Satellites: de Kepler au GPS

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Author: Michel Capderou

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Satellites: de Kepler au GPS

Springer Paris Berlin Heidelberg New York HongKong Londres Milan Tokyo

Michel Capderou

Satellites: de Kepler au GPS

~ Springer

Michel Capderou LMD

École Polytechnique 91128 Palaiseau

ISBN-13: 978-2-287-99049-6 Springer Paris Berlin Heidelberg New York © Springer-Verlag France, Paris, 2012 Imprimé en France

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®

LE PHOTOCOPILLAGE

Maquette de couverture: Nadia Ouddane

TUE LE LIVRE

, de nos jours, de pouvoir saluer la parution en de synthese synthèse s'adressant a à un public de niconsacrant plusieurs annees années a à l'ecriture l'écriture de ce ersion qui avait demande demandé le Ie meme même travail, Michel ne voie difficile, que bien peu de chercheurs ont dedéL'extraordinaire qualite qualité de ce document justifie fnnsentis et les lecteurs trouveront ici une richesse unique. Michel Capderou a realise réalisé au travers de étroite de son metier etroite métier de chercheur, au sein d'une "t pt analyser des missions d'observation spatiale de d'enseignant: d'enseignant : on sent clairement qu'une grande ii lée et affinee affinée par de nombreuses annees années face aux "lee

* Kepler au GPS » est a à l'image du livre: sobriete, sobriété, en se plaçant pla, CIl

0::

6380 6370 6360 6350 6340 6330 6320

TERRE

10

0

20

30

40

50

Latitude [N/S]

Cl

60

70

80

90

FIG. 2.2 : Différents rayons relatifs à l'ellipsoïde terrestre : le rayon de courbure dans le plan méridien p, la grande normale N, le rayon de l'ellipsoïde R1j;.

f

~

0.200

e

~

0.600

FIG. 2.3 : Longueur du degré de latitude à la surface de l'ellipsoïde en fonction de la latitude. À des angles égaux correspondent des distances inégales d'autant plus grandes qu'on s'approche des pôles. Écart angulaire de latitude géodésique représenté sur cette figure : 5°.

32

Chapitre 2. Géodésie

Latit.

1 latitude

-----+

1 longitude

Arc

Historique

cp

11LM

11Lp/ cos cp

11Lp

L(cp)

Lh( cp)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

110.574 110.583 110.608 110.649 110.704 110.773 110.852 110.941 111.035 111.132 111.229 111.324 111.412 111.493 111.562 111.618 111.660 111.685 111.694

111.319 111.322 111.331 111.344 111.363 111.386 111.413 111.442 111.474 111.506 111.539 111.570 111.600 111.627 111.650 111.669 111.683 111.691 111.694

111.319 110.899 109.639 107.550 104.647 100.950 96.486 91.288 85.394 78.847 71.696 63.994 55.800 47.176 38.187 28.902 19.393 9.735 0.000

0.000 552.885 1105.855 1658.990 2212.366 2766.054 3320.114 3874.593 4429.529 4984.944 5540.847 6097.230 6654.073 7211.339 7768.981 8326.938 8885.140 9443.509 10001.966

0.000 553.074 1106.223 1659.520 2213.032 2766.823 3320.946 3875.444 4430.349 4985.683 5541.451 6097.648 6654.255 7211.241 7768.561 8326.162 8883.982 9441.951 10000.000

0

0

2.2: Degré en latitude et longitude en fonction de la latitude cp. Ellipsoïde de référence: WGS84. Longueur 11LM, en km, sur le méridien, pour 11cp = 1 degré de latitude; longueur 11Lp, en km, sur le parallèle, pour 11'>- = 1 degré de longitude,. longueur L de l'arc de méridien, en km, à partir de l'équateur. L'arc Lh est noté à titre historique: l'ellipsoïde de référence est celui de Delambre et Méchain ayant servi à l'établissement du mètre étalon. TABLEAU

méridien, d'un arc d'un degré autour d'une valeur centrale de latitude géodésique cp. De même, i1L p est la longueur, sur le parallèle cp, d'un arc d'un degré de longitude. Il est intéressant de comparer i1L p / cos cp avec i1L JI/[.

2.1.6

Longueur d'arc de méridien

Longueur d'arc d'ellipse

Dans le cas général, la longueur de l'arc d'ellipse, que nous désignons par

L( cp), se calcule par une intégrale elliptique incomplète de seconde espèce, voir La seconde d'arc est équivalente à : 1" = 1 mille / 60 = 30.864 m. Avec des nœuds tous les 15.432 mètres (équivalent à 0.5" d'arc) et une mesure du défilement des nœuds pendant 30 secondes de temps (soit 0.5 min), on obtient directement l'expression de la vitesse en milles par heure.

2.1. Ellipsoïde terrestre

33

(1.30). La résolution classique se fait à l'aide de développements utilisant les intégrales de Wallis. Dans le cas d'un aplatissement faible, Levallois remarque que l'intégration directe donne des résultats aussi précis et qui convergent plus vite. Considérons un élément d'arc de méridien dLi\1 :

qu'on développe ainsi (les termes en é et au-delà, négligés ici, contribuent pour moins d'un millimètre dans la longueur de l'arc du méridien terrestre) :

On linéarise les sinus avec la formule de Moivre: 8 sin 4 cp = 3 - 4 cos 2cp + cos 4cp

2 sin 2 cp = 1- cos2cp 32 sin 6 cp

10 - 15 cos 2cp + 6 cos 4cp - cos 6cp

=

On obtient ainsi une expression de dL M qu'on intègre terme à terme entre 0 et la latitude cp :

1:(cp)

Jor

=

(2.22)

dL M

L'arc de méridien 1:( cp) a pour expression: (2.23) avec:

A(cp)

=

3 8

15 4 35 6 A4 e sin4cp - - - A6 e sin6cp 256 3072

Ao cp - - A 2 e sin2cp + 2

et :

3 4

2

45 64

4

175 256

Ao=l+-e +-e + - e

+ -5 e 2 + -175

4

6

7

2

e A4 = 1 + 4: e 128 Le « quart de méridien terrestre», grandeur d'importance historique, représente la longueur d'arc entre l'équateur et le pôle:

A2

= 1

4

1:

("27r) ="27r a (1 -

2

e ) Ao

(2.24)

Avec un développement au second degré en e, on obtient le résultat: (2.25) déjé vu au chapitre 1, avec (1.35). On rappelle que, pour la Terre, e 2 1/150 ~ 6.7 10- 3 et é ~ 1/22500 ~ 4.4 10- 5 .

34


Longueur du méridien, longueur de l'équateur La longueur du méridien LM sur un tour complet du globe (de l'ellipsoïde) et celle de l'équateur LP/équat. sont évidemment: LM

=

2 7T a (1 - e 2 ) Ao

LP/équat. =

2 7T a

Les valeurs numériques sont données dans le tableau 2.3. Ellipsoïde

Longueur (m) du méridien

Longueur (m) de l'équateur

Delambre et Méchain (création du mètre)

40000000

40059944

WGS84 (et ellipsoïdes actuels)

40007864

40075016

2.3: Longueur du méridien et longueur de l'équateur. Valeurs historiques (de la définition du mètre) et valeurs actuellement retenues, en mètres.

TABLEAU

2.2 2.2.1

Altitude par rapport à l'ellipsoïde Définition de l'altitude géodésique et du nadir

On considère un point S à une distance T du point 0, centre de l'ellipsoïde, au-dessus de l'ellipsoïde (figure 2.4). Sa longitude est À. Si on repère S avec la latitude géocentrique, 1jJ = (Ox, 08), ses coordonnées cartésiennes sont, comme vu avec (2.1) :

08 =

cos VJ . cos À cos VJ . sin À = Tsin VJ

x = y= Z

T

T

(2.26)

Le point T est l'intersection de OS avec l'ellipsoïde. Si on repère S avec la latitude géodésique, cp = (Ox, IS), ses coordonnées cartésiennes sont, en adaptant (2.13) et en notant N = lS la grande normale:

08 =

x = (N + h) cos cp . cos À Y = (N + h) cos cp . sin À Z = [N (1 - e 2 ) + hl sincp

(2.27)

où h = SN représente l'altitude géodésique ou haute UT ellipsoïdale, c'est-àdire la distance entre le point S et le pied N de la normale à l'ellipsoïde.

2.2. Altitude par rapport à l'ellipsoïde

35

Avec le vocabulaire lié à la mécanique spatiale, S représente le satellite, 0 le centre attractif (centre de la Terre), T est la trace (ou trace géocentrique) et N le nadir 5 (ou trace géodésique, ou point subsatellite).

2.2.2

Latitude liée à l'altitude géodésique

Les angles utilisés dans la détermination de ces grandeurs sont notés dans la figure 2.4. Il faut remarquer que si .1jJ et !.p sont les latitudes relatives au point S, ces angles ne s'appliquent pas au même point à la surface de l'ellipsoïde. On considère le point S parfaitement déterminé dans l'espace par ses coordonnées cartésiennes (x, y, z) ou, ce qui est équivalent, par ses coordonnées sphériques géocentriques (r,ljJ, À), voir (2.26). Pour ses coordonnées géodésiques (h,!.p, À), seule l'obtention de la longitude est évidente : À =

arctan 1!... x

avec Signe(À) = Signe(y) pour [+E/-W]

(2.28)

Les valeurs de h et !.p, qui, rappelons-le, sont liées, s'obtiennent moins immédiatement. Examinons d'abord la relation entre les latitudes géocentrique et géodésique de S. Les équations (2.26) et (2.27) donnent: r cosljJ = (N + h) cos!.p r sin VJ = [N (1 - e 2 ) + h] sin!.p d'où la relation:

tanljJ N 2 --=l----e tan!.p N +h

ou bien: tan!.p

=

(1 -1 e~ N ) +

/

-1

(2.29)

tan 1/J

(2.30)

Cette relation montre aussitôt les valeurs limites de !.p : - pour h = 0, tan!.p = (1 - e 2)-1 tan 1/J ===} !.p = !.pT - pour h ----) 00, tan!.p = tan VJ ===} !.p = VJ La valeur de la latitude géodésique de S est comprise entre la latitude géodésique de la trace T et sa latitude géocentrique.

2.2.3

Détermination de l'altitude géodésique et du nadir

On peut obtenir h et !.p par méthode itérative, par approximation, ou de manière directe. 5Le nadir est la direction donnée par la verticale, orientée vers le bas. La direction opposée est le zénith. Nadir vient de l'arabe niiçlir, de la racine du verbe « regarder, voir en face ».

36


z

s

x

o ~,.

1/

/

/

l'

Symbole

1/J

'PT 1/JN 'P

Latitude

Latitude

Angle

géocentrique de T géodésique de T géocentrique de N géodésique de N

géocentrique de S

1/J

-

géodésique de S

=

(Ox, OS)

'PT = (Ox, l'T) 'ljJN = (Ox, ON) 'P = (Ox,IS)

FIG. 2.4 : Représentation de la latitude géodésique 'P et de la latitude géocentrique 1/J du point S. On a noté le point de trace T et le point de nadir N, ainsi que l'altitude géodésique (ou hauteur ellipsoïdale) SN.


Ellipsoïde: a = Re; e 2 = f(2 - 1)

000

o 1

0

020

030

080

o 9

0

37

.4.

.5. .6. .7.

Données: x, y, z ===? P = VX2 Initialisation : 'Pl = 1/) Début de la boucle i = 1, n Ni = a

(1 -

e 2 sin 'Pi) -

P h i = - - - Ni cos 'Pi

'Pi = arctan

Test sur 'Pi Fin de la boucle Résultats

[~

arctan(z/ P)

1

2"

(1 - 1+ ~:/NJ -1] 0

f-----+

+ y2 ; 1/) =

3

0

ou

0

8

0

TABLEAU 2.4: Méthode itérative pour l'obtention de l'altitude h et de la latitude 'P du nadir (point sub-satellite).

Méthode itérative

On désigne par P la projection de OS sur le plan équatorial:

P =

yi x 2 + y2

=

(N + h) cos ip

(2.31 )

d'où l'altitude géodésique h :

P cos ip

h=--N

(2.32)

La projection de OS sur l'axe des pôles Oz est z = P tanljJ, et avec (2.29) on a:

Pz = ( 1 - N N+ h e

2)

tan ip

et donc: (2.33) On procède alors comme indiqué dans le tableau 2.4. La convergence est très rapide : deux ou trois itérations donnent le résultat avec un bonne précision. Méthode par approximation

Dans le triangle ONS (figure 2.4), l'angle en a (égal àljJ-IjJN) et l'angle en 5 (égal à ip - 'ljJ) sont petits - toujours inférieurs à 0.19° pour l'ellipsoïde

38


terrestre. Cela permet des approximations trigonométriques qui conduisent aux formules approchées suivantes : cp =

h

(

)

f p vJ + - sin2VJ + -

-=7]-1+ ~

(1 - :Q.4)

f/f/2

sin41jJ

j' 1 - cos21jJ P (1 _ :Q.4) 1 - cos41jJ +4 2 7]

(2.34) (2.35)

en utilisant la distance relative 7] ainsi définie : r 7] = a

(2.36)

où r représente la distance OS et a le demi-grand axe de l'ellipsoïde 6 , ici a = Re.

Méthode directe L'algorithme de Borkowski permet d'obtenir directement les valeurs de cp et h. Il utilise le fait que ce problème se réduit à une équation du 48 degré. Sa résolution, assez difficile, est d'une complexité bien supérieure à celle des deux méthodes vues ci-dessus. Le gain de précision est imperceptible. L'accord entre les trois méthodes est de 10- 4 degré pour le calcul des angles.

Remarques sur l'altitude et la latitude Pour un point S donné, on définit l'écart de latitude 5cp par:

5cp = 5cp(h, VJ) = cp -1jJ

(2.37)

On définit aussi l'écart d'altitude:

5h

=

5h(h, 1jJ)

=

h' - h

(2.38)

où h' = ST est l'altitude géocentrique. La tangente à l'ellipse étant extérieure à l'ellipse, h' est toujours supérieur à h (h est la plus petite distance entre S et l'ellipsoïde). Avec r = OS = OT + TS = R7jJ + h', la distance relative 7] est égale à (R7jJ + h' )/ Re. On en déduit, avec (1.39) :

h'= 7 ] -R7jJ - = (7]-1 ) + f 1 - cos 2VJ +0 (f2) Re Re 2

6n faut

(2.39)

bien noter que TJ = 1 ne correspond à h = 0 que dans le plan équatorial, pour

'1/) = O. Si on applique TJ = 1 avec '1/) = (1T 12) dans (2.35), on obtient (hl Re) = f, soit h

=

Re - RI" L'altitude nulle, h

= 0, aux pôles, correspond à

TJ

= 1 - f.


39

(minute d'arc) (km)

(mille marin)

15-,------------------------------------------------~

14

~

13

~

12

rr

g Q)

.Q)

~

1ii ...J

Altitude (km)

a

11

400 800 1250

19 18 17 16 15 14 13 12 11 10

10

Q)

::J

rr

ëil .Q) u 0

.Q) ~

ni

2500 5000

...J

10000

Q)

"c~

20000

.Q)

t:=

ëi

40000 80000 0 10

TERRE

1If ~ 298.257

20

30

40

50

Latitude (degré)

60

70

80

90

----

infini I~tr,)JJ

FIG. 2.5: Représentation graphique de la variation de 6'P = 'P -1/}, différence entre la latitude géodésique 'P et la latitude géocentrique 1j;, pour un point 5 (un satellite 5), en fonction de sa latitude. Chaque courbe correspond à une altitude de 5, notée à droite, en regard de son sommet. La valeur de 6'P est notée en minutes d'angle (ordonnées à gauche) et en kilomètres de distance sur le terrain (à droite). On rappelle: l' de latitude = 1 mille marin de distance. La variable en abscisses a été notée «latitude» car il est illusoire de distinguer les deux latitudes pour cette coordonnée. Pour chaque altitude, le maximum est obtenu pour la latitude de 45°.

En comparant (2.37) et (2.34), puis (2.39) et (2.35), on voit que Oi.p est une quantité petite, proportionnelle à f, alors que oh est une quantité petite, proportionnelle à p. Dans le triangle SNT (figure 2.4), l'arc NT est pratiquement proportionnel à l'ouverture de l'angle en S (égal à Oi.p), donc proportionnel à f, alors que la différence entre les côtés SN et ST dépend, en écrivant les distances, du carré de f. On a représenté (figure 2.5) les variations de l'écart de latitude, Oi.p = oh(h, 'ljJ) en fonction de la latitude (variant de 0° à 90°) et de l'altitude (variant de 0 à l'infini).

40


1/)

cpT

(0 )

cp

n

Ibcpl

n

h (km)

hl (km)

bh (km)

L

0.000 14.963 29.957 44.992 59.987 74.905 81.330 -0.022 -81.330

0.000 15.059 30.124 45.185 60.153 75.002 81.387 -0.022 -81.387

0.000 15.048 30.105 45.162 60.134 74.991 81.381 -0.022 -81.381

0.000 0.085 0.148 0.170 0.147 0.086 0.051 0.000 0.051

822.011 823.341 827.187 832.510 837.849 841.777 842.796 822.631 843.647

822.011 823.341 827.190 832.514 837.851 841. 778 842.796 822.631 843.647

0.000 0.000 0.003 0.004 0.002 0.001 0.000 0.000 0.000

M

0.000 14.965 29.874 44.981 55.284 -0.027 -55.284

0.000 15.061 30.040 45.174 55.464 -0.027 -55.464

0.000 14.988 29.914 45.027 55.327 -0.027 -55.327

0.000 0.023 0.040 0.046 0.043 0.000 0.043

20240.459 20235.031 20226.316 20211.941 20184.322 20124.195 20208.988

20240.459 20235.039 20226.338 20211.969 20184.346 20124.195 20209.010

0.000 0.008 0.022 0.027 0.023 0.000 0.023

S.

(0)

2.5 : Calcul de la latitude géodésique cp et de l'altitude géodésique h pour deux satellites (S.), l'un en orbite LEO (L), de type SPOT-5, l'autre en orbite MEO (M), de type Navstar/GPS. Comparaison avec les grandeurs géocentriques1/; et hl. Pour l'ensemble des notations, se reporter à la figure 2.4.

TABLEAU

Exemple 2.2 Calcul des écarts bcp et bh, définis ci-dessus, dans le cas de deux satellites, un en orbite basse (LEOJ et l'autre en orbite moyenne (MEOJ. ~ Pour l'orbite basse (LEO), on choisit le satellite SPOT-5 (altitude moyenne à l'équateur: 822.3 km; inclinaison: i = 98.670°). Les résultats sont donnés pour des latitudes de 15° en 15°, à partir de 0°, la latitude extrême étant 11/;1 = 180° - i = 81.330° . On note les trois angles, 1/; (latitude géocentrique du satellite S), CPT (latitude géodésique de sa trace T), cP (latitude géodésique du nadir N et donc du satellite S), ainsi que la différence Ibcpl. Pour l'altitude, on note h (altitude géodésique) et hl (altitude géocentrique). La quantité bh est au maximum de quelques mètres. On donne les résultats équivalents pour un satellite en orbite moyenne (MEO). On choisit un élément de la constellation N avstar / G PS, le satellite N avstar- 2RM -6 (altitude moyenne à l'équateur: 20182.3 km; inclinaison: i = 55.284°). La latitude extrême est dans ce cas 11/;1 = i = 55.284°. Les résultats sont reportés dans le tableau 2.5. Données techniques sur l'orbite des satellites. Calculs Ixion avec initialisation NORAD. SPOT-5, Révolution 34006, Date 2008-11-24. Navstar-2RM-6 [PRN 07], Révolution 510, Date 2008-11-22 .....

2.3. Aperçu historique

2.3

Aperçu historique

2.3.1

Avant les Lumières

41

Si on appliquait le principe de saint Thomas - je ne crois que ce que je vois - il aurait fallu attendre Gagarine pour entendre dire : «la Terre est ronde ». Heureusement pour l'esprit humain, la nouvelle était connue et vérifiée depuis longtemps, et ce ne sont pas les satellites qui ont permis cette découverte. Mais, comme nous verrons, c'est principalement par les satellites qu'on a pu affiner (avec un degré de précision très poussé) la forme réelle de la Terre (et celle d'autres planètes du Système solaire). La plus ancienne description du monde réel qui nous soit parvenue est celle que fait Homère dans l'Odyssée. L'aède y décrit le voyage retour d'Ulysse, dix ans d'errance en Méditerranée. On peut reconstituer tout ce périple et établir une carte géographique du monde tel qu'il était perçu dans l'Antiquité : un disque plat, entouré d'un fleuve-océan 7 . Plus tard, c'est de Grèce aussi que sont venues les premières théories affirmant la rotondité de la Terre. Des théories philosophiques, avec Aristote, qui comprenait bien que la disparition d'un bateau à l'horizon - d'abord la coque, ensuite la voile - ne peut s'expliquer que si la mer épouse une forme arrondie. Et des théories scientifiques, étayées par les mesures, avec Eratosthène et sa mesure comparée de la culmination solaire à Alexandrie et à Syène. La valeur de la circonférence terrestre, donnée par ce géomètremathématicien-astronome, était très bonne, pour autant qu'on puisse jongler avec les unités de longueur de l'époque. Du point de vue de la géographie, le Moyen Âge est une période obscure, très obscure. La mappemonde de Hereford montre comment, en 1300, la perception du monde n'avait pas beaucoup évolué depuis Homère - seul changement notable, Jérusalem avait remplacé Delphes comme centre du monde. Les cartes dites « TO », pour Termrum Orbis, représentent l'ensemble des terres en forme de T, entouré de l'océan O. Ces mappemondes ne sont le vrai reflet que de l'écrasant obscurantisme qui s'appuyait sur la religion et la servait. Puis la lumière revint. Copernic, d'abord, Kepler et Galilée ensuite. La Terre redevint ronde et perdit sa place au centre de l'Univers.

7 Au centre exact de ce monde circulaire se trouve Delphes et le sanctuaire d'Apollon. Le nom de Delphes, 01 6EÀqJO(, W'I est à rapprocher du mot ~ OEÀtpÛÇ, ûoç, «la matrice, l'utérus ».

42

2.3.2


U ne affaire française

À ses débuts, de 1666 (fondation de l'Académie des Sciences, par Colbert, sous Louis XIV) jusqu'aux environs de 1810, la géodésie a été une « affaire française », brillamment développée par la Sçavante Assemblée et son annexe, l'Observatoire de Paris. On peut distinguer trois étapes dans cette histoire féconde - la mesure du rayon terrestre; - la mesure de l'aplatissement terrestre; - la création du mètre. La mesure de la Terre par Picard

L'abbé Picard 8 réalise la première mesure, scientifiquement sérieuse, d'un degré de latitude afin de connaître la rayon de la Terre, qui est supposée être sphérique à l'époque. Il emploie, en utilisant des instruments de précision, la méthode de triangulation 9 inventée par le Hollandais Snellius. Picard mesure (1669-1671) un degré sur le méridien Paris-Amiens (dit méridienne de Paris). Plus précisément, il établit 13 triangles entre Malvoisine (au sud) et Sourdon (au nord), couvrant 1°22', avec pour base 10 Villejuif-Juvisy. Il trouve 57 060 toises pour 1° sur le méridein, ce qui équivaut à 6 372 km pour le rayon de la Terre. C'est d'une précision remarquable, à 0.1% de la valeur exacte. On l'explique par la qualité des mesures mais aussi, en partie, au fait que la région mesurée se situe aux alentours de 50°, latitude pour laquelle le rayon de courbure est pratiquement égal au rayon de la Terre, comme le montre la relation (2.17). 8 Abbé Jean Picard (1620-1683), astronome et géodésien français. Il inventa la lunette de visée avec réticule, qui lui permit de faire des nivellements de grande précision. Ayant déterminé le rayon de la Terre, comme expliqué ci-après (Mesure de la Terre, 1671), il communique aussitôt son résultat à Newton. Celui-ci put ainsi vérifier la relation entre les accélérations et les carrés des distances et affirmer définitivement la théorie de la gravitation uni verselle. Dans un autre domaine, Picard fut le premier à réaliser des mesures systématiques du diamètre du disque solaire, pour en établir les variations et chercher des relations avec les changements climatiques. Sa série de mesures, de 1666 à 1682, fut poursuivie par La Hire, de 1683 à 1718. 90n considère, sur le terrain, aux abords d'une distance rectiligne à mesurer, une chaîne de triangles adjacents. Ces triangles ont pour sommets des clochers, ou d'autres éléments visibles de loin. On mesure les angles de ces triangles, et en connaissant un seul côté, on obtient, par la trigonométrie, la mesure de tous les autre côtés. On a ainsi la distance cherchée. Le côté qui est effectivement mesuré s'appelle la base. 10« Le grand chemin pavé, depuis le moulin de Ville-Juive jusqu'au pavillon de Juvisy, en droite ligne sans aucune inégalité considérable, est propre à servir de base fondamentale à tout cet ouvrage ». La base fut mesurée dans les deux sens, avec grand soin, par arpentage (juxtaposition de toises). De nos jours, cette portion de 11 km de la route D7 (ancienne nationale N7), qui passe sous les pistes de l'aéroport d'Orly, est toujours bien rectiligne, mis à part quelques aménagements urbains ponctuels. Une stèle, dite pyramide, marque les abords de chacune de ses deux extrémités.


43

De la sphère à l'ellipsoïde

En 1672, l'astronome J. Richer est envoyé en Guyane l l . Il constate que l'horloge mécanique qu'il a amenée, et qui était réglée précisément pour « battre la seconde» à l'Observatoire de Paris, retarde de deux minutes par jour (l'expression « battre la seconde» signifie que la période est de 2 secondes). Il attribue ce dérèglement à une diminution de la pesanteur, qui, pour lui, ne peut avoir qu'une explication : l'équateur est plus éloigné du centre de la Terre que Paris. Il suggère donc que la Terre est aplatie. Peu après, Newton et Huygens, indépendamment (en 1687 et 1690), démontrent que si l'intérieur de la Terre est plus ou moins fluide, le mouvement de rotation diurne doit transformer la sphère en un ellipsoïde, aplati selon l'axe des pôles: f = 1/230 pour Newton qui considère un ellipsoïde homogène, f = 1/576 pour Huygens avec une Terre dont la masse est concentrée dans un noyau central. J. D. Cassini 12 avait observé, en 1668, ce phénomène pour Jupiter, qui a un fort aplatissement (j = 1/18) - et il le mesurera plus tard pour Saturne. Pour déterminer l'aplatissement terrestre, l'Académie décide, en 1683, llLe rayon de la Terre étant connu depuis l'année précédente, l'Académie envoie Jean Richer à Cayenne pour observer, de concert avec Picard resté à Paris, la parallaxe de Mars (l'angle sous lequel le diamètre terrestre est vu de Mars). Et de la mesure de cette distance, on peut déduire, par la troisième loi de Kepler, les dimensions des orbites planétaires. Toute l'échelle du Système solaire repose alors sur la base Villejuif-Juvisy! 12Le nom de Cassini apparaît à plusieurs reprises dans ce chapitre. Il s'agit de la célèbre lignée d'astronomes, appelée souvent «dynastie» et dont les membres sont numérotés en chiffres romains, telles des tètes couronnées. - Jean Dominique (né Gian Domenico) Cassini (1625-1712), dit Cassini l, est d'origine italienne (niçoise). Il devint rapidement célèbre pour ses travaux en géodésie et surtout en astronomie, avec son observation très précise des planètes (Mars et Jupiter). Il commença a établir les tables des satellites galiléens de Jupiter, ce qui était un élément primordial pour déterminer les longitudes (les éclipses de ces satellites sont des signaux instantanés pour un observateur terrestre). Ce fut alors le «transfert du siècle» : Louis XIV appela Cassini à Paris en 1669 pour lui confier l'établissement et la responsabilité de l'Observatoire de Paris. En 1679, l'Observatoire fit paraître La Connaissance des Temps, publication toujours vivante, qui fournit la position des corps célestes avec la plus grande précision possible. Cassini poursuivit son travail sur les satellites de Jupiter (ce qui permit à Olaüs Riimer de montrer que la vitesse de la lumière n'était pas infinie) et réalisa les meilleures observations de l'époque sur la Lune et sur Saturne. C'est le Cassini de la division de Cassini dans les anneaux de Saturne et de la sonde Cassini d'exploration de cette planète. - Jacques Cassini (1677-1756), dit Cassini II, fils du précédent. Il poursuivit les mesures géodésiques de son père et de Picard, mais la publication De la grandeur et de la figure de la Terre (1722), où il se trompe dans l'aplatissement de la Terre, lui enleva plus tard du crédit scientifique. C'est le Cassini des Cassiniens contre Newton. - César François Cassini de Thury (1714-1784), dit Cassini III, fils du précédent. Après avoir aidé son père dans les mesures géodésiques, il se consacra à la cartographie. Louis XV, en 1750, lui demanda de réaliser la carte complète du royaume. C'est le Cassini de la projection et de la carte de Cassini. - Jacques Dominique Cassini (1748-1845), dit Cassini IV, fils du précédent. Il acheva l'édition de la carte de France, en 1790. De 1669 à 1793, les Cassini dirigèrent (de fait ou de droit) l'Observatoire, le fils prenant la succession à la mort du père.

44


Raflskan Tlf!deakalem/On Qjlel'"110lls Lap/ssQ

SUOM I· FI

Nom du degré Laponie Paris Pérou Le Cap

LA D 1,60

Latit. cp (0 ')

i1L lvI (toises)

i1LlvI (km)

57438 57074 56746 57037

111.949 111.239 110.600 111.167

+ 66° + 49°

20' 29' - 01° 30' - 33° 18'

2.6: Résultat de la mesure du degré de latitude i1LlvI, entre 1736 et 1754, en fonction de la latitude moyenne cp, en degré {+N/-Sj. On donne la valeur de i1LlvI en toises et la valeur moderne équivalente en kilomètres. TABLEAU

de prolonger la méridienne de Picard, au nord jusqu'à Dunkerque, au sud jusqu'à Collioure - toute l'étendue de la France. Les travaux se déroulent de 1700 à 1718, sous la conduite de J. Cassini, Maraldi et La Hire. Les mesures conduisent à un degré de latitude plus grand au sud qu'au nord, ce qui indique un ellipsoïde allongé selon l'axe des pôles, avec f = -1/95 (f est négatif si b > a), comme le montre la figure 2.3 en contre-exemple. Commence alors, pour une vingtaine d'années, la bataille entre Cassiniens et Newtoniens! La Terre: pomme 13 ou citron? Entre le nord et le sud de la France, la variation de latitude n'est pas assez grande pour obtenir un résultat sûr. Sur l'avis de l'Académie des Sciences, le comte de Maurepas, ministre de la Marine, envoie deux expéditions aux deux extrémités géodésiques du monde, l'une polaire, l'autre équinoxiale: - P. 1. M. de Maupertuis 14 , A. C. Clairaut et A. Celsius mesurent le degré de Laponie (aux confins de la Suède et de la Finlande), en 1736 et 1737; - L. Godin, C. M. de la Condamine et L. Bouguer mesurent le degré du Pérou 13L'expression traditionnelle, quand on veut illustrer ce propos, est «La Terre: mandarine ou citron? ». Elle nous semble apocryphe, car le terme « mandarine» n'apparaît en français qu'en 1773. 14 Pierre Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759), physicien français, dirigea l'expédition de Laponie. Cela lui valut, à son retour, ces deux vers de la part de Voltaire: Vous allâtes vérifier en ces lieux pleins d'ennui Ce que Newton connut sans sortir de chez lui. Sans qu'il faille y chercher un rapport avec cette dédicace ironique, Maupertuis rédigea ensuite, en 1744, le célèbre Principe de moindre action.


45

(aujourd'hui cette région est en Équateur), dans des conditions très difficiles et éprouvantes, de 1736 à 1744. Pendant ce temps, en 1739 et 1740, Cassini de Thury et l'abbé La Caille reprennent la méridienne de Picard. Puis, de 1750 à 1754, La Caille réside au Cap de Bonne-Espérance et mesure un degré dans l'hémisphère Sud. Évaluons l'aplatissement à partir de ces résultats, notés dans le tableau 2.6. Le rapport de deux rayons de courbure, Pl en 'Pl et P2 en 'P2, donne avec la relation (2.14) : 3

Pl = [1 - e 2 sin 2 'P2] P2 1 - e 2 sin 2 'Pl

2"

Avec un développement au premier ordre en e 2 , on obtient: Pl 3 2 = 1 - - e (COS2'PI - COS2'P2) P2 4

-

Le rapport des rayons de courbure étant équivalent au rapport des mesures fJ.L M pour 10 et e 2 étant pratiquement égal à 2J, on a :

J=

~ 1 - (fJ.L1I/Il / fJ.L A12 ) 3 cos 2'PI - cos 2'P2

(2.40)

Calculons l'aplatissement à partir des mesures du Pérou (fJ.L MI , 'Pl) et de Paris (fJ.L M2 , 'P2) : fJ.L MI = 0.99425 fJ.L M2 ===}

cos 2'PI - cos 2'P2 = l.15506

. 2 5.476910- 3 -3 1 j ="3 l.15506 = 3.31696 10 = 301

La mesure de l'arc du Cap n'est pas conservée car sa valeur a été surévaluée, la verticale étant faussée par la présence de montagnes voisines. Le calcul de J avec le degré de Laponie donne des résultats trop différents (f = 1/123 et J = 1/207) pour être acceptés par la communauté scientifique, à tel point que l'Académie suédoise décide, en 1801, une nouvelle expédition en Laponie (qui donnera fJ.L M = 57 196 toises, soit 0.42% de moins que la première mesure). La méthode de calcul de J par (2.40) est extrêmement sensible à la précision des mesures. En supposant les latitudes 'Pl et 'P2 connues avec certitude et le degré à Paris fJ.L M2 mesuré exactement, une erreur relative de 0.1 % sur le degré du Pérou fJ.L MI (soit une erreur de 57 toises par degré) implique une erreur de 17.3% sur J. On obtient les résultats suivants: avec fJ.L MI = 56 803 toises, 1/ J = 364.6 et avec fJ.L ltH = 56 689 toises, 1/ J = 257.0. Grâce à cette activité de pointe en géodésie, la France fut le premier pays du monde à réaliser une carte l5 très précise de son territoire, dite carte de Cassini. 15Cette carte, déjà évoquée un peu plus haut, est à l'échelle de 1/86400 (une ligne pour

46


La création du mètre

« À tous les temps, à tous les peuples» : bien dans l'esprit d'universalité qui caractérise cette époque bouleversée, la Révolution française veut offrir à l'Humanité un système d'unités unique et cohérent.

La longueur du pendule qui bat la seconde n'étant pas indépendante de la latitude 16 , l'Assemblée décide, le 30 mars 1791, que l'unité de longueur sera la dix-millionnième partie du quart de méridien terrestre, sur proposition de la commision constituée de Borda, Lagrange, Laplace, Monge et Condorcet. Les astromones Delambre et Méchain sont chargés de la mesure précise de l'arc de méridien Dunkerque-Barcelone, villes distantes de « 9 degrés 2 tiers» sur le méridien de Paris, et toutes deux au bord de la mer. La triangulation s'opéra 17 de juin 1792 à fin 1798 18 , avec 115 triangles et deux bases, celle de Melun (de Lieusaint à Melun) et celle de Perpignan (de Salses à Vernet). 100 toises). Elle comporte 182 planches, pour couvrir tout le royaume. Cassini de Thury utilisa une projection originale, dite projection de Cassini, en traçant des perpendiculaires au méridien de Paris. Ces perpendiculaires ne sont pas des parallèles (lieu des points à latitude constante) mais des grands cercles (pour la Terre sphérique). La perpendiculaire passant par l'Observatoire de Paris va de Granville à Strasbourg. Cette projection est l'aspect transverse de la projection dite « plate-carrée». 16La période T du pendule de longueur l, dans un champ de pesanteur g, est donnée par la relation T = 2 ;r,jff9, en unités SI. Avec T = 2 secondes, on obtient numériquement: l = gj;r2. En fonction de la variation de 9 entre l'équateur et le pôle, l varie de 0.991 m à 0.996 m. On remarque que le mètre a été choisi proche de la longueur de ce pendule, alors qu'un mètre double aurait été proche de la toise. 17Les angles étaient mesurés avec une précision de 1" d'arc, par la méthode du cercle répétiteur de Borda (instruments de Lenoir). 18L'époque n'était pas propice à ce genre d'expédition. Amener des instruments bizarres et encombrants dans les clochers d'églises ou sur les tours de châteaux intriguait beaucoup les populations locales. Il y eut de très nombreux incidents (bris de matériel, arrestation des géomètres, etc.).


47

Le résultat est proclamé en juin 1799. Le quart de méridien, calculé d'après ces mesures, donne: f2

(~)

=

5 130740 toises

qui est donc égal, par définition de la nouvelle unité de mesure, à : f2

(~)

=

10000000 mètres

Le taux de conversion officiel est ainsi fixé à : 1 toise du Châtelet = 1.949 036 3 mètre La loi instaurant le mètre 19 est signée le 10 décembre 1799 (19 frimaire An VIII). En utilisant l'ellipsoïde de Delambre et Méchain (a = 6 375.738 m; 1/ f = 334) qui donne cette valeur de définition pour f2( 7r /2), nous avons noté, dans le tableau 2.2, dernière colonne, les valeurs de l'arc de méridien en fonction de la latitude. On peut ainsi comparer avec les valeurs actuellement retenues. L'erreur relative de Delambre et Méchain, qui est de 0.02%, montre la grande qualité de ces mesures 20 .

2.3.3

La géodésie dynamique

La géodésie moderne commence avec Clairaut. Avec Théorie de la figure de la Terre, tirée des principes de l'hydrostatique (1743), il pose les bases 19Devant le retard pris dans les mesures, un mètre provisoire avait été instauré le 1 er août 1793. Avec le mètre provisoire, on obtiendrait: L("Ir /2) = 5 130 430 toises. 20 Après avoir été déterminé par rapport à l'ellipsoïde terrestre, le mètre a été ensuite fixé par la Conférence Générale des Poids et Mesures (CGPM). En 1889 (Fe CGPM), le mètre a été défini par le prototype déposé aux Archives de France. En 1960 (lIe CGPM), il l'est d'après la longueur d'onde d'une radiation émise par le krypton 86. Depuis 1983 (17 e CGPM), le mètre est défini par rapport à la vitesse de la lumière (voir chapitre 6, annexe Constantes astronomiques).

48


de la géodésie dynamique: la mesure de la pesanteur doit servir, comme la mesure des degrés de latitude, à déterminer la forme de l'ellipsoïde. La forme de la Terre dépend de sa vitesse de rotation selon l'axe des pôles et de la répartition des masses intérieures. Lagrange invente la notion de potentiel et ne se satisfait plus de définir l'ellipsoïde terrestre par son aplatissement. Il développe, en 1810, le potentiel gravitationnel de la Terre en harmoniques sphériques et les coefficients de ce développement représentent au mieux les imperfections de forme de la sphère. La notion de «figure de la Terre» est alors remplacée par celle de « géoïde», qui représente la surface équipotentielle épousant le niveau moyen des océans. Le 4 octobre 1957, la mise en orbite de Spoutnik-1 marque le début de la géodésie spatiale.

Chapitre 3

Géopotentiel 3.1 3.1.1

Notions préliminaires Référentiels d'étude

Considérons un repère centré sur le Soleil et dont les axes visent des étoiles lointaines (fixes). Ce repère joue le rôle d'une référentiel de Copernic (ou référentiel copernicien), noté iRa. Tout référentiel iR 1 en translation linéaire et uniforme par rapport à iRa est un référentiel de Galilée (ou référentiel galiléen). Dans un tel référentiel, l'expérience montre que la loi fondamentale de la mécanique de Newton 1 est parfaitement vérifiée:

F

=

d(rnv) dt

(3.1)

où F représente la force appliquée au corps de masse rn et (d v/dt) son accélération. Considérons un référentieliR avec pour origine le centre de la Terre et dont les axes sont parallèles à ceux d'un référentiel iR 1 . Ce référentiel iR n'est pas stricto sensu galiléen, car le mouvement de révolution de la Terre autour du Soleil n'est ni linéaire ni uniforme. Cependant ce mouvement est lent (un tour 1 Isaac Newton (1643-1727), mathématicien, physicien et astronome anglais. Il énonça en 1687 dans Philosophœ Naturalis Principia Mathematica les trois lois de la mécanique: (1) le principe d'inertie, (2) le principe fondamental de la dynamique - dans un référentiel galiléen, la force est égale au produit de la masse (inerte) par l'accélération, (3) le principe de l'action et de la réaction. On peut montrer que (1) est un cas particulier de (2) et que (3) peut se déduire de (2). La relation fondamentale (2) n'est pas exprimée tout à fait de cette manière par Newton. Combinée à la loi des ellipses de Kepler, cette relation permet d'établir la loi de l'attraction universelle. L'œuvre de Newton domine le XVIIIe siècle, en mathématiques (analyse, résolution d'équations, ... ), en physique, en particulier en optique (publication de son ouvrage Opticks). Remarque biographique pour la date de naissance : le 25 décembre 1642 du calendrier julien, alors encore en vigueur en Angleterre, correspond au 4 janvier 1643 du calendrier grégorien.

M. Capderou, Satellites: de Kepler au GPS © Springer-Verlag France, Paris 2012

50

Chapitre 3. Géopotentiel

en un an) et surtout il est parfaitement connu: on peut calculer sans problème l'accélération d'entraînement induite. Ce référentiel 1R, pseudo-galiléen, sera par la suite considéré comme le référentiel galiléen lié à la Terre. Nous utiliserons principalement, dans ce travail, deux référentiels, les deux ayant pour origine le centre de la Terre : - 1R galiléen (pseudo-galiléen), lié au trièdre orthonormé (0 ; Xc, Ye, ze), Oze étant l'axe des pôles et Oxe pointant une direction fixe dans l'espace (une étoile lointaine) ; - 1RT terrestre (non galiléen), nécessaire au repérage des points sur Terre, lié au trièdre orthonormé (0 ; XT, YT, ZT), 0 ZT = Oze étant l'axe des pôles et OXT étant lié à la rotation terrestre en restant fixe dans le méridien origine (méridien de Greenwich).

3.1.2

Rappels sur le travail et le potentiel

Travail, champ de forces, potentiel

On appelle travail élémentaire d'une force, représentée par un vecteur F, appliquée à un point NI, la grandeur scalaire : dW = F· dl le vecteur dl représentant le déplacement élémentaire de l'vI à l'vI'. Dans un repère orthonormé, avec F(X, Y,Z) et dl(dx,dy,dz), le produit scalaire donne : dW = Xdx + Ydy + Zdz Le travail total, lorsque le point d'application de la force va de A à B est:

W=

lB

F·dl

On dit qu'un point NI est soumis à un champ de forces si, dans tout son domaine d'application, on peut associer une force F(X, Y, Z) à chaque position du point M(x, y, z). S'il existe une fonction V(x, y, z) telle que les composantes de la force F(X, Y, Z) soient:

X=

av

ax

Y=

av

ay

Z=

av

az

dans tout l'espace de définition, on dit que le champ dépend (ou dérive) d'un potentiel. Dans ce cas, la force est dite conservative. En utilisant l'opérateur vectoriel gradient, noté gr ad (défini par dV = grad V . dl), on peut écrire dans ce cas : F= grad V

3.1. Notions préliminaires

et dW devient:

dW

=

51

grad V . dl

ce qui représente la différentielle totale exacte de dV :

dW=dV En intégrant entre les points A et B :

lB

dW = W: = V(B) - V(A)

Cela montre que le travail effectué de A à B, noté W:, ne dépend que des valeurs de V prises aux points A et B (et pas des valeurs intermédiaires, celles du chemin suivi). La fonction V n'est définie qu'à une constante additive près. Surface équipotentielle

On appelle surface équipotentielle la surface définie par:

V(x, y, z)

=

constante

On note les propriétés suivantes : - le déplacement sur une surface équipotentielle produit un travail nul, ce qui montre que la composante de la force selon la surface est nulle; la surface équipotentielle est une surface d'équilibre; - pour la même raison (à savoir F· dl = 0) la force est normale à la surface équipotentielle; - deux surfaces équipotentielles n'ont pas de point commun (sinon on pourrait effectuer un travail sans jamais quitter une des surfaces équipotentielles). Énergie potentielle

La fonction énergie potentielle, notée U, est définie à partir du travail d'une force conservative, lors du déplacement d'un mobile ponctuel, par la relation:

lB

dW = W: = U(A) - U(B)

On a donc simplement U = - V et la relation avec Fest:

F= -gradU

(3.2)

Cette écriture de l'énergie potentielle permet de définir l'énergie mécanique E comme la somme de l'énergie potentielle U et de l'énergie cinétique T. En effet, en écrivant dW de deux manières différentes: dW

-dU

dW

F· dl = rn -dv . dl = d dt

(1 2) = - rnv 2

dT

52


on obtient dU + dT = O. Pour un système isolé soumis à une force cons ervat ive , on établit ainsi la conservation de l'énergie mécanique: [; =

T

+U

=

constante

(3.3)

On pose habituellement U( 00) = O. Lorsque [; n'est pas constant, l'énergie étant dissipée, on dit que la force est dissipative.

3.2 3.2.1

Champ et potentiel de gravitation Gravitation

La loi de la gravitation, ou de l'attraction universelle, établie par Newton, indique que deux corps ponctuels, A et B, de masses respectives NI et m, exercent l'un sur l'autre une attraction proportionnelle à leur masse et inversement proportionnelle au carré de leur distance : (3.4) en notant par fA--;B la force exercée par A sur B et avec AB = r = r er . La valeur de Q, constante de la gravitation universelle, n'est pas directement utilisée en mécanique spatiale. On utilise la constante d'attraction centrale, notée IL, qui est le produit de Q par la masse du corps attracteur :

(3.5)

tt=QM

La relation (3.4) est symétrique. Si on veut différencier le rôle de l'un des deux corps, on peut écrire que le corps A, par exemple, crée un champ gravitationnel auquel est soumis le corps B. Ce champ g est tel que :

soit, en utilisant IL :

(3.6) Il existe une fonction U telle que : F

=

-grad U

au ar

= --

er

qu'on obtient en intégrant selon r :

U = - /

F· dr= -m

~

On introduit la grandeur U = -Ulm.

avec U(oo) = 0

(3.7)

3.2. Champ et potentiel de gravitation

53

En résumé, U est l'énergie potentielle de la masse rn plongée dans ce champ de forces (champ gravitationnel); U est le potentiel gravitationnel créé par la masse NI à la distance r : (3.8) En astronomie et en géodésie, le potentiel U est ainsi défini afin que le terme principal du potentiel, (p,jr), soit positif - voir plus loin la relation (3.28).

3.2.2

Théorème de Gauss

Dans le paragraphe précédent, on a calculé le champ et le potentiel gravitationnel créé par un corps ponctuel, de masse NI, situé en A, agissant sur un point B, de masse rn. Pour une distribution continue de masse, il faudra effectuer une intégration pour obtenir la force exercée sur B. Pour une configuration à définir, le théorème de Gauss permet d'éviter l'intégration et fournit directement le résultat. Démonstration du théorème de Gauss

La démonstration du théorème de Gauss 2 peut se faire de diverses manières. Nous utilisons ici la méthode basée sur la notion d'angle solide. On considère une surface fermée S, délimitant un volume T. On peut donc définir un intérieur et un extérieur. On considère un élément de surface dS, et sa normale unitaire n orientée de l'intérieur vers l'extérieur. Le flux élémentaire d'un vecteur g quelconque est par définition d = g. dB

avec

dB = dS n

Le flux sortant à travers toute la surface S est

l'intégrale portant sur toute la surface fermée S. 2 Carl Fiedrich GaufJ (1777-1855), astronome, mathématicien et physicien allemand. Astronome précoce et surdoué, il imagine une méthode de calcul des éléments orbitaux des planètes (voir note Piazzi), puis développe de puissantes théories et outils pour la mécanique céleste, comme la théorie des moindres carrés, dans Theoria motus corporum coelestium (1809). En mathématiques, il invente les congruences (modulo), étudie les formes quadratiques, la théorie des erreurs (courbe en cloche, 1821), les polygones réguliers, les représentations conformes, la trigonométrie sphérique, la courbure des surfaces (1827). En géodésie, il révolutionne le domaine en inventant de nouvelles et puissantes méthodes. De plus, il se frotte à la réalité du terrain (établissement du cadastre de la région de Hanovre, 1817-1821). En physique, il effectue des travaux fondamentaux en magnétisme (Allgemeine Theorie des Erdgeomagnetismus, 1839), électricité (théorème de Gauss), optique (conditions de Gauss). Ses contemporains l'avaient nommé « prince des mathématiciens». Mais qui eût été le roi?

54


On considère une surface S entourant une distribution de masses : les divers points Ai sont affectés chacun d'une masse NIi . Le champ créé par chaque masse NIi en un point B est :

Le flux sortant de S est, en appelant P un point décrivant la surface S :

Or:

n . Ai P dS = dS cos ai = dE = d!?i

AiP3

Ai P2

AiP2

en notant ai l'angle entre la normale et AiP, dE la projection de dS sur le plan perpendiculaire à AiP, La quantité d!?i est alors l'angle solide élémentaire, représenté par le cône élémentaire, de sommet Ai et s'appuyant sur l'élément de surface dS (ou dE, ce qui revient au même). L'intégration de d!?i est indépendante de la surface S. Prenons alors une sphère de centre Ai, de rayon R. On obtient:

Par contre, une masse extérieure (Ai à l'extérieur de S) crée un champ dont le flux à travers S sera nul. En effet, un cône de sommet Ai s'appuyant sur une surface dS détermine deux flux élémentaires opposés, dont la contribution est nulle (dq) est une valeur algébrique dont le signe dépend du produit scalaire) . Finalement, en notant NIint = Lint NIi la somme des masses intérieures à la surface S considérée, le flux sortant de S est : q) = -47T QLMi int

et le théorème de Gauss s'écrit:

1 g. Ys

dB =

-47T

QMint

(3.9)

Avec une distribution continue de masses et en notant p la masse volumique en un point donné, ]vlint se calcule par : M int

=

JJj~ p(r) dT

l'intégrale triple étant étendue à tout le volule V.

3.2. Champ et potentiel de gravitation

55

Calcul de champ par le théorème de Gauss

Si la masse volumique ne dépend que de r (module de r), c'est-à-dire si la répartition de masse présente une symétrie sphérique, le champ créé sera à symétrie sphérique: r g(r) = Ilg(r) Il r Son flux est dans ce cas facile à calculer. On choisit comme surface Sune sphère de rayon r contenant toute la masse lvIint . D'après les propriétés de symétrie, le champ g est orthogonal en tout point de S. On obtient (r est constant sur toute la surface S) : c[J=

j

ls

g. dS=

j Ilg(r)11 '!:. ndS= Ilg(r)11 j

ls

r

ls

dS=47T

Ilg(r)11

r2

L'application du théorème de Gauss (3.9) donne:

d'où l'expression du champ gravitationnel g : (3.10)

On obtient donc le résultat très important suivant: le champ créé par une distribution de masse à symétrie sphérique est identique à celui qui serait créé par une masse ponctuelle de même valeur située au centre de la distribution sphérique. Cette propriété découle du fait que les forces en jeu sont centrales et en r- 2 . Champ de gravitation terrestre

Si on considère que la Terre est sphérique et que sa masse volumique est uniquement fonction de la distance au centre 0, pour un point à l'extérieur (ou à la surface) de la Terre, le champ créé en un point à distance r de 0 est: avec J.L = gM (3.11) où l'vI est la masse totale de la Terre. Dans ce cas, J.L est appelé constante d'attraction géocentrique.

3.2.3

Gravité et pesanteur

Si on considère donc que la Terre est à symétrie sphérique et que, de plus, elle est immobile (par rapport à un référentiel galiléen), alors les surfaces équipotentielles sont des sphères concentriques. Mais, comme disait Galilée, elle tourne! Un point soumis à la force de gravitation est également soumis à une force d'entraînement (par rapport

56


à un référentiel non galiléen, lié à la Terre). C'est ainsi qu'au cours de sa formation, la Terre s'est transformée, s'est aplatie. Son enveloppe extérieure est une surface équipotentielle: ses points y sont à l'équilibre. La surface des océans (en enlevant marées, courants, vents, etc.) est une bonne image de cette surface équipotentielle 3 , prise généralement comme origine des altitudes. Ce géoïde se prolonge naturellement sous les continents. La surface d'un lac au repos4 représente aussi une surface équipotentielle, à une autre altitude et le fil à plomb, qui définit la verticale en un lieu, est exactement perpendiculaire à cette surface. Sur cette surface, le potentiel U est constant. Mais, répétons-le, sur cette surface d'équilibre, le champ de gravitation ne l'est pas. Le champ gravitationnel est plus fort aux pôles qu'à l'équateur (puisque Rp < Re) et l'accélération d'entraînement est nulle aux pôles et maximale à l'équateur. Nous allons calculer le potentiel de gravitation créé par une planète aplatie, puis le potentiel de pesanteur, qui tient compte de la rotation de la planète. En intégrant ce potentiel, on obtiendra la valeur de la pesanteur en fonction de la latitude. Maupertuis est le premier à avoir fait une claire distinction de vocabulaire entre gravité et pesanteur 5 , distinction qui fut ensuite reprise par D' Alembert 6 et Clairaut 7 . La gravité est la somme des actions attractives qui agissent sur une masse, par le phénomène de gravitation universelle. La pesanteur est la résultante de la gravité et de l'action de l'accélération d'entraînement due à la rotation terrestre. En d'autres termes, la gravité est le champ mesuré dans le référentiel ~ et la pesanteur le champ mesuré dans le référentiel ~T. Tout corps sur Terre est soumis à la pesanteur, un satellite en orbite autour de la Terre est soumis à la gravité. 3Mac Laurin a montré, en 1742, que l'ellipsoïde de révolution, tournant selon son petitaxe, était la seule figure répondant à la question. Plus tard, Poincaré a montré que si la rotation est beaucoup plus rapide, il y a d'autres cas possibles - mais cela ne concerne pas les planètes. 4L'eau y est en équilibre: il n'y a aucune raison qu'elle s'écoule de droite à gauche ... ou de gauche à droite! 5La distinction entre les noms gravité et pesanteur est tout à fait conventionnelle et ne s'appuie pas sur l'étymologie. Gravité vient du latin gravis, «lourd, qui a du poids», pesanteur est relatif « à ce qui pèse, qui a du poids ». 6 Jean le Rond d'Alembert (1717-1783), mathématicien, physicien et philosophe français. Il publia Recherche sur la précession des équinoxes et sur la nutation de l'axe de la Terre dans le système newtonien, en 1749. Il avait, en 1743, énoncé le principe qui porte son nom, dans son Traité de dynamique. Il fut, avec Diderot, un des auteurs de l'Encyclopédie. 7« Je fais ici la même distinction que M. de Maupertuis (La Figure de la Terre déterminée, etc.) entre pesanteur et gravité; j'entends par pesanteur, la force naturelle avec laquelle tout corps tombe, et j'appelle gravité la force avec laquelle le corps tomberait, si la rotation de la Terre n'altérait pas son effet et sa direction. » Clairaut, dans l'introduction de Théorie de la Figure de la Terre.

3.3. Calcul du géopotentiel

57

~~--~------------------~y

x FIG. 3.1 : Schéma explicatif de l'obtention, par intégration, du potentiel gravitation-

nel au point S. Le volume élémentaire, de masse d~1, entourant le point T, décrit tout le volume de la Terre. Il crée le potentiel gravitationnel dU en S. Les notations des distances sont: r = OS, P = OT, D = TS.

3.3

Calcul du géopotentiel

3.3.1

Détermination du potentiel élémentaire

La variation dans le temps de la répartition des masses terrestres (due aux marées terrestres et océaniques, et à des phénomènes liés à la géophysique interne) et la variation de direction de l'axe de rotation de la Terre (mouvement des pôles) ne sont pas prises en compte ici. On considère la valeur moyenne de ces diverses grandeurs (sur une période donnée) et on calcule le potentiel terrestre statique, créé par une répartition fixe des masses terrestres (figure 3.1). Soit 0 le centre de la Terre et (0; x, y, z) un repère lié à la Terre, comme !RT , OZ étant l'axe des pôles et (xOy) le plan équatorial. Soit S un point à l'extérieur de la Terre (le satellite). Il est repéré par ses trois coordonnées sphériques T, À, 1jJ, voir (2.26). Les angles À et 1jJ représentent la longitude et la latitude géocentrique du point S. Soit T un point à l'intérieur de la Terre. Il est repéré de même par ses trois coordonnées sphériques p, a, {J, en notant p le module de OT, a la longitude et {J la latitude géocentrique. On a les relations classiques donnant les valeurs des composantes en coordonnées cartésiennes :

os T

On note

cos VJ· cos À cos VJ· sin À sin 1jJ

OT P

cos{J· cosa cos{J· sin a sin {J

e l'angle que font les deux rayons vecteurs: e = (OS, OT)

et qui permet d'exprimer la distance D entre les deux points S et T :

(3.12)

58

Chapitre 3. Géopotentiel 1

D = D(T, S) = r [1 _

2~ cos e + (~) 2] ']

Le produit scalaire OS· DT donne la relation: cos e = sin 1/! . sin,6 + cosljJ . cos,6 . cos (À - a) Le potentiel élémentaire dU, créé en S par la masse élémentaire d1Vl, situé en T à la distance D de S, est donné, à partir de (3.8), par: dU

3.3.2

dtt D

=

=

ç dM

(3.13)

D

Obtention du potentiel par intégration

Le potentiel cherché, noté U, est obtenu par sommation de tous les potentiels élémentaires produits par les masses élémentaires. La masse élémentaire dJ\lI est affectée au point T qui décrit toute la Terre : U

r

= U(S) =

JTerre

dU

=ç

r

JTETerre

dM(T) D(T, S)

(3.14)

L'expression de D intervenant dans le calcul du potentiel est, en fonction de

e, donnée par :

1

1

1

--r=============

D

r

V11 -

(P)2 2 -;: cos e + -;: p

(3.15)

Cette expression admet un développement en polynômes de Legendre (voir, en fin chapitre, l'annexe Rappels sur les fonctions de Legendre) qui converge si (p/r) < 1. Le calcul est donc valable si S reste strictement à l'extérieur de la sphère contenant toutes les masses. On peut donc écrire, les polynômes de Legendre étant notés Pl -

1

D

=

P L (-) r r 1

00

-

1

Pz(cose)

(3.16)

1=0

On remplace cos e par sa valeur en fonction des coordonnées sphériques, les angles À,IjJ, a,,6, ou plus précisémentljJ,,6, (À - a) et on utilise la formule d'addition de Legendre:

Pl(cose)

Pl (sin 1/!) . Pz (sin,6)

+2

L I

m=l

(l- m)! (

),Pzm(sin1jJ)' Plm (sin,6)· cosm(À - a) l+m.

où Pzm représentent les fonctions de Legendre. On obtient ainsi (1/ D) en fonction des six coordonnées sphériques. On porte cette expression dans (3.16)


puis dans (3.14). Le rayon équatorial de la Terre, Re obtient:

U(r, À, 1jJ)

=

Q { ({ dM(p, a, (3) J p JexJ(3 D(r,À,IjJ,p,a,(3)

=

Q -:;: Jp=o Jex=o

{R {2n (~

1

00

J(3=-~ ~ (~)

l{

=

59

a, est ici noté R. On

Pz (sin 1jJ) . Pz (sin (3)

~ (1 - m)!

+ 2 ~ (1 m=l

+ rn

),Pzm(sin1jJ). cosmÀ· Plm (sin(3)· cosma .

+2 ~ ~

(1- m)! } ( ),Pzm(sin1jJ). sinmÀ· Pzm(sin(3)· sin ma dM 1 + m . m=l

On obtient finalement l'expression de U à l'aide des fonctions de Legendre Pl m et des coefficients Cl m et Sim sous la forme:

U(r, À, 1jJ) = avec IL

=

~ ~ (~y {t~ [Cl m cosmÀ + Sim sin mÀ] Plm(SinljJ)} (3.17)

QivI, ivI étant la masse de la Terre,

C lm et Sim étant les coefficients harmoniques du potentiel terrestre de degré 1 et d'ordre m. Dans l'expression (3.17), les termes pour m = 0 sont relatifs au polynôme de Legendre Pl et la sommation de m = 1 à m = 1 est relative aux fonctions de Legendre Pzm. Les coefficients Cl m et Sim sont obtenus par identification des deux formules donnant U. On distingue deux cas, selon que m est nul ou pas: - coefficients harmoniques (pour m = 0), CiO et SiO 1

{R {2n

{~

CiO

M RI Jp=o } ex=O } (3=- ~ pl Pz (sin (3) dM(p, a, (3)

(3.18)

SiO

o

(3.19)

Les coefficients SiO sont toujours nuls. - coefficients harmoniques (pour m of. 0), C lm et Sim

{1

2 (1 - m)! {l ( ) MRI (l+m)! J p exJ(3pPzm sin(3 cosmadM

(3.20)

2 (1 - m)! (1 ), J'l/IR +m.

(3.21)

-,-1

j·l j. p

ex (3

1

••

,

p Pzm (S111 (3) S111 ma dM

60


La fonction U(r-, À,I/J), qui représente le potentiel gravitationnel de la Terre, est appelée géopotentiel.

3.3.3

Harmoniques sphériques

Le potentiel U apparaît comme une combinaison linéaire des fonctions sphériques Fl m et Gl m définies par: Flm(À,I/J)

cos rnÀ . Pzm (sin 1/J)

Glm (À,1/J)

sin rnÀ . Plm (sin 1/J)

qu'on peut considérer comme les parties réelle et imaginaire des fonctions Hlm, appelées har-moniques sphér-iques :

Ces fonctions possèdent de nombreuses propriétés mathématiques (comme l'orthogonalité) dont l'étude est très développée dans la littérature. Elles servent aussi, dans le cas qui nous intéresse, à représenter graphiquement la décomposition du potentiel terrestre. On peut se faire une idée des variations des fonctions sphériques en traçant sur la sphère le lieu où ces fonctions s'annulent. Pour cela, on distingue trois types d'harmoniques sphériques, les har-moniques zonaux, sector-iels et tessémux. (a) Har-moniques zonaux Ils sont obtenus pour rn = O. Dans ce cas: FlO = PlO (sin 1/J) =

Pz (sin 1/J)

G lO

= 0

HlO =

Pz (sin 1/J )

Donc H lO (À,1/J) = H lO (1/J) ne dépend que de la latitude. Les harmoniques zonaux ont une symétrie de révolution autour de l'axe des pôles. Ils rendent compte, en particulier, de l'aplatissement de la Terre. Ils découpent la Terre selon des parallèles géographiques. (b) H ar-moniques sector-iels Ils sont obtenus pour rn = l. Dans ce cas : Pl m (sin 1/J)

=

Pzl (sin 1/J)

=

(21)! 2 1 ----;:-1' (cos 1/J) '2 2 .

et cette fonction de 1/J ne s'annule pas (sauf aux pôles). Donc Hll ne s'annule que pour certaines valeurs de À. Les harmoniques sectoriels ne s'annulent que sur les méridiens géographiques (on donne généralement l'image de la sphère ressemblant à une orange découpée en quartiers se rejoignant aux pôles). (c) H ar-moniques tessémux Ils sont obtenus pour tous les autres cas. Les harmoniques s'annulent selon une sorte de damier sphérique dont les cases seraient délimitées par les méridiens et les parallèles.


61

Coefficients normalisés

Les modèles de géopotentiel donnent préférentiellement les résultats avec des coefficients Ctm dits coefficients normalisés, les coefficients C1m utilisés ci-dessus étant alors dits coefficients dénormalisés. La relation entre Ctm et Cl m est donnée par :

(l+rn) ! ~--~--~--~~----~ (l - rn) ! (2l + 1)(2 - bOm) Cl m

(3.22)

avec bOm, symbole de Kronecker, prenant les valeurs 1 (si rn = 0) ou 0 (si

rn

-=J

0).

3.3.4

Développement du potentiel au degré 2

Pour exploiter ces formules assez complexes, commençons par le cas le plus simple, celui de la Terre considérée comme un ellipsoïde de révolution. Cela revient à arrêter le développement au degré et à l'ordre 2. Calcul théorique des coefficients

Si on développe le potentiel U, donné par (3.17), jusqu'au degré 2, on obtient:

~ { CooPo(sin 1)!) +

(~)

+

(~) 2 [C20 P2(sin1jJ) + (C

[ClOPI (sin 1)!) + (C 11 cos À + 21

cosÀ +

S11

sin À)P11 (sinljJ)]

S21

+ (C22COS2À+S22sin2À)P22(sin1)!)]}

sin À)P21 (sin 1jJ) (3.23)

On rappelle les valeurs des premiers polynômes de Legendre et des premières fonctions de Legendre pour l'argument (sin;3) : P o (sin;3) = 1 P 11 (sin;3) = cos;3

Pl (sin;3) = sin;3 P 21 (sin;3) = 3sin;3· cos;3

P 2(sin;3) = (3sin 2 ;3 -1)/2 P 22 (sin;3) = 3 cos 2 ;3

On peut ainsi calculer les coefficients harmoniques C 1m et Sim par les quatre formules (3.18) à (3.21), avec les coordonnées sphériques du point intérieur T définies par (3.12). Les coordonnées du centre de gravité de la Terre sont notées (xo, Yo, zo) et les composantes du tenseur d'inertieS de la Terre sont nommées Ix, Ixy , etc. Les résultats sont notés dans le tableau 3.l. 80n rappelle la définition du moment d'inertie, Ix = fff(y2 + Z2) dM et celle du produit d'inertie, Ixy = fff xy dM. Dans la littérature, on trouve souvent, pour le moment d'inertie, A = Ix, B = Iy et C = Iz, de sorte que les équations (3.25) et (3.26) donnent: oh = (C - A)/(MR2 ).


62

Cao

;1 l 1 h dM(p,a,p) = 1

(1 (

_1_ p sinp dM(p, a, p) MRlp Œlf3 _1

NIR

C11

N:R 1 MR

S11

J"lu(J z dM =

11

Zo

R

h p cosp cosa dM(p,a,p)

JiJ (1 ( JiJ (1 (

xdM= Xo R

_1_ p cosp sina dM(p,a,p) MRlp Œlf3 - 1 NIR

ydM=Yo R

1 2 3 sin 2 p - 1 MR2 lp Œlf3P 2 dM(p,a,p)

2N:R2 2N:R2 1

JJJ [3z 2 -

JfJ

(x 2 + y2

[(x 2 + z2)

2M R2 (Ix

+ Iy

+ z2)]

dM

+ (y2 + z2) -

2(x 2 + y2)] dM

- 2Iz)

j' j' lf3( 3 p2 sin p cos p cos a dM (p, a, p)

_1_2 3MR p

Œ

M~2 JJJ xz dM = M~2Ixz

(1 (

_1_2 3MR lp

Œ

lf3

3p2 sinp cosp sina dM(p,a,p)

M~2 JJJ yz dM = M~2Iyz 12;1 R211 1

4MR2

jet;· r

3 p2 cos 2 P cos 2a dM (p, a, p)

(x 2 - y2) dM

12;1 R211 2N:R2

h

h

=

1

4MR2 (Ix - Iy)

3 p2 cos 2 p sin 2a dM (p, a, p)

JJJ xy dM

=

21V:R2 Ixy

TABLEAU 3.1 : Coefficients harmoniques G 1m et 1 et d'ordre m, jusqu'à 1 = 2, m = 2.

Sim

du potentiel terrestre de degré


63

Calcul dans le cas de l'ellipsoïde terrestre Dans le cas de la Terre solide, on prend l'origine du repère de décomposition du potentiel terrestre au centre de la Terre. On a donc: Xo = Yo = Zo = 0, ce qui entraîne: C lO

=

0

C 11

=

0

S11

=

0

Si on considère que l'axe Oz passe par le pôle d'inertie, on a : I xz ce qui entraîne:

=

Iyz

=

0

La plus grande inhomogénéité de répartition des masses terrestres est celle due à l'aplatissement aux pôles. On considère ici la Terre comme un ellipsoïde de révolution d'axe Oz. La symétrie de révolution implique Ixy = 0 et Ix = Iy, ce qui conduit à :

(3.24) L'aplatissement aux pôles se traduit par: Iz > Ix. On a donc:

(3.25) Lorsqu'on développe le potentiel terrestre jusqu'au degré 2 et avec les hypothèses vues ci-dessus, le seul terme non nul (en plus du terme principal C oo = 1) est donc le terme C 20 (et sa valeur est négative). On a l'habitude d'introduire les coefficients Jz en posant 9 :

Jz

=

-Czo

(3.26)

Le potentiel terrestre s'écrit alors:

IL[ 1U(r,À,1jJ)=U(r,1jJ)=-;:

(R)2 -:;:

21jJ J 2 3sin 2

-1]

(3.27)

avec:

h

=

1.0826 10- 3

Ce terme est sans dimension, comme tous les coefficients C Zm et SZm. Le coefficient J 2 a été déterminé depuis longtemps par des considérations géodésiques (voir plus loin, avec la formule de Clairaut), puis avec une grande précision par l'étude de la trajectoire des satellites artificiels. 9Un des pionniers de la géodésie spatiale, Desmond King-Hele, décida, en 1958, d'attribuer la lettre .J à ce coefficient, en hommage au géodésien britannique Sir Harold Jeffreys (1891-1989).

64

3.3.5


Développement du potentiel à des degrés supérieurs

Pour les degrés supérieurs à 2, le potentiel peut s'écrire, avec les notations vues ci-dessus :

(3.28) Dans la partie entre accolades, on distingue trois groupes de termes: le premier, constitué du seul nombre 1, représente le potentiel central; le deuxième, avec Ji et Pi, la contribution des harmoniques zonaux; le troisième, avec Gim, Sim et Am' la contribution des harmoniques sectoriels et tesséraux. Ces termes, Ji, Gim et Sim ne peuvent être connus (à part J 2 à la rigueur) que par comparaison entre l'ellipsoïde et la forme réelle de la Terre, appelée géoïde lO • Pour cela, on réalise des mesures de pesanteur in situ, mais surtout on utilise des observations précises du mouvement des satellites artificiels. Nous allons aborder ces points dans les paragraphes suivants. Pour la Terre réelle (et non plus pour l'approximation de l'ellipsoïde), les valeurs numériques Ji sont données dans le tableau 3.2. On se reportera aussi au tableau 3.3. Ces coefficients sont généralement appelés dans la littérature sous le nom de «termes J n ». Pour le géoïde donc, les coefficients G lO (ou JI), G 11 et S11 sont nuls, mais les coefficients G 21 et S21 (cv 10- 9), G22 et S22 (cv 10- 6 ) ne sont pas nuls. En ce qui concerne les ordres de grandeur, on voit que le terme h est environ 10 3 fois plus petit que le terme principal, mais 10 3 fois plus grand que les coefficients suivants. En résumé, en considérant le développement du potentiel donné par l'équation (3.28), on note que (figure 3.2) : - le terme de degré 0 est le terme principal (responsable du mouvement képlérien, comme nous verrons par la suite), la Terre étant considérée comme une sphère constituée de couches homogènes; - le terme de degré 1 correspondrait à un décentrage du centre de masse de la Terre; il est rendu nul par le choix de l'origine des coordonnées; - le terme de degré 2 correspond à l'aplatissement de la Terre, la Terre étant considérée comme un ellipsoïde de révolution; - le terme de degré 3 et les suivants rendent compte des écarts du géoïde à l'ellipsoïde terrestre. lOLorsque les géodésiens ont compris que la forme de la Terre ne pouvait pas être assimilée exactement à un ellipsoïde, ils ont choisi l'expression géoïde (Listing en 1873), qui est tautologique: la Terre a une forme de Terre! On rencontre parfois l'expression telluroïde, fruit dissonnant d'un hybride latin-grec, tout aussi tautologique.

3.4. Champ et potentiel de pesanteur pour l'ellipsoïde

Jn

=

-eno Jo

JI

J2 J3 J4

Ju

J6

h

Js Jg

JlQ

65

Valeur (s.d.) 1 0 + 1 082.626 220 70 -2.536 15069 -1.619 363 55 -0.223 101 38 +0.540 289 52 -0.360 260 16 -0.207 767 04 -0.11456739 -0.233 800 81

10- 6 10- 6 10- 6 10- 6 10- 6 10- 6 10- 6 10- 6 10- 6

3.2 : Coefficients harmoniques J n du potentiel terrestre, jusqu'à n = 10. Valeurs tirées du modèle GRIM5-Cl.

TABLEAU

J 3 •4 ....

3.2 : Évolution de la perception de la forme de la Terre en géodésie (de gauche à droite) (a) Sphère: Jo = 1 et JI = O. (b) De la sphère à l'ellipsoïde de révolution: terme h, lié à l'aplatissement. (c) De l'ellipsoïde au géoïde: termes J n avec n? 3.

FIG.

3.4 3.4.1

Champ et potentiel de pesanteur pour l'ellipsoïde Calcul du champ et du potentiel

Pour étudier le champ de pesanteur à la surface de la Terre, il faut considérer le champ de forces gravitationnelles dans un référentiel lié à la Terre, !RT et non plus dans le référentiel galiléen !R. Pour obtenir les relations dans !RT, on doit tenir compte, en plus de l'accélération calculée dans !R, de l'accélération d'entraînement a e due à la rotation terrestre:

66


z B

x'

x 1

e

= 0.60

z' 3.3 : Pour un point ]v! à la surface de la Terre (tp, latitude géodésique; 1jJ, latitude géocentrique), on représente la gravitation, dirigée vers 0, et la pesanteur, dirigée vers l, normale à l'ellipsoïde en J'vI.

FIG.

en notant par ru la vitesse de rotation terrestre l l et par J la projection sur l'axe des pôles de Jv[, qui est le point de latitude géodésique cp (et géocentrique 1jJ) à la surface de la Terre (figure 3.3). Le centre de la Terre est 0 et on pose T = 0 Jv[. On a donc : J Jv[ = T cos VJ. Le vecteur unitaire de la direction DM est noté er . Pour simplifier l'écriture, on pose: 9 = g/fR , gravité

y

= g/fR T

'

pesanteur

On écrit la règle de composition des accélérations: acc. absolue (g) = acc. relative (y) + acc. d'entraînement (a e ) On obtient: (3.29) y= g+ru 2 JM Le vecteur y représente la pesanteur, ce qui définit le poids d'un corps en 11 Cette notation 'CU n'est utilisée que dans ce chapitre. Dans les chapitres suivants, nous utiliserons pour cette grandeur une autre notation, et nous expliquerons pourquoi. La vitesse angulaire 'CU est égale à un tour par jour sidéral, soit 'CU = 7.292 115 10- 5 rad s-l.

nT


67

un lieu donné. La pesanteur est la somme vectorielle de la gravité et de l'accélération dite axifuge. Le vecteur g est porté par OM; le vecteur y fait avec g un angle très petit, égal à cp -1jJ (au maximum 0.19°). On peut donc écrire:

y

= - , eT

En projetant l'équation (3.29) sur OM, on a : (3.30) En exprimant les champs g et y à l'aide des potentiels respectifs U et UT, et en intégrant selon T la relation (3.30), on obtient:

En arrêtant le développement de U au second ordre (géoïde = ellipsoïde), donné par l'équation (3.27), on obtient: (3.31 ) La symétrie de révolution de la figure étudiée se manifeste par l'absence de la variable À (longitude) dans l'expression du potentiel UT.

3.4.2

Champ de pesanteur à la surface

On obtient le champ de pesanteur y en dérivant le potentiel UT selon la normale à l'ellipsoïde. Avec le même degré d'approximation que celui qui a fait confondre les directions des vecteurs g et y, on peut considérer que le champ est donné par (OUT/OT). Son module, est: (3.32) En remplaçant le terme T par sa valeur en fonction deljJ, à savoir T = Rw (1jJ) donné par (1.37), on obtient l'expression du module du champ de pesanteur ,(1jJ), à la surface de l'ellipsoïde, en fonction uniquement de la latitude. La variation de la pesanteur en fonction de la latitude est représentée en figure 3.4. On y a fait figurer également la variation de la gravité. La gravité 9 varie, exprimée en unités SI, de 9.814 (à l'équateur) à 9.832 (au pôle) à cause de l'aplatissement de la Terre, mais cette grandeur n'est pas directement mesurable (on ne peut pas arrêter la rotation terrestre !).


68 9.840

9.830

~ li?

.S-

9.820

c 0

2 'S; ~

9.810

0)

ID ~

9.800

2c

CIl

(J)

ID

0..

9.790

9.780

9.770

TERRE

-+---;---+----+---f---+----+---f---+------1 10 20 30 40 50 60 70 80 o 90 Latitude [N/S] (')

3.4 : Graphe de variation de la pesanteur (courbe du bas) en fonction de la latitude, à la surface de l'ellipsoïde. Au-dessus de cette courbe, graphe théorique (non directement mesurable) de variation de la gravité. La différence entre ces deux courbes représente la valeur de l'accélération axifuge.

FIG.

La pesanteur Î, mesurée expérimentalement 12 , varie de 9.780 (à l'équateur) à la même valeur 9.832 (au pôle), car à la variation de g s'ajoute algébriquement la variation provoquée par la rotation terrestre 13 (nulle au pôle). 12Le document de présentation du satellite GOCE, de l'ESA, donne un très intéressant exemple de notion de précision dans la mesure de la pesanteur en un lieu donné. pesanteur = 9.8 masse de la Terre sphérique 9.81 aplatissement terrestre et rotation 9.812 montagne et failles océaniques 9.8123 distribution des masses internes 9.81234 grands réservoirs fluviaux 9.812345 marées océaniques et terrestres 9.8123456 grands bâtiments dans le voisinage 13Faisons un peu de science-fiction! Imaginons une planète semblable à la Terre, mais qui tournerait plus vite, avec une vitesse de rotation roi. On calcule le champ de pesanteur à l'équateur, en supposant la planète sphérique (rayon R). Avec (3.32), on trouve: "Y --

IL

~

- w

12

R --

IL R2

(1

-

",,2 R 3 ) -IL-

IL R2

(1

-

ma )

en utilisant ma, défini un peu plus loin par (3.34). Ce terme représente la part d'accélération axifuge dans la pesanteur, lorsque la gravité est prise pour unité. Pour la Terre, ma = 1/288. Si ma = 1, la pesanteur est nulle et tous les corps à la surface de l'équateur sont en impesanteur. Pour une telle « Terre rapide», on a donc: (roi / ro)2 = 288 soit roi c::: 17 ro. Avec une telle vitesse de rotation, le jour dure 17 fois moins que chez nous, soit 84.5


69

Cette formule de variation du champ de pesanteur est suffisante dans de nombreux cas. Cependant, si on cherche une formule très précise, fonction de la latitude géodésique et sans approximation, on utilisera la formule de Somigliana, présentée un peu plus loin.

3.4.3

Formule de Clairaut

Le terme J 2 du développement du potentiel terrestre, qu'on peut relier à une différence de moments d'inertie de la Terre selon l'axe des pôles et selon un axe équatorial, comme expliqué par les relations (3.25) et (3.26) vues plus haut, n'est pas directement mesurable. Sans attendre les satellites, on pouvait le déterminer par des considérations géodésiques, en utilisant la propriété des surfaces équipotentielles. Relation entre

h et aplatissement

Dans l'hypothèse de Clairaut 14 , la Terre, dans son mouvement de rotation, est en équilibre hydrostatique. Alors, quel que soit le point à la surface terrestre (sur l'ellipsoïde), le potentiel est constant. Choisissons un point au pôle (r = Rp = b) et un point sur l'équateur (r = Re = a) Ir

UT(r = a,1jJ = 0) = UT(r = b, 1jJ = "2)

La relation (3.31) donne: -IL ( 1 +

a

1)

w a 2 = -IL ( I - ah) -h + 2 2

2

2

b

2

b

Les quantités f et J 2 sont petites devant 1. En négligeant les petites quantités du deuxième degré, on obtient pour le second membre: IL·

-(1 a

+ f)

[1 - h(1

+ 2f)]

~

IL -(1 a

+ f - h)

ce qui donne la relation (dite 1re équation de Clairaut)

2

1

3

3

h = - f - - ma

(3.33)

minutes. Et ce temps est égal à la période de révolution d'un satellite terrestre d'altitude nulle, comme on le calcule au chapitre 5, avec (5.9). 14 Alexis Claude Clairaut (1713-1765), astronome et mathématicien français. Il entre à l'Académie des Sciences à l'âge de dix-huit ans, après avoir ébloui son auditoire par un mémoire sur les courbes géométriques. Il se tourne ensuite vers la géodésie et la mécanique céleste. Il est l'auteur de la Théorie de la figure de la Terre tirée des principes de l'hydrostatique (1743), basée sur les différences d'accélération de la pesanteur entre les pôles et l'équateur. L'étude du problème des trois corps l'amena à écrire la Théorie de la Lune (1752). Il fut un précurseur dans l'étude des perturbations gravitationnelles - voir au chapitre 6, la note historique sur le retour de la comète de Halley.

70


en posant:

'[iJ2 a 3

(3.34)

rna = - -

IL

La quantité sans dimension ma se calcule facilement, ma = 3.461 10- 3 . Si on considère f connu, f = 1/298.3, on obtient la valeur de h au premier ordre:

h

1.0814 10- 3

=

ce qui est très proche 15 de la valeur de h donnée dans le tableau 3.2. Relation entre

h

et pesanteur

Historiquement, c'est la quantité f qu'on voulait calculer : connaître l'aplatissement sans avoir à mesurer le méridien terrestre. Il fallait donc trouver un moyen d'exprimer h, ce qu'on peut faire en mesurant l, l'accélération de la pesanteur, en divers points à la surface de la Terre. Avec la relation (3.32), on calcule 1 à l'équateur (re) et au pôle (rp)

le IP En négligeant les petites quantités du deuxième degré, la différence donne :

9)

IL(' 2j -

2h + '[iJ 2 a

IP - le = a 2

En remplaçant, dans les termes petits, le par (IL/ a 2 ), puisqu'en première approximation g = (/L/ R 2), on obtient: IP - le

-'-"------'-'- =

le

en posant:

9

2f - -2 J 2 '[iJ2 a

rng = - -

le

+ mg (3.35)

La valeur de mg est équivalente, avec les approximations faites, à celle de ma donnée par l'équation (3.34). On pose:

fJ

=

IP -le

le

15En effectuant les calculs avec les petites quantités du deuxième degré, on obtient: h = ~f - ~mb - ~f2 + 11fmb en posant mb = w 2a 2 bj/1 = ma(l- f)· Le résultat numérique donne h = 1.082634 10- 3 , ce qui conduit à une erreur relative de 8 10- 6 avec la valeur retenue pour h.


7l

quantité sans dimension qu'on peut appeler aplatissement de gravité et qu'on obtient avec précision en mesurant 1 à l'équateur et au pôle. On a ainsi une autre relation pour J 2 (dite 28 équation de Clairaut)

(3.36) Formule de Clairaut En rapprochant les deux équations (3.33) et (3.36) et en éliminant J 2 , on obtient la formule de Clairaut:

f

=

5

"2

ma - (3

(3.37)

Cette formule a permis de connaître f à partir de deux mesures de f. L'application numérique donne : le = 9.7804 m.s- 2 IP = 9.8322 m.s- 2 3 (3 = 5.296 10- ~ 1/189 ma = 3.467 10- 3 ~ 1/288 3 f = 3.373 10- ~ 1/297 Compte tenu des approximations faites, on peut considérer ce résultat comme très convenable. La formule 16 de Clairaut montre que l'aplatissement f est déterminé (w et a étant connus) par des mesures de pesanteur. Pour obtenir f, il n'y a donc pas à connaître la composition de matière à l'intérieur de l'ellipsoïde.

3.4.4

Formule de Somigliana

La formule (3.32) donnant le champ de pesanteur, ou les relations de Clairaut, sont des formules approchées, au premier ordre en f. Les géodésiens italiens Pizetti (1894) puis Somigliana (1922) ont repris le problème de manière globale. L'idée directrice est de définir un corps ayant une forme d'ellipsoïde de révolution tel que l'ellipsoïde soit une surface équipotentielle de son propre champ. Même si la formule finale paraît simple, tant elle est belle et équilibrée, le calcul qui y amène est long, difficile et dépasse largement le cadre de cet ouvrage. La formule de Somigliana donne le champ de pesanteur normale, à la surface de l'ellipsoïde, en fonction de la latitude géodésique cp :

(3.38) 16Clairaut a poursuivi l'idée de Newton et de Huygens que rotation de la Terre, pesanteur et aplatissement étaient liés. Il a mis en équation ce raisonnement, mais pas de la manière exposée ici. Il n'a pas utilisé le concept de potentiel, inventé plus tard par Lagrange et ne se servait pas du coefficient h sous cette forme.

72


où re et rp sont les valeurs de la pesanteur à l'équateur et au pôle, vues précédemment. On peut aussi l'écrire sous la forme suivante:

r(cp) avec:

=

re

1 + k sin 2 cp

JI - e

2

(3.39)

sin 2 cp

b rp k=-·--l a r8

(3.40)

où k est la constante de Somigliana. On donne aussi cette formule sous forme numérique. Les valeurs des divers termes varient légèrement d'un ellipsoïde de référence à l'autre (tableau 2.1). Avec GRS80, les éléments de base sont: a 6378137 m b 6 356 752.3141 m e2 0.006 694 380 022 90 k 0.001 931 851 353 9.832 1863685 m·s- 2 re 9.7803267715 m·s- 2 rp

r( cp)

=

9.780 327 (1

+ 5.3024 10- 3

sin 2 cp

+ 5.8

10- 6 sin 2 2cp)

(3.41)

Avec WGS84, on a : re = 9.7803253359 m·s- 2 k = 0.001931853 Lorsqu'on se trouve au-dessus de l'ellipsoïde, on obtient la pesanteur rh (cp), à l'altitude h, par une relation faisant intervenir r( cp) et r8 :

rh(CP)r~ r(cp) = -2~ [1 + 1 + ma + (-31 + ~ma) sin

2

cp]

+ 3 (~r (3.42)

3.5 3.5.1

Géoïde Anomalies de gravité

À l'aide de gravimètres, on mesure la pesanteur en de nombreux lieux terrestres et, avec de grandes précautions, en mer. De plus, comme nous allons l'étudier dans les chapitres suivants, l'orbite du satellite est sensible à la répartition des masses de la région survolée. L'écart entre la position théorique (selon un modèle donné) et la position réelle, mesurée avec précision, permet de remonter aux coefficients des harmoniques sphériques du géopotentiel. À cette méthode utilisée depuis cinquante ans, dès le début de l'ère spatiale, avec des modèles de plus en plus raffinés, il faut ajouter, depuis une vingtaine d'années, les mesures altimétriques par les satellites océaniques. Le traitement de toutes ces données, le passage entre pesanteur et géopotentiel étant effectué, on obtient une carte des anomalies, c'est-à-dire la

3.5. Géoïde

73

différence d'altitude (surface équipotentielle) entre le géoïde et l'ellipsoïde. Cette carte, attachée à un modèle de géopotentiel, fait apparaître des ondulations qui ne dépassent pas une centaine de mètres. La figure 17.1 est la carte issue du modèle amricain EGM96. Les creux principaux sont au sud de l'Inde (-105 m), au Tibet (-65 m), dans l'Antarctique au sud de la Nouvelle-Zélande (-55 m) et aux Caraïbes (-50 m). Les bosses principales sont en Nouvelle-Guinée (+75 m), en Islande (+70 m) et à mi-chemin entre Madagascar et l'Antarctique (+60 m). Il est important de noter que ces anomalies sont décorrélées du relief des terres émergées. On les explique comme des manifestations d'hétérogénéité de densité de matière dans le manteau terrestre. Les anomalies de grande longueur d'onde sont repérées par satellite, celles plus locales le sont avec les mesures au sol. En terme de gravité, ces anomalies sont appelées anomalies de gravité et sont mesurées en milligal 17 .

3.5.2

Satellites et géodésie

Le premier satellite artificiel, Spoutnik-l, lancé par l'URSS le 4 octobre 1957, n'émit de signal que pendant trois semaines 18 . Mais par l'étude de la trajectoire des satellites suivants 19 , lancés peu après, le coefficient zonal J 2 fut déterminé par le géodésien tchécoslovaque E. Buchar en 1958. Sa valeur était assez proche de celle prévue par le calcul d'après les mesures terrestres. Le satellite américain Vanguard-1, lancé le 17 mars 1958, permit pour la première fois d'évaluer les écarts entre l'ellipsoïde et le géoïde. Cet important harmonique de degré 3 correspond à une élévation du pôle Nord de 15 mètres au-dessus de l'ellipsoïde et un abaissement d'autant pour le pôle Sud 20 . Le terme J 4 et quelques suivants furent établis à partir de 1960. Les méthodes de détermination de ces coefficients J n sont développées au chapitre 6, sur la Note historique à ce propos. En 1961, W. Kaula présenta un modèle complet au degré 4 (c'est-à-dire avec tous les coefficients G1m et Sim) : un harmonique sectoriel, coefficient de la fonction de Legendre P22, rend compte d'un exhaussement du géoïde vers 165°E et 15°W et d'une dépression vers 75°E et 105°W (ces points découpent 17L'unité d'accélération dans le système CGS est le Gal (en hommage à Galilée). Donc 1 Gal = 1 cm S-2. Les géodésiens utilisent le milligal, 1 mGal = 10- 5 m S-2. 18Éléments orbitaux pour les premières révolutions: altitude du périgée hp = 228 km, altitude de l'apogée ha = 947 km, inclinaison i = 65.128°, période T = 96.17 min (iJ.T = 1.80 seconde/jour), périgée situé sur la latitude 41 oN. Fin d'émission du signal: 26 octobre 1958. Rentrée dans l'atmosphère :4 janvier 1958. 19Spoutnik-2, lancé le 4 novembre 1957. Éléments orbitaux pour les premières révolutions: hp = 225 km, ha = 1671 km, i = 65.310°, T = 103.75 min (iJ.T = 3.08 secondes/jour) , périgée situé à la latitude 40 o N. Rentrée dans l'atmosphère: 14 avril 1958. Spoutnik-3, lancé le 15 mai 1958. Éléments orbitaux pour les premières révolutions: hp = 226 km, ha = 1881 km, i = 65.188°, T = 105.95 min (iJ.T = 0.75 seconde/jour), périgée situé à la latitude 45°N. Rentrée dans l'atmosphère: 6 avril 1960. 2oD'où le scoop annoncé à l'époque: «a pear-shape », la Terre a une forme de poire. Ce qui, compte tenu des grandeurs en jeu (15 m par rapport à 6400 km), est un peu exagéré!

74


3.5 : Vue d'artiste des deux satellites GRACE-A et -E, avec visualisation de leur liaison micro-onde. Document: The University of Texas Center for Space Research.

FIG.

quatre secteurs égaux sur l'équateur puisqu'il s'agit de la fonction Fl m avec 1 = 2 et rn = 2)21. Ce point est développé au chapitre 7, à propos des satellites géostationnaires (figure 7.10). La connaissance du potentiel gravitationnel terrestre avance très vite à partir de cette époque. Les géodésiens mettent non seulement à profit de nombreux satellites lancés, mais envoient de plus dans l'espace des satellites spécifiques 22 . Une amélioration considérable est apparue avec l'avènement des radars altimétriques, placés à bord des satellites, qui permettent de décrire la surface océanique (le géoïde) par rapport à l'orbite. Les premiers étaient des satellites militaires américains: GEOS-3, Seasat, Geosat. 21 D. King-Hele synthétisa cela dans une chansonnette de son invention:

When you eut a slice Through the polar ice The Earth is like a pear. But sliced along the equator She looks like a potato A giant pomme de terre. 22Parmi ceux-ci, la série de satellites américains GEOS (Geodetie Earth Orbiting Satellite), GEOS-1 (Explorer-29), GEOS-2 (Explorer-36), PAGEOS, LAGEOS, avec repérage du satellite passif (PA) ou par laser (LA) qui succédèrent aux satellites Echo-1 et Echo-2 (satellites ballons), ANNA-lB (Army, Navy, Nasa, Air Force, premier satellite émettant des flashes), ADE-A (Atmospherie Density Explorer, Explorer-19), Beacon-Explorer-1 (BEB, Explorer-22 ou S-66a, premier satellite équipé de réflecteurs laser), Beacon-Explorer-2 (BE-C, Explorer-27). Après 1970, on note les satellites français Starlette et Stella, lancés en 1975 et 1993, le satellite japonais EGP, Experimental Geodetie Payload, dit aussi EGS-1 (Earth Geodetie Satellite ou Ajisai, « hortensia» en japonais), lancé en 1986, le satellite russe Fizeau (Meteor-2-21), lancé en 1993.

3.5. Géoïde

75

FIG. 3.6 : Vue d'artiste du satellite GOCE. Sa forme est étudiée pour offrir une résistance minimale au frottement atmosphérique. Sur l'image sont représentés les ions éjectés par le moteur de compensation de traînée. Document: ESA.

À partir des années 1980, le géopotentiel sur les océans est mieux connu que sur les continents. Par la suite, les satellites européens ERS-1 et -2, puis les satellites franco-américains TOPEX/Poseidon, Jason-1 et 2 ont affiné les mesures. Ces derniers mesurent la hauteur de la mer (dont la hauteur moyenne représente le géoïde) par rapport à l'ellipsoïde de référence avec une précision de 2 à 3 cm. Cela signifie que l'altitude du satellite est connue avec une précision encore meilleure. La qualité des altimètres utilisés est importante, mais la précision avec laquelle l'orbite du satellite est restituée est tout aussi fondamentale. Et cela est possible grâce à des modèles de potentiel qui vont jusqu'aux harmoniques sphériques de degré très élevé. Un changement radical s'opère à partir de l'an 2000. Jusque-là, les satellites étaient en orbite relativement élevée (5 900 km pour LAGEOS, 800 km pour Starlette 23 ) pour éviter tout frottement atmosphérique. À partir de cette date, le maintien en orbite des satellites par compensation de traînée autorise des orbites basses, plus sensibles aux faibles anomalies de gravité. Le satellite CHAMP (Challenging Microsatellite Payload for geophysical research and applications) détermine le géoïde avec une précision de 10 cm (et 0.5 mGal pour la gravité). L'amélioration d'un facteur 10 par rapport aux précédentes missions provient de son orbite basse (450 km), d'un suivi continu de l'orbite par GPS et d'un accéléromètre embarqué très sensible. La mission GRACE (Gravit y Recovery And Climate Experiment) est constituée de deux satellites jumeaux, -A et -E, qui se suivent continûment 24 23Ce joli nom de Starlette est aussi un bel exemple d'acronyme tarabiscoté: Satellite de Taille Adaptée avec Réflecteurs Laser pour les Etudes de la Terre. 24D'où le surnom de Tom et Jerry, donné par les promoteurs de la mission.

76


sur la même orbite, à la distance de 200 km. L'orbite basse (480 km) et la mesure de la distance entre GRACE-A et GRACE-B à quelques micromètres près, ont permis d'améliorer encore les résultats: géoïde connu à 1 cm près, à l'échelle spatiale de 200 km (figure 3.5). La précision est telle qu'on peut établir des cartes mensuelles du géoïde permettant de suivre l'évolution des masses d'eau (bassins versants des grands fleuves). Le satellite 25 GOCE (Gravit y field and steady state Ocean Circulation Experiment) améliore encore la connaissance du géoïde avec une orbite très basse (200 km) et son gradiomètre, constitué de 6 accéléromètres avec une précision de 10- 12 m S-2. Le satellite est équipé d'un moteur ionique qui équilibre, à chaque instant, les forces de frottement atmosphérique. Grâce à des poussées de quelques mN, le satellite, par cette compensation de traînée, est perpétuellement en chute libre. À un horizon plus lointain, le projet LICODY (Laser lnterferometry for Core and Ocean Dynamics) est basé sur la mesure par laser des distances entre plusieurs satellites en formation. La géodésie spatiale est maintenant devenue une science « dialectique» : les modèles de potentiel sont mieux connus par le repérage des satellites et par l'étude de leur trajectoire, et la position des satellites est mieux déterminée par l'amélioration des modèles de potentiel...

3.5.3

Évolution des modèles de potentiel terrestre

Principaux modèles Les premières données satellitaires furent intégrées aux modèles déjà existants et, à partir de 1970, certains modèles furent établis exclusivement avec des données spatiales (the «satellite-only» models). Le modèle SAO-SE (Smithsonian Astrophysical Observatory - Standard Earth), établi en 1966, utilisa, en 1972, les premières mesures par laser de distance aux satellites. Le modèle NWL (Naval Weapon Lab.) était basé principalement sur les satellites de la série Transit. Suivirent ensuite de nombreux modèles, dont on retiendra ici les modèles américains GEM, JGM, EGM et GGM, et les européens GRIM et EIGEN. Le modèle GEM (Goddard Earth Model) a été établi par le GSFC (Goddard Spa ce Flight Center) de la NASA, aux États-Unis, en réaction aux modèles militaires américains «classifiés ». Le premier modèle, GEM-l, fut publié en 1972, avec un développement du potentiel de degré 12. Le modèle GEM-T2, publié en 1990, est obtenu à partir des données de 31 satellites. Il donne un modèle avec tous les coefficients jusqu'au degré 36, et d'autres jusqu'au degré 50, ainsi qu'un développement de degré très élevé pour les marées. 25Sachez, cher lecteur, que la prononciation de rigueur dans le milieu spatial pour GOCE est « go - tché ».

3.5. Géoïde

77

FIG. 3.7 : Satellite LAGEOS-2, en phase de préparation. Le satellite (60 cm de diamètre) est muni de 426 réflecteurs (38.1 mm de diamètre, 27.8 mm de profondeur), composés d'un coin de cube (dont les angles de 90 degrés sont garantis avec une précison de 0.5 seconde d'arc). Document: ASI (Agenzia Spaziale Italiana).

