Systèmes multi-échelles : Modélisation et simulation (Mathématiques et Applications)

MATHÉMATIQUES & APPLICATIONS Directeurs de la collection: G. Allaire et M. Benaïm 47 MATHÉMATIQUES & APPLICATIONS Com...

Author: Claude Le Bris

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MATHÉMATIQUES & APPLICATIONS Directeurs de la collection: G. Allaire et M. Benaïm

47

MATHÉMATIQUES & APPLICATIONS Comité de Lecture / Editorial Board Grégoire Allaire CMAP, École Polytechnique, Palaiseau [email protected]

Dominique Picard Proba. et Mod. Aléatoires, Univ. Paris 7 [email protected]

Michel Benaïm Mathématiques, Univ. de Neuchâtel [email protected]

Robert Roussarie Topologie, Univ. de Bourgogne, Dijon [email protected]

Thierry Colin Mathématiques, Univ. de Bordeaux 1 [email protected]

Claude Samson INRIA Sophia-Antipolis [email protected]

Marie-Christine Costa CEDRIC, CNAM, Paris [email protected]

Bernard Saramito Maths Appl., Univ. de Clermont 2 [email protected]

Gérard Degrez Inst. Von Karman, Louvain [email protected]

Annick Sartenaer Mathématique, Univ. de Namur [email protected]

Jean Della-Dora LMC, IMAG, Grenoble [email protected]

Zhan Shi Probabilités, Univ. Paris 6 [email protected]

Jacques Demongeot TIMC, IMAG, Grenoble [email protected]

Sylvain Sorin Equipe Comb. et Opt., Univ. Paris 6 [email protected]

Frédéric Dias CMLA, ENS Cachan [email protected]

Jean.Marie Thomas Maths Appl., Univ. de Pau [email protected]

Nicole El Karoui CMAP, École Polytechnique Palaiseau [email protected]

Alain Trouvé Inst. Galilée, Univ. Paris 13 [email protected]

Marc Hallin Stat. & R.O., Univ. libre de Bruxelles [email protected]

Jean-Philippe Vial HEC, Univ. de Genève [email protected]

Laurent Miclo LATP, Univ. de Provence laurent:[email protected]

Bernard Ycart Maths Appl., Univ. Paris 5 [email protected]

Huyen Pham Proba. et Mod. Aléatoires, Univ. Paris 7 [email protected]

Enrique Zuazua Matemáticas, Univ. Autonóma de Madrid [email protected]

Valérie Perrier LMC, IMAG, Grenoble [email protected]

Directeurs de la collection:

G. Allaire et M. Benaïm Instructions aux auteurs: Les textes ou projets peuvent être soumis directement à l’un des membres du comité de lecture avec copie à G. Allaire ou M. Benaïm. Les manuscrits devront être remis à l’Éditeur sous format LaTEX 2e.

Claude Le Bris

Systèmes multi-échelles Modélisation et simulation With 35 Figures

123

Claude Le Bris École Nationale des Ponts et Chaussées avenue Blaise Pascal 6-8 77455 Marne La Vallée Cedex 2, France [email protected]

Library of Congress Control Number: 2005926659

Mathematics Subject Classification (2000): 35xx, 49xx, 60Hxx, 65xx, 74Bxx, 76Dxx, 81Vxx

ISSN 1154-483X ISBN-10 3-540-25313-0 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-25313-6 Springer Berlin Heidelberg New York Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 interdit les copies ou les reproductions destinées à une utilisation collective. Toute représentation, reproduction intégrale ou partielle faite par quelque procédé que ce soit, sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants cause, est illicite et constitue une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. Springer est membre du Springer Science+Business Media © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2005 springeronline.com Imprimé en Allemagne Imprimé sur papier non acide

41/3142/YL - 5 4 3 2 1 0 -

Pr´ eface

Ce cours est une introduction a` la problématique des systèmes multi-échelles du point de vue du mathématicien appliqué. Il se compose d’une mosa¨ıque d’exemples dont le seul lien est d’appartenir a` la très grande famille des problèmes issus de la physique au sens large qui présentent pour leur modélisation et leur simulation cette difficulté essentielle de comporter en leur sein des échelles de temps ou d’espace très différentes. Nous n’avons aucune prétention a` la généralité. Le choix des sujets évoqués ici est une pure affaire de circonstances (les sujets sont, plus ou moins, dans le domaine de compétence de l’auteur1 ). En revanche le choix est délibéré d’avoir choisi d’aborder – des domaines aussi différents que la mécanique des solides, la mécanique des matériaux lamellaires, la chimie moléculaire, la dynamique des fluides polymériques, la cinétique des réactions chimiques, – sous des points de vue aussi différents (mais aussi intimement liés) que la physique, l’analyse mathématique, l’analyse numérique, la programmation. L’ordre dans lequel ces modélisations et techniques de simulation sont présentées est relativement modulable. Le lecteur pourra se reporter directement à sa discipline de prédilection sans pour autant trop souffrir de faire l’impasse sur les autres chapitres, qui ont volontairement été con¸cus comme indépendants. Cela dit, on ne saurait trop l’encourager a` tout lire. Il trouvera alors peut-être une unité insoup¸connée dans ce texte, et, au-delà de ce simple texte, dans le traitement des systèmes multiéchelles. Schématiquement, devant un problème présentant diverses échelles de temps ou d’espace, le mathématicien dispose des stratégies suivantes – 1 - attaquer directement le système tel quel en le simulant avec des techniques très efficaces (mais peut-être coˆ uteuses) ; un exemple est le

1

ou au moins dans le champ de compétence de ses collègues les plus proches !

VI

Préface

cas des schémas implicites pour les systèmes d’équations différentielles raides que nous verrons au Chapitre 5, – 2 - effectuer un prétraitement du système visant à faire disparaˆıtre les petites échelles pour ne laisser à simuler que les grandes ; un exemple est la théorie et la pratique de l’homogénéisation que nous présenterons au Chapitre 2 ; un autre celui de la dynamique adiabatique pour les systèmes moléculaires au Chapitre 3 (lié à l’exemple de la réduction de systèmes dynamiques au Chapitre 5) – 3 - choisir de gérer conjointement, mais de fa¸cons différentes, les petites et les grandes échelles dans le système ; il en va ainsi de la mécanique pour les matériaux a` microstructure, qu’ils soient solides et nous les verrons au Chapitre 1, ou fluides, et nous les aborderons au Chapitre 4. Ce qui motive le choix d’une stratégie est comme d’habitude un compromis. Mais, encore schématiquement, on pourrait dire que c’est aussi la disproportion entre les échelles petites et grandes qui contribue grandement à la décision. Pour un problème o` u les échelles sont franchement séparées, de plusieurs ordres de grandeur au besoin, tout plaide pour la stratégie 2, mais la 3 peut aussi convenir. La première n’est pas conseillée. Pour les problèmes o` u la disproportion n’est pas si grande, l’approche 1 est possible, mais les approches 2 et 3 pourront aussi être envisagées. Le lecteur pourra se faire lui-même son opinion sur certains cas pratiques après la lecture de ce document. Parcourons-le rapidement. Le Chapitre 1 présente une stratégie permettant de coupler, pour la simulation de la déformation d’un corps solide, une description microscopique de la déformation du matériau dans les régions très fortement déformées, avec une description plus classique en termes de mécanique des milieux continus en d’autres zones du matériau. On manipulera dans ce chapitre les équations de l’élasticité ⎧ ⎨ −div T = f, dans le matériau (0.1) ⎩ T · n = g, sur son bord

o` u T désigne le tenseur des contraintes mais aussi une description atomique des solides. Une logique de changement d’échelle sera aussi abordée, donnant ainsi un exemple d’un cas o` u le niveau microscopique va nourrir le niveau macroscopique en lui fournissant une information.

Le Chapitre 2 est le plus mathématique de tous. On y expliquera les techniques d’homogénéisation d’abord sur le plan de l’analyse mathématique, puis sur le plan de sa pratique numérique. L’exemple canonique est celui de l’équation x d d (0.2) − (a( ) uε ) = f, dx ε dx x ot o` u la fonction a( ) est une fonction périodique de petite période ε. Plutˆ ε que d’attaquer la résolution de cette équation, on va chercher l’équation limite

Préface

VII

obtenue quand ε −→ 0 et résoudre cette équation limite. On détaillera cette stratégie, et on l’appliquera ensuite non seulement a` une équation, mais aussi aux conditions aux bords d’une équation, abordant ainsi le traitement des couches limites (en thermique, en turbulence,...). Au Chapitre 3, on traite des systèmes moléculaires modélisés par la chimie quantique. Les objets qu’on manipule sont des électrons (légers et rapides) et des noyaux (lourds et lents). Comprendre comment l’équation de Schr¨ odinger i

∂ Ψ = H Ψ, ∂t

(0.3)

très belle mais non traitable dans la pratique numérique, peut être remplacée par une de ses approximations plus abordable numériquement, sera le coeur du débat. On verra aussi dans ce chapitre comment modéliser et simuler un système moléculaire en phase condensée, ce qui est un autre type de problème multiéchelle, et un autre genre de traitement couplé de deux échelles différentes. Le Chapitre 4 présentera la modélisation des fluides polymériques par les méthodes dites micro-macro, dans l’esprit du Chapitre 1. En chaque point du fluide, dont l’évolution est régie par les équations de la mécanique des fluides comme l’équation de Navier-Stokes, on calcule le tenseur des contraintes en tenant compte de la présence des millions de chaˆınes polymériques qui sont tendues, distordues, cassées à l’échelle microscopique par le bombardement moléculaire et les effets des déformations macroscopiques. Les techniques numériques allieront des techniques déterministes et des techniques de la théorie des probabilités. Le Chapitre 5 introduit aux techniques de simulation pour la cinétique chimique, qu’on rencontre par exemple dans la modélisation en génie chimique, ou dans la météorologie. Les systèmes en jeu sont par exemple ⎧ dy1 ⎪ ⎪ = −k1 y1 +k2 y2 ⎪ ⎪ ⎨ dt dy2 (0.4) = k1 y1 −k2 y2 +k3 y3 ⎪ dt ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ dy3 = −k3 y3 dt avec des constantes de réaction ki très différentes. On présentera les rudiments de simulation numérique des équations différentielles ordinaires, juste ceux nécessaires pour aborder la simulation des systèmes multiéchelles dits raides dans ce contexte. On parlera donc de méthodes de décomposition d’opérateurs et de réductions de systèmes dynamiques. Enfin, un court sixième chapitre donne une vision synthétique du travail effectué et ouvre vers le monde de la recherche. Ce cours a été enseigné à partir de l’année scolaire 2001-2002 aux élèves de troisième année de l’Ecole Polytechnique au sein de la majeure consacrée aux

VIII

Préface

Sciences de l’Ingénieur. Au premier chef, je souhaite remercier Yvon Maday pour l’aide qu’il m’a apportée dans la définition et l’élaboration du programme scientifique enseigné, et pour ces années de collaboration dans l’enseignement. Ma gratitude va aussi a` Grégoire Allaire, pour son soutien dans cette entreprise, depuis la création du cours jusqu’` a la publication du présent livre. A l’automne 2004, ce cours a été enseigné en temps que cours commun (ISM-CRM) à l’Université de Montréal et à l’Université McGill. Je tiens a` remercier Anne Bourlioux et Michel Delfour pour leur collaboration, leurs remarques et leur hospitalité. Des remerciements sont enfin dus à de nombreux collègues, notamment de de l’Ecole Nationale des Ponts et Chaussées, qui ont aimablement autorisé le “pillage” de leurs travaux pour rédiger certaines sections de ce texte, ou ont effectué une relecture attentive du document : Eric Cancès, Bruno Sportisse, Xavier Blanc, Frédéric Legoll, Tony Lelièvre.

Champs sur Marne, Mars 2005.

Claude Le Bris

Table des mati` eres

1

Mod` eles micro-macro pour les solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Eléments de mécanique des milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 De l’échelle atomique à l’énergie élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Une méthode couplée micro-macro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Le modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 La discrétisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Utilisation de E(ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Introduction a` la topologie faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Vers le calcul des variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Quelques problèmes modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Techniques pour les microstructures . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 5 12 13 15 19 21 24 26 32 37

2

Techniques d’homog´ en´ eisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Le cas monodimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Deux cas bidimensionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Les matériaux lamellés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Le résultat général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Un vrai cas 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Des cas plus compliqués : la convergence à deux échelles . . . . . . 2.3.1 L’Ansatz et le développement à deux échelles . . . . . . . . . 2.3.2 L’interprétation énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Retour sur le cas monodimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Retour sur le cadre général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 A lire en 2ème lecture : Vers des méthodes multiéchelles avancées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Questions de couche limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Deux cas simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Couche limite rugueuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Quand ça se passe mal ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39 40 45 45 48 50 52 53 59 62 67 70 73 74 76 83 87

X

Table des matières

3

Simulation mol´ eculaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.1 Modélisation d’un système moléculaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.1.1 Les modèles complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.1.2 Découplage des échelles pour le problème statique . . . . . 92 3.1.3 Découplage des échelles pour le problème dynamique . . . 93 3.1.4 Approximation du problème électronique . . . . . . . . . . . . . 98 3.2 Simulation numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.2.1 Discrétisation du problème Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . 102 3.2.2 Discrétisation de la dynamique newtonienne . . . . . . . . . . 108 3.2.3 Méthodes d’accélération de la dynamique moléculaire . . 114 3.3 Modélisation de la phase liquide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.3.1 Le modèle de continuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.3.2 Résolution numérique des modèles de continuum . . . . . . 122 3.3.3 Notions sur les méthodes intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3.4 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4

Mod` eles micro-macro pour les fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.1 Eléments de mécanique des fluides incompressibles . . . . . . . . . . . 129 4.2 Modélisation micro-macro des fluides polymériques . . . . . . . . . . 133 4.2.1 Le modèle de la chaˆıne libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.2.2 Le modèle d’haltères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.2.3 Les équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.3 Simulation numérique de l’Ecoulement de Couette . . . . . . . . . . . 143 4.3.1 Le modèle micro-macro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.3.2 La discrétisation du problème macroscopique . . . . . . . . . 146 4.3.3 La discrétisation du problème microscopique : Méthode 1150 4.3.4 La discrétisation du problème microscopique : Méthode 2153 4.3.5 Un résultat numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 4.4 A lire après le Chapitre 5 : notions de base d’analyse numérique des EDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.4.1 Convergence forte du schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 4.4.2 Convergence faible du schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 4.4.3 Stabilité asymptotique du schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 4.5 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

5

Cin´ etique chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.1 Modélisation de la cinétique chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.2 Notions rapides d’analyse numérique des EDO . . . . . . . . . . . . . . 174 5.2.1 Généralités et schéma d’Euler explicite . . . . . . . . . . . . . . . 175 5.2.2 Schéma d’Euler implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.2.3 Précision, stabilité et convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 5.3 Les problèmes raides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 5.4 Méthodes de séparations d’opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 5.4.1 Le cas simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 5.4.2 Le cas raide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Table des matières

XI

5.5 Réduction de systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 5.6 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 6

Vers une unit´ e des approches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 6.1 Des classifications des problèmes rencontrés . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 6.2 L’unité des approches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 6.3 Sur le front de la recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

R´ ef´ erences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

1 Mod` eles micro-macro pour les solides

Nous décrivons dans ce premier chapitre une stratégie permettant de coupler, pour la simulation de la déformation d’un corps solide, une description microscopique (allant jusqu’au niveau atomique) de la déformation du matériau l` a o` u c’est nécessaire, avec une description plus classique en termes de mécanique des milieux continus en d’autres zones du matériau. Au passage, l’approche décrite ici permet aussi de définir des modèles de mécanique macroscopiques pour des matériaux qui ne sont pas décrits par les hypothèses habituelles. Dans un premier temps (Sections 1.1 a` 1.3), nous élaborons l’approche sans nous préoccuper de propriétés mathématiques : les calculs sont menés formellement, les justifications rigoureuses étant (un peu) laissées au lecteur et (surtout) reléguées dans la bibliographie. De même, nous décrivons la stratégie numérique associée en termes purement factuels, sans aucune analyse numérique. Dans un second temps (Sections 1.4 et 1.5), nous abordons l’analyse mathématique de modèles proches de ceux dérivés aux premières sections. En particulier, la Section 1.4 est consacrée à l’introduction d’un outil crucial pour l’étude des systèmes multiéchelles, la notion de topologie de la convergence faible pour les fonctions. Cet outil mathématique est, dans une certaine mesure, l’essence même des problèmes multiéchelles.

1.1 El´ ements de m´ ecanique des milieux continus Commen¸cons par quelques rappels rapides sur la mécanique des milieux continus et l’élasticité tridimensionnelle. Nous ne donnons ici qu’une présentation courte et donc un peu approximative, et renvoyons a` la bibliographie pour une présentation plus rigoureuse et plus étoffée. Pour décrire la déformation d’un corps solide remplissant le domaine de référence Ω, on utilise une fonction ϕ : Ω −→ IR3 , dite déformation. Il est utile aussi d’introduire la fonction u(x) = ϕ(x) − x définissant le déplacement. Le gradient de déformation est bien sˆ ur la fonction

2

1 Modèles micro-macro pour les solides

F = ∇ϕ : Ω −→ M3 , o` u M3 désigne l’espace des matrices carré de taille 3. Les coefficients de ∂ϕi (x). Ayant décrit la cinématique, passons à la la matrice F (x) sont les ∂xj dynamique.

Fig. 1.1. Champ de déformation d’une configuration vers une autre.

Les équations qui traduisent l’équilibre du corps (dans la configuration de référence Ω) sont −div T = f, dans Ω (1.1) T · n = g, sur ∂Ω o` u T désigne le tenseur des contraintes (premier tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff), f les forces de volume appliquées au corps, g les forces de surface, et n le vecteur unitaire normale extérieure à ∂Ω. Pour déterminer la position du corps étudié, il est nécessaire de fermer le système, c’est-à-dire d’établir une relation entre le tenseur des contraintes T et les éléments de nature cinématique ϕ, u ou F : T = T (x, ϕ(x), ...).

(1.2)

Cette relation est dite relation constitutive, ou aussi loi de comportement. Elle dépend évidemment de la nature physique du matériau considéré. Il est important de noter que l’écriture (1.2) est formelle, au sens o` u au membre de droite peuvent intervenir des dérivées d’ordre supérieur de ϕ, des valeurs de ϕ et de ses dérivées en des points autres que x (éventuellement à des instants antérieurs que l’instant t considéré si on est dans un cadre dépendant du temps), etc...

1.1 Eléments de mécanique des milieux continus

3

Un corps est dit élastique si le tenseur T (x) ne dépend que du point x et du gradient de déformation F (x) T = T (x, F (x)).

(1.3)

Ceci signifie en particulier que ni la déformation ϕ elle-même, ni ses dérivées d’ordre supérieur a` 1 n’interviennent 1 , et que seul le point x considéré (et en fait l’instant t considéré) entre en jeu (voir Figure 1.2). Nous verrons au Chapitre 4 une situation toute différente, celle des fluides non newtoniens o` u l’histoire du matériau joue un rˆ ole : l’état de déformation en des points autres que x, a` des instants antérieurs, a un impact sur l’état de contrainte en x au temps t. En plus de cette hypothèse d’élasticité, il est courant de faire l’hypothèse supplémentaire (dite d’hyperélasticité ) qu’un matériau élastique ne dissipe pas d’énergie durant une déformation cyclique. On en déduit alors l’existence d’une densité d’énergie élastique W qui, pour des raisons d’invariance, dépend de F seulement à travers t F F . La densité W et le tenseur des contraintes T sont alors reliés par ∂W (F ), (1.4) T (F ) = ∂F et on peut alors reconnaˆıtre les équations d’équilibre (1.1) comme les équations d’Euler-Lagrange (c’est-` a-dire les équations d’optimalité) pour la minimisation d’une fonctionnelle d’énergie du type W (F (x)) dx + termes dépendant de f, g (1.5) Ω

sur toutes les déformations possibles2 ϕ, i.e. ϕ ∈ A = { ϕ compatible avec les conditions aux limites imposées

en déformation, s’il y en a, et de régularité suffisante pour donner un sens aux quantités manipulées}.

Sans rentrer dans le détail, le problème a la forme inf W (∇ϕ(x)) dx − fϕ− ϕ∈A

Ω

Ω

g ϕ.

(1.6)

∂Ω

La détermination de la relation constitutive (1.2), ou de fa¸con équivalente dans le cadre de l’élasticité, de la densité W , n’est pas une tˆ ache facile, et 1

Une des conclusions de l’étude mathématique esquissée dans la Section 1.2 est que cette hypothèse est correcte au premier ordre pour un matériau cristallin. 2 En fait, en plus des conditions énoncées, il existe d’autres conditions pour qu’une déformation soit m´ ecaniquement admissible, la condition d’injectivité et de préservation de l’orientation. Nous omettons ces conditions dans la suite, notamment car leur traitement mathématique rigoureux est épineux.

4


requiert tout l’art du mécanicien. Autant de matériaux, sous autant de conditions, autant de relations (1.2) ou de densités W . Nous verrons plus loin dans ce Chapitre que l’approche multiéchelle décrite ici est en fait un moyen, alternatif a` l’expérience par exemple, de déterminer une formule (1.2), ou une fonction W (voir notamment l’Exercice 1.8 a` ce sujet). En attendant, une simplification supplémentaire est possible : celle de l’élasticité linéaire. On considère alors que le tenseur des déformations e=

1 1 t ( F F − 1) = (∇u +t ∇u +t ∇u · ∇u) 2 2

peut être approché par sa version linéarisée ε=

1 (∇u +t ∇u), 2

et que le tenseur des contraintes T s’exprime de fa¸con linéaire par rapport a` ε T = Aε

o` u A est un tenseur d’ordre 4.

L’énergie élastique qui correspond a` l’élasticité linéarisée est alors W =

1 ε A ε, 2

et la détermination de l’état de déformation du matériau passe alors par la résolution du problème de minimisation 1 g u. (1.7) fu− εAε − inf u 2 Ω ∂Ω Ω Exercice 1.1. Ecrire précisément les équations d’optimalité de (1.6) et retrouver les relations (1.1) et (1.4). Particulariser au cas de l’élasticité linéaire (1.7). Remarque 1.2. On ne présume pas de l’existence et de l’unicité des solutions des problèmes de minimisation comme (1.7) qui peuvent nécessiter des hypothèses supplémentaires. Munis de ces éléments, nous sommes maintenant en mesure d’énoncer les questions sur lesquelles nous allons nous concentrer dans la suite de ce chapitre. – 1 - Une approche multiéchelle, allant chercher l’information au niveau microscopique pour l’insérer au niveau macroscopique permet-elle de définir une forme particulière de densité d’énergie élastique W ? – 2 - Comment peut-on s’y prendre dans les cas difficiles o` u la déformation subie par le matériau présente de fortes hétérogénéités (certaines régions très localisées sont très fortement déformées, d’autres, couvrant la majeure partie du domaine, le sont beaucoup moins) au point qu’un traitement macroscopique complet du matériau n’a pas de sens, ou qu’une relation de fermeture est trop difficile a` postuler ?

1.2 De l’échelle atomique ` a l’énergie élastique Τ

5

T

e

e

e Τ=0

Τ>0

t

Fig. 1.2. Différents comportements mécaniques : ` a gauche l’élasticité (la déformation e dépend seulement du tenseur des contraintes T et a la même valeur au chargement et au déchargement) ; ` a droite la plasticit´ e (cette fois la déformation n’est pas la même lors du déchargement, le matériau garde la mémoire) ; en bas la viscoélasticit´ e et la viscoplasticit´ e (le temps joue un rˆ ole : après une déformation maximale, la contrainte se relˆ ache)

1.2 De l’´ echelle atomique a ` l’´ energie ´ elastique Nous allons montrer dans cette section une dérivation simple d’une densité d’énergie macroscopique à partir d’informations recueillies au niveau microscopique, c’est-à-dire au niveau atomique. Pour simplifier, nous supposons que les forces f appliquées en volume et les données au bord g sont nulles. Notre objectif est donc de déterminer, par une inspection a` l’échelle microscopique, une forme explicite de densité d’énergie élastique W à insérer dans l’expression (1.5) de l’énergie élastique du matériau, a` savoir W (F (x)) dx. (1.8) Ω

Nous choisissons pour cela un matériau cristallin parfait, c’est-` a-dire que nous supposons qu’` a l’échelle atomique notre matériau est un cristal périodique parfait, sans défaut, remplissant la totalité du domaine Ω. Il s’agit bien sˆ ur d’une hypothèse simplificatrice pour l’exposé car un tel matériau n’existe que rarement. Un véritable solide est en fait dans le meilleur des cas l’agrégation de tels cristaux parfaits (on parle de monocristaux agrégés en un

6


polycristal, voir la Figure 1.3). La démarche que nous décrivons ci-dessous pourrait s’appliquer a` de tels cas plus réalistes, avec bien entendu de sévères complications techniques. Elle pourrait même s’appliquer a` des matériaux amorphes. Nous renvoyons pour cela a` la bibliographie.

Fig. 1.3. Un véritable solide est l’agrégation de grains de cristaux parfaits agencés dans différentes directions (la flèche figure symboliquement l’orientation du réseau cristallin ` a l’intérieur de chaque grain)

Pour simplifier l’exposé, mais ce n’est maintenant qu’une hypothèse technique, nous choisissons une maille cristalline cubique de cˆ oté ε (qu’on ne confondra bien sˆ ur pas avec le tenseur des déformations linéarisé ε de la section précédente). Les atomes du réseau sont placés aux sommets des cubes. D’autres configurations avec plus de contenu physique et d’authenticité mécanique pourraient de même être envisagées. Reprenons notre déformation ϕ à l’échelle macroscopique de notre matériau, et utilisons une loupe pour regarder son effet a` l’échelle atomique. Il semble très raisonnable (bien qu’en fait d’autres approches, beaucoup plus sophistiquées mathématiquement, existent) de considérer que chaque atome u i1 , i2 , i3 décrivent du réseau initialement placé en Xi = i1 e1 + i2 e2 + i3 e3 o` ZZ3 et (e1 , e2 , e3 ) est la base canonique de IR3 ici alignée avec les côtés de la maille cubique, se déplace sous l’effet de ϕ en une nouvelle position donnée (c’est là l’hypothèse) par Xi′ = ϕ(Xi ). Pour une déformation ϕ ne présentant pas d’irrégularité flagrante, ceci est plausible. Choisissons maintenant un modèle simpliste pour décrire l’énergie microscopique d’un réseau cristallin parfait. Par définition, nous dirons que l’énergie du cristal parfait décrit ci-dessus est 1 V (xk ), (1.9) E= 2 3 xk ∈ZZ ,xk =0

o` u V (r) = V (|r|) est un potentiel d’interaction supposé régulier (de classe u vient l’énergie (1.9). C ∞ (IR3 )) et à support compact. Expliquons d’o`

1.2 De l’échelle atomique ` a l’énergie élastique

7

Pour cela, il ne faut pas perdre de vue que l’énergie est une grandeur extensive, c’est-à-dire une grandeur qui dépend linéairement de la quantité de matière considérée (contrairement à une grandeur intensive comme la température, qui n’en dépend pas). Comme un cristal périodique est par définition infini, la seule grandeur énergétique qui a un sens est l’énergie par atome constituant le cristal. Autrement dit, chaque atome placé en xi interagissant avec ses voisins placés en les xj par le potentiel V (xi − xj ), l’énergie qui a un sens est 1 1 V (xi − xj ), lim 3 P −→+∞ (2P + 1) 2 xi = (i1 , i2 , i3 ) ∈ Z3 , xj = (j1 , j2 , j3 ) ∈ Z3 , −P ≤ i1 , i2 , i3 ≤ P −P ≤ j1 , j2 , j3 ≤ P, xj = xi (1.10) 1 3 3 o` u le nombre d’atomes considérés est N = (2P +1) . Le facteur est présent 2 pour éviter de compter deux fois l’interaction entre les atomes en xi et xj . En utilisant la périodicité du réseau cristallin, on peut montrer que cette limite a bien un sens, et qu’elle vaut (1.9). On peut aussi montrer qu’elle ne dépend pas de la manière dont l’ensemble limite Z3 est approché (ici le grand cube [−P, P ]3 ). Exercice 1.3. Montrer dans le détail que la formule (1.10) est bien définie et donne (1.9) dans le cas d’un réseau périodique monodimensionnel. Revenons maintenant a` notre matériau. En chaque point x macroscopique, nous savons qu’il existe un matériau cristallin parfait microscopique (toujours le même d’un point x à un autre dans ce modèle simplifié) dont l’énergie est décrite par (1.9). Pour trouver une expression de l’énergie du matériau macroscopique ainsi formé, qui plus est quand ce matériau subit une déformation ϕ, nous allons raisonner comme suit. Nous remplissons le domaine Ω avec un réseau cristallin parfait de maille cubique de côté ε = N1 de sorte que nous avons N = 2P + 1 points par dimension. Pour simplifier Ω est supposé être de taille 1, égal au cube [− 21 , + 12 ]3 centré en 0, et nous prenons un nombre impair de points par dimension, mais tout ceci n’est qu’une affaire technique. Le nombre d’atomes contenus dans Ω est alors N 3 = (2P + 1)3 et l’énergie du système ainsi constitué est, par atome, 1 1 V (xi − xj ), N3 2 xj = ε(j1 , j2 , j3 ) xi = ε(i1 , i2 , i3 ) (j1 , j2 , j3 ) ∈ Z3 , (i1 , i2 , i3 ) ∈ Z3 −P ≤ i1 , i2 , i3 ≤ P −P ≤ j1 , j2 , j3 ≤ P xj = xi Une modification s’impose alors. Comme les positions des sommets du réseau périodique sont sensées refléter les positions d’équilibre du matériau

8


(on part de la configuration de référence d’équilibre, qu’on déformera ensuite sous l’effet de certaines forces), il est nécessaire de changer l’échelle à laquelle 1 on regarde le potentiel d’un facteur ε = , de sorte que l’énergie par atome N est 1 1 xi − xj V . EN = 3 N 2 x ε i

xj =xi

o` u pour alléger la formule on n’a pas répété le détail sur les sommations en xi et xj . Appliquons alors notre déformation ϕ. L’énergie devient ϕ = EN

1 1 ϕ(xi ) − ϕ(xj ) V . N3 2 x ε i

(1.11)

xj xi

On va alors faire tendre ε vers zéro : on change d’échelle, puisque l’échelle microscopique figurée par ε devient nulle et laisse la place à l’échelle ma1 cela est équivalent croscopique qui nous intéresse seulement. Comme ε = N à faire tendre N vers +∞ : on considère de plus en plus d’atomes qui remplissent Ω. La déformation ϕ considérée étant prise très régulière, il est naturel de faire le développement de Taylor : i j j ϕ(xi ) − ϕ(xj ) = N ϕ( ) − ϕ( ) = ∇ϕ( ) · (i − j) ε N N N

(1.12)

i le multi-indice en négligeant les termes d’ordre supérieur et en notant N j i1 i2 i3 ( , , ) et de même pour . L’énergie de notre matériau est donc N N N N j 1 1 V ∇ϕ( ) · (i − j) . lim 3 N −→+∞ N 2 N i j A quelques termes de bord près dont le lecteur pourra vérifier qu’ils sont négligeables asymptotiquement, on peut changer i − j en k de sorte que l’on a affaire à j 1 1 V ∇ϕ( ) · k . lim N −→+∞ N 3 2 N (k1 , k2 , k3 ) = 0 ∈ Z3 (j1 , j2 , j3 ) ∈ Z3 , −P ≤ j1 , j2 , j3 ≤ P −P ≤ k1 , k2 , k3 ≤ P (1.13) Pour une fonction Ψ qui vaut asymptotiquement Ψ (x) = ceci est de la forme

1 2

k=0∈ZZ3

V ∇ϕ(x) · k ,


9

1 Ψ (yj ), card {yj }−→+∞ card {yj } y lim

j

o` u les yj sont équirépartis sur un domaine de volume unité. La formule (1.13) n’est donc rien d’autre qu’une somme de Riemann qui converge quand N tend vers l’infini vers 1 V ∇ϕ(x) · k dx (1.14) 2 Ω 3 k=0∈ZZ

Notre but est donc atteint. Nous avons bien déterminé la fonction de densité d’énergie élastique W à insérer dans (1.8) : W (F )(x) = W (∇ϕ(x)) =

1 2

k=0∈ZZ3

V ∇ϕ(x) · k

(1.15)

Cette formule (1.15) est l’exacte analogue de (1.9) pour le réseau déformé par l’application linéaire ∇ϕ(x). En chaque point x, cette fonction ne dépend que de la valeur ponctuelle du gradient de déformation F (x) = ∇ϕ(x) (en fait de t F F , voir l’Exercice 1.6) et bien sˆ ur de la nature du matériau considéré, ici un réseau cristallin parfait dont les interactions sont régies par le potentiel V . Au moins dans ce cadre, nous avons donc démontré que l’hypothèse d’élasticité (1.3) était fondée. Remarque 1.4. Rappelons ici que, pour simplifier, nous avons supposé que Ω était le cube de taille unité et que, dans leur configuration d’équilibre, les atomes étaient aussi espacés de 1 sur chaque dimension (avant changement d’échelle). Cela explique pourquoi la formule (1.15) peut apparaˆıtre comme non homogène (une densité d’énergie à gauche, une énergie à droite). Il est instructif de rétablir les unités. Soit a l’unité de longueur a` l’échelle atomique, de sorte que la maille du réseau à l’équilibre est le cube de cˆ oté a, et que Ω est (par exemple) le cube de côté N a. Alors, après changement d’échelle, les Na sur chaque dimension. On obtient alors a` la N 3 atomes sont espacés de N place de (1.14) l’énergie par nombre de particules 1 1 V ∇ϕ(x) · k a dx (1.16) 3 (N a) 2 Ω 3 k=0∈ZZ

ce qui, sachant qu’il y a N 3 particules dans l’échantillon “réel”, donne l’énergie totale 1 1 V ∇ϕ(x) · k a dx (1.17) 3 a 2 Ω 3 k=0∈ZZ

et, donc, a` la place de (1.15) la densité d’énergie W (F )(x) = W (∇ϕ(x)) =

1 1 a3 2

k=0∈ZZ3

V ∇ϕ(x) · k a .

(1.18)

10


Exercice 1.5. On suppose que la déformation ϕ est un C ∞ -difféomorphisme de Ω dans IR3 , c’est-à-dire qu’en particulier elle vérifie ∃a, b > 0, / ∀x, y ∈ Ω, a|x − y| ≤ |ϕ(x) − ϕ(y)| ≤ b|x − y|.

(1.19)

On suppose que V est une fonction C ∞ à support compact. On se place en dimension 1, et Ω est le segment [−1/2, +1/2]. Montrer rigoureusement la formule (1.14). Exercice 1.6. Vérifier que la densité W définie (1.15) ne dépend en fait que de t F F et pas de F = ∇ϕ(x) lui-même. Une formule comme (1.14) met bien en évidence le caractère multiéchelle du matériau : en chaque point macroscopique, la densité d’énergie élastique s’évalue en calculant l’énergie du cristal déformé présent en x. Evidemment, nous l’avons démontrée dans un cadre très académique et sous des hypothèses simplificatrices, mais sous la forme {énergie du réseau cristallin placé en x W (F (x)) dx = (1.20) Ω Ω et déformé par F (x)} dx elle s’applique dans des cas de modélisation beaucoup plus généraux. Par exemple, nous n’avons considéré que des potentiels de paire (au niveau atomique, nous avons dit que les atomes intéragissaient deux à deux et pas dans leur ensemble), mais nous pourrions appliquer la démarche dans un modèle plus complexe en tenant compte même de la présence de la structure électronique du réseau cristallin. Du point de vue numérique, l’évaluation de la densité d’énergie sera compliquée d’autant. Soulignons l’intérêt de l’approche microscopique qui a été menée ici sur un exemple simple. Pour les matériaux standards, utilisés dans des conditions standard (i.e. sous des déformations raisonnables), la fermeture des équations de l’élasticité par une relation constitutive (1.2) liant contrainte et déformation (puis la discrétisation numérique du système d’équations ainsi obtenu) reste la méthode de choix. D’un point de vue numérique, une telle modélisation reste aussi la plus économique. Mais, dès que l’on sort de ces conditions standard (matériau nouveau mal connu, matériau connu mais placé sous des chargements inhabituels,...) on peut se trouver dans une situation o` u il n’existe pas de relation constitutive appropriée car les relations existantes sont en échec. Typiquement, la raison de cet échec est que de telles formules sont dérivées dans des situations “école”, sous des conditions standard, que le cas spécifique nouveau ne connaˆıt pas forcément. Dans une telle situation, retenons qu’il est possible d’envisager une modélisation par système multiéchelle, et donc possible, dans l’esprit de ce qui a été fait ici, de descendre a` l’échelle atomique. D’ailleurs, même sous des conditions standard, on peut vouloir vérifier que la relation constitutive postulée est la bonne, et l’échelle atomique peut venir en aide sur ce point (voir a` ce sujet l’Exercice 1.8).


11

En anticipant sur les chapitres suivants (voir notamment la formule (2.46) donnant l’interprétation variationnelle de l’homogénéisation elliptique au chapitre 2, et le système micromacro (4.28) pour les fluides à microstructures), terminons cette section en isolant bien la forme du problème de minimisation obtenu. Symboliquement, il s’écrit

⎧ ⎪ ⎪ inf E(ϕ) − gϕ ϕ ∈ A , fϕ− ⎪ ⎪ ⎪ ∂Ω Ω ⎪ ⎪ ⎨ W (ϕ(x)) dx = {énergie du réseau cristallin placé en x E(ϕ) = ⎪ ⎪ ⎪ Ω Ω ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ et déformé par ∇ϕ(x)} dx (1.21) Nous allons évoluer dans tout ce cours avec des modèles présentant la même forme, au sens large, que (1.21). Remarque 1.7. A l’inverse, la stratégie que nous venons de décrire peut être vue comme un moyen explicite de calculer l’énergie au niveau microscopique. Prenons en effet le point de vue suivant. Nous modélisons l’énergie du matériau (déformé par ϕ) entièrement à l’échelle microscopique, c’est-à-dire atomique, par une formule du type (1.11), récrite ici sous la forme compacte (se reporter à (1.11) pour l’expression exacte) ϕ = EN

1 1 N3 2

xi ∈ AN xj = xi ∈ AN ,

V

ϕ(xi ) − ϕ(xj ) , ε

(1.22)

o` u AN est un ensemble de points, inclus dans (εZ)3 , de cardinal d’ordre N 3 . En pratique, N 3 est de l’ordre du Nombre d’Avogadro (1023 ) et une telle somme n’est donc pas calculable. Cependant, en adoptant le procédé précédent, on voit que cette somme peut en fait, pour ε d’ordre 1/N , être reconnue comme une somme de Riemann et calculée par une méthode de discrétisation adéquate pour l’intégrale correspondante qui n’est autre que (1.8) pour W définie par (1.15). Exercice 1.8. On se place en dimension 1, sur le segment [0, 1] sur lequel on i−1 1 et placés en les xi = ,1≤i≤ place N atomes espacés de ε = N −1 N −1 N . On impose a` ces atomes une déformation ϕ, fonction régulière supposée strictement croissante (Pourquoi ?). L’énergie du matériau est alors définie par la formule suivante : ϕ = EN

N 1 1 ϕ(xi ) − ϕ(xi−1 ) V , N 2 i=1 ε

o` u V est le potentiel d’interaction défini par

(1.23)

12


V (r) = k(r − 1)2 , r > 0

(1.24)

avec k une constante strictement positive fixée. Expliquer pourquoi l’énergie (1.23) est dite énergie des plus proches voisins. Montrer que lorsque ε tend ϕ tend vers la fonctionnelle d’énergie élastique linéarisée vers 0, l’énergie EN 1 k |u′ |2 , (1.25) 0

définie sur la déformation u(x) = ϕ(x) − x. En déduire que, au moins dans ce cas, le modèle atomique permet de retrouver un modèle macroscopique bien connu. Exercice 1.9. On se place dans les conditions de l’Exercice 1.5, mais on suppose cette fois que la portée δ du potentiel d’interaction au niveau atomique est bien plus longue que la distance interatomique ε = N1 , ce qui se traduit ε mathématiquement par −→ 0 au lieu de ε = δ. Au niveau microscopique, δ l’énergie par atome est donc : 1 1 ϕ(xi ) − ϕ(xj ) ϕ . V = EN N 2 x x δ i

j

avec xi = εi et i ∈ ZZ. Montrer alors que la même construction que ci-dessus conduit a`

1 1 ε ϕ EN = dx. (1.26) V lim N −→+∞ δ 2 R Ω |det (∇ϕ(x))|

1.3 Une m´ ethode coupl´ ee micro-macro Il n’est pas rare de voir des situations o` u la déformation que subit le matériau présente de grandes inhomogénéités. Dans une majeure partie du matériau, la déformation peut être considérée comme “gentille”, alors que dans une zone précise, on s’attend à des déformations importantes et irrégulières. On pourra par exemple se faire une idée sur le cas o` u on appuie une pointe sur une table (voir Figure 1.4). Au voisinage de la pointe (dans la pointe et dans la table), on s’attend a` de forts gradients, ailleurs on est plus serein. Un autre exemple est celui d’un matériau en train de se fracturer (voir Figure 1.5). Dans la zone d’ouverture, il est clair que la situation est difficile. A titre d’exemple, et sans aucune prétention a` la généralité, nous allons présenter dans cette section une méthode possible pour traiter de telles situations. Il s’agit d’une méthode récente, datant des années 90, due essentiellement à une équipe de chercheurs américains en Mécanique. Comme il sera de nombreuses fois d’usage dans ce cours, nous en présentons une version simplifiée destinée avant tout a` faire sentir l’approche sans surcharger l’exposé de détails techniques. Nous allons en fait nous appuyer sur le travail effectué dans la section précédente.

