Proceedings of the Tunisian Mathematical Society (Volume 11)

PROCEEDINGS OF THE TUNISIAN MATHEMATICAL SOCIETY, VOLUME 11 PROCEEDINGS OF THE TUNISIAN MATHEMATICAL SOCIETY, VOLUME ...

Author: K. Trimeche | S. Zarati

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PROCEEDINGS OF THE TUNISIAN MATHEMATICAL SOCIETY, VOLUME 11

PROCEEDINGS OF THE TUNISIAN MATHEMATICAL SOCIETY, VOLUME 11

K. TRIMÉCHE AND S. ZARATI EDITORS

Nova Science Publishers, Inc. New York

Copyright © 2007 by Nova Science Publishers, Inc.

All rights reserved. No part of this book may be reproduced, stored in a retrieval system or transmitted in any form or by any means: electronic, electrostatic, magnetic, tape, mechanical photocopying, recording or otherwise without the written permission of the Publisher. For permission to use material from this book please contact us: Telephone 631-231-7269; Fax 631-231-8175 Web Site: http://www.novapublishers.com NOTICE TO THE READER The Publisher has taken reasonable care in the preparation of this book, but makes no expressed or implied warranty of any kind and assumes no responsibility for any errors or omissions. No liability is assumed for incidental or consequential damages in connection with or arising out of information contained in this book. The Publisher shall not be liable for any special, consequential, or exemplary damages resulting, in whole or in part, from the readers’ use of, or reliance upon, this material. Any parts of this book based on government reports are so indicated and copyright is claimed for those parts to the extent applicable to compilations of such works. Independent verification should be sought for any data, advice or recommendations contained in this book. In addition, no responsibility is assumed by the publisher for any injury and/or damage to persons or property arising from any methods, products, instructions, ideas or otherwise contained in this publication. This publication is designed to provide accurate and authoritative information with regard to the subject matter covered herein. It is sold with the clear understanding that the Publisher is not engaged in rendering legal or any other professional services. If legal or any other expert assistance is required, the services of a competent person should be sought. FROM A DECLARATION OF PARTICIPANTS JOINTLY ADOPTED BY A COMMITTEE OF THE AMERICAN BAR ASSOCIATION AND A COMMITTEE OF PUBLISHERS. LIBRARY OF CONGRESS CATALOGING-IN-PUBLICATION DATA

ISBN 13: 978-1-60692-530-0

Published by Nova Science Publishers, Inc.

New York

CONTENTS Preface

vii

Chapter 1

Coerciveness Estimate for Ventcel Boundary Value Problem for a Differential Equation Aissa Aibeche and Angelo Favini

1

Chapter 2

Two Classes of Models for Overdispersed Count Data C.C. Kokonendji, C.G.B. Demétrio and S. Dossou-Gbéte

9

Chapter 3

On the Definition of the Current ddcvΛT when T Is a Positive P.S.H Current and v Is A P.S.H Function M.L. Ben Yattou

23

Chapter 4

Certaines Remarques sur L’algèbre des Opérateurs Différentiels Invariants pour la Représentation Monomiale d’un Groupe de lie Nilpotent Hidenori Fujiwara

37

Chapter 5

Prolongement et Contrôle d’un Courant Négatif Psh par Ses Tranches Moncef Toujani and Hèdi Ben Messaoud

51

Chapter 6

An (Lp, Lq) Version of Morgan’s Theorem on for Chébli-Trimèche Hypergroups Latifa Bou Attour

63

Chapter 7

Distributional Jacobi-Dunkl Transform and Applications Hassen Ben Mohamed and Hatem Mejjaoli

71

Chapter 8

Transcendance de Périodes: État des Connaissances Michel Waldschmidt

89

Chapter 9

Quelques Aspects du Théorème Limite Central sur les Groupes de Lie et les Hypergroupes Léonard Gallardo

117

vi Chapter 10

Index

Contents New Proof of Cowling-Price Lemma and Application Slaim Ben Farah

149

159

PREFACE These proceedings consist of ten carefully refereed and selected papers which were presented at the 12th symposium of Tunisian Mathematical Society held on March 18-23, 2004 in Mahdia (Tunisia). This symposium was one of the largest international meeting on Mathematics in Tunisia. A total of 200 participants from several countries attended to the meeting. In addition to the plenary, invited and contributed talks, there was a dpanel discussion on future research directions and problems in various areas of mathematics. In Chapter 1, the authors give some simple algebraic conditions on the coefficients of a boundary value problem for a differential equations of Ventcel type, depending on a spectral parameter, which guarantee the existence, uniqueness of a solution and coerciveness estimate, for a spectral parameter lying in some sector. Chapter 2 investigates two classes of exponential dispersion models for overdispersed count data with respect to the Poisson distribution. The first is a class of Poisson mixture with positive Tweedie mixing distributions. As an approximation of the first in terms of their unit variance functions, the second is a new class of exponential dispersion models characterized by their unit variance functions of the form μ + μp, where p is a real index related to a precise model. These two classes provide some alternatives to the negative binomial distribution (p = 2) which is classically used in the framework of regression models for count data when overdispersion results in a lack of fit of the Poisson regression model. Some properties are then studied and the pratical usefulness is also discussed. Chapter 3 presents the definition of a current ddcvΛT by means of a closed positive current T and a locally bounded p.s.h function v, following the idendity: ddcvΛT= ddc(vT) leads to the MongeAmpere current .The recent literrature has considered the extension of this definition to non necessarly locally bounded functions v and to non necessarly closed currents. The authors are considering the definition of the current ddcvΛT when T is a positive p.s.h current and v is a p.s.h function having a nonempty polar set. En Chapitre 4, soient G un groupe de Lie réel nilpotent connexe et simplement connexe, H un sous-groupe fermé connexe de G et χ un caractère unitaire de H. Soit D τ (G/H) l’algèbre des opérateurs différentiels G-invariants sur le fibré de base G/H associé aux données (H, χ ). Nous donnons dans D τ (G/H) un système d’éléments de Corwin- Greenleaf

viii

K. Triméche and S. Zarati G

et montrons que la représentation monomiale ind H

χ est à multiplicités finies si et seulement

si D τ (G/H) est algébrique sur ce système. In Chapter 5, the authors show the principal theorem, on the extension of a negative (or positive) plurisubharmonic (ie ddcT ≥ 0) current T with condition on the slice. First, We prove the Chern-Levine-Nirenberg inequality for a positive (or négative) psh current. The result generalized a result of Sibony and the results of Bedford-Taylor and Demailly for a positive d-closed current. Also they show a inequality of Oka type for a positive psh current. In Chapter 6, the authors give an (Lp, Lq) Version of Morgan’s theorem for ChébliTrimèche Hypergroups ( R +, *(A)). In Chapter 7, the authors study the Jacobi-Dunkl transform on new spaces of distributions. Boundedness, uniqueness, smoothness, and inversion theorems are established for this transform. Finally we give some applications. Comme expliqué en chapitre 8, les nombres réels ou complexes forment un ensemble ayant la puissance du continu. Parmi eux, ceux qui sont « intéressants », qui apparaissent « naturellement », qui méritent notre attention, forment un ensemble dénombrable. Dans cet état d’esprit nous nous intéressons aux périodes au sens de Kontsevich et Zagier. Nous faisons le point sur l’état de nos connaissances concernant la nature arithmétique de ces nombres : décider si une période est un nombre rationnel, algébrique irrationnel ou au contraire transcendant est l’objet de quelques théorèmes et de beaucoup de conjectures. Nous précisons aussi ce qui est connu sur l’approximation diophantienne de tels nombres, par des nombres rationnels ou algébriques. Chapitre 9 est la rédaction d’une conférence faite à Mahdia au colloque 2004 de la Société Mathématique de Tunisie. Il est constitué d’une sélection de résultats sur le théorème limite central sur les groupes de Lie et les hypergroupes. Les chercheurs qui s’intéressent à cette problématique, y trouveront un accès rapide aux aspects les plus significatifs de la théorie. A crucial result to establish the Lp-Lq versions of Hardy’s theorem is the following Cowling-Price lemma. Let σ > 0 , M > 0 and 1 ≤ p < 1. If g is an entire function on C σ x2

satisfying the conditions ||g| R ||p ≤ M and |g(x+iy)| ≤ Me

, for all x > 0, y > 0, then

g=0. In Chapter 10, the authors establish a version of Phragmén-Lindelöf theorem and we deduce a simplified proof of the above lemma. As application, we establish a Lp-Lq version of Hardy’s theorem for the Heisenberg group, by using its natural gauge.

In: Proceedings of the Tunisian Mathematical Society... ISBN 1-60021-014-7 c 2007 Nova Science Publishers, Inc. Editor: K. Triméche and S. Zarati, pp. 1-8

Chapter 1

C OERCIVENESS E STIMATE FOR V ENTCEL B OUNDARY VALUE P ROBLEM FOR A D IFFERENTIAL E QUATION 1

Aissa Aibeche1∗and Angelo Favini2† Department of Mathematics, University Ferhat Abbas, Route de Scipion, 19000 Setif, Algeria 2 Dipartimento di Matematica, Universit di Bologna, Piazza di Porta S.Donato 5, 40126 Bologna, Italy

Abstract We give some simple algebraic conditions on the coefficients of a boundary value problem for a differential equations of Ventcel type, depending on a spectral parameter, which guarantee the existence, uniqueness of a solution and coerciveness estimate, for a spectral parameter lying in some sector.

Keywords: coerciveness estimate, Ventcel boundary conditions, differential equations AMS Subject Classifications: 34L10, 35J05, 35P20, 47E05

1.

Introduction

Consider, in Lq (0, 1) the following problem L(λ, D)u : = λu(x) − u00 (x) = f (x),

x ∈ (0, 1)

(2)

0

(3)

L1 (λ, D)u : = (λ + γ)u(0) + βu (0) = f1 L2 (λ, D)u : = (λ + γ)u(1) + βu (1) = f2 where λ, γ, β ∈ C and f1 , f2 ∈ C. ∗ †

E-mail address: [email protected] E-mail address: [email protected]

(1)

0

2

A. Aibeche and A. Favini

This kind of problems are considered by several authors ([1, 2, 3]), mainly in the scope of establishing generation theorems for strongly continuous semigroups, the method they used is different from the one we propose in this paper. We would like to prove existence, uniqueness and coerciveness estimate for the solution of the above problem for λ in some sectors in C. We would like to prove existence, uniqueness and coerciveness estimate for the solution of the above problem for λ in some sectors in C. To achieve this goal, we rewrite the problem (1), (2), (3) as a problem for a linear unbounded operator P with a dense domain in L2 (0, 1) ⊕ C2 . The problem (1), (2), (3) can be written in the following abstract manner, L(λ)u :=

λu − Au =

f

Lν (λ)u := λCν u − Bν u = fν , ν = 1, 2.

(4) (5)

2

d 2 0 With A = dx 2 , D(A) = Wq (0, 1), C1 u = u(0), C2 u = u(1), B1 u = −γu (0) − 0 βu(0), and B2 u = −γu (1) − βu(1).

2.

Preliminaries

Consider, in the space L2 (0, 1) ⊕ C2 , the operator P which is defined by the equalities D(P ) = (u, v) : u ∈ Wq2 (0, 1); v = (C1 u, C2 u) P =

A 0 Bt 0

P is a 2 × 2 operator block matrix on the diagonal of which the one-dimensional operator A and 2-dimensional 0 operators are situated   A 0 0  B1 0 0  B2 0 0 it is clear that problem (1, 2, 3) is reduced to the standard problem for the operator P       u u f λ  C1 u  − P  C1 u  =  f1  C2 u C2 u f2

(6)

Condition (a): Assume that the conditions of the Theorem (4) are satisfied and the operator A : u 7→ Au := (Au, C1 u, C2 u) is invertible as an operator from Wq2 (0, 1) into Lq (0, 1) ⊕ C2 . Consider, in Lq (0, 1), the operator Ac which is defined by the equalities D(Ac ) = Wq2 ((0, 1), C1 u = 0, C2 u = 0)

Coerciveness Estimate

3

and Ac u = Au for u ∈ D(Ac ). By virtue of Condition (a), the operator Ac has an inverse A−1 c which acts boundedly from Lq (0, 1) into Wq2 (0, 1). More precisely, u = A−1 f means that Au = f, C1 u = c 0, C2 u = 0. Let Λν , ν = 1, 2, be such that u = Λν gν means that Au = 0, Cν u = gν and Ck u = 0 for k 6= ν. The operator Λν exists and, in view of Condition (a), is bounded from C into Wq2 (0, 1). Consider the operator Λ := (Λ1 , Λ2 ). It is clear that u = Λg t = Λ1 g1 + Λ2 g2 means that Au = 0, C1 u = g1 and C2 u = g2 , where g t = (g1 , g2 ). Consider, in L2 (0, 1) ⊕ C2 , the operator L which is defined by the equalities D(L) := L2 (0, 1) ⊕ C2 , and I Λ + A−1 c Λ L= . 0 I Lemma 1 The operator L in the space L2 (0, 1)⊕C2 is bounded and has a bounded inverse −1

L

=

I −Λ − A−1 c Λ 0 I

.

Proof: Since the operators Λν from C into Wq2 (0, 1) is bounded then the proof is obvious. We consider, in the space L2 (0, 1) ⊕ C2 , a linear manifold D = {(u, v) : u ∈ Wq2 ((0, 1); C1 u = 0, C2 u = 0), v ∈ C2 }. Lemma 2 The operator L is an algebraic isomorphism between D and D(P ). Proof: Let (u, v) ∈ D. First, show that [L(u, v)t ] ∈ D(P ), where (u, v)t = (u, v1 , v2 )t . We have       t u u + Λ1 v1 + Λ2 v2 + A−1 u c Λv −1 I Λ + Ac Λ   v1  =  v1 L  v1  = 0 I v2 v2 v1 From (u, v) ∈ D it follows that u ∈ Wq2 (0, 1), Cν u = 0, ν = 1, 2 and v ∈ C2 . t 4 t By virtue of lemma (1), Λv t ∈ Wq2 (0, 1), A−1 c Λv ∈ Wq (0, 1) and, therefore u + Λv + −1 t 2 Ac Λv ∈ Wq (0, 1). it follows that t Cν (u + Λv t + A−1 c Λv ) = vν

ν = 1, 2.

This means that [L(u, v)t ] ∈ D(P ). Conversely, let (u, v) ∈ D(P ). We show that [L−1 (u, v)t ]t ∈ D. We have −1

L

u vt

=

I −Λ − A−1 c Λ 0 I

u vt

=

t u − Λv t − A−1 c Λv t v

.

4

A. Aibeche and A. Favini

From (u, v) ∈ D(P ) it follows that u ∈ Wq2 (0, 1), v = (C1 u, C2 u). Since Λv t ∈ t 4 t −1 t 2 Wq2 (0, 1), then A−1 c Λv ∈ Wq (0, 1) and therefore, u − Λv − Ac Λv ∈ Wq (0, 1). It follows that t Cν (u − Λv t − A−1 ν = 1, 2. c Λv ) = vν − vν = 0 Finally [L−1 (u, v)t ]t ∈ D. The set D(P ) is equipped with the norm

k(u, C1 u, C2 u)kD(P ) =

kuk2Wq2 (0,1)

+

2 X

|Cν u|

ν=1

2

! 21

and the set D is equipped with the norm

k(u, v)kD =

kuk2Wq2 (0,1) +

2 X

|vν |2

ν=1

! 12

.

Lemma 3 The operator L is a topological isomorphism between D and D(P ). Proof: For (u, v) ∈ D we have

L u ≤ t

v D(P ) ≤

t ku + Λv t + A−1 c Λv kWq2 (0,1) +

2 X

|vν |

ν=1

and for (u, v) ∈ D(P ) we have

≤

t

ku − Λv −

kukWq2 (0,1) +

!

t A−1 c Λv kWq2 (0,1)

2 X

|vν |

!

!

≤ k(u, v)kD ,

+

2 X ν=1

ν=1

3.

|vν |

ν=1

kukWq2 (0,1) +

−1

u

L

≤ t

v D

2 X

|vν |

!

≤ k(u, v)kD(P ) .

Main Result

Theorem 4 Assume that 1. Cν are p−regular with respect to ω1 = −i and ω2 = i in the sense of Yakubov. 2. Bν is continuous on Wq2− (0, 1) and f ∈ Lq (0, 1). Then for any > 0 there exists R such that for all complex numbers λ which satisfy |λ| > R lying inside the angle π + < | arg λ| < π −


5

the operator L : u → Lu = (L(λ)u, L1 (λ)u, L2 (λ)u) from Wq2 (0, 1) onto L2 (0, 1) ⊕ C2 is an isomorphism and for these λ, for a solution of our problem the estimate ||u||Wq2 (0,1) + |λ| ||u||Lq (0,1) + |u(0)| + |u(1)| ≤ C() ||f ||Lq (0,1) + |f1 | + |f2 | (7) is valid.

Proof: By applying Theorem ([6, Thm 4.2.2/1, p.207] or [4, pp. 100]) to the problem (λI − A)u = f, (8) Cν u = 0 ν = 1, 2, where the functional conditions Cν are 1-regular with respect to the numbers ω1 = i and ω2 = −i. We obtain that for all complex numbers λ lying inside the angle ` = {λ :

π + < | arg λ| < π − }

(9)

and with sufficiently large moduli, problem (8) for f ∈ Lq (0, 1) has a unique solution u ∈ Wq2 (0, 1) and the estimate ||u||Wq2 (0,1) + |λ|||u||Lq (0,1) ≤ C()||f ||Lq (0,1) is true. Hence, all complex numbers inside the angle (9) with sufficiently large moduli, belong to ρ(Ac ) and the operator L from Wq2 (0, 1) onto L2 (0, 1) ⊕ C2 is an isomorphism. It remains to prove the estimate (7). Consider, in the space L2 (0, 1) ⊕ C2 , an operator S which is defined by the equalities D(S) := D := (u, v) : u ∈ Wq2 ((0, 1); Cν = 0, ν = 1, 2) , v ∈ C2 , S := L−1 P L.

Since AΛ = 0, then by lemma (1), we obtain I −Λ − A−1 A 0 I Λ + A−1 c Λ c Λ S= = 0 I Bt 0 0 I

S11 S12 S21 S22

where operators A, B, Λ, A−1 c are defined as above and t S11 = A − ΛB t − A−1 c ΛB , t t −1 t t −1 −1 t −1 S12 = Λ − ΛB t Λ − A−1 c ΛB Λ − ΛB Ac ΛB Λ − ΛB Ac Λ − Ac ΛB Ac Λ,

S21 = B t and S22 = B t Λ + B t A−1 c Λ.

6

A. Aibeche and A. Favini Write the operator S in the form S = S0 + S1 where A 0 S0 = Bt BtΛ

and S1 =

1 1 S11 S12 1 1 S21 S22

where 1 t S11 = −ΛB t − A−1 c ΛB , 1 t t −1 t t −1 −1 t −1 S12 = Λ − ΛB t Λ − A−1 c ΛB Λ − ΛB Ac ΛB Λ − ΛB Ac Λ − Ac ΛB Ac Λ, 1 1 S21 = 0 and S22 = B t A−1 c Λ.

D(S0 ) := D(S1 ) := D(S) := D. To find the resolvent of the operator S0 , we consider the equation (λI − S0 )(u, v)t = (f, g)t ,

(10)

where (f, g) ∈ Lq (0, 1) ⊕ C2 . From (10) we have the system (λI − A)u = f t

t

(11) t

(12)

C1 u = C2 u = 0.

(13)

B u + (λI − B Λ)v

t

= g

From Theorem [6, Thm 4.2.2/1, p.207], the problem (11, 13) (λI − A)u = f C1 u = C2 u = 0. has a unique solution for λ ∈ ` and |λ| → ∞, from coerciveness estimate 1

||u||Wq2 (0,1) + |λ| 2 ||u||Lq (0,1) + |λ|||u||Lq (0,1) ≤ C()||f ||Lq (0,1)

(14)

for the solution the estimates ||u||Lq (0,1) ≤ C()|λ|−1 ||f ||Lq (0,1) for λ ∈ `, |λ| → ∞.

(15)

||u||Wq2 (0,1) ≤ C()||f ||Lq (0,1) for λ ∈ `, |λ| → ∞.

(16)

hold. Now, before solving the equation (12), let us look to the equation (λI − B t Λ)ht = g t .

(17)


7

The function w := Λht = Λ1 ht1 + Λ2 ht2 , by definition of the operator Λ, is a solution to the problem  Aw = 0  λC1 w − B1 w = g1  λC2 w − B2 w = g2 . By direct calculation we obtain 1 λ+γ+β β w(x) = (g2 − g1 )x + g1 − g2 . γ+λ λ+γ λ+γ

From (17), we obtain that ht = λ1 (g t + B t w), and by the way, we have the estimate C kht k ≤ |λ| kg t k for λ ∈ `, |λ| sufficiently large. Then ht = R(λ, B t Λ)g t for λ ∈ `, |λ| → ∞, this implies that for these λ the equation B t u + (λI − B t Λ)v t = g t has a unique solution given by v t = R(λ, B t Λ)g t − R(λ, B t Λ)B t u which can be written in the form v t = R(λ, B t Λ)g t − R(λ, B t Λ)B t R(λ, Ac )f.

(18)

Then, we have kR(λ, S0 )(f, g t )kLq (G)⊕C2 ≤ C kukLq (G) + kvkC2

(19)

≤ C kR(λ, Ac )f kLq (G) + kR(λ, B t Λ)g t kC2 +kR(λ, B t Λ)B t R(λ, Ac )f kC2 .

Substituting (15), (18) into (19), we obtain

kR(λ, S0 )(f, g t )kLq (G)⊕C2 ≤ C |λ|−1 kf kLq (G) + |λ|−1 kgkC2

Consequently

(20)

+kR(λ, B t Λ)kB(Wq2 (0,1),C2 ) × kB t kB(Wq2 (0,1),C2 ) ×kR(λ, Ac )kB(Lq (0,1),Wq2 (0,1) × kf kLq (0,1) ≤ C|λ|−1 kf kLq (0,1) + kgkC2 . kR(λ, S0 )k ≤ C|λ|−1 ,

λ ∈ `,

|λ| → ∞.

(21)

The operator Λ from C2 into Wq2 (0, 1) is bounded. Then the operator S1 from Wq2 (0, 1) ⊕ C2 into Lq (0, 1) ⊕ C2 is compact. Consequently, by virtue of Lemma [6, 1.7.4/3, p.44] and Lemma [6, 1.2.9/1, p.12], it follows from (21) that kR(λ, S)k ≤ C|λ|−1 ,

λ ∈ `,

|λ| → ∞.

(22)

8

A. Aibeche and A. Favini Since (λI − S)R(λ, S) = I, then from (22), we have kR(λ, S)k ≤ |λ|kR(λ, S)k + 1 ≤ C,

λ ∈ `,

A solution of the equation (6) has the form u f = R(λ, P ) t C tu g

|λ| → ∞.

(23)

(24)

where u ∈ Wq2 (0, 1) is a solution of (1), (2), (3). Since P = LSL−1 , then R(λ, P ) = LR(λ, S)L−1 . Consequently, (24) implies that a solution of (6) has the form u −1 f = LR(λ, S)L . (25) Ct gt From (25, 24), by virtue of Lemma (1) and (23), for a solution of problem (1), (2), (3) we have the desired coerciveness estimates.

References [1] A. Favini, G. Ruiz Goldstein, J.A. Goldstein, E. Obrecht and S. Romanelli, The Laplacian with generalized Wentzell boundary conditions, Evolution equations: applications to physics, industry, life sciences and economics (Levico Terme, 2000), 169–180, Progr. Nonlinear Differential Equations Appl., 55, Birkhuser, Basel, 2003. [2] A. Favini, G. Ruiz Goldstein, J.A. Goldstein, E. Obrecht and S. Romanelli, General Wentzell boundary conditions and analytic semigroups on W 1,p (0, 1), Appl. Anal. 82 (2003), no. 9, 927–935. [3] A. Favini, G. Ruiz Goldstein, J.A. Goldstein, E. Obrecht and S. Romanelli, General Wentzell boundary conditions, differential operators and analytic semigroups in C[0, 1].,Bol. Soc. Parana. Mat. (3) 20 (2002), no. 1-2, 93–103 (2003). [4] S. Y. Yakubov, Completeness of Root Functions of Regular Differential Operators, Longman Scientific and Technical, New York, 1994. [5] S. Y. Yakubov, Abel Basis of Root Functions of Regular Boundary Value Problems, Math. Nachr. 197, 1999, pp. 157–187. [6] S. Y. Yakubov and Y. Y. Yakubov, Differential-Operator Equations. Ordinary and Partial Differential Equations, CRC Press, New York, 1999.


Chapter 2

T WO C LASSES OF M ODELS FOR OVERDISPERSED C OUNT D ATA∗ C.C. Kokonendji1†, C.G.B. Demétrio2 and S. Dossou-Gbété3 1 Université de Pau et des Pays de l’Adour, Laboratoire de Mathématiques Appliquées - CNRS, Département STID, Avenue de l’Université, 64000 Pau, France 2 University of São Paulo - ESALQ, Caixa Postal 9, 13418-900 Piracicaba - SP, Brazil 3 University of Pau - LMA, Avenue de l’Université, 64000 Pau, France

Abstract We investigate two classes of exponential dispersion models for overdispersed count data with respect to the Poisson distribution. The first is a class of Poisson mixture with positive Tweedie mixing distributions. As an approximation of the first in terms of their unit variance functions, the second is a new class of exponential dispersion models characterized by their unit variance functions of the form µ + µp , where p is a real index related to a precise model. These two classes provide some alternatives to the negative binomial distribution ( p = 2) which is classically used in the framework of regression models for count data when overdispersion results in a lack of fit of the Poisson regression model. Some properties are then studied and the pratical usefulness is also discussed.

Keywords: Exponential dispersion model, negative binomial distribution, Poisson mixture, Tweedie family, unit variance function. AMS Subject Classifications: 62E15, 62E17, 60E07 ∗

This work was partially supported by grants from CNPq and FAPESP, São Paulo, Brazil. E-mail address: [email protected]. Phone: +33 559 407 145. Fax:+33 559 407 140; Address for correspondence: Célestin C. Kokonenji, Université de Pau et des Pays de l’Adour, Laboratoire de Mathématiques Appliquées - CNRS, Département STID, Avenue de l’Université, 64000 Pau, France. †

10

1.

C.C. Kokonendji, C.G.B. Demétrio and S. Dossou-Gbéte

Introduction and Motivation

The Poisson distribution is well-known to be the classical distribution for count data, but it has only one parameter and its variance is equal to the mean. Since the index of dispersion (i.e. the variance divided by the mean) of Poisson is one, this makes it inadequate for fitting overdispersed count data (e.g. [1]), and raises the question of whether an appropriate twoparameter distribution such as the negative binomial should be used routinely for analysing overdispersed count data. The same problem occurs in the framework of regression models for count data [14], when Poisson distribution does not fit and the observed dispersion is greater than that the predicted by the standard distribution (called overdispersion). It is well known that negative binomial can be understood as a Poisson mixture with gamma mixing distribution, taking into account the heterogeneity in the population. Hougaard et al [4] have considered a large family of mixture distributions, including the Poisson-inverse Gaussian distribution, to improve significantly the fitness to certain data. We will call the Poisson-Tweedie class a completed set of these distributions that we must point out the exact form of its associated “unit variance function” (a term to be made precise). Otherwise, Hinde and Demétrio [3, page 14] propose for overdispersed count data the use of the unit variance function VpHD (µ) = µ + µp , µ ∈ MpHD ⊆ R,

(1)

where p ∈ R fixed, which is also an alternative to negative binomial unit variance function obtained with p = 2 and includes the strict arcsine distribution with p = 3 [9]. We here call the Hinde-Demétrio class the set of all distributions associated to (1). The aim of this work is to provide a complete identification of both the Poisson-Tweedie and the HindeDemétrio classes from their unit variance functions. These classes are sets of two-parameter distributions with an additional index parameter p allowing to identify an appropriate family of these distributions. The following kind of homogeneous data are frequent in marketing, insurance, biometry, financial problems [16]. Recently, Kokonendji and Khoudar [9] consider the data set of Table 1, giving the number Y (k) of policyholders having reported k claims to the company during one year, which are overdispersed (i.e. the sample variance s2 is greater than the sample mean y [1]) and must be fitted by some overdispersed distributions compared to the Poisson P(λ), namely the negative binomial N B(q; λ), strict arcsine SA(q; λ), Poissoninverse Gaussian PIG(q; λ) and generalized Poisson GP(q; λ) distributions. As observed many authors, no single probability law seems to emerge as providing “the” best fit. Thus it is interesting to use a general class of overdispersed laws to fit. In Section 2, we review some basic properties of the general model, called “exponential dispersion models” and, in particular, we present the Tweedie class with unit variance function µp . In Section 3, we describe the possible Poisson mixture distributions with a Tweedie for obtaining the Poisson-Tweedie class. In Section 4, we first classify the Hinde-Demétrio class (1) and we then compare it to the Poisson-Tweedie class. We here precise that there is no relation between the Hinde-Demétrio class (µ + µp ) and the Tweedie class (µp ), except for p = 2. The last section is devoted to concluding remarks and the problem of statistical inference for p to select the adequate model in these classes.

Two Classes of Overdispersed Models

11

Table 1. Fit of automobile claim frequency data in the Central African Republic over 1984 with y = 0.37 and s2 = 0.42 [9, Table 5.2].

k 0 1 2 3 4 ≥5 n b b (q ; λ) df χ2

2.

Y (k) 6984 2452 433 100 26 5 10000

P(λ) 6874.81 2576.05 482.42 60.22 6.07 0.43 10000 (0.37) 3 131.39

Expected N B(q; λ) 7025.87 2337.24 519.56 96.18 18.69 2.46 10000 (0.05;6.9) 2 25.04

frequency SA(q; λ) 7012.25 2461.02 431.77 76.24 16.16 2.56 10000 (0.32;1.1) 2 15.61

PIG(q; λ) 6958.87 2443.26 502.87 80.72 12.48 1.80 10000 (0.77;0.91) 2 34.01

GP(q; λ) 6983.55 2403.39 510.22 86.43 14.70 1.71 10000 (.03;12) 2 27.77

Exponential Dispersion Models

Exponential dispersion models [6] are important in statistical modelling. They have a number of important mathematical properties, which are relevant in pratice. They include several well-known families of distributions as special cases, giving a convenient general framework. Generalized linear models [14] are based on these families of distributions. Let ν be a σ-finite positive measure on the real line R (not necessarily a probability) and define the cumulant function K by K(θ) = ln

Z

exp(θx)ν(dx) R

on its (canonical parameter) domain Θ = {θ ∈ R : K(θ) < ∞}. Assume that both ν and Θ are not degenerate (i.e., ν is not concentrated at one point and the interior of Θ is not empty), then the set of the probability measures P (θ; ν)(dx) = exp{θx − K(θ)}ν(dx) defined for all θ in Θ = Θ(ν) represents a natural exponential family (NEF) generated by ν and denoted F = F (ν) = {P (θ; ν); θ ∈ Θ(ν)}; see [11, Chapter 54]. Given a NEF, we define the set Λ of reals λ > 0 such that λK(θ) is also the cumulant function for some measure νλ . For fixed λ ∈ Λ, the NEF Fλ = F (νλ ) generated by νλ is then exp{θx − λK(θ)}νλ(dx), for θ ∈ Θ. This family of distributions, denoted ED(θ, λ) for (θ, λ) ∈ Θ × Λ, is called the exponential dispersion model (EDM) generated by ν (or νλ for improper notation); and λ can be called the dispersion parameter. Its density or mass function with respect to some measure η can be written as C(x; λ) exp{θx − λK(θ)}, x ∈ S ⊆ R,

(2)

where νλ (dx) = C(x; λ)η(dx). Note that ED(θ, λ) defined by (2) is the additive version of EDM. The reproductive version of X ∼ ED(θ, λ) is given by Z = X/λ. However, additive EDMs turn out to be important for discrete data because many usefull families of discrete

12

C.C. Kokonendji, C.G.B. Demétrio and S. Dossou-Gbéte

distributions have this form. Any EDM satisfies ED(θ, λ1) ∗ ED(θ, λ2) = ED(θ, λ1 + λ2), so the family is closed under convolution and {1, 2, · · ·} ⊆ Λ. Also the model is infinitely divisible if and only if Λ = (0, ∞). In the interior of Θ, denoted intΘ, the cumulant function θ 7→ K(θ) is strictly convex. Then the expectation and variance of X ∼ ED(θ, λ) are E(X) = λK 0(θ)

and Var(X) = λK 00(θ),

(3)

where K 0(θ) and K 00(θ) are, respectively, the first and second derivatives of K at the point θ. From (3) with λ = 1, the characterizing function V defined on the domain M = K 0(intΘ) such that K 00(θ) = V {K 0(θ)} is called unit variance function. We also have V (µ) = 1/ψ 0(µ), for µ ∈ M , where ψ = (K 0)−1 is the inverse function of K 0 . Note that M depends only on the family F = { ED(θ, 1) : θ ∈ Θ}, and not on the choice of the generating measure ν of F . If M = Ω, where Ω denotes the interior of the convex hull of the support S of F , the family F is said to be steep. The role of the unit variance function in data fitting should be to identify an appropriate EDM of distributions, if any. The reparametrization by unit mean µ = K 0 (θ) = µ(θ) allows us to write the EDM as follows: {ED(µ(θ), λ); µ(θ) ∈ M, λ ∈ Λ} ≡ EDM (µ, λ). It is sometimes considered the reparametrization of the EDM by the mean m = E(X) = λ K 0(θ) = m(λ, θ) instead of the unit mean µ = µ(θ). From (3), the unit variance function V leads to the variance Vλ = Var(X) of X ∼ ED(θ, λ) in terms of m, called variance function and expressed as follows: Vλ(m) = λV (m/λ), for all m ∈ λM . We conclude by the fact that discrete overdispersed EDM compared to the Poisson distribution must satisfy V (µ) > µ, µ > 0,

(4)

where V (µ) = µ is the unit variance function of the Poisson model [7].

2.1. Tweedie EDMs A complete description of the EDMs with power unit variance functions VpT (µ) = µp , p ∈ (−∞, 0] ∪ [1, ∞),

(5)

is given by Jørgensen [6] where, for p → ∞ the corresponding unit variance function takes T (µ) = exp(βµ) , β 6= 0. This class called the Tweedie class the exponential form V∞ is introduced by Tweedie [15]. Instead of p, it is also convenient to introduce the index parameter α of stable distribution: (p − 1)(1 − α) = 1.

(6)

According to the above notations, we can denote by Tp(θ, λ) any distribution of this class where p and α are connected by (6), λ ∈ (0, ∞) = Λ for all p of (5), µ ∈ Mp =

Two Classes of Overdispersed Models

13

Table 2. Summary of Tweedie EDMs [6]. Distribution Extreme stable Normal [ Do not exist ] Poisson Compound Poisson Gamma Positive stable Extreme stable

p p existe sur ∆n \ A et soit de masse finie. Alors l’extension triviale Te de T par zéro au dessus de A existe, et c’est un courant positif fermé. Ce théorème répondait à une conjecture de [Si] sur le prolongement des courants positifs fermés avec condition sur les tranches. Le but de ce travail est de démontrer le théorème principal, sur le prolongement d’un courant négatif Psh avec condition sur les tranches

Théorème principal (III-1). Soit A un sous ensemble fermé pluripolaire complet, du polydisque unité ∆n de Cn . Soit T un courant négatif P sh (ddc T ≥ 0) de bidimension (p, p) dans ∆n \ A tel que : 1 ≤ p ≤ n et soit k ∈ N tel que : 1 ≤ k ≤ p. Supposons que : a) Il existe 0 ≤ r < 1 tel que T soit de masse localement finie au voisinage des points de {z ∈ ∆n tel que r < |z 00 |} , z = (z 0 , z 00 ) ∈ ∆k × ∆n−k . b) Il existe un ensemble non pluripolaire F ⊂ ∆k tel que pour tout a ∈ F , la tranche < T, π, a > existe sur ∆n \ A et soit de masse finie. Alors l’extension triviale Te de T par zéro au dessus de A existe, et c’est un courant négatif P sh. c T = ddc T e + S où S est un courant négatif fermé porté par A. ] De plus on a : dd Ce théorème généralise le théorème (0-1) de [B.M-EL3].

