Physik für Ingenieure

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Ekbert Hering • Rolf Martin • Martin Stohrer

Physik fiir Ingenieure 9. Auflage

Mit 775 Abbildungen, 102 Tabellen und 2 Falttafeln

Springer

Prof. Dr. rer. nat. Dr. rer. pol. Ekbert Hering Fachhochschule Aalen Prof. Dr. rer. nat. Dr. h.c. Rolf Martin Fachhochschule Esslingen Prof. Dr. rer. nat. Martin Stohrer Fachhochschule fiir Technik Stuttgart unter Mitarbeit von Prof. Dr. G. Kurz, Fachhochschule Esslingen Dipl. Ing. (FH) W. Schulz, vedewa Stuttgart

ISBN 3-540-21036-9 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen NationalbibUografie; detaiUierte bibUografische Daten sind im Internet uber abrufbar. Dieses Werk ist urheberrechtlich geschiitzt. Die dadurch begriindeten Rechte, insbesondere die der Obersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfaltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfaltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulassig. Sie ist grundsatzlich vergutungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer-Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media Springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1995,1997,1999,2002 and 2004 Printed in Germany Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher von jedermann benutzt werden diirften. SoUte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z. B. DIN VDI, VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewahr fiir die Richtigkeit, VoUstandigkeit oder Aktualitat iibernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls fiir die eigenen Arbeiten die voUstandigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils giiltigen Fassung hinzuzuziehen. Einbandgestaltung: Design & Production, Heidelberg Satz: Fotosatz-Service Kohler GmbH, Wurzburg Gedruckt auf saurefreiem Papier

7/3020KK - 5 4 3 2 1 0

Zum Geleit

Physikalische Grundlagen sindfur den Ingenieur unerldfilich, weil sie sowohlprinzipielle Grenzen aufzeigen als auch eine klare Orientierung im schneller werdenden technischen Wandel bieten. Quantentheorie und Festkorperphysik sind derzeit die Schrittmacher des technischen Fortschritts; deshalb wird ihnen in diesem Buch der gebiihrende Platz eingerdumt. Mein Wunsch ist, dafi die Erkenntnisse aus derphysikalischen Grundlagenforschung einen erkennbaren praktischen Nutzen zeigen. So wie der Quanten-Hall-Effekt nicht nur die physikalischen Grundlagen gefordert hat, sondern auch in der Prdzisionsmefitechnik als Widerstandsnormal von Bedeutung ist, sollte die Verbindung zwischen physikalischen Grundlagen und ingenieurmdfiiger Umsetzung enger und effektiver werden. Moge dieses Buch einen Beitrag dazu leisten. P^of. DK Klaus von Klitzing Nobelpreistrdger der Physik 1985

Vorwort zur neunten iiberarbeiteten Auflage In der neunten Auflage wurden das bewahrte strukturierte Konzept und der praxisorientierte Inhalt dieses Lehrwerkes beibehalten. Alle Bilder und Tabellen wurden aktualisiert, die neuesten CODATA-Werte fur die Naturkonstanten angegeben und in manchen Teilen auf klarere Formulierungen geachtet. In der Optik und Akustik wurden die neuen Normen und Festlegungen eingearbeitet. Femer wurden die Kapitel 7 (Akustik) und Kapitel 8 (Atom- und Kemphysik) urn Ubungsaufgaben erganzt. Dank sagen mochten wir hier vor allem Herm Dr. Hubertus von Riedesel und Frau Eva Hestermann-Beyerie vom Springer-Verlag fur die kompetente Betreuung des Werkes. Wir legen groBen Wert darauf, Anregungen, Neuerungen und Verbesserungen in fast alien Abschnitten einzuarbeiten. Besonders gefreut haben wir uns iiber die sehr positive Resonanz zu diesem Buch und die vielen ermuntemden Zuschriften und Verbesserungsvorschlage von Studenten, Kollegen und Mitarbeitern aus den Untemehmen. Stellvertretend fur alle, die dieses Werk verbessern halfen, mochten wir nennen: Herm Magister K. Motz fur das Durchrechnen der Ubungsaufgaben, Hem H. D. Ruter von der Universitat Hamburg fur die kritische Durchsicht der Quantenmechanik, sowie Herm Prof. Dr. J. de Boer, Herm Prof. Dr. K. E. G. Lobner und Herrn Prof. Dr. K.-H. Speidel von der Technischen Universitat Miinchen fur ihre intensive Mitarbeit. Dank sagen wir den Herren Prof Dr. P. Paufler (Technische Universitat Dresden), Prof Dr. O. Krisch (Fachhochschule GieBen-Friedberg) und Herm Dr. G. Wittek (Fachhochschule Kiel) fur ihre Anregungen und unseren Kollegen Prof Dr. J. Massig und Herm Prof Dr. D. Weber von der Fachhochschule Aalen fur die standige, kritische Begleitung. Sehr geme nehmen wir konstmktive Hinweise aus dem sachkundigen Leserkreis auf Aalen, Esslingen und Stuttgart Fnihjahr 2004