1.3 Une méthode couplée micro-macro

13

Fig. 1.4. Expérience dite d’indentation : on appuie une pointe sur une table : les déformations attendues ` a l’impact (` a l’intérieur du cercle) sont fortes.

Fig. 1.5. Un matériau se déchire selon une fracture : au voisinage de la fracture, il est impensable d’utiliser seulement l’échelle macroscopique.

1.3.1 Le mod` ele Supposons encore notre matériau composé à l’échelle microscopique d’atomes répartis sur un réseau cristallin périodique parfait, dont la taille de la maille est notée ε. Ce matériau remplit un domaine Ω. Comme à la section précédente, nous gardons a` l’esprit dans notre vision macroscopique qu’en chaque point x du domaine Ω existe un réseau périodique parfait microscopique sous-jacent. Pour simplifier, nous allons supposer que nous travaillons dans une coupe bidimensionnelle du matériau : Ω et donc le réseau cristallin, seront désormais considérés comme des objets bidimensionnels plans. De même la déformation ϕ envoie le plan sur lui-même. Quant a` l’énergie microscopique, elle est prise comme l’analogue bidimensionnel de l’énergie (1.9). Calculer l’état du matériau sous la déformation ϕ revient a` savoir évaluer l’énergie de toute configuration déformée par ϕ. Compte-tenu de la description faite à la section précédente, il est raisonnable de définir cette énergie par W (ϕ)(x) dx, Ω

14


o` u on a noté W la densité d’énergie. Un point important est a` noter ici. Comme on a pour objectif d’attaquer les situations difficiles, on ne se restreint pas au cas de l’élasticité o` u W dépend de ϕ à travers ∇ϕ seulement. On autorise W à dépendre explicitement de ϕ lui-même, et de ses dérivées, comme dans la forme générale (1.2). Deux situations sont alors possibles pour chaque point macroscopique x : 1 soit le point x se situe dans une zone, notée Ωreg (comme “régulière”), o` u la déformation ϕ attendue est régulière, c’est-à-dire ne présente pas de variations fortes a` petite échelle. On s’attend alors a` ce que le développement de Taylor (1.12) et le processus limite effectués à la section précédente soient valables localement autour de x, et il est alors raisonnable de poser W (ϕ)(x) = W (∇ϕ(x)) =

1 2

k=0∈ZZ2

V (∇ϕ(x) · εk)

(1.27)

o` u ε désigne la taille de la maille cristalline (voir la Remarque 1.4 et, cidessous, la Remarque 1.11 ; pour alléger on oublie dans (1.27) et (1.28) le coefficient de normalisation). Tout se passe dans une telle zone comme si le réseau cristallin microscopique présent en x était déformé linéairement en un autre réseau cristallin par l’application linéaire ∇ϕ(x), 2 soit le point x se situe dans une zone critique, notée Ωsing (comme “singulière”), o` u la déformation ϕ est attendue comme hétérogène. Rien ne dit alors que le calcul de la section précédente soit correct (et en fait tout dit même le contraire), et il est indispensable de regarder explicitement comment se déforme le réseau cristallin. Une fa¸con de faire est de choisir un atome représentatif de ce réseau (celui placé à l’origine par exemple) et de poser W (ϕ)(x) =

1 2

k=0∈ZZ2

V (ϕ(x + εk) − ϕ(x)).

(1.28)

Chaque atome du réseau initialement placé en x + εk a été déplacé en ϕ(x + εk) et interagit avec l’atome d’origine placé désormais en ϕ(x). Remarque 1.10. Dans l’un comme l’autre des cas, il faut noter que si V est un potentiel d’interaction a` support compact, les deux sommes (1.27) et (1.28) sont en fait finies. Si V est seulement un potentiel qui décroit vite a` l’infini, il faudra en pratique réaliser des troncatures pour calculer ces sommes. Remarque 1.11. Dans la pratique numérique, la taille caractéristique du réseau cristallin microscopique est ε et pas exactement zéro comme dans le processus limite mathématique qui permet de trouver la densité. On ne peut pas se permettre, en un certain sens, de passer à la limite ε −→ 0 mais on doit gérer explicitement un ε ridiculement petit mais non nul. Nous rencontrerons a` plusieurs reprises cette différence entre analyse mathématique (o` u un


15

petit paramètre ε tend vers zéro) et pratique numérique (o` u le même petit paramètre est petit mais non nul) dans la suite de ce cours. L’énergie totale du matériau déformé par ϕ sera la somme des densités de type (1.27) et (1.28) selon les zones : 1 V (∇ϕ(x) · εk) dx E(ϕ) = 2 Ωreg k=0∈ZZ2 1 V (ϕ(x + εk) − ϕ(x)) dx. (1.29) + 2 Ωsing 2 k=0∈ZZ

Remarque 1.12. Bien noter que dans ce modèle, les zones Ωreg et Ωsing dépendent de la fonction ϕ. On ne détaille d’ailleurs pas cette dépendance (on u ϕ est “assez régulière”). dit seulement de fa¸con floue que Ωreg est la zone o` L’état de l’art n’est encore pas clair sur ce point. Il s’agit quoi qu’il en soit d’un modèle hautement non linéaire, difficile à mettre en oeuvre quand les zones Ωreg et Ωsing ne sont pas fixées a priori. Il est maintenant temps de voir comment on procède dans la simulation numérique pour calculer E(ϕ) et pour appliquer le traitement adéquat suivant la zone o` u se trouve le point courant x.

Zone macroscopique

Couronnes (modèle microscopique)

Fig. 1.6. On traite différemment les différentes zones : dans la zone grisée centrale on s’attend a ` une déformation irrégulière ; dans une couronne autour, on s’attend ` a une déformation régulière. Dans une zone périphérique plus large, o` u la déformation est tout a ` fait standard, on peut même envisager, par souci d’économie, d’utiliser une relation de fermeture du type (1.2).

1.3.2 La discr´ etisation Réalisons d’abord une triangulation T du domaine Ω, au sens des triangulations régulières des maillages des éléments finis. Pour des notions de base sur

16


ces maillages, nous renvoyons à la bibliographie. Nous rappelons seulement ici quelques notions de base sur la méthode des éléments finis. Un maillage régulier d’un domaine étant donné, on peut considérer l’approximation éléments finis d’une fonction qui consiste a` approcher cette fonction par une combinaison linéaire de fonctions de base. Ces fonctions de base sont dépendantes du maillage en ce qu’elles engendrent un sous espace vectoriel de dimension finie formé des fonctions polynˆ omiales par maille. Ainsi, l’approximation dite P0 consiste a` approcher l’espace L2 (Ω) par l’espace de dimension fini des fonctions constantes par maille (polynˆ ome de degré zéro par maille, d’o` u l’appellation P0) uj ψj (x)} (1.30) VN0 = {u ∈ L2 (Ω), u = j

o` u ψj =

= 1 sur le triangle Tj = 0 ailleurs.

(1.31)

Ici, la dimension N est bien sˆ ur le nombre de triangles dans le maillage. De même, l’approximation P1 consiste a` choisir l’espace de dimension finie des polynˆ omes de degré 1 par maille triangulaire. On en construit une base en considérant les noeuds yi de la triangulation (les sommets des triangles) et les fonctions “pyramidales”, linéaires par morceau = 1 au noeud yk φk = (1.32) = 0 en tous les autres noeuds. L’espace de discrétisation est alors (par exemple en se restreignant aux noeuds strictement intérieurs à Ω ce qui a pour effet de ne considérer que les fonctions nulles en l’approximation polygˆ onale ∂Ωh du bord ∂Ω) uk φk (x)}. (1.33) VN1 = {u ∈ H01 (Ωh ), u = k

Supposons alors que le problème à résoudre est une équation aux dérivées partielles sur le domaine Ω du type −∆u = f (1.34) u|∂Ω = 0 pour une certaine fonction f ∈ L2 (Ω). On en réalise la formulation faible, aussi dite formulation variationnelle, f v. (1.35) ∇u · ∇v = Trouver u ∈ H01 (Ω) telle que ∀v ∈ H01 (Ω), Ω

Ω

On approche alors cette formulation faible par la formulation faible discrète (ou formulation variationnelle discrète)


Trouver uN ∈ VN1 telle que ∀vN ∈ VN1 ,

Ω

∇uN · ∇vN =

f vN .

17

(1.36)

Ω

L’étape suivante est de transformer cette formulation discrète en une équation algébrique. Il est en effet clair que la traduction de (1.36) en termes des coefficients uk de la fonction solution uN est une égalité algébrique AU = B, o` u la matrice A est associée à la représentation de la forme bilinéaire

∇uN · ∇vN dans la base de VN1 , o` u B est le vecteur colonne (uN , vN ) −→ Ω f φj et o` u U est le vecteur colonne des ukN . des Ω

Finalement, on résout cette équation algébrique par un algorithme de résolution de système linéaire et on obtient l’approximation recherchée uN de la solution u du problème original (1.34) : ukN φk (x). uN = k

De la même manière, on peut avec cette méthode attaquer un problème de minimisation comme celui qui nous intéresse. Par exemple, on peut rechercher l’approximation de 1 f u, u ∈ H01 (Ω) (1.37) |∇u|2 − inf 2 Ω Ω

pour f fixée dans L2 (Ω), problème qui est rigoureusement équivalent a` la résolution de (1.34). On approche alors ce problème par 1 (1.38) f uN , uN ∈ VN1 |∇uN |2 − inf 2 Ω Ω ce qui est encore équivalent a` la formulation faible discrète donnée ci-dessus. Pour que la solution discrète ainsi obtenue par l’une ou l’autre des voies (c’est la même) soit une approximation correcte et asymptotiquement exacte (quand le paramètre de taille caractéristique du maillage tend vers 0) de la solution exacte u du problème de départ, il faut certaines propriétés mathématiques de ce problème. Ces propriétés sont effectivement vérifiées par (1.34) et (1.37). On admettra qu’elles le sont aussi pour notre problème de mécanique. Il faut aussi pour le maillage de bonnes propriétés de régularité et d’homogénéité (relatives à la forme et la taille des triangles, à leur recollage mutuel). Nous admettrons que notre maillage possède de telles bonnes propriétés. Nous pouvons donc appliquer la discrétisation éléments finis à notre problème de minimisation (sous la forme (1.37)). Concentrons-nous alors sur les aspects multiéchelles. Notons (Tj ) les différents triangles du maillage, et discrétisons la déformation ϕ par éléments finis P1. Chaque coordonnée ϕα de ϕ, α = 1, 2 se décompose donc selon

18


ϕα (x) =

ϕα i φi (x),

i

o` u les φi sont les éléments finis associés au maillage T . Corrélativement, le gradient de déformation est discrétisé selon les éléments P0 sur les triangles, notés ψi , α,β ∂ϕα gl ψl (x), α = 1, 2 β = 1, 2 (x) = ∂xβ l

Par définition, ψl est la fonction constante de valeur un sur le triangle Tl . Désignons maintenant par ξj les noeuds de quadrature associés à la triangulation effectuée. Cela signifie que, de fa¸con générale, une intégrale ψ(x) dx (1.39) Ω

d’une fonction arbitraire ψ, pas nécéssairement dans l’espace d’éléments finis, sera approchée par ωj ψ(ξj ) (1.40) ψ(x) dx ≈ Ω

j

o` u les ωj sont les poids de la formule de quadrature. Nous prenons ici la formule de quadrature la plus simple qui consiste a` choisir un seul noeud dans chaque triangle Tj , précisément son barycentre ξj , et à lui affecter le poids ωj = |Tj |. Nous utilisons donc la formule de quadrature |Tj | ψ(ξj ) (1.41) ψ(x) dx ≈ Ω ξj barycentre de Tj L’évaluation de l’intégrale (1.29) se fera par cette formule de quadrature, et tout se ramène alors au calcul des W (ϕ)(ξj ) quand ϕ est dans l’espace d’éléments finis P 1 pour pouvoir ensuite l’inclure dans une boucle de minimisation sur ϕ. Suivant que ζj et les ζj + εn appartiennent a` Ωreg ou Ωsing (voir la Figure 1.8), on choisit respectivement la formule (1.27), d’o` u W (ϕ)(ξj ) =

1 V (∇ϕ(ξj ) · εk), 2 k

ou la formule (1.28) d’o` u W (ϕ)(ξj ) =

1 V (ϕ(ξj + εk) − ϕ(ξj )). 2 k


Pour calculer ces deux séries de la forme

19

f (k) au membre de droite de

k∈ZZ2

(1.27) et (1.28), une manière de procéder est de les remplacer par des sommes f (k) o` u rc est un rayon de coupure. finies k ∈ ZZ2 k ∈ Brc (0)

Zone de faibles gradients: le modèle macroscopique est suffisant

Zone de forts gradients: le modèle microscopique est nécessaire

Fig. 1.7. Choix des zones

1.3.3 Utilisation de E(ϕ) A ce stade, nous savons donc, pour un maillage donné et une discrétisation de ϕ donnée, calculer l’énergie mécanique E(ϕ) de la transformation ϕ. Le reste est une affaire d’algorithme d’optimisation : il faut lancer une minimisation de l’énergie mécanique donnée par (1.29), i.e. résoudre

⎧ ⎪ ⎪ gϕ ϕ ∈ A , fϕ− inf E(ϕ) − ⎪ ⎪ ⎪ ∂Ω Ω ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 1 (1.42) V (∇ϕ(x) · εk) dx E(ϕ) = ⎪ 2 Ωreg ⎪ 2 ⎪ k=0∈ZZ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ V (ϕ(x + εk) − ϕ(x)) dx + ⎪ ⎩ 2 Ωsing 2 k=0∈ZZ

20


o` u f et g ont la même signification que dans la première section de ce chapitre.

Fig. 1.8. En chaque point macroscopique, on regarde la déformation subie par le cristal microscopique : elle peut être régulière (une simple application linéaire ∇ϕ(x), en haut), ou peut être beaucoup plus “chaotique” (en bas)

Remarque 1.13. Signalons que les questions de détermination d’états de déformation statiques comme celles que nous avons traitées ci-dessus sont clairement cruciales, mais que, au-del` a, les applications d’intérêt pratique sont le plus souvent des problèmes dépendant du temps, comme par exemple la propagation d’une fracture. La technologie développée ci-dessus permet d’avoir au moins une stratégie pour ce type de problèmes, à savoir la stratégie dite quasistatique, qui consiste à considérer que l’évolution en temps n’est rien d’autre qu’une succession d’états d’équilibres calculés chacun par un problème de minimisation du type (1.42). Nous renvoyons le lecteur a` la bibliographie pour en apprendre plus. On attaque (1.42) de la fa¸con suivante. Après avoir postulé une forme atit une suite d’itérées ϕk , par exemple via un algorithme de pour ϕ0 , on bˆ gradient pour tenter de minimiser l’énergie. A chaque itération, il faut calculer ∂ E(ϕk ) ce qui dans les deux cas fait intervenir E(ϕk ) et éventuellement ∂ϕ un calcul du type de celui détaillé ci-dessus. Au besoin, il faut raffiner le maillage l` a o` u on détecte des apparitions d’irrégularités dans ϕk . Il existe pour

1.4 Introduction a ` la topologie faible

21

cela des stratégies automatiques que nous n’exposerons pas ici. De même, la partition du domaine Ω en les parties Ωreg et Ωsing pourra évoluer au cours des itérations selon les inhomogénéités constatées sur ϕk . Que le lecteur retienne simplement que la partie spécifiquement de nature multiéchelle du travail est maintenant connue de lui. Il ne reste après que des techniques standard de calcul scientifique. Cependant, un point capital demeure. Bien qu’on sache effectivement attaquer en pratique la minimisation du problème (1.42), de nombreux progrès restent à faire, notamment car on ne dispose pas à ce jour d’une analyse numérique du problème (1.42), et ce, d’abord, parce qu’on ne dispose pas non plus d’une analyse mathématique. Certes, de récents efforts de recherche dans ce domaine visent à combler ce manque, mais dans l’état actuel des connaissances, on a peu d’éléments d’analyse, et donc on paie un inévitable prix dans la technique numérique. Faute de pouvoir faire l’analyse de (1.42), ou de (1.21), on peut donner quelques éléments d’analyse pour un problème purement macroscopique du type g ϕ. (1.43) fϕ− W (ϕ(x), ∇ϕ(x)) dx − inf ϕ∈A

∂Ω

Ω

Ω

Il est clair qu’un problème comme (1.42) ou même sa forme simplifiée (1.21) (pour laquelle Ω = Ωreg ), contient au moins les difficultés mathématiques du problème (1.43). Et nous allons voir que ces difficultés sont énormes.

Les deux prochaines sections sont consacrées à l’étude mathématique (introductive) des problèmes de type (1.43). La Section 1.5 peut être omise en première lecture, notamment par le lecteur qui n’est pas un “fana maths”. La lecture de la Section 1.4 est en revanche indispensable car on y présente un outil capital pour l’étude des problèmes multiéchelles, la topologie faible.

1.4 Introduction a ` la topologie faible Nous commen¸cons par définir la notion de topologie faible sur L2 (]0, 1[), et nous verrons des extensions à peine plus compliquées plus tard. D´ efinition 1.14. Une suite un de fonctions de L2 (]0, 1[) est dite converger faiblement vers la fonction u ∈ L2 (]0, 1[) si pour toute fonction v ∈ L2 (]0, 1[), on a 1

n−→+∞

1

un v =

lim

0

u v.

(1.44)

0

L’exemple le plus simple est celui de la suite

un (x) = sin (2π n x)

(1.45)

qui converge faiblement vers la fonction nulle sur le segment ]0, 1[. Le lecteur sait en effet que par une simple intégration par parties, il est facile de montrer

22


que (1.44) est vraie avec u = 0 pour toute fonction v de classe C 1 par exemple. On procède ensuite par densité pour étendre le résultat à toutes les fonctions de L2 (]0, 1[). Exercice 1.15. Formaliser le raisonnement précédent. Il est clair que pour autant cette suite ne converge pas vers zéro pour la topologie habituelle de L2 (]0, 1[), celle définie par : un tend vers u si et seulement si 1

lim

n−→0

0

|un − u|2 = 0

(1.46)

(pour différencier, on parlera souvent de convergence forte dans ce cas). En effet, 1 1 1 1 1 1 ( − cos(4πnx)) = . sin2 (2πnx) = |un − u|2 = 2 2 2 0 0 0 En revanche, c’est une simple application de l’inégalité de Cauchy-Schwarz que de montrer que si une suite un converge vers u fortement, alors elle converge faiblement. La notion de convergence faible (comme son nom l’indique) est donc une notion plus faible que celle de convergence forte. Dès maintenant, on peut comprendre pourquoi topologie faible et problèmes à plusieurs échelles sont liés. Si la suite un définie par (1.45) est un courant électrique, il s’agit d’un courant qui oscille très rapidement. En le mesurant (c’est le rôle de la fonction v qui figure l’appareil de mesure, lequel n’est pas infiniment précis, donc a une “largeur” (le support de v)), on ne voit asymptotiquement qu’un signal nul (la fonction limite faible u = 0). La fonction oscille tellement qu’en moyenne (ou, plus trivialement, vue de loin) elle est nulle. Dit en d’autres termes, elle est non nulle quand on la regarde avec un “microscope” (un appareil de mesure très précis, ou en termes mathématiques avec la topologie forte), mais nulle quand on la regarde “macroscopiquement” (en termes mathématiques avec la topologie faible). Encore dit différemment, la limite faible u0 d’une suite de fonctions uε définit le comportement moyen (macroscopique) de la suite. De la même fa¸con que nous avons défini la topologie faible sur L2 (]0, 1[), nous pouvons définir la topologie faible sur un espace de Hilbert V de produit scalaire (·, ·) par un tend faiblement vers u dans V si (un , v)

n−→+∞

−→

(u, v) ∀v ∈ V.

(1.47)

Ceci permet notamment de définir par exemple la topologie faible de L2 (Ω) pour Ω ⊂ IRN (par la même définition que (1.44)), ou celle de H 1 (0, 1) : un tend faiblement vers u dans H 1 (0, 1) si 1 1 n−→+∞ (u′n v ′ + un v) −→ (u′ v ′ + uv) ∀v ∈ H 1 (0, 1), 0

0

1.4 Introduction a ` la topologie faible

23

ou encore celle de H 1 (Ω), pour Ω ⊂ IRN .

Nous pouvons aussi définir la topologie faible sur les espaces Lp , 1 ≤ p ≤ +∞, en dimension quelconque. D´ efinition 1.16. Soit Ω un ouvert de IRN , N ≥ 1. Soit 1 ≤ p < +∞, nous dirons que la suite un ∈ Lp (Ω) converge faiblement vers u ∈ Lp (Ω) si pour 1 1 toute fonction v ∈ Lq (Ω), + = 1, p q lim u v. (1.48) un v = n−→+∞

Ω

Ω

Dans le cas p = ∞, il y a une petite nuance : nous dirons qu’une suite un ∈ L∞ (Ω) converge faiblement-⋆ vers u ∈ L∞ (Ω) si pour toute fonction v ∈ L1 (Ω), (1.48) a lieu. Dans tous les cas, il est commode de noter n→∞

un ⇀ u,

(1.49)

pour indiquer la convergence faible, tandis que la convergence forte est dénotée par l’habituel n→∞ (1.50) un −→ u. Cette définition nous permet d’envisager les produits de suite. En effet, le lecteur sait que si la suite un converge vers u dans Lp et la suite vn converge vers v dans Lq , 1 ≤ p ≤ +∞, p1 + 1q = 1, alors la suite un vn converge dans L1 vers uv. Ceci se montre par une simple application de l’inégalité de Hölder, a` savoir (1.51) uv L1 (Ω) ≤ u Lp (Ω) v Lq (Ω) , pour toute fonction u dans Lp (Ω), v dans Lq (Ω),

1 1 + = 1. p q

La proposition suivante, dont la preuve est laissée au lecteur, montre que les choses ne sont pas aussi simples pour la topologie faible. 1 1 + = 1. p q p – (i) Si un converge fortement vers u dans L (Ω), et vn converge faiblement vers v dans Lq (Ω), alors un vn converge faiblement vers uv dans L1 (Ω), – (ii) Si un converge faiblement (respectivement faiblement-⋆ si p = +∞) vers u dans Lp (Ω), et vn converge faiblement vers v dans Lq (Ω), alors on ne peut rien dire de la convergence du produit un vn .

Proposition 1.17. Soit 1 ≤ p ≤ +∞ et q tel que

Exercice 1.18. Montrer (i) en utilisant l’inégalité de Hölder, et donner un contrexemple pour (ii). Enfin, une propriété essentielle de la topologie faible est la suivante

24


Proposition 1.19. Toute suite un bornée dans Lp (Ω), 1 < p < +∞, (respectivement p = ∞) admet une sous suite convergente pour la topologie faible (respectivement la topologie faible-⋆). Remarque 1.20. Noter que le cas p = 1 est exclu et que le cas p = ∞ requiert un traitement spécial. Cette remarque vaudra dans toute la suite. Remarque 1.21. Cette proposition est en fait la raison d’être de la topologie faible, qui crée des objets (les limites) en étant moins exigeante sur la notion de convergence. Charge ensuite au mathématicien de montrer que cette limite faible est éventuellement une limite pour la topologie forte si tel est le cas. La preuve de cette proposition sera admise. Cependant, la preuve du cas particulier p = 2 fait l’objet de l’exercice suivant. Exercice 1.22. On se place sur L2 (]0, 1[). Soit ek une base hilbertienne de cet espace. Soit un une suite de L2 (]0, 1[) qu’on suppose bornée. On décompose un +∞ selon la base des ek en un = un,k ek o` u, pour chaque n, un,k ∈ l2 . Montrer k=1

que pour chaque k, la suite des coefficients un,k est bornée dans R. En déduire qu’` a extraction près, la suite un converge faiblement. La dernière propriété que nous allons mentionner ici est un résultat de compacité que nous ne sommes pas en mesure de démontrer et que nous admettrons (voir par exemple la référence [2] à la fin de ce chapitre pour une démonstration). Proposition 1.23. dit Th´ eor` eme de Rellich On suppose que le domaine Ω est un borné régulier de IRN . Alors une suite faiblement convergente dans a extraction près fortement convergente dans L2 (Ω). H 1 (Ω) est `

Remarque 1.24. Au vu des deux propositions précédentes, le lecteur peut faire l’observation suivante. Si une suite de fonctions un de L2 (]0, 1[) (par exemple) est bornée, alors une de ses sous suites converge faiblement. Si de plus la suite des dérivées u′n est bornée dans L2 (]0, 1[), alors une sous suite de un converge fortement. De nombreuses autres propriétés permettent de relier convergence faible et convergence forte. Nous ne nous y attarderons pas plus et renvoyons le lecteur à la bibliographie de ce chapitre pour une étude plus approfondie.

1.5 Vers le calcul des variations Muni de l’outil “topologie faible”, abordons l’étude d’un problème modèle, à savoir le problème (1.43) que nous récrivons ici, en supposant les données f et g nulles, juste pour comprendre (en d’autres termes, nous cherchons l’état d’équilibre du matériau sans qu’on ne le soumette a` aucune force),

1.5 Vers le calcul des variations

inf

ϕ∈A

Ω

W (ϕ(x), ∇ϕ(x)) dx.

25

(1.52)

Ce problème est ici représentatif des bien plus complexes problèmes de type (1.21), et au-del` a encore de type (1.42). Il nous arrivera aussi de ne garder que la dépendance en ∇ϕ, pour nous restreindre au cas de l’élasticité, et donc de traiter W (∇ϕ(x)) dx. (1.53) inf ϕ∈A

Ω

Quelle est la difficulté dans les problèmes (1.52) et (1.53) ? Elle tient en deux mots : la non convexité de W . Déjà, quand la fonctionnelle d’énergie est convexe, un problème de minimisation peut ne pas être trivial, au sens o` u il peut ou non admettre un minimiseur (minimiser t2 , ou au contraire, e−t sur la droite réelle), mais quand elle est non convexe, les difficultés deviennent terribles. Pourquoi W est-elle par nature non convexe (sauf dans le cas très simple de l’élasticité linéarisée, o` u on est en train de minimiser une “parabole”) ? Pour le comprendre, il suffit par exemple de regarder la densité d’énergie W que nous avons construite plus haut en (1.20) et qui provient de l’échelle atomique : W (F (x)) = {énergie du réseau cristallin placé en x et déformé par F (x)}. Une telle fonctionnelle n’est généralement pas convexe. En effet, pour un réseau atomique tridimensionnel, il n’est pas rare qu’il existe plusieurs configurations d’énergie minimale (plusieurs mailles périodiques qui minimisent l’énergie), et toute application linéaire qui fait passer de la configuration de référence à l’une d’entre elles sera donc un minimiseur pour W . En langage mécanique, le passage d’une configuration d’énergie minimale a` une autre est appelée une transition de phase, et l’on voit ainsi se développer dans des matériaux réels différentes zones, selon la configuration (la phase) du réseau local. D’ailleurs même s’il n’existe qu’une seule configuration d’énergie mini3π π la male, disons un carré en dimension 2, alors les rotations d’angle , π, 2 2 changent en elle-même est donc il est exclus que le potentiel W soit convexe, sauf a` être constant. En résumé, W a plusieurs puits, et en conséquence, l’énergie W (F (x)) dx inf ϕ∈A

Ω

admet beaucoup (voire une infinité) de minimiseurs, formés de fonctions F (x) qui vont “visiter” tous les puits. Minimiser une telle énergie devient donc une tˆ ache difficile. Dans le cas non convexe, 3 situations sont donc possibles (i) il n’existe pas de minimiseur (ii) il existe un unique minimiseur (iii) il existe plusieurs (une infinité de) minimiseurs.

26


Encore une fois, nous ne pouvons pas faire l’analyse mathématique de (1.52) et (1.53). Nous allons en fait prendre des problèmes modèles 3 , monodimensionnels, qui exhibent les mêmes caractéristiques, présentent donc les mêmes difficultés, et sur lesquels nous allons comprendre en détail la phénoménologie de la situation et examiner les techniques appropriées, surtout du point de vue mathématique et un peu du point de vue numérique. 1.5.1 Quelques probl` emes mod` eles Commen¸cons par la minimisation d’une fonctionnelle du type (1.53), a` savoir 1 (ϕ′ (x)2 − 1)2 dx, ϕ ∈ W 1,4 ([0, 1]), ϕ(0) = ϕ(1) = 0 , (1.54) inf 0

o` u l’on a désigné par W 1,4 ([0, 1]) l’espace fonctionnel W 1,4 ([0, 1]) = {ϕ ∈ L4 ([0, 1]) / ϕ′ ∈ L4 ([0, 1])}.

(1.55)

Comme on peut le voir sur la Figure 1.9, le potentiel W (ϕ′ ) = (ϕ′ (x)2 − ` deux puits. Phénoménologiquement, on doit penser les 1) est un potentiel a points -1 et 1 qui sont les points o` u sont localisés les deux puits comme les transformations linéaires (les ∇ϕ) qui font passer du réseau de réference à deux configurations différentes d’énergie minimale, ou autrement dit aux deux phases du matériau a` l’échelle microscopique. 2

Une analyse simple montre que le problème (1.54) a une infinité de minimiseurs. En effet, la fonction ϕ1 (x) =

x si 0 ≤ x ≤ 1/2, 1 − x si 1/2 ≤ x ≤ 1

a pour énergie zéro et vérifie bien les conditions aux limites. Ceci montre que l’infimum (1.54) vaut zéro. Il existe en fait une infinité de fonctions donnant l’énergie zéro (voir de telles fonctions sur la Figure 1.10), d’o` u une infinité de minimiseurs. Remarque 1.25. Rappelons le vocabulaire suivant : l’infimum d’un problème de minimisation inf{E(x), x ∈ X} est la valeur du nombre I = inf{E(x), x ∈ X} (éventuellement = −∞). Quand I > −∞ et qu’il existe un x0 ∈ X tel que E(x0 ) = I, l’infimum I est atteint et est dit un minimum. Le point x0 est un minimiseur .


A

27

B

Fig. 1.9. Potentiel ` a deux puits modélisant une éventuelle transition entre deux phases (2 configurations cristallines d’énergie minimale).

0

1

Fig. 1.10. Quelques minimiseurs pour le problème (1.54).

Remarque 1.26. Dans le problème (1.54), on a, par souci de simplicité, fixé la condition ϕ(1) = 0, ce qui peut être troublant dans le contexte mécanique, o` u ϕ est la déformation. En fait, une condition plus satisfaisante mécaniquement est une condition ϕ(1) = a, pour un réel a < 1. On a alors les mêmes conclusions que pour a = 0 (le faire en exercice). Quant au cas a = 1, on va le regarder maintenant. Définissons maintenant 3

les anglophones parlent de toy-model, littéralement modèle-jouet.

28


inf

0

1

((ϕ′ (x)2 − 1)2 dx, ϕ ∈ W 1,4 ([0, 1]), ϕ(0) = 0, ϕ(1) = 1 ,

(1.56)

En changeant seulement de manière adéquate la condition aux limites, on a totalement modifié le paysage, puisque le problème (1.56) a un unique minimiseur. En effet, la fonction ϕ(x) ≡ x sur [0, 1] a pour énergie zéro, donc l’infimum (1.56) vaut toujours zéro. Un minimiseur quelconque vérifie donc ϕ′ (x)2 = 1 d’o` u 1

1

1 = ϕ(1) − ϕ(0) =

0

ϕ′ (x) dx ≤

dx = 1

0

d’o` u l’égalité dans tous les termes et donc ϕ(x) ≡ x.

La comparaison de (1.54) et (1.56), et le rˆ ole capital joué par les conditions aux limites, nous amènent aux commentaires suivants. Changer les conditions aux limites est un moyen (parmi d’autres, voir la Remarque 1.28 ci-dessous) de changer l’espace fonctionnel sur lequel on minimise. Et en fait, l’occurence de tel ou tel comportement dépend non seulement de la fonctionnelle d’énergie qu’on minimise, mais aussi précisémentde l’ensemble sur lequel on la mini2 mise. Trivialement, e−t a deux minimiseurs sur [−1, 1] mais n’en a aucun sur IR. Ceci nous conduit à souligner un point qui a été totalement passé sous silence dans les sections précédentes. Nous nous sommes attachés, avec beaucoup d’efforts, a` déterminer à partir du niveau atomique une forme de densité W à insérer dans le problème de minimisation (1.21), mais poser rigoureusement ce problème requiert de préciser l’espace fonctionnel o` u varie la fonction ϕ (on parle de l’espace variationnel ), ce qui est une vraie question en soi. Au niveau macroscopique, c’est une question qui n’admet pas de réponse claire4 , et donc tout élément d’information qui proviendrait du niveau microscopique serait formidablement utile. Et ce d’autant plus que le problème de minimisation est, comme on vient de le voir ci-dessus, précisément très sensible au choix de l’espace variationnel. Malheureusement, a` ce jour, on n’a pas encore compris comment faire. On est donc obligé de considérer une variété d’espaces fonctionnels différents. Exercice 1.27. Que dire du cas ϕ(1) = a > 1 dans (1.54) ? Remarque 1.28. Un autre exemple de dépendance forte du problème de minimisation par rapport a` l’espace fonctionnel est le suivant. Cette fois la dépendance ne tient pas aux conditions aux bords, mais a` la régularité de la fonction sur tout le domaine, et elle se manifeste non sur l’existence d’un minimiseur mais sur la valeur de l’infimum. On peut montrer que le problème 4

Il y a autant de débats sur l’espace variationnel que sur la forme de la fonctionnelle elle-même.


Ip = inf

0

29

1

(ϕ(x)3 − x)2 (ϕ′ (x))6 dx, / ϕ ∈ W 1,p ([0, 1]), ϕ(0) = 0, ϕ(1) = 1

o` u W 1,p ([0, 1]) est défini comme dans (1.55), vérifie

Ip > I1 = 0, pour tout p ≥ 3/2. 3 ) l’infimum est 2 1/3 zéro (considérer la fonction ϕ0 (x) = x ), mais si on prescrit une régularité à peine plus forte, alors l’infimum augmente strictement. En d’autres termes, pour p = 1 (et en fait pour tout p
0, ϕ(0) = 0, ϕ(L) = a , (1.66)

o` u L > 0 et a > 0 sont fixés, et W est le potentiel de Lennard-Jones de la Figure 1.12, normalisé de sorte que son minimum soit atteint en r = 1. Montrer que l’on a, pour tout a > 0,

1.6 Bibliographie

a , I = L . W ∗∗ L

et que l’infimum (1.66) est atteint seulement pour I = inf

0

L

37

a ≤ 1 alors que l’infimum L

W ∗∗ (ϕ′ (x)), ϕ ∈ H 1 ([0, L]), ϕ′ > 0, ϕ(0) = 0, ϕ(L) = a ,

(1.67) est toujours atteint. On précisera dans chacun des deux cas les minimiseurs.

1.6 Bibliographie Pour des éléments sur la mécanique des milieux continus, nous renvoyons aux livres de J. Salen¸con [69], Ph. G. Ciarlet [25], Y. Bamberger [10]. La discrétisation par éléments finis en général est exposée dans le cours de G. Allaire [2], et par exemple dans les livres [33], et [67]. Pour son adaptation spécifique aux problèmes d’élasticité on renvoie a` l’ouvrage de P. Le Tallec [53]. Des informations sur la fa¸con de dériver des modèles macroscopiques à partir d’informations a` l’échelle atomique peuvent être par exemple trouvées dans le livre d’A. Askar [7]. La dérivation mathématique rigoureuse de densités d’énergie mécanique peut se lire dans le récent article X. Blanc, C. Le Bris et P.L. Lions [15]. La méthode numérique exposée dans la Section 1.3 est connue sous le nom de Quasi continuum method et a été introduite, et successivement amendée, dans E.B. Tadmor, R. Phillips [81], E.B. Tadmor, M. Ortiz, R. Phillips [82], V.B. Shenoy, R. Miller, E.B. Tadmor, D. Rodney, R. Phillips, M. Ortiz [75], J. Knap, M. Ortiz [51]. Pour des exemples d’application, on pourra voir E.B. Tadmor, G.S. Smith, N. Bernstein, E. Kaxiras [80], V.B. Shenoy, R. Miller, E.B. Tadmor, R. Phillips, M. Ortiz [74], R. Miller, E.B. Tadmor, R. Phillips, M. Ortiz [59]. Nous en avons présenté ici la version “historique”, essentiellement pour des raisons pédagogiques. La version “actuelle” est un peu différente à la fois dans son esprit (tout a` fait dans la veine de la Remarque 1.7) et dans sa réalisation. On renvoie bien évidemment à la bibliographie. Pour plus de détails sur les simulations multiéchelles en science des matériaux, on pourra consulter les ouvrages “professionnels” : P. De´ ak, Th. Frauenheim, M. R. Pederson [27] (et en particulier l’article R. E. Rudd & J. Q. Broughton [68] des pages 251-291 de [27]), D. Raabe [66], O. Kirchner, LP. Kubin, V. Pontikis [49], VV. Bulatov et coll. [18]. Pour en savoir plus sur la notion de topologie faible et ses multiples propriétés, on pourra consulter, dans l’ordre croissant de difficulté, le cours de G. Allaire [2], le livre de H. Brézis [16] ou le remarquable petit fascicule de L.C. Evans [35]. L’analyse mathématique des problèmes de calcul des variations du type de ceux abordés dans la Section 1.5 fait l’objet d’une littérature de recherche abondante. L’essentiel de ce qui a été exposé ci-dessus est tiré

38


d’un article de J. Ball [8] (voir aussi [9] pour une mise en perspective). On a aussi utilisé le livre de M. Chipot [24], les excellentes notes de S. M¨ uller et coll. [13], les livres de G. Buttazzo et coll. [19], de E. Giusti [38], de P. Pedregal [64]. Une référence pour les aspects numériques est C. Carstensen [23]. A la frontière de ce que nous avons exposé ici se trouve la mécanique de la fracture, qui, elle aussi, fait un usage grandissant des simulations multiéchelles. On pourra par exemple se faire une idée en consultant H. Kitagawa et al. [50].