Dans la première partie du paragraphe II de ce travail nous démontrons une inégalité de type [C.L.N] pour un courant positif (ou négatif) psh, qui généralise l’inégalité obtenue par [S]. Théorème (I-2 partie1). Soit T un courant positif ou négatif Psh (ie ddc T ≥ 0) de bidimension (p, p), dans un ouvert Ω1 ⊂ Cn tel que : 1 ≤ p ≤ n. Et soient v1 , ..., vq des fonctions P sh de classe C 2 dans Ω, avec 1 ≤ q ≤ p, et soient K, L deux compacts de Ω1 o

tel que : K ⊂ L , alors il existe une constante CK,L telle que : ||T ∧ddc v1 ∧...∧ddc vq ||K ≤ q Y CK,L (||T ||L ) ||vj ||∞ (L). j=1

Ce théorème généralise l’inégalité de [C-L-N] pour un courant positif fermé. Dans la partie 2 du paragraphe II, nous montrons une inégalité de type Oka [Ok] pour un courant positif psh généralisant l’inégalité obtenue par [BM-El3] pour un courant positif de ddc -négatif. De plus l’inégalité obtenue réste valable en omettant un sous-ensemble pluripolaire complet généralisant aussi celle de [BM-El3]. Proposition (II-1 partie 2). Soit T un courant positif Psh (ie ddc T ≥ 0) de bidimension (p, p) dans un ouvert O ⊂ Cn tel que : 1 ≤ p ≤ n , et soit v une fonction P sh de classe C 2 , v ≥ −1 dans O tel que : O0 = {z ∈ O tel que v(z) < 0} soit relativement compact dans O. Soit K ⊂ O0 , un compact et soit CK = − sup v(z); alors pour tout entier z∈K

1 ≤ s ≤ p et toute fonction u P sh C 2 quelconque dans O0 , vérifiant −1 ≤ u ≤ 0 on a : Z

c

K

p

T ∧ (dd u) ≤

−s CK

Z

O0

T ∧ (ddc v)s ∧ (ddc u)p−s + CK,O0 ||ddc T ||O0 ||v||s∞ (O0 )

avec CK,O0 une constante positive ne dépendant que de K et de O0 .

Prolongement et Contrôle d’un Courant Négatif Psh par Ses Tranches

53

[B.M-EL3] ont démontré l’inégalité suivante: Z Z −s c p T ∧ (ddc v)s ∧ (ddc u)p−s T ∧ (dd u) ≤ CK K

O0

Pour T courant positif de ddc -négatif.

Le paragraphe III) de ce travail est consacré pour le théorème principal, énoncé cidessus, et le théorème III-4 suivant. Théorème III-4. Soit A un ensemble fermé pluripolaire complet de ∆n , et T un courant positif psh de bidimension (p, p) dans ∆n \ A tel que: k + 1 ≤ p ≤ n. Supposons que: a) Il existe 0 ≤ r < 1 tel que T et ddc T soient de masse localement finie, au voisinage des points de {z ∈ ∆n , r < |z 00 |}. b) Il existe un ensemble non pluripolaire F ⊂ ∆k , tel que pour tout a ∈ F les tranches < T, π, a > et < ddc T, π, a > existent sur ∆n \ A, et soient de masse finie au voisinage des points de A. Alors:l’extension triviale Te de T par zéro au dessus de A existe et c’est un courant positif, c T = ddc T e + S, ] de plus on a: dd où S est un courant positif fermé porté par A. Et comme application on retrouve des résultats sur le prolongement des fonctions psh, démontrés par [El-A] et des résultats sur les fonctions holomorphes.

L’ingrédient essentiel, dans la démonstration du théorème principal est la formule de Tranchage généralisée de [B.M-EL2] que nous rappelons ci-dessous. Théorème 0-2. Soit T un courant positif fermé de bidimension (p, p) dans un voisinage de ∆n , alors il existe un ensemble E pluripolaire dans ∆k indépendant de α1 , tel que: a) ∀a ∈ ∆k \ E , < T, π, a >α1 existe, et ne dépend pas de α1 . b) Soient ϕ ∈ DZp−k,p−k (∆n ) , v P sh localement bornée dans ∆k et ve = voπ, Z on a : (0.1) :

∆n

T ∧ (ddc ve)k ∧ ϕ =

< T, π, a > (ϕ)(ddc v)k .

a∈∆k

La formule (0.1) généralise la formule de Tranchage de [Fe].

n Définition 0-3. XSoit Ω un ouvert de C , un courant T de bidimension (p, q) s’écrit sous la forme: T = TIJ dzI ∧ dzJ où les TIJ sont des distributions. |I|=n−p |J|=n−q

0 T ∈ Dp,p(Ω) est dit faiblement positif si T ∧ iϕ1 ∧ ϕ1 ∧ ... ∧ iϕp ∧ ϕp est une mesure de Radon positive pour tout ϕ1 , ...., ϕp ∈ D(0,1) (Ω). T est dit négatif si −T est positif. T est dit fermé si dT = 0.

Remarque 0-4. Si T est positif alors les distributions TI,J sont des mesures de Radon complexes et les TII sont des mesures de Radon positives. Définition 0-5. On appelle masse de T , la mesure de Radon positive ||T || = X |TIJ | où |TIJ | est la variation totale de la mesure TIJ .

|I|=|J|=n−p

54

Moncef Toujani and Hèdi Ben Messaoud

On appelle mesure trace de T , la mesure de Radon positive σT =

1 4p p!

T ∧ (ddc |z|2 )p .

Remarque 0-6. Il existe une constante c = c(n,p) > 0 telle que: σT ≤ ||T || ≤ c.σT . Pour la suite, nous aurons besoin des notations suivantes: Soient k ∈ N∗ , n ∈ N tels que : 1 ≤ k ≤ n , ∆n = ∆k × ∆n−k , le polydisque unité de Cn = Ck × Cn−k , donc si z = (z1 , ..., zn ) ∈ ∆n nous écrivons z = (z 0 , z 00 ) avec z 0 = (z1 , ..., zk ) ∈ ∆k ; z 00 = (zk+1 , ..., zn ) ∈ ∆n−k , on note : π : Cn → Ck z → z0 la projection de Cn sur Ck .

Définition 0-7. Nous définissons la tranche par π au dessus d’un point a ∈ ∆k , d’un 0 courant T ∈ D(p,p) (∆n ) de bidimension (p, p) , k ≤ p ≤ n et défini dans ∆n comme suit. Soit αZ1 ≥ 0 une fonction mesurable, bornée, à support compact dans Ck , avec

Ck

α1 dλk = 1, d’où la tranche de T en a qu’on note < T, π, a >α1 ,

0 est la limite faible dans D(p−k,p−k) (∆n ) quand elle existe de: 0 z −a 1 1 0k 0 ∗ 0 et β 0 = ddc (|z 0 |2 ), T ∧ π (α1,ε (z − a) k β ) avec α1,ε (z − a) = 2k α1 4 k! ε ε

avec d = ∂ + ∂ et dc = i(∂ − ∂). Donc on a: < T, π, a >α1 = lim T ∧ π ∗ (α1,ε (z 0 − a)β 0k ). ε→0

Remarques 0-8. Le courant < T, π, a >α1 est porté par {a} × ∆n−k . Si < T, π, a >α1 existe, alors < dT, π, a >α1 existe et égale à d < T, π, a >α1 , de même : < ddc T, π, a >α1 existe et égale à ddc < T, π, a >α1 . Si T est à coefficients continues dans ∆n , alors < T, π, a > existe ∀a ∈ ∆k . I Partie 1. Proposition I-1. Soient T un courant positif ou négatif psh de bidimention (p, p) dans un ouvert Ω1 ⊂ Cn tel que 1 ≤ p ≤ n et v1 , ...vq des fonctions psh, de classe C 2 dans Ω1 , o

avec 1 ≤ q ≤ p. Soient K et L deux compacts de Ω1 tels que K ⊂L . Alors il existe une constante positive CK,L qui dépend de K et L seulement telle que: q Y ||T ∧ ddc v1 ∧ ... ∧ ddc vq ||K ≤ CK,L (||T ||L ) ||vj ||∞(L) . (1-1) j=1

RemarqueI-2. Le cas ou les fonctions vi sont psh, localement bornées, reste un problème ouvert. L’inégalité (1-1) pour un courant positif fermé, a été démontrée par [B-T] et [De1]. Cette inégalité améliore aussi une inégalité de [S], où ||dT ||L supposée finie, intervient dans le second membre. [BM − EL4] ont démontré l’inégalité (1-1), pour U potentiel d’un courant positif fermé. Preuve de la proposition I-1. On suppose T positif, on se place dans un ouvert strictement pseudo-convexe (Ω ⊂⊂ Ω1 ), Ω = {z ∈ Ω1 , ρ(z) < 0} tel que ρ est une fonction psh,


55

◦

de classe C ∞ , dans un voisinage de Ω et soit K ⊂ L ⊂⊂ Ω un compact, quitte à faire une récurrence sur q, on peut choisir q = 1. Première étape p>1. On peut supposer que: −M ≤ v ≤ −1 avec M ≥ 1, on pose β = ddc ρ, soit s > 0 petit tel que: L ⊂ Ωs = {ρ < −s}. Soit N2 (|.|) un noyau régularisant sur R2 , et max : (x1 , x2 ) → max(x1 , x2 ), soit maxε = max ∗ N2,ε , avec N2,ε = ε12 N2 ( ε. ), elle est convexe et séparément croissante, posons: ∞ dans un voisinage de Ω, ε petit, w = v dans Ω et wε = maxε ( M ε s s ρ, v), wε est psh C M wε = s ρ dans Ω \ Ω Ms , donc on a: Z Z Z T ∧ ddc v ∧ β p−1 ≤ T ∧ ddc wε ∧ β p−1 ≤ T ∧ ddc wε ∧ β p−1 . Ωs

K

Ω

s 2M

on a: Soit f ∈ D(Ω ), f ≤ 0 et f = ρ sur Ω Z Z T ∧ ddc wε ∧ β p−1 = T ∧ ddc wε ∧ β p−2 ∧ ddc f Ω s Ω s 2M Z2M Z M c p−2 c = T ∧ dd wε ∧ β ∧ dd f − T ∧ β p−1 ∧ ddc f s Ω s Ω s \Ω s 3M 2M Z 3M Z M c p−2 c = f dd T ∧ β ∧ dd wε − T ∧ β p−1 ∧ ddc f s Ω s Ω s \Ω s Z 3M Z 3M 2M M wε ddc f ∧ ddc T ∧ β p−2 − T ∧ β p−1 ∧ ddc f = s Ω s \Ω s Ω s s 3M

3M

s 2M

3M

2M

≤ C||wε ||∞(Ω s ) ||ddc T ||Ω s + M s , s C.||T ||Ω 3M 3M 3M donc on aura: Z C T ∧ ddc wε ∧ β p−1 ≤ M (||T ||Ω s + ||ddc T ||Ω s ), or ||ddc T ||Ω s ≤ c3 ||T ||Ω , 3M 3M 3M s Ω s 2M avec Z c3 > 0, et donc: K

T ∧ ddc v ∧ β p−1 ≤ cK,Ω M (||T ||Ω ),

ie: ||T ∧ ddc v||K ≤ CK,Ω M (||T ||Ω ).

(1-2)

o

o

Soient K et L deux compacts ⊂ Ω1 , tels que K ⊂L et soit Bj0 ⊂⊂ Bj ⊂L un recouvrement fini de K par des boules, donc il suffit de travailler sur deux boules concentriques, on remplace v par v 0 = ||v||v − 2 qui est à valeurs dans [-3,-1] et donc M = 3 d’où (1-2) ∞(L) devient: ||T ∧ ddc v||K ≤ CK,L (||T ||L )||v||∞ (L). Deuxième étape p=1. On se place dans Ω1 × C, soit π1 , la projection de Ω1 × C sur Ω1 , alors le courant π1∗ (T ) est un courant de dimension 2, donc ce courant vérifie les hypothèses du résultat précédent (1-1). On considère la fonction ve = voπ1 (e v est psh, de classe C 2 car π1 est holomorphe et v psh C 2 ), on remplace le compact K par K × {|t| ≤ 1} et Ω par un ouvert strictement pseudoconvexe, à bord lisse ⊂ Ω × {|t| ≤ r0 } contenant K × {|t| ≤ 1} avec r0 > 1 fixé, on aura donc: ||π1∗ (T ) ∧ ddc ve||K×{|t|≤1} ≤ CK,Ω (||π1∗ (T )||Ω×{|t|≤1} ). En général si T est un courant positif de bidimension (p, p) sur Ω1 ⊂ Cn et p ≤ n, il existe C = C(n, p) > 0 tel que:

56 Z

Moncef Toujani and Hèdi Ben Messaoud Z i i T ∧β p (z)∧ dt∧dt. T ∧β p (z)∧ dt∧dt ≤ ||π1∗ (T )||Ω×{|t|≤1} ≤ C. 2 2 Ω×{|t|≤1} Z Ω×{|t|≤1}

D’aprés le théorème de Fubini, il existe C1 > 0 tel que C1

Ω

||π1∗ (T )||ZΩ×{|t|≤1} ≤ CC1

Ω

T ∧ β p (z) ≤

T ∧ β p (z) ≤ C 0 ||T ||Ω ,

on reprend les techniques du cas: p > 1 on trouve le résultat. II Partie 2. Proposition II-1. Soit T un courant positif, psh ie (ddc T ≥ 0) de bidimension (p, p) dans un ouvert O ⊂ Cn , tel que 1 ≤ p ≤ n et soit v une fonction psh de classe C 2 , v ≥ −1 dans O, tel que O0 = {z ∈ O, v(z) < 0} soit relativement compact dans O. Soit K ⊂ O0 , un compact et soit CK = − sup v(z); alors pour tout entier 1 ≤ s ≤ p et z∈K

toute fonction u P sh C 2 quelconque dans O0 , vérifiant −1 ≤ u ≤ 0 on a : Z

c

K

p

T ∧ (dd u) ≤

−s CK

Z

O0

T ∧ (ddc v)s ∧ (ddc u)p−s + CK,O0 ||ddc T ||O0 ||v||s∞ (O0 )

avec CK,O0 une constante positive ne dépendant que de K et de O0 . o

0 Preuve. Soit Ω un ouvert et L un compact Z tels que O ⊂⊂ Ω ⊂⊂L . On désigne par

η(x)ddc T (x) ∧ h(z − x)β n−1 (z − x),

U le potentiel associé à ddc T, U (z) = −Cn

x∈Cn c dd |z|2 , η ∈

o

1 avec Cn > 0 et h(z) = |z|2n−2 , β(z) = D(L), 0 ≤ η ≤ 1 et η ≡ 1 dans Ω, le courant U est négatif de bidimension (p, p) et on a: ddc U = ηddc T + R avec R une forme C ∞ de bidegré (n − p + 1, n − p + 1). Quitte à choisir A > 0 tel que R + Aβ n−p+1 > 0, on peut supposer que la forme R est positive, et donc le courant T − U est positif de ddc négatif dans Ω. Posons CK = − sup v(z), soit s ∈ N tel que 1 ≤ s ≤ p et u une fonction psh, de classe z∈K

C 2 quelconque dansZO0 vérifiant: −1 ≤ u ≤ 0, d’aprés [BM-EL4] on a: Z Z −s c p c p T ∧ (dd u) ≤ (T − U ) ∧ (dd u) < CK (T − U ) ∧ (ddc v)s ∧ (ddc u)p−s . K

O0

K

D’aprés [BM-EL4], ∃C > 0 tel que: Z −U ∧ (ddc v)s ∧ (ddc u)p−s ≤ C||U ∧ (ddc v)s ||O0 ≤ C 0 ||U ||Ω ||v||s∞(Ω) , O0

avec C 0 > 0, d’où on a: Z Z −s T ∧ (ddc u)p ≤ CK K

O0

T ∧ (ddc v)s ∧ (ddc u)p−s + CK,L ||ddc T ||L ||v||s∞ (L).

Proposition II-2. Soit A un ensemble fermé pluripolaire complet d’un ouvert O ⊂ Cn , et T un courant positif, psh ie (ddc T ≥ 0) de bidimension (p, p) dans O \ A, tel que 1 ≤ p ≤ n et soit v une fonction psh de classe C 2 , v ≥ −1 dans O, tel que O0 = {z ∈ O, v(z) < 0} soit relativement compact dans O. Soit K ⊂ O0 un compact, et soit CK = − sup v(z); alors pour tout entier 1 ≤ s ≤ p et z∈K


57

toute fonction u P sh C 2 quelconque dans O0 , vérifiant −1 ≤ u ≤ 0 on a : Z Z −s T ∧ (ddc u)p ≤ CK T ∧ (ddc v)s ∧ (ddc u)p−s + CK,O0 ||ddc T ||O0 \A ||v||s∞ (O0 ) O0 \A

K\A

avec CK,O0 une constante positive ne dépendant que de K et de O0 .

Preuve. Si ddc T est de masse infinie au voisinage de A, alors le résultat est vraie. c T existe et c’est un courant ] Si ddc T est de masse finie au voisinage de A, d’après [El] dd positif fermé. On suit les techniques de la proposition II-1, Soit Ω un ouvert et L un compact tels que: o c ] O0 ⊂⊂ Ω ⊂⊂ L Z . On désigne par U le potentiel associé à dd T , −1 c T (x) ∧ h(z − x)β n−1 (z − x), avec C > 0 et h(z) = ] U (z) = Cn η(x)dd , n |z|2n−2 x∈Cn ddc |z|2 , η ∈

o

β(z) = D(L), 0 ≤ η ≤ 1 et η ≡ 1 dans Ω, le courant T − U est positif de ddc -négatif dans Ω \ A. Z Z Z d’aprés [BM-EL3] on a: −s T ∧(ddc u)p ≤ (T −U )∧(ddc u)p ≤ CK (T −U )∧(ddc v)s ∧(ddc u)p−s . K\A

O0 \A

K\A

D’aprés [BM-EL4], ∃C > 0 tel que: Z Z −U ∧ (ddc v)s ∧ (ddc u)p−s ≤ O0 \A

O0

−U ∧ (ddc v)s ∧ (ddc u)p−s

≤ C||U ∧ (ddc v)s ||O0 ≤ C 0 ||U ||Ω ||v||s∞(Ω) , avec C 0 > 0, d’où on a: Z Z −s c T || ||v||s (L). ] T ∧ (ddc u)p ≤ CK T ∧ (ddc v)s ∧ (ddc u)p−s + CK,L ||dd L ∞ K\A

O0 \A

On Z aura donc: Z −s T ∧ (ddc u)p ≤ CK K\A

O0 \A

T ∧ (ddc v)s ∧ (ddc u)p−s + CK,L ||ddc T ||L\A ||v||s∞ (L).

Pour la suite, nous aurons besoin des notations suivantes: Soit αR1 ≥ 0 une fonction borélienne, à support compact dans la boule unitée de Ck , telle que: Ck α1 dλk = 1, pour 0 1 ε > 0 on pose α1,ε (z 0 ) = ε2k α1 ( zε ), et αε (z) = α1,ε (z 0 ).α2,ε (z 00 ), avec z = (z 0 , z 00 ) ∈ ∆k × ∆n−k , α2 ∈ D(∆n−k ) positive telle R 00 1 que: Cn−k α2 dλn−k = 1, et α2,ε (z 00 ) = ε2(n−k) α2 ( zε ). On note Tε = T ∗ αε . III Partie 3.

On est maintenant en mesure de prouver le théorème principal. Théorème principal III-1. soit A un ensemble fermé pluripolaire complet de ∆n , et T un courant négatif, psh, de bidimension (p,p) dans ∆n \ A supposons que : a) Il existe 0 ≤ r < 1 telle que T soit de masse localement finie au voisinage des points de {z ∈ ∆n /r < |z 00 |}. b) Il existe un ensemble non pluripolaire F ⊂ ∆k tel que pour tout a ∈ F la tranche < T, π, a > existe sur ∆n \ A, et soit de masse finie. Alors: L’extension triviale Te de T par zéro au dessus de A existe, et c’est un courant négatif psh. c T = ddc T e + S où S est un courant négatif fermé porté par A. ] De plus on a: dd Ce théorème généralise un théorème pour un courant positif fermé démontré dans [B.MEL4].

58

Moncef Toujani and Hèdi Ben Messaoud Le lemme suivant est dû à [BM-El4] (prop 3.3).

0 (∆n ) positif avec p ≥ k et soit a ∈ ∆k , alors: Lemme III-2. Soit T ∈ Dp,p si < T, π, a > existe =⇒ lim < Tε , π, a >=< T, π, a > faiblement. ε→o

Preuve du théorème III-1. On adapte les techniques de [B.M-EL4], en s’appuyant sur le lemme d’Égoroff pour palier à l’absence de Monge-Ampère, pour un courant positif ou négatif psh. Soit B = {a ∈ ∆k , < T, π, a > existe}, on a F ⊂ B, pour x ∈]r, 1[, soit Fx = F ∩x∆k , comme une réunion dénombrable d’ensembles pluripolaires est pluripolaire, il existe donc t ∈]r, 1[ tel que Ft soit non pluripolaire. Soit 1 > r0 > r1 > t d’après [Ze], il existe une fonction f psh négative dans r1 ∆n , C ∞ sur r1 ∆n \ A tel que: r1 ∆n ∩ A = {z ∈ r1 ∆n \f (z) = −∞}. Pour j ∈ N∗ , soit ψj ∈ D((r0 ∆n ) \ A) positive, et ψj ≡ 1 au voisinage de r1 ∆n ∩ {f > −2j}, et telle que (ψj )j croit vers la fonction caractéristique de (r0 ∆n ) \ A, soient fj (z) =< T, π, z > (ψj β p−k ), (β = ddc |z|2 ), fε,j (z) =< Tε , π, z > (ψj β p−k ), soit (ε(m))m∈N une suite de ]0, 1]2 et lim ε(m) = m→+∞

(0, 0), telle que: Tε(m) est bien définie au voisinage de Supp(ψj ) pour m ≥ j, d’après le lemme III-1 on a: lim < Tε , π, a >=< T, π, a > faiblement pour tout a ∈ B, et ε→o

on a: || < T, π, a > ||(r0 ∆n )\A = lim

lim fε(m),j (z).

j→+∞ m→+∞

Lemme III- 3. Avec les hypothèses du théorème précédent, il existe un compact K ⊂ r0 ∆k non pluripolaire et M ∈ N tels que: 1) Pour tout z 0 ∈ K, |fj (z 0 )| < M, || < T, π, z 0 > || < M 2) Pour tout j ∈ N∗ la suite fε(m),j converge uniformément sur K vers fj . Preuve. On utilise les techniques de [BM-EL1], Comme || < T, π, a > ||(r0 ∆n )\A = lim lim < Tε(m) , π, a > (ψj .β p−k ) j→+∞ m→+∞

pour tout a ∈ B, alors la fonction a → || < T, π, a > ||(r0 ∆n )\A est une fonction borélienne sur B, donc l’ensemble : H = {a ∈ B ∩ t∆k , || < T, π, a > ||(r0 ∆n )\A < +∞} [ = {a ∈ B ∩ t∆k , || < T, π, a > ||(r0 ∆n )\A < M } M ∈N

est un borélien non pluripolaire, car Ft ⊂ H, il existe M ∈ N tel que: L = {a ∈ B ∩ t∆k , || < T, π, a > ||(r0 ∆n )\A < M } est un borélien non pluripolaire, d’après [B-T] il existe un compact K0 non pluripolaire, (K0 ⊂ L ⊂ r0 ∆k ) tel que ∀a ∈ K0 , < T, π, a > existe sur ∆n \ A, et || < T, π, a > ||(r0 ∆n )\A ≤ M. \ Soit Ej = {z 0 ∈ t∆k ; lim fε(m),j (z 0 ); existe}, et E 0 = Ej , E 0 est un borélien. m→+∞

Soit EM =

\

0

0

j∈N

0

{z ∈ E , fj (z ) < M }, EM est un borélien non pluripolaire, et E = {z 0 ∈

j∈N

EM , lim fε(m),j = fj } est un borélien contenant L, il est donc non pluripolaire et on a m→+∞

K0 ⊂ E. Considérons la fonction définie sur ∆k par: uK0 (z) = sup{u(z), u psh négative sur ∆k et

Prolongement et Contrôle d’un Courant Négatif Psh par Ses Tranches u ≤ −1

sur

59

K0 }, et sa régularisée u∗K0 (z) = lim sup(uK0 (ξ)). ξ→z

u∗K0

u∗K0

D’après [B-T]: est psh sur −1 ≤ ≤ 0 et µK0 = (ddc u∗K0 )k est une mesure non nulle portée par K0 . La fonction z → fε(m),j (z) est continue pour chaque m ∈ N et on a: lim fε(m),j = fj , ∆k ,

m→+∞

d’après le théorème d’Égoroff, pour tout ε > 0 il existe une suite de compacts (Kj )j∈N de K0 tel que Kj ⊂ Kj−1 et 0 < µk0 (Kj−1 ) − µK0 (Kj ) < ε, choisissons cette suite (Kj ) (pour ε fixé) de la maniére suivante: µk0 (Kj ) > µk0 (Kj−1 )(1 − 41j ), \ de telle sorte que fε(m),j converge uniformément sur Kj . On a K = Kj est un compact j

non pluripolaire, et fε(m),j converge uniformément sur K vers fj .

Suite de la démonstration du théorème III-1. Par la formule de tranchage de [B.M-EL2] ou de Federer [Fe] on a:

uε(m),j

=

Z

(r0 ∆n )∩{f >−3j}

Z

Tε(m) ∧ (ddc u∗K )k ∧ ψj β p−k

< Tε(m) , π, z > (ψj β p−k )dµK ZK Z = fε(m),j (z)dµK → fj (z)dµK ≤ M µK (K). =

K

K

car fε(m),j converge uniformément sur K vers fj . Donc il existe mj > 0 tel que ∀m ≥ mj , on a: Z Z |uε(m),j | − | fj (z)dµK | ≤ |uε(m),j − fj (z)dµK | ≤ M. K

K

D’où : Z

r0 ∆n ∩{f >−3j}

−Tε(mj ) ∧ (ddc u∗K )k ∧ ψj β p−k ≤ M + M µK (K) = M1 .

Avec M1 indépendante de j, et donc

Z

r0

∆n ∩{f >−3j}

−Tε(mj ) ∧ (ddc u∗K )k ∧ β p−k ≤ M1 .

Quitte à considérer Tε(mj ) ∧ β p−k , on peut supposer p = k, d’autre part pour a < b deux réels dans ]r, r0 [, on considère la fonction v définie par: 1 00 2 2 n ∗ v(z) = max(u∗K (z), b2 −a 2 (|z | − b )) on a: −1 ≤ v < 0 dans b∆ , v = uK sur 00 {|z | ≤ a}, d’où on a: Z Z b∆n ∩{f >−3j}

+

Z |

−Tε(mj ) ∧ (ddc v)k =

|

−Tε(mj ) ∧ (ddc v)k . {z }

b∆k ×{a≤|z 00 |−3j} J

−Tε (mj ) ∧ (ddc u∗K )k {z }

b∆k ×{|z 00 |−3j}

I

l’intégrale I vérifie I ≤ M1 . Pour l’intégrale J on a T est de masse localement finie,

60


au voisinage des points de C = {z ∈ ∆n \ r < |z 00 |}, donc Tε(mj ) est aussi de masse localement finie, au voisinage d’un ouvert Ωε(mj ) ⊂ C, et on a J ≤ c0 ||T ||C ||v||kC = M 0 , avec c0 une constante strictement positive d’où J ≤ M 0 , et donc on aura: Z b∆n ∩{f >−3j}

−Tε(mj ) ∧ (ddc v)k ≤ M1 + M 0 = M0 . Soit ε(mj ) tel que

{f > −4j} ∩ ∆n ⊂ ∆n \ A, et soit Kj = b∆n ∩ {f > −3j}, d’après la proposition (2-2) de [BM-EL4]Zon a: Z b∆n ∩{f >−3j}

−Tε(mj ) ∧ (ddc u)k ≤ c−s Kj

{f >−4j}∩b∆n

−Tε(mj ) ∧ (ddc v)k ≤ Mo0 , oú Mo0

ne dépend pas de j car cKj = − sup v ≤ 1, et où 1 ≤ s ≤ p, et u une fonction psh de Kj

classe

C2

dans Ωj =

b∆n

∩ {f > −4j} vérifiant −1 ≤ u < 0.

Pour terminer la démonstration du théorème, on utilise le lemme voir [De2]. Lemme III-3. Soit (hm ) une suite de fonctions semicontinues supérieurement sur un ouvert Ω ⊂ Cn , qui décroissent vers une fonction h. Et soit (µm )m une suite de mesures positives qui convergent faiblement vers une mesure µ sur Ω, alors: toute limite faible ν de la suite (hm µm ) vérifie:ν ≤ hµ. preuve. Soit K un compact, pour m0 fixé, il existe (gp )p une suite de fonctions continues, décroissantes tel que ∀x ∈ K, gp (x) & hm0 (x), donc pour m ≥ m0 et p ≥ m0 on a: hm µm ≤ hm0 µm ≤ gp µm , donc ν ≤ gp µ, en utilisant le théorème de convergence monotone, on aura: ν ≤ hm0 µ lorsque p → +∞, et donc ν ≤ hµ lorsque m0 → +∞.

Suite de la démonstration du théorème III-1. On a (µj = −Tε(mj ) ∧ (ddc u)k )j est une suite de mesures positives, qui convergent faiblement vers la mesure positive µ = −T ∧ (ddc u)k , et on a (hj = 1b∆n ∩{f >−3j} )j est une suite de fonctions semicontinues inférieurement, tel que hj % h = 1b∆Zn \A , donc d’après le lemme III-3 on a: Z b∆n \A

−T ∧ (ddc u)k ≤ lim inf j→+∞ avec r0 > r

∆n , quitte à travailler u(z) = |z|2 − 1 on aura: Z G\A

0,

b∆n ∩{f >−3j}

−Tε(mj ) ∧ (ddc u)k ≤ Mo0 . Soit G ⊂⊂

on peut supposer que G ⊂ r0 ∆n , appliquée, avec

−T ∧ β p < +∞, comme T est négatif on aura:

Z

G\A

T ∧ β p < +∞,

c T existe aussi, et ] (β = = k, ) et par conséquent Te existe. D’après [El-D-K] dd c c T = dd T e + S, avec S un courant négatif fermé porté par A. Comme ddc T est ] on a: dd c T est un courant positif, fermé, et donc ddc T e= ] un courant positif fermé d’après [EL], dd c T − S est positif, d’où T e est négatif psh. ] dd

ddc |z|2 , p

Théorème III-4. Soit A un ensemble fermé pluripolaire complet de ∆n et T un courant positif, psh, de bidimension (p, p), avec n ≥ p ≥ k + 1, dans ∆n \ A, supposons que: a) Il existe 0 ≤ r < 1 tel que T et ddc T soient de masse localement finie au voisinage des points de {z ∈ ∆n , r < |z 00 |}. b) Il existe un ensemble non pluripolaire F ⊂ ∆k tel que pour tout a ∈ F les tranches < T, π, a > et < ddc T, πa > existent sur ∆n \ A et soient de masse finie au voisinage des points de A. Alors: l’extension triviale Te de T par zéro au dessus de A, existe et c’est un courant positif,


61

c T = ddc T e + S, ] de plus on a: dd où S est un courant positif fermé porté par A.

Remarque III 5. La condition p ≥ k + 1 est nécessaire. En effet on prend, dans C2 , le +∞ X 1 courant T = max[log(2|z1 |), 0] ddc log|z2 − |, et A = z2 = 0. k k=1

Preuve du théorème III-4. Le courant ddc T est positif, fermé, sur ∆n \A, et vérifie les c T existe, et c’est un courant positif, fermé. Soit ] conditions a) et b), d’après [B.M-EL4] dd c T , posons: Z = U − T, alors Z est un courant ] U le potentiel local associé au courant dd négatif psh en dehors de A et on a: < Z, π, a >=< U, π, a > − < T, π, a > . Comme < T, π, a > existe pour tout a ∈ F, avec F non pluripolaire dans ∆k , d’après [BM-EL4] < U, π, a > existe sauf sur un pluripolaire F1 , donc elle existe pour tout a ∈ F 0 = F \ F1 , avec F 0 non pluripolaire dans ∆k . Comme T est de masse localement finie, au voisinage des points de H1 = {z ∈ ∆n , r < |z 00 |}, Z = U − T aussi, Puisque on a: ||Z||H1 ≤ ||U ||H1 + ||T ||H1 , on sait d’après [BM-EL4] que : ||U ||H1 ≤ C||ddc T ||H2 , avec C une constante positive et H2 un voisinage de H1 dans ∆n . D’où ||Z||H1 ≤ C||ddc T ||H2 + ||T ||H1 . Puisque ||T ||H1 et ||ddc T ||H2 sont finies, on aura: ||Z||H1 finie, d’où Z vérifie les conditions du théorème principal, donc Ze existe et par conséquent Te existe et il est positif, de plus c T = ddc T e+S. ] d’après [El-D-K] il existe un courant S positif fermé, porté par A tel que: dd

Théorème III 6. Soient 0 < r < 1, A un ensemble fermé pluripolaire complet de ∆n et v une fonction psh dans (∆n \ A) ∪ {z ∈ ∆n ; |z 00 | > r}, telle qu’il existe un ensemble non pluripolaire F ⊂ ∆k tel que pour tout a ∈ F , la fonction v(a, .) se prolonge en une fonction psh sur ∆n−k . Alors v se prolonge en une fonction psh dans ∆n .

Preuve. Quitte à travailler avec la fonction ev , on peut supposer v ≥ 0. On considère ^ alors le courant défini par la fonction v. Soit v(a, .) le prolongement psh de v(a, .) alors c c ^ dd v(a, .) est le prolongement du courant dd v(a, .) et donc le courant positif fermé ddc v se prolonge à travers A. Le théorème 3 implique que ve définit un courant positif dans ∆n c v − ddc v g tel que S = dd e ≥ 0 est nul sur {|z 00 | > r} et ses tranches sont nulles au dessus d’un non pluripolaire; S est donc nul et ve est positif psh, donc v se prolonge en une fonction psh dans ∆n . Corollaire III 7. Soient 0 < r < 1, A un ensemble fermé pluripolaire complet de ∆n et f une fonction holomorphe dans (∆n \ A) ∪ {z ∈ ∆n ; |z 00 | > r}, telle qu’il existe un ensemble non pluripolaire F ⊂ ∆k tel que pour tout a ∈ F , la fonction f (a, .) se prolonge en une fonction holomorphe sur ∆n−k . Alors f se prolonge en une fonction holomorphe dans ∆n .

Preuve. On considère les fonctions pluriharmoniques définies sur \ A) ∪ {z ∈ ∆n ; |z 00 | > r} par v1 = Ref , et v2 = Imf . Quitte à travailler avec les fonctions ev1 et ev2 , on peut supposer v1 et v2 positives, alors d’après le théorème (III 6) v1 et v2 ont des prolongements pluriharmoniques ve1 et ve2 sur ∆n . Il en résulte que f admet un prolongement fe = ve1 + ive2 , C ∞ sur ∆n . Comme ∆n \ A est dense dans ∆n , on aura

(∆n

62


∂ fe = 0. Et par conséquent f se prolonge en une fonction holomorphe dans ∆n .

Références

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Chapter 6

A N (Lp, Lq ) V ERSION OF M ORGAN ’ S T HEOREM ´ BLI -T RIM E` CHE H YPERGROUPS ∗ ON C H E Latifa Bou Attour† Faculty of Sciences of Tunis, Department of Mathematics Campus, 1060 Tunis, Tunisia

Abstract We give in this paper an (Lp , Lq ) Version of Morgan’s theorem for ChébliTrimèche Hypergroups (R+ , ∗(A)).

Keywords: Chébli-Trimèche hypergroups - Morgan’s theorem AMS Subject Classifications: 43A62-44A15

1.

