Sicherheit und Betriebsfestigkeit von Maschinen und Anlagen: Konzepte und Methoden zur Lebensdauer-Vorhersage

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Author: Manuela Sander

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Sicherheit und Betriebsfestigkeit von Maschinen und Anlagen

Manuela Sander

Sicherheit und Betriebsfestigkeit von Maschinen und Anlagen Konzepte und Methoden zur Lebensdauervorhersage

123

PD Dr.-Ing. Manuela Sander Fachgruppe Angewandte Mechanik Fakultät für Maschinenbau Universität Paderborn Pohlweg 47-49 33098 Paderborn

ISBN 978-3-540-77732-8

e-ISBN 978-3-540-77733-5

DOI 10.1007/978-3-540-77733-5 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. c 2008 Springer-Verlag Berlin Heidelberg Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Verfasserin hat alle Texte, Formeln und Abbildungen mit größter Sorgfalt erarbeitet. Dennoch können Fehler nicht ausgeschlossen werden. Deshalb übernehmen die Verfasserin und der Verlag keine Gewähr für die in diesem Buch abgedruckten Informationen. In keinem Fall haften Verfasser und Verlag für irgendwelche direkten oder indirekten Schäden, die aus der Anwendung dieser Informationen folgen. Für die in diesem Werk zitierten Gesetze, Vorschriften und Richtlinien sind für die eigenen Arbeiten die vollständigen Vorschriften und Richtlinien in der jeweils gültigen Fassung hinzuzuziehen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Satz: Reproduktionsfähige Vorlage der Autorin Einbandgestaltung: eStudioCalamar S.L., F. Steinen-Broo, Pau/Girona, Spain Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig, Germany Gedruckt auf säurefreiem Papier 987654321 springer.de

Vorwort

Vor allem vor dem Hintergrund der schadenstoleranten Bemessung von Maschinen, Anlagen, Verkehrsmitteln oder Bauteilen ist eine die Rissinitiierung und das Risswachstum einschließende Lebensdauervorhersage schon in der Produktentwicklungsphase von entscheidender Bedeutung, um Sicherheit gegen Versagen durch konstruktive Maßnahmen oder regelmäßige Inspektionen gewährleisten zu können. Unabhängig vom Lastspektrum oder vom Material sollten die Vorhersagen aus sicherheitstechnischen Aspekten immer konservativ sein. Aus ökonomischen Gründen hingegen ist eine optimale Ausnutzung des Materials zu ermöglichen. Die Treffsicherheit der Lebensdauerprognose hängt jedoch sehr stark vom verwendeten Modell ab. Im vorliegenden Fachbuch werden daher zunächst die grundlegenden Konzepte zur festigkeitsgerechten und bruchsicheren Gestaltung von Bauteilen, Maschinen und Anlagen beschrieben. Nach der Darstellung von Belastungs- und Beanspruchungs-Zeit-Funktionen wird auf den statischen Festigkeitsnachweis sowie auf den Dauerfestigkeitsnachweis eingegangen. Daran schließen sich die Konzepte der klassischen Betriebsfestigkeit und der klassischen Bruchmechanik an. Um jedoch eine exakte Lebensdauervorhersage durchführen zu können, sind die Konzepte der Betriebsfestigkeit und der Bruchmechanik zusammenzuführen und um die Gesetzmäßigkeiten der Rissinitiierung und des Kurzrisswachstums zu erweitern. In vielen Anwendungsbereichen werden Bauteile und Strukturen mit mehr als 107 Lastwechseln belastet, bei denen die seit den Untersuchungen von Wöhler definierte Dauerfestigkeitsgrenze nicht immer gegeben ist. Deshalb beinhaltet das Fachbuch auch einen Einblick in den immer bedeutender werdenden Bereich des Ultra high cycle fatigue. Abschließend werden die Ergebnisse ausgewählter Modelle mit experimentellen und numerischen Ergebnissen verglichen und bewertet. Dieses Buch richtet sich an Ingenieure und Naturwissenschaftler in Unternehmen, Universitäten und Hochschulen sowie an Studierende in höheren Semestern von Diplom- und Masterstudiengängen.

VI

Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als Oberingenieurin der Fachgruppe Angewandte Mechanik der Universität Paderborn im Rahmen meines Habilitationsverfahrens. Mein besonderer Dank gilt daher Herrn Prof. Dr.Ing. habil. Hans Albert Richard für die Anregung, Förderung und unermüdliche Unterstützung meiner Forschungsarbeiten, das entgegengebrachte Vertrauen und die konstruktiven Diskussionen. Weiterer Dank gebührt Herrn Prof. Dr.-Ing. Hans Jürgen Maier (Universität Paderborn) sowie Herrn Prof. Dr.-Ing. habil. Gerhard Pusch (TU BA Freiberg). Ebenso möchte ich mich stellvertretend für alle aktuellen und früheren Kollegen der Fachgruppe Angewandte Mechanik der Universität Paderborn bei Herrn PD Dr.-Ing. Gunter Kullmer für die Unterstützung bedanken. Darüber hinaus gilt mein Dank den Studien- und Diplomarbeitern sowie den studentischen Hilfskräften. Mit diesem Buch möchte ich mich ganz herzlich bei meinen Eltern für ihre Liebe, ihr Vertrauen, ihre Unterstützung, ihre Rücksichtnahme und ihr Verständnis bedanken. Als Dank widme ich dieses Buch meinen Eltern Konrad und Katharina Sander. Dem Springer-Verlag gilt mein Dank für die Publikation dieses Fachbuchs. Paderborn, Dezember 2007

Manuela Sander

Inhaltsverzeichnis

Liste der Formelzeichen..................................................................................... IX 1 Einleitung .........................................................................................................1 2 Konzepte zur festigkeitsgerechten und bruchsicheren Gestaltung .............5 2.1 Belastungs- und Beanspruchungs-Zeit-Funktionen................................7 2.1.1 Systematisierung von Belastungs- und Beanspruchungs-ZeitFunktionen...................................................................................7 2.1.2 Ermittlung von Last-Zeit-Funktionen..........................................8 2.1.3 Zähl- und Klassierverfahren......................................................10 2.2 Statischer Festigkeitsnachweis .............................................................14 2.3 Dauerfestigkeitsnachweis .....................................................................15 2.3.1 Ermittlung der Wöhlerkurve und der Dauerfestigkeit ...............16 2.3.2 Dauerfestigkeitsschaubilder und Mittelspannungsempfindlichkeit..........................................................................21 2.3.3 Dauerfestigkeitsberechnung ......................................................23 2.4 Konzepte der klassischen Betriebsfestigkeit.........................................25 2.4.1 Werkstoffbeschreibung .............................................................25 2.4.2 Nennspannungskonzepte ...........................................................28 2.4.3 Örtliche Konzepte .....................................................................39 2.4.4 Strukturspannungen...................................................................46 2.5 Konzepte der klassischen Bruchmechanik ...........................................47 2.5.1 Bruchmechanische Grundlagen.................................................47 2.5.2 Grundlagen und Mechanismen des Ermüdungsrisswachstums .................................................................................50 2.5.3 Ermittlung bruchmechanischer Kennwerte und Kennfunktionen.........................................................................56 2.5.4 Rissfortschrittskonzepte ............................................................67

VIII

Inhaltsverzeichnis

3 Zusammenwirken von Betriebsfestigkeit und Bruchmechanik bei der Lebensdauervorhersage ................................................................................ 79 3.1 Entstehung von Ermüdungsrissen ........................................................ 79 3.1.1 Schwellenwertkurven-Konzepte ............................................... 83 3.1.2 Konzepte des kritischen Abstands............................................. 92 3.1.3 Ermüdungsrisswiderstandskurven (R-Kurven-Konzept) .......... 94 3.1.4 area - Konzept ......................................................................... 98 3.2 Kurzrisswachstumskonzepte .............................................................. 101 3.2.1 Mikrostrukturmodelle ............................................................. 102 3.2.2 Rissschließmodelle.................................................................. 106 3.2.3 Bruchmechanikbasierte Modelle............................................. 110 3.2.4 Ansatz der kritischen Schnittebene ......................................... 123 3.3 Gesamtlebensdauerkonzepte .............................................................. 124 3.3.1 Die Ermüdungslebensdauerkarte............................................. 124 3.3.2 Rissfortschrittswöhlerlinien .................................................... 128 4 Ultra high cycle fatigue ............................................................................... 131 4.1 Rissinitiierung bei sehr hohen Lastwechselzahlen ............................. 132 4.2 Wöhlerkurve im Bereich hoher Lastwechselzahlen ........................... 138 4.3 Auslegungskonzept (Lebensdauerkonzept) nach Murakami .............. 140 4.4 Lebensdauerberechnung im fish-eye .................................................. 141 4.5 Bruchmechanische Lebensdaueransätze............................................. 144 5 Bewertung, Vergleich und Anwendung der Konzepte ............................. 147 5.1 Experimentelle Untersuchungen......................................................... 147 5.1.1 Versuchsaufbau und -durchführung ........................................ 147 5.1.2 Risswachstum.......................................................................... 150 5.1.3 Wöhler- und Lebensdauerlinien .............................................. 152 5.2 Numerische Untersuchungen.............................................................. 156 5.3 Analytische Ermittlung von Rissfortschrittswöhlerlinien................... 158 5.4 Betriebsfestigkeits- und kombinierte Konzepte.................................. 160 5.4.1 Nennspannungsbasierte Konzepte........................................... 161 5.4.2 Konzepte auf Basis der örtlichen Spannungen........................ 171 5.5 Konzepte der Rissinitiierung .............................................................. 183 5.6 Bruchmechanische Konzepte ............................................................. 188 5.6.1 Problematik der Thresholdwertbestimmung ........................... 188 5.6.2 Rissfortschrittskonzepte .......................................................... 191 5.6.3 Festlegung von Inspektionsintervallen.................................... 193 Literaturverzeichnis.......................................................................................... 197 Sachwortverzeichnis.......................................................................................... 211

Liste der Formelzeichen

A Amin A0 - A4 B C CASTM CFAM CFM CJ CP CE Cth D DA E F Fm Fmax, Fmin 'F G H H0 Häq HV

Fläche minimale Fläche Koeffizienten in der Rissöffnungsfunktion nach Newman Probendicke werkstoffabhängiger Koeffizient im Paris-Gesetz Absenkrate gemäß ASTM (American Society for Testing and Material) Absenkrate gemäß FAM (Fachgruppe Angewandte Mechanik) werkstoffabhängiger Koeffizient der NASGRO Gleichung werkstoffabhängiger Koeffizient des Rissfortschrittsgesetzes nach Vormwald Verzögerungsfaktor werkstoffabhängiger Faktor im Erdogan-Ratwani-Gesetz Parameter in der empirischen Funktion nach Newman zur Beschreibung der R-Abhängigkeit des Thresholdwertes Schadenssumme Abstand der Spannungsniveaus beim Abgrenzungsverfahren Elastizitätsmodul Kraft Kraftmittelwert maximale bzw. minimale Kraft Schwingbreite der Kraft Schubmodul Summen- bzw. Überschreitungshäufigkeit Kollektivumfang schädigungsäquivalente Ersatz-Schwingspielzahl Härte nach Vickers

X J 'J 'Jel, 'Jpl 'Jeff K’ KI, KII, KIII KIC, KC Kmax, Kmin Kmax,eff, Kmin,eff Kmax, req Kmax,th * K max, th Kol KR Kop 'K, 'KI 'KH 'KIV 'K+ 'K0 'Kappl 'Keff 'Keff,th 'KJ,eff 'KJ,eff 'KODA 'Krms 'Kth, 'KI,th * 'K th

Wert des J-Integrals Wert des zyklischen J-Integrals elastischer bzw. plastischer Anteil des 'J-Integrals effektiver Anteil des 'J-Integrals zyklischer Verfestigungskoeffizient Spannungsintensitätsfaktoren für Mode I, Mode II und Mode III Risszähigkeit für Mode I Spannungsintensitätsfaktoren für Mode I bei maximaler bzw. minimaler Belastung effektiver maximaler bzw. minimaler Spannungsintensitätsfaktor virtueller Spannungsintensitätsfaktor zur Berücksichtigung der Eigenspannung im Willenborg Modell maximaler Spannungsintensitätsfaktor des Thresholdwertes Schwellenwert des maximalen Spannungsintensitätsfaktor des Zwei-Kriterien-Konzepts maximale Spannungsintensität einer Überlast Eigenspannungsintensitätsfaktor Rissöffnungsspannungsintensitätsfaktor Schwingbreite des Spannungsintensitätsfaktors bei Mode I Schwingbreite des dehnungsbasierten Spannungsintensitätsfaktors Schwingbreite des Kerbspannungsintensitätsfaktors bei Mode I positiver Anteil des zyklischen Spannungsintensitätsfaktors initialer zyklischer Spannungsintensitätsfaktor aufgebrachter zyklischer Spannungsintensitätsfaktor effektiver zyklischer Spannungsintensitätsfaktor effektiver Thresholdwert effektiver zyklischer Spannungsintensitätsfaktor des J-Integrals effektiver zyklischer Spannungsintensitätsfaktor des J-Integrals Thresholdwert des optisch dunklen Gebiets (ODA) Mittelwert der zyklischen Spannungsintensität eines Lastspektrums Threshold-Wert (Schwellenwert für die Schwingbreite des Spannungsintensitätsfaktors) Threshold-Wert des Zwei-Kriterien-Konzeptes

XI

'Kth,0 Lj M N N ND Nf Ni Np PA PB Rcl, Rp PJ PJmulti, PJSchub PJ,D PSWT PÜ PZ Q R

Re Reff RSO Rm Rp0,2 Rz SB SD SF U U el U pl Vj

Threshold-Wert 'Kth für R = 0 Stabelementlänge (Fließstreifenmodelle) Mittelspannungsempfindlichkeit Lastspielzahl geforderte Lebensdauer Eckschwingspielzahl Lebensdauer bis zum Versagen des Bauteils Initiierungslebensdauer Restlebensdauer Ausfallwahrscheinlichkeit (PA = 100% - PÜ) Schädigungsparameter nach Bergmann Spannungsverhältnis, ab dem für positive bzw. negative RVerhältnisse 'Kth = konst. gilt Schädigungsparameter nach Vormwald mehraxialer Schädigungsparameter für Mode I- bzw. Mode IIRisse nach Savaidis Dauerfestigkeitskennwert des Schädigungsparameters PJ Schädigungsparameter nach Smith, Watson und Topper Überlebenswahrscheinlichkeit (PÜ = 100% - PA) Zusatzschädigung nach Hanschmann Koeffizient der Schädigungsparameterwöhlerlinie nach Vormwald Verhältnis von minimaler zu maximaler Spannung bzw. von minimaler zu maximaler Spannungsintensität R = Vmin / Vmax = Kmin / Kmax Streckgrenze effektives Spannungsverhältnis Reff = Kmin,eff / Kmax,eff Shutt-off-Verhältnis Zugfestigkeit 0,2%-Dehngrenze Rauhtiefe Sicherheit gegen Bruch Sicherheit gegen Dauerbruch Sicherheit gegen Fließen Verzerrungsenergiedichte elastische Verzerrungsenergiedichte plastische Verzerrungsenergiedichte fiktive Rissöffnungsverschiebung (Fließstreifenmodelle)

XII W Wmin Ww YI

a a0 ai 'a b, c b1 b2 d da/dN (da/dN)th f fijI , fijII , fijIII j k k* m mJ mE n n’ ni nbm npl nst nvm nFM, p, q pL r, M

Widerstandsmoment minimales Widerstandsmoment Exponent zur Berechnung des Verzögerungsfaktors nach Wheeler Geometriefaktor, normierter Spannungsintensitätsfaktor für Mode I Risslänge El Haddad-Parameter Anfangsrisslänge bzw. Initiierungsrisslänge Rissinkrement Schwingfestigkeits- bzw. Duktilitätsexponent Oberflächenbeiwert Größenbeiwert Durchmesser Rissgeschwindigkeit Rissgeschwindigkeit im Bereich des Thresholdwertes Frequenz dimensionslose Funktionen Ordnungszahl Neigung der Wöhlerlinie modifizierte Neigung der Wöhlerlinie werkstoffabhängiger Exponent im Paris-Gesetz bzw. Neigung der Rissfortschrittswöhlerlinie werkstoffabhängiger Exponent im Rissfortschrittsgesetz nach Vormwald werkstoffabhängiger Exponent im Erdogan-Ratwani-Gesetz Stützwirkung zyklischer Verfestigungsexponent Anzahl der Schwingspiele eines Lastniveaus bruchmechanische Stützwirkung plastische Stützzahl statistische Stützwirkung verformungsmechanische Stützwirkung werkstoffabhängige Exponenten der NASGRO Gleichung Parameter im Ansatz nach Liu Polarkoordinaten

XIII

r1 re w

D DC DCF Dk DW DH DV Ek F* H Ha Ha,el Ha,D Ha,pl Ha,t Hel,pl Hel,max Hf’ Hij Hm Hmax, Hmin HN Hop 'H 'Hel 'Hpl 'Heff J I U Q

Anzahl der Brüche auf dem geprüften Lastniveau (Abgrenzungsverfahren) Materialkonstante im Risswachstumsgesetz nach McEvily Probenbreite

Neigung der Zeit- oder Dauerfestigkeitslinie als Maß der Mittelspannungsempfindlichkeit Constraint Faktor in der umkehrplastischen Zone Constraint Faktor Kerbfaktor Constraint Faktor entlang der Rissflanken Dehnungskerbfaktor Spannungskerbfaktor Kerbwirkungszahl bezogenes Spannungsgefälle (Siebel-Verfahren) Dehnung Dehnungsamplitude elastische Dehnungsamplitude Dehnungsamplitude bei N = ND plastische Dehnungsamplitude totale Dehnungsamplitude elastisch-plastische Dehnung maximale elastische Dehnung Duktilitätskoeffizient Dehnungstensor Mitteldehnung maximale bzw. minimale Dehnung Nenndehnung Rissöffnungsdehnung Dehnungsschwingbreite elastische Dehnungsschwingbreite plastische Dehnungsschwingbreite effektive Dehnungsschwingbreite Verhältnis von Kop zu Kmax Rissspitzenverschiebung Kerbradius Querdehnzahl

XIV

V V1, V2 Va Va Va,äq Va,max Va,N Va,zul VA VD V D* Vel,pl Vel,max VF V f’ Vij Vj Vm Vmax, Vmin VN Vop Vp Vr VSch Vth VV VW Vzul 'V 'VD 'Vth W Zpl Zmax, Zol \

Normalspannung Hauptnormalspannung Spannungsamplitude Höchstwert des Amplitudenkollektivs Äquivalentspannungsamplitude maximale Spannungsamplitude Nennspannungsamplitude zulässige Spannungsamplitude Dauerfestigkeitswert für ein bestimmtes R-Verhältnis Dauerfestigkeit reduzierte Dauerfestigkeit nach Liu und Zenner (VD* = 0,5VD) elastisch-plastische Spannung maximale elastische Spannung Fließspannung Schwingfestigkeitskoeffizient Spannungstensor Kontaktspannung im Fließstreifenmodell Mittelspannung maximale bzw. minimale Normalspannung Nennspannung Rissöffnungsspannung vollplastischer Spannungszustand Eigenspannung Schwellfestigkeit Schwellspannung zur Rissinitiierung Vergleichsspannung Wechselfestigkeit zulässige Spannung Schwingbreite der Normalspannung Schwingbreite der Dauerfestigkeit Schwingbreite der Schwellspannung zur Rissinitiierung Schubspannung Größe der plastischen Zone Größe der primär plastischen Zone Parameter im Uniform Material Law

Kapitel 1

Einleitung

Aufgrund katastrophaler Unfälle der Vergangenheit, wie z.B. des ICE-Unglücks von Eschede oder des Aloha-Unglücks von Hawaii, werden Fragen hinsichtlich der Sicherheit und Zuverlässigkeit von Bauteilen und Strukturen insbesondere vor dem Hintergrund der sicherheitstechnischen und ökonomischen Konsequenzen immer bedeutender. Aus sicherheitstechnischen Gründen muss ein Bauteil in jedem Fall zuverlässig sein, d.h. es darf während einer definierten Zeitdauer unter angegebenen Funktions- und Umgebungsbedingungen nicht ausfallen. Eine Verbesserung der strukturmechanischen Zuverlässigkeit von Bauteilen und somit von Maschinen und Anlagen führt im Allgemeinen zwar zu einer Senkung der Instandhaltungskosten, aber verursacht ihrerseits erneut Kosten, die umso höher sind, je höher das angestrebte Zuverlässigkeitsniveau ist [169]. Unter ökonomischen Gesichtspunkten ist also ein Kostenminimum zu finden, bei dem trotzdem in jedem Fall Sicherheit für Mensch und Umwelt gewährleistet wird. Um ein möglichst hohes Maß an Zuverlässigkeit bei minimalen Kosten zu erreichen, sind bereits in der Produktentwicklungsphase geeignete Auslegungskriterien sowie Methoden und Konzepte zur Lebensdauervorhersage für Bauteile und Strukturen unter zyklischer Belastung notwendig. Die Auslegungskriterien sind je nach Anwendungsgebiet sehr unterschiedlich. So werden in der Luft- und Raumfahrt, aber auch anderen technischen Bereichen, zwei Auslegungskonzepte verfolgt: Das „Safe-life“-Kriterium und das Schadenstoleranz-(damage tolerant)-Konzept. Nach dem „Safe-life“-Kriterium ist ein Bauteil oder eine Struktur so auszulegen, dass es während der gesamten Einsatzzeit unter dem zu erwartenden Belastungsspektrum nicht versagt. Bei einer derartigen Auslegung ist zu beachten, dass Werkstoffkennwerte variieren oder aber sich das Einsatzprofil verändern kann. Die Berücksichtigung dieser Risiken erfolgt sehr häufig durch entsprechende Sicherheitsfaktoren, die zu konservativen und damit unter Umständen zu ökonomisch uninteressanten Auslegungen führen. Die Wahl des Sicherheitsfaktors hängt sehr entscheidend vom Einsatzgebiet der Maschine, der Anlage oder des Verkehrsmittels ab. Die FKM-Richtlinie „Rechnerischer Festigkeitsnachweis für Maschinenbauteile“ [67] definiert einen Sicherheitsfaktor in Abhängigkeit des Werk-

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1 Einleitung

stoffs, der Durchführung regelmäßiger Inspektionen und der Schadensfolge, die sich durch den Ausfall eines Bauteils oder einer Struktur für Mensch und Umwelt ergibt. Nach der DIN EN-50126 wird in der Eisenbahntechnik die Gefahren- oder Risikostufe nach der Häufigkeit eines Gefahrenfalls eingeteilt. Bei einer Konstruktion nach dem „Safe-life“-Prinzip ist rein theoretisch keine Inspektion des Bauteils oder der Maschine vorzunehmen. Allerdings treten in der Praxis immer wieder unvorhersehbare Ereignisse, wie z.B. Umgebungseinflüsse oder Nutzungsänderungen auf, die eine Inspektion unverzichtbar machen. In diesem Zusammenhang ist der Begriff „safety by inspection“ geprägt worden [68]. Alternativ zum „Safe-life“-Prinzip wurden Maschinen, Anlagen und Verkehrsmittel zunächst nach dem „Fail-Safe“-Kriterium ausgelegt, bei dem für sicherheitsrelevante Bauteile strukturelle Redundanz vorgeschlagen wird. Falls ein Bauteil versagt, überträgt ein anderes die Belastung. Da dies jedoch im Allgemeinen eine sehr kostenintensive Vorgehensweise ist, geht das SchadenstoleranzKonzept davon aus, dass während des Betriebs in einem Bauteil Fehler auftreten, die unter Überwachung kontrolliert wachsen. Mittels entsprechender Inspektionen wird gewährleistet, dass die Fehler und Risse eine kritische Größe mit einer gewissen Sicherheit nicht überschreiten und so eine Redundanz überflüssig wird. Inbetriebnahme (Neuzustand ohne Fehler)

Inbetriebnahme (Neuzustand mit Fehler)

anrissfreie Phase

Rissbildungsphase Rissentstehung

Bruch oder Ausmusterung

technischer Anriss

Mikrorisswachstum

Lebensdauer bis zum techn. Anriss

Rissfortschrittsphase Makrorisswachstum

Restlebensdauer

Gesamtlebensdauer eines Bauteils klassische Betriebsfestigkeit

klassische Bruchmechanik

Abb. 1.1: Lebensdauer eines Bauteils mit den klassischen Konzepten der entsprechenden Phasen (in Anlehnung an [78])

Diese Auslegungskriterien führen im Allgemeinen dazu, dass die Lebensdauervorhersage von Maschinen, Anlagen oder Verkehrsmitteln durch eine getrennte Betrachtung der Lebensdauerphasen durchgeführt wird. In der Regel wird die Lebensdauer eines Bauteils, die mit der Inbetriebnahme beginnt und mit dem Versagen bzw. dem vorzeitigen Austausch der Komponente endet, in die Lebensdauer bis zum technischen Anriss und die Restlebensdauer unterteilt (Abb. 1). Die Le-

1 Einleitung

3

bensdauer bis zum technischen Anriss setzt sich zusammen aus einer anrissfreien Phase und der Rissbildungsphase. Bei Bauteilen, die bereits im Neuzustand mit Fehlern, wie z.B. Lunkern, Poren, scharfen Kerben oder rauen Oberflächen, behaftet sind, entfällt die anrissfreie Phase und die Gesamtlebensdauer des Bauteils beginnt mit der Rissentstehung. Daran schließt sich dann das Mikrorisswachstum an. Die Restlebensdauer ab einem technischen Anriss ist durch die Gesetzmäßigkeiten des Makrorisswachstums gekennzeichnet. Während die klassischen Konzepte der Betriebsfestigkeit eine integrale Aussage über die Lebensdauer bis zum technischen Anriss ermöglichen, kann die Restlebensdauer durch die Konzepte der klassischen Bruchmechanik und des Ermüdungsrisswachstums bestimmt werden. Um jedoch eine zuverlässige Lebensdauerprognose erstellen zu können, sind ganzheitliche Konzepte erforderlich, die die Konzepte der Betriebsfestigkeit und der Bruchmechanik zusammenführen und um die Gesetzmäßigkeiten der Rissentstehung sowie des Mikrorisswachstums erweitern. Ziel dieses Buchs ist deshalb, durch die Beschreibung und den Vergleich existierender Modelle und Konzepte sowie die Bewertung mittels experimenteller, numerischer und analytischer Befunde dem Konstrukteur Hinweise bezüglich der Sicherheit und strukturmechanischen Zuverlässigkeit von Maschinen und Anlagen zu geben. Aus diesem Grund wird in diesem Buch zunächst ein Überblick über die klassischen Auslegungsmethoden sowie die Ermittlung der Belastungs-Zeit-Funktionen und der Werkstoffkennwerte und -kennfunktionen gegeben. Daran schließt sich die Darstellung der Konzepte zur Rissentstehung, zum Kurzrisswachstum und zur Gesamtlebensdauer an, die sowohl auf den Ansätzen der Betriebsfestigkeit als auch der Bruchmechanik basieren. In Bauteilen und Strukturen, die sehr hohen Lastwechselzahlen ausgesetzt sind, wie z.B. Eisenbahnradsatzwellen, können Risse entstehen und wachsen, obwohl die Belastung grundsätzlich unterhalb der Dauerfestigkeit oder sogar unterhalb des Schwellenwertes der Ermüdungsrissausbreitung ist. Aufgrund der zunehmenden Bedeutung dieses Einsatzbereichs werden ferner im Rahmen dieser Arbeit die Ansätze zur Beschreibung des Phänomens des „ultra high cycle fatigue“ dargestellt. Im Hinblick auf die Bewertung der unterschiedlichen Konzepte schließt sich die Beschreibung der experimentellen, numerischen und analytischen Untersuchungen unterschiedlicher Geometrien und Belastungen an. Aufgrund der gewonnenen Erkenntnisse erfolgt eine Diskussion, ein Vergleich und die Anwendung der Konzepte zur Beschreibung der Lebensdauer von Bauteilen, Maschinen, Anlagen und Verkehrsmitteln.

Kapitel 2

Konzepte zur festigkeitsgerechten und bruchsicheren Gestaltung

Zur festigkeitsgerechten und bruchsicheren Gestaltung von Bauteilen, Maschinen oder Anlagen stehen unterschiedliche Auslegungskriterien zur Verfügung, die sich im Wesentlichen durch die vorhergesagte Einsatzdauer unterscheiden. Bei einer Auslegung nach „Safe-life“-Kriterien ist sicherzustellen, dass das Bauteil während der Einsatzzeit nicht versagt. In diesem Fall wird eine dauerfeste Auslegung mit hohen Sicherheitsfaktoren eingesetzt, um ein mögliches Ermüdungsversagen mit entsprechenden katastrophalen Folgen zu vermeiden. Dagegen stehen die Konzepte, die auf einer endlichen Lebensdauerprognose basieren. Sie können in folgende drei Gruppen eingeteilt werden: x Nennspannungskonzepte, x örtliche Konzepte und x bruchmechanische Konzept. Die Nennspannungskonzepte gehen von einer globalen Betrachtung der Belastungen und Beanspruchungen im Nennquerschnitt (Abb. 2.1a und d) im Vergleich zu einer Bauteilwöhlerlinie aus. Im Allgemeinen wird mit den Nennspannungskonzepten die Lebensdauer bis zum Bruch unter Verwendung einer Bruchwöhlerlinie bestimmt. In der Originalfassung der Nennspannungskonzepte ist jedoch der Zusammenhang zwischen der Nennspannungsamplitude und der Anrisslebensdauer definiert [270]. Beim örtlichen Konzept wird das elastisch-plastische Werkstoffverhalten (Abb. 2.1b und e) an der kritischen Stelle eines Bauteils zur Vorhersage der Lebensdauer bis zum Erreichen eines technischen Anrisses verwendet. Da Kerben in der Regel die kritischen Stellen eines Bauteils definieren, wird dieses Konzept vielfach auch als Kerbgrund-Konzept bezeichnet. Es wird davon ausgegangen, dass das Material an der versagenskritischen Stelle sich hinsichtlich des Spannungs-DehnungsVerhaltens genauso verhält wie eine ungekerbte Probe.

6

2 Konzepte zur festigkeitsgerechten und bruchsicheren Gestaltung

a)

ı

b)

ıN

c) ı max

a

M M

M

Spannung ı = M/W Nennspannung ıN = M/Wmin d)

M örtliche Spannung ımax örtliche Dehnung İ max

e)

F

M

Spannungsintensitätsfaktor K = f(ı, a, Geometrie) f)

F

ı A

M

F

ı

ı ımax

ıN a A min

ı F Spannung ı = F/A Nennspannung ı N = F/A min

ı F örtliche Spannung ımax örtliche Dehnung İ max

ı F Spannungsintensitätsfaktor K = f(ı, a, Geometrie)

Abb. 2.1: Konzepte zur Lebensdauerberechnung a) Nennspannungskonzept am Beispiel einer abgesetzten Welle b) Örtliches Konzept am Beispiel einer abgesetzten Welle c) Bruchmechanik am Beispiel einer abgesetzten Welle mit einem Riss der Länge a d) Nennspannungskonzept am Beispiel eines Kerbstabs e) Örtliches Konzept am Beispiel eines Kerbstabs f) Bruchmechanik am Beispiel eines Kerbstabs mit einem Riss der Länge a

Da jedoch Bauteile bereits bei der Inbetriebnahme Fehlstellen, wie z.B. Lunker, Poren, scharfe Kerben oder raue Oberflächen, aufweisen können, ist mittels bruchmechanischer Konzepte eine Bauteildimensionierung bzw. eine Lebensdauervorhersage vorzunehmen (Abb. 2.1c und f). Dies ist insbesondere dann wichtig, wenn trotz des Vorhandenseins eines Risses oder eines Materialfehlers die Trag- bzw. Funktionsfähigkeit des Bauteils gewährleistet sein muss. Bei einer sogenannten schadenstoleranten Auslegung wird durch die Festlegung regelmäßiger Inspektionsintervalle mittels bruchmechanischer Konzepte ein Versagen des Bauteils verhindert.

2.1 Belastungs- und Beanspruchungs-Zeit-Funktionen

2.1

7

Belastungs- und Beanspruchungs-Zeit-Funktionen

Um ein Bauteil, eine Maschine oder Anlage auslegen zu können, ist zunächst die Kenntnis der Belastung bzw. der Beanspruchung notwendig. Während der Einsatzzeit ist ein Bauteil einer Betriebsbelastung ausgesetzt, die durch eine Belastungs- bzw. Beanspruchungs-Zeit-Funktion beschrieben werden kann.

2.1.1 Systematisierung von Belastungs- und BeanspruchungsZeit-Funktionen Belastungs-Zeit-Funktionen können grundsätzlich in drei Gruppen eingeteilt werden: konstante oder ruhende, zyklische und stoßartige Belastung (Abb. 2.2). Eine konstante, ruhende oder auch statische Belastung ist durch eine über einen längeren Zeitraum unveränderte Last gekennzeichnet, wie z.B. eine permanent wirkende konstante Betriebsbelastung oder das Eigengewicht einer Struktur. Eine zyklische Belastung kann entweder periodisch oder nicht-periodisch ablaufen. Eine allgemeine periodische Belastung ist durch den Maximalwert der Belastung, z.B. Vmax oder Vo, den Minimalwert der Belastung, z.B. Vmin oder Vu, die Amplitude, z.B. Va, den Mittelwert, z.B. Vm, die Schwingbreite, z.B. 'V, oder das Spannungsverhältnis R gekennzeichnet. Das R-Verhältnis ist wie folgt definiert: R

V min . V max

(2.1)

Bei einer allgemeinen periodischen Belastung wird gemäß DIN 50100 [47] zwischen einer schwellenden Belastung im Zug- und Druckbereich sowie einer wechselnden Belastung unterschieden. Eine schwellende Belastung im Zugbereich gilt für Spannungsverhältnisse im Bereich 0 d R < 1 mit dem Sonderfall der reinen Zugschwellbelastung bei R = 0. Bei negativen R-Verhältnissen, d.h. die Oberspannung befindet sich im Zugbereich und die Unterspannung im Druckbereich, ist eine Wechselbelastung gegeben, wobei eine reine Wechselbelastung bei R = -1, d.h. bei einem Mittelwert von null, definiert ist. Liegt die gesamte Belastung im Druckbereich, tritt eine Druckschwellbelastung auf. Von einer reinen Druckschwellbelastung spricht man, wenn der Maximalwert der Belastung null ist. Im Gegensatz zu einer periodischen Belastungs-Zeit-Funktion, bei der die Amplitude und die Mittelspannung konstant bleiben, ändern sich bei einer nichtperiodischen Belastungs-Zeit-Funktion diese Größen ständig. Nicht-periodische Last-Zeit-Funktionen können sowohl deterministischer als auch stochastischer Art sein. Deterministische Lasten, die durch die geplante Nutzung einer Struktur verursacht werden, wie beispielsweise Manöver eines Flugzeugs [219], können eindeutig beschrieben und vorhergesagt werden. Hingegen sind statistische Last-ZeitFunktionen, wie z.B. die Belastung eines Schiffs durch den Wellengang, Turbu-

8


lenzen auf ein Flugzeug oder Belastungen eines Automobils aufgrund schlechter Straßenbedingungen [219], zufallsbedingt und können allenfalls mit statistischen Methoden beschrieben werden. Sehr häufig treten deterministische und stochastische Lasten überlagert auf, wie z.B. bei der Belastung eines Flugzeugs durch den Manöverflug und gleichzeitig auftretende Turbulenzen. Belastungs-Zeit-Funktion

konstante, ruhende Belastung

zyklische Belastung

periodisch

ı

nicht-periodisch

ı ımax ım

stoßartige Belastung

ı ıa

ı

'ı

ımin t

t

t

't

t

Abb. 2.2: Systematisierung einer Belastungs-Zeit-Funktion

Bei einer Stoßbelastung erfolgt die Belastung in einem sehr kurzen Zeitintervall 't, d.h. die Belastung ist durch einen schnellen Anstieg und Abfall gekennzeichnet, wie beispielsweise unfallartige Ereignisse oder Bordsteinüberfahrten eines Automobils. In Analogie zu der oben dargestellten Systematisierung der Belastungs-ZeitFunktionen werden ebenfalls Beanspruchungs-Zeit-Funktionen eingeteilt. Beanspruchungs-Zeit-Funktionen ergeben sich entweder aus den Belastungs-ZeitFunktionen durch rechnerische oder numerische Ermittlung, z.B. der Spannungen und Dehnungen, in Abhängigkeit der Geometrie des Bauteils oder der Struktur sowie durch experimentelle Verfahren.

2.1.2 Ermittlung von Last-Zeit-Funktionen Die Ermittlung einer Belastungs-Zeit-Funktion für die Berechnung oder die experimentelle Ermittlung der Lebensdauer von Bauteilen und Strukturen wird in eine qualitative und eine quantitative Analyse unterteilt. In der qualitativen Analyse wird zunächst das Einsatzprofil eines Bauteils oder einer Struktur definiert, durch das die voraussichtliche Nutzungsdauer der Konstruktion sowie die Häufigkeit, Verteilung und Reihenfolge der einzelnen Lastfälle festgeschrieben ist [106, 219].


9

Bei der quantitativen Analyse werden die Bauteilbelastungen unter realen Belastungsbedingungen in Abhängigkeit der entsprechenden Lastfälle aufgezeichnet, berechnet, simuliert oder geschätzt. Die Möglichkeiten der Ermittlung der Bauteilbelastung für die Lebensdauervorhersage sind sehr vielfältig. Grundsätzlich stehen die Betriebslastmessung, die rechnerische Simulation, die analytische Simulation oder die Abschätzung zur Verfügung. Bei einer Betriebslastmessung, die für die Lebensdauervorhersage lediglich bei Anlagen im Betrieb vor Änderungen, Umbauten oder Neukonstruktionen ähnlicher Art einsetzbar ist, kann sowohl mit Messelementen, die direkt im Kraftfluss liegen (z.B. Kraftmessdosen, Drehmomentenmesswelle) oder mit Messelementen, die an das Bauteil appliziert werden (z.B. Dehnungsmessstreifen), erfolgen. Hierbei ist sicherzustellen, dass der Messzyklus für die Gesamtnutzungsdauer repräsentativ ist [78]. Die rechnerische Simulation eignet sich sowohl für Maschinen und Anlagen im Betrieb als insbesondere auch in der Planungs- und Konstruktionsphase. Bei diesem Verfahren wird die Belastung in Form einer Schwingungsantwort unter Verwendung eines Mehrkörpermodells simuliert. Beispielsweise können durch virtuelle Simulationen der Straßenfahrt eines Gesamtfahrzeuges unter Verwendung eines Reifenmodells, der numerischen Abbildung eines Straßenprofils und eines Fahrermodells Belastungs-Zeit-Funktionen erstellt werden [84]. Nachteilig bei diesem Verfahren ist, dass die Qualität des Ergebnisses von der Güte des Modells und der Nachbildung der Belastung sowie der Erfahrung des Berechners abhängt. Eine analytische Ermittlung der Bauteilbelastung baut auf den Modellen der Mechanik (z.B. Balken oder Stäben) auf. Somit können unter teilweise starker Vereinfachung und Vernachlässigung äußerer Einflüsse Lösungen für einfache Geometrien gefunden werden. Auf der Basis statistischer Daten (z.B. Verkehrslast- oder Häufigkeitsmodellen, Wetterdaten) sowie von Regelwerken können Abschätzungen unter Einbezug der Abmessungen des Bauteils oder der Struktur durchgeführt werden, die als Lastannahmen auf der sicheren Seite liegen müssen. Trotz großen Messaufwands können die Betriebsbelastungen der gesamten Lebensdauer eines Bauteils oder einer Struktur im Allgemeinen nicht erfasst werden, so dass die ermittelten Daten auf eine längere Zeitspanne extrapoliert werden müssen [79]. Eine sehr häufig angewendete Methode ist, die gemessene Last-ZeitFunktion mehrfach zu wiederholen, d.h. die Häufigkeiten mit einem Faktor zu skalieren. Dieses Vorgehen ist zulässig, wenn die Extremwerte der gemessenen Belastungs-Zeit-Funktion entsprechend definiert und repräsentativ für die Lebensdauer sind [85]. Johannesson [100] entwickelte einen Ansatz, bei dem die gemessenen Daten zwar wiederholt werden, aber die Spitzenwerte ober- bzw. unterhalb eines Schwellenwertes mittels statistischer Methoden in ihrer Höhe modifiziert werden. Die Amplituden unter- bzw. oberhalb der Schwellenwerte bleiben unverändert. Das Verfahren ist nicht geeignet für Last-Zeit-Funktionen, bei denen der Mittelwert aufgrund unterschiedlicher Belastungsbedingungen, wie z.B. bei Start-

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und Landevorgängen eines Flugzeugs oder bei unterschiedlichen Ladezuständen eines LKW, stark schwankt. In ähnlicher Weise verfährt Buxbaum [34], jedoch verwendet er zur Bestimmung der Größe der Amplituden Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Daneben sind unterschiedliche statistische Verfahren zur Extrapolation von Last-Zeit-Funktionen ausgehend von Rainflow-Matrizen (s. Kap. 2.1.3) entwickelt worden [56, 100, 101]. Aus der Kenntnis der Bauteilbelastung können dann mittels analytischer, numerischer oder experimenteller Verfahren die Bauteilbeanspruchungen abgeleitet werden. Je nach angewendetem Konzept sind dazu entweder die Nennspannungen oder die örtlichen Spannungen und Dehnungen zu ermitteln (Abb. 2.1). Die Nennspannungen können sehr häufig durch die bekannten Lösungen der Festigkeitslehre ermittelt werden. Darauf aufbauend ist die Bestimmung der elastischplastischen Spannungen und Dehnungen mittels Näherungsbeziehungen (s. Kap. 2.4.3.1) für die Anwendung des örtlichen Konzepts möglich. Aufwändiger ist hingegen die Anwendung einer elastisch-plastischen Finite-Elemente-Simulation zur Ermittlung der örtlichen Spannungen und Dehnungen. Deshalb werden numerische Simulationen sehr häufig auf der Basis des elastischen Werkstoffverhaltens durchgeführt und anschließend mittels der oben genannten Näherungsbeziehungen in elastisch-plastische Beanspruchungen umgerechnet.

2.1.3 Zähl- und Klassierverfahren Grundgedanke der Zähl- und Klassierverfahren ist, eine Belastungs- bzw. Beanspruchungs-Zeit-Funktion in ihre Einzelschwingungen zu zerlegen, um beliebig komplizierte Last-Zeit-Funktionen zu vereinfachen, zu reduzieren, zu vergleichen oder zusammenzufassen sowie um Lebensdauerberechnungen durchführen zu können. Bevor eine Zählung erfolgen kann, ist zunächst eine Klassierung vorzunehmen. Dabei wird der Messbereich in äquidistante Klassen eingeteilt, wobei der Zählnullpunkt unterhalb des niedrigsten Messwertes liegen muss. Die Anzahl der Klassen kann im Allgemeinen zwischen 16 und 256 variieren [78]. Die Zähl- und Klassierverfahren können in einparametrische Methoden, bei denen nur ein Merkmal gezählt wird, und in zweiparametrische Methoden, bei denen zwei zusammengehörende Merkmale registriert werden, unterteilt werden [265]. Grundsätzlich gehen durch die Anwendung eines Zählverfahrens wichtige Informationen, wie z.B. die Reihenfolge der Einzelschwingungen im Ablauf, die Frequenz oder das Zeitgesetz des Schwingungsvorgangs der Belastungs- bzw. Beanspruchungs-Zeit-Funktion, verloren [78]. Zusätzlich fehlen bei einparametrischen Zählformen Informationen beispielsweise über die Mittelwerte. Zu den einparametrischen Verfahren zählen die Extremwertzählung (PeakCounting), die Klassengrenzenüberschreitungszählung (Level Crossing Counting) und die Bereichspaarzählung (Range Pair Counting). Das Ergebnis einer einpara-


11

metrischen Zählung ist eine Häufigkeitsverteilung, deren Kennfunktion als Kollektiv bezeichnet wird. Die Extremwertzählung liefert die Häufigkeitsverteilung der Spitzenwerte einer Last-Zeit-Funktion. Im Allgemeinen werden die relativen Minimal- und Maximalwerte gezählt, die als Summenhäufigkeit aufgetragen werden [265]. Alternativ dazu können jedoch auch die Extremwerte oberhalb einer definierten Referenzlinie als Maxima und unterhalb der Referenzlinie als Minima oder die absoluten Maxima und Minima zwischen zwei Mittelwertdurchschreitungen gezählt werden [9, 46]. Die Klassengrenzenüberschreitungszählung ergibt die Überschreitungshäufigkeit von Klassengrenzen. Dabei werden die Überschreitungen jeder Klassengrenze jeweils an den aufsteigenden Flanken des Messsignals gezählt. Eine Variante des Verfahrens entsteht dadurch, dass die negativen Flanken gezählt werden [265].

Spannung [MPa]

475,6 400,0 350,0 300,0 250,0 200,0 150,0 100,0 50,0 0,0 -50,0 -85,6 0,9

oberer Ast

2Va

unterer Ast 3,0 10,0 30,0 100,0

1000,0 Häufigkeit

10000,0

H0 1000000,0

Abb. 2.3: Kollektiv aus der Klassengrenzenüberschreitungszählung des Standardlastspektrums CARLOS/v

Abbildung 2.3 zeigt exemplarisch das Kollektiv aus der Klassengrenzenüberschreitungszählung des Standardlastspektrums CARLOS/v, das dem Standardbelastungsablauf für die Vertikalkräfte am Radaufstandspunkt eines PKWs entspricht [224]. Bei einer Aufteilung des Kollektivs in zwei Äste beschreibt der obere Ast näherungsweise die Verteilung der Maxima und der untere Ast näherungsweise die Verteilung der Minima der Last-Zeit-Funktion [78]. D.h. die Differenz der beiden Äste ergibt die Schwingbreite 'V = 2Va. Zu erwähnen ist, dass der Kollektivumfang H0 sehr häufig nicht der Gesamtlastwechselzahl entspricht. Mit dem Verfahren der Bereichspaarzählung wird die absolute Überschreitungshäufigkeit von Schwingbreiten ermittelt. Ein Schwingspiel besteht aus einer positiven und einer negativen Flanke gleicher Größe und mit gleichem Mittelwert, dem sogenannten Bereichspaar. Zudem können die zueinander passenden Flanken durch ein oder beliebig viele weitere Schwingspiele unterbrochen sein. Sie setzen sich dann aus mehreren Teilstücken zusammen. Flanken, die nicht zu einem Bereichspaar zusammengefasst werden können, bilden das sogenannte Residuum. Im

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Gegensatz zu den vorgenannten Verfahren wird bei der Bereichspaarzählung nicht mit festen Klassengrenzen gearbeitet. Jede Flanke eines Messsignals wird ausgehend vom Extremwert in äquidistante Klassen unterteilt. Abbildung 2.4 zeigt das Kollektiv aus einer Bereichspaarzählung des Standardlastspektrums CARLOS/v.

Spannung [MPa]

567,0 500,0 450,0 400,0 350,0 300,0 250,0 200,0 150,0 100,0 50,0 5,7 0,9

2Va

3,0 10,0 30,0 100,0 1000,0 10000,0 Summenhäufigkeit

1000000,0

Abb. 2.4: Kollektiv aus der Bereichspaarzählung des Standardlastspektrums CARLOS/v

Die Gruppe der zweiparametrischen Verfahren bestehen aus der Von-BisZählung, der Bereichspaar-Mittelwert-Zählung (Range Pair Mean Counting) sowie der Rainflow-Zählung. Die Ergebnisse der zweiparametrischen Verfahren werden in der Regel in einer Matrix gespeichert. Bei der Von-Bis-Zählung werden sequentiell die Bereiche zwischen zwei Umkehrpunkten durch Speicherung der sie kennzeichnenden Extremwerte in einer Von-Bis-Matrix (Übergangsmatrix) gezählt. Die Bereichspaar-Mittelwert-Zählung entspricht der Durchführung der Bereichspaarzählung. Zusätzlich zu der Breite der Bereichspaare wird jedoch der Mittelwert gespeichert. ı

ı

h

h

d

b

b f

f a

a

d geschlossene Hystereseschleifen

İ

t c

c e

e g

g

Abb. 2.5: Zählen geschlossener Hystereseschleifen beim Rainflow-Zählverfahren


13

Gleiche Ergebnisse wie das Bereichspaar-Mittelwert-Zählverfahren liefert die weit verbreitete Rainflow-Zählung [78], bei der geschlossene Hysteresen gezählt werden (Abb. 2.5). Der ursprüngliche Algorithmus der Rainflow-Zählung geht auf Matsuishi und Endo zurück. Matsuishi und Endo haben sich eine um 90° gedrehte Belastungs-Zeit-Funktion als Pagoden-Dächer vorgestellt, über die der Regen fließt. Zum Auffinden der Hystereseschleifen sind seitdem zahlreiche Varianten und Modifikationen des ursprünglichen Algorithmus entwickelt worden (z.B in [5, 8, 9]). Eine Veranschaulichung des Verfahrens ergibt sich aus der Betrachtung des Spannungs-Dehnungsverlaufs für eine beliebige Beanspruchungs-Zeit-Funktion. Abbildung 2.5 zeigt exemplarisch den Spannungs-Dehnungspfad einer Beanspruchungs-Zeit-Funktion mit den sich ergebenden geschlossenen Hystereseschleifen. a)

4

bis 8 12 16 20 24 28 32

4

4

4

8

8 Spanne

12 von

b)

16 20

12 16 20

24

24

28

28

32

32

c)

4

Mittelwert 8 12 16 20 24 28 32

bis 8 12 16 20 24 28 32

4 8 von

12 16 20 24 28 32

Abb. 2.6: Ergebnisdarstellung einer Rainflow-Zählung des Standardlastspektrums CARLOS/v in unterschiedlichen Matrixtypen a) Vollmatrix der Form „von-bis“ b) Vollmatrix mit Schwingbreiten- und Mittelwertspeicherung c) Halbmatrix

Das Ergebnis der Rainflow-Zählung kann sowohl als Voll- als auch als Halbmatrix gespeichert werden. Abbildung 2.6 zeigt die unterschiedlichen Möglichkeiten der Ergebnisdarstellung einer Rainflow-Zählung am Beispiel des Standardlastspektrums CARLOS/v. Im Gegensatz zu Vollmatrizen, bei denen entweder die

14


Extrema in der Form „von-bis“ (Abb. 2.6a) oder die Schwingbreite und der Mittelwert (Abb. 2.6b) gespeichert werden, sind bei den Halbmatrizen nur die Extrema ohne Richtungsangabe des Zyklus (Abb. 2.6c) gespeichert. Aus den Matrizen können die Linien gleicher Schwingbreite sowie der Mittelwerte abgelesen werden. In Richtung der Diagonalen sind in der Matrix Zyklen gleicher Schwingbreite (Abb. 2.7a) zu finden, während senkrecht zur Hauptdiagonalen die Zyklen gleicher Mittelwerte (Abb. 2.7b) eingetragen sind. Die Schwingbreiten bzw. Mittelwerte nehmen jeweils in Pfeilrichtung zu. b)

1 2 3 4 5 6 7 8

zunehmende Schwingbreite Zyklen gleicher Schwingbreite

Maximum

Maximum

a)

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8

zunehmende Mittelwerte Zyklen gleicher Mittelwerte

1 2 3 4 5 6 7 8

Minimum

Minimum

Abb. 2.7: Halbmatrizen mit schematischer Darstellung (nach [78]) a) der Zyklen mit zunehmender Schwingbreite b) der Zyklen mit zunehmendem Mittelwert

2.2

Statischer Festigkeitsnachweis

Für den statischen Festigkeitsnachweis müssen die Maximalspannungen Vmax kleiner als die Beanspruchbarkeit Vzul des Werkstoffs sein:

V max d V zul .

(2.2)

Soll das Bauteil gegen plastisches Versagen bzw. Fließen ausgelegt werden, ergibt sich die zulässige Spannung z.B. aus der Dehngrenze Rp0,2 bzw. der Fließgrenze Re des Werkstoffs bezogen auf den Sicherheitsfaktor SF gegen Fließen:

V zul

Rp0,2 bzw. Re SF

.

(2.3)

Bei einer Auslegung gegen Trennbruch ergibt sich die zulässige Spannung beispielsweise aus der Zugfestigkeit Rm und dem Sicherheitsfaktor SB zu

V zul

Rm . SB

(2.4)

2.3 Dauerfestigkeitsnachweis

15

In der FKM-Richtlinie „Rechnerischer Festigkeitsnachweis für Maschinenbauteile“ [67] werden zusätzlich technologische Größenfaktoren sowie Anisotropie-, Druckfestigkeits-, Schubfestigkeits- und Temperaturfaktoren zur Berechnung der zulässigen Spannung verwendet. In Abhängigkeit des Werkstoffs berücksichtigt der technologische Größenfaktor die mit zunehmender Bauteilabmessung im Allgemeinen abnehmende Werkstofffestigkeit durch die Definition eines effektiven Durchmessers. Ist der Durchmesser bzw. die Wanddicke des Bauteils größer als der in Tabellen angegebene effektive Durchmesser, so ist der technologische Größenfaktor zu berücksichtigen. Der Anisotropiefaktor bezieht Änderungen der Werkstofffestigkeit in Abhängigkeit von Vorzugsrichtungen bei gewalzten oder geschmiedeten Bauteilen mit ein. Höhere bzw. niedrigere Beanspruchbarkeiten durch Druck- bzw. Schubspannungen berücksichtigt der Druck- bzw. Schubfestigkeitsfaktor. Die Änderung der Zugfestigkeit bei hohen Temperaturen wird durch den Temperaturfaktor einbezogen. Die Maximalspannungen können entweder mittels einer klassischen Festigkeitsberechnung, numerischer Simulation oder aus Experimenten ermittelt werden. Während bei einer numerischen Simulation oder aus einem Experiment unmittelbar die maximalen Spannungen ermittelt werden können, ist unter Verwendung der klassischen Festigkeitsberechnung im Bereich einer Kerbe die maximale Spannung aus der Nennspannung unter Berücksichtigung eines Kerbfaktors Dk zu bestimmen:

V max

Dk V N ,

(2.5)

wobei der Kerbfaktor beispielsweise aus Kerbfaktordiagrammen (siehe z.B. [45, 67]) abgelesen werden kann. Bei einer mehrachsigen Beanspruchung ist als maximale Spannung eine maximale Vergleichsspannung VV,max zu ermitteln, die kleiner als die zulässige Spannung sein muss. Die Vergleichsspannung ergibt sich bei einer Auslegung gegen Trennbruch nach der Normalspannungshypothese nach Navier. Während bei einer Berechnung gegen plastische Verformung im Allgemeinen die Gestaltänderungsenergiehypothese nach von Mises Anwendung findet.

2.3

Dauerfestigkeitsnachweis

Im Gegensatz zur statischen Belastung führen bei einer zyklischen Belastung Ermüdungsvorgänge bereits weit unterhalb der statischen Festigkeitsgrenze zum Versagen eines Bauteils oder einer Struktur. Beim Dauerfestigkeitsnachweis müssen die Spannungsausschläge in Abhängigkeit der Mittelspannung kleiner als eine zulässige Spannung sein. Die zulässige Spannung ergibt sich aus dem Dauerfestigkeitskennwert des Werkstoffs, Oberflächen- und Größenbeiwerten sowie der Sicherheit gegen Dauerbruch. Der Dauerfestigkeitskennwert ist diejenige Spannungsamplitude, die ein Bauteil oder eine Struktur rein theoretisch bei gleichzeitig

16


vorhandener Mittelspannung bis zu einer gewissen Schwingspielzahl ohne Versagen ertragen kann, und ist in der Wöhlerlinie oder einem Dauerfestigkeitsschaubild ablesbar.

