Physique des plasmas collisionnels : Application aux decharges haute frequence

PHYSIQUE DES PLASMAS COLLISIONNELS APPLICATION AUX DÉCHARGES HAUTE FRÉQUENCE

Grenoble Sciences Grenoble Sciences poursuit un triple objectif : i réaliser des ouvrages correspondant à u n projet clairement défini, sans contrainte de mode ou de programme, i garantir les qualités scientifique et pédagogique des ouvrages retenus, i proposer des ouvrages à un prix accessible au public le plus large possible. Chaque projet est sélectionné au niveau de Grenoble Sciences avec le concours d e referees anonymes. Puis les auteurs travaillent pendant une année (en moyenne) avec les membres d'un comité d e lecture interactif, dont les noms apparaissent au début de l'ouvrage. Celui-ci est ensuite publié chez l'éditeur le plus adapté. (Contact : Tél. : (33)4 76 51 46 95 - E-mail : [email protected]) Deux collections existent chez EDP Sciences : i la Collection Grenobile Sciences, connue pour son originalité de projets et sa qualité i Grenoble Sciences -,Rencontres Scientifiques, collection présentant des thèmes d e recherche d'actualité, traités par des scientifiques d e premier plan issus d e disciplines différentes.

Directeur scientifique de Grenoble Sciences Jean BORNAREL,Professeur à l'université Joseph Fourier, Grenoble 1 Comité de lecture pour Physique des plasmas collisionnels i Michel AUBÈS,professeur à l'université Paul Sabatier (Toulouse)

JacquesDEROUARD, professeur à l'université Joseph Fourier (Grenoble) Ana LACOSTE, professeur à l'université Joseph Fourier (Grenoble) i Bachir SAOUDI, phy:sicien à l'Université de Montréal (Canada) avec le concours de i Cédric DE VAULX et Didier RIEU i

i

Grenoble Sciences bénéficie d u soutien d u Ministère de l'Éducation nationale, de l'Enseignementsupérieur et de la Recherche et de la Région Rhône-Alpes. Grenoble Sciences est rattaché à l'université JosephFourier de Grenoble.

Illustration de couverture :Alice GIRAUD d'après les irnlagesfournies par Jeffvey A. HOPWOOD et Keith WARNER, Johnny AUTERY,le Prof. MOIÇANde l'Université de Montréal et le Centre de Recherche Plasmas-Matériaux-Nanostructures du LPÇC ( C N R S - UJF-INPG)

ISBN 2-86883-822-7

O EDP Sciences, 2006

PHYSIQUE DES PLASMAS COLLISIONNELS APPLICATION AUX DÉCHARGES HAUTE FRÉQUENCE

Michel MOISANet Jacques PELLETIER

l"i SCIENCES

17, avenue d u Hoggar Parc d'Activité de Courtabœuf - BP 112 91944 Les Ulis Cedex A - France

Ouvrages Grenoble Sciences édités par EDP Sciences Collection Grenoble Sciences Chimie. Le minimum à savoir (1. Le Cower) Electrochimie des solides (C. Déportes et al.) Thermodynamique chimique (M. Oturan b M . Robert) CD de Thermodynamique chimique (J.P. Damon b M.Vincens) Chimie organométallique (D. Astruc) De l'atome à la réaction chimique (sous la direction de R. Barlet) Introduction à la mécanique statistique (E. Belorizky b W. Gorecki) Mécanique statistique. Exercices et problèmes corrigés (E. Belorizky 6 W. Gorecki) La cavitation. Mécanismes physiques et aspects industriels (J.P. Franc et al.) La turbulence ( M . Lesieur) Magnétisme : I Fondements, II Matériaux et applications (sous la direction d'E. du Trémolet de Lacheisçerie) Du Soleil à la Terre. Aéronomie et météorologie de l'espace (1.Lilensten b P.L. Blelly) Sous les feux du Soleil. Vers une météorologie de l'espace (J. Lilensten b J. Bornarel) Mécanique. De la formulation lagrangienne au chaos hamiltonien (C. Gignoux b B. Silvestre-Brac) Problèmes corrigés de mécanique et résumés de cours. De Lagrange à Hamilton (C. Gignoux & B. Silvestre-Brac) La mécanique quantique. Problèmes résolus, T. 1 et 2 (V.M. Galitsky, B.M. Karnakov & V.Z. Kogan) Description de la symétrie. Des groupes de symétrie aux structures fractales (J. Sivardière) Symétrie et propriétés physiques. Du principe de Curie aux brisures de symétrie (J. Sivardière) Exercices corrigés d'analyse, T. 1 et 2 (D. Alibert) Introduction aux variétés différentielles (J. Lafontaine) Mathématiques pour les sciences de la vie, de la nature et de la santé ( F . b J.P. Bertrandias) Approximation hilbertienne. Splines, ondelettes, fractales ( M . Attéia b J. Gaches) Mathématiques pour l'étudiant scientifique, T. 1 et 2 (Ph.]. Haug) Analyse statistique des données expérimentales ( K . Protassov) Nombres et algèbre (J.Y.Mérindol) Analyse numérique et é'quations différentielles (J.P. Demailly) Bactéries et environnement. Adaptations physiologiques (I Pelmont) . Enzymes. Catalyseurs d u monde vivant (1.Pelmont) Endocrinologie et communications cellulaires (S.Zdelman b 1.Verdetti) Eléments de biologie à l'usage d'autres disciplines (P. Tracqui & J. Dernongeot) Bioénergétique (B. Guérin) Cinétique enzymatique ( A . Cornish-Bowdcn, M . Jamin O V . Saks) Biodégradations et métabolismes. Les bactéries pour les technologies de l'environnement (J. Pelmont) Enzymologie moléculaire et cellulaire, T. 1 et 2 (J. Yon-Kahn b G. Hervé) La plongée sous-marine à l'air. L'adaptation de l'organisme et ses limites (Pk.Foster) L'Asie, La biologie, des origines à nos jours source de sciences et Ide techniques ( M . Soutif) (P.Vignais) Naissance de la physique. De la Sicile à la Chine ( M . Soutif) Le régime oméga 3. Le programme alimentaire pour sauver notre santé (A. Simopoulos, J. Robinson, M . de Lorgeril & P. M e n ) Gestes et mouvements justes. Guide de l'ergomotricité pour tous (M.Gendrier) Science expérimentale et connaissance du vivant. La méthode et les concepts (P.Vignaiç, avec la collahoration de P. Vignais) Histoire de la science des protéines (I. Yon-

Kahn) Listening Comprehension for Scientific English (J. Upjohn) Speaking Skills in Scientific English (1. Upjohn, M.H.Fries O D . Amadis) Minimum Competence in Scientific English

(S.Blattes, V. Jans &J. Upjohn)

Grenoble Sciences - Rencontres Scientifiques Radiopharmaceutiques. Chimie des radiotraceurs et applications biologiques ( S O U S la direction de M.Comet O M.L'idal) Turbulence et déterminisme (SOUS la direction de M.Lesieur) Méthodes et techniques de la chimie organique (sous la direction de D. Astruc) L'énergie de demain. Techniques, ei-~vironnement, économie (sous la direction de J.L.Bobin, E. Hufler b H . Nifenecker) Physique et biologie. Une interdisciplinarité complexe (SOUS lu direction de

B.Jacrot)

AVANT-PROPOS

Dans les années soixante, la physique des plasmas tirait sa visibilité presque exclusivement de l’engouement pour la réalisation d’un réacteur produisant de l’électricité par fusion thermonucléaire contrôlée. Depuis, les applications des plasmas se sont heureusement multipliées et diversifiées, l’une des plus connues, en dehors de l’éclairage, étant l’indispensable opération de gravure dans la fabrication des puces en micro-électronique. En ce début du XXIe siècle, l’utilisation des plasmas est en pleine expansion et nous pouvons croire, d’après les publications des travaux de recherche actuels, qu’un nombre sans cesse plus grand d’applications industrielles verra le jour. Dans ce développement, les plasmas créés par des champs électromagnétiques de fréquences radio et de micro-ondes jouent un rôle particulièrement important. Le présent manuel, qui concerne essentiellement la physique des plasmas utilisés en laboratoire et dans l’industrie, est davantage centré sur la compréhension des rnécariismes physiques que sur leur description détaillée et finement mathématisée. A ce premier niveau de contact avec cette discipline, il est, en effet, bien important d’assimiler les phénomènes physiques caractéristiques avant d’aborder le formalisme très développé de la théorie cinétique avec son approche microscopique statistique. Pour traduire ces phénomènes physiques eri équations, nous ferons appel au modèle liydrodynamique, modèle de type fluide, où les grarideiirs physiques sont des valeurs niacroscopiqiies résultant de nioyennes statistiques prises sur les grandeurs microscopiques. Ce manuel, destiné aux étudianh des premiers cycles universitaires et aux ingénieurs tournés vers les applications, se situe à un niveau de difficulté moindre qiie celui de DELCROIX et BERS (respectivement, Université Paris XI et Siipélec, et MIT, EtatsUnis), leur traité constitiiant, en revanche, une suite intéressantje sur le plan théoriqiie. L’ouvrage est divisé en quatre chapitres. Dans le chapitre 1;sont introduites de façon progressive et de plus en plus précise les notions fondamentales de la physique des plasmas. Le chapitre 2 examine de manière détaillée la trajectoire d’une particule chargée soumise à des champs électrique E et magnétique B de différentes ronfigiirations, mettant l’accent sur le transfert d’énergie du chanip E à la particule et sur sa giration cyclotronique en présence d‘un champ B . Le chapit,re 3 montre conimerit obtenir les équations hydrodynamiques (aussi appelées équations de transport) à partir de l’équation cinétique de BOLTZMANN et fait usage de celles-ci, notaninient dans l’étude de la diffusion. On y décrit également la formation des gaines ionique et électronique et leurs caractéristiques. Le quatrième et le dernier chapitre aborde les mécanismes propres au fonctionnement des décharges de hautes fréquences, 2 faible pression (< i o torr) et à forte pression (> 100 torr). On y présente, en particulier,

6

AVANT-PROP OS

une analyse du bilan de puissance création-perte d’un électron de la décharge (puissance O), l’effet de 1 s fréquence du champ HF sur les propriétés du plasma et sur certaines applications. Enfin, une des propriétés propres aux décharges à forte pression est la présence d’ions moléculaires dans des gaz monoatomiques ; leur cinétique de création et de perte peut être prépondérante, notamment da,ns le phénomène de contraction, aussi une caractéristique de certaines décharges à forte pression. Notons que des d’éléments essentiels à la compréhension de ce chapitre, tout à fait original, ont été progressivement introduits dans ce but au cours des chapitres précédents. En dehors des développements traditionnels, le contenu de cet ouvrage est accompagné d’un grand nombre de remarques et de notes de bas de page qui donnent un éclairage particulier ou qui précisent certains points. Quarante-cinq exercices dont les solutions, largement détaillées, sont données en fin d’ouvrage, apportent des éclaircissements souvent indispensables. Le lecteur trouvera, sous forme d’annexes, des compléments aux sujets traités dans le texte principal et des développements mathématiques ainsi qu’un formulaire de relations mathématiques utiles. A la toute fin, un index alphabétique renvoie à des termes nécessitant d’être définis, dont la première apparition dans le texte est portée en caractères italiques et repérée dans l’index par un numéro de page en caractère gras.

M.M., J.P.

REMERCIEMENTS

Les auteurs tiennent d’abord à saluer la contribution inestimable et indéfectible de Danielle KÉROACK(Ph.D. en physique du solide) aussi bien à la dactylographie du manuscrit, notamment la transcription de centaines d’équations que comporte l’ouvrage, qu’à leur utilisation pour le tracé de courbes, cela en faisant la chasse au double emploi de symboles et en relevant des incorrections dans les solutions numériques des exercices et plein d’autres choses encore. En plus d’avoir à décrypter nos corrections manuscrites hiéroglyphiques comportant des renvois en tous sens, elle a dû composer avec les modalités complexes du logiciel d’édition Latex, en s’acquittant par ailleurs de ses activités en laboratoire. Le présent ouvrage a grandement bénéficié au cours de sa préparation des cornrrieritaires et suggestions d’un certain nombre de lecteurs, de formations diverses et d’intérêts différents selon qu’il s’agissait d’enseignants, de chercheurs ou d’étudiants, et, que nous souhaitons remercier. Plus particulièrement, il convient de souligner le travail considérable de relecture critique tant sur le fond que sur la forme effectué par Bachir SAOUDI(Ph.D. en physico-chimie) qui, par ses nombreuses questions de norispécialiste en physique des plasmas, nous a obligés tantôt à clarifier ou préciser la rédaction d’un passage, tantôt à développer davantage un sujet. Sa très graride maîtrise du français a contribué à alléger l’écriture et A éviter des t,ournurcs incorrectes. La professeure Ana LACOSTE,chargée de la formation en plasma (Masters) à l’Unidc Grenoble, a été une interlocutrice de premier ordre auprès versité Joseph FOURIER de laquelle nous avons pu évaluer l’int,érêt d’incorporer certains développements, plus particulièrement au chapitre 4 ; elle a également participé à la rédaction d’une annexe et proposé des exercices avec leur solution. Le cont,enu du chapitre 4 doit beaucoup à deux jeunes Chercheurs en physique des plasmas, Kreniena MAKASHEVA et Yassine KAROUZI, qui ont été à l’origine d’une grande partie des résultats présentés sur les plasmas HF à la pression atmosphériqiic. En dernière lecture, nous avons pu compter sur Antoine ROUER,chercheur reconnu et de grande expérience (spécialiste des interactions entre particules neutres) dont les critiques nous ont poussés à prendre des positions plus nuancées, parfois de comprornis, ai1 niveau de la présentation de certains éléments du premier chapitre, sachant bien que nous ne pouvions ni tout développer complètement ni non plus traiter trop superficiellement certains aspects.

M.M.. J.P.

LISTE DES

SYMBOLES

Les vecteurs sont représentés par des lettres en caractère gras, A . Les tenseurs sont aussi imprimés en gras : un tenseur d’ordre 2 est souligné une fois, 4; un tenseur d’ordre 3. deux fois, A. moyenne prise sur la fonction de distribution des vitesses (ou en énergie) des particules rayon de la première orbite électronique de l’atome d’hydrogène de

BOHR induction magnétique vitesse de la lumière dans le vide flux de particules réfléchies par un miroir magnétique angle solide élémentaire volume élémentaire dans l’espace des vitesses, aussi noté d3w; en coordonnées cartésiennes, dw,dwydw, déplacement (induction) électrique densité de probabilité de présence coefficient de diffusion libre des électrons, des ions coefficient de diffusion ambipolaire coefficient effectif de diffusion valeur absolue de la charge élémentaire vecteur de base de l’axe i du repère choisi champ électrique champ électrique de charge d’espace champ électrique de charge d’espace en diffusion ambipolaire parfaite champ électrique de dérive magnétique énergie cinétique énergie cinétique moyenne énergie du niveau j d’un atome fréquence d’un champ, d’une onde fréquence des électrons, des ions du plasma fonction de distribution des vitesses des particules force force centrifuge de dérive de courbure magnétique force de LORENTZ poids statistique (dégénérescence quantique) de l’état j d’un atome

PHYSIQUE DES

10

h H I

3 J Jc

S

SO

PLASMAS COLLISIONNELS

constante de PLANCK champ magnétique tenseur unité d’ordre 2 Jacobien (d’une matrice de transformation de repère) densité de courant courant de conduction courant de polarisation constante de BOLTZMANN coefficient de réaction épaisseur de gaine libre parcours entre deux collisions libre parcours moyen entre deux collisions masse de l’électron masse de l’ion masse de l’atome tenseur lié à la force magnétique densité de plasma densité des ions, des électrons densité de plasma à la lisière de gaine densité de molécules (atomes) densité des atomes à la pression de 1 torr et à 0 “C nombre de particules déviées élastiquement par un centre diffuseur nombre de particules dans la sphère de DEBYE nombre total de particules dans un système densité d’atomes dans l’état fondamental densité d’atomes dans l’état excité j vecteur quantité de mouvement pression du gaz pression réduite pas d’une hélice section efficace macroscopique pour une interaction de type x puissance moyenne (sur une période du champ HF) absorbée, par unité de volume, par les électrons puissance totale absorbée impulsion totale gagnée ou perdue par les particules de type (IV charge de la particule tenseur de flux d’énergie thermique vecteur position rayon de LARMOR rayon de LARMORdes électrons, des ions position instantanée du centre de guidage rayon interne du tube à décharge rapport de miroir résistance énergie cinétique totale gagnée ou perdue par les particules de type cy paramè1,re d’impact paramèixe d’impact critique moyen

LISTE DES

SYMBOLES

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opérateur de collision temps température d’un système en équilibre thermodynamique température des électrons, des ions température en électron-volt température du gaz neutre période du champ HF période cyclotronique vitesse d’une particule relativement à la vitesse moyenne des particules énergie charactéristique des électrons énergie d’une particule différence de potentiel ; aussi énergie énergie des électrons en électron-volt vitesse moyenne au sens hydrodynamique (9 3.3) vitesse de BOHM vitesse de groupe, de phase d’une onde vitesse la plus probable d’une distribution de MAXWELL-BOLTZMANN vitesse de la particule Q dans le modèle des trajectoires individuelles ( 5 2.1) ; vitesse microscopique (individuelle) d’une particule dans une distribution des vitesses ( 5 3.1) vitesse relative microscopique des particules Q et ?!, vitesse de dérive électrique vitesse moyenne (sur une période) de dérive de courbure magnétique vitesse moyenne (sur une période) de dérive magnétique travail charge(s) positive(s) de l’ion degré d’ionisation nombre d’onde rapport d’adiabaticité flux de particules (nombre de particules incidentes par unité de surface, par seconde) coefficient de transfert d’énergie lors d’une collision élastique profondeur caractéristique de pénétration du champ HF permittivité du vide permittivité électrique du plasma relative à celle du vide coefficient de saturation des états relais dans un processus d’ionisation coefficient de viscosité du fluide puissance absorbée par électron ; aussi, angle polaire puissance HF moyenne absorbée par électron puissance moyenne perdue par électron conductivité thermique du gaz longueur d’onde longueur de DEBYE longueur de DEBYEdes électrons, des ions longueur caractéristique de diffusion moment magnétique orbital mobilité électronique, ionique

PHYSIQUE DES PLASMAS COLLISIONNELS

perméabilité du vide masse réduite des particules de type cr et p fréquence moyenne de collisions pour le transfert de quantité de mouvement fréquence moyenne d’ionisation fréquence d’ionisation directe fréquence d’ionisation par étapes fréquence des photons fréquence moyenne de recombinaison en volume fréquence de recombinaison à trois corps fréquence de recombinaison dissociative densit6 de charges rayon de courbure magnétique coefficient d’ionisation par étapes section efficace microscopique différentielle section efficace microscopique totale (intégrée) section efficace microscopique totale de simple collision section efficace microscopique totale pour le transfert de quantité de mouvement conduc-tivité électrique temps caractéristique variable microscopique quelconque potentiel électrique potentiel appliqué potentiel du plasma à la lisière de gaine potentiel du plasma angle u i m u t a l énergie. potentielle électrique tenseur de pression cinétique pulsation d’un champ électrique alternatif pulsation cyclotronique pulsation cyclotronique des électrons, des ions pulsation des électrons, des ions du plasma

LISTE DES cc CM EM ETL

HF MO

RCE RF UV

ABRÉVIATIONS Courant continu (décharges en) Centre de masse Electromagnétique Equilibre thermodynamique local Haute fréquence Micro-ondes Résonance cyclotron électronique Radio fréquence Ultraviolet

CONSTANTES

CONSTANTES PHYSIQUES Masse de l’électron Valeur absolue de la charge de l’électron Rapport elm, Masse de l’atome d’hydrogène Masse de l’atome d’hélium Permittivité du vide Perméabilité du vide Nombre A AVOGADRO Nombre de LOSCHMIDT Constante de STEFAN-BOL‘ïZMANN Constante de BOLTZMANN Constante de PLANCK

me = 9,10938 x kg e = 1,60219 x loë1’ C elm, = 1,75882 x lo1’ C kg-’ M H = 1,67372 x kg M H =~ 6,64648 x kg €0 = 8,85419 x F m-’ po = 47r x loë7 H m-’ N A = 6,02214 x kg-’ moleë1 NL = 2,68678 x mP3 OSB = 0,56704 x l o p 7 W më2 K-4 k~ = 1,38066 x J K-’ fi = 6,62607 x Js FI. = h/27r = 1,05457 x Js

(Source : NIST, Etats-Unis)

AUTRESCONSTANTES Mobilité ionique réduite (760 torr, 273 K) de He+ dans He Fréquence moyenne approximative de collisions électron-neutre pour le transfert de la quantité de mouvement dans l’hélium à la “pression réduite” pa Densité moléculaire à 1 torr et O OC

pi = 10,4 x loë4 m2 V-’ sël

= 2,4 x 109 3-1 3,53 x molécules mp3

CHAPITRE 1

LE MILIEU

PLASMA : DÉFINITION ET

PRINCIPALES GRANDEURS

CARACTERISTIQUES

1 . 1 . DEFINITION ET NATURE ESSENTIELLE DU PLASMA Un plasma est un milieu composé d’électrons et d’ions, libres de se mouvoir dans toutes les directions de l’espace ; ce milieu gazeux se distingue d’un gaz classique, composé exclusivement de particules électriquement neutres, par la nature de l’interaction qui existe entre particules chargées. Dans un gaz classique, l’interaction entre particules électriquement neutres est à courte portée et, lorsque la pression du gaz n’est pas très supérieure à la pression atmosphérique, elle ne met généralement en cause que deux particules à la fois (interaction binaire). Dans ce cas, pour deux particules se dirigeant l’une vers l’autre et séparée d’une distance r , l’interaction est d’abord attractive (force en l / r 7 dite de VAN DER WAALS) puis, immédiatement avant le “contact” et de façon abrupte, elle devient répulsive (parfois modélisée par une dépendance de la force en l/r13, 5 1.7.9)l. Au contraire, l’interaction entre particules chargées (attractive ou répulsive suivant les charges en jeu) est à longue portée, puisque la force coulombienne entre particules est en l / r 2 et, de ce fait, chaque particule chargée peut interagir simultanément avec un très grand nombre d’autres particules chargées. En conséquence :

1.1.1. U N PLASMA EST U N MILIEU À COMPORTEMENT COLLECTIF Considérons, à titre d’illustration, un plasma dont les particules seraient, en première approximation, quasiment au repos (agitation thermique extrêmement faible) et supposons que les ions et les électrons ne se recombinent pas pour former des atomes 1

Cette interaction est souvent décrite de façon simplifiée comme une collision entre “boules de billard”, négligeant alors la phase attractive initiale de l’interaction.

1 - LE MILIEU PLASMA :

16

DÉFINITION ET PRINCIPALES GRANDEURS

neutres : on aboutirait à un état stationnaire où, spatialement, les charges positives et négatives alterneraient et seraient réparties de façon presque uniforme ; à deux dimensions, on aurait, très schématiquement, la distribution de la figure 1.1. +

-

+

-

t

- + - + + - + - + -

+

-

+

-

Figure 1.1 - Distribution spatiale (très) idéalisée des charges positives et négatives dans le cas où les particules du plasma sont (presque) au repos.

Une répartition uniforme des charges signifie, en particulier, qu’il n’y a pas de variation locale importante de l’intensité du champ électrique. Cependant, si par hypothèse une perturbation survient qui déplacerait ne serait-ce qu’une charge, toutes les charges du voisinage vont se mouvoir pour compenser l’écart local à l’équilibre ainsi créé. Ceci montre que le plasma est constitué de particules capables d’un comportement collectif.

1.1.2. U N PLASMA E S T U N MILIEU MACROSCOPIQUEMENT NEUTRE

Considérons un volunie donné de plasma. Les particules chargées y sont en mouvement de façon aléatoire (agitation thermique) mais, du fait des forces coulombiennes qu’elles exercent, elles ne peuvent se déplacer les unes par rapport aux autres de manière à créer des différences locales de densité de charges trop importantes : l’écart (moyen) entre les charges croît, bien entendu, avec l’énergie thermique mais décroît avec la densité nette des particules chargées. En effet, comme l’enseigne l’équation de

POISSON^

:

V . E = p/co (1.1) où E est l’intensité du champ électrique (local), p, la densité nette (locale) des charges positives et négatives, et €0, la permittivité du vide, plus p est grand, plus l’intensité de E est élevée et, en conséquence, plus les forces de rappel induites par une séparation de charges sont irnportantes. Pour cette raison, dans la mesure où les dimensions du volume de plasma considéré sont très supérieures à la distance maximum de séparation ainsi permise entre particules, ce volume contiendra, statistiquement, autant de charges positives clue de charges négatives. La distance maximale (moyenne) de non-neutralité électrique est appelée longueur de DEBYEet notée AD ; nous préciserons à la section 1.6 isa dépendance en densité de particules chargées et en énergie (thermique) moyenne. Nous pouvons alors affirmer que le plasma contenu dans un volume V beaucoup plus grand que la sphère de DEBYE,$TA&, est macroscopiquement neutre. De façon générale, nous dirons qu’un plasma est un milieu quasi-neutre (sous-entendu, neutre sur un volume plus grand que la sphère de DEBYE)et, de ce fait, nous poserons ne = n, = n où n est le densité du plasma, ne et n, désignant respectivement la densité des électrons et celle des ions, dans la mesure où ces derniers n’ont qu’une seule charge positive. 2

C’est une variante de l’équation de MAXWELL V (induction électrique).

.D

= p où D est le vecteur déplacement

1.1 -

DÉFINITION ET NATURE ESSENTIELLE D U PLASMA

17

1.1.3. P R E M I E R S EXEMPLES DE PLASMA Avant d’aller plus loin, examinons, en guise de premiers exemples, deux types très différents de plasma : le soleil : c’est un plasma complètement ionisé où il n’y a pas d’atomes électriquement neutres ; en son centre, les atomes ont même perdu tous leurs électrons. Comme l’ont montré les astrophysiciens, plus de 99’9% de la matière (visible) de l’Univers est sous forme plasma, ce qui en fait donc l’état de la matière le plus répandu.

~

la partie lumineuse d’un tube d’éclairage de type fluorescent : l’ampoule est remplie d’un gaz rare (en général, de l’argon) à environ 3 torr (N 400 Pa)3 avec une gouttelette de mercure dont la pression de vapeur partielle est de l’ordre du mtorr à température ambiante. Un champ électrique (alternatif de 50 ou 60 Hz), d’intensité suffisantje,appliqué au gaz à l’aide de deux électrodes comme le montre la figure 1.2, rend ce gaz électriquement conducteur, produisant ce que l’on appelle une décharge électrique dans le gaz ; une partie de cette décharge émet de la lumière. Dans le cas d’un tube fluorescent classique, c’est le rayonnement UV émis par les atomes de mercure (raie Hg I 254 nm) qui est transformé en lumière visible, grâce à un composé de phosphore déposé sur la paroi du tube. Le gaz, dans ce cas, n’est que partiellement ionisé et “froid” ( N 300 K) alors qu’il est “chaud’ dans le cas d’une étoile.

~

W Figure 1.2 - Schéma de principe d’une décharge électrique en courant alternatif comme, par exemple, dans le cas d’un tube d’éclairage de type fluorescent. La résistance R permet d’assurer la stabilité de la décharge.

Remarques générales : 1. Terminologie : différence entre gaz ionisé et plasma. La plupart des décharges de laboratoire ne sont pas vraiment des plasmas car elles ne contiennent pas que des particules chargées, mais aussi des atomes et des molécules électriquement neutres, constituant plutôt un gaz ionisé. Strictement parlant, il conviendrait, en effet, de réserver l’appellation plasma à un gaz ne comportant que des particules chargées, mais dans la pratique les deux termes, plasma et gaz ionisé, sont souvent confondus. La différence entre plasma et gaz ionisé peut se caractériser par le degré d’ionisation cy4 du milieu :

3

Le torr est une unité pratique de pression utilisée dans de très nombrenses données expérimentales alors que l’unité du système international est le pascal (1 torr 2 133 Pa). L’avènement de jauge à pression affichant la valeur en pascal devrait, à terme, faire disparaître le torr.

18

1 - L,E

MILIEU PLASMA : DÉFINITION ET PRINCIPALES GRANDEURS

où N est la densité des molécules (atomes) électriquement neutres. Pour a, 5 lop4, on devrait plutôt parler de gaz ionisé que de plasma, car les interactions majoritaires sont dans ce cas dei3 collisions électron-neutre, donc des collisions à courte portée. Cependant, même clans ce cas, la propagation d’une onde électromagnétique (EM) s’y effectue bien grace aux particules chargées, mais son atténuation est alors liée aux collisions électron-neutre plutôt qu’aux interactions coulombiennes. Les plasmas, quatrrème état de la matière. Dans la séquence “solide-liquide-gazplasma”, qui correzpond à une énergie moyenne croissante des constituants, le plasma apparaît comme l’état de plus haute énergie. Ainsi, quand l’énergie moyenne des électrons atteint au moins 5 à 10% du seuil de l’énergie d’ionisation du gaz ( 5 1.7.9),on obtient un gaz ionisé, mais que partiellement ; quand l’énergie moyenne avoisine ou dépasse l’énergie du seuil d’ionisation, le gaz est entièrement ionisé. En laboratoire, ce “chauffage” se réalise de l’extérieur au moyen d’un champ électrique ou de photons. Les plasmas, milieux radiatifs. Un plasma est un système thermodynamzque (51.4.2) qui comprend, en effet, outre des particules chargées (et des atomes électriquement neutres, dans le cas d’un gaz ionisé), des photons, émis et absorbés par ces particules. I1 faut noter, cependant, qu’un milieu peut émettre des photons sans qu’il s’agisse d’un plasma ou d’un gaz ionisé, puisqu’il suffit que les atomes soient excités dans un état non ionisé. Présence d’zons néyatzfs. Outre les ions positifs, de charge Ze où e est la valeur absolue de la charge élémentaire d’un électron, on trouvera dans la plupart des décharges électriques, et en particulier dans les décharges de gaz dits électronégatifs (par exemple SFG),des ions négatifs (avec une seule charge négative, par exemple H-, O-, O;, CI-, SF;) qui résultent d’un processus de capture d’un électron. On aura, néanmoins, toujours quasi-neutralité, de sorte que :

où n, est la densité des ions positifs de charge Ze (ions dits multi-chargés) et nz-, celle des ions négatifs de charge -e.

I1 faut cependant noter, à titre d’exemples, que les plasmas d’azote, de mercure ou de gaz rares ne contiennent pas d’ions négatifs. Origine du terme “plasma”. Ce terme a été introduit par TONKS et LANGMUIR en 1929 pour désigner la partie “colonne positive” (chapitre 4) de certaines décharges électriques dans un gaz. Tiré du grec ~ A a c r p ace , mot signifie “figure modelée” (par exemple de cire ou d’argile), mais veut, également dire fiction, fausse apparence! Le lien entre le sens étymologique de ce terme et le phénomène physique qu’il décrit n’est pas évident.

1.2

-

DOMAINES D’ÉTUDE

ET D’APPLICATIONS

19

1.2. DOMAINES D’ÉTUDE ET D’APPLICATIONS (EXEMPLES) Bien que la plus grande partie des travaux de recherche en physique des plasmas soit motivée par des applications, cette discipline, en raison de la très grande variété des phénomènes observables dans un plasma, a contribué de façon importante à certains domaines de la physique fondamentale dont celui, par exemple, des effets non linéaires. La physique des plasmas est une discipline qui fait appel à l’électromagnétisme, à l’hydrodynamique, à la mécanique statistique et à la physique atomique et moléculaire. Pour avoir une vue d’ensemble du vaste domaine de la physique des plasmas, examinons quelques sujets d’étude en mettant l’accent sur l’aspect applications.

