Área de Análisis Matemático Universidad de Zaragoza
Cap´ıtulo 9
Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor En la representaci´on (e incluso en la construcci´on) de funciones, desempe˜ nan un papel especialmente destacado cierto tipo de series, denominadas series de potencias. Los aspectos profundos de su estudio corresponden a la teor´ıa de funciones de variable compleja m´as que a la teor´ıa de funciones de variable real, por lo que aqu´ı damos simplemente algunas propiedades sencillas, suficientes para nuestros prop´ositos. Como referencia utilizamos [Apostol1].
9.1.
Series de potencias
9.1.1.
Convergencia de las series de potencias
Definici´ on 9.1.1. Recibe el nombre de serie de potencias toda serie de la forma ∞ X
an (x − c)n .
n=0
El n´ umero real an se denomina coeficiente n-´ esimo de la serie de potencias (obs´ervese que el n t´ermino n-´esimo es an (x − c) ). Si los coeficientes a0 , a1 , am−1 son nulos, la serie suele escribirse P ∞ n n=m an (x − c) . En cierto modo, se trata de una especie de “polinomio con infinitos t´erminos”. Veremos que, a la hora de operar con ellas, las funciones definidas como suma de una serie de potencias comparten muchas propiedades con los polinomios. ¿Para qu´e valores de x converge una tal serie? Obviamente, es segura la convergencia para x = c, con suma a0 , y puede suceder que ´este sea el u ´nico punto en el que la serie converge. Fuera de este caso extremo, la situaci´on es bastante satisfactoria: veamos algunos ejemplos. Ejemplos. (1) La serie geom´etrica ∞ X
xn
n=0
converge (absolutamente) si y solo si x ∈ (−1, 1) (con suma 1/(1 − x), como sabemos). (2) La serie ∞ X xn n=1
n
converge si y solo si x ∈ [−1, 1). Si x ∈ (−1, 1), converge absolutamente. 157
CAP´ITULO 9. SERIES DE POTENCIAS. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR
158
(3) La serie ∞ X 1 n x n2
n=1
converge (absolutamente) si y solo si x ∈ [−1, 1]. (4) La serie ∞ X (−1)n x2n n n=1
converge si y solo si x ∈ [−1, 1]. Si x ∈ (−1, 1), converge absolutamente. (5) La serie ∞ X xn n=0
n!
converge (absolutamente) para todo x ∈ R (y la suma es ex ). (6) La serie ∞ X n! xn n=0
converge solamente para x = 0. Lema 9.1.2. Si para alg´ unP r ∈ (0, +∞) la sucesi´ on (an rn ) est´ a acotada, entonces para cada x ∈ R ∞ n tal que |x − c| < r la serie n=0 an (x − c) es absolutamente convergente. Demostraci´ on. Sea M tal que para todo n ≥ 0 se tenga |an | rn ≤ M. Entonces
∞ X
|an | |x − c|n =
n=0
∞ X
|an |rn
n=0
|x − c|n rn
est´a mayorada por la serie convergente ∞ X
M
n=0
|x − c|n . rn
Definici´ on 9.1.3. Dada una serie de potencias el valor (finito o infinito) dado por r = sup{|x − c| :
∞ X
P∞
n n=0 an (x − c) ,
su radio de convergencia es
an (x − c)n converge}.
n=0
Si r > 0, el intervalo (c−r, c+r) se denomina intervalo de convergencia de la serie de potencias. P n Corolario 9.1.4. Dada una serie de potencias ∞ n=0 an (x − c) , con radio de convergencia r, se tiene: a) la serie converge absolutamente P en cada punto x de su intervalo de convergencia; en otras n palabras, si |x − c| < r, la serie ∞ n=0 an (x − c) es absolutamente convergente; b) la serie no converge en los puntos x tales que |x − c| > r. Nota. Seg´ un los ejemplos previos, cuando r es finito, nada puede decirse sobre la convergencia en los puntos c+r, c−r. Tampoco hay un resultado general sobre convergencia uniforme en (c−r, c+r).