Le modèle JGM (Joint Gravit y Model) est un modèle commun à la NASA et à l'Université du Texas. En 1994, JGM-2 reprend GEM-T3, successeur de GEM-T2, avec les premiers résultats de TOPEX/Poseidon. En 1996, JGM-3 intègre des données de satellites supplémentaires comme LAGEOS-2. Le modèle EGM (Earth Gravit y Model) est issu d'une collaboration GSFCNASA, NIMA (National Imagery and Mapping Agency), OSU (Ohio State University). En 1996 sont produits EGM96S, de degré et ordre 70 (données provenant uniquement de satellites) et EGM96, de degré et ordre 360 (par adjonction de données géophysiques). Ils utilisent les données de 40 satellites dont les mesures de satellite à satellite, avec les constellations GPS 26 et TDRSS. À partir de 2002, le modèle GGM (GRACE Gravit y Model) est développé par l'Université du Texas à partir des seules données provenant de GRACE: accéléromètre, attitude et distance entre les deux satellites (K-band rangerate ). En Europe, le G RGS (Groupe de Recherche en Géodésie Spatiale) en France et le DGFI (Deutsches Geodiitisches Forschungsinstitut) en Allemagne ont établi conjointement le modèle GRIM (GR pour GRGS et lM pour Institut de Munich). Le premier modèle est GRIM1, en 1975 (jusqu'au degré 10). En 2000, sont établis les modèles GRIM5-S1 et GRIM5-C1, le premier à base de données de satellites 27 uniquement, le second avec toutes données. 26Les satellites Navstar/GPS-35 et -36 (ou USA-96, -100), lancés en 1993 et 1994, sont équipés de réflecteurs laser. 27Les satellites utilisés étaient: Starlette, EGP (Ajisai), LAGEOS-l et -2, Geosat, SPOT2 et -3, ERS-l et -2, Stella, Westpac-l (WPLTN-l, West Pacifie Laser Tracking Network) , TOPEX/Poseidon, GFZ-l (GeoForschungsZentrum), Dl-C, Dl-D, GEOS-3, Meteor-3-07,

78


Ces derniers modèles sont remplacés par le modèle EIGEN (European Improved Gravit y model of the Earth by New techniques )28, établi par le GFZPostdam et le GRGS-Toulouse. En 2002, EIGEN-1S reprend GRIM5-S1, avec les données de CHAMP, complétées par LAGEOS-1 et -2, Starlette et Stella. D'autres modèles suivent, utilisant les données de la mission GRACE. En 2008, le modèle EIGEN-GL05C est un modèle complet de degré et d'ordre 360 (correspondant à une longueur d'onde de 1 0 , soit ),,/2 = 55 km). En 2011, le modèle EIGEN-6 intègre les données provenant de GOCE. L'évolution du modèle européen est résumée dans le tableau 3.4. Les modèles actuels tiennent bien évidemment compte des marées et de l'atmosphère. Ils prennent aussi en considération les variations dans le temps des premiers coefficients des harmoniques sphériques 29 qui sont dues à l'ajustement isostatique, appelé rebond post-glaciaire 3o . Comparaison des modèles de potentiel terrestre

Les modèles de potentiel terrestre ne peuvent pas être comparés terme à terme (au-delà du degré 5). Pour un résultat final très voisin, deux modèles peuvent avoir des termes assez différents: des pondérations différentes des harmoniques sphériques peuvent conduire à des résultats très voisins. Au-delà du degré 16, même les signes des coefficients peuvent changer d'un modèle à l'autre, ce qui n'empêche pas un bon accord pour la restitution du géoïde et le suivi des satellites. Cela met en évidence le problème des troncatures : les coefficients d'un modèle de degré 10 ne correspondent pas aux coefficients des dix premiers degrés d'un modèle de degré 20. On donne, à titre d'exemple, dans le tableau 3.3, les coefficients Ct 0 pour six modèles évoqués ci-dessus (coefficients d'ordre 0 et de degré l de 2 à 10; on rappelle que pour 1 = 0, le coefficient est égal à l'unité, et pour l = 1, il est nul; tous les coefficients du tableau sont en unité 10- 6 ). Dans le cas m = 0, la relation de normalisation (3.22) devient simplement:

Cz 0 = v2T+1 cto On obtient ainsi la correspondance entre les tableaux 3.3 et 3.2, comme par Nova-3, Etalon-1 et -2 (Kosmos-1989 et -2024), PEOLE. 28Ici aussi, c'est un acronyme «clin d'œil». Il veut rappeler Eigenwert, terme mathématique allemand créé par Hilbert et repris en anglais en eigenvalue. Ce mot se traduit par « valeur propre» en français. Le mot anglais correspondant à eigen est own (du vieil anglais iigen). 29 À titre d'exemple, voici les valeurs du modèle GGM02. Pour les variations dans le temps: dC::; o/dt = +1.16275510- 11 an- l soit dh/dt =.Ï2 = -2610- 12 an- l ; del ddt = -0.33710- 11 an- l et dB:l ddt = +1.60610- 11 an- l . La contribution des marées est de 4.17310- 9 pour C::; o' 30 Après la fonte des calottes polaires, le niveau du sol, que ce soit au Canada, en Scandinavie ou en Antarctique, remonte de quelques centimètres par an, depuis plusieurs milliers d'années.

3.5. Géoïde

79

exemple: J2

=

-J5c~ 0

=

J5 X

484.16511...10- 6

= 1082.62622 ... 10- 6

Ces coefficients Cl m sont associés à des valeurs de IL, R et chaque modèle (tableau 3.5).

3.5.4

f,

propres à

Évaluation de la constante d'attraction géocentrique

La constante d'attraction géocentrique, IL = QlvI, joue, comme on a pu s'en apercevoir, un rôle essentiel en mécanique spatiale. On peut l'obtenir avec une très grande précision, bien supérieure à celle qu'on peut espérer pour Q, constante de gravitation universelle 31 . Les premières valeurs de IL furent fournies par la troisième loi de Kepler appliquée à l'orbite lunaire. Des valeurs de plus en plus précises ont été obtenues avec les sondes spatiales (Ranger, Mariner, Venera), puis avec des satellites, de préférence en haute altitude, les satellites moins élevés subissant plus d'actions non gravitationnelles. Un saut dans la précision a été obtenu, dans les années 1980, grâce à la technique LLR (Lunar Laser Ranging), qui consiste à mesurer la distance Terre-Lune à l'aide d'un faisceau laser. Actuellement, les mesures les plus précises sont obtenues par les mesures de distance par laser sur les satellites LAGEOS 32 (figure 3.7). 31 Henry Cavendish (1731-1810), physicien et chimiste anglais. Il a été le premier à obtenir une valeur précise de 9, publiée en 1798 dans son célébre article Experiments to determine the density of the earth. Sa méthode était subtile: au lieu de jouer sur l'énormité des masses (comme ceux qui, à cette époque, voulaient mesurer la déviation du fil à plomb par une montagne), il utilisa une balance de torsion, avec un fil très fin, soutenant deux petites masses métalliques (50 grammes). En approchant (15 cm) deux grosses boules de plomb (30 kg), il mesura la torsion du fil, par la méthode du miroir, et déduisit 9 de la période (~ 2 heures) du mouvement. Il calcula ainsi la densité de la Terre et trouva d = 5.48 (valeur obtenue actuellement : 5.52). Cette densité étant très supérieure à celle des roches de l'écorce terrestre (~ 2.7), Cavendish montra ainsi que la Terre était formée d'une partie centrale très dense. La méthode fut affinée plus tard par Charles Boys (1895), avec un fil de quartz très fin (2 !Lm) et des masses encore plus petites (2.7 g, 7.5 kg à 15 cm), sur une période courte (3 minutes). Ce type d'expérience sert encore à mesurer 9. La précision relative ne dépasse pas S9/9 = 10- 4 . On cherche maintenant d'autres voies pour essayer d'améliorer la précision. Les recommandations actuelles (CODATA 1998) sont d'utiliser la valeur : 9 = (6.673 ± 0.010) 10- 11 m 3 S-2 kg- l . 32Les satellites LAGEOS-1 (NASA), lancé le 4 mai 1976, et LAGEOS-2 (NASA - ASI, Italie), lancé le 22 octobre 1992, sont des satellites pratiquement identiques: masse de 410 kg, diamètre de 60 cm, 426 réflecteurs circulaires (422 en silice fondue et 4 en germanium). Ils sont souvent référencés LAGEOS et LAGEOS-II respectivement. Caractéristiques des autres satellites similaires pour la géodésie. Le japonais Ajisai, lancé le 2 août 1986,685 kg, 2.15 m de diamètre, 1436 réflecteurs triangulaires, silice fondue. Les soviétiques Etalon-1 et -2, lancés le 10 janvier 1989 et le 31 mai 1989, identiques, 1415 kg, 1.29 m de diamètre, 2146 réflecteurs hexagonaux (2140 en silice fondue, 6 en germanium).

80


Coeff.

C*20

C 30 C 40 Gi ;

0

C 60 C 70

C*80 C90 C~o

0

C 200

C990

GEM-T2

JGM-3

GRIM5-C1

-484.1652998 0.9570331 0.5399078 0.0686883 - 0.1496092 0.0900847 0.0483835 0.0284403 0.0549673 0.0199685

-484.165368 0.957171 0.539777 0.068659 - 0.149672 0.090723 0.049118 0.027385 0.054130 0.018790

-484.16511551 0.95857491 0.53978784 0.06726760 - 0.14984936 0.09301877 0.05039091 0.02628356 0.05101952 0.02340848 - 0.00128836

Coeff.

C*20

C 30

C*40

Gi ;

0

C 60

C*70 C*80 C90 C~o C~l C~2 C~3 C~4 C~5

0 0 0 0 0 0

C 200

C990

C 22 S22 C 31 S:31 C 33 S:3 3

EGM96

GRIM5-S1 -484.16511551 0.95857492 0.53978784 0.06720440 - 0.14985240 0.09311367 0.05046451 0.02620763 0.05076191 0.02342817 - 0.00001554

EIGEN-CH03S

- 484.165371736 0.957254174 0.539873864 0.068532348 -0.149957995 0.090978937 0.049671167 0.027671430 0.052622249 -0.050961371 0.037725264 0.042298221 -0.024278650 0.001479101 0.022238461 0.001478118

-484.165562843 0.957477372 0.539923241 0.068584004 -0.149991332 0.090539419 0.049295631 0.028093014 0.053699211 -0.050765723 0.036209032 0.041543398 -0.022288877 0.002425544 0.021496270 -0.000779156

2.439143524 -1.400166837 2.029988822 0.248513159 0.721072657 1.414356270

2.439311853 -1.400342254 2.030480649 0.248170920 0.721306788 1.414370341

3.3 : Comparaison entre les différents modèles. Coefficients zonaux normalisés ct 0 et autres coefficients normalisés ct m et st m' Toutes ces valeurs sont à multiplier par 10- 6 .

TABLEAU

3.5. Géoïde

Année 1975 1991 1997 2000 2003 2007 2008 2011

Apport

Modèle GRIM1 GRIM4 - Cl GRIM4 - C4 GRIM5 - C2 EIGEN-1 EIGEN-4 EIGEN-5 EIGEN-6

CHAMP GRACE GOCE GOCE

D. max.

N. inc.

10 50 72 120 120 160 360 1440

120 2600 5328 14640 14640 25920 130320 2076480

81

3.4 : Étapes principales dans l'évolution du modèle européen, GRIM puis EIGEN, établi par le GRGS et le GFZ. On a indiqué le degré maximal L (noté D. max) et le nombre d'inconnues N (N. inc.) à traiter pour établir le modèle, N=Lx(L+2). TABLEAU

-

Ji

R

II!

Unité km 3 S-2 km (s. d.)

p. ent.

GEM

JGM

GRIM

EGM

EIGEN

398600 6378 298

.436 . 137 . 257

· 441 5 · 13630 · 257 65

.441 5 . 13646 . 25765

· 441 5 · 136 30 · 257 65

· 441 5 · 13646 · 257 65

3.5 : Comparaison entre les différents modèles, dans l'ordre: GEM-T2, JGM-3, GRIM5, EGM96, EIGEN-CHAMP03S. Valeurs de la constante d'attraction géocentrique Ji = 9 J'vI , du rayon équatorial R, de l'aplatissement (lI!),. la partie entière (p. ent.) est la même pour tous ces modèles, seule change la partie décimale. TABLEAU

Méthode utilisée Orbite lunaire Explorer-27 Ranger-6, -7, -8, -9 Mariner-9 Venera-8 ATS-61 GEOS-3 Laser 1 Lune Laser 1 LAGEOS Laser 1 LAGEOS

Année 1959 1965 1966 1971 1972 1979 1985 1992 2000

Ji (k m 3s -2)

Erreur

398620. 398602. 398 601.0 398 601.2 398 600.4 398 600.40 398 600.444 398 600.441 5 398 600.441 5

±6. ±4. ±0.7 ±2.5 ±1.0 ±0.1 ±0.ü10 ±O.OOO 8 ±O.OOO 2

3.6 : Valeur de la constante d'attraction géocentrique mesurée Ji = gJ'v1 et de l'erreur estimée. Évolution historique, avec notation de la méthode utilisée et de l'année.

TABLEAU

82


Nous avons noté, dans le tableau 3.6, les valeurs obtenues pour IL, ainsi que l'erreur estimée, par diverses méthodes (avec mention de l'année). La précision relative sur IL est actuellement de 10- 10 , ce qui est compatible avec une précison de l'ordre du centimètre sur le demi-grand axe de l'orbite de LAGEOS.

3.6 3.6.1

Annexe: systèmes de référence terrestre Référence céleste

Le Système International de Référence Céleste (ICRS en anglais) est un référentiel quasi inertiel, copernicien, centré sur le barycentre du Système solaire. Ses axes sont fixes, son échelle de temps est le Temps Coordonné Barycentrique (TCB), défini dans le cadre de la relativité générale. Le Repère International de Référence Céleste (ICRF, Frame pour Repère) est la réalisation de l'ICRS. Le repère est matérialisé par les positions de centaines de radiosources extragalactiques connues avec une grande précision (inférieure à 1 mas, milliarc seconde).

3.6.2

Référence terrestre

À la rotation de la Terre, très légèrement ralentie par l'effet des marées, s'ajoutent deux mouvements, sous l'effet du couple luni-solaire, celui de précession (selon un cône de demi-angle au sommet égal à l'obliquité E, cycle de 25 800 ans, figure 6.7), et celui de nutation (d'amplitude 17", cycle de 18.6 ans). Tous ces mouvements sont très bien compris et modélisés - voir la relation (8.50). Mais s'y ajoutent un mouvement imprédictible de l'axe des pôles (figure 7.5), et un mouvement du centre de masse de la Terre. De plus, la croûte terrestre a un mouvement par rapport au manteau moyen. Le Système International de Référence Terrestre (ITRS) a pour origine le centre de masse de la Terre, incluant océans et atmosphère. Son orientation est définie par l'IERS (International Earth Rotation Service), son échelle de temps est le Temps Coordonné Géocentrique (TCG). Le Repère International de Référence Terrestre (ITRF) est la réalisation de l'ITRS. Il est défini conjointement par les astronomes et les géodésiens. Pour ce système orthonormé cartésien 0 ; x, y, z on choisit: - l'origine 0 près du centre de masse de la Terre; - l'axe Oz proche de l'axe de rotation de la Terre; - le plan zOx est le plan méridien origine; - xOy est le plan équatorial terrestre. Le repère est matérialisé par des centaines de stations (ITRF2008 : 934 stations réparties sur 580 sites différents). Leurs coordonnées sont mesurées par une ou plusieurs des quatre techniques suivantes:

3.6. Annexe: systèmes de référence terrestre

83

- la télémétrie par laser sur satellite, dite SLR (Satellite Laser Ranging) , depuis 1975 ; - l'interférométrie à très longue base, dite VLBI (Very Large Baseline Interferometry) , depuis 1980; - la technique d'orbitographie DORIS (Détermination d'Orbite et Repositionnement Intégrés par Satellite), depuis 1990; - l'utilisation statique du GPS, voir chapitre 14, depuis 1990. Nous présentons très brièvement le principe de chacune de ces techniques. (a) SLR Depuis une station au sol, une station émet des impulsions laser qui visent un satellite muni de réflecteurs (figure 3.7). Une (très faible) partie du rayon émis revient sur le détecteur de la station au sol. La mesure du temps donne la distance (avec une précison de l'ordre du centimètre). Au début de la géodésie spatiale, seuls les satellites de ce domaine précis, comme LAGEOS1, étaient équipés de rétroréflecteurs (miroirs en forme de coin de cube). Mais rapidement, des satellites 33 des catégories les plus diverses ont été munis de réflecteurs : des satellites pour l'océanographie et l'environnement, pour la navigation type GPS, des satellites géostationnaires ... La même techniqué 4 s'applique avec 5 réflecteurs posés sur la Lune par 3 missions américaines (Apollo-11, -14 et -15) et 2 missions automatiques soviétiques (Luna-17 et -21). (b) VLBI L'interférométrie à très grande base est une technique astronomique développée à partir de 1980 (la première expérience date de 1967). Elle consiste à mesurer, avec deux antennes très éloignées, la différence de temps d'arrivée d'un même signal (longueur d'onde de l'ordre du centimètre) provenant d'une radio-source extra-galactique (quasar). La résolution est proportionnelle à la longueur de la base (distance entre les antennes) qui est donc limitée au diamètre terrestre (de l'ordre de quelques milliers de kilomètres). La base peut dépasser cette dimension grâce à l'utilisation de satellites en orbite haute. Le VLBI terrestre donne des résultats d'une grande précision (on atteint le milliarc seconde, 1 mas = 4.85 10- 9 rad.), tellement précis qu'on inverse maintenant la méthode: la connaissance de la position de centaines de sources 33Liste des principaux satellites utilisés. Satellites pour la géodésie: LAGEOS-l et -2, GFO, GFZ-l, Stella, Starlette, Wespac-l, Etalon-l et -2, Ajisai, GRACE-A et -B, GO CE. Satellites pour l'océanographie et l'environnement: TOPEX/Poseidon, Jason-l et -2, ERS1 et -2, Envisat, TerraSAR-X et TanDEM-X, CryoSat-2, Meteor-2-21 (Fizeau). Satellites de navigation: Navstar/GPS-35 et -36, pratiquement tous les satellites russes Glonass, GIOVE-A et -B, Compass-Ml et QZS-l. Quelques satellites en orbite encore plus haute, comme l'expérience METEOSAT-P2-LASSO (Laser Synchranization tram a Stationary Orbit) sur METEOSAT-3, ou le japonais H2A-LRE en orbite de transfert GTO. 34 Le rapport entre le nombre de photons reçus par le nombre de photons émis (appelé bilan de liaison) est en r- 4 , en notant la distance T. Dans le cas où la cible est la Lune, ce rapport est très faible: quelques photons recueillis par nuit! Seules deux stations ont fait des mesures sur une longue période: l'observatoire McDonald, Texas, États-Unis et l'OCA, Grasse, France.

84


extra-galactiques permet de définir avec une grande précision les axes de référence de la Terre. (c) DORIS Le système DORIS a été conçu et développé par le CNES en collaboration avec le GRGS et l'IGN. Des balises légères, autonomes en énergie, sont réparties de manière à couvrir de manière assez homogène la Terre (continents et océans). Elles émettent un signal qui est reçu et retransmis par le satellite, équipé à cette fin. La station pilote est située au CNES à Toulouse. La position du satellite est déterminée au centimètre près, grâce au réseau de stations utilisées comme points de référence au sol. Inversement, le système permet le rattachement précis de points donnés au Repère ITRF. Le système DORIS équipe une douzaine de satellites 35 en orbite LEO. (d) GPS Nous consacrons tout le chapitre 14 de ce livre au système de navigation par satellite (GNSS), dit communément GPS. Dans l'annexe GPS et plaques tectoniques, nous montrons comment la position des stations statiques de réception GPS peut être connue avec une précision millimétrique. Ces stations participent à l'établissement du Repère ITRF

3.7

Annexe : fonctions de Legendre

Polynômes de Legendre

La fonction génératrice des polynômes de Legendré 6 est :

(3.43) Ces polynômes, qui sont les coefficients de la série entière en t vue ci-dessus, sont définis pour tout n ~ 0 par: p (x) _ _1__ dn---,['-'..(x_2_-_1-,-r--,-l n - 2nn! dxn

(3.44)

35Le système a équipé ou équipe les satellites français SPOT-2, -3, -4 et -5, les satellites à coopération française TOPEX/Poseidon, Jason-1 et -2, les satellites européens Envisat et CryoSat-2. Il est prévu pour les français Pléiades-HR-1 et -2, le franco-indien Altika, le franco-chinois HY-2, le franco-américain Jason-3 et l'européen Sentinel-3-A. 36 Adrien Marie Legendre (1752-1833), mathématicien français. Dans Recherches sur la figure des planètes (1784), il introduisit les polynômes qui portent son nom. Chargé par la Convention de mesures géodésiques (distance entre les méridiens de Paris et de Greenwich), il développa la trigonométrie sphérique. Il obtint des résultats nouveaux sur les fonctions elliptiques, les fonctions bêta et gamma, les intégrales eulériennes. Ses Eléments de Géométrie furent réimprimés treize fois entre 1794 et 1827.

3.7. Annexe: fonctions de Legendre

85

Les premiers polynômes sont les suivants :

Fo(x)

=

1

3x 2 -1 2 35x 4 - 30x 2 + 3 8

Fs(x)

5x 3 - 3x 2 s 63x - 70x 3 + 15x 8

=

Fonctions de Legendre

Les fonctions de Legendre sont définies sur l'intervalle [-1; +1], pour tout 1 ? 0 et pour tout 0 :S; m :S; l, à partir des polynômes de Legendre par:

(3.45)

On a les relations :

Fzo(x)

=

(21)!

F/(x) 2 ~

-/-11 (1 - x )2 . et les premières fonctions de Legendre sont :

Fll(X)

Fll(x) =

V1- x 2

F 21 (X) =

3x~

F31(X) =

~

F33(X) =

15 (1 - X2)~

2

(5x 2 -1)

=

~

F22 (X) =

3 (1 - x 2)

F32(X) =

15 x (1 - x 2)

Chapitre 4

Mouvement képlérien 4.1 4.1.1

Accélération centrale Accélération dans le cas général

Vitesse et accélération

On considère un point matériel 5 dans l'espace, repéré par rapport à une origine 0 et trois directions fixes. On désigne le rayon vecteur, la vitesse et l'accélération du point 5 respectivement par les notations suivantes: r= 05

.

;

dr

r=-

dt

On considère le plan contenant le rayon vecteur et le vecteur vitesse. On définit dans ce plan un repère orthonormé (0 ; i, j) et une base de coordonnées polaires (en ee). On ajoute le vecteur unitaire porté par l'axe Oz pour définir un trièdre direct : k=i/\j=er/\ee

On note r le module du rayon vecteur, r = Ilrll et e l'angle mesuré à partir de l'axe origine, = (i, r). Les vecteurs unitaires e r et ee sont définis par: e r = r/r et (e r , ee) = 1r/2. On note la vitesse et l'accélération angulaires respectivement par et ë. Dans ce système de coordonnées planes, on obtient la vitesse et l'accélération du point 5 par dérivations successives de l'expression de OS:

e

e r

r

r er

(4.1)

(r: - r e ) e r + '2

en notant que (r 2

(4.2)

i'er+reee

ë + 2r r e)

=

d(r 2 e)/dt.


d 2' -1 -d (r e) ee r t

(4.3)

88

Chapitre 4. Mouvement képlérien

Moment cinétique

Le moment cinétique par unité de masse est défini par la relation:

G=r/\r

(4.4)

En dérivant par rapport au temps, on obtient: dG

..

..

..

-d =r/\r+r/\r=r/\r t

(4.5)

De plus, d'après sa définition et avec (4.1) et (4.2), on obtient pour G l'expression suivante: (4.6)

4.1.2

Propriétés de l'accélération centrale

On considère un point matériel S dans l'espace. Son mouvement est dit à accélération centrale s'il existe un point fixe 0 tel qu'à chaque instant le vecteur OS et le vecteur accélération soient colinéaires. Pour que le mouvement du point soit à accélération centrale, il faut et il suffit qu'on ait:

r/\r=O

(4.7)

Si on porte cette relation de définition dans (4.5), on obtient: dG -=0 dt

(4.8)

ce qui montre que, pour le type de mouvement étudié ici, le moment cinétique est constant au cours du temps :

G = r /\ r

=

constante

(4.9)

Si cette constante est nulle, le mouvement est rectiligne, r et r étant colinéaires. Si elle n'est pas nulle et nous nous placerons par la suite dans ce cas général, le mouvement du point est contenu dans un plan, qui est orthogonal au vecteur constant. Nous désignerons ce plan par P. La grandeur C, calculée par (4.6), est donc ici constante: avec On remarque que

G=Ck

ë ne change pas de signe au cours du mouvement.

(4.10)

4.1. Accélération centrale

4.1.3

89

Mouvement à accélération centrale

Expression de l'accélération

On pose:

r=Îe r

avec

Î=f(r)

(4.11)

puisque l'accélération est centrale, Î étant la valeur algébrique de cette accélération. Avec la valeur r calculée en (4.3), on obtient les deux relations suivantes, une pour chaque composante:

r-riP=Î

(4.12)

1 d 2' -;;: dt(r e) = 0

(4.13)

Avec cette dernière relation, on retrouve le fait que C est une constante. Loi des aires

On appelle A l'aire balayée (en valeur algébrique) par le vecteur T. L'aire élémentaire est donnée par la surface du triangle de base (r de) et de hauteur r. On a : dA = (r/2)rde et la vitesse aréolaire (aire balayée par unité de temps) est donc: dA = ~r2 ë = ~C (4.14) dt 2 2 Cette relation est appelée la loi des aires. Elle signifie que l'aire balayée est proportionnelle au temps ou, si l'on préfère, qu'en des intervalles de temps égaux, les aires balayées sont égales (figures 4.1 et 4.3). Formules de Binet

Les formules de Binet donnent la vitesse et l'accélération en fonction de l'angle e et de la variable auxiliaire u : 1

u= r

(4.15)

Pour les établir, on élimine le temps t en utilisant la relation (4.10) qui donne:

.

C

e= - =Cu r2 et on note de plus:

rë

=

2

Cu

Le calcul de dérivation fournit les relations : .

dr du

du de

de dt

ë du

r=-·-·-=---=u2

de

Cdu de

(4.16)

90


f

di"

= dt =

(di"). . d ( dU) de e = ede -c de

(4.17)

On obtient ainsi, avec (4.2) et (4.3), les valeurs de la vitesse et de l'accélération dans la base (en el!) : (4.18) (4.19) On pose:

V= 111'11 et on obtient les deux formules de Binet, à partir des deux équations précédentes, l'une relative à la vitesse (par son module V), l'autre à l'accélération (par sa valeur algébrique ,) : (4.20)

(4.21 )

4.2 4.2.1

Accélération newtonienne Équation de la trajectoire

On appelle accélération newtonienne une accélération centrale proportionnelle à (r- 2 ). La force correspondante est attractive l . L'expression de l'accélération vue en (4.11) s'écrit donc: (4.22) Avec la variable auxiliaire u, on a donc : (4.23) On voit l'intérêt de la formule de Binet relative à l'accélération (4.21) dans le cas d'une accélération newtonienne: le rapprochement de cette formule avec (4.23) montre une simplification par u 2 . Ce qui amène à l'équation suivante: (4.24) lOn réserve l'adjectif coulombien aux phénomènes liés à l'électrostatique (où les forces en jeu peuvent être attractives ou répulsives) et newtonien à ceux liés à la gravitation (où les forces en jeu sont uniquement attractives).

4.2. Accélération newtonienne

91

Cette équation différentielle linéaire du deuxième ordre, à coefficients constants, avec second membre constant, se résout facilement: la solution générale est la somme de la solution générale de l'équation sans second membre (introduisant deux constantes d'intégration) et d'une solution particulière (ici le second membre). On trouve:

u

=

Acos(B - Bo)

+ CIL2

(4.25)

A et Bo étant les deux constantes d'intégration. On obtient l'expression de r : p r = ------,-----:-

(4.26)

1 + e cos( B - Bo)

avec

C2

p=-

(4.27)

e = Ap

(4.28)

IL

ce qui représente l'équation d'une conique en coordonnés polaires dont l'origine 0 est un des foyers, p est le paramètre, e est l'excentricité, voir (1.16). Les grandeurs e et Bo seront déterminées par les conditions initiales. Pour étudier la relation entre ces grandeurs et ces conditions initiales, c'est-à-dire faire la discussion sur la nature de la trajectoire, nous allons utiliser la formule de Binet relative à la vitesse (4.20).

4.2.2

Discussion du type de trajectoire

Expression de l'excentricité

On revient à la variable u, qu'on écrit maintenant sous la forme:

u=

l+ecos(B-Bo)

(4.29)

----~-~

p

et qui donne par dérivation: du e = -- sin(B - Bo) dB p

-

(4.30)

En portant ces valeurs dans (4.20), on a : 2

v2

e +2ecos(B-Bo)+1=C2 P

2

(4.31 )

En tirant de (4.29) la relation ecos(B - Bo) = up - 1 et en exprimant p, on obtient:

92


et l'expression de l'excentricité en revenant à la variable

T

est ainsi: (4.32)

Puisque e, C et IL sont des constantes, cette équation montre que la quantité !C, définie ici, est constante: 1 2 IL !C = - V - - = constante

2

T

(4.33)

Nous verrons en fin de chapitre, avec la relation (4.106), que cette quantité correspond à l'énergie mécanique (par unité de masse). Dans le cas d'un mouvement à accélération newtonienne, T et V varient en vérifiant à chaque instant la relation (4.33). Étude des divers cas

Nous étudions les grandeurs T et e définies par les équations (4.26) et (4.32). On se reportera à la figure 4.11. Selon les valeurs que prend !C, l'excentricité e peut être supérieure ou inférieure à 1. On voit que la quantité (4.34) joue un rôle particulier dans cette discrimination. En effet : - si !C > 0, soit V > Vi, alors e > 1 : hyperbole de foyer O. Il s'agit de la branche qui tourne sa concavité vers l'origine 0, puisque la force est attractive; - si !C = 0, soit V = Vi, alors e = 1 : parabole de foyer 0 ; - si !C < 0, soit V < Vi, alors e < 1 : ellipse de foyer O. Dans ce dernier cas, il y a une condition pour l'équation (4.32) le deuxième membre ne doit pas être négatif. Il faut donc : 2

IL IL V 2 -2-:>--T y C2

soit la condition : avec:

Vs

=

V!!. - !!.P 2

T

(4.35)

où la vitesse Vs est appelée vitesse de satellisation à la distance T. Nous allons revenir sur ce cas un peu plus loin dans le cas particulier de l'ellipse d'excentricité nulle (cercle de centre 0).

4.3. Mouvement képlérien: trajectoire et période

93

Quant à la vitesse Vi définie ci-dessus, on comprend son sens: avec V ~ Vi, le point S, décrivant une parabole ou une branche d'hyperbole, peut aller à l'infini; par contre, avec V < Vi, le point S reste à distance finie de 0 et le mouvement est périodique. On donne donc à cette vitesse (qui est fonction de r-) le nom de vitesse de libémtion à la distance r-. On dit aussi vitesse d'évasion. La vitesse V doit donc répondre aux conditions :

(4.36) pour que le mouvement soit périodique. La vitesse V du corps doit être supérieure à Vs pour qu'il soit en orbite, mais inférieure à Vi pour qu'il reste soumis à l'attraction gravitationnelle centrale 2 . On note que la nature de la trajectoire ne dépend pas de l'orientation du vecteur vitesse, mais uniquement de son module V, en un point à la distance r- de l'origine.

4.3 4.3.1

Mouvement képlérien trajectoire et période Définition

Le mouvement képlér-ien est le mouvement d'une masse ponctuelle dans un champ central en 1/r-2, le centre du champ étant fixe. Ce champ est un champ gravitationnel, créé par une autre masse, supposée immobile. On ne considère que ces deux masses: il n'y a pas de perturbations provenant d'autres corps. Dans ce chapitre, nous allons étudier le mouvement de ce point matériel S et il suffit de considérer qu'il est soumis à une accélération newtonienne ou, en terme de forces, qu'il est soumis à une force centrale en 1/r-2 dans un référentiel galiléen. L'objet de ce travail étant l'étude des trajectoires de satellites, nous ne nous intéressons plus à partir d'ici, sauf exception, qu'aux trajectoires périodiques, c'est-à-dire elliptiques (JC < 0 ou e < 1). 2 Au début de l'ère spatiale, on rencontre, particulièrement dans la littérature scientifique soviétique, les expressions « première vitesse cosmique» pour Vs et «seconde vitesse cosmique» pour Vj. La « troisième vitesse cosmique» est celle qui permet de quitter le Système solaire.

94

4.3.2


Trajectoires du mouvement périodique

Trajectoires elliptiques

Pour une trajectoire elliptique, à partir de la valeur de l'excentricité, donnée par (4.32), on peut écrire:

1- e 2

2 C2 ---K

=

avec

IL2

On sait également qu'une ellipse est définie par son demi-grand axe a et son excentricité e. Le paramètre p est défini par p = a(l - e2 ). On a donc, avec (4.27) :

C2

P

2

1-e = - = a ILa

(4.37)

On déduit de ces relations : 2K

=

V2

_

2ft

=

_~

a On obtient l'expression de la vitesse V en fonction de T

(4.38) T :

(4.39) On vérifie que le second membre de l'équation est toujours positif (dans une ellipse, T est toujours inférieur à 2a). En résumé, on peut écrire l'équation de la trajectoire elliptique en coordonnées polaires T( B) sous la forme: T

=

T (B)

C2

= -

1 ft l+ecos(B-Bo)

----:-::-----=---:-

(4.40)

avec: (4.41) ou bien: T

=

T

B = a(l - e 2 ) () l+ecos(B-Bo)

(4.42)

Avec le mouvement périodique du point S, la distance T passe par un minimum et un maximum, respectivement notés 3 Tp et Ta :

Tp Ta

=T(B=Bo) = T(B = Bo + 7T)

=a(l-e) =a(l+e)

(4.43)

3Les deux indices (p) et (a) font référence à périgée et apogée, noms utilisés pour désigner ces positions dans le cas de mouvement autour de la Terre (~ yYj, Yjç), ou à périhélie et aphélie, dans le cas de mouvement autour du Soleil (0 ~ÀlOÇ, ou). On peut dire aussi, de manière plus générale, sans spécifier le corps attractif, périastre et apoastre ou bien péricentre et apocentre. Les préfixes péri et apo viennent des adverbes 1tEP1, « au-dessus» et &'1tÔ, « au loin». Les noms périhélie et aphélie ont été créés par Kepler (1596) à partir des termes de Ptolémée, périgée et apogée.


95

dont la somme est évidemment r p + ra = 2a. On peut exprimer l'excentricité sous la forme: e

ra - rp ra+rp

=

=

ra _ 1 = 1 _ rp a a

(4.44)

En considérant l'équation (4.39), on voit que la vitesse V passe par un maximum Vp pour r = r p et par un minimum Va pour r = ra qui ont pour valeurs respectives :

v:p

=

+e fK~ a 1-e

~ -(1 + e) p

(4.45)

Va

=

ŒJ1l+e - e = yp f0.(1 - e) y-;;

(4.46)

-

-- =

On en déduit les relations entre les vitesses aux apsides 4

qui permettent de retrouver le moment cinétique C, puisque, pour ces deux points extrêmes sur l'ellipse, la vitesse et le rayon vecteur sont orthogonaux. On note aussi : l+e (4.4 7) 1-e rp En utilisant l'angle d'excentricité apsides s'écrivent:

v:p

=

E,

défini par (1.27), les vitesses aux

Œtan (~4 + .:.) y-;; 2

(4.48)

La vitesse peut s'exprimer en fonction de l'angle polaire. En partant de (4.31), on obtient:

IL 1+2ecos(e-eo)+e 2 a

(4.49)

Exemple 4.1 Calcul de l'excentricité de l'orbite d'un satellite artificiel de la Terre dont l'altitude au périgée est de 500 km et celle à l'apogée de 40 000 km (orbite type Molnya). On prendra R = 6400 km. 40 n appelle « ligne des apsides» la ligne qui relie le périgée à l'apogée. Ce segment représente le grand axe de l'ellipse. Périgée et apogée sont les deux apsides, dites respectivement apside inférieure et apside supérieure. Ce mot vient du grec ~ &tjJk, ~ôoç, «voûte », «voûte du ciel », avec perte de l'aspiration initiale. Le terme architectural « abside» (extrémité arrondie en hémicycle qui termine le chœur d'une église) a la même origine, mais après passage par le latin absida.

96


~ En notant hp et ha les altitudes respectives au périgée et à l'apogée, en utilisant les distances r p et ra définies par (4.43), on a : rp = R + hp ra = R + ha a = R + (ha + h p )/2 On obtient, avec (4.44), la valeur de l'excentricité:

(4.50) Dans le cas de l'orbite Molnya, on a : e = 39 500/(12 800 + 40500) é:::: 0.75. De plus, la relation (4.47) donne: Va/Vp = (1 - e)/(l + e) = 0.25/1.75 = 1/7. Ce type d'orbite permet d'obtenir pour le satellite une vitesse sept fois plus lente à l'apogée qu'au périgée. ....

Cas particulier des trajectoires circulaires

Un cercle est une ellipse d'excentricité e

= O. La relation (4.41) donne:

ce qui, porté dans (4.26), amène à la relation attendue pour un cercle:

Les vitesses remarquables Vi et ici:

Vi

=

Vs,

définies par (4.34) et (4.35), deviennent

r;ii

V2~

(4.51 )

De plus, la relation avec la constante J( donne ici: 2 J(

=V2 _

2/t

a

=_0.. a

ce qui entraîne : (4.52) Le module V de la vitesse est constant et égal à Vs. Le mouvement circulaire est uniforme. On peut aussi vérifier, en considérant la valeur de , donnée par (4.22), qu'on retrouve bien la valeur de l'accélération normale dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme : IL

V2

,=-=-2 a

a


4.3.3

97

Période - Anomalie moyenne M

Période

On appelle période le temps T mis par le point pour décrire entièrement l'ellipse. En intégrant sur la durée d'une période l'équation (4.14), on a : 1 2

A= -CT Dans ce cas, A représente l'aire de l'ellipse, soit A = 7rab, b étant le demi-petit axe de l'ellipse. On rappelle la relation: b2 = pa. Donc

On obtient ainsi la valeur de la période:

T

=

la} 27ry;;

(4.53)

Cette période est appelée durée de révolution 5 , ou période orbitale, ou période képlérienne 6 du mouvement. Il faut noter que, pour un corps attracteur IL donné, la période képlérienne ne dépend que du demi-grand axe a, l'excentricité e n'intervient pas. Moyen mouvement et anomalie moyenne

On définit la pulsation n correspondante, appelée le moyen mouvement: (4.54) Le moyen mouvement est la pulsation (unité SI : rad s-1, radian par seconde) du mouvement uniforme circulaire, de rayon a, d'un point fictif qui aurait la même période qu'un point en mouvement képlérien sur une orbite de demigrand axe a. 5Révolution vient du bas-latin revalutia, anis, «déroulement», «retour», du verbe latin valvere, « rouler» avec le préfixe re-. Dès le Moyen-Âge, le sens est celui de « retour périodique d'un astre à son point de départ». Copernic l'utilise pour le titre de son œuvre. Le passage au sens courant actuel est venu plus tard, pour signifier un changement de régime politique, économique ou culturel, important ou radical, comme « la Révolution française» ). Le sens scientifique a donc précédé le sens commun. Lorsque Kant (1787) parle de « révolution copernicienne», la boucle est bouclée! 6Lorsque le mouvement képlérien est perturbé, comme nous verrons plus loin, on définit plusieurs périodes, relatives au mouvement réel, comme la période nodale (ou draconitique) et la période anomalistique.

98


Avec (4.53), on peut exprimer très simplement la constante des aires C en fonction de n et des dimensions de l'ellipse:

C

= n a

b

(4.55)

Par souci d'homogénéité avec ce qui va suivre, à savoir l'utilisation d'angles appelés anomalies 7 , on transforme, pour un mouvement périodique, le temps en angle: l'vI varie linéairement avec le temps, de NI = 0 pour t = t p , au passage au périgée, à NI = 27f pour le passage suivant, à t = t p + T. La définition de cet angle, appelé anomalie moyenne, est donc :

(4.56)

4.3.4

Loi horaire

Les relations que nous avons établies nous ont permis de connaître la trajectoire en coordonnées polaires, c'est-à-dire une relation entre r et B. Ces relations ont été obtenues sans faire intervenir le temps, puisque les relations de départ sont les formules de Binet, établies en éliminant le temps. Pour trouver l'expression du temps t en fonction d'une des coordonnées polaires, c'est-à-dire établir la loi horaire du mouvement qui permettra de prédire à tout moment la position du point 5, il nous faut revenir à la constante de la loi des aires du mouvement à accélération centrale, l'équation (4.10). Pour obtenir t, il faut donc intégrer:

(4.57) Par cette intégration, nous obtiendrons le temps t en fonction de la position du point, définie par r ou B. D'un point de vue pratique, c'est généralement la résolution inverse qui est demandée: connaître la position du point à un instant donné t. Elle n'a pas de solution analytique directe et fait l'objet d'un traitement particulier: c'est le problème de Kepler. Nous développons ci-dessous les deux questions: - déterminer le temps en fonction de la position; - déterminer la position en fonction du temps. 7Le terme a été créé par Kepler (anomalia, œ, en latin) pour désigner ces angles. Il est calqué sur le mot grec ~ &\lWllotÀ[ot, otç qui signifie « irrégularité» (préfixe &\1 privatif, adjectif OllotÀÔÇ, «semblable à lui-méme », «régulier»). Le terme veut rendre l'idée du comportement irrégulier de cet angle au cours du temps (puisque le mouvement n'apparaît pas comme circulaire et régulier). Kepler l'a créé pour repérer la position de Mars par rapport au Soleil et a défini plusieurs anomalies. Parmi elles, les trois que nous utilisons ci-après : l'anomalie vraie (anomalia coœquata vera), l'anomalie excentrique (anomalia eccentri) et l'anomalie moyenne (anomalia media). Dans Astronomia Nova, Kepler utilise, à côté de l'anomalie vraie, l'anomalie « artificielle» (anomalia coœquata jictitia) ainsi que quatre autres anomalies (anomalia circularis 8 elliptica, anomalia distantaria, anomalia scrupularia).

4.4. Temps en fonction de la position - les trois anomalies

4.4

99

Temps en fonction de la position - les trois anomalies

L'obtention de t se fait, avec (4.57), par intégration de r 2 dB. On envisage deux méthodes. Avec la première, on élimine r, en l'exprimant en fonction de B, sous la forme r = f(B). On obtient t par: t =

~

J

[f(B)]2 dB

Avec la seconde, on élimine B, en exprimant dB sous la forme dB On obtient t par:

=

g(r)dr.

Nous verrons aussi comme ce dernier résultat peut être obtenu par une méthode basée sur les propriétés géométriques de l'ellipse.

4.4.1

Expression t = t(e) - Anomalie vraie v

On part de l'équation (4.57) dans laquelle on remplace r par son expression en fonction de B, donnée par (4.40) : dt =

~

p2

C [1 + ecos(B - Bo)]

2

dB

La valeur minimale de r = rp est obtenue pour B = Bo, voir équation (4.43), et il est plus pratique de compter les angles à partir de cette origine. On fait donc le changement de variable :

v = B - Bo

(4.58)

l'angle v est appelé l'anomalie vraie. On calcule alors t = t( v) par: p2 t = C

J

dv (1 + ecosv)2

L'intégration de fonctions de ce type donne: I

=

j' (l+ecosv)2 dv

J__

= _

d_v__ = 1 + e cos v

dv (l-e1 Jl+ecosv arctan (J_l_-_e tan ~) JI - e2 1+ e 2

e sin v + (l-e 2)(I+ecosv) 2

2)

100


En utilisant (4.37), on obtient:

p2 1*3(1 -

-

C

=

2;;

e )2

-

IL

=

(1 - e n

2)~

-'------------'-

avec l'expression du moyen mouvement n, donnée par (4.54). En prenant pour origine du temps t = t p pour r = rp et v = 0, on obtient:

ce qui donne la loi horaire recherchée:

n(t - t p )

=

M

=

2 arctan

v)2 --e - tan(~ l+e

e~sinv

1 + ecosv

(4.59)

e ou, ce qui est équivalent,

On a ainsi exprimé t en fonction de l'angle polaire

NI en fonction de v.

À partir d'ici, nous écrirons (4.42) sous la forme suivante:

r

=

r( v)

a(l - e 2 ) + e cos v

(4.60)

= 1

qui donne la distance r en fonction de l'anomalie vraie.

4.4.2

Expression t

t( r) - Anomalie excentrique E

=

Obtention analytique de l'équation de Kepler

Au lieu d'exprimer de directement en fonction de r, on prend un chemin voisin, en partant de l'équation (4.32), liant V et r aux caractéristiques de l'ellipse, pour écrire: 2

2/L

fL2

2

V = --;:- - C2 (1 - e ) À partir de l'expression vectorielle de la vitesse (4.2), on a :

où

e a été éliminé par l'utilisation de la loi des aires (4.14). D'où la relation: .2

r

=

(dr) 2 IL2 2 dt = - C2 ( 1 - e )

qui amène à l'équation différentielle:

2/L

+ --;:- -

C2 r2


101

On remplace C 2 par JLa(l - e2 ) pour obtenir les simplifications suivantes: JL2

2

2

JL

2

2

2

--(l-e)r +2W-C =--r +2W-'La(1-e) C2 a

et arriver à :

(4.61 ) Pour intégrer cette équation, il est commode d'introduire la variable angulaire auxiliaire E telle que a - r = ae cos E qu'on peut ainsi définir par: cos E

=

~ e

(1 -

.c) a

(4.62)

Cet angle est appelé anomalie excentriqué. Il est représenté sur la figure 4.1. Nous donnons ci-dessous sa signification géométrique dans l'ellipse. On remarque: E = 0 pour r = rp et E = 7r pour r = ra, voir (4.43). On fait donc le changement de variable:

r

= a(l -

ecosE)

(4.63)

et, en fonction de E, (4.61) devient, avec dr = a e sinE dE:

dt

=

If;,

a(l - e cos E) dE

On intègre en prenant pour origine du temps t = t p pour r = rp et E = 0 : t - tp =

V{;;3 ;; (E -

e sin E)

et en utilisant le moyen mouvement n, on obtient :

n(t - t p )

=

M

=

E - e sinE

Cette relation est appelée équation de Kepler. On a ainsi exprimé t en fonction de r ou, ce qui est équivalent, fonction de E.

(4.64)

JI.;[

en

8Excentrique : en dehors du centre. Le centre dont il est question ici n'est pas le centre du cercle ou de l'ellipse, mais le foyer de l'ellipse, le centre attractif. Dans le chapitre l, cet angle apparaît dans la relation (1.29).

102


Obtention géométrique de l'équation de Kepler

On utilise la loi des aires et le fait que l'ellipse est la transformée du cercle principal par affinité, de rapport ~, d'axe Ox et de direction Oy. Si on intègre la loi des aires (4.14) entre t p et t, on obtient: t -

2

tp = - A C

la grandeur A étant l'aire balayée entre ces deux instants, c'est-à-dire, avec les notations de la figure 4.1, l'aire du triangle curviligne OPS. On note par AI l'aire du triangle curviligne OPT, T étant le point donnant S par transformation affine. On a donc:

A=~AI En remplaçant C par

J JLa(l -

e2 ), on a :

t-t p

=

2

--A

1

VJia

Le calcul de la surface AI donne :

AI

secteur CPT - triangle COT secteur {angle E} -

~a2E-~ 2

2

1

"2

CO . HT

(ae)·(a sinE) =

~a2(E-e 2

sinE)

Par cette méthode géométrique, on obtient ainsi très rapidement l'équation de Kepler, avec l'expression de AI et en introduisant le moyen mouvement:

n(t - t p )

4.4.3

=

M

=

E - e sin E

(4.65)

Relation entre les anomalies

Relation entre les anomalies v et E

Pour établir les relations entre v et E (figure 4.1), on munit l'ellipse d'un repère (Ox,Oy). On désigne par 0 le foyer principal, centre du champ newtonien, et C le centre de l'ellipse. Le grand axe est AP, P (périgée) étant le point de l'ellipse le plus près de 0, A (apogée) le plus éloigné. On prend l'axe Ox selon OP et l'axe Oy directement orthogonal en 0 à Ox. On appelle R l'intersection de Oy avec l'ellipse, Q l'intersection de la parallèle en C à Oy avec l'ellipse. On a les correspondances suivantes:

a

=

CP; b = CQ ; p

=

OR ; ae

=

CO ;

Tp

=

OP;

Ta

=

OA


103

y

T

A

x

e

=

0.75

FIG. 4.1: Trajectoire elliptique. Ellipse et cercle principal, avec notation des points

et des angles utilisés pour l'établissement géométrique de l'équation de Kepler.

On trace le cercle tangent extérieurement à l'ellipse, de centre C, de rayon CP, appelé cercle principal. Soit S un point quelconque sur l'ellipse et H sa projection sur Ox. L'anomalie vraie se définit immédiatement comme l'angle polaire: v = (Ox, OS)

L'anomalie excentrique s'obtient géométriquement à partir de sa définition comme:

E = (Cx, CT) le point T étant l'intersection de la demi-droite H S avec le cercle principal déjà défini. En effet, d'après la relation (4.62), on a cos E = (a - r) / (ae). On transforme (a - r) de manière à faire apparaître v : a - r = a(l - e 2 ) - r + ae 2 = r(l + e cos v) - r + ae 2 = e(r cos v + ae) ce qui donne, avec les points notés sur la figure 4.1 : cos E = r cos v + a e = CH a CT L'angle E est bien l'angle C du triangle rectangle HCT.

104


Pour obtenir la relation entre les angles v et E, on écrit les coordonnées du point S :

x

rcosv

=

y = rsin v

Jx 2 + y2 = r

a(cosE - e)

(4.66)

a~sinE

(4.67)

a(l-ecosE)

et on en déduit les relations entre les anomalies vraie et excentrique. On remarque que v et E changent ensemble de signe. Pour v en fonction de E :

cosE - e cos v = 1 _ e cos E

~1 - e 2 sinE sin v = ------=1 - ecosE

On calcule les quantités (1 + cos v) et (1 - cos v) : 1 + cosv =

(1 - e)(l + cosE) 1- ecosE

(1 + e)(l - cosE) 1 - ecosE pour arriver à la relation: 1 - cosv =

v tan2

=

===}

===}

cos 2 '!!.. 2

1-e E cos 2 1 - ecosE 2

sin 2 '!!.. 2

E l+e sin 2 1 - ecosE 2

Vê+e - - t a nE 1- e 2

(4.68)

Pour E en fonction de v : cosv + e cosE= - - - 1 + ecosv

sinE

tan -E = 2

~sinv 1 + ecosv

= -----

~-e v --tan-

(4.69) l+e 2 On peut aussi exprimer la différence (v - E) en fonction de v ou de E :

v- E tan - 2 avec:

=

{3 sin E 1 - {3 cos E e

{3-

{3 sin v 1 + {3 cos v

= -----,--

1 - ~1 - e 2 ----e

(4.71)

-1+~-

Avec l'angle d'excentricité

E,

(4.70)

défini par (1.27), on a : (4.72)

tan "2 = tan V

(7r"4 + "2E)

E

tan2

tan

E = "2

tan

(7r"4 - "2f)

v tan -

2

4.5. Position en fonction du temps - le problème de Kepler

105

Relations différentielles entre les anomalies Par définition même de l'vI, on a : dM -=n dt

(4.73)

La relation (4.64) donne:

n

=

et donc:

dM

-

dt

=

dv dM

dE (1 - e cos E)-

dt

1 1 - cosE

(4.74)

(4.75)

La relation entre d1\lI et dv se déduit de la loi des aires. L'équation (4.14) donne: de c

dt

r2

et, puisque de et dv sont équivalents, on a : dM r2 dv n=-= dt a 2 Vl - e 2 dt

(4.76)

On a ainsi la relation entre dv et d1\lI : (4.77)

4.5 4.5.1

Position en fonction du temps - le problème de Kepler Méthodes de résolution du problème de Kepler

Nous venons de voir comment on peut exprimer le temps à l'aide des trois anomalies, de manière analytique. Le problème inverse consiste à exprimer l'anomalie vraie en fonction du temps. On l'appelle problème de Kepler et il n'a pas de solution analytique. Pour un instant t donné, définissant une valeur 1\11 = l'vI(t) de l'anomalie moyenne, l'équation de Kepler s'écrit:

E - e sinE

=

M

On veut obtenir E en fonction de 1\11, pour ensuite obtenir v.

(4.78)

106

Chapitre 4. Mouvement képlérien y

x

FIG. 4.2:

Schéma explicatif de la méthode itérative de Newton-Raphson.

Depuis Kepler, des dizaines 9 de méthodes ont été proposées pour résoudre cette équation transcendante en E. Nous en présentons ici quelques-unes: - une méthode numérique itérative; - un aperçu de méthodes basées sur les développements en séries et une formule approchée pour les excentricités faibles. Nous n'insisterons que sur la première méthode qui est actuellement la plus utilisée. Elle est aussi précise qu'on le veut et ses calculs, autrefois fastidieux, demandent une fraction de microseconde de temps d'ordinateur.

4.5.2

Méthode numérique de résolution par itération

Méthode de Newton-Raphson Le principe de la résolution est basé sur la méthode de Newton-Raphson qui consiste à approcher une courbe au voisinage d'un point par sa tangente en ce point (développement de Taylor au premier ordre). On procède par itération. On transforme l'équation de la courbe de manière à la ramener à la forme f(x) = O. On s'assure qu'il y a une solution et qu'elle est unique. 9Le Bulletin Astronomique de l'Observatoire de Paris, en janvier 1900, donnait une bibliographie de 123 articles sur la résolution du problème de Kepler, que ce soit de manière analytique ou graphique. On y retrouve tous les grands noms de l'astronomie et des mathématiques : Kepler (1609), Newton (1687), Cassini (1719), Simpson (1740), Euler (1747), Lalande (Astronomie, 1764), Lagrange (Sur le problème de Kepler, 1769), Gauss (Theoria motus, 1809), Littrow (Anomaliœ verœ per mediam determinatio, 1814), Delambre (1817), Bessel (Über das Keplersche Problem, 1818), Laplace (Mémoire sur le développement de l'anomalie vraie, 1823), Wallace (Two elementary solutions of Kepler's problem, 1835), Encke (Aufiosung des Keplerschen Gleichung, 1850), Cauchy (1854), Lehmann (Ueber eine definitive Losung des Keplerschen Problems, 1855, suivi de beaucoup d'autres publications - définitives? - pendant plusieurs années), Le Verrier (1855), Radau (1882).


107

En un point An de coordonnées [x = X n , y = f(xn)] sur la courbe, on trace la tangente (figure 4.2). Elle coupe l'axe des abscisses en un point Bn' [x = X n+l,y = 0]. À partir de Bn, on construit le point de la courbe qui a même abscisse que Bn, noté An+1' [x = X n+l, Y = f(x n+1)] et on opère de même jusqu'à obtenir une convergence. On exprime la pente de la droite qui relie les points An et Bn : Yn -

d'où la relation: X

n+l

= Xn

°

f(xn) - f'(xn)

(4.79)

Résolution par la méthode itérative

Considérons l'équation de Kepler, avec E qui joue le rôle de x, écrite sous la forme:

f (E)

=

E - e sin E - M

La solution cherchée sera telle que f(E) = O. La dérivée de f par rapport à E est:

j'(E)

=

1 - e cosE

°

On remarque que si JI.;[ est égal à ou K, la solution est E = JI.;[. On vérifie d'abord qu'il y a une solution et qu'elle est unique. On considère donc E et M l'intervalle ouvert ]0, K[ et on voit que f(O) = -M et f(K) = K - M. Il Y a donc au moins une solution, puisque pour cette fonction continue on a f(O) < et f(K) > O. La dérivée étant toujours positive, f'(E) > avec e < 1, la fonction est strictement croissante et la solution est unique. On fait le même raisonnement dans l'intervalle] - K, 0[. On applique alors la formule d'itération:

°

°

E n+l -- E n- En - e sin En 1 - e cosEn

JI.;[

(4.80)

On part d'une valeur initiale, Eo, à définir. Lorsqu'on considère que la solution est obtenue, selon la précision requise, on pose E = En+l' Avec la solution E trouvée, on obtient v par (4.68), soit:

v = 2 arctan

-+e - tan -El [~ 1- e 2

(4.81)

108


Convergence de l'itération

La rapidité de convergence (le nombre d'itérations N nécessaires pour obtenir le résultat) dépend de e, NI et de la valeur initiale choisie, Eo. Elle dépend aussi de la précision recherchée. Nous notons cette précision par Qk, pour laquelle l'angle choisi est connu avec une erreur inférieure à lO-k degré ou, si l'on préfère, qui garantit, pour E exprimé en degré, k chiffres exacts après la virgule. Le nombre N peut s'écrire comme une fonction:

La question de rapidité de convergence n'est plus d'actualité aujourd'hui à cause de la vitesse du calcul informatique. En hommage aux astronomes qui, pendant quatre siècles, ont effectué des calculs sur ce problème, nous donnons quelques indications sur cette question. Classiquement, on pose:

Eo=M

pour l'initialisation de E. Dans ce cas, la convergence est assez rapide, sauf pour e > 0.9 lorsque les valeurs de l'anomalie moyenne sont faibles, I.!VII < 20°. On augmente notablement la rapidité de convergence en prenant comme initialisation :

Eo = M

+e

si M

ce qu'on peut écrire:

~

0

Eo = M

Eo = M - e

si M ::::; 0

+ e . u(M)

où u( M) représente la fonction Signe de M (+ 1 pour M > 0; -1 pour NI < 0). Les angles E et NI sont comptés en radians et dans l'intervalle

] - 7f, +7f].

La figure 17.2 illustre ces deux cas, pour lesquels on a tracé:

N = N(e,M;Eo = M, Q6)

N = N (e, M; Eo = M

+ e· u(M), Q6)

Exemple 4.2 Calcul de la position (coordonnées polaires), avec un pas de 1 heure, d'un satellite de la Terre, d'excentricité e = 0.74 et de période T = 12 heures. ~ Ce satellite a une orbite du type Molnya. Une heure de temps représente, pour l'anomalie moyenne, 360/T = 360/12 = 30 degrés. Nous résolvons en détail le problème de Kepler pour J'vI = 30°. Les angles sont convertis en radians et dans l'intervalle ]- 'if, +'if]. Utilisons (4.80). L'itération commence avec Eo = J'vI = ('if /6) On calcule ensuite El :

_ -'-'----''------,-----'---'---'-:-.,.......;'-'-----'('if/6) - 0.74 sin('if/6) - ('if/6) El -_ (~/6) " 1- 0.74 cos('if/6)

= 1. 55383


109

et de méme E2, E3, etc. :

E 2 = 1.55383 _ 1.55383 - 0.74 sin(1.55383) - (7f/6) = 1.25980 1 - 0.74 cos(1.55383) E3

= 1.25980 _ 1.25980 - 0.74 sin(1.25980) - (7f/6) = 1.21882 1 - 0.74 cos(1.25980)

E4 = 1.21882 _ 1.21882 - 0.74 sin(1.21882) - (7f/6) = 1.21803 1 - 0.74 cos(1.21882) E5

= 1.21803 _ 1.21803 - 0.74 sin(1.21803) - (7f/6) = 1.21803 1 - 0.74 cos(1.21803)

On considère le résultat atteint au bout de 5 itérations, vu la précision cherchée (Q4 ici) : E = 1.21803 Avec l'initialisation modifiée, l'itération commence avec: Eo = Iv! + e = (7f/6) + 0.74 = 1.26360. On calcule ensuite : E 2 = 1.21803 El = 1.21897 E3 = 1.21803. La convergence est plus rapide. L'anomalie excentrique E étant déterminée, E = 1.21803 rad = 69.7880°, on obtient v par (4.81) : v = 2 arctan [ VI. 74/0.26 tan( 69.7880/2)] = 122.0062°. On note, figure 4.3(a), où les angles sont en degrés, les valeurs de v, obtenues après itération sur E, pour les valeurs de J'vI demandées. Par raison de symétrie dans le problème de Kepler, le calcul pour les angles J'vI compris entre -180° et 0° est inutile: on remplace IvI par son opposé et, dans les résultats, on remplace E et v par leurs opposés respectifs. Pour connaître la distance r, on calcule d'abord le demi-grand axe par (4.53), ce qui donne a = 26609 km. On calcule r = r(v) avec (4.60), et les résultats sont notés dans la figure 4.3(a). On a évidemment r(-v) = r(v) (angles en degrés). Notons de plus que si on veut savoir à quel instant le satellite a atteint une anomalie vraie donnée, disons 90°, on obtient directement le résultat, sans résolution du problème de Kepler. On utilise (4.59), en posant v = 7f/2 rad: Iv! = 2 arctan (VO.76/1.74) - (0.74V1- 0.74 2 ) = 0.73773 - 0.49773

soit Iv! = 0.23000 rad = 13.751° équivalent à 13.751/30 heure = 28 min. La valeur de r à cet instant correspond au paramètre p. On a ici : r = r( v = 7f /2) = a(l - e 2 ) = p = 12 037 km. En se référant à la figure 4.1, le satellite S met 28 minutes pour aller du point P, le périgée (v = 0°), au point R, d'anomalie vraie v = 90° et il met 5 h 32 min pour aller de R à l'apogée A (v = 180°). Remarque. Nous avons considéré ici un satellite de type Molnya, avec une période d'un demi-jour moyen (720 min). En réalité, la période d'un tel satellite est d'un demi-jour sidéral (718 min). La figure 4.3(b) illustre les résultats de cet exemple. ...

l10


t

M

0 1 2 3 4 5 6

0 30 60 90 120 150 180

Molnya

El

E2

E3

E4,E5

v

r

00.000 89.028 118.283 132.399 146.802 162.920 180.000

00.000 72.181 102.775 125.001 144.587 162.646 180.000

00.000 69.833 101.550 124.811 144.576 162.646 180.000

00.000 69.788 101.542 124.811 144.576 162.646 180.000

00.000 122.006 144.969 157.156 165.924 173.248 180.000

6918 19806 30548 37850 42655 45403 46299

11111

Orbite et corps attractif dans le plan orbital

Distances (km) a =26560.672 b =17864.891 c =19654.896

a =26560.672 km

Altit. équiv. = 20182.5 km

e = 0.740000

Inclin. CRITIQUE = 63.42 Arg. Périgée = +270.00 0 Période

=

0

718.03 min

Illustration graphique de la "Loi des Aires"

R = 6378.136

Intervalle de temps

entre deux marques: 59.8 min

Projection de l'équateur terrestre dans le plan de l'orbite du satellite nL(,)V

MC * LMD

4.3 : (a) Tableau et (b) Schéma. (a) Problème de Kepler: obtention de l'anomalie vraie par méthode itérative (avec initialisation Eo = NI). L'anomalie moyenne NI est proportionnelle au temps t, compté à partir du passage au périgée. Les diverses valeurs Ei obtenues par itération sont notées. Ici, convergence à partir de E4. On obtient finalement l'anomalie vraie v et la distance au foyer r. Le temps t est en heures, les angles NI, E et v en degrés, la distance r en km. (b) Trajectoire d'un satellite Molnya, en orbite elliptique d'excentricité e = 0.74. La période est de 718 minutes (pratiquement 12 heures). La position du satellite, à chaque heure, est notée par un trait reliant le satellite au centre attractif (centre de la Terre, foyer de l'ellipse trajectoire) de manière à illustrer la loi des aires, seconde loi de Kepler. FIG.


4.5.3

111

Autres méthodes de résolution

Nous esquissons le principe de méthodes qui, de manière différente, transforment la quantité E - NI. Quand E est obtenu à partir de NI, on calcule

v = v(E).

Fonctions de Bessel

La fonction E - NI = e sin E est une fonction impaire périodique de l'vI. On la décompose en série de Fourier, utilisant les fonctions de Bessel de première espèce, Jk :

E - M

=

~ 1

2 L

. k Jk(ke)smkM

(4.82)

k=l

Développement en série de l'excentricité

En partant de E -NI = e sinE, Lagrange écrit E -NI sous forme d'une série entière de l'excentricité: 00

é

E-M= "" L k! k=l

d k - 1 sin k l'vI dMk-l

(4.83)

Laplace a démontré que le rayon de convergence était eo = 0.66274 ... Cette méthode ne convient donc pas pour les excentricités supérieures à cette valeur. Pour les excentricités faibles, un développement limité à l'ordre 3 de l'excentricité est donné par (4.89). Formule approchée pour excentricités faibles

On écrit cos l'vI et sin NI, à partir de (4.78), en s'arrêtant au premier ordre en e. Cela revient à écrire: cos(e sinE) c:::: 1

sin(e sinE) c:::: e sinE

On obtient: cos l'vI = cos(E - e sinE) c:::: cosE - e sin 2 E = e + (1 - e cosE) cosE sinM = sin(E - e sinE) c:::: (1 - e cosE) sinE ce qui donne :

sinM tan E c:::: -----::--:--cos NI - e

(4.84)

112

4.6 4.6.1


Représentation des anomalies Représentation des anomalies v(M) et E(M)

Sur une période, l'anomalie moyenne NI représente donc, au facteur n près, le temps écoulé depuis le passage au point P. Nous pouvons tracer les graphes donnant l'évolution de v et de E en fonction du temps, c'est-à-dire les fonctions v(NI) et E(NI). Sur les graphes représentés ici, l'vI varie sur une période, de M = -K (8 en A) à M = +K (8 en A), en passant par M = 0 (8 en P) (figure 4.1). La figure 4.4(a) représente le graphe de la fonction v(M) pour diverses valeurs de l'excentricité: e = 0.0 à e = 0.9, avec un pas de 0.1. Il y a égalité entre les deux angles pour e = 0.0 (trajectoire circulaire) et l'écart augmente avec e. Lorsque 8 est au voisinage du périastre P (NI = 0, v = 0), à de petites variations de NI, c'est-à-dire du temps, correspondent de grandes variations de v, d'autant plus que e est grand. Par contre, lorsque 8 est au voisinage de l'apoastre A (INII = K, Ivl = K), à de grandes variations de l'vI correspondent de petites variations de v. C'est bien entendu l'illustration de la loi des aires. La figure 4.4(b) représente le graphe de la fonction E(M) pour diverses valeurs de l'excentricité: e = 0.0 à e = 0.9, avec un pas de 0.1. Comme pour la fonction précédente, il y a égalité entre les deux angles pour e = 0.0 et l'écart augmente avec e de manière moins marquée que pour v(NI). Pour toutes les figures intervenant dans cette partie Représentation des anomalies, nous avons fait figurer le cas e = 1.0. Il s'agit d'un cas limite, lorsque l'excentricité de l'ellipse tend vers 1 par valeurs inférieures 1o .

4.6.2

Équation du centre

Dans le mouvement képlérien, il est intéressant de comparer les anomalies vraie et moyenne. On définit, en astronomie, l'équation du centre, notée Ec, qui est la différence de ces deux anomalies. Cette grandeur l l est un angle:

Ec

=

v-M

(4.85)

Nous la retrouverons lors de l'étude du mouvement apparent du Soleil autour de la Terre ou autour de Mars. lOpour v(lvI), le graphe est discontinu: V(1T) = 1T X ulM) et v(o) = 0, en notant le signe de M par ulM). Pour E(M), la courbe représentative est le symétrique de M(E) = E - sinE par rapport à la première bissectrice . 11 Le terme d'algèbre «équation», au sens où nous le connaissons aujourd'hui, a été défini par Descartes, en 1637. Auparavant, ce mot, attesté vers 1250, était un terme d'astronomie, qui a été précisé et utilisé (œquatio, nis, en latin) par Kepler, comme «la quantité variable, mais déterminée par le calcul, qu'il faut ajouter ou ôter aux mouvements moyens pour obtenir les mouvements vrais» (Littré). C'est ainsi qu'il faut comprendre équation du centre et, plus loin, équation du temps.

4.6. Représentation des anomalies

113

v

+7T

M

-7T -7T

-7T/2

+7T/2

+7T

E

M

-7T

-7T/2

+7T/2

+7T

4.4: (a) Graphe v(M) : variation de l'anomalie vraie v en fonction de l'anomalie moyenne ]\;1, sur une période. Pour dix valeurs de l'excentricité, e = 0.0 à e = O. g avec un pas de e = 0.1; plus la valeur limite e = 1. Angles en radians. (b) Graphe E(l'v1) : variation de l'anomalie excentrique E, mêmes conditions que le graphe (a). FIG.

114


Mm (r)

Vm (r)

Ecm (r)

Mm(O)

vm(O)

Ecm(O)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

1.5708 1.4457 1.3203 1.1940 1.0662 0.9364 0.8033 0.6650 0.5176 0.3503 0.0000

1.5708 1.6460 1.7221 1.8004 1.8822 1.9694 2.0647 2.1730 2.3037 2.4838 3.1416

0.0000 0.2002 0.4019 0.6065 0.8160 1.0330 1.2615 1.5080 1.7861 2.1335 3.1416

90.00 82.83 75.65 68.41 61.09 53.65 46.02 38.10 29.66 20.07 0.00

90.00 94.31 98.67 103.16 107.84 112.84 118.30 124.50 131.99 142.31 180.00

0.00 11.47 23.03 34.75 46.75 59.19 72.28 86.40 102.34 122.24 180.00

0.01671 0.09341

1.5499 1.4540

1.5833 1.6410

0.0334 0.1870

88.80 83.31

90.72 94.02

1.91 10.71

0.001144 0.740000

1.5694 0.6075

1.5717 2.2217

0.0023 1.6143

89.92 34.80

90.05 127.29

0.13 92.49

e

4.1 : Valeur de la position du maximum de l'équation du centre Ecm, en fonction de l'excentricité. On a noté les valeurs correspondantes des anomalies moyenne ]\;[m et vraie v m . Angles en radians (r) et en degrés (0). (a) Excentricités de 0.0 à 1.0, avec un pas de 0.1 (les valeurs 0.0 et 1.0 sont limites). (b) Excentricités de l'orbite héliocentrique de la Terre et de Mars. (c) Excentricités du satellite SPOT-5 (e = 0.001144) et Molnya (e = 0.74).

TABLEAU

Le graphe de la fonction (v - M)(M) est représenté sur la figure 4.5(a), qui est à rapprocher de la figure 4.4(a). Les valeurs de v correspondant au maximum et au minimum de (v - l'v!) sont symétriques par rapport au point origine (le périastre). Exemple 4.3 Calcul de la valeur et de la position de l'extremum de l'équation du centre Ec. ~

De par la symétrie de la figure, on considère ici Ec = v - J'vI pour ]\;[ variant de

o à 11".

Le maximum de Ec est donné par: dv = dJ'vI. Avec (4.77), on obtient la valeur r m pour laquelle Ec est maximum: r m = JOij. Avec (4.60), donnant r(o, e, v), on obtient: rm =

en notant ainsi:

Vm

0(1 - e 2 ) 1 + ecosv m

= 0

(1 -

e2 )

1

"4

la valeur de l'anomalie vraie correspondant au maximum de Ec et Vm

= arccos [ -;;-1 (1 - e 2 )"43 - 1]

(4.86)


115

(v-M)

,., .,

+7T

,.,

.'. e ~ 1.0

.,., .,.,

.,.,

+7T/2

.".,

.,.,

-7T/2

.,., .,.,

.,.,

.".".

M

,.,

.,

., .'.

e ~ 1.0·'·,

-7T -7T

180 150

-7T/2

Ec

,.,. , ,, .,., ,,-1-"'

,,

120

+7T

+7T/2

(v-M)

,.,

.,.,

.,., .,., ., , .,

90 60

30 ------~\-------

o

-- -

o

30

60

-

- --~- - - - - -

90

--

- --

120

150

M

180

4.5: Équation du centre. Graphe (v-M)(M) : variation de la différence entre l'anomalie vraie v et l'anomalie moyenne ]\;1, sur une période. (a) Pour dix valeurs de l'excentricité, de e = 0.0 à e = 0.9, avec un pas de e = 0.1. ; plus la valeur limite e = 1. Angles en radians. (b) Agrandissement de (a). Pour des valeurs de e variant de 0.00 à 1.00, avec un pas de 0.05. Le lieu du maximum de la fonction Ec, en fonction de e, est noté par une ligne tiret-pointillés. Angles en degrés. FIG.

116


L'angle V rn varie entre 'Ir/2 (pour e = 0) et 'Ir (pour e = 1). On calcule M(v m ) par (4.59), angle qui varie entre 'Ir/2 (pour e = 0) et 0 (pour e = 1). Le maximum de l'équation du centre Ecm :

( 4.87) varie entre 'Ir/2 (pour e = 0) et 'Ir (pour e = 1) (figure 4.5(b) et tableau 4.1). Pour les excentricités faibles, on a : COSV m "::'

3

'Ir

-4 e

3

v m =-+-e 2 4

Ecm = V rn - J'virn = 2 e sin J'vI "::' 2 e

M

===}

rn

'Ir

5

=---e 2 4

Le lieu des maxima est tracé sur la figure 4.5(b) .....

Cas des excentricités faibles À partir de (4.68), on peut écrire, dans le cas général, v comme un développement en série de E. Et par (4.83), on peut écrire, si e n'est pas trop grand, E comme un développement en série de l'vI. À l'ordre 3 en e, on obtient successivement:

+

v

E

E

M

( + -=1é) e

sin E

é

2

e + -=1 sin 2E + 12 sin 3E

3) sin M + "2e2sin 2M + -83 e3 sin 3M

+ (e -"8 e

(4.88) (4.89)

puis v en fonction de NI et finalement l'équation du centre: e3 ) v - M = Ec = ( 2 e - -=1 sin M

+ 45 e

2

sin 2M

13 e + ---:t2 sin 3M 3

(4.90)

À l'ordre 1 en e, on limite les développements ci-dessus ou bien on obtient directement le résultat en utilisant (4.70) pour (v - E), avec (3 = (e/2) issu de (4.71) et (4.64) pour (E - M). Les trois angles (anomalies) étant très proches, puisqu'ici e est petit, on peut écrire:

v-E

e sin E

~

e sin NI

(4.91 )

E-M

e sin E

~

e sin NI

(4.92)

Ec =v-M

2 e sinM

(4.93)

De la même manière, le développement de (r-ja) et celui de (air) sont calculés par Lagrange. À l'ordre 3, on obtient:

r a a r

2 1 + -e

2

1-

-

(3é) e- -

( -"8é) e

8

cos M

3e

2 cos l'vI - -e cos2l'vI - -

2

9é

+ e 2 cos 2M + 8

3

8

cos 3M

cos3l'vI (4.94) (4.95)


4.6.3

l17

Récapitulation sur les anomalies

Résumons les paragraphes précédents. Si on exprime le temps t, représenté par NI, en fonction des coordonnées polaires e et r, représentées respectivement par v et E, on obtient les relations analytiques M(v) et M(E) :

v

=

V f--+ M = M(v) E f--+ M = M(E) v(E) +------+ E = E(v)

équation (4.59) équation (4.64) équations (4.68), (4.69)

Si on exprime l'angle polaire e, représenté par v, en fonction du temps t, représenté par l'vI, il faut passer par l'intermédiaire de E et résoudre, par itération, le problème de Kepler:

M

f--+

E

E(M) E f--+ v = v[E(M)]

itération (4.80)

=

=

v(M)

équation (4.81)

Dans l'étude d'une trajectoire, on se donne généralement le temps t qui varie avec un certain pas et pour chaque instant t i , ti+I, ... , on résout le problème de Kepler pour obtenir l'anomalie vraie. Les trois anomalies v, E et l'vI n'ont pas des rôles similaires: - v(t) permet de repérer effectivement le corps en orbite et de connaître le rayon vecteur r par (4.26) ou (4.60) ; - NI(t) est en fait une autre manière de représenter le temps; - E(t) sert principalement à résoudre le problème de Kepler, elle intervient aussi dans les équations de Lagrange du mouvement perturbé, voir (6.34) et (6.35). Exemple 4.4 Calcul de l'anomalie vraie pour la planète Mars lorsque l'anomalie moyenne est l'vI = 98.67r? L'excentricité de l'orbite de Mars autour du Soleil est e = 0.09341. ~ Nous effectuons les calculs avec les diverses méthodes présentées ci-dessus, la méthode itérative et les méthodes approchées, bien adaptées aux cas des planétes (tant qu'on se limite en précision) car l'excentricité est faible. 1 - Méthode itérative. On note les angles en degrés (mais on n'oublie pas de les mettre en radians pour le calcul, ou bien on change e en [(180/7f) el pour garder les angles en degrés). On pose Eo = M. On obtient successivement, par l'itération (4.80) : Eo = 98.679 El = 103.896 E 2 = 103.875 E3 = 103.875. Pour la précision recherchée, deux itérations suffisent. On obtient v par (4.81) E = E3 = 103.875 ===} v = 109.020 2 - Formule approchée (4.84). On obtient tanE = -4.04648 ce qui correspond à un angle de -76.119°, d'où la

l18

Chapitre 4. Mouvement képlérien Méthode utilisée

Réf.

1 - par itération 2 - formule approchée 3.1 - dével. de E / ordre 1 3.2 - dével. de E / ordre 2 3.3 - dével. de E / ordre 3 4.1 - dével. de v / ordre 1 4.2 - dével. de v / ordre 2 4.3 - dével. de v / ordre 3

(4.80) (4.84) (4.89) (4.89) (4.89) (4.90) (4.90) (4.90)

E

v

v - va

103.875 103.881 103.969 103.895 103.873

109.020 109.027 109.112 109.039 109.019 109.259 109.073 109.016

0 +0.007 -0.008 +0.019 -0.001 +0.239 +0.053 -0.004

-

4.2 : Problème de Kepler: résultats selon la méthode employée. La valeur exacte, notée Va, est celle donnée par la méthode 1. Les angles E, v et v - Va sont en degrés. Cas étudié: excentricité de l'orbite e = 0.09341 (planète Mars), M = 98.679° .

TABLEAU

valeur de E : E = 180 - 76.119 = 103.881 ===? v = 109.027 3 - Développement en série de E = E(M), par (4.89). À l'ordre 1, E = 98.679 + (180/'if)0.0934 sin(98.679) = 103.969 d'où v = 109.112. À l'ordre 2, on obtient E = 103.895 d'où v = 109.039 et à l'ordre 3, E = 103.873 d'où v = 109.019. 4 - Développement en série de v = v(M), par (4.90). Dans ce cas, il ne s'agit plus d'une résolution du problème de Kepler, puisqu'on obtient directement v à partir de ]\;1. Bien entendu, ce n'est possible que parce qu'il s'agit d'une formule approchée. À l'ordre 1, v = 98.679 + 2 (180/'if) 0.0934 sin(98.679) = 109.259. À l'ordre 2, on obtient v = 109.073 et à l'ordre 3, on a v = 109.016. Tous ces résultats sont reportés dans le tableau 4.2. La valeur exacte de v est celle donnée par la méthode itérative, Va. On note l'écart (v - va), en degrés .....

Exemple 4.5 Calcul de la valeur moyenne du rayon vecteur r, sur une révolution, selon l'angle d'intégration utilisé. ~ Lorsqu'un point décrit l'ellipse dans une révolution, on peut calculer la valeur moyenne r Œ de sa distance r au foyer de l'ellipse, qui dépend de l'angle a décrivant le mouvement:

rŒ

=

1

rh

2'if Jo

r(a) da

Cet angle a peut être une des trois anomalies v, E ou ]\;1. 1. Anomalie vraie v. Le rayon vecteur r(v) est défini par (4.60). La primitive de (1 + ecosv)-l a été calculée lors de l'établissement de (4.59). On a donc: rv = a(l - e 2'if

2) r2~ Jo

dv 1 + ecosv

a~ [arctan ( 'if

~ tan ~ ) J:~


119

ria

2.0 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1.0 0.9 0.8 0.7

e=O.O

0.6

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0

o

30

60

90

120

150

180

v

VIVe

4.4 e = 0.9 4.2 4.0 3.8 3.6 e = 1.0 3.4 3.2 ,~0.~8~____________~________________~ 3.0 ,2.8 2.6 2.4 2.2 ,, ~0.~6==~____~~__~~____~________~ 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 e = 0.0 1.0 e=O.O 0.8

0.6

0.4 0.2 0.0

o

30

60

90

120

150

180

v

4.6 : (a) Distance relative TJ = r/a; (b) vitesse V/Ve . Grandeurs en fonction de l'anomalie vraie v, pour diverses excentricités, variant de e = o. a à e = 1. a avec un pas de 0.1. Angles en degrés. FIG.