2 Techniques d’homog´ en´ eisation

Nous allons dans ce chapitre présenter sous une forme simple une stratégie courante pour attaquer les problèmes multiéchelles à savoir la stratégie de l’homogénéisation. Nous la verrons aussi bien sous ses aspects de technique d’analyse mathématique que sous ses aspects de technique d’analyse numérique (on parle dans ce second cas d’homogénéisation numérique). En termes simples, le constat est le suivant. Prenons comme support un problème aux limites monodimensionnel. Nous considérons une fonction a de la variable réelle, supposée périodique de période 1, minorée par une constante strictement positive, et pour une constante ε supposée petite, nous cherchons la fonction uε , de [0, 1] dans IR, solution de l’équation différentielle x d d (a( ) uε ) = f, (2.1) dx ε dx vérifiant les conditions aux limites uε (0) = uε (1) = 0. Dans l’équation cidessus, f est une fonction régulière fixe donnée, supposée telle que (2.1) ait une solution unique. Il est clair qu’on peut s’attendre a` ce que la solution u ε varie à l’échelle ε, et donc si on veut résoudre numériquement l’équation (2.1), par exemple par un schéma aux différences finies, il nous faudra prendre un pas de taille h au moins plus petit que ε. Sinon, en effet, on ne verra rien · des oscillations de la fonction a( ) qui se produisent a` l’échelle ε, et donc a ε fortiori nous ne pourrons pas nous attendre a` calculer uε correctement. Cela risque donc de coˆ uter cher. Une stratégie envisageable est de chercher si quand ε tend vers zéro notre équation converge vers une équation limite, dite alors équation homogénéisée. On pourra alors tenter de résoudre l’équation ainsi obtenue, dans laquelle ε aura disparu. La solution u⋆ du problème homogénéisé aura de bonnes chances (et c’est bien sˆ ur en fait le cas) de ressembler à uε pour ε petit, la fonction ε u oscillant en effet autour de u⋆ . Son approximation numérique pourra se calculer avec un maillage de taille h (pour les éléments finis), ou un pas h (pour la méthode des différences finies) qui ne sera plus nécessairement aussi petit que ε. −

40

2 Techniques d’homogénéisation

Nous mènerons ce travail à bien sur l’équation (2.1) dans la Section 2.1 ci-dessous. Ensuite, nous enchaˆınerons sur des situations en dimension 2, et sur des cas beaucoup plus compliqués. Nous verrons aussi (Section 2.5) que ce qui a été employé sur les équations peut l’être aussi sur les conditions aux bords, et ce sera pour nous l’occasion d’aborder les problèmes dits de couche limite qui sont eux aussi a` ranger dans la classe des problèmes multiéchelles. Enfin, en Section 2.6, nous constaterons, sur un exemple, que toutes les équations ne se plient pas a` l’homogénéisation avec autant de “simplicité” que les équations de type (2.1) (qu’on appelle elliptiques).

2.1 Le cas monodimensionnel Nous reprenons (2.1) : ⎧ x d d ⎪ ⎨ − (a( ) uε ) = f, dans ]0, 1[ dx ε dx ⎪ ⎩ uε (0) = uε (1) = 0

Rappelons que a est périodique de période 1. Nous supposons de plus que cette fonction est bornée, positive et isolée de zéro, c’est-à-dire qu’il existe deux constantes 0 < c1 ≤ c2 < +∞ telles que 0 < c1 ≤ a(x) ≤ c2 , ∀x ∈]0, 1[.

(2.2)

Nous supposons que f ∈ L2 (]0, 1[). Toutes ces hypothèses peuvent être largement relaxées au prix de complications mathématiques inutiles pour cet exposé introductif. Soit uε la solution de (2.1). Nous ne détaillons pas les raisons pour lesquelles une telle fonction uε existe. Il suffit par exemple d’appliquer le Théorème de Lax-Milgram, ou de montrer l’existence d’un minimiseur dans 1 1 dv x 1 f v. Nous a( )| |2 − H01 (]0, 1[) a` la fonctionnelle fortement convexe 2 0 ε dx 0 renvoyons pour les détails à la bibliographie. Qui peut le plus peut le moins ! Si on veut déterminer la “forme” de uε solution de (2.1) pour ε petit, et sa “limite” u⋆ quand ε tend vers 0, il faut au moins que nous sachions · (a) d’abord définir avec précision le comportement de a( ) pour ε petit, ε (b) ensuite résoudre le même problème (déterminer la “forme” de uε pour ε petit) quand il n’y a pas d’opérateur différentiel dans (2.1)1 . 1

Contrairement au point (a), ce point (b) n’est pas stricto sensu nécessaire pour la suite du raisonnement. Mais il va bigrement nous aider à comprendre.

2.1 Le cas monodimensionnel

41

La topologie de la convergence faible va nous fournir les éléments pour résoudre le point (a). Proposition 2.1. Soit a une fonction dans L∞ (IR), supposée périodique de · période 1. Alors la suite de fonctions a( ) converge faiblement-⋆ vers la foncε tion constante notée < a >, dite moyenne de a, et de valeur 1 a. (2.3) < a >= 0

Preuve : Il s’agit de montrer que pour toute fonction v ∈ L1 (IR), on a

x a( )v(x) dx −→ ε

1

a

0

v.

On montre en fait cela pour v une fonction caractéristique, puis il suffira d’utiliser la densité des fonctions en escalier dans l’espace L1 (IR). Nous sommes donc ramenés à montrer que pour α < β, on a

β

α

x a( ) dx −→ (β − α) ε

1

a.

0

On récrit simplement, en utilisant la périodicité et en notant [x] la partie entière de x,

β

α

x a( ) dx = ε ε

β ε

a(y) dy α ε

β α − + 1) < a > +ε = ε( ε ε

= (β − α) < a > +O(ε)

[α ε ]+1

a(y) dy + ε α ε

β ε

[β ε]

a(y) dy

♦

Ceci conclut la preuve.

A partir du résultat ci-dessus, une vision na¨ıve des choses pourrait faire penser sur la base de (2.1) que la limite de l’équation est −

d ⋆ d (< a > u ) = f, dx dx

puisqu’il “suffit” de remplacer a par sa moyenne. Pour tester si les choses sont aussi spontanées que cela, nous allons maintenant attaquer le point (b). Effa¸cons par la pensée l’opérateur différentiel dans (2.1) de sorte que uε devient la solution de x (2.4) −a( ) uε = f, ε

42


c’est-à-dire uε = −

f (x) x . a( ) ε

1 A la limite ε −→ 0, en vertu de la Proposition 2.1 appliquée à la fonction , a on sait donc que 1 uε ⇀ u⋆ = − < > f a faiblement (dans L2 ). L’équation limite (on dira bientˆ ot homogénéisée) obtenue a` partir de (2.4) est donc −

1

u⋆ = f,

(2.5)

En d’autres termes, ce n’est pas < a > qui va compter, comme l’aurait fait 1 (qui est bien sˆ ur différent, sauf croire l’approche na¨ıve, mais l’inattendu < a1 > miracle, de < a >, voir l’Exercice 2.2). Autrement dit encore, la connaissance de la statistique de la fonction a ne suffit pas à connaˆıtre le comportement moyen de uε . Que la statistique de l’entrée a ne suffise pas à connaˆıtre celle de la sortie uε est en fait naturel car (2.4), comme (2.1), est un problème non linéaire (a multiplie uε ). Dans le cas (2.4), et aussi nous le verrons dans le cas (2.1) o` u l’opérateur différentiel est rétabli, l’analyse montre qu’il faut 1 connaˆıtre la statistique de . Bizarre ! C’est pourtant le cas le plus simple posa sible, et, dans des cas à peine plus compliqués, avoir l’intuition du coefficient 1 qui va apparaˆıtre, est une tˆ ache impossible. homogénéisé , le < a1 > Exercice 2.2. Soit a une fonction périodique telle que 0 < m ≤ a ≤ M pour 1 =< a > si et seulement si a est deux constantes m et M . Montrer que < a1 > constante. Nous sommes maintenant en mesure de revenir à l’étude de notre problème (2.1) et d’établir la Proposition 2.3. La solution uε ∈ H01 (]0, 1[) de −

x d d (a( ) uε ) = f, dx ε dx

converge dans L2 (]0, 1[) vers la solution u⋆ ∈ H01 (]0, 1[) de l’équation dite homogénéisée d ⋆ 1 d u ) = f, (2.6) − ( 1 dx < a > dx

2.1 Le cas monodimensionnel

43

Remarque 2.4. Le résultat de la Proposition 2.3 est en fait un cas particulier explicite du résultat de la Proposition 2.12, plus générale, que nous verrons ci-dessous. Remarque 2.5. Bien sˆ ur, compte-tenu de notre travail préliminaire sur l’équation sans opérateur différentiel (2.4), l’apparition du coefficient homogénéisé 1 ne nous surprend pas. < a1 > Preuve de la Proposition 2.3 En multipliant l’équation par uε et en réalisant une intégration par parties, on constate que 1 1 x d f uε a( )| uε |2 = ε dx 0 0 d’o` u par application de l’inégalité de Cauchy-Schwarz 1 x d d ε 2 a( )| uε |2 ≤ f L2 (]0,1[) uε L2 (]0,1[) c1 u L2 (]0,1[) ≤ dx ε dx 0

Comme uε est nulle en 0 et en 1, nous utilisons alors l’inégalité de Poincaré (voir l’exercice 2.6 ci-dessous) pour obtenir, pour une certaine constante c > 0 c uε 2L2 (]0,1[) ≤ f L2 (]0,1[) uε L2 (]0,1[) ,

d ε u sont toutes les deux bornées dans dx 2 ε L (]0, 1[), ce qui revient a` dire que u est bornée dans H01 (]0, 1[). Quitte a` extraire une sous-suite, ce que nous faisons sans changer de notation, nous pouvons donc supposer que uε converge fortement dans L2 vers une certaine d ⋆ d ε u converge faiblement dans L2 vers u . Par fonction u⋆ , alors que dx dx construction, la limite u⋆ appartient aussi a` H01 (]0, 1[). et donc que la suite uε et la suite

Intégrons alors (2.1) : x d −a( ) uε = ε dx

x

f + cε ,

(2.7)

0

o` u a` cause des bornes sur a et sur uε qu’on vient de montrer, la suite de réels cε est une suite de réels bornée. A extraction près, on peut donc sans perte de généralité supposer que cε converge vers un certain c. Récrivons alors 1 x x d (2.8) f + cε . − uε = ( ) dx a ε 0

1 est aussi dans L∞ et périodique (en vertu des propriétés a de a), on peut lui appliquer la Proposition 2.1, et on sait donc que la suite 1 x d ε 2 f + c , d’o` u − u converge faiblement dans L vers la fonction < > dx a 0

Comme la suite

44


−

1 x d ⋆ u =< > f +c . dx a 0

(2.9)

1 d ⋆ d ( u ) = f, dx < a1 > dx

(2.10)

La limite u⋆ de la suite uε solution de (2.1) est donc solution de −

complémentée des conditions au bord u⋆ (0) = u⋆ (1) = 0. Il nous reste a` remarquer que pour une autre extraction de uε nous obtiendrions la même 1 · équation limite et la même fonction limite, car c’est toute la suite ( ) qui a ε 1 converge vers la moyenne < >, et que la solution de (2.10) est en fait unique. a Donc la limite u⋆ que nous avons obtenue ne dépend pas de la sous-suite considérée, ce qui montre que toute la suite uε converge vers cette limite. ♦ Exercice 2.6. Montrer que toute fonction de H 1 (]0, 1[) admet un représentant continu qui s’écrit x du . u(x) = u(0) + 0 dx

En déduire qu’il existe une constante C telle qu’on ait l’inégalité de Poincaré : 1 1 du | |2 pour tout u ∈ H01 (]0, 1[). u2 ≤ C dx 0 0

La stratégie que l’on peut employer pour approcher la solution de (2.1) numériquement est donc de 1 – calculer d’abord le coefficient homogénéisé < > a – résoudre ensuite (2.6) avec un pas h adéquat, non nécessairement petit ; et ceci au lieu de tenter de discrétiser directement (2.1) avec un pas de maillage plus petit que ε, ce qui serait juste mais trop coˆ uteux, ou de discrétiser directement (2.1) avec un pas de maillage plus grand que ε, ce qui serait moins coˆ uteux certes, mais faux (voir l’Exercice 2.10 ci-dessous). Nous verrons que cette stratégie en deux étapes se retrouvera dans des situations plus complexes. Remarque 2.7. Il faut bien noter que l’étape 1 peut se faire avant l’étape 2 1 ne dépend pas de la fonction f . Nous car le coefficient homogénéisé < a1 > retrouverons ce point capital a` la Proposition 2.12 et dans les remarques qui la suivent. Remarque 2.8. En fait, numériquement, on peut procéder en gérant conjointement les échelles et non pas en deux temps comme indiqué ci-dessus, mais nous verrons cela plus loin.

2.2 Deux cas bidimensionnels

45

Remarque 2.9. Il faut remarquer que dans la preuve de la proposition ci· dessus, nous n’utilisons le caractère périodique de la fonction a( ) que pour ε déterminer explicitement sa limite faible-⋆. La preuve est donc encore vraie pour une suite de fonctions aε qui serait bornée dans L∞ (]0, 1[) et telle que 0 < c1 ≤ aε (x) ≤ c2 , ∀x ∈]0, 1[ pour deux constantes c1 et c2 indépendantes 1 1 de ε. Bien sˆ ur, c’est l’inverse de la limite faible de qui remplace alors a < a1 > dans l’équation homogénéisée et le résultat tient seulement pour une extraction (lorsque cette limite n’est pas unique). Exercice 2.10. On décide d’attaquer directement la résolution par éléments finis P1 de l’équation (2.1) avec un pas de maillage h nettement plus grand que ε. Montrer que l’on obtient alors un résultat faux, qui revient en fait a` approcher numériquement la solution de d d (< a > u) = f, dx dx

−

(2.11)

et non pas de (2.10).

2.2 Deux cas bidimensionnels En dimension 2, la situation va s’avérer beaucoup plus complexe car les questions de géométrie vont entrer en jeu. 2.2.1 Les mat´ eriaux lamell´ es Commen¸cons par un cas de dimension 2 qui ressemble à un cas de dimension 1 : le cas des matériaux lamellés.

Fig. 2.1. Matériau lamellé (on dit aussi “laminé”) : la structure est invariante selon x2 et périodique de période ε selon x1 .

Regardons en effet l’équation aux dérivées partielles

46


a( x1 ) 0 ε ε ∇u (x1 , x2 ) = f − div x1 0 a( ) ε

(2.12)

qui s’écrit aussi −div (a(

∂ ε x1 ∂ ε ) u (x1 , x2 )e1 + u (x1 , x2 )e2 ) = f. ε ∂x1 ∂x2

(2.13)

On a noté (e1 , e2 ) la base canonique de vecteurs unitaires du plan. On considère cette équation sur le carré Q = [0, 1]2 et on lui adjoint des conditions nulles au bord de ce carré. Ici et dans toute la suite de ce chapitre, la fonction uε prend ses valeurs dans IR. Dans cette équation, la fonction a est encore une fonction périodique de période 1, vérifiant la propriété (2.2). Le point important est qu’elle dépend seulement de la première coordonnée x1 du point x = (x1 , x2 ). Typiquement, elle figure un coefficient qui dépend de la nature du matériau modélisé. Par exemple, il s’agit d’une conductivité thermique, u étant alors la température et f la source de chaleur, ou d’une conductivité électrique, et u est alors le potentiel électrique, et f la charge. Dans tous les cas, on considère un matériau bidimensionnel dont les propriétés ne dépendent que de x1 . Par exemple, si a est la fonction α si 0 ≤ x1 ≤ 1/2 a(x1 ) = (2.14) β si 1/2 < x1 ≤ 1 alors on peut penser a` (2.12) comme un modèle pour un matériau fait d’un assemblage de lamelles de coefficient α et β, chacune d’épaisseur ε/2 et assemblées dans le sens x1 (voir Figure 2.1). Le problème obtenu à partir de (2.12) en laissant ε tendre vers 0 est énoncé dans la proposition suivante : Proposition 2.11. Quand ε tend vers 0, la solution uε du problème (2.12) tend vers la solution u⋆ de − div

1

0

∇u⋆

=f

(2.15)

c’est-` a-dire de −div (

1
u (x1 , x2 )e2 ) = f. ∂x2 > ∂x1

On peut comprendre (2.15) par le raisonnement intuitif suivant. Dans la direction x1 , le matériau est rigoureusement identique au matériau monodimensionnel étudié précédemment, et il est donc naturel de voir la quantité 1 apparaˆıtre comme coefficient homogénéisé. Dans la direction x2 , le < a1 > matériau n’a pas d’hétérogénéité à l’échelle ε, et il est donc aussi naturel


47

que sa “réponse” dans cette direction soit la moyenne (au sens habituel, soit < a >) des réponses des matériaux constitutifs. Nous ne sommes pas en mesure de présenter ici tous les détails techniques de la preuve de cette proposition. Cependant, nous en indiquons les grandes lignes, en admettant un ou deux points au cours de la preuve. Preuve de la Proposition 2.11 : Comme dans la section précédente, les bornes sur a permettent de montrer ∂ ε u sont bornées dans L2 (Q), ou facilement que la suite uε et les suites ∂xi ce qui revient au même, que uε est bornée dans H01 (Q). A extraction près, nous pouvons donc supposer la convergence faible de ces suites respectivement ∂ ⋆ u . Mieux, a` cause du théorème de Rellich (Proposition 1.23), vers u⋆ et les ∂xi nous pouvons même supposer que la convergence de uε vers u⋆ dans L2 (Q) est forte. Notons maintenant, pour i = 1, 2, σiε = a( Il est clair que

1

σε a( xε1 ) 1

x1 ∂ ε ) u (x1 , x2 ). ε ∂xi

=

∂ ⋆ ∂ ε u ⇀ u . ∂x1 ∂x1

(2.16)

∂ ε u , nous avons ∂x1 ε 2 facilement σ1 bornée dans L (Q). De plus, a` cause de l’équation, D’autre part, en utilisant les bornes sur a et celles sur

−

∂ ε ∂ ε σ =f+ σ ∂x1 1 ∂x2 2

est bornée indépendamment de ε dans un certain espace fonctionnel, a` savoir ). On admet que les deux propriétés d’avoir σ1ε bornée dans L2 (Q) L2x1 (Hx−1 2 ∂ ε ) impliquent qu’` a extraction près σ1ε converge σ bornée dans L2x1 (Hx−1 et 2 ∂x1 1 )) vers un certain σ1 . Cela entraˆıne la convergence fortement (dans L2x1 (Hx−1 2 faible 1 1 σ ε ⇀ < > σ1 (2.17) a( xε1 ) 1 a grˆ ace à un produit d’une convergence faible (celle de a1 ( ε· ) vers sa moyenne) par une convergence forte (celle de σ1ε vers σ1 ) et l’application de la Proposition 1.17. Nous déduisons alors de (2.16) et (2.17) que σ1 =

1
∂x1

48


D’autre part, nous avons, puisque a ne dépend pas de la coordonnée x2 (l` a est le point clé de la démonstration), σ2ε = a(

∂ x1 ε x1 ∂ ε ) a( )u . u = ε ∂x2 ∂x2 ε

Or, encore par produit de la suite uε qui converge fortement dans L2 et de x1 la suite a( ) qui converge faiblement-⋆ dans L∞ , nous avons la convergence ε faible dans L2 x1 a( )uε ⇀ < a > u⋆ , ε et donc la convergence faible dans H −1 σ2ε ⇀ σ2 =< a >

∂ ⋆ u ∂x2

En regroupant ce que nous avons obtenu, nous aboutissons bien a` la proposition. ♦ 2.2.2 Le r´ esultat g´ en´ eral Il est temps, avant de passer à un cas plus compliqué, de citer un résultat central, que nous ne démontrerons pas et qui est clairement la généralisation des cas que nous avons rencontrés jusqu’ici. Proposition 2.12. Soit Ω un ouvert borné de IRN , et soit Aε une suite de matrices inversibles a ` coefficients dans L∞ (IRN ) et vérifiant Aε ≥ c1 Id et ε −1 u ∀x ∈ IRN , (Aε x, x) ≥ c1 x 2 , et de même pour (A ) ≥ c2 Id (au sens o` ε −1 (A ) ) pour deux constantes ci > 0 ne dépendant pas de ε. Alors, il existe ′ une matrice A⋆ vérifiant les mêmes propriétés que Aε et une sous suite Aε ε −1 ε de A telles que, pour toute fonction f ∈ H (Ω), si u est la solution dans H01 (Ω) de −div Aε ∇uε = f, (2.18) alors on ait les convergences ′

′

′

′

′

′

uε ⇀ u⋆ , Aε ∇uε ⇀ A⋆ ∇u⋆ , Aε ∇uε · ∇uε ⇀ A⋆ ∇u⋆ · ∇u⋆ respectivement dans H01 (Ω)-faible, L2 (Ω)-faible, et D ′ (Ω) et de plus ′ ′ ′ Aε ∇uε · ∇uε dx −→ A⋆ ∇u⋆ · ∇u⋆ dx, Ω

(2.19)

(2.20)

Ω

o` u u⋆ est la solution dans H01 (Ω) de −div A⋆ ∇u⋆ = f,

(2.21)


49

Il est tout a` fait essentiel de bien comprendre la portée (théorique) de ce résultat : – • le premier point est que la matrice A⋆ et la sous suite ε′ ne dépendent pas du second membre f de l’équation. En un sens mécanique, cela dit qu’il existe un matériau équivalent (on dit homogénéisé ) et que ce matériau est le même quel que soit le chargement que le matériau de départ subit. On a bien observé cette propriété sur les deux cas précédents o` u la matrice homogénéisée ne dépend que des moyennes de 1 a ou et de rien d’autre (cf. la Remarque 2.7). a – • le second point est que l’important n’est pas qu’il existe une limite a` la suite de solution uε , mais que cette limite soit solution d’une équation de même type que celle de départ ! En revanche, le “gros défaut” de ce résultat théorique est que tout en affirmant qu’il existe une matrice homogénéisée A⋆ , il ne fournit pas l’expression explicite de cette matrice, et a fortiori l’expression de la limite u⋆ . Comme nous le verrons plus loin (dans la Section 2.3.4), on peut en fait compléter ce résultat par un autre, qui précisera un peu plus qui est A⋆ , mais pas au point d’en obtenir une expression aussi explicite que rêvée. Pour le moment, seule la considération de cas très particuliers (` a la Section suivante) va nous permettre de trouver explicitement A⋆ et u⋆ . De même, l’application d’une technique complémentaire (dite de la convergence à deux échelles) nous permettra dans le cas “général” périodique (` a la Section 2.3) de quantifier A⋆ ⋆ et u . Exercice 2.13. En écho à la Remarque 2.4, montrer que la Proposition 2.3 est compatible avec le résultat général de la Proposition 2.12. En particulier, vérifier que toutes les convergences de l’énoncé de la Proposition 2.12 ont bien lieu dans le cadre de la Proposition 2.3. Une autre remarque est la suivante : en fait les conditions aux limites (ici on ole. Ainsi, on a a pris les solutions uε dans H01 ) ne jouent pas de rˆ Lemme 2.14. Dans les conditions de la proposition précédente, si on a une ′ fonction f ∈ H −1 (Ω) et une suite de fonctions de H 1 (Ω), notée v ε telle que ′

′

−div Aε ∇v ε = f et

′

v ε ⇀ v dans H 1 (Ω), alors ′

′

Aε ∇v ε ⇀ A⋆ ∇v dans L2 (Ω), et donc − div A⋆ ∇v = f. Remarque 2.15. Bien sˆ ur, ajoutons aussi le commentaire que la Proposition 2.12 et le Lemme 2.14 dépassent largement le cadre périodique que nous manipulerons ici par souci de simplicité.

50


La Proposition 2.12 va nous permettre d’aborder un cas plus difficile. Sur sa base, nous saurons déj` a que la matrice homogénéisée existe, il restera à la déterminer. 2.2.3 Un vrai cas 2D

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Fig. 2.2. Matériau périodique bidimensionnel : il est clair que le volume de chaque phase est le même que dans le matériau lamellé de la Figure 2.1. Pourtant l’équation homogénéisée est différente.

On considère un matériau périodique bˆ ati à la manière d’un échiquier. Ainsi, on prend une fonction a(x1 , x2 ) périodique sur le carré Q, et constante par morceau, avec des valeurs α et β, toutes deux strictement positives, selon la Figure 2.2. On construit alors la matrice Aε = a( xε1 , xε2 ) Id et on regarde la solution uε dans H01 (Q) de −div Aε ∇uε = f,

(2.22)

ce qui s’écrit aussi

a( x1 , x2 ) 0 ε ε ε ∇u (x , x ) =f − div 1 2 x1 x2 0 a( , ) ε ε ou encore −div (a(

∂ ε x1 x2 ∂ ε , ) u (x1 , x2 )e1 + u (x1 , x2 )e2 ) = f. ε ε ∂x1 ∂x2

Nous avons alors la

` extraction près vers Proposition 2.16. La solution uε de (2.22) converge a u⋆ ∈ H01 (Ω) de −div A⋆ · ∇u⋆ = f, (2.23) o` u la matrice A⋆ vaut

A⋆ =

αβ Id.

(2.24)


51

Preuve de la Proposition 2.16 : Il est clair que la matrice Aε que nous avons construite remplit les conditions de la Proposition 2.12. Il existe donc une matrice homogénéisée A⋆ , et il s’agit maintenant de la déterminer. Soit λ ∈ IR2 et soit u une fonction de H 1 (Q) vérifiant les conditions périodiques au bord de Q et −div (A∇u) = div (Aλ), o` u A est bien sˆ ur la matrice Aε pour ε = 1. Notons v = ∇u + λ, qui est donc aussi périodique. On notera que < v >= λ car < ∇u >= 0 puisque u est périodique. Commen¸cons par montrer que nécessairement A⋆ < v >=< A v > .

(2.25)

Pour cela, on considère la suite uε = (λ, x) + ε u( xε ). En appliquant la Proposition 2.1, on sait que ∇uε (x) = v( xε ) converge faiblement vers < v > dans u uε L2 (Q). De même, u( xε ) converge faiblement vers < u > dans L2 (Q), d’o` 1 converge faiblement vers u0 (x) = (λ, x) dans H (Q). En utilisant le fait que −div (Aε ∇uε ) = −div (Aε v( xε )) = 0 et le Lemme 2.14, on sait que Aε ∇uε converge faiblement vers A⋆ ∇u0 = A⋆ λ = A⋆ < v >. D’autre part, en appliquant directement la Proposition 2.1 a` la fonction périodique Av on sait que Aε ∇uε = (Av)( xε ) converge faiblement vers < Av >. On a donc l’égalité (2.25). Revenons maintenant a` la matrice A particulière que nous avons choisie et qui modélise la structure en échiquier. Si on note σ la rotation d’angle π/2 dans le plan, il est clair que l’on a A(x)A ◦ σ(x) = αβ Id. On peut donc écrire A ◦ σ(x)v(σ(x)) = αβ(A(x))−1 v(σ(x)). On écrit alors A⋆ < v > = < Av > en vertu de (2.25) = < (Av) ◦ σ(x) > car σ ne change pas la moyenne Or div (A(x)(A(σ(x))v(σ(x)))) = αβdiv (v(σ(x))) = αβdiv (∇u(σ(x))) = 0, et rot (A(σ(x))v(σ(x))) = div (A(x)v(x)) = 0, par un calcul simple (exploitant le fait que l’on travaille en dimension 2 ) donc la fonction w(x) = A(σ(x))v(σ(x)) peut s’écrire w(x) = ∇h(x)+ < w > o` uh est périodique et vérifie div (Aw) = 0. Donc la relation (2.25) établie ci-dessus pour v peut s’appliquer aussi a` w pour avoir :

52


A⋆ < A(σ(x))v(σ(x)) >=< A(x)(A(σ(x))v(σ(x)) >= αβ < v(σ(x)) > . Donc A⋆ < v > = αβ(A⋆ )−1 < v(σ(x)) > = αβ(A⋆ )−1 < v > car σ ne change pas la moyenne. On a donc obtenu A⋆ λ = αβ(A⋆ )−1 λ pour tout λ ∈ IR2 , ce qui impose A⋆ = αβ(A⋆ )−1 , ⋆ 2 ce qui pour une √ matrice vérifiant (A x, x) ≥ c1 x pour tout x et c1 > 0 , ⋆ ♦ impose A = αβId.

Remarque 2.17. On notera dans la preuve ci-dessus que la détermination de A⋆ requiert, d’après la formule (2.25), deux calculs : pour < v >= (1, 0) et < v >= (0, 1) (les deux vecteurs de base de IR2 ), on doit déterminer A⋆ < v >. En fait, a` cause ici de la géométrie particulière du problème, la seconde partie de la preuve montre que ces deux calculs sont inutiles, et peuvent être évités par un petit raisonnement. Dans les cas plus complexes que nous verrons ci-dessous, on retrouvera le fait qu’il faut pour déterminer A⋆ , autant de calculs que de dimensions. Et dans ces cas plus compliqués, il n’y aura pas de “seconde partie de preuve”, basée sur une géométrie particulière, pour nous faire économiser ces calculs. Remarque 2.18. Le cas ci-dessus, qui est un authentique cas bi-dimensionnel en comparaison du cas lamellé vu précédemment, montre qu’à partir de la dimension 2, la géométrie entre en jeu. En dimension 1, seule la proportion des 1 matériaux compte (penser au calcul de < >), peu importe la manière dont a ils sont répartis. Ici, ce n’est plus le cas : le matériau lamellé et le matériau en échiquier peuvent être composés des mêmes matériaux en même proportion, ils ne conduisent pas a` la même matrice homogénéisée et donc au même comportement macroscopique. Cela donne naissance a` une question intéressante, à laquelle des recherches sont consacrées : étant donnée une proportion de matériaux constitutifs fixée, quelles sont les matrices homogénéisées qu’on peut obtenir, en faisant varier la répartition géométrique de ces matériaux.

2.3 Des cas plus compliqu´ es : la convergence ` a deux ´ echelles Jusqu’` a maintenant, la détermination de l’équation homogénéisée a pu se faire “simplement”. En fait, rares sont de tels cas. Dans la plupart des situations, la matrice homogénéisée ne s’exprime pas aussi simplement. Bien que l’on sache son existence, par la Proposition 2.12, il reste a` la déterminer de manière

2.3 Des cas plus compliqués : la convergence ` a deux échelles

53

explicite, ou en d’autres termes d’écrire le problème homogénéisé. Nous allons regarder une stratégie typique pour une telle situation, celle dite de la convergence ` a deux échelles, que nous mettrons en oeuvre sur le cas particulier périodique. Considérons un ouvert régulier Ω de IRN , et une matrice symétrique A carrée de taille N qui est supposée avoir ses coefficients bornés et périodiques au sens o` u la fonction y −→ A(y) est une fonction périodique de cellule de périodicité Y = [0, 1]N . Comme d’habitude, nous supposons que A vérifie la propriété (dite de coercivité ) (A(y)z, z) ≥ c z 2 pour une certaine constante c > 0 ne dépendant pas de z ∈ IRN et de y ∈ Y . Pour une fonction f appartenant disons a` L2 (Ω), nous voulons résoudre −div (A( xε ) · ∇uε ) = f, dans Ω, (2.26) uε = 0, sur ∂Ω, o` u ε est une petite constante. Plutˆ ot que d’attaquer directement la résolution numérique de (2.26) qui pourrait coˆ uter trop cher, nous nous proposons comme ci-dessus de déterminer un problème dont la résolution donnera une bonne idée de la solution uε de (2.26) pour ε petit. 2.3.1 L’Ansatz et le d´ eveloppement ` a deux ´ echelles Pour cela, nous commen¸cons par postuler une forme de uε (en analyse numérique comme en physique, un tel postulat s’appelle parfois un Ansatz ). Il s’agit d’écrire uε comme le développement en ε suivant : x x x uε (x) = u0 (x, ) + εu1 (x, ) + ε2 u2 (x, ) + ..., ε ε ε

(2.27)

o` u la fonction uk apparaissant a` l’ordre k en ε a été supposée dépendre de deux x variables, l’une macroscopique x, l’autre microscopique . Cette fonction est ε x de plus supposée être périodique de sa seconde variable y = , c’est-à-dire ε y −→ uk (x, y) est périodique de cellule Y = [0, 1]N .

(2.28)

Tout se passe comme si en chaque point macroscopique x on avait une modulation de la fonction uk (x, ·) due aux petites échelles présentes dans le problème au point x et représentées par la partie uk (·, xε ) de la fonction uk (penser par exemple, mais pas seulement, à un produit f (x)g( xε )). Injectons alors cette forme de fonction uε dans le problème (2.26) pour voir les conditions nécessairement vérifiées par les fonctions uk . Le calcul est un peu fastidieux, mais sans difficulté. On ne devra pas oublier que, par la règle de dérivation x des fonctions composées, quand on calcule le gradient de v(x, ), on a en fait : ε 1 x x u y= , (2.29) ∇ v(x, ) = (∇x v)(x, y) + (∇y v)(x, y), o` ε ε ε

54


et o` u on a symboliquement noté ∇x et ∇y les dérivées partielles de v(x, y) respectivement par rapport a` son premier argument x et son second y (Bien noter ∂ ∂ , ..., )). que chacune est un N -uplet de dérivées partielles du type ( ∂x1 ∂xN Nous avons donc : −div (A(y) · ∇uε ) 1 = − 2 divy (A(y) · ∇y u0 (x, y)) ε 1 − divx (A(y) · ∇y u0 (x, y)) + divy (A(y) · ∇x u0 (x, y)) ε +divy (A(y) · ∇y u1 (x, y)) − divx (A(y) · ∇x u0 (x, y)) + divy (A(y) · ∇x u1 (x, y)) +divx (A(y) · ∇y u1 (x, y)) + divy (A(y) · ∇y u2 (x, y)) +O(ε).

(2.30)

1 Imposer (2.26) revient donc a` exiger d’abord que le coefficient de 2 soit nul, ε i.e. (2.31) divy (A(y) · ∇y u0 (x, y)) = 0. Ceci impose ∇y u0 (x, y) = 0. En effet, on c

Y

(2.32)

a ∇y u0 (x, y)2 ≤

Y

=− +

(A(y)∇y u0 (x, y), ∇y u0 (x, y)) dy

Y

par coercivité de A divy (A(y) · ∇y u0 (x, y)) u0 (x, y) dy

∂Y

(A(y) · ∇y u0 (x, y)) · n u0 (x, y),

o` u le premier terme est nul a` cause de (2.31) et le second terme est nul en raison de la périodicité de u0 (x, y) par rapport a` y. Dans la formule ci-dessus, n désigne bien sˆ ur la normale unitaire sortante sur ∂Y . La formule (2.32) signifie que la fonction u0 ne dépend en fait que de la variable macroscopique x : (2.33) u0 = u0 (x). A l’ordre

1 maintenant, on obtient, en utilisant l’information précédente : ε


55

−divy (A(y) · (∇x u0 (x) + ∇y u1 (x, y))) = 0. L’équation vérifiée par la fonction u1 est donc −divy (A(y) · (∇x u0 (x) + ∇y u1 (x, y))) = 0, dans Y, périodique au bord ∂Y. u1 (2.34) Si l’on suppose connaˆıtre u0 (que l’on déterminera en fait dans un instant, voir ci-dessous), la solution de cette équation est en fait entièrement déterminée explicitement. Il s’agit de u1 (x, y) =

N ∂u0 i=1

∂xi

(x)wi (y),

pour les wi fonctions solution des problèmes dits sous-maille −divy (A(y) · (ei + ∇y wi (y))) = 0, dans Y, périodique au bord ∂Y. wi

(2.35)

(2.36)

o` u ei , i = 1, ...N désigne le i-ème vecteur de base de IRN . Remarque 2.19. En fait, comme seulement la dérivée ∇y u1 (x, y) intervient dans (2.34) et pas la fonction u1 (x, y) elle-même, l’équation a` donnée au bord a l’addition d’une fonction périodique (2.34) ne détermine u1 selon (2.35) qu’` v(x) de la seule variable x près (de même dans (2.36) les wi peuvent être décalées d’une constante en y). Mais on peut toujours supposer cette fonction v(x) identiquement nulle, d’o` u la définition (2.35). Ceci ne modifie pas2 l’expression de la matrice homogénéisée A⋆ (v(x) disparaˆıt immédiatement dans (2.37)) ci-dessous, et donc la valeur de u0 . De même, il faut en toute rigueur prendre en compte cette fonction dans le développement (2.27) si l’on cherche à calculer mieux que le seul ordre zéro en ε. On se reportera a` ce sujet à l’Exercice 2.27 et à la discussion de la Section 2.3.4. Exercice 2.20. Vérifier que si wi est solution de (2.36), alors u1 donné par (2.35) est bien l’unique solution (` a l’addition d’une fonction de x près) de (2.34). Remarque 2.21. L’équation (2.34) qui définit u1 , et qui, on le verra, va permettre de définir la matrice homogénéisée A⋆ est vue ici comme une équation x (paramétrée en x) de la variable y. Si on se souvient que y = , elle est ε 1 donc, en toute rigueur, posée sur le domaine Ω. En la considérant comme ε paramétrée par x et posée pour y ∈ Y , on fait le triple raccourci suivant : 2

Pour le lecteur exigeant, il est bon de savoir que, dans le cas de l’homogénéisation non périodique, il n’est pas évident (et il peut s’avérer faux) de négliger cette fonction v(x). Ici, dans le cas de l’homogénéisation périodique, on bénéficie d’un cadre particulièrement simple.

56


(i) on désolidarise x de y, alors qu’ils sont liés par y =

x , ε

1 (ii) on assimile Ω à IRN , de sorte que (2.34) devient posée sur l’espace tout ε entier, (iii) puis on fait usage de la périodicité postulée en (2.28), et on ramène cette équation sur la seule maille Y . Aucun de ces trois raccourcis n’est en fait évident. Ils sont validés par la phase de “remontée”, qui consiste en la preuve mathématique (que nous ne ferons pas ici en toute généralité, mais seulement en dimension 1) du fait que le développement que nous allons trouver est en fait le bon. Dans des cadres différents de celui de l’homogénéisation périodique avec donnée de Dirichlet au bord, ces points (i)-(ii)-(iii) peuvent poser problème. Sans aller dans de tels développements, il est bon de garder en tête que, structurellement, l’équation (2.34) est en fait posée sur un très grand domaine3 (voire sur tout l’espace), et que c’est seulement la périodicité qui la ramène ici à un problème posé sur une maille périodique. Il nous reste maintenant a` déterminer u0 . Pour cela, on retourne au développement (2.30) et à son terme d’ordre 0 qu’on doit donc égaler à f pour que (2.26) soit vérifiée : −divy (A(y) · (∇x u1 (x, y) + ∇y u2 (x, y))) = divx (A(y) · (∇y u1 (x, y) + ∇x u0 (x))) + f, (2.37) assorti des conditions de périodicité au bord de Y pour la fonction u2 . Remarquons alors qu’une condition nécessaire (et en fait suffisante) pour que la fonction u2 existe et soit périodique est que l’intégrale du membre de gauche sur la cellule de périodicité Y soit nulle. En effet, si g est une fonction périodique a` valeurs vectorielles, on a g(y) · n = 0, par périodicité. div g(y) dy = ∂Y

Y

Donc l’intégrale du membre de droite de (2.37) est aussi nulle ce qui se traduit par −divx A(y) · (∇y u1 (x, y) + ∇x u0 (x)) dy = f (x) Y

puisque l’intégrale en la variable y “traverse” la dérivation en x.

Compte-tenu de la valeur déterminée (2.35) de u1 en fonction des wi , on obtient 3

Et ceci est normal car, ` a l’échelle microscopique, le domaine macroscopique est immense !


−divx

Y

N ∂u0

A(y) ·

(x)(∇y wj (y) + ej ) dy = f (x).

∂xj

j=1

57

(2.38)

A ce stade, on remarque

Y

A(y) · =

N ∂u0 j=1

Y

∂xj

A(y) ·

(x)(∇y wj (y) + ej ) dy

N

(∇u0 (x))j (∇y wj (y) + ej ) dy

j=1

N = (∇u0 (x))j A(y) · (∇y wj (y) + ej ) dy Y

j=1

=

N N N i=1

=

j=1 k=1

N N i=1 ⋆

Aik (y)(∇y wj (y) + ej )k dy (∇u0 (x))j ei

Y

A⋆ij (∇u0 (x))j

j=1

ei

= A · ∇u0 (x) o` u les termes de la matrice A⋆ sont donnés, pour i, j = 1...N par A⋆ij =

N

k=1

=

Y

Aik (y)(∇y wj (y) + ej )k dy

Y

(A(y) · (∇y wj (y) + ej ), ei ) dy.

