne et
de
n dimensions,
fondemental,
J Z ~i ~i
des
s~st~me
d'eutomorphlsmes
9 Cheque
c~
dule
est
A(eS*)
orlentable
cho,no~
du
trenspos~es
entreSne
le g r o u p s
d'un
= C"*
le dual
inverses
vari~t~
: C'*
de
+~*Ic""
est
Supposon~
on
de
de
alors a*
c~
bases
le s y s t ~ m e
l'isomorphlsme
+nlc,, est
S = (C',C",B)
entendu
bases n
syst~me
sl
o~q~
e ao~ =~,~6 + ( - 1 ) q
~ 1
bK
-77-
Les
cellules
satisfait is
6
~ ~
dimension
iq-1
S(K*,bK*)
que
n
est
pair
et
K,
pos~es
conjugu~es
sent
bK*
conserve
pair ou
est
ou
ou
, le
bord
change
la
impair,
oppos~
au
~quivalent
duai
matrices
matrices
pair
&
combinatoirement
les
des
est
dens
(mod
bK*)
parit~
de
il
r~sulte
de
l&
de
S(K),
seion
impair.
acyclique,
n
est
isomorphe
ou
bK
est
qua
n
S(K*,bK*)
aS(K)
salon
Comma ~
que
est
Mais K*,bK*
contenues
=~6
salon
que
~tant
ou
S(K,bK)
~quivaIentes.
T(eS(K,bK))
de
T(eS[K))
impair,
et
puisque
sent
ou
dans
ie
de
cas
Oonc ies
trans-
ieurs
o0
si
inverses,
A est
commutati{ ~ ( _ 1 )
Ae(K,
bK)
= As(K)
Ae(K)
=&e
(K,
n+l
Comma
il
[2.1)
vient
~gaiit~.
qui
~e[bK)
a
lieu
(Reidemeister[2
S.
au
Oans g~n~rateur
nSmes de
en
t
PolynSme
la
suite
d~si6n~ et
=
mx+l).
{orment
un
On
a
acyclique, acyciique q a ~ = t - 11
Le
et el
pr@s
,
t
+ e(y)
est
,
cyclique
aiors
entiers.
,
y
e G
~(G)
droite (x de
~
dens
et
=0)
d'un
nous
d~signerons
9a ~ = O
. Le
syst@me
a ~ ~ Im
~
l'op~rateur d'homotopie 1 na = 0 Le m a t r i c e de
{erons corps
l'ar@te
oellules
des
poiy-
usage
des
translation
qua
et
le
avec
rationneis.
la
et
infini
i'anneau Nous
~ coe{ficients
a~ =
~,
a ~ r Ker~
admet
groupe
de
{ondamental
e~
le
~(G)
e
la
sur
(t-l) car
de
sommet
r~gulier
Ba I =
sera t.
d'abord
syst@me
morphismes
G
& coe{{icients
rationneiIes
(x
ind~termin~
inJecti{
Prenons t
Ae[K)(-1)n
d'Alexander.
par
t -1
l'homomorphisme
{onctions
{acteur
Ae(K)
3 , M i l n o r b ] )"
Application.
un
= Ae(K)
bK)
a 1 = ( 0 < x < 1)
complexe encore S OR}
Mais n ~+qlC"
& autopar
n'est
pas
aS[ ~)
est
d~{ini se
alosi r~duit
~.
:
-78-
eu
seul
pr@s
1
el~ment
1
t-1
D'epr~s
[2.1]
n = 1,
on
dolt
rifle,
Ia
conJugaison
~(t)
evoir
= ~[~)
Bans quement ~tent
sur ia
sorts
Ae(~)
~
A8(~)
= t-1
(eu
facteur
est
= Ae(~)
vide,
(•
(b P ] = 1 et e ce q u i e s t b l e n ve1 t en ~ 9 de s o r t e
k)
simplement
A
.
, on
x S1
LEMME (MILNOR)
b IR
changeant
leces
L
, comma
d'un
Si
morphismes et si
x L
~
AS ( R
x
L)
,
=
a
K
As( ~
x S 1)
t
operant
(t-l) - X ( L )
d'Euier-Polncere.
, on
:
prodult
obtient
cerect~rlstique
cyiindre
qua
*t k ) .
indetermine
que
de
En
, X(L)
pertlculler
ala
pour
Is
= 1
a un groupe cyclique infini
K/G
Identl-
G
d'auto-
m~me homologie que le cercle,
eS(K)
est acyclique. Prenons de
cellules
de
d ' incidence,
-
KIG
sont
II
lJ
On
e eussl & un
Pc
vcisinege ~
de est
ses
tous
~ pq
K
est
sommet (dens
Prenons
maintenant
et
K
son
du
groups
As(K)
.
K/G
un
noeud,
rev~tement
transformations car
ce
les
et
per
connexe, 9 et
noeud E
cycllque,
~ ( S 3 - T)
suite
du
Bettl
= rang
pq
=
0
0
ta
non
S3
, et
soit
T
csiIulaire au
groupe
~tent
ie
lemme,
d'un
cercle.
homo-
).
.
G
l'homologle
est
S(K)
noeud,
a
q>l.
~-~a
= 0
associ~
de
0
dens
compiexe
O'apr@s
)
de
pour
o-chains
Pl
rev@tement.
q relations
r'
comma
de
e
Bettl de
toute
dens un
de
o~
entrains
....
ii
nombres
e S ( K ) , st
(i=1
1 lee
ejq-1
nombres
Les
a~
d'Euler-Poincar~
de
ll~ij q
- r'q - r'q+l
p~
0
metrics
nuls.
formula
acyr31que 9
torsion
a~~
~ J=l
qua
a~
fondamentel q {t) ~iJ
=
is
= Cq
d'un
tubuleire
~ ' ( S 3 - T)
p
car
muItlple
@e de
sont
O,
syst@me
montrer
9 donc
d'oO le
rang
par
=
un
soit
de
r q - r q+l
(t-1)e~ Enfln,
le
donn~s
effet
et
sufflt
_< rq
logue
S3
K rq
Ii
Pq = ~q
en
Ie
un sur
deriv~ groups 8S(K)
Cherchons
sa
-79-
Par "colIaps6" 1
ie
oO
a
a
en
peut
contractions
un
de
un
2 a.z
iuies On
sur
nombre
K
des
compIexe
sommets.
syst6me [i
~1
ensuite
trouver
des
1-chaines
module
aA
:
j
r~sulte
fondamental
= ~2
une
et
par
base
(j
=
1
"
se n)
cij
(t) Aj
se
~tre r~duire
ram6ne au c a s o a , de 2 - c e i =I...,n+1=~I).
