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COLLANA TECNICO SCIENTIFICA PER LA PROGETTAZIONE DI STRUTTURE IN ACCIAIO
PLASTICITÀ
R. BALDACCI G. CERADINI E. GIANGRECO
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CISIA Centro Italiano Svilu ppo Impieghi Acciaio· Milano
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PREFAZIONE
COPYRIGHT © 1974 CISIA - MILANO
Il presente volume della Collana comprende alcuni argomenti fondamentali di Teoria delle Strutture, attinenti alla progettazione delle costruzioni in acciaio ma, di regola, soltanto accennati nei corsi istituzionali specifici svolti neile nostre Università. Essi riguardano il calcolo a rottura, lo studio dell'instabilità elastica ed elasto-plastica e l'analisi dinamica delle più comuni ed importanti strutture elementari che si incontrano nelle Costruzioni metalliche. Di questi temi è apparso opportuno tentare una trattazione, certamente imperfetta, ma impostata su un livello generale, adatta a fornire agli studiosi un quadro sufficientemente esteso della materia. Proprio il carattere degli argomenti trattati ha richiesto un approfondito collegamento con i principi generali della Meccanica ed un' ampia premessa dei fondamenti teorici, in vista del successivo sviluppo applicativo. Ne scaturisce in tal modo un discorso unitario che vuole costituire un utile e naturale collegamento tra i principi della III eccanica in generale e le indagini più tecniche ed applicative che formano l'oggetto degli altri Volumi della Collana. Tale esigenza ha comportato un ampliamento considerevole del programma originario, tanto da dover suddividere il volume in due parti, II A e II B. La prima fornisce una esposizione organica della Teoria della Plasticità, cui fa seguito lo studio concreto di problemi elasto-plastici delle strutture. La seconda contiene una trattazione unitaria dei fondamenti comuni alla Dinamica e Stabilità dei sistemi da cui conseguono l'analisi dinamica e lo studio dei fenomeni di instabilità delle strutture più importanti. Questa ricerca di una certa generalità e completezza ài trattazione ha comportato per gli A utori la necessità di essere affiancati, nella elaborazione della complessa materia , da studiosi italiani, il cui apporlo nei settori specifici loro affidati è risult(J,to veramente prezioso: ad essi va l'apprezzamento ed il ringraziamento più vivo.
R. PRINTED IN IT ALY STAMPA DELLA TAMBURIN! EDITORE S.p.A. - MILANO
BALDACCI
G. CERADINI
E.
GIANGRECO
9,
INDICE INTRODUZIONE
.
.
.
.
.
.
.
.
•
.
.
3
PARTE I FONDAMENTI GENERALI CAP. l -
COMPORTAMENTO DEI MATERIALI ELASTOPLASTICI
1.1 Generalità. . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 La condizione di snervamento. . . . . . . . 1.3 La condizione di snervamento per i materiali isotropi perfettamente plastici . . . . . . . . 1.4 Legami costitutivi dei materiali elastici-perfettamente plastici . . . . . . . . . .. 1.5 Legami costitutivi per i materiali incrudenti CAP. 2 -
Il
19 21 33 , 41
TEOREMI GENERALI DELLA TEORIA DELLA PLASTICITÀ
2.1 Materiale elasto-plastico stabile secondo Drucker 2.2 Inversione della legge incrementale di deformazione elasto-plastica . . . . . . . . 2.3 Il problema elasto-plastico incrementale 2.4 Il collasso plastico . . . . . . . . . . 2.5 L'adattamento dei corpi di materiale elasticoperfettamente plastico soggetti a carichi variabili nel tempo . . . . . . . . . . . . . . . PARTE
57 63 66 77
88
II
ELASTO-PLASTICITÀ DELLE STRUTTURE CAP.
3 -
COMPORTAMENTO DELLA TRAVE ELASTO-PLASTICA
3.1 Trazione e compressione
109 VII
3.2 Flessione simmetrica . 3.3 Torsione. . . . . . . 3.4 Sollecitazioni composte
i
CAP.
4 -
110 118
132
ANALISI LIMITE: STRUTTURE MONODIMENSIONALI
l'
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
I"
CAP.
5 -
Generalità sul procedimento dell'analisi limite Sistemi reticolari. . . Travi e telai semplici. . . Telai . . . . . . . . . . Archi e strutture con più caratteristiche attive
ANALISI LIMI'l'E: STRUTTURE BIDIMENSIONALI
5.1 Premesse . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Il caso delle lastre . . . . . . . . . . . . . 5.3 Il caso delle lastre caricate ortogonalmente al proprio piano . . . . . 5.4 Il caso dei grigliati. . . 5.5 Il caso delle lastre curve CAP.
6 -
155 160 166 174 183
191 193 210 232 246
COMPLEMENTI DI ANALISI ELASTO-PLASTICA DELLE STRUTTURE
6.1 Il calcolo a collasso quale problema di programmazione matematica . . . . . . . . . . 6.2 L'influenza delle variazioni di geometria sul comportamento al di là del collasso 6.3 Adattamento plastico (Shake down) . . .
VIII
279 289 295
INTRODUZIONE
Oggetto della teoria della plastieità è lo studio del comportamento dei corpi costituiti da materiale duttile, sollecitati oltre i limiti elastici. Per questi corpi ad una prima fase elastica della resi:;tenza segue, con il crescere della intensità delle azioni sollecitanti, una seconda fase detta elastoplastica, caratterizzata dalla presenza di ZOlle ove il materiale, pervenuto allo snervarnento, diviene sede di deformazioni plastiche. Poichè le deformazioni plastiche sono irreversiùili, in un dato istante del processo di carico di un corpo elastoplastico lo stato di deformazione e quello di tensione dipendono non solo dalle condizioni attuali di carico ma da tutta la precedente storia di sollecitazione. Questa circostanza puntualizza la sostanziale differenza che sussiste tra il comportamento dei corpi clastoplastici e quello dei corpi elastici, per i quali lo stato di tensione dipende unicamente dalle configuraziolli iniziale e finale d el corpo. Dal punto di vista applicativo, la differenza più rilevante si manifesta nell'ambito della teoria lineare per piccoli spostamenti, in cui - per i corpi elastici - lo stato di tensione e di deformazione dipende univocamente dalle azioni sollecitanti attuali, ed è applicabile il principio di sovrapposizione degli effetti; i problemi di resistenza dei corpi elasto-plastici, al contrario, devono in generale essere risolti anche in questo amùito per via incrementale, seguendo passo-passo le vicende dello stato di tensione e di deformazione con l'evolversi del processo di carico. Ciò rende l'analisi molto più complessa e onerosa. 'l'uttavia, grazie anche a recenti sviluppi teorici ed alle applizioni che ne discendono, basate sulle tecniche di calcolo della programmazione non lineare, è ora possibile seguire il comportamento elasto-plastico di ulla struttura soggetta ad un qualsiasi programma 3
"..--di carico comprendente anche il susseguirsi nella stessa zona di pIasticizzazioni e di rientri in fase elastica. L'impostazione sopra delineata viene generalmente definita « incrementale >). Nella ipotesi che in ciascun elemento della struttura le tensioni crescano proporzionalmente al crescere dei carichi esterni, il legame incrementale tensioni-deformazioni può essere integrato in modo da ottenere un legame tra le tensioni e le deformazioni totali del tipo di quello che regola il comportamento di un materiale elastico non lineare. Nella prima fase delle applicazioni t ecniche della teoria della plasticità, sulla base di detto legame in termini finiti è stata sviluppata la cosiddetta « teoria globale l), che è rigorosamente valida solamente in quei casi particolari nei quali è verificata l'ipotesi sopra formulata . Essa tuttavia è in grado di fornire soluzioni di buona approssimazione per quei problemi Ilei quali gli incrementi delle tensioni si mantengono pressochè proporzionali in tutte le zone più sollecitate della struttura. È quindi demandato alla sensibilità d ell'operatore il compito di stabilire se la teoria globale possa essere o meno applicata. Nel seguito la teoria globale non sarà ulteriormente sviluppata in considerazione della mancanza di generalità e della sua stretta connessione con le teorie elastiche non lineari. In molte questioni attinenti alla verifica delle strutture metalliche, è opportuno assumere (in favore della sicurezza) che il materiale non incrudisca: in tal caso esistono limiti di resisteuza che possono essere determinati direttamente, senza far ricorso all'analisi incrementale sopra menzionata. Tali limiti sono quelli d el collassoincl'ementale o della plasticità altema.ta, nel caso di carichi comunque variabili nel tempo, e quello di collasso statico nel caso di carichi sempre crescenti. Il collasso incrementa,le o la plasticità alternata si verificano per l'accumularsi nel tempo di deformazioni plastiche limitate, ma ricorrenti , collegate a cicli di sollecitazione provocati dalle variazioni dei carichi; il collasso plastico si verifica quando il diffondersi delle zone plasticizzate, con il crescere dell'intensità dei carichi, fa sÌ che i singoli sistemi locali di scorrimento plastico potenzialmente attivi possano coordinarsi tra loro trasformando il corpo in un m eccan ismo capace di deformarsi senza ulteriori incrementi di carico. Ciò vale naturalmente fin quando il fenomeno non è influenzato da lle varil1zioni di geometria subite dal corpo con la deforma~ion e . 4
Salvo il caso cii stl'\lttme particolarmente deformabili , all'atto dell 'instaurarsi del meccanismo di collasso gli spostamenti subiti dal corpo per effetto delle deformazioni elasto-plastiche preeedenti sono cosÌ piccoli da permettere ehe si faccia ancora riferimellto alla configurazione ini~i ale. In questo caso lo stato di collasso del corpo dipende solamente dalle cond i~i()ni di carico attuali e non dalla precedente storia di tensione e di deformazione. Qu esto fatto è di fundamentale importallza perchè permette di determinare la sicurezza al eullasso dil'ettamente, cioè omettendo ogni analisi d ell e precedenti fasi clastica ed elastoplastica, ed assumendo per il comportamento del matel'iale lo schenw rigido-plastico. Su ciò si b asa il capitolo fondamentale dell a teoria delle strutture rig uarda nte il calcolo n l'oama. Le prime ricerche di carattere applicativo s ul calcolo a rottura e sul controllo sperimentale della sua validità a i fini della verifiea dell e strutture in acciaio si svilupparono pressoeltè eontemporaneamellte in molti paesi nel periodo compreso tra il 1925 cd il I (H-O. Si eitano a tale proposito i contributi di G. Ka~inezy, N. C. Kist, M. GI'Unin g, J. Fritsehc , K Melan, F. ed H. Bleich , H . lVIaicr-Leibnitz, A. A. Gvodzev. Anche in Italia analoghe impostazioni erano nello stesso pe riodo avanzate, anche in relazione alle opere di cemento armato, e validamente sostenute da G . Colon netti ed A . lhnusso, eh un punto di vista più spiccatamente teorico, nonchè da P. L. Nervi da quello tecnicocostruttivo. Dopo la seconda g uerra mondiale, mentre le ricerche teori che si approfondivano e si diffondevano, le indag ini sperimentali erano COIldotte soprattutto negli Stati Uniti ed in Inghilterra, oltre ehe nell'Unione Sovietica, con l'intento di porre le basi di una nuova normativa s ull a progettazio ne e sulla verifica delle strutture, basata appunto sul el11eolo a rott.ura. Sono note le discussioni e le pole mi ch e ehe llcgli ultimi 25 a.nni si sono svolte::;u questo tema. Da un la.to i fautori dd calcolo a rottura. formulavano le seg uenti osservazioni: 1) I gradi di sicurezza effettivi di strutture progettate e vC'rificate con m otodi trac1i~ionali risultallo tra loro scnsibil!nCllte divers i in relazione alb natura delle strutture cd alle modalità cii carico. PC'r le strutture ipel'i:i t atiche il trascurare In riserve di resistenza in fase el astopbsti ca., eomc avv iene con i metod i tradizionali basati s nlla verifica delle t ell si\Jni massime in eHer ciz.io, calcolate in ha se alla teoria 5
dell'elasticità" porta in gcnemle a sot,tova,]utarc l'effettivo gmdo di sieurezza. D'altra parte il fatto ehe la l'esistenza di una struttura di materiale duttile non sia esaurita se sussiste Ja, possibilità, di una ridistribuzione delle tensioni, era ben nota agli ingegneri fin dai primi sviluppi della Scienza, delle Costruzioni. Bas ta citare a questo riguardo il metodo cosiddetto di Mery per il calcolo degli arehi c, successivamente, nel campo d ei calcoli eh1stiei , le semplificazioni introdotte negli schemi statici, semplifìcazioni che genera,]mente porta,llo a trascurare, in modo più o meno consapevole, le sollecitazioni cosiddette second a rie rispetto alle principali: cosÌ ad esernpio nelle strutture reticolari si trascurano gencralmente le sollecitazioni flcssiouali dovute ,di,L continuità nei nodi rispetto a quelle assiali. 2) Nel calcolo elastico le tensioni massime ùi esercizio poste a confronto con le tensioni ammissibili nOli SOllO le tensioni effettivamente presenti nella struttura ma rappresentano di queste valori ntedi nominali. ]nfatti 110lla loro determillazion e si trascurallo geJleralmente le tensioni residue (di laminazione, di saldatura, di m(Hltaggiù) e, almeno nelle strutture sollecitate staticamente, ogni effetto di concentrazione dovuto a fori, intagli e brusche variazioni di sez lon e, a n on uniforrni ripartizioni degli sforzi n egli clementi eli coll ega mento, alla applicazione di carichi concentrati ecc. Qualora s i tenesse COllto di flUCsti effetti si perverrebbe a valori delle tellsiOlli largalllCllte eecedcnti il limite di sllm'vamcnto, talchè, se }}Oll potesse farsi afTìdamelìto sulla dllttilitù, ùel materiale, quasi neSSUlla struttura verilieata ('OH il c.