(2.39)

En fait, on peut montrer (voir l’Exercice ci-dessous) que les coefficients de A⋆ peuvent s’écrire A⋆ij = A(y)(ei + ∇y wi ), (ej + ∇y wj ) dy. (2.40) Y

L’équation (2.38) peut en fait se récrire sous la forme du problème homogénéisé −div (A⋆ · ∇u0 ) = f, dans Ω, (2.41) u0 = 0, sur ∂Ω,

Exercice 2.22. En utilisant le caractère symétrique de A et la définition (2.36) des wj , montrer dans le détail comment on passe de (2.39) à (2.40). A ce stade, nous avons donc déterminé les deux premiers termes u0 et u1 du développement limité de uε en fonction de ε. Dans l’ordre,

58


(i) on détermine wi par résolution des problèmes sous-maille (2.36) sur la cellule de périodicité (ii) on calcule les termes de la matrice A⋆ par (2.40) (iii) on résout le problème homogénéisé (2.41) pour trouver u0 (iv) on calcule u1 par (2.35), si on souhaite avoir le terme d’ordre 1 (v) on peut ensuite résoudre (2.37) si on souhaite le terme suivant du développement, et ainsi de suite... Notons que les étapes [i] et [ii] sont les précalculs qui permettent comme dans les cas plus simples des sections ci-dessus de déterminer les termes de la matrice homogénéisée A⋆ . On voit que, cette fois, ce précalcul est en fait la résolution d’un ensemble de problèmes aux limites (en fait autant que de dimensions) et pas seulement un “simple” calcul de moyenne d’une fonction périodique. De tels calculs, plus l’assemblage de la matrice A⋆ , ne sont pas gratuits ! Il faudra bien en être conscient avant d’entamer cette stratégie de passage à la limite. Remarque 2.23. On reviendra utilement a` la Remarque 2.17. Remarque 2.24. En fait, on est ici dans un cas simple car l’hypothèse de périodicité faite sur A entraˆıne que la détermination de A⋆ ne dépend en fait pas du point macroscopique x. Dans un milieu plus compliqué o` u on aurait une matrice A(x, xε ), on devrait résoudre les problèmes de type (2.36) en ur beaucoup plus cher, même chaque point x macroscopique4 . Ce qui est bien sˆ si on peut en fait faire cela en parallèle, et une seule fois pour tous les seconds membres f . Il est utile de remarquer que ce que nous avons obtenu a` la limite est en fait une hiérarchie d’équations ⎧ u0 en fonction de f et A⋆ via (2.41) ⎪ ⎪ ⎨ u1 en fonction de u0 via (2.34) u2 en fonction de u1 et u0 via (2.37) ⎪ ⎪ ⎩ ...

L’intérêt pratique est clair (même si on le répète tout n’est pas gratuit dans cette approche) : on n’a pas à discrétiser le domaine de départ avec une échelle aussi fine que ε dans un calcul couplé avec l’échelle 1. Il s’agit d’un précalcul (la résolution de (2.36) a` une échelle fine) qui est ensuite injecté dans le calcul avec maillage grossier (2.41) via la formule (2.40). En résumé, en résolvant d’abord les N problèmes (2.36) sur la maille, on est en mesure d’obtenir pour tous les seconds membres f , une bonne approximation de la solution uε de (2.26) rien qu’en résolvant (2.41) a` l’échelle 1. 4

En un certain sens, cette observation prépare ce que nous verrons au Chapitre 4.


59

Α∗=...

−div(Α∗(x) grad u*)= f Fig. 2.3. En chaque maille de taille macroscopique, on résout le problème sousmaille pour déterminer les termes de la matrice homogénéisée.

Autrement dit, connaˆıtre uε à l’ordre 0 en ε (et en fait quasiment à l’ordre 1, modulo de subtiles questions de couche limite qu’on mentionnera rapidement plus loin) nous coˆ ute N + 1 calculs sur un maillage standard, au lieu d’un calcul sur un maillage de taille ε (qui certes nous donnerait uε a` tous les ordres). Et la situation est d’autant meilleure que l’on veut résoudre (2.26) pour beaucoup de seconds membres. Cependant, malgré cet évident succès, le lecteur doit garder a` l’esprit que premièrement, nous n’avons rien prouvé (tout le travail ci-dessus est à ce stade purement formel), et deuxièmement le passage à la limite brutal “on remplace ε par zéro” a ses propres carences. Dans les sections qui viennent, nous allons successivement regarder le travail effectué avec un point de vue sensiblement différent, le point de vue énergétique ou variationnel (Section 2.3.2), puis revenir, en Section 2.3.3, sur le cas monodimensionnel pour constater la consistance du travail effectué ici avec le travail effectué en Section 2.1. Ceci nous permettra aussi de fournir, en dimension 1, une preuve du fait que le développement effectué est le bon. Puis, au contraire, nous retournerons en Section 2.3.4 vers le cadre général de la Section 2.2.2 pour voir en quoi notre cas périodique rejoint ce cadre général, et en quoi le développement fait ici est mieux que formel. Pour tenter de répondre a` l’objection “ε n’est pas zéro”, nous allons rapidement esquisser ensuite en Section 2.4 des méthodes plus sophistiquées. 2.3.2 L’interpr´ etation ´ energ´ etique Commentons un peu la définition (2.40) de la matrice homogénéisée A⋆ avec le point de vue énergétique. En fait, parce qu’elle est symétrique, la matrice A⋆ peut de fa¸con équivalente être définie par

60


∀z ∈ IRN , z A⋆ z =

inf

Y

∇u périodique ∇u = z

(∇u(y) , A(y) · ∇u(y)) dy.

(2.42)

Y

En effet (on peut le montrer en exercice ; c’est facile en dimension 1, et c’est plus difficile en dimension quelconque), si ei est un vecteur de la base canonique, alors il est équivalent de considérer toutes les fonctions u, de gradient périodique, telles que

Y

∇u = ei et toutes les fonctions u s’écrivant u = xi +w

o` u w est une fonction périodique. Donc le problème de minimisation (2.42) se récrit dans ce cas inf ((ei + ∇w(y)) , A(y) · (ei + ∇w(y))) dy. (2.43) ei A⋆ ei = Y

w périodique

Or, par une preuve simple de calcul des variations, le minimiseur de ce problème (2.43) est exactement wi défini par (2.36), et vaut donc ei A⋆ ei = inf ((ei + ∇w(y)) , A(y) · (ei + ∇w(y))) dy Y

w périodique ((ei + ∇wi (y)) , A(y) · (ei + ∇wi (y))) dy. =

(2.44)

Y

On retrouve la formule (2.40) pour i = j. En calculant plus généralement x A⋆ x pour tout x, on peut reconstruire tous les coefficients et retrouver (2.40) pour tout i, j. D’un point de vue heuristique, en se souvenant que l’on est parti de la solution uε de (2.26) qui est aussi le minimiseur de x 1 (∇u(x) , A( ) · ∇u(x)) dx − f (x)u(x) dx, (2.45) inf 2 Ω ε Ω u ∈ H01 (Ω)

on constate qu’il est “naturel” que le problème de minimisation (2.42) entre en jeu. Ce que l’on a en fait montré, c’est que la solution homogénéisée u0 , approximation de uε minimiseur de (2.45) était le minimiseur de


1 2

inf u ∈ H01 (Ω)

inf

Ω

Y

∇v périodique ∇v = ∇u(x)

(∇v(y) , A(y) · ∇v(y)) dy

dx −

61

f u,

Ω

Y

(2.46) Ceci est l’interprétation variationnelle de la démarche que nous avons eue dans le langage des équations aux dérivées partielles. Elle peut être utilement rapprochée de ce que nous avons vu au premier Chapitre, et notamment de la formule (1.20). L’intégrande dans le premier terme de (2.46) est une fa¸con d’exprimer la densité d’energie macroscopique : il suffit de noter

(∇v(y) , A(y) · ∇v(y)) dy dx W (F ) = inf Y

∇v périodique ∇v = F (x) Y

On la calculera en résolvant le problème à l’échelle microscopique, comme on calculait au Chapitre 1 pour (1.20) {énergie du réseau cristallin placé en x et déformé par F (x)} laquelle était aussi, implicitement, un problème de minimisation. Remarque 2.25. Cette interprétation variationnelle, symbolisée par la formule (2.46), est en fait plus générale que l’interprétation EDP que nous avons présentée précédemment (sous réserve, bien sˆ ur, d’avoir dans le problème une énergie sous-jacente, c’est-à-dire, dans le cas quadratique, une matrice symétrique). Elle permet alors de traiter des cas plus compliqués que le “simple” cas périodique que nous traitons ici, comme des fonctionnelles d’énergie non quadratiques, des coefficients aléatoires,... Une écriture plus générale (un peu formelle) de la formule (2.46), et qui permet d’ailleurs d’encore mieux comprendre ce qui a été fait ici, est la suivante :

1 inf Energie de ∇v dx − f u, inf 2 Ω Ω u ∈ H01 (Ω)

∇v = ∇u(x)

(2.47) o` u le signe · désigne la moyenne sur un élément représentatif (dans le cas ·(y) dy). périodique, il s’agit de l’intégrale sur la cellule de périodicité · = Y

De plus, cette approche est intimement liée à la théorie dite de la Γ convergence, qui permet de définir la limite d’une suite de problèmes de minimisation, et de reconnaˆıtre cette limite comme un nouveau problème de minimisation.

62


2.3.3 Retour sur le cas monodimensionnel A ce stade, il est utile de revenir en détail sur le problème monodimensionnel (2.1). A la Section 2.1, nous avons vu que le problème homogénéisé correspondant s’écrit (2.6), a` savoir −

d ⋆ 1 d ( u ) = f, dx < a1 > dx

assorti des conditions aux limites u⋆ (0) = u⋆ (1) = 0. La limite de uε est : 1 u =< > a ⋆

−x

x

f (t) dt +

x

tf (t) dt + x

0

0

0

1

f (t) dt −

1

tf (t) dt

0

,

(2.48)

de dérivée 1 (u ) =< > a ⋆ ′

−

x

f (t) dt + 0

0

1

f (t) dt −

1

0

tf (t) dt

.

(2.49)

Alternativement, le résultat de la méthode de convergence à deux échelles de la Section 2.3 nous enseigne que, si le développement est bon, alors le terme d’ordre zéro en ε est solution de (2.41), qui s’écrit ici

−

d ⋆ d (a u0 ) = f, dans [0, 1], dx dx u0 = 0, en 0 et 1,

o` u le coefficient homogénéisé a⋆ s’exprime selon (2.40) et donc ici a⋆ =

1

a(y)(1 + w ′ (y))2 dy,

(2.50)

0

et o` u la fonction w (il n’y en a qu’une ici puisqu’on travaille en une dimension) est solution de (2.36), ici ⎧ d ⎨ d w(y))) = 0, dans [0, 1], − (a(y)(1 + dy dy ⎩ w périodique de période 1. On déduit de cette équation que a(y)(1 +

d w(y)) = constante, dy

et on identifie la constante en imposant la condition périodique w(0) = w(1), a(y)(1 +

1 d . w(y)) = dy < a1 >

(2.51)


63

Plus explicitement, la valeur de la fonction w (définie on le rappelle a` une constante additive près en y) est donc y 1 1 (2.52) w(y) = −y + < a1 > 0 a de dérivée w′ (y) = −1 +

1
a(y)

(2.53)

En injectant (2.53) dans (2.50), on trouve la valeur du coefficient homogénéisé 1 1 1 1 1 dy = a(y) 1 2 a(y)(1 + w ′ (y))2 dy = a⋆ = 2 < a > a(y) < a1 > 0 0 qui est bien la valeur trouvée à la Section 2.1. Il s’ensuit évidemment que la fonction u⋆ est bien égale à u0 , et donc la Section 2.1 prouve que le développement à deux échelles est au moins correct pour son ordre zéro, a` savoir que uε converge faiblement vers u0 dans H 1 ([0, 1]). C’est le seul exemple o` u nous pourrons effectivement prouver cela dans ce cours. Soyons curieux. La convergence de uε vers u0 est-elle forte dans H 1 ? Cela revient a` se poser la question suivante : la dérivée (uε )′ tend-elle fortement vers (u0 )′ dans L2 ([0, 1]) ? L’intérêt de la dimension 1 est que nous pouvons tout calculer explicitement. Ainsi, il est possible en suivant la démarche de la preuve de la Proposition 2.3, de résoudre (2.1) pour chaque ε > 0 et de trouver

x x t x 1 t′ 1 t ε ( ) dt + ( ) dt′ f (t) dt (2.54) f (t) dt u (x) = − cε + a ε a ε 0 0 0 0 o` u la constante cε (celle de (2.7)) vaut 1 1 t 1 1 t′ 1 t ( ) dt ( ) dt′ f (t) dt f (t) dt + − 0 0 0 a ε 0 a ε . cε = 1 1 t ( ) dt 0 a ε

(2.55)

La dérivée (uε )′ est bien entendu donnée par (2.7). Formons alors la différence (uε )′ − (u0 )′ et évaluons-la :

x 1 1 x f (t) dt (uε )′ − (u0 )′ = − ( )+ < > cε + a ε a

0 1 1 1 f (t) dt − tf (t) dt . − < > cε + a 0 0 Le second terme du membre de droite est une constante réelle qui tend vers 0 avec ε. En effet, nous remarquons alors que

64


cε +

0

1

f (t) dt −

1

tf (t) dt =

1 0

t

0

0

1 1 t′ 1 t′ ( ) dt′ − t ( ) dt′ f (t) dt a ε 0 a ε , 1 1 t ( ) dt 0 a ε

o` u, en désignant par [y] la partie entière de y, t t 1 1ε ε 1 1 t′ 1 ′ ′ 1 t′ ′ ′ ′ ′ ( ) dt − t ( ) dt = ε (t ) dt − t (t ) dt ∞ a a ∞ 0 a ε 0 0 0 a ε L L t 1 ε 1 ε 1 −t + O(1) = ε 1 a ∞ [t] a [ ] ε

ε

L

= O(ε).

(2.56)

Nous avons donc cε +

0

1

f (t) dt −

1

tf (t) dt = O(ε).

(2.57)

0

Quant au premier terme, il tend faiblement vers 0 dans L2 par produit : la 1 1 x fonction ( )− < > converge faiblement vers 0 dans L2 , et la fonction a ε a x f (t) dt converge fortement dans L∞ , et ce vers la fonction

cε +

0

−

0

1

f (t) dt +

1

tf (t) dt +

0

x

f (t) dt.

0

Par conséquent, a` cause de ce premier terme, on retrouve que (uε )′ − (u0 )′ tend faiblement vers 0, et pas fortement. Pour s’en convaincre, il suffit de 1 1 x fixer une fonction f et de prendre un exemple de fonction ( )− < > qui a ε a converge faiblement et pas fortement vers 0. Obtenir une convergence forte de (uε )′ vers (u0 )′ dans L2 ([0, 1]) est précisément le but de la présence du terme d’ordre 1 dans le développement à deux échelles. Considérons en effet maintenant la différence x (uε (x))′ − (u0 (x) + εu′0 (x)w( ))′ , ε que nous évaluons


65

x x x ′ (uε (x))′ − u0 (x)+εu′0 (x)w( ) = (uε (x))′ −(1+w′ ( ))(u0 )′ −ε(u0 )′′ (x)w( ). ε ε ε (2.58) Le dernier terme vaut xε x 1 1 1 x ′′ ε(u0 ) (x)w( ) = −ε < > f (x) − + 1 ε a ε a 0 x 1 t 1 ( ) dt f (x), = −x < > + a 0 a ε

et est donc une fonction qui tend vers zero en norme L2 en O(ε) par le même raisonnement que pour (2.56). Et l’on peut donc récrire, en tenant compte de la valeur de 1 + w ′ ,

1 1 x ′ u′ (x) + OL2 (ε) (uε (x))′ − u0 (x) + εu′0 (x)w( ) = (uε (x))′ − 1 ε < a > a( xε ) 0

1 1 1 x tf (t) dt f (t) dt − = − ( ) cε + a ε 0 0 (2.59) +OL2 (ε). A cause de (2.57), nous avons donc maintenant bien la convergence forte de (uε (x))′ − (u0 (x) + εu′0 (x)w( xε ))′ vers 0 dans L2 , et donc x uε (x) − (u0 (x) + εu′0 (x)w( )) tend fortement vers 0 dans H 1 (Ω), (2.60) ε x (puisque le terme εu′0 (x)w( ) ne modifie pas la convergence L2 précédemment ε prouvée). Remarque 2.26. Nous retrouverons a` la Section suivante le fait qu’il est important d’obtenir une telle convergence forte. Exercice 2.27. En reprenant le détail des calculs précédents pour une fonction w s’écrivant y 1 1 w(x, y) = h(x) − y + 1 0 a (o` u h(x) est arbitraire), montrer que le fait qu’on ait pris dans la définition de w la “constante” d’intégration h(x) nulle ne modifie en rien la convergence (2.60). Pourquoi ne pas pousser l’analyse plus loin en se demandant : pouvonsnous dire a ` quel ordre en ε la convergence de (uε (x)) − (u0 (x) + εu′0 (x)w( xε )) vers 0 dans H 1 a lieu ? Encore une fois, comme nous disposons en dimension 1 des expressions explicites, il suffit de mener le calcul. Nous venons de montrer avec (2.59) et (2.57) que

66


x ε (u (x))′ − (u0 (x) + εu′0 (x)w( ))′ 2 = O(ε), ε L et en fait pas mieux que cela (Le vérifier en exercice). Avec un plus d’effort, on peut faire le même travail sur la fonction uε (x) elle-même. On a en effet x uε (x) − (u0 (x) + εu′0 (x)w( )) ε

x 1 1 1 t ( ) dt = − cε + f (t) dt − tf (t) dt 0 0 0 a ε

x t ′ 1 1 t ( ) dt′ − t < > f (t) dt, + a ε a 0 0 o` u chacun des deux termes est un O(ε) en norme L∞ (et donc en norme L2 ([0, 1])) en vertu de raisonnements déjà effectués ci-dessus. Nous avons donc x ε u (x) − (u0 (x) + εu′0 (x)w( )) 1 = O(ε). ε H

(2.61)

Au moins deux commentaires s’imposent à ce stade.

Premièrement, on n’a pas mieux que l’ordre ε. Il suffit pour le voir de choisir une fonction f et une fonction a non triviales particulières et de vérifier que la convergence est alors exactement d’ordre ε. Deuxièmement, on pourrait a` première vue être “dé¸cu” par cette convergence d’ordre ε. En effet, pour un développement limité “classique”, on s’attend typiquement a` ce que une différence v ε − v0 − εv1 soit d’ordre o(ε), voire O(ε2 ). Il ne faut pas se faire abuser ici ! Comme

u0 (x) +

′

x εu′0 (x)w( ) ε

x x = (u0 )′ (x) + (u0 )′ (x)w′ ( ) + ε(u0 )′′ (x)w( ), ε ε

le terme d’ordre 1 cache en fait un terme d’ordre 0 pour la dérivée (à cause de x l’argument dans w). La convergence à l’ordre o(1) pour la convergence H 1 ε est donc en fait le résultat naturel que l’on peut attendre, et une convergence à l’ordre O(ε) est donc un résultat non trivial5 . Remarque 2.28. Cette convergence à l’ordre ε ne sera en fait pas nécessairement vraie dans le cas général (voir la Section 2.3.4), en partie a` cause d’une difficulté due aux conditions aux limites, et reliée au point qui suit.

5

On pourrait cependant attendre O(ε2 ) pour la norme L2 .


67

Terminons cette section en signalant un point jusqu’ici passé sous silence. La fonction u0 (x) + εu′0 (x)w( xε ) approche bien uε , mais ne vérifie en fait pas la condition au bord de nullité en 0 et 1. Ici on peut encore faire le calcul et obtenir d’une part exactement 0 u0 (0) + εu′0 (0)w( ) = 0 ε et d’autre part u0 (1) +

1 εu′0 (1)w( ) ε

=0−

1

0

tf (t) dt

1 − < > +ε a

0

1 ε

1 , a

qui n’est pas exactement zéro en général mais est un O(ε) (encore par le même raisonnement que ci-dessus). Exercice 2.29. L’objet de l’exercice est de montrer la convergence forte de uε (x) − (u0 (x) + εu′0 (x)w( xε )) vers 0 dans L2 par une autre méthode que la méthode ci-dessus. Nous nous pla¸cons au stade o` u nous savons que (u ε (x))′ − x ′ 2 ′ (u0 (x)+εu0 (x)w( ε )) converge fortement dans L vers 0, et ce comme un O(ε). En intégrant alors cette fonction, et en utilisant notamment la remarque sur les conditions aux bords ci-dessus, conclure. Exercice 2.30. Montrer que si on avait une convergence o(ε) pour la norme H 1 alors la condition au bord devrait au moins être vérifiée à l’ordre o(ε) près. Vérifier que ce n’est pas le cas en général. 2.3.4 Retour sur le cadre g´ en´ eral Dans la section 2.3.1, nous avons seulement travaillé par conditions nécessaires, de manière formelle, sans nous préoccuper de notre bon droit quand nous utilisions des dérivées. Nous avons montré que si uε admet un développement limité du type (2.27) alors les premiers termes sont nécessairement donnés par les u0 et u1 déterminés ci-dessus. Dans le cadre monodimensionnel, nous avons pu fournir la preuve, mais en toute généralité, il reste à fonder ceci mathématiquement. Nous ne sommes malheureusement pas en mesure de faire ceci ici, préférant nous consacrer a` d’autres aspects. En fait, sous de bonnes conditions sur les données, on peut montrer que le développement (2.27) est · légitime, au sens o` u uε − u0 (·) − εu1 (·, ) tend effectivement fortement vers ε 0 dans H 1 . Cependant, dès l’ordre 1 en ε, et a fortiori pour les ordres suivants, la situation n’est pas simple, notamment car des couches limites aux bords du domaine rentrent en jeu. Ceci peut déjà se comprendre de la fa¸con suivante. Comme indiqué en fin de Section précédente, un point est passé relativement inaper¸cu dans notre analyse de la section 2.3.1 : la condition au bord uε = 0

68


est certes vérifiée par u0 , mais pas par u1 (voir la formule (2.35)), et donc pas · par u0 (·) + εu1 (·, ). Ainsi, en dimension 1, nous avons vu que la condition ε au bord n’était en général vérifiée qu’` a l’ordre O(ε). Il s’ensuit notamment (une preuve précise peut être faite) que la vitesse en ε pour la convergence · dans H 1 de la fonction uε − u0 (·) − εu1 (·, ) vers 0 n’est pas forcément celle ε attendue6 . Rappelons en effet que, par exemple, a` cause des propriétés de a constante mull’application Trace, la norme H 1 (Ω) sur le domaine majore (` tiplicative près) la norme L2 (∂Ω), et donc si la convergence au bord n’est pas bonne, la convergence de la dérivée sur tout le domaine ne peut pas l’être non plus. Un terme parasite dˆ u aux conditions aux limites apparaˆıt ainsi dans le développement limité (2.27), qu’il faut ainsi corriger. Aux ordres supérieurs, on anticipe de fa¸con analogue des difficultés certaines pour montrer la validité du développement (et il arrive effectivement qu’il soit faux). Quoi qu’il en soit, la convergence a` deux échelles développée ci-dessus est un moyen explicite de rendre forte une convergence faible H 1 , celle de uε vers u0 . De ce point de vue, il s’agit d’un cas particulier d’un résultat général que nous citons maintenant, et qui, comme annoncé, prolonge et complète les résultats de la Proposition 2.12. Dans cette dernière, la convergence H 1 de ′ uε vers u⋆ est faible (voir Figure 2.4), et donc on n’a pas convergence forte des dérivées, en particulier dans L1 et donc presque partout. Pour améliorer la situation, il faut adjoindre des termes correctifs a` u⋆ , comme nous l’avons fait en adjoignant εu1 à u0 dans le développement à deux échelles. Proposition 2.31. dite Th´ eor` eme des correcteurs Nous nous pla¸cons dans les conditions de la Proposition 2.12. Alors il existe N suites de fonctions ′ ziε dans H 1 (Ω) vérifiant ′

ziε et

ε′ −→0

⇀ 0, faiblement dans H 1 (Ω),

′ ε′ −→0 ′ −div Aε ei + ∇ziε −→ 0, fortement dans H −1 (Ω),

(2.62)

(2.63)

telles que

′ ′ ε′ −→0 ∇uε − Id + ∇z ε ∇u⋆ −→ 0, fortement dans (L1 (Ω))N .

(2.64)

Les fonctions zi sont dites les correcteurs, au sens o` u, grˆ ace ` a leur présence, ′ la formule (2.64) permet d’obtenir la convergence forte de la dérivée de u ε ⋆ vers celle de u . Nous ne démontrerons pas la Proposition ci-dessus, et renvoyons une fois de plus a` la bibliographie. Disons cependant que le début de la preuve consiste 6

√ Typiquement, on peut obtenir un ordre O( ε).


69

à construire “explicitement” les correcteurs en les définissant comme les solutions d’un problème du type ′ −div Aε ei + ∇ziε = 0, (2.65)

avec ziε ∈ H01 (Ω), puis a` vérifier que de tels ziε tendent effectivement faiblement vers 0 dans H 1 (Ω). En fait, les correcteurs permettent mieux que simplement corriger la convergence, car ils permettent aussi d’obtenir une expression de la matrice homogénéisée et donc de déterminer u⋆ . C’est l’objet du

Corollaire 2.32. Toujours sous les conditions de la Proposition 2.12, la matrice homogénéisée A⋆ s’exprime par ′ ′ (2.66) Aε Id + ∇z ε . lim A⋆ = faible dans (L2 (Ω))N ×N

Remarque 2.33. La convergence (2.64) est bien sˆ ur la généralisation de (2.60), laquelle est basée sur (2.58). Remarque 2.34. De même, (2.66) généralise (2.50) et aussi (2.39)-(2.39).

A ce stade, nous savons donc que grˆ ace à la résolution préalable des N problèmes du type (2.65), nous obtiendrons, pour chaque fonction f une bonne approximation de uε par la seule résolution du problème homogénéisé. Ceci est tout a` fait la situation constatée pour la convergence à deux échelles. Pour autant, il ne faut pas sombrer dans l’euphorie. En fait, l’expression (2.66) n’est pas vraiment explicite, car calculer cette limite n’est pas simple : il y a un produit de fonctions au membre de droite. Dans le cas périodique, la convergence à deux échelles pour le cas périodique rend cette formule vraiment explicite et indépendante de l’extraction. C’est ce que nous avons vu plus haut. On obtient d’un seul coup le correcteur et la matrice homogénéisée. En toute généralité, tout reste à faire ! Remarque 2.35. Pour être rigoureux, nous devrions préciser que l’expression (2.66) est bien une définition au sens o` u la valeur ne dépend pas du correcteur choisi, c’est-à-dire que quelles que soient les fonctions zi remplissant les conditions de la Proposition 2.31 le résultat sera le même. C’est en fait le cas, nous l’admettons en toute généralité, et l’exercice ci-dessous éclaircira la situation sur le cas de la dimension 1. Exercice 2.36. Sur le cas de la dimension 1, montrer que (2.66) est bien une définition légitime. Exercice 2.37. Reprendre le cas de la convergence à deux échelles sur le cas périodique de la Section 2.3.1 largement exploré ci-dessus : contruire des correcteurs, et montrer que l’expression (2.66) co¨ıncide bien avec l’expression (2.40).

70


uε

u*

u ε’

u*’

Fig. 2.4. A gauche, la limite u⋆ donne le comportement moyen de uε qui présente des oscillations d’amplitude ε a ` l’échelle ε. Pourtant, ` a droite, sa dérivée (u ⋆ )′ est une très mauvaise approximation de la dérivée (uε )′ (qui oscille avec une amplitude unité). u⋆ est peut-être la limite faible dans H 1 de uε , mais certainement pas la limite forte.

eme lecture : Vers des m´ 2.4 A lire en 2` ethodes multi´ echelles avanc´ ees Les difficultés soulevées ci-dessus soulèvent en fait la difficulté plus générale du calcul du comportement de uε “à tout ordre” c’est-à-dire pour ε petit mais non nul. Il est en effet clair que le passage à la limite que nous avons effectué en rempla¸cant ε par zéro peut être un peu troublant. Dans un problème donné, ε vaut par exemple 10−5 et pas zéro ! Evidemment, on peut, suivant la technologie développée à la section précédente, se dire que l’on va calculer ri-

2.4 A lire en 2ème lecture : Vers des méthodes multiéchelles avancées

71

goureusement le développement complet, c’est-à-dire comprendre précisément le comportement de uε quand il tend vers u0 , en calculant les correcteurs à tout ordre. Dans certains cas (comme le cas périodique), ces correcteurs sont explicites (quoique pas gratuits !), mais dans beaucoup de cas ils ne le sont pas, et les déterminer peut s’avérer dans la pratique aussi difficile que de résoudre le problème initial. Il y a donc de la place pour des stratégies alternatives : on peut imaginer que passer a` la limite ε −→ 0 n’est pas la seule stratégie numérique. Certaines techniques (tout a` fait dans l’esprit de celles de la Section 1.3) consistent a` gérer explicitement l’échelle ε conjointement a` l’échelle 1 (i.e. l’échelle macroscopique). L’idée est de s’inspirer du développement (2.27), sous sa forme uε (x) = u0 (x) + ε

N ∂u0 i=1

x (x)wi ( ). ∂xi ε

Certes ce développement n’est pas toujours correct en théorie, mais il suggère malgré tout de rechercher7 , pour ε fixé non nul, une approximation numérique de la solution uε comme superposition (et/ou produits) de fonctions oscillant à l’échelle 1 et à l’échelle ε. L’objectif est alors clair : il faut, d’une manière ou d’une autre, insérer dans l’espace d’éléments finis considérés à la fois des fonctions qui oscillent a` l’échelle 1 et des fonctions qui oscillent à l’échelle ε, pour avoir une chance de bien représenter la fonction uε , qui présente les deux comportements. Remarque 2.38. La démarche que nous employons, consistant à nous inspirer d’un développement théorique, non nécessairement rigoureux en théorie, pour en déduire une stratégie d’approximation numérique, qui elle sera rigoureuse, est très courante en analyse numérique. Si on utilise des fonctions oscillantes a` l’échelle ε génériques, il y a toutes les chances qu’il en faille un nombre énormément grand, et on est alors ramené à la difficulté mentionnée au début de chapitre : on se retrouve avec par exemple une base d’éléments finis de taille ε, ce qui est précisément ce qu’on voulait éviter. Si au contraire on particularise trop, et qu’on incorpore l’asymptotique de uε explicitement dans l’espace d’éléments finis, cela revient au cas de la · u u0 et section précédente, o` u l’on calcule uε sous la forme u0 (·) + εu1 (·, ) o` ε u1 sont définies par le problème homogénéisé et le problème périodique. Une idée naturelle est alors de rechercher un compromis entre les deux stratégies extrêmes ci-dessus. Il existe différentes fa¸cons de mettre en oeuvre cette idée. En premier lieu, on peut vouloir incorporer l’information a` l’échelle ε dans les fonctions de base éléments finis elle-même. Pour celà, on considère des 7

et ce même hors du cadre périodique de la Section précédente

72


· éléments finis qui vont jouer en fait le rˆ ole des fonctions wi ( ) de la section ε précédente. Brièvement dit, une des techniques consiste à mailler le domaine selon des mailles grossières (i.e. à l’échelle 1, par exemple en dimension 2 par des carrés (de sommets notés xj ) ce qui est bien adapté à la cellule de périodicité Y = [0, 1]2 ), et considérer comme espace d’éléments finis un espace de fonctions qui sont somme de deux types de fonctions : d’une part, les fonctions Q1 habituelles (notées ψi et vérifiant ψi (xj ) = δij ) et d’autre part des fonctions tests qui oscillent à l’échelle ε. Par exemple, on peut déterminer les fonctions ηiε solutions de −div (A( xε ) · ∇(ηεi + ψ i )) = 0, dans la maille de taille 1, ηεi = 0, au bord de la maille, puis poser ϕiε = ηεi + ψ i , qui est alors solution de ⎧ dans la maille de taille 1 ⎨ −div (A( xε ) · ∇ϕiε ) = 0, en les sommets xj , du carré ϕiε (xj ) = δij , ⎩ ϕiε est continu a` travers le changement de maille,

et utiliser la base des ϕiε comme base d’éléments finis. Cette base contient des oscillations à l’ordre ε, a` cause de la présence des ηεi ( ce sont elles qui · jouent en fait, pour ε = 0, le rˆ ole des fonctions wi ( ) de la section précédente, ε avec cet avantage supplémentaire qu’elles vérifient les bonnes conditions aux bords). La résolution numérique du problème original se présente alors encore en deux étapes : un précalcul o` u on évalue les ϕiε sur chaque maille, puis un calcul sur le maillage a` l’échelle 1 de la solution uε de l’équation développée sur les ϕiε . Une alternative, dans le même esprit mais avec une réalisation pratique un peu différente, est de considérer des fonctions de base à l’échelle ε qui sont périodiques. Plus précisément, on définit la solution φ(y, ε, t) de

−e−iεty divy (A(y) · ∇y (eiεty φ(y, ε, t))) = ε2 , sur la maille périodique Y, φ(y, ε, t) périodique au bord.

En échantillonnant φ(y, ε, t) pour différents t = tj , on construit une famille d’éléments finis φ(y, ε, tj ) à l’échelle fine. Ensuite, en faisant le produit tensoriel de cette famille par une famille d’éléments finis à l’échelle 1, on construit une base globale, dans laquelle on approchera uε . Une telle stratégie peut s’interpréter comme issue de la décomposition par transformée de Fourier x 1 (2.67) fˆ(t) eitx φ( , ε, t) dt, uε (x) = n/3 ε (2π) t∈IRn

2.5 Questions de couche limite

73

décomposition qui serait rigoureuse si on travaillait sur un domaine infini. La fonction φ(y, ε, t) apparaˆıt alors comme la réponse, à l’échelle ε, a` une excitation eitx à l’échelle 1. La solution uε est donc vue comme une fonction x ` valeurs dans les uε (x) = U ε (x, ), c’est-à-dire une fonction de la variable x a ε x fonctions de la variable . A ces deux niveaux, on utilise une base d’éléments ε finis différente. En allant une étape plus loin, on peut même construire une variante de cette technique : plutˆ ot que d’insérer directement les φ(y, ε, t) dans l’espace d’éléments finis à l’échelle ε, on se souvient seulement de la régularité de ces fonctions φ(y, ε, t) (elle se détermine par une analyse mathématique) et on choisit un espace d’éléments finis “classiques”, dont on choisit la forme et le degré en fonction de ce qui est attendu sur les φ(y, ε, t). L’espace d’éléments finis global est alors le produit tensoriel de deux espaces adaptés aux échelles respectives 1 et ε. Et on peut même, en allant encore plus loin dans l’efficacité, réaliser une très bonne approximation en effectuant un produit tensoriel “creux” (consistant à prendre seulement un sous-espace bien choisi du produit tensoriel). Quelle que soit leur déclinaison, toutes ces techniques “avancées” consistent peu ou prou a` remplacer le problème initial −div Aε (x)∇uε (x) = f , qui est multiéchelle mais fonction d’une variable seulement, par un problème variationnel, essentiellement a` une seule échelle, mais sur plusieurs variables (d’o` u par exemple un produit tensoriel d’éléments finis8 ). On peut donc les voir comme des techniques préférant gérer conjointement les échelles, que séquentiellement. Progressivement, on s’éloigne donc de la méthodologie initiale de ce chapitre, pour se rapprocher de techniques que nous verrons au Chapitre 4. Pour en savoir plus sur ces techniques multiéchelles qui sont actuellement en pleine évolution, nous conseillons au lecteur de se reporter a` la bibliographie de ce chapitre, qui servira de point d’entrée dans une littérature beaucoup plus large.

2.5 Questions de couche limite Dans les sections précédentes, nous nous sommes intéressés au cas o` u les petites échelles intervenaient uniformément sur tout le domaine, ce qui est le x cas pour un coefficient périodique oscillant vite a( ). Il arrive que l’intervenε tion des petites échelles du problème ne soit sensible que le long des parois du domaine. C’est par exemple le cas des couches limites dans les problèmes 8 Une autre approche encore consiste ` a introduire une somme d’espace d’éléments finis, comme dans les méthodes multiéchelles reliées ` a la technique d’éléments-bulles, voir les travaux de F. Brezzi, D. Marini, E. S¨ uli [17, 22].

74


de thermique ou de mécanique des fluides. Ainsi, on sait que dans certains écoulements de fluide, la viscosité du fluide ne joue en fait un rˆ ole que le long de la paroi (penser aux calculs d’épaisseur de couche limite que le lecteur a peut-être déjà rencontrés), alors que partout ailleurs, loin de la paroi, le fluide s’écoule comme s’il était parfait, i.e. sans viscosité. C’est un cas de ce type que nous allons regarder. Mais tout d’abord, donnons un aper¸cu sur les cas simples. 2.5.1 Deux cas simples Dans un certain nombre de problèmes, on s’attend sur le bord du domaine de calcul à l’existence d’une couche limite dans la solution uε d’épaisseur ηε liée à ε. Toujours pour des raisons d’efficacité, on ne souhaite pas réaliser la discrétisation de l’équation avec un pas de discrétisation h de l’ordre de ε mais bien plus grand que ε. Généralement, la couche limite d’épaisseur ηε est donc une petite partie de la première maille. La résolution aboutira donc sur cette première maille à une solution discrète fausse, et cela peut même polluer les mailles suivantes. L’idée simple est alors la suivante : éliminer la couche limite du domaine de calcul pour – ne pas avoir à la mailler finement, – ne pas avoir d’erreur quand on la maille grossièrement. La difficulté est bien sˆ ur qu’on dispose d’une condition sur le bord Γ du domaine physique et qu’il faut donc déterminer une condition équivalente au bord Γ˜ de la couche limite (voir Figure 2.5). Il nous faut donc résoudre d’une manière simplifiée à l’intérieur de la couche limite pour trouver la bonne condition a` mettre au bord Γ˜ . Nous raisonnons en dimension 1 pour simplifier, mais tout peut s’adapter sans problème aux dimensions supérieures pour des parois régulières en évoluant selon la normale a` la paroi. Notre cas d’école consiste à résoudre une certaine équation sur le segment [0, 1], pour des conditions aux bords de Dirichlet u(0) = u(1) = 0. On s’attend a` une couche limite au voisinage de 0+ . Le bord gauche du domaine physique est donc le point x = 0, et le bord de la couche limite est le point x = ηε . La stratégie la plus simple consiste à ne résoudre aucune équation que ce soit sur la couche limite, même pas une équation approchée, mais à seulement utiliser un simple développement de Taylor pour écrire uε (0) = uε (ηε ) − ηε et donc imposer uε (ηε ) − ηε

duε (ηε ) + o(ηε ), dx

duε (ηε ) = 0 dx

(2.68)


75

au lieu de uε (0) = 0. Cela fournit la condition au bord manquante pour la résolution du problème sur [ηε , 1]. Bien sˆ ur, ceci a le mérite de la simplicité, mais présente deux désavantages : – la validité du développement de Taylor suppose l’existence d’une dérivée seconde bien régulière de uε , – on ne peut pas attendre des miracles de cette technique puisqu’on n’utilise rien du problème sur [0, ηε ]. Une technique plus sophistiquée consiste donc – à d’abord résoudre une équation simplifiée sur le segment [0, ηε ] avec la duε (ηε ), qui donnée au bord uε (ηε ), de sorte de déterminer en sortie dx sera donnée (ou approchée) par une formule duε (ηε ) = g uε (ηε ) (2.69) dx qui peut être en particulier de la forme (2.68) mais pas seulement, – résoudre ensuite sur le segment [ηε , 1] avec la condition (2.69) au bord x = ηε . Les deux cas ci-dessus recouvrent par exemple les questions de couche limite pour les écoulements turbulents. Une formule de type (2.69) s’appelle alors une loi de paroi.

Fig. 2.5. Couche limite en 0+ : il s’agit pour bˆ atir une discrétisation efficace de déplacer le bord du domaine de calcul (ici le bord gauche en 0) pour éliminer la couche limite ; mais il faut aussi trouver la “nouvelle” condition à imposer sur le “nouveau” bord. On parle de condition équivalente.

Exercice 2.39. Comme exemple simple, considérons en 1D l’équation ⎧ d2 ⎪ ⎨ −ε2 2 uε + (1 + x2 )uε = 0, dx uε (0) = 1, ⎪ ⎩ uε −→ 0, quand x −→ +∞

76


sur la demie-droite x > 0. Pour éviter de devoir résoudre dans la couche limite au voisinage de 0+ , on veut trouver une condition équivalente. L’établir. 2.5.2 Couche limite rugueuse Nous étudions dans cette section le problème plus complexe de l’écoulement de fluide visqueux le long d’une paroi rugueuse. Pour les besoins de l’étude, nous supposons que les rugosités de la paroi sont périodiques. On se place en dimension 2. Les coordonnées sont (x1 , x2 ). Le fluide occupe un domaine, infini vers le haut, du demi plan supérieur x2 > 0. La paroi inférieure du domaine n’est pas exactement la droite Γ0 = {x2 = 0}. Elle n’en est pas très éloignée, mais c’est une courbe Γε présentant une périodicité à l’échelle ε dans le sens x1 et une “hauteur” ε dans le sens x2 . On se reportera à la Figure 2.6. Le domaine Ωε occupé par le fluide est délimité par la paroi Γε vers le bas et est infini vers le haut. On note par ailleurs Ω0 le demi-plan x2 > 0. L’écoulement stationnaire du fluide est supposé régi par l’équation de Stokes ⎧ ⎨ −ν∆uε + ∇pε = f dans Ωε div uε = 0 dans Ωε (2.70) ⎩ uε = 0 sur Γε .