2.3.1 Ermittlung der Wöhlerkurve und der Dauerfestigkeit In einem Schwingfestigkeitsversuch werden Proben oder Bauteile einer zyklischen Belastung mit konstanter Amplitude und Mittelspannung oder konstantem RVerhältnis bis zum Anriss oder Bruch belastet. Zur Ermittlung einer Wöhlerkurve werden auf unterschiedlichen Spannungshorizonten Schwingfestigkeitsversuche durchgeführt und die entsprechenden Anriss- oder Bruchschwingspielzahlen zu den jeweils untersuchten Spannungsamplituden in einem doppellogarithmischen Diagramm aufgetragen. log ıa Rm

k

näherungsweise linearisierter Verlauf

ıD Dauerfestigkeitsbereich Kurzzeitfestigkeitsbereich

Zeitfestigkeitsbereich

log N ND

Abb. 2.8: Schematische Darstellung einer Wöhlerlinie

Abbildung 2.8 zeigt schematisch eine Wöhlerkurve. Grundsätzlich kann eine Wöhlerlinie in den Kurzzeitfestigkeits-, den Zeitfestigkeits- und den Dauerfestigkeitsbereich eingeteilt werden. Sowohl der Zeitfestigkeits- als auch der Dauerfestigkeitsbereich lassen sich bei einer doppellogarithmischen Auftragung durch zwei Geraden annähern. Im Bereich der Zeitfestigkeit gilt: N

§V N D ¨¨ a ©VD

· ¸¸ ¹

k

für V a t V D ,

(2.6)


17

wobei k die Neigung der Zeitfestigkeitslinie ist. Im Bereich Va < VD ist die Lebensdauer rein theoretisch unendlich. ND wird als Eckschwingspielzahl bezeichnet, die den Schnittpunkt der Zeitfestigkeits- und Dauerfestigkeitsgeraden definiert. Im Allgemeinen können Wöhlerkurven in zwei Typen eingeteilt werden. Die Wöhlerkurve des Typs I hat eine ausgeprägte Dauerfestigkeitsgrenze, die durch das horizontale Abknicken der Kurve, im Allgemeinen bei einer Eckschwingspielzahl von 2106 Lastwechseln, deutlich wird. Hingegen ist der Verlauf der Wöhlerkurve des Typs II durch einen deutlichen Abfall der Spannungsamplitude bei hohen Lastwechselzahlen gekennzeichnet. Deshalb wird die Spannungsamplitude, die bei einer Lastwechselzahl von 107 erreicht wird, als technische Dauerfestigkeit bezeichnet. Die Eckschwingspielzahl wird aber auch beispielsweise durch den Kerbfaktor beeinflusst. Bei scharfen Kerben verschiebt sich die Eckschwingspielzahl zu niedrigeren Werten, während bei weniger scharfen Kerben höhere Werte zu beobachten sind. a) ıa

Į k3 > Į k2 > Į k1

b) ıa

Į k1 Į k2 Į k3

d1 d2 d3

N

N f) ıa

e) ıa

Biegung Zug/Druck Torsion

R z3 > Rz2 > Rz1 R z1 R z2 R z3

N

N d) ıa

c) ıa

d3 > d 2 > d1

ım < 0 ım = 0 ım > 0 N

ohne Korrosion mit Korrosion N

Abb. 2.9: Einflussgrößen auf die Wöhlerkurve (nach [78]) a) Kerbfaktor b) Probengröße c) Oberfläche, Rauheit d) Beanspruchungsart e) Mittelspannung f) Umgebungsbedingung, Korrosion

Neben dem Werkstoff und dem Werkstoffzustand, d.h. der chemischen Zusammensetzung, der Wärmebehandlung sowie der Herstellungsart und dem Verformungszustand, ist der Verlauf der Wöhlerlinie durch unterschiedliche Einflussgrößen gekennzeichnet, die Gudehus und Zenner in die drei Gruppen Probengeometrie bzw. –oberfläche, Beanspruchung und Umgebungsbedingungen zusammenfassen [78]. Abbildung 2.9 zeigt schematisch einige Einflussgrößen der drei genannten Gruppen. Trotz gleicher Proben bzw. Bauteile und gleichen Versuchsbedingungen treten bei Schwingfestigkeitsversuchen deutliche Streuungen auf. Deshalb ist eine Mindestzahl an Proben sowie eine Planung und Auswertung der Versuche nach statis-

18


tischen Verfahren erforderlich [186]. Dabei werden Wöhlerlinien mit einer bestimmten Ausfallwahrscheinlichkeit PA bestimmt. Diese Kurven besagen, dass x % der Proben die durch die Wöhlerlinie angegebene Bruchschwingspielzahl nicht erreichen und (100 – x %) der Proben die Lastwechselzahl überschreiten. Anstelle der Ausfallwahrscheinlichkeit wird sehr häufig auch die Überlebenswahrscheinlichkeit PÜ verwendet, welche 100 % – PA entspricht. Im Zeitfestigkeitsbereich liegt für die statistische Auswertung der Bruchschwingspielzahlen auf den unterschiedlichen Niveaus im Allgemeinen eine logarithmische GaußNormalverteilung zugrunde. Als Verteilungsfunktion der Auftretenswahrscheinlichkeit können aber auch die Funktionen nach Weibull, Rayleigh oder Gumbel sowie eine Sinus-Verteilung verwendet werden [109, 186, 220]. PA

log ı a

90% 50% 10%

Häufigkeitsverteilung der Lebensdauerwerte ıa = const.

ND

Häufigkeitsverteilung der Dauerfestigkeitswerte PA

PÜ

90%

10%

50%

50%

10%

90%

log N

Abb. 2.10: Wöhlerkurve und Streuband der Versuchsergebnisse im Bereich der Zeitfestigkeit und der Dauerfestigkeit (nach [78, 186])

Die statistische Auswertung aufbauend auf der Annahme einer logarithmischen Normalverteilung der Versuchsergebnisse im Zeitfestigkeitsbereich erfolgt graphisch durch lineare Regression in einem Wahrscheinlichkeitsnetz [79, 186]. In einem Schema werden die Bruchschwingspielzahlen N der vorliegenden n Versuche je Belastungshorizont der Größe nach, beim Größtwert beginnend, sortiert und mit einer Ordnungszahl j versehen. In der Literatur sind zahlreiche Möglichkeiten zur Ermittlung der den jeweiligen Bruchschwingspielzahlen zugeordnete Überlebenswahrscheinlichkeit PÜ beschrieben. Nach Rossow [201] ergibt sich die Überlebenswahrscheinlichkeit beispielsweise zu: PÜ

3 j 1 , 3n 1

nach Schijve [220] zu

(2.7)


PÜ

j 0,5 n

19

(2.8)

bzw. nach Hück [91] zu PÜ

j 0,535 . n 0,07

(2.9)

Durch die Versuchspunkte eines jeden Horizontes werden Ausgleichsgeraden gelegt. Dadurch lassen sich die ertragbaren Schwingspielzahlen für bestimmte Werte der Überlebenswahrscheinlichkeit ermitteln und als Wöhlerlinie der entsprechenden Wahrscheinlichkeit auftragen. Ergibt sich ein Schnittpunkt zweier Geraden im Wahrscheinlichkeitsnetz, so ist die logarithmische Normalverteilung durch eine andere Verteilungsfunktion zu ersetzen [79]. Abweichungen von einer Gerade im Wahrscheinlichkeitsnetz bei logarithmischer Auftragung der Lastwechselzahl treten insbesondere in den Übergangsbereichen zur Kurz- und zur Dauerfestigkeit auf. Da zusätzlich im Übergangsbereich zur Dauerfestigkeit sowohl Brüche als auch sogenannte Durchläufer, d.h. Proben, die bis zu einer definierten Grenzschwingspielzahl nicht ausfallen, auftreten, ist eine voneinander getrennte statistische Behandlung der beiden Bereiche erforderlich [109, 220]. Schijve empfiehlt für den Dauerfestigkeitsbereich eine Normalverteilung als Basis zu verwenden, da die anderen statistischen Funktionen in diesem Bereich nicht anwendbar sind [220]. Gesondert behandelt werden müssen außerdem sogenannte Ausreißer [79]. Zur Versuchszeitverkürzung im Dauerfestigkeitsbereich sind abgekürzte Prüfverfahren entwickelt worden, die mit geringerer Probenzahl trotzdem ein statistisch abgesichertes Versuchsergebnis liefern. Folgende Verfahren lassen sich dabei unterscheiden [109]: x x x x

PROBIT-Verfahren (Horizontprüfung), Treppenstufenverfahren (Abb. 2.11a), Abgrenzungsverfahren (Abb. 2.11b) und Kombinationsverfahren (Abb. 2.11c).

Das PROBIT-Verfahren nach Finney [65] ist ein Horizontprüfung, bei dem auf mehreren Belastungshorizonten etwas oberhalb und etwas unterhalb der geschätzten Dauerfestigkeit ca. 50 Proben bis zum Bruch bzw. der Grenzlastwechselzahl belastet werden. Für jeden Horizont wird aus den Versuchsergebnissen die Ausfallwahrscheinlichkeit berechnet und in einem Wahrscheinlichkeitsnetz ausgewertet. Neben dem Mittelwert und der Standardabweichung der Dauerfestigkeit lässt sich mit dem PROBIT-Verfahren auch die Verteilungsform ermitteln [121, 186]. Beim Treppenstufenverfahren nach Dixon und Mood [49] wird der Bereich um einen geschätzten Dauerfestigkeitswert in Spannungsstufen mit linearem oder logarithmisch gleichen Abstand eingeteilt (Abb. 2.11a). Beginnend mit einem Versuch mit der Amplitude der geschätzten Dauerfestigkeit werden die Schwingfes-

20


tigkeitsversuche durchgeführt, wobei sich die Spannungsamplitude des nächsten Versuchs immer nach dem vorangegangen Prüfergebnis richtet. Bricht eine Probe, so wird die nächste Probe mit der Spannungsamplitude des nächst niedrigeren Horizont durchgeführt. Ist der Versuch hingegen ein Durchläufer, so wird die Spannungsamplitude um ein Niveau erhöht. So wird gewährleistet, dass sich bei einer hinreichend feinen Abstufung der Spannungshorizonte die Versuchsergebnisse um den Mittelwert der Dauerfestigkeit streut. Zur statistischen Auswertung der Versuche stehen unterschiedliche Methoden, wie z.B. das Verfahren nach Hück [90], zur Verfügung. Eine detaillierte Beschreibung und Bewertung der verschiedenen Auswertungen ist in [121] nachzulesen. Beim Abgrenzungsverfahren nach Maennig [128] werden Schwingfestigkeitsversuche auf zwei Spannungshorizonten durchgeführt. Zum Auffinden des Dauerfestigkeitsbereichs wird zunächst ein Versuch auf einem beliebigen Spannungshorizont durchgeführt. Nun ergibt sich entweder ein Durchläufer (Abb. 2.11b) oder aber die Probe bricht. a)

b)

c)

ıa ıa6 ıa5 ı a4 ıa3 ı a2 ıa1 n

ıa ıa6 ıa5 ı a4 ıa3 ı a2 ıa1

Durchläufer Bruch

n

ıa ıa6 ıa5 ı a4 ıa3 ı a2 ıa1 n

Abb. 2.11: Verfahren zur Ermittlung der Dauerfestigkeit a) Treppenstufenverfahren b) Abgrenzungsverfahren c) Kombinationsverfahren (Treppenstufung und Horizontprüfung)


21

Ergibt sich ein Durchläufer, wird die Spannungsamplitude stufenweise solange erhöht, bis erstmals ein Bruch eintritt. Andernfalls wird die Spannungsamplitude stufenweise solange abgesenkt, bis erstmals ein Durchläufer auftritt. Auf diesem Niveau werden n1 Proben getestet. Der untere Beanspruchungshorizont wird in Abhängigkeit der Ergebnisse der ersten Stufe bestimmt. Der Abstand DA der beiden Spannungshorizonte ergibt sich zu [121]: DA

§ r · 0,1V a,oben ¨¨1 1 ¸¸ © n1 ¹

DA

§ r · 0,1V a,oben ¨¨ 1 ¸¸ für r1 t 0,5n1 , © n1 ¹

für r1 d 0,5n1

(2.10)

(2.11)

wobei r1 die Anzahl der Brüche auf dem geprüften oberen Lastniveau sind und Va,oben die Spannungsamplitude des oberen Beanspruchungshorizonts ist. Auf dem so ermittelten unteren Spannungshorizont werden weitere n2 Proben getestet. Abschließend erfolgt ebenfalls eine statistische Auswertung [121, 186]. Das Kombinationsverfahren nach Klubberg et al. [108, 109] koppelt das Treppenstufenverfahren mit einer Horizontprüfung auf der im Übergangsbereich liegenden obersten Treppenstufe (Abb. 2.11c).

2.3.2 Dauerfestigkeitsschaubilder und Mittelspannungsempfindlichkeit Wie bereits in Abb. 2.9e angedeutet, ist der Dauerfestigkeitswert von der Mittelspannung abhängig. Zur zusammenfassenden Darstellung der Ergebnisse in Abhängigkeit der Mittelspannung bzw. des R-Verhältnisses stehen unterschiedliche Dauerfestigkeitsschaubilder zur Verfügung. Die bekanntesten Schaubilder sind die Diagramme nach Smith und Haigh. Im Smith-Diagramm (Abb. 2.12) werden die Ober- und Unterspannung über der Mittelspannung aufgetragen. Das Dauerfestigkeitsschaubild wird sehr häufig näherungsweise aus der Wechselfestigkeit VW, der Zugfestigkeit Rm und der Streckgrenze Re konstruiert. Im Allgemeinen wird das Diagramm zur Darstellung der Dauerfestigkeitskennwerte in Abhängigkeit der Mittelspannung genutzt. Die Auftragung der Ober- und Unterspannung für eine definierte Lastwechselzahl ist aber ebenfalls möglich. Abbildung 2.13 zeigt die schematische Darstellung des Zeit- und Dauerfestigkeitsschaubildes nach Haigh. In dieser Darstellungsform werden die Spannungsamplitude Va über der Mittelspannung Vm aufgetragen. Die Spannungsamplituden für ein bestimmtes R-Verhältnis können auf den Geraden, die durch den Nullpunkt gehen, abgelesen werden. Der Vorteil dieses Diagramms ist, dass sowohl Ergeb-

22


nisse aus dem Zeitfestigkeits- als auch dem Dauerfestigkeitsbereich in Abhängigkeit der Mittelspannung und des Spannungsverhältnisses eingetragen werden können. ı Rm Re

ıo ıA

ıSch ıW

ıu

ım

Rm

ım Abb. 2.12: Schematische Darstellung des Dauerfestigkeitsschaubildes nach Smith (Smith-Diagramm)

ı W

Zur Charakterisierung des Einflusses der Mittelspannung auf die ertragbare Spannungsamplitude ist der Parameter der Mittelspannungsempfindlichkeit M als Neigung der Zeit- oder Dauerfestigkeitslinie zwischen R = -1 und R = 0 definiert worden: M

tan D .

(2.12) ıa

ıo

Re +

–

ıu ıo

ıu

N = konst.

0

u

= R

rf

0

f

ı

=

N=

+

R

R = -1

–

ıo

Į

R=1 Re

ım

Abb. 2.13: Schematische Darstellung des Zeit- und Dauerfestigkeitsschaubildes nach Haigh (Haigh-Diagramm)


23

In der FKM-Richtlinie „Rechnerischer Festigkeitsnachweis für Maschinenbauteile“ [67] gilt die Mittelspannungsempfindlichkeit M für den Bereich zwischen R = f und R = 0. Im Bereich R = 0 bis R = 0,5 gilt M/3 sowie außerhalb des Bereichs M = 0. Zur analytischen Beschreibung des Schwingfestigkeitsdiagramms existieren zahlreiche Gleichungen, wie z.B. nach Goodman, Soderberg oder Gerber. Die einfachste Beschreibung stellt die Goodman-Gerade dar, die die Wechselfestigkeit mit der Zugfestigkeit linear verbindet. Ein neuerer Ansatz wurde durch Liu [121] entwickelt, der auch den Einfluss negativer Mittelspannungen berücksichtigt: § VD ¨ ¨V © W

2

· §V VW ¸ (1 pL ) ¨ max ¸ ¨ R V W ¹ © m

2

· §V VW ¸ pL ¨ max ¸ ¨ R V W ¹ © m

· ¸ 1 ¸ ¹

(2.13)

mit

pL

§ V dSch ¨¨ © 2V W

2

· § VW ¸¸ ¨¨ ¹ © Rm V W Rm V W

2

· ¸¸ 1 ¹ ,

(2.14)

( Rm V W ) 2

wobei pL positiv definiert ist.

2.3.3 Dauerfestigkeitsberechnung Ein Bauteil oder eine Struktur ist dauerfest, wenn (2.15)

V a,max V a,zul

gilt. Bei einer klassischen Dauerfestigkeitsauslegung ist die zulässige Spannung Va,zul wie folgt definiert:

V a,zul

V D b1 b2 SD

.

(2.16)

Sie setzt sich zusammen aus dem Dauerfestigkeitswert VD der entsprechenden Mittelspannung, einem Oberflächenbeiwert b1 und einem Größenbeiwert b2 sowie dem Sicherheitsfaktor SD gegen Dauerbruch. Der Oberflächenbeiwert b1 ist abhängig von der Rautiefe der Bauteiloberfläche und der Zugfestigkeit Rm. Der Größeneinfluss wird bei der klassischen Auslegung durch den Größenbeiwert b2 lediglich in Abhängigkeit des Bauteildurchmessers bzw. der Bauteildicke berücksichtigt. Allerdings kann entsprechend ihrer Mechanismen zwischen technologischem, spannungsmechanischem, statistischen und oberflächentechnischem Größenein-

24


fluss unterschieden werden [107]. Jung [102] unterteilt dagegen lediglich in spannungsbedingten, werkstoffbedingten und fertigungsbedingten Größeneinfluss. Im Rahmen einer Auslegung gemäß der FKM-Richtlinie „Rechnerischer Festigkeitsnachweis für Maschinenbauteile“ [67] werden Rauheits-, Randschicht- und Schutzschicht- sowie Eigenspannungsfaktoren berücksichtigt. Die Beanspruchungsgröße Va,max kann entweder analytisch, numerisch oder experimentell bestimmt werden. Unter Verwendung von Normalspannungen ergibt sich die maximale Spannungsamplitude Va,max = EkVa,N aus der Nennspannungsamplitude Va,N und der Kerbwirkungszahl Ek, die als Verhältnis der Wechselfestigkeit einer ungekerbten zur gekerbten Probe definiert ist. Die Kerbwirkungszahl wird im Allgemeinen aus der Kenntnis des Kerbfaktors über folgenden Zusammenhang ermittelt: n

Dk , Ek

(2.17)

der als Stützwirkung bezeichnet wird. Zur Ermittlung der Stützwirkung stehen zahlreiche Modelle zur Verfügung, wie z.B. nach Siebel, Neuber, Lukas, Liu/Zenner [122] oder Liu [121]. Ein anerkanntes Modell ist das Verfahren nach Siebel, bei dem in Abhängigkeit des bezogenen Spannungsgefälles F* und der Dehngrenze bzw. der Zugfestigkeit des Werkstoffs als Korrelationsgröße zur ursprünglich von Siebel definierten Gleitschichtdicke die Stützwirkung bestimmt wird. Das bezogene Spannungsgefälle kann für einfache Bauteilformen aus Tabellen beispielsweise der FKM-Richtlinie entnommen werden. Das Konzept nach Liu [121] als Erweiterung des Ansatzes nach Liu/Zenner [122] berechnet die Stützwirkung aus den statistischen, verformungsmechanischen und bruchmechanischen Stützfaktoren: n

nst nvm nbm .

(2.18)

Aufbauend auf dem Fehlstellenmodell nach Heckel [31] beschreibt die statistische Stützwirkung nst die erhöhte Wahrscheinlichkeit eines Bruchs ausgehend von statistisch verteilten Fehlern mit zunehmender Probengröße. Die verformungsmechanische Stützwirkung nvm berücksichtigt die Tatsache, dass bei inhomogener Spannungsverteilung und bei einer plastischen Verformung die elastisch berechnete Spannung stets größer als die tatsächliche Spannung ist. Da die Spannungsintensität eines Risses aus einer Kerbe im Allgemeinen geringer ist als bei einem Riss ausgehend von einer ebenen Oberfläche, führt Liu die bruchmechanische Stützwirkung nbm ein, die sich als Verhältnis der beiden Spannungsintensitätsfaktoren darstellt. In Analogie zum statischen Festigkeitsnachweis ist bei einer mehrachsigen Beanspruchung, die in Phase auftritt, eine Vergleichsspannungsamplitude z.B. nach der Normalspannungs- oder der Gestaltänderungsenergiehypothese zu ermitteln.

2.4 Konzepte der klassischen Betriebsfestigkeit

2.4

25

Konzepte der klassischen Betriebsfestigkeit

Die Konzepte der klassischen Betriebsfestigkeit können in drei Gruppen eingeteilt werden: x Nennspannungskonzepte, x Örtliche Konzepte und x Strukturspannungskonzepte. Die Nennspannungskonzepte basieren auf einer globalen Betrachtung der Belastung und Beanspruchung (Abb. 2.1a und d) im Vergleich zu einer Spannungswöhlerlinie. Unter der Annahme, dass die elastisch-plastischen Beanspruchungsgrößen an einer kritischen Stelle des Bauteils (Abb. 2.1b und e), z.B. einer Kerbe, vergleichbar sind mit denen in einer ungekerbten Probe bei gleichem SpannungsDehnungspfad, bestimmen die örtlichen Konzepte unter Verwendung der zyklischen Spannungs-Dehnungskurve und der Dehnungwöhlerlinie die entsprechende schädigende Wirkung der Belastung. Das Sturkturspannungskonzept wird zur Auslegung von Schweißverbindungen verwendet, um den Aufwand der Modellierung einer Schweißnaht bei einer numerischen Simulation zu reduzieren.

2.4.1 Werkstoffbeschreibung Neben der Beschreibung der Spannungswöhlerlinie, die in Kapitel 2.3.1 ausführlich dargestellt wurde, sind für die betriebsfeste Auslegung insbesondere nach den örtlichen Konzepten sowohl die zyklische Spannungs-Dehnungskurve als auch die Dehnungswöhlerlinie von entscheidender Bedeutung. 2.4.1.1

Zyklische Spannungs-Dehnungskurve

Die zyklische Spannungs-Dehnungskurve (Abb. 2.14a) stellt die Verbindungslinie der Extremwerte zyklisch stabilisierter Hystereseschleifen (Abb. 2.14b) dar. Im Allgemeinen wird die zyklische Spannungs-Dehnungskurve an ungekerbten Proben im dehnungsgesteuerten Versuch bei einem R-Verhältnis von –1 bestimmt. Formelmäßig wird die zyklische Spannungs-Dehnungskurve durch den Ansatz von Ramberg und Osgood beschrieben:

Ha

Va

1 / nc

§V · ¨ a ¸ E © Kc ¹

,

(2.19)

wobei E dem Elastizitätsmodul, K’ dem zyklischen Verfestigungskoeffizienten und n’ dem zyklischen Verfestigungsexponenten entspricht.

26


a)

ı İm

b)

ı

'ı

ıa

zyklische SpannungsDehnungskurve

İa

İ ım

İ

zyklische stabilisierte Hystereseschleifen

'İpl

'İel

Abb. 2.14: Zyklisches Werkstoffverhalten a) zyklische Spannungs-Dehnungskurve b) Kenngrößen einer zyklisch stabilisierten Hystereseschleife für den allgemeinen Fall mit Mitteldehnung und Mittelspannung

Durch den Vergleich der zyklischen mit der zügigen SpannungsDehnungskurve lässt sich unmittelbar feststellen, ob der Werkstoff zyklisch veroder entfestigt. Liegt die zyklische unterhalb der zügigen Spannungs-Dehnungskurve, so liegt eine Entfestigung vor und im umgekehrten Fall eine Verfestigung. 2.4.1.2

Dehnungswöhlerlinie

Zur Ermittlung der Dehnungswöhlerlinie werden Versuche mit konstanter Dehnungsamplitude an Rundproben bis zur Erzeugung eines Anrisses (je nach Verfahren 0,5 bis 2 mm Risslänge) durchgeführt. Die zyklisch stabilisierten Dehnungsamplituden werden dann über der Anrissschwingspielzahl aufgetragen. Dabei lassen sich Linien der elastischen und der plastischen Dehnungsamplitude Ha,el bzw. Ha,pl bei einer doppellogarithmischen Auftragung als Geraden darstellen (Abb. 2.15). Dadurch kann die totale Dehnungsamplitude Ha,t durch den CoffinManson Ansatz für N d ND beschrieben werden:

H a, t

H a,el H a, pl

Vfc E

(2 N ) b H f c (2 N )c .

(2.20)

Im Bereich N t ND knickt die Dehnungswöhlerlinie horizontal ab und ist wie folgt definiert:

H a, t

H a, D

Vfc E

(2 N D ) b H f c (2 N D )c

konst.

(2.21)


27

Da auch die Ergebnisse eines dehnungskontrollierten Versuchs streuen, besitzen diese Gleichungen Gültigkeit für eine Ausfallwahrscheinlichkeit von 50%. Um die Streuungen zu erfassen, schlägt Haibach in Analogie zur Spannungswöhlerlinie eine statistische Auswertung vor. Dabei unterstellt er eine logarithmische Normalverteilung und eine über den gesamten Lastwechselzahlenbereich konstante Streubreite [79]. log

İ İ’f c

ı’f E

İ a,D

b

ıD E

İ a,el İ a,pl 0,5

ND

log N

Abb. 2.15: Charakteristische Größen einer Dehnungswöhlerlinie

Zur Abschätzung der zyklischen Werkstoffparameter aus dem E-Modul und der Zugfestigkeit entwickelten Bäumel und Seeger [20] das Uniform Material Law, das auf der Auswertung von ca. 1500 Versuchsdaten basiert. Tabelle 2.1 zeigt die Werte für eine Ausfallwahrscheinlichkeit von 50%. Tabelle 2.1: Abschätzung zyklischer Werkstoffparameter nach dem Uniform Material Law [20] Werkstoff

unlegierte und niedrig legierte Stähle

Al- u. Ti-Legierungen

Vf’

1,5Rm

1,67Rm

b

-0,087

Hf’

0,59
310-3

28


2.4.2 Nennspannungskonzepte Bei den Nennspannungskonzepten handelt es sich um eine globale Betrachtungsweise. Die Beanspruchung eines Bauteils oder einer Struktur wird pauschal durch Nennspannungen beschrieben. Diese Art der Lebensdauerberechnung wird gemäß der FKM-Richtlinie „Rechnerischer Festigkeitsnachweis für Maschinenbauteile“ für einfachere Bauteile empfohlen [67], bei denen der Nennquerschnitt eindeutig definiert ist. 2.4.2.1

Lineare Schadensakkumulation

Bei der linearen Schadensakkumulation, deren Basis die Überlegungen von Palmgren und Miner sind, wird die Gesamtschädigung durch die lineare Aufsummierung der Teilschädigungen eines jeden Schwingspiels bestimmt. Dabei wird davon ausgegangen, dass die Teilschädigungen voneinander unabhängig sind und sich nicht gegenseitig beeinflussen. Die Schadenssumme ergibt sich dabei zu k

D

n

¦ Nii ,

(2.22)

i 1

wobei ni die Lastspiele je Stufe und Ni die ertragbare Schwingspielzahl aus der Wöhlerlinie in der i-ten Stufe sind. Zu beachten ist, dass Mittelwerte bzw. Spannungsverhältnisse von Lastkollektiv und Wöhlerlinie übereinstimmen. Ist dies nicht der Fall, ist eine Amplitudentransformation des Kollektivs durchzuführen, bei der die Amplituden mittels des Zusammenhangs der Mittelspannungsempfindlichkeit (siehe Kapitel 2.3.2) auf das Spannungsverhältnis der Wöhlerlinie umgerechnet werden. Das Originalkonzept der linearen Schadensakkumulation ist ursprünglich nur für die Beanspruchungen oberhalb der auf 107 Lastwechsel bezogenen Dauerfestigkeit entwickelt worden. Zudem gilt als Versagenskriterium der sichtbare Anriss und nicht der Bruch [270]. Zahlreiche Untersuchungen zeigen, dass die lineare Schadensakkumulation zu Ergebnissen führt, die im Vergleich zu experimentellen Untersuchungen auf der sicheren und oftmals auch auf der unsicheren Seite liegen können [z.B. 219, 222, 223]. Im Gegensatz zu ungekerbten Bauteilen, bei denen die Schadenssumme relativ nahe eins liegt, treten deutliche Unsicherheiten bei der Vorhersage von Bauteilen mit Kerben auf [219]. Als Ursachen werden dazu einerseits die fehlende Berücksichtigung der sogenannten Reihenfolgeeffekte bei variabler zyklischer Belastung und andererseits die schädigende Wirkung von Lastwechseln unterhalb der Dauerfestigkeit angeführt. Die Problematik der Reihenfolgeeffekte kann mit einer einfachen Sequenz bestehend aus zwei Blöcken mit n1 Lastwechseln der Spannungsamplitude Va1 und n2 Lastwechseln der Spannungsamplitude Va2 ver-


29

deutlicht werden, wobei gilt: Va1 < Va2. Je nach Anordnung der Blöcke kann zwischen einer low-high und einer high-low Lastfolge unterschieden werden. Unter der Annahme, dass die Spannungen beispielsweise an einer Kerbe die 0,2%Dehngrenze Rp0,2 des Werkstoffs lediglich bei der Anwendung von Va2 überschreiten, während sie bei der Anwendung von Va1 unterschritten werden, treten Plastifizierungen und entsprechende Eigenspannungen an der Kerbe im zweiten Block der Sequenz low-high und im ersten Block der Sequenz high-low auf. Die Ausbildung von Eigenspannungen im ersten Block einer high-low Lastfolge führt zu einer Verlängerung der Lebensdauer des Bauteils im Gegensatz zur low-high Sequenz. Derartige Reihenfolgeeffekte bleiben bei der Anwendung der PalmgrenMiner-Regel unbeachtet. Weiterhin wird nicht berücksichtigt, dass auch Schwingspiele unterhalb der Dauerfestigkeit eine schädigende Wirkung besitzen können. Wird beispielsweise durch die hohe Belastung im ersten Block der high-low Sequenz ein Riss initiiert, könnte dieser im zweiten Block trotzdem wachstumsfähig sein, obwohl die Dauerfestigkeitsgrenze durch die niedrigere Belastung unterschritten, aber der Thresholdwert gegen Ermüdungsrissausbreitung (vgl. Kapitel 2.5.3.2) überschritten wird. Mit Hilfe der Palmgren-Miner-Regel wird lediglich eine schädigende Wirkung im ersten Block bestimmt, während die Schadenssumme D für die niedrige Spannung null ist [219]. Aus diesen Gründen sind im Rahmen der linearen Schadensakkumulationshypothese zahlreiche Modifikationen entwickelt worden. Bereits zwischen 1930 und 1940 haben French [71] und Kommers [111] über Überlasteffekte auf die Dauerfestigkeit berichtet. Der Ansatz der getrennten Betrachtungsweise der Rissinitiierung und des Risswachstums wurde 1937 durch Langer [115] vorgeschlagen. In Anlehnung an die Klassierung nach Fatemi und Yang [64] können die Nennspannungskonzepte in vier Gruppen eingeteilt werden: x x x x

Modifikation der Wöhlerkurve zur Schadensrechung Konzept der Schadenskurve Ansatz der Zwei-Phasen-Schädigung Äquivalentspannungsansatz.

2.4.2.2

Modifikation der Wöhlerkurve zur Schadensrechnung

Die Palmgren-Miner-Regel in Originalform geht davon aus, dass Schwingspiele unterhalb der Dauerfestigkeit zur Schädigung nicht beitragen (Abb. 2.16). Da es im Allgemeinen durch diese Art der Betrachtung zu einer Überschätzung der Lebensdauer kommt, ist die elementare Form der Palmgren-Miner-Regel entwickelt worden. Zur Berücksichtigung des Schädigungsbeitrags der Schwingspiele, deren Amplitude unterhalb der Dauerfestigkeit liegen, wird die Gültigkeit der Zeitfestigkeitslinie auf den Dauerfestigkeitsbereich erweitert. Dieser Ansatz ist jedoch i.

30


Allg. nur für Werkstoffe, die z.B. keine ausgeprägte Dauerfestigkeit besitzen, oder bei Bauteilen in korrosiver Umgebung gerechtfertigt. Um sowohl eine systematische Über- als auch Unterschätzung der Lebensdauer zu vermeiden, wird bei der modifizierten Form der Palmgren-Miner-Regel nach Haibach [79] die Zeitfestigkeitsgerade fiktiv mit einer Neigung (2k-1) fortgesetzt. Haibach geht davon aus, dass sich aufgrund der fortschreitenden Schädigung ein Dauerfestigkeitsabfall ergibt. ı a (log)

Bauteilwöhlerlinie Neigung: k

Palmgren-Miner Original

ıD Palmgren-Miner modifiziert Neigung: 2k-1

ND

Palmgren-Miner elementar Neigung: k

N, H (log)

Abb. 2.16: Modifikation der Wöhlerkurve im Dauerfestigkeitsbereich zur Schädigungsrechung mittels der Palmgren-Miner-Regel in elementarer und modifizierter Form im Vergleich zur Original-Wöhlerkurve

In der sogenannten konsequenten Form der Palmgren-Miner-Regel trägt Haibach diesem Sachverhalt Rechnung, indem iterativ der Abfall der Dauerfestigkeit während der Berechnung bestimmt wird [79]. Hück sowie Pöting und Zenner [183, 184] schlagen vor, den Dauerfestigkeitsabfall durch eine Gerade mit der Neigung k*

· § C ¸ k ¨¨1 ¸ V / V 1 a D ¹ ©

(2.23)

in Abhängigkeit des Verhältnisses V a / V D von Kollektivhöchstwert zur Dauerfestigkeit zu berücksichtigen. Der Parameter C ist entweder an Versuchsergebnisse anzupassen oder entsprechenden Tabellen zu entnehmen. Je nach Wahl des Parameters C ergeben sich Lebensdauervorhersagen zwischen denen der elementaren Form und der Originalform. Zusätzlich wird beim sogenannten C-ParameterKonzept nach Pöting und Zenner [183] eine effektive Schadenssumme Deff < 1


31

angesetzt, die in Abhängigkeit des Werkstoffs, der Geometrie, des Versagenskriteriums, der Kollektivform, des Spannungsverhältnisses und der Beanspruchung definiert ist. Andere Ansätze, wie z.B. nach Corten und Dolan [40] oder Freudenthal und Heller [72], modifizieren die Wöhlerkurve sowohl im Dauerfestigkeitsbereich als auch im Zeitfestigkeitsbereich, wobei die Zeitfestigkeitsgerade im Uhrzeigersinn um einen Referenzpunkt gedreht wird. Nach dem Corten-Dolan Modell wird als Referenzpunkt derjenige Punkt gewählt, der dem Kollektivhöchstwert V a auf der Wöhlerkurve entspricht (Abb. 2.17). Gemäß entsprechender Versuche von Corten und Dolan kann die Neigung k* für Stähle näherungsweise mit k*

0,86...0,9 k

(2.24)

angenommen werden [270]. Sehr häufig werden jedoch die beiden Neigungen gleichgesetzt, so dass bei der vereinfachenden Annahme k* = k die Schadenssummen des Corten-Dolan Modells und der elementaren Form der Palmgren-MinerRegel übereinstimmen. ı a (log) Bauteilwöhlerlinie Neigung: k

ıa

ıD

0,5ıD

ı *D

Serensen-Koslow

Corten-Dolan

Freudenthal-Heller 3

4

10 - 10

ND

N, H (log)

Abb. 2.17: Auslegungswöhlerlinien durch Modifikationen der Bauteilwöhlerlinie

Freudenthal und Heller legen den Referenzpunkt der Drehung der Zeitfestigkeitsgeraden bei einer Lastwechselzahl von 103 – 104 Lastwechseln und dem entsprechenden Spannungsniveau fest (Abb. 2.17). Neben der reinen Neigungsänderung der Zeitfestigkeitsgeraden wird nach dem Ansatz von Serensen und Koslow die Zeitfestigkeitsgerade unterhalb der Dauer* 0,5 V D linear verfestigkeit VD lediglich bis zu einer Spannungsamplitude V D * längert. Die Neigung k der fiktiven Auslegungswöhlerkurve wird mit Hilfe der Schadenssumme D berechnet, die experimentell zu bestimmen ist [270].

32


Ein weiterer Ansatz wird von Ben-Amoz [23] verfolgt, der sowohl auf der Originalform der Palmgren-Miner-Regel als auch dem Ansatz von Subramanyan aufbaut. In seiner Grenzkurven-Theorie schlägt Ben-Amoz vor, dass die Wöhlerkurve gemäß der originalen Palmgren-Miner-Regel als obere und die Wöhlerkurve gemäß der Beziehung nach Subramanyan bei einer high-low Blocklastfolge n2 / N 2 1 (n1 / N1 )D ,

(2.25)

wobei D = log(N2/ND)/ log(N1/ND) ist [236], als untere Grenzkurve der Lebensdauer zu betrachten sind. Ben-Amoz hat nachgewiesen, dass diese Betrachtungsweise nicht nur für lineare Wöhlerkurven in einem log-log-Diagramm gilt, sondern auch für nicht-lineare Wöhlerkurven. 2.4.2.3

Konzept der Schadenskurve

Aufgrund der Tatsache, dass die Grundannahme der linearen Zunahme der Schädigung gemäß der Palmgren-Miner-Regel zu unzuverlässigen Vorhersagen führen kann, entstanden die sogenannten nicht-linearen Schadensakkumulationshypothesen (Abb. 2.18). In diesem Zusammenhang führten Richart und Newmark [194] das Konzept der Schadenskurve ein. Die Schadenskurve gibt einen funktionellen Zusammenhang der Schädigungssumme D und des Lastwechselzahlverhältnisses wieder. Aufbauend auf den Ergebnissen von Richart und Newmark [194], dass die Schadenskurve vom Lastniveau abhängt, entwickelten Marco und Starkey [132] das erste nichtlineare lastabhängige Schadenskurvenmodell. Die Schädigungssumme D ist gemäß Marco und Starkey wie folgt definiert: D

¦ Dix i ,

(2.26)

i

wobei xi eine Variable zur Quantifizierung des Lastniveaus im i-ten Block ist, d.h. jedes Lastniveau entspricht einer Schadenskurve (Abb. 2.18b und c). Ein Wechsel zwischen zwei Lastniveaus wird durch den Übergang unterschiedlicher Schadenskurven charakterisiert. Nach dem Ansatz von Marco and Starkey führt somit eine high-low Lastfolge zu einer Schädigungssumme D < 1 (Abb. 2.18b), während eine low-high Lastfolge einer Schädigungssumme D > 1 (Abb. 2.18c) entspricht. Einen anderen Ansatz zur Bestimmung der Schadenskurve verfolgten Manson und Halford [130] und formulierten das „Modell der effektiven Risslänge“: a

Į

a0 (af a0 ) (n / N ) BN .

(2.27)

2.4 Konzepte der klassischen Betriebsfestigkeit a) 1

33 b) 1

n1

n2

ı1 ı2

linear D

ı1 > ı2

D

ı1

ı2

nicht-linear 0

0

1

n/N

c) 1

n2

0

0

n/N

1

n1 /N1 + n2 /N2 < 1

n1 ı1

ı2 ı1 > ı2

D

ı1 ı2 0

0

n/N

1

n1 /N1 + n 2/N 2 > 1

Abb. 2.18: Schematische Darstellung der Schädigungssumme über dem Lastwechselverhältnis für a) die lineare Schadensakkumulation (Palmgren-Miner) im Vergleich zur nichtlinearen Schadensakkumulation unabhängig vom Spannungsniveau b) nicht-lineare Schadensakkumulation in Abhängigkeit des Spannungsniveaus für eine high-low Sequenz c) nicht-lineare Schadensakkumulation in Abhängigkeit des Spannungsniveaus für eine low-high Sequenz

Die Risslänge a0 entspricht der Anfangsrisslänge (D = 0) und af der Endrisslänge bei einer Schädigungssumme von 1. B und E stellen materialabhängige Konstanten dar. Da sich nur ein geringer Einfluss auf die vorhergesagte Lebensdauer zeigt, kann der Exponent E mit einem konstanten Wert von 0,4 angenommen werden [81, 130]. Mit der Definition der Schadenssumme D

a af

(2.28)

lautet die Funktion der Schadenskurve (Damage Curve) für eine mehrstufige Belastung wie folgt:

34

2 Konzepte zur festigkeitsgerechten und bruchsicheren Gestaltung 0,4

{[{(n1 / N1 ) N1/N 2

0,4

0,4

n2 / N 2 }N 2 /N 3

n3 / N 3 ]N3/N 4 ... 0,4

nk -1 / N k 1}N k 1/N k

nk / N k

1

. (2.29)

Durch Reduktion auf eine Belastung mit zwei Spannungsniveaus ergibt sich die vereinfachte Funktion der Schadenskurve (Abb. 2.19a): 1 (n1 / N1 )(N1/N 2 )

n2 / N 2

0,4

.

(2.30)

Unter Verwendung einer Referenzlebensdauer Nref ist die Schädigung D somit wie folgt definiert (Abb. 2.19b): D

(n / N )(N/N ref )

0,4

.

(2.31)

Als Referenzlebensdauer kann jede beliebige Lastwechselzahl der BelastungsZeit-Funktion verwendet werden, da die Kurvenform vom Referenzwert unabhängig ist [130]. a)

1

b)

1

10 -3 10 -2

10 1

10 -1 N/Nref = 1

D

n2 /N2

N1 /N2 = 1

10 2

10 3

10 -1 10

10 1

-2

10 2

10 -3 0

10 3

0

n1 /N1

1

0

0

n/N

1

Abb. 2.19: Schadenskurven auf der Basis des Damage-Curve-Ansatzes (DCA) [130] a) in Form der Lastwechselzahlverhältnisse b) in Form der Schadenssumme über dem Lastwechselzahlverhältnis in Abhängigkeit des Lebensdauerverhältnisses N/Nref

Manson und Halford stellten jedoch fest, dass der anfängliche Abfall der Werte n2/N2 für kleine Werte von n1/N1 unrealistisch ist (Abb. 2.19a). Deshalb entwickelten Manson und Halford den Double-Damage-Curve-Ansatz (DDCA): D

>

(n / N ) q1Ȗ (1 q1Ȗ ) (n / N ) Ȗ(q1 1)

wobei für q1 und q2 folgendes gilt:

@

1/Ȗ

,

(2.32)


0,35( N ref / N ) Į

q1

1 - 0,65( N ref / N ) Į

und

35

q2

( N / N ref )ȕ

(2.33)

mit D = 0,25, E = 0,4 und J = 5. Der Faktor 0,35 sowie die Exponenten D und E sind materialabhängig und wurden durch Anpassung an Experimente mit hochfesten Stählen bestimmt. Untersuchungen von Halford [81] zeigen, dass der Exponent E nur einen sehr geringen Einfluss auf die Schadenssumme besitzt. Variationen von r 25% führen zu Fehlern von + 49% bzw. – 28% in der Schadenssumme bei (n/N) = 0,1 und (N1/N2) = 0,001. 2.4.2.4

Ansatz der Zwei-Phasen-Schädigung

Eine alternative Darstellung der Schadenskurve ergibt sich durch die bilineare Schädigungsregel, bei der die Schadenskurven des Double-Damage-CurveAnsatzes durch zwei lineare Funktionen ersetzt wird. In der ursprünglichen Form der bilinearen Schädigungsregel nach Manson und Halford stellten diese beiden Funktionen die beiden Phasen Rissinitiierung und Risswachstum des Ermüdungsprozesses dar. Weiterführende Untersuchungen von Manson und Halford zeigten jedoch, dass der Schnittpunkt der Geraden keine physikalische Beschreibung des Übergangs vom Kurzrisswachstum zum Langrisswachstum darstellt [130]. Deshalb schlagen Manson und Halford eine Unterteilung in Phase I und Phase II vor. In jeder dieser Phasen wird nun separat die lineare Schadensakkumulation angewendet. D.h. ein theoretisches Versagen des Bauteils wird vorhergesagt, wenn folgende Gleichungen erfüllt sind: n

¦ DI ¦ N I

1 und

n

¦ DII ¦ N II

1.

(2.34)

Die Lebensdauer während der jeweiligen linearen Schadensakkumulation ist nicht die Gesamtlebensdauer Nf bis etwa zum Bruch, sondern NI Lastwechsel der Phase I und NII Lastwechsel der Phase II [81, 130]: NI

N f expZ N f )

(2.35)

N II

Nf NI ,

(2.36)

und

wobei ĭ

ª ln(0,35Q) º 1 ln « » ln( N1 / N 2 ) ¬ ln(1 0,65Q) ¼

(2.37)

36


Z

Q

ln(0,35Q)

(2.38)

N1) ( N1 / N 2 ) 0,25

(2.39)

ist. Hat die Last-Zeit-Funktion lediglich zwei Lebensdauerniveaus N1 (niedriges Lebensdauerniveau) und N2 (hohes Lebensdauerniveau), so kann Gl. (2.34) für NI und NII unmittelbar gelöst werden. Im Falle eines Lastspektrums mit unterschiedlichen Niveaus empfehlen Manson und Halford [131] für die Wahl der Lastwechselzahlen N1 und N2 zunächst eine Rechnung nach der linearen Schadensakkumulation durchzuführen. Die beiden Ereignisse mit der größten Schädigungswirkung werden dann als N1 und N2 verwendet. Falls zahlreiche Ereignisse mit ähnlicher Schädigung auftreten, sind N1 und N2 so zu wählen, dass sie möglichst weit voneinander entfernt sind, damit andere Schädigungsereignisse Lastwechselzahlen zwischen N1 und N2 haben. Die Rechnung mit der bilinearen Schädigungsregel ist ein iterativer Prozess, bei der N1 und N2 solange variiert werden, bis sich die Lebensdauervorhersage stabilisiert. Weiterhin schlägt Halford als Kriterium vor, dass die minimale und maximale Lebensdauer verbunden ist mit einem Lastwechselzahlverhältnis n/Nf von mindestens 0,1% des Lebensdauerverhältnisses des kleinsten Blocks [81]. Der Schnittpunkt (knee-point) der beiden linearen Schadenskurven, abgeleitet aus dem Konzept der Schadenskurve, ist durch folgende Koordinaten für N1 < N2 gegeben [130]: n1 N1

D

knee

§N · 0,35¨¨ 1 ¸¸ © N2 ¹

n2 N2

und

D

knee

§N · 0,65¨¨ 1 ¸¸ © N2 ¹

(2.40)

mit D = 0,25. Im Falle N1 > N2 gilt: n1 N1

knee

§N · 1 0,65¨¨ 1 ¸¸ © N2 ¹

D

und

n2 N2

knee

§N · 1 0,35¨¨ 1 ¸¸ © N2 ¹

D

(2.41)

mit D = 0,25. Der Schnittpunkt in einem D-n/N-Diagramm ergibt sich auch als D

Dknee

mit D = 0,25.

§N · 0,35¨ ref ¸ © N ¹

und

n N

D

knee

§N · 1 0,65¨ ref ¸ © N ¹

(2.42)

37

Schadenssumme D


Abb. 2.20: Ansätze der Schadenskurven im Vergleich zur bilinearen Schädigungsregel [130]

Abbildung 2.20 zeigt den Vergleich der bilinearen Schädigungsregel mit den Ansätzen der Schadenskurven. Die Funktion, die die Schnittpunkte verbindet, stellt die Abgrenzung der Phase I (linker unterer Bereich) und Phase II (rechter oberer Bereich) dar. In Phase I konvergieren die bilineare Schadensregel und der Double-Damage-Curve-Approach (DDCA), während der Ansatz der einfachen Schadenskurve (DCA) in diesem Bereich deutlich größere Steigungen aufweist. In Phase II sind zwischen DCA und DDCA keine Unterschiede feststellbar. Nach Halford [81] ist eine Rechnung nach einer nicht-linearen Schadensakkumulationshypothese durchzuführen, wenn N1 zwei Zehnerpotenzen größer als N2 ist und das Lastspektrum durch Spannungsniveaus des HCF geprägt ist. Im umgekehrten Fall liefert eine lineare Schadensakkumulation eine Genauigkeit von r 200 % im Vergleich zur nicht-linearen Schadensakkumulation. In Erweiterung an die bilineare Schadensakkumulationshypothese von Manson und Halford zeigt Ben-Amoz [23] auf, dass durch die Anwendung der Grenzkurventheorie (vgl. Kapitel 2.4.2.2) die oberen Grenzen die bilineare Funktion im Punkt n1 / N1 N i1 und n2 / N 2 N p2 schneiden, wobei N i die Initiierungslastwechselzahl und N p die Restlebensdauer widerspiegeln. 2.4.2.5

Äquivalentspannungsansatz

Beim Äquivalentspannungsansatz wird für ein Einstufenkollektiv, das dem tatsächlichen Spannungskollektiv äquivalent ist, nachgewiesen, dass die Äquivalentspannungsamplitude Va,äq unterhalb der Beanspruchbarkeit liegt. Im Sonderfall bedeutet dies, dass ein Dauerfestigkeitsnachweis geführt werden kann, wenn die Äquivalentspannungsamplitude unterhalb der Dauerfestigkeit ist [80]. Als Äquiva-

38


lentspannungsamplitude Va,äq gilt eine dem Spannungskollektiv schädigungsgleiche konstante Spannungsamplitude mit einer zugeordneten Zyklenzahl gleich der Eckschwingspielzahl ND der Bauteilwöhlerlinie (Abb. 2.21), in der Kollektivform, geforderter Kollektivumfang und Kollektivhöchstwert berücksichtigt sind [67]. ı a (log) ıa ı a,äq

H äq

H0

Abb. 2.21: Schädigungsgleiche Rechteckkollektive unter Verwendung des Kollektivhöchstwertes V a oder des Kollektivumfangs H0

H (log)

Auf der Basis einer Schadensrechnung mittels der elementaren PalmgrenMiner-Regel ergibt sich die Äquivalentspannungsamplitude zu [67]: 1

V a, äq

j ª 1 ºk « ¦ (ni V ak )» . i » «¬ N D i 1 ¼

(2.43)

Bei dieser Definition der Äquivalentspannungsamplitude wird jedoch davon ausgegangen, dass der Kollektivumfang H0 mit der geforderten Lebensdauer N übereinstimmt. Im allgemeinen Fall ist die schädigungsäquivalente Spannungsamplitude nach der elementaren Palmgren-Miner-Regel wie folgt definiert [79]: 1

V a, äq

§ N ¨¨ © ND

·k ¸¸ ¹

1

ª j «¦ (ni V ak ) / i «¬ i 1

j

ºk ¦ ni »» . i 1 ¼

(2.44)

Unter Verwendung der modifizierten Form der Palmgren-Miner-Regel ergibt sich die Äquivalentspannungsamplitude [79] zu 1 1

V a,äq

§ N ·k ¨ ¸ ¨N ¸ © D¹

ª j z º (2k -1) » ° « ( ni V ak ) V (1 k ) ( V ) n i D a i i ° «i 1 » i j 1 ° ¼ ®¬ j ° ni ° i 1 °¯

¦

¦

¦

½k ° ° ° ¾ . ° ° °¿

(2.45)


39

Alternativ zur äquivalenten Spannung können auch schädigungsgleiche Rechteckkollektive dadurch bestimmt werden, dass für den Kollektivhöchstwert V a oder eine beliebige andere Spannungsamplitude Va,i eine schädigungsäquivalente Ersatz-Schwingspielzahl bestimmt wird [79].

2.4.3 Örtliche Konzepte Im Gegensatz zu den Nennspannungskonzepten wird bei den örtlichen Konzepten, auch Kerbgrundbeanspruchungskonzepte oder Strain-life Konzepte genannt, die Beanspruchung an der kritischen Stelle des Bauteils betrachtet, die bei schwingend beanspruchten Bauteilen im Allgemeinen durch Kerben bestimmt ist (siehe Abb. 2.1b und e). Die Idee dieser Ansätze besteht darin, die Anrisslebensdauer ausgehend von der elastisch-plastischen örtlichen Beanspruchung der kritischen Stelle im Vergleich zur Dehnungswöhlerlinie unter Verwendung einer Schadensakkumulationshypothese zu bestimmen [78]. Sehr häufig bleiben dabei jedoch charakteristische Eigenschaften einer Kerbe, wie beispielsweise der Spannungsgradient oder die Mehrachsigkeit, sowie der Größeneinfluss unberücksichtigt [117]. Bei einer Schädigungsrechnung nach dem örtlichen Konzept wird Lastwechsel für Lastwechsel die Schädigung aus der elastisch-plastischen Spannung und Dehnung bestimmt. Dies bedeutet, die Belastungs-Zeit-Funktion muss als Umkehrpunktfolge vorliegen, da die Reihenfolge der Belastung das Ergebnis beeinflusst. Die elastisch-plastischen Spannungen und Dehnungen können grundsätzlich experimentell, numerisch, z.B. mittels elastisch-plastischer Finite-Elemente-Analyse, oder analytisch ermittelt werden. 2.4.3.1

Bestimmung der elastisch-plastischen Beanspruchungen

Um den relativ hohen Rechenaufwand bei einer elastisch-plastischen FEBerechnung für eine komplette Belastungs-Zeit-Funktion zu verkürzen, wird nach einer linear-elastischen FE-Simulation zur Analyse der kritischen Bereiche die Submodelltechnik eingesetzt. Bei einer anschließenden Simulation mit lokal begrenztem elastisch-plastischen Materialverhalten können dann die örtlichen Beanspruchungen bestimmt werden [202]. Sehr häufig werden jedoch auch Näherungsformeln verwendet [78, 79]. Die bekannteste und am häufigsten verwendete Beziehung ist die NeuberRegel. Unter der Voraussetzung des linear-elastischen Materialverhaltens kann die maximale Kerbspannung Vel,max über die Nennspannung VN und den Kerbfaktor Dk bestimmt werden. Somit gilt:

V el,max

V N D k .

(2.46)

40


Im Gegensatz zum linear-elastischen Fall, bei dem der Spannungskerbfaktor DV und der Dehnungskerbfaktor DH gleich groß sind, gilt im elastisch-plastischen Fall:

V el,pl

V N D ı und H el,pl

(2.47)

H N D İ

mit

Dı D k Dİ .

(2.48)

Unter Verwendung der Kerbfaktorbeziehung nach Neuber

Dı D İ

Dk2

(2.49)

lässt sich dann die elastisch-plastische Kerbgrundbeanspruchung Vel,pl = V und Hel,pl = H näherungsweise mit der sogenannten Neuber-Regel bestimmen:

V H

(V N D k ) 2 . E

(2.50)

In der obigen Gleichung ist die rechte Seite bekannt. Die unbekannten elastisch-plastischen Kerbgrundbeanspruchungen der linken Seite können unter Berücksichtigung des Spannungs-Dehnungs-Verhaltens des Werkstoffs berechnet werden. Neuber leitete den hyperpolischen Zusammenhang zwischen der Spannung und der Dehnung, der auch als Neuber-Hyperbel bezeichnet wird, für scharfe Kerben unter Schubbeanspruchung her. Der Zusammenhang gilt jedoch mit ausreichender Genauigkeit in einem großen Formzahlbereich auch für andere Beanspruchungsarten [78]. ı zyklische SpannungsDehnungskurve

ıel Į k ıN ı ıel,pl Į ı ıN Neuber-Hyperbel

ı el İ el E

İ İel,pl ĮH İN

İ

Abb. 2.22: Grafische Bestimmung der elastisch-plastischen Spannungen und Dehnungen mittels der Neuber-Hyperbel und der zyklischen Spannungs-Dehnungskurve


41

In Abb. 2.22 ist die graphische Lösung der Kerbgrundbeanspruchungen schematisch dargestellt. Die gesuchte Lösung ergibt sich als Schnittpunkt der NeuberHyperbel mit der zyklischen Spannungs-Dehnungskurve. Die Lage der NeuberHyperbel ist durch die Koordinaten Vel, Hel eindeutig definiert. Neben der Neuber-Regel existieren zahlreiche andere Näherungsbeziehungen, wie z.B. die erweiterte Neuber-Regel

V H

(V N D k ) 2 H * E E V*

(2.51)

mit

V*

V N Dk

(2.52)

npl

und H* = f(V*) sowie der plastischen Stützzahl npl, die das Verhältnis der Nennspannung Vp im Kerbquerschnitt für den vollplastischen Zustand zur Streckgrenze Re des Werkstoffs beschreibt: npl

Vp

(2.53)

Re

oder die Seeger/Beste-Formel [227]:

H

2 V ª§ V N D k · 2 § 1 · § V N D k · º H * E « ¨ ¸ 1» * ¸ 2 ln¨ ¸¨ cos u ¹ © V E «© V © ¹ »¼ V ¹ u ¬

(2.54)

mit u

S §¨ (V N D k / V ) 1 ·¸ 2 ¨©

npl 1

¸ ¹

.

(2.55)

Die elastische Spannung kann alternativ zu Gl. (2.46) auch mittels eines Übertragungsfaktors c bestimmt werden:

V el

cL ,

(2.56)

wobei die Lastgröße L entsprechend festzulegen ist. Beispiele für derartige Berechnungen sind in [226] zusammengefasst. Der Zusammenhang der Last und der örtlichen Dehnung wird als Bauteil-Fließkurve bezeichnet. Da die elastisch-plastischen Spannungen und Dehnungen durch die NeuberRegel sehr häufig überschätzt werden [76, 110, 269], existieren Ansätze [166, 253], die anstelle des Kerbfaktors Dk die Kerbwirkungszahl Ek verwenden. Diese modifizierte Neuber-Regel

42


DV D H

Ek2

(2.57)

wird dann für die Berechnung der Spannungen und Dehnungen in Gl. (2.50) eingesetzt. Die Kerbwirkungszahl (siehe auch Kapitel 2.3.3) kann beispielsweise mit

Ek

1

D k 1

(2.58)

1 ( A / U )2

berechnet werden [110], wobei A eine Materialkonstante und U der Kerbradius ist. Alternativ zum Neuber-Verfahren entwickelten Molski und Glinka zur Berechnung der elastisch-plastischen Spannungen und Dehnungen das Konzept der äquivalenten Verzerrungsenergiedichte (Equivalent strain energy density: ESED). Das ESED-Konzept geht davon aus, dass die Verzerrungsenergiedichte im Falle einer lokalen Plastifizierung nahezu mit der Verzerrungsenergiedichte des linear elastischen Materials übereinstimmt [76]: U pl

³ V ijdH ij

U el

1 V el,max H el,max . 2

(2.59)

Die elastische Verzerrungsenergiedichte kann unter Verwendung von Gl. (2.46) durch U el

(V N D k ) 2 2E

(2.60)

für den ebenen Spannungszustand bzw. U el

(V N D k ) 2 (1 Q 2 ) 2E

(2.61)

für den ebenen Verzerrungszustand ersetzt werden [170]. Durch Integration einer geeigneten funktionellen Beschreibung der zyklischen Spannungs-Dehnungskurve (vgl. Kapitel 2.4.1.1) ergibt sich somit in einem iterativen Prozess die Lösung von Gl. (2.59). Abbildung 2.23 zeigt die grafische Interpretation des Ansatzes der äquivalenten Verzerrungsenergiedichte. Die physikalische Bedeutung wurde durch Ye et al. hergeleitet [269]. Um die Spannungsumlagerung aufgrund von Plastifizierungen zu berücksichtigen, führt Glinka den Korrekturfaktor [76] Cp

1

'Zp

Zp

(2.62)

ein, der mit der elastischen Verzerrungsenergiedichte multipliziert wird: U pl

C p U el .

(2.63)


43

ı zyklische SpannungsDehnungskurve

ı el ı

U el

U pl

İ

İ el İ

Abb. 2.23: Grafische Bestimmung der elastisch-plastischen Spannungen und Dehnungen mittels der äquivalenten Verzerrungsenergiedichte [76]

Die Berechnung der plastischen Zone Zpl bzw. 'Zpl führt Glinka auf die Creager/Paris-Gleichungen und die Gestaltänderungsenergiehypothese zurück. Zunächst ist Zpl mit

U 3 §¨ U ·¸ Z pl 4 ¨© Z pl ¸¹ 2 2

D k V N

Vf

3

(2.64)

für Zug bzw.