d'Euler-Poincar~. Aj
r~duit
....
peut
sommet 1 ai (i
formula
distinguee
(auquel
0
d'un
peut
i'on
l'on
d'ar~tes
ia
= K/G
et
qua
form~
= ~2 ) + 1
K
2 dimensions,
Iien
= 1 ..... n
effet
~
formelles,
(J
C')
et
aA
= I ..... n+l)
teiie =
n+l
On du
qua
(t-i)
a~
"
On a alors Iss relations @a2 'z
n+1 ~
=
J=l et
comme
~2
=
II E i j ( t ) I I trice
est
0
se
remplagant
de
un
t
a-dire
qua A(O)
A[1)
pros
de
exemple
son
terme
= entier
d'homotopie
matrice
de
@+q
•
K
. Comma
ia
forme
a~
par
de
pius
fini
#
C"
~c-i
I C"
. Carte
ma-
d~terminant du
noeud.
d~finissant
dont
tous
Ies
est
sans
torsion
A(t)
n'est
Ie
En bord
diviseurs {au
@l~sans
d~termin@
(qu'on peut modifier en 2 • t k a I ), on p e u t ie n o r m a i i s e r
A(1)
. il l'on
soit = I
de
suffit
de
peut
poser
d~finir
0
alors
II ij(t3 II t
degr~
0
, c'est -
.
2 na i =
An+l
est
matrice
• tk
1 :
son
matrice
et
et
la
d'Aiexander
degr~
0
que n x n
st
bas
Ae(K)
o
La
, matrice
=
sur
na
la
puisque
calculer q
carrie
polynOme
obtient
1
sorte
d'Alexander
= K
~
, de
matrice
le
, on
K/G
Donc
Pour teur
est
~gaux
par
une
: 0
matrice
1
de
facteur
sorte
Ia
par
sont
rempiagant
~
= A(t)
Poincar@).
qu'~
en
r~duit
2-oeiluies
mentaires
Ei(n+l)(t)
appsl~e
d~t II~ij(t)II
des
,
i
l'op~ra-
-80
a (K) 8
d'oO
per
divis~
A(t) t-1
=
9
rev~tement
d'apr~s se
ce
r~duit
torsion
encore
cycllque
qu'on alors
de
a vu, ~
polynSme
A(1)
bK
Ae(K)
coefficients en de
A(t)
~tant
ale
slgne
= I , on
de
treSne
qua
Is
polynSme k = 1 un
4.
de
Un
de
un
+
et
de
Milnor
th~or@me
Etant
C1 x I
m
tore, La
est
sont
~
x S1
donc
car
c'est
As(bK)
relation
et
mlneurs
entlers pair
= 1
(2.1)
Comma : les
~gaux. le
Ii
coefficient
pair. th~or@me
clesse
d'ordre
m@mes
et
conJugu~e de
qui
de
dualit~
se
de
et
cette
r~dult
proprl~t~s
en-
transpos@e
Whitehead,
n-k+1
normeIls~, des
des
le
se
degr~.
sym~trique
est
g~n~rale,
son
est
sereit
~ le m @ m e
encore
et
&
sl
metrlce, A(t)
Ak+l(t)
ont
~t~
~tablles et
une
examples.
La
par ~tude
Seifert
[5].
d~teIIl~e
d~monstratlon
Volt
de
ces
cl-dessus
Fox-Milnor.
donn~s
surface
et
=
entra~ne
A(t)
d~monstretion
de
existe
1)
d'Alexender
[lJ.
dens
(0,
et
A(t)
II alj(t)ll
ncmbreux
rentiebles
I =
pol~nSme
Ak(t)
Butte de
bK
cyIlndre.
t m-k
plus
des
a
d'un
normalls~,
proprl~t~s
avec
une
au
= * t m A(--lt)
suppos~
, Jcuit
une
poiynGmes est
pgcd
divlseur
pour
mani~re
Ak(t)
Ces [3]
est
= As(K)
appertlennent
est
pour est
et
la m a t r l c e
II cji(~)ll_ Ak(t)
~gale
. On
surface
r ~ s u l t e q u a le d e s r ~ m de m t~ est i m p a i r , slnon A(1) O'une
ce
tk
As(bK) la
A(t) Le
est
t-1 Cherchons
un
La
-
S3
deux
, disons
noeuds qu'iIs
diff~rentiable
, hom~cmcrphe
~ une
. Le
de
th~or@me
C O et
C1
scnt S
ccuronne
, courbes
diff~-
FM-~quivelents,
plong~e
dens
I x S1
Fox-MiInor[~peut
S3 x
bord~e
elors
s'il I per
d'~noncer
oO CoXO einsi~
-81
THEOREME
Le produit
:
deux noeuds
-
de8 polyndmes d'Alezander de
A(t)B[t)
FM-~quivalents est ~gal au produit de deux poly-
ndmes (~ coefficients entiers) sym~triques l'un de l'autre. A(t)B(t)
Solt de
la
S3
x
T
couronne I
- ~
lulelre edmettent
S
e
sur
compIexe
bK
=
Ko ~
KIU
S3
x
i
~ ~(S 3
cycllque on
a,
A(t)
L
S
G
une ,
r@unlon
que
un
x
Co
x
d'un
cercie,
et
x(S)
dlsjointe
Ae(bL)
des
=
B(t)
S
=
0
de
. On deux
= 1
a
solt
(associ~
x
et
il
un
~
~'(S 3
= Ae(bK,
AB(bK,
KoU K1)
le
rev~tement
O)
,
et
. D'epr~s
ce
polynSmes
Ae(KI) eussl
A
complexes
et
L
e
cyclique =
S
x 9
qu'on
e
AB(L, bL)
KoU KI )
.
= AB(L,
bL)
~
, ~r S1
= 1
d@finitive
AeCbK)
= AeCK o) Ae(K 1 ) =
A(t)B{t)
(t-l)
2
no
de
CO
3, et
C 1,
= 1 b x ~
As(L) =
= 1
Ae(KoU KI )
AB(K ~ u K1 ) = AB(K o) Ae(K 1 ) en
au
=
isomorphes
)
C'est
vu
(L,
1
- ~)
rev~tement
, Ae(L)
bL)
ceI-
un
B(t) = t-1
comme
a
I
I
de
d'Alexander
et
on
x
bord
dimensions,
x
compIexe
de
4
vient
Ae(bK)
vari~t~
K
Ae(bL) Eneulte
Le
I
~
lee
"
CI
S3
rev~tement.
