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Lecture Notes in Mathematics
Alle Rechte, insbesondere das der Ubersetzung in fremde Sprachen, vorb...
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Lecture Notes in Mathematics
Alle Rechte, insbesondere das der Ubersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten. Ohne ausdruckliche Genehmigung des Verlages ist es auch nicht gestattet, dieses Buch oder Teile daraus aufphotomechanischem Wege (Photokopie, Mikrokopie) oder aufandere Art zu vervielfaltigen. © by Springer-Verlag OHG/Berlin . Gottingen Heidelberg 1964. Library of Congress Catalog Card Number 64—24569. Printed in Germany. Titel NR. 7321 Druck Beltz, Weinheim
Lecture Notes in Mathematics
John Wermer Professor an der Brown University Providence R.I.
Seminar über Funktionen -Algebren Eidg. Technische Hochschule, Zurich Forschungsinstitut für Mathematik
Winter-Semester 1963/64
Springer-Verlag• Berlin Goftingen Heidelberg •
Vorvort:
Alle Hinweise auf Originalarbeiten, auf weiche wir Bezug nehmen, sind im letzten Paragraphen, §
9, zu
finden.
Herr Professor Alfred Huber war so freundlich, das Deutsch dieser Seminar—Berichte zu verbessern, und der Verfasser inöchte ibm
dafür
herzlich danken.
Der Verfasser ist Fellow der Alfred P. Sloan Foundation.
Anmerkung:
Statt
des nachstehenden Schriftzeichens für
das
Doppel—S im Wort Ma(3e vervenden vir die folgende Schreibweise: Masse.
§ 1.
Einführung.
Wir werden einige allgemeine Sätze über Dirichletsche Algebren beveisen und
diese
Sätze dann auf Probleme der komplexen
Approximation in der Ebene anvenden.
Wir betrachten einen kompakten Hausdorffschen Raum X und
auf
X eine Menge A von stetigen komplexvertigen Funktionen, die
folgenden Bedingungen genügt: (1) A 1st em
Algebra uberC , dem Körper der komplexen Zahien.
(2) A ist abgeschlossen in Bezug auf die gleicbmässige Konvergenz auf X.
(3) A enthält die Konstanten und
sepai-iert
die Punkte von X.
(ii) Für jedes stetige reelie U auf X und jedes
hEA Man
aufX.
sodass
nennt
Definition 1:
existiert
dann A eine Dirichletsche Algebra auf X.
c(x)
1st die Menge slier komplexvertigen stetigen
Funktionen auf X.
Definition 2:
c(x)*
ist
die Menge aller komplexwertigeri Baireschen
Masse auf X.
E C(X)*
Definition 3:
Sf,AA = 0,
ist also em linearer Raum. Falls sei "orthogonal zu A". Definition
(A)
(
alle I in A}. AL, sagen wir
1.2
Falls AE1Yt(A), sagen vir, auf A". Für x
A
X, bezeichnexi wir mit
sei
"multiplikativ 1 ifl x.
die Punktmasse
Natürlich gilt:
Wenn f E A, ist auch exp(f)€ A.
Lemma 1:
Die Reihe konvergiert gleichmässig
exp(f)
Beweis:
=
auf X, und nach (1), (2), (3) gilt dann exp(f)EA.
Definition 5:
g =
exp(f).
A
Beweis:
=
)fl =
=
Im folgenden werden wir die Beziehungen zwischen multi— plikativen und
orthogonalen
Massen untersuchen.
und
Wir benierken, dass aus
Denn, für
folgt:
gEA
r(A)
=0
gilt:
fgrA= Wir wollen noch eine Bemerkung machen. Für
ist die
Abbildung m:
offensichtlich Es sd
em
f-*Jf)s
Homomorphismus der Algebra A auf(
umgekehrt in dxi solcher Homoniorphismus. Dann
eixideutig bestixnmtes
(*)
,
m(f) =
mit alle fEA.
-2—
gibt
,
und es em
m
0.
1.3
Bevels:
Man kann zeigen (was bel unseren Anvendungen evident sein
vird), dass (m(r)(
Also 1st m
gilt
und
xeX
mit
Non 1. Nach dent Hahn—Banachsehen Satz und
von F. Riesz gibt es daher \
nach (*),
=
0, alle fEA,
und daher nach (le),
eindeutig best imint.