La forme des aspérités de la paroi est, on l’a dit, périodique, de sorte que le domaine Ωε peut être découpé en une collection de domaines ε × Y accollés selon Ox1 . La cellule de périodicité (au sens des sections précédentes ) est donc le domaine Y : infini vers le haut, périodique de largeur 1 dans le sens x1 . Brutalement, une idée naturelle est de remplacer le domaine Ωε par le domaine Ω0 , ce qui revient a` supposer que la vitesse du fluide est nulle sur le bord x2 = 0 (on parle d’une condition de non glissement sur Γ0 ), alors qu’en fait elle est nulle sur la paroi rugueuse Γε . La vitesse obtenue par cette simplification est la solution u0 de ⎧ ⎨ −ν∆u0 + ∇p0 = f dans Ω0 div u0 = 0 dans Ω0 (2.71) ⎩ u0 = 0 sur Γ0 .

Pour des raisons d’origine physique que nous ne détaillons pas, mais qui rendent exactement le problème intéressant pour notre étude, nous regardons le problème dans le régime o` u la viscosité du fluide ν vérifie ν = µε avec µ constante fixe

(2.72)

lorsque ε tend vers zéro. Il s’agit donc d’une viscosité “petite”. Une deuxième hypothèse que nous ferons est de supposer que √ ∂u0 ∂ 2 u0 √ ∂ 2 u0 , ε , ε sont d’ordre O(1) en tous les points de Γ0 . ε ∂x2 ∂x22 ∂x1 ∂x2 (2.73)


77

Ω0

ε xY

Ω

ε

Γε Γ0

Fig. 2.6. Géométrie de la paroi rugueuse Γε . On a fait figurer la cellule de périodicité ε × Y . En première approximation, on remplacerait Γε par Γ0 . On va faire mieux.

Ces hypothèses correspondent à un écoulement non turbulent. Il est clair que l’approximation de uε par u0 est un peu brutale. Plus précisément, comme uε n’est pas nulle sur Γ0 mais y est approximativement nulle (` a l’ordre 1 en ε), on commet une erreur en approchant uε par u0 qu’il va nous falloir corriger. Voyons comment. Nous allons montrer la Proposition 2.40. La solution (uε , pε ) peut être approchée plus précisément par le couple (u1 , p1 ) solution du problème suivant : ⎧ −µε∆u1 + ∇p1 = f, dans Ω0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ div u1 = 0, dans Ω0 1 µ ∂u ⎪ + u11 = 0, sur Γ0 εµ ⎪ ⎪ ∂n v 1 ⎩ u2 = 0, sur Γ0

(2.74)

o` u le scalaire v est défini de la manière suivante : on cherche le seul triplet (v, v, q) tel que – v et q sont périodiques dans la direction x1 , a décroissance exponentielle quand – v − v et q et leurs dérivées sont ` x2 −→ +∞, y2 = ε et le couple (v, q) est solution du problème de Stokes suivant sur la cellule de périodicité Y ⎧ dans Y ⎨ −µ∆v + ∇q = 0, div v = 0, dans Y (2.75) ⎩ v = −y2 e1 , sur le bord des aspérités. Pour approcher la solution (uε , pε ) de (2.70), on procédera donc comme suit : – 1 - on déterminera la solution (v, q) (et v) du problème de Stokes sur la cellule de périodicité,

78


– 2 - on résoudra alors le problème de Stokes (2.74) sur le domaine Ω0 . Dans la suite de cette section, nous allons “justifier” cette Proposition 2.40. El´ ements de preuve de la Proposition 2.40 : Nous commen¸cons par écrire le développement ⎧ ⎨ uε (x) = u0 (x) + εuc (x, x ), ε ⎩ pε (x) = p0 (x) + εpc (x, x ), ε

(2.76)

dans l’esprit du développement à deux échelles que nous avons vu dans la section précédente. L’indice supérieur c figure la correction microscopique due à la couche limite. Dans notre cas, nous exigeons les propriétés suivantes sur le couple (uc , pc ) : les deux fonctions décroissent à vitesse exponentielle quand x1 x2 tend vers +∞, et sont périodiques en la variable . D’autre part, les ε ε 0 0 fonctions (u , p ) sont les corrections macroscopiques de premier ordre (en ε) x car elles ne dépendent pas de la variable rapide . ε Evaluons maintenant l’erreur que nous effectuons en rempla¸cant comme nous l’avons fait ci-dessus brutalement le couple (uε , pε ) par le couple (u0 , p0 ). Comme l’équation ne change pas et que seul change le bord, l’intégralité de l’erreur que nous commettons est due au fait que nous imposons a` tort u 0 (x2 = 0) = 0 au lieu de l’imposer le long de Γε . Or u0 (x1 , x2 ) = u0 (x1 , 0) + x2

1 ∂ 2 u0 ∂u0 (x1 , 0) + x22 (x1 , ζ(x1 , x2 )x2 )2 ,(2.77) ∂x2 2 ∂x22

∂ 2 u0 = O(ε) ∂x22 dès que x2 est de l’ordre ε (ce qui est le cas pour (x1 , x2 ) ∈ Γε ) au vu de l’hy∂u0 (x1 , 0) = 0, pothèse (2.73). De plus, comme u0 est nul sur Γ0 , on sait ∂x1 0 et en utilisant le caractère à divergence nulle de u qui se traduit par ∂u0 ∂u02 (x1 , 0) = − 1 = 0, cela entraˆıne donc ∂x2 ∂x1 pour un certain ζ(x1 , x2 ) ∈]0, 1[. Nous avons u0 (x1 , 0) = 0, et x22

∂u01 ∂u0 (x1 , 0) = (x1 , 0)e1 . ∂x2 ∂x2 En reportant ces résultats dans (2.77), on obtient u0 (x1 , x2 ) =

∂u01 (x1 , 0) x2 e1 + O(ε), ∂x2

(2.78)

pour tout (x1 , x2 ) placé sur Γε . C’est au premier ordre en ε l’erreur que nous avons commise en rempla¸cant uε par u0 .


79

Une récriture de la formule ci-dessus est u0 (x1 , x2 ) = ε

x2 ∂u01 (x1 , 0) e1 + O(ε), ∂x2 ε

(2.79)

∂u01 (x1 , 0) ∂x2 de la variable macroscopique x1 par une fonction de la variable microscopique x2 et périodique de la variable macroscopique x1 . Ceci donne l’idée de chercher ε la correction (uc , pc ) sous la même forme, à savoir ⎧ x ∂u01 x ⎪ c ⎪ (x1 , 0) (v( )− < v >), ) = (x, u ⎪ ⎨ ε ∂x2 ε (2.80) ⎪ 0 ⎪ ∂u x x ⎪ 1 ⎩ pc (x, ) = (x1 , 0) q( ), ε ∂x2 ε et fait apparaˆıtre au membre de droite un produit d’une fonction ε

o` u v(·) et q(·) sont périodiques (de période 1) en y, et o` u nous allons imposer (nous admettons que cette exigence est compatible avec ce que nous · · imposerons ensuite) que v( )− < v > et q( ) décroissent exponentiellement ε ε rapidement en y2 quand y2 −→ +∞. En reportant cette forme de (uc , pc ) dans (2.76) et en insérant (uε , pε ) ainsi obtenus dans l’équation de la première ligne de (2.70), on trouve (après un long calcul sans difficulté que le lecteur peut vérifier) x x ∂u01 (x1 , 0) [−µ∆v( ) + ∇q( ) ] −µε∆u0 + ∇p0 + ∂x2 ε ε

∂ 2 u01 x (x1 , 0), 0 · ∇ v( ) −2µε ∂x1 ∂x2 ε 2 0 x ∂ 3 u0 ∂ u1 x (x1 , 0), 0 − µε 2 1 (x1 , 0) v( )− < v > = f. +εq( ) ε ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2 ε (2.81)

Comme v et q sont exponentiellement décroissants par rapport a` la variable y 2 quand celle-ci tend vers l’infini, on sait que les termes de l’équation ci-dessus qui contiennent v et q sont exponentiellement petits quand ε tend vers 0. On admet qu’il en est de même pour les termes contenant des dérivées de v et q. L’ordre dominant est donc −µε∆u0 + ∇p0 = f, ce qui redonne la première ligne de (2.71). Ensuite, on utilise (2.73) pour affirmer que parmi les termes exponentiellement décroissants l’ordre dominant est x x ∂u01 (x1 , 0) [−µ∆v( ) + ∇q( )] = 0. ∂x2 ε ε

80


En effet, on peut considérer (le raisonnement est un peu formel) que 1 ∂u01 (x1 , 0) est exactement d’ordre √ , ∂x2 ε

(2.82)

1 au lieu d’être seulement O( √ ) selon l’hypothèse (2.73). De même, on ε considère que ∂ 3 u0 ∂ ∂ 2 u01 ∂ 2 u01 (x1 , 0) et 2 1 (x1 , 0) = (x1 , 0), 0 ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x1 ∂x2 1 sont exactement d’ordre √ . ε

(2.83)

On notera que la dernière quantité est une dérivée tangentielle le long de Γ0 et hérite donc des propriétés de la fonction sur cette même frontière. Ensuite, on admet que v, q, et leurs dérivées sont essentiellement tous du même ordre, de sorte que par leur multiplication, ils ne perturbent pas l’ordre en ε des quantités précédentes. En étudiant tous les termes restants de (2.81), on réalise alors bien que c’est le deuxième terme qui domine quand ε −→ 0. On choisit donc naturellement (v, q) tels que −µ∆v + ∇q = 0.

(2.84)

De la même manière, la seconde ligne de (2.70) s’écrit div u0 + ε divx uc = 0, c’est-à-dire div u0 +

x ∂ 2 u01 x ∂u01 (divy v)( ) + ε (x1 , 0) (v1 ( )− < v >1 ) = 0. ∂x2 ε ∂x1 ∂x2 ε

En raisonnant identiquement, on retrouve div u0 = 0, puis, a` l’ordre dominant en ε, (2.85) divy v = 0. Enfin, la condition au bord uε = 0 sur Γε se traduit par x x2 ∂u01 0 c (x1 , 0) e1 + v( )− < v > + O(ε) = 0, u + εu = ε ∂x2 ε ε o` u l’on a utilisé (2.78) pour évaluer u0 sur Γε . Pour tenter d’améliorer cette condition au bord, on pose donc x2 x v( ) = − e1 sur le bord Γε , ε ε de sorte que

(2.86)


u0 + ε uc = −ε < v >

∂u01 (x1 , 0) + O(ε), ∂x2

ce qui, on le notera, est un développement en puissance de √ premier terme est précisément d’ordre ε.

81

(2.87) √

ε puisque le

Si l’on résume les conditions imposées sur (v, q), nous avons exigé (2.84), (2.85), (2.86), ce qui donne bien (2.75). Nous admettons qu’il existe un unique couple (v, q) et une unique moyenne < v > tels que v, q soient solutions du système (2.75), avec les propriétés de décroissance et de périodicité annoncées dans la Proposition 2.40. Nous admettons de plus que nécessairement nous avons alors < v >= v e1 . L’idée est alors la suivante. Pour compenser le terme d’ordre ε dans (2.87), nous rempla¸cons le couple (u0 , p0 ) dans le développement (2.76) par le couple (u1 , p1 ) solution de la même équation de Stokes (2.74) a` savoir −µε∆u1 + ∇p1 = f, dans Ω0 (2.88) div u1 = 0, dans Ω0 mais cette fois avec la condition au bord u1 = ε < v >

∂u01 (x1 , 0) sur Γ0 . ∂x2

(2.89)

En reportant cette nouvelle valeur au bord dans le développement (2.77), on obtient cette fois à la place de (2.87) que u1 + ε uc = O(ε), ce qui gagne un ordre en

√

(2.90)

ε.

Le programme de travail est à ce stade le suivant : on résout le problème de Stokes (2.71) pour trouver (u0 , p0 ), puis le problème (2.75) sur la cellule de périodicité, et enfin le problème de Stokes (2.88)-(2.89) pour déterminer (u1 , p1 ). C’est clairement un peu trop lourd. Donc une astuce est de remplacer u0 par u1 dans les membres de droite de (2.89) et de (2.80), ce qui s’écrit u1 = ε v

∂u11 (x1 , 0) e1 sur Γ0 , ∂x2

(2.91)

ou encore comme la troisième ligne de (2.74). L’intérêt est que cette fois on peut oublier complètement le problème (2.71), et ne résoudre donc qu’en deux étapes au lieu de trois : la résolution du problème (2.75) sur la cellule de périodicité, puis la résolution du problème de Stokes (2.74) avec la bonne condition au bord. Ceci conclut la “preuve” de la proposition. ♦.

82


Remarque 2.41. Encore une fois, le lecteur peut constater qu’on suit les désormais habituelles deux étapes pour la résolution. Remarque 2.42. Dans la droite ligne de ce que nous mentionnons pour la convergence à deux échelles à la Section 2.3, insistons sur le fait que tout ceci est pour le moment un raisonnement formel. On a postulé une forme (2.76) avec (2.80) (un tel postulat s’appelle, on le rappelle, un Ansatz ). On a ensuite admis un certain ordre en ε pour chacune des fonctions dans les calculs, et on a donc proposé une équation pour u1 . Il resterait maintenant, pour être complet, à “remonter” le raisonnement, c’est-` a-dire a` considérer (u0 , p0 ) solution de (2.71) (dont il faudrait montrer qu’il obéit a` (2.73), (2.82), (2.83)), (v, q) solution de (2.75) (dont il faudrait montrer qu’il existe avec le bon comportement asymptotique), puis (u1 , p1 ) solution de (2.74), a` former (uc , pc ) via (2.80), puis vérifier que (uε − u0 − εuc , pε − p0 − εpc ) tend bien vers 0 quand ε −→ 0, avec un ordre en ε meilleur que la convergence de (uε − u0 , pε − p0 ) vers 0. Tout ce travail a été effectué (voir les références bibliographiques), mais il dépasse le cadre de ce cours. Il subsiste en fait une petite difficulté pratique pour mettre en oeuvre la résolution de (2.74). C’est l’objet de l’exercice suivant que d’identifier cette difficulté et une fa¸con de la contourner. Exercice 2.43. Réaliser la formulation variationnelle de (2.74). Montrer que pour v < 0, la forme bilinéaire n’est pas nécessairement coercive. En utilisant un développement de Taylor, montrer alors qu’on peut résoudre plutˆ ot ⎧ −µε∆u1 + ∇p1 = f, dans Ωδ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ div u1 = 0, dans Ωδ 1 (2.92) µ ∂u ⎪ + u11 = 0, sur Γδ εµ ⎪ ⎪ ∂n v+δ ⎩ u12 = 0, sur Γδ

o` u l’ouvert Ωδ a pour bord inférieur Γδ = δ e2 + Γ0 pour un certain δ > 0 bien choisi. Terminons par un commentaire qui réunit les deux paragraphes de cette section. On peut remarquer que dans (2.74) la condition au bord sur Γ0

µ 1 ∂u1 + u1 (x1 , 0) = 0 εµ ∂n v est équivalente par une simple application de la formule de Taylor a` l’ordre 1 à u1 (x1 , −ε v) = 0.

En d’autres termes, ceci n’est rien d’autre qu’une condition de non glissement de type u = 0, mais posée sur une paroi a` la hauteur −ε v. Tout le calcul précédent peut être vu comme une “simple” évaluation de la bonne hauteur a` laquelle placer cette paroi équivalente, exactement dans l’esprit des cas simples démontrés au début de cette section.

2.6 Quand ¸ca se passe mal ...

83

2.6 Quand ça se passe mal ... Pour terminer ce chapitre, citons un cas qui va montrer que tout ne se passe pas forcément aussi bien dans tous les cas que dans ce chapitre. En d’autres termes, montrons que la forme du problème obtenu par passage à la limite quand les petites échelles tendent vers zéro n’est pas forcément identique a` celle du problème original. Jusqu’` a maintenant quand on partait de −div (Aε · ∇uε ) = f,

(2.93)

on obtenait comme problème homogénéisé un problème −div (A⋆ · ∇u⋆ ) = f,

(2.94)

de même type avec A⋆ dépendant (certes plus ou moins simplement) de A. Nous allons ici considérer un cas o` u le problème homogénéisé obtenu n’est pas de même type que le problème original. A titre d’exemple, nous considérons un problème dépendant du temps (motivé en fait par des questions d’absorption en électromagnétisme), mais des exemples tout aussi convaincants pourraient être choisis sur des cas stationnaires, dans le cadre des milieux poreux ou de la physique des particules. Le problème d’évolution que nous étudions est le suivant ⎧ x ∂ ⎪ ⎨ uε (t, x) + a( )uε (t, x) = 0 pour t > 0 ∂t ε (2.95) ⎪ ⎩ ε u (t = 0, x) = v(x)

o` u v ∈ L2 ([0, 1]) est fixée, et a est une fonction périodique de la variable réelle, de période 1, vérifiant 0 < c1 ≤ a(x) ≤ c2 pour deux constantes ci ne dépendant pas de x quelconque dans IR. La solution de cette équation est connue et vaut x −ta( ) ε , u (t, x) = v(x) e ε

(2.96)

de sorte que u⋆ (t, x) = lim uε (t, x) = v(x) b(t), ε−→0

o` u

x −ta( ) ε =< e−ta > b(t) = lim e ε−→0

en utilisant de nouveau la Proposition 2.1 pour chaque t > 0 fixé. Il n’y a en général aucune raison qu’il existe un réel a∗ tel que ∗

b(t) = e−ta

(2.97)

84


uniformément en t > 0, et c’est d’ailleurs faux dès que a n’est pas une fonction constante. Et donc il n’est pas possible que la limite u⋆ vérifie une équation de même type que (2.95). En passant a` la limite ε −→ 0, la forme de l’équation a changé. Nous allons montrer (ici sur un cas simple de fonction a) que u ⋆ vérifie en fait une équation d’évolution avec retard du type t ∂ ⋆ u (t, x)+ < a > u⋆ (t, x) = K(t − s)u⋆ (s, x) ds, (2.98) ∂t 0 pour la même donnée initiale que (2.95), et pour une certaine fonction K = 0 que l’on peut déterminer explicitement d’après a (voir la formule (2.112) cidessous). Pour mener le calcul avec les outils les plus simples possibles (mais en fait le résultat qualitatif menant de (2.95) a` (2.98) est plus général que cela), nous allons choisir comme fonction a la fonction constante par morceaux a1 si x ∈ [0, α1 ], (2.99) a(x) = a2 si x ∈]α1 , 1], o` u a1 , a2 sont deux constantes strictement positives, α1 ∈]0, 1[, et on note désormais α2 = 1 − α1 .

Remarque 2.44. Pour montrer que l’équation (2.98) est vérifiée par u⋆ , on pourrait tout simplement calculer u⋆ , compte-tenu de l’expression (2.99) : u⋆ (t, x) = v(x) α1 e−ta1 + α2 e−ta2 ,

puis insérer brutalement ceci dans (2.98) et vérifier qu’il existe un K convenable (et qui est bien sˆ ur celui qu’on va trouver en (2.112)). La démarche qu’on va employer ici est plus générale.

Nous procédons de la fa¸con suivante. Vue l’expression (2.96), la suite uε (t, x) est bornée dans L∞ ([0, +∞[, L2 ([0, 1])) (ce qui signifie que la norme L2 en x de uε (t, ·) est bornée indépendamment de t ∈ [0, ∞[ et de ε). On peut donc supposer, quitte a` en extraire une sous-suite, qu’elle converge vers une certaine fonction u⋆ pour la topologie faible de cet espace fonctionnel, c’est-à-dire la topologie L∞ faible-⋆ en temps, et L2 faible en espace. Exercice 2.45. En fait, il n’y a pas besoin de l’expression (2.96) pour montrer que la suite uε (t, x) est bornée dans L∞ ([0, +∞[, L2 ([0, 1])). On peut en effet établir directement à partir de (2.95), ce qu’il est d’usage d’appeler une estimation a priori, c’est-à-dire montrer que la suite uε est bornée dans une certaine norme, sans pour autant calculer explicitement uǫ . En intégrant (2.95) contre une fonction bien choisie, mener a` bien cette estimation a priori. Nous intégrons alors l’équation (2.95) contre e−pt pour p > 0, faisant ainsi apparaˆıtre la transformée de Laplace ∞ e−pt uε (t, x) dt, pour x ∈ [0, 1], p > 0, (2.100) Luε (p, x) = 0

ε

de la fonction u .

2.6 Quand ¸ca se passe mal ...

85

Remarque 2.46. La transformée de Laplace est l’outil numéro un pour changer un problème d’évolution en temps en un problème stationnaire. Nous avons ∞

e−pt

0

x ∂ ε u (t, x) dt + a( ) ∂t ε

∞

e−pt uε (t, x) dt = 0,

0

i.e., par intégration par parties du premier terme x −v(x) + p Luε (p, x) + a( ) Luε (p, x) = 0, ε et donc l’expression

1

Luε (p, x) =

(2.101) x v(x). p + a( ) ε Pour p > 0 fixé, le passage à la limite ε −→ 0 donne donc la convergence faible dans L2 ([0, 1]) ε−→0

Luε (p, x) ⇀
v(x). p+a

(2.102)

Mais par ailleurs, nous savons déjà que uε converge faiblement vers u⋆ , et il s’ensuit que Luε converge faiblement vers Lu⋆ . En effet, si ϕ(x) est une fonction fixée de L2 ([0, 1]), nous avons

0

1

(Luε − Lu⋆ )(p, x) ϕ(x) dx =

0

ε−→0

1

∞

0

e−pt ϕ(x) (uε − u⋆ )(t, x) dt dx

−→ 0,

car la fonction e−pt ϕ(x) appartient a` L1 ([0, +∞[, L2 ([0, 1])). Nous avons donc, par unicité de la limite faible Lu⋆ =
v(x). p+a

(2.103)

Admettons alors pour un instant que u⋆ est solution de l’équation (2.98) pour une fonction K de la forme K(t − s) = α e−β(t−s) ,

(2.104)

o` u α et β sont deux constantes et o` u nous supposons β > 0. Effectuons alors une transformée de Laplace de (2.98) ; nous trouvons ∞ t α e−β(t−s) e−pt u⋆ (s, x) ds dt −v(x) + (p+ < a >) Lu⋆ (p, x) = 0

0

Par application du théorème de Fubini, le second membre s’écrit

86


∞ 0

t

α e−β(t−s) e−pt u⋆ (s, x) ds dt =

∞

∞

α e−β(t−s) e−pt u⋆ (s, x) dt ds, ∞

0 ∞ s = u⋆ (s, x) α eβs e−(β+p)t dt ds 0 s ∞ α ⋆ −ps u (s, x) e ds = β+p 0 α Lu⋆ (p, x). = β+p

0

Nous avons donc α ⋆ Lu (p, x) = 0, −v(x) + p+ < a > − β+p

(2.105)

et donc, vue l’expression (2.103),

1 α < >= 0. −1 + p+ < a > − β+p p+a

(2.106)

En regardant la limite p −→ 0 de cette équation, il est facile d’identifier que α vaut nécessairement le quotient β 1 α =< a > − 1 , β d’o` u, en reportant dans (2.106), (β+ < a >) p + p2 + β

1

= β + p. p+a

(2.107)

(2.108)

A ce stade, nous utilisons le fait que a est la fonction constante par morceaux donnée par (2.99), d’o` u la valeur de la moyenne
= + , p+a p + a1 p + a2

pour chaque p ≥ 0 fixé. De là, (2.108) devient

α2 α1 1 = β + p. + (β+ < a >) p + p2 + β p + a1 p + a2 < a1 >

(2.109)

(2.110)

Cette équation peut se mettre sous la forme d’une équation polynˆ omiale en la variable p, et l’on constate alors (voir l’Exercice 2.47 ci-dessous) que la valeur β=

< a2 > − < a >2 1 − 1

(2.111)

2.7 Bibliographie

87

est l’unique valeur rendant exactement l’égalité possible pour tout p > 0. Il est facile de voir (c’est l’objet de l’Exercice 2.48 ci-dessous) que cette valeur est bien strictement positive, ce qui est compatible avec l’hypothèse faite plus haut. Ceci marque la fin du raisonnement par conditions nécessaires. On conclut alors de la fa¸con suivante. On fixe β par (2.111) et ensuite α selon (2.107). On fixe

< a2 > − < a >2 t . (2.112) K(t) = (< a2 > − < a >2 ) exp − 1 − 1 On sait que la fonction Lu⋆ , transformée de Laplace de u⋆ limite faible de uε , est donnée par (2.103). Elle vérifie donc (2.105), puisque cette dernière s’écrit (2.106) et est équivalente ` a (2.110). Par ailleurs, la transformée de Laplace de la solution (notée momentanément9 u0 ) de (2.98) (toujours pour α, β, et K fixés comme ci-dessus) vérifie aussi (2.105). L’unicité évidente de la solution de (2.105) permet alors d’affirmer que Lu⋆ = Lu0 , i.e. L(u⋆ − u0 ) = 0, et donc u⋆ = u0 est bien solution de (2.98) pour la valeur de K donnée par (2.112). Exercice 2.47. Montrer dans le détail que (2.110) est possible pour tout p > 0 si et seulement si β est donné par (2.111). Exercice 2.48. Montrer que β donné par (2.111) est strictement positif. En déduire que le calcul menant de (2.98) a` (2.106) a bien un sens. Exercice 2.49. Montrer que si la fonction a est constante (i.e. a1 = a2 ) alors il n’y a pas de terme de retard dans (2.98). On retrouve alors la situation “miraculeuse” de (2.97).

2.7 Bibliographie La théorie de l’homogénéisation dont on a montré le B.A.BA et la convergence à deux échelles peuvent être lues dans le premier chapitre du livre G. Allaire [3], dans le livre d’E. Sanchez-Palencia [70], et dans F. Murat et L. Tartar [60], ces deux derniers auteurs étant deux des “pères fondateurs” de cette théorie. La convergence à deux échelles, initialement introduite dans [61], peut être lue pour le cas périodique dans l’article G. Allaire [4]. Pour la Proposition 2.16, et d’autres points de ce chapitre, on renvoie aussi au livre de V.V. Zhikov, S.M. Kozlov, O.A. Olejnik [84]. Pour les méthodes multiéchelles de la Section 2.4, on renvoie à Hou, Thomas Y. ; Wu, Xiao-Hui [46], A.M. Matache et Ch. Schwab [57], Ch. 9 on admet que cette solution existe pour v suffisamment régulière, ce qui peut être montré soit directement, soit en utilisant précisément la transformée de Laplace inverse de Lu⋆

88


Schwab [73], A.M. Matache et Ch. Schwab [58]. La section 2.5 s’inspire fidèlement d’une étude récente effectuée dans Y. Achdou, O. Pironneau, et F. Valentin [1] sur un cas plus compliqué que le problème de Stokes. Enfin, l’exemple de la Section 2.6 est classique, et par exemple tiré des travaux de F. Golse, voir [39] et ses références.

3 Simulation mol´ eculaire

Un système moléculaire est un exemple parfait de système multiéchelle. Il s’agit d’un assemblage de noyaux et d’électrons, dont les premiers sont lourds, et réagissent selon des constantes de temps “longues”, et les seconds sont légers et réagissent presque instantanément. Les premiers obéissent le plus souvent aux règles de la mécanique classique alors que les seconds doivent être modélisés à l’aide de la mécanique quantique. Aussi bien dans une modélisation stationnaire que dans une modélisation dépendante du temps, il faudra donc gérer les uns et les autres différemment, par deux physiques différentes, avec des échelles de temps et d’espace différentes. Nous verrons comment. De plus, un système moléculaire n’est jamais isolé, sauf dans les très rares cas d’un gaz à faible pression. Il est inclus dans une phase condensée, liquide ou solide, et la présence de cet environnement modifie bien sˆ ur son état et sa réponse à des sollicitations extérieures. D’o` u, en plus des deux échelles mentionnées ci-dessus, une troisième, plus macroscopique, qui va interagir avec les deux premières. Nous détaillerons ce qu’il en est pour l’exemple d’un système moléculaire en phase liquide. C’est le cas typique d’application de la biologie ou de la chimie du vivant.

3.1 Mod´ elisation d’un syst` eme mol´ eculaire 3.1.1 Les mod` eles complets Dans la grande majorité des cas, le comportement d’un système moléculaire est complètement décrit avec une excellente précision par l’équation de Schr¨ odinger qui lui est associée. Savoir exploiter cette équation permet donc en théorie de calculer toutes les propriétes (chimiques, mécaniques, optiques, magnétiques, ...) de ce système. Les modèles les plus sophistiqués sont dits ab initio parce qu’ils sont des modèles quantiques directement issus de l’équation de Schr¨ odinger. Les briques élémentaires de la matière sont à ce niveau de

90

3 Simulation moléculaire

description les noyaux atomiques et les électrons. La plus grande des échelles d’espace pertinentes est l’Angstr¨ om (10−10 mètre), taille typique d’un nuage électronique, alors que la plus petite est de l’ordre de 10−15 mètre, taille du noyau. La plus grande des échelles de temps est la femtoseconde (10 −15 seconde), échelle de la vibration d’une liaison moléculaire, alors qu’une structure électronique se met à jour en mille fois moins de temps. Ces modèles ab initio ne font intervenir que les constantes fondamentales de la physique et ne comportent donc aucun paramètre empirique. Ils permettent aujourd’hui d’effectuer des calculs sur l’état stationnaire de systèmes moléculaires comportant jusqu’` a 100 ou même 1000 atomes. Les calculs sur la dynamique sont très lourds mais deviennent accessibles ; ils restent cependant limités à des échelles de temps très courtes, de l’ordre de la picoseconde (10−12 s). Pour aller au-del` a et atteindre des échelles de temps plus longues (pour la biologie par exemple), on fait appel a` des modèles moins sophistiqués (qui ne seront pas abordés ici). Considérons un système moléculaire isolé formé de M noyaux et de N électrons. En mécanique quantique non relativiste, ce système est complètement décrit par une fonction d’onde ¯1 ; · · · ; x ¯M , σ ¯ M ; x1 , σ 1 ; · · · ; x N , σ N ) Ψ (t; x ¯1 , σ | , t d´ esignant la variable de temps, x ¯k et σ ¯k les variables de à valeur dans C position et de spin du k-ième noyau, xi et σi les variables de position et de spin du i-ième électron. Les variables x ¯k et xi sont des variables continues qui appartiennent a` IR3 ; les variables de spin rendent compte de l’état de spin de la particule ; ce sont des variables discrètes. ¯1 ; · · · ; x ¯M , σ ¯M ; x1 , σ1 ; · · · ; xN , σN )|2 D’un point de vue physique |Ψ (t; x ¯1 , σ représente la densité de probabilité de mesurer simultanément à l’instant t le ¯k et l’électron i en xi avec un spin σi pour tout noyau k en x ¯k avec un spin σ 1 ≤ k ≤ M et tout 1 ≤ i ≤ N . Pour avoir une réalité physique, une fonction Ψ (t, ·) doit vérifier a` tout instant t les deux propriétés suivantes : être normée pour la norme L2 , et respecter un principe d’indiscernabilité des particules identiques qui implique selon les cas une symétrie ou une antisymétrie de Ψ par rapport a` ses variables. On note H l’espace fonctionnel correspondant.

L’évolution en temps du système est régie par l’équation de Schr¨ odinger i

∂ Ψ = H Ψ, ∂t

(3.1)

dans laquelle l’opérateur N N M zk 1 1 ∆x¯k − ∆xi − 2 mk 2 |x −x ¯k | i i=1 i=1 k=1 k=1 zk zl 1 + + |xi − xj | |¯ xk − x ¯l |

H=−

M

1≤i<j≤N

1≤k 2000 pour les films plastiques. Lorsque N croˆıt, la température de fusion augmente et les propriétés polymériques s’affirment : elles commencent pour N = 100 et deviennent véritables pour N = 1000. Dans tous les cas, liquides ou solides, ce sont les longues chaˆınes qui donnent au matériau ses propriétés mécaniques spécifiques, franchement différentes des propriétés mécaniques d’un matériau constitué de molécules isolées. Ainsi, la longueur des chaˆınes empêche le matériau de s’ordonner parfaitement lors de la solidification, d’o` u une souplesse des matériaux solides polymériques a` cause des zones restées désordonnées (penser à un pneu) ; de même, les longues chaˆınes confèrent aux polymères liquides une viscosité de 6 à 8 ordres de grandeur supérieure à d’autres liquides (penser a` de l’huile de vidange). Pour les polymères en solution liquide, on aura le cas des bons solvants dans lesquels les polymères se gonflent (une peinture dans un dissolvant), et

134

4 Modèles micro-macro pour les fluides

celui des mauvais solvants dans lesquels les polymères se recroquevillent (une peinture dans de l’eau). Différents cas se présentent aussi du point de vue de la concentration de la solution. La solution peut être peu concentrée, et plus précisément, ce qui est le cas particulier que nous considérerons dans toute la suite, infiniment diluée, ce qui signifie que les chaˆınes polymériques qui “flottent” dans le solvant n’interagissent pas les unes avec les autres car elles sont loin les unes des autres. Ceci est clairement une restriction, une immense majorité des fluides polymériques “intéressants” étant ce qu’on appelle des polymères fondus, o` u la densité de polymères est beaucoup plus importante. Dans ce cas, la solution est suffisamment concentrée pour que les différentes chaˆınes s’interpénètrent. Les polymères fondus se comportent comme un plat de spaghettis entrelacés et la dynamique du fluide est alors franchement différente du cas que nous allons regarder ici. La modélisation d’une telle dynamique est basée sur le concept de reptation introduit par De Gennes : une chaˆıne polymérique rampe dans le tube formé par les chaˆınes qui l’entourent. Dans le cas des polymères concentrés, des modèles purement macroscopiques et des modèles micro-macro existent aussi. Il sont basés sur une physique un peu différente et certainement plus complexe, mais vont comporter des difficultés similaires pour la simulation numérique. Il est donc légitime de traiter dans ce cours introductif des solutions infiniment diluées. Dans le cas des solutions concentrées, on peut alors éventuellement créer des liaisons (des ponts) entre les chaˆınes : on parle de polymères réticulés. Si le taux de réticulation est suffisant, il se forme alors un véritable réseau qui a une résistance mécanique et se comporte comme un solide. Le solvant exerce une pression sur le réseau, le maintenant en l’état, et réciproquement, le réseau emprisonne le solvant, l’empèchant de couler. Ainsi, un exemple de polymère modérément réticulé est l’élastomère du matériau caoutchouteux constitutif des pneus (le solvant est le polymère lui-même), et un exemple de polymère très réticulé est une résine, un plastique rigide. L’étude des matériaux caoutchouteux des pneus peut aussi être abordée par des méthodes micro-macro, à la fois dans l’esprit de celles décrites dans ce chapitre et se rapprochant aussi des méthodes du Chapitre 1. Focalisons-nous maintenant sur la modélisation micromacro d’une solution polymérique infiniment diluée. En chaque point macroscopique x du fluide, on regarde donc avec une “loupe” (voir Figure 4.1), pour tenter d’évaluer la contribution τp au tenseur des contraintes qu’apporte la présence de chaˆınes polymériques qui s’agitent dans le fluide. Chimiquement, une chaˆıne polymérique est, on l’a dit, une longue chaˆıne, comme par exemple le polyéthylène (CH3 ) − (CH2 )n − (CH3 ). Pour nous, une chaˆıne polymérique est modélisée comme un objet de la Figure 4.2. On la voit donc comme un objet purement mécanique. On oublie ici les subtilités liées à sa structure électronique, a` sa modélisation quantique, etc... toutes

4.2 Modélisation micro-macro des fluides polymériques

135

subtilités qui ne peuvent raisonnablement pas être prises en compte dans la simulation macroscopique pour des raisons évidentes de coˆ ut calcul, et dont il n’est d’ailleurs pas évident qu’elles aient réellement un impact sur les phénomènes qu’on regarde dans ce chapitre.

Fig. 4.1. En chaque point de la trajectoire d’une particule fluide se trouve une collection de chaˆınes polymériques

u2

θ,φ

u 1

r

Fig. 4.2. Une chaˆıne polymérique : les uj sont les vecteur de liaisons entre les différents “atomes”, chacun a un couple d’angles (θi , ϕi ), et fait une longueur a ; le vecteur bout-` a-bout est r.

La configuration d’une chaˆıne est donc donnée par une collection de positions des “atomes” qui la composent, ou alternativement par une collection de longueurs interatomiques et d’angles dans l’espace. Chaque “atome” est composé d’une vingtaine de monomères, et donc de plusieurs centaines d’atomes au sens chimique du terme.

136


Sous l’effet des forces mécaniques présentes dans le fluide, mais aussi sous l’effet de l’intense bombardement moléculaire auquel la chaˆıne est soumise de la part des molécules qui composent le solvant, la chaˆıne s’agite et se déforme. Les angles entre liaisons changent, les liaisons s’allongent, et dans des situations extrèmes, les chaˆınes peuvent même se casser. La contribution au tenseur des contraintes τp (t, x) est la résultante de la réaction de chaque chaˆıne a` ces sollicitations, sommée sur le nombre considérable de chaˆınes polymériques présentes au point macroscopique x. Explicitons cela. 4.2.1 Le mod` ele de la chaˆıne libre Il n’est pas raisonnable de vouloir traiter explicitement la dynamique de chaque chaˆıne et d’ensuite sommer sur toutes les chaˆınes. Il vaut mieux raisonner en termes de physique statistique, c’est-à-dire choisir un représentant de l’ensemble des chaˆınes, regarder son évolution, et effectuer une moyenne. Autrement dit, en chaque point x on introduit une densité de probabilité ψ qui est définie sur l’espace (l1 , l2 , ..., lN −1 , θ1 , ϕ1 , ..., θN −1 , ϕN −1 ) des longueurs atomiques et angles de la chaˆıne type. Ainsi ψ(l1 , l2 , ..., lN −1 , θ1 , ϕ1 , ..., θN −1 , ϕN −1 )

(4.14)

sera la probabilité que la chaˆıne ait pour longueur interatomique entre ses atomes 1 et 2 la longueur l1 , etc... Nous allons alors écrire une équation d’évolution sur cette probabilité ψ, équation qui tiendra compte de l’environnement de la chaˆıne. On exprimera alors la contribution au tenseur des contraintes comme la somme pondérée par ψ de la réponse de la chaˆıne dans chacune de ses configurations. Mettons en oeuvre cela sur un cas simple. On suppose désormais que la chaˆıne est un assemblage linéaire de N boules (ses atomes) reliées entre elles par des tiges sans masse (les liaisons). Signalons tout de suite que les boules pouvent aussi bien représenter des “atomes” que des groupes d’ ”atomes” (lesquels sont des groupes de monomères), de sorte que le nombre N peut être considérablement plus faible que le nombre réel d’atomes (au sens chimique) composant la chaˆıne polymérique. On prendra plus loin N = 2 pour simuler des chaˆınes de plusieurs milliers d’atomes. Le modèle est bien sˆ ur phénoménologique. L’assemblage ainsi constitué est supposé totalement libre, c’est à dire qu’il ne résiste pas aux rotations. La longueur des liaisons, elle, est supposée fixée définitivement a` une valeur a, de sorte que li = a pour tout i dans (4.14). On introduit aussi le vecteur r (noté exceptionnellement en gras dans toute la suite pour qu’on ne confonde pas vecteur et longueur) appelé vecteur


137

bout-` a-bout (ou connecteur) et qui relie la première boule a` la N -ième (voir Figure 4.2). Ce vecteur peut s’écrire comme la somme r=

N −1

aui

(4.15)

i=1

o` u le vecteur ui est le vecteur unitaire définissant la direction de la i-ème liaison. En toute généralité (on extrait pour un instant la chaˆıne polymérique du solvant o` u elle se trouve, et on la regarde a` l’équilibre), la probabilité que la i-ème liaison figure avec le couple d’angles d’Euler (θi , ϕi ) est ψi (θi , ϕi ) =

1 sin θi , 4π

dans ce modèle simple. Il suffit pour le voir de réaliser qu’on a choisi au hasard un point sur la sphère unité avec la probabilité uniforme. Comme chaque liaison est supposée orientée indépendamment de la précédente, la probabilité d’avoir la chaˆıne complète dans la configuration d’angles (θ1 , ϕ1 , ..., θN −1 , ϕN −1 ) est le simple produit ψ(θ1 , ϕ1 , ..., θN −1 , ϕN −1 ) =

1 4π

N −1 N$ −1

sin θi .