Ekbert Bering Rolf Martin Martin Stohrer

VI

Vorwort

Vorwort zur ersten Auflage

Das vorliegende Lehrbuch gibt eine Einfiihrung in die physikalischen Grundlagen der Ingenieurwissenschaften. Es ist das Anliegen des Buches, eine Briicke zu schlagen zwischen grundlegenden physikalischen Effekten und den Anwendungsfeldem der Ingenieurpraxis. Es ist deshalb selbstverstandHch, daB ausschlieBlich SI-MaBeinheiten verwendet werden und in den entsprechenden Abschnitten auf DIN- bzw. ISO-Normen hingewiesen wird. Bei der Stoffauswahl sind besonders die modernen Teilgebiete berucksichtigt, wie beispielsweise Festkorperphysik (einschliefilich Halbleiterphysik und Optoelektronik), technische Akustik, Lasertechnik, Holographie, Klimatechnik und Warmeiibertragung sowie in der Atom- und Kernphysik der quantisierte Hall-Effekt. Ein Sonderabschnitt Strahlenschutz informiert iiber die Strahlenbelastung aus Kernkraftwerken, iiber die physikaUsche und biologische Wirksamkeit radioaktiver Stoffe, die StrahlenmeBtechnik sowie iiber die neuen gesetzhchen Vorschriften zum Strahlenschutz. Zum mathematischen Verstandnis sind die Verfahren der Differential-, Integral- und Vektorrechnung notwendig; allerdings sind die entsprechenden Herleitungen so ausfiihrlich, daB auch der Leser mit geringen Vorkenntnissen zu folgen vermag. Das Buch ist so konzipiert, daB es sich nicht nur an Studenten wendet, sondem auch praktizierenden Ingenieuren die physikalischen Grundlagen zur Einarbeitung in neue Fachgebiete und zur Weiterbildung liefert. Somit ist es auch eine Basis fiir eine flexible berufliche Entwicklung. Im ersten Abschnitt sind die Methode physikalischen Erkennens und der Aufbau der Physik erlautert. Die Physik soil in ihren Zusammenhangen begriffen und nicht als bloBe Aneinanderreihung spezieller physikalischer Gesetze miBdeutet werden. Der Stoff ist in die Abschnitte Mechanik, Thermodynamik, Elektrizitat und Magnetismus, Schwingungen und Wellen, Optik, Akustik, Atom- und Kernphysik, Festkorperphysik sowie Relativitatstheorie eingeteilt. Jedem Abschnitt ist ein Strukturbild vorangestellt, das die jeweiligen Teilbereiche und ihre gesetzmaBigen Zusammenhange aufzeigt. Damit soil das Denken in Zusammenhangen gefordert und den Details ihren Platz im Gesamtgefiige zugewiesen werden. Ubergreifende Darstellungen (z. B. beim Feldbegriff in der Mechanik, Thermodynamik und Elektrizitatslehre) sollen dem Leser dariiber hinaus das universelle Denkkonzept der Physik vor Augen fiihren. Komplizierte Zusammenhange sind in zweifarbigen Skizzen oder durch Rechnerausdrucke veranschaulicht; zahlreiche Bilder aus der Technik vermitteln einen aktuellen Praxisbezug. Um zu zeigen, wie sich die physikalische Erkenntnis durch die Genialitat einzelner Physiker sprunghaft entwickelt hat, sind in den entsprechenden Abschnitten die Meilensteine der Physik und ihre Wegbereiter genannt und im Anhang die Physik-Nobelpreistrager aufgefiihrt. Zur Vertiefung des Verstandnisses enthalten viele Unterabschnitte aus der Ingenieurpraxis stammende Berechnungsbeispiele. Aufgaben (mit Losungen im Anhang) ermdglichen es dem Leser, selbst den Stoff zu iiben und sein physikalisches Wissen zu vertiefen. Um alternative Fragestellungen zu untersuchen und physikalische Sachverhalte graphisch zu veranschaulichen, wurden programmierbare Rechner verwendet. Den Firmen Casio und Sharp, insbesondere den Herren Newerkla und Wachter, mochten wir fur die Bereitstellung programmierbarer Taschenrechner danken. Wir danken unseren akademischen Lehrem und Vorbildern, die uns zur physikalischen Erkenntnis gefiihrt haben, vor allem den Professoren U. Dehlinger, H. Haken, M. Pilkuhn, A. Seeger und C. F. von Weizsdcker, Fiir konstruktive Kritik bedanken wir uns bei unseren Kollegen H. Bauer, M. KdB, P. Kleinheins, G. Kneer, J. Linser und R. Schempp. Frau G. Folz und den Herren K. Schmid und A. Plath danken wir fiir ihre tatkraftige Mithilfe. Der Unterstiitzung vieler Firmen ist es zu verdanken, daB aktuelles Anschauungsmaterial bereitgestellt werden konnte. Hierbei sind besonders folgende Firmenmitarbeiter zu erwahnen: B. Imb (BBC), P. Gradischnig (BMW), D. Stockel und P. Tautzenherger (Rau), M. Mayer (Osram), F. Schreiber (Siemens), H. Garrels

Vorwort

VII

(Varta) und H. Schweikart (Voith). Ganz besonderer Dank gebiihrt dem VDI-Verlag, speziell Herrn Dipl.-Ing. H. Kurt, der das Lektorieren ubernahm und fiir die reibungslose Abwicklung in erfreulicher Atmosphare sorgte. Dabei wurde er in den Abschnitten 2, 3 und 6 von Professor F. Hell in besonders sachkundiger Weise unterstutzt. Zuletzt mochten wir unseren Familien fiir ihre Geduld, ihre moralische Unterstiitzung und ihr groBes Verstandnis danken. Wir hoffen, daB dieses Buch den Ingenieurstudenten eine gute Hilfe beim Erarbeiten physikalischer Zusammenhange und den Ingenieuren in der Praxis ein brauchbares Nachschlagewerk ist Gern nehmen wir Kritik und Verbesserungsvorschlage entgegen. Aalen, Esslingen und Stuttgart, Januar 1988

Ekbert Hering Rolf Martin Martin Stohrer

Inhalt Verwendete physikalische Symbole 1.

Einfiihrung

XIX 1

1.1. Physikalischer ErkenntnisprozeB

1

1.2. Bereiche der physikalischen Erkenntnis

2

1.3. Physikalische GroBen 1.3.1. Definition und MaBeinheit 1.3.2. MeBgenauigkeit 1.3.3. Fehlerfortpflanzung 1.3.4. Kurvenanpassung 1.3.5. Ausgleichsgeradenkonstruktion 1.3.6. Korrelationsanalyse

5 5 9 13 13 15 16

2.

19

Mechanik

2.1. Einfiihrung 2.2. Kinematik des Punktes 2.2.1. Eindimensionale Kinematik 2.2.1.1. Geschwindigkeit 2.2.1.2. Beschleunigung 2.2.1.3. Einfache Spezialfalle 2.2.2. Dreidimensionale Kinematik 2.2.2.1. Ortsvektor und Bahnkurve 2.2.2.2. Geschwindigkeitsvektor 2.2.2.3. Beschleunigungsvektor 2.2.3. Kreisbewegungen

19 19 19 19 22 24 25 25 25 26 28

2.3. Grundgesetze der klassischen Mechanik 2.3.1. Konzept der klassischen Dynamik 2.3.2. Die Newtonschen Axiome 2.3.3. Masse 2.3.4. Kraft

31 31 31 32 33

2.4. Dynamik in bewegten Bezugssystemen 2.4.1. Relativ zueinander geradlinig bewegte Bezugssysteme 2.4.2. Gleichformig rotierende Bezugssysteme