(*)
f,x, folgt
,\€öT((A).
Falls alle
für welehes
das die totale Variation 1 hat. Da auch 1 =
und daher
f
Lf(x)(.
lineares Funktional auf dem Teilraum A des Banach—
em
sehen Raumes c(x)
einem Satz
max
und für beide (*) gilt, 1st dann
0, 0. Also 1st A durci (*) JRe I (A1-A2)
daher =
2.1
§ 2.
Lebesguesche Zerlegung von Massen aus
In diesem Abschnitt betrachten vir eine Dirichletsche
und fixieren
Algebra A auf eineni Raum X. Wir
Es sei S eine Menge in X der Form S =
1+JIK ,
K
abge—
n1 schiossen,
Lemma 3:
u.nd
0.
in
A so, dass
auf X, alle n.
f.u.— dA.
(ii)
0 überall auf S.
(iii)
wählen,
(s)
Es existiert eine Folge
(j)
Bevels:
A
Da ,\(K) = 0, können vir em
stetiges reelles U
SO
dass
(5)
u(O auf X,
(6)
u
fRe
mA>
—
A, dessen Realteil folgende
2.2
Da f
n
ic
+
und Re(f
+
n
Ic
n
= Re
)
f n
für eine
beliebige reelle Konstante c, können vir ohne Verlust der A].lge— ineinheit annebmen, dass auch
jim
(8)
f\
=
Wir setzen g
exp(f
=
=
Nach Lemmas 1 und 2 ist g EA
Dann folgt:
(
I
).
A
auf
X,
1.
Daher =
0
— 2 Re +
°.
) Also g
1 in der L2(,\ )—Norm, und
mitg
somit
existiert eine Teilfolge
f.u._dA.
Endlich sei xeS. Dann ist x in K
XGK,
Nach (5) und (6)
gilt
dann,
no
für em
n
o
und
so
für
u (x)
und somit
g
Für und
,U.6 c(x)* bezeichne
den singulären Teil von
—5—
den absolut stetigen
in Bezug auf
2.3
ist
also die Lebesguesche Zerlegung von,4.L.
Satz 1:
ist auch
Falls ,&A.. E
A singular Menge S in X mit
A(s)
=
und
in
ist, gibt es eine auf X—S identisch
so dass
verschwindet. Wir können annehmnen, dass S =
K
Nach Lemma 3 existiert nun 3g\in (iii) erf'üllt sind.
und (i), (ii),
deshaib
abgeschlossen
A so, dass
Es sei f in A. Dann gilt:
(11)
(12)
0 überall auf 5,
K auf X, alle n, K eine Konstante.
(13)
Nach dem Lebesgueschen Konvergenzsatz folgt
Da
fgEA und
0 =
urn Jfg
Also
Korollar 1:
nun:
folgt:
,4A =
lirn ffg
+
lini
)4
=
w.z.b.w.
X, dann ist 14t({x\)
—6—
=
0.
2.14
Beveis:
Wir zerlegen
nach Definition 6
mit
A
und erhalten: ,L&
vo k eine Konstante ist und dann:
kA
paso
und somit,IA((4)
Korollar
A
2:
Nach Satz 1 gilt
=
o.
zwei Masse inlP2. Entweder sind
Es
absolut
= 0.
= o.
k =
Also
)
(
X
oder A1,A2
stetig in Bezug auf
singular
in Bezug aufeinander.
Beweis:
Wir nebmen an, dass sie nicht singular sind. Wegen der
Symmetrie genügt es zu zeigen, dass A
Bezug auf A
l•
2
absolut stetig ist in
Auf jeden Fall gilt für
=
A2.
A und,U\
0. Da
Wir betrachten
A2>
o,
0,
mitc'(,A2) =
(114)
=
Nun gilt fA
Zerlegung von fA2
0.
+
2e AL,
und (114) ist die Lebesguesche
Bezug aufA1. Nach Satz 1 folgt, dass
A1. Es sei jetzt
0.