1.2.1. FUSION T H E R M O N U C L É A I R E CONTRÔLÉE Dans l’espoir de produire de l’énergie et de remplacer, dans l’avenir, le pétrole aussi bien que la filière actuelle des centrales à fission nucléaire, on envisage des réactions de fusion du type

+T + D +D + D

+ neutron + 17,6 MeV4, T + proton + 4,0 MeV , 4He

où le deutérium (D) et le tritium (T) sont des isotopes de l’hydrogène. Théoriquement, 1 kg de D-T pourrait donner autant d’énergie que l o 7 litres de mazout. Ces réactions sont possibles si les noyaux de deutérium et de tritium peuvent entrer suffisamment en “contact”, ce qui nécessite des énergies incidentes minimum de 10 keV pour vaincre les forces électriques répulsives entre noyaux (chargés positivement). Deux méthodes de chauffage et de confinement sont présentement à l’étude : le confinement magnétique, davantage proche de l’hypothétique réacteur susceptible d’être couplé au réseau électrique, et le confinement inertiel, qui permet d’effectuer des études fondamentales avec une approche toute différente. Jusqu’à présent, et dans les deux cas, on n’a pas encore obtenu une réact,ion positive de fusion (énergie rendue plus grande que l’énergie fournie pour amorcer la rkaction), les phénomènes de pertes n’étant pas tous maîtrisés. Examinons brièvement ces deux approches : O

La machine à confinernent magnétique. Le confinement des particules chargées par un champ magnétique ( 5 2.2) est essentiel pour éviter les pertes d’énergie du plasma de fusion sur les parois et la destruction de celles-ci. Le type de réacteur le plus fréquent est de configuration toroïdale (formant un système fermé sur lui-même), inventé à l’Institut KURCHATOV de Moscou et appelé tokamak5. I1 comprend un champ magnétique principal, dit toroïdal, et différents autres champs magnétiques de moindre intensité (plus de détails à la toute fin du chapitre 2 ) . On chauffe initialement, le plasma par induction selon le principe

4 5

1 MeV = l o 6 x 1,6 x J (voir 9 1.7.6 pour plus de détails). Acronyme russe pour chambre toroïdale et bobine magnétique :

W P O M l I A J I L H A S KAMEPA et U r H M T H A S T EATYILIKA

20

1 - LE MILIEU PLASMA : DÉFINITION ET PRINCIPALES GRANDEURS

du transformateur, le secondaire étant le plasma, et on y ajoute du courant et de l’énergie, par exemple, par des champs de hautes fréquences (HF) dont la fréquence correspond à des modes propres du système (par exemple la résonance cyclotron) ou à des ondes de plasma. Cependant, les impuretés émanant des parois par suite de leur bombardement par les particules du plasma accaparent une très grande partie de l’énergie destinée à vaincre la répulsion nucléaire entre les éléments devant entrer en fusion, empêchant la réaction de fusion de se poursuivre ; ce problème n’est pas encore totalement resolu. De plus, divers types d’instabilité peuvent se manifest,er et conduire, par exemple, le plasma à “s’étouffer’’ ou à toucher les parois.

Figure 1.3 - Vue schématique, en coupe, du réacteur ITER. Les petits rayons horizontal et vertical sont respectivement de 2,0 et 3,7 m alors que sur le JET, ils ne font respectivement que 1,25 et 2’10 m. Le grand rayon d’ITER est de 6,2 m comparativement à 2,96 m pour le JET. La puissance électrique requise, en régime continu, est de 110 MW. (ITER EDA Documentation Series No. 24, publiée par AIEA, Vienne, 2002).

Commencée au début des années 50 par les Militaires, une partie de la recherche sur la fusion fut rendue publique en 1958 et dotée de budgets civils importants dans plusieurs pays. Toutefois, vers le milieu des années 90, certains gouvernements se montrèrent plus critiques à l’égard de ces travaux et en réduisirent les budgets (cas de la fermeture du Tokamak de Varennes par le gouvernement canadien), arguant de ce que l’on était encore trop loin d’un réacteur commercial ; en effet, on n’a toujours pas atteint, (2006) les conditions d’auto-entretien de la fusion. Les recherches se poursuivent néanmoins sur plusieurs installations en Europe, dont le Joint European Torus (JET) à Culham, Angleterre et Tore Supra à Cadarache, France. Le J E T sert principalement à étudier les instabilités de transport, alors que Tore Supra met en oeuvre des blobines supraconductrices permettant d’accroître l’intensité du

1.2

-

DOMAINES D’ÉTUDE

21

ET D’APPLICATIONS

champ magnétique toroïdal tout en minimisant les pertes ohmiques. Ces diverses études ont mené au projet ITER, tokamak de plus grande taille, doté de bobines supraconductrices et financé par la communauté internationale (figure 1.3). Cette installation devrait entrer en service à Cadarache en 2016. 0

Le système à confinement inertiel. On tire, par exemple, avec un faisceau laser UV intense sur une pastille de deutérium, “pelant” celle-ci et provoquant la compression de la matière ainsi extraite vers le centre de la pastille : pour arriver à la fusion, le transfert de l’énergie laser à la matière doit être plus rapide que son expansion subséquente dans la chambre du réacteur, d’où le recours à un laser à très courte impulsion.

1.2.2. ASTROPHYSIQUE ET PHYSIQUE DE L’EN VI RO N N E M EN T SPATI AL

Les étoiles et le flux de plasma émis par le soleil, appelé went solawe, constituent deux formes distinctes de plasma (au sens strict), le premier étant très dense, le second, au contraire, très dilu6 et, pour ainsi dire, sans collision. Plus pr$s de la surface de la terre, il y a les couches ionosphériques ionisées par le vent solaire (mises en évidence à partir de 1954). Les particules chargées de ces couches (couche F, par exemple : ne N 5 x lo6 ~ m - T,v ~ , = 50 eV, où T,v est la température des électrons en électron-volt) sont confinées par le champ magnétique terrestre qui les force à osciller entre les deux pôles. Ces couches ionosphériques jouent un rôle essentiel dans la transmission des ondes de basse frequence ( f 5 20 30 MHz). En effet, elles servent de miroir à ces ondes, permettant ainsi leur propagation d’un point à un autre autour de la terre ; au contraire, aux fréquences plus élevées, il n’y a plus cet effet de réflexion et les ondes “voyagent” en ligne droite, et il est alors nkessaire que les antennes émettrice et rkeptrice soient en regard l’une de l’autre pour que la communication s’établisse (par exemple communication Terre-satellite). I1 y a en effct réflexion de l’onde sur une couche ionosphérique si la fréquence f de l’onde est telle que f < f p e où f p e est la fréquence des électrons du plasma (3 1.5), une fréquence caractéristique du gaz d’électrons. Ainsi pour la couche ionosphhique F où ne N IO5 - I O 6 ~ m - f~p e, = 2’8 - 9 MHz. ~

Toujours dans le registre des communications, on s’intéresse aussi aux effets d’une explosion thermonucléaire dans la haute atmosphère qui produirait un plasma de très forte densité, emprchant les communications par voie hertzienne jusqu’à des fréquences très élevées, notamment les communications avec les satellites (N4 12 GHz) ; un tel plasma, par l’énergie électromagnétique (EM) qu’il engendre, pourrait également détruire ces systèmes de communication. Ce phénomène de réflexion ou d’opacité aux ondes a également été à l’origine de la perte de contact radio avec l’équipage de la première capsule spatiale au moment où celle-ci revenait dans l’atmosphère terrestre : l’échauffement du véhicule, par frottement avec l’air ambiant (même si sa densité est extrêmement faible à cette altitude), était alors tel qu’il y avait eu formation d’un plasma dense autour de celui-ci. ~

22

1 - L E MILIEU PLASMA : DÉFINITION ET PRINCIPALES GRANDEURS

1.2.3. P O M P A G E

DES LASERS

Une des conditions nécessaires à l’obtention de l’effet laser est que la densité d’atomes dans l’état d’énergie supérieur de la transition radiative soit plus grande que celle du niveau inférieur, situation opposée à celle qui prévaut à l’équilibre thermodynamique (fj 1.4.2). Pour provoquer cette inversion de population, on peut soit éclairer les atomes avec une source lumineuse intense (pompage optique ; par exemple, par lampe éclair UV), soit utiliser les propriétés du plasma gazeux dans lequel se trouvent les atomes ou molécules émetteurs (pompage par plasma). Le laser He-Ne est un exemple de pompage d’un laser par plasma : les atomes d’hélium et de néon sont excités par collisions électroniques dans la décharge du mélange He-Ne ; il s’ensuit un transfert d’énergie d’un niveau excité de l’hélium vers un niveau du néon situé presque à la même énergie (transfert dit résonnant), ce niveau du néon constituant le niveau supérieur d’une transition donnant lieu à une émission laser, par exemple, à 632’8 nm. Ce transfert est particulièrement efficace parce que l’état excité d’hélium alimentant le niveau correspondant du néon est un état métastable, c’est-à-dire à plus longue durée de vie qu’un état radiatif, et ‘donc plus fortement peuplé.

1.2.4. CHIMIE

DANS LES PLASMAS

On se rappellera que t e sont les électrons qui interviennent de façon prépondérante dans la formation ou la rupture d’une liaison chimique. Dans une décharge électrique à pression de gaz réduite (entendre inférieure à la pression atmosphérique), on trouve généralement6 que Te > T, 2 Tg où T e , T, et Tg sont respectivement les températures7 des électrons, des ions et du gaz neutre. On en arrive ainsi à donner suffisamment d’énergie aux électrons, ce qui favorise les réactions chimiques, sans avoir à chauffer autant les ions et les atomes d’où, en principe, une économie énergétique et un rendement réactionnel qui peut être supérieur à celui de la chimie conventionnelle qui se produit, elle, à l’équilibre thermodynamique (fj 1.4.2). Un exemple particulièrement probant de cette chimie par plasma hors équilibre est la formation d’ozone $1 partir de 0 2 par des décharges dites à effet couronne ou à barrière diélectrique à haute pression, ces décharges ayant la propriété d’être froides, c’est-à-dire que les atomes et molécules y sont à la température ambiante alors que Te est de quelques eV. Il s’agit d’un procédé efficace énergétiquement, utilisé à travers le monde dans les usinles de traitement des eaux usées, l’ozone ayant un fort pouvoir oxydant et des proprié tés bactéricides. On peut aussi se servir d’une décharge électrique pour détruire des effluents émanant de procédés industriels, atomes ou molécules qui sont toxiques pour l’homme, ou Le champ électrique de la décharge accélère principalement les électrons en raison de leur très faible inertie par rapport à celle des ions : l’énergie “entre” donc dans la décharge par les électrons (exercice 2.1). Comme, en outre, le transfert d’énergie électron-neutre et électron-ion lors d’une collision est très faible (§ 1.7.2), toujours en raison du rapport des masses (à la différence des collisions ion-neutre et ion-ion), et dans la mesure où le nombre de ces collisions électroniques est peu élevé, on obtient Te >> Ti. Le recours à la notion de température pour caractériser l’énergie d’un groupe de particules suppose que leur fonction de distribution en énergie est maxwellienne ( 5 1.4.2 et annexe I).

1.2

-

DOMAINES D’ÉTUDE

ET D’APPLICATIONS

23

dangereux pour la couche d’ozone, ou encore contribuant à l’effet de serre. Après passage de ces molécules dans une décharge réalisée principalement dans un gaz autre (gaz dit plasmagène) ou encore en formant directement la décharge au moyen des molécules à détruire, on arrive dans certains cas à une efficacité de destruction ou de détoxication voisine de 100 % ; ces procédés sont rapides et souvent moins coûteux que les techniques conventionnelles, comme les brûleurs à très haute température qui, de surcroît, participent à la pollution de l’environnement. Ces développements ont donné lieu à la réalisation de systèmes à plasma micro-ondes’ permettant d’éliminer les effluents gazeux, notamment les produits (per)fluorés (SFs, CF4, C2F6 ...) à effet de serre des usines de micro-électronique. On utilise le même type de procédé par plasma hors équilibre afin de débarrasser des gaz rares comme le krypton et le xénon, obtenus par distillation cryogénique de l’air, des impuretés fluorées (par exemple CF4) et des hydrocarbures (par exemple CH4) provenant de l’environnement et ayant des températures de condensation voisines de celles du krypton et du xénon.

1 . 2 . 5 . TRAITEMENT DE SURFACE Le traitement de surface par plasma consiste à modifier l’état d’une surface par l’une des trois méthodes génériques suivantes : ~

~

~

dépôt en surface d’une couche mince d’un matériau donné (métal, semiconducteur, diélectrique, polymère) ; réaction chimique avec la surface même (oxydation, nitruration) ou transformation physico-chimique de celle-ci (modification de l’adhérence, de l’énergie de surface) ; érosion de la surface soit par une action chimique, qui entraîne la formation d’une moléciile, de nature volatile, entre un ou plusieurs atomes de la surface et des atomes ou radicaux provenant du plasma, soit par pulvérisation ionique, du fait du bombardement par des ions qui kjectent, par effet mécanique, des atomes de la surface, soit par pulvérisation assistke chimiquement, qui combine le bombardement ionique et l’érosion chimique.

Ainsi, un plasma produit à partir du gaz CF4 fournit, en volume, les atomes (par exemple F), les radicaux (par exemple CF,) ainsi que les ions (par exemple CFY) et les espèces plus complexes nécessaires aux mécanismes d’interaction avec la surface qui peuvent, en fonction des conditions opératoires, conduire aussi bien à la gravure de matériaux (Si, W, SiOa) comme le montre la figure 1.4, qu’à un dépôt, par polymérisation induite par plasma, de couches minces de type téflonM”. Dans la fabrication des puces en microélectronique, par suite d’une miniaturisation de plus en plus poussée, la part dévolue aux plasmas ne cesse de progresser dans l’ensemble des opérations élémentaires à réaliser : nettoyage des surfaces, gravure (réalisation de “motifs” dans le substrat par érosion de celui-ci), dépôt, implantation ionique (dopage par inclusion d’ions en profondeur dans le matériau), lithographie (impression et développement “photographique” des résines permettant de transférer les motifs définissant les circuits élémentaires), oxydation, traitements thermiques. 8

Ces décharges sont cependant plus chaudes que celles à effet couronne, donc moins hors équilibre thermodynamique.

1 - LE

24

MILIEU PLASMA : DÉFINITION E T PRINCIPALES GRANDEURS

Figure 1.4 - Exemple de gravure anisotrope sur du silicium : la profondeur de la tranchée est de 200 p m et sa largeur de 10 pni (courtoisie de Adixen/Alcatel Vacuum Technology, France).

Sur la centaine d’étapes élémentaires requises, les opérations rbalisées uniquement par plasma représentaient, au début des années 2000, près de 50% de l’ensemble de ces étapes. La mise au point de machines à plasma pour la microélectronique et plus généralement pour les micro/nanotechnologies constitue de toute évidence un débouché important et en plein essor pour les physiciens et ingénieurs des plasmas. Un exemple de dépôt par plasma est la fabrication de couches minces de diamant polycristallin.

Figure 1.5 - Cristallites de diamant en début de dépôt sur un substrat de silicium. Une fois cette première couche fermée, la croissance se poursuit en hauteur.

Les intéressantes propriétés de dureté, de transport de chaleur et diélectriques du diamant en font un matériau de choix en électronique de puissance, aussi bien que pour les travaux de découpe de différents matériaux. I1 est possible de réaliser, à partir d’un plasma, une couche mince de diamant polycristallin, c’est-à-dire un assemblage de petits cristaux de diamant dont la taille peut varier entre 20 nm et quelques microns (figure 1.5), euivant les conditions opératoires ; ces cristaux s’unissent, au cours de leur croissance, en formant des joints de grain, constitués le plus souvent de carbone amorphe. TJne telle couche fait, habituellement, de 1 à 5 pm d’épaisseur. En général, le plasma utilisé contient environ 1%d’un composé carboné (par exemple CH4), tout le reste étant de l’hydrogène ; la pression de fonctionnement est située entre 10 et 100 torr (E 1,3 - 13 kPa) et le dépôt doit s’effectuer sur un substrat chauffé (N 500 1000 O C ) . La dissociation dans le plasma de l’hydrogène moléculaire fournit ~

1.2

-

DOMAINES D’ÉTUDE

25

E T D’APPLICATIONS

l’hydrogène atomique qui empêche la croissance du graphite, une phase allotrope du carbone qui autrement serait thermodynamiquement avantagée par rapport à la croissance du diamant dans les présentes conditions opératoires.

1.2.6. STÉRILISATION D’OBJETS MÉDICAUX L’inactivation de micro-organismes peut se réaliser par exposition directe à la décharge d’un composé gazeux ou à partir d’une post-décharge en flu$ d’un tel mélange gazeux, comme le montre la figure 1.6. Chambre de post-décharge (enceinte de stérilisation) Source de Grille supportant des objets à stériliser

Arrivée des gaz

Arrivée des micro-ondes sur l’applicateur de champ

n des gaz par pompage

Figure 1.6 - Schéma de principe d’un stérilisateur à plasma froid de type post-décharge en flux (Université de Montréal).

Les espèces inactivantes, dans le cas d’un mélange N 2 - 0 2 sont, d’une part, les photons UV provenant de la molécule NO excitée et, d’autre part, l’oxygène atomique. La molécule NO excitée est formée par collisions entre atomes d’azote et atomes d’oxygène provenant tous les deux de la dissociation par la décharge des molécules N2 et 0 2 du mélange gazeux initial. Dans les conditions où le pourcentage de 0 2 dans le mélange N 2 - 0 2 conduit à un maximum de l’intensité UV émise, les micro-organismes exposés (des spores bactériennes en l’occurrence) sont totalement inactivés par suite des lésions multiples causées à leur matériel génétique par les photons UV. Par ailleurs, l’oxygène atomique, très réactif, s’adsorbe à la surface des micro-organismes pour y former, chimiquement, des composés volatils, résultant en l’enlèvement de matière (érosion) du micro-organisme, ce qui en réduit la taille et facilite d’autant son inactivation par les photons UV’’.

9

Une post-décharge en flux s’obtient en faisant en sorte que le gaz excité et ionisé par la décharge soit très rapidement entraîné dans une autre enceinte, dite de post-décharge, où il n’y a plus de champ électrique. Pour cela, il faut que l’alimentation en gaz se fasse à un débit suffisamment élevé car les espèces créées dans la décharge ont une durée de vie limitée ( 5 1 100 ms). ~

10 Vraisemblablement, l’oxygène atomique pourrait aussi diffuser à l’intérieur des micro-organismes et y induire des lésions létales.

26

1 - L E MILIEU PLASMA : DÉFINITION

1.2.7. ANALYSE ÉLÉMENTAIRE

ET PRINCIPALES GRANDEURS

( C H I M I E ANALYTIQUE)

Pour connaître la composition atomique d’un échantillon, il faut d’abord l’atomiser : par bombardement ionique dans le cas d’un solide, par dissociation (fragmentation) des molécules dans le cas des liquides (préalablement transformés en aérosol) et des gaz ; dans ces trois cas, à l’aide d’un plasma dont le gaz plasmagène est le plus souvent de l’argon ou de l’hélium. On détecte ensuite les atomes présents, par spectroscopie optique, grâce au rayorinement caractéristique de ceux d’entre eux qui ont été portés dans un état excité, ou encore par spectrométrie de masse. On obtient leur concentration par référence à des échantillons-étalon contenant les mêmes atomes, de préférence dans une matrice (ensemble) moléculaire pas trop différente de celle de l’échantillon à analyser. Cette méthode, très sensible, permet le dosage de ce qu’on appelle les ultratraces (teneur de Il’ordre du nanogramme et même du picogramme, par gramme d’échantillon). On utilise à cette fin des plasmas entretenus, par exemple, par des champs électriques de haute fréquence (micro-ondes et fréquences radio).

1 . 2 . 8 . ECLAIRAGE Comme applications des gaz ionisés dans le domaine de l’éclairage, signalons, pour un fonctionnement à faible pression, les lampes à vapeur de mercure (tubes fluorescents domestiques, figure 1.2) et à vapeur de sodium (lampadaires) ; à haute pression, les lampes à mercure qui sont des plasmas de très forte densité, le plus souvent, en régime d’arc électrique (lampadaires). L’éclairage est un marché important où cependant les avancées n’ont pas été spectaculaires au cours de ces dernières années. Ainsi, on a timidement comniencé à activer certaines lampes au moyen d’une décharge de haute fréquence (HF) ayant en vue leur plus grande durée de vie et un éclairage plus efficace énergétiqiiement. L’année 1994 a vu l’apparition de la première lampe domestique (General Electric) utilisant un champ électrique H F (- 1,5 MHz) : un transistor fournissant la puissance HF est logé dans la base de cette lampe dont le culot de vissage permel sa substitution directe à une lampe à incandescence classique (rendement énergétique 4 fois plus élevé, durée de vie 10 fois plus grande ; prix de vente cependant encore assez +lev@).

1.2.9. ECRANS PLASMA Dans les écrans plasma, l’image est obtenue à partir de décharges électriques créées dans des cellules de quelques centaines de microns dont l’ensemble compose des panneaux de grande surface (plus d’un million de cellules pour un panneau de 42” (1,07 m) de diagonale). Les cellules sont remplies d’iin mélange de gaz à base de xénon, à une pression inférieure à la pression atmosphérique. Les photons UV émis par chaque micro-décharge excitent des lumiphores qui &émettent, selon la cellule, des photons visibles dans l’une des trois couleurs fondamentales, rouge, vert et bleu. Cette technologie permet de réaliser des écrans plats de très grandes dimensions, d’une qualité d’image exceptionnelle. très contrastée et extrêmement lumineuse. Les écrans plasma sont en train de prendre une part croissante (quelques %) du marché global des téléviseurs dans le monde.

1 . 3 - DIFFÉRENTS TYPES DE DÉCHARGE

27

1.2.10. SOURCE D’IONS Les sources d’ions positifs sont utilisées dans de nombreux domaines incluant les traitements de surface à forte assistance ionique (gravure par usinage ionique par exemple), la microélectronique (dopage par implantation ionique), la physique nucléaire et subatomique (sources d’ions mono- et multi-chargés pour accélérateurs) , et le spatial (sources à effet HALLpour la propulsion ionique, expériences embarquées). Les sources d’ions négatifs permettent d’obtenir de façon efficace des faisceaux de neutres de haute énergie. C’est le cas, par exemple, des ions deutérium D- qui sont neutralisés en faisceau de neutres Do : l’intérêt des ions négatifs D- réside dans le fait que, après leur accélération dans la gamnie du MeV, leur rendement de conversion ion-neutre par échange de charge est bien plus élevC?que celui des ions D+. U n faisceau de neutres Do de très forte énergie permet d’accroître la température du plasma de tokamak dans l’enceinte duquel ils peuvent être introduits sans être affectés par le champ magnétique de confinement. Ce bref aperçu du champ des études et applications des plasmas montre que ce domaine de la physique a déjà obtenu des succès remarquables et ce, jusque dans la sphère domestique, et qu’il est également riche de possibilités d’applications (par exemple, fusion, stérilisation). Pour avoir une vue encore plus large des applications des plasmas, le lecteur pourra consulter avec profit l’ouvrage de P. BHADU.

1 . 3 . DIFFÉRENTS TYPES DE DECHARGE EN LABORATOIRE En laboratoire, on peut dist,inguer trois techniques principales, génériques, permettant de créer un plasma :

1.3.1. LA DECHARGE EN COURANT CONTINU OU ALTERNATIF DE BASSE FRÉQUENCE

Dans ce cas, les électrodes entre lesquelles s’établit le champ électrique sorit forcérnerit en contact avec le plasma (figure 1.2). Ce dernier se forme, dans line étape t,ransitoire, par un processus de multiplication d’électrons dit d’avalanche (ou de disruption) lorsqu’on applique la différence de potentiel : les quelques électrons initialement présents, accélérés par le champ électrique, ionisent par collisions les atomes (molécules) du gaz, augmentlant ainsi le nombre d’électroris. Cette croissance du nombre d’électrons cesse au bout de quelques centaines de micro-secondes, lorsque l’état stationnaire est atteint. Dans ces décharges périodiques à basse fréquence, la fréquence du courant d’alimentation est supposée suffisamment basse pour que tous les paramètres électriques du plasma soient eri équilibre avec le champ appliqué. Aiitrernerit dit, à chaque iristant de la période d’oscillation du champ, le plasma peut être considéré comme ayant, atteint, son état st a t ionnaire.

28

1 - LE MILIEU PLASMA : DÉFINITION ET PRINCIPALES GRANDEURS

1.3.2. LA DECHARGE DE HAUTE FRÉQUENCE (HF) On distingue les plasmas entretenus à des fréquences radio (plasmas RF, 1 MHz 5 f < 300 MHz) des plasmas micro-ondes (plasmas MO, 300 MHz 5 f 5 300 GHz), collectivement appelés plasmas HF. Les électrodes portant le champ RF peuvent se trouver à l’intérieur de l’enceinte (par exemple, les deux plaques parallèles conductrices de la décharge dite capacitive) ou être situées à l’extérieur de celle-ci (par exemple, les spires de la décharge inductive (figure 4.4)) pourvu que, dans ce dernier cas, l’enceinte soit faite d’un matériau diélectrique transparent au rayonnement RF. Quant aux plasmas micro-ondes, ils sont très généralement alimentés par un applicateur de champ”. La fréquence de fonctionnement du plasma peut être choisie de façon à en optimiser les propriété#jdans certaines applications. De la sorte, on peut, par exemple, augmenter la vitesse de gravure : détails au chapitre 4.

1 . 3 . 3 . LA DÉCHARGE PAR RAYONNEMENT LASER

~

~

On peut distinguer deux régimes suivant la densité de puissance incidente du laser : à faible flux de photons, la longueur d’onde du laser doit être telle qu’elle corresponde à la différence d’énergie entre deux niveaux de l’atome ou de la molécule (transition dite d’absorption) que l’on souhaite porter dans un état excité donné. Ensuite, grâce, par exemple, à une collision entre deux atomes ainsi excités, se produit l’ionisation de l’un d’entre eux. à fort flux de photons, l’effet multiphotonique (où plusieurs photons “s’additionne“’’ en énergie) devient important et permet d’ioniser un gaz directement, sans avoir recours aux collisionLs.

1.4. DENSITE ÉLECTRONIQUE ET TEMPÉRATURE D’UN PLASMA Ce sont les deux principales caractéristiques d’un plasma, considéré du point de vue de ses particules.

1.4.1. DOMAINE DES VALEURS D E DENSITÉ ÉLECTRONIQUE DES PLASMAS

Ces valeurs couvrent iun domaine si grand qu’il est préférable d’utiliser une échelle logarithmique pour le:; répertorier. Dans le tableau 1.1 qui suit, en plus du plasma gazeux, nous avons aussi inclus les plasmas dits de mati@redense parce qu‘ils ont des propriétés physiques analogues.

11 On désigne par applicateur de champ les électrodes ou plus généralement tout dispositif servant à imposer, de l’extérieur, le champ EM créant la décharge.

1.4 - DENSITÉ ÉLECTRONIQUE

29

ET TEMPÉRATURE D’UN PLASMA

Tableau 1.1 - Différents types de plasma avec leur densité électronique correspondante

Plasma gazeux Gaz fortement ionisé Gaz interstellaires’ Vent soiairel’ Ionosphère, couche F (altitude 250 km) Couronne solaire Machine à fusion de type tokamak Plasma produit par un laser sur une cible solide Explosion nucléaire

O

0,5 5,7 7 14 19-23 20

Gaz faiblement ionisé Ionosphère, couche D (altitude 70 km) Décharge en laboratoire, à pression réduite Décharge en laboratoire, à pression atmosphérique

3 10-12 14-15

Plasma de matière dense Electrons dans les métaux Intérieur des étoiles Intérieur des naines blanches

23 27 32

1.4.2. C O N C E P T D’ÉQUILIBRE THERMODYNAMIQUE (ET) ET DÉFINITION DE LA “TEMPÉRATURE” D’UN PLASMA

La température, T , est une grandeur qui permet de caractériser globalement l’énergie d’agitation thermique des particules d’un système puisqu’elle est reliée à la valeur moyenne de cette énergie (annexe I, (1.11)).Parler de la température d’un système n’est possible que si la distribution (en vitesse ou en énergie) des particules est maxwellienne ; sinon, en plus de la valeur moyenne de l’énergie, il faut préciser la distribut,ion en énergie de ces particules. Nous allons voir que, dans un système en équilibre thermodynamique, une seule et même valeur de T suffit à caractériser à la fois la distribution en énergie des photoris et celle des particules. Un système en ET est complètement et sirnplernerit caractérisé par sa température T et la densité N des atomes (molécules) le constituant. Cet,te densité N comprend les atomes neutrcs et ionisés, aussi bien dans l’état fondamental que dans des états excités : on parlera alors plus volontiers de la densité N des noyaux, pour éviter toute ambiguïté (voir exercices 1.3 et 1.4). Considérons un système comprenant des atomes (neutres et ionisés) ainsi que du rayonnement EM (photons), ce rayonnement étant lié aux états excités des atomes et des ions tout autant, qu’aux interactions coulorribiennes entre particules chargées (brenisstrahlung, 5 1.7.1). Cet ensemble est en équilibre therniodynamiyue coinplet s’il y a un nombre suffisant d’interactions entre les diverses composantes du système 12 Peu d’interactions entre les particules (plasmas dits non collisionnels), mais grande influence des champs extérieurs.

1 - LE

30

MILIEU PLASMA : DÉFINITION E T PRINCIPALES GRANDEURS

de sorte que chaque type de processus d’échange d’énergie voit son action dans une direction énergétique donnée (par exemple, accroissement d’énergie de la “particule” lors de l’interaction) rigoureusement compensée de façon statistique par le même type de processus en direction énergétique inverse (diminution d’énergie du même type de particule dans notre exemple) : cette exigence de compensation s’appelle le principe de réversibilitt microscopique 011, plus simplement, la mzcroréversrbzlzté.

EXEMPLES DE

P R O C E S S U S RÉVERSIBLES

Les processus de collisions élastiques constituent, à l’évidence, un mécanisme natiirellenient réversible : l’atome ou l’électron qui subit une collision peut statistiquement aussi bien gagner que perdre de l’énergie. Les processus de co1:iisious inélastiques, au contraire, ne sont pas toujours facilement, réversibles : il faut que le milieu soit très dense, notamment pour qu’il y ait suffisamment d’interactions à plus de deux corps quand cela est nécessaire pour assurer la réversibilité. Pour le voir, considérons successivement deux exemples : ~

la collision superélastique ou de seconde espèce

e- + A(0) t A ( j ) + e

¢j

A(j)

+ e t A(0) + g

Le symbole e désigne un électron de grande énergie au contraire de e qui est de faible énergië; A(i3) indique l’état fondamental de l’atome A et A ( j ) désigne un atome dans l’état j , ici un état excité de l’atome ; la double flèche ($ sépare les deux directions énergétiques du processus considéré. Si l’atome dans l’état j émet un photon avant dle subir une collision, la réversibilité n’est pas satisfaite. Celle-ci exige donc un milieu où le nombre de collisions est très élevé. ~

la recombinaison collisionnelle

e -

+ A(0) t e + A + ( j ) + e * A + ( j ) + e + e + A(0) + e

-

Dans ce dernier exemple, on voit que la réversibilité requiert une interaction à trois corps, d’où la difficulté d’obtenir l’équilibre thermodynamique (ET) complet si le milieu n’est pas suffisamment dense. ~

les processus d’émission et d’absorption de photons

A ( i )+ h o

tA(j)

absorption

++

A(j)

A(j)

+ hwo

t t

A(i) + hvo émission spontanée A ( i ) 2hvo émission stimulée

+

où h est la constante de PLANCK et vo, la fréquence du photon ; j dtsigne le niveau d’énergie supérieur ( j > i ) . C O N S É Q U E N C E S DE:

L’ET COMPLET

L’équilibre thermodynamique complet est réalisé quand les quatre grandes lois d’équilibre qiie nolis allons prksenter sont, vkrifikes simiiltantrncnt. Pour caractériser complètement le système, il suffit alors de connaître la température T et la densité d’atomes N .

