théorie des catégories intro

SMA

Introduction a` la th´eorie des cat´egories et aux lemmes de diagrammes Rafael G UGLIELMETTI et Dimitri Z AGANIDIS ` ´ bachelor annee 2eme ´ Sous la direction de Caroline L ASSUEUR, doctorante (chaire du prof. Thevenaz)

Dernière modication le 24 mai 2009

2

TABLE DES MATIÈRES

3

Table des matières 1

Introduction

2

Introduction aux catégories

3

Catégories abéliennes

4

Lemmes de Diagrammes

34

5

Bibliographie

39

2.1 2.2 2.3 2.4

Fondation logique pour la théorie des catégories Catégories et premiers exemples . . . . . . . . . Principe de dualité . . . . . . . . . . . . . . . . Propriétés des morphismes . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Monomorphismes . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Epimorphismes . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Quelques exemples de propriétés universelles . . 2.5.1 Diagrammes . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Produits et coproduits . . . . . . . . . . 2.5.3 Egaliseurs et coégaliseurs . . . . . . . . 2.5.4 Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.5 Pullbacks et pushouts . . . . . . . . . .

5

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3.1 Prérequis aux catégories abéliennes . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Objets et morphismes zéros . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Noyaux et conoyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Dénition et premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Premiers résultats pour les catégories abéliennes . . . . . . . . 3.4 Existence de l'image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Suite exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Préliminaires à la chasse dans les diagrammes . . . . . . . . . 3.6.1 Pseudo-éléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2 Propriétés des pseudo-éléments et de la pseudo-égalité

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5

5 7 8 9 9 10 11 12 12 12 15 17 18 19

19 19 20 21 22 25 28 29 29 30

4.1 Lemme des 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.2 Lemme du serpent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4

TABLE DES FIGURES

Table des gures 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Unicité du produit à isomorphisme près . . . . . . . . . . . . . . Coproduit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Egaliseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un égaliseur est un monomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . Coégaliseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemple de coégaliseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pullback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le pullback d'un monomorphisme est un monomorphisme . . . . Noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pullback (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pullback (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Factorisation par l'image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Factorisation par l'image : Preuve que m est un monomorphisme Lemme des 5 (première version) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pseudo-égalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transitivité de la relation de pseudo-égalité . . . . . . . . . . . . Pseudo-éléments et épimorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . Pseudo-éléments et suites exactes (1) . . . . . . . . . . . . . . . . Pseudo-éléments et suites exactes (2) . . . . . . . . . . . . . . . . Lemme des 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lemme des 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lemme du noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lemme du serpent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lemme du serpent : construction du morphisme de connexion (1) Lemme du serpent : construction du morphisme de connexion (2) Lemme du serpent : action de ω˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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12 14 15 15 16 17 17 18 18 19 20 24 24 26 26 29 30 30 32 32 33 34 35 35 36 37 38 38

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Résumé Dans ce travail, nous présentons une introduction à la théorie des catégories, notion unicatrice des structures algébriques et outil puissant des mathématiques modernes. Nous exposons un développement ne nécessitant aucun prérequis et conduisant à des lemmes de diagrammes utiles et ô combien sympathiques.

1 Introduction La théorie des catégories est une branche des mathématiques qui a été développée dans les années 1940 par les mathématiciens Samuel Eilenberg et Saunders Mac Lane, puis propagée par Alexander Grothendieck durant les années 1960. Elle permet de généraliser le concept de structures algébriques et d'applications conservant cette structure, qu'il s'agisse d'espaces vectoriels et d'applications linéaires ou de groupes et de leurs homomorphismes. Cette théorie abstraite est devenue un outil indispensable dans les mathématiques théoriques modernes, notamment en algèbre, en géométrie algébrique, en topologie algébrique, etc. L'objectif de ce travail est de présenter une introduction à la théorie des catégories dans le but d'introduire la technique de  chasse dans les diagrammes  ainsi que deux résultats importants : le lemme des 5 et le lemme du serpent. Nous avons choisi de faire une présentation complète des concepts nécessaires pour démontrer les lemmes de diagrammes, raison pour laquelle ils apparaissent tard dans l'exposé. Après avoir présenté les fondations logiques nécessaires, nous présentons la dénition de catégories et quelques exemples. Par la suite, nous exposons certaines propriétés de base des morphismes ainsi que des exemples de propriétés universelles. Nous pouvons alors introduire le concept de catégorie abélienne et de suites exactes an de parler de la chasse dans les diagrammes et des lemmes correspondants.

2 Introduction aux catégories 2.1 Fondation logique pour la théorie des catégories An de parler de catégories des ensembles, nous aimerions dénir un ensemble U qui vérierait S ∈ U si et seulement si S est un ensemble. Malheureusement, il est bien connu qu'un tel ensemble n'existe pas. Nous allons donc devoir contourner cette diculté en introduisant l'univers de Grothendieck. Pour cela, on utilise les axiomes ZFC comme contexte pour la théorie des ensembles (voir [4] pour la dénition, [1] pour l'axiome d'existence). Intuitivement, l'univers sera un ensemble qui contient les ensembles  susamment petits  pour ne pas poser de problèmes et de telle sorte qu'il soit susamment riche pour ce que nous voulons en faire.

Dénition 2.1 (Univers)

Un univers U est un ensemble vériant les axiomes suivants : (U1) x ∈ y et y ∈ U ⇒ x ∈ U ; (U2) x, y ∈ U ⇒ {x, y} ∈ U ; S (U3) (I ∈ U et xi ∈ U , ∀ i ∈ I) ⇒ i∈I xi ∈ U ; (U4) x ∈ U ⇒ P (x) ∈ U où P (x) est l'ensemble des parties de x. Cette dénition correspond à l'intuition qu'un univers soit susamment riche, comme le montre la proposition suivante.

Proposition 2.2

(i ) X ∈ U ⇒ {X} ∈ U ; (ii ) X, Y ∈ U ⇒ (X, Y ) ∈ U ;

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2 INTRODUCTION AUX CATÉGORIES (iii ) X, Y ∈ U ⇒ X × Y ∈ U ; (iv ) X, Y ∈ U ⇒ F(X, Y ) ∈ U où F(X, Y ) est l'ensemble des applications de X dans Y ; F (v ) (I ∈ U et xi ∈ U , ∀ i ∈ I) ⇒ i∈I xi ∈ U ; Q (vi ) (I ∈ U et xi ∈ U , ∀ i ∈ I) ⇒ i∈I xi ∈ U .

Démonstration. (i) C'est un cas particulier de (U2) avec x = y .  (ii) La dénition du couple en termes d'ensembles est (x, y) = {x}, {x, y} . Par conséquent, il sut d'appliquer deux fois (U2), pour x, y puis pour {x}, {x, y}. (iii) Pour tout x ∈ X , on a x ∈ U (U1). Soit y ∈ Y , on a de même y ∈ U . Par conséquent, (x, y) ∈ U , ∀x ∈ X (par (ii)) et donc {(x, y)} ∈ U , ∀x ∈ X . Utilisant l'axiome (U3) sur la famille d'indices X ∈ U et les éléments ax = (x, y) de U , on obtient [ ax = {(x, y) | x ∈ X} ∈ U .

x∈X

Ceci est vrai pour tout y ∈ Y et utilisant de la même façon (U3) sur la famille d'indices Y ∈ U et les éléments ay = {(x, y) | x ∈ X} de U . On obtient alors le résultat : [ ay = {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y } = X × Y ∈ U .

y∈Y

(iv) Le fait que F(X, Y ) ∈ P (X × Y ) et (U4) puis (U1) nous fournissent le résultat. (v) Posons ai = xi × {i} pour tout i ∈ I . D'après (ii) et (iii), ai ∈ U pour tout i ∈ I . Alors par l'axiome (U3) appliqué a la famille I et aux éléments ai de U , il vient [ G [ xi ∈ U .

xi × {i} =

ai =

i∈I

i∈I

i∈I

(vi) Par dénition, !

( Y

xi =

f ∈F

i∈I

I,

[

xi

) | f (i) ∈ xi ∀i ∈ I

.

i∈I

Par conséquent,

! Y

xi ⊆ F

I,

i∈I

[

xi

.

i∈I

Or, par (U3), i∈I xi ∈ U et donc par (iv), F I, et (U1), on obtient le résultat. S

S

i∈I


xi ∈ U , puis par

(U4) u t

Pour continuer à travailler avec les univers, nous avons besoin de l'axiome suivant.

Axiome 2.3

Tout ensemble est contenu dans un univers. On peut maintenant choisir U tel que N ∈ U . On voit qu'un tel univers est  assez grand , puisque presque toutes les constuctions mathématiques que l'on peut vouloir faire seront dans cet univers. On va donc se xer cet univers et le noter U par la suite. Nous allons maintenant dénir ce qu'est une classe et un petit-ensemble, pour pouvoir énoncer la dénition de catégorie.

Dénition 2.4 (Classe et petit-ensemble)

(i ) On appellera classe les sous-ensembles de U . (ii ) On appellera petit-ensemble les éléments de U .

Par la suite, nous utiliserons le terme ensemble à la place de petit-ensemble pour ne pas alourdir les énoncés. Maintenant, la classe U vérie S ∈ U si et seulement si S est un ensemble. On peut donc dénir les catégories.

2.2 Catégories et premiers exemples

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2.2 Catégories et premiers exemples Dans cette partie et les suivantes, nous suivrons globalement l'approche de Francis Borceux [1].

Dénition 2.5 (Catégorie)

Une catégorie C comporte les éléments suivants : (i ) Une classe |C | dont les éléments sont appelés les objets de la catégorie. (ii ) A chaque couple d'objets (A, B), est associé un ensemble C (A, B), dont les éléments sont appelés morphismes de A vers B . On appelle A le domaine et B le codomaine d'un morphisme de C (A, B). (iii ) A chaque triple d'objets (A, B, C), est associé une loi de composition C (A, B) × C (B, C) −→ (f, g) 7→

C (A, C) g ◦ f.

La catégorie vérie de plus les axiomes suivants : (Associativité) Si f ∈ C (A, B), g ∈ C (B, C), h ∈ C (C, D), alors h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f.

(Identité) Pour tout objet

A de C , il existe un morphisme 1A ∈ C (A, A) tel que pour tous objets A, B de C et pour tous f ∈ C (A, B), g ∈ C (B, C), on a : 1B ◦ f = f, g ◦ 1B = g.

On appelle 1A l'identité sur A.

Notation 2.6

(i) On notera souvent f ∈ C (A, B) par f : A −→ B et g ◦ f par gf . (ii) On notera la proposition  A est un objet de C  par A ∈ C . (iii) On notera aussi respectivement le domaine et le codomaine de f par dom(f ) et codom(f ). (iv) Lorsque nous ne voudrons pas spécier explicitement le domaine ou le codomaine d'un morphisme f , on le notera •.

Remarque 2.7

(i) L'identité sur un objet A d'une catégorie est unique. En eet, si eA et 1A sont des identités sur A, on obtient eA = eA ◦ 1A = 1A ,

où l'on a utilisé l'axiome d'identité pour 1A puis pour eA . (ii) Il faut comprendre que C (A, B) peut être un ensemble absolument quelconque. Dans la plupart des exemples, il s'agira d'applications de domaine A et de codomaine B qui préservent la structure commune aux objets de la catégorie. Ces catégories sont appelées catégories concrètes. Il existe aussi des catégories abstraites, où les morphismes ne sont pas des fonctions. Nous allons le voir dans les exemples suivants.

Exemples 2.8

(i) La catégorie des groupes Grp a pour classe |Grp| = {(A, +) ∈ U | (A, +) est un groupe}

et pour ensemble de morphismes, pour tout couple d'objets A, B ∈ Grp, Grp(A, B) = {f ∈ F(A, B) | f est un homomorphisme de groupes}.

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2 INTRODUCTION AUX CATÉGORIES L'associativité pour la composition d'homomorphismes découle de l'associativité de la composition d'applications. L'application idA : A −→ A est clairement un homomorphisme et nous fournit le morphisme 1A , pour tout groupe (A, +). Dans cet exemple, on voit que les morphismes sont eectivement les applications qui préservent la structure de groupe. (ii) Nous pouvons aussi voir un monoïde (groupe sans inverses) (M, ∗) comme une catégorie C , en la dénissant de la façon suivante : |C | = {?}, C (?, ?) = M où ? est un élément arbitraire et en prenant pour loi de composition C (?, ?) × C (?, ?) −→ C (?, ?),

la loi de composition de (M, ∗). En eet, dénie de cette façon, les axiomes d'associativité et d'identité pour la catégorie sont fournis par ceux du monoïde. Ainsi, cette catégorie nous donne un exemple où les morphismes ne sont pas des applications. On introduit maintenant le principe de dualité, qui sera un outil puissant dans les démonstrations.

2.3 Principe de dualité

Dénition 2.9 (Catégorie duale)

Soit A une catégorie. On dénit la catégorie duale A ∗ de A de la façon suivante : (i ) |A ∗ | = |A |. (ii ) Pour tout couple d'objets A et B de A , A ∗ (A, B) = A (B, A) (autrement dit, le sens des morphismes est inversé). Pour éviter toute confusion, on écrira f ∗ : B −→ A pour désigner le morphisme associé à f : A −→ B . (iii ) La loi de composition sur A ∗ est dénie de la manière suivante : ∗

f ∗ ◦ g ∗ = (g ◦ f ) .

Remarque 2.10

(i) La catégorie duale de la catégorie duale est la catégorie elle même, c'est-à-dire (A ∗ )∗ = A . (ii) L'identité sur A dans A ∗ est (1A )∗ . En eet, soit f : A −→ B et g : B −→ A. On obtient ∗

f ∗ ◦ (1A )∗ = (1A ◦ f ) = f ∗ ,

∗

(1A )∗ ◦ g ∗ = (g ◦ 1A ) = g ∗ .

Dénition 2.11 (Proposition duale)

A partir d'une proposition, on dénit la proposition duale en inversant la direction de chaque morphisme et en remplaçant chaque composition g ◦ f par f ◦ g .

Dénition 2.12 (Proposition auto-duale)

On dit qu'une proposition est auto-duale si elle est sa propre proposition duale.

Théorème 2.13 (Principe de dualité)

Supposons qu'une proposition exprimant l'existence d'objets, de morphismes ou indiquant l'égalité de composition entre eux soit valide dans toute catégorie. Alors, la proposition duale est aussi valide dans toute catégorie. Démonstration. Soit P une telle proposition et P ∗ sa proposition duale. Pour prouver P ∗ dans toute catégorie A , il sut de prouver P dans toute catégorie A ∗ . Mais, par hypothèse, P u est censée être vraie dans toute catégorie. t Pour un exemple détaillé d'utilisation du principe de dualité, voir la preuve de la proposition 2.24 page 11.

2.4 Propriétés des morphismes

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2.4 Propriétés des morphismes Lorsque l'on se donne une loi de composition dans une structure mathématique, on s'intéresse souvent aux éléments  simpliables  ou  inversibles  par rapport à cette loi. C'est ce que nous allons faire dans cette partie. Dans la plupart des catégories concrètes, il s'agit d'une généralisation des concepts d'injection, de surjection et d'isomorphisme. 2.4.1

Monomorphismes

Dénition 2.14 (Monomorphisme)

Un morphisme f : A −→ B d'une catégorie C est appelé un monomorphisme lorsque / / A , on a pour tout objet C de C et tout couple de morphismes g, h : C f ◦ g = f ◦ h ⇒ g = h.

On dit aussi que f est simpliable à gauche.

Notation 2.15

On notera souvent f : A 



/ B pour indiquer que f est un monomorphisme.

Exemples 2.16

(i) Introduisons la catégorie des ensembles Set. La classe de ses objets est |Set| = U et pour tout couple d'objets A, B ∈ Set, son ensemble de morphismes est Set(A, B) = F(A, B). Les monomorphismes de cette catégorie correspondent exactement aux applications injectives.  / B et a, b ∈ A tels que f (a) = f (b) ainsi que I ∈ Set, En eet, soit f : A  / / A dénies par g(i) = a et h(i) = b pour I 6= ∅. Soit maintenant g, h : I tout i ∈ I . Alors on a I6=∅

f ◦ g = f ◦ h ⇒ g = h =⇒ a = b.

Ceci prouve l'injectivité de f . Réciproquement, soit f : A −→ B une application injective et g, h : I On voit que

// A .

f ◦ g = f ◦ h ⇒ f (g(i)) = f (h(i)) ∀i ∈ I ⇒ g(i) = h(i) ∀i ∈ I ⇒ g = h,

où l'on a utilisé l'injectivité de f pour la deuxième implication. Ceci prouve que f est un monomorphisme. (ii) Cette preuve s'applique aussi dans le cadre de la catégorie des espaces topologiques Top. Cette catégorie a pour classe |Top| = {(X, T ) ∈ U | (X, T ) est un espace topologique}

et pour ensemble de morphismes, pour tout couple d'objets A, B ∈ Top, Top(A, B) = {f ∈ F(A, B) | f est continue}.

Les monomorphismes sont alors exactement les applications continues injectives. En eet, dans la preuve de la remarque précédente, il sut de munir l'ensemble I de la topologie discrète pour s'assurer que les applications f et g sont continues.

Remarque 2.17

Au vu des deux exemples précédents, on voit que la notion de monomorphisme dans les catégories concrètes est souvent une généralisation du concept d'injection. On pourrait penser que dans tous ces exemples, les monomorphismes sont exactement les morphismes injectifs. Cela s'avère faux en général. Un exemple dual sera fourni par la suite.

10

2 INTRODUCTION AUX CATÉGORIES 2.4.2

Epimorphismes

Dénition 2.18 (Epimorphisme)

Un morphisme f : A −→ B d'une catégorie C est appelé un épimorphisme lorsque / / C on a pour tout objet C de C et tout couple de morphismes g, h : B g ◦ f = h ◦ f ⇒ g = h.

On dit aussi que f est simpliable à droite.

Notation 2.19

On notera souvent f : A

/ / B pour indiquer que f est un épimorphisme.

Remarque 2.20

On peut voir que la proposition duale de  f : A  En eet, si f ◦ g = f ◦ h ⇒ g = h, alors



/ B  est  f ∗ : B

/ / A .

g ∗ ◦ f ∗ = h∗ ◦ f ∗ ⇒ (f ◦ g)∗ = (f ◦ h)∗ ⇒ f ◦ g = f ◦ h ⇒ g = h ⇒ g ∗ = h∗ .

Par conséquent, f ∗ est un épimorphisme. La notion d'épimorphisme est dans certains cas une généralisation du concept de surjection, comme on va le voir dans les exemples suivants.

Exemples 2.21

(i) Les épimorphismes de la catégorie Set correspondent exactement aux applications surjectives. / / / B et g, h : B / {0, 1} dénies par En eet, soit f : A  g(b) =

1 0

si b ∈ im(f ), sinon,

et h(b) = 1, pour tout b ∈ B . Alors par construction on a g ◦ f = h ◦ f et donc g = h. Par conséquent, im(f ) = B et f est surjective. / /C Réciproquement, soit f : A −→ B une application surjective et g, h : B ainsi que b ∈ B . La surjectivité de f implique l'existence de a ∈ A tel que f (a) = b. Le fait que g ◦f = h◦f implique g(f (a)) = h(f (a)) et donc g(b) = h(b). b ayant été choisi de façon arbitraire dans B , on obtient que g = h et donc que f est un épimorphisme. (ii) Comme pour les monomorphismes, on pourrait penser que dans les exemples de catégories concrètes, les épimorphismes sont exactement les morphismes surjectifs. Cela s'avère faux en général comme on va le montrer dans l'exemple suivant. Considérons la catégorie des anneaux associatifs et unitaires Rng. Cette catégorie a pour classe |Rng| = {(A, +, ∗) ∈ U } | (A, +, ∗) est un anneau associatif et unitaire}

et pour ensemble de morphismes, pour tout couple d'objets A, B ∈ Rng, Rng(A, B) = {f ∈ F(A, B) | f est un homomorphisme d'anneaux}.

Soit f : Z −→ Q l'injection canonique de Z dans Q. On va prouver que f est un / / A deux homomorphismes d'anneaux épimorphisme. Pour cela, soit g, h : Q tels que g ◦ f = h ◦ f . On doit montrer que g = h. Soit encore z ∈ Z, z 6= 0. Alors z est inversible dans Q d'inverse z −1 . Par conséquent, g(z) et h(z) sont inversibles : g(z)−1 = g(z −1 ) et h(z)−1 = h(z −1 ). De plus g ◦ f = h ◦ f ⇒ g(z 0 ) = h(z 0 ) ∀ z 0 ∈ Z.

2.4 Propriétés des morphismes

11

On conclut donc que pour tous z, z 0 ∈ Z, g(z 0 · z −1 ) = g(z 0 ) · g(z)−1 = h(z 0 ) · h(z)−1 = h(z 0 · z −1 ).

Ainsi, g = h et f est un épimorphisme. On voit facilement que f n'est pas une surjection, ce qui montre que surjections et épimophismes ne coïncident pas en général.

Proposition 2.22

Soient f et g des morphismes d'une catégorie tels que f ◦g est un épimorphisme. Alors f est un épimorphisme. Démonstration. Soient k et k0 des morphismes tels que k ◦ f = k0 ◦ f . On a alors k ◦ f ◦ g = k0 ◦ f ◦ g , u et donc k = k0 , puisque f ◦ g est un épimorphisme. t 2.4.3

Isomorphismes

Dénition 2.23 (Isomorphisme)

Dans une catégorie C , un isomorphisme entre A et B est un morphisme f : A −→ B tel qu'il existe g : B −→ A vériant g ◦ f = 1A ,

f ◦ g = 1B .

Un tel morphisme est appelé inverse de f . On dit alors que A et B sont isomorphes dans C , et on note A ∼ = B.

Remarque 2.24

(i) L'inverse d'un morphisme est unique s'il existe. En eet, si g et g˜ sont deux inverses de f : A −→ B , alors on a g = g ◦ 1B = g ◦ (f ◦ g˜) = (g ◦ f ) ◦ g˜ = 1A ◦ g˜ = g˜.

On notera f −1 l'inverse de f . (ii) La notion d'isomorphisme est auto-duale. En eet, si f : A −→ B vérie la dénition, on a ∗

f ∗ ◦ f −1 = (1B )∗ ,

∗

f −1 ◦ f ∗ = (1A )∗ .

Par conséquent f ∗ : B −→ A est un isomorphisme par la remarque 2.10. (iii) Si f : A −→ B est un isomorphisme, alors f est un monomorphisme et un / / A . Alors, on obtient épimorphisme. En eet, soient g, h : I f ◦ g = f ◦ h ⇒ f −1 ◦ f ◦ g = f −1 ◦ f ◦ h ⇒ g = h.

Ceci prouve que f est un monomorphisme. Par le principe de dualité, f est un épimorphisme. En eet, dans la catégorie C ∗ , duale de C , f ∗ est encore un isomorphisme. Puisque la première partie de la preuve s'applique dans C ∗ , f ∗ est un monomorphisme dans C ∗ . Par conséquent, (f ∗ )∗ = f est un épimorphisme dans (C ∗ )∗ = C . La réciproque de la dernière remarque est fausse en général, comme le montre l'exemple suivant.

Exemples 2.25

(i) Dans la catégorie Top, les isomorphismes sont les applications continues bijectives, à inverse continue. Un morphisme qui est à la fois un monomorphisme et un épimorphisme est seulement une application continue bijective, mais son inverse n'est pas nécessairement continu. (ii) On peut maintenant voir un groupe comme une catégorie. Reprenant l'exemple 2.8 (ii), on peut dénir un groupe de la meme façon en exigeant en plus que tous les morphismes soient des isomorphismes.

12

2 INTRODUCTION AUX CATÉGORIES

2.5 Quelques exemples de propriétés universelles Nous ne dénissons pas formellement la notion de propriété universelle, car cela nous entraînerait trop loin. De façon intuitive, il s'agit typiquement d'une construction telle que certaines circonstances assurent l'existence et l'unicité d'un morphisme. Ce chapitre donne quelques exemples de ces propriétés dont nous aurons besoin par la suite. Le lecteur qui voudrait une dénition formelle trouvera ce qu'il recherche dans le livre de Saunders Mac Lane [3], à la page 55. Avant de présenter ces constructions, nous devons dénir la notion de diagramme commutatif. Cela sera l'objet des deux dénitions suivantes. 2.5.1

Diagrammes

Dénition 2.26 (Diagramme)

Un diagramme d'une catégorie C est un multigraphe orienté D = (V, E) où : (i ) V ⊆ C et V est de cardinal ni ; (ii ) les arêtes d'un objet A vers un objet B sont des morphismes de A vers B et sont en nombre ni.

Dénition 2.27 (Diagramme commutatif)

(i ) Dans un diagramme, on appelle chemin d'un objet A à un objet B , une suite de morphisme ai , 1 ≤ i ≤ n telle que dom(a1 ) = A,

∀ 1 ≤ i < n, codom(ai ) = dom(ai+1 ),

codom(an ) = B.

(ii ) Un diagramme D d'une catégorie C est dit commutatif si pour toute paire d'objets A, B ∈ C et toute paire de chemins ai , bj , 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m, de A à B dans D, on a : n−1 Y i=0

2.5.2

an−i =

m−1 Y

bm−j .

j=0

Produits et coproduits

Dénition 2.28 (Produit)

Soit C une catégorie ainsi que A, B ∈ C . Un produit de A et de B est un triple (P, pA , pB ) satisfaisant : (i ) P ∈ C , (ii ) pA ∈ C (P, A) et pB ∈ C (P, B), et tel que pour tout triple (Q, qA , qB ), où (i ) Q ∈ C , (ii ) qA ∈ C (Q, A) et qB ∈ C (Q, B), il existe un unique morphisme r : Q → P tel que le diagramme suivant commute : Q  +++  ++   r +++ ++  qA  ++qB  ++     ~ P @@ +++ @@ +  ~~~ @   ~~~ pA pB @@ ++ A B Diagramme 1: Produit

2.5 Quelques exemples de propriétés universelles

13

Exemples 2.29

(i) Dans la catégorie Set, le produit de deux objets est leur produit cartésien. (ii) Dans les catégories Grp, Ab et Rng le produit de plusieurs objets est leur produit cartésien, et les lois de composition sont dénies composante par composante par les lois initiales. Par exemple, si (G1 , ∗1 ), . . . (Gn , ∗n ) sont des groupes avec leur loi de composition, la loi ∗ du produit sera dénie de la manière suivante : (a1 , . . . , an ) ∗ (b1 , . . . , bn ) = (a1 ∗1 b1 , . . . , an ∗n bn ),

∀ai , bi ∈ Gi .

(iii) Dans le catégorie Top, le produit d'une famille d'espaces topologiques (Xi , Ti )i∈I , est l'espace topologique (Xπ , Tπ ), déni de la manière suivante. L'ensemble Xπ est le produit cartésien des ensembles Xi , i ∈ I . Dénissons B=

nY

o Ui : Ui ∈ Ti , Ui 6= Xi sur un sous-ensemble ni de I .

i∈I

La topologie Tπ est celle engendrée par la base B. (iv) Soit P = (X, ≤) un ensemble partiellement ordonné. On peut voir P comme une catégorie X dont les objets sont les éléments de X . Pour deux éléments a, b ∈ X , on dénit X (a, b) =



{?} ∅

si a ≤P b, sinon,

où ? est un élément quelconque. L'associativité de la composition de morphismes est assurée par la transitivité de la relation d'ordre ; les morphismes identités sont donnés par la réexivité et l'unicité du morphisme entre deux éléments est assurée par l'anti-symétrie. Dans ce cas, le produit d'une famille d'objets est leur inmum, s'il existe. On va le montrer pour deux objets a et b. Supposons que leur inmum i, existe. Par dénition de l'inmum, la situation est la suivante :

a

i<

>> >> e >> >  / I

h /B /C @ ?? ?  ??  ?  m f ??   /  n J,

où (e, m) et (f, n) sont les factorisations en image de g et h, respectivement. Alors, on a l'équivalence suivante : (i ) (g, h) est une suite exacte ; (ii ) (m, f ) est une suite exacte. Démonstration. Remarquons d'abord que puisque n est un monomorphisme, ker(h) = ker(f ) (proposition 3.11 page 21). On a aussi que im(f ) = i = im(i). Ainsi, l'égalité ker(g) = im(f ) u est équivalente à l'égalité ker(q) = im(f ) = im(i). t

Proposition 3.28 (Autodualité de la notion de suite exacte)

Dans une catégorie abélienne, la notion de suite exacte est autoduale, c'est-à-dire que si (f, g) est une suite exacte dans une catégorie abélienne, alors (g ∗ , f ∗ ) est exacte dans A ∗ , et réciproquement. Démonstration. Dans une catégorie abélienne A , reprenons les morphismes f et g ainsi que leur décomposition comme dans la proposition 3.27. Supposons que la suite (h∗ , g ∗ ) soit exacte dans A ∗ . Par la proposition précédente, cela implique que l'image de h∗ , qui est f ∗ soit égale à ker(m) dans A , et donc que f = coker(m) dans A . Par conséquent,

3.6 Préliminaires à la chasse dans les diagrammes

29


ker(f ) = ker coker(m) . Puisque, dans une catégorie abélienne, tous les monomor
phismes sont des noyaux, on obtient, par le lemme 3.21, que ker coker(m) = m, et donc que ker(f ) = m, ce qui implique que la suite (g, h) est exacte dans A . Réciproquement, si la suite (g, h) est exacte dans A , la suite (h∗ , g ∗ ) est exacte dans u A ∗ par ce que l'on a fait avant et le principe de dualité. t

Proposition 3.29

On a les équivalences suivantes : /A (i ) 0 phisme ;

(ii ) B

f

/A

f

/ B est une suite exacte si et seulement si f est un monomor/ 0 est une suite exacte si et seulement si f est un épimorphisme.

Démonstration. (i) On sait que (0, f ) est une suite exacte si et seulement si ker(f ) = im(0) = 0, ce qui est le cas si et seulement si f est un monomorphisme (voir point (i) de la proposition 3.19). (ii) Découle du point précédent et du principe de dualité. u t

3.6 Préliminaires à la chasse dans les diagrammes 3.6.1

Pseudo-éléments

Considérons la proposition suivante :

Lemme 3.30 (Lemme des 5 (première version))

Dans la catégorie Ab, considérons le diagramme commutatif suivant, dans lequel les deux lignes sont des suites exactes. Si , ζ, θ et λ sont des isomorphismes de groupes, alors η est un isomorphisme de groupe : A 

F

α

/B

µ





β

γ

/D

η

ζ

/G

/C

ν



/H

ξ



δ

θ

/I

π

/E 

λ

/ J.

Diagramme 16: Lemme des 5 (première version) Pour prouver, dans un premier temps, que η est injectif, on pourrait se donner un élément x ∈ C tel que η(x) = 0 et montrer ensuite que x = 0. Cette manière de procéder fonctionne si les objets de la catégorie sont des ensembles dans lesquels on peut choisir des éléments, par exemple dans les groupes, les espaces vectoriels, les modules. . . Puisque l'on ne peut pas garantir cette propriété dans toute catégorie abélienne, on va travailler avec des pseudo-éléments, introduits dans la dénition suivante.

Dénition 3.31 (Pseudo-élément, pseudo-égalité et pseudo-image) Soit C une catégorie abélienne, A ∈ C et un morphisme f : A → B .

(i ) Un pseudo-élément de A est un morphisme • −→ A (avec codomaine A), où • est un objet quelconque. On écrit alors a ∈∗ A. a

a0

(ii ) Deux pseudo-éléments X −→ A et X 0 −→ A sont dits pseudo-égaux s'il existe des épimorphismes p et p0 tels que le diagramme suivant commute : a

30

3 CATÉGORIES ABÉLIENNES p

Y p0

 X0

//X a

a0

 /A

Diagramme 17: Pseudo-égalité

(iii ) La pseudo-image d'un pseudo-élément • −→ A par f est la composition f ◦ a, que l'on notera aussi f (a). a

Exemple 3.32

Dans certains cas, il est facile de mettre en relation les éléments d'un groupe abélien avec ceux d'un ensemble de morphismes. C'est notamment le cas si le domaine de ces morphismes est Z. En eet, un homomorphisme f de Z dans un groupe abélien G = (A, ?) est entièrement déterminé par l'image de 1 : si on pose, pour a ∈ G, f (1) = a, on a : f (m) ? f (n)



a | ? a ?{z. . . ? a} | ? a ?{z. . . ? a} ? a

=

m

n

= a | ? a ?{z. . . ? a} = f (m + n), m+n

et donc f est bien un homomorphisme de groupes. En fait, il est facile de montrer que A est isomorphe (en tant qu'ensemble) à hom(Z, A) : à chaque élément du groupe on assigne l'homomorphisme déni ci-dessus. 3.6.2

Propriétés des pseudo-éléments et de la pseudo-égalité

Proposition 3.33

La pseudo-égalité est une relation d'équivalence sur les pseudo-éléments d'un objet A. Démonstration. Nous utiliserons ici les notations de la dénition 3.31. (i) La réexivité et la symétrie sont immédiates. (ii) Montrons maintenant la transitivité. Soient a, a0 , a00 ∈∗ A tels que a =∗ a0 et a0 =∗ a00 . Par dénition de la pseudo-égalité, il existe des épimorphismes p, p0 , p00 et p000 tels que le diagramme suivant commute : •

q

•  •

p0 p

q0

//•oo

p00

a0

a

 /Ao

a00

 •  •

p000

Diagramme 18: Transitivité de la relation de pseudo-égalité En prenant le pullback, qui existe toujours dans une catégorie abélienne, des morphismes p0 et p00 , on a l'existence de morphismes q et q 0 tels que p0 ◦q = p00 ◦q 0 . Puisque, dans une catégorie abélienne, le pullback d'un épimorphisme est un épimorphisme (voir 3.20 page 24), on a que q et q 0 sont des épimorphismes. Ainsi, p ◦ q et p000 ◦ q 0 sont des épimorphismes tels que a ◦ p ◦ q = a00 ◦ p000 ◦ q 0 , ce qui implique que a =∗ a00 .

3.6 Préliminaires à la chasse dans les diagrammes

31 u t

Pour un objet A d'une catégorie abélienne, il peut exister plusieurs morphismes 0 ∈∗ A, chacun avec un domaine diérent. La proposition suivante montre que ces diérents pseudo-éléments sont tous pseudo-égaux entre eux. Pour un morphisme f ayant pour domaine A, cela permettra de faire le lien entre f = 0 et f (a) =∗ 0 pour tout a ∈∗ A.