A. Dann gilt
AL,
(g —
1
—T
—
und somit
2.5
= o, oder,
5(g
0:
mit c =
(is)
1st,
für jedes
aus (u),
und somlt 1st A2
und
absolut
= 0 für
,U€ AS, also Bewels:
—
Es sel /,J.
Korollar 3:
Für
gilt, urid da,jJ
in
0. Also A2
auf
A
w.z.b.w.
singular In Bezug auf A, A
=
0.
Dann
1st
o.
und
W1r setzen
fEA gilt
=
stetig in ISezug
alle =
2
reell
-
dann:
=0. Also
1/6
A1'.
Ferner 1st
Jet),>,'
=/t, da,Js( sIngular 1st. Nach
Satz 1 1st aiso,,U.in A1'.
—8—
3.1
§
3.
Die Räume
vie
Es seien A,X,A
A
bezeichne
im letzten Paragraphen definiert.
den mit dem Mass
konstruierten,
A
bekannten
Lebesgueschen Raum, versehen mit der üblichen Metrik.
ist die abgeschlossene Hülle von A in
Definition 7:
Definition 8:
(A)
H
ist
.
2
die Menge der in H (A) liegenden •
vesentlich beschränkten Funktionen.
sind also auf
Die Elemente von
X f,ü.— dA definierte Funktionen, mit der üblichen Identifikation. L2(A), mit dem Skalarprodukt
=
ist
Hilbertscher Raum. Wir setzen:
=
H2(A)
oJ, wobei
=
Lemma
A)
=
H2(A
im Sinne der orthogonalen
)
Zerlegung eines Hilbertschen Raumes.
Beveis:
Für
f€A,
=
uzid
0,
gilt
JfgA
Durch Grenzübergang folgt die Orthogonalität von H2(A)
und
0,
und
ff A
—9—
0.
=
0.
3.2
Daher
SRe
f
=
0,
f€A
und somit k = 0 vegen (14), Also 1st L2(A) =
Lemma
5:
sei h InH(A) mit
Es
Folge
A,
so
dass
(1)
allen,
(ii)
f,ü.—
Bevels:
Dann existiert elne
Da h€ H2( A), existiert
Wir dürfen dann auch annehmen, dass
A
f—p h
mitStf
0.
—
î.ü,— d),. Wir setzen
E
E
1st abgeschlossen In X. Wir def'inieren
fiog tf(x)\, xeE b (x) = n 0
Also U
+
0 auf X, und b
IvE.A
1st stetlg auf X. Nach (14)
n
-i.
4
u
- b
Wir dürfen annebmen, dass
(16)
es
mit
— b
Dann 1st
gibt
n
auf X.
Sv
0. Wir setzen g
und
A) = exp
JuX1ç,
(1T)
=
(18)
—
10 —
fr(x)r',
=
exp(u
+
iv).
3.3 Ausserdem gilt:
(19)
b
=-
-
(r(x)IA
=
--a.
En Wir behaupten:
(20)
Siog
Sei
0.
fr(x)I A
0 vorgegeben. Wir setzen
{XEX(
F
Da
und
d,\
Auf E
n
— F
n
I
0.
gilt:
log (ft< log 0
folgt, dass
r( A
1
(1 +
L ).
log
J'log
+
I
log (1 +t). Ferner
Das erste Integral
fiog
-
L
-
für
Also gilt (20). Ausserdem ist u
J'uX
Es
0 auf X, und. somit
folgt aus (l9),dass juA
und
daher
—p1. Wie im Beweis von Lemma 3 folgt nun aus und
(18),
f.ü.—d,\
dass g
Wir setzen h
f
•g
nL,
— 11 —
für
eine
Teilfolge
1
Dann ist
f.ü.—d,\, und
E A,
(18). Damit ist
xGX, wegen (17) und
Satz 2:
Dann
absolut
Es sei ,4A
existiert
so,
Beweis:
Nach dem
mit
k
ist
Nun
Satz
(
, ane
alles bewiesen.
stetig in Bezug aufj\
dass ,LA =
kA
(und soinit JkA
0).
existiert Ic in Lt(A)
von
abgeschlossener
H1(A) em
Teilrauzn von
Nach einem bekannten Satz von Banach ].iegt daher Ic in
dann und
nur
auf
darin, wenn jedes lineare Funktional auf
verschwindet, auch auf k verschwindet. Em
das ].ineares
Funktiona]. auf L1()t) ist gegeben durch eine wesentlich beschränkte auf X. Das Funktional verschwindet auf
Funktion
).gerade
dann, wenn
JrQA= 0, alle
(2].)
besagt, dass (f,q)) = in L2(A) für al].e fEA. Also steht (j.) orthogonal auf u2(A) in L2(A). Nach Lemma 14 folgt (2].)