9.1. SERIES DE POTENCIAS
159
Demostraci´ on. a) De la P definici´on de r se deduce que si |x − c| < r, debe existirPun punto x1 tal ∞ n n que |x − c| < |x1 − c| y ∞ n=0 an (x1 − c) converge. Aplicando el lema anterior, n=0 an (x − c) debe converger absolutamente. b) Consecuencia directa de la definici´on de r. P n Ejemplos. (1) La serie ∞ n=1 x tiene radio de convergencia 1. Para x = 1 diverge a +∞ y para x = −1 es oscilante. ∞ X xn tiene radio de convergencia 1. Para x = 1 diverge a +∞ y para x = −1 es (2) La serie n n=1 convergente (condicionalmente). ∞ X xn (3) La serie tiene radio de convergencia 1. Para x = 1 y para x = −1 es convergente n2 n=1 (absolutamente). Observaci´ on. Existe una f´ormula que permite expresar el radio de convergencia de una serie de P n potencias ∞ on de sus coeficientes. Se trata de la f´ ormula de Cauchyn=0 an (x − c) en funci´ Hadamard 1 p r= . l´ım sup n |an | Sin embargo, en los ejemplos que manejaremos en el curso, es m´as c´omodo realizar directamente el estudio de la convergencia de las series para los distintos valores de x (generalmente con ayuda del criterio del cociente o del criterio de la ra´ız). En la f´ormula de Cauchy-Hadamard, an es exactamente el coeficiente de (x −Pc)n , de modo 2n que si se quiere utilizar por ejemplo para hallar el radio de convergencia de la serie ∞ n=0 x , hay 1√ que calcular donde an = 1 si n es par y an = 0 si n es impar (¿sabr´ıas hacerlo?); por n l´ım sup
|an |
suerte, en este y en casi todos los ejemplos usuales podemos evitar este c´alculo si recurrimos a la definici´on de radio de convergencia y al estudio directo de la convergencia de las series. Este ejemplo muestra tambi´en por qu´e hay que usar obligadamente l´ımite superior en la f´ormula: el l´ımite no tiene por qu´e existir.
9.1.2.
Propiedades de las funciones representadas por series de potencias
La suma de una serie de potencias de radio no nulo define en su intervalo de convergencia una funci´on ∞ X f (x) = an (x − c)n . n=0
Se dice entonces que la serie representa a la funci´ on f en el intervalo de convergencia y que es el desarrollo en serie de potencias de la funci´on f en el punto c. Se plantean entonces de manera natural dos problemas (ver [Apostol1, p´ags. 528–529]): (1) dada la serie, hallar propiedades de la funci´on suma; (2) dada una funci´on, averiguar si puede ser o no representada por una serie de potencias (suele decirse entonces que la funci´on es desarrollable en serie de potencias). Teorema 9.1.5. Sea
P∞
n=0 an (x
− c)n una serie de potencias de radio r > 0 y sea f (x) =
∞ X n=0
definida si |x − c| < r. Entonces:
an (x − c)n ,
160
CAP´ITULO 9. SERIES DE POTENCIAS. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR
a) la serie ∞ X
n an (x − c)n−1
n=1
tiene tambi´en radio de convergencia r. b) la funci´ on f es derivable y si |x − c| < r se tiene f 0 (x) =
∞ X
n an (x − c)n−1 .
n=1
Demostraci´ on. a) Sea |x − c| < r. Entonces podemos elegir alg´ un y ∈ R tal que |x − c| < |y − c| < r. Seg´ un la definici´on de radio de convergencia, la serie ∞ X
|an | |y − c|n
n=1
converge. Adem´as, n|an | |x − c|n−1 n x − c n−1 l´ım = l´ım = 0, n n |y − c| y − c |an | |y − c|n luego la serie
∞ X
n an (x − c)n−1
n=1
converge. Si, por el contrario, |x − c| > r, entonces la sucesi´on an (x − c)n no est´a acotada, luego la sucesi´on nan (x − c)n tampoco lo est´a y la serie ∞ X
n an (x − c)n−1
n=1
no converge. b) Sea |x − c| < s < r y sea y ∈ (c − s, c + s), y 6= x. Por el teorema del valor medio, para cada n existe un tn comprendido entre x e y, de manera que ∞
∞
n=1
n=1
f (y) − f (x) X (y − c)n − (x − c)n X = an = an n (tn − c)n−1 . y−x y−x Asimismo, para cada n existe un n−1
(tn − c)
t0n
comprendido entre x y tn , tal que
− (x − c)n−1 = (n − 1)(t0n − c)n−2 (tn − x).
