RECENT PROGRESS IN FOURIER ANALYSIS
NORTH-HOLLAND MATHEMAICS STUDIES Notas de Matematica (101)
Editor: Leopoldo Nach...
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RECENT PROGRESS IN FOURIER ANALYSIS
NORTH-HOLLAND MATHEMAICS STUDIES Notas de Matematica (101)
Editor: Leopoldo Nachbin CentroBrasileiro de Pesquisas Fisicas Rio de Janeiro and Universityof Rochester
NORTH-HOLLAND -AMSTERDAM
NEW YORK *OXFORD
111
RECENT PROGRESS IN FOURIER ANALYSIS Proceedings of the Seminar on FburierAnalysisheld in El Escorial, Spain, June 30 -July 5/ 1983
Edited by
1. PERAL and J.-L. RUB10 de FRANCIA UniversidadAutonomade Madrid Madrid Spain
1985 NORTH-HOLLAND -AMSTERDAM
NEW YORK *OXFORD
@
Elsevier Science PublishersB.V., 1985
All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording or otherwise, without the prior permission of the copyright owner.
ISBN: 0 444 87745 2
Publishers: ELSEVIER SCIENCE PUBLISHERS B.V. P.O. Box 1991 1000 BZ Amsterdam The Netherlands
Sole distributors forthe U.S.A. and Canada: ELSEVIER SCIENCE PUBLISHING COMPANY, INC. 52Vanderbilt Avenue NewYork, N.Y. 10017 U.S.A.
Library of Congress Cataloging In PmbUeatlon Data Seminar 011 Fourier Analysis (1983 : Escorial)
Recent progress i n Fourier analysis.
(North-Bolland mathem&ticastudies ; lll) (Notas de matcmatica ; 101)
w i s h or French. 1. Fourier analysis-Congreasea. I. Peral, Ireneo. 11. Rubio de Rancia, J.-L., 1949111. Title. IV. Series. V. Sariaa: Rotas de m a t d t i c s (Ria de Janeiro, Brazil) ; no. 101. u . K 8 6 no. lola 510 s C515'.24333 85-4531 tqA403.5 3 ISEN 0-444-87745-2 (Elae-der Science Pub. )
.
PRINTED IN THE NETHERLANDS
RECENT
PROGRESS
IN
FOURIER
ANALYSIS
The f o l l o w i n g c o n t r i b u t i o n s were p r e s e n t e d a t t h e S e m i n a r on F o u r i e r A n a l y s i s w h i c h was h e l d i n E l E s c o r i a l f r o m 30 June t o 5 J u l y 1983. T h i s m e e t i n g was s p o n s o r e d by t h e A s o c i a c i d n M a t e m d t i c a Espaiiola w i t h f i n a n c i a l s u p p o r t f r o m t h e C o m i s i d n A s e s o r a de I n v e s t i g a c i d n C i e n t i f i c a y Te'cnica ( p r o j e c t 4192). A d e c i s i v e f a c t o r w i t h r e s p e c t t o t h e o r g a n i z a t i o n toas t h e f i n a n c i a l
h e l p , t o g e t h e r w i t h t h e f a c i l i t i e s , p r o v i d e d by t h e V i c e r r e c t o r a d o de I n v e s t i g a c i d n of t h e U n i v e r s i d a d Autdnoma d e M a d r i d . The a r t i c l e s we p r e s e n t g i v e a good i d e a o f how work i n t h e a r e a h a s e v o l v e d and of t h e s c i e n t i f i c , c h a r a c t e r o f t h e m e e t i n g . The f r i e n d % and c o r d i a l a t m o s p h e r e meant t h a t t h e o r g a n i z a t i o n , f a r f r o m b e i n g a c h o r e , became a p l e a s u r a b l e e x p e r i e n c e . For t h i s toe owe o u r sincerest thanks t o a l l participants. S p e c i a l t h a n k s m u s t a l s o go t o t h e i n v i t e d s p e a k e r s f o r t h e i r magnif i c e n t c o l l a b o r a t i o n , and t o C a r o l i n e , w i t h o u t whose p r e s e n c e we h a t e t o t h i n k what c o u l d h a v e happened! We s h o u l d a l s o l i k e t o e x p r e s s o u r g r a t i t u d e t o our c o l l e a g u e s i n t h e D i v i s i d n d e Materndticas i n t h e U n i v e r s i d a d Autdnoma d e M a d r i d , f o r t h e i r h e l p i n c o r r e c t i n g p r o o f s , and t o S o l e d a d , f o r t y p i n g t h e man u s c r i p t
.
The E d i t o r s
V
This Page Intentionally Left Blank
CONTENTS
J . ALVAREZ ALONSO
F u n c t i o n s o f LP-Bounded
Pseudo-Differential Operators
3
E . AMAR On Problems R e l a t e d t o Theorems A and B w i t h E s t i m a t e s
13
D . BEKOLLE The Dual of t h e Bergman Space A' S p h e r i c a l Cone
23
i n t h e Tube o v e r t h e
A . P. CALDERON
Boundary Value Problems f o r t h e L a p l a c e E q u a t i o n i n Lipsch i t z i a n Domains
A. CARBERY R a d i a l F o u r i e r M u l t i p l i e r s and A s s o c i a t e d Maximal F u n c t i o n s
33
49
A . CORDOBA
R e s t r i c t i o n Lemmas, S p h e r i c a l Summation, Maximal F u n c t i o n s , S q u a r e F u n c t i o n s and a l l t h a t
J . - P . KAHANE Ensembles A l e a t o i r e s e t Dimensions
57
65
C . K E N I G and Y . MEYER
K a t o ' s Square Roots of A c c r e t i v e O p e r a t o r s and Cauchy Kern e l s on L i p s c h i t z Curves a r e t h e same
123
Y . MEYER C o n t i n u i t 6 sur l e s Espaces d e H 8 l d e r e t d e S o b o l e v d e s Operateurs DBfinis para d e s I n t e g r a l e s S i n g u l i g r e s
145
2
Contents
R. ROCHBERG and G . WEISS
J.-L.
A n a l y t i c F a m i l i e s of Banach S p a c e s and Some o f T h e i r Uses
173
R U B 1 0 DE FRANCIA Some Maximal i n e q u a l i t i e s
203
P . SJ’OGREN
A Fatou Theorem and a Maximal F u n c t i o n n o t I n v a r i a n t under T r a n s l a t i o n
215
P. S ~ O L I N
A Counter-Example f o r t h e Disc M u l t i p l i e r
221
STEIN Three V a r i a t i o n s on t h e Theme of Maximal F u n c t i o n s
229
E.M.
Men.
TAIBLESQN E s t i m a t e s f o r F i n i t e Expansions of Gegenbauer and J a c o b i Polynomials
S. WAINGER B a l l s Defined by V e c t o r F i e l d s
245
255
Recent Pr0gre.m in Fourier Analysis 1. Perd and J.-L.Rubio de Francin (Editors)
0 Elsevier Science Publishers B.V. (North-Holland), 1985
FUNCTIONS OF LP-BOUNDED PSEUDO-DIFFERENTIAL OPERAT0RS Josefina Alvarez Alonso Universidad de Buenos Aires
The aim of this paper is to construct a functional calculus over an algebra of LP-bounded pseudo-differential operators acting on functions defined on a compact manifold without boundary. The operators we consider here depend on amplitudes or symbols with a finite number of derivatives, without any hypothesis o f homogeneity. The manifolds where the operators act are also of class CM for a suitable M. In this way is it possible to control the number of derivatives of f that we need in order to give meaning to f(A), when A is a self-adjoint operator in that algebra. Indeed, this program was carried out in [ l ] and [ 2 ] when p = 2. In [ l ] an algebra of pseudo-differential operators acting on functions defined in Rn is constructed. The main tool to do that is the sharp L 2 estimates obtained by R. Coifman and Y. Meyer in [ 3 ] . Then, functions%f those operators are defined by means of the H. Weyl formula (see [ 4 ] , for example). Since it seems not to be possible to obtain directly a polynomial estimate for the exponential exp(-2nitA) in terms of t, a roundabout argument is employed by introducing an adapted version of the characteristic operators defined by A. P. CalderBn in [5]. All this machinery is extended in [Z] to non-infinitely differentiable compact manifolds without boundary. In order to get the Lp version of these results the first thing to do is to obtain the analogous of the algebra constructed in [ l ] . The main point is to observe that amplitudes in a subclass of S y , l give rise to operators on which the classical theory of CalderBn and Zygmund works (see [6]). Unfortunately as far as I know, it is an open question to get in the euclidean case a non trivial estimate for the exponential exp(-ZnitA). However, when the operators act on 3
4
J. Alvarez Alonso
functions defined in compact manifolds, a suitable estimate can be obtained and s o , a non-infinitely differentiable functional calculus runs. Given
0
6 < 1,
k
=
1,2 ,...,
let
[ k/l-d We will consider operators Kf
=
j=O
I
K
if this i s an integer
acting on S
in the following way
e - 2a ixS pj(x,S)2(S)dS
Rf
+
where belongs to the class Sj; that i s to say, i) The function pj is a continuous function defined on Wn x Rn; it has continuous pj derivatives in the variable 5 up to the order n+N+2-j and each function Di pj has continuous derivatives in x,c up to the order 2[n/2] +N+k+2-j , satisfying
I DSD& BY SUP
X,S e R a, B,
Y
(1+l5
Pj (X,S)
-'
I
1 ) . (1 - 6 ) + l a ( 6 - j B + y l
Z!J N(N+3)/2+4, t h e Bockner i n $ e g r a l
+
5/2,
l/po - k/n - 1 / 2 . and a f u n c t i o n !J =
f in
2[n/2]+n+k+
+
J
-m
Rk(X) and coincides w i t h t h e s p e c t r a l f o r m u l a i n L(L~(x)).
belongs t o
f(A)
c a l c u l a t e d by means of
Remarks : a) It is possible to impose on f which the operator f(A) belongs to b) When
po
= 2
additional conditions under Rk(X).
the above theorem remains true with
s >
!J + 3/2.
c) The Weyl's formula also allows to define functions of a tuple of non-commuting self-adjoint operators. We will include here the proof of the theorem 1 in a particular but significant case. Suppose that 6 = 0, k = 1 ; it follows that N = 1 . It is clear that theorem 1 can be deduced from a suitable estimate for lexp(-ZnitA) I in terms of t e R . M1 ( X I In order to get this estimate, some notations and results will be needed. We fix in X coordinate neighborhoods U., diffeomorphisms $ j : U j + $.(U.) of class CM, whkre M = 2[n/2j+n+8, functions 1
3
e j 2 0 and a finite partition of unity {nj} of C!(Uj), class CM , such that supp(ej)c Ui whenever supp(ej) supp(ei)# 8. E
I
# 0;
n
ei
in a neighborhood of SUPP(~~) 0.
= 1
n
SUPP(~~I
supp(nj)
+
if
j = i
or if
Now, we define an space o f symbols for operators in M,(X). More exactly, for each j we consider the restriction to g.(U.) of a 3 1 function p(J) e S o . We define a norm of such a restriction as
where the supremum is taken over
x
e gj(Uj),
5
E
Rn,
[ E l 5 n+3,
Functions of Jl.D.0.
7
la+^( 5 ~[n/~]+4, j . We note
N,(X)
this space. With the pointwise multiplication ( p ( j ) ) . (q(J))
as a product, LEMMA. L e t d
p
N1(X)
c
=
(p(j)q(j))
becomes a commutative Banach algebra.
H = (p'j)) be an e l e m e n t i n €ll(X); we s u p p o s e t h a t is a r e a l function. T h e n , if t e R ,
5 C~(I + I H l ) ( l
lexp(-ZnitH)I where
=
C(X)
> 0,
p =
+
[tl)lp
Z[n/2]+n+7.
Proof Since N,(X) is a Banach algebra, the exponential exp(-2nitH) is well defined; moreover it is equal to exp(-2nitp(j)) j' According to the norm that the space N1(X) has, the conclusion follows. Now, we will introduce the space M,(X) in the following way An element K of IM1(X) is an operator R in R,(X) and a vector subject to the condition that if U i n Uj # 0 in € l , ( X ) (p(j)) 1 and = ~ $ 1 ~ 0 4 ;, then
Such an element
K
will be
denoted as
We define a norm in IMl(X)
IKI Given
K eIM,(X)
IM,
f
,R).
as follows
I(,(j))l
+
lRIRl
we define an operator A(K) =
where
=
{(p(j))
njI$i(Aj)Bj
A(K) +
R
in the following way
8 J. Alvarez Alonso
I t can be proved that
A(K)
map
m 1( X I K
belongs to
h
-
Ml(X).
Moreover the linear
E(1 ( X I A(K)
is into and continuous. Furthermore, if A E E41(X) is self-adjoint, for some K = i(p(j)),R}, with p (j) real for all j.
A = A(K)
It is possible to define a product in W , ( X ) IM1(X) becomes a Banach algebra and the map A nuous homomorphism of algebras.
in such a way that above is a conti-
Finally, let us consider the maps
is a continuous homomorphism of algebras and the linear map is a right continuous inverse of R .
fi
THEOREM 2 . Suppose t h a t
Ql
l/po - l/n 5 1/2.
L e t H = {(p(j)),R} be an e l e m e n t of Wl(X) s u c h t h a t A(H) is a s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r and t h e functions p (J' are real f o r a l l j. Then, if t e R ,
Proof =
According to the notations above, we set (P (j)) E B 1 ( X ) .
A = A(H),
K = Q(H)
=
We assert that e -2aitH - Q l it an element of the form
(PitK 1
{ ( O ) ,R(t)l.
In fact, since n is a continuous homomorphism of algebras and n1 is a right inverse of n, we have
n re
-2aitH
n,(e-2nitKl~
-2""
- nQl(e -2nitK)
=
Functions of JI.D.0.
9
On the other hand, since R l is a continuous map, according to the lemma it suffices to estimate the norm o f {(O),R(t)) in M1(X), which coincides with the norm of R(t) in R 1 ( X ) . We have R(t)
=
Ale -2nitH
I]
=
= e -2nitA - A R 1 (e-ZnitK1 . I f we denote with we get i(t) =
the derivative o f
K(t)
R(t)
with respect to t,
e-2nitA(-ZniA) - Anl (e-ZnitK(-ZniK))
=
PitA (e-2nitK)] Anl
- ASll(e -2*itK(-ZniK))
=
(-ZniA)
+ hR1
=
(e-'lritK) (-ZniA) -
R(t) (-2niA) + B1 (t)
(1)
Since B~ (t)
= A
~
(e-ZnitK) R ~ (-2nitl) - fi1 (e-ZnitK( - 2niK) )]
and
~ [ n (e-2nitK) , (-ZniH) - R, (e-2nitK(-ZniK))] we deduce that
B,(t)
belongs to R,(X)
= 0,
for each
Thus,
where
C = C(X)
Since
R(0)
> 0. =
0, from ( 1 ) it follows that t -Zni(t-s)A
R(t)
=
I
0
B1(S)e
ds
But we can also write R(t)
=
(-ZniAje-ZnitA - Anl (e-ZnitK(-ZniK))
R(t)
=
(-ZniA)R(t)
or +
BZ(t)
t.
10 J. Alvarez Alonso
where
B2(t) e R1(X)
for each
t
and
or
R*(t)
1
t
=
Zni(t-s)A ds
B;(s)e
(4)
0
where
*
denotes the adjoint.
Now, suppose we show that
I e-2ni(t-s)A
‘Po P L
,L
We will get the same estimate for
I e-2ni(t-s)A
I P;, P;, L
,L
Thus, according to ( 2 ) and ( 4 ) , we can deduce that
So,
it remains to prove (5).
From the definition o f the operator suffices to obtain the estimate
R(t),
it is clear that it
But according to the hypothesis l/po - l/n 2 1/2, the So olev immersion theorem provides the continuous inclusion of L1B O (X)
L’(x) ; moreover, since po 5 2 , tion from L 2 (X) into Lpo(X). follows from ( 3 ) .
into
we a l s o have a continuous injecThus, the desired estimate
This completes the proof o f the theorem 2.
Functions of JI.D.0.
11
References [l]
PI
J. Alvarez Alonso, A.P. Calder6n: "Functional calculi for pseudo-differential operators, I". Proceedings of the Seminar on Fourier Analysis held in El Escorial, ( 1 9 7 9 ) , pp. 1 - 6 1 .
, "Functional calculi for pseudo-differential Proceedings of the MIT Congress in honour of I. S e g a l , ( 1 9 7 9 ) . Studies in Appl. Math., vol 8 , ( 1 9 8 3 ) , pp. 2 7 - 7 2 .
operators,
11".
[3]
R. Coifman, Y. Meyer: "Au del3 des opCratCurs pseudo-differentiels". Asterisque n-0 5 7 , ( 1 9 7 8 ) .
[4]
M.E. Taylor: "Functions of several self-adjoint Operators". Proc. Amer. Math. SOC. 1 9 , ( 1 9 6 8 ) , 9 1 - 9 8 .
[5]
A.P. Calderon: "Algebras of singular integral operators", Proc. of Symp. in Pure Math., 1 0 , ( 1 9 6 5 ) , 18-55.
c6-J
J. Alvarez Alonso: "An algebra of LP-bounded pseudo-differential operators". Journal of Math. Analysis and Appl. 9 4 , ( 1 9 8 3 ) , 268-282.
This Page Intentionally Left Blank
Recent Progresa in Fourier Analysis I. Peral m d J.-L.Rubio de F r ~ c i (Editom) o 0 Elsevier Science Publishen B.V. (North-Holland), 1985
ON PROBLEMS RELATED TO TfIEOREblS WITH ESTIMATES
A
and
B
E. AMAR UniversitC de Bordeaux
Introduction Ile are interested in theorems of type Cartan with estimates on the growth of the functions.
A and B ,
but
'l'ype A prohlcnis a ) The caracterisation of the zero set of a holomorphic function in a given class. G. Henkin and H. Skoda gave, independently, a complete answer fot thic problem in the case of the Nevanlinni class of the unit ball B of C " [12], [lB]; N. Varopoulos studied the case o f the Hardy classcs HP o f the unit ball [19].
23
All o f them used the P. Lelong's method leading to solve a equation with estimates.
b) Another example of type A problem is the corona problem: let f l ,. .. ,fk be bounded holomorphic functions in the unit ball o f Cn such that: lfll are there flgl +...+
g l ,...,gk f k g k = l?
+...+
lfkl L 6 > 0
in
B;
bounded holomorphic functions in
B
with:
This problem was solved in 1962 by L. Carleson [9] in the case n = 1 ; L. llormander [14] showed that the problem can be replaced by the problem o f solving a J equation with bounded solution, and in 1979 1'. Wolff gave a very simple proof of the Corona in one variable. We will show in 5 1 , in generalizing the proof of Wolff to the unit ball of Cn, that in fact it is a 3F equation we are led to solve. [Infortunately we have not the complete answer but the following: Theorem
rd.
~ e tf
=
..., fk),
(fl,
13
k f u n c t i o n s in t h e Hardy c l a s s
14 E. Amar
Hp(B)
L < p
)
dA.
Notice t h a t B(5,z) is n o t i n L1(dV(z)) because o f a bad b e h a v i o r when z t e n d s t o i n f i n i t y ; h e n c e , w e s h a l l c o n s t r u c t Bo(C,z) " c l o s e enough" t o B ( 5 , z ) when z t e n d s t o i n f i n i t y . The idea i s t o replace t h e exponential f u n c t i o n i n t h e r i g h t hand s i d e o f (2) by a n e x p o n e n t i a l s o l u t i o n o f = 0, " c l o s e enough" t o t h e i n i t i a l e x p o n e n t i a l f u n c t i o n when z t e n d s t o i n f i n i t y ; s u c h a s o l u t i o n w i l l b e o f t h e form
0,
4 -z + p 1 51 2
e x p (F
50
+ p 2 52) 1 In f a c t , i n t e g r a t e t h e r i g h t hand s i d e of (2) w i t h r e s p e c t t o
lo, using t h e change o f v a r i a b l e
u
=
A
A1
- A;;
one obtains:
O b s e r v e now t h a t t h e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n i n t h e r i g h t h a n d s i d e o f (6) i s a s o l u t i o n of = 0.
0,
By ( 6 ) , t h e f i r s t term o f Bo(C,z) w i l l b e t a k e n t o b e 5/2 (co-zo) s,z B ( 5 , z ) a n d we s h a l l a d d some terms i n d e p e n d e n t o f ( i -To) a n d c 2 ( h e n c e o f box z e r o ) i n o r d e r t o o b t a i n t h e e s t i m a t e -
c1
28 D. Bdkoll6
More precisely, we prove the following main lemma: Main Lemma. D e f i n e t h e k e r n e l
&
Bo( 2, where is the spherical cone in Rn+' . Again in this case, in order to define the Bergman projection of L m ( Q ) , we look for a kernel Bo ( 5 , ~ ) satisfying the following properties: 1") with respecto to orthogonal to A 1 ; 2O) with respect to
5 , Bo
( 5 , ~ ) ,is a holomorphic function
z, (B-Bo) ( 5 , ~ ) is in
L'
(dV(z)).
r
30 D. B6koll6
0 in
The wave operator
0.z =
a2
Q
is
a2
azo azl
...
- - a2
azZ2 Now, since we wish to differentiate P R , ferentiating the integrand of its expression
2 n R
E
Lm R ) ,
b y dif-
our sufficient condition o f orthogonality t o A ' < wi 1 no more be ( 5 , ~ ) 0 because we cannot give sense to the expression
0,Bo
I
1
B1+* ( 5 , ~ )R(z) dV(z), 5 E R; 1+- 1 n+l ( 5 , ~ ) is not in L'(dV(z)). In the reason is that fact, in this case, B(5,z) is in Lp (dV(z)) i f and only if 3n + 1 and to generalize the results of part I , the sufficient p > =, 1 condition we take is Bo ( 5 , ~ ): 0, m E N, m > n2 P R ( 5 ) = cn
-.
Let us next define the Bloch space n-1 the smallest integer greater than 2. Bloch function if
B
of
Q.
A function
Let m denote g e H(R) is a
Let N denote the space of holomorphic solutions in R of the equation = 0; then, the Bloch space B o f Q will be the quotient space of Bloch functions by N .
O(m)
Our result is the following: Theorem 11. Let 52 n > 2. T h e d u a l o f Q
be t h e t u b e o v e r t h e s p h e r i c a l cone in A'(n)
onto
9
B is a b o u n d e d o p e r a t o r f r o m
c o i n c i d e s w i t h t h e Bloch space
and t h e Bergman p r o j e c t i o n
Lm(Q)
p+ 1
P
fl
8.
Remarks lo)
In the same way, we may associate a Bloch space Bx; then B = 8, and it is easy to prove that
any 0 E if a < B .
Ba
to
Ba=
In the other hand, in the classical cases of the unit disc, the upper half-plane and the Cayley transform of the unit ball (for this last case, see [l]), it is well known that all Bloch spaces Ba, a e N*, are equal (to the dual of A ' ) . Nevertheless, in the
The dual of the Bergman Space 31
present case, our methods only yield the equality and g are both greater than 2n.1
Ba
=
Bg
when
a
2 " ) As a consequence of theorem 11, we obtain that the conjec-
ture of R. Coifman and R. Rochberg is also true for a Cartesian product of upper half-planes, Cayley transforms o f unit balls and tubes over spherical cones. 3") Finally, let u s mention that the equality between the dual of A1 and the Bloch space can "easily" be extended, with the same proof as theorem 1.2, to any symmetric Siege1 domain of type 11. PART 111. AN APPLICATION The above kernel B o ( r , z ) can be used to extend to the wave operator 0 in the tube over the spherical cone in Rn+' some well-known results of Hardy and Littlewood about the operator d in the unit disc of the complex plane (cf. chapter 5 of p]). Our result is the following for n = 2 : be t h e t u b e o v e r t h e s p h e r i c a l c o n e i n R3. +m], there e x i s t s a linear operator T defined P i n t h e Bergman s p a c e Ap s u c h t h a t O T = Id and s a t i s f y i n g t h e P Ap following properties:
Theorem 111. Let For a n y p E 1 0 ,
R
12
% 1 " ) 3 I o < p < 7 A3-P
y3;p
2")
t h e d u a l of
3")
space
< 3,
Am;
p
=
3,
4") J i 3 < p < A 3. 1 --
Tp i s a bounded o p e r a t o r f r o m Ap
TP
i s a bounded o p e r a t o r f r o m
T3 i s bounded f r o m +a,
A3
to -
Ap
t o t h e Bloch space
Tp i s bounded f r o m Ap
8;
t o the Lipschtiz
P
A detailled discussion of this last result is presented in [4].