120


ria

2.0 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2

~----------------=-"'

~~~========::]

1.1 1e =0.0- - - - - - - = .. 1.0 e = 0.0 0.9 1------0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 ' - - - ' ' ' ' - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E o 30 60 90 120 150 180

VIVe

4.4 ~---\--------------4.2 4.0 1 - - \ - - - - - \ - - - - - - - - - - - - - - 3.8 3.6 3.4 3.2 3.0 ~"'-------\-____t_------------_ 2.8 2.6 2.4 2.2 2.0 ~~----"~""'\-----------1.8 1.6 1.4 1.2 e = 0.0 1.0 e=O.O 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 '-----_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _-"'J- E o 30 60 90 120 150 180

4.7: (a) Distance relative TJ = ria; (b) vitesse VIVe. Grandeurs en fonction de l'anomalie excentrique E, pour diverses excentricités, variant de e = 0.0 à e = 1.0 avec un pas de 0.1. Angles en degrés.

FIG.


121

ria

2.0 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2

_---ê~0.9

1.1 1.0 0.9 0.8 0.7

e=O.O

e

=

0.0

0.6

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0

/

o

30

60

90

120

M

150

180

V/iVe

4.4 4.2 4.0 3.8 3.6 3.4 3.2 3.0 2.8 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8

cf--'- - - - - - - - - - - - - - - - _

e

=

0.0

0.6

0.4 0.2 0.0

---

~--------------~~-

o

30

60

90

120

150

M

180

4.8 : (a) Distance relative TJ = r/a; (b) vitesse V/Ve . Grandeurs en fonction de l'anomalie vraie v, pour diverses excentricités, variant de e = O. a à e = 1. a avec un pas de 0.1. Angles en degrés. FIG.

122


En utilisant (4.69), on obtient:

rv

a~ [E]21r

"2

7r

=

a =

a~ =

b

2. Anomalie excentrique E. Avec r défini par (4.63), on écrit:

rE

5!:...-

=

27r

Jor

21r (1

- ecosE) dE = 5!:...-

27r

[El~71" =

a

3. Anomalie moyenne J'vI. Avec r défini par (4.63), on utilise la relation (4.75) entre dE et dM :

rM

=

~ 27r

rh r dM -!!r2 (1- ecosE)2 dE 27r Jo =

Jo

71"

On développe. L'intégrale des termes de période 7r ou 27r est nulle:

La valeur cherchée est :

rM =

a(1 + e;)

La moyenne de r, sur une période, par rapport au temps, n'est pas égale au demigrand axe. On retrouve la valeur de (rM/a) avec (4.94). 4. Récapitulation. En utilisant la distance relative ri = r / a, déjà définie, on note amSl les valeurs moyennes fja fjE = 1

fjM = 1

e2

+"2

Les variations de 77", = r(a)/a sont représentées, pour chaque anomalie repectivement, dans la partie (a) des figures 4.6, 4.7 et 4.8. On ne trace les graphes que sur une demi-révolution, compte tenu de la symétrie de l'ellipse par rapport à l'axe des apsides .....

Exemple 4.6 Représentation de la vitesse V en fonction de l'anomalie considérée (vraie, excentrique ou moyenne). ~ Exprimons la vitesse V(r) d'un satellite en orbite elliptique, donnée par (4.39), comparée avec la vitesse Vc d'un satellite en orbite circulaire de même demi-grand axe a, donnée par (4.52). En utilisant la distance relative 77, définie par (2.36), on écrit:

avec

(4.96)

En exprimant r en fonction de v, puis de E et de J'vI, on obtient, successivement, la variation de la vitesse en fonction des anomalies. La partie (b) des figures 4.6, 4.7


123

Angle (r,v)

90

e ~ 0.0 ,...;==----------------="'"

80

."."

70

."."

60 50

."."

.,., .,.,

40

,.,

,., .,., .,

30

.,., .,.,

.,

20

e

, ~

.,.,

60

90

Angle (r,V)

90

120

~

0.9

, ., ., ,

1.0·'.

10 30

e

150

e

~

0.0

e

~

0.9

e

~

1.0

.,.,

180 v

80 70 60 50 40 30 20 10 0

0

30

60

90

120

150

M 180

4.9 : Angle Ct entre la vitesse et le rayon vecteur (a) en fonction de l'anomalie vraie v; (b) en fonction de l'anomalie moyenne J'vI. Graphes tracés pour diverses excentricités, variant de e = 0.0 à e = 1.0 avec un pas de 0.1. Angles en degrés. FIG.

124


Angle (r,v)

e

90

~

0.0

80

70 60

50

40

30 20 10 e

~

e

1.0

30

60

~

0.99

90

120

150

4.10 : Angle a entre la vitesse et le rayon vecteur en fonction de l'anomalie excentrique E. Graphes tracés pour diverses excentricités, variant de e = 0.0 à e = 1.0, avec un pas de 0.1 et de 0.90 à 1.00, avec un pas de 0.01. Angles en degrés.

FIG.

et 4.8 montre ces représentations sur une demi-révolution, avec origine au passage au périgée (pour l'autre demi-révolution, la figure est évidemment symétrique). Au périgée (anomalie = 0°; TJ = 1-e) et à l'apogée (anomalie = 180°; TJ = l+e), la valeur de la vitesse (respectivement Vp et Va) est identique pour les trois graphes: Vp Ve

=v +

1 e 1- e

l+e

1- e

Par exemple, pour e = 0.6, (1 + e)/(l - e) = 4 et donc Vp/Ve = 2.0, ValVe = 0.5, Va/Vp = 4. On note, avec Vp . Va = V c2 , que Ve est la moyenne géométrique entre les deux vitesses extrêmes, Vp et Va . ....

Exemple 4.7 Représentation de l'angle entre le vecteur vitesse V et le rayon vecteur en fonction de l'anomalie considérée (vraie, excentrique ou moyenne). ~ En écrivant la vitesse V sous la forme V = Vr eT + Ve ee, l'angle entre Vet noté a, est donné par tan a = Ve/VT • Avec les relations (4.18) et (4.30), on obtient a en fonction de l'angle polaire

T,

e,

4.7. Intégrales premières du mouvement

125

représenté ici par l'anomalie vraie v : a(v)=arctan

1 + e cos v e sinv

da e + cos v dv =-e 1+2e cosv+e2

(4.97)

On trace le graphe représentatif de a(v), figure 4.9(a). Le calcul de la dérivée (da/dv) montre que le minimum de chaque courbe s'obtient pour v = arccos( -e). Pour une trajectoire circulaire (e = 0), a est évidemment un angle droit. Pour une orbite qui se rapproche infiniment près de la parabole, e = 1, on a (da/dv) = -1/2. Le graphe a(E), figure 4.10, présente une symétrie axiale, résultant de la définition de E: da ~cosE -dE- = - e --:1---e"C:"2-c-o-s"""2-=E=-

~ a(E) = arctan ---:.----:::_ e smE

(4.98)

On trace le graphe a(M), figure 4.9(b). Il n'y a pas de formulation analytique de a(M) - voir le Problème de Kepler .....

4.7 4.7.1

Intégrales premières du mouvement Lois de conservation

En partant de l'expression de l'accélération newtonienne, nous avons obtenu l'équation du mouvement par deux intégrations (pour passer de T à T). Après cette résolution détaillée, nous présentons, très rapidement, une méthode beaucoup plus synthétique, qui a l'intérêt de faire apparaître des grandeurs qui restent constantes dans le mouvement. Ces valeurs sont obtenues avec une seule intégration (pour passer de T à r), c'est pourquoi on les appelle intégrales premières du mouvement. À partir de l'équation du mouvement dans le cas de l'accélération newtonienne: (4.99) on obtient la conservation de l'énergie, du moment cinétique et du vecteur de Laplace (qui donne l'équation de la trajectoire). (a) Conservation de l'énergie On multiplie scalairement chaque membre de l'équation (4.99) par le vecteur vitesse r :

L'équation (4.99) donne donc:

~ (~i.2 dt

2

- 0..) = r

0

(4.100)

126


et on a ainsi :

1. 2 J.L JC = -r - - = constante

(4.101)

r

2

ce qui correspond à la conservation de l'énergie. On retrouve la relation (4.33), avec V 2 = r2 . (b) Conservation du moment cinétique On multiplie vectoriellement chaque membre de (4.99) par le rayon vecteur r. On obtient: .. J.L r/\ r= -2 r/\ eT = 0 r Avec la relation de dérivation (4.5) appliquée à la définition (4.4), on obtient:

C

=

r /\ r

=

constante

(4.102)

ce qui correspond à la conservation du moment cinétique. Le mouvement est plan. On retrouve la relation (4.9). (c) Conservation du vecteur de Laplace et équation de la trajectoire On considère le produit vectoriel de l'accélération par le moment cinétique: .. J.L 2 . . de T r/\C=--2 eT/\r Bk=ILBee=ILdt r Or, puisque Cest constant, on a: d(r/\ C)/dt

=

r/\ C, ce qui amène à:

(4.103) À partir de cette relation, on définit le vecteur A, appelé vecteur de Laplace (ou vecteur de Laplace-Runge-Lenz), qui a donc la propriété d'être un vecteur constant:

A

r/\ C

= -- -

IL

eT = constante

(4.104)

Ce vecteur A est perpendiculaire à C, puisque A /\ C = O. Il est donc dans le plan du mouvement. Pour évaluer A, calculons r /\ C:

r /\ C =

(r eT + r ë ee) /\ C k =

C (r

ë eT -

ree)

Si on projette A sur eT' on a, en utilisant la valeur de C donnée par (4.6)

On obtient ainsi l'expression de r : (4.105)


127

On note v l'angle entre le rayon vecteur et le vecteur fixe A. En posant A . eT = Il A Il cos v et p = C 2 / IL, on trouve que la trajectoire est une ellipse. Par identification, on voit que IIAII représente l'excentricité. La distance r passe par un minimum lorsque les vecteurs A et eT sont colinéaires (avec v = 0) : le vecteur A passe par le périastre et donc v représente l'anomalie vraie précédemment définie. La connaissance du vecteur de Laplace A donne à la fois l'excentricité et la direction du périastre. Remarque. La conservation de ces grandeurs est exprimée par le théorème de Noether 12 .

4.7.2

Remarque sur l'énergie

Dans l'étude du mouvement képlérien du satellite, la masse de ce corps n'intervient jamais 13 . C'est pourquoi nous avons parlé d'accélération et non de force. Tout ce que nous avons écrit jusqu'ici peut être repris: on parlera par exemple de force newtonienne appliquée au point matériel S, de masse m, ce qui introduit la définition classique de l'énergie. Dans le cas de l'attraction newtonienne, la force s'écrit: IL F= -m-2 eT

r

On en déduit l'énergie potentielle U (on rappelle que F = -grad U avec, pour convention, U nul pour r infini) : IL U=-mr

Le point S, animé d'une vitesse V, a pour énergie cinétique T :

T

=

1

-mV 2 2

L'énergie mécanique E est donc: 2 (V

2

_!!..) r

(4.106)

12 Emmy Noether (1882-1935), mathématicienne allemande, est considérée comme la fondatrice de l'algèbre moderne (création des anneaux, des idéaux). Le théorème de Noether (1918) exprime qu'une loi de conservation est la conséquence de l'invariance d'une loi physique dans une transformation continue à un paramètre (on le démontre en utilisant le formalisme lagrangien des équations de la mécanique classique). Pour ce qui nous intéresse ici: - conservation de la quantité de mouvement résultant de l'invariance des lois physiques dans une translation due à l'homogénéité de l'espace; - conservation du moment cinétique résultant de l'invariance des lois physiques dans une rotation due à l'isotropie de l'espace; - conservation de l'énergie résultant de l'invariance dans le temps due à l'uniformité de l'écoulement du temps. 13Dans l'étude du mouvement perturbé, elle intervient dans quelques cas particuliers, comme pour l'étude du frottement dans la haute atmosphère ou de la pression de radiation.

128


Le moment cinétique L est par définition : L = rA

mr

(4.107)

On a donc l'équivalence entre les grandeurs vues plus haut et celles liées à l'énergie: m

m

L'équation (4.33), qui établit que J( est une constante, est donc l'équivalent de: [ = m J( = constante (4.108) qui traduit la conservation de l'énergie mécanique [. Dans le cas de mouvement périodique, l'équation (4.38) donne:

-~ m ~

(4.109) 2 a qui est une valeur négative (cela provient de la convention U(oo) = 0). On voit que a est relié à [/ m, ce qui montre que la période ne dépend que de l'énergie mécanique par unité de masse du point matériel considéré. [=

Exemple 4.8 Trajectoire de divers points, en orbite autour d'un centre attracteur ponctuel, avec une énergie différente et ayant la même distance au périastre (périgée). ~ On considère un point de masse m, en orbite circulaire de rayon T o . Son énergie est: 1 f1 [; = -[;0 avec [;0 = -m2 Ta Si on augmente l'énergie en obligeant le mobile à garder la même valeur de distance au périgée (distance périgée-foyer T p = ra), l'excentricité augmente:

rp

=

ra

a(l - e) = ra

a=--

1- e

p = a(l - e 2 ) = (1

+ e)ro

et l'énergie s'écrit: [; =

-~m~ (1 -

e)

= -[;0(1-

e)

2 To Les trajectoires sont représentées sur la figure 4.11 en augmentant l'excentricité avec un pas de 0.10. Pour e = 0, avec une énergie [; = -[;0, négative, la trajectoire est un cercle. Elle se transforme en ellipse de plus en plus excentrée à mesure que l'énergie augmente, tant qu'on a e < 1. Pour e = 1, avec une énergie [; = 0, la trajectoire est une parabole. Pour e > 1, avec une énergie [; > 0, la trajectoire est une hyperbole (branche concave). Lorsqu'on exprime la trajectoire en coordonnées polaires, avec les équations (1.17) ou (4.60), a est positif pour les ellipses, infini pour la parabole, négatif pour les hyperboles. L'utilisation du paramètre p dans l'équation générale des coniques, comme en (1.16), permet d'éviter ces conventions de signe. ...


129

FIG. 4.11 : Trajectoires et énergie. La distance foyer-périastre est constante. L'éner-

gie minimale, notée -Eo, correspond à la vitesse de satellisation: la trajectoire est un cercle. On donne ensuite au mobile l'énergie E = -Eo (l-e) où e est l'excentricité,variant avec un pas de 0.1. Quand l'énergie augmente, la trajectoire elliptique est de plus en plus excentrée, jusqu'à devenir une parabole pour e = 1 (trait épais). Puis, pour e > 1, la trajectoire est une branche concave d'hyperbole.

130

4.8 4.8.1


Note historique: astronomie et attraction universelle Les lois de Kepler

Depuis l'Antiquité, l'astronomie était régie par le système géocentrique de Ptolémée 14 . Au xv€ siècle, les insuffisances du système de Ptolémée apparaissaient plus ou moins clairement à plusieurs astronomes (comme ceux, par exemple, des universités de Bologne ou de Padoue), mais Copernic 15 fut le premier à rejeter le système géocentrique pour le système héliocentrique. Kepler, comme l'illustrent les figures 4.12 et 4.13, était partisan du nouveau système «révolutionnaire». En utilisant les observations de Tycho Brahé 16 , il expliqua le mouvement des planètes du Système solaire par les 14 Claudius Ptolemaios KÀOI.l)o[oç IhoÀE[l.OI.~Oç (vers 90 - v. 168, après JC), dit en français Claude Ptolémée, mathématicien, astronome et géographe grec d'Alexandrie (Claudius est un prénom romain, Plolemaios est le nom grec 6 11:l:0ÀE[l.0I.~OÇ, 01), « le belliqueux»). Il est l'auteur de nombreux ouvrages dont les plus célèbres sont la Géographie et l'Almageste. Dans la Géographie (littéralement : «dessin de la terre» ), il situe des centaines de lieux (villes, montagnes, ... ) avec des latitudes correctes et des longitudes dilatées. Dans l'Almageste (titre donné plus tard par les astronomes arabes, de Al, « le », l'article défini en arabe et mageste, de megistos, superlatif de mega, en grec, «très grand»), il expose le système planétaire géocentrique, dit système de Ptolémée. Pour obtenir une bonne concordance entre observations et modèle, il fait décrire à chaque planète (particulièrement Mars) un cercle, dit épicycle, dont le centre se déplace sur un cercle centré sur la Terre immobile, appelé déférent. Il affine ce modèle avec l'excentrique (déférent décalé) et le point équant ... L'œuvre de Ptolémée, dernier astronome de l'Antiquité, fut transmise en Europe par les Arabes. Elle est le fondement de l'astronomie du Moyen Âge et de la Renaissance. 15 Nicolaj Kopernik (1473-1543), en latin Nicolaus Copernicus Torinensis, dit en français Nicolas Copernic, astronome polonais. Après des études en Italie, Copernic revient en Pologne et met au point un système cosmologique qui remplace la Terre par le Soleil comme centre de l'Univers. C'est le système héliocentrique, ou système de Copernic, dans lequel l'orbite de chaque planète est une sphère centrée sur le Soleil. Il achève De Revolutionibus orbium cœlestium vers 1530. Mais, de peur des réactions, que ce soit de sa hiérarchie catholique ou du luthérianisme naissant, il en retarde la publication. Le livre sera finalement imprimé à Nurenberg, en 1543, l'année de sa mort, grâce à l'opiniâtreté de son élève Rheticus. Une préface a été exigée par l'éditeur Petreius. On ne sait pas si l'auteur avait donné son accord. Rédigée par le pasteur Osiander, elle avertit le lecteur que ce système n'est qu'une vue de l'esprit pour faciliter les calculs et qu'il ne remet pas en cause la Bible. Ce n'est d'ailleurs qu'en 1616 que De Revolutionibus sera mis à l'Index par le Saint-Office. Pendant des décennies, ce livre n'eut pas un accueil favorable auprès des astronomes. Son contenu était déroutant et, de plus, il ne fournissait pas de bons résultats: pour la planète Mars, les positions données par Copernic sont moins précises que celles données par Ptolémée avec les épicycles! 16 Tyge Brahe, dit Tycho Brahé, (1546-1601), astronome danois. Il fit pendant vingt ans, dans son observatoire d'Uraniborg ( 2, présente une pente encore plus forte. Nous allons voir plus bas que seuls les termes J n avec n pair ont une influence à long terme (séculaire) sur le satellite. L'équation (3.28) montre que le potentiel est en r-(n+l), donc l'accélération en r-(n+2). La pente est p = -6 pour J4, p = -8 pour J 6, etc. À l'origine, les valeurs numériques sont : go h = 1.1 10- 2 m·s- 2

156

Chapitre 6. Satellite en orbite réelle (perturbée)

en considérant, bien entendu, les valeurs absolues des termes ln. (b) Attraction luni-solaire On considère un astre attracteur (Lune ou Soleil) et on calcule son action sur le satellite. La Terre subissant aussi une attraction de l'astre, il faut calculer l'attraction différentielle subie par le satellite dans un repère lié au centre de la Terre. L'attraction différentielle due au Soleil produit l'accélération notée ici ÎCs (calculée dans l'annexe Notion sur les sphères d'influence, en fin de chapitre). L'équation (6.149) donne: ÎCS

ILs

= 2-

a1

r

(6.7)

où ILs représente la constante d'attraction solaire et as la distance TerreSoleil (le demi-grand axe de l'orbite terrestre héliocentrique). Pour l'attraction différentielle due à la Lune, l'accélération notée ÎCL se calcule, en première approximation, par un raisonnement semblable : ÎCL

ILL

= 23 r aL

(6.8)

où ILL représente la constante d'attraction lunaire et aL la distance TerreLune (le demi-grand axe de l'orbite lunaire géocentrique). Dans le domaine des valeurs représentées ici, ÎCs et ÎCL sont proportionnels à r, donc leur variation est de pente p = +1. À l'origine (h = 0), les valeurs numériques sont : Îcs(R)

= 2

ÎCL(R) = 2

IL; R as

IL~ aL

= 0.5 10- 6 m·s- 2

R = 1.110- 6 m·s- 2

L'effet de la Lune est plus de deux fois supérieur à celui du SoleiP. lOn peut obtenir, de manière astucieuse, une relation entre les deux accélérations Ics(r) et ,cL(r). Le rapport des accélérations est égal à :

,cL(r) _ ML (as)3 Ics(r) - Ms

aL

Gràce aux éclipses de Soleil, on sait que, depuis la Terre, les diamètres apparents de la Lune et du Soleil sont égaux. On a donc la relation, en notant RL et Rs les rayons respectifs: RL

Rs

aL

aS

En exprimant les masses, à l'aide des masses volumiques moyennes, notées respectivement PL et Ps, on obtient: PL (RL)3 Ms = Ps Rs et ainsi, en appliquant les valeurs numériques, on détermine la valeur du rapport: ML

,cL(r)

PL

Ics(r)

Ps

--- = -

3.3437

= - - c:::::2.25

1.4808

6.1. Forces perturbatrices

157

(c) Attraction due aux autres planètes Cette attraction différentielle provoque sur le satellite une accélération très faible, ICP, également de pente p = + l. Pour chaque planète, l'ordre de grandeur est donné par : ICP =

ILp

2 3

ap

(6.9)

r

où ILp représente la constante d'attraction de la planète et ap la distance Terre-planète. Selon les configurations, les valeurs maximales des accélérations perturbatrices sont: ICP

rv

10- 10 m·s- 2

dû à Vénus

ICP

rv

10- 11 m·s- 2

dû à Jupiter

( d) Effet des marées Les marées océaniques sont provoquées par l'action perturbatrice de la Lune et du Soleil. L'explication en a été donnée par Newton puis Bernoulli, la théorie étant achevée par Laplace et Kelvin. Ce phénomène est familier et facilement observable. Ce qui est moins connu, c'est que cette action perturbatrice s'applique aussi à la croûte terrestre: l'enveloppe terrestre solide se soulève deux fois par jour, avec une amplitude de l'ordre du décimètre. Le phénomène des marées (océanique ou terrestre) provoque des frottements : ce n'est donc pas un phénomène conservatif (c'est ce phénomène qui explique le lent ralentissement de la vitesse de rotation terrestre). Mais l'effet de ces marées sur le satellite peut se résoudre en utilisant le fait que les forces de déformation qui entrent en jeu dérivent d'un potentiel. On montre que le potentiel d'interaction est en r- 3 , d'où une accélération perturbatrice en r- 4 . Pour r = R, on a ICM rv 5 10- 7 m·s- 2 . L'effet des marées océaniques est environ le dixième de celui des marées solides. ( e) Effet relativiste La vitesse V d'un satellite n'excède pas quelques kilomètres par seconde. Elle est très petite devant la vitesse c de la lumière : un traitement relativiste est généralement inutile. Cependant, depuis TOPEX/Poseidon, l'effet relativiste est pris en compte pour les satellites d'altimétrie et pour ceux de positionnement (type GPS). On montre que la correction revient à considérer une accélération dite relativiste, dont le terme principal est noté ici ICR : (6.10)

Pour une orbite circulaire, avec (4.52), on obtient: ICR =

3/L2 c2

.

1 r3

ce qui donne une pente p = -3. A l'origine (h = 0), on a : ICR(R)

= go

~IL

c R

=

l.6 10- 8 m·s- 2

(6.11)

158


La principale 2 manifestation de la considération de cette correction est l'effet séculaire sur l'argument du périgée: le périgée de l'orbite avance plus vite que ne l'indique le calcul classique. C'est ce qu'on appelle l'avance au périgée. Pour les planètes autour du Soleil, on parle d'avance au périhélie, phénomène expliqué par Einstein - voir la note historique en fin de chapitre. On calcule que cette précession apsidale donne une variation .dlw de l'argument du périgée w, à chaque révolution: (6.12) L'indice [1] note la valeur obtenue sur une révolution, l'indice [A] note celle obtenue sur une année. Cette valeur reste toujours faible (une fraction de minute d'angle sur une année), que l'orbite du satellite soit quasi circulaire ou excentrée : - SPOT-5 (a = 7.20 10 6 m), .dlw = 1.1610- 8 rad, .dAw = 12".4 - TOPEX/Poseidon (a = 7.7110 6 m), .d 1w = 1.0810- 8 rad, .dAw = 10".5 - Navstar/GPS (a = 26.56 106 m), .d 1w = 3.15 10- 9 rad, .dAw = 0".48 - Molnya (a = 26.5610 6 m,e = 0.74), .d 1w = 6.8910- 9 rad, .dAw = 1".04 La force entraînant l'avance du périgée doit être considérée comme cons ervat ive , car on peut obtenir le même effet en ajoutant un petit moment quadrupolaire en r- 3 à la force de gravitation, indépendant du temps, donc conservatif. Forces non conservatives

Les forces perturbatrices non gravitationnelles ne dépendent pas de la masse NIs du satellite. Les accélérations correspondantes sont donc en (1/ NIs). Aux types de forces présentées ci-dessous, il faut ajouter les forces communiquées au satellite (par des jets de gaz, généralement) lorsqu'on veut modifier sa trajectoire. Ce sont les forces non conservatives qui permettent de piloter le satellite. (a) Frottement atmosphérique Pour les satellites en orbite basse (h < 1 200 km), le frottement sur les molécules de gaz atmosphériques résiduels est important. Il dépend de la forme du satellite (en particulier celle des panneaux solaires) et de l'état de la haute atmosphère, qui est difficile à modéliser (divers facteurs interviennent, dont l'activité du Soleil). Nous développons le sujet dans l'annexe Frottement atmosphérique en fin de chapitre. L'effet de l'atmosphère devient très faible 2Selon la théorie de la relativité générale, le champ de gravité terrestre affecte l'espacetemps au voisinage du satellite dont la trajectoire va différer de celle calculée par la mécanique classique. Cette action peut être représentée par une « accélération relativiste». On montre qu'elle se décompose en trois termes: le terme de Schwarzschild, la précession géodésique et la précession de Lense-Thirring. Le premier, de loin le plus important, fournit l'accélération "ICR étudiée ici. Les deux autres sont explicités au chapitre 7, à propos du satellite GP-B.

6.2. Méthode des perturbations: présentation

159

à partir de h = 1 000 km et décroît très rapidement avec l'altitude (très peu important pour TOPEX/Poseidon à 1300 km d'altitude, inexistant pour LAGEOS à 6 000 km).

(b) Pression de radiation La pression de radiation solaire est en a"5 2 , donc indépendante de r (car r « as). Les effets de cette pression de radiation dépendent de la forme, du revêtement, de la configuration du satellite 3 . Ils s'annulent lorsque le satellite est caché du Soleil par la Terre. L'accélération perturbatrice correspondante est évaluée à : IDP(r) = IDP = constante

cv

10- 7 m·s- 2

( c) Effet d'albédo Les effets de la pression de radiation rediffusée (rayonnement visible ondes courtes - renvoyé par la Terre, dit effet d'albédo, et rayonnement infrarouge - ondes longues - émis par la Terre) dépendent de la région survolée et de l'altitude. On peut les considérer en r- 2 .

6.2 6.2.1

Méthode des perturbations

présentation

Propagation d'orbite: méthode numérique et méthode analytique

Nous venons d'énumérer les perturbations qui représentent la différence entre potentiel newtonien et potentiel réel. Nous allons maintenant voir comment cet écart de potentiel provoque un écart dans le mouvement du satellite. On appelle restitution d'orbite la méthode qui permet de connaître, à tout instant, la position du satellite à partir du moment où le champ de forces et la position initiale sont connus. On classe ces méthodes de restitution selon le type d'intégration, en numérique ou en analytique. La première méthode fournit des séries de nombres - efficace mais peu intuitive. La seconde permet d'exprimer les modifications du mouvement de manière claire et imagée (par exemple, on dira que l'excentricité augmente, ou que l'orbite glisse dans un mouvement de précession). Autre opposition : la méthode numérique est lourde mais très précise, la méthode analytique est plus rapide mais n'atteint pas la même précision. Dans le cas des rendez-vous orbitaux, ou lorsqu'on veut éviter les collisions entre satellites, c'est la première méthode qu'il faut employer. Dans les études plus classiques d'orbitographie, la méthode analytique est amplement suffisante. Le logiciel Ixion et toutes les applications présentées dans ce livre sont basés sur la méthode analytique. 3Cette action perturbatrice est relativement importante pour les premiers satellites de type ballon, comme Echo-l, lancé en 1960, Echo-2, en 1964, PAGEOS, en 1966. Ces satellites très légers (une enveloppe de mylar aluminisé de 13 {Lm d'épaisseur, gonflée après le lancement) avaient un diamètre de 30 à 40 mètres.

160


Nous examinons rapidement les principes des deux méthodes. Mais, par la suite, avec la méthode de Lagrange, c'est uniquement la méthode analytique qui sera développée. Lorsque le satellite est soumis à la somme de l'accélération centrale newtonienne et d'une accélération de perturbation, on considère que, puisque la perturbation est faible, la trajectoire restera assez proche de la trajectoire conique. L'équation du mouvement s'écrit alors:

r le terme cipal :

ÎP

gradUo

=

+ YP

avec

Uo = ~

r

(6.13)

étant le terme de perturbation. Il est petit devant le terme prinJ.L

2 r et on ne considère ici que les champs d'accélérations perturbatrices dérivant d'un potentiel. Dans ce cas: ÎP«

YP = gradR où R est le potentiel perturbateur. Le satellite est donc soumis au potentiel U : U = Uo +R

(6.14)

Méthode numérique

Le système d'équations s'écrit dans ce cas: {

..

r

r= -IL r 3

+ YP

r(t=O)=ra;

r(t=O)=ra

(6.15)

L'intégration est basée sur des méthodes de construction progressive des éléments orbitaux. La méthode dite « à k pas» permet de déterminer les éléments au temps t = tn+l à partir des k éléments précédemment déterminés. Dans le cas k = 1, par exemple, l'intégration entre les temps t = ta et t = tN se fait avec un pas h = (t N - ta) / N. Chaque coordonnée cartésienne y, au temps t n+1, est évaluée en fonction de y au temps tn :

Dans le cas de la méthode d'Euler, cP représente la dérivée y/(tn). Des méthodes mieux adaptées et plus élaborées sont utilisées: - méthodes purement mathématiques, comme l'intégration de Runge-Kutta (fin du XIX€ s.), pour laquelle la fonction cP revient, dans sa forme la plus classique, à un développement de Taylor à l'ordre 4; - méthodes développées par les astronomes pour déterminer le mouvement


161

des planètes et autres corps célestes, comme les méthodes d'Adams-Bashforth ou d'Adams-Moulton, dites à pas multiple; - méthodes développées spécifiquement pour les satellites artificiels, à partir de 1957, comme la méthode de Cowell. Méthode analytique

On a démontré précédemment que le mouvement képlérien du satellite est défini par six paramètres orbitaux, les éléments orbitaux képlériens. On montre qu'il existe une correspondance bijective B entre les six éléments et les six coordonnées cartésiennes (dans le référentiel galiléen ~) des vecteurs Tet T:

{x(t), y(t), z(t), x(t), y(t), i(t)}

{a(t), e(t),i(t), D(t), w(t), M(t)}

Dans le mouvement képlérien, les 5 paramètres fixant la position de l'orbite (a, e, i, D, w) restent constants et JI.;[ varie linéairement: JI.;[ = n(t - t p ), en notant par t p l'instant de passage au périgée. Dans le cas du mouvement perturbé, l'étude de la transformation B montre que l'équation (6.13) est équivalente aux 6 relations: {

à

fl

= =

gl

g4

ë = g2 W =g5

i

=

g3

!VI - no =

g6

(6.16)

avec no = j 11/ a~, ao étant, dans un premier temps, la valeur de a sans perturbation. Les termes gi sont petits. Une approche classique consiste à utiliser ensuite une méthode itérative. Les paramètres, variables dans le temps, sont appelés éléments orbitaux osculateurs. Ils représentent les paramètres de l'orbite képlérienne que suivrait le satellite si les perturbations cessaient à cet instant. Ces éléments osculateurs 4 permettent de mieux décrire les déformations de l'orbite que les valeurs de la position et de la vitesse. C'est la méthode analytique qui permet, pour prendre un exemple, de mettre clairement en évidence l'inclinaison critique de l'orbite que nous verrons plus loin. La méthode des perturbations consiste à résoudre les six équations cidessus, appelées équations de Lagmngé. Voir figure 6.2. 4Le terme osculateur n'a pas la même signification qu'en géométrie. En géométrie, deux courbes sont dites osculatrices si les deux centres de courbure sont confondus pour un même point de contact considéré. Ici, dans l'étude des trajectoires spatiales, l'ellipse osculatrice (définie par les éléments orbitaux osculateurs) est tangente à la trajectoire réelle (puisque le vecteur vitesse est le même) mais n'a pas exactement le même rayon de courbure (puisque les accélérations sont différentes). Le terme a été créé par les géomètres (1752) et légèrement détourné de l'acception géométrique par les astronomes. La preuve en est son origine étymologique. Le mot est en effet emprunté du latin osculatio, nom d'action du verbe osculare, «faire un baiser», dérivé de osculum, «petite bouche», diminutif affectueux de os, oris, terme classique pour « bouche ». Il faut donc voir dans ce terme

162


.,..,,,,,.,.,, AVERTISSEMENT. ON 'a déja plufieurs Traités de Méchanique, nlaù:

MÉCHA NIQUE DE LA GRANGE.

propofé de réduire la théorie de cette Science, & l'art de réfoudre les pr~blêmes qui s'y rapportent, il des formules générales, dom le {impie développement:

AN ALITIQUE; Par M

le plan de cdui-ci dl emiérement neuf. .le me fuis

donne toutes les équations néceŒlirc_i pour la folution

'de chaque problème. J\::fpere que la manierc dont

dt; l'Académie des Scienca de FiUls ~

de ct:lles de BerIill, d;:Piters~ourg~ de Turin, ue.

j'ai tâché de rcmp~ir cet objet, ne laiJJera rien à

defii'er. Get Ouvrage aura d'ailleurs une autre utilité; il réunira &. préfentcra fous. un même point de vue, les différens Pl'Încipes trouvés ju[qu'ici pour facilirer la [oludon des quei1ions de Méchanique, en mon.... trera la liaifon & la dépendance mutuelle, & mettra. à portée de juger de ~eur jufteffe & de leur étendue .. Je le divife en deux Parties; la Statique ou la. Thé9fie c!e l'Équilibre, & la Dynamique ou la Théorie

A Chez

J;.A

M.

PA RIS,

DESAINT, rue du Foin S. Jacques.

VEUVE

DCC.

Libraite~

AVE R TISSE ME NT.

vj

LXXXVIII.

.ArI.C ,APPIJ.OjjATlON ET PRIVnEGE

DU

Rot.

.du Mouvement; & chacune de ces Parties traitera {éparément des Corps Colides & des. fluides. On ne trouvera point de Figures dans cet Ouvrage.

6.2 : Mécanique analytique de Lagrange. Édité à Paris en 1788 MDCCLXXXVIII. (g) Page de titre. (dr.) Avertissement. L'auteur y explique sa démarche, très novatrice : sa Mécanique devient une branche de l'Analyse. Et, pour montrer son parti pris d'abstraction, il ajoute : «on ne trouvera point de figures dans cet ouvrage ».

FIG.

Les méthodes que j'y expofe ne demandent ni conf.. truélions, ni raifonnemens géométriques ou méchaniques, mais feulement des opérations algébriques, aJ1ùjetties

à une marçhe réguliere & uniforme. Ceux

qui aiment l'Analy[e, verront avec plaiur la Méchanique en devenir une nouvelle branche 1 & me fauront ~ré -Il'~n

avoir étendu ;ûnfi le domaine.


6.2.2

163

Principe de la méthode

Le mouvement réel s'obtient par le calcul de petites variations autour des intégrales premières du mouvement non perturbé. Pour un champ d'accélérations perturbatrices dérivant d'un potentiel, les équations (6.13) et (6.14) donnent l'équation du mouvement

T= gradU

U = Ua +R

avec

(6.17)

qu'on transcrit, pour chacune des coordonnées cartésiennes de

au

au oy

ox

T,

par:

au Oz

Nous écrivons les résultats pour x. La première des équations ci-dessus donne, en décomposant les calculs : i;

di;

-

dt

dx dt

(6.18)

ox

(6.19)

-

au

En faisant intervenir les 6 éléments orbitaux képlériens (ou 6 variables convenablement choisies), on obtient i; sous la forme d'une somme de 6 termes et donc x sous la forme d'une somme de 36 termes. La méthode des perturbations utilise une résolution d'équations différentielles par la méthode de la variation de la constante. Le choix de certaines variables, dites variables canoniques, permet d'obtenir les équations de Lagrange sous une forme très simple, la forme canonique, comme les relations (6.60). Plusieurs ensembles de 6 variables offrent une telle possibilité, comme les variables de Delaunay, les variables de Poincaré ou les variables de Whittaker (ou Hill). Un mot sera dit par la suite des variables de Delaunay, mais nous n'entrerons pas ici dans ces puissantes théories mathématiques, développées en particulier pour les calculs de l'orbite des planètes, auxquelles s'attachent les noms d'Euler, Lagrange, Laplace, Gauss et Poincaré. une idée de contact étendu et appuyé. 5 Joseph Louis de Lagrange (1736-1813), mathématicien français. Il appliqua ses théories analytiques à l'étude du mouvement de la Lune et à sa démonstration de la variation périodique des grands axes des planètes, Théorie de la libration de la Lune et autres phénomènes qui dépendent de la figure non sphérique de cette planète (1763) et inventa la notion de potentiel de gravitation (1772). Toutes ces notions furent synthétisées dans son œuvre majeure, Mécanique analytique (1788). Il a créé la théorie des perturbations pour l'étude du mouvement des corps célestes, avec Sur la théorie des variations des éléments des planètes (1808). Il poursuivit les travaux d'Euler pour mettre au point la méthode de variation des constantes, dont il donna une version finale dans Sur la théorie générale de la variation des constantes arbitraires dans tous les problèmes de mécanique (1810). Son nom reste attaché aux équations et outils mathématiques utilisés dans ces théories.

164


6.2.3

Mise en place des crochets de Lagrange

On note les coordonnées cartésiennes par Çi, avec i = 1,2,3 :

6 =x

ô =z

6 =y

L'équation (6.17), équation du mouvement, s'écrit: (6.20) On note les éléments orbitaux képlériens par Sj, avec j

=

1,2,3,4,5,6 :

L'élément S6 est l'anomalie moyenne initiale. Il est introduit ici à la place de !vI pour faire apparaître directement (!VI - n) dans la relation (6.16). On a

la relation très simple :

e=

l'v! - nt = -nt p

(6.21)

où t p est l'instant de passage au périgée. Les équations (6.18) et (6.19) deviennent alors : i=I,2,3 (6.22) (6.23) On multiplie les trois équations (6.22) par (-aèi/aSk), les trois équations (6.23) par (aÇi/aSk) et on ajoute l'ensemble. On obtient le système:

t t {[i=l j=l

k

aèi aÇi aSk aSj

+

=

1,2,3,4,5,6

aÇi aèi aSk aSj

1dS

j }

dt

=

t {_ i=l

aèi èi aSk

+

aÇi au} aSk aÇi

(6.24) Ce système est équivalent aux équations (6.13), système du problème à résoudre. Étudions les deux membres de cette égalité. Pour le membre de gauche, on utilise la notation suivante. On pose : (6.25) L'expression [Ski Sj] s'appelle un crochet de Lagrange. Il y a donc 36 crochets de Lagrange.


165

Le membre de droite est constitué de deux termes. Le premier peut s'écrire:

On voit apparaître l'expression de la quantité T, homogène à un potentiel et représentant l'énergie cinétique par unité de masse (on note V le module de la vitesse du point considéré) : (6.26) Ce premier terme est donc égal à : (6.27) Le deuxième terme se transforme ainsi : (6.28) Si on pose:

F=U-T

(6.29)

le système (6.24), donc (6.13), est équivalent à : k = 1,2,3,4,5,6 6

dSj

L[Sk;Sj]dt j=l

=

8F

(6.30)

8S. k

Cette grandeur F correspond à une énergie par unité de masse. On l'appelle parfois fonction force ou fonction hamiltonienne (car elle correspond à l'opposé de l'hamiltonien). On pourra se reporter, chapitre 4, au paragraphe consacré à l'énergie 6 . 6Si on compare les équations donnant l'énergie, (4.106) et (6.29), on remarque, avec les notations employées et m étant la masse du satellite: U = -mU

T = +mT ~

E= T

+U

= -m(U - T) = -mF

-E/m=F=U-T

Dans les études d'orbite et de trajectoires spatiales, on préfère utiliser les accélérations plutôt que les forces, le potentiel U plutôt que l'énergie potentielle -U, car la masse du satellite n'a aucune importance dans les calculs (sauf pour l'étude du frottement atmosphérique et des forces de pression de radiation). De plus, nous avons vu que l'énergie E est négative dans le cas du mouvement périodique. La convention utilisée pour F permet d'avoir des valeurs positives pour cette grandeur.

166

6.2.4


Propriétés des crochets de Lagrange

Antisymétrie des crochets

L'examen de la définition des crochets de Lagrange donnée par l'équation (6.25) montre facilement que:

On en déduit que sur les 36 crochets, 6 sont nuls et sur les 30 qui restent a priori non nuls, seuls 15 sont à calculer. Invariance des crochets avec le temps

Le crochet de Lagrange est défini, par (6.25), comme la somme de trois termes. Pour calculer la dérivée par rapport au temps d'un crochet de Lagrange, commençons par le faire pour un élément i de la somme. Cela donne: -d

1

çi -aèi- - -aèi- -aÇi[a --

aSkaSj aSk aSj aèi aèi+aÇi-aé~ aé~ aÇi - -aèi - aèi aSkaSj aSkaS-j -aSaS aS k j kaSj dt

aÇi aé~

aé~ aÇi

(6.31)

Pour établir une symétrie d'écriture dans les termes, qui permettra des simplifications, il est intéressant d'ajouter et de retrancher à (6.31) l'expression suivante: . a2 èi . a2 Ç, (6.32) Çi askas + ç, askas) j

On obtient alors:

la dernière égalité étant obtenue avec la relation fondamentale (6.20). Ensuite, on somme sur les trois valeurs de i, en intervertissant le signe « somme» (sur i) et les signes « dérivées partielles» (sur j et k). On utilise les relations (6.26) pour T, (6.28) pour la dérivation de T et (6.29) pour F.

6.3. Méthode des perturbations: résolution

On obtient:

167

:t -

a~k {t, [~i ~Z :t1} - a~j {t, [~i :1: -~z :~: 1} au } aSj

a {aT aSk aSj

a2 F

askasj

o

a2 F

a {aT aSj aSk

au } aSk

asjask

L'équation: (6.33)

montre finalement que l'expression [Ski Sj] ne dépend pas du temps. La valeur du crochet peut évidemment varier avec le temps si l'un ou plusieurs des paramètres orbitaux varient avec le temps. Mais au cours d'une révolution, on peut considérer les paramètres Si comme constants et [Ski Sj] reste donc constant. Cela signifie que pour évaluer sa valeur, il suffit de le faire en un seul point de l'orbite.

6.3 6.3.1

Méthode des perturbations

résolution

Calcul des coordonnées

Coordonnées dans le plan orbital

Pour calculer les facteurs du crochet de Lagrange, (a~daSk) et (aê,daSj), on exprime les coordonnées cartésiennes en fonction des paramètres. Pour cela, on écrit la position du satellite dans un repère orthonormé direct (0; X, Y, Z), lié au plan P de l'orbite, 0 est le centre attractif (centre de la Terre). Le plan P contient OX et OY, OX passe par le périgée P, OZ, perpendiculaire à P, est porté par le moment cinétique C du satellite. Dans ce repère, on peut écrire les composantes du rayon vecteur X, Y, Z, d'après les équations (4.66) et (4.67)

X

T

y

Tsinv = a ~ sinE

Z

0

cos V

=

a (cos E - e)

On rappelle que l'anomalie excentrique E qui intervient dans ces formules est reliée à l'anomalie moyenne JI.;[, utilisée comme paramètre orbital, par (4.64),

168


dite équation de Kepler. En lz dérivant par rapport au temps, on obtient: (1 - e cos E) -de = dt on obtient les vitesses

TI

=

~t a3

X, Y, Z : {IJ:

V-;;

[K o

sinE 1 - e cos E

t ~ cosE - VI - e~ a 1- ecosE

Coordonnées dans le plan équatorial

Pour passer de ce repère au repère confondu avec le référentiel 1R, à savoir le repère (O;x,y,z), lié au plan équatorial E, où Oz est porté par l'axe des pôles, il faut effectuer trois rotations, clairement définies avec les angles d'Euler (al = D ; a2 = i ; a3 = w) vus au chapitre 5. On pourra se reporter à la figure 5.1. Les coordonnées cherchées, x, y, z et X, y, i se déduisent de X, Y, Z et X, Y, Z par le produit de trois matrices de passage. Le calcul détaillé de ces trois matrices et de leur produit est fait plus loin, lors du calcul de la trace du satellite. La valeur de la matrice de passage, notée P, est donnée par l'équation (8.8). Avec les angles utilisés ici, on obtient la matrice carrée (3 x 3) :

P=

cos D· cosw - sin D . sin w . cos i

- cos D· sinw - sin D· cosw· cosi

sin D . sini

sin D· cosw + cos D . sin w . cos i

- sin D· sinw + cos D . cos w . cos i

- cos D· sin i

sin w . sin i

cosw . sin i

cosi

Les grandeurs X, Y, Z, X, Y, Z ne dépendent que de trois paramètres orbitaux, a, e et E (on remplacera ensuite E par NI) ; les éléments de la matrice P ne dépendent que des trois autres, D, i, w. Les grandeurs x, y, z, x, y, i dépendent des six éléments orbitaux: X(a,e,E) P(D,i,w) [ Y(a,e,E)

o

X(a,e,E) P(D,i,w) [ Y(a'oe,E)

1

(6.34)

1

(6.35)


En notant les coordonnées x, y, z par Çi, comme vu plus haut et X,

èi' on a, avec 'i = 1,2,3:

Çi

Pi1X

Çi

Pi1X

169

y, i

par

+ Pi2 Y + Pi2 Y

et en notant Pij l'élément de la ligne 'i, colonne j de la matrice P. Calcul des dérivées par rapport aux éléments orbitaux

La dérivation des trois valeurs de Çi, définies ci-dessus, par rapport aux éléments orbitaux donne: si Sk : D, 'i, w si Sk : a, e, E et on obtient des résultats analogues pour

aèi

èi : si Sk : D, 'i, w

aSk

aèi

si Sk : a, e, E

aSk

(a) On calcule les dérivées de X, Y, X, Y par rapport à Sk, puis on prend leur valeur en un point quelconque de l'orbite. On choisit évidemment le périgée (v = E = M = 0), le point qui amène le plus de simplifications. La relation entre dE et d1Vl, découlant de (4.75), a été déjà vue un peu plus haut. Le calcul de k donne:

aXjaS

ax aa ax ae ax aM

cosE - e

-a -asinE·

1 1 - cosE

et la valeur de ces grandeurs au périgée est :

ax

ax ae

-=-a

aa=l-e

ax aM =0

De même avec les autres coordonnées, on obtient après dérivation et calcul au périgée:

ay aa

-=0

ay ae

-=0

170


oX oa

oX oe

-=0

oX

-=0

01' oe

01' _ n~ oa - -"2 1- e

na e)2

(1 -

aM

01'

na

aM =0

(1 - e)~

(b) La dérivation de F ij par rapport à Sk se fait classiquement, sans simplification possible.

6.3.2

Calcul des crochets de Lagrange

Calcul du crochet [a;

Ml

Nous allons calculer le crochet [a; M]. D'après la définition (6.25), on écrit le crochet de Lagrange relatif aux deux éléments a et l'v! :

[a' M]

'

=

~ [ - O~i oa

~

i=l

OÇi aM

+ OÇi O~i 1 oa aM

-Fil2

1+ e i2 2] +-F

Avec les calculs précédents :

OÇi

oa

O~i

oa

OÇi aM

O~i aM

on obtient:

[a;M]

2:

na

3

= --

1-e

[

i=l

2

La matrice P est telle que, pour tout j, on a : 3

2:Fi~ i=l

= 1

ce qui donne finalement pour le crochet :

[a;M]

e] 2

na [-1 +-1+

= --

1- e

na 2


171

Valeur des crochets de Lagrange

On effectue de même les calculs de tous les crochets. Sur les 15 à évaluer, comme nous avons vu plus haut, les calculs montrent que 9 d'entre eux sont nuls. Les 6 crochets non nuls ont les valeurs suivantes :

[a; D]

= -

[D;a]

_na ~ cosi

(6.36)

[a;w]

= -

[w;a]

_na~

(6.37)

[a;M]

= -

2

na

[M;a]

[e;D]=-[D;e]

6.3.3

2

2

+na

2 2

(6.38) e

JI=e2

cosi

e

(6.39)

[e;w]

= -

[w; e]

+na ----===

(6.40)

li; D]

= -

[D;i]

+na 2 ~ sini

(6.41 )

JI=e2

Équations de Lagrange

Obtention des équations de Lagrange

On peut maintenant écrire l'équation (6.30) en explicitant les valeurs des dérivées partielles de F avec les valeurs non nulles des crochets. On obtient les valeurs de (aF / aSk ), k = 1, ... ,6.

aF aa aF ae aF ai aF aD aF aw aF aM

+ [a; D] D +

[a;w]w + [a;M]Ü

(6.42)

+ le; D] D +

[e;w]w

(6.43)

+[i;D]D

(6.44)

- [a; D] à - le; D] è - li; DH

(6.45)

-[a;w]à-[e;w]è

(6.46)

- [a;M]à

(6.4 7)

Le formalisme d'écriture des deux groupes d'équations ci-dessus montre tout l'intérêt de noter systématiquement les paramètres dans l'ordre choisi: a, e, i, D, w, lvI. On résout le système linéaire des 6 équations (6.42) à (6.47) et on exprime les crochets de Lagrange. On obtient ainsi une relation matricielle qui permet de connaître les dérivées des éléments orbitaux par rapport au temps en fonction des dérivées partielles de la fonction F par rapport aux éléments

172


orbitaux:

BF Ba BF

da dt de dt di

De BF

dt

Di

Lü

dn

dt

(6.48)

BF

Bn

dw

BF Bw BF

dt

dM dt

BN!

La matrice Lü est notée dans le tableau 6.2, sous le nom de L (nous allons voir ci-dessous que ces deux matrices sont identiques). On note deux propriétés importantes de Lü : - c'est une matrice antisymétrique; - elle ne dépend que des trois éléments a, e, i : Lü = Lü(a, e, i). On obtient les valeurs suivantes pour chacun des éléments orbitaux, en explicitant (tableau 6.2), les abréviations IJ", 7 et l'

da

1 (

-

na

dt de dt

na2

7(

_1_ na 2

IJ"1' ( _

1

di dt dD dt dw dt dM dt -

OF)

(6.49)

2 oM

1 --IJ"1'

na 2

oF

+ ol'vl

oF

+ cosi OF)

-1' ow

oD

OF)

(6.50)

ow

(OF) oi

(6.51) (6.52)

(7 oF _ IJ"cosi OF) oe oi _1_ (-2a oF _ 7OF) na 2 oa oe _1_ l' na 2

(6.53) (6.54)

Ce système d'équations constitue l'ensemble des équations de Lagrange en fonction de F. Introduction du potentiel perturbateur

Au lieu d'utiliser la fonction F, nous allons faire apparaître le potentiel perturbateur R, défini par (6.14). En exprimant U et T, l'équation (6.29) devient: F

2

IL V -+R--

r

..!!:....+R 2a

2

(6.55)

car on peut appliquer aux éléments osculateurs de l'orbite l'équation (4.38) vue pour une orbite périodique.


Le potentiel perturbateur vées partielles : - pour Sj = e, i, fl, w, NI

- pour Sj = a

aF aa

n remplace ainsi F

IL 2a

an aa

n2 a

173

dans l'expression des déri-

an aa

- = - -2+ - = - - + 2

Dans le système d'équations de Lagrange ci-dessus, il suffit donc de remplacer (aF / aSj ) par (an/ aSj ) pour les cinq premières équations. Pour la dernière, l'équation (6.54) devient: dM 2 an 1 1 - e 2 an --=n---------dt na aa na 2 e ae Équations de Lagrange en fonction du potentiel perturbateur

Nous écrivons finalement les équations en fonction du potentiel perturbateur n et en exprimant les éléments orbitaux. Le résultat est dans le tableau 6.2. Ce système d'équations constitue l'ensemble des équations de Lagrange, qui correspond, par équivalences successives, à l'équation (6.13) de départ, l'équation du mouvement. On l'écrit à l'aide de la matrice L, équivalente à Lü définie ci-dessus par (6.48). Cela correspond au système d'équation initial, (6.17) ou (6.20), dans lequel on a substitué M à B : M -nt

=

B

an

aM

an

aB

En conclusion de cette partie: on a montré que, lorsque le champ d'accélérations perturbatrices dérive d'un potentiel, le mouvement du satellite est défini par les équations de Lagrange. On vérifie que si n = 0, on retrouve la solution du problème à deux corps, la solution de Kepler: a, e, i, fl, w sont constants et l'anomalie moyenne est donnée par NI = n(t-t p ), correspondant à B constant. Dans le cas général (en cours d'itération), on considère que n est exprimé en fonction des nouvelles variables.

6.3.4

Éléments orbitaux métriques et angulaires

La matrice L fait apparaître clairement la séparation des paramètres orbitaux en deux groupes: a, e, i d'une part, fl, w, l'vI d'autre part. On voit en effet dans les équations de Lagrange que les dérivées par rapport au temps de a, e, i ne font intervenir que des dérivées partielles de n par rapport à

174


(2 :~)

1

da dt

na

de dt

na2 - e -

-

1 1 - e2

-

(

-

1

v:t=e2

1

di dt

-

na2~1

dD dt

- e 2 siwi 1

na 2v:t=e2· - e sm?,.

dw dt

1

-

na2~1

dM ---n dt

1

-

e2

oR oR ) ow + oM

( _ oR + cos i OR) oD ow

(~~)

(1 - e 2 oR e oe

cosi OR) sini oi

( _ 2a oR _ 1 - e 2 OR) oa e oe

na 2

Sous forme matricielle :

L

an an Be an Bi an an an aw an aM

0 0 0 +IJT -IJTcosi 0

0 0 -IJT 0 0 0

da dt de dt di

Ba

dt

dn

dt dw

dt

dM dt

L

1 na 2

avec:

0 0 0 0 0 -2a

-n

0 0 0 0 +TT -T

1 IJ = -.-. sm'{

1 - e2 T=--e

0 -TT +IJTCOS i 0 0 0

T=

+2a +T 0 0 0 0

1 ~l- e 2

6.2 : Équations de Lagrange pour les six éléments orbitaux, en fonction du potentiel perturbateur R.

TABLEAU


175

n, w, NI, et inversement. Cela peut s'écrire avec des notations globales: an an an) {da de di} il (a, e,i; an' aw , aM dt' dt' dt an an {dn dw dM} 12 (a, e,i; aa , ae , an) dt' dt' dt ai où il et 12 sont des fonctions de (a, e, i) et des dérivées partielles mentionnées. Les paramètres (a, e, i) sont appelés éléments orbitaux métriques 7 , ou plus brièvement éléments métriques, les paramètres (n, w, J'v!), les éléments angulaires. En notant Pi les éléments métriques et qi les éléments angulaires, on peut écrire les deux relations précédentes sous la forme : (6.56)

Remarque. La quantité na2~ apparaît trois fois au dénominateur des expressions dans le système d'équations noté dans le tableau 6.2. En reprenant les relations des orbites képlériennes pour les éléments osculateurs, l'équation (4.27) devient:

La quantité cherchée est donc le module du moment cinétique du satellite, noté C : C -_ na 2~_ V 1 - e~ - n a b (6.57)

6.3.5

Cas des paramètres mal définis

Deux cas, déjà abordés au chapitre 5 à propos des paramètres orbitaux, peuvent amener des difficultés dans la définition de certains paramètres. Il s'agit du cas e = 0 et du cas i = O. L'excentricité e apparaît au dénominateur des expressions de è, w et NI dans les équations de Lagrange (tableau 6.2). Si e est nul, ces quantités ne sont pas définies, ce qui est logique, puisque, comme nous avons vu, le périgée n'étant pas défini, w et ne peuvent l'être. L'inclinaison i apparaît au dénominateur dans i, fl et w. Si i est nul, ces quantités ne sont pas définies, ce qui est là aussi logique, puisque, le nœud ascendant n'étant pas défini, n et w ne le sont pas.

NI

7 Cette appellation permet de distinguer les deux groupes. Mais le terme « métrique» peut prêter à discussion. S'il fait référence à «longueur», seule la grandeur a est une longueur. S'il veut s'opposer à « angulaire », l'inclinaison i est un angle. Ici, « métrique» attribué à e et i, indique que ces deux éléments ont un comportement mathématique qui les fait se rapprocher de a. Les variables de Delaunay, présentées un peu plus loin, permettent d'éviter cette ambiguïté: les variables d'un même groupe ont même dimension.

176


Dans ces deux cas, une solution est d'abandonner les paramètres orbitaux

« classiques» pour les remplacer par d'autres, obtenus par des combinaisons

bien choisies de ces paramètres. Mais nous verrons un peu plus loin que, lorsque le potentiel perturbateur est limité au terme en J 2n du potentiel terrestre, la fonction R est telle que les indéterminations pour e = 0 et pour i = 0 sont levées. Par exemple, en ce qui concerne l'indétermination i = 0 pour D, on verra que R est une fonction de (sin 2 i). Sa dérivée par rapport à i donne un terme en (sin i . cos i) qui fait disparaître le terme en (sin i) du dénominateur de D. Dans ce cas, la valeur D est parfaitement définie pour i = O. Avec ce type de potentiel perturbateur, nous trouverons que toutes les vitesses angulaires D, w, ~1 sont bien définies pour e = 0 ou i = 0 (ou e = 0 et i = 0), même si l'origine des angles ne l'est pas.

6.3.6

Éléments de Delaunay

La forme de la matrice L, donnée dans le tableau 6.2, les symétries et similitudes dans les crochets de Lagrange, suggèrent d'opérer un changement de variables pour obtenir une formulation de résultats encore plus simple et pour avoir les éléments en deux groupes homogènes. Ces éléments sont appelés variables de Delaunay8 ou éléments de Delaunay. On les écrit ainsi, en séparant clairement les éléments L, G, H, qui ont la dimension d'un moment cinétique par unité de masse (variables d'action) et les éléments angulaires (l, g, h) associés, sans dimension (variables angulaires)

L=J7Ia { I=M

G

=

L ~1- e 2

g=w

H = G cosi h = fl

(6.58)

Les équations de Lagrange s'écrivent alors sous forme très simple: ce sont les équations de Delaunay. {

dL dt dl dt

=

aF

al

aF --

aL

dG dt dg dt

dH dt dh dt

aF

ah

aF

(6.59)

aH

Charles Delaunay (1816-1872), astronome français, est l'auteur de nombreux travaux dont une étude très détaillée du mouvement de la Lune. Il détecta de légers désaccords entre ses prévisions et les observations. Le Verrier déclara que l'erreur était dans les formules de Delaunay, lequel répondit que les désaccords venaient de causes inconnues, mais pas de ses équations. En 1865, Delaunay émit l'hypothèse que ces différences provenaient du léger ralentissement de la rotation de la Terre, dû aux frottements des marées. Cette théorie est reconnue aujourd'hui. La méthode de Delaunay n'est plus utilisée à présent pour étudier le mouvement de la Lune, mais elle l'est toujours pour les satellites d'autres planètes. Revenons quelques instants sur son œuvre majeure, Théorie du mouvement de la Lune (1867). La fonction R de perturbation est donnée sous la forme d'une équation de 1967 termes, qui occupe 21 pages. Comme l'écrit l'auteur, il ne reste plus ensuite qu'à intégrer R pour obtenir les coordonnées de la Lune en fonction du temps, à l'aide des variables de Delaunay. Cela prend les 860 pages suivantes. (Tant qu'on ne l'a pas vu, on ne peut pas le croire !). 8

6.4. Résultat du traitement des perturbations (terme en

avec:

hl

177

2

F=L+R

2L2

Les équations s'écrivent, plus simplement que dans (6.56), sous forme canonique:

.

aF

Pi=aqi

.

aF

qi=-api

(6.60)

où les variables Pi représentent les variables d'action et qi les variables angulaires associées. D'après l'équation (6.57), G est égal au moment cinétique Cet H à sa projection sur l'axe des pôles, Oz : H

=

Ccosi

=

Cz

(6.61)

Nous n'utiliserons pas, par la suite, les variables de Delaunay (sauf H un peu plus bas). Elles sont données comme exemple de notations homogènes, avec un sens physique, amenant à des équations canoniques. La méthode hamiltonienne, de Von Zeipel et Brouwer 9 , consiste à intégrer les équations de Lagrange en utilisant les variables de Delaunay.

6.4

Résultat du traitement des perturbations - potentiel terrestre jusqu'au terme en J 2

Pour obtenir ce que nous cherchons finalement, à savoir les dérivées par rapport au temps des six paramètres orbitaux, il nous faut appliquer les équations de Lagrange, et donc connaître la valeur du potentiel perturbateur R. Nous n'allons considérer ici que la perturbation due au potentiel terrestre. On n'envisage pas les autres perturbations gravitationnelles (comme celle due au potentiel d'attraction luni-solaire), considérées ici comme négligeables. Pour le potentiel terrestre, nous allons procéder progressivement en considérant d'abord (§ 6.4.1) le premier harmonique zonal, en h, puis (§ 6.5.1) tous les harmoniques zonaux, jusqu'en ln, et enfin (§ 6.5.2) le cas général, avec tous les harmoniques, zonaux, sectoriels et tesséraux.

6.4.1

Expression du potentiel perturbateur - jusqu'au terme en J 2

On considère le développement du potentiel jusqu'au degré 2. On utilise alors l'équation (3.27) et avec U = Ua + R, on écrit la valeur de R :

R = _ JLR2 1 2 3 sin 2 .1jJ - 1 r3 2

(6.62)

Pour étudier cette valeur sur une période, exprimons tout d'abord r et

VJ.

9Méthode développée par Von Zeipel pour les astéroïdes, en 1916, et reprise par Brouwer, en 1959, pour être appliquée aux satellites artificiels.

178


z

FIG. 6.3 : Représentation du point subsatellite Sa, repéré par la position sur orbite a et par la latitude géocentrique.

Expression de r et de 'IjJ

La distance r s'exprime en fonction de (a, e, v) comme nous l'avons vu. L'équation (4.60) donne: a(l - e 2 ) r = ----'----'-(6.63) 1 + ecosv L'angle VJ est la latitude du satellite (latitude géocentrique, bien entendu). Pour exprimer 1/;, nous considérons les points suivants (figure 6.3) : N, la trace du nœud ascendant, So, la trace du satellite et Q, le point de l'équateur sur le méridien de So (c'est-à-dire l'intersection du demi-plan SoOz avec le cercle équatorial). Dans le triangle sphérique NSoQ, rectangle en Q, l'angle N est l'angle dièdre ([, P), c'est-à-dire l'inclinaison i. Les côtés connus du triangle (arcs de grand cercle) sont : QSo =.1jJ

NSo =a

La règle des sinus (voir, en fin de chapitre, l'annexe Trigonométrie sphérique) donne ici, avec la relation (t.s.-VIII) 1

sina

(6.64)


ce qui conduit, avec relation:

Ct

= w

+v

(puisque

Ct

hl

179

est la position sur orbite), à la

+ v)

sin VJ = sin i . sin(w

(6.65)

Expression de R

n apparaît ainsi que R est fonction de grandeurs constantes (a, e, i, w sont considérés constants sur une révolution) et de v. Sa variation est donc périodique, et de même période (T = 27r / n) que le mouvement képlérien. On remarque que R ne dépend pas de n. C'est attendu dans la mesure où on considère comme seule perturbation celle provenant du remplacement de la sphère par un ellipsoïde de révolution. Dans ce cas, aucune longitude terrestre n'est distinguée. La position du nœud ascendant, donc la valeur de n, est indifférente et on a : (6.66) aR/an = 0 Intégration de R sur une période

On calcule (R), valeur moyenne de R sur une période T, en intégrant par rapport au temps, c'est-à-dire par rapport à l'anomalie moyenne NI : 1 (R) = T

j.T 0

1 Rdt = 27r

j.21f 0

RdM

On exprime d'abord dNI en fonction de dv. Cette relation est donnée par l'équation (4.77) obtenue par application de la loi des aires:

divI

=

r2 a2~1

- e2

dv

En utilisant les variables r, 1jJ et v, on obtient, les bornes d'intégration étant les mêmes pour v et l'vI :

ce qui donne, avec (6.63) et (6.65) 27r (R) avec:

I

=

Jo(21f

{3 sin 2 i - 2 - [1- cos2(v

+ w)]-l }

(1

+ ecosv)dv

180


En développant les termes de cette expression, on voit que l'intégration des termes périodiques en v sur l'intervalle [0,27T] donne un résultat nul, comme par exemple:

j .21f 0

cosv cos2(w

+ v)

1 dv = 6

j.21f 0

sin(3v

+ 2w) + 3

sin(v

+ 2w) dv =

0

La seule contribution non nulle est fournie par les termes constants, ne dépendant pas de v :

La valeur moyenne du potentiel est donc, jusqu'au degré 2 : (6.67) Variations périodiques et séculaires

L'intégration de R sur une période montre qu'on peut décomposer cette grandeur en deux parties, sous la forme: (6.68) où la partie Rs = (R), constante, représente la valeur moyenne, et où la partie Rp, périodique, a une valeur moyenne nulle sur une période. La seule partie du potentiel à créer des effets sur un temps long (supérieur à la période T) est donc Rs. Ces variations, lentes mais proportionnelles au temps, sont appelées séculaires 10 (par opposition à Rp qui provoque des effets périodiques) . On obtient les variations séculaires des paramètres en dérivant cette partie Rs du potentiel perturbateur R. L'équation (6.67) montre que Rs = (R) s'exprime uniquement en fonction des éléments métriques:

Rs

6.4.2

=

Rs(a, e, i)

Variation des éléments orbitaux

Calcul de la variation des éléments orbitaux

On peut appliquer les équations de Lagrange: on remplace, dans les six équations du tableau (6.2), le potentiel perturbateur R par sa partie séculaire

Rs.

lOSéculaire, du latin sœculum, « siècle». Qui a lieu tous les cent ans. Au XVleS., le terme est pris par l'astronomie: se dit de ce qui exige des siècles pour que l'effet s'en fasse sentir.


hl

181

Les dérivées relatives aux éléments métriques, (da/dt), (de/dt), (di/dt), obtenues par dérivation par rapport aux éléments angulaires, sont donc toutes nulles. Par conséquent, les paramètres a, e, i restent constants au cours du temps. Par contre, les dérivées relatives aux éléments angulaires, (dD /dt), (dw /dt), (d1Vl/ dt), obtenues par dérivation par rapport aux éléments métriques, ne sont pas nulles. Les dérivations partielles de Rs exprimé par (6.67) donnent:

aRs oa aRs oe aRs ai

3

-- Rs a

(6.69)

---2

(6.70)

3e Rs 1-e 6 sini cosi R 3 sin 2 i _ 2 s

(6.71)

On remplace IL par n 2 a 3 et obtient finalement les résultats suivants:

o o o

il

è

(6.72) (6.73) (6.74)

nh (~a ) 3 nh (R)2 --3-2)2 (R)2 ~

---,------3 2(1 - e 2)2

2)2 ( 41-e

JÙ - n

=

L1n

03

4(1 - e

2

a

n J2

a

cosz

(6.75)

(5cos 2 i-1)

(6.76)

(3cos 2 i -1)

(6.77)

Les paramètres orbitaux sont donc, en fonction du temps t, pris à partir de l'origine t = 0 :

a(t)

D(t)

ao

= =

Do

e(t)

+ Dt

M(t) = Mo

= eo

w(t)

i(t) = Wo

+ n t + (L1n)

= io

(6.78)

+ LÜ t

(6.79)

t

(6.80)

Ce système d'équations représente, en fonction des paramètres orbitaux, la solution à l'équation du mouvement, l'équation (6.13). Remarques sur les variations des éléments orbitaux

En résumé, si on compare la trajectoire réelle du satellite (trajectoire perturbée sous l'action du terme h du potentiel terrestre) à la trajectoire képlérienne, on note les points suivants pour chaque élément képlérien.

182


(1) Le demi-grand axe a de l'orbite reste constant.

(2) L'excentricité e de l'orbite reste constante.

(3) L'inclinaison i de l'orbite sur le plan équatorial est constante. (4) Le plan de l'orbite a une rotation uniforme autour de l'axe des pôles,

avec une vitesse angulaire constante fl; ce mouvement s'appelle le mouvement de précession de l'orbite ou précession nodale l l . Lorsqu'on parle de mouvement de précession, sans plus de précision, il s'agit généralement de ce mouvement. D'après (6.75), il se fait dans le sens direct ou rétrograde selon l'inclinaison du satellite. sens direct sens rétrograde

fl ~ fl::::;

0

~

cos i ::::; 0

0

~

cos i ~ 0

W) rf.V l W)

Domaine VI

=

E VI

[0.00,90.00]

(5) Le pengee (et donc toute l'orbite) a une rotation uniforme, dans son plan, avec une vitesse angulaire constante w; ce mouvement s'appelle le mouvement de précession apsidale. D'après (6.76), il se fait dans le sens direct ou rétrograde selon l'inclinaison du satellite. sens direct sens rétrograde

w~ 0 w::::;

0

4

~

sin 2 i ::::;

"5

~

sin 2 i ~

"5

4

Domaine V 2

~

W) rf.V 2

~

W)

=

E

V2

[63.43,116.57]

On définit l'inclinaison critique par: ic = arcsin

(~)

(6.81)

Pour les deux valeurs, l'angle ic et son supplémentaire, la vitesse de précession apsidale w s'annule. 7,

=

Zc

{

i = 180° - ic

63.43°

(6.82)

La valeur de l'inclinaison critique est indépendante de a et de e. Elle est recherchée pour l'orbite très elliptique de certains satellites car elle permet ainsi d'éviter la précession apsidale : la position de l'apogée reste fixe sur l'orbite, ce qui est un point fondamental, comme on le verra, pour les satellites de communication de type Molnya. I l Nodal signifie que le mouvement concerne la «ligne des nœuds », ligne qui relie le nœud ascendant au nœud descendant. Cette droite est l'intersection du plan équatorial et du plan orbital, comme nous l'avons vu précédemment au chapitre 5. Apsidal, qui intervient un peu plus loin, concerne la « ligne des apsides », définie au chapitre 4.

6.5. Résultat du traitement des perturbations (cas général)

183

Lorsque west calculé avec un développement au-delà de h, la valeur obtenue pour 'ic dépend très légèrement de a et e. Elle diffère de quelques centièmes de degré de celle obtenue par (6.81). Voir à ce propos l'exemple 7.1. (6) Le moyen mouvement (réel) du satellite est différent de celui qu'il aurait s'il n'y avait pas d'aplatissement. D'après (6.77), il peut être plus rapide ou plus lent selon l'inclinaison du satellite. On donne un peu plus loin les différentes définitions des périodes du mouvement. La quantité .dn est (parfois) appelée appoint au moyen mouvement. plus rapide plus lent

.dn? 0

{==}

.dn

{==}

~

0

2 sin 2 'i ~ 3 2 sin 2 'i? {==} W) E D3 3 Domaine D3 = [54.74,125.26]

Des exemples de calcul sont donnés dans les chapitres suivants. On trouvera (figures 7.1, 7.3 et 7.4) la représentation respective des grandeurs D, w et .dn en fonction de l'inclinaison. Remarque. On note que le signe des trois quantités relatives aux éléments angulaires, D, w et JÙ - n, ne dépend que de l'inclinaison 'i.

6.5 6.5.1

Résultat du traitement des perturbations - cas général Cas du potentiel terrestre jusqu'au terme en J n

Remarque sur les harmoniques zonaux

On peut noter un point intéressant lorsque, comme ci-dessous, on considère que la Terre possède une symétrie de révolution. Dans ce cas, le potentiel terrestre est limité aux harmoniques zonaux (c'est-à-dire le développement utilisant les termes J n et pas les harmoniques sectoriels ou tesséraux) dont la contribution au potentiel complet est, comme nous avons vu, de très loin la plus importante. L'accélération perturbatrice YP' définie à l'équation (6.15), est alors dans le plan contenant le satellite et l'axe des pôles. Elle peut donc se décomposer en :

(6.83)

le vecteur unitaire de OS étant noté par eT) celui de l'axe des pôles Oz étant noté par e z . Le moment cinétique G donne, avec l'équation (4.5), par dérivation par rapport au temps:

dG dt

r 1\ r

=

r 12 (e r

r er 1\

1\ [( -

ez )

~ + Il) er + 12 e z ]

184


ce qui est un vecteur perpendiculaire à e z . En notant par C z la projection de C sur l'axe des pôles, on a donc:

dG - . e =0 dt z On a vu plus haut, équation (6.61), que C z correspond à la variable de Delaunay H, ce qui donne ici: dH dCz dt - dt -

---~-o

On en déduit la propriété suivante: H

=

J pa(l -

e 2 ) cos'i

=

ViiP cos 'i =

constante

(6.84)

Cette relation est une caractéristique très générale des orbites perturbées par des termes zonaux de même axe. On note la formule suivante, obtenue par différentiation à partir de cette relation (6.84) : 1 e . . - da = - - de + tan't d,t (6.85) 2a 1 - e2 Comme H est l'élément métrique associé à l'élément angulaire h = D, on a dans ce cas, d'après (6.59) : (6.86) ce qui montre que la fonction F ne dépend pas de D. Cela permet de retrouver ce que nous avions vu un peu plus haut : si le potentiel terrestre ne fait pas intervenir la longitude, donc s'il n'utilise que les harmoniques zonaux, R (ou F) est indépendant de D, comme vu avec la relation (6.66). Calcul du potentiel perturbateur R

Nous considérons donc ici la Terre comme un corps à symétrie de révolution. Le potentiel U ne fait intervenir que les termes J n . La formule complète (3.28) se réduit à : (6.87) Le potentiel perturbateur R s'obtient par la différence de U et de Ua. Sa valeur remplace alors celle donnée par la relation (6.62). (a) Commençons le calcul de R par un développement jusqu'au degré 3, qui fait appel aux polynômes de Legendre P2(sinljJ) et P 3(sil1ljJ). Nous obtenons:

R=-~[h (~r

3Sin22VJ-1+J3

(~r

2 5Sin 2VJ-3 sin1/J]

(6.88)


185

écrit sous forme simplifiée (Rn pour le degré n)

où R 2 correspond à la somme Rs + Rp, équation (6.68). Comme précédemment pour R = R2, on calcule la valeur moyenne (R 3 ) de R3 sur une période : 27T (R 3)

=

1

271"

a

R3 dM

= -

R3 J

3 1 2a 2 (1 - e 2 )2 ,IL

j.271" 5 sin 2 1jJ - 3

r2

a

sinI/J dv

en utilisant (4.77). De plus, avec (6.63) et (6.65), on obtient: 27T (R 3 ) = -

ILR3J

3

5

2a 4 (1 - e 2 )2

sil1i.:1

avec: {271"

.:1= Jo

[5sin 2 i sin 2(w+v)-3] (1+ecosv)2 sin(w+v)dv

Cette intégration est lourde à effectuer « manuellement». Avec une décomposition astucieuse, on peut utiliser des tables donnant les valeurs des intégrales définies (entre 0 et 2 7T). Ces tables, comme celles de F. Tisserand, évitent de refaire les calculs d'intégration. Elles ont été établies depuis des siècles par les astronomes. Le plus simple, à présent, est d'utiliser les logiciels de calcul formel. On obtient ainsi : 3e .:1 = 2 7T - (5 sin 2 i - 4) sin w 4 ce qui donne pour (R 3 )

~

(/~3)

= ~

IL R 3 e

8a4(1-e2)~ h

(

2

)

-5sin i+4 sini sinw

(6.89)

Ce terme R3(a, e, i, w) va créer des variations à longue période, car, en plus des éléments métriques, il dépend de l'élément angulaire w. On peut l'écrire sous la forme : Mais il ne va pas créer des variations séculaires, car si on intégre sa valeur sur un tour complet de périgée durant sa révolution apsidale, on a un résultat nul : {271"

Jo

(R 3)(a,e,i,w) dw {271"

(R/ 3)(a,e,i) Jo

sinw dw = 0

(6.90)

186


éléments métriques

éléments angulaires

e , i O,e.!

M-nt temps

a Représentation schématique de la variation dans le temps des éléments orbitaux. Les variations périodiques de courte période sont en traits pleins, celles de longue période en pointillé-tireté, les variations séculaires en tireté. Les amplitudes des variations périodiques sont très exagérées.

FIG. 6.4 :

En examinant les intégrations successives, on remarque que ((R3}) est égal à 0 parce que sin VJ est en facteur dans R3, et cela parce que x = sin VJ est en facteur dans le polynôme de Legendre P3(X). En se reportant à l'annexe Rappel sur les fonctions de Legendre, on voit que la variable x est en facteur dans l'expression de tous les polynômes de degré impair. On en déduit donc que les termes J n , avec n impair, n'ont aucune contribution dans la variation séculaire des éléments orbitaux:

((Rn})

=

0

si n impair

{==}

pas de variation séculaire

(6.91)

(b) Pour le degré 4, on utilise le polynôme de Legendre P4 (sin VJ) et on opère comme précédemment. On obtient: J.L R 4 e (R4/\ - -1 J4 ( -105sin4i - 64 a 5 (1 - e2)~

) + 120sin2 i - 24

(6.92)

Comme R2, ce terme R4 va entraîner des variations séculaires pour les trois éléments angulaires [2, w et (l'vI - nt). Ici, ces variations seront proportionnelles à J 4 . Lorsqu'on considère les variations séculaires au-delà du degré 2, on ne peut plus négliger le fait que le moyen mouvement n, qui intervient dans D, w et (NI - n), présente une variation séculaire, proportionnelle à h. Il apparaît ainsi un terme en fi en plus des termes en J 4 , J 6 , etc. On rappelle que, si J 2 est de l'ordre de 10- 3 , les termes J 4 , J 6 , .•. , sont de l'ordre de 10- 6 , comme l'est Ji. Voir les équations (7.15) à (7.17) et le tableau 7.1.


187

Variations périodiques et séculaires À partir de (6.87), on obtient R en fonction de cinq paramètres orbitaux (puisque D n'intervient pas) :

R = R(a, e, i, w, J'vI) Le potentiel R se décompose en une somme de termes Rn, relatifs à chaque terme J n . On considère les équations de Lagrange (tableau 6.2). On montre que: (1) si un terme Rn ne dépend ni de NI ni de w, il provoque une variation de l'élément orbital concerné proportionnelle au temps, dite variation séculaire; (2) si un terme Rn dépend de w, mais pas de NI, il Y aura une variation dont la période sera de l'ordre de celle de la précession apsidale, dite variation périodique à longue période; (3) si un terme Rn dépend de w et de J'vI, il Y aura une variation dont la période sera de l'ordre de la période képlérienne, dite variation périodique à courte période. En résumé, les variations périodiques sont divisées en variations à courte période, correspondant à la période de NI, et variations à longue période, sur une durée de l'ordre de quelques dizaines de jours (rv 1 000 T), correspondant à la période apsidale de w. Ces dernières variations sont principalement dues à l'influence du terme h qui affecte surtout e et les éléments angulaires. Il n'y a pas de perturbation à longue période du demi-grand axe a. Ce résultat est connu sous le nom de théorème de l'invariabilité des grands axes et est applicable à de nombreux types de mouvement en astronomie (voir Notes astronomiques un peu plus loin). Les variations séculaires sont des variations proportionnelles au temps. Ce sont bien entendu les variations de ce type qui écartent le satellite de son orbite képlérienne. Nous avons vu que le terme h provoque les écarts séculaires des trois éléments orbitaux angulaires, sans effet sur les éléments métriques. Les autres harmoniques zonaux, mais pairs uniquement, J4, J 6 , ... , h p , •.• , contribuent aussi aux écarts séculaires (tableau 7.1). La figure 6.4 donne la représentation schématique de l'ensemble des variations périodiques et séculaires pour les éléments orbitaux.

Exemple 6.1 Calcul du résultat des perturbations dans le cas du potentiel terrestre développé jusqu'au terme J 3 . Variations à longue période. ~ Le potentiel R est donné par (6.88). Nous venons de voir qu'on peut l'écrire sous la forme R = (Rs + R p ) + R3, si on arrête le développement au degré 3. Le terme Rs (a, e, i) est donné par la relation (6.67). Le terme Rp (a, e, i, w, NI) va créer des variations à courte période que nous ne détaillerons pas. Le terme R3 est donné par (6.89). Ce terme R 3(a,e,i,w) va créer des variations à longue période que nous allons calculer.

188


Puisque 8R3/8M = 0 et 8R3/8n = 0, les équations relatives aux éléments métriques, les trois premières équations de Lagrange (tableau 6.2), deviennent:

da = 0 dt

de dt

1

di dt

na 2

1 ~

cos z sini

On en déduit la relation:

. de 1 - e2 = ---tanz (6.93) di e qui est équivalente à (6.85) lorsque a est constant (ce qui est pratiquement toujours le cas dans les mouvements étudiés en astronomie). Pour calculer la variation provoquée sur i par R3, on part de (di/dt) ci-dessus, on dérive R3 par rapport à w et on remplace /-i par n 2 a 3 . On obtient:

-

(6.94) Pour connaître la variation à longue période sur i, due à l'harmonique zonal h, on exprime (di/dw), en utilisant pour w la valeur calculée par (6.76) : di = di ~ = dw dt dw

.!.. di

wdt

=

.!. __e_ J 3

2 1 - e2 J2

(!i) a

cosi cosw

La valeur cherchée est donc, l'indice [LP3] signifiant longue période due à l'harmonique zonal h : A • 1 e h LlLP3Z = - - - - cosz SlnW (6.95) 21 - e 2 h a

(R) ..

Pour obtenir la variation correspondante sur e, on utilise la relation(6.93) en prenant (LlLP3e/LlLP3i) pour (de/di) : (6.96) Inversement, la mesure de ces valeurs LlLP3 i et LlLP3 e permettent de mesurer la valeur de h (voir Note historique en fin de chapitre). Remarque importante. Pour les orbites quasi circulaires (e ~ 10- 3 ), on remarque avec (6.95) et (6.95), ou directement avec (6.93), que: (6.97)

À cause du facteur e, la variation de l'inclinaison LlLP:] i est négligeable devant celle de l'excentricité LlLP3e (sauf cas des orbites équatoriales) .....

Exemple 6.2 Calcul de la variation des paramètres orbitaux sur une révolution. ~ On rappelle que p est le paramètre de l'ellipse, avec p = a(1- e 2 ). Ces variations sont notées avec l'indice [1] pour bien marquer qu'il s'agit d'une valeur obtenue sur une révolution. Les variations (séculaires ou périodiques à longue période) sont suffisamment lentes pour qu'on puisse éviter l'intégration selon le temps t : il suffit de multiplier par T = (2 K/n), la dérivée par rapport à t de la grandeur considérée.


189

Les variations périodiques sont négligeables devant les variations séculaires, pour les éléments angulaires. Par contre, ces variations périodiques sont « visibles» pour les éléments métriques, privés de variation séculaire. Éléments angulaires. On écrit Lhf? = nT et Lhw = wT, ces angles étant, bien entendu, en radians. Au premier ordre, on prend pour et wles valeurs données respectivement par les relations (6.75) et (6.76), en fonction d'un seul terme, J 2 , pour le développement du potentiel terrestre:

n

(6.98) (6.99)

Éléments métriques. Le cas de a est vite réglé puisqu'on peut considérer a comme nul (invariabilité des grands axes). Pour les expressions de é et i, on utilise (6.94) et (6.93). Nous ne considérons que le premier terme (en J 3 ) du développement. On obtient pour les variations sur une période: Lha

0

Lhe

-37f h

Lhi

+37f h

(6.100)

G~r (1 - 2 ( 1 - =15 G~r (1 =15 . 2-) e)

e

-

sm z

sin 2) i sin i cosw cosz. cosw

(6.101 ) (6.102)

L'inclinaison critique joue un rôle important pour Lhw, Lhe et Lhi . ...

6.5.2

Cas du potentiel terrestre complet

Lorsqu'on considère le potentiel terrestre U(r, À, 1jJ) donné par la formule (3.17), le calcul des effets du potentiel perturbateur R est extrêmement complexe. Nous signalerons simplement l'existence de phénomènes de résonance orbitale : certains coefficients tesséraux GZ m et SZm, définis par (3.20) et (3.21), ont, pour une orbite particulière, une influence qui dépasse de beaucoup celle des coefficients d'ordre et de degré inférieurs ou supérieurs. Pour ces valeurs, les perturbations périodiques ont une relativement grande amplitude. Un formalisme, développé par W. Kaula, permet de prévoir les résonances associées à ces orbites particulières. Ce phénomène de résonance est très sensible pour les satellites phasés sur un jour, c'est-à-dire dont le nombre v de tours par jour est entier. Les harmoniques tesséraux dont l'ordre est un multiple de v doivent être pris en compte dans les extrapolations d'orbite (détermination très précise de la position du satellite à un instant donné à partir de ses éléments osculateurs). Ce sont ceux d'ordre 2, 4, 6, ... pour les satellites en orbite moyenne, qui font exactement deux révolutions par jour (v = 2), que l'orbite soit circulaire, comme pour Navstar/GPS, ou fortement elliptique, comme Molnya 12 ; ce 12Pour Molnya, les coefficients harmoniques tesséraux à l'influence particulièrement importante sont : C22, C32, C52, C44, C54, C64, C66, C76, C86, C98 et Sim correspondants.


190

Source de perturbation Gravitation terrestre Atmosphère Gravitation luni-solaire

Var. séculaire grande petite ind.

il,w

-

Var. périodique modo petite e

i, il, w

-

a, e, i, il, w

-

a, e

i

il,w

-

-

-

-

il,w

6.3 : Résumé des sources de perturbation et de l'effet (variation séculaire ou périodique) induit sur les cinq éléments orbitaux a, e, i, il et w, pour un satellite en orbite basse. Abréviations: indirecte (ind.), modérée (mod.). D'après la théorie de King-Hele.

TABLEAU

sont les harmoniques d'ordre 1, 2, 3, ... pour les satellites géosynchrones1 3 . De manière plus générale, ce phénomène intervient pour tous les satellites phasés (v est rationnel: au bout d'un certain nombre de jours, le satellite repasse sur sa trace - question étudiée en détail plus loin). Par exemple, pour les satellites SPOT, v = 14 + 5/26, on note une résonance pour les termes tesséraux d'ordre 15 et 29.

6.5.3

Autres forces perturbatrices dérivant d'un potentiel

Le potentiel gravitationnel d'origine non terrestre est dû, pour sa presque totalité, au potentiel luni-solaire. Les éléments a et e ne sont pas affectés par des variations séculaires. Les divers éléments orbitaux subissent de légères variations de longue période. Pour certaines orbites, on note une très légère dérive séculaire de [2. Ces résultats sont résumés dans le tableau 6.3, pour un satellite en orbite basse.

6.5.4

Forces perturbatrices ne dérivant pas d'un potentiel

Le frottement atmosphérique affecte d'autant plus le satellite que l'orbite est basse. On montre que e tend à diminuer (le frottement, plus important au périgée qu'à l'apogée, amène l'orbite à se rapprocher de l'orbite circulaire) et que a décroît (on comprend que les frottements tendent à faire retomber le satellite sur la Terre). Les autres éléments ne sont pas notablement affectés de manière directe. Mais la variation de a et e, qu'on peut considérer comme proportionnelle au temps t (variation séculaire), induit une variation 13Pour un satellite géostationnaire, aux harmoniques tesséraux d'ordre 1 (C31, C41 et Sn correspondants) sont associées les périodes de résonance de 24 h et 48 h, à ceux d'ordre 2 (C22, C32, C42 et Sl2 correspondants), les périodes de 12 h, 24 h, 36 h, 48 h.


191

des paramètres angulaires qui est rapidement prépondérante 14 par rapport aux variations périodiques car elle est proportionnelle à t 2 (pour les variations en t 2 , voir aussi, au chapitre 10, la dérive de l'heure locale et l'exemple 10.7). Les forces induites par la pression de radiation (solaire et terrestre) ont aussi des effets sur la variation des éléments orbitaux (tableau 6.3). L'effet du frottement atmosphérique sur l'évolution de a est traité dans l'annexe frottement atmosphérique un peu plus bas. Dans le cas où l'accélération perturbatrice YP ne dérive pas d'un potentiel, on peut utiliser un repère lié à l'orbite, sur lequel on décompose le vecteur. On aboutit alors à un système d'équations appelées équations de Gauss. Nous n'exposons pas cette méthode qui sort du cadre de cet ouvrage.

6.5.5

Différentes définitions de la période

Les trois angles associés au mouvement képlérien, les anomalies v, E et l'v!, augmentent de 21f lorsque le temps augmente de (21f ln), n étant le moyen mouvement. L'origine de ces angles, comme le montrent les équations (4.64) et (4.56), est prise à l'instant t = t p de passage au périgée. L'intervalle de temps entre deux passages successifs au périgée est appelé période anomalistique 15 . C'est donc la période anomalistique, notée Ta, qui est obtenue avec le moyen mouvement n, différente de la période T o obtenue avec le moyen mouvement képlérien no. On a la relation de définition:

n Ta Avec n = no

+ L1n,

=

no T o

(6.103)

calculé par (6.77), on obtient

Ta

=

(1 - ~n) o T

(6.104)

14Soumis au mouvement de précession de vitesse angulaire il, le nœud ascendant a pour longitude st :

st

=

+ il t

sto

=

sto

+ il(ao, eo, io) t.

On démontre que le frottement atmosphérique, lorsqu'il est faible, introduit une décroissance séculaire de a et e, l'inclinaison i restant pratiquement inchangée. On écrit la valeur de ces paramètres variables en fonction du temps t : a = ao - il t e = eo - e t i = io. La longitude du nœud ascendant est donc en fait st' :

st' = sto

+ il(a, e, io)

t.

Avec un développement limité au premier ordre, on écrit:

A( ao - a. t ,eo - e. t , ZO ') = Je A( ao, eo, to ') -

Je

ce qui donne :

st'

=

st -

(an oa il + an oe e)

(an. oa a t + an· oe e t)

t2

soit, en notant bD la quantité entre parenthèses dans la formule ci-dessus:

st' - st

=

-(bD) t 2 .

Pour l'argument du périgée, un raisonnement identique conduit à : w' - w = - ( bw) t 2 . 15L'adjectif anomalistique est dérivé de «anomalie », les trois anomalies étant nulles (modulo 27r) au périgée.

192


On veut aussi connaître l'intervalle de temps entre deux passages au nœud ascendant (ou au nœud descendant). Il représente la période nodale ou période dmconitique 16 , notée T d . La différence avec Ta provient du mouvement du périgée, la précession apsidale et cela, notons-le bien, même dans le cas d'une orbite circulaire, puisque w ne s'annule pas avec e. On a la relation: (6.105) où nd est le moyen mouvement compté avec le nœud ascendant pour origine. La composition des mouvements donne: (6.106) ce qui permet d'obtenir une période en fonction de l'autre: Td

1 - - - . Ta

+(1 +~)

1 Ta

(6.107)

W

n

Td

(6.108)

La période draconitique Td s'exprime en fonction de la période képlérienne Ta par: .dn 1-n Ta (6.109) Td = w 1+ n ou en première approximation : (6.110) Avec cette approximation et pour une orbite circulaire, avec e = 0 dans (6.76) et (6.77), on obtient: (6.111) Pour i = 60° et i = 120°, on remarque que la période draconitique Td est égale à la période képlérienne Ta. 16L'adjectif draconitique est, à l'origine, utilisé pour la période ou le mois draconitique, relatif au passage de la Lune à son nœud ascendant. Ce mot vient du grec a opaxw\I, OYWç, signifiant «dragon» (littéralement: «qui regarde fixement» ). Les éclipses ne se produisent que lorsque la Lune passe à un nœud de son orbite. Dans l'Antiquité, les Grecs pensaient que, lors d'une éclipse, la Lune était avalée par un dragon, caché au voisinage des nœuds de l'orbite lunaire.

6.6. Annexe: étude du frottement atmosphérique

193

En résumé, la période Ta intervient principalement pour calculer le demigrand axe de l'orbite. Pour tout ce qui est relatif au mouvement du satellite par rapport à un repère lié à la Terre, c'est la période draconitique T d qui intervient. Dans le cas du mouvement képlérien, il n'y a pas de raison d'opérer des distinctions entre ces périodes, qui sont toutes évidemment confondues.

6.6 6.6.1

Annexe: étude du frottement atmosphérique Présentation de l'atmosphère terrestre

L'atmosphère terrestre peut être partagée, selon des critères physiques, en zones liées à l'altitude, appelées sphères. En utilisant pour critère le gradient vertical de température, on distingue en partant du sol, la troposphère et la stratosphère qui concernent en gros les 50 premiers kilomètres, la mésosphère jusqu'à 100 km, puis la thermosphère et l'exosphère. La partie basse (moins de 200 km) n'intéresse les satellites que pour des questions de transmission de signal, ce que nous étudions au chapitre 14 à propos des satellites de navigation (GPS). Avec pour critère la proportion relative des constituants chimiques majoritaires, on distingue l'homosphère et l'hétérosphère, la séparation se situant vers 100 km d'altitude. Dans l'homosphère, par suite des mouvements de brassage, l'atmosphère reste homogène vis-à-vis de ses constituants chimiques (du moins ceux qui ne sont pas soumis à une photochimie) quelle que soit la pression. L'air que l'on respire au bord de la mer ou au sommet de l'Himalaya est toujours constitué de 78% d'azote N 2 , 21% d'oxygène O 2 et 1% d'argon Ar. Au-delà de 100 km d'altitude, à cause de la raréfaction de l'air et de la température élevée (agitation moléculaire très forte avec libre parcours moyen très grand pour les particules), la proportion entre les constituants change complètement et devient dépendante de leur masse. Entre 160 et 600 km, c'est l'oxygène monoatomique 0 qui est le gaz prédominant, au-delà, c'est le domaine des plus légers des atomes, hélium et hydrogène, He (majoritaire jusqu'à 2 000 km) et H. Dans le cadre de l'étude du mouvement des satellites, on s'intéresse au domaine 200 km - 1 200 km d'altitude. Avec des passages à moins de 200 km, la trajectoire du satellite est vite catastrophique. Avec une orbite au-delà de 1 200 km, les effets du frottement atmosphérique sont négligeables, même sur une longue période (d'autres phénomènes dissipatifs comme la pression de radiation solaire sont plus importants).

194


6.6.2

Densité atmosphérique

Pour l'étude du frottement atmosphérique, la grandeur fondamentale est la masse volumique de l'air. Généralement appelée densité atmosphérique, elle est notée P et mesurée en kg·m -3 (cette expression peut être considérée comme fautive, à strictement parler, car la densité n'est pas une masse volumique). La masse volumique en fonction de l'altitude se calcule facilement, dans une atmosphère au repos et isotherme, selon les lois de la thermodynamique et se présente sous forme d'une fonction exponentielle: p(h) = Po

(6.112)

e-(h/H)

où Po est la masse volumique à l'altitude de référence Zo et où h = z - Zo représente la différence d'altitude. La grandeur H, homogène à une longueur, est le facteur d'échelle, dont le calcul classique donne

H=p:'T

(6.113)

Mg

où 91 = 8.31 (u. SI) est la constante des gaz parfaits, T la température (K), IVI la masse molaire (kg) moyenne des constituants, g la valeur du champ de pesanteur (m·s- 2 ). Au niveau de la mer, à une température de 15° C et à la pression de 1 013 hPa, on a:

T

=

273 + 15

=

288 K

IVI

=

(4/5) 28

La valeur de p est donc: Po = (29/22.4) x (273/288) Le calcul du facteur d'échelle donne: H = (8.31 x 288)/(29 10- 3 x 9.81) = 8413 m

+ (1/5) 32 "-' 29 g =

1.23 kg.m- 3 . soit H "-' 8.4 km

À une altitude de 8 km environ, la masse volumique est divisée par le facteur e, nombre d'Euler, par rapport à celle au niveau de la mer et est donc égale à p = 0.44 kg.m- 3 . Bien que pour l'atmosphère réelle on s'éloigne plus ou moins des conditions requises pour l'établissement de l'équation (6.112), cette formule donnant p(h) peut être appliquée dans la plupart des cas, l'expérience ayant montré qu'elle restait satisfaisante. Dans le domaine d'altitude qui nous intéresse ici (200 -1200 km), pour une altitude donnée, la densité atmosphérique est très dépendante de l'activité solaire et sa variation est guidée par plusieurs cycles de périodes différentes: - un cycle de Il ans, connu depuis longtemps, mis en évidence par la mesure des taches solaires (depuis 1749); au décompte des taches, on préfère maintenant (depuis 1947) un critère plus objectif avec la mesure, dite FlO.7, de l'émission par le Soleil de l'onde radio de 10.7 cm de longueur d'onde; les


195

dernières années de maximum sont 1968, 1980, 1991, 2002; le prochain est en 2013; - un cycle annuel, lié aux saisons; - un cycle de 27 jours lié à la période synodique de rotation du Soleil sur lui-même; - un cycle journalier, avec un maximum pour p vers 15 heures locales (TTSM) et un minimum 12 heures après. De plus, la densité atmosphérique dépend de la latitude du point considéré.

6.6.3

Modèles atmosphériques

Devant une telle complexité, la démarche logique a été de créer des modèles d'atmosphère. Les premiers datent des années 1960 et 70, développés par Jacchia (J65, J71, ... ) aux États-Unis, Hedin et Barlier (DTM78) en Europe. Les modèles actuels (JB2006, DTM2007, MSIS-90 et NRLMSIS, ... ), héritiers en ligne droite des pionniers, reflètent évidemment le développement exponentiel du calcul informatique. Sans entrer dans les détails, ils permettent d'obtenir la densité atmosphérique comme une fonction de l'altitude h, de l'heure locale TTSM, du jour de l'année J, de la latitude .1jJ :

pi(h, TTSM, J,1jJ)

avec

i = 1,2, ... , n

(6.114)

l'indice i étant lié à l'activité solaire (i = 1 pour une année d'activité minimale, i = 2 maximale, i = 3 moyenne, etc.). On peut se faire une idée des valeurs de p avec le tableau 6.4.

6.6.4

Calcul du frottement atmosphérique. Notion de ..d V

Considérons un satellite en orbite terrestre. Sa vitesse dans le référentiel galiléen iR est notée V, sa vitesse par rapport à l'atmosphère est notée Vc, (si l'atmosphère est immobile, sans vent, Vc, est égal à V', vitesse par rapport au référentiel terrestre iRT ). Notons S la section (surface) du satellite perpendiculairement à son déplacement. Dans un temps dt, la masse dm d'air, de masse volumique p, rencontrée par le satellite est : dm = p S Va dt

(6.115)

La quantité de mouvement (impulsion) dp correspondante est: dp

=

Va dm

=

p S V; dt

et la force de frottement F est donc :

F

=

dp dt

=

p

S V2 a

(6.116)

196


p (kg m- 3 )

h (km)

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Activité minimale N J 10- 9 9.8 9.8 1.8 2.1 10- 10 1O- 11 0.5 1.1 12 100.5 1.6 13 100.4 2.0 1.0 3.9 10- 14 0.4 1.0 10- 14 2.4 4.3 10- 15 1.6 2.4 10- 15 9.6 17.0 10- 16

