S-Raume

-

105

-

2. Ist eine nukleare Abbildung T : HI------~H2 mit Orthonormalsystemen gemaB 2.1. dargestellt, so sieht man aus der Konstruktion der Faktorisierungen ~ und ~ nach L20N) in 1.8., dab diese Hilbert-Schmidtsch sind. 2.5. ZUSATZ: Eine Abbildung T : H

//

,H (H ein Hilbertraum)

ist genau dann

nuklear, wenn es zwei Hilbert-Schmidt-Abbildungen S i : H gibt.

,H mit T = $2S 1

Beweis: Nach dem Satz bleibt nut zu zeigen, dab die Faktorisierung einer nukleaten Abbildung T in H gewahlt werden kann. Ist TX = [~n(X,Xn)Yn,

>

n

0

{Xn} , {yn } orthonormal, so sei {x } zu einer Basis {Xn }ne'N u {ea}a ~ A yon H verlangert. Mit dieser Basis ist H =n~2(,NOA) ~) (w 3,3.6) und (a,8 nach 1.8.) : H

:

~

H

*f2(tq)

=

{r162

sind Hilbert-Schmidtsch:

T = ~ ~

s

C

LL2(~q0A)

O A)

: H

,H

~B({gn})

. I/

2.6. KOROLLAR: FOr eine nukleare Selbstabbildung T eines Hilbertraumes H ist

Sp(T) =

~ (Txa,x ~) a~A ({xa}a~ A e i n e Basis yon H) e i n e a b s o l u t k o n v e r g e n t e Reihe. Sp(T) nennt man die Spur yon T. Beweis: Far T = $2S 1

X I(Tx~,x~)l

(S• H i l b e r t - S c h m i d t s c h ) g i l t

= X I(S~x,S;x)l

a X IlSlX. II IIS;xll

[IIINxll2]a/2[[llS;xll2]

w 22

a/2 = ISal.

Is21 , ~

//

(~)-Raume

I. Pro~ektive Spektren aus kompakten Abbildungen 1.1. Ein lokalkonvexer Raum E heiBt (~)-Raum, wenn es ein projektives Spektrum {E ,~}

~)

NOA

G A gibt mit

bedeute die disjunkte Vereinigung.

-

106

-

(I) E = proj E (2) FUr alle a~ A existiert ein 8 Z ~ mit

~a8 :

E8

'Ea

ist kompakt. Es genUgt natUrlieh,

dab (2) fur konfinal viele a gilt 9 Wegen ~a = ~a8 ~ ~8 ( 8 nach (2) fur gegebenes ae A) sind alle Projektionen ~ eines (~)-Raumes kompakt. 1.2. SATZ: FGr einen (~)-Raum E gibt es ein projektives raumen mit samtlich bikompakten

Beweis: Sei {Ea,w}a~A ein Spektrum aus der Definition. I

= {(a,8)~

SpektrtLm aus Banach-

(w ISt 1.9.) Einbettungen

A x A I a(8,

a8

~a8

(a#8).

Die Menge

kompakt

oder a = 8}

ist mit I ein filtrierender

Def

A

Indexbereich.

Ist B(a,8 ) der in w 19, 1.9. konstruierte, sierende Banachraum

die kompakte AbDildung ~a8

E8

faktori-

'E a

B(a,8)

(S (at8) bikompakt),

so bildet mit den Spektralabbildungen P(a,S)(y,6)

= T(a,8)

~SY

S(y,~)

{B(ats),p}cat6)z I ein projektives Spektrum, wie man sofort aufgrund dem faktoris ~ e n d e n Eigenschaft nachweist. Mit S(yt6 ) ist auch p(atS)(y,6) bikompakt, und der Satz w 6, 2.7. Ober die Gleichheit projektiver Limiten liefert die Behauptung. II Da der Limes eines projektiven Spektmums yon vollstandigen Raumen vollstandig (w 6, 2.4. Komollam) t gilt das KOROLLAR:

ist

Ein (~)-Raum ist vollstandig.