37 37 39

2.5. Impuls 2.5.1. 2.5.2. 2.5.2.1. 2.5.2.2. 2.5.2.3. 2.5.3.

42 42 43 44 44 45 45

Impuls eines materiellen Punktes Impuls eines Systems materieller Punkte Impulssatz Massenmittelpunkt und Schwerpunktsatz Impulserhaltungssatz Raketengleichung

X

Inhalt

2.6. Arbeit und Energie 2.6.1. Arbeit 2.6.2. Leistung, Wirkungsgrad 2.6.3. Energie 2.6.4. Energieerhaltungssatz

47 47 50 51 51

2.7. StoBprozesse 2.7.1. Ubersicht und Grundbegriffe 2.7.2. Gerader, zentraler, elastischer StoB 2.7.3. Gerader, zentraler, inelastischer StoB 2.7.4. Schiefe, zentrale StoBe 2.7.4.1. Elastische StoBe 2.7.4.2. Inelastische StoBe

52 52 53 55 56 56 57

2.8. Drehbewegungen 2.8.1. Drehmoment 2.8.2. Newtonsches Aktionsgesetz der Drehbewegung 2.8.2.1. Drehimpuls eines materiellen Punktes 2.8.2.2. Dynamisches Grundgesetz der Rotation 2.8.3. Arbeit, Leistung und Energie bei der Drehbewegung 2.8.4. Drehbewegungen von Systemen materieller Punkte 2.8.4.1. Drehimpulssatz 2.8.4.2. Drehimpulserhaltungssatz 2.8.4.3. Energieerhaltungssatz 2.8.5. Analogie Translation und Rotation

58 58 59 59 59 60 61 61 61 63 63

2.9. Mechanik starrer Korper 2.9.1. Freiheitsgrade und Kinematik 2.9.2. Krafte am starren Korper 2.9.3. Schwerpunkte und potentielle Energie eines starren Korpers 2.9.4. Kinetische Energie eines starren Korpers 2.9.5. Massentragheitsmomente starrer Korper 2.9.6. Kreisel

63 64 65 67 68 70 74

2.10. Gravitation 2.10.1. Beobachtungen 2.10.2. Newtonsches Gravitationsgesetz 2.10.3. Hubarbeit und potentielle Energie

79 79 81 83

2.11. Mechanik deformierbarer Korper 84 2.11.1. Deformierbarer fester Korper 84 2.11.1.1. Elastische Verformung 85 2.11.1.2. Plastische Verformung 92 2.11.1.3. Harte fester Korper 94 2.11.2. Ruhende Fliissigkeiten (Hydrostatik) und Gase (Aerostatik) 96 2.11.2.1. Druck 96 2.11.2.2. Kompressibilitat 98 2.11.2.3. Raumausdehnungskoeffizient 99 2.11.2.4. Schweredruck 100 2.11.2.5. Auftrieb 102 2.11.2.6. Grenzflacheneffekte 104 2.11.3. Fluide - Stromende Fliissigkeiten (Hydrodynamik) und Gase (Aerodynamik). 107 2.11.3.1. Stromungsfeld 107

Inhalt

3.

XI

2.11.3.2. Grundgleichungen idealer (reibungsfreier) Stromungen 2.11.3.3. Stromungen realer Fliissigkeiten und Gase 2.11.3.4. Anwendungen

109 120 133

Thermodynamik

140

3.1. Grundlagen 3.1.1. Einfiihrung 3.1.2. Thermodynamische Grundbegriffe 3.1.3. Temperatur 3.1.4. Thermische Ausdehnung 3.1.5. Allgemeine Zustandsgleichung idealer Gase 3.2. Kinetische Gastheorie 3.2.1. Gasdruck 3.2.2. Thermische Energie und Temperatur 3.2.3. Geschwindigkeitsverteilung der Gasmolekiile

140 140 140 143 147 149 151 . 151 153 154

3.3. Hauptsatze der Thermodynamik 3.3.1. Warme 3.3.2. Erster Hauptsatz der Thermodynamik 3.3.3. Berechnung der Warmekapazitaten 3.3.4. Spezielle Zustandsanderungen idealer Gase 3.3.4.1. Isotherme Zustandsanderung 3.3.4.2. Isochore Zustandsanderung 3.3.4.3. Isobare Zustandsanderung 3.3.4.4. Isentrope Zustandsanderung 3.3.4.5. Polytrope Zustandsanderung 3.3.5. Kreisprozesse 3.3.5.1. Carnotscher KreisprozeB 3.3.5.2. Technische Kreisprozesse 3.3.6. Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik 3.3.6.1. Reversible und irreversible Prozesse 3.3.6.2. Formulierungen des zweiten Hauptsatzes 3.3.6.3. Entropie 3.3.6.4. Statistische Deutung der Entropie 3.3.7. Thermodynamische Potentiale 3.3.8. Dritter Hauptsatz der Thermodynamik

156 156 159 162 165 165 166 167 167 169 171 172 176 180 180 181 182 185 187 188

3.4. Zustandsanderungen realer Gase 3.4.1. Van-der-Waalssche Zustandsgleichung 3.4.2. Gasverfliissigung (Joule-Thomson-Effekt) 3.4.3. Phasenumwandlungen 3.4.3.1. Thermodynamisches Gleichgewicht 3.4.3.2. Gleichgewicht zvv^ischen fliissiger und gasformiger Phase 3.4.3.3. Gleichgew^icht zwischen fester und fliissiger Phase 3.4.3.4. Koexistenz dreier Phasen 3.4.4. Dampfe und Luftfeuchtigkeit

189 190 192 193 195 196 198 198 199

3.5. Warmeiibertragung 3.5.1. Warmeleitung 3.5.2. Konvektion

203 204 208

XII

Inhalt 3.5.3. 3.5.4.

4.