Proposition 3.34

Soit A un objet d'une catégorie abélienne. Alors il existe une classe d'équivalence pour la relation de pseudo-égalité établie sur les pseudo-éléments de A constituée d'exactement tous les morphismes 0 avec codomaine A. Démonstration. Soit a ∈∗ A et un morphisme zéro 0(B,A) : B −→ A tels que a =∗ 0(B,A) . Alors il existe un objet C et des épimorphismes c1 : C −→ B , c2 : C −→ codom(a) tels que 0 = 0(B,A) ◦ c1 = a ◦ c2 . Ainsi, puisque c2 est un épimorphisme, a = 0. Par conséquent, la classe d'un morphisme zéro de codomaine A ne contient que des morphismes zéro de codomaine A. Montrons maintenant que les morphismes zéros de même codomaine sont pseudoégaux. Soient donc deux morphismes zéros, 0(B,A) : B −→ A et 0(C,A) : C −→ A. Utilisons l'axiome (A4) pour constuire (B × C, pB , pC ) le produit de B et de C . Pour montrer que pB et pC sont des épimorphismes, il sut de montrer le résultat pour pB , puisque la situation est symétrique. Considérons le triple (B, 1B , 0(B,C) ) Alors la dénition de produit nous donne l'existence d'un morphisme d : B −→ B × C tel que pB ◦ d = 1B . Par conséquent pB ◦ d est un épimorphisme, et par la proposition 2.22 page 11, on obtient que pB est en aussi un. Ainsi, le couple d'épimorphismes (pB , pC ) u donne la pseudo-égalité recherchée. t

Proposition 3.35 (Pseudo-éléments et morphisme zéro)

Dans toute catégorie abélienne C , on a les équivalences suivantes : (i ) f : A −→ B est un morphisme zéro ; (ii ) pour tout a ∈∗ A, f (a) =∗ 0 ; Démonstration. Supposons que f = 0. Alors f (a) = f ◦ a = 0, et donc, par la proposition précédente, f (a) =∗ 0. Réciproquement, supposons que f (a) = 0 pour tout a ∈∗ A, on a donc f = f (1A ) =∗ 0, u ce qui implique, à nouveau par la proposition précédente, que f = 0. t

Proposition 3.36 (Pseudo-éléments et monomorphismes)

Dans toute catégorie abélienne C , on a les équivalences suivantes : (i ) f : A −→ B est un monomorphisme ; (ii ) pour tous a, a0 ∈∗ A, f (a) =∗ f (a0 ) ⇒ a =∗ a0 ; (iii ) pour tout a ∈∗ A, f (a) =∗ 0 ⇒ a =∗ 0. Démonstration. (i) ⇒ (ii) Supposons que f soit un monomorphisme et soient a, a0 ∈∗ A tels que f (a) =∗ f (a0 ). Ainsi, par dénition, il existe p et p0 , des épimorphismes, tels que f ◦ a ◦ p = f ◦ a0 ◦ p0 . Puisque f est un monomorphisme, on a a ◦ p = a0 ◦ p0 , et donc a =∗ a0 . (ii) ⇒ (iii) Supposons maintenant que la condition (ii) soit satisfaite. Alors, (iii) est satisfaite comme cas particulier en prenant a0 = 0. (iii) ⇒ (i) Cela provient du point (ii) de la proposition 3.19 et de la proposition 3.34.

u t

32

3 CATÉGORIES ABÉLIENNES

Proposition 3.37 (Pseudo-éléments et épimorphismes)

Dans toute catégorie abélienne C , on a les équivalences suivantes : (i ) f : A −→ B est un épimorphisme ; (ii ) pour tout b ∈∗ B , il existe a ∈∗ A tel que f (a) =∗ b. Démonstration. (i) ⇒ (ii) Supposons que f soit un épimorphisme et soit b ∈∗ B . Soit maintenant (a, f 0 ) le pullback de (b, f ). Puisque f est un épimorphisme, f 0 l'est aussi par la proposition 3.20 page 24. On a ainsi le carré commutatif suivant : X

f0

a

 A

//• b

f

 //B

Diagramme 19: Pseudo-éléments et épimorphismes Ainsi, on a que b ◦ f 0 = f ◦ a = f ◦ a ◦ 1X , et donc que f (a) =∗ b. (ii) ⇒ (i) Soit maintenant un morphisme f satisfaisant la condition (ii). Il existe donc a ∈∗ A tel que f (a) =∗ 1B , ce qui implique l'existence de deux épimorphismes p et p0 tels que f ◦ a ◦ p = 1B ◦ p0 . Par la proposition 2.22 page 11, puisque le membre de droite est un épimorphisme, f l'est aussi.

u t

Proposition 3.38 (Pseudo-éléments et suites exactes)

Dans toute catégorie abélienne C , on a les équivalences suivantes : f

g

(i ) A −→ B −→ C est une suite exacte ;
(ii ) pour tout a ∈∗ A, g f (a) =∗ 0 et pour tout b ∈∗ B tel que g(b) =∗ 0 il existe a ∈∗ A tel que f (a) =∗ b.

Démonstration. f g (i) ⇒ (ii) Soit A −→ B −→ C une suite exacte. Soit m◦e la factorisation en image de f donnée par la proposition 3.22. Puisque la suite est exacte, l'image m de f est le noyau de g . Ainsi, g ◦ m = 0, ce qui implique que 0 = 0 ◦ e = g ◦ m ◦ e = g ◦ f
et donc g f (a) =∗ 0 pour tout a ∈∗ A. Soit maintenant b ∈∗ B , tel que g(b) =∗ 0. On aimerait montrer qu'il existe a ∈∗ A tel que f (a) =∗ b. Pour la suite, les domaines et codomaines des diérents morphismes ne seront pas donnés explicitement, mais ils apparaissent dans le diagramme 20. De nouveau, on va utiliser la factorisation m ◦ e de f , où, puisque la suite est exacte, l'image m de f est égale au noyau de g . Par dénition du noyau, puisque g ◦ b = 0, on a l'existence d'un morphisme c tel que b = m ◦ c. Y

q

a

 A

e

//X

@@ @@ b @@ c @   m @ / / I /9 B

g

/ C.

f

Diagramme 20: Pseudo-éléments et suites exactes (1) Soit (a, q) le pullback, qui existe toujours dans une catégorie abélienne, des morphismes (c, e). On a donc c ◦ q = e ◦ a, et donc, m ◦ c ◦ q = m ◦ e ◦ a, ce qui

3.6 Préliminaires à la chasse dans les diagrammes

33

implique que f ◦ a ◦ 1Y = f ◦ a = b ◦ q . Puisque e est un épimorphisme et que le pullback d'un épimorphisme l'est aussi (voir 3.20 page 24), on a que f ◦ a =∗ b. (ii) ⇒ (i) Pour la preuve, nous utiliserons le diagramme 21. Nous allons, à nouveau, utiliser la factorisation en image m ◦ e de f . Il faut donc montrer que ker g = m. Par hypothèse, on sait que pour tout a ∈∗ A, on a que g (f (a)) =∗ 0. En utilisant la proposition 3.35, on déduit que g ◦ f = 0. Puisque f = m ◦ e, avec e épimorphisme, on a que g ◦ m = 0. Pour montrer que m est eectivement le noyau de g , il faut montrer que pour tout morphisme b tel que g ◦ b = 0, il existe un unique morphisme r avec m ◦ r = b.

Soit donc b ∈∗ B avec g(b) =∗ 0. Par hypothèse, il existe a ∈∗ A tel que f (a) =∗ b et donc, par dénition de la pseudo-égalité, des épimorphismes p et q tels que m ◦ e ◦ a ◦ p = b ◦ q . Soit maintenant le pullack (n, b0 ) de (m, b). Par dénition du pullback, puisque m ◦ e ◦ a ◦ p = b ◦ q , il existe un unique morphisme z tel que n ◦ z = q et b0 ◦ z = e ◦ a ◦ p. Puisque q est un épimorphisme et que n ◦ z = q , on obtient que n est un épimorphisme (voir proposition 2.22 page 11) ; de plus, par la proposition 2.45, on sait que n est un monomorphisme et donc, par la proposition 3.19 point iv, n est un isomorphisme, il admet donc un inverse n−1 . Puisque l'on avait b ◦ n = m ◦ b0 , on obtient que b = m ◦ b0 ◦ n−1 . Il reste à montrer l'unicité d'un tel morphisme. Si t est un morphisme tel que b = m ◦ t, on aura m ◦ b0 ◦ n−1 = m ◦ t et donc b0 ◦ n−1 = t, puisque m est un monomorphisme. Z } AAA q } AA }} z AA ~~}}}  n A //• • • p

b0

a

 A

e

 / / I 

b

m

 /B

g

/C

Diagramme 21: Pseudo-éléments et suites exactes (2) u t

Proposition 3.39

Soit f : A −→ B un morphisme. S'il existe a, a0 ∈∗ A tels que f (a) =∗ f (a0 ), alors il existe a00 ∈∗ A tel que f (a00 ) =∗ 0 et pour tout morphisme g : A −→ C avec g(a0 ) =∗ 0, on a g(a00 ) =∗ g(a). Démonstration. Soient a, a0 ∈∗ A tels que f (a) =∗ f (a0 ). Il existe donc des morphismes p et q tels que la diagramme suivant commute : X }> > AAA } AAa }} AA }} A } } A Y A AA q }> AA }} } AA } A }}} a0 X0 p

f

/B

On pose alors a00 = a ◦ p − a0 ◦ q . En utilisant (A2), on a que f (a00 ) =∗ 0. Si g est tel que g(a0 ) =∗ 0, on a, par le même argument, g(a00 ) = g ◦ a ◦ p − g ◦ a0 ◦ q , et donc, u puisque g(a0 ) =∗ 0, g(a00 ) = g ◦ a ◦ p, et, nalement, g(a00 ) =∗ g(a). t

34

4 LEMMES DE DIAGRAMMES Avant de passer aux lemmes de diagrammes, nous aimerions souligner l'usage des axiomes des catégories abéliennes dans les résultats obtenus. Les axiomes (A3) et (A5) servent à assurer l'existence des noyaux et conoyaux, qui sont ensuite très largement utilisés. Par ailleurs les axiomes (A1), (A2) et (A4) sont nécéssaires pour prouver les règles de chasse dans les diagrammes, tandis que l'axiome (A6) intervient dans la preuve de l'existence de l'image, et assure le bon comportement des isomorphismes (voir 3.19 page 23), que l'on utilise pour prouver le lemme des 5. Ainsi, l'intégralité des axiomes sont utilisés et l'on peut donc armer que les catégories abéliennes sont le bon contexte pour aborder les résultats qui vont suivre.

4 Lemmes de Diagrammes Les lemmes de diagrammes sont des outils très utilisés en algèbre homologique et en topologie algébrique, par exemple le lemme des 5, présenté ci-dessous, permet de trouver des isomorphismes entre structures algébriques.

4.1 Lemme des 5

Lemme 4.1 (Lemme des 4)

Dans une catégorie abélienne, considérons le diagramme commutatif ci-dessous, dans lequel les deux lignes sont des suites exactes. Si  est un épimorphisme et si ζ et θ sont des monomorphismes, alors η est un monomorphisme. A 

α



F

/B _ 

µ

β

γ

/D _

η

ζ

/G

/C





ν

/H

ξ

θ

/I

Diagramme 22: Lemme des 4 Démonstration. Durant la preuve, les propositions 3.35 à 3.38 seront utilisées sans mention explicite. Pour montrer que η est un monomorphisme, on veut montrer que pour tout c ∈∗ C tel que η(c) =∗ 0 on a c =∗ 0. Soit donc c ∈∗ C tel que η(c) =∗ 0. Composant avec ξ , on aura que η ◦ ξ(c) =∗ 0. En utilisant la commutativité du diagramme, on obtient que 0 =∗ ξ ◦ η(c) =∗ θ ◦ γ(c), ce qui implique que γ(c) =∗ 0, puisque θ est un monomorphisme. β γ La suite B −→ C −→ D étant exacte, il existe b ∈∗ B tel que β(b) =∗ c. Grâce à la commutativité du diagramme, on a l'égalité ν ◦ ζ(b) =∗ η ◦ β(b) =∗ η(c) =∗ 0. µ ν En utilisant le fait que la suite F −→ G −→ H est exacte, on obtient qu'il existe ∗ ∗ f ∈ F tel que µ(f ) = ζ(b). Puisque  est un épimorphisme, il existe a ∈∗ A tel que (a) =∗ f . On a donc, ζ ◦ α(a) =∗ µ ◦ (a) =∗ µ(f ) =∗ ζ(b), ce qui implique, puisque ζ est un monomorphisme, que α(a) =∗ b. En reprenant ce que l'on avait trouvé plus haut et en utilisant le fait que la suite β α u A −→ B −→ C est exacte, on trouve que c =∗ β(b) = β ◦ α(a) =∗ 0. t

Lemme 4.2 (Lemme des 5)

Dans une catégorie abélienne, considérons le diagramme commutatif ci-dessous, dans lequel les deux lignes sont des suites exactes. Si , ζ, θ et λ sont des isomorphismes, alors η est un isomorphisme. Démonstration. Par la proposition 3.19 page 23, il sut de montrer que η est un monomorphisme et un épimorphisme.

4.2 Lemme du serpent

35

A 

α



F



µ

β

/B

/C

γ

/D

η

ζ



/G

/H

ν



ξ

δ

/E

θ

/I



π

λ

/J

Diagramme 23: Lemme des 5 (i) En appliquant le lemme des 5 au diagramme 23, privé des objets E et J et des morphismes correspondants, on a que η est un monomorphisme. (ii) Grâce au principe de dualité et au lemme des 4 appliqué au diagramme 23, privé des objets A et F , on obtient que η est un épimorphisme. u t

4.2 Lemme du serpent En vue d'établir le lemme du serpent, nous allons commencer par le lemme du noyau. Il s'avérera très utile par la suite.

Lemme 4.3 (Lemme du noyau)

Dans une catégorie abélienne, considérons le diagramme ci-dessous, dans lequel les deux lignes (ζ, η), (0, ν, ξ) sont exactes, les carrés (1) et (2) commutent et les égalités suivantes sont vériées : γ = ker(θ),

δ = ker(λ),

 = ker(µ).

Alors, il existe des morphismes uniques α, β tels que le diagramme entier commute. De plus, le couple (α, β) forme une suite exacte. 0

0

 A

α

 /B

ζ

 /E

γ

 D θ

0

0

 /G

0 β

 /C

η

 /F

δ

(1) ν

λ

 /H

(2) ξ



µ

 /I

Diagramme 24: Lemme du noyau

Démonstration. (i) Dans un premier temps, montrons l'existence des morphismes α et β . On commence par s'intéresser au colonnes 1 et 2. Puisque γ = ker(θ), et que le carré (1) commute, on a λ ◦ ζ ◦ γ = ν ◦ θ ◦ γ = ν ◦ 0 = 0. Puisque δ = ker(λ), il existe un unique morphisme α : A −→ B tel que ζ ◦ γ = δ ◦ α. On procède de la même façon sur les colonnes 2 et 3 pour obtenir l'existence et l'unicité de β : B −→ C qui est tel que η ◦ δ =  ◦ β . Le diagramme complet est alors commutatif. (ii) Il reste à montrer que (α, β) forme une suite exacte. Pour cela, nous allons utiliser la propositon 3.38 page 32. Par la commutativité, on a  ◦ β ◦ α = η ◦ ζ ◦ γ . Or, (ζ, η) est une suite exacte et donc η ◦ ζ = 0. Ainsi,  ◦ β ◦ α = 0 et puisque  est un noyau, c'est un monomorphisme et donc

36

4 LEMMES DE DIAGRAMMES β ◦ α = 0.

Il reste à montrer que pour tout b ∈∗ B tel que β(b) =∗ 0, il existe a ∈∗ A tel que α(a) =∗ b. Soit donc b ∈∗ B tel que β(b) =∗ 0. On a η ◦ δ(b) =  ◦ β(b) = 0. Par conséquent, puisque (ζ, η) est une suite exacte, on obtient l'existence de d ∈∗ D tel que ζ(d) =∗ δ(b). Par la commutativité, puisque λ◦δ = 0, il vient que 0 = λ◦δ(b) =∗ λ ◦ ζ(d) = ν ◦ θ(d), et donc ν ◦ θ(d) = 0. Or, par la proposition 3.29 page 29, ν est un monomorphisme et donc θ(d) = 0. Si l'on note X = dom(d), le fait γ = ker(θ) implique l'existence de a : X −→ A tel que γ ◦ a = d. Par la commutativité, on obtient, δ ◦ α(a) = ζ ◦ γ(a) = ζ(d) =∗ δ(b).

Puisque δ est un noyau, c'est un monomorphisme. En utilisant la proposition 3.36 page 31, on obtient α(a) =∗ b, le résultat désiré.

u t

Lemme 4.4 (Lemme du serpent)

Dans une catégorie abélienne, considérons le diagramme ci-dessous, dans lequel les deux lignes (ζ, η), (0, ν, ξ) sont exactes, γ = ker(θ), π = coker(θ),

δ = ker(λ), ρ = coker(λ),

 = ker(µ), σ = coker(µ),

et les carrés (1) et (2) commutent. Alors, il existe des morphismes α, β, τ, ϕ uniques tels que le diagramme entier commute et un unique morphisme ω tel que la suite (α, β, ω, τ, ϕ) soit exacte. 0  A

0 α

 /B





?> 

β

 / C _ω_ _ _ _

ED

     ζ η /E /F / 0 BC D _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ γ



0

θ

0



δ

 /G

π 89  _ _ _ _ _/ J

 0

(1) ν

λ

 /H

(2) ξ

 /I

ρ τ

 /K  0

µ

σ

ϕ

 /L  0

Diagramme 25: Lemme du serpent

Démonstration. (i) On remarque d'abord que le lemme du noyau nous donne l'existence et l'unicité des morphismes α, β tels que ζ ◦ γ = δ ◦ α, η ◦ δ =  ◦ β et le couple (α, β) forme une suite exacte. Puisque le dual du noyau est le conoyau, par le dual du lemme du noyau, on obtient l'existence et l'unicité des morphismes τ, ϕ tel que le diagramme entier commute. On obtient aussi que (τ, ϕ) forme une suite exacte. (ii) Construisons maintenant ω : C −→ J . Pour cela, on se réfère d'abord au diagramme 26. Chacun des morphismes ζ , ξ , peut se factoriser à travers son image, respectivement Iζ , Iξ , par la proposition 3.22 page 25. On note (ζ1 , ζ2 ), (ξ1 , ξ2 ),

4.2 Lemme du serpent

37

ces décompositions. La deuxième partie de cette même proposition nous donne l'existence des morphismes g : Iζ −→ G et f : Iξ −→ F qui font commuter le diagramme. Posons (R, r) = ker(g),

(Q, q) = coker(g),

˜ r˜) = ker(f ), (R,

˜ q˜) = coker(f ), (Q,

˜ . On va le faire et cherchons des factorisation de α, β , τ , ϕ à travers R, R˜ , Q, Q pour α, les autres cas étant traités similairement ou dualement. En fait il sut d'appliquer la partie existence de la preuve du lemme du noyau, sur le sous-diagramme constitué des objets qui sont dans le carré 3 × 3 supérieur gauche. Appelons α1 , α2 les morphismes ainsi obtenus. Par la commutativité, on a δ ◦ α2 ◦ α1 = δ ◦ α et puisque δ est un monomorphisme, α2 ◦ α1 = α. En utlilisant la commutativité, on remarque que α2 , β2 sont des monomorphismes et que τ1 , ϕ1 sont des épimorphismes. On va montrer maintenant que β2 et τ1 sont des isomorphismes, et cela nous permettra de construire simplement un morphisme ω˜ : R˜ −→ Q (voir point iii). Ce morphisme ω˜ nous permettra de dénir ω := τ1 −1 ◦ ω˜ ◦ β2 −1 . Nous allons le faire uniquement pour β2 , le résultat étant déduit pour τ1 par dualité. Pour cela, en utilisant la proposition 3.19 page 23, il sut de montrer que β2 est un épimorphisme. Dans ce but, on va utiliser la proposition 3.37 page 32 et montrer que pour tout c ∈∗ C , il existe u ∈∗ R˜ tel que β2 (u) =∗ c. Soit donc c ∈∗ C , on a alors ξ2 ◦ f ◦ (c) = µ ◦ (c) = 0,

et, puisque ξ2 est un monomorphisme et que r˜ = ker(f ), il existe u : dom(c) −→ R˜ tel que r˜(u) = (c). Or, par la commutativité, r˜(u) =  ◦ β2 (u), et donc puisque  est un monomorphisme, on obtient β2 (u) =∗ c. Par conséquent β2 est un épimorphisme et donc un isomorphisme. β

α

A _

α1

γ

0

α2

r

 D

0

/R _

ζ1

 / / Iζ  

θ

g

 /Go

 / G 

1F

 J

τ1

β1

ζ2

 /E

η

ν

 /Q τ

ξ1

ρ

τ2

 /K @

β2

 //F o

 /C _ 

1F

 /F

 / / Iξ  

ξ2

ϕ1

/0

 /I σ

q˜

 /Q ˜

0 µ

f

λ

 /H

/R ˜ _ r˜

δ

q

π

 /B _

ϕ2

 /L @

ϕ

Diagramme 26: Lemme du serpent : construction du morphisme de connexion (1) (iii) Construisons maintenant ω˜ : R˜ −→ Q. Pour cela on se réfère au diagramme 27. Considérons (P, p, p0 ) le pullback de (η, r˜) et (S, s, s0 ) le pushout de (ν, q). Par les propositions 2.45 page 18 et 3.20 page 24, on obtient que p, s0 sont des épimorphismes et p0 , s sont des monomorphismes. Soit encore (Ψ, ψ) = ker(p), (X, x) = coker(s). Puisque η ◦ p0 ◦ ψ = r˜ ◦ p ◦ ψ = 0 et que ζ2 = ker(η), il existe un morphisme Ξ : Ψ −→ Iζ qui fait commuter le diagramme. On construit le morphisme Υ : Iξ −→ X de façon duale. On remarque que puisque p est un épimorphisme, par l'axiome (A6) et le dual

38

4 LEMMES DE DIAGRAMMES du lemme 3.21 page 25, coker(ψ) = coker(ker(p)) = p. Ainsi, puisque s0 ◦ λ ◦ p0 ◦ ψ = s ◦ q ◦ g ◦ Ξ = s ◦ 0 ◦ Ξ = 0,

il existe un morphisme ω˜ 1 : R˜ −→ S tel que ω˜ 1 ◦ p = s0 ◦ λ ◦ p0 . Par conséquent x◦ω ˜ 1 ◦ p = x ◦ s0 ◦ λ ◦ p0 = Υ ◦ f ◦ r˜ ◦ p = Υ ◦ 0 ◦ p = 0,

et donc x ◦ ω˜ 1 = 0 car p est un épimorphisme. Or, par le lemme 3.21 page 25, ˜ −→ Q, qui fait ker(x) = ker(coker(s)) = s, ainsi il existe un morphisme ω ˜ :R

commuter le diagramme 27. Puisque dans le diagramme 26, les trois colonnes centrales sont exactes. Ainsi l'ajout du morphisme ω˜ laisse ce diagramme commutatif. Ψ





 ?>

 89

/P _

p

//R ˜  _ ED

p0



   η  / / /E Iζ   F BC _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ Ξ



ψ



ω ˜

ζ2

g

 G

r˜

f

λ

ν

q

 /Q

s

 /H  /S

ξ1

s

 / / Iξ

0

Υ

x

 //X

Diagramme 27: Lemme du serpent : construction du morphisme de connexion (2) (iv) Montrons maintenant que ω = τ1 −1 ◦ ω˜ ◦β2 −1 est tel que les suites (β, ω) et (ω, τ ) sont exactes. Par dualité, il sut de prouver que (β, ω) est une suite exacte. Pour cela, on va montrer que (β1 , ω˜ ) est une suite exacte. Etudions l'action de ω˜ sur les pseudo-éléments de R˜ . Soit donc c ∈∗ R˜ . Alors r˜(c) ∈∗ F et du fait que η est un épimorphisme et de la proposition 3.37 page 32, on obtient un morphisme e ∈∗ E tel que η(e) =∗ r˜(c). Par la proposition 3.27 page 28, on voit que (ν, ξ1 ) forme une suite exacte. On remarque de plus que ξ1 ◦ λ(e) =∗ µ ◦ η(e) =∗ µ ◦ η ◦ r˜(c) = 0.

Ainsi, il existe g ? ∈∗ G tel que ν(g ? ) =∗ λ(e). On veut maintenant prouver que q(g ? ) =∗ ω˜ (c). Remarquons pour cela que (p, p0 ) est le pullback de (η, r˜), et cela va nous permettre de montrer l'existence de p? ∈∗ P tel que p(p? ) =∗ c, p0 (p? ) =? e. En eet, la pseudo-égalité et les propriétés du pullback nous donnent la construction du diagramme commutatif 28. Ainsi, composant par 1Y qui est un épimorphisme, on obtient les pseudoégalités recherchées. Y @ @@ @@ p∗ @@  e2

 •

//•

e1

c

P

p

p0 e

 /E

 /C r˜

η

 /F

Diagramme 28: Lemme du serpent : action de ω˜ .

39 Et donc, s◦ω ˜ (c)

=∗

s◦ω ˜ ◦ p(p? )

=∗

s0 ◦ λ ◦ p0 (p? )

=∗ =∗

s0 ◦ λ(e) s0 ◦ ν(g ? )

=∗

s ◦ q(g ? ).

Or, s est un monomorphisme et donc q(g ? ) =∗ ω˜ (c). On remarque de plus que ce résultat ne dépend pas des morphismes choisis pour construire g ? . Chassons maintenant dans le diagramme 26 pour montrer que (β1 , ω˜ ) est une suite exacte. Dans ce but, nous allons utiliser la proposition 3.38 page 32. Soit donc b ∈∗ B et choisissons e = δ(b) ∈∗ E . on a bien que η(e) = β1 (b) et par conséquent le morphisme g ? donné par la construction précédente vérie q(g ? ) =∗ ω ˜ (β1 (b)). Or, celui-ci vérie aussi ν(g ? ) =∗ λ(e) = λ ◦ δ(b) = 0. De plus, ν est un monomorphisme et donc g ? =∗ 0. Par conséquent ω ˜ (β1 (b)) =∗ 0. ∗ ˜ ∗ Soit maintenant c ∈ R tel que ω˜ (c) = 0. Alors le morphisme g ? fourni par la description de l'action de ω˜ est tel que q(g ? ) =∗ 0. De plus, si y = ker(z) alors (y, z) forme une suite exacte. En eet, dans ce cas im(y) = y , par la proposition 3.24, page 27. Par dualité, si z = coker(y), (y, z) forme aussi une suite exacte. Ainsi (g, q) est une suite exacte et donc il existe i ∈∗ Iζ tel que g(i) =∗ g ? . Alors λ(e) =∗ ν ◦ g ? =∗ ν ◦ g(i) =∗ λ ◦ ζ(i).

En utilisant la proposition 3.39 page 33, on trouve l'existence de e0 ∈∗ E tel que λ(e0 ) =∗ 0, et pour tout morphisme ϑ : E −→ Θ, ϑ(ζ(i)) =∗ 0 implique ϑ(e0 ) = ϑ(e). En particulier, η(e0 ) = η(e). Puisque λ(e0 ) =∗ 0, on obtient l'existence de b ∈∗ B tel que δ(b) =∗ e0 . Ainsi, r˜ ◦ β1 (b) =∗ η(e0 ) =∗ η(e) =∗ r˜ ◦ c, et donc, puisque r˜ est un monomorphisme, β1 (b) =∗ c. Par conséquent la suite (β1 , ω ˜ ) est exacte. Soit β1 = m ◦ e la factorisation à travers l'image de β1 . Alors, puisque β2 est un isomorphisme, β = (β1 ◦ m) ◦ e est la factorisation à travers l'image de β .
ω ), et donc la suite (β, ω) Ainsi im(β) = im(β1 ). De plus, ker ω˜ ◦ β2 −1 = ker(˜ est exacte. (v) Montrons enn l'unicité de ω . Pour cela factorisons le par l'image. Ainsi, il existe m et e des morphismes tels que ω = m ◦ e. De plus, puisque la suite (β, ω, τ ) est exacte, ker(τ ) = m et par dualité coker(β) = e. Ainsi, le choix de ω pour rendre la suite exacte est unique.

u t

5 Bibliographie Références [1] Francis Borceux, Handbook of Categorical Algebra 1, Cambridge University Press, 1994. [2] Francis Borceux, Handbook of Categorical Algebra 2, Cambridge University Press, 1994. [3] Saunders Mac Lane, Categories for the Working mathematician, Springer, Deuxième édition (1998). [4] Andrew Archibald, PlanetMath : universe, http ://planetmath.org/encyclopedia/Universe.html, 24.04.2009.

40

RÉFÉRENCES [5] The Unapologetic Mathematician, Short Exact Sequences, http ://unapologetic.wordpress.com/2007/09/27/short-exact-sequences/, 3 mai 2009.

SMA

Th´eorie de Galois cat´egorique Dimitri Z AGANIDIS Sous la direction de Kathryn Hess Bellwald

Dernière modification le 7 juin 2010

2

TABLE DES MATIÈRES

3

Table des matières 1 Introduction

5

2 Quelques bases de théorie des catégories 2.1 Définitions élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Catégories produits et foncteurs . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Transformations naturelles et équivalences de catégories . 2.2 Adjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Caractérisation d’une adjonction . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Exemples d’adjonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Monades et comonades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Monade et comonade fournis par une adjonction . . . . . 2.3.3 Algèbres sur une monade et co-algèbres sur une comonade 2.3.4 Adjonctions associées à une monade et à une comonade . 2.3.5 Foncteurs monadiques et comonadiques . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

6 6 6 7 9 9 11 15 17 17 18 19 21 23

3 Théorème de Galois catégorique 3.1 Enoncé du théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Objets scindés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Morphismes de descente galoisienne . . . . . . . . . 3.1.3 Catégorie des préfaisceaux internes et groupoïde de 3.1.4 Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Preuve du théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Premier foncteur monadique . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Deuxième foncteur monadique . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Isomorphisme entre les monades . . . . . . . . . . 3.3 Correspondance de Galois explicite . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

32 32 32 36 37 44 45 45 50 62 66

4 Applications du théorème 4.1 Théorie de Galois pour les anneaux commutatifs . 4.1.1 Pullbacks dans les catégories Ring∗ et Prof 4.1.2 Adjonction relativement admissible . . . . . 4.1.3 Algèbres unitaires . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 Théorie de Galois de Grothendieck . . . . . 4.2 Théorie de Galois pour les revêtements . . . . . . . 4.2.1 Adjonction relativement admissible . . . . . 4.2.2 Pullbacks dans la catégorie Loco . . . . . . 4.2.3 Classification des revêtements . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

69 69 69 70 77 81 88 88 88 89

5 Conclusion

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

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. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

90

4

TABLE DES FIGURES

Table des figures 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Transformation naturelle Produit de Godement . Réflexion . . . . . . . . Coréflexion . . . . . . . Adjoint à gauche . . . . Naturalité de α et β . . Associativité de µ . . . . Unité . . . . . . . . . . . Associativité de ∆ . . . Co-unité . . . . . . . . . Définition de p∗ (g) . . . Définition de η(A,f ) . . . Définition de (X,φ) . . . Définition de A1 × A1 .

15 16 17 18

Définition Définition Définition Définition

19

Définition de A1 × X

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

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7 8 9 10 10 13 17 17 17 17 27 29 30 38

. . . .

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. . . .

. . . .

39 39 41 42

A0

de de de de

∆ . . . c . . . τ . . . A1 × I

. . . .

. . . .

A0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

A0

20

Définition de A1 × (A1 × X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

21 22 23

Naturalité de β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Correspondance de Galois explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Naturalité de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

A0

A0

5 Résumé Ce projet présente et démontre le théorème de Galois catégorique de Janelidze. Beaucoup de correspondances de Galois sont en fait des conséquences de ce théorème très général. Dans ce travail, nous appliquons ce théorème pour construire une théorie de Galois pour les anneaux commutatifs unitaires et pour les revêtements.

1

Introduction

Dans un certain nombre de domaines, les mathématiciens ont découvert une correspondance entre objets mathématiques qu’ils ont nommée galoisienne. Ces différents domaines n’ont pourtant pas de liens directs entre eux et malgré cela, ces correspondances entretiennent des similarités importantes. On peut donc se demander quelle est la relation qui réunit toutes ces théories dites de Galois. L’objectif de ce travail est de répondre au moins partiellement à cette question. Pour ce faire, nous présentons une preuve du théorème de Galois catégorique de Janelidze. Ce théorème, comme son nom l’indique, apparait dans le contexte de la théorie des catégories. Plus précisément, le théorème est construit autour d’un couple de foncteurs adjoints. Ce théorème très général a de nombreuses applications et nombres des correspondances de Galois sont en fait des conséquences de ce théorème. Nous montrons donc quelques applications pour les anneaux et les revêtements. La première partie du document consiste en une révision des bases de théorie des catégories qui sont nécessaires à la compréhension du théorème. On y aborde principalement l’adjonction entre deux foncteurs et les monades. La seconde partie constitue le coeur du travail, avec l’énoncé et la preuve du théorème. Celui-ci donne une équivalence de catégorie entre les objets scindés par un morphisme dit de descente galoisienne et les préfaisceaux internes sur le groupoïde de Galois associé au même morphisme. Enfin, la dernière partie montre les applications à la théorie des anneaux commutatifs unitaires et des revêtements. La théorie de Galois pour les anneaux que l’on obtient est en fait une généralisation de la théorie de Galois de Grothendieck pour les corps, qui elle même étend la correspondance classique (infinie). Quant à elle, l’application à la théorie des revêtements donne lieu au théorème classique de classification des revêtements.

6

2 QUELQUES BASES DE THÉORIE DES CATÉGORIES

2

Quelques bases de théorie des catégories

Avant de pouvoir parler de la version catégorique du théorème de Galois, il nous faut introduire tout le vocabulaire nécessaire. C’est ce que l’on fait dans les sections suivantes.

2.1

Définitions élémentaires

Les bases logiques de la théorie des catégories, les définitions les plus élémentaires ainsi que le principe de dualité ne sont pas détaillées dans ce travail. Un lecteur qui aurait besoin d’en savoir plus peut consulter [1] ou bien l’ouvrage de référence sur le sujet [2]. 2.1.1

Catégories produits et foncteurs

Définition 2.1 (Catégorie produit) Soient A et B deux catégories. Leur produit est la catégorie notée A × B dont la classe d’objets est |A × B| = |A | × |B| et dont, pour tout couple (A, B), (A0 , B 0 ) ∈ |A × B|, les ensembles de morphismes sont donnés par


A × B (A, B), (A0 , B 0 ) = A A, A0 × B B, B 0 . La composition des morphismes est définie composante par composante. Définition 2.2 (Foncteur) Un foncteur F d’une catégorie A vers une catégorie B est la donnée (i) D’une application |A | −→ |B| entre les classes d’objets. L’image d’un objet G ∈ |A | est notée F (G). (ii) Pour tout couple d’objets G, G0 ∈ |A |, d’applications A (G, G0 ) −→ B (F (G), F (G0 )). L’image d’un morphisme f ∈ A (G, G0 ) est notée F (f ). Cette donnée doit vérifier de plus les propriétés suivantes : (i) Pour tout objet G ∈ |A |, F (1G ) = 1F (G) . (ii) Pour tout couple de morphisme f ∈ A (G, G0 ) et g ∈ A (G0 , G00 ), F (g ◦ f ) = F (g) ◦ F (f ). Exemples 2.3 (i) L’application Π1 : Top∗ −→ Grp est un foncteur. (ii) Soit R : A −→ B un foncteur. On peut définir un nouveau foncteur B (−, R(−)) : B ∗ × A −→ Set de la façon suivante : • pour tout objet (B, A) ∈ |B ∗ × A |, B (−, R(−))(B, A) = B (B, R(A)) ; • pour tout morphisme (f ∗ , g) : (B, A) −→ (B 0 , A0 ), son image B (f ∗ , R(g)), est définie par B (f ∗ , R(g))(k) = R(g)kf, ∀k ∈ B (B, R(A)). Puisque R est un foncteur, R(1A ) = 1R(A) et ainsi B (1B ∗ , R(1A )) = 1B(B,R(A)) . De plus, pour tout couple de morphisme (f ∗ , g) : (B, A) −→ (B 0 , A0 ), (f 0∗ , g 0 ) : (B 0 , A0 ) −→ (B 00 , A00 )

2.1 Définitions élémentaires

7

et pour tout k ∈ B (B, R(A)), on a 


 B f 0∗ , R(g 0 ) ◦ B (f ∗ , R(g)) (k) = R(g 0 )(R(g)kf )f 0 = R(g 0 g) ◦ k ◦ f f 0
= B f 0∗ f ∗ , R(g 0 g)

On a ainsi vérifié que B (−, R(−)) est bien un foncteur.