32
D. Bkkoll6
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BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR THE LAPLACE EQUATION IN LIPSCHITZIAN DOMAINS
A. P. CalderBn”
U n i v e r s i t y of C h i c a g o and I n s t i t u t o A r g e n t i n o d e b.latem%ticas
I NTIIODUCT I ON Let
b e a b o u n d e d domain i n
D
Rn
whose b o u n d a r y
aD
is
l o c a l l y the g r a p h o f a L i p s c h i t z i a n f u n c t i o n . We s h a l l c o n s i d e r t h e problem o f f i n d i n g s o l u t i o n s G t a k i n g p r e s c r i b e d v a l u e s g on
D (Dirichlet problem), o r with
of t h e Laplace equation i n aD
v i s a prescribed continuous u n i t vector valued a D ( o b l i q u e d e r i v a t i v e p r o b l e m ) . The p r e c i s e s e n s e i n which t h e s e c o n d i t i o n s a r e t o be s a t i s f i e d is d e s c r i b e d below. D a l h b e r g [3] h a s shown t h a t t h e D i r i c h l e t p r o b l e m i s a l w a y s s o l v a b l e uniquely i f f is square integrable with respect t o t h e surface a r e a do o f a D . We s h a l l p r o v e t h a t t h i s a l s o t h e c a s e i f (VG.v)
=
g
where
f u n c t i o n on
f e LP(do) f o r a l l p , p o < p 5 2 w h e r e PO’ 1 5 Po < 2 , d e p e n d s o n t h e domain D . We s h a l l a l s o p r o v e t h a t t h e o b l i q u e d e r i v a t i v e p r o b l e m i s s o l v a b l e w i t h f i n i t e l y many l i n e a r c o n d i t i o n s imposed on g i f t h e n o r m a l c o m p o n e n t o f v h a s a p o s i t i v e lower
b o u n d . The c a s e i n w h i c h v c o i n c i d e s w i t h t h e n o r m a l t o a D (Neumann p r o b l e m ) i s n o t c o v e r e d by o u r r e s u l t s . F o r t h e s o l u t i o n o f t h i s problem i n t h e c a s e
p =2
see [4].
As a c o n s e q u e n c e o f o u r
r e s u l t s on t h e D i r i c h l e t p r o b l e m we s h a l l a l s o show t h a t h a r m o n i c measure f o r
D
belongs t o every
Lq(do),
q
~ l x - y l l , where d(x,aD) denotes the distance from x to aD, provided s i s sufficiently small. Thus, as s + 0, x approaches y non-tangentially to aD. This is an immediate consequence o f the fact that u(y) o n(y) 2 > E > 0. The other is this: if we denote by ns(x), x e aDs the outer unit vector normal to aDs at x , then whenever ns(y-su(y)) and n(y) are defined (which is the case for almost all (y,s)) we have bS(Y
- SU(Y))
- n(y)l
< cs.
Locally, this follows from ( 1 ) by observing that the vectors
Boundary problems for Laplace equations 37
(-9
ax
axn
j
-1
ayj aYj which span the hyperplane tangent to from the vector of components
1,2, ...,n-1
=
aDs
at
y - cu(y),
differ
which span the hyperplane tangent to aD, at y , by less than C s in norm. Globally our assertion follows by covering aD with the sets 01. 1
Finally, we introduce the following notation: if F is a function defined in D, mE(F)(y), y e a D , is the function SUP IF(x)l. xerE (YI 2. POTENTIALS OF DISTRIBUTIONS ON
D.
Consider the Newtonian potential of a mass distribution on
(2)
F(x)
=
1 2n
la,
'
log Ix-YI f(y)do,
x E D,
where wn is the surface area of the unit sphere function on aD whose p-th power, 1 p m, respect to the surface area da of aD, i.e. it Then F(x) is harmonic in D and its gradient is
n
(3)
lim x+z
(VF)(x)
=
=
2
=
in Rn, f is a is integrable with belongs to Lp(do). given by
-1
f(y)da. wn i x - y , This gradient has a limit as x approaches a point non-tangentially to aD, for almost all z, given by (VF)(x)
aD.
1 f(z)n(z) 7
1 - lim E+O
1
n' Iy-zIx I z-yl
z
in
aD
f(y)do,
where, again, n(z) denote the outer unit normal vector to aD at z, (see [4], section 1) and the expression on the right represents an operator taking functions on aD into vector valued functions on aD, which is bounded with respect to the norm of Lp(do). Furthermore, mE( I VFI) (z) , z E aD belongs to Lp(do) if f does
38 A.P. Calder6n
(see section 1 for the definition of mE). Given a bounded vector valued function v(y) on aD, consider also the function
where f is again a function on aD in LP(da). This function is also harmonic in D and has a limit as x + z e aD non-tangentially, for almost all z, given by (5)
lim G(x) x+ z
=
1
7 [v(z)
- -
0
n(z)]f(z)
-
lim
w
and the expression on the right represents a bounded operator in 1 < p < m. Here also m,(G)(z), z E aD, belongs to Lp(do), Lp(do) if f does.
3 . THE DIRICHLET PROBLEM
C(x)
We seek solutions of the problem of finding harmonic functions in D such that lim G(x) x + z Zf aD
=
g(z),
where g(z) is a given function on x approaches z non-tangentially.
a.e.
aD
belonging to
Lp(do),
and
*
We shall show that there exists a p o , 1 < po < 2 , depending on D, such that this problem has a unique solution with the property that (6)
I
aD 0 and where
(G[z - ~u(z)]
as t + u(y) is on aD, lu(y)l = 1 , with the y E aD, provided that po < p terms of the local oscillat on 1im E+O
- g(z)lP
do
+
0
a Lipschitzian vector valued function property that u(y) n(y) E > 0, 5 2 . This po can be estimated in of n(y): 0
SUP In(y) - n(z)l, IY-ZI<E
and can be shown to tend to 1 as the local oscillation of
n(y) tends
Boundary problems for Laplace equations 39
to zero. This, however, we will not do in this paper. The solution to the Dirichlet problem will have the additional property that, for any xo E D, G(xo) will depend continuously on g, that i s , there exists a function hx (y) on aD in Lq(do), 0 q = such that
-&
and, thus, it will follow that the harmonic measure associated with a point xo in D belongs to every Lq(do), q < PO That for certain domains this cannot hold for arbitrarily large q can easily bee seen by considering the image of the domain {z 12-11 < 11 in the complex plane under the map z + w = za , 1 < a < 2 . In this case, the harmonic measure associated with w 1 -a 2r.a - 1 IwI a da and this does not belong to Lq(du) for
1
=
is d(a-1).
q
Let us turn now to the proof of our statements. Consider (5) with v(y) = u(y) and denote by Af its right hand side. We shall prove that A is a Fredholm operator of index zero in Lp(da) for Po < P < po-1' 1 < po < 2 . For this purpose, consider the function @(y) = [u(y)on(u)]-1/2. Since u(y) n(y) is bounded and has a positive lower bound, our assertion about A will hold if and only if it holds for the operator 0
= 1~ f + B f Now, consider the operator the identity, and
(zI
+
I
+
AB)(~ I + XB*)
XB, =
I
0 5 X < 1
where
2 j (B
+
+
and
I
is
B*) + h 2 BB*
(7)
Since
u(y)
is Lipschitzian, the operator
is compact in every LP(da), 1 1 > continuously into Lq(do), 9 -
< p
0 ) a n d t h e maximal t h e o r e m g e n e r a l i z e s t h e r e s u l t o f [l] c o n c e r n i n g a l m o s t - e v e r y w h e r e c o n v e r g e n c e o f B o c h n e r - R i e s z means on R 2 t o a w i d e r c l a s s o f f u n c t i o n s , a s well a s p r o v i d i n g a u n i f i e d a p p r o a c h t o c e r t a i n o t h e r o p e r t o r s a s s o c i a t e d t o maximal a n d p o i n t w i s e c o n v e r g e n c e p r o b l e m s , i n c l u d i n g S t e i n ' s s p h e r i c a l maximal f u n c t i o n , "41 and t h e s o l u t i o n o p e r a t o r t o t h e l i n e a r i s e d SchrGd i n g e r e q u a t i o n Au = i a u / a t , u ( x , 0 ) = f . Let us begin with t h e square f u n c t i o n .
P(5) =
15 ( 1 5 1 - 1 1 y - l
=(lo
and l e t
G"(f)(x)
For
let
a > 1/2,
=
m
*
10;
duced
G"
t h e maxima
f ( x ) I 2 dt/t)"2 i n [12]
( w h e r e $J,(x) = t - n $ ( x / t ) ) .
where he used i t t o s t u d y t h e
L2
Stein intrg
behaviour of
Bochner-Riesz o p e r a t o r . In f a c t , t h e easy r e s u l t about
a > 1/2, t h e n I G a ( f ) 1 2 5 Ca I f 1 2 . Sunouchi n + 1 t h e n c;" b e h a v e s a s a v e c t o r - v a l u e d a > -, 2 < Calder6n-Zygmund s i n g u l a r i n t e g r a l o p e r a t o r , a n d s o I G " ( f ) l P < C i f l p f o r 1 < p < a. T h i s seems t o b e a l l t h a t was known P,",U a b o u t G" u n t i l f a i r l y r e c e n t l y . However w e now h a v e f u r t h e r linow-
on
[18]
L'
is that i f
observed t h a t i f
ledge of G u t s Lp(Rn)
*
r a n g e s o f b o u n d e d n e s s when
n = 1
or
R e s e a r c h s u p p o r t e d i n p a r t b y NSF G r a n t MCS 8 2 0 - 3 3 1 9 . 49
2.
50 A. Carbery
Theorem 1. Let IGa(f)lp
n
=
1
5 Cp,n,alflp
-'
2 , a > 1/2, and 1 < p < 2n 2 n > P > n+2u-1'
m.
Then
The case a > n+ 1 of the theorem is Sunouchi's result, and the case a > 1/2, p = 2 is Stein's. The case a > n ,p 2 seems to be due to CBrdoba [7] when n = 1 , and is possibly new in general*. The case a > 1/2, 2 5 p 5 4 , n = 2 is a consequence of (This is the only "critical" case which does not at Carbery, [ l ] . present generalise to all dimensions). The remaining positive cases follow by complex interpolation using Stein's theorem (see [17]) for analytically varying families of operators. (Unfortunately we have to complicate G" a little by letting a take on complex values; but using the formula (1) below and arguing as in [17] we see
z-
that IGa(f)lp Re B > 0 and theorem).
5 Clflp * IGa+@(f)lp 5 C(r(Re B1/Ir(@)[)lflp when R, which is good enough for us to apply Stein's
Than G" cannot be bounded unless p > 2n/n+2a-1 is a corollary of theorem 4 (see application 3 below), and the necessity of the condition p < 2n/n-2a follows from applying theorem 2 below to the Bochner-Riesz means. (These statements remain valid in all dimensions). Before proceeding to state and prove our main theorems, we need a variant of the formula
(valid when Re a > 11 + 1/2) which appears in the works of Stein on the maximal Bochner-Riesz and spherical maximal operators, [12] and [14]. This variant is contained in the following well-known RiemannLiouville formula:
*
Details will appear elsewhere.
Radial Fourier multipliers 51
Proof. For € , a > 0, h in the hypothesis of the lemma and f f: L2(R), introduce {(d/dt)z h}-(v) = (E-iv)a ;(v) and
1
m
f(x)
I:
=
X
c
(E-iv)-'
h
=
a
(t-x)a-' e-E(t-x) f(t)dt.
Notice that since is the Fourier transform of the L 1 function (-x):-'
ca I a€ (d/dt)z h
and moreover
(d/dt)z h
eEX,
=
= Ca(d/dt)Lalt1 I1-at[a]h. E Thus supp (d/dt): h C (--,a[, and an application of the dominated convergence theorem shows that (d/dt)" h + (d/dt)" h, and that for each -ESt-X) (t)(d/dt)z .+ x[~,-) (t)(=) d a h in L 2 as E 0. x, e X[x,m) Therefore, since the function (t-x)a-' X[,,~] (t) belongs to L2 when a > 1/2, we have for almost every x that -+
=
ca
[ (t-x)'-l
e-E(t-x)(d/dt):
h(t)dt
j
ca
(t-x)a-'(d/dt)
h(t)dt,
EO '
concluding the proof of the lemma. 11. We are now in a position to state the main inequality from which
-
multiplier theorems may be deduced. Let I$ be a fixed nonnegative smooth bump function supported in [1,2]. For 1 < q < and a > 1/q let R(q,a) = Im e Lm(O,-)l 1 . 1 R(q,a)
Theorem 2. Let = m(IcI) 1 ( 6 1 .
a >
1/2 and suppose t h a t
m
E
R(2,a).
Let Tf(6)
=
hen
Corollary 3. ( [ 2 ] ) . Let n = 2 , a > l/q and suppose that m E R(q,a). Then m(lS1) is an Lp(R 2) multiplier when
Remarks 1 . The most interesting special case of the corollary is the case q = 2,a > 1/2. It then states that a radial function, which, when regarded as a function on ( 0 , ~ ) belongs to R(2,a), a > 1/2, 2 is an Lp(R ) multiplier for 4 / 3 5 p 5 4. This extends the
52 A. Carbery
C a r l e s o n - S j 6 l i n t h e o r e m b e c a u s e ( 1 - t 2 ) A+ E R ( q , a ) when T h i s s p e c i a l c a s e f o l l o w s from t h e o r e m 2 , t h e c a s e o f t h e o r e m 1 and t h e i n e q u a l i t y [ T f l < C Ig(Tf P - P," which i s a s t a n d a r d r e s u l t from s i n g u l a r i n t e g r a l s
a
1 o f t h e c o r o l l a r y i s a v e r s i o n o f 11Grm a n d e r ' s m u l t i p l i e r theorem f o r r a d i a l f u n c t i o n s , a n d f o l l o w s from t h e c a s e n = 2 , a > 1 , p L 2 of theorem 1 .
The r e m a i n i n g c a s e s f o l l o w from embedding a n d i n t e r p o l a t i o n p r o p e r t i e s o f R(q,a) s p a c e s . (For t h e s e p r o p e r t i e s and a comparis o n w i t h WBV s p a c e s , see [ 3 ] ) . 3 . The c o r o l l a r y i s b e s t p o s s i b l e i n t h e s e n s e t h a t i n d e x 1 1 a p p e a r i n g i n i t s s t a t e m e n t cannot be i n c r e a s e d . 1 / 2 ( a - (- 9 T h i s may b e s e e n i n t h e c a s e q 5 2 by e x a m i n i n g t h e B o c h n e r - R i e s z m u l t i p l i e r s , and i n t h e c a s e q 2 2 smooth m u l t i p l i e r s o f t h e form 0 c a < 1 which b e l o n g t o R ( q , a ) eilEla/lclaa, (large l c l ) , f o r 1 < q < m . The p r e c i s e r a n g e o f p ' s f o r w h i c h t h e s e i a t t e r m u l t i p l i e r s g i v e bounded o p e r a t o r s on Lp was d e t e r m i n e d i n [lo].
z)+)
P r o o f o f Theorem 2 . Apply t h e lemma w i t h
1
h(s)
=
@(su) m (s) :
a
@(SUI m
(5) =
ca
(t-s)a-l(-&)a
[@(tu) m ( t ) ] d t ,
S
by t h e a s s u m p t i o n on =
m.
Therefore,
$(Su) m
(lCl)?(EI
I E / u @ ( I c I u m) ( 6 )
since
supp ( d / d t ) a [ @ ( u t ) m ( f ) ] C_ ( - - , 2 / u l .
5 'a as r e q u i r e d .
lmlR(2,a) Ga(f)*(x)
which i s v a l i d
Thus
=
Radial Fourier m u l t i p l i e r s
53
W e t u r n now t o t h e maximal o p e r a t o r a s s o c i a t e d t o a r a d i a l F o u r i e r m u l t i p l i e r m( 15 I ) . If 111.
sup
T* f ( x ) =
ITtf(x)
1.
O
1/2.
With
T*
as above
L
a 2 o r 2 , a > 1 / 2 a n d s u p p o s e t h a t m E La. Then t h e maximal o p e r a t o r a s s o c i a t e d w i t h m i s b o u n d e d on Lp(Rn) when 2n 2n n-2cr > p > -n + 2 a - 1 C o r o l l a r y 5 . Let
n = 1
Remarks 1 . The c o r o l l a r y f o l l o w s d i r e c t l y f r o m Theorems 1 a n d 4 . By c o n s i d e r i n g t h e Bochner-Riesz means, w e see t h a t t h e i n d e x 2n/(n-2a) cannot b e r a i s e d ; t o see t h a t 2n/(n+2a-1) cannot be lowered, s e e a p p l i c a t i o n 3 below.
2.
If
D s f ( 5 ) = 161'
?(S)
ITtf(x)l
5
for Ca t S
s E R
w e see i m m e d i a t e l y t h a t
I q l 1 . 1 La
Ga ( D s f ) ( x ) .
A c o r r e s p o n d i n g s i m p l e maximal i n e q u a l i t y ( v a l i d i n a l l d i m e n s i o n s
54 A. Carbery
and not reflecting the full '!Bochner-Riesz" characteristics of
where
a >
112
and
2n-2 n-20. < P
Ga)
2n
0 .
mB (51,
yields that
IT* flLp(Rn)
'
I cg,n
< - < max{~, *I ~n n+B for 1 2+B o < - < 7 for - 1 < B 5 0).
P
when LP -n/2 < B < 0 . (When n = 2 , read When - 1 5 B 5 0 , it is known 1161
Radial Fourier m u l t i p l i e r s 55
t h a t t h e range o f p a r a m e t e r s n/(n+B) < p c a n n o t b e improved - con2n s e q u e n t l y G" c a n n o t b e bounded o n Lp(Rn) u n l e s s p > n+2a-1. L
Let m(6) = e i l s I . Then t h e l i n e a r i s e d S c h r a d i n g e r e q u a t i o n A u ( x , t ) = i au / a t ( x , t ) , t > 0 , u ( x , O ) = f ( x ) , has a s o l u t i o n o p e r a t o r u ( x , t ) = TJF. f ( x ) . C o n d i t i o n s o n f s u f f i c i e n t t o i m p l y that u(x.t) + f(x) a.e. a s t -+ 0 h a v e b e e n s t u d i e d b y C a r l e s o n , [ 4 ] , D a h l b e r g a n d K e n i g , [9] a n d Kenig a n d R u i z [ l l ] The r e s u l t s 2 n) , a o f t h e s e p a p e r s show t h a t i f f e L,(R n/4, then s u p I T t f ( x ) I i s l o c a l l y i n L 2 ( R n ) , ( [ l l ] ) . Here we show t h a t O 0
Saf R
i.e.
*nfy where -7 -a 1x1 Jn (2yIxl)
K:
=
K~(x) = r(i+a)r-'
z+"
and Jv denotes the Bessel THEOREM 3. In R 2 a)
I(C
function of order
v.
0 < a < 1/2
IS~jfj12)"21p 5 Cp
I ( C l f j l 2 1 1/2I p s
4/(3+2a) < p < 4 1 1-2a) UniformZy on any sequence of
b)
c) 3
3
S:f(x)
=
Sup (Sgf(x) R
IS:flp
5
cp
{RjI
we have
2 < p < 4/(1-2a).
lflpY
is lacunary t h e n :
lim
R~-
References: [4]
{R.I.
Rj
[S]
f(x)
=
f(x).
a.e.
x
for e v e r y
, 161.
Auxiliary operators [ l ] Maximal functions
Let
y : [0,1]
Given N > > 1 ,
-+
S n m l be a smooth curve. let us consider
60 A. Cijrdoba
BN = {cylinders of eccent.
direction
in
=
hei ht . 6 N and =
yl
and the operator
THEOREM 5. There e x i s t s a f i n i t e c o n s t a n t
independent of
Cy,
N,
such t h a t
References:
[7],
[8].
[23 Square functions (A)
In
let us consider a cubic lattice
Rn
IQ,)
and associated
operators Pvf
=
Gf(x) THEOREM 5. F o r e v e r y such t h a t , for e v e r y
x
h
QV
*
= (C
f 2 1/2 . [Pvfl )
s > 1,
there e x i s t s a f i n i t e constant w e Co(Rn) we have:
Corollary. lGflD 5 Cp [flp, 2 5 p (here
*
-.
denote the Hardy-Littlewood maximal functions).
References: [S]
(B) Let
.
0 l'ensemble des recoubrements de E par des boules Bn de diamgtre <E : -
E C IJ Bn, diam Bn 5 E . n Soit H ( E ) la borne inf6rieure des sommes C h(diam Bn) pour les recoubrements en question (0 5 H(E) 5 - ) . Quand E + 0, H ( E ) + H (0 5 H 5 -). Par dgfinition, H est la mesure de Hauscbrff de E par rapport 'a la fonction dgterminante h, et on Bcrit H = mesh E.
C'est une mesure ext6rieure. En conclusion de son article, Hausdorff montre que, si h est concave, il existe un ensemble ferm6 lin6aire tel que 0 < mesh E < -. Quand h(t) = ta (a > 0), on 6crit mesaE au lieu de meshE; c'est, par dgfinition, la mesure de Hausdorff de E en dimension a. Comme fonction de a, mesaE est une fonction dgcroissante, 6gale 2 ou 0 sauf peut-&tre en un point. On ddfinit en tous cas
-
et on appelle
a.
la dimension de Hausdorff de a.
Si E
est plong6 dans
=
Rd
dim E. euclidien, on a pour tout
mesa(X E) mesa(E
E:
=
+ x)
X > 0
X a mesaE =
mesaE.
Lemme de Frostman (th;se, 1935, p. 89). Soit E un compact dans Rd, et h une fonction dgterminante telle que h(2t) = O(h(t)) (t * 0). Pour avoir meshE > 0, il faut et suffit que E porte une mesure positive p (on dcrit p e n+(~)), non nulle, telle que p(B) 5 h(diam B) pour toute boule B.
68 J.-P.
Kahane
En application du lemme de Erostman, dans le cas oh h est concave, on construit facilement un ensemble du type de Cantor E ( c 1 , c 2 , ...) tel que meshE = 1 (voir figure). C'est, en fait, la construction de Hausdorff.
1 CapacitCs et dimensions capacitaires. ThCor'eme de Frostman Soit toujours E
un compact dans n(x)
(on Ecrit
I
I
Soit
0 < a < d,
et
[XI-'
=
pour la norme euclidienne). Ainsi
i(5)
A toute mesure
Rd.
u
E
M+(E)
=
c1qa-d.
on associe son potentiel
et son intbgrale d'Bnergie
A toute distribution
T
f
D'(E)
1'intCgrale d'gnergie I(T)
=
(port6e par
I
E)
on associe aussi
i.
Les distributions d'bnergie finie forment un espace de Hilbert, et les mesures positives d'bnergie finie un cane convexe fermd dans cet espace de Hilbert (thkse Deny, 1950). I1 y a trois definitions naturelles de la capacitC d'ordre
a:
Ensembles Aleatoires et dimensions 69
Cap:')
E = sup{l
et on vdrifie facilement
On voit aussi que, pour chacune de ces capacitbs, Capa(A E) Capa(E
+
= ha
CapaE
x ) = CapaE.
La th6orie du potentiel (principle du maximum, mesure d'bquilibre) s'applique lorsque d-2 5 a < d (le cas a = d-2 est celui du potentiel newtonien, d 3 ) ; elle donne 1'6galit6
Pour a < d - 2 , ces dgalitbs sont en dgfaut. Nous verrons cependant tout-:-l'heure que
(La premisre 6quivalence m'a dtd rbvdlde en 1977 par Hans Wallin, et Lars Hedberg m'en a donnd une dgmonstration ddtaillbe en 1978; la seconde rdsulte d'une observation de Peter Sjiigren pendant le sbminaire de 1'Escorial). On peut dgfinir des dimensions capacitaires dimo,
diml, dim2,
3 partir de ces trois notions de capacit6, comme on a dbfini la dimension de Hausdorff, 21 savoir dimiE
=
inf{alCap(i) a
Les dimensions capacitaires Polya et Szeg8 en 1932.
dim,
E et
= 0).
dim,
on 6t6 introduites par
T h b o r h e de Frostman (thbse, p. 9 0 ) : dim
=
dim,
=
diml (= dim2).