S1
~tant
et
dens
de
1,
x
A(t) = t-1 =
O
tubuleire
transformatlons
est
(i
bD 2
x
cycllque
Ki
i)
volslnage
par
vari~t~
oO
Ae(Ko) parce
D2
rev~tement
sur
de
x
bord~e
groupe
un
-
S
I'homoIogie
son
Ie
=
= P ( t ) t m P(~) t
L
est
, d'oO
la
-62-
Mais
d'apr@s
sant
(2.1)
(-1) n = 1
, cela
eat
puisque
As(K)
n = 4
est
une
conciuslon
~onctlon
r~suite
composition
AB(K)
) d'oO,
:
en
posant
1
l&
en
~ coef~ic•
tenant
compte
poIynSmes
ratlonnels
en
: A duallty
theorem
des
(l'expo-
. AB(K)
+ tk(t-1) 2 Q(t)Q(~)
rationnelle
de
~
= Q(t)
A(t)B(t)
Q(t)
~gal
ratlonnels.
de
i'unlclt~
facteurs
de
Ia
La d~-
irr~ductlbles.
REFERENCES
I.
J.
MILNOR
Ann. 2.
K.
REIDEMEISTER
o~
R.
CROWELL,
R.H.
(Ginn 4.
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Fox
and
J. and 63
5.
H.
SEIFERT
and
Company,
~Or
(1957), des Ann.
o~
46
Knot
110
Homotopie (1939)
p.226-239.
Theory
1963) o~
Knots.
2-spheres
BuIi.
p.406 Gesch~cht
.
yon
Math. to
torsion
136-147
Schnltt
: Singularities
equivaience
Math.
p.
: Introduction
MILNOR
: Ueber
und
Monatshefte
FOX
Reldemeister
76(1962).
: Durchschnltt
Ketten, 3.
Math.
~or
yon
(1934),
Knoten. p.571-572.
o~
Am.
in
4-space
Math.
Soc.!
-83-
VII.
LE
THEOREME
DE
BARDEN
ExposQ de
Soient de
m@me
dimension :
D~finition orient~ej
M'
M,
deux
Un h - c o b o r d i s m e
1)
bW = M'
2)
W
varl~t~s
j telle
n+l
se r ~ t r a c t e
connexes
et
M'
disme
M
et
M'
C3]
e d~montr~
sont
. C'est
dlff~omorphes
[par
O'eutre part
L(7,2)
dimension
x S4
3 de
connexes
un
s'il
une r e l a t i o n
sl
M,
existe
(p,q)
M'
sont
dim M = dim M'
des
> 5
diff~omorphisme
d~signe l a
. On
des com-
un h - c o b o r -
d'~quivalence.
de
vari~t~s
Blots
degr~
M
et
+1].
un example de v a r i ~ t ~ s
pes d i f f ~ o m o r p h e s . Ce s o n t
L(p,q)
type
sur chacune
M i l n o r donne dens [ 1 ]
ne s o n t oO
est une v a r i ~ t ~
de son bord.
qua
h-cobordentes simplement~et si
et
fsrm~es
que
h-cobordantes
lE~-.exes
h-cobordentes qui
M'
et
par d ~ f o r m a t i o n
M
sont
orient@as
M
entre
On dira que
M'
(1]
+ C-M]
posantes
Smale
M. K s r v a l r e
- STALLINGS
n
de d i m e n s i o n
entre
MAZUR
veri~t~
L(7,1)
x S4
lenticuleire
de
a
[L[p, q]] ~
ZI p~
Soit le
rev~tement
W
un
universal
de
M
s'identifie
est
un
isomorphisme).
(1)
Cet 40
expos~ (1965)
eu
a ~t~ , p.
31
h-cobordisme de
W.
rev~tement
publi~ 42.
Le
entre
M
et
sous-espace universal
~galement
dens
M'
de
de
M.
~
et
soit
au-dessus
[H 1 M
Comment.
Math.
~H 1 W
Helv.
-84-
On (W,M)
d~slgnere
rei6vement
par
d'une
est
acyclique
(~ = 01
M
et
~1
T(W,M).
C'est
D'apr6s
des
guletlon
t
THEOREME alors
W
, on
du
cl-trlangulation de
c'est
peut
groupe
connus
un
lui
de
(W,M).
essocier
ne
compiexe
~ [~]-module
Whitehead
T(W,M)
Le
une
libra
torsion
WhC~)
d~pend
pas
de
de
~
la
trlan-
de
.
.
lee n o t a t i o n s oi-dessus,
est d i f f ~ o m o r p h e
De plus si
comma
W)
~i~ment
Avec
:
et
M~I
th~or@mes
une
C1-trianguletion
C . ( W t ; M t)
un
C~ t, ~ t )
M
et
x
~
M x I
supposons
que d i m ~
si et s e u l e m e n t si T C W , M )
sont donn~s a r b i t r a i r e m e n t ,
~ Wh(~)
6
= O.
il eziste
o
un h - c o b o r d i s m e
Sma le
a
d~monstratlon
II
est
Mt
@vident
qua on
maintensnt
W
:
qua
dim
W = M x I +
Crs)
d~signe
O s x O n-s+1)
En W
sl
M'
tel que x ( W , M ) = T
essentiellement
W
est
a slots
en
les
L E M M E 2 : Si W = M x l .
Cr
r
+
un
W
Pour tout e n t i e r
d ~ o o m p o s i t i o n en anses de
de
utilise
En e f f e t ,
Supposons
LEMME 1
o~
et une vari~t~
les
m~thodes
de
M x I , on
diff~omorphe
W = M x I
Wt c o l l a p s e
et
"
M'
(*)
M
E3].
Solt et
entre
La
TCW,M) = 0 .
sur
W
h-cobordisme
= n+l
. On
tel que
r
W ...
2 6
remplagant
W
par
M
a
2 ~ r
+
..[r
+
Cr
il existe une
5 n-2
s
+
on des
est de la forme
peut anses
(')
"'"
+ (r
(i.e. d i f f ~ o m o r p h e
a t t a o h ~ e par le p l o n g e m e n t
termes,
entre
de la forme
une anse d'indioe
d'eutres
quelconque
rs
de
~liminer de
deux
S s-1
toutes
x D n-s+1
les
indices
et si x ( W , M )
= 0
enses
cons~cutifs.
on a
0
-85-
On n~e
d~
les
anses
(W,M)
montrer
lemme
ne
m@me
~
M x
d~composition
Xq
la
Y
= bX
r~union
moins
- M ~
q
pour
on
~limine que
la
I +
une
X
x
(
q
@1)
ordonn~e
en
de
M x
(0)
. Autrement on
~ I).