Vf

D k V N ª

1 «1 2 2 «¬ x0

§ Z pl 1 ·º U 3 §¨ U ·¸ ¨¨ ¸¸» 2 ¹»¼ Z pl 4 ¨© Z pl ¸¹ © U

3

(2.65)

für Biegung zu bestimmen, so dass sich dann mit dem Ergebnis der Korrekturfaktor für Zug Cp

1

U Z pl

und für Biegung

ª 2 (Z pl / U ) ( U / Z pl ) § Z pl ·º « ¨¨ 0,5 ¸¸» « ( U / Z pl ) 0,5 ( U / Z pl ) 3 / 2 © U ¹»¼ ¬

(2.66)

44


½ ° ° 2 2 Zpl 2 x0 1 U 2 Zpl 2 ° ° U Zpl 2 x0 § Zpl ·° U ° 3 x0 3 x0 U Cp 1 ¨¨ 0,5 ¸¸¾ (2.67) ® 3/ 2 Zpl ° ª U ¹° § U · º ª § Zpl · 1º © U « » «1 ¨ ¨ ¸ ¸ ° ° 0,5 0 , 5 » ¸ ¨ ¨ ¸ « » Zpl ¹ ° ° Zpl «¬ © U ¹ x0 »¼ © « » ¼ ¿ ¯¬

mit U als Kerbradius und x0 als Abstand zur neutralen Schicht ergibt [76]. Als Voraussetzung für die rechnerische Bestimmung der Beanspruchung bei elastisch-plastischem Materialverhalten gilt: x zyklisch stabiles Werkstoffverhalten x die Gültigkeit der Masing-Hypothese und x die Gesetze des Werkstoffgedächtnisses. Die Masing-Hypothese besagt, dass sich die Form eines Hystereseastes aus der Form der zyklischen Spannungs-Dehnungkurve bestimmt, indem diese in Spannungs- und Dehnungsrichtung um den Faktor zwei vergrößert wird. ı

ı I

II

İ

t

III IV

Abb. 2.24: Gesetze des Werkstoffgedächtnisses

Die Gesetze des Werkstoffgedächtnisses beschreiben das SpannungsDehnungs-Verhalten bei einer zyklischen Beanspruchung mit variabler Amplitude (Abb. 2.24). Es gilt [78]: Die Erstbelastungskurve folgt zunächst der zyklischen SpannungsDehnungskurve. Nach dem Schließen einer Hystereseschleife, die auf der zyklischen Spannungs-Dehnungskurve begonnen wurde, folgt das Spannungs-Dehnungsverhalten der zyklischen SpannungsDehnungskurve (Erstbelastungskurve).


45

Nach Schließen einer Hystereseschleife, die auf einem Hystereseast begonnen wurde, folgt der Spannungs-Dehnungsverlauf wieder dem ursprünglichen Hystereseast. Ein auf der zyklischen Spannungs-Dehnungskurve begonnener Hystereseast endet, wenn der Betrag der Spannung oder Dehnung eines Startpunkts im gegenüberliegenden Quadranten erreicht wird. Der Spannungs-Dehnungsverlauf folgt anschließend wieder der zyklischen Spannungs-Dehnungskurve. 2.4.3.2

Schädigungsparameter

Auf der Basis der ermittelten elastisch-plastischen Spannungen und Dehnungen werden Schädigungsbeiträge für jedes Schwingspiel mittels der Dehnungswöhlerlinie berechnet. Zur Berücksichtigung des Mittelspannungseinflusses sind unterschiedliche Schädigungsparameter entwickelt worden, die mittelspannungsbehaftete Hysteresen in schädigungsgleiche mittelspannungsfreie Hysteresen umwandeln. Der bekannteste Schädigungsparameter ist der nach Smith, Watson und Topper: PSWT

V max H a, t E

(V a V m ) H a, t E .

(2.68)

Unter Verwendung des Coffin-Manson-Ansatzes (Gl. (2.20)) zur Beschreibung der Dehnungswöhlerlinie ergibt sich für NA d ND und R = -1 der Schädigungsparameter bzw. die Schädigungsparameterwöhlerlinie wie folgt: PSWT

(V f c ) 2 (2 N A ) 2b V f c H f c E (2 N A ) b c .

(2.69)

Da durch diesen Faktor die Mittelspannungsempfindlichkeit nur unzureichend berücksichtigt wird, hat Bergmann eine Erweiterung des PSWT-Faktors um einen Parameter az/d vorgeschlagen: PB

(V max a z / d V m ) H a,t E ,

(2.70)

wobei az/d für Zug- oder Druckmittelspannungen unterschiedlich ist [27, 79]. Um zusätzlich Reihenfolgeeinflüsse zu berücksichtigen, definiert Hanschmann für kleine Schwingspiele, die auf ein größeres Schwingspiel folgen, eine Zusatzschädigung PZ PZ

2 FW

ln( N i / N max ) ln( Ni / Ni 1 ) z N max N i

,

(2.71)

wobei Nmax die Anrisslebensdauer für das schädigungsdominierende Schwingspiel, Ni die Anrisslebensdauer für das aktuelle bzw. Ni-1 das vorangegangene

46


kleinere Schwingspiel und z die Anzahl der auf das schädigungsdominierende Schwingspiel folgenden Lastwechselzahlen sind. Die Zusatzschädigung PZ wird in der Originalform zum Schädigungsparameter nach Smith, Watson und Topper addiert. Nach Vormwald [259] kann diese Zusatzschädigung aber auch zu jedem anderen Mittelspannungsparameter addiert werden. Die Konstante FW ist ein Werkstoffkennwert, der zudem von der Wahl der Versuchsparameter abhängt [259]. Vormwald konnte zeigen, dass die berechnete Zusatzschädigung allerdings zu schnell abklingt [259].

2.4.4 Strukturspannungen Das Konzept der Strukturspannungen gilt in allgemeiner Form für die Festigkeitsuntersuchung geschweißter Konstruktionen und ist begrenzt auf die Bewertung des Nahtübergangs [79, 121]. Für die Analyse der Nahtwurzel ist das Konzept nicht definiert. Kerbspannung Basispunkte Strukturspannung

“hot spot”

Abb. 2.25: Ermittlung der Strukturspannung auf der Basis der IIW-Empfehlung [79]

Um im Bereich von Schweißnähten eine grobe Vernetzung bei einer FiniteElemente-Analyse verwenden zu können, in der die Stoß- und Nahtform und damit die Kerbwirkung unberücksichtigt bleiben, findet das Strukturspannungskonzept Anwendung. Dafür sind die Strukturspannungen für den schwingbruchkritischen Punkt an der Bauteiloberfläche, dem sogenannten Hot Spot, mit einem über die Dicke des Balken-, Platten- oder Schalenquerschnitts linearen Spannungsansatz unter Vernachlässigung von Kerbeinflüssen zu berechnen [79]. Die praktische Bestimmung ist bisher noch nicht vereinheitlicht worden, was zu Unterschieden in der Strukturspannung führen kann, da die Elementwahl und Auswertemethode einen Einfluss haben. Gemäß unterschiedlicher Richtlinien werden jedoch Empfehlungen gegeben. Das International Institute of Welding (IIW) empfiehlt, die im Allgemeinen nichtlineare Spannungsverteilung bis zum Nahtübergang hin linear

2.5 Konzepte der klassischen Bruchmechanik

47

oder quadratisch auf den gesuchten Strukturspannungswert ausgehend von zwei bis drei Basispunkten in gestaffeltem Abstand vor der Naht, für die die Spannungswerte berechnet oder gemessen wurden, zu extrapolieren (Abb. 2.25) (z.B. in [79]. Unabhängig vom Beanspruchungszustand werden im Allgemeinen die größten Hauptspannungen verwendet, was für vorwiegend querbeanspruchte Schweißnähte geeignet ist.

2.5

Konzepte der klassischen Bruchmechanik

Trotz sorgfältiger Konstruktion und Fertigung treten in Bauteilen und Strukturen Schäden auf, deren Ursache im Allgemeinen Ungänzen im Werkstoff, kleine Fehlstellen oder Risse sind. Die Restlebensdauer kann dann mittels der Gesetzmäßigkeiten des Makrorisswachstums beschrieben werden.

2.5.1 Bruchmechanische Grundlagen Für die Betrachtung des makroskopischen Vorgangs der Rissausbreitung sind die Gegebenheiten an der Rissspitze entscheidend, die im Wesentlichen durch das Spannungsfeld sowie die elastischen und plastischen Verformungsanteile des Materials in der Umgebung der Rissspitze bestimmt sind. a)

b)

y

ıy

y

Ĳrĳ

ıĳ

Ĳ xy

ır

ıx r

r

ĳ

ĳ x

x

Abb. 2.26: Koordinatensystem und Spannungskomponenten an der Rissspitze a) in kartesischen Koordinaten und b) in Polarkoordinaten

Unter Berücksichtigung der Polarkoordinaten r und M (Abb. 2.26) ist der Spannungszustand an der Rissspitze eines durch eine äußere Normalspannung V beanspruchten Risses durch folgende Nahfeldlösung charakterisiert:

48


Vx

Vy

W xy

KI 2S r

KI 2S r

KI 2S r

cos

cos

sin

M 2

M 2

M 2

(1 sin

(1 sin

cos

M 2

M 2

M 2

sin

3M ) 2

(2.72)

sin

3M ) 2

(2.73)

cos

3M . 2

(2.74)

Diese Gleichungen sind gültig für den Bereich, in dem r klein gegenüber einer charakteristischen Größe, wie beispielsweise der Risslänge, ist. Aufgrund der 1/r-Singularität ergeben sich in einem elastischen Spannungsfeld für r o 0 rein theoretisch unendlich hohe lokale Spannungen. Zur Beschreibung des Spannungsfeldes führt Irwin [93, 94] deshalb den sogenannten Spannungsintensitätsfaktor KI ein, der die Intensität des Spannungsfeldes in der Rissnähe beschreibt. Der Spannungsintensitätsfaktor ist bei einer Normalbeanspruchung von der Größe der äußeren Spannung V, der Risslänge a sowie der Bauteilgeometrie abhängig und ist wie folgt definiert: KI

V S a YI (a) .

(2.75)

Die dimensionslose Funktion YI(a), die als Geometriefaktor bezeichnet wird, charakterisiert den Einfluss der Bauteilgeometrie. Für einige Probleme sind die YWerte in Tabellen oder Diagrammen erfasst. Andernfalls kann dieser Faktor entweder mit Interpolationsformeln oder numerisch mit Hilfe der Finite-ElementeMethode bestimmt werden. Grundsätzlich werden nach Irwin drei Rissbeanspruchungsarten (Moden) unterschieden (Abb. 2.27): x Mode I: Normalbeanspruchungen, die ein Öffnen des Risses, d.h. ein symmetrisches Entfernen der Rissufer bezüglich der Rissebene bewirken x Mode II: Schubbeanspruchungen, die ein entgegengesetztes Gleiten der Rissoberflächen in der Rissebene hervorrufen x Mode III: nicht-ebene Schubspannungszustände, die ein Gleiten der Rissoberflächen quer zur Rissrichtung bewirken. Tritt eine Überlagerung von Normal- und Schubbeanspruchungen (Mixed Mode-Beanspruchung) auf, sind neben KI (Gl. (2.75)) auch die Spannungsintensitätsfaktoren KII und KIII zu berücksichtigen [189-191, 193], die jeweils mit den entsprechenden Rissbeanspruchungsarten verbunden sind.

2.5 Konzepte der klassischen Bruchmechanik a)

49

b) y

F

c) y

y

F

x

F

x

z

z F

x z

F

F

Mode I

Mode II

Mode III

Abb. 2.27: Die drei grundlegenden Rissbeanspruchungsarten der Bruchmechanik a) Mode I: Normalbeanspruchung, die ein Öffnen des Risses verursacht b) Mode II: Schubbeanspruchung, die ein Gleiten der Rissoberflächen in der Rissebene hervorruft c) Mode III: nicht-ebener Schubspannungszustand, der ein Gleiten der Rissoberflächen quer zur Rissrichtung bewirkt

Zur Beurteilung des Eintritts der instabilen Rissausbreitung wird im Falle einer reinen Mode I-Beanspruchung der Spannungsintensitätsfaktor der Risszähigkeit KIC gegenübergestellt. Erreicht der Spannungsintensitätsfaktor die Risszähigkeit, so tritt instabile Rissausbreitung ein: K I t K IC .

(2.76)

Das Konzept des Spannungsintensitätsfaktors ist auf den Bereich der linearelastischen Bruchmechanik (LEBM) beschränkt, d.h. die plastische Zone vor der Rissspitze muss klein gegenüber der Risslänge sowie den Bauteilabmessungen sein. Im Bereich der elastisch-plastischen Bruchmechanik (EPBM) ist u.a. das JIntegral definiert. Grundlage dieses Ansatzes ist das Ricesche Linienintegral über einen geschlossenen Integrationsweg C um die Rissspitze (Abb. 2.28). Für eine Mode I-Beanspruchung gilt: & & Gu J I ³ (U dy V ds ) (2.77) Gx C

mit der elastischen Energie H ij

U el

³ V ij dH ij

(2.78)

0

& & dem Spannungsvektor V und dem Verschiebungsvektor u auf dem Integrationsweg C sowie der Wegkoordinate ds. Vij und Hij bilden den Spannungs- bzw. Dehnungstensor.

50


ı u

ds y

x

C

Abb. 2.28: Integrationsweg C für das J-Integral

Für elastisch-plastisches Werkstoffverhalten ist das J-Integral bei monotoner Belastung wegunabhängig. Unter Einhaltung bestimmter Grenzen ist das JIntegral auch bei Rissverlängerungen zur Beschreibung der Vorgänge an der Rissspitze geeignet [30]. Im Gültigkeitsbereich der LEBM gilt zwischen dem Spannungsintensitätsfaktor K und dem J-Integral der Zusammenhang K

(2.79)

Ec J

mit Ec

(2.80)

E

für den ebenen Spannungszustand und Ec

E

(2.81)

1 Q 2

für den ebenen Dehnungszustand bzw. bei rotationssymmetrischen Problemen.

2.5.2 Grundlagen und Mechanismen des Ermüdungsrisswachstums Im Gegensatz zur statischen Belastung sind bei einer schwingenden Belastung sowohl die Belastung V(t), die Spannungsverteilung Vij(t) am Riss als auch der Spannungsintensitätsfaktor KI(t) zeitabhängig (Abb. 2.29). Für die Spannungsverteilung unter Mode I-Bedingungen gilt somit:

V ij (t )

K I (t )

2S r

f I (M ) , ij

(2.82)


51

wobei die Funktion fijI die Abhängigkeit des Spannungsfeldes von der Winkelkoordinate M beschreibt. Zusammen mit der Definition des Spannungsintensitätsfaktors (Gl. (2.75)) (2.83)

K I (t ) V (t ) S a YI (a)

und der Beschreibung der zyklischen Veränderung der in das Bauteil mit konstanter Amplitude eingeleiteten Spannung (Abb. 2.29b) 'V

(2.84)

V max V min

ergibt sich daraus die Definition des zyklischen Spannungsintensitätsfaktors (Abb. 2.29c): 'K I

K I,max K I,min

(V max V min ) S a YI (a)

'V S a YI (a)

. b)

a)

ı(t)

(2.85)

ı ımax ım

'ı

ımin t c)

a

K K I,max K I,m

ı(t)

'K I

K I,min t

Abb. 2.29: Ermüdungsbelastung mit konstanter Amplitude a) Bauteil mit Riss, b) zeitlicher Verlauf der Spannung und c) zeitlicher Verlauf des Spannungsintensitätsfaktors

52


In Verbindung mit dem Spannungsverhältnis R

V min V max

K I,min

(2.86)

K I,max

folgt für den zyklischen Spannungsintensitätsfaktor1 'K I

K I,max K I,min

(1 R) K I,max .

(2.87)

Unter bestimmten Bedingungen tritt Ermüdungsrisswachstum auf, d.h. ein Riss wächst pro Lastwechsel um kleine Beträge, die sich durch die sehr häufige Wiederholung der schwingenden Belastung zu messbaren Größenordnungen aufsummieren. Bestimmt wird das Ermüdungsrisswachstum durch den Rissfortschritt pro Lastwechsel, der durch die Risswachstumsrate da/dN als Ableitung der Risslänge a nach der Lastspielzahl N definiert ist. Zur praktischen Behandlung von Ermüdungsrissproblemen ist es notwendig, die Abhängigkeit der Rissgeschwindigkeit da/dN von den vorliegenden Belastungs- und Werkstoffbedingungen zu kennen. 10 -1 Bereich 3

10 -2

da/dN [mm/Lw]

10 -3 10 -4

Bereich 2 Paris -Gerade

10 -5 10 -6 10 -7

Bereich 1

10 -8

'K th

'K C = KC(1-R ) 'K [MPam1/2 ]

Abb. 2.30: Risswachstumsrate in Abhängigkeit des zyklischen Spannungsintensitätsfaktors (Rissfortschrittskurve) am Beispiel eines Stahls 1

Bei einer reinen Mode I-Belastung wird sehr häufig auf die Indizierung sowohl des Spannungsintensitätsfaktors als auch des zyklischen Spannungsintensitätsfaktors verzichtet. Im weiteren Verlauf des Fachbuchs ist somit von einer Mode I-Belastung auszugehen, wenn keine Indizierung des Spannungsintensitätsfaktors vorliegt.


53

Wird die experimentell ermittelte Rissgeschwindigkeit da/dN in Abhängigkeit des zyklischen Spannungsintensitätsfaktors 'K doppellogarithmisch aufgetragen, ergibt sich häufig der charakteristische S-förmige Verlauf der Rissfortschritts- oder Risswachstumskurve (Abb. 2.30). Die Kurve nähert sich asymptotisch zwei Grenzen. Die eine Grenze stellt der Schwellenwert 'Kth der Ermüdungsrissausbreitung, der auch Thresholdwert gennant wird, dar. Befindet sich die zyklische Spannungsintensität oberhalb des Thresholdwerts, so ist der Ermüdungsriss ausbreitungsfähig und wächst stabil. Die zweite Grenze 'KC = 'KIC gibt die Beanspruchung wieder, ab der die Rissausbreitung instabil verläuft. Als Bedingung gilt: KI,max = KIC bzw. KI,max = 'KIC/(1-R). Des weiteren kann die Rissfortschrittskurve in drei Bereich eingeteilt werden. Im Bereich 1 wächst der Riss mit niedrigen und im Bereich 3 mit sehr hohen Rissgeschwindigkeiten. Im mittleren Bereich 2 besitzt die Kurve bei doppellogarithmischer Auftragung im Allgemeinen einen linearen Verlauf. Dieser Verlauf wird durch das sogenannte Paris-Gesetz [175]: da dN

C 'K m

(2.88)

beschrieben, wobei sowohl der Exponent m als auch der Faktor C werkstoffabhängige Größen sind. Der Faktor C ist zudem noch vom Spannungsverhältnis R abhängig. a)

b) 42CrMo4

10 -1

10 -2

10 -2

10 -3

10 -3 da/dN [mm/Lw]

da/dN [mm/Lw]

10 -1

10 -4 10 -5 10 -6

10 -4 10 -5 10 -6

10 -7 10 -8

R = 0,1 R = 0,5

R = 0,1 R = 0,5 1

10

100

' K [MPam1/2 ]

1000

10 -7 10 -8

EN AW-7075-T651 1

10

100

' K [MPam1/2 ]

Abb. 2.31: Rissfortschrittskurven für a) 42CrMo4 und b) EN AW-7075-T651 in Abhängigkeit des R-Verhältnisses

Der Verlauf der Rissfortschrittskurve wird durch zahlreiche Einflussfaktoren, wie z.B. den Werkstoff, die Mikrostruktur, die Temperatur, die umgebenden Me-

54


dien oder das R-Verhältnis beeinflusst. Der Einfluss der Faktoren wirkt sich unterschiedlich stark in den Bereichen 1 bis 3 aus. Abbildung 2.31 zeigt exemplarisch den Einfluss des R-Verhältnisses auf die Rissfortschrittskurven des Stahls 42CrMo4 (Abb. 2.31a) sowie der hochfesten Aluminiumlegierung EN AW-7075-T651 (Abb. 2.31b). Es wird deutlich, dass die Rissgeschwindigkeit da/dN im Allgemeinen mit zunehmendem R-Verhältnis steigt, jedoch ist der Einfluss im niedrigen und hohen Rissgeschwindigkeitsbereich größer. Dies bedeutet gleichzeitig auch, dass der Thresholdwert der Ermüdungsrissausbreitung vom R-Verhältnis abhängt. Mit zunehmendem R-Verhältnis wird der Thresholdwert geringer. Weiterhin wird deutlich, dass insbesondere bei Aluminiumlegierungen ein doppel-S-förmiger Verlauf der Rissfortschrittskurve auftritt. Ein ausgeprägter Paris-Bereich ist bei diesen Werkstoffen nicht mehr erkennbar. Das Ermüdungsrisswachstum und damit der Verlauf der Rissgeschwindigkeitskurve ist durch zahlreiche Mechanismen geprägt. Einen Mechanismus stellt das Rissschließen dar, das als erstes von Elber [59] entdeckt wurde. Elber konnte zeigen, dass bei einer zyklischen Zugbelastung der Ermüdungsriss schon geschlossen ist, bevor die Minimallast erreicht ist, bzw. dass der Riss bei Belastung bis zu einer gewissen Last geschlossen bleibt. Das Rissschließen führt nun dazu, dass nicht die komplette Belastung zur Ausbreitung des Risses wirksam ist, sondern lediglich eine effektive zyklische Spannungsintensität 'K eff

K max K op .

(2.89)

Der Rissöffnungsspannungsintensitätsfaktor Kop entspricht dabei der Beanspruchung, ab der der Riss komplett geöffnet ist (Abb. 2.32). Die Beanspruchung, ab der Rissöffnen stattfindet, stimmt mit der Beanspruchung, ab der Rissschließen eintritt, nicht exakt überein. Die Be- und Entlastungskurve bilden eine Hystereseschleife [54]. In der praktischen Anwendung wird aber dennoch häufig davon ausgegangen, dass beide Werte übereinstimmen. K

K max

'K eff

Rissschließen

K op K min

Rissöffnen t

Abb. 2.32: Definition des effektiven zyklischen Spannungsintensitätsfaktors


55

Die Ursachen des Rissschließens sind sehr vielfältig und können im Wesentlichen in plastizitätsinduziertes, rauhigkeitsinduziertes und oxidinduziertes Rissschließen unterteilt werden. Beim plastizitätsinduzierten Rissschließen, dem wichtigsten Rissschließmechanismus, kommt es aufgrund plastisch deformierter Bereiche an der Rissspitze und entlang der Rissflanken zum vorzeitigen Kontakt der Rissufer. Dieser plastisch verformte Bereich entsteht dadurch, dass sich während des Risswachstums ständig plastische Zonen ausbilden, die während des Risswachstums durchlaufen werden (Abb. 2.33). ı primär plastifiziertes Gebiet primär plastische Zone umkehrplastische Zone zyklisch plastifiziertes Gebiet

ı Abb. 2.33: Plastische Zonen und plastisch deformierte Gebiete eines wachsenden Risses (nach [219])

An der Rissspitze bildet sich bei maximaler Belastung eine sogenannte monotone oder primär plastische Zone aus, da die Fließgrenze des Werkstoffs eine natürliche Grenze der nach LEBM-Kriterien singulären Spannungsverteilung darstellt. Die Größe Zmax kann mit folgender Gleichung abgeschätzt werden:

Z max

§K A ¨¨ max © VF

· ¸¸ ¹

2

(2.90)

wobei der Vorfaktor A je nach Ansatz variiert. VF entspricht der Fließgrenze. Um die Verfestigung eines Werkstoffs zu berücksichtigen, wird die Fließgrenze im Allgemeinen als Mittelwert aus der Zugfestigkeit und der Dehngrenze definiert. Zusätzlich entsteht aufgrund der Ermüdungsbelastung trotz einer Belastung im Zugbereich an der Rissspitze eine druckplastische Deformation, die als umkehrplastische oder zyklische plastische Zone bezeichnet wird. Das Verhältnis von umkehrplastischer Zone zu monotoner plastischer Zone kann dabei mit (1-R)2/4 abgeschätzt werden. Rissschließen kann auch durch Rauheiten der Bruchoberfläche, beispielsweise aufgrund von Rissablenkungen in der Mikrostruktur, entstehen, die ebenfalls ein vorzeitiges Berühren der Rissflanken zur Folge hat. Oxidinduziertes Rissschließen

56


wird durch kleine Oxidausscheidungen an der Bruchoberfläche erzeugt, die wie ein Keil wirken und somit ebenfalls die wirksame Spannungsintensität herabsetzen. Im Gegensatz zum plastizitätsinduzierten Rissschließen existieren einige Ansätze, die davon ausgehen, dass nicht das Rissschließen an sich die Ursache der Veränderung der Risswachstumsrate ist, sondern die durch die Plastifizierung entstandenen Eigenspannungen. Abbildung 2.34 zeigt die Ergebnisse einer FiniteElemente-Studie des Ermüdungsrisswachstums in einer CTS-Probe [189, 216]. Es wird deutlich, dass vor der Rissspitze und entlang der Rissflanken sowohl deutliche Druck- als auch Zugeigenspannungen zu erkennen sind.

Eigenspannungen [MPa]

200 100 0 -100 -200 -300 -400 49,5

Rissspitze 50 50,5 x -Koordinate [mm]

51

Abb. 2.34: Eigenspannungen entlang der Rissflanken und im Ligament bei einer Risslänge von 50 mm

Zur Berücksichtigung der Eigenspannungen werden deshalb der Spannungsintensitätsfaktor 'Kapp aus den Lastspannungen und der Spannungsintensitätsfaktor 'KR aus den Eigenspannungen superponiert [203, 257]: 'K tot

'K app 'K R .

(2.91)

2.5.3 Ermittlung bruchmechanischer Kennwerte und Kennfunktionen Im Rahmen der Bruchmechanik stehen zur Charakterisierung des Werkstoffs unterschiedliche Kennwerte und Kennfunktionen zur Verfügung. Zur Lebensdauervorhersage werden im Allgemeinen jedoch die Risszähigkeit KIC und der Thresholdwert 'Kth sowie die Rissgeschwindigkeitskurve verwendet. Im Folgenden werden diese Kennwerte und Kennfunktionen sowie deren Bestimmung näher erläutert.


2.5.3.1

57

Risszähigkeit

Als Risszähigkeit KIC wird diejenige Beanspruchung gekennzeichnet, ab der instabile Rissausbreitung eintritt. Die Ermittlung des statischen Werkstoffkennwerts ist in der Norm E 399-05 der American Society of Testing and Materials (ASTM) [10] festgelegt. In diesem Standard sind sowohl die Belastungen und die Probentypen als auch die Durchführung und Auswertung des Versuchs standardisiert. Ausgehend von einer in der Norm E 399-05 vorgegebenen Kerbform wird ein Anriss erzeugt, wobei die maximale Beanspruchung 80% des KIC-Wertes und einem R-Verhältnis von –1 bis 0,1 nicht überschreiten darf. Die Risslänge a (Kerbtiefe einschließlich eines einzubringenden Ermüdungsanrisses) sollten zwischen 0,45w d a d 0,55w liegen, wobei w der Probenbreite entspricht. Zusätzlich muss das Ligament folgender Beziehung genügen, um nach Norm E 399 gültige Risszähigkeitswerte für den ebenen Verzerrungszustand zu erhalten: 2

§ K · w a ! 2,5¨ IC ¸ , ¨ Rp0,2 ¸ ¹ ©

(2.92)

wobei Rp0,2 der 0,2%-Dehngrenze des Materials bei der untersuchten Temperatur und Vorzugsrichtung entspricht. Im Anschluss an die Risserzeugung wird der eigentliche quasi-statische Versuch angeschlossen. Dabei wird die Probe so belastet, dass die Zuwachsrate des Spannungsintensitätsfaktors zwischen 0,55 und 2,75 MPa(m/s)1/2 liegt. Bei einer Standard-CT-Probe (w/B = 2, w = 25 mm) entspricht dies beispielsweise einer Lastrate von 0,33 bis 1,67 kN/s. Da die Gültigkeit des Versuchs erst im Nachgang aufgrund von Gl. (2.92) bestimmt ist, kann für die Abmessung der Probe entweder die Risszähigkeit geschätzt oder aber für zähe Material mittels des Verhältnisses aus Fließgrenze zum E-Modul ermittelt werden. Gegebenenfalls ist der Versuch mit einer angepassten Probe erneut durchzuführen. 2.5.3.2 Thresholdwert und Rissgeschwindigkeitskurve Der Schwellenwert der Ermüdungsrissausbreitung 'Kth ist derjenige Wert, bei dem sich die Rissgeschwindigkeit da/dN asymptotisch dem Wert null nähert (s. Abb. 2.30). Dazu wird in der ASTM E647-05 [10] die Auswertung mittels einer Ausgleichsgeraden durch mindestens fünf da/dN über 'K-Werte im Diagramm mit doppellogarithmischen Achsen gefordert. Der Thresholdwert ergibt sich dann durch Extrapolation der Ausgleichsgerade auf einen Rissgeschwindigkeitswert von z.B. 10-7 mm/Lastwechsel, der bei einer derartigen Bestimmung stets anzugeben ist. Häufig liegt der „wahre“ Thresholdwert jedoch bei deutlich niedrigeren Rissfortschrittsraten [50, 51, 212], so dass sich eine andere Methode bewährt hat. Dabei werden die da/dN-Werte in Abhängigkeit der Werte der zyklischen

58


Spannungsintensität in einem Diagramm mit linearen Achsen aufgetragen. Somit ist es problemlos möglich, die Ausgleichsgerade auf den Wert null zu extrapolieren. Ein Vergleich der beiden Auswertemethoden ist in [50] zu finden. Zur Bestimmung des Thresholdwerts der Ermüdungsrissausbreitung werden in der Literatur (z.B. in [9, 50, 70, 164, 238, 239]) unterschiedliche Methoden vorgeschlagen, wobei zwischen den Methoden mit abnehmendem und zunehmendem Spannungsintensitätsfaktor unterschieden werden kann (Abb. 2.35). Methoden zur Thresholdbestimmung

abnehmende Spannungsintensität

R = konstant

zunehmende Spannungsintensität

Kmax = konstant

Abb. 2.35: Methoden zur Thresholdbestimmung

Nach ASTM E 647-05 der American Society for Testing and Materials ist der Thresholdwert mit abnehmendem Spannungsintensitätsfaktor zu bestimmen [10]. Dieses kann mit konstantem Spannungsverhältnis R (Abb. 2.36a) oder mit konstantem maximalen Spannungsintensitätsfaktor (Abb. 2.36b) erfolgen. Dabei ist die Spannungsintensität solange kontinuierlich zu reduzieren, bis der Riss nicht mehr wächst bzw. mindestens eine Rissgeschwindigkeit da/dN von 10-7 mm/Lastwechsel erreicht ist. a)

b)

K

K

K max

'K th K max K min K min

'K th t

t

Abb. 2.36: Lastabsenkverfahren a) mit konstantem Spannungsverhältnis b) mit konstantem maximalen Spannungsintensitätsfaktor

Bei den Methoden mit konstantem Spannungsverhältnis wird zur Verminderung der zyklischen Spannungsintensität sowohl die maximale als auch die mini-


59

male Spannungsintensität abgesenkt. Dazu ist die zyklische Spannungsintensität exponentiell gemäß folgender Beziehung 'K

'K 0 eCASTM a a0

(2.93)

abzusenken, wobei die Steigung wie folgt definiert ist: CASTM

1 dK ! 0,08 mm 1 K da

(2.94)

und 'K0 = Kmax,0(1-R) dem initialen zyklischen Spannungsintensitätsfaktor der Lastabsenkung entspricht.

ǻF [kN] bzw. ǻK [MPam1/2 ]

a)

25

CASTM = -0,15

ǻa = 0,5 mm

20

' K = ǻK 0 exp(C (a -a 0)) 15

ǻK (Versuch)

10 5

ǻF (Versuch)

0 15

b)

20 a [mm]

40 35

ǻK 0

30

ǻK [MPam1/2]

25

C ASTM = -0,04

25

C ASTM = -0,08

20 15 10 5

CASTM = -0,15

0 10

20

30 a [mm]

40

50

Abb. 2.37: Lastabsenkungsverfahren gemäß ASTM E 647 a) Schrittweise Absenkung der Kraft F zur exponentiellen Absenkung der zyklischen Spannungsintensität 'K b) Vergleich unterschiedlicher Steigungen CASTM

60


Um Verzögerungseffekte durch die Reduktion der Last mit zunehmender Risslänge zu vermeiden, müssen die Inkremente angemessen gewählt werden. Diese Anforderung wird dadurch erzielt, dass die Steigung CASTM größer oder gleich –0,08 mm-1 sein sollte [10]. Die Norm ASTM E 647-05 lässt sowohl eine stufenweise (Abb. 2.37) als auch eine kontinuierliche Absenkung zu, wobei eine kontinuierliche Absenkung gegeben ist, wenn (Fmax,1 –Fmax,2)/Fmax,1 d 0,02 ist. Bei einer stufenweisen Absenkung sind innerhalb eines Inkrements die Kräfte konstant. Dies führt dazu, dass die Spannungsintensität aufgrund des wachsenden Risses kurzfristig ansteigt, bis die Last wieder abgesenkt wird (Abb. 2.37a). Deshalb darf gemäß ASTM E 647-05 die Stufenhöhe 10% der jeweils höheren Belastung nicht übersteigen bzw. hat die Breite der Stufen mindestens 0,5 mm zu betragen [10]. Alternativ zur exponentiellen Absenkung wird zur Lastreduktion auch eine lineare Funktion eingesetzt, bei der die Steigung CFAM wie folgt definiert ist [212, 213]: CFAM

d'K da

'K 'K 0 . a a0

(2.95)

In diesem Zusammenhang haben Untersuchungen gezeigt, dass durch die Verwendung einer Stufenbreite von 0,5 mm die Lastsprünge zu groß werden, so dass es zu Reihenfolgeeffekten kommt. Deshalb wird im Gegensatz zur ASTM E 64705 ein geringeres Risslängeninkrement von z.B. 0,05 mm vorgeschlagen. Neben den Verfahren, bei denen das R-Verhältnis während des Versuchs konstant gehalten wird, ist in der ASTM E 647-05 ein Verfahren mit konstantem maximalen Spannungsintensitätsfaktor zulässig. Bei dieser Methode zur Thresholdbestimmung wird ausgehend von einem hohen zyklischen Spannungsintensitätsfaktor die minimale Spannungsintensität kontinuierlich angehoben bis der Thresholdwert erreicht ist (Abb. 2.36b). Dabei ändert sich mit der Anhebung von Kmin stets das R-Verhältnis, so dass vor Versuchsbeginn das Spannungsverhältnis, bei dem sich der Thresholdwert ergibt, nicht definiert ist. Weiterhin ist die Wahl des maximalen Spannungsintensitätsfaktors Kmax für den zu bestimmenden Thresholdwert von entscheidender Bedeutung. Mit zunehmenden Kmax-Werten stellen sich kleinere Thresholdwerte und damit andere finale R-Verhältnisse ein [158]. Durch eine zu starke Steigerung des minimalen Spannungsintensitätsfaktors während des Versuchs insbesondere bei einer stufenweisen Anhebung kann es zudem zu Reihenfolgeeffekten kommen [33]. Jedoch haben Döker und Marci [50, 51] nachgewiesen, dass unabhängig vom gewählten Verfahren (Kmax = konst. oder R = konst.) gleiche Thresholdwerte ermittelt werden. Allerdings ist bei hohen R-Verhältnissen das Verfahren mit konstantem maximalen Spannungsintensitätsfaktor vorzuziehen. Alternativ zum Lastabsenkungsverfahren mit konstantem R-Verhältnis schlagen Tabernig und Pippan [238, 239] vor, den Thresholdwert mit steigender Belastung zu bestimmen, um Druckeigenspannungen und Rissschließen durch die Last-


61

absenkung zu vermeiden. Im Anschluss an eine Anrisserzeugung bei zyklischer Druckbelastung folgt eine Belastung im Zugbereich. Die Zugbelastung wird stufenweise solange erhöht, bis der Riss zu wachsen beginnt. Dabei unterscheiden Tabernig und Pippan zwischen dem effektiven Thresholdwert 'Keff,th und dem Thresholdwert 'Kth für Langrisswachstum. Bei den Belastungsschritten, bei denen 'K größer als 'Keff,th, aber kleiner als 'Kth ist, wächst der Riss zunächst, stoppt dann jedoch nach einem gewissen Risswachstum wieder. Ab dem Belastungsschritt, ab dem der Riss kontinuierlich wächst, ist der Thresholdwert 'Kth überschritten und der Versuch kann zur Ermittlung der Rissgeschwindigkeitskurve fortgesetzt werden. F

Fmax

Fmin

Anrisserzeugung (Druck)

N

'K< 'Keff,th

'K th,eff < 'K < 'K th

da dN

'K > 'K th

'a 'K

N

Abb. 2.38: Ermittlung des Thresholdwertes durch Laststeigerung (nach [238])

Newman et al. [69, 70, 164] nutzen ebenfalls das Verfahren der Anrisserzeugung unter Druckbelastung, setzen dann die Belastung im Zugbereich jedoch mit konstanter Spannungsamplitude fort. Aus vorherigen Abschätzungen bzw. durch Trial-and-Error wird die sich anschließende Zugbelastung mit konstanter Amplitude so gewählt, dass Risswachstumsdaten im thresholdnahen Bereich für ein bestimmtes R-Verhältnis gemessen werden [70, 164]. Da die Risswachstumsraten zunächst durch die zugumkehrplastische Zone beeinflusst sind, muss die Risslänge, ab der die Bestimmung der Rissgeschwindigkeit beginnt, mindestens das 23,5-fache der zugumkehrplastischen Zone betragen [164]. Forth et al. geben unmittelbar nach dem Wechsel von Druck- zu Zugbelastungen deshalb eine kleine zyklische Zugbelastung auf (Kmax | 0,45 MPam1/2 und Kmin | 0,05 MPam1/2), um den Riss aus der zugumkehrplastischen Zone, die durch die Druckbelastung entstanden ist, wachsen zu lassen [70]. Das Risswachstum erfolgt sehr zügig in den ersten 1000 Lastwechseln und der Rissfortschritt beträgt weniger als 0,25 mm, be-

62


vor dann Rissstillstand (da/dN < 10-9 mm/Lw) einsetzt. Danach verwenden sie die berechnete konstante Spannungsamplitude. Forth et al. [70] konnten zeigen, dass im Unterschied zu den Verfahren mit konstantem Spannungsverhältnis Thresholdwerte ermittelt werden, die im Fall der Aluminiumlegierung EN AW-7075-T73 bei einem R-Verhältnis von 0,1 etwa die Hälfte betragen. Der sogenannte R-Effekt (Abb. 2.31) tritt bei dem Verfahren mit konstanter Spannungsamplitude nicht auf [70]. 12 Experimente DLR

ǻK [MPam1/2]

10 8 6 4 2

42CrMo4

0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

R

Abb. 2.39: Thresholdwerte in Abhängigkeit des R-Verhältnisses für den Stahl 42CrMo4

Das Schwellenwertverhalten von unterschiedlichen Werkstoffen wird sehr häufig durch Thresholdbestimmungen bei unterschiedlichen R-Verhältnissen beschrieben. Die Versuchsergebnisse werden dazu in einem 'Kth-R-Diagramm dargestellt. Abbildung 2.39 zeigt die Ergebnisse des Stahls 42CrMo4 im Vergleich zu den Thresholdwerten des Deutschen Zentrums für Luft- und Raumfahrt (DLR), die an Proben der gleichen Charge unter Verwendung sowohl des Verfahrens mit R = konst. als auch der Methode mit Kmax = konst. ermittelt wurden [52]. Dabei wird die sehr gute Übereinstimmung der Ergebnisse deutlich. Zur funktionellen Beschreibung dieses Zusammenhangs existieren zahlreiche Modelle. Auf der Basis, dass der Effekt der R-Abhängigkeit des Thresholdwertes durch das Rissschließen verursacht wird, werden sehr häufig Rissschließmodelle verwendet. Die NASA schlägt beispielsweise folgende empirische Funktion unter Berücksichtigung des Rissschließens vor [154]: 'K th

'K th,0

a a a0

ª º 1 J /« » ( 1 A ) ( 1 R ) 0 ¬ ¼

(1Cth R )

.

(2.96)

'Kth,0 entspricht dabei dem Thresholdwert bei R = 0 und a0 einer intrinsischen Risslänge, die einen konstanten Wert von 0,0381 mm besitzt. Cth ist eine empirische Konstante, bei der zwischen Cth+ für positive und Cth- für negative R-


63

Verhältnisse unterschieden wird. Die Rissöffnungsfunktion J nach Newman [159] ist wie folgt definiert:

J

V op V max

°max ( R, A0 A1 R A2 R 2 A3 R 3 ) Rt0 ® 2 d R 0 °¯ A0 A1 R

(2.97)

wobei für die Koeffizienten A0 bis A3 gilt: A0

(0,825 0,34D CF 0,05D CF

A1

0,415 0,071D CF V max

A2

1 A0 A1 A3

A3

2 A0 A1 1 .

VF

2

ª §S V ) «cos¨¨ max «¬ © 2 V F

·º ¸¸» ¹»¼

1/ D

(2.98)

Der Faktor DCF variiert zwischen 1 für den ebenen Spannungszustand und 3 für den ebenen Verzerrungszustand. Ab einem Spannungsverhältnis Rcl für positive RVerhältnisse (R = 0,6 ... 0,7) bzw. Rp für negative R-Verhältnisse wird davon ausgegangen, dass der Thresholdwert konstant bleibt, da oberhalb dieser Limits kein Rissschließen auftritt. Döker et al. [53] sowie Vasudevan und Sadananda [205, 206, 258] haben gezeigt, dass eine alleinige Betrachtung des Thresholdwertes in Abhängigkeit des RVerhältnisses für die Auslegung eines Bauteils oder einer Struktur nicht genügt. Physikalisch ist dies dadurch begründet, dass das Ermüdungsrisswachstum sowohl durch die monotone plastische Zone, bestimmt durch Kmax, als auch die umkehrplastische Zone, bestimmt durch 'K, beeinflusst ist [206]. Somit ist neben dem Thresholdwert 'Kth außerdem der maximale Spannungsintensitätsfaktor Kmax,th von entscheidender Bedeutung. Aufbauend auf den Erkenntnissen von Schmidt und Paris, die anstelle des Thresholdwerts die maximale Spannungsintensität über R aufgetragen haben (Abb. 2.40b), und unter Verwendung der R-Abhängigkeit des Thresholdwertes (Abb. 2.40a) schlagen Döker et al. [51-53] die Verwendung eines Diagramms vor, in dem 'Kth über Kmax,th aufgetragen ist (Abb. 2.40c). Ein Riss ist bei Belastungen mit konstanter Amplitude ausbreitungsfähig, wenn gleichzeitig folgende Bedingungen gelten: * 'K ! 'K th

(2.99)

und * K max ! K max, th .

(2.100)

64


a)

c) 'K

'K th

th

* Kmax,th

'K th* -1,0

-0,5

0 R

'Kth* 0,5

1

nicht-wachsende Risse * Kmax,th

Kmax,th

b) K max,th

* Kmax,th

-1,0

-0,5

0 R

0,5

1

Abb. 2.40: Schematische Darstellung des Thresholdverhaltens (nach [51]) a) 'Kth in Abhängigkeit von R b) Kmax,th in Abhängigkeit von R c) 'Kth in Abhängigkeit von Kmax,th

Effekte beispielsweise des E-Moduls, der Mikrostruktur, der Temperatur oder der Umgebungsbedingungen werden durch die beiden intrinsischen Thresholdwerte K*max,th und 'Kth* erfasst. So ist z.B. die Thresholdwertkurve im Vakuum gegenüber der bei Luft zu größeren Thresholdwerten verschoben [258]. Durch die Verwendung des Zwei-Parameter-Ansatzes sind folglich aufwändige und teilweise schlecht interpretierbare experimentelle Rissschließmessungen zur Erklärung der R-Abhängigkeit des Thresholdwertes nicht mehr erforderlich und Risswachstumsdaten, die in Laboren ermittelt wurden, können ohne die Ermittlung des effektiven zyklischen Spannungsintensitätsfaktors zur Auslegung von Bauteilen und Komponenten verwendet werden [258]. Da das Schwellenwertverhalten nicht für alle Werkstoffe durch die idealisierte Form aus Abb. 2.40 dargestellt werden kann, hat Döker [51, 52] eine funktionelle Beschreibung des Thresholdwertes in Abhängigkeit des Spannungsverhältnisses entwickelt. Unter der Annahme, dass die Kmax,th-R-Kurve bei niedrigen R-Verhältnissen (Abb. 2.41a) und die 'Kth-Kmax,th-Kurve bei hohen R-Verhältnissen (Abb. 2.41b) durch lineare Funktionen K max, th

* K max, th E R mit E t 0

(2.101)


65

und 'K th

* 'K th D K max mit D d 0

(2.102)

beschrieben werden können, wobei D und E die Steigungen der Geraden sind, ergibt sich daraus die Beschreibung der Schwellenwertkurve in vier Bereichen (Abb. 2.42). b)

45 Experimente DLR

K max,th [MPam1/2]

40 35

Experimente DLR

10

30 25 * K max,th = K max,th + ȕ·R

20

12

ǻK th [MPam1/2]

a)

15 10

8

* + Į·K max,th ǻK th = ǻK th

6 4 2

5

42CrMo4

0 0

0,5

42CrMo4

0 1

R

0

20 40 K max,th [MPam1/2]

60

Abb. 2.41: Schwellenwertverhalten des Stahls 42CrMo4 a) Kmax,th-R-Diagramm b) 'Kth-Kmax,th-Diagramm

Für Bereich I (hohe R-Verhältnisse) und Bereich IV (kleine negative RVerhältnisse) gilt: 'K th

1 R * 'K th 1 R D

(2.103)

und den Bereich II (niedrige R-Verhältnisse) gilt: 'K th

* ( K max, th E R ) (1 R )

(2.104)

Gleichung 2.104 beschreibt eine Parabel, die die R-Achse bei R = 1 und die 'Kth-Achse bei K*max,th schneidet. Gleichung 2.103 schneidet die R-Achse ebenfalls bei R = 1 und nähert sich asymptotisch 'Kth*. Im Bereich III gilt 'K th

* K max, th E R ,

(2.105)

da bei negativen R-Verhältnissen gemäß ASTM E 647 lediglich der positive Teil der Beanspruchung berücksichtigt wird, so dass Kmax,th ab R < 0 linear mit R abfällt und im Bereich IV in die Kurve aus Bereich I einmündet. Insgesamt ergibt

66


sich für das Schwellwertverhalten die durchgezogene schwarze Kurve in Abb. 2.42. 14 IV

III

II

'Kth [MPam1/2]

12

I

* K max,th

10 8 6 4 * 'K th

2 0 -2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

R

Abb. 2.42: Konstruktion der Thresholdkurve in Abhängigkeit des R-Verhältnisses [51]

Abbildung 2.43 zeigt die nach dem Modell von Döker bestimmte Thresholdkurve in Abhängigkeit des R-Verhältnisses für R t 0 am Beispiel des Stahls 42CrMo4. Diesem Diagramm ist vergleichend die Kurve gegenübergestellt, die nach der Methode der NASA gemäß Gl. (2.95) ermittelt wurde. Der Unterschied der beiden Konzepte wird insbesondere im Bereich hoher R-Verhältnisse deutlich. Während das Konzept der NASA von einem konstanten Schwellenwert ab einem definierten R-Verhältnis ausgeht, wird beim Konzept nach Döker der Thresholdwert auf null reduziert. 12 Experimente

ǻK th [MPam1/2]

10

DLR

8

Döker

6

NASA

4 2

42CrMo4

0 0

0,5

1

1,5

R

Abb. 2.43: Vergleich der unterschiedlichen Beschreibungen des Schwellenwertverhaltens für den Stahl 42CrMo4 mit experimentellen Daten


67

Die 'Kth-R-Kurve nach Döker kann mittels vier Parametern bestimmt werden, die sich zudem aus den Kmax,th-R-Kurve und der 'Kth-Kmax,th-Kurve ergeben. Hingegen sind beim Modell der NASA sehr viele Parameter anzupassen, die voneinander abhängen und sich nicht unmittelbar ableiten lassen. Zur Ermittlung der gesamten Rissfortschrittskurve ist entsprechend der ASTM Norm E 647 im Anschluss an einen Versuch, bei dem 'K bei konstantem R kontinuierlich abgesenkt wurde, ein Versuch anzuschließen, bei dem die Spannungsamplitude konstant gehalten wird. Aufgrund des Risswachstums ergibt sich dadurch eine Zunahme der Spannungsintensität und damit der obere Teil der Risswachstumskurve.

2.5.4 Rissfortschrittskonzepte Zur rechnerischen Vorhersage der Restlebensdauer eines Bauteils oder einer Struktur sind verschiedenartige Modelle und Konzepte entwickelt worden. Grundsätzlich wird dabei zwischen den Konzepten zur Beschreibung des Risswachstums bei zyklischen Belastungen mit konstanter Amplitude und mit variabler Amplitude unterschieden. 2.5.4.1

Konzepte bei Belastungen mit konstanter Amplitude

Neben der Kenntnis der Beanspruchungskenngröße 'K für eine Risskonfiguration ist die Basis für die Ermittlung der Lebensdauer die funktionelle Beschreibung der Rissfortschrittskurve im Allgemeinen in der Form da/dN = f('K, R). Eine der ersten Funktionen dieser Art ist das sogenannte Paris-Gesetz (Gl. (2.88)), das lediglich den mittleren Bereich 2 der Rissfortschrittskurve beschreibt (s. Abb. 2.30). Im Gegensatz dazu gilt der Ansatz von Erdogan und Ratwani für den gesamten Kurvenverlauf unter Berücksichtigung des Thresholdwertes 'Kth und der Risszähigkeit KIC. Das Gesetz nach Erdogan und Ratwani lautet [62]: da dN

CE ('K 'K th ) m E , (1-R) K IC 'K

(2.106)

wobei mE und CE werkstoffabhängige Größen sind. Ein weiterer Ansatz, der ebenfalls den gesamten Kurvenverlauf berücksichtigt, ist die von Forman, Newman und de Koning entwickelte und als erstes von Forman und Mettu [66] veröffentlichte und als „NASGRO equation“ bekannte Funktion:

68

2 Konzepte zur festigkeitsgerechten und bruchsicheren Gestaltung p

da dN

ª§ 1 J · º CFM «¨ ¸ 'K » ¬© 1 R ¹ ¼

n FM

§ 'K th · ¨1 ¸ 'K ¹ . © q § K max · ¸ ¨¨1 K IC ¸¹ ©

(2.107)

Im Gegensatz zu der Rissfortschrittsgleichung nach Erdogan und Ratwani berücksichtigt die NASGRO Gleichung das Phänomen des Rissschließens durch die Verwendung der Rissöffnungsfunktion J nach Newman (Gl. (2.97)). Die Parameter CFM, nFM, p und q sind ebenfalls werkstoffabhängige Größen und an experimentelle Daten anzupassen. a)

da/dN

R0

'K Į = 45°

K max R=0 b)

'K Zunehmende Rissgeschwindigkeit

'K th*

(da/dN) 2 (da/dN) 1 nicht-wachsende Risse * K max,th

(da/dN) th K max

Abb. 2.44: Rissfortschritt in Abhängigkeit von 'K und Kmax (nach [206, 258]) a) Dreidimensionale Darstellung von Rissfortschrittskurven b) Zweidimensionale Darstellung


69

Weitere Konzepte versuchen, Rissschließen zu berücksichtigen, indem anstelle des Spannungsintensitätsfaktors 'K der effektive Spannungsintensitätsfaktor 'Keff (Gl. (2.89)) in Rissfortschrittsgesetzen verwendet wird. Dadurch entfällt bei einigen Werkstoffen die Variation der Rissgeschwindigkeit mit unterschiedlichen RVerhältnissen und die Risswachstumskurven fallen zu einer Kurve da/dN-'KeffKurve zusammen, die ihrerseits dann z.B. durch das Paris-Gesetz beschrieben werden kann. Andere Ansätze gehen davon aus, dass es nicht genügt die zyklische Spannungsintensität oder die um das Rissschließen korrigierte effektive zyklische Spannungsintensität allein zur Beschreibung des Risswachstums zu verwenden [114, 112, 171]. Aufbauend auf dem Ansatz nach Döker sowie dem Unified Approach nach Vasudevan und Sadananda (s. Kapitel 2.5.3.2) ist die Rissgeschwindigkeit abhängig von den beiden Parameter 'K und Kmax [203, 258]: da dN

* n * m A ('K 'K th ) ( K max K max, th ) ,

(2.108)

wobei A, n und m materialabhängige Parameter sind. Dies bedeutet, dass Risswachstumsdaten als dreidimensionale Kurven in einem 'K-da/dN-Kmax-Raum zu betrachten sind (Abb. 2.44a). Die einzelnen Ebenen stellen die typischen Rissfortschrittskurven bei konstantem R-Verhältnis dar. Wird bei konstanter Rissgeschwindigkeit eine Ebene senkrecht zur Rissgeschwindigkeitsachse gelegt, ergibt sich eine vereinfachende zweidimensionale Darstellung des Zusammenhangs (Abb. 2.44b). Der Schnitt bei einer Rissgeschwindigkeit da/dN = 0 zeigt die sogenannte fundamentale Thresholdkurve (vgl. Abb. 2.40c). Mit zunehmender Rissgeschwindigkeit werden die L-förmigen Kurven entsprechend zu höheren Werten verschoben, wobei die Eckwerte sich auf einer Geraden bewegen [206]. Die erste Form einer Rissfortschrittsgleichung formuliert in Form der beiden Parameter 'K und Kmax wurde durch Walker vorgeschlagen [262]: da dN

>

C1 (1 R ) p K max

@

>

m

(1 p ) C1 ( K max 'K p

@

m

(2.109)

mit p als empirischen Exponenten. Da diese Gleichung nur für positive RVerhältnisse gültig ist, hat Kujawski dieses Modell dahingehend erweitert, dass er für negative R-Verhältnisse lediglich den positiven Teil der zyklischen Spannungsintensität 'K+ verwendet [48, 114]: da dN

>

(1Į ) C1 ( K max ('K ) Į

@

m

,

(2.110)

d.h. 'K+ = 'K für R > 0 und 'K+ = Kmax für R < 0. Noroozi und Glinka [171, 172] haben diesen Ansatz noch erweitert, indem sie Eigenspannungen vor der Rissspitze durch einen Eigenspannungsintensitätsfaktor Kr berücksichtigen. Die Eigenspannungen können sowohl über analytische Lö-

70


sungsansätze, wie es Noroozi und Glinka vorschlagen, oder aber auch über numerische Methoden ermittelt werden. Die Risswachstumsgleichung ist wie folgt definiert [171, 172]:

>

da dN

p (1 p ) C1 ( K max, tot ( 'K tot )

@

m

,

(2.111)

lg da/dN

1/( da/dN)

wobei Kmax,tot bzw. 'Ktot die maximale Spannungsintensität bzw. die zyklische Spannungsintensität inklusive des Eigenspannungsintensitätsfaktors ist (vgl. Gl. (2.91)).

Nt =

'a t ai

'a t (da/dN)t

'a t aB

a

ai

aB

a

Abb. 2.45: Verfahren der numerischen Integration

Ausgehend von einem Anfangsriss ai kann die Restlebensdauer bis zum Bruch durch die Integration einer Rissgeschwindigkeitsgleichung erfolgen: da dN

f ('K , R ) dN

da f ('K , R )

aB

Np

³

ai

da f ('K , R )

(2.112)

Die Integration der Paris-Gleichung unter der Annahme, dass 'V und Y konstant sind, ergibt beispielsweise folgende Bruchschwingspielzahl: Np

1

§m · m ¨ 1¸ C ('V S Y ) ©2 ¹

§ 1 1 ·¸ . ¨ ¨ a m/2 1 a m/2 1 ¸ B ¹ © i

(2.113)

Auf die gleiche Weise lässt sich auch die Inspektionslastspielzahl Ni durch Festlegung einer Inspektionsrisslänge aInspektion < aB bestimmen. In der Praxis ist die Annahme der Konstanz der Geometriefunktion allein durch das Wachstum des Risses und der Konstanz der zyklischen Spannung 'V nicht


71

mehr gegeben, so dass die Rissgeschwindigkeitsgleichung nicht mehr geschlossen integrierbar ist. In diesen Fällen wird die numerische Integration angewendet (Abb. 2.45). Dabei wird der Risslängenbereich ai bis aB in mehrere Intervalle 'at eingeteilt und für jedes Intervall die Rissgeschwindigkeit an der mittleren Risslänge des Intervalls mit einer Rissgeschwindigkeitsgleichung sowie die Teillebensdauer Nt berechnet und aufsummiert [225]: Np

2.5.4.2

'a

¦ N t ¦ (da / dNt ) t .

(2.114)

Konzepte bei Betriebsbelastung

Im Gegensatz zum Risswachstum bei zyklischen Belastungen mit konstanter Amplitude treten bei Belastungen mit variabler Amplitude sogenannte Reihenfolgeeffekte auf, die sowohl lebensdauerverlängernde als auch lebensdauerverkürzende Wirkungen besitzen können. Durch das Auftreten einer Überlast wird beispielsweise das Risswachstum in Abhängigkeit der Grundbelastung, des Überlastverhältnisses und des R-Verhältnisses verzögert. Demgegenüber kann ein Wechsel von einer niedrigen zu einer hohen Belastung, d.h. eine Blockbelastung, Beschleunigungseffekte hervorrufen. Die Konzepte zur Bestimmung der Lebensdauer bei Betriebsbelastung können grundsätzlich in globale Analysen und Cycle-by-cycle-Analysen unterteilt werden (Abb. 2.46). Rissfortschrittskonzepte

Globale Analyse

Cycle-by-cycle-Analyse

Lineare Schadensakkumulation

Berücksichtigung der Reihenfolgeeffekte

Fließzonenmodelle

Rissschließmodelle

Fließstreifenmodelle

Abb. 2.46: Einteilung der analytischen Rissfortschrittskonzepte bei Betriebsbelastung [216]

Die globalen Modelle basieren auf der statistischen Beschreibung eines Lastspektrums. Dabei wird ein mittlerer zyklischer Spannungsintensitätsfaktor bestimmt, der zu gleichen mittleren Risswachstumsraten wie bei der Anwendung des Lastspektrums führt. Hudson [89] entwickelte dazu folgenden Ansatz:

72


'K rms

K max,rms K min, rms

2 N /2 2 ¦ K max N i 1

2 N /2 2 ¦ K min . N i 1

(2.115)

Die Lebensdauer ergibt sich durch Einsetzen des Mittelwerts 'Krms in eine Rissfortschrittsgleichung und anschließende Integration. Die Cycle-by-cycle-Analysen betrachten jeden Lastwechsel separat und durch Addition der Einzelauswertungen entsteht die Gesamtvorhersage. Dabei wird unterschieden zwischen den Modellen ohne Berücksichtigung der Reihenfolgeeffekte (lineare Schadensakkumulation) und den Modellen unter Berücksichtigung der Reihenfolgeeffekte. Bei der linearen Schadenakkumulation wird im Gegensatz zu den Konzepten bei konstanter Amplitudenbelastung Lastwechsel für Lastwechsel eine Rissfortschrittsfunktion integriert und ein Risslängenzuwachs 'at bestimmt. Diese ermittelten Werte werden linear summiert: a

a0 ¦ 'at .