La dernisre dgalitb resulte du th6oreme du folklore sugdois, et naturellement elle n'Ctait pas dnoncge par Frostman. La dgmonstration de Frostman est donnee dans le cas d = 2, et elle repose sur
70 J;P.
Kahane
la thdorie du potentiel. On peut, heureusement, se passer de la th6orie du potentiel, comme me l'a montrd Jacques PeyriPre. Thdorhe.
0 < a - E < a < d,
Preuve de la premizre implication. Supposons CapL1)E > 0. Soit p e M+(E), w # 0, I ( p ) < I1 existe une partie de E, soit F, telle que p(F) > 0 et sup p(x) < Soit Bn une suite de xeF boules recouvrant F; on peut supposer qu'aucune n'est disjointe de F, et consid6rer xn e Bn F; alors
-.
-.
n
donc donc
p
u(F) 5 C C(diam BnIa mesaF > 0, donc
mesaE > 0.
Preuve de la seconde implication. Supposons mesaE > 0, et soit la mesure donnde par le lemme de Frostman. On a
inddpendant de x en intdgrant sur des couronnes {Y;2-j-' < Ix-yl < 2-j}. Equivalence des trois notions de capacitC
-
Nous allons maintenant ddmontrer le rdsultat annoncd.
THEOREYE. Capi2)E > 0
Capa("E
> 0
*
CapAo)E > 0.
Preuve de la premiere implication (suivant Lars Hedberg). En fait, nous allons ddmontrer l'indgalite CapL2) E < C(a,d) Cap:')
E,
C(a,d) dtant une fonction positive de CL et d que nous n'explici terons pas, sauf dans le cas a d-2, o'u C(a,d) = 1 (thdorsme de Deny). Pour toute fonction
p
E
J(P)
u(R~), =
posons
I 1612/i
Ensembles Aleatoires et dimensions 71
de sorte que, p o u r toute distribution
T d'lnergie finie,
d
Le compllt6 de D ( R ) pour la norme hilbertienne est l'espace de Hilbert dual de l'espace de Hilbert des distributions d'lnel gie finie. I1 est commode d'lcrire
de sorte que par dualitl on a: Lemme 1 . CapLl'E
=
inf{J(p),
p e D,
p 2 1
sur
El
Cap:2)E
=
inf{J(p),
p
p
1
SUr
El.
Posons maintenant, pour
?
c/;,
P
=
=
inf{I(T
E
D,
=
p e D, p = T
P
* n,
J(p)
=
I(Tp).
*
2
1
On peut 6crire CapLl'E
P
),
T P
*
n e D, T
P
n
sur
El.
Le convexe iTplTp
*
n
2 1
sur
E,
TP
*
n e 0)
admet un point fronti'ere unique de norme minimum, soit To, dans l'espace de Hilbert des distributions d'gnergie finie. Pour toute @ell, $20, ona
donc
a
To est une mesure positive port6e par T~ = p o
E
M+(E)
CapL1)E
=
I(po).
E,
soit
Si les T appartiennent au convexe ci-dessus, et tendent vers u0 P dans l'espace des distributions d'6nergie finie, leurs potentiels T * n tendent vers p o * n dans l'espace L 1 (duo). Cela montre P
72 J.-P. Kahane
que
*
po
Lemme 2.
n
5 1 po
sur le support de
*
n 5 1 PO
(M(d)
dp,. dpo,
sur l e s u p p o r t d e
*
5 M(d)
n
Rd
8up
ne d l p e n d a n t q u e d e d ) .
Preuve. Partageons Rd en M c8nes convexes de sommet 0 tels que l'angle maximum de deux genbratrices d'un m&me c8ne soit Soit r un cane de la famille < $. Supposons 0 d Support p o . consid6r&e qui ntersecte le support de p o , et soit x un point de r n Support uo, de norme minimum. Pour tout autre point y e r n Support p o , on a
IY 2 I Y -
XI
0
(voir figure, dans le plan contenant 0, x , Y) done 9
n(y)
5 n(Y - x)
donc e potentiel en 0 de la mesure p o l r ne depasse pas son potentiel en x , qui est major6 par 1. Donc le potentiel en 0 de po ne d6passe pas M et, quitte 'a faire una translation, 1.10
pour tout
x d
Lemme 3 . Pour
M
*
n(x)
Support uo. =
M(d)
5 M
CeJa d6montre le lemme avec M(d)
CapL1)E
=
inf{J(p),
p e U,
CapL2)E
=
inf{J(p),
p e 0, p
0 5 p 5 M+1,
1
=
po,
sur
p 2 1
sur
g
et lemme 2.
ne d k p e n d a n t que d e
Cm
0 5 p 5 M+1, J(F
C
El
El.
D6sormais nous d6signons par F une fonction de classe et Bgale > 1 sur ,-[. nulle sur ]--,0) p e U
M.
comme c i - d e s s u s ,
Preuve. Lemme 1, interprgtation de
Lemme 4 .
=
d, a,
O
PI -< C J(P) M
F.
De p l u s , s i
d-2 5 a
d,
Ensembles Aleatoires et dimensions 73
F
on p e u t c h o i s i r
C
de f a g o n que
s o i t a r b i t r a i r e m e n t proche de
1.
Le thCor2me rcsulte de la comparaison des lemmes 3 et 4 . Reste donc 3 prouver le lemme 4 . On va poser B = d - a, et consid6rer d'abord le cas 0 c B 5 2. Alors
I1 suit de 15 que
et comme IF'I- est arbitrairement proche de 1 , sion voulue (thCor8me de Deny) dans le cas d-2 5
on a la concluci < d.
Dans le cas gBn6ral 0 < f3 < d, consid6rons l'espace P B cons tit& par les fonctions p sommes de constantes et de fonctions indCfiniment dBrivables 2 supports compact (p-C e D(B d ) ) telles que P J(p) < -. On a J (Constante) = 0, donc est une semi-norme sur P B . On va d'abord Btablir l'inBgalit6 2 J(p2) 5 C~PI, J(P)
("1
)
1
I
une fonction pour
151 2.2 A(52-3)
et
I pj
=
p
rh
v 1.
On a
P = et la sdrie est uniformdment convergente. Ecrivons
qk
=
(2CP
+
2 jc - 4 pj)pk
A
74 J.-P. Kahane
Le spectre de
qk
est contenu dans l'anneau 2k-2
et le spectre de
rk
Ecrivons, pour
et consid6rons
k+l I151 2 2
+
2k-2
dan le boule
v
Jv(p 2 ) .
f
2
On a, compte tenu des spectres de
rk'
l'intggrale 6tant prise sur l'anneau 2'-
Or
donc
D'autre part, par Littlewood-Paley
d'oh finalement
5 151 5
ZV,
donc
qk
et
Ensembles Aleatoires et dimensions 75
c'est-a-dire (*). En polarisant ( * ) , on obtient
2 J(pq) 5 CClpI,
+
2 Iqlm)(J(P)
+
J(q1)
et cela donne par induction A 2(m-1) J (PI J(Pm) 5 m IPI,
(""1 (m
=
1,2, ...;
A
=
A(B,d)).
Supposons maintenant - B 5 p 5 B. Si F est une fonction de classe C" s u r [-B,B], on peut la prolonger para p6riodicit6 et dcrire
avec
Bm
=
O(lml - A - 2) .
A partir de ( * * ) on obtient J(eiEP) < C J(p)
(C
=
C(B,B,d)),
d'oh J(F
(C
=
C(B,B,d)),
o
PI 5
C J(P)
ce qui achGve la preuve du lemme 4 .
Cela termine la preuve de la premisre implication du th6orame.
-
Passons 5 la seconde partie, et d6montrons Cap:')E
> 0
Cap:')E
> 0.
On opkre comme dans la preuve du th6or;me de Frostman. Supposons Cap:') E > 0 . Soit encore p e M + ( E ) , p z 0, ~ ( p )< m. 11 existe une partie de E, soit F, telle que p(F) > 0 et sup p(x) < (p(x) = p n(x)). Soit p F la restriction de p 2 xe F F. On a p F # 0 et u F * n(.) est born6 sur le support de pF. D'aprss le lemme 2, p F * n ( . ) est born6 partout, donc CapLolE > 0. Cela termine la ddmonstration du th6orzme.
76 J.-P.
Kahane
Complgments sur mesure, capacitgs, E-entropie D6sormais nous pouvons dcrire CapaE > 0 , sans prdciser l'indice supbrieur. En compldaent au thgorsme de Frostman, voici un rEsultat utile.
pour une fonction convenable E ( . ) positive, et tendant vers 0 au voisinage de 0. On peut supposer E ( . ) concave, et poser h(t) = E(t)ta. En imitant la preuve du thdorsme de Frostman, on obtient mesh F > 0, d ' o a immbdiatement mesaF = m . Nous utiliserons ce thdorzme plus tard sous la forme
mes
E
0 pour un ensemble convenable (non vide) de valeurs de x? La r6ponse est n6gative. On peut, quelle que soit la fonction h(t) = o(t d ) (t + 0), construirc un compact K dans Rd tel que mesh K = m et que K soit un ensemble indgpendant sur les rationnels. En particulier, on peut avoir dim K = d. En partageant K en deux parties disjointes E et F de dimension d, on a l'exemple voulu: quel que soit x , E n (F = x) contient au plus un point.
n
n
(AF + x)) > 0 pour un enPeut-on alors affirmer que dim(E semble convenable de transformations A e GL(d) et de x e R d ? La r6ponse est positive. THEOREME. Soit G Rd\ { O } , et soit
u n sous-groupe ferm6 d e
dim E on a pour
dim F - d
+
-r-presque t o u t
dim(E pour un ensemble de
GL(d,R),
transitif sur
sa m e s u r e de Haar. S i
T
n
A
0,
E C;
(AF + x))
x e Rd
= 6 >
6
de mesure d e Lebesgue positive
Pour la preuve, voir S6minaire d'Analyse Harmonique, Orsay 1983.
Consid6rons maintenant un compact E C Rn, et une application f de Rn dans Rd. Supposons f e Lip a (0 < Q < 1 ) . Que peuton dire de f(E)? Que peut-on dire des ensembles de niveau f-l(x)? du graphe de f?
THEOREME.
g
f
f:
Lip Q(B", dim
Rd 1, 1 dim E f(E) 5 a
80 J.-P. Kahane
dim g r a p h e flE 5 d e t , p o u r p r e s q u e tout
x E R
d
+
a1
dim E
,
1
dim f - ( x ) 5 s u p ( 0 , n - d a ) .
Les p r e u v e s s o n t f a c i l e s ( v o i r p a r exemple SRSF"),
p. 142).
(1) Ici come dans l a s u i t e SRSF d6signe mon lime Some random series of functions, Heath 1968.
Ensembles Aleatoires et dimensions 81
DEUXIEME LEGON. Quelques processus stochastiques Le processus de Wiener CommenCons par le processus de Wiener. Soit ( n , a , P ) un espace de probabilitd sans atome et complet -par exemple l'intervalle [ O , l ] de la droite rdelle, muni de la tribu de Lebesgue et de la mesure de Lebesgue-. Soit H un sous-es pace ferm6 de L2(n) reel; de dimension infinie, dont les glbments sont des variables algatoires (v.a.) gaussiennes centr6es; ainsi X e H sienifie
L'orthogonalitg dans
H
6quivaut a l'inddpendance.
Soit maintenant I un intervalle reel (bventuellement, la droite entiere, ou une demi-droite) muni de la tribu et de la mesure de Lebesgue. Considdrons une isom6trie lindaire
-
W : L'(1) Supposons
0 e I,
et posons, pour
t
E
H. I,
C'est une famille de variables aldatoires index6e par cessus), a valeurs dans H. On a IW(t1)
-
W(t)12 2
=
It - t'l,
W(0)
I
(= un
pro-
= 0
et les accroissements de W(.) sur des intervalles disjoints sont inddpendants. Inversement, tout processus gaussien, 3 accroissement indgpendants, normalis6 selon la formule ( * ) , s'obtient de cette f a qon. L'interprgtation gdomdtrique de (*) est que le point W(t) dc crit dans H une hdlice (c'est->-dire que la distance de deux points ne depend que de la distance des paramstres), et que trois points quelconques sur cette hdlice forment un triangle rectangle.
On appelle version du processus toute fonction W(t,w) (t e I, w e n) telle que les v.a. W(t,.) verifient ( * ) . On s'in-
82 J.-P. Kahane
t6resse alors aux propri6tgs presque sGres des fonctions W(. ,w) . Dans la th6orie du mouvement brownien, on montre qu'il existe des versions telles que la fonction aleatoire W(.,w) soit presque SOrement continue (Wiener) et nulle part diffgrentiable (Paley Wiener Zygmund). C'est ce que nous allons faire, rapidement. Si (en) est une base de L2(I), son image (Xn = W(en)) est une suite de variables gaussiennes normalisges independantes, et t W(t) = C Xn en(s)ds 0
(intggrale convergente dans L2(n), et aussi presque screment) . Choisissons pour base la base de Haar ( I 6tant l'intervalle [0,1]) h0,h00,h10,hll,h20,... (ho = 1, hjn est port6e par l'intervalle
Ijn
=
[n2-j, (n+l)2-J],
Cgale a
sur la partie gauche de I
2jj2
jn et a -2jl2 sur la partie drajte). D6signons par t, Aoo(t), Alo(t), All(t), A20(t) ,... les primitives de ces fonctions nulles en 0 . Ainsi , / y n , 2L1 W(t) = Xot 1 1 Xjn Ajn(t) *jn j=O n=O +
somme convergente dans L 2 ( n ) . formement sur I. Pour chaque P(s;p
Montrons que p.s. elle converge unij,
pjnl> x 1-
< a'
si A >/=. Comme lAjnlw p.s. 'a partir d'un certain rang jo = jo(w) 0;
a = a(x) < 1
2j-1 I n= 10
Xjn AjnIm 5
=
2-j/2-1, on a
'QGT 2-j/2-l
Cela montre non seulement la convergence uniforme, mais que le module de continuit6 w ( & ) de la fonction W(t) satisfait presque s^urement w(d)
et m&e,
= O
K
;
)
en regardant un peu mieux,
Montrons maintenant que p.s. la fonction part d6rivable. Choisissons A > 0 tel que
W(t)
n'est nulle
Ensembles Aleatoires et dimensions 83
(la probabilit6 Bcrite au premier membre ne d&pend pas Ge (j,n)), est mauvais (pour un choix de w ) et disons que l'intervalle I jn si lXjnl > A. Si l'on peint en noir, i chaque &tape, les mauvais i" tervalles, les intervalles blancs de chaque &tape forment une populg tion qui se dBdouble, mais meurt (noircit) avec une probabilit6 supc rieure 'a 1 cette population va donc mourir p. s . . Donc, p.s. l'in tervalle I est recouvert une infinite de fois par des intervalles noirs Ijn, sur lesquels la variation de X A . (t) ddpasse jn In A 2 - j/2-1 . On voit ainsi que, presque sbrement,
z:
--1 im
IW(t+h) - W(t)I
Jlhl
h+O
> 0.
C'est une forme forte (Dvoretzky ( 1 9 6 3 ) ) d'un thBorsme de Paley, Wig ner et Zygmund ( 1 9 3 2 ) qui dit que p. s . pour tout E > 0 Vt En Btudiant de prss la d6monstration de ( * ) , r6sultat n'est pas amBliorable: presque sfirement 3t
W(t+h)
- W(t)
= O ( m )
(h
on voit que le
+
0).
Ces "points lents", d6couverts il y a 10 ans, ont fait l'objet d'Btu des r6centes de Burgess Davis et d'Edwin Perkins. A partir de maintenant, l'isom&trie W qui nous a servi ? I dBfinir la fonction W(t) du mouvement brownien sera dcrite comme "in t6grale de Wiener"
W(f)
=
I
f(t) dW(t).
L'intEgrale de droite a un sens presque sGr (par exemple au moyen d'une int6gration par parties), lorsque f E L2(R). La fonction aleatoire W(t) reprgsente le mouvement brownien valeurs dans R. Le mouvement brownien a valeurs dans Rd est r g prBsent6 par le d-uple (W1 (t)
9
--
*
,Wd(t)),
oh les Wj(t) sont independantes et reprgsentent chacune le mouvement brownien 1inEaire. On peut encore le noter W(t) et Bcrire
84
J.-P. Kahane
le point reprgsentant le produit scalaire, et dienne.
1.1
la norme eucli-
Les processus Gaussiens stationnaires, ou 5 accroissements stationnaires A toute mesure positive rrespondre l'oplrateur
dv,
Wv : L 2 (dv)
born6e ou non, on peut faire co-
-
H,
H
reprgsentant comme ci-dessus un espace de Hilbert de variables gaussiennes centr6cs rgelles, ou plus ggngralement un espace de Hilbert de variables gaussiennes centr6es a valeurs dans Rd (d entier 2 1 'fix6). R",
Consid6rons d'abord le cas o'u et posons x(t)
=
wv(c
+
ei'at)
dv
est une mesure born6e sur
(t
E
R",
5
E
R").
Oh
On dit que X(t) est un processus gaussien stationnaire, 3 temps n-dimensionnel, 'a valeurs dans Rd. Si maintenant dv satisfait
on peut ddfinir
X(0)
= 0
et
On a de nouveau ( + ) et (t). On dit que X(t) est un processus gaussien B accroissements stationnaires. Comme dans le cas de W(t), on peut se reprgsenter X(t) comme parcourant une "h6lice" dans H (c'est une courbe seulement quand n = 1 ) . La "fonction d'h6lice" (screw-
Ensembles .\leatoires et dimensions 85
-function de Schoenberg) est la fonction
$(t)
donnde par ( $ ) telle
que IX(t) - X(t$
=
$(t
- tf).
On dit aussi que $ est une fonction de type negatif, ou d6finie-ng gative (dgfinition de Beurling). Si
dv(c)
est le produit tensoriel de la mesure de probabiliSn-l, et de la mesure radiale dr on ob-
t& gquidistribuge sur
tient $(t) = ltlY (0 < y < 2). Dans le cas y = 1 , on a la fonction du mouvement brownien avec temps dans Rn (d6finition de Paul L6vy). Dans le cas n = 1, nous appellerons, comme Benoit Mandelbrot, "mouvements browniens fractionnaires" les processus correspondant a $(t) = ItlY. Voici une maniere int6ressante de se les reprgsenter. Posons pour un instant X(t)
I I
t
=
(t-s)-B dW(s)
;
-m
cette intggrale n'a pas de sens, parce que, quel que soit t (t-s)-28 ds =
B,
0 .
-m
Mais, si to < t, X(t)
1
T1 ,
- X(to)
=
--2 < 8
0: cela correspond a u fait que la mesure dv n'est pas contenu dans un hyperplan, c'est-;-dire que le processus est vraiment a-dimensionnel. Les valuers de y permises sont 0 < y < 1 dans le cas du c6ne, et 0 < y < 2 dans le cas sym6trique.
Remarques. Processus
(d,y)
et processus
(n,d,y)
Dans la suite, quand nous parlerons d'un processus (d,y), il s'agira d'un processus de L6vy stable d'exposant y 3 valeurs dans Rd (si 0 < y < 2 ) , ou Ju processus de Wiener 2 valeurs dans Rd (si y = 2 ) . Si X(t) est un processus (d,y), X-'/YX(Xt) est un processus qui lui est 6quivalent (c'est-2-dire que les deux processus ont m8me distribution): une dilatation du temps dans le rapport X > 0 6quivaut 2 une dilatation de l'espace dans le rapport X 1/Y* Lorsque nous parlerons d'un processus (n,d,y), il s'agira d'un processus gaussien d6fini sur Rn, 'a valeurs dans Rd, a accroissements stationnaires et tels que
o u , ce qui revient au mgme,
E(IX(t)
- X(t')l
2
) =
a1
It-t'IY.
Si X(t) est un processus (n,d,y), X(At) est un processus qui lui est 6quivalent : une dilatation du temps dans le rapport A > 0 6quivaut B une dilatation de l'espace dans le rapport XYI2.
Un thgordme sur la distribution de processus arr@t6s Soit X(t) un processus de L6vy ou de Wiener d-dimensionnel, d'exposant y (0 < y 5 2 ) . Le "potentiel" correspondant est, selon la d6finition des probabilistes, la mesure
06
pt
est la distribution de
X(t).
Autrement dit,
90
J.-P. Kahane
L'hypothkse de d-dimensiona it6 signifie
$(El
=
ISlYQ(E'),
Inf Re
$((I)
> 0.
Comme
on a =
I5
Le support de n est soit Rd , soit le c6ne r engendr6 par la support de la mesure de Levy dv. Dans la suite on ne distinguera pas la mesure n et sa densitg, qui v6rifie
Le potentiel newtonien correspond 'a y = 2 , n(xt) = constante. A part ce cas, n(x') = constante correspond aux processus de L&vy admettant la symdtrie sphCrique, c'est-3-dire que la mesure de LBvy dv est le produit tensoriel d'une mesure Cquidistribuge sur Sd-' dr et de la mesure radiale
7'
DCsignons par T~ et T tels que T~ 5 T , et par p o et X(T). TMEOREME. po de p ) .
*
n '> 11
x n
Preuve. Ecrivons
deux "temps d'arrgt" pour X(t), et p les distributions de X ( 7 , )
( l e p o t e n t i e l de
po m a j o r e l e p o t e n t i e l
F 5 pour l'in6galitE usuelle entre transfor-
-
mCes de Fourier: ;(El
I
its)
a(x) 5 b(x).
Alors, visiblement,
or
oh ET dCsigne 1'espCrance quand
T est fix6 (c'est-&-dire l'esp6rance conditionnelle par rapport 'a la tribu engendr6e par T). Comme
puisque le processus est res, on obtient
>
accroissements indspendants et stationnai
Ensembles Aleatoires et dimensions 91
E
1,
eiS'X(t)dt
=
E(e ic.X(-c)
Ci(S))
=
Ci(S).
L'in6galit6 ;,(S)
F
2 G ( S ) t;(S)
6quivaut a l'6nonc6 du th6or'eme. Remarquons que l'in6galit6 du theoreme vaut a fortiori si p est l'image par X(T) de la probabilite P restreinte 3 une partie de l'espace de probabilitg 61. On verra une application dans la prochaine leCon.
92
J.-P. M a n e
TROISIEME LEGON.- Th6orie de Kakutani. Rencontres et points mu 1tip les Capacitd et polarit6 En 1944, ayant en vue d'gtudier l'existence de points doubles pour le mouvement brownien valeurs dans Rd, Kakutani montrait qu'un ensemble compact F dans Rd \ {O} est de capacit6 newtonienne nulle si et seulement si, presque sGrement, la fonction de Wiener X(t) 'a valeurs dans Rd ne prend aucune valeur dans F (crest->dire si F est "polaire" pour le mouvement brownien):
n
P(x(R+)
F
=
0)
=
I.
Entre 1944 et 1 9 5 8 , en collaboration avec Dvoretzky, Erdss, S.J. Tay lor, il 6tablissait les fesultats suivants:
- pour d
- pour d
4 , X(t)
=
3,
n'a pas de point double p. s.:
X(t) a p . s . des points doubles, et pas de point triple: P(3 t, < t2 ; X(tl)
=
X(t2))
=
1
P(=J t, < t2 < t3 ; X(tl) = X(tZ) = X(t3)) - pour
d
= 2,
= 0
X(t) a p . s . des points multiples de multipli cit6 non dgnombrable: P(3 E
,
Card E > aleph, ; Card X(E)
= 1)
=
1.
L'extension de ces r6sultats 2 d'autres processus 2 accroissements ind6pendants a 6t6 faite par S. J. Taylor, Blumenthal et Getoor, Orey, Hawkes. Nous allons 6tablir une partie de ces r6sultats. Dans la suite, sauf exception, X(t) sera un processus 2 accroissement ind6pendant du type (d,y), c'est-2-dire 2 valeurs dans Rd (d 3), et v6rifiant E (ei5.(X(t) -x(t') 1 )
Pour
0 < y < 2,
=
e- I t-t'l J, (5)
c'est un processus de L6vy stable d'exposant
y,
Ensanbles Aleatoires et dimensions 93
et on ddsigne par r le support de la distribution de X(t) (t > 0); c'est un c8ne convexe de sommet 0 et d'intdrieur non vide, ou c'est Rd. En gdndral, E d68ignera une partie compacte de R+\ t o } , F une partie compacte de r \ { O } . On utilisera le lemme simple suivant. Lemme. P o u r a v o i r P(X(E) mcsd(X(E) - F) > 0 p . s . Preuve. Posons
n
X(t)
F # 8) > 0 , X(a)
=
+
iZ faut et suffit que
Xa(t-a),
a < inf E.