Introduction

A famous theorem obtained by Morgan [4] starts that for α > 2 and β = measurable function on R such that for some constants a > 0 and b > 0:

α α−1 ,

if f is a

α β ea|x| f ∈ L∞ (R) and eb|y| fˆ ∈ L∞ (R),

where fˆ is the classical Fourier transform on R of f and L∞ (R) the Lebesgue space, then 1 1 1 f = 0 a.e. if and only if (aα) α (bβ) β > (sin π2 (β − 1)) β . This question has been studied in many situations. S.C.Bagchi and S.K.Ray have proved this theorem, for the Heisenberg group with only a sufficient condition on a and b (see [1]). J.Sengupta has obtained a similar result by using the Radon transform on Riemannian symmetric spaces of non compact type 1 1 with only the sufficient condition (aα) α (bβ) β > 1 (see[5]). In the frame of this work, we establish an (Lp , Lq ) version of Morgan’s theorem for the generalized Fourier transform F on (R+ , ∗(A)). More precisely, we prove that for ∗ †

This work was partially supported by the ”Unité de recherche /./.. E-mail address: [email protected]

64

Latifa Bou Attour

α p, q ∈ [1, +∞], α > 2 and β = α−1 , if f is a measurable function on R+ satisfying the conditions α β eax f ∈ Lp (A(x)dx) and eby F(f ) ∈ Lq (|c(λ)|−2 dλ),

where Lp (A(x)dx) and Lq (|c(λ)|−2 dλ) are Lebesgue spaces on R+ with respectively the 1 1 1 measures A(x)dx and |c(λ)|−2 dλ, then, f = 0 a.e. if (aα) α (bβ) β > (sin π2 (β − 1)) β . The sharpness of this condition is proved for the the Bessel-Kingman and Jacobi hypergroups which are particular cases of Chébli-Trimèche hypergroups (R+ , ∗(A)) of polynomial and exponential growths. Recently, S.Ben Farah and K.Mokni have given an (Lp , Lq ) version of Morgan’s theorem for the real line R and they extend this result to Euclidian space Rn , to the Heisenberg group and to the non compact real Symmetric spaces (see [2]). This work is organized as follows In section 2 we outline some basic definitions and results on Chébli-Trimèche hypergroups (R+ , ∗(A)). In particular we give the main properties of the generalized Fourier transform on (R+ , ∗(A)) which we shall use in the sequel. In the last section, we establish an (Lp , Lq ) version of Morgan’s theorem on ChébliTrimèche hypergroups of exponential and polynomial growths.

2.

Preliminaries on Chébli-Trimèche Hypergroups

2.1.

Chébli-Trimèche Hypergroups (R+ , ∗(A))

Let A be the Chébli-Trimèche function defined on R+ and satisfying the following conditions (see [6] chap.6): i) A(x) = x2α+1 B(x), with α > − 12 , and B an even C ∞ -function on R such that B(x) ≥ 1 for all x ∈ R+ . ii) A is increasing and unbounded. iii)

A0 A

is decreasing on R∗+ =]0, ∞[ and limx→+∞

A0 (x) A(x)

= 2ρ ≥ 0.

iv) There exists a constant γ > 0 such that for all x ∈ [x0 , +∞[, x0 > 0, we have A0 (x) 2ρ + e−γx F (x) if ρ > 0, = 2α+1 −γx F (x) if ρ = 0, A(x) x +e where F is a C ∞ -function bounded together with its derivatives. We consider the Chébli-Trimèche hypergroup (R+ , ∗(A)), associated with the function A. We note that it is commutative with neutral element 0 and the identity mapping is the involution . The Haar measure m on (R+ , ∗(A)) is absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure and can be chosen to have the Lebesgue density A. Remark If the function A is of the form A(x) = x2α+1 with α > − 21 and ρ = 0, (R+ , ∗(A)) is called the Bessel-Kingman hypergroup and if A(x) = 22ρ (shx)2α+1 (chx)2β+1 , with

An (Lp , Lq ) Version of Morgan’s Theorem on Chébli-Trimèche Hypergroups

65

α ≥ β ≥ − 12 , α 6= − 21 and ρ = α + β + 1, (R+ , ∗(A)) is called the Jacobi hypergroup. Let ∆ = ∆A be the differential operator on R∗+ given by ∆=

d2 A0 d , + dx2 A dx

the solutions ϕλ , λ ∈ C, of the differential equation ∆ϕλ (x) = −(λ2 + ρ2 )ϕλ (x), d ϕλ (0) = 1, dx ϕλ (0) = 0. are mutliplicative on (R+ , ∗(A)) in the sense that Z ∀ x, y ∈ R∗+ , ϕλ (t)d(εx ∗ εy )(t) = ϕλ (x)ϕλ (y), R+

where εx is the point mass at x and εx ∗ εy is a probability measure which is absolutely continuous with respect to the measure m and satisfies supp εx ∗ εy ⊂ [|x − y|, x + y]. ˆ + = {ϕλ , λ ∈ R+ ∪ i[0, ρ]}. It is convenient to The dual of (R+ , ∗(A)) is given by R ˆ + with the set of parameters R+ ∪ i[0, ρ]. identify R We recall now some properties of the characters ϕλ of (R+ , ∗(A)) (see[6] chap.6). i) For each λ ∈ C, ϕλ is an even C ∞ -function on R and λ 7→ ϕλ (x) is entire on C.(2.1) ii) For all x ∈ R+ and λ ∈ C such that |Imλ| ≤ ρ we have |ϕλ (x)| ≤ 1.

(2.2)

iii) For all x ∈ R+ and λ ∈ C we have |ϕλ (x)| ≤ ϕiImλ (x) ≤ e|Imλ|x ϕ0 (x).

(2.3)

iv) For all x ∈ R+ we have - If ρ = 0, ϕ0 (x) = 1.

(2.4)

e−ρx

- If ρ > 0, ≤ ϕ0 (x) ≤ C0 (1 + where C0 is a positive constant.

2.2.

x)e−ρx ,

The Generalized Fourier Transform on (R+ , ∗(A))

Notations. We denote by - Lp (A(x)dx), p ∈ [1, +∞], the space of measurable functions f on R+ such that Z 1/p kf kp,A = |f (x)|p A(x)dx < ∞, if p ∈ [1, ∞[, R+

kf k∞,A = ess sup |f (x)| < +∞. x∈R+

(2.5)

66

Latifa Bou Attour

- Lp (|c(λ)|−2 dλ), p ∈ [1, +∞], the space of measurable functions f on R+ satisfying Z 1/p kf kp,c = |f (λ)|p |c(λ)|−2 dλ < ∞, if p ∈ [1, ∞[, R+

kf k∞,c = ess sup |f (λ)| < +∞, λ∈R+

where |c(λ)|−2 is a continuous function on [0, +∞[. The generalized Fourier transform of f in L1 (A(x)dx) is defined by Z ∀ λ ∈ R+ , F(f )(λ) = f (x)ϕλ (x)A(x)dx. R+

Theorem 2.1. Let f be in L1 (A(x)dx) such that F(f ) belongs to L1 (|c(λ)|−2 dλ). Then we have the following inversion formula for the transform F: Z +∞ f (x) = F(f )(λ)ϕλ (x)|c(λ)|−2 dλ a.e. 0

3.

Morgan’s Theorem on (R+ , ∗(A))

In this section we establish an (Lp , Lq ) version of Morgan’s theorem on (R+ , ∗(A)). More precisely we have the following result. α Theorem 3.1. We suppose ρ ≥ 0. Let 1 ≤ p, q ≤ ∞, a > 0, b > 0, α > 2 and β = α−1 such that (aα)1/α (bβ)1/β > (sin π2 (β − 1))1/β , then for all measurable function f on R+ satisfying the conditions α

β

keax f kp,A < +∞ and keby F(f )kq,c < +∞,

(3.1)

we have f = 0. a.e. We need the following lemmas for the proof of this theorem. The first lemma proved in [2] is an Lp -version of the Phragmen-Lindelöff lemma [3]. Lemma 3.1. Let 1 ≤ p ≤ ∞. Suppose that s ∈]1, 2[, σ > 0 and B > σ sin π2 (s − 1). We consider g an even entire function on C such that s

∀ z ∈ C, |g(z)| ≤ cste eσ|(Imz)| , and

s

keB|Rez| g/R+ kp,c < ∞, then g ≡ 0 on C.

(3.2)

(3.3)

An (Lp , Lq ) Version of Morgan’s Theorem on Chébli-Trimèche Hypergroups −1

1

67 1

Lemma 3.2. We suppose ρ ≥ 0. Let 1 ≤ p ≤ ∞, C ∈ ](bβ) β (sin π2 (β − 1)) β , (aα) α [ α and f be a measurable function on R+ such that keax f kp,A is finite, for some a > 0. Then the function F(f ) defined on C by Z F(f )(λ) = f (x)ϕλ (x)A(x)dx, R+

is well defined, even, entire on C and satisfies β /βC β

∀ ξ, η ∈ R, |F(f )(ξ + iη)| ≤ cste e|η|

.

(3.4)

Proof The first assertion follows from Hölder’s inequality by using (2.1) and the derivation theorem under the integral sign. We prove now the inequality (3.4) for ρ ≥ 0. -1st case: ρ > 0. • If p = 1, We deduce from (2.2) and (2.3) that for all ξ, η ∈ R : Z α α |F(f )(ξ + iη)| ≤ eax |f (x)|e−ax e|η|x A(x)dx. R+

By applying the convex inequality |Λθ| ≤ Λ = Cx and θ = |η|/C we obtain |η|x ≤

1 α α |Λ|

+ β1 |θ|β to the positive numbers

Cα α 1 x + |η|β . α βC β

(3.5)

So, for all ξ, η ∈ R: |η|β /βC β

|F(f )(ξ + iη)| ≤ e

Z

α

eax |f (x)|e−(a−C

α /α)xα

A(x)dx,

R+

β /βC β

≤ e|η|

α

keax f k1,A .

• If 1 < p ≤ ∞, α Since eax f ∈ Lp (A(x)dx), we deduce from (2.5) and Hölder’s inequality that for all ξ, η ∈ R : Z 0 α 0 0 0 α |F(f )(ξ + iη)| ≤ C0 ( e−ap x (1 + x)p ep (|η|−ρ)x A(x)dx)1/p keax f kp,A , R+

where p0 is the conjugate exponent of p and C0 > 0. By using the properties of the function A , we have Z 0 0 α 0 (1 + x)p e−ap x ep (|η|−ρ)x A(x)dx ≤ I1 + I2 , R+

(3.6)

68

Latifa Bou Attour where for k > 0: 0

I1 = (1 + k)p A(k) and I2 = M

Z

∞

Z

k

0 α

0

e−ap x ep |η|x A(x)dx,

0

0

0 α

0

ρ) p0 x(|η|+ 2−p p0

(1 + x)p e−ap x e

dx,

k

with M a positive constant. By using (3.5) we obtain Z k 0 0 β β 0 α α I1 ≤ (1 + k)p A(k)ep |η| /βC e−p x (a−C /α) dx, 0

≤

p0 |η|β /βC β

cste e

.

(3.7)

and p0 |η|β /βC β

I2 ≤ M e

p0 |η|β /βC β

≤ Me

∞

Z

Zk ∞

0

0

Cα )xα α

e(2−p )ρx dx,

0

0

Cα )xα α

e(2−p )ρx dx.

(1 + x)p e−p (a− (1 + x)p e−p (a−

0

0

0

Since α > 2 and a −

C α /α

> 0, the right integral is finite. Thus 0

β /βC β

I2 ≤ cste ep |η|

.

(3.8)

We deduce from (3.7) and (3.8) that for all ξ, η ∈ R : β /βC β

|F(f )(ξ + iη)| ≤ cste e|η|

.

We deduce (3.4) from this inequality and (3.6). -2nd case: ρ = 0. From (2.3), (2.4) and Hölder’s inequality, for all ξ, η ∈ R, we have Z ∞ Cα α 0 α 0 |η|β /βC β |F(f )(ξ + iη)| ≤ e ( e−p (a− α )x A(x)dx)1/p keax f kp,A , 0

p0

where is the conjugate exponent of p. By using the properties of the function A and the fact that a − C α /α > 0, the right integral α is finite, and since keax f kp,A < ∞, then we obtain (3.4). ♦ Proof of Theorem 3.1. Let f be a measurable function on R+ which verifies the conditions (3.1). From Lemma 3.2, the function F(f ) is entire on C , even and satisfies the hypothesis (3.2) and (3.3) of lemma 3.1, with s = β, σ = 1/βC β and B = b. As C ∈ ](bβ)−1/β (sin π2 (β − 1))1/β , (aα)1/α [, b verifies the inequality b > βC1 β sin π2 (β − 1). Then from Lemma 3.1, we have F(f )(λ) = 0 on C. Thus ∀ λ ∈ R+ , F(f )(λ) = 0.

An (Lp , Lq ) Version of Morgan’s Theorem on Chébli-Trimèche Hypergroups Using Theorem 2.1, we deduce that f = 0 a.e. This completes the proof.

69 ♦

Now, we show that when (aα)1/α (bβ)1/β < (sin π2 (β − 1))1/β , there are non-zero functions f verifying the conditions (3.1). More precisely we have the following Theorem. Theorem 3.2. i) For the Jacobi hypergroup (R+ , ∗(A)) associated with the function A(x) = sinh2 x and ρ = 1, there exists a non-zero C ∞ -function f on ]0, ∞[ satisfying (3.1). ii) For the Bessel-Kingmann hypergroup (R+ , ∗(A)) associated with the function A(x) = x2 and ρ = 0 there exists a non-zero C ∞ -function f on ]0, ∞[ satisfying (3.1). For the proof of this Theorem, we shall use the same arguments given in the proof of Proposition 5.1, p.15 of [2]. We also need the following lemma proved in ([2], p.7). α Lemma 3.3. Let 1 ≤ p, q ≤ ∞, a > 0, b > 0, α > 2 and β = α−1 . If (aα)1/α (bβ)1/β ≤ (sin π2 (β − 1))1/β , then there are infinitely many measurable even functions on R such that α β ea|x| f ∈ Lp (R) and eb|λ| fˆ ∈ Lq (R),

where ∧ is the classical Fourier transform on R and Lp (R) the Lebesgue space with norm k.kp . Proof of Theorem 3.2. i) In this case we have ∀ x > 0, λ ∈ C∗ , ϕλ (x) =

sin(λx) , λshx

and ∀ λ ≥ 0, |c(λ)|−2 = λ2 . Then, the generalized Fourier transform on this Jacobi hypergroup, is given for f in L1 (A(x)dx) by: Z 4 ∞ ∗ ∀ λ ∈ R+ , F(f )(λ) = f (x)shx sin(λx)dx. (3.9) λ 0 Let a0 , a00 , b0 such that a0 > a00 > a, b0 > b and (a0 α)1/α (b0 β)1/β < (sin π2 (β − 1))1/β . From Lemma 3.3, there exists a non-zero, even measurable function h on R satisfying 0 α 0 β ˆ q < ∞. kea |x| hkp < ∞ and keb |λ| hk (3.10) Let g = h∗k, the classical convolution product of h and an odd, compactly supported C ∞ -function k on R. It’s easy to see, by using the first condition of (3.10), that

70

Latifa Bou Attour ∞ kea |x| gkp < +∞. Then, the function f (x) = g(x) shx is an even C -function on R such that α keax f kp,A < +∞. 00

α

Furthermore, from (3.9) we have F(f )(λ) = λ4 g(λ), where g is an odd, C ∞ -function on R, thus by using the second condition of (3.10) we obtain β

kebλ F(f )kq,c < +∞. ii) In this case we have ∀ x ≥ 0, λ ∈ C∗ , ϕλ (x) = and −2

∀ λ > 0, |c(λ)| then ∀ λ∈

R∗+ ,

1 F(f )(λ) = λ

Z

=

r

sin(λx) , λx 2 2 λ , π

∞

f (x)x sin(λx)dx.

0

By using the same arguments as above with the function g of the i) and the function f (x) = g(x) ♦ x , we show that the conditions (3.1) are satisfied.

References [1] S.C.Bagchi and S.K.Ray. Uncertainty principles like Hardy’s theorem on some Lie groups. J. Austral. Math. Soc. Series A, 65, (1999), 289-302. [2] S.Ben Farah and K.Mokni. Uncertainty principle and (Lp , Lq ) Version of Morgan’s theorem on some Groups. Russian Journal of Mathematical Physics, Vol.10, N3, (2003), 245-260. [3] V.Havin and B.Jöricke. The Uncertainty principle in Harmonic Analysis.A Series of Modern Surveys in Mathematics, (1994),Vol.28.Springer-Verlag Berlin Heidelberg. [4] G.W.Morgan. A note on Fourier transforms. J.London. Math. Soc, (1934),Vol.9, 178-192. [5] J.Sengupta. The Uncertainty principle on Riemannian Symmetric Spaces of the non compact type. Proc.Amer. Math. Soc,(2002),Vol.130, N4, 1009-1017. [6] K.Trimèche.Generalized Wavelets on Hypergroups. Gordon and Breach Science Publishers (1997).

In: Proceedings of the Tunisian Mathematical Society... ISBN 1-60021-014-7 c 2007 Nova Science Publishers, Inc. Editor: K. Triméche and S. Zarati, pp. 71-87

Chapter 7

D ISTRIBUTIONAL JACOBI -D UNKL T RANSFORM AND A PPLICATIONS Hassen Ben Mohamed and Hatem Mejjaoli Faculty of Sciences of Tunis, Department of Mathematics Campus, 1060 Tunis, Tunisia Abstract In this paper, we study the Jacobi-Dunkl transform on new spaces of distributions. Boundedness, uniqueness, smoothness, and inversion theorems are established for this transform. Finally we give some applications.

Keywords: Jacobi-Dunkl operator, Jacobi-Dunkl transform. AMS Subject Classifications: 46F12.

1.

Introduction

F.Chouchane, M.Mili and K.Trimèche [4] introduced the Jacobi-Dunkl transform Fα,β given by Z Fα,β (f )(λ) = ψλα,β (x)f (x)Aα,β (x)dx, λ ∈ R, R

ψλα,β

where for every λ ∈ C, I (

represent the unique solution of the system

Λα,β ψλα,β (x) = −iλψλα,β (x), λ ∈ C, I α,β = 1, ψλ (0)

(1)

and Λα,β denotes the differential-difference operator on R, given by Λα,β f (x) =

d f (x) − f (−x) f (x) + [(2α + 1) coth x + (2β + 1) tanh x] , dx 2

−1 with α ≥ β ≥ −1 2 , α 6= 2 . This operator is called the Jacobi-Dunkl operator (see [4]). It can also be written in the form

Λα,β f (x) =

A0α,β (x) f (x) − f (−x) d f (x) + ( ), dx Aα,β (x) 2

(2)

72

Hassen Ben Mohamed and Hatem Mejjaoli

where Aα,β (x) = 22ρ (sinh |x|)2α+1 (cosh |x|)2β+1 , ρ = α + β + 1.(See [4]). We mention that the transform Fα,β has been studied in [4] [5]. Motivated by the studies of J.J.Betancor, J.D.Betancor and J.M.R.Mendez [2], we define in this paper new distribution spaces and we investigate the Jacobi-Dunkl transform on these spaces. As applications, we study an operational calculus for the Jacobi-Dunkl transform and we solve a distributional differential-difference equation. The contents of the paper is as follow In section two we recall some basic facts about Jacobi-Dunkl’s theory. We describe Jacobi-Dunkl operator, Jacobi-Dunkl kernel and we give the main results for the JacobiDunkl transform. We introduce in the third section the new distribution spaces and we give their properties. In the fourth section, we establish boundedness, uniqueness, smoothness, and inversion theorems for the Jacobi-Dunkl transform Fα,β on the new distribution spaces. The fifth section is devoted to study the existence of solutions of an abstract differentialdifference equation. Throughout this paper by C we always represent a positive constant not necessarily the same in each occurrence.

2.

Harmonic Analysis Associated with the Jacobi-Dunkl Operator

In this section we collect some notations and results about the Jacobi-Dunkl operator, the Jacobi-Dunkl kernel and the Jacobi-Dunkl transform (see [4] ).

2.1.

The Jacobi-Dunkl Kernel

Theorem 1 The differential-difference equation Λα,β u(x) = −iλu(x), λ ∈ C, I u(0) = 1, admits a unique C ∞ - solution ψλα,β on R given by ( (α,β) d (α,β) ϕµ (x), ϕµ (x) + λi dx α,β ψλ (x) = 1, (α,β)

with λ2 = µ2 + ρ2 and ϕµ

if if

(3)

λ ∈ C\{0}, I λ = 0,

(4)

the Jacobi function given by

ϕ(α,β) (x) = 2 F1 ( µ

% + iµ % − iµ , ; α + 1; −(sinh x)2 ), 2 2

where 2 F1 is the Gauss hypergeometric function (see [4],[9]).

(5)

Distributional Jacobi-Dunkl Transform and Applications

73

Remark. The function ψλα,β is called Jacobi-Dunkl kernel. Using the relation (α,β)

∀ x ∈ R,

dϕµ (x) µ2 + %2 =− sinh x cosh xϕ(α+1,β+1) (x), µ dx 2(α + 1)

(6)

the function ψλα,β can be written in the form ∀ x ∈ R, ψλα,β (x) = ϕ(α,β) (x) + 4i(α + 1)λ sinh(2x)ϕ(α+1,β+1) (x). µ µ

(7)

Theorem 2 For all x ∈ R\{0} and λ ∈ C, I the function ψλα,β has the Laplace integral representation Z |x| α,β ψλ (x) = K(x, y)e−iλy dy, (8) −|x|

where K(x, .) is a positive function on R, continuous on ]−|x|, |x|[, supported in [−|x|, |x|] and for |y| < |x|, we have ! Z |x| sgn(x) ∂ 1 K(t, y)Aα,β (t)dt , (9) K(x, y) = K(|x|, y) − 2 2Aα,β (x) ∂y |y| where K is given by the relation ∀ x > 0,

ϕ(α,β) (x) µ

=

Z

x

K(x, y) cos(µy)dy.

0

The next proposition give some properties of the Jacobi-Dunkl kernel. Proposition 3 i) We have ∀ x ∈ R\{0},

Z

K(x, y)dy = 1.

(10)

R

ii) For all n ∈ IN , x ∈ R and λ ∈ C, I we have |

dn α,β ψ (x)| ≤ |x|n e|Imλ||x| . dλn λ

(11)

iii) For all n ∈ IN , there exists a constant Cn > 0 such that ∀ x ∈ R, λ ∈ R\{0}, |

dn α,β (1 + ρ + |λ|)n+2 −%|x| ψ (x)| ≤ C (1 + |x|) e . n dxn λ |λ|

(12)

iν) Let G = {(λ, µ) ∈ C I 2 /λ2 = µ2 + ρ2 , (Reλ)2 + 2ρ|Imλ| > (Reµ)2 }. There there exists a constant M > 0 such that for all x ∈ R and (λ, µ) ∈ G, we have |Imµ| − ρ < |Imλ|.

(13)

|ψλα,β (x)| ≤ M (1 + ρ)(1 + |λ|−1 )(1 + |x|)e(|Imµ|−ρ)|x| .

(14)

74


2.2.

The Jacobi-Dunkl Transform

Notations. We denote by • Lpα,β (R), the space of measurable functions on R such that Z 1 ||f ||p,α,β = ( |f (x)|p Aα,β (x)dx) p < +∞, if 1 ≤ p < +∞, R

||f ||∞,α,β = ess supx∈R |f (x)| < +∞. • Lpcα,β ([0, +∞[), the space of measurable functions on [0, +∞[ such that Z 1 dx ||f ||p,cα,β = ( |f (x)|p ) p < +∞, if 1 ≤ p < +∞, 2 2π|cα,β (x)| [0,+∞[ ||f ||∞,cα,β

= ess supx∈[0,+∞[ |f (x)| < +∞,

where cα,β (µ) =

2ρ−iµ Γ(α + 1)Γ(iµ) , µ ∈ C\{iI I N }. Γ( 12 (ρ + iµ))Γ( 12 (α − β + 1 + iµ))

(15)

• Lpσ (R), p ≥ 1 the space of measurable functions f on R such that Z 1 ||f ||p,σ = ( |f (x)|p dσ(x)) p < +∞, R

where dσ is the measure given by dσ(λ) =

|λ|dλ p p 1R\]−ρ,ρ[ (λ)dλ. 2 2 8π λ − ρ |cα,β ( λ2 − ρ2 )|

(16)

Here 1R\]−ρ,ρ[ is the characteristic function of R\] − ρ, ρ[. • D(R), the space of C ∞ -functions on R with compact support. • D0 (R), the space of distributions on R. It is the topological dual of D(R). • H(I C), the space of entire functions on C, I rapidly decreasing of exponential type. • S r (R), 0 < r ≤ 1, the generalized Schwartz space defined by S r (R) = (cosh x)

−2% r

S(R),

with S(R) designate the classical Schwartz space. r , (m, n) ∈ IN 2 , where The topology of the space S r (R) is given by the seminorms Pm,n r Pm,n (f ) =

sup x∈R 0≤k≤n

2%

(cosh x) r (1 + x2 )m |

dk f (x)| < +∞. dxk

• Ωε(r) = {z ∈ C/|Imz| I ≤ ε(r)}, ε(r) = 2( 1r − 1)%, 0 < r ≤ 1. • S(Ωε(r) ), 0 < r ≤ 1, the extended Schwartz space of functions h that are analytic in


75

the interior of Ωε(r) and such that h together with all its derivatives extended continuously to Ωε(r) and satisfy ε ∀ (m, n) ∈ IN 2 , τm,n (h) = sup [(1 + |λ|m )|h(n) (λ)|] < +∞. λ∈Ωε(r)

• S(ε(r)), 0 < r ≤ 1, the space of C ∞ -functions f on R such that ∀ m, n ∈ IN, Qrm,n (f ) =

[eε(r)|x| (1 + x2 )m |

sup x∈R 0≤k≤n

dk f (x)|] < +∞. dxk

The topology of this space is given by the seminorms Qrm,n , (m, n) ∈ IN 2 . Definition 4 The Jacobi-Dunkl transform of a function f in D(R) is defined by Z ∀λ ∈ C, I Fα,β (f )(λ) = f (x)ψλα,β (x)Aα,β (x)dx.

(17)

R

Theorem 5 i) (Plancherel formula) Z Z ∀ f ∈ D(R), |f (x)|2 Aα,β (x)dx = |Fα,β f (λ)|2 dσ(λ). R

(18)

R

ii) (Plancherel Theorem) The Jacobi-Dunkl transform Fα,β extends uniquely to an unitary isomorphism from L2α,β (R) onto L2σ (R). Theorem 6 Let f be in L1α,β (R) such that Fα,β (f ) belongs to L1σ (R), then we have the following inversion formula Z α,β f (x) = Fα,β f (λ)ψ−λ (x)dσ(λ), a.e. x ∈ R. (19) R

Proposition 7 Let f be in E(R). Then i)For all n ∈ IN ∗ and K > 0, there exists kn ∈ IN and C > 0 satisfying the following: For all x ∈ [−K, K] there exists ξj = ξj (x, n), j = 0, 1, ..., kn such that |Λnα,β f (x)|

kn n n−1 n X X X X (i) (i) ≤ C( |f (x)| + |f (−x)| + |f (i) (ξj )|). i=0

i=0

(20)

i=0 j=0

ii) For all n ∈ IN ∗ and K > 0, there exists a positive constant C > 0 such that for all x ∈ K with |x| > R: |Λnα,β f (x)|

n n−1 X X (i) ≤ C( |f (x)| + |f (i) (−x)|). i=0

iii)Let g be in D(R) and n ∈ IN , we have Z Z n n Λα,β f (x)g(x)Aα,β (x)dx = (−1) f (x)Λnα,β g(x)Aα,β (x)dx. R

(21)

i=0

R

(22)

76


Theorem 8 The Jacobi-Dunkl transform Fα,β on R is a topological isomorphism i) From D(R) onto H(I C) ii) From S r (R) onto S(Ωε(r) ), 0 < r ≤ 1. The inverse transform is given by Z α,β −1 ∀ x ∈ R, Fα,β (f )(x) = h(λ)ψ−λ (x)dσ(λ).

(23)

R

Definition 9 Let T be in (S(Ωε(r) ))0 , the topological dual space of S r (R). The JacobiDunkl transform Fα,β T of T is defined by hFα,β T, Fα,β φi = hT, φi, φ ∈ S r (R).

3.

(24)

The Spaces Hχ of Functions and Their Dual Let χ be a continuous differentiable function on R which is zero free on R and satisfies χ(x) = o(x−3 ), as |x| → ∞ χ0 (x) = o(x−3 ), as |x| → ∞.

Notation We denote by Hχ the space of functions φ in E(R), such that ∀ m ∈ IN, pm (φ) = sup |χ(x) x∈R

dm φ(x)| < ∞. dxm

The topology of this space is given by the seminorms {pm }m∈IN . Standard arguments allow us to see that Hχ is a Fréchet space. We now give an alternative description of the space Hχ that will be useful in the sequel. Proposition 10 Let φ be in E(R). Then φ ∈ Hχ if and only if, for every m ∈ IN , qm (φ) = sup |χ(x)Λm α,β φ(x)| < ∞. x∈R

Moreover, the system of seminorms {qm }m∈IN generates the topology of Hχ . Proof. Suppose first that φ ∈ Hχ . Then, according to Proposition 2.7, it is easy to see that for all m ∈ IN, there exists a positive constant Cm such that qm (φ) ≤ Cm pm (φ).

(25)

∀m ∈ IN, qm (φ) < +∞.

(26)

Then This implies that {qm }m∈IN defines on Hχ a topology weaker than the one associated with {pm }m∈IN . Reciprocally, we consider φ in E(R) satisfying the condition (26). From (2) we obtain ∀ x ∈ R , |x| ≥ 1, |χ(x)||Λα,β φ(x) − φ0 (x)| ≤ Cq0 (φ).


77

d On the other hand since q1 (φ) < +∞ and as the function x 7−→ χ(x) dx φ(x) is bounded d on [−1, 1] , we deduce that the function x 7−→ χ(x) dx φ(x) is bounded on R and then p1 (φ) < +∞. The relation (2) and a proof by induction show that for all n ∈ IN ∗ and x ∈ R∗ , we have

Λnα,β φ(x) = φn (x) +

n−1 X

Pn−i (coth x, tanh x)φ(i) (x)

i=0

Qn−i (tanh x, coth x)φ(i) (−x)),

+

(27)

where Pn−i (., .), and Qn−i (., .) are polynomials of degree n − i with respect each variable. We suppose now that for all j ∈ {0, 1, ..., k − 1} , k ≥ 2, pj (φ) < +∞. Then according (27), we show that for all k ∈ IN, k ≥ 2, there exists a positive constant Ck such that ∀ x ∈ R, |x| ≥ 1,

|χ(x)||Λkα,β φ(x)

k−1 X dk − k φ(x)| ≤ Ck pj (φ). dx j=1

k

d On the other hand for all k ∈ IN, the function x 7−→ χ(x) dx k φ(x) is bounded on k

d [−1, 1] . Then for all k ∈ IN, the function x 7−→ χ(x) dx k φ(x) is bounded on R. Thus ∀k ∈ IN, pk (φ) < +∞.

Moreover, by arguing in a standard way (see [2]) we can see that the families {qk }k∈IN define Fréchet topology on Hχ , then from (25) and the open mapping theorem, {pk }k∈IN and {qk }k∈IN generate the same topology on Hχ . Notation. We denote by Hχ , the closure of D(R) in Hχ . Proposition 11 The space Hχ , does not coincide with Hχ . Proof. We consider the function φ defined by ∀ x ∈ R, φ(x) = 1 + x3 . It is easy to see that ∀k ∈ IN, pk (φ) < +∞. Thus φ belongs to Hχ . On the other hand, if φ is in Hχ , then there exists a sequence (φn )n∈IN in D(R) such that sup [|χ(x)||φn (x) − φ(x)|] → 0, as n → +∞. x∈R

Hence there exists N ∈ IN , such that 1 sup |φN (x) − φ(x)| < . 4 x∈R

78


Since φN is in D(R), there exists C > 0, such that for all x ∈ R satisfying |x| ≥ C we have 1 |φN (x)| < . 4 Then for every x ∈ R such that |x| ≥ C, we obtain 1 |χ(x)| ≤ |χ(x)φ(x)| ≤ |χ(x)| |φ(x) − φN (x)| + |χ(x)| |φN (x)| ≤ |χ(x)|, 2 which is a contradiction.Therefore φ does not belong to Hχ . In the following we give a characterization of Hχ . Proposition 12 Let φ ∈ E(R). Then the following assertions are equivalent i) φ ∈ Hχ . ii)For every m ∈ IN : dm lim χ(x) m φ(x) = 0. dx |x|→+∞

(28)

Proof. i) =⇒ ii) Let φ be in Hχ , then there exists a sequence {φJ }J∈IN in D(R) such that φJ → φ, as J → +∞, in Hχ . Let ε > 0 and m ∈ IN . There exists J ∈ IN , such that for all x ∈ R we have m

dm dm (φ(t) − φJ (t))|] + |χ(x) m φJ (x)| m dx dx t∈R dm ≤ ε + |χ(x) dxm φJ (x)|.

d |χ(x) dx ≤ sup[|χ(x)|| m φ(x)|

Since φJ is in D(R), then ∀ m ∈ IN, lim χ(x) |x|→∞

dm φJ (x) = 0. dxm

Hence, we obtain ∀ m ∈ IN, lim χ(x) |x|→∞

dm φ(x) = 0. dxm

Now we prove that ii) =⇒ i). Let ζ ∈ D(R), such that ζ(x) = 1, |x| ≤ 1 and ζ(x) = 0, |x| ≥ 2. For every n ∈ IN ∗ , we put x2 x ∀ x ∈ R, ζn (x) = ζ( )e− n . n

It is clear that ∀ n ∈ IN ∗ , φζn ∈ D(R). On the other hand, for all j ∈ IN , there exists a positive constant Mj , such that ∀ x ∈ R, |

dj ζn (x) | ≤ Mj . dxj

(29)

Let m ∈ IN ∗ . Leibniz’s rule leads to m

∀ x ∈ R,

m−j φ(x) dj ζ (x) dm φ(x) X dm n j d [(φζ −φ)(x)] = ( ) + (ζn (x)−1) (30) n m dxm dxm−j dxj dxm j=1


79

Then using (29), we deduce that there exists a positive constant Cm , such that m

X dj φ(x) dm ∀ x ∈ R, | m (φζn − φ)(x)| ≤ Cm | | dx dxj j=0

Thus, from this relation and (28), we deduce that for all ε > 0 there exits k > 0, such that for |x| ≥ k we have dm |χ(x) m (φζn − φ)(x)| ≤ ε. dx Moreover, if n > k, we have x2

∀x ∈ [−k, k], ζn (x) = e− n . 0 and C ” , such that Then from (30), there exist two positive constants Cm m

∀ x ∈ R, |χ(x)

0 x2 dm Cm ” (φζ − φ)(x)| ≤ + Cm (1 − e− n ). n m dx n

Hence, there exists p ∈ IN, p > k, such that for all x ∈ R, we have ∀ n ≥ p, |χ(x)

dm (φζn − φ)(x)| ≤ ε. dxm

Thus, we conclude that φζn → φ, as n → +∞ in Hχ . Then the proof is finished. Remark. For 0 < r ≤ 1, the space S r (R) is continuously contained in Hχ . Notations. We put G0 = {(λ, µ) ∈ G ∪ {(0, 0)} and |Imµ| ≤ %} ◦

G0 = {(λ, µ) ∈ G and |Imµ| < %}, where G is the set defined in Proposition 2.3 iν). ◦

We denote by G1 and G1 the following sets defined by ◦

◦

G1 = Π(G0 ) and G1 = Π(G0 ), where Π :C I ×C I →C I (λ, µ) 7→ λ It is clear that R ⊂ G1 ⊂ {λ ∈ C, I |Imλ| ≤ % and|Imλ| ≤ |Reλ|}. ◦

R∗ ⊂ G1 ⊂ {λ ∈ C, I |Imλ| < % and|Imλ| < |Reλ|}. Next we specify conditions in order that for all m ∈ IN , the function belongs to Hχ .

∂ m α,β ∂λm ψλ ,

80


Proposition 13 For all λ ∈ G1 , the function ψλα,β belongs to Hχ . Moreover for every ◦

m ∈ IN ∗ and λ ∈G1 , the function

∂ m α,β ∂λm ψλ

is in Hχ .