Como x, y ∈ (c − s, c + s), resulta que t0n ∈ (c − s, c + s). As´ı que |t0n − c| < s. Seg´ un el apartado anterior (aplicado dos veces), las series
∞ X
n an (x−c)n−1 y
n=1
∞ X
n(n−1) |an | sn−2
n=2
son convergentes. Por tanto, podemos escribir ∞ ∞ X f (y) − f (x) X − n an (x − c)n−1 ≤ n |an | (tn − c)n−1 − (x − c)n−1 y−x n=1
≤ ≤
n=2 ∞ X
n=2 ∞ X
n |an | (n − 1) |t0n − c|n−2 |tn − x| n(n − 1) |an | sn−2 |y − x|
n=2
= M (s) |y − x|,
9.1. SERIES DE POTENCIAS
161
de donde se deduce que
∞
f (y) − f (x) X = n an (x − c)n−1 . y→x y−x l´ım
n=1
La aplicaci´on reiterada de este resultado permite afirmar: P n Corolario 9.1.6. Sea ∞ n=0 an (x − c) una serie de potencias de radio r > 0 y sea f (x) =
∞ X
an (x − c)n
n=0
si |x − c| < r. Entonces f tiene derivadas de todos los ´ ordenes en (c − r, c + r), y se cumple f (k) (x) =
∞ X
n(n − 1) · · · (n − k + 1) an (x − c)n−k .
n=k
En consecuencia
f (n) (c) , n! de manera que las sumas parciales de la serie son los correspondientes polinomios de Taylor de f en el punto c. an =
Demostraci´ on. La primera parte se prueba por inducci´on sobre k. Para la segunda, tomando en particular x = c, se sigue que f (n) (c) = n! an . P P Corolario 9.1.7. Si dos series de potencias an (x − c)n y bn (x − c)n tienen la misma funci´ on suma f en un cierto entorno del punto c, entonces las dos series tienen los mismos coeficientes: en realidad, para todo n ≥ 0 se cumple an = bn =
f (n) (c) . n!
El teorema muestra que “la derivaci´on de una serie de potencias se hace derivando cada uno de sus t´erminos, como si fuese un polinomio”; esto permite sumar f´acilmente determinadas series a partir de otras de sumas conocidas. P P∞ 1 1 n n−1 = Ejemplo. Puesto que ∞ y, en n=0 x = 1−x , |x| < 1, para tales x se tiene n=1 n x (1−x)2 P∞ n−k −k−1 general, n=k n(n − 1) · · · (n − k + 1) x = k!(1 − x) . Tambi´en es u ´til comprobar que se puede “integrar t´ermino a t´ermino”. P n Corolario 9.1.8. Sea ∞ n=0 an (x − c) una serie de potencias de radio r > 0 y sea f : x ∈ (c − r, c + r) → f (x) =
∞ X
an (x − c)n ∈ R.
n=0
Entonces la serie
∞ X an (x − c)n+1 n+1
n=0
tiene radio r, y si F es una primitiva de f en (c − r, c + r), para cada x ∈ (c − r, c + r) se verifica F (x) = F (c) +
∞ X an (x − c)n+1 . n+1
n=0
CAP´ITULO 9. SERIES DE POTENCIAS. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR
162
Demostraci´ on. Ya sabemos, por el teorema anterior, que las series ∞ X an (x − c)n+1 , n+1
∞ X
n=0
an (x − c)n
n=0
tienen el mismo radio de convergencia. Sea g : x ∈ (c − r, c + r) → g(x) =
∞ X an (x − c)n+1 ∈ R. n+1
n=0
El teorema anterior prueba que g tiene derivada en (c − r, c + r) igual a f , es decir, que g es una primitiva de f en (c − r, c + r), por lo que F y g difieren en una constante. Como g(c) = 0, se sigue que F (x) − g(x) = F (c). Ejercicios. (1) Probar que si |x| < 1, se tiene log(1 + x) =
∞ X (−1)n−1
n
n=1
xn .
(2) Probar que si |x| < 1, se tiene arc tg x =
∞ X (−1)n−1 n=1
2n − 1
x2n−1 .