Alors
et comme la distribution de X(a) est dquivalente 3 la mesure de Le besgue dans r ( 3 vdrifier), et que la v. a. X(a) etl'ensemble aldatoire Xa(E - a ) sont inddpendants, cette probabilitd est positive si et seulement si P(mesd(F
- Xa(E-a)))
> 0
ce qu'on peut Ccrire, avec a < b < inf E,
-
P(mesd(F
-
Xa(b)
soit - les distributions de Xa(b)
Xb(E-b)))
et
X(b)
> 0
Btant Bquivalentes -
soit P(mesd(F Ddsignons par THEOREME 1.
Soit
I
X(t)
- X(E))
l'intervalle
> 0
[a, a+l]
u n processus d u type
comme cane d e s valeurs, et F R ~ \1 0 ) r = R ~ ) . AZors
Capd-y F > 0
(a > 0 donnd). (d,y),
une partie compacte d e
-
P(X(1)
n
admettant 0
r
r
fz
F # 0) > 0 .
Preuve. Nous alions donner une preuve circulaire qui dtablit immddiatement, dans ce cas particulier, l'implication
F
>
o
3
Cap:')
F > o
dans les notations de la premikre leqon, quand
d-2 5 a < d
94 JzP. W a n e
(y =
d-a).
T e D'(F),
Supposons CapL2) F > 0. Soit bution d'6nergie finie:
Comme
a+y = d,
on
T # 0, une distri
a
IlG(5)
E
;(-F)I2
d5
0. Soit =
inf{tlX(t)
+ 0) >
T
0.
le temps d'arrgt d6-
e FI.
Choisissons E > 0 tel que P(E < T < m ) > 0 (en fait, tout E > 0 convient), et soit P l'image de la probabilit6 P, restreinte a 1'6vSnement ( E < T < - ) . En vertu du theoreme qui termine la leqon 2 (avec T~ = E et en utilisant la remarque), le potentiel d'ordre a = d - y de p et born6. Donc
P(X(I) Cornme Cap:')
F
n
< cap:')
F
+
0) > o ==-Cap(")F a
> 0.
F, la preuve est terrnin6e.
C'est le th6or'eme de Kakutani pour
y = 2.
Ensembles Aleatoires et dimensions 95
Points doubles et points triple du mouvement brownien Restreignons nous pour un moment au mouvement brownien *a valeurs dans Rd. ConsidErons trois intervalles disjoints sur ,'R soit I, J, K. Le problkme des points doubles (resp. triples) se r g msne ?I dEcider si P(X(1) X(J) = 0) (resp. P(X(1) X(J) n X(K) = 0)) est nu1 ou non. Comme X(I), X(J), X(K) sont, 5 des translations prss, des ensembles independants, il s'agit de decider si X(1) (resp. X(1)n X(J)) est p . s . polaire ou non.
n
n
n
THEORE% 2. Si d 4, X(1) est p. s. polaire. S i d = 3, e s t p. s. non-poZaire et X(I)n X(J) e s t p. s. polaire.
Preuve. Supposons d trer que p. s . mes2X(I) < trons que
4. I1 suffit (voir 18re leqon) de mon(cela entrafne Cap2 X(1) = 0 ) . Mon-
= o~
E(mes4(X(1))
("1
X(1)
€1
=
O(E')
Pour cela, on decoupe I en O ( 71 ) 2 E 11. 1 = E , et on observe que
0).
+
(E
intervalles
I j
de longueur
1
E(mes4(X(Ij)),)
E(mes,(X([0,~~])),
=
=
E4
c
parce qu'une dilatation temporelle de rapport E' tribution) a une dilatation spatiale de rapport entraZne (Fatou) que p. s.
d'o;
mes2 X(1)
Bquavaut (en disD ' O ~( * ) , qui
p. s .
0,
e-lt-t'l+(o do(t) do(t')
un p r o c e s s u s
(d,y),
au c 6 n e d e s v a l e u r s d e
dg
0 .
Y
102 J.-P. Kahane
Sa transform6e de Fourier est
et, compte tenu de l'hypothsse sur
u,
on obtient
ce qui entrafne p. s . le support de p , X(E) - X(F), a sa mesure de Lebesgue positive, d'oh (voir lemme au debut de la leqon),
Preuve de la seconde implication. Si I et J tervalles disjoints de longueur commune L , on pose Cp(1,J)
sont deux in-
E(mesd(X(I)'-X(J))).
=
On vBrifie que 4(I,J) < w ; c'est 6vident dans le cas y = 2 , et qh n6cessite un retour a la d6finition des processus de Ldvy pour 0 < y < 2, et la ddcomposition de X(t) en Xl(t) + X2(t) (somme de processus inddpendants correspondant ?ila dCcomposition de la mesure de LBvy dv en dvl + dv2, dvl Btant port6e par une boule de centre 0, et dv2 par le compl6mentaire); le ddtail est dans le seminaire d'0rsay 1983, p . 88. Cela dtant, il est clair que @(I,J) ne depend que de e. Comme une dilatation des temps dans le rapport h Cquivaut (en distribution) h unq, dilatation de l'espace dans le rapport h"y, qui multiplie la mesure par Idly,on a 6(I,J)
=
C l d/Y.
Supposons mesdIy(E x F) = 0. On peut donc recouvrir infinite de fois par des pav6s I, x Jm ( I Iml = I JmI m qon que c td/Y w. Donc l m E ( E mesd(X(Im) - X(J,))) < -, 1 0
E x F =
L,)
une de fa-
Ensembles Aleatoires et dimensions 103
donc p . s. la s6rie converge, et, comme n'importe quel reste de cette s6rie majore mesd(X(E) - X(F)), on a p. s. meSd(X(E)
- X(F))
=
0
ce qui 6quivaut ?I
Cela termine la preuve du thbor'eme 7. Dimension de
X(E)
En vue de la prochaine leqon, voici un resultat simple sur la dimension de X(E), pour les deux types de processus introduits dans la deuxieme leCon. THEOREME 8. 1 ) L6uy pour
Soit
X(t) E
0 < y < 21,
mes E a
=
u n c o m p a c t de .'R
0 -mes
' '}
(d,y) ( W i e n e r p o u r
u n processus
Ya
-T.
ya < d
X(E)
=
y =
2,
Alors
p. s.
0
CapyaX(E) > 0
p. s.
inf(d,ya)
p. s .
En c o n s d q u e n c e
dim X(E)
=
2) S o i t m a i n t e n a n t X(t) u n p r o c e s s u s g a u s s i e n (n,d,y) fwn E a r a m 2 t r e s p o u r y = 1, m o u v e m e n t b r o w n i e n f r a c t i o n n a i r e ii n p a r a m z t r e s pour O < y < 2, y # I), et s o i t E u n compact de Rn. A l o r s vement brownien a'
mesaE
=
0
6
mes2a,y
X(E)
= 0
p . s.
En c o n s g q u e n c e
dim X(E)
=
inf(d, 2a/y)
p. s .
Preuve. Donnons la d'abord pour le mouvement brownien ordinaire Rd. Si mesaE = 0, on a E C In avec n[Inla < 03. Par homog6n6it6, on a pour tout 8 0
2 valeurs dans m
(*I
E((diam
X(In))8)
= cB
IInI 812
104 J.-P. Kahane
et on vBrifie aisdment que
c
0 et 2a > d, on v6rifie que l'image par X(.) d'une mesure a e M;(E) d'gnergie finie par rapport a Itl-' est p. s . d'dnergie finie par rapport ?i d'o; X(E) > 0 p. s.. Cap2a La m2me preuve convient au cas gaussien (n,d,y), mutatis m u tandis, et la seconde partie de la preuve convient dgalement au cas d'un processus de LBvy (d,y) (0 < y < 2 ) . La premisre partie de la preuve s'applique encore dans un processus de LBvy (d,y) quand 6 = ay < y (c'est-3-dire a < l), mais elle ne convient pas au cas 8 = y (clest-5-dire a = l), parce qu'alors, pour tout intervalle I, on a E((diam Dans le cas mule
a = 1,
X(I))B)
=
m.
il convient d'utiliser au lieu de ( * ) la forE(mes
X(In)) = clInl Y qulon obtient sans difficultg, en dcrivant comme dans la section prg cddente X(t)
=
Xl(t)
+
X,(t)
06 X,(t) et X2(t) sont des processus de LBvy indBpendants, X,(t) n'ayant que des sauts infdrieurs ?i 1, et X2(t) n'ayant que des sauts supdrieurs ou dgaux 1 1 .
Ensembles Aleatoires et dimensions 105
QUATRIEME L E C 0 N . - Ensembles de Salem. Propri6t6s de Fourier des mesures images. Densit6 d'occupation Ensembles
U
et
M.
Deux thCor8mes de Salem
Soit F un compact dans Rd. Dans la th6orie classique des s6ries trigonom6triques (cas d = l ) , on dit que F est un ensemble de type U (U pour "unicit6") si F ne porte aucune distribution f O dont la transform6e de Fourier tende vers 0 3 l'infini:
-
T e U'(F)
T=O. lim ? ( t ; ) = o 151On dit que F est un ensemble de type M (M pour multiplicit6) dans le cas contraire, et un ensemble de type Mo si F porte une mesure positive f 0 dont la transform6e de Fourier tend vers 0 B 1 ' infini:
A au sens dim F = dim F =
M+(F),
+
lim c ( 5 ) = 0 . 151+.m L'origine de la terminologie remonte 3 Cantor; les ensembles de type U (cas d = 1) peuvent 2tre d6finis par la propri6t6 suivante: si une s6rie trigonom6trique converge vers 0 en dehors de l'ensemble, elle est identiquement nulle. p E
p
0,
priori, on pourrait penser que, si un ensemble est "mince" de la mesure et de la dimension de Hausdorff (par exemple 0), il est de type U , et que, s9l est "grosl' (par example d), il est de type M. I1 n'en est rien.
Aucune condition sur la mesure de Hausdorff n'entra:ne que F soit de type U . En effet, dtant donn6 une fonction h(t) concave, 0 aussi lentement qu'on veut, on peut tendant vers 0 quand t trouver F C R de type Mo et tel que meshF = 0 (1va:ev-Musatov). +.
Aucune condition sur la mesure de Hausdorff nIentraTne que F soit de type M. En effet, 6tant donn6 une fonction h(t) quelconque telle que td = O(h(t)) (t +. 0), on peut trouver F C Rd de type U tel que mesh F = m (Wik, Kaufman). I1 s'agit m$me d'un fait g&n6rique, dans le sens suivant. Ddfinissons la distance de deux compacts F et F' dans Rd comme d(F,F')
=
inf{supd (If(x)-xl xeR
+
llog Jf(x)l);
f e Diff Rd; f(F)
=
F'}.
106
J;P.
Kahane
Diff Rd 6tant d'ensemble des diffdomorphismes de classe C' de Rd, et J f le jacobien de f. Disons que F et F' appartiennent 3 la mgme classe si d(F,F') < m . Chaque classe est un espace mCtrique complet. Partons d'un ensemble F, totalement discontinu avec la propriCtd suivante: il existe E . -+ 0 et p . + m tels que, pour 1 1 chaque j, Fo est contenu dans une rgunion de boules de diamktres dont les distances mutuelles depassent p j ~ j (on vCrifie faci.Ej lement que cela est compatible avec mesh Fo = m , quelle que soit la fonction h(t) donnee). Alors, au sens d e Baire, quasi tout F dans la classe de Fo est un ensemble de type U (c'est->-dire que les F de type M constituent un ensemble maigre), et de plus mesh F = m . 1 ) est de L'ensemble triadique de Cantor (E(€,) avec 6 = 7 type U (Rajchman); les ensembles E ( 6 ) avec 6 irrationnel sont de type M (Nina Bari). La classification des E ( C ) selon le type U ou M est l'objet d'un theoreme fameux de Salem et Zygmund: E ( 5 ) est de type U si et seulement si 6 - 1 est un nombre de Pisot, c'est-;-dire un entier alggbrique dont t o u s les conjuguCs (sauf lui-mGme) ont leur module strictement infgrieur 3 1. Cela concerne le cas d = 1 .
Si d > 1 , tout ensemble F contenu dans une reunion finie d'hyperplans est de type U; par example, la fronti'ere d'un cube est de type U . Au contraire, une sphkre est de type M , puisque la transformde de Fourier de la mesure de masse 1 gquirepartie sur sd-l satisfait d- 1 = o(lsl--t) (5 m) +
Aprks ces prgliminaires, venons-en aux deux th&or@msde Salem que cette leGon va illustrer. lim (Nf(F)/log E1 ) = 0, F E'O fort que voici: pour chaque T e U'(F), S 1 . Si
Si & (Nf(F)/log );1 E+O
c > 0
5 I+
0.
Nous appellerons ensembles de Salem tous les ensembles
ayant cette proprigt8: i l existe
p E M;(F)
F C Rd
telle que
1 -7 dim F + E
G(5)
=
O(l5l
(5
+
m)
pour tout E > 0 . Remarquons que pour aucun E > 0 distribution T f U'(F) non nulle et telle que
il n'existe de
en effet, cela entrainerait
avec B > dim F , contrairement a la dgfinition de la dimension comme dimension capacitaire. Nous venons de voir que les spheres Sd-' sont des ensembles de Salem. On peut le vCrifier aussi pour des frontisres de convexes assez ronds. Mais nous avons vu aussi que les frontisres de cubes sont des ensembles de type U, donc a l'opposb des ensembles de Sa lem. La construction de Salem est probabiliste, et utilise un peu de th6orie des nombres. En fait, en dehors de l'exemple mentionne (frontikre de convexe rond), et des cas d = 0 et d = dim F, des constructions explicites seraient trbs laborieuses. Au contraire, comme nous allons le voir, tous les ensembles X(E), oh E est un compact donne, et X un processus de LCvy (d,y), ou le processus du mouvement brownien, ou d'un mouvement brownien fractionnaire, sont des ensembles de Salem. 11s nous fourniront d'ailleurs, dans le cas de la dimension 0, une reciproque du thCorbme 1, montrant le r6le critique de la fonction log. Dans le cas oil X(E) a pour dimension d , on peut Btudier la manicre dont X(E) occupe l'espace, et plus pr6cisement la "densitC d'occupation" (sur cette notion et ses applications, voir l a mise
108 J.-P. Kahane
au p o i n t f a i t p a r Geman e t Horowitz en 1980 d a n s Annals o f P r o b a b i l i t y ) . P a r exemple, s i dim E > e t X e s t l e mouvement brownien l i n d a i r e (d = l ) , p . s . X(E) a d e s p o i n t s i n t 6 r i e u r s ( R . Kaufman 1 9 7 5 ) . Nous a l l o n s m o n t r e r que l a mdthode de F o u r i e r , i n s p i r 6 e de Salem, donne r a p i d e m e n t de t e l s r g s u l t a t s . A i n s i l e s m6thodes p r o b a b i l i s t e s e t l a mCthode d e B a i r e donn e n t d e s r 6 s u l t a t s en s e n s opposC, c e q u ' o n p e u t i n t e r p r i 5 t e r a i n s i : l a mCthode d e B a i r e i n t r o d u i t d e s r g s o n n a n c e s , donc crdC d e s b o s s e s dans l e s s p e c t r e s , t a n d i s q u ' a u c o n t r a i r e , l e s m6thodes p r o b a b i l i s t e s suppriment les rdsonnaces e t l i s s e n t les s p e c t r e s .
P r o p r i e t 6 s d e F o u r i e r d e s ensembles (d,y) (Wiener ou L6vy)
X(E).
Cas du p r o c e s s u s
Dans t o u t e l a s u i t e E e s t un compact p o r t 6 p a r R + \ { O } (ou q u e l q u e f o i s R \ {O)), e t X ( t ) e s t un p r o c e s s u s d e L6vy du t y p e ( d , y ) ou un mouvement brownien d - d i m e n s i o n n e l ( t y p e ( d , 2 ) ) , ou un mouvement brownien f r a c t i o n n a i r e h v a l e u r s d a n s Rd E(IX(t) - X(t1)12d) = I t - t ' l Y
R
defini sur
R
ou q u e l q u e f o i s s u r
Rn
(types
(l,d,y)
ou
(n,d,y)).
On suppose l a f o n c t i o n h ( t ) c o n c a v e , ou b i e n convexe a v e c h ( 2 t ) = O ( h ( t ) ) , e t meshE > 0 . S o i t u E M + ( E ) une m e s u r e , non n u l l e , t e l l e que o ( 1 ) 5 h ( l I 1 ) p o u r t o u t i n t e r v a l l e I (ou b o u l e I d a n s l e c a s d e R"). On d 6 s i g n e p a r (mesure a l g a t o i r e ) l'ima ge d e u p a r X ( t ) , d e s o r t e que
d v a l u e r soigneusement, pour L ' b t u d e c o n s i s t e ?I
On o b t i e n d r a une m a j o r a t i o n de l a forme E( En c h o i s i s s a n t
d'oQ p . s .
5
= n
p
entier 2 1,
Ensembles Aleatoires et dimensions 109
pour In[ assez grand. A partir de 1 8 , et d'estimations analogues pour ;(an) avec a > 0 donn6, on obtient une majoration presque sore de l ; ( E ) I lorsque 161 est assez grand. Le cas du mouvement brownien (type (d,2)) avec h(.) concave se trouve trait6 en d6tail dans SRSF (dernier chapitre). Le cas des processus (d,y) se traite de la m6me faqon, et on obtient que p . s.
d'oh p . s . (avec une autre constante
("1
1;(E)
I
< C(a(E)
C)
h(lEI-y)log
1E1)'/2
pour 151 assez grand, les constantes ne dgpendant que du processus, c'est-2-dire de d et de la fonction J 1 ( S ) . Voici deux applicat ions. TIIEOREME 1 . E e s t d e d i m e n s i o n a, ay 2 d, s o n image X(E) p a r un p r o c e s s u s (d,y) f L 6 v y ou Iv'iener a v d e u r s d a n s Rd) e s t p . s. u n e n s e m b l e de Salem d e d i m e n s i o n ay.
Preuve. On sait d6j'i (troisibme leqon, th&ori?me 8) que p . dim X(E) 5 Comme on a mesh E > 0 si h(t) re E M+(x(E)) telle que
;(El cela quel que so t lem de dimension
E
=
cry.
ta-',
il existe p. s . une mesu-
-1 p ( a - 2 E ) = OClSI
> 0,
donc
s.
X(E)
1
est p. s. u
ensemble de Sa
Remarquons que si E est de dimension et vgrifie 1 1 mesh E > 0 avec h(t) = ta/log (t < 7 ) , on a p S . 1
1 -1) O((1og i) (t -+ 0 ) , p . s. son image X(E) p a r un p r o c e s s u s (d,y) e s t u n e n s e m b l e d e Mo. meshE e s t a s s e z g r a n d , a u e c h(t) = (log + ) - ' (t * 0), p. 8. X(E) n ' e s t p a s un ensembZe d e t y p e U au sens
THEOREME 2 . s. : meshE > 0
fort.
avec
h(t)
=
110 J:P.
Kahane
Preuve. La premikre partie est immBdiate. Pour la seconde, il suffit d'avoir o ( E ) > C-l dans la formule ( * ) pour conclure
-
E
lim 1 ; ( ~ ) ( < G ( o ) = u(E). 151En application du theorsme 2, choisissons E(Sl,C2 ,...,5, , . . . ) avec 5, = p n2" (pn < 1).
lim p, = 1 , non est dans le premier cas; si pn = p < 1, p Btant assez voisin de 1 , on est dans le second. Etant donne une fonction A ( E ) -+ ( E + 0) on peut choisir p n + 1 de telle sorte que =
Si
03
N~(E)
= o ( A ( ~ ' / ~ log ) 1
(E
+
0).
Si X(t) est la fonction de Wiener, on a , compte-tenu du module de continuitg, NE((X(E)))
=
O(N S(E))
log
= O(A(E)
E
1
(E
+
0).
Donc il est faux que
lim ( N C ( F ) / A ( € )
log E1 )
0. On dCsigne toujours par u une mesure positive Z O , port6e par E, telle que u(1) 5 h(diam I) pour toute boule I de Rn. L'image de u par X(t) est la mesure albatoire p . On va de nouveau estimer E(IG(S)12P) (p entier 1, 5 E Rd).
Posons 1
Jl(t,t') = d- E(IX(tl)
+...+
L'estimation consistera d'abord vons
b(t,t') c
par
=
c
.,1
-... -
X(t ) - X(t;)
P
minorer
x(tp 21
+(L,L'). Pour cela, 6cri
iu.t iu.t' leiuet1+. .+e P-c 1-
.
... -eiu't;12
du lUl"+Y
Ctant dCfini par
Etant donn6 5' = (ti,. ..,$) e (Rn)p et F(~',E) l'ensemble des t E Rn tels que
E
> 0,
dCsignons
inf It - ti1 2 E j et par G ( ~ ' , E ) l'ensemble des t = (t,,t 2,...,tp) E (Rn)p tels que, pour tout k , tk appartienne a F(~',E). I1 est immCdiat que o(F(t'
,E)
1 5 P
h ( 2 ~ ,)
112 JrP. Kahane
(t)
.
da(tl). .da(tp) 5 (ph(2E))P. (t ' ,E ) G(t',E), donc, pour un k convenable,
LiJG e
Supposons
inf Itk - t!I 2 E . 1 j D6signons par 6 ( . ) une fonction de classe Cm, 3 support dans la boule B ( 0 , l ) de Rn, partout 2 0, et 6gale a 1 en 0 . Soit sa cotransform6e de Fourier, et soit &€(t) = E-n6(t/E). Ainsi y(.)
iu.t
iu.tl IRn (e 6€(tl-tk)
+.
. .+e
+...+
iu.t'1 iu. t ' - iu. tk P-e -. . .-e P)e y(Eu)du
-...-
6,(tP-tk)qt;-tk)
dE(t;-tk)
=
L E -n
donc, en appliquant l'in6galitC de Schwarz, -2n < c-l E
-
c, ne d6pend que de fonction 6 (.) choisie)
oh
Iy2(Eu)[du
vJ(L,L') fRn
.
n
et de
y
=
c1 - 1 € - 2 n - y J, (LSL')
(par l'intermgdiaire de la
On a donc l'implication
(+I
t L
G@',E)
=-$(L,L')
2
C12.
Etant donne 5 f: Rd, choisissons E > 0 de sorte que 2 = 1 , et majorons l'int6grale de ( * ) en int6grant d'abord E~ 151 par rapport 1 da(tl) do(tp). On decompose l'int6grale ainsi:
1.. .Il;-e
...
5 I 2J, (Lt'1
Pd
ce qui, gr&e
a l'hypothsse
Par (C
h(2E)
=
o(h(E))
P h(lE;I - 2 / Y ) ) P.
(E
+
0),
es major6
Ensembles Aleatoires et dimensions 113
Ensuite, l'intggration par rapport 3 du(t;) par (U(E))~, et on obtient finalement E(1G(5)12p) ou
C
...
du(t')
P
multiplie
5 (C P o(E) h(lEl-2/y))p
C(n,y,h(.)).