Warmestrahlung Warmedurchgang

Elektrizitat und Magnetismus

214 217 220

4.1. Physikalische Gesetze und Definitionen 4.1.1. Ladung 4.1.2. Stromstarke 4.1.3. Spannung 4.1.4. Widerstand und Leitwert 4.1.5. Ohmsches Gesetz 4.1.6. Kirchhoffsche Regeln im verzweigten Stromkreis 4.1.7. Schaltung von Widerstand en 4.1.8. MeBbereichserweiterung 4.1.9. Ausgewahlte MeBanordnungen 4.1.10. Klemmenspannung und innerer Widerstand 4.1.11. Schaltung von Spannungsquellen 4.1.12. Elektrische Leistung und elektrische Arbeit

221 221 223 224 225 228 228 230 232 234 235 236 238

4.2. Ladungstransport in Fliissigkeiten und Gasen 4.2.1. Ladungstransport in Fliissigkeiten 4.2.1.1. Dissoziation und Elektrolyse 4.2.1.2. Faradaysche Gesetze 4.2.1.3. Elektrochemische Spannungsquellen 4.2.1.4. Elektrokinetische Vorgange 4.2.2. Ladungstransport im Vakuum und in Gasen 4.2.2.1. Ladungstransport im Vakuum 4.2.2.2. Ladungstransport in Gasen 4.2.3. Plasmastrome

240 240 240 241 243 248 250 250 251 256

4.3. Elektrisches Feld 257 4.3.1. Allgemeiner Feldbegriff 257 4.3.2. Beschreibung des elektrischen Feldes 258 4.3.3. Elektrische Feldstarke und Kraft 259 4.3.4. Elektrische Feldstarke und elektrostatisches Potential 260 4.3.5. Bewegung geladener Teilchen im elektrischen Feld 264 4.3.5.1. Grundlegende Betrachtungen 264 4.3.5.2. Bewegung eines geladenen Teilchens quer zum elektrischen Feld . . . . 266 4.3.5.3. Bewegung eines geladenen Teilchens parallel zum elektrischen Feld . . . 267 4.3.5.4. Elektronenstrahl-Oszilloskop 267 4.3.5.5. Bewegung elektrisch geladener Korper in einer Fliissigkeit und im elektrischen Feld 268 4.3.6. Leiter im elektrischen Feld 269 4.3.6.1. Elektrische Influenz, elektrische Verschiebungsdichte und elektrische Feldstarke 269 4.3.6.2. Kondensator und Kapazitat 272 4.3.7. Nichtleiter im elektrischen Feld, elektrische Polarisation und Permittivitatszahl 276 4.3.8. Energieinhalt des elektrischen Feldes 285 4.4. Magnetisches Feld 4.4.1. Beschreibung des magnetischen Feldes

286 286

Inhalt

4.4.2. 4.4.3. 4.4.3.1. 4.4.3.2. 4.4.4. 4.4.4.1. 4.4.4.2. 4.4.4.3.

Magnetische Feldstarke und Durchflutungsgesetz Magnetische FluBdichte und Kraftwirkungen im Magnetfeld Magnetischer FluB, magnetische FluBdichte Kraftwirkungen im Magnetfeld Materie im Magnetfeld Grundbegriffe Stoffmagnetismus Magnetische Werkstoffe

XIII

287 292 292 293 300 300 301 306

4.5. Instationare Felder 4.5.1. Elektromagnetische Induktion 4.5.1.1. Induktionsgesetz 4.5.1.2. Induktionsvorgange 4.5.1.3. Selbstinduktion 4.5.1.4. Energie des magnetischen Feldes 4.5.2. Periodische Felder (Wechselstromkreis) 4.5.2.1. Grundlagen des Wechselstromkreises 4.5.2.2. Bauelemente im Wechselstromkreis 4.5.2.3. Reihenschaltung von Bauelementen im Wechselstromkreis 4.5.2.4. Parallelschaltung von Bauelementen im Wechselstromkreis 4.5.2.5. Leistung im Wechselstromkreis 4.5.2.6. Drehstrom 4.5.2.7. Transformation von Wechselstromen 4.5.2.8. Elektrische Maschinen 4.5.3. Ein-und Ausschaltvorgange in Stromkreisen 4.5.3.1. Ein-und Ausschalten mit einem Kondensator 4.5.3.2. Ein- und Ausschalten mit einer Induktivitat 4.5.4. MeBgerate 4.5.5. Zusammenhang elektrischer und magnetischer GroBen 4.5.5.1. Vergleich elektrischer und magnetischer GroBen 4.5.5.2. Maxwellsche Gleichungen

312 312 312 313 316 317 318 319 320 320 323 323 326 327 328 331 331 332 334 338 338 340

5.

343

Schwingungen und Wellen

5.1. Schwingungen 5.1.1. Physikalische Grundlagen schwingungsfahiger Systeme 5.1.2. Freie Schwingung 5.1.2.1. Differentialgleichung des ungedampften Feder-Masse-Systems 5.1.2.2. Allgemeine Differentialgleichung der freien, ungedampften harmonischen Schwingung 5.1.2.3. Differentialgleichungen und Losungen spezieller mechanischer Schwingungssysteme 5.1.2.4. Gesamtenergie der freien, ungedampften Schwingung 5.1.2.5. Elektromagnetische Schwingung 5.1.2.6. Freie gedampfte Schwingung 5.1.2.7. Gedampfte elektromagnetische Schwingung 5.1.3. Erzwungene Schwingung 5.1.3.1. Differentialgleichung der erzwungenen Schwingung 5.1.3.2. Losung der Differentialgleichung der erzwungenen gedampften Schwingung 5.1.3.3. Amplitudenresonanzfunktion 5.1.3.4. Phasenresonanzfunktion

343 343 347 347 349 350 354 355 358 363 365 365 365 367 369

XIV

Inhalt 5.1.4. Uberlagerung von Schwingungen 5.1.4.1. Uberlagerung harmonischer Schwingungen gleicher Raumrichtung und gleicher Frequenz 5.1.4.2. Uberlagerung harmonischer Schwingungen gleicher Raumrichtung mit geringen Frequenzunterschieden (Schwebung) 5.1.4.3. Uberlagerung harmonischer Schwingungen gleicher Raumrichtung mit ganzzahligen Frequenzverhaltnissen (Fourier-Analyse) 5.1.4.4. Uberlagerung harmonischer Schwingungen mit ganzzahligem Frequenzverhaltnis, die senkrecht zueinander schwingen (Lissajous-Figuren) 5.1.5. Schwingungen mit mehreren Freiheitsgraden (gekoppeltes Schwingungssystem) 5.1.6. Nichtlineare Schwinger 5.1.7. Parametrisch erregte Schwingungen