1.3. In (~)-R~umen gilt der Satz yon Heine-Borel: SATZ: In einem (~)-Raum ist eine Menge genau dann relativ kompakt t wenn sie beschm~nkt ist. Beweis: Die Bedingung ist in allen topologischen Vektorraumen notwendig. Sei umgekehrt B eine beschrankte Menge und {Ea,1} ae A eln projektives Spektrum aus der Definition eines (~)-Raumes,

so sind nach 1.1. alle Projektionen kompakt, also

-

(w 19, I.I.) alle

107

-

~(B) Pelativ kompakt. Damit ist n a c h w

standigen projektiven Limes E relativ kompakt.

16, 1.4. B

im voll-

//

1.4. Da eine melativ kompak~e Menge natOrlieh auch rela%iv schwach kompakt ist, lie~ert das K~itePium w 14, 4.6. ~ber die Semi-Reflexivitat eines Raumes (jede beschrank%e Menge is~ melativ schwach kompak%) den SATZ:

(~)-Raume sind semi-meflexiv.

1.5. F~r nor~ierte Raume ergibt sich der SATZ: Ein normiertem Raum ist genau dann (~), wenn er endlichdimensional ist. Beweis: In einem nommiemten, endlichdimensionalen Raum E (also K n, w 3, 4.) ist die Identitat kompakt, somit E als Limes des einelementigen

projektiven Spektrums

{E, id E } (~). Umgekehrt ist die Einheitskugel eines normierten (~)-Raumes beschmankt, also relativ kompakt~ lokalkompakte topologische Vektorraume sind jedoch endlichdimensional

(w 16, 3.2.).

//

SeineP Bedeu~un8 wegen sei dieses Kri~emium (es ist Pein algebraischer Nahum) noch einmal anders foPmuliert: Ein (~)-Raum ist genau dann nich~ normiePbar, wenn em eine unendliche Folge linear unabhangigeP Elemente enthalt.

2. Montelmaume 2.1. Tonnelierte Raume, in denen die beschrankten Mengen mit den relativ kompakten zusammenfallen, heiben Montelraume ((M)-Raume). Wie in 1.5. sieht man, dab normierte Montelmaume endlichdimensional sind. 2.2. Die Montelraume tragen ihren Namen nach dem Satz yon Montel aus der Funktionentheorie: A sei eine offene und zusammenhangende (= nicht Vereinigung zweier offener, disjunkter Mengen) Teilmenge yon C, H(A) die Menge der auf A holomorphen Funktionen, die mit den Halbnommen pK(f) = sup If(z)l z~K

K kompakt c A

zu einem (F)-Raum wird (Satz yon Weiemstmab). Der Satz yon Montel sagt nun aus, dab eine in diesem Topologie beschrankte Menge G C H(A) melativ kompakt ist ( G i s t eine "normale" Familie holomompher Funktionen auf A). 2.3. Ist E ein Montelraum (oder ein (~)-Raum, 1.3.) und F ein lokalkonvexem Raum, so fallen (siehe die Definitionen in w I0, 3.2.) die lokalkonvexen Raume Lb(EIF) und Lc(E,F) zusammen, da die beschrankten mit den melativ kompakten Mengen ~bereinstimmen. Da abe~ Lc(E,F) und Ls(E,F) auf gleichstetigen Teilmengen dieselbe Topologie induzieren (w I0, 3.3.) folgt der

-

SATZ: Auf gleichstetigen Mengen HcL(E,F)

I08

-

(E ein (M)- oder (~)-Raum) ist die

starke gleich der schwachen Topologie. 2.4. Ein (M)-Raum ist jedoch tonneliert, so dab naeh dem Satz yon Banaeh (w I0, 2.3.) jede punktweise (d.h. in Ls(E,F)) beschrankte Menge gleichstetig ist. Jede gleiehstetige Menge ist beschrankt in Lb(E,F); Besehmanktheit in ~ ( E , F ) impliziert Besehranktheit in Ls(E,F) , d.h. alle Topologien P~ (w IO, 3.1.) erzeugen denselben Beschranktheitsbegriff in L(E,F) (d.i. im Dualraum der Satz yon Maekey). Mit 2.3. gilt SATZ: Auf beschrankten Mengen H~L(E,F)