(2.116)

t

Aufgrund der Vernachlässigung der Reihenfolgeeffekte kann eine lineare Schadensakkumulation sowohl zu extrem konservativen als auch zu extrem nichtkonservativen Ergebnissen führen. Das heißt, dass die auf der Grundlage der Konzepte bei Belastungen mit konstanter Amplitude erstellten Prognosen ein hohes Potential an Unsicherheit beinhalten. Deshalb sind verschiedenartige Modelle und Konzepte zur Berücksichtigung von Reihenfolgeeffekten entwickelt worden. Im Unterschied zur linearen Schadensakkumulation gehen die Konzepte unter Berücksichtigung der Reihenfolgeeffekte davon aus, dass das Risswachstum nicht allein durch die Belastung im aktuellen Lastwechsel bestimmt ist, sondern von der Belastungsgeschichte abhängt. Schijve [219] teilt gemäß ihrer Erklärungsmuster die Konzepte zur Berücksichtigung der Reihenfolgeeffekte in die drei Kategorien Fließzonen-, Rissschließ- und Fließstreifenmodelle ein. Die Fließzonenmodelle versuchen Reihenfolgeeffekte und insbesondere Verzögerungseffekte durch die plastischen Zonen und die Eigenspannungen vor der Rissspitze zu erklären. Dabei wird zwischen der primär plastischen Zone unterschieden, die durch eine Überlast erzeugt worden ist, und der sekundär plastischen Zone, die durch den Maximalwert der Grundbelastung entsteht (Abb. 2.47). Solange sich die sekundär plastische Zone innerhalb der primär plastischen Zone befindet, tritt Rissverzögerung auf. Wenn die sekundär plastische Zone die Grenze der umgebenden primär plastischen Zone erreicht, wird das Risswachstum ungestört mit der Rissgeschwindigkeit der konstanten Belastung fortgesetzt. Einer der ersten Ansätze ist das Modell nach Wheeler [266]. Wheeler erweitert die Gleichung der linearen Schadensakkumulation (Gl. (2.116)) um einen Verzögerungsparameter CP:


a

73

a0 CP ¦ 'at .

(2.117)

t

Der Verzögerungsparameter ist für den Fall, dass die sekundär plastische Zone sich innerhalb der primär plastischen Zone befindet, wie folgt definiert: CP

§ Zmax ¨ ¨ Z © P

· ¸ ¸ ¹

WW

,

(2.118)

wobei ZP der Abstand der Rissspitze zur Grenze der primär plastischen Zone ist (Abb. 2.47). Der Exponent WW ist ein materialabhängiger Parameter, der empirisch zu ermitteln ist. Befindet sich die sekundär plastische Zone außerhalb der primär plastischen Zone, wird der Parameter CP eins gesetzt. In einer Erweiterung dieses Modells durch Willenborg wird davon ausgegangen, dass aufgrund von Überlasten Eigenspannungen vor der Rissspitze auftreten, die von der aktuellen Belastung und dem Risswachstum innerhalb der plastischen Zone der Überlast abhängen. Die Eigenspannungen gehen in einen Eigenspannungsintensitätsfaktor KR ein: KR

K max,req K max,i ,

(2.119)

wobei Kmax,i als maximaler Spannungsintensitätsfaktor des folgenden Lastwechsels i definiert ist. Der virtuelle Spannungsintensitätsfaktor K max,req

K ol 1

'a

(2.120)

Zol

ist der Wert, der notwendig ist, um eine plastische Zone der Größe ZP zu erzeugen, die die Grenze der primär plastischen Zone Zol erreicht. Die Verzögerung durch eine Überlast wird dadurch berücksichtigt, dass die Spannungsintensitätsfaktoren Kmax,i und Kmin,i des nachfolgenden Lastwechsels um den Eigenspannungsintensitätsfaktor auf eine effektive Schwingbreite 'Keff,i vermindert werden: K max,eff

K max,i K R und K min,eff

K min,i K R .

(2.121)

Für den Lastwechsel i wird die Rissgeschwindigkeit durch Einsetzen der effektiven Schwingbreite 'Keff,i in eine Rissfortschrittsgleichung und entsprechender Integration errechnet, wobei nur der positive Teil von 'Keff,i eingeht. Solange die minimale Spannungsintensität Kmin,i positiv ist, bleibt damit die Schwingbreite unverändert, lediglich das R-Verhältnis wird verschoben. Die so ermittelten Risszuwächse werden dann summiert. Zur Berücksichtigung des Rissstillstandes nach einer Überlast erweiterte Gallagher [154] das Willenborg-Modell durch die Berücksichtigung eines sogenannten Shut-off-Verhältnisses RSO sowie des Thresholdwertes. Im verallgemeinerten Konzept ist der Eigenspannungsintensitätsfaktor KR wie folgt definiert:

74


'K th 'K ( K max,req K max,i ) . RSO 1

1 KR

(2.122)

Wird das Shut-off-Verhältnis überschritten, gilt Kmax,i = 'Kth/(1-R) und es tritt somit auch rechnerisch Rissstillstand ein. a0

Ȧol primär plastisch Zone umkehrplastisch Zone sekundär plastisch Zone

Ȧp

K ol

K max,req KR K max

'K K min

K max,eff KR

'K eff K min,eff Zeit

Abb. 2.47: Verzögerungsmodell nach Willenborg mit unterschiedlichen plastischen Zonen

Die Fließzonenmodelle sind in zahlreichen Ansätzen weiterentwickelt und modifiziert worden. An dieser Stelle sei dabei auf weiterführende Literatur verwiesen [215, 233]. Die Gruppe der Rissschließmodelle versuchen die Wirkung von Reihenfolgeeffekten durch plastizitätsinduziertes Rissschließen (vgl. Kapitel 2.5.2) zu bestimmen. Zu den bekanntesten Rissschließmodellen zählen das PREFFAS-Modell (PREvision de la Fissuration en Fatigue, AéroSpatiale) [4], das ONERA-Modell (Office National d’Etudes et de Recheres Aérospatiales) [21] und das CORPUSModell [42]. Sie bauen auf der analytischen Beschreibung des Rissschließverhaltens in Abhängigkeit des R-Verhältnisses auf, indem ein effektiver zyklischer Spannungsintensitätsfaktor 'Keff Lastwechsel für Lastwechsel über die Ermittlung der Rissöffnungsspannungsintensität Kop bestimmt wird. Aufgrund ihrer begrenzten Anwendung auf Fluglastspektren haben sich die Rissschließmodelle nicht durchgesetzt. Die Fließstreifenmodelle basieren auf der Grundlage, dass das Verzögerungsverhalten sowohl durch plastisch verformtes Material entlang der Rissflanken eines wachsenden Risses als auch durch die plastische Zone vor der Rissspitze entsteht. Die bekanntesten Fließstreifenmodelle wurden von Newman [159] und de


75

Koning [43] entwickelt. Darüber hinaus existiert eine Vielzahl an Varianten dieser Modelle (siehe z.B. [25, 104, 234, 263, 264]). Als Grundlage der Fließstreifenmodelle dient ein modifiziertes DugdaleModell [58]. Im Gegensatz zum Dugdale-Modell, das unter ESZ-Bedinungen davon ausgeht, dass die primär plastische Zone auf einen schmalen Streifen vor dem Riss beschränkt werden kann, werden in der modifizierten Form des DugdaleModells auch die Plastifizierungen entlang der Rissflanken durch einen infinitisimal dünnen Streifen (Strip) abgebildet. Um das Problem auf eine elastische Lösung zurückführen zu können, wird in einer linear elastischen Umgebung (Gebiet c) der Riss der Länge a fiktiv um die Länge der plastischen Zone Z (Gebiet d) verlängert. Die bleibend plastisch verformten Gebiete entlang der Rissflanken (Gebiet e) und die plastische Zone bestehen aus ideal-plastischen Stabelementen, wobei die Elemente im Gebiet d intakt und im Gebiet e gebrochen sind. Somit können in der plastischen Zone sowohl Zug- als auch Druckspannungen übertragen werden, während entlang der Rissflanken lediglich Druckspannungen wirken. Da im Gebiet e die Kompatibilitätsbedingung Lj d Vj gelten muss, da die Stabelementlänge Lj nicht länger sein können als die Rissöffnungsverschiebung, werden im Falle des Kontakts (Lj = Vj) Kontaktspannungen Vj auf die gebrochenen Stabelemente aufgebracht. ı a fikt a

Ȧ

xi Stabelemente

j Lj

i

e

fikitve Rißoberfläche

Vj

d

2w j

x

geöffneter Riss Lj d Vj

geschlossener Riss

c plastische Zone L j = Vj

ı Abb. 2.48: Fleißstreifenmodell auf der Basis des Dugdale-Modells

Die Bestimmung der Kontaktspannung erfolgt mittels iterativer Lösungsverfahren, die zwei Randbedingungen unterliegen. Eine Randbedingung ist durch die

76


Fließgrenze der Stabelemente im Zug- sowie im Druckbereich und die andere durch die Elementtrennung entlang der Rissflanken gegeben. Für die Kontaktspannungen gilt im Ansatz nach Newman für die Elemente entlang der Rissflanken: für V j ! 0 ,

(2.123)

V F für V j V F .

(2.124)

Vj 0 Vj

sowie innerhalb der plastischen Zone:

V j D CF V F für V j ! D CF V F , Vj

V F

für V j V F

(2.125) (2.126)

(Abb. 2.49a und b). Zur Berücksichtigung eines möglichen Verfestigungsverhaltens des Werkstoffs ist die Fließspannung VF als Mittelwert aus der Streckgrenze und der Zugfestigkeit definiert. Der Faktor DCF (Constraint Faktor) berücksichtigt den Spannungszustand und variiert zwischen 1 für den ebenen Spannungszustand und 3 für den ebenen Verzerrungszustand. Der wesentliche Unterschied zwischen den verschiedenartigen Fließstreifenmodellen liegt in der Definition und Verwendung des Constraint Faktors. Im Programm NASGRO der NASA (National Aeronautics and Space Administration, USA) wird der Faktor DCF in Abhängigkeit eines Übergangsspannungsintensitätsfaktors ('K eff )T

P V F B

(2.127)

und der entsprechenden Rissgeschwindigkeit bestimmt, da Newman davon ausgeht, dass bei niedrigen Rissgeschwindigkeiten eher EVZ-Bedingungen und bei hohen Risswachstumsraten eher ESZ-Bedingungen vorliegen. P ist ein Proportionalitätsfaktor und B die Dicke der Probe [154]. Da zwischen reinem EVZ und ESZ ein Übergangsbereich vorzufinden ist, wird ebenso um die Übergangsrissgeschwindigkeit ein Bereich von etwa 1,5 Zehnerpotenzen der Rissgeschwindigkeit abgeschätzt. Liegt die aktuelle Rissgeschwindigkeit oberhalb dieses Übergangsbereichs, wird DCF gleich dem Wert für den ebenen Spannungszustand gesetzt, im anderen Fall wird der Wert des ebenen Verzerrungszustandes für den nächsten Berechnungsschritt verwendet. Innerhalb des Übergangsbereichs variiert der Faktor DCF linear vom ebenen Spannungszustand zum ebenen Verzerrungszustand. De Koning et al. [43] sowie Beretta et al. [25] gehen hingegen davon aus, dass drei D-Faktoren zur Beschreibung des Spannungszustandes notwendig sind. Sie definieren D-Faktoren für die monotone plastische Zone (DCF), die umkehrplastische Zone (DC) und die Plastifizierungen entlang der Rissflanken (DW) (Abb. 2.49c). De Koning [43] geht sogar davon aus, dass der Constraint Faktor DCF unter Zugbeanspruchungen eine parabolische Funktion entlang der Elemente der plasti-


77

schen Zone besitzt, wobei am Ende der plastischen Zone ein Wert von 1,15 (ESZ) erreicht wird. Der Wert an der Rissspitze wird aus dem Verhältnis der Größe der plastischen Zone zur Probendicke berechnet. Im Bereich der Rissflanken und im Druckbereich der plastischen Zone ist der Constraint Faktor örtlich konstant. a)

y

ımax

a

Ȧ

b)

y

x

ımin

a

Ȧ

x

ı Įı CF F

V Įı CF F

x

x monotone plastische Zone

ı F c)

V Įı CF F

Įwı F ĮcıF Plastzifizierung an der Rissflanke

x umkehrplastische Zone

Abb. 2.49: Unterschiedliche Definitionen der D-Faktoren a) bei maximaler Belastung b) bei minimaler Belastung nach Newman (nach [161]) c) bei minimaler Belastung nach Beretta et al. (nach [25])

Aufbauend auf dem Fließstreifenmodell wird eine Rissöffnungsspannung Vop bestimmt, ab der der Riss komplett geöffnet ist, d.h. es existieren keine Oberflächenkontakte und die Spannung an der Rissspitze wechselt von Druck- in Zugspannungen. Unter Verwendung des effektiven zyklischen Spannungsintensitätsfaktors und einer Rissfortschrittsgleichung kann dann durch Integration die Lebensdauer ermittelt werden. Neben den analytischen Methoden zur Bestimmung des Risswachstumsverhaltens bei Belastungen mit variabler Amplitude kommen immer mehr auch numerische Methoden, wie z.B. die Finite-Elemente-Methode, zum Einsatz. Insbesondere zur Erklärung der Reihenfolgeeffekte, aber auch zur Berechnung der Lebensdauer oder der Risswachstumsrate sind elastisch-plastische Risswachstumssimulationen sehr gut geeignet [214, 216, 217].

Kapitel 3

Zusammenwirken von Betriebsfestigkeit und Bruchmechanik bei der Lebensdauervorhersage

Wie in Abb. 1-1 dargestellt, setzt sich die Lebensdauer eines Bauteils aus der Rissinitiierungs- und der Rissfortschrittsphase zusammen. Für eine genaue Lebensdauervorhersage ist deshalb neben der Modellierung des Langrisswachstums (s. Kap. 2.5) auch der Prozess der Rissinitiierung und des Kurzrisswachstums von entscheidender Bedeutung. Darüber hinaus ist ebenfalls wichtig, die Beziehung von kurzen und langen sowie von nicht-wachsenden Rissen grundlegend zu verstehen. So ist es möglich, dass in Bauteilen und Strukturen Risse entstehen, obwohl die Beanspruchung grundsätzlich unterhalb der Dauerfestigkeit oder sogar unterhalb des Schwellenwertes der Ermüdungsrissausbreitung ist. Um eine exakte Lebensdauervorhersage durchführen zu können, sind somit die Konzepte der Betriebsfestigkeit und der Bruchmechanik zusammenzuführen und um die Gesetzmäßigkeiten des Kurzrisswachstums zu erweitern.

3.1

Entstehung von Ermüdungsrissen

Der Ort der Rissinitiierung hängt entscheidend von der Höhe der Belastung ab. Nach Bathias können drei grundlegende Arten der Rissinitiierungen bei polierten Rundproben unterschieden werden [18]. Unter der Voraussetzung des low-cycle fatigue, d.h. hohe Spannungen führen zu einem schnellen Versagen (Nf = 104 Lw), tritt eine Rissinitiierung an mehreren Stellen der Oberfläche auf (Abb. 3.1a). Im Gegensatz dazu initiiert im Falle des high-cylce fatigue (Nf = 106 Lw) und des ultra-high-cycle fatigue (Nf = 108 Lw) der Riss im Allgemeinen lediglich an einer Stelle. Während beim high-cycle fatigue die Rissinitiierung sehr häufig an der Oberfläche (Abb. 3.1b) erfolgt, entstehen im sehr hohen Ermüdungslebensdauerbereich (ultra-high-cycle fatigue) ausgehend von sogenannten fish-eyes sehr häufig Risse im Inneren des Bauteils (Abb. 3.1c).

80

3 Zusammenwirken von Betriebsfestigkeit und Bruchmechanik

a)

c)

b)

4

N f = 10 Lw LCF

6

N f = 10 Lw HCF

8

N f = 10 Lw UHCF

Abb. 3.1: Rissinitiierungsorte bei a) low-cycle fatigue (LCF), b) high-cycle fatigue (HCF) und c) ultra-high-cycle fatigue (UHCF) [18]

Die Initiierung eines Risses ist zunächst durch mikrostrukturelle Gegebenheiten (Korngröße, Gleitbänder und Gleitebenen) gekennzeichnet. Im Werkstoff bilden sich an optimal orientierten Körnern bevorzugt in den Ebenen maximaler Gleitung Gleitbänder aus. In den Gleitebenen, die im Allgemeinen parallel zur maximalen Schubspannung wirken, entstehen Mikrorisse. Nachdem der Riss durch einige Körner hindurch gewachsen ist (Rissstadium I), wechselt er unabhängig von der Gefügestruktur in die Ebene senkrecht zur maximalen Hauptnormalspannung. Diese Phase wird als Rissstadium II bezeichnet. Tokaji und Ogawa ermittelten eine Übergangsrisslänge von ca. 200 Pm – 250 Pm, ab der der Riss im Stadium II wächst [252]. Jedoch ist der Übergang vom Stadium I zum Stadium II durch die Mikrostruktur, die Belastung oder die Umgebungsbedingungen bestimmt [235]. Rodopoulos und de los Rios [198] definieren den Übergang vom Rissstadium I zum Rissstadium II über das Verhältnis von Dauerfestigkeit zur zyklischen Fließspannung. Liegt das Verhältnis zwischen 0,1 und 0,3 weist das Risswachstum weit über mikrostrukturelle Größen hinweg die Charakteristik eines kurzen Risses auf. Werkstoffe mit einem sehr hohen Verhältnis zwischen 0,7 und 1 zeigen dagegen nur ein minimales oder gar kein Kurzrissverhalten. Bei Werten zwischen 0,3 und 0,7 ist Kurzrisswachstum über eine begrenzte Risslänge und Belastung vorhanden. Entsprechend der Einteilung der Stadien I und II können kurze Risse in drei Kategorien eingeteilt werden [196, 252]: x mikrostrukturell kurze Risse, x mechanisch kurze Risse und x physikalisch kurze Risse. Mikrostrukturell kurze Risse haben die Größenordnung der charakteristischen Abmessung der Mikrostruktur, so dass die Grenzen der Kontinuumsmechanik erreicht sind [252]. Die Risswachstumsrate und der Pfad eines mikrostrukturell kurzen Risses wird durch die Mikrostruktur beeinflusst. Exemplarisch sind in Abb. 3.2 die Risswachstumsraten in Abhängigkeit der Korngrößen eines Stahls dargestellt. Die Risswachstumsraten sinken bei Annäherung der Rissspitze an Inhomogenitäten des Werkstoffs, wie z.B. die Korngrenzen oder aber auch die Phasen-

3.1 Entstehung von Ermüdungsrissen

81

grenzen, Einschlüssen oder Mikroporen, deutlich ab und steigen nach dem Überwinden des mikrostrukturellen Hindernisses wieder stark an (z.B. [41, 252]). Der starke Abfall der Rissgeschwindigkeit ist in einem fein gekörnten Werkstoff (Abb. 3.2a) wesentlich deutlicher ausgeprägt als in einem grob gekörnten Werkstoff (Abb. 3.2b). Weiterhin ist festzustellen, dass die durchschnittliche Risswachstumsrate beim fein gekörnten Werkstoff um eine Größenordnung niedriger ist als bei einem grob gekörnten Werkstoff [252]. Jedoch wird dieser Effekt durch die kristallographische Orientierung benachbarter Körner beeinflusst. Bei Großwinkelkorngrenzen, die Körner mit einem großen Unterschied in der kristallographischen Orientierung trennen, wird die Ausbreitung der plastischen Deformationen an der Korngrenze verhindert. Kleinwinkelkorngrenzen hingegen haben nur einen geringen oder keinen Einfluss auf die Risswachstumsrate [57]. a) F’

D A E’ D’ B’ C B C’ A’

b)

E

D’

Perlit

C’

D’ C’

da/dN [mm/Lw] D’ C’ A’ A 10-6

B CD

B CD

A

E

F GH

da/dN [mm/Lw]

Ferrit

F’ E’

B’ A’

B’ A’ -5 10

A B CD E FG H

E

-6

10

Korngrenze

Korngrenze

B’ -7

10

-8

-7

10

-8

10

10 0,1

0,05

0

0,05

Risslänge a [mm]

0,1

0,2

0,1

0

0,1

0,2

Risslänge a [mm]

Abb. 3.2: Risswachstumsraten für einen Stahl mit a) feinen und b) groben Körnern (nach [252])

Kujawski und Ellyin [113] stellten jedoch auch fest, dass die Verzögerung an mikrostrukturellen Hindernissen mit der Höhe der Belastung abnimmt (Abb. 3.3a). Bei einer Belastung nahe der Fließgrenze des Werkstoffs sind die Verzögerungen deutlich geringer ausgeprägt als beispielsweise im Bereich der Dauerfestigkeitsgrenze. Für die Beschreibung des Risswachstums ist eine Einbeziehung mikrostruktureller Einflussparameter notwendig, die allerdings im Allgemeinen schwer identifizierbar sind [7]. Dessen ungeachtet ist die Rissinitiierung und das Risswachstum ein dreidimensionaler Prozess, bei dem der Riss in der Tiefe und in der Breite mit mikrostrukturellen Hindernissen zu unterschiedlichen Zeiten interagiert

82


[160]. Während ein Riss in Längenrichtung beispielsweise durch eine Korngrenze verzögert wird, kann der Riss in der Tiefe dennoch wachsen, was zu einer Erhöhung der Beanspruchung des Risses in Längsrichtung führen kann, so dass die Barriere schneller überwunden wird [160, 188]. ı > ıF ı = ıF ı = ıD ı < ıD mikrostrukt. Hindernis

Kurzriss

Langriss

Rissgeschwindigkeit da/dN (log)

b)


a)

kurze Risse aus Kerben

kurze Risse lange Risse

'Kth Risslänge a (log)

Spannungsintensität 'K (log)

Abb. 3.3: Rissgeschwindigkeit kurzer und langer Risse a) in Abhängigkeit der Risslänge (nach [113] und [187]) b) in Abhängigkeit der zyklischen Spannungsintensität (nach [235])

Der mechanisch kurze Riss beginnt mit dem Stage II Risswachstum. Die Länge entspricht ungefähr der Größe der plastischen Zone an der Rissspitze, so dass die Gültigkeit der linear-elastischen Bruchmechanik und des Kleinbereichsfließens nicht unbedingt gewährleistet ist. Die Wahl des Spannungsintensitätsfaktors als Beanspruchungsparameters ist deshalb teilweise umstritten (z.B. [88, 186, 196]). Die Länge physikalisch kurzer Risse entspricht in etwa der Fehlergröße, die durch zerstörungsfreie Prüfverfahren detektierbar ist. Obwohl die Risslänge sehr klein ist, können dennoch die Gesetzmäßigkeiten der linear-elastischen Bruchmechanik angewendet werden. Im Allgemeinen wachsen kurze Risse bei gleicher zyklischer Belastung 'K schneller als lange Risse. Dies gilt insbesondere im thresholdnahen Bereich. Obwohl die Beanspruchung 'K unterhalb des Thresholdwertes der Ermüdungsrissausbreitung für lange Risse liegt, sind kurze Risse im Allgemeinen wachstumsfähig. Dieses anomale Kurzrissverhalten ist in Abb. 3.3b dargestellt. Forth et al. [70] konnten zeigen, dass das anomale Verhalten kurzer Risse lediglich auf das Verfahren der Thresholdermittlung zurückzuführen ist. Bei einer Ermittlung mit konstanter Spannungsamplitude im Zugbereich nach einer Anrisserzeugung im Druckbereich ist diese Anomalität nicht mehr nachzuweisen [70].


83

Rissinitiierungskonzepte

Schwellenwertkurvenkonzepte

Konzepte des kritischen Abstands

Ermüdungsrisswiderstandskurvenkonzepte

area - Konzept

Abb. 3.4: Einteilung der Rissinitiierungskonzepte

Zur Beschreibung der Rissinitiierung existieren zahlreiche Modelle und Konzepte, die in vier Gruppen eingeteilt werden können (Abb. 3.4): x x x x

Schwellenwertkurven-Konzepte, Konzepte des kritischen Abstands, Ermüdungsrisswiderstandskurvenkonzepte und area-Konzepte.

Zu den jeweiligen Gruppen werden in den folgenden Kapiteln ausgewählte Konzepte dargestellt.

3.1.1

Schwellenwertkurven-Konzepte

Spannung

ǻı

Kurze Risse führen nicht unbedingt zum Versagen des Bauteils. Sind z.B. große mikrostrukturelle Barrieren vorhanden oder existieren scharfe Kerben und ist die Nennspannung im Bauteil sehr gering, wachsen Risse nicht durch das gesamte Bauteil, sondern kommen nach einem gewissen Risswachstum zum Stillstand.

ǻıD Įk 'K th Y · Sa) stumpfe Kerben

scharfe Kerben

Į *k

nicht-wachsende Risse

Kerbfaktor Į k

Abb. 3.5: Frost-Diagramm zur Bewertung der Dauerfestigkeit gekerbter Bauteile in Form der Grenzschwingbreite in Abhängigkeit des Kerbfaktors Dk bei konstanter Kerbtiefe (z.B. nach [14])

84


Das Phänomen der nicht-wachsenden Risse wurde als erstes von Frost erkannt und im sogenannten Frost-Diagramm (Abb. 3.5) zusammengefasst (siehe z.B. [14]). Für Kerben mit konstanter Kerbtiefe ist im Frost-Diagramm in Abhängigkeit des Kerbradius U bzw. des Kerbfaktors Dk das Verhalten stumpfer und scharfer Kerben dargestellt. Bei stumpfen Kerben mit einem Kerbfaktor Dk kleiner als D*k ist die Rissentstehung durch die Dauerfestigkeit dividiert durch den Kerbfaktor gekennzeichnet, d.h. es handelt sich um ein Festigkeitsproblem, das durch die elastische Kerbspannung kontrolliert wird. Bei schärferen Kerben verhält sich die Kerbe ähnlich einem Riss gleicher Länge, so dass der Thresholdwert 'Kth der Ermüdungsrissausbreitung für die Rissentstehung entscheidend ist. Im Bereich Dk > D*k divergieren der Spannungsansatz und der bruchmechanische Ansatz. Im Bereich zwischen diesen beiden Ansätzen (schraffierter Bereich) sind Kombinationen aus Spannung und Kerbfaktor möglich, die zwar zu einer Rissinitiierung führen, jedoch nicht zu einem Risswachstum. Kitagawa und Takahashi [105] konnten weiterhin zeigen, dass die Grenzspannung, ab der ein Riss initiiert, von der Risslänge abhängig ist. Für Risslängen unterhalb einer Grenzrisslänge a0 nähert sich die Schwellspannung asymptotisch einem konstanten Spannungsniveau an, welches näherungsweise der Dauerfestigkeit ungekerbter Proben entspricht. Ab dieser Grenzrisslänge ist der Thresholdwert der Ermüdungsrissausbreitung anzuwenden. Dieses Verhalten kann im sogenannten Kitagawa-Takahashi-Diagramm (Abb. 3.6) abgelesen werden. Die in Abb. 3.6 dargestellte Funktion stellt eine Grenzkurve dar, unterhalb derer Rissstillstand eintritt, während oberhalb Rissinitiierung und Risswachstum entsteht. ǻıD

th

ǻı

ǻK = t. ns ko

a0

Risslänge a

Abb. 3.6: Kitagawa-Takahashi-Diagramm [105]

Aufbauend auf den Erkenntnissen von Frost sowie Kitagawa und Takahashi definieren El Haddad, Topper und Smith [61] einen dehnungsbasierten zyklischen Spannungsintensitätsfaktor 'KH

E 'H N S (a a0 ) ,

(3.1)


85

wobei 'HN die aufgebrachte Schwingbreite der Dehnung ist. Im Fall elastischer Spannungen ist 'K unter Vernachlässigung des Geometriefaktors Y auch wie folgt definiert: 'K

'V S (a a0 ) ,

(3.2)

wobei a0 eine Materialkonstante darstellt, die über das Verhältnis von Schwellenwert der Ermüdungsrissausbreitung und der Dauerfestigkeit definiert ist: a0

1 § 'K th ¨ S ¨© 'V D

2

· ¸ . ¸ ¹

(3.3)

Durch die Einführung der Materialkonstante a0 wird der Effekt der Risslängenabhängigkeit des Thresholdwertes aufgehoben und die Rissgeschwindigkeitskurven von langen und kurzen Rissen fallen zusammen. El Haddad et al. [61] interpretieren die empirische Konstante als behinderte Fließbedingung der Oberflächenkörner, während Radaj [186] a0 als werkstofftypische fiktive Eigenrisslänge (intrinsic crack length), die nicht vergrößerungsfähig ist, unterstellt. Atzori et al. [16] konnten zeigen, dass für Stahl eine gewisse Abhängigkeit der intrinsischen Risslänge von Rm und VD besteht. a)

Spannungsarmes Schleifen

ı max[MPa]

1000

Kugelstrahlen Laser Shock

ohne Oberflächenbehandlung 100

Ti-6246 R = 0,1 Elektroerosion a/c = 1,0

0,001 b)

0,01 0,1 1 Risslänge a [mm]

10

Spannungsarmes Kugelstrahlen Schleifen Laser Shock

ımax [MPa]

1000

ohne Oberflächenbehandlung 100

Ti-6246 R = 0,8 a/c = 1,0

0,001

0,01

Elektroerosion 0,1 1 Risslänge a [mm]

10

Abb. 3.7: Einfluss von Oberflächeneigenspannungen auf die Schwellspannung (nach [116]) für die R-Verhältnisse a) R = 0,1 und b) R = 0,8

86


Die Grenzkurve des Kitagawa-Takahashi-Diagramms lässt sich somit gemäß El Haddad et al. [61] wie folgt beschreiben: 'V th

'K th

S (a a0 )

.

(3.4)

Unterhalb der Schwellspannungskurve ist rein theoretisch eine unendliche Lebensdauer eines Bauteils gewährleistet. Aufgrund von Oberflächeneigenspannungen, die durch unterschiedliche Oberflächenbehandlungsmethoden, wie z.B. Kugelstrahlen oder Elektroerosion, eingebracht werden, können sich die Schwellspannungen deutlich ändern. Abbildung 3.7 zeigt diesen Einfluss beispielhaft an einer Titanlegierung [116]. Das Elektroerosionsverfahren erzeugt Zugeigenspannungen, während die anderen Verfahren Druckeigenspannungen einbringen, die zudem unterschiedliche Tiefenwirkung besitzen [116]. Deutlich zu erkennen ist auch, dass die Schwellspannung vom Spannungsverhältnis R abhängt. 1000

Risse (El Haddad)

ǻıD ǻK th

ǻı [MPa]

R = 0,02 mm 0,05 mm 1,12Y K

ı

100

10 mm

R a

ı 10 0,001

0,01

0,1

a [mm]

1

10

100

Abb. 3.8: Unterscheidung Schwellenwerte für Risse und Kreiskerben [105]

Wächst ein Riss aus einer Kerbe, ist in Gl. (3.1) die Nenndehnung durch die örtliche Dehnung 'H zu ersetzen, die mittels der Finite-Elemente-Methode oder den analytischen Methoden aus Kap. 2.4.3.1 zu bestimmen ist: 'KH

E 'H S (a a0 )

E D İ 'H N S (a a0 ) .

(3.5)

Alternativ kann die örtliche Dehnung auch unter Verwendung von Gleichung 2.47 ausgedrückt werden. Unter der Voraussetzung des elastischen Materialverhaltens im Bereich der Kerbe gilt [61]: 'K

Yk 'V N S (a a0 )

(3.6)


87

und damit kann die Grenzkurve des Kitagawa-Takahashi-Diagramms wie folgt beschrieben werden [61]: 'V th

'K th Yk S (a a0 )

,

(3.7)

wobei Yk der Geometriefaktor eines Risses im Kerbgrund ist. In Abb. 3.8 ist dieser Zusammenhang exemplarisch für einen Riss, der aus einer Kreiskerbe mit unterschiedlichen Radien wächst, im Vergleich zur klassischen Grenzlösung nach El Haddad et al. (Gl. (3.4)) dargestellt. a)

b)

1200

8 R = 6 mm 6

900 290 MPa 600

300

ǻKth ǻı = 290 MPa

R = 1,5 mm 4

0,1 a [mm]

1

ı R

R = 0,5 mm Risslösung

0 0,01

R = 3 mm

2

nicht-wachsende Risse R = 0,2

0 0,001

ǻK/ǻı· ʌ·a

ǻK(a+a*)

[N/mm3/2 ]

480 MPa

10

a

ı 0

5 a [mm]

10

Abb. 3.9: Zyklische Spannungsintensität eines Risses ausgehend von einer Kreiskerbe (in Anlehnung an [61]) a) in Abhängigkeit der Schwingbreite der Spannung b) in Abhängigkeit der Kerbgröße

Abbildung 3.9a zeigt den Verlauf der zyklischen Spannungsintensität eines Risses ausgehend von einer Kreislochkerbe. Es wird deutlich, dass die Spannungsintensität zunächst auf ein Minimum sinkt, bevor sie dann wieder ansteigt. Ist das Spannungsniveau so gewählt, dass zu Beginn des Risswachstums 'K oberhalb, aber das absolute Minimum der Spannungsintensität unterhalb des Thresholdwertes liegt, beginnt der Riss zunächst zu wachsen, stoppt dann aber, sobald 'Kth erreicht ist. Erst eine Anhebung des Lastniveaus führt zu erneutem Risswachstum. Das anfängliche Absinken der Spannungsintensität kann jedoch nur bis zu einer gewissen Kerbgröße festgestellt werden, die zudem von der Kerbgeometrie abhängt (Abb. 3.9b) [61]. Atzori et al. [11, 13, 14] haben das Kitagawa-Takahashi-Diagramm unter Verwendung der Erkenntnisse des Frost-Diagramms dahingehend erweitert, dass sie zusätzlich die Wirkung einer Kerbe berücksichtigen. Ab einer gewissen Risslänge bzw. Kerbtiefe

88


a*

D k 2 a0

(3.8)

wird die Schwellspannung durch den Quotienten aus der Schwingbreite der Dauerfestigkeit 'VD und dem Kerbfaktor Dk bestimmt (Abb. 3.11). Dieser Ansatz ist jedoch nur für U-Kerben gültig. Bei scharfen Kerben, wie z.B. V-Kerben oder Kehlnähten, greifen Atzori et al. [14, 15] auf den Ansatz des zyklischen Kerbspannungsintensitätsfaktors zurück. Für eine V-Kerbe ergibt sich folgender ingenieurmäßige Ansatz: 'K IV

Į Ȗ S a Ȗ 'V ,

(3.9)

wobei a einer Bauteilreferenzabmessung, wie z.B. der Kerbtiefe, und DJ einem dimensionslosen Koeffizienten, der von der Geometrie, der Belastung und dem Kerböffnungswinkel I abhängt, entspricht. Der Exponent J gibt den Grad der Spannungssingularität wieder und ist über den ersten Eigenwert O1 des mathematisch definierten elastischen Eckspannungsproblems bestimmt [14]. Der Eigenwert hängt allein vom Kerböffnungswinkel ab und liegt im Intervall von 0,5 d O1 d 1. Der Eigenwert ist 0,5 im Falle eines Rissproblems (2D = 0) und 1 im Falle einer geraden Kante (2D = S), da keine Singularität vorliegt [187]. Daraus kann dann in Analogie zum El Haddad-Ansatz die Schwellspannung 'K I,Vth

'V th

V ʌ (Į1/Ȗ Ȗ a a0 )

(3.10)

unter Berücksichtigung kleiner und großer V-Kerben ermittelt werden, wobei der Kennwert a0 in Anlehnung an Gl. (3.3) definiert ist: a 0V

§ 'K V I,th ¨ ¨¨ S 'ı D ©

1/ Ȗ

· ¸ ¸¸ ¹

.

(3.11)

Der Thresholdwert 'KI,thV des Kerbspannungsintensitätsfaktors kann einerseits durch entsprechende Versuche unter Verwendung von Proben mit dem gleichen Kerböffnungswinkel bestimmt werden. Andererseits kann 'KI,thV aus der Dauerfestigkeit 'VD und dem Thresholdwert 'Kth der Spannungsintensität ermittelt werden [14, 15]: 'K I,Vth

2Ȗ ȕ LEFM 'ı 1D2Ȗ 'K th ,

(3.12)

wobei der Faktor ELEFM nur allein vom Kerböffnungswinkel abhängt [15]. Abbildung 3.10 zeigt eine schematische Darstellung des in Gl. (3.10) dargestellten Zusammenhangs in Form des nach Atzori et al. verallgemeinerten Kitagawa-Takahashi-Diagramms. Mit zunehmendem Kerböffnungswinkel I nimmt auch die Schwellspannung 'Vth deutlich zu.


89

'KIV = 'K thV

ǻı th

ǻıD

ĳn 'K = 'K th ĳ = 0°

(Risslösung) a0V

1/Ȗ

effektive Risslänge Į Ȗ

a

Abb. 3.10: Schematische Darstellung des verallgemeinerten Kitagawa-Takahashi-Diagramms [14, 15]

Da die Originalschwellspannungskurven gemäß El Haddad et al. theoretisch für einen Riss in einer unendlich ausgedehnten Scheibe gelten (Y = 1), erweitern Atzori et al. [14] weiterhin die Funktion unter Berücksichtung der Geometriefunktion Y des Risses (vgl. Kap. 2.5.2), so dass sich für die zyklische Spannungsintensität folgende Gleichung ergibt: 'K

Y 'V S (a a0 ) .

(3.13)

Dadurch wird die Grenzspannung im mittleren Bereich, der durch die linearelastische Bruchmechanik beschrieben wird, proportional gesenkt (Abb. 3.11). Beinhaltet ein Bauteil oder eine Struktur einen Fehler der Länge aD

a0

(3.14)

Y2

sollte das Ermüdungsverhalten mit folgender Funktion beschrieben werden: 'K th

Y 'V th S (a aD )

'V th S (Y 2 a a0 )

(3.15)

Der Ausdruck Y 2a + a0 entspricht der Länge aäq eines äquivalenten Risses in einer unendlich ausgedehnten Scheibe, der durch die gleiche Nennspannung belastet ist. Die übrigen Bereiche der Grenzkurve werden nicht durch die Geometriefunktion Y beeinflusst. Unter der Voraussetzung eines konstanten Verhältnisses von Kerbtiefe a und Kerbradius U, d.h. der Konstanz des Kerbfaktors Dk, ändert sich die relevante Kerbtiefe a* einer Kerbe gemäß Gl. (3.8) in aN

a*

D k 2 a0

Y2

Y2

.

(3.16)

90


ǻı D 'K

ǻı (log)

th =

Y

'K th Y

ko ns t.

durch Kerbwirkung beeinflusstes Ermüdungsverhalten

Y2

ǻıD Įk aD

a0

a*

aN

Risslänge a (log)

Abb. 3.11: Ermüdungsverhalten unter Berücksichtigung der Geometriefunktion Y (nach [13])

Durch die Ergebnisse von Atzori et al. [14] ist es möglich, den Grenzkerbfaktor

D*k des Frost-Diagramms wie folgt zu berechnen: Y 2 a a0 a0

D k*

bzw.

D k* Dk

aäq a*

.

(3.17)

Durch die Auswertung zahlreicher experimenteller Daten konnten Atzori et al. [14] einen Zusammenhang zwischen dem Kerbfaktor und der Kerbwirkungszahl herstellen:

Dk Ek

§ D k a0 · ¸ Ÿ2 a a ¸ 0¹ ©

2

4 1 ¨

Übergangslinie

log

§a 4 1 ¨ äq ¨ *

· ¸ ¸ © a ¹

2

.

(3.18)

stumpfe Kerbe

ǻı ǻıD

scharfe Kerbe

log log Įk

Y 2a + a0 a0

Abb. 3.12: Dreidimensionale Darstellung der Veränderung der Ermüdungsfestigkeit in Abhängigkeit des Kerbfaktors Dk und der Geometrie (Y2a + a0)/a0 (nach [12])


91 b)

a)

Schnitt A-A (Į k = konst.) stumpfe Kerbe

Rissinitiierung log ǻı ǻıD

log ǻı

ǻıD

Schnitt C-C

Schnitt A-A

c)

log log Įk

Schnitt B-B (

Schnitt B-B

Y 2a + a0 a0

Y 2a + a0 = konst.) a0

d)

log Įk

Schnitt C-C (

2

log

Ya *+ a0 a0

Y a + a 0 a0

ǻı = konst.) ǻıD

stumpfe Kerbe

stumpfe Kerbe

Rissinitiierung

scharfe Kerbe log ǻı ǻıD

scharfe Kerbe

log ǻı ǻıD nicht-wachsende Risse

Į*k

log log Įk

Rissinitiierung

Y 2a + a0 a0

log Įk

log

Y 2a + a0 a0

Abb. 3.13: Veränderung der Ermüdungsfestigkeit a) Schnittflächen (nach [12]) b) Schnitt in einer Ebene mit Dk = konst. (mod. Kitagawa-Takahashi-Diagramm) c) Schnitt in einer Ebene mit (Y2a + a0)/a0 (Frost-Diagramm) d) Schnitt in einer Ebene mit 'V/'VD = konst.

Das Frost-Diagramm (Abb. 3.5) und das Kitagawa-Takahashi-Diagramm (Abb. 3.6) fassen Atzori et al. [12, 14] in einem dreidimensionalen Diagramm (Abb. 3.12) zusammen, in dem die Schwellspannung eines gekerbten Bauteils in Abhängigkeit des Kerbfaktors Dk sowie des Risslängen- und Geometriefaktors (Y2a + a0)/a0 dargestellt ist. Die dunkelgrau dargestellte Fläche in Abb. 3.12 entspricht dabei der Grenzfläche des Schwellenwertes. Der Übergangspunkt D*k des Frost-Diagramms zeigt sich im Atzori/LazzarinDiagramm in Form einer Übergangslinie, die sich bei logarithmischer Skalierung als Gerade darstellt. Durch Schnittebenen parallel zu den Achsen mit Dk = konst. (Abb. 3.13a, Schnitt A-A) und (Y2a + a0)/a0 = konst. (Abb. 3.13a, Schnitt B-B) ergeben sich einerseits das Frost-Diagramm (Abb. 3.13b) und andererseits das Kitagawa-Takahashi-Diagramm (Abb. 3.13c). Ferner verwenden Atzori und Lazzarin eine Schnittebene mit 'V/'VD = konst., mit der Aussagen über die Ermü-

92


dungsfestigkeit in Abhängigkeit des Kerbfaktors und der Kerbgröße gemacht werden können. Lukas et al. [127] beschreiben die Schwellspannung eines gekerbten Bauteils unter einigen Vereinfachungen in Abhängigkeit der Kerbgeometrie, charakterisiert durch den Kerbfaktor Dk und den Kerbradius U, wie folgt:

V th

VD 1 4,5 (l0 / U ) , Dk

(3.19)

wobei l0 die Risstiefe bei der Dauerfestigkeitsgrenze darstellt, die aus der Bedingung einer nicht-schädigenden Kerbe für metallische Werkstoffe bestimmt werden kann: (D k 2 1) U d 4,5l0 1,14 ('K eff, th / V D ) 2 .

3.1.2

(3.20)

Konzepte des kritischen Abstands

Zur einheitlichen Beschreibung der Schwellspannung von kurzen und langen Rissen sowie Kerben verwenden Taylor et al. [248-251] das Konzept des kritischen Abstands bzw. Fujimoto et al. [73] das Konzept der inhärenten Schädigungszone in Anlehnung an die Ersatzstrukturlänge nach Neuber [157] bzw. die PunktMethode nach Peterson. In diesen Konzepten wird davon ausgegangen, dass in einem gewissen Abstand r vor dem Kerbgrund oder vor dem Riss bei einer Belastung von 'K = 'Kth die elastische Spannung gleich der Dauerfestigkeit 'VD ist. Unter Verwendung des elastischen Spannungsansatzes bei Rissen bzw. Kerben kann somit eine Schwellspannung in Abhängigkeit der Risslänge bestimmt werden. a0 /2 a0

a

2a0

r Linien-Methode Punkt-Methode Flächen-Methode

Abb. 3.14: Konzept des kritischen Abstands (nach [248])


93

Dabei unterscheidet Taylor die Punkt-, Linien-, Ebenen- und VolumenMethode. Bei der Punkt-Methode wird exakt für den Punkt r = a0/2, wobei a0 gleich dem El Haddad-Parameter (Gl. (3.3)) ist, die Spannung gleich der Dauerfestigkeit gesetzt. Im Gegensatz dazu wird bei den anderen Methoden eine mittlere Spannung 'Vav durch Integration entlang einer Linie (r = 0 - 2a0) vor der Kerbe bzw. dem Riss oder über ein Volumen (r = a0) ermittelt, die dann der Dauerfestigkeit gleich gesetzt wird. Bei der Punkt- und Linien-Methode ist die Übereinstimmung mit der Dauerfestigkeit exakt. Die Flächenmethode liefert jedoch eine 10%ige Abweichung, d.h. die Vorhersage ist etwas konservativ [248]. Aus diesem Grund wird bei Anwendung der Flächen- oder Volumenmethode die Dauerfestigkeit mit einem Faktor von 1,1 multipliziert. Aus den Überlegungen zur inhärenten Schädigungszone leiten Fujimoto et al. [73] folgende Beziehung des Thresholdwertes ab: ʌa 'K th

a0 § a · ¨ 2a 0 ¸ 2 © 2 ¹ ıD . a r0

(3.21)

Im Falle des Langrisswachstums kann der Thresholdwert nach Fujimoto et al. wie folgt abgeschätzt werden: 'K th,long

ʌ a0 ı D .

(3.22)

Zur Erklärung des Phänomens nicht-wachsender Risse haben Fujimoto et al. aufgezeigt, dass die Schwellspannung einer Probe mit Riss bis zu einem kritischen Kerbradius geringer ist als die einer gekerbten Probe. D.h. der Riss initiiert zwar zunächst, stoppt dann aber aufgrund des Abfalls der Spannung am initiierten Riss. Außerdem konnten sie durch Anwendung des Konzepts der inhärenten Schädigungszone die Untersuchungen in Abb. 3.9b in Anlehnung an El Haddad et al. [61] sowohl für kreis- als auch ellipsenförmigen Kerben sowie das FrostDiagramm bestätigen. Da die Konzepte der kritischen Distanz keine Informationen bezüglich der Kerbgeometrie benötigen, können sie bei der Berechnung komplexer Strukturen aufbauend auf einer elastischen Finite-Elemente-Analyse angewendet werden, um Aussagen bezüglich der Dauerfestigkeit zu machen [250]. Neben der FiniteElemente-Methode können auch analytische Lösungen bezüglich der Spannungsverteilung für bestimmte Sonderfälle angewendet werden. So bestimmen Livieri und Tovo [123] durch Integration des Spannungsverlaufs vor einer Kerbe, einem Riss oder einem anderen Defekt beschrieben durch erweiterte analytische Lösungen, wie z.B. nach Creager-Paris, Irwin oder Timoshenko, die mittlere Spannung. Neben der Berechnung der Dauerfestigkeit eines Bauteils können mit Hilfe der Konzepte des kritischen Abstands auch Aussagen über die Lebensdauer im Bereich mittlerer Lastwechselzahlen gemacht werden [237]. Aufbauend auf der An-

94


nahme, dass sich der El Haddad-Parameter a0 mit abnehmender Lebensdauer ändert, schlagen Susmel und Taylor folgende Beziehung vor: a0 ( N f )

A N fB ,

(3.23)

wobei die Parameter A und B aus der Kenntnis der Wöhlerlinie ungekerbter Proben sowie des Thresholdwertes in Abhängigkeit des Werkstoffs und des RVerhältnisses bestimmt werden können. Für ein gekerbtes Bauteil mit einer vorgegebenen Nennspannung Va,N wird für eine geschätzte Lebensdauer Nf,i-1 auf der Grundlage von Gl. (3.23) der El Haddad-Parameter a0,i-1(Nf,i-1) berechnet. Mittels des numerisch oder analytisch bestimmten linear elastischen Spannungsfeldes in der Nähe der Kerbe kann die Spannungsamplitude Va,i-1 im Abstand a0,i-1/2 bestimmt werden. Der ermittelte Wert der Spannungsamplitude Va,i-1 wird dann zur Berechnung der Lebensdauer Nf,i mit N f,i

§ ı · ND ¨ D ¸ ¨ ı a,i-1 ¸ © ¹

k

(3.24)

verwendet. Dieser Vorgang wird solange wiederholt bis Nf,i-1 und Nf,i konvergieren, wobei als Startwert für jede Iterationsschleife Nf,i-1 = Nf,i gesetzt wird [237].

3.1.3

Ermüdungsrisswiderstandskurven (R-Kurven-Konzept)

Tanaka et al. [240, 242, 244], Pippan et al. [180, 181, 238, 239] und andere gehen davon aus, dass der Thresholdwert des Ermüdungsrisswachstums mit zunehmender Risslänge steigt, bis der konstante Wert 'Kth des Langrisswachstums erreicht ist (vgl. Kap. 2.5.3.2). Dieses Verhalten wird in einer sogenannten Ermüdungsrisswiderstandskurve oder auch R-Kurve (resistance curve) dargestellt. Mit der RKurve ist der Widerstand des Werkstoffs gegen das Ermüdungsrisswachstum (charakterisiert durch den Schwellenwert 'Kth) in Abhängigkeit der Risserweitung definiert. In Abb. 3.15 sind schematisch R-Kurven in Abhängigkeit des RVerhältnisses dargestellt. Es wird deutlich, dass für niedrige R-Verhältnisse der Unterschied zwischen den Thresholdwerten für kurze und lange Risse ausgeprägter ist [180]. R-Kurven sind unabhängig von der Kerbgeometrie [1], aus der der Riss initiiert, und auch der Einfluss der Kerbtiefe auf das R-Kurvenverhalten ist sehr gering [240]. Hingegen ändern sich die Lastkurven aufgrund der Geometriefunktionen unterschiedlicher Kerbgeometrien [241]. Die Ermittlung der R-Kurve erfolgt z.B. mit dem von Pippan (z.B. [180, 238]) vorgeschlagenen Verfahren zur Ermittlung der Rissgeschwindigkeitskurve und des Thresholdwertes (vgl. Kap. 2.5.3.2). Alternativ schlägt Chapetti [37] die Berechnung der R-Kurve unter Berücksichtigung eines mikrostrukturellen Thresholdwertes, der sich aus der Dauer-


95

festigkeit und dem Abstand der größten mikrostrukturellen Barriere ergibt, des Langrissthresholdwertes sowie des Rissschließeffektes vor. R1

ǻK th

ǻK th, 1

R2

ǻK th, 2

R3

ǻK th, 3 ǻK eff, th

R1 < R 2 < R 3 0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

Rissverlängerung ǻa

Abb. 3.15: Ermüdungsrisswiderstandskurve in Abhängigkeit des R-Verhältnisses (nach [180])

Mit dem R-Kurven-Konzept kann unter Verwendung der Ermüdungsrisswiderstandskurve und der zyklischen Spannungsintensität des Risses in einem Bauteil in Abhängigkeit der Risslänge und der Schwingbreite der Spannung der notwendige Schwellenwert der Ermüdungsrissausbreitung eines mechanisch kurzen Initialrisses ai ermittelt werden (Abb. 3.16). Unter der Annahme, dass ein Oberflächenfehler vorliegt und die Defektgröße in den Abmessungen wesentlich kleiner als die Bauteilabmessung ist, kann für die Berechnung der zyklischen Spannungsintensität der Geometriefaktor Y mit 1,12 angenommen werden.

ǻı1 ǻK bzw. ǻK th

ǻı2

ǻı3

ǻı1 > ǻı2 > ǻı3 0,5 ai

1,0

Abb. 3.16: R-Kurven-Konzept (nach [239])

1,5 2,0 2,5 3,0 Fehlergröße a [mm]

96


Tanaka und Akiniwa [241] wenden das R-Kurven-Konzept für kurze Risse aus dem Kerbgrund an, so dass sie die entsprechenden Geometriefaktorlösungen, z.B. von Lukás und Klesnil [125], nutzen. Die Spannungsintensitätskurve, die die R-Kurve tangential in einem Punkt schneidet, ergibt den Schwellenwert des Ermüdungsrisswachstums für die vorgegebene Anfangsrisslänge ai. In Abb. 3.16 entspricht dies einer Spannungsschwingbreite von 'V2. Für kleinere Spannungen, wie z.B. 'V3, bei denen die Spannungsintensitätskurve die R-Kurve in zwei Punkten schneidet, wird der Riss zunächst wachsen, dann jedoch zum Stillstand kommen. 'V1 hingegen würde zu einem kontinuierlichen Risswachstum bis zum Versagen des Bauteils führen. Unter der Annahme, dass die Form der R-Kurve von der Anfangsgröße unabhängig ist, können somit durch Verschieben der Widerstandskurve zu unterschiedlichen Initialrisslängen ai die unterschiedlichen Grenzspannungen in Abhängigkeit der Größe des Anfangsdefekts bestimmt werden. Die so ermittelten Spannungen werden in einem Kitagawa-Takahashi-Diagramm zusammengefasst. Abbildung 3.17 zeigt einen Vergleich der durch das R-Kurven-Konzept ermittelten Schwellspannungen mit den Schwellspannungen des Kitagawa-Takahashi-Diagramms basierend auf dem Thresholdwert 'Kth des Langrisswachstums und dem effektiven Thresholdwert 'Keff,th. Es zeigt sich, dass bis zu einer gewissen Risslänge zunächst der effektive Thresholdwert für das Kurzrisswachstum entscheidend ist. Nach einer Übergangsphase ergibt sich dann der Thresholdwert des Langrisswachstums. Die gleiche Vorgehensweise verwenden auch Yates und Brown [268], um einerseits die Schwellspannung und andererseits die Größe nicht-wachsender Risse zu bestimmen. Sie verwenden jedoch anstelle der Ermüdungswiderstandskurve die Kurve des Kitagawa-Takahashi-Diagramms, in dem sie die Schwingbreite des Spannungsintensitätsfaktors über der Risslänge auftragen.

'ı D

R-Kurven-Konzept

'ı th

'K th = konst. 'Keff, th= konst.

Risslänge a

Abb. 3.17: Darstellung der Schwellspannung berechnet mit dem R-Kurven-Konzept und dem Kitagawa-Takahashi-Diagramm für 'Kth und 'Keff,th (nach [239])


97

'ı 1

'ı 2

'K th = konst. log 'K

'ı3

'ı1 > 'ı2 > 'ı3 Risslänge a, log

Abb. 3.18: Konzept nach Yates und Brown (nach [268])

Abbildung 3.18 zeigt einerseits die aus dem Kitagawa-Takahashi-Diagramm berechnete Kurve sowie die Spannungsintensitätskurven (gestrichelte Linien) für kurze Risse aus Kerben in Abhängigkeit des Lastniveaus. Die Spannungsintensitätskurven wurden mittels Näherungslösungen bestimmt, die eine stückweise Beschreibung des Verlaufs ermöglichen [267]. So sind die Spannungsintensitätsfaktoren für Risse in der Nähe der Kerbe gegeben durch: K

1,12D k V S a .

(3.25)

Spannungsamplitude ıa

a i = 0,05 mm 0 mm

0,1 mm R = -2

0,5 mm

R=0

1,0 mm

Mittelspannung ım

Abb. 3.19: Haigh-Diagramm für Proben mit Anriss in Abhängigkeit der Anfangsrisslänge ai im Vergleich zu Schwellspannungen ermittelt an einer glatten Probe (nach [242])

Außerhalb des Einflussgebiets der Kerbe verwenden Yates und Brown folgende Lösung für den Spannungsintensitätsfaktor nach Smith und Miller:

98


K

V S ( a ak ) ,

(3.26)

wobei ak die Kerbtiefe ist. Aus den vorgenannten Überlegungen des Ermüdungsrisswiderstandskonzepts lässt sich ein Haigh-Diagramm ableiten (Abb. 3.19), in dem die Schwellspannungen einerseits für glatte Proben und andererseits für Proben mit Riss in Abhängigkeit der initialen Risslänge dargestellt sind [242].