5.2. Wellen 5.2.1. 5.2.2. 5.2.2.1. 5.2.2.2. 5.2.2.3. 5.2.3. 5.2.4. 5.2.4.1. 5.2.4.2. 5.2.4.3. 5.2.4.4. 6.

Physikalische Grundlagen der Wellenausbreitung Harmonische Wellen Mathematische Beschreibung harmonischer Wellen Energietransport Phasengeschwindigkeit Doppler-Effekt Interferenz Uberlagerung von Wellen gleicher Frequenz Stehende Wellen Beugung , . . . Uberlagerung von Wellen unterschiedlicher Frequenz

370 370 372 373 376 378 381 382 382 382 386 386 386 387 390 392 . 392 394 397 399

Optik

402

6.1. Einfuhrung

402

6.2. Geometrische Optik 6.2.1. Lichtstrahlen 6.2.2. Reflexion des Lichtes 6.2.2.1. Reflexion an ebenen Flachen 6.2.2.2. Reflexion an gekriimmten Flachen 6.2.3. Brechung des Lichtes 6.2.3.1. Brechung an ebenen Grenzflachen 6.2.3.2. Brechung an einem Prisma 6.2.3.3. Brechung an Kugelflachen 6.2.4. Abbildung durch Linsen 6.2.4.1. Diinne Linsen 6.2.4.2. Dicke Linsen 6.2.4.3. Linsensysteme 6.2.5. Blenden im Strahlengang 6.2.6. Abbildungsfehler 6.2.7. Optische Instrumente 6.2.7.1. Das menschliche Auge 6.2.7.2. Lupe 6.2.7.3. Mikroskop 6.2.7.4. Fernrohr 6.2.7.5. Photoapparat

403 403 404 404 405 409 409 413 416 418 418 422 424 425 426 426 426 429 430 431 434

Inhalt

XV

6.3. Radio-und Photometric 6.3.1. Einftihrung 6.3.2. Strahlungsphysikalische GroBen 6.3.3. Lichttechnische GroBen

435 435 436 441

6.4. Wellenoptik 6.4.1. Interferenz und Beugung 6.4.1.1. Koharenz 6.4.1.2. Interferenzen an diinnen Schichten 6.4.1.3. Interferometer 6.4.1.4. Beugung am Spalt 6.4.1.5. Auflosungsvermogen optischer Instrumente 6.4.1.6. Beugung am Gitter 6.4.1.7. Spektralapparate 6.4.1.8. Rontgenbeugung an Kristallgittern 6.4.1.9. Holographie 6.4.2. Polarisation des Lichtes 6.4.2.1. Einfiihrung 6.4.2.2. Erzeugung von polarisiertem Licht 6.4.2.3. Technische Anwendungen der Doppelbrechung 6.4.2.4. Optische Aktivitat

444 444 444 446 450 452 455 456 459 462 465 468 468 470 473 475

6.5. Quantenoptik 6.5.1. Lichtquanten 6.5.1.1. Lichtelektrischer Effekt 6.5.1.2. Compton-Effekt 6.5.2. Dualismus Teilchen-Welle 6.5.3. Warmestrahlung 6.5.4. Laser 6.5.5. Materiewellen 6.5.5.1. De-Broglie-Beziehung 6.5.5.2. Heisenbergsche Unscharferelation 7.

Akustik

477 477 477 479 . 481 482 483 486 486 488 490

7.1. Einfuhrung

490

7.2. Schallwellen 7.2.1. Schallausbreitung 7.2.2. Schallwandler 7.2.3. Schallwellen an Grenzflachen

490 490 495 499

7.3. Schallempfindung 7.3.1. Physiologische Akustik 7.3.2. Musikalische Akustik

504 504 507

7.4. Technische Akustik 7.4.1. Raumakustik 7.4.2. Luftschalldammung 7.4.3. Korperschalldammung 7.4.4. Stromungsgerausche 7.4.5. Ultraschall

510 510 512 513 516 517

XVI 8.

Inhalt Atom-und Kernphysik

519

8.1. Bohrsches Atommodell 8.1.1. Optisches Spektrum des Wasserstoffatoms 8.1.2. Bohrsche Postulate 8.1.3. Quantenbedingungen nach Bohr/Sommerfeld

520 520 522 524

8.2. Quantentheorie 8.2.1. Hamilton-Operator 8.2.2. Schrodinger-Gleichung 8.2.3. Unscharferelation 8.2.4. Quantenmechanik des Wasserstoffatoms 8.2.5. Quanten-Hall-Effekt 8.2.5.1. Freies Elektron im Magnetfeld (quantenmechanisch) 8.2.5.2. Quanten-Hall-Effekt 8.2.6. Tunnelmikroskop

525 525 528 533 537 541 541 543 546

8.3. Bahn- und Spinmagnetismus 8.3.1. Zeeman-und Stark-Effekt 8.3.2. Elektronen- und Kernspinresonanz

548 549 549

8.4. Systematik des Atombaus 8.4.1. Periodensystem der Elemente 8.4.2. Aufbau der Elektronenhulle

553 553 553

8.5. Rontgenstrahlung 8.5.1. Bremsstrahlung und charakteristische Strahlung 8.5.2. Absorption von Rontgenstrahlung, Computertomographie

555 555 556

8.6. Molekulspektren 8.6.1. Potentialkurve 8.6.2. Rotations-Schwingungs-Spektrum 8.6.3. Raman-Effekt

558 558 560 562

8.7. Aufbau 8.7.1. 8.7.2. 8.7.2.1. 8.7.2.2.

563 563 565 567 570

der Atomkerne GroBe und Ladungsverteilung Kernmodelle Tropfchenmodell Schalenmodell

8.8. Kernumwandlung 8.8.1. Radioaktiver Zerfall 8.8.1.1. Strahlenarten 8.8.1.2. Zerfallsreaktionen 8.8.1.3. Radioaktives Zerfallsgesetz 8.8.1.4. Messung ionisierender Strahlung 8.8.1.5. Anwendung radioaktiver Stoffe 8.8.2. Kernreaktionen 8.8.2.1. Energetik 8.8.2.2. Wirkungsquerschnitt 8.8.3. Kernspaltung und Kernreaktoren 8.8.3.1. Kernspaltung 8.8.3.2. Kernreaktoren

573 573 573 573 576 578 581 586 587 588 590 590 592

Inhalt

8.8.3.3. 8.8.4. 8.8.4.1. 8.8.4.2.