I
x D n-q+1
Elimination
des
(n+l)-disque des
ie
ii
n'y
On
(@iq)
on
anses
ordon-
attach~es
event
(s,t)
Pour
les
anses
d'indices
q+2
. En
obtient
d~-
appliquant
la
~ormule
(*).
des
a plus
On
de
M.
est
de
(0)
d~signera . On
composante ~ q+l
.
par
pose du
bord
(Tout
au
~ 0 q x Dn-q+l
dens
images
,,,
~ q
di~omorphe
Dq x les
On
d'indices
e s t la q anses d'indice
les
+
de
I a'n s e (0)
x
(@iq ) sn-q
" Oe et
0
.
~acile.
M
I
x
ne
Une
. Comme M
x
change
d'une
unlt~
d'indice
1.
d'indice
0
d'indice
1
I
ense W
le
Apr@s
est
au
pas
d'indice connexe,
(~
nombre
un des
hombre
est
l'une
(n+1)-disque. W
un
0
Si
1) X
+
+
...
M x
I
(@1
. Comme
+
l'on
digg~omorphisme anses fini
d'indice
d'op~rations
.
(@~ 11
est
connexe,
X
1
est
un au
consid~re
XI = x I
(@q)
Y
est
on
diminu~
anses
+
W mod
anses
1 Joint
anses,
anses
de
dit,
d'indice
d'anses
des
des
,,
respectivement
d'indice
a ainsi
anses
(@iq)
operation
deux
nombre
X = M
duale,
d~signent
anses
anses
Elimination
o0
d'indice
en
sont
d'indices
o )+ (@~1
+
i ' image
disjoint
ces
et
L'ense
dens
Cette
et
couple
anses
attache
~
pros).
s ~ t
successivement
des
''"
d~signera par O~ -q n-q~l m@me S et Ok
supprime
tout
+
IaqueIie
pour
moins
d~composition
d'indice
d~composition
On
(0)
enses
une
Soit
:
q
existe
t
rajoutant
Notations.
q de
les
1,
m~thode
W
qu'il
, i.e.
d'indice
ie
q < ren la
rappelle
somme
connexe
0
-86-
le
long
du
bord
de
X
evec
~1 cO
X l )
(x I .....
S 1 .....
S 2
~1(XI)
donn~es
soit
des
~ICM)
Le g r o u p s
=
Comma
wi
on eat
il
exlste
a
ne
les
~1
($t
On Y2
" est
On
que
le
:
S
g~n~rateurs.
conjugeison
1
Solent
dens
on-1
x
une
Xal
;R 1 . . . . .
un
>
presentation
Rt ,
S1 .....
isomorphisme dens
les
H I ( X 2)
symboles
at
bX 1
de
HIM.
S ~2
)
du g r o u p s
.
de
, i = I ..... ~I el,...e
. s
H 1(x 1)
des
~ j2
(S 1 x
Dn-1
x
Comme
HIX 1 ~
HIY 1 ,
2)
(n
coupe en
n-1 SI,
que
r
(r
(2)
saul
...
j
elles
et
2
notation et
i'
entre
= 1 "" ..,a
(cf
sl
ct-dassus)
qua
~ i
" consld~r~ comma pIongement -1 XlW i devlent trivial dens
dens
.
d'Indlce cl-dessus
+
,
point,
,I +
dlsjolntes
S ln - 1
= ~
car
1 X = X +
un
) ~
l'anse
condition
sont
(S 1 x O n - l )
+ 1 > 6)
2 (@~)
> Y1
supposer
r
(0))
& z~ro
D n-1
x
peut
des
observe
Solt salt
de
On e d o n c
le p r ~ s e n t e t l o n
indult
S1
images
homotope
~1(X2 ) ~HI(Y
r Rt )
x I .....
:
trensverselement r
& ~I
classes
c o n t e n e n t que -1 XlW i dens
-I xiw i
qua
libre
x i = w.1 (el ..... as)
dlsJolntes (2)
x 1)
.
piongement
repr#sentent que
des
RI,...,
~X 2
@i
(1)
R 9 (x I . . . . .
le g r o u p e
;
es,
l'~l~ment un
= ~1
clots
X
S 1 x Dn
pIongements as
(a I .....
un mot
Consld~rons
Ies
edmet
l'inclusion
Poincar~, cO
per (e 1 , . . . .
=
(Xl)
d~signe
plains
tores
repr~sentants
~1(X2)
~1(X2)
el
( ~I)
2
attach~e
Implique
per
:
2 +
(~1)
+
...
+ (Q I)
$i
" On
'
-87-
En
vertu
de
la
condition
X 1 + C~21) § . . . et
lee
anses
X2
Or, i
~i
Is1
+
C~ 1)
(0)
est
d'un
est
trlvlalement
on
peut
&
Y2
~(x)
dens
un
Y2
dim
" Comma
en
de
Y2
qua
lee
r~sulte
= n
dens
~i
: S 1 -----,SO
~
. Ii
)
canonique
chanKement
supposer
X2
C~2 2 )
,
+
evec
donc
vari~t~
Oonc
plongement
. Apr~s
attachQes
+ ...
la
C~ ) + ...
) -- X +
. y)
peut
~ormer
commutent.
~ z~ro
de
(x,
n~cessalre,
C~
isotope
point =
(~2)i
...
homotope
'(x,y) ~i
par
+
, on
+ C$2 ) + ( # 12)
et
est x
slnaKe
(~2)I
C1)
anses qua
le
"
sl
2
(~i)
l'on
rol-
~il d o n n ~
en
n-1
~ 5
peut
cele sont etta-
char 2
X2 + (0~1 des
anses
d'indlce
3
...
...
($~1)
+
(~)
, dlsons
X2 = X2 + C ~ ) + On
+
. I = 1 .....
+ (~)+ 1
(~)+
ml
...
. telles
qua
C~1 )
e alors
X2 = X . i.e. per dice
lee des 1
anses anses
est
...
d'indlce
+ (,2)+
I de
d'Indlce
3
W
(an
(,~)+ ont
nombre
QtQ
...
+ (,~1)
~limln~es
~gal
aux
st
anciennes
remplacQes anses
d'in-
) .
Elimination (r
(,~)+
des
anses
l'entier
d'Indlce
arbitraire
q
du
avec
lemme
2
_< q
< r
6)
donn~ .
entre
M et
M~
-88-
On les
anses
posante
rappelle
d'Indice
connexe
du
d'Indlce
> - q+l
v~tement
unlversel
au-dessus H
q
(X
q
,X)
est
Solt rel~vement
II xie
bord
de
X
3 :
un
si
qua wk
~tant
P
q prend
au
disjoints
q+l P On
Solt lee
bord et
x r
~
etc... notera
lemme
comme
que
Puieque
(W,M)
~q
, le re-
pour
point
des
~
per
la
et
g(sq)rhS
dans
coupe
Sjn -q
de
~ ~
~
< n - 2)
pour
Yq
transk ~
J
repr~sentent .