Hemos visto que en los extremos del intervalo de convergencia la serie puede no converger; si lo hace, es interesante disponer de alg´ un resultado que, bajo ciertas condiciones, garantice que la funci´on definida por la serie sea cuando menos continua, como el teorema que pasamos a enunciar (su demostraci´on puede verse en [Ross, Teor. 26.6, p´ags. 147–148]). P n una serie de potencias de radio de convergencia Teorema 9.1.9 (de Abel.). Sea ∞ n=0 an (x− Pc) ∞ r positivo y finito, y supongamos que la serie n=0 an rn es convergente. Entonces ∞ X
an rn =
n=0
∞ X
l´ım
x→(c+r)−
an (x − c)n .
n=0
Ejemplo. Demostrar mediante el teorema de Abel que ∞ X (−1)n−1 n=1
9.2.
n
∞ X (−1)n π = . 2n + 1 4
= log 2 ;
n=1
Desarrollos en serie de Taylor
La f´ormula de Taylor y el teorema de la secci´on anterior pueden inducir a pensar que si una funci´on f tiene derivadas de todos los ´ ordenes, es representable como suma de su serie de Taylor f (x) =
∞ X f (n) (c) n=0
n!
(x − c)n
(como una especie de “f´ormula de Taylor llevada al l´ımite”) en la parte del dominio de f donde tal serie converja. La situaci´on real no es tan satisfactoria: por ejemplo, la funci´on ( 2 e−1/x si x > 0; f (x) = 0 si x ≤ 0,
9.2. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR
163
tiene derivadas de todos los ´ordenes en cada punto de R, y en 0 es f (n) (0) = 0 para cada n ∈ N; P f (n) (0) n por consiguiente, para ning´ un valor de r se cumple f (x) = ∞ x siempre que |x| < r. n=0 n! Es posible demostrar que para que una funci´on f coincida con la suma de su serie de Taylor es necesario que sus derivadas sucesivas no tengan un tama˜ no “desmesurado”. En aplicaciones concretas es suficiente comprobar que las derivadas est´an ‘controladas’ por potencias sucesivas de una constante, como vamos a ver ahora. Proposici´ on 9.2.1. Sea f una funci´ on con derivadas de todos los ´ ordenes en un intervalo (c − r, c + r). Supongamos que existan n´ umeros reales no negativos A y B tales que |f (n) (x)| ≤ B · An
siempre que |x − c| < r .
Entonces, para todo x ∈ (c − r, c + r) se verifica f (x) =
∞ X f (n) (c) n=1
n!
(x − c)n .
Demostraci´ on. Sea |x − c| < r. Si x 6= c, dado m ∈ N, aplicando la f´ormula de Taylor podremos escribir, para alg´ un tm comprendido entre x y c m f (m+1) (t ) X f (n) (c) Am+1 m (x − c)n = |x − c|m+1 ≤ B |x − c|m+1 . f (x) − n! (m + 1)! (m + 1)! n=0
Entonces la diferencia anterior tiende a 0 cuando m → ∞. En consecuencia, la serie es convergente con suma f (x). Ejercicios. Obtener los desarrollos siguientes (ver [Apostol1, p´ags. 533–535]): a) sen x =
∞ X (−1)n x2n+1 , (2n + 1)!
x ∈ R.
n=0
b) cos x =
∞ X (−1)n n=0
c) ex =
∞ X n=0
(2n)!
1 n x , n!
x2n ,
x ∈ R.
x ∈ R.
Nota. Si reflexionamos un momento, tenemos ante nosotros una manera rigurosa de construir las funciones seno, coseno, exponencial, sin m´as que leer las f´ormulas anteriores al rev´es. Las series que hemos escrito son obviamente series de potencias de radio +∞, que definen sendas funciones en R: otra cuesti´on es que resulte f´acil o complicado demostrar que estas funciones gozan de las propiedades que venimos utilizando en relaci´on con el seno, el coseno, la exponencial. Dedicaremos a su estudio el u ´ltimo cap´ıtulo, para que sirva a su vez de muestra de la enorme potencia de los conocimientos que hemos ido adquiriendo a lo largo del curso. Para comprobar la validez de ciertos desarrollos es a veces m´as conveniente usar otros recursos, en vez de la f´ormula de Taylor. Ejemplo (serie bin´ omica). Veamos que para cada α ∈ R es ∞ X α n (1 + x)α = x , siempre que |x| < 1 . n n=0
Para α ∈ N ∪ {0}, la f´ormula anterior se reduce a la del binomio y es v´alida para todo x ∈ R. Suponemos, pues, α ∈ / N ∪ {0}.
