Systèmes non linéaires

© LAVOISIER, 2002 LAVOISIER

1.l, rue Lavoisier 75008 Paris

Serveur web: www.hern1es-science.com ISBN 2-7462-0464-9 Catalogage Electre-Bibliographie Lamnabhi-Lagarl"igue, Françoise*Rouchon, Pierre (sous la direction de) Systèmes non linéaires Paris, Hermès Science Publications, 2002 ISBN 2-7462-0464-9 RAl'vIEAU: commande non linéaire DEWEY: 629.5 : Autres branches de l'art de l'ingénieur. Commande automatique, Robotique

Le Code de lio\ propriété intellecluelle n'autorisanl, aux termes de l'arlic\e L. 122-5, d'une part, cjüc les "copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste ct non des-tillées à une utilisation collective" et, d'aulI"e PLu-t, que les analyses et les COUlics citations dans un but d'exemple et d'illustration, "toute représentation ou reproduction inlégrale, ou pal"tiellc, f'üite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite" (arlicle L 122-4), Celte représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une conlrefaçon sanctionnée par les artÎcles L. 335-2 et suivanls uu Code de la propriété intellectuelle.

Systèmes non linéaires

sous la directio11 de

Frallçoise LalTIllablli-Lagarriglle Pierre R01ICll01l

Il C'·~C5 cience

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Il a été tiré de cet ollvrage 20 exe/1lplaires hors COl1llllerce réSell'és at/x membres du comité scielltiflqlle. aux alllellrs et il l'éditeur l1tlll1érotés de 1 il 20

Systèlnes 11011 lil1éaires sous la direction de Françoise La111llabhi-Lagarrigllc et Pierre

ROlie/101l

fait parLie de la série SYSTÈJ\IIES AUTOMATISÉS

par Claude Foulard

TRAITÉ IC2

COMMUNICATION

INFORMATTON - COMMANDE

sous la direction scientifique de Bernard Dubuisson Le traité Information, Comm.ande, Comnlunîcation répond au besoin de dispose1 d'un ensenlble complet des connaissances et mélhodes nécessaires à la nlaîtrise des systèmes technologiques. 4

Conçu volontairement dans un esprit disciplinaire, le lraité TC2 est l'état de l'art dans les domaines suivants relenus par le comité scientifique: Réseaux et télécoms Traitement du signal ei de l'image InFormatique ei systèmes d'information Systèmes automatisés Producti que Chaque ouvrage présente aussi bien les aspects fondanlentaux qu'expérimentaux. Une classification des différents articles contenus dans chacun, une bibliographie et un index détaillé orientent le lecteur vers ses points d'intérêt immédiats: celui-ci dispose ainsi d'un guide pour ses réilexions ou pour ses choix. Les thé01ies et ll1éthodes rassem blés dans chaque ouvrage ont été choisis pour leur pertinence dans l'avancée des connaissances ou pour la qualité des résultats obtenus dans le cas d'expérimentations réelles.

Liste des auteurs

Tarde AHrvlED-Au Ecole nationale supélieure des ingénieurs des études el techniques d'armenlent Brest Gilles Duc Supélec Gif~s ur-Yvette Didier DUMUR Supélec Gi f-sm":.. Yvette Fabienne FLORET-PONTET Supélec Gif-sUl":..Yvette Hassan

HAMJVlOURl

LAGEP Université Claude Bernard Lyon

Françoise LAMNABHT-LAGARIUGUE Supélec Gif-sur-Yvette Jean-Claude

MARQUÈS

LAGEP Université Claude Bernard Lyon

Claude

MOOG

IRCCyN

Nantes Pierre ROUCHON Ecole nationale supérieure des mines de Paris Nicolas SEUBE Ecole nationale supérieure des ingénieurs des études et techniques d'armenlent Brest

Tab1e des matières

Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Chapitre 1. Méthodes basées sur les techniques linéaires Gilles Duc et Didier DUMUR