On
peut
alors
~llmlner
Y
un
n-dlsque
les
: base
anees
de
d'Indlce
q q
. On
notera
plong~ ce d~-
Indlce
de
k (1 S k 5 8) on c h o i s l t un c h e m l n l'image ~kq+l (S q x D n - q ) les c h e m l n s wk
contenus un
dens
point dee
Y
base
Int
de
~
U k
#q+l k
au-dessus
(S q x D n-q) de
P,
et
.
solent
cellu~es
le p o i n t
l'op~rateur est
d~termin~e~
isotope
g(S q)
d~montr~.
suit
est
>Yq
tel
x E ~(q
(c~ n o t a t i o n s d
dens
~ pr~s.
: Sq
point,
ce
rel~vements
d~termln~s
D~
unlvoquement
q
aqk§
de
un p l o n g e m e n t difg~rentlable. Un q represents une c l a s s e de la ~ o r m e
>u
avec
Y ) disjoint q P . Pour chaque
de
q rel~vement
les r e l @ v e m e n t s
Supposons
On
M x I avec
-(M x (0)) est la c o m q ~ l a q u e l l e sont a t t a c h ~ e s lee a n s e e
~l~ment
en un aeul
d'Indlce
de
= bX
q
q (x i r ~ E ~ ] )
: Sq
c Hq(Xq,X)
(dans
~Y
Le p l o n g e m e n t
si et s e u l e m e n t
Y
la r ~ u n l o n
X
dans
g
un
: Sq
par
veraalement
anses
a~
s Hq (Xq,X
un p l o n g e m e n t
•
et
d~slgne
qui e ' I d e n t i ~ l e a v e c ie s o u s - e e p a c e de q X . On I d e n t i ~ l e a~ a v e c sa c I a s s e d e n s q I q a l o r s un Z~module l l b r e e n g e n d r ~ p a r les a i .
~
multiplication
LEMME
s q,
de
~
de
X
q que
. Solt
de
qul
que
oq ~1 ~mes des anses d'Indlce -k , les r e i ~ v e m e n t s des w d'orlglne
~
q+l_k a pour N
cl-deesue. bord
acycIique,
d d
: H
bord ,~+~{S q x CO))) ~
(~q+ ~ ) ~ H (~ ,~). q+l 1' q q q eat s u r J e c t i ~ . Pour tout index
-69-
j
(1 _< J _< ~)
, il
existe
7. k X j k (observer
que
d
est
: Sq
passant
par
Index
Oe dis
g isotope peut
qua
I r EI,6]
&
encore
se d o n n e
si
~
(sq
de
1'on
>Yq
dens
Y
-~
~kq+l
choisi
~ volont~.
f
en
"tirant"
f(S q)
repr~sentant
x
d~former
w
Jusqu'&
Ensuite D; +1
ce
on
(~1
arrive
passer
f(S q)
x S In-q-1
(cf
SmaIe
g
tout
x c H
= ~
pour
d'abord
le
est
bien et
le
long
0; +1
par
op~ratlon
signe
g
d'un
~ ~ +l(sq
de
le
obtenir long
puis
cette
o~
1
suffit
voislnage
Apr@s
[a q+l)
-
par-dessus
[3]).
~)
arbitrairement
+ xd
q < n-2),
au
(par
plongement
Ii
car
i 'on
qua
felt
Yq ~
rei~vement
(S q x D n-q)
qua
~tre
.
x D n-q)
son
un
Z[~-modules)
plongement
se d o n n e
tel
q+l
de un
k
, il e x i s t e
: sq ~
= aj
II -~Jr q+l
q
P , la c l a s s e
d6terminQe. un
~Y
que
q
d(a q+l)
on
r 7Z[H]tels
Xjk
un h o m o m o r p h i s m e
Si m e i n t e n a n t f
doric des
de
lacet
du
chemln
x Dn-q).
Isotople on
sur
obtlent
pIongement
g isotope
u
~
•
: sq f
sur
Y
9 d ( a ;~ +I)
de ~ a i r e
passer
f
+ ou
-
on
donc
modifier
dCa +1)
dens
par-dessus
cette ~
formula. par
O q+l 1 Par
n'impcrte
qul
d~termlnent
iteration quei
de
~i~ment
les
ce p r o c ~ d ~ , de
la f o r m e
avec
Solent canoniques
(S q x O n-q )
[mais @ v i d e m m e n t pas sur Y ) tel qua q+l q Ii est f a c i l e de v o i r q u ' i l y a d e u x f a g o n s
(S q)
signes peut
- ~k ~k 9 q+l
~Yq
alors
(triviaux)
@I
: S q x D n-q
disjoints X
q
+
et
(~1q+1)+
contenus ...
des
~Yq
dens
+ (~q+l)
plongements P
. On
forme
un
-90-
Comma
i
ces
anses
= 1 ..... e X
On f o r m e images
tell~
= X
q
X des
q + ($
trlvlales,
+1)
et
@1
existe
+ Z(@;+2) a q+l ~k
isotope 0 -~ Xlk
sont ~ s J o l n t e s ) . ~ un d
+ r-($q~ 1)
d'apr&s en
IIen
le
lemme
3 , on
point
saul
$ ,i
(S q x on-q ) ~ Sjn-q
lee
le
dont
le r e l ~ -
supposer
= 0
~
que
pour
(S q x
(0))
coupe
et
J ~ i
.
(@k
=
)
et
C$ i* )
commutent
X + Z(@~ § )
suit
= X + z(&q+l)'k
Autrement par
dit, des
on
Ii
est
la c l a s s e l s o n
q+2)
= Xq+ 1 + T [ $ [ )
+Z(OI
+ ~(~iq+2)
+ Z($; +2)
e ~limin~
anses
Reste
pas
Y q+l
9 d'apr~s le remarque
q
= ai
(transversalement),
q+l
anses
Xq+ 1 = Xq§ 1 + E(~; +1)
placer
sur
* Z($~)
*
s'en
les
qua
Xq+ 1 + ~ ( ~ i ) Ii
peut
un
r~sulte
comma
$I9
car
.