2.1.2

Transformations naturelles et équivalences de catégories

Définition 2.4 (Transformation naturelle) / / B deux foncteurs. Une transformation Soient A , B deux catégories et F, G : A naturelle α de F vers G, notée α : F ⇒ G, est la donnée d’une classe de morphismes αA : F (A) −→ G(A), indexée par les objets de A telle que, pour tout f ∈ A (A, A0 ) : 0 αA ◦ F (f ) = G(f ) ◦ αA .

La situation est représentée par le diagramme commutatif suivant. Diagramme 1: Transformation naturelle A f

F (A) F (f )



A0

αA



F (A0 )

/ G(A) 

αA0

G(f )

/ G(A0 )

Remarques 2.5 (i) On peut observer que l’on peut composer des transformations naturelles. En effet, soient F, G et H trois foncteurs d’une catégorie A vers une catégorie B ainsi que α : F ⇒ G et β : G ⇒ H deux transformations naturelles. Alors β ◦α : F ⇒ H, défini par (β ◦ α)A = βA ◦ αA pour tout A ∈ |A |, est bien une transformation naturelle. Cette composition est associative et possède des éléments neutres 1F : F ⇒ F définis par (1F )A = 1F (A) . En fait, étant donné deux petites catégories A et B (c’est à dire telles que les collections d’objets sont des ensembles), en prenant les foncteurs de A vers B comme objets et les transformations naturelles entre eux comme morphismes, on forme une nouvelle catégorie. /

/

/ B et H, K : B / C des foncteurs. On peut associer à deux (ii) Soient F, G : A transformations naturelles α : F ⇒ G et β : H ⇒ K leur produit de Godement β ? α : H ◦ F ⇒ K ◦ G, défini par l’égalité (donnée par la commutativité des faces haut et bas du diagramme ci-dessous)

(β ? α)A = K(αA ) ◦ βF (A) = βG(A) ◦ H(αA ), pour tout A ∈ |A |. La situation est résumée par le diagramme suivant, qui est commutatif par la naturalité de α pour les faces droites et gauche du cube, et par la naturalité de β pour les autres.

8

2 QUELQUES BASES DE THÉORIE DES CATÉGORIES Diagramme 2: Produit de Godement βG(A)

H ◦ G(A)

p7 H(αA )pppp p pp ppp

βF (A)

H ◦ F (A)

/ K ◦ G(A) p7 K(αA )pppp p pp ppp

/ K ◦ F (A)

K◦G(f )

H◦G(f )

H◦F (f )

H◦ H(αA0 )

7



βG(A0 )

G(A0 )



 / K ◦ G(A0 ) p7 K(αA0 ) ppp p p pp ppp

 / K ◦ F (A0 )

βF (A0 )

H ◦ F (A0 )

K◦F (f )

Exemple 2.6 Soient R : A −→ B, L : B −→ A des foncteurs et η : 1B ⇒ R ◦ L une transformation naturelle. Calculons les produits de Godement 1L ? η : L ⇒ LRL et η ? 1R : R ⇒ RLR : (i) pour tout B ∈ |B|, (1L ? η)B = L(ηB ) ◦ 1L(B) = L(ηB ) ; (ii) pour tout A ∈ |A |, (η ? 1R )A = RL(1R(A) ) ◦ ηR(A) = ηR(A) . Proposition 2.7 (Inversion d’une transformation naturelle) // Soient F, G : A B des foncteurs et η : F ⇒ G une transformation naturelle. Si, pour tout A ∈ |A |, ηA est inversible, alors η −1 : G → F est une transformation naturelle. Démonstration. Il suffit de constater que pout tout f : A −→ A0 , −1 −1 −1 −1 −1 −1 ηA 0 ◦ G(f ) = ηA0 ◦ (G(f ) ◦ ηA ) ◦ ηA = ηA0 ◦ (ηA0 ◦ F (f )) ◦ ηA = F (f ) ◦ ηA .

u t Proposition 2.8 (Propriétés du produit de Godement) / / / / B , H, K : B / C , L, M : C / D des foncteurs et des (i) Soient F, G : A transformations naturelles α : F ⇒ G, β : H ⇒ K, γ : L ⇒ M . Le produit de Godement est associatif, c’est-à-dire (γ ? β) ? α = γ ? (β ? α). (ii) On considère la situation suivante : A

F G L

⇓α ⇓γ

H / /B K M /

⇓β ⇓δ

/

/C /

Dans ces conditions, (δ ? γ) ◦ (β ? α) = (δ ◦ β) ? (γ ◦ α). Démonstration. (i) On calcule simplement, pour tout objet A ∈ A :
(γ ? β) ? α A = (γ ? β)G(A) ◦ LH(αA ) = γKG(A) ◦ L(βG(A) ) ◦ LH(αA ) = γKG(A) ◦ L(βG(A) ◦ H(αA )) = γKG(A) ◦ L((β ? α)A )
= γ ? (β ? α) A .

2.2 Adjonction

9

(ii) On commence par remarquer que, par la naturalité de β appliqué au morphisme γA : G(A) −→ L(A), K(γA ) ◦ βG(A) = βL(A) ◦ H(γA ). Le calcul donne alors, pour tout objet A ∈ A :
(δ ? γ) ◦ (β ? α) A = (δ ? γ)A ◦ (β ? α)A = δL(A) ◦ K(γA ) ◦ βG(A) ◦ H(αA ) = δL(A) ◦ βL(A) ◦ H(γA ) ◦ H(αA ) = (δ ◦ β)L(A) ◦ H((γ ◦ α)A )
= (δ ◦ β) ? (γ ◦ α) A . u t Deux catégories sont isomorphes lorsqu’il existe un foncteur inversible entre ces catégories. Cette notion peut paraître en désaccord avec l’esprit global de la théorie qui consiste à tout voir à isomorphisme près. La notion suivante donne une généralisation qui correspond avec cette habitude. Définition 2.9 (Equivalence de catégories) Un foncteur F : A −→ B est une équivalence de catégories lorsque il existe un foncteur G : B −→ A et des isomorphismes naturels F G ∼ = 1B , GF ∼ = 1A . On dit alors que les catégories A et B sont équivalentes, ce que l’on note A ≈ B. Proposition 2.10 (Transitivité de l’équivalence de catégories) Soient A , B, C trois catégories. Si A ≈ B et B ≈ C , alors A ≈ C . Démonstration. Evident.

2.2

u t

Adjonction

2.2.1 Définitions Définition 2.11 (Réflexion) Soient R : A −→ B un foncteur et B un objet de B. Une réflexion de B le long de R est un couple (LB , ηB ) vérifiant les propriétés suivantes : (i) LB est un objet de A ; (ii) ηB est un morphisme B −→ R(LB ) ; (iii) pour tout objet A ∈ |A | et tout morphisme r : B −→ R(A), il existe un unique morphisme s : LB −→ A tel que R(s) ◦ ηB = r. Diagramme 3: Réflexion LB s

B r



A



ηB

/ R(LB ) u u u uu u u uz u R(s)

R(A)

Définition 2.12 (Coréflexion) Soient L : B −→ A un foncteur et A un objet de A . Une coréflexion de A le long de L est un couple (RA , A ) vérifiant les propriétés suivantes :

10

2 QUELQUES BASES DE THÉORIE DES CATÉGORIES

(i) RA est un objet de B ; (ii) A est un morphisme L(RA ) −→ A ; (iii) Pour tout objet B ∈ |B| et tout morphisme r : L(B) −→ A, il existe un unique morphisme s : B −→ RA tel que A ◦ L(s) = r. Diagramme 4: Coréflexion RO A s

B

AO o r

A

L(RA )

v: vv v v vv vv L(s)

L(B)

Remarque 2.13 (i) Les propriétés universelles assurent l’unicité à isomorphisme près des réflexions et coréflexions. (ii) Si R : A −→ B est un foncteur, le dual de la réflexion d’un objet B ∈ |B| le long de R est la coréflexion de B le long de R. Définition 2.14 (Adjoint à gauche) Soient R : A −→ B et L : B −→ A deux foncteurs. S’il existe une transformation naturelle η : 1B ⇒ R ◦ L telle que pour tout B ∈ |B|, (L(B), ηB ) est la réflexion de B le long de R, on dit que L est l’adjoint à gauche de R. Diagramme 5: Adjoint à gauche L(B) L(b)



L(B 0 ) s

b

A



B0 r



ηB

B



ηB 0

/ RL(B) 

RL(b)

/ RL(B 0 ) u uu uu u u zuu R(s)

R(A)

Définition 2.15 (Adjoint à droite) Soient L : B −→ A et R : A −→ B deux foncteurs. S’il existe une transformation naturelle  : L ◦ R ⇒ 1A telle que pour tout A ∈ |A |, (R(A), A ) est la coréflexion de A le long de L, on dit que R est l’adjoint à droite de L. Remarque 2.16 (i) L’unicité à isomorphisme près des réflexions et coréflexions assure l’unicité à isomorphisme près des adjoints à gauche et à droite. (ii) Si R : A −→ B est un foncteur et L : B −→ A est son adjoint à gauche, alors L∗ : B ∗ −→ A ∗ est l’adjoint à droite de R∗ : A ∗ −→ B ∗ . Démonstration. (i) Clair d’après les définitions. (ii) Si R : A −→ B est un foncteur, alors R∗ : A ∗ −→ B ∗ est défini de la façon suivante : • pour tout objet A ∈ |A |, R∗ (A) = R(A) ;

2.2 Adjonction

11

• pour tout morphisme f : A −→ A0 , R∗ (f ∗ ) = R(f )∗ . Reprenant le diagramme 5, on a la situation suivante : L∗ (B) O

L(b∗ )

ηB ∗

BO o

R∗ L∗ (B) O

R∗ L∗ (b∗ )

b∗

L∗ (B 0 ) O

s∗

BO 0 o r∗

ηB 0

∗

R∗ L∗ (B 0 )

r9 rrr r r r ∗ ∗ rrr R (s )

R∗ (A)

A

∗ = η ∗ pour tout objet B est la transforOn vérifie facilement que η ∗ définie par ηB B u mation naturelle recherchée. t

2.2.2

Caractérisation d’une adjonction

Théorème 2.17 Soient R : A −→ B et L : B −→ A deux foncteurs. Les propositions suivantes sont équivalentes : (i) Le foncteur L est l’adjoint à gauche de R. (ii) Il existe des transformations naturelles η : 1B ⇒ R ◦ L et  : L ◦ R ⇒ 1A telles que • (1R ? ) ◦ (η ? 1R ) = 1R ; • ( ? 1L ) ◦ (1L ? η) = 1L . (iii) Il existe un isomorphisme naturel entre les foncteurs A (L(−), −) : B ∗ × A −→ Set et B (−, R(−)) : B ∗ × A −→ Set (voir l’exemple 2.3 (ii)). (iv ) Le foncteur R est l’adjoint à droite de L. Démonstration. (i) ⇒ (ii) Par définition, si L est l’adjoint à gauche de R, il existe une transformation naturelle η : 1B ⇒ RL telle que (L(B), ηB ) est la reflexion de B le long de R pour tout B appartenant à B. En particulier, pour tout A ∈ |A |, (LR(A), ηR(A) ) est la reflexion de R(A) le long de R. Ainsi, considérant 1R(A) : R(A) −→ R(A), on obtient l’existence d’un unique morphisme A : LR(A) −→ A tel que le diagramme suivant commute : LR(A)

R(A) 1R(A)

A



A



ηR(A)

/ RLR(A) t tt tt t t ytt R(A )

R(A)

D’après l’exemple 2.6 et la commutativité du diagramme précédent, on obtient que pour tout A ∈ |A |, ((1R ? ) ◦ (η ? 1R ))A = R(A ) ◦ ηR(A) = 1R(A) . Ainsi, η et  vérifient la première égalité. Il reste donc à montrer que  est bien une transformation naturelle et que la deuxième égalité est vérifiée. Prouvons d’abord que  est bien une transformation naturelle en utilisant le fait que (LR(A), ηR(A) ) est la réflexion de R(A) le long de R. Pour cela, soient A, A0 ∈ |A | ainsi que f ∈ A (A, A0 ). La naturalité de η ? 1R entrâine que R(f ) = (R(A0 ) ◦ ηR(A0 ) ) ◦ R(f ) = R(A0 ) ◦ RLR(f ) ◦ ηR(A) ,

12

2 QUELQUES BASES DE THÉORIE DES CATÉGORIES et donc le diagramme ci-dessous est commutatif : R(A)

A f

R(f )





R(A0 ) o

A0

ηR(A)

/ RLR(A)

ηR(A0 )

/



RLR(f )

RLR(A0 )

R(A0 )

Ainsi, puisque R est un foncteur, l’égalité précédente donne R(A0 ◦ LR(f )) ◦ ηR(A) = R(f ) = R(f ◦ A ) ◦ ηR(A) . L’unicité donnée par la reflexion (LR(A), ηR(A) ) relativement au morphisme R(f ) assure que A0 ◦ LR(f ) = f ◦ A , ce que l’on voulait démontrer. Établissons maintenant la deuxième égalité. Commençons par remarquer que pour tout B ∈ |B|, RL(ηB )◦ηB = ηRL(B) ◦ηB par naturalité de η. Considérons maintenant le diagramme ci-dessous : ηB

/ RL(B) l l l l lll ηB RL(ηB ) lll l l   ull RL(B) o RLRL(B)

B

1RL(B)

R(L(B) )

Or, R(L(B) ) ◦ RL(ηB ) ◦ ηB = R(L(B) ) ◦ ηRL(B) ◦ ηB = 1RL(B) ◦ ηB , ce qui implique que L(B) ◦L(ηB ) = 1L(B) , en utilisant l’unicité donnée par la reflexion (L(B), ηB ) relativement au morphisme ηB . (ii) ⇒ (iii) Pour tout (B, A), on définit α(B,A) : A (L(B), A) −→ B (B, R(A)) par α(B,A) (f ) = R(f ) ◦ ηB ; β(B,A) : B (B, R(A)) −→ A (L(B), A) par β(B,A) (g) = A ◦ L(g). Il faut maintenant voir que ces deux transformations sont naturelles et inverses l’une de l’autre. Pour cela, soient f ∈ A (L(B), A) et g ∈ B (B, R(A)). D’abord, on trouve que α(B,A) ◦ β(B,A) (g) = R(A ◦ L(g)) ◦ ηB = R(A ) ◦ (RL(g) ◦ ηB ) = R(A ) ◦ (ηR(A) ◦ g) = g, où l’on a utilisé la naturalité de η pour établir la troisième égalité. De même, on voit que β(B,A) ◦ α(B,A) (f ) = A ◦ L(R(f ) ◦ ηB ) = (A ◦ LR(f )) ◦ L(ηB ) = (f ◦ L(B) ) ◦ L(ηB ) = f.

2.2 Adjonction

13

Il reste à montrer que les transformations sont naturelles. D’après la proposition 2.4, il suffit de vérifier que α est une transformation naturelle. La situation est représentée par le diagramme ci-dessous : Diagramme 6: Naturalité de α et β (B, A)

α(B,A)

A (L(B), A) o

/

β(B,A)

B (B, R(A))

A (L(φ∗ ),γ)

(φ∗ ,γ)



(B 0 , A0 )

B(φ∗ ,R(γ))



α(B 0 ,A0 )

A (L(B 0 ), A0 ) o

/

β(B 0 ,A0 )



B (B 0 , R(A0 ))

On calcule, en utilisant la naturalité de η, [B (φ∗ , R(γ)) ◦ α(B,A) ](f ) = R(γ) ◦ (R(f ) ◦ ηB ) ◦ φ = R(γ ◦ f ) ◦ RL(φ) ◦ ηB 0 = R(γ ◦ f ◦ L(φ)) ◦ ηB 0 = α(B 0 ,A0 ) (γ ◦ f ◦ L(φ)) = α(B 0 ,A0 ) ◦ A (L(φ∗ ), γ)(f ). (iii) ⇒ (i) Pour tout objet B ∈ |B|, on définit ηB : B −→ RL(B) par ηB = α(B,L(B)) (1L(B) ). Prouvons que (L(B), ηB ) est bien la reflexion de B le long de R. Soit A ∈ |A | et f : B −→ R(A) un morphisme. Par hypothèse on obtient que le diagramme suivant commute : (B, L(B))

A (L(B), L(B))

α(B,L(B))

/ B (B, RL(B))

A (L(1B ∗ ),β(B,A) (f ))

(1B ,β(B,A) (f ))



(B, A)



A (L(B), A) o

α(B,A) β(B,A)

/

B (1B ∗ ,R(β(B,A) (f )))



B (B, R(A))

On obtient donc que


R β(B,A) (f ) ◦ ηB = R β(B,A) (f ) ◦ α(B,L(B)) 1L(B) ◦ 1B


= B 1B ∗ , R β(B,A) (f ) ◦ α(B,L(B)) 1L(B)

= α(B,A) ◦ A L(1B ∗ ), β(B,A) (f ) 1L(B) = α(B,A) (β(B,A) (f ) ◦ 1L(B) ◦ L(1B )) = α(B,A) ◦ β(B,A) (f ) = f.

14

2 QUELQUES BASES DE THÉORIE DES CATÉGORIES Soit maintenant un autre morphisme a : L(B) −→ A tel que R(a)◦ηB = f . Reprenant la démarche précédente en remplaçant β(B,A) (f ) par a, on obtient que α(B,A) (a) = f = α(B,A) (β(B,A) (f )),

et l’injectivité de α(B,A) termine de prouver que pour tout B ∈ |B|,(L(B), ηB ) est bien la reflexion de B le long de R. La naturalité de η découle directement de ce fait. (iii) ⇔ (iv) Dire que R est l’adjoint à droite de L est équivalent à affirmer que R∗ est l’adjoint à gauche de L∗ , par la remarque 2.16 (ii). Par l’équivalence entre les points (i) et (iii), cela revient à dire qu’il existe un isomorphisme β entre les foncteurs B ∗ (R∗ (−), −) : A × B ∗ −→ Set et A ∗ (−, L∗ (−)) : A × B ∗ −→ Set. Or, pour tout couple A ∈ |A |, B ∈ |B|, B ∗ (R∗ (A), B) = B (B, R(A)) et A ∗ (A, L∗ (B)) = A (L(B), A). De plus, pour tout couple de morphismes φ∗ : B −→ B 0 et γ : A −→ A0 et tout morphisme k ∗ ∈ B ∗ (R∗ (A), B), B ∗ (R∗ (γ), φ∗ )(k ∗ ) = φ∗ ◦ k ∗ ◦ R∗ (γ ∗ ) = (R(γ) ◦ k ◦ φ)∗ = B (φ∗ , R(γ))(k)∗ . De même, pour tout morphisme h∗ ∈ A ∗ (A, L∗ (B)), A ∗ (γ, L∗ (φ∗ ))(h∗ ) = γ ∗ ◦ h∗ ◦ L∗ (φ∗ ) = (L(φ) ◦ h ◦ γ)∗ = A (L(φ∗ ), γ)(h)∗ . Ainsi, on obtient que l’inverse de l’isomorphisme β est un isomorphisme entre les foncteurs A (L(−), −) : B ∗ × A −→ Set et B (−, R(−)) : B ∗ × A −→ Set (et inversement), ce qui achève la preuve.

A ∗ (A, L∗ (B))

α(B,A)

A (L(B), A) o

/

β(B,A)

B (B, R(A))

A ∗ (γ,L∗ (φ∗ ))= A (L(φ∗ ),γ)



A ∗ (A0 , L∗ (B 0 ))

B ∗ (R∗ (A), B)

B(φ∗ ,R(γ)) =B ∗ (R∗ (γ),φ∗ )



α(B 0 ,A0 )

A (L(B 0 ), A0 ) o

β(B 0 ,A0 )

/



B (B 0 , R(A0 ))



B ∗ (R∗ (A0 ), B 0 )

u t Notation 2.18 (i) Le théorème précédent nous permet de voir que l’adjonction fait intervenir un couple de foncteurs, l’un étant l’adjoint de l’autre et réciproquement. On note L a R pour indiquer que R est l’adjoint à droite de L et L est l’adjoint à gauche de R. (ii) Les transformations naturelles du point (ii) du théorème précédent sont nommées respectivement unité et co-unité. Corollaire 2.19 Soient deux adjonctions C o

G ⊥ D

/

Bo

L ⊥ R

/

A d’unités respectives η et ν ainsi

que de co-unités  et ε. Alors, le foncteur LG est l’adjoint à gauche de DR. Cette adjonction a pour unité η¯ et pour co-unité ¯, definies de la façon suivante : pour tout C ∈ |C |, η¯C = D(νG(C) ) ◦ ηC pour tout A ∈ |A |, ¯A = εA ◦ L(R(A) ).

2.2 Adjonction

15

Démonstration. Cela provient directement de la composition des isomorphismes naturels donnés par la caractérisation précédente. Soient C ∈ C et A ∈ A , on obtient alors : A (LG(C), A) ∼ = B (G(C), R(A)) ∼ = C (C, DR(A)). Le calcul de l’unité et de la co-unité est obtenu en combinant les éléments de la preuve précédente, notamment l’expression des isomorphismes naturels du point (iii) de la caracu térisation en fonction de l’unité de la co-unité de l’adjonction, et inversemment. t 2.2.3

Exemples d’adjonctions

Exemples 2.20 (i) Soient le foncteur oubli U : VectK −→ Set et le foncteur spanK : Set −→ VectK , défini, pour tout X ∈ Set, par  n o spanK (X) = f : X −→ K Card ({x ∈ X : f (x) 6= 0}) < ∞ , +, · , où +, · sont les opérations usuelles. Soit x ∈ X. On définit fx ∈ spanK (X), par :  ∀˜ x ∈ X, fx (˜ x) =

1 si x = x ˜, 0 sinon.

Observons que pour tout ensemble X, celui-ci s’identifie avec l’ensemble {fx : x ∈ X} qui forme une base de spanK (X). Il faut encore définir spanK sur les morphismes. Pour tout φ : X −→ X 0 , soit spanK (φ) : spanK (X) −→ spanK (X 0 ) l’extension linéaire de la fonction que φ induit sur les bases. C’est-à-dire, pourP tout f ∈ spanK (X), il existe k ∈ N et x1 , . . . , xk ∈ X, αx1 , . . . , αxk ∈ K tels que f = ki=1 αxi fxi . On pose alors ! k k X X spanK (φ)(f ) = spanK (φ) αxi fxi = αxi fφ(xi ) . i=1

i=1

L’isomorphisme VectK (spanK (X), V ) ∼ = Set (X, U (V )) donné par la propriété universelle des applications linéaire conduit à une adjonction spanK a U . En effet, en définissant pour tout (X, V ) ∈ Set∗ × VectK , α(X,V ) : VectK (spanK (X), V ) −→ Set (X, U (V )) β(X,V ) : Set (X, U (V )) −→ VectK (spanK (X), V ) par α(X,V ) (T )(x) T (fx ) P  = P k k β(X,V ) (t) = i=1 αxi fxi i=1 αxi t(xi ), h  i on obtient que α(X,V ) ◦ β(X,V ) (t) (x) = β(X,V ) )(t)(fx ) = t(x) pour tout x ∈ X. De plus, pour tout f ∈ spanK (X), il existe k ∈ N et x1 , . . . , xk ∈ X, αx1 , . . . , αxk ∈ K

16

2 QUELQUES BASES DE THÉORIE DES CATÉGORIES tel que f = h

Pk

i=1 αxi fxi .

β(X,V ) ◦ α(X,V )

On obtient alors



k h  i X (T ) (f ) = β(X,V ) ◦ α(X,V ) (T ) αxi fxi

i

!

i=1

=

k X

αxi α(X,V ) (T )(xi )

i=1

=

k X

αxi T (fxi )

i=1

= T (f ). Ainsi, α(X,V ) = β(X,V ) −1 . Montrons maintenant que les transformations sont naturelles. Soient φ : X 0 −→ X, γ : V −→ V 0 , T ∈ VectK (spanK (X), V ) et calculons, pour tout x0 ∈ X 0 , h i Set (φ∗ , U (γ)) ◦ α(X,V ) (T ) (x0 ) = γ ◦ α(X,V ) (T ) ◦ φ(x0 ) = γ ◦ T (fφ(x0 ) ) = VectK (spanK (φ∗ ), γ)(T )(fx0 ) i h = α(X 0 ,V 0 ) ◦ VectK (spanK (φ∗ ), γ)(T ) (x0 ), et la proposition 2.4 donne le résultat. L’unité de l’adjonction ηX : X −→ U (spanK (X)) est donnée par ηX (x) = fx . La co-unité de l’adjonction V : spanK (U (V )) −→ V est donnée par ! k k X X V αvi fvi = αvi vi i=1

i=1

(ii) Soit E un ensemble. On considère les foncteurs − × E : Set −→ Set et Set (E, −) : Set −→ Set. L’isomorphisme α(X,Y ) : Set (X × E, Y ) −→ Set (X, Set (E, Y )), défini pour tout couple (x, e) ∈ X × E par   α(X,Y ) (f ) (x)(e) = f (x, e) donne lieu à une adjonction − × E a Set (E, −). En effet, son inverse est donné par   β(X,Y ) (g) (x, e) = g(x)(e) et ce sont des transformations naturelles. Pour le vérifier, soient φ : X 0 −→ X, γ : Y −→ Y 0 , x0 ∈ X 0 , e ∈ E, et f ∈ Set (X × E, Y ). On a alors, h i h i

Set (φ∗ , Set (E, γ)) ◦ α(X,Y ) (f ) (x0 )(e) = γ ◦ α(X,Y ) (f ) φ(x0 ) e 
 = γ f φ(x0 ), e h i = Set (φ∗ × E, γ)(f ) (x0 , e) h
i = α(X 0 ,Y 0 ) Set (φ ∗ ×E, γ)(f ) (x0 )(e),

2.3 Monades et comonades

17

et la proposition 2.4 donne le résultat. L’unité de l’adjonction ηX : X −→ Set (E, X × E) est donnée par ηX (x)(e) = (x, e). La co-unité de l’adjonction Y : Set (E, Y ) × E −→ Y est l’évalutation, c’est-à-dire Y (f, e) = f (e).

2.3

Monades et comonades

Pour cette partie, le livre de référence est celui de Borceux [3]. 2.3.1

Définitions

Définition 2.21 (Monade) Soit C une catégorie. Une monade T sur C est un triple T = (T, µ, η) où T : C −→ C est un foncteur, µ : T ◦ T ⇒ T et η : 1C ⇒ T sont des transformations naturelles, vérifiant les propriétés suivantes : (i) µ ◦ (µ ? 1T ) = µ ◦ (1T ? µ) ; (ii) µ ◦ (η ? 1T ) = µ ◦ (1T ? η) = 1T . La situation est représentée par les diagrammes commutatifs ci-dessous. Diagramme 7: Associativité de µ

T3 µ?1T

1T ?µ

+3 T 2 µ



T2

µ



+3 T

Diagramme 8: Unité 1T ?η

+3 T 2 ks η?1T T }}}} AAAAA AAAA µ }}}}}} AAA }}}}  }}

T AAA A

T

On définit maitenant le dual d’une monade. Définition 2.22 (Comonade) Soit C une catégorie. Une comonade K sur C est un triple K = (K, ∆, ) où K : C −→ C est un foncteur, ∆ : K ⇒ K ◦ K et  : K ⇒ 1C sont des transformations naturelles, vérifiant les propriétés suivantes : (i) (∆ ? 1K ) ◦ ∆ = (1K ? ∆) ◦ ∆ ; (ii) ( ? 1K ) ◦ ∆ = (1K ? ) ◦ ∆ = 1K . La situation est représentée par les diagrammes commutatifs ci-dessous. Diagramme 9: Associativité de ∆ 1K ?∆ KKS 3 sk KKS 2 ∆?1K

K 2 ks

∆ ∆

K

Diagramme 10: Co-unité 1K ? ?1K +3 K KSK 2 || BBBB | | || BBBB BBBB ∆||||||| B |||

K BksBB

K

Proposition 2.23 Soient C une catégorie et T = (T, µ, η) une monade sur C . Alors T∗ = (T ∗ , µ∗ , η ∗ ) est une comonade sur C ∗ .

18

2 QUELQUES BASES DE THÉORIE DES CATÉGORIES

Démonstration. Il suffit de constater que µ∗ : T ∗ ⇒ (T ∗ )2 et η ∗ : T ∗ ⇒ 1C ∗ comme demandé et que les diagrammes commutatifs pour les comonades sont exactement ceux des monades dont on a inversé le sens des morphismes. 2.3.2

Monade et comonade fournis par une adjonction

Proposition 2.24 Soient R : A −→ B et L : B −→ A deux foncteurs tels que l’on aie une adjonction L a R, d’unité η et de co-unité . Alors (RL, 1R ?  ? 1L , η) est une monade sur B. Démonstration. Montrons d’abord que le diagramme 8 de la définition 2.21 commute. On calcule, en utilisant le point (ii) du théorème 2.17 ainsi que la propriété 2.8 :

(1R ?  ? 1L ) ◦ (1RL ? η) = (1R ? ( ? 1L )) ◦ 1R ? (1L ? η) = (1R ◦ 1R ) ? (( ? 1L ) ◦ (1L ? η)) = 1R ? 1L = 1RL , (1R ?  ? 1L ) ◦ (η ? 1RL ) = ((1R ? ) ? 1L ) ◦ ((η ? 1R ) ? 1L ) = ((1R ? ) ◦ (η ? 1R )) ? (1L ◦ 1L ) = 1R ? 1L = 1RL . Ensuite, montrons que le diagramme 7 commute également : (1R ?  ? 1L ) ◦ (1RL ? (1R ?  ? 1L )) = 1R ? (( ? 1L ) ◦ (1L ? 1R ?  ? 1L )) = 1R ? ( ◦ (1LR ? )) ? 1L = 1R ? ( ◦ ( ? 1LR )) ? 1L = (1R ?  ? 1L ) ◦ ((1R ?  ? 1L ) ? 1RL ). où l’on utilise la naturalité de  pour passer de la deuxième à la troisième ligne.

u t

Proposition 2.25 Soient R : A −→ B et L : B −→ A deux foncteurs tels que l’on aie une adjonction L a R, d’unité η et de co-unité . Alors (LR, 1L ? η ? 1R , ) est une comonade sur A . Démonstration. On passe aux catégories duales et on obtient l’adjonction R∗ a L∗ de co-unité η ∗ et d’unité ∗ (voir la remarque 2.16 (ii)). La proposition précédente implique que le triple (L∗ R∗ , 1L∗ ? η ∗ ? 1R∗ , ∗ ) est une monade sur A ∗ . Par conséquent, (LR, 1L ? η ? 1R , ) est u une comonade sur A . t Exemples 2.26 On reprend les exemples 2.20 et on regarde leurs monades et comonades associées. (i) La monade sur la catégorie Set associée à l’adjonction spanK a U est le triple (U spanK , 1U ??1spanK , η) où (1U ??1spanK )X : U spanK U spanK (X) → U spanK (X) est explicité ci-dessous. Pour tout w ∈ U spanK U spanK (X) il existe des Pkuniques coefficents α1 , . . . , αk ∈ K et vecteurs v1 , . . . , vk ∈ spanK (X) tel que w = i=1 αi fvi . De même, chaque vi s’écrit

2.3 Monades et comonades

19

de façon unique comme vi = w:

Pni

ji =1 βji fxji .

On peut maintenant expliciter l’image de

(1U ?  ? 1spanK )X (w) =

ni k X X

αi βji fxji .

i=1 ji =1

La comonade sur la catégorie VectK associée à la même adjonction est le triple (spanK U, 1spanK ?η?1U , ) où (1spanK ?η?1U )V : spanK U (V ) → spanK U spanK U (V ) est explicité ci-dessous. P Pour tout w = ki=1 αi fvi ∈ spanK U (V ), (1spanK ? η ? 1U )V (w) =

k X

αi ffvi .

i=1

(ii) La monade sur la catégorie Set associée à l’adjonction − × E a Set (E, −) est le triple (Set (E, − × E), 1Set(E,−) ?  ? 1−×E , η) où (1Set(E,−) ?  ? 1−×E )X est donné par : (1Set(E,−) ?  ? 1−×E )X : Set (E, Set (E, X × E) × E) −→ Set (E, X × E); Si g = (g1 , g2 ) ∈ Set (E, Set (E, X × E) × E), alors pour tout e ∈ E, h i h i (1Set(E,−) ?  ? 1−×E )X (g) (e) = 1Set(E,−) (X×E )(g) (e) h i = X×E ◦ g (e) = g1 (e)(g2 (e)). La comonade sur la catégorie Set associée à l’adjonction − × E a Set (E, −) est le triple (Set (E, −) × E, 1−×E ? η ? 1Set(E,−) , ) où (1−×E ? η ? 1Set(E,−) )X est donné par : (1−×E ? η ? 1Set(E,−) )X : Set (E, X) × E −→ Set (E, Set (E, X) × E) × E : Si (g, e) ∈ Set (E, X) × E, alors (1−×E ? η ? 1Set(E,−) )X (g, e) = (ηSet(E,X) (g), e) où, pour tout e0 ∈ E, ηSet(E,X) (g)(e0 ) = (g, e0 ). 2.3.3

Algèbres sur une monade et co-algèbres sur une comonade

Définition 2.27 (Algèbre sur une monade) Soient C une catégorie et T = (T, µ, η) une monade sur C . Une T-algèbre est un couple (A, m) où A ∈ |C |, m : T (A) −→ A, vérifiant les propriétés suivantes : (i) m ◦ µA = m ◦ T (m) ; (ii) m ◦ ηA = 1A . La situation est représentée par les diagrammes commutatifs ci-dessous.