Proof. According to Proposition 2.3 and the relation (2), for every m ∈ IN , we can write α,β qm (ψλα,β ) = sup |χ(x)Λm α,β ψλ (x)|, x∈R

≤ |λ|m supx∈R |χ(x)ψλα,β (x)|, ≤ C|λ|m supx∈R |χ(x)|(1 + |x|)e(|Imµ|−%)|x| . Then, from properties of χ and the fact that |Imµ| ≤ % for λ ∈ G1 , we deduce that qm (ψλα,β ) < ∞. Hence ψλα,β ∈ Hχ . We now consider a function ϕ ∈ D(R) such that ϕ(x) = 1, |x| ≤ 1, and ϕ(x) = 0, |x| ≥ 2, and we define, for every n ∈ IN ∗ , ϕn (x) = ϕ( nx ), x ∈ R. We want to prove that ψλα,β ϕn → ψλα,β , as n → ∞, in Hχ . From Proposition 2.3 and Proposition 2.7 there exist δ, C > 0 such that, for every n, m ∈ IN and |x| ≥ δ: α,β α,β (|Imµ|−%)|x| |χ(x)Λm , |x| ≥ δ. α,β (ψλ (x)ϕn (x) − ψλ (x))| ≤ C|χ(x)|(1 + |x|)e

Then, from properties of χ and the fact that |Imµ| ≤ % for λ ∈ G1 , we deduce that for all ε > 0 there exists a > 0 such that for |x| > a: α,β α,β |χ(x)Λm α,β (ψλ (x)ϕn (x) − ψλ (x))| ≤ ε.

Moreover, it is clear that for n ≥ a, we have for |x| ≤ a : α,β α,β χ(x)Λm α,β (ψλ (x)ϕn (x) − ψλ (x)) = 0, .

Thus, we conclude that qm (ψλα,β ϕn − ψλα,β ) → 0, as n → ∞, for every m ∈ IN . This implies that for λ ∈ G1 the function ψλα,β belongs to Hχ . ◦

Now we want to prove that for every m ∈ IN ∗ and λ ∈G1 , the function Hχ . By an easy calculation, we find that there exist j ∈ IN and C > 0 such that |

∂ m α,β ∂λm ψλ

is in

∂ k ∂ m α,β ψ (x)| ≤ C(1 + |x|)|λ|j (% − |Imµ|)−m e(|Imµ|−%)|x| ∂xk ∂λm λ ◦

k

m

α,β ∂ ∂ Then for all λ ∈G1 we have lim|x|→∞ χ(x) ∂x k ∂λm ψλ (x) = 0.

◦

Hence from Proposition 3.3, we deduce that for every m ∈ IN ∗ and λ ∈G1 the function ∂ m α,β ∂λm ψλ belongs to Hχ . Notation. The dual space of Hχ is denoted, by Hχ0 . Remark.

Distributional Jacobi-Dunkl Transform and Applications 81 R Let µ be a complex regular Borel measure on R such that R d|µ|(x) < +∞, where |µ| is the total variation of µ. Let m ∈ IN , the functional T defined on Hχ by Z hT, φi = χ(x)Λm α,β φ(x)dµ(x), φ ∈ Hχ , R

is in Hχ0 . In particular, if f is a measurable function on R such that Z |f (x)| Aα,β (x)dx < ∞, |χ(x)| R then, the functional Lf defined on Hχ through Z hLf , φi = f (x)φ(x)Aα,β (x)dx, φ ∈ Hχ ,

(31)

R

is in Hχ0 . Next, we give a structure formula for the restriction to D(R) of an element T in Hχ0 . Proposition 14 Let T be in Hχ0 . There exist an integer k and a bounded measurable functions g0 , ..., gk on R such that hT, φi =

k Z X p=0

where D =

R

D(χ(x)Λpα,β φ(x))gp (x)dx, φ ∈ D(R),

(32)

d dx .

Proof.From well known results of functional analysis, we can deduce that there exist an integer k and a positive constant C such that |hT, φi| ≤ C max qp (φ) = C max sup |χ(x)Λpα,β φ(x)|, 0≤p≤k Z x 0≤p≤k x∈R ≤ C max sup |D(χ(x)Λpα,β φ(x))|dx, |hT, φi| ≤ C

0≤p≤k x∈R −∞ k Z X p=0

R

|D(χ(x)Λpα,β φ(x))|dx.

Then by applying the Hahn-Banach theorem and the Riesz representation theorem, we deduce that there exist a bounded measurable functions g0 , ..., gk on R such that hT, φi =

k Z X p=0

4.

R

D(χ(x)Λpα,β φ(x))gp (x)dx, φ ∈ D(R).

Distributional Jacobi-Dunkl Transforms

Let T ∈ Hχ0 the topological dual of Hχ . According to Proposition 13, we define the JacobiDunkl transform Fα,β (T ) of T through ∀ λ ∈ G1 , Fα,β (T )(λ) = hT, ψλα,β i.

(33)

82


By Proposition 3.5, there exist k ∈ IN and a bounded measurable functions g0 , ..., gk on R such that k Z X hT, φi = D(χ(x)Λpα,β φ(x))gp (x)dx, φ ∈ D(R). (34) p=0

R

Since the two sides of (34) define elements of Hχ0 then, for every φ in the closure of D(R) in Hχ i.e in Hχ , the relation (34) is also true for φ ∈ Hχ Hence, by (1) and Proposition 13, we can write ∀λ ∈ G1 , Fα,β (T )(λ) = hT, ψλα,β i, k Z X = D(χ(x)Λpα,β ψλα,β (x))gp (x)dx. p=0

R

Then Z k X p ∀λ ∈ G1 , Fα,β (T )(λ) = (iλ) D(χ(x)ψλα,β (x))gp (x)dx. p=0

(35)

R

We now establish the main properties of the Jacobi-Dunkl transform on Hχ0 . Proposition 15 (Boundedness) Let T ∈ Hχ0 . There exist k ∈ IN and C > 0 such that ∀ λ ∈ G1 , |Fα,β (T )(λ)| ≤ C(1 + |λ|)k . Proof.By invoking (35), Proposition 2.3 and properties of χ, for all λ ∈ G1 we get Z k X p [|χ0 (x)| + |χ(x)|(1 + |x|)]e|Imµ|−%)|x| |gp (x)|dx. |Fα,β (T )(λ)| ≤ |λ| R

p=0

Thus there exist k ∈ IN and a positive constant C > 0 such that ∀ λ ∈ G1 , |Fα,β (T )(λ)| ≤ C(1 + |λ|)k . Proposition 16 (Smoothness) Let T ∈ Hχ0 . Then the function Fα,β (T ) is holomorphic in ◦

the open set G1 . Proof. Let T ∈ Hχ0 , from (35) we have ∀ λ ∈ G1 , Fα,β (T ) =

k X p=0

(iλ)p

Z

R

[χ0 (x)ψλα,β (x) + χ(x) ◦

d α,β ψ (x)]gp (x)dx. dx λ

By Propositions 2.3, 3.4 and properties of χ, for all λ ∈ G0 we can differentiate under the integral sign and we obtain Z k X p−1 d [ip(iλ) D(χ(x)ψλα,β (x))gp (x)dx dλ Fα,β (T )(λ) = R p=0 Z d d α,β + D(χ(x) ψ (x))gp (x)dx]. dλ dx λ R


83

◦

Hence Fα,β (T ) is holomorphic in open set G1 . The dual space of S(Ωε(r) ) is denoted by S 0 (Ωε(r) ). Note that is F is a measurable function on R such that |F (x)| ≤ C(1 + |x|)l , x ∈ R, for some C > 0 and l ∈ IN , then F defines an element LF of S 0 (Ωε(r) ) by Z hLF , φi = F (x)φ(x)dσ(x), φ ∈ S(Ωε(r) ). (36) R

The Jacobi-Dunkl transform can be defined on the dual spaces (S r (R))0 and S 0 (Ωε(r) ) by transposition, that is, if T ∈ (S r (R))0 then the Jacobi-Dunkl transform Fα,β (T ) of T is the element of S 0 (Ωε(r) ) defined by −1 hFα,β (T ), φi = hT, Fα,β (φ)i, φ ∈ S(Ωε(r) ).

(37)

Since, for every 0 < r ≤ 1, S r (R) is contained in Hχ , the space Hχ0 is contained in Hence, if T ∈ Hχ0 we can define the Jacobi-Dunkl transform Fα,β (T ) of T in two apparently different ways, namely, by (24) and by (33). In the following proposition we prove that both definitions coincide. (S r (R))0 .

Proposition 17 Let T ∈ Hχ0 . Then Fα,β (T ) defines an element of S 0 (Ωε(r) ). Moreover, for every φ ∈ S(Ωε(r) ), −1 hLFα,β (T ) , φi = hT, Fα,β (φ)i. Proof. Let T ∈ Hχ0 . According to Proposition 4.1, Fα,β (T ) defines an element of S 0 (Ωε(r) ). By (36), we have to prove that Z Fα,β (T )(x)φ(x)dσ(x), φ ∈ S(Ωε(r) ). hLFα,β (T ) , φi = R

We have to prove that Z Z φ(λ)ψλα,β (x)dσ(λ)i, φ ∈ S(Ωε(r) ). Fα,β (T )(λ)φ(λ)dσ(λ) = hTx , R

(38)

R

From Propositions 3.4, 3.5 and Theorem 2.8 we can write Z

Fα,β (T )(λ)φ(λ)dσ(λ) = R

=

k Z Z X

p=0 R k XZ p=0

=

R

R

D(χ(x)Λpα,β ψλα,β (x))φ(λ)gp (x)dxdσ(λ),

Z D(χ(x)(Λpα,β )x ( ψλα,β (x)φ(λ)dσ(λ)))gp (x)dx, R

−1 hT, Fα,β (φ)i.

Thus the proof is completed. As consequence of Proposition 17 we obtain a uniqueness theorem for the Jacobi-Dunkl transform.

84


Proposition 18 (Uniqueness) Let T be in Hχ0 . If for all y ∈ R, Fα,β (T )(y) = 0, then T = 0. Proof. It is sufficient to take into account Proposition 17 and the fact that D(R) is a dense subspace of Hχ . Next we establish an inversion formula for the generalized Jacobi-Dunkl transform. Proposition 19 (Inversion) Let T be in Hχ0 . Then for all s > 0 and δ > 0 the distribution given by the function Z s Ts,−δ (x) = Fα,β (T )(y)ψ−y (x)dσ(y) −δ

belongs to

(S r (R))0

and we have T =

Z

lim s → +∞ δ → +∞

s

Fα,β (T )(y)ψ−y (x)dσ(y),

(39)

−δ

weakly in (S r (R))0 . Proof. Let T ∈ Hχ0 . From Proposition 3.5 we have k Z X hT, φi = D(χ(x)Λpα,β φ(x))gp (x)dx, φ ∈ D(R), R

p=0

where gp , p = 0, ..., k, are bounded measurable functions on R. Then Z k X p ∀λ ∈ G1 Fα,β (T )(λ) = (iλ) D(χ(x)ψλα,β (x))gp (x)dx. p=0

R

Note that according to Proposition 4.1 and Proposition 2.3, for every s > 0 and δ > 0, the function Ts,−δ is a bounded function on R and this function defines a distribution on R. Let s > 0, δ > 0 and φ be in D(R), by interchange of the order of integration, we get Z Ts,−δ (x)φ(x)Aα,β (x)dx, hLTs,−δ , φi = R Z sX Z Z k p φ(x){ (iλ) [ D(χ(y)ψλα,β (y))gp (y)dy]ψλα,β (x)dσ(λ)}× = R

=

Z

R

−δ p=0

Dy (χ(y)

Z

s

R

Aα,β (x)dx, Z k X p [ (iλ) ψλα,β (x)φ(x)Aα,β (x)dx]ψλα,β (y))gp (y)×

−δ p=0

R

dσ(λ)dy, Z Z s Z k X Dy (χ(y) ( ψλα,β (x) Λpα,β φ(x)Aα,β (x)dx)ψλα,β (y))× = R

−δ

R

p=0

dσ(λ)gp (y)dy, Z Z s k X α,β = Dy (χ(y)( ψλ (y) Fα,β (Λpα,β φ)(λ)× R

−δ

p=0

dσ(λ))gp (y)dy.


85

On the other hand since for every φ ∈ D(R), Fα,β (Λpα,β φ) ∈ S(Ωε(r) ), then we have Z s lim Fα,β (Λpα,β φ)(λ)ψλα,β (y)dσ(λ) = Λpα,β φ(y), s → +∞ −δ δ → +∞ uniformly in y ∈ R. Then we conclude that Z s T = lim Fα,β (T )(y)ψ−y dσ(y), s → +∞ −δ δ → +∞ weakly in (S r (R))0 .

5.

Application

We now study an operational calculus for the generalized Jacobi-Dunkl transform and a distributional differential-difference equation is solved in Hχ0 . We will denote by Λ∗α,β the formal adjoint of the operator Λα,β . That is, for every T ∈ Hχ0 , Λ∗α,β T is the element of Hχ0 given by hΛ∗α,β T, φi = hT, Λα,β φi, φ ∈ Hχ . Since Λα,β is a continuous linear mapping from Hχ into itself, from well-known results of analysis it is deduced that Λ∗α,β defines a continuous linear mapping from Hχ0 into itself, when we consider on Hχ0 either the weak or the strong topology. Proposition 20 Let T be in Hχ0 . Then ∀ λ ∈ G1 , Fα,β (Λ∗α,β T )(λ) = iλFα,β (T )(λ). Proof. It is sufficient to note that Λα,β ψλα,β (x) = iλψλα,β (x), x ∈ R and λ ∈ C. I Proposition 21 The following differential-difference equation P (Λ∗α,β )T = S,

(40)

where S ∈ Hχ0 is prescribed and P is a polynomial such that P (iy) 6= 0, y ∈ R, has a solution in (S r (R))0 for 0 < r ≤ 1. Proof. We apply the Jacobi-Dunkl transform to (40). By Proposition 20 we deduce that ∀ λ ∈ G1 , P (iλ)F (λ) = G(λ), where F and G being the Jacobi-Dunkl transform of T and S, respectively. From Proposition 19 and (41), we can write Z s G(y) hT, φi = lim h ψy (.)dσ(y), φi, φ ∈ S r (R). P (iy) s → +∞ −δ δ → +∞

(41)

86


We will see that the last limit exists. Let m, n ∈ IN , m < n. For every polynomial Q such that Q(iy) 6= 0, for all y ∈ R, we have Z −m Z −m G(y) G(y) ψy (x)dσ(y) = ψy (x)dσ(y), x ∈ R. (42) Q(Λα,β ) −n P (iy) −n P (iy)Q(iy) >From Proposition 4.1 we can choose Q such that |

G(y) | = O(|y|−t ), as |y| → ∞, P (iy)Q(iy)

(43)

with t > 2α + 4. >From Proposition 2.7, we see that for φ ∈ S r (R), we have Z Z −m G(y) ψy (x)dσ(y))φ(x)Aα,β (x)dx = (Λα,β )x ( −n P (iy)Q(iy) ZR Z −m G(y) ψyα,β (x)dσ(y)Λα,β φ(x)Aα,β (x)dx. P (iy)Q(iy) R −n

Hence, from (42) one infers Z −m Z −m G(y) α,β G(y) h ψy (.)dσ(y), φi = h ψyα,β (.)dσ(y), Λα,β φi. P (iy) P (iy)Q(iy) −n −n

According again to (43), there exist a positive constant C such that Z −m Z −m G(y) G(y) α,β ψy (.)dσ(y), φ(x)i| ≤ C | |dσ(y). |h P (iy)Q(iy) −n −n P (iy) Thus we conclude that for s > 0, the sequence Z s G(y) α,β { ψy (.)dσ(y)}n∈IN −n P (iy)

is a Cauchy sequence in the weak topology of (S r (R))0 . In the same way we prove that for δ > 0, the sequence Z n G(y) α,β { ψy (.)dσ(y)}n∈IN −δ P (iy) is also a Cauchy sequence in the weak topology of (S r (R))0 . Then there exists T ∈ (S r (R))0 such that Z n G(y) α,β hT, φi = lim h ψy (.)dσ(y), φi, φ ∈ S r (R). P (iy) n → +∞ −m m → +∞ Moreover, Proposition 4.5 leads to hP (Λ∗α,β )T, φi = hT, P (Λα,β )φi Z n G(y) α,β = lim h ψ (.)dσ(y), P (Λα,β )φi, m,n→+∞ −m P (iy) y Z n G(y) α,β ψ (.)dσ(y), φi, = lim hP (Λα,β ) m,n→+∞ P (iy) y −m Z n = lim h G(y)ψyα,β (.)dσ(y), φi m,n→+∞

−m

= hS, φi, φ ∈ S r (R).


87

Hence T ∈ (S r (R))0 is a solution of (5.1).

Acknowledgments We thanks the Professor Khalifa Trimèche for stimulating discussions and useful suggestions.

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In : Proceedings of the Tunisian Mathematical Society... ISBN 1-60021-014-7 c 2007 Nova Science Publishers, Inc. Editor : K. Triméche and S. Zarati, pp. 89-116

Chapter 8

T RANSCENDANCE DE P E´ RIODES : E´ TAT DES C ONNAISSANCES Michel Waldschmidt∗ Institut de Mathématiques de Jussieu – UMR 7586 du CNRS, Université P. et M. Curie (Paris VI), 175 rue du Chevaleret

Résumé Les nombres réels ou complexes forment un ensemble ayant la puissance du continu. Parmi eux, ceux qui sont « intéressants », qui apparaissent « naturellement », qui méritent notre attention, forment un ensemble dénombrable. Dans cet e´ tat d’esprit nous nous intéressons aux périodes au sens de Kontsevich et Zagier. Nous faisons le point sur l’état de nos connaissances concernant la nature arithmétique de ces nombres : décider si une période est un nombre rationnel, algébrique irrationnel ou au contraire transcendant est l’objet de quelques théorèmes et de beaucoup de conjectures. Nous précisons aussi ce qui est connu sur l’approximation diophantienne de tels nombres, par des nombres rationnels ou algébriques.

Keywords : Périodes, nombres transcendants, irrationalité, intégrales, séries, approximation diophantienne, mesures d’irrationalité, mesures de transcendance, mesures d’indépendance linéaire, fonctions Gamma, Bêta, zêta, valeurs zêta multiples (MZV). AMS Subject Classification : 11J81 11J86 11J89

1.

Introduction

Dans leur article [37] intitulé « Periods », M. Kontsevich et D. Zagier introduisent la notion de périodes en en donnant deux définitions dont ils disent qu’elles sont e´ quivalentes ; il proposent une conjecture, deux principes et cinq problèmes. Le premier principe est le suivant : « chaque fois que vous rencontrez un nouveau nombre et que vous voulez savoir s’il est transcendant, commencez par essayer de savoir si c’est une période ». ∗

E-mail address : [email protected] ; http ://www.math.jussieu.fr/∼miw

90

Michel Waldschmidt

Si la réponse est négative, alors le nombre est transcendant ; en effet les périodes forment une sous algèbre de C sur le corps Q des nombres algébriques, donc tout nombre algébrique est une période. Le but de cet exposé est d’examiner ce qui se passe si la réponse est positive : que sait-on sur la transcendance de périodes ? Nous considérons aussi l’aspect quantitatif de cette question, en liaison avec la question suivante de [37], § 1.2 qui précède leur conjecture 1 : quand on veut vérifier une e´ galité entre deux nombres algébriques, il suffit de calculer ces deux nombres avec une précision suffisante, puis d’utiliser l’inégalité de Liouville qui e´ tablit que deux nombres algébriques distincts de degré et hauteur bornée ne peuvent eˆ tre trop proches l’un de l’autre. Dans l’exemple qu’ils donnent, dû a` D. Shanks [52] : q

√ 11 + 2 29 +

r

q q √ √ √ √ 16 − 2 29 + 2 55 − 10 29 = 5 + 22 + 2 5,

(1)

la diff´ √ erence √ γ entre les deux membres de (1) est un nombre algébrique de degré ≤ 16 sur Q( 5, 29), donc de degré ≤ 64 sur Q. Pour chacun des 64 e´ léments = (1 , . . . , 6 ) ∈ {0, 1}6 , posons √

r

√ γ = 3 11 + 22 29 + 4 16 − 22 29 + 25 55 − 102 29 q √ √ + 1 5 + 6 22 + 21 5. q

√

q

Le nombre

N=

Y

γ

est un entier rationnel. Il suffit de le calculer avec une précision d’un chiffre après la virgule pour vérifier qu’il satisfait −1 < N < 1, donc qu’il est nul (c’est le cas le plus simple de l’inégalité de Liouville [57] § 3.5). Il s’ensuit qu’un (au moins) des 64 facteurs γ du produit est nul, et l’égalité (1) s’en déduit aisément. La question posée par Kontsevich et Zagier dans [37] § 1.2 consiste a` savoir si on peut faire de même avec les périodes. Il s’agirait de définir une notion de complexité d’une période analogue a` celle de hauteur pour un nombre algébrique, puis de minorer cette complexité pour une période non nulle afin de remplacer l’inégalité de Liouville. Une des suggestions qu’ils font est de compter le nombre de touches nécessaires pour taper en TEX une intégrale dont la valeur est la période en question. Dans cet e´ tat d’esprit il serait intéressant de savoir s’il existe des nombres qui sont a` la fois une période et un nombre de Liouville. Une réponse négative signifierait que pour toute période réelle θ, il existe une constante c(θ) > 0 telle que, pour tout nombre rationnel p/q distinct de θ avec q ≥ 2, on ait θ − p > 1 · q q c(θ) Plus ambitieusement on peut demander si les périodes (complexes) se comportent, pour l’approximation par des nombres algébriques, comme presque tous les nombres (complexes) [16, 57] : e´ tant donnée une période transcendante θ ∈ C, existe-t-il une constante κ(θ) telle que, pour tout polynôme non nul P ∈ Z[X], on ait |P (θ)| ≥ H −κ(θ)d ,

Transcendance de Périodes

91

où H ≥ 2 est un majorant de la hauteur (usuelle) de P (maximum des valeurs absolues des coefficients) et d son degré ?

2.

Intégrales Abéliennes

La nature arithmétique de la valeur de l’intégrale d’une fonction algébrique d’une variable entre des bornes algébriques (ou infinies) est maintenant bien connue, aussi bien sous l’aspect qualitatif que quantitatif.

2.1.

Genre 0 : Logarithmes de Nombres Algébriques

L’outil principal est le théorème de Baker sur l’indépendance linéaire, sur le corps Q des nombres algébriques, de logarithmes de nombres algébriques. Nous n’utilisons ici que le cas particulier suivant : Théorème 2 Soient α1 , . . . , αn des nombres algébriques non nuls, β1 , . . . , βn des nombres algébriques, et, pour 1 ≤ i ≤ n, log αi un logarithme complexe de αi . Alors le nombre β1 log α1 + · · · + βn log αn est soit nul, soit transcendant. On en déduit : Corollaire 3 Soient P et Q des polynômes a` coefficients algébriques vérifiant deg P < deg Q et soit γ un chemin fermé, ou bien un chemin dont les extrémités sont algébriques ou infinies. Si l’intégrale Z P (z) dz (4) Q(z) γ existe, alors elle est soit nulle, soit transcendante. Un exemple célèbre [53] p. 97 est Z

0

1

1 π dt = log 2 + √ · 3 1+t 3 3

Le corollaire 3 se déduit du théorème 2 en décomposant la fraction rationnelle P (z)/Q(z) en e´ léments simples (voir par exemple [46]). En fait le corollaire 3 est e´ quivalent au théorème 2 : il suffit d’écrire le logarithme d’un nombre algébrique comme une période ; pour la détermination principale, quand α n’est pas réel négatif, on a par exemple Z ∞ (α − 1)dt log α = (t + 1)(αt + 1) 0 tandis que iπ = 2i

Z

0

∞

dt · 1 + t2

92

Michel Waldschmidt

Les mesures d’indépendance linéaire de logarithmes de nombres algébriques (minorations de combinaisons linéaires, a` coefficients algébriques, de logarithmes de nombres algébriques - voir par exemple [57]) contiennent le fait qu’une intégrale non nulle de la forme (4) a une valeur absolue minorée explicitement en termes des hauteurs de P et Q et de leurs degrés, ainsi que des hauteurs et degrés des nombres algébriques extrémités de γ.

2.2.

Genre 1 : Intégrales Elliptiques

La nature arithmétique des valeurs d’intégrales elliptiques de première ou deuxième espèce a e´ té e´ tudiée dès 1934 [48] puis 1937 [49] par Th. Schneider. Voici le théorème 15 version III de [51]. Théorème 5 Toute intégrale elliptique de première ou deuxième espèce a` coefficients algébriques et calculée entre des bornes algébriques distinctes a pour valeur un nombre nul ou transcendant. En particulier toute période non nulle d’une intégrale elliptique de première ou deuxième espèce a` coefficients algébriques est transcendante. Le théorème 16 de [51] concerne la transcendance du quotient de deux intégrales elliptiques de première espèce. Une conséquence que cite Schneider de son théorème 17 dans [51] s’énonce : la valeur prise par une intégrale elliptique de première ou de deuxième espèce a` coefficients algébriques entre des bornes algébriques est quotient d’une période par un facteur rationnel ou transcendant. Du théorème 5 on déduit le résultat cité dans [37] § 1.1 : si a et b sont deux nombres algébriques réels positifs, l’ellipse dont les longueurs d’axes sont a et b a un périmètre 2

Z

b

s

1+

−b

a2 x2 dx b4 − b2 x2

(6)

qui est un nombre transcendant. Plus généralement la longueur de tout arc dont les extrémités sont des points de coordonnées algébriques est un nombre transcendant ou nul. Il en est de même pour une lemniscate (x2 + y 2 )2 = 2a2 (x2 − y 2 ) quand a est algébrique. Ces e´ noncés sont démontrés par Schneider comme conséquences de résultats sur les fonctions elliptiques. Voici par exemple la version I du théorème 15 de [51]. Soit ℘ une fonction elliptique de Weierstrass d’invariants g2 et g3 algébriques : 2

℘0 = 4℘3 − g2 ℘ − g3 . Soient ζ la fonction zêta de Weierstrass associée a` ℘, a et b deux nombres algébriques non tous deux nuls et u un nombre complexe non pôle de ℘. Alors l’un au moins des deux nombres ℘(u), au + bζ(u) est transcendant.


93

Ainsi en considérant les deux courbes elliptiques y 2 = x3 − x

y 2 = x3 − x

et

on en déduit que chacun des deux nombres Z

1

Z

1

0

et 0

dx 1 Γ(1/4)2 = B(1/4, 1/2) = 3/2 1/2 2 2 π x − x3

(7)

dx 1 Γ(1/3)3 = B(1/3, 1/2) = 4/3 1/2 3 2 3 π 1 − x3

(8)

√ √

est transcendant. Ces deux formules (comparer avec [40] p.21) sont des cas particuliers de la formule de Chowla-Selberg (cf [33] et [37] § 2.3) qui exprime les périodes de courbes elliptiques de type CM comme des produits de valeurs de la fonction Gamma d’Euler dont une des définitions est : ∞ Y z −1 z/n −γz −1 Γ(z) = e z 1+ e . (9) n n=1 L’extension par G. Shimura aux variétés abéliennes de type CM de la formule de Chowla-Selberg donne lieu aux relations de Deligne-Koblitz-Ogus sur la fonction Gamma (voir [14]).

2.3.

Genre ≥ 1 : Intégrales Abéliennes

Dans [50], Th. Schneider e´ tend ses résultats aux intégrales abéliennes. La démonstration est une extension en plusieurs variables de ses résultats antérieurs ; dans la partie analytique de la démonstration de transcendance, l’outil essentiel, un lemme de Schwarz, est e´ tendu en plusieurs variables grâce a` une formule d’interpolation pour les produits cartésiens. Cela permet a` Schneider d’obtenir des e´ noncés sur les fonctions abéliennes. L’exemple le plus important des résultats qu’il obtient est le suivant : Théorème 10 Soient a et b des nombres rationnels non entiers tels que a + b ne soit pas non plus un entier. Alors le nombre Γ(a)Γ(b) B(a, b) = = Γ(a + b)

Z

0

1

xa−1 (1 − x)b−1 dx

(11)

est transcendant. Les travaux sur la nature arithmétique des valeurs d’intégrales abéliennes sont nombreux : ceux de Th. Schneider en 1940 ont e´ té poursuivis par S. Lang dans les années 1960, puis notamment par D.W. Masser grâce a` la méthode de Baker dans les années 1980, pour arriver a` une solution essentiellement complète de la question en 1989 par G. Wüstholz [63] qui a obtenu une extension satisfaisante du théorème 2 de Baker aux groupes algébriques commutatifs. On connaˆıt donc essentiellement ce que l’on souhaite sur la transcendance et l’indépendance linéaire (sur le corps des nombres algébriques) d’intégrales abéliennes

94

Michel Waldschmidt

de première, seconde ou troisième espèce. Par exemple J. Wolfart et G. Wüstholz [62] ont montré que les seules relations linéaires a` coefficients algébriques entre les valeurs B(a, b) de la fonction Bêta en des points (a, b) ∈ Q2 sont celles qui résultent des relations de Deligne-Koblitz-Ogus. De plus on dispose e´ galement maintenant de résultats quantitatifs qui permettent de minorer la valeur d’une intégrale abélienne quand elle est non nulle – les estimations les plus récentes et les plus précises sur ce sujet, dans le cadre général des groupes algébriques, ´ Gaudron [27, 28]. sont dues a` E. Si les relations linéaires a` coefficients algébriques entre les valeurs d’intégrales abéliennes sont maintenant bien connues, il n’en est pas de même des relations algébriques. Dans une note de bas de page [34], A. Grothendieck propose un e´ noncé conjectural sur la transcendance de périodes de variétés abéliennes définies sur le corps des nombres algébriques. La première formulation précise de cette conjecture est donnée par S. Lang dans son livre [38], où l’on trouve aussi la première formulation de la conjecture de Schanuel sur l’indépendance algébrique des valeurs de la fonction exponentielle (voir aussi [23]). Ces e´ noncés ont e´ té développés par Y. André (voir notamment [7]) qui propose une généralisation commune des conjectures de Grothendieck et Schanuel. Pour des 1-motifs attachés aux produits de courbes elliptiques, C. Bertolin [9] a explicité la situation conjecturale en formulant sa conjecture elliptico-torique qui fait intervenir la fonction exponentielle, les fonctions ℘ et ζ de Weierstrass, les intégrales elliptiques et l’invariant modulaire j (voir aussi [59] et [58]).

3.

Valeurs de la Fonction Gamma d’Euler

La définition (11) de la fonction Bêta sous forme d’une intégrale montre que ses valeurs aux points de Q2 où elle est définie sont des périodes. De la relation (11) entre les fonctions Gamma et Bêta on déduit Γ(a1 ) · · · Γ(an ) = Γ(a + · · · + an )

n−1 Y i=1

B(a1 + · · · + ai−1 , ai ).

Il en résulte que pour tout p/q ∈ Q avec p > 0 et q > 0, le nombre Γ(p/q)q est une période. Par exemple 2

π = Γ(1/2) =

Z

1

0

x−1/2 (1 − x)−1/2 dx.

De (7) et (8) on déduit aussi des expressions de Γ(1/3)3 et Γ(1/4)4 comme périodes. On connaˆıt bien mieux la nature arithmétique des valeurs de la fonction Bêta d’Euler (grâce au théorème 10 de Schneider) que celles de la fonction Gamma. On sait que le √ nombre Γ(1/2) = π est transcendant, grâce a` Lindemann. La transcendance de Γ(1/4) 0 ki˘ı [21]. ˇ et Γ(1/3) a e´ té e´ tablie par G.V. Cudnovs Théorème 12 Les deux nombres Γ(1/4)

et π


95

sont algébriquement indépendants, et il en est de même des deux nombres Γ(1/3)

et π.

Comme l’a remarqué D.W. Masser on peut aussi e´ noncer ces résultats en disant que les deux nombres Γ(1/4) et Γ(1/2) sont algébriquement indépendants et qu’il en est de même des deux nombres Γ(1/3) et Γ(2/3). Les seules autres valeurs de la fonction Γ en des points rationnels dont on sache démontrer la transcendance sont celles que l’on déduit de la transcendance en 1/2, 1/3 et 1/4 en utilisant les relations standard satisfaites par la fonction Gamma (voir ci-dessous). Par exemple Γ(1/6) est aussi un nombre transcendant. 0 ki˘ı de son th´ ˇ La démonstration par G.V. Cudnovs eorème 12 repose sur le résultat suivant [21] concernant les périodes et quasi périodes de fonctions de Weierstrass, que l’on applique aux courbes elliptiques y 2 = x3 − x et y 2 = x3 − 1 grâce a` (7) et (8) Soit ℘ une fonction elliptique de Weierstrass d’invariants g2 et g3 . Soit ω une période non nulle de ℘ et soit η la quasi-période associée de la fonction zêta de Weierstrass ζ : 2

℘0 = 4℘3 − g2 ℘ − g3 ,

ζ 0 = −℘,

ζ(z + ω) = ζ(z) + η.

Alors deux au moins des nombres g2 , g3 , ω/π, η/π sont algébriquement indépendants. De cet e´ noncé on déduit aussi le fait que le nombre (6) est non seulement transcendant, mais même algébriquement indépendant de π (cf. [37] § 1.1). Pour l’instant on ne sait pas obtenir la transcendance (sur Q) de Γ(1/4) ni de Γ(1/3) sans e´ tablir le résultat plus fort qui est la transcendance de chacun de ces nombres sur le corps Q(π). D’un point de vue quantitatif de bonnes mesures de transcendance de ces nombres ont e´ té e´ tablies par P. Philippon puis S. Bruiltet [15] : Théorème 13 Pour un polynôme non constant P ∈ Z[X, Y ] de degré d et de hauteur H, on a log |P (π, Γ(1/4)| > −10326 ((log H + d log(d + 1))d2 (log(d + 1))2 et log |P (π, Γ(1/3)| > −10330 ((log H + d log(d + 1))d2 (log(d + 1))2 . Ainsi Γ(1/4) et Γ(1/3) ne sont pas des nombres de Liouville. La prochaine e´ tape pourrait eˆ tre la transcendance du nombre Γ(1/5) (cf. [40], p. 2 et p. 35). Du théorème 10 de Schneider sur la transcendance du nombres B(1/5, 1/5) on déduit que l’un au moins des deux nombres Γ(1/5), Γ(2/5) est transcendant. Un résultat plus précis se déduit des travaux de P. Grinspan [32] (voir aussi [56]) : Théorème 14 Un au moins des deux nombres Γ(1/5), Γ(2/5) est transcendant sur le corps Q(π).

96

Michel Waldschmidt

Autrement dit, deux au moins des trois nombres Γ(1/5), Γ(2/5) et π sont algébriquement indépendants. La démonstration de [32] fournit de plus un résultat quantitatif. Comme la courbe de Fermat x5 + y 5 = z 5 d’exposant 5 est de genre 2, sa jacobienne 0 ki˘ı ˇ est une surface abélienne ; il faut donc remplacer dans la démonstration de Cudnovs les fonctions elliptiques par des fonctions abéliennes, et c’est pourquoi il est difficile de séparer les deux nombres Γ(1/5) et Γ(2/5) quand on veut obtenir la transcendance de chacun d’eux. Avant de poursuivre avec le dénominateur 5, revenons aux dénominateurs 3 et 4. Le théorème 12 a e´ té e´ tendu par Yu.V. Nesterenko [41, 42], qui obtient l’indépendance algébrique de trois nombres : Théorème 15 Les trois nombres Γ(1/4),

π

et

eπ

sont algébriquement indépendants, et il en est de même de Γ(1/3),

π

et eπ

√

3

.