+ ~.( *) ~i
q+l
X = X+ Z ( r et
Or
plongement
(_q+l)
= X
q+l
S n-q i
q+2) ($~
On a d o n c X
et,
($;+2)
anses
9 C'est possible
m k
pr~c~dente.
des
q+l . q+2 + ($~ ) + [$1 ) +'''+
+ ...
des
est
represents
il
qua
+ ~(@;+1)
q+l @i
plongement vsment
sont
les
d'indice
& d~montrer ~vident
anses q+2
le
d'indice
pour
les
ram-
.
lemme
3 .
qu'unelsotople
relQvement.
q
O'autre
de part,
f sl
dens f(S q)
Y
q
ne coupe
change S; -q
-91
en
un
soul
pour
point
(transversalement)
k # j , ii
sst
clair
R~ciproquement, : •
q.
. On
-
pout
n-q si f ( S q) f~ S k
et
qus
~
: +xa q J
soit
f
: Sq
supposer
que
avec ~Y
routes
un
q
les
x e plongement
intersections
avec de
f(S q)
l
avec
los
S
n-disque non
plong~
vides
"point
tel
aussi
Pour
disjoint lacet
l
nues
dens
clalr
que
On
q que
suppose
f(A)
Soient
f ( U ~z)
pairs
P
Dq x
~
P # B
d'indices
int
de
) C
U
. On
:
Soit (i,v)
Y
(i.e. un q ) repr6sentant
A
chemin un
Qv. de
bU ~
r
soit
A vi
certain
qu'il
exists
des
teIs
que
Sq (r
i
)
f { A v] i
que
chemin
~l~ment
P.
points
l'anse
et
pour
les
Bur
Alors
d'origine
P
rencontre
sur
tel
un
ui ~
Ov i
un
contractibles
f(S q)
supposer
bord
A iv
et J o i ~ n a n t
que
centre
S
construire
prendra
slots
peut
de
de
intersections
x D n - q + l ) . On
E P
(disjoints)
f(Q
facile
~galement
U v. x
est
a des
(sq-1
form,s
des
w.
r
) ~ S n-q i
que
touts
los
Ii
qul
f(O
f(U i
st
Y qq
que
tels
q-disques
Y
transversales. dens
tous
de
A ~ Sq Sq
P
avec
base"
Soit de
sont
e P
.
Sq
f(u~)
est
un
d'extremit~ contev xi E ~ II est
q = r,ir,v c~
e~ : I
o~ il
en
(f(U~),
S? -q) z
:*
I
x.~ a i
. Comme
T
: •
q i
par
hypoth@se,
r~sulte V
r
v (Hq{Xq,X)
est
i / j,
on
pout
telles
que
disons
j
group,s Ii
est
pour
un
x~ tel
grouper = xp i que
i : j
peut
est
(dont
homotope
Is g r o u p e
tout
i
s'en
suit
qu8
pour
tout
points 0i en p a i r e s (O i , 0 l k p e = . Pour i = j , il e x i s t s un i -si
x.
:
x
de
,
voir
st
@ z~ro
que
dane
Qj
touts par
u ~i
Poinoar6
los
tellss
~limin~e
[u~) -I
de
Ii
pour
los
st
~tre
e f f e t 9 le c h e m i n qui
libre).
J (Q~j 9 B~)
facile
x
=•
~[~module
en p a i r e s slors
xi
i
se Yq
est
evec
que
v >
k p xj = xj
paire
st E ).
en ~ i t
peuvent
et
(@~'z Q~)
la m ~ t h o d e proJette
1
dens
f
sur
~tre
k ej = ~j
.
, m~me
de W h i t n e y .
par
v Oj
En (w~ )-I
Y q -U k s~-q
.w i ,
-92-
Ii
soustend
donc
ferm~
en
lui
darts
Y
-L~
q de
Joint disque
(fO chang~ tient
S
un
)
aux la
de
(*) (le au
(apr@s chemin
dont
, ne
qu'on
de
P
en le
l'int~rieur
+ 2 < n
bien
f
. On
connu
dO
pr~sente
ait long
peut
d~forme
de
@tre
f ( S q)
~ Whitney. plus
fait
la
Le
paime
un
vrai
S ni - q
) plong~
suppos~
dis-
le]ong nouveau
de
lacet
de
ce
plon-
points
points
d'intersection avec S Rien n'est l' on o b paires (Oi,, Oi~') , . Par r~currence
autres
du
lemme du
lemme
1 est
lemme
3.
ainsi
2:
compl@temsnt
Soit
W
un
d~montr~.
h-oobordisme
entre
M
st
forme
W = M x I nombre nombre
T(W,M) se
~
conclusion
la
q
procdd~
D@monstration M'
car
de
Le
un
, et
isotope
, fO
2-disque
adjoignant
f ~ S q)
par
gement,
un
+ (@~) + I
d'anses des
= 0
d~truisent
i
i
+ (r
d'Indice
anses
. On
i
va
r
d'indice montrer
r
r+1
+ (@1
esten r+l
que
Ies
) + ...
effet
dans
ce
anses
+ (@~+11
n~cessairement
cas).
~gal
Supposons
d'indice
r
et
r+l
mutueliement.
On
sait
que
l'on
peut
calculer
la
torsion
~ partir
du
complexe d
...z oO
0 ( comma
Hr
(Xr,X)
m
tels
que
rk = 0
bles
sont
des
d'un
et
produit
On
de
dens
coorl'espace
~ un
is
un
= J/h
si
k > m : a et
a alnsi
et 2m-2 J h
et J/h
de
points 2m-1
aj
S
sont ~
des
de
l'ordre mk
(J
est
change
pair
d~termin~ $2n-1
I'o-
munie
d'unB
z I ..... z des (mod
tels
m
k h).
qUB
l ' e n s e m b l e des p o i n t s (j+l)/h
Ces
ensem-
est en e f f e t le " J o i n t " de 2m-1 aj Ie J o i n t de m-1 c e r c l e s celZules
les
coordonn~es
S 2n-1
nombre
l'ori-
1
effet,
qui
&
coordonn~es
bien
S @m
=
h),
I'une
d'un
entier
des
,
de
sphere
qua
2 r k
z k ,an
syst@me
signe
.
centr~e
(mcd
transformation la
n)
n Z k=l
que
z Ken
prend
i'ensemble
r
point,
une
sera
et
CBIIules
d'un
segment.
changer
2m-2 a. J
mk
(k=l .... n)
changement
l'on
li~e
mk
d~termin~s
Ie est
Si
~ 0
entiers
pr~s.
Solt
cercies
r k
signe
permettra
rk = 0
les
a
sont
orientation on
1,
que
S 2n-1
les
qu'on
s'~crivent
. Supposant
ne
de
l'unit~,
I'alde
(K = I . . . . .