1.4

-

DENSITÉ ÉLECTRONIQUE E T TEMPÉRATURE D’UN PLASMA

31

1. Distribution de MAXWELL-BOLTZMANN des vitesses microscopiques, w ,des particules. Pour les électrons, dans le cas d’un distribution isotrope, nous avons (voir annexe I) :

où k~ est la constante de BOLTZMANN, me la masse des électrons, la température T étant exprimée en kelvin..En notant que 21th’ la vitesse la plus probable des particules d’une distribution maxwellienne, est donnée par :

on peut écrire (1.4) sous une forme plus simple et plus facile à retenir :

Remarque : Une condition suffisante pour que la distribution des vitesses des particules soit maxwellienne est que le plasma soit en équilibre thermodynamique. 2. Loi de BOLTZMANN fixant la répartition de la densité de population des états excités par rapport à celle de l’état fondamental :

où 71.0 est la densité d’atomes dans l’état fondamental d’énergie l o , et nj la densité d’atomes dans l’état excité d’énergie &, avec go et gj les poids statistiques (ou dégénérescence) correspondant^'^. 3. Loi de PLANCK, dite du corps noir, fixant la distribution spectrale de l’intensité du rayonnement EM. Cette intensité, à la fréquence vo considérée, est donnée par

(1.8

où c est la vitesse de la lumière dans le vide. 4. Loz de SAHArégissant l’équilibre entre les processus d’ionisation (création des particules chargées) et de recombinaison en volume (disparition de particules chargées par neutralisation d’un ion par un électron). Cette loi permet de connaître la densité nt des ions (positifs) ionisés une fois, relativement à la densité 720 des atomes neutres, connaissant la température du plasma. Dans l’hypothèse où ces ions et ces atomes neutres 5e trouvent tous dans leur état f ~ n d a m e n t a l ’ ~cette , relation s’exprime sous la forme simple :

+

13 La dégénérescence en énergie d’un niveau atomique est donnée par ZJ 1 où J est le nombre quantique du moment angulaire total du niveau considéré. 14 Pour obtenir, d’une part, la densité totale des ions (à une seule charge) qui comprend ceux dans l’état fondamental et ceux de tous les états excités et, d’autre part, la densité totale des atomes neutres, état fondamental et états excités inclus, voir l’annexe II.

32

1 - LE

MILIEU PLASMA : DÉFINITION ET PRINCIPALES GRANDEURS

n,n, - 29, ( 2 n m , k B ~ ) 3 / 2 exp (1.9) no go h3 kBT où ga et go représentent respectivement la dégénérescence quantique13 du niveau d’énergie i et celle du fondamental, n, la densité électronique et E, l’énergie (au seuil) de première ionisation.

(-A)

-- -

Pour connaître le rapport de densité entre les ions de charge Z (c’est-à-dire ayant perdu 2 électrons) et ceux de charge (2- 1),nous disposons de la relation : nena[z] n,[Z - 11

-~ -

(-L)

2ga[z] ( 2 ~ m e - k ~ exp ~)~’~

g,[Z - 11

h3

kBT

(1.10)

où €, est, cette foi:;, l’énergie d’ionisation du Zèmeélectron par rapport au niveau de l’atome ionisé ( Z - 1) fois ; le symbole [ ] indique la dépendance en 2 et en 2 - 1 de n, et ga ; les valeurs de n,[Z] et n,[Z - 11 sont celles des états fondamentaux des deux types d’ions.

1.4.3. DIVERSNIVEAUX D’ÉCART PAR R A P P O R T

À L’ÉQUILIBRE

THERMODYNAMIQUE C O M P L E T Dans la plupart des plasmas de laboratoire, la microréversibilité des processus n’est pas parfaite, et les informations à fournir pour caractériser le système sont d’autant plus nombreuses que les types de processus non réversibles sont nombreux15. Examinons la situation en allant dans le sens d’une microréversibilité de plus en plus faible.

EQUILIBRE THERMODYNAMIQUE

LOCAL

(ETL)

Dans un plasma inhomogène où existe un gradient de densité de particules (induisant la diffusion de celles-ci) ou un gradient de température (provoqué, par exemple, par un flux thermique vers une paroi), ou dans un plasma homogène mais laissant des photons s’échapper (au moins pour certaines raies ou régions spectrales), il y a un flux net d’énergie à travers le système : la diminution (ou l’augmentation) locale de l’énergie du système implique que la microréversibilité n’est pas complète. Cependant, si cette perte locale d’énergie est faible par rapport à l’énergie totale en ce point ou, de façon équivalente, si la différence d’énergie entre deux points voisins du système est faible, alors on pourra dire qu’il y a ETL. Le cas d’ETL le plus fréquent est celui d’un plasma dont la densité des particules n’est pas suffisamment grande et son volume trop petit pour réabsorber la plus grande partie des photons émis : des photons, dans un domaine spectral donné, s’échappent alors du système. Si la situation n’est souvent pas désastreuse du point de vue de l’équilibre du système, c’est que des processus vont se manifester pour compenser des réactions qui normalement, en E T complet, nécessitent l’absorption d’un photon. 15 Rappelons qu’un système en ET est complètement et simplement caractérisé par sa température T et la densité N de ses noyaux atomiques (moléculaires).

1.4 - DENSITÉÉLECTRONIQUE ET TEMPÉRATURE D’UN PLASMA

+

33

Ainsi, pour la réaction A(j) + A(0) hvo, il n’y a pas réversibilité, la réaction inverse étant remplacée par A(0) + A ( j ) e ; on appelle ceci une compensation impropre pour l’opposer à la compensation propre de la microréversibilité parfaite. Le rayonnement d’un tel système ne suit donc pas la loi de PLANCK, mais si le flux qui s’échappe est faible, les trois autres lois d’équilibre de l’ET s’appliqueront localement : MAXWELL-BOLTZMANN pour les distributions des vitesses des particules, BOLTZMANN pour la densité des niveaux excités des atomes (molécules), et SAHA pour l’ionisation-recombinaison ; une seule température, T ( r ), définie localement en T , en plus de la densité, N ( r ) , des noyaux d’atomes (molécules), suffit alors pour caractériser le système.

+

+

Dans le cas où il y a un flux net de particules à travers le système (diffusion, convection), la notion d’ETL s’applique à condition que le temps, dit de relaxation, nécessaire pour que la particule provenant d’un sous-système (thermodynamique) à la température Ti à la position T I se mette en équilibre avec le sous-système en r2 à la température T2, soit très court. Dans ce cas, l’ET se maintient localement. P L A S M A HORS

ETL :

LE CAS PARTICULIER DU PLASMA À DEUX TEMPÉRATURES

Lorsque le milieu est moins dense que celui considéré au paragraphe précédent, il arrive que le transfert collisionnel d’énergie entre les électrons et les particules lourdes, du fait de leur différence de masse (un électron transférant, par collision, au plus 4 m J M de son énergie à un ion ou à un atome de masse M : démonstration en 3 1.7.2)’ ne soit plus suffisant pour que les particules des différents types aient toutes la même énergie moyenne. Cependant, si les interactions entre particules d’un même type sont suffisamment nombreuses16, il y a éqiiipartition de l’énergie au sein de cette population, et celles-ci continueront à obéir à une distribution de MAXWELLBOLTZMANN caractérisée par une température propre à leur espèce : température électronique T e ,température ionique Ti, et température des neutres (ou température du gaz) T g . Un cas particulièrement intéressant est celui où la température des électrons dépasse largement celle des autres particules du plasma lorsque ce sont précisément les électrons qui amènent l’énergie dans le système17. Une situation fréquemment observée est alors celle où Te > Ti N Tg (plasma dit à deux températures).Dans ce cas, ce sont les électrons qui contrôlent la cinétique d’ionisation (équilibre de SAHA)et celle des états excités voisins du seuil d’ionisation (équilibre de BOLTZMANN partiel) : la loi de BOLTZMANN obéit pour ces niveaux à une température caractéristique Te,, telle que Te,, = Te ; l’équilibre de SAHAest, pour sa part, peu perturbé par les particules lourdes et la température T, de SAHAest ici aussi égale à Te.Nous avons donc : T, = Te,, = Te > Ti 2 T,, ce qui justifie l’appellation de plasma à deux températures. 16 I1 s’agit de la condition nécessaire qui fait pendant à la condition suffisante indiquée plus haut (équilibre thermodynamique) pour que la distribution en vitesse soit de MAXWELL-BOLTZMANN.

17 Dès l’instant où il y a un chemin privilégié d’arrivée d’énergie se pose le problème de la répartition de cette énergie dans le plasma. S’il n’y a pas assez d’interactions entre les divers types de particules, leur énergie moyenne ne sera pas la même.

34

1 - I J E MILIEU PLASMA : DÉFINITION ET PRINCIPALES GRANDEURS

Dans un plasma à deux températures, les populations des niveaux d’énergie de l’atome neutre (de même pour l’ion) ne sont pas régies par l’équilibre de BOLTZMANN (équation (1.7)). En effet, le temps entre deux collisions électron-neutre pour l’excitation ou la désexcitation des niveaux voisins du fondamental est plus long que leur temps de vie radiatif, de sorte qu’ils se peuplent ou se dépeuplent de façon radiative plutôt que par collision électronique, échappant ainsi à la cinétique des électrons. Par contre, les niveaux supérieurs, ceux situés sous le premier niveau de l’ion (figure 111.1 de l’annexe III), sont en équilibre collisionnel avec les électrons, et la loi de BOLTZMANN donne leur densité de population selon Te,, = Te. Nous dirons que le système est en équilibre thermodynamique local partiel (annexe III) puisque seuls les niveaux supérieurs sont en équilibre de BOLTZMANN. Pour dbcrire ce système, il faut donc préciser plusieurs “températures” (le terme “paramètres caractéristiques” serait plus juste), à la différence Ide 1’ETL.

AUCUNECARACTÉIRISTIQUE

D’ÉQUILIBRE

THERMODYNAMIQUE,

MAIS U N ÉTAT STATIONNAIRE

Les fonctions de distribution en énergie des particules ne sont plus maxwelliennes : par exemple, les collisions inélastiques peuvent dépeupler fortement certains intervalles d’énergie de ce qui aurait été une distribution de MAXWELL-BOLTZMANN. Dans ce cas, on ne peut plus parler de température mais seulement d’énergie moyenne, et encore faut-il préciser la forme de la fonction de distribution pour connaître les caractéristiques du système. En conclusion, plus on s’éloigne de l’ET, plus il faut fournir de données pour caractériser le plasma.

1.5. FREQUENCE PROPRE D’OSCILLATION DES ÉLECTRONS D’UN PLASMA 1.5.1. O R I G I N E E T D E S C R I P T I O N DU P H É N O M È N E Si dans un plasma de dimensions largement supérieures à la longueur de DEBYEAD (distance moyenne en dessous de laquelle il n’y a pas neutralité électrique, 5 1.6) se produit un défaut local de neutralité (résultant, par exemple, d’un mouvement aléatoire des particules), celle-ci sera rétablie du fait du comportement collectif des particules chargées (8 1.1).S’il y a peu ou pas de collisions, ce mouvement de retour vers l’équilibre des charges prendra la forme d’une oscillation pendulaire autour de la position où il y a eu initialement rupture de neutralité. Pour préciser le sens physique de ce phénomène, considérons la figure 1.7, qui est une représentation idéalisée de la distribution des ions et des électrons dans un plasma. Initialement, les charges y sont distribuées de façon alternée et équidistante de sorte que le champ électrique est nul là où elles se trouvent : les particules chargées (supposées sans énergie thermique pouvant les mettre en mouvement !) devraient donc demeurer, sans bouger, dans cet état d’équilibre. Déplaçons un groupe d’électrons

1.5 - FRÉQUENCE PROPRE

35

D’OSCILLATION DES ÉLECTRONS D’UN PLASMA

sur une distance x par rapport à leur position initiale d’équilibre : il en résulte un champ électrique (champ donné par l’équation de POISSON (1.1) et appel6 chump de charge d’espace) qui rappelle les électrons vers leur position d’origine, mouvement qui réduit d’autant l’intensité de ce champ. Cependant, les électrons ainsi accélérés ne pourront s’arrêter à leur position d’équilibre, continuant leur mouvement au-delà de ce point, engendrant ainsi un nouvel écart à l’équilibre électrique des charges et, donc, un champ électrique de sens opposé au champ initial. Les électrons continueront ainsi leur mouvement pendulaire autour de la position d’équilibre si des collisions ne viennent l’interrompre.

- + - +

+ - + Figure 1.7 - Représentation (très) idéalisée de la distribution des ions et des électrons dans un plasma montrant qu’une légère non uniformité de cette distribution, obtenue par déplacement d’un groupe d’électrons sur une distance X , crée dans cette région un champ électrique (dit champ de charge d’espace). Le rappel par ce champ des electrons ainsi déplacés va entraîner leur mouvement oscillatoire autour de la position initiale d’équilibre.

+

-

+

+

-

+

+

-

+

+

-

+

+

-

+

+ + ... - + + +

-

+ + + + +

+I

X

Ce comportement collectif des électrons fait apparaître localement un mouvement oscillatoire dont la pulsation (voir démonstration ci-après) est donnée par : (1.11)

où a, est la densité électronique non perturbée; € 0 est la permittivité du vide; f p e = wpe/2i7 est appelée fréquence (propre) des électrons du plasma ou, moins communément, fréquence du plasma d’électrons. Au cours de ces oscillations, les ions, beaucoup plus lourds que les électrons, demeurent pratiquenierit immobiles : ils connnencent à peine à se mettre en mouvement dans une direction qu’il leur faudrait déjà aller dans 1’aut)re.

1 . 5 . 2 . CALCUL DE LA FRÉQUENCE PROPRE DES ÉLECTRONS DU PLASMA

Un modèle hydrodynamique simple dkcrivant les électrons dans leur mouvernent collectif d’oscillation comme iin fluide permet d’obtenir la valeur de la pulsation wpe. Les hypothèses sont les suivantes : 1. Les ions sont immobiles et leur densité fiil non perturbée, uniforme, 2. L’agitation thermique des électrons est négligeable : leur vitesse w, due au champ électrique de la charge d’espace est telle que we > V t h (plasma froid),

3. La fréquence v de collision électron-neutre pour le transfert de quantité de moiivement l’emporte sur les autres types de fréquences de collision, mais reste néanmoins telle que v < wpe afin de préserver le comportement collectif du plasma,

36

1- LE

MILIEU PLASMA : DÉFINITION E T PRINCIPALES GRANDEURS

4. Les oscillations produites sont de faible amplitude, 5. I1 n’y a pas de champ magnétique imposé de l’extérieur. Dans le cadre du modèle hydrodynamique (8 3.5), nous pouvons décrire le fluide d’électrons en question par les deux relations suivantes : Equation de conservaiion des particules

an, -+v at

.

. (new,)= O

Equation de transport de la quantité de mouvement’’

(1.12) :

(1.13)

où E est le champ de charge d’espace. Nous linéarisons ces équations (hypothèse 4) en posant :

n,(r,t)= f i , + f i , ( r , t )

(1.14)

où Q T , t ) est une perturbation à la densité f i , uniforme et constante en l’absence de fluctuations (6, < f i c , ) . Nous supposerons, par ailleurs, que les grandeurs variables dans le temps, toutes d’ordre un, oscillent à la fréquence w/2x que nous cherchons à déterminer : nous poserons donc E = Eo exp(iwt), O , = W,O exp(iwt) et G , ( T , t ) = f i e 0 ( r ) exp(iwt). Nous avons alors de (1.12) : iw6,o

+ fieV W,O ’

=O

(1.15)

où nous avons néglige V . f i e w e 0 , terme d’ordre 2 dans une équation d’ordre un. De (1.13),nous obtenons : fi,m,iwweo = -n,eEo (1.16) où w,o . V W N , ~O parce que d’ordre 2 . Ajoutons à ces deux relations, l’équation de POISSON (1.1)qui, dans le cas présent, s’écrit :

V.E=

n,~ nee N

6,e

-~

€0

(1.17)

€0

puisque la neutralité macroscopique impose f i , = f i e . Nous voulons éliminer w il vient :

puis f i e o en jouant des équations (1.15) à (1.17). De (1.16)’ we0

=-

(P)

twm,

EO

(1.18)

et en portant (1.18) dans (1.15), nous obtenons

nee . Eo. w2me

6,o = --V

(1.19)

18 Où l’on a négligé le terme d’interaction collisionnelle (hypothèse 3) et pris en compte le fait que le plasma est froid (hypothèse 2) ; le champ E est celui dû à la charge d’espace.

1.5

-

FRÉQUENCE PROPRE D’OSCILLATION DES ÉLECTRONS D’UN PLASMA

37

En utilisant la valeur de f i e o définie simultanément par (1.19) et (1.17)’ nous arrivons à : nee €0 (1.20) fieo=--V.Eo=--V.Eo, w2me e

(1.21)

c’est-à-dire : ce qui, pour V . Eo

# O , impose

:

w = Wpe

(1.22)

=

où wpe (fie2/meco)1/2(relation (1.11)) est la fréquence propre du plasma d’électrons, aussi appelée oscillation de LANGMUIR. Remarques :

1. Dans le modèle du plasma froid (Te = O), l’oscillation collective des électrons demeure circonscrite au voisinage de la perturbation qui l’a engendrée : elle ne se propage pas, ce n’est pas une onde. Pour qu’une onde électromagnétique existelg, il faut pouvoir en définir la vitesse de groupe vg20 qui s’obtient à partir de son équation de dispersion. Dans le cas présent, de (1.22) où wpe est une constante, vg a w / a p = o.

=

Cependant, si l’on tenait compte de la pression scalaire exercée par l’agitation thermique des électrons sur leur propre mouvement (5 3.5)’ pression qui s’exprime en moyenne par leur température T e ,on obtiendrait, pour ce même mouvement oscillatoire ( Q U É M A D A , 5 6.4.1) : (1.23)

où vg = y/?lcsT,/m,w est non nulle si Te # O. Dans cette relation, y est le rapport c p / c , des chaleurs spécifiques du gaz, avec y (transformation adiabatique) = (2 + 6)/6 où 6 est le nombre de degrés de liberté; pour un gaz monoatomique 6 = 1, d’où y = 3 ( 5 3.6). 2. En milieu limité (c’est-à-dire lorsque des conditions aux frontières interviennent dans les calculs), la fréquence d’oscillation est : w = wPr/&

pour une géométrie cylindrique,

(1.24)

w =w P e / d

pour une géométrie sphérique.

(1.25)

3. Expression numérique approximative de la fréquence propre des électrons :

f p e (Hz)

2

9OOOdn,([cm”).

(1.26)

19 Pour qu’il y ait propagation d’une onde électromagnétique, il faut qu’il y ait transport d’énergie d’un point à un autre de l’espace, c’est-à-dire que le vecteur de POYNTING S = E A H soit non nul. 20 Pour un vecteur de propagation de module de groupe est donnée par vg E aw/ûp.

p

E 27r/X (aussi appelé n o m b r e d’onde), la vitesse

38

1 - -LE

MILIEU PLASMA : DÉFINITION ET PRINCIPALES GRANDEURS

4. Comme pour les électrons, on peut calculer la fréquence propre d’oscillation des ions du plasma, soit : (1.27)

où l’on peut noter que la fréquence du plasma d’ions, puisque fonction inverse de leur masse mi, est très inférieure à la fréquence du plasma d’électrons.

1 . 6 . LONGUETJR DE DEBYE: EFFET D’ÉCRAN DANS LES PLASMAS 1.6.1. D E S C R I P T I O N D U P H É N O M È N E Si, dans un plasma, clri introduit deux électrodes conductrices reliées à une source de potentiel les électrons vont être attirés par la borne positive et les ions (positifs) par la borne négative. L’exciOs de charges d’un signe donné ainsi créé est cependant concentré autour de l’électrode correspondante, dans iin petit domaine spatial appelé guine, le reste du plasma demeurant macroscopiqiiement neiit,re. La gaine agit comme un écran, limitant spatialement l’influence sur le plasma du champ électrique régnant21. Un mécanisme semblable d‘écrantage agit dans le corps même du plasma, faisant en sortje que le potentiel d‘une charge quelconque du plasma n’est plus ressenti au-delà d’une distance de l’ordre de AD, la longueur de DEBYE.Nous montrerons que le potentiel électrostatique d’un ion (posit,if, à une seule charge) dans un plasma à une distance T de cet ion est donné par : (1.28) où le terme exponentiel manifeste cet eSfet d’écran qui réduit fortement la portée qu’aurait eu le potentiel de l’ion dans le vide; en effet, pour T = AD, le potentiel de l’ion aura décru à l / c de sa valeur dans le vide (e est ici la base du logarithme népérien). La portée de l’écrantage dépend de l’énergie d’agitation thermique des particules et de leur densité, comnie noils allons le voir.

1.6.2. C A L C U L DU P O T E N T I E L D’UN ION DANS U N PLASMA A DEUX TEMPERATURES : DÉFINITION D E LA L O N G U E U R D E DEBYE

Considérons l’ion en question coniine une particule-test (positive) : une telle particule, par hypothèse, agit :,Ur les autres particules sans être influencée par elles. Déposée 21 En fait, dès que l’on introduit un objet dans un plasma, que ce soit un matériau diélectrique ou conducteur (n’agissant alors pas comme une électrode), il y a formation d’une gaine ( 5 3.14) autour de cet objet parce que sa surface se charge négativement : cet effet, nous le verrons, est dû à la plus grande mobilité des électrons relativement à celle des ions.

1.6 - LONGUEUR DE DEBYE:

EFFET D’ÉCRAN DANS LES PLASMAS

39

dans le plasma à l’origine d’un système de coordonnées sphériques, elle crée une perturbation par son champ électrostatique. Nous voulons connaître l’expression du potentiel 4 ( ~de ) cet ion à une distance T , compte tenu du nuage d’électrons et d’ions qui l’entourent. Les densités électronique et ionique, n,(r) et n i ( r ) , diffèrent à l’origine du repère mais non à l’infini où elles sont égales, new = nioo (la perturbation ne se fait plus sentir). Nous allons supposer qu’à une distance T suffisante’ précisée plus bas, les populations électronique et ionique obéissent à des distributions de MAXWELL-BOLTZMANN, caractérisées respectivement, pour plus de généralité, par des températures électronique Te et ionique Ti différentes (plasma à 2 températures, 5 1.4.3). Ces distributions, en présence d’un potentiel q5(r), s’obtiennent à partir de la relation (1.15) (annexe I), en l’occurrence :

22,)

(

n,(r) = n,,exp

(1.29)

-~

où l’énergie potentielle @ ( T ) = +e4(r) dans le cas d’un ion positif. Pour les deux types de particules, nous avons donc :

ni(^) = niooexp n e ( r )= ne, exp

“i)’ (k“)

(

-~

~

.

(1.30) (1.31)

Toutefois, comme l’ont signalé certains auteurs [il,compte tenu de la perturbation cri.& par la charge-test, l’hypothèse d’une distribution de MAXWELL-BOLTZMANN n’est pas valide dans le voisinage immédiat de celle-ci. Cela n’est pas gênant dans le cadre de la présente démonstration car nous avons recours à une telle distribution seulement à partir d’une distance T suffisamment loin de la charge-test pour que le potentiel de celle-ci soit fortement écrante par les charges qui l’entourent, plus prbcisément lorsque e $ ( r ) / k B T < 1. Cette condition nous permet de développer (1.30) et (1.31) à l’ordre un poix obtenir : (1.32)

( + “)

n,(r) = n 1

___

’

(1.33)

puisqu’à l’infini, new = nioo= n.

RECHERCHE D E L’ÉQUATION

DIFFÉRENTIELLE D E F I N I S S A N T $ ( T )

La densité des charges est donc localement en r :

[

p ( ~ =) e n 1 -e-

c’est-à-dire :

24

-en

[ :$,] ’ Ife-

(1.34)

40

1-

];E

MILIEU PLASMA : DÉFINITION ET PRINCIPALES GRANDEURS

L’équation de POISSON nous permet d’obtenir l’équation différentielle de q5(r)puisque :

V ’ E = /)/EO

(1.35)

conduit à :

(1.36)

d’où de (1.34) :

(1.37)

où nous noterons :

(1.38)

de sorte que le terme entre crochets de (1.37) peut s’écrire :

1 As,

1

-- -

ALe

1

(1.39)

+xD,

(1.40) où AD, et Aoi sont respectivement les longueurs de DEBYEélectronique et ionique, et AD la longueur de DEBYEglobale ou, simplement, longueur de DEBYE.

Comme la relation (11.40) ne dépend que de T , elle est de symétrie sphérique et se développe donc bien dans un système de coordonnées sphériques, et nous devrons résoudre : (1.41)

S O L U T I O N D E L’ÉQUATION D I F F É R E N T I E L L E (1.41)

Nous allons exprimer le potentiel q 5 ( ~ )en un produit de deux contributions : l’une prépondérante au voisinage de la particule-test, et l’autre décrivant le comportement pour T très grand.

Solution pour

T N

O

Dans cette région, le potentiel de l’ion-test est le plus important, et il est de symétrie sphérique. Pour cet ion (+) seul, nous obtenons après intégration de l’équation de

POISSON :

J v . E dV = V

s

(p/EO)

V

dV

= e/co ,

(1.42)

où le volume V est suiffisamment petit pour ne contenir que l’ion-test.

Par ailleurs, le théorème de GAUSS(application du théorème de GREEN)enseigne aue :

J

V

V.EdV=

J s=av

E.dS.

(1.43)

1.6

-

LONGUEUR DE DEBYE:

EFFET D’ÉCRAN DANS LES PLASMAS

41

où S est la surface délimitant le volume V . La symétrie sphérique nous permet de développer facilement l’intégrale de surface :

J

E . d S = 47rr2ET(r)

(1.44)

S

et de (1.42)’ (1.43) et (1.44), il vient :

E(?-)=

e 47rq,r2

~

E ( r )= -

et comme :

(1.45)

(1.46)

nous obtenons un résultat attendu pour le potentiel $ ( r ) dans le voisinage immédiat de l’ion, noté de(.) : (1.47) potentiel d’un ion positif dans le vide.

Solution pour Ecrivons

T

grand

4 ( r ) dans

(1.41) sous la forme : 4(T)

= 4c(r)f(r),

où, a priori, nous exigeons que f ( r ) + 1 pour T + O et f ( r ) + O pour r ce cas, en portant (1.48) dans (l.41), nous obtenons l’expression :

(1.48)

+ m. Dans (1.49)

qui possède deux solutions : (1.50)

où f 2 ( r ) est à rejeter puisqu’il faut que f ( r ) + O pour r + 00. En explicitant (1.48) d’après (1.47) et (1.50), nous arrivons finalement à l’expression du potentiel de la particule-test, à une distance T , lorsque celle-ci est plongée dans un plasma : (1.28) Remarques : 1. L’effet d’écran, exprimé par le facteur exponentiel de la relation (1.28)’ est indépendant du signe de la charge de la particule-test. 2. La longueur de DEBYEest d’autant plus courte que la densité du plasma est élevée (équation (1.38)) : autrement dit, le potentiel de la particule-test est d’autant plus rapidement écranté que la densité de particules chargées qui l’entourent est importante.

42

1-

]LE MILIEU PLASMA : DÉFINITION ET PRINCIPALES GRANDEURS

Dans les plasmas hors ETL, la température des ions T, étant généralement beaucoup plus faible que la température Te des électrons (T, 100 eV). On rencontre ce type d’interaction, par exemple, dans les plasmas de laser à haut flux. On distingue le bremsstrahlung (rayonnement de freinage) direct (émission d’énergie sous forme de photons) du bremsstrahlung inverse (absorption de photons).

2 . Collisions électron-neutre à très grande énergie L’électron incident s’approche suffisamment près des électrons liés des couches internes de l’atome pour interagir avec eux : ainsi un électron de grande énergie atteignant la couche électronique la plus interne (couche K) d’un atome lourd y

46

1 - L,E MILIEU PLASMA : DÉFINITIONET PRINCIPALES GRANDEURS

déloge un électron de celle-ci, ce qui provoque une éniission X. On rencontre ce phénomène dans les plasmas confinés magnétiquement et entretenus à très faible pression (< lop6 torr) en régime de résonance cyclotronique électronique (RCE, 5 4.2.3). Remarque : La probabilité de réalisation de ces différentes collisions peut se caractériser par un coefficzent de réactzon. Nous verrons ( 5 1.7.9, remarque 2) que ce coefficient, noté k,J24,est égal à (âz3(wap)w,fi)où â z 3 ( w a ~ est) la section efficace de la réaction considérée, wafi le module de la vitesse relative des particules CI: et /? en interaction ; le symbole ( ) indique une moyenne prise sur la fonction de distribution en vitesse (ou en énergie) des particules. Dès 1015, il convient maintenant de définir et d’expliciter la notion de section efficace de collision (51.7.3 et suivantes).

1.7.2. ECHANGE~ DE QUANTITÉ D E M O U V E M E N T ET TRANSFERT D’ÉNERGIE LORS D’UNE COLLISION

E N T R E DEUX PARTICULES Les considérations et résultats de cette section nous permettront ultérieurement de donner une signification physique au terme collisionnel de l’équation de BOLTZMANN (9 3.1). Ils nous serviront également à comprendre la dépendance de la section efficace totale pour le transfert de quantité de mouvement par rapport à l’angle de diffusion des particules après collision. Nous supposerons que les interactions sont de type binaire, y compris entre particules chargées, étant entendu qu’il s’agit dans ce dernier cas d’une première approximation. De plus, comme il est habituel de le faire en théorie cinétique des gaz, on considère que la trajectoire d’une particule se divise en deux parties : la partie de la trajectoire effectuée entre deux collisions, pendant laquelle la particule ressent les forces extérieures, et la partie de la trajectoire, qui est principalement affectée par 1’interact)ion collisionnelle, durant laquelle les forces extérieures sont ignorées.

EQUATIONS D E CONSERVATION E T I D E N T I F I C A T I O N D E S VARIABLES INDÉPENDANTES ( N O N D E T E R M I N É E S P A R LES EQUATIONS DE CONSERVATION)

Soit deux particules CY et /? dont nous connaissons, a priori, les vitesses w, et wp avant collision25.Suivant l’hypothèse déjà indiquée qu’aucune force extérieure n’agit pendant le temps que dure la collision, il y a conservation de la quantité de mouvement et de l’énergie totale26 : 24 Les indices i et j indiquent qu’il s’agit soit d’une interaction entre des particules de type i et des particules de type j , soit que la particule (atome, molécule, ion) qui subit la collision passe de l’état i à l’état 3 . 25 Ainsi faisant, nous supposons que les particules du plasma sont discernables et peuvent donc être décrites de façon non (quantique, ce qui s’avère correct de façon générale. 26 Le contenu de cette section est un développement de cinématique classique que l’on retrouve, par exemple, dans V.E;. GOLANT et al.

1.7

-

47

PHÉNOMÈNES DE COLLISION DANS LES PLASMAS

p

=; p ,

+ pp = mowa + mpwp = maw: + mpwh E p’

maw; 2

2 +-mow;

-

maw: mgw; 2 2 -

+-

+ A&,

(1.61) (1.62)

où l’accent “prime’’ désigne les grandeurs cinématiques après collision. Le terme d’énergie A& permet de considérer également des collisions inélastiques ; cette quantité représente la variation d’énergie interne des particules à la suite de la collision :

A& = O pour les collisions élastiques A& > O pour les collisions de lèreespèce : excitation et ionisation A& < O pour les collisions de 2ème espèce : désexcitation superélastique I1 faut bien noter que les phénomènes radiatifs (absorption et émission de photons) n’interviennent pas dans le présent contexte. Pour une valeur de A& donnée (on prend les seuils d’énergie d’excitation et d’ionisation publiés), nous avons quatre équations (l’équation (1.61) est vectorielle et l’équation (1.62) scalaire). Comme il faut six composantes pour caractériser complètement les vecteurs vitesse après collision, w: et wh, il reste deux composantes qui ne sont pas déterminées par les lois de conservation (1.61) et (1.62) : ces deux quantités seront fixées par la loi d’interaction régissant le type de collision considéré, compte tenu de la position relative initiale des particules. Nous allons maintenant effectuer un changement de repère afin d’exprimer les grandeurs cinématiques dans le repère du centre de masse en lieu et place de celui du laboratoire. Ceci nous mènera à des expressions faisant davantage ressortir la physique des interactions collisionnelles. VITESSE RELATIVE

DES DEUX PARTICULES ET VITESSE

DE LEUR CENTRE DE MASSE

Par définition, la position ro du centre de masse de deux particules a et p, de positions r , et ro, dans le laboratoire, est donnée par :

(1.63)

d’où :

(1.64)

où wo est la vitesse du centre de masse (CM). Celui-ci est en mouvement unzforme pendant l’interaction puisque l’impulsion totale est conservée (voir équation (1.61)) lors de la collision, et donc : wo = wt, . (1.65)

48

1 - LE

MILIEU PLASMA : DÉFINITION E T PRINCIPALES GRANDEURS

Le fait que le CM soit en mouvement uniforme nous permet d’y décrire le mouvement des particules pendant l’interaction : les vitesses de celles-ci dans ce repère, notées w , ~et W O O , s’obtiennent en faisant wo = O dans (1.64). Ceci conduit à la relation simple suivante : m, (1.66) w p o = --wao, mp qui montre que les vitesses des deux particules sont, avant et après collision, (anti)parallèles dans le repèire du centre de masse. Cette propriété suggère d’introduire leur vitesse relative dans les calculs : w,p

= w, - wp = W,O

- wpo

(1.67)

d’où l’expression des vitesses des particules dans le repère du centre de masse : (1.68) Ces diverses transformations nous permettent d’exprimer complètement le mouvement des particules dans le repère du laboratoire comme la superposition du mouvement rectiligne du CM et du mouvement relatif des particules par rapport à celui-ci. En effet, (1.69) (1.70) Remarque : Comme nous le verrons par la suite, le centre de masse est le repère dans lequel on peut décrire “naturellement” les collisions binaires (sections efficaces, fréquences de collision, libres parcours moyens), le recours à la vitesse relative des particules entrant en collision étant un élément essentiel de cette description.