La démonstration par Yu.V. Nesterenko de son théorème 15 utilise les séries d’Eisenstein E2 , E4 et E6 (nous utilisons les notations P , Q, R de Ramanujan) :  ∞ X  nq n ,   P (q) = E (q) = 1 − 24  2   1 − qn  n=1   ∞  X n3 q n

Q(q) = E4 (q) = 1 + 240

,

 1 − qn  n=1   ∞  X n5 q n    · = 1 − 504 R(q) = E (q)  6  1 − qn

(16)

n=1

Les premiers résultats de transcendance sur les valeurs de ces fonctions sont dus a` D. Bertrand dans les années 70. Une avancée remarquable a e´ té faite en 1996 par K. BarréSirieix, G. Diaz, F. Gramain et G. Philibert [8], qui ont résolu le problème suivant de Manin (et de Mahler dans le cas p-adique) concernant la fonction modulaire J = Q3 /∆, où ∆ = 12−3 (Q3 − R2 ) : pour tout q ∈ C avec 0 < |q| < 1, l’un au moins des deux nombres q, J(q) est transcendant. C’est cette percée qui a permis a` Yu.V. Nesterenko [41] de démontrer le résultat suivant, cité dans le § 2.4 de [37] : Soit q ∈ C un nombre complexe satisfaisant 0 < |q| < 1. Alors trois au moins des quatre nombres q, P (q), Q(q), R(q) sont algébriquement indépendants. √ Le théorème 15 en résulte en spécialisant q = e−2π et q = −e−π 3 car J(e−2π ) = 1728, 4 3, ω −2π −2π P (e )= Q(e )=3 , R(e−2π ) = 0 π π

Transcendance de Périodes avec (cf. (7))

Γ(1/4)2 √ = 2.6220575542 . . . 8π

ω= tandis que J(−e−π

√

97

3)

= 0, √ √ 2 3, −π 3 )= P (−e π

Q(−e−π

√

3

) = 0,

R(−e−π

√

3

)=

27 2

ω0 π

6

avec (cf. (8))

Γ(1/3)3 = 2.428650648 . . . 24/3 π On trouve dans [37] § 2.3 des commentaires sur les liens entre les périodes et les séries d’Eisenstein (et aussi les fonctions thêta, qui interviennent e´ galement dans le travail [41] de Nesterenko — voir [42]). Le théorème 15 de Nesterenko et celui 14 de Grinspan suggèrent le problème ouvert suivant : ω0 =

Conjecture 17 Trois au moins des quatre nombres Γ(1/5),

Γ(2/5),

π

et eπ

√

5

sont algébriquement indépendants. Ce problème fait l’objet de travaux récents de F. Pellarin (voir en particulier [45]). Plus ambitieusement on peut demander quelles sont toutes les relations algébriques liant les valeurs de la fonction Gamma en des points rationnels. La question des relations multiplicatives a e´ té considérée par D. Rohrlich. On rappelle déjà ce que sont les relations standard : pour a ∈ C (en dehors des pôles de Γ(x), Γ(x + 1), Γ(1 − x) ou Γ(nx) pour que les formules aient un sens), on a Γ(a + 1) = aΓ(a),

(Translation) (Reflexion)

Γ(a)Γ(1 − a) =

π sin(πa)

et, pour tout n entier positif, (Multiplication)

n−1 Y k=0

Γ a+

k n

= (2π)(n−1)/2 n−na+(1/2) Γ(na).

Voici la conjecture de Rohrlich : Conjecture 18 Toute relation multiplicative de la forme π b/2

Y

a∈Q

Γ(a)ma ∈ Q

avec b et ma dans Z se déduit des relations standard.

98

Michel Waldschmidt

Une formalisation de cette conjecture utilisant la notion de « distribution universelle » est donnée par S. Lang dans [39]. Une conjecture plus ambitieuse que 18 est celle de Rohrlich-Lang qui concerne non seulement les relations monomiales, mais plus généralement les relations polynomiales : elle√prétend que l’idéal sur Q de toutes les relations algébriques entre les valeurs de (1/ 2π)Γ(a) pour a ∈ Q est engendré par les relations de distributions, l’équation fonctionnelle et l’imparité.

4.

Séries de Fractions Rationnelles

Soient P et Q deux fractions rationnelles a` coefficients rationnels avec deg Q ≥ deg P + 2. Quelle est la nature arithmétique de la somme de la série X P (n)

n≥0 Q(n)6=0

Q(n)

?

(19)

Cette question a e´ té e´ tudiée notamment dans [3]. La somme de la série (19) peut eˆ tre rationnelle : c’est le cas des séries téléscopiques dont voici des exemples. Lemme 20 Soient a et b deux e´ léments de C× tels que b/a 6∈ Z≤0 et soit k un entier ≥ 2. Alors k−2 ∞ k−1 Y X Y 1 1 1 = · (21) (an + b + ja) (k − 1)a i=0 ia + b n=0 j=0 En particulier, sous les hypothèses du lemme 20, si a et b sont des nombres rationnels alors la série a pour valeur un nombre rationnel. Ainsi ∞ X ∞ X 1

n=2 m=2

nm

=

∞ X

1 = 1. n(n − 1) n=2

Un autre exemple est la somme de la série (19) avec P (X) = 1 et Q(X) = (X + 1) · · · (X + k) pour k ≥ 2, a` savoir ∞ X

n! 1 1 = · · (n + k)! k − 1 (k − 1)! n=0 Démonstration du lemme 20. On utilise la décomposition en e´ léments simples de la fraction rationnelle h h Y 1 1 X (−1)i 1 = h · (22) X + ja a i!(h − i)! X + ia i=0 j=0 d’abord avec h = k − 1 : la somme S=

∞ k−1 X Y

n=0 j=0

1 (an + b + ja)


99

de la série du membre de gauche de (21) s’écrit S=

∞ k−1 X X

n=0 i=0

avec ci = Comme

ci an + b + ia

(−1)i ak−1 i!(k − 1 − i)! k−1 X

(0 ≤ i ≤ k − 1).

ci = 0,

i=0

on en déduit S= avec dm =

1 ak−1 m X i=0

k−2 X

dm am +b m=0

(−1)i · i!(k − 1 − i)!

On vérifie par récurrence sur m, pour 0 ≤ m ≤ k − 2, dm =

1 (−1)m · · k − 1 m!(k − 2 − m)!

Il ne reste plus qu’à appliquer de nouveau (22), mais cette fois-ci avec h = k − 2. La somme d’une série (19) peut aussi eˆ tre transcendante : des exemples [3] sont ∞ X

1 = log 2, (2n + 1)(2n + 2) n=0 ∞ X

π 1 = , (n + 1)(2n + 1)(4n + 1) 3 n=0 et

√ 1 π 3 1 = − log 3. (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3) 12 4 n=0 ∞ X

De façon générale, quand la fraction rationnelle Q au dénominateur a uniquement des pôles simples et rationnels, la somme de la série est une combinaison linéaire de logarithmes de nombres algébriques. En effet, d’après [3] lemme 5, si kj et rj sont des entiers positifs avec rj ≤ kj et si cj sont des nombres complexes, si la série S=

∞ X m X

cj k n + rj n=0 j=1 j

converge, alors sa somme est S=

kj −1 m X cj X

k j=1 j

t=1

−rj t

(1 − ζj

) log(1 − ζjt ),

100

Michel Waldschmidt

ζj désignant une racine primitive kj -ième de l’unité. Ainsi quand les nombres cj sont algébriques et que ce nombre S est non nul, alors non seulement il est transcendant (d’après le théorème 2), mais en plus on en connaˆıt de bonnes mesures de transcendance (voir par exemple [57] et [3]). En particulier il n’est pas un nombre de Liouville. D’autres exemples de séries de la forme (19) prenant une valeur transcendante sont ∞ X 1

n=1

et [17]

∞ X

n=0

n2

n2

=

π2 6

1 π eπ + e−π 1 = + · π · +1 2 2 e − e−π

(23)

La transcendance de ce dernier nombre provient du théorème 15 de Nesterenko. Ces exemples soulèvent plusieurs questions. Voici la première Question 24 Quelles sont les périodes parmi les nombres (19) ? Il y a beaucoup de périodes parmi ces nombres (19) (voir par exemple le lemme 26 ci-dessous), mais on s’attend plutôt a` ce qu’un nombre tel que (23) n’en soit pas une. Sur la nature arithmétique des séries (19), on peut espérer l’énoncé suivant : Conjecture 25 Un nombre de la forme X P (n)

n≥0 Q(n)6=0

Q(n)

est soit rationnel, soit transcendant. Ce n’est jamais un nombre de Liouville. De plus, s’il est rationnel, alors la série est « télescopique ». Par « série télescopique » nous entendons une série dont la somme est rationnelle, la démonstration de ce fait reposant sur l’argument du lemme 20. Le cas particulier des fractions rationnelles de la forme P (X)/Q(X) = X −s mérite une section spéciale.

5.

Valeurs de la Fonction zêta de Riemann

Commençons par un résultat e´ lémentaire concernant les valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers positifs. Lemme 26 Pour s ≥ 2

ζ(s) =

X 1

n≥1

est une période.

ns


101

Démonstration : on vérifie facilement l’égalité ζ(s) =

Z

1>t1 >···>ts >0

dt1 dts−1 dts ··· · · t1 ts−1 1 − ts

(27)

Il sera commode d’utiliser la notation des intégrales itérées de Chen ([18] § 2.6) et d’écrire la relation (27) sous la forme ζ(s) =

Z

0

1

ω0s−1 ω1

avec ω0 =

dt t

et

ω1 =

dt · 1−t

(28)

La nature arithmétique des valeurs de la fonction zêta de Riemann en des entiers positifs pairs est connue depuis Euler : π −2k ζ(2k) ∈ Q pour

k ≥ 1.

Ces nombres rationnels s’expriment en termes des nombres de Bernoulli [18], formule ´ (38). Etablir un résultat de rationalité (ou d’algébricité) de certains nombres est en général plus fécond que d’établir des e´ noncés d’irrationalité ou de transcendance – cependant notre propos est de faire le point sur les résultats de transcendance : ce sont eux qui assurent que toute la richesse potentielle que recèlent des relations algébriques entre les nombres considérés a bien e´ té exploitée. La principale question diophantienne que posent les nombres d’Euler est de savoir quelles relations algébriques existent entre les nombres ζ(2),

ζ(3),

ζ(5),

ζ(7) . . . ?

On conjecture qu’il n’y en a pas ([18] et [26] Conjecture 0.1). Autrement dit Conjecture 29 Les nombres ζ(2),

ζ(3),

ζ(5),

ζ(7) . . .

sont algébriquement indépendants. On sait très peu de choses dans cette direction : le théorème de Lindemann : affirme que le nombre π est transcendant, donc aussi ζ(2k) pour tout entier k ≥ 1. En 1978 R. Apéry a démontré que le nombre ζ(3) est irrationnel. La démonstration d’Apéry permet de montrer que le nombre ζ(3) n’est pas un nombre de Liouville, la meilleure mesure d’irrationalité e´ tant celle de Rhin et Viola [47] : ζ(3) − p > q −µ q

pour q suffisamment grand, avec µ = 5, 513 . . . Les travaux récents de T. Rivoal, puis de K. Ball et W. Zudilin notamment, apportent les premières informations sur la nature arithmétique des valeurs de la fonction zêta aux entiers impairs : par exemple l’espace vectoriel sur le corps des nombres rationnels engendré par les nombres ζ(2k + 1), k ≥ 1 a une dimension infinie (cf. [26]).

102

Michel Waldschmidt

Une e´ tape préliminaire en vue d’une démonstration de la conjecture 29 consiste a` linéariser le problème : les méthodes diophantiennes sont en effet plus performantes pour e´ tablir des e´ noncés d’indépendance linéaire (comme le théorème 2 de Baker, ou même le théorème de Lindemann-Weiserstrass, qui peut s’énoncer de manière e´ quivalente comme un résultat d’indépendance algébrique ([25] Th. 2.3’) ou linéaire ([25] Th. 2.3) que pour e´ tablir des résultats d’indépendance algébrique. Euler avait déjà remarqué que le produit de deux valeurs de la fonction zêta (de Riemann comme on l’appelle maintenant !) e´ tait encore la somme d’une série. En effet, de la relation X

n1 ≥1

1 n−s 1

X

n2 ≥1

n2 −s2 =

−s2 1 n−s + 1 n2

X

n1 >n2 ≥1

X

−s1 2 n−s + 2 n1

n2 >n1 ≥1

X

n−s1 −s2

n≥1

on déduit, pour s1 ≥ 2 et s2 ≥ 2, ζ(s1 )ζ(s2 ) = ζ(s1 , s2 ) + ζ(s2 , s1 ) + ζ(s1 + s2 ) avec ζ(s1 , s2 ) =

X

n1−s1 n2 −s2 .

n1 >n2 ≥1

Pour k, s1 , . . . , sk entiers positifs avec s1 ≥ 2, on pose s = (s1 , . . . , sk ) et ζ(s) =

X

n s1 n1 >n2 >···>nk ≥1 1

1 · · · · nskk

(30)

Ces nombres sont appelés « valeurs zêta multiples », ou encore « MZV »(Multiple Zeta Values). Pour k = 1 on retrouve bien entendu les nombres d’Euler ζ(s). Remarque 31 Chacun des nombres ζ(s) est une période : en effet, avec la notation (28) des intégrales itérées de Chen, on a (cf. [18] § 2.6) : ζ(s) =

Z

0

1

ω0s1 −1 ω1 · · · ω0sk −1 ω1 .

(32)

Le produit de séries (30) est une combinaison linéaire de telles séries. Par conséquent l’espace vectoriel (sur Q ou sur Q) engendré par les ζ(s) est aussi une algèbre sur ce corps. De plus le produit de deux intégrales (32) est aussi une combinaison linéaire de telles intégrales. Par différence on obtient des relations linéaires non triviales a` coefficients rationnels entre les MZV. On en obtient de nouvelles — comme celle d’Euler ζ(2, 1) = ζ(3) — en y ajoutant les relations que l’on obtient en régularisant les séries et les intégrales divergentes [18]. Une description exhaustive des relations linéaires entre les MZV devrait théoriquement permettre de décrire du même coup toutes les relations algébriques entre ces nombres, et en particulier de résoudre le problème 29 de l’indépendance algébrique sur le corps Q(π) des valeurs de la fonction zêta aux entiers impairs. Le but est donc de décrire toutes les relations linéaires a` coefficients rationnels entre les MZV. Soit Zp le Q-sous-espace vectoriel de R engendré par les nombres ζ(s) pour s de « poids »s1 + · · · + sk = p, avec Z0 = Q et Z1 = {0}. Voici la conjecture de Zagier (conjecture (108) de [18]) sur la dimension dp de Zp .


103

Conjecture 33 Pour p ≥ 3 on a dp = dp−2 + dp−3 : (d0 , d1 , d2 , . . .) = (1, 0, 1, 1, 1, 2, 2, . . .). Cette conjecture s’écrit aussi X

dp X p =

p≥0

1 · 1 − X2 − X3

Un candidat pour eˆ tre une base de l’espace Zp est proposé par M. Hoffman ([35], Conjecture C) : Conjecture 34 Une base de Zp sur Q est donnée par les nombres ζ(s1 , . . . , sk ), s1 + · · · + sk = p, où chacun des si est soit 2, soit 3. Cette conjecture est compatible avec ce qui est connu pour p ≤ 16 (travaux de Hoang Ngoc Minh notamment). Par exemple, en notant {a}b la suite formée de b occurences de a, les 7 valeurs suivantes devraient eˆ tre une base de l’espace vectoriel Z10 : ζ({2}5 ), ζ({2}2 , {3}2 ), ζ({2, 3}2 ), ζ((2, {3}2 , 2), ζ(3, {2}2 , 3), ζ({3, 2}2 ), ζ({3}2 , {2}2 ).

Exemple 35 Voici les petites valeurs de dp : • d0 = 1 car par convention ζ(s1 , . . . , sk ) = 1 pour k = 0. • d1 = 0 car {(s1 , . . . , sk ) ; s1 + · · · + sk = 1, s1 ≥ 2} = ∅. • d2 = 1 car ζ(2) 6= 0 • d3 = 1 car ζ(2, 1) = ζ(3) 6= 0 • d4 = 1 car ζ(4) 6= 0 et

1 3 2 ζ(3, 1) = ζ(4), ζ(2, 2) = ζ(4), ζ(2, 1, 1) = ζ(4) = ζ(2)2 . 4 4 5 La première valeur de dp qui ne soit pas connue est d5 . La conjecture 33 donne d5 = 2, et on sait d5 ∈ {1, 2} car ζ(2, 1, 1, 1) = ζ(5), ζ(3, 1, 1) = ζ(4, 1) = 2ζ(5) − ζ(2)ζ(3), 9 ζ(2, 1, 2) = ζ(2, 3) = ζ(5) − 2ζ(2)ζ(3), 2 11 ζ(2, 2, 1) = ζ(3, 2) = 3ζ(2)ζ(3) − ζ(5). 2 Donc d5 = 2 si et seulement si le nombre ζ(2)ζ(3)/ζ(5) est irrationnel. La conjecture 33 prédit une valeur exacte pour la dimension dp de Zp . La question diophantienne est d’établir la minoration. La majoration a e´ té e´ tablie récemment grâce aux travaux de A.B. Goncharov [29] et T. Terasoma [55] (voir aussi le théorème 6.4 de [35]) : Les entiers δp définis par la relation de récurrence de la conjecture de Zagier δp = δp−2 + δp−3 avec les conditions initiales δ0 = 1, δ1 = 0 fournissent une majoration pour la dimension dp de Zp .

104

Michel Waldschmidt

6.

Fonctions Hypergéométriques

Pour a, b, c et z nombres complexes avec c 6∈ Z≤0 et |z| < 1, on définit la fonction hypergéométrique de Gauss (voir par exemple [25], Chap. 1 § 3.6, Chap. 2 § 3.2) 2 F1 (a, b ; c | z) =

∞ X (a)n (b)n

n=0

(c)n

·

zn n!

où (a)n = a(a + 1) · · · (a + n − 1). Exemple 36 Si on note K(z) l’intégrale elliptique de Jacobi de première espèce K(z) =

Z

1

0

dx , (1 − x2 )(1 − z 2 x2 )

p

Pn le n-ième polynôme de Legendre et Tn le n-ième polynôme de Chebyshev : 1 Pn (z) = n!

d dz

n

(1 − z 2 )n ,

Tn (cos z) = cos(nz)

on a                      

2 F1 (a,

1 ; 1 | z)

=

2 F1 (1,

1 ; 2 | z)

=

2 F1

1/2, 1 ; 3/2 | z 2

=

 2   2 F1 1/2, 1/2 ; 3/2 | z        2  2 F1 1/2, 1/2 ; 1 | z         2 F1 (−n, n + 1 ; 1 | (1 + z)/2)   2 F1 (−n,

n ; 1/2 | (1 + z)/2)

= = = =

1 , (1 − z)a

1 log(1 + z), z 1 1 + z, log 2z 1−z 1 arcsin z, z 2 K(z), π 2−n Pn (z), (−1)n Tn (z).

(37)

Pour c > b > 0 nombres rationnels, on a (Euler, 1748) Γ(c) 2 F1 (a, b ; c | z) = Γ(b)Γ(c − b)

Z

0

1

tb−1 (1 − t)c−b−1 (1 − tz)−a dt;

de la formule de réflexion de la fonction Gamma, jointe a` la relation (11) liant les fonctions Bêta et Gamma, on déduit Γ(c) 1 ∈ P. Γ(b)Γ(c − b) π

Il en résulte [37] § 2.2 que pour a, b, c rationnels avec c 6∈ Z≤0 et z ∈ Q avec |z| < 1, 2 F1 (a,

b ; c | z) ∈

1 P. π

(38)

Rappelons que P ⊂ (1/π)P. Il est suggéré dans [37] § 2.2 que sous les mêmes conditions, 2 F1 (a, b ; c|z) n’appartient pas a` P.


105

Remarque 39 Pour a, b, c réels avec c > a + b et c 6∈ Z≤0 , on a (Gauss) 2 F1 (a,

b ; c | 1) =

Γ(c − a)Γ(c − b) · Γ(c)Γ(c − a − b)

Remarque 40 Une relation remarquable faisant intervenir l’invariant modulaire j(z) = J(e2iπz ) et la série d’Eisenstein E4 = Q (cf (16)) est la suivante [37] § 2.3, due a` Fricke et Klein : 1728 1, 5 1/4 F ; 1 2 1 j(z) = Q(z) . 12 12

La transcendance des valeurs 2 F1 (a, b; c|z) des fonctions hypergéométriques quand a, b, c et z sont rationnels a e´ té e´ tudiée dès 1929 par C.L. Siegel [53]. On doit a` A.B. Shidlovskii et a` son e´ cole de nombreux résultats sur la question (voir [25]). En 1988, J. Wolfart [60] a e´ tudié l’ensemble E des nombres algébriques ξ tels que F (ξ) soit aussi algébrique. Quand 2 F1 est une fonction algébrique, E = Q est l’en2 1 semble de tous les nombres algébriques. Supposons maintenant que 2 F1 est une fonction transcendante. Wolfart [60] montre que l’ensemble E est en bijection avec un ensemble de variétés abéliennes de type CM – il s’agit donc d’une extension en dimension supérieure du théorème de Th. Schneider sur la transcendance de l’invariant modulaire j ([49], [51] Th. 17). La démonstration de Wolfart utilise le fait que les nombres 2 F1 (a, b, c; z) sont reliés aux périodes de formes différentielles sur la courbe y N = xA (1 − x)B (1 − zx)C avec A = (1−b)N , B = (b+1−c)N , C = aN , tandis que N est le plus petit dénominateur commun de a, b, c (voir a` ce sujet [36]). L’outil transcendant est le théorème du sous-groupe ` l’occasion de ces recherches, F. Beukers et J. Wolfart [10] analytique de Wüstholz [63]. A ont e´ tabli de nouvelles relations qui n’avaient pas e´ té observées avant, comme 2 F1

et

1 , 5 1 1323 ; 12 12 2 1331

=

3√ 4 11 4

1 , 7 2 64000 2√ 6 ; = 253. 2 F1 12 12 3 64009 3 Quand le groupe de monodromie de l’équation différentielle hypergéométrique satisfaite par 2 F1 est un groupe triangulaire arithmétique, l’ensemble E est infini. Wolfart [60] conjectura que réciproquement, l’ensemble E est fini si le groupe de monodromie n’est pas arithmétique. Les travaux de P. Cohen et J. Wolfart [19], puis de P. Cohen et J. Wüstholz [20] ont e´ tabli un lien entre cette question et la conjecture d’André-Oort [6, 44], selon laquelle les sous-variétés spéciales de variétés de Shimura sont précisément les sous-variétés qui contiennent un sous-ensemble Zariski dense de points spéciaux. P. Cohen a remarqué qu’un cas particulier de la conjecture d’André-Oort en dimension 1 suffit ; le résultat crucial a e´ té e´ tabli par B. Edixhoven et A. Yafaev [24] : dans une variété de Shimura, une courbe contient une infinité de points appartenant a` la même orbite de Hecke d’un point spécial si et seulement si elle est de type Hodge. Cela permet de répondre a` la question initiale de

106

Michel Waldschmidt

C.L. Siegel ; de manière précise, en regroupant les résultats de [19, 20, 24, 60], on déduit : l’ensemble exceptionnel E est en bijection avec un ensemble de points dans la même orbite de Hecke d’un point spécial (CM) sur une courbe dans une variété de Shimura définie sur Q. L’ensemble E est infini si le groupe de monodromie est arithmétique, il est fini si le groupe de monodromie n’est pas arithmétique. ` la fonction hypergéométrique de Gauss on associe la fraction continue de Gauss A G(z) = G(a, b, c; z) = 2 F1 (a, b + 1 ; c + 1 | z) /2 F1 (a, b ; c | z)

= 1/ 1 − g1 z/(1 − g2 z/(· · ·))

a` coefficients g2n−1 = (a + n − 1)(c − b + n − 1)/((c + 2n − 2)(c + 2n − 1)), g2n = (b + n)(c − a + n)/((c + 2n − 1)(c + 2n)).

J. Wolfart [61] a montré que si les paramètres a, b, c sont rationnels, c 6= 0, −1, −2, · · ·, et si G(z) n’est pas une fonction algébrique, alors pour presque toutes les valeurs algébriques de l’argument z la valeur de G(z) est transcendante. Il utilise le théorème de G. Wüstholz [63] ainsi que des résultats de G. Shimura et Y. Taniyama sur les variétés abéliennes. Pour les nombres dont nous venons de parler, liés aux fonctions hypergéométriques, dont on sait e´ tablir la transcendance, on connaˆıt e´ galement des mesures d’approximation par des nombres algébriques (voir [25] et [27, 28] notamment). Les fonctions hypergéométriques de Gauss sont des cas particuliers d’une famille plus vaste, formée des fonctions hypergéométriques généralisées (voir par exemple [25] Chap. 2, § 6). Pour p entier ≥ 2 et a1 , . . . , ap , b1 , . . . , bp−1 et z nombres complexes avec bi 6∈ Z≤0 et |z| < 1, on définit p Fp−1

a1 , . . . , ap z b1 , . . . , bp−1

!

=

∞ X (a1 )n · · · (ap )n

n=0

(b1 )n · · · (bp−1 )n

Exemple 41 Les fonctions

1 F0

et 3 F2

1/n

z

n

=

1/4, 1/2, 3/4 28 z 3 1/3, 2/3 3

√ n

!

1 − zn

=

∞ X

k=0

!

4k k z k

sont algébriques. La fonction de Bessel J0 (z) = 0 F1 est transcendante.

1

−z 2

4

!

=

X

n≥0

(−1)n

z 2n 22n (n!)2

·

zn · n!


107

Par récurrence sur p a` partir de (38) on démontre : Proposition 42 Pour a1 , . . . , ap , b1 , . . . , bp−1 nombres rationnels avec p ≥ 2, bi 6∈ Z≤0 et pour z ∈ Q avec |z| < 1, on a a1 , . . . , ap z b1 , . . . , bp−1

p Fp−1

!

∈

1 π p−1

P.

On peut consulter [25] pour connaˆıtre l’état de la question de la nature arithmétique des valeurs de fonctions hypergéométriques généralisées, aussi bien sous l’aspect qualitatif (irrationalité, transcendance, indépendance algébrique) que quantitatif (mesures d’approximation, de transcendance ou d’indépendance algébrique).

7.

Mesure de Mahler de polynômes en Plusieurs Variables

Soit P ∈ C[z1 , . . . , zn , z1−1 , . . . , zn−1 ] un polynôme de Laurent non nul en n variables. On définit la mesure de Mahler M(P ) et la mesure de Mahler logarithmique µ(P ) par µ(P ) = log M(P ) =

Z

1

0

···

Z

0

1

Dans le cas le plus simple n = 1 on e´ crit P (z) =

d X

log P (e2iπt1 , . . . , e2iπtn ) dt1 · · · dtn . i

ad−i z = a0

i=0

et on a M(P ) = |a0 |

d Y

i=1 d Y

i=1

(z − αi )

max{1, |αi |}.

On en déduit notamment µ(P ) ∈ P. Plus généralement, pour P ∈ Q[z1 , . . . , zn , z1−1 , . . . , zn−1 ] on a µ(P ) ∈

1 P. πn

D. Boyd et C.J. Smyth (voir les références dans [12]) ont calculé un certain nombre d’exemples de valeurs de la fonction µ qu’ils ont exprimées en termes de valeurs spéciales de fonctions L attachées a` des caractères de Dirichlet. D. Boyd et F. Rodriguez Villegas ont obtenu des résultats du même genre faisant intervenir des fonctions L attachées a` des courbes elliptiques. Ensuite D. Boyd, F. Rodriguez Villegas, V. Maillot et S. Vandervelde ont exprimé certaines mesures de Mahler logarithmiques a` l’aide de combinaisons de valeurs de la fonction dilogarithme. Mis a` part le célèbre exemple µ(1 + z1 + z2 + z3 ) =

7 ζ(3). 2π 2

dû a` C.J. Smyth, les résultats connus concernent principalement le cas de deux variables ; cependant les travaux de C. Deninger donnent des espoirs pour le cas général.

108

8. 8.1.

Michel Waldschmidt

Exponentielles de Périodes et Périodes Exponentielles Exponentielles de Périodes

Parmi les suggestions de Kontsevich et Zagier dans [37], on relève dans le § 1.2 celle qui prédit que les nombres 1/π et e ne sont pas des périodes. Parmi les candidats a` ne pas eˆ tre 2 des périodes on peut ajouter eπ et eπ . On connaˆıt la transcendance de eπ (A.O. Gel’fond, 1929 – c’est une conséquence du 2 théorème 2), mais pas celle de eπ . Conjecture 43 Soient α1 , α2 , α3 des nombres algébriques non nuls. Pour j = 1, 2, 3 soit log αj ∈ C \ {0} un logarithme non nul de αj , c’est-à-dire un nombre complexe non nul tel que elog αj = αj . Alors (log α1 ) log α2 ) 6= log α3 . 2

Exemple 44 Avec log α1 = log α2 = iπ on déduit la transcendance du nombre eπ . Un autre exemple est la transcendance du nombre 2log 2 . D’autres conjectures sont proposées dans [58], a` la fois pour la fonction exponentielle (conjectures des trois, quatre, cinq exponentielles) et pour les fonctions elliptiques. Des cas très particuliers de ces conjectures sont e´ tablis. L’appendice de [58] par H. Shiga e´ tablit un lien avec des périodes de surfaces de Kummer. Les résultats partiels que l’on connaˆıt sur la conjecture 43 et les questions autour de la conjecture des quatre exponentielles [38, 57, 58] reposent sur la méthode de transcendance qui a permis a` Th. Schneider de résoudre le septième problème de Hilbert en 1934. On peut noter que cette méthode fait jouer un rôle essentiel au théorème d’addition algébrique de la fonction exponentielle, a` savoir ex+y = ex ey , et n’utilise pas l’équation différentielle de cette fonction, contrairement a` ce qui est suggéré a` la fin du § 2.4 de [37]. Une autre méthode de transcendance qui ne fait pas intervenir de dérivations est celle de Mahler qui fait l’objet du livre de K. Nishioka [43]. Notons a` ce propos que la conjecture 5.4 de [59] sur la transcendance de nombres dont le développement dans une base est donné par une suite « automatique », qui faisait l’objet de travaux de J.H. Loxton et A.J. van der Poorten utilisant la méthode de Mahler, vient d’être résolue par B. Adamczewski, Y. Bugeaud et F. Lucas [2, 1], grâce a` une méthode entièrement différente de celle de Mahler, basée sur le théorème du sous-espace de W.M. Schmidt. La conjecture 43 est un cas très particulier de la conjecture selon laquelle des logarithmes Q-linéairement indépendants de nombres algébriques sont algébriquement indépendants. Un des exemples les plus importants de nombres qui s’expriment comme valeur d’un polynôme en des logarithmes de nombres algébriques est celui de déterminants de matrices dont les coefficients sont de tels logarithmes. Certains régulateurs sont de cette forme, et décider s’ils sont nuls ou non peut eˆ tre considéré comme un problème de transcendance. Quand ils ne sont pas nuls on conjecture que ces déterminants sont transcendants, et que ce ne sont pas de nombres de Liouville.


8.2.

109

Périodes Exponentielles

La définition suivante est donnée dans [37] § 4.3. Il est précisé dans l’introduction de [37] que la dernière partie de ce texte est l’œuvre uniquement du premier auteur. Définition Une période exponentielle est une intégrale absolument convergente du produit d’une fonction algébrique avec l’exponentielle d’une fonction algébrique, sur un ensemble semialgébrique, où tous les polynômes intervenant dans la définition ont des coefficients algébriques. Exemple 45 Dans l’algèbre des périodes exponentielles, on trouve e´ videmment les périodes, mais aussi les nombres Z β

eβ =

ex dx

−∞

quand β algébrique, le nombre √

π=

∞

Z

2

−∞

e−x dx,

les valeurs de la fonction Gamma aux points rationnels : Γ(s) =

Z

∞

0

e−t ts ·

dt , t

ainsi que les valeurs des fonctions de Bessel aux points algébriques Jn (z) =

Z

exp

|u|=1

z

2

u−

1 du · u un+1

Ces exemples sont interprétés par S. Bloch et H. Esnault [11] comme des périodes issues d’une dualité entre cycles homologiques et formes différentielles pour des connections ayant des points singuliers irréguliers sur des surfaces de Riemann.

8.3.

Constante d’Euler

On ne sait pas démontrer que le nombre γ = lim

n→∞

1 1 1 1 + + + · · · + − log n = 0.5772157 . . . 2 3 n

est irrationnel [54], mais on attend mieux : Conjecture 46 Le nombre γ est transcendant. Un résultat encore plus fort est suggéré par Kontsevich et Zagier [37] § 1.1 et § 4.3 : Conjecture 47 Le nombre γ n’est pas une période, ni même une période exponentielle.

110

Michel Waldschmidt

8.4.

Un Analogue en Dimension 2 de la Constante d’Euler

Pour chaque k ≥ 2, désignons par Ak l’aire minimale d’un disque fermé de R2 contenant au moins k points de Z2 . Pour n ≥ 2, posons [31] δn = − log n +

n X 1

k=2

Ak

et δ = lim δn . n→∞

F. Gramain conjecture : Conjecture 48 δ =1+

4 (γL0 (1) + L(1)), π

où γ est la constante d’Euler et L(s) =

X

(−1)n (2n + 1)−s .

n≥0

est la fonction L du corps quadratique Q(i) (fonction Bêta de Dirichlet). Comme L(1) = π/4 et L0 (1) =

X

n≥0

=

(−1)n+1 ·

log(2n + 1) 2n + 1

π (3 log π + 2 log 2 + γ − 4 log Γ(1/4)), 4

la conjecture 48 s’écrit aussi δ = 1 + 3 log π + 2 log 2 + 2γ − 4 log Γ(1/4) = 1.82282524 . . . Le meilleur encadrement connu pour δ est [31] 1.811 . . . < δ < 1.897 . . . Il semble vraisemblable que ce nombre δ n’est pas une période (et par conséquent est transcendant), mais, e´ tant donné le peu d’information que nous avons sur lui, ce n’est probablement pas le meilleur candidat pour résoudre la question de [37] (§ 1.2 problem 3) qui consiste a` exhiber un nombre qui n’est pas une période !

9.

Caractéristique Finie

Les questions diophantiennes concernant les nombres complexes ont des analogues dans les corps de fonctions en caractéristique finie qui ont fait l’objet de nombreux travaux [30]. Les premiers outils développés par L. Carlitz (1935) ont e´ té utilisés par I.I. Wade (1941) qui a obtenu les premiers e´ noncés de transcendance. Après divers travaux, notamment de J.M. Geijsel et P. Bundschuh en 1978, la théorie a e´ té développée de manière approfondie par Jing Yu a` partir des années 1980, d’abord dans le cadre des modules elliptiques qui


111

avaient e´ té introduits par V.G. Drinfel’d en 1974, ensuite dans le cadre des t-motifs de G. Anderson a` partir de 1986. Pendant longtemps les résultats en caractéristique finie e´ taient des analogues des résultats classiques relatifs aux nombres complexes, jusqu’à ce que Jing Yu obtiennent des e´ noncés qui vont plus loin que leurs analogues complexes [64]. L’utilisation, introduite dans ce contexte par L. Denis en 1990, de la dérivation par rapport a` la variable du corps de fonctions, produit des e´ noncés qui n’ont pas d’équivalents dans le cas classique des nombres complexes. Une autre particularité de la caractéristique finie est la possibilité de considérer des produits tensoriels, permettant parfois de ramener des questions d’indépendance algébrique a` des problèmes d’indépendance linéaire (un bel exemple est donné par S. David et L. Denis dans [22]). Deux exposés de synthèse sur ce thème sont donnés, l’un en 1992 par Jing Yu dans [64], l’autre en 1998 par W.D. Brownawell [13].

9.1.

Un Analogue en Caractéristique Finie de la Constante d’Euler

Un résultat remarquable en caractéristique finie est la transcendance de l’analogue de la constante d’Euler. Le nombre complexe γ peut eˆ tre défini par 1 γ = lim ζ(s) − s→1 s−1

quand ζ désigne la fonction zêta de Riemann : ζ(s) =

(1 − p−s )−1 .

Y p

Dans ce produit p décrit l’ensemble de nombres premiers. En caractéristique finie le produit correspondant porte sur les polynômes irréductibles unitaires a` coefficients dans un corps fini Fq a` q e´ léments. Dans ce cas le produit converge au point s = 1, et la valeur en ce point est donc un analogue de la constante d’Euler (dans un complété C d’une clôture algébrique de Fq ((1/T ))). Cet e´ lément de C est transcendant sur Fq (T ) : cela a e´ té démontré par G.W. Anderson et D. Thakur en 1990 [5], mais ils remarquent que les outils dont disposait I.I. Wade auraient suffit pour e´ tablir le résultat dès 1940.

9.2.