Nella figura la sono ralJpresentati i diagrammi tensioni nominali -- elongazioni relativi ad acciai da carpenteria di corrente impiego e di diverse caratteristiuhe meccaniche. Essi presentano tutti una fase elastica ben marcata, corrispoudente alla retta di H ooke, alla qua,le segue dopo un breve raccordo un ampio tratto orizzontale relativo al primo snervamento del materiale; a questo tratto fa seguito il ramo della curva relativo alla fase di incrudimellto.
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WO~ 90
80
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70
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60
50
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--~~1~-J----'--3--r- -4
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O -~~H~--i~----;--&--r--\~~
[Or
Fig. l/l
-I 10
-'-~, 8
10
I
I I 12
.
14
16
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~1'-;:-B~c:':?'O~~
Fig. 111
12
I 24
:~-'--':7--r-::i ,-;:-! ~---J28 3() l? l "/0
26
Nella figura J b è rapprcsentata in dettaglio la. prima parte dei diagrammi, fino 11 deformaziolli unitarie dell'ordine dell' l %. Essa pone in evidenza come per deformazioni unitarie non eccessivamente grandi il comportamento degli acciai considerati possa essere convenientemente rapprescnt'1to dallo schema elastico-perfettamente plastico (fìg. 5a). Se le deformazioni superano la soglia dell'incrudimento può essere lItile far riferimento, per l'acciaio dolce da costruzione Pc 37 13
(eorrispondente all'aeciaio A 7 di produzione V.S.A.) al diagramma di di figura Id (Beedle) (l).
c rispettivamente:
• ;-o2-=-f=~;2-=~-;;:-i=-010n a id --- V 1 2 3 ~ -- °2°3
~ °3°1 =
-- - ~-----
--=:J ~c ~11 -< :->'--- -==- ----
5000~-:~
-i
-----
-f'----
4000: Il~~ 3500:
~&-- ~ NO"
---- -
---1
o3Q()()I - ~ ---~~ 1-:;75. -~
r}; j(Jrn.
ove rlij è il simlJOlo di Krollcc!(()t' , ch e vale I p er i = j c O per ·i =I
ziolli dci componenti di 0 111 · secondo gli assi ( i sono ()'Z[', O'Z2',
.i.
() 'Z:/ di grandezza pari a
V ')
- _.- !TI ,
( I) f:> i voda ,,,l 0R0 101' i" 1\'\ D'\[ , l 'laslil'il.'l, V,,1. T, Cap . :1 7, è\'''I' y " .. i
d elIn plasticizzazione dall a tensione principale med ia (l) . Nel diagmmma di fi g ura 17 sono riporta ti i risultati sperimentali rclntivi a ll'insorgere d elln plasticizzaziollc nell' twciaio dolce, rame e alluminio (2), confrontnti con le curve t eoriche relative ai criteri di Tresca, H . M. H. e Hil!. Ln buona cOlTisp ondellz;1, in special modo con il cr it erio di H . .IVI. H. , è evidente. P cr gli altri m a t eriali metalli ci all a prima p lasti cizzazion e segu e la fase di iner urlirn c nto. Tutt.avia per i metalli dut.tili l'insorgere della plasti cizzazion c avvi ene s(~ l1ljlre in bu oll accordo con il criterio di
H. IV!. H. ( I) M. Ho s. A. EI CllINGE H. Ui,sku B"irm8vericht N,. . 34 d m RM.P .A. , Ziiri" h ) !J~!). (") G. L 'J' AYLOR , II. QUl èI EY, l'h il . '1'1'lU!s. HO!J. ,8oc. A 2:30, )!J;ll, :l23 .
.32
~ a
(
b
Fig-. lS
1.4
Legami costitutivi dei materiali elastici-perfettamente plastici
Affìnehè in un ele mellto di m ,tteri ale elastico-perfettam ente piasoggetto inizialmellte ,t llll d a to s tato di tensione aij, un in cretrHmto di t CI1 !-lione rl aij pro vochi un in cre mento dell a defor ma.7,ione
~Lico ,
33
plastica devono essere soddisfatte contempuraneamente le condizioni
Fo
= O
e
dFo
DFo
== - - - dapq 8ap r;
=c O
incrementi di tensiunc da;j non deyono aìterare la direzione degli incrementi dc~ della deformazione plastica. T ale circostanza sperimen~ tale permetto di introdurre l'ipotesi che le nij siano fUllZioni soltanto dello stato di tensione e non degli incrementi di tensione. Convielle quindi porre
In tal caso il punto-tensione giace sulla superficie di snervamento e - --+
il vettore da (applicato al punto-tensione) è tangcI'te ad essa. Incrementi di t ensiolle per cui si abbia }t'o
=
O
dl!'o > O
e
non possono aver luogo; Re invece è
Fo
=
O
e
rlP o < O
gli incremcllti di defo rmazione IJlastica devono essere nulli, avendosi un ritorno in fase clastica. Se poi è Fo < O, il materiale ù ili fase elastica e non può subire deformazioni plastichc. Quanto sopra è rispettato se gli ill crementi della deformazion e pbstiea d fi;1' si es primono nella forma,
7Tij
dE;j = con
-
d}.
a}l'o --a---·ai}
(1.22)
7TijflJ.
(lA
~
O
per
Ji'o =
°c
dJi'o = O
dÀ
= O
per
/1'0 = O e
dF o < O,
oppure per
Fo < O
(1.20)
dove le llij devono rappresentare le componenti di Ull tensore doppio simmetrico in accordo con il carattere tCllsoriale delle dE~. Per un elemento materiale perfettamente plasti co isolato, allo snervamento la deformazione plastica non è limitata. (cfr. per il caso uniassial e la fig . Ga): pertanto nella (1.20) il moltiplicatore dì. può assumere qualsiasi valore. Come si vedrà in seg uito , in un corpo elastico-perfettamente plastieo non al collasso, i valori che (V assume punto per punto in un passo illfinitesi mo di carico ri sultano llllivocamente determinati dalla soluzione dd problema incrent(mt1tle. Dall'osserv az iol\e ehe un incremento di d eformazione plastica si verifica lungo certe direzioni di scorrimento plastico qllal1do lo stato di tensione vi raggiunge li Il valor la (1.39) può serivcrsi più brevemente
,-
ai}
P o (ai}) < O.
oppure per
Vaij
~-
iJJi'o iJ-
(1.4Ib)
-;=-aij=
P (aii> aij) ==Po(aij-ail)= O
DP o
per
(1.44 )
BEmo, Rend. 1st . Lomb. Sci. Lett. Cl . Sci. VoI. LXXXVII, Ul54, 331. PRAGEn, PHAGER,
P,,·oc. II/ st .•~l ech. Klllfrs., Hl9, 1955, 41. P1"Obieme der Plasticiliilsllworie , Basol 1955.
VoI. IXa l(l58, 2Gl·27G. Qual·t. Appl. iUath., VoI. 17 n. 1, 1!l59, 55·iii).
(1) R. T. SH1i':r.D, H. Zmau:lt, Z.A.M .l'. ( 2)
II.
ZIEGLE lt,
45
stica. Se si ammette, seguendo Koiter, che ciascun meccanismo sia indipendente dagli altri e che si attivi quando il punto-tensione giace sulla falda ad esso relativa, si ottiene la legge di deformazione
sostituendo nella (1.42) si ottiene
vFo . -
-
ai}
Vaii p, = - -
VFo _
vapq -
apq
'p
Cii
Per la determinazione dello scalare ~ che compare nel legame inerementale tensioni-deformazioni (1.4Ia), si ammette che il componente secondo la normale
a7t,
; di o di d;' coincida con il vettore cit ove c è la funzione di incrudimento che compare nella (1.40) (fig. 21). Si ottiene in tal mcdo di nuovo la (1.43); a seguito di ciò quando la direzione di ::g- coincide con quella di gler fornisce gli stessi risultati di quella di Prager.
vF" .
".
=
-
L."
VOii
t
vP
= H" ----"- Oii
per
F,,= O e
per
}l',,
VOii
n la legge di Zie·
j,,, = O
. Ctj
Fig. 21
Poichè con l'annullarsi identico di una delle componenti della tensione ai} risulta sempre nulla anche la corrispondente ai}, la legge di incrudimcnto cinematico ora descritta risulta invariante rispetto alle riduzioni di dimensione dello spazio delle tensioni.
I ncrudimento di un materiale con superfic'ie di snervamento a più falde secondo J( oiter (1 ) Nel caso di superfici di snervamento a più falde si può far corrispondere a ciascuna falda un diverso rneccanismo di deformazione pla(I) W. T. KOITER, Quart. Appl. Math., VoI. Il. n 3, 1953, 350-354.
46
vP
"
VOij- Oii
~ O
vJ'" L' = O e _ a;~-ali
O
Tao
=
T Lab
e
T ao
< O
oppure F,
b
a
Fig. 22
La principale limitazione di questa teoria consiste nel fatto che le falde non attivate dal punto tensione rimangono ferme: risulta in tal modo predusa la possibilità di rapprosentazione dell'effetto Bauschinger.
ove con TLao + e TLao - si indicano il valore massimo ed il valore minimo raggiunto da Tab nella storia di carico. Se tutti i grani ugualmente -orientati forniscono lo stesso contributo alla deformazione plastica globale e se tale contributo è proporzionale al numero di grani, si ha per l'insieme infinitesimo di grani per i quali la normale Ci al piano di scorrimento è contenuta nell'angolo di! e la direzione di seorrimento b nell'angolo tlfJ -).
dYao
= f
(Tao) Tab di!dfJ
Teoria degli slittamenti plastici COli
In questa teoria, formulata da Batdorf e Budiansky(l) e sviluppata successivamente da questi e da altri autori, il materiale metallico policristallino viene considerato macroscopicamente isotropo ma costituito da microcristalli identici nelle loro caratteristiche, orientati in modo casuale .
riferimento a un sistema di assi .ali
Cij
= -
l
2
ove ni a , n;b (i = l, 2, 3) sono spetto agli assi J ·i.
. a o Yab (n; nj
Xi
si ha d'altra parte
+ nja ndo
( 1.48)
coseni direttori delle rette a e b
1'1-
(1) S . B. BATDOHF, B. B U DIANSKY, NAOA TN 1871, 194.0.
P. P. S.
48
R 'ivista Fac. O. Rxactos, Pis., Naturales, COl'doba, A 13, n. 2, 1950. J. Acmn. Sci. VoI. Hi , 1!)51. BATDORF, B. BUDTA NS KY, J. Appl. Mech. VoI. 21, 1954, 323-:126 .
CICALA, CICALA, B.
(*) Si osserva che originariamente la t,coriu è slat.a formulata dn llatdorf c Bu. diullsky in forma global e .
49
Di qui per integrazione si deduce
• p -Cij
_1 2
JJf __ n
lU
(Tab)
a b (ni nj
Tab
+ nja nt)b dQdfJ
( 1.49)
jJ
cui Q è l'angolo emisferico e fJ è l'angolo piatto. Si ha d'altra parte, con riferimento al sistema di assi l
Tab
. Tab
= -2 =
a
b
aij (ni nj
l. ab - - ai; (ni nj
2
Xi
+ nja nt)b (1.50) ab
+ nj ni)
Pertanto, fissata la legge (1.47) della deformazione plastica del microcristalIo, la (1.49) - tenendo conto delle (1.50) - fornisce la legge incrementale di deformazione plastica del materiale pol;cristallino. In questa formulazione, che è quclla primitiva dovuta a Batdorf e Budiansky, la teoria degli slittamenti può farsi rientrare nello schema teorico di Koiter(I), csposto nel paragrafo preccdente, considerando un numero infinito di meccanismi di dcformazione plastica indipendenti: infatti in luogo della sommatoria che compare nella (1.45) subentra l'integrale (1.49). È comunque interessante notare che i lavori di Batdorf e Budiallsky, basati su un punto di vista esscnzialmente fisico, sono anteriori alla sistemazione formale proposta da Koiter, e che anzi al loro comparire sembrarono costituire un approccio del tutto differente dalle teorie della plasticità esistenti, sia incl'ementali che globali. Successivamente, Budiansky e \\1u(2), considerando sempre il materiale quale aggregato di microcristalli orientati casualmente, hamJO esteso la teoria degli slittamenti plastici prendendo in esame più meccanismi in ogni microeristalIo, e introducendo un effetto di interazione
(l) W. 'l'.
KOITER,
(2) B. BUDIANSKY,
1175·1185.
50
Quw·t. Alil,l. Math., Vol. 1 I. n. 3, ] 91i3, i150-354. 'l'. 'l'. \\'1'. l'roc. 1' ..'1. Nat. C'mlgr. Ap,,!. Mechal1if's. l!)(i2,
4'"
fra i singoli meccanismi, dovuto alle tensioni di coazione provocate nell'aggregato dalle deformazioni plastiche. Questa visione non è quindi riconducibile allo schema teorico di Koiter, e dà luogo a superfici di snervamento le cui falde si spostano anche quando il meccanismo corrispondente è rimasto inattivo. A risultati non più inquadrabili nella teoria di Koiter sono giunti anche Como, D'Agostino e Grimaldi (1), i quali hanno fornito un'interpretazione della (1.49) deducendola direttamente nell'ambito del mezzo continuo, senza far rifcrimento a schematizzazione dell'aggregato poli cristallino ; essi inoltre hanno preso sistematicamente in conto l'effetto Bauschinger. Se Tab è il valore attuale della tensione tangenziale agente tra la coppia di piani (ortogonali) a, b, se Tab* è il valore che la tensione tangenziale ha assunto in corrispondenza dell'ultimo scorrimento plastico attivo tra a e b e Tab* è l'incremento di tensione che ha determinato detto scorrimento, la condizione di plasticizzazione su a, b è Tab - - TLab
In
(1.51 )
= O
CUI
+ TLab
TLab
se
TLab
TLab
se
.. Tab*Tab
> O
Tab*Tab
< O.