(4.16)

i=1

Toute quantité B qui dépend de l’état de conformation de la chaˆıne pourra alors être calculée par la moyenne (4.17) < B >= B(θ N −1 , ϕN −1 ) ψ(θN −1 , ϕN −1 ) dθ N −1 dϕN −1 o` u on a noté θ N −1 = (θ1 , ..., θN −1 ), ϕN −1 = (ϕ1 , ..., ϕN −1 ). L’exercice suivant illustre l’utilisation de cette formule pour une grandeur B particulière qui va jouer un rˆ ole dans la suite. Exercice 4.2. On veut évaluer la moyenne < r2 > du carré du module du vecteur bout-` a-bout r. Utiliser la formule (4.17) pour montrer que < r2 >= (N − 1)a2

(4.18)

o` u, on le rappelle, a est la longueur de liaison entre deux boules consécutives. Dans le but de simplifier le modèle, on va alors se concentrer sur le vecteur bout-` a-bout r. La probabilité qu’il ait précisément la valeur r est

138


P (r) =

δ(r −

N −1

aui )ψ(θN −1 , ϕN −1 ) dθ N −1 dϕN −1 ,

(4.19)

i=1

o` u δ est la masse de Dirac et ui est le vecteur unitaire d’angles d’Euler (θi , ϕi ). En introduisant alors la valeur de ψ donnée par (4.16), on peut montrer par un calcul simple mais un peu fastidieux qu’une bonne approximation de P , pour N grand, est P (r)

N

grand ≈

3 2π(N − 1)a2

3/2

e−3r

2

/2(N −1)a2

.

(4.20)

C’est l’approximation que nous adoptons désormais de sorte que la distribution du vecteur bout-` a-bout est une loi gaussienne. L’exercice suivant permet de montrer qu’on n’a pas fait trop d’erreur par cette approximation. Exercice 4.3. Calculer de nouveau la moyenne < r2 >, cette fois à l’aide de la probabilité (4.20). Comparer à (4.18). L’idée est alors de purement et simplement se débarrasser de la description des N boules liées par N − 1 liaisons et de ne regarder que le vecteur bout-` about r pour définir la configuration de la chaˆıne polymérique (voir Figure 4.3). On parle alors de modèle d’haltère, puisqu’il ne subsiste de la chaˆıne que deux boules reliées par une tige. 4.2.2 Le mod` ele d’halt` eres Il nous faut maintenant donner une raideur a` la tige r. Cette raideur traduira le fait que la chaˆıne polymérique a plus ou moins de configurations possibles selon que |r| est grand ou petit. En effet, par exemple pour |r| = (N − 1)a, la chaˆıne est forcément complètement tendue (tous les angles sont nuls), et donc il n’y a qu’une seule configuration de la chaˆıne a` N boules qui correspond a` une élongation r telle que |r| = (N − 1)a. En revanche pour |r| < (N − 1)a, plusieurs configurations bien différentes de la chaˆıne peuvent aboutir in fine au même vecteur r. Evaluons cela.

Fig. 4.3. Une chaˆıne polymérique réelle d’une trentaine d’ ”atomes” et sa modélisation phénomènologique sous forme d’haltère.


139

La mécanique statistique enseigne que pour un système dont la distribution est définie par la loi (4.20), l’énergie libre est donnée par A(r) = A0 − kT ln P (r) o` u T désigne la température, A0 une constante, et k la constante de Boltzmann. Quand la configuration r de la chaˆıne est donc modifiée de dr, l’énergie libre est modifiée de dA = −kT d ln P (r) 3kT r · dr, = (N − 1)a2

(4.21)

d’après la formule (4.20). Mais d’autre part, pour une modification de ce type a` température constante, la modification d’énergie libre est reliée à la tension F de la chaˆıne par dA = F (r) · dr. (4.22) En comparant (4.21) et (4.22), on trouve donc l’expression de la valeur de la tension 3kT r. (4.23) F (r) = (N − 1)a2

La force de rappel est l’opposé de cette tension. Tout se passe donc comme si 3kT . on avait a` faire a` deux boules reliées par un ressort r de raideur K = (N − 1)a2 Il s’agit cependant de bien comprendre que la raideur de ce ressort n’est pas la conséquence de forces de rappel de nature interatomique qui rappelleraient un atome près d’un autre. C’est une raideur de nature entropique, due au fait qu’une chaˆıne allongée explore moins de configurations qu’une chaˆıne repliée, et donc que l’agitation tient a` raccourcir une chaˆıne allongée, pour augmenter l’entropie du système. Bref, quoi qu’il en soit, la chaˆıne polymérique de départ se résume à une haltère r de raideur K. Attachons nous maintenant a` décrire la dynamique de cette haltère, puis a` déterminer la fa¸con dont elle contribue a` τp . 4.2.3 Les ´ equations Notons désormais ψ(t, x, r) la densité de probabilité de r au point macroscopique x au temps t. Cela signifie donc qu’au point x et au temps t, la probabilité de trouver une chaˆıne polymérique représentative dans l’état d’haltère r a dr près est ψ(t, x, r)dr. L’évolution de ψ d’un instant a` un autre au même ` point x doit tenir compte du fait que les chaˆınes polymériques présentes au point x sont aussi celles qui ont été amenées par le flot macroscopique à la ∂ψ seulement, mais vitesse u, donc la variation de ψ n’est pas donnée par ∂t aussi par le transport u · ∇ψ.

140


∂ψ + u · ∇ψ de ψ est alors la résultante de plusieurs La variation totale ∂t phénomènes : – 1 - une force hydrodynamique : l’haltère est allongée (ou raccourcie) par un effet dˆ u a` une interaction avec le fluide ; chacun des deux bouts de l’haltère est freiné par le fluide avec une force proportionnelle a` la vitesse (via un coefficient de friction ζ), mais comme cette vitesse diffère de ∇u r d’un bout a` l’autre de l’haltère, il en résulte une force d’élongation ; cette force subie par l’haltère s’exprime donc en fonction de ζ∇u r ; – 2- une force intrapolymérique : une autre partie des forces est due a` la “force de rappel entropique ” du “ressort” r ; – 3 - enfin, une force brownienne : la chaˆıne est bombardée par les molécules du solvant, ce qui modifie sa configuration, ici le vecteur r. Le bilan est formalisé par l’équation d’évolution de ψ qu’on appelle équation de Fokker-Planck : 2K ∂ψ(t, x, r) + u · ∇x ψ(t, x, r) = −divr (∇x u r − r)ψ(t, x, r) ∂t ζ 2kB T ∆r ψ(t, x, r), + ζ

(4.24)

o` u ζ est un coefficient de friction, T est la température, et kB la constante de Boltzmann. Dans cette équation, on reconnaˆıt au membre de droite, dans l’ordre, les trois termes de force qui s’appliquent sur la chaˆıne polymériques. Pour qu’il n’y ait pas d’ambig¨ uité, on a fait figurer en indice des opérateurs différentiels la variable par rapport a` laquelle on dérivait. Au membre de gauche, le transport est un transport macroscopique (variable x). Au membre de droite, on gère l’évolution en la variable de configuration r, donc les opérateurs divergence divr et laplacien ∆r sont par rapport a` cette variable. Par exemple, la force de rappel entropique fait passer d’un r à un r plus petit, mais n’a aucun rapport avec la variable de position “géographique” x de la chaˆıne au sein du fluide macroscopique. Une fois ceci fait, il nous reste a` exprimer le tenseur des contraintes. Physiquement, la contribution de la chaˆıne est la suivante. On sait que l’on trouve la valeur de la contrainte au sein d’un matériau en imaginant qu’on coupe ce matériau par un plan (de vecteur normal n) et en évaluant la force de réaction agissant sur chacun des deux plans ainsi obtenus par séparation. Cette force vaut τ · n. En faisant varier n, on identifie ainsi toutes les composantes du tenseur des contraintes τ . Faisons cette expérience mentale ici. En découpant le fluide, on tranche inévitablement bon nombre de chaˆınes polymériques, dont la réaction va contribuer (via τp ) à la force de réaction globale des deux plans de fluide séparés. La réaction de chaque chaˆıne dépendra de son orientation r. L’agrégation de la réponse de toutes les chaˆınes suivant leur position donnera la réponse totale (voir Figure 4.4). Un calcul montre que cette contribution est donnée par la formule de Kramer


τp (t, x) = −np kT Id + np

(r ⊗ F (r)) ψ(t, x, r) dr

141

(4.25)

o` u np désigne le nombre total de polymères par unité de volume. On peut remarquer que le premier terme sera simplement une constante additive a` la pression, et peut donc désormais être oublié. Seul compte le second terme. Le modèle global que nous avons donc obtenu est le suivant (avec un léger abus de notation, on y oublie le terme −np kT Id dans τp , préférant l’inclure dans la pression p) ⎧ ∂u ⎪ + (u · ∇) u − µ∆u + ∇p − div τp = f, ⎪ ⎪ ⎪ ∂t ⎪ ⎪ div u = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ τ (t, x) = n (r ⊗ Kr) ψ(t, x, r) dr p

p

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

2K ∂ψ(t, x, r) + u · ∇x ψ(t, x, r) = −divr (∇x u r − r)ψ(t, x, r) ∂t ζ 2kB T ∆r ψ(t, x, r). + ζ (4.26) Bien noter que l’équation de Fokker Planck a` la troisième ligne est à résoudre en chaque point macroscopique x. La valeur du tenseur τp fait appel a` ψ qui contient la mémoire des déformations subies. La nature multiéchelle du système est évidente.

n

Fig. 4.4. Formule de Kramer : la contribution des chaˆınes polymériques au tenseur des contraintes s’obtient en sommant sur toutes les chaˆınes “coupées” par le plan considéré.

Arrêtons-nous un instant sur la forme du système (4.26). Au vu de (4.9) et (4.11), la modélisation purement macroscopique consiste en un système de la forme ⎧ Du ⎪ ⎪ ⎨ Dt = F(τp , u), (4.27) ⎪ ⎪ ⎩ Dτp = G(τ , u), p Dt o` u D désigne la dérivée convective, o` u la première ligne figure symboliquement l’équation de conservation de la quantité de mouvement (Navier-Stokes)

142


et la seconde l’évolution du tenseur des contraintes (on oublie la variable pression pour alléger, elle ne joue pas de rˆ ole dans l’aspect décrit ici). La modélisation micro-macro introduit, elle, une étape supplémentaire qui n’écrit pas d’évolution explicite du tenseur des contraintes τp , mais le calcule “point par point” en fonction d’une variable microscopique Σ (dans (4.26), la densité ψ dans l’espace de configuration des chaˆınes polymériques) dont on modélise l’évolution en temps, ⎧ Du ⎪ = F(τp , u), ⎪ ⎪ Dt ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ τp = τp (Σ) (4.28) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ DΣ = G (Σ, u), µ Dt La forme (4.28) se généralise à tous les systèmes à microstructures (polymères fondus, boues, cristaux liquides, ...) : la variable Σ porte en elle toute la part de la modélisation microscopique, ou mésoscopique. De ce point de vue, notre propos va être tout a` fait général. Remarque 4.4. On se souviendra ici des problèmes de minimisation (1.21) au Chapitre 1 et (2.46) au Chapitre 2. Le lecteur s’imagine sans peine que la simulation numérique de (4.26) n’est pas une affaire simple. Même dans ce modèle très simple d’haltères, il faut un schéma numérique de type éléments finis pour les équations macroscopiques couplé avec un schéma pour résoudre l’équation (de type parabolique) de Fokker Planck en chaque point (c’est-` a-dire en chaque noeud de quadrature dans la formulation éléments finis). Nous n’allons donc le faire que dans un cas ultra simple, celui de l’écoulement de Couette qui est en fait un cas monodimensionnel. Ceci permettra au lecteur de toucher du doigt les difficultés posées par la discrétisation de (4.26), et lui montrera une stratégie très efficace pour simuler l’équation de Fokker-Planck, stratégie basée sur une méthode de nature stochastique. Remarque 4.5. En fait, le modèle d’haltère à force de rappel linéaire (on parle de modèle hookéen) que nous avons décrit ici est équivalent a` un modèle purement macroscopique de type (4.13), connu sous le nom de modèle d’Oldroyd B, identifié et employé bien avant l’émergence des modèles micro-macro que nous exposons ici (voir l’Exercice 4.8 sur ce point). Tel quel, le modèle (4.26) n’est donc jamais simulé dans la pratique. Il l’est seulement a` titre pédagogique, et pour tester des méthodologies numériques. Pourquoi ? Parce que dès que le modèle d’haltères n’a plus une tension F (r) = Kr, ou dès que le modèle de chaˆıne polymérique est plus sophistiqué, l’équivalence avec un modèle purement macroscopique n’est plus vraie. Pour une force F (r) plus générale par exemple, les deux dernières lignes de (4.26) sont à changer en

4.3 Simulation numérique de l’Ecoulement de Couette

143

⎧ 2 ∂ψ(t, x, r) ⎪ ⎪ + u · ∇x ψ(t, x, r) = −divr (∇x u r − F (r))ψ(t, x, r) ⎪ ⎪ ∂t ζ ⎪ ⎨ 2kB T + ∆r ψ(t, x, r), ⎪ ζ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ τp (t, x) = np (r ⊗ F (r)) ψ(t, x, r) dr

(4.29) On entre alors dans un champ de modélisation nouveau, non couvert par les modèles macroscopiques. Avoir préparé le terrain sur le simple modèle d’haltères linéaires est alors de première utilité.

4.3 Simulation num´ erique de l’Ecoulement de Couette Nous nous intéressons ici à la simulation d’un écoulement simple de type “plan de Couette” (cf. Figure 4.5) : le fluide s’écoule entre deux plans parallèles. A l’instant initial (t = 0), le fluide est au repos. Le plan inférieur (y = 0) est alors mis en mouvement avec une vitesse V (t) (qu’on supposera plus loin constante et égale à V ≡ 1 pour tout t > 0, pour simplifier), tandis que le plan supérieur (y = L) est maintenu fixe. On parle d’un flot de start-up. Le fluide polymérique que nous considérons est visqueux, incompressible et homogène. Son tenseur des contraintes comporte une partie τp due a` la contribution des chaˆınes polymériques. Les équations qui régissent son mouvement sont les équations (4.9) que nous reproduisons ici :

∂u + (u · ∇) u − µ∆u + ∇p − div τp = f ∂t div u = 0

(4.30)

Vu la géométrie particulière de l’écoulement de Couette, il est légitime de faire l’hypothèse que l’écoulement est laminaire, ce qui signifie qu’en chaque point de l’écoulement, la vitesse est purement colinéaire au vecteur ex , a` savoir u = ux (x, y, t) ex . La contrainte d’incompressibilité impose alors qu’en fait la vitesse ne dépende pas de la variable x, d’o` u u = ux (y, t) ex . Désormais, nous omettons l’indice inférieur x dans ux . La détermination de la vitesse u = u(y, t) ex

(4.31)

se réduit donc a` la détermination du champ scalaire u(y, t). L’objet de l’exercice suivant est d’étudier le cas plus simple du fluide newtonien, i.e. τp ≡ 0 dans les équations ci-dessus. Exercice 4.6. Montrer que pour un fluide incompressible newtonien, moyennant une hypothèse sur la pression (qu’on justifiera), u(y, t) vérifie

144


y y=L

y=0 V

x

Fig. 4.5. Ecoulement de type “plan de Couette” ; le profil des vitesses représenté ici correspond ` a l’écoulement stationnaire d’un fluide newtonien.

⎧ ∂2u ∂u ⎪ ⎪ ⎪ (y, t) = µ (y, t) ⎪ ⎨ ∂t ∂y 2 u(y, 0) = 0 ⎪ ⎪ u(0, t) = V (t) ⎪ ⎪ ⎩ u(L, t) = 0

(4.32)

Il faut bien comprendre le “miracle” qui permet de simplifier considérablement le problème dans le cas spécifique de l’écoulement de Couette. Le fait que u = u(y, t) ex entraˆıne deux simplifications. Premièrement, la propriété d’incompressibilité est automatiquement vérifiée, puisqu’elle est inscrite dans la forme de u. Ceci nous évite d’avoir a` gérer explicitement l’incompressibilité comme une contrainte, ce qui conduirait a` de grosses difficultés techniques (penser a` la résolution du problème de Stokes, qui est beaucoup plus compliquée que celle du problème de Laplace). Deuxièmement, le terme (u · ∇) u (dit de Navier ) disparaˆıt pour des raisons algébriques, liées encore à la forme particulière de u. La disparition de cette non linéarité, qui fait toute la difficulté théorique et pratique de l’équation de Navier-Stokes, est particulièrement heureuse. 4.3.1 Le mod` ele micro-macro Nous considérons maintenant un fluide non newtonien dont, en toute généralité, l’évolution couplée micro-macro est décrite par le système suivant


⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨

145

1 ∂u + (u · ∇)u = −∇p∗ + µ∆u + div τp , ∂t ρs div u = 0 τp (x, y, t) = np K

IRd

(r ⊗ r) ψ(t, x, y, r) dr

∂ψ (t, x, y, r) ⎪ ⎪ ⎪ ∂t

⎪ ⎪ 2K ⎪ ⎪ r)ψ(t, x, r) + (u(x, y, t) · ∇x ) ψ(t, x, y, r) = −div r (∇x u(x, y, t) · r − ⎪ ⎪ ⎪ ζ ⎪ ⎪ 2 ⎪ σ ⎪ ⎪ + 2 ∆r ψ(t, x, y, r) ⎩ ζ (4.33) complémenté des mêmes conditions au bord et initiales : ⎧ ⎨ u(x, y, 0) = 0 u(x, y = 0, t) = V (t) ex , ∀t > 0 (4.34) ⎩ u(x, y = L, t) = 0, ∀t > 0

Il s’agit au niveau microscopique d’un modèle d’haltères linéaire : le vecteur bout-` a-bout r est un vecteur de dimension 2, la force de rappel est propor2K ). tionnelle a` l’élongation (cf. le coefficient ζ Nous avons fait figurer dans ce système toutes les constantes physiques du problème (que nous avions souvent “oubliées” précédemment dans ce chapitre). Ainsi, np est la concentration volumique du polymère, i.e. le nombre de chaˆınes par unité de volume, µ est la viscosité du solvant, ρs est la densité du solvant, ζ est un coefficient de frottement visqueux. L’intensité σ de la diffusion dépend de la température du solvant : l’agitation thermique augmente avec la température. Enfin, K est encore la constante de raideur du ressort entropique. Au vu de la géométrie et de l’incompressibilité, nous avons fait l’hypothèse (4.31) sur la forme du champ de vitesse. L’objectif de l’exercice ci-dessous est de vérifier que ceci est compatible avec les équations (4.33), et de les simplifier alors, de sorte d’obtenir le système ⎧ ∂2u 1 ∂τ ∂u ⎪ ⎪ (y, t) = µ 2 (y, t) + (y, t) ⎪ ⎪ ∂t ∂y ρ s ∂y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ P Q ψ(t, y, P, Q) dP dQ ⎨ τ (y, t) = np K IR2

∂ 2K ∂u ∂ψ ⎪ ⎪ (t, y, P, Q) = − P ) ψ(t, y, P, Q) ( (y, t)Q − ⎪ ⎪ ∂t ∂P ∂y ζ ⎪

⎪ ⎪ 2 ⎪ σ ∂2 2K ∂2 ∂ ⎪ ⎩ Q ψ(t, y, P, Q) + 2 + ψ(t, y, P, Q) + ∂Q ζ ζ ∂P 2 ∂Q2 (4.35) o` u P et Q désignent les composantes du vecteur bout-à-bout r sur les axes x et y respectivement, et τ (y, t) est la composante xy du tenseur τp .

146


Exercice 4.7. Montrer qu’` a cause de la géométrie particulière du problème considéré et de (4.31), le système (4.33) se récrit sous la forme (4.35) en vérifiant que la pression p∗ et les coefficients diagonaux du tenseur τp ne jouent pas de rˆ ole dans la détermination du champ de vitesse, et qu’on peut à bon droit supposer l’indépendance en x de u, ψ et τ . Exercice 4.8. L’objectif de cet exercice est de vérifier, sur le cas de l’écoulement de Couette (mais le résultat est vrai pour tout écoulement) que le modèle micro-macro d’haltères linéaires est en fait équivalent a` un modèle purement macroscopique, comme nous l’avons signalé à la Remarque 4.5. On se concentre sur les deux dernières équations de (4.35), et on considère momentanément la vitesse u comme connue. Montrer que si l’on part, pour 1 Q2 ψ0 = l’équation de Fokker-Planck, d’une fonction ψ0 qui vérifie n K 2 p R 2ζ P Qψ0 = τ0 , et si l’on suppose np = 2 alors la fonction τ obtenue est et σ R2 exactement la solution de ∂u ∂τ + λτ = , (4.36) ∂t ∂y pour la donnée initiale τ0 et un certain λ qu’on identifiera. Montrer alors que l’équation (4.36) est la simplification dans la géométrie de Couette de l’équation d’Oldroyd B ∂σ + u.∇σ − σ t ∇u − ∇u σ + λσ = λ (∇u +t ∇u). ∂t

(4.37)

lorsque la vitesse u = u(y, t)ex et lorsque le tenseur des contraintes σ est supposé dépendre seulement des variables (y, t). On reliera la fonction τ à un des termes du tenseur des contraintes σ. La suite de cette section est consacrée à la description de la discrétisation du système (4.35). On s’intéresse d’abord à la partie macroscopique des équations, c’est-à-dire a` la détermination de u par la première équation de (4.35) quand on considère la contrainte τ connue. Puis, on examinera deux méthodes différentes pour simuler la partie microscopique (lignes suivantes de (4.35)). Bien sˆ ur, ce découpage est purement pédagogique, car dans la simulation réelle, les deux parties sont couplées (voir la fin de la sous-section 4.3.4). 4.3.2 La discr´ etisation du probl` eme macroscopique Dans un premier temps, nous considérons le champ de contraintes τ (y, t) connu, et nous nous focalisons sur la détermination de la vitesse. Cette détermination va se faire par une discrétisation en éléments finis (cf. Annexe A pour des rappels de base). Tout commence par la formulation variationnelle de l’équation de la première ligne de (4.35) :


147

∂2u 1 ∂τ ∂u (y, t) = µ 2 (y, t) + (y, t) ∂t ∂y ρs ∂y La question est ⎧ Chercher u : [0, T ] −→ H 1 (0, L) tel que ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂2u 1 ∂τ ∂u ⎪ ⎪ ⎨ (y, t) = µ 2 (y, t) + (y, t) ∂t ∂y ρs ∂y u(y, 0) = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u(0, t) = V (t) ⎪ ⎪ ⎩ u(L, t) = 0

(4.38)

Nous en faisons la formulation variationnelle suivante : ⎧ Chercher u : [0, T ] −→ HV1 (t) (0, L) tel que ⎪ ⎪ ⎨ 1 d (u(t), v)L2 = −µ(∂y u(t), ∂y v)L2 − (τ (t), ∂y v)L2 ∀v ∈ H01 (0, L), ⎪ dt ρ s ⎪ ⎩ u(y, 0) = 0 (4.39) o` u on a utilisé la notation HV1 (t) (0, L) = v ∈ H 1 (0, L), v(0) = V (t), v(L) = 0 .

Exercice 4.9. Vérifier qu’une solution de (4.39) est solution de (4.38).

Passons à la discrétisation. Comme annoncé et dans un but de simplification, on choisit désormais L = 1 et la condition au bord 0 si t ≤ 0 V (t) = (4.40) 1 si t > 0

Il est alors naturel d’effectuer une discrétisation par éléments finis de la variable d’espace y, qui sera suivie d’une discrétisation par différences finies de la variable temps t. En d’autres termes, on procède comme suit. On réalise un maillage du segment [0, 1] par N intervalles de longueur 1 identique h = ∆y = . On discrétise la contrainte τ par éléments finis P 0 N et la vitesse u par éléments finis P 1. Plus précisément, on introduit pour 0 ≤ i ≤ N, ⎧ si y = Ni ⎪1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ i i i+1 (4.41) ϕi (y) = affine sur [ i−1 N , N ] et [ N , N ] ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ i+1 0 si y ∈ [0, i−1 N ] ∪ [ N , 1]

(avec les adaptations évidentes pour les cas i = 0 et i = N ) et, pour 1 ≤ i ≤ N , i 1 si y ∈ [ i−1 N , N[ (4.42) χi (y) = 0 sinon ,

148


Les familles (ϕi )i=0,...,N , (ϕi )i=1,...,N −1 , (χi )i=1,...,N réalisent asymptotiquement (quand N −→ +∞) une base des espaces H 1 (]0, 1[), H01 (]0, 1[), L2 (]0, 1[), respectivement. On construit alors une approximation de τ et u par la décomposition N (τ h )i (t)χi (y), (4.43) τ h (y, t) = i=1

uh (y, t) =

N

(uh )i (t)ϕi (y).

i=0

En raison de la condition au bord, on voit que l’on a nécessairement (uh )0 (t) = 0 pour tout t ≥ 0, (uh )N (t) = 1 pour tout t > 0 (et (uh )N (0) = 0). Les inconnues sur la vitesse sont donc seulement les (uh )j , j = 1, ..., N − 1 et on reconstruit pour t > 0 la vitesse uh par h

u (y, t) =

N −1

(uh )i (t)ϕi (y) + ϕN (y),

i=1

uh (y, 0) = 0.

(4.44)

Remarque 4.10. Les conditions aux bords ne sont pas toujours éliminées aussi simplement que dans la situation présente, o` u il a suffi d’enlever deux inconnues (uh )0 et (uh )N . Cependant, la prise en compte de ces conditions aux bords reste souvent une difficulté d’ordre secondaire. A ce stade, on a donc approché le problème (4.39) par le problème ⎧ ⎪ Chercher les (uh )j : [0, T ] −→ IR pour j = 1, ...N − 1 ⎪ ⎨ tels que uh (y, t) donné par (4.44) vérifie ⎪ ⎪ ∀i = 1, ...N − 1, d (uh , ϕi )L2 = −µ(∂y uh , ∂y ϕi )L2 − 1 (τ h (y, t), ∂y ϕi )L2 ⎩ dt ρs (4.45) Ce système est en fait un système d’équations différentielles ordinaires sur les inconnues (uh )j , qui sont des fonctions du temps t seulement. On réalise maintenant une discrétisation par différences finies. Plus précisément, on emploie pour le terme visqueux un schéma d’Euler implicite (voir au Chapitre 5 une analyse précise de ce schéma), qui consiste à approcher une d w = f (t, w(t)) par le schéma équation dt wn+1 − wn = f (tn+1 , wn+1 ) ∆t et pour le terme de contrainte un schéma d’Euler explicite (voir aussi au Chapitre 5 une analyse précise de ce schéma), qui consiste à approcher une d w = f (t, w(t)) par le schéma équation dt


149

wn+1 − wn = f (tn , wn ) ∆t Ici, cela revient à approcher la valeur des fonctions (uh )j (t) aux instants tn = n∆t par les (uh )nj vérifiant ⎧ Chercher les (uh )nj pour j = 1, ...N − 1 et pour n ≥ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ tels que (uh )0j ≡ 0 et ∀i = 1, ...N − 1, ⎪ ⎪ ⎪ N −1 N −1 ⎪ ⎪ ⎪ h n+1 ⎪ ⎨ (uh )nj ϕj (y) (u ) ϕ (y) − j j

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

j=1

j=1

∆t

, ϕi

L2

N −1 ∂ h n+1 (u )j ϕi (y) + ϕN (y) , ∂y ϕi = −µ ∂y j=1

L2

−

1 ((τ h )n , ∂y ϕi )L2 ρs

(4.46) ur l’approximation par différences finies en temps de o` u (τ h )n désigne bien sˆ τ h au temps tn . Cet énoncé est la formulation mathématique de l’équation ∂2 1 ∂τ n un+1 − un − µ 2 un+1 = , ∆t ∂y ρs ∂y

(4.47)

o` u on a employé des notations plus compactes évidentes. Sur cette forme (dite semi-discrétisée en temps), on peut comprendre que le travail de discrétisation en temps qu’on a effectué revient à ramener le problème d’évolution a` une suite de problème stationnaires. En effet, (4.47) s’écrit aussi (

∂2 1 − µ 2 ) un+1 = f n , ∆t ∂y

et est donc formellement analogue à une équation de type Stokes (correspondant a` la détermination d’un état stationnaire du fluide) (1 − ∆) u + ∇p = f, o` u l’inconnue est un+1 . Une fois traduit en termes du vecteur colonne ⎛ h n ⎞ (u )1 ⎜ ⎟ ... ⎟. Un = ⎜ ⎝ ... ⎠ (uh )nN −1

(4.48)

le système (4.46) s’écrit sous forme du système algébrique M

1 U n+1 − U n = −µAU n+1 − GS n + B n , ∆t ρs

(4.49)

150


Dans ce système algébrique, le terme de contrainte (dernier terme de (4.46)) u S n est le vecteur apparaˆıt sous la forme du produit matrice× vecteur GS n o` h n colonne des (τ )j , j = 1, ..., N et G la matrice de taille N − 1 × N G=

0

1

∂y ϕi χj .

(4.50)

Les autres matrices et vecteurs apparaissant dans (4.49) sont faciles à déterminer. Exercice 4.11. Identifier les matrices M et A en termes des fonctions χi et ϕi , ainsi que le vecteur colonne B n . Pour résoudre (4.49) et déterminer U n+1 pour chaque n, il nous faut maintenant expliquer comment mettre a` jour S n en S n+1 , i.e. évaluer (τ h )n+1 j pour chaque j, ce qui correspond au niveau continu a` évaluer le tenseur des contraintes en un point macroscopique en fonction du niveau microscopique. Nous allons faire ceci par deux méthodes différentes.

4.3.3 La discr´ etisation du probl` eme microscopique : M´ ethode 1 Nous nous intéressons maintenant a` la discrétisation de la deuxième équation d’évolution de (4.35), a` savoir

∂ 2K ∂u ∂ψ (t, y, P, Q) = − P ) ψ(t, y, P, Q) ( (y, t)Q − ∂t ∂P ∂y ζ 2

∂2 σ2 ∂ 2K ∂ ψ(t, y, P, Q). Q ψ(t, y, P, Q) + 2 + + ∂Q ζ ζ ∂P 2 ∂Q2 (4.51) Il faut bien comprendre que dans cette équation la variable y est un paramètre, au sens o` u il y a (au niveau continu) autant d’équations que de points y et que les opérateurs différentiels ne portent pas sur cette variable d’espace physique mais sur les variables d’espace (P, Q) qui sont l’espace de configuration pour l’haltère. Plus précisément, au niveau discret, il y a, dans notre cas, N équations de i la forme (4.51), chacune d’entre elles étant associée à un intervalle [ i−1 N , N ] (et donc a` une fonction de base χi , i = 1, ..., N ), et fournissant ensuite la valeur de (τ h )ni au pas de temps courant. Commen¸cons par remarquer que l’équation (4.51) est de la forme

2 ∂ψ ∂ψ ∂2 ∂ ∂ψ ψ(t, P, Q). (t, P, Q) = f (t, P, Q) + g(t, P, Q) +a + ∂t ∂P ∂Q ∂P 2 ∂Q2 (4.52)


151

Dans (4.52), on a noté a le coefficient constant (positif) devant le Laplacien et on a omis un terme “constant” en ψ (qui ne pose pas de difficulté, changer mentalement ψ en et ψ), ainsi que la dépendance des fonctions f , g, ψ par rapport au paramètre y. Il s’agit donc formellement d’une équation d’advection-diffusion dans le plan (P, Q). L’advection correspond au terme de dérivée première et la diffusion au Laplacien en les variables P et Q. Nous discrétisons cette équation par un schéma aux différences finies (on pourrait faire aussi une discrétisation par éléments finis). Nous imposons donc à la fonction ψ d’être nulle pour |P | ou |Q| plus grand qu’une grande constante M (en pratique, il faut quantifier ce M ) et nous discrétisons l’équation avec donnée au bord nulle sur le carré [−M, M ]2 . Pour cela, une des techniques possibles est la technique de séparation d’opérateurs (ou splitting). Cette technique sera étudiée en plus grand détail dans le Chapitre 5. Elle peut ici être appliquée à deux niveaux. A un premier niveau, on décompose l’équation (4.52) en deux équations, l’une d’advection ∂ψ ∂ψ ∂ψ (t, P, Q) = f (t, P, Q) + g(t, P, Q) . ∂t ∂P ∂Q

(4.53)

et l’autre de diffusion ∂ψ (t, P, Q) = a ∂t

∂2 ∂2 + 2 ∂P ∂Q2

ψ(t, P, Q).

(4.54)

On fera évoluer sur chaque pas de temps ∆t la fonction ψ successivement par un schéma aux différences finies pour (4.53) et un schéma aux différences finies pour (4.54) (pour les détails, le lecteur pourra anticiper sur le Chapitre 5, Section 5.4). A un deuxième niveau, pour discrétiser chacune des équations (4.53) et (4.54), qui sont posées sur le plan (P, Q), on peut utiliser la technique de décomposition d’opérateurs pour avancer successivement dans la direction P et dans la direction Q (on parle de méthode des directions alternées). Par exemple, pour l’équation d’advection (4.53), on peut résoudre successivement ∂ψ ∂ψ (t, P, Q) = f (t, P, Q) . ∂t ∂P

(4.55)

∂ψ ∂ψ (t, P, Q) = g(t, P, Q) . ∂t ∂Q

(4.56)

Bien sˆ ur, aux deux niveaux, d’autres techniques sont possibles. Par exemple, au deuxième niveau, on peut discrétiser par différences finies directement l’équation de diffusion (4.54) en deux dimensions (P, Q). La raison pour laquelle nous insistons ici sur la technique de décomposition est la suivante. Il ne faut pas perdre de vue que nous décrivons ici un cas simplissime, o` u le polymère est modélisé dans un espace de configuration a` 2 dimensions (le plan (P, Q)). Lorsque l’espace de configuration devient plus grand (disons 4), il n’est plus possible d’attaquer directement la résolution par différences finies,

152


la technique de séparation va s’imposer. En fait, très vite, l’attaque directe de (4.51) par une méthode de différences finies (ou, le constat serait le même, par une méthode d’éléments finis) devient impossible. D’o` u la nécessité d’une approche alternative, qui sera expliquée dans la sous-section suivante. Revenons pour le moment a` notre simple cas de la dimension 2. Nous avons donc ramené le problème de la simulation de (4.51) par différences finies à une succession d’équations d’advection ou de diffusion monodimensionnelles. Il existe beaucoup de techniques pour réaliser les discrétisations par différences finies de ces équations. Le lecteur se reportera a` la bibliographie. On donne seulement ici un exercice sur une discrétisation de l’équation de diffusion, puis on s’intéresse à une spécificité liée à notre modélisation. Exercice 4.12. On suppose que la solution ψ(t, P ) de l’équation de diffusion ∂2 ∂ψ (t, P ) = a 2 ψ(t, P ) ∂t ∂P (avec donnée initiale ψ0 et donnée au bord nulle) est de classe C 4 . Montrer la convergence du schéma implicite n+1 n+1 ψj+1 − 2ψjn+1 + ψj−1 ψjn+1 − ψjn = 0. −a ∆t (∆P )2

Les deux exercices suivants étudient comment une propriété particulièrement importante dans notre cas est ou non assurée par les schémas numériques employés. Cette propriété est la propriété de positivité de ψ. En effet, par rapport a` une situation générique o` u on résout une équation du type advection-diffusion, la particularité de notre problème réside en ce que, par construction, ψ est une densité de probabilit´ e (cf. (4.14)), ce qui signifie que,

pour tout temps, ψ ≥ 0 partout et

ψ = 1. La discrétisée de ψ doit donc

conserver les deux mêmes propriétés au cours du temps dans la simulation numérique. C’est à la première exigence que nous nous intéressons. La seconde, qui est une exigence globale (contrairement a` la première qui est locale) est en fait beaucoup plus dure a` assurer de fa¸con rigoureuse, et on procède souvent par une renormalisation pour l’assurer.

Exercice 4.13. Le schéma de Lax-Wendroff pour l’équation d’advection linéaire ∂ψ ∂ψ +c =0 ∂t ∂P s’écrit n n n n ψjn+1 − ψjn ψj+1 − ψj−1 − 2ψjn + ψj−1 ∆t ψj+1 +c − c2 = 0, ∆t 2∆P 2 (∆P )2

(4.57)

o` u ∆P et ∆t désignent respectivement les pas d’espace et de temps de la discrétisation par différences finies, et ψjn la valeur au noeud Pj = j ∆P au


153

∆t , dit nombre de Courant. temps tn = n ∆t. On introduit le coefficient µ = c ∆P Montrer que le schéma de Lax-Wendroff possède la propriété suivante, dite principe du maximum discret, a ≤ ψj0 ≤ b, ∀j

implique

a ≤ ψjn ≤ b, ∀n ≥ 0, ∀j,

(4.58)

(pour deux constantes arbitraires a et b) seulement quand µ = −1, 0, ou 1. Expliquer pourquoi il est naturel d’exiger le principe du maximum discret pour un schéma ayant pour objectif de simuler l’équation d’advection linéaire. Exercice 4.14. On s’intéresse à la discrétisation de l’équation de diffusion ∂2 ∂ψ (t, P, Q) = a 2 ψ(t, P, Q). ∂t ∂P Montrer que le schéma de Richardson n n ψjn+1 − ψjn−1 ψj+1 − 2ψjn + ψj−1 = 0, −a 2∆t (∆P )2

(4.59)

ne préserve pas le principe du maximum, alors que le schéma de DufortFrankel n n ψj+1 − ψjn+1 − ψjn−1 + ψj−1 ψjn+1 − ψjn−1 −a =0 (4.60) 2∆t (∆P )2 le préserve si

1 a∆t ≤ . (∆P )2 2

Remarque 4.15. L’enseignement des exercices ci-dessus n’est pas que nous ne devons pas ici employer un schéma comme par exemple celui de Lax-Wendroff, mais plutˆ ot qu’il faudra être vigilant sur la positivité de ψ si on l’emploie. 4.3.4 La discr´ etisation du probl` eme microscopique : M´ ethode 2 Comme nous l’avons laissé entendre ci-dessus, les techniques de discrétisation par différences finies et éléments finis sont très vite mises en échec sur une équation du type (4.51) quand la dimension ambiante (ici 2) devient égale à 4, 5 ou plus. Elles deviennent inaccessibles au del` a de la dimension 6 (certaines recherches en cours visent à tempérer ce constat). Sur notre cas simple bidimensionnel, nous développons maintenant une méthode de discrétisation qui est, elle, “insensible” à l’accroissement de la dimension : sa mise en oeuvre est quasiment indépendante de la dimension, et son coˆ ut en termes de temps calcul est linéaire par rapport a` la dimension. En une phrase, disons que cette méthode consiste à évaluer τ (y, t), non pas via la résolution de l’équation de Fokker-Planck, mais en simulant le système d’équations différentielles stochastiques associées. Pour décrire cette nouvelle méthode, nous devons donc faire de brefs rappels de théorie des probabilités. Le lecteur savant sur de tels

154


sujets, ou seulement intéressé par le côté formel et prêt à faire confiance peut aisément omettre les lignes qui suivent et se reporter directement à la sous section 4.3.4. Comme d’habitude dans ce cours, on insiste sur le fait que la sous section 4.3.4 ne se substitue pas a` un authentique cours de Probabilités. Notions rapides de th´ eorie des probabilit´ es Soit Ω un ensemble (figurant l’espace du hasard), et A un sous-ensemble de l’ensemble P(Ω) des parties de Ω. On dit que A (qui figure alors l’information disponible) est une tribu si A est stable par intersection et réunion dénombrables, par passage au complémentaire et si elle contient les éléments ∅ et Ω. Sur un ensemble Ω muni d’une tribu A, on peut définir une probabilité P, c’est-à-dire une mesure positive de masse totale 1 définie sur A. Rappelons qu’une mesure (positive) sur Ω est une fonction de Ω dans IR+ ∪ {+∞} +∞ telle que P(∅) = 0 et P(∪+∞ P(Ai ) pour toute famille dénombrable A ) = i=1 i i=1

d’éléments Ai de A disjoints deux a` deux. On dit qu’une propriété est vérifiée presque sˆ urement si l’ensemble des ω ∈ Ω pour lesquels elle n’est pas vérifiée est de mesure nulle pour P. Le triplet (Ω, A, P) s’appelle un espace de probabilité.