H (km)

Activité maximale N J

9.8 3.2 2.6 5.0 8.5 20. 5. 17. 7. 42.

9.8 3.7 4.7 12.0 31.0 100. 31. 110. 43. 200.

10- 9 10- 10 1O- 11 10- 12 10- 13 10- 14 10- 14 10- 15 10- 15 10- 16

A. min. N J

6 33 45 53 60 76 134 213 325 418

6 38 53 61 67 76 96 139 215 309

A. max. N J

6 43 57 70 75 82 93 114 153 217

6 49 68 80 89 96 105 116 134 165

TABLEAU 6.4 : Densité atmosphérique représentée par la masse volumique p, en fonction de l'altitude h, pour une activité solaire minimale et maximale, selon la nuit (N) ou le jour (J). On a noté aussi le facteur d'échelle H. Les valeurs sont moyennées sur les latitudes et les saisons. Modèle MSIS-90.

Pour tenir compte de la nature du choc des molécules d'air sur la surface du satellite, on multiple cette valeur de F par un coefficient 17 , noté ~ Cd. On obtient: (6.117) Ce coefficient de frottement Cd, sans dimension, varie entre 1.5 et 3.0, selon la forme du satellite. On démontre qu'il est égal à 2 pour une sphère. Cette force de frottement F, qu'on peut noter vectoriellement : (6.118) a pour effet de freiner le satellite de masse NIs. En appliquant le principe fondamental de la mécanique, on obtient: F

d V= Ms dt

1 S 2 dV = - - Cd pV 2 NIs ct

On pose:

B=Cd

S Ms

-

(6.119)

(6.120)

Ce coefficient B, appelé coefficient balistique, mesuré en m 2 . kg-l, caractérise 17I! est amusant de noter que le terme (1/2) qui affecte Cd n'a pas d'autre justification que de faire ressembler cette formule (6.117) aux autres formules de ce type, comme celle de l'énergie cinétique - pour laquelle le terme (1/2) est d'origine mathématique.


197

le satellite par rapport aux frottements 18 : plus B est grand, plus il y a de frottement. Par exemple, pour un satellite « standard», avec NIs = 500 kg, S = 10 m 2 , Cd = 2.3, on aB = 0.046 m 2 ·kg- l et (l/B) = 21.7 kg·m- 2 . On a l'habitude de noter .1 V, dit Delta V dans le milieu de la technologie spatiale, la variation de vitesse (souvent en valeur absolue), durant un temps fini T : P V~ dt 2 Si .1V est calculé sur une révolution, nous le noterons .1 1 V. .1V

=

~ B fT

Jo

(6.121)

Cas très simplifié

On calcule la valeur de .1 V ainsi que la variation, sur une révolution, du demi-grand axe a et de la période T dans le cas d'un satellite en orbite circulaire. On considère que la densité atmosphérique est constante sur une révolution et égale à Po. On confond Va avec V et on se place dans le cas képlérien. La Terre est sphérique. On a donc, puisque 2 Ir a = V T : (6.122)

.1 1 V = Ir B Po a V En différentiant V

=

VIL/a, on a da/a

=

-2IrBpoa, on obtient:

.1 1 a = -2Ir B Po a 2

(6.123)

De même pour la période, avec dT /T = (3/2)da/ a : 2 a2 .1 l T = -6Ir B Po V

(6.124)

Exemple 6.3 Calcul de la baisse d'altitude quotidienne, pour un satellite de type SPOT. ~ Pour un satellite de type SPOT, avec B = 0.046 et a = 7200 km, qui effectue environ 14 révolutions par jour, on trouve, en appliquant (6.123) : .1 J a = 14 .1 1 a = -2 1O- 14 p en notant .1 J la variation de a sur un jour. On peut donc estimer la baisse d'altitude par jour, à partir des valeurs de p à 800 km d'altitude:

Activité solaire

calme moyenne forte très forte

p p p p

3 10- 15 1 10- 14 = 5 10- 14 = 1.5 10- 13 = =

.1 J a .1 J a .1 J a .1 J a

= = = =

-0.6 m -2.0 m -10 m -30 m

Ces résultats donnent des ordres de grandeur pour fixer les idées .... 18pour minimiser ces effets, le satellite Starlette, passif (donc sans alimentation), est une sphère recouverte de 60 réflecteurs laser. Son cœur est en uranium (densité 18.7). Masse du satellite: 47 kg, diamètre: 48 cm. Avec Cd = 2, on a E = 7.70 10- 3 et (1/ E) = 130 kg.m- 2 .

198


Amélioration des modèles atmosphériques

Les satellites CHAMP, GRACE-A et -E, GOCE sont munis d'accéléromètres « 3 axes» très sensibles, qui mesurent l'accélération af et permettent ainsi de piloter les forces de compensation. D'après (6.117) et (6.118) : (6.125) On connaît af, B et Va; on obtient ainsi la valeur de p en continu. La sensibilité des accéléromètres est en progression pour les satellites cités : 10- 9 m·s- 2 pour CHAMP, 10- 10 pour GRACE, 10- 12 pour GOCE.

6.6.5

Influence du frottement sur l'orbite

Les modèles analytiques de propagation d'orbite utilisent des méthodes proches de celle qui est présentée ici. Avec le logiciel Ixion, les caractéristiques du satellite étant bien définies, nous calculons à chaque instant, avec un pas de quelques secondes qui peut être variable, la position du satellite, son altitude géodésique, sa vitesse par rapport à la Terre. Si le modèle atmosphérique fournit la vitesse du vent, on calcule le vecteur Va, sinon li. Avec p, lié à l'altitude, au lieu et à l'instant, on calcule la force de frottement F, par (6.117), pour chaque pas d'intégration. En reprenant les équations du mouvement avec cette force F, nous calculons analytiquement, par la théorie de King-Hele, il et ë, les dérivées temporelles du demi-grand axe a et de l'excentricité e. Le calcul des autres paramètres est complexe: la variation de i est extrêmement faible, les variations périodiques sur [2 et w sont masquées par leur variation séculaire. On en déduit la trajectoire modifiée, en continu. Ou bien, si la trajectoire est maintenue, on en déduit la quantité L1 V nécessaire à ce maintien.

6.6.6

Calculs simplifiés pour une orbite excentrique. Aérofreinage

La notion de L1 V est très importante en ingénierie spatiale, pour la gouvernance des missions. Si le frottement atmosphérique entraîne un certain L1 V, inversement, une quantité L1 V permet de compenser le frottement ou de réaliser des manœuvres de changement d'orbite. Pour les responsables techniques, la quantité L1 V cumulée sur l'ensemble de la mission est directement traduite en quantité de combustible. Alors que les calculs de L1 V (méthodes analytiques ou numériques) sont très lourds, la méthode suivante permet de calculer avec simplicité la quantité L1V, sur une période, dans le cas des orbites elliptiques. L'idée de base est que pratiquement tout le frottement se produit au voisinage du périgée, à cause de la décroissance exponentielle de p avec l'altitude, relation (6.112). Pendant ce temps, relativement bref, la vitesse V du satellite


199

peut être considérée comme constante, égale à Vp , vitesse au périgée 19 . On considère dans ce cas la planète sphérique et on néglige sa vitesse de rotation ainsi que la vitesse du vent par rapport à la vitesse du satellite (au voisinage du périgée). On a donc, avec (4.45) :

Va = V = Vp =

I +e Vfii.~ V1-e

On considère aussi, ce qui est très réaliste, que a et e ne varient pas sur une révolution. On désigne par Z l'altitude du satellite et zp, celle lors de son passage au périgée; la valeur de P au périgée est notée Pp et H est le facteur d'échelle à cette altitude. Sur la durée d'une période T, la valeur de .1 V, notée .1 1 V, est donnée par :

l

~

1 + e j+T/2 exp (_ Z - ZP) dt a 1- e -T/2 H (6.126) En utilisant l'anomalie excentrique E, on obtient les relations suivantes:

.1 1 V

= -1

2

B

T P V 2 dt =

0

r

=

2

B Pp

!!..

a(l - e cos E) zp

Z -

=

rp=a(l-e)

r - rp

=

a e(l - cosE)

L'intervalle de temps pendant lequel se passe le frottement est très court et centré autour du passage au périgée. Dans ce cas, les anomalies NI et E sont très petites devant 1. On peut donc écrire:

E2

!vI = E - e sin E "-' E (1 - e)

1- cosE ,,-,2

On obtient ainsi E en fonction de l'vI et donc

Z -

zp en fonction du temps:

E=l~e=~l~et Z-

zp = a e

E2

1

"""2 = "2 IL

e

a 2 (1 _ e)2 t

Z - zp 1 IL e 2 --=---t H 2 Hr~

(6.127) 2

(6.128) (6.129)

19Par exemple, avec un satellite de type Molnya, hp = 200 km, e = 0.75, a = 26 313 km, T = 708 min, avec un passage au périgée h = 200 km, ri = 1.031, à l'instant t = 0, le passage à l'altitude h = 600 km, TJ = 1.091, se fait à l'instant t = 346 s. Le satellite a donc passé 2 x 346 = 692 s = 11.5 min dans les couches d'atmosphère comprises entre 200 et 600 km, ce qui represente 11.5/708=0.016, soit 1.6% du temps durant une révolution. La différence relative de vitesse du satellite entre les deux points considérés est: -dV/V = (2 - TJ)-l (dr/r) ~ (1 + e)-l (dh/r) = 0.033 soit 3.3% et on peut donc considérer la vitesse comme constante. Le rapport des densités atmosphériques entre 600 et 200 km d'altitude est 10- 4 .


200

On rappelle la valeur de l'intégrale de la fonction gaussienne:

1

+00

-00

exp ( -0; x 2 ) dx =

fi

V~

Au cours d'une révolution de période T, comptée entre t = - T /2 et t = le frottement n'agit véritablement qu'au voisinage de t = O. Que l'intégration d'une quantité liée au frottement soit faite, pour une période, dans le domaine [-T/2 ; +T/2] ou dans le domaine]- 00 ; +oo[ ne change rien au résultat. On peut donc écrire:

+T /2,

1T/2 +

-T/2

exp

(Z - Zp) ---H

et finalement : L1 1 V =

dt =

1

+00

-00

exp

(1

e t - - -IL- 2 2Hr p

ln ~-2 B Pp vii l+e ye

Y

2) dt

~

H

(6.130)

(6.131)

Cette formule est remarquablement simple, car elle ne fait intervenir que la géométrie de l'ellipse (avec e), le facteur d'échelle H et la masse volumique Pp au périgée. Le demi-grand axe a, qui intervient indirectement dans la période T et l'altitude du périgée, qui intervient pour Pp, n'apparaissent pas explicitement. On peut l'appliquer tant que la durée de frottement « efficace» autour du passage au périgée est petite devant la durée de la période. Cette durée efficace L1t e ff est définie par :

Pp L1t e ff =

j

+T/2

-T/2

P dt

(6.132)

Avec les hypothèses retenues, le calcul donne: L1t e ff

_

----;y- -

/H 1 - e V~ ye

(6.133)

Si on pose la condition (L1teff/T) < 0.1, avec H = 50 km, a = 26500 km, on obtient la contrainte: e > 0.03

~

équation (6.131) applicable

L'intérêt majeur de cette formule apparaît lors de l'étude du freinage atmosphérique qui est une technique de circularisation de l'orbite, plus utilisée sur Mars que sur la Terre 20 . C'est d'ailleurs dans l'optique de missions sur Mars 20Pour les satellites en orbite terrestre, cette méthode est envisagée pour la transformation d'orbite GTO en orbite LEO, dans le cas de satellites passagers (donc sans beaucoup d'autonomie en combustible) d'une mission principale GEO.

6.7. Note historique: premières déterminations des harmoniques J n

201

que nous l'avons établie. Nous avons comparé les valeurs de .1 1 V ainsi obtenues avec celles fournies par les intégrations numériques pas à pas en utilisant un modèle atmosphérique (MCD-LMD). L'erreur ne dépasse pas 5%.

6.7

N ote historique : premières déterminations spatiales des harmoniques zonaux J n

C'est grâce au suivi (principalement visuel, à l'aide de télescopes spécialisés) des premiers satellites que les astromones, après avoir déterminé les orbites exactes, calculèrent les premiers coefficients des harmoniques sphériques zonaux. Nous en retraçons ici brièvement l'histoire. Pour les astromones américains, le télescope utilisé était la caméra BakerNun, du nom de ses deux inventeurs (figure 6.5).

6.7.1

Première détermination de J 2 par satellite

Les « bip-bip» de Spoutnik-1 surprirent la Terre entière. Le temps que les scientifiques concernés réagissent ... et 1957Œ (nom du satellite avec la classification de l'époque - abandonnée à partir du 1er janvier 1963) avait déjà brûlé dans l'atmosphère terrestre. Avec Spoutnik-2 (1957;3), les mesures purent commencer. En utilisant 33 observations visuelles, prises dans le ciel de Tchécoslovaquie entre le 7 décembre 1957 et le 21 mars 1958, l'astronome E. Buchar réussit à déterminer le mouvement du nœud ascendant de l'orbite:

il

=

-2.9007 ± 0.0046

degré par jour

Les éléments métriques du satellite étaient déterminés : aiR = 1.1127, e = 0.0731 eti = 65.29°. On connaît ainsi la période et le moyen mouvement: T = 99.2 min et n = 1.0556 10- 3 rad S-l. Avec la relation (6.75) on obtient la valeur de h : J 2 = 2.9007/2675.0 = l.0844 10- 3

On obtient l'aplatissement

f par (3.33), la première équation de Clairaut:

f

=

3

h + ma 2

(6.134)

avec ma défini par (3.34) et dont la valeur est connue. Buchar obtient ainsi: (1/1)

=

297.7 ± 0.3

En affinant les résultats de Spoutnik-2, D. King-Hele donne, peu après, le résultat: (1/1) = 298.1 ± 0.1

202


6.5 : Télescope caméra Baker-Nunn pour le suivi des satellites. Installation de la caméra du SAO (Smithsonian Astrophysical Observatory) sur la base de Woomera (Australie), en janvier 1958. Document: NASA, Woomera Space Centre.

FIG.

Les estimations de (1/1) n'ont ensuite pratiquement plus bougé, alors qu'avant 1958 (tableau 2.1), elles s'étalaient entre 293 et 300.

6.7.2

Première détermination de J 3 par satellite

Si la valeur du coefficient J 2 est déterminée à l'aide de la variation séculaire de D, celle de h, par contre, fait appel à la variation à longue période de e. La première détermination de h fut effectuée par J. A. O'Keefe à partir d'observation de l'orbite de Vanguard-1 (1958;32)' L'excentricité e variait de manière sinusoïdale, sur une période d'environ 80 jours, correspondant au cycle de la ligne des apsides, de durée 27r / lu, avec une amplitude .de : .de = (42 ± 3) 10- 5 . En début de mission, les caractéristiques orbitales étaient: hp = 654 km, ha = 3969 km, a = 8681 km, e = 0.1090 i = 34.25°, T = 134.2 min. On calcule le mouvement du périgée: lu = 4.40° par jour, soit un cycle de 82 jours. L'amplitude de la variation de e est 1.d LP3 el lorsqu'on prend w = 90° dans (6.96). On obtient, avec .dLPse = .de = 42 10- 5 : J 3 = -2 h

(!!...) R

~ sm'{

Cette valeur est proche de 3.2.

6.7.3

h

.dLP3 e = -4.8424 =

h

.dLP3 e

~

-2.2 10- 6

-2.54 10- 6 , valeur donnée dans le tableau

Premières déterminations des J n , jusqu'à J 14

En 1963, Y. Kozai, par l'observation de 9 satellites américains 21 lancés entre 1959 et 1962, détermine les 14 premiers coefficients des harmoniques 21 Les orbites de ces satellites avaient une large plage d'inclinaison, de 28° à 95°. Par ordre chronologique: 1959a (Vanguard-2), 1959r) (Vanguard-3), 1960L2 (fusée du lancement de Echo-1), 1961v (Explorer-12), 19610 (Transit-4A), 1961Œ. - >.'

'Ir

b=--cp

,

2

La distance demandée est représentée par a, longueur de l'arc de grand cercle J'vI J'vI'. La première relation de Gauss, relation (6.167) ou (t.s.-I), donne le résultat: cos a = sin cp . sin cp'

+ cos cp . cos cp' . cos( >. - >.')

(6.170)

La distance cherchée est D = R . a en considérant la Terre sphérique, de rayon R (et en exprimant a en radians). Notons que dans ce cas de figure, on peut obtenir

6.13. Annexe: trigonométrie sphérique

231

le résultat en écrivant le produit scalaire DM· DM'. Application: calcul de la distance entre Paris et New York. Les coordonnées géographiques de Paris (48° 50'N ; 2° 20'E) et de New York (40° 42'N ; 74°00'W) donnent pour les points ]v! et M' : cp = +48.87 >. = +2.33 cp' = +40.70 >.' = -74.00 Le calcul donne : a = 0.91597 rad = 52.48° On obtient ainsi directement la distance en milles marins (1 mille équivaut à l' d'arc terrestre) : D = 52.48 x 60 = 3149 milles ou bien en kilomètres en introduisant le rayon terrestre: D = 0.91597 x R = 5842 km La courbe (arc de grand cercle) reliant deux points à la surface de la Terre s'appelle orthodromie. Remarque. Lorsque deux points sont très proches, il peut être plus pratique de transformer la relation donnant cos a en utilisant les demi-angles pour faire intervenir les différences de latitudes et de longitudes: . 2 a . 2 cp - cp' , . 2 >. - >.' SIn - = SIn - - - + cos cp . cos cp . sm - - 2 2 2

Cette formule est valable si a E [0,11"[. ....

(6.171)

Ilts llts relatifs (~rre ~~rre / Soleil ;ihapitre I:hapitre precedent, précédent, Ie le mouvement du plan de l'orlid 1ft a à un referentiel référentiel galileen galiléen (par la vitesse de prepréJiivement iiivement '1vement de l'orbite dans ce plan. Nous allons, en comment la Terre se deplace déplace par rapport a à un reréllllettra, en composant les mouvements, de reperer repérer Terre, ce qui est finalement Ie le but recherche. recherché. le mouvement apparent du Soleil par rapport a Ie à la suite, etudier étudier les « cycles» du satellite par nir, plus tard, la geometrie géométrie « satellite-cible-Soleil » III la Ja Terre et on determine détermine comment ce point est vu eclairement éclairement solaire). hous-chapitres, nous etudierons iluus-chapitres, étudierons deux types d'orbite IInux Illmx Jlmx grandeurs etudiees étudiées ici jouent un r61e rôle primorn et la vitesse de precession précession nodale fl. D. Ces granifilme Imme nous allons Ie le voir, des valeurs remarquables ulier pour Ie le satellite. La premiere première grandeur, n, dedéi"ilrones, la seconde, fl, Iwilrones, Iwhrones, D, les orbites heliosynchrones. héliosynchrones. '1

de l'orbite ':ieeulaires oeeulaires - cas simplifie simplifié i"quations iiquations donnant les variations seculaires liquations séculaires des eleélé['une orbite circulaire, pour un potentiel terrestre !'une liisqu'au lllsqu'au Jusqu'au degre degré 2). Le cas general général sera traite traité un peu


234

Chapitre 7. Mouvements relatifs orbite / Terre / Soleil

Remarquons que, pour une orbite d'excentricité e, les valeurs des vitesses de précession D et w présentent un facteur multiplicatif [(1 - e 2 ) -2] par rapport aux valeurs de l'orbite circulaire. Pour les excentricités faibles, ce facteur, équivalent à (1 + 2 e 2 ), reste très proche de 1. Expression des variations séculaires des éléments orbitaux

En tenant compte uniquement du terme en J 2 dans la perturbation relative au potentiel terrestre, on a montré au chapitre 6 que les éléments métriques restaient constants et que les éléments angulaires subissaient une variation séculaire. On obtient, avec les équations (6.75) à (6.77), les valeurs de D, w et NI en fonction des éléments métriques et du moyen mouvement

n= jJL/a 3

:

D n

w

!VI -

n n

Lln

n

n

-~ J (~r 2

3

4 J2

r

(~r

~J ~ 2 (

COS?,

(7.1)

(5 cos 2 i - 1)

(7.2)

(3 cos 2 i - 1)

(7.3)

La variation séculaire de l'élément orbital [2 va jouer un rôle essentiel dans l'étude de la trajectoire du satellite et celle des éléments w et l'vI dans le calcul de la période du mouvement. Pour le paramètre w, la variation séculaire west parfaitement définie pour e = 0 avec l'équation (6.76). Mais la position du périgée, déterminée par w, n'est pas définie dans le cas d'une orbite parfaitement circulaire (e = 0), et mal définie dans le cas d'une orbite quasi circulaire. Avec le paramètre NI, dont la variation séculaire (NI - no) est parfaitement définie pour e = 0, avec l'équation (6.77), on rencontre les mêmes difficultés pour définir une origine, avec les orbites circulaires ou quasi circulaires. Dans ces cas, on choisit généralement le nœud ascendant comme origine (voir au chapitre 5, les paramètres orbitaux adaptés). Vitesse de précession nodale

La vitesse de précession nodale peut s'écrire, à partir de (7.1) et en exprimant le moyen mouvement (képlérien) : .

[2

=

-23 J 2V;;;:(R)~ Ji3 -;:

cosi

(7.4)

qu'on peut mettre sous la forme:

D(a,i)=-Ko

( Ra) ~

cosi

(7.5)

7.1. Mouvement de j'orbite

235

ou bien, avec la distance relative 'fi déjà définie: (7.6) avec: Ka = -3 J 2

2

&aL R3 -

(7.7)

On peut également écrire Ka sous la forme suivante, avec (5.5) et (5.6) :

Ka =

31f

Ta(h=a)

h

(7.8)

ou bien, en utilisant (3.5) et en notant par Po la masse volumique moyenne de la planète : (7.9) Pour la vitesse angulaire, en plus du radian par seconde (unité SI), on utilise aussi comme unité le degré par jour et le tour par an. On exprime Ka avec ces trois unités:

Ka

2.012788 10- 6 rad·s- 1 9.964014°r l

(7.11)

Ka

10.10949 tr·an- 1

(7.12)

Ka

(7.10)

On a tracé le graphe de variation de D(a, i) sous deux aspects: - sur la figure 7.1(a), D(a) en fonction du demi-grand axe a, pour diverses inclinaisons; - sur la figure 7.1(b), D(i) en fonction de l'inclinaison i, pour diverses valeurs du rapport (aiR). L'altitude varie donc de h = 0 pour (aiR) = 1 à h = R = Re = 6 378 km pour (aiR) = 2 avec un pas de 0.1 R = 637.8 km. La valeur de D est notée en degrés par jour. Une combinaison de ces deux graphes est réalisée, figure 7.2(a). On a tracé les courbes de même valeur de D (courbes d'« iso-précession nodale» ) en fonction de l'inclinaison i et de l'altitude h (ou de aiR). Sur ces graphes, il apparaît clairement que lorsque h augmente, pour une même inclinaison, D diminue: plus le satellite s'éloigne du centre de la Terre, moins les irrégularités du potentiel terrestre ont d'influence sur lui. On voit aussi que pour les orbites directes, D est négatif (précession dans le sens rétrograde), et pour les orbites rétrogrades, D est positif. Pour une orbite strictement polaire, D est toujours nul, quelle que soit l'altitude. La valeur maximale de IDI est obtenue pour i = 0° ou i = 180°, avec h = 0, et est égale à Ka = 9.96° .j-l, soit pratiquement 10 degrés par jour. La valeur de D, proche de 1, notée « HEL» sur les deux graphes de la figure 7.2 intervient pour les satellites dits héliosynchrones dont nous ferons l'étude en fin de chapitre (dans ce cas, D = 0.986 o .j-l).

236

Chapitre 7. Mouvements relatifs orbite / Terre / Soleil

10 8

'§' 0

E

6

--' 0

4

w

-2

'" 2'"

-4 -6 0

30

60

90

Angle d'inclinaison

n

120

150

180

7.3 : Représentation de la vitesse de précession apsidale w( a, i) (en degrés/jour), pour une orbite circulaire ou quasi circulaire, en fonction de l'inclinaison i, pour diverses valeurs du rapport T} = (aiR), de T} = 1.0 à T} = 2.0, avec un pas de 0.1.

FIG.

'§' 0

E ë0)

E 0)

10 8 6

> :::J

4

E

2

0

c

0)

>0

E :::J CIl

0 -2

ë

-4

c. c.

-6

ë5 Durée représentée:

109.4 min

=

a = 7572.704 km

Inclinaison = 82.56' Décalage à l'équateur = 3059.5 km ( 27.5 ')

0.08 jour

Projection: Orthographique

Centre Carte: 12.0' N ; 112.0' W

N. asc. : -133.95' [07:43 TUC]

Propriété: (sans)

Aspect: Oblique

Latit. max. atteinte

Type: Azimutal

[-90.01 +78.01-158.0]

= 82.6

0

Altitude = 1194.6 km

Phasage = [13; +7; 71]930

Période = 109.42 min • Tourslj = 13.16

109.4 min

Inclinaison

0.0'

Centre Carte:

Propriété: (sans)

Aspect: Direct

Type: Cylindrique

[ +90.01 +0.01 -90.0]

LMD

=

82.56

a = 7572.704 km 0

Décalage à l'équateur = 3059.5 km ( 27.5 ')

0.08 jour

Projection: Plate-carrée

*

ATÀCX,

Meteor-3-07 (MeTeop) Trace de l'orbite »> Durée représentée:

nu,;V

MC

0.0 '

N. asc. : -133.95' [07:43 TUC] Incl in. app. = 86.93'

nlVJV

MC

*

LMD

ATÀCX,

8.3 : Orbite et trace du satellite Meteor-3-0l sur une révolution. La distance entre les deux nœuds ascendants successifs représente le décalage équatorial.

FIG.

8.3. Trace du satellite en orbite circulaire

8.3.3

295

Inclinaison apparente

Définition et calcul de l'inclinaison apparente

On appelle inclinaison apparente l'angle que fait la trace avec l'équateur. Cet angle, noté i', est différent de l'angle i représentant l'inclinaison du satellite, c'est-à-dire l'inclinaison du plan de l'orbite du satellite avec le plan équatorial. Cela provient du fait que i est mesuré dans ~ et i' dans ~T. Pour calculer i', on considère dans ~T le plan tangent à la Terre en No, point représentant la trace du nœud ascendant, avec les vecteurs unitaires orthogonaux e).. (porté par l'équateur) et e1jJ (porté par le méridien passant par No. On écrit, dans le référentiel galiléen ~, la vitesse Va (vitesse absolue, exprimée en vitesse angulaire) du satellite au moment où il coupe l'équateur et la vitesse d'entraînement V e du point No. Pour Va, il faut tenir compte de la vitesse de précession nodale du plan orbital. Quant à V e , c'est tout simplement la vitesse de rotation de la Terre:

Va

=

1

n n

c~s ~ + D

S111 Z

Par la règle de composition des vitesses, on obtient la vitesse angulaire V T du satellite dans le référentiel terrestre ~T (dite vitesse relative)

L'inclinaison apparente est ainsi donnée par: tani'

=

n sini n cosi - (DT - D)

(8.28)

--------~----~

En utilisant la fréquence quotidienne de phasage '" définie par (7.41), on écrit: 1 sin i tan i = ----;-----;---;-.,cosi - (1/",)

(8.29)

En développant tan(i' - i), on obtient: (h

=

i' - i

=

arctan

sin i '" -

.

COS?

(8.30)

On note qu'on a toujours: i' ~ i. Pour un satellite héliosynchrone, on peut remplacer", par v, puisque, d'après (7.42), ces deux fréquences quotidiennes sont égales. Pour un satellite en orbite elliptique (non circulaire), ce calcul est bien entendu possible, mais il faut remplacer n par la vitesse angulaire instantanée du satellite en No. Comme cette vitesse dépend de la position du périgée, de l'excentricité, il n'est pas possible d'exprimer i' sous forme générale et simple.

296

Chapitre 8. Trace du satellite

Exemple 8.3 Calcul de l'inclinaison apparente pour le satellite (LEO) Terra, pour un satellite (MEO) Navstar de la constellation GPS. ~ Le satellite Terra a une orbite quasi circulaire héliosynchrone. Son inclinaison est i = 98.21 0, sa période nodale Td = 98.884 min. On calcule (l/v) à partir de Td : l/v = Td/1440 = 0.06867 On applique ensuite directement (8.29) puisque, dans le cas d'héliosynchronisme,

'" = v:

tan i' =

sin 98.21 = _ 0.98975 = -4.68030 cos 98.21 - 0.06867 0.21147

i'

=

102.06°

i' - i

=

3.85°

Cette inclinaison i' peut se mesurer sur les images prises par Terra, comme on le voit avec la figure 17.16. Les caractéristiques de Navstar/GPS sont a = 26 560 km et i = 55.00°. La période est 'ld = 717.978 (un demi-jour sidéral). Le calcul de la vitesse de précession nodale permet de calculer '" : ft = -0.03878 degré par jour v = 2.0056 '" = 2.0000 tan i' =

sin 55.00 081915 = - - ' - - = 11.13335 cos 55.00 - 0.5000 0.07358

i'

=

84.87°

i' - i

=

29.87°

A l'équateur, la trace du satellite apparaît très proche (à 5° près) du méridien du nœud ascendant .... Exemple 8.4 Calcul de l'inclinaison apparente pour la trace des satellites

géosynchrones.

~ Pour un satellite géosynchrone, on a (ftT/n) = 1 et le terme ft est négligeable. La relation (8.28) devient: .1 sin i cos( i/2) tanz = cosi -1 = - sin(i/2) = tan

('i"2f + 2"i)

+i

i' - i = 90° 2 2 Lorsque i est très petit, par exemple i = 1°, on a i' = 90.5° : la trace n'est pas un point mais un petit segment pratiquement perpendiculaire à l'équateur, entre les latitudes ION et lOS, qui se transforme en un «8» (lemniscate) lorsque i augmente, d'autant plus large que i est grand. Le premier satellite géosynchrone opérationnel, Syncom-2, avait une inclinaison de 32.8°. Sa trace faisait avec l'équateur un angle de 106.4° ou, si l'on préfère, un angle de 16.4° avec le méridien du nœud, comme on le voit sur la figure 9.11(a) .... i'

=

90°

Calcul de l'inclinaison à partir de l'inclinaison apparente

Nous avons obtenu i' en fonction de i (et de a). Il peut être intéressant de faire le calcul inverse, obtenir i en fonction de i' (et de a).


297

En utilisant la relation (7.1), où on exprime (D/n) à l'aide J 2 et i, l'équation (8.28) peut se remplacer par l'équation suivante à résoudre:

A cos i - B avec: 3 A=I-"2 h

(R)2 ~

=

C sin i

B = DT

n

(8.31)

C=_I_ tan i'

(8.32)

Dans un premier temps, on prend n = no (képlérien) dans B pour que ce terme ne dépende pas de i. L'équation (8.31) se transforme en une équation du second degré en tan( i /2). La solution (unique, car l'angle i est dans l'intervalle [0,7f]) est donnée par: 1

tan - = 2

-C+VC2+A2_B2 A+B

------,----=----

(8.33)

Cette valeur de i permet de calculer n réel et de recommencer la résolution. La convergence est très rapide, car n dépend très peu de i. On note qu'on a : A ::::: 1, B ::::: l/v et donc B < A, sauf pour les satellites sur une orbite géosynchrone ou plus haute. Cette méthode permet de trouver l'inclinaison d'un satellite dont on connaît l'altitude en mesurant l'inclinaison apparente, sur une carte des traces par exemple. Elle permet aussi, comme nous allons le voir en suivant, de calculer l'inclinaison à partir des composantes du vecteur vitesse du satellite.

Calcul de l'inclinaison à partir de la vitesse du satellite La position et la vitesse du satellite sont connues soit par le bulletin d'orbite du satellite, soit par les télémesures concernant chaque instrument embarqué. Position et vitesse sont données par rapport à la Terre. Notons vx, Vy, Vz les composantes de la vitesse dans !RT , correspondant à r V r . Au nœud ascendant, l'angle que fait le vecteur vitesse, donc la trajectoire du satellite, avec le plan équatorial, représente l'inclinaison apparente. La relation entre i et la vitesse au nœud (si on ne distingue pas les nœuds, on utilise les valeurs absolues pour les vitesses) est: tan i' =

Vz

j:::::;;:==;;=

Jv~ +v~

À partir de la valeur de a et de celle de i' ainsi obtenue, on trouve (8.33).

(8.34) par

Exemple 8.5 Calcul de l'inclinaison du satellite Meteor-3-07 à partir des valeurs des composantes de la vitesse.

298


Temps 199402 24

nd

07:43:28 08:38:10 09:32:54

A D A

Latit. ?jJ

0.00 0.00 0.00

Longit. À

Altitude h

Vx

Vitesse (composantes) Vy

Vz

-133.95 32.33 -161.44

1211.658 1188.318 1211.657

0.280 -0.202 -0.128

-0.261 0.331 -0.361

7.182 -7.204 7.182

8.1 : Données (télémesures brutes de l'instrument ScaRaB) relatives à la première révolution opérationnelle de Meteor-3-07. On a noté l'altitude h (en km), les composantes de la vitesse, Vx, Vy, Vz (en km's- 1 ), la latitude ?jJ et la longitude À (en 0), ainsi que l'instant de passage (en heure TU) au nœud (nd) , ascendant (A) ou descendant (D).

TABLEAU

~ Les valeurs du tableau 8.1 sont obtenues par interpolation des valeurs TMB (télémesures brutes) données lors de la première révolution d'enregistrement de l'instrument ScaRaB, le 24 février 1994. Les nœuds (1) et (3) sont ascendants (vz > 0), le nœud (2) est descendant (vz < 0). On calcule i' par (8.34) :

tan i' =

~:~:~

=

18.763

tan i' =

~:~~:

=

18.578

n .1 = 7.182 = 18.751 ta z 0.383

On en déduit i dans chaque cas et on prend la valeur moyenne entre nœud ascendant et descendant : i' = 86.933° On calcule le demi-grand axe a par la période nodale, puisqu'on connaît le temps écoulé entre deux passages consécutifs au nœud ascendant (voir l'exemples 7.3). Avec T = 109 min 25 s, on obtient a = 7572.7 km. On constate que les altitudes données par le tableau 8.1 varient de 12 km de part et d'autre de la valeur moyenne h = 1200 km selon le type de nœud. Cela s'explique par le fait que l'orbite est légèrement excentrée et que l'argument du périgée n'est pas ±90°. Les valeurs de i' et a donnent avec (8.33) : A = 0.998 85, B = 7.619 10- 2 , C = 5.358 10- 2 ; cosi = 0.129 47; et finalement on obtient la valeur de i : i = 82.561° On trouve ainsi l'inclinaison i = 82.56° du satellite Meteor-3-07, ce qui est exactement la valeur communiquée par l'agence spatiale russe ....

8.3.4

Angle de la trace avec un méridien

On calcule l'angle que fait la trace du satellite avec un méridien, pour un point quelconque de la trace. Le calcul de l'angle entre la trace et un parallèle correspond à une généralisation de l'inclinaison apparente. Cependant, dans la pratique, on préfère évaluer l'angle de la trace avec la direction sud-nord. Dans le référentiel ~, l'orbite du satellite coupe le méridien selon un angle j. Si on se reporte à la figure 10.7, P est la trace du satellite (de latitude 1jJ),


299

N est la trace du nœud ascendant (l'angle dièdre N représente l'inclinaison

'i), PQ est le méridien de P, Q étant sur l'équateur. L'angle dièdre P, dans le triangle sphérique PQN, est l'angle j recherché. On obtient par la relation (t.s.-V) :

.. cos z sm] = - cos 1jJ

(8.35)

Pour calculer j', on considère dans 1RT le plan tangent à la sphère de rayon R au point considéré, de latitude 1jJ, avec les vecteurs unitaires orthogonaux

e).. et e1j;, déjà définis. Comme pour le calcul de l'inclinaison apparente, on écrit:

Va

=

1

n sin j + Dcos VJ n COS]

Vr

=

Va _ V e =

On en déduit:

1

n sinj. - (DT - D) COSVJ n COS]

., sin j - (1/ /i;) cos 1jJ tan] = . COS]

(8.36)

et en exprimant j avec (8.35) : (8.37) On obtient l'angle d'ajustement, noté r5j, comme une fonction de i et de VJ :

r5j

=

,

j - j

=

arctan

vicos 2 1jJ /i; -

cos 2 i . cos z

(8.38)

On rapprochera cette relation de (8.30) en posant VJ = o. L'angle d'ajustement r5j est maximal à l'équateur. Lorsque la latitude géocentrique maximale est atteinte, on vérifie que la trace est normale au méridien. Pour un satellite héliosynchrone, on peut remplacer /i; par v. L'exemple 12.7 fournit une application directe et une illustration concrète de l'application du calcul de la valeur r5j par (8.38).

8.3.5

Vitesse du satellite et de sa trace

Le calcul très précis de la vitesse du satellite peut être fait par les équations du mouvement vues précédemment. Nous allons calculer ici la vitesse du satellite et de sa trace, avec une bonne précision, en considérant le mouvement circulaire et képlérien. Cette partie aurait donc pu figurer dans le chapitre 5. Nous avons préféré la présenter ici, après avoir abordé la vitesse de rotation terrestre, défini la notion de trace et évoqué les divers types de satellites (en particulier géosynchrone).

300


h (km)

(km)

(tr /j)

v

Ta j h min

V

Va

WE

WE

0

90

180

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600

6378 6478 6578 6678 6778 6878 6978 7078 7178 7278 7378 7478 7578 7678 7778 7878 7978

17.04 16.65 16.27 15.91 15.56 15.22 14.89 14.58 14.28 13.98 13.70 13.42 13.16 12.90 12.66 12.42 12.18

1h24 1h26 1h28 1h31 1h33 1h35 1h37 1h39 1h41 1h43 1h45 1h47 1h49 1h52 1h54 1h56 1h58

7.91 7.84 7.78 7.73 7.67 7.61 7.56 7.50 7.45 7.40 7.35 7.30 7.25 7.21 7.16 7.11 7.07

7.91 7.72 7.55 7.38 7.22 7.06 6.91 6.76 6.62 6.49 6.35 6.23 6.10 5.99 5.87 5.76 5.65

7.44 7.26 7.08 6.91 6.75 6.60 6.44 6.30 6.16 6.02 5.89 5.76 5.64 5.52 5.41 5.29 5.19

7.92 7.74 7.56 7.39 7.23 7.07 6.92 6.78 6.64 6.50 6.37 6.24 6.12 6.00 5.89 5.78 5.67

8.37 8.19 8.01 7.84 7.68 7.52 7.37 7.23 7.09 6.95 6.82 6.69 6.57 6.45 6.33 6.22 6.11

2000 3000 4000 5000 6000

8378 9378 10378 11 378 12378

11.32 9.56 8.21 7.15 6.30

2h07 2h31 2h55 3h21 3h48

6.90 6.52 6.20 5.92 5.67

5.25 4.43 3.81 3.32 2.92

4.79 3.97 3.34 2.85 2.46

5.27 4.46 3.84 3.35 2.96

5.71 4.90 4.27 3.78 3.39

10390 20183 35786 110000

16768 26561 42164 116378

4.00 2.01 1.00 0.22

6hOO 11h58 23h56 4j13h45

4.88 3.87 3.07 1.85

1.85 0.93 0.47 0.10

1.39 0.47 0.00 -.36

1.91 1.04

376805

383 183

0.04

27j07h43

1.02

0.02

a

0.47

WE

T s E E N N

0 0 0 0 0 0 0 0

G G 1 P S V L

8.2 : Vitesse du satellite, de la trace et vitesse relative de la trace pour divers satellites, en orbite circulaire (orbite képlérienne). Pour chaque satellite, on a noté l'altitude h (en km) et la longueur du demi-grand axe a, ou distance au centre de la Terre (en km), la fréquence quotidienne v (en tours par jour), la période képlérienne Ta (en heures et minutes), les vitesses V, Va, WE (pour les trois valeurs de l'angle i, 0°, 90°, 180°), définies dans ce paragraphe (en km·s- 1 ). On a aussi noté par des abréviations le type T de satellite correspondant: s (niveau du sol), E (espionnage, surveillance), N (navette spatiale, vols habités et pour l'observation de la Terre), 0 (pour l'observation de la Terre - orbite LEO), G (pour la géodésie), l (pour les communications - orbite type ICO, entre LEO et MEO), P (pour le positionnement par GPS - orbite MEO), S (géostationnaire - orbite GEO), V (type Vela), L (Lune); absence de symbole pour orbite inusitée. TABLEAU


301

Définition des diverses vitesses étudiées La vitesse du satellite 5 et celle de sa trace 50, dans simplement en fonction du moyen mouvement n :

v=an=~

V= dOS

dt

V; _ dOSa

a

s'expriment

(8.39)

Vo=Rn=!!.V=!!.

dt

a-

~,

Œ

aY-;;

(8.40)

Dans le repère terrestre ~T, on considère un point de la surface de la Terre (50 par exemple) et le trièdre direct de vecteurs unitaires, associé aux coordonnées sphériques, (e r , e).., e7jJ). Dans un plan tangent à la Terre (plan horizontal local), le plan (e).., e7jJ), le vecteur e).. est porté par un parallèle, le vecteur e7jJ par un méridien. Dans ce repère, la vitesse de la trace, notée w, est égale à : W = Va - R nT cos1jJ e).. En notant eu le vecteur unitaire porté par Va, on obtient l'expression de w, qu'on peut appeler vitesse relative de la trace ou vitesse de la trace par rapport au sol: (8.41 ) Vitesse à l'équateur

Pour comparer les valeurs obtenues avec divers satellites, nous allons considérer la vitesse relative w au nœud ascendant (ou descendant), c'està-dire sur l'équateur, où elle sera notée WE : WE =

R

.

n eu - DT

e)..

On peut l'écrire en fonction de l'inclinaison 'i du satellite: WE R

=

(

n cos '(. -

A ) e)..

J CT

. .Z e7jJ + n S111

(8.42)

On note VJE la valeur algébrique de WE prise dans le sens de la vitesse. On obtient les résultats pour trois valeurs de l'inclinaison, respectivement 'i = 0°, 'i = 90° et 'i = 180° : VJE

-

R

.

=n- DT

VJE

If =

.

n+DT

(8.43)

Dans le tableau 8.2, on a noté, pour divers satellites, les vitesses du satellite et de sa trace, V et Va, dans ~, les vitesses relatives de la trace VJE, dans ~T pour ces trois valeurs de 'i. On a noté les satellites pour toutes les altitudes de 0 à 1600 km, avec un pas de 100 km, puis pour quelques altitudes caractéristiques de divers types de mission.

302


La vitesse maximale de la trace par rapport au sol est de 8.4 km·s- I , obtenue pour un satellite rétrograde au niveau du sol. De manière plus réaliste, la vitesse de la trace à l'équateur pour un satellite opérationnel héliosynchrone est de 6.6 km·s-l. Pour un satellite géosynchrone avec i = 0, donc géostationnaire, on vérifie bien: WE = wE(i = 0) = 0.00. Quant au dernier satellite du Tableau, il n'est pas artificiel... C'est un modèle simplifié de la Lune (orbite circulaire, képlérienne) : à une distance de 380000 km, la période est d'environ 27 jours. Notons que dans ~, la période sidérale est égale à 27.32 jours. Dans ~T, la période qui tient compte du mouvement de la Terre est égale à 29.53 jours, un mois 3 lunaire. Cette période, dite synodique, est expliquée ci-dessous. Période synodique

La notion de période synodiqué est souvent utilisée, qu'il s'agisse de satellite ou de planète. Considérons deux corps, dans un même référentiel galiléen, en mouvement uniforme de pulsation (moyen mouvement) n et nI respectivement. Le mouvement relatif du premier par rapport au second est un mouvement (relatif) de pulsation ni : ni = n - nI (8.44) En passant aux périodes, on a : 1

T'

1

1

T

Tl

(8.45)

---

où T' représente la période synodique. Une valeur négative de la période T' indique que le mouvement, de période IT'I, a lieu dans le sens contraire. Pour la Lune qui tourne autour de la Terre, qui tourne autour du Soleil (Tl = N sid ), on a : 1

T'

1 27.32

-- -

1 365.25

---

===}

T'

=

29.53 jours

Pour un satellite géostationnaire, pour lequel T = Tl = 1 Jsid (jour sidéral), la période synodique est considérée comme infinie. Pour un satellite GPS, T = 0.5 Jsid et Tl = 1 Jsid, on obtient T' = 1 Jsid, ce qui montre que le satellite ne coupe un méridien donné qu'une seule fois par jour. 3En anglais, on note la proximité, non fortuite, entre month, le mois et Moon, la Lune. Un tel rapprochement se note aussi en allemand et dans d'autres langues apparentées. La racine indo-européenne * men, * mes se rapporte à la Lune, à la lunaison (= mois), à la mesure (du temps). Beaucoup de langues de cette famille ont gardé cette proximité, ce qui n'est le cas ni du grec, ni du latin. Ces deux langues ont nommé la Lune par « la brillante» (~ aEÀ~vYJ, YJç; luna, œ). Voir aussi la note Chandrasekhar. 4Le nom ~ aûvoùoç, ou, «synode», est composé de aûv, « avec, ensemble» et de ~ 6ù6ç, ou, « chemin, voyage». Il avait déjà, en grec ancien, les deux sens de « réunion» et de « conjonction d'astres», sens illustrant chacun l'idée de « qui arrive en même temps».


303

a

FIG. 8.4 : Représentation de la trace de l'orbite (référentiel galiléen) pour l'étude

de la relation (géométrie sphérique) entre latitude et longitude pour un point S de la trace. Le nœud ascendant est en A. Dans le triangle sphérique ASS', l'arc AS' représente la longitude, l'arc S' S la latitude,. l'angle A est l'inclinaison et l'angle S'est droit. P représente le pôle.

8.3.6

Équation de la trace avec élimination du temps

Pour une orbite circulaire, nous allons exprimer la longitude À en fonction de la latitude géocentrique 1/;, avec l'aide de l'inclinaison i et de la fréquence K" mais sans faire intervenir le temps t (élimination du temps). À l'instant tN A, la trace géocentrique du satellite coupe l'équateur en A, trace du nœud ascendant, pris comme origine. À l'instant t, la trace est en S. Dans le référentiel galiléen 1R (défini par le plan équatorial terrestre et l'axe des pôles Oz, l'axe OA restant fixe), la longueur de l'arc AS (grand cercle) représente la position sur orbite Q :

(8.46) en notant nd le moyen mouvement lié à la période nodale Td. La longitude du satellite, notée ÀG dans ce même référentiel1R, est donnée par l'arc AS', S'étant à l'intersection du méridien PS avec l'équateur (figure 8.4) : ÀG =

AS'

304


Par rapport à un référentiel terrestre !RT , la longitude

D)

ÀT = À c - (DT -

ÀT

est égale à :

(t - tNA)

En utilisant la fréquence de phasage "', on obtient: ÀT = À c -

r1d (t - tNA)

'"

et ainsi on élimine le temps grâce à (8.46) : Œ

ÀT = Àc - -

'"

Dans le triangle sphérique AS S', on a pour valeur des angles et des côtés (arcs) : angle A =i angle S' = Ir /2

a

=

55'

=

s = AS' tan VJ

VJ

sin À c = - - . tan't On a ainsi l'expression de la longitude: (t.s.-X)

===}

s' = AS =

= Àc

. tan VJ arcsm - - . tan z En prenant comme origine des longitudes de A, on écrit : ÀT =

(t.s.-VIII)

===}

Œ

. sin 1/; smŒ = -.-. smz

1 . sin 1/; - arcsm -.-. (8.4 7) '" sm z le méridien de Greenwich, à la place

ÀT=À-ÀNA À

et ÀN A étant respectivement les longitudes de 5 et A. Finalement, on exprime la longitude À du satellite en orbite circulaire: À = À NA

tan 1/;

+ arcsin - - . tan't

1 sin 1/; - arcsin -.-. '" sm't

(8.48)

Angle de la trace avec le méridien

On peut obtenir l'expression de tan)', qui donne l'angle de la trace avec le méridien, par (8.36), de manière analytique. Avec l'expression (8.48), donnant la longitude À en fonction de la latitude 1/;, on effectue la dérivation (dÀ/dVJ) : Jtan 2

1 1 1 2 2 i - tan VJ . cos 1/; - ~ .

1

cos i - (1/ "')

cos 1/;

sin 2

J

cos 2

J

sin 2

1 i - sin 2 VJ . cos 1/;

1jJ

i - sin 21jJ

À un accroissement dY = Rd1/; selon le méridien correspond un accroissement dX = R cosljJdÀ selon le parallèle. On a ainsi :

dX

cosljJdÀ

dY

dVJ

cos i - (1/ "') cos 2 1jJ

J cos 2 1jJ -

cos 2 i

et cette grandeur correspond à tan)' = dX/dY donné par (8.37).

(8.49)

8.4. Annexe: Éléments orbitaux NORAD

8.4 8.4.1

305

Annexe: Éléments orbitaux NORAD Présentation de l'organisme NORAD

Le Commandement de la défense aérospatiale de l'Amérique du Nord, dit NORAD (North American Aerospace Defense Command) est une organisation conjointe, entre les États-Unis d'Amérique et le Canada, pour la surveillance de l'espace aérien nord-américain. Son quartier général est à la base aérienne Peterson (Colorado, États-Unis). Il a été créé en 1957, en pleine « guerre froide». Les Etats-Unis redoutaient une attaque par des missiles tirés depuis l'URSS (et qui seraient donc venus par le nord). Le NORAD gère des dizaines de radars et peut ainsi détecter tout objet de plus de 1 m dans l'espace (cette limite est de 10 cm jusqu'à 8 000 km d'altitude). Tous les satellites sont repérés par les radars et identifiés. Leur mouvement est calculé par des «modèles de propagation» (logiciels d'orbitographie) puis ajusté par de nouvelles mesures radar. Les paramètres orbitaux sont codés dans les TLE (Two-Line Elements, présentés plus bas). Pour les satellites « non classifiés», ces résultats sont diffusés plusieurs fois par jour (une à trois fois), qu'ils soient issus des mesures radar ou des calculs. Les satellites espions (ou plus généralement « sensibles») américains sont exclus de cette diffusion, mais les satellites militaires français Hélios et Essaim ne l'étaient pas ... Ainsi, à l'aide d'un logiciel d'orbitographie comme Ixion, on pouvait déterminer facilement lesquels de nos satellites étaient maintenus en orbite correcte et lesquels étaient à la dérive. Mécontent de cette attitude, le ministère français de la Défense a créé le système GRAVES (Grand réseau adapté à la veille spatiale), opérationnel depuis 2005, qui détecte tout satellite survolant la France. Près de trente satellites « classifiés NORAD » auraient ainsi été détectés. La perspicacité de GRAVES a permis à Paris de négocier avec Washington : «on reste discret sur certains de vos satellites si vous cessez de mettre en ligne les données de nos satellites sensibles ». Cela a fini par payer, car à partir du 8 décembre 2009 (peu avant le lancement d'Hélios-2B) les satellites Hélios et Essaim ont été retirés de la liste des TLE NORAD.

8.4.2

Les« Deux Lignes NORAD » (TLE)

L'organisme NORAD recense les objets en orbite et fournit, sous forme de deux lignes de 69 caractères (chiffre, lettre, signe, blanc), leurs éléments orbitaux. Ces données, nommées NORAD Two-Line Element Set Format (en abrégé TLE), constamment actualisées, sont accessibles par Internet. Pour chaque satellite, les données sont dans le format suivant: AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA 1 NNNNNU NNNNNAAA NNNNN.NNNNNNNN +.NNNNNNNN +NNNNN-N +NNNNN-N N NNNNN 2 NNNNN NNN.NNNN NNN.NNNN NNNNNNN NNN.NNNN NNN.NNNN NN.NNNNNNNNNNNNNN

306

Line 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2


Column

01

03-07 08 10-11 12-14 15-17 19-20 21-32 34-43 45-52 54-61 63 65-68 69 01

03-07 09-16 18-25 27-33 35-42 44-51 53-63 64-68 69

TABLEAU

Description Line N umber of Element Data Satellite Number Classification (U = U nclassified) International Designator (Last two digits of launch year) International Designator (Launch number of the year) International Designator (Piece of the launch) Epoch Year (Last two digits of year) Epoch (Day of the year and fractional portion of the day) First Time Derivative of the Mean Motion Second Time Deriv. of Mean Motion (decimal point assumed) Drag term (decimal point assumed), " B* " model Ephemeris type Element number Checksum (Modulo 10) Line N umber of Element Data Satellite Number Inclination (Degrees) il Right Ascension of the Ascending Node (Degrees) Eccentricity (decimal point assumed) e w Argument of Perigee (Degrees) M Mean Anomaly (Degrees) Mean Motion (Revolutions per day) n Revolution number at epoch Checksum (Modulo 10)

8.3 : Description des «Deux lignes NORAD ». Document NORAD.

La ligne 0 donne le nom du corps en orbite (satellite, élément de fusée), en 24 signes. Le standard TLE est constitué des lignes 1 et 2, dans un format utilisé par le NORAD et la NASA. La ligne 1 donne la date et divers renseignements sur le frottement atmosphérique. Les paramètres orbitaux sont dans la ligne 2. La description exacte du format d'écriture est notée dans le tableau 8.3.

8.4.3

Décodage des lignes NORAD

La correspondance entre les six éléments képlériens classiques vus au chapitre 5 et les six éléments NORAD se fait directement pour les éléments métriques i, e et les éléments angulaires D, w, NI. Le demi-grand axe a s'obtient à partir du moyen mouvement n. Pour une utilisation pratique de ces éléments orbitaux, deux d'entre eux demandent des calculs préliminaires. [ a 1 Comme nous le voyons, le demi-grand axe a n'apparaît pas direc-

8.4. Annexe: Éléments orbitaux NORAD

307

tement dans les éléments NORAD. Le nombre de révolutions par jour donne la période anomalistique Ta (car la période, dans cette étude orbitale, est définie comme deux passages successifs au périgée). Par une méthode d'itération, comme celle vue dans l'exemple 7.3, on obtient la valeur de a. [ [2 1 L'angle [2, ascension droite du nœud ascendant, est mesuré dans un référentiel galiléen par rapport à la direction du point vernal. Mais dans la pratique, on veut connaître >'0, la longitude du nœud ascendant de l'orbite, c'est-à-dire l'élongation angulaire de ce point dans un repère terrestre, comptée à partir du méridien de Greenwich. En utilisant les notations déjà vues, on peut dire que [2 est compté dans ~, >'0 l'est dans ~T. On calcule d'abord l'angle [2coo que fait le méridien de Greenwich avec la direction du point vernal, à 0 heure TU, le jour considéré. Cet angle correspond au temps sidéral moyen GMST (Greenwich Mean Sideral Time), à o h, noté qcoo, et mesuré en secondes. Il est obtenu par la relation 5

+ 8640184.812866 Tu + 9.3104 10- 2 T,; - 6.2 10- 6 T~

qcoo =24110.54841

(8.50)

avec Tu, qui mesure le temps en siècle julien, défini par Tu = du /36 525, où du représente le nombre de jours écoulés depuis le 1er janvier 2000 à 12 h (date origine choisie, appelée DJ2000, correspond à la date julienne DJ 2451545.0). Avec LJ.J, la fraction de jour écoulée depuis 0 h (en donnée en ligne 1 de TLE), on calcule le temps sidéral (GMST) à l'instant t (TU) considéré: qCt = qcoo

+ 86 400 DT

LJ.J [ mod 86 400 1

(8.51)

où DT représente la vitesse angulaire de rotation de la Terre, exprimée en tours/jour, donnée par (7.28). Avec l'équivalence entre les jours et les tours (1 jour - 360°), on obtient [2Ct en degrés à partir de qc en secondes : [2

_

Ct -

qCt

240

(8.52)

qui est l'angle que fait le méridien de Greenwich avec la direction du point vernal, à l'heure TU considérée. Les positions du nœud ascendant de l'orbite et du méridien de Greenwich, notées respectivement [2 et [2Ct, sont mesurées par rapport à la même origine, 5L'expression de qaGG est composée de 4 termes: (a) le premier donne la position du méridien de Greenwich à date origine choisie; (b) dans le deuxième, le coefficient de Tu est égal au nombre de secondes par jour (86400) multiplié par le nombre de jours par siècle julien (36 525), divisé par le nombre de jours dans l'année tropique (Ntro = 365.242 1897) ; (c) le troisième est relatif à la nutation; (d) le quatrième rend compte de la précession des équinoxes.

308


au même instant. On obtient donc la longitude À o du nœud ascendant de l'orbite dans un repère terrestre: Ào =

n - nCt

(8.53)

Avec w et v (obtenu à partir de l'vI et e), on calcule l'instant de passage du satellite au nœud ascendant ainsi que sa position ÀN A (en tenant compte de la précession de l'orbite dans cet intervalle de temps). La longitude et l'instant TU donnent ainsi l'instant TSM, temps solaire moyen du passage au nœud ascendant. Exemple 8.6 Calcul des éléments orbitaux à partir des éléments NORAD, pour le satellite ICESat. ~ Pendant ses trois premiers mois de mission, le satellite ICESat avait une orbite dite de calibration. Sa trace devait repasser sur elle-même tous les 8 jours (nous reviendrons au chapitre 11 sur cette notion de phasage). Les éléments NORAD, pour le jour choisi, durant cette époque de calibration, sont les suivants:

ICESAT

1 27642U 03002A 03175.25018279 .00000722 00000-0 75456-4 0 1631 2 27642 94.0031 263.4514 0002250 85.5696 274.5785 14.90462832 24163 On obtient la date avec 03175.25018279 : année = 03, jour = 175, heure = 0.25018279/24, ce qui donne 24 juin 2003, à 06:00:15.79 UTC. À titre d'information, il s'agit de la révolution 2416, l'origine de la numérotation étant au premier passage du satellite au périgée. On obtient immédiatement les éléments suivants: n = 14.90462832 revolutions/jour; e = 0.0002250; i = 94.0031° ; n = 263.4514° ; w = 85.5696° ; M = 274.5785°. Avec l'anomalie moyenne IvI, on peut calculer les anomalies excentrique et vraie, très voisines de J'vI car l'excentricité est très petite: E = 274.566° et v = 274.553°. Avec n, on obtient la période anomalistique: '1;'(min) = 1440/n, soit '1;' = 96.61428 min. On calcule la position sur orbite, Ct = w + v : Ct = 85.569 + 274.553 = 360.122 = 0.122 [mod 360] La position du satellite à l'instant initial n'est donc pas le noeud ascendant mais un point situé un peu au-dessus de l'équateur, dans l'hémisphère Nord. On calcule l'écart, en anomalie moyenne, puis en temps, entre l'instant initial et le passage au noeud ascendant. L1M = M - M(v = -w) = 274.579 - 274.457 = 0.122 L1t = 0.122/360 x Ta = 1.971 s. Dans un premier temps, on pose '1'0 = '1;' et, avec cette période képlérienne, on obtient la valeur du demi-grand axe de l'orbite képlérienne: ao = 6974.6 km. On calcule la variation séculaire liée au moyen mouvement, L1n/n = -0.6695 10- 3 et

00

(1)

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J;'"

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Cf:)

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(1)

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~Q,

'"

= [15; -1; 8]119

œT.:[lnt. ellipt.]- Grille

Projection: Guyou Propriété: Conforme

10·

2003062406:0014 TUC >>>

Phasage

Trace de l'orbite

"" .0 ICESat [cal]

Cf:)'rj

;:J

;;,

EGM96

[NORAD] 2003 06 24 0600:14 TUC

[NO RAD] Révolution : 2416

15.31 [·32.0/·90.0/+106.0] H

Noeud asc. : -98.59· [23:26 TSM]

Centre Project.: 32.0 • N ; 106.0 • W

Décalage à l'équateur = 2694.1 km (24.2·)

Aspect: Transverse,. zoom: 6.00

8.00 jours

e '" 0.000225

MC

a = 6971 .515 km

Période = 96.68 min • Révol./j.=14.89

Inclinaison '" 94.00·

Altitude = 593.4 km

LMD

nLGJV

ATÀCXÇ

*

w '-Cl

o

o ?:I > U

Z

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o"1

rh

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trJ.

::J ro >: ro

> ::J

~

00

310


on recalcule a. Après itérations, on obtient: a = 6971.515 km; soit une altitude h = a - R = 593 km. Avec les valeurs de a et i, on calcule les vitesses de précession et les périodes. On obtient: précession nodale ft = +0.5079° /jour ; précession apsidale w = -3.5508° /jour ; période anomalistique 'l'a = 96.61428 min (vérification) ; période draconitique Td = 96.67818 min. Pour le calcul de la longitude du plan orbital à l'instant initial, on détermine la date julienne de l'instant considéré, DJ 2 452 814.75018279, ce qui donne du = DJ - DJ2000 = 1 269.75018279 et 'l'" = du /36 525. Avec la relation (8.50), on calcule: qGOO = 65 217.588 [mod 86 400], puis avec IJ.J = 0.25018279 on obtient: qGt = qGOO + 86400 x 1.00273790934 x 0.250 182 79 qGt = qGOO + 21 674.993 = 86 892.581 = 492.581 [mod 86 400] qGt en secondes donne QGt en degrés: QGt = 492.581/240 = 2.052 On a donc, avec (8.53) : À o = 263.451 - 2.052 = 261.399 On calcule le déplacement IJ.À = À o - ÀN A du plan orbital, dans le référentiel terrestre, en prenant en compte la précession nodale durant IJ.t. La valeur de IJ.À est ici très faible, IJ.À = -0.008. On obtient ainsi ÀNA, la longitude du passage du satellite au noeud ascendant : ÀNA = À o -IJ.À = 261.399 + 0.008 = 261.407. Pour un passage au noeud ascendant à la longitude 261.407° (soit 98.593° W), l'instant 06:00:14 TU correspond à 23:25:52 TSM. Tous ces éléments nous permettent de représenter la trace du satellite ICESat pendant 8 jours. Durant cette période, le satellite devait passer à la verticale du site d'étalonnage, White Sands (Arizona, États-Unis). La figure 8.5 nous permet de vérifier que cette contrainte est respectée .....

8.4.4

Conditions d'utilisation

L'utilisation des données NORAD, sous forme des TLE, nécessite l'emploi d'un logiciel d'orbitographie pour le passage de n à a. Si on injecte ensuite les 6 paramètres orbitaux, relatifs à un jour J, dans le logiciel, on peut obtenir des résultats très précis sur la position du satellite (précision de l'ordre de 100 mètres), sur une durée d'une à deux semaines avant et après J. Dans le cas où on s'intéresse à des satellites « maintenus» sur une longue période (plusieurs mois) et si on ne dispose pas des données NORAD actualisées, il vaut mieux utiliser les paramètres orbitaux nominaux plutôt que les données TLE « périmées». En effet, les satellites phasés, héliosynchrones comme les SPOT ou ceux de l'A-train, non héliosynchrones comme les Jason, sont remis sur leur orbite de référence plusieurs fois par mois. Pour des opérations ultra-précises, comme des manœuvres de rendez-vous

8.5. Annexe: Projections cartographiques

311

orbital, les données TLE NORAD sont inadaptées.

8.5 8.5.1

Annexe: Projections cartographiques Définitions et propriétés

Une projection cartographique est une transformation qui fait correspondre de manière bijective un point de la sphère (ou d'un ellipsoïde), repéré par ses coordonnées sphériques À, cp (longitude, latitude) à un point du plan, repéré par ses coordonnées x, y sur la carte: projection cartographique

f

=

{h, 12}

{~

h(À,cp) 12 (À, cp)

Il existe une infinité de projections cartographiques. Le problème principal que doivent résoudre les projections cartographiques tient dans cette courte phrase : la sphère n'est pas développable. Cela signifie qu'on ne peut pas appliquer la surface d'une sphère sur un plan sans la déformer ou la déchirer 6 . L'étude théorique de cette question a été faite, de manière contemporaine, par Lambert1 (1772), Euler (1777) et Lagrange (1779). Elle a été résolue de manière définitive par Gauss (1822) qui étudia les conditions pour appliquer une surface quelconque sur une autre surface quelconque. Une projection cartographique peut avoir une ou l'autre (exclusivement) des deux propriétés suivantes: - les angles sont conservés, la projection est conforme; - les surfaces sont conservées, la projection est équivalente. Elle peut n'avoir aucune de ces propriétés 8 , mais en aucun cas les deux à la fois. On dit que la carte peut conserver les angles ou les surfaces d'une figure, mais pas les périmètres; aucune carte ne peut conserver les distances dans toutes les directions. En d'autres termes, aucune projection n'a une échelle constante dans tout le champ de projection. 6Un cylindre, à la différence de la sphère, est développable. Si le corps d'un félin peut être assimilé à un cylindre, on comprend que la peau de tigre se transforme tapis sans déformation. 7 Jean Henri Lambert (1728-1777), astronome, mathématicien et physicien suisse et allemand, d'ascendance française. En astronomie, il calcula la trajectoire des comètes et comprit que la Voie lactée n'était qu'une modeste galaxie dans l'univers. En physique, il énonça la loi fondamentale de la photométrie. Dans ses nombreux travaux mathématiques, parmi lesquels la démonstration de l'irrationalité de Ir (1766), il accorda une grande importance aux problèmes de perspective et de projections cartographiques. Il définit un grand nombre de projections, dont plusieurs portent son nom aujourd'hui. La plus connue est la projection conique conforme, utilisée en France pour la carte de France (à partir de 1922) et pour les plans cadastraux (depuis 1938). 80 n trouve dans la littérature ancienne les adjectifs suivants pour ces propriétés: autogonal, orthomorphe, pour conforme; autohalique, homéotère, pour équivalent; aphylactique, pour l'absence de l'une de ces propriétés. Ces appellations sont complètement démodées.

312


Avec une projection conforme, les parallèles et les méridiens sur la carte se coupent à angle droit (puisqu'il en est ainsi sur la sphère où ils forment deux faisceaux de courbes orthogonales). Avec une projection équivalente, un pays deux fois plus étendu qu'un autre est représenté sur la carte par une surface deux fois plus grande. Lorsqu'on représente la Terre entière, on peut la considérer sphérique, car la projection de la sphère ou de l'ellipsoïde terrestre sur le plan donnent des cartes aux différences imperceptibles, quelle que soit la projection (ce n'est pas vrai pour les cartes régionales précises).

8.5.2

Classement des projections (type, aspect)

On peut classer les projections par type ou par aspect. Le type indique comment la sphère semble projetée sur la carte: type cylindrique, conique, azimutal, autre. Nous disons «semble», car une projection cartographique n'est pas (à de très rares exceptions près) une projection au sens d'une intersection d'une droite et d'un plan. Par exemple, la projection de Mercator est dite cylindrique, mais elle n'est pas la « projection», à partir du centre de la sphère, de cette sphère sur un cylindre tangent à l'équateur (comme on le lit très souvent). L'aspect peut être direct (ou normal), transverse, oblique. Par exemple, pour une projection stéréographique (type azimutal) d'aspect direct (dit aussi, dans ce cas, polaire), le point de contact du plan de projection sur la sphère se fait au pôle et se fait sur un point de l'équateur pour une projection transverse (dite aussi, dans ce cas, équatoriale). Si le point de contact est quelconque, l'aspect de la projection est oblique. Le logiciel Atlas, que nous avons élaboré, est couplé à la partie orbitographie de notre logiciel Ixion. Toute trace de trajectoire de satellite peut être ainsi cartographiée avec la projection choisie. A chaque représentation, on s'efforce d'appliquer la projection cartographique la mieux adaptée. Sur toutes les cartes présentées ici, tracées par le logiciel Atlas, nous avons noté les caractéristiques de la projection: nom, propriété, type, aspect. Nous avons aussi fait figurer dans la légende les coordonnées (longitude, latitude) du centre de la carte ainsi que les trois angles d'Euler qui ont défini la rotation du globe, pour cette projection, à partir de la position initiale standard. Les projections présentées dans cet ouvrage peuvent être regroupées dans les thèmes suivants.

(a) Projections conformes Les angles sont conservés. En particulier, l'angle entre la trace (du satellite ou de sa fauchée) et le méridien considéré est conservé. Projections principalement utilisées : - la projection de Mercator ; - la projection stéréographique; - les projections de Guyou et d'Adams, basées sur les intégrales elliptiques.


313

(b) Projections équivalentes Projections utilisées lorsqu'on veut privilégier le respect des surfaces. Projections principalement utilisées dans cet ouvrage: - la projection de Behrmann (projection cylindrique équivalente de Lambert dilatée), la projection de Lorgna; - les projections de Mollweide, de Sanson; - les projections de Goode homolosine ou de Boggs Eumorphic, souvent sous la forme interrompue; - la projection de Hammer-Aitoff. ( c) Projections dites perspectives Sans avoir de propriétés particulières, ces projections sont très visuelles, car elles représentent la planète comme si on le regardait de l'espace, de plus ou moins loin. Projections principalement utilisées: - la projection vue perspective, avec un point de vue à distance (exprimée en rayon planétaire) finie; - la projection orthographique, qui correspond à un point de vue à l'infini; c'est la projection employée si on veut représenter non plus la trace, mais l'orbite du satellite, en 3D, de manière à faire apparaître l'altitude; - la projection Armadillo, de Raisz, qui représente, de manière imagée, une forme « éclatée» de la sphère. (cl) Projections spécifiques Le cartographe américain John P. Snyder (1926-1997) a inventé, en 1977, pour le satellite ERTS-1 (Landsat-1) et les suivants du programme Landsat, une projection spécifique pour la représentation de la trace des satellites. Cette Satellite- Tracking projection garde les méridiens régulièrement espacés et modifie l'espacement des parallèles de sorte que la trace du satellite soit une droite. Nous l'avons adaptée à tout type de satellite. Nous y revenons ci-dessous, plus en détail. ( e) Projection archaïque La projection dite plate-carrée est utilisée très souvent (si ce n'est exclusivement) dans les livres et documents donnant des représentations de trace de satellites. Elle consiste à représenter linéairement les longitudes selon l'axe des abscisses et les latitudes selon celui des ordonnées. Cette projection est un peu primaire (elle revient à : x = À, y = cp) et même assez primitive (elle était en vogue ... au Moyen Âge). Elle n'a aucune propriété (ni conforme, ni équivalente) et son seul intérêt mathématique est d'être très simple: ce n'est pas maintenant un argument avec l'informatique. Nous ne l'avons jamais utilisée, sauf pour la première carte de ce livre, la figure 8.3, en début de chapitre - nous n'avons pas voulu bousculer les habitudes dès le début!

8.5.3

Description de trois projections

Nous décrivons ici succinctement deux grands classiques des projections conformes, la projection stéréographique et la projection de Mercator. Nous présentons aussi la projection de Snyder, qui est une projection spécifique


314

Terra Trace de l'orbite Phasage

Altitude = 699.6 km

Période = 98.88 min • Révol.lj.=14.56

=[15; -7; 16]233

»> Durée représentée: 5760.0 min

=

Centre Project.: 0.00

Propriété: (sans)

Aspect: Direct

10 0

Décalage à l'équateur = 2751.9 km ( 24.7 0)

4.00 jours

proj. : Snyder-TraSatRecti/55° Ell T:Cylindrique - Grille

a = 7077.736 km

Incl. HELIOSYNCHRONE = 98.21 0

0.00

Noeud asc:

103.02 0 [22:30 TSM]

14.211 +0.0/ +00/ +00][-] EGM96

Jason-2 / OSTM Trace de l'orbite


Phasage


= [13; -3; 10]127

Proj. : Snyder-TraSatRecti/35°


Propriété: (sans)

Aspect: Direct

Ell T:Cylindrique - Grille

*

LMD

ATÀa,

a = 7714.434 km

Inclinaison = 66.04 0 Décalage à l'équateur = 3155.5 km ( 28.3 0)

»> Durée représentée: 4320.0 min = 3.00 jours

10 0

n~c.JV

MC

Inclin. app. = 102.06 0

0.00

14.211 +0.0/ +00/ +0.0][-] EGM96

Noeud asc: 99.92 0 [00:00 TSM] Inclin. app. = 70.29 0

n~c.JV

MC

*

LMD

ATÀa,

8.6 : Trace de l'orbite de deux satellites : (a) Terra (héliosynchrone, même orbite que Landsat-7); (b) Jason-2 (direct). Projection de Snyder, avec parallèles standard différents (a) 55° ; (b) 35°.

FIG.


TRMM [1]

\', . . . . ;\1. ';ê u.

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········1

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...

:

:

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:

Centre Project: 0.0 0 Aspect: Di rect

0.0 0

Noeud asc: .138.42 0 [07:55 TSM]

15.3H +0.0/ +00/ +0.011·1

EGM96

[NORAD] Révolution: 15582 [NORAD]20041231 17:08:59 TUC

: :

nLWV

MC

Altitude = 468.7 km

a = 6846.811 km

Inclinaison = 89.02 0

e = 0.001659

Phasage

Période = 94.10 min' Révol./j.=15.30

= [15;+38;149]2273 720.0 min = 0.50 jour

*

LMD

ATÀO:Ç

GRACE-B Trace de l'orbite 20041231 17:09:30 TUC »>

-

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1

:

,'L

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:

. [:; ).t~~~' \J

S:,- ·f;;,.: \i;t~~: "''':2>

~;Ii
zoom: 15.00 15.3H +0.0/·90.0/ ·9.011+901 EGM96

[NORAD] Révolution: 15582 [NORAD]20041231 170930 TUC

nLWV

MC

*

LMD

ATÀO:Ç

FIG. 9.5 : Satellites GRACE. (a) Trace de l'orbite de GRACE·A sur une journée, (b) trace de l'orbite de GRACE-B (détail), sur un passage, avec superposition de la trace de GRACE-A, légèrement plus à l'est (.1À = À B - ÀA = - 0.1271°).

Chapitre 9. Orbite et mission

332

FAST Orbite par rapport à la Terre

Altit. équival. = 2054.5 km

Phasage

Période = 128.56 min' Révol./j.=11.20

Inclinaison

= [11 ;+11; 71]792

2004 11 1722:35:42 TUC »> 4320.0 min = 3.00 jours

=

82.97

a = 8432.587 km e = 0.202505

0

h_a = 3762 km ; h_p = 347 km ; arg. périgée: +95.00"


Centre Project.: 28.0 " N; 84.0" W

[NORAD] 2004 111722:35:42 TUC / R:33065

Propriété: (sans)

Aspect: Oblique

Noeud asc:

ES T. :Azimutal - Grille : 10"

14.211-900/ +620/+174.011-]

EGM96

Akebono (EXOS-D) ( .t.> ~ ~J'O) ) Orbite par rapport à la Terre Phasage

Apogée

139.62" [07:54 TSM]

=

75.07

*

LMD

ATÀCX 4320.0 min = 3.00jours

h_a = 5157 km; h_p = 264 km; arg. périgée: +149.24"


Centre Project.: 5.0" N ; 95.0"E

[NORAD] 2009 11 0501 :11 :14 TUC / R:60955

Propriété: (sans)

Aspect: Oblique

Noeud asc:


14.21 [ -900/ +850/ -5.0] [-]

EGM96

Apogée

98.26" [07:44 TSM] -85.48 "

n~c.JV

MC

*

LMD

ATÀcx Durée représentée: 1440.0 min

=

1.00jour

Période = 101.49 min' Révol.lj.=14.19 Décalage à l'équateur = 2824.6 km ( 25.4")

Projection: Orthographique Propnété : (sans)

œT.:Azimutal- Grille: FIG.

10"

Centre Pr.(dr.): 18.0" N ; 114.0 "E Aspect: Oblique

j4.2H -90.01 +72.0/·24.0]]·] EGM96

Noeud asc:

74.94" [22:10 TSM]

I~L(,JlJ

MC

*

LMD

ATÀaç

9.8 : Orbite et trace du satellite héliosynchrone FY-3A sur un Jour.

340


Lancés en 2006, les six satellites, de FormoSat-3A à FormoSat-3F, sondent la vapeur d'eau et d'autres constituants de l'atmosphère par radio-occultation du signal des GPS. (b) Satellites météorologiques GEO Le programme géostationnaire a été amplement développé pour la météorologie opérationnelle. Pour éviter les déformations trop fortes dans la prise de vue, les divers organismes météorologiques, sous l'égide de l'OMM (Organisation météorologique mondiale), ont essayé de répartir harmonieusement les satellites sur l'orbite géostationnaire. Aux États-Unis, ces satellites sont placés alternativement sur les longitudes des côtes Est et Ouest. Ce procédé avait commencé dès les satellites SMS (SMS-1 : À s = 75°W; SMS-2 : À s = 115°W) et a continué avec les séries 26 GOES (Geostationary Operational Environmental Satellite) et GOESNext, les satellites étant désignés par GOES-East et GOES-West selon le cas. Le satellite GIFTS (Geosynchronous lmaging Fourier Transform Spectrometer, ou EO-3 NMP, projet conjoint NASA, NOAA et US Navy) sera placé au-dessus de l'océan Indien. Pour l'Europe, le programme des géostationnaires est pris en charge par EUMETSAT avec les satellites METEOSAT. Les divers METEOSAT opérationnels 27 ont tous été placés à la longitude À s = 0°. Certains peuvent être mis en réserve, ou prêtés (comme METEOSAT-3 pour remplacer GOES-E de février 1993 à mai 1995), ou envoyés en mission (comme METEOSAT-5 pour l'expérience INDOEX, voir l'exemple 7.6). La Russie, qui préfère les orbites Molnya aux orbites équatoriales, a cependant lancé le programme GOMS (Geostationary Operational Meteorological Satellite) de satellites géostationnaires 28 . Pour l'Inde, la série INSAT (Indian Satellite) regroupe des satellites à 26Dates de lancement - SMS-1 : 17 mai 1974; SMS-2 : 6 février 1975; GOES-1 (SMS-3) : 16 octobre 1975; GOES-2 : 16 juin 1977; GOES-3 : 16 juin 1978; GOES-4 : 9 septembre 1980; GOES-5 : 22 mai 1981 ; GOES-6 : 28 avril 1983 ; GOES-7 : 26 février 1987; GOES-8 : 13 avril 1994; GOES-9 : 23 mai 1995; GOES-10 : 25 avril 1997; GOES-lI: 3 mai 2000; GOES-12 : 23 juillet 2001 ; GOES-13 : 24 mai 2006; GOES-14 : 27 juin 2009; GOES-15 : 4 mars 2010. 27Dates de lancement - METEOSAT-1 : 23 novembre 1977; METEOSAT-2 : 19 juin 1981; METEOSAT-3 : 15 juin 1988; METEOSAT-4 : 6 mars 1989; METEOSAT-5 : 2 mars 1991; METEOSAT-6 : 20 novembre 1993; METEOSAT-7 : 2 septembre 1997; METEOSAT-8 (MGS-1) : 28 août 2002; METEOSAT-9 (MGS-2) : 21 décembre 2005. Les satellites MSG (METEOSAT Second Generation) sont renommés METEOSAT lorsqu'ils sont opérationnels. MSG-3 et MSG-4 sont prévus pour 2012 et 2014. La nouvelle série, dite MTG (METEOSAT Third Generation), est la troisième génération du programme METEOSAT. Elle est prévue pour une période de 20 ans à partir de 2018. Elle marque une rupture avec les deux premières générations, car les satellites ne seront plus en rotation perpétuelle sur leur axe (100 tours par minute) mais «stabilisés 3 axes ». Cette disposition permet de réaliser des sondages atmosphériques. Le programme MTG comprend six satellites (de 3 tonnes chacun) : quatre MTG-I (imageurs) et deux MTG-S (sondeurs) . 28Date de lancement - GOMS-1 : 31 octobre 1994. Cette série est aussi désignée par Elektro et ce satellite est également nommé Elektro-1 ou GOMS-Elektro-l.

9.2. Satellites classés par mission

180

341

0

150 W

150 E

0

0

120 0 W

90 W·· 0

60 W 0

00

Position

Organisme

Satellite (série)

Satellite en orbite

EUMETSAT EUMETSAT EUMETSAT Inde Russie Chine Inde Chine Chine Corée du Sud Japon Japon E.-U./NOAA E.-U.jNOAA E.-U.jNOAA E.-U./NOAA E.-U.jNOAA

METEOSAT METEOSAT METEOSAT METSAT GOMS Feng Yun-2 INSAT Feng Yun-2 Feng Yun-2 COMS MTSAT MTSAT GOES-W GOES GOES GOES-E GOES

METEOSAT-9 METEOSAT-8 METEOSAT-7 Kalpana-1 Elektro-1 FY-2D INSAT-3A FY-2E FY-2C COMS-1 MTSAT-lR MTSAT-2 GOES-ll GOES-14 GOES-15 GOES-13 GOES-12

Às

0.0° 9.5° 57.5° 74.0° 76.0° 86.5° 93.5° 105.0° 123S 128.2° 140.0° 145.0° 135.0° 105.0° 89.0° 75.0° 60.0°

-

E E E E E E E E E E E W W W W W

Type Op.Pr. Rés. Op. Sc. Op.Pr. Op.Pr. Rés. Op.Pr. Op.Pr. Op.Pr. Op.Pr. Rés. Op.Pr. Op.Pr. Rés. Att. Op.Pr. Op. Sc.

FIG. 9.9 : Liste (avec position de stationnement) des satellites géostationnaires météorologiques, en date du rr juillet 2011. Statut du satellite: Op. Pro (Operationnel Principal), Op. Sc. (Operationnel Secondaire), Rés. (en réserve), Att. (en attente). L'orbite géostationnaire et la Terre sont à la même échelle. On a également tracé, toujours à la même échelle, les orbites des satellites héliosynchrones à l'altitude de 800 km. Le point de vue est situé très haut, sur l'axe des pôles, au-dessus du pôle Nord.

342


Terra Trace de l'orbite

Altitude = 699.6 km

Phasage = [15; ·7; 16]233

Période = 98.88 min • Tours/j = 14.56

»> Durée représentée: 1440.0 min = 1.00 jour


Projection: Vue perspc. h=5.61 R Centre C. (dr.): 0.00 ; 105.0 °E Propriété: (sans)

Type: Azimutal

a = 7077.738 km

Inclinaison HELIOSYNCHRONE: 98.21 0

N. asc. : -64.60 0 [22:30 TSM[

nLGJV

Aspect: Equatorial [ -90.01 +90.01 -15.0]

TRMM Trace de l'orbite

MC

Inclinaison

=

1.00 jour

LMD

ATÀ<X,

a = 6728.217 km

Altitude = 350.1 km


*

=

34.99

0

Période = 91.31 min • Tours/j = 15.77 Décalage à l'équateur = 2596.2 km ( 23.3 0)

Projection: Vue perspc. h=5.61 R Centre C. (dr,): 0.0 0 ; 105.0 °E Propriété: (sans)

Aspect: Equatorial

Type: Azimutal

[ -90.01 +90.01 -15.0]

N. asc.:

0.00 0

nLGJV

MC

*

LMD

ATÀ<X,

9.10 : Trace de l'orbite de Terra et de TRMM, sur une journée. Vue depuis un satellite géostationnaire (longitude de stationnement: 75° W à g., 105 E à dr.).

FIG.

0


Syncom-2 Trace de l'orbite

Altitude =35787.6 km

Phasage = [ 1; +0; 1] 1



Décalage à l'équateur =40075.9 km (360.0

Inclinaison = 32.80

Projection: Mercator Propriété: Conforme Type: Cylindnque

Centre Carte: 0.0 Aspect: Direct

0

;

50.0

0

W

343

a =42165.785 km

0

N. asc. : -50.00 Inclin. app. = 106.40

0

)

Il;iWJJ

0

[ +90.01 +0.01 -40.01

Orbite de transfert Trace de l'orbite elliptique »> Durée représentée: 1262.0 min

=

=

7.00

e = 0.7307

0


0.88 jour

h_a = 35802 km; h_p = 185 km; arg. périgée: +180.00 J,

Durée représentée: 1440.0 min

=

CP: 0.0" ;104.0 "E/CZ 15.0" N;104.0" E Aspect: Equatorial> zoom: 1.60

ES 1. :Azimutal - Grille : 10"

15.3][-9001 +9001-14.011-1

EGM96

Ofeq-7 Trace de l'orbite

a =42167.281 km e = 0.125600

Longitude premier passage:

Noeud asc: 118.35" 104.00" [01:00 TSM] Apogée

MC

n~c.JV

*

LMD

ATÀCX>> 4320.0 min = 3.00jours

CP: 0.0

Propriété: Conforme

Aspect: Direct> zoom: 2.55 15.3][ +90.01 +0.01-125.0][-1 EGM96

0

h_a =

,35.0"E ICZ: 32.0" N; 35.0" E

Projection: Mercator

ES 1.:Cylindrique - Grille: 10"

0

h_a = 41085 km ; h_p =30493 km ; arg. périgée: +270.00 "

1.00 jour

Propriété: (sans)

Phasage

9.50

Période = 1436.07 min • Révol./j.= 1.00

= [ 1; +0; 1]

proj. : Vue perspc. h=5.61 R

=

556 km ; h_p = 461 km ; arg. périgée: +135.66 "

Noeud asc: -24.71" [00:10 TSM] [NORAD] Révolution: 13934 [NORAD] 2009 12 11 01 :4902 TUC

n~c.JV

MC

*

LMD

ATÀCX>> Durée représentée: 1440.0 min = 1.00 jour

h_a = 40089 km ; h_p = 260 km ; arg. périgée: +270.00 •

MARQUE DU TEMPS

** Marque temporelle: un point toutes les 60.0 minutes

Projection : Mercator Propriété : Conforme E9 T.:Cylindrique - Grille : 10·

CP: 0.0 ' ; 0.0 ' /Cl: 40.0 ' N; 40.0 ' W Aspec1 : Direct .. zoom : 1.45

15.JI[ '90.01 '0.01 ·90.0)[·) EGM96

Longitude premier passage : Noeud asc : 50.00· [00:00 TSM) Apogée 56.53 •

MC

!tU.)11

* LMD

ATÀaS"

FIG. 9.17 : Trace de l'orbite elliptique du satellite Molnya, sur 1 jour. Notation de l 'heure, de 00 à 24.

On marque 00 au premier nœud ascendant (ici: longitude 50° E). Les heures sont notées de 00 à 11 dans la première révolution, de 12 à 23 dans la seconde. On remarque que 24 apparaît un peu après 00 : en effet, la trace est représentée pendant 24 heures et le satellite, dont la période est un demi-jour sidéral, a effectué un peu plus de deux révolutions en un jour moyen. Le satellite est « efficace», pour les communications russes, entre les heures notées ici 01 et 1 0, soit pendant 9 heures.


366

Molnya (MonHFI5I) Orbite p. r. Etoiles [réf. galiléen]


a =26552.863 km

Inclin. CRITIQUE = 63.42"

e = 0.750000


Période = 717.72 min • Révol./j.= 2.01 h_a = 40089 km ; h_p = 260 km ; arg. périgée: +270.00 "

Projection: Orthographique Propriété: (sans)

EIl T. :Azimutal - Grille : 10"

Centre Project.: 25.0 " N ; 104.0 "E Aspect: Oblique

H

[-9001 +650/-14011-[


Noeud asc:

60.71"

nL(,)V

MC

EGM96


a =26552.863 km


e = 0.750000

Phasage




=

LMD

ATÀCXÇ"

Molnya (MonHFI5I) Orbite par rapport à la Terre = [2; +0; 11 2

*

h_a = 40089 km ; h_p = 260 km ; arg. périgée: +270.00 "

1.00 jour

Propriété: (sans)

Centre Project.: 25.0 " N ; 104.0 "E Aspect: Oblique

EIl T. :Azimutal - Grille : 10"

14.2][-9001 +650/-14.011-[

EGM96


Noeud asc: 60.71" Apogée 67.24 "

nL(,)V

MC

*

LMD

ATÀCXÇ"

FIG. 9.18 : Représentation de l'orbite (HEO) du satellite Molnya, sur 1 jour. (a)

dans un référentiel galiléen, (b) dans un référentiel terrestre.


367

Molnya (MOlIHHSI) Trace de l'orbite elliptique


a =26552.863 km

Inelin. CRITIQUE = 63.42

e = 0.750000

Phasage


= [2; +0; 1]

>>> Durée représentée: 1440.0 min = 1.00 jour

Projection: Mercator Propriété: Conforme EB T.:Cylindrique - Gnlle : 10

Centre Projeet.: 0.0 Aspect: Di rect 0

0

h_a = 40089 km ; h_p = 260 km ; arg. périgée: +270.00

0

15.0 0 W


Noeud ase :

14.2H +900/ +00/-750][·1

Apogée

EGM96

55.00 61.53

nLc.JV

MC

0

0

Molnya (MOlIHHSI) Trace de l'orbite elliptique


a =26552.857 km

Inelin. CRITIQUE = 63.43

e = 0.750000

Phasage

Période = 717.72 min • Révol.lj.= 2.01

= [2; +0; 1]


Projection: Mercator Propriété: Conforme EB T.:Cylindrique - Gnlle : 10

=

1.00jour

Centre Projeet.: 0.0 Aspect: Di rect 0

0

*

14.211 +900/ +00/-750] H

15.0 0 W


EGM96

Noeud ase : 55.00 Apogée 98.37

0

0

LMD

ATÀaç


0

0

0

nLc.JV

MC

*

LMD

ATÀaç

FIG. 9.19 : Trace de l'orbite (HEO) d'un satellite Molnya, avec deux positions différentes du périgée. Sur une journée.

368


Tundra Trace de l'orbite elliptique

AIlit. équival. = 35785.2 km

a =42163.383 km

Incl in. CRITIQUE = 63.43

e = 0.266800

Phasage = [ 1; +0; 1] 1



h_a = 47034 km ; h_p =24536 km ; arg. périgée: +270.00


T.:Azimutal EB Grille: 10

0

Centre Carte: 15.0 0 N; 95.0 0 W Aspect: Oblique [·90.01 +75.0/-175.0]Mod.Gr GEM·T2

0


N. asc. : -69.80 0 Apogée: -100.00

MC

nLGJV

*

Supertundra Trace de l'orbite elliptique


a =42163.191 km


e = 0.423000

Phasage = [ 1; +0; 1] 1





T.:Azimutal EB Grille: 10

0

Centre Carte: 15.0 0 N ; 105.0 0 W Aspect: Oblique [·90.01 +75.01-165.0] Mod.Gr GEM·T2


N. asc. : -63.02 0 Apogée: -110.00

MC 0

LMD

ATÀ<X,

0

0

0

0

nLGJV

*

LMD

ATÀ<X,

9.20 : Trace de l'orbite (HE 0 ) de satellite en orbite de type Tundra et Supertundra. Sur une journée.

FIG.


369

VirtualGeo (VIRGO) Orbite par rapport à la Terre


a =20260.188 km

Inclin. CRITIQUE = 63.43

e = 0.660850

Phasage


= [ 3; +0; 1] 3


=

1.00jour



Propriété: (sans)

Aspect: Oblique

E9 T.:Azimutal- Grille: 10

0

0


0

N; 25.0 0 E

14.2H -900/ +65.0/ +65.011-1

EGM96


Noeud asc: 0.00 Apogée 36.78

nLWV

MC

0


a =20260.193 km


e = 0.660850

Phasage



*

0




Propriété: Conforme E9 T.:Cylindrique - Grille: 100

Aspect: Di rect 14.2H +0.0/ +00/ +0.011'1 EGM96

0

0.0

0

Longitude premier passage: Noeud asc: -36.78 0

Apogée

0.00

0

LMD

ATÀO:Ç

0

VirtualGeo (VIRGO) Trace de l'orbite elliptique = [ 3; +0; 1] 3

0

0

nLWV

MC

*

LMD

ATÀO:Ç

FIG. 9.21 : Représentation de l'orbite (HE 0 ) et de la trace pour un satellite de la

constellation VIRGO. Sur une journée.


370

Loopus

Orbite par rapport à la Terre Phasage


a =29991.447 km


e = 0.600000


= [2; -1; 3]


=

h_a = 41608 km; h_p = 5618 km; arg. périgée; +270.00"

3.00 jours

Propriété: (sans)

Centre Project.: 25.0 " N; 25.0"E Aspect: Oblique

ES T. ;Azimutal - Grille ; 10"

14.2] [-9001 +6501 +650] [-1


EGM96

Loopus

Trace de l'orbite elliptique Phasage


n~c.JV

MC

Noeud asc: 0.00 " Apogée -2.61 "

*

LMD

ATÀCX,


a =29991.447 km


e = 0.600000


= [2; -1; 3]


h_a = 41608 km; h_p = 5618 km; arg. périgée: +270.00"


Centre Praject.: 0.0"

Propriété: Conforme ES T.:Cylindrique - Grille: 10"

Aspect: Direct 14.211 +0.01 +001 +0.011-] EGM96

0.0 "

Longitude premier passage: Noeud ase:

Apogée

2.61

0

0.00" [0000 TSM]

n~c.JV

MC

*

LMD

ATÀCX,

9.22 : Représentation de l'orbite (HEO) et de la trace pour un satellite de la constellation Loopus. Sur trois journées.

FIG.


COBRA

2 orbites par rapport à la Terre Phasage

a =20260.855 km


e = 0.645900

=

1.00jour

h_a = 26969 km ; h_p = 796 km ; arg.pér.: +232.0 1+308.0 0


Centre Project.: 15.0 0 N; 88.0

Propriété: (sans)

Aspect: Oblique 14.2H -9001 +75.0/+1780] [.[

E9 T.:Azimutal- Grille: 10

0



0

EGM96

COBRA

Trace de 2 orbites elliptiques Phasage


= [ 3; +0; 1] 3

0

371

= [ 3; +0; 1] 3

W


Noeud asc: 0.0 0 /40.0 0 Apogée 166.6 /133.4 0

nLWV

MC

*

LMD

ATÀO:Ç

0


a =20260.855 km


e = 0.645900

0

0



h_a = 26969 km ; h_p = 796 km ; arg. pér: +232.0 0 1 +308.0 0



Propriété: Conforme E9 T.:Cylindrique - Grille: 100

Aspect: Di rect 14.2H +0.0/ +00/ +0.0[[·[

0

0.0

0

Longitude premier passage: Noeud asc:

EGM96

Apogée

0.0 /40.0 0

nLWV

MC

0

166.6 /133.4 0

0

*

LMD

ATÀO:Ç

FIG. 9.23 : Représentation de l'orbite (HE 0 ) et de la trace pour deux satellites de la constellation COBRA. Sur une journée. Trait normal pour le premier satellite, trait gras pour le second.

372


WEST-JOCOS Orbite par rapport à la Terre


Phasage


Inclinaison

= [ 3; +0; 1]


=


Propriété: (sans)

Aspect: Oblique

ES T. ;Azimutal - Grille ; 10

75.00

a =20267.139 km

0


1.00 jour


=

0

N; 45.0 0 E

Noeud ase:

0.00

)

n~c.JV

0

MC

14.21 [-9001 +6001 +450] H EGM96

0


Phasage


Inclinaison = 75.00

= [ 3; +0; 1]

Projection: Behrrnann


Propriété: Equivalente

Aspect: Direct 0

14.211

0

0.0

0

+0.01 +001 +0.011-] EGM96

LMD

a =20267.139 km

0



*

ATÀCX 4320.0 min = 3.00 jours


Inclinaison

=

67.68

a =87704.242 km e = 0.795766

0

h_a = 151118 km; h_p =11534 km; arg. périgée: +302.88"



Centre Project.: 15.0" N: 4.0"E Aspect: Oblique

1-1

[NORAD] 2004 06 23 13:00:00 TUC 1R: 90

Noeud asc: -33.63" [10:45 TSM]

n~c.JV

MC

[-9001 +7501 +860] H EGM96


a =87704.242 km

Inclinaison = 67.68"

e = 0.795766

Phasage


20040623 13:00:00 TUC >>> 4320.0 min = 3.00 jours



LMD

ATÀCX -12 -9 -6 -3

0

3

6

9

12 15 18 21 24

(a) Satellite ADEOS-1, passage TN A vers 22:30. (b) Satellite Aqua, passage TNA vers 13:30. Ces courbes sont théonques : ADEOS-1 n'a fonctionné que 10 mois, entre les mois - 5 et + 5 notées sur le graphe; Aqua est repositionné sur son orbite nominale tous les mms envzron.

Pour un satellite héliosynchrone strictement maintenu, DH = 0 et TN A est constant. Si DH n'est pas nul, cela est dû à la variation de i. Avec (7.6), on écrit: dD• = -Ka Tl-Cf7 d(cosi) = Ka Tl-Cf7 sini (di) dt dt

(10.15)

La variation (di/dt) est une grandeur qui ne dépend que de la position du Soleil (et en moindre part de la Lune), donc de l'heure TNA. On peut la considérer comme constante tant que TN A ne varie pas de plus d'une demi-heure par rapport à l'heure nominale, Ta, obtenue pour i = iHS. Nous noterons:

(10.16) grandeur dont le signe peut être positif ou négatif. On note par Do la vitesse de précession pour l'inclinaison héliosynchrone nominale i = iHS. On obtient, en intégrant (10.15) :

(10.17) où t représente le temps écoulé depuis le début de la dérive (instant t = 0).

10.2. Passage pour un satellite héliosynchrone

En intégrant encore une fois par rapport au temps, avec Do

D

=

D0

+ 2Ko

ri _1.2

.. Slll't H S

DT t2

=

419

D(t

=

0) :

(10.18)

ce qui donne pour le temps local: TNA

=

TO

+i

(10.19)

t2

La grandeur i est généralement exprimée en minute·an -2. Sa valeur absolue dépend de l'écart de temps entre le midi local et l'heure locale de passage au nœud, de jour (qu'il soit ascendant ou descendant), notée TN j. Pour les satellites dont le passage de jour à l'équateur est avant midi, i est négatif; si ce passage est après midi, i est positif. On donne les valeurs de i pour l'orbite type Terra (Terra, SPOT, ADEOS, etc.) et l'orbite type Aqua (A-Train) : Type Terra Type Aqua

TNA

= 22:30

=?

TNj

= 10:30

TNA

=

=?

TNj

=

13:30

13:30

=? =?

i = -2.4 min·an- 2 i = +2.4 min·an- 2

Exemple 10.7 Dérive en heure locale pour les satellites ADEOS-l et Aqua. ~ Pour ces deux satellites héliosynchrones, on exploite les données fournies par les agences spatiales. (a) ADEOS-l L'agence spatiale japonaise NASDA (devenue par la suite JAXA) a fourni la valeur de l'heure de passage au noeud descendant, notée TND, fixée à TND = 10:30 ± 0:15, et de sa dérive prévue au cours du temps: TND = TO + a 15 + b 15 2 = 10.6872 + 4.4329 10- 6 15 - 5.843410- 10 15 2 , le temps TN D étant exprimé en heures décimales et 15 représentant le temps en heures écoulé depuis l'heure 00:00 du jour du lancement. Le maximum de cette fonction parabolique, comme on le voit sur la figure 10.9(a), est obtenu pour: 15 = a/(2b) = 3.793 10 3 h c::::: 158 jours. Le satellite a été lancé le 27 août 1996, avec TN D = 10:41. Cette valeur passe par un maximum TND = 10:42 au bout de 5 mois et revient à TND = 10:41 au bout de 10 mois. On note ensuite les valeurs suivantes: TN D = 10:40 pour 12 mois, TN D = 10:35 pour 24 mois, TND = 10:24 pour 36 mois. On arrive à TND = 10:15 après 42 mois. À ce moment, il faut modifier l'orbite car la variation de TN D devient très rapide (mais le satellite n'a fonctionné que 10 mois). Cette mission est poursuivie par ADEOS-2 avec le même choix pour l'heure locale de passage. (b) Aqua Les responsables de la NASA indiquent l'heure décimale de passage du satellite au noeud ascendant: TNA = 13.525 h (avec l'inclinaison nominale) et TNA = 13.565 h au bout de 365 jours. La courbe de variation a été reconstituée, figure 10.9(b). Dans la pratique, l'orbite du satellite Aqua, qui fait partie du A- Train, est maintenue très strictement .....

420

Chapitre 10. Orbite par rapport au Soleil: heure, passage, éclipse

10.3

Angle du plan orbital avec le Soleil (angle (3)

L'angle que fait la direction du Soleil avec le plan de l'orbite du satellite joue un rôle important en astronautique (par exemple pour le positionnement des panneaux solaires). Dans la littérature spécialisée, cet angle est désigné par angle solaire (3. Le domaine de variation de l'angle (3 est l'intervalle [-90°; +90°] et (3 prend une valeur positive lorsque la face éclairée est celle qui contient la normale au plan orbital (définie par le mouvement du satellite dans le sens trigonométrique direct).

10.3.1

Position de la normale au plan orbital

On note 0 le centre de la Terre, C le centre du Soleil, P le plan orbital et [; le plan équatorial terrestre. On calcule d'abord (3/, angle de la normale n à P avec la direction OC et qui varie dans l'intervalle [0°; 180°], comme i. Un satellite coupe l'équateur à son nœud ascendant, à l'instant t = ta, à l 'heure locale TN A(ta) = Ta. Considérons le référentiel iR, centré sur 0 (figure 10.1). L'axe Oz est l'axe des pôles, xOy est dans [; et y/Oy est confondu avec la ligne des nœuds (orienté du nœud descendant vers le nœud ascendant). On rappelle que l'angle horaire, exprimé en degrés, s'obtient à partir de l'heure locale, exprimée en heures, par la relation:

Ho

=

15 (Ta - 12)

(10.20)

Pour un calcul rigoureux, il faut exprimer l'heure locale en TSV (et non plus en TSM), et faire ainsi intervenir l'équation du temps ET. À un autre instant, t = h, avec L1t = h - ta, le centre 0 de la Terre a tourné autour de C avec la vitesse angulaire ft s et la ligne des nœuds a tourné, à la vitesse ft, par rapport aux axes du référentieliR. La direction de la normale n à P est définie par : - angle zénithal (n = i, qui reste constant, égal à l'inclinaison de l'orbite; - angle azimutal Œn = ft L1t, puisque l'origine des azimuts est prise sur Ox à t = ta. La direction OC du Soleil est définie par: - angle zénithal (8 = 90° - 5, en notant 5 la déclinaison à l'instant considéré; - angle azimutal Œs = 90° - Ho + ft s L1t, puisque Ho correspond à l'angle horaire à t = ta. Les coordonnées cartésiennes du vecteur unitaire de la normale n et du vecteur unitaire s de la direction du Soleil OC sont donc:

n=

x = cos (ft L1t) . sin i y=sin(DL1t)·sini z = cosz

(10.21)

10.3. Angle du plan orbital avec le Soleil (angle (3)

s L'angle

x =

= sin (Ho y = cos (Ho z = sin15

nsi1t) .cos 6 nsi1t). cos15

421

(10.22)

p' est ainsi déterminé dans son intervalle de variation.

10.3.2 L'angle

Angle j3

p = p' - 90° est obtenu

sinp = sini· cos15· sin [Ho +

à partir du produit scalaire n· s :

(n - ns) i1t] + cosi· sin15

(10.23)

ce qui donne la valeur de p dans son intervalle de définition. Pour les satellites héliosynchrones, on a : = et (10.23) se simplifie:

n ns

sinp = sin'i· cos15· sin Ho + cos'i· sin15

(10.24)

Pour les satellites non héliosynchrones, l'angle horaire Ho prend toutes les valeurs possibles et sin Ho varie entre -1 et +1. Les valeurs extrêmes de sin p sont donc : sin p = ± sin i . cos 6 + cos i . sin 6 = sin (6 ± i)

(10.25)

La déclinaison 6 varie dans l'intervalle [-c; +c], avec l'obliquité c = 23.4°. L'angle p varie donc dans l'intervalle:

P E [-Ci + c); +(i + c)]

(10.26)

limité, bien entendu, à l'intervalle de définition de p. Ainsi, pour Megha-Tropiques, i = 20.0°, P E [-43.4°; +43.4°] ; pour 188, i = 51.6°, P E [-75.0°; + 75.0°] ; pour Jason-2, i = 66.0°, P E [-89.4°; +89.4°]. Exemple 10.8 Variation de l'angle solaire p, sur deux années, pour le satellite héliosynchrone Calipso et pour le non héliosynchrone Megha- Tropiques. ~ Pour chacun de ces satellites, on trace la variation de chaque angle déterminant la direction de la normale au plan orbital et de la direction du Soleil. Ces variations sont représentées graphiquement, figures 10.10 et 10.11. - Direction du Soleil. L'élévation (j = 90° - (s correspond à la déclinaison. L'azimut as a un cycle d'une année; sa varition en fonction du temps n'est pas exactement linéaire (l'écart représente l'équation du temps, ET). - Direction de la normale au plan orbital. L'angle zénithal (n reste constant, car l'inclinaison est constante. C'est pour l'angle azimutal an que se manifeste la grande différence entre satellites, selon qu'il soit héliosynchrone ou non. Pour l'héliosynchrone, an fait un tour en un an, par rapport


422

Calipso

Cycle 1 Soleil: infini (HELIOSYN.) 180

;"/

160 140 120 100 -

/"

o -20

§..?~111

/

;" ;"

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;"

/

/

./

/

i

Il

;"

-

-100

-

-120

-

-140

-

-160

-

-180 (deg)

{J

;"

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i

i

i 30

60

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li

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-80

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-40 -

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1/

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f-

-r-/ i

-60

./

(j __ Angle solaire "Beta"

(direction du Soleil- plan de l'orbite)

i/ li ----/.----7--------------------~+"----/-/---------------------

80 -

40 -

1:::!..~.i!!1

§..~.!§.\(.

1/

./

./

60 -

20 -

N : normale à l'orbitel:::!~Eilll S : direction du Soleil

90

i

i

i