15

1.1. Introduclion. . . . . 1.1. Identification et commande linéaires d'un système non linéaire 1.2.1. Recherche d'un modèle linéaire . . ... 1.2.1.1. Séquence binaire pseudo-aléatoire . 1.2.1.2. Prétraîtement des données . . . . . 1.2.1.3. Algorithme des moindres carrés .. 1.2.2. Méthodologie de la commande prédiclive généralisée . . 1.2.2.1. Définition du modèle numérique . . . . . . . . . . 1.2.2.2. Prédicteur optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2.3. Définition et minimisation du critère quadratique 1.2.2.4. Synthèse du régulateur RST polynomial équivalent 1.2.2.5. ChoÎx des paramètres de réglage . . . . . . 1.2.3. Commande prédictive cascade vitesse-position d'un moteur asynchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3.1. Structure du banc d' essai . . . . . . . . . . 1.2.3.2. Modèle linéaire identifié de la machine asynchrone 1.2.3.3. Résultats expérimentaux . . . . . 1.2.4. Conclusion partielle . . . . . . . . .. . 1.3. Techniques LPV appliquées II la commande d'un syslème non linéaire . . . . . . . . . . . 1.3.1. Systèmes et correcteurs LPV ... . 1.3.2. Systèmes et correcteurs quasi LPV 1.3.3. Présentation de l'exemple. 1.3.4. Synthèse du correcteur 1.3.5. Analyse du correcteur. 1.3.6. ConclusÎon . . . . . . .

15 16 16 16 18 19 21

21 22 21 22 23 24 24 25

26 28

28 28 30 31

32 36 37

10

Systèmes non linéaires

Chapitre 2. Inversion et linéarisation Claude MOOG

41

2.1. Introduction. 2.2. Inversion ... . . . . . 2.2. L Structure à l'infini 2.2.2. AlgOlithme d'inversion 2.2.3. Inversibilité. . . . . . 2.2.4. Dynamique des zéros . 2.3. Linéarisation entrée-sortie . 2.3.1. Formulation du problème 2.3.2. Cas monosortie . . . . . . 2.3.3. Cas 1l1ultisortie . . . . . . 2.3.4. Linéarisation entrée-sortÎe par retour dynamique de sortie: cas monosortie . . . . 2.3.5. Exemple ... 2.3.6. Robot sauteur. 2.4. Découplage. . . . . 2.4.1. Découplage par bouclage statique régulier 2.4.2. Découplage par bouclage statique régulier sur]' état 2.5. Linéarisation entrée-état. . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Linéari~ation par bouclage statique sur l'état. . . . . 2.5.1.1. Formulation du problème. . . . . . . . . . . . . 2.5.1.2. Solution au problème de linéarisation entrée-état 2.5,2. Linéarisation par bouclage dynamique sur l'état . . . . 2.5.2.1. Formulation du problème. . . . . . . . . . . . . . 2.5.2.2. Solution du problème de linéarisation dynamique 2.6. Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chapitre 3. Observateurs de systèmes non linéaires Hassan }-IAMMOURI et Jean-Claude MARQUÈS

41 42 42 43 47 48 49 49 49 51

3.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Observation des systèmes linéaires temps Învariants . . . 3.2. J. Observation des systèmes linéaires temps continus 3.2.2. Observateurs des systèmes linéaires temps discrets 3.3. Observabilité des systèmes non linéaires et rappels mathématiques 3.3.1. Quelques notions sur l'observabiHté . . . . . 3.3.2. Quelques rappels mathématiques. . . . . . . 3.4. Observation des systèmes affines en j'étal modu]o une injection de sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Observateurs pour les systèmes affines en r état modulo une injection de sonie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. Linéarisation modulo une injection de sortie . . . . . . . 3.4.3. Linéarisation temps-variant modulo une injection de sortie 1A.4. Annlicatiolls . . . . . .

53 62 63

68 69

70 71 71 71 72 77 77 78 79 81 81 82

82 85 86

86 89 90

90 93 94

97

'n,bIc des matières

3.5. Observation des systèmes uniformément observables 3.5.1. Observabilité uniforme . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1.1. Systèmes afllnes en rentrée . . . . . . . . 3.5.1.2. Une extension au cas nOI1 affine en l'entrée. 3.5.2. Observateurs il grand gain. . . . . 3.5.2.1. Cas monosortie . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2.2. Extension au cas multisortie . . . . . . . . . 3.6. Quelques d'application de J'observateur grand gain 3.6.1. Exemple . . . . . . . . . 3.6.2. Résultats de simulation . 3.6.3. Exemple du bioréacleur . 3.6.4. Résultats de simulation 3.7. Bibliographie. . . . . . . . . .