3.1.4 area - Konzept Murakami [144] stellte fest, dass bei kleinen Defekten nicht der Kerbfaktor Dk, sondern der Spannungsintensitätsfaktor zur Beurteilung des Schwellenwertes nicht-wachsender Risse entscheidend ist. Dazu verwendet er den Parameter area , der als charakteristische Dimension für die Bewertung des Einflusses von Defekten unterschiedlicher Größe und Form auf die Ermüdungsfestigkeit gilt, da einerseits die Ermüdungsgrenze von Bauteilen mit Defekten als ein Rissproblem angesehen werden kann und andererseits ein Zusammenhang zwischen area und der Spannungsintensität gegeben ist. Der Parameter area stellt dabei die auf die Ebene senkrecht zur maximalen Hauptspannung projizierte Rissfläche dar. Bei unregelmäßig geformten Rissen, wird eine effektive Fläche bestimmt, die die unregelmäßige Kontur durch eine gleichmäßige Form umhüllt (Abb. 3.20). a)

area

b)

area a c

Abb. 3.20: Unregelmäßig geformte Risse approximiert durch regelmäßige Konturen [144]

Bei sehr flachen Oberflächenrissen mit c > 10a oder sehr tiefen Rissen mit a > 5c wird ein konstanter Wert von area 10c verwendet [146]. Ein Sonderfall tritt auch bei zwei benachbarten Rissen auf. Die effektive Fläche zweier benachbarter Risse wird durch den Abstand zueinander definiert. Ist der Abstand zwischen den beiden Rissen mindestens genau so groß wie die Abmessung des kleinsten Risses, dann wird für die Spannungsintensitätsberechnung lediglich die Fläche des größten Risses verwendet. Bei einem geringeren Abstand hingegen, ist die effektive Fläche aus den Flächen der beiden Risse sowie der Zwischenfläche zu bestimmen [144]. Unter Verwendung des area -Ausdrucks kann die maximale Spannungsintensität für Innenrisse mit


K I, max

99

(3.27)

0,5V S area

und für Oberflächenrisse mit K I,max

(3.28)

0,65V S area

berechnet werden [144]. Der Thresholdwert 'Kth für kurze Risse mit gigkeit der Vickers Härte HV wie folgt definiert:

area < 1000 µm ist in Abhän-

3,3 10 3 (HV 120) ( area )1 / 3 ,

'K th

(3.29)

wenn area in µm eingesetzt wird, um 'Kth in MPam1/2 zu erhalten. Durch die Kombination von Gl. (3.29) mit Gl. (3.28) ergibt sich die Schwellspannung

V th

1,43 (HV 120) § 1 R · ¨ ¸ © 2 ¹ ( area )1 / 6

Į

(3.30)

eines Bauteils mit einem kleinen Oberflächendefekt in MPa, wobei

D

0,226 HV 10 4

(3.31)

ist [150]. Durch diese Abschätzung ist eine maximale Abweichung von 10% gegenüber entsprechenden Experimenten festzustellen [144].

'K th /(HV + 120)

1,0

Fehler

HV

Riss Kerbe Sackloch Kerbe

170 170 170 180

t 0,1

D

d

d

2a

t

'Kth = 3,3 (HV + 120)( area )1/3

0,01 0,01 10

0,1 100

1,0 1000

10 Kerbtiefe t, mm

area , µ m

Abb. 3.21: Abhängigkeit des Thresholdwertes 'Kth bezogen auf (HV + 120) vom Geometriefaktor area unterschiedlicher Defektformen [144]

100


Die Grenzen der Anwendbarkeit des area -Konzepts liegt in der Größe des Fehlers. Der Fehler darf maximal einen Flächeninhalt von 1000 µm, muss aber eine minimale Länge a* eines nicht-wachsenden Risses besitzen. Aus Gl. (3.30) und der Dauerfestigkeit VD0 fehlerfreier Bauteile kann die minimale Fläche area bestimmt werden. Ist VD0 nicht bekannt, schlägt Murakami folgende Abschätzung vor:

V D0 # 0,5 Rm # 1,6HV .

(3.32)

Weiterhin ist das area -Konzept lediglich im Dauerfestigkeitsbereich für Proben mit kleinen Fehlern anwendbar. Die Geometrie des Fehlers ist dabei unerheblich. Abbildung 3.21 zeigt beispielhaft die Abhängigkeit des Thresholdwertes bzw. Abb. 3.22 die Abhängigkeit der Schwellspannung vom Geometriefaktor area für unterschiedliche Defektformen in einem Stahl. Dabei wird sehr deutlich, dass sowohl eine Kerbe, eine Bohrung oder ein Riss zu gleichen Schwellenwerten führt. Die Begründung liegt nach Murakami darin, dass nach dem Ermüdungsversuch nicht-wachsende Risse z.B. an der Ecke einer Bohrung oder an den Enden eines anfänglichen Risses entstanden sind, so dass die Endsituation mechanisch gesehen ein Riss ist. 5,0

ı th /(HV + 120)

Fehler Riss Sackloch Kerbe

HV 170 170 180

1,0

ı th /(HV + 120) = 1,43 / ( area ) 1/6 0,5 0,1 10

100

1000

area , µm

Abb. 3.22: Zusammenhang zwischen der Schwellspannung Vth bezogen auf (HV + 120) und dem Geometriefaktor area für unterschiedliche Defektformen [144]

Im Gegensatz dazu ist im Bereich der Zeitfestigkeit ein deutlicher Einfluss der Defektform zu erkennen (Abb. 3.23). Bei gleichen Werten von area ist die Restlebensdauer eines Bauteils mit Riss im Allgemeinen niedriger als bei Bauteilen mit Kerben, da die Rissinitiierungslebensdauer ausgehend von einem Riss wesentlich kürzer ist [144]. Um Einflüsse von Eigenspannungen zu vermeiden, wurde in den dargestellten Untersuchungen von Murakami und Endo (z.B. [144])

3.2 Kurzrisswachstumskonzepte

101

nach Einbringung des Defekts die verwendeten Proben spannungsarmgeglüht und nochmals die Härte nach Vickers gemessen. 700

Spanung ı [MPa]

600 500 400 300 200 100 0

HV = 510 10 5

d

10 6 10 7 Lastwechselzahl N

d x 100 µm (Sackloch) area

l

l

10 8

x 63 µm

l x 100 µm (2 Sacklöcher mit einem Riss verbunden) area x 63 µm l x 100 µm (Riss) area

x 63 µm

Abb. 3.23: Wöhlerkurve für Proben mit unterschiedlichen Fehlern der gleichen Größe area [144]

3.2

Kurzrisswachstumskonzepte

In der Vergangenheit sind zahlreiche Kurzrisswachstumskonzepte entwickelt worden, die in drei Gruppen eingeteilt werden können: x x x

Mikrostrukturmodelle, Rissschließmodelle und bruchmechanische Kurzrisswachstumsmodelle.

102

3.2.1


Mikrostrukturmodelle

Aufbauend auf der Erkenntnis, dass das Kurzrisswachstum an mikrostrukturellen Barrieren behindert wird und es somit zu wiederholten Verzögerungen und Beschleunigungen des Risswachstums kommt (Abb. 3.2), versuchen die Mikrostrukturmodelle das Risswachstum in Abhängigkeit des Mikrostruktureinflusses, wie z.B. der Größe von Körnern, zu beschreiben. Zahlreiche Zwei-Phasen-Modelle, wie z.B. in [87, 178], sind entwickelt worden. Dabei werden für die Beschreibung des Kurzrisswachstums Gleichungen der Form da dN

A 'V ( d a ) ,

(3.33)

wobei d dem Korndurchmesser entspricht und für die Beschreibung des Risswachstums langer Risse: da dN

B 'H pl m a C

(3.34)

verwendet. Die Parameter A, B, C und m sind durch entsprechende Experimente anzupassen. Hobson et al. [87] geben beispielsweise für einen Oberflächenriss in einem Stahl für a < d: da dN

1,64 10 34 'V 11,14 (d a )

(3.35)

bzw. für a > d: da dN

4,1 'H 2,06 a 4,24 10 3

(3.36)

an, wobei die mikrostrukturelle Größe d in diesem Fall der Schnittpunkt einer Ausgleichsgeraden durch die experimentell bestimmten Risswachstumsraten über der Risslänge ist. Durch derartige Konzepte ist die Beeinflussung des Risswachstums lediglich durch eine Barriere möglich, so dass eine Gruppe von Modellen entwickelt worden ist, die die Blockade der Gleitebenen an mikrostrukturellen Hindernissen beschreibt [156, 242, 247, 255, 256]. De los Rios und Navarro [44, 155, 156, 255] beispielsweise entwickelten ein Modell, das von der Annahme ausgeht, dass ein Riss an persistenten Gleitbändern in der Mitte eines Korns oder einer mikrostrukturellen Phase initiiert und von plastischen Verschiebungen gesteuert ist. Dabei gehen sie davon aus, dass die Risswachstumsrate proportional der plastischen Rissspitzenverformung ist: daS dN

f I ,

(3.37)


103

wobei I die Rissspitzenverschiebung und f kennzeichnend für den Anteil der Versetzungen im plastischen Gleitband vor der Rissspitze ist, der aktiv an der Risserweiterung beteiligt ist. Die plastische Rissspitzenverschiebung ist wie folgt definiert [156]:

I

2N 1 n 2 V aS , G n

(3.38)

wobei G der Schubmodul, V die Belastung und aS die Oberflächenrisslänge ist. Während bei einer Schraubenversetzung N = 1 ist, gilt bei einer Stufenversetzung N = 1 - Q. Der dimensionslose Parameter n = a / (a + Z) beschreibt die Position der Rissspitze in Bezug zur Korngrenze, bei der die Hauptversetzung blockiert wird. Bei einer konstanten äußeren Belastung hängt die Spannungsverteilung vor dem Riss somit allein vom Parameter n ab. Das persistente Gleitband ist solange an der mikrostrukturellen Grenze blockiert bis die Spannung vor der plastischen Zone groß genug ist, um ein neues Gleitband im nächsten Korn zu initiieren. Bei einem wachsenden Riss, dessen plastische Zone an einer mikrostrukturellen Barriere blockiert ist, ist dies der Fall, wenn n den kritischen Wert nC

§ S V V Li · ¸ cos¨¨ V V ¸¹ ©2

(3.39)

bzw. für lange Risse nC

ª S V § K th cos « ¨1 K ¬ 2V V ©

·º ¸» ¹¼

(3.40)

mit K th

VD S

d 2

(3.41)

und K

V S (a Z )

(3.42)

annimmt, wobei d dem Korndurchmesser entspricht [156, 255]. VV entspricht dem Widerstand gegen plastische Deformation des Rissspitzengleitbandes in der Größenordnung der Zugfestigkeit und VLi der minimalen Spannung, die notwendig ist, um einen Riss mit der Ausbreitung über i-halbe Körner zu erweitern. Der Wert von VLi ist durch die Orientierung der Körner vor dem Riss und der erforderlichen Spannung zum Lösen von Versetzungen bestimmt und kann als Funktion der Dauerfestigkeit VD ausgedrückt werden [255]:

104


V D § mi ·

(3.43)

¨ ¸ i ¨© m1 ¸¹

V Li

mit i = 1, 3, 5, ... und mi m1

1,86

2 ½ 1 2,07 ® arctan>0,522 i 1 @¾ ¯S ¿

(3.44)

als Indikator der Kornorientierung. Sobald n den kritischen Wert nC erreicht, sind die Spannungen groß genug, um neue Gleitbänder zu erzeugen und die plastische Zone in das Nachbarkorn zu erweitern, so dass die Spannungskonzentration vor der neu gebildeten plastischen Zone abnimmt. Dies spiegelt sich in einem verminderten Wert für n wider: n

nS

i nC i2

bzw.

nS

nC § V 1 2¨¨ © V th

2

· § K th · 2 ¸¸ ¨ ¸ ¹ © K ¹

.

(3.45)

Dieser abwechselnde Vorgang von beschleunigtem und verzögertem Risswachstum wird solange wiederholt bis der Übergang von mikrostrukturell kurzem zu physikalisch kurzem Risswachstum erreicht ist. Der Übergangspunkt, ab dem eine kontinuierliche Beschreibung der Risswachstumsrate angenommen werden kann, definieren Navarro und de los Rios wie folgt: KT K th

4 VV 1

S V th

(3.46)

mit der Spannungsintensität KT des Übergangspunktes: KT

'V D V S i 2 2

(3.47)

Die Lastwechselzahl, die zum Wachstum des Risses durch ein Korn benötigt wird, ergibt sich durch Integration von Gl. (3.37) von nS bis nC. Die Anrisslebensdauer entspricht der Summe der Lastwechselzahlen zum Durchqueren von z Körnern. Die Anzahl z der durchquerten Körner ergibt sich wiederum aus der Division der gesamten Risslänge und der durchschnittlichen Körngröße [255]. Im Gegensatz zur Modellierung einer Kornstruktur mit konstanter Korngröße im Ansatz nach Navarro und de los Rios berücksichtigt Andersson [6] in einem erweiterten Ansatz mögliche Korngrößenvariationen. Eine Simulation des Kurzrisswachstums ist mit dem Modell nach Andersson bis zu einer Länge der zehnfachen mittleren Korngröße möglich. Die Originalform des Ansatzes nach Navarro und de los Rios berücksichtigt den Effekt der mikrostrukturellen Beeinflussung des Risswachstums bis zum Versagen des Bauteils. Jedoch konnten beispielsweise Hussain et al. [92] durch expe-


105

rimentelle Ergebnisse zeigen, dass ab einer bestimmten Risslänge das Risswachstum unabhängig von der Mikrostruktur wächst, so dass sie ein Zwei-PhasenModell vorschlagen. In der ersten Phase wird die Rissspitzenverschiebung I durch

N

I*

G

1 n2 'V aS n

(3.48)

ersetzt. In der zweiten Phase, in der die Mikrostruktur unberücksichtigt bleibt, wird n

nC

nS

§S V · ¸ cos¨¨ ¸ © 2 VV ¹

(3.49)

gesetzt. Durch separate Integration der Lebensdauer in den beiden Phasen ergibt sich die Gesamtlebensdauer des Bauteils. Aufbauend auf der Rissspitzenöffnungsverschiebung als Größe der Versetzungsdichte und des plastischen Felds um die Rissspitze entwickelten Shyam et al. [232] ebenfalls ein Zwei-Phasen-Modell. Für eine Stufenversetzung ergibt sich folgende Beziehung für eine monotone Rissspitzenverschiebung:

Imax

8V F (1 Q 2 ) a ª § S V max ln «sec¨¨ S E «¬ © 2V F

·º ¸» ¸ ¹»¼

(3.50)

bzw. für eine zyklische Rissspitzenöffnungsverschiebung

Ic

16V F (1 Q 2 ) a ª § S V max (1 R ) ·º ¸» . ln «sec¨¨ ¸ S E 4V F ¹¼» ¬« ©

(3.51)

Shyam et al. gehen davon aus, dass Wachstum an der Rissspitze eintritt, wenn die akkumulierte Rissspitzenverschiebung einen kritischen Wert Icr erreicht. Die dazugehörige Lastwechselzahl ergibt sich zu: 'N = Icr/(fIc), wobei f den Anteil der Belastung wiedergibt, der bei jedem Lastwechsel irreversibel verbleibt. Zudem gilt die Annahme, dass gelten muss Imax = Icr und die Risserweiterung 'a = EIm ist, wobei E einem Geometriefaktor entspricht. Daraus lässt sich eine mittlere Risswachstumsrate da dN

N Ic Im

(3.52)

ableiten, wobei N = fE/Icr ist. Unter Vernachlässigung der Initiierungslastwechselzahl (Ni = 0) kann sehr einfach durch Integration der Gl. (3.52) die Lebensdauer ermittelt werden: Nf

1 §1 1 · ¨¨ ¸¸ O © ai af ¹

(3.53)

106


mit ª128V

O N« ¬«

2

S V max (1 Q 2 ) 2 º ª § » «ln¨¨ sec 2 2 2V F S E ¼» ¬« © F

· § S V max (1 R) ·º ¸» . (3.54) ¸ ln¨ sec ¸ ¸ ¨ 4V F ¹¼» ¹ ©

Darüber hinaus existieren Ansätze, die die Versetzungsbewegungen beispielsweise mit der Boundary-Element-Methode simulieren (z.B. [28, 140, 195]). An dieser Stelle sei auf die einschlägige Literatur verwiesen.

3.2.2

Rissschließmodelle

Die Rissschließmodelle zur Beschreibung des Kurzrissverhaltens basieren auf der Tatsache, dass ein Riss, der z.B. an einem Einschluss oder einem Korn initiiert, zunächst keine Plastifizierung durch die Belastungsvorgeschichte besitzt. Über eine gewisse Lastwechselzahl bleibt der kurze Riss somit komplett geöffnet, so dass sich im Gegensatz zu einer stationären Rissgeschwindigkeit eines langen Risses, der durch Rissschließen beeinflusst ist, bei einem kurzen Riss eine höhere Rissgeschwindigkeit einstellt. Ein Ansatz stellt dabei die Anwendung der Fließstreifenmodelle (s. Kap. 2.5.4.2) auf das Kurzrisswachstum dar. Die Beschreibung des Risswachstumsverhaltens ergibt sich durch die Daten des Langrisswachstums, indem eine da/dN'Keff-Kurve unter Vernachlässigung des Schwellenwertes des Langrisswachstums und unter Verwendung der Risswachstumsraten kurzer Risse im Bereich niedriger Rissgeschwindigkeiten eingesetzt wird [26, 160, 163, 165, 174]. Im Gegensatz zum Langrisswachstumskonzept führt Newman einen elastisch-plastischen effektiven zyklischen Spannungsintensitätsfaktor ('Kp)eff ein, der sich durch Einsetzen einer korrigierten Risslänge in 'Keff ergibt. Die korrigierte Risslänge entsteht durch die Addition der Risslänge und einem Viertel der plastischen Zonengröße [163]. Zur Abschätzung des Thresholdwertes 'Keff,th schlagen Beretta et al. [26] beispielsweise die Verwendung des area-Konzepts nach Murakami (Gl. 3.28) in Verbindung mit der Beziehung nach El-Haddad (Gl. (3.4)) vor. Die Größe des Anfangsdefekts wird entsprechend mikrostruktureller Gegebenheiten gewählt, so dass es möglich ist, die Lebensdauer vom kurzen Riss bis zum Bruch zu bestimmen. Eine Kombination aus dem Fließstreifenmodell nach Newman und einem Mikrostrukturmodell, bei dem die Blockade des Risswachstums an mikrostrukturellen Barrieren berücksichtigt wird, entwickelten Akiniwa und Tanaka [3, 245]. In diesem Ansatz initiiert ein Riss in der Mitte eines Korn und wächst entlang der entsprechenden Gleitlinien, die in der gleichen Ebene wie der Riss liegen (Abb. 3.24). Sobald der Riss in die benachbarten Körner wächst, wechselt er in das Rissstadium II mit einem Risswachstum senkrecht zur Lastachse.


107

a)

'ı Mikrostruktur

'ı b)

'ı 2a mechanisches Modell

Ȧ 'ı c)

'ıF

'K th,micro

Spannungsverlauf

Abb. 3.24: Dauerfestigkeitsmodell nach Tanaka (nach [246, 260]) a) idealisierte Mikrostruktur b) mechanisches Modell c) Spannungsverlauf

Aufgrund einer mikrostrukturellen Barriere wird der plastische Bereich blockiert und das Spannungsfeld hat eine Singularität mit folgender Intensität: K micro

ª

V S (a Z ) «1 ¬«

2V 1F § a ·º arccos¨ ¸» , S V © a Z ¹¼»

(3.55)

wobei V 1F der Reibspannung der Versetzungsbewegung im ersten Korn entspricht [3] und den Wert der Fließspannung des jeweiligen Korns annimmt. Die Größe der plastischen Zone ergibt sich aus der Bedingung, dass sich bei einer fiktiven Risslänge von a + Z die Spannungsintensitätsfaktoren aus der äußeren Belastung und den wirksamen Rissuferbelastungen aufheben. Zusätzlich kann ein Riss im Rissstadium II durch Rissschließen blockiert werden, das durch das analytische Modell nach Newman, welches um den Effekt unterschiedlicher Fließspannungen und mikrostruktureller Blockaden zur Berechnung der Rissöffnungsverschiebung erweiterte wurde, berücksichtigt wird [3, 245]. Im Rissstadium I weist der Riss keine bleibenden plastischen Verformungen auf. Überschreitet der mikroskopische Spannungsintensitätsfaktor Kmicro einen kritischen Wert der Korngrenze, wächst der Riss in das benachbarte Korn. Der Schwellenwert der Rissausbreitung ist über den Zusammenhang der Rissöffnungsverschiebung CTOD und der effektiven zyklischen Spannungsintensität bestimmt:

108


'CTOD CTODmax

§ 'K eff 0,73 ¨¨ © K max

CTODmax

2 § K max · ¨ ¸. ¨ E V F ¸ © ¹

· ¸ ¸ ¹

(3.56)

mit (3.57)

Nach Akiniwa und Tanaka liegt der effektive Thresholdwert 'Keff,th zwischen 1 und 3 MPam1/2. Abbildung 3.25 zeigt exemplarisch die Veränderung der Rissöffnungsspannung bzw. der Rissöffnungsverschiebung mit zunehmender Risslänge in Abhängigkeit des Verhältnisses der Fließspannungen der beiden Körner. a)

0,8 0,6

R = -1, ı F1= 400 MPa, a i = 0,05 mm C ımax = 180 MPa, K micro = 2,0 MPam

ıF2/ ıF1

0,8 1,0 1,2 2,0

ıop /ımax

0,4 0,2

Korngrenze

0,0 Korn 1 -0,2 0,04

b)

160 140

0,08 0,10 a [mm]

0,12

0,14

x10 -6 R = -1, ı F1= 400 MPa, a i = 0,05 mm C ımax = 180 MPa, K micro = 2,0 MPam

120

'CTOD [mm]

0,06

Korn 2

100 80 60 40 20 0 0,04

ıF2/ ıF1

0,8 1,0 1,2 2,0

'K eff,th -1/2 3 MPam

2 MPam-1/2 1 MPam-1/2 Korn 1 0,06

Korngrenze Korn 2

0,08 0,10 a [mm]

0,12

0,14

Abb. 3.25: Veränderung a) der Rissöffnungsspannung und b) der Rissöffnungsverschiebung mit zunehmender Risslänge in einer inhomogenen Struktur in Abhängigkeit des Verhältnisses der Fließspannungen von Korn 1 und Korn 2 [245]


109

Mit zunehmender Risslänge nimmt die Rissöffnungsspannung aufgrund der Entwicklung plastischer Verformungen an den Rissflanken deutlich zu. Bei a = 0,076 mm grenzt die plastische Zone an die Korngrenze, was zu einem steilen Anstieg der Rissöffnungsspannung aufgrund der Blockade an der Korngrenze führt (Abb. 3.25a). Mit zunehmender Risslänge nimmt ebenfalls die mikroskopische Spannungsintensität zu, bis bei einer Risslänge von a = 0,097 mm die kritiC sche Spannungsintensität K micro erreicht ist, und das Gleitband in Korn 2 wächst. Nachdem die plastische Zone in Korn 2 gewachsen ist, nimmt die Rissöffnungsspannung sprunghaft ab. Die Rissöffnungsverschiebung sinkt zunächst mit zunehmender Risslänge. Eine Blockade an der Korngrenze und eine hohe Fließspannung des benachbarten Korns wirken als mikrostrukturelle Barriere des Risswachstums. Falls der effektive Thresholdwert 2 MPam1/2 beträgt, entsteht bei einer Risslänge von 0,095 mm ein nicht-wachsender Riss unabhängig vom Verhältnis der Fließspannungen (Abb. 3.25b). Ist dagegen die kritische Spannungsintensität der Korngrenze gering, ist hauptsächlich das Rissschließen für den Stillstand eines Stadium II Risses, der gerade die Korngrenze überschritten hat, verantwortlich. Ebenfalls auf dem Rissschließgedanken basierend, jedoch aufbauend auf dem Zusammenhang zwischen der Spannungsintensität und dem Kerbfaktor unter der Annahme eines endlichen Kerbradius U z 0 wurde von McEvily et al. [95, 96, 138] ein Risswachstumsgesetz entwickelt, welches sowohl für lange als auch für kurze Risse angewendet werden kann: da dN

A ('K eff 'K eff, th ) 2

A L2

(3.58)

mit

L

ª · º § S V « S re ¨ sec max 1¸ » ¸ » ¨ 2 VF « ¹ © » (V max V min ) « » « « Y S a §¨ sec S V max 1·¸ » ¸» ¨ « 2 2 VF ¹¼ © ¬ (1 e k a ) ( K op, max K min ) 'K eff, th ,

(3.59)

wobei A und k Materialparameter sind. Y ist der Geometriefaktor, der bei kleinen halbkreisförmigen Oberflächenrissen mit 0,65 angenommen werden kann. Kop,max entspricht dem Rissschließniveau eines langen Risses und 'Keff,th dem um das Rissschließen korrigierten Thresholdwert. Die Materialkonstante re gibt eine Grenzrisslänge an, ab der die Mikrostruktur einen deutlicheren Einfluss auf die Ermüdungsfestigkeit hat als ein kurzer Riss. Bestimmt wird re durch:

110


re

§ 'K eff, th ¨ ¨ 'V D ©

2

· 1 ¸ , ¸ § S V ¹ S ¨ sec max 1·¸ 1 2Y 0,5Y 2 ¨ ¸ 2V F © ¹

(3.60)

indem 'K = 'Keff,th und 'V = 'VD gesetzt werden. Gleichung (3.58) weist im Vergleich zu Risswachstumsgesetzen der klassischen linear-elastischen Bruchmechanik drei wesentliche Änderungen auf. Erstens wurde neben dem effektiven Thresholdwert zusätzlich der Materialkennwert re eingeführt, der im Zusammenhang zur Dauerfestigkeit steht. Zweitens wird in ähnlicher Weise wie beim Fließstreifenmodell elastisch-plastisches Materialverhalten dadurch berücksichtigt, dass zur Risslänge a die Hälfte der plastischen Zonengröße unter Verwendung der Dugdale-Gleichung addiert wird: amod

· a § S V ¨¨ sec max 1¸¸ . 2 © 2 VF ¹

(3.61)

Drittens berücksichtigen McEvily et al. das Rissschließverhalten eines kurzen Risses in Abhängigkeit der Risslänge, welches sich durch den Faktor k widerspiegelt: 'K op

K op K min

(1 e k a ) ( K op, max K min ) .

(3.62)

Der Faktor k ist einerseits von der Belastungshöhe und andererseits von der Risslänge abhängig, so dass McEvily et al. eine Funktion k = f(a) verwenden [95]. Wird Gl. (3.58) gleich null gesetzt, ergibt sich ein Kitagawa-TakahashiDiagramm, welches das Rissschließen berücksichtigt.

3.2.3

Bruchmechanikbasierte Modelle

Die bruchmechanikbasierten Modelle stellen Ansätze dar, die das Kurzrisswachstumsverhalten unter Nutzung der Gesetzmäßigkeiten der Bruchmechanik, wie z.B. die Verwendung der Spannungsintensitätsfaktoren oder des J-Integrals, beschreiben. In diesem Bereich existiert ebenfalls eine Vielzahl unterschiedlichster Ansätze. An dieser Stelle soll nur auf einige wesentliche Modelle eingegangen werden. Weitere Ansätze sind z.B. in [186] zu finden. 3.2.3.1

Kurzrissmodelle in Abhängigkeit der Risslänge

Abweichend von den Modellen der klassischen Bruchmechanik, bei denen die Wurzel der Risslänge in das Risswachstumsgesetz einfließt, sind in der Literatur unterschiedliche Modelle für kurze Risse der Form


da dN

111

n

§V · B ¨¨ a ¸¸ a ©VF ¹

(3.63)

beschrieben (z.B. [35, 168]). Nisitani und Goto [168] empfehlen die Anwendung dieses Risswachstumsgesetzes bei hohen Nennspannungen (Va t 0,6VF). Im Falle niedriger Nennspannungen, d.h. Va d 0,5VF, findet das Paris-Gesetz unter Verwendung des zyklischen Spannungsintensitätsfaktors Anwendung. Physikalisch begründet werden diese Ansätze dadurch, dass Kleinbereichsfließen bei sehr hohen Belastungen nicht mehr gewährleistet ist. Einen ähnlichen Ansatz für einen Aluminiumguss verfolgen Caton et al. [35, 36]: m

da dN

n º ª§ V · D «¨¨ H max a ¸¸ a » . » «© VF ¹ ¼ ¬

(3.64)

Unter Vernachlässigung der Rissinitiierung kann mittels der Integration von Gl. (3.64) beginnend bei einer Anfangsrisslänge ai bis zu einer Endrisslänge af von 2 bis 3 mm eine Lebensdaueraussage gemacht werden. Dies ist insbesondere zur Bestimmung von Wöhlerlinien einsetzbar. 3.2.3.2

Der vereinheitlichte Ansatz (Unified Approach) nach Vasudevan und Sadananda

Sadananda und Vasudevan [203, 204] gehen davon aus, dass der Unified Approach (vgl. Kapitel 2.5.3.2 und 2.5.4.1) unter Beachtung von 'K und Kmax uneingeschränkt auch auf die Vorhersage des Risswachstums kurzer Risse angewendet werden kann und die Anomalien des Kurzrisswachstums lediglich durch Missachtung des zweiten Schwellenwertes K*max,th begründet sind. Weiterhin setzen sie voraus, dass die Schwellenwerte und die Risswachstumsdaten des Langrisswachstums auch auf das Kurzrisswachstum anwendbar sind. Jedoch sind zur Beschreibung des Kurzrisswachstums Eigenspannungen in Form eines Eigenspannungsintensitätsfaktors 'KR zusätzlich zur aufgebrachten zyklischen Spannungsintensität 'Kapp zu berücksichtigen. Eigenspannungen können entweder von vornherein existieren, wie z.B. durch Kerben, Einschlüsse oder Poren, oder in-situ erzeugt werden, wie z.B. durch Extrusionen und Intrusionen. Durch die Betrachtung der Risswachstumsraten (Abb. 3.26) kann der Eigenspannungsintensitätsfaktor 'KR als Differenz der zyklischen Spannungsintensitäten kurzer und langer Risse eines Rissgeschwindigkeitsniveaus bestimmt werden. In der Regel wirken sich Eigenspannungen lediglich auf Kmax und nicht auf die zyklische Spannungsintensität 'K aus. Da sie zudem im Allgemeinen mit einem großen Gradienten versehen sind, nimmt der Effekt mit zunehmender Risslänge sehr stark ab.



112

kurze Risse

'K app

'K R

lange Risse

'K th Spannungsintensität 'K (log)

Abb. 3.26: Schematische Darstellung des Kurzrisswachstumsverhaltens und der wirkenden zyklischen Spannungsintensitäten (nach [203])

Wenn nun die aufgebrachte Spannungsintensität nicht schnell genug ansteigt, unterschreitet damit Kmax,tot = Kmax,app + Kmax,R den Schwellenwert K*max,th des Langrisswachstums. Obwohl die zyklische Spannungsintensität den Schwellenwert 'K*th überschreitet, ist der Riss damit nicht weiter ausbreitungsfähig und es entsteht ein nicht-wachsender Riss. Zur Bestimmung der Restlebensdauer ist eines der in Kap. 2.5.4.1 dargestellten Risswachstumsgesetze des Zwei-ParameterAnsatzes anzuwenden. 3.2.3.3

Schädigungsparameter nach Vormwald

Unter der Annahme der einheitlichen integralen Beschreibung des Rissfortschrittsgesetzes langer und kurzer Risse durch ein Potenzgesetz der Form da dN

CJ 'J eff m J

(3.65)

in Anlehnung an das sogenannte Paris-Gesetz formuliert Vormwald [259, 260] einen Schädigungsparameter PJ auf bruchmechanischer Basis: PJ

'J eff a

1,24

'V eff 2 1,02 'V eff E nc

'V eff º ª «'H eff E »¼ ¬

(3.66)

mit 'Veff = Vmax - Vcl und 'Heff = Hmax - Hcl. 'Jeff wird aufbauend auf der Näherungslösung des 'J-Integrals für einen halbkreisförmigen Oberflächenriss nach Dowling [55]


'J

'J el 'J pl

113

ª º 'V 2 1,02 'V 'H pl » a «1,24 E nc «¬ »¼

(3.67)

aus dem absteigenden Hystereseast bis zum Rissschließpunkt bestimmt. Durch die Verwendung des absteigenden Hystereseastes bis zum Rissschließpunkt sind die an die Wegunabhängigkeit geknüpften Bedingungen erfüllt und das Werkstoffverhalten kann gemäß der Ramberg-Osgood-Gleichung beschrieben werden [259]. Zur Berechnung der Rissöffnungsspannung verwendet Vormwald die Rissöffnungsfunktion J nach Newman [159] (s. Kap. 2.5.3.2, Gl (2.97)). Unter der Annahme der Konstanz der Form der Rissfläche und der daraus folgenden Konstanz der Rissgeschwindigkeiten reduziert Vormwald Gl. (2.98), indem DCF = 1 verwendet wird [259]. ı

'ıeff

İ ıop

ıcl

'İeff İop İcl

Abb. 3.27: Definition des Rissöffnungs- und Rissschließverhaltens nach Vormwald (nach [259])

Vormwald konnte weiterhin zeigen, dass sich der Riss nicht bei der gleichen Spannung schließt, bei der er sich öffnet, jedoch bei der gleichen Dehnung (Abb. 3.27). Zur vorgeschichteabhängigen Bestimmung der Rissöffnungs- bzw. Rissschließungsdehnung wird zunächst schwingspielweise, d.h. für eine geschlossene Hystereseschleife, eine Rissöffnungsdehnung Hop,CA bestimmt, die das Schwingspiel unter einstufiger Belastung als fiktive Vorgeschichte erzeugt hätte:

H op, CA

H cl,CA

H min

V op V min E

§ V op V min 2 ¨¨ 2K c ©

1 / nc

· ¸ ¸ ¹

,

(3.68)

wobei das Masingverhalten, d.h. der Hystereseschleifenast entspricht der verdoppelten zyklische Spannungs-Dehnungs-Kurve, angenommen wird. Daran schließt sich die Berechnung der wirkenden Rissöffnungsdehnung Hop des aktuellen Schwingspiels in Abhängigkeit der Rissöffnungsdehnung Hop,n-1 des vorangegan-

114


gen Schwingspiels, die sich mit der tatsächlichen Belastungsvorgeschichte eingestellt hat, an. Dabei werden drei Fälle unterschieden: x

Fall 1:

H op, CA t H op, n -1 :

x

Fall 2:

H op,CA H op, n -1 : –

x

Fall 3:

H op,CA

H op, n -1

für V a t 0,4V F :

H op

H op, CA

– für V a 0,4V F :

H op

H op, n -1

für H min d H op, n -1 :

H op

H op, n -1

für H max ! H max,n -1 oder H min H min, n -1 : H op

H op,CA

Die Rissschließspannung ergibt sich durch iteratives Lösen der Gleichung

V max V cl

H min H op

E

1 / nc

V cl · §V 2 ¨ max ¸ c 2 K © ¹

.

(3.69)

Gilt Hop d Hmin wird die Rissschließspannung der minimalen Spannung gleich gesetzt. Mittels des mit Gl. (3.66) berechneten Schadensparameters PJ kann unter Beachtung der Schädigungsparameterwöhlerlinie PJ m J N

Q

konst.

für

PJ t PJ, D,0

(3.70)

die Teilschädigung 'D

1 N

° P m J / Q für PJ t PJ, D ® J für PJ PJ, D °¯ 0

(3.71)

und die Gesamtschädigung D

Dalt 'D

(3.72)

bestimmt werden. Die Parameter Q und mJ sowie der Dauerfestigkeitskennwert PJ,D,0 werden durch eine statistische Auswertung der experimentell ermittelten Wertepaare PJ und N bestimmt. Sind die Parameter C und m aus Rissfortschrittsexperimenten (da/dN in mm/Lastwechsel) bekannt, so kann die Konstante CJ wie folgt bestimmt werden: CJ

C m J /m (105 )(1 m J )/m ,

(3.73)

wobei der Wert für mJ aus der PJ-Wöhlerlinie zu übernehmen ist. Weiterhin können mittels des Elastizitätsmoduls folgende Abschätzungen vorgenommen werden:


§ da 'J eff ¨ © dN

CJ

105

115

mm · ¸ Lw ¹

§ 5 105 · ¸ 10 5 ¨ ¨ [mm] ¸ ¹ ©

mJ

E 5 106

[mm] ,

E mJ .

(3.74)

(3.75)

Um das Absinken der Dauerfestigkeit PJ,D in Gl. (3.71) mit wachsender Risslänge bzw. Schadenssumme zu beschreiben (vgl. Kap. 3.1), verwendet Vormwald das Schwellenwertmodell von Tanaka et al. [245, 246]. Daraus lassen sich unter der Annahme eines Anfangsrisses der Länge a0 folgende Gleichungen ableiten: ai l *

'V D 'V D,0

( a ! ai )

a l*

(3.76)

bzw. 'K th, KR

a

'K th, LR

a l*

( a ! ai )

(3.77)

mit der Hilfsgröße a* = ai + Z und l* = a* - ai = Z. Die Indizierungen KR und LR unterscheiden die Kennwerte einerseits für kurze Risse und andererseits für lange Risse. In Analogie dazu definiert Vormwald [259] einen Zusammenhang zwischen der Dauerfestigkeit in Form des Schädigungsparameters PJ und der Risstiefe a von Oberflächenrissen. Da im Bereich der linear-elastischen Bruchmechanik der Schädigungsparameter PJ proportional zum Quadrat der Spannungen ist, ergibt sich PJ, D

ai l *

PJ, D,0

a l*

für

(3.78)

a ! ai

bzw. für die Schwellenwerte ausgedrückt in Form des J-Integrals 'J eff, th, KR

a

'J eff, th, LR

a l*

für

a ! ai .

(3.79)

Die fiktive Anfangsrisslänge ai

>a

1 m J e

(1 m) C PJ m J N

@

1 /(1 m J )

(3.80)

lässt sich durch Integration von Gl. (3.65) mit ae als Risslänge des technischen Anrisses berechnen. Unter Beachtung der Schädigungsparameterwöhlerlinie (Gl. (3.70)) zeigt sich, dass die fiktive Anfangsrisslänge ai eine von der Belastungshöhe unabhängige Konstante ist:

116


>a

ai

1 m J e

(1 m) C Q

@

1 /(1 m J )

.

(3.81)

Der Parameter l* ist definiert als 'J eff, th, KR

l*

PJ, D,0

(3.82)

ai

Mittels der Integration des Rissfortschrittsgesetzes (Gl. (3.65)) lässt sich folgender Zusammenhang zwischen der Risslänge a

>(a

1 m J e

ai1 m J ) D ai1 m J

@

1/(1 m J )

(3.83)

und der bis zu diesem Zeitpunkt akkumulierten Schadenssumme herstellen. Die Absenkung der Dauerfestigkeit während der Lebensdauerberechnung ergibt sich durch Einsetzen von Gl. (3.83) in Gl. (3.78) in Abhängigkeit der Schadenssumme: PJ, D

PJ, D,0

>(a

1 m J e

ai l * ai1 m J ) D ai1 m J

@

1/(1 m J )

l*

.

(3.84)

Im weiteren Verlauf der Lebensdauerberechnung wird dann die neue Rissöffnungsdehnung

H op,i

H op,CA (H op,CA H op,i -1 ) e 15'D

(3.85)

bestimmt, die sich für die folgenden Schwingspiele einstellt. Die Anrisslebensdauerberechnung bei Belastungs-Zeit-Funktionen mit variabler Amplitude endet, wenn die Schadenssumme D = 1 erreicht worden ist. Alternativ ist die Bestimmung der Lebensdauer bis zum technischen Anriss beendet, wenn die Lastfolge zweimal durchgerechnet worden ist. Bei der Methode der verkürzten Lebensdauerberechnung werden im zweiten Durchlauf durch die Belastungs-Zeit-Funktion alle PJ-Werte klassiert. Dazu wird eine logarithmische Klassierung des Wertebereichs vom maximalen PJ-Wert bis zur Dauerfestigkeit PJ, D,e

PJ, D,0

ai l *

ae l *

a ! ai

(3.86)

nach Gl. (3.78) in 200 Klassen vorgenommen. Im nächsten Schritt wird die Anzahl der Schwingspiele n = z H0 bestimmt, die notwendig ist, um die Dauerfestigkeit von der Höhe der Kollektivstufe PJ,i auf die Höhe der nächst niedrigeren Stufe PJ,i+1 abzusenken. Der Betrag 'Dj, um den die Schadenssumme erhöht werden muss, um die Dauerfestigkeit von der Stufe PJ,i auf PJ,i+1 zu senken, ergibt sich zu:

3.2 Kurzrisswachstumskonzepte j

'D j

¦

117

nj

z hi ( PJ,i )

i 1

N i ( PJ,i )

H0

j

¦ i 1

hi ( PJ,i ) N i ( PJ,i )

nj

H0

'D j j

hi ( PJ,i )

(3.87)

¦ Ni ( PJ,i ) i 1

bzw. zu 'D j

D j1 D j

§ PJ, j1 · 1§ PJ, j · ¸ ¸f ¨ f 1¨ ¨ PJ, D,0 ¸ ¨ PJ, D,0 ¸ ¹ © ¹ ©

(3.88)

mit 1 m J

ai1 m J D

ªP ° § ·½°º P « J, D,0 ®ai l * ¨1 J, D ¸¾» ¨ PJ, D,0 ¸°» « PJ, D °¯ © ¹ ¿¼ ¬ 1 m J 1 m J ae ai

§ PJ, D · ¸ f 1¨ ¨ PJ, D,0 ¸ © ¹

(3.89)

aus Gl. (3.84). Um die nach dem zweiten Durchlauf noch aufbringbaren Schwingspiele N-2 zu bestimmen, sind alle nj Lastwechsel, die zur Absenkung der Dauerfestigkeit von PJ,D,-2 auf PJ,D,e notwendig sind, aufzusummieren: z

N2

¦ nj

z

H0

j q

§ PJ, j1 · 1§ PJ, j · ¸f ¨ ¸ f 1¨ ¨ PJ, D,0 ¸ ¨ PJ, D,0 ¸ © ¹ © ¹. j h ( P ) i J,i q

¦ j

(3.90)

¦ Ni ( PJ,i ) i 1

Die Addition beginnt bei der Kollektivstufe j = q, für die gilt: PJ,q t PJ,D,-2, und endet bei der Kollektivstufe j = z, für die gilt: PJ,z > PJ,D,e. Die Anrisslebensdauer aus der verkürzten Lebensdauerberechnung ergibt sich zu: N

2H 0 N2 .

(3.91)

Um im Rahmen einer Schädigungsbewertung mehraxiale Beanspruchungen und die daraus resultierenden Änderungen des Rissöffnungsverhaltens berücksichtigen zu können, führen Vormwald et al. [261] einen modifizierten Constraint Faktor DCF in Gleichung 2.98 ein:

D CF

1 V2 1 . 0,15 V1

(3.92)

Savaidis [218] definiert beispielsweise den Schädigungsparameter für eine mehraxiale proportionale Beanspruchung unter Verwendung eines Mehrachsigkeitsverhältnisses / = V1/V2 und der effektiven Schwingbreite der ersten Hauptspannung 'V1,eff für Mode I-Risse:

118


PJmulti

1,24

'V 1, eff 2 E 1/ nc

2

§ 1 · 1,023 ¨ ¸ nc © 2 K c ¹

(

(3.93)

1

c ª«'V 1, eff 1 / /2 º» n ¬ ¼

1)

bzw. für Mode II-Risse PJSchub

ª 'V 1, eff « 'V 1, eff 2 §¨ 3 'V 1, eff 6 , 677 9 , 512 E 2K c nc ¨© (2 X ) 2 « «¬

1/ nc º

· ¸ ¸ ¹

» .(3.94) » »¼

Für eine nichtproportionale mehraxiale Beanspruchung entwickelte Hoffmeyer [88] ein Vergleichs-J-Integral: 'J eff

>('J

I, eff

'J III,eff ) t ('J II,eff ) t

@

1 t

mit t

m J(1 Ș) .

(3.95)

Die den drei Rissmoden zugehörigen Einzelkomponenten des J-Integrals ergeben sich aus der Berechnung der Verzerrungsenergiedichte W. 3.2.3.4

Das Modell FATICA nach Anthes

Der Ansatz nach Vormwald beruht auf einigen vereinfachenden Annahmen [7]. So wird die Rissinitiierungsphase integral von einer Anfangsrisslänge ai bis zum technischen Anriss ae erfasst. Eine zweite vereinfachende Annahme besteht in der Vernachlässigung der transienten Rissöffnungsentwicklung, d.h. das mit der Risslänge veränderliche Verhalten wird nicht berücksichtigt. Jedoch sind sehr kurze Risse auch im Druckbereich geöffnet und entwickeln erst mit zunehmender Risslänge ein stabiles Rissöffnungsverhalten [7, 29]. Außerdem vereinfacht Vormwald die Beschreibung der Rissgeschwindigkeiten kurzer Risse. So verwendet er einerseits die Paris-Gleichung für Rissgeschwindigkeiten da/dN > 0 und andererseits für Rissgeschwindigkeiten da/dN = 0 das Schwellenwertkurvenkonzept in Anlehnung an Tanaka et al. bzw. El Haddad et al. Dadurch ergibt sich ein unstetiger Übergang von dauerfesten Beanspruchungshöhen zu Beanspruchungshöhen mit geringen Rissgeschwindigkeiten [7]. Anthes hat deshalb das Kurzrissfortschrittsmodell FATICA zur Anrisslebensdauervorhersage entwickelt, welches aufbauend auf risslängenabhängigen Dehnungen den Rissfortschritt je Schwingspiel bestimmt. Als Rissfortschrittsgesetze verwendet Anthes im Mikrorisswachstumsbereich ( a d l * ) da dN

0 0 N 'H eff 'H eff, D

Ȥ

mit F = 1

und im Makrorisswachstumsbereich ( a ! l * )

(3.96)


119

>

da dN

@

C (Y E 'H eff S a ) m ('K İ,eff, th ) m ,

(3.97)

wobei 'KH dem Dehnungsintensitätsfaktor (Gl. (3.1)) nach El Haddad et al. [60] entspricht. N, C und m sind werkstoffabhängige Parameter, die aus der Anpassung an die Dehnungswöhlerlinie bzw. die Rissfortschrittskurve bestimmt werden können. Für die Grenzrisslänge l* gilt, dass die Rissgeschwindigkeiten im Mikro- und Makrorisswachstumsbereich gleich sind, d.h. es gilt:

l*

1/ m §ª mº ¨ ('H 0 'H 0 ) N ('K ) eff eff, D eff, th » 1 ¨ «¬ C ¼ ¨ 0 S ¨ Y E 'H eff ¨ ©

2

· ¸ ¸ ¸ . ¸ ¸ ¹

(3.98)

Im FATICA-Algorithmus wird zunächst aus den Spannungen und Dehnungen des aktuellen unteren Umkehrpunkts i der Hystereseschleife und des unmittelbar vorangegangenen oberen Umkehrpunkts i-1 aufbauend auf der fiktiven einstufig stabilisierten Rissöffnungsspannung Vop,CA,i-1 die entsprechende fiktive einstufig stabilisierte Rissöffnungsdehnung Hop,CA,i-1 mit Gl. (3.68) ermittelt. Die zugehörige risslängenabhängige Rissöffnungsdehnung für die aktuelle Risslänge ai zur Berücksichtigung des transienten Verhaltens der Rissöffnung vom Kurzrisswachstum zum Langrisswachstum ergibt sich zu: a H op, CA,i -1

a H cl, CA,i -1

d a i 0 H op, CA,i -1 (H op, CA,i 1 H op, (3.99) CA,i -1 ) e

mit 0 H op, CA

H min,i

0 H op, CA

H max,i -1

für R t 1 , für

R 1 .

(3.100) (3.101)

Das hochgestellte Symbol a weist daraufhin, dass es sich um eine risslängenabhängige Größe handelt, während die 0 für einen Wert bei einer Risslänge a | 0 steht. Der Werkstoffparameter d stellt einen Abklingfaktor dar. Ist die risslängenabhängige effektive Dehnungsschwingbreite a 'H eff

a H max H op

(3.102)

kleiner als die dauerfest ertragbare, risslängenabhängige effektive Dehnungsschwingbreite a 'H eff, D

0 'H eff, D

l D* a l D*

(3.103)

120


mit 1 §¨ 'K eff, th ·¸ 0 ¸ S ¨ Y E 'H eff, D¹ ©

lD*

(3.104)

0 und 'H eff, D als dauerfest ertragbare effektive Dehnungsschwingbreite für eine 0 Risslänge a | 0, wird iterativ die effektive Dehnungsschwingbreite 'H eff mit folgender Gleichung bestimmt: a 'H eff

l*

0 'H eff

a l*

.

(3.105)

Daraus läst sich der Risslängenzuwachs pro Schwingspiel mittels Gl. (3.96) ermitteln. Diese iterative Berechnung des Risslängenzuwachses wird solange wiederholt, bis die Gesamtrisslänge ai = ai-1 + dai eine definierte Anrisslänge und damit die Anrissschwingspielzahl erreicht. In jedem Schleifendurchlauf wird in Abhängigkeit der Höhe des aktuellen Schwingspiels im Vergleich zur Dauerfestigkeit entschieden, ob die aktuelle Rissöffnungsdehnung gemäß Gl. (3.99) oder die vorherige Rissöffnungsdehnung verwendet wird. Um die Lastsequenz und die sich daraus ergebenden verzögernden und beschleunigenden Wirkungen von Lastwechseln unterschiedlicher Amplitude zu berücksichtigen, entwickelte Anthes [7] zudem einen modifizierten RainflowAlgorithmus. Mit diesem Algorithmus werden aufsteigende Hystereseschleifenhalbäste als Schädigungsereignisse bewertet, so dass im Gegensatz zur klassischen Rainflow-Zählung die Lastsequenz unverändert in die Schädigungsbewertung eingeht. Sollte sich nicht unmittelbar eine geschlossene Hysterese bilden, verwendet Anthes sogenannte Scheinhysteresen, deren Schädigungsbeitrag unmittelbar registriert wird. Wenn sich die Hysterese zu einem späteren Zeitpunkt schließt, wird der Schädigungsbeitrag entweder bestätigt oder aber entsprechend korrigiert. Durch dieses Vorgehen wird im Gegensatz zum klassischen Rainflow-Verfahren, bei dem lediglich geschlossene Hysteresen gezählt werden, außerdem gewährleistet, dass Residuen zur Schädigung beitragen. 3.2.3.5

Additionsmodell nach Laue et al.

Der Schädigungsprozess lässt sich nach Laue et al. [117-119] in zwei Teilprozesse einteilen. In der Frühphase erfolgt die Schädigung durch In- und Extrusionen an der Oberfläche. Nach einer starken Zunahme zu Beginn nähert sich die plastizitätsinduzierte Oberflächenaufrauung einem Grenzwert. Die sich anschließende Phase ist durch das Wachstum eines Risses ausgehend von der Oberflächenschädigung gekennzeichnet, so dass die weitere Entwicklung der Oberflächenschädigung eine untergeordnete Rolle spielt. Da jedoch beide Prozesse während der Anrisslebensdauer mehr oder weniger parallel ablaufen, schlagen Laue et al. vor, die


121

Rissgeschwindigkeit durch Addition zweier Potenzgesetze (Abb. 3.28) in Form des Paris-Gesetzes zu beschreiben [117-119]: da dN

da da dN Initiierung dN Wachstum C1 ('K J, eff ) m1 C2 ('K J, eff ) m 2

.

(3.106)

Der zyklische Spannungsintensitätsfaktor 'KJ,eff dient dabei zur Beschreibung der treibenden Kraft sowohl in der Initiierungs- als auch in der Risswachstumsphase. Zur Berechnung des Effektivwerts des zyklischen J-Integrals modifizieren Laue und Bomas im Gegensatz zum PJ-Ansatz nach Vormwald lediglich den elastischen Anteil in Gl. (3.67): 'J eff

ª º 'V eff 2 1,02 'V 'H pl » a «1,24 E nc «¬ »¼

(3.107)

mit der effektiven Spannungsschwingbreite 'V eff

U 'V .

(3.108)

Für einen Oberflächenriss nehmen Laue et al. an, dass bis zu einer Oberflächenrisslänge 2c = 1 mm das Rissöffnungsverhältnis U = 0,8 = konst. ist. Das effektive zyklische J-Integral kann unter der Annahme des ebenen Spannungszustandes mit folgender Beziehung in einen effektiven zyklischen Spannungsintensitätsfaktor umgerechnet werden: 'K J,eff

'J eff E .

(3.109)

Als Anfangsrisslänge dient ein Riss, dessen Länge als eine der Oberflächenschädigung äquivalente Größe aufgefasst wird und die ablaufenden Schädigungsprozesse kumulativ beschreibt. Während die Parameter C2 und m2 in Gl. (3.106) aus Langrisswachstumsexperimenten bekannt sind, ergeben sich C1 und m1 aus der Anpassung an die entsprechende Dehnungswöhlerlinie. Da die Schädigung in der Rissinitiierungsphase degressiv verläuft, ist ein negativer Exponent m1 anzusetzen, der in Abhängigkeit des Werkstoffes auch lastabhängig sein kann. Im Bereich mikrostrukturell kurzer Risse, der durch den ersten Term in Gl. (3.106) bestimmt ist, werden durch das Modell höhere Risswachstumsraten vorhergesagt als für physikalisch kurze oder lange Risse (Abb. 3.28). Sobald die Risswachstumsrate ein Minimum aufgrund des Annäherns an eine mikrostrukturelle Barriere erreicht hat (Abb. 3.28), wird die Risswachstumsrate durch den 2. Term in Gl. (3.106) bestimmt und nimmt monoton mit der Risslänge zu. Das Minimum der Rissgeschwindigkeiten sehen Laue und Bomas als Übergang von der Rissinitiierungs- zur Risswachstumsphase an [118].

122

3 Zusammenwirken von Betriebsfestigkeit und Bruchmechanik 10 -4

İ a1

da/dN [mm/Lw]

10 -5 10

-6

da + da dN Initiierung dN Wachstum

İ a2

da dN Initiierung

10 -7 10 -8

da dN Wachstum

İa1 > İa2

10 -9 0,01 0,1 Risslänge a [mm]

1

Abb. 3.28: Nach dem Additionsmodell von Bomas und Laue bestimmte Rissgeschwindigkeiten in Abhängigkeit der Belastung (nach [118])

Durch die Anwendung des Additionsmodells nach Laue und Bomas auf eine zweistufige Beanspruchung ergeben sich Kurven, die denen der Schädigungskurven auf der Basis des Damage-Curve-Ansatzes (DCA) nach Manson und Halford (vgl. Abb. 2.9) gleichen. Abbildung 3.29 zeigt exemplarisch die Anwendung des Modells nach Laue und Bomas auf unterschiedliche zweistufige Beanspruchungen für einen feinkörnigen Stahl. 1,0

n1

n2

İ2

İ1

0,8

Konzept nach Bomas und Laue mit den Dehnungen İ1 und İ2 :

n2 /NA2

İ1 < H2

0,16%

0,6

l 0,18%

0,16% l 0,24% 0,16% l 0,40%

0,4

İ1

0,2 0

n1

n2

Palmgren-Miner-Regel

İ2 İ1 > İ2 0

0,2

0,4 0,6 n1 /NA1

0,8

1,0

Abb. 3.29: Anwendung des Konzepts nach Laue und Bomas auf zweistufige Belastungen für einen feinkörnigen Stahl (nach [118])

Im Gegensatz zum Damage-Curve-Ansatz, bei dem die Schädigung als Funktion der Schwingspielzahl definiert ist, wird im Modell nach Laue und Bomas die Schädigung als Funktion einer an der Probe tatsächlich auftretenden Strukturveränderung definiert [117]. Zudem stellt der Damage-Curve-Ansatz nach Manson


123

und Halford lediglich eine Anpassung der Kurven an Messwerte dar, während sich die in Abb. 3.29 dargestellten Kurven aus der Modellierung ergeben [117]. Das Konzept ist auch auf Betriebsbelastungen anwendbar. Dazu ist mit entsprechenden Verfahren zunächst die Dehnungsamplitude an der kritischen Stelle, der Effektivwert des zyklischen J-Integrals und der Rissfortschritt da/dN im aktuellen Schwingspiel zu ermitteln. Dieser Vorgang ist solange zu wiederholen, bis eine kritische Risslänge von z.B. 0,5 mm erreicht ist [118].

3.2.4

Ansatz der kritischen Schnittebene

Die Ansätze der kritischen Ebene dienen der Beurteilung der Rissinitiierung unter mehraxialen Beanspruchungen. Dabei werden Spannungs- und Dehnungswerte einer kritischen Ebene, die je nach Ansatz unterschiedlich definiert ist, zur Ermittlung der Schädigung verwendet. Eine Vielzahl derartiger Konzepte ist entwickelt worden. Eine zusammenfassende und bewertende Darstellung ist beispielsweise [103, 235] zu entnehmen. Auf der Theorie der kritischen Schnittebenen baut Jiang [98, 99] ein Lebensdauerkonzept unter Verwendung der makroskopischen Beschreibung des Materialverhaltens auf, das die Initiierungs- und Wachstumsphase einschließt, ohne eine explizite Trennung der Phasen vorzunehmen. Im Gegensatz zu den klassischen Methoden der kritischen Schnittebenen ist eine vorherige Rainflow-Zählung nicht erforderlich. Die entsprechenden Spannungen und Dehnungen nahe der Rissspitze werden mittels einer elastisch-plastischen Finite-Elemente-Analyse an einem stationären Riss nach 10 Lastwechseln ermittelt. Als Ermüdungskriterium setzt Jiang folgenden Ansatz [97] dD

V mr 1 VD

m

1

V Rm

dU pl

(3.110)

unter Verwendung der MacCauley-Klammer x : ( x x ) / 2 an, wobei dU pl

b V dH pl

1 b W dJ pl 2

gilt. V entspricht der Normalspannung und W der Schubspannung in einer Schnittebene mit den plastischen Anteilen der Dehnung Hpl und der Schubverformung Jpl. Vmr ist ein Kennwert, der das Werkstoffgedächtnis repräsentiert und besitzt als Anfangswert die Dauerfestigkeit. Bei einer konstanten Amplitudenbelastung ergibt sich Vmr aus dem Maximum der von Mises-Vergleichsspannung. m und b sind werkstoffabhängige Parameter. Die Konstante b spiegelt das Rissverhalten des Materials wieder und ist zwischen 0 und 1 definiert. Als kritische Schnittebene definiert Jiang diejenige Ebene, bei der die Schädigungsakkumulation einen kriti-

124


schen Wert D0 erreicht. Ist der kritische Wert erreicht, versagt der Materialpunkt in der kritischen Ebene. Im Falle des Versagens eines Punktes im Kerbgrund ergibt sich die Initiierungslebensdauer zu: D0 , 'Dir

Ni

(3.112)

wobei 'Dir die Schädigung des Materials im Kerbgrund pro Lastwechsel ist. Diese Initiierungslebensdauer ist damit nicht mit der klassischen Definition der Initiierungslebensdauer vergleichbar. Für eine gegebene Risslänge kann mit Gl. (3.110) die Verteilung der Schädigung 'D(r) pro Lastwechsel in Abhängigkeit der Polarkoordinate r ermittelt werden. Die Rissgeschwindigkeit ist definiert als: da dN

A D0 Ni 'Di

(3.114)

mit A als „Flächeninhalt“ unter der D(r)-r-Kurve: Z

A

³ 'D(r )dr .