(1.52)
Infatti, a causa dell'effetto Bauschillger, occorre conoscere per la valutazionc di T Lab, se la T ab ha tendenza a produrre slittamcnti plastici nello stesso verso o nel verso opposto della T a1/. Si ha poi + TLab
Tab
*
mentre TLab è una funzione della storia di è stata esplicitata nclla forma T[,ab
(1)
M. M. M.
COMO, COMO, COMO,
= -
+ B1TLab
+B2
Tqb,
+ [TLab -
2TLV
che dagli autori citati
sgn
. (Tab*)]
S. D'AGOSTINO, Meccanica, AIMETA 1969, VoI. 2, 146-158. A. GRIMALDI, Meccanica, AIMETA 1969, VoI. 4, 286-297. A. GRIMALDT, Meccanica, AIMETA 1970, VoI. 2, 117-125.
'51
ove BI e B 2 sono due coefficienti che definiscono l'intensità dell'effetto Bauschinger locale, collegati tra loro dalla condizione
Incrudimento di un m«teriale con sup erfici e di snervamenlo a più falde secondo M andel
+ B2 =
La concezione di Koiter ò stata genOl:'alizzata" nella ipotcsi che i meccanismi di deformazione plastica del materiale non siano indipendenti, da Mandel (l) e successivamente da I-Iill (2), i quali hanno cosÌ fornito un quadro teorico alle impostazioni cui si è fatto cenno nella seconda parte del paragrafo preccdente. Si assume che la deformazione plc.~stica del materiale possa aver luogo secondo N meccani1:ìmi, ciascuno dei quali consiste nello scorrimento Y su un dato piano n di normale secondo una direzione I)cr ipotesi il generico Yk Ò non decrescente : in altre parole due scorrimenti di verso opposto sono considerati come due meccanismi distinti; si ha quindi Yk ~ O. Pertanto in qucst.a teoria i Yk svolgono il ruolo dei parametri A" nella formulazione di Koiter. La condizione di scorrimento per l'r-csimo meccanismo ò
BI
l,
condizione che risulta dal fatto che nello stato vergine deve essere +
Ir Lahl
-
Ir Labl
=
r Lv
=
.
Con la posizione sopra formulata è possibile prendere in considerazione un inerudimento locale intermedio tra quello cinematico (BI = O, B 2 = I) e quello isotropo (BI = l, B 2 = O). L'incremento dello slittamento plastico tra a, b si esprime in funzionc del corrispondente incremento della rah con Yah lJ1
=
cabliab Tab
( 1.53)
cui
' ..
~
l
I" se
Cab
= O
I se
+
"
rab
= rLab
e
TabTah*
> O
Tab
0:>-308. (2) H. HILL, J. M ech. Pltys. Solids, ]4, ]966, 95-102.
53
Si ha invece Yr
o se
è
r iJF '. < HrkYk ---alj iJaij
(1.55b)
poichè si verifica uno « scarico » relativamente all'r-esimo meccanismo. Si ha inoltre ovviamente Yr = O per gli altri N-n meccanismi, per i quali è
Fr < O
(1.55c)
Per dedurre la legge incrementale della deformazione plastica si devono risolvere le (1.55a, b, c) rispetto alle }'k ed esprimere Successivamente queste in funzione delle i{j. L 'inversione delle (l .55a) con le condizioni (1.55b, c) dipende dalle caratteristiche della matrice Hrk. Dalla discussione di dette caratteristiche discendono vari comportamenti del materiale. In particolare, se la matrice Hrk è diagonale, si riotticne come caso particolare la teoria di Koiter; se ciascuna colonna di Hrk è composta da elementi tutti uguali, si ha l'incrudimento isotropo. La stabilità secondo Drucker (v. n. 2.1) del matcriale definito dalle (1.54) (1.55) è stata dimostrata da Mandel sotto le tre seguenti condizioni: a) il potenziale plastico coincida per i singoli meccanismi con
la funzione di snervamento b) la matrice IIrk sia semidefinita positiva c) la matrice H ,·k · sia simmetrica.
Si badi che le condizioni (b) e (c) sono sufficienti ma non necessarie.
Si è inoltre tenuto conto dell a influe nza dello seorrimento di tutti i mecca· nismi sulla tensione tangenziale limite di eiaseuno di essi. Si è infine presa in considerazione la presenza di microtensioni di coazione, dovute alla non uniforme trasmissione della maerotensione tra i singoli mieroeristalli e agli scorrimenti plastici micI'ocrist.a llini. Naturalmcnte con l'affinarsi dello studio d el eomportomento locale au· m enta l'impegno a nalitico e quello d0llu elaborazioni numeriche nelle applica. zioni. Ne segue che queste indagini, mentre mantengono tut.to il loro i nt.eressc per una critica approfondita della meccanica del materiale, ai fini d "lb t POl'ia de,le struttUl'C hanno un valore essenzialmente orientativo, relativamente alla definizione di legami costitut.ivi allo stesso tempo semplici e generali. In questo senso appare di notevole interesse lo studio recente di Hill(l), il quale, parttmdo dai fenomeni sopra discussi, tende a stabilire con una a nali"i globale, e nello stesso tempo rigorosa, le caratteristiche fondamentali del com· portamento elasto·plastico del materiale policri",tallino, che non sono affette dalle ekrogeneità a livello microscopico. QuestI' possono riassumersi come segue: a) Il dominio clastico di ogni gl'ano cristallino dell'aggregato allo stato vergine è limitato, nello spazio delle tensieni, da un policdro conVfSSO. Il do· minio clastico dell'aggregato, essendo l'inte l'H'zione dei domini di tut,ti i grani, sa r à anch 'esso convesso, con una superficie limite regolare, salvo eventua lmente in un numero finito di spigoli c di vortici.
b) L'incrudimento dci m at.eriale risulta dall'incrudinwnto proprio dei gl'ani cristallini e dall'inerudirncnto d'insi eme, dovuto a l vincolo di continuità tra i grani stess i, che desta mi erot.ensioni di coazionc.
c) Nd corso della sollecitazione del materiale in fase elasto·plastica, in corrispondenza del punto ra ppresentativo dello stato di tcnsione si forma sulla supcrficie di sncrva mento un punto singolare. Ciò è dovuto alla pluralità de i m eccanismi ehe contribuiscono alla deformazione. L'incremento di deformazio· ne plastica dcll'aggregato è contcnuto nel cono definito dalle normali l'sterne alla s uperfici e di snervarnento n el punto singolare.
Oenno sugli sviluppi più recenti Molti autori, riallacciandosi alla proposta di Batdorf e Budiansl,y, hanno preso in esame l'insieme dei'meccani smi di slittamento sia per un unico maero. cristallo ehe p er un aggregato di elementi mierocri stallini (l).
Il) Se l'incrudim ento proprio dci gnmi vicnc a ccssare, s i possono rag· giungere stati di tensione per i quali - essf'ndosi esaurit.o l'inerudimento d 'insirme dovuto al vincolo di continuità --- si hanno deformaz ioni plastiche senza incremento dI'Ile t.ens ioni: s tati di tensione di qu esto tipo possono dr'no· minars i stati limit.c di colll\;;80 dell'aggregato polieriRtallino.
(1) T. H. LIN, J. Mech. Phys. Solids, Vol. 5, 1957, 143.149 .
. J. J. T. T.
54
W. HUTCHINSO~, J. Mech. Phys. Solids, VoI. 12, 1964, 11.24. W. 'HUTCHINS ON, J. Mech. Phys. Solids, Vol. 12, 1964, 25.33. H . LIN, J. Mech. Phys. Solù18, VoI. 12, 1964, 391.408. H. LIN, M. ho, J. Mech. Phys. Solùl .• , Vol. 13, 1965,. i03.115.
(I) H.. HILI., J. Mec". PIt?J8. Sol'irls , VoI. 15, 1!JG7, 7()·!J8. D . HADlèN1WVJC, l'l·oe. Tnt. ('ullf. al! Civ-il l'nfl . M otN. (Suuthampton ]('169) ,
P 1'l'f'J' i Il L
55
L'insieme di questi stati limite di eollasso forma la {( superfieie limite l) del materiale. I meecanismi di deformazione eorrispondenti coincidono con quelli di collasso rigido.plastico del materiale: la superficie limite approssima quindi quella di snervamento definita per il materiale rigido. plastico. e) La superficie limite è convessa, generalmente regolare. Ad ogni punto regolare corrisponde un unico meccanismo di deformazione. Per una eventuale falda piana un unico meccanismo corrisponde n tutti i punti appartenenti alla falda. Ad un punto singolare corrispondono più meccanismi di deformazione.
2. TEOREMI GENERALI DELLA TEORIA DELLA PLASTICIT A'
f) La superfieie limite non coincidc con nessuna delle superfici di sner. va mento susseguenti: essa è infiltti il luogo dci punti ai quali tendono i punti. tensione al crescere d ella solleeit,azionc.
Se si applicano al materiale stati di rleformazione proporzionali rappresen. tati dal vettore
tl (con componente isotropa nulla),
susseguenti evolvono al crescere di t nel modo mostrato in figura 23: il puntotensione converge a quello stato limite di tensione (appartenente alla superficie limite) che ammette come meccanismo di collasso l'inen nwnto di deformazione imposto É. ~
superficie
di snervamento
asinto_t~c:.'!..- __ ... ___ _
snervamento superficie
susseguente
di
sner~~ento__ _ l~z~~_~
2.1
Materiale elasto-plastico stabile secondo Drucker
le superfici di snervamento
·",.p..~_~~9rso
di carico
li"'ig. 2i1
Dalla lettura dei nn. 2.3 c 2.4 apparirà evidente la stretta corrispondenza tra questa interpretazione del comportamento eIastoplastieo dci materiale ed i risultati della teoria incrementaI c dolle strutture elasto-perfcUamcnte plast,i. ehe iperstatiche e del ealcolo a rottura.
Si prenderanno nel seguito in cOllsiderazione corpi e strutture costituiti da materiale stabile secondo la seguente definizione (I). Si consideri un elemento di materiale soggetto ad un generico stato di tensione omogeneo provocato dalle azioni esterne sollecitanti Al. Un nuovo sistema di azioni esterne, che si indicherà con A t , indipendente dal primo, applichi all'elemento uno stato di tensione omogeneo addizionale e successivamente lo rimuova; l'operazione avvenga staticamente, cioè senza che nascano effetti dinamici. Il materiale è stabile se il lavoro compiuto dal sistema A 2 nel corso del ciclo completo di carico e scarico è non negativo. Questa definizione è spesso indicata quale postulato di Drucker riguardante il comportamento del materiale. Per i materiali ({ stabili secondo Druckcr » si deducono le seguenti proprietà: l) per uno stato di tensione aij allo snervamento (il cui punto rappresentativo P giace sulla superficie di snervamento) e per un qualsiasi stato di tensione ({ ammissibile» aij(a), appartenente cioè al campo elastico o alla SlH1 frontiera (il cui punto rappresentativo sia p(a»), risulta (al
•p
(aij - - a il ) E; ij ~
O.
(2.1 )
(1) D. C. DRUCKIm, QuaTt. Appl. Math., VoI. 7 n. 4, 1950,411-418. D. C. DRuCImu, l'TOC. 1st U.S. Nall. Congr. Appl. Mechanics, Chicago 1951, 487-401. D. C. DRUCKER, .l. Appl. Mechanics, 26, 1()59, 101-106. D. C. DnucKER, l'lasticity in "Structural Mechnnics)), Standford University 1958, 407-488. \'V. 'l'. KOITER, T',·ogTe .•" in Solid Mechanics, Volo I, Amsterdam 1060, 165-221.
56
57
In termini geometrici, se si sovrappongono gli spazi aii e f::ii, il prodotto scalare del vettore a- ~(a) per il vettore ip è positivo o nullo (v. fig. 24). Alla (2.1) si perviene considerando il materiale nello stato di tensione aij(a) ed applicando successivamente lo stato di tensione addizionale Il (aii - ai/a» con Il variabile tra O e l.
ED
Quest'ultimo termine è nullo e pertanto vale la (2.1). 2) l'oiehè p(a) può trovarsi all'interno o sulla superficie di snervamento, quest'ultima per la (2.1) deve essere convessa. 3) Ne segue, per uno stato di tensione (Jij(S) in sicurezza rispetto allo snervamento e quindi rappresentato da un punto situato all'interno della superficie, la relazione: (8)
(aii -
.p
aii ) Cii>
(2.2)
O
4) In un punto regolare della superficie di snervamento, ehe cioè ammette un unico piano tangente, la condizione (a)
(aii -
comporta la normalità di (,
(J,
.p
aii ) Cii ~
O
-;p al piano tangente (v. fig. 24). EP
l\\IP
~P
(\21P
Fig. 24
Fino a che Il non assume il valore l la deformazione è elastica. Per Il
= l si raggiunge in P la superficie di snervamellto. Se ora si entra
per un tratto infinitesimo in campo plastico il sistema delle aziùni esterne addizionali A 2 compie il lavoro plastico (a)
(aii -
.p
aii ) Cii'
dt
Se si rientra immediatamente in campo elastico e si fa variare j1 da l a O si ritorna, con una deformazione puramente elastica, nello stato di tensione iniziale ai/a). Pertanto il lavoro compiuto dal sistema di azioni esterne addizionali 11 2 nel ciclo di carico e scarico considerato, che per definizione deve essere non negativo, risulta costituito dalla somma del lavoro plastico incrementale sopra considerato e del lavoro elastico compiuto nel ciclo chiuso p(a) -+ p -+ p(a).
b
a
Fig. 25
5) In un punto di vertice, ove si intersecano più falde della
ip,
superficie di snervamento, il vettore applicato in P, non può essere esterno al cono definito dalle normali ai piani tangenti alle singole falde in P (v. fig. 250,). In qucsto caso ad un unico vettore acorrispondono più vettori
58
;p. 59
6) Nelle zone ove la superficie di snervamento non è convessa in senso stretto, cioè ove essa presenta generatrici rettilinee (come accade in tutti i punti della superficie di snervamento di H. M. H.) o falde piane (come si verifica nella superficie di Tresca) la (2.1) è verificata con il segno di uguaglianza.