La Fonction Gamma de Thakur

Par analogie avec le produit infini (9) définissant la fonction Gamma d’Euler, D. Thakur définit (cf. [13]) ∞ Y z −1 −1 Γ(z) = z 1+ n n∈A +

où A = Fq [T ] désigne l’anneau des polynômes a` coefficients dans Fq et A+ l’ensemble des polynômes unitaires. Cette fonction Gamma est méromorphe sur C. Elle satisfait des relations analogues aux relations standard satisfaites par la fonction Gamma d’Euler. De même, le pendant en caractéristique finie des relations de Deligne-Koblitz-Ogus a e´ té e´ tabli par Deligne, Anderson et Thakur (voir [14]). En 1992 G. Anderson a introduit une notion de fonction soliton, qui, selon [14], est un analogue en dimension supérieure de la fonction shtuka pour les modules de Drinfeld

112

Michel Waldschmidt

de rang 1. Les fonctions méromorphes que R. Coleman avait utilisées pour e´ tudier les endomorphismes de Frobenius sur les courbes de Fermat et d’Artin-Schreier avaient e´ té interprétées par Thakur en termes de sa fonction Gamma. C’est en développant le parallèle avec certains e´ léments de la théorie des e´ quations aux dérivées partielles que G. Anderson a e´ té amené a` introduire ses solitons. Cette théorie a e´ té utilisée en 1997 par S.K. Sinha, qui a construit des t-modules ayant des périodes dont les coordonnées sont des multiples par un nombre algébrique de valeurs de la fonction Gamma de Thakur en des points rationnels a/f , avec a et f dans A+ . Grâce aux résultats de transcendance de Jing Yu, S.K. Sinha a pu ainsi obtenir la transcendance de certaines valeurs de la fonction Gamma de Thakur en des points rationnels. Ces travaux ont e´ té poursuivis par W.D. Brownawell et M.A. Papanikolas qui montrent dans [14] que les relations linéaires a` coefficients algébriques entre les valeurs de la fonction Gamma de Thakur sont celles qui résultent de Deligne-Anderson-Thakur. On peut considérer qu’il s’agit de l’analogue pour les corps de fonctions sur un corps fini du théorème de Wolfart et Wüstholz [62] sur l’indépendance linéaire des valeurs de la fonction Bêta. Ce qui est spécialement remarquable est qu’il est possible d’aller plus loin : dans [4], G.W. Anderson, W.D. Brownawell et M.A. Papanikolas montrent que toutes les relations de dépendance algébrique entre les valeurs de la fonction Gamma de Thakur résultent des relations de Deligne-Anderson-Thakur. Pour les valeurs de la fonction Gamma la situation en caractéristique finie est donc bien plus en avance que dans le cas classique où la conjecture de Rohrlich-Lang semble hors d’atteinte. Tout récemment M. Papanikolas a e´ tabli l’analogue pour les modules de Drinfeld de la conjecture sur l’indépendance algébrique de logarithmes de nombres algébriques (cf. § 8.1).

Remerciements Ce texte résume des exposés donnés en 2003 et 2004 a` Sharhood (Iran), Taipei (Taiwan), Bangalore (Inde), Oulu (Finlande), Séoul (Corée), Mahdia (Tunisie) et Besançon (France). Merci en particulier a` Khalifa Trimèche pour son invitation au congrès annuel de la Société Mathématique de Tunisie en mars 2004 qui donne lieu a` cette rédaction.

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In : Proceedings of the Tunisian Mathematical Society... ISBN 1-60021-014-7 c 2007 Nova Science Publishers, Inc. Editor : K. Triméche and S. Zarati, pp. 117-148

Chapter 9

Q UELQUES A SPECTS DU T HÉORÈME L IMITE C ENTRAL SUR LES G ROUPES DE L IE ET LES H YPERGROUPES Léonard Gallardo∗ Université de Tours, Laboratoire de Mathématiques et Physique Théorique-UMR 6083, Parc de Grandmont, 37200 TOURS, FRANCE

Résumé Cet article est la rédaction d’une conférence faite à Mahdia au colloque 2004 de la Société Mathématique de Tunisie. Il est constitué d’une sélection de résultats sur le théorème limite central sur les groupes de Lie et les hypergroupes. Les chercheurs qui s’intéressent à cette problématique, y trouveront un accès rapide aux aspects les plus significatifs de la théorie.

Keywords : Théorème limite central, systèmes triangulaires infinitésimaux de probabilités, semi-groupes de convolution, semi-groupes d’opérateurs, marches aléatoires, théorème de continuité de Paul Lévy, groupes de Lie, hypergroupes. AMS Subject Classifications : 20P05, 22E99, 43A62, 47D07, 60B10, 60B15, 60B99, 60F05, 60G50, 60J10.

1.

Introduction

Le théorème limite central est considéré comme le résultat central de la théorie des probabilités, d’où son nom. C’est la question qui a été la plus étudiée depuis que les mathématiciens ont commencé à modéliser le hasard vers le milieu du 17 ième siècle. On a d’abord remarqué empiriquement qu’étant donnée une répétition d’aléas de même nature (on dit aujourd’hui une suite (Xn )n>0 de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées), la moyenne arithmétique de ces aléas tend vers une limite m ∗

E-mail address : [email protected]

118

Léonard Gallardo Pn

(c’est à dire n1 i=1 Xi → m presque-sûrement si n → ∞) et que cette limite m est une caractéristique de l’aléa (on dit que c’est l’espérance des Xi ) : ce résultat est la loi des grands nombres. Il convient de faire remarquer que si les variables aléatoires sont bornées , m existe toujours, ce qui est le cas dans les exemples élémentaires comme le lancer d’une Pn pièce, d’un dé etc. . . . Par commodité écrivons Sn = X . Le problème qui s’est i i=1 immédiatement posé est le suivant : comment se comportent les différences Rn = Snn − m lorsque n → ∞ ? Il semble que la solution à cette question (du moins dans le cas particulier où les aléas sont de Bernoulli) a été rapidement perçue : Pour "briser" la convergence de la quantité Rn vers zéro, il suffit de la multiplier √ √ par n. Alors, nRn qui s’écrit √

nRn =

Sn − nm √ , n

(1)

ne tend plus vers zéro mais en restant toutefois aléatoire, ne varie plus beaucoup et se distribue suivant une courbe en forme de "cloche", la distribution normale. En termes actuels, , converge en distribution (ou en loi1 ) vers la loi normale2 N (0, σ 2 ), où σ 2 la suite Sn√−nm n est une autre caractéristique de l’aléa considéré : la variance. Néanmoins en normalisant la quantité (1) par σ, on obtient : Sn − nm √ −→ N (0, 1), σ n

(2)

(en loi), ce qui fait apparaître la loi normale N (0, 1), comme une sorte "d’invariant" vers quoi tendent toutes les sommes normalisées du type (2) et ceci quelque soit la nature de l’aléa considéré (évidemment, si on se restreint à des aléas ayant une variance finie). C’est le début de l’histoire qu’on peut trouver dans tous les manuels qui traitent des probabilités (voir par exemple [25] pour une introduction particulièrement intéressante au calcul des probabilités). C’est dans le deuxième quart du vingtième siècle, en même temps que Kolmogorov éclairçissait les fondements des probabilités, en les basant sur la théorie de la mesure, qu’on voit apparaître les premières démonstrations rigoureuses du théorème limite central. On peut citer celles de Liapounov, Lindeberg, Cramer, Feller et Lévy . Dans la plupart des cas les énoncés obtenus sont plus généraux qu’ en (2), par exemple les variables aléatoires Xi ne sont pas forcément de même loi et par la suite, dans d’autres travaux, l’hypothèse d’indépendance est remplacée par d’autres conditions (dépendance markovienne, stationnarité, etc. . . ). Puis sont apparus les résultats fonctionnels (principe d’invariance de Donsker. . . ) qui donnent la première place au mouvement brownien et qui élargissent la problématique du théorème limite central à l’étude de la convergence en loi des processus. En même temps, les aléas Xi sont considérés à valeurs dans des espaces plus généraux (espaces de Banach, groupes topologiques). Les travaux des 50 dernières années sur ce sujet sont si nombreux qu’il n’est pas possible 1 2

cette notion de convergence va être définie dans le deuxième paragraphe voir le paragraphe 2 pour l’expression précise de la loi normale.

Le Théorème Limite Central

119

d’en rendre compte d’une manière satisfaisante si ne on ne se restreint pas à un petit nombre d’aspects. L’auteur a donc décidé de privilégier certains thèmes parmi ceux qui lui sont les plus familiers, en particulier ceux sur lesquels il a travaillé : les groupes de Lie et les hypergroupes. Il espère obtenir l’indulgence du lecteur en lui faisant cet aveu d’emblée. L’exposé comporte cinq parties. La première est l’introduction. La deuxième est constituée de rappels sur la convergence en loi et la notion de processus gaussien sur un groupe de Lie. Dans la troisième partie qu’on peut considérer comme didactique, nous rappelons trois démonstrations classiques du théorème limite central. La plus connue est celle de Paul Lévy qui utilise la transformation de Fourier. Une autre preuve assez différente et plus dans l’esprit des statisticiens est celle de Lindeberg. Enfin la démonstration la plus analytique qui utilise de manière élémentaire la théorie des opérateurs de convolution, est due à Trotter ([48] ). Ces trois preuves ont en commun un point extrêmement important et qui permet de bien démystifier la question : Le théorème limite central est fortement lié à la formule de Taylor donc à la structure différentiable de l’espace euclidien Rn . Les exemples présentés sur d’autres structures dans les parties 2 et 3 confirmeront largement cette impression. La quatrième partie concerne le théorème limite central sur les groupes de Lie. Les résultats que nous rapportons datent des années 1970-80 mais beaucoup de questions restaient en suspens et on assiste actuellement à un regain d’intérêt pour ces problèmes. Le cas d’un groupe de Lie G nilpotent simplement connexe est assez caractéristique des difficultés qu’on rencontre en général dans le problème de la normalisation des "sommes" Sn = X1 .X2 . . . Xn (qui sont en fait ici des produits). On obtient néanmoins comme limite la loi au temps 1 d’un mouvement brownien (βt )t>0 du groupe G. Une façon d’éviter les problèmes de normalisation est de considérer des systèmes triangulaires infinitésimaux qui sous des conditions assez naturelles convergent aussi en loi vers β1 . Cette idée est reprise dans la cinquième partie dans le cas des hypergroupes. La cinquième partie est consacrée au théorème limite central sur les hypergroupes commutatifs et plus précisément aux trois exemples les plus étudiés : les hypergroupes polynomiaux, les hypergroupes de Chébli-Trimèche et les hypergroupes avec drift, ces derniers constituant une classe assez générale incluant en grande partie les deux précédentes. Les résultats présentés montrent que la question du théorème limite central sur ces structures est assez complexe car on peut obtenir des lois limites très différentes suivant les méthodes de normalisation adoptées : ainsi on peut dans certains cas obtenir une convergence vers la loi au temps 1 d’un mouvement brownien spécifique à l’hypergroupe ou vers une loi normale usuelle.

2. 2.1.

Rappels et Notations Notions de Convergence en Loi

Soit (Ω, F, P ), un espace probabilisé sur lequel sont supposées définies toutes les variables aléatoires considérées dans la suite de cet article et dont nous ne ferons plus référence, sauf indication contraire (par exemple dans la dernière partie). Soit (E, B) un espace topologique localement compact muni de sa tribu borélienne. L’en-

120

Léonard Gallardo

semble des mesures de probabilités définies sur B 3 (resp. des mesures positives bornées, i.e. de masse finie) sera désigné par M1 (E) (resp. Mb (E)). L’ensemble des fonctions réelles définies sur E qui sont continues bornées (resp. continues à support compact, resp. tendant vers zéro à l’infini, resp. de classe C k ) est noté Cb (E) (resp. Cc (E), resp. C0 (E)), resp. C k (E)). Si X est une variable aléatoire à valeurs dans E, sa loi est la mesure µ ∈ M1 (E) telle que pour tout B ∈ B, µ(B) = P (X ∈ B). Pour abréger, on écrira parfois, µ = L(X), pour signifier que µ est la loi de la variable aléatoire X. Comme il est de tradition chez les probabilistes, on utilisera souvent dans la suite la locution "loi de probabilité" au lieu de "mesure de probabilité" même lorsqu’on ne précise pas la variable aléatoire dont cette mesure est la loi. Ainsi, par exemple, la loi normale N (0, σ 2 ) est la mesure de probabilité sur R donnée par µ(dx) = √

1 x2 exp(− 2 )dx 2σ 2πσ

et la loi normale N (0, 1) correspond au cas σ 2 = 1. On dit que des variables aléatoires X1 , . . . , Xn , de lois respectives µ1 , . . . , µn , sont indépendantes si le vecteur aléatoire (X1 , . . . , Xn ) à valeurs dans l’espace topologique produit E n a pour loi de probabilité la mesure µ1 ⊗ · · · ⊗ µn (produit tensoriel des mesures µ1 , . . . , µn ). Plus généralement, quand on parle d’une suite (Xn )n∈N de variables aléatoires indépendantes, cela signifie que pour tout entier N , les variables aléatoires X1 , . . . , XN sont indépendantes. Si X1 , . . . , Xn sont des variables aléatoires indépendantes à valeurs dans un groupe topologique localement compact G, de lois respectives µ1 , . . . , µn , la loi de la variable aléatoire S = X1 ◦ X2 ◦ · · · ◦ Xn , où ◦ désigne l’opération produit dans G, est le produit de convolution µ1 ? · · · ? µn (dans cet ordre si le groupe n’est pas commutatif), où pour µ, ν ∈ M1 (G), on a : Z Z < µ ? ν, f >= f (x ◦ y)µ(dx)ν(dy), (f ∈ Cc (G)), G

G

avec bien entendu + à la place de ◦ dans la formule précédente lorsque G = R. Nous rappelons maintenant ce qu’est la convergence en loi : On dit qu’une suite (µn )n>0 ⊂ Mb (E) converge vers µ ∈ Mb (E) étroitement (resp. faiblement) si pour toute f ∈ Cb (E) (resp. f ∈ C0 (E)), on a lim < µn , f >=< µ, f > .

n→∞

Si on a convergence faible de (µn )n>0 vers µ et s’il y a conservation de la masse (i.e. limn→∞ µn (E) = µ(E)), alors (µn )n>0 converge étroitement vers µ. On sait également (théorème de Helly-Bray) que de toute suite (µn )n>0 ⊂ M1 (E), on peut extraire une sous suite (µnk )nk qui converge faiblement vers une limite µ ∈ Mb (E) et si toutes les limites de sous suites faiblement convergentes sont égales à µ, la suite (µn )n>0 converge faiblement vers µ. Une suite de variables aléatoires (Xn )n>0 de lois (µn )n>0 ⊂ M1 (E), converge en loi si la 3

souvent dans la suite de l’article nous dirons, par abus de langage, que les mesures sont définies sur E.


121

suite (µn )n>0 converge étroitement donc vers une mesure µ ∈ M1 (E). Si alors X est une variable aléatoire de loi µ, on dit que la suite (Xn ) converge en loi vers X et on écrit : L

Xn → X. Lorsque E = R, la fonction de répartition de la variable aléatoire X (ou de la loi µ de X) est la fonction F : R −→ [0, 1], définie par F (x) = P (X ≤ x)(= µ(] − ∞, x]). Si Fn (resp. F ) est la fonction de répartition de Xn (resp. de X), la convergence en loi de Xn vers X équivaut à la convergence simple de Fn (x) vers F (x) en tout point x de continuité de F . Plus généralement la convergence étroite de la suite (µn )n>0 vers µ, équivaut à la convergence de µn (A) vers µ(A) pour tout borélien A tel que µ(∂A) = 0 (∂A désignant le bord de A).

2.2.

Processus Gaussiens sur un Groupe de Lie

Nous allons dans cette partie introduire de manière succinte la notion de processus gaussien sur un groupe de Lie. Certaines de ces notions peuvent être présentées dans un cadre plus général (voir [26], [27] et [31] pour le travail initial sur ce sujet). Soit G un groupe de Lie connexe, d’algèbre de Lie Λ(G). On fixe une base d1 , . . . , dn de Λ(G) et soit x1 , . . . , xn le système de coordonnées canoniques de G correspondant. Plus précisément, si exp est l’application exponentielle de Λ(G) dans G, on identifie les vecteurs di aux opérateurs différentiels Di du premier ordre sur G (invariants à gauche), définis par : Di f (g) =

d f (g. exp tdi )|t=0 , dt

et les coordonnées canoniques sont les fonctions xi définies sur l’ouvert U0 = exp Λ(G) (voisinage de l’élément neutre e de G et domaine de "la carte exponentielle"), telles que xi (g) est la composante sur di du vecteur exp−1 (g) (g ∈ U0 ). Lorsque G est un groupe exponentiel (i.e. exp Λ(G) = G), les coordonnées canoniques sont définies sur G tout entier. On appelle semi-groupe de convolution sur G, toute famille (µt )t≥0 ⊂ M1 (G) de mesures de probabilité sur G, vérifiant les propriétés suivantes : i)µ0 = 0

(la mesure de Dirac en 0)

ii)∀s, t ≥ 0, iii)∀t0 ≥ 0,

µt ? µs = µs+t µt → µt0 ,

faiblement si t → t0 .

(on notera que dans la condition iii), la convergence est en fait étroite car la limite est une probabilité donc il y a conservation de la masse par hypothèse). Une famille (Xt )t≥0 de variables aléatoires à valeurs dans G est un processus de Lévy (ou processus à accroissements indépendants) associé au semi-groupe (µt )t≥0 , si pour tout entier n > 0 et tous réels 0 ≤ t0 < t1 < . . . < tn , les accroissements Xti Xt−1 (1 ≤ i ≤ n) i−1 sont des variables aléatoires indépendantes et de lois respectives µti −ti−1 (autrement dit pour tout s ≥ 0 et t > 0, Xs+t Xs−1 est de loi µt ).

122

Léonard Gallardo

(Xt )t≥0 est alors un processus de Markov (homogène), dont le semi-groupe (Pt )t≥0 des opérateurs de transition est de la forme : Z Pt f (g) = f (gh)µt (dh) =< g ? µt , f >, G

(f ∈ Cb (G), g ∈ G). En d’autres termes, la probabilité pour le processus partant de g ∈ G de "tomber" dans le borélien A ⊂ G au bout d’un temps t > 0 est égale à P (Xs+t ∈ A|Xs = g) = g ? µt (A) (pour tout s ≥ 0). Le générateur infinitésimal du processus de Lévy (Xt )t≥0 , est l’opérateur L défini sur l’ensemble D(L) des fonctions f ∈ C0 (G) telles que 1 Lf = lim (Pt f − f ), t→0 t

existe,

au sens de la norme uniforme sur C0 (G). Supposons maintenant pour simplifier les énoncés que les coordonnées canoniques sont globales. On montre ([27], [30]), qu’il existe des réels (ai )1≤i≤n , une matrice (ai,j )1≤i,j≤n symétrique de type positif et une mesure positive η à support dans G \ {e} (la mesure de Lévy) tels que pour toute fonction f ∈ Cc2 (G), on ait : Lf (g) =

X

ai Di f (g) +

1≤i≤n

+

Z

G\{e}

X

ai,j Di Dj f (g)

1≤i,j≤n

f (gh) − f (g) −

X

1≤i≤n

xi (h)Di f (g) η(dh).

On dit alors que le processus (Xt )t≥0 est un processus gaussien de G si sa mesure de Lévy η est nulle ou, ce qui est équivalent, que le semi-groupe (µt )t≥0 vérifie la condition de Dynkin, i.e. : lim µt (G \ U ) = 0, t→0

pour tout voisinage U de l’élément neutre. Ainsi pour un processus gaussien, son générateur infinitésimal est l’opérateur différentiel Lf (g) =

X

1≤i≤n

ai Di f (g) +

X

ai,j Di Dj f (g).

1≤i,j≤n

∂ (1 ≤ i ≤ d), le mouvement brownien est le Par exemple si G = Rd et Di = ∂x i processus gaussien tel que ai ≡ 0, et ai,j = δij .

3.

Le Théorème Limite Central Classique

Dans cette partie, nous allons rappeler trois des démonstrations les plus connues du théorème limite central que nous avons énoncé en (2).


3.1.

123

La Démonstration de Paul Lévy

Rappelons qu’on appelle fonction caractéristique (ou transformée de Fourier) de la variable aléatoire réelle X (ou de sa loi µ), la fonction complexe définie pour tout t ∈ R, par : Z itX ϕX (t) = E(e ) = µ b(t) = eitx µ(dx). R

Le résultat suivant (de P. Lévy) dont nous donnerons une démonstration plus loin dans un cadre plus général, lie la convergence en loi et la convergence des fonctions caractéristiques : Théorème de continuité : Soit (µn )n>0 une suite de lois de probabilité de fonctions caractéristiques respectives (ϕn )n>0 . Alors : i) Si la suite (µn )n>0 converge étroitement vers une loi µ de fonction caractéristique ϕ, alors ϕn (t) → ϕ(t) pour tout t ∈ R. ii) si limn→∞ ϕn (t) = ϕ(t) existe pour tout réel t et si la fonction limite ϕ est continue en t = 0, alors ϕ est la fonction caractéristique d’une loi de probabilité µ et µn → µ étroitement.

Première démonstration du théorème limite central : Considérons la suite des variables aléatoires centrées et réduites (i.e. d’espérance nulle et de variance égale à un), ei = Xi −m , i = 1, 2, . . . Si ϕ est leur fonction caractéristique commune, on a ϕ(0) = 1, X σ e1 + . . . + X en ), sa ϕ0 (0) = 0, ϕ00 (0) = −1. La somme normalisée (2) étant égale à √1 (X n

fonction caractéristique ϕn , en tout t ∈ R, est égale à : t ϕn (t) = (ϕ( √ ))n n t2 1 = (1 − + t2 o( ))n . 2n n Donc limn→∞ ϕn (t) = exp(− 12 t2 ). Comme t −→ exp(− 21 t2 ) est la fonction caractéristique de la loi de probabilité ν(dx) = √12π exp(− 12 x2 )dx (i.e. de la loi normale), le résultat découle aussitôt du théorème de continuité.

Remarque : En supposant que les variables aléatoires Xi ont un moment d’ordre 3 (i.e. E(|Xi |3 ) = m3 < +∞) , on peut préciser, par la méthode des fonctions caractéristiques, la vitesse de convergence dans le théorème limite central. Précisement Berry et Essen (voir par exemple [9]) ont montré que si Fn (resp. F ) est la fonction de répartition des sommes normalisées (2) (resp. de la loi normale N (0, 1)), pour tout x ∈ R, on a : |Fn (x) − F (x)| ≤

3.2.

3m3 √ . σ3 n

La Démonstration de Lindeberg

On considère (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires i.i.d.4 ayant un moment d’ordre 3 et (Yn )n≥1 une suite de variables aléatoires gaussiennes i.i.d.. On suppose que les deux suites 4

dans toute la suite de l’article l’abréviation "i.i.d." signifie "indépendantes et identiquement distribuées".

124

Léonard Gallardo

sont indépendantes et que l’on a : E(Xn ) = E(Yn ) = 0 Soit Un =

√1 n

Pn

i=1 Xi ,

et

σ 2 (Xn ) = σ 2 (Yn ) = σ 2 .

(3)

µn = L(Un ), ν = L(Y1 ). On veut estimer

Z |µn (A) − ν(A)| = 1A (x)(µn − ν)(dx) , R

pour A =] − ∞, x]. Remplaçons 1A par une fonction g de classe C 3 , de dérivée d’ordre 3 bornée sur R et qui coïncide avec 1A sauf sur un petit voisinage du point x. On va donc estimer l’intégrale : Z I=

R

g(x)(µn − ν)(dx).

(4)

Pour cela considérons les variables aléatoires Un,k

1 =√ n

k−1 X i=1

Xi +

n X

Yi

i=k+1

!

.

En remarquant que : √ √ √ √ n L(Un,k + Xk / n) = Fk−1 i=1 L(Xi / n)Fi=k+1 L(Yi / n) ? L(Xk / n),

√ et de même pour L(Un,k + Yk / n), on voit que la somme

n X Yk Xk L(Un,k + √ ) − L(Un,k + √ ) n n

(5)

k=1

est télescopique et qu’elle est égale à : n

n

1 X 1 X µn − ν = L( √ Xi ) − L( √ Yi ). n n i=1

(6)

i=1

Ceci montre que l’intégrale (4) peut s’écrire sous la forme n X Xk Yk I= E(g(Un,k + √ )) − E(g(Un,k + √ )) . n n

(7)

k=1

Xk On applique alors la formule de Taylor pour développer chacun des termes g(Un,k + √ ) n

et g(Un,k +

Yk √ ) n

autour de Un,k . Ainsi :

X2 Xk Xk 1 g(Un,k + √ ) = g(Un,k ) + g 0 (Un,k ) √ + g 00 (Un,k ) k n n n 2 1 Xk Xk3 + g (3) (Un,k + θ √ ) 3/2 , 6 n n

(8)


125

Yk Xk à la place de √ . En prenant alors les (où 0 < θ < 1) et la même formule avec √ n n espérances des deux quantités du type (8), en tenant compte de (3) et des simplifications qui en résultent dans (7), on obtient immediatement :

α3 |I| ≤ C √ n R où α3 = R |x3 ||L(X) − L(Y )|(dx) ≤ E(|X1 |3 ) + E(|Y1 |3 ) et C > 0 une constante. En fait si l’on tient compte précisément des effets dus au bord de A dans l’approximation de 1A par g, on trouve C |µn (A) − ν(A)| ≤ 1/8 n (voir [37] pour les détails techniques), ce qui donne le théorème limite central avec en même temps une vitesse de convergence, certes moins bonne qu’avec les méthodes de BerryEssen, mais avec une démonstration bien plus directe et qui peut se généraliser aux espaces de Banach ([38]).

3.3.

La Démonstration de Trotter

Si µ ∈ M1 (R) (resp. si X est une variable aléatoire réelle de loi µ), on note Tµ (resp TX ) l’opérateur de convolution5 par µ, agissant sur l’espace de Banach B des fonctions f : R −→ R bornées et uniformément continues, muni de la norme ||f || = supt∈R |f (t)| : Z TX f (t) =< t ? µ, f >= f (u + t)µ(du). R

L’opérateur TX est une contraction (i.e. kTX f k ≤ kf k) et si X1 et X2 sont des variables aléatoires indépendantes, on a TX1 +X2 = TX1 TX2 = TX2 TX1 .

(9)

Lemme 3..1 : Soient Xn , (n ≥ 1) et X des variables aléatoires. Une condition suffisante L

pour que Xn → X est que l’on ait :

lim kTXn f − TX f k = 0,

n→∞

(10)

pour toute fonction f ∈ B ayant des dérivées premières et secondes également dans B. Démonstration : La condition du lemme implique que pour toute f ∈ B, avec f 0 , f 00 ∈ B, on a TXn f (0) − TX f (0) → 0 (n → ∞), i.e. limn < µn , f >=< µ, f > (si µn et µ sont les lois respectives de Xn et X). Comme les µn conservent la masse (car µ est une probabilité), il suffit de voir que limn < µn , f >=< µ, f > pour toute fonction f ∈ Cc (R) pour obtenir la convergence en loi. Mais un argument classique utilisant une approximation de l’identité de classe C ∞ et à support compact, donne immédiatement le résultat. 5

en fait Tµ f = µ ? f , d’où le nom d’opérateur de convolution par µ.

126

Léonard Gallardo

Lemme 3..2 : Si T1 et T2 sont deux contractions qui commutent, alors pour tout f ∈ B, kT1n f − T2n f k ≤ n kT1 f − T2 f k

(11)

Démonstration : On utilise T1n (f ) − T2n (f ) = =

n−1 X

i=1 n−1 X i=1

T1n−i−1 (T1 − T2 )T2i f T1n−i−1 T2i (T1 − T2 )f,

et il suffit de prendre les normes et d’utiliser l’inégalité triangulaire pour avoir le résultat. Démonstration du théorème limite central ([48]) : Soit (Xn ) une suite de variables aléatoires i.i.d. centrées et réduites et soit N une variable aléatoire de loi N (0, 1). On pose Un = √1n (X1 + . . . + Xn ). Observons qu’on a : n TU n = T √ X1 , n

n TN = T √ N .

(12)

n

Soit f ∈ B telle que f 0 , f 00 ∈ B. La formule de Taylor donne :

u2 00 u2 f (t) + (f 00 (η) − f 00 (t)), (13) 2 2 où η est un nombre compris entre t et t + u. Alors en faisant agir l’opérateur T √ X1 sur f (t + u) = f (t) + uf 0 (t) +

n

l’équation (13) et en tenant compte du fait que la loi µ1 de X1 est centrée et réduite, on obtient : Z 1 00 1 T√ (f 00 (e η ) − f 00 (t))u2 µ1 (du), (14) f (t) = f (t) + f (t) + X1 2n 2n R n où ηe est cette fois un nombre compris entre t et t + √un . On a aussi la même expression pour T √N f (t) en remplaçant dans le membre de droite de (14) la mesure µ1 par la loi de N . n

Soit maintenant > 0 et δ > 0 tels que |f 00 (e η ) − f 00 (t)| ≤ , dès que |e η − t| ≤ δ. En décomposant l’intégrale du membre de droite de (14) en deux intégrales, l’une sur l’ensemble √ √ sur {|u| ≥ δ n}, la première est inférieure à /2n, et la seconde {|u| < δ n} et l’autre R est inférieure à C {|u|≥δ√n} u2 µ1 (du),où C est une constante, donc tend vers zéro car µ1 a un moment d’ordre deux. On obtient donc uniformément pour t ∈ R : 1 00 T X1 f (t) − f (t) − f (t) ≤ , (15) √n 2n n pour tout entier n assez grand. On obtient aussi la même inégalité avec N au lieu de X1 . En additionnant les deux inégalités (15) ainsi obtenues, on voit que pour tout t ∈ R, T X1 f (t) − T N f (t) ≤ 2 , (16) √ √n n n pour tout n assez grand. Compte tenu de (12) et du Lemme 3.2, on déduit de (16) : kTUn f − TN f k ≤ 2,

pour tout n assez grand, ce qui démontre le théorème, compte tenu du Lemme 3.1.


4.

127

Le Cas des Groupes de Lie

4.1.

Remarques Générales

Si µ ∈ M1 (R) désigne la loi commune des variables aléatoires i.i.d. Xi , 1 ≤ i ≤ n, la loi de la somme normalisée donnée en (2), est la mesure6 µn = τn (µn ? −mn ),

(17)

où µn = µ ? . . . ? µ est la n-ième puissance de convolution de µ, −mn est la mesure de 1 Dirac au point −mn (elle correspond au centrage des variables), et τn : x 7−→ σ√ x la n

1 dilatation de rapport σ√ qui est un automorphisme du groupe (additif) R. Donc τn préserve n la convolution. La mesure µn peut donc encore s’écrire :

µn = τn (µ ? −m )n = (τn (µ ? −m ))n = (τn (µ))n ? −√nm/σ

(18)

Considérons maintenant (Xn ) une suite de variables aléatoires i.i.d. à valeurs dans un groupe topologique G localement compact et séparable. On supposera dans la suite que G est un groupe de Lie dont nous noterons l’opération simplement par un point ; ainsi x.y désignera le produit des éléments x, y ∈ G. Soit µ ∈ M1 (G), la loi commune des Xi . Alors la variable aléatoire "somme"7 : Sn = X1 .X2 . . . .Xn ,

(19)

a pour loi la probabilité µn = µ ? · · · ? µ (n fois), n-ième puissance de convolution de µ pour la convolution du groupe G. La suite (Sn )n>0 sera appelée marche aléatoire (droite) de loi µ sur G. Les problèmes qui se posent sont alors les suivants : i) Comment définir une notion d’espérance pour centrer les variables aléatoires Xi ? ii) Si les variables Xi sont centrées en un certain sens, peut-on normaliser les mesures µn par exemple par des applications τn : G −→ G, de telle sorte que τn (µn ) → ν ∈ M1 (G),

étroitement, si n → ∞?

(20)

iii) Pourra-t-on choisir les applications τn de (20) dans Aut(G) (le groupe des automorphismes de G) de manière à conserver les propriétés (18) qui se sont révélées si utiles pour le théorème limite central sur R et Rd ? Une remarque s’impose concernant la question ii) ci-dessus. Si le groupe G n’est pas compact (ce que nous supposerons dans toute la suite), la mesure µn à tendance à "s’étaler" quand n → ∞. Il conviendra que les τn contractent en un certain sens. Dans le cas d’un groupe compact le théorème limite central se réduit simplement à l’étude des puissances de convolution µn de la mesure µ. C’est le problème de l’équirépartition et la mesure limite ν est une mesure idempotente (i.e. ν 2 = ν). Nous renvoyons le lecteur intéressé par ce sujet à l’ouvrage de H. Heyer [27]. 6 7

Pour τ : G −→ G et ν ∈ M1 (G), τ ν désigne la mesure image de ν par τ . c’est en fait un produit, mais par analogie avec le cas de R, nous continuerons à l’appeler somme.

128

Léonard Gallardo

Concernant la question iii), la réponse est décevante, car négative dans la plupart des cas (sauf pour les groupes nilpotents simplement connexes gradués que nous examineront au paragraphe suivant), comme par exemple de manière évidente si G est semi-simple. Même la question i) du centrage est très délicate, nous le verrons dans le cas des groupes nilpotents. C’est la raison pour laquelle on s’est tourné très tôt vers un autre type de théorème limite central concernant les systèmes triangulaires infinitésimaux de probabilités. Nous présentons de tels exemples au paragraphe 4.4 .

4.2.

La Méthode des Semi-groupes de Trotter

Une méthode d’approximation par des semi-groupes d’opérateurs introduite par Trotter [47] et perfectionnée par Kurtz [32] s’est révélée être un outil très puissant pour démontrer des résultats de convergence en loi sur les groupes. Voici l’énoncé du résultat obtenu par Trotter : (n)

Théorème 4..1 : Soit (B, ||.||) un espace de Banach et {(Tt )t≥0 ; n > 0} une suite de semi-groupes de contractions fortement continues sur B, de générateurs infinitésimaux respectivement égaux à (D(An ), An ). Soit F un sous espace dense de B tel que : i)∀n > 0, F ⊂ D(An ).

ii)∀f ∈ F, lim An f = Af existe. n

iii) il existe λ0 > 0 tel que, (λ0 I − A)(F) = B. Alors A est le générateur infinitésimal d’un semi-groupe de contractions (Tt )t≥0 fortement continu sur B et tel que : (n)

∀t > 0, ∀f ∈ B, lim ||Tt f − Tt f || = 0. n

Voici comment peut s’appliquer ce théorème dans notre contexte. Si ν est une mesure de probabilité sur le groupe G et si B est l’espace de Banach C0 (G) des fonctions continues sur G qui tendent vers 0 à l’infini, muni de la norme de la convergence uniforme, notons Tν l’opérateur de convolution8 par ν défini par : Z Tν f (x) = f (xh)ν(dh), f ∈ B. G

Supposons que pour tout entier n, les opérateurs An ainsi que l’opérateur limite A, (n) soient les générateurs infinitésimaux d’un processus de Lévy9 sur G. Les opérateurs Tt (n) et Tt sont alors des opérateurs de convolution respectivement par les probabilités µt et (n) µt où (µt )t≥0 et (µt )t≥0 sont les semi-groupes de probabilités associés. Le résultat du Théorème 4.1 implique que pour tout t > 0 (fixé) et toute fonction f ∈ F, on a Tµ(n) f (e) − Tµt f (e) → 0, quand n → ∞. t

8

On prendra garde au fait que nous utilisons la lettre T tantôt pour désigner l’opérateur Tt (appartenant à un semi-groupe (Tt )t≥0 et dans ce cas l’indice est un nombre t), tantôt pour désigner un opérateur de convolution Tν et alors l’indice est une mesure. 9 voir le paragraphe 2.2

Le Théorème Limite Central (n)

129 (n)

i.e. limn→∞ < µt , f >=< µt , f >. Comme F est dense dans C0 (G), on a µt → µt faiblement donc étroitement puisque µt est une probabilité. Ainsi, pour montrer la convergence en loi d’une suite de probabilités µn vers une probabilité µ, il suffit en principe de pouvoir les plonger chacune comme la loi au temps t = 1 d’un processus de Lévy et de montrer la convergence des générateurs infinitésimaux de ces processus. Cette opération qui peut paraître (au premier abord) compliquée, doit être convenablement adaptée pour devenir un outil d’une remarquable efficacité. Nous allons essayer d’expliquer succintement comment on procède : Soit µ une probabilité sur le groupe de Lie G et soit τn une suite d’automorphismes de G. On veut montrer que la suite des mesures normalisées τn µn = (τn µ)n converge en loi. Considérons l’opérateur de convolution Bn = Tτn µ , ainsi sa puissance n-ième vaut Bnn = Tτn µn . On définit alors pour tout entier n, les opérateurs An = n(Bn − I) (n)

et les semi-groupes poissonniens T (n) = (Tt )t>0 de générateurs An : (n)

Tt

= exp(tAn ).