164
CAP´ITULO 9. SERIES DE POTENCIAS. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR
Entonces, el criterio del cociente nos da que el radio de convergencia de la serie es 1, luego podemos definir una funci´on f : x ∈ (−1, 1) → f (x) =
∞ X α n=0
n
xn ∈ R ,
que, en principio, no tiene por qu´e coincidir con (1 + x)α en dicho intervalo. Pero como f 0 (x) =
∞ X α n−1 n x , n
n=1
de α α α(α − 1) · · · (α − n + 1) α(α − 1) · · · (α − n + 1)(α − n) n + (n + 1) =n + (n + 1) n n+1 n! (n + 1)! α(α − 1) · · · (α − n + 1) α(α − 1) · · · (α − n + 1)(α − n) =n + n! n! α(α − 1) · · · (α − n + 1) = [n + (α − n)] n! α =α , n se deduce que f 0 (x)(1 + x) = α f (x), por lo que f (x)/(1 + x)α tiene derivada nula y por tanto se mantiene constante en todo el intervalo (−1, 1). Tomando x = 0 se sigue que el valor de tal constante es 1, es decir, que f (x) = (1 + x)α para todo x ∈ (−1, 1). De especial inter´es resulta el caso particular α = −1/2. Entonces, operando, − 12 · − 32 · − 52 · · · (− 12 − n + 1) −1/2 = n n! 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) = (−1)n 2n (n!) 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) = (−1)n , 2 · 4 · 6 · · · (2n) con lo cual
∞
√
X 1 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) n = (−1)n x , 2 · 4 · 6 · · · (2n) 1 + x n=0
−1 < x < 1.
Del criterio de Leibniz y del teorema de Abel se sigue que la f´ormula anterior tambi´en es v´ alida para x = 1. A veces se escribe abreviadamente 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) = (2n − 1)!!,
2 · 4 · 6 · · · (2n) = (2n)!!.
Aplicaci´ on. A partir del desarrollo de su derivada se obtiene arc sen x =
∞ X 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) n=0
2 · 4 · 6 · · · (2n)
·
x2n+1 , 2n + 1
−1 < x < 1,
v´alido tambi´en para |x| = 1 por el teorema de Abel. Ponemos final a este cap´ıtulo con una tabla de los desarrollos en serie de Taylor-Maclaurin de las funciones que m´as frecuentemente aparecen en los ejercicios.
9.2. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR ´ FUNCION
DESARROLLO EN SERIE P∞
1 1−x
(1 + x)α log(1 + x)
n n=0 x
1 + αx +
cos x arc sen x arc tg x
CONVERGE
= 1 + x + x2 + · · · + xn + · · ·
−1 < x < 1
α(α − 1) 2 α(α − 1) · · · (α − n + 1) n x + ··· + x + ··· 2! n!
−1 < x < 1
P∞
n=1
(−1)n−1 n
P∞
1 n=0 n!
ex sen x
165
(−1)n n=0 (2n+1)!
P∞
(−1)n n=0 (2n)!
P∞ P∞
n=0
xn = 1 + x + 12 x2 +
x2n+1 = x − x2n = 1 −
1·3·5·...·(2n−1) 2·4·6·...·(2n)
(−1)n n=0 2n+1
P∞
xn = x − 12 x2 + 13 x3 − 14 x4 + · · ·
·
1 2!
x2n+1 2n+1
1 3!
x3 +
x2 +
1 4!
1 5!
1 3!
x4 + · · ·
x5 −
x4 −
1 6!
= x + 16 x3 +
1 7!
x7 + · · ·
x6 + · · ·
3 40
x5 + · · ·
x2n+1 = x − 13 x3 + 15 x5 − 17 x7 + · · ·
−1 < x ≤ 1 −∞ < x < +∞ −∞ < x < +∞ −∞ < x < +∞ −1 ≤ x ≤ 1 −1 ≤ x ≤ 1
166
CAP´ITULO 9. SERIES DE POTENCIAS. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR
Bibliograf´ıa [Apostol1] Apostol, T. M.: Calculus, vol. I (segunda edici´on). Revert´e, Barcelona, 1989. Citado en la(s) p´agina(s) 157, 159, 163 [Ross]
Ross, K. A.: Elementary Analysis: The Theory of Calculus. Springer, Berl´ın, 1980. Citado en la(s) p´agina(s) 162
167
Área de Análisis Matemático Universidad de Zaragoza
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