EXPRESSION DE

LA CONSERVATION DE L’ÉNERGIE TOTALE

EN FONCTION DES SEULES VITESSES RELATIVES

Compte tenu de (1.69:) et (1.70)’ nous pouvons écrire :

où pop est la masse réduite :

pap E

m,mp ma +mg’

et pap wQs /2 l’énergie cinétique liée au mouvement relatif. L’équation de conservation (1.62) s’écrit alors :

(1.72)

1.7 -

P H É N O M È N E S DE COLLISION DANS LES PLASMAS

49

et puisque wo = wb (1.65)’ on aboutit finalement à : PaBW&

-

PnBW’Up

2

2

+ ar.

(1.74)

Seule l’énergie cinétique liée au mouvement relatif peut se transformer en énergie interne : les vitesses individuelles n’interviennent pas en tant que telles dans ce transfert. Cas particulier d’une collision électron-atome L’atome (particule

p ) est

supposé au repos comparativement à l’électron (particule w,. En tenant compte de ce que mp > m,, il vient pap m,, et l’équation (1.74) se réduit finalement à :

a ) : wap = w,- W B

Y

mcu (w: - w:) 2

= arc, = a&,

(1.75)

ce qui signifie que la variation d’énergie interne de l’atome lors d’une collision inélastique est égale à la variation d’énergie cinétique de l’électron, l’énergie cinétique de l’atome restant quasiment inchangée.

VARIATION DE

LA QUANTITÉ DE MOUVEMENT DES PARTICULES À LA SUITE D’UNE COLLISION ELASTIQUE = O)

Pour la particule

(ar

Q,

par définition :

Ap,

= maw; - m a w ,

=

- m,wao,

(1.76)

ce qui peut (d’après (1.68)) s’exprimer uniquement en fonction de la différence de leurs vitesses relatives avant et après collision27 : (1.77) et en posant : nous obtenons :

w;s

-

w,B

= swap ,

A P , = PaBAWaB,

(1.78) (1.79)

résultat remarquable que nous allons exploiter en développant le vecteur A W , ~dans un repère approprié. Comme nous l’avions souligné au moment de la présentation des équations (1.61) et (1.62)’ deux composantes sur six des vecteurs vitesse après collision dépendent de la loi d’interaction. Ces deux inconnues peuvent s’exprimer, tenant compte de l’orientation relative des vitesses w,p et wLB, au moyen des angles 19 et p tels que définis par la figure 1.8. Dans un système de coordonnées sphériques ( 0 , ~ )p’ est l’angle que fait le plan d’interaction (c’est-à-dire le plan contenant w , ~et w&) avec un plan fixe (quelconque dans l’espace) comprenant W,B. ~

27 Evidemment Ap, = -Apa.

50

1 - L,E

MILIEU PLASMA : DÉFINITION E T PRINCIPALES GRANDEURS

Figure 1.8 - Repérage des vitesses relatives avant et après collision, wao et wap, dans un système de coordonnées sphériques lié au centre de masse, avec w , ~dirigé selon l’axe z .

Quant à 8, l’angle entire wap et wko, c’est l’angle de diffusion des particules dans le repère du centre de masse (dans le repère du laboratoire, l’angle de diffusion 8~ est défini par la direction de la vitesse de la particule “incidente” avant et après collision, w, et w0, : voir l’annexe IV). L’angle 8 ne dépend que de la loi de force et du paramètre d’impact (distance de la plus courte approche des deux particules s’il n’y avait pas interaction, figure IV.] de l’annexe IV). Nous allons maintenant projeter A w , ~ sur les trois axes du repère de la figure 1.8 : -

suivant w , ~(axe z du repère choisi) : ( ~ w c y p ) z=

IwaBl cos0

-

IwcYpI

(1.80)

mais lw,pl = I w & du fait de la conservation de l’énergie cinétique (équation (1.74) avec A& = O), d’où : (1.81) ( A w m p ) z = IWapI(COS0 - 1)’ -

suivant les directions perpendiculaires à w,p (axes II: et c/) :

(Aw,,),= Iw,~(sinOcoscp

(1.82)

car la projection de Awap suivant II:, Pr,(Awap), est égale par définition à Pr,(wk,) - PrZ(w,p) où, ici, Pr,(w,p) = O de sorte que : Pr,(Aw,p) de même :

= I ~ ~ ~ l s i n 8 c o= s cIw,pIsinOcoscp, p

( A W , ~ )=~ I w ~ B I sin8sincp.

(1.83) (1.84)

Dans le cas de forces centrales, toutes les valeurs de cp sont statistiquement équiprobables : on dira alors que la diffusion des particules est isotrope (isotropie en 9). De ce fait, pour un nombre suffisant de particules, les valeurs moyennes de cos cp (1.82) et de sincp (1.84) sont nulles, alors : Aw,p = -(1

-

cos0)w,p

,

(1.85)

1.7

-

P H É N O M È N E S DE COLLISION DANS LES PLASMAS

51

d’où, finalement, le développement explicite de la relation (1.79) : (1.86) Cett,e expression de la variation de la quantité de mouvement de la particule Q lors d’une collision élastique avec la particule p fait apparaître une dépendance en (1 - cosO) de l’angle de diffusion O. On notera qu’une faible déviation des trajectoires des particules, û N O, correspond bien à Ap, Y O alors que O = T (toujours dans le repère du centre de masse) représente une collision frontale, entraînant le maximum de variation de la quantité de nioiivement . Cas particulier d’une collision électron-atome L’atome (particule p ) est supposé au repos relativement à l’électron (particule cy) de sorte que wo l est un état métastable (état peu susceptible de se désexciter radiativement entre deux collisions). Dans ce cas, le nombre d’atomes ionisés par unité de volume et par seconde, en tenant compte de la désexcitation du niveau relais par pertes collisionnelles (proportionnelles à n e ) et non collisionnelles (pertes par diffusion, indépendantes de n e ) ,s’écrit sous la forme (annexe VI) : (1.150)

où les coefficients pie et caractérisent respectivement l’ionisation en deux étapes et l’effet de saturation cles états-relais. Lorsque ne est très grand (saturation), (1.150) se réduit à : Vie 2 P i e / V . (1.151)

1.8.3. EQUATION D E CONSERVATION DES PARTICULES CHARGÉES Si nous tenons compte des deux mécanismes de perte que nous venons de présenter mais aussi de l’ionisation, l’équation de conservation des particules s’écrira plus généralement (3 3.5) :

dn at

-

+

+v

’

nv = ( V L - u,)n

(1.152)

+

où V , = V,d u,, et ur = u,, urm. Le membre de droite de l’équation comptabilise respectivement le nornbre de particules créées par ionisation et le nombre de particules perdues par recombinaison en volume, par unité de volume et par seconde, les pertes par diffusion étant prises en compte dans le membre de gauche par V . nv.

A l’état stationnaire et en l’absence de recombinaison en volume41, l’équation (1.152)’ tenant compte de (1.140), se réduit à : d’où

v . ( - D o n ) = vin

(1.153)

V 2 n= ( - u ~ / Dn) ,

(1.154)

qui est une équation aux valeurs propres ( 5 3.9) fixées par les conditions aux limites (imposées par la géométrie du tube à décharge) : pour un tube de forme cylindrique, par symétrie (dn/dr),=, = O et, souvent, on prendra n(r = R ) = O où R est le rayon interne du tube. Dans le cas d’une colonne cylindrique très longue ( L > R ) et pour n(r = R ) = O , on aura n ( r ) = n(O)Jo(2,405 r / R ) où JO est la fonction de BESSELde première espèce et d’ordre zéro (figure 3.4). 41 A l’état stationnaire, en l’absence de pertes par diffusion, l’équation (1.152) se ramène évidemment à ut = u p .

CHAPITRE 2

MOUVEMENT INDIVIDUEL

CHARGEE

D’UNE PARTICULE

DANS DES CHAMPS

ÉLECTRIQUE ET MAGNÉTIQUE

Nous pouvons distinguer trois niveaux de modélisation de l’action des champs E et B sur les particules chargées d’un plasma. En partant du plus simple et en allant vers le plus complexe, nous avons : Le modèle des trajectoires individuelles

Dans cette description, les champs E et B sont donnés, imposés de l’extérieur : on ne tient pas compte des champs engendrés par le mouvement des particules. De plus, on néglige totalement les collisions, y compris les interactions coulombiennes ; on ne considère finalement que le mouvement d’une particule isolée. Le modèle hydrodynamique

Le plasma est dans ce cas constitué soit de deux fluides (celui des électrons et celui des ions), soit d’un seul (celui des électrons, les ions étant immobiles et formant un fond continu offrant une certaine viscosité au mouvement des électrons). Le mouvement de chaque fluide est caractérisé localement par une vitesse moyenne 2) dont la valeur resulte d’une integration sur la distribution des vitesses des particules contenues dans l’élément de volume considéré (3 3.3). Le mouvement de ces particules rhargées engendre des champs E et B (dont on retient la valeur moyenne locale (champs macroscopiques)) qui interviennent de façon auto-cohérente dans les équations du m o u v e ~ i e n t De ~ ~ plus, . ce modèle prend en compte les collisions, celles-ci modifiant le mouvement défini immediatement avant la collision par la superposition des champs extérieurs et induits. 42 Le couplage des champs induits E et B avec les particules chargées est dit auto-cohérent, parce que le mouvement des particules qui crée les champs E et B est lui-même affecté par les champs qu’il produit.

76

2 - MOUVEMENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

Pour établir l’auto-cohérence entre le mouvement des particules chargées et les champs qu’il engendre, nous recherchons d’abord la vitesse des éléments du fluide. Celle-ci s’obtient de l’équation du mouvement où intervient la force de LORENTZ(3 2.1) dont nous supposons les champs E et B connus en première itération. Une fois 2) déterminé, nous sommes en mesure de calculer la densité de courant total J du ou des fluides ( J = E, naq,ve). De là, pour fermer la boucle avec les valeurs initiales de E et B , nous avons deux voies : ~

à partir de J , remonter à E par la relation de l’électromagnétisme :

J=uE

(2.1)

où u est la conductivité électrique du ou des fluides, et connaissant E , arriver à B par l’une ou l’autre équation du rotationnel des champs de MAXWELL, à savoir : VA\=--

at

8E V A B = ~ ~ E ~ - + ~ ~ J ,

ou

~

aB

at

à partir de la densité J , déterminer la densité de charges p par l’équation de continuité (par exemple., a p l a t V .J = O) et obtenir ensuite le champ E par l’équation

+

de POISSON :

V .E = P/EO ,

(2.4)

puis, utilisant ( 2 . 2 ) ou (2.3)’ arriver à B. Remarque : Notons que la conductivité u qui relie J à E joue un rôle clé dans l’obtention de l’auto-cohérence champ-particule : nous calculerons l’expression de dans le cadre de différents modèles. Le modèle cinétique ou microscopique C’est la description la plus fine. Elle fait appel aux fonctions de distribution des vitesses des particules : ceci permet notamment de faire apparaître certains phénomènes (effet qui échappent au modèle hydrodynamique comme, par exemple, l’effet LANDAU de résonance entre une onde se propageant dans le plasma et les particules d’un certain intervalle de vitesses:i. On y tient compte de façon auto-cohérente des micro-champs (et non plus des champs macroscopiques) et des collisions.

Le présent chapitre est consacré à l’étude du mouvement individuel d’une particule chargée dans des cha,mps E et B donnés. Ce modèle donne un premier aperçu des phénomènes complexes se déroulant au sein d’un plasma. Celui-ci est, par hypothèse, sans collision en volume et sur les parois. Nous examinerons en premier lieu la solution de l’équation du mouvement d’une série de cas particuliers pour en déterminer, à la fin, la solution générale43. 43 La référence principale de cette section est Electrodynamique des plasmas de J A N C E L et K A H A N , chapitre 4. Voir également DELCROIX, Tome I, 5 12.3, et DELCROIX et BERS,Tome I, 5 2.3 ainsi que ALLIS[7].

2.1

-

EQUATION GÉNÉRALE D U

77

MOUVEMENT

2 . 1 . EQUATION GENERALE DU MOUVEMENT

CHARGEE DANS DES CHAMPS PROPRIETES DE CETTE EQUATION

D’UNE PARTICULE

E

ET

B

ET

Soit qa la charge d’une particule de masse m,, animée de la vitesse w = d r / d t et soit E ( r ,t ) et B ( r ,t ) , les champs extérieurs : la particule est soumise à l’action de la force de LORENTZ qui, dans le cas non relativiste, prend la forme44 :

F = q , [ E ( r ,t )

+ w A B ( r ,t ) ].

(2.5)

Cette équation résulte de l’observation. Elle est valable si la particule est suffisamment petite pour considérer sa charge comme ponctuelle (on écarte ainsi le problème de la répartition des charges dans le volume de la particule).

2.1.1. EQUATION DU MOUVEMENT A partir de (2.5), nous pouvons écrire

:

Cette expression donne lieu à une équat,ion différentielle du second degré suivant chaque axe du système de coordonnées. Dans un repère cartésien, nous avons : d25 me-

=

qa

d2y ma-

=

q,

=

qa

at2

dt2

d2z

ma^ dt

2.1.2. EQUATION DES FORCES VIVES En multipliant scalairement l’équation (2.6) par w = d r / d t , nous obtenons l’équation des forces wives (énergie cinétique). La relation qui en découle :

est un scalaire vrai et constitue donc un invariant lors d’un changement de repère ; le deuxième terme du membre de droite est nul à cause de sa structure : ( AA B ) . A = O. ~

44 L’expression relativiste est :

où c est la vitesse de la lumière dans le vide.

78

2

-

MOUVEMENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

Après intégration de l’expression restante sur le temps t de t o à t (en position, de r o à r ) , nous avons : (2.11) le membre de droite représentant le travail effectué sur la particule par le champ électrique. Nous en tirons les conclusions importantes suivantes : 1. Le champ magnétique ne “travaille pas” puisque la force qu’il exerce sur la particule est perpendiculaire à sa vitesse45. I1 s’ensuit que la norme de la vitesse d’une particule chargée n’est pas affectée par la présence d’un champ magnétique. Cependant les composantes perpendiculaires à B de cette norme peuvent varier entre elles, comme nous le montrerons ( 5 2.2.2). En supposant B dirigé suivant Ox,cela donne : wt = w& = wi(t) W Z ( t ) , (2.12)

+

+

où l’indice O désigne les composantes de la vitesse à t = O : autrement dit, la présence du champ magnétique ne peut que changer la direction de la vitesse, non sa norme. Cependant, appliquer un champ magnétique à un plasma permet, entre autres, de conserver l’énergie du système en diminuant les pertes par diffusion des particules chargées vers les parois, comme nous le verrons ( 5 3.8).

2. Seul le champ E peut “chauffer” les particules chargées, c’est-à-dire leur apporter de l’énergie.

2 . 2 . ANALYSE; DE CAS PARTICULIERS DE E ET

B

Nous allons aborder successivement les cas suivants : le champ électrique agit seul sur la particule ( 5 2.2.1), la particule est soumise à un champ magnétique constant et uniforme, avec ou sans champ E ( 5 2.2.2) et, enfin, cas plus complexe, la particule se trouve dans un champ B (légèrement) non uniforme ou variable dans le temps ( 5 2.2.3). Nous verroins que les solutions de ces divers cas particuliers peuvent être incluses dans une équation générale décrivant le mouvement de la particule dans de tels champs E et B.

2.2.1. C H A M P

É~LECTRIQUE

SEUL

(B = O )

De (2.7), (2.8) et (2.9), nous obtenons :

Nous pouvons maintenant traiter les cas suivants. 45 Le chauffage par pompage magnétique où B varie périodiquement peut être considéré, par l’interVAE = -ûB/at, comme résultant de l’action du champ E . médiaire de l’équation de MAXWELL

2.2

-

ANALYSE DE

CHAMPE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

B

79

CONSTANT ET UNIFORME

Par intégration directe de (2.13) sous forme vectorielle, nous tirons :

w

(2.14)

=

(2.15) expressions qui décrivent un mouvement uniformément accéléré. Remarques :

1. De (2.14)’ il apparaît que la composante du mouvement suivant une direction perpendiculaire à E ne sera pas affectée par la présence de ce champ : décomposer w suivant les directions parallèle et perpendiculaire à E pour le voir. La situation est tout à fait différente avec B puisque la force correspondante agit perpendiculairement à B (et à w) (2.5). 2. Comme le champ E accroît sélectivement la composante de vitesse qui lui est parallèle, nous pouvons dire qu’il tend, sinon à confiner, du moins à orienter la particule dans cette direction.

3. De (2.14) et (2.15)’ nous constatons que la vitesse ainsi que la distance parcourue par un ion de masse mi sous l’effet d’un champ E pendant un temps donné sont rn,/rni fois plus faibles que celles d’un électron de masse me dans ce même champ, ce qui justifie l’hypothèse, que nous utiliserons largement, que l’ion est immobile par rapport à l’électron.

CHAMPE ( r ,t )

CONSERVATIF

Puisque le champ électrique est conservatif, nous pouvons écrire

E = -V4(r,t) où

4 est le potentiel

(2.16)

agissant sur la particule. L’équation vectorielle du mouvement ci2 r = -4 dt2

mD7

0

V4 1

’

:

(2.17)

multipliée scalairement à droite par d r / d t montre, après intégration sur le temps t , que la variation de l’énergie cinétique est égale à (moins) la variation de l’énergie potentielle, de sorte que l’énergie totale est évidemment conservée : (2.18) L’équation (2.18) est une variante de la relation (2.11)

80

2

-

MOUVE:MENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

Application au cas où $ ne dépend pas du temps Le mouvement d’un électron dans un potentiel électrostatique est assimilable à la propagation d’un rayon lumineux dans un milieu d’indice n,. Montrons-le.

Interface

-

-

Y ($2

> $1) Figure 2.1 - Réfraction en optique électronique.

io2

Considérons le cas de deux milieux où 4, de surcroît, ne dépend pas de T , donc E y est nul. A la traversée d’une discontinuité de potentiel ($1 # $ 2 , figure 2.1)’ la particule subit une accélération (décélération) instantanée, la vitesse passant alors de w1 à w2. Cependant, la composante des vitesses 201 et w2 parallèle à l’interface formée par les deux milieux demeure la même de part et d’autre de celle-ci puisque le champ E est perpendiculaire à cette interface (Remarque 1 précédente) d’où, en notant p = mew: ( p ,1 sin 81 = ( p , (sin 8 2

,

(2.19)

relation qui, écrite soia la forme : (2.20)

apparaît comme la loi bien connue de DESCARTES de l’optique géométrique à condition de considérer que 81 et 8 2 constituent respectivement les angles d’incidence et de réfraction, et en admettant que l’impulsion pi de la particule est proportionnelle à l’indice du milieu46.

CHAMPE

UNIFORME MAIS OSCILLANT PÉRIODIQUEMENT

EN FONCTION DU TEMPS

Ce cas correspond à celui de particules chargées se trouvant soit dans un plasma créé par un champ de haute fréquence (HF), soit dans un plasma produit par d’autres moyens (par exemple, une décharge en courant continu) mais sur lequel on a imposé un champ HF important. L’équation du mouveinent est dans ce cas : (2.21)

46 Ce faisant, on trouverait que n7.= AJ-

où A est une constante.

2.2

-

ANALYSE DE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

B

81

et, après intégrations successives de t = O à t , en supposant que la particule est animée d’une vitesse initiale w o (on prend wo # O pour demeurer tout à fait général), il vient : (2.22) soit :

(2.23)

et

(2.24)

où r, est une constante d’intégration, la position initiale de la particule étant

Examen des phases relatives de E, w et r

Introduisons une particule chargée (prenons un ion positif), de vitesse nulle, dans le champ électrique Eo cos wt de période 7 et examinons de façon détaillée, à l’aide de la figure 2.2, le comportement de sa vitesse et de sa trajectoire en fonction du temps47. Pour simplifier cette étude, négligeons le terme non périodique de la vitesse dans (2.23). 1. Vitesse : la vitesse de la particule chargée est en quadrature de phase avec le champ E . De t = O à t = 7 / 4 , l’ion positif subit une accélération dans la direction positive du champ : sa vitesse va augmenter pendant tout ce quart de période et atteindre sa valeur maximum en t = 7 / 4 quand la valeur du champ passe par zéro. Entre t = 7 / 4 et 7 / 2 , le champ E étant de direction opposée à la vitesse de l’ion positif, celle-ci ne peut que décroître. Elle passe par zéro au moment où le champ atteint sa valeur négative maximum, situation symétrique à celle en t = O : il faut, en effet, un champ d’amplitude égale mais de direction opposée pour obtenir à nouveau une vitesse nulle. Entre t = 7 / 2 et 3 7 /4 , de façon symétrique, la vitesse de la particule atteindra sa valeur maximum dans la direction opposée à la direction initiale, au moment où le champ passera par la valeur nulle, tout juste avant de changer de signe, et ainsi de suite. La vitesse de l’ion est donc bien déphasée et en retard de 7r/2 sur le champ E . Ce déphasage par rapport au champ E , comme nous le verrons, fait en sorte que l’énergie transférée du champ à la particule chargée sur une période complète est nulle. 2. Trajectoire dans le cas de l’ion positif, celle-ci est en retard de 7r sur le champ électrique alors que pour l’électron elle est en phase avec lui. L’amplitude spatiale du mouvement d’une particule chargée dans un champ HF E est appelée excursion et notée X E . 47 Par convention, le champ électrique existant entre une charge positive et une charge négative est dirigé vers la charge négative. Dans ces conditions, l’ion positif que nous considérons est accéléré dans la direction du champ (voir figure 2.2).

82

2

-

MOU

ET

B

+ +

-

E M E N T INDIVIDUEL D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

Convention : direction du champ E mouvement de l’ion

E

@

+

électron

+ t

ion

+

...-.. .. ... + t

7-14 ’TI2

7-

Figure 2.2 Vitesse et excursion d’un ion positif (trait plein) et d’un électron (pointillé) dans un champ électrique alternatif de période 7~

Pour un ion positif (point de départ z ~ ( 0 sur ) la figure 2.2)’ la vitesse initiale étant par hypothèse nulle: le mouvement a lieu, selon notre convention, dans la direction du champ et ne change de direction que lorsque la vitesse W E passe par zéro (à t = 7 / 2 ) ; à ce moment-là, le champ est à son maximum dans l’autre direction : il y a bien un retard cie phase de T du déplacement de l’ion sur le champ. Pour un électron, on constate que son excursion est, au contraire, en phase avec le champ (par suite de la convention de direction du champ que nous avons adoptée). Transfert d’énergie d’un champ électrique oscillant E à une particule chargée

L’énergie cinétique r é d t a n t du travail du champ E sur la charge, dans l’intervalle de temps allant de to i~t , s’écrit (voir (2.11)) :

2.2

-

ANALYSEDE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

B

83

Dans le produit scalaire sous l’intégrale, w se réduit à W E , la composante de la vitesse dans la direction parallèle à E (dans la direction perpendiculaire à E , il n’y a pas de travail). Nous obtenons alors :

-

-~

2m,w2

cos(2wt)

(2.26)

où %(A) désigne la partie réelle d’une quantité complexe A. L’évaluation de l’intégrale (2.26) sur une période 7 = 27r/w, c’est-à-dire entre les instants t o et t = t o + 27r/w, conduit à une valeur nulle. L’énergie cinétique acquise au total sur une période est, en effet, nulle car pendant une demi-période, le travail se fait dans une direction et, durant l’autre moitié, dans la direction opposée. Cependant, si le mouvement oscillatoire de la particule est interrompu par une collision avant la répétition d’une période complète à partir de l’instant t o où le champ a été appliqué, l’intégrale (2.26) est non nulle et l’énergie correspondante prise au champ lui sera acquise48. Pour le montrer, il nous faut quitter momentanément le niodèle très simplifié des trajectoires individuelles (modèle de plasma sans collisions) pour considérer le modèle hydrodynamique qui prend en compte les collisions. Transfert d’énergie d’un champ oscillant E aux électrons en présence de collisions : puissance absorbée par électron et permittivité du plasma (digression aux trajectoires individuelles) Considérons un fluide d’électrons, couplé à celui des ions et des neutres par le terme de collisions. En supposant que l’agitation thermique est négligeable devant le mouvernent créé par le champ E (uth O, nous remarquons ((2.63)-(2.64)) que pour w,t = O , y = w,o/w, et z = -wYo/wc, alors que pour wet = 7r/2 (t = 7;,/4 où 7;, est la période cyclotronique), y = wYo/w, et z = W , O / W , . I1 s’ensuit que, le champ B s’enfonçant dans la feuille, la giration de l’électron a lieu dans le sens horaire (vers la droite), comme le montre la figure 2.3 a), alors (que l’ion positif tourne, lui, dans le sens anti-horaire (vers la gauche). Dans la direction parallèle 6 B,la vitesse est constante, égale à w1l0,et le mouvement est uniforme, la présence de B ne modifiant pas cette vitesse. La combinaison du mouvernent cyclotronique et du mouvement uniforme dans la direction parallèle donne lieu à une trajectoire en forme d’hélice (figure 2.3 b)) qui s’enroule autour de la ligne de force du champ magnétique (appelée, en l’occurrence, axe ou centre de guidage). 51 Les relations (2.63) et 112.64) qui décrivent un mouvement périodique sont de même amplitude et de même fréquence, avec une différence de phase de 7r/2. Dans le cadre des courbes de LISSAJOUS, ceci donne lieu à un cercle. 52 Encore, gyrofréquence des particules a ( a = e, 2 ) . 53 Encore, rayon cyclotronique ou rayon de giration.

2.2

-

ANALYSE DE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

B

89

Figure 2.3 - a) Mouvement cyclotronique d’un électron dans le plan perpendiculaire à B, champ dirigé suivant Oz et entrant dans la feuille. Sont repérées par des points, les positions de l’électron à l’instant t = O et à l’instant ultérieur t = x.4 ; b) Mouvement hélicoïdal de l’électron suivant B.

Cas particuliers intéressants ~

~

:

pour wllo = O, la trajectoire hélicoïdale dégénère en orbite circulaire. Le rayon de l’orbite fait alors intervenir la totalité de la vitesse wo de la particule, et rg = wom,/eB. pour w ~ = o O, la trajectoire est rectiligne et parallèle à B .

Remarques :

1. La diminution du diamètre de l’hélice avec B croissant crée un effet de confinement des particules chargées dans la direction perpendiculaire à B . En effet, pour B tendant vers l’infini, rg + O, ce qui indique bien qu’il n’y a phis de mouvement transversal possible : nous verrons en fj 3.8 qu’ainsi on diminue la diffusion des particules, perpendiculairement à B , vers les parois. 2. Un champ B uniforme ne peut affecter wll de sorte que W J I( t ) = 2 ~ 1 où 1 ~ l’indice zéro correspond au temps t = O : propriété de la force de LORENTZdans le cas E = O. Lorsque E = O, il y a aussi conservation de l’énergie cinétique : w:(t) + w z ( t ) E II w 2 ( t )= wi.Comme nous venons de voir que W I I= ~ 1 1 0 alors , wt = wo: et, donc, w l ( t ) w i ( t ) w:(t) = w l 0 . Ainsi, dans un champ B , les composantes wu et w, peuvent varier, comme nous l’avions affirmé en 5 2.1 (Remarque 1).

=

+

3. Le pas de l’hélice s’obtient en considérant la distance axiale parcourue pendant une révolution. Soit p h , ce pas, et 7,, la période cyclotronique, alors ph = ~11~7, = wiiO/fc = 27rwlj0/w, et, comme rg = w1o/w,, il vient : (2.70)

4. Forme utile pour représenter le mouvement hélicoïdal : w=wllO+WcATB

’

(2.71)

où wllo décrit le mouvement du centre de guidage et le second terme, le mouvement circulaire cyclotronique, où le vecteur w , est dirigé selon B et définit l’axe de

90

2

-

MOUVEMENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

rotation et son sens; le vecteur r g , rayon de l’orbite, a pour origine le centre de guidage. 5. Le rayon de LARMORétant proportionnel à la masse des particules, voir (2.69), il s’ensuit que pour les ions de masse mi, ?‘Bi = rBemi/me,autrement dit ?‘Bi > ?‘Be. 6. La fréquence cycloti-onique (2.50) ou fréquence de giration ne dépend pas de la vitesse des particules, mais de leur masse et de leur charge. Cette propriété permet de communiquer de l’énergie au moyen d’un champ électrique oscillant à w = wCa, uniquement à des p.articules de masse et de charge données, quelle que soit leur distribution en vitesse : nous réalisons ainsi un processus de chauffage sélectif. Ceci s’obtient grâce à la résonance cyclotronique sur laquelle nous reviendrons ultérieurement (2.123).

7. Relation numérique pratique pour calculer la fréquence cyclotronique des électrons : fce(Hz) = 2,799 x 106B (gauss)

.

(2.72)

Ainsi pour B = 1 kC: (0,l tesla), f c e = 2,8 GHz. La fréquence correspondante pour les ions de masse mi est m,/me fois pliis faible. 8. Le champ diamagnéiique créé par la circulation du courant cyclotronique est donné par la loi de BIOT-SAVART (LORRAIN et al.) : (2.73) Dans cette expression r pointe de la source (charge) vers l’axe de guidage (voir figure 2.4), là où B‘ (:st calculé (pour y être comparé à B). Le champ diamagnétique B’ est de même sens pour les électrons et les ions : ces particules, de charges contraires, tournent en sens contraire dans B ,de sorte que leur courant respectif J circule dans le même sens, comme le montre la figure 2.4. Le produit vectoriel J A r de (2.73) indique que B‘ est de sens opposé au champ B responsable du mouvement cyclotronique (il ne pourrait en être autrement!). Le champ magnétique dans le plasma est donné par la somme vectorielle de B et B’ (voir exercice 2.2).

CHAMPMAGNÉTIQUE

ET CHAMP

ELECTRIQUE UNIFORMES

ET CONSTANTS

Nous allons montrer que l’action conjointe de champs E et B uniformes et constants engendre un mouvement dit de dérive électrique des ions et des électrons du plasma dans la direction perpendiculaire à la fois à E et à B.Par la suite, nous établissons une équation du mouvement qui englobe tous les mouvements élémentaires étudiés jusqu’ici. Dans ces mêmes conditions de champs E et B ,à titre d’application, nous calculons la conductivité électrique, qui se révèle être de nature tensorielle. Relativement au premier cas, la superposition d’un champ électrique au champ magnétique modifie la norme de la vitesse, de sorte que la partie de la force de LORENTZ liée au champ magnétique, qaw A B ,ne cesse de varier. D’autre part, comme les deux champs sont uniformes et constants, les orbites se calculent analytiquement et sont aisément représentables.

2.2

-

ANALYSE DE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

B

Mouvement cyclotron de l’électron

Mouvement cyclotron de l’ion

91

JAr

JAr

Détermination de l’orientation du champ diamagnétique B‘ créé par le mouvement cyclotronique dans un champ B imposé entrant dans la feuille : B’ sort dc la feuille en direction du lecteur.

Figure 2.4

~

Cas d’une orientation quelconque de E et B Le repère cartésien est construit de telle sorte que B soit encore dirigé suivant l’axe O r . L’orientation de E dans ce repère étant quelconque, ce champ possède une romposante suivant chacun des axes. Nous supposerons que la particule chargée est, en t = O, située à l’origine di1 repère .c = y = z = O, et, coritraircment au cas précédcnt ( B seul), au rcpos, k = = i = O . I. Equations

tlii

rnouvenient .