Rientrano nella elasse dei materiali stabili secondo Drucker i materiali elastici-perfettamente plastici con superficie di snervamento convessa e legge incrementale (1.24) e (1.31). Per essi valgono le seguenti relazioni:
In tal caso, come indicato nella figura (25b), ad un unico ip corrispondono più
,
a.
7) Da quanto sopra si deduce che, affinchè la corrispondenza
a
tra ed -;; sia biunivoca, è necessario e sufficiente ehe la superficie di snervamento sia regolare e strettamente convessa. 8) Quando il campo clastico contiene l'origine, come si verifica certamente per i materiali perfettamente plastici, si può particolarizzare la (2.2) ponendo G'ij(S) = O; in tal caso si ha •p
..p
aijEii =
'P
(Ei]).>
O
(2.3)
• (1)
.(2)p
aii
Eii
:(
• (l)p
.(2)
O;
aii
Eii
:(
O
(2.H)
Per ai] allo snervamento la (2.5) si deduce per confronto della (2.4) con la (2.1) ave si sia posto (a)
=
•
aii
+ aiidl
->
a • EP
Dalla convessità della superficie di snervamento e dalla norma-
s-;
lità a quest'ultima della discende immediatamente che (p è funzione un'ivoca delle è~. Ciò vale anche quando la superficie di snerva mento non è strettamente convessa ma presènta generatrici rettilinee o falde piane, come mostrato nella fig. 25b. 9) Se ai] è la tensione incrementale corrispondente alla deformazione incrementale plastica ~i]P, si ha ••p
aiiEii ~
O
con questa stessa posizione si deducono dalla (2.1), conferendo a CIii l'indice l ed a iii l'indice 2 e viceversa, le (2.6). Rientrano nella classe dei materiali stabili secondo Drucker anche i materiali elastici incrudenti che seguono la legge di deformazione (1.38) o la legge di Koiter (1.46). Per tutti i materiali sopra indicati sono verificate le relazioni seguenti, riguardanti due generici sistemi di incrementi di tensione che si verifichino a partire dallo stesso stato di tensione aij al limite plastico:
(2.4)
Ciò si deduce assumendo come stato di tensione iniziale ai} e come stato di tensione addizionale, da applicarsi e rimuoversi, aijdt. Il lavoro compiuto dalle ai] nel ciclo chiuso di sollecitazione cons,ta di un lavoro elastico nullo e del lavoro plastico aijs~dt. Dalla definizione discende la (2.4).
60
(2.5)
La (2.5), cosÌ come le (2.6), è soddisfatta in modo ovvio con il segno di uguale se lo stato di tensione di partenza aii è elastico .
aii
=
= O
ove É;j)P e E;J>P sono gli incrementi di deformazione plastica provocati a partire dallo stesso stato di tensione da due diversi incrementi di tensione (;ii(l) e aii(2).
L'ultima espressione rappresenta la potenza dissipata per unità di volume. Con riferimento alla rappresentazione di fig. 24 può scriversi 'P
.p
aijEii
• (1)
(aii
.(1)
·(I)p
ai]
Eii
• (2)
-
• (l)p
aii ) (Eii
·(2)
+ aii
.(2)1'
Eii
• (2)p
- - Eii
·(1)
- -·2Uij
) ~
·(2)p
Ei]
(2.7)
O
~
O
(2.8)
Per i materiali perfettamente plastici le due relazioni si ottengono quali immediate conseguenze delle (2.fi) e (2.6).
61
Per i materiali incrudenti che seguono la (1.46) si ha d'altra parte: .(1) ( aij -
"
L..~H"
.(2») (·(l)P
aii
Ci!
oF<x
[(l)
'(2)P)
-
cti
·(1)
c'" -,-
=
Materiali elastici.perfettamente plastici
oF<x
(2)
.(2)J
c" - - -- aii
ai} -
éhTi1
oali
[
oF<x
.(I)
- - - - atj Daij
oF<x
.(2)]
- - - aii Daii
e rispettivamente • (I) • (l)p
aii Cii
• (2)
+ aii
• (l)
. (2)p
Cii
-
_~F",_
"'"
va ii
;(1) Il
. (2)p
+
Dati
_ 2C(2)
Per i materiali con superficio di snervamento ovunque regolare l'inversione è immediata: Ammesso ehe sia F = O e F = O, risolvendo la (1.24) rispetto agli incrementi di tensione si ha
aij = Bij/tk [
2aii cii
_ "H [ (I) (Dl!'a .(l»)2 L..'" '" Ca - - aii
-
2.2 Inversione della legge incrementale di deformazione elastoplastica
(2) C",
(OF", '(2»)2 - - - aii
À oaltk
ove è [B] = [A ]-1. Moltiplicando entra mbi i membri delle ultime relazioni p er oF / oa/i e som· mando rispetto agli indici ripetuti si ottiene
Oaij
_~l!...~_ ;(2)] ~ va pq
. OlI']
~ltk -
pq
DF' . a-;;; aij
= O=
[ O F . . oF Daij Ehk - À Daij
Bijltk
DF] aalt;;
ove è C",
C",
per
= l
=
per
O
e quindi
~'" > O
j,,,,
B
= O.
oF<x
.(1) _
-
Dl!'",
O
e
.(2)
_
- aii -Baii
O
(1)
62
D. C.
DR U CKER,
J. Appl. Mech. 21, 1954, 71.
f:hk
DE'
B i}hl: aai}
a;;;:;;
Tenendo eonto anche d ei ritorni in fase elastica il legame à ij pertanto: aii
con il segno > negli altri casi. Sotto date condizioni rientrano nella definizione di materiale stabile anche i materiali elastici-incrudenti con la superficie di snervamento a più falde e meccanismi di deformazione plastica non indipendenti. Non rientrano invece in generale nella definizione i materiali con leggi di deformazione non associate (per i quali cioè il potenziale plastico non coincide con la superficie di snervamento e non è quindi verificata la legge di normalità) ed i sistemi che presentano attrito(l).
DF Oaij
-
oF
À =
Di qui seguono le (2.7) e (2.8), con il segno di uguale se per ogni a è ---atj oaii
jjltk
-7
fii è
(2.9)
Hii/tlcflt/C
con ~
DiI'
llijpq B mnltk 8 amn Riillic = Hiihlc -
C
aE'
B mnpq
GOla .I
mn
aapq DE' oal-;;-
ove è: c c
=
l
p er
E'
O
p er
F=O
oppu['o pc r
]i'
=
O e e
fi'
==
Biil/Ie
aE' -a -ali- .ell.1c =
O
Jt' < O,
< O. 63
Per i materiali che seguono la (1.31) la sitllazione è più complessa per la presenza dei punti singolari ove due o più falde della superficie di snervamento si intersecano. In questi punti, relati vamcnte ad un dato incremento di defor. mazione non si conosce a priori quali d e i moltiplicatori A" siano diversi da zcro. La soluzione si ottiene ricercando il massimo, rispetto alle potel1,)\ialmentc attivi, della funziono
rp
(Oij,
.1
0, )
l
0= - 2
A;j/tk- aiPille -- - E/jOij
+
oii
cd ai
si ottiene moltiplicando entrambi i membri per òP lòai} e sommando rispetto agli indici ripetuti. Si ottiene in tal modo
i"
òP
DP B;jlik - ;-, UOij
- a;;;; aij
. (}P" . L"A" ~~-- aij ~u
'P
. (aij)
"
= - - Aiiltle aijGhle :2
òa"k
(}p
--,+ Rijhle ~ Il UrTij .
DJ"
• chk
.1= --l-- - - - -a"p
della funzione
l
aij
ap H;jh/c --aai}
•
,la ~ O , 0lj,
òb' A Bi}hle - ò--
Di qui, poiehè il primo membro è pari a ~/Ii, si deduce, ammesso che sia l!' = O e dP Idi = O:
con le condizioni
oppuro il minimo, rispotto alle
• chk - -
-aahle
ne segue:
.
EijGij aij
(2.10)
BIjllk EItI,
con le condizioni
aF
ove è o.
aa,..) -- aij
aF
~ O,
BijpqBmnhk
c
condizioni che devono imporsi a quelle funzioni P" che nel dato stato di torsione sono nulle. Si tratta di due problemi di programmazione quadratiea, l'uno duale dell'altro.
B;illk
=
-()~;;: -
_~ + Bmnpq -a~~_;:7jaJYl
-- -- --- ----- - -7ri'-a~
B; j hk -
Ii con
Poiehè la matrice [A l è definita positiva e la superficie di snervamento è supposta convessa, la soluzione del problema sopra menzionato C'siste cd è unica.
c
=
l
c = o
.
ci} =
. ' aF + .1-0;- -
A;j/ilc a"le
con
p
O
c
-
per
F=O
e
- 7"--
~=
ap
), =
Ii -
c - - a!tle
pCt·
dOlile
A
-64
O
b' = O e
--.- - al/le ~ aO!t1e ap
per
l" = O e
opplU'e per
p
< o.
-
--Oltle Dalile
O
a"le
il primo t.errniue è sempre positivo, a meno che non SIa (fii> ed il sccondo nOll è mai Il('~at.ivo per la (2.S), la (2.J2) risulta din10s1rat.a.
Il funzionale
O;}*
II Nlpresso in funziono degli incrementi di tenRione staUcamcnte a.mmis~ sibili alj*, raggiunge il minimo assolut{J in corrispondenza della distribuzione effett.iva delle tensioni inorementali ail' rispettosa (per tramite del legame illcrementa.\e tensioni-deformazioni) della congruenza. Si ha cioè: I-2
I .... l' ' ' v
Ili} EljdV -
'l'fo'rema di minimo per gli inr:rl'lnenfI delle deformazioni
Il funzionale
1)2
." (f;])
II'O'Od" Oi; O
\0 I
per i matm'iali p~pl""ssio"" di .l'o (~.2S) d,·,·" ('Ollk"ore ""d,,, 18. 'pOkIlZ" dj~~iF'll""H dN(e ""1""'1"_ li~ i .
(1)
o.
KAZ ! :ostat.o in tpl"llIini insieme di tenHioni e defo~m~zl?n~ incrementali. Si perviene in tltl modo alla formulazione di J~rm.el.pl dI estrcmo di funzionali espressi in entrambi i gruppi di funzlOlll mcogtlib~, soggett.i u. diseguaglianze (l). (~imati por eccesso si hanno dalla (2.28). I metodi di calcolo che IlO scaturiscono si definiscono rispettivamente 8tatico e C"innnatù:.o (v. cap. 4 e 5). Buone approHsimmdoni per il valorr di Il c si ottengono con il metoùo statico descrivendo CT1jr per nwzzo di un certo numero di parametri liberi Qp o rieercalldo il massimo di ,w'" rispetto a.i para.metri u p eon le limitazioni (2.27). Allalogament( ~ nell'applicazione del met.odo cinematico si può descrivere il meceani!:
J ,wguctlti eOl"olbr·j diset'ndono im'''f·djataml'lIte dai due t(·on.mi fondu. TllPntuli.
(2.31 )
lJ T"tt.e le t. li!. T. ~lL"Iu. S. L. LM'. Jt. H. H'n· ~ "T. \Y. H. HDfAWI. 1 ,,,,.. A.S.I/.L'., J. l!-'"y. "U'é'. Di,.. , 3. 1%7. !.ii.
e·) H. J.:.
82
LI:I:. l'Iii/. U,,!/. Su i. 1:l. ;;·jIJ.