Iis
l'imaainaire
rientaticn
rayon
dirons
de
au
de
. A
S 2n-1,
caract~risti-
choisies
2n et
sph@re
k
= E
z k = rk e 2 i v @ k
R
de et
premiers
la
recines
~ = e
~quatlons
de
= 0 .....
h-l}
de
m-1 et cheque
'
n
,
-97-
dimension
(m = 1 ..... n)
~drale
S 2n-1
de
Solt se
r~dulse
avec Ies
au
~
points
h,
des
de
de R'
et
ses
:
Ses
mais
de
rotation
non
pas
m@tre
une application r~el
t
nous
pIus
forme
appellerons
un
sont
encore pre-
groups
des
(1)
sans
racines
toute a p p l i c a t i o n
qui satisfait f
seront dites
(R,R')-homotopes
d~pendant
et se r~duisant
de
la
R 'h
n~cessairement
(R,R')
R = R'
(R,R')
qua
primitives.
en elle-m~me
(R,R')
poly-
telle
n~cessairement
application
f
existe
sont
aussi
caract~ristlques
(2)
Deux applications
qua
n~cessairement
S 2n-1
subdivision
S 2n-1,
sont
m~ ne
n'engendre racines
de
~quetlons
qui
une
R
entiers
On appellera
f
d~flnlssent
par
autre
des
R'
l'unit~
D~finition continue
mk
car
fixes
h-i~mes
une
l'Identlt~.
lieu
~
invarlante R'
invariants
miers
, qul
contin~ment
~ l'une pour
t = 0
s'il
d'un para-
et ~ l'autre
pour t = I
THEOREME
1
: Deux
applications
elles ont le m~me degr~, eziste une a p p l i c a t i o n que
(R,R')-homotopes
et dans ce cas seulement. (R,R')
rnn
m I m2...
Soit (k = 1 . . . . . f ( r k)
= rk
f . R ( r k)
n).
PK
= Pl
de degr~
si
Pour qu'il
d , il faut et il suffit
m~
n'est
en
chacun 0
~ m 1' m'2 " .. m'n
entier
tel
et
... nulle
qua de
f
congrues
Pn
m'n
est
desqueIs
l'image le
R'.f[@k)
et
(mod I ) .
, car
un
f de
m
1
k en
dont de
f
h) (mod
h)
elle-m@me
~ (2)
,
telle
f
aucune Idol
n'est
qua
car
= Pkm~@k * m~/h
Le degr~ de
point
par
jacobien
PK S2n-1
(mod
satisfait
f(@k ) = PK m~ ~k
= Pkm~@k + mkPkm~/h
rk
d
un
d
L'application
deux v a l s u r s ~ n t
de
sont
lron ait
(3)
do
(R,R')
est
et
ces
~gal
des
coordonn~es
points
exactement,
pas
nui
eta
le
slgne
-98-
En
en
modi41ant
S 2 n - 1 9 on
de
elle-m~me
cation
ne
sett de
dulsent cation ainsl pour
qul
peut
n'importe pius
a
par
R
et
satisfalt
~
(2)
P
entier il
d
de
ses et
touJours
(R,R')
sont
(R,R')-homotopes
qu'elles exlste
solent une
dont
congrus
4~
et
A
que
avec
l'Intervalle
(4)
F ( z 9o)
I
= 4 ~ (z)
Solt
F
si
=
elles
.
Ks
1).
F(z
le
cellules de d i m e n s i o n $2n-1 x I form,e des
de
la
cellules
et
d
x
+h
e
de
deux
deux
. On
la
su49it I
O
d~mons-
applications
de
.Pour qu'il
S 2n-1
que
-- R ' ( F ( z ) ) (ensembie
poly~drale x
d
eppIicetlons
. telle
. a~
a
degr~
(R,R')
t) .
d~-
degr~.
dimensions
I
o
achever
x
subdivision a~
mani~re
de
appli-
il
S 2n-I
s
4
une
de
F ( .R ( z )
&
appli-
cbtlent
le m Q m e
$2n-1
= 4 1 ( z. )
squelette J s)
ont
4aut
. dana
Cette
se
applications il
de
qul
Pour
que
P
S2 n - 1
(R,R')
9 et
point
points
eat
degr~s
prodult
(0.1)
on
(3).
h)
deux
du
des
degr~
les
(R,R')-homotopes,
appiicatlon
+e o mcdlflant
chacun
le
(mod
41
d
application
prouver
sont
soit en
de
setls4elt
(R,R')
Solent
mals
d'un
appiication
puissances 9
d'une
qui
suf~ira
(2) 9
volsinage
une
degr~,
volslnage
l'exlstence
au
obtenir
quel
Ie
prouv~ tout
seulement
dens
de
tratlon,
qu'cn
satlsfera
correspondents
4
et
des
de
e~
x
1
J
(J
= 09
..... h-1
d~termlnent Ks
. Si
F
l'on
ells
sere
par
R
; q sur
peut
K~
Supposons
~tendre
d~termln~e
permute
= 0.1 ..... 2 n - 1 ) .
par
d'une
sa
Les
qu'on
d~Inltlon
(4)
sur
mani@re
conditions sit
~
K s+l
d~finir
l'Int~rieur
9 car
transitive
pu
{4)
~s
ie
F
de
grcupe
a
sur s
x
I
9
e n g e nod r ~
h csllules
a~ J
(J
= 0,1 ..... h - l ) .
sorte par
qu'on Fj
pourra
sa
Cele
est
touJcurs
restriction
au
touJours
possible
d~flnlr
F
bord
de
sur
a~n - l -
si K 2n-1
x I
J
~tendre suite F~
Ia ~
soit
d~inition
K 2n nuI
= 9
de
S2 n - 1 Or,
x
comma
F
~ l'int~rieur
I , il ia
4aut
somme
et
des
il
de
des
o que
de
. D~slgnons
. Pour 2n-1 a
su44it
bords
s < 2n-I,
qu'on x le
I
puisse
9 et
degr~
celluIes
par de
a~n - l -
x
I
J
(J
= 09
..... h-l),
orlentQes
comme
S 2n-1
x I
, est
~gale
au
cycle
-99-
S 2n-1 -
x
~
1
S 2n-1
(S 2n-1
) =
x 0
(d 1
-
d
0
de
, dont
l'image
)S 2n-1
,
o~
F
par d 1
est
et
d
Mais
fo
et
, la
en
vertu
de
ie m ~ m e
degr~
d
dI
et
do
le
degr~
fo
et
le
de
fl
des
derRiere
qua
soRt
d
somme
F~
~tent
o
soRt
des
condition
, de
touJours F
degr~s
Fj
(4)
sorte
est
~gale
, les
Fj
(mod
h)
, et
nul,
peut
d~flnir
sl
~
dI
. Ainsi =
d
sur
F
d l - d o.
onttoutes
d I - d o = hd
que
CoRgrus OR
(S 2 n - I ) 1 s o R t lee d e g r ~ s
o
0
fl
f
,
O
K2n
et
(R,R')-homotopes. COFD
2.