Reaktortypen Kernfusion Fusionsreaktion Experimente zur kontrollierten Kernfusion

XVII

594 596 596 599

1.9. Elementarteilchen 8.9.1. Einteilung 8.9.2. Erhaltungssatze 8.9.3. Fundamentale Wechselwirkungen

601 603 607 608

.10. Strahlenschutz 8.10.1. Wechselv/irkung der Strahlung mit Materie 8.10.2. DosisgroBen 8.10.3. Biologische Wirkung der Strahlung 8.10.4. Dosismessung 8.10.5. StrahlenschutzmaBnahmen

610 610 618 622 625 627

9.

Festkorperphysik

9.1. Struktur 9.1.1. 9.1.1.1. 9.1.1.2. 9.1.1.3. 9.1.1.4. 9.1.2. 9.1.2.1. 9.1.2.2. 9.1.2.3. 9.1.3. 9.1.3.1. 9.1.3.2. 9.1.3.3. 9.1.4. 9.1.5. 9.1.5.1. 9.1.5.2. 9.1.6. 9.1.6.1. 9.1.6.2. 9.1.7. 9.1.7.1. 9.1.7.2. 9.1.7.3.

fester Korper Kristallbindungsarten Van-der-Waalssche Bindung Kovalente (homoopolare) Bindung lonenbindung Metallische Bindung Kristalline Strukturen Kristallsysteme Dichteste Kugelpackungen Richtungen und Ebenen im Kristallgitter Gitterfehler Punktfehler Linienfehler Flachenfehler Amorphe Werkstoffe Makromolekulare Festkorper Struktur und Eigenschaften der Polymerwerkstoffe Spezielle Eigenschaften der Polymerwerkstoffe Ausgewahlte Werkstoffe Verbundwerkstoffe Formgedachtnis-Legierungen Fliissigkristalle Aufbau und Struktur Eigenschaften Anwendungsbereiche

9.2. Elektronen in Festkorpern 9.2.1. Energiebander-Modell 9.2.2. Metalle 9.2.3. Halbleiter 9.2.3.1. Eigenleitung 9.2.3.2. Storstellenleitung 9.2.3.3. pn-Ubergang

633 633 633 633 634 634 635 636 636 637 638 639 639 639 641 641 642 643 644 646 646 650 652 652 653 653 654 654 657 662 663 665 667

XVIII

Inhalt 9.2.3.4. Transistor 9.2.4. Supraleitung

9.3. Thermodynamik fester Korper 9.3.1. Gitterschwingungen 9.3.1.1. Schwingende Gitterbausteine und Phononen 9.3.1.2. Molare und spezifische Warmekapazitat 9.3.1.3. Warmeleitfahigkeit 9.3.2. Effekte im Zusammenhang mit WarmefluB und elektrischem Strom 9.3.2.1. Galvanomagnetische und thermomagnetische Effekte 9.3.2.2. Thermoelektrische Effekte 9.3.3. Piezoelektrizitat

671 674 678 678 678 681 683 . . . 685 685 686 688

9.4. Optoelektronische Halbleiter-Bauelemente 9.4.1. Strahlungsquellen 9.4.1.1. Lumineszenzdioden 9.4.1.2. Halbleiterlaser 9.4.2. Empfanger 9.4.2.1. Absorption elektromagnetischer Strahlung 9.4.2.2. Photowiderstand 9.4.2.3. Photodioden 9.4.2.4. Phototransistor

690 690 690 691 693 693 694 695 698

10.

699

Spezielle Relativitatstheorie

10.1. Relativitat des Bezugssystems

699

10.2. Lorentz-Transformation

701

10.3. Relativistische Effekte 10.3.1. Langenkontraktion 10.3.2. Zeitdilatation 10.3.3. Relativistische Addition der Geschwindigkeiten

703 703 703 705

10.4. Relativistische Dynamik

705

10.5. Spezielle Relativitatstheorie in der Elektrodynamik 10.5.1. Elektrodynamische Kraft 10.5.2. Doppler-Effekt des Lichtes

708 708 709

11.

712

Anhang

11.1. Losungen der Ubungsaufgaben

712

11.2. Nobelpreistrager der Physik

717

12.

Sachwortverzeichnis

725

13.

Periodensystem der Elemente

747

Verwendete physikalische Symbole (Symbole, die in nachfolgenden Abschnitten die gleiche Bedeutung haben, sind nur einmal angegeben.)

2. Mechanik A a c CA CD

^3; «o, « b •••)•• •

verglichen und die Parameter ^0,^1,... der Theorie so gewahlt, daB die theoretischen Werte der physikalischen GroBe / im Rahmen der MeBgenauigkeit mit den MeBwerten iibereinstimmen. Lassen sich die MeBwerte nicht durch die theoretischen Kurven anpassen, so ist entweder die zugrundeliegende Theorie falsch oder die Messung mit systematischen" MeBfehlern behaftet. Eine fiir die theoretisehe Elem^ntarteilchenphysik bahnbrechende experimentelle Untersuchung mit Fehleranalyse zeigt Bild 1-6. 12 nb GeV2

-§12 9

S

QED+WEAK

^

6

-1,0

^4^ii.

• ' / - ^ o - ^ i ^ - ^ 2 ^ ^ -•••)^

Normalgleichungen der Regressionsparameter dFS ^

dFS

d a^

'da.

dFS c'a.

\

Regressionsparameter 1 Standardabweichung IVlittelwerte ^"o

^aO

^^

^a1

^2

^32

Bild 1-7. Funktionen mil einem linearen Normalgleichungssystemfur die Parameter der Kurvenanpassung.