Chapitre 4. Observation et observateurs-contrôleurs par modes glissants

11

100 103 104 106 106 106 109 115 115 117 118 122 122 125

Tarek AHMED-ALI et Nicolas SEUBE 4.1. Observateurs l1lonosurface 4.2. Observateurs glissants mulLisurfaces . . . . 4.3. Observateur et commande robuste 4.3.1. Synthèse de l'observateur glissant . . 4.3.2. Synthèse de la commande par modes glissants 4.3.2.1. Changement de coordonnées et surface de glissement. 4.3.2.2. Synthèse du contrôleur . . . . . 4.3.3. Application il un robot manipulateur. 4.4. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 5. Identification des systèmes non linéaires

126 127 131 131 l35 135 137 139 141 143

Fubienne FLORET-PONTET el Françoise LAMNABHI-LAGARRIGUE 5.1. lntroduction .. 5.2. Préliminaires . 5.2.1. Exemples 5.2.1.1. Pendule Cas multivariable 5.2.1.2. Cas monov::niable . . . . . . 5.2.2. Identil"iabilité . . . . . . . . . . . . 5.2.2.1. Identifiabilité globule dans le cas linéaire 5.2.2.2. Identifiabilité globule dans le cas non linéaire 5.2.2.3. Test dïdentifiabilité par r exemple. 5.2.3. Moindres carrés ., . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3.1. Algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3.2. Application à l'exemple 1l10novariable [5.2] en boucle ouverte . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4. Méthodes basées sur l'erreur de sortie. 5.2.4.1. Tdentification en boucle ouverte 5.2.4.2. Identification en boucle fermée ..

143 146 146 146 147 147 147 148 149 151 151 151 152 152 153

12

Systemes 11011 linéaires

5.2.4.3. Application à l'exemple monovariable [5.2] en boucle fermée . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. ldentilkation-stmcture variable en boucle ouverte 5.3.1. Description des systèmes étudiés. 5.3.2. Cas monovariable . . . . . . . . . . 5.3.2.1. Algorithme . . . . . . . . . . . 5.3.2.2. Exemple - Cas monovariable . 5.3.3. Cas multivariable sous la forme normale 5.3.3.l. Algorithme. . . . . . . . . . . . . . 5.3.3.2. Exemple sur le pendule en boucle ouverte 5.3.4. Cas ll1ultivarinble général . . . . . . . . . . . 5.4. Identification-structure variable en boucle fermée 5.4.1. DescrÎplion des systèmes étudiés. 5.4.2. Méthode d'identification indirecte 5.4.1.1. f) est supposé connu . . . 5.4.1.1. fJ est supposé inconnu. . . 5.4.3. Exemples en boucle fermée. . . 5.4.3. L Pendule en boucle fermée. 5.4.3.1. Cas monovariable en boucle fermée 5.5. Analyse de robustesse . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1. Condition de lJlafching . . . . . . . . . . 5.5.2. Perturbations paramétriques variant dans fe temps 5.5.2.1. Prél Îminaires . . . . . . . . . 5.5.1.2. Analyse de robustesse. . . . 5.5.3. Exemple sur le cas monovariable . 5.6. Simulations - Etude comparative. . . . 5.6.1. Cas multivmiable (pendule) - Identification basée sur la théorie de la structure variable . . . . . . . . . . 5.6.1.1. En boucle ouverte, identification directe . 5.6.1.2. En boucle fermée. identification indirecte. 5.6.2.· Etude comparative Cas l11onovaIiable . . . . . 5.6.2.1. Préliminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.2.2. Comparaison en boude ouverte avec les moindres calTés 5.6.2.3. Comparaison avec les méthodes basées sur J'erreur de sortie - Boude fermée. 5.7. Conclusion . . 5.8. Bibliographie.

Index . . . . . . . . . .

154 154 154 155 155 157 157 157 159 160 161 161 162 162 163 165 165 166 166 166 ] 67 167 167 169 170 170 170 170 173 173 1.73 175 178 179 181