=
Dks l o r s on procede par la msme m6thode que dans la section prbcGdente, et on obtient: Tt!EORE?IE 3 . X(t) e s t un p r o c e s s u s g a u s s i e n (n,d,y), e t si E e s t un compact de Rn t e l que meshE > 0 , h(.) ayant l e s p r o p r i i t g s de l a l e g o n I , p . s . X(E) p o r t e une mesure p o s i t i v e p P 0 t e l l e que
quand
5
e s t a s s e z grand,
C
ne de'pendant que de
n, d,
y
h(.). Corollaire (cf. th6orSme 8, leqon 3). X(E) est p. s. un ensemble 2 dim E , lorsque 2 de Salem de dimension dim E 5 d. C'est un enY semble de mesure de Lebesgue positive si dim E > d. Y Les processus (n,d,y) permettent d'obtenir des ensembles de Salem de dimension 5 2.
yz
Dans le cas yd < 2 dim E, nous allons voir qu'on a un r6sultat beaucoup plus fort que le corollaire, 'a savoir que X(E) a un int6rieur non vide. Densit6 d'occupation. Cas des processus
(d,y)
On examine pour terminer le cas oh dim X(E) = d. On va voir qu'en gCn6ral le m a u r e p , image de u par X ( . ) , a p. s . une densit6 continue. I1 en r6sultera que p. s. X(E) a des points int6rieurs. De fason prccise, cela aura lieu l o ) pour les processus (d,y), quand y dim E > d (ce qui impose d = 1 , donc on se bornera 'a ce cas) 2") pour les processus (n,d,y) quand 2 dim E > yd. Formellement, la densitd de p , que nous dcrivons abus de notation, s'obtient par la formule
donc
p(.)
par
114 J;P. Kahane
avec
ConsidCrons d'abord le cas d'un processus ( 1 , ~ ) ~et d'une fonction h ( . ) concave. Ainsi X(.) est d6fini sur R + , 3 valeurs dans R, E est un compact de R+, u e M+(E) et u ( 1 ) 5 h ( l I 1 ) pour tout intervalle I. Ecrivons S1X(tl)
5
+...+
X(t ) 2P 2P
=
CIX(Sl)
5
+...+
2P
X(SZp)
s 1 5 s 2 L...' s2,, est la suite positive t l y t 2 y . . . y t 2 p rdarra; g&e dans l'ordre croissant, et cj = Ck si s = tk. Posons j s o = 0, donc X(so) = 0 . Utilisant la transformation d'Abel, on a
oii
i (5 X(tl
E (e
1
+
...+5 2pX(t2p) 1)
=
E exp i
2P
1 (cj
j=l
+...+
5
2p -(sj-sj-l)$(cj+. = n e j=l
dont le module est
)(X(sj)-X(s. )) 2P 3 -1
. .+5 2P1
comme on le peut, quitte 3 modifier un facteur) 151Y Donc
si on suppose Re +(5)
=
la somme
(5, ,... ,5
C
(PI 2P
)
Btant prise pour toutes les permutations
s. > 0 m
de
(el ,...
s o u s la forme
Quels que soient
P
J -
et
A > 0, on a
e-sA da(s-s.) J 5 2h(A-l), 0
En effet, en inti5grant par parties, l'intggrale de droite est major6e par
Im 0
Ae-SA h ( s ) d s
Ensembles Aleatoires et dimensions 1 1 5
1,
A-1
qu'on majore en dCcomposant sous la forme
m
+ l A - l , et en utili-
sant les inCgalit6s h(s) 5 h(A-l) pour s 5 A-l et h ( s ) 5 pour s A- 1 . Utilisant cette in6galit6, on obtient
< A s h(A-')
Bornons-nous, pour simplifier, au cas h(t) et choisissons
pour
1-ya.
0 < y c
j=l,. . . , 2p,
ya > 1)
( 0 < a < 1,
= lAta
Utilisant les majorations
on obtient
l'int6grale est finie.
et, compte tenu de la condition s u r 6 , Quitte 3 changer C = C ( 6 ) , on obtient
P(Y)I~~)
-
E(Ju(x)
Ix-Y~
5 (CP
6 12P
.
Fixons un intervalle I reel de longueur 1. Pour chaque entier positif p , considCrons le partage de I en 2p intcrvalles Cgaux, et d6signons pas I l'ensemble de leurs extr6mit6s. Quitte P 'i changer encore C, on a
1
E
lP(x)-P(Y)12p
5 2-%P
Ix-Yl6 1 2P
(x ,Y 1€ I px I
donc
E
1
T
p=l
(x,y)eI XI
P
Donc il existe p . s .
("1
si
IP(x)
po -
=
IJ(Y)I
P
(lP(x)-P(Y)l)2P 6 CP Ix-Yl
= [ R e <x,y>lc lxllyl which yields Inti 5 1 Qt = tDPt = tD(l+t 2D 2) -1. Lemma 4. D e f i n e Pt = (1 + t2D2)-l
.
&
Then
(12)
nt
(13)
attDA
=
Qt(l - apt)".
(14)
tADnt
=
(1 - Pta) - 1 Q,.
=
(1 + t2DAD)-'
=
Pt
-
Qt(l
- aPt)-'aQt.
In (13) the domain of the The first identity comes from (11). left hand side is a priori the dense subspace A-l (H1) C H. By an abuse of notation (13) means that the left hand side of (13) is indeed continuous and extends to the operator given by the right hand side. There is no difficulty in defining DAD is indeed nt(H).
tADnt
since the domain of
The two identities (13) and (14) follow easily from ( 1 2 ) .
128 C. Kenig - Y. Meyer
Lemma 5. W i t h t h e p r e c e d i n g n o t a t i o n s , 1 + t2BDAD : V 2 ( a l g e b r a i c ) i s o m o r p h i s m and I(1 + t2BDAD)-’ I 5 2M
+
.
H
i s an
In fact 1 + t2BDAD = B{1 + t2DAD - B } where 1 6 1 < 1 . Using the definition of at we have 1 + t2BDAD = B(l - Bnt)(l + t 2DAD). Since lntl 5 1, 1 - BIT, : H + H is an isomorphism and s o is 1 + t2BDAD : V -P H. We have (1 + t2BDAD)-l = 1 nt(f3nt) k B - 1 (15) kL0
and the second information in Lemma 5 follows from (15). Let again V be the domain of DAD. The subspace D V C H will be called Vo and will be dense in H in the concrete case discussed in 1 4 . In other words f E Vo means that Af domain of D) and f = Du where u f H 1
=
.
on
g
E
H’
(HI
The following lemma provides the Taylor expansion o f Vo.
Lemma 6. Let
u
V
belong t o
JBDAD u
=
J(A,B)f
=
=
Domain (DAD)
$
I
=
lim
Then
Du.
m
(1
+
t2BDAD)-lBDAf dt,
1 J (A,B)f p=o p
and -
J (A,B)f P
=
J(A,B)
0
m
J(A,B)f=
and f
is the
2
ECO,R++~a
1,“
(ntB)P9,(1
L i m i t s and i n t e g r a l s e x i s t i n t h e norm of
- aPt)-’f
H when
f
$.
E Vo =
D(V).
The operators Jp(A,B) : Vo + H will be studied first. We assumed f = Du, u E V and we observe that the operators ( 1 - aPt)-’tD : H + H are uniform1 bounded when 1.1 < 1. Therefore lQt(l- aPt)-’fl 5 C ( a ) which gives the convergence when R -P + m .
4
For proving the convergence when E + 0, we use the second information that Af = g E H 1 and (13) gives Qt(l - aPt)-’f = attD(Af) = at(tDg) whose L2 norm i s O ( t ) . Finally for f E Vo, ((S,B)~Q,(~ - uPt)-lfl 5 C ( a ) l B I P t
l+t2
(1.1
+ IDgl)
which gives all required convergences in Lemma 6. Then
Kato's square roots 129
m
1
p=o
2n
=
J (A,B)f
1
=
p
5
m
(1
- .rrtB)-lQt(l
- aPt)'lf
t
0
m
JBDAD
( 1 + t 2 BDAD)-lBDAD u dt =
Indeed the domain of J(A,B) contains be H by the abstract approach.
u.
but cannot be proved to
Vo
Indeed even if B = 1 a counter example will be given where A satisfies all the preceding properties and where J is not continuous on H. This means that the abstract approach has to be completed by real variable estimates in which the specific meaning of A , B and D will be crucial. 4. Real variable estimates
There is indeed a "square function" which yields the deep real variable information. Lemma 7.
If
D
= -1
d : H1 X
+
L 2 (R;dx)
and i f
a : L2
o p e r a t o r of p o i n t w i s e m u l t i p l i c a t i o n by a f u n c t i o n i n
+
L2
i s the
Lw(R;dx),
t h e n f o r ~ Z Z f e L~(Q), m
(17)
I(I
lQt(apt)qf12
0
where
C
F)1'21 5 C(1
i s a n u m e r i c a l c o n s t a n t and
q
f
B
+
s)lalqlfl i s an a r b i t r a r y
integer.
The proof of lemma 7 is given in [Z] or in [3]. Using ( 1 7 ) and a simple minded Cauchy-Schwarz inequality we obtain Lemma 8 . If t h e o p e r a t o r s Lt e B ( H , H ) , t 2 0, d e p e n d c o n t i n u o u s l y t and s a t i s f y lLtl 5 Co, t h e n t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t C1 such t h a t f o r e v e q R > 0 , e v e r y E > 0 , p e B, q E B, &
on
e v e r y p a i r a,B t i o n s i n Lm(R),
of o p e r a t o r s of p o i n t w i s e m u l t i p l i c a t i o n b y f u n c we h a v e
It is indeed surprising that QtLtQt cannot be replaced by LtQt (or by QtLt) as counter-examples show (section 8). The two operators Qt are necessary for cancelling Lt or which we have no
130 C. Kenig - Y. kyer
information. But if
Lt
Q,
one
= 1,
is enough.
Lemma 9 . W i t h t h e p r e c e d i n g n o t a t i o n s , we h a v e R (19) (PtB)pQt(aPt)q $1 5 C(1 p2)(1
11,
+
+
s2)1alqlBlp.
For proving (19), the identity t
(20)
a
(-Qt
+
2PtQt)
=
Qt
-
3 84,
2 is used together with integration by parts. Since t a Pt = ZQ,, all the p + q terms which come out contain at least two operators This means that Lemma 8 and Lemma 9 follow from the square Q,. function estimate by formal operator theory.
We are now interested in studying the operator
in which a : L2(R) multiplications by
L2(R) and Lm functions.
: L2(R)
+
THEOREM 3. T h e r e e x i s t s a n u m e r i c a Z c o n s t a n t IL;y)(a,B)I f o r a22
R >
E
5 C(1
+
> O,p,q e 1,
P2)(1 B
+
+
L2(R)
C
s2)la1q1B1P(1
& a
such t h a t
are pointwise
such t h a t
- Ial1-l
1.1
< 1.
For convenience we shall drop out all indices in
and call this operator
Lp.
Then
L P
Li::(a,B) will be compared to
Indeed T while T is given by Lemma 9. We would like P99 - LP 0,P + R where R can be studied to prove that Tj+l,p = T j,p j , ~ j ,P directly by Lemma 8. This is quite easy since (12) yields nt = Pt + QtLt where lLtl 5 1 1 ~ 1 ( 1 - 1.1) - 1 We therefore define
.
Kato’s square roots 131
This ends the proof of Theorem 3 . Lemma 10. T h e r e i s a numericaZ c o n s t a n t 6 ’ s notations) f o r every R > E > 0,
C
s u c h t h a t ( k e e p i n g Lemma
These estimates follow directly from Theorem 3 and Lemma 6 . 5 . The domain of
JBDAD is H’
Before proving these estimates, some remarks should be made on the domains of these operators. When S and T are unbounded operators, the domain o f S o T is, by definition, the subspace of the domain o f T consisting of those x for which T(x) belongs to the domain o f S. If T and S are closed operators, most o f the time S o T is not closed and can be therefore extended to a larger domain. For example, the domain of (BDAD + E’)-~/’BDA is, by definition, A-’(H1). Since by (23) this operator is bounded, it can be extended to the whole of L~(R). of
The domain of D(BDAD + c2)-l” certainly contains the domain (BDAD)’” and is therefore dense in Lz(R). The following observation is due to Kato [4].
Lemma 12. Let H b e a H i Z b e r t s p a c e , A C H b e a d e n s e s u b s p a c e , L f: B ( H , H ) be a c o n t i n u o u s o p e r a t o r and M f: C(H,H) b e a cZosed o p e r a t o r . Assume t h a t ML i s d e f i n e d on A and s a t i s f i e s
132 C. Kenig
- Y. k y e r
IML(x)l 5 Clxl domain of ML
xk
+
f o r some c o n s t a n t H.
x e A.
and e u e r s
Then t h e
The p r o o f i s immediate. L e t 6 e H , xk E A b e s u c h t h a t 6 (k + + m ) . Then zk = (ML)(xk) i s a Cauchy s e q u e n c e i s
whose l i m i t w i l l b e c a l l e d +
C
On t h e o t h e r end
5.
yk
=
H
L ( x k ) -+
L(6) = r l .
T h e r e f o r e yk + rl and M(yk) + r,. i m p l i e s t h a t rl E Domain (M) and M ( q ) the following
=
S i n c e F1 i s c l o s e d , t h i s 5 . Then Lemma 1 1 i m p l i e s
Lemma 1 3 . T h e domain of D(BDAD + E ) - ’ I 2 i s L~(R). I n other words t h e r a n g e o f (BDAD + E ) - ’ I 2 w h i c h i s t h e d o m a i n of JBDAD i s contained i n H 1 . S i m i l a r l y (BDAD + E ~ ) ~ / ‘ ( +D iE) - 1 f makes s e n s e i f (D + i E ) - l f e V = Domain (DAD). T h i s c o n d i t i o n on f c a n be r e w r i t t e n f e UCS;’(H1) where UE i s t h e u n i t a r y o p e r a t o r (D + i E ) ( D 2 + c 2 ) - ’ / ’ . T h e r e f o r e (BDAD + E ’ ) ~ / ~ ( D + iE)-l is d e f i n e d on a d e n s e s u b s p a c e o f L 2 S i n c e (BDAD + E 2 ) 1 / 2 is c l o s e d , Lemma 1 2 a p p l i e s and g i v e s .
.
Lemma 1 4 . T h e domain of (BDAD + E ~ ) ~ / +~ i( e D ) -1 is L 2 ( R ) . In o t h e r w o r d s (BDAD + E ) ‘I2 i s d e f i n e d o n H1 and t h e d o m a i n JEXB is t h e r e f o r e H ~ . I t i s now time t o r e t u r n t o t h e p r o o f o f Lemma 1 1 . We d e f i n e
w,(h)
-
= h-112
+
(A
E
e L1 cot+-[
) -’/‘
and we
have (BDAD =
1 = 1
+ TI
I
2 -112 =
+ E )
1 71
m
o
lm
(BDAD +
(BDAD
E‘
+ E’
lo
(BDAD
E2
+
+
h ) - 1 i - 1 / 2 dX
dh
+ X)-~(E‘ + +
h)-’uE(h) d h .
0
I n o t h e r words (27)
(BDAD
+
E 2)
-1/2
1
= TI
IE2 03
(BDAD
+ h)-1h-1/2
dh
+
RE
and t h e two t e r m s i n t h e r i g h t hand s i d e of ( 2 7 ) a r e o p e r a t o r v a l u e d Bochner i n t e g r a l s . Let us compute
(BDAD + E’)-’’‘BDA
f
when
f
f:
L2
and
Kato’s square roots 133
Af e H 1 .
Then +m
(BDAD is an
X)-lBDAf
+
dh
L 2 -valued Bochner integral and (21) implies
We then have to take care of the error term following observation will be used. C
Lemma 1 5 . T h e r e e s i s t s (28)
I (BDAD
(29)
IAD(BDAD
=
C(A,B)
lgEl 5 C(A,B)lfl. RE(BDAf).
such t h a t , f o r every
The
h > 0
X)-’BDAI 5 C
+
6
& +
C 5-
x)-’l
6
This follows immediately from (13) , ( 1 4 ) and (15). We now return to the error term REBDA. It will be treated as an operator valued Bochner integral. Using ( 2 8 ) and the definition of RE we are led to computing
f
1 O J X + E 2 6 J which is finite and does not depend on
)
(--
K2 > 0.
E
dh
The proof o f (23) is now complete. The proof o f (24) is almost identical and left to the reader. We now would like to prove ( 2 5 ) . This time the testing function f should belong to UESil(H1) where UE = (D + iE)(D2 + E’)-~. In that case (D + iE)-’f e V = = Domain (DAD) = Domain (BDAD) C Domain (BDAD + E’)”’. Then AD(D (30)
+
iE)-lf e H 1
~ ( B D A D+ E’)-~/‘BDAD(D
-< C(A,B)ID(D and
and by (23)
+
+ iE)-lfl
ic)-’fI < C(A,B)lf(.
I (BDAD
On the other hand, the easy estimates 1 I(D + iE)-’l 5 give (31)
I(BDAD
+
E~)-~/’E’(D
+
iE)-’I
+
E’)(D
+ E2)
-1/2I 5 c
5 C.
Then (30) and (31) together give II(BDAD
+
E~)-’”(BDAD
+
iE)-’fI
5 C(A,B)lfl
which is precisely the required inequality ( 2 5 ) . The proof o f ( 2 6 )
134 C. Kenig - Y. Meyer
is even simpler since EI(BDAD + ~ ~ ) - ~5 /C . ~ 1 6. Definition and invertibility of J(A,B)
I
We start with the operator valued truncated singular integrals R = t (BDAD + X)-lBDA X-1’2 dh J ~ , R ‘TI E and observe by Lemma 10 that llJ,,Rl < c. Moreover if
f
E
J,,R(f)
Vo = D V , m
(BDAD
11 17 0
+
converges in
L2
to
X)-lBDAf X -’I2 dX.
Therefore the same holds for every f in L2 and we express this fact by writing JE,R J(A,B) or more formally -+
J(A,B) Then if
f
E
V
=
$
a 3
(BDAD + A ) - ’ 0
Domain (BDAD),
=
J(A,B)Df
=
BDA
dX.
we have
lim
E+o,R++=
JBDAD f. and JBDAD is continuous on
JE,R(Df)
=
Since J(A,B) is continuous on L 2 1 H 1 , this equality holds for all f e H ,
For proving the invertibility of J(A,B) family M of invertible operators such that ME’ ;J~(A,B) as E + 0.
we shall exhibit a ME -g J(A,B) and
More precisely Lemma 16. W i t h t h e p r e c e d i n g n o t a t i o n s (32)
(BDAD
(33)
(D
+
E’)”’(D
iE)-’
+
we h a v e
B
J(A,B)
and +
iE)(BDAD
+
E
)
-’I2 ; J1(A,B).
We recall that TE ;T means that for every feL2, ITE(f)-T(f) as E + 0. By Banach-Steinhaus theorem it suffices to prove IT,I 5 C and the required convergence when f belongs to some dense subset of L 2 .
-+
f f
I
0
E
=
In the case of ( 3 2 ) the dense subset will consist of those such that 1 = 0 in some neighborhood of 0 . Then Dg where g has the same properties and therefore (D + iE)-lf
S(R)
Kato's square roots 135
=
g
+
ErE
1
H -norm of the function
where the
rE
bounded. On the other hand we know that j B D A D where IREI 5 C E . Altogether this gives JBDAD
+ E2
(D
+
iE)-lf
+ E~
JBDAD
+
is uniformly =
+
RE
g = J(A,B)D~.
The proof of (33) will now be given. A s in the proof of Lemma 14, we have (BDAD +
E
- 1 - Ir
2 -1/2 )
fE2
(BDAD
+
dh
h)-l
+
RE
where m
RE
=
11 '
n
We now observe that
-
dh.
(BDAD + c 2 + h)-'w,(h)
and
The second observation has already been used (Lemma 15) and the first one is also a consequence o f ( 1 3 ) , (14) and ( 1 5 ) . Let us first prove that
(D
straightforward estimates give is next tested on f = B D g , g be used and give
+
iE)RE
I(D E
In fact Lemma 15 and
0.
iE)REI 5 C . If ( D + iE)RE inequalities ( 3 5 ) and ( 3 6 ) can
+
H1 ,
1
m
I(D
+
iE)RE B D g l 5 C
wE(h)
dh
CE.
=
0
For comparing the main term
IE2 m
( D + iE)
(BDAD
+
dh
A)-'
to D
(BDAD + A ) - '
(m
10
we have to study two error terms R(l) E m R(~) = iE (BDAD + E
and R E( 2 ) = D
The operator norm of
jE2
1"'
A - ~ / dh~
and A)-'
(BDAD + A ) - '
where x -1/2 dh RL2)
dh.
R(l is uniformly bounded since E and its action on f = B D g , g e H', can be estimated using (21). We have indeed [ R (E' ) ( B D g ) I 5 CE 81 for g e H1 and therefore R(l) -+ 0. E S I(BDAD +
),)-'I 5
Ch-l
136 C. Kenig - Y. Meyer
The second error term is uniformly bounded in norm by (22) and its action on BDg can be estimated using (35). We then have R(2) + 0. E S Once that (32) and (33) are proved, (34) is obvious. 7 . The Cauchy kernel on Lipschitz curves
Let let
r
=
$ :
Ix
+
R + R i$(x);
be a Lipschitz function: - m < x < +-) be the graph o f
5 M
M and G be the union of the two open cones and G - in the complex plane respectively defined by 5 = 5 In1 < M'g or lr11 < -MIS. Let
$ :
G
The algebra H ( G ) + C such that (39)
for some constants Since $ e H(G+)
$
l@(z)I 2
C(1
C 2 0
and
I
+W
(401
@ + (=d
in,
IzlP
+
m
0. =
H(G+)
+ H(G-)
where
and viceversa.
two Fourier-Laplace transforms are defined
e H(G),
by
+
will consist o f all holomorphic functions
G has two components, H ( G ) vanishes by definition on G -
For each
G+
e izS $ ( S ) dS
which makes sense if
Imz>O
e izS $ ( g ) dg
which makes sense if
Imz 0 . The general case will obviously follow from the preceding ones. Define cr = l $ ' l m+ the corresponding kernel C satisfies IK(z)I < -
I
-
4
and observe, that if F = 0 on 6 > 0 , is holomorphic on y > -uIxI and
K(z)
PI'
Then it is proved in [l] that the "convolution operator" K(z - w)f(w)dw, z e a+, f e H 2 (n+ ) maps H 2 ( Q + ) into itself.
r
Since our symbol F(5) vanishes on 6 < 0 , the corresponding operator F(a) annihilates H 2 ( n - ) . Finally we have L2(r) 2 + 2 = H (n ) + H2(n-) by the L -boundedness of the Cauchy operator Cr. Therefore F(a) is continuous on L2(r). The case when completely proved.
F
=
0
on
6 > 0
is similar and Theorem 4 is
There are some similar results of a more superficial nature. For example, with Theorem 4 ' s notations, if 0 is holomorphic and
142 C. Kenig - Y. Meyer
bounded on
Re z > 0 ,
then
@(DAD) i s bounded o n
L2.
T h i s remark i s a n a b s t r a c t p r o p e r t y s h a r e d by a l l m - a c c r e t i v e o p e r a t o r s T a s von Neumann’s t h e o r e m s h o w s . I n d e e d i f T i s i s a c o n t r a c t i o n and i f g e H m ( A ) where m-accretive, T + l T - 1 2 i s t h e u n i t d i s c , t h e n g(--) i s bounded on L . The f a c t t h a t T = DAD would b e m - a c c r e t i v e i s d u e t o t h e following a b s t r a c t p r o p e r t i e s o f A: Re 2 I x I 2
(53)
A e B(H,H).
and
N e v e r t h e l e s s Theorem 4 i s n o t a n a b s t r a c t t h e o r e m . For p r o v i n g t h i s r e m a r k , f o r e v e r y E > 0 , an o p e r a t o r A : L ~ ( R +). L’CR) s a t i s f y i n g I A - 1 1 5 E w i l l b e c o n s t r u c t e d s u c h t h a t t h e c o n c l u s i o n o f Theorem 4 would f a i I n d e e d i t s u f f i c e s t o show t h a t t h i s c o n c l u s i o n f a i l s f o r L2 i s fixed F ( 5 ) = s i g n (Re c ) when A;’ = 1 + Xa where a : L 2 ( w i t h norm 1 and I h l = E . -+
Then a s i m p l e c a l c u l a t i o n g i v e s a s i n [23 L =
1
I
+m
F ( A D) 7 dh = p . v . [XI=€ A h
(1 + i t D ) - ’ a ( l
+
itD) - 1
g
-m
We want t o p r o d u c e a s u c h t h a t L i s unbounded. We f i r s t conjugate by t h e F o u r i e r t r a n s f o r m a t i o n F . Then i f = FaF-’ and 1 = F L F - l , we h a v e
a
where
Mt
: L2
L2
is the pointwise multiplication operator 1 d e f i n e d by Mtf(t;) = itS f ( S ) . 2 L e t K(S,n) e S’(B ) b e t h e d i s t r i b u t i o n k e r n e l o f G . Then the d i s t r i b u t i o n kernel of is +.