T 2 (A) T (m)



T (A)

µA

/ T (A) m

m



/A

ηA

/ T (A) DDDD DDDD DDDD m DDD 

A DDD

A

20

2 QUELQUES BASES DE THÉORIE DES CATÉGORIES

Définition 2.28 (Morphisme de T-algèbres) Soient C une catégorie et T = (T, µ, η) une monade sur C . Soient encore (A, m), (A0 , m0 ) deux algèbres sur T. Un morphisme f : (A, m) −→ (A0 , m0 ) est un élément de C (A, A0 ) tel que m0 ◦ T (f ) = f ◦ m. La composition de morphismes est donnée par la composition des morphismes dans C . Proposition 2.29 Soient C une catégorie et T = (T, µ, η) une monade sur C . La classe des T-algèbres munie des morphismes définis ci-dessus forme la catégorie d’Eilenberg-Moore des T-algèbres, que l’on note C T . Démonstration. Evident. Définition 2.30 (Co-algèbre sur une comonade) Soient C une catégorie et K = (K, ∆, ) une comonade sur C . Une K-co-algèbre est un couple (A, d) où A ∈ |C |, d : A −→ K(A), vérifiant les propriétés suivantes : (i) ∆A ◦ d = K(d) ◦ d ; (ii) A ◦ d = 1A . La situation est représentée par les diagrammes commutatifs ci-dessous.

K 2 (A) o

∆A

K(d)

K(A) o

K(A) O

O

d d

A

A Eo EE

A

K(A)

O EEEE EEEE EEEE d EEE

A

Définition 2.31 (Morphisme de K-co-algèbres) Soient C une catégorie et K = (K, ∆, ) une comonade sur C . Soient encore (A, d), (A0 , d0 ) deux co-algèbres sur K. Un morphisme f : (A, d) −→ (A0 , d0 ) est un élément de C (A, A0 ) tel que K(f ) ◦ d = d0 ◦ f . La composition de morphismes est donnée par la composition des morphismes dans C . Proposition 2.32 Soient C une catégorie et K = (T, ∆, ) une comonade sur K. La classe des K-co-algèbres munie des morphismes définis ci-dessus forme la catégorie d’Eilenberg-Moore des K-coalgèbres, que l’on note CK . Démonstration. Évident. Proposition 2.33 ∗ ∗ . Soient C une catégorie et T = (T, µ, η) une monade sur C . Alors (C T ) ∼ = C(T ∗) Démonstration (Ébauche). Le foncteur bijectif est donné par G(A, m) = (A, m∗ ), G(f ∗ ) = f ∗ . Les détails sont laissés u au lecteur. t

2.3 Monades et comonades 2.3.4

21

Adjonctions associées à une monade et à une comonade

Proposition 2.34 Soient C une catégorie et T = (T, µ, η) une monade sur C . Le foncteur oubli U : C T −→ C possède un adjoint à gauche F T : C −→ C T . On le définit, pour tout A, A0 ∈ |C | et pour tout morphisme f ∈ C (A, A0 ), par F T (A) = (T (A), µA ) F T (f ) = T (f ). T L’unité de l’adjonction T est η : 1C ⇒ T = U F et la co-unité est donné par (A,m) = m pour tout (A, m) ∈ C .

Démonstration. Vérifions d’abord que F T est bien défini, c’est à dire que F T (A) est bien une T-algèbre et F T (f ) est effectivement un morphisme de T-algèbres. Par définition de monade, on a que µA ◦ T (µA ) = µA ◦ µT (A) . Encore par définition, µA ◦ ηT (A) = 1T (A) . Il reste à voir que F T (f ) est un morphisme de T-algèbres. Ceci est fourni par le fait que µ est une transformation naturelle de T 2 ⇒ T . Vérifions ensuite que F T est bien un foncteur. Soient donc des objets A, A0 , A00 ∈ |C | et des morphismes f ∈ C (A, A0 ), f 0 ∈ C (A0 , A00 ), F T (1A ) = T (1A ) = 1T (A) = 1F T (A) ; F T (f 0 ◦ f ) = T (f 0 ◦ f ) = T (f 0 ) ◦ T (f ) = F T (f 0 ) ◦ F T (f ). Soient maintenant (A, m) une T -algèbre et C ∈ |C |. On définit

: C T F T (C), (A, m) −→ α C (C, U (A, m)) C,(A,m)

: β C (C, U (A, m)) −→ C T F T (C), (A, m) C,(A,m)


par, pour tout f ∈ C T F T (C), (A, m) et g ∈ C (C, U (A, m)), α β


(f ) = f ◦ ηC
(g) = m ◦ T (g).

C,(A,m) C,(A,m)

Vérifions que β est bien définie, c’est-à-dire que β

C,(A,m)


(g) est bien un morphisme de

T-algèbres, pour tout g ∈ C (C, U (A, m)) : β


(g) ◦ µC

C,(A,m)

= m ◦ T (g) ◦ µC = m ◦ µA ◦ T 2 (g) = m ◦ T (m) ◦ T 2 (g)  
(g) . = m◦T β C,(A,m)

Le passage de la première à la deuxième ligne s’obtient par naturalité de µ et de la deuxième à la troisième par définition de T-algèbre. On vérifie que α et β sont inverses l’un de l’autre :  
α
(f ) = m ◦ T (f ◦ ηC ) β C,(A,m)

C,(A,m)

= f ◦ µC ◦ T (ηC ) = f,

22

2 QUELQUES BASES DE THÉORIE DES CATÉGORIES

α


β

C,(A,m)

C,(A,m)


(g) = m ◦ T (g) ◦ ηC = m ◦ ηA ◦ g = g.

Il suffit maintenant de démontrer que α est une transformation naturelle, ce qui s’ob 0 0 0 tient par naturalité de η. En effet, pour tout objets C, C ∈ |C|, (A, m), (A , m ) ∈ C T et tous morphismes φ∗ ∈ C ∗ (C, C 0 ), γ ∈ C T ((A, m), (A0 , m0 )), h i
(h) = γ ◦ α
(h) ◦ φ C (φ∗ , U (γ)) ◦ α C,(A,m)

C,(A,m)

= γ ◦ h ◦ (ηC ◦ φ) = γ ◦ h ◦ (T (φ) ◦ ηC 0 ) h  i = α 0 0 0
◦ C T F T (φ∗ ), γ (h). C ,(A ,m )

On obtient l’unité de l’adjonction en calculant α
(1A ) = m. calculant β


(1

C,F T (C)

T (C) )

= ηC et la co-unité en u t

U (A,m),(A,m)

Proposition 2.35 Soit K = (K, µ, ) une comonade sur une catégorie C . Le foncteur oubli U : CK −→ C possède un adjoint à droite FK : C −→ CK . On le définit, pour tout A, A0 ∈ |C | et pour tout morphisme f ∈ C (A, A0 ), par FK (A) = (K(A), µA ) FK (f ) = K(f ). La co-unité de l’adjonction est  : K = U FK ⇒ 1C et l’unité est donné par η(A,m) = m pour tout (A, m) ∈ |CK |. Démonstration. ∗
∗ G Par la proposition 2.33, on a que (C ∗ )(K ) ∼ = CK . La proposition précédente (2.34) donne une adjonction / ∗ ∗ ˜ ⊥ F (K ) : (C ∗ ) o (C ∗ )(K ) : U Passant au dual, on obtient une adjonction ˜ ∗ : (C ∗ )(K∗ ) U


∗ o

⊥

/

∗)

C : F (K


∗

Grâce au corollaire 2.19, il reste seulement à contrôler que les morphismes annoncés sont ∗ )
∗ ∗ −1 (K ˜ bien U = U ◦ G et FK = G ◦ F . Or, pour tout (A, d) ∈ CK , f un morphisme de K-co-algèbres et g un morphisme de C , ˜ ∗ ◦ G−1 (A, d) U ˜ ∗ ◦ G−1 (f ) U ∗
∗ G ◦ F (K ) (A) ∗
∗ G ◦ F (K ) (g)

= = = =

˜ ∗ (A, d∗ ) U ˜ ∗ (f ) U

= = ∗ ∗ G(K (A), A ) =
G (K ∗ (g))∗ =

A; f; (K(A), A ); g. u t

Proposition 2.36 Soient C une catégorie et T = (T, µ, η) une monade sur C . La monade associée à l’adjonction F T a U est exactement T.

2.3 Monades et comonades

23

Démonstration. Soient η et  respectivement l’unité et la co-unité de l’adjonction F T a U . La monade u associée à l’adjonction F T a U est (U F T , 1U ?  ? 1F T , η) = (T, µ, η). t Proposition 2.37 Soient C une catégorie et K = (T, ∆, ) une comonade sur C . La comonade associée à l’adjonction U a FK est exactement K. Démonstration. Soient η et  respectivement l’unité et la co-unité de l’adjonction U a FK . La comonade u t associée à l’adjonction U a FK est (U FK , 1U ? η ? 1FK , ) = (K, ∆, ). 2.3.5

Foncteurs monadiques et comonadiques

Définition 2.38 (Foncteur de comparaison (monadicité)) Soient R : A −→ B et L : B −→ A deux foncteurs tels que l’on ait une adjonction L a R d’unité η et de co-unité  ainsi que T = (RL, 1R ?  ? 1L , η) la monade sur B associée à cette adjonction. Le foncteur de comparaison CanT : A −→ B T est défini par CanT (A) = (R(A), R(A )) pour tout A ∈ |A |; CanT (f ) = R(f ) pour tout f ∈ A (A, A0 ). Il faut vérifier que (R(A), R(A )) est bien une T-algèbre pour tout A ∈ |A |. On a, par naturalité de , R(A ) ◦ R(L(R(A)) ) = R(A ◦ LR(A) ) = R(A ◦ LR(A )) = R(A ) ◦ RLR(A ) et, par le théorème 2.17 point (ii), R(A ) ◦ ηR(A) = 1R(A) . Il faut encore vérifier que R(f ) est bien un morphisme de T-algèbres, pour tout morphisme f : A −→ A0 . Or, R(f ) ◦ R(A ) = R(f ◦ A ) = R(A0 ◦ LR(f )) = R(A0 ) ◦ RL(R(f )). Ainsi, CanT est bien défini. Définition 2.39 (Foncteur monadique) Un foncteur R : A −→ B est dit monadique s’il admet un adjoint à gauche L : B −→ A et que la monade T associée à cette adjonction soit telle que le foncteur de comparaison CanT : A −→ B T donne une équivalence de catégories. Exemple 2.40 Le foncteur U : VectK −→ Set est monadique. En effet, il possède un adjoint à gauche spanK et la monade sur Set à l’adjonction est T = (U spanK , µ, η) où µ est donné Passociée k P pour tout X ∈ |Set|, w = i=1 αi f ni βj fx ∈ U spanK U spanK (X) par, ji =1

µX (w) =

k X i=1

i

ji

 αi 

ni X

ji =1

 βji fxji  .

24

2 QUELQUES BASES DE THÉORIE DES CATÉGORIES

Un élément de SetT est donc un couple (X, m) tels que les diagrammes suivants soient commutatifs : (U spanK )2 (X) U spanK (m)

µX

ηX

/ U span (X) K

X LLLLL / U spanK (X) LLLLL LLLLLL LLLLLL m LL  X

m



U spanK (X)

m



/X

Construisons un foncteur V : B T −→ VectK défini de la façon suivante : V (X, m) = (X, +, ·) où, pour tout x1 , x2 ∈ X, α ∈ K, x1 + x2 = m(fx1 + fx2 ) α · x1 = m(αfx1 ) V (g) = g. Il faut commencer par vérifier que V est bien défini, c’est-à-dire que V (X, m) est bien un espace vectoriel et f est effectivement une application linéaire. On commence par remarquer que pour tout xi , xj ∈ X, αi , αj , β, γ ∈ K,     m βfm(Pk αi fx ) + γfm(Pl αj fx ) = mU spanK (m) βfPk αi fx + γfPl αj fx i=1 i=1 j=1 j=1 i i j j   = mµX βfPk αi fx + γfPl αj fx i=1 j=1 i j    ! l k X X = m β αi fxi + γ  αj fxj  . i=1

j=1

On va appliquer cette identité plusieurs fois pour vérifier les axiomes d’espace vectoriel. Pour tout x1 , x2 , x3 ∈ X, α, β ∈ K, Associativité   (x1 + x2 ) + x3 = m fm(fx1 +fx2 ) + fx3 = m((fx1 + fx2 ) + fx3 ) = m(fx1 + (fx2 + fx3 ))   = m fx1 + fm(fx2 +fx3 ) = x1 + (x2 + x3 );   α · (β · x1 ) = m αfm(βfx1 ) = m(α(βfx1 )) = m((αβ)fx1 ) = m((αβ)fx1 ) = (αβ) · x1 . Elément neutre Il existe 0X = m(0) vérifiant la propriété suivante : 0X + x1 = m(fm(0) + fx1 ) = m(0 + fx1 ) = x1 . Inverse additif Il existe −x1 = m(−fx1 ) vérifiant la propriété suivante : −x1 + x1 = m(fm(−fx1 ) + fx1 ) = m((−fx1 ) + fx1 ) = m(0) = 0X .

2.3 Monades et comonades

25

Commutativité x1 + x2 = m(fx1 + fx2 ) = m(fx2 + fx1 ) = x2 + x1 . Normalisation 1 · x = m(1 · ηX (x)) = m ◦ ηX (x) = x. Distributivité   α(x1 + x2 ) = m αfm(fx1 +fx2 ) = m(α(fx1 + fx2 )) = m((αfx1 ) + (αfx2 ))   = m fm(αfx1 ) + fm(αfx2 ) = (αx1 ) + (αx2 ); (α + β)x1 = m((α + β)fx1 ) = m((αfx1 ) + (βfx1 ))   = m fm(αfx1 ) + fm(βfx1 ) = (αx1 ) + (βx2 ). Ainsi, V (X, m) est bien un espace vectoriel. Vérifions maintenant que V (g) = g est une application linéaire, pour tout morphisme de T-algèbres g : (X, m) −→ (X 0 , m0 ). Pour tout α ∈ K, x1 , x2 ∈ X,   g(αx1 + x2 ) = g m(fm(αfx1 ) + fx2 ) = g(m(αfx1 + fx2 )) = m0 (U spanK (g)(αfx1 + fx2 ) = m0 (αfg(x1 ) + fg(x2 ) ) = αg(x1 ) + g(x2 ). −1

Il reste à montrer que V = (CanT ) . Soient (W, +, ·) un espace vectoriel et g une application linéaire. Alors on obtient que V (CanT (W, +, ·)) = (W, +0 , · 0 ) avec, pour tout w, w ¯ ∈ W , α ∈ K, w +0 w ¯ = V (fw + fw¯ ) = w + w; ¯ α · 0 w = V (αfw ) = α · w. De plus, V (CanT (g)) = V (g) = g, donc V ◦ CanT = 1VectK . Soient maintenant (X, m) une T-algèbre et h un morphisme de T-algèbres. Alors, posant V (x, m) = (X, +, ·), on obtient CanT (V (X, m)) = (X, X ), où X

k X i=1

! αi fxi

=

k X

αi xi = m

i=1

k X

! αi fxi

.

i=1

Par ailleurs, CanT (V (g)) = CanT (g) = g, donc CanT ◦ V = 1SetT . On a donc montré que le foncteur oubli U : Vect −→ Set est monadique, et ainsi que SetT ∼ = VectK . u t

26

2 QUELQUES BASES DE THÉORIE DES CATÉGORIES

Définition 2.41 (Foncteur de comparaison (comonadicité)) Soient R : A −→ B et L : B −→ A deux foncteurs tels que l’on aie une adjonction L a R d’unité η et de co-unité  ainsi que K = (LR, 1L ? η ? 1R , ) la comonade sur A associée à cette adjonction. Le foncteur de comparaison CanK : B −→ AK est défini par CanK (B) = (L(B), L(ηB )) pour tout B ∈ |B|; CanK (f ) = L(f ) pour tout f ∈ B (B, B 0 ). Il faut vérifier que (L(B), L(B )) est bien une K-co-algèbre pour tout B ∈ |B|. On a, par naturalité de η, L(ηR(L(B)) ) ◦ L(ηB ) = L(ηR(L(B)) ◦ ηB ) = L(RL(ηB ) ◦ ηB ) = LR(L(ηB )) ◦ L(ηB ) et, par le théorème 2.17 point (ii), L(B) ◦ L(ηB ) = 1L(B) . Il faut encore vérifier que L(f ) est bien un morphisme de K-co-algèbres, pour tout morphisme f : B −→ B 0 . Or, L(ηB 0 ) ◦ L(f ) = L(ηB 0 ◦ f ) = L(RL(f ) ◦ ηB ) = LR(L(f )) ◦ L(ηB ). Ainsi, CanK est bien défini. Définition 2.42 (Foncteur comonadique) Un foncteur L : B −→ A est dit comonadique s’il admet un adjoint à droite R : A −→ B et que la comonade K associée à cette adjonction soit telle que le foncteur de comparaison CanK : B −→ AK donne une équivalence de catégories. Proposition 2.43 Si un foncteur R : A −→ B est monadique si et seulement si R∗ : A ∗ −→ B ∗ est comonadique. Démonstration. On ne montre que le sens direct, la preuve étant la même dans le sens indirect. En utilisant conjointement les hypothèses, la proposition 2.33, la remarque 2.16 (ii) et la démarche de la preuve 2.35, on obtient la situation suivante : L:Bo FT : B o

/

⊥

⊥

/

A :R

R∗ : A ∗ o ∗

≈ CanT

(CanT )

BT : U

U∗ : B



/

⊥

B ∗ : L∗

≈


T ∗ o

⊥

/

B ∗ : (F T )∗

G ≈



¯ : B∗ ∗ U T o

/

B ∗ : FK
∗ = G ◦ CanT . Or, pour tout ⊥

La seule chose qui reste à faire est de vérifier que CanT∗ A ∈ |A ∗| et f ∗ ∈ C ∗ (A, A0 ),
∗ G ◦ CanT (A) = G(R(A), A ) = (R∗ (A), ∗A ) = CanT∗ (A);
∗ G ◦ CanT (f ∗ ) = G(R(f )∗ ) = R∗ (f ∗ ) = CanT∗ (f ∗ ).

u t

2.3 Monades et comonades

27

On va maintenant donner un exemple de foncteur comonadique. Pour cela, on définit d’abord la catégorie des morphismes au dessus d’un objet I. Définition 2.44 (Catégorie au dessus de I) Soit C une catégorie et I ∈ |C |. La catégorie au dessus I, notée C /I , est constituée des collections suivantes : o n (i) C /I = (C, f ) : C ∈ |C |, f ∈ C (C, I) . n o (ii) C /I ((C, f ), (C 0 , f 0 )) = g ∈ C (C, C 0 ) : f = f 0 ◦ g . La loi de composition est celle induite par la composition dans C . Exemple 2.45 Le but de cet exemple est de présenter un foncteur comonadique tout en se familiarisant avec les catégories de morphismes au dessus d’un objet. On se donne Set comme catégorie de base et p : E −→ B un morphisme de Set. On définit les foncteurs suivants : (i) p! : Set /E −→ Set /B , donné par p! (A, f ) = (A, p ◦ f ) p! (g) = g

pour tout (A, f ) ∈ Set /E ; pour tout g ∈ Set /E ((A, f ), (A0 , f 0 )).

p! est clairement bien défini. (ii) p∗ : Set /B −→ Set /E , défini de la façon suivante : Pour tout objet (X, φ) ∈ Set /B , on considère le pullback (E × X, p1 , p2 ) de la paire B

de morphismes (p, φ). Alors, p∗ (X, φ) = (E × X, p1 ). B

On rappelle que le pullback de ces deux morphismes est le sous ensemble du produit cartésien E × X donné par E × X = {(e, x) ∈ E × X : p(e) = φ(x)}, et p1 , p2 sont les B

projections standards. On définit l’image d’un morphisme g : (X, φ) −→ (X 0 , φ0 ) comme l’unique morphisme donné par la propriété universelle du pullback E × X 0 , appliquée au diagramme B

suivant : Diagramme 11: Définition de p∗ (g) p2

E×X B

g◦p2 p∗ (g)

#

E × X0 p02

B

% / X0

/ tX t t g ttt t t t tt tz t

p1

φ p01

φ0

 

E

p

 ~ /B

Ce diagramme est bien commutatif puisque p ◦ p1 = φ ◦ p2 = φ0 ◦ g ◦ p2 .

28

2 QUELQUES BASES DE THÉORIE DES CATÉGORIES Il faut encore vérifier que p∗ est bien un foncteur, ce qui est donné par la propriété universelle. En effet, puisque 1E×X fait commuter le diagramme précédent où l’on B

remplace (X 0 , φ0 ) par (X, φ) et g par 1X , l’unicité implique que p∗ (1(X,φ) ) = 1E×X = 1p∗ (X,φ) . B

De même, la propriété universelle donne que p∗ (f ◦g) = p∗ (f )◦p∗ (g) pour tout couple de morphismes composables (f, g). ! ∗ On va maintenant montrer que l’on a affaire à une adjonction p a p . Soient (A, f ) ∈ Set /E , (X, φ) ∈ Set /B . On doit se donner une transformation

  α((A,f ),(X,φ)) : Set /B p! (A, f ), (X, φ) −→ Set /E ((A, f ), p∗ (X, φ)).
On définit, pour tout morphisme g ∈ Set /B p! (A, f ), (X, φ) , l’image de g par la trans
comme l’unique morphisme donné par la propriété universelle du formation α (A,f ),(X,φ)

pullback E × X dans le diagramme commutatif suivant : B g

A α((A,f ),(X,φ)) (g)

"

E×X B

p2

 /X

f p1

φ

% 

E

p

 /B

Le diagramme commute puisque par définition de g, φ ◦ g = p ◦ f . On définit maintenant   β((A,f ),(X,φ)) : Set /E ((A, f ), p∗ (X, φ)) −→ Set /B p! (A, f ), (X, φ) , où l’image d’un h ∈ Set /E ((A, f ), p∗ (X, φ)) est donné par β((A,f ),(X,φ)) (h) = p2 ◦ h. Il reste à voir que α = β −1 et que β est naturelle. L’unicité du diagramme précédent indique clairement que α ◦ β = 1Set/E ((−),p∗ (−)) . Le fait que β ◦ α = 1Set/B (p! (−),(−)) est encore plus élémentaire. 0 , f 0 ) ∈ Set / , On vérifie enfin que β est bien naturelle. Soient donc des objets (A, f ), (A E (X, φ), (X 0 , φ0 ) ∈ Set /B , des morphismes ϕ : (A0 , f 0 ) → (A, f ), γ : (X, φ) → (X 0 , φ0 ) et encore h ∈ Set /E ((A, f ), p∗ (X, φ)). On calcule alors : h   i Set /B p! (ϕ∗ ), (γ) ◦ β((A,f ),(X,φ)) (h) = γ ◦ (p2 ◦ h) ◦ ϕ = p02 ◦ (p∗ (γ) ◦ h ◦ ϕ) h i = β((A,f ),(X,φ)) ◦ Set /E (ϕ∗ , p∗ (γ)) (h).

2.3 Monades et comonades

29

La situation est donnée par le diagramme commutatif : A0

ϕ

/A

h

p2

/E×X B

γ◦p2 p∗ (γ)

#

% / X0

E × X0 p02

B f

f0

/ tX t t γ ttt t tt tt tz t

p1

φ p01

φ0

)%  

E

 ~ /B

p

On a donc bien l’adjonction annoncée. On montre maintenant que le foncteur p! est comonadique. On doit donc calculer la comonade K sur Set /B associée à cette adjonction. On sait que l’unité de l’adjonction ⇒ p∗ ◦ p! est donnée, pour tout (A, f ) ∈ Set /E , par : η : 1Set /E   η(A,f ) : (A, f ) −→ E × A, p1 , B


η(A,f ) = α((A,f ),p! (A,f )) 1p! (A,f ) . La situation est la suivante : Diagramme 12: Définition de η(A,f ) 1A

A η(A,f )

!

E×A B

p2

 /A

f p1

pf

% 

E

p

 /B

La co-unité  : p! ◦ p∗ −→ 1Set est donnée, pour tout (X, φ) ∈ Set /E , par /B β(X,φ)

  : E × X, p ◦ p1 −→ (X, φ), B

(X,φ) = β(p∗ (X,φ),(X,φ)) 1p∗ (X,φ) = p2 . Le diagramme suivant résume la situation :




30

2 QUELQUES BASES DE THÉORIE DES CATÉGORIES Diagramme 13: Définition de (X,φ) (X,φ)

E×X B

GG 1E×X GG B GG GG #

E×X B

p2

 /X

p1 p1

φ

& 

E

p

 /B

! ∗ La comonade (K, ∆, )
associée à l’adjonction est donc (p ◦p , 1p! ?η ?1p∗ , ). On définit un foncteur F : Set /B K −→ Set /E par


F (X, φ), d = (X, p1 ◦ d) pour tout (X, φ), d ∈
Set /B K ,


F (γ) = γ pour tout γ ∈ Set /B K (X, φ), d , (X 0 , φ0 ), d0 .

Il faut vérifier
que c’est bien défini, c’est-à-dire que un morphisme dans Set /E
γ est 0bien 0 0 0 0 de F (X, φ), d = (X, p1 ◦ d) vers F (X , φ ), d = (X , p1 ◦ d0 ). Le diagramme suivant donne la réponse : E×X o w

p∗ (γ) www

w ww {ww E × X0 o

d γ

d0

B

p1 p01



E

X

zz  zz  z zz  zz  z }z    X0  φ   φ0       /B

B

p

La face supérieure est commutative, par définition de γ comme morphisme de co-algèbres, la face de droite aussi, par définition de γ comme morphisme de Set /B , ainsi que la face de gauche, puisque p∗ est bien défini. Par conséquent, p1 ◦ d = p01 ◦ p∗ (γ) ◦ d = (p01 ◦ d0 ) ◦ γ. Il reste à montrer que (CanK )−1= F et l’on aura fini de prouver que p! est comonadique.


Or, puisque CanK F (X, φ), d = (X, p ◦ p1 ◦ d), η(X,p1 ◦d) = (X, φ ◦ p2 ◦ d), η(X,p1 ◦d) , on doit prouver que p
2 ◦ d = 1X et que η(X,p1 ◦d) = d. Puisque (X, φ), d est une K-co-algèbre, on a que (X,φ) ◦ d = p2 ◦ d = 1X . Par ailleurs, la propriété universelle du pullback (E × X, p1 , p2 ) appliquée au triple (X, p1 ◦ d, 1X ) assure B

que d est le seul morphisme de X −→ E × X tel que p2 ◦ d = 1X et p1 ◦ d = p1 ◦ d. Ainsi, B

η(X,p1 ◦d) = d.
De plus, F ◦ CanK (A, f ) = F (A, p ◦ f ), η(A,f ) = (A, p1 ◦ η(A,f ) ) = (A, f ) (voir le u diagramme 12). t

2.3 Monades et comonades

31

Remarque 2.46 Dans l’exemple précédent, la seule propriété de Set que nous avons utilisé est que le pullback de deux morphismes existe toujours. Par conséquent, cet exemple se généralise pour toute catégorie C avec pullbacks, une fois que l’on s’est fixé un choix, pour chaque morphisme φ, d’un pullback de (p, φ).

32

3

3 THÉORÈME DE GALOIS CATÉGORIQUE

Théorème de Galois catégorique

3.1

Enoncé du théorème

Cette partie est inspirée du livre de Borceux et Janelidze [4]. Avant de donner l’énoncé du théorème, nous devons définir les objets mathématiques dont il est question dans les hypothèses et la conclusion. 3.1.1

Objets scindés

Définition 3.1 (Classe de morphismes admissible) Soit C une catégorie. Une classe de morphismes C de C est dite admissible lorsque : (i) tout isomorphisme est contenu dans C ; (ii) C est stable par composition ; (iii) Dans le pullback • d

c



•

/• 

a

b

/•

si a, b ∈ C , alors c, d ∈ C . On note C ⊆ C pour indiquer que C est une classe de morphismes de C . Définition 3.2 Soit C une catégorie, I ∈ |C | et C une classe de morphismes admissible de C . La catégorie C /I est définie par n o (i) C /I = (C, f ) : C ∈ |C |, f ∈ C et f ∈ C (C, I) . n o (ii) C /I ((C, f ), (C 0 , f 0 )) = g ∈ C (C, C 0 ) : f = f 0 ◦ g . La loi de composition est celle induite par la composition dans C . Remarque 3.3 On remarque que C /I est une une pleine de C /I , c’est-à-dire telle que sous-catégorie pour tout objets (C, f ), (C 0 , f 0 ) ∈ C /I , C /I ((C, f ), (C 0 , f 0 )) = C /I ((C, f ), (C 0 , f 0 )). Proposition 3.4 Soient C ⊆ C une classe de morphismes admissible d’une catégorie avec pullbacks et p : E −→ B ∈ C . Alors l’adjonction p ! : C /E o

/

⊥

C /B : p∗

(voir l’exemple 2.45 et la remarque 2.46) se restreint à une adjonction p¯! : C /E o

⊥

/

C /B : p¯∗ .

3.1 Enoncé du théorème

33

Démonstration. On vérifie d’abord que les foncteurs p¯! = p! et p¯∗ = p∗ sont bien définis. C /E C /B Pour tout objet (A, f ) ∈ C /E , p! (A, f ) = (A, p ◦ f ) ∈ C /B puisque C est stable par composition. Pour tout objet (X, φ) ∈ C /B , p∗ (A, f ) ∈ C /E par la condition (iii) de la définition 3.1. Soient η et  respectivement l’unité et la co-unité de l’adjonction p! a p∗ . Posant et ¯ =  , alors η¯ : 1 ⇒ p¯∗ p¯! et ¯ : p¯! p¯∗ ⇒ 1 sont bien des η¯ = η C /E C /B C /E C /B transformations naturelles, par la remarque 3.3. Elle vérifient de plus les identités de la u caractérisation d’une adjonction (voir théorème 2.17 (ii)), ce qui prouve que p¯! a p¯∗ . t Définition 3.5 (Adjonction relativement admissible) Une adjonction relativement admissible consiste en (i) une adjonction L : B o

/

⊥

A : R d’unité η et de co-unité  ;

(ii) deux classes admissibles B ⊆ B, A ⊆ A . Elle doit de plus vérifier les conditions suivantes : (i) pour tout morphisme b ∈ B, L(b) ∈ A ; (ii) pour tout morphisme a ∈ A , R(a) ∈ B ; (iii) pour tout objet B ∈ |B|, l’unité ηB : B −→ RL(B) est dans B ; (iv ) pour tout objet A ∈ |A |, la co-unité A : LR(A) −→ A est dans A ; On note L : (B, B) o

⊥

/

(A , A ) : R une telle adjonction.

Proposition 3.6 / Soit L : (B, B) o ⊥ (A , A ) : R une adjonction relativement admissible, avec B une catégorie avec pullbacks. On note η et  respectivement l’unité . et la co-unité de l’ad B jonction. Pour tout objet B ∈ |B|, le foncteur LB : B −→ A L(B) , défini par ˜ b) = LB (B,

˜ L(b) L(B),

LB (g) = L(g)




 ˜ b) ∈ B pour tout (B, , B    ˜ b), (B ˜ 0 , b0 ) , pour tout g ∈ B B (B,

.  L(B) −→ B B . On le définit de la façon sui . A 0 0 vante : Pour tout couple d’objets (A, f ), (A , f ) ∈ L(B) et pour tout morphisme . g ∈ A L(B) ((A, f ), (A0 , f 0 )), on considère les pullbacks dans B des couples de mor 

phismes ηB , R(f ) et ηB , R(f 0 ) que l’on note respectivement RB (A), RB (f ), p(A, f )   et RB (A0 ), RB (f 0 ), p(A0 , f 0 ) . Le foncteur RB est alors donné par :

possède un adjoint à droite RB : A

RB (A, f ) = (RB (A), RB (f )) et RB (g) est fourni par la propriété universelle du pullback comme le montre le diagramme suivant :

34

3 THÉORÈME DE GALOIS CATÉGORIQUE p(A,f )

RB (A) R(g)◦p(A,f )

RB (g)

%

RB (A0 )

' / R(A0 )

p(A0 ,f 0 )

/ R(A) n n R(g)nnnn n n n n nv nn

RB (f )

R(f )

R(f 0 )

RB (f 0 )



B

ηB

 { / RL(B)

 Cette adjonction se restreint à une adjonction LB : B B o

⊥

/

A

. L(B) : RB .

Démonstration. . . ˜ : A L(B) −→ B RL(B) un foncteur définit par Soit R .
˜ R(A, f ) = R(A), R(f ) pour tout (A, f ) ∈ A L(B) , . ˜ R(g) = R(g) pour tout g ∈ A L(B) ((A, f ), (A0 , f 0 )). ˜ et LB = (L(B) )! ◦ LB ◦ (ηB )! . Aussi, par On commence par remarquer que RB = (ηB )∗ ◦ R l’exemple 2.45, on a une adjonction (ηB )! a (ηB )∗ . Il suffit donc de montrer l’adjonction ˜ grâce au corollaire 2.19. La situation est la suivante : (L(B) )! ◦ LB a R, B B o

(ηB )! ⊥ (ηB )∗

/

B

.

(L(B) )! ◦LB

RL(B) o

⊥ ˜ R

/

A

.

L(B)

La deuxième observation consiste à voir que voir que les isomorphismes naturels α, β entre les foncteurs B (−, R(−)) et A (L(−), −), donnés par la preuve.du théorème 2.17,   se ˜ B restreignent à des isomorphismes naturels entre les foncteurs RL(B) −, R(−) et .
A L(B) (L(B) )! ◦ LB , − . En effet, B

.

  n   o ˜ b), R(A, ˜ ˜ R(A) : b = R(f ) ◦ g f ) = g ∈ B B, RL(B) (B,

et A

.   n   o ! ˜ b), (A, f ) = h ∈ A L(B), ˜ A : L(B) ◦ L(b) = f ◦ h . L(B) (L(B) ) ◦ LB (B,

Or, pour tout h ∈ A

.   ! ˜ b), (A, f ) , α (h) := R(h) ◦ ηB˜ , et donc ˜ L(B) (L(B) ) (B, (B,A) b =


R(L(B) ) ◦ ηRL(B) ◦ b

= R(L(B) ) ◦ RL(b) ◦ ηB˜ = R(f ◦ h) ◦ ηB˜ = R(f ) ◦ α(B,A) (h). ˜ Ainsi, α(B,A) (h) ∈ B ˜

.



 ˜ ˜ ( B, b), R(A, f ) . RL(B)

3.1 Enoncé du théorème

35

De même, pour tout g ∈ B plique

.   ˜ b), R(A, ˜ f ) , β(B,A) (g) := A ◦ L(g) ce qui im˜ RL(B) (B,

L(B) ◦ L(b) = L(B) ◦ LR(f ) ◦ L(g) = f ◦ A ◦ L(g) = f ◦ β(B,A) (g). ˜ .   ˜ b), (A, f ) , ce qui achève de prouver Par conséquent, β(B,A) (g) ∈ A L(B) (L(B) )! (B, ˜ l’adjonction désirée. Prouvons maitenant que cette adjonction se restreint à une adjonction  LB : B B o

/

⊥

A

.

L(B) : RB .