On peut alors définir la notion de variable aléatoire (à valeurs réelles) : on appelle ainsi une application X de Ω dans IR mesurable par rapport a` la tribu A, c’est-à-dire que pour tout borélien B de IR, l’ensemble {ω ∈ Ω/X(ω) ∈ B} appartient a` A. Pour chaque ω ∈ Ω, X(ω) est une réalisation de la variable aléatoire X. La loi de X est la mesure P ◦ X −1 définie par IE(f (X)) = f (x)d(P ◦ X −1 )(x), pour toute f bornée. L’espérance de la variable aléatoire X (d’abord construite pour les variables aléatoires positives, puis étendue aux variables aléatoires de signe quelconque pourvu que l’espérance de leur valeur absolue existe) est définie par X(ω) dP(ω) IE(X) = Ω

On dit alors que la variable aléatoire X admet (par rapport a` la mesure de Lebesgue) une densité, p(x) (fonction positive intégrable, d’intégrale sur IR égale à 1), si pour toute fonction bornée mesurable f , on a f (x) p(x) dx. IE(f (X)) = IR

La loi de X s’écrit donc p(x) dx. Une des densités les plus célèbres est la densité gaussienne


p(x) =

1 √ e− σ 2π

155

(x−m)2 2σ 2

de moyenne m et de variance σ 2 . On dit alors que la variable aléatoire X est gaussienne. L’espérance vaut IE(X) = m et la variance est Var (X) = IE((X − IE(X))2 ) = IE(X 2 ) − (IE(X))2 = σ 2 . En pratique, l’espérance de la variable aléatoire X peut être approchée (on parle de méthode de Monte-Carlo) en moyennant les valeurs de X, trouvées par un tirage au sort suivant la loi de X. La fondation de cette pratique est la Loi forte des grands nombres : si (Xi , i ≥ 1) est une suite de variables aléatoires indépendantes, toutes de même loi que la variable aléatoire X, et si IE(|X|) < ∞, alors pour presque tout ω, IE(X) =

lim

n−→+∞

X1 (ω) + ... + Xn (ω) . n

Le Théorème de la limite centrale précise la qualité de cette convergence en stipulant que, sous les mêmes conditions et la condition supplémentaire IE(X 2 ) < ∞, la variable aléatoire définie par

√ n X1 (ω) + ... + Xn (ω) − IE(X) σ n (o` u σ désigne la variance de X) converge en loi vers une variable aléatoire G, la x2 1 loi de G étant la loi gaussienne centrée réduite p(x) = √ e− 2 . Rappelons 2π qu’une suite de variables aléatoires Yn converge en loi vers G si IE(f (Yn )) tend vers IE(f (G)) pour toute fonction f continue bornée. Ce résultat explique évidemment le rôle crucial joué par la loi gaussienne en théorie des probabilités. Introduisons maintenant une dépendance en temps des objets ci-dessus. Un processus stochastique (à temps continu et a` valeurs réelles) est une famille (Xt )t≥0 de variables aléatoires indicées par le temps, définies sur un espace de probabilité (Ω, A, P). Une filtration (Ft , t ≥ 0) est une suite croissante, indicée par le temps, de sous tribus de la tribu A. Un processus stochastique Xt est dit Ft -adapté si, pour chaque t, Xt est une variable aléatoire mesurable par rapport a` Ft . A l’inverse, un processus stochastique Xt étant fixé, la filtration naturelle associée à Xt est la filtration Ft formée, pour chaque t ≥ 0, de la plus petite tribu rendant les applications ω −→ Xs (ω) mesurables pour 0 ≤ s ≤ t. On peut maintenant définir la notion de mouvement brownien. Un processus (à valeurs réelles) Xt est un mouvement brownien si c’est un processus a ` trajectoires presque sˆ urement continues (i.e. en dehors d’un ensemble de ` accroissements probabilité nulle, les fonctions s −→ Xs (ω) sont continues), a indépendants (si s ≤ t, la variable aléatoire Xt − Xs est indépendante de la tribu “naturelle” Fs , i.e. pour tout A ∈ Fs , et toute fonction f bornée

156


mesurable IE(1A f (Xt − Xs )) = IE(f (Xt − Xs ))P(A)), et a ` accroissements stationnaires (si s ≤ t, la loi de Xt − Xs est identique a` celle de Xt−s − X0 ). En fait ces trois propriétés impliquent conjointement (ce n’est pas immédiat) que la variable aléatoire Xt − X0 suit nécessairement une loi gaussienne de moyenne rt (pour un certain r) et de variance σ 2 t (pour un certain σ). Il n’est pas évident qu’un mouvement brownien existe, mais c’est vrai. La dernière étape des éléments de théorie des probabilités que nous donnerons ici concerne les équations différentielles stochastiques, et cette étape n’est en fait pas un rappel, car le niveau de ces notions dépasse largement le cadre de ce cours, et d’un cours de deuxième cycle de probabilités. Considérons un ensemble Ω = Ω1 ×Ω2 (Ω1 sera l’espace du hasard pour la donnée initiale, Ω2 l’espace du hasard pour les trajectoires browniennes dans le temps), muni d’une probabilité P (produit de deux probabilités sur Ω1 et Ω2 ). Considérons aussi une tribu F, une filtration Ft et un mouvement brownien Ft -adapté, noté Bt . Soit σ > 0 une constante fixée, appelée dispersion. Soit f (t, x) une fonction régulière, souvent appelée drift (ou dérive en fran¸cais). Le cadre mathématique naturel est f mesurable par rapport a` t, et lipschitzienne et à croissance au plus linéaire (i.e. |f (t, x)| ≤ C(1 + |x|) pour tout t, x) par rapport a` x, la constante de Lipschitz et la constante C étant uniforme en t ∈ [0, T ]. On introduit alors l’équation différentielle stochastique dXt = f (t, Xt ) dt + σ dBt ,

(4.61)

avec comme condition initiale la variable aléatoire X0 (ω1 ), définie sur Ω1 . Cette écriture (4.61) est formelle. Elle a le sens mathématique suivant : on dit que Xt est solution de (4.61) si t f (s, Xs (ω1 , ω2 )) ds + σ Bt (ω2 ), (4.62) Xt (ω1 , ω2 ) = X0 (ω1 ) + 0

presque sˆ urement, l’intégrale s’entendant au sens habituel de Lebesgue. Nous sommes alors (enfin !) en mesure d’énoncer la propriété capitale pour notre méthode de résolution. Sous de bonnes hypothèses, si Xt est solution de l’équation différentielle stochastique (4.61) alors la densité de Xt , notée p(t, x), est solution de l’équation de Fokker Planck ∂ σ2 ∂ 2 p ∂p (t, x) + (f (t, x) p(t, x)) − (t, x) = 0. ∂t ∂x 2 ∂x2

(4.63)

Bien sˆ ur, pour que ceci ait lieu, il faut que les données initiales des deux équations se correspondent, a` savoir que p(t = 0, x) soit fixée à la valeur p0 densité de la variable aléatoire X0 donnée initiale pour l’équation différentielle stochastique. Nous allons utiliser ce changement de point de vue pour bˆ atir notre deuxième méthode de discrétisation. La seule petite nuance par rapport au


157

cadre développé ci-dessus est que nous allons travailler en dimension 2 au lieu de 1. Remarque 4.16. S’il est juste (sous les bonnes conditions évoquées ci-dessus, lesquelles reviennent grosso modo à supposer que la solution de l’équation de Fokker-Planck est unique) que tout processus Xt solution de l’équation différentielle stochastique a sa densité qui vérifie l’équation de Fokker-Planck, la réciproque est fausse, en toute généralité : tout processus qui a pour densité p n’est pas forcément solution de l’équation différentielle stochastique. Ainsi, un contrexemple est fourni par l’Exercice 4.19. En fait, ceci se comprend en gardant a` l’esprit qu’il y a plus d’information dans le processus que dans sa densité, puisqu’on peut avec lui calculer plus que de simples espérances a une IE(ϕ(Xt )) (comme par exemple IE(ψ(Xt , Xs ))). Il est donc “normal” qu’` densité correspondent beaucoup de processus. Si la densité est une solution d’une équation de Fokker-Planck, il peut y avoir beaucoup de processus l’ayant pour densité et n’entretenant aucun rapport avec l’équation différentielle stochastique sous-jacente. Remarque 4.17. Dans le cas qui nous intéresse, nous sommes seulement intéressés par les espérances figurant dans la définition du tenseur des contraintes. Elles sont les seules quantités pertinentes du point de vue de la modélisation. Il y a donc toutes les raisons, au vu de la Remarque qui précède, de se concentrer sur le point de vue Fokker-Planck et il peut alors paraˆıtre paradoxal de faire appel a` l’approche équation différentielle stochastique qui privilégie un processus particulier ayant cette densité, à savoir la solution de l’équation différentielle stochastique. Seuls des aspects d’efficacité numérique justifient en fait un tel changement de point de vue. Remarque 4.18. Nous n’avons volontairement rien dit de l’existence et de l’unicité de la solution Xt de l’équation différentielle stochastique. Il existe bien sˆ ur tout un cadre théorique qui formalise des théorèmes d’existence et d’unicité pour de telles équations. En fait, pour l’unicité, la bonne notion est le plus souvent du point de vue pratique la notion d’unicité en loi (aussi appelée unicité faible), qui est vraie quand toutes les solutions Xt donnent la même densité p et donc les mêmes espérances calculées. Peu importe en fait le processus particulier Xt . En fait, il est utile de signaler que la présentation que nous venons de faire d’une équation différentielle stochastique est une présentation simplifiée. Consacrons quelques lignes a` une présentation plus générale. Notre motivation est que pour d’autres modèles de polymères, comme ceux formés d’un assemblage de barres rigides et non de ressorts, l’objet mathématique obtenu lors de la modélisation est bien une équation différentielle stochastique mais pas une de la forme simple (4.61). A l’aide d’un mouvement brownien standard (de moyenne nulle (r = 0) et de variance t (σ = 1)), noté Bt , on peut construire la notion d’intégrale

158


d’Itˆ o. Cette intégrale est construite à la manière de l’intégrale de Riemann, en la définissant d’abord pour les fonctions en escalier puis en approchant une fonction plus générale par une suite de fonctions en escaliers. Pour un découpage {s0 = 0, ..., sj , ..., sn = t} de [0, t] et un processus Ys (ω) =

n

Y˜j−1 (ω)1]sj−1 ,sj ] (s)

j=1

bˆ ati avec des variables aléatoires Y˜j (telles que IE(|Y˜j |) < +∞), on pose t n Ys dBs = Y˜j−1 (Bsj − Bsj−1 ). 0

j=1

Puis, par un procédé dit d’approximation, cela permet de définir un nouveau processus stochastique, dit intégrale d’Itˆ o du processus (Yt )0≤t≤T t Ys dBs , 0

dès que

T

Yt (ω)2 dt < +∞, pour presque tout ω (cette condition est par

0

exemple remplie dès que Yt est un processus continu). Dans le cas simple o` u ur Yt ≡ 1, on retrouve bien sˆ t dBs = Bt . 0

Reprenons alors l’ensemble Ω = Ω1 × Ω2 introduit ci-dessus, une tribu F, une filtration Ft et un mouvement brownien Ft -adapté, noté Bt . Considérons de nouveau un drift régulier f , mais aussi une dispersion qui est maintenant une fonction σ régulière (ayant typiquement les mêmes propriétés mathématiques que celles mentionnées ci-dessus pour f ). On introduit alors l’équation différentielle stochastique dXt = f (t, Xt ) dt + σ(t, Xt ) dBt ,

(4.64)

avec comme condition initiale la variable aléatoire X0 (ω1 ), définie sur Ω1 . Comme ci-dessus, il s’agit d’une écriture formelle. On dit que Xt est solution de (4.64) si t

t f (s, Xs (ω1 , ω2 )) ds + σ(s, Xs ) dBs (ω1 , ω2 ), Xt (ω1 , ω2 ) = X0 (ω1 ) + 0

0

(4.65) presque sˆ urement, la première intégrale s’entendant au sens habituel de Lebesgue, et la seconde au sens d’Itô. Les équations différentielles stochastiques comme (4.65) font aujourd’hui l’objet d’une importante littérature et apparaissent dans de nombreux champs de la modélisation (l’un des plus célèbres étant la finance mathématique).


159

Exercice 4.19. On considère l’équation différentielle stochastique 1 dXt = − Xt dt + dWt , 2

(4.66)

pour la donnée initiale X0 , de loi la gaussienne centrée réduite. Montrer que sa solution est donnée par t −t/2 e(s − t)/2 dWs , Xt = e X0 + 0

et vérifier que la loi de Xt est la gaussienne centrée réduite. Montrer aussi que l’équation de Fokker-Planck associée à (4.66) est 1 ∂2 ∂p(t, x) 1 ∂ − (xp(t, x)) − p(t, x) = 0, ∂t 2 ∂x 2 ∂x2

(4.67)

2 1 avec la donnée initiale p(0, x) = √ e−x /2 . Vérifier alors que le processus 2π constant gaussien centré réduit Yt = G a sa densité qui vérifie (4.67) alors que bien sˆ ur lui-même ne vérifie pas l’équation différentielle stochastique (4.66). Conclure.

Application ` a une m´ ethode alternative de discr´ etisation On choisit d’évaluer τ (y, t), non pas via la résolution de l’équation de FokkerPlanck

∂ 2K ∂u ∂ψ (t, y, P, Q) = − P ) ψ(t, y, P, Q) ( (y, t)Q − ∂t ∂P ∂y ζ

2

σ2 ∂2 2K ∂ ∂ Qψ(t, y, P, Q) + 2 + ψ(t, y, P, Q), + ∂Q ζ ζ ∂P 2 ∂Q2 (4.68) mais en simulant le système d’équations différentielles stochastiques associé, qui s’écrit √ ⎧

2K 2σ ∂u ⎪ ⎪ dP (y, t) = (y, t)Q(t) − P (y, t) dt + dVt ⎨ ∂y ζ ζ √ (4.69) ⎪ ⎪ dQ(t) = − 2K Q(t)dt + 2 σ dW ⎩ t ζ ζ o` u Vt et Wt sont deux mouvements browniens monodimensionnels indépendants.

On peut alors montrer (cf. la section ci-dessus) que la densité ψ(P, Q, t) de la variable aléatoire (P (t), Q(t)) est solution de (4.68). On rappelle, d’après le

160


paragraphe précédent, que, par définition, a` chaque instant t, et pour chaque y fixé, IE(f (P (t), Q(t))) = f (P, Q)ψ(P, Q, t) dP dQ

pour toute fonction f mesurable bornée. On admettra que ceci entraˆıne aussi, dans les conditions o` u nous sommes, en choisissant f (a, b) = ab, que le tenseur des contraintes s’écrit, pour tout instant t, des deux fa¸cons suivantes P Q ψ(t, y, P, Q) dP dQ = np K IE(P (y, t)Q(t)). (4.70) τ (y, t) = np K IR2

C’est bien sˆ ur de la seconde fa¸con que nous choisissons maintenant de le calculer. Remarque 4.20. Cette seconde vision des choses, qui revient aux processus stochastiques plutˆ ot qu’` a leur loi, est en fait dans notre cas un juste retour aux sources. Nous revenons a` la simulation d’une haltère générique, dont le vecteur bout-` a-bout a pour coordonnées (Pt , Qt ) un couple de processus stochastiques dont l’évolution est régie par une équation différentielle stochastique. Le tenseur des contraintes s’évalue alors par une espérance, c’est-à-dire dans la discrétisation par une moyenne sur les configurations des différents polymères en un point de l’espace. Cette vision est tout-` a-fait naturelle dans notre contexte. On complémente le système (4.69) de conditions initiales homogènes en y, et on note que Q ne dépend pas de la variable d’espace y. On utilise un schéma d’Euler explicite pour intégrer les deux EDS. On obtient ainsi un système discret de la forme √ ⎧

n+1 Uin+1 − Ui−1 2K ∆t 2∆tσ n ⎪ ⎪ Qn + 1 − Vi Pin + ⎨ Pin+1 = ∆t ∆y ζ ζ √

(4.71) ⎪ 2∆tσ n 2K ∆t ⎪ n ⎩ Qn+1 = 1 − W Q + ζ ζ

pour 1 ≤ i ≤ N , o` u Vin et W n repr´ √ esentent des variables gaussiennes centrées réduites indépendantes. Ainsi, ∆tVin est une approximation discrète de la i−1 i , [. On variable aléatoire accroissement Vtn +∆t − Vtn dans la maille [ N N évalue alors (4.72) τin+1 = np K IE(Pin+1 Qn+1 ) Pour évaluer la contrainte (τ h )i , on engendre en pratique J réalisations des variables aléatoires Pin et Qn : √

n+1 Uin+1 − Ui−1 2K ∆t 2∆tσ n n n+1 n Qj + 1 − Vi,j (4.73) Pi,j + Pi,j = ∆t ∆y ζ ζ √

2K ∆t 2∆tσ n Wj Qnj + Qn+1 = 1− j ζ ζ


161

n pour 1 ≤ j ≤ J (o` u les variables Vi,j et Wjn sont des gaussiennes centrées réduites indépendantes), et on obtient (τ h )n+1 en calculant l’espérance empii rique (cf. la loi forte des grands nombres) : J

= (τ h )n+1 i

np K n+1 n+1 Qj P J j=1 i,j

(4.74)

Il reste enfin à préciser les conditions initiales sur P et Q. Le fluide étant au repos à l’instant initial, on prend naturellement (τ h )0i = 0 pour tout i, et pour cela on choisit pour Pi0 et Q0 des gaussiennes centrées indépendantes. A ce stade, on sait donc simuler complètement le système (4.35) sous la forme (4.49)-(4.73)-(4.74). Une remarque très importante s’impose alors : comme la contrainte discrète s’exprime par une moyenne empirique (4.74), elle est donc (τ h )n+1 i aussi une variable aléatoire, alors que tant qu’on n’a pas discrétisé au niveau Monte-Carlo, elle est encore une variable déterministe (l’espérance (4.72) est une variable déterministe). Il s’ensuit que, dans cette deuxième méthode basée sur une technique stochastique, et contrairement a` la première méthode purement déterministe, la vitesse macroscopique du fluide, qui dépend de (τ h )n+1 i via l’équation macroscopique (4.46), est aussi une variable aléatoire ! Ceci a la conséquence inattendue suivante : pour calculer avec cette seconde méthode une vitesse du fluide, ou une champ de contrainte, il faudra moyenner le résultat sur plusieurs expériences numériques. Même moyennée, une telle simulation rencontre les habituelles difficultés des simulations de type Monte-Carlo, comme la présence de bruit. Nous terminons donc cette section par des notions plus avancées sur ce type de simulation, que le lecteur peu attiré par ces aspects peut aisément omettre, sans préjudice pour la suite du cours. Si on dispose de J réalisations indépendantes (Xi )1≤i≤J d’une variable aléatoire X dont on cherche a` calculer l’espérance, on a par le théorème de la limite centrale J σ σ 1 ≈ 0.95 Xi ∈ IE(X) − 1.96 √ , IE(X) + 1.96 √ P J i=1 J J o` u σ 2 = Var (X) = IE((X − IE(X))2 ) désigne la variance de X. Exercice 4.21. Montrer le résultat suivant, qui donne également une estimation de l’erreur d’approximation, mais cette fois en norme L2 : ⎛ 2 ⎞ J σ2 1 Xi − IE(X) ⎠ ≤ . IE ⎝ J i=1 J

162


On voit donc qu’` a nombre de réalisations fixé, plus la variance est petite, meilleure est l’approximation. Pour réduire la variance et améliorer ainsi la convergence, on peut mettre en oeuvre des méthodes dites de réduction de variance. En voici deux exemples. La première méthode consiste à corréler en espace les trajectoires des Pi . L’idée est de diminuer le bruit dˆ u aux variations du brownien en espace dans le calcul du tenseur des contraintes. Concrètement, cette méthode consiste à 0 = Pj0 , Pj0 désignant des prendre comme condition initiale sur les Pi : Pi,j gaussiennes centrées ne dépendant pas de i et à remplacer (4.73) par √

n+1 U n+1 − Ui−1 2K ∆t 2∆tσ n n+1 n Qj n + 1 − Vj . (4.75) Pi,j + = ∆t i Pi,j ∆y ζ ζ n Noter que Vjn a remplacé Vi,j .

La seconde méthode (de portée plus générale) consiste à utiliser des variables de contrˆ ole. Il s’agit de ne pas calculer directement IE(P Q), mais séparément chacun des deux termes de la somme ˜ + IE(P Q − P˜ Q) ˜ IE(P Q) = IE(P˜ Q) ˜ sont deux processus aléatoires (définis par des EDS) tels que o` u P˜ et Q ˜ soit facile à calculer ”analytiquement” (tout au moins sans si– IE(P˜ Q) mulation stochastique) ˜ soit proche de P Q de telle sorte que Var(P Q − P˜ Q) ˜ 0 de convergence forte s’il existe une constante C, éventuellement dépendant de l’intervalle [0, T ] de simulation, telle que, pour toute discrétisation de pas ∆t, on a, pour tout n, (4.82) IE Xn − Xtn ≤ C (∆t)α . A l’aide de cette définition, regardons en détail la discrétisation que nous avons effectuée en (4.71). Nous avons écrit une approximation du type tn+1 tn+1 dBt f (Xt ) dt + Xn+1 − Xn = tn

tn

≈ f (Xn ) ∆t + (Btn+1 − Btn )

(4.83)

pour une équation différentielle stochastique en fait de la forme (4.61) i.e. dXt = f (t, Xt ) dt + σ dBt .

4.4 A lire après le Chapitre 5 : notions de base d’analyse numérique des EDS

167

Il est intuitif de voir (et ceci peut évidemment se montrer rigoureusement) que l’ordre de cette approximation est ∆t, puisque l’erreur d’approximation est entièrement due au premier terme d’intégrale et est celle de l’habituel schéma d’Euler explicite. Cependant, cette situation simplifiée o` u σ ≡ 1 (la dispersion est constante devant le brownien) est une situation trompeuse. En fait, en toute généralité, on peut montrer que le schéma d’Euler-Maruyama est fortement convergent d’ordre α = 1/2 seulement. On peut en fait interpréter cet écart d’un demi-ordre entre le schéma et son analogue déterministe comme une “erreur de calcul” dans l’établissement du schéma d’Euler-Maruyama. D’une certaine manière, on a mené pour écrire le schéma (4.80) à partir de l’équation (4.78) un calcul différentiel habituel (c’est-à-dire déterministe) alors qu’on aurait dˆ u faire un calcul différentiel particulier, dit calcul d’Itˆ o, tenant compte du fait que le mouvement brownien n’est pas à variation quadratique bornée (ou, en termes plus simples, que (dBt )2 est d’ordre dt). Une manière de faire percevoir l’erreur commise est la suivante. Pour l’intégrale de Lebesgue, il est évident que N −1 n=0

tn+1

tn

N −1 2 (σ(t) − σ(tn )) dt ≤ σ ′ L∞ tn+1 − tn = O(dt).

(4.84)

n=0

Mais pour l’intégrale d’Itˆ o, la même stratégie de majoration donne formellement N −1 tn+1 N −1 2 ≤ σ ′ L∞ Btn+1 − Btn = O(1), )) dB (σ(B ) − σ(B t t t n n=0

tn

n=0

(4.85) en vertu de la loi forte des grands nombres (les variables aléatoires Btn+1 − 2 Btn sont indépendantes et toutes d’espérance tn+1 − tn = dt). Approcher la fonction par la fonction en escalier “naturelle” ne conduit donc pas a` la qualité d’approximation voulue. Alternativement, au niveau continu, cela correspond au fait que la loi de dérivation des fonctions composées n’est pas celle du cadre déterministe (on parle de formule d’Itˆ o pour une telle loi). Précisons un peu cela. Avec un calcul différentiel classique, on écrit à partir de (4.78), c’est-à-dire de la forme intégrée (4.79), tn+1 tn+1 σ(Xt ) dBt f (Xt ) dt + Xn+1 − Xn = tn

tn

≈ f (Xn ) ∆t + σ(Xn ) (Btn+1 − Btn )

o` u l’approximation de la seconde intégrale est simplement tn+1 tn+1 dBt = σ(Xn ) (Btn+1 − Btn ) σ(Xt ) dBt ≈ σ(Xn ) tn

tn

(4.86)

(4.87)

168


d’o` u le schéma (4.80). Cette approximation (4.87) n’est pas exacte a` l’ordre ∆t, mais à l’ordre (∆t)1/2 parce qu’elle consiste à négliger la dérivée de σ(Xs ) (ce qui n’a aucune influence dans le cas o` u σ est constant, conformément à ce qu’on a vu ci-dessus). On a en fait oublié un terme d’ordre supérieur a` ∆t, rendant impossible d’obtenir un schéma fortement convergent d’ordre 1. En fait, la bonne fa¸con de procéder est de faire un calcul d’Itˆ o sur σ(Xt ) qui s’écrit (on l’admet) σ(Xt ) = σ(Xtn ) +

t

σ(Xs )σ ′ (Xs ) dBs

tn

+

t

tn

1 σ ′ (Xs )f (Xs ) + σ ′′ (Xs )σ 2 (Xs ) ds. 2

Cette relation est la forme mathématique de

1 d(σ(Xt )) = σ ′ (Xt ) dXt + σ ′′ (Xt )σ 2 (Xt )dt, 2 qui est une loi des fonctions composées différente du cas déterministe. Elle conduit donc a` approcher σ(Xt ) selon σ(Xt ) ≈ σ(Xtn ) +

t

tn

σ(Xs )σ ′ (Xs ) dBs ≈ σ(Xtn ) + σ(Xn )σ ′ (Xn ) (Bt − Btn )

En insérant cela dans l’intégrale (4.87), on obtient donc

tn+1

σ(Xt ) dBt

tn

≈ σ(Xtn ) (Btn+1 − Btn ) + σ(Xn )σ ′ (Xn )

tn+1 tn

(Bt − Btn ) dBt

= σ(Xtn ) (Btn+1 − Btn ) + σ(Xn )σ ′ (Xn ) (Btn+1 − Btn )2 − ∆t

En regroupant, on a introduit le schéma dit schéma d’Euler-Milstein Xn+1 − Xn = f (Xn ) ∆t + σ(Xn ) (Btn+1 − Btn ) 1 + σ(Xn )σ ′ (Xn ) (Btn+1 − Btn )2 − ∆t 2

(4.88)

Ce schéma est, lui, fortement convergent d’ordre 1 pour la discrétisation de (4.78) (avec des données f et σ assez régulières), comme son analogue déterministe, le schéma d’Euler explicite. On notera bien sˆ ur que, quand le terme σ devant le brownien est une fonction constante, ce qui est le cas dans notre simulation de fluides polymériques, les deux schémas d’Euler-Maruyama et Euler-Milstein sont identiques.

4.4 A lire après le Chapitre 5 : notions de base d’analyse numérique des EDS

169

4.4.2 Convergence faible du sch´ ema La notion d’ordre de convergence forte mesure l’écart entre simulation numérique et solution exacte en termes d’espérance, c’est-à-dire en moyenne. Elle a notamment une implication sur l’écart pour chaque réalisation, puisque dès que les variables aléatoires |Xn − Xn∆t | sont d’espérance bornée, on peut affirmer 1 (4.89) IP(|Xn − Xtn | ≥ a) ≤ IE(|Xn − Xtn |), a et donc, dans la situation d’un schéma d’ordre 1/2,

(4.90) IP |Xn − Xtn | ≥ (∆t)1/4 ≤ C(∆t)1/4 , ce qui donne une évaluation, réalisation par réalisation, de l’erreur numérique réalisée. On peut être moins exigeant que la convergence forte, qui demande la convergence en moyenne, et introduire la. D´ efinition 4.26. Dans les mêmes conditions que la Définition précédente, on dit que le schéma a l’ordre β de convergence faible, s’il existe une constante C telle que IE ϕ(Xn ) − IE ϕ(Xn∆t ) ≤ C (∆t)β , (4.91)

pour toute fonction ϕ de classe C ∞ , telle qu’elle-même et toutes ses dérivées soient ` a croissance polynˆ omiale a ` l’infini.

Cette définition se justifie en ce que, dans la plupart des situations pratiques, on ne cherche pas à calculer véritablement le processus Xt lui-même, mais seulement une espérance bˆ atie à partir de ce processus, ne faisant donc inter venir que la densité de ce processus, ou en d’autres termes des IE ϕ(Xn∆t ) , dont la précision est précisément régie par cette notion de convergence faible. Ceci est exactement la situation pour notre simulation de fluides polymèriques, puisque les équations différentielles stochastiques sont alors utilisées pour calculer le tenseur des contraintes par la formule (4.70), c’est-` a-dire une espérance. On peut montrer que le schéma d’Euler-Maruyama est faiblement convergent d’ordre β = 1 pour l’approximation de l’équation différentielle stochastique (4.78) avec des données f et σ suffisamment régulières. La notion de convergence faible permet donc de retrouver le résultat d’ordre du cadre déterministe.

170


4.4.3 Stabilit´ e asymptotique du sch´ ema Introduisons une dernière notion. Pour juger de la qualité d’un schéma de discrétisation numérique sur les longs temps d’intégration, nous avons introduit pour les équations différentielles ordinaires la notion de stabilité, mesuré sur l’équation prototype (5.22) a` savoir y ′ (t) = λ y(t) | . Nous mesurions alors la capacit´ e d’un schéma à reproduire la pour λ ∈ C convergence en temps long vers zéro, lorsque λ a une partie réelle négative. Ici, pour notre cadre stochastique, nous introduisons de même l’équation différentielle stochastique

dXt = λ Xt dt + µ Xt dBt ,

(4.92)

o` u λ et µ sont deux complexes fixés. Il est facile de voir que selon la position de λ et µ dans le plan complexe, on a le comportement suivant de la solution de (4.92) quand t −→ +∞, lim IE(Xt2 ) = 0

t−→+∞

si et seulement si

Re(λ) +

1 2 |µ| < 0 (4.93) 2

ce qu’on appelle stabilité en moyenne et limt−→+∞ |Xt | = 0 avec probabilité 1 si et seulement si

1 2

µ2 ) < 0 (4.94) ce qu’on appelle stabilité asymptotique. Noter que les deux notions de stabilité co¨ıncident dans le cas déterministe µ = 0, et redonnent ce qui est connu. De l` a, la double définition suivante. Re(λ −

D´ efinition 4.27. On appelle domaine de stabilité en moyenne, et respectivement domaine de stabilité asymptotique, d’un schéma numérique donné les | 2 pour lesquelles le sch´ ema domaines des valeurs de (∆t, λ, µ) dans IR+ × C numérique reproduit pour la solution discrète les comportements des membres de gauche de (4.93) et (4.94). Pour le schéma d’Euler-Maruyama, on peut montrer lim

n−→+∞

IE(Xn2 ) = 0

si et seulement si

|1 + ∆t λ|2 + ∆t |µ|2 < 1

(4.95)

et limn−→+∞ |Xn | = 0 si et seulement si

avec probabilité 1

√ IE Log 1 + ∆t λ + ∆t µ N (0, 1)

(4.96) 0 vaut éventuellement +∞. On se donne y0 ∈ IRm et une fonction f définie sur I × IRm à valeurs dans IRm , et on cherche à trouver une fonction y continue et dérivable sur I, a` valeurs dans IRm telle que, ′ y = f (t, y(t)) pour tout t ∈ I, (5.2) y(t = 0) = y0 . Ce problème s’appelle un problème de Cauchy. La valeur y0 est sa donnée initiale, aussi appelée condition de Cauchy. Dans toute la suite, une fonction y continue et dérivable sur I, a` valeurs dans IRm , qui vérifie (5.2) est dite solution du problème de Cauchy (5.2).

5.2 Notions rapides d’analyse numérique des EDO

175

5.2.1 G´ en´ eralit´ es et sch´ ema d’Euler explicite Nous supposons que le problème de Cauchy (5.2) admet une unique solution sur un intervalle [0, T ] (T fini), ce qui va en particulier être assuré par la condition de Lipschitz suivante : on suppose que la fonction f est continue sur I × IRm et de plus qu’il existe un réel L (dit constante de Lipschitz de la fonction f ) tel que ∀t ∈ I, ∀y, z ∈ IRm ,

|f (t, y) − f (t, z)| ≤ L|y − z|.

(5.3)

Une variante de (5.3) est : il existe une fonction l ∈ L1 (I) telle que ∀t ∈ I, ∀y, z ∈ IRm ,

(f (t, y) − f (t, z), y − z) ≤ l(t)|y − z|2 .

(5.4)

Pour simplifier, nous supposons désormais que y est à valeurs réelles (m = 1), sauf mention explicite du contraire. Pour résoudre numériquement (5.2), la méthode naturelle est de découper l’intervalle [0, T ] en N intervalles, de longueurs non nécessairement identiques 0 = t0 < t1 < t2 < ... < tN −1 < tN = T , de poser hn = tn+1 − tn , h = max0≤n≤N −1 hn , et d’utiliser le schéma dit schéma d’Euler explicite yn+1 = yn + hn f (tn , yn ), 0 ≤ n ≤ N − 1

(5.5)

avec la donnée initiale y0 figurant dans (5.2). L’objectif de l’analyse numérique in fine est de savoir à quel point la solution numérique yn (0 ≤ n ≤ N ) sera une approximation convenable de la solution exacte y(t) prise aux instants t0 , t1 , ..., tN correspondants. Nous définissons donc l’erreur au temps tn par en = y(tn ) − yn .

(5.6)

Le schéma définit une approximation numérique convergente (voir la Définition 5.10 plus loin) si lim max0≤n≤N |en | = 0. h−→0

A l’instant tn+1 , l’erreur en+1 , qui représente la différence entre la solution exacte y(tn+1 ) et la solution approchée yn+1 , peut être décomposée de la fa¸con suivante : • l’erreur qui vient juste d’être faite sur le pas de temps [tn , tn+1 ] • et l’erreur qui venait de tous les pas de temps antérieurs.

Pour quantifier la première erreur, on peut imaginer la situation o` u on aurait calculé de fa¸con parfaite jusqu’` a l’instant tn : on aurait donc la valeur exacte y(tn ) à l’instant tn . En insérant cette valeur dans le schéma numérique, on ferait, sur le pas de temps [tn , tn+1 ], une erreur liée seulement au schéma numérique lui-même qui serait εn = y(tn+1 ) − y(tn ) + hn f (tn , y(tn )) .

176

5 Cinétique chimique

Cette erreur, commise spécifiquement sur le pas de temps [tn , tn+1 ], est appelée erreur locale de troncature au temps tn , et est mesurée par la notion de précision du schéma. En particulier, le schéma sera dit consistant si cette erreur décroit strictement plus vite que h, en un sens que nous préciserons plus loin. Quant a` la seconde erreur, elle n’est pas locale, mais globale. Elle a comme origine l’accumulation des erreurs locales de troncature a` tous les pas de temps précédents. Cette erreur peut être contrˆ olée par une notion dite de stabilité. Si on arrive a` construire un schéma permettant de maˆıtriser a` la fois le premier type d’erreur et le second, il y a toutes les chances que ce schéma fournisse une approximation convergente. Nous verrons que c’est effectivement le cas à l’Exercice 5.11 (pour l’exemple des schémas à un pas).

y solution exacte y(t) εn

en y

solution numérique y

n

0

t

t n+1

n

t

Fig. 5.1. L’erreur de troncature εn et l’erreur globale en .

Dans le cadre du schéma (5.5), l’erreur de troncature s’écrit tn+1 εn = y(tn+1 ) − y(tn ) + hn f (tn , y(tn )) = (y ′ (t) − y ′ (tn )) dt

(5.7)

tn

et peut donc être contrˆ olée, dès que la solution exacte y est de classe C 2 (ce qui est le cas dès que la fonction f est C 1 ) par tn+1 |y ′′ (t)| dt, (5.8) |εn | ≤ hn tn

ce qui montre en particulier que la méthode est donc consistante. On contrˆ ole alors l’accumulation des erreurs en examinant l’erreur en+1 , qu’on décompose


177

sous la forme en+1 = en + hn (f (tn , y(tn )) − f (tn , yn )) + εn . Si f vérifie la condition de Lipschitz (5.3), on en déduit |en+1 | ≤ (1+Lh)|en |+ |εn |. A l’aide d’un raisonnement par récurrence sur n, avec e0 = 0, il est basique de voir que ceci implique l’estimation suivante, qui exprime en fait la stabilité du schéma : n−1 |εk |eL(tn −tk+1 ) , (5.9) |en | ≤ k=0

On déduit de (5.8) et (5.9) : |en | ≤ h ≤h ≤h

n−1

eL(tn −tk+1 )

k=0

k=0 tn 0

tk+1

tk

n−1 tk+1

tk

|y ′′ (t)| dt

|y ′′ (t)|eL(tn −t) dt

|y ′′ (t)|eL(tn −t) dt.

Nous avons prouvé le résultat suivant. Th´ eor` eme 5.1. Quand la fonction f vérifie la condition de Lipschitz (5.3), le schéma d’Euler explicite est convergent. Si la solution exacte y est de plus de classe C 2 , on peut estimer l’erreur par tn |y ′′ (t)|eL(tn −t) dt. (5.10) |en | ≤ h 0

Le coˆ ut d’une méthode comme (5.5) est seulement déterminé par les évaluations de la fonction f à chaque pas de temps. Economiser du temps de calcul nécessite donc de réduire le nombre de pas de temps, ou, ce qui revient au même, d’augmenter les hn . L’idée motrice est de se dire que quand on remarque que l’erreur qu’on commet est tolérable, on s’autorise pour les quelques pas de temps qui suivent un pas de temps plus large, et quand au contraire, on décèle une erreur devenant dangereusement grande, on raffine localement le pas de temps. On parle d’une stratégie de contrˆ ole du pas, laquelle peut être très difficile à mettre en oeuvre, surtout sur les problèmes multiéchelles qui nous occuperont plus loin. Exercice 5.2. L’objet de l’exercice est de montrer que le schéma d’Euler explicite nécessite de petits pas de temps. On considère ′ pour tout t ∈ [0, 1], y = −20 y (5.11) y(t = 0) = 1.