Supposons que ces semi-groupes vérifient les hypothèses du Théorème 4.1 et soient (Tt )t≥0 le semi-groupe limite et A son générateur infinitésimal. AlorsTun résultat de [32] (Lemma (2.19) p. 363) nous assure que pour toute fonction f ∈ n>0 D(An ), on a (n)

[nt]

limn→∞ ||Tt f − Bn f || = 0 (où [nt] désigne la partie entière de nt). Ainsi, on a aussi : lim ||Bn[nt] f − Tt f || = 0.

n→∞

(21)

Supposons maintenant que A soit le générateur infinitésimal d’un processus de Lévy sur G. Ainsi Tt est l’opérateur de convolution Tµt associé à une probabilité µt ∈ M1 (G). Il suffit alors, compte tenu de la définition de Bnn , de faire t = 1 dans (21) pour voir que Tτn µn f (e) → Tµ1 f (e)

(n → ∞),

ce qui montre que τn µn converge en loi vers µ1 .

4.3.

Le Théorème Limite Central sur un Groupe Nilpotent

Les résultats de cette sous-section datent des années 1975-80 et sont typiques des questions dont nous avons discuté dans l’introduction précédente. Le premier travail est un papier de Tutubalin [49] sur le théorème limite central pour le groupe d’Heisenberg de dimension trois. L’étude du cas général des groupes de Lie nilpotents a été ensuite effectuée en grande partie par A. Raugi qui a également traité le cas des groupes résolubles et montré comment le cas des groupes de Lie plus généraux pouvait s’y ramener ([8], [40], [39], [41]). Soit N un groupe de Lie nilpotent simplement connexe. C’est un groupe de Lie exponentiel qu’on identifie à son algèbre de Lie. Le produit du groupe est alors donné pour tous x, y ∈ N par la formule de Campbell-Hausdorff : 1 x.y = x + y + [x, y] + · · · 2

130

Léonard Gallardo

Soit N = N 1 ⊃ N 2 ⊃ . . . ⊃ N r ⊃ N r+1 = {0}, la suite centrale descendante de N . Soit mi un sous espace supplémentaire de N i+1 dans N i (1 ≤ i ≤ r). L’entier r est le rang du groupe nilpotent N et on a la décomposition en somme directe : N = m1 ⊕ . . . ⊕ mr .

(22)

Choisissons une base (e1 , . . . , ep1 ), (ep1 +1 , . . . , eP p2 ), . . . , (epr−1 +1 , . . . , epr ) adaptée à r la décomposition (22). Ainsi tout x ∈ N s’écrit x = pi=1 xj ej , avec xj ∈ R. Ceci permet de définir sur N des fonctions polynômes à l’aide des coordonnées (xj ) mais avec une notion de degré différente : on convient que le degré de xj , degxj = l si pl−1 + 1 ≤ j ≤ pl . Ainsi pour A(x) = xα1 1 . . . xαprr , on convient de poser :     p1 p2 pr X X X αj  . degA = αj + 2  αj  + · · · + r  j=1

j=p1 +1

j=pr−1 +1

Le degré d’un polynôme est alors la somme des degrés de ses monômes. Cette notion de degré ne dépend pas de la base adaptée choisie. On sait qu’il existe sur N , une distance d (invariante à gauche) telle qu’il existe un compact V , pour lequel {x ∈ N ; d(0, x) ≤ n} ⊂ V n . On dira alors qu’une probabilité µ ∈ M1 (N ) admet un moment d’ordre p si Z (d(x))p µ(dx) < ∞, N

ce qui équivaut en fait à dire que les polynômes de degré p sont intégrables pour la mesure µ. On dira ainsi que la mesure µ est centrée si µ a un moment d’ordre 1 et si pour tout monôme A(x) de degré 1, on a Z A(x)µ(dx) = 0. N

On dira que la mesure de probabilité µ est apériodique si elle n’est pas portée par une classe d’un sous groupe distingué propre de N . On a alors le résultat suivant de Crépel et Raugi [8] : Théorème 4..2 : Soit (Xn )n≥1 une suite de variables aléatoires i.i.d. sur N , de loi commune µ centrée, apériodique et possédant un moment d’ordre 2r. On pose Sn = X1 . . . Xn P (i) et on considère Sn = 1≤i≤r Sn sa décomposition sur la somme directe (22). Alors la suite de variables aléatoires définies par : X Sn(i) τn (Sn ) = , ni/2 1≤i≤r

(23)

converge en loi vers une probabilité ν ∈ M1 (N ) qui ne dépend que des moments d’ordre 2 de µ. Cette mesure ν est absolument continue par rapport à la mesure de Haar10 de N et 10

en fait c’est la mesure de Lebesgue.


131

c’est la loi au temps t = 1 d’un processus gaussien sur N de générateur infinitésimal X X L= ai Di + ai,j Di Dj , p1 +1≤i≤p2

1≤i,j≤p1

où R Di est l’opérateur de dérivation associé au vecteur ei , ai = N xi xj µ(dx).

R

N

xi µ(dx) et ai,j =

Idée de la démonstration : Soit Bn l’opérateur sur C0 (N ) défini par Z Bn f (x) = f (x.τn y)µ(dy). N

C’est l’opérateur de convolution par la mesure τn µ. Lorsque le groupe N est gradué (i.e. pour tous 1 ≤ i, j ≤ r, [mi , mj ] ⊂ mi+j 11 ), alors τn est un automorphisme de N , et on a Z Z n Bn f (x) = ... f (x.τn y1 . . . . .τn yn )µ(dy1 ) . . . µ(dyn ) N ZN = f (x.τn y)µn (dy) N

= E[f (x.τn (Sn )].

On peut alors montrer, en utilisant convenablement la formule de Taylor que pour toute fonction f suffisamment régulière, on a n(Bn − I)f → Lf , quand (n → ∞). Le résultat s’en déduit en utilisant la méthode des semi-groupes de Kurtz-Trotter présentée au paragraphe précédent. Lorsque N n’est pas gradué, on peut définir sur N un nouveau produit x.0 y (donc un nou0 veau crochet de Lie [x, y]0 ) tel qu’on ait [mi , mj ]0 ⊂ mi+j . Si Sn est le nouveau produit des variables aléatoires X1 , . . . , Xn , on peut montrer que les variables aléatoires τn (Sn ) et 0 τn (Sn ) sont proches en un certain sens, ce qui permet de conclure. On notera que seuls les opérateurs Di correspondants à la base (e1 , . . . , ep1 ) du sous espace m1 apparaissent dans la partie d’ordre 2 de l’opérateur différentiel L. Ceci suffit à assurer que L n’est pas dégénéré car m1 engendre N en tant qu’algèbre de Lie ([29]). Quand la mesure µ n’est pas centrée, le problème ne se ramène pas au théorème précédent car contrairement au cas de Rd il ne revient pas au même de centrer successivement les Xn ou de centrer directement Sn , comme on peut s’en rendre compte dans [8] mais surtout dans [40]. La technique particulièrement élaborée mise au point par Raugi dans [40] pour résoudre le cas non-centré consiste à construire une décomposition de l’algèbre N adaptée à la mesure µ. De plus, en utilisant une technique de troncature, il parvient à ramener l’hypothèse de moment d’ordre 2r du théorème précédent, à l’hypothèse minimale, i.e. moment d’ordre 2. Nous nous contenterons seulement de résumer sa démarche : Soit m un supplémentaire de N 2 dans N . Notons x l’application projection de N sur m. Ce qui va jouer le rôle d’espérance ou plutôt de "constante " de centrage est l’élément X ∈ m, défini par Z X=

x(g)µ(dg).

N

11

on convient que mi+j = {0} si i + j > r.

132

Léonard Gallardo

On définit alors une suite d’idéaux de N associés à µ de la manière suivante. On pose : = N , I 1,1 (µ) = N 2 + RX, et si (l, k) ∈ N × N, avec 0 ≤ k < l, on désigne l,k par I (µ), l’idéal de N l engendré par N l+1 et par les crochets de l éléments de m parmi lesquels figurent au moins k fois le vecteur "espérance" X. Ordonnons ensuite l’ensemble E = {(l, k) ∈ N2 ; 0 ≤ k < l} ∪ {(1, 1)} à l’aide de la relation d’ordre total définie par : ( l > l0 ou 0 0 (l, k) (l , k ) ⇔ l = l0 et k > k 0 . I 1,0 (µ)

On a ainsi construit une suite décroissante (pour l’ordre ) d’idéaux I l,k (µ), indépendante du choix du supplémentaire m de N 2 dans N et vérifiant I l,k (µ) = 0 si l > r et I l,0 (µ) = N l si l ≥ 1 Pour tout (l, k) ∈ (E, ), désignons par ml,k un supplémentaire de I l0 ,k0 (µ) dans I l,k (µ), où (l0 , k0 ) désigne le plus petit élément de (E, ) supérieur à (l, k). Pour x ∈ N et (l, k) ∈ (E, ), soit x(l,k) la composante de x sur ml,k . On a ainsi X x= x(k,l) . {(k,l)∈E;l≤r}

Pour tout entier n > 0 et x ∈ N , on pose maintenant τn (x) =

X

{(l,k)∈E;2≤l≤r}

x(l,k) x(1,0) + x(1,1) √ + n n(l+k)/2

(24)

Le théorème limite central peut alors s’énoncer comme suit :

Théorème 4..3 : Soit µ ∈ M1 (N ) apériodique et ayant un moment d’ordre 2. Alors la suite des mesures de probabilités τn (µn ? (−nX) ) converge en loi vers une mesure de probabilité ν absolument continue par rapport à la mesure de Haar de N . De plus ν est la loi au temps t = 1 d’un processus gaussien sur N qu’on peut décrire explicitement. La description explicite du processus gaussien du théorème apparaît dans la démonstration très technique que nous omettons. Contentons nous de faire remarquer que les normalisations (24) dépendent de la mesure µ (comme la suite des idéaux I (k,l) (µ)) et que l’auteur utilise encore la technique de Kurtz-Trotter comme dans le théorème 4.2 mais appliquée cette fois à une chaîne espace-temps (voir [40] pour tous les détails).

4.4.

Systèmes Triangulaires de Probabilités sur un Groupe de Lie

Pour éviter le problème délicat de la normalisation des "sommes" Sn de (19), on considère plutôt des produits de variables aléatoires infiniment petites (ce qui revient à supposer qu’elles sont données normalisées !). Ces résultats sont plus élémentaires que ceux


133

de la section précédente et sont antérieurs dans l’ordre historique puisqu’ils datent des années 1960-70. Considérons donc un système triangulaire12 (µn,k )1≤k≤kn de mesures de probabilités sur un groupe de Lie connexe G. Pour tout entier n > 0, on notera µn = µn,1 ? µn,2 ? · · · ? µn,kn le produit de convolution des mesures de la ligne n. On dit alors que le système (µn,k )1≤k≤kn est : i) infinitésimal, si lim max µn,k (G \ U ) = 0, (25) n→∞ 1≤k≤kn

pour tout voisinage compact U de l’élément neutre e de G. ii) commutatif, si µn,k ? µn,l = µn,l ? µn,k ,

(26)

pour tout n > 0 et 1 ≤ l, k ≤ kn . iii) convergent (vers µ ∈ M1 (G)), si lim µn = µ,

n→∞

(27)

faiblement (donc étroitement puisqu’on suppose µ ∈ M1 (G)). L’exemple le plus simple de système triangulaire possèdant les trois propriétés précédentes est fourni par G = R, µ une probabilité centrée de variance égale à 1, et µn,k = (τn µ)k , 1 ≤ k ≤ n, où τn est l’homothétie de rapport √1n . D’après le théorème limite central (2), ce système converge vers la loi normale N (0, 1). Il est intéressant de rappeler comment la condition d’infinitésimalité peut s’exprimer aussi en utilisant la transformation de Fourier. Pour cela on a besoin des prérequis suivants (voir [28]) : Une représentation D du groupe de Lie G est un homomorphisme D : G −→ L(H) de G dans le groupe L(H) des opérateurs unitaires d’un espace de Hilbert complexe H = H(D) (l’espace de la représentation D), tel que pour tout u ∈ H, l’application x 7−→ D(x)u de G dans H soit continue. On notera Rep(G) l’ensemble de toutes les représentations de G, et par Irr(G) l’ensemble de celles qui sont irréductibles. Pour une mesure bornée µ ∈ Mb (G) sur G, sa transformée de Fourier µ b est l’application définie sur Rep(G) telle que pour tout D ∈ Rep(G), µ b(D) est l’opérateur sur H(D) tel que : Z ∀u, v ∈ H(D), < µ b(D)u, v >= < D(x)u, v > µ(dx), G

où < ., . > désigne le produit scalaire de H(D). Les principales propriétés de la transformation de Fourier sont les suivantes : i) ||b µ(D)|| ≤ ||µ|| = µ(G). ii) L’application µ 7−→ µ b est injective sur Irr(G). iii)Pour tous a, b ∈ R, tous µ1 , µ2 ∈ Mb (G), (aµ1 + bµ2 )∧ = ac µ1 + bc µ2 . iv) Pour toute D ∈ Rep(G) et µ1 , µ2 ∈ Mb (G), (µ1 ? µ2 )∧ (D) = µ c1 (D)c µ2 (D). Lorsque G est abélien, toute représentation D est de dimension 1 (i.e. H(D) = C), pour tout x ∈ G, Dx est une homothétie : λ 7−→ χ(x)λ qu’on identifie à son coefficient χ(x). b (le La représentation D est donc identifiée au caractère χ : x 7−→ χ(x) et Rep(G) = G 12

en fait la dénomination "triangulaire" n’est vraiment bien adapté que lorsque kn = n.

134

Léonard Gallardo

dual de G) à l’ensemble des caractères de G. La transformée de Fourier µ b d’une mesure b µ ∈ Mb (G) est alors une application de G dans C. On peut maintenant présenter le résultat suivant de Siebert (obtenu dans [43] dans le cadre plus général des groupes topologiques localement compacts) : Théorème 4..4 : Le système triangulaire (µn,k ) de probabilités sur le groupe de Lie G, est infinitésimal si et seulement si pour toute représentation D ∈ IrrG et tout vecteur u ∈ H(D), on a : lim max ||µd n,k (D)u − u|| = 0.

n→∞ 1≤k≤kn

(28)

Considérons maintenant {D1 , . . . , Dd } une base de l’algèbre de Lie Λ(G) de G et x1 , . . . , xd un système de coordonnées dans G, adapté à cette base et valable dans un voisinage U0 de l’élément neutre e ∈ G. Soit ϕ une fonction de Hunt sur G, i.e. une fonction mesurable positive, bornée sur le complémentaire de tout voisinage de e et telle que

ϕ(g) =

d X

x2i (g),

i=1

au voisinage de e. Le théorème suivant est de Wehn [54]. On pourra trouver sa démonstration complète dans [23] : Théorème 4..5 : Soit (µn,k ) un système triangulaire sur le groupe de Lie G, qu’on suppose infinitésimal et commutatif. On suppose de plus que pour tout voisinage U de l’élément neutre e et tout 1 ≤ i, j ≤ d, il vérifie les conditions suivantes : i) limn→∞ ii) la suite

Pk n R

k=1 U

Pn

iii) limn→∞ iv) limn→∞

k=1

xi (g)µn,k (dg) = ai existe.

R xi (g)µn,k (dg) est uniformément bornée. U

Pk n R

k=1 U

Pk n R

xi (g)xj (g)µn,k (dg) = ai,j existe.

k=1 G\U

ϕ(g)µn,k (dg) = 0.

Alors le système triangulaire converge vers la loi au temps t = 1 d’un processus gaussien sur G de générateur infinitésimal :

A=

d X i=1

ai Di +

X

ai,j Di Dj .

1≤i,j≤d

Noter que la loi limite peut être dégénérée car on n’a rien supposé sur les coefficients de A.


5.

135

Le Cas des Hypergroupes

5.1.

Notations

Nous renvoyons au livre de Bloom et Heyer [4] pour les définitions précises et les résultats résumés ci-dessous. Soit (H, ?) un hypergroupe commutatif ; c’est à dire l’espace topologique H est supposé localement compact et à base dénombrable et la convolution (notée ?) sur l’espace Mb (H) des mesures bornées sur H, est une opération commutative. De plus, on notera e l’élément unité et x 7→ x− désignera l’involution de H. Comme d’habitude, C(H), Cc (H), Cb (H) désigneront respectivement les espaces des fonctions continues, continues et à support compact, continues et bornées définies sur H et à valeurs réelles ou complexes. Lorsque H a une structure différentiable, les mêmes espaces avec un indice supérieur k ou ∞, indiqueront qu’il s’agit en plus de fonctions de classe C k ou C ∞ . La translatée par x ∈ H d’une fonction f ∈ C(H) est la fonction fx ∈ C(H) donnée par Z ∀y ∈ H, fx (y) = f (u)(x ? y )(du) =< x ? y , f > . H

La mesure de Haar (unique à une constante multiplicative près) est notée σ. b est l’ensemble des caractères de H i.e. l’ensemble des χ ∈ Cb (H) Le dual de H, noté H vérifiant ∀x, y ∈ H, χx (y) = χ(x)χ(y) et χ(x− ) = χ(x). b de la topologie de la convergence uniforme sur les compacts. Ainsi, H b est On munit H un espace de Hausdorff localement compact mais ce n’est pas un hypergroupe en général. La transformée de Fourier d’une mesure µ ∈ Mb (H), resp. d’une fonction f ∈ L1 (H, σ) b par : est définie pour tout χ ∈ H Z Z b f (x)χ(x)σ(dx). µ b(χ) = χ(x)µ(dx), resp. f (χ) = H

H

ν∨

b on définit sa transformée de Fourier réciproque comme la fonction Pour ν ∈ Mb (H), définie pour tout x ∈ H par : Z d ν ∨ (x) = χ(x)ν(dχ). H

µ−

Si on note la mesure image de la mesure µ ∈ Mb (H) par l’involution de l’hyperb on a la formule de réciprocité de Fourier groupe, alors pour tout µ ∈ Mb (H) et ν ∈ Mb (H), qui s’écrit sous la forme : Z Z ∨ − ν (x)µ (dx) = µ b(χ)ν(dχ). (29) H

H

b appelée mesure de Plancherel telle que pour Il existe une mesure (positive) σ b sur H 1 2 b toute fonction f ∈ L (H, σ) ∩ L (H, σ b), on ait : Z Z 2 |f (x)| σ(dx) = |fb(χ)|2 σ b(dχ). (30) H

H

Il résulte de ce qui précède, que la transformation de Fourier se prolonge en une isoméb σ trie de L2 (H, σ) sur L2 (H, b).

136

Léonard Gallardo

5.2.

Le Théorème de Continuité de Paul Lévy

Comme annoncé dans le paragraphe 3.1 nous donnons ci-dessous une preuve du théorème de continuité dans le cadre des hypergroupes. En fait nous donnons deux résultats car il y a deux types d’hypergroupes : ceux qui sont "proches" des groupes, précisément lorsque le support de la mesure de Plancherel contient le caractère 1 et les autres qui ne vérifient pas cette propriété. Dans ce deuxième cas nous sommes amenés à faire une hypothèse, sur les caractères de l’hypergroupe, qui se trouve vérifiée dans tous les exemples connus. Les deux théorèmes qui suivent sont de Gallardo et Gebuhrer [18]. Théorème 5..1 : Soit H un hypergroupe commutatif vérifiant la condition suivante : Le support de la mesure de Plancherel σ b contient le caractère 1.

Alors pour toute suite (µn )n>0 de probabilités sur H, on a les équivalences : i) La suite (µn )n>0 converge étroitement vers une probabilité µ sur H. b vers une fonction φ continue au ii) La suite (c µn )n>0 converge σ b-presque partout sur H b point 1 ∈ H.

Démonstration : i) implique ii) est clair. Supposons l’hypothèse ii) vérifiée et extrayons de la suite (µn )n>0 une sous suite (µnk )nk faiblement convergente vers une mesure positive µ b Par (29), on a (de masse ≤ 1)). Soit ψ ∈ Cc (H). Z Z µ d ψdb σ = ψ ∨ dµ− nk nk . H

Or

ψ∨

H

∈ C0 (H) de sorte que par limite faible Z Z ∨ − lim ψ dµnk = ψ ∨ dµ− . k→∞ H H Z = µ bψdb σ. H

D’autre part le théorème de convergence dominée assure qu’on a Z Z lim µ d σ= φψdb σ. nk ψdb k→∞ H

b on a donc Pour toute ψ ∈ Cc (H) Z H

µ bψdb σ=

H

Z

φψdb σ,

H

ce qui prouve que φ = µ b, σ b-presque partout. Or φ est continue en 1 et tout voisinage de 1 est chargé par σ b donc µ b(1) = φ(1) = 1, ce qui prouve que µ ∈ M1 (H). Mais toute autre suite extraite de (µn )n>0 qui converge, converge vers une mesure dont la transformée de Fourier est égale à φ i.e. (µn )n>0 n’a qu’une seule valeur d’adhérence faible donc elle converge (vers µ).


137

Théorème 5..2 : On suppose que l’hypergroupe commutatif H vérifie la condition suivante : b et il existe un voisinage V de 1 tel que pour Le caractère 1 n’est pas isolé dans H tout χ ∈ V \ {1}, on ait limx→∞ χ(x) = 0. Alors pour toute suite (µn )n>0 de probabilités sur H, on a les équivalences : i) La suite (µn )n>0 converge étroitement vers une probabilité µ sur H. b vers une fonction φ continue au ii) La suite (c µn )n>0 converge simplement sur H b point 1 ∈ H.

Démonstration : i) implique ii) de manière évidente. Supposons vérifiée l’hypothèse ii) et extrayons de (µn )n>0 une sous suite (µnk )nk faiblement convergente vers une mesure positive µ. Pour tout χ ∈ V \ {1}, on a χ ∈ C0 (H) donc par convergence faible, on obtient µ d b(χ), si k → ∞. D’où µ b(χ) = φ(χ), ce qui compte tenu de la continuité de nk (χ) → µ φ en 1 implique µ b(1) = 1. Donc µ est une probabilité et comme c’est la seule valeur d’adhérence faible de (µn )n>0 , l’assertion i) en découle.

5.3.

Moments Généralisés et Pseudo-sommes de Variables Aléatoires sur un Hypergroupe

Comme on l’a vu dans le cas d’un groupe G, le théorème limite central est lié essentiellement à la structure différentiable de G. On ne peut donc pas espérer obtenir un théorème limite central sur un hypergroupe commutatif général. Pour l’instant, de nombreux résultats ont déjà été obtenus sur des exemples particuliers. Nous allons en présenter quelques uns dans les paragraphes qui suivent. Auparavant nous allons définir la notion de moments d’une loi de probabilité qui est suffisamment générale pour tout hypergroupe ainsi que la notion de pseudo-somme de variables aléatoires très pratique pour pouvoir énoncer nos résultats sous une forme agréable, proche de la situation classique. On appelle couple (m1 , m2 ) de fonctions moments (respectivement d’ordre un et deux) d’un hypergroupe H des fonctions réelles définies sur H telles que ([14], [15], [55]) : i) m21 ≤ m2 , ii) < x ? y , m1 >= m1 (x) + m1 (y), iii) < x ? y , m2 >= m2 (x) + m2 (y) + 2m1 (x)m1 (y).

(31)

On dit alors qu’une probabilité µ sur H admet un moment (généralisé) d’ordre i = 1, 2 si la fonction mi est µ-intégrable et on pose dans ce cas mi (µ) =< µ, mi > pour désigner la valeur du moment (généralisé) d’ordre i de la mesure µ. Noter que grâce à la propriété (31) i) et à l’inégalité de Cauchy-Schwarz, l’existence du moment d’ordre 2 implique celle du moment d’ordre 1. On désigne aussi parfois par le nom d’espérance et de

138

Léonard Gallardo

variance généralisées de µ les nombres : E? (µ) = m1 (µ). V? (µ) = m2 (µ) − (m1 (µ))2 . Noter que si µ, ν ∈ M1 (H) ont un moment (généralisé) d’ordre deux, on déduit immédiatement de (31) ii) et iii) que l’on a E? (µ ? ν) = E? (µ) + E? (ν), V? (µ ? ν) = V? (µ) + V? (ν).

(32)

Si X est une variable aléatoire à valeurs dans l’hypergroupe H et de loi µ, on définit ainsi l’espérance et la variance généralisées de X (si elles existent) par E? (µ) = E(m1 (X)) V? (µ) = E(m2 (X)) − [E(m1 (X))]2 . Soit maintenant (Xn )n>0 une suite de variables aléatoires i.i.d. à valeurs dans H. Comment définir le processus des "sommes" Sn des variables aléatoires Xn ? Sur R ou sur un groupe, le processus (Sn )n>0 est un processus de Markov (homogène) de noyau (de transition) markovien défini, pour x ∈ H et A borélien de H, par P (x, A) = x ? µ(A).

(33)

Sur un hypergroupe, l’expression (33) définit aussi un noyau de transition. La chaîne de Markov (Sn )n>0 avec Ω = H N comme espace des trajectoires est P comme noyau de transition est alors appelée marche aléatoire de loi µ sur H. Comment faire le lien avec les sommes classiques ? Supposons, pour simplifier la présentation, que H est un sous ensemble de R et partons de l’observation suivante bien connue des statisticiens : Soit (Ω, F, P ) un espace probabilisé, µ une probabilité sur R et F (t) = µ(] − ∞, t]) sa fonction de répartition. Soit Z : Ω −→ [0, 1] une variable aléatoire de loi uniforme sur [0, 1]. Alors, la variable aléatoire S définie sur Ω par : S(ω) = inf{t ∈ R; F (t) ≥ Z(ω)}, est une variable aléatoire réelle de loi µ. On peut alors construire sur H une variable aléatoire de loi µ ? ν à partir de 2 variables aléatoires indépendantes X1 et X2 de lois respectives µ et ν et d’une variable aléatoire auxiliaire Z, uniforme sur [0, 1] et indépendante de (X1 , X2 ), en posant, pour tout ω ∈ Ω : S(ω) = inf{t ∈ R; X1 (ω) ? X2 (ω) (] − ∞, t]) ≥ Z(ω)}. Z

On écrira alors S = X1 + X2 et on dira que S est la pseudo-somme de X1 et X2 relativement à la variable auxiliaire Z. Soit alors (Xn )n>0 une suite de variables aléatoires


139

i.i.d. de loi µ sur H et (Zn )n>0 une suite auxiliaire indépendante de variables i.i.d. et de loi uniforme sur [0, 1]. Si on pose Z1

S1 = X1 + X2 ,

Z1

Z2

S2 = (X1 + X2 ) + X3 , . . . , Zn−1

Sn = Sn−1 + Xn On écrira alors Z1

Z2

Zn−1

Sn = X1 + X2 + . . . + Xn . Il est intéressant de noter que si µ a un moment d’ordre 2, les propriétés (32) de l’espérance et la variance généralisées impliquent immédiatement que : E? (Sn ) = nE? (X1 ) = nE? (µ), V? (Sn ) = nV? (X1 ) = nV? (µ).

(34)

L’utilité probabiliste des fonctions moment dans l’étude du comportement des sommes Sn réside en grande partie dans le résultat suivant [55] : Théorème 5..3 : Si (Sn )n>0 est une marche aléatoire sur H de loi µ ayant un moment (généralisé) d’ordre 2, alors les processus i) (m1 (Sn ) − nE? (µ))n>0 ,

ii) m2 (Sn ) − 2nE? (µ)m1 (Sn ) + n2 E?2 (µ) − nV? (µ) n>0 ,

sont des martingales.

Démonstration : i) Par le caractère markovien, la forme de la loi de Sn et la propriété (32), on a E(m1 (Sn )|Sn−1 ) =< Sn−1 ? µ, m1 >= m1 (Sn−1 ) + m1 (µ) p.s., ce qui implique immédiatement le résultat. La démonstration de ii) est analogue.

Pour terminer, nous voulons faire remarquer que la description de Sn comme une pseudo-somme n’est pas toujours indispensable pour démontrer les résultats des parties suivantes (qui concernent la convergence en loi), mais elle facilite grandement la présentation. Par contre on ne peut pas s’en passer pour démontrer des résultats de convergence presque sure du type "lois des grands nombres" etc. . . ([11], [12], [55]). Elle s’est révélée également cruciale lorsqu’on veut remplacer les conditions de moments généralisées d’ordre 2 vérifiées par une mesure par des conditions de moments usuelles (voir [17] pour un exemple typique).

5.4.

Le Théorème Limite Central sur les Hypergroupes Polynomiaux

Etant donnée une suite (Qn (x))n≥0 de polynômes orthogonaux sur [−1, 1] relativement à une mesure π(dx), normalisés par la condition Qn (1) = 1, avec Q1 (x) = x et dont les coefficients de linéarisation c(i, j, r) définis par : Qi (x)Qj (x) =

i+j X

r=|i−j|

c(i, j, r)Qr (x),

140

Léonard Gallardo

sont tous ≥ 0, on peut définir une convolution sur Mb (N), par : ∀m, n ∈ N,

n ? m =

i+j X

c(i, j, r)r .

(35)

r=|i−j|

On obtient ainsi une structure d’hypergroupe dite hypergroupe polynomial sur N d’élément unité e = 0 et d’involution l’identité. Les exemples les plus connus sont les hypergroupes polynomiaux de Jacobi et de Cartier-Dunau ([10], [11], [14], [15], [50]). Les trois suites de nombres réels (pn ), (qn ), (rn ) telles que pn > 0, rn ≥ 0, qn+1 > 0, q0 = 0 et pn + qn + rn = 1 et qui satisfont, pour n ≥ 1 : xQn (x) = qn Qn−1 (x) + rn Qn (x) + pn Qn+1 (x), sont appelées les paramètres de l’hypergroupe. Lorsque l’hypergroupe a des paramètres convergents i.e. limn→∞ pn = p et limn→∞ qn = q, on a montré dans [14] et [15] qu’il a un couple de fonctions moments données par : 0

m1 (n) = (p − q)Qn (1) 0

(36) 00

m2 (n) = (p + q)Qn (1) + (p − q)2 Qn (1).

(37)

Pour ne pas surcharger l’exposé, nous n’allons donner qu’un seul exemple de théorème limite central, celui correspondant au cas des polynômes de Jacobi d’indices (α, β) donnés par : Qn (x) =

(−1)n dn (1 − x)−α (1 + x)−β n [(1 − x)n+α (1 + x)n+β ], + 1)n dx

2n (α

avec α ≥ β > −1 et13 (α+β +1)(α+β +4)2 (α+β +6) ≥ (α−β)2 [(α+β +1)2 −7(α+ β + 1) − 24]. Le résultat qui suit est de Gallardo et Voit (plus précisement [10] considère le cas des polynômes de Gegenbauer puis [50] l’étend, avec la même méthode, à tous les polynômes de Jacobi). Théorème 5..4 : Si (Sn )n>0 est une marche aléatoire de loi µ sur l’hypergroupe polynomial de Jacobi (N, ?), et si µ a un moment généralisé d’ordre 2 tel que 0 < m2 (µ) = σ 2 < ∞, alors σS√nn converge en loi vers la mesure de probabilité14 ρα (dx) = 1R+ (x)

x2α+1 1 exp(− x2 )dx. 2α Γ(α + 1) 2

Idée de la démonstration : On utilise la transformée de Fourier de l’hypergroupe de Jacobi pour écrire (b µ(θ))n = E(QSn (cos θ)) puis un développement de Taylor de µ b en θ = 0 pour obtenir θ 1 lim (b µ( √ ))n = exp(− θ2 ). n→∞ 2 σ n 13 14

cette deuxième condition assure que les coefficients de linéarisation sont positifs. appelée loi de Rayleigh d’indice α.


141

Mais les polynômes vérifient une formule de Mehler-Heine : θ lim Qn (cos ) = Λα (θ) = 2α Γ(α + 1)θ−α Jα (θ), n→∞ n

(38)

et on peut, après quelques calculs montrer que θ S n lim E(QSn (cos √ )) − E(Λα ( √ θ)) = 0. n→∞ σ n σ n

Donc limn→∞ E(Λα ( σS√nn θ)) = exp(− 21 θ2 ). Mais le théorème de continuité est vrai R pour la transformation de Hankel : θ → R+ Λα (θx)µ(dx). On en déduit que σS√nn converge vers la distribution de Rayleigh d’indice α. On notera qu’on a utilisé le théorème de continuité de Paul Lévy sur l’hypergroupe de Bessel-Kingman 15 d’indice α, ce qui va de soi puisqu’en normalisant, on sort de N. D’autres résultats peuvent être trouvés dans [51]. Pour le cas des hypergroupes associés à des polynômes orthogonaux à plusieurs variables, le lecteur intéréssé peut consulter [5], [6] et [34].

5.5.

Théorème Limite Central sur les Hypergroupes de Chébli-Trimèche

Considérons un opérateur différentiel sur R+ de la forme L=

d2 A0 d + , dx2 A dx

où la fonction A : R+ → R+ est telle que A(0) = 0,

A0 A

(39) décroissante sur R∗+ et

α A0 (x) = + B(x) A x

(40)

au voisinage de x = 0, avec α > 0 et B une fonction impaire dans C ∞ (R). Soit 2ρ = 0 limx→∞ AA (x). Pour tout λ ∈ C, l’équation aux valeurs propres Lu = −(λ2 + ρ2 )u u(0) = 1, u0 (0) = 0, a une unique solution u = ϕλ (qu’on appelera fonction propre de paramètre λ) et il existe une unique convolution ? sur Mb (R+ ) telle que < x ? y , ϕλ >= ϕλ (x)ϕλ (y). Alors (R+ , ?) avec l’unité e = 0 et l’involution identité, est l’hypergroupe de Chébli-Trimèche associé à l’opérateur L. La transformée de Fourier généralisée est alors donnée par : Z ∞ µ b(λ) = ϕλ (x)µ(dx), 0

pour µ ∈ M1 (R+ ) et λ ∈ R+ ∪ i[0, ρ]. On trouvera des détails sur cette structure dans [4]. Sur cet hypergroupe, on a des fonctions moment (voir [14] ou [55]) de la forme : mn (x) = ( 15

d n ) ϕi(ρ+t) (x)|t=0 , dt

cet hypergroupe est prćisáu paragraphe suivant.

n = 1, 2.