Pour tout B ∈ |B|, ηB ∈ B, la proposition 3.4 nous donne la restriction de l’adjonction ˜ se restreint (ηB )! a (ηB )∗ . Il suffit donc de voir que l’adjonction (L(B) )! ◦ LB ◦ LB a R aussi comme voulu. La situation est la suivante : (ηB )!

B o B

/

⊥ (ηB )∗

B

.

(L(B) )! ◦LB

RL(B) o

⊥ ˜ R

/

A

. L(B)

Or, les conditions (i), (i) et (iii) de la définition d’adjonction admissible assurent que les foncteurs en question sont bien définis sur les sous-catégories considérées. Par ailleurs, le fait qu’elles soient pleines fournit le fait que l’adjonction est conservée. En combinant l’exemple 2.45 et ce que l’on a vu plus haut, on obtient que l’unité de  ˜ b) ∈ B cette adjonction est donné, pour tout (B, B , par la propriété universelle du pullback du diagramme suivant : ˜ B

ηB˜

η B˜

(B,b)

$

˜ RB (L(B)) b

˜ p(L(B),L(b))

RB (L(b))

RL(b)

& 

B

! / RL(B) ˜

ηB

 / RL(B)

. Pour tout (A, f ) ∈ A L(B) , soit (P, p1 , p2 ) le pullback de (R(f ), ηB ). La co-unité en (A, f ) est donnée par B (A,f ) = A ◦ L(p2 ). u t Définition 3.7 (Objet scindé) / Soit L : (B, B) o ⊥ (A , A ) : R une adjonction relativement admissible, où B est une catégorie avec pullbacks. Un objet (X, b) ∈ B /B est dit scindé par un morphisme

36

3 THÉORÈME DE GALOIS CATÉGORIQUE

p : E −→ B de B si l’unité η E de l’adjonction LE a RE est un isomorphisme en p∗ (X, b). Autrement dit,
ηpE∗ (X,b) : p∗ (X, b) −→ RE LE p∗ (X, b) est un isomorphisme. Pour expliciter la situation, on pose (P, p0 , b0 ) le pullback de la paire (p, b), alors par définition, p∗ (X, b) = (P, b0 ). Par ailleurs, (RB (L(P )), RB (L(b0 )), p(L(P ), L(b0 )) est le pullback E de la paire (RL(b0 ), ηE ). On demande alors que η(P,b 0 ) , donné par la propriété universelle du second pullback, soit un isomorphisme. La situation est la suivante : Xo

p0

P

ηP

E η(P,b 0)

$

RB (L(P )) b

b0

$

p(L(P ),L(b0 ))

RL(b0 )

RB (L(b0 ))

 / RL(E)

' 

Bo

! / RL(P )

p

E

ηE

Remarque 3.8  On notera SplitB (p) la sous-catégorie pleine de B B constituée des objets scindés par p. On les dit scindés car ils généralisent d’une certaine manière la notion d’algèbre scindé par une extension de corps (voir le théorème 4.25). 3.1.2

Morphismes de descente galoisienne

Définition 3.9 (Morphisme de descente effective) Soit C ⊆ C une classe de morphismes admissible d’une catégorie avec pullbacks. Un morphisme p : E −→ B est dit un morphisme de descente effective relativement à C lorsque (i) p ∈ C ; (ii) le foncteur p∗ : C /B −→ C /E est monadique. Définition 3.10 (Morphisme de descente galoisienne) / Soit L : (B, B) o ⊥ (A , A ) : R une adjonction relativement admissible, où A et B sont des catégories avec pullbacks. Dans ce contexte, un morphisme p : E −→ B est dit morphisme de descente galoisienne lorsque : (i) p est un morphisme de descente effective relativement à B ; (ii) la co-unité E de l’adjonction LE a RE est un isomorphisme ; . (iii) pour tout objet (X, f ) ∈ A L(E) , l’objet p! ◦ RE (X, f ) ∈ B /B est scindé par p. Les foncteurs impliqués dans cette définition sont les suivants : B o B

p∗ ⊥ p!

/

B o E

LE ⊥ RE

/

A

. L(E)

3.1 Enoncé du théorème 3.1.3

37

Catégorie des préfaisceaux internes et groupoïde de Galois

En théorie des catégories, la catégorie des ensembles joue un rôle particulier. En effet, une petite catégorie est un ensemble d’objets et un ensemble de morphismes munis d’une certaine structure. On peut donc définir une petite catégorie comme un couple d’objets de la catégorie des ensembles avec une structure particulière. Cette approche se généralise à une catégorie quelconque avec pullbacks. Pour plus de facilité, on introduit la notation suivante. Notation 3.11 (Pullbacks) Dans cette partie, nous utiliserons une notation pratique pour exprimer les morphismes induits par une propriété universelle de pullback. Etant donné un pullback (A × B, π0 , π1 ), C

π0

A×B

/A

C π1



 /C

B  On notera

f g

 l’unique morphisme suivant :

D

f 

f g



g

'

A×B

π0

C

$

/A

π1

' 

 /C

B

Remarque 3.12 Avec cette notation, la règle suivante s’applique :   h      f◦ k  f h   . ◦ =   h g k g◦ k 



Définition 3.13 (Catégorie interne) Soit C une catégorie avec pullbacks. Une catégorie interne A de C est constitué de : (i) un objet A0 de C nommé « objet des objets » ; (ii) un objet A1 de C nommé « objet des morphismes » ; (iii) un morphisme d0 : A1 −→ A0 nommé « source » ; (iv ) un morphisme d1 : A1 −→ A0 nommé « cible » ; (v ) un morphisme i : A0 −→ A1 nommé « identité » ; (vi) un morphisme c : A1 × A1 −→ A1 nommé « composition », où A1 × A1 est le pullblack A0

de (d0 , d1 ) (voir le diagramme 14).

A0

38

3 THÉORÈME DE GALOIS CATÉGORIQUE Diagramme 14: Définition de A1 × A1 A0

A1 × A1

π0

A0

/ A1

π1

d1





A1

d0

/ A0

Le diagramme suivant résume les données : d0

A1 ×

A0

A1 c

/ / A1 o i A0 d1 /

Voici les axiomes pour les catégories internes, ainsi que leurs interprétations pour les petites catégories : (i) d0 ◦ i = d1 ◦ i = 1A0 . Cet axiome exprime le fait que le domaine et le codomaine d’une identité sur un objet est exactement cet objet-là.     i ◦ d0 1A1 (ii) Soient et les morphismes de domaine A1 et de codomaine 1A1 i ◦ d1 A1 × A1 donnés par la propriété universelle du pullback du digramme 14 avec les A0

couples de morphismes (i ◦ d0 , 1A1 ) et (1A1 , i ◦ d1 ). Alors,  c◦

i ◦ d0 1A1



 = 1A1 = c ◦

1A1 i ◦ d1

 .

Pour les petites catégories, cet axiome assure    que iretourne un morphisme identité. i ◦ d0 1A1 En effet, : f 7→ (1dom(f ) , f ) et : f 7→ (f, 1codom(f ) ). 1A1 i ◦ d1 (iii) d0 ◦ c = d0 ◦ π0 . Cet axiome demande que le domaine de la composition de deux morphismes soit celui du premier morphisme. (iv ) d1 ◦ c = d1 ◦ π1 . Cet axiome garantit que le codomaine de la composition de deux morphismes est celui du second morphisme.
(v ) Soient (A1 × A1 ) × A1 , P0 , P1 le pullback de (d1 ◦ π1 , d0 ) et A0



A0

 π ◦ P 0 0     : (A1 × A1 ) × A1 −→ A1 × A1 π 1 ◦ P0 c◦ A0 A0 A0 P1   c ◦ P0 : (A1 × A1 ) × A1 −→ A1 × A1 P1 A0 A0 A0

3.1 Enoncé du théorème

39

les morphismes donnés par la propriété  universelle  du pullback du digramme 14 avec π1 ◦ P0 les couples de morphismes π0 ◦ P0 , c ◦ et (c ◦ P0 , P1 ). Alors, P1        π0 ◦ P0 π0 ◦ P0  c ◦ P0 c◦     π1 ◦ P0 π1 ◦ P0 c◦ =c◦ =c◦ . P1 c◦ P1 P1 

Cet axiome exprime l’associativité de la composition. En effet, pour les petites catégories, 

 π ◦ P 0 0    : ((f, g), h) → π1 ◦ P0 c◦ 7 (f, h ◦ g) → 7 (h ◦ g) ◦ f c◦ P 1   c ◦ P0 c◦ : ((f, g), h) → 7 (g ◦ f, h) → 7 h ◦ (g ◦ f ) P1 Exemples 3.14 (i) Toutes les petites catégories sont des catégories internes de Set. (ii) Soit p : E −→ B un morphisme d’une catégorie C avec pullbacks. Soient le pullback
(E × E, d0 , d1 ) de (p, p) et le pullback (E × E) × (E × E), π0 , π1 de (d0 , d1 ). On B B E B pose   1E : E −→ E × E ∆= 1E B et  c=

d0 ◦ π0 d1 ◦ π1

 : (E × E) × (E × E) −→ E × E B

E

B

B

les morphismes induits par la propriété universelle du pullback. On explicite une dernière fois les deux morphismes : Diagramme 16: Définition de c

Diagramme 15: Définition de ∆

E

(E × E) × (E × E)

1E

B

E

B

d0 ◦π0

∆

!

/E

E×E 1E

B



d0

d1 ◦π1

# 

B

E

p

Alors les données suivantes forment une catégorie interne de C : d0

(E × E) × (E × E) B

E

B

c

/E×E o B

∆ d1

 /E p

 

/B

p

d0

d1



E

E×E

p

d1

c

/ /

E

 /B

40

3 THÉORÈME DE GALOIS CATÉGORIQUE En effet, l’axiome (i) est vérifié par définition de ∆ et les axiomes (iii), (iv) par définition de c. Concernant l’axiome (ii), on doit vérifier que ! ! ∆ ◦ d0 1E×E B . c◦ = 1E×E = c ◦ 1E×E B ∆◦d 1

B

On ne vérifie que la première égalité, la seconde se resolvant de la même manière. Il suffit de voir que l’unicité de la propriété universelle du pullback E × E par rapport B

aux morphismes d0 , d1 implique que

c◦

∆ ◦ d0 1E×E

! = 1E×E ⇔ B

B

      d0 ◦

c◦

∆ ◦ d0 1E×E

!! = d0

B

     d1 ◦

c◦

∆ ◦ d0 1E×E

.

!! = d1

B

Or, d’une part, on a que d0 ◦ c = d0 ◦ π0 et d!1 ◦ c = d1 ◦ π1 , et d’autre part, on a que   ∆ ◦ d0 ∆ ◦ d0 π0 ◦ = ∆ ◦ d0 et π1 ◦ = 1E×E . Ainsi, 1E×E 1A1 B B

      d0 ◦      d1 ◦

c◦

∆ ◦ d0 1E×E

!! = d0 ◦ ∆ ◦ d0 = d0

B

c◦

∆ ◦ d0 1E×E

.

!! = d1 ◦ 1E×E

= d1

B

B

Pour l’axiome (v), il s’agit encore d’appliquer l’unicité de la propriété universelle du même pullback avec les morphismes (d0 ◦ P0 , d1 ◦ P2 ), où P0 , P1 , P2 correspondent aux u « projections » sur les composantes. t Définition 3.15 (Groupoïde interne) Une catégorie interne A = (A0 , A1 , d0 , d1 , i, c) munie d’un morphisme m : A1 −→ A1 vérifiant de plus   1A1 c◦ = i ◦ d0 ; m et

 c◦

m 1A1

 = i ◦ d1 ;

est un groupoïde interne. Le morphisme m est appelé le morphisme « inverse ». Exemples 3.16 (i) Toute petite catégorie dont tous les morphismes sont inversibles est un groupoïde interne sur Set. (ii) On reprend l’exemple précédent. Les données suivantes forment un groupoïde interne de C : d0

(E × E) × (E × E) B

E

B

c

/E×E o B L τ

∆ d1

/

/

E

3.1 Enoncé du théorème

41

où τ est définie par : Diagramme 17: Définition de τ E×E B

d1 τ

#

! /E

E×E B

d0

d0

p

d1



$ 

E

/B

p

On va seulement vérifier la première identité, la seconde se resolvant de même. On utilise l’unicité de la propriété universelle du pullback suivant : E×E B

d0 ∆◦d0

#

! /E

E×E B

d0

d0

p

d1

 /B

$ 

E

p

On calcule : d0 ◦ c ◦

1E×E

! = d0 ◦ π0 ◦

B

τ

1E×E

!

B

τ

= d0 ◦ 1E×E B

= d0 . Par ailleurs, d1 ◦ c ◦

1E×E B

τ

! = d1 ◦ π1 ◦

1E×E

!

B

τ

= d1 ◦ τ = d0 . u t On introduit un peu prématurement ce qu’est le groupoïde de Galois pour un morphisme de descente galoisienne, pour pouvoir déja comprendre l’énoncé du théorème. On ne prouve pas ici que c’est effectivement un groupoïde, car il nous manque un petit peu de théorie sur les algèbres scindées. Ceci sera corrigé dans la preuve du théorème (voir le lemme 3.35).

42

3 THÉORÈME DE GALOIS CATÉGORIQUE

Définition 3.17 (Groupoïde/ de Galois) Soient L : (B, B) o ⊥ (A , A ) : R une adjonction relativement admissible (voir 3.5) où A et B sont des catégories avec pullbacks et p : E −→ B est un morphisme de descente galoisienne de B par rapport à ces données. Le groupoïde de Galois Gal(p) est le groupoïde interne à A suivant : 

 L (E × E) × (E × E) B

E

L(c)

L(d0 ) L(∆) L(d1 )

  /L E×E o

B

I

B

/

L(E) , /

L(τ )

où d0

(E × E) × (E × E) B

E

c

B

/E×E o B L

∆ d1

/

/

E

τ

est défini comme dans les exemples 3.14 et 3.16. On veut maintenant généraliser les foncteurs qui vont d’une petite catégorie vers Set. Les préfaisceaux internes sur une catégorie interne vont jouer ce rôle. Définition 3.18 (Préfaisceau interne) Soient C une catégorie avec pullbacks et A = (A0 , A1 , d0 , d1 , i, c) une catégorie interne de C . Un préfaisceau interne F sur A est constitué de : (i) un objet I ∈ |C | ; (ii) un morphisme FObj : I −→ A0 ; (iii) un morphisme FMor : A1 × I −→ I, où A1 × I est le pullback de (d0 , FObj ). A0

A0

Diagramme 18: Définition de A1 × I A0

A1 × I A0

πI

/I

π A1

FObj



A1



d0

/ A0

Ces données doivent de plus vérifier les axiomes suivants : (i) FObj ◦ FMor = d1 ◦ πA1 ;   i ◦ FObj (ii) FMor ◦ = 1I ; 1I
(iii) Si (A1 × A1 ) × I, P0 , P1 est le pullback de (d0 ◦ π0 , FObj ), alors on a A0

A0

 FMor ◦

c ◦ P0 P1





 π1 ◦ P0  . π 0 ◦ P0 = FMor ◦  FMor ◦ P1

3.1 Enoncé du théorème

43

Pour comprendre le sens de cette définition, regardons ce qui se passe dans la catégorie Set. Exemple 3.19 Soit A = (A0 , A1 , d0 , d1 , i, c) une catégorie interne de Set, c’est-à-dire correspondant à une petite catégorie A . La notion de préfaisceau interne sur A correspond alors exactement avec celle de foncteur de A dans Set. Pour voir ceci, donnons nous F = (I, FObj , FMor ) un préfaisceau interne et interprétons la structure et les axiomes. D’abord, on peut voir que FObj permet de définir une application F : A −→ Set sur les objets. En effet, on −1 peut poser, pour tout A ∈ A0 , F (A) = FObj (A). Ainsi, F associe à A l’ensemble de ces préimages par`FObj . Réciproquement, étant donné un foncteur G : A −→ Set, on peut définir GObj : a∈A0 G(a) −→ A0 par (x, a) 7→ a. En effet, I=

a a∈A0

G−1 Obj (a) =

a

G(a).

a∈A0

Les deux associations mentionnées sont alors inverse l’une de l’autre. Le morphisme FMor permet quant à lui de définir F sur les morphismes. En effet, dans Set, A1 × I = {(f, x) : f ∈ A1 et x ∈ F (domf )}. Ainsi, pour tout morphisme f , A0

on peut définir F (f ) : F (domf ) −→ F (codomf ) par F (f )(x) = FMor (f, x). Le fait que FMor (f, x) ∈ F (codomf ) est assuré par le premier axiome. Le second axiome assure la compatibilité du foncteur F ainsi défini avec les identités. Plus précisément, il assure que pour tout x ∈ F (A), F (1A )(x) = FMor (1FObj (x) , x) = x, c’est-à-dire que F (1A ) = 1F (A) . Le troisième axiome assure la compatibilité du foncteur F avec la composition. Plus précisément, il assure que pour tout couple de morphisme composables (f, g) et x ∈ F (domf ), alors F (g ◦ f )(x) = FMor (g ◦ f, x)   = FMor g, FMor (f, x) = F (g)(F (f )(x)) = [F (g) ◦ F (f )](x), et donc F (g ◦ f ) = F (g) ◦ F (f ). Remarque 3.20 Dans le cas d’un groupoïde G sur une catégorie concrète C , on peut voir intuitivement FMor comme une « action de groupoïde » de G sur (IF , FObj ). La proposition 4.23 peutêtre éclairante à ce sujet. Elle montre que d’une façon générale, si le groupoïde ne possède qu’un seul objet, alors c’est un groupe, et les préfaisceaux internes sur G sont les objets de C munis d’une action de groupe de G qui est de plus un morphisme de C . On internalise maintenant la notion de transformation naturelle, pour obtenir la catégorie des préfaisceaux internes sur une catégorie interne. Définition 3.21 (Transformation naturelle interne entre préfaisceaux) Une transformation naturelle interne d’un préfaisceau interne F = (IF , FObj , FMor ) vers un autre préfaisceau interne G = (IG , GObj , GMor ) sur une catégorie interne A (d’ensemble de morphisme A1 ) est un morphisme α : IF −→ IG tel que : (i) GObj ◦ α = FObj ;  (ii) α ◦ FMor = GMor ◦

π A1 α ◦ πIF

 ;

44

3 THÉORÈME DE GALOIS CATÉGORIQUE

Exemple 3.22 Etudions la situation dans Set : La première condition donne que si x ∈ F (A), c’est-à-dire FObj (x) ∈ A, alors on a que GObj ◦ α(x) = FObj (x) ∈ A. Par conséquent, α(x) ∈ G(A). La deuxième condition assure que pour tout morphisme f de A et tout x ∈ F (domf ), alors α ◦ F (f )(x) = α ◦ FMor (f, x)   = GMor f, α(x) = [G(f ) ◦ α](x). Par conséquent, si α : F ⇒ G est une transformation naturelle de F vers G, alors est une transformation naturelle interne de F vers G, et vice-versa.

`

A∈A0

αA

Proposition 3.23 (Catégorie des préfaisceaux internes) Soient C une catégorie avec pullbacks et A une catégorie interne sur C . Alors la classe de tous les préfaisceaux internes sur A munis des transformations naturelles comme morphismes forme une catégorie. Cette catégorie est notée C A . Démonstration. La composition des morphismes est donnée par la composition dans C ; si elle est bien définie, elle est associative. Il faut vérifier que la composition de deux transformations naturelles internes est une transformation naturelle interne. Pour cela, soient α : F ⇒ G et β : G ⇒ H des transformations naturelles internes entre préfaisceaux internes sur A. Alors, HObj ◦ β ◦ α = GObj ◦ α = FObj . Par ailleurs,   π A1 β ◦ α ◦ FMor = β ◦ GMor ◦ α ◦ πIF     π A1 πA1 = HMor ◦ ◦ α ◦ π IF β ◦ πIG   πA1 = HMor ◦ . β ◦ α ◦ πIF Les identités sont trivialement des transformations naturelles, ce qui achève la preuve. u t Définition 3.24 Soient C une catégorie avec pullbacks, C une classe de morphismes relativement admissible A

et A une catégorie interne sur C . La sous-catégorie pleine C de C A est définie par n o A C = (IF , FObj , FMor ) ∈ C A : FObj ∈ C . 3.1.4 Enoncé Théorème 3.25 (Théorème de Galois catégorique) / Soit L : (B, B) o ⊥ (A , A ) : R une adjonction relativement admissible (voir 3.5) où A et B sont des catégories avec pullbacks. Si p : E −→ B est un morphisme de descente galoisienne de B par rapport à ces données, alors il existe une équivalence de catégorie SplitB (p) ≈ A

Gal(p)

.

3.2 Preuve du théorème

3.2

45

Preuve du théorème

Dans cette partie, on se place toujours dans les conditions de l’énoncé 3.25. Pour tout morphisme m : X −→ Y de C = B ou A , on aimerait définir le foncteur m∗ : C /Y −→ C /X . Ceci nécéssite le choix, pour tout morphisme φ, d’un pullback de (m, φ). Fixons nous ces choix pour définir les foncteurs RE , p∗ et L(d0 )∗ . La stratégie générale de la preuve est de prouver qu’il existe des foncteurs monadiques . F1 : SplitB (p) −→ A L(E) et F2 : A

Gal(p)

−→ A

. L(E)

ayant des monades associées isomorphes. Nous allons commencer par donner la construction de F1 . 3.2.1

Premier foncteur monadique

Proposition 3.26 ˜ e) ∈ B /E . Les propositions suivantes sont équivalentes : Soit (B, ˜ e) est scindé par 1E ; (i) (B, ˜ e) −→ RE ◦ LE (B, ˜ e) est un isomorphisme ; (ii) η(EB,e) : (B, ˜ . ˜ e) ∼ (iii) (B, = RE (X, f ) pour un (X, f ) ∈ A L(E) . Démonstration. (i) ⇔ (ii) : Par définition, il suffit de constater que (1E )∗ = 1B/ . Cela vient du fait que E ˜ 1E , e). le pullback de (1E , e) est (B, ˜ e). (ii) ⇒ (iii) : Evident avec (X, f ) = LE (B, (iii) ⇒ (ii) : Par la condition (ii) de la définition 3.10, E (X,f ) : LE ◦ RE (X, f ) −→ (X, f ) est un isomorphisme, ce qui assure que RB (E (X,f ) ) est un isomorphisme. Or, E RB (E (X,f ) ) ◦ ηRE (X,f ) = 1RE (X,f ) , E ˜ e) −→ RE (X, f ) ce qui implique que ηR est un isomorphisme. Nommons φ : (B, E (X,f ) E l’isomorphisme fourni par hypothèse. Alors η(B,e) est aussi un isomorphisme, d’inverse ˜ E φ−1 ◦ (ηR ) E (X,f )

−1

◦ RE LE (φ). u t

Remarque 3.27 La proposition précédente implique que si un objet (A, f ) ∈ B /E est isomorphe à un ˜ e) scindé par 1E ((B, ˜ e) ∈ B /E , par définition), alors il est aussi scindé par ce objet (B, même morphisme. En effet, puisque les isomorphismes sont dans B et que B est stable par B composition (voir la définition 3.1), alors (A, f ) ∈ /E et le point (iii) de la proposition précédente permet de conclure.

46

3 THÉORÈME DE GALOIS CATÉGORIQUE

Corollaire 3.28 ˜ b) ∈ B /B . Les propositions suivantes sont équivalentes : Soit (B, ˜ b) est scindé par p : E −→ B ; (i) (B,
˜ b) −→ RE ◦ LE p∗ (B, ˜ b) est un isomorphisme ; (ii) ηpE∗ (B,b) : p∗ (B, ˜ ˜ b) est scindé par 1E ; (iii) p∗ (B, . ˜ b) ∼ (iv ) p∗ (B, = RE (X, f ) pour un (X, f ) ∈ A L(E) . Démonstration. Découle de la définition 3.7 et de la proposition précédente. Lemme 3.29 Les foncteurs SplitE (1E ) o

LE ⊥ RE

/

A

.

u t

L(E) donnent une équivalence de catégories

SplitE (1E ) ≈ A

. L(E) .

Démonstration. Le foncteur RE est bien tel que im(RE ) ⊆ SplitE (1E ), par la proposition 3.26. Par ailleurs, la définition 3.10 (ii) assure que LE ◦ RE ∼ et la proposition 3.26 implique que = 1A /L(E) ∼ RE ◦ LE = 1Split (1 ) . E

E

Proposition 3.30 Le foncteur p∗ : SplitB (p) −→ SplitE (1E ) est monadique. Démonstration. On doit d’abord montrer que p∗ |SplitB (p) ⊆ SplitE (1E ), ce qui est effectivement le cas par le corollaire 3.28 (iii). Son adjoint à gauche p! : SplitE (1E ) −→ SplitB (p) est aussi bien ˜ e) est dans SplitE (1E ), alors par la proposition 3.26, on défini, puisque si un objet (B, . ˜ e) ∼ a que (B, = RE (X, f ) pour un certain (X, f ) ∈ A L(E) . La condition (iii) de la définition 3.10 assure que p! RE (X, f ) est scindé par p, ce qui veut dire que ηpE∗ (p! R (X,f )) E ˜ e) ∼ est un isomorphisme. Le fait que (B, est aussi un = RE (X, f ) entraine que ηpE∗ (p! (B,e)) ˜ ˜ e) ∈ |SplitB (p)|. isomorphisme, et donc p! (B, On a donc une adjonction entre les sous-catégories pleines : p! : SplitE (1E ) o

⊥

/

SplitB (p) : p∗ .

Il reste à voir que le foncteur de comparaison associé à cette adjonction est une équivalence de catégorie. D’abord, on sait que la monade T associée à l’adjonction précédente est la / B /B : p∗ . En effet, l’unité et la comême que celle associée à p! : B /E o ⊥ unité sont les mêmes. Par conséquent, le foncteur de comparaison de l’adjonction qui nous intéresse est la restriction du foncteur de comparaison  T CanT : B /B −→ B /E à SplitB (p). Par la condition (i) de la définition 3.10, on sait de plus que ce dernier foncteur est une équivalence de catégorie, soit donc G son équivalence inverse. On doit prouver que cette équivalence se restreint à une équivalence de catégories entre (SplitE (1E ))T et

3.2 Preuve du théorème

47


SplitB (p). On sait déja que im CanT |SplitB (p) ⊆ (SplitE (1E ))T . En effet, on a déja prouvé que le foncteur de comparaison est biendéfini.  ˜ e), m) ∈ (SplitE (1E ))T . On doit voir que im G|(SplitE (1E ))T ⊆ SplitB (p). Soit ((B, ∼ ((B, ˜ e), m) = ˜ e), m). Ceci entraîne un isomorphisme entre « les On a que CanT ◦ G((B, ˜ e), m)) ∼ ˜ e). composantes objets » de ces deux algèbres, c’est-à-dire que p∗ (G((B, = (B, ∗ ˜ Ceci implique comme précédemment le fait que p (G((B, e), m)) ∈ |SplitE (1E )| et donc ˜ e), m) ∈ |SplitB (p)|. u G((B, t Lemme 3.31 / Soient G : C o B : D une équivalence de catégories et TB = (T, µ, η) une monade sur B. On nomme respectivement α et β les isomorphismes naturels GD ⇒ 1B et 1C ⇒ DG. Alors,  
TC = (T˜, µ ˜, η˜) := DT G, 1D ? µ ◦ (1T ? α ? 1T ) ? 1G , (1D ? η ? 1G ) ◦ β est une monade sur C et les catégories des algèbres sont équivalentes, c’est-à-dire : C TC ≈ B TB . Démonstration. Pour vérifier que TC est bien une monade sur C , il suffit d’utiliser les propriétés du produit de Godement 2.8 et le fait que TB est une monade sur B. Nous allons seulement vérifier la condition d’associativité, l’autre se résolvant de façon similaire. On calcule µ ˜ ◦ (˜ µ ? 1T˜ ) :    

1D ? µ ◦ (1T ? α ? 1T ) ? 1G ◦ 1D ? µ ◦ (1T ? α ? 1T ) ? 1G ? 1DT G 

 = 1D ? µ ◦ (1T ? α ? 1T ) ◦ (µ ◦ (1T ? α ? 1T ) ? 1GDT ) ? 1G   = 1D ? µ ◦ (1T ? α ? 1T ) ◦ (µ ? 1GDT ) ◦ (1T ? α ? 1T GDT ) ? 1G  
= 1D ? µ ◦ ((1T ? α) ◦ (µ ? 1GD )) ? 1T ◦ (1T ? α ? 1T GDT ) ? 1G  
= 1D ? µ ◦ (µ ◦ (1T ? 1T ? α)) ? 1T ◦ (1T ? α ? 1T GDT ) ? 1G   = 1D ? µ ◦ (µ ? 1T ) ◦ (1T ? 1T ? α ? 1T ) ◦ (1T ? α ? 1T GDT ) ? 1G   = 1D ? µ ◦ (1T ? µ) ◦ (1T ? 1T ? α ? 1T ) ◦ (1T ? α ? 1T GDT ) ? 1G 

 = 1D ? µ ◦ (1T ? µ) ◦ 1T ? (1T ? α) ◦ (α ? 1T GD ) ? 1T ? 1G 

 = 1D ? µ ◦ (1T ? µ) ◦ 1T ? (α ? 1T ) ◦ (1GDT ? α) ? 1T ? 1G 
 = 1D ? µ ◦ (1T ? µ ◦ (α ? 1T ? 1T ) ◦ (1GDT ? α ? 1T ) ? 1G 
 = 1D ? µ ◦ (1T ? α ? 1T ◦ (1GD ? µ) ◦ (1GDT ? α ? 1T ) ? 1G 
 = 1D ? µ ◦ (1T ? α ? 1T ) ◦ (1T GD ? µ) ◦ (1T GDT ? α ? 1T ) ? 1G    

= 1D ? µ ◦ (1T ? α ? 1T ) ? 1G ◦ 1DT G ? 1D ? µ ◦ (1T ? α ? 1T ) ? 1G . L’équivalence de catégories entre les catégories des algèbres est donnée par le couple de foncteurs DTB , GTB définis de la façon suivante : pour tout (B, m) ∈ B TB , DTB (B, m) = (D(B), D(m) ◦ DT (αB )), T 0 0 pour tout f ∈ B B ((B, m), (B , m )), DTB (f ) = D(f ), T T C B pour tout (C, n) ∈ C , G (C, n) = (G(C), G(n) ◦ αT G(C) −1 ), T 0 0 C = G(g), pour tout g ∈ C ((C, n), (C , n )), GTB (g)

48

3 THÉORÈME DE GALOIS CATÉGORIQUE

On doit commencer par vérifier que c’est bien défini. On ne traitera que le cas du foncteur DTB , l’autre étant similaire. La situation est résumée par le diagramme commutatif cidessous. Les carrés (1) et (3) commutent par naturalité de α, le carré (2) par naturalité de µ et le (4) et le triangle supérieur puisque (B, m) est une TB -algèbre. Le carré (5) est commutatif par naturalité de η, et le triangle inférieur par la proposition 3.4.3 du livre [2][p.115], qui implique que G est l’adjoint à gauche de D, avec unité β et co-unité α. DT (αT GD(B) )


DT GDT G D(B)




DT G DT (αB )






DT G D(m)


DT G D(B) O

(2)

 / DT 2 (B)

D(µB )

(4)

DT (m)

 / DT (B) O

/ DT G D(B)




DT (αB )

 / DT (B)

D(m)

 / D(B) rrr rrrrr r r r rrrr rrrrr r r r rr D(ηB ) rrrr rrrrr r r r rrrr rrrrr r r r rrr

(5) D(αB )

D(m)

/ D(B) n n nnn nnn n n nnn βD(B) nnn n n nnn nnn n n n

DGD(B) O

DT 2 (αB )

(3) DT (αB )

D(ηGD(B) )




(1)

DT (αT (B) )

DT GDT (B)

D(µGD(B) )

/ DT 2 G D(B)

D(B)

Ainsi, l’image d’une algèbre sur TB est bien une algèbre sur TC . Par ailleurs, l’image d’un morphisme est bien un morphisme, puisque le diagramme suivant est commutatif, par définition et par naturalité de α :



DT G D(B) 

DT (αB )

DT (B) 

DT G D(f )

DT (f )

D(m)

D(B)

D(f )

/ DT G D(B 0 )




DT (αB 0 )



/ DT (B 0 ) 

D(m0 )

/ D(B 0 )

Le foncteur DTB est donc bien défini. Il reste à montrer que c’est une équivalence de

3.2 Preuve du théorème

49

catégorie. Or,  GD(B), GD(m) ◦ GDT (αB ) ◦ αT G(D(B)) −1 ,   ◦ GTB (C, n) = DG(C), DG(n) ◦ D(αT G(C) −1 ) ◦ DT (αG(C) ) .

GTB ◦ DTB (B, m) = DTB



On va donc montrer que α : GTB ◦ DTB ⇒ 1BTB est un isomorphisme et de même pour β : 1C TC ⇒ DTB ◦ GTB . La seule chose à démontrer est que les α et les β sont bien des morphismes d’algèbre. On commence par β et on calcule (voir diagramme) :

βDT G(C)

DT G(C)

DT G(βC )

/ DT GDG(C)

DT (αG(C) )

/ DT G(C)

D(αT G(C)

+ / DGDT G(C) −1 )

n

DG(n)

 / DG(C)



C

βC

DG(n) ◦ D(αT G(C) −1 ) ◦ DT (αG(C) ) ◦ DT G(βC ) = DG(n) ◦ D(αT G(C) −1 ) ◦ DT (1G(C) ) = DG(n) ◦ βDT G(C) = βC ◦ n. Calculons maintenant pour α−1 (l’inverse d’un isomorphisme d’algèbre est un morphisme d’algèbre) : αT (B) −1

T (B)

T (αB −1 )

/ T GD(B)

αT G(D(B))

/ GDT GD(A) −1

GDT (αB )

m

+ / GDT (A) GD(m)



B

αB −1

 / GD(B)

Il suffit de voir que, par naturalité, αT (B) ◦ GDT (αB ) = αT GD(B) ◦ T (αB ), et donc : αT (B) −1 = GDT (αB ) ◦ αT GD(B) −1 ◦ T (αB −1 ). u t Proposition 3.32 Soient R : A −→ B un foncteur monadique et D : B −→ C une équivalence de catégorie. Alors DR est monadique. Démonstration. Soient L : B −→ A l’adjoint à gauche de R et G : C −→ B l’équivalence de catégories inverse de D. On note η et  respectivement l’unité et la co-unité de l’adjonction L a R et TB la monade sur B associée.