Avant-propos

Ce volume est le premier d'une série de deux ouvrages consacrés il r automatique non linéaire pour les de dimension finie. Nous avons volontairement restreint l'exposé aux systèmes continus gouvemés par des équations différentielles ordinaires. Dans bien des cas, des résultats équivalents existent pour les systèmes discrets. Plus on regarde vers le futur, plus les opportunités de nouvelles applications et les avûncées de la commande des systèlTles non linéaires sont nombreuses. Les nouvelles méthodes, de plus en plus perfOI11Ulntes pour capter, calculer. cOl11muniquer, inimaginables il y a vingt ans, ne cessent d'être améliorées, et créent ainsi un environnement très riche avec une énorme quantité de données. Face à toutes ces nouvelles technologies, la commande des systèmes non linéaires, qui intègre les contraintes physiques du système, son environnement variable et les diverses interactions, a Uil rôle de plus en plus important tl jouer afin de construire des bDuclages optimaux, robustes et performants. L'objectif de ces deux livres est d'expliciter quelques méthodologies et de les illustrer sur des applications issues de plusieurs domaines comme l'aérospatial. la robotique, l'électronique, rélectrotec1mique ou encore la biologie. Le premier chapitre montre sur deux cas précis comment utiliser des techniques linéaires pour contrôler certains syslèmes non linéaires (linéarisation et identification locale avec des techniques prédictives, systèmes linéaires avec paramètres variant dans le temps et synthèse du contrôleur avec des techniques LMI (Linear MalrÎe Inequalilies). L" objectif de ce chapitre est de montrer sans être exhaustif que des techniques linéaires correctement maît.risées peuvent être utitisées avec succès sur certains systèmel\ non linéaires. Le second chapitre aborde une classe importante de techniques non linéaires maintenant classiques et souvent utiles pour les systèmes continus: le découplage, l'inversion et la linénrisation. Ces méthodes utilisent le langage de la géométrie différcnticlle pour construire des bouclages (statique ou dynamique, en état ou en sonie) pour rendre le comportement du système non linéaire de départ aussi proche que possible de celui d"un

]4

Systèmes non linéaires

système linéaire découplé. Il s' agit essentÎeHement de techniques qui consistenl, après une analyse précise de la structure entrée-sortie. il compenser par Iecdback certaines non-I i néari tés. Les trois derniers chapitres abordent un sujet bien moins développé mais aussi nettement plus difficile, celui des observateurs et de l'identification. Le chapitre 4 présente, après avoir montrer les subtilités liées il la notion d'observabilité en 110n linéaire, quelques techniques pour synthétiser des observateurs avec preuve de convergence. Ces techniques utilisent le langage de la géométrie différentielle (comme pour le chapitre 3). Le chapitre 5 porle sur les observateurs par mode glissant d'une classe spécillque de systèmes. Cette méthode peut être vue comme « duale » de celle de la commande par mode glissant. Enfin, le demier chapitre aborde l'identification avec deux aspects: les critères d'identjfil.1bilité: la synthèse d'algorithme cstimanl des paramètres en boucle ouverte et en boucle fermée. Ici encore les résultats ne traitent pas le cas général (comme dans les deux chapitres précédents) mais montrent comment s'y prendre lorsque Je système dépend linéairement des paramètres avec une mesure complète de J'état (ces techniques sont à rapprocher de celles de la commande adaptative qui est l'objet d'un volume Le second volume consacré à l'automatique non linéaire aborde lu modélisation pour le contrôle et deux techniques non linéaÎres : la stabilisation par des méthodes d'énergie (Lyapounov), la planificatÎon de trajectoires avec les systèmes différentiellement plals. Nous avons délibérément laissé de côté tout ce qui touche au contrôle optimal et au principe du maximum de Pontryaguine, lhèmes abordés dans d'autres volumes de cette collection. EnHn, nOlis ne traitons pas la commande non linéaire des systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles avec contrôle frontière. C' est un sujet très difficile. Des résultats récents sur des exemples significatifs (Euler, Navier-Stokes, Schrodinger. .. ) montrent que le domaine est en plein développement. Pierre Rouer-ION Françoise LAMNABHI-LAGARRTGUE

Chapitre 1

Méthodes basées Sllr les tecll11iqlles lil1éaires

1.1. Introduction La plupart des processus sont modélisés, au départ, par des équations différentielles non linéaires, ce qui semble de prime abord exclure l'utilisation de techniques linéaires. Mais, dans deux cas au moins, il est possible de se raccrocher à ces techniques. qui onl j~lilla preuve de leur emcacité : -lorsque l'on connaît la trajectoire à suivre (qui peut être simplement de réguler la sortie sur une valeur constante) el que l'on sail (ou que l'on suppose) que le système 5' écartera peu de cette trajectoire, un modèle linéaire tangent à celte trajectoire peut être utilisé, déterminé par exemple par une méthode d'identification linéaire, de manière à concevoir ensuite un cOlTecteur par les méthodes linéaires. Celles-ci donnent au minimum une garantie de stabilité dans un voisinage de la trajectoire et, en pratique. les résultats obtenus sont en général satisfaisants si l'on ne s'en écarte pas trop: - lorsque la non-linéarité des équations provient de quelques variables, accessibles à la mesure, il est possible de modéliser le processus par un système quasi LPY (linéaire à paramètres variants), en considérant la ou les variables qui interviennent de façon non linéaire à la fois comme des variables d'état et comme des paramètres. Les méthodes à base de LMl (Lil1ear Mafrix /nequalities) permettent alors de concevoir un correcteur lui aussi quasi LPY, qui est donc non linéaire en fonction de ces mêmes variables. avec une garantie de stabilité et de performances pour loute évolution dans un domaine convexe.