Type
fixes une
et
d'homotople
des
L'espaoe
quotient
cyclique
verIQt~
space).
L
Nous
appel~e
coordonn~es
z 1, .... z
crlvent
ia f o r m e
A-dlre
une
H2n_I(L) ~I(L). mine,
base
, et Ainsl,
en
m~me
et
F(g)
(mod
h)
Indult est
une
cation dens
L'
(1)
le
donn~e
temps
A
des
qua
L,
qua
les
g'
de
L
, oO
F
. Cette
une
le
de
= g,e
. Le
orientetion
de
L,
c'est-
du
groupe
de
R
de
A
c
d~ter-
et
g de
R'
solent
qu'ils
et
g
c
et
g
en
F(c)
F
et
a
un
antler
~I(L) un
dens
applications
d~-
= d c'
~I(L')
rel@vement
f
qul
route
eppllcatlon
~I(L).
. Une
. Invers~ment,
d'une
. Deux
de
H2n_I(L)
..... m n'
entiers
fondamentaI
lentlculalre
d
de s'~-
de
degr~
lens-
R
m
pose@de
est
de
c
de
R
syst~me
m l , . . ., m n
change
relAvement
F(g)
rotetlon
points
~quations
analogues
degr~
sans
(Linsenraum,
L
g
l'espece
L' le
groupe
A coefficients
base
bases
appiicatlon
(R,R 'e)
qua
lee
l'homomorphlsme
(R,R ~)
telle
une
bases
eppIicatlon est
de
inverlants
est
caract~rlse
une
d'homologle
les
dens d
duquel
L'
les
par
Inveriants
h , solt
et
le
lentlculalre
d~termine
groupe
par
l'ordre
~eide
correspond
= ~,e
par
A
n
est
R
F
qul
h
A
c'
application
espace
du
premiers
terminent,
un
S 2n-1 engendrQ
c
Supposons aussl
h
que
lenticuleires.
de
d'ordre
dlrons
sous
espaces
F F
appll-
de
L
et
F1
0
de
L
topes
dens si
L'
leurs
9 telles rel~vements
qua soRt
Fo(E)
= Fl(g)
= g.e
(R,R'a)-homotopes,
, SORt donc,
homoen
vertu
-100-
du
th~or@me
qua
si
de
m K
au
lieu
1,
R' ,
est R 'a
de
g
R'
R
et
R'
F
faut
par
ies
L
~
m@me
par
th6or6me
degr~.
gormuies ces
1
m~mes
et
m K
de
(K
et
. Deux applications
F~
si elles
degr~
dans
de
L
ont
le m~me
ce cas dans
et il suffit
gormuies
avec
a
aiors
suivant
le
par
:
orien-
et soient
.
correspondant de
[
et s a t i s f o n t
d
m~
les r o t a t i o n s
1 . 2 . . . . . n)
FI
lieu
lenticulaires
Pour quril
de degr~
engin au
nl(L')
et
seulement.
L'
=
clair
avec
d~termin~s
m~
~I(L)
est
m K'
les e s p a c e s
dimensions
2n-1
Ii (I)
entrains
L'
et
les bases
(g) j e t
tion
le
drinvariants
homotopes F1
ont
d~finie
Le
h
g'
et
est
Boient
t,s d'ordre et
elles
d~finie
mK
2 :
THEOREME
R
si
telle
dans
L'
sont
~
(g)
=
F~
existe que
une a p p l i c a -
F(g)
=
g ,a
I
,
il
ou
-
I
h)
.
On
que n
[5)
dmlm 2
...
Supposons at
un
a
alors
2
entra~ne
G
: L'
F(g) et
certain d
:
g
,a
m89 . . .
m n' ~
et
:
g
G(g')
et
h
3 ~
:
drinvariants motopiej
=
g
sont
mK
il faut
m'1
soit
:
b
mI
deux
m2
LaB aIors g'
m'n
tel ' ..
[mod
avec
qua mn
a (mod
applications d
b
...
v~rigi~e
soit
bn
m'z
=
1
ou
-
elles
degr~
+
sont
d
:
+
s
I
(mod
h)
,
st
F
: L
I
, telles
applications de
,
+
b
h]
le ~L'
par
et
et
qua
compos~es 1
th~or~me
GeF:L
~L
satisgont
suite
homotopes
:
Pour que
2n-I
a
degr~
FoG(g')
Ainsi
et
de
mame
: L ' ~ L '
THEOHEME
sant
a,
, de
(5)
l'existence
l'$dentit~.
dre
qua
antler
,L
FoG
G~F{g)
m I'
mn
les espaces
dimensions et
m~
(K
d~finis =
et il suffit
~ la c o n g r u e n c e
(5)
lenticulaires par
1 . . . . . n)
quril
avec
et
les r o t a t i o n s aient
existe
d = + 1
L
R
le mSme
un e n t i e r ou - 1
L~ et
type a
dror R' dWho -
satisfai-
-101-
Disons m~me f
type
: V
qua
deux
d'homotopie ~V'
et
et
g,f
solent
tar
au t h ~ o r ~ m e
g
vari~t~s
orient~ : V'
3
, s'il
,V
homotopes
~ l'identlt~.
Pour qua les espaoes
un entier
a
...
m' n
Lss
r~sultats
Volr
(mod
orlent~,
satisfaisant
deux
et
V'
ont
applications
+ 1 , teii~que Nous
sulvant
le
pouvons
fag
alors
aJou-
:
lentioulaires
L
et
L'
aient
exposes
il faut et il suffit quWil existe
~ la oongruenoe
ci-dessus
sont
Abbildungsklassen
ang. RUEFF
Linsenr~ume
Math.,
Beltr~ge
und
185
dus
m l m 2 . . . m n ~ anm~m2 . t
& M.
Rueff
zur
p. Sur
Fixpunktklassen (Journal
(1943),
p.
Untarsuchung
Mannigfaltigkeiten
RHAM
le
,|
h).
sionaler
G.OE
V
et
W.
Franz.
:
W. F R A N Z
M.
existe
de d e ~ r ~
le c o m p i ~ m e n t
m~me t~pe dthomotopie
orient~es
for
die
dreidlmenrelne
und
65-77) der A b b i l d u n g e n
(Composltio
Math.
6,
von (1938),
161-202) les
conditions
(Colloque (1947),
d'hom~omorphie
de T o p o l o g i e p.
87-95)
.
alg~briqua,
...
(etc)
CNRS,
Paris