50

3 THÉORÈME DE GALOIS CATÉGORIQUE

Par la proposition 3.4.3 du livre [2][p.115], G est aussi l’adjoint à gauche de D, et donc on a LG a DR. On nomme encore β et α respectivement l’unité et la co-unité de l’adjonction G a D. On doit montrer que le foncteur de comparaison associé à l’adjonction LG a DR est bien une équivalence de catégorie. Soit TC la monade associée sur C à l’adjonction LG a DR. Par la proposition 2.24, on a que TB = (RL, 1R ?  ? 1L , η) := (T, µ, η) et le corollaire 2.19 implique que  

TC = DRLG, 1DR ?  ◦ (1L ? α ? 1R ) ? 1LG , 1D ? η ? 1G ◦ β  

= DRLG, 1D ? (1R ?  ? 1L ) ◦ (1RL ? α ? 1RL ) ? 1G , 1D ? η ? 1G ◦ β  

= DT G, 1D ? µ ◦ (1T ? α ? 1T ) ? 1G , 1D ? η ? 1G ◦ β . On remarque que TC est associée à TB comme dans le lemme précédent. Par ailleurs, pour tout A ∈ |A |, 
 CanTC (A) = DR(A), DR A ◦ L(αR(A) ) = DTB ◦ CanTB (A), et pour tout morphisme f de la catégorie A , CanTC (f ) = DR(f ) = DTB ◦ CanTB (f ). Pour conclure, le foncteur CanTC = DTB ◦CanTB est une équivalence de catégories, puisque u il est la composition de deux équivalences de catégories. t Corollaire 3.33 . Le foncteur F1 := LE ◦ p∗ : SplitB (p) −→ A L(E) est monadique. Démonstration. Résulte du lemme 3.29 ainsi que des propositions 3.30 et 3.32. 3.2.2

u t

Deuxième foncteur monadique

On va commencer par montrer que le groupoïde de Galois est bien défini. Lemme 3.34 B ∗ ! n Les objets (p ◦ p ) (E, 1E ) ∈ /E sont scindés par 1E pour tout entier n ∈ N. Démonstration. On va prouver le résultat par récurence. P0 : D’abord, 1L(E) ∈ A puisque A contient les isomorphismes. Par ailleurs, (E, ηE , 1E ) est un pullback de (ηE , 1RL(E) ), ce qui implique que RE (L(E), 1L(E) ) ∼ = (E, ηE , 1E ), et par la proposition 3.26, (E, 1E ) ∈ |SplitE (1E )|. ∗ ! n Pn ⇒ Pn+1 : Par hypothèse de récurence, (p. ◦ p ) (E, 1E ) ∈ |SplitE (1E )|. La proposition 3.26 assure l’existence de (X, φ) ∈ A L(E) tel que RE (X, φ) ∼ = (p∗ ◦ p! )n (E, 1E ).

Puisque p est un morphisme de descente galoisienne, p! ◦ RE (X, φ) est scindé par p, ce qui est implique, par le corollaire 3.28, que p∗ ◦ p! ◦ RE (X, φ) est scindé par 1E . Ainsi, par la remarque 3.27, (p∗ ◦ p! )n+1 (E, 1E ) ∈ |SplitE (1E )|.

3.2 Preuve du théorème

51 u t

Lemme 3.35 Le groupoïde de Galois Gal(p) est effectivement un groupoïde interne sur A .   Démonstration. Il suffit de prouver que L (E × E) × (E × E) est un pullback de (L(d0 ), L(d1 )) et que B E B  
L (E × E) × (E × E) × (E × E) est un pullback de (L(d1 ) ◦ L(π1 ), L(d0 )). Ainsi, le B

E

B

E

B

groupoïde de Galois est bien défini puisque L(c) a bien pour domaine un pullaback de (L(d0 ), L(d1 )). De plus, les axiomes de groupoïde interne sur A sont vérifiés puisque L préserve la commutativité des diagrammes.
0n commence par voir que les pullbacks (E× E)× (E× E) et (E× E)× (E× E) × (E× E) B

E

B

B

E

B

E

B

sont les composantes objets des pullbacks (que l’on peut aussi voir comme des produits) dans B /E suivants. 

(E × E) × (E × E), d1 ◦ π0 B

E





/ E × E, d1

π0

B

B

π1





E × E, d0

d1

 / (E, 1E )

 d0

B






(E × E) × (E × E) × (E × E), d0 ◦ P0 B

E

B

E

P0

B

P1



(E × E) × (E × E), d1 ◦ π1 E

/ E × E, d0



B

d0

 B





B

d1 ◦π1

 / (E, 1E )

On va vérifier que ce sont effectivement des pullbacks. On va vérifier seulement pour B /E et des le premier, car la démarcheest similaire pour le second. Soient (X, m) ∈   

morphismes f : (X, m) −→ E × E, d1 , g : (X, m) −→ E × E, d0 tels que d1 ◦f = d0 ◦g. B B  f Il faut et il suffit de vérifier que est bien un morphisme de B /E . Or, g  d1 ◦ π0 ◦

f g

 = d1 ◦ f = m,

puisque f est un morphisme de B /E .

52

3 THÉORÈME DE GALOIS CATÉGORIQUE

Il faut observer que toutes les composantes de ces pullbacks sont dans SplitE (1E ). En effet,   ∼ ∼ E × E, d0 E × E, d1 =(p∗ ◦ p! )(E, 1E ) = B B     ∼ (E × E) × (E × E), d1 ◦ π1 = (E × E) × (E × E), d1 ◦ π0 ∼ =(p∗ ◦ p! )2 (E, 1E ) B E B  B E B
∼ (E × E) × (E × E) × (E × E), d0 ◦ P0 =(p∗ ◦ p! )3 (E, 1E ) 



B

E

B

E

B

et le lemme 3.34 et la remarque 3.27 permettent de conclure. On va seulement montrer les isomorphismes des lignes 1 et 2. En effet, le dernier isomorphisme se montre avec la même méthode et le calcul est un peu rébarbatif, nous laissons donc la vérification au lecteur. Les premiers isomorphismes de chaque ligne sont des permutations  composantes.    de d ◦ π 0 0     d1 .  d1 ◦π1 Pour la première ligne, c’est , tandis que pour la seconde, c’est    d0 d1 ◦ π1 d0 On va donc se concentrer sur les deuxièmes isomorphismes de chaque ligne. On remarque que, par construction et quitte à changer la convention sur le choix des pullbacks dans B, p∗ ◦ p! (E, 1E ) est exactement (E × E, d0 ). Ainsi, le deuxième isomorphisme de la première B

ligne est vérifié. Par conséquent, la partie objet de (p∗ ◦ p! )2 (E, 1E ) est le pullback du couple (p ◦ d0 , p), notons le ((E × E) × E, c0 , c1 ). La partie morphisme de (p∗ ◦ p! )2 (E, 1E ) est alors c1 . On B

B

construit des morphismes entre les pullbacks grâce aux propriétés universelles. On pose :   d0 ◦ π0   : (E × E) × (E × E) −→ (E × E) × E d1 ◦ π1 B E B B B   d1 ◦ π0   d0 ◦ c0     c1   : (E × E) × E −→ (E × E) × (E × E)   c1 B B B E B d1 ◦ c0  

On voit facilement que ces morphismes sont bien définis et qu’ils sont en fait dans B /E . Il reste à vérifier qu’ils sont inverses l’un de l’autre :  

   d0 ◦ c0         d0 ◦ π0 d0 ◦ c0   c1    d0 ◦ π0 ◦       c1 d1 ◦ π1    ◦   c1   =  d1 ◦ π1     c1 d ◦ c 1 0     d1 ◦ π0   d1 ◦ c0 d1 ◦ c0 d1 ◦ c1     d0 ◦ c0  d1 ◦ c0 =  c1   c0 = = 1(E×E)×E . c1 B B 

 

 





3.2 Preuve du théorème

53

      

 

     d0 ◦ c0  d0 ◦ π0   c1     =  d ◦ π ◦ 1 1   c1  d1 ◦ π0  d1 ◦ c0   =    =   =

  d0 ◦ π0 d0 ◦ c0  d1 ◦ π1 ◦ c1   d1 ◦ π0     d0 ◦ π0 c1   d1 ◦ π1 ◦ d1 ◦ c0 d1 ◦ π0    d0 ◦ π0   d1 ◦ π0    d1 ◦ π0 d1 ◦ π1   π0   d0 ◦ π1 d1 ◦ π1  π0 = 1(E×E)×(E×E) . π1 B E B 



 

       

Par le lemme 3.29, puisque LE est une équivalence de catégorie, elle possède aussi un adjoint à gauche (voir la proposition 3.4.3 du livre [2][p.115]) et préserve donc les limites et en particulier les pullbacks, par la proposition 3.2.2 du même livre. Ainsi, puisque les pullbacks considérés . sont en fait dans SplitE (1E ), alors leur image par L est aussi un A pullback dans L(E) . La situation est la suivante : 


L (E × E) × (E × E) , L(d1 ) ◦ L(π0 ) B

E

B



L(π0 )




B

L(π1 )



L(d1 )




L E × E , L(d0 ) B

L(d0 )

   
L (E × E) × (E × E) × (E × E) , L(d0 ) ◦ L(P0 ) B

E

B

E



/ L E × E , L(d1 )

B

 / (L(E), 1L(E) )



L(P0 )



/ L(E × E), L(d0 ) B

L(P1 )



L(d0 )




L (E × E) × (E × E) , L(d1 ) ◦ L(π1 ) B

E

L(d1 )◦L(π1 )

B

 / (L(E), 1L(E) )

Il reste à voir que les composantes objets de ces pullbacks forment aussi des pullbacks. On va le vérifier seulement dans le premier cas, car la méthode est la même pour le second. Soit X ∈ |A | et des morphismes f : X −→ L(E × E), g : X −→ L(E × E) tels que B

B

54

3 THÉORÈME DE GALOIS CATÉGORIQUE

L(d1 ) ◦ f = L(d0 ) ◦ g. Alors, le morphisme induit par la propriété universelle du pullback précédent avec (X, L(d1 ) ◦ f ), f et g assure l’existence pour la propriété universelle que l’on veut démontrer. Pour l’unicité, il faut voir que . tout morphisme m tel que f = L(π0 ) ◦ m et g = L(π1 ) ◦ m est aussi un morphisme de A L(E) . Or, L(d1 ) ◦ L(π0 ) ◦ m = L(d1 ) ◦ f, u t

ce qui achève la preuve. Donnons maintenant la construction de F2 : A

Gal(p)

−→ A

.

L(E) . On pose Gal(p) F2 (IF , FObj , FMor ) = (IF , FObj ), pour tout (IF , FObj , FMor ) ∈ A ; pour tout morphisme de A

F2 (α) = α,

Gal(p)

.

Ce foncteur est bien défini, par définition de préfaisceau et de transformation naturelle interne. On montre dans la proposition suivante que ce foncteur est monadique. Théorème 3.36 Soit A = (A0 , A1 , d0 , d1 , i, c) une catégorie interne à une catégorie C avec pullbacks. Le A C foncteur U : C −→ A0 , défini par U (IF , FObj , FMor ) = (IF , FObj ), pour tout (IF , FObj , FMor ) ∈ C A , U (α) = α, pour tout morphisme de C A , est monadique. On va d’abord montrer qu’il possède un adjoint à gauche, c’est l’objet de la proposition suivante. Proposition 3.37 Soit A = (A0 , A1 , d0 , d1 , i, c) une catégorie interne à une catégorie  C avec Apullbacks. Le A C C foncteur U : C −→ A0 , possède un adjoint à gauche G : A0 −→ C défini de la façon suivante :      π A1 ◦ s 1 c◦  , pour tout (X, f ) ∈ C /E ; s0 G(X, f ) = d!1 ◦ d∗0 (X, f ),  πX ◦ s1 ! ∗ G(α) = d1 ◦ d0 (α), pour tout morphisme α. Plus précisément,   G(X, f ) = A1 × (A1 × X), d1 ◦ πA1 , ξ(X,f ) , A0

A0

où (A1 × X, πA1 , πX ) et (A1 × (A1 × X), s0 , s1 ) sont les pullbacks A0

A0

A0

Diagramme 19: Définition de A1 × X A0

A1 × X A0

πX

π A1

A0

A1 × (A1 × X) A0

A0

d0

 / A0

s1



A1

/ A1 × X A0

d1 ◦πA1

s0

f



A1

/X

Diagramme 20: Définition de A1 × (A1 × X)

d0

 / A0

A0

3.2 Preuve du théorème  et

πA1 ◦ s1 s0

55

 est le morphisme donné par la propriété universelle sur le pullback

A1 × (A1 × X) A0

πA1 ◦s1

A0



πA1 ◦ s1 s0



(

A1 × A1

π0

A0

s0

& / A1

π1

d1



( 

A1

d0

/ A0

tandis que ξ(X,f ) est donné par A1 × (A1 × X) A0

A0

πX ◦s1 ξ(X,f )

(

A1 × X

πX

A0

 c◦

πA1 ◦ s1 s0



&/

X

πA1

f

( 

A1

d0

 / A0

Ce dernier diagramme est commutatif grâce à l’axiome (iii) des catégories internes.

Démonstration. Il faut d’abord vérifier que G est bien défini. On commence par prouver que G(X, f ) est bien un préfaisceau interne sur A. Le premier axiome demande que d1 ◦ πA1 ◦ ξ(X,f ) = d1 ◦ s0 , ce qui est vrai puisque 

d1 ◦ πA1 ◦ ξ(X,f )

 πA1 ◦ s1 = d1 ◦ c ◦ s0   π A1 ◦ s 1 = d1 ◦ π1 ◦ s0 = d1 ◦ s0 ,

où l’on a utilisé l’axiome (iv) des catégories internes pour établir la deuxième égalité. ! i ◦ d1 ◦ πA1 Le second axiome demande que ξ(X,f ) ◦ = 1A1 × X . On va le prouver 1A1 × X A A0

par unicité du morphisme faisant commuter le diagramme suivant :

0

56

3 THÉORÈME DE GALOIS CATÉGORIQUE A1 × X A0

πX

$

A1 × X A0

πA1

" /X

πX

πA1

f



$ 

A1

/ A0

d0

En effet, on peut voir que πA1 ◦ ξ(X,f ) ◦

i ◦ d1 ◦ πA1 1A1 × X

!





= c◦

π A1 ◦ s 1 s0

A0

i ◦ d1 ◦ πA1 ◦ 1A1 × X A0 !

!

π A1 ◦ 1A1 × X

= c◦

A0

i ◦ d1 ◦ πA1 

 1A1 ◦ πA1 = c◦ i ◦ d1 ◦ πA1   1A1 = c◦ ◦ πA1 i ◦ d1 = πA1 , où l’on a utilisé l’axiome (ii) des catégories internes pour établir la dernière égalité. De plus, ! ! i ◦ d1 ◦ πA1 i ◦ d1 ◦ πA1 πX ◦ ξ(X,f ) ◦ = πX ◦ s1 ◦ 1A1 × X 1A1 × X A0

A0

= πX ◦ 1A1 × X A0

= πX .
Si (A1 × A1 ) × (A1 × X), P0 , P1 est le pullback de (d0 ◦ π0 , d1 ◦ πA1 ), le troisième A0

A0

A0

axiome demande que  ξ(X,f ) ◦

c ◦ P0 P1





 π 1 ◦ P0  . π 0 ◦ P0 = ξ(X,f ) ◦  ξ(X,f ) ◦ P1

On va le prouver par unicité du morphisme faisant commuter le diagramme suivant : (A1 × A1 ) × (A1 × X) A0

A0

A0

πX ◦P1

(

A1 × X A0

 c◦

πA1 ◦ P1 c ◦ P0

πX

/% X

 π A1

f

( 

A1



d0

/ A0

3.2 Preuve du théorème

57

En effet,  πA1 ◦ ξ(X,f ) ◦

c ◦ P0 P1



   c ◦ P0 ◦ = c◦ P1   π A1 ◦ P1 = c◦ . c ◦ P0 

πA1 ◦ s1 s0

et  πX ◦ ξ(X,f ) ◦

c ◦ P0 P1



 = πX ◦ s1 ◦

c ◦ P0 P1



= π X ◦ P1 . Par ailleurs, 

π A1

     π π ◦ P 1 ◦ P0 1 0     = c ◦ πA1 ◦ s1 ◦   π 0 ◦ P0 π0 ◦ P0 ◦ ξ(X,f ) ◦  s0 ξ(X,f ) ◦ ξ(X,f ) ◦ P1 P1     π0 ◦ P0 πA1 ◦ ξ(X,f ) ◦   P1 = c◦ π1 ◦ P0       πA1 ◦ s1 π0 ◦ P0 c◦ ◦  s0 P1 = c◦ π1 ◦ P0     πA1 ◦ P1 c ◦  π0 ◦ P0 = c◦ π1 ◦ P0   π A1 ◦ P1    π 0 ◦ P0 = c◦ c◦ π 1 ◦ P0   π A1 ◦ P1 = c◦ , c ◦ P0

où l’on a utilisé l’axiome (v) des catégories internes pour établir l’avant-dernière égalité. Le foncteur G est donc bien défini sur les objets.  Il faut vérifier que, pour tout φ ∈ C A0 ((X, f ), (X 0 , f 0 )), G(φ) est bien une transformation naturelle interne entre G(X, f ) et G(X 0 , f 0 ). Le premier axiome est équivalent à dire que G(φ) est un morphisme entre d!1 ◦ d∗0 (X, f ) et d!1 ◦ d∗0 (X 0 , f 0 ), ce qui est le cas puisque d!1 ◦ d∗0 est un foncteur.   s0 Le second axiome demande que G(φ) ◦ ξ(X,f ) = ξ(X 0 ,f 0 ) ◦ . On note les G(φ) ◦ s1 projections des pullbacks correspondants à G(X 0 , f 0 ) avec les mêmes lettres que précédemment, mais avec des primes lorsqu’il peut y avoir confusion. On va montrer l’égalité en utilisant l’unicité du morphisme faisant commuter le diagramme suivant :

58

3 THÉORÈME DE GALOIS CATÉGORIQUE A1 × (A1 × X) A0

A0

φ◦πX ◦s1

&  c◦

π A1 ◦ s 1 s0

A1 × X 0 A0



0 πA

& 

D’abord, il faut se rappeller que G(φ) =

/X f0

1

A1

d!1

$ πX 0

◦ d∗0 (φ)



d0

=

/ A0

d∗0 (φ)

 =

πA1 φ ◦ πX

 . On calcule

donc : G(φ) ◦ ξ(X,f )





π A1 ◦ s 1 πA1 c◦  s0 = ◦ φ ◦ πX πX ◦ s1     πA1 ◦ s1 c◦ , s0 =  φ ◦ πX ◦ s1 



  

comme désiré. Pour le deuxième terme, calculons  0        πA1 ◦ s01 s 0   s0 c◦ ◦  π A1 = πX 0 ◦  πX 0 ◦ ξ(X 0 ,f 0 ) ◦ s00 G(φ) ◦ s1 ◦ s1 0 φ ◦ πX πX 0 ◦ s1   s0    πA1 = πX 0 ◦ s01 ◦  ◦ s1 φ ◦ πX   π A1 0 = πX ◦ ◦ s1 φ ◦ πX = φ ◦ πX ◦ s1 , et 0 πA ◦ ξ(X 0 ,f 0 ) ◦ 1



s0 G(φ) ◦ s1

    0 ◦ s0 πA s 0 1 1   c◦ 0 ◦  πA1 πA ◦ s00 1 ◦ s1 0 φ ◦ πX πX 0 ◦ s1    0  s 0 0   πA1 ◦ s1  πA1 c◦ ◦ 0 ◦ s1 s0 φ ◦ πX     π A1 0 ◦ π ◦ s 1  φ ◦ πX c ◦  A1 s0   πA1 ◦ s1 c◦ . s0 

 =

=

=

=



Ceci achève de montrer que le foncteur G est bien défini. Montrons maintenant que ces deux foncteurs sont adjoints l’un  de l’autre. Il faut trouver A C un isomorphisme naturel entre les foncteurs : C (G(−), −) et A0 (−, U (−)). Pour tout

3.2 Preuve du théorème

59

 (X, f ) ∈ C A0 et tout F = (IF , FObj , FMor ) ∈ C A , définissons  β((X,f ),F ) : C A0 ((X, f ), U (F )) −→ C A (G(X, f )), F )    π A1 par β((X,f ),F ) (a) = FMor ◦ , pour tout a ∈ C A0 ((X, f ), U (F )). La transfora ◦ πX mation β est bien définie, puisque dans un premier temps     π A1 π A1 FObj ◦ FMor ◦ = d1 ◦ πA1 ◦ a ◦ πX a ◦ πX = d1 ◦ πA1 = G(X, f )Obj , et dans un second temps, 

πA1 a ◦ πX

FMor ◦



 ◦ G(X, f )Mor = FMor ◦  = FMor ◦   = FMor ◦ 





π A1 ◦ s 1 πA1 c◦  s0 ◦ a ◦ πX πX ◦ s1    π A1 ◦ s 1 c◦  s0 a ◦ πX ◦ s1   s0  , πA1 FMor ◦ s1 a ◦ πX 

  

où l’on a utilisé l’axiome (iii) des préfaisceaux internes pour obtenir la dernière égalité. Montrons que β est naturelle (voir figure 21), pour cela soit donc φ : (X 0 , f 0 ) −→ (X, f ) et γ : F −→ F 0 des morphismes. Diagramme 21: Naturalité de β (X, f ), F




(φ∗ ,γ)

C A (G(X, f ), F ) o

 C A0 (B, R(A))

β(X,f ),F )

 C A0 (φ∗ ,U (γ))

C A (G(φ∗ ),γ)



(X 0 , f 0 ), F 0






C A (G(X 0 , f 0 ), F 0 )

o

β(X 0 ,f 0 ),F 0 )

  C A0 ((X 0 , f 0 )0 , U (F 0 ))

On calcule alors C

A

∗

(G(φ ), γ) ◦ β((X,f ),F ) (a) = C = = = = =

A

∗





πA1 a ◦ πX



(G(φ ), γ) FMor ◦   πA1 γ ◦ FMor ◦ ◦ G(φ) a ◦ πX     π A1 π A1 0 FMor ◦ ◦ γ ◦ π IF φ ◦ πX 0   πA1 0 FMor ◦ γ ◦ a ◦ φ ◦ πX 0 β((X 0 ,f 0 ),F 0 ) (γ ◦ a ◦ φ)  β((X 0 ,f 0 ),F 0 ) ◦ C A0 (φ∗ , U (γ))(a).

60

3 THÉORÈME DE GALOIS CATÉGORIQUE

Trouvons maintenant un inverse pour β. Posons  δ((X,f ),F ) : C A (G(X, f )), F ) −→ C A0 ((X, f ), U (F )),   i◦f défini par δ((X,f ),F ) (α) = α ◦ , pour tout α ∈ C A (G(X, f ), F ). Vérifions que 1X c’est bien défini :     i◦f i◦f FObj ◦ α ◦ = d1 ◦ πA1 ◦ 1X 1X = d1 ◦ i ◦ f = f.  Par conséquent, δ((X,f ),F ) (α) ∈ C A0 ((X, f ), U (F )), comme désiré. Montrons que δ est l’inverse de β :    i◦f β((X,f ),F ) ◦ δ((X,f ),F ) (α) = β((X,f ),F ) α ◦ 1X   π A 1    i◦f = FMor ◦  α◦ ◦ πX 1X     πA 1  s0  i◦f = FMor ◦ ◦ α ◦ s1 ◦ πX 1X       πA1 ◦ s1 πA 1  c◦ ◦  s0 i◦f = α◦ ◦ πX πX ◦ s1 1X = α. L’avant-dernière égalité est donnée par l’axiome (ii) des transformations naturelles internes tandis que la dernière égalité découle de la propriété universelle du pullback A1 × X. A0

De plus, δ((X,f ),F ) ◦ β((X,f ),F ) (a) = δ((X,f ),F )  = FMor ◦  = FMor ◦  = FMor ◦  = FMor ◦

   π A1 FMor ◦ a ◦ πX    πA1 i◦f ◦ a ◦ πX 1X  i◦f a  i ◦ FObj ◦ a 1IF ◦ a  i ◦ FObj ◦a 1IF

= a. La dernière égalité est donnée par l’axiome (ii) des préfaisceaux internes. Démonstration (Théorème). Par la proposition précédente, on a une adjonction  / G : C A0 o ⊥ CA : U .

u t

3.2 Preuve du théorème

61

Calculons l’unité  et la co-unité de cette adjonction. Dans un premier temps, pour tout C (X, f ) ∈ A0 ,   i◦f δ((X,f ),G(X,f )) (1G(X,f ) ) = 1G(X,f ) ◦ 1X   i◦f = . 1X Par conséquent, l’unité η(X,f ) : (X, f ) −→ (A1 × X, d1 ◦ πA1 ) = U ◦ G(X, f ) de   A0 i◦f cette adjonction est donnée par η(X,f ) = . Dans un second temps, pour tout 1X A F = (IF , FObj , FMor ) ∈ C ,   πA1 β(U (F ),F ) (1U (F ) ) = FMor ◦ 1U (F ) ◦ πX = FMor . Par conséquent, la co-unité 





π A1 ◦ s 1 c◦ s0 F : G ◦ U (F ) = A1 × IF , d1 ◦ πA1 ,  A0 πX ◦ s1

   −→ F

de cette adjonction est donnée par F = FMor . On peut donc calculer la monade T sur C A associée à cette adjonction. Il s’agit donc ! ∗ de T = (T, µ, η) = (U ◦ G, 1U ?  ? 1G , η) . Le foncteur  T est donc  égal   à d1 ◦ d0 , la transπA1 ◦ s1 c◦  et la transformation s0 formation naturelle µ est donnée par µ(X,f ) =  πX ◦ s1   i◦f naturelle η est donnée par η(X,f ) = . 1X Il reste à prouver que le foncteur CanT est une équivalence de catégorie. On rapelle que CanT (F ) = (U (F ), U (FMor )) = ((IF , FObj ), FMor ). Il suffit de poser (CanT )−1 ((X, f ), m) = (X, f, m)

(1)

de constater que les axiomes pour les algèbres sur la monade T sont les mêmes que ceux 
T des préfaisceaux internes. En effet, pour tout ((X, f ), m) ∈ C A0 , m est bien un morphisme entre le pullback A1 × X de (d0 , f ) et X. Le fait que m soit un morphisme de A0  C A0 implique que m ◦ f = d1 ◦ πA1 , le premier axiome des préfaisceaux internes. L’axiome (ii) sur les algèbres donne que m ◦ η(X,f ) = 1(X,f ) , ce qui implique que   i◦f m◦ = 1X , 1X le deuxième axiome des préfaisceaux internes. L’axiome (i) sur les algèbres assure que m ◦ T (m) = m ◦ µX , ce qui implique que       πA1 ◦ s1 s0 c◦ , s0 m◦ =m◦ m ◦ s1 πX ◦ s1

62

3 THÉORÈME DE GALOIS CATÉGORIQUE

le troisième et dernier axiome des préfaisceaux internes (à permutation des composantes près). 
T Il reste à prouver qu’un morphisme α ∈ C A0 (((X, f ), m), ((X 0 , f 0 ), m0 )) est une transformation (X, f, m) et (X 0 , f 0 , m). Le fait que ce soit un mor naturelle interne entre phisme de C A0 implique que α◦f 0 = f , le premier axiome des transformations naturelles   πA1 0 internes. De plus, α ◦ m = m ◦ T (α) = ◦ m0 , le deuxième et dernier axiome à m ◦ πX u vérifier. t Corollaire 3.38 Le foncteur F2 : A

Gal(p)

−→ A

.

L(E) est monadique.

Démonstration. . Le théorème précédent donne que le foncteur F˜2 : A Gal(p) −→ A L(E) est monadique. On remarque dans un premier temps que l’adjonction mentionnée dans la proposition 3.37 se restreint à l’adjonction désirée. En effet, puisque p ∈ B et que B est stable par prise de ! Gal(p) ⊆A pullback, d0 , d1 ∈ B et donc L(d0 ), L(d1 ) ∈ A . Ainsi, im G . et le A L(E) fait que les sous-catégories soient . pleines achève l’argument. La monade associée sur A L(E) reste donc inchangée, il suffit de contrôler que le foncteur de comparaison et son inverse se restreignent aussi aux sous-catégories. !   . Par ailleurs, im CanT Gal(p) ⊆ A L(E) et im (CanT )−1 . ⊆A A L(E) A et, de nouveau, le fait que les sous-catégories soient pleines achève la preuve. 3.2.3

Gal(p)

,

u t

Isomorphisme entre les monades

On va maintenant calculer explicitement les deux monades. On reprend la partie 3.2.1 pour construire explicitement la monade associé à F1 . La preuve de la proposition 3.30 nous apprend que l’adjonction p! a p∗ a pour monade sur B /E : Tp = (p∗ ◦ p! , 1p∗ ?  ? 1p! , η) où les transformations naturelles η et  sont celle données par l’exemple 2.45. Par ailleurs, les lemmes 3.29 et 3.31 nous donnent explicitement la monade associée à F1 en fonction de la précédente, il s’agit de

TF1

LE ◦

=

p∗

◦

p!

◦ RE , 1LE ? 

 1LE ? η ? 1RE



1p∗

   E −1 ?  ? 1p! ◦ 1p∗ ◦p! ? (η ) ? 1p∗ ◦p! ? 1 RE ,

! ◦ (E )−1 .

On reprend la partie 3.2.2 pour construire explicitement la monade associé à F2 . La preuve du corollaire 3.38 nous assure que la monade associée à F2 est celle calculée dans la preuve du théorème 3.36. Par conséquent, la monade associée à F2 est TF2 = (TF2 , µF2 , ηF2 ) avec TF2 = L(d1 )! ◦ L(d0 )∗ , avec (E × E, d0 , d1 ) le pullback de (p, p), et pour tout objet B

3.2 Preuve du théorème

63

. (A, f ) ∈ A L(E) , 

 L(c) ◦ s0 =    s1 d0 ◦ π0 L ◦ s0  d1 ◦ π1 =  s1  L(∆) ◦ f = , 1A

µF2 (A,f )

ηF2 (A,f )

(c est donné par le diagramme 16 page 39) où l’on voit     2 TF2 (A, f ) = L(E × E) × L(E × E) × A , L(d1 ) ◦ s0 B L(E) L(E)    B  ∼ L (E × E) × (E × E) × A, L(d1 ) ◦ L(π1 ) ◦ t0 . = B

E

B

L(E)

On va expliciter maintenant la . relation entre les deux monades. On considère l’équi/ . . A valence de catégories LE ◦ RE : A L(E) o L(E) : 1A L(E) . Le lemme 3.31 T F  . T˜  . 2 ˜ est donné par : ≈ A L(E) , où T assure que A L(E)  
˜ = (T˜, µ T ˜, η˜) := TF2 ◦ LE ◦ RE , µF2 ◦ (1TF2 ? α ? 1TF2 ) ? 1LE ◦RE , (ηF2 ? 1LE ◦RE ) ◦ β , ˜ = TF , ce qui complète la preuve, puisque alors avec α = β −1 = E . On va montrer que T 1 A

Gal(p)

 . TF  . TF 2 1 ≈ A L(E) ≈ A L(E) ≈ SplitB (p).

Montrons donc cette égalité composante par composante. Composante fonctorielle On introduit le lemme suivant, qui va être utile pour montrer l’égalité des monades dans la composante fonctorielle. Lemme 3.39 Soient (A, a) et (A0 , a0 ) deux objets de B /E scindés par 1E . Alors leur produit existe et est aussi scindé par 1E . Démonstration. . Par la proposition 3.26, on a l’existence de (X, φ), (X 0 , φ0 ) ∈ A L(E) tels que l’on ait (A, a) ∼ = RE (X, φ) et (A0 , a0 ) ∼ = RE (X 0 , φ0 ). . Comme précédemment, on peut exprimer les produits dans B /E et A L(E) comme des pullback dans B et A , qui existent par hypothèse. Ainsi, les produits (A, a) × (A0 , a0 ) et (X, φ) × (X 0 , φ0 ) existent. Puisque RE possède un adjoint à gauche, par la proposition 3.2.2 du livre [2][p.106], RE préserve les limites et en particulier les produits. Par conséquent,
(A, a) × (A0 , a0 ) ∼ = RE (X, φ) × RE (X 0 , φ0 ) ∼ = RE (X, φ) × (X 0 , φ0 ) La proposition 3.26 permet d’achever l’argument.

u t

64

3 THÉORÈME DE GALOIS CATÉGORIQUE

Montrons maintenant .l’égalité des composantes fonctorielles. A ˜ e) = RE (A, f ). On doit calculer TF (A, f ). On Soit (A, f ) ∈ L(E) et posons (B, 1 observe d’abord que, quitte à changer le choix des pullbacks pour p∗ ,
˜ d1 ◦ πE×E . p∗ ◦ p! ◦ RE (A, f ) = (E × E) × B, B

E

B

En effet, on vérifie facilement que le deuxième terme est bien un pullback de (p ◦ e, p), comme le montre le diagramme suivant. ˜ (E × E) × B B

E

/ ˜ B

πB˜

πE×E

e

B



 /E

E×E B

d0

p

d1





E

/B

p


˜ e) dans B /E est Par ailleurs, on remarque ensuite que le produit (E × E), d0 × (B, B   ˜ d0 ◦ πE×E comme le montre le diagramme suivant : exactement (E × E) × B, B

E

B

(X, m)  g



   ˜ (E × E) × B, d0 ◦ πE×E B

  (E × E), d0

g h

m mmm mmm m m mm πE×E B  mv m

E

B

NNN NNN N πB˜ NNN NNN N'

B

 Le fait que

g h

h



˜ e) (B,

 soit bien défini provient du fait que g et f sont des morphismes de

B /E , ce qui implique que d0 ◦ g = m = e ◦ h. Par ailleurs, c’est bien un morphisme de   B /E , puisque d0 ◦ πE×E ◦ g = d1 ◦ g = m. h B Le lemme 3.39 nous permet de conclure que ce produit est dans SplitE (1E ), puisque ces deux composantes sont dedans (comme on a vu dans la preuve du lemme 3.35). Ainsi, ce produit est préservé par l’équivalence de catégories LE , qui possède aussi un adjoint à gauche. Par conséquent,    
˜ ˜ e) L((E × E) × B), L(d0 ) ◦ L(πE×E ) = LE (E × E), d0 × (B, B B E B
˜ L(e)). = L(E × E), L(d0 ) × (L(B), B

3.2 Preuve du théorème

65

Ainsi, comme précédemment,



 ˜ L(πE×E ), L(π ˜ ) est un pullback de L((E × E) × B), B B

E

B

(L(d0 ), L(e)). Or, T˜(A, f ) est donné par le diagramme suivant, où le carré est un pullback et la composante morphisme est la composition verticale. T˜(A, f )

/ L(B) ˜





L(e)

L(E × E) B L(d1 )

L(d0 )

/ L(E)



L(E) Par conséquent, quitte à changer le choix des pullbacks pour L(d0 )∗ , on obtient que T˜ = TF1 . Composante multiplicative On va prouver dans un premier temps que 1(LE ◦p∗ ) ?  ? 1(p! ◦RE ) = µF2 ? 1(LE ◦RE ) . On se . A ˜ e) = RE (A, f ). Le diagramme commutatif suivant fixe (A, f ) ∈ L(E) et on pose (B, résume la situation, s1

  ˜ (E × E) × (E × E) × B B

E

B

E

  p∗ (B,p◦e) ˜

˜ / (E × E) × B B

E

(B,p◦e) ˜

s0

e



(E × E) × (E × E) B

E

B

π0

 /E×E B

π1



/) ˜ B

d0

p

d1

E×E

d0 d1

B

/ 

/E

 /E

p

 /B

p

d1





E

p

/B

où chaque carré est un pullback (avec d0 lorsqu’il y a deux morphismes) et par définition,     d0 ◦ π0   ◦ s0  d1 ◦ π1 p∗ (B,p◦e) =  ˜ s1   c ◦ s0 = . s1 Comme on sur la composante fonctorielle, on peut écire le  l’a vu dans le paragraphe  ˜ comme un produit dans B /E scindé par 1E , ce qui pullback (E × E) × (E × E) × B B

E

B

E

˜ L(e)) (quitte à changer le choix implique que son image par L est exactement TF22 (L(B),

66

3 THÉORÈME DE GALOIS CATÉGORIQUE

des pullabacks pour L(d0

)∗ ).