Chapitre rédigé par Gilles Duc et Didier

OUM UR.

Jo

Systèmes non linéaires

La section 1.2 ci-dessous envisage la première approche en se basant sur l'exemple de l'identification et de la commande cascade vitesse-position d'une machine asynchrone. La section 1.3 aborde ensuite la deuxième approche, à partir l'exemple d'un pilote automatique pour un missile au comportement forlement non linéaire.

1.2. Identification et commande linéaires d'un système non linéaire Cette section a pour but d'illustrer sur un processus complexe non linéaire les possibilités offertes par une technique de commande 1inéaire, la commande prédictive. La mise en œuvre de ceLLe est basée avant tout sur la connaissance d'un modèle linéaire de ce processus complexe, identifié pur des techniques linéaires classiques. Après avoÎr rappelé brièvement l'enchaînement identification du système puis synthèse prédictive, cette méthodologie esl app1iquée il la commande cascade vitesse-position de la machine asynchrone.

1.2.1. Recherche d'ml modèle li1léaire La mise en équation d'un processus complexe non linéaire conduit souvent, lorsque la modélisation est possible, tl des équations différentielles non linéaires d'ordre parfois élevé. L'ensemble s'avère alors inexploitable pour la synthèse d'une loi de commande. Une des stratégies possibles consiste dès lors il développer des méthodes d'identification expérimentale du système non linéaire, de façon à élaborer un modèle linéaire simplifié, représentatif du comportement du système pour un point de fonctionnement donné. Toute loi de commande linéaire peut ensuite être envisagée en se basant sur ce modèle identifié. Les points suivants ont pour but d'examiner une approche d'identification expélimentale adaptée au contexte industriel. 1.2.1.1, Séquence biliaire pselldo-aléatoire

Une démarche classique en identification [L.IU 87J stipule gue l'obtention d'un modèle identifié reflétant le plus fidèlement possible le comporlement du système nécessite que ce système soit sollicité par une entrée relativement riche, de façon à exciter le plus grand nombre de modes propres. Le meilleur signal candidat est alors le bruit blanc, malheureusement non déterministe. Une séquence binaire pseudo-aléatoire est un signal détenlliniste destiné à approcher une réalisation d'un bruit blanc. C' est une séquence de nombres valant ±A, pé1io~ dique. de période M et dont la fonction d'rllltocorrélation se caractérise graphiquement par la figure 1.1. Informatiquel11ent, elle est générée il partir d'un registre il décalage. Considérons donc un registre à décalage à Il étages, bouclé par un additionneur modulo '2. comme indiqué I1gure 1.'2.

MéLhodes basées sur les techniques linéaires

17

k M

Figure 1.1. FrJ1/ctioll d'lIwocorré/atirm d'll1le séql/ence billaire pseudo-aléatoire

Si a(k) désigne le vecteur d'état du registre à l'instant k :

L'état suivant est obtenu à partir de la matrice de transition A par la relation:

n(k

+ 1)

A a(k}

avec:

A

al

a}

1 0

0

0

0

an

0

ll.l.1 0

Figure 1.2. Génération par regislre d'Hile séquence biliaire pseudo-aléatoire

La sui te 1a(k)} ,M est une suite périodique et sa longueur maxima le est égale au nombre d'états possibles du registre en excluant l'étal nul (état bloquant), soit: Al = 2/1 - 1

i1.2]

La détermination des coeftkients ()'i s'effectue il partir d'une liste de polynômes caractéristiques établie pour chaque longueur de [1

18

Sy~lèl1les

non linéaires

conduisant aux bouclages les plus simples pour un nombre d'étages fixé, et respectant des conditions nécessaires et suffisantes d'obtention d'une séquence de longueur maximale. j