+
A kernel
K(S,n) w i l l now b e c o n s t r u c t e d s u c h t h a t t h e c o r r e s p o n d i n g o p e r a t o r would b e bounded on L 2 b u t s u c h t h a t t h i s p r o p e r t y would f a i l with K,. Our k e r n e l d e f i n e d by
K(S,n) K
The c h a n g e o f v a r i a b l e s
5
0
and
5,171
= (log I$)-’ - 5 = eU , n = eV
to
1 u - v’
Kato's square roots 143
The same change o f variables reduces K 1 to - - tanh(- u - v1 u - v 2 which is not bounded on L 2 . We have here used the property that the two kernels K(x,y) and K(h(x) ,h(y))h' ( x ) '12h1 (y) 'I2 define two operators with the same norm when h is an increasing absolutely continuous homeomorphism of the line. The counterexample can also be applied to proving that is not bounded on H 1 when A is a general operator satisgying IA - 11 < E . The real variable estimates actually play a r6le in Theorems 1 and 4. References El]
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This Page Intentionally Left Blank
Recent Progress in Fourier Analysia I. Peral and J.-L. Rubio de Francia (Editors) 0 Elsevier Science Publishers B.V.(North-Holland), 1985
CONTINUITE SUR LES ESPACES DE HOLDER ET DE SOBOLEV DES OPERATEURS DEFINIS PAR DES INTEGRALES SINGULIERES
Y. Meyer kcole Polytechnique, Palaiseau
Le programme de Calderdn est la recherche d'hypothsses optimal < p < *, d'op6rateurs les entrai'nant la continuit6 L2 ou L p , intervenant dans des Cquations aux d6riv6es partielles coefficients peu rdguliers. L'opsrateur qui permet de r6soudre cette Bquation s'bcrit T(a) oB a d6signe l'ensemble des coefficients a,(x) de notre 6quation aux d6riv6es partielles. Lorsque aa E D(Rn), T(a) est (du moins dans les probl2mes d6crits dans [l] et [ 5 J ) un op6rateur pseudo-diffbrentiel classique d'ordre 0. On cherche alors 5 affaiblir le plus possible les conditions de r6gularit6 portant sur les a,(x) et entrallnant la continuit6 de T(a) sur L2 ou sur d'autres espaces fonctionnels. L'6tude de ces hypothsses optimales a conduit 'i abandonner la reprdsentation des op6rateurs par des symboles et 'a retourner 'I leur description par les noyaux-distributions. Oublions provisoirement la ddpendance (non-lin6aire dans les exemples les plus int6ressant.s) de T(a) en les coefficients a et posons le problsme un peu fou de caracteriser tous les op6rateurs continus sur les espaces classiques 2 l'aide de criteres simples sur leur noyau-distribution. Soit T un op6rateur lin6aire continu, d6fini sur l'espace D(Rn) des fonctions de test, 3 valeurs dans l'espace U'(Rn) des distributions. Un th6orsme c6lzbre de L. Schwartz affirme l'existen ce d'une unique distribution K(x,y) appartenant 'i U'(Rn x Rn) et telle que = p o u r toute u E u(R") et toute v e D(Rn); on a not6 par la dualit6 entre U et D'. Nous nous proposons de donner des conditions suffisantes portant sur K e D'(Rn x Rn) et entrai'nant la continuit6 de l'op6rateur correspondant T sur diffdrents espaces fonctionnels. Ces conditions se divisent en deux groupes. Nous ferons a priori une hypothkse trss faible (et trks facile 3 v6rifier dans la pratique) sur l a taille et la r6gularit6 de K(x,y) lorsque cette 145
146 Y. Meyer
distribution est restreinte 'i l'ouvert x # y (x e Rn, y e R").
Q .
de
Rn x Rn
ddfini par
Nous pourrons alors donner la condition du second groupe : c'est une condition sur les oscillations de la distribution K(x,y) autour de la diagonale A de Rn x Rn, n6cessaire et suffisante pour obtenir la continuit6 ddsir6e sur l'espace fonctionnel considc rd.
I1 est temps de prgciser, d'une part, les espaces fonctionnels utilisgs, d'autre part, les conditions portant sur le noyau-distribu tion K(x,y) de T : D(Rn) + D'(Rn).
1 . Espaces de HElder homoghes et inhomoghes Si 0 < s < 1, nous d6signerons par As(Rn) l'espace des fonctions continues, modulo les fonctions constantes, vErifiant pour une certaine constante c 0, tout x E R" et tout y e R", If(x) - f(y) I 5 Clx-yls. Si s = 1 , nous ddsignerons, dans cet exposd, par A 1 (R n) la classe de Zygmund des fonctions continues (modulo les fonctions affines) verifiant, pour une certaine constante c 2 0 , tout x e R" et tout y e R", If(X+Y) f(X-Y) - 2f(x)I < ClYl. +
Enfin si s > 1, on pose s = m+r 0; 0 < r 5 1 et m e N. On 6crit f e A'(R") si (et seulement si) aaf e hr pour t o u s les multi-indices a E Nn de longueur la1 = m. Appelons &t, t > 0 , les dilatations ddfinies par fit(x) = tx, x E Rn et posons tit(f) = f 0 6i1. Alors, pour tout s > 0 et toute fonction = t-slfl f e A s , Ifit(f)l AS
AS'
Si m < s < m+l, A S est un espace de fonctions modulo les polyn6mes de degr6 5m et si s 2 1 est un entier, A S est un e s pace de fonctions modulo les polyn6mes de degr6 5 s . Ces espaces A S , homoghes. Les espaces comme suit : si 0 < s un espace de fonctions = + lfl,.
s > 0, seront appeles les espaces de H6lder de HBlder inhomoghes Cs(Rn) sont ddfinis < 1, Cs = A S n LOD et donc Cs n'est plus continues modulo les constantes. On pose On procede de m&ne si s = 1 et si s > 1 ,
on pose s = m+r oh m e BI et 0 < r 5 1. Alors f e Cs signifie que aaf e Cr pour tous les multi-indices a E Nn tels que
lal 5
m*
Continuitd des intdgrales singulikres 147
Cette notation contredit les dgfinitions usuelles lorsque s est entier. L'espace cS usuel ( s e Q) est estrictement inclus dans celui que nous venons de d6finir (par exemple l'espace C1 usuel est contenu dans la classe de Zygmund ...). Les espaces Cs que nous venons de d6finir sont pr6serv6s par les operateurs pseudodifferentiels classiques d'ordre 0 et sont des algkbres de Banach. 2. Espaces de Beppo Levi et espaces de Sobolev D6signons par So(Rn) C S(Rn) le sous-espace des fonctions f telles que f(c), transformee de Fourier de f, soit nulle au voisinage de 0. Nous munissons, pour tout s e R, So(Rn) de la structure pr6-hilbertienne ddfinie par s = ~ ( 5 1 E t 5 I5 ) I 2sd5 A
IRn
et appelons BS l'espace de Hilbert associs. Le probleme que nous allons r6soudre est de d6crire BS comme un espace fonctionnel. Si I1 convient ensuite d'6tudier le cas s = 0, Bs = L2(Rn). n 0 < s < 7 . On note q l'exposant tel que z - ; l --ns'* alors B~ est canoniquement inclus dans Lq(Rn) et est donc un espace de fonc tions. n < s < 0 , on d6finit p e ] 1 , 2 [ 1 Si --2 par p1 - 7 - - n et B'(R"). si l'on pose alors t = - s , on a , canoniquement LP(R")c les espaces de Hilbert Bs(Rn) et Bt(Rn) sont le dual l'un de l'autre pour une dualit6 qui coincide avec celle reliant Lp(Rn) et Lq(Rn) lorqu'on se sert de L p C BS et de B t C Lq. 11 en r6sulte que BS est canoniquement un espace de distri< s < 0. butions si n Si s = --2 , BS contient canoniquement l'espace de Hardy 1 n H (R ) , g6nCralis6 par Stein et Weiss; H 1 (R n) est dense dans BS
-!
qui est encore un espace de distributions temp6r6es. n Si s < --, BS est reli6 a l'espace Hp(Rn), 0 < p < 1 , de 2 Stein et Weiss (ggngralisation de l'espace de Hardy) de la faqon sui vante. On suppose i i -- 7 - p et alors HP(R") est inclus dans qui est un espace de distributions. Bs(Rn) En sens contraire, si s 2 7, BS n'est plus un espace de d i s n , BS est canoniquement inclus dans tributions. En effet, si s = 7 BMO de John et Nirenberg; cet espace n'est pas un espace de distributions mais un espace quotient, modulo les fonctions constantes. I1 en est de m&ne pour Bn/2 . Une autre remarque est que BMO est le dual de H1(Rn) et que Bn12 est (pour la m&me dualit6) le dual de
148 Y. Meyer
.
H1(Rn) lorsque cet espace est muni de la norme B-n'2 Mais D(Rn) n'est pas inclus dans H1(Rn) et, pour cette raison, Bn12 n'est pas un espace de distributions. Si s = n + y , y > 0, BS est canoniquement inclus dans Ay(Rn). C'est 3 dire que, tout comme A y , BS fonctions modulo les polyn6mes de degr6 z y . L'espace
BS
est homogsne au sens que
est un espace de i6tflBs
=
tn/2-sI fl
*S
pour tout t > 0, tout s E R et f E BS. L'espace de Sobolev Hs(Rn) est la version inhomogsne de Bs(Rn). Si s 2 0, HS = BS L2 etc..
.
n
On peut, si 0 < s i 1, definir la norme dans BS sans recourir 3 la transformation de Fourier. On a, pour une certaine cons tante c(s,n) > 0,
Si
s = 1,
s 2 1,
If1 = IGrad f12 et toutes les autres normes peuvent B se calculer h l'aide de ces deux cas.
BS,
3. Les hypothzses a priori sur le noyau-distribution K de T Notre but est d'6tudier la continuit6 d'un opdrateur lindaire continu T : u(R") + D'(R") sur l'espace A' o u l'espace B', s > 0.
Rappelons que (6tf)(x) = f($) et, si u e Rn, posons (Ruf)(x) = f(x-u). Une observation 6vidente mais fondamentale est que la norme d'un op6rateur lindaire continu T : A s + A s (ou de T : BS + Bs) ne change pas si T - est remplac6 par RUT Ril o u par 6, T 6,- 1 Le noyau-distribution K(x,y) de T devient alors 1 K(t, f ) . K(x+u, y+u) ou -
.
tn
I1 est donc naturelde faire sur le comportement de K(x,y) hors de la diagonale des hypotheses invariantes par ces deux transformations. La plus simple de ces hypotheses est l'existence d'une constante C 2 0 et d'un exposant E e]0,1] tels que la restriction h fi de K(x,y) soit une fonction localement int6grable v6ri fiant les deux conditions suivantes
et
Continuite'des inte'grales singulihres 149
Aucune regularit6 en
y
n'est demand6e.
Si E > 1 , on 6crit E = m + 0 , m e N, 0 < 17 5 1 , est remplac6 par les deux propriCt6s suivantes
et (3.2)
(3.3)
Ceci nous conduit
a
Definition 1 . Pour tout
la d6finition suivante. E
> 0,
on appeZle
LE
Z'espace v e c t o -
T : D(Rn)
riel des applications Zindaires continues Ze noyau-distribution vgrifie (3.1) (3.2) (3.1), (3.3) g (3.4) & E > 1 .
&
0
l 5 ~ ( $ ~ , $ ~ ) t "oh c($,,$~) est uniformement bornde lorsque $, et $ 2 ddcrivent une partie bornde (arbitraire) de U(Rn). Par exemple, un op6rateur lindaire continu T : L2(Rn) L 2 (R n) est d'ordre 0. La rdciproque est dvidemment cette condition suffit pour que fausse : si a(x,E) E Lm(Rn x R"), l'op6rateur pseudo-diffgrentiel correspondant o(x,D) soit d'ordre 0 mais ne suffit pas pour qu'il soit born6e s u r L 2 (Rn) . Si est un opdrateur lindaire continu, l'adjoint T* T : U(Rn) U'(Rn) pour toute u E U(Rn) de T est d6fini par = Cette d6finition est diffdrente de la definition et v f: U(Rn). usuelle du cas hilbertien mais ce point n'a aucune importance dans ce qui suit. -+
-+
Si m E 8 , nous ddsignerons par U, le sous-espace de U(Rn) ddfini par jxa $(x)dx = 0 pour la1 5 m (tous les moments d'ordre < m sont nuls) On a alors, si m < E 5 m+l ,
.
Lemme 1. T E L E e t s i 4 f: U,, Za d i s t r i b u t i o n T*(@) c o i n c i d e , en d e h o r s du s u p p o r t de 4 , auec une f o n c t i o n q u i e s t O(l~l-"-~) a Z'infini.
=
En effet, en dehors du support de 4 , on a T*$(x) [K(u,x) $(u)du qu'il suffit d'int6grer par parties.
=
le sous-espace des fonctions Ddsignons par EmC Cm(Rn) vdrifiant f(x) = O((xlm) a l'infini. D6signons par Cm[X] l'espace vectoriel des polyn8mes de degrd en x, ,. . ,xn. L'espace dual de U, est l'espace quotient p'(Rn) / C,[X]. f
E
?(an)
zm
.
On a, avec ces notations, la version duale suivante du lemme 1. m < E 5 m+l, f E Em g g E U,, on pose pour t o u t o p k r a t e u r T E L E . Un t e Z o p k r a t e u r T d k f i n i t a i n s i une a p p l i c a t i o n Z i n k a i r e de Em dans U'(Rn)/Cm[X]; c e t t e a p p t i c a t i o n l i n k a i r e s e r a e n c o r e n o t k e T, par
Lemme 2 . <Ti , g>
=
abus de Zangage.
Le sens de
est clair lorsque
g e U,
et
f
E
Em.
Continuit6 des inte'grales singulihes 151
Localement il s'agit de la dualit6 entre 0 ' et U et 1 l'infinj l'integrale est absolument convergente grsce au lemme 1 . Un exemple trss simple permet d'Cclairer la definition indirecte donnee par le lemme 2 . Si n = E = 1 , nous disposons d'une distribg tion K(x,y) e U'(R 2 ) qui a une d6rivCe partielle a K(x,y), prise au sens des distributions. Si
f(x)
E
C"(R)
n
Lm(R),
alors la distribution
S1(x)
=
( I %a K(x,y))f(y)dy
appartient 3 U'(R) et est la dbriv&e, au sens des distributions, de l'objet S(x) que nous cherchons. De sorte que S(x) n'est pas une distribution mais bien une primitive de S1 (x) , modulo des constantes. =
Definition 3.
T
appartient
LE,
2
nous d i r o n s q u e T est faiT ( x a ) = 0, a u s e n s du lemme Rn t e l s q u e la1 < E.
blement invariante p a r t r a n s l a t i o n s i 2, p o u r t o u s les multi-indices
a
f:
Si, par exemple, T e LE commute avec les translations de Rn, on a obligatoirement T(xa) = 0 pour la1 < E. Cette remarque justifie notre d6finition.
Si un symbole a ( x , c ) appartient a la "clase interdite" ",! l'operateur pseudo-differentiel correspondant T = a ( x , D ) appartient 3 L E ; T est faiblement invariant par translation dss que a ac U ( X , ~ ) =~ ~ = o pour tout a e B". 5. La continuit6 A s des operateurs T e LE lorsque
0 < s
0, et que H n'est pas continue sur L~(R). Plus ggngralement si T est un opCrateur pseudo-diff6rentiel classique d'ordre 0 dont le symbole est une fonction ~ ( c )E Cm(Rn\ { O ) ) , homog'ene de degre 0, alors T n'est pas born6 sur Cs ( 5 moins que T ne soit l'identitg). Nous sommes conduits
a
la definition suivante.
D6finition 4 . & T : U(Rn) + U'(Rn) un.opdrateur lindaire continu e t s o i t E > 0 u n e x p o s a n t . N O U S d c r i r o n s T E ME s i l e n o y a u d i s t r i b u t i o n K(x,y) & T v d r i f i e , d a n s l e c o m p l d m e n t a i r e Q c Rn x Rn de l a d i a g o n a l e IK(X,Y)l
(5.7)
IK(x,y)
s i Ix-yl 2
1
5 ClX-Yl-"
I 5
et -
cNIx-YI -N pour t o u t
N 2 n
154 Y. Meyer
Ix-Y(
e t , 12 e n c o r e ,
N 2 n
tout -
+ E
c ~ I X - Y I pour -~
- n - ~p e u t z t r e remplack p a r d e s que (x-yl 1.
Avec ces conditions, nous pouvons 6noncer une condition suffisan te de continuit6 des op6rateurs T e M E s u r Cs lorsque O < S < E .
4. % 0 < s
1 , et s o i A l'op6rateur de multiplication ponctuelle par a(x). Soit T un opCrateur pseudo-diff6rentiel classique dont le symbole T (x,s appartient 5 S 11 yO(Rn~Rn). On d6signe par a(x) la fonction T(a) qui appartient ?i C E W 1(R") et l'on appelle l'op6rateur de multiplication ponctuelle par ;(XI. Consid6rons alors les deux op6rateurs L, = [T,A] , commutateur entre T et A et L 2 = [T,A] + On observe (et ce sera d6montr& dans un instant) le ph6nomSne curieux suivant. L'op6rateur L1 est continu de Cs(Rn) dans lui-m&me pour 0 < s < E - 1 mais, si s > E - 1 , L1 est'continu de Cs dans CE-' et l'on n'a pas mieux en g6n6ral.
A.
En revanche L2 est continu de Cs dans Cs lorsque s < E et, de nouveau, de Cs dans CE si s > E . C'est-2-dire que si E - 1 < s < E , L~ agit mieux sur cS que L~ en un sens que le calcul pseudo-diff6rentiel classique ne peut expliquer. Par exemple, si a(x) E Cm(Rn) et si toutes les d6riv6es de a(x) sont bornges, L 2 est exactement d'ordre 0 en gCnbral, tout comme L 1 . 0
0.
05 s 5 1
T1 au
et sur A s ( R )
La encore, l'explication est que T(l) = H($') e BMO (et n'appaz tient pas a un meilleur espace) tandis que T1(l) = 0. La correction faite pour passer de T a T1 n'a rien change ?ila taille ou ?I la r6gularitE en x du noyau; la rCgularit6 en y est complztement dc truite mais ce point n'a aucune importance lorsqu'on applique les th6orzmes 1 et 5. Le quatrisme exemple concerne la thdorie du potentiel dans les domaines lipschitziens. On designe par D C Rn+' un ouvert connexe et born6 dont la frontizre aD est localement le graphe d'une foncl'opbration lipschitzienne et l'on appelle K : L2(aD) + L2(aD) teur d6fini par le potentiel de double couche. En employant des coordonn6es locales, aD est represent6 par un graphe t = O(x) 09 x e Rn et 06 Q : Rn -F R est lipschitzienne. Alors le noyau-distribution K(x,y) de l'operateur K est donne Par 1 4I(X)-$(Y)-(X-Y) .VQ(Y) K(x,Y) = V.P. n+ 1 "'n 2 J 2 Clx-Y12+($(x)-O(Y)) 06 w n est la surface de la sphsre unit6 S n C Rn+l. I1 est bien connu que si 41 est seulement lipschitzienne, l'operateur K n'est pas compact. La continuit6 de K sur LZ(Rn;dx) a 6t6 ddmontr6e par A.P. CalderBn en 1977 (Voir aussi Fabes, Jodeit et Rivizre) sous l'hypothsse lV$lm < E (E > 0 6tant une mysterieuse constante dont la valeur s'est trouvde devenir +m aprss quelques ann6es). L'operateur K est continu sur H~(R") A~(R") si o < s < I .
si
o 5
s 5 1
et sur
En effet K(l) = 0 et les th6orbmes 1 et 5 s'appliquent. En revanche ces propri6t6s remarquables de K disparaissent si le num6ra teur de K(x,y) est remplac6 par @(x)-$(y). Dans le dernier exemple, nous retournons aux operateurs pseudo-differentiels. Soit o(x,E) E Sy,l(Rn x Rn) un symbole v6rifiant
158 Y. Meyer
Alors l'op6rateur pseudo-differentiel correspondant u(x,D) est b o x n6 sur Hs(Rn) et s u r Cs(Rn) pour tout s > 0. Cependant l'op6ra teur n'est pas continu, en g6n6ra1, s u r L 2 (R n ) . Le noyau-distribution
K(x,y)
de
u(x,D)
v6rifie
l a ,a ayB K(x,Y)I 5 C ~ , ~ I X - -Y In - ~ a ~ L'opgrateur - ~ ~ ~ , ~ ( X , D ) appartient ?iM, pour tout E > 0 et les th6or'emes 4 et 6 s'appliquent imm6diatement. Voici enfin un contre-exemple dont le r6le est de montrer que dans le thborsrne de David et Journ6, la regularit6 en y du noyau joue un r6le essentiel. Soit $ E S(R) une fonction dont la transform6e de Fourier est 6gale 1 1 sur [4/5, 6 / 5 1 et 'i 0 hors de [3/4, 3/21. Formons les noyaus
mk(y)
0;
=
exp i(zk
+
zN)y.
D6signons par T N l'op6rateur defini par le noyau KN(x,y). est d6fini par le noyau LN(x,y) = L'adjoint T: N k = 1 mk(x)2 $(2 k ( y - x ) ) . On en d6duit immgdiatement que le symbole 0
T(x,~) de
Ti verifie
I T ( X , ~ )5~ 1
sur
L'op6rateur T i est (uniform6ment en est de &me pour T N . j
E
R2
N)
. d'ordre
0
et i l en
Par ailleurs, la: K~(X,Y)I y cjl x-yl-l-J pour tour entier A. Enfin TN(l) = 0 et T i ( 1 ) = 0.
Le seule propri6t6 qui fasse d6faut est la regularit6 en y du noyau KN(x,y). L'op6rateur TN n'est pas (uniformgment en N) born6 s u r L 2 (R) car, s i f E S(R) et si ? ( t ) est port6e par 1 1 N TN(~N) = FJ, on a (en posant fN(Y) = exp(-iZ y)f(y)), N k = (1 exp(i2 x))f(x) et ITN(fN)12 = = lfNI2. 0
[-m,
lfI2
8. Dgmonstration de ( 5 . 1 )
( 5 . 2 ) dans le th6or2me 1
Elle repose sur le lemme suivant (dont la ddmonstration immgdiate est 1aiss.de au lecteur). Lemme 3 .
Soit
E
> 0
T u n o p d rateur appurtenant 2
1,.
Alors
Continuit6 des intggrales singulisres 159
pour toute fonction
$ E
D(R")
JI e
et t o u t e f o n c t i o n
lim = @ ( o ) < T(1), k++m On rappelle que (6t$)(~) = $ ( TX I .
D,(R"),
$>.
Supposons donc que T e L E soit, en fait, continu pour la norme (0 < E < I ) . Soit 4 e D(R") telle que @(o) = 1 et formons gk(x) = T(tik$)(x). Alors lgkl < C k-'. I1 en r6sulte que si
A'
J,
€
Do,
IIJ,(x)gk(x)dxl
4: -et
5 C($)k
Montrons maintenant que
T
l'on a donc
est d'ordre
T(1)
=
0.
0.
Pour all6ger un peu 1'6criture des demonstrations qui suivent, on d6signera systgmatiquement par Q une boule de centre u arbitraire et de rayon t > 0 (arbitraire) de Rn et par $Q une fami lle (indexge par Q) de fonctions de D(Rn) v6rifiant laaOQl 5 < Ca t-ICLI. On appellera IQI le volume de Q si bien que la pro pri6t6 pour T d'&tre d'ordre 0 s'6crit plus simplement
$&')>I 5
I < T $;'),
ClQl.
On appellera toujours rayon double).
d
la boule double de
Q
(meme centre et
Si x L 0, on a (gr&e a la taille du noyau) 5 c' Par ailleurs l$QIAs 5 Ct-' et la continuitd de T sur A' impli que IT@,I < C't '. On teste cette norme s u r xo E Q (Q de cen-
T$Q(x)I
tre u )
As
-
et s u r
x,
verifiant
Ix,-uI
=
Zt.