178


Comme la solution exacte est y(t) = e−20t , on s’attend a` ce que, même sur le segment [0,1], la solution s’écrase vite vers 0. Calculer (à la main !) la solution numérique obtenue via le schéma d’Euler explicite pour le pas de temps ∆t = 1/10, puis pour ∆t = 1/20. Commenter. Programmer la résolution pour ∆t = 1/40. 5.2.2 Sch´ ema d’Euler implicite On introduit le schéma suivant, dit schéma d’Euler implicite yn+1 = yn + hn f (tn+1 , yn+1 ), 0 ≤ n ≤ N − 1

(5.12)

pour la résolution du système (5.2). La dénomination implicite est claire : yn+1 est une fonction implicite de yn , et cela justifie rétrospectivement la dénomination explicite pour le schéma (5.5). En pratique, il ne sera pas forcément facile de calculer yn+1 à partir de yn via la relation (5.12). Ceci peut par exemple nécessiter un algorithme de résolution de type Newton, lequel nécessitera lui-même une résolution de système linéaire à chaque itération. Dans l’évaluation du coˆ ut d’une méthode implicite, on devra tenir compte, non seulement comme dans le cas des méthodes explicites du nombre de pas de temps, mais du coˆ ut de chacun des pas de temps. L’erreur de troncature du schéma d’Euler implicite est la même que pour le schéma d’Euler explicite, mais la différence cruciale entre les deux schémas se situe dans l’analyse de la stabilité. Nous rappellerons la définition exacte de la stabilité ci-dessous (stabilité et stabilité absolue, respectivement aux Définitions 5.8 et 5.12). Regardons ici un critère lié à cette notion de stabilité, à savoir le fait de pouvoir affirmer sur la résolution de ′ = −λy, y (5.13) y(0) = y0 avec λ > 0, que |yn | est uniformément borné en n. Il est immédiat de vérifier que le schéma (5.12) s’écrit alors (1+λhn )yn+1 = u yn , d’o` n $ 1 y0 . (5.14) yn+1 = 1 + λhk k=0

On déduit de (5.14) que |yn | reste borné (par |y0 | ici) pour tout n, indépendamment d’ailleurs du choix des pas hk . Il est instructif de faire la comparaison avec le schéma d’Euler explicite qui donne : yn+1 =

n $

k=0

(1 − λhk )y0 ,

(5.15)

et qui donc ne fournira une solution bornée pour tout n que sous une contrainte sur les pas hk . Pour un schéma comme le schéma d’Euler implicite on pourra


179

donc économiser du temps calcul en choisissant un pas de temps plus grand, contrepartie du fait que chaque itération “implicite” est plus coˆ uteuse. Remarque 5.3. On ne doit pas penser pour autant que le schéma d’Euler implicite est parfait ! Pour l’équation (5.13) avec λ < 0, il fournit une approximation yn qui tend vers 0 quand n −→ +∞ alors que la solution exacte explose vers +∞. Nous avons le résultat suivant, que nous admettons (voir cependant un cas particulier en exercice) : Th´ eor` eme 5.4. On suppose que la fonction f vérifie la condition (5.4) et que pour tout n, hn l(tn+1 ) < 1. Alors, la formule de récurrence (5.12) définit bien une valeur unique de yn+1 et la méthode d’Euler implicite est convergente. Exercice 5.5. On applique le schéma d’Euler implicite sur l’équation (5.13), avec λ > 0 grand. Montrer que l’erreur s’écrit pour tout n

n−1 n−1 $ 1 εl . (5.16) en = 1 + λhk l=0

k=l+1

En déduire une estimation de |en | quand le pas h est constant. Comparer avec le cas du schéma d’Euler explicite. Montrer que le schéma d’Euler implicite est convergent pour l’équation (5.13). On peut en fait remarquer que prouver la convergence d’un schéma implicite quand le pas h tend vers zéro est un peu une coquetterie. En effet, cela revient à montrer que quand le pas de temps tend vers zéro, les choses se passent bien, alors que dans la pratique tout l’intérêt d’un schéma implicite est de pouvoir prendre un pas de temps grand, même quand les constantes de Lipschitz sont grandes ! A cela, deux réponses au moins : - il est utile de vérifier la convergence quand h −→ 0 pour avoir une idée de la qualité du schéma ; - il existe d’autres études de convergence des schémas implicites, valables précisément dans un contexte o` u on n’a pas h petit a` L grand donné, mais par exemple hL −→ +∞, ce qui est plus proche de la réalité ; ces études sont le fait des “professionnels” de la résolution numérique des équations différentielles ordinaires difficiles (“raides”, au sens d’une définition que nous verrons plus loin), et dépassent largement, par leur technicité, le cadre de ce cours. Nous verrons cependant des idées dans la même direction a` la section 5.3. 5.2.3 Pr´ ecision, stabilit´ e et convergence Nous rappelons maintenant dans le cadre simplifié qui est le nˆ otre ici les notions de précision, consistance, stabilité d’une méthode que nous avons introduites ci-dessus dans le cas des schémas d’Euler.

180


D´ efinition 5.6. Nous appelons ordre du schéma yn+1 = yn + hn Φ(tn , yn ; hn ), le plus grand entier p tel que l’erreur locale de troncature vérifie

p+1 . y(t + h) − y(t) − hΦ(t, y(t); h) = O h

(5.17)

(5.18)

pour toute fonction f qui est p fois continˆ ument dérivable et toute solution y(t) de (5.2). Nous dirons de fa¸con équivalente qu’il est précis à l’ordre p + 1. Le schéma sera dit consistant s’il est d’ordre p ≥ 1. Noter qu’avec Φ(t, y; h) = f (t, y) on retrouve ci-dessus le schéma d’Euler explicite. Le schéma d’Euler implicite (5.12) se met aussi sous la forme cidessus en choisissant hΦ(t, y; h) = Ψ (t, y; h) − y, o` u Ψ (t, y; h) est (sous réserve de bonnes conditions sur la fonction f ) l’unique solution z de z = y + hf (t + h, z). Remarque 5.7. On pourrait se poser : pourquoi la pro la question suivante priété minimale exigée est-elle O h2 et pas O h ? ou, en d’autres termes, pourquoi la consistance est-elle associée à p = 1 et non a` p = 0 pour l’erreur de troncature ? La raison est qu’on ne s’intéresse pas tant à une erreur de troncature, mais a` la somme d’entre elles. Si on impose (5.18) avec p ≥ 1, on voit que N −1 n=0

−1 N y(t + h) − y(t) − hΦ(t, y(t); h) ≤ O h2 n=0

−1 N = h O h = T O h −→ 0, n=0

ce qui ne serait pas vrai pour (5.18) avec seulement p = 0. Certains auteurs choisissent ainsi de définir la consistance de manière un peu différente, mais avec le même objectif. Passons maintenant a` la stabilité. D´ efinition 5.8. Le schéma (5.17) est dit stable si il existe h∗ > 0 et une T (mais dépendant éventuelconstante M indépendante de h∗ et de N n=1 hn lement de T ) telle que, pour toutes les suites hn ≤ h∗ , yn , zn , δn vérifiant, pour 0 ≤ n < N , yn+1 = yn +hn Φ(tn , yn ; hn ), zn+1 = zn +hn Φ(tn , zn ; hn )+δn , on a |δn | . (5.19) max0≤n≤N |zn − yn | ≤ M |y0 − z0 | + 0≤n 0 fixé et pour toute perturbation δ 0 ∈ IRm et δ(t) ∈ C 0 (I, IRm ) des données satisfaisant |δ0 | ≤ ε, |δ(t)| ≤ ε, ∀t ∈ I, la solution z du problème de Cauchy perturbé ′ pour tout t ∈ I, z = f (t, z) + δ(t) (5.20) z(t = 0) = y0 + δ0 , vérifie |z(t) − y(t)| ≤ Cε ou, ce qui est une variante1 , |z(t) − y(t)| ≤ C|δ0 | + C

0

t

|δ(s)| ds, ∀t ∈ I.

Pour T < +∞, et f continue vérifiant la condition de Lipschitz (5.3), on peut montrer que le problème de Cauchy (5.2) est stable (au sens de la définition ci-dessus). De même, sous des conditions raisonnables sur Φ (Φ est lipschitzienne par rapport a` la variable y, et ce uniformément en h et t ∈ [0, T ]), le schéma (5.17) est stable. Reste à définir la convergence. D´ efinition 5.10. Le schéma (5.17) est dit convergent si lim max0≤n≤N |en | = 0.

h−→0

(5.21)

Exercice 5.11. Montrer qu’un schéma de type (5.17) consistant et stable est convergent. On exprime souvent ceci en disant stabilit´ e + consistance =⇒ convergence L’exercice précédent montre donc que les propriétés de consistance et de stabilité sont suffisantes pour assurer la convergence du schéma. La consistance exprime que le schéma est, pas par pas, proche de l’équation, la stabilité exprime que “la dérivée du résultat par rapport a` des perturbations répétées” est bornée, et donc, quand h tend vers zéro, on obtient asymptotiquement la solution exacte. Certes. Mais on se souvient que le schéma d’Euler explicite est consistant, stable et convergeant, au sens des définitions ci-dessus, ce qui ne l’empèche pas d’être peu efficace dans les situations difficiles. Par ces notions, nous sommes donc rassurés sur les propriétés théoriques du schéma, mais peu renseignés sur ses réelles performances dans la pratique, notamment en ce qui concerne les temps longs d’intégration. Il nous faut donc une autre définition. Pour poser cette définition, qui sera celle de la stabilité absolue d’une méthode, nous aurons besoin d’un problème de Cauchy de référence. Ce problème sera le problème linéaire du type (5.13) que nous récrivons ici de la fa¸con suivante. 1

non rigoureusement équivalente mais utilisée en pratique

182


On considère le problème de Cauchy linéaire ′ y (t) = λ y(t) pour tout t > 0, y(0) = 1,

(5.22)

o` u λ ∈ C et y est à valeurs dans C. Bien sˆ ur, sa solution est y(t) = eλ t . En particulier, pour Re(λ) < 0, cette solution tend vers zéro quand le temps tend vers l’infini. Il est courant de juger d’une méthode numérique en constatant si oui ou non elle sait reproduire ce comportement. Pour cela, on a la définition suivante. D´ efinition 5.12. Soit yn la solution fournie par une méthode numérique donnée sur l’équation (5.22) pour un certain λ ∈ C fixé, et en prenant un pas constant h. Nous nous intéressons a ` la propriété lim

n−→+∞

|yn | = 0,

(5.23)

que nous appelerons propriété de stabilité absolue pour l’accroissement hλ. Nous définissons l’ensemble D = {z = hλ ∈ C ; (5.23) est vraie}. Cet ensemble est appelé le domaine de stabilité absolue de la méthode. Lorsque ce domaine contient C− = {z ∈ C; Re(z) ≤ 0}, la méthode est dite inconditionnellement absolument stable. Avec cette définition, le schéma d’Euler explicite, dont on rappelle qu’il est stable, n’est pas inconditionnellement absolument stable alors que le schéma d’Euler implicite est, lui, inconditionnellement absolument stable.

5.3 Les probl` emes raides Pour l’essentiel des problèmes de Cauchy apparaissant naturellement en Calcul Scientifique, on rencontre des difficultés quand on utilise une méthode de discrétisation explicite. L’exemple de l’exercice suivant met en scène de telles difficultés (qu’on a en fait déjà rencontrées à l’Exercice 5.2 ci-dessus). Exercice 5.13. On veut résoudre ⎧ ′′ pour tout t ∈ [0, 1], ⎨ y = 100y y(t = 0) = 1, ⎩ ′ y (t = 0) = −10.

(5.24)

Identifier la solution exacte. Pour calculer cette solution, nous mettons (5.24) sous la forme

d y 0 1 y = ′ ′ 100 0 y y dt Vérifier, en programmant le schéma d’Euler explicite pour les pas de temps ∆t = 1/10, ∆t = 1/10000 que le comportement est celui de la Figure 5.2. Comparer a` la solution exacte.

5.3 Les problèmes raides

183

20 schéma d’Euler 10 pas schéma d’Euler 10 000 pas solution exacte

10

0

-10

-20

-30

0

0.5

1

Fig. 5.2. Résultats pour l’Exercice 5.13 avec le schéma d’Euler explicite.

De même que dans l’Exercice, un exemple d’une situation difficile est le suivant. On cherche a` résoudre le système différentiel du premier ordre suivant ⎧ ′ u = 998 u + 1998 v, ⎪ ⎪ ⎨ ′ v = −999 u − 1999 v, (5.25) u(0) = 1, ⎪ ⎪ ⎩ v(0) = 0.

La solution exacte peut être déterminée par un astucieux changement de variable et vaut : u = 2e−t − e−1000t , v = −e−t + e−1000t .

Evidemment, aucun ordinateur ne calcule a` une précision telle qu’on puisse espérer détecter le terme en e−1000t (une échelle de temps très très rapide cachée dans le système) et donc on s’attend raisonnablement2 à trouver grosso modo, pour tout t > 0, u = 2e−t ,

v = −e−t .

Ces deux fonctions sont des fonctions a priori bien inoffensives. Pourtant, en intégrant le système (5.25) par le schéma d’Euler explicite, on trouve les résultats indiqués dans la figure 5.3. On a représenté la fonction u, qui devrait ressembler à 2e−t . Les trois courbes ont été obtenues pour ∆t = 1/400, ∆t = 1/500, ∆t = 1/1000. On a représenté les solutions numériques sur l’intervalle de temps [0, 0.1], et encore ! On a dˆ u tronquer la première courbe car elle explosait. La seconde oscille autour de ce qui semble être la bonne solution ; la troisième semble bonne, au moins sur cet intervalle de temps. 2

encore qu’il y ait un piège, qu’on découvrira en examinant les conditions initiales de (5.25)

184

5 Cinétique chimique 10

schéma d’Euler 400 pas schéma d’Euler 500 pas schéma d’Euler 1000 pas

5

0

0

0.05

0.1

Fig. 5.3. Résultats pour le système (5.25)

Notre analyse d’un tel cas débute par une définition, assez heuristique, des problèmes raides. D´ efinition 5.14. On dira qu’un problème de Cauchy est raide si l’exigence de stabilité de la méthode numérique employée (si on se restreint a ` un intervalle de temps [0, T ] pas trop grand, ou alternativement l’exigence de stabilité absolue si on s’intéresse a ` un intervalle de temps [0, T ] grand ou a ` [0, +∞[) induit sur le pas de temps une contrainte beaucoup plus forte que l’exigence de précision. Remarque 5.15. Evidemment, un système peut en pratique être raide dans certains intervalles de temps et pas dans d’autres, et donc la définition cidessus doit être modulée de sorte de s’adapter au cas que le lecteur a en tête. Explicitons un peu cela sur deux exemples. Regardons d’abord l’exemple du problème (5.2), dans le cas scalaire (m = 1) sur l’intervalle [0, T ], T fini, pour une fonction f lipschitzienne, avec une constante de Lipschitz L moralement grande. Pour simplifier encore plus, on se restreint au problème linéaire ′ = −Ly y (5.26) y(0) = 1 On choisit de discrétiser l’équation avec le schéma d’Euler explicite, et hn ≡ h. L’erreur de troncature est contrˆ olée via la formule (5.8), qui peut ici s’écrire tn+1 |y ′′ | ≤ h2 L2 e−Ltn . |εn | ≤ h tn

5.3 Les problèmes raides

185

Parallèlement, l’erreur |en | est contrôlée par la relation (5.10), qui donne pour tn = T : T 1 |eN | ≤ h y ′′ (s)eL(T −s) ds ≤ hLeLT . 2 0

Dès lors, on constate le fait suivant. Si L est raisonnablement grand mais si e LT est énorme, alors, bien qu’on ait un bon contrˆ ole de l’erreur de troncature, on contrˆ ole très mal l’erreur globale. A contrario, pour contrˆ oler très bien |eN |, il faut imposer au pas h d’être formidablement petit par rapport a` la relativement faible contrainte imposée par le contrˆ ole de l’erreur de troncature. La différence vient bien sˆ ur de la contrainte de stabilité très forte dans le cas du schéma d’Euler explicite appliqué à cette équation. Examinons maintenant le cas d’un système linéaire y ′ = Ay,

(5.27)

o` u la matrice A est choisie, encore pour simplifier, diagonale ⎛ ⎞ −λ1 ⎜ ⎟ −λ2 ⎟. A=⎜ ⎝ ⎠ ... −λN

On suppose que les −λi sont N réels strictement négatifs, classés comme suit : u λN est très grand 0 > −λ1 > ... > −λN . On se place alors dans la situation o` devant λ1 . On discrétise encore par la méthode d’Euler explicite. L’erreur de troncature peut s’estimer de la fa¸con suivante : |εn | ≤ h

tn +h

tn

′′

|y (s)| ds = h

et donc |εn | ≤ h2

N

N tn +h

tn

λ2i e−sλi ds,

i=1

λ2i e−tn λi .

i=1

Comme tous les rapports λi /λ1 sont strictement plus grands que 1, on en déduit que dès que le temps tn est grand, seul compte dans cette somme le terme d’indice 1, et l’erreur de troncature est donc grosso modo contrˆ olée par |εn | ≤ h2 λ21 e−tn λ1 . La contrainte de stabilité absolue est quant a` elle obtenue en écrivant que |y n | doit tendre vers 0 pour les grands indices de n. Comme yn = (1 + hA)n y0 , on voit que ceci est équivalent a` |1 − hλi | < 1 pour tous les indices i, ce qui est équivalent dans notre situation a` la contrainte |1 − hλN | < 1 (qui est la plus exigeante de toutes), c’est-à-dire a` hλN < 2. Comparons alors

186


les deux contraintes de précision et de stabilité absolue : comme le rapport λN /λ1 est très grand, la seconde est énormément plus exigeante. On est bien dans le cas d’un problème raide au sens de notre définition. Le lecteur comprendra aisément que le raisonnement que nous avons mené serait encore valable pour une matrice diagonale faite de valeurs propres complexes dont les parties réelles sont négatives, ou encore pour une matrice quelconque (quitte a` la rendre triangulaire) vérifiant la même propriété, ou encore pour un système quelconque dont la linéarisation (locale en temps) partagerait ces caractéristiques. Ceci permet donc d’isoler une catégorie de systèmes qui sont nécessairement raides : Un système différentiel (i.e. m > 1 dans (5.2)) est raide au moins dans la situation suivante : sur au moins une partie de l’in ∂fi (t, y) ij a ses tervalle de temps qu’on considère, la matrice jacobienne ∂yj valeurs propres λi vérifiant pour tout temps 0 ≥ Re(λ1 ) ≥ ... ≥ Re(λN ), avec |Re(λN )| grand devant |Re(λ1 )|. Exercice 5.16. Expliquer les difficultés rencontrées aux Exercices 5.2 et 5.13. La raideur d’un problème est essentiellement due à la présence dans le problème de Cauchy de plusieurs échelles de temps radicalement différentes. Dans le cas du système différentiel ci-dessus, les λi peuvent typiquement représenter des constantes de temps de l’évolution des différentes variables du système physique, et la raideur signifie qu’une des variables évolue incomparablement plus vite qu’une autre. On repensera bien sˆ ur au système de cinétique chimique (5.1). La variété des échelles de temps est claire. Pour le cas d’une équation (et non d’un système), il faut comprendre que la variété des échelles de temps s’inscrit plus séquentiellement que parallèlement comme dans le cas du système : au début (cf. l’Exercice 5.2) la “pente” est grande, ceci étant lié au fait que L est grand, autrement dit la variable varie vite, puis, quand le temps devient grand, la variable varie plus lentement. L` a est la variété des échelles de temps. Quoi qu’il en soit, la raideur est intrinsèquement liée à un comportement dynamique. Une solution technique adaptée sera donc de laisser de côté toute méthode explicite et d’adopter systématiquement une méthode implicite, par exemple le schéma d’Euler implicite vu ci-dessus. Ce schéma est en fait un cas particulier simple d’une famille générale, connue sous le nom de méthodes de différentiation rétrograde, ou plus couramment méthode BDF, d’après son acronyme anglais pour Backward Differentiation Formulae. yn+1 =

p j=0

aj yn−j + hb−1 f (tn+1 , yn+1 ).

(5.28)

5.4 Méthodes de séparations d’opérateurs

187

Une telle méthode est dite multipas puisque la valeur de yn+1 est bâtie à partir non seulement de la valeur de yn , mais aussi de celles de yn−1 , yn−2 ,... Le coefficient b−1 , supposé par construction non nul (il faut bien tenir compte au moins une fois de f !), et les aj sont choisis de la manière suivante : on fait l’approximation de la fonction t −→ y(t) par le polynˆ ome prenant aux p + 2 noeuds tn−p = tn − ph, tn−p+1 = tn − (p − 1)h, ..., tn+1 les valeurs respectives yn−p , yn−p+1 , ..., yn+1 ; on en déduit par simple dérivation de ce polynˆ ome une approximation de la dérivée y ′ (tn+1 ). On pose ensuite que cette valeur est égale à f (tn+1 , yn+1 ) en vertu de ce que y est solution du problème de Cauchy. Le cas p = 0 redonne la méthode d’Euler implicite, et en prenant par exemple p = 2, on trouve yn+1 =

6 1 18yn − 9yn−1 + 2yn−2 + hf (tn+1 , yn+1 ). 11 11

(5.29)

L’analyse numérique générale de ces méthodes nous emmènerait trop loin. Il s’agit seulement de retenir ici que les notions de précision, stabilité et convergence introduites ci-dessus peuvent être étendues au cas plus complexe comme (5.28). Cette analyse montre la très bonne stabilité de telles méthodes, et donc leur aptitude a` simuler les systèmes raides.

5.4 M´ ethodes de s´ eparations d’op´ erateurs Nous avons vu a` la section précédente une stratégie pour simuler numériquement les systèmes multiéchelles en temps du type de ceux de la cinétique chimique. On pourrait brièvement résumer cette stratégie par utiliser des schémas implicites, et non des schémas explicites. La difficulté est alors la suivante. Chaque pas de temps coˆ ute cher puisque l’on doit déterminer yn+1 à partir de yn (et éventuellement des itérés précédents dans le cadre d’une méthode multipas) via la résolution d’une équation (comme par exemple (5.12) ou (5.29)). Ceci peut être très consommateur en temps calcul. On pensera au cas o` u l’équation d’évolution est en fait un énorme système d’équations différentielles. Un tel cas n’est pas rare en cinétique chimique o` u on va traiter parfois des centaines d’espèces et des milliers de réactions. Chaque pas de temps coˆ utera alors une résolution d’un gros système linéaire. Il est donc utile dans un tel cas de disposer d’une stratégie permettant de découpler un certain nombre d’équations ou de variables pour ne pas avoir à les traiter dans une lourde résolution implicite. L’une des techniques est la technique de séparation d’opérateurs. L’idée est de réaliser l’intégration en temps en plusieurs étapes. Typiquement, chaque pas de temps ∆t ne sera pas une avancée globale pour le système complet mais 2 avancées pour les deux sous-systèmes constitués l’un

188


par les variables évoluant lentement, l’autre par les variables évoluant rapidement. Chaque sous-système sera alors traité par une méthode d’intégration numérique spécifique, o` u le sous-pas de temps pourra être choisi de fa¸con adaptée. Ainsi, le pas de temps ∆t sera choisi grand ; on intégrera une partie du système (la partie raide) par une méthode implicite en un seul pas de temps ∆t et l’autre partie pourra être intégrée avec un schéma explicite en découpant le pas ∆t en plus petits pas δt. Détaillons ceci. 5.4.1 Le cas simple Pour l’analyse, nous considérons d’abord le cas o` u les opérateurs correspondent a` des vitesses de même ordre. Considérons l’exemple suivant dz = Cz = Az + Bz dt

(5.30)

assorti de la condition initiale z(0) = z0 . Dans cette équation, z est un vecteur de IRN , A, B et C sont trois matrices de taille N . Les matrices A et B sont issues d’un découpage de la matrice originale C et figurent deux parties de l’opérateur d’évolution (on pensera bientˆ ot à une partie qui figure l’évolution des espèces rapides, l’autre celle des espèces lentes, mais ce n’est pas le cas tout de suite). La méthode de séparation la plus naturelle est de résoudre sur chaque pas de temps de longueur [n∆t, (n + 1)∆t] les deux systèmes ∗ dz = Az ∗ (5.31) dt ∗ z (n∆t) = z(n∆t), (ce qui fournit z ∗ ((n + 1)∆t) et permet d’enchaˆıner avec) ∗∗ dz = Bz ∗∗ dt z ∗∗ (n∆t) = z ∗ ((n + 1)∆t),

(5.32)

et de poser à l’issue z((n + 1)∆t) = z ∗∗ ((n + 1)∆t). Chacun des deux systèmes (5.31) et (5.32) sera simulé numériquement par une méthode adéquate, du type de celles introduites a` la section précédente. Le gain provient évidemment du fait que si l’on a bien partitionné C selon A + B (l’une des deux matrices ne contient que des évolutions lentes et l’autre que des évolutions rapides), on va pouvoir traiter différemment les deux systèmes (5.31) et (5.32). D’un autre cˆ oté, il y a un prix a` payer pour cette simplification. En découpant chaque pas de temps du problème (5.30) en deux sous-problèmes, on a introduit une erreur dite erreur de décomposition. Evaluons cette erreur dans notre cas simple. La valeur exacte de z((n + 1)∆t) obtenue en partant de z(n∆t) est


189

z((n + 1)∆t) = exp ((A + B)∆t)z(n∆t). D’autre part, la valeur obtenue via la décomposition d’opérateurs est z ∗∗ ((n + 1)∆t) = exp (B∆t) exp (A∆t)z(n∆t). L’erreur faite au cours du pas de temps est donc 1 z ∗∗ ((n + 1)∆t) − z((n + 1)∆t) = − (AB − BA) (∆t)2 z(n∆t) + O((∆t)3 ), 2 (5.33) sans bien sˆ ur parler de l’erreur issue des discrétisations numériques de chacun des systèmes. On s’intéresse ici seulement à l’erreur induite par la décomposition, tous les autres calculs étant supposés faits de manière exacte. L’exercice suivant montre comment obtenir à peu de frais une meilleure précision. Exercice 5.17. Au lieu de décomposer en les deux sous-étapes (5.31) et (5.32), on décompose en les trois sous-étapes suivantes :

dz ∗ = Bz ∗ sur [n∆t, (n + 21 )∆t] dt z ∗ (n∆t) = z(n∆t),

(5.34)

dz ∗∗ = Az ∗∗ sur [n∆t, (n + 1)∆t] dt z ∗∗ (n∆t) = z ∗ ((n + 21 )∆t),

(5.35)

dz ∗∗∗ = Bz ∗∗∗ sur [(n + 21 )∆t, (n + 1)∆t] dt 1 ∗∗∗ ∗∗ z ((n + 2 )∆t) = z ((n + 1)∆t),

(5.36)

Montrer que l’erreur induite par cette décomposition est d’ordre 3, et non 2 comme dans (5.33). Exercice 5.18. Expliquer pourquoi, a` une opération près sur le premier des pas de temps et sur le dernier, les deux schémas (5.31)-(5.32) et (5.34)-(5.35)(5.36) sont en fait les mêmes. Quelle analyse de précision est la bonne ? Commenter. 5.4.2 Le cas raide Appliquons maintenant la technique ci-dessus au cas précis d’un système de type (5.30) qui exhibe deux échelles de temps radicalement différentes. Une fa¸con de formaliser cela est de supposer que le système s’écrit B dz = Az + z dt ε

(5.37)

190


o` u ε est un coefficient très petit, et o` u les matrices A et B sont du même B ordre de grandeur. La matrice A figure donc l’évolution lente et la matrice ε l’évolution rapide. Plus concrètement, prenons le système à deux dimensions

d −1 0 0 0 x x x −1 0 x = = + . (5.38) 1 1 1 1 y 0 0 y y − − dt y ε ε ε ε On reconnaˆıt que x est la variable lente et y la variable rapide. Le découplage B correspond donc a` l’évolution séparée de la variable en les opérateurs A et ε lente et de la variable rapide. Nous avons dans l’idée d’utiliser un pas de temps ∆t grand pour simuler numériquement ce système, au sens o` u ce pas de temps doit être calibré sur les échelles de temps lentes présentes dans ce système (ici 1) et non les échelles rapides (ici ε). Dans la suite, nous avons donc ∆t >> ε. La solution exacte pour le passage du temps n∆t au temps (n + 1)∆t est bien sˆ ur : x((n + 1)∆t) = e−∆t xn −∆t xn xn −∆t (5.39) e + (yn − )e ε . y((n + 1)∆t) = 1−ε 1−ε Nous allons montrer dans ce qui suit que le fait que ∆t soit “grand” met en défaut l’analyse numérique faite ci-dessus sur la décomposition pour le système (5.30). D’abord, remarquons que si l’analyse numérique précédente était encore vraie ici (i.e. encore vraie pour un ∆t grand), alors l’erreur locale admettrait un développement du type (5.33), c’est-` a-dire ici B B − A) O((∆t)2 ) + O((∆t)3 ). ε ε Ceci semblerait dire que plus ε est petit, plus l’erreur de décomposition commise est importante. Ceci n’est pas conforme à l’intuition selon laquelle on a d’autant plus intérêt à utiliser une méthode de découplage que les échelles de temps sont vraiment différentes. Vérifions maintenant quelle est la bonne analyse numérique. (A

Sur l’exemple (5.37), on peut d’abord imaginer de réaliser la décomposition B puis A. On obtient alors o` u on intègre d’abord ε −∆t yn+1 = xn + (yn − xn ) e ε (5.40) xn+1 = e−∆t xn La variable lente x est donc correctement intégrée, et l’erreur sur la variable y rapide est


191

−∆t 1 −∆t ε e ε − e ), 1−ε 1−ε ∆t ε + ) = xn (− 1−ε 1−ε +termes d’ordres supérieurs et transitoires (5.41)

yn+1 − y((n + 1)∆t) = xn (1 +

∆t >> 1). Cependant, il faut remarquer ε que si on change les données (xn , yn ) au temps tn en des données perturbées (xn + αn , yn + βn ), alors la valeur obtenue au temps tn+1 est −∆t yn+1 = xn + αn + (yn + βn − xn − αn ) e ε (5.42) xn+1 = e−∆t (xn + αn ) ce qui est d’ordre ∆t (on rappelle

et l’on constate donc que l’erreur βn sur la composante rapide y est rapidement amortie (elle est seulement dans le second terme, et donc tuée par −∆t l’exponentielle e ε ). B Alternativement, si on commence par appliquer l’opérateur A puis , on ε obtient la valeur au temps suivant xn+1 = e−∆t xn (5.43) −∆t yn+1 = xn+1 + (yn − xn+1 ) e ε Cette fois, l’erreur sur y est −∆t 1 −ε −∆t e − (e−∆t + )e ε ) 1−ε 1−ε −ε −∆t e = xn 1−ε + termes d’ordres supérieurs et transitoires. (5.44)

yn+1 − y((n + 1)∆t) = xn (

On peut remarquer que cette erreur est d’ordre ε (donc d’ordre 0, le système (5.46)-(5.47) peut être approché au premier ordre en ε par le système suivant, dit système réduit dx = f0 (x, y) + ε f1 (x, y) (5.50) dt 0 = g0 (x, y) complémenté des conditions initiales x(0) = x0 , y(0) = h(x0 )

(5.51)

Heuristiquement, ce résultat signifie que, après une couche limite petite à droite de t = 0, et dont le seul but est de fournir une “nouvelle condition initiale” (5.51), tout se passe comme si la variable rapide y avait atteint son équilibre, et que la dynamique du système soit entièrement donnée par l’évolution de la variable lente x. C’est bien d’un tel résultat dont nous avions besoin. Le lecteur rapprochera utilement ce résultat – d’une part de l’approximation adiabatique pour l’évolution d’un système moléculaire, – d’autre part des études de couche limite en espace que nous avons menées antérieurement. Bien sˆ ur, nous ne démontrerons pas ce théorème et nous contenterons de le mettre en oeuvre sur des cas simples. Commen¸cons par une application directe dans l’exercice suivant. Exercice 5.22. On considère le système différentiel suivant ⎧ ⎪ ⎨ dy1 = −y1 , dt dy ⎪ ⎩ ε 2 = εy1 − y2 dt

(5.52)

de données initiales y1 (0) = y10 , y2 (0) = y20 . Le paramètre ε est supposé petit. Ce système modélise la cinétique chimique 1

1/ε

Y1 −→ Y2 −→ Y3 ,

196


o` u on oublie l’espèce Y3 . 1 - Calculer la solution exacte. 2 - Montrer que ce système différentiel est raide pour ε > 0 petit. 3 - Montrer qu’` a part pour t petit, la solution est approchable, a` un ordre en ε qu’on précisera, par celle du système dit algébro-différentiel suivant ⎧ dy ⎪ ⎨ 1 = −y1 , dt (5.53) ⎪ ⎩ y2 = εy1

Vérifier qu’on peut sans difficulté approcher ce problème par un schéma d’Euler explicite par exemple. 4 - Montrer que l’espèce Y2 devient rapidement négligeable. Quelle est la solution du système (5.52) si l’on substitue y2 = 0 pour tout temps a` la seconde équation différentielle. Cette approximation est-elle aussi satisfaisante que celle de la question précédente ? 5 - Montrer qu’on peut retrouver directement (5.53) a` partir de (5.52) et d’une dy2 . En déduire une stratégie (parmi d’autres !) pour supprimer hypothèse sur dt la raideur pour des systèmes du type (5.52).

Un commentaire s’impose : tous les systèmes que l’on veut réduire n’apparaissent pas spontanément sous la forme (5.46), et un certain travail préliminaire peut être nécessaire. Ainsi, considérons le système : ⎧ ⎪ ⎨ ε dx = M g0 (x, y) + ε f1 (x, y), dt (5.54) dy ⎪ ⎩ε = g0 (x, y) + ε g1 (x, y), dt

Ici, les espèces x et y respectivement de dimension n − p et p sont supposées gouvernées par une dynamique de même vitesse a priori, et on ne sait pas discriminer qui est rapide et qui est lent. Ce qui est identifiable ici est le couplage rapide entre les deux espèces via la fonction g0 qui apparaˆıt aux deux membres de droite (diviser les deux équations par ε pour s’en rendre compte). On veut éliminer ce couplage rapide grâce à une réduction du système. Pour cela, on introduit la variable u = x − M y,

(5.55)

de sorte que, en ne gardant que les variables (u, y), le système s’écrit de fa¸con équivalente : ⎧ ⎪ ⎨ du = −M g1 (u + M y, y) + f1 (u + M y, y), dt (5.56) dy ⎪ ⎩ε = g0 (u + M y, y) + ε g1 (u + M y, y), dt

5.5 Réduction de systèmes

197

o` u u apparaˆıt comme une variable lente. On reconnaˆıt la forme (5.46). On peut donc remplacer ce système (5.56) par le système réduit

du = −M g1 (u + M y, y) + f1 (u + M y, y) dt 0 = g0 (u + M y, y)

(5.57)

et résoudre ce nouveau système (la deuxième ligne définit y comme fonction de u, et on l’insère dans la première ligne). Regardons un dernier exemple, explicite en termes de chimie. On étudie le schéma de cinétique atmosphérique ⎧ 1 ⎪ −→ O3 , ⎨ O + O2 2 N O2 + lumière −→ N O + O , ⎪ ⎩ 3 −→ N O2 + O2 , N O + O3

(5.58)

En plus des espèces ci-dessus, on note par c le vecteur concentration de toutes les autres espèces présentes. On suppose que les trois réactions écrites ci-dessus sont rapides et que toutes les autres réactions possibles soit entre les espèces chimiques ci-dessus, soit entre ces espèces et les espèces c d’autre part, sont lentes. On pose alors N O2 NO , y= x= O O3 L’évolution du système est alors régie par ⎧ dc ⎪ ⎪ = a(c, x, y) ⎪ ⎪ ⎨ dt dx = f0 (x, y) + ε f1 (c, x, y), ε ⎪ dt ⎪ ⎪ dy ⎪ ⎩ε = g0 (x, y) + ε g1 (c, x, y), dt

(5.59)

o` u a, f1 et g1 modélisent les termes de réaction lents alors que f0 et g0 modélisent les rapides. Ces derniers valent précisément : −ω2 + ω3 ω2 − ω 3 , g0 (x, y) = f0 (x, y) = ω2 − ω 1 ω1 − ω 3 et o` u l’on désigne par de (5.58). En notant

ωi le taux de réaction de la réaction rapide numéro i ε

M= et en posant

−1 0 −1 −1

198


u = x − My =

N O + N O2 O3 + N O2 + O

on retrouve exactement le cadre académique précédent. La considération de telles combinaisons d’espèces chimiques pour réduire la complexité du système original était une technique bien identifiée dans le monde de la cinétique chimique, avant l’introduction de la théorie d’analyse numérique indiquée ici. Terminons par deux commentaires. Dans tout ce qui précède on a supposé avoir déjà identifié les espèces lentes et les espèces rapides (ou les réactions lentes et les réactions rapides), et que bien sˆ ur dans la pratique ce n’est pas nécessairement le cas. Il faut donc des algorithmes particuliers pour discriminer entre les différentes variables de sorte de pouvoir ensuite utiliser la technologie de la réduction de système. La détermination et la résolution du système réduit (5.50) conduit en général à une simulation numérique bien plus efficace que celle du système original (5.46). Cependant, les cas ne sont pas rares o` u, en termes de temps calcul, la résolution est seulement un peu meilleure, mais pas forcément miraculeusement meilleure. Il faut en effet tenir compte notamment de la résolution numérique de l’équation algébrique de la seconde ligne de (5.50), laquelle doit se faire à chaque pas de temps. Dans de tels cas, c’est surtout du point de vue qualitatif que le système réduit présente des avantages sur le système original. On va pouvoir lui appliquer des techniques plus sophistiquées, comprendre beaucoup plus profondément les phénomènes numériques observés, donc mieux savoir remédier aux difficultés rencontrées.

5.6 Bibliographie L’analyse numérique des équations différentielles ordinaires peut être lue dans les traités A. Quarteroni, R. Sacco & F. Saleri [65], M. Crouzeix & A. L. Mignot [26], E. Hairer, S. P. Norsett & G. Wanner [41] (une des références pour les spécialistes, suivi d’un deuxième tome [42] plus particulièrement consacré aux systèmes raides), ces traités étant cités par ordre de difficulté croissante. Pour l’application a` la simulation numérique de la cinétique des réactions chimiques, une bonne référence est constituée par les travaux de B. Sportisse et de ses collaborateurs sur la modélisation de la pollution atmosphérique. Pour la réduction de systèmes, on pourra par exemple consulter l’article B. Sportisse et R. Djouad [77], et pour la décomposition d’opérateurs B. Sportisse [78].

6 Vers une unit´ e des approches

L’objet de ce court chapitre est de rétablir une unité dans ce qui est peut-être apparu, malgré nos efforts pour lier les chapitres les uns aux autres, comme une mosa¨ıque de problèmes et de techniques tous décorrélés. Un objectif secondaire est de montrer à quel point ce que nous avons vu ensemble est proche du front de la recherche en calcul scientifique.

6.1 Des classifications des probl` emes rencontr´ es Une idée naturelle serait de séparer les problèmes multiéchelles que nous avons vus en ceux dépendant du temps et en ceux statiques, mais ceci n’est pas le bon point de vue. L’ensemble des problèmes multiéchelles que nous avons vu peut être plus avantageusement classé en deux catégories : i les problèmes o` u les deux (ou plus) échelles sont présentes dans tout le domaine de calcul ii ceux o` u les deux échelles ne coexistent que sur le(s) bord(s) du domaine de calcul, l’intérieur du domaine ne présentant pas de caractère multiéchelle. Par domaine de calcul, et donc par bord, on entend aussi bien la variable d’espace que la variable de temps. Ainsi, dans la catégorie (i), on peut classer a le problème micromacro pour les solides cristallins du Chapitre 1, b le problème d’homogénéisation périodique elliptique du Chapitre 2, c la simulation ab initio adiabatique pour la dynamique moléculaire du Chapitre 3, d la modélisation micromacro pour les fluides polymériques du Chapitre 4, D’un autre cˆ oté, on peut classer dans la catégorie (ii) a les problèmes de couche limite le long de parois rugueuses du Chapitre 2, b le problème de dynamique des espèces rapides convergeant vers un régime permanent du chapitre 5,

200

6 Vers une unité des approches

Dans chacune de ces deux catégories, le choix est, comme nous l’avons dit en Introduction - soit d’attaquer le système tel quel, ce qui n’est pas possible si la petite échelle est trop petite (ce qui est le cas pour les problèmes du Chapitre 1 ou 4) - soit de faire disparaˆıtre la petite échelle en l’homogénéisant de sorte d’obtenir un problème à l’échelle macroscopique seulement (cf. le Chapitre 2, ou la réduction des sytèmes dynamiques au Chapitre 5) - soit de la traiter conjointement avec l’échelle macroscopique (cf. les Chapitres 1 et 4)

6.2 L’unit´ e des approches Concentrons-nous ici sur les problèmes multiéchelles o` u petite et grande échelles coexistent sur tout le domaine. Qu’on décide de “supprimer” la petite échelle (i.e. de faire ε = 0) ou de la traiter conjointement avec l’échelle macroscopique, le problème final obtenu possède sensiblement la même forme, à savoir ⎧ Equation régissant l’échelle MACRO ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ Expression d’une (ou plus) des variables (6.1) ⎪ ⎪ MACRO en fonction de l’´ e chelle micro ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ Equation régissant l’échelle micro Ainsi, au Chapitre 1,

⎧ ⎪ ⎪ inf E(ϕ) − gϕ ϕ vérifie les conditions au bord imposées fϕ− ⎪ ⎪ ⎪ ∂Ω Ω ⎪ ⎪ ⎨ W (ϕ)(x) dx E(ϕ) = ⎪ ⎪ ⎪ Ω ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ W (ϕ)(x) = énergie du réseau cristallin placé en x et déformé par ∇ϕ(x)

et aussi les techniques rapidement évoquées autour des méthodes de relaxation et des mesures de Young (cf. la Remarque 1.33), puis au Chapitre 2,

1 f u, inf (∇v(y) , A(y) · ∇v(y)) dy dx − inf 2 Ω Ω Y u ∈ H01 (Ω)

∇v périodique ∇v = ∇u(x) Y

6.2 L’unité des approches

201

puis, au Chapitre 3, ⎧ d2 x ¯k ⎪ ⎪ ⎪ (t) = −∇x¯k W (¯ x1 (t), · · · , x ¯M (t)) m k ⎪ ⎨ dt2 zk zl W (¯ x1 , · · · , x ¯M ) = U (¯ x1 , · · · , x ¯M ) + ⎪ |¯ x −x ¯l | k ⎪ ⎪ 1≤k

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