 On remarque qu’alors L

c ◦ s0 s1

 = µF2 (L(B),◦L(e)) , ce qui ˜

termine la preuve de cette égalité. Des arguments similaires et le fait que 1LE ? ((η E )−1 ) = E ? 1LE permettent de prouver que 1LE ? 1p∗ ◦p! ? (η E )−1 ? 1p∗ ◦p! ? 1RE = 1TF2 ? E ? 1TF2 ? 1LE ◦RE , ce qui clôt la preuve de l’égalité des composantes multiplicatives des monades. Composante unité On calcule maintenant η˜(A,f ) : (A, f ) −→ T˜(A, f ), pour (A, f ) ∈ ˜ e) = RE (A, f ) et on obtient : comme précedemment (B, η˜(A,f ) = ηF2 

. A L(E) . On pose

 ◦ (E )−1

˜ L(B),L(e)



 L(∆) ◦ L(e) = ◦ (E )−1 1L(B) ˜   ∆◦e = L ◦ (E )−1 . 1B˜ Par ailleurs, ηF1 (A,f ) = L(η(B,e) ˜ )◦

(E )−1 ,

 avec η(B,e) = ˜

suivante : ˜ B '

˜ ∆◦e (E × E) × B B

E

πB˜

πE×E e

#

E×E d0

 

E



∆◦e 1B˜

 /E p

d1

Ce diagramme suggère que η(B,e) = ˜

/) ˜ B e

B



B

3.3

 . La situation est la

1B˜ η(B,e) ˜

de Galois catégorique.

e 1B˜

p

 /B

 , ce qui achève la preuve du théorème u t

Correspondance de Galois explicite

Remarque 3.40 On peut calculer explicitement la correspondance de Galois. On nomme T1 , T2 les monades associées respectivement aux adjonctions p! a p∗ et G a U. On note par Π l’équivalence inverse de CanT1 , que l’on ne peut connaître explicitement que lors des applications, puisque p∗ est monadique seulement par hypothèse. On connait par contre toujours l’équivalence

3.3 Correspondance de Galois explicite

67

inverse de CanT2 , qui est donnée par la formule (1). C’est d’ailleurs un véritable inverse. On a la composition suivante d’équivalences de catégories (voir la preuve de lemme 3.31) :

Diagramme 22: Correspondance de Galois explicite CanT1

SplitB (p) o

Π

/

(LE )T1

/

(SplitE (1E ))T1 o

A

T F

.

(RE )T1

L(E) O

T2



(LE RE )T2

1A .

L(E)

CanT2

A

Gal(p)

o CanT2

1

/



. T2 A L(E)

−1

L’équivalence qui est toujours connue est donnée par le calcul suivant, où l’on utilise l’égalité des composantes fonctorielles (voir la partie 3.2.3) pour établir la quatrième égalité, et le fait que la transformation E est naturelle (voir le diagramme 23). On pose, pour ˆ = (B, ˜ b) et X = p∗ (B). ˆ alléger la notation, B

ˆ 7→ CanT2 −1 ◦ (LE ◦ RE )T2 ◦ LT1 ◦ CanT1 (B) ˆ B E

−1 = CanT2 ◦ (LE ◦ RE )T2 ◦ LTE1 X, p∗ Bˆ   −1 
−1 E = CanT2 ◦ (LE ◦ RE )T2 LE (X), [LE ◦ p∗ ] Bˆ ◦ [LE ◦ p∗ ◦ p! ] ηX   −1 
T2 −1 E LE RE LE (X), [LE RE LE ◦ p∗ ] Bˆ ◦ [LE RE LE ◦ p∗ p! ] ηX ◦ = Can  −1 E [L(d1 )! L(d0 )∗ LE RE LE ](X)   −1 
−1 E = CanT2 LE RE LE (X), [LE RE LE ◦ p∗ ] Bˆ ◦ [LE RE LE ◦ p∗ p! ] ηX ◦  −1 E [LE p∗ p! RE LE ](X)   −1  
−1 T2 −1 E ∗ ∗ ! E = Can LE RE LE (X), [L p∗ ](B) ◦ [LE ◦ p ] Bˆ ◦ [LE ◦ p p ] ηX ˆ E    T2 −1 ∗ ∼ LE (X), [LE ◦ p ] (B) = Can ˆ   ˜ L(πE ), [L ◦ p∗ ](π ˜ ) . = L(E × B), (2) B B

68

3 THÉORÈME DE GALOIS CATÉGORIQUE Diagramme 23: Naturalité de E E

LE RE [LE p∗ p! RE LE ](X)   E −1 LE RE [LE ◦p∗ p! ] ηX 

LE RE [LE LE RE [LE ◦p∗ ](Bˆ )

p∗ p! ](X)


LE RE LE (X) o




o


[LE p∗ p! RE LE ](X) o

E

−1

[LE p∗ p! RE LE ](X) 

  E −1 [LE ◦p∗ p! ] ηX

−1

[LE p∗ p! ](X)

−1 E LE (X)

[LE p∗ p! ](X) 

[LE ◦p∗ ](Bˆ )

LE (X)

69

4

Applications du théorème

4.1

Théorie de Galois pour les anneaux commutatifs

Dans cette partie, on va se servir du théorème de Galois catégorique pour donner une correspondance de Galois pour les anneaux qui sont à partir de maintenant commutatifs et unitaires. En particulier, cela donnera lieu à la théorie de Galois de Grothendieck pour les corps. Cette partie est inspirée des sections 2,3,4 du livre [4]. Dans la suite, le dual de la catégorie des anneaux Ring∗ joue le rôle de la catégorie B du chapitre précédent et la catégorie des espaces topologiques profinis Prof joue celui de A. Un lecteur qui a besoin d’une introduction aux espaces topologiques profinis, limites projectives et inductives (dites aussi directes) peut consulter le projet de Rafael Guglielmetti [5] ou encore le livre [6]. On utilise principalement une caractérisation des espaces topologiques profinis comme étant les espaces topologiques compacts, Hausdorff et totalement discontinus. 4.1.1

Pullbacks dans les catégories Ring∗ et Prof

On doit vérifier que le pullback de deux morphismes existe toujours dans ces deux catégories. Les deux propositions suivantes répondent au problème. Proposition 4.1 (Caractérisation du pullback dans Ring∗ ) Soit f : A −→ B et g : A −→ C deux homomorphismes d’anneaux. Un pullback de (f ∗ , g ∗ ) dans Ring∗ est le triple (B ⊗ C, i∗B , i∗C ) où iB (b) = b ⊗ 1 pour tout b ∈ B et iC (c) = 1 ⊗ c pour tout c ∈ C.

A

Démonstration. Par dualité, un pullback de (f ∗ , g ∗ ) dans Ring∗ est exactement un pushout de (f, g) dans Ring. On doit d’abord donner du sens au produit tensoriel B ⊗ C, c’est-à-dire donner des A

structures de A-module à B et C. On les munit de la structure de module induite par les morphismes f et g, c’est-à-dire, pour tout a ∈ A, b ∈ B et c ∈ C, on définit a · b = f (a) · b et a · c = g(a) · c. Donnons de plus une structure d’anneau à ce produit tensoriel, par b ⊗ c · b0 ⊗ c0 = bb0 ⊗ cc0 . On doit vérifier que c’est bien défini, c’est-à-dire que si b⊗c = ˜b⊗˜ c, alors bb0 ⊗cc0 = ˜bb0 ⊗˜ cc0 . ˜ ˜ Or, (b, c) ∼ (b, c˜) si et seulement si il existe a ∈ A tel que b = a · b et a · c = c˜, ce qui implique directement que bb0 ⊗ cc0 = ˜bb0 ⊗ c˜c0 . Il est clair que ce produit est associatif et que 1 ⊗ 1 est l’unité. On l’étend à tout B ⊗ C par distributivité. On voit de plus que les A

morphismes iB , iC sont bien des morphismes d’anneaux. On remarque ensuite que pour tout a ∈ A, iB ◦ f (a) = f (a) ⊗ 1 = (a · 1) ⊗ 1 = 1 · (a · 1) = 1 ⊗ g(a) = iC ◦ f (a), et la condition de commutativité est vérifiée.

70

4 APPLICATIONS DU THÉORÈME

Par ailleurs, supposons que l’on ait h : B −→ D, k : C −→ D deux homomorphismes d’anneaux tels que h ◦ f = k ◦ g. On munit comme précédemment D d’une structure de A-module grâce au morphisme h ◦ f = k ◦ g et on pose d : B × C −→ D avec d(b, c) = h(b) · k(c). On remarque que d est A-bilinéaire, et la propriété universelle du produit tensoriel appliquée au diagramme ci-dessous donne l’existence et l’unicité de d¯ tel que id¯ = d, comme morphisme de A-module. B×C i



/D =

d

d¯

B⊗C A

Il est facile de vérifier que d¯ est en fait aussi un morphisme d’anneaux, puisque d est un homomorphisme d’anneau dans chaque variable et que les anneaux sont commutatifs. Par conséquent, on obtient l’existence pour la propriété universelle du pushout. Vérifions l’unicité : Soit m un autre morphisme tel que m ◦ iB = h et m ◦ iC = k. Puisque i = iB · iC , u alors m ◦ i = m ◦ iB · m ◦ iC = d. t Proposition 4.2 Le pullback de deux morphismes dans Prof est calculé comme dans Set. Démonstration. Il faut vérifier que P = {(x, y) ∈ X × Y : f (x) = g(y)} est un espace topologique profini, lorsque f : X −→ T et g : Y −→ T sont des applications continues entre espaces topologiques profinis. Puisque X et Y sont profinis, ils sont compacts, Hausdorff et totalement discontinus. Par conséquent, X ×Y est compact, Hausdorff et totalement discontinu. Ainsi, il suffit de voir que P est fermé dans X × Y . Or P est la pré-image de la diagonale de T par l’application continue (f, g). Or, puisque T est Hausdorff, sa diagonale est fermée, ce u qui achève la preuve. t On va maintenant construire l’adjonction sur laquelle se base la théorie. 4.1.2

Adjonction relativement admissible

Définition 4.3 (Idéal régulier) Soit R un anneau. Un idéal de R est dit régulier s’il est généré par ses idempotents. Exemple 4.4 Pour tout anneau R, l’idéal trivial et R sont des idéaux réguliers, car engendrés respectivement par 0 et 1. Lemme 4.5 Soit R un anneau. (i) Un idéal I est régulier si et seulement si, pour tout i ∈ I, il existe un idempotent e tel que i = ie. (ii) Une intersection finie d’idéaux réguliers est un idéal régulier. (iii) Une somme quelconque d’idéaux réguliers est un idéal régulier.

4.1 Théorie de Galois pour les anneaux commutatifs

71

Démonstration. (i) Le sens indirect est évident. Montrons le sens direct. Pour tout i ∈ I, il existe r1 , . . . rn , ∈ R et e1 , . . . , en ∈ I des idempotents tels que i=

n X

rj ej .

j=1

Il s’agit donc de trouver un idempotent e ∈ I tel que ej e = ej pour tout 1 ≤ j ≤ n. Par un argument de récurrence, il suffit de savoir le faire pour n = 2. On pose alors e = e1 +e2 −e1 e2 ∈ I. Un simple calcul montre que e vérifie les conditions demandées. (ii) Soient I, J deux idéaux réguliers. Par récurrence, il suffit de prouver que I ∩ J est régulier. On montre qu’en fait I ∩ J = IJ. En effet, si x ∈ I ∩ J, alors il existe un idempotent e ∈ J tel que x = xe. Alors, x = (xe)e ∈ IJ. Par ailleurs, l’inclusion IJ ⊆ I ∩ J est de IJ P vérifiée car I et J sont des idéaux. De plus, tout élément s’écrit comme nk=1 ik jk , avec ik ∈ I et jk ∈ J. Pour tout k, il P existe ek , e0k tels que ik = ik ek et jk = ik e0k . Ainsi, tout élément de IJ s’écrit comme nk=1 ik jk · (ek e0k ), ce qui termine la preuve. (iii) Soit (Ij )j∈J une collectionP d’idéaux réguliers. Alors l’union de leurs ensembles d’idempotents génère la somme j∈J Ij . u t Définition 4.6 (Idéal régulier maximal) Soit R un anneau. Un idéal de R régulier est dit maximal s’il est maximal dans le treillis des idéaux réguliers. Lemme 4.7 Soit R un anneau. (i) Un idéal régulier I est maximal dans le treillis des idéaux réguliers propres si et seulement si pour tout élément idempotent e, e 6∈ I ⇒ (1 − e) ∈ I. (ii) Soient I, J deux idéaux réguliers. Si pour tout idéal régulier maximal M , I * M ⇒ J * M, alors I ⊆ J. Démonstration. (i) Montrons le sens direct. Supposons par l’absurde qu’il existe un idempotent e tel que e, 1 − e 6∈ I. On considère alors l’idéal régulier M engendré par les idempotents de I plus e, et on doit montrer que c’est un idéal propre. S’il n’était pas propre, P alors 1 − e ∈ M , et donc (1 − e) = (1 − e)e0 pour un idempotent e0 de M . Or, e0 = i∈I ri ei avec ri ∈ R et ei = e ou ei ∈ I. Or, (1 − e)e = 0, et donc (1 − e)e0 ∈ I, une contradiction. Montrons le sens indirect. Supposons par l’absurde qu’il existe M un idéal régulier propre qui contient strictement I. Alors, il existe un idempotent e ∈ M \ I, ce qui implique par hypothèse que (1 − e) ∈ I ⊂ M , et donc 1 ∈ M , une contradiction. (ii) Par l’absurde, supposons que I * J, ce qui implique qu’il existe un idempotent e ∈ I ∩ J c . On considère alors l’idéal J˜ = J + h1 − ei. Puisque e 6∈ J, l’argument du point précédent assure que J˜ est propre, soit donc M un idéal régulier maximal qui contient J˜ (qui existe par le lemme de Zorn), alors par le point précédent, e 6∈ M , ce qui implique que I * M , une contradiction avec la contraposée de l’hypothèse. u t

72

4 APPLICATIONS DU THÉORÈME

Définition 4.8 (Spectre de Pierce) On va définir le foncteur Sp : Ring∗ −→ Prof qui associe à un anneau commutatif son spectre de Pierce. On pose, pour tout anneau R, Sp(R) = {M ( R | M idéal régulier maximal} donné avec la topologie τ constituée des ouverts OI = {M ∈ Sp(R) | I * M } , pour tout idéal régulier I de R. De plus, pour tout homomorphisme d’anneaux f : R −→ S et tout M ∈ Sp(S), On pose Sp(f )(M ) = he ∈ R : e idempotent et f (e) ∈ M i. Proposition 4.9 Le foncteur Sp est bien défini. Démonstration. Montrons d’abord que, pour tout anneau commutatif R, Sp(R) est un espace topologique profini. Vérifions que les ouverts mentionnés forment une topologie. D’abord, ∅ = O{0} et Sp(R) = OR . Par ailleurs, le fait que pour tout idéaux I, J, on a que I ⊆ J ⇒ OI ⊆ OJ et le point (ii) du lemme 4.7 implique que OI ⊆ OJ ⇒ I ⊆ J. Ainsi, l’application donnée par O : I 7→ OI est un isomorphisme entre le treillis des idéaux et le treillis (τ, ⊆). En particulier, O préserve les supremums et infimums. Par conséquent, OI ∩ OJ = OI∩J et S O = OPj∈J Ij , ce qui assure que τ est bien une topologie sur X. j∈J Ij Il suffit de montrer que Sp(R) est compact, Hausdorff et totalement discontinu. On montre d’abord que l’espace Sp(R) est totalement discontinu. Supposons par l’absurde que l’on a une composante connexe C avec M, M 0 ∈ C deux idéaux réguliers maximaux distincts. Alors il existe un idempotent e ∈ M ∩ M 0c (par maximalité de M ), ce qui implique par le point (i) du lemme 4.7 que 1−e ∈ M 0 . On choisit les ouverts Ohei et Oh1−ei . On vérifie facilement que M ∈ Oh1−ei et M 0 ∈ Ohei . Par ailleurs, Ohei ∩ Oh1−ei = Ohei∩h1−ei . Or, si x ∈ hei ∩ h1 − ei, alors il existe r, r0 ∈ R avec x = re = r0 (1 − e). En multipliant par e, on obtient que x = re = r0 (1 − e)e = 0. Ainsi, l’intersection des deux ouverts est vide. On prend les ouverts de C donné par U1 = Ohei ∪ C et U2 = Oh1−ei ∪ C. On sait déjà que U1 ∩ U2 = ∅ et U1 , U2 6= ∅. Par ailleurs,
U1 ∪ U2 = C ∩ Ohei ∪ Oh1−ei = C ∩ OR = C ∩ Sp(R) = C, ce qui implique que U1 , U2 forment une séparation de C, une contradiction. On remarque que les ouverts Oh1−ei et Ohei séparent M et M 0 , ce qui implique que Sp(R) est Hausdorff.
Montrons que Sp(R) est compact. Considérons un recouvrement d’ouverts OIj j∈J de Sp(R). Le fait que O soit un isomorphisme de treillis donne que [ OIj = Sp(R), OPj∈J Ij = j∈J

P ce qui implique que j∈J Ij = R, P puisque tout idéal régulier propre est contenu dans un idéal régulier maximal. Ainsi, 1 ∈ Pj∈J Ij , ce qui assure, puisque S les sommes sont finies, qu’ il existe F ⊆ J fini tel que 1 ∈ j∈F Ij . Par conséquent, j∈F OIj = Sp(R), ce qu’il fallait démontrer. Il faut maintenant vérifier que pour tout morphisme d’anneaux f : R −→ S, l’application Sp(f ) est bien définie et continue. Par définition, pour tout M ∈ Sp(S), on a

4.1 Théorie de Galois pour les anneaux commutatifs

73

que Sp(f )(M ) est un idéal régulier de R. De plus, puisque pour tout idempotent e ∈ R, f (e) est un idempotent de S, on a que f (e) 6∈ M ⇒ 1 − f (e) = f (1 − e) ∈ M . Ainsi, e 6∈ Sp(f )(M ) ⇒ 1 − e ∈ Sp(f )(M ), ce qui implique que Sp(f )(M ) est maximal. Il reste à prouver Sp(f ) est continue. Soit donc IR un idéal régulier de R. On pose IS l’idéal régulier engendré par l’ensemble {f (e) : e idempotent de IR }. On va montrer que Sp(f )−1 (OIR ) = OIS . Soit M ∈ Sp(f )−1 (OIR ), c’est-à-dire tel que IR * Sp(f )(M ). Ceci assure l’existence d’un idempotent e ∈ IR ∩ Sp(f )(M )c et donc a fortiori tel que f (e) 6∈ M . Ainsi, IS * M , ce qui implique que M ∈ OIS . Soit M ∈ OIS , alors par définition, IS * M , ce qui implique l’existence d’un idempotent e dans l’ensemble générateur de IS qui ne soit pas dans M . Par définition de IS , cela veut dire qu’il existe un idempotent e˜ ∈ IR tel que f (˜ e) = e 6∈ M . Supposons par l’absurde que e˜ ∈ Sp(f )(M ),Pce qui assure l’existence d’éléments ri ∈ R et d’idempotents ei tels que f (ei ) ∈ M et e˜ = ni=1 ri ei . Alors, puisque M est un idéal et f est un homomorphisme d’anneaux, ! n n X X f (˜ e) = f ri ei = f (ri )f (ei ) ∈ M i=1

i=1

une contradiction. Ainsi, IR * Sp(f )(M ), ce qui fini de prouver que Sp(f )−1 (OIR ) = OIS u et le fait que Sp(f ) est continue. t Proposition 4.10 Le foncteur Sp : Ring∗ −→ Prof possède un adjoint à droite donné par le foncteur Top (−, Z) : Prof −→ Ring∗ , où l’on voit Z comme un anneau topologique avec la topologie discrète. Pour X un espace topologique profini, on muni l’ensemble Top (X, Z) des opérations d’addition et de multiplication définies, pour tout c1 , c2 ∈ Top (X, Z) et pour tout x ∈ X, par (c1 + c2 )(x) = c1 (x) + c2 (x); (c1 · c2 )(x) = c1 (x) · c2 (x). Démonstration. On doit d’abord vérifier que l’adjoint proposé est bien défini. On voit que les sommes et produits de fonctions sont continues comme composée d’applications continues puisque la somme et le produit sont continus dans Z. Par ailleurs, les fonctions constantes étant toujours continues, le zéro et l’identité de l’anneau des fonctions sont bien continues. De plus, si f : X −→ Y est un morphisme d’espaces topologiques profinis, alors Top (f, Z) : Top (Y, Z) −→ Top (X, Z) donné par g 7→ g ◦ f , est effectivement un morphisme d’anneau puisque (g + h) ◦ f = g ◦ f + h ◦ f , (g · h) ◦ f = g ◦ f · h ◦ f et 1 ◦ f = 1. Pour prouver l’adjonction, construisons maintenant un isomorphisme naturel entre les foncteurs Top (Sp(−), −) et Ring∗ (−, Top (−, Z)).
Soit X ∈ |Top|. Etudions dans un premier temps la structure de Sp Top (X, Z) . Les fonctions idempotentes sont celles dont les images de tous les éléments sont idempotentes, c’est à dire les fonctions X −→ {0, 1}. Elles sont continues si et seulement si la fibre de 1 est un ouvert fermé. Par conséquent, la donnée d’un idéal régulier maximal de Top (X, Z) correspond à la donnée d’un ultrafiltre sur l’ensemble des ouverts fermés de X. En effet, on fait correspondre à une fonction continue idempotente f l’ensemble ouvert fermé f −1 (0). On note par la suite χU la fonction caractéristique de l’ensemble U . On

74

4 APPLICATIONS DU THÉORÈME

obtient alors que l’ensemble EM correspondant à l’ensemble des générateurs d’un idéal régulier maximal M est tel que pour tout ouvert fermé U , soit χU ∈ M et donc U c ∈ E, soit χU c ∈ M et donc U ∈ E. Par ailleurs, si U, V ∈ E alors χ(U c ∪V c ) = χU c + χV c − χU c χV c ∈ M , ce qui implique que U ∩ V ∈ E. D’un autre coté ∅ 6∈ E, car sinon 1 = χX ∈ M , et si U ∈ E et U ⊆ V , alors V ∈ E car sinon V c ∩ U = ∅ ∈ E. On pose maintenant la fonction α(R,X) : Ring∗ (R, Top (X, Z)) −→ Top (Sp(R), X) définie de la façon suivante : \ α(R,X) (f ∗ )(M ) = U. U ∈ESp(f )(M )

On doit vérifier que c’est bien défini, c’est à dire que l’intersection est un singleton et que l’application est continue. Or, par compacité, l’intersection ne peut pas être vide, car sinon il existe un nombre fini d’éléments de ESp(f )(M ) tel que leur T intersection est vide, une contradiction avec le fait que E est un ultrafiltre. Soient x 6= y ∈ U ∈ESp(f )(M ) U . Puisque l’espace X est totalement discontinu, ses ouverts fermés constituent une base pour la topologie (voir proposition 1.1.3 du document [5][p.4]). Or, l’espace est de Haussodorf, ce qui donne l’existence de deux ouverts fermés disjoints Vx , Vy qui contiennent respectivement x et y. Ainsi, Vx et Vy ne peuvent appartenir simultanément à ESp(f )(M ) , ce qui fait que T x ou y n’appartient pas à U ∈ESp(f )(M ) U , une contradiction. L’intersection est donc un singleton. On montre maintenant que α(R,X) est continue. Soit donc U un ouvert fermé de X. Puisque Sp(f ) est continue, il suffit de vérifier que l’ensemble     \
˜ = M ∈ Sp Top (X, Z) : U V ∈U   V ∈EM

˜ = Ohχ i . En effet, M 6∈ Ohχ i si et seulement si χU ∈ M , c’est-àest un ouvert. En fait, U U U c ˜ . Par ailleurs, si T dire U ∈ EM . Ce dernier fait implique que M 6∈ U V ∈EM V 6∈ U , alors U ne peut appartenir à EM par compacité (l’intersection serait vide), ce qui implique que U c ∈ EM et M 6∈ OhχU i . On s’intéresse maintenant à la structure de Top (Sp(R), Z). Soit donc f dans cet ensemble. Alors G Sp(R) = f −1 (z) z∈Z

est un recouvrement ouvert d’un compact, on extrait donc un sous recouvrement fini, ce qui implique qu’il existe des zi ∈ Z tel que Sp(R) =

n G

f −1 (zi )

i=1

 et que f −1 (zi ) 6= ∅. Or, on peut voir que l’ensemble Ohei : e ∈ R idempotent forme une base d’ouverts pour la topologie, ce qui implique, par compacité du fermé f −1 (zi ), que f −1 (zi ) =

n [ j=1

ODe

E ij

= ODe

i1 ,...eij

E.

4.1 Théorie de Galois pour les anneaux commutatifs

75

Or, on a déjà vu que l’on pouvait trouver un autre idempotent ei tel que eij = eij ei pour tout j(voir lemme 4.5 (i)). Ainsi, f −1 (zi ) = Ohei i , et Sp(R) =

n G

f −1 (zi ) =

i=1

n G

Ohei i .

i=1

On remarque hei = h˜ ei, alors il existe r, r0 ∈ R tels que e = r˜ e et e˜ = r0 e. Ceci implique 2 directement que e = r e˜. On trouve alors que : e = r˜ e = rr0 e 2 = r r0 e˜ = r0 e = e˜. On peut définir alors Σf =

n X

zi ei .

(3)

i=1

Il faut vérifier que c’est un homomorphisme d’anneaux. On va montrer que la définition de Σf ne dépend pas de la finesse de la partition, c’est à dire que si on a Ohei i =

m G j=1

O De

E,

ij

Pn,m alors Σf = précédente est vérifiée, alors pour j 6= k, i,j=1 zi eij . En effet, si l’égalité

 D E O e ∩ Ohei i = ∅, ce qui implique que eij ∩ heik i = 0 Par conséquent eij eik = 0. Par ij k

 P ailleurs, le fait que hei i = m j=1 eij implique que ei = (ei1 ∨ ei2 ) ∨ . . .) ∨ eim , avec Pm e ∨ f = e + f − ef (voir preuve de lemme 4.5(i)). Ainsi, puisque e e = 0, alors e = ij ik i j=1 eij , ce Pm qui fait que ri ei = j=1 ri eij . Cela assure que Σ est un homomorphisme d’anneaux. En effet, si f, f 0 ∈ Top (Sp(R), Z), alors il existe une partition de Sp(R) constituée P d’ouverts fermés Ohei i telle que f et f 0 sont constante sur chaque morceau. Alors, Σ(f +f 0 ) = ni=1 (f + f 0 )(ei )ei = Σf + Σf 0 et de même, Σ(f f 0 ) = Σf Σf 0 . On peut donc définir β(R,X) : Top (Sp(R), X) −→ Ring∗ (R, Top (X, Z)) de la façon suivante : β(R,X) (g)(h) = ΣTop(g,X)(h) = Σhg . On vérifie que β est naturelle. La situation est la suivante : β(R,X)

(R, X)

Top (Sp(R), X) o

α(R,X)

/

Ring∗ (R, Top (X, Z)) Ring∗ (φ,Top(γ,Z))

Top(Sp(φ),γ)

(φ,γ)



(R0 , X 0 )



Top (Sp(R0 ), X 0 ) o

β(R0 ,X 0 ) α(R0 ,0 X)

/



Ring∗ (R0 , Top (X 0 , Z))

Soient donc φ : R −→ R0 un homomorphisme d’anneaux, γ : X −→ X 0 une application

76

4 APPLICATIONS DU THÉORÈME

continue, c ∈ Top (Sp(R), X) et h ∈ Top (X 0 , Z). On calcule : h i β(R0 ,X 0 ) ◦ Top (Sp(φ), γ)(c) (h) = Σh◦Top(Sp(φ),γ)(c) = Σh◦γ◦c◦Sp(φ) = φ (Σh◦γ◦c ) = φ ◦ β(R,X) (c) ◦ Top (γ, Z)(h) h i = Ring∗ (φ, Top (γ, Z)) ◦ β(R,X) (c) (h). La seule égalité à justifier est la troisième. On a que Σh◦γ◦c◦Sp(φ) = décomposition −1 (zi ) = Ohei i .

Pn

i=1 zi ei

avec la

Or, par définition de Sp, Sp(R0 ) = = =

n G i=1 n G i=1 n G

[h ◦ γ ◦ c ◦ Sp(φ)]−1 (zi ) Sp(φ)−1 ([h ◦ γ ◦ c]−1 (zi )) Ohφ(˜ei )i

i=1

où 0h˜ei i = [h ◦ γ ◦ c]−1 (zi ) est une autre décomposition comme précédemment. Ainsi, φ ◦ Σh◦γ◦c = φ(

n X

ri e˜i ) =

i=1

n X

φ(zi )φ(˜ ei ) =

i=1

n X

zi φ(˜ ei ),

i=1

puisque φ est un homomorphisme d’anneaux et que zi ∈ Z. Il reste à vérifier que ces deux transformations sont inverses l’une de l’autre. On calcule, pour g ∈ Top (Sp(R), X) et M ∈ Sp(R) : \ α(R,X) ◦ β(R,X) (g)(M ) = V V ∈ESp(β

(R,X) (g))(M )

\

=

V

V ∈E

=

hχU ∈Sp(Top(X,Z)):β(R,X) (g)(χU )∈M i \ V

V ∈E

hχU ∈Sp(Top(X,Z)):ΣχU ◦g ∈M i

Or, par définition, ΣχU ◦g = eU avec g −1 (U ) = OheU i . Alors, pour tout U tel que eU ∈ M , g(M ) 6∈ U car sinon M ∈ OheU i , une contradiction. Par conséquent, G(M ) ∈ V pour tout V ∈ EhχU ∈Sp(Top(X,Z)):Σχ g ∈M i , ce qui implique que U

α(R,X) ◦ β(R,X) (g)(M ) = g(M ). Enfin, on calcule, pour k ∈ Ring∗ (R, Top (X, Z)) et f ∈ Top (X, Z), la composition β(R,X) ◦ α(R,X) (k)(f ).

4.1 Théorie de Galois pour les anneaux commutatifs

77

 −1 On s’intéresse d’abord à F = f ◦α(R,X) (k) (zi ) pour zi ∈ Z donné. Alors M ∈ Sp(R) appartient à F si et seulement si \ V ∈ f −1 (zi ). V ∈Ehχ

U ∈Sp(Top(X,Z)):k(χU )∈M i

Or ceci implique que f −1 (zi )c , qui est un ouvert fermé, n’est pas dans l’ultrafiltre donné par EhχU ∈Sp(Top(X,Z)):k(χU )∈M i et donc que f −1 (zi ) est dedans. Réciproquement, si f −1 (zi ) est dans l’ultrafiltre, l’intersection des éléments de l’ultrafiltre est dans f −1 (zi ). Ainsi, M ∈ Sp(R) appartient à F si et seulement si k(χf −1 (zi ) ) 6∈ M , c’est-à-dire si et seulement E . Par conséquent, F = OD E et donc, puisque par un argument si M ∈ ODk(χ ) k(χ ) f −1 (zi )

f −1 (zi )

de compacité, im(f ◦ α(R,X) (k)) = {z1 , . . . , zn }, alors β(R,X) ◦ α(R,X) (k)(f ) = Σf ◦α(R,X) (k) =

n X

zi k(χf −1 (zi ) )

i=1

= k

n X

! zi χf −1 (zi ) )

i=1

= k(f ). Ainsi, les deux transformations sont naturelles et inverses l’une de l’autre, ce qui conclut u la preuve. t On choisit comme classes de morphismes dans chaque catégorie la classe de tous les morphismes, ce qui assure le fait que l’adjonction est relativement admissible. Le théorème de Galois catégorique (voir 3.25) nous donne le théorème suivant : Théorème 4.11 Si p : K −→ E est un morphisme de descente galoisienne dans Ring∗ , alors il y a une équivalence de catégorie SplitK (p) ≈ Prof Gal(p) . Interprétons maintenant le résultat dans le cas où p : E −→ K est une extension de corps, pour mieux comprendre l’équivalence de catégories et sa relation avec la théorie de Galois. 4.1.3

Algèbres unitaires

On doit interpréter la notion d’objet scindé, ce que l’on va faire à travers la notion d’algèbre. Définition 4.12 (Algèbre unitaire sur un anneau) Une algèbre unitaire sur un anneau R, ou R-algèbre unitaire, est un quadruple (A, +, ., ?) tel que (i) (A, +, .) est un anneau unitaire ; (ii) (A, +, ?) est un R-module ; (iii) pour tout r ∈ R, a, a0 ∈ A, r ? (a · a0 ) = (r ? a) · a0 = a · (r ? a0 ). Proposition 4.13 ∗ La catégorie Ring /R est isomorphe au dual de la catégorie des R-algèbres unitaires, (AlgR )∗ .

78

4 APPLICATIONS DU THÉORÈME

Démonstration. ∗ Soit (A, f ) de la catégorie Ring /R . L’anneau A possède une structure de R-module induit par l’homomorphisme d’anneaux f : R −→ A. Elle est donnée, pour tout r ∈ R et tout a ∈ A, par r ? a = f (r) · a. Par ailleurs, on a bien que r ? (a · a0 ) = f (r) · a · a0 = (r ? a) · a0 = a · (r ? a), ce qui fait que A possède maintenant une structure de R-algèbre. Par ailleurs, tout mor∗ phisme g de Ring /R ((A0 , f 0 ), (A, f )) donne bien lieu à un morphisme de R-algèbres g : A −→ A0 puisque alors g(r ? a) = g(f (r) · a) = f 0 (r) · g(a) = r ? g(a). Par ailleurs, pour toute algèbre unitaire A, il existe un morphisme d’anneaux R −→ A induisant la structure d’algèbre à partir de A (dont on a temporairement oublié la structure d’espace vectoriel). Celui-ci est donné par r 7→ r ? 1 et les morphismes de R-algèbres sont ∗ en fait des morphismes de Ring /R . Par conséquent, les deux catégories sont isomorphes. u t ∗ A partir de maintenant, on identifie Ring /R avec le dual de la catégorie des Ralgèbres qui seront, à partir de maintenant, toujours unitaires. Pour K un corps, on va étendre la correspondance de Galois à certaines K-algèbres, ce qui requiert de généraliser les notions d’extension algébrique et de polynôme minimal aux K-algèbres.