(41)

142

Léonard Gallardo

Un exemple classique d’hypergroupe de Chébli-Trimèche est obtenu avec la fonction A(x) = x2α+1 (α > −1/2). On l’appelle alors hypergroupe de Bessel-Kingman d’indice α ([4]) et ses fonctions propres sont de la forme ϕλ (x) = Λα (λx), où Λα est la fonction considérée16 en (38). Il convient de mentionner que la classe des hypergroupes de Chébli-Trimèche est particulièrement importante puisque, sous des hypothèses raisonnables, toute structure d’hypergroupe différentiable sur R+ est associée à un opérateur différentiel du type (39) (voir [20] et [21]). Le théorème limite central suivant sur l’hypergroupe de Chébli-Trimèche est de Zeuner [56]. Théorème 5..5 : On considère un hypergroupe de Chébli-Trimèche (R+ , ?). 0

i) Si ρ = 0, on suppose que β = limx→∞ x AA (x) existe. Soit (Sn )n>0 une marche aléatoire sur (R+ , ?) de loi µ telle que σ 2 = V? (µ) < ∞. Alors σS√nn converge en loi vers une distribution de Rayleigh d’indice

β−1 2 .

ii) Si ρ > 0, soit (Sn )n>0 une marche aléatoire de loi µ sur (R+ , ?) telle que σ 2 = V? (µ) < ∞. Alors : Sn − m−1 1√ (nE? (µ)) L → N (0, σ 2 ). n On se reportera à [56] pour la démonstration qui est dans l’esprit du Théorème 5.3 ci-dessus pour le résultat du cas ρ = 0. Si ρ > 0, la méthode est différente et utilise des propriétés analytiques des fonctions moments. Cependant, étant donné le résultat i) du Théorème 5.3, on peut utiliser un théorème limite central pour les martingales, c’est ce qui explique que la loi limite est une loi normale usuelle. On notera que la fonction m1 est strictement croissante ( voir [15] ou [56] pour son expression explicite), d’où l’existence de m−1 1 . Z1

Z2

Dans le résultat précédent et avec les notations du paragraphe 5.3, on a Sn = X1 + X2 + Zn−1

. . . + Xn et ensuite on normalise comme dans R. Mais on peut normaliser d’abord chacune des variables aléatoires Xi et ensuite faire la pseudo-somme. On obtient alors un autre théorème limite central obtenu par Trimèche [45]. Nous donnons ci-dessous l’énoncé repris par Zeuner [56] avec le langage des pseudo-sommes : Théorème 5..6 : Soit (Xn )n>0 une suite de variables aléatoires i.i.d. ayant un moment E(X 2 ) usuel d’ordre deux sur (R+ , ?). On pose σ e2 = 1+α1 où α est la constante de (40) et pour tout entier n, on considère la pseudo-somme :

16

Zn−1 Xn X1 Z1 X2 Z2 √ . Sen = √ + √ + · · · + σ e n σ e n σ e n

attention, le paramètre α de la formule (40) doit être remplacé par 2α + 1 dans le cas de l’hypergroupe de Bessel-Kingman considéré ici.


143

Alors Sen converge en loi vers la distribution gaussienne généralisée sur R+ de tranformée de Fourier généralisée égale à α b1 (λ) = exp[− 12 (λ2 + ρ2 )].

Idée de la démonstration : En écrivant ϕλ ( σX√1n ) à l’aide du développement de Taylor de la fonction propre ϕλ (x) en x = 0 et en prenant l’espérance, on obtient 1 00 E(X 2 ) X1 1 E ϕλ ( √ ) = 1 + ϕλ (0) 2 1 + o( ). 2 σ e n n σ e n

fn )) qui tend vers La puissance n de l’expression précédente est précisément E(ϕλ (S 00 λ2 +ρ2 1 2 2 exp[− 2 (λ + ρ )] quand n → ∞ puisque ϕλ (0) = − α+1 . Le théorème de continuité de Paul Lévy donne alors le résultat. On notera que la mesure de probabilité α1 est la loi au temps t = 1 du semi-groupe de Gauss (αt )t≥0 sur (R+ , ?) dont les transformées de Fourier généralisées sont données par α bt (λ) = exp[− 2t (λ2 + ρ2 )] (λ ∈ R+ ). Ce résultat est en fait un théorème limite central pour des systèmes triangulaires de probabilités sur (R+ , ?). C’est sous cette forme qu’il a été énoncé dans [45]. D’autres résultats de ce type ont été obtenus par l’école tunisienne sur d’autres hypergroupes et des stuctures de convolution voisines ([1], [2], [3], [36], [44], [46]). Pour terminer cette partie nous allons montrer qu’on peut envisager d’autres constructions qui permettent d’obtenir des théorèmes limites pour systèmes triangulaires d’un type particulier dont les premiers exemples ont été produits par Mabrouki ([33]) et Voit ([52]). Les résultats qui suivent sont tirés de [52]. Considérons sur R+ la structure d’hypergroupe de Jacobi de paramètres (α, β), c’est à dire l’hypergroupe de Chébli-Trimèche associé à la fonction A(x) = 22ρ (sinh x)2α+1 (cosh x)2β+1 , avec α ≥ β > − 12 et ρ = α + β + 1. Soit µR une mesure de probabilité sur R+ ayant un moment d’ordre deux usuel : ∞ M2 = 0 x2 µ(dx) et soit r > 0 une constante fixée. Pour tout entier k > 0, on considère (k)

νk = τk−r (µ) la mesure image de µ par la dilatation x → k −r x et soit (Sn )n>0 une (k) marche aléatoire de loi νk . On peut considérer Sn comme formant une matrice de variables aléatoires à une infinité de lignes et de colonnes, la ligne numéro k étant constituée des variables de la marche de loi νk . On procède maintenant à un "choix diagonal", en (n) extrayant de la matrice précédente les variables Sn , puis on normalise ces variables et on obtient le résultat suivant : Théorème 5..7 : Avec les hypothèses et les notations précédentes, on suppose de plus r > 1 2 , alors la suite des variables aléatoires s

2(α + 1) r−1/2 (n) n Sn , M2

converge en loi quand n → ∞, vers la loi de Rayleigh17 d’indice α. 17

voir le Théorème 5.4 pour l’expression de sa densité

(42)

144

Léonard Gallardo

La démonstration de ce résultat consiste à utiliser une formule de Hilb pour estimer la différence |ϕλ (t) − Λα (λt)|, où ϕλ est la fonction propre d’indice λ de l’hypergroupe de Jacobi et Λα la fonction de Bessel modifiée donnée en (38), de manière à pouvoir ramener la transformée de Fourier-Jacobi des variables (42) à une transformée de Hankel comme dans la preuve du Théorème 5.4 puis à conclure de manière analogue. Pour d’autres résultats de ce type voir [53] et [35].

5.6.

Théorème Limite Central sur les Hypergroupes avec Dérive

On considère maintenant une classe d’hypergroupes dont la convolution présente une dérive18 asymptotique. Cette classe a été introduite dans [14]. Considérons un hypergroupe (H, ?) où H est un sous ensemble borélien non borné de R muni de la topologie usuelle et satisfaisant les conditions suivantes : i) Il existe une constante C > 0 telle que pour tout x, y ∈ H, et tout u ∈ supp(x ? y ), on ait |u − y| ≤ C|x|. ii) lim|x|→∞

R

iii) lim|x|→∞

H (u

R

− x)x ? y (du) = m1 (y), existe.

H (u

− x)2 x ? y (du) = m2 (y), existe.

La condition i) est une condition sur le support de la mesure x ? y qui est en général vérifiée par tout hypergroupe de dimension 1 (voir [57]). Nous l’avons laissée ici car elle est indispensable dans la situation plus générale que nous avons considérée dans [14]. Les conditions ii) et iii) signifient que les moments conditionnels d’ordre 1 et 2 de la mesure x ? y , ont une limite quand x → ∞. D’où le terme utilisé de dérive asymptotique de la convolution. Les hypergroupes polynomiaux à paramètres convergents et les hypergroupes de Chébli-Trimèche sont les principaux exemples d’hypergroupes unidimensionnels avec dérive. Mais l’intérêt essentiel réside dans le fait que les fonctions m1 et m2 qui apparaissent en i) et ii) constituent toujours un couple de fonctions moment canoniquement associées à la structure d’hypergroupe. Le deuxième intérêt est probabiliste : considérons une marche aléatoire de loi µ ∈ M1 (H) possédant un moment généralisé d’ordre 2. Les fonctions suivantes définies sur H par les espérances conditionnelles suivantes : d(t) = E(Sn − Sn−1 |Sn−1 = t), c(t) = E((Sn − Sn−1 )2 |Sn−1 = t),

(43)

sont respectivement la dérive en t et le moment conditionnel d’ordre 2 de l’accroissement au point t. On a montré dans [12]( voir aussi [16], [17]) que l’on a lim|t|→∞ d(t) = m1 (µ), lim|t|→∞ c(t) = m2 (µ). Avec les notations de (43), on a alors le résultat ([16], [13]) : 18

drift en anglais.

(44)


145

Théorème 5..8 : Pour une marche aléatoire (Sn )n>0 telle que 0 < σ 2 = V? (µ) < ∞, on a ! n X 1 L √ Sn − d(Sk−1 ) → N (0, σ 2 ) (n → ∞) n k=1

On a aussi le résultat suivant ([16], [13]) : Théorème 5..9 : Avec les hypothèses du théorème 5.8, si on suppose de plus : i) m1 (µ) 6= 0 ii) Il existe un réel γ > Alors, on a

√1 n

1 2

tel que d(t) − m1 (µ) = 0(|t|−α ), quand |t| → ∞. L

(Sn − nm1 (µ))) → N (0, σ 2 )

(n → ∞).

P Démonstration abrégée du théorème 5.8 : Le processus Mn = Sn − nk=1 d(Sk−1 ) est une martingale par rapport à la filtration Fn de la suite (Sn ). Si Zk = Mk − Mk−1 désigne l’accroissement de Mn , on a E(Zk2 |Fk−1 ) = c(Sk−1 ) − d2 (Sk−1 ) p.s.19 Alors , Pn 2 2 si Vn = k=1 E(Zk |Fk−1 ) et s2n = E(Vn2 ), on peut grâce à l’expression explicite de Vn2 , aux propriétés (44) et au fait que Sn → ∞ p.s., montrer que Vn2 = 1 p.s. n→∞ s2 n lim

(45)

En utilisant ensuite l’inégalité Zj2 ≤ 2(Sj − Sj−1 )2 + 2d2 (Sj−1 ) et l’hypothèse de moment d’ordre 2, on peut montrer que la martingale (Mn )n>0 , vérifie pour tout > 0, la condition dite de Lindeberg : n 1 X 2 |F E Z 1 j {|Zj |>sn } j−1 = 0, n→∞ s2 n

lim

(46)

j=1

en probabilité. Les conditions (45) et (46), permettent de conclure à l’aide du théorème limite central pour martingales de Brown [7]. Démonstration du Théorème 5.9 : Si (t) = d(t) − m1 (µ), on montre grâce au fait que Sk /k → m1 (µ) p.s. (si k → ∞) (voir [12]), que l’on a n 1 X √ (Sk−1 ) = 0 n→∞ σ n

lim

p.s.

k=1

et ceci donne le résultat grâce au Théorème 5.8. On peut trouver dans [17] une généralisation de ces deux résultats à une situation multidimensionnelle. 19

l’abréviation "p.s." signifie "presque-sûrement".

146

Léonard Gallardo

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Léonard Gallardo

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Chapter 10

N EW P ROOF OF C OWLING -P RICE L EMMA AND A PPLICATION Slaim Ben Farah∗ Faculté des Sciences de Monastir, Département de Mathématiques. 5019 Monastir, Tunisie

Abstract A crucial result to establish the Lp -Lq versions of Hardy’s theorem is the following Cowling-Price lemma [3]. Let σ > 0 , M > 0 and 1 ≤ p < ∞. If g is an entire 2 function on C satisfying the conditions ||g|R ||p ≤ M and |g(x+iy)| ≤ M eσx , for all x > 0, y > 0, then g = 0. In this paper, we establish a version of Phragmén-Lindelöf theorem and we deduce a simplified proof of the above lemma. As application, we establish a Lp -Lq version of Hardy’s theorem for the Heisenberg group, by using its natural gauge.

Keywords: Uncertainty principle, Hardy’s theorm, Cowling-Price lemma, Heisenberg group AMS Subject Classifications: 42A99, 30C80, 43A15

1.

Introduction

The classical Hardy’s theorem [7] for the Fourier transform on R asserts that a function f and its Fourier transform cannot both be very small. More precisely, let f be a measurable function on R and let Z ˆ f (λ) = f (x)e−iλx dx, R

be its Fourier transform. Hardy’s theorem says that for a measurable function f such that 2 2 ||eax f ||∞ < ∞ and ||ebλ fˆ||∞ < ∞, if ab > 1/4, then f = 0, if ab = 1/4, then 2 f = const. e−ax and there are infinitely many functions satisfying the above conditions when ab < 1/4. Cowling and Price in [3] proved, for 1 ≤ p, q ≤ ∞, a Lp -Lq version of ∗

E-mail address: [email protected]

150

S. Ben Farah

2 2 Hardy’s theorem in the following sense. Suppose that ||eax f ||p < ∞ and ||ebλ fˆ||q < ∞. If ab ≥ 1/4 and p or q finite, then f = 0 and there are infinitely many functions satisfying these inequalities when ab < 1/4. Recently, considerable attention has been paid for proving analogous of Cowling-Price theorem in the context of Lie groups and functional transforms (see [2], [5], [6], [9], [11], [12], [13]). In all these contexts, we remark that the following Cowling-Price lemma is crucial. Let σ > 0 , M > 0 and 1 ≤ p < ∞. If g is an entire function on C satisfying the conditions 2 i) |g(x + iy)| ≤ M eσx , for all x > 0 and y > 0, ii) ||g|R ||p ≤ M , then g = 0. The original proof of this lemma in [3] is very technical and it is based on the maximum principle. In this paper, we establish a version of Phragmén-Lindelöf theorem and then we deduce a simplified proof of the above lemma. In section 3, we apply this lemma to establish a Lp -Lq version of Hardy’s theorem for the Heisenberg group, by using its natural gauge as a ”norm”. We obtain the same condition on a and b, and this condition is again optimal. Note that Bagchi and Ray in [1] proved another Lp -Lq version of Hardy’s theorem for the Heisenberg group with condition depending on p and q.

2.

Cowling-Price Lemma

The aim of this section is to give a simplified proof of Cowling-Price lemma in [3]. We need the following definitions and notations. For 1 ≤ p ≤ ∞, denote by Lp the standard Lebesgue space and by ||.||p the corresponding norm. Choose some θ1 , θ2 ∈ R such that 0 ≤ θ1 < θ2 ≤ 2π. Let Ω be the open angle in C defined by Ω = {reiθ , r > 0 , θ1 < θ < θ2 }, let Ω be the closure of Ω, ∂(Ω) = Ω \ Ω be the boundary of Ω and Ω0 = {reiθ , 0 , 0 < θ < π/2}. Let g : Ω −→ C be a continuous function holomorphic on Ω. By definition, the order of g on Ω is

r >

λ

ρ(g) = inf {λ > 0 , g(z) = O(e|z| ) ; |z| → +∞, z ∈ Ω}. The following result D of [8] is a Phragmén-Lindelöf lemma which generalizes the maximum principle. Lemma 1 Suppose that ρ ∈ [1/2, +∞[, θ2 − θ1 = π/ρ. If ρ(g) < ρ and sup |g(z)| < z∈∂(Ω)

+∞, then sup |g(z)| = sup |g(z)|.

z∈∂(Ω)

z∈Ω

New Proof of Cowling-Price Lemma and Application

151

2

Remark: The function g(z) = e−iz is bounded on the half axis R+ and iR+ and satisfies 2

g(x + ix) = e2x ,

for all x > 0.

This example proves that the above lemma is not valid, if we omit the condition ρ(g) < ρ. When ρ(g) = ρ = 2, we have the following result Lemma 2 Let σ > 0 and M > 0. If g is an entire function on Ω0 continuous on Ω0 , satisfying the conditions 2

|g(x + iy)| ≤ M eσx , |g(x)| ≤ M ,

for all x > 0, y > 0 for all x > 0

(1) (2)

then |g(x + iy)| ≤ M ,

for all x > 0, y > 0.

Proof. Let ψ ∈]0, π/2[, we are going to prove that |g(ρ eiψ )| ≤ M ,

for any ρ > 0.

For θ ∈]ψ, π/2[, let hθ be the function on Ω0 , defined by hθ (z) = g(z)ei(σ cot θ)z

2 /2

.

The function hθ satisfies the following inequalities |hθ (x)| ≤ M

and

|hθ (ρ eiθ )| ≤ M,

for any x > 0 and ρ > 0. Since ρ(hθ ) ≤ 2 and θ < π/2, Lemma 1 applied to hθ for θ1 = 0 and θ2 = θ gives |hθ (ρ eiψ )| ≤ M

for any ρ > 0.

Thus we deduce that |g(ρ eiψ )| ≤ M e1/2(σρ

2

sin 2ψ) cot θ

for any ρ > 0.

Now we let θ tends to π/2, which gives the result. Corollary 1 Let σ > 0 and M > 0. If g is an entire function on C satisfying the conditions 2

i) |g(x + iy)| ≤ M eσx , for all x > 0 and y > 0, ii) |g(x)| ≤ M , for all x ∈ R, then g = const on C. Proof. Lemma 2 applied to the functions g, z 7−→ g(−z), z 7−→ g(z) and z 7−→ g(−z), implies that g is bounded on C. Thus g is constant by Liouville theorem. Now we deduce a new proof of Cowling-Price Lemma

152

S. Ben Farah

Lemma 3 Let σ > 0 , M > 0 and 1 ≤ p < ∞. If g is an entire function on C satisfying the conditions 2

i) |g(x + iy)| ≤ M eσ|x| , for all x > 0 and y > 0, ii) ||g|R ||p ≤ M , then g = 0. Proof. Let R > 0, and consider the entire function on C defined by Z R+1 F (z) = g(tz)dt. R

The derivatives of F satisfy the condition F (n) (0) = (R + 1)n+1 − Rn /(n + 1) g (n) (0)

for any n ∈ N.

Thus, g = const, if and only if F = const. By assumption i) we have |F (x + iy)| ≤ M e(R+1)

2 σx2

,

for all x, y ∈ R.

(3)

Let x ∈ R \ {0}, the change of variable u = xt gives 1 x

Z

1 |F (x)| ≤ x

Z

F (x) =

(R+1)x

g(u) du, Rx

so

(R+1)x Rx

|g(u)| du.

By the Hölder’s inequality we obtain |F (x)| ≤

1 ||g||p . |x|1/p

Using the fact that F is continuous on R and assumption ii), we obtain F|R ∈ L∞ (R).

(4)

By using the inequalities 3 and 4 and by applying Corollary 1 to F , we see that F is constant, thus g is constant too. Since ||g|R ||p ≤ M , then g = 0.

3.

Lp -Lq -Version of Hardy’s Theorem for the Heisenberg Group

Let Hn be the Heisenberg group, which is a simply connected nilpotent Lie group. The underlying topological space of Hn is Hn = Rn × Rn × R. The group multiplication is given by the rule 1 (x1 , y1 , t1 )(x2 , y2 , t2 ) = x1 + x2 , y1 + y2 , t1 + t2 + [hx1 , y2 i − hx2 , y1 i] 2


153

for (x1 , y1 , t1 ), (x2 , y2 , t2 ) in Hn and x, y ∈ Rn . Here h., .i stands for the usual scalar product in Rn . We denote by ||.|| the associated norm. It is well known that the Heisenberg group has a natural gauge defined by |(x, y, t)| = (t2 + (||x||2 + ||y||2 )2 )1/2 , and this gauge is homogeneous of degree one with respect to the dilatation (x, y, t) 7−→ √ √ ( rx, ry, rt) well defined for a positive real r (see [4] and [10]). The Lebesgue measure dxdydt on Rn × Rn × R is the Haar measure of Hn . Concerning the dual of the group Hn , there are two classes of irreducible unitary representations of Hn . - Unitary characters. The representations of this class are trivial on the center {0} × {0} × R of Hn . - Infinite-dimensional representations. This class gives the necessary components for the Plancherel formula for Hn , and it is parametrized by λ ∈ R \ {0}. Let Πλ be a representation of this kind. Then Πλ can be realized on L2 (Rn ). This realisation is defined for ϕ ∈ L2 (Rn ), by the rule Πλ (x, y, t)ϕ(ζ) = eiλ[t+hx,yi/2−hζ,yi] ϕ(ζ − x) . The Fourier transform of f ∈ L1 (Hn ) ∩ L2 (Hn ), is given in the weak sense by the formula Z ˆ f (λ) = f (x, y, t)Πλ (−x, −y, −t)dxdydt for any λ ∈ R \ {0}. (5) Hn

In fact fˆ(λ) is a Hilbert-Schmidt operator on the Hilbert space L2 (Rn ) and we have the Plancherel formula Z ||fˆ(λ)||2HS |λ|n dλ = (2π)n ||f ||2L2 (Hn ) . R

The objective of this section is to give a Lp -Lq -version of Hardy’s theorem for the Heisenberg group. Note that Bagchi and Ray in [1] proved the following Lp -Lq version of Hardy’s theorem for the Heisenberg. Let f be a measurable function on Hn . Suppose that for a, b > 0 and p or q finite 2 2 2 i) ea(t +||x|| +||y)|| ) f ∈ Lp (Hn ), 2 ii) ebλ ||fˆ(λ)||HS ∈ Lq (R, |λ|n dλ). (a) If q ≥ 2, then f = 0 if ab > 1/4. (b) If 1 ≤ q < 2, then for p = ∞, f = 0 if ab ≥ 1/2 and for p < ∞, f = 0 if ab > 1/2. Here we use the gauge to estimate the decay of functions on Hn . We believe that this gives a good choice to obtain the analogs of Cowling-Price’s theorem, with the same condition. More precisely, the following theorem holds Theorem 4 Let p ∈ [1, +∞], 1 ≤ q < ∞ and a, b ∈]0, +∞[. Suppose that f is a measurable function on Hn such that 2

i) ea|(x,y,t)| f ∈ Lp (Hn )

154

S. Ben Farah 2 ii) ebλ fˆ(λ)ϕ|ψ

∈ Lq (R, |λ|n dλ) ;

L2 (Rn )

for all ϕ, ψ ∈ D(Rn ).

If ab > 1/4, then f is null almost everywhere. Proof. Let ϕ, ψ ∈ D(Rn ) be supported by the ball {u ∈ Rn ; ||u|| ≤ R}, for some real R > 0. Consider the function h defined on R by h(λ) = fˆ(λ)ϕ|ψ L2 (Rn ) . By assumption i), the function h can be extended to a holomorphic function on C and satisfies the condition 2 ebλ h ∈ Lq (R, dλ). Choose some

1 √ c ∈] √ , 2a[. 2b

We clain that |h(λ + iη)| ≤ M e(1/2c

2 )η 2

for any

λ , η ∈ R.

(6)

Using the expression (5), we obtain Z Z f (x, y, t)ei(λ+iη)[−t+hx,yi/2+hζ,yi] ϕ(ζ + x)ψ(ζ)dxdydtdζ , h(λ + iη) = Rn

Hn

the change of variable ξ = ζ + x/2 gives Z Z x x h(λ + iη) = f (x, y, t)ei(λ+iη)[−t+hξ,yi] ϕ(ξ + )ψ(ξ − )dxdydtdξ, 2 2 Rn Hn and thus |h(λ + iη)| ≤

Z

Rn

Z

Hn

|f (x, y, t)ϕ(ξ +

x x )ψ(ξ − )|e|η|(|t|+||ξ||.||y||) dxdydtdξ. 2 2

Suppose that 1 < p ≤ ∞ and let p0 be such that 1/p + 1/p0 = 1. Using the assumption i) and Hölder’s inequality, we see that Z Z 1/p0 0 2 0 |h(λ + iη)| ≤ M g(ξ, x)e−p a|(x,y,t)| ep |η|(|t|+||ξ||.||y||) dxdydt dξ, Rn

Hn

where

x x 0 )ψ(ξ − )|p . 2 2 The condition on the supports of ϕ and ψ, implies that the norms of ξ +x/2 and ξ −x/2 must be less than R, and therefore ||ξ|| ≤ R and ||x|| ≤ 2R. On the other hand, ϕ and ψ are bounded on Rn , and hence Z 1/p0 0 2 4 0 |h(λ + iη)| ≤ M 0 e−p a(t +||y|| ) ep |η|(|t|+R||y||) dydt , g(ξ, x) = |ϕ(ξ +

Rn ×R


155

By the inequality |η|(|t| + R||y||) ≤ c2 /2(|t| + R||y||)2 + (1/2c2 )η 2 , and using the spherical coordinates we can write Z ∞Z ∞ 1/p0 2 2 0 2 4 0 2 2 |h(λ + iη)| ≤ M 00 e(1/2c )η e−p a(t +s ) ep c /2(t+Rs) sn−1 dsdt . 0

0

To obtain inequality (6), we must prove that the integral Z 0 2 4 0 2 2 I= e−p a(t +s ) ep c /2(t+Rs) sn−1 dsdt , ]0,∞[×]0,∞[

is finite. To prove √ this fact, we devide the set ]0, ∞[×]0, ∞[ in two parts: {(t, s); s ≤ and {(t, s); s ≥ t}. Then I = I1 + I2 where I1 =

0

∞Z

Z

0

∞ Z s2

and I2 =

√

Z

t

0

e−p a(t

2 +s4 )

0 2 /2(t+Rs)2

ep c

√

t}

sn−1 dsdt

0

We have

2 +s4 )

0 2 /2(t+Rs)2

ep c

sn−1 dtds.

0

I1 ≤

Z

I2 ≤

Z

and

0

e−p a(t

∞√

n

√

0

2

0 2 t2 /2(1+R/

0

4

0 2 s4 /2(1+R/s)2

t e−p at ep c

t)2

dt

0 ∞

sn+1 e−p as ep c

ds ,

0

and il follows from the condition c2 /2 < a that I1 and I2 are finite. The same proof gives the inequality (6) when p = ∞. In conclusion, h satisfies the following conditions: 2 2 i) |h(λ + iη)| ≤ M e(1/2c )η , for all λ, η ∈ R, 2 ii) ebλ h(λ) ∈ Lq (R, dλ). The entire function g on C defined by g(z) = ez

2 /2c2

h(z) ,

for all z ∈ C,

satisfies the conditions: 2 2 i) |g(x + iy)| ≤ M e(1/2c )x , for all x, y ∈ R, 2 2 ii) e(b−1/2c )x g(x) ∈ Lq (R, dx). Since b − 1/2c2 > 0 then Lemma 3 implies that g = 0 and then h = 0. Then the mapping λ 7−→ fˆ(λ)ϕ|ψ L2 (Rn ) is zero for any ϕ, ψ ∈ D(Rn ). Since D(Rn ) in dense in L2 (Rn ), il follows that the operator fˆ(λ) vanishes. By the above Plancherel formula, we conclude that f is zero almost everywhere. Let us now prove the condition ab > 1/4 in the above Theorem is sharp.

156

S. Ben Farah

Proposition 5 Let p, q ∈ [1, +∞] and a, b ∈]0, +∞[. If ab < 1/4, then there exists a nonzero measurable function F on Hn such that 2 i) ea|(x,y,t)| F ∈ Lp (Hn ) 2 ii) ebλ Fˆ (λ)ϕ|ψ L2 (Rn ) ∈ Lq (R, |λ|n dλ) ; for all ϕ, ψ ∈ D(Rn ).

Proof. Let a0 > a such that a0 b < 1/4. Let f, g ∈ D(Rn ) be nonzero functions supported by the unit ball of Rn . Consider the measurable function F on Hn defined by F (x, y, t) = 0 2 f (x)g(y)e−a t . Since f and g are supported by the unit ball, we have 2

0

2

ea|(x,y,t)| |F (x, y, t)| ≤ const.e(a−a )t |f (x)|.|g(y)|, 2

and thus ea|(x,y,t)| F belongs to Lp (Hn ). On the other hand, for ϕ, ψ ∈ D(Rn ), Fˆ (λ)ϕ|ψ L2 (Rn ) is equal to Z

Rn

Z

0 2

f (x)g(y)e−a t eiλ[−t+hx,yi/2+hζ,yi] ϕ(ζ + x)ψ(ζ)dxdydtdζ. Hn

By Fubini’s theorem, this is equal to Z 0 2 e−(1/4a )λ f (x)g(y)eiλ[hx,yi/2+hζ,yi] ϕ(ζ + x)ψ(ζ)dxdydζ, Rn ×Rn ×Rn

and thus | Fˆ (λ)ϕ|ψ

L2 (Rn )

−(1/4a0 )λ2

|≤e

Z

Rn ×Rn ×Rn

|f (x)g(y)ϕ(ζ + x)ψ(ζ)|dxdydζ,

where f, g, ϕ, ψ are in D(Rn ). Therefore, 2 0 2 ebλ | Fˆ (λ)ϕ|ψ L2 (Rn ) | ≤ const.e(b−(1/4a ))λ . This gives the result.

References [1] S. C. Bagchi and S. K. Ray, Uncertainty principles like Hardy’s theorem on some Lie groups, J. Austral. Math. Soc. Series A, 65, 1999, pp. 289–302. [2] S. Ben Farah, K. Mokni and K. Trimèche, An Lp -Lq version of Hardy’s theorem for spherical Fourier transform on semi-simple Lie groups, to appear in International J. of Math and Mathematical Sciences. [3] M. G. Cowling and J. F. Price, Generalizations of Heisenberg’s inequality, Lecture Notes in Math. 992, Springer, Berlin, 1983 pp. 443–449. [4] J. Cygan, Subadditivity of homogeneous norms on certain nilpotent Lie groups, Proc. Amer. Math. Soc. Vol. 83, 1981, pp. 69-70. [5] M. Eguchi, S. Koizumi and K. Kumahara, An Lp version of the Hardy theorem for motion groups, J. Austral. Math. Soc. Series A, 68, 2000, pp 55-67.


157

[6] L. Gallardo and K. Trimèche, Un analogue d’un théorème de Hardy pour la transformation de Dunkl , C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, 334, 2002, pp 849-854. [7] G. H. Hardy, A theorem concerning Fourier transforms, J. London Math. Soc. 8, 1933, pp. 227–231. [8] V. Havin and B. Jöricke, The uncertainty principle in harmonic analysis, A Series of Modern Surveys in Mathematics 28. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1994. [9] E. Kaniuth and K. Kumar, Hardy’stheorem for simply connected nilpotent Lie groups, Proc. Cambridge Philo. Soc., 131, 2001, pp. 487-494. [10] A. Koranyi, Geometric properties of Heisenberg type groups, Adv. Math 56 (1985), pp. 28-38. [11] E. K. Narayanan and S. K. Ray, Lp version of Hardy’s theorem on semi-simple Lie groups Proc. Amer. Math. Soc. Vol. 130 6, 2002, pp. 1859-1866. [12] J. Sengupta, The uncertainty principle on reimannian symmetric spaces of the noncompact type, Proc. Amer. Math. Soc., Vol. 130, 4, 2002, pp. 1009-1017. [13] A. Sitaram and M. Sundari, An analogue of Hardy’s theorem for very rapidly decreasing functions on semi-simple Lie groups, Pacific J. Math., 177, 1997, pp. 187-200.

INDEX

A Algeria, 1 alternative(s), vii, 9, 10, 20, 21, 76 AN, 63 argument, 26, 32, 125 arithmetic, 114, 115, 116 attention, viii, 89, 150 aura, 55, 57, 60, 61

B biometry, 10 boundary value problem, vii Brazil, 9, 51

C calculus, 72, 85 Canada, 147 Chern-Levine-Nirenberg inequality, viii, 51 classes, vii, 9, 10, 17, 18, 19, 20, 38, 153 closure, 15, 31, 77, 82, 150 complex numbers, 4, 5 complexity, 112 components, 153 Congress, 114 conjecture, 39, 41, 42, 48, 52, 89, 90, 94, 97, 98, 101, 102, 103, 105, 108, 110, 112, 113 conservation, 120, 121 continuity, 25, 26, 148 control, 31 convergence, 60, 118, 119, 120, 121, 123, 125, 128, 129, 135, 136, 137, 139 covering, 26 cycles, 109

D data set, 10, 19 decay, 153 decomposition, 48 definition, vii, 7, 23, 29, 150 degenerate, 11 density, 11, 64 derivatives, 12, 16, 64, 75, 152 deviation, 15 differential equations, vii, 1, 87, 147 discrete data, 11 discrete random variable, 13 dispersion, vii, 9, 10, 11, 15 distribution, vii, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 21, 72, 84, 98, 118, 141, 142, 143

E economics, 8 equality, 24, 32 evidence, 26 exponential dispersion, vii, 9, 11 exponential dispersion models, vii, 9

F family, 9, 10, 11, 12, 15, 18, 21 filtration, 145 Finland, 147 fitness, 10 Fourier, 63, 64, 65, 66, 69, 70, 87, 119, 123, 133, 134, 135, 136, 140, 141, 143, 144, 148, 149, 153, 156, 157 France, 9, 112, 114 functional analysis, 81

160

Index

G Gaussian, 10, 13, 14, 19, 20, 21 generation, 2 genre, 96, 107 Germany, 19 grants, 9, 51 groups, 47, 48, 49, 64, 70, 113, 114, 115, 146, 147, 148, 150, 156, 157

H Hardy’s theorem, viii, 70, 87, 149, 150, 153, 156, 157 HD, 10, 17, 18 heterogeneity, 10 Hilbert space, 153 hypothesis, 32, 35, 68

I identification, 10 identity, 28, 64 inclusion, 34 independence, 113, 115 indication, 119 indices, 33, 45 induction, 77 industry, 8 inequality, viii, 26, 30, 31, 35, 51, 67, 68, 152, 154, 155, 156 infinite, 105, 112 insurance, 10, 19 integration, 84 interpretation, 16 interval, 16 invariants, vii, 37, 38, 41, 45, 48, 49, 121 inversion, viii, 66, 71, 72, 75, 84 involution, 64 Iran, 112 Italy, 1

J Jacobi-Dunkl transform, viii, 71, 72, 75, 76, 82, 83, 84, 85, 87 Japan, 39, 48 Jordan, 44, 45, 47

K kernel, 72, 73

L laws, 10, 21 Lie group, 47, 48, 49, 147, 148, 150, 152, 156, 157 life sciences, 8 likelihood, 19 linear model, 11 lying, vii, 1, 4, 5

M manifolds, 30, 62 mapping, 64, 77, 85, 155 marches, 117, 146 marketing, 10 mathematics, vii matrix, 2, 23, 29 measures, 11, 64, 147, 148 mixing, vii, 9, 10, 17 models, vii, 9, 10, 11, 15, 18, 19 modules, 110, 111, 112, 114 MongeAmpere current, vii, 23 Moscow, 116 motion, 156 motives, 115 multiples, 89, 102, 112 multiplication, 152 multiplicity, 48 multiplier, 118

N New York, 8, 20, 87 normal distribution, 14

O operator(s), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 35, 62, 65, 71, 72, 85, 87, 147, 153, 155

P Pacific, 48, 157 parameter, vii, 1, 10, 11, 12, 14, 15, 17, 18, 19 Paris, 20, 21, 35, 48, 49, 62, 89, 112, 114, 115, 148, 157 partial differential equations, 87

Index physics, 8 Poincaré, 146 Poisson distribution, vii, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 17 polynomials, 77, 146, 147, 148 population, 10 power, 12 probability, 10, 11, 15, 18, 21, 65 proposition, 15, 17, 28, 29, 31, 32, 34, 54, 57, 60, 73, 83

R random walk, 146, 147, 148 real numbers, 26 recall, 65, 72 reciprocity, 49 reduction, 26 regression, vii, 9, 10, 18, 19, 20

S SA, 10, 11 sample, 10, 19 sample mean, 10, 19 sample variance, 10, 19 semigroup, 16 series, 114 SES, 51 shape, 13 sign, 23, 67, 82 simulation, 19 smoothness, viii, 71, 72 solitons, 112 spin, 147 standard deviation, 15

161

statistical inference, 19

T Taiwan, 112 theory, 35, 47, 48, 62, 72, 113, 114, 115, 116, 147 time, 16 Tokyo, 62 topology, 28, 29, 31, 34, 74, 75, 76, 77, 85, 86 tradition, 120 tranches, 35, 52, 53, 60, 61, 62 transcendence, 113, 115 transformation, 119, 133, 135, 141, 157 transition, 122, 138 translation, 38

U uncertainty, 157 uniform, 25

V values, 29, 112, 113, 114, 115 variable(s), 13, 16, 18, 20, 62, 77, 91, 93, 107, 111, 117, 118, 119, 120, 121, 123, 124, 125, 126, 127, 130, 131, 132, 137, 138, 139, 141, 142, 143, 144, 152, 154 variance, vii, 9, 10, 12, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 118, 123, 133, 138, 139 variation, 53, 81 vector, 18, 30 Ventcel type, vii, 1

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Reviews in Mathematical Physics - Volume 11

Mathematical Physics, Analysis and Geometry - Volume 11

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ADVANCES IN CATALYSIS VOLUME 11, Volume 11

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Non-Classical Continuum Mechanics: Proceedings of the London Mathematical Society Symposium, Durham, July 1986 (London Mathematical Society Lecture Note Series)

The Philosophy of Rudolf Carnap, Volume 11

Differential Geometry, Global Analysis, and Topology: Proceedings of a Special Session of the Canadian Mathematical Society Summer Meeting Held June (Conference ... Proceedings, Canadian Mathematical Society)

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