C
also 4)
daraus
H2(A). Daher
Verlust an Allgemeinheit dürfen wir annehmen, dass ist. Dann existiert nach Lemma 5 eine f. ü. — d,S,,. Daher gilt Ohne
und h
Jkc9A da
kA
=,,JA.E
=
0.
•JkhA
=
=
Also ist
Da
w.z.b.w.
—
12
—
= 0, ist auch
14.1
fur
Eine Forme].
Masse in A
Es seien A,X,Ifl vie oben definiert. Für A
bezeichnen
mit
Definition win Ø in Satz 3:
=
fkA = ol
heisst vollständig singulAr,
Mass
Em
9:
£kGHIA'I
31?
Bezug auf jedes multiplikative Mass singulAr ist.
Fiann existiert
Es sej
eine höchstens abzähl—
von multiplikativen Massen, für jedes i em
bare Menge [Al und em
A.L SO,
vollstandi€
k. A1
+
k.
dass
c,
vobei die Reihe in totaler Variation konvergiert. Beveis:
Für
A
,Ac14 schreiben
falls A
vir
in Bezug auf einander absolut stetig sind, und vir schreiben
venn dies nicht zutrifft. Nach Korollar 2 zu Satz 1
A ist A in Bezug
equivalent mit der Singularitãt von A und A' auf einander.
ist
Die Beziehung
eine Aequivalenzrelation auf
Wir nennen die dazu gehbrenden Aequivalenzklassen kurz "Klassen".
,A1E P.
Es sei nun P eine Klasse und A
Dann
gilt
(siehe
Definition 6):
(22)
(3A=
(3=
Denn
bezug auf A ,
da
Bezug
IA1 für
ist
. Da
absolut stetig ist in
(3A + ('3A es auch absolut stetig in Bezug auf A , und
sIngular 1st aA,\ Daher .
jedes f3e c(x)*.
in Bezug auf A
=j,%,
besondere (22).
— 13
—
,
ist
GA
es auch singulAr in
und so ins—
Es sei nunJ\_
0 für
Menge aller Kiassen p mit
-
9=
singular
Da jedes Glied rechts auf A
A1 singular singular ist.
dass
Also ist
singular.
auf 5
C(X)*, bezeichnen vir die totale Variation
mit
Falls
•
einander, folgt 11f31
singular
2"
=
2"
+ 11
11
sind in Bezug auf Nun
ist
? Also gilt V,MI%
=
je zvei
Aber
sind auch auf einander singular. 1
Daher ist ,u.
=
(I ii..
+
und somit
i
(23) i=l (23) gilt nuzt
auf
auf A211..Ak
ist. Aehnlich folgt1 dass 5)
Für
von
und
P. Wir betrachten
EF. Wir setzen
váhlen
Also
die
unabhängig
von k und von der WahJ.
der
Kiassen
Es folgt, dassj\_ höchstens abzählbar unendlich ist,
und
und dass, falls =
i—l
— 114
—
E
]4.3
Daraus schliessen vir, dass
in totaler Variation
konvergiert. Wir setzen
T=,Lk Da,LA.€
A1,
Also folgt
At'.
(3' und
Es sel A*
j)
Falls P*€A, gibt es em = = 0 und jedes
Also 1st (1' vollständig
1st
mit
k.A
angehbrt
die Kiasse der A*
, und
=
= 0. Falls singular auf
,\*
ist 0.
Also
=
nach
Satz 2 dass
singular.
folgt
Endlich, da jedes =
in
1 auch für jedes I
1st nach
vo k.G 111(A.). Daznit i.
— 15
—
1st
der
bewiesen.