On a
Un examen plus attentif de cet argument montre que lorsque T e L~ et lorsque T : A' + A' est continu.
IT(I$~)I~5
C
I1 est donc trzs nature1 que la preuve de la reciproque du th6or&ne 1 passe par la preuve de IT(@Q)l, 5 C. Proposition I . ~ o i tT : D(R") tinu a p p u r t e n a n t ? Za i cZasse
si
T(1)
teZZe que
=
+
LE.
0, p o u r t o u t e f a m i l l e I T ( I $ ~5 ) ~C.~
D ' (R")
u n o p k r a t e u r Zinkaire conT e s t d'ordre 0 iZ e x i s t e u n e c o n s t a n t e C
AZors si
$Q,
e
La preuve de cette proposition 1 est basde s u r le lemme suivant (dont la d6monstration est laissee au lecteur mais peut 6galement gtre trouvde dans [6]).
160 Y. Meyer
Lemme 4 . Soit K e U'(Rn x Rn) u n e d i s t r i b u t i o n d o n t la r e s t r i c t i o n ;I ~ l o u u e r t Q udrifie I K ( x , ~ )5~ clx-yl-". S u p p o s o n s q u e operat e u r T : D(Rn) +Uf(Rn) d S f i n i p a r le n o y a u - d i s t r i b u t i o n K soit d'ordre 0. A Z O P S , pour t o u t e f o n c t i o n f E U(Rn x R"), nulle S U P y=x,
=
lim Ej.0
Jl,y-x,,
K(x,y)f(x,y)dx
dy.
Revenons 'a la preuve de la proposition 1 . une famille de fonctions de U(Rn) telle uQ 3 t t-IQI, que u (x) = 1 sur la boule Ix-uI 5 7 que I 5 Q et que u soit nulle hors de Q. Soit, par ailleurs, Qn une fonction arbitraire. On a, dans U(Rn x R"), 0 ( x ) e U(R ) On ddsigne par
a uQI
$Q(Y)e(x)
=
($Q(Y)-$Q(x))uQ(y)e(x)
+
$Q(x)uQ(Y)e(x)
a
On utilise la dualit6 entre U(Rn x Rn) et U'(Rn x R"). On obtient ~K,e(x)$~(y)> = < 0 , T $ > = I + I 2 oh Q et 1 2 = * 11 = Le calcul de
I1 vient
I1
=
11
I1 se fait grzce au lemme 4 .
K(x,y) ($Q(Y)-$Q(x))uQ(Y)e(x)dx
et l'intdgrale est ici d6finie comme
lim E+O
dy
If IX-ylFE . . . . dx dy.
On pose
J J
g(x) = IK(x,y) ($Q (y) -gQ(x))uQ(y)dy. Cette intggrale absolument con vergente d6finit une fonction continue et le thdorbme de Fubini
Pour calculer 12, on introduit la distribution T(u ) et on Q 6tudie la restriction de cette distribution B la boule (ouverte Q). Appelons J, e U, une fonction portde par vQ = 1-uQ. La condition T ( l ) = 0 s'6crit (8.1)
< J , , T ( u Q ) > +
Q et posons
= 0.
La premiere intdgrale vaut, par dgfinition, et la seconde vaut I{l$(x)K(x,y)dx}vQ(y)dy = J($). On ne change pas J($) en remplawnt K(X:& e a r K(x,y)-K(u,y). On ufilise alors IK(x,y)-K(u,y)l 5 Clu-yl t et il vient I J ( J , ) I 5 CEIJ,ll.
Continuit6 des intCgrales singulibres 161
Tout cela mis ensemble donne Il 5 CEl$Il est port6e par Q et d'int6grale nulle.
que
chaque fois
I/I
La distribution T(uQ), restreinte Q, est donc la somme d'une constante que l'on ne peut encore majorer et d'une foncXQ tion rQ E L~(Q) v6rifiant lrQlm 5 cE. Nous allons maintenant &valuer X o . Pour cela, on d6signe par une "bosse ajust6e a la boule Q" ;elle que
eQ e
> 0,
Q -
et que
laaeQl 5 cat-/'
jeQ(X)dX
=
IQI.
On calcule de deux faqons diff6rentes. Puisque T I I 5 ClQl. D'autre part est d'ordre 0, i l vien Q Q rQ(x)OQ(x)dx. T(uQ) = X + rQ sur Q et donc = X I Q I + On a donc
lhQl
I,
Q
5 CE.
Nous venons de prouver que la restriction de 2 Q est ?-lQ une fonction h(x) E L m ( Q ) v6rifiant - C E . Nous avons, en fait, sur la boule Q de centre u , 'hlLm(Q) (8.2)
TUQ(XI
et l a constante
'Q
I(K(U,Y)-K(x,Y))vp(Y)dY
=
EQ
+
I E Q I -< c.
v6rifie
Revenant 1 12, il vient I2 = < T U ~ , € I $ ~=> /$Q(x)e(x)h(x)dx. Nous avons d6montr6 que TOQ(x) = (K(x,y) ($~~(y)-$~(x))u~(y)dy + + Q~(x)(Tu~)(x) et appartient 5 L-(R") avec une norme uniformBment born6e. En fait (8.2) nous donne un renseignement p l u s precis: sur Q , on a ITu ( X I ) - Tu (x)I 5 CIx-x'IEt-E et, de m$me
Q
Q
g(x) = lK(~,y)($~(y) - OQ(x))uQ(y)dy est d6finie partout (et est Bgalement h8ldBrienne comme nous le verrons dans un instant). Retcnons que TOQ(x) est d6finie partout (et non pas seulement presquepartout). En changeant les notations, nous avons Btabli que si est port6e par une boule Q et si 5 E V(Bn) est &gale f E V(R") 1 sur la boule double Q , on a
>
(8.3)
Tf(x)
IK(x,y) (f(y)-f(x))S(y)dy
=
+
f(x)TS(x).
On est maintenant en mesure de v6rifier le rgsultat suivant.
Soit
T f: L E un o p d r a t e u r d ' o r d r e 0 u g r i f i a n t T(1) = 0 . S o i e n t x2 x1 d e u r p o i n t s d e Rn u n e f o n c t i o n & g a l e a 1 au v o i s i n a g e de e t d e x2. 5 E V(Rn) x1 Posons n = 1-5. A l o r s on a Proposition 2.
f
E
V(Rn)
et soit
162 Y. Meyer
(8.4)
Tf(x2)-Tf(xl)
=
I
(K(xZ,Y)-K(xl , Y ) ) ( f ( Y ) - f ( x l ) n ( y ) d y
- j K ( x , ,Y) ( f ( Y ) - f ( X 1 ) ) 6 (Y)dY +
+
/K(X2.Y) (f(Y)-f(X*))S(Y)dY
( f ( x 2 ) - f ( x l ) ) ("6) ( ~ 2 )
Nous commenqons p a r dCmontrer ( 8 . 4 ) d a n s l e c a s p a r t i c u l i e r
6 = 1 sur s u p p o r t de
0, f.
05
Q 6 t a n t une b o u l e a s s e z g r a n d e p o u r c o n t e n i r l e On p e u t a l o r s u t i l i s e r ( 8 . 3 ) e t i l s u f f i t d ' o b s e r v e r
que f ( x , ) T s ( x ~ ) - f ( x , ) T s ( x l ) = ( f ( x 2 ) - f ( x 1 ) ) (T6) (x,) + + f(xl)(Ts(x2)-T((xl)). On u t i l i s e a l o r s ( 8 . 2 ) e t i l v i e n t T S ( x 2 1 - T S ( x l ) = - I ( K ( x 2 , ~ 1 - K ( x ,ly ) ) n ( y ) d y . ( 8 . 4 ) e s t demontrce.
Puisque
f(y)n(y)
= 0,
Pour p a s s e r a u c a s gBnBra1, on remarque que l a d i f f g r e n c e e n t r e deux c h o i x p o s s i b l e s de 5 c o n d u i t '? une f o n c t i o n (notBe c o ) , n u l l e au v o i s i n a g e de x1 e t d e x 2 e t que n d e v i e n t a l o r s La somme d e s q u a t r e i n t 6 g r a l e s du membre d e d r o i t e d e qo = -6,. (8.4) est nulle.
Nous sommes en mesure d e t e r m i n e r l a p r e u v e du th6or'eme 1 . S o i t s un e x p o s a n t de l ' i n t e r v a l l e ] O , E [ . Supposons que f e D(Rn) v c r i f i e ( f l A s ( l e t c h e r c h o n s 'a m a j o r e r I T f l A s . Pour c e l a d 6 s i g n o n s p a r
x1
et
x2
deux p o i n t s d e
Rn
et
sQ
< 10d e t une posons d = I x 2 - x 1 ) . S o i t Q l a b o u l e I x - x 11 f o n c t i o n de D(Rn), d o n t l e s u p p o r t e s t c o n t e n u d a n s Q , & g a l e a 1 s i I X - X , ~5 5d e t v 6 r i f i a n t l e s c o n d i t i o n s u s u e l l e s I aaCQI 5 d - l a l . Les q u a t r e morceaux de ( 8 . 4 ) s e m a j o r e n t p a r
CdS, d e f a s o n B v i d e n t e , ce q u i donne l a c o n t i n u i t 6 A S d C s i r 6 e . I 1 e s t i n t e r e s s a n t d e p r o l o n g e r T : D(Rn) + As(Rn) en un o p B r a t e u r l i n d a i r e c o n t i n u de As(Rn) d a n s l u i - & m e . Pour c e l a on o b s e r v e que AS(Rn) e s t l e d u a l de l ' e s p a c e Hp(Rn) d e S t e i n e t Weiss l o r s q u e _ = _ _ 1 ( 0 < p < 1 ) . I 1 e s t donc n a t u r e 1 de munir As(Rn) d e l a " P t o p o l o g i e o(AS,HP) d 6 f i n i e p a r c e t t e d u a l i t b . A l o r s D(Rn) e s t dense dans A s ; p l u s prBcis6ment i l e x i s t e une c o n s t a n t e C t e l l e que, pour t o u t e f e A s , i l e x i s t e u n e s u i t e f k , k E IJ, de f o n c e t f k - f p o u r l a tg t i o n s d e D(Rn) t e l l e q u e l f k l A s 5 C ( f l AS p o l o g i e (J ( A ' ,HP) . Montrons a l o r s que logie vers g E hS. On a d ' u n e p a r t
T ( f k ) = gk
lgkl
< C'
As
-
c o n v e r g e p o u r c e t t e mdme t o p o -
(fIAs.
I1 s u f f i t a l o r s de tester
Continuitds des int6grales singulihres 163
la convergence faible sur des fonctions de test appartenant 'a D o , sous-espace dense dans Hp. Si T e L , vdrifie T(l) = 0 et si T est d'ordre 0, alors T*($) e Hp pour toute $ e Do et pour (n+E)p > n. On a donc lim = lim = . k++m
k++w
La suite des gk est born&e dans A s et converge (faiblement) sur D o c Hp, sous-espace dense dans Hp(Rn). I1 en r6sulte que gg converge faiblement vers une forme lindaire continue sur Hp, c'est->-dire une fonction g e A S . 9. La preuve de P.G. Lemarid du thdorkme 5 La dCmonstration directe du th&or&me 5 due a P.G. Lemari6 n'uti lise en fait ni la structure de groupe de Rn, ni la transformation de Fourier. Elle s'6tend donc aux espaces de nature homog3nes de Coifman et Weiss (voir la th'ese de troisikme cycle de Lemari6). On utilise la condition suivante d'appartenance 3 O < S < l . Lemme 5 .
Soit
f e L 2 (Rn )
BS
lorsque
u n e f o n c t i o n t e l l e que
-n-2s dx dy
1
l'opdrateur usuel de derivation pay
j'(0)E C L E par et tels que T(xa) = 0
> 0,
E
4q de
le sous-espace des op6rapour tout ci e kJn tel que
E.
La continuit6 des opErateurs T E LE(O) sur A S pour 0 < s < E s'obtient (par rdcurrence s u r la partie entigre de l'aide de la proposition suivante n Proposition 3 . g T E L;'), a t o r s D. T = 1 T, D, T, e 1 1 Naturellement, les opdrateurs Tm ddpendent aussi de j.
E)
L (0) €-~.
La faGon la plus commode de faire ces v6rifications est d'effec tuer au pr6alable une d6composition de Littlewood-Paley de l'operateur T. On dgsigne, 2 cet effet, par 4 e S(Rn) une fonction radiale dont la transformde de Fourier vaut 1 sur le boule 1E1 5 1 et 0 sur 151 1. 2. On pose $ ( & ) = $($) - $ ( c ) et, pour tout k e 2 , on d6signe par Sk l'op6rateur de convolution dbfini, via la trans formation de Fourier, par le multiplicateur $(%) tandis que ak = Sk+l - Sk est ddfini par le multiplicateur2 E
$(x). 2
un o p k r a t e u r l i n k a i r e c o n t i n u Lemme 6 . Soit T : U(Rn) + U'(Rn) d ' o r d r e 0. A l o r s o n a, a u s e n 8 faible,
Rappelons que Lk : u(R") + u'(R") tend vers L : u sens faible si, pour toute f e D(Rn) et toute g e U(Rn), lim = . k++m
+
U' on a
au
166
Y. Meyer
La preuve du lemme 6 est Glgmentaire et laiss6e au lecteur. Grsce au lemme 6, on peut 6crire T sous la forme de la sdrie t616s cop ique +W
1 {sk+l
+W
T sk+l - sk T sk]
=
1
(hk T sk+l
sk T Ak)
+
=
-w
-00
+W
=
1
Lk
+
Mk.
-w
Nous allons dtudier les propridtds des noyaux des opgrateurs Lk et Mk. On a
ILk(x,y)I 5 C2kn(1 lLk(X,)')Yady
= 0
Lk(x,y)
21x-Yl)
+
1.
pour
* t = 2 - k , k e 2 , et l'on tombe sur les que nous voulions estimer.
P o u r conclure, on pose
noyaux
ou
t $,(s)sm Dm
=
a
et
Mk(x,y)
D.M
J k
- i a/axm 0;
=
D. 3 (1
Qm(S)
sk
-
Pour extraire,
TAk.
5 m 5 n), =
Em
!t
droite, les opc
on utilise l'identitd dvidente On appelle A?) l'opgra-
$(c).
151 teur de convolution associd au multiplicateur
et l'on a donc
168 Y. Meyer
Ak
n
1 Aim)
2-k
=
1 I1 reste
=
1 2-k -0)
D. 3
D. M k 3
2 v6rifier que chacun des n
+a,
T,
ce qui conduit 2
Dm
sk T
AL")
2-k
=
n
1 Dj
1 op6rateurs
Sk T A P ) D , .
(0)
appartient 3
LE-1-
Cette verification s'obtient 5 l'aide du lemme suivant. Lemme 8 . Supposons que t e s f o n c t i o n s fk(x,Y) e c=(R" x R") -n-1 p o u r t o u t x E R", fiant Ifk(X9Y)I 5 2kn(l+2klx-yl) y e Rn e t t o u t k e Z a i n s i q u e la: fk(x,y)I < 2kn 2klal (1+2klx-yl)-"-1-lal c h a q u e f o i s que la1 5 E - 1 . On s u p p o s e , & E - 1 < la1 5 E
+
for
0
instead
we can subtract chiis last expression from (4.2), and estimates for ~ U J ~ ' ( Z ~ ) ~and lY1(z,) 1 , to obtain Il
0
Y'(to)
use
these
5 2/dist(zo, a D ) .
If we now take t h e supremum of the expressions on the left over all v e B" satisfying 1 ~ 1 : ~ = 1 we obtain zO
I(TA'(z,) whenever
lulzo = 1.
-
A1(z0)T)u(
Writing
zo
[T,A'(zo)]
5 2/dist(zo,
-
=
D)
TA1(zo) - A1(zo)T
and
Analytic families of Banach spaces 191
using the homogeneity of the operators T
and Af(zo)
we see that
(4.4)
That is, the commutator with norm not exceeding
[T,A'(zo)] is a bounded operator on B zO 2/dist(zo,aD).
It is natural to ask what form this commutator takes in specific
cases. In the Lp-cases we can compute the derivative A'(zo) explicitly and ( 4 . 4 ) then gives us the boundedness of [T,L], L is the operator defined by
where
Lf = f log If1 for f measurable. The precise inequality is (4.5)
where c(zo) = cp(zo)lH'(z )I/dist(zo,aD). If the spaces BZ are weighted Lp spaces on R , with p fixed and weights w(z;x) = eb(z;x), z e D, x e Rn, then the operator Af(zo) is simply multiplication by d b(z;x)IZ.zO. An important special case
::
arises when b(z;x) = zb(x) with b e BMO having small BMO-norm and w(x)-' belong to the Muckenhoupt lbl* (so that w(x) = eb(x) class Ap). Then, if T is a Calder6n-Zygmund singular integral operator we obtain the LP-boundedness of the commutator T(bf) - bTf. By homogeneity we then obtain the inequality IIT(bf1
(4.6)
-
bTfllp 6 Clfllplbll*
-
for all f E Lp(Rn) and b e BMO. It can be shown that an inequality of the type ( 4 . 5 ) is not true for p(zo) 2 when T is the disk multiplier on L 2 ( R 2)- (which is known t o be bounded on LP(R2) if and only if p = 2). Thus, these results are characteristic of operators that are bounded on a class of spaces that lie in a "neighborhood of BZO'f* All these results can be carried out for operators T mapping analytic families CBZ) into different analytic families {C,). A typical example of a result obtained this way is furnished by the Riesz potentials T f = f*lxlY-n : Y
(4.7)
IITy(bf) - b(Tyf)n
p2
5 MlfllPIIbl*
192 R. Rochberg
when
-
G. Weiss
0 < y < n,
n 1 < p1 < -
Y'
1 -- 1 -
P2
P1
-
1 and n
b e BMO.
Similar analysis, starting from the fact that smooth changes of variables preserve the Sobolev spaces, show that the commutator of a smooth change of variables with the logarithm of the differentiation operator (defined via the Fourier transform) is bounded on L2(R). One can make a systematic study of such inequalities by introducing a class of spaces that allows us to study the operators A'(zo). It is clear that the space B is naturally isomorphic zO to the quotient space Hy/(z-z0)H; and the norm on BZ defined by Theorem 1 corresponds precisely to the coset norm on thys quotient space. The study of A1(zo) requires specifying the value of the derivative of an extremal function at zo, as well as its value at this point. Thus, we are led to the consideration of the spaces B(2) = H;/(z-z~)~H~, zo e D, normed by the coset norm on this zO
quotient space. Each coset is uniquely determined by an ordered pair (u,v) e Cn x Cn, where F(zo) = u and F'(zo)(l - l z o l 2 ) = v. It is not hard to see that the coset norm is given by (4.8)
l(u,v)1L2)
0
=
inf {IlFll,
:
F'(zo)(l
F e Hi, F(zo)
=
- IzoI 21
v).
=
u,
One can then study the family {BL2)} much in the same spirit of the development of the properties of {Bz) we described in Section 2 . In particular, a duality result can be shown that tells us that the duals of the space BL2) for z e D can be obtained from the duals of the boundary spaces, B;, 5 e aD, in analogy with theorem 2 . Moreover, this general theory allows us to include analytic families of operators {T,} acting on the spaces BL2). 5.
Partial Differential Equations and Differential Geometric Features Associated With Analytic Families of Banach Spaces
We have, by now, encountered several situations that illustrated the fundamental role played by the operator A(z;zO) in our theory. In the first section we first considered the 1-dimensional case where log IuIz = log lul + log In(z)I is a harmonic function 1 for each u e C . In the n-dimensional Hilbert space case it is not true that log 1 .1 = log IIn(z)uII is harmonic; however, as indicated by the Wiener-Masani theorem (l.lO), n(z) is an analytic matrix-
Analytic families of Banach spaces 193
valued function. It is not hard to see that this fact can be used to obtain a partial differential equation, that extends the Laplace equation, which characterizes these families of inner product spaces. A s we have seen, in the n-dimensional inner product case, the norms of the spaces BZ are given by
lulz
(5.1)
where W(z) d d
n(z)*n(z) d z = a T - i fand i =
d
=
Iln(z)uli
=
,
(W(Z)U.L
with n(z) analytic and invertible. d is = a;r + i F . Then, since n ( z ) *
conjugate analytic, dz dW(z) = n(z)*
w.
~ ( z -)1 7 dW(z) - n(z)-’n(z)*-ln(z)*
Hence
$j-$Q = n(z)
Let
v.
But the last matrix-valued function is analytic; thus, (5.2)
& W(z))
d {W(z)-’ Ah’
-
d W)W- 1 (z
=
0
d (E W)
=
or, equivalently, 0
for all z E D. It the family of matrices {n(z) : z e D) is a commuting, normal family, then there exists a common spectral decomposition, for the members n(z) and, in particular, we can find an analytic logarithm log W(z), for z e D. It follows that
When this is the case, therefore, (5.2) becomes A log W(Z)
=
d
d
log W(Z)
=
d =W(Z)
-1 d
fi W(Z)
=
0
for all z e D. Thus, we can consider (5.2) to be an extension of the Laplace equation that is satisfied by the matrix-valued function W(Z). As is the case in the Laplace equation, the solutions of (5.2) satisfy a maximum principle. This maximum principle asserts that for the norms defined by (5.1) we have
(5.3)
log IF(z)I,
is subharmonic
w-’
whenever F is an analytic Cn-valued function on D. Since satisfies (5.2) when W does, we also have the same maximum principle for the norms defined, as in (5.1), in terms of the positive
194 R. Rochberg
-
G. Weiss
w-'
(instead of W(z)). A duality argument definite operators then shows that {BZ} = {(C", JW(z)u.$] is the analytic family of Banach spaces determined, via Theorem 1, by the boundary norms 5 f aD. I U l s = JW(S)U.U, There is a geometric interpretation of these notions. We can regard B = {BZ] as a complex vector bundle with base mani-
u
fold
D.
(5.4)
z e D For the general analytic family
G(z,u) =
EBZ) = I(Cn,l
l z ) l put
luIz2
for z e D , u e Cn. Ignoring questions of smoothness, it can be shown that the condition (5 * 5) is equivalent to the property that the norms (5.4) are those of an analytic family of Banach spaces. The expression on the left in (5.5) is related to the curvature of B. If the curvature is nonpositive then the bundle B satisfies property (5.3) and can be thought of as being a subinterpolation family (or logarithmically subharmonic). The basic construction of analytic families of Banach spaces gives a method for solving a boundary value problem for the equation (5.5). The iteration theorem (2.5) reflects the local nature of this problem. 6. Some Relations With the Real Method of Interpolation
Even though th,e subject we have been developing is motivated by and extends the complex method of interpolation, it does have some features that are analogous to the real method of interpolation. In order to explain this in some detail we need to enter into a brief discussion of the real method. Our notation is not quite the standard one but, as we shall see, it is adapted for better comparisons with the complex method as we have described it. There are two basic functionals, the K-functional and the J-fun2 tional, that are central to the techniques associated with the real method. Suppose we are given two Banach spaces B-,, B1 with norms I I - 1 and I 11, respectively. The K-functional (more precisely, the Km-functional) is the function of B - l , B 1 , a e B - l + B1 and s > 0 defined by
Analytic families of Banach spaces 195
K(s;a,B1,B-l) = infimax [ s l a - l ~ - l , ~ a l ~: la] = a1
+
a-19
a+l e B+lI;
-
-
the J-functional is the following function that depends on the same variables (but a is restricted to B-ln Bl) J(s;a,B1,B-l) = max{slal_l, laill. These two functionals can be used to obtain the norms of intermediate spaces. For example
where 0 < 8 < 1 , 1 < q i -, defines an intermediate space "between" B-l and B1. A similar expression (involving certain integral means that equal a) in which the J-functional is used, instead of the K-functional, yields norms that can be shown to be equivalent to the ones in ( 6 . 1 ) . We claim that methods analogous to those described in Sections 2 and 4 lead directly to those functionals. Moreover, one can obtain results on commutators of the type announced in the fourth section by following this analogy further. We shall give precise formulations of these methods and their applications in the real n-dimensional case. Let I = [ - l , l ] and B+l be the space Bn normed by I The space ( B - l , I I - 1 ) isassociated with the boundary point --1 of I and (B1, I 11) is associated with 1 e 31. The role played in 9 2 by holomorphic Cn-valued functions on D is now assumed by the members of the class a of all affine maps F : I + Bn. For each t, - 1 i t i 1 , we then consider the space Bt which is Bn normed by lalt
max IF(i)li : F e (1, F(t) = a). ieaI It is not hard to show that the unit ball, St, of Bt is the slice at t of the convex hull of { ( - l , S _ l ) U ( 1 , S 1 ) l . (This is analogous to the fact that the construction of Section 2 generates the holomorphically convex hull of the unit balls of the boundary spaces BE, e D). A simple calculation shows that
St
=
inf
{
1-t
= {T
a-l
+
l+t
T al
: a _ l E S,,,
al e S 1 l .