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i

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i

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i

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li

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/

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/

/

1

/

/

120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450 480 510 540 570 600 630 660 690 720 750 780

DEC JAN FEV MAR AVR MAI JUN JUL AOU SEP OCT NOV DEC JAN FEV MAR AVR MAI JUN JUL AOU SEP OCT NOV DEC JAN 20092010 2011 2012

f3

Calipso

Angle solaire "Beta" (direction du Soleil - plan de l'orbite)

Cycle / Soleil: infini (HELIOSYN.) 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26

25 24 23 22 21 20 19 18

(deg)

{J

3b

~o

Jo

1io

1~0

1éo 210

2~0

2+0 360 310 3éo 3éo

4~0 4~0

4éo 510

5~0

5+0 660 610 6éo 6éo

7~0 7~0

7éo

DEC JAN FEV MAR AVR MAI JUN JUL AGU SEP OCT NOV DEC JAN FEV MAR AVR MAI JUN JUL AGU SEP OCT NOV DEC JAN

20092010

2011

2012

10.10 : (a) Angles de la géométrie Direction du Soleil - Normale à l'orbite; (b) Angle (3. Satellite héliosynchrone Calipso. Passage au nœud ascendant à 13:46:37 le janvier 2010.

FIG.

rr

10.3. Angle du plan orbital avec le Soleil (angle (3)

Megha-Tropiques

Cycle 1 Soleil 180 160 140 120 100 80 60

\

= 51 jours

\

\

N.normaleàl·orbite

.t:!.
b!.§gjm

(Cs= -51.3) S: direction du Soleil

§..~.!§Y.

§.."~111

i i il i i{ i i 1 i i / i i / i :r i li i 1 \ \/ i

..

\

'

i i i i i i

\ /

i l-

(1 __ Angle solaire ''Beta''

(direction du Soleil - plan de l'orbite) /

/

\

i i i i i i i

/ /

.1

/

423

40 20

i i i i i i i / i .'

·20 -40

i i i i i i i i i i,

-60 -80 -100 -120 -140 -160 -180 (deg)

fi

i

30

1

60

1

1

i i i i i i i i i V /i (

i i i i i i

/

i/

/ /

"

1

1

/\

i i i i i 1

i i i i i

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1

1

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1

1

1

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i i i i i i i i i i. / ~. / 1

.\

/

/

li i i

'\

;

\

1

1

; 1

1

1 1

1

1

1

120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450 480 510 540 570 600 630 660 690 720 750 780

SEP OCT NOV DEC JAN FEV MAR AVR MAI JUN JUL AOU SEP OCT NOV DEC JAN FEV MAR AVR MAI JUN JUL AOU SEP OCT 2012 2013 2014

Megha-Tropiques

Cycle 1 Soleil 45

\ /

= 51 jours

(Cs= -51.3)

f3

Angle solaire "Beta" (direction du Soleil - plan de l'orbite)

40 35 30 25 20 15 10

5 -

-5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 (deg)

fi

3'0 6'0 9'0 1~O 1~O 1éo 2~O 2~O 2+0 360 3~O 3éo 3~O 4~O 4JO 4éo 5~O 5~O 5+0 660 6~O 6éa 6~O 7~O 7JO 7éo

SEP OCT NOV DEC JAN FEV MAR AVR MAI JUN JUL AOU SEP OCT NOV DEC JAN FEV MAR AVR MAI JUN JUL AOU SEP OCT 2012 2013 2014

10.11 Angle entre la direction du Soleil et le plan de l'orbite. (a) Angles de la géométrie Direction du Soleil- Normale à l'orbite; (b) Angle f3. Satellite non héliosynchrone M egha- Tropiques. Passage au nœud ascendant à 18:00:00 le )"" septembre 2012.

FIG.

424


à R. Pour le non héliosynchrone à précession nodale rapide, le cycle est beaucoup plus court (et rétrograde). - Angle f3, entre la direction du Soleil et le plan de l'orbite. Pour Calipso, f3 varie entre 20° et 35°. L'allure générale du graphe de f3 en fonction du temps est fortement influencée par l'équation du temps. Pour Megha-Tropiques, l'amplitude est beaucoup plus large, l'angle variant entre -45° et +45 0 • Dans ce cas, on peut étre amené, à certains moments, à retourner le satellite de sorte que les panneaux solaires soient convenablement éclairés .....

10.4

Étude de l'éclipse pour les orbites circulaires

Le satellite subit une éclipse solaire lorsque le Soleil lui est caché par la Terre. Durant l'éclipsé, le satellite se refroidit et les panneaux solaires ne produisent plus d'électricité. Il est intéressant de connaître la durée de l'éclipse, de savoir pendant combien de temps, au cours d'une révolution, le satellite peut être privé de lumière solaire. Ce problème se pose principalement pour les satellites LEO en orbite quasi circulaire et pour les géostationnaires.

1004.1

Durée de l'éclipse

Si, à un moment donné, la direction du Soleil est dans le plan orbital P du satellite, c'est-à-dire fJ = 0 (pour le nœud ascendant, TN A = 00:00 ou 12:00), on peut calculer très facilement la proportion d'orbite dans l'ombre. On a représenté, en figure 10.12(g.), la Terre circulaire, de centre 0 de rayon R, et l'orbite du satellite, de rayon r, dans le plan P. On obtient l'angle ao (l'angle a pour fJ = 0) : sinao =

OA

OB

R

1

r

ri

qui permet de connaître la fraction d'orbite à l'ombre, a/,rr. Si la direction du Soleil n'est pas dans le plan orbital, f3 cf 0, on définit un repère orthonormé, (0 ; X, Y, Z), centré sur 0 et où DY représente la direction anti-solaire. L'ombre de la Terre définit un cylindre d'axe OY, de rayon R. L'ensemble de toutes les orbites possibles, semblables à l'orbite circulaire étudiée, est une sphère, de rayon r, centrée sur O. L'intersection de la sphère et du cylindre donne un cercle de rayon R, perpendiculaire à 4Ce nom vient du latin tardif eclipsis, tiré du grec ~ ÉXÀElqHÇ, EWÇ, «défection ». Le mot est formé du préfixe EX, « en dehors» et du verbe ÀEb1:ElV, « laisser», voir la note ellipse. Le mot écliptique, désignant le plan de l'orbite de la Terre autour du Soleil, est de formation plus récente. Pour qu'une éclipse se produise, la Lune doit traverser ce plan (condition nécessaire et non suffisante).

10.4. Étude de l'éclipse pour les orbites circulaires

425

,z

y

p ,

0

1

'X

X

FIG. 10.12 : Schéma de la géométrie orbite-Soleil pour la détermination de la durée de l'éclipse, dans le cas d'une orbite circulaire, 0 est le centre de la Terre, OA son rayon, OB le rayon de l'orbite. Pour le repère (0 ; X, Y, Z), l'axe OY est la

direction anti-solaire, OZ est dans le plan orbital.

DY (figure 10.12). Le passage du satellite sur ce cercle marque l'entrée et la sortie d'éclipse. L'angle a, mesurant la longueur de l'arc à l'ombre, est donné par:

OB'

OQ cosf3 = OB'

cosa = OB d'où l'expression:

cos a o cos

--f3-

cosa =

(10.27)

En notant T la période et les angles en radians, on obtient l'expression de L1t e , la durée d'éclipse, par le calcul de la quantité li :

li=

VI -

12 TI

cos f3

===}

{

~

L1t e

=

L1t e

= 0

'if

arccosli si li < 1 si li

~

(10.28)

1

La connaissance de f3 par (10.23) fournit donc la valeur de L1t e pour toute orbite circulaire. Nous donnons deux exemples, figure 10.13, pour deux satellites LEO non héliosynchrones.


426

TRMM [2]

Période = 92.39 min

Cycle 1 Soleil = 47 jours (Cs= -47.4)

Altitude = 402.6 km Inclinaison = 34.97

0

45

ECLIPSE: durée (minute) pour chaque révolution

40

35

30

25

o

20

~

...J

15

10

(min)

0

25

50

75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 525 550 575 600 625 650 675 700 725

JUL AOU SEP OCT NOV DEC JAN FEV MAR AVR MAI JUN JUL AOU SEP OCT NOV DEC JAN FEV MAR AVR MAI JUN

2010

2011

Jason-2 1 OSTM

2012


Cycle/Soleil = 118jours (Cs=-117.6) 45

Altitude = 1336.3 km Inclinaison = 66.04

0


40

35

30

25

o

20

~

...J

15

10

(min)

0

25

50

75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 525 550 575 600 625 650 675 700 725

JUL AOU SEP OCT NOV DEC JAN FEV MAR AVR MAI JUN JUL AOU SEP OCT NOV DEC JAN FEV MAR AVR MAI JUN

2010

2011

2012

10.13 Durée de l'éclipse solaire, en minutes, pour chaque révolution, en fonction du jour de l'année, pour des satellites LEO non héliosynchrones. (a) TRMM. (b) J ason-2.

FIG.


427

Nous examinons ci-dessous, plus en détail, le cas des satellites héliosynchrones.

10.4.2

Orbite LEO héliosynchrone

Pour un satellite héliosynchrone en orbite circulaire basse (i cv 100°), la valeur de sinp, dans (10.24), et donc de .dte , dépend essentiellement de Ho, représentant l'heure de passage fixe (TSM) au nœud ascendant, notée TN A. Les figures 10.14 et 10.15 donnent la durée de l'éclipse à chaque révolution, au cours de l'année, pour une orbite héliosynchrone «classique », h = 700 km. Pour cette orbite, on a envisagé toutes les heures TN A, de 00:00 à 24:00, avec un pas d'un quart d'heure. Pour TN A = 06:00 (orbite crépusculaire), on a .dt e = 0 toute l'année, sauf de mi-novembre à fin janvier, où .dt e passe par un maximum de 19 minutes au solstice d'hiver. Pour TNA = 12:00 (orbite midi-minuit), .dt e = 35 minutes de manière constante au cours de l'année. On voit apparaître une certaine dissymétrié dans les graphes. Elle est due à l'équation du temps ET, différence entre les temps TSM et TSV. Les heures de nœud ascendant notées sur les graphes sont en TSM, alors que la configuration d'éclipse dépend de TSV.

10.4.3

Orbite LEO héliosynchrone crépusculaire

Conditions d'éclipse Pour les orbites héliosynchrones crépusculaires, les éclipses sont des événements critiques. En utilisant la condition (10.28), appliquée à l'orbite crépusculaire, nous cherchons les cas où l'éclipse est évitée, quel que soit le jour de l'année. La contrainte la plus forte est obtenue à un des deux solstices, avec 151 = E = 23.44°. Dans ces conditions, lorsqu'on fait varier 'fi entre 1 et 1.9367, valeur maximale pour un satellite héliosynchrone, donnée par la relation (7.103), la condition sur T) et p est vérifiée lorsque T) est compris entre 5En exemple, prenons le cas le plus marqué. Le 11 février ou le 1er novembre, la déclinaison est la même, mais l'équation du temps est très différente, pas loin des valeurs extrêmes: 11 février: ET = +14 min { 90°), il est plus pratique, pour mieux appréhender les domaines de variation des angles, de considérer, à la place de i H s,l'angle j = i H S - 90°. La relation précédente devient : sinfJ = cos(b

+ j) (J"

La condition de non éclipse, issue de (10.28) :

432


devient

1

.

- < cos( 0 + () J) TI

(10.29)

On obtient la relation: absence d'éclipse

~

10 + () jl < arccos(l/rJ)

(10.30)

Nous donnons un exemple de calcul. Exemple 10.9 Calcul des dates d'éclipse pour les satellites SMOS et GOCE. ~ Les deux satellites européens SMOS et GOCE sont en orbite héliosynchrone crépusculaire. (a) SMOS Les caractéristiques orbitales du satellite SMOS sont a = 7 133.875 km (d'où h = 756 km), iHS = 98.44°, 'ld = 100.06 min, TNA = 06:00. On obtient ainsi: j = 8.44°, () = -1, (l/rJ) = 0.8942 et arccos(l/7]) = 26.63°. On utilise la condition d'éclipse, lb + () jl > arccos(l/rJ), en envisageant les deux cas, selon que la déclinaison soit positive ou négative. - si b > 0 : b - 8.44 > 26.63, ce qui n'est jamais possible; - si b < 0 : Ibl + 8.44> 26.63, soit Ibl > 18.19°. Ces valeurs de la déclinaison négative correspondent aux dates de l'intervalle d'éclipse suivant: [15 novembre - 28 janvier]. La durée maximale a lieu au solstice d'hiver, pour b = -E : cos Do = sin(26.63) / sin(31.88) = 0.8487 d'où Do = 31.93°. La durée d'éclipse par révolution est: L1te = 'ld(31.93/180) = 17.75 é:::: 18 min, ce qu'on vérifie sur la figure 10.14 avec h = 700 km au lieu de h = 756 km. (b) GOCE Les caractéristiques orbitales du satellite GOCE sont a = 6 632.488 km (d'où h = 254 km), iHS = 96.54°, 'ld = 89.72 min, TNA = 18:00. On obtient ainsi: j = 6.54°, () = + 1, (1/7]) = 0.9617 et arccos(l/rJ) = 15.92°. - si b > 0 : b + 6.54 > 15.92, soit b > 9.38, ce qui correpond à l'intervalle de date [15 avril - 29 août] ; - si b < 0 : Ibl - 6.54 > 15.92, soit Ibl > 22.46° ce qui correpond à l'intervalle de date [6 décembre - 7 janvier]. On peut parler de deux « saisons» d'éclipse, une longue en été et une courte en hiver, ce qui apparaît clairement en figure 10.16, h = 250 km (et h = 254 km pour GOCE). La durée maximale de l'éclipse d'été a lieu au solstice. cos Do = sin(15.92) /(sin(23.44 + 6.54) d'où Do = 56.T et L1te = 28.26 é:::: 28 min. La durée maximale de l'éclipse d'hiver a lieu au solstice. cos Do = sin(15.92) / (sin(23.44 - 6.54) d'où Do = 19.3° et L1te = 9.66 é:::: 10 min. On calcule l'altitude minimale pour laquelle on peut éviter la petite saison d'éclipse. Avec j = 6.54° d'après la valeur iHS de GOCE, la condition au solstice est:


433

arccos(l/l]) = (23.44 - 6.54) = 16.90° soit TJ = 1.04514 d'où h = 288 km. En calculant maintenant la valeur iHS pour cette altitude, avec (7.101), on obtient i = 96.63° et donc: arccos(l/TJ) = (23.44 - 6.63) = 16.81° soit TJ = 1.04464 d'où h = 285 km. Une itération supplémentaire améne au méme résultat: si l'altitude de l'orbite est supérieure à 285 km, il n'y a qu'une saison d'éclipse ....

10.4.4

Orbite MEO

Les satellites MEO ont un cycle Cs long, proche de l'année, car leur vitesse de précession est très faible: 351 jours pour Navstar/GPS, 353 j pour Glonass, 356 j pour Galileo. Deux fois par cycle (une fois dans partie ascendante de l'orbite, une fois dans la partie descendante) le satellite est dans une situation d'éclipse. L'éclipse dure environ un mois, sa durée maximale est de 60 minutes environ. La date de l'éclipse dépend de l'heure de passage au nœud ascendant pris comme référence. Sur la figure 10.17(a), nous avons représenté la durée d'éclipse L1te, en fonction de la date, pour la constellation Galileo. On a noté 4 heures de passage au nœud ascendant le 1er janvier, espacées de 6 heures, à savoir TN A = 00:00, 06:00, 12:00 et 18:00.

10.4.5

Orbite GEO

Le cas des satellites GEO peut être traité de manière générale. On pose i = 0 dans (10.23) et on obtient f3 = 0, ce qui est la définition même de la déclinaison O. On applique ensuite la condition (10.28) avec TI = Tics défini par (7.70). On peut aussi voir les choses de manière plus spécifique. Pour un satellite géostationnaire, il n'y a pas d'ombre portée de la Terre sur l'orbite circulaire tant que la direction du Soleil a une inclinaison (déclinaison 0), sur le plan équatorial, supérieure à l'angle sous lequel le satellite voit la Terre. Notons fo cet angle, qui est le demi-angle au centre du cône d'observation de la Terre par le satellite, et sur lequel nous reviendrons au chapitre 12, voir relation (12.33). La relation sinfo = 1/r7cs donne fo = 8.7°. Il y a donc éclipse si : loi < fa. Cette situation se rencontre deux fois par an, autour des équinoxes: éclipse pour GEO

{==}

{

[27 février - 12 avril] [ 1er septembre - 16 octobre]

Durant ces périodes, de deux fois 45 jours (de J = 58 à J = 102 et de J = 244 à J = 289; les dates peuvent varier d'un jour selon les années), l'éclipse la plus longue apparaît bien évidemment le jour des équinoxes. Ce jour-là, sa


434

Galileo

65 60

NA:OO

_ 1\

NA:O~,NA:18

:\ \

50

",

n,

1\

",

35

i!

"

;:

"

"

LI

:: l'

l' l',

1

"

1

:i"

:: :

" ,

\ 1

;i

Il

40

~

"

: 1\

"

Période

NA:12

il:, ~ l:

45

i

,

i!

;:" " ': ::

20 -

:iI

q

Il

li "

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ri

" " " "

::':

,, : :

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,'

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: 1

':

o

25

50

" "

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i:

A

l,li

1

1: "

" "

1~

,1

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:

:! :, , " , , , ,

i,

" "

Il

j: :', Il

,

:1

10

Il

Il l,

~

" l'Il

"

r'

1 1 1 1 1

!

"

15 -

= 844.69 min

A

" ,

25 -

(min)

(Cs=-355.9)

Il 1

i :\

55

30



= 356 jours

Cycle 1 Soleil

:j

,'

!

,, ,, ,,, ,,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,,, ,,, ,, ,, ,, ,, ,, ,,

:: :

1 1

1

75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 525 550 575 600 625 650 675 700

JAN FEV MAR AVR MAI JUN JUL AOU SEP OCT NOV DEC JAN FEV MAR AVR MAI JUN JUL AOU SEP OCT NOV DEC

METEOSAT


Altitude =35787.6 km Période

SAT. GEOSTATIONNAIRE

80

= 1435.91

min

75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 (min)

15 JAN

30

45 FEV

60

75 MAR

90

105 AVR

120 135 150 165 MAI

JUN

180 195 210 225 240 255 270 285 300 JUL

AOU

SEP

OCT

315 330 345 360 NOV

DEC

10.17 Durée de l'éclipse solaire, en minutes, en fonction du jour de l'année. (a) Satellite MEO, avec 4 valeurs de l'heure de passage (TSM) au nœud ascendant, le jour initial de référence. (b) Satellite GEO, quelle que soit sa longitude de stationnement.

FIG.

10.5. Conditions générales d'éclipse solaire

435

durée est égale à : fJ.t e

=

Jo

-

7r

To =

8.7 J sid 180

-

=

. . 69.5 mm ':':' 1 h 10 mm

(10.31 )

La valeur de fJ.t e en fonction du jour de l'année est représentée en figure 10.17(b).

10.5

Conditions générales d'éclipse solaire

Nous avons calculé le calendrier d'éclipse et les durées, en fournissant des formules analytiques, dans le cas des orbites circulaires. Dans le cas général, avec des orbites d'excentricité quelconque, il n'est pas possible de présenter des formules simples, car le nombre de paramètres orbitaux à envisager est trop important. Cependant, on peut donner une méthode générale pour déterminer les période d'éclipse pour tout satellite.

10.5.1

Établissement général des conditions d'éclipse

Pour le calcul de l'angle (3, nous avons choisi une origine arbitraire pour les axes du référentiel ~. Pour le calcul des conditions générales d'éclipse, il est plus simple et logique de choisir la direction du point vernal comme origine, dans la mesure où ce genre de calcul pratique se fait à partir des éléments NORAD (où D est repéré par rapport à ce point ,). On considère donc un référentiel pseudo-galiléen géocentrique ~, où z'Oz est l'axe des pôles, Oxy est dans le plan équatorial terrestre E et Ox vise le point vernal.

Position du Soleil Le plan E fait avec le plan de l'écliptique l'angle E, l'obliquité (figure 7.6). En repérant la position du Soleil avec la longitude écliptique, notée l et définie par (7.44), on obtient les coordonnées du vecteur unitaire s de la direction du Soleil: x = cosl s = y = sin l . cos E (10.32) Z = sin l . sin E = sin 6" Avec la relation (7.60), on retrouve la même valeur z que dans (10.22). Pour ces calculs d'éclipse, la précision des angles à 0.1 0 est suffisante, car le diamètre apparent du Soleil est de 0.5 0 • On prend donc E = 23.4 0 • Pour la longitude solaire, la relation (7.62), reprise ici 360 360 l= 365(J-82)+1.9 sin 365 (J-3) est suffisante, avec J représentant le jour de l'année, J = 1, ... ,365.

(10.33)

436


10.18: Géométrie des conditions d'éclipse. La Terre crée un cylindre d'ombre, ayant pour axe la direction du Soleil, OQ. Lorsque l'orbite du satellite S passe à l'intérieur du cylindre, ici entre Sa et Sb, le satellite subit une éclipse solaire.

FIG.

Position du satellite Pour la position du satellite S, on reprend la définition du mouvement à l'aide des angles d'Euler, vue au chapitre 8, et on mesure !?, ascension droite du nœud ascendant, à partir du point vernal. On obtient ainsi, pour en vecteur unitaire porté par r = OS, les coordonnées données par (8.10)

er

= cos!?· cos(w + v) - sin!?· sin(w + v)· cosi y = sin!? . cos (w + v) + cos!? . sin (w + v) . cos i z = sin(w + v) . sin i

x =

(10.34)

On rappelle : avec

T

a(l - e 2 ) 1 + ecosv

= -----'--

Appelons X l'angle entre la direction du satellite et la direction anti-solaire, de vecteur unitaire (- s). On le détermine par le produit scalaire: cosx = -er · s

(10.35)

10.5. Conditions générales d'éclipse solaire

437

Cylindre d'ombre

On considère la Terre sphérique et le Soleil ponctuel. La planète crée un cylindre d'ombre, d'axe -s, de rayon R (rayon équatorial). L'orbite du satellite peut couper le cylindre d'ombre: il y a alors éclipse. Sur la figure 10.18, le satellite subit une éclipse entre les positions Sa et Sb. On note Q le pied de la perpendiculaire menée de Sa (ou Sb) à l'axe du cylindre. L'angle X, noté alors xo, représente dans ce cas l'angle entre le plan de l'orbite et la direction du Soleil: c'est l'angle solaire (3. La valeur de XO s'obtient par: . SaQ R 1 Slnxo = = - = (10.36) OSa r T) On a donc, dans ce cas, sin (3 = (1/T)), en entrée et sortie d'éclipse.

10.5.2

Critère d'éclipse

S'il y a éclipse (S entre Sa et Sb), l'angle X est inférieur à XO. Dans le cas contraire, il n'y a pas d'éclipse. Le satellite étant repéré par l'anomalie vraie v, calculée en fonction du temps, la méthode consiste à calculer, pour chaque instant, les vecteurs s, e r et la distance r. On compare ensuite X et XO. l

x=

arccos( -er . s)

Xo = arcsin(l/T))

{

X X

< >

Xo ~ éclipse Xo ~ pas d'éclipse

(10.37)

Cette méthode nécessite l'utilisation d'un logiciel de propagation, comme Ixion. On note qu'on n'a pas à calculer (3 de manière explicite. Un exemple de tracé d'orbite avec notation de l'éclipse est donné pour le satellites Aqua, figure 17.9.

rapport • • phasage, altitude la position de l'orbite du satellite relativement à 1>iiTties distinctes. On consacre la première à l'étude du satellite relativement à la Terre, la seconde à rapport à l'ellipsoïde terrestre.

de phasage u phasage llf)rvation avec des satellites LEO, on cherche sourépétitive de la Terre: le satellite repasse périotflf~mes points de la surface terrestre, ce qui garantit donné, avec cette périodicité, des conditions géolentiques. Cette contrainte de mission, imposant fiif ramètres d'orbite, est appelée phasage. au bout de laquelle la trace du satellite reprend rapport à la Terre est appelée cycle de phasage (ou ou cycle de répétitivité). Ce cycle correspond Terre, et sa valeur sera notée CT, avec l'indice à Cs qui est le cycle par rapport au Soleil, vu

li

réalisé, la trace du satellite forme une grille, fixe couvre le globe entre les latitudes maximales fille (on choisit généralement un nœud ascendant) plus bas cette grille de phasage. de phasage exposées ici restent valables si l'orbite Mais, dans la pratique, tous les satellites LEO


440

Chapitre 11. Orbite par rapport à la Terre: phasage, altitude

phasés sont en orbite quasi circulaires. Le phasage ne concerne pas uniquement les satellites LEO, il est aussi utilisé pour les satellites MEO et les satellites REO de communications. Fréquence quotidienne de phasage

L'angle de précession, angle d'Euler QI, joue un rôle fondamental dans les notions de phasage. En utilisant les relations (7.35) et (8.17) on obtient:

al =

P)

. . 27T ( 1-(DT - D) = - - 1 + -,h,i Nan . nd QI = - -

'"

(11.1) (11.2)

avec les notations N~n, hi, P et '" définies au chapitre 7. La fréquence quotidienne de phasage, définie par (7.41), et dont nous rappelons la valeur : v (11.3) '" = ------:;-l-_-----c;Pc;1+-N~n

permet de comparer, par les vitesses angulaires, la rotation de la Terre, le mouvement du satellite et de sa précession nodale. Elle est proche de v, la fréquence quotidienne orbitale, mais en est distincte, sauf dans le cas des satellites héliosynchrones, et seulement dans ce cas. En effet, pour de tels satellites, '" = v puisque P = 1.

11.1.2

Calcul du cycle de phasage CT

L'intersection de la trace ascendante du satellite avec l'équateur définit ainsi un nœud ascendant de longitude Ào. Si le satellite est phasé, la trace va repasser sur ce point précis Ào de l'équateur, CT jours plus tard. Le satellite a effectué un nombre entier de tours entre ces deux passages. Ce nombre de tours (nombre de révolutions) est noté NT", alors que CT est un réel quelconque, a priori non entier. Dans tout ce qui suit dans ce chapitre, nous affecterons de l'indice [alles nombres entiers intervenant dans ces calculs. De ce qui précède, on obtient la relation suivante, qui donne la durée IL de l'intervalle de temps entre les deux passages au même nœud ascendant Ào : (11.4) Pendant la durée IL, le plan de l'orbite a fait un nombre entier de tours, noté ka, par rapport au repère !RT , puisque la trace se retrouve exactement sur une ancienne position. Cela donne : (11.5)

11.1. Contrainte de phasage

441

Avec les relations (11.4) et (7.41), on obtient:

ce qui donne (puisque T d = 27r /nd) : K,

NT" ka

=--

Cette relation montre que pour un satellite phasé, le paramètre quotidienne de phasage, est un rationnel: satellite phasé

~

K,

rationnel

K"

fréquence (11.6)

En utilisant la fréquence quotidienne orbitale v, on a : lIl/l CT lIl/l = NT "

V

ce qui donne pour la valeur du cycle CT : CT_- NT" -V

(11. 7)

L'entier ka, défini plus haut, qui représente un nombre entier de jours, sera noté C To . On a donc : C _ NT" (11.8) T" K,

Dans le cas général, on distinguera le cycle de phasage CT du cycle entier de phasage C To . Dans le cas particulier des satellites héliosynchrones (type de satellite qui regroupe, il faut le noter, la plupart des cas de phasage), CT et C To sont confondus, puisque dans ce cas K, = v. Cela signifie que, pour un satellite phasé : - s'il est héliosynchrone, il repasse sur un point de sa trace toujours à la même heure, donc au bout d'un nombre entier de jours et CT est entier; - s'il n'est pas héliosynchrone, il repasse sur un point de sa trace à des heures différentes, CT n'est pas entier. Relation avec le cycle par rapport au Soleil

Le cycle Cs par rapport au Soleil et le cycle CT par rapport à la Terre dépendent tous les deux des caractéristiques de l'orbite, mais n'ont pas de relation univoque: on peut faire varier les paramètres d'orbite d'un satellite de sorte que, par exemple, Cs reste constant pendant que CT prend toutes les valeurs désirées. Il y a cependant une relation intéressante à mettre en évidence entre la différence (CT - CTJ et le cycle Cs. Avec les définitions de Cs, CT, CT", P et K" on peut écrire: v 1 - =1-(11.9) K, Cs

442


CT - C To = 1 _ C To = 1 _ ~ = _1_ CT CT '" Cs On obtient ainsi CT, connaissant C To et Cs : CT =

C To

(11.10)

1

1-Cs

Pour un satellite héliosynchrone, CT = C To puisque Cs est infini.

11.1.3

Triplet de phasage

Le nombre rationnel "', fréquence quotidienne de phasage, peut donc s'écrire sous la forme: NT" (11.11) C To

"'=--

On peut l'exprimer sous la forme d'un entier et d'une partie fractionnaire (positive ou négative), inférieure ou égale, en valeur absolue, à (1/2) :

(11.12) Dans cette expression, Va représente le nombre entier le plus proche de '" et DTo l'entier relatif tel que:

(11.13) On a donc:

< lC 2 T

0

et C To premiers entre eux

Les trois nombres On le notera :

Vo ,

DTo et C To constituent le triplet de phasage du satellite. [ V 0,.

D T o .' CT o 1

Nous voyons que le phasage d'un satellite peut être défini de deux manières équivalentes : - par le triplet de phasage; - par le couple d'entiers N To ' C To . La valeur de "', ainsi obtenue par (11.11) ou par (11.12), permet d'obtenir V par (11.3) et donc la période ou le moyen mouvement, après un calcul d'itération sur P. La période, en minutes, s'exprime en fonction de NT", CT" et P par:

Td (min) = 1440

C

To (1 NT"

+ 1 -,

P)

Nan

(11.14)

Ce calcul d'itération consiste à faire une première évaluation de T, qui permet d'obtenir a, qui, avec la valeur de i, donne P. On obtient ainsi une nouvelle

11.2. Phasage pour les satellites LEO héliosynchrones

443

valeur de T et par une itération rapidement convergente, la valeur finale donnant la période. Nous donnons par la suite des exemples de calculs. Bien entendu, tous ces calculs sont plus simples pour un satellite héliosynchrone, puisque P = 1. C'est pour cela que nous allons séparer l'étude de l'obtention du phasage en deux cas, selon que le satellite soit héliosynchrone ou pas.

11.2 11.2.1

Phasage pour les satellites LEO héliosynchrones Méthode pour l'obtention du phasage

Nous avons vu que l'altitude d'un satellite héliosynchrone, en orbite quasi circulaire, est comprise entre les limites théoriques h = 0 et h = 5964 km, ce qui correspond à des valeurs de la fréquence quotidienne orbitale de v = 17.03 et v = 6.34, respectivement. Dans la pratique actuelle, avec h situé entre 400 et 1 000 km, v varie entre 15.5 et 13.8 tours par jour. Pour un satellite héliosynchrone, il est simple d'obtenir les conditions de phasage puisque v = K,. La fréquence quotidienne orbitale v = v(a), qui ne dépend ici que de a (puisque i et a sont liés) est un rationnel qui se met sous la forme:

v=va

Le satellite repasse sur sa trace tous les révolutions.

11.2.2

DTo

+C

To

C To

(11.15) jours, au bout de N To = v

CT"

Module de phasage

Présentation

Commençons avec un exemple simple. Nous considérons les satellites dont la fréquence v est comprise entre 14 et 15. Si le satellite est phasé sur 1 jour, on a v = 14 ou 15. S'il est phasé sur 2 jours, il effectue, durant ce cycle de 2 jours, N To = 28, 29 ou 30 révolutions. Mais si N To = 28 ou 30, le phasage a déjà été pris en compte par CT" = 1 jour. Il reste donc le phasage N To = 29, représenté par le triplet [14; 1 ; 2]. S'il est phasé sur 3 jours, il effectue, durant ce cycle de 3 jours, NT" = 42, 43, 44 ou 45 révolutions. Restent les phasages N To = 43 ou 44, d'où les triplets [14; +1 ; 3] et [15 ; -1 ; 3]. Et ainsi de suite. Établissement du module

Le module de phasage représente les phasages possibles pour un intervalle

[va; va+1]. Pour chaque valeur de CT", porté en abscisses, on note les phasages

444


possibles en regard de la valeur de v correspondante, en ordonnées. Si CT" est un nombre premier, toutes les valeurs possibles de DTo sont représentées. Dans le cas contraire, les seules valeurs de DTo représentées sont celles telles que les nombres CT" et DT" sont premiers entre eux (ils n'ont pas de multiplicateurs communs). Par sa relation avec les nombres premiers, ce diagramme est très proche du crible d'Ératosthène 1 . La figure 11.1 représente 2 un tel module pour CT" < 38. En « empilant» tous ces modules, pour divers valeurs successives de v o , on obtient le diagramme de phasage. On remplace l'échelle linéaire en v par une échellé linéaire en altitude. 1

11.2.3

1

Diagramme de phasage

L'établissement d'un diagramme de phasage permet de visualiser les altitudes conduisant aux différentes situations de phasage. Ce diagramme est un graphique dans lequel les altitudes (des plus basses aux plus hautes) sont placées selon les ordonnées, les cycles de phasage (en jours) selon les abscisses. Pour chaque valeur de v o , pour chaque cycle CT", on fait varier DT" dans son domaine, et on obtient v par (11.15) et par suite, le moyen mouvement n et la période draconitique T = Td. On obtient ainsi l'altitude et l'inclinaison, en calculant a et i, par une méthode itérative, comme dans l'exemple 7.3 ou comme dans les exemples 11.1 et 11.2 ci-dessous. On note la valeur obtenue sur le diagramme. Sur la figure 11.2, ces valeurs sont signalées par un petit carré. Lorsque la valeur DT" est absente, remplacée par un point, cela signifie qu'il n'y a pas de phasage à proprement parler. Sur les figure 11.3 et 11.4, on a noté explicitement la valeur de DT" dans chaque cas. 1 Ératosthène de Cyrène (284-192 av. JC), a 'EP0t1:0crc&ÉYf!Ç, ouç, astronome, mathématicien et géographe grec. Il découvrit une méthode systématique pour obtenir la suite des nombres premiers, jusqu'à la valeur désirée. On écrit la suite des entiers positifs, puis on barre les multiples de 2, de 3, de 5, etc. Cette méthode, qui « tamise» les entiers pour ne garder que les nombres premiers, est appelée le crible d'Eratosthène. Ses talents d'astronome et de géographe lui permirent de réaliser une mesure scientifique (et relativement précise) du rayon de la Terre, en mesurant l'ombre portée par une colonne à Alexandrie, à midi, le jour où il savait que les rayons du soleil plongeaient dans les puits à Syène (le jour du solstice d'été à Assouan, sous le tropique du cancer). Il détermina l'obliquité de l'écliptique et estima à 47°42' l'arc de méridien compris entre les deux tropiques. 20 n peut lire également un tel graphe en repérant les valeurs de DT". Prenons par exemple DTo = ±7. Cette valeur apparaît, pour toutes les valeurs de CT" supérieures à 2 X IDT" = 14, sauf pour CT" = 21, 28, 35, ... , c'est-à-dire les multiples de 7. 3Ce n'est que lorsqu'on passe de v à a ou h qu'intervient le type d'orbite (inclinaison, héliosynchrone ou non héliosynchrone). Le module de phasage s'établit sans référence à un type de satellite et est même indépendant de la notion de satellite! La seule condition est que le phénomène considéré soit uniforme dans le temps. 1

11.2. Phasage pour les satellites LEO héliosynchrones

445

0.00 - , - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - . + 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1 +1+1+1+1+1+1+1 +2' +2' +2' +2' +2' +2 . +2' +2' +2' . +3+3' +3+3' +3 2' + 2 . + 2 + 3 . + 3+ 3' + 3+ 3 + 4' + 4' + 4 . + 4 . + 3 . +3 + 4' + 4 . 5+ 5' + 5+ 5 +2 . + 3+ +4 . +4 . + + 5' + 5+ 5+ . + 6 . + 6 + 3+ 3 +4 . + 5+ 5 5 . +6 . . + 7+ 7 +3 . +4 . + 5+ 5 . +6 + 7+ 7+ 7 +8 +3 +4 . + 5:.. ~, ....... ".t.. 6,,·..... t..7.+J~.~ ... +.. 8.:" ..: ..~,: .:1:-.9 +4 + 5+ 5 . +6 + 7+ 7+ + 8' + + 9 . + 9+ . +10 . +8' +5. +7+ 7 . +9 +10' . 1111 +4 +5 +6 +7 +8 +9+ 9 +10' +11 11 +12 +5 +6' +7' +8' 9+ 9 ' . +10' :+11+ 11 ' . +12;t13 +5 +7+ 7 +8 +9' + . +1°+11+11+1\12' :I-~3+13+11. +14

+1+1+1+1

+1 +1 +1

+2 +2

++

0.25

+ 1+ 1

+2

+3

+1

+4

+3

+2

+3

:7 . . .

+3

+4

+5

-4

-5

+5

+6

0.50 -3

-1

-2

_7

-6 -5

-3

-4

-5_5

12

-7

+7

+8

.

+8' . +9 . +1{11, +12' +13+13+14' : . +15 +9 . +1°+11+ 11 . 13+13+13+14' . +15+ 16 , :~~ + 9 +10 +11 +12' +13+ +14' +1l15+ 16 · +11 17+18

- 8 - 9·_1()-;;·:12·:1:Ï·~14:~i5_;5:16::ii-;;:i8 -9' -11_11'. -13_ 13 -14 . . _15-16. -17 -8 _9- 10 -11_11' _12-13-13_13-14 . . . :~~ -7_7_7- 8 -6

-4

10

+7

-7

0.75

1 2 3 4 5 6 7 8

+7

14

:: -7

_9_9-10-11:~~-1 0, soit Àv" à l'est de À o. En effet, si au bout de Va révolutions, il ne s'est pas écoulé un jour entier depuis le passage en Ào, la trace Àv o est bien à l'est de À o . Dans le cas contraire, si DTo est négatif, c'est-à-dire si Va > K" il s'est écoulé un peu plus d'un jour et la trace Àvo est à l'ouest de Ào, ce que montre bien la relation (Àv o - À o ) < O.

11.5.2

Intervalle de grille

Dans la suite de ce calcul, nous notons, pour la longitude du nœud ascendant, le jour de passage en indice supérieur, le numéro de passage dans ce jour en indice inférieur, sous la forme: Àjour passage

Le point origine est noté Àg. Nous nous plaçons dans le cas DT" positif pour fixer les notations. Le cas contraire demanderait, dans ce qui suit, d'utiliser (va + 1) à la place de (va) et de modifier certains signes. On a alors, avec ces notations: À~ - Àg = L1À E

Le dernier nœud ascendant du jour 0 est du jour 1, est noté ÀI. Cela donne:

°

ÀO _ À O

Ài - Àg VO

Va

(va

ÀZ

L1À E

"

et le suivant, qui est le premier

[27T]

+ 1) L1À E

[27T]

464


en notant par [21f] la congruence modulo (21f). On considère maintenant l'intervalle [À~, Àg], dit intervalle de base, orienté positivement vers l'est. On l'appelle aussi intertmce orbitale. On prend pour origine À~ et on pose:

6R

Àg-À~

Ài - À~

6J

où 6R est l'intervalle entre les nœuds ascendants pour deux révolutions consécutives (donc 6R = -.dÀ E ) et 6J l'intervalle entre les nœuds ascendants pour deux jours consécutifs. L'intervalle 6R est représenté sur la figure 11.7(a)(b), et l'intervalle 6J sur la figure l1.7(b)(c). En appelant 6 l'intervalle de grille à l'équateur, défini par: 6=

21f

(11.20)

NT"

on a les relations suivantes :

6R 6J

CTo ·6 DTo ·6

L'intervalle de grillé 6, en relation avec 6R et 6J, est noté sur la figure 11. 7( d). Dans l'intervalle de base, on a pour les différents jours: pour le jour 1 pour le jour 2 pour le jour J

Ài - À~ Ài - À~ Àf - À~

Pour le jour J, cette relation est vraie si le point À{ est dans l'intervalle de base. Sinon, on retire un nombre entier de valeurs de 6R, ce qu'on note par les relations de congruence : Àf - À~ Àf - À~ À{ - À~

6

J 6J J DT" 6 J DTo

[6R] [CT" 6]

[CTnl

On note bien que la quantité (À{ - À~)/6 est entière. Ainsi, pour un jour donné, on obtient la position du nœud ascendant À{ dans l'intervalle de base, donc dans la grille de phasage. 5Pour une évaluation rapide, on peut obtenir il par une relation approchée, pour les satellites phasés, d'altitude h = 900 ± 300 km. Pour ces satellites, la fréquence quotidienne orbitale v est comprise entre 13 et 15. On peut donc considérer v égal à 14 et prendre NT" égal à 14 CT". En exprimant il en degrés, on a donc: il ':::' 360/(14 CT,,) soit: il· CT" ':::' 25 On voit donc que le produit de l'intervalle de grille (en degrés) par le cycle de phasage (en jours) est grossièrement égal à 25.

1l.5. Grille de phasage

465

En notant u( J) la position de la trace du jour J dans l'intervalle de base, en unité 6, soit: u(J) =

À{ - Àî 6

(11.21)

on a la relation fondamentale pour la grille de phasage : u(J) = J DTo

(11.22)

le nombre entier u(J) pouvant prendre C To valeurs entre 0 et (CTo - 1). Lorsqu'on ne veut pas privilégier une borne de l'intervalle par rapport à l'autre, on considérera le nombre u* (J), ainsi défini: u*(J) = min {u(J) ; CT" - u(J)}

(11.23)

qui est un entier prenant ses valeurs entre 0 et C T j2. Utilisation de la grille de phasage

Nous donnons quelques exemples d'application de la détermination de la grille de phasage. Exemple 11.7 Calcul de l'ordre de passage dans l'intervalle de base pour les satellite TOPEX/Poseidon et Jason-l et -2. ~ Le triplet de phasage de ces satellites est [13; -3; 10], ce qui donne immédiatement NTo = 127. On a donc: 15 = 211"/127 = 0.049474 rad = 2.8346° = 315.551 km et pour le décalage équatorial, r5 R = 10 15, soit r5 R = 28.35°. En appliquant la relation (11.22), on obtient les valeurs u(J) pour chaque jour du cycle. On en déduit la grille dans l'intervalle de base, de u = 0 à u = 10, en notant pour chaque u la valeur de J : de u = 0 à u = 10 f---+ 0,3,6,9,2,5,8,1,4,7,10 = 0 On remarque: u* = 1 pour J = 3 et J = 7. On obtient très simplement ces valeurs à l'aide d'un graphique, comme celui représenté à la figure 11.8 ....

Exemple 11.8 Calcul de l'ordre de passage dans l'intervalle de base pour les satellites Landsat-3 et ADEOS-2. ~ Tous les satellites phasés avec DT" = ±1 ont des grilles de phasage séquentielles: dans l'intervalle de base, les traces consécutives sont dans l'ordre des jours. En effet, dans ce cas, la relation (11.22) donne la relation très simple: DTo = + 1 =? u( J) = J DTo =-l =? u(J)=CTo-J De nombreux satellites sont dans ce cas - voir tableau 11.1. On verra plus loin les conséquences importantes de ce fait pour la trace durant un cycle de phasage. Pour Landsat-3, avec DTo = -1 pour un cycle de 18 jours, les différentes traces, u = 0,1,2,3, ... , 17, 18, ont lieu pour les jours J = 18 (= 0),17,16,15, ... , 1, O. Pour ADEOS-2, avec DTo = + 1 pour un cycle de 4 jours, les différentes traces, u = 0, 1, 2, 3, 4 ont lieu pour les jours J = 0, 1, 2, 3, 4 ....

466


(a)

\

\ 0

(b)

\

\ OJ

(c)

\ OJ

(d)

R

1 1 1 1 1 1 ~ OR

~)\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

11.7 : Schéma de construction de la grille de phasage. (a) deux traces consécutives, du jour 0, déterminent l'intervalle de base (ou intertrace orbitale L1À E , noté ici i5 R ), traces dessinées ici avec un trait gras; (b) une trace du jour 1 passe dans l'intervalle de base; (c) les traces des jours suivants, 2, 3, ... , J passent dans l'intervalle de base; (d) toutes les traces, jusqu'au jour (CTo - 1), définissent l'intervalle de grille. Remarque: par « trace », on entend trace au nœud ascendant.

FIG.

Jour 0

//

/1 Durée représentée:


a = 7282.277 km

Inclinaison HELIOSYNCHRONE: 99.08 5.00 jours

Centre Carte: 0.0 0 Aspect: Direct [ +0.01 +0.01 +0.0]

Projection: Behrmann Propriété: Equivalente Type: Cylindrique

0.0

0

N. asc.: 0.00 Inclin. app. = 103.08

0

nLGJV

0

MC

0

Altitude = 817.0 km

Phasage = [14; +5; 24]341


»> Durée représentée:



Type: Cylindrique

a = 7195.119 km

Inclinaison HELIOSYNCHRONE: 98.70 5.00 jours

Centre Carte: 0.0 Aspect: Direct [ +0.01 +0.01 +0.0] 0

LMD

ATÀ<X,

IRS-P2 Trace de l'orbite

Projection: Behrmann

*

0.0

0

N. asc.: 0.00 0 Inclin. app. = 102.64

0

nLGJV

0

MC

*

LMD

ATÀ<X,

11.9 : Trace des satellites IRS-1A et IRS-P2, sur 5 jours, pour mettre en évidence la rapidité de parcours de l'intervalle de base.

FIG.


IRS-1A


Cycle de Phasage

Décalage équat. = 2871.8 km

==> Cycle sur 307 tours


Indice max. = infini

V = 13.9545

te = 13.9545

Incl. HELlOS.= 99.08

[ 14 ; -1 ; 22

1 22.000

'" '" Vl

.c

Co

(])

"0

.~

"0

.!:

60 50 40 30 20 10 15

20

Vl

Co

(])

"0

40

45

50

55

60

65

70

75

80

a = 7195.119 km

Cycle de Phasage





V = 14.2083

te = 14.2083


1 24.000

Cycle: 24.00 jours

0

"

'"

~

jours

60 50 40

(])

30 20

"

35

70

'5

.!:

30


80

'" '"

25

IRS-P2 [ 14 ; 5; 24

.c

::5

III

70

10

(]) 0)

a = 7282.277 km Cycle: 22.00 jours

0

:;

::1

80 (]) 0)

469

10 10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

FIG. 11.10 : Indice de phasage pour deux satellites IRS. Mise en évidence du changement de sous-cycle.

Rapidité de parcours de l'intervalle de base

L'intérêt de la notion de sous-cycle est principalement de montrer la rapidité avec laquelle est parcouru l'intervalle de base. Pour SPOT-5, la valeur du sous-cycle ETo = 5 indique qu'en cinq jours c'est pratiquement tout l'intervalle de base qui a été balayé. Par contre, pour un satellite avec ET = 1, on voit qu'au bout d'un jour la trace n'a pratiquement pas bougé da~s l'intervalle de base et il faudra tout le cycle C To (qui peut être de l'ordre du mois) pour parcourir l'intervalle en entier. Ce fait est généralement considéré comme un inconvénient, comme le montrent certains programmes par leur évolution. Les premiers satellites Landsat (-1, -2 et -3) avaient pour sous-cycle ET = 1. À partir de Landsat-4, l'orbite a été changée pour obtenir ET = 5. De même avec les satellites indiens du programme IRS : les premiers IRS (-lA et -lB) ont été remplacés, à partir de IRS-P2, avec un changement de sous-cycle (en gardant pratiquement le même cycle).

470


Satellites

Grille

NTo

,W)

b (km)

Landsat-1 à -3 Landsat-4 à -7, Terra SPOT-1 à-5 ERS-l, 2, Envisat MOS-1, -lB Oceansat-1

WRS-1 WRS-2 GRS ERS MWRS IRSP4G

251 233 369 501 235 29

1.4343 1.5451 0.9756 0.7186 1.5190 12.4138

159.7 182.0 108.6 80.0 169.1 1381.9

294.5200 295.4000 330.4000 0.1335 326.7500 328.1900

T IP, Jason-l, -2

TPG

127

2.8346

315.5

99.9242

À

origine (0)

TABLEAU 11.9 : Caractéristiques des grilles de références pour divers satellites. Avec N To : nombre de révolutions par cycle de phasage ; b : intervalle de grille; À : longitude origine. Signification des abréviations - WRS : Worldwide Reference System; GRS: Grille de Référence SPOT; ERS: ERS-SAR Reference System; MWRS : MOS-l World Reference System; IRSP4G : National Remote Sensing Agency (In dia) IRS-P4 Grid; TPG : T IP Grid.

Ce changement est très clairement illustré par la figure 11.9. On a noté les traces de deux satellites IRS sur 5 jours. Pour IRS-1A, pendant cette durée, (5/22) soit moins d'un quart de l'intervalle a été parcouru. Pour IRS-P2, tout a été parcouru. On voit, sur la trace de IRS-P2, au voisinage du point origine (À = 0; cp = 0), la fin de la trace du cinquième jour (puisqu'en 5 jours, ce satellite a fait 5 x 14.208 = 71.04 tours). La distance entre cette trace et celle qui passe par l'origine est égale à l'intervalle de trace 5, puisque pour ce satellite gTo = 5. Cette notion de sous-cycle est souvent utilisée pour les satellites phasés, car elle est assez parlante. Elle signifie donc, qu'au bout d'un certain nombre de jours représentant le sous-cycle, la trace repasse à peu près au même endroit (à peu près signifie: à un intervalle de grille 5). Mais elle ne représente qu'un cas particulier de la notion que nous avons développée, l'indice de phasage, et que nous exposons ci-dessous.

11.5.4

Grilles de référence

Pour un satellite phasé, un seul point de la trace fixe entièrement la trace sur le globe. Les satellites d'observation de la Terre sont maintenus sur leur orbite nominale afin que la position de la trace soit garantie à quelques kilomètres près (généralement ±5 km et ±1 km pour TOPEX/Poseidon et Jason, ±0.8 km pour ICESat). Tous les satellites SPOT, par exemple, utilisent la même grille, qui est fixée par une longitude du nœud ascendant. Nous donnons, dans le tableau 11.9, les principales grilles et leurs caractéristiques.


Formosat-2 Trace de l'orbite Phasage

Altitude = 888.3 km

0


= [14; +0; 1[ 14

Décalage à l'équateur = 2862.5 km ( 25.7


0.0

Proj. : Snyder-TraSatRecti/35° Propriété: (sans) [L.géoc]

Aspect: Direct

EB T.:Cylindrique - Golle : 10

[4.21 [ +001 +0.01 +0011-1 EGM96

0

0

Noeud asc:

0

Formosat-2 Trace de l'orbite

0

)

127.63 [21 :30 TSM]

Il;iWJJ

0

Inclin. app. = 103.00

MC

0

Altitude = 888.3 km

*

LMD ATÀaç

a = 7266.471 km

Incl. HELIOSYNCHRONE = 99.01

0


= [14; +0; 11 14


=

1.00 jour


Propriété: (sans)

CP: 23.5' N,121.2 'E ICZ: 23.5' N;110.0' E Aspect: Oblique> zoom: 3.00

EB T.:Azimutal- Grille: 10 0

15.31[ -90.01 +66.51-31.21[-1 EGM96

Projection: Airy

a = 7266.471 km



Phasage

471

Noeud asc:

0

)

127.63 0 [21 :30 TSM]

Il;iWJJ

MC

*

LMD ATÀaç

FIG. 11.11 : Trace du satellite taïwanais FormoSat-2, phasé sur un jour. (a) Grille de phasage. (b) Détail centré sur l'île de Taïwan expliquant le choix de la grille.

472


Exemple 11.10 Adaptation d'une grille de phasage à la géographie: le cas de FormoSat-2. ~ Le satellite FormoSat-2 pour l'étude des ressources terrestres et de la météorologie (alerte aux typhons), a été lancé le 20 mai 2004 (sous le nom de Rocsat-2). Son triplet de phasage est [14; 0; 1]. Cela signifie que chaque jour, après 14 tours, il repasse exactement sur sa trace (figure 11.11 (a)). L'étude de cette grille montre que les traces ascendantes et descendantes se coupent à la latitude de 26.550° (voir plus bas, dans ce chapitre, l'étude des points de grille). Or l'île de Taïwan, l'ancienne Formose, s'étend entre les latitudes de 22°N et 25°N. La grille peut donc ètre « fixée» de sorte que l'île soit traversée deux fois par jour par la trace (ascendante et descendante). Le décalage équatorial est OR = ILlÀEI = 360/14 = 25.71°. On comprend, par des considérations de symétrie, que la longitude du croisement des traces et la longitude du nœud ascendant doivent être séparées d'une distance égale au quart du décalage équatorial. La longitude centrale de Taïwan étant Àc = 121.20 0 E, il faut donc que le nœud ascendant soit à la longitude Ào telle que: Ào = Àc + oR/4 = 121.20 + 6.43 = 127.63°E. La figure 11.11 illustre cette situation qui est unique pour un satellite LEO .....

11.5.5

Points de grille de phasage

Lorsqu'un satellite est phasé, sa trace forme une grille fixe sur la Terre (la grille de référence, vue ci-dessus). On nomme point de grille l'endroit où deux traces se coupent (une dans la partie ascendante, l'autre dans la partie descendante) . Pour les satellites à fauchée large, ces points ne présentent pas d'intérêt particulier. Mais si la fauchée est très étroite, ou dans le cas de visée laser au nadir, il est généralement très utile de connaître leur position. Ces points sont disposés régulièrement en longitude, pour une latitude donnée. En latitude, ils sont de plus en plus resserrés à mesure qu'on s'éloigne de l'équateur. Nous avons choisi de calculer la position des points de grille par l'intermédiaire de la cartographie. Nous avons vu, au chapitre 8, dans l'annexe Projections cartographiques, qu'une projection du type Snyder permet de représenter la trace du satellite de manière linéaire. Considérons la projection cartographique, de coordonnées cartésiennes x, en abscisses, y en ordonnées, définie par la relation (8.57). Par souci de clarté, et cela ne nuit pas à la généralité du problème, nous ne considérons ici que le quart (x ? 0 ; y ? 0) de la carte, le reste se déduira par symétrie par rapport à l'équateur (pour y :'( 0) et par rapport au méridien origine (pour x :'( 0). De plus, on pose ÀN A = 0 et q = l. On a ainsi: (1l.27)


avec:

'J(IjJ)

=

1

tan sin 1/J arcsin -1/J . - -1 arcsin -.-. tan z '" sm z

1

473

(11.28)

Avec cette projection cartographique, la trace du satellite est constituée de lignes brisées. La grille de phasage apparaît comme une trame de losanges égaux, comprise entre la latitude (géocentrique) extrême nord +VJm et la latitude (géocentrique) extrême sud -1/Jm. Calculons la valeur maximale Ym de y, lorsque 1/J = VJ m : - si i < 90°, 1/Jm = i ===} Ym = 90 (1 - ~) - si i > 90°, 1/Jm = 180° - i ===} Ym = 90 (1 + ~) ce qu'on peut écrire: (11.29) avec () = Signe( cos i). Remarque. Cette méthode ne s'applique pas si Signe( cos i) et Signe( cos i') ne sont pas égaux (i' étant l'inclinaison apparente). Cette situation ne se présente jamais avec les satellites LEO phasés existants. Exemple: pour Jason-2, Ym = 82.9134; pour Oceansat-2, Ym = 96.2069. Durant un cycle de NT" révolutions en C To jours, le satellite coupe un méridien donné JI.;[ fois : - pour une orbite directe, i < 90°, satellite et Terre tournent dans le même sens et donc, JI.;[ = N To - C To ; - pour une orbite rétrograde, i > 90°, satellite et Terre tournent en sens contraire, NI = N To + C To ' On peut donc écrire le nombre NI d'intersections trace-méridien: (11.30)

M = NT" - () CT"

Exemple: pour Jason-2, NI = 127 - 10 = 117; pour Oceansat-2, JI.;[ = 29 + 2 = 3l. La longueur Ly de la diagonale « verticale », selon l'axe y, d'un losange élémentaire est notée : Ly = 4u où u représente notre unité de mesure. Les M intersections créent (M/2) losanges (M pair ou impair), qui apparaissent nettement sur la figure 11.12(a). Selon l'axe y, les losanges couvrent une longueur totale L :

L

=

(M/2)Ly

= 2u

M

Cette distance L correspond à l'intervalle [-Ym; +Ym], de longueur 2Ym. La valeur de u est donc : Ym u=M

474


Oceansat-2

Altitude = 720.0 km

Trace de l'orbite Phasage

Incl. HELIOS. = 98.33

a = 7098.139 km e = 0.000453

0


= [15; -1; 2[ 29


2010061402:32:07 TUC »> 2880.0 min = 2.00jours

proj. : Snyder-TraSatRecti/79°


Propriété: (sans) [L.géoc]

Aspect: Direct

EIl T.:Cylindrique - Grille: 10

0

0

0.0

0

15.31 [ +00/ +0.0/ +00][-1 EGM96

Noeud asc: -38.02

0

[00:00 TSM]

[NORAD] Révolution: 3825 [NORAD] 2010 061402:32:07 TUC

MC

31 29 27 25 23 21 19 17 15 13 11 9 7 5

90 80 70 ~

~

60

'al

50

c c 0

l:J L-

a

40 30 20 10 0

LMD

ATÀ<X,

Oceansat-2

100

>-al

nLGJV

*

3 1

0

1

10

20

1

30

40

1

50 Latitude (0)

60

70

80

1

90

11.12 : (a) Trace du satellites Oceansat-2, héliosynchrone, phasé sur 2 jours. Projection de Snyder adaptée. (b) Résolution graphique de l'équation (11.33) donnant les latitudes (géocentriques) des points de grille.

FIG.


475

En considérant les expressions de NI et de Ym, vues ci-dessus, et la définition de K" on obtient:

d'où la valeur de l'unité u :

90

u=-NT"

(11.31)

Considérons maintenant les intersections de la trace avec l'équateur. Dans un cycle de N To révolutions, on compte 2 N To intersections. Puisqu'elles sont régulièrement réparties, il y a donc N To losanges formés selon l'axe x. En notant Lx la longueur «horizontale », selon l'axe x, d'un losange élémentaire et en posant Lx = 4 tl, on obient :

et on vérifie ainsi, avec: u=tl

que l'unité de longueur selon x ou y est la même. C'est la conséquence directe de la propriété de la projection choisie. Avec l'unité u ainsi définie, les ordonnées des points de grille sont les suivants:

{

M pair M impair

y/u = 0,2,4,6, ... , l'vI y/u = 1,3,5,7, ... , l'vI

(11.32)

En partant de l'équateur, on numérote les latitudes des points de grille: point de grille j

{==}

ordonnée Yj zoom: 25.00 [5.31 [+90.01 +0.01·90.0] [-] EGM96

j

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 ... 115 117 M -

9.8157 17.1842 23.8564 29.7373 34.8384 39.2286 42.9980 46.2372 ...

5.9389 13.5757 20.6163 26.8969 32.3819 37.1169 41.1851 44.6785 47.6840 ... 66.1497

66.1566 Lat. ?j; max. Inclin.

0

Noeud asc:

99.92

Incl in. app. = 70.29

0

0

0

)

[00:00 TSM]

MC

ntv.JlI LMD ATÀ.aç

*

Lat. ?j;

Latitude 'P 1.9881

;

0.0

ICZ 44.5 0 N; 59.5 0 E

Projection: Mercator 0

a = 7714.434 km 0


= [13; -3; 10]127

»> Durée représentée: 10.00 jours

1

477

= =

1.9771 5.9062 9.7624 13.5033 17.0947 20.5118 23.7390 26.7689 29.6006 32.2383 34.6895 36.9641 39.0730 41.0277 42.8396 44.5197 46.0785 47.5258 ... 66.0321 66.0390 66.0390 66.0390

FIG. 11.13 : (a) Un point de grille noté A (correspondant à j = 31) est au milieu de la mer d'Aral. (b) Trace du satellite. Contour de la mer en 1960 et en 2008. Document Aviso/CLS/CNES.

478


Exemple Il.11 Calcul de la position d'un point de grille particulier pour la trace des satellites altimétriques TOPEX/Poseidon, Jason-l et -2. ~ L'URSS a décidé, à partir de 1960, une campagne de culture intensive du coton en Ouzbékistan et au Kazakhstan. Pour cela, d'énormes quantités d'eau ont été prélevées dans les deux fleuves qui alimentent la mer d'Aral, le Syr Daria au nord, l'Amou Daria au sud. Le niveau de cette mer fermée a commencé à baisser et sa superficie a grandement diminué à tel point qu'en 1989 on a assisté à la division en deux bassins, la Grande Aral et la Petite Aral (figure 11.13(b)). L'assèchement continue et la Grande Aral devrait bientôt se diviser en deux. La mesure du niveau de la mer d'Aral est une application intéressante pour le satellite altimétrique TOPEX/Poseidon et pour ses successeurs Jason-1 et -2. Nous calculons la position du point de grille situé au milieu de la mer d'Aral, noté A sur la figure 11.13 (a). - Latitude. La mer «historique» est située entre les latitudes 43.5°N et 47°N. Pour T /P, CT" = 10 jours, N To = 127, i = 66.0390°, donc M = 127 - 10 = 117. En résolvant (11.33), on obtient pour j = 31 : 1/) = 1/)j = 44.5197°. On calcule ensuite la latitude géodésique du nadir, on obtient: 'P = 44.6785°. - Longitude. Les longitudes de la zone considérée sont comprises entre 58°E et 62°E. Le nœud ascendant qui fixe la grille est À o = 99.9242°. L'unité de largeur du losange est tJ = 90/127 = 0.7087. Comme M est impair, la longitude des points de grille est de la forme : Àk = Ào + k tJ avec k impair, compris entre 0 et 4 NT" ; Àk = 99.9242 + (90/127) k avec k impair, compris entre 1 et 507. [360]. Avec k = 451, on obtient À = 99.9242 + 319.6063 = 59.5305 Les coordonnées du point de grille au centre de la mer d'Aral, noté A sur la carte, figure 11.13(a), sont donc: 44.6785°N et 59.5305°E. ...

11.6

Maintien sur orbite du satellite phasé

Pour garder son phasage, un satellite phasé doit être « maintenu sur orbite» (on dit aussi « maintenu à poste») avec précision : les paramètres orbitaux doivent être replacés, si nécessaire, à la valeur requise. L'inclinaison i et l'excentricité e varient très peu. C'est le demi-grand axe a qui demande la surveillance la plus active. Nous nous interéssons ici uniquement à la variation de a. L'altitude du satellite à tendance à baisser, principalement sous l'effet du frottement atmosphérique et de la pression de radiation solaire. La forme différentielle de la troisième loi de Kepler donne :

dT

3 T - da 2 a

= -

Notons .da la variation du demi-grand axe par rapport à la valeur nominale (avec .da « a). La période du satellite varie de .dT. Après une révolution,

11.6. Maintien sur orbite du satellite phasé

479

de période (T + fJ.T), la rotation de la Terre provoque un décalage fJ.€ de la trace du satellite à l'équateur, par rapport à la trace nominale. On note ce décalage fJ.€1 pour une révolution et fJ.€J pour un jour. Compte tenu de la précession nodale, on obtient, avec (8.17) :

fJ.€1 = -R

..

Uh -

fJ.a

3··

n) fJ.T = -- R (nT - n) Td 2 a

(11.34)

en notant R le rayon équatorial. Avec la relation (11.17), on obtient: (11.35) Notons que fJ.€1 et fJ.a sont de signe contraire: - si h / : fJ.a > 0 ===} fJ.€1 < 0 : décalage vers l'ouest; - si h "" : fJ.a < 0 ===} fJ.€1 > 0 : décalage vers l'est. En une journée, le décalage sera: (11.36) et avec (11.9) : fJ.€J = -37f R -li -fJ.a = -37f R -fJ.a ( 1 - - 1 ) "" a a Cs

(11.37)

Le décalage quotidien fJ.€J peut s'écrire sous la forme simplifiée suivante, en utilisant la distance relative ri et en négligeant le terme en (1 / Cs) devant 1 : avec Q

37f

=-

Tl

(11.38)

Le facteur Q, que nous pouvons appeler coefficient de dérive est donc un nombre (sans dimension) par lequel il faut multiplier la variation d'altitude pour obtenir le glissement quotidien de la trace à l'équateur, par rapport aux valeurs nominales. Pour les satellites LEO héliosynchrones habituels, avec Tlc:::1.11: Q = 8.5 Par exemple, si la manœuvre monte le satellite de 10 mètres, le décalage de trace augmentera de 85 mètres chaque jour, à condition que a ne varie pas après la manœuvre. Exemple 11.12 Étude du maintien sur orbite du satellite altimétrique TOPEX-Poseidon. ~ Nous comparons la position de la trace réelle avec celle de la trace théorique pour les satellites TOPEX/Poseidon, Jason-l et -2. (a) Manœuvres de maintien sur orbite

480


11.14 : Variations de .1t' (écart avec la trace nominale) au cours du temps, en liaison avec les variations de .1a (écart avec le demigrand axe nominal), durant les 7 premières années d'exploitation de TOPEXjPoseidon (années 1993 à 1999). Les manœuvres de maintien sont notées OMM-n à l'instant d'application. À chaque OMM, le demi-grand axe est brusquement augmenté d'une dizaine de mètres. Document: Lee-Lueng Fu (JPLjNASA), Anny Cazenave (LEGOSjCNES). (à g.) Vue d'artiste de TjP. Document: JPLjNASA.

FIG.

1

0) 0) 0)

OMM 1.11

'"'

1

OMM 10

(Xl 0) 0)

0) 0) 0)

'"'

(Xl 0) 0)

'"'

'"'

1'-

1'-

'"'

'"'

(0

(0

0) 0)

0) 0)

0) 0)

'"'

OMM 9 1

lt)

0) 0)

'"'

lt)

0) 0)

OMMSI

'"'

1 1

OMM 7

' 2

dans tous les cas

Cet indice permet de repérer très facilement les cycles, les sous-cycles, ou autres grandeurs liées au phasage, pour tout satellite, qu'il soit intentionnellement phasé ou non.

Il.7.2

Phasage parfait ou imparfait

Les méthodes que nous venons d'exposer concernent les satellites dont on connaît des éléments de phasage : elles permettent de trouver, à partir de ces éléments, les caractéristiques de l'orbite. Mais on peut être confronté à un autre type de problème: connaissant l'orbite d'un satellite, on veut trouver son cycle de phasage. Pour ce satellite, h et i sont connus, donc P et li sont déterminés, ainsi que K,. Le jour J correspondant au cycle de phasage C To sera celui pour lequel le produit (K,. J) se rapproche le plus d'un entier, donc celui qui définit l'indice de phasage p( J) le plus élevé, que nous notons Pm. En effet, en considérant l'expression (11.12) donnant K, en fonction du triplet de phasage, on a pour le produit (K, • J) : K, .

J = J

lia

+J

DTo CT"

et, puisque (J . lia) est entier, on a: { partie fractionnaire 1K, • JI} = v ( J) ce qui donne : { écart entre

1

K, •

JI et l'entier le plus proche} = v* (J)

Si Pm est infini, le satellite est phasé, c'est-à-dire parfaitement phasé (et en principe, volontairement phasé). Si Pm n'est pas infini, le phasage est imparfait. Lorsqu'on cherche les caractéristiques de phasage à partir des éléments orbitaux, le phasage peut être imparfait et, dans ce cas, les grandeurs u( J) et u* (J) ne sont pas entières.

484

Chapitre 11. Orbite par rapport à la Terre: phasage, altitude a = 7200.546 km

SPOT-4


Cycle de Phasage




[14; 5; 26 1 26.000

v


Terra


Cycle de Phasage






Cycle: 26.00 jours

0

= 14.1923

Je = 14.1923

80 ID

'"

70

C1l

60

C1l

50

'"

.c

Cl. ID TI

.~

." TI

40 30 20 10


[ 15; -7 ; 16 1 16.000

ID

'"

60

C1l

50

Cl.

30

'6

20

"

:il

40

ID TI ID

."

Je = 14.5625

;1;

~

70

C1l

'"

.c

V = 14.5625

::!

;"

80

a = 7077.738 km Cycle: 16.00 jours

0

10 10

FIG.

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

11.15 : Indice de phasage pour les satellites des familles SPOT et Terra.

11. 7.3

Exemples d'utilisation de l'indice de phasage

Nous donnons ici quelques exemples d'utilisation de l'indice de phasage, où lJ>( J) est noté sur une durée de plusieurs mois. La légende des graphes comporte les caractéristiques d'orbite du satellite, les valeurs du cycle (avec l'indice maximal de phasage, permettant de voir si le phasage est parfait ou non) et les deux grandeurs fondamentales de cette étude, la fréquence quotidienne orbitale li et la fréquence quotidienne de phasage ~. Sur les graphes, on voit apparaître clairement les cycles et les sous-cycles plus ou moins prononcés. On fait également la différence, de manière très marquée, entre les satellites volontairement phasés et ceux pour lesquels un certain phasage existe de fait, mais n'est pas recherché. Exemple 11.13 Indice de phasage pour des satellites héliosynchrones ou non. ~

Sauf mention, les satellites sont héliosynchrones et leur phasage est recherché.

(a) Changement de sous-cycle provoquant une augmentation de rapidité de parcours

11.7. Indice de phasage

485

a = 7174.907 km

ADEOS-1


Cycle de Phasage





[ 14; 11 ; 41 1 41.000

11 = 14.2683

te = 14.2683

TOPEX/Poseidon


a = 7714.428 km

Inclinaison = 66.04

Cycle: 9.92 jours

Cycle de Phasage





113; -3; 101

11 = 12.8080


Cycle: 41 .00 jours

0

80 (]) 0)

'" '" Vl

.c

Co

(])

"0

.~

"0

.!:

70 60 50 40 30 20 10

m

80 (]) 0)

'" .c '" Vl

Co

(])

"0

10

..l'V\..

(]) (])

"

'5 E

= 12.7000

~

~

~

10

lJv\ 15

20

..l'V\.. 25

lJv\

30

35

..l'V\..

40

45

lJv\

50

55

..l'V\..

60

65

lJv\

70

75

~


Cycle de Phasage


Ps.



[ 15; 39; 274 1 274.000

11 = 15.1423

"


;!

..l'V\..

Jours

80

a = 6895.496 km

Z-Earth

80

"0

" ~

50

30

Vl

~

40

20

(]) 0)

-

~

60

(])

'" .c '" 0-

:;;

70

'5

" .!:

9.916

0

0

EGM96

Cycle: 274 j sur 4149 tours

c. : 7 j sur 106 tours

= 15.1423

N

70 60 50 40 30 20 10

80 (]) 0)

'" '" Vl

.c 0(])

"0 (])

"

'5 E

70 60 50 40 30 20 10

jours

MC. LMD

FIG. 11.16

Indice de phasage pour ADEOS-l, TOPEX/Poseidon, Z-Earth.

486


de l'intervalle de base Nous avons signalé comment, pour les satellites Landsat ou IRS, la modification du sous-cycle DTo a radicalement changé la manière de parcourir l'intervalle de base. Pour les satellites IRS-1A et IRS-P2, en complément de la figure 11.9, la représentation de l'indice de phasage, figure 11.10, illustre ce changement. Pour IRS-1A, la trace glisse régulièrement, en 22 jours, sur l'intervalle de trace. Pour IRS-P2, la trace s'approche de la trace initiale, à quatre occasions au cours du cycle de 24 jours, aux jours J = 5,10,14 et 19, soit en gros tous les 5 jours. (b) Indice de phasage pour les satellites des familles SPOT et Terra Ces deux familles de satellites de télédétection comprennent un grand nombre de satellites, dont l'indice de phasage est représenté sur la figure 11.15. Pour SPOT, l'indice montre 4 « pics» dans le cycle de 26 jours, pour les jours J = 5,10,16 et 21, soit un passage près de la trace initiale en gros tous les 5 jours. Pour Terra, on voit deux pics principaux dans le cycle de 16 jours, pour les jours J = 7 et 9. (c) Indice de phasage pour un satellite au cycle long Le satellite ADEOS-1 possède un cycle de phasage relativement long, CT" = 41 jours. L'indice de phasage présente des pics tous les 4 jours environ (figure 11.16(a)). On pourra se reporter à l'exemple 11.9, pour voir que les deux pics intermédiaires principaux, pour J = 15 et 26, correspondent à u* = 1, les suivants, pour J = 11 et 30, correspondent à u* = 2, etc. (d) Indice de phasage pour un satellite non héliosynchrone Le satellite TOPEX/Poseidon, non héliosynchrone, a un phasage court CT" = 10 jours, avec deux pics pour J = 3 et 7 jours (figure 11.16(b)). On remarque que K et 1/ ont des valeurs différentes: le cycle se fait sur CT = 9.916 jours. Pour ICESat, en dessous du sous-cycle J = 25, on trouve deux pics pour J = 8 et J = 15. L'intervalle de base est pratiquement balayé en 8 jours. (e) Indice de phasage pour un satellite au phasage très long Comme tous les satellites qui cartographient systématiquement une planète, le phasage est sur un cycle très long, car la fauchée de l'instrument principal est très étroite. Le satellite Z-Earth a un cycle de 274 jours, avec 4 149 révolutions. Il présente un sous-cycle de 7 jours sur 106 révolutions, qui apparaît clairement avec l'indice de phasage (figure 11.16(c)). Le graphe a son axe des abscisses limité à 180 jours et le maximum à 274 jours n'y figure donc pas. Cependant, la symétrie par rapport au point d'abscisse CT /2 = 137 j est très visible .....

11.7.4

Indice de phasage et caractéristiques d'orbite

Le phasage est très sensible aux variations d'inclinaison et surtout d'altitude. L'indice de phasage rend très bien compte de cette sensibilité. Les deux exemples suivants montrent comment un changement d'altitude de quelques centaines de mètres entraîne un bouleversement du phasage au bout de quelques semaines. Les satellites phasés avec précision sont replacés sur l'orbite nominale dès que l'altitude a varié d'une fraction de kilomètre. Cette manœuvre intervient entre une à quatre fois par mois.

e Il. 7. Ind ice de pha sag

487

2

-7

UDE (km l VARIATION EN AL TIT

JOURS

ITUDE (km) VARIATION EN ALT

J, LJ.h), en jon cti on ice de pha sag eini15( est notée 1000. FIG . Il. 17 : Ind e inf 15 La val eur

iat ion du jou r J et de la var

d'a ltit ude LJ.h. SP OT -5; (b) ER S-l . actéristiques de : (a) car les nt aya ite ell 15. Po ur un sat exe mp les 11. 14 et 11. Ex pli cat ion s dans les

488


Exemple 11.14 Indice de phasage et variation d'altitude pour SPOT-5. ~ On considère un satellite héliosynchrone du type SPOT -5, avec le triplet de phasage [14; 5; 26]. On trace l'indice de phasage pour diverses altitudes. La figure l1.17(a) représente la fonction p(J, iJ.h). Pour iJ.h = 0, c'est-à-dire pour la valeur de l'altitude donnant le phasage recherché, on voit que les pics principaux se retrouvent pour les valeurs de J multiples de GTo = 26 jours. Les pics secondaires, 5 jours avant et après le pic principal, correspondant au sous-cycle de phasage, apparaissent nettement. Ils deviennent des pics principaux pour des altitudes voisines. Le triplet de phasage [14; 5; 26], pour iJ.h = 0, devient: [14; 4; 21] pour iJ.h = +0.6 km et [14; 3; 16] pour iJ.h = + 1.6 km. En diminuant l'altitude, ce phasage initial devient: [14; 6; 31] pour iJ.h = -0.4 km, [14; 7; 36] pour iJ.h = -0.7 km, [14; 8; 41] pour iJ.h = -1.0 km, etc .....

Exemple 11.15 Indice de phasage et variation d'altitude pour ERS-l. ~ On revient sur le satellite héliosynchrone ERS-l, qui a connu trois cycles de phasage, étudiés dans l'exmple 11.3. On prend comme altitude de référence celle du Phasage 2, correspondant à un cycle de 3 jours. Sur la figure 11.17(b), ce cycle de 3 jours apparaît pour iJ.h = O. Si on augmente l'altitude, avec iJ.h = +6.358 km, on obtient le Phasage 1 et son cycle de 35 jours. Si on diminue l'altitude, avec iJ.h = -5.936 km, on obtient le Phasage 3 et son cycle de 168 jours .....

11.8

Variation de l'altitude

L'étude qui suit, sur l'altitude et le gel d'orbite, est valable pour tout type d'orbite, mais n'a d'intérêt que pour les orbites LEO quasi circulaires. Si l'orbite n'est pas proche du cercle, les variations d'altitude du satellite au cours de ses révolutions sont dues à l'excentricité de l'orbite, devant laquelle l'aplatissement de la Terre est négligeable. Pour les satellites MEO, l'altitude n'est pas la grandeur pertinente. Il en est de même pour les satellites GEO, où l'altitude est constante en fonction du temps, le satellite étant stationnaire.

11.8.1

Altitude et paramètres orbitaux

L'altitude, nous l'avons vu, n'est pas un moyen précis pour définir la position du satellite (ce n'est d'ailleurs pas un des six paramètres orbitaux) : l'orbite dite quasi circulaire, ou même circulaire, n'est jamais rigoureusement circulaire et la Terre n'est pas exactement sphérique. Dans les chapitres précédents, consacrés à la trace du satellite, l'altitude n'a pas été évoquée de manière fondamentale. Mais elle interviendra dans les

1l.8. Variation de J'altitude

489

chapitres suivants, lorsqu'on étudiera la manière dont les instruments embarqués observent la Terre, comment ils la « voient» d'une certaine hauteur. L'altitude du satellite est obtenue par la différence entre le rayon vecteur définissant la position du satellite r(a, e, v), donnée par les relations (4.40) et (4.58), et RT(1jJ), le rayon terrestre pour la latitude géocentrique 1jJ correspondante, la Terre étant considérée comme un ellipsoïde de révolution, d'aplatissement f. Cette valeur R T (1jJ) est donnée par la relation (1.37) dans laquelle R,p représente R T (1jJ) et où le demi-grand axe de l'ellipse a est pris égal à R, rayon équatorial. On remarque qu'avec cette définition, liée à l'ellipsoïde, l'altitude ne tient pas compte du relief terrestre. Lorsqu'on combine des grandeurs liées à la fois à la position du satellite et à la latitude terrestre, on mène les calculs en latitude géocentriqueljJ, puis on exprime les résultats avec la latitude géodésique cp, en utilisant (2.4). L'altitude étudiée ici est l'altitude définie comme géocentrique, au chapitre 2. Sa différence avec l'altitude géodésique au nadir est, pour les satellites LEO, négligeable. Elle est de 1 ou 2 mètres, voir relation (2.35). On écrit donc l'altitude h du satellite sous la forme:

h = r(a, e, v) - RTell))

(11.45)

La latitudeljJ est reliée à (i,w,v) par la relation (6.65) et on obtient h sous la forme:

h

h(a,e,i,w,v)

=

(11.46)

L'altitude s'écrit donc comme une fonction de cinq paramètres orbitaux. Le paramètre D n'intervient pas, puisque les longitudes terrestres sont ici indifférentes. On retrouve le cas déjà vu avec la relation (6.66). La variation de l'altitude est schématisée figure 11.18. Sur cette figure, l'axe Ox est dans le plan équatorial de la Terre, l'axe Oz est l'axe des pôles. La différence entre les deux demi-axes de l'ellipse représentant la Terre est de 21.3 km (voir exemple 2.1). La trajectoire représentée est celle d'un satellite en orbite basse, strictement polaire, avec périgée sur le pôle Nord (w = 90°). Pour une excentricité de l'ordre de 10- 3 , la distance FC, entre le foyer F de l'ellipse (foyer attractif, centre de la Terre) et le centre C de l'ellipse, égale à ae, est de l'ordre de 8 km. L'orbite est quasi circulaire. Pour une révolution donnée, on considère dans (11.46) les valeurs moyennes des paramètres orbitaux a, e, i et w. À la place de v, nous avons choisi ex pour déterminer la position du satellite sur l'orbite. On a vu que cet angle, ex = w + v, repère le satellite à partir du nœud ascendant. L'altitude h s'exprime donc en fonction de la position sur orbite ex sous la forme:

h(ex) r(ex)

=

=

r(ex) - RT(ex)

rra, e, v(w, ex)]

a(l - e 2 ) 1 + ecosv

= ----'-------'--

(11.47) (11.48)

490


z

x

11.18 : Représentation schématique de l'ellipsoïde terrestre, de centre 0, et de la trajectoire elliptique (orbite polaire) du satellite 5, de centre C et de foyer F confondu avec o. Les cercles principaux des ellipses ont été marqués. Les excentricités utilisées sur la figure sont grandement exagérées par rapport aux véritables excentricités.

FIG.

RT(a)

=

RT[R, f, 1jJ(i, a)]

R

= ----;====== 2

cos 1jJ

+

sin 2 VJ (1 _ 1)2

(11.49)

avec:

v=v(w,a) =a-w

11.8.2

1jJ = 1jJ(i, a) = arcsin(sin i· sina)

Altitude au cours d'une révolution

La fonction h( a) étant ainsi définie, on note les valeurs particulières de l'altitude: h(O) à l'équateur (nœud ascendant), h(w) au périgée, h('if) à l'équateur (nœud descendant), h(w + 'if) à l'apogée. La fonction r(a) a une période de 2'if , son amplitude étant égale à ae. La fonction RT(a) a une période de 'if, son amplitude variant entre 21.3 km


491

pour les satellites polaires (valeur du produit Rf) et 0 pour les satellites équatoriaux, car dans ce cas, RT(Œ) = R pour tout Œ. Lorsqu'on donne la hauteur d'un satellite en fonction de la position sur orbite, il faut spécifier la révolution, ou tout au moins le jour, à cause du déplacement du périgée. Pour les satellites en orbite quasi circulaire étudiés ici, la différence entre les anomalies v et NI est très faible (voir les figures 4.4( a) et 4.5) et on pourra remplacer Œ par le temps t, avec la relation Œ = 27r(t/T). Exemple 11.16 Altitude, au cours d'une révolution, de quatre satellites d'ob-

servation de la Terre, WorldView-2, RazakSat, RapidEye-5 et Yao Gan-J.

~ Les valeurs des éléments orbitaux métriques sont pratiquement constantes sur la durée de plusieurs jours. Mais l'argument du périgée w peut varier rapidement (précession apsidale). C'est pourquoi le jour considéré et le numéro de la révolution doivent être spécifiés. On a utilisé les données NORAD pour la journée du 6 avril 2010. Les valeurs des paramètres orbitaux sont notées sur la figure correspondante. Pour chaque satellite, les graphes sont divisés en deux parties: - sur la partie du bas, on a tracé en trait tireté

1'(Œ) - 1'(0) et en trait plein

RT(Œ) - RT(O)

- sur la partie du haut, on a tracé l'altitude par rapport à l'altitude à l'équateur

h(Œ)-h(O) soit la différence entre les deux courbes précédentes. L'altitude à l'équateur s'obtient par:

h(O) = a(l - e2 )

_

R

1 + ecosw Pour mieux comparer les variations, tous ces graphes sont tracés avec la même échelle. WorldView-2 (figure 11.19(a)) Ce satellite héliosynchrone a une excentricité particulièrement faible. La courbe, en tireté, représentant la variation 1'(Œ) - 1'(0), est pratiquement plate. La variation d'altitude provient essentiellement de la variation du rayon de l'ellipoïde terrestre. RazakSat (figure 11.19(b)) Pour ce satellite quasi équatorial, la variation du rayon de l'ellipoïde terrestre est pratiquement nulle. Seule intervient, dans l'altitude, la variation 1'(Œ) - 1'(0) due à l'excentricité. RapidEye-5 (figure 11.20(a)) Pour ce satellite héliosynchrone, les variations de 1'(Œ) et de RT(Œ) sont du même ordre, d'une vingtaine de km. Au total, h(Œ) varie de 40 km. Yao Gan-7 (figure 11.20(b)) Les courbes pour ce satellite héliosynchrone sont similaires à celles du précédent, avec position différente du périgée ....

492

Chapitre 11. Orbite par rapport à la Terre

WorldView-2

a

=7142.820 km

i = 98.549

20100406/ Revolution: 2576

phasage, altitude

e = 0.000180

w = 47.9

0

0

790

25

~ ""c:

785

20

780

15

775

10

770

.lB U) (5

765 760

-5 -10

10

Ê 6

""c: ûi '" (5

-5 -10 -15 -20 -25 30 Equateur

60

90

120

Position sur orbite

N.ASC.

150

n

180

210

Equateur N. DES.

RazakSat

a

=7061.292 km

i = 9.001

20100406/ Revolution: 3907

240

270

Position sur orbite

300

330

n

360 Equateur N.ASC.

e = 0.001324 w = 101.5

0

0

705

20

~

""c: ûi '" (5

15

700

10

695 690 685

-5

680

-10

675

-15

15

Ê

10

6

""c:

-5

(5

-10

~

-15 -20 30 Equateur N.ASC.

60

90

120

Position sur orbite

Cl

150

180 Equateur N. DES.

210

240

270

Position sur orbite

300

Cl

330

360 Equateur N.ASC.

Altitude du satellite en fonction de la position sur orbite, au cours d'une révolution. Pour une légende détaillée, voir la figure 11.22. (a) WorldView-2. (b) RazakSat.

FIG. 11.19


RapidEye-5

a

=7004.812 km

i = 97.952

20100406/ Revolution: 8647

493

e =0.001969

w = 111.3

0

0

25

Ê

6

Q)

ü

655

20

650

15

645

10

640

< "15.

Chapitre 12. Vue depuis le satellite

5

(J)

Q)

"0 Q)

> ~ ~

4

c 0

~

E

.E -Q)

3

:3~ Q)

.\2 "0

E

2

o

20

10

30

40

Angle de demi-fauchée f

6

li)

al >< "15.

60

50

n

-,--~--~--~--~~--~--~--~--~--~--~--~--~---,--~---,

5

(J)

Q)

"0 Q)

> ~

4

~ c 0

~

E

.E -Q)

3

:3~ Q)

u

'0

E

2

o

10

20

30

40

Longitude ou latitude

50

Cl

60

70

FIG. 12.4 : Indice de déformation relative des pixels. Indice K, déformation en longueur. (a) Pour les satellites LED, d'altitude h = 200 km à h = 1800 km, avec un pas de 200 km, en fonction de l'angle de demi-fauchée f. (b) Pour tout satellite géostationnaire, en fonction de l'angle a, représentant la latitude ou la longitude à partir du point subsatellite.

12.3. Déformation des pixels

avec un pas de 200 km. Cet indice devient important (K atteint en gros les deux tiers de sa valeur maximale fa.

515

> 2) lorsque f

Exemple 12.3 Calcul de la dimension de pixel et de l'indice de déformation pour l'instrument ScaRaB à bord de Meteor-3-07 et de Resurs-Ol-4. ~ Deux instruments ScaRaB identiques ont été placés à bord des satellites russes Meteor-3-07 et Resurs-Ol-4. La fauchée est orthogonale. La demi-fauchée, jusqu'à la butée de l'instrument, est fM = 48.91 0 , d'où un champ de vue de 97.82°. La fauchée complète est composée de 51 pixels, correspondant à 50 intervalles (50 incréments), ce qui donne : bf = 2fM /50 = 1.956° = 33.146 milliradians pour la dimension du pixel (il s'agit du pixel effectif, le véritable pixel est plus grand afin de permettre un recouvrement). Cela correspond, au nadir, à : bF = 40.8 km pour ScaRaB sur Meteor-3-07 bF = 27.8 km pour ScaRaB sur Resurs-Ol-4 En butée, le pixel a pour longueur: K(hvI) = 4.0 ===? bF = 161 km pour ScaRaB sur Meteor-3-07 K(hvI) = 3.2 ===? bF = 86 km pour ScaRaB sur Resurs-Ol-4 La fauchée au sol est 2FM = 3254 km pour Meteor-3-07, ce qui est supérieur au décalage équatorial .1À E = 3059 km. Par contre, pour Resurs-Ol-4, la fauchée au sol 2FM = 2078 km est bien inférieure au décalage équatorial .1À E = 2819 km. L'instrument ScaRaB a été initialement conçu pour les satellites de type Meteor-3, à 1200 km d'altitude, avec le souci de balayer toute la Terre en un jour. Pour obtenir ce même résultat à bord des satellites du type Resurs-01, à 800 km d'altitude, il aurait fallu repousser la butée de l'instrument jusqu'à hvI = 55°, ce qui aurait amené à une déformation des pixels K = 5.3 (figure 12.7) ....

Exemple 12.4 Étude de la déformation des pixels de l'instrument ScaRaB à bord de M egha- Tropiques. ~ L'instrument ScaRaB, décrit dans l'exemple 12.3, est à bord du satellite francoindien Megha-Tropiques. La fauchée est orthogonale. Au nadir, avec un angle de 33.146 milliradians, la taille effective du pixel (ainsi que l'écart entre deux pixels) est de 29.56 km, l'altitude du satellite étant de 865.6 km. Le pixel réel, qui doit recouvrir les pixels voisins, a une taille plus grande. Il a, au nadir, la forme d'un losange de 41.60 km de côté. Les diagonales de ce losange ont une dimension de 58.82 km, une des diagonales (dite largeur) est selon le vecteur vitesse du satellite, l'autre (dite longueur), perpendiculaire, est le long de la direction de fauchée. Le pixel est progressivement déformé, avec l'angle f. En butée d'instrument (avec hvI = 48.91°), les diagonales ont pour dimension 99.43 km et 192.29 km. Les résultats sont donnés dans la figure 12.5. La figure 12.11 fournit une représentation des pixels in situ . ...

516


12-,-----------------------.-.,------------,

Megha-Tropiques

; ; ; ; ; ; ;

11

10

Wg Altitude = 865.5 km Inclinaison = 20.00 Période

=

..J

0

~

8

gc

6

i i i

101.93 min

Décalage équat

= 2892.0 km

1 = (champ de vue)/2 Demi-fauchée f maximale

= 61.7

0

i

i

~

:ffi '0

5

Q)

Indice K (déformation du pixel) ~ 4 Indice L (déformation du pixel en largeur) ~ Indice S (déformation du pixel en surface) E 3

_K_ _

h___

§.c!S:~_._

+--_. . . .

......

/ ",...

/

/

i

i

i

i

i

1

l

..",-

MC

10

* LMD

20

30

40

'

+. . . . . . . . . . . . . . . . . ..

..

~""~=:::: =.::::.::::..::.....................

n'GJV

/, / i

.................

50

60

Angle de demi-Iauchée 1

n

70

80

J

(

Ct

K

L

S

long.

largo

surf.

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 35.0 40.0 45.0 50.0 55.0 60.0

0.0 5.7 11.4 17.1 22.9 28.7 34.6 40.6 46.9 53.4 60.5 68.5 79.6

0.0 0.7 1.4 2.1 2.9 3.7 4.6 5.6 6.9 8.4 10.5 13.5 19.6

1.000 1.009 1.038 1.088 1.165 1.277 1.436 1.667 2.012 2.562 3.542 5.719 15.795

1.000 1.004 1.018 1.040 1.074 1.120 1.182 1.264 1.375 1.527 1.746 2.098 2.853

1.000 1.014 1.056 1.132 1.252 1.430 1.698 2.107 2.766 3.911 6.184 11.996 45.070

58.82 59.37 61.05 64.02 68.55 75.10 84.47 98.03 118.33 150.69 208.32 336.40 929.09

58.82 59.08 59.85 61.19 63.17 65.89 69.53 74.37 80.87 89.80 102.71 123.38 167.83

1729.9 1753.6 1827.1 1958.9 2165.1 2474.3 2936.8 3645.3 4784.4 6765.9 10698.2 20752.6 77965.9

48.9 61.7

58.9 90.0

10.0 28.3

3.269

1.690 3.967

2.763

192.29

99.43 233.35

9559.4

infini

infini

infini

gO

infini

12.5 : Indices de déformation du pixel. Instrument ScaRaB à bord de Meghatropiques. Les trois indices de déformation des pixels sont notés K, L, S (sans dimension). Les angles J, (, Ct sont en degrés. Les dimensions du pixel de l'instrument ScaRaB (longueur et largeur) sont en km,. la surface du pixel (losange) est en km 2 . L'angle maximal de fauchée (butée de l'instrument) est J = 48.91°. L'angle maximal possible (visée au limbe) est Jo = 61.70°. Voir aussi la figure 12.11.

FIG.

12.4. Trace des fauchées pour un satellite LEO

12.3.3

517

Déformation des pixels - satellites GEO

Un satellite géostationnaire voit presque la moitié de la surface de la Terre, mais sur tout le bord du « disque» observé la déformation des pixels est très grande. Le graphe K(a) (figure 12.4(b)), montre que, pour un satellite géostationnaire, l'indice de déformation devient supérieur à 2 au-delà de 50°. On peut remplacer a par lÀ - Àsl, la longitude comptée le long de l'équateur à partir du point subsatellite, ou par 11/'1, la latitude comptée le long du méridien Às. Ces graphes sont évidemment identiques pour tous les satellites géostationnaires.

12.4

Trace des fauchées pour un satellite LEO

Pour les satellites LEO d'observation, les deux principaux modes de fauchée sont la fauchée orthogonale et la fauchée conique. Ils concernent deux types d'intruments totalement différents. Dans le cas des instruments à fauchée orthogonale, on utilise (même si c'est dans des occasions très rares) la possibilié d'orienter différemment l'appareil de sorte qu'il vise le long de la trace ou selon une autre direction. Nous examinons ici ces différents modes de balayage.

12.4.1

Fauchée orthogonale

Pour calculer les coordonnées des points vus et représenter la trace de la fauchée orthogonale, nous revenons aux angles d'Euler vus lors de la détermination de la trace du point subsatellite. On considère que le balayage d'angle instantané j, depuis le satellite S, est équivalent à un balayage d'angle instantané a, depuis le centre 0 de la Terre. Le balayage est dans le plan perpendiculaire à l'orbite, passant par S et O. Vu de 0, c'est donc un balayage d'angle a, d'axe OY (parallèle à SX, dans le plan de l'orbite), le trièdre OXYZ ayant été défini précédemment avec la figure 8.2. Cette rotation correspond à la matrice de rotation P 4 :

il co~a sina

o 1

o

-

s~na cosa

Jl

(12.21 )

En appelant (XI, yi, Z/) les coordonnées cartésiennes du point vu sur la Terre, par rapport au référentiel ~(Oxyz), on obtient ces nouvelles coordonnées par:

518


X'

12.6 : Représentation de la rotation d'angle Go correspondant à la fauchée f d'un instrument à bord du satellite. Cette figure complète la figure 8.2. On a mentionné, par des disques noirs, les quatre axes de rotation. L'axe de rotation de l'instrument est DY, dans le plan de l'orbite Dx 2 X, perpendiculaire à DX. La trace d'une demifauchée au sol est représentée en tireté. FIG.

les coordonnées (X, Y, Z) du point subsatellite ayant été obtenues par le produit des trois rotations défini par l'équation (8.8). La figure 12.6 complète la figure 8.2 avec la quatrième rotation. Les coordonnées cartésiennes (X', Y', Z') permettent de calculer, par les relations (8.12) à (8.14), les coordonnées polaires )..' etljJ' du point visé. Balayage et trace de la fauchée orthogonale

Lors d'une fauchée d'instrument, le balayage au niveau du sol est extrêmement rapide. Par exemple, l'instrument ScaRaB, à bord de Meteor-3-07, fait une fauchée complète en 3.18 secondes, soit une vitesse moyenne de la trace au sol de 3254/3.18 = 1024 km·s- 1 . Par rapport au déplacement de la trace du satellite, qui est de 6 km·s-l, la trace de la fauchée peut être considérée comme instantanée. Pour HRVIR à bord de SPOT-4, la prise de vue est effectivement instantanée. La trace de la fauchée orthogonale, perpendiculaire au plan de l'orbite, fait donc un angle de (90 0 - i) avec l'équateur. Par contre, comme nous


519

l'avons vu précédemment, la trace fait avec l'équateur un angle i', l'inclinaison apparente. Sur les représentations des traces, la normale à la trace de la fauchée fait donc un angle (i - i') avec la trace du satellite, à l'équateur, donné par (8.30). En d'autres termes, la trace de la fauchée orthogonale n'est pas exactement perpendiculaire à la trace du satellite. Remarque cartographique. Cet écart angulaire n'est conservé en vraie grandeur que sur les cartes tracées avec une projection conforme. Sur les deux cartes de la figure 12.7, tracées avec la projection de Mercator, on peut évaluer l'angle entre fauchée et trace, à l'équateur, et constater que cet angle n'est pas droit. Recouvrement équatorial

On considère la fauchée complète d'un instrument, jusqu'en butée. Sa largeur au sol est 2FM. On désigne par LE la portion d'équateur recouverte par la fauchée lors d'un passage du satellite. On a, en première approximation:

(12.22) En fait, en représentant rigoureusement la trace de l'orbite et de la fauchée par rapport à l'équateur (la trace est liée à l'inclinaison apparente i' et la fauchée à l'inclinaison i), on obtient :

2FM LE - ----------------~ - sin i + cosi . tan(i -i') En utilisant la valeur de

oi =

2FM sin i

1 tanoi 1+--. tan 7,

(12.23)

i' - i donnée par (8.30), on trouve:

COSi)

( 1--_ -2FM LE -sin i ~

(12.24)

Fraction de recouvrement équatorial

Il est intéressant de comparer cette distance LE avec le décalage équatorial DE, donné par (8.27). Ce sont deux longueurs comptées sur l'équateur, et leur rapport QE mesure donc la fraction d'équateur vue par le satellite dans une journée, lors du passage au nœud ascendant: QE

=

LE

DE

=

FM ~-cosi R sin i

7r

(12.25)

Avec l'angle au centre aM, en radians, correspondant à FM, on obtient:

QE_-

aM

-7r

~

- cosi sin i

(12.26)

520


Meteor-3-07 / ScaRaB (MeTeOp)

Trace de l'orbite

Inclinaison 250.0 min

=

Propriété: Conforme Type: Cylindrique

a = 7572.704 km 0

Demi-fauchée: 48.9" => 1622 km [ 1.0 min]

Centre Carte: 0.0" Aspect: Direct [ +0.0 1 +0.0 1 +0.0]

0.0"

Resurs-01-4/ ScaRaB (Pecypc)

Trace de l'orbite »> Durée représentée:

82.56

Décalage à l'équateur = 3059.5 km ( 27.5")

0.17 jour

Trace des fauchées orthogonales


=


Phasage = [13; +7; 71]930 »> Durée représentée:


250.0 min

=

N. asc.: 0.00" Incl in. app. = 86.93" Recouvrement: 82.9" 90.0"

Altitude = 814.2 km

nu,JV

MC

*

LMD

ATÀCX,

a = 7192.376 km

Inclinaison HELIOSYNCHRONE = 98.69" Période = 101.29 min • Tours/j = 14.22

0.17 jour

Décalage à l'équateur = 2818.9 km ( 25.3")

Trace des fauchées orthogonales

.. Demi-fauchée: 48.9" => 1034 km [ 1.0 min]


Centre Carte:

Propriété: Conforme Type: Cylindrique

Aspect: Direct [ +0.0 1 +0.0 1 +0.0]

0.0"

0.0"

N. asc.: 0.00" Inclin. app. = 102.62" Recouvrement: 89.4" 90.0"

niGJV

MC

*

LMD

ATÀCX,

12.7 : Trace de la fauchée orthogonale de l'instrument ScaRaB à bord de deux satellites LEO d'altitude différente, Meteor-3-07 et Resurs-Ol-4.

FIG.


Megha-Tropiques / ScaRaB

Orbite par rapport à la Terre Phasage

Inclinaison = 20.00

30.0 min

=

0.02 jour



CC: 50.0' N; 50.0 'E ICZ: 29.0' N, 41.0' E

Propriété: (sans)

Aspect: Oblique 0

0

)

.. Demi-fauchée: 48.9 0 => 1108 km [0.50 mini

Trace des fauchées orthogonales (mode XT)

EIl T.:Azimutal- Grille: 10

a = 7243.677 km 0


= [14; -1; 7[ 97


Altitude = 865.5 km

521

Noeud asc.: 12.00 0 [12:00 TSM] Latit max. atteinte = 30.0 0

15.31 [-90.01 +4001 +400] [+8] GRIM5-C1

MC

*

If;iWII

LMD

ATÀaç

FIG. 12.8 : Trace de la fauchée orthogonale de l'instrument ScaRaB à bord d'un satellite LED à faible inclinaison, M egha- Tropiques.

Si QE est supérieur à 1, certains points de l'équateur sont vus plus d'une fois par jour lors du passage au nœud ascendant (il en est de même, bien évidemment, pour le passage au nœud descendant). Le nombre moyen de passages quotidiens, noté N(cp = 0, Jm), pour un point de l'équateur et pour une demi-fauchée JM, est ainsi:

N(O, hl) = 2 QE

(12.27)

Cette fonction N(cp, Jm) est utilisée lors de l'étude de l'échantillonnage, au chapitre 13. On peut aussi calculer la demi-fauchée JQ qui va donner une fraction de recouvrement équatorial déterminée, QE. On calcule d'abord l'angle au centre de la Terre ŒQ correspondant : sin i Q cos i E

ŒQ = Ir "" _

La valeur de

JQ

se déduit de

ŒQ

avec (12.9).

(12.28)

522


Exemple 12.5 Étude de la trace de la fauchée d'un même instrument à bord de trois satellites différents: l'instrument ScaRaB à bord de Meteor-3-07, Resurs- 01-4 et M egha- Tropiques. ~ L'instrument ScaraB a été initialement réalisé pour voler à bord de Meteor-3-07. Deux instruments aux caractéristiques géométriques identiques ont ensuite été mis à bord de Resurs-Ol-4 et de Megha-Tropiques. (a) Meteor-3-07 L'instrument a été conçu pour obtenir un recouvrement équatorial complet, quotidiennement. Pour cela, on applique la relation (12.28) avec Q E = 1. Pour ce satellite, i = 82.56°, T} = 1.1873, '" = 13.0986. On calcule al en degrés: al = 180(sin 82.56) / (13.0986 - cos 82.56) = 13.76° tanh = (sin 13.76)/(1.1873 - cos 13.76) = 1.1013 La valeur de l'angle de demi-fauchée est donc h = arctan(1.1013) = 47.76°. On choisit toujours un angle d'ouverture de fauchée très légèrement supérieur, ici fM = 48.91°. La valeur correspondante de FM = R aM est obtenue par: aM = - fM + arcsin( T} sin fM) = -48.910 + 63.488 = 14.578° = 0.2544 rad FM = 1622 km Voir la figure 12.7(a) pour la trace des fauchées. Par souci de clarté, les fauchées ont été tracées toutes les 60 secondes, alors que l'instrument ScaRaB fait un balayage toutes les 6 secondes. (b) Resurs-04-1 Le satellite Resurs-04-1 est héliosynchrone, sur une orbite plus basse: T} = 1.1277, i = 98.69°, '" = 1/ = 14.2165. Avec la demi-fauchée hvI = 48.91°, la fauchée au sol est: aM = 48.910 - 58.203 = 9.293° = 0.1622 rad; FM = 1 034 km. On calcule la fraction de recouvrement équatorial QE : QE = (0.1622/71") . (14.2165 - cos 98.69)/(sin 98.69) = 0.750 La valeur de QE est inférieure à 1, ce qui apparaît clairement sur la figure 12.7(b). Pour un point de l'équateur, le nombre moyen de passages quotidiens, donné par (12.27), est N = 1.50. ( c) M egha- Tropiques Le satellite Megha-Tropiques est en orbite peu inclinée: ri = 1.1357, i = 20.00°, '" = 97/7 = 13.8571. Avec fM = 48.91 0, on obtient: aM = 9.956° et FM = 1 108 km. On calcule QE = 2.08, ce qui indique que le nombre moyen de passages à l'équateur est N = 4.16. Voir la figure 12.8 ....

Fauchée et contrainte de mission La fauchée de l'instrument principal d'un satellite et les caractéristiques de l'orbite sont liées. Cette contrainte est particulièrement importante si le satellite est phasé. Nous donnons ci-dessous quelques exemples dans des cas


523

très différents de fauchée large, étroite et très fine. Exemple 12.6 Respect des exigences de mission: fauchée et phasage. Cas des satellites Oceansat-l, SPOT-l et ICESat. ~

Ces trois satellites sont en orbite quasi polaire.

(a) Oceansat-l