(3.115)

0

Ni'Di definiert Jiang als Schädigung in der Kerbeinflusszone, wobei 'Di die Teilschädigung je Lastwechsel ist. Aus der so ermittelten Abhängigkeit der Risswachstumsrate da/dN von der Risslänge a kann mittels numerischer Integration der Zusammenhang zwischen der Risslänge und der Lebensdauer hergestellt werden.

3.3

Gesamtlebensdauerkonzepte

Die in den Kap. 2.4, 2.5, 3.1 und 3.2 beschriebenen Konzepte stellen zumeist einzelne Teilabschnitte der Gesamtlebensdauer dar. In den nachfolgenden Kapiteln sind ausgewählte Konzepte dargestellt, die unter Verwendung der Ansätze zur Betriebsfestigkeit, der Bruchmechanik sowie der Rissentstehung und des Kurzrisswachstums die gesamte Lebensdauer vorhersagen bzw. bewerten.

3.3.1

Die Ermüdungslebensdauerkarte

In der Ermüdungslebensdauerkarte (Abb. 3.30) nach Larsen et al. [116] ist zusätzlich zur Schwellwertkurve der Rissentstehung nach Kitagawa und Takahashi eine weitere Grenzkurve zur Beurteilung des instabilen Risswachstums eingetragen. Diese Grenzkurve ist definiert einerseits durch die Zugfestigkeit Rm und anderer-

3.3 Gesamtlebensdauerkonzepte

125

seits durch die Risszähigkeit KC. Somit kann die Ermüdungslebensdauerkarte in drei Bereiche eingeteilt werden. Der erste Bereich, der sogenannte „sichere Bereich“ (N > 107 Lw), ist unter der klassischen Schwellwertkurve der Rissentstehung nach Kitagawa und Takahashi definiert. Oberhalb der Rm-KC-Grenzkurve tritt unmittelbares Versagen des Bauteils durch Bruch ein. Im mittleren Bereich sind Kombinationen aus zyklischer Spannung und Fehlergröße definiert, die zu einer endlichen Lebensdauer führen. Isolinien gleicher Lebensdauer sind in diesen Bereich eingetragen, die sich durch numerische Integration einer Rissfortschrittskurve ergeben. Dies setzt voraus, dass die Rissfortschrittskurve das Kurzrisswachstum adäquat beschreibt. Larsen et al. konnten nachweisen, dass dies ab einer Risstiefe von ungefähr 0,025 mm für eine Titanlegierung gegeben ist. Rm -Grenze 1000

ǻıD ǻı[MPa]

KC -Grenze N=1

10 3 10 4

'K th = konst.

10 5

N > 107

Nachweisgrenze ZfP 100

0,001

10 6

Auftretenswahrscheinlichkeit 0,01

10 7 0,1

1

10

Risslänge a [mm]

Abb. 3.30: Ermüdungslebensdauerkarte (nach [116])

In Abb. 3.30 ist ferner die Auftretenswahrscheinlichkeit eines Risses mit einer bestimmten Risslänge sowie die Nachweisgrenze eines zerstörungsfreien Prüfverfahrens eingetragen, die deutlich oberhalb von 0,025 mm liegen. Damit ist die Ermüdungslebensdauerkarte ein nützliches Medium zur Bewertung von Bauteilen und Strukturen. Einen ähnlichen Ansatz verfolgen Ciavarella und Mono [38] sowie Pugno et al. [185], in dem die endliche Lebensdauer durch eine Kombination aus Wöhlerkurve und Rissgeschwindigkeitskurve beschrieben wird. Als verallgemeinertes Kitagawa-Takahashi-Kriterium folgt [38] 'V th ( N , a)

1 / m 1 m 1 1½ ª º ° °§ N D · k §m2· 2 m 2 « » a min ®¨ ¸ 'V D , ¨ ¸ C PGA S N ¾ « » N 2 ¹ © © ¹ ° ° ¬ ¼ ¯ ¿

(3.115)

126


aus der Wöhlerkurve und der Integration des Paris-Gesetzes. Weiterhin kann daraus eine verallgemeinerte El Haddad-Beziehung abgeleitet werden [38]: 'V th ( N , a)

m ª º «§¨ m 2 ·¸ CPGA S 2 N » «© 2 ¹ » ¬ ¼

1 / m

1

1

a a t ( N ) m 2

(3.116)

mit der Risslänge 2

at

m m m ª k º 2m §m · m k «a1 (m/2) C 2 ¨ 1¸ N D 'V D N k » , PGA S « f, t » ©2 ¹ ¬ ¼

(3.117)

die den Übergang vom Wöhlerbereich zum Paris-Bereich angibt, und der Risslänge af, t

º K C (1 R ) 1 ª « », S «¬ N D / N 1 / k 'V D »¼

(3.118)

die den Übergang zum Bruchkriterium beschreibt. Aufbauend auf dem Ansatz nach Navarro und de los Rios (vgl. Kap. 3.2.1) entwickelten Rodopoulos et al. [198-200] ein Modell zur Beschreibung der gesamten Lebensdauer in Form einer Ermüdungslebensdauerkarte unter der Einschränkung des transkristallinen Risswachstums. Die Schwellwertkurve in Abhängigkeit des Spannungsverhältnisses ist nach diesem Modell wie folgt definiert: 'V th

Į mi (1 R ) 'V D(R 0) V cl V cl m1 2a / d

'V th

mi (1 R ) 'V D(R 0) V cl V cl m1 2a / d

für

Rt0,

(3.119)

für

Rd0,

(3.120)

wobei Vcl eine Rissschließspannung, d die mittlere Querkörngröße und mi der Kornorientierungsfaktor ist. Der Exponent D ist ein werkstoffabhängiger Parameter, der die R-Abhängigkeit der Dauerfestigkeit wiedergibt und zwischen 0 und 1 liegt. Als Thresholdwerte der Ermüdungsrissausbreitung ausgedrückt, ergeben Gl. (3.119) und Gl. (3.120): 'K th

m d Y i (1 R ) Į 'V D(R 0) S 2 m1

für

Rt0

(3.121)


'K th

127

m d Y i (1 R) 'V D(R 0) S 2 m1

für

(3.122)

Rd0

Ferner teilen Rodopoulos et al. die Ermüdungslebensdauerkarte oberhalb der Schwellwertkurve in drei Risswachstumsbereiche ein. Im ersten Bereich ist der Übergang vom Rissstadium I zum Rissstadium II definiert, das durch ein mikrostrukturabhängiges Risswachstum charakterisiert ist. Der zweite Bereich stellt das Langrisswachstum (Rissstadium II) dar, das z.B. durch die Gesetzmäßigkeiten von Paris beschrieben werden kann. Der dritte Bereich definiert schließlich das Versagen des Bauteils. Dazwischen definieren Rodopoulos et al. zusätzlich ein Rissstadium III, dessen Risswachstum nicht durch die Schwingbreite der Spannung, sondern durch die maximale Spannung erklärt ist. a)

1000

ǻı [MPa]

plastischer Kollaps

100 kein Risswachstum Rissstadium I Rissstadium II instabile Rissausbreitung 10 0,01

b)

0,1

a [mm]

1,0

10

1000

ǻı [MPa]

plastischer Kollaps

100 kein Risswachstum Rissstadium II instabile Rissausbreitung 10 0,1

a [mm]

1,0

10

Abb. 3.31: Ermüdungslebensdauerkarte nach Rodopoulos et al. für die Aluminiumlegierung EN AW-2024-T351 (KC = 38 MPam1/2, 'VD(R = 0) = 200 MPa, mi = 0,35ln(2a/d), d = 52 µm, D = 0,5, V1 = 0) (nach [199]) a) für R = 0,1 und b) R = 0,5

128


Die Grenzkurve zwischen Stadium I und Stadium II ist wie folgt definiert: 'V I o II

1 Y

§2 · 4d ¨ (V Fc V 1 ) V1 ¸ ¨S ¸ a 2d © ¹

(3.123)

bzw. unter der Annahme eines komplett geöffneten Risses, jedoch unter Berücksichtigung des Spannungsverhältnisses 'V I o II

1 § 1 R · §¨ 2 4d ¨ ¸ ¨ V Fc Y © 1 R ¹ © S a 2d

· ¸, ¸ ¹

(3.124)

wobei VF’ die zyklische Fließspannung ist. Das Rissstadium I gilt solange, bis durch das Rissspitzenspannungsfeld eine plastische Zone erzeugt wird, die über zwei benachbarte Körner ohne weiteres Risswachstum reicht. Das Versagen eines Bauteils kann entweder durch plastisches oder aber durch bruchmechanisches Versagen erfolgen. Dementsprechend unterscheiden Rodopoulos et al. zwei Kriterien:

V plastisch

mi

'V D V 1 2a / d

V 1 V Fc

(3.125)

bzw. 'V Bruch

(1 R ) K C Y Sa

.

(3.126)

Abbildung 3.31 zeigt die mit dem Konzept nach Rodopoulos et al. erstellten Ermüdungslebensdauerkarten in Abhängigkeit des R-Verhältnisses für die Aluminiumlegierung EN AW-2024-T351.

3.3.2 Rissfortschrittswöhlerlinien Aufbauend auf den Nennspannungskonzepten entwickelten Liu und Zenner [271] einen Ansatz, der sowohl bruchmechanische als auch Betriebsfestigkeitsaspekte berücksichtigt. Das Konzept soll der Tatsache Rechnung tragen, dass sich das Schädigungsverhalten bis zum Anriss grundsätzlich vom Rissfortschrittsverhalten unterscheidet. Liu und Zenner definieren deshalb eine Bezugswöhlerlinie für eine lineare Schadensakkumulation, deren Neigung aus der Neigung k der Bauteilwöhlerlinie und der Neigung m der Rissfortschrittswöhlerlinie wie folgt bestimmt wird: k*

0,5 k m ,

wobei m auch dem Paris-Exponenten entspricht (Gleichung 2.88).

(3.127)


ı a (log)

129

Rissfortschrittswöhlerlinie Neigung: m

Bauteilwöhlerlinie Neigung: k

ıa

ıD 0,5ı D=

Bezugswöhlerlinie Neigung: k * = 0,5(k+m)

ı *D

H0

ND

N, H (log)

Abb. 3.32: Nennspannungskonzept nach Liu/Zenner

Für Stähle schlagen Liu und Zenner einen Wert von 3,6 für die Neigung der Rissfortschrittswöhlerlinie vor. Als Referenzpunkt für die Drehung der Zeitfestigkeitsgeraden wird der Punkt auf der Bauteilwöhlerlinie in Höhe des Kollektivhöchstwerts in Anlehnung an das Konzept nach Corten und Dolan (vgl. Kap. 2.4.2.2) verwendet. Weiterhin wird wie beim Konzept nach Serensen und Koslow * (vgl. Kap. 2.4.2.2) eine fiktive Dauerfestigkeitsgrenze V D 0,5 V D festgelegt.

Kapitel 4

Ultra high cycle fatigue

In vielen Anwendungsbereichen werden Bauteile und Strukturen mit mehr als 107 Lastwechseln belastet. Beispielsweise sind Radsatzwellen und Eisenbahnräder innerhalb von wenigen Jahren nicht selten 109 Lastwechseln ausgesetzt. Auch Helikoptergetriebe haben nach einer Lebensdauer von 5000 h 109 und mehr Lastwechsel [228]. Bei diesen hohen Lastwechseln ist die seit den Untersuchungen von Wöhler definierte Dauerfestigkeitsgrenze nicht immer gegeben, wie zahlreiche Untersuchungen in der Literatur zeigen [z.B. 18, 19, 133, 142, 144, 167]. Trotz Spannungen unterhalb der Dauerfestigkeit VD treten bei N = 108 - 109 Lastwechseln Ermüdungsbrüche auf (Abb. 4.1). Bathias et al. [17, 19] untersuchten zahlreiche Werkstoffe und stellten eine Absenkung der Dauerfestigkeit im Lebensdauerbereich zwischen 106 und 109 um 50 MPa bis 200 MPa je nach Werkstoff fest.

Spannung ı

Versagen durch Oberflächenfehler

konventionelle Dauerfestigkeitsgrenze

10 4

10 5

Versagen durch nicht-metallische Einschlüsse und interne Defekte

interne Dauerfestigkeit

10 6 107 10 8 Lastwechselzahl N

109

Abb. 4.1: Typische zweistufige Wöhlerkurve für hochfeste Stähle bis zum ultra high cycle fatigue-Bereich (nach [142, 151, 167, 207])

132

4 Ultra high cycle fatigue

Es wird davon ausgegangen, dass der Abfall der Dauerfestigkeit dadurch bedingt ist, dass die Rissinitiierung nicht an der Oberfläche, sondern im Inneren des Bauteils erfolgt [142, 153]. Daraus ergibt sich eine zweistufige Wöhlerlinie (Abb. 4.1), die aus zwei einzelnen Wöhlerkurven für einen oberflächeninduzierten und einen einschlussinduzierten Riss entsteht [207], wobei der Übergang kontinuierlich verläuft [167].

4.1

Rissinitiierung bei sehr hohen Lastwechselzahlen

Im sehr hohen Lastwechselzahlbereich ist der Ausgang des Risses in der Regel ein nicht-metallischer Einschluss, wie z.B. Al2O3, (Abb. 4.2a und b). Aber auch durch die Mikrostruktur (Abb. 4.2c bis f) selbst, wie z.B. die Korngrößen oder Phasengrenzen, sowie durch Defekte, wie z.B. Gussfehler in Form von Porositäten oder Oxidschichten, im Inneren bzw. an der Oberfläche des Bauteils können Risse initiieren [18, 149]. a)

c)

700 µm

b)

200 µm

d)

70 µm

e)

50 µm

200 µm

f)

50 µm

Abb. 4.2: Bruchfläche mit fish-eye-Initiierung (a) und (b) ausgehend von einem nichtmetallischen Einschluss (42CrMo4) (c) und (d) ausgehend von einer inhomogenen Mikrostruktur eines perlitischen Stahls (e) und (f) ausgehend von einer Zelle fein lamellaren Perlits [18, 22]

Die Geometrie sowie die Art und Höhe der Belastung führen beispielsweise aufgrund der Spannungskonzentrationen an Kerben oder Oberflächenrauhigkeiten zu einer Rissinitiierung an der Oberfläche [18]. Die Initiierung im Inneren wird nach [18, 19, 22, 207] durch zahlreiche Parameter beeinflusst, wie beispielsweise: x Größe des Einschlusses bzw. Defekts,

4.1 Rissinitiierung bei sehr hohen Lastwechselzahlen

x x x x x

133

Anzahl der Einschlüsse bzw. Defekte, Größenverhältnis bzw. Form des Einschlusses, Spannungsgradient um den Einschluss bzw. Defekt, Mikrostruktur des Werkstoffs, wie z.B. die Korngröße oder Phasengrenzen, Härte und Position des Einschlusses bzw. Defekts im Bauteil.

Ohne die Existenz eines Defekts, z.B. bei einphasigen Werkstoffen, erfolgt die Rissinitiierung an der Oberfläche. Aufgrund von kleinen irreversiblen Komponenten plastischer Dehnungen kommt es zu einer Erhöhung der Rauheit der Oberfläche und damit zur Erzeugung persistenter Gleitbänder [18, 126, 141-143]. Murakami [151] konnte zeigen, dass um einen Einschluss im Inneren eines Bauteils ein dunkles Gebiet entsteht, das mittels optischen Mikroskops sichtbar wird (Abb. 4.3). Dieses Gebiet wird als optisch dunkles Gebiet oder ODA (Optical Dark Area) bezeichnet. Sakai et al. [207, 209] nennen die Bruchfläche um einen Einschluss als feinkörniges Gebiet oder FGA (Fine Granular Area) und Shiozawa et al. [231] als körnig glänzende Facette oder GBF (Granular-Bright-Facet). a)

b)

c)

50 µm

ıa = 701 MPa N f = 9,78 x 105 Lw area = 40 µm

ıa = 649 MPa N f = 5,71 x 107 Lw area = 22 µm area ODA = 47 µm

ıa = 530 MPa N f = 5,33 x 10 8 Lw area = 27 µm area ODA = 76 µm

Abb. 4.3: Mikroskopaufnahmen optisch dunkler Gebiete im Bereich der Rissinitiierung ausgehend von einem nicht-metallischen Einschluss in Abhängigkeit der Spannungsamplitude [148]

Die Eigenschaften des ODA fasst Murakami wie folgt zusammen [149, 152]: x Die Größe des ODA steigt mit zunehmender Lebensdauer. Insbesondere das Verhältnis der Flächen des Einschlusses zum ODA nimmt mit zunehmender Lebensdauer zu. ODA sind nicht nachweisbar, wenn das Bauteil bei geringen Lastwechselzahlen versagt. x Nicht-metallische Einschlüsse binden sehr stark Wasserstoff in ihrer Umgebung. Auch bei geringem Wasserstoffgehalt in den Proben wird aufgrund der Wärmebehandlung der Wasserstoff im Bereich des nicht-metallischen Einschlusses gebunden. Erst wenn eine Sättigung eingetreten ist, wird der restliche Wasserstoff durch Korngrenzen und Versetzungen gebunden. Die Größe des ODA hängt bei gleicher Lebensdauer vom Wasserstoffgehalt in

134


der Nähe des Einschlusses ab. Bei einem niedrigem Wasserstoffgehalt ist das Gebiet kleiner als bei höheren Wasserstoffgehalt. x Das ODA hat eine sehr raue Oberfläche, die sich von der Oberfläche des umgebenden Gebiets (fish-eye) unterscheidet. Shiozawa et al. [231] konnten zeigen, dass innerhalb des GBF zahlreiche Mikrorisse entstehen, die mit steigender Lastwechselzahl in Größe und Anzahl zunehmen und sich dann zum GBF vereinigen. Da die Mikrorisse zunächst entlang der Korngrenzen zwischen sphärischen Karbiden und der Matrix wachsen, ist die Rauheit durch die Größe der Karbidpartikel bestimmt, die entweder in der Matrix verbleiben oder aber Löcher durch das Abschälen aus der Matrix hinterlassen. Die Rauheit der Oberfläche in dem Gebiet um den Einschluss entspricht im Gegensatz zur außerhalb liegenden Oberfläche dem 2,5-fachen Wert [231]. Dieser Effekt wird durch eine starke Kohlenstoffansammlung in der Nähe des Einschlusses verstärkt [231]. Murakami [144] schlägt vor, nicht-metallische Einschlüsse, ebenfalls als kurze Risse mit dem area -Konzept zu behandeln. In der Regel werden zur Berücksichtigung von Einschlüssen auf die Ermüdungsfestigkeit die Form und Größe des Einschlusses, die Adhäsion des Einschlusses in der Matrix sowie die elastischen Konstanten der Einschlüsse und der Matrizen aufgeführt. Da diese Parameter mit dem Kerbfaktor und der Spannungsverteilung in der Umgebung des Einschlusses in Beziehung stehen, wird sehr häufig versucht, Kerbfaktoren für die Einschlüsse unter der Annahme zu ermitteln, dass die Einschlüsse als sphärische oder ellipsenförmige Fehler angenommen werden können. Dieses Vorgehen führt nach Murakami [144, 147] jedoch zu großen Unsicherheiten, weil geringe Formabweichungen zu großen Änderungen im Kerbfaktor führen. Selbst bei korrekter Abbildung des Kerbfaktors ist im Falle kleiner Defekte die Ermüdungsfestigkeit merkbar von der Größe beispielsweise eines Loches abhängig. Außerdem sei die Annahme, dass der Kerbfaktor kleiner als eins wird, wenn der E-Modul des Einschlusses bei idealer Adhäsion in der Matrix größer als der der Matrix ist, nicht korrekt. Bei der Anwendung des area -Konzepts auf die Problematik der nichtmetallischen Einschlüsse unterscheidet Murakami zwischen Oberflächeneinschlüssen und Einschlüssen im Inneren des Bauteils. Die Schwellspannung eines Oberflächeneinschlusses kann mit Gl. (3.30) bestimmt werden, wobei area der projizierten Fläche des Einschlusses auf die Ebene senkrecht zur maximalen Hauptspannung entspricht. Besitzt der Einschluss jedoch nur partiellen Kontakt zur Oberfläche, wird eine effektive Fläche aus der projizierten Fläche inklusive der Restfläche zur Oberfläche verwendet, indem area mit einem Faktor von 1,137 multipliziert wird. Bei Einschlüssen im Inneren des Bauteils ergibt sich die Schwellspannung für R z -1 zu


V th

1,56 (HV 120) § 1 R · ¨ ¸ © 2 ¹ ( area )1 / 6

135

Į

(4.1)

mit D = 0,226 + HV10-4 (Gl. (3.31)), da der Geometriefaktor area bei einem Einschluss im Inneren dem 1,69fachen des Oberflächeneinschlusses entspricht [150]. Auftretende Streuungen während Ermüdungsversuchen von hochfesten Stählen erklärt Murakami damit, dass Einschlüsse vorhanden sind, die größer als der Grenzwert nicht-wachsender Risse sind. Da diese Einschlüsse sowohl unterschiedlich im Bauteil positioniert sein als auch in der Größe variieren können, streut auch die Schwellspannung. Ist hingegen ein Bauteil fehlerfrei, besitzt der Werkstoff eine intrinsische Ermüdungsfestigkeit, die von der Vickers-Härte abhängt (vgl. Gl. (3.32)). Bei niedrig legierten Stählen sind die Einschlüsse im Allgemeinen kleiner als der Schwellenwert, so dass der Riss nicht von dem Einschluss ausgeht und die Streubreite vernachlässigbar wird [z.B. 144]. Um im Falle hochfester Stähle trotzdem eine quantitative Aussage machen zu können, schlägt Murakami [144] vor, zusätzlich zu der intrinsischen Ermüdungsfestigkeit als oberen Grenzwert über eine statistische Auswertung der maximal auftretenden Größe des Einschlusses den unteren Grenzwert zu ermitteln.

Thresholdwert eines Oberflächenrisses 5 4 3 2

ǻK ODA ǻK inc

ǻK inc

bzw. ǻKODA [MPam1/2]

10

1 10 4

10 5

10 6 10 7 10 8 Lebensdauer bis zum Bruch N f

10 9

Abb. 4.4: Zusammenhang zwischen der Spannungsintensität 'Kinc des Einschlusses, der Spannungsintensität 'KODA des ODA und den entsprechenden Lebensdauern für den Stahl 34CrMo4 [231]

Aus experimentellen Untersuchungen, die in guter Übereinstimmung mit Gl. (3.29) stehen, kann der Thresholdwert für das ODA wie folgt dargestellt werden [149]:

136


'K ODA

0,5'V S area ODA ,

(4.2)

wobei der Geometriefaktor area ODA sich aus der Summe der Flächen des Einschlusses und des ODA zusammensetzt. Die Spannungsintensität, die sich entlang des ODA ergibt, entspricht unabhängig von der Lebensdauer genau dem Thresholdwert des Oberflächenrisses (Abb. 4.4) [207, 209, 231]. Hingegen nimmt der Thresholdwert 'Kinc des Einschlusses mit der Lebensdauer ab. Dies bedeutet, das ODA ergibt sich nur, wenn der Spannungsintensitätsfaktor für den Einschluss kleiner als der Thresholdwert ist [207, 209]. Im höheren Spannungsbereich ist aufgrund von Spannungskonzentrationen ein kreisförmiges Risswachstum unmittelbar vom Einschluss ausgehend erkennbar [231]. Sakai et al. folgern daraus, dass innerhalb des ODA ein anderer Risswachstumsmechanismus vorherrschen muss, da das Risswachstum auch unterhalb des Thresholdwertes stattfindet.

Einschluss

Raue Oberfläche: Wasserstoffbeeinflusstes Risswachstum

Wasserstoff Wasserstoff

gewöhnlicher Ermüdungsriss

Gebiet des “fish-eye”

Einschluss (Fläche: A 0)

ODA (Fläche: A1 )

Abb. 4.5: Gebiete um einen nicht-metallischen Einschluss im ultra high cycle fatigue-Bereich (nach [149, 207])

Eine Begründung für das Risswachstum unterhalb des Langrissthresholdwertes sehen Pippan et al. [182] in der Tatsache, dass ein Innenriss im Gegensatz zu einem Oberflächenriss im Ultrahochvakuum wächst. Untersuchungen haben gezeigt, dass die Risswachstumsraten im Vakuum um bis zu drei Größenordnungen


137

geringer sind als an der Luft, wobei der Thresholdwert nur geringfügig beeinflusst wird [182, 197]. D.h. auch, der Riss wächst im thresholdnahen Bereich mit wesentlich geringeren Risswachstumsraten (< 10-9 mm/Lw) [182]. Murakami et al. [149, 152] zeigen, dass das Risswachstum im ODA aufgrund eines Synergieeffektes der zyklischen Spannung und des Wasserstoffs entsteht, der durch den Einschluss in der Umgebung gebunden wird. In Abb. 4.5 sind schematisch die unterschiedlichen Gebiete die einen nicht-metallischen Einschluss bei Belastungen mit sehr hohen Zyklenzahlen umgeben, dargestellt. Mittels des Thresholdwerts für kurze Risse kann eine kritische Größe des ODA berechnet werden, ab der das ODA allein aufgrund der zyklischen Spannung wächst [144, 145]. Als Schwellspannung insbesondere für hochfeste Stähle gibt Murakami folgende Gleichung für ein R-Verhältnis von –1 in Anlehnung an Gl. (3.30) bzw. Gl. (4.1) an:

V 'th

1,56 ( HV 120) ( area ODA )1 / 6

.

(4.3)

Abbildung 4.6 zeigt eine nach Murakami modifizierte Wöhlerkurve, in der das Verhältnis der aufgebrachten Spannung V zur Schwellspannung V’th über der Bruchschwingspielzahl aufgetragen ist. Es zeigt sich, dass alle Datenpunkte oberhalb von eins liegen. Somit wird die Hypothese bestätigt, dass nach einem sehr langsamen Risswachstum innerhalb des ODA, das den größten Lebensdaueranteil einnimmt, die kritische Risslänge für den mechanischen Thresholdwert überschritten ist [149, 152]. 1,5

3* 1*

Abgeschreckt und angelassen (QT) (HV = 560)

2* 5***

Vakuumgeglüht bei 300°C für 1h nach QT (HV = 500)

5**

1

4* 5*

4

ı / ıth’

3 1

5

2

Vakuumgeglüht bei 300°C für 2h nach QT (HV = 500) Vakuumwärmebehandelt und QT (HV = 560)

0,5 34CrMo4 R = -1 0 10 5

10 6 10 7 10 8 Bruchschwingspielzahl N f

Die Symbole *, **, *** markieren Durchläufer, die auf einem höheren Niveau erneut getest wurden.

5x10 8

Abb. 4.6: Verhältnis der aufgebrachten Spannung V zur Schwellspannung V’th über der Bruchschwingspielzahl Nf in Form der nach Murakami modifizierten Wöhlerkurve (nach [144, 149])

138


4.2

Wöhlerkurve im Bereich hoher Lastwechselzahlen

Abbildung 4.7 zeigt exemplarisch die Wöhlerkurven, die einerseits im Rotationsbiegeversuch und andererseits im Zug-Druck-Versuch für den Stahl 100Cr6 aufgenommen wurden [149]. Bei Umlaufbiegung wird die Zweistufigkeit der Wöhlerlinie mit der Aufteilung der Wöhlerkurven nach den Rissinitiierungsorten sehr deutlich. Bei einer axialen Belastung ist die zweistufige Aufteilung wesentlich geringer ausgeprägt [167, 207]. Umlaufbiegung Rissinitiierung an der Oberfläche Rissinitiierung im Inneren

1500

ıw = 1278MPa 1000

V2 = 2,57 mm3

100Cr6 (SAE52100) 102 103 104 105 106 107 108 109 1010 Lebensdauer bis zum Bruch N f

7

Zug-Druck (R = -1) abgeschreckt und angelassen vakuumwärmebehandelt, abgeschreckt und angelassen

500

0

3

Spannungsamplitude ıa [MPa]

2000

V1 = 770 mm3

Abb. 4.7: Wöhlerkurve für Umlaufbiege- und Zug-Druck-Proben aus 100Cr6 (nach [149, 152, 210])

Murakami begründet dies mit der Größe der Proben. Die größeren Zug-DruckProben führen zu geringeren Lastwechselzahlen bis zum Bruch bzw. zu deutlich geringeren Spannungsamplituden. Daraus schließt Murakami [152], dass aufgrund der geringeren Abmessungen der Rotationsbiegeproben auch das Volumen V2 (2,57 mm3) niedriger ist, bei dem die Spannungen um x % (90 %) höher als die Nennspannungen sind. Dies bedeutet, eine große Probe mit einem Volumen V1 (770 mm3) stellt die untere Grenze der Versuchsstreuung im Gegensatz zu n = V1/V2 (| 300) kleinen Proben dar, da die große Probe einen Einschluss beinhalten kann, der zu dem größten Einschluss in n kleinen Proben zählt. Marines et al. konnten hingegen keinen signifikanten Einfluss des Probendurchmessers zwischen 3 mm und 10 mm feststellen [133]. Den Unterschied zwischen den Wöhlerlinien bei Umlaufbiegung und Zug-Druck begründen Marines et al. [133] sowie Tanaka und Akiniwa [243] aufgrund der Belastungsart und der daraus resultierenden Spannungsverteilung am Einschluss in der Probe. Durch eine Korrektur der maximalen Spannung am Rand der Probe bei Umlaufbiegung auf


139

die Stelle des Einschlusses, ergibt sich eine gleichmäßig abfallende Wöhlerkurve [133]. Während Bayraktar et al. [22] insgesamt von einer gleichmäßig abfallenden Wöhlerkurve bis in den Gigacylce-Bereich ausgehen, zeigen Sakai et al. [208], dass das Phänomen der zweistufigen Wöhlerlinie vom Werkstoff abhängt. Hochfeste Stähle weisen beispielsweise eher ein zweistufiges Verhalten auf als Stähle mit niedriger Festigkeit. Auch die Walzrichtung bzw. die Vorzugsrichtung hat einen Einfluss auf den Dauerfestigkeitswert bei 109 Lastwechseln. Proben, die parallel zur Walzrichtung entnommen wurden, weisen eine höhere Dauerfestigkeit auf als Proben, die senkrecht zur Walzrichtung entnommen wurden [129]. Außerdem nimmt mit zunehmender Dicke einer Platte, d.h. mit abnehmendem Verformungsgrad, die Dauerfestigkeit im sehr hohen Lastwechselzahlbereich ab [129]. Weiterhin wird die Wöhlerkurve im Bereich sehr hoher Lastwechselzahlen von der Verteilung der Einschlüsse und Inhomogenitäten sowie von auftretenden Eigenspannungen beeinflusst [152]. Es hat sich jedoch gezeigt, dass die im Bereich hoher Lastwechselzahlen sehr häufig angewendeten Oberflächenbehandlungen, wie z.B. Kugelstrahlen, zur Einbringung von Eigenspannungen nur einen Einfluss haben, wenn die Initiierung des Risses an der Oberfläche erfolgt. a)

b) Oberfläche

Oberfläche Eigenspannungen

Abb. 4.8: Schematische Darstellung der Ausbildung eines Risses um einen Einschluss [230] a) bei eigenspannungsfreier Oberfläche und b) bei oberflächennahen Eigenspannungen

Die Eigenspannungen, die in oberflächennahen Bereich eingebracht werden, haben bei hochfesten Stählen im Bereich sehr hoher Lastwechselzahlen mit einer Initiierung im Inneren des Bauteils, z.B. an einem Einschluss, keine lebensdauerverlängernde Wirkung [230]. Lediglich die Form des fish-eye wird im oberflächennahen Bereich gestört (Abb. 4.8). Einen weiteren Einfluss auf die Wöhlerkurve besitzen Kerben, die die ertragbare Spannung herabsetzen. Für die Berücksichtigung dieses Effekts bei der Lebensdauerbetrachtung wird die Kerbwirkungszahl verwendet, die üblicherweise das Verhältnis der Dauerfestigkeitskennwerte bei 107 einer ungekerbten und einer gekerbten Probe widerspiegelt. Jedoch ist die Kerbwirkungszahl von der Spannungsamplitude abhängig. Mit zunehmender Lebensdauer nimmt der anfängliche Unter-

140


Spannungsamplitude ıa

schied zwischen den Dauerfestigkeitskennwerten gekerbter und ungekerbter Proben ab (Abb. 4.9) [2]. Begründet wird dies durch die Mikrostrukturlänge bzw. den kritischen Abstand der Punkt-Methode, der wesentlich größer als das ODA ist. Weiterhin stimmt der Rissinitiierungsort nicht unbedingt mit dem Punkt der höchsten Spannung überein [2].

ungekerbte Proben

stumpfe Kerbe

scharfe Kerbe

Lebensdauer bis zum Bruch Nf

Abb. 4.9: Reduktion der Dauerfestigkeit gekerbter Proben in Abhängigkeit der Lebensdauer [2]

Dagegen konnten Lukás und Kunz [126] zeigen, dass der höchste Wert der Kerbwirkungszahl im Bereich extrem hoher Lastwechselzahlen zu finden ist, da der Thresholdwert im Bereich des ultra high cycle fatigue-Bereichs geringer sei.

4.3

Auslegungskonzept (Lebensdauerkonzept) nach Murakami

Zur Vorhersage der Lebensdauer bei sehr hohen Zyklenzahlen schlägt Murakami folgendes Auslegungskonzept vor [145, 149]: Im ersten Schritt ist die Lebensdauer NfD des Bauteils bzw. der Struktur zu definieren. Aufbauend auf der definierten Lebensdauer kann mittels der sogenannten „Master Curve of ODA“ das Verhältnis J der Geometriefaktoren

J

area ODA

A0 A1

area max

A0 max

(4.4)

ermittelt werden. Abbildung 4.10 zeigt schematisch eine „Master Curve of ODA“. Die „Master Curve of ODA“ ist abhängig vom Wasserstoffgehalt des Stahls, jedoch ist sie unabhängig von gewöhnlichen Wärmebehandlungen unterschiedlicher Stahlsorten, so dass Lebensdauerabschätzungen auf der Basis der untersuchten Stähle von Murakami et al. erfolgen können [149].


141

Eine Abschätzung der Größe des maximalen Einschlusses area max ist über eine statistische Auswertung (Methode der Extremwertstatistik) möglich. Details bezüglich der statistischen Auswertung sind z.B. in [144, 149] erläutert. Wasserstoffgehalt 1 > Wasserstoffgehalt 2

area ODA /

area

4

Wasserstoffgehalt 1

Ȗ 3

2

1 10 5

Wasserstoffgehalt 2 10 6 10 7 10 8 Lastwechselzahl Nf

10 9

Abb. 4.10: Schematische Darstellung einer “Master Curve of ODA“ in Abhängigkeit des Wasserstoffgehalts (nach [145, 149])

Aus der Verhältniszahl J und area max ergibt sich die kritische Größe des ODA durch area ODA = J area max, die durch Einsetzen in Gl. (4.3) die zulässige Spannung ergibt. Die Verwendung eines Sicherheitsfaktors empfiehlt Murakami [149] nicht, da die Lebensdauer und Ermüdungsfestigkeit mit zunehmender Größe des Bauteils und Anzahl der Produkte sinkt.

4.4

Lebensdauerberechnung im fish-eye

Mit dem Ansatz nach Murakami ist es nicht möglich, das Wachstum innerhalb des ODA vorherzusagen. Deshalb bestimmen Marines-Garcia et al. [134, 135] und Paris et al. [176] unter Verwendung des Paris-Hertzberg-McClintock-Risswachstumsgesetzes [83, 177] da dN

§ 'K eff · ¸¸ b ¨¨ © E b ¹

3

(4.5)

die Lebensdauer Nfish-eye, die für die Erzeugung des fish-eye notwendig ist: N fish eye

Nint N a 0 oa i N a i oa

(4.6)

Nint spiegelt das Risswachstum von einer initialen Risslänge aint bis zur Defektgröße a0 unterhalb des Eckpunkts des Thresholdwertes

142


da dN

b

'K eff

und

(4.7)

1

E b

wider, wobei b dem Burgers-Vektor entspricht (Abb. 4.11). Die Lebensdauer N a 0 oa i entspricht dem Risswachstum für kurze und N a i oa dem Risswachstum für lange Risse. Durch Integration von Gl. (4.5) mit den Integrationsgrenzen a0 und ai unter Verwendung der Spannungsintensitätsfaktorlösung 'K

2

S

(4.8)

'V S a

für kreisförmige Risse ergibt sich N a 0 oa i

S E2 ª 2

2'V

«1 ¬«

a0 º » ai ¼»

(4.9)

als Lebensdauer für kurze Risse ausgehend vom Eckpunkt des Thresholdwertes bis zum Übergangspunkt des Langrisswachstums. log da/dN

x3

ai b

a0 a ai

b x3

a int x log

'K eff E b

Abb. 4.11: Schematische Darstellung des Risswachstumsverhaltens für kurze Risse (a0 o ai) und lange Risse (ai o a) unter Berücksichtigung des Paris-Hertzberg-McClintockRisswachstumsgesetzes [135]

Da das Risswachstumsverhalten kurzer und langer Risse unterschiedlich ist, ist für die Bestimmung der Risswachstumsrate für lange Risse von ai bis a das ParisHertzberg-McClintock-Risswachstumsgesetz anzupassen, indem da/dN um den Faktor 1/x3 reduziert wird (Abb. 4.11):


da dN

b § 'K 0 · ¸¸ ¨¨ x3 © E b ¹

3

§ a · ¨ ¸ ä ¸ © 0¹

32

143

b § a · ¨¨ ¸¸ x3 © a0 ¹

32

(4.10)

mit 'K0 als Spannungsintensitätsfaktor für einen kreisförmigen Riss mit dem Radius a0. Der Faktor x entspricht dem Übergangspunkt vom Kurz- zum Langrisswachstum ausgehend vom Eckpunkt des Thresholdwertes für kurze Risse (Gl. (4.7)). Für geringe R-Verhältnisse (R | 0) ergibt sich ein Wert von ca. 3, während bei großen R-Verhältnissen (R > 0,8) x einen Wert von 1 annimmt. Durch Integration mit den Grenzen des Langrisswachstums ergibt sich für einen kreisförmigen Riss die Restlebensdauer N a i oa

S E2 ª 2

2'V

a0 a º 3 x3 0 » «x ai a »¼ «¬

(4.11)

vom Übergangspunkt bis zum endgültigen Versagen. Untersuchungen von Marines-Garcia et al. [135] haben gezeigt, dass die Wahl der Übergangsrisslänge ai vom Kurz- zum Langrisswachstum keinen entscheidenden Einfluss auf die Risswachstumslebensdauer hat. Zur Berechnung der Lebensdauer unterhalb des Thresholdeckwertes ist zu berücksichtigen, dass die Risswachstumskurve zwar ebenfalls durch den Eckpunkt geht, jedoch mit einer größeren Steigung D von etwa 100 behaftet ist, so dass sich folgende Gesetzmäßigkeit ergibt: da dN

§ 'K 0 · ¸¸ b ¨¨ © E b ¹

Į

§ a · ¨ ¸ ä ¸ © 0¹

Į2

§ a · b ¨¨ ¸¸ © a0 ¹

Į2

.

(4.12)

Die Integration von Gl. (4.12) von der Anfangsrisslänge aint bis zur Defektgröße a0 ergibt

N int

S E2 2'V 2

ª «§ a «¨¨ 0 a §D · 2¨ 1¸ «© int « ¬ 2 © ¹ 1

§D ·º ¨ 1¸ ¹»

·© 2 ¸ ¸ ¹

». » ¼»

(4.13)

Die Berechnungen von Marines-Garcia et al. [135] zeigen, dass die Risswachstumslebensdauer für Innenrisse unabhängig von der gewählten Übergangsrisslänge vom Kurz- zum Langrisswachstum um einige Größenordnungen geringer ist als die Gesamtlebensdauer. Bathias [18] geht davon aus, dass im Bereich des „fisheye“ die Lastwechselzahlen in etwa 104 Lastwechsel geringer als die Gesamtlebensdauer sind, d.h. die Initiierung des „fish-eye“ um einen Einschluss benötigt den größten Lebensdaueranteil.

144

4.5


Bruchmechanische Lebensdaueransätze

Im Gegensatz dazu stehen die Ansätze, die davon ausgehen, dass im UHCFBereich die Lebensdauer durch bruchmechanische Konzepte vorhergesagt werden kann, da die Rissinitiierung vernachlässigbar ist. Der Einschluss kann als äquivalenter Riss angenommen werden (siehe z.B. [82, 173, 243]). Unter der Annahme, dass die Lebensdauer ungekerbter Proben allein durch das Risswachstum geprägt ist, bestimmen Tanaka und Akiniwa [2, 243] die Lebensdauer unter Verwendung des in Abb. 4.12 dargestellten Zusammenhangs zwischen der Rissgeschwindigkeit und der Spannungsintensität für Oberflächenrisse und Risse im Inneren eines Bauteils. Bei der vereinfachenden Darstellung der Rissgeschwindigkeitskurve für Oberflächenrisse wird davon ausgegangen, dass der Riss nicht ausbreitungsfähig ist, wenn die Beanspruchung unterhalb des Thresholdwertes 'KthS liegt, und dass instabile Rissausbreitung eintritt, wenn Kmax = KC. Dazwischen liegt das ParisGesetz der Form da dN

CS 'K mS

(4.14)

zugrunde.

Rissgeschwindigkeit da/dN

K C = K max Oberflächenriss (m , C ) S

S

Innenriss (m i, C i )

ǻKthS Innenriss (m0 , C0 )

ǻKthi

Spannungsintensitätsfaktor

ǻK

Abb. 4.12: Schematische Darstellung des Zusammenhangs der Rissgeschwindigkeit und der Spannungsintensität für Oberflächen- und Innenrisse (nach [243])


145

Bei Rissen im Inneren des Bauteils ergibt sich ein Thresholdwert von 'Kthi, wobei die Risszähigkeit unverändert ist. Somit ergibt sich das Paris-Gesetz für Innenrisse wie folgt: da dN

Ci 'K m i .

(4.15)

Der Thresholdwert 'Kthi entspricht dabei genau der Spannungsintensität, die sich am Rand des ODA ergibt. Da jedoch ein Risswachstum unterhalb von 'Kthi erkennbar ist, wird unterhalb dieses Thresholdwerts folgende Gesetzmäßigkeit angenommen: da dN

C0 'K m 0 .

(4.16)

Die werkstoffabhängigen Konstanten mi, mS, m0, Ci, CS, C0 bestimmen Tanaka und Akiniwa aus der Wöhlerkurve.

Kapitel 5

Bewertung, Vergleich und Anwendung der Konzepte

Vor allem vor dem Hintergrund der schadenstoleranten Bemessung von Maschinen, Anlagen, Verkehrsmitteln oder Bauteilen ist eine die Rissinitiierung und das Risswachstum einschließende Lebensdauervorhersage schon in der Produktentwicklungsphase von entscheidender Bedeutung, um Sicherheit gegen Versagen durch konstruktive Maßnahmen oder regelmäßige Inspektionen gewährleisten zu können. Unabhängig vom Lastspektrum oder vom Material sollten die Vorhersagen aus sicherheitstechnischen Aspekten immer konservativ sein. Aus ökonomischen Gründen hingegen ist eine optimale Ausnutzung des Materials zu ermöglichen. Die Treffsicherheit der Lebensdauerprognose hängt jedoch sehr stark vom verwendeten Modell ab. Um die Zuverlässigkeit ausgewählter Modelle zu bewerten, werden in den folgenden Kapiteln die Ergebnisse der Konzepte untereinander sowie mit experimentellen und numerischen Ergebnissen verglichen.

5.1

Experimentelle Untersuchungen

Für die Bewertung der verschiedenen Konzepte werden unterschiedliche Versuche durchgeführt. Dazu zählen Rissinitiierungs-, Wöhler- und Ermüdungsrissausbreitungsversuche. In den folgenden Kapiteln werden Versuchsaufbau und Versuchsdurchführung, Probentypen und Werkstoffe, die im Rahmen dieser Untersuchungen Verwendung finden, beschrieben. Die Darstellung der Ergebnisse und der Vergleich mit den Konzepten schließt sich daran an.

5.1.1 Versuchsaufbau und -durchführung Zur Durchführung der Ermüdungsversuche werden im Rahmen dieser Ausführungen unterschiedliche Probentypen eingesetzt. Die Untersuchung des Ermüdungs-

148

5 Bewertung, Vergleich und Anwendung der Konzepte

risswachstums erfolgt mit den in der ASTM-Norm E 647 standardisierten CTProben (Abb. 5.1a). Zur Untersuchung der Rissinitiierung und des Risswachstums werden sogenannte CTN- (Compact Tension Notch) Proben (Abb. 5.1b) eingesetzt. Hierbei handelt es sich um modifizierte CT-Proben, die anstelle eines Anrisses U-Kerben mit unterschiedlichen Kerbradien U und einer Kerbtiefe ak von 17 mm ausgehend von der Lasteinleitungsstelle haben. Weiterhin werden gekerbte Rundproben (Abb. 5.2) verwendet. Als Probenwerkstoffe kommen einerseits die hochfeste Aluminiumknetlegierung EN AW-7075-T651 (EN AW-AlZn5,5MgCu) und andererseits die beiden Stähle 42CrMo4 und 34CrNiMo6 zum Einsatz. Die CT- und CTN-Proben der Aluminiumknetlegierung und des Stahls 42CrMo4 wurden aus gewalzten Blechen mit einer Dicke von 10 mm gefertigt, wobei eine einheitliche Entnahmerichtung T-L bezüglich der Walzrichtung gewählt worden ist (siehe [10]). Die Lasteinleitung in die Proben erfolgt somit senkrecht zur Walzrichtung. a)

b)

30,5 18

35 18

45

ak = 17

M4

86,4

39,6

18

39,6

86,4

ȡ

0,9

17

17

a

10

M4 w = 72

a w = 72

Abb. 5.1: Geometrie und Abmessungen a) der CT-Probe und b) der CTN-Probe

Die gekerbten Rundproben sowie einige CT-Proben wurden einer ICERadsatzwelle aus dem Werkstoff 34CrNiMo6 entnommen. Die chemischen Zusammensetzungen der verwendeten Werkstoffe als Massenanteil in Prozent gemäß DIN EN 573-3 bzw. DIN EN 10250-3 sind in Tabelle 5.1 angegeben. Detail X

115 0,5

30°

36

0,5

0, 2

Abb. 5.2: Geometrie und Abmessungen der gekerbten Rundprobe

ȡ=

R36

10

15

9

X

45°

5.1 Experimentelle Untersuchungen

149

Tabelle 5.1: Chemische Zusammensetzung in % der untersuchten Werkstoffe gemäß DIN EN 573-3 bzw. DIN EN 10250-3 EN AW-7075-T651

34CrNiMo6

42CrMo4

C

-

0,3-0,38

0,38-0,45

Si

0,4

d 0,4

d 0,4

Mn

0,3

0,5-0,8

0,6-0,9

P

-

0,035

0,035

S

-

0,035

0,035

Cr

0,18-0,28

1,3-1,7

0,9-1,2

Mo

-

0,15-0,3

0,15-0,3

Ni

-

1,3-1,7

-

Fe

0,5

-

-

Cu

1,2-2,0

-

-

Mg

2,1-2,9

-

-

Zn Ti

5,1-6,1 0,2

-

-

Die mechanischen Werkstoffkennwerte der untersuchten Werkstoffe sind Tabelle 5.2 zu entnehmen. Zur Untersuchung der Rissinitiierung und des Risswachstums sind die Geometriefunktionen Y(a) der Proben erforderlich (s. Kap. 2.5.1). Während es sich bei der CT-Probe um eine Standardprobe mit bekannter Funktion Y(a) handelt, mussten für die CTN-Proben die entsprechenden Geometriefunktionen in Abhängigkeit des Kerbradius mittels des FE-Programms FRANC/FAM [192, 221] bestimmt werden. Ein Vergleich der Geometriefunktionen ist in Abb. 5.3 dargestellt. Durchgeführt werden die Ermüdungsversuche mit servohydraulischen Universalprüfmaschinen und entsprechender Elektronik. Die Kommunikation zwischen der Elektronik und einem Personalcomputer wird mittels eines General Purpose Interface Bus (GPIB) hergestellt. Zur Steuerung und Messwerterfassung der Ermüdungsrissausbreitungsversuche dient das interaktive Programm FAMControl [211]. Dagegen wird bei den Versuchen zur Ermittlung von Wöhler- und Lebensdauerlinien das Programmsystem FAMWöhler eingesetzt. Beide Programme ermöglichen eine vollkommen automatische Versuchsdurchführung. Tabelle 5.2: Mechanische Werkstoffkennwerte der untersuchten Werkstoffe Werkstoff

Rp0,2 bzw. Re [MPa]

EN AW-7075-T651

517

34CrNiMo6 42CrMo4 1

Wingenbach [267]

Rm [MPa]

1

579

2

1

942 3 1100

2

825 3 900 2

BMBF-Vorhaben [254]

3

FKM-Richtlinie [67]

150


Geometriefaktor Y

6 5 4

ȡ = 0 mm ȡ = 0,4 mm ȡ = 2 mm ȡ = 4 mm ȡ = 6 mm

3 2 1 0

17

17,5

18

18,5 19 Risslänge a [mm]

19,5

20

Abb. 5.3: Vergleich der Geometriefunktionen für die CT- und die CTN-Proben in Abhängigkeit des Kerbradius

Zur Risslängenmessung wird die Gleichstrompotentialmethode verwendet. Deshalb sind zusätzlich während der Ermüdungsrissausbreitungsversuche eine Konstantstromquelle, ein Umschalter, ein Vorverstärker und ein Modulares Interface System (MIS), das aus einem A/D- und einem D/A-Wandler besteht, erforderlich. Bei der Gleichstrompotentialmethode wird in die Probe ein konstanter Gleichstrom ober- und unterhalb der Kerbe eingeleitet und an bestimmten Punkten die Potentialdifferenz abgegriffen. Um Fehlströme zu vermeiden, sind die Lasteinleitungsstellen der Probe und die Innenseiten der Einspannbacken isoliert. Ausgenutzt wird bei der Messung der Effekt, dass sich durch das Risswachstum der Ohmsche Widerstand infolge der Querschnittsminderung erhöht. Da es durch lange Versuchszeiten zu einem Potentialdrift kommen kann, wird nach jeder Potentialdifferenzmessung mittels eines Umschalters die Stromrichtung gewechselt. Aus dem Verhältnis des aktuellen Potentials zum Anfangspotential ergibt sich die zugehörige Risslänge mit Hilfe einer experimentell bestimmten Kalibrierkurve [213].

5.1.2

Risswachstum

Für die Risswachstumsexperimente werden CT- und CTN-Proben der Aluminiumlegierung EN AW-7075-T651 verwendet. Die CT-Proben dienen der Untersuchung des Langrisswachstums ausgehend von einem initialen Riss der Länge 17 mm. Die CTN-Proben besitzen eine Starterkerbe von 17 mm, von der zunächst ein Riss initiiert werden muss. Somit umfasst die Gesamtlebensdauer einer CTNProbe die Rissinitiierung sowie das Kurz- und das Langrisswachstum. Abbildung 5.4 zeigt den Vergleich der Risswachstumsraten eines kurzen Risses ausgehend von einer Kerbe und eines langen Risses bei gleicher äußerer Belastung.


1 10 -1

da/dN [mm/Lw]

b)

langer Riss (CT) kurzer Riss (CTN)

10 -3


10 -1

F max = 10 kN, R = 0,1 CT-Probe/ CTN-Probe ( ȡ = 2 mm) EN AW-7075-T651

10 -2

1

da/dN [mm/Lw]

a)

151

10 -4 10 -5

10 -2 10 -3 10 -4

Fmax = 15 kN, R = 0,1 CT-Probe/ CTN-Probe ( ȡ = 2 mm) EN AW-7075-T651

10 -5

10 -6

10 -6 17

17,5 18 18,5 19 a [mm]

19,5

17

17,5

18 18,5 a [mm]

19

19,5

Abb. 5.4: Vergleich der Rissgeschwindigkeiten kurzer und langer Risse für a) Fmax = 10 kN, R = 0,1 und b) Fmax = 15 kN, R = 0,1

Dabei wird deutlich, dass die Rissgeschwindigkeit des kurzen Risses zunächst abnimmt, nach Erreichen eines Minimums steigt und dann sich kontinuierlich der Rissgeschwindigkeit des langen Risses annähert. Jedoch bedarf es bei einer höheren Belastung eines größeren Rissinkrements bis die Rissgeschwindigkeit der eines langen Risses entspricht. Beeinflusst wird die Anpassung der Rissgeschwindigkeit an einen langen Riss zudem durch die Kerbform, d.h. in diesem Fall durch den Kerbradius. 60 Np

55

Ni

a [mm]

50 45

Fmax = 10 kN, R = 0,1

40

EN AW-7075-T651

35


30 25 20 15 0

10000

20000 N [Lw]

30000

40000

Abb. 5.5: Vergleich des Risswachstums eines kurzen und eines langen Risses

Eine charakteristische Kenngröße, die den Einfluss aus Kerbgeometrie und Belastung widerspiegelt, ist die Anrisslebensdauer. Mittels der durchgeführten Risswachstumsversuche an CT- und CTN-Proben ist es möglich, die Anrisslebensdau-

152


er Ni durch die Differenz der Lebensdauern zu bestimmen (Abb. 5.5). Bereits in dem in Abb. 5.5 dargestellten Fall zeigt sich, dass die Anrisslebensdauer einen deutlichen Lebensdaueranteil ausmachen kann.

5.1.3

Wöhler- und Lebensdauerlinien

Abbildung 5.6 zeigt einen Vergleich der Wöhlerlinie für ein R-Verhältnis von 0,1 mit den Lebensdauerlinien der Standardlastspektren FELIX/28 (Belastung von Helikopterrotoren mit fixierten Rotoren) und CARLOS/v (Vertikalbelastung im Radaustandspunkt eines PKW) für gekerbte Rundproben aus dem Stahl 34CrNiMo6. Die Standardlastspektren sind aufgrund ihrer Lastfolge sehr unterschiedlich. Im Unterschied zu einer eher stochastischen Verteilung des Lastspektrums CARLOS/v, sind bei FELIX/28 deutliche Blockstrukturen erkennbar [215]. 1000 CA (R = 0,1) FELIX/28

ıa

bzw. ıa [MPa]

CARLOS/v

gekerbte Rundprobe 34CrNiMo6

100 10.000

100.000 1.000.000 Bruchschwingspielzahl

10.000.000

Abb. 5.6: Wöhlerlinie (CA) bzw. Lebensdauerlinien der Standardlastspektren FELIX/28 und CARLOS/v für gekerbte Rundproben aus dem Werkstoff 34CrNiMo6

Zur Ermittlung der Lebensdauerlinien sind die Minimal- und Maximalwerte der Lastspektren mit unterschiedlichen Faktoren skaliert und aus versuchstechnischen Gründen die negativen Kräfte durch 0,1 kN ersetzt worden. Während des Versuchs werden die entsprechenden Lastfolgen solange wiederholt, bis entweder die Probe versagt oder ein Durchläufer (N t 2106 Lw) entsteht. Der Vergleich zeigt, dass durch die Anwendung der Lastspektren die Lebensdauern deutlich zu höheren Werten verschoben werden. Außerdem ist zu erkennen, dass das Standardlastspektrum CARLOS/v offensichtlich eine geringere schädigende Wirkung aufgrund der geringeren Völligkeit des Kollektivs hat als das Lastspektrum FELIX/28, welches bei gleichen Kollektivhöchstwerten V a zu geringeren Lebensdauern führt.


153

Eine Auswertung der Kennwerte bezüglich der Zeitfestigkeitsgeraden ist Tabelle 5.3 zu entnehmen. Die Neigung ergibt sich aus einer Ausgleichsfunktion durch die arithmetischen Mittelwerte der logarithmierten Lebensdauern, welches einer 50%-Ausfallwahrscheinlichkeit entspricht. Der Dauerfestigkeitswert gibt die höchste Spannung an, bei der ein Durchläufer auftritt. Eine Absicherung der Versuche beispielsweise durch das Treppenstufenverfahren ist nicht durchgeführt worden. Die Eckschwingspielzahl ergibt sich durch die Berechnung mittels der Ausgleichsfunktion des entsprechenden Spannungsniveaus. Tabelle 5.3: Kennwerte der Zeitfestigkeitsgeraden der Wöhlerlinie sowie der unterschiedlichen Lebensdauerlinien für gekerbte Rundproben aus dem Werkstoff 34CrNiMo6 Lastspektrum

k

VD [MPa]

ND [Lw]

Konstante Amplitude R = 0,1

4,9

151,5

380.000

FELIX/28 CARLOS/v

5,8 5,7

215,4 293,9

150.000 1.800.000

Ein Vergleich der Neigungen veranschaulicht, dass sich für die Lastspektren höhere Werte für k ergeben als bei einer zyklischen Belastung mit konstanter Amplitude. Der Unterschied zwischen den beiden Spektren ist eher gering. Dafür ist der Einfluss auf die Dauerfestigkeitswerte und die Eckschwingspielzahlen deutlich größer. Abbildung 5.7 zeigt exemplarisch eine Auswahl einiger Bruchflächen für konstante Amplitudenbelastung und für die Belastung mit dem Standardlastspektrum CARLOS/v bei unterschiedlichen Kollektivhöchstwerten. a)

Abb. 5.7: Bruchflächen der gekerbten Rundprobe a) konstante Amplitudenbelastung (Fmax = 57,5 kN, R = 0,1) b) CARLOS/v ( V a 293,95 MPa ) c) CARLOS/v ( V a 400,05 MPa ) d) CARLOS/v ( V a 400,05 MPa )

Auch für den Werkstoff EN AW-7075-T651 sind Wöhlerlinien aufgenommen worden. Dabei kommen CTN-Proben mit unterschiedlichen Kerbradien U zum Einsatz, für die die Nennspannung wie folgt definiert ist:

V a, N

( Fmax Fmin ) (2 w ak ) ( w ak ) 2 B

.