De (2.7)-(2.9), nous obtenons : (2.74) (2.75) (2.76) 2. Détermination des trajectoires. On intPgre les equations du moiivcment d’une manière arialogue au cas précedent.

92

2

-

MOUVEMENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

Calcul de y. L’intégration de (2.76) donne :

+ wel/

4a d = -E,t ma

(2.77)

En portant d dans l’équation (2.75)’ celle-ci devient (2.78) relation qui se met sous la forme d’une équation différentielle avec membre de gauche homogène : .. wel/ 2 wcqa 4a (2.79) L/ = --E,t -E, ,

+

+

ma

mff

dont la solution est : (2.80) Les constantaes AI et A2 sont fixées par les conditions initiales. Pour y(t = O) = 13, la relation (2.80) nous donne A i (q,/m,w:)E, = O , d’où : (2.81)

+

et pour y(t == O) = O , Azw,

-

A2

( q a / m a w c ) E z= O de sorte que =

~

E, .

4a

mawC

:

(2.82)

Calcul d e z. On porte la valeur de y tirée de (2.80) et complétée par (2.81) et (2.232), dans (2.77) : 4a Z = -E-t

ma

sinwet - qaEzt +

mawz

mawc

e] (2.83) maWC

et, en intégr,ant : 2

z

--40 EY sinwet - qa Ez cos wet

wCm,

wznia

comme z ( t =: O) = O = -(qa/wCma)E,

+ wcma + c3 , ~

(2.84)

+ C3 :

q=&,

(2.85)

maWC

Calcul d e x. Deux intégrations successives de (2.74) conduisent à t2 x = -qa Ez-. ma 2

:

(2.86)

2 . 2 - ANALYSE DE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

93

B

Finalement, les équations de la trajectoire en fonction du temps (pour B s’écrivent :

II

ez)

(2.87) Y

=

z =

-- qcu

wCma

--

401

wCm,

E , COSW,t

+ -E, sin w,t

E, sinw,t

- -Ez C O S W , ~

wCm,

wzma

- -E,t

wcm,

+ -E, wCm,

+E,t + 4û E, WCm, w,ma

.

,(2.88) (2.89)

3. Etude du mouvement décrit par les équations (2.87) à (2.89) La présence de champs E et B uniformes et constants engendre un mouvement de dérive (dite électrique) de la particule chargée dans la direction perpendiculaire à B et à E l , la composante de E perpendiculaire à B . En effet, lorsque wo = O, comme c’est le cas ici, la partie non périodique du mouvement dans le plan yOz se fait ainsi : la particule est initialement entraînée dans la direction de E l (pour un ion positif, figure 2.5) ou dans la direction opposée (électron). Du fait de la vitesse w l ainsi acquise, la partie magnétique de la force de LORENTZproduit alors un mouvement perpendiculaire à E l et B , précisément dans la direction dite de dérive puisque FLB= q,wi A B . Pour bien comprendre ce mouvement, il faut considérer trois cas (DELCROIX et BERS,T.l, 3 2.3.1) : a) un champ électrique faible, où la vitesse de dérive est telle que wd (i)crB. Nous allons dans ce qui suit examiner en détail la situation (b) où wd N W,TB. Les deux autres cas sont traités en Remarques, à la fin de la section. Y E, = 2 = O en t = O O

Figure 2.5 - Mouvement de dérive cycloïdal d’un ion positif (le champ B sort de la feuille). L’ion se trouve à l’origine du repère en t = O, puis se déplace, en moyenne, selon l’axe de dérive représenté en pointillé.

+ z

2

94

-

MOUVEMENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

La projection du mouvement dans le plan yOz (plan perpendiculaire à B ) est alors une trajectoire cycloïdale, comme le montre la figure 2.5 : les termes non périodiques (qa/mQwC)Eit [i = y, z ] poussent la particule dans une direction perpendiculaire a B,si bien que celle-ci, compte tenu de notre hypothèse wd N W c r B , effectue une partie seulement de la rotation c y ~ l o t r o n i q u e ~La ~ . particule décrit, ainsi, un m0uvemen.t cycloïdal dont la trajectoire s’appuie sur une droite virtuelle perpendiculaire à E l et à B.Celle-ci, étant donné les termes non périodiques de y et z , a pour expression : y d = -~401 Ezt , (2.90) maWC

et

(2.91)

relations que l’on peut combiner pour obtenir : (2.92) La vitesse moyenne de ce glissement, dite vitesse de dérive, (tirée de (2.90) et (2.91)) est : (2.93) Cette vitesse ne dépend ni de la masse de la particule ni de sa charge. De plus, parce que le mouvement est dirigé p e r p e n d i c ~ l a i r e m e n tà~E ~ (à la fois composante E l et composante Ell, voir figure 2.5), le champ E n’effectue aucun travail sur la particule dans son mouvement de dérive de sorte que la vitesse de cette dérive demeure constante.

A ce mouvement dans le plan y Oz,s’ajoute un mouvement uniformément accéléré dans la direction qui lui est perpendiculaire, du fait de la composante E, du champ électrique. 4. Etude comparative di1 mouvement cycloïdal des ions et des électrons. Nous allons ignorer le mouvement dû à Ell (posons aussi wall = O). Rappelons la convention : le mouvement des ions positifs se fait dans la direction du champ électrique. En t = O, l’électron et l’ion SP trouvent à l’origine du reperr, avec une vitesse nulle. Immediatement après, l’ion démarre dans la direction de E l mais sa trajectoire est aussitôt courbée, par la composante magnétique de la force de LORENIZ, suivant wd (figure 2.5). Quant à l’électron, il est initialement accéléré en sens inverse, mais la force de LORENTZle ramène suivant la même direction de glissement que pour l’ion à cause du signe opposé de sa charge ( F L B= -ewe A B ) ; 54 Le centre de guidage (autour duquel s’effectue le mouvement cyclotronique) se déplace (“dérive”) dans le plan perpendiculaire à B.La trajectoire cyclotronique ne peut donc se refermer que si Wl

>> W d .

55 Pour voir que ‘u)d est, perpendiculaire à E , remarquer que la pente de la trajectoire d’appui du mouvemcnt de la particule z = !(y) est, donnée par A z/ A y = - E , / E , (équation (2.92)) alors que l’orient,at,ion de E l , dans le meme repère (y, z ) , s’exprime par E z / E , : les 2 pentes sont donc orthogonales.

2.2

-

ANALYSEDE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

B

les deux trajectoires (si l’on néglige l’influence de (wd, E l ) , comme le montre la figure 2.6. Dans la relation

y =

4a ELI

-~

WCa%

cos W,,t

95

,511)

+ .. + ’

sont confinées dans le plan 4,

~

wC,ma

(voir (2.88))’ l’amplitude du mouvement des particules est proportionnelle à m, (w:@ma K m;’) : les électrons décrivent des arceaux d’amplitude beaucoup plus faible que celle des ions mais en plus grand nombre par seconde (figure 2.6) puisque le rapport des masses milm, entraîne que w,,/w,i > 1.

E

Figure 2.6 - Comparaison schématique du mouvement de dérive électrique des ions et des électrons montrant que les arceaux décrits par les électrons sont de plus faible amplitude que ceux des ions niais plus fréquents.

i

Remarques :

1. E l / B a bien les unités d’une vitesse (vérification laissée au lecteur). 2 . Pour 7ud N w c r B , (cas traité), l’amplitude maximum p a de la cycloïde d’une particule de type Q par rapport à l’axe de glissement est proportionnelle à E l / B Z (figiires 2.5 et 2.7 (b)). Le calcul de cette expression est également laissé au lecteur.

3. Pour wd < W c r g (charnp E l faible), les trajectoires sont quasi cyclotroniques, avec une faible vitesse de glissement de leur centre de guidage dans la direction perpendiculaire à B et à E l , comme le montre la figure 2.7(a). Pour bien fixer les idées, prenons le cas d’un ion positif : le centre de guidage de sa trajectoire se meut tout doucement dans la direction de dérive parce que la courbure cyclotroniqiie est plus faible quand l’ion se déplace dans la direction de E l (wlaugmente, donc rg aussi) alors que la courbure est plus forte quand il se dirige en sens opposé de E l (demi-orbite inférieure de la figure 2.7(a) ; il en résulte une déformation du mouvement cyclotronique entraînant le déplacement du centre de guidage et, de façon concomitante, la dérive de la particule.

96

2

-

MOUVEMENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

4. Dans le cas d’un champ E l fort, par hypothèse wd > w$“B de sorte que la vitesse de la particule évolue entre wd w,rB et wd - W , r B , sans jamais changer de signe. La trajectoire prend alors une forme ondulée, comme le montre la figure 2.7(c).

+

t=O

t=O

Figure 2.7 et uniformes

Trajectoires d’un ion positif dans des champs E et B constants = O) suivant la valeur du rapport w d / w ~(wd croît avec E l ) : a ) wd < W c r B ; b) W d W c r B et C) W d > W c T B . Noter que le champ B est ici dirigé vers le lecteur.

-

(wg

N

Orientation particidière de E et B : champs perpendiculaires (croisés)

Comme dans le cas précédent, la vitesse initiale est supposée nulle et l’orientation de B est toujours suivant O x , et E selon O z . Des équations (2.87) à (2.89), il vient : 2

= O ,

(2.94)

(2.96) Tout le mouvement est maintenant dans le plan y O z et il s’agit d’une cycloïde ordinaire.

2.2 - ANALYSEDE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

B

97

Comme le montre la figure 2.8, z oscille bien entre O et p, = (2q,/w:m,)E,, alors que y augmente régulièrement dans la même direction pour l’électron et l’ion : la particule glisse suivant une trajectoire s’appuyant sur l’axe y, donc bien perpendiculairement à B et à E . La vitesse wd est constante, rappelons-le, puisque la particule ne peut emprunter aucune énergie à un champ E perpendiculaire à la direction de son mouvement.

Remarque : La cycloïde est un cas particulier ( b = 1) de la trochoïde où II: = cp - bsin cp et y = 1- bsincp, comme le montre la figure 2.9, avec en pointillé ( b = 0,6) et en tirets ( b = 1’5).

“t T I I l 1

Figure 2.9 - Traje-+n;-oo trochoïdales pour wo 7 u (tiret et pointillé) et trajectoire cycloïdale pour wo = O (trait plein).

E

.’ , :

t

/

/

Orientation particulière de E et B : champs parallèles

On prend l’axe Ox comme direction de ces champs. I1 est intéressant de distinguer deux cas : -

La vitesse initiale est nulle. De (2.87) à (2.89)’ il vient : (2.97) (2.98) (2.99)

98

2

-

MOUVEMENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

Le mouvement est selon Oz uniquement et uniformément accéléré : comme le champ B est dans la direc-tion du mouvement, il ne joue aucun rôle sur la trajectoire de la particule (FLB qgrwA B = O puisque w II B ) .I1 n’y a pas non plus de vitesse de dérive puisque E l = O. -

La vitesse initiale est non nulle, normale à B (wyo # O, w,, # O) Dans ces conditions, il faut récrire les équations (2.87)-(2.89). On obtient alors une hélice comme dans le cas du champ magnétique seul traité précédemment, mais une hélice dont le pas v,a croissant (car le champ E, donne naissance à une composante w, de la vitesse) :

Puisque E

II B, il n’y a évidemment

pas de vitesse de dérive car E l = O.

Recherche d’une solution générale Résumons les résultalis des cas précédents pour tenter de dégager les caractéristiques générales du mouvement des particules chargées dans des champs E et B constants et uniformes. La particule chargée décrit une trajectoire qui se compose le plus généralement : 1. D’un mouvement hélicoïdal dans la direction parallèle à B, uniformément accéléré du fait de l’énergie prise au champ E . Dans le cas où E = O avec wo # O, la trajectoire hélicoïdde est à pas constant (pour 200 = O, le mouvement se réduit à une trajectoire circulaire stationnaire). 2. D’un mouvement net dans la direction perpendiculaire à la fois à E et à B , mouvement dit de dérive électrique, qui a la caractéristique d’être indépendant de ma et de qû, de vitesse constante w d = E l / B . Dans le cas w d Y W C r B , la trajectoire donne lieu à un glissement cycloïdal (200 = O) ou trochoïdal ( w o # O). L’examen de l’équation générale du mouvement (2.6) permet de retrouver ces résultats. En regroupant clans le membre de gauche ses termes homogènes en w : (2.101) nous constatons qu’il s’agit d’une équation différentielle dont la solution se compose de la solution générale w1 de l’équation homogène sans second membre (mouvement hélicoïdal) et d’une :solution particulière w2 avec second membre. Nous cherchons donc à déterminer w tel que : w=w1+w2. (2.102) -

Solution générale sans second membre (champ E = O).

La valeur de w1 a déjà été obtenue (équation (2.71)) sous la forme wi = ~ 1 1 0+ w e A T B

décrivant un mouvement hélicoïdal, où déterminer l’expression de w2.

W J Jest ~

,

:

(2.103)

la vitesse initiale. I1 reste donc à

2.2

~

-

ANALYSEDE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

B

99

Solution particulière avec second membre : expression de w2. Nous pouvons construire celle-ci de façon totalement arbitraire pourvu que le résultat obtenu soit effectivement line solution. Pour nous guider dans notre démarche, nous savons que cette solution particulière doit représenter le mouvement de dérive. Aussi, nous allons exprimer w2 dans un trièdre dont les axes cartésiens sont définis (figure 2.10) par : êz II B , ê2, II El, 6, II (ElA BI. C'est la méthode proposée par J.L. DELCROIX. B

I'

Figure 2.10 - Trièdre utilisé pour le calcul de la solution particulière (d'après DELCROIX).

Nous recherchons donc une solution sous la forme ~2

=

+ c ( E A~B ) ,

(2.104)

+ b E l + C(El A B ) ,

(2.105)

bEl

=

&Eli

:

que nous portons dans l'équation du mouvement (2.101) avec second membre :

uEil+ b E l + ? ( E l A B )

-

Q"< [aEii

me

+ b E l + c ( E 1 A B ) ]A B (2.106)

En notant que56 ( E l A B ) A B = - E I B L , et en regroupant les termes suivant les différents axes :

(2.108) dont une solution particulière évident w , nous obtenons de (2.133) une trajectoire, fermée sur elle-même, correspondant à un mouvement elliptique à trois dimensions qui se superpose au mouvement hélicoïdal dépendant des conditions initiales (difficile à se représenter !). Dans le cas où w = O (champ E constant), nous avons vu que la vitesse w2 décrivait le mouvement (axial et latéral) du centre de guidage6’. En présence d’un champ E variant harmoniquement, le mouvement de dérive n’a pas lieu : 60 En effet, pour E constant, w2 (2.111) prend en compte le mouvement de dérive (perpendiculaire à E l et à B) et le mouvement uniformément accéléré suivant B ,en somme le mouvement du centre autour duquel s’effectue la giration cyclotronique.

104

2 - MOUVEMENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

le terme selon E : o l A B dans (2.133) ne comprend pas une dépendance linkaire en t comme dans (2.88) et (2.89) lorsque E est constant. Cette dérive se trouve en fait “annihilée” parce que la composante Eol et, par conséquent, la vitesse de dérive oscillent périodiquement. Par ailleurs, pour w tendant vers zéro, le terme en Eo1 dans (2.133) disparaît et le terme en Eoii, parce que sinwt + w t , se ramène à (qa/m.a)EOl\t, tout ceci en conformité avec l’expression (2.110) de 2 0 2 obtenue pour E constant. Représentation de la composante

2021

de la solution particulière de (2.133).

En recourant au repère de la figure 2.10, nous trouvons, dans le plan perpendiculaire à B,une ellipse dont le grand axe est selon Eo1 ou selon Eol A B , suivant que w > w, ou w < w, (figure 2.11). Pour le montrer, nous récrivons les deux composantes correspondantes de w2 dans (2.133) sous la forme : (2.134) remarquant que le terme E o l A B / B est de même module que EOL. On peut alors constater que pour w > w,, la vitesse w21 est principalement61 en quadrature de phase (en avanc’e pour l’électron puisque qa = -e) avec le champ E 1 alors que pour w < w,, el1.e est principalement en phase; ceci conduit à la représentation de la figure 2.11. LJ

> Wce

W

< Wce

\

Figure 2.11 - Orientation de t u g 1 par rapport au repère de référence (Eo,- A B,Eo1, B ) (cas d’un électron hors résonance). Voir annexe IX pour les détails.

2. A la résonance ( w = w,). Solution de (2.1:26)-( 2.128) La solution particulière ne peut plus admettre b = i: = O car, d’après (2.132), les coefficients b et c tendraient alors vers l’infini. On peut cependant conserver la solution qui correspond à u = O : (2.135)

61 L’adverbe principalement est utilisé pour souligner que le terme de plus faible amplitude dans (2.134) n’est pas forcément négligeable selon la valeur du rapport w / w c e .

2.2 - ANALYSEDE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

105

B

Pour connaître le coefficient e , portons la valeur de b donnée par (2.127) dans (2.128) et nous obtenons :

(2.136) et, pour y éliminer b, dérivons par ailleurs (2.128), en mettant b en évidence : ma (2.137) b = ( C iwC)-, qa ce qui, reporté dans (2.136), donne :

+

En regroupant les termes de (2.138)’ il vient :

C+2iwE= -4:- w : e + w 2 e , mL,

(2.139)

de sorte qu’à la résonance (w = w,) :

C

42 + 2iwE = -

ma

(2.140)

Une solution particulière valable de (2.140) est C = O, ce qui entraîne que i: = qa/2iwma, d’où :

(2.141) L’expression de c de (2.141) reportée dans (2.128) donne pour b :

(2.142) Finalement, la solution particulière s’écrit :

-

Représentation de la solution 0

0

Le mouvement parallèlement à B est le même qu’en dehors de la résonance (et il est, évidemment, indépendant de B ) ; le mouvement dans le plan perpendiculaire à B est tout à fait différent. Les termes liés à Eo1 et (Eo1 A B ) croissent indéfiniment avec le temps, et ce mouvement tend vers une amplitude infinie : c’est le phénomène de résonance gyromagnétique ou résonance cyclotron.

Le mouvement dans le plan perpendiculaire à B peut, en fait, se décomposer en 2 parties : O

un mouvement suivant Eo1 purement oscillant, d’amplitude limitée ;

106

2 - MOUVEMENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

un mouvement suivant Eo1 et un mouvement suivant Eo1 A B , déphasés de 7r/2 l’un par rapport à l’autre et d’amplitude croissante : leur résultante décrit une spirale de rayon T B croissant, ce que l’on pourra aisément vérifier, mais de fréquence de rotation constante (puisque w, = -yaB/ma est indépendant de la vitesse des particules). Remarques : 1. Si la composante E l du champ électrique tourne en sens inverse du mouvement cyclotronique des particules et à la même fréquence, c’est-à-dire w = -wc,il ne peut y avoir de résonance (voir l’exercice 2.7).

2 . I1 est clair que l’amplitude de ce mouvement cyclotronique ne peut augmenter indéfiniment car : des collisions peuvent interrompre le mouvement de l’électron (ion) et, de ce fait, limiter son gain d’énergie, de toute manière, la croissance du rayon de giration de l’électron (ion) sera limitée par les dimensions de l’enceinte.

2.2.3. C H A M P IUAGNÉTIQUE NON UNIFORME OU VARIABLE DANS LE TEMPS

Le traitement des équations du mouvement effectué jusqu’ici a été purement analytique, sans approximation aucune. Pour continuer à traiter analytiquement les cas où les particules chargées sont soumises à des champs magnétiques qui ne sont plus uniformes ou constants, il faudra nous limiter à des champs B qui ne sont que 1égèrement non uniformes spatialement ou lentement variables dans le temps. Cette restriction nous permet de considérer que la trajectoire hélicoïdale autour d’une ligne de force initiale se modifie de façon à peine perceptible pendant une rotation cyclotronique : autrement dit, il faut un certain nombre de ces girations complètes pour que la vitesse axiale du centre de guidage ou sa position initiale dans la direction perpendiculaire à B soit significativement modifiée6” Cette lente variation du mouvement du centre de guidage nous permet d’introduire l’approximation du centre de guidage, encore appelée approximation adiabatique (au sens où l’énergie de la particule varie très lentement). CARACTERISTIQUES DE L’APPROXIMATION DU CENTRE DE GUIDAGE ~

A l’ordre zéro de cette approximation, la trajectoire dans le plan perpendiculaire à B est circulaire : en un point donné de la ligne de champ B définissant l’axe

de guidage, le champ B est supposé uniforme aussi bien dans le plan contenant la trajectoire cyclotronique qu’axialement (c’est l’approzimation d’uniformité locale). En un autre point de cette ligne de champ, le champ B peut être différent, mais 62 Rappelons que l’axe de guidage est défini instantanément par la ligne de force du champ B autour de laquelle s’effectue le mouvement cyclotronique.

2.2

-

ANALYSEDE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

B

107

est, à nouveau, supposé uniforme transversalement et axialement. En l’absence de champ électrique appliqué, le mouvement dans la direction de B est uniforme. Au total, la trajectoire est hélicoïdale. ~

A l’ordre un, les “inhomogénéités” (spatiales ou temporelles) introduisent des variations dans le mouvement du centre de guidage aussi bien dans la direction de B (on cherchera plutôt à en déterminer la vitesse axiale) que perpendiculairement à celiiici (on cherchera plutôt à en déterminer la position latérale). Ces inhomogénéités interviennent localement, aussi bien transversalement qu’axialement, comme des perturbations au champ supposé uniforme à l’ordre zéro.

LE

MOMENT

MAGNETIQUE

ORBITAL

ASSOCIE

AU MOUVEMENT

CYCLOTRONIQUE COMME CONSTANTE D U MOUVEMENT CONCRÉTISANT L’APPROXIMATION DU CENTRE DE GUIDAGE

La méthode d’approximation que nous venons d’introduire s’explique bien physiquement et se développe de façon simple mathématiquement en ayant recours au moment magnétique orbital, un invariant associé à la composante cyclotronique du mouvement hélicoïdal de la particule chargée. Définition : Le moment magnétique p d’une boucle de courant d’intensité I délimitant une surface S est égal à S I . Dans le cadre de notre approximation, à l’ordre zéro, nous avons S = 7rri et I = qaNZ où N x est le nombre de tours par seconde qu’effectue la particule chargée sur l’orbite circulaire cyclotronique. Comme N Z fc = wC/27r, la valeur de p est donnée (en module) par :

=

(2.144)

et

(2.145)

où Ecinl est l’énergie cinétique de la particule dans le plan perpendiculaire à B . Le champ magnétique créé par le mouvement cyclotronique de la particule tendant à s’opposer au champ B appliqué (voir page 90, la remarque sur le diamagnétisme), p comme vecteur est antiparallèle à B .

Le moment magnétique orbital est une constante du mouvement (à l’ordre zéro) Considérons le cas où la variation de B a lieu en fonction du temps63 : ceci entraîne l’apparition d’un champ E puisque :

dB VAE=--,

at

(2.146)

63 On pourrait équivalemment définir l’adiabaticité de p. sur une inhomogénéité spatiale : c’est une question de repère. Si B est inhomogène dans le repère du laboratoire, dans le repère de la particule, B varie avec le temps.

108

2

-

MOUVEMENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

champ qui peut accélérer (décélérer) les particules. Ainsi, dans la direction perpendiculaire à B , nous pouvons écrire (2.11) que : (2.147) où E est le champ induit par B . Dans ce cas, la variation d’énergie cinétique sur une période 2.ir/wC est donnée par :

(2.148) où dl/dt est le vecteur vitesse curviligne instantané, tangent à la trajectoire en chaque point. Si l’on suppose maintenant que la vitesse parallèle à B n’est pas très grande et que le centre de guidage se déplace peu perpendiculairement à B , notamment parce que le champ B ne varie pas trop (hypothèse de la méthode de calcul), on peut remplacer cette intégrale sur la trajectoire hélicoïdale par une intégrale de circulation sur l’orbite circulaire (non perturbée par l’inhomogénéité). En effet, en faisant appel au théorème de STOKESqui énonce que “la circulation d’un vecteur le long d’un contour fermé est égale au flux du rotationnel de ce vecteur à travers une surface quelconque s’appuyant sur le contour”, nous obtenons :

(i

6 -maw:

)

J’J

=$q,E.dl=q,,

(V/\E).dS

(2.149)

S

et,

(2.150)

où B est un flux à travers la surface élémentaire d S ; la valeur du cosinus de l’angle entre la direction de la normale à la surface élémentaire et le vecteur B fixe le signe de l’intégration.

La variation d’énergie cinétique par unité de temps prend la forme (7, étant la période de giration) : (2.151) et de (2.144)’ par définition, nous arrivons tout simplement à : (2.152) Par ailleurs, d’après (2.145), il est également possible d’écrire : ap

-B

at

+ p-,aB at

(2.153)

de sorte qu’en comparant (2.152) et (2.153), il est clair que d p / a t = 0, ce qui montre que le moment p est une constante quant au temps.

2.2

-

ANALYSE DE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

B

109

On l’appelle premier invariant adiabatique. Se rappeler que le moment magnétique n’est strictement constant que si B est parfaitement uniforme et wall = O : il est constant, en première approximation, pourvu que le changement de B soit lent, c’està-dire adiabatique. Remarque : Dans la mesure où l’on peut considérer que le moment p est constant, le rapport & c i n ~ /qui B lui correspond demeure constant de sorte que si B varie, in^ devra aussi varier dans le même sens et proportionnellement. Comme l’énergie cinétique totale est conservée (absence de champ E appliqué), les valeurs W I I et W L vont se modifier de façon à ce que w l diminue si W I I augmente et inversement. Champ magnétique constant mais non uniforme dans la direction parallèle à B ( E = O) Nous continuerons à supposer qu’il n’y a pas de champ E appliqué64. A priori, nous sommes portés à représenter ce champ comme étant purement axial :

B = B(z)ê,,

(2.154)

ce qui s’avère incorrect : le gradient de B suivant z entraîne nécessairement l’existence d’une composante B,. Pour le voir, adoptons un champ B de symétrie axiale, comme le montre, en guise d’exemple, la figure 2.12.

Représentation approximative des lignes de force d’un champ B de symétrie axiale et axialement non uniforme. Le resserrement des lignes de forces indique un accroissement de l’intensité de B . Figure 2.12

-

I1 suffit de considérer l’équation de MAXWELL :

V.B=O

(2.155)

(qui signifie que les lignes de champ magnétique doivent se refermer) et de l’exprimer, compte tenu de la symétrie du problème, en coordonnées cylindriques (où les unités locales de longueur sont respectivement el = 1, e2 = 1 et e3 = r pour les coordonnées z , r , ‘p)65 ; nous obtenons :

d V . B = -B, dz

I d i a + --(rBT) + --Bp

r 89

r dr

=O.

(2.156)

64 Comme B est constant dans le repère du laboratoire, il n’y a pas non plus de champ E associé à B par la relation de MAXWELL V A E = - a B / d t , ce qui n’est pas le cas dans le repère de la particule ! 65 De façon générale, la divergence d’un vecteur a pour expression (annexe XIX) 1

+

+

V . B e i=e mL [ai(eze3Bi) û z ( e i e 3 ~ z ) & ( e i e z ~ s ) ]. où V . B est en fait un pseudo-scalaire (voir annexe VII).

110

2

-

MOUVEMENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

Par construction, la figure 2.12 présente une symétrie axiale, c’est-à-dire dB,/ôcp = O, de sorte que

I d a (2.157) - - ( r B T ) = --BZ, r dr az ce qui implique que l’inhomogénéité du champ B suivant sa propre direction ne peut exister sans que celui-ci ne possède une composante transversale, qui est B, dans le cas présent. 1. Expression de B au voisinage de l’axe pour un champ faiblement non uniforme.

Considérons a priori qu’on connaît en T = O l’expression de B , ( z ) et de son gradient axial, ( d B , / d ~ ) ~ =Par , , . ailleurs, nous pouvons nous aider de la figure 2.12 pour voir que B, passe radialement par un maximum sur l’axe de symétrie, et donc en r = O, dB,/dr = O. Nous allons maintenant considérer qu’au voisinage de cet axe, ( d B / d ~ ) , ?2~ constante, ce qui fait que la composante B, est indépendante de r au second ordre près. Dans ces conditions, par intégration de (2.157) sur r au voisinage de l’axe :

L’expression complète et correcte du champ B lorsque celui-ci est non uniforme suivant sa propre direction et dans l’hypothèse d’une symétrie axiale n’est donc pas (2.154) mais bien :

B = ê,B,(z)

-

ê;,

(2)

(2.159)

r=O

Nous constatons que la correction liée à la composante B, est d’autant plus importante que le gradient axial est fort et que nous nous éloignons de l’axe. Selon nos hypothèses de calcul, cette correction est d’ordre un, en fait linéaire en r au voisinage de l’axe.

+

Puisque la composante B, est nulle, et donc que B = êTBT ê,B,, nous pouvons exprimer B en coordonnées cartésiennes de la façon suivante :

I

B = --3;

2

dB, (K)

1

x=y=o ex

-

aB,

iy

êY+ B,ê, .

(2.160)

2. Trajectoire de la particule chargée da,ns le champ B obtenu. Nous devons résoudre

:

maw = q,(w A B ) .

(2.161)

Compte tenu de nos hypothèses, la composante de la vitesse perpendiculaire à B s’obtient, en première approximation, en supposant que le mouvement cyclotronique a lieu dans un champ localement uniforme. I1 ne reste donc qu’à calculer wll .

3. Equation du mouvement dans la direction de B, Le champ B n’étant pas tout à fait uniforme selon z , la vitesse du centre de guidage dans cette même direction ne demeurera pas constante.

2.2

-

ANALYSEDE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

B

+

111

Pour la calculer, nous poserons w = w,ê, w y e y ma.wl1 = ê,qa[Byw,

-

+ w,e,,

et, d’après (2.161) : (2.162)

B,wy].

La variation de la vitesse du centre de guidage décrite par (2.162) correspond à l’ordre un de notre méthode de calcul. I1 est donc correct d’utiliser les vitesses à l’ordre zéro dans le plan perpendiculaire à l’axe z pour développer (2.162) : (2.163) où le terme (dB,/dz)o,o est, par hypothèse, d’ordre un alors que x, y , w, et w y sont d’ordre zéro : le membre de droite de (2.163) est donc bien d’ordre un.

4. Solution de l’équation du mouvement. Les expressions de la position et de la vitesse dans le plan perpendiculaire à B sont, par hypothèse de la méthode d’approximation utilisée, celles déjà obtenues dans un champ B uniforme (3 2.2.2, E = O). Sous une forme plus succincte, nous pouvons les écrire :

wy

A

p)

,

z=

-WC

Acos(uct - p)

,

y=

-

wX = Asin(w,t

-

A

cos(wCt- p)

sin(w,t

-

p)

,

.

(2.164) (2.165)

we

Posons w,(O)= O et wu(O) = wuo, ce qui entraîne respectivement p = O et A = wYo, de sorte que :

w, = wYo sin wet ,

x

= -W Y0 cosw,t

,

(2.166)

we

wy

=

wYoC O S W , ~ ,

y =WY 0 sinw,t

.

(2.167)

WC

Ce repère est tel que, pour w, > O et B entrant dans la feuille, les électrons tournent dans le sens anti-horaire : pour le voir, considérer les valeurs de z et y en t = O et en t = 7r/2wC.I1 y a donc eu changement de convention, et pour rétablir le mouvement dans le bon sens, il nous faut poser w,, = -eB/m au lieu de we, = e B / m . Pour respecter nos conventions ( 5 2.2.2, E = O), il aurait en effet fallu prendre w x = A cos(w,t - p) et wy = A sin(w,t - p) avec en t = O, cette fois wy(0) = O et w,(O) = wx0. Dans ce cas, nous aurions eu : wz

=

wZocoswct

,

wy

=

wzosinwct

,

wxo

x = -sinw,t , WC

wxo = --cosw,t wc

112

2

-

MOUVE:MENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

On vérifie facilement que (2.166) et (2.167) conduisent bien à ce que z2 ( W ~ O / W , ) ~ = r i . Alors, en reportant (2.166) et (2.167) dans (2.163) :

[-,,,Y, sin2 w,t

malitil = i 5 z ~

W,

-

w;o cos2 w,t WC

1

,

ET

B

+ y2 = (2.168)

où, pour ce qui es,t du signe de w C rnous avons fait exceptionnellement66 w, = (qa/ma)BII.En simplifiant : (2.170)

(2.171) C’est la vitesse, exclusivement parallèle à B , du centre de guidage dans le cas où le gradient de B est principalement dans la direction du champ. De (2.169)’ nous pouvons aussi tirer une expression qui nous sera utile par la suite :

F, = rn,wiI = --mawI02

(2.172)

L’annexe X propose une autre démonstration de l’expression (2.172). Par ailleurs, l’annexe XI utilise (2.172) pour montrer, d’une autre façon que par la méthode développée de (2.1.46) à (2.153)’ que /I est une constante du mouvement dans l’approximation du centre de guidage. 5 . Analyse du mouvement un gradient axial de B .