Le satellite indien Oceansat-1 (IRS-P4) est un satellite héliosynchrone (passage à l'équateur à midi et minuit) phasé, avec le triplet [14; 1; 2], correspondant à un cycle de 29 révolutions sur 2 jours. Le décalage équatorial est alors: .1À E = -360/14.5 = -24.83° DE = 2763.8 km. L'objectif de la mission est que l'équateur soit vu, de jour, tous les 2 jours. En première approximation (la fauchée orthogonale est pratiquement parallèle à l'équateur), il faut une fauchée au sol 2FM au moins égale à la moitié du décalage équatorial, soit: aM = 180/29 = 6.21 ° FM = DE/4 = 691 km. La relation (12.9) permet d'obtenir hvI = 42.3°. Le calcul précis, à l'aide de la relation (12.28) où on pose Q E = 0.5, donne avec i = 98.29°, ri = 1.1129, K = 29/2 = 14.50 : aM = 90(sin 98.29) /(14.50 - cos 98.29) = 6.0816° et ensuite fM = 41.79°. L'instrument OCM à bord de ce satellite a une fauchée totale de 1420 km, soit FM = 710 km, donc avec quelques kilomètres de plus que la fauchée strictement nécessaire. Le calcul donne: FM = 710 km ===} fM = 43.0° QE = 0.52. La fraction de recouvrement équatorial est ainsi légèrement supérieure à 1/2. (h) SPOT-l Lors de l'élaboration du projet SPOT, l'altitude du satellite était prévue entre 800 et 850 km (assez basse pour une bonne résolution, assez haute pour éviter le frottement atmosphérique). L'instrument HRV à bord de SPOT-1 a été conçu avec un champ de vue de 8.4°, soit fM = 4.2°. On désirait que l'intervalle de grille 15, défini par (11.20), soit légèrement inférieur à la fauchée au sol. On calcule l'intervalle, 15 é:::: 2 h tan fM é:::: 1.06°, ce qui donne le nombre de tours dans le cycle de phasage, N To = 360/1.06 é:::: 340. La valeur de v est comprise entre 14.26 pour h = 800 km et 14.11 pour h = 850. On a donc, pour le cycle GTo = (NT,)V), la valeur limite GTo = 24. On désirait de plus, lors de l'établissement de la mission, que le cycle soit inférieur au mois, ce qui amène à : 24":; G To ,,:; 30. Le triplet de phasage sera donc de la forme [14 ; DTo ; GTo ] avec 340 ,,:; N To ,,:; 427. Des considérations sur les sous-cycles ont ensuite déterminé le choix du triplet [14 ; +5 ; 26], 369 tours. (c) ICESat Le satellite ICESat est muni d'un laser pour l'altimétrie. Cet instrument, GLAS, vise au nadir avec un champ de vue pratiquement « ponctuel», puisque le pixel au sol a une taille de 66 mètres. Un phasage sur un cycle très long, 2723 tours en 183

524


jours, donnant un intervalle de grille, t5 = 15 km, permet de garantir que, pendant toute la durée du cycle, le satellite ne repassera pas sur sa trace .....

12.4.2

Fauchée à lacet variable

La fauchée orthogonale (accross-track swath ou XT-mode selon la terminologie de la NASA) correspond à un angle de lacet égal à 0° (l'angle de lacet se mesure dans un plan perpendiculaire à l'axe de lacet, dit de nadir, allant du satellite au centre de la Terre). Il existe des modes de fauchée le long de la trace (along-track swath ou AT-mode) correspondant à un angle de lacet égal à 90°. Dans ce cas, la fauchée ne recouvre pas rigoureusement la trace (pour les mêmes raisons que la fauchée orthogonale n'est pas rigoureusement perpendiculaire à la trace) voir au chapitre 8 la question d'inclinaison et d'inclinaison apparente (angles i et i', ou angles j et j'). Un ajustement de l'angle de lacet, fonction de la latitude survolée, permet d'obtenir un recouvrement de la trace par la fauchée - voir équation (8.38). Une application effective est donnée dans l'exemple 12.7. Un autre mode de fauchée consiste à faire varier de manière continue l'angle de lacet, comme on le montre dans l'exemple 12.8. Exemple 12.7 Différence entre la fauchée «le long de la trace» (AT-mode) et la fauchée avec «ajustement le long de la trace» (TAT-mode). ~ Pour l'étude du bilan radiatif de la Terre, la NASA a développé l'instrument CERES (Glouds and the Earth 's Radiant Energy System), qui a été placé à bord de plusieurs satellites 7 . Dans le cadre des études préliminaires pour le radiomètre BBR du satellite EartCARE, des séances de calibration/validation ont eu lieu, en août 2004, sur la station d'étalonnage VAS (Valencia Anchor Station), près de Valence, en Espagne. Le radiomètre utilisé était l'instrument CERES, à bord de Terra. Un fois par cycle de 16 jours, les traces (ascendante et descendante) du satellite se croisent le même jour très près de la station VAS: sur la figure 12.9(b), on remarque un point de grille très proche de VAS. En mode AT, la trace de la fauchée fait un angle de quelques degrés avec la trace du satellite. Les deux traces ne se recouvrent pas, comme on voit sur la figure 12.9(a). Nous avons demandé à la NASA de faire varier l'angle de lacet de CERES, pour le 19 août 2004, selon le mode PAP (Programmable Azimuth Plane scanning). La variation de lacet est liée à la latitude survolée par l'équation (8.38) qui fournit la valeur de t5j. Le résultat de cette modification apparaît clairement sur la figure 12.9(b) : la trace de la fauchée (AT/PAP-mode, noté aussi TAT-mode, True Along Track scanning) recouvre exactement la trace de l'orbite du satellite .....

7L'instrument a été fait en 6 exemplaires, PFM (Proto Fligh Madel) à bord de TRMM, FMI et FM2 sur Terra, FM3 et FM4 sur Aqua, FM5 sur NPP. Les instruments FM peuvent être en mode orthogonal ou à lacet variable, à la demande.


Terra / CERES Trace de l'orbite

Altitude = 699.5 km

Phasage



= [15; -7; 16]233

2004082002:50:42 TUC »> 1440.0 min = 1.00 jour

l' . ..

525

a = 7077.675 km e = 0.000114

0


0

)


Trace des fauchées (mode AT)

~

: ......

.......

% . . ..

:

,',

. ..... .

Il

\III

:

Il UII

" :

yf

Aspect: Direct> zoom: 2.50

EB T.:Cylindrique - Golle : 50

[4.21 [+90.0/ +0.0/-90.0][-1 EGM96

CP: 0.0' ; 0.0' /CZ 25.0' N; 35.0' E

Terra / CERES Trace de l'orbite Phasage

,:

,

Projection: Mercator Propriété: Conforme

: :

~\.II

WIll

~\

III: :

Il;iWJJ

0

Altitude = 699.5 km Incl. HELIOS. = 98.19

MC

*

LMD ATÀaç

a = 7077.677 km e = 0.000112

0


= [15; -7; 16]233

2004081907:04:07 TUC »> 1440.0 min = 1.00 jour


Trace des fauchées (mode AT/PAP) avec lacet ajusté


Projection: Mercator Propriété: Conforme EB T.:Cylindrique - Golle : 5'

\\\

III

Noeud asc: -65.38 [22:29 TSM] [NORADI Révolution: 24855 [NORADI2004 08 20 02:50:42 TUC

CP: 0.0' ; 0.0' /CZ 25.0' N; 35.0' E

Aspect: Direct> zoom: 2.50 [4.211 +90.0/ +0.0/-90.0][-] EGM96

Noeud asc: -128.73 [22:29 TSM] [NORAD] Révolution: 24843 [NORAD] 2004 08 19 07:04:07 TUC

Il;iWJJ

0

MC

*

LMD ATÀaç

12.9 : Trace de la fauchée de l'instrument GERES à bord de Terra, avec deux modes de balayage (a) fauchée le long de la trace à lacet non ajusté (AT-mode) ; (b) fauchée à lacet variable ajusté (TAT-mode ou AT/PAP-mode), FIG.

526


Exemple 12.8 Trace de la fauchée à lacet variable (RAP mode) du radiomètre GERES à bord du satellite Terra. ~ Nous représentons, avec la figure 17.10, la trace de l'instrument CERES à bord de Terra, lorsque le satellite passe au-dessus de l'Amérique du Nord, le 9 février 2003, vers 18 heures TU, Révolution 16731. Le mode de balayage utilisé, RAPmode (Rotating Azimuth Plane), consiste à faire un demi-tour en 6 minutes, puis un demi-tour dans l'autre sens. La fauchée représentée ici, toutes les 6 secondes, correspond à f = 56.1 0 . . . . .

12.4.3

Fauchée conique

Les fauchées coniques sont utilisées en particulier pour les radiomètres micro-ondes. Dans ce cas, il faut, pour des raisons liées à la physique du phénomène, que les points vus le soient sous un angle constant. Il faut donc adapter la demi-fauchée maximale fM à la valeur de l'altitude du satellite et à celle de l'angle (M. La fauchée conique est définie par deux angles (figure 12.10), qui sont dans des plans orthogonaux: - l'angle de demi-fauchée fM (ou l'angle zénithal de vue (l'vd, dans un plan vertical; - l'angle de demi-ouverture ÇM, dans le plan horizontal (tangent à la sphère terrestre) . Géneralement, la fauchée conique Se fait vers l'avant, aveC ÇM de l'ordre de 60°. Avec ÇM = 90°, la fauchée conique dessine un demi-cercle; avec ÇM = 180°, un cercle. La position des points constituant la trace de la fauchée conique Se calcule par produit matriciel, aveC le même genre de calcul que celui vu plus haut pour la fauchée orthogonale. On caractérise la fauchée conique par le rayon du cercle de fauchée et par la fauchée effective au sol. Le cercle de fauchée, centré sur Sa, au nadir de S, est généré par le point P qui se déplace entre A et B, comme indiqué sur la figure. 12.10. La valeur de son rayon PF est donc : (12.29) PF = RaM où aM est obtenu à partir de fIv! ou de (M par (12.11) ou (12.12). La fauchée effective au sol est la largeur de la trace de la fauchée. En notant Flv! la demi-largeur de la trace au sol, 2Flv! est représenté par la distance AB, dont le milieu est noté C (ce point C n'est pas sur la trace de la fauchée). La distance Flvr est donnée par la valeur de l'arc CB, soit Flv! = Ra', en notant a' l'angle au centre de la Terre correspondant. On obtient a' à partir du triangle sphérique SoBC : -

'if

C=2

So =ÇM

BC=a'


527

s f

B

FIG. 12.10 : Représentation schématique d'une fauchée conique, depuis le satellite S, de nadir Sa, d'angle de demi-fauchée f et de demi-ouverture ç.

FIG. 12.11 : Représentation de la fauchée orthogonale (S caR aB) et de la fauchée conique (MADRAS) de deux instruments à bord de M egha- Tropiques, le satellite étant situé à la verticale du point de longitude 0°, latitude 0°. Chaque pixel est noté en taille réelle, avec son taux de recouvrement. Document : Nicolas Gif, LMD. Données orbitographiques Ixion.

528


La règle des sinus, relation (t.s.-VIII), donne: sin a' = sin aM . sin ÇM

(12.30)

d'où la demi-largeur effective de la fauchée conique:

p'

=

R arcsin(sin aM . sin ÇM)

(12.31 )

Dans cette formule, si ÇM > 90°, on prend ÇM = 90°, puisque la fauchée effective maximale est atteinte pour ç = 90°.

Exemple 12.9 Fauchées de divers instruments à bord du satellite MeghaTropiques. ~ Le satellite Megha-Tropiques, à l'altitude h = 866 km, est muni de trois instruments à balayage. Le radiomètre ScaRaB est à balayage orthogonal. Sa demi-fauchèe maximale est hvf = 48.91 0, ce qui correspond à un angle zénithal maximal (M = 58.78°. La trace au sol, dont la largeur est 2 FM = 2216 km, est représentée en figure 12.12(a). On n'a tracé qu'une fauchée sur deux par souci de claté (intervalle entre deux balayages :6 secondes; sur la figure: 12 secondes). Le sondeur SAPHIR est aussi à balayage orthogonal: fM = 42.96°, (M = 50.71°, 2 FM = 1726 km. L'imageur hyperfréquence MADRAS est à balayage conique, de sorte que les points vus le soient sous un angle ( = 53.50°. L'ouverture de la visée est de ÇM = 65° de part et d'autre de la trace. Cela détermine une fauchée de largeur effective de 1702 km, repréentée en figure 12.12(b), toutes les 6 secondes (la fréquence réelle est plus élevée). La figure 12.11 représente les traces réelles de fauchées des instruments ScaRaB (balayage orthogonal) et MADRAS (balayage conique), avec notation effective des pixels ....

Exemple 12.10 Trace de la fauchée conique du radiomètre SSM/I à bord du satellite DMSP-5D3 F-18. ~ L'instrument SSM/I (Special Sensor Microwave/lmager) est un radiomètre passif. Son axe fait un angle constant hvf avec l'axe de rotation, l'axe de nadir SZ, de sorte que l'angle zénithal de vue est constant, (M = 53.1°. Le calcul donne, pour ce satellite à l'altitude h = 848 km : fM = 44.9° et PF = R aM = 913 km. Le balayage ne se fait pas selon un cercle complet de rayon PF, mais sur un arc d'ouverture 2ÇM = 102.4°, de part et d'autre de l'axe SX porté par le vecteur vitesse. Pour ce satellite, le balayage se fait vers l'avant. La fauchée effective est donnée par (12.31) : Ff.vf = 1417 km Sur la figure 12.13(a), la représentation de la trace a été faite, pour plus de clarté,

529


Megha-Tropiques / ScaRaB Trace de l'orbite

Altitude = 865.5 km

Phasage


= [14; -1; 7[ 97


=

100.0 min


0.07 jour


Trace des fauchées orthogonales (mode XT)

"~'"':,

f'

a = 7243.678 km

Inclinaison = 20.00 0

...........•..

:.

//

j

.

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1111

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1

1

:

:/

!

!

Propriété: (sans)

EB T.:(divers) - Golle : 50

[5.31 [+90.01 +0.01-165011-] EGM96

.

!

:

CP: 0.0' ; 75.0 'E ICZ: 16.0' N; 69.0' E Aspect: Direct> zoom: 4.00

Projection: Raisz Armadillo

Noeud asc: _10.00 0 [00:00 TSM] Latit max. atteinte = 30.0 0

Megha-Tropiques / MADRAS Trace de l'orbite

Altitude = 865.5 km

Phasage


= [14; -1; 7] 97


100.0 min

=

0.07 jour

Trace des fauchées coniques / AZV=53.5'

Inclinaison

=

20.00

[II

,;:~:, \

Il;iWJJ

MC

* LMD ATÀaç

a = 7243.678 km 0

Décalage à l'équateur = 2892.0 km ( 26.0 ') .. Demi-ouverture: 65.0 0 - Rayon sol: 940 km [ 0.20 min] .. O.-ouvert eff.: 42.6 0 => 851 km - Fauch. eff.: 1703 km

Propriété: (sans)

CP: 0.0' ; 75.0 'E ICZ: 16.0' N; 69.0' E Aspect: Direct> zoom: 4.00

EB T.:(divers) - Golle : 5'

[5.311 +90.01 +0.01-165011-] EGM96

Projection: Raisz Armadillo

III

,

.........

:

II

,

f/

-:;1)/

,

; J'

I

Noeud asc: _10.00 0 [00:00 TSM] Latit max. atteinte = 27.6 0

Il;iWJJ

MC

*

LMD ATÀaç

FIG. 12.12 : Trace de la fauchée de deux instruments à bord de Megha-Tropiques (a) fauchée orthogonale (ScaRaB),- (b) fauchée conique (MADRAS).

530


DMSP-5D3 F-18 / SSM/I

Altitude = 847.8 km



2009 11 0909:31: 12 TUC »>

720.0 min = 0.50 jour


Centre Pr.(dr.): 35.0 N ; 110.0 W Aspect: Oblique

EIl T.:Azimutal- Grille : 100

e = 0.001029


= [14;+11; 93]1313

Propriété: (sans)

a = 7225.905 km 0


0

0

14.2H -90.0/ +55.0/-160.0] [-]

EGM96

Noeud asc: 155.84 0 [19:55 TSM] [NORAD] Révolution: 307 [NORAD] 2009 11 09093112 TUC

Itu,)V

MC

*

LMD ATÀaç-

FIG. 12.13 : (a) Trace du satellite DMSP F-18 et de la fauchée conique de l'instrument SSM/I, durant une demi-journée. (b) Fauchée de l'instrument SSM/I, à bord de DMSP Fau-dessus du 13, golfe du Mexique. L'instrument mesure la température de brillance qui permet de distinguer principalement nuages chauds et froids. Document GSFC - NASA.

12.5. Vue depuis un satellite GEO

531

avec un pas d'une minute, alors que le radiomètre fait 31.6 tours par minute. Pendant la durée d'un tour, soit 1.9 seconde, le point subsatellite s'est déplacé de 12.5 km. La représentation de la trace sur une demi-journée permet de constater qu'une grande partie de la Terre sera vue chaque jour. ...

12.4.4

Superposition de trace

Les raisons pour rechercher la superposition des traces de deux satellites sont variées, que ce soit pour une étude comparée de la géométrie angulaire cible-satellite, ou pour l'étalonnage d'un même type d'instrument à bord de deux satellites différents. À la superposition géométrique de la trace au sol, on ajoute une contrainte temporelle: l'écart entre le passage des deux satellites, sur un lieu commun donné, ne doit pas dépasser un certain temps, 5 minutes ou 15 minutes, par exemple.

Exemple 12.11 Superposition de la trace entre deux satellites héliosynchrones lors d'une campagne de calibration de l'instrument JAS!. ~ Peu après le lancement du satellite européen MetOp-A, on a voulu comparer les résultats obtenus par l'instrument IASI, à son bord, avec ceux d'un instrument à bord du satellite américain Aqua. On se trouve là dans le cas de deux satellites héliosynchrones dont les heures de passage au nœud ascendant sont très différentes, TNA = 21:30 pour MetOp-A, TNA = 13:30 pour Aqua. On calcule l'angle dièdre entre les deux plans orbitaux TNA(Aqua) - TND(MetOp-A) = 13:30 - 09:30 = 04:00 soit un angle de 4 x 15° = 60°. La figure 10.6 adaptée à ces deux satellites, montre que l'intersection des traces à un même instant (une même heure TSM en un lieu donné, donc une même heure TU) ne peut se faire que pour les latitudes très hautes, aux alentours de 80 N et 80 S. La figure 17.14 donne le résultat pour une durée de deux jours, avec un écart temporel de ±15 minutes. Pour chaque trace de fauchée commune, on note uniquement, par souci de clarté, le point central commun. Les superpositions, avec cette marge temporelle, ne peuvent pas avoir lieu entre les latitudes comprises entre 60 N et 60 S .... 0

0

0

0

12.5

Vue depuis un satellite G EO

Dans cette section, nous étudions d'abord, d'une manière générale, comment la Terre est vue par un satellite géostationnaire. Cette Terre est une sphère. Ensuite, nous examinons plus en détail la correspondance entre les coordonnées géographiques du point observé et le pixel correspondant. Dans ce cas, la Terre est considérée comme un ellipsoïde de révolution.

532

12.5.1


Conditions géométriques simplifiées

Pour connaître les conditions géométriques de vue de la Terre par un satellite GEO, la démarche suivante, considérant une Terre sphérique (où on confond les latitudes cp et 1jJ), est généralement suffisante. Lorsque le satellite géostationnaire voit la Terre, la fauchée maximale, au sens où nous avons défini Jo, est:

Jo

.

1

(12.32)

= arCSll1 - T)GS

la distance relative étant ici T)GS définie par la relation (7.70). Ce qui donne pour valeur numérique, avec T)GS = 6.611 :

Jo

=

8.700° = 0.1518 rad

(12.33)

L'angle au centre de la Terre correspondant est: ao = arccos - 1

rlGs

=

90 ° - 8.7 ° = 81.3 °

===}

2Fo = 18100 k m

(12.34 )

La portion de Terre vue par le satellite géostationnaire est appelée disque terrestre. Voir figures 12.14 et 12.19. En notant À s la longitude du satellite 5 (longitude de stationnement ou longitude du point subsatellite), les longitudes vues sur l'équateur par 5 sont dans l'intervalle: et selon le méridien À s , les latitudes sont vues sur le même intervalle de 81.3°, de part et d'autre de l'équateur. Pour un point P quelconque de la Terre, de coordonnées géographiques À et cp, on écrit la distance D au point subsatellite 50 (il s'agit, bien entendu, de la distance sur la sphère, selon un grand cercle, D = Ra), en utilisant le triangle sphérique SaP P' (Pl est l'intersection du méridien de P avec l'équateur) : cos 5 0 P= cos 5 0 PI . cos P p' cosa = cos(À -

À s )·

cos cp

(12.35)

Cette relation correspond à la relation (t.s.-I). Le lieu des points P vus à la distance D du point subsatellite est donc défini par la relation, avec les angles en degrés : D

=

R 1;0 arccos [ cos(À - Às) . cos cp ]

(12.36)

C'est le lieu des points vus sous le même angle depuis le satellite, et donc vus avec la même déformation de pixel.


533

La condition pour que le point P soit vu est, d'après les relations (12.6) et (12.35) : (12.37) Tics' COSip' cos(À - Às} ~ 1 La surface

8

de Terre vue est, pour un angle a donné:

La surface maximale vue est donc 8(ao}, ce qui représente la fraction de la surface totale :

8(ao}

41f R2

1( 1) =

="2

1-

TICS

0.424

(12.38)

soit 42 % environ. Exemple 12.12 Représentation, pour un satellite géostationnaire, du lieu des points de la Terre à égale distance du point subsatellite. ~ La distance D, entre un point de la Terre, vu par le satellite géostationnaire, et le point subsatellite de ce même satellite, est définie par la relation (12.36). On a représenté le lieu des points sur la Terre, à une même distance D, avec un pas de variation de 500 km pour D et de 200 km dans le cas des cartes agrandies. Nous notons ici ce lieu par !2(D). (a) METEOSAT Les satellites européens METEOSAT, durant leur phase opérationnelle, sont stationnés à la longitude Às = 0°. On a représenté, avec la figure 12.15(a), la Terre telle qu'elle est vue par le satellite (disque terrestre). Les courbes !2(D), pour D donné, sont des cercles, représentées par des cercles sur cette carte (projection dite perspective, non conforme, mais à symétrie axiale). La projection de Guyou, basée sur l'application des intégrales elliptiques, présente le globe dans un rectangle, tout en conservant les angles (projection conforme). Les courbes !2(D) sont représentées dans l'aspect direct sur la figure 12.15(b). (b) Feng Yun-2 Les satellites chinois, FY-2A puis FY-2B, occupent la position Às = 105°E. Nous avons représenté, en figure 12.16(a), le lieu des points vus sous le même angle, !2(D), dans une représentation orthographique centrée sur Pékin (à droite). (c) GOES Le satellite américain GOES-East est stationné à la longitude Às = 75°W. Cette position a été celle des satellites successifs SMS-I, SMS-2, GOES-5, GOES-7, GOES-8 (occupation partielle ou complète durant leur durée de fonctionnement). Le service météorologique argentin (Servicio Meteorolôgico Nacional) représente les données dans une projection stéréographique centrée sur le point (34.8°S; 68.6°W), situé au centre du pays. Nous avons utilisé cette projection pour représenter le lieu des points vus sous le même angle, en figure 12.16(b). Ce lieu !2(D) est donc, ici, représenté par des cercles (propriété de la projection stéréographique). On remarque que les satellites GOES-East et Feng Yun-2 sont diamétralement opposés par rapport au centre de la Terre.

534


MTSAT-1 R (V>~t> I:J )


a_GS = 42165.785 km

Satellite géostationnaire

Inclinaison = 0.00'

Long. station. =140.0' E

Eclipse solaire 2009 07 22 01 :30 TU


Proj. : Vue perspc. h=5.61 R

Décalage à l'équateur =40072.1 km

Propriété: (sans)

Centre Project.: 0.0' ; 140.0 'E Aspect: Equatorial

EIl T:Azimutal- Grille : 1D'

15.3H -90.0/ +900/-50.011-1

EGM96

Géostationnaire

n~(,)v

MC

*

LMD

ATÀCXÇ-

12.14 : (a) Vue de la Terre par MTSAT-1R (Himawari-6), 22 juillet 2009, 01 :30 TU. Eclipse totale du Soleil, centrée à ce moment-là (09:30 HL Taïwan) sur Taïwan. Document: IISERI, Univ. Tokyo. (b) Reconstitution de l'éclipse telle qu'elle est vue par MTSAT-1R.

FIG.


535

METEOSAT


a_GS = 42165.785 km

Lieu des points de la Terre

Inclinaison = 0.00'

Long. station. = 0.0'

équidistants

Période = 1435.91 min • Révol./j.= 1.00 Décalage à l'équateur =40072.1 km

du point subsatellite

.. Demi-fauchée: 8.7' - Au sol: 9050.2 km [ 500.0 km]

Proj. : Vue perspc. h=5.61 R

Centre Project.: 0.0'

Propriété: (sans)

Aspect: Equatorial

0.0'

EB T.:Azimutal- Grille: 10'

14.21 [·90.01 +9001 +900] [-] EGM96

Géostationnaire

Il;iWJJ

Latit. max. atteinte = 81.3 '

METEOSAT



Inclinaison

=

0.00

0

MC

*

LMD ATÀaç

a_GS = 42165.785 km Long. station.

=

0.0

0


équidistants



.. Demi-fauchée: 8.7' - Au sol: 9050.2 km [ 500.0 km]

Projection: Guyou



Aspect: Direct

0.0'

EB T.:[lnt. ellipt.] - Golle : 10'

14.2[[ +90.01 +0.01·90.0[[-] EGM96

Géostationnaire

Latit. max. atteinte = 81.3 '

Il;iWJJ

MC

*

LMD ATÀaç

FIG. 12.15 : Lieu des points équidistants du point subsatellite pour le satellite géostationnaire METEOSAT.

536


Feng Yun-2 ( JI.~~

)


a_GS = 42165.785 km


Inclinaison = 0.00'

Long. station. =105.0' E

équidistants

Période = 1435.91 min • Révol.lj.= 1.00 Décalage à l'équateur =40072.1 km


.. Demi-fauchée: 8.7' - Au sol: 9050.2 km 1 500.0 km]

Propriété: (sans)

Centre Pr.(dr.): 40.0' N ; 116.0 'E Aspect: Oblique

EIl T:Azimutal- Grille : 10'

14.21 [ -90.0/ +50.0/-26.0]1-]


Géostationnaire Latit. max. atteinte

= 81.3

niGJV

0

MC

EGM96

*

LMD

ATÀa,

GOES-E


a_GS = 42165.785 km


Inclinaison = 0.00'

Long. station. = 75.0 ' W

équidistants



Décalage à l'équateur =40072.1 km .. Demi-fauchée: 8.7' - Au sol: 9050.2 km 1 500.0 km]

Proj. : Stéréographique Propriété: Conforme

Centre Pr.(dr.): 34.8' S; 68.6' W Aspect: Oblique


[4.21 [-90.0/+124.8/+1586][-] EGM96

Géostationnaire

Latit max. atteinte = 81.3 '

niGJV

MC

*

LMD

ATÀOS

FIG. 12.16 : Lieu des points équidistants du point subsatellite d'un satellite GEO.

>-'

("1l

R..

'"

~.

;:l

;:l

("1l, ("1l

'"

~

~.

'"

R.. ~.

R..

("1l

'"'"

;:l

l:t:J Cl

Ç)

("1l

~

'"~

2

("1l

00+-

00+-

'"0''"" '" ~

' - Cl

. a'

i:; '" ~.~

'"

-;:;1:

'" ;:lZ"

Cl

"'"

~~' Cl

;

4~ Cl

'"

r;;.

~

"("1l

'" t-
zoom: 1.40 l4.2! 1-5701-9001-36.0] [-1 EGM96

N; 36.0 E

Géostationnaire Latit. max. atteinte = 81.3

0

MC

E

tel

(J
=

w'

>=

ro 'd

P.-

2 ro

0
Durée représentée; 2880.0 min = 2.00 jours

Centre Project.: 13.0' N; 77.5 'E Aspect: Oblique,. zoom: 3.30

Proj. : Stéréographique

Propriété: Conforme EIl T.;Azimutal- Grille ; 10'

15.31 [-90.0/ +770/ +125][-[

Oceansat-2

Noeud asc:

-31.81' [00:00 TSM]

EGM96

a = 7098.103 km


30

VUE LOCALE

Début -- Fin Heure TUC h> 5 h max

30

pour la station:

Bangalore Longitude

77.5 E

LMD

ATÀ<X,


= [14; +1; 2] 29

13.0 N

*

Incl. HELIOSYNCHRONE = 98.29'


Latitude

nLGJV

MC

Altitude = 720.0 km


a = 7098.103 km

Incl. HELIOSYNCHRONE = 98.29'

60

h=24 h~19

h=86 h~81

90

h=23

VISIBILITE DU SATELLITE

h=20

06:07:25 06:17:35

07:45:38 07:55:08

18:38:04 18:49:47 06:55:40 07:07:22 17:50:03

18:00:02 19:28:06 19:37:49

120

Projection (Mode) : stéréographique Cercle: Angle zénithal vue satellite [0' , +90'] Rayon : Azimut par rapport au Nord

150

Noeud asc:

-31.81' [00:00 TSM]

nLGJV

MC

*

LMD

13.3 : Trace du satellite Oceansat-2, pendant 2 jours (son cycle de phasage). (a) Carte de la trace et cercle de visibilité centré sur Bangalore,- (b) Diagramme de vue locale pour Bangalore.

FIG.

13.1. Direction cible-satellite

557

Molnya-3-51 (MonHH5I) Trace de l'orbite elliptique

Altit. équivaL = 20173.6 km

a=26551.711 km

Incl in. CRITIQUE = 64.11 °

e = 0.699680

Phasage


= [ 2; +0; 1] 2

201006 13 10:24: 13 TUC »> 1440.0 min = 1.00 jour 30

VUE LOCALE pour la station:

h_a = 38768 km; h_p = 1613 km ; arg. périgée: +262.39 ° 30

h max

Début -- Fin Heure TUC h > 20 11:11:07 20:31:34

Moscou Latitude

55.8 N

Longitude

37.7 E

00:56:03 07:36:32

90


120

Projection (Mode) : stéréographique

120

150

Cercle: Angle zénithal vue satellite [0° , +90°] Rayon : Azimut par rapport au Nord

150

[NORAD] 201 0 06 13 10:24:13 TUC 1R: 6520 Noeud asc: 104.27 ° [17:21 TSM] Apogée -82.69 °

nL(,))/

MC

Sirius-3 Trace de l'orbite elliptique

Altit. équivaL = 35783.0 km

a =42161.105 km

Incl in. CRITIQUE = 63.84 °

e = 0.267764

Phasage

Période = 1435.92 min • RévoL/j.= 1.00

= [1; +0; 1] 1

201006 09 11 :00:00 TUC »> 1440.0 min = 1.00 jour 30

VUE LOCALE pour la station:

Longitude

LMD

h_a = 47089 km ; h_p =24511 km ; arg. périgée: +270.13 ° 30

h max

Début -- Fin Heure TUC h > 20 11:33:54

04:57:01

60

Denver Latitude

*

39.8 N 105.0 W

~o

90

90


120

Projection (Mode) : stéréographique

150

Cercle: Angle zénithal vue satellite [0° , +90°] Rayon : Azimut par rapport au Nord

150

[NORAD] 201 0 06 09 12:01 :08 TUC 1R: 3489 Noeud asc: -65.89 ° [07:38 TSM] Apogée -96.01 °

nL(,))/

MC

*

LMD

FIG. 13.4 : Diagramme de vue locale pour deux satellites HEO de communication, pendant 1 jour. (a) Satellite en orbite Molnya, Molnya-3-51, pour Moscou, Russie;

(b) Satellite en orbite Tundra, Sirius-3, pour Denver, États- Unis.

558

Chapitre 13. Échantillonnage spatio-temporel et angulaire

Le satellite passe à la verticale du lieu d'observation

Considérons le cas où le satellite 5 passe à la verticale de P, point à la surface de la Terre. L'orbite de 5, dont le plan contient P, est schématisée (figure 13.5(a)). Le satellite 5 est vu de P tant qu'il est au-dessus de l'horizon local de P, représenté par la droite 5 1 P5 2 , donc sur l'arc de cercle 5 1 A52 . L'angle ex = (OP, 05I) se calcule immédiatement (la distance relative est notée ri) :

R R 1 cos ex = - - = - = R+h a TI

(13.10)

La période du satellite est prise égale à T o, période képlérienne. La durée de visibilité, notée e, est donc: ex 7r

e= - T o

(13.11)

Pour tenir compte des conditions d'observation, on peut fixer un angle ( maximal de visée. L'angle au centre de la Terre ex s'exprime comme une fonction de ( et de la distance relative ri, voir relation (12.12), notée ici ex( () : ex( () = ( - arcsin

(~

sin ( )

(13.12)

On vérifie que ex(7r/2) = arccos(l/f)). Avec un angle limite noté (l, la durée de visiblité est donc:

e=

ex((z) T o 7r

(13.13)

Le satellite ne passe pas à la verticale du lieu d'observation

Lorsque 5 passe dans le ciel de P, l'angle zénithal de visée passe par un minimum, noté (v, qui était nul dans le cas ci-dessus. Sur le plan horizontal, tangent en P à la sphère terrestre de rayon R, la distance entre P et le point le plus proche de la trace est:

Le rayon du cercle de visibilité, compte tenu de (l, est donné par: dl = R tanex((l)

La durée de visibilité est proportionnelle à la longueur des traces à l'intérieur du cercle de visibilité (puisque la vitesse du satellite est uniforme), les traces étant considérées comme rectilignes sur cet intervalle.


559

EDœ s

12,

A'-

E._. ___ ._._._. ____ .___ .____ ._. __ ._____ .____

A

13.5 : Représentation schématique de la Terre et de la trajectoire de satellites. La Terre et les orbites représentées sont à la même échelle. (a) Orbite circulaire: exemple d'orbites (LEO, h = 800, 1400 et 2000 km) puis orbite (h = R) avec indication des points utilisés dans le texte. (b) Orbite HEO (période T é:::: 24 heures, e = 0.75) avec indication des points utilisés. FIG.

On note 8((1, (v) la durée 8 comme une fonction des deux variables (1 et (v par l'intermédiaire de al = a( (1) et av = a( (v). Avec les angles ((l, (v) notés dans cet ordre, on obtient: 8((1, (v) 8( (1,0)

Il est évident que nécessairement la condition (v < (1 est respectée. La durée de visibilité pour les satellites LEO circulaires est donc, de manière générale: (13.14) Exemple 13.5 Calcul de la durée de visibilité pour trois familles de satellites LEO, la constellation Transit, les satellites SPOT et les satellites Oceansat.

560 ~


Dans chaque exemple, nous avons considéré un angle limite de visibilité différent.

(a) Transit

Tous les satellites de la constellation Transit (premier système de géolocalisation par satellite) sont sur une orbite circulaire, strictement polaire, à une altitude d'environ h = 1 100 km, d'où on tire TJ = 1.1725, '1'0 = 107.4 min. En fixant une hauteur de visée supérieure à 10°, soit (1 = 80°, on obtient avec (13.12) puis (13.13) : a((l) = a(80) = 80 - arcsin(0.9848/1.1725) = 80 - 57.13 = 22.87° 8 = 8(80,0) = (22.87/180) 107.4 = 13.6 min. (b) SPOT Pour SPOT-5, et tous les satellites SPOT, on a: h = 822 km, TJ = 1.1289, '1'0 = 101.4 min. On en déduit, pour une visée jusqu'à l'horizon, (1 = 90° : a = arccos(1/1.1289) = 27.6° 8 = 8(90,0) = (27.6/180) 101.4 = 15.56 min soit 15:34. (c) Oceansat Pour Oceansat-1 et -2, on a: h = 720 km, TJ = 1.1129, T o = 99.3 min. On en déduit, pour une visée jusqu'à l'horizon: a = arccos(1/1.1129) = 26.03° 8(90,0) = (26.03/180) 99.3 = 14.36 min. Avec les satellites Oceansat, on se place dans les conditions décrites sur le diagramme, voir figure 13.3 et le tableau 13.1. L'angle zénithal de vue limite est (1 = 85° (noté h > 5° sur le diagramme). Donc: a((l) = 85.00 - 63.53 = 21.47° 8(85,0) = (21.47/180) 99.3 = 11.84 min Examinons les cas des traces notées 3 et 6 sur le diagramme. - Trace 3; h = 86° ou (v = 4°. Le satellite est presque à la verticale du point d'observation. a((l) = 0.406° En appliquant (13.14) avec cette valeur : 8(85,4) = VI - 0.018 2 8(85,0) = 0.9998 8(85,0) "::' 8(85,0) = 11.84 min soit 11:50 à comparer avec 11:43 pour la valeur exacte. - Trace 6; h = 20° ou (v = 70°. Le satellite est assez bas sur l'horizon. a( (1) = 12.396° 8(85,70) = Vc:;-1----o0:-:.5=58=9=2 8(85,0) = 0.8293 8(85,0) = 0.8293 x 11.84 = 9.83 min soit 9:49 à comparer avec 9:43 pour la valeur exacte. La formule approchée (13.14) donne des résultats très convenables .....

13.1.5

Durée de visibilité - satellites RED

Pour l'étude d'une orbite elliptique très excentrée, d'excentricité e, type HEO, on se place dans le cas le plus favorable: le point considéré P est le point subsatellite lorsque le satellite passe par l'apogée A, comme schématisé à la figure 13.5(b).

561


Molnya (MOlIHH5I) Trace de l'orbite elliptique

Altit équival. = 20175.5 km

a =26553.629 km


e = 0.7360

0


Phasage = [2; +0; 1] 2 »> Durée représentée: 1440.0 min

=


1.00 jour

0


Marque du temps

Projection: Stéréographique

Centre C. (dr.): 90.0


Aspect: Polaire

Longitude premier passage: N. asc.: 72.94

Type: Azimutal

[ +0.01 +0.01 +10.0]

Apogée

0

N; 0.0

0

0

80.00

niGJV

MC

*

Supertundra Trace de l'orbite elliptique

AIlit équival. = 35785.1 km

a =42163.191 km


e = 0.4230

Phasage = [ 1; +0; 1] 1


0



Marque du temps


Projection: Stéréographique

Centre C. (dr.): 90.0

Propriété: Conforme Type: Azimutal

Aspect: Polaire

0

N; 0.0

[ +0.01 +0.01 +10.0]

0


N. asc. : -53.02 0 Apogée: -100.00

LMD

ATÀaç

0

niGJV

MC 0

0

*

LMD

ATÀaç

FIG. 13.6 : Trace pour deux satellites HEO de communication, pendant 1 jour. Notation sur la trace de la position du satellite toutes les heures. (a) Satellite en orbite Molnya (2 rev.jj.); (b) Satellite en orbite Tundra, comme Sirius (1 rev.jj.).

562


Le satellite S est vu par P tant qu'il est sur l'arc d'ellipse SIAS2 . Vu les approximations faites, on peut remplacer l'horizon local SlPS2 par la parallèle B I OB 2 qui passe par le centre de la Terre, O. On évalue ainsi la durée de visibilité par le temps que met le satellite S à parcourir l'arc d'ellipse BIAB2. À un instant donné, la position de S est repérée à partir du périgée A' par l'anomalie vraie, v = (OA', OS). L'anomalie moyenne JI.;[ du point BI se

calcule par (4.59) avec v =

Ir /2.

On obtient:

M(B I ) = 2 arctan

-e -- ~ l+e

~ ev 1 - e 2

(13.15)

On en déduit la durée de visibilité en fonction de la période : (13.16)

Exemple 13.6 Calcul de la durée de visibilité pour les orbites Molnya, Tundm et Supertundm. ~

On examine les trois principaux type d'orbite HEO.

(a) Molnya

Pour un satellite HEO de type Molnya, on a e = 0.736 et '1'0 = 718 min. On obtient, par (13.15) et (13.16) : M(B l ) = 0.7437 - 0.4983 = 0.2454 rad = 14.1° (1 - 14.1/180) = 0.92 Durant une révolution, le satellite passe donc 92% du temps pour aller de Bl à B 2 par A (et 8% pour aller de B 2 à Bl par AI), ce qui correspond à = 11 heures pour une période de 12 heures. Si on impose un angle de vue zénithal minimal ( ~ 70° et si P n'est pas exactement au point subsatellite de A, on obtient une durée de visibilité de 8 heures environ. Cette propriété est illustrée ici par la figure 13.6(a) et au chapitre 9 par la figure 9.17. (b) Supertundra Pour un satellite HEO de type Supertundra, on a e = 0.423 et '1'0 = 1436 min. On obtient: M(Bl) = 1.1340 - 0.3832 = 0.7508 rad = 43.0° (1 - 43.0/180) = 0.76 ce qui représente une durée de visibilité de 18 heures sur une période de 24 heures. En imposant les conditions restrictives vu ci-dessus, on dépasse cependant une durée de 12 heures. (c) Tundra Pour un satellite HEO de type Thndra, comme Sirius-1 à -3, on a e = 0.268 et, comme pour Supertundra, T o = 1436 min. On obtient: M(B l ) = 1.2995 - 0.2582 = 1.0413 rad = 59.7° (1 - 59.7/180) = 0.67 ce qui représente une durée de visibilité de 16 heures sur une période de 24 heures, comme le montre la figure 13.6(b) .....

e

13.2. Direction cible-Soleil

13.2 13.2.1

563

Direction cible-Soleil Étude de la direction de visée du Soleil

Pour un point quelconque P à la surface de la Terre, de coordonnées

1/;, nous avons déjà défini le plan horizontal local, H.

À

et

Dans cette partie, les grandeurs indicées par [s] se rapportent à la direction du Soleil. Nous calculons ici les coordonnées sphériques XS et (s de la direction PS s , Ss représentant la position du Soleil. Pour cela, nous considérons la sphère céleste de centre 0, relative au point considéré, représentée à la figure 13.7. La direction du zénith est OZ, normale au plan horizontal H représenté par le cercle d'horizon du lieu. La direction du pôle Nord céleste est ON, normale au plan équatorial E représenté par l'équateur céleste. Le demi-grand cercle passant par N et Z est le méridien géographique du lieu, M; c'est le plan de la figure 13.7. L'angle entre les deux demi-droites OZ et ON, ou l'angle dièdre (H, E), est égal à la colatitude du lieu (angle complémentaire de la latitude .1jJ) : 'if

(OZ, ON) ="2-1jJ

(13.17)

Considérons une direction quelconque 0]1;[. Le demi-grand cercle passant par Z et ]1;[ est le vertical de ]1;[. Le demi-grand cercle passant par N et ]1;[ est le méridien céleste de ]1;[. Pour l'étude de la direction du Soleil, on considère que ]1;[ représente l'intersection de OSs avec la sphère céleste. Cette direction ON! peut être repérée par rapport à E, en coordonnées équatoriales célestes, par l'ascension droite Ct (ou l'angle horaire H) et la déclinaison 5. Par rapport à H, en coordonnées horizontales locales, elle est repérée par l'azimut Xs et l'angle zénithal (s' Nous allons exprimer les coordonnées horizontales en fonction de l'heure (par H), de la date (par 5) et de la position géographique du point P (par VJ). Dans le triangle sphérique NZ]I;[ nous avons, pour les côtés: ~

'if

NZ=--1/; 2

~

N!vI

Z!vI =(s

=

'if

-

2

-

5

et pour les angles (l'angle N[, appelé angle à l'astre, n'est pas utilisé ici) Z =

'if -

Xs

!vI

Pour les angles d'azimut, l'origine est prise lorsque le point ]1;[ est dans le plan méridien M. L'azimut Xs, comme X, est compté par rapport à la direction du nord. On exprime les coordonnées horizontales en fonction des coordonnées équatoriales et de la latitude sous la forme (xs, (s) = f (H, 5; VJ) par les rela-

564


13.7 : Représentation de la sphère céleste relative au point considéré sur Terre. L'axe OZ est le vertical du lieu, normal au plan horizontallocalH; l'axe ON est l'axe polaire céleste, normal au plan équatorial céleste E. La demi-droite OIvI représente une direction quelconque issue du point considéré.

FIG.

tions : cos(s

sin (s . sin XS sin (s . cos Xs

sin·1jJ . sin 5 + cos 1jJ . cos 5 . cos H cos5 . sinH

- cosljJ . sin 5 + sinljJ . cos 5 . cos H

(13.18) (13.19) (13.20)

On peut se rapporter, en fin de chapitre 6, à l'annexe Trigonométrie sphérique, où le triangle ABC est ici le triangle N Z JI.;[. Les trois relations ci-dessus sont les relations fondamentales de trigonométrie sphérique, dite relations de Gauss. La relation (13.18) fournit (s, angle de l'intervalle [0,7f/2]. Sa valeur, reportée dans (13.19) ou (13.20), permet d'obtenir la valeur absolue de l'azimut Xs, dans [0,7f]. La valeur de Xs, dans ]-7f,7f] est déterminée d'après le signe de H : XS et H sont de même signe (négatif le matin, positif l'après-midi, la valeur H = 0 correspondant à midi). La relation (13.19) ou (13.20) permet d'obtenir (s dans l'intervalle complet [-7f /2, +7f /2] : on détermine ainsi s'il fait jour (Soleil soit au-dessus de l'horizon local, avec (s ~ 0) ou nuit (Soleil au-dessous avec (s ::::; 0).

13.2. Direction cible-Soleil

Cs'

565

Dans certains cas, on préfère utiliser la hauteur solaire, hs, à la place de Ces deux angles sont complémentaires.

Exemple 13.7 Calcul de la position du Soleil, le 10 juillet 1998, à 06:30 TU, à la base de Baikonour (Kazakhstan).

~ Nous avons calculé, dans l'exemple 7.4, que l'instant 06:30 TU correspondait, pour ce jour, avec 10:58 TSV. C'est bien entendu le temps solaire vrai qu'il faut utiliser ici. On a donc pour l'angle horaire: H = 10 h 58 min - 12 h 00 min = - 1 h 02 min, soit H = -62/4 = -15.5". Pour les autres grandeurs: o(J = 10 juillet) = 22.3°; cp = 45°38'N d'où 1/) = 45.5". La relation (13.18) donne: cos(s = 0.8947 d'où (s = 26.5", soit une hauteur solaire hs = 63.5". Pour l'azimut, avec (13.20), on obtient cos XS = 0.8329, et puisque H est négatif, XS = -33.6°. La demi-droite P Ss est donc orientée vers l'est (nous sommes avant midi TSV) ....

13.2.2

Lever et coucher du Soleil, midi TSV

Lever et coucher du Soleil La valeur de l'obliquité é permet de définir sur la Terre des cercles (petits cercles, dits parallèles) à des latitudes remarquables: les cercles polaires (arctique: .1jJ = 90° - é = 66°34'N ; antarctique: 1jJ = 66°34'S) et les tropiques (du Cancer :1jJ = é = 23°26'N ; du Capricorne: 1jJ = 23°26'S). Entre les tropiques, le Soleil passe au zénith à midi, pour les deux jours de l'année où la déclinaison est égale à la latitude. Avec 5 = 1jJ et H = 0, la relation (13.18) donne dans ce cas cos Cs = 1 d'où Cs = 0 ou hs = 90°. Au-delà des cercles polaires, on rencontre des jours où le Soleil ne se lève pas, d'autres où il ne se couche pas. Pour étudier le lever et coucher du Soleil dans le cas général, on écrit la relation (13.18) sous la forme: cos Cs avec:

=

sinhs

T

=

cos5· cosljJ· (cosH - T)

= -

(13.21 )

tan 5 . tan 1jJ

On traite immédiatement le cas des pôles, pour lesquels la relation (13.18) montre que, pour tout H, on a : hs = 5. Ce cas étant écarté, on voit que la résolution de (sin hs = 0) est équivalente à celle de (cos H = T). On considère deux cas, selon que ITI soit supérieur ou inférieur à l. (a) Cas ITI > 1 Si ITI > 1, soit IIjJI + 151 > 90°, la quantité (sin hs) ne peut être nulle, quel que soit H. On ne peut parler ni de lever ni de coucher dans ce cas. - si T est négatif: T < -1, soit 11/) + 51 > 90° sin hs > 0

~

hs

>0

566


Le Soleil est toute la journée au-dessus de l'horizon: jour polaire. - si T est positif: T> +1, soit l?/i - 51 < 90" sin hs < 0

hs

~

7T

Dans les études liées au rayonnement, lorsqu'on parle d'azimut relatif sans plus de précision, il s'agit de cP B, noté cP. Angle de diffusion On appelle angle de diffusion l'angle formé par deux directions, ici PB et PB8 • Cet angle, noté " varie dans l'intervalle [0,7T]. On obtient sa valeur comme pour ex avec (13.2). Avec les notations vues ci-dessus: cos,

13.3.2

= cos 80 . cos 8 - sin 80 . sin 8 . cos cP

(13.22)

Réflexion spéculaire (Sun glint)

On parle de réflexion spéculaire 2 lorsque les rayons lumineux solaires, après réflexion sur une surface, aboutissent directement dans le détecteur à bord du satellite. Cette réflexion spéculaire, souvent désignée par son terme anglais sun glint, peut causer des dommages irréversibles aux instruments. Même si ce n'est pas le cas, l'absence de prise en compte de ce phénomène peut fausser grandement les mesures radiométriques. Le sun glint se produit lorsque la surface réfléchissante est une surface liquide, comme la mer, ou même un lac ou une zone humide. La « tache» du sun glint donne une idée de l'état de la surface: de mer calme (avec une tache étroite et une réflexion forte) à mer agitée (tache large, réflexion plus diffuse). On peut ainsi détecter, comme le montrent les figures 13.9 et 17.11, les zones polluées par des nappes de pétrole. Calcul des conditions de réflexion spéculaire La réflexion se produit strictement lorsque: - les directions PB et PB8 sont dans le même plan, de part et d'autre de la normale à P : X - Xs = 7T [27T] soit cP = 0; - les angles d'incidence sont égaux: 1(1 = (8 soit 8 = 80 . On appelle PB '8 le rayon solaire réfléchi. Sa direction est donnée par les angles, zénithal (s et azimutal XS + 7T. Notons par " l'angle entre PB's et PB. On l'obtient sa valeur par un calcul similaire à celui de , : cos,' = cos 80 . cos 8 + sin 80 . sin 8 . cos cP

(13.23)

2Cet adjectif vient du latin specularis, adjectif établi sur speculum, « le miroir». Ce mot est lui-même dérivé du verbe specere, «regarder» (spectacle), qui se rattache à la racine indoeuropéenne *spek, « observer».

13.3. Géométrie Soleil-cible-satellite

Aqua/ MODIS Trace de l'orbite - Réft. Spéc. [ Cone D.-ouv.: 8.0'] 20100711 21 :00:00 TUC »> 1440.0 min = 1.00 jour QI

02

Proj. : Snyder-TraSatRecti/30' Propriété: (sans) [L.géoc] EIl T.:Cylindrique - Golle : 10'

00

(W

as

D6

Altitude = 699.5 km

a = 7077.668 km

Incl. HELIOS. = 98.19 '

e = 0.000188


Trace des fauchées orthogonales (mode XT) 00

569

.. Demi-fauchée: 55.2' [2.5]- Au sol: 1165.0 km [ 0.50 min] 07

08

09

1D

Il

12

CP: 0.0' ; 0.0' ICZ 24.0' N; 86.0' W Aspect: Direct> zoom : 5.00 15.3][ +90.01 +0.01·90.011-1 EGM96

13

1.-

15

16

17

18

19

20

21

22

23

2"

Noeud asc: 127.76' [13:36 TSM] [NORAD] Révolution: 43541 [NORAD] 2010 071105:05:24 TUC

MC

n

*

ir.J)/

LMD

ATÀa:Ç

FIG. 13.9 : Représentation de la réflexion spéculaire. (a) Image prise par l'instrument MODIS à bord du satellite Aqua, le 12 juillet 2010. Golfe du Mexique. La réflexion spéculaire du Soleil est modifiée par la présence de nappes de pétrole. Document : NASA/GSFC/MODIS. (b) Trace du satellite Aqua, avec simulation de la réflexion spéculaire, pour MODIS. Initialisation du logiciel Ixion avec les éléments NORAD actualisés. Voir aussi figure 17.11.

570


On fixe un angle ainsi la condition:

,'< ,b

,b

qui sera considéré comme la limite de l'effet. On a réflexion spéculaire possible

Les deux rayons PB et PB's se trouvent alors à l'intérieur d'un cône de demi-ouverture bb/2). Pour donner un ordre de grandeur, l'angle ,b prend généralement des valeurs comprises entre entre 12° et 20°, selon les cas. Exemple 13.8 Exemple de réflexion spéculaire détectée par l'instrument MODIS à bord du satellite Aqua. ~ L'instrument MODIS (Moderate Resolution Imaging Spectroradiometer) est un imageur multispectral, avec un pixel de l'ordre de 500 mètres au nadir. Il a une fauchée suffisamment large (jM = 55.2°, soit au sol 2FM = 2 330 km) pour observer tout point de la Terre tous les jours ou tous les deux jours (Q E = 0.847). Il a été placé par la NASA à bord de ses satellites EOS, Terra et Aqua, pour une surveillance de l'environnement. Le 20 avril 2010, l'explosion de la plateforme pétrolière Deepwater Horizon, dans le Golfe du Mexique, a entraîné pendant plusieurs mois une fuite d'hydrocarbures qui est à l'origine de la plus importante catastrophe pétrolière ayant touché les États-Unis. La figure 13.9(a) est une image de cette région, prise le 12 juillet 2010 par Aqua/MODIS. On distingue, en haut de l'image, le delta du Mississipi et, au centre, la baie de Mobile, puis à droite, la côte de Floride. Cette image est un bel exemple de sun glint. De plus, ici, le pétrole huileux rend la surface de l'eau plus lisse et renforce la réflexion spéculaire. La figure 13.9(b) représente la trace du satellite Aqua, centrée sur cette région, pour la même journée. On a noté les lieux de réflexion spéculaire potentielle (la réflexion ne peut avoir lieu que sur mer) qui montrent bien que le phénomène est très important sur le golfe du Mexique. La figure 17.11 est obtenue par la superposition des deux images. Intéressons-nous à l'aspect géométrique du phénomène. Le Tableau 13.2 donne tous les angles de la géométrie Soleil-cible-satellite du 10 au 12 juillet 2010, la cible étant située au centre du sun glint, pixel de coordonnées 30 0 N et 90 0 W (ce qui correspond à New Orleans, à l'embouchure du Mississipi). Le Tableau étant établi pour l'instrument CERES, on ne tiendra pas compte des fauchées f> 55.2° pour MODIS. Le 12 juillet, pour le passage n = 37, à 13:08 TSM, les angles zénitaux sont pratiquement égaux (( = 19° et (s = 16°) tandis que l'azimut relatif est petit (rPA = 14°). La relation (13.23) donne i' = 5°, ce qui implique qu'il y a réflexion spéculaire, la condition de limite angulaire étant ici i' < 16° (cône de demi-ouverture de 8°). Un peu plus loin, la figure 13.10 indique tous les cas de réflexion spéculaire dans le mois de juillet 2010, pour New Orleans, avec Aqua/MODIS, à savoir les 3, 12, 19 et 28 juillet, peu après 13 heures TSM. Avec Terra/MODIS, pour le même lieu, voir figure 13.11, le même phénomène se produit pareillement, les 2, 9, 18 et 25 juillet, autour de 11 heures TSM .....

13.4. Étude illustrée de l'échantillonnage

13.4 13.4.1

571

Étude illustrée de l'échantillonnage Tableaux mensuels d'échantillonnage

Les tableaux mensuels d'échantillonnage permettent de visualiser, pour un point quelconque de la Terre, toutes les occurrences de passage pour un satellite donné, muni d'un instrument à la fauchée définie. Ces tableaux sont d'un grand intérêt, tant pour la préparation des missions que lors de l'exploitation des données transmises par le satellite. Nous donnons ci-dessous quelques exemples. Exemple 13.9 Tableaux mensuels d'échantillonnage relatifs à un instrument à fauchée large, à bord des satellites Terra et Aqua, héliosynchrones, pour un point de latitude 30°N.

~ L'instrument CERES est à balayage orthogonal. Il a une demi-fauchée hvI = 61.8° telle que (M = 78.0°. La fraction de recouvrement est Q E = 1.35 lorsque l'instrument est à bord d'un satellite sur l'orbite de type Terra.

Ca) AquajCERES Pour le satellite Aqua, nous avons considéré l'initialisation suivante (document NORAD) : 2010 07 12 20:38:35.423 TU, ÀN A = 254.4648° (TN A = 13:36 TSM) Nous établissons l'échantillonnage pour le point P, de coordonnées 30.0 0 N et 90.0 0 W (New Orleans), afin de retrouver les conditions de sun glint vues ci-dessus. Le tableau mensuel est établi pour le mois de juillet, depuis J = 1 (correspondant à la date 2010 07 01) jusqu'à J = 31. On calcule, pour chaque passage, l'instant de passage (TU puis TSM) et les angles de la géométrie satellite-cible-Soleil. Les résultats pour quelques passages consécutifs sont notés dans le tableau 13.2. Les valeurs pour tout le mois (31 jours, quel que soit le mois) sont représentées, en figure 13.10, dans le «tableau mensuel d'échantillonnage ». Dans ce tableau, les heures TSM, de 0 à 24, sont notées en abscisses, les jours, de 1 à 31, sont notés en ordonnées. Chaque point (triangle avec pointe vers le haut ou le bas) correspond à un passage, les traits (long ou court) se rapportent à la direction cible-satellite, les petits cercles (blancs ou noirs) à la direction cible-Soleil. Une ligne (tiret pointillés) marque l'heure de lever et de coucher du Soleil, ainsi que le midi TSV. On note, pour cette latitude, qu'il y a pratiquement trois passages par jour (97 passages en 31 jours), dont un ou deux pendant le jour (entre 12 et 14 heures TSM) et deux ou un pendant la nuit (entre 1 et 3 heures), alternativement. On voit apparaître clairement le cycle de phasage CTo = 16 jours: on retrouve, pour les jours Jet J + 16, les mêmes valeurs de ( et X, et de plus, comme le satellite est héliosynchrone, les mêmes valeurs pour l'instant TSM. Le phénomène de réflexion spéculaire hl < 16°) apparaît le 3 et le 19 (= 3 + 16) ainsi que le 12 et le 28 (= 12 + 16). Le sun glint du 12 juillet est celui qui est décrit un peu plus haut, voir l'exemple 13.8 et figures 13.9 et 17.11.

572


n

J

TSM

f

(

X

29 30 31 32 33 34 35 36 37

10 10 10 11 11 11 11 12 12

00:42 02:21 13:20 01:26 03:03 12:25 14:03 02:08 13:08

-61.6 +39.2 -6.7 -44.8 +60.3 +56.0 -54.3 +23.4 +17.3

-77 +45 -8 -51 +75 +67 -64 +26 +19

-90 +77 +99 -96 +72 -74 +94 +79 -79

86 87

28 28

02:08 13:08

+23.4 +17.3

+26 +19

+79 -79

(s

Xs

rPA

1

1

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

19

11

26

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

74 37

60 92

-

-

-

14

35

9 28 -

16 -

18

110 148 99 -

115 -

124

191

,

42 185

-

-

23

36

5 -

7

13.2 : Angles de la géométrie satellite-cible-Soleil dans le cas d'une fauchée orthogonale. Lieu considéré: New Orleans, 30.0° N, 90.0° W. Satellite Aqua, Instrument GERES: fM = 61.8", (M = 78.0". Initialisation: Date 2010 071220:38:35 TU. Tableau pour le mois de juillet 2010. Numéro de passage dans le mois: n; jour du mois: J; instant de passage: TSM; angles f, (, X, (s, Xs, rPA'1 et l' définis dans le texte, en degrés. Gondition de «sun glint »: l' < 16". (condition réalisée pour J = 12 et J = 28 dans ce tableau). L'absence de valeur, notée (-), indique que le passage a lieu de nuit. Les valeurs de ce tableau se retrouvent sur la figure 13.10. Nombre total de passages dans le mois: 97. La comparaison des données du 12 et du 28 juillet met en évidence le cycle de phasage de 16 jours.

TABLEAU

(b) Terra/GERES Pour le satellite Terra, sur la même orbite que Aqua, nous avons utilisé une initialisation NORAD contemporaine. On calcule l'échantillonnage avec un instrument CERES identique à celui à bord de Aqua (balayage orthogonal). Le tableau mensuel, en figure 13.11, pour ce même point P, de coordonnées 30.0 o N et 90.0 o W, montre un échantillonnage qu'on peut qualifier de « symétrique» par rapport à celui de Aqua. On retrouve trois passages par jour, pendant le jour (entre 10 et 12 heures TSM) et la nuit (entre 21 et 23 heures), alternativement. (c) Nombre moyen de passages Pour un méridien donné, on trace, en figure 13.12, le nombre moyen N(1jJ,h'vI) de passages par jour, en fonction de la latitude 1jJ, du pôle Nord au pôle Sud, pour l'instrument CERES à bord de Aqua (ou Terra). Pour la demi-fauchée maximale de cet instrument, hvI = 61.8" (courbe en trait plein), le graphe N(1/) , fM) montre un minimum presque plat autour de l'équateur, puis croît vers les pôles. Au-delà de 1/) = 82", tout point est vu à chaque révolution du satellite. On a tracé, sur la même figure, les graphes N(1jJ, f), en tireté et pointillé, pour f = (3/4)fM, f = (1/2)fM et f = (1/4)fM. On vérifie, avec (12.27), que N(O, fm) = 2 QE = 2.71. ....


573

Exemple 13.10 Mise en évidence de la dissymétrie entre les hémisphères Nord et Sud en ce qui concerne l'heure de passage d'un satellite héliosynchrone. ~ L'instrument Végétation, dit aussi VMI (Vegetation Monitoring Instrument), est un imageur à fauchée orthogonale, fM = 50S. Il est placé à bord du satellite SPOT4, héliosynchrone (TNA = 22:30) et phasé (CTo = 26 jours). Nous présentons, avec la figure 13.13, un tableau mensuel pour lequel les jours du mois sont en abscisses, les latitudes en ordonnées. On considère une tranche horaire, et on note, par des triangles, les instants de passage, et par des traits, les angles (. La tranche horaire choisie a une durée de 2.5 heures, de part et d'autre de midi. Elle représente la période la plus favorable à la prise d'image. On comprend clairement comment l'hémisphère Nord est privilégié par rapport à l'hémisphère Sud, ce qui résulte du choix de TN A (voir à ce propos la figure 10.6 et les explications sur les préférences pour TN A). Le cycle de phasage de 26 jours apparaît nettement, ainsi que le sous-cycle de 5 jours .....

Exemple 13.11 Tableaux mensuels d'échantillonnage relatifs à un instrument à fauchée intermédiaire à bord d'un satellite quasi polaire (MetOp-A), pour des lieux de diverses latitudes. ~ L'instrument IASI (Interféromètre atmosphérique de sondage infrarouge) est un interféromètre de Michelson mesurant la distribution spectrale des radiations atmosphériques. Sa fauchée orthogonale a une amplitude qu'on peut qualifier d'intermédiaire (entre large et étroite), avec fM = 48.3°, d'où (M = 57.4° et QE = 0.73. Il vole actuellement à bord de MetOp-A et est prévu à bord des deux MetOp suivants. Le satellite MetOp-A est héliosynchrone (TNA = 21:30) et phasé (CT" = 29 jours). On a considéré l'initialisation (document NORAD) ÀN A = 54.9266° à 17:48:23.217 TU (d'où TNA = 21:28 TSM). On établit les tableaux mensuels d'échantillonnage pour le méridien ÀN A. a) Sur l'équateur (figure 13.14), on compte, pour cet instrument, un passage et demi par jour (44 passages en 31 jours) : N(O,!J'vI) = 2QE = 1.46 Le passage du satellite au zénith, pour J = 1 (initialisation) se retrouve au jour J = 30, montrant bien le cycle de 29 jours. Le sous-cycle de phasage sur 5 jours apparaît clairement. b) Pour les latitudes élevées, comme 1/J = 70° (figure 13.15), on note un peu moins de 6 passages quotidiens (162 passages en 31 jours) en deux « paquets» de 3 passages consécutifs chacun .....

Exemple 13.12 Tableaux mensuels d'échantillonnage relatifs à un instrument à fauchée intermédiaire à bord d'un satellite à faible inclinaison (MeghaTropiques), pour deux mois consécutifs.

Cycle 1 Soleil: infini (HELIOSYN.)

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4

INITIALISATION

TSM 0

18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

17

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

5

1

1

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Cycle 1 Phasage = 16jours [15; -7; 16]233

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90°, le nombre de passage n'est jamais nul. Nous illustrons ces relations avec deux cas d'orbites différentes, dans l'exemple suivant. Exemple 13.13 Étude du nombre moyen de passages pour deux orbites circulaires LEO, d'altitude h = 600 km et h = 800 km. ~ Les instruments sont choisis différemment pour chaque satellite : fauchée moyenne pour le plus bas, fauchée large pour le plus haut. a) h = 600 km; angle zénithal de vue: (M = 50°. Pour ce satellite, LI = 14.87. Instrument: hvi = 44.8°, aM = 5.6°. Le graphe des valeurs de Ni (?j;, fAd, notée sur la figure 13.19(a), montre un maximum plat pour i = 0° et i = 90°. Pour les inclinaisons entre 10° et 80° , le maximum correspond à ?j;1. Les courbes pour les inclinaisons supérieures à 90° n'ont pas été notées par souci de clarté. Chacune d'elle est pratiquement identique à celle qui correspond à l'inclinaison d'angle supplémentaire, avec des valeurs de Ni très légèrement supérieures. Application pour i = 70°. On obtient 1/)1 = 70 - 5.6 "::' 64° et ?j;v = 70 + 5.6 "::' 76°, ce qu'on vérifie sur le graphe. b) h = 800 km; angle zénithal de vue: (M = 78°. Pour ce satellite, LI = 14.26. Instrument: hvi = 60.4°, aM = 17.6°. Le graphe des valeurs de Ni (?j;, !J'vI), notée sur la figure 13.19(b), est du même type que le précédent.


587

Application pour i = 70°. On obtient 1f;1 = 70 - 17.6 c::::: 52° et 1f;v = 70+ 17.6 c::::: 88°. Application pour un satellite héliosynchrone, avec i = 100°. On remplace i par 180 - i dans les calculs de 1/)1 et 1f;v. On obtient 1/)1 = 80 - 17.6 c::::: 62° et 1/)v = 80 + 17.6 c::::: 98°. Puisque le calcul donne une valeur de 1f;v supérieure à 90°, N ne s'annule jamais et 1f;1 marque un maximum intermédiaire .....

Passages en fonction de l'inclinaison de l'orbite - étude théorique

Pour les satellites d'orbite circulaire et d'inclinaison variable définis cidessus, nous avons vu que la fauchée au sol est donnée par 2 FM = 2 R ŒM. Dans un premier temps, nous nous plaçons dans un référentiel galiléen (en d'autres termes, on considère le satellite en mouvement autour d'une Terre immobile). Pendant une journée, cette fauchée va balayer la Terre à la vitesse de la trace du satellite et ainsi couvrir une surface SM (qui tient compte des recouvrements). En notant v le nombre de révolutions par jour, la distance R parcourue par la trace est :

R=27rRv

et la surface SM cherchée est donc : (13.26)

On peut obtenir cette surface SM d'une autre mamere. Le nombre de passages Ni(l/J, fM) est indépendant de la longitude, il se réfère à un méridien donné, quelle que soit sa position sur le globe. En pondérant chaque bande de longitude, de latitude constante et de largueur d1/!, par Ni (1/!, if,;! ), on obtient la surface balayée par intégration sur toute la sphère:

On en déduit la valeur de l'intégrale I : (13.27)

et cette valeur est constante, quelle que soit l'inclinaison i. Dans un second temps, nous considérons le cas réel: la Terre fait un tour dans le sens direct pendant que le satellite fait v révolutions. Le satellite coupe, en moyenne, le méridien de référence (v - cos i) fois, valeur variant entre (v - 1) pour i = 0° et (v + 1) pour i = 180°.

588


La valeur exacte de l'intégrale est donc: (13.28) et cette valeur dépend légèrement de l'inclinaison. Exemple 13.14 Étude du nombre moyen de passages et de la surface totale balayée. ~ Considérons le satellite et l'instrument vus précédemment, dans l'exemple 13.13 : h = 800 km; angle zénithal de vue: CM = 78°. Nous traçons, figure 13.20, les graphes de Ni (1/), hvI) pour diverses inclinaisons, mais en remplaçant l'échelle linéaire des latitudes 7j;, en abscisses, par une échelle en sin 7j;. On pose X = sin 7j; et on intègre NidX :

[1

Jo

N i (7j;,

fAd

dX =

r/2

Jo

N i (7j;,!J'vI) cos7j; d7j; = l

Ainsi, la surface comprise entre la courbe Ni (7j;,!J'vI) et l'axe des abscisses en unités X représente l'intégrale l cherchée, qui a une valeur (pratiquement) constante, donnée par (13.28) .....

our la navigation

~énéral

'Z

;$

du GPS

par la méthode GPS (Global Positioning réalisation requiert en revanche un très haut degré Pratiquement tous les domaines de la physique cilisation de satellites demande : de la position des satellites; à bord de chaque satellite. n signal électromagnétique et l'utilisateur dispose horloge (de qualité moyenne, nous verrons que qu'un signal électromagnétique se déplace, dans lumière c et parcourt donc 30 centimètres en 1 0.3 m

+-----+

1 ns

positionnement dans le cas idéal 4). La relation matricielle (14.7) se transforme ainsi: 5PI 5P2

au a21

al2 a22

al3 a23

5pj

ajl

aj2

aj3

5pn

anl

an2

an3

1 1 1 1 1 1

x

[~n

(14.10)

14.1. Principe général du GPS

593

qu'on peut écrire, avec les notations précédentes:

5R

=

A 5X

Cependant, ici, on ne peut pas obtenir directement 5X car la matrice A n'est pas carrée (le système est surdéterminé: il y a plus d'équations que d'inconnues) . On utilise tA, matrice transposée de A, pour obtenir le résultat (14.11) La solution obtenue est la meilleure approximation, au sens des moindres carrés, de la résolution de (14.10). Avec cette méthode, on considère toutes les équations comme équivalentes. Une méthode plus fine, mieux adaptée, consiste à pondérer chaque équation, en privilégiant les satellites vus avec l'angle de hauteur maximal (le poids est en gros proportionnel au cosinus de l'angle de vue zénithal). La résolution la mieux adaptée à ce genre de problème se fait à l'aide d'algorithmes du type filtre de Kalman. Base de temps

La résolution de (14.10) par (14.11) donne les coordonnées du point P cherché mais aussi 5b, qui permet de connaître le biais d'horloge et de recaler l'horloge du récepteur sur les horloges atomiques des satellites de la constellation. L'utilisateur a ainsi en main une horloge de grande précision. On obtient de la sorte une excellente base de temps, commune à la Terre entière. Mesure de la phase

Sur l'onde porteuse du signal compare la phase du signal reçu par le satellite. Nous n'entrerons améliore grandement la précision

14.1.3

(longueur d'onde de l'ordre de 20 cm), on par le récepteur avec celle du signal émis pas dans les détails de cette technique qui du positionnement (tableau 14.2).

Détermination de la vitesse de l'utilisateur

La position de P étant connue à chaque instant (le signal GPS est envoyé toutes les millisecondes), on pourrait calculer la vitesse instantanée par sa formule de définition ... mais ce n'est pas la méthode retenue, car les incertitudes de position génèrent trop d'imprécision sur la vitesse. On préfère utiliser l'effet Doppler qui fournit des résultats beaucoup plus précis. La vitesse du satellite étant connue, la modification du signal reçu permet d'obtenir, avec précision, la vitesse du récepteur. Il est nécessaire que la position de P soit connue avant d'effectuer ce calcul de vitesse.

594

Chapitre 14. Satellites pour la navigation (GPS)

La vitesse du point P (utilisateur) est notée notée Vi : X U= y Vi = Z

U, celle du satellite Si est

Xi (14.12) Yi Zi Le satellite Si émet un signal de fréquence fOi qui est reçu par P avec la fréquence fRi. L'effet Doppler indique que la variation relative de fréquence est égale au rapport de la vitesse relative (projetée sur la ligne de propagation du signal) par la vitesse de propagation du signal, c'est-à-dire c, la vitesse de la lumière: fOi - fRi Vrel· ei (14.13) c fOi où Vrel = (Vi - U) représente la vitesse relative et ei le vecteur unitaire défini par (14.2). L'horloge du récepteur P subit a priori une dérive, inconnue, entraînant une dérive de la fréquence reçue fRi. On écrit: fRi

=

fi

(1 + ~)

(14.14)

où fi est la fréquence mesurée par le récepteur et (bjc), qui représente la dérivée d'un temps par rapport au temps, est une grandeur sans dimension. On a donc: fOi - fi(l + bjc) c = Vi·ei- U·ei fOi On écrit l'équation en séparant les grandeurs: - à gauche, celles qui sont connues, fi (par mesure), fOi et Vi (communiquées par le satellite Si) ; - à droite, les 4 inconnues, b et les 3 composantes de U. En posant
;x...,.

,-----

+-----

X,,? -..." ;x..,,~ >Ç">< .,x" :>
Durée représentée: 10.00 jours


617

0

0.0

0

14.21[ +00/ +0.0/ +0.0][-] EIGEN-C3

Noeud asc : 0.00 Incl in. app. = 92.01

Il;iWJJ

0 0

MC

*

LMD ATÀaç

FIG. 14.12 : Trace d'un satellite Galileo sur un cycle de phasage (17 révolutions en la jours).

618


14.4

Système Galileo

14.4.1

Une affaire européenne

À la différence des systèmes américain, russe et chinois, le système européen est entièrement aux mains des civils. Le système Galileo a été décidé en 1999, après de nombreuses hésitations (l'Allemagne et l'Italie y étaient très favorables, le Royaume-Uni pensait que c'était une dépense inutile, le GPS américain faisant fort bien l'affaire - et gratuitement !). On pensait, à l'époque, qu'il serait opérationnel en 2008 ... Le financement provient de l'Union européenne (UE) et de l'Agence spatiale européenne (ESA), elle-même financée par les pays de l'UE. Le programme a pris beaucoup de retard, en particulier à cause des tiraillements entre l'Allemagne et l'Italie. Sans entrer dans les détails, qui concernent plus un livre d'économie politique que d'orbitographie, disons que le seul consensus net et rapide fut pour le choix du nom : Galileo. Bel hommage à ce si grand savant, visionnaire et courageux. Le lancement de deux satellites 14 probatoires n'a pas beaucoup accéléré le mouvement.

14.4.2

Les trois segments

Le segment spatial consiste en une constellation de 27 satellites (3 plans de 9 satellites régulièrement espacés). Chaque satellite est muni d'une horloge au rubidium (dérive de 510- 13 s sur 100 secondes) doublée d'un maser à hydrogène (dérive de 10- 14 s sur 3 heures). Le signal comporte trois fréquences: El = 1 575.420 MHz, E6 = 1278.750 MHz, E5 = 1191.795 MHz. L'orbite 15 de Galileo est 3 000 km au-dessus de celle de Navstar, h = 23 222 km, avec pratiquement la même inclinaison, i = 56° (voir tableau 14.1). Le phasage est de 17 révolutions en 10 jours (20 révolutions en 10 jours pour Navstar), d'où une période de 14 h 05 min (voir figure 14.12). Les vitesses de précession sont très faibles et leurs valeurs sont, en degrés par jour : il = -0.026 w = +0.013 .dn = -0.001 14Dates de lancement - GIOVE-A : 28 décembre 2005; GIOVE-B : 27 avril 2008. Ces satellites, placés sur l'orbite Galileo, servent à tester les horloges et le signal émis - et permettent d'occuper administrativement les fréquences auprès des organismes internationaux. D'abord nommés GSTB-v2A et -v2B (Galileo System Test Bed Version 2), ils ont été renommés GIOVE (Galileo In-Orbit Validation Element). Jupiter se dit Giove en italien, et c'est donc une allusion affectueuse à Galilée, découvreur des quatre gros satellites de cette planète. 15Dans un premier temps, un phasage de 5 révolutions en 3 jours avait été choisi. Il correspond à l'orbite notée Galileo [0] dans le tableau 14.1. Cette orbite a été abandonnée car le phasage 5:3 crée des effets de résonance avec le champ de gravité terrestre. Ajoutés à cela, l'effet du Soleil et de la Lune créent des grandes instabilités dans la constellation Galileo.

14.5. Système Compass

619

Le système géodésique de référence est GTRF (Galileo Terrestrial Reference Frame), très proche de WGS84, car les deux systèmes sont accordés avec la référence ITRF (International TRF). Le segment de contrôle est constitué de nombreuses stations sur tout le globe (la présence française à La Réunion, Nouméa, Papeete et Kourou est ici très utile). Les deux stations de contrôle sont Oberpfaffenhofen, en Allemagne (en Bavière, 20 km à l'ouest de Munich) et Fucino, en Italie (dans les Abruzzes, 130 km à l'est de Rome). Pour le segment utilisateur, il est prévu deux régimes - un gratuit (comme le GPS actuel) et un payant. La précision promise pour le service gratuit est tellement remarquable qu'on se demande quelle sera la plus-value avec le service payant!

14.5

Système Compass

Le système chinois Compass (ou CNSS, Compass Navigation Satellite System) est, comme les trois systèmes précédemment exposés, basé sur une constellation de satellites MEO. D'abord connu sous le nom 16 de Beidou-2, il s'appuie sur l'héritage technologique de Beidou-1, première ébauche d'un système de positionnement, basé, lui, sur deux satellites géostationnaires (nous y revenons un peu plus bas).

14.5.1

Les trois segments

La partie MEO du segment spatial, Compass-M (avec M pour MEO), consiste en une constellation 17 de 24 satellites MEO (3 plans de 8 satellites régulièrement espacés). Chaque satellite est muni d'une horloge à rubidium. Le signal est émis selon 3 fréquences: BI (entre 1559 et 1592 MHz), B2 (entre 1166 et 1217 MHz), B3 (entre 1251 et 1286 MHz). 16 Bei Dou est le nom chinois de la constellation Ursa Major, la Grande Ourse. En fait, dans l'astronomie chinoise, les constellations sont au nombre de 28 et ne correspondent pas exactement avec les constellations de l'astronomie occidentale, beaucoup plus nombreuses. Bei signifie «nord» et Dou se dit pour un instrument de mesure de grains (un «boisseau» en français) qui ressemble à une grande louche - ce qui fait penser à l'expression française populaire « grande casserole», et l'expression américaine Big Dipper, « grande louche», pour désigner la Grande Ourse, d'après sa forme. Notons que les satellites Beidou sont aussi nommés satellites Big Dipper. Compass signifie «boussole» en anglais. Ce nom vient du vieux français (XIVe s.) compas, du verbe compasser, «mesurer avec le pas », du verbe latin formé de cum «avec» et passus «le pas». Au xv e s., le nom anglais a pris le sens de boussole, appelée aussi en français compas de mer. Une même idée réunit la Grande Ourse (qui permet de repérer facilement l'étoile Polaire dans Ursa Minor, la Petite Ourse) avec la boussole, instrument d'orientation ... avant le GPS. 17Date de lancement: Beidou-2-M1 (Compass-M1) : 13 avril 2007.

620


L'orbite est très semblable à celle de Navstar/GPS, avec une altitude h = 21 532 km et une inclinaison i = 55°. La période est de 12 h 58 min (voir figure 14.13(a)). Les vitesses de précession sont très faibles, pour les mêmes raisons que pour Navstar. Les valeurs sont, en degré par jour : il = -0.033 W = -0.018 L1n = -3.7 10- 4 La constellation MEO est complétée par deux systèmes 18 supplémentaires (voir la figure 14.13(b)) : - Compass-G: système de 5 satellites GEO, stationnés aux longitudes 58.75°E, 80.0°, 110.5°, 140.0° et 160.0° ; - Compass-I : système de 3 satellites sur une orbite dite IGSO (Inclinated Geosynchronous Satellite Orbit), géosynchrones en orbite circulaire avec une inclinaison i = 55°. Ils sont régulièrement espacés sur la même orbite dont le nœud ascendant est situé à la longitude 118°E. Le système de référence géodésique est CGS-2000 (China Geodetic System) qui est pratiquement identique à ITRF. Le système de contrôle est constitué d'une station centrale et de trois stations de suivi. Pour l'utilisateur, la précision annoncée est la même que celle obtenue avec N avstar.

14.5.2

Système expérimental Beidou-1

Le système de positionnement Beidou-1, également appelé BNTS (Beidou Navigation Test System), est un système expérimental. Dit aussi Double Star Positionning System (DSPS), il est basé sur l'utilisation de deux satellites géostationnaires et impose à l'utilisateur d'être muni d'un émetteur-récepteur. Il est opérationnel depuis 2003. Le principe en est le suivant. La station de contrôle C émet un signal avec signature temporelle vers l'utilisateur P via deux satellites Sl et S2, schématisé figure 14.14. Quand l'utilisateur reçoit un premier signal, disons de Sl, il le renvoie vers C, via les deux satellites. La station de contrôle mesure ainsi les deux intervalles de temps L1t1 et L1t2 qui correspondent aux deux parcours:

C C

---+ ---+

S1 S1

---+ ---+

P P

---+ ---+

S1 S2

---+ ---+

C C

===} ===}

CL1t1 = 2d 1 + 2r1 CL1t2 = dl + r1 + d2 + r2

18Dates de lancement - Compass-G : Beidou-2-G1 : 16 janvier 2010; Beidou-2-G2 : 14 avril 2009; Beidou-2-G3 : 2 juin 2010; Beidou-2-G4 : 31 octobre 2010. Dates de lancement - Compass-I : Beidou-2-Il : 31 juillet 2010; Beidou-2-12 : 17 décembre 2010; Beidou-2-I3 : 9 avril 2011. Ces satellites Beidou-2-In sont aussi notés Beidou-2IGSO-n.

621

14.5. Système Compass

Compass-M Trace de l'orbite »> Durée représentée:

Altitude =21532.0 km Inclinaison = 55.00

7.00 jours

a =27910.137 km

0

Période = 773.38 min • Révol./j.= 1.86 Décalage à l'équateur =21583.9 km

Proj. : Vue perspc. h=5.61 R Propriété: (sans)

EB T.:Azimutal - Grille : 10

0

CP: 55.0' N;118.0 'E/CZ: 50.0' N; 98.0' E Aspect: Oblique> zoom: 1.15 [5.31 [·90.0/ +35.0/-2801 [.]

-62.00

0

[00:00 TSM]

Il;iWJJ

MC

EGM96

Compass-I +G Trace de l'orbite Phasage

Noeud asc:

Altitude =35786.4 km Inclinaison

=

55.00

*

LMD ATÀaç

a =42164.496 km

0


= [1; +0; 1]


=


1.00 jour




Aspect: Direct

EB T.:Cylindrique - Grille : 100

[4.211 +90.0/ +0.0/+152.011'[ EGM96

0

;

118.0 °E

Noeud asc: 118.00 0 [00:00 TSM] Incl in. app. = 117.50 0

Il;iWJJ

MC

*

LMD ATÀaç

14.13 : Système Compass. (a) Compass-M. Trace de l'orbite, sur 7 jours, vue du point le plus au nord de l'orbite de Compass-I. (b) Compass-I et Compass-G. Trace de l'orbite IGSO (géosynchrone) des trois satellites Compass-I et position des cinq satellites G EO (géostationnaires).

FIG.

622


SI

);(

,, ,, ,, ,, ,, ,

/1

/

./

/

.,,

's{~[f~

14.14 : Principe du système Beidou-l. L'utilisateur P capte un signal émis par la station centrale C. Il le renvoie vers C via les deux satellites géostationnaires Sl et S2. Les signaux sont analysés par C, la position de P est calculée et le résultat est envoyé à P. FIG.

Les deux distances di sont connues, de même que les temps de réponse des relais (transpondeurs), dont on ne tient pas compte dans ce schéma simplifié. Les valeurs cherchées sont Tl et T2 :

(C/2)Llt1 - dl (c/2)(2Llt2 - LltI) - d 2 Le point cherché est à l'intersection des deux sphères Ei' centrées sur le plan équatorial (centre Si, rayon Ti). Cette intersection se fait selon un cercle qui est dans un plan perpendiculaire à l'équateur. Ensuite, l'intersection de (L\ n E 2 ) avec l'ellipsoïde terrestre donne deux points, un dans chaque hémisphère, Nord et Sud. Celui de l'hémisphère Nord correspond à la position de l'utilisateur chinois. Une contrainte supplémentaire est donc que l'altitude du point P soit connue: - si P est sur le sol, la station centrale C connaît l'altitude de P car elle dispose d'un MNT (modèle numérique de terrain) très précis pour le territoire chinois, avec une grille d'une seconde d'arc de côté; - si P est dans l'air, l'utilisateur doit déterminer son altitude, à l'aide d'un instrument barométrique par exemple, et envoyer l'indication à C. La position de P étant ainsi déterminée, la station C transmet le résultat à P. Aux 4 trajets entre la Terre et un géostationnaire, pour la détermination de la position, s'ajoutent donc 2 autres trajets pour la transmission du résultat. Soit un total de 6 trajets, qui prennent 0.8 seconde. Le système géodésique de référence 19 de Beidou-l est Beijing-1954. 190n peut s'étonner de l'utilisation pour Beidou-1 d'un système de référence aussi ancien, et encore plus que son nom ne l'indique, puisqu'il est un calque du modèle soviétique Krasovsky-1940.

14.6. Systèmes d'augmentation

623

Le segment spatia1 20 comprend deux satellites géostationnaires, BeidoulA et -lB, stationnés à SO.ooE et l40.0°E. Un satellite de réserve est stationné à 1l0.5°E. Le segment de contrôle est constitué par la station centrale et par trois stations de suivi, toutes en Chine. Le segment utilisateur consiste en un émetteur-récepteur, un peu volumineux. La région couverte est limitée : latitude

1

longitude

La précision obtenue est d'environ 100 mètres. En utilisant le troisième satellite (méthode différentielle), on peut espérer atteindre 20 m. Cette précision s'envole lorsque le récepteur est en mouvement. Dès que la vitesse dépasse quelques mètres/seconde, le système est peu précis, voire inopérant. La capacité du système est limitée : 540 000 utilisateurs par heure, avec un maximum de 150 utilisateurs simultanés. Le principe de positionnement Beidou-l présente des avantages par rapport au système Navstar/GPS : - utilisation des 2 satellites au lieu d'une constellation d'au moins 24; - les horloges n'ont pas à être ultra-précises; il suffit qu'elles soient stables puisqu'elles mesurent une différence de temps. C'est donc un système qui peut être vite mis en place et ne coûte pas cher, relativement. Il présente aussi beaucoup de désavantages: - la couverture est régionale (ce qui peut être considéré comme suffisant par les utilisateurs chinois) ; - la précision est faible, puisqu'elle est de 100 m en mode normal; - le récepteur est relativement encombrant et cher; - le nombre d'utilisateurs est limité. Pour les autorités chinoises, les désavantages l'emportent sur les avantages puisque, bien qu'apparemment satisfaites de ce système expérimental Beidou1, elles ont décidé la mise en place de Beidou-2 (Compass) sur le principe Navstar, c'est-à-dire basé sur une constellation MEO de satellites.

14.6

Systèmes d'augmentation

Comme nous avons vu plus haut, le principe du GPS différentiel (DGPS) repose sur la transmission aux utilisateurs de la correction détectée par la station témoin. Plutôt que d'envoyer l'information par relais radio terrestre, on la transmet directement à un satellite géostationnaire qui va la rediffuser en direction de la Terre. Le satellite supplémentaire crée ainsi un système d'augmentation. 20 Dates de lancement - Beidou-1A (BNTS-1A, DFH-51) : 30 octobre 2000; Beidou-1B (BNTS-lB, DFH-52) : 20 décembre 2000; Beidou-1C (BNTS-1C, DFH-56) : 24 mai 2003.

624



CP: 0.0' , 0.0' ICZ 30.0' N; 0.0'


Aspect: Direct

EIl T.:Cylindrique - Grille: 100

15.31 [+90.01 +0.01-90.0] [-]

MC

ATÀa,

Artemis



Inclinaison

équidistants


Proj. : Stéréographique

EIl T.:Azimutal- Grille : 1D'

=

0.00

a_GS = 42165.785 km Long. station. = 21.4

0

0

E




nu,; V * LMD

.. Demi-fauchée: 8.7' - Au sol: 9050.2 km [1000.0 km]

CP: 45.0 N, 0.0 ICZ: 35.0 N; 0.0 0

0

0

Aspect: Oblique> zoom: 2.00 15.31 [ -90.01 +45.01 +90.0] [-] EGM96

0

Géostationnaire Latit. max. atteinte

= 81.3

ni(,)V

0

MC

*

LMD ATÀa,

14.15 : Systèmes d'augmentation régionaux. (a) Délimitation des aires: WAAS (Amérique du Nord), EGNOS (Europe), GAGAN (Inde), MSAS (Japon), SNAS (Chine), SDCM (Russie). (b) Domaine européen EGNOS et représentation des distances à partir du point sub-satellite du satellite géostationnaire Artemis.

FIG.

14.7. Les systèmes régionaux

625

Ces systèmes, désignés souvent par leur nom en anglais, SBAS (SatelliteBased Augmentation System), apportent des améliorations importantes. (a) D'abord, par la diffusion des corrections, ils étendent à beaucoup plus d'utilisateurs la qualité DGPS. (b) Ensuite, ils sont munis d'horloges GPS et émettent un signal (du type LI), défini par son code PRN, qui ajoute des mesures de pseudo-distances à celles obtenues par les satellites MEO de la constellation GPS. (c) Enfin, ces systèmes, par l'analyse d'un ensemble de données, offrent un service dit d'intégrité. L'intégrité est la garantie que les signaux peuvent être traités en toute confiance: c'est la condition sine qua non à l'utilisation du GPS dans l'aviation civile. Les zones couvertes par les divers systèmes d'augmentation sont représentées sur la figure 14.15(a) et la liste des satellites participants est notée dans le tableau 14.3. Le système WAAS (Wide Area Augm. Syst.) a été développé par l'administration de l'aviation, aux États-Unis. Il est basé sur 3 ou 4 satellites GEO. La couverture s'étend sur toute l'Amérique du Nord (après absorption du canadien CWAAS) et Hawaï. Le système américain WAGE (Wide Area GPS Enhancement) géré par l'armée (US DoD) n'est accessible qu'aux militaires. La compagnie John Deere, leader mondial dans le marché des machines agricoles, a développé, pour sa clientèle, le système privé StarFire (précision: 10 cm) avec l'utilisation d'un satellite géostationnaire Inmarsat. Le système européen EGNOS (European Geostationary Navigation Overlay Service) est basé sur 3 satellites GEO. Il couvre l'Europe, l'Atlantique de l'Islande aux Açores et aux Canaries, ainsi que le nord du Maghreb, comme montré sur la figure 14.15(b). Le système indien GAGAN (GPS Aided GEO Augmented Navigation System)21 utilise 2 satellites GEO. Il couvre l'Inde continentale et ses deux archipels. Le système japonais MSAS (Multi-functional Satellite Augm. Syst.) est géré par l'agence météorologique et le ministère des transports japonais. Il utilise 2 satellites GEO. Le système est limité au Japon. La Chine, avec SNAS (Satellite Navigation Augm. Syst.) et la Russie avec SDCM (System for Differential Correction and Monitoring) doivent prochainement mettre en œuvre leur système d'augmentation.

14.7

Les systèmes régionaux

Nous présentons ici deux systèmes régionaux qui ne sont pas équivalents: l'indien IRNSS est un système autonome alors que le japonais QZSS ne sert 21 Dans

le genre acronyme clin d'œil, celui-ci est particulièrement réussi: gagan signifie

« ciel» en sanskrit.

626


IRNSS/GSO Traces des orbites Phasage



= [1; +0; 1]



Projection: Mercator Propriété: Conforme

CP: 0.0' , 0.0' /CZ 0.0' ,75.0' E Aspect: Direct> zoom: 2.40

EIl T:Cylindrique - Grille: 10'

15.31 [+90.0/ +0.0/-90.0] [-] EGM96

QZS-1 (~~O'~) Trace de l'orbite elliptique Phasage

Noeuds A : 55,0 '1[ Si. 11111.5 'S:: Inclin. app. = 104.50'

nLGJV

MC

*

LMD

ATÀ<X,

Altit équival. = 35785.8 km Inclinaison

=

40.91

a =42163.941 km e = 0.075053

0


= [1; +0; 1]


=

1.00 jour

h_a = 38950 km ; h_p =32621 km ; arg. périgée: +270.00 '


Centre Project.: 26.0 ' N ; 134.0 'E

Propriété: (sans)

Aspect: Oblique 14.21 [ -90.0/ +64.0/-44.01 [-1 EGM96


a =42165.410 km

Inclinaison = 29.00'

Longitude premier passage: Noeud asc: 148.59' Apogée

140.00 '

nLGJV

MC

*

LMD

ATÀ<x,

14.16 : (a) IRNSS. Trace des deux orbites GSO (géosynchrones) des satellites IRNSS-GSO et position des trois satellites GEO (géostationnaires). (b) Trace de l'orbite géosynchrone des trois satellites QZSS.

FIG.

14.7. Les systèmes régionaux

Système

Satellite / SBAS

PRN

Long.

°

WAAS

Galaxy-15 Anik-F1R Inmarsat-3-F4/ Inmarsat-3-F2 / Artemis Inmarsat-3-F5 / Inmarsat-4-F1 / MTSAT-lR MTSAT-2 QZS-1

135 138 122 120 124 126 127 129 137 183

133.0 107.3 54.0 15.5 21.4 24.7 143.5 140.0 145.0 140.0

W W W W E E E E E E

-

EGNOS -

GAGAN MSAS -

AOR-W AOR-E IOR-W IOR

627

st. st. st. st. st. st. st. st. st. ap.

TABLEAU 14.3 : Satellites utilisés pour les systèmes d'augmentation, avec nombre PRN, longitude de stationnement (st.) pour les GEO ou d'apogée (ap.) pour QZSS. En date du rr juillet 2011. (AOR : Atlantic Ocean Region, IOR : Indian Oc. R.).

qu'à améliorer, dans les grandes villes du pays, le positionnement fourni par Navstar/GP8.

14.7.1

Le système IRNSS

L'Inde va développer un système de navigation basé sur les satellites GEO et G80, géostationnaires et géosynchrones avec inclinaison. Il sera donc régional, puisque sans satellite MEO, on ne peut espérer une couverture globale. Ce système IRN88 (India Regional Navigation Satellite System) est basé sur 7 satellites, 3 GEO et 4 G80, munis d'horloges au rubidium qui émettent un signal selon deux fréquences, L5 = 1 176.45 MHz et 8 = 2 492.08 MHz. Le système de référence géodésique adopté est WG884. Les trois satellites GEO sont répartis avec un écart de 50° environ en longitude: les longitudes de stationnement sont 34.0 0E, 83.0 0E et 131.5°E. Les quatre satellites G80 sont répartis sur deux orbites géosynchrones circulaires, avec une inclinaison i = 29°. La longitude du nœud ascendant est 55.0 0E pour l'un et 1l1.00E pour l'autre (voir figure 14.16(a)). La précison attendue est de 20 mètres, dans la zone principale, comprise entre 40 0N et 40°8 en latitude, 40 0E et 140 0E en longitude.

14.7.2

Le système QZSS

L'agence japonaise JAXA a imaginé une intéressante orbite, rappelant l'orbite Tundra, mais moins excentrée et avec une inclinaison plus basse que l'inclinaison critique 22 . C'est une orbite géosynchrone, avec i = 40°, qui a 22La précession apsidale est cependant très faible: 4° par an, ce qui est facilement compensable.

w=

-0.01025° /jour, soit moins de

628


14.17 : Dans les «canyons urbains», selon la belle expression des urbanistes, lorsqu'on est coincé entre deux gratte-ciels de Tokyo, la réception du signal GPS n'est pas très sûre: soit le signal ne passe pas, soit - et c'est pire - il effectue des trajets multiples sur les parois des immeubles et le calcul de position est ainsi erronné. Document: JAXA.

FIG.

Navstar/GPS & QZS-1

Visibilité pour TOKYO (35°N ; 140 E) Hauteur de visée: h > 60° Date: 01 MAR 2011 0

1

1

2 3 4 5

2 3 4 5 6 7

6 7 8 9

8 9 10 11 12 13

10 11

12 13

14 15

14 15

16

16

+'·-......-17

17

18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

18 19 20

21

22

23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

OZS =1~~~~±=LJ=l=±=L=c3=±=~LJ=±~~~~~~FOZS o

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 192021 222324 Heure TU

14.18: Tableau de visibilité des 32 satellites Navstar/GPS et du satellite QZS1, pour Tokyo, le rr mars 2011. Hauteur de visibilité: h > 60°. A vec une telle contrainte de visibilité, correspondant à la situation dans le centre des grandes villes japonaises, la constellation Navstar/GPS ne fournit pas une couverture suffisante. On voit, grâce à ce tableau, que la plupart du temps seuls 2 ou 3 satellites Navstar/GPS sont en vue, ce qui est en dessous du seuil minimal de 4. Les satellites QZSS (pour l'instant, uniquement QZS-1) sont d'un apport très important. FIG.

14.8. Utilisation du GPS hors localisation

629

son apogée sur Tokyo. Ainsi, non seulement le satellite reste longtemps sur le Japon, mais il est presque à la verticale, au zénith, des grandes villes japonaises (voir figure 14.17) - d'où le nom de QZSS (Quasi-Zenith Satellite System). Cette constellation doit se composer de trois satellites régulièrement espacés, QZS-1, -2 et -3. Le premier 23 , QZS-1, est déjà opérationnel. Sa trace est représentée en figure 14.16(b). Chaque satellite est visible pendant environ 11 heures par jour, avec des conditions de visibilité « difficiles », c'est-à-dire h > 60°. La figure 14.18 montre clairement comment la constellation N avstar /GPS est peu efficace dans ces conditions, puisqu'on a rarement plus de deux ou trois de ces satellites en vue. Les satellites de la constellation QZSS apportent le quatrième ou même cinquième satellite nécessaire à une géolocalisation correcte. Le système de référence géodésique est J GS (Japan Geodetic System), très proche de ITRF. Le segment sol comprend la station centrale de contrôle (MCS) à Tsukuba, située 60 km au nord de Tokyo, et neuf stations de suivi, au Japon et à l'étranger (les plus extrêmes sont Bangalore à l'ouest, Hawaï à l'est et Canberra au sud).

14.8 14.8.1

Utilisation du GPS hors localisation Radio-occultation

L'occultation des ondes radio par l'atmosphère, ou radio-occultation, a été expérimentée par le JPL avec les sondes américaines Mariner-4, en 1965, pour l'atmosphère de Mars, et Mariner-5, en 1967, pour l'atmosphère de Vénus. En 1994, on a commencé à utiliser le signal des GPS pour sonder l'atmosphère terrestre, en plaçant un récepteur sur des satellites en orbite basse. Le signal est émis par le satellite de navigation S et est reçu par le satellite LEO L. Le trajet SL (voir figure 14.19) s'effectue selon une ligne droite quand il est hors de l'atmosphère, mais est dévié lorsqu'il la traverse. Cette déviation ex (de quelques dixièmes de degré) dépend de l'indice de réfraction de l'air, qui est fonction principalement des grandeurs locales de température, pression, densité et contenu en vapeur d'eau. On mesure de la sorte une valeur intégrée sur toute la traversée, sur la distance ab du trajet SL. Après traitement par inversion (du type inversion d'Abel), on obtient des profils de température (précision de 0.1 K à 0.5 K), de pression et d'autres paramètres atmosphériques. Les oppositions (la Terre est entre les deux satellites) entre un satellite LEO (VI rv 14) et un satellite GPS (V2 = 2) se produisent en gros (VI - V2) = 12 fois par jour, et on peut donc en attendre 24 occultations. Avec 24 23Date de lancement - QZS-1 : 11 septembre 2010. QZS-1 est désigné aussi sous le nom japonais Michibiki qui signifie « le guide ».

630


satellites Navstar /GPS, on a environ 500 occultations par jour, ce qui mène à 15000 par mois par satellite LEO. Les premiers satellites LEO équipés ont été les trois satellites de géodésie, CHAMP, GRACE-A et -E, ainsi que 0rsted, SAC-C et MetOp-A. La constellation COSMIC, constituée de six satellites FormoSat-3, de -3A à -3F, est la première mission expressément dévolue aux radio-occultations (voir figure 14.20). La mission européenne, en projet, ACE+ (qui reprend les missions WATS et ACE) est du même type, avec 4 satellites LEO, i rv 90°, munis de récepteurs GPS. Tous ces satellites sont en orbite quasi polaire. Un récepteur doit équiper Megha-Tropiques pour le sondage de l'atmosphère dans les régions tropicales (voir figure 17.13).

14.8.2

Étude de la troposphère grâce aux stations de base

Une station de base permanente du système DGPS envoie la correction de position ... puis la jette! Les services météorologiques récupèrent cette correction, notée JoX dans (14.22). Ce « produit poubelle» (comme disent aimablement les techniciens du GPS) contient une information sur le contenu en vapeur d'eau intégré sur la traversée de la troposphère, au-dessus de la station, à un instant donné. Cette information, en continu et sans pratiquement de délai, est « assimilée» avec d'autres données physiques pour l'élaboration des modèles de prévision météorologique.

14.8.3

Autres applications

Le domaine d'application du GPS déborde du positionnement et s'étend maintenant à des applications inattendues. Voici un exemple dans le monde de la finance. Actuellement, une grande partie des transactions boursières se fait avec des prises de décision informatiques. Parmi les nouveaux services, celui des flash orders permet à certains clients (à leurs ordinateurs, en fait) de consulter les ordres sur certains titres une fraction de seconde avant les concurrents. Ce délit d'initié à la microseconde peut être démasqué par un « marquage de temps» du GPS lors de la transaction.

14.9 14.9.1

Note historique: le premier système Le système Transit

Le programme de navigation Transit a commencé avec une découverte de chercheurs américains (JHU / APL, Université Johns Hopkins), en 1957 :

14.9. Note historique: le premier système

631

14.19 : Schématisation du trajet du signal émis par le satellite GPS, noté S. Le signal reçu par le satellite LEO, noté L, est dévié par la traversée de l'atmosphère entre a et b. L'angle de déviation Œ est défini par Œ = (Sa, hL). FIG.

,,

1 1 1 1

1

,

/

/

L \

\

\

\

\

\

\

,,

",Jr:: tm .)

--------

FormoSat-3F/COSMIC

o km

Altitude = 791.7 km

75 km - Occultation Radio avec Navstar/GPS


Inclinaison = 72.02

7.00 jours

Nombre total d'occultations

Période = 100.78 min • Révol./j.=14.29 Décalage à l'équateur = 2828.2 km ( 25.4 0)

172

Projection: 8099S Eumorphic



Aspect: Direct [interrompu]

œT.:Pseudo-cyl. - Golle

: 10

0

a = 7169.792 km 0

0

[4.211 +00/ +0.0/·20.011·]

:

20.0 0 E EGM96

Noeud asc: -13.00 Inclin. app. = 75.95

0

0

[00:00 TSM]

ntWV

MC .. LMD ATÀa:Ç

Lieux de radio-occultation entre le satellite FormoSat-3F et le satellite Navstar/GPS [PRN 16}, durant 7 jours.

FIG. 14.20 :

632