8\
La l'eltl.ziolle precedente pllÒ scriversl:
Se liL superficie di sncrl'amcnt.o 01
((f;i -
Ò
c2.d
a,j)
ti)
chc soddisfano su Su le eondizioni VirI ~-, O e rislJeitivanwlJ1.~~ U;f~ = n. In questo caso ogni eombilHn~iolle lineare delle (2.32) caratterizza. un possibile me(~ealliSnlO di collasso.
st.retta.mcnto convessa risult,a > O
e rispettivamente
Pertltnt,o, a·ffitlChò sia. verifioata la (2,;31), ùeve essore (Ji{l '--" r5j)c~ nella ZOFV" ave 8i hanll/) deformazioni 'unitllrie diverse IÙ" zero. So in voce l:~ superficie di flnorvamonto presenta generatrici rettilinee o fa.lde piano può anche iwersi per lo stesso iij": ~Jll'; IFi{2, come mostra hl fìgl1ra "!';;h. Può pertant.o accadere che nelle zone ove il meooanismo di eollas;;o (~ unico lo stato di t,ensione al collasso sia. definito il meno di IIJlO stato di corVl,ione n'ijcl - (lll~. In ogni punto di que"ta zona il veLt.ore (Id .- àC2 è normale al vettore fc. La (2,;31) dimostra inolt re eho nella. zona ove le flio SOllO nulle, cio(~ nella zona non intereR;;iLta da nessuno dci meeeanismi di collasso può aversi a i;"! - (lj(~ =1= O; .in quellu, zona non è quindi ~~sieuratl~ 1'1IniciU.. (idio st.ato di knsiOllC. Si 03scrva infine ehe, con1.rariamellk ;~ quanto a\'viene per lo stato di kusione, lwssmm condizione può porsi Ilei riguardi dell'uniciti\, del mect'anismo di col1a:s:;o plasl leo. Effettivumenk può a,eeadere ehe il meecanism\) di collasso dipenda lIOJl (bL un solo gl'ado di libertà, ma da un rlllmero fLlIito o a.nche infìnito di gradi di libertà.. Ad esempio si ha un meeoanisrno di colla3r-;o con dll(~ )..';radi di liberLà quando esisLollo in V p dm' distint.e distribuzioni di deformaziolli unitarie pla.stidlC l
el ., I Hj,J} ---,. j,
I "~ (U; , 2 "
H;.;)
.,
.,,~
t i j ---o -
d
- - (Ui .}. -
1'2
DF
r dr .-'
J l colla.8so Il!aslico dri COr1Ji rigù!o-plaslici Nella rH'eill'nt.e trattazione il fenomeno del colla&-;o plastico è stato presentato qnale stato limite raggiunto da un eorpo elasto-plastico nel l'orso di IHI qualsiasi programma di earipo, stat.o J)('I" il quale l'estcn;;ioflp della ZOlla phlsticizzata Vp pc;rmpUe la formazione di \In meeeanislllo di deforlllazione plustien., Quest'ult,irna pertanto non è più (~on t.ell1lt,a. (bIle )loue eOllt.iglle r imaste da.st,idw, TIla ha luo).\"o libCl'a[[h'nl(), governu.ta da uno () piil gradi d i lilJ('rtà. Tuttavia iLlh ha.'w della t.rat.tazione sono st.at.c post.e ivot.esi molt o t'( ~st rittive sulla deformazione. Si (\ SI1Jlpo.~to infaui elw le deformazioni ('Ia.RL{)·plnstiehe sllbit.(~ dal corpo nel corso del progrn.mma di carico precedente la fase di (;olla.8so produeano vurin.zioni di geometria trasl'lI1'a.hili, eosì dw la confìglll'Hzione lId l'orpo all'inst·a.tlrarsi dd mceeani;;lllo di collasso possa es.~ere as;;imll",f,a Ho quella illizin.le. Com(~ d'altra park ri;;ult.a dalla. dirnostraziom' dd fcol'('rrm stat..ie() e del teot'('nla einematieo, nella dderm i" ,lziollC del lllolti!Jlicu.t.ore di eollasso intervengono solamente le knsiòui e le deformazioni relative al meccanismo di eo[[a;;so, valutate ent.ramhe - come si (~(ktto - con rif( ~rilllcllto aUa eonfigllfHziollc inizia.Je. NOH ccmpare illveee alcuna graJlr.le:lza relativa alla precedente st,ol'ia di c.trieo, non essendo tale llPppure lo st;Lto di (;oaziorw cOllLenut,o nell" (2.27), che dev(~ (';;S('I'(' bCl'lto in lllOdo da rendere m:\ssill1o fl". Si llllÒ concludere quilldi che lldLunhito delle i110ksi Jlosk, le costanti dw rcg-o!aJlo la ddormabilitt\ e]astiea del mat("l'iak ]lossono eNr-;en~ varia.tp ad arbitrio e ullimite :\lIIl11][ak sellza clle ciò abbia. illtlueuza buI vfdon~ Llel moltiplicatore (ki carichi e sullo stato di lc;nsiOlw e di dcfonnaziollc al co!lasHO. In altre parole l'ipot.esj che le deformazioni l'lasto-plastiche a.llo inst,!l.uI'a.rsi del fenomeno del collasso slallo così ]lieeole da permettere di far riferimento alla contìg-ura.~i()ue inb:inle. perllH,Ue di a&~iIniJHre ii eorpo daslo-plustico H(I un corpo rir;irjo-lJ/lIs/im COli Iq!)!f' di deformazione (1.:'10). 85
L rhmltati conseguiti sono quindi 'validi anche per il collaf'SQ dei C'urpi di materiale ri.iòviluppata nella ipot-f"~i che le deformazioni non abbi uno influenza sul fenomeno dci collfis~o plast,ko cd in par(,icolare ~\ll valore del moltipJ.ieutoJ'l> di colla.sHo {Lc, In realtil un'inflllenza ùella ùeforInuzionc f;usRiM,c sempre, ma plJÒ esscre pii, meno l'Bevante n. st'COll, dl~ delle earattnriMieh" deI makriale n della geometria dol corpu, Pur i curpi da;;topLl.i;t,ici un'anali.';i della influen~,a della deformazione sul col]'].,.;~o pltls(,ico ri"hiHk lo studio della d"furnmdono nel corso di tutta la pre. ,,'. ,,~a,o (11/ ta l e che Sia per ogni (X >
comunque varino i eilrichi OlltTO i limit,i ass('gnati. Indicn.lldo (:(l)j u" il H1oHil)li('nt.()n~ limite ~li adntJ.nmento, ll('t" il korerna stati('() riSlllt,a, '
.
Quando il molt.ipliuaturc /1 sll11cra il valore limit(~ di adattamento non csiste alcuno sta l,o di cOà,ziorw atto a, uont.rasl iU'e l'incrctn0])to indefinito nel t(~lnP() delle deforntn.zioni plast.iche. lll[at.ti non esist.c aluuno stato di knsione di coazione che possa ]"t'nd0rc s icuro risJlctto allo :;Ilcrvamt:nt,o lo ;;lat.o di t,en8iol1c ajj ddÌ nito dalla (2..10); perLwto non l: più v\:rj(ica.ta la (~.:lH). (!iò significa. che quando,ll raggil1llgc il valore limit,(' eli adattamento pus,s ono illSlaurn l'si tieli di nuinziolle dei r:a.richi, entro i limiti sta-
\iHil) .
l') 1'. ". SYMO;';D6, B . n . .\", . \ L, .1 . '''''''' ''.k1. 11,.,'1. :!:>Z, 1\),,1, :lll:l. \L 'l' . 1\:01'1" " ". I"'.,.O{" . j\'!II . N,-,'I, A I.-. \l"d. )I . • n. ,)t'i, li:,')li. :!·I
1'•• ::';p.lnM.'o. ("')'H'. },II. Iii!! . 8i"",;",,", 1I1,'""i" u . J !l;:;tl H. "PAIO." " ". Il,·,,,1 . .. 1
(f l j dt
l'oiell(~ i~
r,
.
r
,p
+ l';,) dV -,., O ,ep
(Tl i (l' I}
l'iSul1"l, kneudo e(juta della (2.4fi) ed indicando con !lr la dCllsitù dcll'energia pot.enzialc elastiea. relativa allo st.ato di coazione Oi, r, = . .-
J ,.,,, . ({i;fo
rl r-
v
SI
(2.44)
Di qui, }Joiehò lu fitflto di coazimw jn lo ha in fu si ded1H:e
JvnTdV , ... 11 i.' ugua.le a lJlwllo clic
cd ò quindi, secondo la (2.3), (~.4 7)
Inkgrando nello Hlmzio sul yolume V del corpo e Ilei t.empo IIdlo intervallo (li kmpo lo lo t 11, ,~i Ila quindi:
, In
" di
l'"
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(III ' ". •
9.+
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V
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'
a (:iò In (2AFi) forniHee
•
rfi jf'fjd 1--
- -
(2.4G) "
kl.~f'
-------
(2AR)
, /'
r!' j f' / jrlV.
95
Poichè vak,
(~Ollle
r
è nr,t.o, la" rebzione
In ijlH:sb1 (~spl'of'.sione (fijO) è la. IXJte1l7.a di",,;ipaf,a pet' unità di volume rdntiva, al meccl111i~ttlo cinemat.i('amentc ammissibile. i)l !ti" quindi o .()
··0
Oyo lo ir,,~P ra.ppn~scl1tano gli spostamenti iIlt:rementali proyoca,ti dalle deforlllazioni plastiche incrementali ~i;l' consideraLe quali distorsioni, J'cspre,'!sùJllc (JAR) di pU può essere trasformata nella seguellt.e:
l''' =
(F ('Ij) ,--
ove
(lijo
(11}/:/}
(l.;) l)
0 la t.ensiOlw al limite di ,;nCl'\'n.rncnto cO!'J'isponrlcllt,p alla
~~i]o, ('Ome indi('ato 11(,1111 Jìgura, 27.
(2,49)
La (2.4-8) pr(~Sllppone dw SiiL noto iL priori il ciclo di ca.rieo (eioè le variazioni dci coefficienti (!fI nd t.empo) ed il meccanismo di colhsso irwremenLa.Je definito dalle Cjjj'(t). Tuttavia ill generale il meccanismo di collasso inerenwlltale non Ò lIoto e pnò quindi essere jmliyiduato solo in via approssimata. In tal easo l'illlpiego della. (2.48) porta alla determinazione di un valoro approssirnrtio 11° (IPI moltiplicaLore Il''. fii consideri Ull m('(:canismo di COllll88oinr;remenlale cinematicamente a,mmissihile, definitt) dalle deformazioni unitarie incrementali ~'ijO(l) (li\i"erse dalle {':ifP effdtive, ma, tali che
corrisponda ancora ad U1l [1885]: O . .\loJTH, Z.I·.li.l. [1!.I(lUJ, 1,,24; .1 ..1. Gn:sT, l'l,il. Mag . :;0 [l\lUO], (i~l. '1. T. j{'Bl-:ll. (}W.';OP':8i1lii I .. ('''! ,ir~f, T.nnlwrg, 23 [lD04J, B I ; Il. 11fi:~(' J\ Y, Z ..·l .. I/.JI. 4 [ l U211. :1~:\) ,·I.)I"f) ""'Lln.dlo ~1)"rillwnt;1l" (,T..T.nl'l,xr, 0i', elt.; 'l'IL \()~ E.\I:~I\~, .1/ill. ùl,rl' FOl's,'Ii. I .11.1. Il.118, [l\Jli>J; H. n,i](I:It, ,li iII. iil
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MENlJIOSON,
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Per quanto ,'igllllnla g li ,,,,petti dolla t""ln·ia dolla plasl,ieilà conc, LOlldon 1950.
l', G. TIoDra,; j,.. , j'fastù: affaly8is oi 1I1,.""lur08. -"Iew York I!l"\}. O. !3r:r.r.UZU, ,"",:ù,lIza ddlc ('ostruzioni, P>lV, XXX (>1 ('11m di P. PO~.'''t\Ì.i): Bologna l!.lliO. CoIUH!1/. HCllcarch ('oll llci l. Guido t.o "k.sigll criteri .. fur met.al eompJ't)ssioll IIl('rn·
!Jr'rs: Ann Ad",,·. Mich. UlIiO. A .:;·.C .H., :\Ianufl.l~ or engin"Nj"g pl'aet.i"p, ". 41 : Comnll'nt>1ry on P],lgt i{', ,l''sign
in
10·1
~t('I'i,
l ihjl.
105
PARTE II ELASTO-PLASTICITA' DELLE STRUTTURE (:.\lichelc Capurso, Carlo
(J twal'ini)
3.
COMPORTAMENTO DELLA TRAVE ELASTOPLASTICA
(Carlo Cavarini)
3.1
Trazione e compressione
Nel capit.olo l, (~ .stato descritto il comportamento del materiale elastoplasLieo gotto l'aziono di statoi di tensione ~lPrnpliei e compost.i; sono .state inoltre illustrale le schematizzazioni ehe wmalmp,ntc si adottano m,!1a teoria. della Plnstieit.h, In questo e nci succe.'\sivi paragrafi ;;i studierà, quale promessa alla analisi dolle strutt\lre, il C(Htll)()l'tameut01':d1(.>_ *l-fe~i ha la Jlcssione e!as/o.plu8t'ica; il dingrnmma delle "rimane lineare ((h) o (cl in fig. 28) IlWlltrc le
=
--T--
h
M
2
IV
,,
L
y
Jìgtll't\ (b o c). ])etta. la distanZl\ dello fihre nelle quali ('~ lei = es, la rondizione di equilibrio fra tensiolli c momento agenle si t.raduce nella relazione:
:'I
t.iei.t.iì., ò quindi dirett.amente I.!?g~.to al rapporto h/t; dlponde clOe esclllsrvament.e dalla forma; della , sezIOne. , ~ol caso della sozione più razionale dal llUllU) di vista do.lla iles....,iollc, la. sezione a doppio TI' lùnile , il guadagno è nullo perchè è h/l ~ l. La sezione è giù, sfruttata. oompletamente quando si raggiunge il monwnt~) massimo elast.ieo. Vi(~oversa, nel caso di sezione quadrat.a oon asse di flessione secondo una diagonale, tli 1m h/t = 2. Il guadagno dovuto alla plasti . oitA è, in questa sozione poco sfruttat.a. in campo (~lastieo , rilcvallk. Valori intermedi si hanno por la sezione circolare pia.na (1,70), la sezione circolare ourva di s]l(~s;;ore sottile (1,27), la s~ziono rc/.tl1T1golarc C()1l at:.~e di flessione s('coJ)(!o HTl asse (li Sitrlllldria (l,50). 112
•
,.~
,
t_..