5.1
§
5. Die Algebren P(x).
In
diesem und den folgenden Paragraphen sei Y eine
kompakte Menge in der z—Ebene und X der Rand von Y. Wir nehinen an:
(214)
Das Komplexnent V von Y
ist
Dann gilt folgender Satz aus der Potentialtheorie:
Satz 14:
Jede auf X stetige reelle Funktion lässt sich gleich—
inãssig auf X durch harinonische Polynome approximieren.
Dabei verstehen wir unter eineni "harinonischen Polynoin" em
Polynom in x und y das eine harmonische Funktion ist, oder,
was auf dasselbe herauskonmit, den Realteil von eineni Polynom in z. Wir werden Satz 14
bier
nicht beweisen. Er wurde bewiesen in der
Arbeit "Ueber die Entwicklung einer harmonischen Funkt ion nach harmonischen Polynoinen", von J.L. Walsh, J. Reine Angew. Math. 159 (1928).
Definition 10:
P(X)
ist
die Menge aller stetigen koinplexvertigen
Funktionen auf X, die sich gleichniässig auf X durch Polynome in z approximieren lassen.
Offenbar genügt P(x) den Bedingungen (l),(2),(3). Nach Satz 4 genügt er auch (4), mid so ist P(x)
Dirichletsche
Algebra auf X. Eine auf X gleichinAssig konvergierende Folge von Polynomen konvergiert nach dern
Maxinrnmprinzip gleichmässig auf
ganz Y. Die Grenzfunktion ist somit in Y stetig und im Innern von Y analytisch.
— 16 —
5.2
Für
steti.ge,
jedes
eine auf' Y Funktlon F mit F
f in P(x) existiert daher
im Innern von Y analytisehe
durch f'
F 1st of'fenbar
Es sei nun
a
auf X.
elndeutig bestimmt.
1st em
in Y. Die Abbildung:
. Nach der Bemerkung am Ende des
Homomorphismus von A auf' C
ersten Paragraphen existiert somit em
eindeutig bestinimtes
mit
"a F(a) =
(25)
Jr A a Wir setzen a =
Sei uingekehrt
in P(x) sein, vie man
vhrde (z —
multiplikativ J(z
0
Daher
leicht
Ware
dann
zeigen kann. Da A
1st, gIlt dann
a)A
—
1st
Nun
—
—
a),'\
=
gilt
P(a) =
(26)
für
.
jedes
Polynom P.
aus
Durch Grenzübergang erhält man
(27)
F(a) =
,
Also schllessen vir, dass
alle =
rEP(x).
A.
P(x) sind also genau die Masse
Satz 5:
Es sei
(26), dass
und
Die multipllkativen Masse fur mit a in Y.
sei
vollständig singular
(im Slnne von Definition 9) relativ zu P(x). Dann gilt:
— 17 —
3
0.
5.3
Zum
Beveis benötigen wir em
Lemma über
in der
Ebene.
Lemma 6:
Es
komplexes Mass in der Ebene mit kompaktem
em
Träger. Dann konvergiert das Integral
B(z) =
j
absolut
f.ü-. dxdy. Falls B(z) = 0
Beweis:
Es sei
dxdy, dann ist (3
die totale Variation von (3.
= o.
Wir wählen B so
= 0 ausserhaib
dass
' für
(f
dx'dy'
)
=lrR,
B. Daher:
fj'
Es folgt, dass
fü.— dxdy. Wir
I
J
nun an,
dass B(z) = 0
f,u— dxdy.
Es sei g eine beliebige glatte Furiktion in der Ebene
mit
kompaktein Träger. Wir nebmen K so gross, dass g0 in
K. Dann
gilt: K.
(29)
Betrachten wir näm.lich das von den Kreisen =
dz
begrenzte Gebiet G
Dann ist d
=
Stokes 'schen Satz:
— 18 —
und
darin
urid
daher
(
= K,
das Liff'erential nach clern
5.14
g...dZdz
da g auf
1'
= K verschvindet. Dureb Grenzübergang
Iz%
erhalten
gdz
(
(29).
Für
grosses K
da Bk) = 0
folgt
danu
dxdy.
=
Da g beliebig var, 1st
Bevels von Satz 5:
Wir vählen z
( I
Authors > Author Guidelw*s