l'orbite du satellite Spoutnik-1 pouvait être déterminée avec une très grande précision par mesure de l'effet Doppler sur les radio-fréquences. Ils ont alors basé le principe de navigation sur le problème inverse: si on connaît avec précision la position du satellite, on peut en déduire, par l'effet Doppler, la position du récepteur. La marine américaine (US Navy) , qui mettait au point le programme Polaris (sous-marins lance-missiles), prit en main l'affaire pour créer le premier système de géolocalisation, nommé NNSS (US Navy Navigation Satellite System) ou Transit. Après l'envoi de satellites expérimentaux dès 1960, le système est devenu opérationnel à partir de 1964 (constellation dite NSS 30). La constellation 24 est formée de satellites en orbite polaire circulaire, à une altitude de 1 000 km. La position du récepteur est calculée à partir des mesures successives de l'effet Doppler-Fizeau sur le signal envoyé par le satellite Transit. Ce n'est possible que durant le temps de visibilité du satellite, qui est de 15 minutes au maximum par révolution, voir l'exemple 13.5. Avec 6 satellites, l'utilisateur voit un satellite toutes les 100 minutes, à l'équateur, mais toutes les 35 minutes à une latitude élevée. L'utilisateur doit connaître son altitude, qui n'est pas déterminée précisément par cette méthode, et il ne doit pas se déplacer trop vite. Dans ces conditions, la précision de la position est de 20 mètres. Pour un observateur immobile, avec des mesures sur plusieurs jours, on peut atteindre la précision de 5 mètres. Le système Transit a commencé en 1964 pour une utilisation militaire, puis a été ouvert au public à partir de 1967. Les récepteurs coûtaient environ 1 000 dollars américains et il y a eu jusqu'à 80 000 utilisateurs, principalement 240n peut classer les satellites Transit en 5 catégories. - Les 5 satellites expérimentaux, de Transit-lB, lancé le 13 avril 1960, à Transit-4A, lancé le 29 juin 1961, sur des orbites semblables, i = 66.7°, hp = 625 km, ha = 1080 km. - Les 10 satellites probatoires, en orbite strictement polaire, de Transit-5A-1, le 18 décembre 1962, à Transit-5C-1 (OPS/4412), le 4 juin 1964, i = 90.0°, h = 1 100 km. Transit5B-1, lancé le 28 septembre 1963, est le premier satellite effectivement utilisé par l'US Navy. - Les 24 satellites opérationnels, de la série Oscar (0 pour operation al, « opérationnel» ), de Transit-0-1 (ou NSS-300l0, OPS/5798), le 6 octobre 1964, à Transit-0-25 (NSS-30250, NIMS-25, SOOS-4A) et Transit-0-31 (NSS-30310, NIMS-31, SOOS-4B), lancés le 25 août 1988. Le satellite Transit-0-13 (NSS-30l30,OPS/7218) a fonctionné de septembre 1967 à janvier 1989. - Les 3 satellites Triad, du programme TIP (Transit Improvement Program). Ils ont démontré la faisabilité de la technique drag free (compensation de traînée), Triad-1 (ou TIP-1), lancé le 2 septembre 1972, Triad-2 (TIP-2), le 11 octobre 1975, Triad-3 (TIP-3), le 1er septembre 1976, toujours sur une orbite strictement polaire. - Les 3 satellites Nova, lancés dans cet ordre, Nova-1 (NSS-30480), le 15 mai 1981, Nova-3 (NSS-30500), le 12 octobre 1984, Nova-2 (NSS-30490), le 16 juin 1988, tous sur une orbite strictement polaire, i = 90.0°, h = 1 180 km. Même après la fin du programme Transit, certains satellites, du programme NIMS (Navy Ionospheric Monitoring System), ont continué à fonctionner pour fournir des données sur la transmission des signaux dans l'ionosphère, utilisables par le système Navstar/GPS.

14.10. Annexe: GPS et plaques tectoniques

633

dans le domaine maritime. Il a été officiellement arrêté le 31 décembre 1996, après 32 ans de service.

14.9.2

Le système soviétique

L'URSS avait un grand retard sur les États-Unis dans le domaine de la géolocalisation. À partir de 1974, l'Union soviétique développa un système 25 très semblable à Transit, le système Parus, suivi ensuite du système civil Tsikada, puis Nadejda. Ce système fut très utilisé, à partir de 1990, par la marine marchande russe, avec une précision de localisation des bâteaux à 100 mètres près. La Russie a mis fin au service opérationnel en mai 2007.

14.10

Annexe: GPS et plaques tectoniques

À l'intérieur de la Terre, la radioactivité de certaines roches produit de la chaleur par désintégration. Des zones supérieures du manteau remontent à la surface (phénomène convectif) et forment l'écorce terrestre. Sous l'effet du refroidissement, ce magma devient cassant et forme des plaques, de 10 à 100 km d'épaisseur. La surface du globe terrestre est formée de l'ensemble de ces grandes plaques (le modèle MORVEL, en 2011, est basé sur 25 plaques). Ces plaques se déplacent les unes par rapport aux autres, dans un mouvement appelé tectonique 26 des plaques. Les frottements des plaques amènent, à la longue, à la dérive des continents dont les manifestations les plus connues sont les séismes et le volcanisme. Le géophysicien allemand Alfred Wegener avait, en 1915, développé son idée de dérive des continents par des considérations géographiques, géologiques et paléontologiques. À partir des années 1970, on a pu appuyer la théorie de la tectonique des plaques sur des mesures géophysiques (bandes de plancher océanique présentant des changements dans l'orientation magnétique) et on a ainsi pu évaluer les vitesses de déplacement. Depuis 1992, on mesure directement ces déplacements avec le GPS. La technique de l'interférométrie radio à très longue base (VLBI) et les autres techniques, évoquées au chapitre 3 à propos de l'ITRF, permettent d'obtenir 25Le système soviétique peut être mis en trois familles de satellites. - Les 99 satellites militaires Parus (parus signifie « la voile»), ou Tsikada-M (M pour militaire), de Parus-1 (Kosmos-700), lancé le 26 décembre 1974 à Parus-99 (Kosmos 2463), le 27 avril 2010. - Environ 40 satellites Tsikada ( -14 -16 -18 -20 0 MARS

30

60

90 Angle d'inclinaison

Cl

30

60

90 Angle d'inclinaison

Cl

120

150

180

120

150

180

30 28 26 24 (5 ~ 22 w 20 --l 18 « 0 16 Ui 14 0.. « 12 c 0 10 'u; rJ) 8 0) () 6 -0) 0. 4 0) 2 "0 0) 0 rJ) rJ) -2 2 :> -4 -6 -8 -10 0 MARS

15.9 : Représentation de la vitesse de précession (en degrés/sol), pour une orbite circulaire ou quasi circulaire, en fonction de l'inclinaison i, pour diverses valeurs de la distance relative, de (aiR) = 1.0 à (aiR) = 2.0, avec un pas de 0.1 : (a) précession nodale il ; (b) précession apsidale w (la valeur de l'inclinaison critique est indépendante du corps attractif).

FIG.

662

Chapitre 15. Satellite de Mars

(10.2), on obtient Cs = -105.3 pour le cycle par rapport au Soleil, ce qui signifie que tous les 105 sols, on retrouve la même heure locale de passage. Les 24 heures locales sont ainsi échantillonnées plus de 6 fois par année martienne ....

Exemple 15.3 Calcul de la vitesse de précession nodale et apsidale pour le satellite MA VEN. Les caractéristiques de l'orbite de MAVEN sont les suivantes: a = 6 578 km, e = 0.4608, i = 75°. C'est donc un satellite à orbite elliptique, avec un périastre assez bas, h p = 150 km (voir figure 15.18(a)). La précession nodale permettra de balayer toutes les heures locales. Les calculs de vitesses de précession se font avec les formules générales, (7.15) et (7.16). Pour la vitesse de précession nodale, on trouve fi = -0.825° /sol, ce qui donne un cycle (rétrograde) par rapport au Soleil de 306 sols. Pour la vitesse de précession apsidale, on trouve w= -0.639° /sol : le périastre fait un tour (sens rétrograde) en 436 sols, soit 1.5 tour par année martienne .... ~

15.4

Orbites remarquables

Les critères de classification sont les mêmes, que les satellites tournent autour de la Terre ou de Mars. L'orbite peut être directe ou rétrograde. Elle peut être héliosynchrone, phasée ou gelée, ou ne pas l'être. Relativement à l'altitude, on parle d'orbite haute pour les satellites aréostationnaires, ou orbite SMO (Stationary Mars Orbiting) , d'orbite basse pour une altitude inférieure à 800 km, ou orbite LMO (Low Mars Orbiting). Nous nous intéressons ici aux deux types d'orbites particulières étudiées au chapitre 7, l'orbite planétosynchrone et l'orbite héliosynchrone.

15.4.1

Aréosynchronisme

Satellite aréostationnaire On définit, par n = DT, un satellite aréosynchrone, et en ajoutant la condition i = 0, un satellite aréostationnaire. En considérant le moyen mouvement képlérien, on obtient :

a~ = ~2

DT

ao

=

=

8.524 274 10 21

20 427.694 km

ho

=

17031 km

En faisant intervenir le terme J 2 dans le calcul de la période, on obtient la valeur al, légèrement supérieure à ao. Dans le cas d'un satellite stationnaire pour Mars, l'accélération perturbatrice due au terme en h est 13 fois supérieure à celle due au Soleil, comme montré sur la figure 15.8. On rappelle

15.4. Orbites remarquables

663

que ce n'est pas le cas pour un satellite stationnaire terrestre, pour lequel la perturbation luni-solaire est supérieure à celle de J 2 . Nous considérerons finalement cette valeur al comme celle d'un satellite aréostationnaire, et nous la notons aGS aGS =

20 428.500 km T)GS =

aGS R

hGS

=

= 17031.5 km

6.014

(15.33) (15.34)

La valeur de T)GS pour la Terre, donnée par (7.70), est voisine de celle trouvée pour Mars car les périodes de rotation diurne de ces deux planètes et les densités moyennes le sont. La mise en orbite de satellites aréostationnaires est à l'étude, comme le satellite MARSat (Mars Areostationary Relay Satellite). Maintien à poste

L'orbite du satellite géostationnaire évolue au cours du temps: - a, le demi-grand axe, par l'effet des termes tesséraux du géopotentiel qui sont beaucoup plus importants que pour la Terre; - e, l'excentricité sous l'effet de la pression de radiation solaire, qui est moins forte que pour la Terre; - i, l'inclinaison, sous l'action principale du Soleil, puisque le plan de l'écliptique, dans lequel se déplace le Soleil apparent, est incliné de 25° par rapport au plan de l'orbite (équatorial martien). Les deux lunes de Mars, également dans le plan équatorial, sont trop petites pour perturber le mouvement du satellite. Accélération longitudinale

Nous étudions de plus près l'évolution de a. Nous avons vu, au chapitre 7, que ce phénomène est dû principalement à la manifestation de l'harmonique tesséral P22, et nous avons calculé cette dérive (par son accélération longitudinale), d'abord par un développement du géopotentiel jusqu'au 28 ordre, puis en le poursuivant jusqu'au 38 ordre. Les valeurs des coefficients tesséreaux C 22 , S22, C 3 1 et 5 3 1, beaucoup plus importantes que pour la Terre, montrent que la forme de l'équateur martien s'éloigne du cercle et que la planète a une certaine triaxialité, c'est-à-dire que l'ellipsoïde de révolution est un peu allongé selon un axe perpendiculaire à l'axe de rotation, (voir tableau 15.3). (a) Développement du géopotentiel à l'ordre 2 L'accélération longitudinale est donnée par (7.82). Avec le modèle martien MGM1025, on obtient: J 22 = 63.069110- 6 , À 22 = -15.02° et : (15.35)

664


AREOSTATIONNAIRE

a_GS

=20430.990 km

Inclinaison

Accélération longitudinale

=

0.00

Modèle gravit. : MGM 1025

0

Long. pt stable= 74.6 Long. pt stable=1 04.4

E

0

0

W

0.0800 0.0700 0.0600

'Y

510,

!

ID

ê ~

"g>

0.0500 0.0400 0.0300 0.0200 0.0100 0.0000

.Q

-0.0100

~° 'ID

-0.0200

c

-0.0300

e -0.0400

:0;

«

-0.0500 -0.0600 -0.0700 -0.0800 30 30.0 E

60 60.0 E

90 90.0 E

120 120.0 E

150 150.0 E

180 180.0.

210 150.0 VV

240 120.0 VV

270 90.0 VV

300 60.0 VV

330 30.0 VV

Longitude de stationnement (deg)

15.10 : Accélération selon la longitude pour un satellite géostationnaire, en fonction de la longitude. L'accélération nulle détermine les points d'équilibre: À = 74.581' = 74° 35' E et À = 255.551' = 104 0 21 W pour les points stables, notés par un cercle; À = 162.0650 = 1620 31 E et À = 347.741° = 12° 15' W pour les points instables. Le satellite géostationnaire est uniquement soumis aux perturbations d'orbite dues au géopotentiel (modèle MGM1025). FIG.

avec:

7.08810- 5 ---- = 6.014

A

=

18

DT) ( rlcs

2

1.1786 10- 5

rad·s- 1

J 22 = 18 x 1.3891 10- 10 x 63.0691 10- 6

= 157.6965

10- 15

(15.36)

rad·s- 2

et pour le coefficient A en (degré j sol) par sol :

A = 157.6965 10- 15 x (180j7T)

X

(88642.7)2 = 70.99210- 3

(b) Développement du géopotentiel à l'ordre 3 Les valeurs cherchées sont : J 31 = 27.4791 10- 6 , J 33 pour les longitudes, À 31 = 81.41 ° et À33 = 12.04°.

degré.sol- 2 (15.37) 6.0455 10- 6 et


665

L'accélération est donnée par (7.89). L'application numérique donne: .:\ =

B [37.841 sin2(À B

=

À 22 ) -

0.685 sin(À - À3d

4.16710- 15 rad·s- 2

B

=

+ 4.524

sin3(À - À 33 )] (15.38)

1.876 10- 3 deg.j-2

Le graphe .:\(À), figure 15.10, donne la variation de l'accélération longitudinale .:\ en fonction de la longitude À. Les longitudes étant comptées positivement vers l'est, on a donc: À

> 0 =? déplacement vers l'est

À

< 0 =? déplacement vers l'ouest

Les solutions de À = 0 sont les quatre longitudes visibles sur le graphe, intersection de .:\(À) avec l'axe horizontal. Les deux points stables sont sur les parties descendantes des courbes, les points instables sur les parties ascendantes. Les valeurs sont reportées sur la figure 15.10. Les quatre longitudes d'équilibre trouvées pour Mars sont incroyablement proches des valeurs terrestres. Cela est totalement fortuit, car le méridien d'origine pour chacune de ces planètes est arbitraire et n'a rien à voir avec les accidents de géopotentiel... L'équation (15.38) montre que c'est l'harmonique de degré 2 qui a le plus grand poids. Les quatre longitudes obtenues uniquement à partir de À 22 k = 1,2,3,4 soit 75°,165°,255°,345° sont très proches des quatre longitudes obtenues par (15.38), soit 75°,162°,256°,348°, en allant jusqu'à l'ordre 3. La contribution des autres termes devient négligeable à partir de l'ordre 4, puisque pour chaque nouvel ordre intervient le coefficient multiplicatif supplémentaire (liT/cs) soit 0.17.

15.4.2

Héliosynchronisme

Constante d'héliosynchronisrne

Pour les satellites héliosynchrones, on a vu qu'il faut réaliser la condition = Ds. On calcule tout d'abord la constante d'héliosynchronisme, par la relation (7.94), qui donne, pour Mars:

D(a, i)

k h = 29.0403

(15.39)

La valeur est trois fois plus grande que pour la Terre: h est plus grand pour la planète Mars, qui, de plus, tourne moins vite autour du Soleil.


666 h (km)

aIR 2.7

5500

2.6

5000

2.5

4500

2.3

2.4 2.2

4000

2.1

3500

2.0 1.9

3000

1.8

2500

1.7 1.6

2000

1.5

1500

1.4 1.3

1000

1.2

500

1.1

0

1.0 90

MARS

Angle d'inclinaison

n

aIR

e

4.6 4.4 4.2

0.75

4.0 3.8

0.70

3.6

0.65

3.4

0.60

3.2

0.55 0.50 0.45 0.40 0.30

3.0 2.8 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 90 i m

100

MARS

110

ic

120

130

140

Angle d'inclinaison (0)

150

160

170

180

15.11 Représentation de l'altitude du satellite en fonction de l'angle d'inclinaison pour les satellites héliosynchrones. Tout le domaine de variation possible est représenté. (a) Satellite en orbite circulaire. (b) Satellite en orbite d'excentricité e. Voir légende de la figure 7.13.

FIG.


667

Satellite héliosynchrone - cas circulaire

On obtient ainsi, par (7.100) ou (7.101), la relation entre l'inclinaison et l'altitude 18 . On a tracé, en figure 15.11 (a), l'altitude en fonction de l'inclinaison pour un satellite héliosynchrone, qui est obligatoirement rétrograde. La valeur minimale de 'iHs, notée 'iHS min (ou 'i m ) est obtenue pour un satellite (fictif) tournant au ras du sol (TI = 1 ou h = 0) : 'iHSmin

=

'i m

= arccos

(-~) kh

= arccos( -0.0344) = 92.0°

La valeur maximale de h est obtenue pour i = 180° : T)HSmax aHSmax =

=

a

Ii = k h =

8 892 km

~

2.6182

hHSmax =

5 496 km

Il ne peut donc y avoir de satellites héliosynchrones (en orbite circulaire) au-delà d'une altitude de 5500 km (à peu près la même altitude limite que pour la Terre). Les satellites américains MGS, Mars Odyssey et MRO sont sur des orbites héliosynchrones. Satellite héliosynchrone - cas elliptique

Le cas de l'orbite héliosynchrone elliptique se calcule exactement comme dans le cas de la Terre, par la relation fondamentale (7.108), avec une excentricité limite el pour chaque valeur de TIl, voir (7.110). Sur Mars, le domaine possible pour l'excentricité est plus grand que pour la Terre (voir figure 15.11 (b ) ). Pour i = 180°, la distance relative (a / R) varie deT) = 2.6182 pour e = 0 àT) = Til = 4.4032 pour e = el = 0.7729. Lorsque l'orbite est excentrée, à la condition d'héliosynchronisme s'ajoute généralement la contrainte pour le périastre de ne pas dériver sur l'orbite. Il faut choisir l'inclinaison critique, donnée par (6.81), obligatoirement à la valeur 'i = 116.6°. Pour cette inclinaison, la distance relative varie entre TI = 2.069 pour e = 0 et TI = 2.847 pour l'excentricité maximale, el = 0.649 (voir exemple 15.9).

Pour tout ce chapitre, à partir d'ici, le plan de notre présentation pour les satellites martiens suit rigoureusement celui adopté pour les satellites terrestres : chaque paragraphe martien est le calque d'un chapitre terrestre. 18Comme pour la Terre, on trouve une légère différence dans la valeur de iHS selon le degré utilisé dans le développement du potentiel planétaire. Pour h = 400 km, iHS(J4) = 92.991° et iHS(h) = 92.914°, soit une différence de 0.077".

668


15.5

Trace du satellite

~ Chapitre 8 »» La représentation de la trace donne des résultats fondamentalement similaires pour les satellites terrestres et martiens. Même la projection de Snyder (tracé rectiligne de la trace) est directement utilisable grâce à l'emploi de la fréquence K,. Seule différence avec la Terre: il n'y a pas encore de TLE (éléments orbitaux NORAD) disponibles pour Mars!

15.5.1

Représentation de la trace

La trace d'un satellite LMO a la même allure que celle d'un satellite LEO terrestre. Dans l'exemple 15.4, on insiste sur cette similitude. Pour les satellites en orbite circulaire, l'équation de la trace avec élimination du temps est donnée par (8.48) en utilisant la valeur de K, adaptée. Pour les satellites héliosynchrones opérationnels, voir le tableau 15.6, pour lesquels K, = v, on a: K, = 13 - 233/550 = 6717/550 = 12.212727 pour MGS ; K, = 12 + 15/32 = 399/32 = 12.468750 pour ODY (Mars Odyssey) ; K, = 13 + 65/349 = 4602/349 = 13.186246 pour MRO. Exemple 15.4 Comparaison entre la trace du satellite Mars Global Surveyor

(MGS) , en orbite héliosynchrone quasi circulaire autour de Mars à une altitude de 379 km, avec celle d'un satellite fictif terrestre ayant la même altitude relative, sur une orbite héliosynchrone. ~

La distance relative ri est la même pour les deux satellites.

(a) MGS

Lors de sa «phase topographique», le satellite MGS est sur l'orbite héliosynchrone, h = 379 km. On calcule la distance relative: 71 = a/ R = 3775.1/3196.2 = 1.1116 On obtient l'inclinaison du satellite héliosynchrone MGS avec la relation (7.101) iHS = arccos(-1.1116~ /29.0403) = 92.03° Avec un développement, pour la vitesse de précession nodale, au-delà du terme J 2 , on obtient: iHS = 92.93° La trace du satellite est donc comprise entre les latitudes géocentriques 87.0TN et 87.07°S. Elle est représentée sur la figure 15.12(a), sur une demi-journée martienne (un demi-sol). Avec 12.6 tours par sol, le décalage équatorial est de 29°. (b) Équivalent MGS Pour comparer les orbites et les traces sur Mars et sur Terre, on calcule les caractéristiques d'un satellite terrestre qui serait à la même altitude relative (même distance relative au centre attractif de la planète, donc même valeur pour 71). Nous désignerons par «équivalent» MGS (pour la Terre) ce satellite fictif. Avec ri = 1.1116, on obtient: a = ri x 6378 = 7090 km, soit h = 712 km. On en déduit l'inclinaison :

669

15.5. Trace du satellite

[MARS] Mars Global Surveyor Trace de l'orbite Phasage

Altitude = 378.1 km

0

Période = 117.64 min • Rév.lsol =12.58

= [13;-233;550[6917


a = 3775.088 km


739.8 min

=


0.50 sol

Proj. : Plate-carrée


0.00

0

Propriété: (sans)

Aspect: Direct

Incl in. app. = 97.42

0

[3.51 [ +00/ +0.0/ +0011-] MGM1025

MOLA Topogr. /h/Z.5km/

Durée représentée:

Noeud asc :

0

=


Propriété: (sans)

Aspect: Direct

EIl T.:Cylindrique - Golle : 10

0

1-1 [ +00/

*

LMD

ATÀlXÇ'

0

Période = 99.14 min • Révol./j.=14.53 Décalage à l'équateur = 2758.9 km ( 24.8

Proj. : Plate-carrée

MC

a = 7089.752 km

Incl. HELIOSYNCHRONE = 98.26 0.50 jour

)

n~(')!1

Altitude = 711.6 km

720.0 min

0

0

0.0

0

+0.0/ +00] [-] EGM96

Noeud ase:

0.00

0

)

n~(')!1

0


0

MC

*

LMD

ATÀlXÇ'

FIG. 15.12 : (a) Trace de l'orbite du satellite héliosynchrone MGS, sur un demi-sol. (b) Trace du satellite héliosynchrone fictif « équivalent» MGS, avec la Terre pour corps attractif.


670

[MARS] Mars Odyssey Trace de l'orbite Phasage

Altitude = 399.8 km

a = 3796.847 km

Incl. HELIOSYNCHRONE = 92.96' Période = 118.66 min' Rév.lsol =12.47

= [12;+15; 32[ 399


=


2.00 sols

Centre Pr.(dr.): 25.0 ' S; 75.0 'E Aspect: Oblique

Noeud asc:

Propriété: (sans)

cl' T:Azimutal- Grille : 10'

13.5][ -90.0/+115.0/+15.011-] MGM1025

MOLA Topogr. /h/2.5km/


[MARS] Mars Odyssey Trace de l'orbite Phasage

Altitude = 399.8 km

MC

n.wv

*

LMD

ATÀlXÇ

a = 3796.847 km

Incl. HELIOSYNCHRONE = 92.96' Période = 118.66 min' Rév.lsol =12.47

= [12;+15; 32]399


Proj. : Snyder-TraSatRecti/30' Propriété: (sans) [L.géoc] cl' T:Cylindrique - Grille: 10'

35.00' [04:00 TSM]

=


3.00 sols


0.0 '

Aspect: Direct

Noeud asc: 35.00' [04:00 TSM] Inclin. app. = 97.52'

13.5] [ +00/ +0.0/ +0011-] MGM1025


MC

n·wv

*

LMD

ATÀlXÇ

15.13 : Trace de l'orbite du satellite héliosynchrone Mars Odyssey, (a) sur 2 sols,- (b) sur 3 sols (pour mettre en évidence le sous-cycle de 2 sols).

FIG.


671

15.14 : Fracture géologique à l'intérieur d'un cratère dont on perçoit la forme circulaire. Image prise par l'instrument VIS/THEMIS du satellite Mars Odyssey, instant D = 2004 12 13 05:20. Rév. 13300. Centre de l'image: latitude = 7.3388; longitude = 161.372. Résolution = 0.018258 km/pixel (taille du pixel: 18 mètres de côté). Largeur de la fauchée: 25 km. Voir exemple 15.14. Document: NA SA/JPL/ASu.

FIG.


672

[MARS] Mars Express [G3-u] Orbite par rapport à Mars Phasage

= [3; +1; 4] 13


a = 9303.744 km


e = 0.606911

Période = 454.49 min • Rév.lsol = 3.26


=

4.00 sols

h_a = 11553 km; h_p = 260 km; arg.périastre: +345.08'


Centre Project.: 25.0 ' N; 80.0 'E

Propriété: (sans)

Aspect: Oblique 13.51 [-90.01 +6501 +100] [-]

d' T.:Azimutal- Grille : 10'

MGM1025

[MARS] Mars Express [G3-u]

Trace (H < 4000 km) [H Phasage

Noeud asc: -127.07' Apoastre: -2.52'



: hauteur géodésique]

Inclinaison

= [3; +1; 4] 13

nLr.JV

=

86.35

0

MC

*

LMD

ATÀCXÇ

a = 9303.744 km e = 0.606911



=

4.00 sols

Projection: Behrmann


Propriété: Equivalente d' T.:Cylindrique - Grille: 10'

Aspect: Direct

13.51 [+9001

h_a = 11553 km; h_p = 260 km; arg.périastre: +345.08'

0.0 '

+0.0/-90.0] [-] MGM1025

Noeud asc: -127.07' Apoastre: -2.52'


nLr.JV

MC

*

LMD

ATÀCXÇ

15.15 : (a) Orbite du satellite Mars Express (orbite G3-u), durant 4 sols, à partir du 9 janvier 2004 (Ls = 3300 ) . (b) Trace au sol de cette orbite, marquée uniquement dans le cas où l'altitude du satellite est inférieure à 4 000 km.

FIG.


673

15.16 : Représentation de l'orbite du satellite Mars Express lorsque son altitude est inférieure à 4 000 km, durant un cycle de 4 sols, à partir du 9 janvier 2004 (Ls = 330"). Type de l'orbite: 3Gu. Cette figure est une synthèse de la figure 15.15. FIG.

15.17: Vue oblique de Coprates Chasma, partie orientale de Valles Marineris. La profondeur du canyon est de 8 km. Image de la caméra HRSC (High Resolution Stereo Camera) à bord de Mars Express, prise le 28 mai 2005. Document: ESA/DLR/FU Berlin (G. Neukum).

FIG.

674


[MARS] MAVEN Orbite par rapport à Mars


a = 6578.000 km


e = 0.460778



7.00 sols

h_a = 6212 km ; h_p = 150 km ; arg.périastre: +270.00'

Propriété: (sans)

Centre Projec!.: 35.0 ' N; 71.0' W Aspect: Oblique

Noeud asc : 0.00 ' Apoastre: 64.24'

cl' T.:Azimutal- Grille : 10'

13.51 [-90.01 +550/+161.0[ [+221 MGM1025



[MARS] ExoMars-TGO Trace de l'orbite

Altitude = 400.0 km

MC

n·wv

*

LMD

ATÀlXÇ

a = 3797.000 km


»> Durée représentée: 5918.1 min = 4.00 sols

Période = 118.59 min' Rév.lsol =12.48 Décalage à l'équateur = 1726.9 km ( 29.1 ')

Projection: Arden-Close

Centre Projec!.: 0.0'

Propriété: (sans)

Aspect: Direct

0.0 '

Noeud asc : 0.00 ' Incl in. app. = 78.55'

cl' T.:Cylindrique - Grille: 10'

13.51 [ +001 +0.01 +0011-1 MGM1025


MC

n·wv

*

LMD

ATÀlXÇ

15.18 : (a) Représentation de l'orbite du satellite MA VEN, sur 7 sols. (b) Trace de l'orbite du satellite ExoMars-TGO, sur 4 sols.

FIG.


675

iH S = 98.26°. La trace du satellite est donc comprise entre 81.74°N et 81.74°S. Elle est représentée sur la figure 15.12(b). Avec 14.5 tours par jour, le décalage équatorial est de 25°. On note les principales différences: - l'inclinaison du satellite héliosynchrone martien est plus polaire (k h plus grand pour Mars que pour la Terre) ; - le décalage équatorial est un peu plus fort pour le satellite martien, car sa période est plus longue, puisque la densité moyenne de la planète Mars est plus faible que celle de la planète Terre, voir relation (16.3) .....

Exemple 15.5 Orbite et trace du satellite Mars Express durant un cycle de

4 sols.

~ Le satellite Mars Express a une orbite très excentrée. Son inclinaison, quasi polaire, est éloignée de l'inclinaison critique. Cela entraîne une vitesse de précession apsidale de w= -0.557° par sol, correspondant à exactement un tour complet du péricentre en une année martienne. Les représentations que nous donnons ici concernent le type d'orbite 3G-u (voir tableau 15.7). La période représentée débute le 9 janvier 2004 (Ls = 330°) et dure un cycle de 4 sols. L'orbite (figure 15.15(a)) est tracée dans un référentiel lié à la planète. Sa trace (figure 15.15(b)) n'est tracée que si l'altitude du satellite est inférieure à 4 000 km. Au-delà de cette altitude, l'observation de la planète n'est pas assez précise. La figure 15.16 reprend, pour l'orbite, la représentation limitée à h < 4000 km, en une synthèse des deux figure 15.15(a) et (b) .....

15.5.2

Inclinaison apparente

L'inclinaison apparente est calculée par (8.29) ou (8.30). Exemple 15.6 Calcul de l'inclinaison apparente pour les satellites héliosynchrones opérationnels. ~ La valeur de l'inclinaison héliosynchrone ayant été déterminée, on utilise les valeurs de K, vues ci-dessus pour calculer bi avec (8.30). Pour MGS, iHS = 92.90°, bi = 4.52° =? il = 97.42° Pour ODY, iH S = 92.96°, bi = 4.56° =? il = 97.52° Pour MRO, iHS = 92.60°, bi = 4.32° =? il = 96.92° L'écart d'inclinaison bi, d'environ 4 degrés, est du même ordre que pour les satellites terrestres .....

15.5.3

Vitesse du satellite et de sa trace en orbite circulaire

On calcule, pour une orbite circulaire, la vitesse du satellite et de sa trace, par les équations (8.39) à (8.43). On rappelle que les vitesses V (satellite) et Va (trace) sont définies dans le référentiel galiléen ~, les vitesses VJ E dans le

676


h

(km)

(km)

(tr /s)

mm

sol

Ta

V

Va

WE

WE

0

90

0 100 200 300 400 500 600 700

3396 3496 3596 3696 3796 3896 3996 4096

14.77 14.14 13.56 13.01 12.50 12.02 11.57 11.15

100.15 104.61 109.13 113.71 118.36 123.06 127.83 132.66

0.068 0.071 0.074 0.077 0.080 0.083 0.086 0.090

3.55 3.50 3.45 3.40 3.36 3.32 3.27 3.23

3.55 3.40 3.26 3.13 3.00 2.89 2.78 2.68

3.31 3.16 3.02 2.89 2.76 2.65 2.54 2.44

3.56 3.41 3.27 3.14 3.01 2.90 2.79 2.69

s 0 0 0 0 0 0 0

4450 5983 17031 20063

7846 9379 20427 23459

4.21 3.22 1.00 0.81

351.68 459.63 1477.38 1818.16

0.238 0.311 0.999 1.229

2.34 2.14 1.45 1.35

1.01 0.77 0.24 0.20

0.77 0.53 0.00 -.04

1.04

C

a

1/

Ta

T

P

S .1

15.5 : Vitesse du satellite, de la trace, et vitesse relative de la trace pour divers satellites, en orbite circulaire (orbite képlérienne). Pour chaque satellite, on a noté l'altitude h (en km) et la longueur du demi-grand axe a, ou distance au centre de Mars (en km), la fréquence quotidienne 1/ (en tours par sol), la période képlérienne Ta (en minutes et en sols), les vitesses V, Va, WE (pour les deux valeurs de l'angle i, 0°, 90°), déjà définies. Type T de satellite: s (niveau du sol), 0 (pour l'observation), C (pour les communications), S (aréostationnaire - orbite SMO). Satellites naturels: P (Phobos), .1 (Déimos).

TABLEAU

référentiel martien !J(T. Ces vitesses WE sont dites relatives, car elles représentent les vitesses de la trace par rapport à la planète. Les résultats sont notés dans le tableau 15.5. Si on compare un satellite terrestre et un satellite martien, à la même altitude relative, on voit que les périodes sont à peu près les mêmes, mais les vitesses sont deux fois plus faibles pour le satellite martien (ce qui est évident au vu des équations). Pour le satellite aréostationnaire, on vérifie bien que sa vitesse relative WE(O) est nulle. On note aussi que Ta = lSid, ce qui est légèrement différent de lM = 1 sol. Les deux lunes naturelles de Mars sont notées dans le tableau 15.5,
sur1811 tours


Indice max.

V = 12.5764

le = 12.5764

CU 90°), etc. Pour l'étude du mouvement réel et la caractérisation des orbites remarquables, interviennent les grandeurs géodésiques et astronomiques notées dans les tableaux 16.2(c) et (d).

16.2. Grandeurs géodésiques et astronomiques (planètes)

16.2.2

725

Satellite en orbite képlérienne

Comme nous l'avons déjà vu, lorsqu'un satellite est en orbite (demi-grand axe a) autour d'une planète, la période T o de son mouvement képlérien est donnée par l'équation (5.5). On peut aussi calculer la période TO(h=O) du satellite fictif d'altitude O. En considérant la masse volumique moyenne p de la planète, on écrit: IL = pVQ, le volume de la planète supposée sphérique étant V. Avec l'équation (5.6), on obtient: (37r 1 5 _l (16.2) TO(h=O) = vp = 3.758410 P 2

Vç .

Cette relation montre que la période képlérienne TO(h=O) peut s'exprimer uniquement en fonction de la masse volumique moyenne du corps attracteur. La Terre étant la planète la plus dense du Système solaire, la période TO(h=O) est la plus courte. Inversement, la période la plus longue est pour un satellite orbitant autour de Saturne. En utilisant la densité moyenne d par rapport à l'eau et en exprimant la période en minutes, on obtient: TO(h=O)

(min) ,,-,198

1

(16.3)

d-2

La période képlérienne pour un demi-grand axe a peut alors s'écrire, avec la distance relative 'fi = aiR: (16.4) La figure 16.4 représente les graphes de variation de de TI = aiR.

16.2.3

ToITo(h=o)

en fonction

Cartes géographiques

Parmi les planètes, seules les telluriques sont cartographiables, au sens où on définit une carte géographique. La surface cartographiable (calculée sur l'ellipsoïde), exprimée en millions de km 2 , prend la valeur suivante, pour chaque planète: 75 pour Mercure, 460 pour Vénus, 510 pour la Terre (140 pour les terres émergées et 370 pour les fonds marins), 143 pour Mars. Ce qui fait un total, pour ces quatre planètes, de 1 188. On peut noter aussi 18 pour Pluton et 2.6 pour le plus gros des astéroïdes (et 0.001125 pour 433-Eros). Nous parlerons des cartes de satellites naturels un peu plus bas. La géographie de Mars (volcans, bassins d'impact, etc.) a été décrite, dans ses grandes lignes, au chapitre précédent. Nous n'insisterons pas ici sur la géographie de Vénus ou des autres planètes telluriques. Nous utilisons dans ce chapitre, comme fond de carte des représentations de trace ou d'orbite, les cartes suivantes:

726

Chapitre 16. Satellite d'autres corps célestes

- pour Vénus, la carte topographique réalisée à partir des données de l'instrument SAR (Synthetic Aperture Radar) à bord de Magellan; - pour Eros, la carte topographique réalisée à partir des données de l'altimètre à bord de NEAR. Dans les deux cas, les courbes de niveau sont tracées avec un pas de 2 km, celles de niveau 0 (altitude origine) sont en trait gras, celles d'altitude positive, en trait continu, celles d'altitude négative, en traits tiretés. Dans le cas des planètes, le méridien origine est pris de manière arbitraire (voir note A iry pour la Terre et Mars).

16.3 16.3.1

Satellite de planète en orbite réelle Accélérations perturbatrices

La notion de sphère d'influence, développée dans l'annexe à la fin du chapitre 6, permet de connaître la distance au-delà de laquelle on ne peut plus négliger la perturbation due au Soleil. L'application de l'équation (6.156) donne les valeurs du rayon PE pour toutes les planètes. Les résultats sont donnés dans le tableau 16.2(b) où ils sont utiles pour la comparaison avec les valeurs du tableau 16.2(c). La variation de l'accélération centrale et des accélérations perturbatrices a déjà été tracée pour la Terre (figure 6.1), et pour Mars (figure 15.8). Pour compléter la liste des planètes telluriques, nous avons tracé ces mêmes graphes pour Mercure et Vénus, dans la figure 16.5(a) et (b), avec les mêmes notations, reprises du tableau 6.1 (dans lequel, évidemment, on remplace l'accélération terrestre par l'accélération de la planète considérée). Pour ces deux planètes, il n'y a pas d'accélération perturbatrice due aux termes J n , n ~ 3, puisque ces termes sont pratiquement tous nuls. L'accélération ÎCCN.J2, due au terme en h, très faible, est vite supplantée (pour h cv R), par l'accélération perturbatrice ÎCS de l'attraction solaire. Pour Mercure, l'accélération perturbatrice ÎDP due à la pression de radiation solaire est encore mal connue. Pour Vénus, le frottement atmosphérique engendre une accélération ÎDF qui peut être très importante, dépendant fortement de l'altitude et de la forme du satellite. La pression de radiation solaire, provoquant l'accélération perturbatrice notée ÎDP, arrive sur le satellite, directement et indirectement, par effet d'albédo (l'albédo moyen de Vénus est très élevé: 0.76).

16.3.2

Classification des satellites

Mouvement de rotation des planètes

Les valeurs notées dans les tableaux 16.2(a) à 16.2(d) montrent que les deux planètes les plus proches du Soleil ont une période de rotation Jsid

16.3. Satellite de planète en orbite réelle

727

très longue: 58.646 jours pour Mercure 28 (exactement 2/3 de la période de révolution sidérale) et 243.018 jours pour Vénus 29 . Pour ces deux planètes, le jour est plus long que l'année. Cela est dû à la proximité du Soleil. Pour les suivantes, Terre et Mars, cette période Jsid est d'un jour environ et pour les planètes géantes, de Jupiter à Neptune, elle est de l'ordre de la dizaine d'heures. Satellite planétosynchrone

Pour les satellites stationnaires par rapport à la planète, nous avons calculé, avec la relation (7.67), la valeur de l'altitude relative f/GS pour une orbite képlérienne (pour la Terre et Mars, les valeurs calculées aux chapitres 7 et 15 concernent l'orbite képlérienne puis réelle), liée à J sid . Elles sont notées dans le tableau 16.2( c). Ces résultats appellent les commentaires suivants: - pour Mercure et Vénus, les valeurs de 'T)GS sont si grandes que cette orbite est impossible à obtenir, car l'attraction perturbatrice solaire devient très forte pour ces altitudes; ces orbites sortent très nettement de la sphère d'influence de la planète; - pour la Terre et Mars, f/GS vaut environ 6 ; - pour les planètes géantes, f/GS est aux environs de 2 ou 3 ; - pour Pluton 30 , la position du satellite stationnaire est plus complexe à étudier (il n'y a pas d'urgence pour un tel projet !). Satellite héliosynchrone

Pour obtenir la condition d'héliosynchronisme (7.91), il faut un terme J 2 important si la planète est proche du Soleil (puisque sa période de révolution sidérale est courte) et, inversement, un terme h faible si la planète est lointaine. 28D'après les astronomes, la proximité du Soleil aurait dû entraîner pour Mercure un phénomène de résonance 1:1 (Mercure présentant alors toujours la même face au Soleil, comme les satellites naturels avec leur planète). C'est d'ailleurs ce qu'on pensait jusqu'en 1965, date à laquelle les mesures par radar (depuis la Terre) ont montré une période de rotation plus courte, de 59 jours. L'astrophysicien italien Guiseppe Colombo montra qu'il s'agissait d'un cas (très rare) de résonance 3:2 (c'est-à-dire 3 rotations en 2 révolutions), dû à la forte excentricité de l'orbite de Mercure. 29La planète Vénus est l'astre le plus brillant vu de la Terre (après le Soleil et la Lune). Elle est entourée d'une couche de nuage très épaisse - et ceci explique cela. La vitesse de rotation de la planète solide n'a été mesurée qu'à partir de 1962, avec l'utilisation des radars. Les nuages sont animés d'un mouvement de rotation beaucoup plus rapide (dit de « super-rotation»). En altitude (70 km), l'atmosphère fait un tour en 4 jours (ce qui correspond à des vents de 100 mis), dans le sens de rotation de la planète. 30La planète naine Pluton est accompagnée de Charon, découvert le 2 juillet 1978, par J. W. Christy. Ce satellite a une masse relative si importante (1/6 de la masse de Pluton) qu'on peut considérer l'ensemble Pluton-Charon comme une planète double. Le demigrand axe de l'orbite circulaire de Charon est ap = 19460 km et il est intéressant de noter que cette valeur est très proche de celle de l'orbite planétostationnaire. On a le rapport : ap/acs = 1.05.

728


r/R

2

3

4

5

6

7

8

10

1

1

1

1

1

1

1

1

12 14 161820 1

1 1 1 1 11111

Distance r 1000 km) 1

5 10

pente

N

o

-2

10.3

.s5 c 10

+1

o

:;::;

~

-<J..)

:ai 10

o

-7

~

i

l< -.-

o

-4

1000

-3

10000

MERCURE

Altitude h (km)

r/R

5

7

8

9 10

2

3

4

5

6

7

8

10

1

1

1

1

1

1

1

1

Distance r (1000 km) 20 30

40

50

60

12 1

14

1 1 1 1

70 80

100

10

pente -2

C

o

10

-5

+1

-7

o

:;::;

~

-<J..)

:ai 10

~

-4

-3

o

1000

10000

Altitude h (km)

VENUS

16.5 : Représentation des accélérations en fonction de la distance r du satellite au centre de la planète. Double échelle logarithmique. (a) Mercure; (b) Vénus.

FIG.

16.4. Trace du satellite d'une planète

729

Or, comme nous avons vu, si la planète est proche du Soleil (Mercure, Vénus), elle est bloquée dans sa rotation sur elle-même et l'aplatissement planétaire est très faible: h est donc très faible, quasiment nul. L'héliosynchronisme est donc impossible. Si elle est éloignée du Soleil (planètes géantes), sa rotation rapide a créé un aplatissement important : J 2 est grand. Pour contrebalancer son effet, l'orbite doit présenter une valeur (cos i) très faible, qui est de fait une valeur pratiquement nulle. L'orbite est donc polaire (à quelques centièmes de degré près). Mais que signifie vraiment l'héliosynchronisme pour un satellite autour de Jupiter, planète qui met 12 ans à faire le tour du Soleil, ou autour de Neptune, qui en met 165! Pour les deux planètes intermédiaires, Terre et Mars, on peut obtenir cette condition. Les résultats des calculs de kh, constante d'héliosynchronisme, obtenus par la relation (7.94), sont donnés dans le tableau 16.2(d), où on a noté également, par 'f/m, la valeur de la distance relative maximale rlHSmax, obtenue pour i = 180 0

•

Orbite gelée

Nous avons vu au chapitre 11 que le principe du gel de l'orbite du satellite est de jouer sur la compensation entre les diverses variations de la position du périastre du satellite (variation séculaire et variation à longue période). Dans le calcul de l'excentricité gelée intervient le rapport J 3 / h. Pour qu'une orbite gelée soit intéressante, il faut que l'excentricité gelée eG, qui est de l'ordre de (1/2) J 3 / h, soit inférieure à 0.01, car au-delà les différences d'altitude sont trop importantes. Le terme J 3 est un terme zonal (symétrie axiale) rendant compte de la dissymétrie entre les hémisphères Nord et Sud. Pour Mercure et Vénus, pratiquement sphériques, h est nul ou extrêmement faible. Pour les planètes géantes, h est nul car la plasticité de ces planètes n'engendre que des coefficients zonaux pairs, notés hn (symétrie par rapport au plan équatorial, dite symétrie nord-sud). Les deux seules planètes qui peuvent avoir un satellite en orbite gelée sont donc la Terre et Mars. Pour les orbites héliosynchrones gelées, on rappelle que l'argument du périastre, lié au signe de h, est WG = 90 pour la Terre, WG = 270 pour Mars. 0

0

16.4

Trace du satellite d'une planète

La trace du satellite sur plusieurs révolutions se caractérise par le décalage équatorial, qui dépend essentiellement de la vitesse de rotation de la planète. Pour la Terre ou Mars, le décalage équatorial est de l'ordre de 25 pour un satellite en orbite basse. Pour les planètes géantes, il est deux à trois fois 0

730


16.6 : Carte de Mercure obtenue par des images prises lors des 3 passages de Messenger (pro). Plate-carrée). Résolution: 0.5 km/pixel. Document: NASA, JHU/ APL, US Geological Survey.

FIG.

plus grand. Mais pour Mercure et Vénus, qui tournent très lentement sur elles-mémes, le décalage équatorial est très faible. Nous présentons ici la trace de satellites en orbite autour de Mercure, autour de Vénus et autour des astéroïdes Eros, Vesta et Cérès.

16.4.1

Satellite de Mercure

La planète Mercure n'a été visitée que par deux sondes, Mariner-10 et Messenger. Il existe de plus le projet BepiColombo. La sonde américaine Messenger (Mercury Surface, Spa ce Environment, Geochemistry and Ranging) - on remarquera la référence mythologique à la fonction principale du dieu Mercure ou Hermès - avec lancement en 2004 et six assistances gravitationnelles 31 s'est placée en 2011 sur une orbite très excentrée (h p = 200 km, ha = 15193 km, i = 80°, T = 720 min), voir figure 16. 7( a). Le périastre est positionné à la latitude de 60 N, afin d'étudier de plus près le bassin d'impact Caloris. La mission en orbite doit durer 12 mois, c'est-à-dire 2 jours solaires mercuriens 32 , voir la figure 16. 7( a). La carte de Mercure (figure 16.6), avec une définition de 500 mètres par 0

31 Lancé 2004 07 30, Terre - survol (altitude: 2295 km) 2005 07 29, Vénus - survol 1 (ait. : 3000 km) 2006 1023, Vénus - survol 2 (ait. : 300 km) 2006 10 23, Mercure - survol 1 (ait. : 200 km) 2008 01 14, Mercure - s. 2 (ait. : 200 km) 2008 1006, Mercure - s. 3 (ait. : 200 km) 2009 09 29, Mercure - orbite d'insertion 2011 03 18. 32 Pour un point de Mercure, le jour dure 176 jours terrestres: à 88 jours de nuit succèdent 88 jours de lumière. Cette durée de 176 jours correspond à deux révolutions autour du Soleil. Un jour herméen (mercurien) est exactement égal à deux années herméennes (résonance 3:2).


731

[MERCURE] Messenger Orbite par rapport à Mercure


a =10136.200 km

Inclinaison = 80.00

e = 0.739577



0

h_a = 15193 km; h_p = 200 km; arg.périastre: +61.57

Projection: Orthographique Propriété: (sans) ~

T.:Azimutal - Grille : 10

0

Centre Project.: 15.0 N; 90.0 E Aspect: Oblique 0

H

[-90.0/+750/ +0.0[[-1

0

Longitude premier passage: N.a.: 160.75 0 _ Apo.: 0.00 0

IAU91

If;iWII

MC

[MERCURE] MMO BepiColombo Orbite par rapport à Mercure


a = 8640.000 km

Inclinaison = 90.00

e = 0.671320



0

*

Propriété: (sans) ~

T.:Azimutal - Grille : 10

0

Centre Project.: 15.0 0 N; 0.0 Aspect: Oblique

H

[-90.0/ +75.0/ +90.0[[-1

IAU91

0


N.a.: 90.00

0

_

Apo.: -91.21

0

LMD

ATÀaç



0

0

If;iWII

MC

*

LMD

ATÀaç

FIG. 16.7 : Orbite de satellite dans un référentiel lié à la planète Mercure, sur 3 jours. (a) Messenger; (b) BepiColombo MMO.

732


pixel, est une mosaïque d'images prises lors des trois survols de la planète par Messenger, en 2008 et 2009. Elle est complétée par quelques données de Mariner-10, de 1974 et 1975. La sonde BepiColombo, mission conjointe 33 entre l'Europe et le Japon, doit être lancée en août 2014 pour arriver à destination en décembre 2020, après cinq assistances gravitationnelles (Terre, deux fois Vénus, deux fois Mercure). La sonde est constituée de deux orbiteurs MPO (Mercury Planetary Orbiter, responsabilité ESA) et MMO (Mercury Magnetospheric Orbiter, responsabilité JAXA), prévus sur une orbite excentrée, polaire (i = 90°), avec périgée à l'altitude hp = 400 km. L'altitude de l'apogée sera ha = 1 500 km pour MPO et ha = 12000 km pour MMO, de telle sorte que la période du second, T = 560 min, soit un multiple de celle du premier, T = 140 min, voir la figure 16. 7(b).

16.4.2

Satellite de Vénus

La sonde Magellan (dont le nom rend hommage au navigateur portugais du XVIe siècle), en orbite autour de Vénus, de 1990 à 1994, a parfaitement rempli ses missions, dont la principale était de cartographier la planète (ce qui a été fait à 98%). Cette mission (Radar Mapping) était composée de trois cycles, chacun de 243 jours, pour lesquels le satellite Magellan avait une orbite excentrée polaire (figure 16.9(a)), avec les caractéristiques: hp = 289.57 km, ha = 8458.5 km, i = 85.5", w = 170°, a = 10 425.8 km, e = 0.39176, Ta = 195.59 min soit 3.26 heures. On a représenté la trace de cette orbite sur un jour (= 24 h) (figure 16.10(a)), puis sur 4 jours (figure 16.10(b)). La cartographie radar n'était faite que pendant 37.2 min à chaque révolution, peu avant et peu après le passage au périgée. La durée du cycle de 243 jours correspond à J sid , un jour sidéral vénusien, qui est le temps que met la planète, dans un référentiel galiléen, a faire un tour complet par rapport à l'orbite du satellite, qui reste fixe dans ce référentiel. En effet, la sphéricité presque parfaite de Vénus (12 = 4.4098 10- 6, valeur très faible) et l'orbite quasi polaire du satellite impliquent des mouvements de précession pratiquement nuls. Pour l'orbite définie ci-dessus, on obtient, en degrés par jour: D = -6 10- 4 et LÜ = -4 10- 3 . Les trois images de la même zone(figure 16.8) sont prises avec un intervalle de 8 mois, correspondant à la durée d'un cycle (d'une journée vénusienne), en mars 1991, novembre 1991 et juillet 1992. Après ces cycles cartographiques, le satellite a été mis, par aérofreinage, sur une orbite circulaire, h = 250 km, pour des études géodésiques, puis 33n y avait, à l'origine, deux projets distincts : la sonde japonaise Mercury Orbiter et la sonde européenne BepiColombo Mercury Orbiter, ainsi nommée en l'honneur du mathématicien italien Guiseppe "Bepi" Colombo (1920-1984), évoqué plus haut. Le projet européen prévoyait un atterriseur, jugé ensuite trop coûteux.


733

16.8 : Zone de Vénus vue par le radar de Magellan lors de 3 cycles consécutifs. Taille: 400 km sur 100 km, centrée sur 47.5° S, 226.0° E. Document: NASA/JPL

FIG.

sacrifié dans un dernier windmill experiment d'un mois et demi (les panneaux solaires déployés transforment le satellite en une sorte de « moulin à vent» qui transmet les paramètres de l'atmosphère dans laquelle il finit par se consumer). Le modèle de potentiel gravitationnel de degré et ordre 21, JPL-VGM1B (JPL Venus Gravit y Madel), obtenu avec les données (Doppler radio tracking data) de Pioneer Venus Orbiter est passé au degré et ordre 90 grâce aux données de Magellan, avec le modèle MGNP90 (Magellan + PVO, 90th degree and arder) 34. La sonde européenne Venus Express (avec le même type d'instrument que Mars Express) a été lancée le 9 novembre 2005. Après 153 jours de voyage direct, elle est arrivée le 11 avril 2006 et s'est insérée en orbite pour être opérationnelle le 18 mai. Venus Express est en orbite polaire, très excentrée, 34Constante d'attraction planétocentrique /1, en km 3 S-2 : /1 = 324 858.60 ±0.05 pour JPL-VGMlB (1990); /1 = 324858.601 ±0.014 pour MGNP90 (1997).

734


[ VENUS] Magellan Orbite par rapport à Vénus


a =10425.836 km


e = 0.3918


Période = 195.59 min • Tours/j = 7.36 h_a = 8459 km : h_p = 290 km : arg. périastre:+170.00 '


Type: Azimutal

Centre Carte: 15.0' N: 4.0' W Aspect: Oblique [ -90.01 +75.01 +94.01


N.a.: -90.00 '- Apo.: 89.20'

MageUan Topogr. /h/2km/

MC

n·wv

*

LMD

ATÀlX Durée représentée: 4320.0 min = 3.00 jours

Période = 1424.71 min • Révol.lj.= 1.01 h_a = 66000 km: h_p = 250 km: arg.périastre: +70.00'

Projection: Orthographique Propriété: (sans) ~

T.:Azimutal- Grille : 30'

Centre Project.: 15.0' N: 90.0 'E Aspect: Oblique

N.a.:-179.28 '-Apo.: 0.00'

13.91 [-90.01 +7501 +0011-1 MGNP60

MageUan Topogr. /h/2km/


MC

n·wv

*

LMD

ATÀlX Durée représentée: 5760.0 min = 4.00 jours


0

0


0

·r"\;,.

. ;. .,-

,l'·

," \ Projection: Mercator Propriété: Conforme ~ T.:Cylindrique - Golle

Centre Project.: 64.0 N; 4.0 E Aspect: Oblique,. zoom : 1.75

Longitude premier passage: N.a.: -90.00 Apo.: 89.23

13.91 [+90.01 +640/-940] [-] MGNP60

Magellan Topogr. /h/2km/

0

10

0

0

0_

0

n~(')!1

MC

*

LMD

ATÀlXÇ'

FIG. 16.10: Trace de l'orbite du satellite Magellan: (a) sur un jour (terrestre); (b) sur 4 jours, la projection cartographique (Mercator oblique) est centrée sur Maxwell Montes.

736


a = 39 176 km, e = 0.839 (h p = 250 km, ha = 66000 km, T = 1 425 minutes), avec périastre à la latitude 70"N (figure 16.9(b)). Cette orbite, pratiquement fixe par rapport à la planète (comme toutes celles des satellites vénusiens), permet d'étudier l'atmosphère qui, elle, tourne en 4 jours environ. La sonde japonaise Planet-C (Venus Climate Orbiter ou VCO), rebaptisée Akatsuki ( Durée représentée:

0

0

Période = 1761.08 min • Tours/j = 0.82 Décalage à l'équateur = 294.7 km

0.0

0.0

N. asc. : -126.00

Projection: Hammer-Aitoff

Centre Carte:


Aspect: Direct


Type: Azimutal modifié

[ +0.0 1 +0.0 1 +0.0 1

NEAR Altim. /h/2km/

0

0

0

0

MC

n~Wl/

*

LMD

ATÀlXÇ'

FIG. 16.13 : Trace de l'orbite du satellite NEAR : (a) sur un jour (terrestre); (b) sur 7 jours.

740


/-i=Ç}Jv[

R Dl

D2, D3 go

Vz

TO(h=O) d PE PE/R

(m 3 .s- 2 ) (km) (km) (km) (mm.s- 2 ) (m.s- l ) (min) (s.d.) (km) (s.d.)

4.463 10 5 7.311 34.4 11.2; 11.2 2.1 +--> 5.5 3.1 +--> 17.2 121.18 2.67 308 37

as Nsid Nsid

e i

(ua)

(an) (j) (s.d.) 0

Jsid TjGS

h h

(h) (s.d.)

* * *

J4

1.458 1.76 643 0.233 10.8 5.27025 1.895 116.5 4.8 -37.5

16.3 : Caractéristiques géodésiques et astronomiques de l'astéroïde 433Eros. (résultats de la mission NEAR). Pour la signification des grandeurs, voir le tableau 16.2. Les dimensions de l'astéroïde sont appelées Di. La valeur des termes h, h, J4, marqués *, sont à multiplier par 10- 3 . On notera les unités inhabituelles utilisées ici pour go, Vz et les très fortes valeurs des termes J n .

TABLEAU

Astér. Cérès Vesta

/-i=Ç}Jv[

(m 3 .s- 2 ) 6.326004 1. 781691

1010 1010

R (km)

go (m.s- 2 )

Di (km)

To (m)

d (s.d.)

480/454 276/227

0.26/0.29 0.23/0.23

960/960/908 560/544/454

138 114

2.08 3.42

Astér.

as (ua)

Nsid (an)

e (s.d.)

(0)

Cérès Vesta

2.76636 2.36158

4.603 3.630

0.07934 0.08890

10.586 7.134

i

é

(0) ~4 ~

29

Jsid (h)

(s.d.)

TjGS

PE/R (s.d.)

9.075 5.342

2.491 1.995

2.744 2.454

16.4 : Caractéristiques géodésiques et astronomiques des deux astéroïdes 1- Cérès et 4- Vesta. Signification des grandeurs: voir les tableaux 16.2 et 16.3. Pour R et go, valeurs à l'équateur et au pôle. Période T o = TO(h=o).

TABLEAU

Orbite

h (km)

a

(km)

in

'id (h)

Rév./j

Rév./Jsid

Vesta 80 Vesta HAMO Vesta LAMO

2450 591 180

2726 867 456

90 90 90

58.92 10.68 4.20

0.408 2.259 5.714

0.09 0.50 1.27

Cérès 80 Cérès H Cérès L

5900 1300 700

6380 1780 1180

90 90 90

111.83 16.50 8.93

0.215 1.455 2.693

0.08 0.55 1.02

16.5 : Différentes orbites circulaires successives de la mission Dawn. Caractéristiques de l'orbite: h, a, i, Td. On a noté de plus le nombre de révolutions par jour moyen (=24 h) et par jour sidéral de l'astéroïde concerné.

TABLEAU


[1-CERES] Dawn 1 L Trace de l'orbite

Altitude = 700.0 km



Inclinaison

5.00 jours

=

90.00

741

a = 1180.000 km 0

Décalage à l'équateur = 2967.1 km

Projection: Aitoff


Propriété: (sans)

Aspect: Direct

* T.:Azimutal modo - Grille

: la'

H [ +0.01

+0.01 +0.01 [-1

0.0'

Noeud ase: 0.00 Inclin. app. = 134.53'

IAU91

0

MC

nu,;v

*

LMD

ATÀa:Ç

16.14 : Trace du satellite Dawn, pendant 5 jours, en orbite DawnjL autour de l'astéroïde l-Cérès.

FIG.

16.4.5

Satellite de planète géante

Les sondes en orbite autour de Jupiter ou Saturne ne sont pas véritablement classées dans la catégorie orbiteur. Alors qu'un satellite de la Terre, Mars ou d'une autre planète tellurique, effectue pendant des mois et des mois des révolutions sur son orbite quasiment inchangée, une sonde autour de Jupiter ou de Saturne change d'orbite à chaque révolution. Pour survoler telle ou telle lune, la sonde passe d'une orbite très excentrée à une plus circulaire, en faisant un usage fréquent des moteurs. Jupiter Galileo, en huit ans de mission, a parcouru 34 orbites autour de Jupiter, chacune ayant une période de plusieurs semaines 37 . 37Voici en exemple des premières orbites et leur appellation: G 1 - 1996 06 27, survol de Ganymède; G2 - 1996 09 06, Ganymède; C3 - 1996 11 04, Callisto; E4 - 1996 12 19, Europe. Puis (l pour lo et J pour Jupiter) : J5, E6, G7, G8, C9, CIO, E11-19, C20-23, l24-25, G28-29, C30, l31-33, J34.

742


16.15 : Deux des plus étonnants satellites de Saturne, photographiés par la sonde Cassini. (a) Hypérion, avec une strucure de «ruche », de densité très faible. Sa rotation est chaotique (il n'est pas bloqué en résonance 1:1 avec Saturne). (b) J apet, avec une partie très foncée et une autre très claire, présente sur son équateur une barrière montagneuse de 18 km d'altitude. Documents: Cassini 1maging Team, SSl, JPL, ESA, NASA.

FIG.


743

FIG. 16.16 : Deux satellites de Saturne, photographiés par la sonde Cassini. (a) Mimas. Des cratères d'impacts météoritiques recouvrent totalement sa surface. Le plus grand cratère a un diamètre de 130 km (à comparer avec le rayon de Mimas, de 200 km), avec une profondeur de 10 km et un pic central qui s'élève de 6 km. (b) Encelade. Une partie de la surface est cratérisée, une autre est recouverte de glace très propre, certainement renouvelée par cryovolcanisme. Cette dernière partie est striée de crevasses (comme des griffures de tigre) d'où sortent parfois des geysers de vapeur d'eau. L'albédo d'Encelade est proche de 1. Documents: Cassini 1maging Team, SS1, JPL, ESA, NASA.

744


La mission 38 Juno sera consacrée à l'étude de l'origine et de l'évolution de Jupiter. Après son insertion en orbité 9 , la sonde doit effectuer 32 révolutions, pendant une année. Nous revenons plus loin, dans le cadre de l'exploration des satellites, sur la mission EJSM-Laplace, en direction de Jupiter. Saturne

La mission Cassini se découpe, dans le temps, en trois grandes parties. La partie initialement programmée (Prime Mission), du 17 mai 2004 au 1er juin 2008, comporte 74 révolutions. Venant de la Terre, la sonde a survolé Phoebé le Il juin, avant son insertion en orbite (SOI), le 1er juillet. Après trois survols de Titan, le module Huygens est largué le 14 janvier 2005. La mission est ensuite plus particulièrement consacrée à la dynamique de l'atmosphère saturnienne, à l'occultation par les anneaux, aux satellites glacés. La mission étendue (Extended Mission), jusqu'au 11 octobre 2010, révolution 139, et la suivante - et finale - (Extended-Extended Mission), jusqu'au 18 septembre 2017, révolution 292, poursuivent les survols de Titan et de tous les autres satellites. Les dates de ces deux missions sont déterminées par la déclinaison de Saturne. La première (Ext. M., dite aussi Equinox Mission) est centrée autour de l'équinoxe (11 août 2009, 5 = 0°), la seconde (Ext. Ext. M.) se termine peu après le solstice (25 mai 2017, 5 = 26.7°). Dès son arrivée près de Saturne, la sonde Cassini a mis en évidence un mouvement vertical dans les anneaux, comme agités par des vagues, visibles sur la figure 16.3. Peu après, d'autres clichés ont permis de repérer des petits satellites 40 (jusque là inconnus), dans les anneaux, qui créent ces « ondes de densité» . Les découvertes 41 dues à la mission Cassini sont innombrables et nous en présentons ici quelques illustrations, figure 16.15 et 16.16 : - la structure en forme de ruche d'Hypérion (corps de forme grossièrement cylindrique, d'environ 370 km de long et 220 km de large) ; 38 Junon, en anglais (et en latin) Juno, est l'épouse de Jupiter. Le nom de cette mission est bien choisi: Juno ne s'intéressera qu'à Jupiter et ne jettera pas un seul regard sur la sublime Io, la royale Europe, la très belle Callisto et le jeune pâtre, Ganymède. 39Lancement : 2011 08 05; Assist. grav. Terre: 2013 10 09; Jupiter (JOI) : 2016 08 03. 40La petite lune Daphnis, découverte en mai 2005 grâce à la sonde, a un diamètre de 7 km. Elle se trouve dans la divison de Keeler, large de 42 km, à l'intérieur de l'anneau A. Sur la petite photo, figure 16.3(g.), on distingue les ondes créées, que ce soit dans le plan des anneaux ou perpendiculairement. Le mouvement dans la direction verticale est particulièrement bien mis en évidence par la lumière rasante, à une date proche de l'équinoxe de Saturne. 41 Les satellites dont il est question sont découverts depuis bien longtemps : Hypérion (noté aussi Saturne VII, ou S VII), par C. et G. Bond et W. Lassel, en 1848; Japet (S VIII), par J. D. Cassini en 1671 ; Mimas (S I) et Encelade (S II), par W. Herschel en 1789. L'apport de la sonde Cassini est de donner une image très précise de chacun de ces satellites et de montrer à quel point ils sont tous aussi différents.

16.5. Satellites naturels du Système solaire

745

- l'étrange bourrelet (une montagne qui court tout le long de l'équateur 42 ) de Japet (rayon R = 747 km) ; - le cratère disproportionné à la surface de Mimas (R = 199 km) ; -les «griffures de tigre» à la surface d'Encelade (R = 252 km), d'où sortent des geysers 43 de vapeur. Nous reparlons plus bas de Titan. Pour effectuer tous ces survols, la sonde Cassini a une orbite différente à chaque révolution 44 . L'excentricité change d'une orbite à l'autre, l'inclinaison varie de 'i = 0° à 'i = 75°. Les périodes de la sonde autour de Saturne sont de l'ordre d'une à trois semaines. La prochaine mission sur Saturne, TSSM en projet, sera plus particulièrement consacrée aus satellites de Saturne, comme nous le verrons un peu plus bas, à propos de Titan.

B 16.5 16.5.1

Satellite de satellite naturel

Satellites naturels du Système solaire Présentation des satellites naturels

Nous avons précédemment évoqué les satellites naturels des planètes telluriques. Pour les planètes géantes, le nombre de satellites connus a explosé après 1980, avec l'apport des missions Voyager et les progrès de l'optique adaptative pour les télescopes terrestres. Avant cette date, on comptait 13 satellites pour Jupiter, 11 pour Saturne, 5 pour Uranus et 2 pour Neptune. Le nombre actuel devient très important. On classe les satellites en réguliers et irréguliers. On appelle régulier un satellite qui se déplace dans le 42Cette montagne suit strictement la ligne équatoriale. Sa section normale est triangulaire, avec une base de 200 km et une hauteur de 18 km. 43 Ayant photographié ces geysers, la sonde Cassini a été programmée pour effectuer des passages plus fréquents sur Encelade. On a ainsi mis en évidence que l'eau des geysers était mélangée à des particules de glace et des composés organiques. La température de surface d'Encelade est de 75 K environ, mais plus élevée au niveau des crevasses. 44Voici quelques exemples d'orbites de Cassini. On note l'apoastre et le périastre en distance relative, respectivement Y/a = Ta/Ret fl p = Tp / R, en notant R le rayon de Saturne. Rév. 5 : i = 0.2° ; fla = 44.390, rl p = 3.498; T = 20.5 j; survol de Titan (2005 03 31). Rév. 6 : i = 7.4° ; Y/a = 37.956, y/p = 2.594; T = 16.0 j; Titan (2005 14 16). R. 49 : i = 0.5° ; Y/a = 69.031, y/p = 5.351; T = 39.7 j; Titan (20070831), Japet(09 10). Rév. 80 : i = 74.4 0 ; Y/a = 20.302, y/p = 3.941; T = 7.4 j ; Encelade (2008 08 11). Rév. 248 : i = 57.8° ; fla = 23.230, fl p = 5.578; T = 9.6 j ; Titan (2016 11 14). Rév. 292 : i = 61.6° ; fla = 21.165, fl p = 10.28; T = 6.5 j; Titan (201709 11).

746


même sens que la rotation de la planète, sur une orbite quasi circulaire, dans le plan équatorial planétaire; on appelle irrégulier 45 les autres. En 2011, on dénombrait 63 satellites (dont 8 réguliers) pour Jupiter, 54 (dont 21 rég.) pour Saturne, 27 (dont 18 rég.) pour Uranus, 13 (dont 6 rég.) pour Neptune. Quant à Pluton, il gravite en couple avec Charon qui fait 1/6 de sa masse. Il est évident que les satellites nouvellement découverts sont beaucoup plus petits. Certains n'ont que quelques dizaines de kilomètres de côté. En règle générale, si un satellite a un diamètre de plus de 400 km, il a une forme sphérique. Dans le cas contraire, sa forme s'éloigne d'autant plus de la sphère qu'il est petit. Pour tous les satellites naturels, l'inclinaison est définie par rapport au plan équatorial de la planète. Un seule exception, et de taille: la Lune. Notre lune ne gravite pas dans le plan équatorial de la Terré 6 . En ce sens, elle doit être classée dans les satellites irréguliers. Ces satellites naturels ont une caractéristique très importante : ils sont tous 47 en rotation synchrone, ou résonance 1:1 (une rotation pendant une révolution autour de la planète). Ils sont pratiquement fixes par rapport à un axe passant par leur centre de gravité et le centre de la planète. Comme la Lune pour la Terre, ils présentent toujours la même face à leur planète. Cet effet est dû au phénomène de maréé 8 .

16.5.2

Exploration spatiale des satellites naturels

Si on exclut la conquête lunaire (présentée en début de chapitre dans le cadre plus général de l'exploration de l'espace), il n'y avait pas de mission spécifique pour les satellites naturels, au début de l'ère spatiale. Si on leur rendait visite, c'était à l'occasion d'un voyage auprès de la planète. Cette situation a changé à partir de la mission Galileo, qui a permis des 450n pense que les satellites réguliers ont été formés en même temps que la planète. Les irréguliers auraient une histoire différente. Un satellite comme Néréide, en orbite très excentrée autour de Neptune (e = 0.75, i = 7°), donne à penser que certains satellites irréguliers sont probablement d'anciens astéroïdes, ou objets trans-neptuniens, capturés par l'attraction gravitationnelle de la planète. 46Le mouvement de la Lune est très complexe à étudier: c'est un mouvement à trois corps Lune-Terre-Soleil (/L/ /LN = 81.30059). L'orbite excentrée de la Lune fait un angle de 5.2° avec l'écliptique. L'inclinaison de l'orbite lunaire sur l'équateur terrestre varie donc entre 18.3° et 28.6°. Voir note Delaunay. 47Seules exceptions: deux satellites de Saturne, au-delà de Titan. Le plus lointain, Phœbé, a une orbite rétrograde et une rotation non synchrone. L'autre, Hypérion, coincé entre les orbites de Titan et Japet, a une rotation chaotique. 48La planète exerce une force de marée sur le satellite naturel (beaucoup plus forte que celle exercée par le satellite sur la planète). Les frottements visqueux à l'intérieur du satellite, la dissipation d'énergie, ont à la longue entraîné un ralentissement de la rotation du satellite naturel. Lorsque la rotation est devenue synchrone, le satellite s'est déformé en une figure allongée dans la direction de la planète (la déformation de la Lune en direction de la Terre est faible, celle de Phobos en direction de Mars est énorme, relativement à la taille du satellite). À partir du moment où il est dans cette résonance 1:1, le satellite naturel reste bloqué dans cette situation par le couple de rappel exercé par la planète.

16.6. Grandeurs géodésiques et astronomiques (satellites naturels)

747

découvertes fondamentales sur les satellites galiléens de Jupiter. Et la mission Cassini-Huygens passe plus de temps à observer les satellites de Saturne que la planète elle-même. Les prochaines missions, en projet, vont dans ce sens, que ce soit vers Jupiter, avec EJSM-Laplace, ou vers Saturne, avec TSSM.

16.6 16.6.1

Grandeurs géodésiques et astronomiques (satellites naturels) Données géodésiques et astronomiques

Nous étudions ici, plus en détail, quelques satellites naturels: - la Lune, parce que c'est la Lune et qu'elle a été maintes fois heurtée et visitée par diverses sondes spatiales; - Europe, à cause de la présomption de présence d'eau liquide, et les trois autres satellites galiléens de Jupiter; - Titan, entouré d'atmosphère, et un autre satellite de Saturne, Encelade; - Triton, satellite de Neptune, qui possède une fine atmosphère et des geysers énigmatiques. On a noté, dans le tableau 16.6, les données géodésiques et astronomiques de ces corps, ainsi que les grandeurs déduites. Même si elle ne date pas de leur formation, la situation de blocage des satellites naturels est très ancienne. Elle a conduit à une déformation plus ou moins grande du satellite. D'ellipsoïde de révolution, son volume est passé à un ellipsoïde triaxial, pour lequel on peut définir, à partir de son centre 0, un rayon équatorial Rx (selon l'axe qui vise la planète), un rayon équatorial Ry orthogonal et un rayon polaire Rz. Pour rendre compte de cette déformation de volume et de répartition des masses, on utilise les coefficients harmoniques C 20 et C 22 , qui font intervenir les moments d'inertie Ix, Iy et Iz, vus au chapitre 3. On rappelle ces deux éléments du tableau 3.1 : (16.5) où NI est la masse totale et R = Rx. Pour une planète, on a vu que C 20 (avec la notation J 2 = -C20 ) rend compte de l'aplatissement et que C 22 est nul, ou pratiquement nul. Pour un satellite naturel, C 22 est inférieur à C 20 mais est du même ordre de grandeur. Pour un corps en équilibre hydrostatique, on démontre l'égalité: 10 3

(16.6)

Les modifications de trajectoire et de vitesse des sondes pendant le survol des satellites permettent de déterminer ces coefficients.

748

16.6.2


Satellite en orbite képlérienne

À condition de ne pas être à une altitude trop élevée (à définir plus loin), tout se passe, pour le satellite en orbite (demi-grand axe a) autour d'un satellite naturel, comme s'il ne subissait que l'attraction de ce corps. On note fLN la constante d'attraction de ce satellite naturel, fL restant la notation de la constante d'attraction de la planète correspondante. On peut appliquer toutes les relations vues pour l'orbite képlérienne en remplaçant fL par fLN, comme dans (5.5). La valeur de la période du satellite à altitude 0 est donnée par (5.6) ou (16.3). Par exemple, pour la Lune, avec d = 3.34, on obtient pour cette période: TO(h=O) = 198/J3.34 = 108 min. Les valeurs de TO(h=O) pour divers satellites naturels sont notées dans le tableau 16.6(a). La figure 16.4 représente les graphes de variation de To/To(h=O) en fonction de a/ R, R étant bien entendu le rayon du satellite naturel.

16.6.3

Cartes géographiques

Les satellites naturels des planètes sont cartographiables. La surface, exprimée en millions de km 2 , est notée dans le tableau 16.6( c). La surface totale des satellites naturels est 425, dont 232 pour l'ensemble des quatre satellites galiléens de Jupiter. Nous utilisons dans ce chapitre, comme fond de carte des représentations de trace ou d'orbite, les cartes suivantes: - pour la Lune, la carte topographique réalisée à partir de l'altimètre laser à bord de Clementine; les courbes de niveau sont tracées avec un pas de 2 km (avec la même convention pour les traits que pour les cartes de planète) ; - pour Europe, il ne s'agit pas d'une carte (dont la lecture aurait été difficile) mais de quelques images prises par Galileo, montrant la structure très particulière du sol. Nous n'insisterons pas sur la géographie de ces corps célestes. La géographie (depuis les premières observations de montagnes par Galilée) et la géologie de la Lune ont fait l'objet d'études très poussées. Dans le cas des satellites naturels, le méridien origine n'est pas choisi arbitrairement : on prend comme origine des longitudes le méridien exactement au centre de la face tournée vers la planète.

16.7 16.7.1

Satellite de satellite naturel en orbite réelle Accélérations perturbatrices

Pour un satellite en orbite autour d'un satellite naturel, la sphère d'influence évalue la région où l'accélération due à la planète « mère» est négli-

16.7. Satellite de satellite naturel en orbite réelle

749

geable par rapport à l'accélération centrale. Pour cela, on reprend les formules vues dans l'annexe Notion sur la sphère d'influence, où on remplace ILs par IL et IL par ILN (puisque pour le satellite, la relation planète/Soleil est ici remplacée par la relation satellite naturel/planète). On a noté dans le tableau 16.6 les rapports IL/ ILN et les résultats du calcul de Pz;. On remarque que, pour Europe, Pz; est très faible car sa masse est 40000 fois plus petite que celle de Jupiter. La variation de l'accélération centrale et des accélérations perturbatrices en fonction de l'altitude du satellite est représentée pour un satellite autour de la Lune, figure 16.17(a), pour un satellite autour d'Europe, figure 16.17(b). Les notations pour les accélérations sont adaptées du tableau 6.1. Pour l'accélération centrale, on a d'après (6.6), Iccc(R) = g(R) qui donne 1.62 m·s- 2 pour la Lune et 1.31 m·s- 2 pour Europe.

=

go,

La grande différence avec les cas, vus jusqu'ici, de satellites autour de planètes est évidemment la présence (et l'importance) du terme noté ICC1, accélération perturbatrice due à la planète centrale. Pour un satellite de la Lune, près du niveau du sol, ICCN.J2 est plus grand que ICC1 : IccN.J2(R) = 32.8 10- 5 m·s- 2 ICC1 (R) = 2.5 10- 5 m·s-2. Mais à partir de h rv 1000 km, ICC1 dépasse rapidement ICCN.J2. Pour un satellite d'Europe, ICC1 est toujours plus grand que ICCN.J2 : IccN.J2(R) = 0.8 10- 3 m·s- 2 Icc1(R) = 1.3 10- 3 m·s- 2. De plus, ce terme ICC1 augmente avec l'altitude (pente p = 1 en échelle log-log) et lorsque le satellite est à l'altitude d'environ 10 000 km, cette accélération, due à Jupiter, est supérieure à l'accélération centrale ICCC due à Europe. Dans ce cas, ICC1 ne peut plus être considéré comme une perturbation et le satellite n'est plus un satellite d'Europe!

16.7.2

Classification des satellites

Mouvement des satellites naturels Les satellites naturels étudiés, comme les autres, ont une rotation synchrone: J sid = N sid

le premier terme notant la période de rotation sidérale du satellite sur luimême, le second la période de révolution sidérale du satellite autour de la planète centrale. Cette période, pour les satellites notés ici, va de 27 jours pour la Lune à moins de 4 jours pour Europe et un peu plus d'un jour pour Encelade. Il faut noter que la révolution (et donc la rotation) de Triton se fait dans le sens rétrograde autour de Neptune.

750


Satellite Lune 10

Europe Ganymède Callisto Encelade Titan Triton Satellite Lune

/-lN =

(m 3

gMN

R (km)

S-2)

4.9028 5.9599 3.2027 9.8878 7.1793 7.2095 8.9782 1.4279

10 12 10 12 10 12 10 12 10 12 10 9 10 12 10 12

(Satellite) Planète

0

Satellite

N sid = J sid

(j)

e (s.d.)

Lune

27.321661 1. 769138 3.551810 7.154553 16.689018 1.370218 15.945446 - 5.878850

0.0555 0.0410 0.0090 0.0015 0.0070 0.0045 0.0291 0.0000

Europe Ganymède Callisto Encelade Titan Triton

l l II III

IV II

VI l

(km S-l)

1.62 1.80 1.31 1.43 1.24 0.11 1.35 0.78

2.38 2.56 2.02 2.74 2.44 0.24 2.64 1.45

'lO(h=O)

383398 421671 670090 1070339 1 882 580 238040 1 221 803 354759 i

(")

(s.d.)

108.31 105.46 114.23 142.14 146.25 159.75 144.41 137.86

3.34 3.53 2.99 1.94 1.83 1.61 1.88 2.06

(s.d.)

(km)

81.3 2.1256 104 3.9556 104 1.2812 104 1.7646 104 5.2626 10 6 0.4226 104 0.4788 104

57433 6820 8466 21196 32801 424 37709 10415

h

C 22

203 1860 436 128 33 2500 32 ?

22 559 132 38 10 2500 11 ?

*

ECL EQU EQU EQU EQU EQU EQU EQU

d

(min)

PE

/-l//-lN

(km)

5.16 0.04 0.47 0.20 0.28 0.02 0.30 156.83

Vi

S-2)

ap

n

Europe Ganymède Callisto Encelade Titan Triton

10

go

1737.4 1821.6 1565.0 2631.2 2410.3 252.1 2575.0 1352.6

Terre Jupiter Jupiter Jupiter Jupiter Saturne Saturne Neptune

10

(m

*

PE/R (s.d.)

33.1 3.7 5.4 8.1 3.6 1.7 14.6 7.7

Surface (10 6 km 2 ) 37.9 41.7 30.8 87.0 73.0 0.8 83.3 23.0

16.6 : Satellites naturels de planètes du Système solaire. Grandeurs géodésiques et astronomiques. Les données et les grandeurs déduites sont les mêmes que celles du tableau 16.2. Grandeurs spécifiques à ce tableau: constante d'attraction gravitationnelle du satellite naturel /-lN, demi-grand axe ap (planète-satellite naturel). L'inclinaison i est considérée sur le plan de l'écliptique (BeL) ou sur le plan équatorial de la planète (BQ U). La rotation du satellite est synchrone: Jstd = Nsid. Pour Triton, révolution rétrograde (signe -).

TABLEAU


r/R

2

3

4

5

6

7

8

1

1

1

1

1

1

1

12 1

16

20

751 24 28

1 1 1 1 111111111111111

la pente

-2 +1

N 10.3

o

55 c la o ~ ,Ci)

:w

~

la

+1

-7

a -4

0200

1000

5000

Altitude h (km)

r/R

LUNE

2

3

4

5

6

7

8

1

1

1

1

1

1

1

12

16

20

24 28

1 1 1 111111111111111

la pente +1 -2

C

la

-5

:w

la

-7

o

""~ '0)

~

+1

a

-4

a 200

1000

5000

Altitude h (km)

EUROPE

16.17: Représentation des accélérations en fonction de la distance r du satellite au centre du satellite naturel. Double échelle logarithmique. (a) Lune; (b) Europe.

FIG.

752


Satellite stationnaire

On montre, dans l'exemple ci-dessous, qu'il est impossible de placer un satellite stationnaire autour d'un satellite naturel. Exemple 16.4 Étude de la possibilité de placer un satellite en orbite synchrone par rapport à un satellite naturel, et plus particulièrement en orbite stationnaire. ~ Considérons un satellite naturel N en orbite (demi-grand axe ap) autour d'une planète P. La planète ayant une constante d'attraction 11, le satellite naturel parcourt l'orbite képlérienne avec le moyen mouvement nN

Sa vitesse de rotation sur lui-même, par rapport à un référentiel galiléen, notée est donc:

nT,

puisque la rotation est synchrone. Considérons un satellite en orbite (demi-grand axe a) autour du satellite naturel N. Le satellite naturel ayant une constante d'attraction I1N, le satellite parcourt l'orbite képlérienne avec le moyen mouvement no :

Pour que le mouvement du satellite soit synchrone avec celui du satellite naturel N, corps attractif, il faut obtenir la condition:

ce qui donne :

aas

=

a=

(16.7)

en notant aas le demi-grand axe de l'orbite stationnaire. Comparons maintenant cette valeur à PE, rayon de la sphère d'influence. En adaptant (6.156) au cas présent, on obtient: (16.8) Le satellite doit se trouver à l'intérieur de la sphère d'influence et donc vérifier l'inégalité: (16.9) aas < PE soit, avec les valeurs obtenues par (16.7) et (16.8)


753

et finalement :

(16.10)

/-iN> 8/-i

Cette condition est évidemment absurde: la masse d'un satellite naturel ne peut pas être plus grande que celle de la planète centrale. Il est donc impossible d'obtenir, au sens où nous l'avons défini ici, une orbite stationnaire pour un satellite de satellite naturel 49 .....

Satellite héliosynchrone

Nous étudions le cas d'un satellite en orbite héliosynchrone autour d'un satellite naturel. On peut calculer la constante d'héliosynchronisme par la relation (7.94). On peut aussi établir une relation entre khN et khP, constantes d'héliosynchronisme pour un satellite en orbite, respectivement, autour du satellite naturel N et autour de la planète centrale P. Avec les indices correspondants, on peut écrire : k hN = 3

Tsid

2 TO(h=o)N

J 2N

k hP

=

3

Tsid

2 TO(h=o)P

J 2P

Il est fondamental de noter que Tsid , période de révolution sidérale, est la même dans les deux cas: le satellite naturel N met le même temps que la planète P à effectuer une révolution autour du Soleil. On obtient alors: TO(h=O)P TO(h=o)N

(16.11 )

et en utilisant la relation (16.2) ou (16.3) avec les densités moyennes: (16.12) Revenons aux satellites naturels étudiés ici. Pour la Lune et Europe, on se reporte aux figures 16.17( a) et (b) indiquant les différentes accélérations. Pour la Lune, le calcul par (16.12) de la constante d'héliosynchronisme, kh = khN, donne : k h = 1.4725 49D'une certaine manière, les points de Lagrange offrent une possibilité de position stationnaire. Si un satellite est stationnaire par rapport à un satellite naturel, il est aussi stationnaire par rapport à la planète (à cause de la rotation synchrone du satellite naturel). Cela se produit lorsqu'il occupe la position d'un des cinq points de Lagrange. Il reste alors fixe par rapport au système satellite naturel-planète. Seules les positions L4 et L5 sont stables. Lorsqu'il se trouve au point L4 ou Lu, le satellite forme avec la planète et le satellite naturel un triangle équilatéral. Dans le cas de la Terre et de la Lune, le satellite se trouve donc à 380 000 km du satellite naturel. Pour un satellite d'observation, cette solution n'est pas intéressante. La mission STARS (abandonnée depuis sous cette forme) avait été envisagée au point Lu du système Terre-Lune, mais ce n'était pas pour observer la Lune ...

754


ce qui implique une inclinaison minimale : iHSmin =

133"

Pour un satellite en orbite basse autour de la Lune (LLO, Lunar Law Orbiting) , l'accélération perturbatrice de la Terre ÎCC1 est inférieure à celle due à l'aplatissement ÎCCN.J2. Si le satellite LLO est en orbite héliosynchrone, l'effet de la Terre, qui est plus du dixième de l'effet dû au terme J 2 de la Lune, aura vite fait (quelques jours) de sortir le satellite de cette orbite héliosynchrone. Pour Europe, la situation est plus radicale. Le terme ÎCC1 est toujours supérieur à ÎCCN.J2, même pour une altitude nulle: la perturbation due à l'effet gravitationnel de Jupiter est plus importante, quelle que soit l'altitude du satellite, que celle due à l'aplatissement d'Europe. On ne peut donc envisager une orbite héliosynchrone pour un satellite autour d'Europe.

Orbite gelée Par manque de données géodésiques très précises sur les satellites naturels, on ne peut étudier le cas des satellites en orbite gelée, sauf dans le cas de la Lune. Dans le cas de notre satellite naturel, les coefficients des harmoniques sphériques du potentiel gravitationnel sont bien connus (voir tableau 16.7). Pour un satellite en orbite basse quasi polaire (avec périgée gelé Wc = 270" puisque h > 0), l'excentricité gelée ec se calcule approximativement avec la relation (11.57), qui donne ec ~ 0.02, ce qui est relativement élevé pour une excentricité gelée. Pour d'autres inclinaisons, on peut avoir ec compris entre 0.01 et 0.001. Ces calculs sont en fait compliqués par la présence du terme h, dont la valeur est ici très importante.

16.8 16.8.1

Trace du satellite d'un satellite naturel Satellite de la Lune

Après la conquête lunaire (1959-1972), évoquée en début de chapitre dans le cadre plus général de l'exploration spatiale, puis trois Luna soviétiques (1974-1976), l'envoi de sonde et d'orbiteur s'arrêta pendant presque deux décennies. La sonde DSPSE (Deep Space Probe Science Experiment) , appelée Clementine, lancée le 25 janvier 1994, en orbite lunaire pendant 70 jours, a dressé une carte topographique très précise de la Lune. Son orbite était très excentrée (h p = 412 km pour le péricentre, ou périsélène; ha = 2 940 km pour l'apocentre, ou aposélène). Elle échoua ensuite dans sa rencontre avec l'astéroïde 1620-Geographos. La sonde Lunar Prospector, lancée le 7 janvier 1998, s'est mise en orbite quasi circulaire quasi polaire (h = 100 km, puis h = 40 et h = 30 km).

16.8. Trace du satellite d'un satellite naturel

755

16.18 : Images de la face cachée de la Lune. En haut. (g.) Photographie historique, prise par Luna-3, le 7 octobre 1959, lors d'un survol à 66000 km d'altitude. Document: Académie des Sciences de l'URSS. (dr.) Représentation (reconstitution Ixion/Atlas) de la Lune vue par Luna-3 lors de la prise d'image. Le méridien en trait plein sépare la face visible (à l'ouest, à gauche) de la face cachée (à l'est, à droite). En bas. (g.) Vue correspondante à la photographie historique, mais à partir d'images obtenues par les missions américaines. Document: NASA. FIG.

756


203.236626 8.475906 -9.591929

0.715409 -13.577715 -21.774733

-9.674866 15.496033 4.267023

16.7: Valeur des coefficients (Jn x 106 ) du potentiel de gravitation de la Lune, modèle LPLGM.

TABLEAU

Méthode utilisée Laser, LO-4 GLGM-1 GLGM-2 LPLGM

Année 1980 1993 1997 1999

Ji (km 3

S-2)

4902.799 4902.8026 4902.8029 4902.80106

Erreur ±0.003 ±0.0001 ±0.0002 ±0.00008

16.8 : Valeur de la constante d'attraction sélénocentrique mesurée Ji = yJvI et de l'erreur estimée. Évolution historique, avec notation de la méthode utilisée et de l'année.

TABLEAU

Elle s'est ensuite jetée volontairement sur le pôle Sud pour détecter, dans un puissant jaillissement, la présence éventuelle d'eau. Pas d'eau détectée. Les modèles de potentiel gravitationnel lunaire ont d'abord utilisé les mesures laser (LLR : Lunar Laser Range) effectuées grâce à des réflecteurs posés sur la Lune, puis les satellites Lunar Orbiter-1 à -5, Apollo-15 et -16, Clementine, pour les modèles GLGM-1 et 2 (Goddard Lunar Gmvity Model). Le modèle LPLGM (Lunar Prospector Lunar Gmvity Model) utilise en plus Lunar Prospector (voir tableau 16.8). La sonde européenne SMART-l, lancée le 27 septembre 2003, est restée pendant plus d'un an, jusqu'au 2 novembre 2004, en orbite autour de la Terre. Ensuite, à partir du 15 novembre 2004, elle a tourné autour de la Lune, jusqu'à ce qu'elle s'écrase volontairement, le 3 septembre 2006. Plus que d'étudier la Lune, le but de cette mission était de vérifier le fonctionnement de la propulsion à moteur ionique. En 2007 et 2008, trois pays asiatiques s'attaquent avec succès à la Lune. La mission japonaise Selene (Selenological and Engineering Explorer), renommée Kaguya après le lancement, le 14 septembre 2007, est composée d'un satellite principal (h = 100 km) et de deux satellites auxiliaires, Okina (Rstar ou Relay Sat, hp = 100 km, ha = 2400 km) et Ouna (Vstar ou V RAD Sat, hp = 100 km, ha = 800 km). Le satellite principal a été mis ensuite en orbite très basse (hp = 20 km, ha = 50 km), puis a été projeté sur le sol lunaire, le 10 juin 2009. Toutes ces orbites sont polaires, i = 90°. Le Japon avait déja lancé le satellite Hiten (Muses-A) en 1990. Les missions chinoises Chang'E (du nom d'une divinité lunaire) ont pour but principal de cartographier la Lune et de préparer des missions habitées:


757

Chang'E-1, lancé le 14 octobre 2007, en orbite polaire circulaire (h = 200 km) jusqu'à l'écrasement le 1er mars 2009; Chang'E-2, lancé le 1er octobre 2010, en orbite polaire circulaire (h = 100 km) puis elliptique (h p = 15 km, ha = 100 km). Le satellite indien Chandrayaan-1 (de chandra, «la Lune» et yaan, «le vaisseau»), lancé le 22 octobre 2008 s'est mis en orbite polaire circulaire (h = 100 km) le 12 novembre 2008. Les États-Unis ont réactivé leur attrait pour la Lune dans le cadre du programme Constellation 5o . Dans ce vaste cadre, figure le programme LPR (Lunar Precursor Robotic) qui a amené au lancement de la mission double LRO-LCROSS, le 18 juin 2009. Depuis le 23 juin, le satellite LRO (Lunar Reconnaissance Orbiter) est en orbite polaire circulaire (h = 50 km), dans un but de cartographie et d'enrichissement du modèle géodésique (voir figures 16.19, 16.23 et 17.22(a)). L'autre satellite, LCROSS (Lunar Crater Observation and Sensing Satellite) a réalisé un impact 51 sur la Lune (voir figure 17.22(b)), le 9 octobre 2009, en un lieu qui avait été déterminé par LRO. L'analyse des particules soulevées par le choc ont révélé la présence de glace d'eau. La mission GRAIL (Gravit y Recovery and Interior Laboratory) est l'équivalent, pour la Lune, de GRACE pour la Terre, avec deux satellites qui se suivent. Leur orbite est polaire circulaire (h = 50 km) et la distance entre GRAIL-A et -B est de 175 à 225 km. Dans les exemples qui suivent, nous représentons quelques révolutions de la trace de Clementine et de LRO. En souvenir de la glorieuse exploration lunaire, nous avons ci-dessous une pensée pour Luna-3 et Apollo-15. Sur toutes les cartes de la Lune, nous avons fait figurer, par un trait continu épais, les méridiens 90 E et 90 W qui délimitent symboliquement la face visible et la face cachée. 0

0

Exemple 16.5 Découverte de la face cachée de la Lune. ~ Le cliché historique est reproduit, figure 16.18. À côté, nous avons représenté la Lune vue dans les mêmes conditions, à la distance de 38 rayons lunaires. Sur la partie gauche de la photographie et de la carte (face visible) on reconnaît la tache sombre de Mare Crisium (centrée sur 17.0 o N, 59.1°E). La face cachée, incomplètement photographiée par Luna-3, fut ensuite mieux connue grâce à Zond-3, puis complètement cartographiée par les orbiteurs américains (Orbiter-3, -4, Explorer-35, Orbiter-5), préparant en 1967 les zones d'atterrissages pour 50Ce programme, lancé en 2004 sous G. W. Bush, se veut aussi ambitieux que le programme Apollo voulu par J. F. Kennedy: se donner les moyens pour aller sur la Lune puis sur Mars. Il a été révisé sous la présidence de B. H. Obama. Il est possible que l'étape Lune soit sautée et remplacée par une visite habitée à un astéroïde. À suivre ... 51 Le satellite LCROSS, qui était resté solidaire du dernier étage de la fusée Centaur, s'est mis en orbite géocentrique très excentrée, survolant la Lune (T = 36 jours). Au bout de 3 révolutions, la fusée s'est détachée et a percuté la Lune. L'impact a été photographié et analysé par LCROSS qui suivait et qui s'est ensuite jeté à son tour, cinq minutes plus tard, près du pôle Sud.

758


La sonde soviétique Luna-3 fut lancée le 4 octobre 1959 et fit un survol de la face cachée de la Lune le 7 octobre. À la différence de ses successeurs, en orbite héliocentrique, Luna-3 était en fait un satellite de la Terre, sur une orbite très excentrée, de rayon d'apogée ra = 469 000 km, avec une période de 16.2 jours (il figure cependant aussi dans l'index à la rubrique sonde spatiale). Il a d'ailleurs brûlé en avril 1960 dans l'atmosphère terrestre.

le programme Apollo. On découvrit ainsi que les deux faces avaient un aspect très différent - ce qu'on voit bien sur la carte de la figure 16.20(b). Cette dissymétrie provient de ce que la croûte lunaire est plus épaisse sur la face cachée que sur la face visible (conséquence certainement de l'effet de marée). Les grands bassins de la face cachée n'ont pas été remplis d'épanchements basaltiques, comme ceux de la face visible, qui présente à la Terre ces grandes taches sombres, appelées « mers» depuis l'Antiquité ....

Exemple 16.6 Trace de l'orbite de l'orbiteur lunaire Apollo-15, durant sa mission de cartographie géochimique. ~ Pour les missions Apollo d'exploration humaine du sol lunaire, la capsule restait en orbite lunaire avec un astronaute (voir figure 16.20(a)). Les deux autres astronautes, dans le module lunaire (LM), quittaient la capsule pour se poser sur la Lune. Après un séjour d'un ou deux jours (et six pour Apollo-16), ils regagnaient la capsule qui se désorbitait de la Lune pour revenir sur Terre. Durant la mission Apollo-15, le module de commande resté en orbite a réalisé une expérience de cartographie géochimique (mesure du rayonnement gamma de la surface, résultant de la radioactivité naturelle de la croûte). La trace de l'orbite est représentée durant l'expérience, sur quatre jours, du 1 au 4 août 1971 (voir figure 16.20(b)). Le site d'atterrissage de cette mission était situé 26.10"N, 3.65"E, à la limite de la latitude maximale atteinte. On a tracé le cercle de visibilité de ce point pour le satellite (dès que la trace du satellite entre dans ce cercle, il est vu par le point. Les astronautes débarqués n'étaient pas longtemps en liaison avec le satellite en orbite !). On voit à quel point la surface balayée pendant quatre jours est peu importante dans le cas d'une orbite lunaire. Remarque cartographique. La Lune a été représentée, figure 16.20(b), en projection de Mollweide interrompue, dans laquelle le disque central représente la face visible. Les altitudes y sont plus basses que sur la face cachée ....


759

16.19 : Image de la face visible de la Lune, obtenue par assemblage de 1 300 images de l'instrument WAC (Wide Angle Camera), à bord de LRO, durant 2 semaines à la mi-décembre 2010. (g.) Détail obtenu avec la même caméra. Gouffre de 80 mètres de diamètre, de profondeur (estimée grâce à l'ombre) de 100 m, situé dans Mare Tranquillitatis. Document: NASA/GSFC, Arizona St. Univ. FIG.

760


[LUNE] Apollo-15 (Orbiter) Orbite par rapport à Lune »> Durée représentée: 1440.0 min

=

1.00 jour

Altitude = 113.3 km Inclinaison

= 154.00

a = 1851.300 km 0

Période = 119.06 min' Révol.lj.=12.10 Décalage à l'équateur = 30.2 km ( 1.0')


CP: 26.0' N, 24.0' W/CZ: 35.0' N; 30.0' W

Propriété: (sans)

Aspect: Oblique 13.511-90.0/ +64.0/+114.011 +5] LPLGM

r[ T:Azimutal- Grille : 10'

[LUNE] Apollo-15 (Orbiter) Trace de l'orbite »> Durée représentée: 5443.2 min = 3.78 jours

Noeud asc:

90.50'

I~L(')v

Clementine Topogr. /h/2km/

Altitude = 113.3 km

MC

*

LMD

ATÀCXÇ"

a = 1851.300 km

Inclinaison = 154.00' Période = 119.06 min' Révol./j.=12.10

Cercle de visibilHé pour h ii 10'

Projection: Mollweide Propriété: Equivalente 1[ T:Pseudo-cyl. - Grille: 10'

Centre Project.: 0.0' 0.0 ' Aspect: Direct [interrompu] 13.51 [+900/ +0.0/-900] [-] LPLGM

Noeud asc:

90.50'

Inclin. app. = 154.07'


nL(,)V

MC

*

LMD

ATÀCXÇ"

16.20 : (a) Orbite du satellite lunaire Apollo-15 (Orbiter), sur un jour. (b) Trace de l'orbite, sur quatre jours (mission de cartographie géochimique). Avec cercle de vue pour le module au sol, noté A 15.

FIG.


761

[ LUNE] Clementine Orbite par rapport à Lune


a = 3413.300 km

Inclinaison = 91.00

e = 0.3703



7.00 jours

0

h_a = 2940 km; h_p = 412 km; arg. périastre: -12.00


Type: Azimutal

Centre Carte: 70.0 0 N; 18.0 0 E Aspect: Oblique [ -85.01 +20.01 +72.0 [


N.a.: 179.80

0 -

Apo.: 178.69

0


MC


a = 3413.300 km

Inclinaison = 91.00

e = 0.3703


Période = 298.27 min • Tours/j = 4.83 h_a = 2940 km; h_p = 412 km; arg. périastre: -12.00


Centre C. (dr.): 50.0 0 S; 180.0 0 W


Propriété: (sans)

Aspect: Oblique

N.a.: 179.80

Type: Azimutal

[ -90.01 +140.0 1 -90.0 1

0 -

Apo.: 178.69

0


n~Wl/

*

LMD

ATÀlXÇ"

[ LUNE] Clementine Trace de l'orbite elliptique

0

0

MC

0

n~Wl/

*

LMD

ATÀlXÇ"

FIG. 16.21 : Satellite Clementine. (a) Représentation de l'orbite sur 7 jours (un quart de mois). (b) Trace de l'orbite sur 2 jours.

762


[LUNE] Clementine


a = 3413.300 km


Trace (h < 640 km) [ h ; altitude]

Inclinaison

=

91.00

e = 0.370300

0


7.00 jours

h_a = 2939 km; h_p = 411 km; arg.périastre; -12.00"


Centre ProjecL 0.0"

Propriété: Conforme r[ T.;Cylindrique - Grille; 10"

Aspect: Direct 13.511 +0.01 +0.01 +0.011-] LPLGM

0.0 "

[LUNE] LRO Trace de l'orbite

Longitude premier passage; N.a.; 0.00 "-Apo.; -1.11"


Altitude = 50.0 km

*

LMD

ATÀCX,

a = 1788.000 km

Inclinaison = 90.00"

»> Durée représentée; 2880.0 min = 2.00 jours

Période = 113.10 min' Révol./j.=12.73 Décalage à l'équateur = 31.4 km

Proj. : Stéréographique Propriété: Conforme r[ T.;Azimutal - Grille 10"

I~L(')v

MC

Centre Pr.(dr.); 90.0" N; 0.0" Aspect: Direct

13.51 [ +0.01

+0.01 +0.011-] LPLGM

Noeud ase:

0.00

1.0 ")

nL(,)V

0

Inclin. app. = 90.16"


MC

*

LMD

ATÀCX,

16.22 : Trace d'un satellite de la Lune. (a) Clementine, trace sur 7 jours (un quart de mois), pour les altitudes inférieures à 640 km (contrainte du laser altimétrique). (b) LRO, trace sur 2 jours.

FIG.


763

FIG. 16.23 : Image du piton central du cratère Tycho, prise au lever de soleil, le 10 juin 2011, par le satellite LRO, avec une résolution de 1.5 mètre par pixel. Le cratère Tycho, dans 1'hémisphère Sud, avec ses éjectas rayonnants, est l'un des endroits les plus repérables de la Lune. Le cratère a un diamètre de 85 km, le piton a une largeur de 15 km pour 2 km de haut par rapport au plancher du cratère. Document: NASAjGSFC, Arizona State Univ., LRO Team.

Exemple 16.7 Trace de l'orbite du satellite Clementine. ~ La sonde Clementine, dans sa mission lunaire de cartographie, était sur une orbite polaire très excentrée (voir figure 16.21(a)), avec le péricentre (périsélène) à la latitude de 28"S le premier mois, 29"N le second. Chaque cycle de mesure durait en effet un mois: c'est le temps qu'il faut au satellite pour observer toute la Lune (puisque c'est en gros le temps qu'elle met à tourner sur elle-même dans un référentiel galiléen). La trace de l'orbite a été représentée, figure 16.21(b), sur deux jours, soit 9.5 révolutions (1' = 5 heures). Ces révolutions correspondent aux révolutions 103 à 112, les 13 et 14 mars 1994, cycle 1. Remarque. La topographie très précise établie par Clementine a permis de mettre en évidence un gigantesque bassin d'impact, nommé Bassin Aitken-pôle Sud, de forme circulaire, de 2 500 km de diamètre. Il est centré sur le point 50"S, 180"E. Une des extrémités du diamètre est située près du cratère Aitken, 16.8"S, 173.4"E et l'autre près du pôle Sud. Ce bassin apparaît très clairement, figure 16.21(b)(dr.),