T
- .o r ... _,.. ~
:;
Ilmlle
,,. __.__ ..___ .~..x&. Fig. 1!J
Si passi ora al caso di sezioni oon un 8010 asse di !5i'/lUlU:I-riu , eoilloidenle COli l'atlse di flcssione. L'asse neut.ru rirnalw p(~rpcndi(:olaJ"o all'asse di simmet.ria, ma ]n. Slla. posiziono non è pill fissa. Iufu.tt.i la pOtliziolw ba.rieent.riea, che risulta, ill campo olastioo, dn-lla condiziolle di equilibrio alla tm,da.zio])o, è soggetta a cambiaro qunndo il diagramma delle tensioni ccs..'la di es.~cre lineufe. ~d caso limite i(l(, 1'11 ~i mantiene infpt'iore n,d ~lr(J , momento plastico deqa sezione (ed () _Mp = ~V.), la trave rinmne elastica con deformazioni e!lO, per i materiali correnti, sono molto modeste, Kon appena Fa ragginnge il vfdon~ il[l" si ha una zona, siv. pure di modesta estensione, nella. quale il monwnto (~ uguale al mOlllento plastico; in questa zona le curvature pOSSOIlO :~
il mpporto M 1•p /.1lI t ,e risu lttL p el'tanto pari a.:
-
2 3
II
_ ~_ R
•
-_!.!...
3
2 . Nd caso (~i .s{'::iou~; circolare
':l1nore
+
(fig. :~!)) vi ~ n at.u mhm ~ll t.e s(Jllrto fra .11. /,., e M " p. Nel ca~() limitA.: di SpCS!iorc infi nit.eCa1JU
SUllo, o comunque !\ufficienkrno nte pieeolo, pO!-ito e _, H, _ 2 = RI -1 - R 2 , si hn.:
n
Hl
w
+
--l
f =
I
,
Ing. 4D
(3-22)
Qu('sl.n n ~ lazione
11 0 11
è a ltro c he la Ilota form ula d i ]~ I'{'dt COli r _ rs.
Si (!ollsideri la, t r iINe (i i fig. 41 (1 ), a sezione JIlOll Oco nn c;;.'~I. , sollecit a t.a dal momt'nl-o tori:0lta.n Lo le I:.cnsioni tangenziali T: z e r ZJI tiono di verse da. 7.ero, si consl" ·vu. a nelli: in fase pla,,,t ica.. In tal modo, le t·rl ~ oon(ii1:ioni indefinite dell'equilibrio si J'id.ucono a lla. nnicD, l'e].-Lzione: (Ì TZ:L
8x
D'li; -+- --.-_.. dg
O
(3.2;3)
Una tioconda rcln7.imw è fornita , in campo elastit:;cntano allehe un'alt.ro problema fisico: quello di Ul];1 membrana llriyft. di rigidezza al taglio, tecHl sul fondo di un eilindro eavo avenk sezione uguale a quella della tra ve e soggetLa ad una. preRsione uuiforme p. La rp Hi può ident.ificare con la deformata della membrana purchè si ponga: 2(}O =
con H pari al il cont.orno. 126
{
:ione del materiale H;('oJldo lo spessore). Non l, voi det.t.o (-Ile In, I/! fii possa esplieitnre ('Od Ulla uni(·a espn\~sionc aualit.ira; auzi. il l,iù (!elk volt.l' O('('OfrOUO Viù (~qlHìZIOll1 per ('sprinwrf> la ('undizioIll' di plaslieizzaziolw. 152
(3-39)
1
o---,
l, '" , n,
(HO)
eon ), :) () di intensitit imprecisata. La (3-40) esprime a.mditicamente la normalitii. dd vettore (d'lf, ... , dq~) alla frontiera di snmvnm(~nt'J nel punt.o (P 1 , ,.., P,,), qU~Llldo si cOIl8iderino sovra.pposti gli spazi delle tensioni () delle deformazioni genemlizzate (vodi fig. 4\1, punto A, ncl caso ti o--c 2). 8c poi la supel"fi(~ic di snerva.rnento presenta punt.i singolari (ove si iueolltraIIO più porzioni di superfìeie regolarc), in tali }JUllti si può serrvere 1- • .
l, '" , n,
(Hl)
(1) Si devollo film in Pl'0I".sito ulelllle ossorvazio"i, I~'" le 'I"u!i Ili riI"'''''''' ul successivo.
l"'I")yOfSO
])3
lu (b" fllllzinui clw rldiniHcollo le ~illgol c por7.inni d(,l]n "'1 1]H'rlide .I I .~ Il '·n' , U1WJlto (la ( :l - :~i) do \"endosi SO:'ltitu irc c.on l'ill "il'!l1 l' rI,'llc· eq ullzi" l1 l (b I/ = O) ; la P~ - 4 1 ) è illustrat a. Ilella. lìg, 4!J ))C,. il , ;n t,i neJ l i~ sl"i'.iull(' nel d (' !i n in,l il t"JIIdiziOllc Il i p la:-llipiz"l1l1, ioHe. C iò è I('ci to qU l"lIltlo h, (~:\ rnlt{'ri ~til"he t ra l(\ ";('\;)'l (' halln o SClll ..~H inllllCII ZL\ :mlla }Jli\stkiz7.u,z iollc . T a le o pe (';lZiOllC ("lui n lle a su pprimt" l"c uno O l'iù kflll ini 1l('lIa f'i>pn · ~ ;; imH' dcI la VOI'(I (:3. ;~6), oosia , CR.'l(' W In cl i verl' 11 dr. zero la 01 t 1"1),Ia.>'\('it\.l:\ , ,.'qllind,ò ;\ ,'(m s id l'l':\ rc II II 1I a l,. eorl'is jl(,ndc nl."'" d et'ol'lnazi O)1e q,. Si pa rht l'l' rl·iù ol i n'1I,(~ul" r j ,V'Jli
t -J , I
SU!' f> rfI CI C
r --- --
di
il momento plastico della sezione ridotta alla zona ± d, si può scrivere:
M~
d
M = Mp----,.Mp m =
-ti;
~- =
= ]-
1-
~d
=f
(:p) =f(n).
(3.43)
Nel caso di sezione rettangolare, la (3-43) si esplicita nel modo seguente:
p l JstlCI':l JZ i G ne
N 2bdas d n =---=---=2Np b h as h \..._~~lp~I~ ~il~ limite
(i! comp
d bd-
C! 3Gt.CQ
m =
Fig. 51
Tornando al caso specifico di fig. 50 si osserva che il diagramma d) si può scomporre nel modo indicato in fig. 52, e) cd f)· Il diagramma e) ha per risultante la forza N, il diagramma f) ha per risultante il momento flettente M = Ne.
2
l----h
l -
h b----2 4
d2
n2
4 -- = l -
h2
•
(3.44)
Si ha quindi, nel piano m n, primo quadrante, una parabola (1) (fig. 53, a)). Naturalmente, negli altri quadranti si hanno parabole simmetriche della prima e in definitiva si ha il dominio (convesso) completo di fig. 54.
-a,
-a,
n
N
n=
N;
t
di
td~ a,
m -1
a,
a.
.1
e
d
M
Fig. 52
L -_ _ _ _ _ __
Detto M p il momento plastico dell'intera sezione, N p la fon a norm(tle plast1:w, N p = asA , 136
(3-42)
_ __
---'_
_ __ __
I./ f
y2 2
v
CF)
+ sin CF + sin 2 CF + sin (-~- +
-
(F I
CF) -O'
l'2 sin CF) ]
COS Cf! -
(2 sin -~- + 2 sin rp) -
l'
u
Fig. 70
Posto ad esempio rp = ] 5° ed l'l = F 2 = O, si possono dedurre le espressioni di p in funzio!le del parametro :
}\
- -- - - ---_._-------- ---
l'I
N p rsin
(-~- -1- CF) + sin 2 Cf! + sin CF + sin (-~- ~
=
Np
[
l
--
-
(l\ cos CF + F z sin CF) - --- - - - -- - - - -- _._- - - ---- -F I COS CF + l' 2 sin CF
+ cos (-~- - (p) (F 1
-j-
~~ + cos (-~- + rp) ]_
+ F 2 ) i~
l' ( .Li I
CF) ] -
F2
+ F 2 ) _-./? y._:-" 2
FI
Si ottengono faeilmeute le espressiòlli seguellti: Np
fil =
---
112
--
Fl
4,347
-----
1- a
Np =
f/3 =
Fl
2,200 l -
p l\ 1,fl32
l'I Np'
Il5
--
--
0,268 • a
N
Np /14 =
2
115
164
\~ 4
------
a
114
W~·
~-
I.
~dtt ],
--------- ------ - - - -- ------Fl COS CF - F 2 sin CF
Np /13
(-~- -
+ l] +
2)-
l
/Il
CF)
Assegnati i dati ((P, F I , l'2, F I , Fz, N p ), è facile individuare il più piccolo dci moltiplicatori. Anzi, questo problema si presta ad una interessante discussione.
-],~~-
2,200 I
+
0,268 . a
4,347
+a
- - --
l
165
Tali espressioni si traducono nel grafico di fig. 71, dal quale si rilevano i campi di compctenza di ciascun meccanismo. Infatti ogni CUl"va risulta, in un determinato intervallo, inferiore a tutte le altre di
Si illustreranno alcuni casi elementari che costituiranno una introduzione al paragrafo successivo. Si consideri in primo luogo la trave incastro-appoggio di fig.72a, con M p + = - .J'lp- costante su tutta la lunghezza, soggetta ad un'unica forza trasversale j.{ P.
j ,F
IV
BV:
A
~
~ .•.
C
a
b
-M p
b III
,
~- - ---~ - ----- -- ~ - - - --.
I
... I · _.1
I I I I
, : I I I
,
-- ----~ --- - ----+
r"'" 1.-415
I I I I
I I I I
~t~=~ ._ ~ _~:___J --- ~I ==·-t l~~~ - --_ l ,? ~)O
_(), ~ 18
C, "l ! d
'. :'~- /J/II.I ~_CO /llI/./)I\' ---' tlI1lR '~
j):
11m /)/1 -- 0,375
0, III
O, Il I - --;.. /1/11"
o,
/ Ili/n /)
0,222
4) Iludo lJ :
'·'ig. Hl
/ lmllA
0,222 ---;..
/J Ili . 1
l Jml!E
/ bil E
=c 0,074
17&
l
[79
5) nodo D: LlrnDB
= -
=
0,074 -+ Llrne
0,049,
LlrnnD
=
O.
A questo punto la soluzione si profila chiaramente: i quattro momenti in A, 0, D, E' devono diventare eguali in valore assoluto mentre il momento in B rimane inferiore; bastano alcuni tentativi per individuare le ultime mosse: 6) L1mc
= - 0,008,
L1rnDR = 0,004,
7) L1rnnA
= O,OW,
L1rnA
=
L1rnDE
=
LlrnRD = -
0,016
= -
0,005.
L1rnB
Lo sviluppo di (Iuesto calcolo ha mostrato quanta libertà ci sia nella scelta da fare ad ogni passo. Ciò, come si è detto, è un'inconveniente del metodo, perchè può portare a soluzioni diverse da quella di collasso. Ad illustrazione di ciò, si osservi lo schema di fig. 83 (nel quale per brevità si sono riportate soltanto le somme parziali e non
n (I) (3)
Basta ora porre: 0,374
-7-
0,375
= -}!~ Il]?
(5) (7) (!l) (Il)
a '
0,250 0,333 0,444 0,481 0,493 0,497 0,498
per ottenere il moltiplicatore di collasso: l'r
A
Mli
= 2,67 --l-~-- /a
Si constata immediatamente el)() questa soluzione è corretta; infatti la distribuzione dei momenti è tale da dar luogo al mecca-
.
c -- -
1------
0,333 0,444 0,481 0,493 0,497 0,4!)8
(2) (4) (6) (8) (lO)
0,250 0,444 0,481 0,493 0,4!l7 0,4\)8
(l) (3) (5) (7) (9)
0,333 0,222 0,185 0,173 0,169 0,1G8
---------- .
o
(J
II r ~cc
, 180
8 - ---- -
3
+
J.l1 p -----
Pn
3 D) C~ I/r p ~__C
(1) (3) (5) (7) (9)
lE
Mp
I1lsmo di fig. 82; a titolo di conferma si JlUù ealcolare Jlr a partire dal meccanismo e si ottieIle:
-I ~~ {}
0,250 0,444 0,481 0,493 0,4!l7 0,498
0,250 0,444 0,481 0,493 0,497 0,498
gli incrementi) che riporta un calcolo che conduce ad una soluzione di versa, alla quale corrisponde un moltiplicatore pari a (lo 0,498 si deve portare a 0,5, come mostra il controllo per mezzo delle (4-9):
f/s
3 l'i
-----
-
,-'-
Fig. S2
+
(2) (4) (4) (6) (6) (8) (8) (lO) (lO)
Fig. 8::
o
M p (O
0,333 0,444 0,481 0,493 0,497 0,498
(2)
(l) (3) (5) (7) (9)
J-
W"t
D
CO a
Jlf )
2 67 ---- _1
'
Fa
+
20 a),
=
2
F-;;-'
con 1111 crrore per difetto del 25 %. Comunque è facile controllare che questa soluzione non è quella di collasso perchè la distribuzione di momenti ottenuta non dà luogo ad un meccanismo (il momento in B ha il segno contrario a quello che occorrerebbe per avere il meccallismo a parallelogramma ABDE). 181
Metodo di N eal e Symonds OA
rrwcc.