196 R. Rochberg - G. Weiss
Moreover, we have lalt
(6.3)
=
To see this we write
o
info, >
F(x)
=
: 1-1 a e Stl.
1 +x b l , - 1 5 x 2 1, for 1 -x b-l + -
F e a . Thus, the condition F(t) = a is equivalent to where a - l = 1-t b-l and al = l+t b,. Hence,
z-
1-t
a
=
a-l + a l
9
l+t
max{sIa-lI-ls Ialll} = max{s 7Ib-11-1, 7 Ibllll =
l+t z -max
{IF(-l)l-1, IF(1) ! , I
and equality (6.5) follows immediately from the definitions of and I It'
K
There are many analogies between the theory of the spaces Bt,
t e I, and the theory of families BZ, z e D, introduced in Section 2 . For example, the analog of the fundamental subharmonicity
result (1.7) is the fact that is affine on I.
IF(t)
It
is convex on
I whenever
If we introduce the natural analogs of the spaces Bh2) 0 in the fourth section, we are let to the norms (6.6)
I (a,b)
!i2) = inf C max ieaI
IF(i)li
F
studied
: F e a , F(t) = a, (1 - t 2 )F'(t) = b},
where (a,b) e Bn x Bn. This definition is virtually a copy of (4.8); however, the two valued of F(t) and F'(t), determined by (a,b), completely identify the affine function F. In fact, it is immediate that F(x)
=
a
+
2-x - t b. 1 -t
Thus,
Using, again, the transformation s
=
1 +t n,
-1 < t < 1,
and putting
Analytic families of Banach spaces 197
a
= 0
in ( 6 . 7 ) we obtain
That is, Theorem ( 6 . 8 ) .
If
s =
s(t)
=
-1 I-t, l+t
J(s;b,Bi,B-1)
O, where Qt(x) = t-I) @(:) satisfies Z o ' s condition (see [17]). 11.- The dyadic version of Stein's maximal spherical means, which is known to be a bounded operator in Lp(Rn) for all n 2 2 and p > 1 (see [2]), as well as maximal functions and Hilbert transform along curves, [16]. 111.- The maximal operator corresponding to rectangles in in a lacunary set of directions, [ll]
.
R'
1V.- The maximal Bochner-Riesz operatols in R 2 which, for arbitrary small index, are bounded in Lp, 2 5 p 5 4 (see C31). The results concerning ( I ) and (11) are joint work with F . J . Ruiz and J.L. Torrea.
§I. Maximal operators as Vector Valued Singular Integrals Let me start by recalling the following result from El]: Suppose A and B are Banach spaces, and T is a linear operator 203
204 JrL. Rubio de Francia
mapping (measurable) functions f : Rn Tf : Rn + B, which is given by Tf(x) =
I
+
A
into functions
(x L supp(f))
K(x-y)f(y)dy
for all
f E Ll with compact support, where K(x) takes values in L ( A , B ) = {bounded linear from A to BI, and IW(x)l f. L:oc(l?n-{O!). Then, we have Theorem 0. Lf T is bounded f r o m K satisfies
Li
Li f o r some
1
c
r 5
-
then -
The proof consists in a rather straightforward repetition of the classical CalderBn-Zygmund argument. The important point in [l] is that a large part of the Littlewood-Paley g-functions fall under the scope of Theorem 0 by taking A = complex numbers, B = Hilbert space, and r = 2. However, one can also take B = em, and then, some maximal operators also fall under the scope of Theorem 0 . This is so in particular for
provided
4
e L1(Rn)
satisfies
Thus, a particular case of Theorem 0 i s
F. 2 0 ' s theorem (C17J):
"If Q satisfies (2), then M Q is bounded in 1 c p 2 and of weak type ( l , l ) t l .
Lp(Rn),
Moreover, there is an extension of Theorem 0 which follows immediately from its very statement: Given 1 < q c -, we consider the Banach spaces . t q ( A ) and t q ( B ) , and the operator
Some maximal inequalities 205
which maps lq(A) -valued functions into . t q ( B ) -valued ones, and is trivially of strong type (q,q). Since T is given by the kernel Id B K(x) e L ( l q ( A ) , l q ( B ) ) lq which satisfies ( 1 ) (with the same constant C) we obtain that, under the hypothesis of Theorem 0, it also follows that t(x)
=
for all 1 < p,q < m . Now, i t suffices to apply this remark to the maximal operator considered above in order to have the desired vector valued inequalities: Theorem 1 . S u p p o s e
1 n
L (R ) s a t i s f i e s Z o ' s c o n d i t i o n ( 2 ) . T h e n , t h e i n e q u a l i t i e s ( A ) and ( B ) a r e v e r i f i e d b y t h e o p e r a t o r
Mf(x)
@ f:
M@f(x)
IOt * f(x)l t>o Observe that this theorem contains the inequalities of Fefferman and Stein, since the Hardy-Littlewood maximal operator is dominated by M@f(x) if @(x) is a positive Schwartz function such that @(x) 1 when 1x1 5 1 . The original proof given in [S] of the vector valued inequalities for the Hardy-Littlewood maximal fun2 tion, f*, is based on the inequality (3)
1
=
f*(xIp u(x)dx
=
sup
5 Cp ~lf(x)lp u*(xldx
(1
1 -n, -
the multiplier
m
is defined by 0
denoting Bessel functions). Since mo(t) is the Fourier-Stieltjes transform of the singular measure da concentrated in {lyl = l } and defined as Lebesgue measure on the unit sphere, it is clear that N = No. On the other hand, Plancherel's theorem and the Hardy-Littlewood maximal function can be used to show that Na is Finally, if Re(a) > 0, ma(C) bounded in L2 for Re(a) > is the Fourier transform of the integrable function @"(x) = = r(a1-l (1 lx12)y-', so that (Je
9.
-
Now, it is not true that Qa satisfies Z o ' s condition, but it does satisfy the analogous condition for dyadic dilations, namely
(to
the
1
prove this, majorize s i p by L 1 -modulus of continuity of '0
c J , and use the fact that ksatisfy: wl(Qa;t) 5 CutRe(')).
Thus, Theorem 1 applies to the effect that (the vector valued exten-
208 J,-L. Rubio de Francia
sion of) N" is bounded in LP(tr), Re(a) > 0, while N" is bounded in Analytic interpolation then gives:
1 < p,r < m, for all L 2 (t2 ) for all Re(a)
>
9.
Theorem 2. & Rn, n 2 2, t h e s t r o n g t y p e v e c t o r v a l u e d i n e q u a l i t i e s (A) a r e v e r i f i e d b y t h e maximal o p e r a t o r Nf d e f i n e d i n ( 4 1 . Without going into the details, let me simply mention that the same method applies to the operators
(maximal function and Hilbert transform along y) provided that the curve y(t) in Rn, n 2 2 , is "we11 curved". The main difference now is that Theorem 0 and 1 are applied to approximations o f the identity defined in terms of non-isotropic dilations. The analytic families of operators to be considered in each case are described in [16]. Thus, we conclude that Theorem 2 holds for the operator MY and Hy. §III, Covering Methods and ltAl-Weights" Conversely to what was done in section I, here I shall follow the line of thought of [ S ] and obtain the vector valued inequalities (A) from a weighted inequality similar to (3). The maximal operator to which this method will be applied is MRf(x)
=
sup
where R is the family of all rectangles R in R 2 parallel to -c some of the vectors e = (cos 2-j7r, sen 2 - j 7 r ) , j = 1,2,3,. . . j (any other lacunary sequence o f unit vectors will do just as well). The basic result for this operator was proved by A. Nagel, E.M. Stein and S. Wainger [ll] , establishing that MR is bounded in Lp(R2) for all p > 1 . We shall state here two extensions of this result : Theorem 3. Let w(x) a . e . Then, f o r a l l
I
be a w e i g h t i n Al(R), a, we h a v e
i.e.,
MRw(x) 5 C w(x)
1 < p
xR(x)
Then, we have and a r b i t r a r y i n t e r v a l s
R. e R J
and f u n c -
Proof of the Lemma. It follows by interpolation with change of measure between the two estimates
210 J.-L. Rubio de Francia
I
I E ER.fj(x)lqdx J J which holds for all 1 5 q < w
(5)
Ifj(x)l)q
2 Cq
dx
J ,
and
Ji
ERjfj (x) I w(x) "'dx 5 CE I fj (x) 1 w(x) '+€dX j which holds for some E > 0. Observe that (5) is equivalente (by duality) t o the boundedness of MR in Lq'(R2), 1 < q' < w. On the other hand, ( 6 ) is a consequence of the reverse Hslder's inequality, which holds for weights in A1(R) and implies that w ~ E +A , (~R ) for some E > 0. In fact, assuming f. > 0, the left J hand side of (6) is equal to
1
(6)
Proof of Theorem 3 . It is based on covering arguments similar to those of A . CBrdoba and R. Fefferman (see [7]). Given f 2 0, let E where
R. J
E
R
=
{x : MRf(x) > 11
=
URj
are rectangles such that
From {Rj) we select a'subsequence r K . 1 exactly as in [7], i.e., J we order (R.1 so that e(Rj) = "longest side of Rj" decreases, -J then take K 1 = R1 and, once k,,i2,... ,kk-l have been selected, we call K, to the first rectangle in the original sequence (if any) satisfying
Two consequences of the selection method are relevant for our purposes: If fk denotes the characteristic function of k' E j ) , then
-
(jyk
E- f ( x ) > Rk (this is obvious), and (7)
3
X g (x) k
1 X- )(x) > 71 k Rk M denoting here the strong maximal operator ( ( 8 ) follows by a simple geometric argument which can be seen in [7]). Since M is known to be bounded in Lq(w) for all q > 1, we have (8)
E C
{X : M ( C
Some maximal inequalities 211
On the other hand, using ( 7 ) and the previous lemma, and taking into E fk is the characteristic function of u Ek, account that k k
< C A-1 - 9
< C - 9
Now, given to get
E
A-1 E
lik1-' w(kk)
1-
1-
f(x)dx
5 (because w e A1(R))
Rk f(x) w(x)dx 5 CqX-l lflLqf(w)
R' k Lq(w) Rk p > 1, we apply the preceding inequalities with q = p' w(E) 5 Cp A - p
llf(x)Ip
w(x) dx
which shows that PIR is of weak type (p,p) with respect to w(x)dx for all p > 1, and the strong type result follows by intei po 1at ion. Remarks: A different proof of Theorem 3 has been given by B. Jawerth [9] by adapting the original argument of [ll] , which uses the Fourier transform, to the weighted case, while our method starts with the result itself: lMRflp 5 Cp Ifip, 1 < p 5 m , and uses rather general methods to extend it to Lp(w), w e A1(R). We have presented this different approach in the hope that some of the ideas involved may be useful in related problems. I t must be said that B. Jawerth has actually obtained the
inequality (9)
for all weights w e Ap(R), 1 < p < -, thus giving a complete extension of Muckenhoupt's result for the Hardy-Littlewood maximal function to the case o f the operator MR. On the other hand, starting from 'Theorem 3 , the interpolation and duality argument used in the above Lemma gives (9) for all w f: A1 (R) A1 (R)l-p = = {wo 1 wo,w, e A1 (R)), which turns out to be equivalent to Jawerth's result, since factorization holds for the weights associated to R : Ap(R) = A1 (R) A, (R)l-p,
212 J.-L. Rubio de Francia
5IV. L 2 -Valued Inequalities for Bochner-Riesz Means In this last section, I would like to make some almost trivial remarks concerning the result proved in 131 for the maximal Bochner-Riesz operators in R 2
s:
f(x)
=
1s;
sup O 1, by Linden [l] . The author proved the following in [ 2 ] . Theorem 1. J I
from
f e L1 ( X ) ,
then Pf/P1 c o n v e r g e s t o f(bl,b2,v) and i n a n y t u b e of bounded b i h y p e r b o l i c d i s t a n c e
'bl,bZ,v' rbl,bZ,v, f o r a - a .
(blpb2,v)
x.
Let sup PIf(/Pl, (bl,b2,v) e X , rbl ,b2,v be the relevant maximal function. In [ 2 ] , it was proved that M is of weak type (1,l) in X. This implies Theorem 1. But Theorem 1 is also a consequence of the following weaker result. Let for 6 > 0 Mf(bl,b2,v) =
x6
=
T~ x { v a [ 0 , n / 2 1 : cos v > 6 , sin v
Theorem 2 . For any 6 > 0 , t h e r e s t r i c t i o n of 1 a bounded o p e r a t o r f r o m L1(X) 2 Lweak(X6).
Mf
> 61. X6
defines
The aim of this note is to show how much easier it is to prove Theorem 2 rather than the full result of [Z-]. We refer to [2] for more details. In Sjagren [3], the analogs of Theorem 1 and 2 were proved in Riemannian symmetric spaces. Proof of Theorem 2 .
2.
z,,z2
We fix 6 , and let C = C ( R , 6 ) denote various constants. Let be given by (l.l), and set from now on t l = e- 2 R s cos v ,
so
that
1
-
lzil
is close to
There is a kernel K
Formula (4.1) of [2]
t 2 = e- 2 R s sin v
2ti.
such that
and Harnack's inequality imply
A Fatou Theorem 217
if (bl,bZ,v) e X6 and s > 1. Here E = ~ ( R , f i ) > 0. For (b,,b2,v) e X6, we write Kf(zl,z2) as a sum of integrals over the sets
(2.2) and
zm-'/&
5 le-vl 5
P/JSI,
q 1 ,q2, m 1. 0 . Here 2 - 1 is replaced by (2.1) allows u s to replace K by
0.
In these integrals,
2 -Itl 2 -&tZ Then we suppress the lower bounds in ( 2 . 2 ) , extending the integrations to the sets
91 '92 ,m
The Lebesgue measure and we conclude
IBs
OD
I
I f I di31dS2d0. 91 Y92'm I BS I Bs Taking s u p in s , we get an estimate f o r Mf. By summing in weak L1 we see that Theorem 2 will follow if we can prove that the operator 1
91 '92 ,m
maps
L1(X)
into
1 Lweak(X ),
t l , t 2 and thus the sides of 91 '92
9m
uniformly in q l , q2, m. 91 '42 ,m B, depend on v,
Notice that so
that
M is not invariant under translation. We shall only consider M o 9 0 9 0 , since the general case is analogous.
Let for k=l ,2,.
..
218
P. Sjagren
where Bs means B~soso(bl,bZav).Extending f, Tk f, and Mososof by 0, we can consider them as defined in 'IT 3 3 X . To these operators Tka we shall apply a lemma from [2] , which we now recall. Let (M,p) be a measure space, and assume that for each k=1,2,... there is a partition o f M into an at most countable number of sets called k-pieces. The k-pieces are measurable with positive finite measure, and any (k+l)-piece is contained in some k-piece. The following is part of Lemma 1 of [2].
Lemma.Let
(M,p) and t h e k - p i e c e s be a s j u s t d e s c r i b e d , and l e t
(Tk)y be a s e q u e n c e of s u b a d d i t i v e o p e r a t o r s mapping f u n c t i o n s i n L 1 + L m ( p ) i n t o n o n n e g a t i v e p-measumzble f u n c t i o n s . Assume (a)
the
Tk a r e of weak t y p e
( b ) the r e s t r i c t i o n k-piece P (C)
lTkfl
0.
This is because for s fixed IVu(x,t+s) l 2 is a sub-harmonic function (of (x,t)) in the half-space which i s majorized b y the harmonic function given by the Poisson integral, because this majorization holds on the boundary, i.e. when t = 0 . Thus IVu(x,2t)
l2
j. Now let m(x) denote and arbitrary integer-valued measuOf course rable function of x. We need to estimate T = T m(x) s = sm (XI is bounded on L 2 by the usual maximal theorem. It follows from (20) that TT* < c(T* + T + S), and hence if f 0,
-
I(T*f)'dx Thus
=
I
(TT*f)fdx 5 {j(T*f)f
lT*I2 5 c{IT*I
+
IT[
+
IS
},
+
j(Tf)fdx
and hence
IT*I
+
I(Sf)fdx}.
=
IT1 5 c'.
Our second example allows us to raise a further question. In the above we have limited ourselves to a denumerable collection of balls whose radii are much smaller than the distances of their centers from the origin. What happens when instead one considers continous collections of such balls? For example, let n = 1, and take the family (B Z(h)] of balls centered at h of radius h2, where 0 < h < First of all,
240 E.M. Stein
is not bounded on any E4(f) (x)
=
Lp, p < 1 sup OO
(1,l).
A very well-known sufficient condition is that Q have a majorant which is radial, decreasing, and integrable. In that case, of course it is known that
where M is the standard maximal functions. But what about other situations, where this majorization does not hold? To gain a better understanding of this problem let us discuss four examples. Example 1.
Here we deal with R 2 = {(x, ,x2)}, and 1 . This corresponds to the Poisson kernel in the @(XI = (l+x;) (l+x;) product of two half-planes, and the main difficulty is due to the slow decrease of 0 at infinity along the two axes. The result in this case goes back to Marcinkiewicz and Zygmund.
Example 2 . Our second example is in effect a generalization of the previous one. Here we realize Bn as the vector space of m x m real symmetric matrices (with n = m(mq)), and @ corresponds to the Poisson kernel of the corresponding Siege1 upper half-space, 1 see [ll, pp. 124-1271. The weak-type result Q(x) = Idet(x+iI) Im+ was obtained in [12]. Notice that O(x) has different degrees of decrease at -; i.e. the size of Q(rx), as r -+ r E B,,
,;
0 ,
242 E.M. Stein
depends on which of the elementary symmetric functions of the eigenvalues of x are non-vanishing; but in any case the nondecreasing radial majorant of CD is far from integrable at infinity. Example 3. This example like the previous two is also suggested by symmetric spaces. Here we realize R3 as the strictly lower triangular matrices of the form
(Il P 1
x3 and we take
Cp =
x2
[(l+xl+x3)(l+x2+(x,x2-x3) 2 2 2 2 )] - 1
.
Because of the multiplication law of matrices, it is natural to define the dilations by (x1,x2,x3) + (Ex1,Ex2,E2x3) (since these are then automorphisms of the group multiplication), and to redefine C D ~ as Q(x~/E,x ~ / E , x3/€2 )E - 4
.
Example 4 . This example is a more complicated variant of the first example and brings in the rotations of the singular directions of (P(Xl’X2) =
1 (l+X,2) (l+x;)
.
For each
8 e
T
let
re denote the
rotation by the angle 8 in the R2 plane. Whenever f(x,e) = f(x1,x2,8) e L 1 (R 2 x T), define M(f) by
and the problem is to prove that the mapping f + M(f) is of weak-type ( 1 , l ) . This problem, in a more general context, was raised by Korgnyi [2] in the setting of symmetric spaces. We now formulate a general result. We consider Rn
equipped with a family of dilations a al an (x1,x2,..., Xn) -P ( E x l , E 2x2 ,..., E Xn) = E.X,
where ai are fixed positive exponents, with E 0. We let 0 denote the subgroup of rotations of Rn that commute with these dilations. For 8 e 0 , we denote by re the corresponding rotation, and write d8 for the Haar measure on 0 . We now that 0 satisfies the following conditions:
Variations on Maximal Functions 243
(a) O(x) (b)
1
R"
=
IR(x)l",
@(x)dx
(c) @(E.x)
0 let {Cp)} be the sequence of Gegenbauer (ultraspherical) polynomials. The sequence {Cp)} is an orthogonalization of the sequence of monomials {tk);=o on [ - 1 ,1] with respect For
to measure ( 1 - t2)(a-("2)) It is usual to set cos e manic of degree k on C (41
dt, = t, 0 is the
normalized so C p ) ( l ) = ( k + 2 a - 1 ) . 0, I C E ) is t h e s e q u e n c e of G e g e n b a u e r is a finite sequence. T h e n
Ba
(pk((k+1)2a,
...
pk(k+a) Ck( a ) ( c o s 0 ) S
L B
Ci(Ii1))
.
s = 1,2,3,
1;
-
(A(...A(k+(a+lT1
(a+s-1)
cia'I 5
(16) (EPk(k+a)
1 l,Ik(Cia+')
APk(k+(a+l))
...
( a ) s = a(a+l)
and f o r
a
1-k 1
=
where
=
1
I
250 M.H. Taibleson
The proposition is an immediate consequence of (15) and (13). Proof of the Theorem. In Proposition A we set s = [(n-1)/2] + 2, and recall that uk = 0 if lukl 5 A we have from (16), IM(COS e l l 5 A B,
a = (n-l)/Z, k > R. Since R c (k+i)"-l 5 A B,R". k=O Examine the exponent a-s+L in (17). It is equal to: (n-1)/2 - [(n-1)/2] + L-2, which is L-(3/2) if n is even and is (L-2) if n is odd. Since L 2 1 we see that if n is even o r n is odd and L # 1 , then a-s+L > -1. Suppose now that 0 0 5 n/2. We have IAL pkl 5 A R-', Auk = 0 if k > R, e = 1,2,3 ,..., O r s. If n is even, o r n is odd and L # 1, we have the estimate: R R 1 A R-L (k+l)a-s+L 0 -(a+s) -< A Bn R-L 0 - ( a + s ) 1 (k+l)cL-s+L Bn k=O k=O R-L e-(a+s)Ra-s+L+l - A Ra-s+l O - ( a + s ) < A Bn n A
B,
A
Bn R-l 0 - (n+l)
= [
e-(n+1/2),
,
n
even
n
odd
For the exceptional case we have the estimate:
< A
-
Bn R - l e-(n+l)[l
+
log+(RB)]
This establishes the theorem for 0 5 0 5 n/2. follows froman analogous argument.
The case n/2 5 0 n'
We now consider an analogue of Proposition A for Jacobi polynomials. There are several reasons why this is of interest. First, the Jacobi polynomials contain the Gegenbauer polynomials as special cases (see (11)). Second, the zonal functions for all compact symmetric spaces of rank 1 are obtained as special cases of Jacobi polynomials: En
and
Pn(R),
n
2,
;
Pn(C),
n 2 4,
Gegenbauer and Jacobi Polynomials 251
{
n
n 2 8, {Pi-'
Pn(E),
';P
"};
a n d t h e e x c e p t i o n a l case,
{F'L'93)1. S e e [3] p . 257. T h i r d , e v e n f o r t h e s p e c i a l case o f t h e e s t i m a t e s f o r t h e "lower h e m i s p h e r e " c a n b e improved s i g n i 'n9 f i c a n t l y . I n c o m p a r i s o n w i t h ( 9 ) we c a n o b t a i n , u s i n g P r o p o s i t i o n B y below: '16'
D(h*(x) + R -
(18)
laR*h(x)l
0 and small. Furthermore the general relation between approach regions and balls suggests that the "ball" about (1,O) on 1cI2 + 121' = 1 of radius E should have length E in the z-direction and length K in the c-direction. To have a clearer picture and to go further it is convenient to think in terms of the Siege1 upper half space Im z 1 > 1 z 2 1 2 (Here we let z 1 and Z 2 denote 2 complex variables).
.
The domain is a cylinder in 4-space as the defining equation o f the boundary is independent of Reil. In the 3-space Re i l = 0, the domain looks like a parabaloid. In many ways this domain is more natural than the unit ball. (For example the boundary of this domain is a group, the s o called Heisenberg group). Our approach region to the origin at "height" E are now the points Im z 1 = E, IRe z,l < ~ . / 2 1z21 < 1 fi. (We could insert figures in our domain which are arbitrarily long in the direction Re z l , but this is o f no consequence justas was the insertion of "long ellipses" in the unit disc in one variable. E
Furthermore the bull about (0,O) on Im z, is that portion o f the surface lying above
=
of radius
260 S. Wainger
I
r' Im z1
Imzl
Fig v1
Balls defined by vector fields 261
1221