WII :

freinage ou accélération des particules chargées sur

D’après (2.171)’ le gradient dB,/dz exerce sur les particules chargées : -

Soit une action de freinage si d B , / d z > O puisque dans ce cas wii(t) diminue en fonction du temps et finit par changer de signe si le deuxième terme de (2.171) l’emporte sur le premier. Si B,,, est la valeur maximum de B et Bo celle de la région de B uniforme (figure 2.13)’ la région Bo < B < B,,, où les particules sont susceptibles d’être réfléchies constitue ce qu’on appelle la zone miroir, Soit une action d’accélération si d B , / d z sur un miroir, pax exemple.

< O,

comme c’est le cas après réflexion

Le type d’action exercée par aB,/dz sur la vitesse ne dépend ni du signe de la charge de la particule ni de sa masse, puisque de (2.171)

66 B I ,représente la valeur B , ( z ) en z = O (région de

B uniforme).

2.2

-

ANALYSEDE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

B

113

il y a donc possibilité de confiner axialement toutes les particules chargées. L’efficacité de ce confinement dépend, finalement, du rapport q ( O ) / w l ( O ) : s’il est trop grand, le miroir ne pourra pas jouer son rôle. comme nous allons maintenant le montrer.

Figure 2.13 - a) Champ magnétique de confinement de particules chargées montrant la zone miroir où elles sont réfléchies ; b) la valeur de B est d’autant plus grande que les lignes de champ (figure a) sont resserrées.

* z

Remarque : On peut aussi comprendre le fonctionnement d’un miroir magnétique (figure 2.13) en nous appuyant sur le fait que, dans le cadre de notre approximation, l’énergie cinétique totale de la particule est conservée. En effet, dans ce cas, il n’y a pas de champ E appliqué et le champ E induit par cette inhomogénéité de B est négligé. Nous avons donc :

W_L+ WII= constante d’où :

(2.173)

dWll = -dWl .

(2.174)

D’autre part, à partir de (2.172)’ nous pouvons écrire le travail élémentaire effectué par la particule dans le champ B en termes de l’énergie cinétique parallèle à B67 :

F d z = dWii = -pdBII

.

(2.175)

En tenant compte de (2.174) dans (2.175) et puisque p = W i / B (2.145), nous avons : WL (2.176) d W l = PdBII = -dB11 BI1 (2.177)

ou encore :

67 En (2.172), nous avions obtenu F = - p d B , / d z ,

d’où F d z

E

-,udBII.

2

114

-

MOUVEMENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

Ce résultat signifie que si Bi1 augmente, il faut que W , augmente, de façon à ce que le rapport W _ L / Bdlvmeure I~ constant. Lorsque la particule entre dans la zone miroir, son énergie Wil va décroître, puis s’annuler pour augmenter de nouveau quand elle aura été “réfléchie”. Comme W i augmente dans le col et que r g = W i / B , la question se pose de savoir si r g ne va pas croître au point où la particule toucherait la paroi. En fait, la valeur de rg dans la zone miroir diminue car la valeur de B y augmente plus .

6. Cône de pertes du miroir magnétique d’une machine linéaire. Considérons la configuration typique d’une machine linéaire à confinement magnétique, avec un miroir en chaque extrémité telle que décrite en figure 2.14. Nous allons chercher à déterminer les conditions qui font que les particules incidentes vont sortir de la machine, c’est-à-dire “passer à travers le miroir”.

j-

”.t B,,,

Bo

..................

.....

...........................

~

+ d -

miroir: région de B uniforme +

z

Figure 2.14 - Configuration typique du champ magnétique de confinement d’une décharge linéaire où chaque extrémité est close par un miroir (configuration dite “à minimum B”).

La particule traverse la zone uniforme avec une vitesse w g (faisant un angle NO avec l’axe du champ B)pour atteindre la zone miroir avec une vitesse w (angle N avec B ) , comme le montre la figure 2.15 a). Décrivons maintenant la vitesse d’une particule suivant seLi composantes parallèle et perpendiculaire au champ B . Ainsi, dans la région à champ uniforme (figure 2.15 b), wg = wgll +wO1 (l’indice inférieur O indique ici qu’il s’agit de la région de champ homogène) où : (2.178) (2.179) avec wg =

JGK.

Dans l’hypothèse où le champ B varie lentement suivant z et en l’absence de champ E appliqué, nous savons que m,w0/2 = constante (seul le rapport wl/wlI peut varier) et que le moment magnétique p est, en première approximation, constant.

68 Pour vérifier cette affirmation, il suffit de différencier r i = w % / w r. Tenant compte de (2.176), on obtient

Par conséquent, si le :;radient de Ell est positif (zone miroir), le rayon de LARMOR diminue effectivement quand Ell augmente.

2.2

-

ANALYSEDE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

B

115

(b) Figure 2.15 - a) Orientation du vecteur vitesse par rapport à l’axe dans la zone à champ B uniforme (NO)et dans la zone miroir ( a ); b) décomposition de la vitesse w o suivant l’axe z ( w o ~ /et) perpendiculairement à celui-ci ( ~ 0 1 ) .

woL

On peut ainsi établir une relation entre la vitesse dans la région à champ uniforme et celle dans le miroir en notant, que (2.145) : /I

=

1 Zm,wi sin2 cy0 BO

-

. 2 ~1 m , w2osin B

cy

’

(2.180)

où w l = wo sin Q dans la région du miroir, de sorte que :

sin Ly = sin cy0

E.

(2.181)

I1 y a réflexion de la particule dans la mesure où a: > 7r/2. La relation (2.181) montre que si a0 est, suffisamment petit (ce qui correspond au cas d’une particule ayant une trop forte composante de vitesse “parallèle” dans la région de champ homogène), la valeur de B/Bo pourra ne pas être assez grande pour réaliser s i n a = 1 ; c’est certainement toujours vrai pour a0 = O ! Lorsque c’est le cas, la particule passe à travers le miroir et va se neutraliser sur les parois, et elle se trouve “perdue” pour le plasma. Appelons aOm,la valeur minimum de l’angle a0 pour laquelle il y a encore réflexion des particules au maximum de champ B,,,. Si l’on désigne le rapport du miroir par : E Brriax/Bû ’ (2.182) la valeur aOln s’obtient pour sincy = 1 dans (2.181) : (2.183)

et finalement :

(2.184)

116

2

-

MOUVEMENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

L’angle aOrndéfinit un cône à l’intérieur duquel les particules quitteront le plasma en bout de machine. On remarque que l’efficacité d’un miroir magnétique à réfléchir les particules chargées est indépendante du module de la vitesse de la particule (wo), aussi bien que de sa charge et de sa masse. 7. Pourcentage des particules incidentes réfléchies par un miroir magnétique. Considérons la configuration de champ magnétique précédente (figure 2.15(a)) et supposons que la distribution angulaire des vitesses des particules est isotrope dans la zone uniforme : autrement dit, la densité des particules, ~ ( Q o ) est , la même quelle que soit la valeur de ( Y O . Nous voulons calculer C, = F,/I?inc, la fraction du flux incident rincqui est réfléchie par le miroir, sachant qu’il y a réflexion si QO > aOm. Pour cela, il faut évaluer le nombre de particules par seconde se dirigeant vers le miroir, rinc, et lui soustraire le nonibre de celles-ci dont l’angle QO < aom (et qui ne sont pas réfléchies), ce qui mènera à I?,. I1 suffit d’établir ce bilan pour chaque valeur de cy0 à partir d’un angle solide d’orientation azimutale p quelconque puisqu’il y a symétrie axiale. Considérons l’angle solide dR(a0, p) dans lequel ces particules s’engagent (figure 2.16) : celui-ci détermine une surface élémentaire da(cuo), orientée suivant ao, dont la projection perpendiculairement à l’axe du miroir, da(a0) cos^^^^, constitue la surface effective que le flux incident en direction du miroir traverse. Nous aurons donc : I?iIir(ao) = nwo da(cr0) COSQO

où, comme nous l’avons vu, n ne dépend pas de

(2.185)

QO.

orientée suivant ao.

Par définition, da = r2dR où dR, l’angle solide élémentaire, a pour expression dans un repère de coordonnées sphériques ( T , 0 0 , p) : dR = sinao dao d p

.

(2.186)

La symétrie axiale implique que l’intégration sur p donne 27r. Nous pouvons donc écrire : (2.187) Ce résultat est indépendant du module de la vitesse, donc valable pour toute la distribution en énergie des particules. 69 Bien se rappeler qu’un flux est par définition toujours évalué normalement à la surface qu’il traverse.

2.2

-

ANALYSEDE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

B

117

En simplifiant et après transformation trigonométrique

(2.188)

ce qui donne

d’où finalement :

c,=1--.

1

(2.189)

R

Remarques :

1. La fraction des particules réfléchies est d’autant plus grande que c’est-à-dire que B,,, est important devant Bo.

R

est grand,

2. Les campagnes de mesure par satellite ont permis de mettre en évidence l’existence de ceintures (couches) de particules chargées de grande énergie entourant la terre. Ces particules, d’origine cosmique, sont piégées dans le champ magnétique terrestre et réfléchies aux pôles : à cet endroit, en effet, les lignes de force du champ B terrestre se resserrent, faisant office de miroir.

3. Les particules confinées dans un système ayant un miroir à chaque extrémité vont effectuer un mouvement périodique entre ces deux miroirs (voir exercices 2.15 et 2.16). Champ magnétique constant mais non uniforme dans une direction perpendiculaire à B 1. Lignes de champ supposées rectilignes.

Considérons à nouveau que B est entièrement dirigé suivant z et uniforme selon cet axe. Le gradient qui l’affecte, par hypothèse, lui est perpendicuhire et uniquement dirigé suivant l’axe y : V B = (dB/dy)êy et, donc, d B / d x = O. Nous allons, en outre, poser que B croît lentement avec y de sorte qu’au total B a pour expression :

B ( y ) = ê,Bo(l +Dy), O

< /3 < 1 .

(2.190)

Si le champ était uniforme (/3 = O), nous aurions une giration cyclotronique de rayon constant dans le plan xOy (trajectoire en pointillé sur la figure 2.17). A cause de l’inhomogénéité du champ dans ce plan (/3 # O), la trajectoire n’est plus tout à fait circulaire et elle ne se referme pas sur elle-même, comme le montre la figure 2.1770 : cela vient de ce que le rayon de LARMOR diminue, de même que le rayon de courbure 70 Selon notre hypothèse d’adiabaticité, il faut plusieurs girations complètes pour que ce phénomène se manifeste.

118

2

-

MOUVEMENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

de la trajectoire, alors que la particule se dirige vers les valeurs de y croissantes (sur l’exemple considéré) avec le résultat que le centre de guidage se déplace. Ce dernier se dirige, en moyenne, selon II: croissant si la particule tourne dans le sens horaire comme représenté sur la figure 2.17 : ce mouvement moyen (sur plusieurs périodes), dit de dérive magnétique, s’effectue dans la direction perpendiculaire à B et à VIBI. Calculons cette vitesse w ~ Mde dérive magnétique.

tion Oy (relation (2.190)). I1 y a dérive magnétique suivant x.

Vitesse instantanée du centre de guidage Pour connaître dR,/dt où R, est la position instantanée du centre de guidage (figure 2.18), nous allons recourir à notre approximation adiabatique : le mouvement de la particule est déterminé à l’ordre zéro par la giration cyclotronique dans le champ B en faisant abstraction des effets engendrés par sa non-uniformité ; ce mouvement est perturbé à l’ordre un par la dérive magnétique. Mouvement à l’ordre zéro : calcul de R . Le vecteur rayon de giration R donne la position du centre de guidage par rapport à la particule, comme le montre la figure 2.18, et nous allons établir que : ma (2.191) R = -(wAB) 40 B2

Pour démontrer cette expression, il suffit de nous rappeler, de façon géntkale, que pour une particule repérée par le vecteur T’ à partir de l’axe autour duquel elle est en rotation à une fréquence w , sa vitesse tangentielle obéit à la relation w = w A T ’ . Dans le cas présent, ceci se traduit par :

W = + ~ A R , ma

(2.192)

2.2 - ANALYSEDE

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

B

119 Y

Figure 2.18 - Le vecteur R décrit la position du centre de guidage dans le repère de la particule (cas de l’électron), ellemême repérée par le vecteur r dans le laboratoire. Noter que R est perpendiculaire à la trajectoire cyclotronique au point considéré et que R, = r R .

+

-

X

O

puis, en multipliant cette expression vectoriellement à droite par B WAB=-(BAR)AB.

(2.193)

ml2

En nous rappelant que le double produit vectoriel obéit à la règle suivante :

PA(QAT= ) Q(T.P)-T(P.Q), donc :

(2.194)

(QAT)AP=T(P.Q)-Q(T.P),

(2.195)

w A B = 4u [ R ( B. B ) - B ( R .B ) ]

(2.196)

nous trouvons que :

ma

où le terme R . B est nul puisqu’à l’ordre zéro le vecteur rayon de giration R est nécessairement perpendiculaire à l’axe de guidage, de sorte que (2.196) conduit bien à (2.191)71 : (2.191) Mouvement à l’ordre un

:

calcul de R,.

Bien que nous soyons dans l’hypothèse où les lignes de champ sont rectilignes, afin de ne pas avoir à reprendre la démonstration qui suit en 2), nous posons B = BeB plutôt que B = Be,, e B étant le vecteur unitaire tangent à la ligne de champ, pour tenir compte de la courbure de celle-ci. D’après la figure 2.18,

R,=r+R

(2.197)

où R décrit le mouvement du centre de guidage dans le repère de la particule, elle-même repérée par le vecteur r dans le laboratoire. Nous pouvons alors récrire R (2.191) sous la forme :

(2.198)

71 E n fait, il suffit de noter que )Ri = m a w l / q a B (\RI = r g ) et que R est perpendiculaire à w et

A B.

120

2 - MOUVEMENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

Alors, la dérivée de (2.197), tenant compte de (2.198), donne72 :

où deB/dt = 0 dans l’hypothèse où B demeure parallèle à l’axe z (cas 1)).Par ailleurs, dans la mesure où au point 2) qui suit nous faisons l’hypothèse d’une faible courbure des champs, nous allons négliger le terme faisant intervenir d e ~ / d t Nous ~ ~ . prenons donc B = ê,B et (2.199) se réduit à :

(2.200) Pour modifier le troisième terme du membre de droite, nous multiplions l’équation du mouvement m,dw/dt = qa(wA B)vectoriellement à droite par B :

dw ma- A B = q , ( ~A B ) A B . at

(2.201)

Compte tenu des propriétés du double produit vectoriel (voir (2.195)) : (W

A

B)A B = B(B . W )

nous aurons

-

W ( B .B)

= B ( B w ~-~ W)

B ,~

dw ma- A B = qa(wii- W ) B ,~ at

:

(2.202)

(2.203)

expression que nous substituons dans le troisième terme de droite de (2.200). Après réorganisation, (2.200) donne :

5=w+ at

1 4aB

[qa(-w

+ wll)B2]

ma dB (wA B ) , qaB3 dt

- ~-

(2.204)

de sorte qu’en simplifiant, nous obtenons l’expression de la vitesse du centre de guidage dans le repère du laboratoire : (2.205)

où le premier terme représente la vitesse du centre de guidage le long des lignes de force du champ B (ordre zéro) et le deuxième est la vitesse du centre de guidage dans la direction perpendiculaire à w 1 et à B (ordre un), mouvement variant périodiquement dans le temps du fait de la trajectoire cyclotronique de la particule. 72 Si B est non uniforme spatialement dans le repère du laboratoire, il varie avec le temps dans le repère de la particule.

7 3 Si on tenait compte de dêB/dt, sa contribution serait d’ordre 2 dans une expression qui est d’ordre un. En effet, dêB/dt = (dêB/dy)dy/dt est un terme d’ordre 2.

2.2 - ANALYSE DE

0

CAS PARTICULIERS DE

E

ET

B

121

Vitesse moyenne du centre de guidage : vitesse de dérive magnétique I1 s’agit de calculer la moyenne temporelle du deuxième terme de (2.205) que l’on récrit :

où le terme de droite est maintenant exprimé dans le repère du laboratoire. Comme la moyenne temporelle de w,wy est nulle74 et que : -

1

w; = 2w:

2 - 2 (WL = w,

+ w;) ’ -

(2.207)

il vient finalement que le mouvement moyen de dérive magnétique a pour vitesse : (2.208) que l’on peut transformer, sachant que dans un trièdre droit (par opposition à un trièdre gauche) -ez = ê, A ê y , en : WDM

w: 1 ( BA V B ) 2 4aB3

= ma--

ou, encore :

(2.209) (2.2 10)

qui est la vitesse de dérive magnétique de la particule en présence d’un gradient de champ perpendiculaire à B supposé sans courbure. Nous aurions pu obtenir la relation (2.210) directement à partir de l’expression générale donnant la vitesse de dérive de particules chargées soumises à un champ magnétique en présence d’une force quelconque, comme l’enseigne l’annexe XII. L’annexe XII1 nous permet, de plus, d’écrire la relation (2.210) sous la forme : (2.211)

où p est le rayon de courbure (voir figure XIII.l). Cette expression nous sera utile pour fins de comparaison avec la vitesse de dérive de courbure magnétique dont nous allons maintenant chercher l’expression. 2. Prise en compte de la courbure des lignes de champ. La dérive magnétique dont nous venons d’établir les équations du mouvement ne peut exister seule, car les lignes de force de B que nous avons supposées rectilignes en posant : B ê,Bo(l +By) (2.2 12) 74 Mouvement de LARMOR : si wz est proportionnelle à sinw,t et wy à c o s w c t , les deux fonctions étant orthogonales, l’intégrale sur le temps t de wzwy durant une période est nulle.

122

2

-

MOUVEMENT INDIVIDUEL

D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS

E

ET

B

où /3 u , approximation dite du champ HF. Dans ce cas, la conductivité de LORENTZ (3.68) peut s’écrire :

et nous sommes alors conduits, dans le cas limite présent, à

:

ne2

(3.75)

me

Par ailleurs, la conductivité de BOLTZMANN (3.63) exprimée à l’aide de la fonction f o dorine, dans cette même limite : cr =

47rne2 3 me

.J’ [v(w) i]a f o -

%W

3

dw

(3.76)

de sorte qu’en comparant (3.76) et (3.75)’ nous sommes amenés à poser : (3.77) afin de pouvoir exprimer la conductivité, dans cette limite, sous sa forme lorentzienne : (3.78)

3 - DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE D ’ U N

144

PLASMA

Pour montrer que le terme en

dans (3.76) se ramcine bien à celui de - i / w dans (3.75), il suffit de savoir que le terme J ‘ 3 l J 3 dw

;

vaut l’unité, ce qui :s’obtient en l’intégrant par parties, puis en appliquant la condition de normalisation (3.49) : 3

J’

Z w 3

dw = -3 4* 3

3.5. EQUATIONS DE

s

f o w 2 dw

= 47r

s

fow2 dw = 1 .

TRANSPORT

Dans le modèle hydrodynamique, à chaque variable microscopique (T(r,w , t ) = 1, m w , mw2/2,m(w- v ) @I ( w - ‘u),...) correspond, du fait de gradients dans l’espace des phases, un flux macroscopique décrit par des équations dites de transport (équations hydrodynamiques). Pour obtenir celles-ci, multiplions par la variable T l’équation de BOLTZMANN (3.6) pour une fonction de distribution simple f c y ( rw, , t ) , puis intégrons sur toutes les vitesses :

T

g dw

W

+

Y’W

. v, fa dw +

W

s

T-

. Owfadw

=

fa

W

s

TS(f,)dw .

(3.79)

W

Examinons successivement les différents termes de (3.79), en ignorant, pour alléger l’écriture, l’indice û: de l’espèce de particules en jeu, l’indice T de l’opérateur différentiel dans l’espace des coordonnées spatiales, et le symbole @ du produit tensoriel ( w g w 3 ww).

TERME DE

VARIATION TEMPORELLE

( lER TERME)

I1 peut s’écrire sous la forme : (3.80) W

soit :

W

/-T g

W

d

dY

dw = d t [n(Y)] - n(-) at

,

(3.81)

W

où les crochets ( ) désignent une moyenne prise sur la fonction de distribution f .

3.5

-

EQUATIONS DE TRANSPORT

TERME FAISANT

145

INTERVENIR LE GRADIENT SPATIAL DE

f (ZE TERME)

Nous pouvons le transformer pour l’écrire sous la formeg0 : /Tw.Vfdw=V. W

(3.82) W

W

soit :

TERME FAISANT

I N T E R V E N I R LE G R A D I E N T D E (3ETERME)

f

DANS L’ESPACE DES VITESSES

J’ J’

/

Y

5 af dw, m dw,

dw, dw,

(3.84)

En intégrant par parties, par exemple, le premier terme de droite suivant w, :

où le premier terme de droite de (3.85) est nul puisque f(*cm) = O. Le second terme se calcule facilement si on suppose que :

(3.86) Cette condition est satisfaite pour les deux types de force que nous allons rencontrer : ~

force due à un champ électrique E . Cette force, qui agit sur les particules chargées, est effectivement indépendante de leur vitesse ;

90 Une façon simple de ‘Ijustifier” cette transformation : considérer d’abord l’action de l’opérateur V sur w T f , puis effectuer la contraction (produit scalaire) sur les tenseurs ainsi formés (annexes VI1 et VIII).

3 - DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

146

D’UN PLASMA

B . La composante de cette force dans une direction donnée ne dépend que des composantes de la vitesse suivant les deux autres directions.

- force due à un champ magnétique

Selon (3.86)’ F, étant, une constante par rapport à w,,on peut donc l’exclure de la dérivée dans (3.85) et le terme comportant la force F (3.84) peut s’écrire :

J’ Tf

. V,f dw = - n ( -F. V I T ) .

(3.87)

m W

En reportant les expressions (3.81)’ (3.83) et (3.87) dans (3.79)’ on obtient l’évolution de la grandeur macroscopique de la variable microscopique T :

Nous allons maintenant utiliser cette relation pour obtenir les différents moments hydrodynamiques.

3.5.1. EQUATION DE CONTINUITÉ (IERMOMENT HYDRODYNAMIQUE : MOMENT D’ORDRE

ZERO

EN W )

Cette équation décrit le transport des particules (leur flux), compte tenu des diverses actions qu’elles subissent (champ de force F et collisions). Elle correspond à la variable microscopique : T=1, (3.89)

dT -=O, at

de sorte que :

vr=o,

v,r=o.

(3.90)

+ V . nv = J ’ S ( f ) dw .

(3.91)

L’équation (3.88) se réduit alors à :

dn -

at

W

Cette équation est appelée équation de conservation du nombre de particules ou équation de continuité 91. Elle est de nature scalaire (tenseur d’ordre zéro). 91 En multipliant (3.91) par m a , masse de l’espèce a , ou par q a , charge de l’esp6ce a , on obtient respectivement la loi d e conservation de la niasse ou celle de la charge électrique, cette dernière s’écrivant ûp/’ût V . J = qcr ,J S(f)dut.

+

3.5 - EQUATIONS DE TRANSPORT

147

TERME C O L L I S I O N N E L : HYPOTHESES

RETENUES

Le facteur S ( f ) d w représente le nombre net de particules qui ont rejoint (quitté si le facteur est négatif) l’intervalle w , w d w de l’espace des vitesses par suite de collisionsg2. Dans le cas de collisions dastiques, il n’y a ni création ni disparition de particules dans le volume du plasma. En effet, ces collisions ne font que modifier la distribution des vitesses des particules, ce qui ne change pas, localement, leur nombre total, et l’intégrale est donc forcément nulle. Alors :

+

a71

-

at

+ v . (nu)= o .

(3.92)

Un autre cas possible, plus habituel, est celui où, à l’état stationnaire (&/at = O), le nombre de particules, créées en volume, est exactement compensé par le nombre de celles qui se recombinent aussi en volume (les pertes sur les parois sont alors négligeables : voir la remarque qui suit). Nous examinerons plus loin d’autres hypothèses pour cette intégrale de collision (voir aussi DELCROIX et BERS,appendice A9-1, pour une étude plus détaillée). Remarque : D’une façon générale, dans un plasma, il y a création de particules chargées en volume (par exemple, ionisation par collisions électron-neutre) et destruction de celles-ci soit par recombinaison en volume, soit par recombinaison sur les parois à la suite de la diffusion des particules vers celles-ci ( 5 1.8). Dès l’instant où il y a pertes par recombinaison en volume, l’intégrale du terme collisionnel prend la forme complète suivante :

J’

S ( f ) d w = (Vi

-

Dr)n ,

(3.93)

W

où iji est la fréquence moyenne d’ionisation et P T , celle de la recombinaison en volume. Dans le cas où les pertes n’ont lieu que par recombinaison en volume, à l’état stationnaire, on a fi, = O,, le terme V . nv de (3.91) devenant nul. Au contraire’ lorsque la diffusion est responsable de façon prépondérante de la perte des particules chargées, le terme d’ionisation l’emporte sur celui de recombinaison en volume et l’intégrale (3.93) est non nulle.

L’interprétation de (3.91) peut maintenant être précisée : la variation en fonction du temps du nombre de particules de l’espèce cy dans un volume V est égale au nombre net de ces particules résultant des processus de création et de perte en volume, moins le flux de cette espèce sortant, par diffusion, du volume V . En effet, l’équation (3.91) s’écrit sous forme intégrale :

J’ v

dV =

1

J ’ S ( f ) d w dV - J’V ,nu dV

v w

,

(3.94)

V

et en appliquant le théorème d’OSTROGRADSKI : (3.95)

92 Ecrire l’opérateur de collision S(f) sous la forme (ajlat),,, a l’avantage de faire ressortir qu’il s’agit d’une variation de f en fonction du tenips qui résulte des collisions (voir equation (3.5)).

3

148

-

DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE D’UN

PLASMA

où S est la surface limitant le volume V et d S un élément de surface normal à la surface S et dirigé vers l’extérieur du volume.

3.5.2. EQUATION DE TRANSPORT DE QUANTITÉ DE M O U V E M E N T (ZE MOMENT : MOMENT D’ORDRE U N E N w) Ce moment correspond à la variable microscopique : (3.96)

Y=mw, ce vecteur ainsi défini entraînant :

amW

___ = 0 , at

dY at

- -- 0 ,

soit encore :

V,mw = mJ ,

(3.97)

VY=Q, VwY=ml,

(3.98)

V,mw = O ,

où I est le tenseur idlentité d’ordre deux, tenseur qui a pour composantes 6ij où S i j est le symbole de KRONECKER ( S i j = 1 si i = j,6 i j = 0 si i # j ) . L’équation (3.88) s’écrira donc :

a

-

at

J’

[ n m ( ~+) V ] . [ n m ( ~-~n ) ( F].I )

m~S(f dw),

(3.99)

W

relation de nature vectorielle (tenseur d’ordre 1). Pour évaluer la dyade (tenseur d’ordre 2 ) (ww), posons

:

(3.100)

w=w+u

où u est la vitesse d’lune particule relativement à la vitesse moyenne (w)= w de l’ensemble des particules. La vitesse u est donc une vitesse de moyenne nulle (u) = O. Dans le langage statistique, u est une vitesse centrée par rapport à sa valeur moyenne. Nous obtenons alors, compte tenu de (3.100) :

+

nm(ww)= nm(uu 2uw

+ ww) .

(3.101)

Comme (UV) = (u)w:= 0, et (ww)= ww,la relation (3.101) peut s’écrire :

nm(ww)= où, de (3.40) et (3.43) :

+ nmww

*

- = nm,(uu)

(3.102) (3.103)

est le tenseur (d’ordre 2) de pression cinétiqueg3. 93 Le terme (nrn)(ww) est une densité (à cause de n ) totale d’“agitation” alors que (nrn)vw est une densité d’“agitation” cle convection et (nrn)(uu), une densité d’“agitation” purement thermique (aléatoire en direction). Certains auteurs utilisent le terme a g i t a t i o n pour désigner une grandeur qui a les dimensions d’une énergie et dont le caractère tensoriel prend en compte les anisotropies du milieu.

3.5 - EQUATIONS DE TRANSPORT

149

L’équation (3.99) peut alors prendre la forme

a

- ( n m ~ )+ V at

:

.4 + V . ( T L ~ W W -) n ( F )

=

J’

m ~ S ( f dw )

.

(3.104)

W

Sachant cependant que nous pouvons écrire :

v

’

(nww)= (nw. V)w + w(V . nw) ,

(3.105)

nous obtenons de (3.104) :

a

-(TL~w)

at

+ V . g + n m ( .~V)W+ ~

w ( .V TLW) - n ( F ) =

J’

m ~ S ( f dw )

. (3.106)

W

En tenant compte de la relation de continuité (3.92) (cas particulier d’un terme collisionnel nul) et en notant que a(nmw)/at= m w d n / d t n m d w l d t , la relation (3.106) prend la forme usuelle suivante :

+

nm

(g +

w - V )w + V . g -n ( F ) =

J’

m w S ( f ) dw .

(3.107)

W

Examinons successivement les différents termes de cette équation pour en préciser la signification physique et expliciter certains d’entre eux. 1. Le terme convectif w . Vw,qui est non linéaire en w , ne facilite pas la résolution de (3.107). Heureusement, sa contribution est souvent négligeable devant les autres termes ; celle-ci demeure évidemment importante quand ‘u est grand en valeur absolue ou lorsque son gradient est fort. 2. Le tenseur de pression cinétique apparaît naturellement daris la forme plus générale ((uu) non isotrope) de l’équation de transport de la quantité de mouvement (3.107) où V .& se présente comme une force par unité de volume (mêmes dimensions que le terme n ( F ) ) ,dite force de pression cinétique.

Pour préciser la signification de 9, considérons la force de pression cinétique totale agissant sur un volume donné. La relation d’OSTROGRADSKI (cas particulier du théorème de STOKES-CARTAN) nous permet d’écrire :

v

.I’

V.gdV=

V

(3.108)

s=av

faisant apparaître une force 9 . d S s’exerçant sur la paroi de ce volume. Alors, en notant que g .d S = ‘4.. ês d S où ês est un vecteur unitaire normal à la surface dS, nous en concluons que 9 . ês est une forceg4 par unité de surface, c’est-à-dire une pression ! 94

9 étant

un tenseur d’ordre 2, le produit contracté une force.

9. ês est

bien un vecteur comme doit l’être

150

3

-

DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

D’UN PLASMA

Toujours dans le but de préciser le sens de g (3.103), penchons-nous maintenant sur la dyade (uu). Comme c’est un tenseur d’ordre 2 , nous pouvons la représenter par la matrice : ( 4 ) ( u z 4 (%%) (3.109) (ULyUlL,) );.( ( u z u z ) (uzuZ/) (4 Les termes hors diagonale sont nuls : en effet, comme ceci donne bien, par exemple,

//

(u,uy) = I n

u,

wz wz

[J’ ] uyf dw y

s,

uif dwi = O ( i = 2 ,y , z ) ~ ~ ,

dw, dw, = O.

7UY

I1 s’ensuit que le tenseur se réduit à une matrice diagonalisée : (3.110)

Cas particulier : la distribution des vitesses u est isotrope. En posant l’hypothèse supplémentaire d’une distribution de MAXWELL-BOLTZMANN, il vient : (3.111)

Avec ces deux hypothèses et tenant compte de (3.103) : v . g ~ v . [ ( n k ; B T ) I, ]

(3.112)

où I est le tenseur imité d’ordre 2, de sorte qu’en introduisant la pression partielle p , = n,kBT, associée aux particules d’espèce a , nous obtenons finalement :

v.g=vp,.