Si tratta ancora di un metodo non automatico, che richiede aneh'esso abilità e pratica da parte dell'operatore. Per dare un'idea dei principi informatori del procedimento si considera ancora la struttura di fig. 79. Si osserva che ad ognuna delle equazioni della stati ca (4-9) si può associare, per il tramite del principio dei lavori virtuali, un meccanismo, rispettivamente T e II in fig. 84. Infatti il bilancio energetico relativo a questi meceanismi dà luogo prccù'la-
B
D
c A
li'ig. 84
mente alle (4-9) con momenti tutti uguali al momento plastico. Definiti cosÌ duc meccanismi detti elementari (in gcnerale saranno più numerosi) si può tentare di combinarli fra loro in modo da ottenere un meccanismo al quale corrisponda un moltiplicatore più piccolo. L'operazione si conduce per mezzo della tabella qui riportata ehe fornisce in ogni sua riga i dati cinematici di un mcccanismo, per mezzo dei quali Hi effettua il bilancio energetico. Con la (4-1) Hi ottiene:
l'l = 0 3 -
Mp
F a -,
l'Il
=
Mp
4 -F-~-
.
Se nel combinare T e Il si vu~le far diminuire fI, è chiaro che conviene scegliere '17' eO" in modo da far diminuire il lavoro interno a parità di lavoro esterno. Ciò si ottiene ponendo '17' = 1?" = {}; in tal modo la rotazione somma in B riHulta nuUa e si ottiene (Iuale meccanismo combinato (3 0 riga) proprio il Ilwc:canisrno eli collasso eli fìg. 82. 1"82
OB
Oc
-- - --- _ ._. --------- --------.- - --
I
O
--- ----- -
II
--- O'
- - - - - - - - - - - - --
()"
O"
- --
3 O' --~ ----
---~~
\
-- O
O
3O
O
._-- - - - - - - - -- --
O"
O
---- -- - - _._- ---_._--- - - - _ .._- _._---------
comb.
~~
J_ _~~___ ---~~--J
---I __ __
- - 2 O'
O"
I
O
2 O' a
- - - - ------
O" a
O
--------- - --- - - - - - -- ---
-
BO
O
O a
2 O
II
Nei casi più complessi vi saranno più di duc equazioni del tipo (4-0) e quindi più di due meccanismi elenlcntari indipendenti (l). Si sceglierà il meccanismo col moltiplicatore più basso e si cercherà di migliorare combinando a questo qualcullo degli altri. Anche qui si controllerà infine la validità della soluziOne ottenuta ricordando il teorema di unicità, ossia controllando C:he il moltiplicatore (l:in. amm.) ottenuto è anche staticamcntc ammissibile. Sc vi sono carichi ripartiti si potran\lO, per quanto già detto, porre cerniere provv isorie al cen tro delle C'\m pate, salvo aggiustaggio finale della posizione effettiva delle cernier~ di quel tipo che figurano ilei meccanismo trovato alla conelusione del calcolo precedente. Vi sono altri metodi specifici per il e:alc:olo a rottura dei telai. Fm questi merita di essere menzionato il lmetodo per (' distribuzione dci momenti residui» dato da Heyman nel l !)f)8. Questo procedimento, contrariamente a quelli sopra descritti, ò q,utomatico; si prest,1 pertanto al calcolo per mezzo degli elaboratOri elettronici e cosÌ viene effettiva mente i m piegato.
4.5
Archi e strutture con più carat1teristiche attive
Si abbia un problema nel discreto COlme quello di fig. 7G. Se SI vuole tener conto della influenza della for' za normale sulla plasticiz-
{I} Il nUlncro delle equazioni, ossia il numero dei meeeanislni elementari indipendenti risulta pari al numero di rnornenti incognitj diminuito del grado di ipel'statieità dnl sistema; nel caso attuale [) - -- :l = 2_
183
zazlOne, si deve introdurre nel calcolo il concetto di dominio di resistenza (Cap. 3). Col metodo st.atico, alle condizioni di plasticizzazionc -
+
Mi ~ Mi ~ Mi,
i
l, 2, ... ,
staticamenté ammissibili. In tal modo si ottiene, se non l'esatto moltiplieatore di eollasso, almeno un intervallo (che si può restringere finchè si vuole proseguendo nel ealeolo) nel quale esso è compreso.
(4.] 2)
si devono sostituire condizioni del tipo (3.38) con n = 2. Se queste ultime sono (o si vogliono considerare in via approssimata) lineari, come ac;)ade ad esempio se si adottano le (3.45) (vedi anche fig. 65), il problema matematico rimane un problema di Programmazione lineare e come tale si risolve facilmente (vedi Cap. 6). Se invece le condizioni di plasticizzazione non sono lineari, si è l'i condotti ad un problema di Progra/J/.rIlrlzionc non lineare, anch'esso risolvibile con i mezzi moderni di calcolo (vcdi Cap. G). Si è giù osservato nel par. 4.1 che si perviene a questi tipi di problemi matematici solo se si parte da problemi neI discreto ovvero se si opera 11 priori una opportuna discreti7:7:aziolle. Itimandundo all 'apposito paragrafo l'approfondimento di tali questioni si dedica il presente paragrafo alla rapida illustrazione di qualche metodo specifico sviluppato per strutture particolari.
\
Si consideri l'arco incastrato di fig. 85, sollecitato da un carico permanente ripartito g e da un carico p affetto dal moltiplicatore f1. Al solito si chiede il valore di l'r . In ogni sezione dell'arco si conosce il dominio di resistenza, ad esempio del tipo di fig. 86.
N
['v'.
Notevole interesse ha suscitato negli anlli scorsi lo studio a rottura dell'arco incastralo, in particolare in Italia ove Fmnciosi e la sua Scuola hanno dedicato numerosi lavori a questo tipo strutturale. l O se
P"
(I). \5)
(J21}
=,
passa con le (5.1 J) alla equivalente: max
{Inil , In21 ' Inl __
o
A nalisi limite delle lastre circolari Un esempio classico di lastra in cui le direzioni prillci pali ;;0]]0 Ilote a priori si ha nel caso dcUa lastra circolare caricata in 1ll001o assialsi m metrico. 195
Se si usano le coordinate polari R e
= _
71. 2
_ ~_ d~ r
dr
(5.87)
essendosi posto:
H
h
PA2 p = Mo
R
drn,p
TV
=
'W
jC r =cc -
Sia A il raggio della circonferenza perimetrale esterna e P l'intensità uniforme del carico trasversale. Introdotte le variahili adimensionali :
- --- -
( 5.85)
che dcriva dall'esser nel centro della piastra indistinguibili le fibre radiali da quelle circonferenziali:
(5.82)
La piastra circolare appoggiata soggetta a carico unljorme
d2
r = O
per
m
11111111 \111111111
un ben preeiso meccanismo di flusso plastico. Tali considerazioni consentono, come già nel caso delle lastre, di concretizzare in molti casi il valorc del carico di collasso pcr v,trie condizioni di vincolo e di carico dell:1 struttura. Un esempio concreto in tale senso viene svolto nel paragrafo seguente.
---- (r m r ) 2
mr
(5.81 )
e quindi attraverso le eondizioni:
ic r =
A tali condizioni va aggiunta la relazione:
= -A-
(5.88)
Volendosi determinare una limitazione inferiore al carico di collasso si fa al solito l'ipotesi che tutta la piastra all'atto del collasso sia plasticizzata. Affinchè tale circostanza si verifichi è immediato dedurre per il rispetto della (5.85) che il centro della piastra deve sviluppare un regime di sforzi eorrispondcnte al punto B dell'esagono di snervamento di fig. 105. 217
Poichè peraltro m T , in conformità con la scconda delle (5.84) deve annullarsi per r = l, è plausibile pensare che il Iato BO dell'esagono suddetto corrisponda ai regimi di sforzo che si sviluppano nella piastra in tutto il campo di definizione:
o ::;;
r ::;; l
Anche in questo caso può però dimostrarsi che il valore (5.95) costituisce l'effettivo valore del carico di collasso della struttura. Al lato BC dell'esagono di fig. 105, è associato infatti, per la legge di normalità, un vettore velocità di deformazione definito dalle componenti:
(5.89)
kr
Poichè su tale lato si ha: m<J>
(5.90)
k ~ O
O,
=
In conformità con le (5.91) devono quindi essere verificate le condizioni:
la prima delle (5.84) diviene: 2
d w
d2
7i;2- (r
mr )
+rp
dr 2
(5.91)
O
=
(5.96)
=
O
l
d~
r
dr
::;; O
(5.97)
Il vincolo perimetrale richiede inoltre che SIa: e integrata porge: nl T
pr 2 6
== -- ----
+
1
Cl
~=O
+ -C2 r
O2
=
O
(5.H3)
In definitiva quindi il regime di sforzi associato al lato BC dell'esagono di fig. 105 risulta descritto dalle rclazioni:
mT = I
J)r
=
l
(5.98)
w=o(l-r)
(5.99)
con O costante arbitraria positiva soddisfa le (5.97) e (5.98) ed è dunque associabile al regime staticamente ammissibile prima determinato. Ciò prova che l'espressione (5.95) costituisce l'effettivo carico di collasso della struttura.
2
6
rn
=
1
(5.94)
ed, in conformità con l'ultima delle (5.84), risulta in equilibrio col carico:
p=6
(5.H5)
Itilevato ora che il regime (6.94) per p= 6 è sempre contenuto nel segmento BC dell'esagono di snervamento, è lccito asserire che l'espressione (5.95) rappresenta sicuramente, per il teorcma statico, una limitazione inferiore del carico di collasso della struttura. 218
r
È elementare verificare che il meccamsmo:
eon Cl e C 2 costanti arbitrarie. La condizione (5.85), esplicitata in conformità, con le (5.!)O) e (5.92), richiede peraltro che risulti:
C1 =
per
(5. !l2)
Analisi limite delle piastre rettangolari Nel caso delle piastre rettangolari le direzioni principali non sono note a priori. Si potrebbe tuttavia come già nell'esempio sviluppato per le lastre, adottare ancora il criterio di Tresca osservando che gli sforzi principali .M l , .M 2 sono deducibili in funzione di ]j,l x , y , M xy attraverso le usuali rehtzioni:
.M
.MI, 2 =
~0_~_~y_
±
V-(-~.!-=2- My-y:-;-.M~-y-
(5.100)
219
Risulta più semplice tuttavia avvalersi della condizione di Mises (5.77) con la quale ovviamente la trasformazione (5.100) non risulta più necessaria.
Una qualsiasi distribuzione di sforzi interni che soddisfi le condizioni di equilibrio e che inoltre verifichi la condizione di compatibilità plastica: 2
mx --- mx my
Ty
T, M
II
i M yx
· /jM v
..
'iX
/
I
/
~
,; /j,M,y
/
risulta dunque essere una funzione del quart'ordine di y che soddisfa le seguenti proprietà:
Le (5.115), esplicitate in conformità con la (5.114) porgono così le relazioni:
a) simmetria rispetto all'origine y = O;
A2-AB+B2
b) positività dei suoi valori per qualsiasi valore di y (*).
B2
~
l
A2
~
l
Ciò comporta che l'intersezione della (5.114) con un piano di equazione x = costo da luogo a una curva del tipo illustrato in fig. 110.
3 C2 {J2
o
(5.117) ~
1
y
Cl = -
Fig.11G
Tale proprietà si riflette immutata per le intersezioni con i piani di equazione y = costo Ciò premesso resta evidente che i punti nei quali (]> può presentare i valori più grandi corrispondono all'origine degli assi, ai punti di mezzerÌa dei lati perimetrali e ai quattro vertici della piastra. Tenendo conto della simmetria è quindi suffieiente imporre che risulti: (]>
(1, O) ~ l,
(]>
(O, (J)
~
1,
(]>
(l, (J) ~ l
(5.]]5)
per esser certi che risulti ovunque: (]>
(x, y) ~ l
per
--- l
~
x
~
-(J~y~{J
(.5. Il 6)
{J
+
Al = l, SI
Bl
=
l
(5.Il9)
trae quindi dalla (5.113) la limitazione inferiore:
1'~2(1+ ;,
-I
y';p)
(5.120)
Per il calcolo di una limitazione superiore, introdotte le variabili adimensionali:
TV (1) Tale proprietà deriva dall'essere t1> una funzione quadratica definita positiva delle componenti mx my m xy . Ciò è infatti immediatamente rilevabile osservando ehe la
v3
(5.118)
mentre per ciò che attiene Al e BI è evidente che fra tutti gl'insiemi A, B che soddisfano le prime tre delle (5.Il7) deve scegliersi quello che soddisfa 1
~
w=
II
II
h=A
(5.121)
I :
(5.lO4) può scriversi nella forma equivalente:
t1> = ! {mx __ rny)2 o
224
+ mx2 + m,,2 + 6rnXy2}
è immedillto rilevare che le (5.69) in conformit:ì con le (5.73) porgono:
225 I
I
•
kx
()Zw.
()Zw.