In Bild 1-8 sind fiir die Spezialfalle der linearen, logarithmischen und exponentiellen Regression die Losungen fiir die Mittelwerte und Standardabweichungen der Parameter zusammengestellt. Die Vertrauensgrenzen u^, die die statistische MeBungenauigkeit begrenzen, ergeben sich je nach geforderter statistischer Sicherheit aus dem Faktor t von Tabelle 1-7. Es ist zu beachten, daB bei k Parametern und A^ Messungen die Anzahl der Wiederholungsmessungen n^ = N — k betragt. So ist bei der Regressionsgeraden die Anzahl der Wiederholungsmessungen n^ = N —2. Das Ergebnis der Kurvenanpassung ist

1.3.5. Ausgleichsgeradenkonstruktion Eine zeichnerische Darstellung der MeBpunkte und des Verlaufs der angepaBten theoretischen Kurve eignet sich besonders gut fiir die schnelle Beurteilung, ob die Theorie im Rahmen der MeBgenauigkeit mit den MeBwerten iibereinstimmt. Wird ein linearer Zusammenhang y = m X -\- a zwischen der MeBvariablen X und der MeBgroBe y erwartet, so kann im MeBdiagramm die Ausgleichsgerade auch graphisch durch die MeBwerte gelegt werden. Der Parameter a ergibt sich aus dem Achsenabschnitt der Ausgleichsgerade, m aus der Steigung. Die Standardabweichungen Am und A a der Parameter lassen sich durch 2 Grenzgeraden I und II an die MeBwerte abschatzen, die durch 1 ^ den Schwerpunkt der MeBwerte y^ = — Y^ yi ^

i=\

16

l.Einfuhrung

Einlesen Anzahl MeBpunkte N MeBwertex^.,/. P—_________^ logarithmische

lineare

exponentielle

u.= lnx.

u.= x.

U.= X.

9r^

9r'i

9i= yf

v.= \ny.

N

Aa =±

(1-20 a) + |zf>^s| . (l-20b)

N

\A=Yi 9,

D =E 9>v.

N

N

B= E, 9,u.

E= E

N

9iU,v.

N

C= E 9,uf

F= nF-2a^D-2a^E

CD-BE ^o~ AC-B^

'^°

\

'^'




80

K 0,040

ScO='eO^"'

U"J^

, ^

U ^

-IT*"^

II f"^

0,036 -60-40-20 >

0

°C 120 I

1=1

(1-21 a)

Ausgleichsgerade Grenzgeraden I, II -\-

Schwerpunkt der MeBwerte

Bild 1-9. Graphische Kurvenanpassung Jur das Thermoelement Cu—CuNi an die Eichkurve nach DIN 43 710.

1=1

i=\

(1-21b)

1.3. Physikalische GroBen 120

120 a)

kW o

100

o

•^

80

o

o°

60

b)

kW ? 100 S

v O

o \

O X

17

o

^VO 80

o

o •sOO O

o o c>

c ^^^sp

o

60

o

o

o

o

o^\^

40

40 r = (),45 20 -4

L

0 +2 +4 AuBenlufttemperatur

20 -4

+6 °C +8

3,93 -2

0 +2 +4 +6 aquivalente AuRentemperatur ^^

°C +8

Bild 1-10. Korrelationsanalyse der mittleren tdglichen Heizleistung eines Wohnhauses: a) Zusammenhang zwischen Heizleistung und Aufienlufttemperatur; Korrelation unwahrscheinlich (r < 0,5); b) Zusammenhang zwischen Heizleistung und dquivalenter Aufientemperatur (unter Bemcksichtigung von Sonnenzustrahlung und Windeinflufi); Korrelation wahrscheinlich (r>0,9).

Zur Ubung

mit YJ -^'i A^ '^'

als dem Mittelwert der Merkmale x;,

U 1.3-1: Die Schwingungsdauer eines Fadenpendels wird mit einer Stoppuhr 25mal gemessen. Es ergeben sich folgende MeBwerte:

1 y ^ — ^ j^i ^ '='

als dem Mittelwert des Merkmals >^i

T= 1,21 s; 1,20 s; 1,23 s; 1,19 s; 1,21 s; 1,22 s; 1,18 s; 1.21 s; 1,24 s; 1,20 s; 1,21 s; 1,25 s; 1,19 s; 1,20 s; 1.22 s; 1,21 s; 1,19 s; 1,23 s; 1,21 s; 1,22 s; 1,20 s; 1,24 s; 1,21 s; 1,22 s; 1,20 s.

und X-Vi>^i-7VA--J^ m

••

y x-^ - N x^ ,= 1

als der Steigung der Regressionsgeraden.

Der Korrelationskoejfizlent r ist also proportional zur Steigung m der Regressionsgeraden durch die MeBwerte x.^yi. Nach Gl. (1-21 b) berechnet eine Reihe von Taschenrechnerprogrammen den Korrelationskoeffizienten r. Liegt der Korrelationskoeffizient nahe bei r= 1 (also 0,8 < r ^ 1,0), etwa entsprechend Bild 1-lOb, dann besteht mit groBer Wahrscheinlichkeit eine lineare Beziehung zwischen den MeBwerten bzw. Merkmalen y^ und ncQmmp»n hcjrjfr

'7\]i/icr'hp»n

K(=»iHp

Merkmalen y^ und X[ ist unwahrscheinlich, wenn der Korrelationskoeffizient wie in Bild 1-lOa im Bereich 0 ^ r < 0,5 liegt.

a) Berechnet werden soil der wahrscheinlichste Wert der Schwingungsdauer. b) Wie groB ist die Standardabweichung und damit die Genauigkeit des MeBverfahrens? c) Wie groB ist die Standardabweichung des arithmetischen Mittelwerts? d) Welchen Wert hat die Grenze u^ des Vertrauensbereichs, wenn eine statistische Sicherheit von /^ = 95% verlangtwird? U 1.3-2: Die Warmeleitfahigkeit ?. eines Stoffes wird im Plattengerat nach DIN 52 612 unter stationaren Temperaturbedingungen aus der Messung der Probendicke s, der Kantenlangen a und b der plattenformigen Probe, aus den Oberflachentemperaturen T, und T2 auf der Kalt- und Warmseite sowie aus dem Warmestrom 0 durch die Probe bestimmt. Es gilt 2=

0s ab{T2-T,)

Die MeBwerte bei einer Leichtbetonprobe sind 0= (16±0,1)W, s = (80±l)mm, fl=(500±l)mm,

b =(495+1) mm, T2= (15 ± 0,1) °C, T, = (6±0,1)°C.