(5.1)

154


Abbildung 5.8 zeigt die Wöhlerlinien im Vergleich zur Rissfortschrittswöhlerlinie, die unter Verwendung von CT-Proben experimentell und mittels des Programms NASGRO ermittelt wurde. Die Bruchschwingspielzahl der CTN-Probe schließt sowohl die Rissinitiierung als auch das Risswachstum ein. 120

ıa,N [MPa]

100

ȡ = 2 mm ȡ = 4 mm ȡ = 6 mm ȡ = 0 mm

CA (R = 0,1) CT-Probe/CTN-Probe EN AW-7075-T651

80

NASGRO

60 40 20 0 1.000

10.000

100.000

1.000.000

10.000.000 100.000.000

Bruchschwingspielzahl

Abb. 5.8: Wöhlerlinien für CTN-Proben mit unterschiedlichen Kerbradien U im Vergleich zu einer experimentell und analytisch (NASGRO) ermittelten Rissfortschrittswöhlerlinie (U = 0 mm)

Bei der CT-Probe ist die Restlebensdauer ab einer Risslänge von 17 mm definiert, welches exakt der Kerbtiefe der CTN-Probe entspricht. Es wird deutlich, dass mit zunehmendem Kerbradius größere Lebensdauern erzielt werden können. Dies liegt daran, dass die Rissinitiierungslebensdauer, die sich als Differenz aus der Wöhlerlinie der entsprechenden CTN-Probe und der Rissfortschrittswöhlerlinie ergibt, deutlich zunimmt. In Abb. 5.8 sind zusätzlich die Simulationsergebnisse der Rissfortschrittslinie, die mit Hilfe des von der NASA entwickelten Programms NASGRO [154] bestimmt worden sind (s. auch Kap. 5.3), eingetragen. Hierbei zeigt sich eine gute Übereinstimmung zu den experimentellen Daten der Rissfortschrittsuntersuchung. Ein Vergleich der Lebensdauerlinien des Lastspektrums FELIX/28 für unterschiedliche Kerbradien sowie für einen Riss ist in Abb. 5.9 dargestellt. Auch hier ist der Einfluss der Kerbradien auf die Bruchschwingspielzahlen deutlich zu erkennen. Der Unterschied zwischen einem Kerbradius von 4 mm und 6 mm ist jedoch nur marginal. Eine Auswertung der Kennwerte bezüglich der Zeitfestigkeitsgeraden für eine 50%-Ausfallwahrscheinlichkeit ist Tabelle 5.4 zu entnehmen, die in gleicher Weise wie bei den gekerbten Rundproben ermittelt worden sind. Auch hier ist darauf hinzuweisen, dass die Dauerfestigkeitswerte der höchsten Spannung entsprechen, bei der ein Durchläufer aufgetreten ist.


155

120

ȡ = 2 mm ȡ = 4 mm ȡ = 6 mm ȡ = 0 mm

ıa,N

[MPa]

100 80

NASGRO

60 40 20

FELIX/28 CT-Probe/CTN-Probe EN AW-7075-T651

0 1.000

10.000

100.000 1.000.000 10.000.000 100.000.000 Bruchschwingspielzahl

Abb. 5.9: Lebensdauerlinien für CTN-Proben mit unterschiedlichen Kerbradien U im Vergleich zu einer experimentell und analytisch ermittelten Rissfortschrittslebensdauerlinie (U = 0 mm) für das Standardlastspektrum FELIX/28

Bei einer Belastung mit konstanter Amplitude sowie mit dem Standardlastspektrum FELIX/28 nimmt bis auf den Kerbradius von 6 mm die Neigung und die Dauerfestigkeit zu. Deutlich zu erkennen ist ferner der Unterschied zwischen den Neigungen der Wöhler- und Lebensdauerlinien. Die Neigung der Rissfortschrittswöhlerlinie ist bei konstanter Amplitudenbelastung gegenüber der Belastung mit FELIX/28 ebenfalls verändert. Tabelle 5.4: Kennwerte der Zeitfestigkeitsgeraden der unterschiedlichen Belastungen für die CT- bzw. CTN-Probe aus der Aluminiumlegierung EN AW-7075-T651 Kerbradius

U [mm]

k

Konstante Amplitude (R = 0,1) V D [MPa] ND [Lw]

k

FELIX/28

Riss

3,7

22,8

182.000

4,6

-

2

3,5

27,33

423.000

3,6

39,4

1.557.000

4 6

9,0 3,6

35,9 28,7

16.911.000 3.464.000

6,7 5,7

59,3 52,7

8.185.000 9.498.000

V D [MPa]

ND [Lw] -

Durch die Ermittlung der Wöhler- und Lebensdauerlinien mit CT- und CTNProben bei gleichen Abmessungen ist es möglich, die Initiierungslebensdauer durch die Differenz der Lebensdauer der CTN-Probe und der 50%-Lebensdauer der Rissfortschrittswöhlerlinie in Abhängigkeit der Belastung und des Kerbradius zu bestimmen.

156

5.2


Numerische Untersuchungen

Für die Finite-Elemente-Analyse mittels ABAQUS/Standard werden die in Kap. 5.1.1 dargestellten Proben verwendet, um einerseits die elastischen Spannungsverteilungen und andererseits das Rissschließverhalten kurzer und langer Risse untersuchen zu können. Abbildung 5.10 zeigt exemplarisch für die CTN-Probe mit einem Kerbradius U = 4 mm das zweidimensionale Finite-Elemente-Netz und die Randbedingungen. Unmittelbar im Kerbgrund ist ein rechteckiger Bereich mit quadratischen Elementen mit einer Kantenlänge von 0,025 mm gewählt worden. Ein derartig feines Netz ist notwendig, um die Spannungskonzentration und die daraus entstehende plastische Zone an der Rissspitze einer Risswachstumssimulation abbilden zu können. Weiterhin wird über die Elementkantenlänge das Risswachstumsinkrement definiert. In der Literatur [120, 137, 162, 179] sind zahlreiche Untersuchungen hinsichtlich der Elementkantenlänge beschrieben, die zu sehr unterschiedlichen Ergebnissen führen. Analysen haben jedoch gezeigt, dass für die Aluminiumlegierung EN AW-7075-T651 nur ein unwesentlicher Unterschied zwischen den Ergebnissen unter Verwendung unterschiedlich feiner Elemente festgestellt werden kann. Aus Gründen der Rechenzeitverkürzung bei der Risswachstumssimulation wird daher eine Elementkantenlänge von 0,025 mm gewählt [216]. F 1

2

3 F

Abb. 5.10: Finite-Elemente-Netz und Randbedingungen am Beispiel der CTN-Probe mit einem Kerbradius U = 4 mm und entsprechender Ausschnittsvergrößerung der Netzverfeinerung im Kerbgrund

Das Risswachstum wird mittels der „DEBOND“-Option von ABAQUS simuliert. Dazu sind zu Beginn der Simulation die Knoten entlang des Risspfades miteinander verknüpft und werden während der Simulation sukzessive bei maximaler Belastung getrennt [216]. Zwischen den Risserweiterungsschritten werden jeweils

5.2 Numerische Untersuchungen

157

4 Lastwechsel berechnet. Die neu entstanden Rissflächen sind als Kontaktflächen unter Verwendung des Master-Slave Algorithmus definiert, um das Rissschließen und die entsprechende Kraftübertragung über die Rissflanken abzubilden. Die Simulationen werden sowohl mit elastischem als auch elastischplastischem Materialverhalten durchgeführt. Bei den elastisch-plastischen FESimulationen wird dem Bereich d (Abb. 5.10) ein entsprechendes Materialverhalten unter Verwendung des Chaboche-Modells mit folgenden Parametern für die Aluminiumlegierung EN AW-7075-T651 zugewiesen: E = 70656 MPa VF0 = 450 MPa, C = 9393 MPa and J = 34,96. Untersuchungen unterschiedlicher Werkstoffe haben gezeigt, dass die initiale Fließspannung VF0 einen entscheidenden Einfluss auf die Ergebnisse der Finite-Elemente-Analyse hat, während Art und Umfang der Verfestigung eine untergeordnete Rolle spielt [217]. Um große Verschiebungen berücksichtigen zu können, wird eine geometrisch nicht-lineare Analyse durchgeführt. a)

c) Symmetrieebene

Symmetrieebene

b)

d)

Symmetrieebene

Symmetrieebenen

ak a

a

c

Abb. 5.11: Dreidimensionale Finite-Elemente-Modellierung einer gekerbten Rundprobe a) Darstellung eines Viertels der Rundprobe mit einem halbkreisförmigen Oberflächenriss b) Ansicht in der y-z-Ebene im Kerbgrund mit Ausschnittsvergrößerung der Netzverfeinerung des halbkreisförmigen Oberflächenrisses c) Darstellung eines Achtels der Rundprobe mit einem umlaufenden Riss d) Ansicht in der y-z-Ebene im Kerbgrund mit Ausschnittsvergrößerung der Netzverfeinerung des umlaufenden Risses

Zur Simulation des Kurzrisswachstums in der gekerbten Rundprobe kommt ein dreidimensionales Finite-Elemente-Modell (Abb. 5.11) zum Einsatz. Unter Be-

158


rücksichtigung der entsprechenden Randbedingungen genügt es, aus Symmetriegründen ein Viertel im Falle eines halbkreisförmigen Oberflächenrisses ausgehend aus der Kerbe (Abb. 5.11a und b) bzw. ein Achtel der Probe im Falle eines umlaufenden Risses ausgehend vom Kerbgrund (Abb. 5.11c und d) zu modellieren. Das Kurzrisswachstum im dreidimensionalen FE-Modell wird dadurch realisiert, dass die zu simulierende Rissfläche in einzelne Teilflächen eingeteilt wird. Während der Simulation werden die Symmetrierandbedingungen der einzelnen Flächen sukzessive entfernt, so dass ein Riss entsteht. Bei der Einteilung der Flächen ist darauf zu achten, dass das Rissinkrement dem El Haddad-Parameter a0 von 0,03 mm des Werkstoffs 34CrNiMo6 entspricht. Für die verwendeten Tetraederelemente mit quadratischem Verschiebungsansatz wird deshalb im Bereich der Rissflächen eine Elementkantenlänge von 0,03 mm gewählt, während im übrigen Teil des FE-Modells größere Elemente Verwendung finden. Die Kurzrisswachstumssimulationen in der gekerbten Rundprobe werden mit elastischem Materialverhalten für den Werkstoff 34CrNiMo6 durchgeführt. Auf eine explizite Darstellung der Berechnungsergebnisse wird an dieser Stelle verzichtet, da sie in den folgenden Abschnitten in den Vergleichen verwendet werden.

5.3

Analytische Ermittlung von Rissfortschrittswöhlerlinien

Zur Simulation des Ermüdungsrisswachstums in Bauteilen und Strukturen stehen zahlreiche Programme zur Verfügung. Das Programm NASGRO [154], das von der NASA entwickelt worden ist, besitzt insbesondere in der Luft- und Raumfahrt einen hohen Stellenwert, wird aber auch in anderen Bereichen, wie beispielsweise der Eisenbahntechnik, eingesetzt. Die Basis zur Durchführung einer Simulation mit NASGRO bildet eine Bibliothek von Geometrien und Risskonfigurationen mit den entsprechenden analytischen Lösungen für die Spannungsintensitätsfaktoren der Risse.

60°

a

10

Abb. 5.12: NASGRO-Modell zur Bestimmung der Rissfortschrittswöhlerlinie

Mit Hilfe des Programms NASGRO werden Simulationen zur Ermittlung von Rissfortschrittswöhlerlinien durchgeführt. Als Modelle dienen die CT-Probe (Abb. 5.1a) sowie eine gekerbte Rundprobe (Abb. 5.2). Da die in den Experimenten ein-

5.3 Analytische Ermittlung von Rissfortschrittswöhlerlinien

159

gesetzte Geometrie der gekerbten Rundprobe nicht in der NASGRO-Bibliothek vorhanden ist, wird das Modell in Abb. 5.12 für die Simulation genutzt. Tabelle 5.5: Parameter der NASGRO Gleichung Werkstoff

C

n

p

q

KC

'K0 3/2

D

Vmax/V0 C+th

3/2

[N/mm ] [N/mm ] -11

34CrNiMo6

4,010

0,4 0,3 270,0

4600

1,9

0,3

2,5

42CrMo4 EN AW-7075-T651

4,510 2,20 0,8 0,5 346,0 -11 2,110 2,885 0,8 0,4 104,2

2,25

3900 800

1,9 1,9

0,3 0,3

4,0 2,0

-11

Für die Simulationen auf der Basis der NASGRO Gleichung (Gleichung 2.108) muss eine Anpassung der entsprechenden Parameter an die Rissgeschwindigkeitskurve der Werkstoffe 34CrNiMo6, 42CrMo4 und EN AW-7075-T651 erfolgen. Die ermittelten Parameter sind Tabelle 5.5 zu entnehmen. Abbildung 5.13 zeigt exemplarisch die Rissfortschrittswöhlerlinien für den Stahl 42CrMo4 und die Aluminiumlegierung EN AW-7075-T651 in Abhängigkeit des R-Verhältnisses. Durch die Verwendung von CT-Proben mit einer Anfangsrisslänge a0 von 17 mm wird nur die Rissfortschrittsphase erfasst. Die Rissfortschrittswöhlerlinien für den Stahl 34CrNiMo6 sind sowohl unter Verwendung des in Abb. 5.12 dargestellten Modells als auch der CT-Probe ermittelt worden. 1000 CT-Probe a 0 = 17 mm m = 3,1

ıa,N [MPa]

100 m = 2,9

10

7075 (R = 0,1) 7075 (R = 0,5) 42CrMo4 (R = 0,1) 42CrMo4 (R = 0,5)

1 1.000

10.000

m = 3,7

100.000

1.000.000

m = 4,1

10.000.000 100.000.000

N p [Lw]

Abb. 5.13: Rissfortschrittswöhlerlinien für den Stahl 42CrMo4 und die Aluminiumlegierung EN AW-7075-T651 in Abhängigkeit des Spannungsverhältnisses R

160


Die Gegenüberstellung zeigt, dass die Rissfortschrittswöhlerlinien deutlich durch den Werkstoff bestimmt sind und zudem durch das R-Verhältnis beeinflusst werden. Die ermittelten Neigungen sind in Tabelle 5.6 zusammengefasst. Tabelle 5.6: Neigungen der Rissfortschritsswöhlerlinien unter Verwendung von CT-Proben Werkstoff

R = 0,1

R = 0,5

34CrNiMo6

2,7

2,7

42CrMo4 EN AW-7075-T651

3,1 4,1

2,9 3,7

Nach Liu und Zenner ist die Rissfortschrittswöhlerlinie als Differenz der Bruch- und der Anrissschwingspielzahl definiert. Da die Anrisslänge jedoch nicht dokumentiert ist, sind Simulationen mit unterschiedlichen Anrisslängen in der gekerbten Rundprobe durchgeführt worden. Das Ergebnis ist in Abb. 5.14 dargestellt. Es wird deutlich, dass durch eine Verminderung der Anrisslänge, wie erwartet, nicht nur die Rissfortschrittslebensdauer zunimmt, sondern auch die Neigung der Rissfortschrittswöhlerlinie sich verändert. 1000 gekerbte Rundprobe 34CrNiMo6

a0 = 1 mm

ıa,N [MPa]

a0 = 0,5 mm

100 1.000

10.000 N p [Lw]

100.000

Abb. 5.14: Rissfortschrittswöhlerlinien für den Stahl 34CrNiMo6 in Abhängigkeit der Anfangsrisslänge

5.4

Betriebsfestigkeits- und kombinierte Konzepte

In diesem Kapitel werden die mit dem Programm LMS FALANCS [124] ermittelten Ergebnisse sowohl der klassischen Betriebfestigkeitskonzepte als auch der kombinierten Bruchmechanik- und Betriebsfestigkeitskonzepte durch den Ver-

5.4 Betriebsfestigkeits- und kombinierte Konzepte

161

gleich mit experimentellen Ergebnissen bewertet. Dabei kommen maßgeblich Proben zum Einsatz, damit die Effekte mit Bauteileinflüssen nicht vermischt werden. Des weiteren werden für die Bewertung der Konzepte vollständige Lebensdauerlinien herangezogen, um den Einfluss durch unterschiedliche Lastniveaus berücksichtigen zu können.

5.4.1

Nennspannungsbasierte Konzepte

Bevor die Simulationsergebnisse der Konzepte mit den experimentellen Daten hinsichtlich ihrer Zuverlässigkeit verglichen werden, ist zunächst der Einfluss der Klassenanzahl des Zählverfahrens, der Neigung der Wöhlerlinie, der Dauerfestigkeit und der Last-Zeit-Funktion auf die Lebensdauervorhersage zu untersuchen. Durch den Vergleich der Simulationen mit unterschiedlichen Klassen zeigt sich, dass bis auf eine Klassenanzahl von 16 nahezu die gleichen Lebensdauerwerte bestimmt werden (Abb. 5.15). Der Unterschied bei 16 Klassen wird insbesondere bei den Ergebnissen mit dem Konzept nach Liu und Zenner deutlich. Deshalb ist die Verwendung einer Klassenanzahl von mindestens 32 Klassen bei der Zählung zu empfehlen. Eine Sensitivitätsanalyse bezüglich der Eckschwingspielzahl ND sowie der Neigung k und damit der Definition der Wöhlerlinie ist in Abb. 5.16 und Abb. 5.17 dargestellt. Bis auf die Lebensdauersimulation mit dem Konzept nach Liu und Zenner (Abb. 5.16c und Abb. 5.17c) ist ein großer Einfluss durch die Änderung der Neigung unabhängig vom Lastspektrum festzustellen. Bei der Originalform des Konzepts nach Palmgren und Miner (Abb. 5.16a und Abb. 5.17a) ist der Unterschied zwischen den Lebensdauerwerten insbesondere bei großen Kollektivhöchstwerten erkennbar. Bei kleineren Spannungswerten laufen die Lebensdauerlinien für konstante Eckschwingspielzahlen nahezu zusammen. Die Lebensdauerlinien, die mit der modifizierten Palmgren-Miner-Regel nach Haibach (Abb. 5.16b und Abb. 5.17b) ermittelt worden sind, kreuzen sich und laufen im unteren Spannungswertebereich auseinander, da durch die Neigung (2k-1) der Wöhlerlinie im Bereich unterhalb der Dauerfestigkeit der Effekt der Neigungsänderung verstärkt wird. Relativ unempfindlich reagiert das Konzept nach Liu und Zenner auf Neigungsänderungen, weil durch die Mittelung der Neigungen der Wöhlerlinie und der Rissfortschrittswöhlerlinie die Neigung der Bezugswöhlerlinie nicht so stark beeinflusst wird, wie z.B. bei der Originalform der Palmgren-Miner-Regel. Eine Änderung der Eckschwingspielzahl unter Beibehaltung des Dauerfestigkeitswertes führt bei allen Konzepten, wie erwartet, zu einer Verschiebung zu größeren Lebensdauerwerten. Die Differenz zwischen den beiden Lebensdauerlinien ist jedoch nicht konstant.

162

5 Bewertung, Vergleich und Anwendung der Konzepte a)

400

FELIX/28 k = 3, ıa = 150 MPa, N D = 2*106 Lw Palmgren-Miner Original

ıa,N [MPa]

350 300

16 Klassen 32 Klassen 64 Klassen 128 Klassen

250 200 150 100

b)

10 6

400

ıa,N [MPa]

350

10 8

N [Lw]

300 250 200

100 10 6

400 350

ıa,N [MPa]

10 12

FELIX/28 k = 3, ıa = 150 MPa, N D = 2*106 Lw Palmgren-Miner modifiziert (Haibach)

16 Klassen 32 Klassen 64 Klassen 128 Klassen

150

c)

10 10

10 8

N [Lw]

10 10

10 12

FELIX/28 k = 3, ıa = 150 MPa, N D = 2*106 Lw Liu/Zenner

300 250 16 Klassen 32 Klassen 64 Klassen 128 Klassen

200 150 100 10 6

10 8

N [Lw]

10 10

10 12

Abb. 5.15: Auswirkungen der Klassenzahl bei der Lebensdauerprognose mit den Konzepten nach Palmgren-Miner (Original), Haibach und Liu/Zenner beim Standardlastspektrum FELIX/28

5.4 Betriebsfestigkeits- und kombinierte Konzepte a) 400

ıa,N [MPa]

350

250 200

100

400

ıa,N [MPa]

350

FELIX/28 Palmgren-Miner Original 10 6

10 8

N [Lw]

k = 3; N D = 2*10 6 k = 5; N D = 2*10 6 k = 9; N D = 2*10 6

10 10

10 12

k = 3; N D = 2*10 7 k = 5; N D = 2*10 7 k = 9; N D = 2*10 7

300 250 200 150 100

c) 400

350

ıa,N [MPa]

k = 3; N D = 2*10 7 k = 5; N D = 2*10 7 k = 9; N D = 2*10 7

300

150

b)

k = 3; N D = 2*10 6 k = 5; N D = 2*10 6 k = 9; N D = 2*10 6

163

FELIX/28 Palmgren-Miner modifiziert (Haibach) 10 6

10 8

N [Lw]

k = 3; N D = 2*10 6 k = 5; N D = 2*10 6 k = 9; N D = 2*10 6

10 10

10 12

k = 3; N D = 2*10 7 k = 5; N D = 2*10 7 k = 9; N D = 2*10 7

300 250 200 150 100

FELIX/28 Liu/Zenner 10 6

10 8

N [Lw]

10 10

10 12

Abb. 5.16: Einfluss der Eckschwingspielzahl und der Neigung der Wöhlerlinie auf die Lebensdauervorhersage bei der Anwendung unterschiedlicher Nennspannungskonzepte und dem Standardlastspektrum FELIX/28 a) Palmgren-Miner Original, b) Palmgren-Miner modifiziert (Haibach) und c) Liu/Zenner

164

5 Bewertung, Vergleich und Anwendung der Konzepte a)

400

ıa,N [MPa]

350

k = 3; N D = 2*10 6 k = 5; N D = 2*10 6 k = 9; N D = 2*10 6

300 250 200 CARLOS/v Palmgren-Miner Original

150 100

b) 400

ıa,N [MPa]

350

10 6

N [Lw]

10 10

10 12

k = 3; N D = 2*10 7 k = 5; N D = 2*10 7 k = 9; N D = 2*10 7

300 250 200

100

400 350

ıa,N [MPa]

10 8

k = 3; N D = 2*10 6 k = 5; N D = 2*10 6 k = 9; N D = 2*10 6

CARLOS/v Palmgren-Miner modifiziert (Haibach )

150

c)

k = 3; N D = 2*10 7 k = 5; N D = 2*10 7 k = 9; N D = 2*10 7

10 6

10 8

N [Lw]

k = 3; N D = 2*10 6 k = 5; N D = 2*10 6 k = 9; N D = 2*10 6

10 10

10 12

k = 3; N D = 2*10 7 k = 5; N D = 2*10 7 k = 9; N D = 2*10 7

300 250 200 CARLOS/v Liu/Zenner

150 100

10 6

10 8

N [Lw]

10 10

10 12

Abb. 5.17: Einfluss der Eckschwingspielzahl und der Neigung der Wöhlerlinie auf die Lebensdauervorhersage bei der Anwendung unterschiedlicher Nennspannungskonzepte und dem Standardlastspektrum CARLOS/v a) Palmgren-Miner Original, b) Palmgren-Miner modifiziert (Haibach) und c) Liu/Zenner


165

Aus den Abbildungen 5.16 und 5.17 geht ferner hervor, dass die Konzepte zu deutlich unterschiedlichen Lebensdauervorhersagen bei gleicher Belastungs-ZeitFunktion kommen. Da bereits bekannt ist, dass die Originalform der PalmgrenMiner-Regel die Lebensdauer bei Lastspektren unzuverlässig prognostiziert, wird im Folgenden auf einen Vergleich dieses Konzepts mit experimentellen Daten verzichtet. Die Nennspannungskonzepte sind prädestiniert zur Vorhersage der Lebensdauer von Bauteilen, bei denen ein eindeutiger Nennquerschnitt definierbar ist. Aus diesem Grund wird zur Untersuchung der Zuverlässigkeit der Nennspannungskonzepte zunächst die gekerbte Rundprobe eingesetzt. 550 Experimente

500

Liu/Zenner

ıa,N [MPa]

450

Haibach

400 350 300 250 200

FELIX/28 gekerbte Rundprobe 34CrNiMo6

150 10.000

100.000

1.000.000

10.000.000


Abb. 5.18: Vergleich der Ergebnisse der nennspannungsbasierten Konzepte mit den experimentellen Ergebnissen gekerbter Rundproben des Werkstoffs 34CrNiMo6 für das Standardlastspektrum FELIX/28

Für die Untersuchungen sind die Kennwerte der Zeitfestigkeitsgeraden aus Tabelle 5.3 für die Vorhersage der Lebensdauerlinien verwendet worden. Die Abbildungen 5.18 und 5.19 zeigen einen Vergleich der experimentell und analytisch bestimmten Lebensdauerlinien. Hierbei wird deutlich, dass das Konzept nach Liu und Zenner sowohl für FELIX/28 (Abb. 5.18) als auch CARLOS/v (Abb. 5.19) sehr gute Ergebnisse liefert, die mit den Mittelwerten der Versuche übereinstimmen. Das modifzierte Palmgren-Miner-Konzept nach Haibach liefert dagegen eher unsichere Ergebnisse. Da die Dauerfestigkeit im Rahmen dieser Arbeit nur grob abgeschätzt werden konnte, ist der Einfluss der Höhe der Dauerfestigkeit auf die Lebensdauervorhersage untersucht worden. Es zeigt sich, dass bei der Anwendung des Konzepts nach Liu und Zenner selbst bei einer 40%igen Absenkung des Dauerfestigkeitswerts und entsprechender Anpassung der Eckschwingspielzahl sowohl beim Lastspektrum FELIX/28 als auch beim Lastspektrum CARLOS/v lediglich ein marginaler Unterschied auftritt.

166


550 Experimente

500

Liu/Zenner

ıa,N [MPa]

450

Haibach

400 350 300 250

CARLOS/v gekerbte Rundprobe 34CrNiMo6

200

150 10.000

100.000

1.000.000

10.000.000


Abb. 5.19: Vergleich der Ergebnisse der nennspannungsbasierten Konzepte mit den experimentellen Ergebnissen gekerbter Rundproben des Werkstoffs 34CrNiMo6 für das Standardlastspektrum CARLOS/v

Hingegen werden mit abnehmender Dauerfestigkeit beim modifizierten Palmgren-Miner-Konzept nach Haibach die berechneten Lebensdauern geringer. Dies tritt insbesondere im Bereich kleiner Amplituden auf und ist zudem vom Belastungsspektrum abhängig. 120 Experimente

ıa,N [MPa]

100

Miner modifiziert Liu/Zenner

80

Miner elementar

60 40 20

FELIX/28 CTN-Probe ( ȡ = 2 mm) EN AW-7075-T651

0 1.000

10.000

100.000

1.000.000

10.000.000 100.000.000


Abb. 5.20: Vergleich der Ergebnisse der nennspannungsbasierten Konzepte mit den experimentellen Ergebnissen für CTN-Proben (U = 2 mm) der Aluminiumlegierung EN AW7075-T651 für das Standardlastspektrum FELIX/28


167

Bei CARLOS/v ist der Einfluss wesentlich geringer ausgeprägt als bei FELIX/28, bei dem die Lebensdauer bei einer Absenkung der Dauerfestigkeit um 40% maximal um 40% kleiner ist. Die Halbierung des Dauerfestigkeitswerts im Konzept nach Liu und Zenner (vgl. Kap. 3.3.2) macht die Vorhersagen somit unempfindlicher gegen Schwankungen in der Dauerfestigkeit. Im Gegensatz zum Dauerfestigkeitswert hat die Festlegung der Eckschwingspielzahl einen entscheidenden Einfluss auf die Ergebnisse sämtlicher Konzepte (s. Abb. 5.16 und Abb. 5.17). 10 -1

a) da/dN [mm/Lastwechsel]

10

42CrMo4

-2

10 -3 10 -4 10 -5 10 -6

R = 0,1 R = 0,5 Paris-Gesetz (R = 0,1) Paris-Gesetz (R = 0,5)

10 -7 10 -8 1 b)

10 100 ǻK [MPam1/2 ]

1000

10 -1 EN AW-7075-T651

da/dN [mm/Lastwechsel]

10 -2 10 -3 10 -4 10 -5

R = 0,1 R = 0,5 Paris-Gesetz (R = 0,1) Paris-Gesetz (R = 0,5)

10 -6 10 -7 10 -8 1

10

ǻK [MPam1/2 ]

100

Abb. 5.21: Vergleich der Neigung der Rissfortschrittswöhlerlinie mittels des Paris-Gesetzes mit experimentell ermittelten Rissfortschrittskurven in Abhängigkeit des R-Verhältnisses für a) den Stahl 42CrMo4 und b) die Aluminiumlegierung EN AW-7075T651

168


Für die Lebensdauervorhersagen der CTN-Proben, bei denen die Nennspannung nicht unbedingt eindeutig definiert ist, werden die Kennwerte aus den Versuchen mit konstanter Amplitude verwendet (Tabelle 5.4). In Abb. 5.20 sind vergleichend die experimentellen und die analytischen Ergebnisse bei einer Belastung mit FELIX/28 gegenübergestellt. Es wird deutlich, dass in diesem Fall die Lebensdauerprognosen insbesondere bei höheren Amplitudenspannungen deutlich zu konservativ ausfallen. Auffällig ist, dass unabhängig vom gewählten Modell unter Verwendung der ermittelten Zeitfestigkeitsgeraden alle Konzepte fast identische Werte liefern. Dies bedeutet, dass kaum Spannungswerte unterhalb der ermittelten Dauerfestigkeit liegen, die eine unterschiedliche Lebensdauerprognose ausmachen. Im Fall des Konzepts nach Liu und Zenner ergeben sich ebenfalls gleiche Lebensdauerwerte im Vergleich zu den anderen Konzepten, da der Unterschied der Neigung der Rissfortschrittswöhlerlinie, die durch Liu und Zenner mit ca. 3,6 angenommen wird, und der Neigung der Wöhlerlinie bei konstanter Amplitudenbelastung (k = 3,5; Tabelle 5.4) sehr gering ist. Wie in Kap. 3.3.2 dargestellt, nehmen Liu und Zenner an, dass die Neigung der Rissfortschrittswöhlerlinie dem Paris-Exponenten m entspricht. Unter Verwendung der Neigungen aus den analytischen Rissfortschrittsanalysen aus Kap. 5.3 sind in Abb. 5.21 die so bestimmten Paris-Kurven den Rissfortschrittskurven für die Werkstoffe 42CrMo4 und EN AW-7075-T651 in Abhängigkeit des RVerhältnisses gegenübergestellt. Es zeigt sich, dass die Neigungen der Rissfortschrittswöhlerlinie sehr gut mit dem Paris-Exponenten der Rissfortschrittskurven übereinstimmen. Selbst bei der Aluminiumlegierung, die einen doppel-Sförmigen Verlauf besitzt, hat die Paris-Gerade im Mittel eine sehr gute Übereinstimmung mit der Steigung der Rissfortschrittskurve. Die Annahme der Konstanz dieses Parameters mit m = 3,6 für Stahllegierungen kann durch die Untersuchungen jedoch nicht bestätigt werden. Wie aus Tabelle 5.6 ersichtlich, sind selbst bei den verwendeten Stahlsorten geringere Neigungen aufgetreten, die zudem vom R-Verhältnis abhängen. Die dennoch guten Resultate des Konzepts nach Liu und Zenner ergeben sich aus der Mittelung der Neigung der Bruch- und der Rissfortschrittswöhlerlinie. Analysen zur Zuverlässigkeit der Nennspannungskonzepte wurden ebenfalls von Eulitz [63] durchgeführt. Eulitz untersuchte dazu unterschiedliche Stahlsorten, Eisengusswerkstoffe und Aluminiumlegierungen sowohl unter Zug/Druck- als auch einachsiger Biegebelastung hinsichtlich der unterschiedlichen Konzepte und des Zählverfahrens. Die Bewertung der Ergebnisse erfolgte mittels einer relativen Schädigungssumme Drel

N exp N pred

,

(5.2)

bei der die experimentell ermittelte Lastwechselzahl Nexp auf die vorhergesagte Lebensdauer Npred bezogen wird. Weiterhin definiert Eulitz eine Streuspanne


TD

D10% D90%

169

(5.3)

als Verhältnis der Schädigungssumme bei einer Überlebenswahrscheinlichkeit von 10% und 90%.

Zug/Druck - Stahl Zug/Druck - Al-Leg. einachsige Biegung - Stahl einachsige Biegung - Eisenguss einachsige Biegung - Al.-Leg.

Zug/Druck - Stahl Zug/Druck - Al-Leg. einachsige Biegung - Stahl einachsige Biegung - Eisenguss einachsige Biegung - Al.-Leg. Zug/Druck - Stahl Zug/Druck - Al-Leg. einachsige Biegung - Stahl einachsige Biegung - Eisenguss einachsige Biegung - Al.-Leg. Zug/Druck - Stahl Zug/Druck - Al-Leg. einachsige Biegung - Stahl einachsige Biegung - Eisenguss einachsige Biegung - Al.-Leg.

Abb. 5.22: Untersuchungen von Eulitz unterschiedlicher Berechnungs- und Werkstoffgruppen auf der Basis verschiedener nennspannungsbasierter Konzepte [63]

Eulitz stellte fest, dass im Vergleich der unterschiedlichen Zählverfahren (Rainflow-Zählung, Bereichspaar-Zählung, Klassengrenzenüberschreitungszählung) die Rainflow-Zählung im Gegensatz zur Klassengrenzenüberschreitungszählung die geringsten Streuspannen liefert. Dies folgt aus der Tatsache, dass die Klassengrenzenüberschreitungszählung nicht geeignet ist, Mittelspannungen zu erfassen. Des weiteren ergaben die Untersuchungen nach Eulitz, dass eine Mittelung der Kollektive aus der Klassengrenzenüberschreitungszählung und der Bereichspaarzählung, wie sie unter bestimmten Bedingungen vorgeschlagen wird,

170


zwar eine im Durchschnitt auf der sicheren Seite liegende Schädigungssumme liefert, aber die Streuspanne extrem hoch ist. Da je nach Anwendungsgruppe signifikant unterschiedliche Mittelwerte der relativen Schädigungssumme zu verzeichnen sind, hat Eulitz Berechnungsgruppen abgeleitet. In Abb. 5.22 ist eine Übersicht der Untersuchungen der Berechnungsgruppen von Eulitz dargestellt. Auffallend ist, dass die mittlere relative Schädigungssumme Drel bei fast allen Konzepten auf der unsicheren Seite liegt. Das Konzept nach Liu und Zenner liefert im Gegensatz zu sowohl der elementaren, der modifizierten als auch der konsequenten Form des Palmgren-Miner-Ansatzes die geringsten Streuspannen. Drel ist ebenfalls beim Konzept nach Liu und Zenner am besten, wenngleich auch unsichere Lebensdauerwerte prognostiziert werden. Beim konsequenten Ansatz des Palmgren-Miner-Konzepts nach Haibach treten bei Stahlwerkstoffen im Vergleich zu Aluminiumlegierungen und Eisengusswerkstoffen geringere Streuspannen auf, aber insgesamt zeigt sich eine deutliche Unsicherheit bei der Lebensdauerprognose. Außerdem bietet die konsequente Form der Palmgren-Miner-Regel trotz der aufwändigeren Modellierung des Dauerfestigkeitsabfalls bei den von Eulitz durchgeführten Untersuchungen keinen Vorteil gegenüber der modifzierten Form. Jedoch macht sich der Unterschied auch nur dann bemerkbar, wenn im angewendeten Lastspektrum eine große Anzahl an Amplituden sind, die kleiner als die Dauerfestigkeit sind. Nach Ansicht von Gudehus und Zenner [78] tendieren die Lebensdauerabschätzungen eher zur sicheren Seite, wenn Druckeigenspannungen bei der Ermittlung der Bemessungswöhlerlinie nicht berücksichtigt werden oder wenn Beanspruchungs-Zeit-Funktionen mit positiver Mittelspannung vorliegen. Dagegen ist eine Tendenz zu unsicheren Lebensdauerabschätzungen zu erwarten bei Biegebeanspruchungen und bei Beanspruchungs-Zeit-Funktionen mit großen Mittelspannungsänderungen oder mit vielen Amplituden unterhalb der Dauerfestigkeit. Ein wesentlicher Aspekt der Berechnung nach den Nennspannungskonzepten ist, dass Amplitudenkollektive mit einer Mittelspannung, die der Bauteilwöhlerlinie entspricht, vorliegen müssen. Bei einem nicht symmetrisch aufgebauten Kollektiv ist bereits die Ableitung eines Amplitudenkollektivs problematisch. Hinzu kommt, dass dieses Kollektiv zu einem der Bauteilwöhlerlinie entsprechenden Spannungsverhältnis transformiert werden muss. Dazu existiert jedoch keine einheitliche Methode. Die ursprüngliche Form des Palmgren-Miner-Konzepts ist für die Auslegung bis zum technischen Anriss unter Verwendung einer Anrisswöhlerlinie konzipiert. In der Praxis werden jedoch heute sehr häufig Bruchwöhlerlinien eingesetzt, die die Phänomene der Anriss- und Risswachstumslebensdauer vermischen. Insbesondere beim Risswachstum treten aufgrund von Betriebsbelastungen sogenannte Reihenfolgeeffekte auf, die sich sowohl lebensdauerverlängernd als auch lebensdauerverkürzend auswirken können. Im Rahmen der Bruchmechanik existieren dazu entsprechende Ansätze (vgl. Kap. 2.5.4.2), um diese Verzögerungs- und Beschleunigungseffekte zu berücksichtigen. Die Lebensdauerabschätzung auf der


171

Basis einer Bruchwöhlerlinie kann nur dann zu sicheren Ergebnissen führen, wenn sich die Reihenfolgeeffekte entsprechend ausgleichen [215].

5.4.2

Konzepte auf Basis der örtlichen Spannungen

Für die klassischen und kombinierten Konzepte auf der Basis der örtlichen Spannung ist ebenfalls zunächst eine Sensitivitätsanalyse ohne den Vergleich mit experimentellen Daten durchgeführt worden. Die Simulationsparameter sind Tabelle 5.7 zu entnehmen. Tabelle 5.7: Kennwerte der zyklischen Spannungs-Dehnungskurven und Dehnungswöhlerlinien der untersuchten Werkstoffe (R = -1) Werkstoff

EN AW-7075T651

1

34CrNiMo6 2 42CrMo4 1

[32]

2

1

E-Modul

V ’f

[MPa]

[MPa]

70000 206000 211400

1231 1217 1454

H ’f

b

0,263 -0,122 0,269 -0,056 1,508 -0,075

c

-0,806 -0,598 -0,716

ND

Ha,D

[MPa]

K’

[Lw]

[%]

852

0,074 510

1330 1367

n’

6

0,2462

5

0,2839 0,2571

0,088 410 5 0,104 410

Datenbank LMS FALANCS [124]

In Abb. 5.23 sind exemplarisch unterschiedliche Schädigungsparameter in Abhängigkeit der analytischen Methode zur Ermittlung der elastisch-plastischen Spannungen und Dehnungen für das Standardlastspektrum FELIX/28 mit einem Kollektivhöchstwert V a von 1050 MPa für den Werkstoff 34CrNiMo6 gegenübergestellt. Es zeigt sich, dass sowohl bei Belastungen mit konstanter Amplitude als auch bei Belastungsspektren Abschätzungen mit dem Verfahren nach Neuber konsequent niedrigere Lebensdauerwerte liefern. Das Verfahren nach Seeger und Beste sowie das ESED-Verfahren ermitteln nahezu gleiche Lastwechselzahlen. Weiterhin ist zu erkennen, dass die Schädigungsparameter einen deutlichen Einfluss auf die Lebensdauer besitzen. Auch hier ist ein eindeutiger Trend festzustellen. Während mit den Schädigungsparametern nach Morrow sowie Smith, Watson und Topper in Originalform die größten Lebensdauern bestimmt werden, führt der Schädigungsparameter nach Vormwald konstant zu den geringsten Lastwechselzahlen unabhängig vom Lastspektrum und der Belastungshöhe. Bei einer konstanten Amplitudenbelastung ist hingegen kein wesentlicher Unterschied zwischen den Konzepten festzustellen. Da die Kombination aus dem Neuber- und dem ESED-Verfahren sowie den Schädigungsparametern PSWT und PJ die Extremwerte darstellen, wird im Folgenden die Kombination dieser Parameter für den Vergleich mit experimentellen Ergebnissen herangezogen.

172

5 Bewertung, Vergleich und Anwendung der Konzepte 1010 FELIX/28 ( ıa = 1050 MPa)

Seeger/Beste

ESED

4,36E+07

4,12E+07

3,07E+07

419464

399139

324612

3,88E+07

3,68E+07

2,72E+07

1,10E+07

1,03E+07

8,89E+06

10 2

3,88E+07

10 4

3,68E+07

10 6 2,72E+07

N [Lw]

Neuber

34CrNiMo6

10 8

1 PSWT (Original) PSWT (linear)

P Bergmann

PJ

P Morrow

Abb. 5.23: Einfluss der Schädigungsparameter und der analytischen Methode zur Ermittlung der elastisch-plastischen Spannungen und Dehnungen auf die Lebensdauervorhersage

Abbildung 5.24 zeigt den Vergleich der analytischen und experimentellen Ergebnisse für Rundproben aus dem Werkstoff 34CrNiMo6 bei einer Belastung mit konstanter Amplitude und einem R-Verhältnis von 0,1. Durch den Vergleich wird einerseits deutlich, dass die Lebensdauervorhersagen lediglich im unteren Bereich der Nennspannungsamplitude etwas voneinander abweichen, wobei der Schädigungsparameter PJ eine geringere Lebensdauer vorhersagt. Andererseits ist auch zu erkennen, dass im Vergleich zur Bruchwöhlerlinie, die die Risswachstumslebensdauer einschließt, beide Vorhersagemodelle konservativ sind. 550 500 450

CA (R = 0,1) gekerbte Rundprobe 34CrNiMo6

Experimente ESED/PSWT (linear) ESED/P

J

ıa,N

[MPa]

400 350 300 250 200 150 100 50 1.000

10.000

100.000

1.000.000

10.000.000

Schwingspielzahl

Abb. 5.24: Vergleich der analytisch und experimentell bestimmten Wöhlerlinien (R = 0,1) für gekerbte Rundproben aus dem Werkstoff 34CrNiMo6


173

Da mittels der örtlichen Konzepte jedoch eine Anrissschwingspielzahl prognostiziert wird, ist die Bruchwöhlerlinie entsprechend um die Rissfortschrittsphase zu reduzieren. Die experimentelle Ermittlung einer Anrissschwingspielzahl bei einer Rundprobe ist sehr komplex, so dass die Ergebnisse der analytischen Simulationen des Risswachstums aus Kapitel 5.3 eingesetzt werden. Als Modell ist die in Abb. 5.12 dargestellte Rundprobe mit einer V-Kerbe und einem Kerböffnungswinkel von 60° verwendet worden. Für die Simulation des umlaufenden Risses werden Anfangsrisslängen von 0,5 mm und 1,0 mm verwendet, die die Kerbtiefe mit einbeziehen. Auf die im Experiment eingesetzte Rundprobe bezogen, bedeutet dies eine theoretische Anfangsrisslänge ai von 0 mm bzw. 0,5 mm. Die Differenz der 50%-Bruchschwingspielzahl und der analytisch ermittelten Restlebensdauer ergibt die in Abb. 5.25 dargestellte Anrisswöhlerlinie für eine konstante Amplitudenbelastung mit R = 0,1. Je nach Lasthorizont entspricht die Rissfortschrittslebensdauer etwa 8 – 60 % der Gesamtlebensdauer bei einer theoretischen Anfangsrisslänge ai von 0 mm, so dass auch die Verschiebung der Anrisswöhlerlinie entsprechend unterschiedlich ausfällt. Begründet werden kann dies damit, dass in der Risswachstumssimulation frühzeitig plastisches und nicht bruchmechanisches Versagen aufgrund des hohen Risszähigkeitswertes eingetreten ist. 550 500

Experimente/Simulation a0 = 1,0 mm

400

ESED/PSWT (linear)

[MPa]

Experimente/Simulation a0 = 0,5 mm

350

ESED/PJ

ıa,N

450

CA (R = 0,1) gekerbte Rundprobe 34CrNiMo6

250

300 200 150 100 50 1.000

10.000

100.000

1.000.000

10.000.000

Anrissschwingspielzahl

Abb. 5.25: Vergleich der analytisch und experimentell bestimmten Anrisswöhlerlinien (R = 0,1) für gekerbte Rundproben aus dem Werkstoff 34CrNiMo6

Insgesamt bleibt jedoch festzustellen, dass bei einer konstanten Amplitudenbelastung der gekerbten Rundprobe beide Konzepte konservativ sind. Der Einfluss der Anrisslänge ist in diesem Fall nicht so bedeutend. Um den Einfluss einer Betriebsbelastung zu überprüfen, werden die Standardlastspektren FELIX/28 und CARLOS/v verwendet. Abbildung 5.26 zeigt zunächst den Vergleich der Ergebnisse der unterschiedlichen Konzepte für das Standardlastspektrum FELIX/28 mit der entsprechenden Bruchwöhlerlinie.

174

5 Bewertung, Vergleich und Anwendung der Konzepte 550 500

ıa,N [MPa]

450

Experimente Neuber/PJ Neuber/PSWT ESED/PJ ESED/PSWT


400 350 300 250 200 150 10.000

100.000

1.000.000

10.000.000

Schwingspielzahl

Abb. 5.26: Vergleich der Ergebnisse der Konzepte auf der Basis örtlicher Spannungen mit den experimentellen Ergebnissen gekerbter Rundproben des Werkstoffs 34CrNiMo6 für das Standardlastspektrum FELIX/28

Dabei fällt auf, dass der Schädigungsparameter PSWT die experimentellen Ergebnisse der Gesamtlebensdauer gut wiedergibt, während der Schädigungsparameter nach Vormwald extrem konservativ ist. 550 500

ıa,N ,

[MPa]

450

Experimente/Simulation a 0 = 0,5mm


Neuber/PJ Neuber/PSWT ESED/PJ

400

ESED/PSWT

350 300 250 200 150 10.000

100.000

1.000.000

10.000.000


Abb. 5.27: Vergleich der analytisch und experimentell bestimmten Anrisswöhlerlinien für gekerbte Rundproben aus dem Werkstoff 34CrNiMo6 bei einer Betriebsbelastung mit FELIX/28

Zur Bewertung des Einflusses des Rissfortschritts kommt die gleiche Vorgehensweise wie bei der konstanten Amplitudenbelastung zum Einsatz, d.h. die Differenz der experimentell bestimmten 50%-Bruchlastwechselzahlen und der mit


175

Hilfe des Programms NASGRO ermittelten Rissfortschrittslebensdauern wird gebildet. Den entsprechenden Vergleich der so erhaltenen Anrisslebensdauer ist Abb. 5.27 zu entnehmen. Es zeigt sich, dass die Rissfortschrittsphase einen geringen Teil der Gesamtlebensdauer ausmacht, so dass die Anrisswöhlerlinie nur unwesentlich gegenüber der Bruchwöhlerlinie verschoben ist. Die mit dem Schädigungsparameter nach Smith, Watson und Topper ermittelte Anrisswöhlerlinie stimmt im Mittel mit der experimentell bestimmten Anrisslebensdauer überein. Die Aussage des Schädigungsparameters PJ bleibt trotz der Beschränkung auf die Anrisslebensdauer weiterhin extrem konservativ. Tabelle 5.8: Neigungen der experimentell ermittelten Zeitfestigkeitsgeraden im Vergleich zu den analytisch bestimmten Neigungen der gekerbten Rundprobe aus dem Werkstoff 34CrNiMo6 Lastspektrum

Experiment

PJ

PSWT

Anriss

Bruch

Neuber

ESED

Neuber

ESED

Konstante Amplitude (R = 0,1)

5,8

4,9

-

4,6

-

6,5

FELIX/28

8,4

5,8

5,7

6,0

11,9

12,0

Die Neigung der Wöherlinie nach PSWT weicht allerdings stark von der Neigung sowohl der Bruch- als auch der Anrisswöherlinie ab (Tabelle 5.8). Im Gegensatz dazu gibt PJ diese besser wieder, wobei die gesamte Kurve jedoch zu niedrigeren Lebensdauern verschoben ist. 550

Experimente

500

Neuber/PJ Neuber/PSWT

ıa,N

[MPa]

450

ESED/PJ

400

ESED/PSWT

350 300 250 200

CARLOS/v gekerbte Rundprobe 34CrNiMo6

150 10.000

100.000

1.000.000

10.000.000


Abb. 5.28: Vergleich der analytisch und experimentell bestimmten Wöhlerlinien für gekerbte Rundproben aus dem Werkstoff 34CrNiMo6 bei einer Betriebsbelastung mit CARLOS/v

176


Die Simulation der Anrisslebensdauern für das Standardlastspektrum CARLOS/v sind nur bis zum Lastniveau von 345 MPa bei der Verwendung des ESED-Konzepts möglich. Oberhalb ergibt sich statisches Versagen. Mit dem Neuber-Verfahren sind sogar Simulationen lediglich bis zu einer Nennspannungsamplitude von ca. 300 MPa durchführbar, welches sich gleichzeitig als Dauerfestigkeit in den Experimenten ergab. 120

ıa,N,

[MPa]

100

CA (R = 0,1) CTN-Probe ( ȡ = 2 mm) EN AW-7075-T651

80

Experimente Neuber/PJ Neuber/PSWT Original ESED/PJ ESED/PSWT Original

60 40 20 0 1.000

10.000

100.000 1.000.000 Anrissschwingspielzahl

10.000.000

100.000.000

Abb. 5.29: Vergleich der analytisch und experimentell bestimmten Anrisswöhlerlinien (R = 0,1) für CTN-Proben (U = 2 mm) der Aluminiumlegierung EN AW-7075-T651

In Abb. 5.28 sind die experimentellen und analytischen Ergebnisse gegenübergestellt. Aufgrund der mangelnden Berechnungsergebnisse lässt sich keine sinnvolle Bewertung vornehmen. Tendenziell zeigt sich aber, dass der Schädigungsparameter PJ deutlich konservativere Ergebnisse liefert als PSWT. Neben der Tatsache der unterschiedlichen Grenzen des statischen Versagens sind ferner deutliche Unterschiede auf den unterschiedlichen Lasthorizonten zwischen dem ESED- und dem Neuber-Konzept im Gegensatz zur konstanten Amplitudenbelastung und FELIX/28 festzustellen. Die Abbildungen 5.29 bis 5.31 zeigen die Anrisswöhlerlinien in Abhängigkeit des Kerbradius der CTN-Proben aus der Aluminiumlegierung EN AW-7075T651, die sich aus der Differenz der Bruchwöhlerlinie der CTN-Probe und der Rissfortschrittswöhlerlinie der CT-Probe ergeben, im Vergleich zu den Ergebnissen der Lebensdauerabschätzungen mit den Schädigungsparametern PJ und PSWT auf der Grundlage des Neuber- und ESED-Konzepts für eine Belastung mit konstanter Amplitude und einem R-Verhältnis von 0,1. Zusammenfassend ist festzustellen, dass die Lebensdauerberechnung mit PJ bis auf ein Lastniveau von ca. 33,5 MPa bei CTN-Proben mit einem Kerbradius von 2 mm zu konservativen Ergebnissen führt, während das Resultat des Schädigungsparameters PSWT nach Smith, Watson und Topper sowohl zu konservativen


177

als auch zu unsicheren Ergebnissen führen kann. Im Bereich großer Spannungsamplituden trifft die Vorhersage mit PSWT relativ gut die experimentell ermittelte Anrisswöhlerlinie. 120

Experimente Neuber/PJ

ıa,N,

[MPa]

100

Neuber/PSWT Original ESED/PJ

80

ESED/PSWT Original

60 40 20

CA ( R = 0,1) CTN-Probe ( ȡ = 4 mm) EN AW-7075-T651

0 1.000

10.000

100.000

1.000.000

10.000.000

100.000.000



Doch durch den großen Neigungsunterschied (s. auch Tabelle 5.9) bei den Wöhlerlinien der Kerbradien 2 und 6 mm kreuzen sich die beiden Zeitfestigkeitsgeraden, so dass im unteren Spannungsbereich die Ergebnisse sehr unsicher werden. 120

Experimente Neuber/PJ

ıa,N

[MPa]

100

Neuber/PSWT Original ESED/PJ ESED/PSWT Original

80 60 40 20

CA (R = 0,1) CTN-Probe ( ȡ = 6 mm) EN AW-7075-T651

0 1.000

10.000

100.000

1.000.000

10.000.000

100.000.000



178


Außerdem ist das Niveau der Dauerfestigkeit stark durch das verwendete Konzept beeinflusst. Mit dem Schädigungsparameter PSWT wird grundsätzlich eine höhere Dauerfestigkeit vorhergesagt als mit dem Schädigungsparameter nach Vormwald. Im Gegensatz zu den Erkenntnissen von Knop et al. [110] beeinflusst die Wahl des Konzepts zur Berechnung der elastisch-plastischen Kerbspannungen das Ergebnis der Lebensdauervorhersage bei den an dieser Stelle verwendeten Geometrien nur marginal. Lediglich im Bereich hoher Spannungsamplitude ist ein geringfügiger Einfluss festzustellen. Knop et al. konnten nachweisen, dass bei Zugbelastungen die Vorhersage mit der Neuber-Regel besser ist als für Biegebelastungen, während bei der ESED-Methode das entgegengesetzte Verhalten beobachtet werden kann. Darüber hinaus ist die ESED-Methode bei Torsionsbelastung und Belastungszuständen des ebenen Verzerrungszustands dem NeuberVerfahren vorzuziehen [110]. 120


ıa,N [MPa]

100 80 60 Experimente 40 20 0 1.000

Neuber/PJ Neuber/PSWT Original ESED/PJ ESED/PSWT Original 10.000

100.000

1.000.000

10.000.000

100.000.000


Abb. 5.32: Vergleich der Ergebnisse der Konzepte auf der Basis örtlicher Spannungen mit den experimentellen Ergebnissen für CTN-Proben (U = 2 mm) der Aluminiumlegierung EN AW-7075-T651 für das Standardlastspektrum FELIX/28

In den Abbildungen 5.32 bis 5.34 ist der Vergleich der experimentell und analytisch ermittelten Anrisswöhlerlinien in Abhängigkeit des Kerbradius für eine Belastung mit dem Standardlastspektrum FELIX/28 für CTN-Proben der Aluminiumlegierung EN AW-7075-T651 dargestellt. Während die Lebensdauervorhersagen mit dem Schädigungsparameter PJ auch in diesem Fall konservative Ergebnisse liefern, ist die Abschätzung mit PSWT hinsichtlich der Zuverlässigkeit der Aussage sehr unsicher. Bei einem Kerbradius von 2 mm ist der Unterschied zwischen den Experimenten und der Lebensdauervorhersage mit PSWT am größten. Ähnlich wie bei der


179

konstanten Amplitudenbelastung sind die Neigungen der Wöhlerlinie sehr ungleich. 120


ıa,N

[MPa]

100 80 60 Experimente 40 20 0 1.000

Neuber/PJ Neuber/PSWT Original ESED/PJ ESED/PSWT Original 10.000

100.000

1.000.000

10.000.000

100.000.000


Abb. 5.33: Vergleich der Ergebnisse der Konzepte auf der Basis örtlicher Spannungen mit den experimentellen Ergebnissen für CTN-Proben (U = 4 mm) der Aluminiumlegierung EN AW-7075-T651 für das Standardlastspektrum FELIX/28

Dies führt dazu, dass bei hohen Kollektivhöchstwerten extrem konservative Ergebnisse und im Bereich niedriger Kollektivhöchstwerte extrem nichtkonservative Ergebnisse erzielt werden. Die Anrisswöhlerlinie nach Vormwald dagegen ist konstant auf der konservativen Seite. Bei einem Kerbradius von 4 mm sind die Neigungen der mit PSWT ermittelten und der experimentell bestimmten Anrisswöhlerlinien zwar ebenfalls sehr unterschiedlich. Jedoch führt dies nicht zu einer Überschätzung der Lebensdauer im unteren Bereich der Kollektivhöchstwerte. PJ ist in diesem Fall extrem konservativ und liefert Lebensdauern, die um das 20fache geringer sind als die der experimentellen Ergebnisse. Bei der Simulation der Lebensdauer für den Kerbradius von 6 mm zeigt sich, dass die Anrisswöhlerlinien mit PJ erneut konservative Ergebnisse liefern, während PSWT insgesamt nicht konservative Lebensdauern vorhersagt. Da im Bereich hoher Spannungsamplituden keine Experimente möglich sind, kann nicht beurteilt werden, ob es ähnlich wie bei einem Kerbradius von 2 mm zu konservativen Ergebnissen durch den Neigungsunterschied der Anrisswöhlerlinien kommt. Weiter ist festzustellen, dass das analytische Verfahren zur Bestimmung der elastischplastischen Spannungen auch bei einer Betriebsbelastung unabhängig vom gewählten Kerbradius nahezu identische Werte liefert.