Définition 4.14 (Algébricité et polynôme minimal) Soit K un corps. Une K-algèbre unitaire A est dite algébrique sur K si, pour tout a ∈ A, il existe un polynôme q ∈ K[X] tel que q(a) = 0. Le polynôme minimal de a est alors l’unique polynôme unitaire engendrant le noyau de l’évaluation en a dans l’anneau principal K[X]. Remarque 4.15 Soient K un corps et A une K-algèbre unitaire. (i) Le polynôme minimal de a ∈ A sur K n’est pas nécessairement irréductible puisque l’algèbre A n’est pas supposée intègre. (ii) L’image de eva : K[X] −→ A est notée K[a]. Définition 4.16 (Algèbre scindée par une extension de corps) Soit p : K −→ E une extension de corps. Une K-algèbre A est dite scindée par E si et seulement si (i) A est algébrique sur K ; (ii) pour tout a ∈ A, le polynôme minimal de a est séparable et scindé dans E[X] (produit de termes de degré un distincts). On rappelle le lemme chinois, qui va nous permettre de prouver le théorème sur les transformations de Gelfand, qui lui même est très utile dans la suite. Lemme 4.17 Soit K un corps et f1 , . . . fk ∈ AlgK (A, B) des morphismes surjectifs. Alors, si pour tout 1 ≤ i, j ≤ k, ker fi + ker fj = A, alors le morphisme induit f : A −→ B k est surjectif.

4.1 Théorie de Galois pour les anneaux commutatifs

79

Démonstration. Voir la proposition 2.1.12 du livre [4][p.19].

u t

Proposition 4.18 Soient E un corps et A une E-algèbre. Alors, (i) Un sous-ensemble fini F de AlgE (A, E) induit un morphisme de AlgE A, E Card(F ) qui est surjectif.




(ii) L’ensemble AlgE (A, E) est linéairement indépendant dans VectE (A, E). Démonstration. Chaque morphisme f ∈ AlgE (A, E) est surjectif puisque f (e·1) = e·1 = e. Par conséquent,  A ker f ∼ = E et donc ker f est maximal. Ainsi, si f 6= g ∈ AlgE (A, E), alors ker f 6= ker g. En effet, sinon, g¯−1 ◦ f¯ est un E-automorphisme de E, c’est à dire l’identité. Par conséquent, f = f¯◦ π = g¯ ◦ π = g. Le fait que ker f 6= ker g assure que ker f + ker g = A par maximalité. Soit F = {f1 , . . . , fk } un sous-ensemble fini de AlgE (A, E). Alors le lemme chinois assure que le morphisme induit f est surjectif. P Soit maintenant α1 , . . . αk ∈ E tels que ki=1 αi fi = 0. Si e1 , . . . , ek est la base canoP nique de E k , alors pour tout a ∈ A, f (a) = ki=1 fi (a)ei et donc ( k

(v1 , . . . , vk ) ∈ E :

f (a) ∈ U =

k X

) αi vi = 0 .

i=1

Or, f est surjectif et donc le sous espace U est égal à E k . Alors, pour tout i, ei ∈ U ce qui u implique que αi = 0. t Théorème 4.19 Soit E une extension finie de K. Alors, pour toute K-algèbre A de dimension n, les propositions suivantes sont équivalentes : (i) A est scindée par E. (ii) Card (AlgK (A, E)) = n. (iii) Le morphisme Gel défini par E ⊗ A −→ E Card(AlgK (A,E)) K

e ⊗ a 7−→ (e · σ(a))σ∈AlgK (A,E) est un isomorphisme de E-algèbres. Il est appelé transformation de Gelfand. Démonstration. On commence par quelques observations sur les conséquences des hypothèses. On remarque que Card (AlgK (A, E))  < +∞. En  effet, par la propriété universelle du

produit tensoriel, AlgK (A, E) ∼ = AlgE E ⊗ A, E . Or, la proposition précédente assure K     que AlgE E ⊗ A, E est linéairement indépendant dans VectE E ⊗ A, E , qui est de K

K

dimension finie, car E ⊗ A est de dimension n sur E( la base est (1 ⊗ ai )ni=1 , où (ai )ni=1 est K

une base de A comme K-espace vectoriel). Par ailleurs la transformation de Gelfand est toujours surjective dans chaque variable. La proposition précédente s’applique donc et la transformation de Gelfand est toujours surjective dans ce contexte.

80

4 APPLICATIONS DU THÉORÈME

(ii) ⇒ (iii) On laisse au lecteur la vérification que le morphisme est bien défini, c’est-à-dire que les différentes écritures possible pour un tenseur donnent lieu à une même image. On remarque que E ⊗ A et E n ont la même dimension sur K, ce qui implique par le K

théorème du rang que la transformation de Gelfand est un isomorphisme. (iii) ⇒ (ii) Si la transformation de Gelfand est un isomorphisme alors dimK (E) · Card (AlgK (A, E)) = dimK (E Card(AlgK (A,E)) ) = dimK (E ⊗ A) K

= dimK (E) · n. (i) ⇒ (ii) Soit (a1 , . . . an ) une base de A comme K-espace vectoriel..La sous-algèbre K[ai ] vérifie la proposition (ii) du théorème. En effet, K[ai ] ∼ = K[X] hqi et q est séparable donc

¯ = deg(q). Card AlgK K[ai ], K Par ailleurs, toutes les racines de q sont dans E, et donc Card (AlgK (K[ai ], E)) = deg(q) = dimK (K[ai ]). On observe maintenant que A est généré par les K[ai ]. Il suffit donc de montrer que si des algèbres A1 et A2 vérifient la proposition (ii) du théorème, alors il en est de même pour A1 · A2 . On définit φ : A1 ⊗ A2 −→ A1 · A2 par φ(a1 ⊗ a2 ) = a1 · a2 . On K

obtient que  A1 · A2 ∼ = A1 ⊗ A2 ker φ . K Si mi = dimK (Ai ), i = 1, 2, alors, puisque le foncteur produit tensoriel possède un adjoint à droite, il préserve les colimites et donc les quotients. 1 ∼ m1 ∼ m1 m2 . E ⊗ A1 ⊗ A2 ∼ = (⊕m i=1 E) ⊗ A2 = ⊕i=1 (E ⊗ A2 ) = E K K K K m m  Ainsi, E ⊗ (A1 · A2 ) ∼ = E 1 2 Q . Or, puisque E est un corps, les seuls idéaux de K Q 1 m2 E m1 m2 sont de la forme m j=1 Ej avec Ej ∈ {0, E} . Par conséquent,

E ⊗ (A1 · A2 ) ∼ = E dimK (A1 ·A2 ) . K

Les seuls E-homomorphismes de E k dans E sont les projections, ce qui implique que    Card (AlgK (A1 · A2 , E)) = Card AlgE E ⊗ A1 · A2 , E = dimK (A1 · A2 ) K

ce qu’il fallait démontrer. (ii) ⇒ (i) Si l’algèbre A n’est pas algébrique sur K, alors elle est de dimension infinie sur K, une contradiction. On peut donc supposer que A est algébrique sur K. Soit a ∈ A et q son polynôme minimal de degré m. Alors, K[a] vérifie la condition (iii) du théorème. En effet, la transformation de Gelfand pour E ⊗ A est injective et K P donc pour tout x = ni=1 ki ei ⊗ ai 6= 0 ∈ E ⊗ K[a], Gel(x) 6= 0. Par conséquent, il K P existe σ ∈ AlgK (A, E) tel que ni=1 ki ei · σ(ai ) 6= 0. Ceci implique, en restreignant σ sur K[a] que la transformation de Gelfand pour K[a] est injective et donc bijective puisque surjective. Par conséquent, K[a] vérifie la condition (ii) du théorème, c’està-dire que Card (AlgK (K[a], E)) = m et ceci implique que les m racines de q sont distinctes et dans E. u t

4.1 Théorie de Galois pour les anneaux commutatifs

81

4.1.4 Théorie de Galois de Grothendieck Proposition 4.20 Une extension galoisienne de corps i : K −→ E est de descente galoisienne relativement à l’adjonction Sp a Top (−, Z). Démonstration. Voir la proposition 4.5.4 (i) du livre [4][p.100]. Remarque 4.21 La preuve du théorème précédent n’est pas donnée, car en plus d’être technique, elle ne construit pas explicitement l’équivalence inverse Π (voir le diagramme 22 page 67). Ce foncteur est pourtant nécéssaire pour calculer explicitement la correspondance inverse. Théorème 4.22 Le groupoïde de Galois d’une extension galoisienne de corps i : K −→ E est isomorphe au groupe de Galois Gal(E, K) muni de la topologie de Krull. Démonstration. On remarque dans un premier temps que pour tout corps K les seuls idempotents sont 0 et 1, ce qui assure que Sp(K) = {?}. Ainsi, le groupoïde de Galois possède un seul objet et donc c’est en fait un groupe profini, puisque la composition et la prise d’inverse sont des morphismes de Prof . Par le théorème 1.4.7 de [5][p.37], on sait que le groupe de Galois muni de la topologie de Krull est un groupe profini. Plus précisément, Gal(E, K) = lim Gal(M, K), ←

où l’ensemble filtrant, que l’on nomme F, est constitué des extensions galoisiennes finies intermédiaires entre E et K. On va montrer maintenant que dans Ring, E ⊗ E = lim M ⊗ M. →

K

K

En effet, on remarque que l’on peut munir le système inductif (dual de système projectif) d’une famille de morphismes compatibles φM = (iM ⊗ iM ) : M ⊗ M −→ E ⊗ E. Soit K

K

maintenant ψM : M ⊗ M −→ S une autre famille de morphisme compatibles, et montrons K

la propriété universelle de la limite inductive. La situation est la suivante : ? SO ` ψ¯ ψM 0

ψM

E⊗E ; ww ww w ww ww φM

K

M ⊗M K

φM 0 M

dHH HH HH H φM 0 HH / M0 ⊗ M0 K

82

4 APPLICATIONS DU THÉORÈME

Or, pour tout nombre fini d’éléments α1 , . . . , αn ∈ E, le corps de décomposition de leur famille de polynômes minimaux sur K est une extension normale sur K. Elle est finie car on n’adjoint S qu’un nombre fini de racines et elle est séparable car E l’est. Par S ¯ conséquent, E ⊗ E = M ∈F M ⊗ M . Ainsi, le morphisme ψ = M ∈F ψM est bien défini K

K

et fait commuter le diagramme, ce qui montre l’existence. L’unicité vient du fait que si γ : E ⊗ E −→ S fait commuter le diagramme, alors pour tout e1 ⊗ e2 ∈ E ⊗ E il existe K

K

¯ 1 ⊗ e2 ), ce qui assure M ∈ F tel que e1 ⊗ e2 ∈ M ⊗ M , ce qui implique que γ(e1 ⊗ e2 ) = ψ(e K

¯ que γ = ψ. Ainsi, dans Ring∗ ,

E ⊗ E = lim M ⊗ M. ←

K

K

Or, par la proposition 4.3.7 du livre [4][p.90], Sp préserve les limites projectives, ce qui assure que Sp(E ⊗ E) = Sp(lim M ⊗ M ) = lim Sp(M ⊗ M ). →

K

←

K

K

Il suffit maintenant de voir que la proposition est vérifiée dans le cas fini, car alors le théorème découle de l’unicité de la limite projective à isomorphisme près. Par ailleurs, pour toute extension galoisienne finie M , Gal(M, K) et Sp(M ⊗ M ) sont K

munis de la topologie discrète, car ce sont des groupes profinis finis. Il suffit donc de prouver qu’ils sont isomorphes en temps que groupes. Or, par le lemme 4.19, M ⊗ M ∼ = M n où n K

est la dimension de M comme K-espace vectoriel. De plus, on peut vérifier que (M ⊗ M ) ⊗ (M ⊗ M ) ∼ =M ⊗M ⊗M ∼ = M ⊗ M n. K

M

K

K

K

K

Or, M n est scindée par M . En effet, le polynôme minimal de (e1 , . . . , en ) est le plus petit 2 commun multiple de ceux de e1 , . . . , en . Le lemme 4.19 implique que M ⊗ M n ∼ = Mn K

et que Card (AlgK (M n , M )) = n2 . Or, si le groupe de Galois Gal(M, K) est numéroté {σ1 , . . . σn }, et que πk : E n −→ E est la k-ème projection, alors σj ◦ πk ∈ AlgK (M n , M ), ce qui implique que AlgK (M n , M ) = {σi ◦ πj : i, j = 1, . . . n} . Les homomorphismes de K-algèbres de M n dans M sont donc la composition d’une projection avec un membre du groupe de Galois. 2 Regardons quel est le morphisme c˜ : M n −→ M n induit par c: M ⊗M

−→ (M ⊗ M ) ⊗ (M ⊗ M )

K

K

M

∼ =

M ⊗ Mn

K

K

7→ α ⊗ (σi (β))ni=1 . P Pour tout (m1 , . . . , mn ) ∈ M n , on sait qu’il existe un tenseur rm=1 kn αm ⊗ βm qui est sa pré-image par la transformation de Gelfand. Alors, ! r X c˜(m1 , . . . , mn ) = Gel km αm ⊗ (σi (βm ))ni=1 α ⊗ β 7−→ (α ⊗ 1) ⊗ (1 ⊗ β)

m=1

=

r X

!n km αm · σj ◦

πk (σi (βm ))ni=1

m=1

=

r X m=1

j,k=1

!n km αm · σj ◦ σk (βm )

. j,k=1

4.1 Théorie de Galois pour les anneaux commutatifs

83

Puisque ( n

Sp(M ) =

j

M =

n Y

) Mi : Mi = M si i 6= j et Mj = 0 ,

(4)

i=1

on peut établir une bijection φ entre Gal(M, K) et Sp(M n ) par φ(σj ) = M j . De plus,

Sp(M

n2

  n   Y ) = M j,k = Mr,s : Mr,s = M si r 6= j, ou s 6= k et Mj,k = 0 ,   r,s=1

2

ce qui donne une bijection ψ : Sp(M n ) × Sp(M n ) −→ Sp(M n ) définie par ψ(M j , M k ) = M j,k . On obtient enfin la structure de groupe sur Sp(M n ), donnée de la façon suivante : M j · M k = Sp(˜ c)(ψ(M j , M k )) D E = (m1 , . . . , mn ) : mi ∈ {0, 1} et c˜(m1 , . . . , mn ) ∈ M j,k On pose li = (m P1 , . . . mn ) avec mj = 1 si j 6= i et mi = 0. On veut connaître quand une pré-image de li par la transformation de Gelfand, c˜(li ) ∈ M j,k . Si rm=1 kn αm ⊗βm Pest r j,k c˜(li ) ∈ M si et seulement si m=1 km αm σj ◦ σk (βm ) = 0, c’est-à-dire si σi = σj ◦ σk . u Par conséquent, M j · M k = φ(σj ◦ σk ). t Observons maintenant à quoi correspond Prof Gal(p) . Proposition 4.23 La catégorie Prof Gal(p) correspond à la catégorie des Gal(p)-espaces profinis, c’est-à-dire à la classe des espaces profinis munis d’une action continue de Gal(p), avec comme morphismes les fonctions continues préservant l’action. Démonstration. La donnée d’un préfaisceau interne sur Gal(p) est la donné d’un espace profini P ainsi que de deux fonctions continues P −→ Sp(L) et ∗ : Gal(p) × P −→ P . On remarque déjà Sp(L)

que puisque Sp(L) = {?}, le choix de la première fonction continue ne va jouer aucun rôle, puisqu’il est unique. De plus, le pullback Gal(p) × P est en fait le produit Gal(p) × P . Sp(L)

Voyons ce que les axiomes requièrent : le premier axiome est vérifié trivialement, le deuxième demande que pour tout p ∈ P , id ∗ p = p, tandis que le dernier donne que pour tout g, h ∈ Gal(p), (g ◦ f ) ∗ p = ◦(f, g) ∗ p = f ∗ (g ∗ p). Ainsi, un préfaisceau interne sur Gal(p) est un espace profini muni d’une action continue de Gal(p). Il reste à voir qu’une transformation naturelle interne correspond à une application continue préservant l’action. Ceci vient du fait que c’est la donnée d’une application continue α entre les Gal(p)-espaces profinis, avec le premier axiome trivialement vérifié et le second assurant que α(f ∗ p) = f ∗ α(p). u t On doit maintenant voir à quoi correspond Split(p).

84

4 APPLICATIONS DU THÉORÈME

Proposition 4.24 Soit i : K −→ M une extension de corps galoisienne finie. Si une K-algèbre A de dimension n est scindée par M (au sens de la définition 4.16) alors elle est scindée (au sens de la définition 3.7) par i. Démonstration. On doit voir que l’unité de l’adjonction SpM a Top (−, Z)M est un isomorphisme en la M -algèbre i∗ (A) = M ⊗ A. K

L’unité de cette adjonction est donnée par     M ηM ⊗A : M ⊗ Top Sp M ⊗ A , Z −→ M ⊗ A K

Top(Sp(M ),Z)

K

K

Le diagramme est le suivant :

A J

iA

ηM ⊗ A

/M ⊗Aq K h T

K

    M ⊗ Top Sp M ⊗ A , Z o

 Top Sp(M ⊗ A), Z

O

O

Z a

K



K

iM

/M o

i

K

ηM

Top (Sp(M ), Z) ∼ =Z

Par le lemme 4.19, il suffit de prouver que le morphisme de M -algèbres M : M ⊗ Top (Sp(M n ), Z) −→ M n ηM n Z

est un isomorphisme. Or, si on définit fi ∈ Top (Sp(M n ), Z) par fi (M j ) = δij , avec M j définit comme précédemment (voir l’équation (4) page 83), la liste (1 ⊗ fi )ni=1 forme une base de M ⊗ Top (Sp(M n ), Z) comme M -espace vectoriel. Par le théorème du rang, il suffit Z

M est surjective. Par ailleurs, si (ej )n n donc de voir que ηM n j=1 est la base canonique de M , alors Σfi = ei (voir l’équation (3) page 75 qui donne la définition de Σ). Par conséquent, M (1 ⊗ f ) = Σ , le morphisme est bien surjectif. u puisque ηM t n i fi

Théorème 4.25 Soit p : K −→ E une extension de corps galoisienne. Si une K-algèbre A est scindée par E (au sens de la définition 4.16) alors elle est scindée (au sens de la définition 3.7) par p. Démonstration. On peut facilement vérifier qu’une K-algèbre A qui est algébrique sur K est la limite inductive de ses sous-algèbres de dimension finie. En effet, la limite inductive est alors l’union, et tout élément a ∈ A est dans K[a] qui est de dimension finie. Par conséquent, dans Ring, lorsque B parcours l’ensemble filtrant des sous-algèbres de dimension finie, A∼ = lim B. →

4.1 Théorie de Galois pour les anneaux commutatifs

85

De plus, le corps E est la limite inductive des extensions galoisiennes finies intermédiaires K ⊆ M ⊆ E, ce qui donne : E⊗A∼ = (lim M ) ⊗ (lim B). →

K

K

→

Le produit tensoriel possède un adjoint à droite et préserve donc les colimites, ce qui assure que E⊗A∼ = lim lim M ⊗ B. →

K

→

K

Le dernier terme correspond à la limite inductive lim M ⊗ B →

K

sur l’ensemble filtrant F = {(M, B) : K ⊆ M ⊆ E galoisienne finie, B ⊆ A} muni de l’ordre produit. Par la proposition 3.1.5 du livre [4][p.38], pour toute sous-algèbre B, qui est scindée puisque incluse dans une algèbre scindée, il existe une extension galoisienne finie intermédiaire K ⊆ MB ⊆ E telle que B est scindée dans MB . Alors, l’ensemble M = {(B, MB ) : B ⊆ A} est cofinal (voir la définition 1.3.32 de [5]) dans F, et donc E⊗A∼ = lim MB ⊗ B. K

→

K

Par conséquent, puisque Sp : Ring∗ −→ Prof et Top (−, Z) : Prof −→ Ring∗ préservent les limites projectives (Sp par la proposition 4.3.7 du livre [4][p.90] et Top (−, Z) en tant qu’adjoint à droite),     ∼ E ⊗ Top Sp(E ⊗ A), Z = E ⊗ Top Sp(lim MB ⊗ B), Z → K K K Z   ∼ = E ⊗ Top lim Sp(MB ⊗ B), Z ← K K   ∼ = E ⊗ lim Top Sp(MB ⊗ B), Z K → K   ∼ lim E ⊗ Top Sp(M ⊗ B), Z = B → K K   ∼ = lim(lim MB ) ⊗ Top Sp(MB ⊗ B), Z → → K K   ∼ lim M ⊗ Top Sp(M ⊗ B), Z . = B B →

K

K

E Le morphisme ηE⊗ A , puisque naturel, commute avec les injections. Il est donc exactement K

MB lim→ ηM . B ⊗B

Par la proposition précédente, c’est un isomorphisme composante par com-

K

posante, et par fonctorialité de la limite inductive, c’est un isomorphisme. Pour les lecteurs qui ne connaissent pas bien les limites projectives et inductives, la lecture de la partie 1.3.5 de [5][p.31] présente la fonctorialité de la limite projective. La fonctorialité de la limite u inductive est similaire. t Remarque 4.26 On admet la réciproque de ce théorème dans ce travail. Une preuve peut-être trouvée dans le corollaire 4.7.16 du livre [4][p.114], mais elle n’est pas satisfaisante pour ce projet dans le sens où elle demande d’avoir prouvé indépendamment le théorème de Galois de Grothendieck, ce qui est fait dans le livre, mais pas dans ce document.

86

4 APPLICATIONS DU THÉORÈME

Pour résumer, une fois que les objets catégoriques sont identifiés avec des objets algébriques, le théorème 4.11 donne comme cas particulier le théorème suivant : Théorème 4.27 (Théorème de Galois de Grothendieck) Si p : K −→ E est une extension galoisienne de corps, alors il existe une équivalence de catégories contravariante entre la catégorie des algèbres scindées par E et la catégorie des espaces topologiques profinis munis d’une action continue de Gal(E, K). Elle est donnée par : A 7→ AlgK (A, E), avec le groupe de Galois agissant par composition. Démonstration (Ébauche). D’après l’équation (2) page 67, l’équivalence de catégories est donnée par A 7→ Sp(E ⊗ A), K ∼ Gal(E, K). On a de plus que avec une action ?A du groupe de Galois Sp(E ⊗ E) = K

Sp(E ⊗ A) ∼ = AlgK (A, E) K

(se référer à la proposition 4.5.5 du livre [4][p.101]). On peut prouver, de façon similaire à la preuve du théorème 4.22, que l’action de Gal(E, K) sur AlgK (A, E) induite par ?A est u bien la composition. t Pour conclure cette section, on montre comment obtenir la théorie de Galois classique à partir de ce théorème. Proposition 4.28 Soient K, E deux corps et A une K-algèbre algébrique sur K telle que K ⊆ A ⊆ E. Alors A est un corps. Démonstration. Découle du corollaire 2.1.11 de [4][p.19].

u t

Proposition 4.29 Soit G un groupe profini. Il y a une correspondance bijective entre les quotients du Gespace profini G et les sous-groupes de G fermés. A un sous-groupe fermé H est associé le G-ensemble G /H . Démonstration. Soit H un sous groupe fermé. On doit voir que G /H muni de la topologie quotient est profini et que l’action naturelle de G est continue. Pour cela, on commence par remarquer que l’application naturelle de passage au quotient est continue. Ainsi, l’action est continue comme composition d’application continues. Maintenant, puisque G est profini, il est la limite projective d’un système projectif (Gi , φij ) sur un ensemble filtrant I. Les Gi sont de plus finis et munis de la topologie discrète. On peut construire un second système projectif de la façon suivante. On pose Hi = φi (H) et si j ≥ i, alors on construit, par la propriété universelle de l’ensemble quotient : Gj

/ Gj

. Hj

φ¯ij

φij



Gi

 / Gi H i

4.1 Théorie de Galois pour les anneaux commutatifs

87

On obtient de plus un morphisme de système projectifs surjectif entre (Gi , φij ) et Gi Hi , φ¯ij ). Par le lemme 1.1.5 de [6][p.6], ce morphisme induit une application continue  surjective c entre G et lim Gi Hi . La commutativité du diagramme 11 11 11 11 φj 11 11 11 

φi

/ lim Gi H >> i >> >> >> >> >> φ¯j >> >> ¯  . φi / Gj H



G1

c

Gj

 φij     

ss sss s s sy ss

j

φ¯ij

 / Gi H i

Gi

assure que φ¯i c(g) = [φi (g)]Hi pour tout g ∈ G. Il reste à voir que c(g) = c(g 0 ) si et seulement si g ∼ g 0 ou ∼ est la relation d’équivalence de passage au quotient par H. Or, c(g) = c(g 0 ) si et seulement si [φi (g)]Hi = φ¯i c(g) = φ¯i c(g 0 ) = [φi (g 0 )]Hi pour tout i ∈ I. Ceci est vrai si et seulement si l’on a l’existence de hi ∈ Hi tel que (φi c(g))−1 · φi c(g 0 ) = hi . Or, dans ce cas,
φij (φj c(g))−1 · φj c(g 0 ) = φij (hj ), ce qui implique que hi = φij (hj ). Ainsi, le point h défini par φi (h) = hi est dans lim Hi . Or, par le corollaire 1.1.8 (b) de [6][p.7], H = lim Hi . . On obtient donc une application continue bijective c¯ : G /H −→ lim Gi Hi ) . Puisque . de plus, G /H est compact et lim Gi Hi ) est Hausdorff, alors c’est un homéomorphisme. Ainsi, G /H est profini. Soit ∼ une relation d’équivalence sur G telle que G /∼ muni de la topologie quotient soit un G-espace profini. Alors, puisque G /∼ est de Hausdorff, {[1]} est fermé, ce qui assure que [1] est fermé dans G. C’est de plus un sous-groupe, puisque pour tout x, y ∈ [1], = (xy −1 ) · [1] = (xy −1 ) · [y] = [x] = [1]. Par ailleurs, on remarque que si g, g 0 ∈ G et g1 ∼ g2 , alors 1 ∼ g1−1 g2 , ce qui veut dire u que G /∼ = G [1] . t La proposition 3.4.3 du livre [2][p.115] assure qu’une équivalence de catégories est bijective sur les ensembles de morphismes. Par conséquent, l’image via une équivalence de catégories d’un épimorphisme est un épimorphisme. Ainsi, par la proposition 4.28, l’équivalence du théorème 4.27 met en relation les extensions intermédiaires K



/ M



/E

avec les quotients du groupe de Galois en tant que espace profini muni d’une action sur lui même : //1. / / Alg (M, E) Gal(E, K) K La proposition 4.29 met alors en relation ce quotient avec le sous-groupe fermé Gal(E, M ) de Gal(E, K). Ainsi, la théorie de Galois de Grothendieck est bien une généralisation de la théorie de Galois classique.

88

4.2

4 APPLICATIONS DU THÉORÈME

Théorie de Galois pour les revêtements

Dans cette partie, nous allons seulement donner la philosophie de l’application du théorème de Galois catégorique pour donner une correspondance pour les revêtements. C’est une application d’une théorie catégorique des revêtements que nous ne détaillerons pas ici. Elle constitue le chapitre 6 du livre [4]. Le lecteur peut aussi consulter le chapitre 13 du livre [7] pour une approche classique. Dans cette section, nous noterons Loco pour la catégorie des espaces topologiques localement connexes avec pour morphismes les applications continues. (voir la définition 4.30). Par rapport à la correspondance de Galois, Loco joue le rôle de la catégorie B du chapitre 3 et la catégorie des ensembles Set joue celui de A . 4.2.1

Adjonction relativement admissible

Définition 4.30 (Espace localement connexe) Un espace topologique est dit localement connexe si pour tout ouvert U les composantes connexes de U sont ouvertes. Proposition 4.31 (Adjonction) On définit le foncteur I : Loco −→ Set. On pose, pour tout T ∈ |Loco|, I(T ) = {CT ⊆ T : CT est une composante connexe} . Soit c : T −→ T 0 un morphisme de Loco. Puisque l’image d’un connexe par une fonction continue est connexe, pour tout CT ∈ I(T ) il existe un unique CT 0 tel que c(CT ) ⊆ cT 0 . On définit donc I(c)(CT ) = CT 0 . Ce foncteur possède un adjoint à droite H : Set −→ Loco. Il est donné, pour tout E ∈ |Set| et toute application f : E −→ E 0 par : H(E) = (E, P (E)) H(f ) = f. L’unité ηT : T −→ HI(T ) est donnée par ηT (t) = Ct où Ct est la composante connexe de t. La co-unité E est l’identité sur E. On choisit comme classes de morphismes dans chaque catégorie la classe de tous les morphismes, ce qui assure le fait que l’adjonction est relativement admissible. 4.2.2

Pullbacks dans la catégorie Loco

Définition 4.32 (Application étale) Une application continue α : A −→ B est dite étale si elle est localement un homéomorphisme, c’est-à-dire si, pour tout a ∈ A, il existe un voisinage ouvert U de a tel que α|U : U −→ α(U ) est un homéomorphisme. Tous les pullbacks n’existent pas dans Loco, mais la proposition suivante nous donne l’existence de certains pullbacks, qui seront suffisants pour développer la théorie. Proposition 4.33 Tous les pullbacks impliquant une application étale existent dans Loco. Démonstration. Il suffit de combiner le lemme 6.4.6 et la proposition 6.4.3 du livre [4][p.198-200].

u t

4.2 Théorie de Galois pour les revêtements

89

Ainsi, si on choisit p : E −→ B une application étale, alors p∗ est bien définie. On a encore besoin que le pullback des morphismes (ηE , H(f )) existe pour tout f , pour pouvoir définir HE . Or H(f ) est une application entre deux espaces topologiques munis de la topologie discrète, elle est par conséquent toujours étale. Ainsi, le pullback en question existe toujours et HE est bien défini. Remarque 4.34 Tout revêtement est étale. 4.2.3

Classification des revêtements

Dans la suite de cette partie, B est un espace topologique connexe par arc et localement connexe qui possède un revêtement p : E −→ B tel que E est simplement connexe et localement connexe par arc. (voir la définition 6.8.1 p.217) Proposition 4.35 (i) Le revêtement p : E −→ B est de descente galoisienne par rapport à l’adjonction. (ii) La sous-catégorie SplitB (p) est exactement la catégorie des revêtements de B localement connexes. Démonstration. Voir le théorème 6.8.12 p.224 et la proposition 6.5.3 p.204 de [4]) pour obtenir que p est universel au sens de la définition 6.6.5 (ii) du même livre et la proposition 6.6.6 de [4][p.211] u et le théorème 6.5.10 de [4][p.207] pour conclure. t Définition 4.36 (Groupe fondamental de Chevalley) Le groupe fondamental de Chevalley d’un revêtement p : E −→ B est  Aut(p) = f ∈ Top /B ((E, p), (E, p)) : f est un isomorphisme . Proposition 4.37 Le groupoïde de Galois Gal(p) coïncide avec le groupe fondamental de Chevalley du revêtement p : E −→ B. Démonstration. Voir la proposition 6.7.4 de [4][p.216].

u t

Proposition 4.38 Lorsque E est simplement connexe, le groupe fondamental de Chevalley de p : E −→ B coïncide avec le groupe fondamental usuel Π1 (B). Démonstration. Voir le corollaire 81.4 du livre [7][p.489].

u t

Théorème 4.39 (Classification des revêtements) Soit B un espace topologique connexe par arc et localement connexe qui possède un revêtement p : E −→ B tel que E est simplement connexe et localement connexe par arc. Alors il existe une équivalence de catégories entre les revêtements localement connexes de B et les G-ensembles, où G est le groupe fondamental de B.

90

5

5 CONCLUSION

Conclusion

Le théorème de Galois catégorique de Janelidze permet donc de prouver la théorie de Galois de Grothendieck infinie pour les corps et la théorie de Galois classique pour les revêtements. Ce théorème est puissant, mais il n’est pas facile à appliquer car il faut, à partir d’une adjonction relativement admissible, identifier ce que sont les morphismes de descente galoisienne, les objets scindés et les préfaisceaux sur le groupoïde de Galois. Les préfaisceaux sont relativement faciles à identifier, car dans le cadre des catégories concrètes, ce sont des objets (I, FObj ) munis d’une sorte d’action du groupoïde de Galois. La difficulté réside surtout dans l’identification des deux premiers, car les hypothèses sont plus difficiles à vérifier. Par exemple, comme on l’a vu dans le cadre de l’application à la théorie de Galois de Grothendieck, il peut-être difficile de trouver des conditions non catégoriques qui sont nécéssaires et suffisantes pour que l’unité de l’adjonction ηpE∗ (X,φ) soit un isomorphisme. Par ailleurs, on pourrait s’interroger sur les relations entre la théorie de Galois de Grothendieck dans le contexte général des schémas avec ce théorème. La lecture de la section 5.2 du livre [4] sur les extensions centrales de groupes suggère que le théorème de Galois catégorique s’applique à des contextes qui ne sont pas du ressort de la théorie de Grothendieck. La théorie de Galois des extensions centrales de groupes illustre bien l’utilité des classes de morphismes, contrairement aux exemples qui ont pu être données dans ce travail. Pour finir, mentionnons quelques applications du théorème de Galois catégorique qui n’ont pas pu être traitées ici : (i) extensions centrales de groupes (voir [4] section 5.2) ; (ii) factorisation monotone-light (voir [4] section 5.8) ; (iii) revêtements de complexes simpliciaux (voir [8]) ; (iv) théorie de Galois différentielle (voir [9]). Toutes ces applications ont lieu dans des catégories concrètes. On peut donc se demander ce que donnerait l’application du théorème de Galois catégorique dans des catégories non concrètes, comme la catégorie des automates ?

RÉFÉRENCES

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Références [1] Rafael Guglielmetti et Dimitri Zaganidis. Introduction à la théorie des catégories et aux lemmes de diagramme. Disponible à l’adresse http://www.allpotes.ch/raf/ epfl/tp_categories.pdf. [2] Francis Borceux. Handbook of categorical algebra. 1, volume 50 of Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. Basic category theory. [3] Francis Borceux. Handbook of categorical algebra. 2, volume 51 of Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. Categories and structures. [4] Francis Borceux and George Janelidze. Galois theories, volume 72 of Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 2001. [5] Rafael Guglielmetti. Groupes profinis et cohomologie galoisienne. Disponible à l’adresse http://raf.allpotes.ch/epfl/groupes_profinis.pdf. [6] Luis Ribes and Pavel Zalesskii. Profinite groups, volume 40 of Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics]. Springer-Verlag, Berlin, second edition, 2010. [7] James R. Munkres. Topology (second edition). Prentice-Hall Inc., 1999. [8] Marco Grandis and George Janelidze. Galois theory of simplicial complexes. Topology Appl., 132(3) :281–289, 2003. [9] G. Janelidze. Galois theory in categories : the new example of differential fields. In Categorical topology and its relation to analysis, algebra and combinatorics (Prague, 1988), pages 369–380. World Sci. Publ., Teaneck, NJ, 1989.