(E ein Montelraum, F lokalkonvex) indu-

zieren Ls(E,F) und Lb(E,F) dieselbe Topologie. 2.5. Insbesondere SATZ: Im Dualraum E' eines Montelraumes E fallen auf beschrankten Mengen die sehwaehe und die starke Topologie zusammen, speziell ist eine Folge {Un~ c E' genau dann stark konvergent, wenn sie schwach konvergiert. 2.6. Aus dem Kriterium w 14, 4.7. Ober die Reflexivitat eines Raumes folgt wie in 1.4. der SATZ: Montelraume sind reflexiv. 2.7. Damit ist dem starke Dualraum E~ eines Montelraumes ebenfalls reflexiv, naeh dem eben erwahnten Kriterium also tonneliert und jede (stark) besehrankte Menge ist relativ schwach kompakt, naeh 2.5. also relativ stark kompakt. SATZ: Der starke Dualraum E~ eines Montelraumes ist ebenfalls ein Montelraum. 2.8.Damit ist jeder Montelraum E nach 2.6. starker Dualraum eines Montelraumes, ' Somit gilt 2.5.: namlich yon E bSATZ: Die Topologie eines Montelraumes E fallt auf besehrankten Mengen mit der sehwachen Topologie zusammen, insbesondere ist eine Folge {Xn}= E genau dann konvergent, wenn sie schwach konvergent ist. 2.9. Da kompakte Teilmengen eines lokalkonvexen Raumes vollstandig sind (w 16, 1.3.), gilt aufgrund der Definition der SATZ: In Montelraumen konvergiert jedes besehrankte Cauehynetz (man nennt R~ume dieser Art quasivollstandi~); insbesondere sind (M)-Raume folgenvollstandig. Es gibt nichtvollstandige Montelraume (Komura

[~ ).

2.10. Ein lokalkonvexer Raum, fur den ein abzahlbares Spektrum {En, ~ } n ~ ~) mit den Eigenschaften (I) und (2) yon 1.1. existiert, heist (F~)-Raum. Aus 1.2. ersieht man, dab man sieh auf ein abzahlbares Spektrum aus Banachraumen besehranken kann, also (w 6, 2.2.) ~) Es gen~gt, dab ~ (mit seiner nat~rliehen Ordnung) konfinal im Indexbereich enthalten ist.

-

BEMERKUNG:

-

Ein (F~)-Raum ist ein (F)-Raum.

2.11. Damit ist er tonneliert. kompakt

109

Als (~)-Raum ist jede beschrflnkte Menge relativ

(1.3.):

SATZ: Ein (F~)-Raum ist ein Montelraum. 2.12. Spezielle

(F~)-Rflume sind GelfandPflume ~m

E = /~ B n=l n bei denen die Einbettungen c

Bn+l

~Bn

(zumindest konfinal viele) kompakt sind.

3. Eine innere Charakterisierun~

der (~)-Raume~

Schwar4~sche Raume

3.1. SATZ: Ein lokalkonvexer Raum E ist genau dann ein (~)-Raum, wenn er folgende Bedingungen erf~llt: (1') E is, vollstandig (29 Zu jeder Nullumgebung U 6 ~ E ( O ) gibt es eine Nullumgebung V & ~ ( O ) , die vollstandig beschmankt bzEl. U istt d.h. (Raikov ~] ) for jedes r 9 0 Eibt es x I ,..., x n G V mit n

vc

~

9

(x1+r

.

i:1 Beweis: a) Sei E ein (~)-Raum, dann is, (1') nach 1.2., Korollar, erfOllt. fun8 yon (2') sei E=proj E a nach 1.1. dargestellt

Zur NachprO-

und (o.E.d.A. nach w 6, 2.2.)

Q-a

u = ~ l ( u a) ~ L~E(O), gegeben,

Nach 1 . 1 .