= - hZ ---- k ()x Z
'
y
2 hZ --;::---- (5.122) ux oy
La potenza dissipata per unità di area espressa dalla (5.100) assume con l'aspetto:
D
=
2_~~
• h \ ( __~~~)_)
___
A
y3
I
ox z
+
oyZ
=~
fA fil
ox2
2 .Mo A 2) i =, ------- h
(-d~-~-)21"2
(5.123)
D (X, Y) dX dY
r f /' !P
l
(D2'W) 2 (hZ -
l
)2 •
2
+ (--~!~-) +
f
(5.128)
wdxdy
-p
che rappresenta l'espressione generale del limite superiore al canco di collasso associato al meccanismo == (x, y). È però da osservare che per meccanismi (x, y) generici la (5.218) non è di facile esplicitazione numerica in quanto compare in essa un integrale di funzione irrazionale di non semplice calcolazione. Se però si fa riferimento a meccanismi di eollasso a plasticizzazione concentrata lungo linee (cerniere plastiche cilindriche) tale ostacolo viene immediatamente superato. Si consideri infatti un elemento - -I
D2w
iJ2io
+ -0--;;2- -;ii/2- + (Fi.12ii)
iJ2?;) ( -()x()y-
)21+
a z
(h: dy +------~-l
-t--
A fII
f
=:1
--n p
WdX d Y
l l
SPe = 1110 A h
I
(5.126)
X
:
e
- -+.
e--+--
I I
b
l
1
J
- 1
ffl
~
I
I
assume peraltro, in conformità con le (5.110) e (5.12l), l'aspetto:
z r"ig. Il t
p
u) dx dy
(5. 127)
- jI
Tenendo presente che p è costank, l'eguaglia,nz,1 fra (5.125) c (ii. 127) fornisee l'espressione: 226
IfJ
l
(ii. 124)
La potenza esterna:
2?e
oy"-
02W )2 t.2..2 dxdy + (--OX oy
2
Xo
scrive:
oy2
--11
-A
SI
ox 2
w w w
e la potenza dissipata relativa a tutta la piastra:
!/]j
p+
-
-l
l
D2' 2 (-DY~--) +
-l
y3
2+ _02~___~:1~ +
Dxz
Il IfJfJ I\( OZw_)2 + _?~~ ~ + (~2W_)2 +
()2(;;
-- hZ ---,--, k xy = ay2
di lunghezza Lll di una ipotizzat.a eerniera plastica che si supponga per semplicità ortogonale all'asse x, e sia Ù il valore della rota~\ione relativ,1 fra i due clementi di piastra intorno a tale cerniera (fig. llla). 227
Per valutare il contributo offerto dall'elemento di lunghezza Lll all'integrale che compare a numeratore della (5.128) può approssimarsi il meccanismo di fig. l11a con il meccanismo di fig. l11b ove la discontinuità angolare è viene diffusa in modo continuo su un segmento di lunghezza 2e ponendosi:
.
W
== wo
ih + ih + -----2
(x -
xo)
ÌJ 2 - ÌJ I (x - XO)2 + ---- - 2--2 e
(5.129)
con rotazioni relative Oi la (f).128) si scrive:
p+
2: 8 lt i
= -~
i
y3
(5.135)
jr
Nel caso in esame si assume quale meceanismo di collasso quello illustrato in fig. 112 ove la lunghezza 2 Il della cerniera cilindrica centrale è lasciata incognita al fine di avvalersene come parametro
Nell'intervallo: Xo - - e :::; x :::; Xo SI
+e
(5.]30)
ha allora:
I
à2t~
O2
--
2 iJ w = O, iJy2
01
2e
àX2
ax éJy
(5.131)
I
I
I
I
+J,[A
e rilevato che:
i
I
I
+-
I
Ò2 - - Òl = Ò
I
(5.132)
I
I
! I
t"
l'
+"
: I
l
si trae:
Ing. 112
I \ (_ iJ2~_)2 + _ I I
éJ2';;_ ~2~ éJx 2 oy2
xo +e X
o
-e
,JI
iJx 2
_+ (~2~ )2 + éJy2
di ottimizzazione. Detto ò lo spostamento relativo a tale cerniera, le rotazioni rigide dei quattro elementi risultano eSSNe: (5.133)
+ ---- )21 ~ dx iJ2-:V ( iJx oy
2
dy .~-=
. O AI
Indicando quindi con :
. = Il JfI
V
-l
b
Elemento l:
Ox = l--/~-
Òy = O
Elemento 2:
Ox = O,
8y
b
==
--71 (5.] 36)
.
wdxdy
(4.] 34)
Elemento 3:
bx = -
1'~lemento
o,,;
-p
il volume generato dal meccanismo di collasso, nell'ipotesi che questo si sviluppi per fermazione di u cerniere cilindriche di lunghezza li
228
! {l
j
2
éJ w _ = O
-II
4
4:
=cc
0,
b
-l"-==-;-
Oy
=
O
Uy
=
--or
b
229
La rotazione relativa nella cerniera centrale di lunghezza h = 2 Il risulta quinùi essere:
éc=-p
(5.137)
y(l -
1')2
+
fJ2 risultano essere:
- -O' (;-)0- --j (O' (l) · o --- V(O' (1) O x _ . - x " -y
- -
. Y (1 -
= n e 1J m sono rappresentati anzichè dalle (5.212), dalle (5.203). Analisi limite delle lastre cilindriche
Si consideri il caso di una lastra cilindrica a sezione circolare in condizioni di carico assial-simmetrico e sia A il raggio della sezione trasversale, 2 II lo spessore ed 2 L la lunghezza (fig. 122).
SCrIve:
max {I atl , I ail , I at max {la~1
, la;1 ,
la~
~ u
a;1} = a~
- a;l} =
x
a~
essendo al± a2± le tensioni principali nelle due lastre. La condizione di snervamento assume allora l'aspetto:
([>+
=
max {Inl-- mII, In2 -
([>- = max {Inl
+ mll,
In2
m21, Inl -
+ m21,
Inl
ml -
+ mI -
n2
+ m21} =
n2 --- rnzl}
=
1 (5.211 )
1
e nello spazio a quattro dimensioni dclle caratteristiche ni mi (i = 1,2) è rappresentato da un ipcrpoliedro a dodici facce. La (5.211), quando siano nuIle le azioni flessionali mi, ricade
lfig. 122
Dette U e W le componenti della velocità di spostamento rIspettivamente secondo l'asse X e secondo la normale interna n, le velocità di deformazione risultano essere:
W
dV Ex
= -dX'
E.p =
A
k
d2 W x =-
dX-Z'
K.p =
O
(5.213)
253 252
Delle quattro caratteristiche attive ai fini della plasticizzazione l'ultima, in conformità con la quarta delle (5.213) non compie mai lavoro durante il flusso plastico della lastra. La m assume dunque il ruolo di reazione interna e può essere eliminata dalla condizione di plasticizzazione. Per operare tale eliminazione, osservato che l'assunzione della condizione di snervamento (5.211) porterebbe alle diseguaglianze:
n x , 11, , m x , m
- 1 ~ nx
±
mx ~
l
~ 11,
±
m ~
l
-1 -
si rileva che
'i1Lp
±
mx --- (11,
t / ~,
-
(5.214)
111. = - '(,- n
k = - --S-
Hl
----n;.- , (5.234)
dW dS
In conform ità con t:11i posizioni le el] uazioni di equilibrio per il generico elemento di volta., dedotte attmverso il prin cipio d ei lavori virtuali, assumono l'aspetto (fig. 1:\1):
(!).2 :~3 )
u' = -- b (l + x)
per
(iN S dS 2
dS
+8
(_~~'_ ~ -I _ _N q~Il]
R2
+ p)
(5 .235)
=
O
261
Per la ricerca di una limitazione inferiore del carico di collasso d eve quindi d et erminarsi un regime di sforzi interni ch e soddisfi le condizioni indefinite d'equilibrio (5.235), le eventuali condizioni di
Il caso della calotla sferica incernierala alla ba8e e soggetta a pressione uniforme A titolo esemplificativo si consideri il caso di una calotta sferica di raggio R incernierata alla base c soggetta a pressione uniforme P (fig. 133) .
No
\j I~I/I s
p
I
1/
~ \ R, R2
Fr'
\
. \
Ns+d N,
.
\
"
\
/
///
'~,
./
\
\ \
•
l" ig . 1m
Fig.
equilibrio ai l imiti associate ai vincoli i vi osistcl1ti e le co ndizioni di compatibilit,ì pl astica derivanti dal crit,erio adott,tto. Per sempli cità si fa rà qui riferimento al criterio espresso d a lle (5.212) ehe eonsente di asserire che tutti i regimi di sforzi co mpa tibili plast ica lllcnte I·\(mo quelli interni ai due esago ni indipendenti di fig . 1:3 2.
~
B(I1)
---7/\-
DI
-
ns
-C
FI
E
s
s = -A'
No A2
0)2 =
PR
- MoR
p
(5.230)
-No
=
le equazioni di eCluilibrio del proble ma risultano essere:
,B( I ')
/A
m ,.
dns ns - n
1:-!~
L a limitaz ioll e s uperiore vielle invece :tI solito d edotta da UllO o pill meccanismi attraven;o l'applicaz iol w (1ll io Civ il e, nO 2·3 e nO 4, l!HlS. (3) Saechi, 1st. Lomb. (l~"nd. Se .) A ](lO, I!)(Hì. (4) Hodge-Be lyt.Rc hko, J. of Appl. Mpph. , d " ,· l!)fiS ; Ca se iaro -Di Carlo, Giornale d ol GOllio Civ il e, Il'' 2, 1070.
28 8
289 ."
11 legame jJ - 15 è fornito dalle condizioni di equilibrio del meccanismo di collasso che si va formando, tenuto conto degli spostamenti nella valutazione delle sollecitazioni; si vedrà fra breve un esempio in pruposito. Vi è una, categoria di strutture (fig. l38a) per le quali la condizione di cui sopra, è soddisfatta, almeno finchè gli sposta menti non diventano decisamente gra,nd i ; tra queste si possono citare le travi continue. Vi SOllO però altre due categorie, comprendenti strutture molto importanti, per le quali la con dizionc non è soddisfatta, o perchè la curva !l-c5 presenta un ramo ascendente (influenza stabilizzante dell e deformazioni: fig. 138b) , o per il cOlltrario, cioè ramo discendente (influenza instabilizzante, c). Alla prima appartengono le piastre c le volte di rivoluziolle sollecitate da,ll'interno (fondi di serbatoi); della seconda fanno parte i telai, gli archi, le cupole.
subito dall'asse p c dopo un tratto r ettilineo (teoria elastica del I ordine, si incurva per l'influenza delle deformazioni (teoria elastica del II ordine, ®) e successivamente per la comparsa delle plasticizzazioni (@) finchè va a raggiungere, all'atto del formarsi del meccanismo, la curva p-c5 « rigido-plastica » (nel caso di strutturc molto deformabili tale coincidenza potrebbe peraltro anche non verificarsi).
CD)
"!/; .
/
k.
3 }1'ig. 142
(5
L'impostazione ora proposta riconduce il problema alla determinazione della curva ®, mentre il tracciamento della retta non offre difficoltà così come il calcolo di Jld, almeno dal punto di vista concettuale.
CD
292
-I- Y A h sin OA =.~ 2 jJ;Ip X B h cos OA -I- Y II h sin 0.'1 = 2 Mp X A -I- XII = Il F Y A -I- Y B = Il a F XA h cos OA
l i
l,'ig. 140
Y B l - Il a F
(-2'l - -I- h sin OA ) I
JI F h cos OA
-I- 2 Mp
=
O;
293
sommando membro a membro le prime due e tenendo conto della terza e della quarta si ottiene il legame p-ò (avendo posto ò = 8A ) : p
4 JYlp
= - -- F h
l
(6.23)
:----:-~
cos ò
+ a sin ò
che dà luogo, p er a = 2, alla curva a di fig. 143. Se poi sono presenti dei carichi assiali sui montanti , siano il (3 F per ogni montante, la (6.23) diventa: 4Mp
l
= - - - - - -- - - - - - - -
P
Fh
cos ò
+ (a + 2 (3) sin ò
(6.24)
Ponendo ad esempio a = fi. = 2 si ottiene la curva b di fig. 143, la quale, come è ovvio, scende più rapidamentc della preccdentc.
f.l-Bl 4M p
j
--a --------b -- _. __ . ,._----_.
Con la conoscenza del comportamento delle strutture al di là del collasso si aggiunge ai risultati del calcolo a rottura un importante elemento di giudizio sulla sicurezza d elle strutture stesse. Infatti è chiaro che a parità di moltiplicatore di collasso una struttura con curva p-ò crescente si potrà considerare assai più sicura di una struttura con curva decrescente. Peraltro mancano allo sta,to attuale precisi criteri per valutare la sicurezza da questo punto di vista: si tratta di una questione ancora aperta.
.
6.3
Adattamento plastico (shake down)
Il problema è stato posto nel Cap. 2. I teore mi ivi forniti costituiscono la base concettuale per la istituzione di metodi di calcolo del moltiplicatore limite di adattamento, ossia di quel valore che separa i processi con adattamento da quelli che comportano il progressivo deterioramento della struttura, o per collas8o incrementale o per plasticizzazione alternata.
Strutture monodimensionali con una sola caratteristica attiva
/)
_._ -SO
10°
Fig. 1.4::
Vi è tuttavia una obiezionc al metodo prcccdentc: nulla assicura che il mecca nismo rimanga sempre lo stesso aI" crescere della deformazione; può accadcrc chc csso venga ad un certo punto sostituito da un altro. Ciò è stato mostrato proprio per il caso di fig. 141 e si è proposto un metodo, ancora basato sull'impiego della P.L. ed in particolare sullc proprietà di dualità , che permette di tracciare la curva 0, eliminando l 'inconveniente ora menzionato, per una gencrica struttura monodimensionale e).
Come già si è visto per il problema dell'analisi limite, la ricerca del moltiplicatore limite di adatta mento si riconduce immedia tamente, sulla base del teorema di Blcich-Melan, ad un problema di Programmazione "lineare. Infatti , ·considéra ndo il problema discreto (se non lo è già: struttura reticolare) previa suddivisione della struttura in un conveniente numero di conci, il variare assegnato d ei carichi dà luogo in ogni sezione di calcolo a due valori estremi della sollecitazione, calcolati nell'ipotesi di comporta mento clastico della struttura. A questi valori si dcvono aggiungerc gli cffetti delle coazioni. Con i sim boli del § 6.1 si può cioè seri vere:
(O)
(1) C. Gavarini, in Atti d oll. 'I s t,itu to