764


avec une projection orthographique centrée sur le centre du bassin. Parmi les instruments embarqués, Clementine possédait un laser altimétrique, du type LIDAR (Clementine Laser Image Detection And Ranging). Il ne fonctionnait que pour les altitudes inférieures à 640 km. La trace du LIDAR a été notée pendant 7 jours, figure 16.22(a) ....

16.8.2

Satellite d'Europe et de Ganymède

Après Juno, essentiellement consacrée à Jupiter, la prochaine mission vers la planète géante est EJSM-Laplace qui se tournera vers les quatre lunes galiléennes. Les quatre gros satellites naturels de Jupiter, les satellites galiléens, ont chacun entre la moitié et le double de la masse de la Lune. Ce sont, en partant de Jupiter, 10, Europe, Ganymède et Callisto, dont les mouvements sont liés par plusieurs résonances 52 . Les images de Voyager-1 et -2, affinées par celles de Galileo, ont permis d'avoir une bonne connaissance de ces satellites. 10 est parsemé de plus de 400 volcans, avec de fréquentes éruptions. Cette activité volcanique ne provient pas d'une tectonique de plaque, mais de la libération de la chaleur résultant des frottements énormes dus aux forces de marée créées par Jupiter. Europe apparaît comme couverte de glace d'eau (température: 110 K à l'équateur et 50 K aux pôles). Comme il semble qu'elle ait une source de chaleur interne (due aux phénomènes de marée), cela donne la possibilité d'un océan d'eau liquide sous la surface gelée. Eau liquide? Vif intérêt des planétologues ! Ganymède est le plus gros satellite du Système solaire. Il présente deux types de surface très bien différenciés : un terrain sombre très cratérisée et une croûte glacée, cisaillée de rayures. C'est le seul satellite qui possède une magnétosphère. On pense qu'un vaste océan (eau salée liquide) est situé à 150 km de profondeur. Callisto présente une surface régulière, sans montagne, couverte de cratères dans sa totalité. Il est possible que ce satellite recèle lui aussi un océan sous sa surface. Actuellement, ce sont Europe et Ganymède qui suscitent le plus d'intérêt pour des missions spatiales. (voir figures 16.24 et 16.25(a)). La mission EJSM-Laplace est une mission conjointe NASA-ESA (EJSM signifie Europa Jupiter System Mission et Laplace rend hommage à l'astronome), construite à partir de projets de mission américainé 3 et européenne séparés. Cette mission est constituée de deux satellites: JEO (Jupiter Europa 52Les trois premiers satellites galiléens, i = 1 à 3, sont liés par des relations entre les moyens mouvements, ni (ce qui constitue la résonance de Laplace) : nI - 2 n2 = n2 - 2 n3 = 0.7396 /jour. 53La NASA avait mené assez loin les études pour JIMO (Jupiter Icy Moons Orbiter), qui devait envoyer une sonde orbiter pendant 2 mois autour d'Europe, 4 mois autour de Ganymède et 4 autres autour de Callisto. Le projet a été abandonné en 2005. 0


765

Orbiter) est préparé par la NASA et JGO (Jupiter Ganymede Orbiter) par l'ESA. Après presque 6 années de voyage du type VEEGA, JEO effectue, après son insertion en orbite jovienne (J01), une visite des 4 satellites galiléens, pendant 30 mois : 4 passages sur 10, 6 sur Europe, 6 sur Ganymède et 9 sur Callisto. Ensuite, après l'inserton en orbite (E01), JEO cartographie Europe pendant 8 mois, en orbite circulaire quasi polaire, h = 200 km, i = 85° ou 95°. Pour JGO, le voyage est aussi du type VEEGA. Il se place ensuite en orbite d'insertion (J01) autour de Jupiter (r p = 13 RJ, ra = 245 RJ, en notant RJ le rayon de Jupiter). Après plusieurs assistances gravitationnelles de Ganymède et Callisto, JGO survole 19 fois Callisto à 200 km, en utilisant une résonance 1:1 puis 2:3 avec elle. Ensuite, c'est l'insertion en orbite autour de Ganymède (GO!) en orbite elliptique (h p = 200 km, ha = 10000 km, i = 86°, w = 170°), puis 80 jours en orbite elliptique et une manœuvre pour circulariser l'orbite (h = 200 km, i = 88°) pour 180 jours d'observation. Exemple 16.8 Trace de l'orbite de JEO (EJSM-Laplace). ~ Un satellite en orbite basse fait environ 10 tours par jour (terrestre) et le décalage équatorial est de l'ordre de 10°. Pour Jupiter Europa Orbiter, les caractéristiques de l'orbite pour la mission scientifique seront: h = 200 km, i = 85°. Nous avons représenté, figure 16.24, la trace de cette orbite et de la fauchée (f = 35°), sur une demi-journée, la trace de l'orbite sur un jour .....

16.8.3

Satellite de Titan

Le satellite naturel Titan est en orbite équatoriale, avec une excentricité relativement grande, autour de Saturne. Il a été découvert par Huygens en 1655, qui l'avait nommé Luna Saturni. Par sa taille et sa masse, c'est le deuxième satellite naturel du Système solaire, juste après Ganymède. L'atmosphère de Titan est 4.5 fois plus dense que l'atmosphère terrestre (au sol, 1.5 bar avec une température absolue trois fois plus petite que sur Terre). U ne photochimie riche (due au rayonnement ultraviolet solaire) aboutit à la synthèse d'une couche d'aérosols qui masque la surface dans le visible. Les images prises par Voyager-1 ne montraient pas le sol, mais uniquement une couverture nuageuse. La mission Cassini-Huygens a donné une vision beaucoup plus précise ... Le module Huygens, largué par Cassini, a effectué le 14 janvier 2005 sa plongée dans l'atmosphère de Titan, protégé par ses boucliers thermiques. L'atterrissage s'est fait en douceur grâce au déploiement correct de ses deux parachutes. Pendant cette descente de deux heures, des informations et des images de très grande qualité ont été envoyées, comme par exemple cette image, figure 16.26, obtenue avec l'intrument DISR (Descent Imager Spectral Radiometer) .

766


[ EUROPE] JEO (EJSM/Laplace) Trace de l'orbite

Altitude = 200.0 km


Période = 136.87 min • Tourslj = 10.52

a = 1760.700 km

Inclinaison = 85.00' Décalage à l'équateur = 263.1 km ( 9.7 ')

Centre C. (dr,): 36.0' N ; 122.0' W Aspect: Oblique

N. asc. : -135.00'

Propriété: (sans)

Type: Azimutal

[ -90.01 +54.01-148.0 [

Galileo Images


[ EUROPE] JEO (EJSM/Laplace) Trace de l'orbite »> Durée représentée: 720.0 min = 0.50 jour Trace des fauchées orthogonales

Altitude = 200.0 km

MC

n·wv

*

LMD

ATÀlXÇ

a = 1760.700 km

Inclinaison = 85.00' Période = 136.87 min • Tourslj = 10.52 Décalage à l'équateur = 263.1 km ( 9.7 ') .. Demi-fauchée: 35.0' => 144 km [ 1.0 min]

Propriété: (sans)

Centre Carte: 12.0' N; 83.0' W Aspect: Oblique,. zoom: 2.00

Type: Azimutal

[-86.51 +78.01+173.0]


N. asc. : -34.00' Recouvrement: 89.7' 90.0'

Galileo Images

MC

n·wv

*

LMD

ATÀlXÇ

FIG. 16.24: Satellite d'Europe, JEO de la mission EJSM-Laplace. (a) Trace sur un jour. (b) Trace sur une demi-journée, avec trace de la fauchée orthogonale.

767


[GANYMEDE] JGO (EJSM/Laplace)

Altitude = 200.0 km

Trace de l'orbite

Inclinaison = 88.00


a = 2831.200 km 0

Période = 158.67 min • Révol./j.= 9.08 Décalage à l'équateur = 254.7 km ( 5.5

Projection: Orthographique Propriété: (sans) Durée représentée: 1440.0 min = 1.00 jour


Inclinaison = 85.00


Centre Pr.(dr.): 36.0

Propriété: (sans)

Aspect: Oblique

H

0

N; 6.0 0 W

[·90.01 +54.01 +96.011-1 Rubincam

*

LMD

ATÀaç

a = 1552.600 km 0

Décalage à l'équateur = -170.1 km ( _7.2

0

)

0

[TRITON] Triton Orbiter Trace de l'orbite

'"cc '">. 0

E .~ 0

E 0

c

«

60 30 0 -30 - 60 - 90 -120 -150 -180 00

Excentricite e

Nombre d' ité ro ti ons 0

2

FIG.

17.2

3

4

5

6

Résolution du Problème de Kepler.

7

8

Chapitre 17. Planches couleur

FIG. 17.3: (a) Image radar de Hawaï prise par Envisat. (b)Images prises par ERS-2. © ESA. ©CLRC/NERC/BNSC/ESA.

785

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l4.2! [ -9001 +7001 +45.0] [+8] EGM96

EB T. :Azimutal - Grille : 10

Noeud asc. : -180.00

0

[00:00 TSM]


CP: 20.0 ' N; 45.0 'E ICZ 30.0' N; 60.0 ' E Aspect: Oblique

0

0

MC

a = 7243.678 km

Période= 101.93min *RévolJj.=14.13

Inclinaison = 20.00

Altitude = 865.5 km


>>> Durée représentée: 7.00 jours

Phasage

Megha-Tropiques Orbite par rapport à la Terre

LMD

ItiVJV ATÀCXÇ'

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= [15; -7; 16]233

a = 7077.715 km e = 0.000168

Incl. HELIOS. = 98.21 0

Altitude = 699.6 km

Aqua Orbite par rapport à la Terre

ATÀCXÇ

LMD

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16 FEV

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Projection : Guyou Propriété : Conforme EB T.[ln!. ellipt] - Grille 5°

0

0

0

0

[22:30 TSM] Bal. 1 Lacet tournant ail.

Noeud asc: -11 1.51

LMD

1~LVJV

*

ATÀ.O:Ç

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.* Demi-fauchée: 56.1 0 => 1222 km [ 0.10 min]

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Décalage à l'équateur = 2751 .9 km ( 24.7 0 )

MC

a = 7077.736 km

Période = 98.88 min • Révol.fJ.=14.56


Altitude = 699.6 km

Centre Project : 45.0 N ; 110.0 W Aspect: Transverse,. zoom : 3.50 15.311 -45.01 -90.0/+110.0] H EGM96

Tr.fauch. Lacet tournant (mode RAP) alterné [+12.00 min]

99.0 min = 0.07 jour

= [15; -7; 16] 233

>>> Durée représentée:

Phasage

Trace de l'orbite

Terra / GERES

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Aqua/MODIS

-30

-15

EB T.: Cyl indrique - Grille: 5'

15.31[+90.01 +M/ -90.01

Altitude = 699.5 km

[-901 EGM%

e = 0.000188

a = 7077.668 km

AJ'

••

T•••••• .••• "•••• "•••• ,...... ... ".

[NO RAD] 201007 11 05:05:24 TUC

[NO RAO] Révolution: 43541

Noeud asc: 127.76 · [13:36 TSM]

ItLWl/

ATÀc zoom : 8.00

-45

CP: 0.0' ; 0.0 ' /CZ: 25.0 • N; 88.0 ' W

-60


-75

xn

Propriété : Conforme

-90

Trace des fauchées orthogonales (mode

201007 11 21:00:00TUC > >> 1440.0min = 1.00 jour

Trace de l'orbite - Réfl. Spéc. [Cone D.-ouv.: 8.0"]

-.J CD W

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00

Projection: Guyou Propriété: Conforme El) T.:[lnt. ellipt.] - Grille

TSM (local)

10

01

0

02

03

05

0

06

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09

11

12

13

15

16

17

18

19

-

20

0

0

Aspect: Oblique> zoom: 4.60 j5.3! [+90.0/ +20.0/ -25.0] [-] EGM96

0

Noeud asc: -180.00

21

0

23

24

[00:00 TSM]

22

MC

heures

LMD ATÀCXÇ

niVJV

*

20 JUL

Rayon sol: 940 km [ 0.40 min]

. . ........' .... ,

14

** Demi-ouverture: 65.0 0

....

10

0

a = 7243.678 km

Période = 101.93 min * Révol./j.=14.13

Inclinaison = 20.00

'~l:;r\'''';~}l~\~l%_~i

,

08

]

Altitude = 865.5 km

CP: 20.0 N; 65.0 W/CZ: 12.0 N; 70.0 W

04

07

102.0 min = 0.07 jour

Trace des fauchées coniques / AZV=53S


Trace de l'orbite - Réfl. Spéc. [Cane D.-ouv.: 9.0 0

Megha-Tropiques / MADRAS

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>> 2880.0 min'" 2.00 jours

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Phasage

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MetOp-A okm 1600 km - Superposition (pt interm.) avec Aqua ••• •

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CJ

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m

-.J CD


FIG. 17.15: Cyclone Katrina vu par les satellites TRMM et GOES-12. © NASA, TRMM.

797

798


17.16: Images prises par l'imageur MISR à bord de Terra. (a) Bretagne. (b) Le Nil en Égypte. (§) NA SA/GSFC/LaR C/JPL, MISR Team.

FIG.


799

FIG. 17.17: (a)« Tatouages» sur Mars. (b) Cratère et étude chromatique. (§) HiRISE, MRO, LPL (U. Arizona), NASA. (§) ESA/DLR/FU Berlin (G. Neukum). (§) A. Spiga, LMD.

800

FIG.


17.18: Carte topographique ombrée de Mars d'après les données de MaLA.

(§) NASA/JPL, MaLA Team.

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Index

1958(32 .......................... 202 195900 ........................... 202 1959ry ........................... 202 1960i2 ........................... 202 19610001 ......................... 202 1961v ........................... 202 19610 ............................ 202 1962m .......................... 202 1962(3tL .......................... 202 1962(3v .......................... 202 A-1 .............................. 325 AAU jCubesat ................... 353 ACE ................... 226,227,334 ACE+ ........................... ~l ACE+-n ........................ 630 ACE-A .......................... 346 ACE-B .......................... 346 ACRIMSAT ................ 360, 387 ADE-A ........................... 74 ADEOS-1 ... 354, 414, 419, 450, 467, 485, 486, 505 ADEOS-2 354, 414, 449-451, 465, 505 ADM ............................ 351 AEHF-1 ......................... 364 AEM-1 et -2 ..................... 345 AEM-3 .......................... 328 Aeolus-ADM ................ 351,416 Aeros-1 et -2 .................... 276 AFP-731 ........................ 358 AfriStar ......................... 362 Agila-2 .......................... 362 Agile ............................ 382 AIM ................... 345, 448, 450 Ajisai ............. 74, 77, 79, 83, 330 Akari ............................ 385 Akebono .................... 332, 335 Almaz-1 ......................... 359 Almaz-T-2 et -T-3 ............... 359 ALOS ................. 354, 414, 450 ALO~2 ......................... ~O AISat-1 .......................... 355 Altika ............................ 84 Amos-2 .......................... 362 Anatolia-1 ....................... 363 Anik-1 .......................... 362 Anik-F1R ....................... 627 ANNA-lB .............. 74,202, 326 AOR-E .......................... 627 AOR-W ......................... 627 Apollo-lI .................... 83, 395 Apollo-14 ......................... 83 Apollo-15 ......................... 83 Aqua ... 348, 349, 413, 414, 419, 451, 531, 569, 571-572, 574, 576, 775, 776, 791, 793, 796 Aquarius ................... 448, 449

825

AquariusjSAC-D ........... 347, 360 ARGOS ......................... 391 ARIES-1 ........................ 354 Arirang-1 ......... 360, 414, 449, 451 Arirang-2 ................... 360, 414 Artemis ................ 364, 624, 627 ASCENDS ...................... 350 AsiaSat-1 ........................ 363 AsiaSat-3 ........................ 363 AsiaSat-3S ...................... 363 AsiaSat-5 ........................ 362 Astérix .......................... 325 Astra-1M ........................ 362 Astrid-1 et -2 .................... 328 Astro-E2 ........................ 383 Astro-F ......................... 385 Astro-G .................... 377, 386 Astron .......................... 383 Atlantis ................ 395, 714, 718 ATMOS-Bl ..................... 347 Atmosphere-1 et -2 .............. 336 ATS-1 à-5 ....................... 265 ATS-6 ....................... 81, 265 AUOS-SM-KF ................... 387 AUOS-SM-KI ................... 387 Aura .............. 347-349, 414, 451 AXAF ........................... 382 B~~4 .......................... ~2 B~~B .......................... ~3 BE-B et -C ....................... 74 Beacon-Explorer-1 et -2 ........... 74 Beidou-1A .................. 274, 623 Beidou-1B ....................... 623 Beidou-1 C ....................... 623 Beidou-2-G1 à -2-G4 ............ 620 Beidou-2-Il et -2-I2 .............. 620 Beidou-2-M1 .................... 619 Beijing-1 ........................ 355 BeppoSAX ...................... 383 BilSat-1 ......................... 355 Bion-lI ......................... 392 BIRD ........................... 355 Blues ............................ 275 BNSCSat ........................ 355 BNTS-1A à -lC ................. 623 Boitata .......................... 347 BrazilSat-B4 .................... 362 Cl (JPSS) .................. 397,398 C2 (JPSS) .................. 397,398 Calipso .. 347-349, 414, 421, 422, 451 CanX-2 .......................... 353 Canyon-1 ........................ 395 Canyon- 7 ................... 344, 395 Cartosat-1 ............. 353, 414, 450 Cartosat-2 ........ 353, 414, 449, 450 Cartosat-2A ................ 353, 414

826

Index Cartosat-2B ..................... 353 Cartosat-3 ....................... 353 CBERS-l .............. 354, 414, 451 CBERS-2 .............. 354, 414, 451 CBERS-2B ............ 354, 414, 451 CBERS-n ....................... 449 Celestis-l à -4 ................... 396 Celestis-7 ........................ 396 CGRO .......................... 382 Chalet-l ......................... 395 Challenger ....................... 395 CHAMP .... 75, 78, 81, 198, 326, 630 Chandra ..... 373, 382, 383, 780, 805 China-26 ........................ 364 ChinaSat-9 ...................... 362 ChinaStar-l ..................... 362 Chollian ......................... 345 Choma .......................... 350 Choros .......................... 350 Chuang Xin-l-02 ................ 354 CiS .............................. 397 CLARREO ...................... ~O CloudSat .......... 347-349, 414, 451 Cluster .......................... 335 Cluster-2 ........................ 335 COBE ........................... ~5 COBRA-n ............. 371, 379, 459 COBRAS/SAMBA .............. 386 Columbia ........................ 395 Compass-l/Cubesat ............. 353 Compass-G-n .................... 621 Compass-G 1 à -G4 .............. 620 Compass-I-n .................... 621 Compass-Il et -12 ............... 620 Compass-M-n ................... 621 Compass-Ml ................. 83, 619 Compton ........................ 382 COMS-l .................... 341,345 Copernicus ...................... 383 Coriolis ........... 361, 416, 449, 450 CORONAS-Photon .............. 387 CoRoT ....... 241, 389, 404, 405, 458 COSMIC-FormoSat-3-n ......... 340 COSMO-SkyMed-l à -4 .... 350,416, 448, 450, 451 Cross-Scale ...................... 336 CryoSat ......................... 355 CryoSat-2 ........... 83, 84, 355, 458 Cute1.7+APD2 .................. 353 CX-I-02 ......................... 354 CXO ............................ 383 D~C ............................. n D~D ............................. n Daichi ........................... 354 Darwin ..................... 227, 389 DE-A et -B ...................... 241

Deimos-l ........................ 355 Delfi-C3 ......................... 353 DESDynI ........................ 355 DFH-l .......................... 325 DFH-24 ......................... 338 DFH-30 ......................... 338 DFH-31 et -32 ................... 336 DFH-38 ......................... 335 DFH-46 .................... 328, 338 DFH-47 ......................... 328 DFH-50 ......................... 354 DFH-51 et -52 ................... 623 DFH-53 ......................... 338 DFH-54 ......................... 360 DFH-55 ......................... 354 DFH-56 ......................... 623 DFH-60 ......................... 328 DFH-61 ......................... 328 DFH-68 ......................... 392 DFH-70 ......................... 328 DFH-71 ......................... 328 DFH-78 et -79 ................... 354 DFH-80 ......................... 328 DFH-81 ......................... 328 DFH-90 ......................... 354 DirectTV-8 ...................... 362 Discoverer-l ..................... 357 Discoverer-14 .................... 357 Discoverer-18 .................... 357 Discoverer-27 .................... 357 Discoverer-34 .................... 202 Discoverer-35 .................... 358 Discovery ........................ 395 DMSP-4A F-l ................... 338 DMSP-4A F-13 .................. 338 DMSP-4B F-3 ................... 338 DMSP-5A F-l ................... 338 DMSP-5D2 F-8 à F-17 .......... 338 DMSP-5D3 F-18 ....... 338, 528, 530 DMSP-5D3 F-19 et F-20 ......... 338 DMSP-n ........................ 414 DODGE ......................... 391 DSCO ........................... 355 DSCOVR ....................... 355 DSCS-3A3 ....................... 364 DSC~3B6 ....................... 3M DSP-l et -2 ..................... 335 DSP-F-21 à -F-23 ............... 392 DubaiSat-l ...................... 356 DWSS F-l et DWSS F-2 ........ 338 Dynamics Explorer-l et -2 .. 241, 334 Early Bird (Intelsat-l) ........... 265 EarlyBird-l ..................... 356 EarthCARE .. 347,446,448,452,524 EarthView-Ol à -04 .............. 396 EarthWatch-l ................... 356

Index

Echo-1 ............. 74, 159, 202, 380 Echo-2 .................. 74, 159, 380 e-Corce ..................... 350, 450 Eddington .................. 227, 389 EGE ................... 376,390,459 EGP ..................... M,n,~O EGPM ................. 347, 351, 451 EGS-1 ............................ 74 Einstein ......................... 382 EIS-1 ............................ 358 Elektro-1 .......... 340, 341, 537, 538 Elektron-1 à -4 .................. 328 Ellipso Borealis ........ 282, 775, 790 Ellipso Borealis-n .276, 379, 459, 685 Ellipso Concordia-n ............. 379 Endeavour ....................... 395 EnMAP .................... 449, 450 Envisat ... 83, 84, 351, 414, 450, 451, 454,470, 773, 785 EO-1 .............. 348, 349, 414, 451 EO-3 ............................ 340 EOS-AM-1 ................. 349,413 EOS-Aqua ....................... 570 EOS-Chem-1 .................... 349 EO~LAM ....................... ~5 EOS-PM-1 .................. 349,413 EOS-Terra ...................... 570 EPE-A à -D ..................... 387 EPS-SG-Aet-B ................. 338 Equator-S ....................... 334 ERBS ...................... 347,404 ERM ............. 347, 446, 448, 452 EROS-Al ......... 356, 414, 448, 451 EROS-B .................... 356, 414 ERS-1 .75, 77, 83, 351, 353, 360, 414, 449-451, 453, 470, 487, 488 ERS-2 .75, 77, 83, 351, 360, 414, 451, 470, 773, 785 ERTS-1 ..................... 313, 348 Esafi-1 .......................... 362 ESSA-1 à -3 ..................... 337 ESSA-9 ......................... 337 Essaim-1 à 4 .................... 353 ESSP-1 .......................... 349 ESSP-2 .......................... 349 ESSP-3 .......................... 349 ESSP-4 .......................... 349 ESSP-5 .......................... 349 ESSP-6 .......................... 347 ESSP-7 .......................... 349 Etalon-1 .............. n, 79, 83, 326 Etalon-2 .............. n, 79, 83, 326 Eutelsat-W3A ................... 362 EUVE ........................... ~3 EXOS-A et -B ................... 335 EXOS-C ......................... 335

827

EXOS-D .................... 332,335 Exosat .......................... 383 ExperimentalSat-1 à -3 .......... 354 Explorer-1 ............. 324, 325, 334 Explorer-6 ....................... 337 Explorer-7 ....................... 337 Explorer-11 ...................... 382 Explorer-12 ................. 202, 387 Explorer-14 ...................... 387 Explorer-15 ...................... 387 Explorer-19 ....................... 74 Explorer-22 ....................... 74 Explorer-26 ...................... 387 Explorer-27 ................... 74, 81 Explorer-29 ....................... 74 Explorer-30 ...................... 387 Explorer-34 ...................... 334 Explorer-36 ....................... 74 Explorer-37 ...................... 387 Explorer-38 ...................... 386 Explorer-44 ...................... 387 Explorer-48 ...................... 382 Explorer-49 ...................... 386 Explorer-50 ...................... 334 Explorer-58 ...................... 345 Explorer-59 ...................... 226 Explorer-60 ...................... 345 Explorer-61 ................. 328, 417 Explorer-62 et -63 ............... 241 Explorer-66 ...................... 385 Explorer-67 ...................... 383 Explorer-68 ...................... 336 Explorer-69 ...................... 383 Explorer- 70 ...................... 334 Explorer- 71 ...................... 334 Explorer- 72 ...................... 392 Explorer- 73 ...................... 387 Explorer- 74 ...................... 386 Explorer- 75 ...................... 385 Explorer- 76 ...................... 392 Explorer- 77 ...................... 383 Explorer- 78 ...................... 334 Explorer- 79 ...................... 382 Explorer-80 ...................... 385 Explorer-81 ...................... 383 Explorer-83 ...................... 383 Explorer-84 ...................... 382 Explorer-85 ...................... 336 Explorer-86 ...................... 336 Explorer-87 ...................... 336 Explorer-88 ...................... 336 Explorer-89 ...................... 336 Explorer-90 ...................... 345 Explorer-92 ...................... 385 EyeSat-1 ........................ 353 FaSat-1 .......................... 353

828

Index

FAST ....................... 332, 334 Fermi ........................... 382 Ferret-2 ......................... 395 FGRST ......................... 382 FIRST .......................... 385 Fizeau ........................ 74, 83 FLOWER CITM-n ......... 379, 459 FLOWER-n ................ 379, 459 FormoSat-2 .. 354, 414, 449, 451, 455, 471, 472, 476 FormoSat-3A ............... 340, 630 FormoSat-3F ........... 340, 630, 631 FSW-2-3 ........................ 359 FuegoSat ........................ 355 FUSE ........................... 383 Fuyo-1 .......................... 354 FY-1A .......................... 338 FY-lB .......................... 338 FY-1C ...................... 328,338 FY-lD ...................... 338, 360 FY-2-n .......................... 536 FY-2A ...................... 345, 533 FY-2B ...................... 345, 533 FY-2C ................. 341, 345, 553 FY-2D ...................... 341, 345 FY-2E ...................... 341, 345 FY-3A ................. 333, 338, 339 FY-3B .......................... 338 GACM .......................... 346 GAIA ...................... 227, 384 Galaxy-15 .................. 362, 627 GALEX ......................... 383 Galileo-n ................... 606, 617 Garuda-1 ........................ 362 GAUGE ......................... ~O GCOM-C ....................... 354 GCOM-W ....................... 354 GEMS .......................... 383 Genesis ................ 226, 227, 721 GeoEye-1 ................... 356, 414 GEOS-1 .......................... 74 GEO~2 .......................... U GEOS-3 .............. 74, 77, 81, 360 Geosat .............. 74, 77, 360, 458 Geotail .......................... 334 GFO ......................... 83,458 GFO-1 ...................... 360, 380 GF~l ................... 77,~,~6 GIFTS .......................... 340 GIOVE-A et -B .............. 83, 618 GLAST ......................... ~2 GlobalStar-M001 ................ 380 GlobalStar-M004 ................ 380 GlobalStar-M060 ................ 380 GlobalStar-M064 ................ 380 GlobalStar-M065 ................ 380

GlobalStar-M072 ................ 380 GlobalStar-M073 ................ 380 GlobalStar-M078 ................ 380 Glonass Reg. Ext. . .............. 459 Glonass-711 ..................... 613 Glonass-736 à 738 ............... 613 Glonass-773 ..................... 613 Glonass-798 ..................... 613 Glonass-n ..... 83, 462, 606, 615, 616 Glonass-K1-11 ................... 613 Glory ............. 348, 349, 414, 451 GMS-1 à -5 ...................... 345 GO CE .. 75, 76, 78, 81, 198, 326, 416, 432,498 GOES-1 .................... 265, 340 GOES-2 ......................... 340 GOES-3 ......................... 340 GOES-4 ......................... 340 GOES-5 .................... 340, 533 GOES-6 ......................... 340 GOES-7 ............... 265, 340, 533 GOES-8 ........... 265, 340, 505, 533 GOES-9 ......................... 340 GOES-10 ................... 340, 341 GOES-11 ................... 340, 341 GOES-12 ......... 340, 341, 777, 797 GOES-13 ................... 340, 341 GOES-14 ........................ 340 GOES-15 ........................ 340 GOES-n .................... 533, 536 GOMS-1 ............... 340, 537, 538 Gonets-D1-1 à -Dl-12 ........... 380 Gonets-M-1 ..................... 380 GoreSat ......................... 355 GOSat ................. 348, 450, 451 GP-A ........................... 390 GP-B .................. 241, 330, 390 GPM-core ....................... 347 GPM-LIO ....................... 347 GPS-n voir Navstar/GPS-n ..... 601 GRACE .......................... 81 GRACE-A ... 74, 76-78, 83, 198, 326, 327, 331, 349, 630 GRACE-B ... 74, 76-78, 83, 198, 326, 327, 331, 349, 630 Granat .......................... 383 GRO ............................ 382 GSTB-v2A et -v2B .............. 618 GTL ............................ 334 H2A-LRE ........................ 83 Halca ....................... 377, 386 Haruka ..................... 377, 386 HCMM ..................... 345, 451 HealthSat- 2 ..................... 353 HEAO-1 à -3 .................... 382 Helios-1 et -2 (hélioc.) ........... 387

Index

Hélios-1A .............. 358, 414, 451 Hélios-lB .............. 358, 414, 451 Hélios-2A .... 349, 353, 358, 414, 451 Hélios-2B .... 305, 358, 414, 450, 451 Hélios-n .................... 305, 449 HeliasSat- 2 ...................... 362 Herschel .................... 227, 385 HESSI ........................... 383 HETE-2 ......................... 382 HG~1 ........................... ~3 HG~3 ........................... ~3 Himawari-6 ................. 345, 534 Himawari-7 ...................... 345 Hinode .......................... 387 Hipparcos .................. 227, 383 Hispasat-1D ..................... 362 HJ-1A ...................... 354,414 HJ-1B ................. 354, 414, 451 Homer ........................... 395 HSO ............................ 385 HST ............................. 382 Huan Jing-lA et -lB ............ 354 Hubble .. 227, 357, 382, 383, 396, 780 HY-1 ....................... 449,451 HY-1A .......................... 360 HY-lB .......................... 360 HY-2 ........................ 84, 451 HY-2A .......................... 416 HYDROS ....................... 349 HypSEO .................... 350,451 HypsIRI ............... 350, 449, 450 Ibuki .................. 348, 449, 450 ICE ............................. 719 ICESat . 290, 308, 309, 355, 404, 458, 467, 470, 486, 523, 688 ICESat-2 ................... 355, 458 ICO-G1 ......................... 379 IGS-1A et -lB ................... 359 IGS-3A et -3B ................... 359 IGS-4A .......................... 359 IGS-5A .......................... 359 IGS-Optical-1 ................... 359 IGS-Optical-3 ................... 359 IGS-Optical-4 ................... 359 IGS-Optical-4V .................. 359 IGS-Radar-1 ..................... 359 IGS- Radar-3 ..................... 359 Ikonos-1 ......................... 356 Ikonos-2 .......... 356, 414, 449, 450 IMAGE ......................... 334 IMEWS-2 ....................... 392 IMP-5 ........................... 334 IMP-8 ........................... 334 IMP-F .......................... 334 IMP-J ........................... 334 IMS-1 ...................... 353, 414

829

Inmarsat-3-F2 ................... 627 Inmarsat-3-F4 ................... 627 Inmarsat-3-F5 ................... 627 Inmarsat-4-F1 ................... 627 Innovation-1 ..................... 354 INSAT-1A à -lD ................ 345 INSAT-2A et -2B ................ 345 INSAT-2E ....................... 345 INSAT-3A .................. 341, 345 INSAT-3E .................. 345, 362 Integral ................ 374, 383, 462 Intelsat-1 F -1 .................... 265 Intelsat-702 ...................... 391 Intelsat-906 ...................... 362 Interball Aurora ................. 335 Interball Tail .................... 335 Interball-S2-A ................... 335 Interball-S2-X ................... 335 Interbol-1 et -2 .................. 335 Interbol-3 ....................... 335 Interkosmos-12 .................. 336 InterI(osmos-24 .................. 334 Intruder-1 ....................... 395 IOR ............................. 627 IOR-W .......................... 627 IQSY ............................ 387 IRAS ............................ 385 Iridium-4 ........................ 380 Iridium-8 ........................ 380 Iridium-83 ....................... 380 Iridium-86 ....................... 380 Iridium-90 ....................... 380 Iridium-96 ....................... 380 Iridium-97 ....................... 380 Iridium-98 ....................... 380 IillS ............................. ~7 IRNSS-GEO-n .................. 626 IRNSS-GSO-n ................... 626 IRS-1A .. 353,414,451,468,469,484 IRS-lB ....... 353, 414, 449-451, 469 IRS-1C ................ 353, 414, 451 IRS-lD ........... 353,414, 450, 451 IRS-lE .......................... 353 IRS-P2 .. 353,414, 451, 468, 469, 484 IRS-P3 ................ 353, 414, 451 IRS-P4 ..................... 353, 360 IRS-P5 .......................... 353 IRS-P6 ................ 353, 449, 451 IRS-P7 .......................... 353 ISEE-1 .......................... 334 ISEE-2 .......................... 334 ISEE-3 ............ 226,227,334,719

œo ............................. ~5

ISS .................... 395, 421, 501 ItamSat ......................... 353 ITOS-1 .......................... 337

830

Index

Jason-1 75, 83, 84, 336, 360, 404, 457, 458, 465, 466, 470, 477-481 Jason-2 75, 83, 84, 290, 314, 360, 404, 421, 426, 457, 458, 465, 466, 470, 477-481, 775, 781, 789, 806 J ason-3 ...................... 84, 360 JB-3 ............................ 354 JB-3B et 3C ..................... 354 JB5-1 à -3 ....................... 354 JB6-1 à -4 ....................... 354 JB7 ............................. 354 JB8 ............................. 354 JCSat-12 ........................ 362 JCSat-RA ....................... 362 Jeroboam ....................... 395 JERS-1 ................ 354, 414, 450 Jian Bing-3 ...................... 354 Jian Bing-3B et -3C ............. 354 Jikiken .......................... 335 JPSS-1 ................ 398, 449, 450 JPSS-2 .......................... 398 JWST ...................... 227, 384 K~S~ .......................... ~3 Kalpana-1 .................. 341, 345 Kanopus-V-1 ............... 392, 451 Kanopus-V-2 .................... 392 KazSat-1 ........................ 362 KEO ............................ ~7 Kepler ........................... 389 KF1-SJ-4 ........................ 335 KH-12-1 à -5 .................... 358 KH-4A-14 ....................... 358 KH-7-27 ......................... 358 Kirari ........................... 364 Kitsat-2 ......................... 353 Kompass ........................ 353 KOMPSat-1 et -2 ................ 360 KoreaSat-5 ...................... 362 Koronas-F ....................... 387 Koronas-Foton ................... 387 Koronas-I ....................... 387 Kosmos-1 ........................ 323 Kosmos-196 ..................... 336 Kosmos-389 ..................... 395 Kosmos-520 ..................... 393 Kosmos-637 ..................... 265 Kosmos- 700 ..................... 633 Kosmos-883 ..................... 633 Kosmos-954 ..................... 361 Kosmos-100l .................... 323 Kosmos-1127 .................... 351 Kosmos-1383 .................... 633 Kosmos-1402 .................... 361 Kosmos-1413 .................... 613 Kosmos-1689 .................... 351 Kosmos-1870 .................... 359

Kosmos-1939 .................... 351 Kosmos-1960 .................... 393 Kosmos-1989 ................. 77, 326 Kosmos-1990 .................... 351 Kosmos-2001 .................... 323 Kosmos-2024 ................. 77, 326 Kosmos-2054 ............... 323, 364 Kosmos-2120 .................... 323 Kosmos-2174 .................... 323 Kosmos-2206 .................... 613 Kosmos-2226 .................... 326 Kosmos-2229 .................... 323 Kosmos-2234 .................... 613 Kosmos-2267 .................... 323 Kosmos-2305 .................... 323 Kosmos-2315 .................... 633 Kosmos-2325 .................... 323 Kosmos-2336 .................... 323 Kosmos-2348 .................... 323 Kosmos-2364 .................... 323 Kosmos-2368 .................... 323 Kosmos-2376 .................... 323 Kosmos-2382 .................... 613 Kosmos-2386 .................... 323 Kosmos-2396 .................... 323 Kosmos-2404 .................... 323 Kosmos-2412 .................... 323 Kosmos-2417 ............... 323, 613 Kosmos-2424 .................... 323 Kosmos-2436 .................... 323 Kosmos-2440 .................... 393 Kosmos-2446 .................... 393 Kosmos-2448 .................... 323 Kosmos-2458 .................... 323 Kosmos-2463 .................... 633 Kosmos-2464 .................... 613 Kosmos-2465 .................... 613 Kosmos-2466 .................... 613 Kosmos-2469 ............... 323, 393 Kosmos-2471 .................... 613 KRT-25 ......................... 387 Kua Fu-A ....................... 335 Kua Fu-BI et -B2 ............... 335 Kyokko .......................... 335 L5-Mission .................. 227, 388 Lacrosse-1 à -5 .................. 358 LAGEOS-1 74, 75, 77-79, 81, 83, 159, 326, 329, 405, 406, 781, 806 LAGEOS-2 ... 77-79, 81, 83, 326, 329 LAGEOS-3 ...................... 326 Landsat-1 .... 313, 348, 414, 451, 469 Landsat-2 ......... 348, 414, 451, 469 Landsat-3 ........ 280, 348, 414, 446, 449-451, 465, 469 Landsat-4 .... 348,414, 451, 469, 470 Landsat-5 .............. 348, 414, 451

Index Landsat-6 ....................... 348 Landsat-7 280,314,348,414,451,470 Landsat-8 ....................... 349 Landsat-n ....................... 280 LARES .......................... ~6 LCROSS ........................ 757 LDCM ..................... 349, 451 Œ~5 ........................... ~4 LE~8 ........................... ~1 LES-9 ...................... 361, 364 LICODY ......................... 76 LISA ............................ 390 Loopus-n ................... 370, 459 LRE ............................. 326 Luch-1 .......................... 364 Luna-3 ..................... 363, 758 Mabuhay-1 ...................... 362 MACSat ......................... 357 Magion-2 ........................ 334 Magion-4 ........................ 335 Magion-5 ........................ 335 MagSat ................ 276, 328, 417 MAP ............................ ~5 Maroc-Tubsat ................... 353 Mati ............................ 350 MeaSat-3 ........................ 362 Megha-Tropiques ...... 315,347,404, 421, 423, 456, 458, 511, 515, 516, 521, 522, 527-530, 580-584, 630, 774-776, 786, 787, 794, 795 Mentor-l à -5 .................... 395 Me~ur~1 ....................... 395 Me~ur~2 ....................... 395 Meridian-l à -4 .................. 378 Meteor-l-Ol ..................... 338 Meteor-I-27 ..................... 338 Meteor-2-01 ..................... 338 Meteor-2-21 .............. 74, 83, 338 Meteor-3-0 1 ..................... 338 Meteor-3-03 à -3-06 .............. 338 Meteor-3-07 ... 77, 244, 293, 294, 298, 404, 511, 515, 518, 520, 522 Meteor-3M-l ............... 353, 391 Meteor-M-l ..................... 338 METEOSAT-l .... 265, 340, 506, 543 METEOSAT-2 .................. 340 METEOSAT-3 ............... 83,340 METEOSAT-4 .................. 340 METEOSAT-5 ............. 268, 340 METEOSAT-6 ............. 340, 341 METEOSAT-7 .... 340, 341, 506, 543 METEOSAT-8 .... 340, 341, 506, 543 METEOSAT-9 .... 340, 341, 541, 553 METEOSAT-n ........ 533, 535, 543 MetOp-n ................... 449, 573

831

MetOp-A 15, 338, 347, 414, 415, 449, 450, 499, 497-500, 531, 573, 578, 579, 630, 776, 796 MetOp-B et -C ........ 338, 414, 499 METSAT-l ...................... 345 Michibiki .............. 626, 628, 629 Microlab-l .................. 356, 380 Microscope ...................... 390 llSCOPE ............... 326, 390, 416 Midas-3 ......................... 392 Midas-4 .................... 202, 381 Midas- 7 ......................... 381 Midas-12 ........................ 392 MIDEX-O ....................... 383 MIDEX-1 ....................... 334 MIDEX-2 ....................... 385 MIDEX-3 ....................... 382 MIDEX-5-n ..................... 336 MIDEX-6 ....................... 385 Midori ........................... 354 Midori-2 ......................... 354 Minisat-Ol ....................... 383 Mir .............................. 395 Misty-l et -2 .................... 358 MMS ............................ 336 Molnya-n .............. 109, 110, 114 Molnya-1-0l ..................... 364 Molnya-I-91 ..................... 364 Molnya-2-0l ..................... 364 Molnya-2-17 ..................... 364 Molnya-3-0l ..................... 364 Molnya-3-50 ..................... 364 Molnya-3-51 ........... 364, 557, 561 Molnya-3-52 ..................... 364 Molnya-3-53 .. 242, 267, 364, 781, 806 Molnya-n ......... 158, 190, 242, 267, 364-367, 378, 459, 560, 562 Morno ........................... 360 Morno-1B ....................... 360 Monitor-E ....................... 351 MOS-1 ..................... 360,414 MOS-lB .......... 360,414, 449, 450 MOST .......................... 388 MSG-l ..................... 340, 543 MSG-2 ................. 340, 541, 543 MSG-3 et -4 ................ 340, 543 MSG-n ..................... 543-545 MTI ........................ 348, 349 MTSAT-1 ....................... 345 MTSAT-IR ....... 341, 345, 534, 627 MTSAT-2 .............. 341,345,627 Mugunghwa-5 ................... 362 M uses- B ......................... 386 Nadejda-l ....................... 633 N adejda-7 ....................... 633 Nadejda-M-l .................... 633

832

Index N ahuel-1 ........................ 362 N anosat ......................... 353 N avstar-1 ....................... 602 Navstar-ll ...................... 602 Navstar-2-1 ...................... 602 Navstar-2A-19 ................... 602 Navstar-2A-21 .............. 605, 606 Navstar-2F-1 .................... 602 Navstar-2F-12 ................... 602 Navstar-2R-2 .................... 602 Navstar-2R-4 .................... 612 Navstar-2R-8 .................... 609 Navstar-2R-21 .............. 602, 604 Navstar-2RM-1 .................. 612 Navstar-2RM-2 ............. 605, 606 Navstar-2RM-6 ................... 40 Navstar-2RM-8 .................. 604 Navstar-2RM-ll ................. 612 Navstar-3A-1 .................... 602 Navstar-3A-8 .................... 602 NavstarjGPS-1 .................. 602 NavstarjGPS-ll ................. 602 NavstarjGPS-14 ................. 602 NavstarjGPS-35 .............. 77, 83 NavstarjGPS-36 .............. 77, 83 N avstar j G PS-38 ................. 602 N avstar j G PS-43 ................. 602 NavstarjGPS-50 ............ 602,604 N avstar j G PS-56 ................. 609 N avstar j G PS-62 ................. 602 NavstarjGPS-n .. 158, 190, 243, 296, 459, 462, 602, 606, 609, 628, 776, 795 NavstarjGPS-PRN-n .. 604, 605, 612 NEMO ................ 349, 448, 450 Newton .......................... 383 NFIRE .......................... 393 NGSS ........................... 385 NGST ........................... 384 NigComSat-1 .................... 362 NigeriaSat-1 ..................... 355 Nilesat-10l ...................... 362 Nimbus-1 .............. 276, 283, 337 Nimbus-2 ........................ 337 Nimbus-3 ................... 337, 361 Nimbus-4 à -7 ................... 337 Nimbus-B ....................... 361 Nimiq-4 ......................... 362 NIMS-25 ........................ 632 NIMS-31 ........................ 632 NOAA-1 à -5 .................... 337 NOAA-6 ............... 337, 414, 415 NOAA-7à-17 .............. 337,415 NOAA-18 et -19 ....... 337, 414, 415 Nova-1 et -2 ..................... 632 Nova-3 ....................... 77, 632

NPOESS-1 ................. 338, 398 NPOESS-2 ...................... 398 NPOESS-6 ...................... 338 NPP ......... 338, 397, 398, 449, 450 NROL-2 ......................... 358 NROL-6 ......................... 395 NROL-14 ........................ 358 NROL-19 ........................ 395 NROL-20 ........................ 358 NROL-22 ........................ 395 NROL-26 ........................ 395 NROL-28 ........................ 395 NROL-32 ........................ 395 NROL-34 ........................ 395 NROL-49 ........................ 358 NROL-66 ........................ 395 NSS-300l0 ...................... 632 NSS-30l30 ...................... 632 NSS-30250 ...................... 632 NSS-30310 ...................... 632 NSS-30480 ...................... 632 NSS-30490 ...................... 632 NSS-30500 ...................... 632 NTS ............................. 3~ NT~1 ........................... 6~ NT~2 ........................... 6~ NuSTAR ........................ 383 OAO-1 à -3 ...................... 383 Ocean-1 ......................... 360 Oceansat-1 .. 360, 415, 449, 451, 470, 476, 523, 560 Oceansat-2 ... 360, 415, 445, 449-451, 474,476, 556, 560 OCO ....................... 348, 349 Oderacs-2A à -2F ................ 391 Oderacs-A à -F .................. 391 Odin ............................ 345 Ofeq-1 ...................... 325, 359 Ofeq-2 ........................... 359 Ofeq-3 ........................... 359 Ofeq-5 ................. 359, 405, 406 Ofeq-7 ...................... 344, 359 Ofeq-9 ........................... 359 OFO-1 .......................... 392 OGO-1 .......................... 334 OGO-2 .......................... 328 OGO-3 .......................... 334 OGO-4 .......................... 328 OGO-5 .......................... 334 OGO-6 .......................... 328 Ohsumi ......................... 325 Ohzora .......................... 335 OICETS ............... 363, 364, 396 Okean-3 .................... 360, 494 Okean-O ........................ 360 Okean-O-1 ...................... 360

Index Okean-01-1 ..................... 360 Okean-01-2 ..................... 360 Okean-01-3 ................ 360, 494 Okean-01-4 ..................... 360 Oko-US-K-1 ..................... 393 Oko-US-KMO-1 ................. 393 Oko-US-KMO-ll ................ 393 Oko-US-KMO-85 ................ 393 Oko-US-KMO-86 ................ 393 Omid ............................ 325 Onyx-1 à -5 ..................... 358 OPS/0054 ....................... 338 OPS/1127 ....................... 338 OPS/2222 ....................... 395 OPS/3360 ....................... 358 OPS/3367 ....................... 323 OPS/4412 ....................... 632 OPS/4682 ....................... 361 OPS/5111 ....................... 602 OPS/5798 ....................... 632 OPS/6026 ....................... 338 OPS/6909 ....................... 393 OPS/6911 ....................... 393 OPS/7033 ....................... 393 OPS/7044 ....................... 393 OPS/7218 ....................... 632 OPS/7518 ....................... 602 OPS/8424 ....................... 323 OPS/9454 ....................... 395 OPS/9751 ....................... 395 Optus-D1 ....................... 362 Orbcomm-FM-1 ............ 356, 380 Orbcomm-FM-2 ............ 356, 380 Orbcomm-FM-3 à -FM-5 ........ 380 Orbcomm-FM-12 ................ 380 Orbcomm-FM-30 ................ 380 Orbcomm-FM-36 ................ 380 Orbcomm-FM-37 ................ 380 Orbcomm-FM-41 ................ 380 Orbcomm-)( ..................... 353 Orbis ............................ 358 Orb View-1 ...................... 356 OrbView-2 ...................... 360 Orb View-3 ............. 356, 448, 450 Orb View-4 ...................... 356 0rsted ................. 276, 328, 630 OSCAR-22 (Radio) .............. 353 OSO-l .......................... 387 OSO-3 .......................... 382 OSO-7 .......................... 382 OSO-8 .......................... 387 OSTM .......................... 360 Ouragan-1 ....................... 613 Ouragan-50 et -51 ............... 613 Ouragan-87 ...................... 613 Ouragan-K1-1 ................... 613

833

Ouragan-Ml ..................... 613 Ouragan-M29 ................... 613 P73-3 ........................... 602 P76-4 ........................... 602 P91-1 ........................... 391 P97-3 ........................... 349 P98-2 ........................... 361 PAGEOS .................... 74, 159 PakSat-1 ................... 362, 363 Palapa-B2 ....................... 363 Palapa-B2R ..................... 363 Palapa-C1 ....................... 363 P=AmSa~lR ................... ~l Parasol .. 347-349, 353, 414, 451, 505 Parus-1 .......................... 633 Parus-99 ........................ 633 PAS-1R ......................... 391 PAS-22 .......................... 363 PEOLE .......................... 77 Picard ...................... 387, 416 Picasso-Cena .................... 349 Planck ...................... 227,386 Pléiades- HR-1 ...... 84, 350, 449, 450 Pléiades-HR-2 ............... 84, 350 Polar ............................ 334 Polar BEAR ..................... 328 Polaris (TecSAR) ................ 359 PoSAT-1 ........................ 353 PROBA ......................... 414 Prognoz-ll et -12 ................ 335 Prospero ........................ 325 QuickBird-1 ..................... 356 QuickBird-2 .356, 414, 448, 450, 775, 788 QuikScat .............. 361, 416, 451 QuikTOMS ...................... 345 QZS-1 ................... 83, 626-629 QZS-2 et -3 ...................... 629 QZSS-n ......................... 626 Radarsat-1 ............. 351, 416, 449 Radarsat-2 .. 351, 404, 405, 416, 449, 451 Radcal .......................... 391 RadioAstron ..................... 387 Raduga-32 ....................... 364 RAE-A et -B .................... 386 RapidEye-1 à -4 ............ 350,414 RapidEye-5 ....... 350, 414, 491, 493 RazakSat .............. 357, 491, 492 Reflektor ................... 353, 391 Relay-1 .......................... 202 Resource21-0l à -05 ............. 354 Resourcesat-1 ............... 353,414 Resourcesat-2 ............... 353, 414 Resurs-DK-1 .................... 351 Resurs-F-1 ...................... 351

834

Index Resurs-F-20 ..................... 351 Resurs-F1M-1 et -F1M-2 ........ 351 Resurs-01-1 ..................... 351 Resurs-Ol-2 ..................... 351 Resurs-Ol-3 ........... 351, 449, 451 Resurs-Ol-4 .259, 351, 353, 406, 412, 414, 486, 511, 515, 520, 522 Resurs-R-2 et -R-3 .............. 359 RHESSI ......................... 383 RISat-1 ................ 353, 448, 450 RISat-2 ..................... 353, 416 Rock ............................ 275 Rocsat-1 ........................ 336 Rocsat-2 ............... 354, 455, 472 Rocsat-3-n ...................... 340 Rohini ........................... 325 Roll ............................. 275 ROSAT ......................... 383 Rossi ............................ 383 RPP ............................ 395 R~l ............................ ~5 RSS-1 à -4 ....................... 354 Rubin8-AIS ..................... 353 Rumba .......................... 335 RXTE ........................... 383 Rythm .......................... 275 S-15 ............................. 382 ~6~ ............................. M SAC-C ....... 348, 414, 449, 451, 630 SAC-D / Aquarius ........... 360, 450 Safir-2 ........................... 353 SAGE ........................... 345 Salsa ............................ 335 Salyout .......................... 395 Samba ........................... 335 SAMOS-2 ....................... 283 SAMPEX ....................... 336 SAOCOM-1A .......... 351, 449, 451 SAOCOM-lB .................... 351 SAR-Lupe-1 à -5 ................ 358 SARA ........................... 353 SAS-2 ........................... 382 SatMex-6 ........................ 362 SAX ............................ 383 SBIRS-GEO-1 ................... 393 SBIRS-HEO-1 et -2 .............. 395 SBSS-1 .......................... 395 SciSat-1 ......................... 345 SCLP .................. 355, 448, 450 SD-Radio-1 à -3 ................. 275 SDO ............................ 388 SDS-1 ........................... 378 SDS-7 ........................... 378 Seasat .............. 74, 360, 458, 495 SeaStar ..................... 360, 415 SeatStar ......................... 451

SECOR-7 à -9 ................... 326 SEDS-1 ......................... 392 SEDS-2 ......................... 392 SEEDS .......................... 353 Sentinel-1-n ................ 449, 450 Sentinel-1A à -lC ............... 352 Sentinel-2-n ................ 449, 450 Sentinel-2A à -2C ............... 352 Sentinel-3-n ................ 449, 450 Sentinel-3-A ...................... 84 Sentinel-3A ...................... 352 Sentinel-3B et -3C ............... 352 Sentinel-4A et -4B ............... 352 Sentinel-5 ....................... 352 SES-Sirius-4 ..................... 362 Shi Jian-4 ....................... 335 Shi Jian-5 ....................... 328 Shi Jian-6 ....................... 328 Shi Jian-8 ....................... 392 Sich-1 ........................... 360 SIM Lite ........................ 384 Simon-Bolivar-1 ................. 362 Sirius-1 ..................... 275, 378 Sirius-2 ..................... 275, 378 Sirius-3 ........... 275, 378, 557, 561 Sirius-4 (SES) ................... 362 Sirius-n .................... .462, 562 SIRTF ...................... 382, 385 SJ-4 ............................. 335 SJ-5 ............................. 328 SJ-6A à -6F ..................... 328 SJ-8 ............................. 392 Skylab .......................... 395 SMAP ...................... 349, 417 SMEX-1 ......................... 336 SMEX-11 ........................ 383 SMEX-12 ........................ 387 SMEX-13 ........................ 383 SME~2 ......................... 3M SMEX-3 ......................... 386 SMEX-4 ......................... 387 SMEX-5 ......................... 385 SMEX-6 ......................... 383 SMEX-7 ......................... 383 SMEX-9 ......................... 345 SMM ............................ 387 SMOS ............ 346,347,417,432 SMS-1 ................. 265, 340, 533 SMS-2 ................. 265, 340, 533 SMS-3 ...................... 265, 340 Snapshot ........................ 361 SNOE ........................... 392 SOHO ................. 226, 227, 388 Solar Dynamics Observatory ..... 388 Solar-A .......................... 387 Solar-B .......................... 387

Index Solrad-1 ......................... 387 Solrad-7B ....................... 387 Solrad-9 et -10 ................... 387 SOOS-4A ........................ 632 SOOS-4B ........................ 632 SORCE ......................... ~7 Spektr-R ........................ 387 Spitzer ............ 382, 385, 780, 805 SPOT-1 ...... 350,414,451,470,523 SPOT-2 ........ 77, 84, 350, 414, 451 SPOT-3 ... 77, 84, 350, 353, 414, 451 SPOT-4 .. 84,350,364,414,451,505, 573, 577 SPOT-5 .. .40, 84, 114, 158, 350, 404, 405, 411, 414, 446, 450, 451, 467, 470, 484, 486-488, 560 SPOT-6 ......................... 350 SPOT-7 ......................... 350 SPOT-n 197, 284, 419, 446, 449, 467, 487, 497 Spoutnik-1 .48, 73, 201, 324, 326, 632 Spoutnik-2 ......... 73, 201, 324, 392 Spoutnik-3 ....................... 73 Spoutnik-Il ..................... 323 SSR-1 ........................... 355 SSR-2 ........................... 355 SST ............................. 382 S~2 ............................ ~2 Stardust ......................... 721 Starlette .74, 75, 77, 78, 83, 197, 326 STARS ..................... 389, 753 STEDI-1 et -2 ................... 392 Stella ........ 74, 77, 78, 83, 326, 353 STEP ...................... 390, 416 STEREO-Ahead ............ 227, 388 STEREO-Behind ........... 227, 388 STR\T-1A ........................ 391 STR\T-lB ................... 375,391 STR\T-1C ................... 375,391 STR\T-1Il ........................ 391 STS-1 ........................... 396 STS-6 ........................... 364 STS-8 ........................... 345 STS-9 ........................... 396 STS-10 ..................... 363, 396 STS-13 ..................... 347, 387 STS-14 .......................... 363 STS-25 .......................... 396 STS-27 .......................... 358 STS-30 .......................... 714 STS-31 .......................... 383 STS-33 .......................... 396 STS-34 .......................... 718 STS-36 .......................... 358 STS-37 .......................... 382 STS-41 .......................... 388

835

STS-41- B ................... 363, 396 STS-41-C ........................ 387 STS-41-G ....................... 347 STS-48 .......................... 336 STS-51-A ........................ 363 STS-51-L ........................ 396 STS-52 .......................... 326 STS-60 .......................... 391 STS-63 .......................... 391 STS-70 .......................... 364 STS-93 .......................... 383 STS-107 .................... 345, 396 STS-133 ......................... 396 STS-134 ......................... 396 STS-135 ......................... 396 STSS-1 et -2 ..................... 393 Supertundra-n .............. 368, 459 Suzaku .......................... 383 SWARM-A à -C ................. 351 SWAS ........................... 386 Swift ............................ 382 SWOT ..................... 360, 458 Sycomores ....................... 378 Symphonie-1 .................... 265 Syncom-1 ........................ 264 Syncom-2 .............. 264, 296, 343 Syncom-3 ........................ 264 Türksat-3A ...................... 362 Tachys .......................... 350 Tan Suo-1 à -3 .................. 354 TanIlEM-X .................. 83, 351 Tango ........................... 335 TC-1 et -2 ....................... 335 TIlF-1 .......................... 269 TIlRS-1 et -2 .................... 364 TIlRS-7 à -10 ................... 364 TechSat-1B ...................... 353 TecSAR ......................... 359 Teledesic-1 ...................... 380 Ten Ce-1 et -2 ................... 335 Terra ... 296, 314, 342, 348, 349, 352, 413, 414, 419, 446, 449-451, 453, 467, 470, 484, 486, 509, 524-526, 571-572, 575, 776, 777, 792, 798 TerraSAR-L ................ 351, 451 TerraSAR-X ... 83, 351, 416, 448, 450 TERRIERS ..................... 392 TES ........................ 353, 414 TH-1 ............................ 354 Thaicom-5 ....................... 362 THEMIS-1 à -5 .................. 336 THEOS .................... 3~,~1 Thor-3 .......................... 362 3Il-Winds ....................... 350 Tian Hui-1 ...................... 354 Timation-1 à 3 .................. 602

836

Index

TIMED ......................... 336 TIP-1 à -3 ....................... 632 TiPS ............................ 392 TIROS-1 ........................ 337 TIROS-8 ........................ 337 TIROS-9 ................... 283, 337 TIROS-10 .................. 283, 337 TIROS-N .............. 337, 414, 415 TMC ............................ ~6 TMS~ .......................... ~3 TOMS-EP ....................... 345 TOPEX/Poseidon ........ 75, 77, 83, 84, 157-159, 360, 404, 456, 458, 465-467, 470, 477-481, 485, 486, 497 TPF ............................ 389 TRACE .................... 387, 416 Transit-lB ....................... 632 Transit-4A ............. 202, 361, 632 Transit-4B ....................... 361 Transit-5A-1 ..................... 632 Transit-5B-1 ................ 361, 632 Transit-5B-2 ..................... 361 Transit-5B-3 ..................... 361 Transit-5C-1 ..................... 632 Transit-n ................... 241, 560 Transit-O-1 ...................... 632 Transit-O-l3 .................... 632 Transit-O-25 .................... 632 Transit-O-31 .................... 632 TRAQ .......................... ~8 Triad-1 ..................... 361, 632 Triad-2 et -3 ..................... 632 Triana ...................... 226, 355 TRMM .243, 315, 342, 347, 404-406, 426, 509, 777, 797 Trochia .......................... 350 Tropiques ....................... 456 Trumpet-1 à -3 .................. 395 Trumpet-FO-1 et -FO-2 ......... 395 TS-1 à -3 ........................ 354 Tubsat-A ........................ 353 Tundra-n ................... 368, 459 UARS ...................... 336,404 UK-DMC ................... 355,414 UK-DMC2 .................. 355,414 UoSAT-12 ....................... 458 UoSAT-5 ........................ 353 USA-10 ......................... 602 USA-21 ......................... 378 USA-26 ......................... 338 USA-29 ......................... 338 USA-34 ......................... 358 USA-35 ......................... 602 USA-37 ......................... 395 USA-53 ......................... 358

USA-68 ......................... 338 USA-69 ......................... 358 USA-73 ......................... 338 USA-86 ......................... 358 USA-94 ........................... 77 USA-100 ......................... 77 USA-103 ........................ 395 USA-105 ........................ 395 USA-106 ........................ 338 USA-109 ........................ 338 USA-110 ........................ 395 USA-ll2 ........................ 395 USA-ll6 ........................ 358 USA-ll8 ........................ 395 USA-129 ........................ 358 USA-l31 ........................ 338 USA-132 ........................ 602 USA-133 ........................ 358 USA-135 ........................ 602 USA-136 ........................ 395 USA-139 ........................ 395 USA-144 ........................ 358 USA-147 ........................ 338 USA-l52 ........................ 358 USA-159 ........................ 392 USA-161 ........................ 358 USA-166 ........................ 609 USA-167 ........................ 364 USA-l70 ........................ 364 USA-l71 ........................ 395 USA-l72 ........................ 338 USA-176 ........................ 392 USA-182 ........................ 358 USA-184 ........................ 395 USA-186 ........................ 358 USA-191 ........................ 338 USA-195 ........................ 364 USA-197 ........................ 392 USA-200 ........................ 395 USA-202 ........................ 395 USA-204 ........................ 364 USA-206 .................... 602, 604 USA-208 et -209 ................. 393 USA-210 ........................ 338 USA-2ll ........................ 364 USA-213 ........................ 602 USA-214 ........................ 364 USA-216 ........................ 395 USA-223 ........................ 395 USA-224 ........................ 358 USA-225 ........................ 395 USA-229 ........................ 395 USA-230 ........................ 393 Vanguard-1 ............. 73, 202, 324 Vanguard-2 ................. 202, 337 Vanguard-3 ...................... 202

Index VBN-1 et -2 ..................... 361 VCL ............................ 349 Vela-1 et -2 ...................... 393 Vela-4 ........................... 373 Vela-9 et -10 ..................... 393 Vela-11 et -12 ................... 393 Venesat-1 ........................ 362 VENllS ..................... 350,451 Via-Sat-1 ........................ 363 Vinasat-1 ........................ 362 VIRGO-n .............. 369,379,459 Vortex-1 ......................... 395 Vortex-6 ......................... 395 Vostok-1 ......................... 395 VSOP ........................... 386 VSOP-2 ......................... 386 WALES ......................... 416 WatER-HM ................ 360, 458 Wespac-1 ......................... 83 WEST-n .......... 372, 379, 459, 462 Westar-6 ........................ 363 Westford-1 ...................... 381 Westford-2 ...................... 381 Westpac-1 .............. 77, 326, 353 WGS-SV1 à -SV3 ............... 364 Wilkinson ....................... 385 Wind .................. 226, 227, 334 WindSat ........................ 361 WIRE ........................... 385 WISE ........................... 385 WMAP ..................... 227,385 WorldView-1 ............... 356, 414 WorldView-2 ...... 356, 414, 491, 492 WPLTN-1 ........................ 77 X-3 .............................. 325 XMM ........................... ~3 XTE ............................ 383 Yamal-202 ....................... 362 Yao Gan-1 à -4 .................. 354 Yao Gan-5 .................. 354, 359 Yao Gan-6 .................. 354, 359 Yao Gan-7 ............. 354, 491, 493 Yao Gan-8 ....................... 354 Yao Gan-9A à -9C ............... 354 Yao Gan-10 à -11 ................ 354 Thh~h .......................... ~7 Z-Earth .................... .450, 485 Zhong Xing-9 .................... 362 Zi Yuan-lA et -lB ............... 354 Zi Yuan-2 ....................... 354 Zi Yuan-2B ...................... 354 Zi Yuan-2C ...................... 354 ZX-9 ............................ 362 ZY-1A et -lB .................... 354 ZY-2 ............................ 354 ZY-2B ........................... 354

837

ZY-2C ........................... 354 satellite fictif altitude 0 ......... 144, 277, 725, 750 équivalent MGS ............ 668, 669 Triton Orbiter .............. 767, 769 satellite de planète astéroïde 1-Cérès Dawn ............... 715, 738, 740 astéroïde 4-Vesta Dawn ............... 715, 738, 740 astéroïde 433- Eros NEAR ..... 726, 736, 737, 739, 740 NEAR-Shoemaker ............ 736 Jupiter Galileo .............. 718, 741, 748 JIMO ......................... 764 Juno .......................... 744 Mars ExoMars ...................... 641 ExoMars-TGO ...... 641,660,674 InterMarsNet ... 678,683,685,686 Mariner-9 ........... 636, 643, 647 Mars Express .. 637, 672, 673, 675, 686, 687, 777, 799 Mars Global Surv. voir MGS . 637 Mars Observer ........... 683, 686 Mars Odyssey . 637, 667, 670, 675, 683, 684, 686, 694 Mars Reconn. Orb. voir MRO 640 Mars-96 ...................... 685 MARSat ...................... 663 MAVEN ............ 641, 662, 674 MGS .637, 642, 643, 647, 667-669, 675, 681, 683, 686, 688-691, 700, 701, 778, 800 MRO 637, 640, 667, 668, 675, 683, 684, 686, 688-691, 694, 697-699, 777, 778, 799, 801 MTO ......................... 678 ODY voir Mars Odyssey ...... 668 Phobos-2 ..................... 703 Phobos-Grunt ................ 640 Premier .................. 692-694 Trace Gas Orbiter ............ 641 Viking-1 et -2 ............ 636, 644 Mercure BepiColombo ................. 732 Mercury Orbiter .............. 732 Messenger ................ 730-733 MMO .................... 731, 732 MPO ......................... 732 Saturne Cassini .... 717,719,720,742,743, 745, 803 EJSM-Laplace ................ 765 JEO .......................... 765

838

Index

JGO .......................... ro5 Vénus Akatsuki ...................... 736 Magellan ...... 637, 714, 726, 732, 733-736, 778, 802 Pioneer Venus Orb . . 714, 733, 778 Planet-C ...................... 736 VCO ......................... 736 Venera-15 ................ 714, 778 Venera-16 ................ 714, 778 Venus Climate Orb ............ 736 Venus Express ........... 734, 736 satellite de satellite naturel Callisto JIMO ......................... 764 Europe JEO ..................... 765, 766 JIMO ......................... 764 Ganymède JGO ..................... 765, 767 JIMO ......................... 764 Lune Apollo-lI ..................... 714 Apollo-15 ........... 756, 758, 760 Apollo-16 ................ 756, 758 Chandrayaan-1 ............... 757 Chang'E-1 .................... 757 Chang'E-2 .................... 757 Clementine 748, 754, 761, 762, 763 DSPSE ....................... 754 Explorer-35 ................... 758 GRAIL-A ..................... 757 GRAIL-B ..................... 757 Hiten ......................... 756 Kaguya ....................... 756 LCROSS ............ 757, 779, 804 LRO .. 757, 759, 762, 763, 779, 804 Luna-10 ...................... 714 Lunar Orbiter-1 ............... 756 Lunar Orbiter-4 ............... 756 Lunar Orbiter-5 ............... 756 Lunar Prospector ............. 756 Muses-A ...................... 756 Ohlna ........................ ~6 Orbiter-3 à -5 ................. 758 Ouna ......................... 756 Rstar ......................... 756 Selene ........................ 756 SMART-1 .................... 756 Vstar ......................... 756 Zond-3 ........................ 758 Titan TandEM ...................... 769 Titan Explorer ................ 769 TSSM ........................ 769 satellites (programme)

8X .............................. 357 ACE (ESA) ..................... 630 ACE+ ........................... 6W ADEOS .................... 283, 354 Advanced Orion ................. 395 Advanced Vortex ................ 395 AEHF ........................... 364 AEM ............................ 345 Almaz ........................... 359 Apollo ........................... 758 Aquacade ........................ 395 Archimède ....................... 275 Argon ........................... 357 Arkon ........................... 358 AsiaSat .......................... 363 ATN ............................ 337 ATS ............................. 265 Beidou-1 ........................ 620 Beidou-2 ........................ 619 Big Bird ......................... 357 Bion ............................. 392 BNTS ........................... 6W Canyon .......................... 395 CBERS ......................... 354 Celestis .......................... 396 Cha~t ........................... 395 Cluster .......................... 335 CNSS ........................... 619 COBRA ......................... 379 Compass ........................ 619 COMS .......................... 345 Constellation .................... 757 Corona .......................... 357 COSMIC ................... 340, 630 COSMO-SkyMed ................ 350 Crystal Kennan ................. 357 DFH ............................ 323 DigitalGlobe .................... 356 Discoverer ....................... 357 DMC ............................ 355 DMSP ........................... 338 Dong Fang Hong ................ 323 Dorian .......................... 357 Double Star ..................... 620 DSCS ........................... 364 DSP ............................. 392 DSP (Tan Ce) ................... 335 DSPS ........................... 620 DWSS ........................... 3~ EarthView ....................... 396 EarthWatch ..................... 356 Echelon ......................... 394 Echo ............................ 380 Elektro .......................... 340 Elektron ......................... 328 Ellipso ...................... 379,459

Index

Envisat .......................... 283 EOGO .......................... 334 EOS ........................ 283, 349 EPE ............................. 387 EPS-SG ......................... 338 EROS ........................... ~6 ERS ........................ 283, 351 ESSA ........................... 337 Essaim .......................... 305 ESSP ............................ 349 EXOS ........................... 335 Explorer .......... 324, 334, 336, 382 Feng Yun ........................ 338 Ferret ........................... 395 FLOWER ....................... 3rn FLOWER CITM ................ 379 FSW ............................ 359 Th~oFOC ...................... ~5 FY-1 & -3 ....................... 338 FY-2 & -4 ....................... 345 Galileo .......................... 618 Gambit .......................... 357 GCOM .......................... 354 Geo-1K .......................... 326 GeoEye ..................... 283, 356 GEOS ............................ 74 GGS ............................ 334 GlobalStar ...................... 380 GlobalStar-2 ..................... 380 Glonass ......................... 613 GMS ............................ 345 GOES ........................... 340 GOMS .......................... 340 Gonets- Dl ....................... 380 GPM ............................ 347 GRAB .......................... 387 GRACE ......................... 327 Gravit y Probe ................... 241 Great Observatories ............. 382 GREB ........................... ~7 Haiyang ......................... 360 HEAO ........................... ~2 Helios (hélioc.) .................. 387 Hélios .................. 283, 305, 358 Hexagon ......................... 357 Himawari ........................ 345 HY .............................. 360 IGS ............................. 359 Ikon ............................. 357 Ikonos ...................... 283, 356 IMEWS ......................... 392 Improved Crystal ................ 357 INSAT .......................... 345 Intelsat .......................... 265 Interball ......................... 335 Intruder ......................... 395

839

roSA ............................ 395 Iridium .......................... 380 Iridium-Next .................... 380 IRS ......................... 283, 353 ISEE ............................ 334 ISTP ............................ 334 ITOS ............................ 337 Jason ............................ 360 JPSS ............................ 398 Jumpseat ........................ 395 Kanopus-V ...................... 392 KH (Key Hole) .................. 357 Koronas ......................... 387 Kosmos .......................... 323 Kua Fu .......................... 335 Lacrosse ......................... 358 Landsat .................... 283, 348 Lanyard ......................... 357 LES ............................. 364 Luch ............................ 364 Magion .......................... 335 Magnum ........................ 395 Mentor .......................... 395 Me~ury ......................... 395 Meteor .......................... 338 METEOSAT ............... 340, 543 MclOp .......................... ~8 Midas ........................... 392 MID EX ......................... 382 Milstar .......................... 364 Misty ............................ 357 Molnya .......................... 364 MOS ............................ 360 MSG ....................... 340, 543 MTG ............................ 340 MTSAT ......................... 345 Nadejda .................... 361, 633 Navette ......................... 395 Navstar/GPS ............... 601, 602 B~dI ....................... 002 Block II .................. 243, 602 Block III ...................... 602 Nimbus .......................... 337 NIMS ........................... 632 NOAA .......................... ~7 NOSS ........................... 395 Nova ............................ 632 NPOESS ................... 338, 398 NSS 30 .......................... 632 NTS ............................. 002 Oblik ............................ 359 Oderacs ......................... 391 Ofeq ............................ 359 OGO ............................ ~8 Okean ........................... 360 Oko ............................. 393

840

Index

Onyx ............................ 358 OPS ............................. 323 Orbcomm ....................... 380 Orbimage ....................... 356 Orbiter .......................... 324 OrbView ........................ 356 Orion ........................... 395 Oscar (Transit) .................. 632 osa ............................ 387 Palapa .......................... 363 Parus ....................... 361, 633 Pléiades-HR ................ 350, 356 POES ........................... 338 PO GO .......................... ~8 PRC ............................ 323 Priroda .......................... 283 Prognoz ......................... 335 Prowler ......................... 395 QuickBird .................. 283, 356 QZSS ........................... 629 Raduga .......................... 364 RapidEye ........................ 350 Resource21 ...................... 354 Resurs ........................... 283 Resurs-F ........................ 351 Resurs-O ........................ 351 Rhyolite ......................... 395 SAMOS ......................... 283 SAR-Lupe ....................... 358 SBIRS ........................... 393 SBSS ............................ 395 SD-Radio ........................ 275 SDS ............................. 378 Sentinel ......................... 351 Sich ............................. 360 SkyBridge ....................... 380 SMEX ........................... ~2 SMS ............................. 265 Solrad ........................... 387 Space Shuttle .................... 395 SPOT ...................... 283, 350 Spoutnik ........................ 324 SPRN ........................... ~3 SSF ............................. 395 SSR ............................. 355 STEREO ........................ ~8 Strela-3 ......................... 380 STRV ........................... 391 STTW .......................... 364 Syncom ......................... 264 Tan Ce .......................... 335 TDRSS .......................... 364 Teledesic ........................ 380 TerraSAR ....................... 351 THEMIS ........................ 336 Timation ........................ 602

TIROS .......................... 337 TIROS-N ........................ 337 TOS ............................ 337 Transit .................. 76, 241, 632 Triad ............................ 632 Trumpet ........................ 395 Tselina .......................... 395 Tsikada ..................... 361, 633 Tsikada-M ....................... 633 Tubsat .......................... 392 UNEX ........................... 3~ UoSAT .......................... 392 US-K ............................ 393 US-KMO ........................ 393 USA ............................ 323 Vanguard ........................ 324 Vela ............................. 393 Vela Hotel ....................... 393 VIRGO ......................... 379 Vortex ........................... 395 Watchdog ....................... 393 WATS ........................... 630 WEST .......................... 379 Westford Needles ................ 381 WGS ............................ 3M White Cloud .................... 395 WorldView ................. 283, 356 Yantar .......................... 358 Zenit ............................ 358 Zi yuan ......................... 354 Saturne anneaux .......... 717, 718, 779, 803 onde de densité .......... 720, 744 satellite berger ........... 720, 744 données astronomiques .......... 723 données géodésiques ............. 723 équinoxe ............... 744, 779, 803 exploration spatiale ......... 718, 719 satellites lagrangiens ............. 225 satellites naturels . 225, 713, 746, 779 solstice .......................... 744 satellite naturel (adjectif) galiléen ..................... 718, 764 irrégulier ........................ 746 régulier .......................... 746 satellite naturel satelles, itis ..................... 137 Callisto ..................... 750, 764 données astronomiques ........ 750 données géodésiques .......... 750 Charon ................ 719, 727, 746 Déimos .......................... 701 Dioné ........................... 225 Encelade 717,720,743,745,750,765 données astronomiques ........ 750 données géodésiques .......... 750

Index

Europe ............ 716, 750, 754, 764 accélérations perturbatrices ... 751 données astronomiques ........ 750 données géodésiques .......... 750 Ganymède .................. 750, 764 données astronomiques ........ 750 données géodésiques .......... 750 Hypérion .............. 742, 745, 746 Io ...................... 716, 750, 764 données astronomiques ........ 750 données géodésiques .......... 750 Japet .................. 742, 745, 746 Lune voir Lune .................. 750 Mimas ................. 743, 745, 803 Néréide .......................... 746 Phobos ..................... 223, 701 Pheebé .......................... 746 Téthys .......................... 225 Titan .... 713, 717, 720, 750, 753, 765 atmosphère ................... 768 données astronomiques ........ 750 données géodésiques .......... 750 Triton ........ 713, 750, 753, 769, 770 atmosphère ................... 770 données astronomiques ........ 750 données géodésiques .......... 750 SBAS voir système d'augmentation .... 625 siècle julien ....................... 215, 307 signe du zodiaque ..................... 653 SLR ................................... 83 sol (jour/Mars) ....................... 648 Soleil constante d'attraction ...... 216, 220 points de Lagrange .............. 225 terme en oh ..................... 212 solides de Platon ................. 131, 147 solstice ........................... 260, 431 Mars ............................ 654 Saturne ......................... 744 sonde spatiale Akatsuki ........................ 736 Apollo-ll .................... 83, 714 Apollo-14 ......................... 83 Apollo-15 ......................... 83 BepiColombo .................... 732 Cassini .......................... 361 Cassini-Huygens ............ 719, 765 Clementine ...................... 763 CONTOUR ..................... 719 Dawn ....................... 715, 738 Deep Impact .................... 721 EJSM-Laplace ................... 765 Epoxi ........................... 721 ExoMars-TGO .................. 641

841

Galileo ............ 715, 718, 736, 764 Genesis ..................... 227, 721 Giotto ........................... 719 Hayabusa ........................ 715

mE .............................

~4

JIMO ........................... 765 Juno ............................ 744 Kosmos-419 ..................... 636 Luna-1 et -2 ..................... 714 Luna-3 ................. 714, 755, 758 Luna-9 .......................... 714 Luna-10 ......................... 714 Luna-17 .......................... 83 Luna-21 .......................... 83 Magellan ................... 714, 732 Mariner-2 ....................... 714 Mariner-3 ....................... 636 Mariner-4 .............. 636, 644, 647 Mariner-5 ....................... 714 Mariner-6 ................... 636, 647 Mariner- 7 ....................... 636 Mariner-8 ....................... 636 Mariner-9 .......... 81, 636, 644, 647 Mariner-10 ........ 714, 730, 732, 733 Mars Climate Orbiter ........... 637 Mars Exploration Rovers ........ 637 Mars Express .................... 637 Mars Global Surveyor ....... 637, 681 Mars Observer ................... 636 Mars Odyssey .............. 637, 684 Mars Pathfinder ................. 637 Mars Polar Lander .............. 637 Mars Reconnaissance Orb. ..640, 684 Mars Sample Return ............ 694 Mars Science Laboratory ........ 640 Mars Surveyor-1998 ............. 637 Mars Surveyor-2001 ............. 637 Mars-1 à -7 ...................... 636 Mars-96 ......................... 636 MAVEN ......................... 641 Mercury Orbiter ................. 732 Messenger ....................... 730 MSL ............................ 640 MSR ............................ 694 Muses-C ......................... 715 NEAR ...................... 715, 736 New Horizons ............... 716, 719 Nozomi .......................... 637 Phobos-1 ........................ 636 Phobos-2 ................... 636, 703 Phobos-Grunt ................... 640 Pioneer Venus Orbiter ........... 714 Pioneer Venus Probe Bus ........ 714 Pioneer Venus-1 ................. 714 Pioneer Venus-2 ................. 714 Pioneer-10 ....................... 715

842

Index

Pioneer-1l ....................... 715 Pioneer-12 ....................... 714 Pioneer-13 ....................... 714 Planet-B ........................ 637 Planet-C ........................ 736 Pluto-Kuiper Express ............ 719 Premier ......................... 694 Ranger-6 à -9 ..................... 81 Rosetta ..................... 397, 719 Sakigake ......................... 719 Solar Orbiter .................... 388 Solar Probe Plus ................ 388 Spoutnik-29 ..................... 636 Spoutnik-31 ..................... 636 Stardust ......................... 721 Suisei ........................... 719 TandEM ........................ 769 Titan Explorer .................. 769 TSSM ........................... 769 Ulysses ..................... 388, 714 Vega-1 ...................... 714, 719 Vega-2 ...................... 714, 719 Venera-4 à 7 ..................... 714 Venera-8 ..................... 81, 714 Venera-16 ....................... 714 Venus Express ................... 736 Viking-1 et -2 ................... 636 Voyager-1 ......... 701, 718, 764, 765 Voyager-2 ......... 701, 718, 764, 770 Zond-2 et -3 ..................... 636 sphère d'activité ........................ 219 céleste ............ 251, 252, 563, 564 développement .................. 31l grand cercle .................. 24, 228 d'influence ... 217-220, 223, 714, 723, 726, 748, 750 petit cercle ....................... 24 trigonométrie .................... 228 sponsoring ............................ 718 stabilité du Système solaire ....... 208-210 station de réception Galileo .......................... 619 Glonass ......................... 614 Navstar/GPS ............... 607, 609 référence DGPS ................. 600 station spatiale ....................... 395 Sun glint voir réflexion spéculaire ......... 568 superposition de trace ............ 531, 796 surface équipotentielle .................. 51 sursauts gamma ...................... 393 synode ................................ 302 système d'augmentation .............. 623 CWAAS ......................... 625 EGNOS ................ 624, 625, 627

GAGAN .................... 625, 627 MSAS ...................... 625, 627 SDCM .......................... 6~ SNAS ........................... 625 StarFire ......................... 625 WAAS ...................... 625,627 WAGE .......................... 625 système de référence céleste ............................ 82 terrestre .......................... 82 système géodésique Beijing-1954 ..................... 622 GRS-80 ........................... 72 GTRF ........................... 619 ITRF ............................ 619 Krasovsky-1940 .................. 622 PE-90 ........................... 614 PZ-90.02 ........................ 614 WGS84 ...................... 72, 619 système de navigation voir GPS ........................ 589 augmentation voir système d'augmentation .. 623 Beidou-1 ........................ 620 Beidou-2 ........................ 619 Compass ........................ 619 Galileo .......................... 618 Glonass ......................... 613 IRNSS .......................... 627 Nadejda ......................... 633 Navstar/GPS .................... 601 NNSS ........................... 630 QZSS ........................... 627 régional ......................... 625 Transit .......................... 630 Tsikada .......................... 633 Système solaire .............. 710-713, 745 données historiques .............. 771 stabilité ..................... 208-210 système d'unités SI ............................... 214 u. astronomiques ................ 215

-T-

télémétrie par laser voir LLR ......................... 79 voir SLR ......................... 83 tangage (angle) .................. 148, 504 technique de positionnement ........... 82 DOmS ........................... M GPS .............................. M LLR .............................. 83 ~R .............................. ~ VLBI ............................. 83 tectonique des plaques ................ 633 temps

Index atomique international ........... 258 ci~

.............................

~8

seconde (définition) .............. 259 solaire moyen ..... 257, 258, 399, 427, 699 vrai ... 253, 257, 258, 399, 427, 699 universel ........................ 258 coordonné .................... 258 temps (abréviation) GMT ....................... 258, 643 TAI ........................ 258, 259 TCB, TCG .................. 82, 259 TDB ............................ ~9 TE .............................. 259 TSM .............. 258, 399, 427, 699 TSV .............. 258, 399, 427, 699 TU ......................... 2~,~9 TUC ............................ ~8 UT, UTC ....................... 258 Terre Tellus, uris ...................... 710 Terra, œ ........................ 710 accélérations perturbatrices . 152-154 aplatissement ................. 25, 44 déviation de la verticale .......... 25 degré de latitude .............. 32, 44 données astronomiques 216, 246, 647, 723 données géodésiques 64,216, 647, 723 ellipsoïde de référence ......... 23-40 longueur d'arc méridien ........... 32 longueur de l'équateur ............ 34 longueur du méridien ............. 34 rayon équatorial .................. 25 rayon polaire ..................... 27 satellite naturel voir Lune ....... 746 théorème de Gauss ......................... 54 des grands axes ............. 187, 189 de Noether ...................... 127 théorie du chaos ......................... 210 KAM ............................ 210 de Milankovitch ............ 213, 214 de la relativité .... 158, 206, 241, 390 TLE voir éléments orb. NORAD ...... 305 trace ......................... 35, 290, 303 angle avec méridien .............. 298 angle d'ajustement .......... 299, 524 géocentrique ................. 35, 290 géodésique ................... 35, 290 de géostationnaire ............... 263 de géosynchrone ................. 263 lemniscate ............... 268, 296 inclinaison apparente ....... 295, 798

843

nadir ..................... 35-37, 290 de l'orbite .................. 303, 668 équation ...................... 289 vitesse ................... 299, 675 vitesse relative ........... 301, 675 point subsatellite ......... 35-37, 290 superposition ............... 531, 796 train de satellites voir A-Train .................... 349 trajectoire loop-de-loop ................ 227, 721 transit ................................ 389 travail ................................. 50 trigonométrie sphérique .......... 228-231 tri plet de phasage ..................... 442 tropique ......................... 565, 656 tropopause ............................ 596 troposphère ...................... 591, 596

-u-

unité astronomique ............... 216, 220 Uranus données astronomiques .......... 723 données géodésiques ............. 723 exploration spatiale .............. 718 satellites naturels ................ 746

-v-

valeur de Routh ....................... 224 variable(s) canoniques ...................... 163 de Delaunay ..................... 176 de Mercator ..................... 317 variation des éléments orbitaux périodique ....................... 190 courte .................... 186, 187 longue ............... 186-189,496 séculaire .180, 184-190, 234, 238-241, 496, 660 vecteur de Laplace .................... 126 Vénus accélérations perturbatrices . 726, 728 atmosphère ................. 713, 733 super-rotation ................ 727 carte ....................... 778, 802 données astronomiques .......... 723 données géodésiques ............. 723 exploration spatiale ......... 714, 732 vertical coord. céléstes ................... 563 verticale du lieu ................. 549 Vesta données astronomiques .......... 740 données géodésiques ............. 740 exploration spatiale .............. 738 visée

844

Index

angle ............................ 506 direction ........................ 547 au limbe .................... 508, 512 au nadir ......................... 506 p~ ............................. ~1 visibilité géostationnaire .................. 539 vitesse ................................. 94 aux apsides ....................... 95 aréolaire .......................... 89 cosmique ......................... 93 d'évasion ......................... 93 fonction de l'anomalie ... 95, 119-124 fonction du rayon vecteur ......... 94 formule de Binet .................. 90 de libération ...................... 93 de la lumière .................... 217 mouvement circulaire ............. 96 de précession apsidale .... 191, 238-240, 242, 494 nod~e 191, 233-238, 240, 241, 285 de satellisation .................... 92 du satellite ................. 299, 675 de la trace .................. 299, 675 VLBI ............................. 83, 386 Voie lactée ............................ 311 vue locale définition ........................ 553 diagramme .................. 553-555

-w-

WAAS voir système d'augmentation .... 601

-z-

zénith ............................ 506, 563 passage .......................... 565

Satellites: de Kepler au GPS

Satellites : de Kepler au GPS

GPS et Galileo : Systemes de navigation par satellites

Kepler

GPS

GPS

Athènes au quotidien au temp de Théophraste

Au Fil De Perles

Au Nom de Dieu

Au large de l’écueil

GPS-Gangster

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Communications satellites: global change agents

GPS-Gangster

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Au Bord de la Tombe

Brouillard au pont de Tolbiac

L'algèbre au temps de Babylone

Au temps de la comète

Au nom de la liberte

A-GPS: Assisted GPS, GNSS, and SBAS

Using GPS: GPS Simplified for Outdoor Adventurers

Satellites: Orbits and Missions

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Au nom de la liberte

Satellites: de Kepler au GPS