.2.1.2. PrétraÎlemem des dOllnées

Pour améliorer la qualité du modèle identifié, el avant d'appliquer un quelconque algorithme d'identification sur les données entrée/sortie enregistrées, un prétraiLemcnt de ces données ainsi qu'une mise en forme du modèle recherché peuL s'avérer très importante. Considérons tout d'abord le cas d'ull système ùont une partie est connue (par exemple la fonction de transfert de l' actionneur). TI est alors préférable dc tenir compte de cette connaissance (1 priori afin d" éviter d'augmenter initialement la dimension du vecteur paramètre. On procède alors (voir figure 1.3) en reconstruisant le signal intermédiaire 11* (sur cette figure, v représente l'influence de perturbations éventuelles). Un cas particulier est celui du système dont on sait (/ priori qu'il a un comportement intégrateur. Dans ce cas, il est préférable de dériver la sortie YI/li.'.\' plutôt que d'intégrer Il, afin d'éviter des dérivcs dues à dcs composantcs continues éventuelles. \'

li

SimulaI ion ùe la

rurlic COll flue

/1

*

Panic inconnue

Ynœ.\,

Nuuveau syslèmc il idclllilïcr

Figure 1.3. Cas d'lIIl système paJ'/Îellemcllf COI/ml

Un autre aspect fondamental consiste à filtrer les données si nécessaire, lorsque par exemple une bande de fréquences doit être sélectionnée. Par ailleurs. pour éliminer l'effet dcs perturbations sans avoir recours à un modèle stochastique, un traitement par corrélation peut être envisagé (voir ligure lA). Il est par exemple unc séquence binaire pseudo-aléatoire appliquée au système, non corrélée avec ]e signal perturbatcur v.

r. ·. ·. . .·. · · ·, · · · · · · · ·"·. . 1 1/

Syslème il idcnlillcr

J'1I11

Système fi

y

Figure 1.4. Traitement des donnécs pt/r corrélatiol/

i ï'lIy""., DI-

Méthodes basées sur les techniques linéaires

19

Notons par la suite )'1111 et )'11.1'/111'1 respectivemenl les fonctions d'auto et d'inter-corrélation des signaux li et Y'lll'S' dél1nies dans le cas d'une entrée de type séquence binaire pseudo-aléatoirc périodiquc par les relations:

1 AJ-l .. /'.11 Li=O Ymc.I'(r)I/(1 - k) llAJ IlU)u{i - k)

On montre alors que l'identification du système précédent fI partir des signaux Il el (ce dernier subissant l'influence des perturbations) est équivnlente il la recherche du même modèle, pour lequel )'/lYIIII'J devient la sortÎe fictÎve non bruitée du système lorsque J'l/II est son entrée (voir figure 104). Le prétraitement des signaux Il. YII/l'S par la méthode de corrélation permet donc, en toute théorie, d'élimîner l'effet des pel1urbations. Ce résultat s'avère lout à fail intéressant en milieu industriel puisqu'il permet de s'affranchir des bruits de mesure toujours présents sur une chaîne d'acquisition el nuisant de façon conséquente à la qualité du modèle identifié. )'11Il'.1

1.2.1.3. Algorithme des moindres carrés

Les paragraphes précédents ont permis de définir la structure du modèle la plus appropriée pour l'identification el de préparer les données afin de maxÎmÎser la qualité du modèle recherché. La dernière étape consisle dès lors à développer l'algorithme d'identification proprement dit. Dans ce but, la structure classique la plus miHsée est l'algorithme des moindres carrés avec toutes ses variantes. Ce paragraphe récapitule brièvement les points conduisant à r élaboration des paramètres identÎ flés dans le cas d'un modèle recherché sous la forme d'une fonction de transferl discrète. Le lecteur pourra consulter la littérature duns le domaine de l' identiflcation, parexemp]e lSOD 891 et lLAN 0 Il, pour des détails sur ces techniques.

Soit à identifler le système défini par l'équation aux di fférences : "J

Lf3i y(k -

Un

i) =

LO'; 11(11: -

i)

avec: {Jo = 1

[ 1.51

id)

y(k) et I/(k) étant respectivement la sortie et rentrée du système (ces signaux peuvent être si nécessaire des fonctions de corrélation d'après la démarche du paragruphe précédent).

20

SysLèmes

11011

linéaires

On peut alors écrire l'équation [1.5] sous la forme: [ 1.6]

avec:

p

l'

. = [-/11 ... -

= [y(k -

( rp(k)

[j1/11

.