(2) e x i s t i e r t

Uae ~Ea(O)

d a n n e i n ~ und V B r

relativ kompakt is,. Nach einem offensichtlichen dan, fOP Eegebenes r 9 0 x at...,x I na e was(V 8) mit

~ so da~ ~aB(Vs) i n Ea

Kompaktheitsargument

gibt es

n i ~as(Vs) C [_2 (xa+s a) . i=l 9

Mit V = # B I ( V s ) ~ [ E ( O )

-I

i

und x1~ ~a (xa) (fest gewahlt) gilt dann n V c ~,J n-1

(X:L+r

denn for x ~ V is, n

x~ ~a(v) a

: (~aB ~ ~B)~I(VB

) : ~B(VB

9

) r t-J(x~+r i:1

~

-

1 1 0 -

also i

w{x)- x

EcU

fGr ein i. Deshalb gilt -l(=(~_x i)C -1(r

) = EU

speziell X

b) Seien umgekehrt kanoniseh als

-

X

i

e

cU.

(I') und (2') erfGllt.

E =

Da E vollstandig ist, stellt sieh E

proj Bp §

(S 12, 1.2., P ein System definierender Halbnormen) fGr jedes p ~ P ein q ~ p existiert, da~ Pq

: B

q

,B

dar. Es genGgt zu zeigen, da~

P

kompakt ist. FUr U = {x~ E I p(x) & I}~ ~ E ( O ) existiert naeh (2') ein V e ~ E ( O ) (o.E.d.A. V c U, V abgesehlossen und absolutkonvex), das vollstandig besehmankt bzgl. U ist. Ist q das zu V geh6rige Minkowski-Funktional, so gilt q ~ p. Die vollstandige

Besehranktheit

bedeutet nun genau, da~ das Bild der Einheitskugel B

K=TV7 q q yon Bq (~q die Pmojektion E

,Bq) bei Anwendung yon Kpq in Bp

r

nach

dem S~tz yon Hausdorff (w 16, 2.2.), also relativ kompakt ist, d.h. K ist eine kompakte Abbildung. // Pq 3.2.

Zugleich wumde bewiesen der

SATZ: Ein vollstandiger lokalkonvexer Raum (E,P) ist genau dann (~), wenn fGr jedes p ~ P ein q g P, q z p existiert, Bq

so da~ die kanonisehe Abbildung

,Bp

kompakt ist. proj Bp erfGllt also bereits das nat~rliehe projektive +peP eines (E)-Raumes die Bedingung (2) yon 1.1. Speziell gilt die 3.3.

Wegen E

BEMERKUNG:

=

Spektmum

Ein (F)-Raum, der zugleich ein (~)-Raum ist, ist (F~).

(Daher der Name "(F~)-Raum".) 3.4. Grothendieek ([3]) nennt einen lokalkonvexen Raum Sehwartzseh, wenn er die Bedingung (2') emf~llt (siehe aueh Raikov [~ ). Aus 3.1. folgt der SATZ: Ein vollstandigem

Raum ist genau dann Sehwartzsch,

wenn er (~) ist.

Und, da aus der Definition unmittelbar folgt, da~ ein Raum genau dann Sehwartzsch

-

111

-

ist, wenn seine Vervollstgndigun g es ist, der ZUSATZ: Ein Raum ist genau dann Schwartzsch, wenn seine Vervollstandigung

(~) ist.

4t Ein Isomorphiesatz ~ber K6theraume 4.1. Ein K6thescher Stufenraum

= ~

Kp(b)

~P(b n)

n=l ist, da die ErzeuEenden ~P(b n) genau die Raume des kanonischen projektiven Spektrums sind (siehe im Beweis yon ~ 12, 3.1.), nach 3.3. genau dann (F~), wenn zu jedem m ein n ~ m existiert, so da~ ~P(bn) kompakt ist. Dies ist n a c h w

9

,~P(bm)

19, 4.2. genau dann der Fall, wenn lim k§

bklm bk,n

= 0

K (b) ist dann ein nicht endlichdimensionaler (alle endlichen Folgen sind entP halten), also nicht normierbarer (1.5.) (F~)-Raum. 4.2. Ist die Konvergenz der Folge (n : m + I o.E.d.A.) bk ~m bk,m+l "schnell genug", erhalt man den SATZ: Ist (bklm ) P k=1 bk,m+1