(3.113)

Toujours avec ces hypothèses, l’équation de transport de quantité de mouvement (3.107) des particules d’espèce cy prend la forme :

J

n a , ( ~ + W , . ~ J ) ~ ~ + V I > ~ ~ - ~ ~ ~ m,w,S(f,)pdw,, ~ V ~ ~ I E + ~ ~ A B W m

(3.114) où les champs E et B , dans le cas général, désignent aussi bien les champs appliqués de l’extérieur que les champs (macroscopiques) induits ; l’opérateur de collision S ( f a ) p est celui défini par l’expression (3.7). 95 En effet, comme u est par définition une vitesse centrée de moyenne nulle, on a

JJ LJ

wywz

soit plus généralement

u,f(w) dw,

s

swiu i f ( w ) dwi = O.

1

dw, dw, = n(u,) = O ,

3.5

-

151

E Q U A T I O N S D E TRANSPORT

3. Le terme collisionnel qui apparaît dans le second membre du moment d’ordre un de l’équation (3.107) représente l’impulsion totale “gagnée” ou “perdue” par les particules de type cy à la suite d’interactions élastiques et inélastiques avec nécessairement les autres types de particules ; en effet, de telles collisions entre particules de même espèce ne peuvent conduire au total ni à un gain ni à une perte n e t d’impulsion ! Ce terme collisionnel doit donc s’écrire :

Pa =

CP,,.

(3.115)

W e

Pour obtenir une expression décrivant ce transfert net d’impulsion d’un groupe de particules à un autre (par exemple des électrons aux neutres), nous allons, dans un premier temps, procéder de façon phénoménologique (expression approchée de Pa,) puis, dans un second temps, faire appel au calcul exact de ?,p. Expression approchée de

P,, pour

les collisions élastiques

Nous avons déjà montré ( 5 1.7.2) que la quantité d’impulsion Ap,, transférée d’une particule à l’autre lors d’une collision dépend de la vitesse relative entre deux particules avant collision : (1.86) Pour caractériser’ sur toute leur distribution de vitesses, le transfert net d’impulsion par unité de volume, AP,p, des particules de type cy, de densité n a , à l’ensemble des particules de type ,6 (,6 # a ) ,de densité no, nous ferons intervenir les vitesses moyennes v, et v, plutôt que l’intégrale sur les vitesse w, et wp (ceci revient à poser que les fréquences de collisions microscopiques va, sont indépendantes de la vitesse : voir (3.119)). Alors, l’impulsion ’Pa perdue par les particules n au profit des particules pl par unité de temps et par unité de volume, est de l’ordre de : nombre de transferts d’impulsion par seconde, par unité de volume

4. m,mp

diminution de l’impulsion moyenne dirigée (au profit des particules fi)

En supposant que les particules de type

cy

&

v,Bn,(v,

-

up) .

(3.117)

1‘

nombre de transferts d’impulsion par seconde, par particule a

sont des électrons : (3.118)

puisque la masse réduite p a E ~ m,mo/m,

+ m,

se ramène à m,

3 - DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

152

D’UN PLASMA

Cette relation, relativement simple, obtenue pour le cas des collisions élastiques, s’applique aussi aux collisions inélastiques dans la mesure où v , est ~ la somme des fréquences de collisions élastiques et inélastiques exprimées de façon appropriée et que la fonction de distribution des vitesses est isotrope (GOLANT et al., 3 6.3). Expression exacte de Pap pour les collisions élastiques Un calcul rigoureux de

P,,

WWa

donne (GOLANTet al.,

3 6.3) :

wu

où les fonctions f(y(w,) et fp(wp) sont des fonctions de distribution simples de vitesses des particules a et p, non séparées (la dépendance en r a été omise par commodité d’écriture). La fréquence (microscopique) de collision des particules Q sur les particules p, v,p, s’écrit : 7r

vap = npw,p J’27râ(û)(i

-

cosû) sine dû

(3.120)

O

où w , est ~ le mod.ule de la vitesse relative Iw, - WSI des particules Q et p et où l’intégrale correspond à la section efficace microscopique totale de transfert de quantité de mouvement (1.103). Rappelons que v , est ~ différent de vp, puisque : upol = natuafi

J

27r&(û)(1- cosû) sinû dû ,

(3.121)

O

mais en combinant (3.120) et (3.121)’ il vient : (3.122) I1 en résulte que : et, en particulier :

Pa, = -Pp, P,, = -Pa,= 0 .

(3.123) (3.124)

I1 y a donc bien conservation de la quantité de mouvement globale lors des collisions élastiques entre particules (P, = O). Dans le cas général, vag dépend du module wap de la vitesse relative et le calcul de l’intégrale (3.119) n’est pas évident. Par contre, si l’on peut faire l’approximation que vap n’en dépend pasg6, la relation (3.119) s’intègre facilement et on obtient :

Pa, = -PLapnavaB(’Ua

-

‘Up)

,

(3.125)

expression identique à l’équation (3.117). 96 La fréquence effective de collision vafi est indépendante de la vitesse relative si la section efficace de collision âafi pour la quantité de mouvement est inversement proportionnelle à la vitesse relative. On peut montrer que ce cas correspond à un potentiel d’interaction en l/r4, ce qui est assez bien vérifié pour les collisions entre espèces chargées et neutres.

3.5 - EQUATIONS DE TRANSPORT

153

Remarque : Dans le cas de collisions inélastiques, le calcul est beaucoup plus complexe puisque la variation d’énergie cinétique de la particule û: est égale à la somme de la variation d’énergie interne et de la variation d’énergie cinétique de la particule p. Toutefois, le problème se simplifie considérablement si l’énergie cinétique relative pafiwO/,/2 est transformée intégralement en énergie potentielle au cours de la collisiong7, soit, d’après (1.74) : PaBW&

=0 .

(3.126)

La variation de quantité de mouvement ApaB de la particule a (1.76) s’écrit alors, compte tenu de (1.77) : AP,B = -PLat?(Wafi

-

WLB) = - p a p a p

.

(3.127)

Dans ces conditions, le terme de collision inélastique, après intégration, s’écrit :

p a , = -PaB%Y%YB(~a

-

VB)

’

(3.128)

expression identique à celle des collisions élastiques (3.125). 4. On peut désormais réunir les différents termes de l’équation du moment d’ordre 1 (3.129) où l’opérateur dériwée totaleg8, d/dt, est dit particulaire lorsque l’observateur, attaché à une particule, suit celle-ci dans son mouvement (description dite de LAGRANGE). Par contre, le membre de droite de (3.129) peut être considéré comme décrivant le mouvement d’un élément de volume dans le repère du laboratoire : le mouvement dépend, d’une part, de la variation dans le temps de la vitesse locale et, d’autre part, du mouvement d’ensemble (convection) du gaz. Finalement, compte tenu de (3.125) et (3.129)’ (3.114) prend la forme usuelle suivantegg :

C’est l’équation du 2e moment (moment d’ordre i en w) ou équation de transport de la quantité de mouvement des particules d’espèce cy ayant une distribution de vitesses isotrope et en interaction collisionnelle de nature élastique avec les particules d’espèce /3 différente de a . On l’appelle aussi équation de LANGEVIN. L’équation (3.130) détermine l’accélération du fluide sous l’influence de différentes forces, incluant les forces électriques et magnétiques, le gradient de pression et les forces de viscosité collisionnelle. 97 Dans cette hypothèse, la collision est nécessairement frontale puisque waP = O (3.126) et que wap, w,o et 2040 sont colinéaires (1.68). 98 Bien noter que, en régime stationnaire, la dérivée totale n’est pas nulle car le terme convectif w . V subsiste. Seul le terme s’annule. 99 Rappelons que l’équation (3.114), tirée de (3.107), est obtenue à partir de (3.92), l’équation de continuité sans second membre.

a/&

154

3

-

DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE D’UN

PLASMA

Remarque : I1 est intéressant de comparer l’équation (3.130) avec l’équation hydro-

dynamique du transfert de quantité de mouvement de NAVIER-STOKES dans I’hypothèse d’un fluide incompressible (dans ce cas P M , la masse de l’unité de volume, étant constante, l’équation de continuité entraîne V . u = O) et visqueux. Dans ces conditions, cette équation a pour expression (LANDAU et LIFCHITZ): L’M

[dt du

f

=-vp

(U. v)U]

“ 1‘

\

/

(3.131)

1‘

Terme d’interaction (viscosité)

Force par unité de volume

où

+* q,AU + nF

est le coefficient de viscosité du fluide.

3.5.3. EQUATIOKS DU M O M E N T D’ORDRE 2 EN

W

On distingue deux cas classiques suivant que le moment d’ordre 2 est en w2 ou en ww.

EQUATION DE

T R A N S P O R T D’ÉNERGIE CINÉTIQUE

Cette équation est aussi appelée équation du bilan d’énergie. Ce moment correspond à la variable microscopique :

r = -21m a w 2 qui conduit àioo:

dT

-=O,

at

(3.132)

VT=O,

V,T=moiw.

(3.133)

L’équation (3.88) s’éc.rit alors :

=

1

$ ~ , w ” S ( f ) dw

,

(3.134)

relation de nature scalaire (tenseur d’ordre zéro).

+

En notant que (tu2) = ( u 2 ) v2 et en supposant l’isotropie des vitesses avec ( u 2 )= 3 k ~ T / m , , nous obtenons pour l’espèce a :

_J

Energie cinétique dirigée

où

I J

Energie cinétique aléatoire

:

100Noter que (3.132) peul, aussi se mettre sous la forme ‘Y = + m a w .w , d’où gradient d’un scalaire engendre nécessairement un vecteur).

(3.136)

V,T = maw (le

3.5

-

EQUATIONS DE TRANSPORT

155

est le vecteur-flux”’ de l’énergie cinétique totale des particules de type a , aussi appelé vecteur de flux thermique, et le terme :

Ra =

(3.137)

Ra0 Of,

représente l’énergie cinétique totale “gagnée” ou “perdue” par les particules ai à la suite d’interactions collisionnelles élastiques et inélastiques avec nécessairement les autres types de particules ; en effet, les collisions entre particules de même espèce ne peuvent conduire ni à une perte ni à un gain net d’énergie cinétique. La variation de la densité de l’énergie cinétique totale du fluide de particules a (membre de gauche de (3.135)) a lieu en raison des trois mécanismes qu’expriment à tour de rôle les termes du membre de droite : le‘ terme : transport de l’énergie cinétique d’un point à un autre du plasma du fait d’un gradient spatiallo2; 2e terme : apport d’énergie au plasma (chauffage) par le courant de particules se mouvant dans un champ E (loi d‘OHM) ; 3e terme : variation de l’énergie cinétique des particules a du fait de leurs collisions avec d’autres types de particules. Le terme de collision Rap résultant des collisions @lastiquesdes particules ai avec les particules p peut s’écrire, de la même façon que pour le moment d’ordre 1 si la frequence de collision V,P est indépendante de la vitesse (GOLAKT et al. 5 6.4) :

Sachant que

:

rn,(w;) = ma [ ( u t )+ v i ] = 3 k ~ T + , mou;

,

(3.139)

l’cxpression (3.138) s’écrit maintenant, compte tenu de (1.96) définissant S, le coefficient de transfert d’énergie :

m,u;

Ra&? = -6n,UaB

-

~

[

2

3 + ,kB(Ta

rnpug -

2

-

Tp)

+ (ms 2 m,) (v, . U P ) -

1

’

(3.140) On peut remarquer qu’effectivement R,, = 0. Bien que cela se vérifie facilement sur (3.140)’ il n’est pas nécessaire de supposer que vus est indépendant de la vitesse pour obtenir ce résultat puisque l’hergie cinétique est un invariant des collisions.

I1 arrive couramment que le gaz soit sans vitesse dirigée (w, = W B = O) ou que toutes les particules aient la meme vitesse (w, = va). Dans ce cas, les termes contenant w, et wp se retranchent et il reste : (3.141) ce qui illustre bien l’échange d’énergie cinétique lors de collisions élastiques. 101 De façon générale, le vecteur nwT(m) est le vecteur-flus de la propriété moléculaire T(2u). 102 Par exemple, dans le cas d’un gradient spatial de température, le flux de chaleur peut s’exprimer par q, = -X,VT, où A, est la conductibilité thermique de l’espèce cy.

3 - DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

156

D’UN PLASMA

Remarque : Dans le cas des collisions inélastiques, le calcul est beaucoup plus complexe puisque la variation d’énergie cinétique de la particule a est égale à la somme de la variation d’énergie interne et de la variation d’énergie cinétique de la particule p. Toutefois, le problème se simplifie considérablement si l’on suppose que la variation d’énergie cinétique de la particule p est négligeable par rapport à la variation de son énergie interne, ce qui est précisément le cas des collisions avec les électrons (1.75). Avec cette hypothèse, pour une fréquence de collision v,p, le terme de collision Rap résultant des collisions inélastiques des particules a! (électrons) avec les particules p s’écrit alors : R a b = -n,VaB&k (3.142)

où

l k

représente l’énergie seuil de la collision inélastique considérée.

EQUATION DE

TRANSPORT D U TENSEUR DE PRESSION CINETIQUE

9

Ce tenseur est le véritable moment d’ordre 2 en w . Ce tenseur de pression cinétique

(3.43) correspond à la variable microscopique :

1= m,(w

-

v ) ( w- v)

dans laquelle v = V ( T , t ) . En utilisant la relation w = v

(3.143)

+ u,on obtient

:

(3.144)

01

v a

=

-m,Vvu

=

m,(uI+Iu)

-

m,Vuv = -m,Vvu

-

( m , V ~ u ,) ~ (3.145) (3.146)

où 1 est le tenseur unité d’ordre 2 et l’indice supérieur T indique le transposé de la matrice représentative du tenseurlo3. Tous ces termes, de nature tensorielle, sont d’ordre 2. L’équation (13.88) s’écrit alors : d

at [n,m,((w

-

-

av

+

v ) ( w- v))] n,ma(u-at

+V . [n,m,(w(w

-

+

v ) ( w- VI)] n,m,(w.

- n , % ( F (uJ .

+ lu))=

J

au

+ -u) at vvu

+w . (vvu)~)

VL,(W - V ) ( W -

v ) S ( f )dw .

(3.147)

W

On note que cette équation est aussi de nature tensorielle d’ordre 2. Récrivons l’expression (3.147) en posant de nouveau w = v termes dont la moyenne est nulle :

d -n,m,

at

+ u et en supprimant les

+

(uu) + V . n,m, (vuu uuu) +nom, [u. vvu

+ (u. V V U ) ~ ]

-

+

n,(F. ( u ~ lu))= E, ,

(3.148)

103 Le tenseur, d’ordre 2, ‘AT d’éléments a: est le transposé du tenseur de même ordre A d’éléments cyz3 si cy; = C V ] ~ .Ainsi, V T = -m,(Vwu Vuw) = -m,Vwu (rn,Vw~)~.

+

~

3.5 - EQUATIONS DE TRANSPORT

157

72, =

où :

Ca,,

(3.149)

Of,

est le terme de collision (annexe XV). En développant l’équation (3.148), on obtient :

a

+ (V. w)(n,rn,uu) + (v V)(n,m,uu) + v . n,m,(uuu) + R , ~ , ( u u.)V W + ( n , m , ( ~ ~ . V) V ) ~n , ( F . ( ~+ 1 I u ) )= a, . (3.150)

-(n,m,uu)

at

’

-

I1 faut noter que le dernier terme du premier membre de (3.150) est nul si la force F est indépendante de la vitesse (cas de F = q,E) : en effet, on peut alors sortir F de l’expression entre crochets qui ainsi s’avère nulle. Nous pouvons transformer (3.150) pour l’écrire sous la forme

:

[$+ v .V + (V. v)1 s+V . Q + g .Vv + (9. VW)~ M a, -

=

-

-

(3.151)

où 9 est le tenseur de pression cinétique (3.103) et Ad, également un tenseur d’ordre deux, résultant de l’action d’un champ magnétique extérieur (annexe XV) ; par contre, Q est un tenseur d’ordre trois, défini par : -

Q = ma

-

s

(W

-

W ) ( W - V ) ( W - v ) f ( r ,W , t ) dw

,

(3.152)

W

appelé tenseur de flux d’énergie thermique : c’est un moment centré d’ordre 3 des vitesses par rapport à la vitesse moyenne de la fonction de distribution f ( r ,w , t ) . Nous souhaitons modifier le premier terme de (3.151). Pour cela, nous remarquons que l’équation de continuité (3.92) avec second membre nul peut se développer en :

ûn -

at

+ ( v .V ) n + n V .

2,

=O,

(3.153)

d’où, en faisant apparaître la dérivée totale (3.129) :

v . v = - - - 1 dn n dt

(3.154)

Nous pouvons alors transformer les trois premiers termes de (3.151) pour obtenir :

L’équation (3.151) se réduit alors à : (3.156) Remarque : Le tenseur de pression cinétique

2 = m,

I

W

(w

-

v)(w

-

v ) f ( rw , , t ) dw

3 - DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

158

D’UN PLASMA

apparaît comme un moment centré (par rapport à u)d’ordre 2 et s’apparente à une variance104 calculée par rapport à une valeur moyenne qui, dans le cas présent, est la vitesse o. Pour le voir, notons que l’on peut écrire :

2 = ma

s

wtof dw

-

W

m,

s

vuf dw = nm,(ww)

-

nm,uu ,

(3.157)

W

donc de la forme E [ X 2 ]- E [ X I 2 où E [ X ] signifie l’espérance mathématzque de la variable X . Si nous résumons, nous avons fait connaissance avec quatre aspects du tenseur de pression cinétique : ~

-

V .2 représente une force par unité de volume. 9.ês (2projetée iiormalement à une surface unitaire) est une force par unité de surface : c’est la prejsion cinétique. Celle-ci est la généralisation à un gaz anisotrope de la pression scalaire.

2 est le moment centri. d’ordre 2 de la fonction de distribution des vitesses quant

~

à leur valeur moyenne u : il s’apparente à la variance des vitesses microscopiques.

9 a les dimensions d’un flux de quantité de mouvement : en effet, alors que nu est un

~

flux de particules, nu(mu)de (3.157) représente un flux de quantité de mouvement.

3.5.4

EQUATION DES

MOMENTS D’ORDRE S U P É R I E U R

On peut écrire l’équation de transport du flux d’énergie thermique Q (3.152)’ rnonient d’ordre 3 quant à w , et ainsi de suite pour les moments supérieurs, ce qui conduit à engendrer un nombre infini d’équations hydrotiynamiques. Remarque : I1 faut, ten général, une série d’équations hydrodynamiques pour chaque

type de particules. Cependant, dans certains cas, le seul fluide d’dectrons rend bien compte des observations (0 3.7).

3.6. FERMETURE DES ÉQUATIONS DE TRANSPORT Les équations de transport des grandeurs n, u,2,Q, . . . , décrivent bien l’évolution d’un plasma à l’échelle macroscopique, mais présentent l’inconvénient de former un système indéterminé. En effet : ~

~

l’équation de conservation du nombre n de particules contient u, l’équation décrivant l’évolution de u fait appel au tenseur 9 d’ordre 2 ,

104 La variance D d’une variable aléatoire X s’exprime en fonction de l’espérance mathématique E selon D [ X ]E E [ ( X - m y ] = E [ X 2 ]- E [ X ] 2 où E [ X ]= m. Elle caractérise l’écart, plus ou moins important, de l’ensemble des valeurs de la distribution par rapport à la valeur m.

3.6 - FERMETURE DES

~

159

ÉQUATIONSDE TRANSPORT

l’kquation décrivant l’évolution du tenseur de pression cinétique 2 fait apparaître le tenseur Q d’ordre 3 , -

~

et ainsi de suite ...

En somnie, l’évolution d’une variable donnée est toujours dépendante d’une autre variable dont l’ordre tensoriel lui est supérieur d’une unité. On dit qu’un tel système constitue une hiérarchie. Dans la pratique, on n’utilise généralement que les 2 ou 3 premiers moments des équations de transport. Pour briser la dépendance hiérarchique, il faut poser une hypothèse simplificatrice sur le tenseur d’ordre le plus élevé apparaissant dans l’équation de transport du moment le plus élevé que l’on désire conserver, procédure communément appelée fermeture des équations de transport. Remarque : un problème analogue, mais différent dans sa signification physique, se pose en théorie cinétique. Ainsi, l’intégration de l’équation de LIOUVILLE dD/dt = O (2)est la densité de probabilité définie en Q 3.2) sur toutes les positions r i , wi de l’espace des phases sauf sur r 1 , w 1 conduit & :

af + at

F

1

~

W . VTfl

+ m .V w f l -

= S I (f12)

(3.158)

’

Cette équation (dite de BOLTZMANN), qui décrit l’évolution de la fonction simple f i (3.25)’ fait apparaître un terme d’interaction binaire entre particules sous la forme de la fonction double f12 (3.31). En intégrant de manière semblable l’équation de LIOUVILLE, cette fois, sauf sur r l ,wl et sur r2, w2, on obtient : afl2 ~

at

+

. Vrf12

F

+ m . VwJf12= S 1 2 ( f 1 2 3 ) -

’

(3.159)

où le terme S(f123) représente des interactions ternaires entre particules, et ainsi de suite pour f 1 2 3 , f1234. . . Nous sommes à nouveau en présence d’un système indéterminé d’équations, une hiérarchie appelée BBGKYlo5. Pour pouvoir utiliser l’équation (3.158) indépendamment de (3.159)’ nous avons posé, comme condition de fermeture, l’hypothèse de faibles corrélations binaires entre particules ( 3 . 3 5 ) ,soit S(f12) 2

S( fl f 2 1. Notons que la hiérarchie BBGKY se constitue du fait de l’opérateur de collision alors que la hiérarchie des équations hydrodynamiques a une toute autre origine. Elle résulte de l’existence de gradients dans l’espace des positions, et elle apparaît sous la forme d’une divergence d’un tenseur d’un ordre supérieur d’une unité à l’ordre tensoriel de l’équation hydrodynamique considérée. Remarquons, par ailleurs, que l’ensemble des Squations hydrodynamiques que nous venons de développer provient du calcul de valeurs moyennes prises uniquement sur l’équation de BOLTZMANN, la toute première relation de la hiérarchie BBGKY.

METHODEDE FERMETURE Dans la description hydrodynamique, on peut s’arrêter à IC équations en “simplifiant” le tenseur p d’ordre IC 1 qui apparaît, généralement, comme nous venons de l’indiquer,

+

105 Du nom des physiciens BORN,BOGOLIOUBOV, GREEN, KIRKWOOD, YVON,dans l’ordre alphab& tique, qui, semble-t-il, est exactement inverse de l’ordre historique.

160

3 - DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

D’UN PLASMA

sous la forme V .,u : (cette hypothèse revient le plus souvent à remplacer ce terme par une quantité tensorielle d’ordre inférieur. I1 existe différentes façons de le faire (voir JANCEL et KAHAN,chapitre 8). Parmi les hypothèses simplificatrices de f e r m e t u r e des équations hydrodynamiques, considérons-en quatre des plus courantes : 1. Plasma froid. On néglige complètement l’agitation thermique : dans l’équation de transport de la quantité de mouvement, on pose 2 = 0. Les équations hydrodynamiques décrivant n et ‘u forment alors un système déterminé auquel on pourra adjoindre les équations de MAXWELL. Le domaine d’application de cette approximation touche particulièrement : la description des propriétés d’un faisceau d’électrons, -les phénomènes ondulatoires dans les plasmas (pour une vitesse de phase très supérieure à la vitesse moyenne des particules due à l’agitation thermique). 2. Plasma tiède. Cetiie approximation, moins radicale que la précédente] permet de décrire un plus grand nombre de phénomènes observés. Le tenseur de pression cinétique n’est plus nul, mais réduit à la seule pression cinétique isotrope et scalaire p . Ainsi, à V .*’on substitue Vp,termes tous deux d’ordre tensoriel 1. Cette approximation s’applique plus particulièrement aux cas suivants : gaz neutres : le champ E ne pouvant dans ce cas acheminer de l’énergie dans le système et mettre ses particules en mouvement, il est indispensable de prendre en compte l’agitation thermique, plasmas pour lesquels l’approximation “plasma froid” s’avère trop grossière, par exemple, pour dlécrire la propagation d’ondes de faible vitesse de phase.

3. Hypothèse isotherme. Cette hypothèse a l’avantage de prendre complètement en compte l’agitation thermique] dont on suppose cependant qu’elle obéit à la loi de MAXWELL-BOLTZMANN. On pose 9 = n k ~ z et , on considère que les valeurs des températures Tij pour chaque espèce Q du plasma sont indépendantes de la variable spatiale, soit : VT=Q -. (3.160) Comme pour les deux précécentes approximations, la fermeture du système s’effectue au moment, d’ordre 1 en w ,c’est-à-dire que l’on ne retient que les deux premières équations hydrodynamiques.

4. Ecoulement adiabutiyue106. Cette fois nous allons considérer les trois premières équations hydrodynamiques. La condition de fermeture est appliquée à l’équation de transport de (moment en ww), en posant V .Q = 0 et on fait de plus =0: il n’y a donc pas de transport d’énergie thermiquepar les particules et l’effet de

a

106 Un changement d’étai du système est adiabatique s’il n’y a ni apport, ni perte d’énergie thermique du système. Deux situations sont possibles : 1) le système est isolé; 2) le processus considéré (par exemple, la compression du plasma exercée par une onde) est si rapide qu’il ne peut y avoir transfert de chaleur par conduction. De ce fait, dans cette approximation, on néglige le terme d’interaction collisionnelle S . La propagation d’une onde sonore est un bon exemple de compression adiabatique vérifiant la relation (3.163).

3.7 - MODÈLED U

PLASMA D’ÉLECTRONS DE

LORENTZ

161

la compression est adiabatique. Si à ces conditions, on ajoute que se réduit à la pression cinétique scalaire p , nous pouvons montrer (annexe XVI) que l’équation de transport du tenseur de pression cinétique conduit à la relation purement scalaire suivante : n -d- -3+Pp V . v = O (3.161) dt 2 n 1 dn Compte tenu de la relation V . v = --- (3.154)’celle-ci s’écrit finalement : n dt (3.162)

dont la solution est :

pn-Y = constante .

(3.163)

C’est la relation d’adiabaticité. Dans le cas où le fluide considéré est isotrope (par exemple, des électrons en l’absence de champ B) et assimilable à un gaz parfait de densité n , y, le rapport d’adiabaticité (rapport des chaleurs spécifiques cp/c,), vaut 513. D’autres valeurs de y sont possibles. Ainsi, pour un écoulement unidimensionnel (linéaire) en présence d’un champ Bo (milieu anisotrope), on utilise y = 3 pour la compression parallèle à Bo et y = 1 pour la compression perpendiculaire à Bo. Plus généralement, si les molécules ont 8 degrés de liberté (vibration, rotation, translation), alors y = 1 218 : ainsi, 8 = 2 dans le cas d’une symétrie azimutale et 8 = 3 pour une compression de symétrie sphérique à 3 dimensions d’où, effectivement, y = 5/3.

+

Remarques :

1. Le cas où y = 513 dans (3.163) est aussi appelé approximation E EULER ou approximation scalaire (parce que la compression est de symétrie sphérique). 2. L’expression p/nY = constante s’emploie lorsque, par exemple, les particules sont perturbées par la propagation d’une onde sonore, alors qu’en l’absence de compression et à l’équilibre, p = n1CgT. L’expression pn-7 peut aussi s’écrire pVY = constante puisque, pour des gaz parfaits, pV = nRT (notation usuelle).

3.7. MODÈLEDU

PLASMA D’ÉLECTRONS DE

LORENTZ

Soit un plasma composé d’électrons, d’ions et d’atomes neutres. Considérons le cas où le degré d’ionisation est faible (ne< no) : les interactions électron-électron, ion-ion, électron-ion peuvent être négligées devant les collisions électron-neutre, beaucoup plus nombreuses et donc prépondérantes en ce qui concerne les échanges de quantité de mouvement par collisions. De ce fait, les échanges énergétiques entre le fluide d’électrons et celui des ions (mais non l’interaction de charge d’espace) sont négligeables, entraînant Ti < Te : nous pourrons donc considérer que nous avons affaire à un gaz d’électrons et à un gaz d’ions quasi indépendants l’un de l’autre. Par ailleurs, comme l’énergie des électrons n’est jamais inférieure à celle des ions (en fait, le plus souvent, Te > Ti) et que la masse des électrons est beaucoup plus

3 - DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

162

D’UN PLASMA

faible que celle des ions et des neutres, nous pouvons considérer les ions et les neutres comme étant au repos; relativement au mouvement des électrons. La situation se réduit finalement à ne considérer qu’un fluide d’électrons, qui se déplace au contact d’un fluide continu d’ions et d’atomes neutres au repos offrant une certaine viscosité au mouvement des électrons. Quant à l’interaction électrons-ions, en plus de la “viscosité” que nous venons d’évoquer, elle intervient dans l’équation décrivant le mouvement des électrons par le champ électrique de charge d’espace donné par l’équation de POISSON.

EQUATION DU

PLASMA D’ÉLECTRONS DE

LORENTZ

En négligeant le termle convectif dans l’équation de LANGEVIN (3.130)lo7et en notant de plus que v, >> vi,v, pour ce qui est du terme collisionnel, cette équation se simplifie pour donner : (3.164)

+

où nous poserons u,, u,i 2 u (v,i < u,,). En supposant que p , = n,lcBT, avec T, indépendant de la position (hypothèse isotherme), (3.164) se ramène à : (3.165) Remarque : le gradient Vp, exprime l’évolution spatiale de la pression due aux électrons et il n’est pas lié à une compression du fluide (voir la remarque 2 de 5 3.6).

ETUDED ’ U N

CAS PARTICULIER

Plasma froid d’électrons (Te = O) soumis à un champ périodique E = &eiWt. Considérons un tel plasnia, à une dimension et sans champ magnétique. D’après (3.165) et en supprimant l’indice e, désormais superflu, il vient : (3.166) équation que nous avions avancée antérieurement sans preuve (voir 0 1.7.9, équation (1.138)) et dont nous pouvons maintenant saisir davantage le contenu physique. Rappelons qu’en plasma froid le mouvement est uniquement créé par le champ &eiWt, donc v(t) = voeiWt; alors de (3.166) : miwvOeiWt= -eEoeiwt

et finalement :

VIJ

=

-

myv0eiwt

-eEo m(v iw) ’

+

de sorte que la densité de courant électronique a pour expression : 107 Nous considérons que

21

< 2ith

(3.167) (3.168)

3.8

-

MOBILITÉ ET DIFFUSION DE PARTICULES CHARGÉES

J

= nqvo = m(vne2 + i w ) Eo

?

163

(3.169)

d’où l’expression de la conductivité scalaire : U =

ne2 m(v iw) .

+

(3.170)

Ce résultat a été obtenu antérieurement par intégration de la fonction de distribution des vitesses en supposant v(w)= constante. Cette expression de O fut alors appelée conductivité de LORENTZ(3.68) : nous comprenons maintenant l’origine de cette appellation.

3.8. MOBILITÉ E T DIFFUSION DE PARTICULES

CHARGEES

3.8.1. LES C O N C E P T S D E DIFFUSION E T D E MOBILITÉ La mobilité et la diffusion de particules chargées sont deux quantités de natiirc hydrodynamiqiic, liées de f a p n essentielle à la présence de collisions daris le plasma. DIFFUSION

Elle résulte du gradient de pression cinétique, Vp, dans l’équation de LANGEVIN (3.130). Comme Vp V(nikBT),la diffusion est due à la présence soit d’un gradient de densité des particules, soit d’un gradient de leur énergie moyenne (température), soit des deux à la fois. Considérons successivement ccs deux cas : Cas d’un gradient de densité de particules

Les collisions en un point donné entre part>iculesse font de façon alkatoire et, en l’absence de champs forts, isotrope : il y a donc équiprobabilité des directions de déviation des particules après un nombre suffisant de collisions. Considhoris, à une dimension, deux points A et B de l‘espace tels que la densité n du gaz en A est supérieure à celle en B. Di1 fait de l’éqiiipartit,ion des collisions cri chaque point de l’espace; le flux daris les deux directions possibles au point A est, plus grand que celui dans les deux direct,ions au point B. I1 en ressort que le flux de gaz de A vers B est phis grand que celui allant de B vers A. Au total, il y a un flux net nw de A vers B, où la vitesse moyennc w est celle du fluide circulant de A vers B. Cas d’un gradient de température

Ici égalerrient, il y a un flux net d’énergie de la région à haute température vers celle de basse tenipérat,ure, l’hergie transportée par les particules à grande énergic &ant la pliis grande ! Ce flux net d’énergie est associé aux flux de particules,

3

164

-

DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

D’UN PLASMA

MOBILITÉ Ce paramètre caract,érise la progression moyenne, ou dérive, de particules chargées d’un type donné souimises à un champ électrique E dont l’action est entravée par les collisions. Dans le cas d’un plasma à la fois inhomogène et soumis à un champ E (induit ou extérieur), on observera un mouvement combiné de diffusion et de dérive, caractérisé par une vitesse dirigée (moyenne) totale u.Nous allons étudier ces deux phénomènes à l’aide de l’équation de LANGEVIN (3.130)’ à l’état stationnaire, et en négligeant le terme convectif u .Vu. Dans le cas où il n’y a pas de gradient de température, celle-ci se ramène à : 1 (3.171) w, = qe(E V, A B)- ICBT,~

ma V a f i

{

+

3.8.2. SOLUTION DE L’ÉQUATION DE LANGEVIN AVEC DÉRIVÉE PARTICULAIRE NULLE (dw/dt

=O)

On peut récrire (3.1‘71) sous la forme d’une équation dont le membre de gauche est homogène en u : ~

J

,

~ U

Vna qcu(V, ~ ~ AW B) ~ = q,E - kBTana

.