0'1 ... O'1/n]

1)··· y CI.: -Il,,) u(k - 1)··· /I(!.: _11/1)]1'

Le prédicteur associé à r équation [1.6] est alors:

S, (k/I.:

I)

= pl' rp(k)

Oll

pest Uil vecteur eSlimé de P

[I.7]

On définit enfin l'elTeur de prédiction E(k) par la relatÎon : E(k) = y(k) -

pT rp{k)

[ 1.8]

L· algorithme des moindres carrés recherche alors pour A4 données disponibles le m.ei11eur jeu de paramètres Pme issu de la minimisation du critère quadratique: M

. .1 =

"

"' . ~E-(I)

[1.9]

i=1

sous la forme:

" Pille

= (RTR)-J

RT y

[1.10]

avec: y = [y (l ) ... y ( M) 1T

pT = [-#1'" - fil/II cil'"

y(l - Il,,)

y(O)

R

&1/IIJ ' et N

Ild

+ 11/1

u(O)

y(k - 1)

y (/VI

1)

dim p 11(1

11/1)

lI(k - 11 11

y(M -

I1d)

R dOÎt être de rang maximal et M 2: N.

u(lv! - 1)

)

Méthodes basées sur les Lechniques linéaires

21

1.2.2. A1étlIOdologie de la comma1lde prédicti1'e gé"éralisée A partir d'un modèle identifié expérimentalement sous une structure linéaire, autour d'un point de fonctionnement, le système non linéaire peut dès lors être piloté par une stratégie de cOlllmande linéaire à base de modèle. Parmi les lois existantes, envisageons ci-dessous les possibilités offertes par les méthodes prédictives. La commande prédictive repose sur des idées relativement anciennes et intuitives [RTC 93], mais n'a connu un réel essor en tant que technique de cOll1mande avancée que depuis le milieu des années 1980. Cet essor s'est réalisé principalement selon deux axes privilégiés: - la commande prédictive généralisée (GPC) de D. W. Clarke, 1985, - la commande prédictive fonctionnelle (PFC) de .J. Riclmlet, 1987. La philosophie de la commande prédictive se base sur quatre grandes idées, communes à toutes les méthodes: la création d'un effet anticipatif par exploitation de la trajectoire à suivre dans le futur, la définition d'un modèle numérique cie prédiction, la minimisation d'un critère quadratique à horizon Ilni, le principe de I"horizo\1 fuyant. Le lecteur pourra consulter [BIT 90] et [WER 87] pour de plus amples détails sur la commande prédictive. Envisageons les points fondamentaux de la structure prédictive généralisée [CLA 87a, CLA 87b, CLA 88] dans le cas Illonovariable, déduits de la traduction mathématique des concepts généraux précédents. Le lecteur pourra consulter le chapitre 13 de [LAR 02J pour le détail complet de l'élaboration de la loi de commande GPC et de ses extensions à une structure ~l modèles de référence multiples et cascade. 1.2.2.1.

D~fillition

dll modèle J/Il1l1érique

Toute forme est admissible pour le modèle, mais I"approche polynomiale par fonctions de transfert est tout ft fait privilégiée selon l'optique envisagée dans ce paragraphe. En effet, il a été montré précédemment qu'il était possible de déduire d'un système non linéaire une représentation linéaire utilisée pour la synthèse de la loi de cOl1lmande. Or les algorithmes d'identification classiques fournissent plus volontiers une structure identifiée de type fonction de transfert. C'est pourquoi la représentation adoptée ci-dessous, s'inspirant de la structure ARMA, développe le modèle sous la forme CARIMA (Conlro!led AUloNegressÎl'e fntegraled tv/01'Îl1g Al'erage) :

1:1.111 où ll(q-l)

=

1 - q-l, 11(1) et yU) sont respectivement l'entrée et la sortie du modèle,

22

Systèmes non linéaires

~(t) est un bruit blanc centré. q-I est l'opérateur retard et A(q-l) et B(q-I) des

polynômes définis par:

+ (11111 q-II ACl/- 1) = 1 + al q-I + { B(q-l) = bo + b1 q-l + .. + bu!> q-n"
IÏl).

Inversion cl linéarisation

55

La démonstration du théorème 2.5 suit la dén'lOl1stration du théorème 2.2 dans [MAR 91]. LinéarisatioJl el11rée-sortie par re/our dynamiqlle de sortie

Les conditions du théorème 2.5 sonl restrictives en pratique: cela signifie qu'il n'existe que rarement un retour statique de sort je. Dè~ lors, il est intéressant de rechercher une loi de commande dans une classe beaucoup plus large et qui peut néanmoins être mise en œuvre aussi facilement : la classe des bouclages dynal1lique~ de sortie. Une solution va être exposée à présent. D'un point de vlle technique. elle repose sur une structure originale de la relation entrée-sortie du syslème. Elle permet de donner la synthèse explicite d'un bouclage dynamique de sortie linéarÎsanL. De manÎère introductive, considérons l'exemple académique suivant:

1 X2 -

;:;-

In(.q

+ 2EI)

.\'1 + li 1 ---+XI +2u .,

In(xi

+ 21/)

[2.19"1

)'=XI

dont l'équation différentielle entrée-sortie est: [2,201 117) 1(y + 211 ). Bien que celte structure avec ,pl (y, li) = El, (1)"2. (w, y, /1) = (y + Il soit différente de la structure linéaire modulo des injections de sortie, elle conduit à la synthèse d'un compensaleur dynamique solution du problème de linéarisatÎon entrée-

sortie. Formulation du problème: le système [2.18] est linéarisable en entrée-sortie par bouclage dynamique de sort je s'j) existe Ull compensateur: /1

= H (y, 17, v)

1]

F (y, 17, v)

[2.21]

tel que le système en boucle fe1111ée : .\~

= f(x. H(h(x), 17, v))

'1 =

F(h (x),

y = h(x)

']. v)

[2.221

56

Systèmes non linél.lires

soit difféomorphe à :

{'

~2

Açl+bv

= f"7lU;. '], v)

y =

[2.23]

ct l

OÙ, 11 E t 1 E lPi.'I , (2 E IR:II+q-ii, (c, A) est une paire observable. Deux conditions suffisantes sont données ci-dessous. Elles constituenL loutes les deux une généralisation de la structure [2.20] de l'exemple introductif.

2.6.- Le

THÉORÈME

,\~\'slème

/2. J81 est linéarÎsable par bouclage dYllamique de

sorrie si : d \,(il) .

=

Â!

d \.(iÏ-ll

-

+ d [ l/Jii("

+ ... + Âr-I dv(JI-r+l) -v. Il)

0

d dt'

d dl 'l'

-qJÏt-1 (" V. li) o··· 0 -rl)r_I_! (',

\'.11)

. .

0

d ] dtérr.( v.lI) [2.24]

mi Âi

E

lft Ci = l, ... , r - 1).

Démonstratioll. Considérons le système [2.18]. Posons:

'Jl := (l>r(Y, u) '12 := 4)1'+ 1(11 l , y. 11) J}3

:=

(IJr+2Ub" y, li) [2.25]

l]ii-r li

:= 4),1-1 (11JÏ-r-l. y.

:= (/),;(171Ï-r. y.

Il)

Il).

On note que de la définition du degré relatif r, (l',. est inversible par rapport ~I 1/ el (IJ; est inversible par rapport fl (Î)j -l, pour Î = r + l, .... ji. On définit. alors le compensateur dynamique suivant: Il

17; = J]II -r

CP,-: 1(y,

/11 )

(1)/~~Î('7Î-f-" y. (IJ,--:1(y, 17)))

1.... ii - r 1

l2.261

t/),~ )(v y, (IÇ 1 (y, 17) )). 1

La subst.itulion cie l2.26] clans [2.24] conduÎl à la relation suivante pour le système en boucle fermée : [2.27] Donc. le svstème 12.1 Rl p.st

11nl~:lri"p nnr hOI1I+ICJP rhm:ll'ninlIP rll" cl'Irti/>

Inversion ct linéarisation

57

L'algorithme 2.1 qui suit permet de vérifier la condition [2.24]. Il permet également 1..... il) (à de calculer (dès lors qu'elles existent) les fonctions requises (I)i (i J'intégration de I-formes près). Supposons: [2.28] Test initial: dyUï) E pi. Si non, stop! Si oui. on Ilote (VI = dy(IÎ). Etape Î U = 1, ... r - 1) On choisît des fonctions !;i telles que (Vi J

E

ll

-

i.

(Vi+1

Posons Wi = !;i d.\'. Tester: iVi E span]R { cly J. Si

=

110n,

-

!;i dyUï-il E

stop! Si oui, on définit

(Vi·

wi

Etape r. On choisit des fonctions ;r, (J,. E JC telles que lVr - t;r dy(ii-r) - Or du (ii-r) E

E n- r . Poser wr tel que:

t;r

d.\' +Or du. Tester: div,.

1\

iVr = O. Si non, stop! Si oui, 011 définit

1)r (y! II)

L2.29]

où

Àr E

!C. Notons

':r-!-I

=

.

(/)r(\', If).

a(/Jr

Si ~

-=1=

0, on réécrÎt

lOI'

de sorte que:

lù r

E

'r (d_(IÎ-r-l) d- d (iï-r~l) , ••••. (11. 1 d. ,}\ . spanl( "/'+ l ' ... ,