180

5 Bewertung, Vergleich und Anwendung der Konzepte 120

ıa,N

[MPa]

100 80 60 Experimente Neuber/PJ

40

Neuber/PSWT Original

20


ESED/PJ

0 1.000

ESED/PSWT Original 10.000

100.000

1.000.000

10.000.000

100.000.000


Abb. 5.34: Vergleich der Ergebnisse der örtlichen Konzepte auf der Basis örtlicher Spannungen mit den experimentellen Ergebnissen für CTN-Proben (U = 6 mm) der Aluminiumlegierung EN AW-7075-T651 für das Standardlastspektrum FELIX/28

In Tabelle 5.9 sind die Neigungen der experimentell ermittelten und die der analytisch bestimmten Anrisswöhlerlinie zusammengefasst. Dabei fällt auf, dass die Neigungen der Anrisswöhlerlinien mit den Schädigungsparametern PJ und PSWT nicht so stark vom Kerbradius beeinflusst werden wie die experimentellen Ergebnisse, obwohl die Kerbfaktoren der numerischen Berechnungen in die Simulation der Lebensdauervorhersage mit eingegangen sind. Tabelle 5.9: Neigungen der experimentell und analytisch ermittelten Anrisswöhlerlinien unter Verwendung des ESED-Konzeptes Kerbradius

U [mm]

Konstante Amplitude (R = 0,1) Experiment

FELIX/28

PJ

PSWT

Experiment

PJ

PSWT

2

6,6

7,1

7,7

3,6

7,5

15,7

4 6

10,5 3,7

6,5 6,2

7,5 7,5

6,8 3,9

8,3 9,2

15,9 13,9

Da der Schädigungsparameter nach Vormwald auf der analytischen Rissöffnungsfunktion nach Newman aufbaut, ist in Abb. 5.35 ein Vergleich dieser Funktion mit numerisch bestimmten Rissöffnungsspannungen in Abhängigkeit des Kerbradius einer CTN-Probe aus der Aluminiumlegierung EN AW-7075-T651 dargestellt. Bei der elastisch-plastischen Finite-Elemente-Analyse gilt ein Riss als geöffnet, wenn die Spannungen unmittelbar vor der Rissspitze von Druck in Zug wechseln.


181

0,7 0,6

ıop /ımax

0,5 0,4 0,3 EN AW-7075-T651 CTN-Probe R = 0,1

0,2 0,1 0 17

17,05

17,1

17,15

ȡ = 2 mm ȡ = 4 mm ȡ = 6 mm Newman (ȡ = 2 mm) Newman (ȡ = 4 mm) Newman (ȡ = 6 mm) 17,2

17,25

17,3

a [mm]

Abb. 5.35: Vergleich der numerisch und analytisch ermittelten Rissöffnungsspannung in Abhängigkeit des Kerbradius einer CTN-Probe aus der Aluminiumlegierung EN AW7075-T651

Für die analytische Bestimmung der Rissöffnungsspannung mittels der Funktion nach Newman werden die minimalen und maximalen Spannungen vor der Rissspitze aus der elastisch-plastischen FE-Simulation in Abhängigkeit der Risslänge bestimmt und in die analytische Funktion eingesetzt. Es zeigt sich, dass die Rissöffnung vom Kerbradius abhängt. Dieser Effekt ist deutlicher bei den numerisch bestimmten Rissöffnungsspannungen zu erkennen. Mit Ausnahme des Kerbradius U = 2 mm nimmt die Rissöffnung ausgehend von einem komplett geöffneten Riss kontinuierlich zu bis sich ein stationärer Zustand einstellt. Das Risslängeninkrement, das bis zum Erreichen dieses stationären Zustands benötigt wird, steigt mit zunehmendem Kerbradius. Bei U = 2 mm tritt bereits zu Beginn aufgrund plastischer Deformationen entlang der Kerbe Rissschließen auf. Im Gegensatz zu den FE-Ergebnissen wird mittels der analytischen Funktion von Anfang an ein relativ hoher Wert für die Rissöffnungsfunktion bestimmt, der ebenfalls mit zunehmender Risslänge steigt, bis ein stationärer Zustand in Abhängigkeit der Kerbgeometrie erreicht ist. Der Anstieg ist jedoch wesentlich geringer ausgeprägt. Obwohl sowohl für die analytische Lösung als auch die FiniteElement-Analyse ein ebener Spannungszustand angenommen worden ist, sind die Rissöffnungsspannungen bei der Rissöffnungsfunktion wesentlich höher. Trotz der mangelnden Abbildung der Rissöffnungsspannung durch die analytische Lösung sind die Ergebnisse der Lebensdauervorhersage jedoch extrem konservativ. Untersuchungen von Vormwald [259] und Anthes [7] bestätigen ebenfalls die Konservativität der Lebensdauerprognose mittels des Schädigungsparameters PJ. Abbildung 5.36 zeigt eine Bewertung der Lebensdauerprognose für einen Kerbstab mit einem Kerbfaktor von 2,5 aus dem Stahl StE460 anhand experimenteller Daten. In dieser Abbildung ist ferner die Auswertung für das Modell FATICA eingetragen. Es bestätigt sich, dass die Genauigkeit der Lebensdauervorhersage mittels PJ vom Lastniveau abhängt. Mit abnehmendem Lastniveau wird die Prog-

182


MiniTwist

ım = 140 MPa

Gauß geradlinig H 0 = 5×105 Lw H 0 = 5,9×10 5 Lw

nose deutlich konservativer, was durch die zuvor dargestellten Untersuchungen nicht bestätigt werden kann.

ıa,N = 250 MPa

Vormwald FATICA

ım = 173 MPa ım = 226 MPa ıa,N = 300 MPa ıa,N = 365 MPa ıa,N = 450 MPa ıa,N = 240 MPa ıa,N = 280 MPa ıa,N = 300 MPa ıa,N = 365 MPa

Gauß H 0 = 10 4 Lw

ıa,N = 200 MPa ıa,N = 240 MPa ıa,N = 300 MPa ıa,N = 365 MPa

StE460

ıa,N = 450 MPa

Į k = 2,5 0

1

2

3 Nexp /N pred

4

5

Abb. 5.36: Vergleich der Genauigkeit der Lebensdauerprognosen der Konzepte nach Vormwald und Anthes (FATICA) für einen Kerbstab (Dk = 2,5) aus dem Stahl StE460 (Ergebnisse aus [7, 259])

Das Modell FATICA liefert bis auf wenige Ausnahmen stets ein geringeres Verhältnis Nexp/Npred als mittels des Schädigungsparameters PJ, d.h. es werden im Vergleich zum Schädigungsparameter PJ höhere Lebensdauerwerte prognostiziert. Dies führt dazu, dass der überwiegende Teil der Vorhersagen mit dem Modell FATICA nicht-konservativ ist. Dies gilt in gleicher Weise für einen Kerbstab mit einem Kerbfaktor von 2,5 aus der Aluminiumlegierung AlMg4,5Mn. Das Modell nach Vormwald erzeugt in diesem Fall bessere Vorhersagen, bei denen die Verhältnisse Nexp/Npred nahe eins liegen.

5.5 Konzepte der Rissinitiierung

MiniTwist

ım = 60 MPa

Vormwald FATICA

Gauß Gauß H 0 = 10 4 Lw H 0 = 5×10 5 Lw

ım = 70 MPa

Abb. 5.37:

5.5

183

ım = 80 MPa ıa,N = 108 MPa ıa,N = 120 MPa ıa,N = 150 MPa ıa,N = 190 MPa

AlMg4,5Mn

ıa,N = 218 MPa

Į k = 2,5 0

1

2

3 Nexp /N pred

4

5

Vergleich der Genauigkeit der Lebensdauerprognosen der Konzepte nach Vormwald und Anthes (FATICA) für einen Kerbstab (Dk = 2,5) aus der Aluminiumlegierung AlMg4,5Mn (Ergebnisse aus [7, 259])

Konzepte der Rissinitiierung

Zur Bewertung der Spannung, ab der ein Riss initiiert, stehen unterschiedliche Konzepte zur Verfügung (s. Kap. 3.1). In den Abbildungen 5.38 und 5.39 sind die Ergebnisse der Schwellenwertkurvenkonzepte nach Kitagawa und Takahashi sowie nach El Haddad und des area-Konzepts nach Murakami für einen halbkreisförmigen Oberflächenriss im Werkstoff 34CrNiMo6 in Abhängigkeit des RVerhältnisses gegenübergestellt. Zur besseren Vergleichbarkeit wird von der sonst üblichen doppellogarithmischen Darstellungsform abgewichen. Bei einem R-Verhältnis von –1 zeigt sich, dass das area-Konzept bei sehr kurzen Risslängen zunächst Schwellspannungen annimmt, die oberhalb der Dauerfestigkeitsgrenze liegen. Danach nimmt die berechnete Spannung deutlich ab und liegt bis zu einer Risslänge von 0,1 mm unterhalb der Grenzwerte der Schwellenwertkurvenkonzepte. Während das Konzept nach El Haddad gegen den Thresholdwert der Ermüdungsrissausbreitung konvergiert, nimmt das area-Konzept deutlich höhere Schwellspannungen an. Im Grenzbereich des Gültigkeitskriteriums des areaKonzepts liegt die Abweichung bei ca. 60%. Ferner ist zu erkennen, dass das El Haddad-Kriterium zwar gegen die Dauerfestigkeit konvergiert, aber im Bereich kurzer Risse deutlich niedrigere Spannungswerte ermittelt, als die Originalform des Kitagawa-Takahashi-Diagramms.

184

5 Bewertung, Vergleich und Anwendung der Konzepte 1200

ǻıth [MPa]

1000

a

800

34CrNiMo6 R = -1

ı W = 540 MPa HV = 350

ǻK th = 11,7 MPam1/2

600 400 Kitagawa/Takahashi ElHaddad Murakami

200 0 0

0,1

0,2 0,3 a [mm]

0,4

0,5

Abb. 5.38: Vergleich der Rissinitiierungskonzepte für einen halbkreisförmigen Oberflächenriss bei einem R-Verhältnis von –1 für den Werkstoff 34CrNiMo6

Abbildung 5.39 zeigt den Vergleich eines Oberflächenrisses im Stahl 34CrNiMo6 für ein R-Verhältnis von 0,1 und einer modifizierten Form des areaKonzepts. Murakami entwickelte ursprünglich die Schwellwertermittlung für eine wechselnde Belastung und bestimmte daraus eine Wechselfestigkeit. Später erweiterte er das Konzept um den Mittelspannungseinfluss (s. Gl. (3.30)). 1200

Kitagawa/Takahashi ElHaddad Murakami mod.

ǻıth [MPa]

1000

34CrNiMo6 R = 0,1

ı D = 301,4 MPa HV = 350

800

ǻK th = 7,2 MPam1/2

600

a

400 200 0 0

0,1

0,2 0,3 a [mm]

0,4

0,5

Abb. 5.39: Vergleich der Rissinitiierungskonzepte für einen halbkreisförmigen Oberflächenriss bei einem R-Verhältnis von 0,1 für den Werkstoff 34CrNiMo6

Das Ergebnis bleibt laut Aussage von Murakami eine Spannungsamplitude. Da dieser Ansatz jedoch die Dauerfestigkeit des Werkstoffs deutlich überschätzt, ist in Abb. 5.39 der mit dem area-Konzept berechnete Wert als Schwingbreite der Spannung angenommen worden. Dabei zeigt sich nun, dass einerseits die Schwellspannung bei langen Rissen gegen den Thresholdwert der Ermüdungsrissausbrei-


185

tung konvergiert und andererseits die Dauerfestigkeit angemessen wiedergegeben wird. Über den gesamten Kurzrisswachstumsbereich wird dadurch allerdings eine Spannung ermittelt, die im Vergleich zu den Schwellwertkurvenkonzepten deutlich niedriger ist. Um diesen Sachverhalt hinsichtlich des Werkstoffeinflusses zu überprüfen, sind in Abb. 5.40 die Konzepte für die Aluminiumlegierung EN AW-7075-T651 ebenfalls für ein R-Verhältnis von 0,1 gegenübergestellt. Obwohl die Dauerfestigkeit sehr gut wiedergegeben wird, ergibt sich durch die modifizierte Form des area-Konzepts bei langen Rissen eine höhere Spannung, als es der Thresholdwert vorgibt. 400 ElHaddad

300

ǻıth [MPa]

EN AW-7075-T651 R = 0,1 ı D = 110 MPa HV = 185 ǻK th = 3,1 MPam1/2

Kitagawa/Takahashi

350

Murakami mod.

250 200 150 100

a

50 0 0

0,1

0,2 a [mm]

0,3

0,4

0,5

Abb. 5.40: Vergleich der Rissinitiierungskonzepte für einen halbkreisförmigen Oberflächenriss bei einem R-Verhältnis von 0,1 für die Aluminiumlegierung EN AW-7075-T651

Ein alternatives Verfahren zur Beurteilung der Rissinitiierung stellt das Konzept des kritischen Abstands dar. Zur Ermittlung der Schwellwerte werden numerische Simulationen eines umlaufenden Risses in einer gekerbten Rundprobe verwendet (vgl. Kap. 5.2). Mittels der Punkt-Methode ergeben sich im Abstand a0/2 vor der Kerbe bzw. der tiefsten Stelle des Risses die Schwellspannungen. Für die Bestimmung der mittleren Spannung unter Verwendung der Linienmethode ist nach jedem Risserweiterungsschritt eine polynomische Ausgleichsfunktion 4. Grades für die elastischen Spannungswerte in radialer Richtung ermittelt worden, die dann über einen Bereich von 0 bis 2a0 integriert wird. Beispielhaft ist in Abb. 5.41 die Spannungsverteilung für eine Risstiefe a von 0,09 mm dargestellt. Im Fall des Stahls 34CrNiMo6 ergibt sich für den El Haddad-Parameter a0 ein Wert von 0,03 mm. Die Ergebnisse der Punkt- bzw. Linienmethode des Konzepts des kritischen Abstands sind Abb. 5.42 zu entnehmen.

186

5 Bewertung, Vergleich und Anwendung der Konzepte 2000 34CrNiMo6 gekerbte Rundprobe a = 0,09 mm

ı11 [MPa]

1500 1000 500

Rissspitze

0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

Abstand r [mm]

Abb. 5.41: Elastische Spannungsverteilung in radialer Richtung vor der Rissspitze eines Oberflächenrisses der Tiefe 0,09 mm

Diese Untersuchungen zeigen, dass nicht nur zwischen der Auswertung der Schwellspannung mittels der Linien- und der Flächenmethode 10 % Differenz sind (s. Kap. 3.1.2), sondern auch zwischen der Punkt- und Linienmethode. Die Linienmethode liefert ca. 10% höhere Spannungswerte als die Punkt-Methode. 300

ǻıth [MPa]

250 200 150 100

Punkt-Methode Linien-Methode Linien-Methode (90%)

50 0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

Risslänge a [mm]

Abb. 5.42: Vergleich der Punkt- und Linienmethode zur Ermittlung der Schwellenwerte nach dem Konzept des kritischen Abstands für einen umlaufenden Riss

Das Konzept des kritischen Abstands kann zwar direkt bei der Berechnung komplexer Strukturen aufbauend auf einer elastischen Finite-Elemente-Analyse angewendet werden, nachteilig ist jedoch, dass die Vernetzung im kritischen Bereich extrem fein sein muss, um im Bereich des El Haddad-Parameters mittels der Punkt-Methode auswerten zu können. Um den relativ hohen Rechenaufwand bei einer derart feinen Vernetzung zu verkürzen, ist die Submodelltechnik einzusetzen. Die Submodelltechnik ist dadurch gekennzeichnet, dass aufbauend auf einer Simulation mit einem gröberen Finite-Elemente-Netz eine Anschlussrechnung für


187

Riss a (a0 /2) Riss c (a0 /2)

500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0

Riss a (a0 ) Kerbe

Riss a (2a0 )

Riss a 2a0 a0 a0 /2 a

ǻıth [MPa]

einen kleinen Bereich des Bauteils mit feinerer Vernetzung durchgeführt werden kann, indem die Ergebnisse der ersten Simulation auf das Submodell übertragen werden. Eine Anwendung der Linien-Methode stellt dazu eine Alternative dar. Anstelle eines umlaufenden Risses werden außerdem numerische Simulationen eines halbkreisförmigen Oberflächenanrisses durchgeführt, um die Zuverlässigkeit des Konzepts zu prüfen. Dazu wird an unterschiedlichen Stellen vor der Rissfront und an der Kerbe mittels des Konzepts der kritischen Distanz ausgewertet (Abb. 5.43). Zudem wird der Einfluss des Auswerteabstands untersucht. Die Ergebnisse in Abhängigkeit der Risstiefe a sind in Abb. 5.43 dargestellt. Bei einer Auswertung im konzeptkonformen Abstand a0/2 vor der tiefsten Stelle des Risses steigt die Schwellspannung nach 0,03 mm Risswachstum leicht an, stagniert dann aber. Mit zunehmendem Abstand vor dem Riss ist einerseits eine Zunahme der Schwellspannung zu erkennen und andererseits ein deutlicher Anstieg der Schwellspannung über ein Risswachstum von 0,2 mm zu verzeichnen. Die Grenzspannungen an der oberflächennahen Seite des Risses weisen hingegen wesentlich geringere Werte auf, die zudem mit zunehmender Risslänge sinken.

Kerbe Riss c a0 /2

0

0,1

0,2 0,3 a [mm]

0,4

c

0,5

Abb. 5.43: Schwellenwerte nach dem Konzept des kritischen Abstands für einen halbkreisförmigen Oberflächenriss in Abhängigkeit des Auswerteabstands und -orts

Als Referenzlinie ist die Auswertung im radialen Abstand a0/2 von der Umlaufkerbe in Abb. 5.43 eingetragen. Daraus wird ersichtlich, dass der Riss das halbkreisförmige Wachstum, so wie es in der numerischen Simulation angenommen worden ist, nicht weiter fortsetzt. Entsprechend der Auswertung der Schwellspannung wird der Riss eher in Umfangsrichtung weiterwachsen, da dort die Schwellspannungen am niedrigsten sind. Dies deckt sich in der Form auch mit bruchmechanischen Auswertungen.

188

5.6


Bruchmechanische Konzepte

Die Lebensdauervorhersage auf bruchmechanischer Basis ist sehr stark von der Rissfortschrittskurve und insbesondere vom Thresholdwert abhängig. Deshalb werden im folgenden Abschnitt zunächst einige Einflussgrößen bei der Thresholdwertbestimmung untersucht, bevor die Zuverlässigkeit unterschiedlicher Rissfortschrittskonzepte bei Betriebsbelastung dargestellt wird. Die Untersuchung der Rissfortschrittskonzepte ist nur auf wenige Belastungs-Zeit-Funktionen und Konzepte beschränkt. Eine ausführliche Beschreibung des Einflusses unterschiedlicher Parameter ist beispielsweise in [215, 216, 233] zu finden.

5.6.1

Problematik der Thresholdwertbestimmung

Wie in Kap. 2.5.3.2 dargestellt, werden in der Literatur zahlreiche Methoden und Konzepte zur Bestimmung des Thresholdwertes der Ermüdungsrissausbreitung vorgeschlagen. Die ASTM empfiehlt eine exponentielle Absenkung der Spannungsintensität ausgehend von einem initialen Wert Kmax,0 mit einer Absenkrate CASTM. Da in der ASTM E 647 keine Angaben bezüglich der Wahl des initalen Spannungintensitätsfaktors vorhanden sind, soll im Folgenden der Einfluss dieses Werts auf den Schwellenwert untersucht werden. Ferner soll auch die Wirkung einer linearen oder exponentiellen Absenkung sowie der entsprechenden Absenkraten auf den Thresholdwert bei unterschiedlichen Spannungsverhältnissen überprüft werden. Zum Einsatz kommen einerseits der Stahl 42CrMo4 und die Aluminiumlegierung EN AW-7075-T651. b) 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

ǻKth [MPam1/2]

R = 0,1 R = 0,5

ǻKth [MPam1/2]

a) 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -0,2

42CrMo4 K max,0 = 37,95 MPam1/2 -0,15

-0,1

-0,05

0

R = 0,1 R = 0,5 -40

-1

CASTM [mm ]

Abb. 5.44: Thresholdwerte für den Stahl 42CrMo4 in Abhängigkeit a) der Absenkrate CASTM (exponentielle Absenkung) b) der Absenkrate CFAM (lineare Absenkung)

42CrMo4 -30

-20 5/2

C FAM [N/mm

]

5.6 Bruchmechanische Konzepte

189

Abbildung 5.44 zeigt die Abhängigkeit der ermittelten Thresholdwerte von der Wahl der Absenkmethode für den Stahl 42CrMo4. Bei einer exponentiellen Absenkung der Spannungsintensität (Abb. 5.44a) fällt auf, dass mit zunehmender Absenkrate bei einem R-Verhältnis von 0,1 tendenziell die Thresholdwerte steigen. Dies ist insbesondere vor dem Hintergrund bedeutend, da die Thresholdwerte lediglich bei Absenkraten größer als -0,08 mm-1 Gültigkeit besitzen, d.h. es werden höhere und damit nicht-konservative Thresholdwerte für die Auslegung verwendet. Im Unterschied zur ASTM-Norm zeigen Untersuchungen von Sheldon et al. [229] oder Clark et al. [39], dass sehr viel kleinere Absenkraten von beispielsweise CASTM = -0,8 mm-1 bei einer exponentiellen Absenkung zu gültigen Thresholdwerten führen. Tabelle 5.10: Mittlere Thresholdwerte und Standardabweichungen in Abhängigkeit des Absenkverfahrens und der Absenkrate für den Stahl 42CrMo4 und ein R-Verhältnis von 0,1 Exponentielle Absenkung CASTM

'Kth (Mittel)

Standard-

Lineare Absenkung CFAM

'Kth (Mittel)

Standard-

[mm ]

[MPam ]

abweichung 1/2 [MPam ]

-0,04

9,93

0,72

-16,8

8,93

-0,08

9,95

0,97

-24

9,62

0,24

-0,1 -0,15

9,25 8,77

0,91 0,47

-28,8 -36

9,63 9,22

0,28 0,39

-1

1/2

[N/mm ]

[MPam ]

abweichung 1/2 [MPam ] 0,30

5/2

1/2

Gleichzeitig ist im Vergleich zu einer linearen Absenkung (Abb. 5.44b) festzustellen, dass die Streuung insbesondere bei einem R-Verhältnis von 0,1 deutlich erhöht ist. Bei einer exponentiellen Lastabsenkung kommt es hier zu Standardabweichungen von bis zu 0,97 MPam1/2, während bei einer linearen Absenkung eine maximale Standardabweichung von 0,39 MPam1/2 auftritt (Tabelle 5.10). Diese großen Streuungen bei kleinen Spannungsverhältnissen bestätigen beispielsweise auch Pippan et al. [181] für die Aluminiumlegierung 7020-T5 und Sheldon et al. [229] für die Titanlegierung Ti-6Al-4V. Der Einfluss der Absenkrate ist bei höheren R-Verhältnissen nicht so deutlich ausgeprägt. Untersuchungen bezüglich des Absenkverfahrens an der hochfesten Aluminiumlegierung EN AW-7075-T651 zeigen eine ähnliche Abhängigkeit der Thresholdwerte von der Absenkrate CASTM der exponentiellen Lastabsenkung (Abb. 5.45). Untersuchungen des Einflusses der initialen maximalen Spannungsintenstität Kmax,0 bei einer linearen Absenkung zeigen keinen eindeutigen funktionellen Zusammenhang zwischen 'Kth des Stahls 42CrMo4 und Kmax,0 (Abb. 5.46a).

190


a) 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

b) 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

R = 0,1

-0,2

-0,15

-0,1

-0,05

EN AW-7075-T651 Kmax,0 = 22,14 MPam1/2

ǻKth [MPam1/2]

ǻKth [MPam1/2]

EN AW-7075-T651 Kmax,0 = 22,14 MPam1/2

R = 0,1 R = 0,5

0

-30

-1

CASTM [mm ]

-20 -10 C FAM [N/mm5/2 ]

0

Abb. 5.45 Thresholdwerte für die hochfeste Aluminiumlegierung EN AW-7075-T651 in Abhängigkeit a) der Absenkrate CASTM (exponentielle Absenkung) b) der Absenkrate CFAM (lineare Absenkung)

Bei einer exponentiellen Absenkung der Last konnten Sheldon et al. [229] hingegen bei der Titanlegierung Ti-6Al-4V einen Zusammenhang zwischen dem Thresholdwert und der initialen Spannungsinentsität insbesondere bei sehr hohen Kmax,0-Werten nachweisen. b) 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

C = -0,39 mm -1 C = -0,79 mm -1 C = -1,18 mm -1

ǻKth [MPam1/2]

ǻKth [MPam1/2]

a) 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

R = 0,1 R = 0,5 0

10

42CrMo4 20

30

40

K max,0 [MPam1/2]

50

Ti-6Al-4V Daten aus [229] 0

10

20 30 40 Kmax,0 [MPam1/2]

50

Abb. 5.46: Einfluss des initialen maximalen Spannungsintensitätsfaktors Kmax,0 a) bei einer linearen Lastabsenkung auf den Thresholdwert von 42CrMo4 für R = 0,1 und 0,5 b) bei einer exponentiellen Lastabsenkung auf den Thresholdwert von Ti-6Al-4V für R = 0,1 (Daten aus [229])


191

Aus Abb. 5.46b wird außerdem deutlich, dass die Wahl der maximalen Spannungsintensität und der Absenkrate nicht unabhängig voneinander sind. Hohe Lastabsenkraten führen bei gleichzeitig hohen initialen maximalen Spannungsintensitätsfaktoren zu höheren Thresholdwerten als bei niedrigen Kmax,0-Werten. Dies kann mit der anfänglich großen Plastifizierung, durch die der Riss zunächst sehr stark beeinflusst wird, begründet werden [136, 161, 229]. Bei einer geringeren Absenkrate wird der Thresholdwert außerhalb der primär plastischen Zone der hohen Anfangsspannungsintensität bestimmt.

5.6.2 Rissfortschrittskonzepte Zur Beschreibung der Rissfortschrittskurve wird sehr häufig die NASGROGleichung (vgl. Kap. 2.5.4.1) verwendet, die Rissschließen über die Rissöffnungsfunktion nach Newman berücksichtigt. Zur Untersuchung und Überprüfung dieser analytischen Funktion werden in ähnlicher Weise wie bei der Untersuchung des Rissschließverhaltens kurzer Risse (vgl. Abb. 5.35) elastisch-plastische FiniteElemente-Untersuchungen an CTS-Proben aus der Aluminiumlegierung EN AW7075-T651 durchgeführt [216]. Abbildung 5.47 zeigt den Vergleich der analytisch und numerisch bestimmten Rissöffnung anhand des Verhältnisses der Rissöffnungsspannungsintensität Kop und der maximalen Spannungsintensität Kmax. 1

Kop /Kmax

Newman (Į =1,9) 0,8

Newman (ESZ) Newman (EVZ)

0,6

FE-Analyse (ESZ)

0,4 0,2 0 -1

-0,5

0 R

0,5

1

Abb. 5.47: Vergleich analytischer und numerischer Rissöffnungsberechnungen in Abhängigkeit des Spannungsverhältnisses anhand der Beziehung von Kop zu Kmax bei einer Belastung mit konstanter Amplitude [216]

Es wird deutlich, dass die Rissöffnungsspannungen bzw. die Rissöffnungsspannungsintensitätsfaktoren durch die analytische Lösung im Vergleich zu den numerischen Ergebnissen deutlich überschätzt werden. Obwohl die FiniteElemente-Analyse unter den Bedingungen des ebenen Spannungszustandes (ESZ)

192


durchgeführt worden ist, bildet die analytische Lösung für den ebenen Verzerrungszustand (EVZ) die Rissöffnungsspannungen am besten ab. Dennoch ist die Vorhersage der Restlebensdauer von Bauteilen und Strukturen bei einer Belastung mit konstanter Amplitude mit den Methoden aus Kap. 2.5.4.1 sehr zuverlässig und zumeist auf der sicheren Seite. Hingegen beinhalten die Lebensdauerprognosen von Bauteilen unter Betriebsbelastungen ein hohes Potential an Unsicherheiten. Exemplarisch ist in den Abb. 5.48 und 5.49 die Zuverlässigkeit unterschiedlicher Methoden für verschiedene Lastspektren zusammengefasst. Bei den extremen Belastungsbedingungen einer Überlast bzw. einer Blocklast, die üblicherweise extrem konservative Ergebnisse ergeben, führen nahezu alle Konzepte bis auf das Fließstreifenmodell (Strip Yield) zu nicht-konservativen Ergebnissen (Abb. 5.48). Dies liegt daran, dass die Anpassung des Rissfortschrittsgesetzes an die doppelS-förmige Kurve der Aluminiumlegierung nur schlecht möglich ist. Zumeist wird ein Mittelwert verwendet, der jedoch die Risswachstumsrate in Teilen unter- und in anderen Teilen überschätzt. In dieser Simulation ist genau eine Belastung gewählt worden, bei der die Rissgeschwindigkeit in großen Teilen unterschätzt wird, so dass insgesamt eine nicht-konservative Vorhersage erzielt wird. Dies bedeutet aber auch, dass die Zuverlässigkeit nicht nur vom Rissfortschrittskonzept, sondern auch von der Anpassung der Rissfortschrittskurve durch geeignete Gesetze abhängt. Die Vorhersage mittels des Fließstreifenmodells erfolgt mittels einer da/dN-'Keff-Kurve, die die Funktion der Aluminiumlegierung besser abbildet. Jedoch führt das Fließstreifenmodell bei fast allen verwendeten Lastspektren zu konservativen Ergebnissen. 1,6 1,4

lineare Schadensakkumulation Strip Yield (NASA)

verallg. Willenborg konst. Rissschließmodell

of

N pred /N exp

1,2 1 0,8 0,6

Fmin = konst. Fmin = konst.

0,4

'F = konst.

'F = konst.

0,2 0 Überlast ( Rol = 2,2)

( R block= 1,5)

Blocklast ( R block= 1,5) ( R block= 2,0)

( R block= 2,0)

Abb. 5.48: Zuverlässigkeit unterschiedlicher Rissfortschrittskonzepte bei Über- und Blocklasten

5.6 Bruchmechanische Konzepte 1,6 1,4

N pred /N exp

1,2

193

lineare Schadensakkumulation verallg. Willenborg Strip Yield (NASA) konst. Rissschließmodell

1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 CARLOS/v

FELIX/28

WISPER

Abb. 5.49: Zuverlässigkeit unterschiedlicher Rissfortschrittskonzepte bei Betriebsbelastungen

Weiterhin hängt die Qualität der Aussage auch vom Lastspektrum ab. Während sich gute Ergebnisse beim Standardlastspektrum FELIX/28 insbesondere unter Verwendung des Fließstreifenmodells und des verallgemeinerten WillenborgModells einstellen, ist die Vorhersage bei CARLOS/v extrem konservativ. Es zeigt sich auch, dass die lineare Schadensakkumulation sowie das Modell mit einem konstanten Rissschließfaktor für die Lebensdauerprognose von Betriebsbelastungen weniger geeignet sind.

5.6.3

Festlegung von Inspektionsintervallen

Die Festlegung von Inspektionsintervallen kann nur durch bruchmechanische Methoden erfolgen, die ausgehend von einem detektierbaren Fehler die Restlebensdauer des Bauteils, der Maschine oder der Verkehrsmittels bestimmen. Allerdings hängt die zu detektierende Fehlergröße entscheidend vom verwendeten Verfahren der zerstörungsfreien Prüfung, wie z.B. Sichtprüfung, Magnetpulverprüfung, Ultraschallprüfung und Wirbelstromprüfung, ab. Die Verfahren der zerstörungsfreien Prüfung weisen unterschiedliche Grundempfindlichkeit auf, die neben physikalischen Grundlagen des Prüfverfahrens von der Bauteilgeometrie, dem Oberflächenzustand, der Zugänglichkeit der Prüffläche und der gewählten Prüftechnologie abhängt [86]. Die Wahrscheinlichkeit des Nachweises eines Fehlers in Abhängigkeit der Fehlergröße wird in einem sogenannten POD (probability of detection)-Diagramm dargestellt (Abb. 5.50). Die Wahrscheinlichkeit des Auffindens eines Risses steigt unabhängig vom angewendeten Verfahren von Inspektion zu Inspektion, wenn der Riss zwischenzeitlich wächst.

Entdeckungswahrscheinlichkeit POD

194


1,0 0,8 0,6

Zerstörungsfreies Prüfverfahren: Magnetpulverprüfung

0,4

Wirbelstromprüfung Ultraschallprüfung (großer Schallwinkel)

0,2 0

Ultraschallprüfung (Endschall) 0

2

4

6

8 10 12 14 16 Risstiefe [mm]

18 20

Abb. 5.50: Entdeckungswahrscheinlichkeit in Abhängigkeit der Risstiefe unterschiedlicher Verfahren der zerstörungsfreien Prüfung – POD-Diagramm [24]

Vasudevan et al. [257] gehen davon aus, dass die kleinste anzunehmende Risslänge nicht die kleinste Fehlergröße ist, die durch zerstörungsfreie Prüfverfahren detektiert werden kann, sondern der größte Fehler, der während einer Inspektion übersehen wird. 60 adet == 2,0 mm adet 2,0mm

Risstiefe a [mm]

50

mm adet == 1,5 adet 1,5mm

40 30

Inspektionsintervalle 20 10 0 0

1

2 3 normierte Strecke

4

5

Abb. 5.51: Einfluss der detektierbaren Fehlergröße auf die Festlegung von Inspektionsintervallen

Abbildung 5.51 zeigt den Einfluss der detektierbaren Fehlergröße adet auf die Lebensdauervorhersage und damit die Festlegung der Inspektionsintervalle durch Risswachstumssimulationen einer Eisenbahnradsatzwelle mit einer gemessenen


195

Beanspruchungs-Zeit-Funktion. Durch die Reduzierung der detektierbaren Fehlergröße von 2,0 mm auf 1,5 mm, kann die vorhergesagte Restlebensdauer auf mehr als das Vierfache erhöht werden. Die Festlegung der Inspektionsintervalle erfolgt so, dass die letzte Inspektion mit einem Sicherheitsabstand zur Instabilität des Risses erfolgt. Aus sicherheitstechnischen Gründen sind davor jedoch zwei weitere Inspektionen vorzusehen, da während dieser Inspektionen Fehler übersehen werden können. Wird eine Anfangsfehlergröße adet = 2 mm angenommen, ergeben sich auf der Grundlage dieses Konzepts die in Abb. 5.51 dargestellten Inspektionsintervalle. Durch die Reduzierung der Anfangsrisslänge ist eine deutliche Verlängerung der kostenintensiven Inspektionsintervalle bei gleicher Sicherheit möglich. a)

a

adet

Nachweisgrenze

Sicherheitsfaktor

ai

N

Inspektionsintervall b)

a

1%

a krit

a det

99% p th

N0

Inspektionsintervall

N end

N

Abb. 5.52: Bestimmung des Inspektionsintervalls a) nach dem Konzept der äquivalenten Größe des Anfangsdefekts (Equivalent Inital Flaw Size) b) nach dem stochastischen Lebensdauer-Ansatz (Stochastic Life Approach) nach Grooteman (nach [77])

Dieses Verfahren stellt eine konservative Festlegung der Inspektionsintervalle dar. In der Luftfahrt wird aus ökonomischen Überlegungen der optimalen Ausnut-

196


zung des Werkstoffs das Konzept der äquivalenten Größe des Anfangsdefekts (Equivalent Inital Flaw Size) angewendet. Es geht ebenfalls davon aus, dass auf der Grundlage entweder von experimentellen Daten oder aber von Daten aus der Inspektionspraxis die Risslängenveränderung über der Lebensdauer bekannt ist. Dieser Verlauf ist jedoch erst ab der entsprechenden Nachweisgrenze der Risstiefe adet und der zugehörigen Lebensdauer bekannt. Mit dem „Equivalent Inital Flaw Size“-Konzept wird nun mittels bruchmechanischer Konzepte die Risswachstumskurve auf den Beginn des Einsatzes extrapoliert (Abb. 5.52a). Daraus ergibt sich die Anfangsdefektgröße ai. Unter Berücksichtigung eines gewissen Sicherheitsfaktors können dann die Inspektionsintervalle definiert werden, wobei die Intervalle äquidistant oder aber variabel gewählt werden können. Darüber hinaus existieren Konzepte der stochastischen Lebensdauer (Stochastic Life Approach) [77]. Sie bauen auf der Streuung der Ergebnisse aufgrund z.B. der Streuung der Werkstoff- oder der Belastungsdaten, auf. Dabei wird nun nicht ein definierter Sicherheitsfaktor, sondern eine statistische Verteilung, angesetzt (Abb. 5.52b). Die statistische Verteilung des Versagensfalls ist die Basis dieses Verfahrens, die auf der Grundlage von Erfahrungswerten erstellt wird. Im Entwicklungsstadium eines neuen Produkts ist diese Verteilung unbekannt, so dass zunächst durch eine limitierte Anzahl von Experimenten und den Erfahrungen mit ähnlichen Konstruktionen eine konservative statistische Verteilung des Versagensfalls abgeschätzt werden muss. Diese kann dann im Laufe des Betriebs entsprechend der aktuellen Ergebnisse angepasst werden. Aufbauend auf der statistischen Verteilung des Versagens eines Bauteils wird das Risswachstum extrapoliert bis zur Nachweisgrenze adet der Verfahren der zerstörungsfreien Prüfung, welches erneut zu einer statistischen Verteilung führt. Diese Verteilung beschreibt die Lebensdauer, die benötigt wird, damit ein Riss der Länge adet mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit wächst. Der Anfangszeitpunkt N0 einer Inspektion ist definiert durch die Wahrscheinlichkeit pth, ab der ein gewisser Prozentsatz der Risse wächst. Bis zu diesem Anfangszeitpunkt wird das Risswachstumsverhalten extrapoliert. Im letzten Schritt wird eine Simulation des Risswachstums beginnend beim Anfangszeitpunkt durchgeführt, wobei entsprechende Inspektionsintervalle vorgegeben werden. Auf der Basis dieser Simulationen kann dann ein Wahrscheinlichkeitswert ermittelt werden, der mit einem festgelegten Grenzwert zu vergleichen ist. Wird der Grenzwert überschritten sind die Simulationen mit veränderten Inspektionsintervallen erneut durchzuführen. Unabhängig vom verwendeten Modell sind bei der Festlegung der Inspektionsintervalle sowohl Sicherheits- als auch Kostenaspekte zu berücksichtigen. Aus Sicherheitsgründen sollten die Vorhersagen, die für die Bestimmung der Intervalle verwendet werden, konservativ sein. Aus ökonomischen Überlegungen sollten die Intervalle so gewählt werden, dass der Werkstoff optimal ausgenutzt wird.

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Sachwortverzeichnis

A Abgrenzungsverfahren 19 Additionsmodell 120 äquivalente Verzerrungsenergiedichte 42 Äquivalentspannungsamplitude 37 Äquivalentspannungsansatz 37 Amplitudentransformation 28 Anisotropiefaktor 15 Anrisslänge 160 Anrisslebensdauer 45, 117, 151 Anrissschwingspielzahl 16, 173, 176 Anrisswöhlerlinie 173, 176 area-Konzept 98, 134, 183 - Grenzen 100 Atzori-Lazzarin-Diagramm 91 Ausfallwahrscheinlichkeit 18, 27

B Bauteil-Fließkurve 41 Beanspruchung 8, 10 - , mehrachsige 15, 117 Beanspruchungs-Zeit-Funktion 8 Belastung - , konstante 7 - , ruhende 7 - , schwellende 7 - , stoßartige 7 - , wechselnde 7 - , zyklische 7 Belastungs-Zeit-Funktion 7 - Abschätzung 9 - Ermittlung 8 - Extrapolation 9

- qualitative Analyse 8 - quantitative Analyse 8 - Simulation 9 - Standardlastspektrum 11, 152 Bereichspaar-Mittelwert-Zählung 12 Beschleunigungseffekt 71 Betriebsfestigkeit 3, 79 Betriebslastmessung 9 bezogenes Spannungsgefälle 24 bilineare Schädigungsregel 35 - Schnittpunkt 36 Blockbelastung 71 Bruchmechanik 3, 5, 47, 79, 144 - , elastisch-plastische 49 - , linear-elastische 49 bruchmechanische Stützwirkung 24 Bruchschwingspielzahl 16 Bruchwöhlerlinie 173

C Chaboche-Modell 157 Coffin-Manson-Ansatz 26 Constraint Faktor 63, 76, 117 Corten-Dolan-Modell 31 C-Parameter-Konzept 30 CTN-Probe 148 CTOD s. Rissöffnungsverschiebung CT-Probe 148 Cycle-by-cycle-Analyse 71

D Damage Curve s. Schadenskurve Damage-tolerant-Konzept 1

212 Damage-Curve-Ansatz s. Schadenskurvenkonzept Dauerfestigkeit 16 Dauerfestigkeitskennwert 15, 21 - Abschätzung 100 - Ermittlung 19 - Mittelspannung 21 Dauerfestigkeitsnachweis 15, 23 - Eigenspannungsfaktor 24 - Größenbeiwert 23 - Größeneinfluss 24 - Oberflächenbeiwert 23 - Randschichtfaktor 24 - Rauheitsfaktor 24 - Schutzschichtfaktor 24 - Sicherheitsfaktor 23 - zulässige Spannungsamplitude 23 Dauerfestigkeitsschaubild 21 Dehnung - , effektive zyklische 112 - Rissöffnungsdehnung 112 - Rissschließungsdehnung 113 Dehnungsamplitude - , elastische 26 - , plastische 26 - , totale 26 Dehnungsintensitätsfaktor 84, 119 Dehnungskerbfaktor 40 Dehnungswöhlerlinie 26 - Ausfallwahrscheinlichkeit 27 - statistische Auswertung 27 detektierbarer Fehler 193 deterministische Belastung 7 Double-Damage-Curve-Ansatz 34 Druckfestigkeitsfaktor 15 Druckschwellbelastung 7 Dugdale-Modell 75 - modifiziertes 75 Durchläufer 152

E effektiver zyklischer Spannungsintensitätsfaktor 54, 73, 74, 77, 121 - , elastisch-plastischer 106 effektives zyklisches J-Integral 112, 121 Eigengewicht 7 Eigenrisslänge 85 Eigenspannung 56 Eigenspannungsfaktor 24 Eigenspannungsintensitätsfaktor 56, 69, 73, 111

Sachwortverzeichnis einparametrische Zählverfahren 10 Einsatzprofil 8 El Haddad-Parameter 85, 158 elastische Dehnungsamplitude 26 elastisch-plastische Beanspruchung - Ermittlung 39 - ESED-Konzept 42 - Neuber-Regel 39 - Seeger/Beste-Formel 41 elastisch-plastische Bruchmechanik 49 elastisch-plastische örtliche Beanspruchung 39 EPBM s. elastisch-plastische Bruchmechanik Equivalent Inital Flaw Size-Konzept 196 Erdogan/Ratwani-Gesetz 67 Ermüdung 15 Ermüdungslebensdauerkarte 124 Ermüdungsrissausbreitungsversuch 149 - Kurzrisswachstum 150 - Langrisswachstum 150 Ermüdungsrissentstehung s. Rissinitiierung Ermüdungsrisswachstum 3, 50 Ermüdungsrisswiderstandskurve 94 Ersatzstrukturlänge 92 erweiterte Neuber-Regel 41 ESED-Konzept 42 Experimente - Lebensdauerlinie 152, 165 - Rissfortschrittswöhlerlinie 154 - Wöhlerlinie 152 Extrapolation 9 Extremwertzählung 11

F Fail-Safe-Kriterium 2 FAM Control 149 FAM Wöhler 149 FATICA 118 Fehlstellenmodell 24 feinkörniges Gebiet 133 fertigungsbedingter Größeneinfluss 24 Festigkeitsnachweis - Dauerfestigkeitsnachweis 15, 23 - , statischer 14 fish-eye-Initiierung 79, 132 Fließstreifenmodelle 74, 106, 192 Fließzonenmodelle 72 Forman/Mettu-Gleichung 67 Formzahl s. Kerbfaktor

Sachwortverzeichnis FRANC/FAM 149 Freudenthal-Heller-Ansatz 31 Frost-Diagramm 84 - Grenzkerbfaktor 84, 90 fundamentale Thresholdkurve 69

G GBF s. optisch dunkles Gebiet Geometriefaktor 48 Geometriefunktion 149 Gesamtlebensdauer 2, 124 Gesamtlebensdauerkonzepte 124 - Ermüdungslebensdauerkarte 124 - Rissfortschrittswöhlerlinie 128 geschlossene Hysterese 13 Gestaltänderungsenergiehypothese 15 Gleichstrompotentialmethode 150 globale Analyse 71 Goodmann-Gerade 23 Grenzkerbfaktor 84, 90 Grenzkurven-Theorie 32 Größenbeiwert 15, 23 Größeneinfluss - , fertigungsbedingter 24 - , oberflächentechnischer 24 - , spannungsbedingter 24 - , spannungsmechanischer 24 - , statistischer 24 - , technologischer 24 - , werkstoffbedingter 24

H Haigh-Diagramm 21, 97 Halbmatrix 13 Häufigkeitsverteilung 11 High-cylce fatigue 79 Horizontprüfung 19 Hysterese - geschlossene 13

I inhärente Schädigungszone 92 Initiierungslebensdauer 124 Inspektionsintervall 6, 193 - Equivalent Inital Flaw Size-Konzept 196 - Festlegung 194 - Stochastic Life Approach 196

213 Inspektionslastspielzahl 70 Inspektionsrisslänge 70 instabile Rissausbreitung 49, 57

J J-Integral 49, 112 - , effektives zyklisches 112, 121

K Kalibrierkurve 150 Kerbe 84, 139 Kerbfaktor 15, 39, 84, 90 - Dehnungskerbfaktor 40 - Grenzkerbfaktor 90 - Spannungskerbfaktor 15, 39, 84, 90 Kerbfaktordiagramm 15 Kerbgrundbeanspruchungskonzepte s. örtliche Konzepte Kerbgrund-Konzept s. örtliche Konzepte Kerbspannung 39 Kerbspannungsintensitätsfaktor 88 Kerbwirkungszahl 24, 41, 90, 139 Kitagawa-Takahashi-Diagramm 84, 96 - verallgemeinertes 88, 125 Klassengrenzenüberschreitungszählung 11 Klassierverfahren 10 Kollektiv 11 Kollektivumfang 11 Kombinationsverfahren 19 konstante Belastung 7 kritische Schnittebene 123 kritischer Abstand 92, 185 - Ebenenmethode 93 - Linienmethode 93, 185 - Punktmethode 93, 185 - Volumenmethode 93 kurzer Riss - anomales Verhalten 82 - , mechanisch 80, 82 - , mikrostrukturell 80 - , physikalisch 80, 82 - Risswachstumsrate 80, 102, 142, 150 - Übergangsrisslänge 143 - Verzögerung 81 Kurzrissverhalten 82 Kurzrisswachstum - numerische Simulation 157 Kurzrisswachstumskonzepte 101 - , bruchmechanische 101, 110 - Mikrostrukturmodelle 101, 102

214 - Rissschließmodelle 101, 106 Kurzzeitfestigkeit 16

L Lastannahme 9 Lastfall 8 Lebensdauer 2, 94 - Ultra high cycle fatigue 140 Lebensdauerphasen 2 LEBM s. linear-elastische Bruchmechanik Level Crossing Counting s. Klassengrenzenüberschreitungszählung lineare Schadensakkumulation 28, 72, 193 linear-elastische Bruchmechanik 49 Low-cycle fatigue 79

M Makrorisswachstum 3, 47 Masing-Hypothese 44 Master Curve of ODA 140 mechanisch kurzer Riss 80, 82 mehrachsige Beanspruchung 15, 24, 117 - Schädigungsparameter 117 Mikrorisswachstum 3 mikrostrukturell kurzer Riss 80 mikrostrukturelle Barriere 102 Mikrostrukturmodelle 101, 102 - Zwei-Phasen-Modelle 102 Miner-Regel s. Palmgren-Miner-Regel Mittelspannungseinfluss 45 Mittelspannungsempfindlichkeit 22 - Amplitudentransformation 28 Mixed Mode-Beanspruchung 48 Mode s. Rissbeanspruchungsart modifizierte Neuber-Regel 41 modifiziertes Dugdale-Modell 75

N Nachweisgrenze 125, 193 NASGRO 154 NASGRO-Gleichung 67, 159, 191 Neigung Zeitfestigkeitslinie 17 Nenndehnung 86 Nennspannungskonzepte 5, 25, 28, 128, 161 Neuber-Hyperbel 40 Neuber-Regel 39 - , erweiterte 41

Sachwortverzeichnis - modifizierte 41 nicht-lineare Schadensakkumulationshypothese 32 nicht-metallischer Einschluss 132 nicht-periodische Belastung 7 - deterministisch 7 - stochastisch 7 nicht-wachsender Riss 84, 93 Normalspannungshypothese 15

O Oberflächenbeiwert 15, 23 Oberflächeneigenspannungen 86, 139 oberflächentechnischer Größeneinfluss 23 ODA s. optisch dunkles Gebiet optisch dunkles Gebiet 133 örtliche Konzepte 5, 25, 39, 171

P Palmgren-Miner-Regel 28 - Äquivalentspannungsansatz 38 - Corten-Dolan 31 - C-Parameter-Konzept 30 - elementare Form 29 - Freudenthal-Heller 31 - in Originalform 29 - konsequente Form 30 - modifizierte Form nach Haibach 30 - Serensen-Koslow 31 Paris-Exponent 128, 168 Paris-Gesetz 53, 67, 145 Paris-Hertzberg-McClintock-Risswachstumsgesetz 141 Peak-Counting s. Extremwertzählung periodische Belastung 7 physikalisch kurzer Riss 80, 82 PJ-Wöhlerlinie 114 plastische Dehnungsamplitude 26 plastische Stützzahl 41 plastische Zone 55, 72 - , monoton 55 - , primär 55, 72 - , sekundär 72 - umkehrplastisch 55 - , zyklische 55 plastisches Versagen 14 plastizitätsinduziertes Rissschließen 74 POD-Diagramm 193 Potentialdrift 150 primär plastische Zone 55, 72

Sachwortverzeichnis PROBIT-Verfahren 19 Punkt-Methode 92

Q qualitative Analyse 8 quantitative Analyse 8

R Rainflow-Zählung 13 - , modifizierte 120 Ramberg-Osgood-Gesetz 25 Randschichtfaktor 24 Range Pair Counting s. Bereichspaarzählung Range Pair Mean Counting s. Bereichspaar-Mittelwert-Zählung Rauheitsfaktor 24 Reihenfolgeeffekte 28, 71 relative Schadenssumme 168 Residuum 11 Restlebensdauer 2, 47, 70, 193 - numerische Integration 71 Ricesches Linienintegral 49 Riss - Spannungsfeld 47 - Spannungsverteilung 50 Rissausbreitung - instabile 49, 53, 57 - stabile 53 Rissbeanspruchungsart 48 Rissbildungsphase 3 Rissentstehung s. Rissinitiierung Rissfortschrittsgleichung - Erdogan/Ratwani 67 - Forman/Mettu 67 - Kujawski 69 - kurze Risse 102, 109, 110, 141 - Noroozi/Glinka 70 - Paris-Gesetz 67, 145 - Walker 69 - Zwei-Parameter-Ansatz 69 - Paris/Hertzberg/McClintock 141 Rissfortschrittskonzepte 67, 191 - Cycle-by-cycle-Analyse 71 - globale Analyse 71 Rissfortschrittskurve 52 - Funktion 67 Rissfortschrittswöhlerlinie 128 - analytische Simulation 158 - Experiment 154

215 - Neigung 128, 168 Rissgeschwindigkeit s. Risswachstumsrate Rissinitiierung 3, 79, 132, 183 - Gleitbänder 80 - Mikrostruktur 80 Rissinitiierungskonzepte 83 Rissinitiierungslebensdauer 154 Risslängenmessung 150 Rissöffnen 54 Rissöffnungsdehnung 112, 119 Rissöffnungsfunktion 63, 68, 113, 180, 191 Rissöffnungsspannung 77, 109, 113, 119 Rissöffnungsspannungsintensitätsfaktor 54, 74, 191 Rissöffnungsverschiebung 107 Rissschließen 54, 68 - , oxidinduziertes 55 - , plastizitätsinduziertes 55, 74 - , rauhigkeitsinduziertes 55 Rissschließmodelle 74, 101, 106 - Akiniwa/Tanaka 106 - McEvily 109 Rissschließspannung 112, 126 Rissschließungsdehnung 113 Rissschließverhalten 113 Rissspitzenverformung 102 Rissspitzenverschiebung 103 Rissstadium 80, 128 - Grenzkurve 128 - Übergang 80 Rissverzögerung 72 Risswachstumskurve s. Rissfortschrittskurve Risswachstumsrate 52, 150 Risswachstumssimulation - analytisch 158 - Kurzrisswachstum 157 - numerisch 156 Risszähigkeit 49, 57 - Ermittlung 57 R-Kurve s. Ermüdungsrisswiderstandskurve R-Kurven-Konzept 95 ruhende Belastung 7 R-Verhältnis 7

S Safe-life-Kriterium 1 Safety by inspection 2 Schadenskurve 122

216 Schadenskurvenkonzept 32, 122 Schadenssumme 28, 32, 114 - relative 168 Schadenstoleranzkonzept s. Damagetolerant-Konzept schädigungsäquivalente ErsatzSchwingspielzahl 39 schädigungsgleiche Spannungsamplitude 38 Schädigungsparameter 45, 112 - Bergmann 45 - Hanschmann 45 - Smith/Watson/Topper 45 - Vormwald 112 Schädigungsparameterwöhlerlinie 45, 114 Schnittebene 123 - kritische 123 Schubfestigkeitsfaktor 15 Schutzschichtfaktor 24 schwellende Belastung 7 Schwellenwert der Ermüdungsrissausbreitung s. Thresholdwert Schwellenwertkurvenkonzepte 83, 183 Schwellenwertverhalten 62, 64 Schwellspannung 86, 92, 96, 99, 134 Schwellspannungskurve 86 Schwellwertkurve 126 Seeger/Beste-Formel 41 sekundär plastische Zone 72 Sensitivitätsanalyse - Dauerfestigkeitswert 161 - Eckschwingspielzahl 161 - Ermittlung elastisch-plastischer Beanspruchung 171 - Klassenanzahl 161 - Schädigungsparameter 171 - Wöhlerlinienneigung 161 - Zählverfahren 161, 169 Serensen-Koslow-Ansatz 31 Shut-off-Verhältnis 73 Sicherheitsfaktor 15 - gegen Dauerbruch 15, 23 - gegen Fließen 14 - gegen Trennbruch 14 Siebel-Verfahren 24 Simulation 9 Smith-Diagramm 21 Spannung - , effektive zyklische 112 - , zulässige 23 spannungsbedingter Größeneinfluss 24 Spannungsgefälle 24 - , bezogenes 24

Sachwortverzeichnis Spannungsintensitätsfaktor 48, 51 - , effektiver zyklischer 54, 73, 74, 77, 121 - , mikroskopischer 107 - , virtueller 73 - , zyklischer 51 Spannungskerbfaktor 40 spannungsmechanischer Größeneinfluss 23 Spannungssingularität 48 Standardlastspektrum 11, 152 statischer Festigkeitsnachweis 14 statistische Stützwirkung 24 statistischer Größeneinfluss 23 Stochastic Life Approach 196 stochastische Belastung 7 stoßartige Belastung 7 Stoßbelastung 8 Strain-life Konzepte s. örtliche Konzepte Streuspanne 168 Strip Yield Modell s. Fleißstreifenmodelle Strukturspannung 46 Strukturspannungskonzepte 25 Stützwirkung 24 - , bruchmechanische 24 - Siebel-Verfahren 24 - , statistische 24 - verformungsmechanische 24

T technischer Anriss 2 technologischer Größenfaktor 15, 23 Teilschädigung 28, 114, 124 Temperaturfaktor 15 Thresholdkurve - , fundamentale 69 - L-förmig 69 Thresholdwert 53, 57 - Dauerfestigkeit 126 - , effektiver zyklischer 61, 96, 106, 108, 109 - Ermittlung 57, 188 - Funktion 62 - J-Integral 115 - kurze Risse 99 - ODA 135 - Vickers Härte 99 totale Dehnungsamplitude 26 Trennbruch 14 Treppenstufenverfahren 19

Sachwortverzeichnis

U Übergangsmatrix 12 Übergangsrissgeschwindigkeit 76 Überlast 71 Überlebenswahrscheinlichkeit 18 Ultra high cycle fatigue 79, 131 - Auslegungskonzept 140 - feinkörniges Gebiet 133 - Master Curve of ODA 140 - nicht-metallischer Einschluss 132 - optisch dunkles Gebiet 133 - Thresholdwert ODA 135 - Wöhlerkurve 131, 138 umkehrplastische Zone 55 Unified Approach 69, 111 Uniform Material Law 27

V verallgemeinertes Kitagawa-TakahashiDiagramm 88 verallgemeinertes Kitagawa-TakahashiKriterium 125 verformungsmechanische Stützwirkung 24 Vergleichs-J-Integral 118 Vergleichsspannung 15 Vergleichsspannungsamplitude 24 Verzerrungsenergiedichte - , äquivalente 42 - , elastische 42 - ESZ 42 - EVZ 42 Verzögerungseffekt 71 virtueller Spannungsintensitätsfaktor 73 Völligkeit 152 Vollmatrix 13 Von-Bis-Zählung 12 von-Mises-Spannung 15

W Wechselbelastung 7 wechselnde Belastung 7 werkstoffbedingter Größeneinfluss 24

217 Werkstoffgedächtnis 44 Wheeler-Modell 72 Willenborg-Modell 73, 193 Wöhlerkurve 16 - Ausfallwahrscheinlichkeit 18 - Einflussgrößen 17 - statistische Auswertung 18 - Typ I 17 - Typ II 17 - Überlebenswahrscheinlichkeit 18 - Ultra high cycle fatigue 131, 138

Z Zählnullpunkt 10 Zählverfahren 10, 169 - Bereichspaar-Mittelwert-Zählung 12 - , einparametrische 10 - Extremwertzählung 11 - Häufigkeitsverteilung 11 - Informationsverlust 10 - Klassengrenzenüberschreitungszählung 11 - Kollektiv 11 - Kollektivumfang 11 - Rainflow-Zählung 13 - Residuum 11 - Von-Bis-Zählung 12 - , zweiparametrische 10 Zeitfestigkeit 16 Zeitfestigkeitslinie 17 - Neigung 17 - statistische Auswertung 18 zerstörungsfreie Prüfung 193 Zugschwellbelastung 7 zulässige Spannung 23 zweiparametrische Zählverfahren 10 Zwei-Phasen-Modelle 102 Zwei-Phasen-Schädigungsansatz 35 zyklische Belastung 7 - , nicht-periodische 7 - , periodische 7 zyklische plastische Zone 55 zyklische Spannungs-Dehnungskurve 25 zyklischer Spannungsintensitätsfaktor 51 zyklischer Verfestigungsexponent 25 zyklischer Verfestigungskoeffizient 25

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