Dans ce qui suit, pour alléger l’écriture, nous supprimons les indices

(3.172)

Q

et

p.

La solution générale de cette équation sans second membre est w = O puisque w et w A B sont orthogonaux. La solution particulière de l’équation avec second membre sera la somme de deux solutions obtenues séparément :

# O (vitesse de dérive seule), = O pour Vn # O (vitesse de diffusion seule).

1. l’une avec Vn = O pour qE 2. l’autre avec qE

La niéthode de solution proposée implique que les deux conditions suivantes soient remplies : 1. Le terme convectif (w .V)w apparaissant dans l’équation de LANGEVIN (3.130) doit être effectivement négligeable, ce qui est le cas si la vitesse dirigée totale w est faible en valeur absolue. Cette condition fait que la somme de la vitesse de dérive et de la vitesse de diffusion donne bien la vitesse totale due à ces deux phénomènes combinés. 2. Les vitesses de dérive et de diffusion doivent être petites devant U t h pour que l’hypothèse d’isotropie des vitesses exigée par la pression scalaire apparaissant dans l’équation de LANGEVIN soit valide.

3.8

-

MOBILITÉET

EXPRESSION DE

DIFFUSION DE PARTICULES CHARGÉES

LA VITESSE DE

165

DERIVE

Nous faisons donc Vn = O dans (3.171), ce qui élimine la contribution due à la diffusion. On choisit ê z selon B , d’où : VI

=

vuy =

4 -[E, mv

+vyBz] ,

(3.173)

’

(3.174)

4

-[E, mv 4 z. vz = - E

-

v,B,]

(3.175)

mu

Définissons d’abord la mobilité en l’absence de B : rl

ps-’

(3.176)

mu

qui est la mobilité d’une particule chargée dans un champ E constant (noter que p est tout à fait déterminé si l’on connaît u ) . Cette mobilité nous permet de récrire (3.175) sous la forme : vz = PEZ ’ (3.177) qui met en évidence la vitesse moyenne ou vitesse de dérive d’un type de particules soumises à un champ E dans un plasma collisionnel (nous rappeler que, par convention, et contrairement aux ions, les électrons vont dériver dans la direction opposée à celle du champ E ) . La mobilité ainsi définie est dite mobilité linéaire pour souligner que p ne dépend pas de E,. En présence d’un champ magnétique B , la mobilité dans la direction de B se définit également par : (3.178) En portant cette valeur de pll dans les équations (3.173) et (3.174) qui donnent les composantes de la vitesse de dérive dans le plan perpendiculaire à B , nous trouvons respectivement pour u, et vy :

v,

=

E,

,

(3.179) (3.180)

où wc = -qB/m est la pulsation cyclotronique (§ 2.2.2). Nous constatons que la vitesse de dérive suivant ê, et êy est d’autant plus faible que le champ magnétique est fort (v Ti (valable

3 - DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

194

D’UN PLASMA

pour les plasmas à pression réduite, et qui sont visés par le présent modèle), d’après (3.274) nous pouvons écrire : (3.299) de sorte que :

(3.300)

et de (3.284) :

(3.301)

En écrivant l’égalité des équations (3.298) et (3.301), nous obtenons une relation permettant de déterminer complètement, et de façon analytique, l’équation du bilan perte - création des particules chargées du plasma.

EXPRESSION DE T e ” / & EN Expression approchée de

FONCTION DE

VON

poR

ENGEL et STEENBECK

La nécessité d’obtenir une relation plus facile à évaluer (à l’époque il n’y avait pas d’ordinateur) amena VON ENGEL et STEENBECK à considérer, dans (3.298), l’approximation : 3 &i -~ (3.302) »1 4 uev (c’est un fait avéré que Üev < &,, sauf lorsque la pression devient si faible que l’on se trouve dans le domaine de la chute libre où le présent modèle ne s’applique plus). Dans le cadre de cette approximation, de (3.298) et (3.301), nous obtenons : 2

(2,405)2

-

3UeV Pi

=Li

-3/2

~

(25) 4 uev

R2

et, en retournant à la variable

exp

3 &, 2 uev

, (3.303)

( - - y )

Ui de (3.296), il vient (annexe XVII) (3.304)

où le coefficient

CO

se trouve défini par : (3.305)

Noter que pipo se présente comme la valeur de la mobilité réduite 0 “ C et à 1torr ;ne pas oublier, toutefois, que les valeurs de référence de la mobilité sont habituellement données à O°C et 760 torr (3.189). On peut finalement tjirer de (3.304) sous forme numérique la valeur de Tev/&en fonction de copoR où po, sans unité, est la “pression” réduite par rapport à 1 torr et 0”C, et &, l’énergie-seuil d’ionisation. Les unités de cg sont des (kg/coulomb)1/2 m-2 ou encore des s mP3, donc copoR est, en principe, en s m-’)’l2.

3.13

-

LOI D’ÉCHELLE T,(pR)

195

Expression exacte L’explicitation de (3.301) et le recours aux énergies réduites nous conduisent à une expression exacte de forme remarquable :

Le calcul numérique de (3.306) avec la relation (3.296) définissant Z4, = eIi/lcBT, permet de représenter Te,/€, en fonction de copOR (figure 3.9).

lop2

10-

loo

lo1

COYOR Figure 3.9 Evolution de la température électronique (normalisée à l’énergie-seuil d’ionisation du gaz considéré) en fonction des conditions opératoires (nature et pression du gaz et rayon de la (longue) colonne cylindrique de plasma supposé en régime ambipolaire). Les tirets indiquent que l’on sort du doniaine de validité du calcul effectué à partir de la relation (3.306). R est en mètre et la valeur de CO est celle du tableau 3.1 avec les unités adéquates. ~

Conséquences La figure 3.9 met en évidence que la température électronique Te d’une dbcharge, en régime de diffusion, ne depend que des dimensions de l’enceinte (le rayon R pour une longue colonne de plasma), de la nature du gaz (énergie-seuil d’ionisation I , et coefficient CO) et de sa pression (pression réduite P O ) . VALEUR DE LA CONSTANTE Co

La valeur de a,o dans CO s’obtient à partir des sections efficaces d’ionisation P,o(U,V) publiées, en se limitant à la partie linéaire principale au voisinage du seuil. La valeur de la mobilitC ionique pz dans (3.301) correspond à la pression et à la température du gaz considéré; parce que celle-ci est multipliée par po dans (3.305)’elle prend l’aspect d’une mobilité réduite à 0 O C , 1 torr alors que les valeurs de rbférence sont données à

196

3

-

DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

D’UN PLASMA

1 atmosphère et à O “C ; il faut donc effectuer la conversion nécessaire. Par ailleurs, les valeurs de pi0 dépendent du rapport E l p (une autre loi d’échelle) : il est d’usage d’utiliser dans le calciil de CO la valeur de pi0 extrapolée pour E / p -+ O.

Tableau 3.1 - Valeur de cg (chronologiquement de gauche à droite) obtenue pour différents gaz rares (à utiliser avec la figure 3.9 où R est exprimé en m). 1 1 Les unités de cg sont en VzCzm-3s.

VON

ENGEL BROWN125

MOISAN ZAKRZEWSKI

Hélium

4

3,93

5,3

4,68

Néon

6

5,9

9,0

7,94

Argon

40

53

48

50,l

Krypton

68

68,2

Xénon

111

113

Le tableau 3.1 donne les valeurs de CO obtenues pour les gaz rares par différents auteurs, le jeu le plus récent (1980) étant celui de ZAKRZEWSKIque nous recommandons d’utiliser. Les unités cie CO permettent d’exploiter directement le graphe de Tev/&% en fonction de copoR de la figure 3.9 où le rayon interne R du tube à décharge est en mètre ; &,, l’énergie au seuil d’ionisation est donnée a u tableau 3.2. Exemple de détermination de T,v : pour R = 2 cm et po = 1, on a pour l’argon copoR = 1. La figure 3.9 nous donne Tev/&,= 7,54 x lop2. Comme &z = 15,76 eV, nous obtenons donc ï e v = 1,2 eV. Tableau 3.2

-

Energie-seuil E, (eV) de première ionisation des atomes de gaz rares.

125 BROWN, chap. 14,9 2 . 2 .

Hélium

24,58

Néon

21,56

Argon

15,756

Krypton

13,996

Xénon

12,127

3.14 - NOTIONDE

197

GAINE

Remarque : Les paramètres de la décharge, fixés par l’opérateur, sont la nature du gaz et sa pression, les dimensions de l’enceinte à décharge et, le cas échéant, la fréquence du champ HF entretenant la décharge. Ils constituent les conditions opératoires du plasma.

3.14. FORMATION ET NATURE DES GAINES

A

L’INTERFACE PLASMA-PAROI :

FLUX AUX PAROIS ET

CRITERE

DE

BOHM

Dans un gaz non ionisé, le flux de particules incident sur une paroi, par unité de surface, est égal au flux aléatoire (annexe I) :

1 r = -nu 4

(3.307)

où u E ( w ) est la vitesse moyenne de la distribution de MAXWELL-BOLTZMANN. Dans un gaz ionisé, la situation est différente au voisinage d’une paroi (ou d’une sonde) car la surface peut être portée par l’opérateur à un potentiel défini, mais elle peut a.ussi se charger électriquement par elle-même ; de plus, les particules peuvent s’y recombiner ( 5 1.8). I1 se forme alors, entre le plasma et la paroi, une zone de transition, appelée gaine, que nous allons étudier. Dans ce qui suit, nous considérons le cas d’un plasma hors ETL tel que Te >> Ti 2 O (fond d’ions immobiles) et nous allons supposer que dans la gaine qui se développe à l’interface plasma-paroi, il n’y a pas de collisions.

3.14.1. C A S D’UN POTENTIEL DE PAROI POSITIF PAR RAPPORT AU POTENTIEL DU PLASMA : G A I N E ÉLECTRONIQUE

Ce cas est simple comparé à celui d’une paroi portée à un potentiel négatif. L’évolution du potentiel est représentée sur la figure 3.10. On distingue deux régions : à droite, le plasma, caractérisé par sa neutralité macroscopique (ne = ni),un champ électrique de charge d’espace nul et un potentiel plasma &,, et à gauche, une gaine purement électronique, où les ions, d’énergie supposée faible (ICBT,Y O), sont totalement repoussés vers le plasma par le potentiel répulsif qui se développe à l’interface plasma-paroi. La frontière qui sépare le plasma, rnacroscopiquenient neutre, et la gairie électronique, t,otalement exempte d’ions positifs, s’appelle 1isièr.e de gaine. Cette frontière où se produit la rupture de neutralité est bien définie. Dans le cas d’une surface plane, le flux électronique à la paroi est, égal au flux électronique atteignant la lisière de gaine (conservation du flux dans la gaine non collisionnelle), soit de (3.307) :

1 res= -n,ve 4 ou, encore :

res= n e

(%)’ 2mne

(3.308) 1

.

(3.309)

3

198

-

DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE

44

Lisière

I

électronique Paroi

D’UN PLASMA

+

I

t

I

Figure 3.10

- Evolution du potentiel $(z) et des densités ionique nz et électronique ne à l’interface plasma-paroi dans le cas d’une gaine électronique (x est la disiance à la paroi et I,,, l’épaisseur de la gaine électronique).

q5p est le potentiel du plasma et

$0,

le potentiel appliqué sur la paroi.

Une valeur approchée de l’épaisseur de yaine l,, peut être déduite de la loi de CHILDLANGMUIR qui ~ ~stipule ~ que la densité de courant que peut débiter une diode plane est, limitée par la charge d’espace due aux électrons, ce qui se traduit par une dépendance de la différence de potentiel entre les deux plaques en Dans le cas d’un plasma, c’est l’épaiss’eur de la gaine qui s’ajuste à la densité de courant j , débité par le plasma et à la diffimrence de potentiel 4 0 - $ p . Dans le cas d’une gaine électronique, l’application de ia loi de CHILD-LANGMUIR conduit à :

q5i’2.

(3.310)

soit une épaisseur de gaine électronique

:

(3.311) ~

~

126Pour une diode plane, la densité j e de courant électronique que l’on peut tirer de la surface émettrice (par exemple ruban de tungstène) est donnée par : 3

$2

j , = 2,34 x 10- 6 -(A/m2) d2

où d est la distance entre les deux plaques et

40, la différence de potentiel correspondante.

3.14 - NOTIONDE GAINE

199

Remarque : Dans l’expression (3.309)’le flux électronique à la paroi est fixé par le plasma (Teet n e ) : il est indépendant de la tension appliquée à la paroi (paroi plane).

3.14.2. C A S D ’ U N POTENTIEL DE PAROI NÉGATIF PAR RAPPORT AU POTENTIEL DE PLASMA : GAINE IONIQUE

Ce second cas est plus complexe car, contrairement aux ions, les électrons ont une énergie moyenne beaucoup plus élevée ( ~ B T>, k ~ T Y i O). I1 s’ensuit donc que, si la paroi présente un potentiel attractif pour les ions du plasma, ce potentiel n’est que partiellement répulsif pour les électrons. Cependant, plus la barrière de potentiel à franchir est élevée pour les électrons, moins le flux électronique collecté par la paroi est important. Dans le cas d’une distribution de MAXWELL-BOLTZMANN, le courant électronique effectivement collecté par la paroi ( 4 0 < &) s’écrit : (3.312)

I1 apparaît donc clairement que, dans le cas d’une gaine ionique, les électrons, en fonction de leur énergie, pénètrent plus ou moins profondément dans la gaine ionique qui se forme à l’interface plasma-paroi. Cette fois, la frontière où se produit la rupture de neutralité entre le plasma et la gaine ionique est mal définie et s’étend sur une zone relativement large, comme le montre la figure 3.11. Pour pallier cette difficulté, on divise la zone de transition en deux parties, la gaine ionique proprement dite oii la rupture de neutralité est effective, et la prégaine qui, comme son nom l’indique, précède la gaine, et débute là où les ions commencent à être accélérés par le champ de charge d’espace. En fait, cette division, purement artificielle, permet de définir la Zisière de gaine, entre une région quasi-neutre (la prégaine) dans laquelle seule unc faible partie des électrons est repoussée, et une région non neutre (la gaine ionique) où les ions sont devenus majoritaires. L’évolution du potentiel O(x) est, régie par l’équation de POISSON : (3.313)

Soient n g ,ui et Og respectivement la densité du plasma, la vitesse des ions et le potentiel à la lisière de gaine. La densité électronique dans la gaine est donnée par (1.14) : l’équation de BOLTZMANN

n,(x)= ngexp

4 q

[“‘O“,

(3.314)

La vitesse des ions w,(x), en fonction de leur vitesse 2ig d’entrée dans la gaine, se déduit à partir de la conservation de l’énergie totale sur la distance parcourue dans la gaine : m, (3.315) = 44.Y - 4(.)) . 2

(4(4 $1

La conservation du flux dans la gaine s’écrit

ni(.).i(x)

= ngug

.

(3.316)

3 - DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE D’UN

200

Gaine ionique ......................

Prégaine (ne= ni)

PLASMA

’lasma ne = nz = n)

I

X

Lisière de gaine

f*

40

n

1

..................................................

.......

X

Figure 3.11

-

Evolution du potentiel

4 et

des densités ionique n, et électronique ne

à l’interface plasma-paroi dans le cas d’une gaine ionique (x est la distance à la paroi et l,, est l’épaisseur de la gaine ionique, c,hg et ng le potentiel et la densité du plasma à la lisière de gaine).

Compte tenu de (3.315), nous obtenons la densité ionique dans la gaine

:

(3.317) Sachant qu’en tout point de la gaine ionique, nous devons avoir : %(X)

> %(X) ,

(3.318)

cette condition devant, en particulier, être remplie près de la lisière de gaine, c’est-àdire pour les faibles valeurs de 4(x)- dg.En développant (3.317) et (3.314), au second ordre, en série de TAYLOR, nous obtenons :

Comme ~ ( I c )- q5g est négatif, la condition (3.318) impose, au premier ordre du développement : (3.321)

3.14 - NOTIONDE

201

GAINE

Ce résultat est connu sous le nom de critère de BOHM.I1 signifie que la frontière entre la zone macroscopiquement neutre (prégaine) et la zone où il y a rupture de neutralité (gaine) est située au point où la vitesse des ions, accélérés dans la prégaine, est égale127 à la vitesse acoustique ionique, V B , appelée aussi vitesse de BOHM.En supposant une prégaine non collisionnelle128 et en appliquant la relation (3.315) entre le plasma = O) et la lisière de gaine, le potentiel 4g vaut alors1” :

(3.322)

4g

d’où

= 4P -

(3.323)

Nous en tirons ((3.314) et (3.322)) la valeur de la densité des ions en lisière de gaine

ng = nexp

(-2)

:

(3.324)

et la valeur du flux d’ions, ngvg= ris,collecté à la paroi : (3.325) En appliquant la loi de CHILD-LANGMUIR (3.310) au courant d’ions, nous obtenons l’épaisseur de la gaine ionique (la charge d’espace due aux électrons étant supposée négligeable), soit : 1

. -

9

2:

- 3exp(-+) ’Oe

[4 4 P

- 40)

kBTe

]

(3.326)

Remarque : Dans la plupart des ouvrages, le critère de BOHMest déduit d’une condition mathématique résultant de l’intégration de l’équation de POISSON (3.313), opération qui requiert des conditions aux limites simplificatrices (&,h,/& = O). Dans le développement présenté ici, le critère de BOHMest défini uniquement à partir des conditions pour lesquelles on obtient la rupture de neutralité.

3.14.3. P O T E N T I E L F L O T T A N T Le potentiel flottant correspond à l’égalité des courants ionique et électronique collectés sur une surface. C’est le potentiel pris par une surface isolée (diélectrique ou conductrice) en contact avec le plasma. En effet, si de telles surfaces devaient recevoir plus de charges d’un signe que d’un autre, leur potentiel augmenterait indéfiniment. En régime permanent, celui-ci va donc s’ajuster de manière à collecter autant de 127Pour wug = V B , on vérifie bien, à partir du développement à l’ordre 2 de (3.319) et (3.320), que la condition (3.318) est remplie. 128 En réalité, la prégaine est collisionnelle, car son épaisseur correspond à une fraction du libre parcours moyen des ions en présence des neutres. 129 On note que ce potentiel en lisière de gaine est suffisant pour repousser tous les électrons ayant une énergie ~ r n , winférieure ~ àI ~ ~ T ~ / z .

202

3 - DESCRIPTION HYDRODYNAMIQUE D’UN PLASMA

charges positives que négatives. Ce potentiel en égalant (3.312) et (3.325), soit :

4f, appelé potentiel flottant, est obtenu (3.32 7)

Le potentiel flottant s’ajuste à une valeur suffisamment négative par rapport au potentiel plasma de manière à repousser le nombre adéquat d’électrons pour équilibrer les courants ionique et électronique. Remarques : 1. L’énergie dirigée acquise par les ions dans la gaine est mise à profit dans un bon nombre de procédés de traitement de surface (gravure, dépôt, transformation chimique). On peut accroître l’énergie de ce bombardement ionique en appliquant une tension 40, dite de polarisation, à la surface en contact avec le plasma. Si 4 0 = 4f (gaine ionique sans polarisation appliquée), l,, = AD,. Par contre si & - 4 0 > ~ B T , , alors l,, > AD,.

2. Du point de vue d’une onde, la gaine peut apparaître comme une région de vide si la densité électronique est faible au point que wpe > w ) , cr prend la valeur ne2/m,u (voir (3.170)). où

O

136 Nous faisons l’hypothèse implicite que l’amplitude d’oscillation (ou excursion) de l’électron dans le champ H F (l’équation (2.31)) est plus petite que la plus petite dimension de l’enceinte à décharge (par exemple le rayon R dans une longue colonne cylindrique). C’est le cas en général pour des champs de fréquence dépassant le MHz. 137La mesure du champ électrique dans une décharge H F est généralement très imprécise en raison de la perturbation apportée par l’antenne de mesure. En revanche, la valeur de O peut se déduire simplement de la puissance absorbée par unité de volume, connaissant la valeur moyenne de la densité du plasma (équation (4.4)).

4.2 - TRANSFERT DE PUISSANCE

211

4.2.3. D É C H A R G E S HF EN PRÉSENCE D’UN CHAMP MAGNÉTIQUE STATIQUE

Pour certains procédés de traitement par plasma, il peut être avantageux de fonctionner à la pression de gaz la plus faible possible de façon à réduire d’autant la fréquence de collision dans la décharge. I1 en va ainsi de la gravure anisotrope où l’on souhaite “creuser”, par bombardement ionique, dans un matériau donné, des tranchées à parois parfaitement verticales (figure 1.4). L’accélération des ions, obtenue par polarisation du porte-substrat ou du matériau lui-même, engendre un flux ionique dirigé perpendiculairement à la surface à traiter : moins il y a de collisions modifiant cette trajectoire, plus parfaitement anisotrope (verticale) est la gravure. Comment, cependant, pouvons-nous créer un plasma H F avec une aussi faible fréquence de collision alors que nous avons rappelé, à la section précédente, que l’existence de collisions est essentielle au maintien de la décharge H F ? Pour y arriver, il faut soumettre la colonne de plasma à un champ magnétique statique Bo,dirigé axialement à celle-ci, comme nous allons le montrer. On peut ramener à deux phénomènes principaux l’action d’un champ Bo statique sur une décharge H F : réduction des pertes par diffusion vers les parois des particules chargées et, le cas échéant, transfert résonnant à w,, = w de l’énergie du champ H F aux électrons. Réduction des pertes par diffusion des particules chargées vers les parois

Dans le cas d’un champ Bo dirigé axialement dans une enceinte cylindrique, les particules chargées sont entraînées dans un mouvement soit purement cyclotronique, soit hélicoïdal autour des lignes de champ de Bo suivant que leur vitesse axiale est nulle ou non nulle (0 2.2.2). La diffusion radiale des particules chargées, donc leur perte, se trouve d’autant plus réduite que le rayon de giration cyclotronique qui leur est imposé est petit (très inférieur au rayon de l’enceinte), c’est-à-dire que l’intensité du champ magnétique est élevée. Pour que le confinement magnétique se fasse sentir sur les électrons, il faut qu’il y ait plusieurs girations cyclotroniques entre deux collisions, ce qui impose v O a un

2

+NAI.

(9)

sens physique, en l’occurrence nli = 5’12 x 10” mP3.

Connaissant nli, nous pouvons en déduire ne et no à l’aide des relations (4) et (5) : ne = 5’12 x lo1’ mp3 et no = 9’49 x 1019 mP3. Calculant, en deuxième itération, 3’12 x 1014 mP3.

n2i

avec l’équation (7)’ nous obtenons

n2i 2

b) Cas T,v = 10 eV Ecrivons l’équation de SAHArelative à l’équilibre de première ionisation par rapport à l’état neutre et celle de l’équilibre de deuxième ionisation par rapport à l’état de première ionisation pour l’hélium dans le cas où T,v = 10 elJ : nenii n0

~

2x2 x 9’55 x lo2’ x eë2,45= 3’29 x lo2* m-3 = B1 , 1

EXERCICES

250

Les équations (2) et (1) peuvent être mises sous la forme :

En introduisant leLi expressions de

nli

et n2i dans (10) et (il),nous trouvons :

d'où :

et

d'où Nous pouvons éliminer no en égalant les relations (15) et (17), ce qui fournit une équation du troisième degré en ne :

n,t + (BI)n:

+ [B1(B2- N ) ] n ,

-

2BiB2N = O .

(18)

En ne gardant que la racine positive et réelle de cette équation, nous obtenons ne 2 2,OO x lo2' La densité des neutres se déduit alors de la relation (15) ou (17) : no Y 2,53 x l o 4 m-3. En utilisant les équations (12) et (13), nous trouvons finalement : nli 2 4,17 x 10l2 mP3 et n2i ? 1,OO x lo2' mP3, où lzli ]

(27)

où, dans le second membre de droite, nous avons évalué f m w ? en utilisant les vitesses à l’ordre zéro (équations (17) et (18)),en conformité avec la notion d’invariant adiabatique. I1 apparaît clairement que le membre de droite, du fait de la présence de h, est du premier ordre, donc nul à l’ordre zéro, ce qui entraîne que p est bien une constante.

EXERCICES

306

EXERCICE 2.14 Considérer un champ magnétique statique (champ toroïdal) :

où a est une constante très inférieure à l’unité.

a) Exprimer l’équation du mouvement d’une particule individuelle selon les axes du repère cartésien. Souligner les termes qui sont liés à la courbure des lignes de force di1 champ magnétilque B. b) Déterminer les solutions à l’ordre zéro du initiales sont : w ~ ( 0= ) 0 wy(0) = w y o w,(O)= w,o

mouvement sachant que les conditions

z(0) = T B Y(0) = 0 z(0)= O

(2)

avec T B = wc où wc est la pulsation cyclotronique et cyclotronique.

~ g le, rayon

de giration

c) Montrer ensuite qu’à l’ordre un, on obtient pour w, l’équation suivante :

d) Déterminer la solution de w, de l’équation (3).

SOLUTION a) Ce problème correspond au cas étudié au 5 2.2.3, page 121. C’est la composante de B suivant ê, q.ui est responsable de la courbure des lignes de champ de B . Ce champ satisfait bien aux équations de MAXWELL puisque V . B = O ( 5 2.2.3, page 109) et, aussi, V A B = O. L’équation du mouvement dans un repère cartésien avec E = O, By = O et w, = _ -q B s’obtient des équations (2.7)-(2.9) : m7

w,

=

4 4 - [ B z W y ] = - [Bo(l

w,

=

[B,w, m

=

wc

=

- [-Bzwy] = --[BOCYZWy] = wcazwy

‘Lu,

m

m

4

4

m

[w,

- B,w,]

=

+ cyyz)wy] = -w,w,(l + ax)

4 [Bocyzw, m

-

-

(4)

& ( l +az)w,]

+ a(zw, 4 1 -

(5)

4 m

où les quantités d’ordre un soulignées sont liés à la courbure des lignes de champ (contribution de la composante B,).

EXERCICES DU

CHAPITRE

2

307

b) Pour réduire les équations (4)-(6) à l’ordre zéro, il suffit d’y poser

Q

=O :

w, = -wcwy , wy = wcwx ,

w,

o.

=

Pour déterminer la composante w,, nous commençons par dériver la relation (7) pour y faire apparaître wy : w, = -wcwy

(10)

pour ensuite utiliser (8) et obtenir : w,

+ wzw,

=O

(11)

dont la solution (oscillateur harmonique) est : w, = AI sin wet

+ A2 cos wet ,

(12)

les constantes AI et A2 devant être déterminées au moyen des conditions initiales. Comme w,(O) = O, A2 = O. Quant à Al, nous avons, par intégration de (12) : Al

x = -- COSW,t WC

et comme x ( 0 ) = T B , AI = -TBw,,

d’où :

Pour ce qui est de w u , il vient également wy = Al sin wet

+ A2 cos w,t

,

(16)

wy = wyo COSW,t

ce qui conduit à

y = T B sinw,t

et :

.

Enfin, pour la composante w,, comme w, = O (6), nous obtenons :

et : c) En portant les valeurs des composantes d’ordre zéro de w et r dans les termes affectés de la valeur de QI (équations (4) - (6)), nous trouvons :

w,

(21)

cos2 wet]

=

[wy f

Q?h’yOTB

wy

=

we [w,

+

2

w,

=

QWcWyOw,OtcOSWet .

QI(-TBW, sin w e t cos wet -

w:,t)]

,

(22) (23)

EXERCICES

308

Pour obtenir l’équation de w,, nous procédons comme nous l’avons fait en b), en dérivant, par rapport au temps t , la relation (21) pour ensuite y remplacer wypar sa valeur tirée de (22) :

w, = -wc[wy- 2awyOrBwc cos w,t sin w c t ] ,

w,

+ w:awyOrB sin 2wct ,

TBWyO

c’est-à-dire : 2 w, -t w, w, = aw,2

(24)

d) La solution de l’équation différentielle (24) est la somme de la solution générale sans second membre : w, = A1 cos w,t A2 sin wct (25)

+

et d’une solution particulière avec second membre (pas évidente à proposer !) :

Vérifions que (26) est bien une solution particulière de (24). De ( 2 5 ) et (24)’ en effet :

w,

+ wcw, 2

G

2aw,2rBwyosin2w,t

= -

-awCrBwyo sin 2w,t

5

2

-

W2 cQTBWyO

2

+

sin2wCt w,2awiOt

+ w,”awZot ,

ce qui correspond bien au membre de droite de (24). Fixons les constant,es Al et A2 de l’expression (25) par les valeurs qu’elles prennent en t = O. Comme w,(O) = 0, alors Al = O. Pour Aar nous intégrons la solution complète pour obtsenir 2 : 2

A2 WC

d’où : et. donc :

c’est-à-dire

1Q r B W y 0 aweot2 + -~ COS2WCt+ 2 2wc 2

= -- COSWCt

EXERCICES DU

CHAPITRE

2

309

EXERCICE 2.15 Soit une machine à confinement magnétique linéaire, limitée en ses deux extrémités par des miroirs magnétiques. On peut faire en sorte qu’électroniquement, ces deux miroirs se déplacent l’un vers l’autre, chacun étant animé d’une vitesse 2 i dans ~ le repère du laboratoire. Considérons une particule de charge q et de masse m qui, dans la partie de champ magnétique homogène de la machine, est caractérisée initialement par une vitesse wo telle que W O =~ ~ 0 1 1et, par & i , son énergie cinétique. On ne tiendra pas compte des collisions.

k L

a) Montrer qu’à chaque réflexion sur un des miroirs, la grandeur de la vitesse parallèle de la particule augmente de 2 v ~ . b) Dire pourquoi cette particule finira par quitter le miroir. c) Calculer l’énergie cinétique &, que possède la particule lorsqu’elle quitte le miroir : exprimer &, en fonction de l’énergie cinétique initiale &i et du rapport R = du miroir . d) Déterminer l’expression donnant le nombre de réflexions nque la particule effectuera avant de sortir du système en fonction de V M , &i, R et m.

SOLUTION Dans le repère du laboratoire, la particule de vitesse w o se dirige vers le miroir M, lui-même en mouvement, avec une vitesse U M , en direction de la particule incidente, tel qu’illustré.

M

La vitesse axiale de la particule, dans ce repère, est : (1)

wz = WOll en prenant le signe positif en direction du miroir. Un observateur lié au miroir voit la particule venir vers lui avec une vitesse WzM

= WOll $- V M

:

(2)

EXERCICES

310

et, dans ce même repère, après réflexion (par définition de celle-ci) :

.ItM = -(W01/

+VM)

.

(3)

Pour passer à nouveau dans le repère du laboratoire, on doit soustraire V M à la vitesse de la particule car celle-ci s'éloigne alors plus rapidement, d'où :

-wall

wz

- 2vM

(4)

et la vitesse de la particule, après réflexion, a donc augmenté de 2 v (comparer ~ (1) et (4)).

b) Nous venons de montrer en a) que W I I ,la composante parallèle au champ B de la vitesse de la particule, augmente à chaque réflexion alors que sa composante perpendiculaire w__demeure inchangée avec tu?) = après un nombre n de réflexions. Dans la région uniforme, avant la première réflexion :