18

1. Einfuhrung

a) Wie groB ist der wahrscheinlichste Wert der Warmeleitfahigkeit? b) Wie groB ist die Standardabweichung s^ der Warmeleitfahigkeit ? c) Wie groB ist der relative GroBtfehler der Warmeleitfahigkeitmessung ? U 1.3-3: Fiir das Thermoelement-Material Cu-CuNi soil die thermoelektrische Beziehung fiir die Bezugstemperatur i9o = 0 °C an die Werte der DIN 43 710 rechnerisch und graphisch angepaBt werden. Zu bestimmen sind die wahrscheinlichsten Werte der Thermomaterialkonstanten a^ und ^2 und der Vertrauensbereich fiir eine statistische Sicherheit P = 68,3%. Auszug aus der Wertetabelle nach DIN 43 710 fiir Cu-CuNi: 30

-20

-10

-1,50

-1,14

-0,77

-0,39

^/°C

-40

^th/mV

S/°C

0

+10

+ 20

+ 30

+ 40

t/th/mV

0

+0,40

+0,80

+1,21

+1,63

^/°C

+ 50

+ 60

+ 70

+ 80

^th/mV

+ 2,05

+2,48

+2,91

+3,35

.9/°C

+ 90

+ 100

+ 110

+ 120

tion und wird aus den lokalen Klimadaten berechnet. Fur einen 17tagigen MeBzyklus ergeben sich folgende Daten: TagNr.

mittlere tagliche Heizleistung kW

mittlere AuBenlufttemperatur °C

aquivalente AuBentemperatur °C

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

85 81 67 93 81 88 102 73 65 64 78 65 81 74 65 52 59

2,3 1,5 0,6 0,6 3,2 2,8 2,2 6,0 6,2 3,4 1,0 0,5 1,8 3,0 4,0 4,4 5,3

0,8 0,4 3,2 -3,0 1,2 -0,7 -2 0,6 4,2 3,5 0,2 2,0 0,7 1,4 2,6 4,4 3,4

a) Wie groB sind die Steigung und der Achsenabschnitt der Regressionsgeraden bei der Abhangigkeit der mittleren Heizleistung von der AuBenlufttemperatur bzw. von der aquivalenten AuBentemperatur (Bild 1-10)?

b) Beurteilt werden soil anhand der Korrelationskoeffizienten die Abhangigkeit der mittleren Heizleistung von den beiden Parametern AuBenU 1.3-4: Bei der energetischen Analyse eines Mehrlufttemperatur und aquivalenter AuBentemperafamilienhauses mit Zentralheizung wird die Abhantur. gigkeit der mittleren Heizleistung je Tag von der c) Wie groB sind die Standardabweichungen der mittleren AuBenlufttemperatur untersucht. In einem Steigung und des Achsenabschnitts bei den beiweiteren Schritt wird zum Vergleich der Zusamden Regressionsgeraden? menhang der Heizleistung mit einer aquivalenten d) Wie groB sind die Vertrauensbereiche fiir die AuBentemperatur analysiert. Diese beriicksichtigt Steigung und den Achsenabschnitt der Regresdie Einflusse der Sonnenzustrahlung, der mittleren sionsgeraden bei der statistischen Sicherheit Windgeschwindigkeit an den AuBenflachen und die Warmespeicherfahigkeit der AuBenwandkonstrukP = 68,3%?

^th/mV

+ 3,80

+4,25

+4,71

+ 5,18

2.2. Kinematik des Punktes

2. Mechanik 2.1. Einfiihrung Die Mechanik ist der Teil der Physik, der sich mit der Zusammensetzung und dem Gleichgewicht von Kraften, die auf einen ruhenden Korper wirken (Statik), mit Bewegungsvorgangen (Kinematik) und den Kraften als Ursache der Bewegung (Dynamik) befaBt. Die Dynamik wird auch als Kinetik bezeichnet Oder dient als Sammelbegriff fiir Statik und Kinetik. Eine Ubersicht iiber die Bereiche der Mechanik, die Zusammenhange zwischen ihren Teilgebieten und ihren wichtigsten Beziehungen vermitteltBild2-l. Die Mechanik nimmt unter den Teilgebieten der Physik eine besondere Stellung ein. Die planmaBige Erforschung der Naturgesetze begann im 16. und 17. Jahrhundert in der Mechanik. So wurde beispielsweise durch die Fallversuche von Galilei (G. GALILEI, 1564 bis 1642) erstmals das gezielte Experiment als Hilfsmittel wissenschaftlicher Erkenntnis in der Physik eingefiihrt (Abschn. 1.1, Bild 1-1). Galileis Untersuchungen zur Dynamik wurden von Huygens (CHR. HUYGENS, 1629 bis 1695) fortgefiihrt und von Newton (I. NEWTON, 1643 bis 1727) zu einem gewissen AbschluB gebracht. Auf den Newtonschen Axiomen fuBt das ganze Gebaude der klassischen Mechanik, die ihm zu Ehren auch als Newtonsche Mechanik bezeichnet wird. Die allgemeinen Begriffe der Mechanik, wie z. B. Masse, Kraft, Arbeit, Energie und Impuls, und ihre mathematischen Methoden, wie z.B. die Beschreibung von Bewegungsablaufen mit Hilfe von Differential- und Integralgleichungen, sind fiir die ganze Physik von grundlegender Bedeutung. Die auBerordentlichen Erfolge der Newtonschen Mechanik beispielsweise auch in den Gebieten Astronomic und Warmelehre nahrten lange Zeit den Glauben, daB sich alle Naturerscheinungen auf die Mechanik zuruckfiihren lieBen. Um die Wende vom 19. ins 20. Jahrhundert wurde klar, daB dies bei der Elektrodynamik nicht moglich ist. Ferner erkannte man, daB die Newtonsche Mechanik ganz klare GUltigkeitsgrenzen hat. So liefert die

19

klassische Mechanik falsche Voraussagen, wenn sich Objekte mit sehr groBer Geschwindigkeit (insbesondere nahe Lichtgeschwindigkeit) bewegen. Dort wird sie abgelost von der durch Einstein (A. EINSTEIN, 1879 bis 1955) begriindeten relativistischen Mechanik. Im Bereich der atomaren Dimensionen versagt die klassische Mechanik ebenfalls: Mikroobjekte gehorchen der Quantenmechanik (Abschn. 1.2, Bild 1-3). In diesem Abschnitt werden lediglich Gesetze der klassischen Mechanik beschrieben (Bild 2-1).

2.2. Kinematik des Punktes Die Kinematik hat zur Aufgabe, die Bewegung von Korpern zu beschreiben. Dies geschieht durch die Angabe von Ortskoordinaten und deren Zeitabhangigkeit. Bei komplizierten Gebilden konnen einzelne Teile ganz verschiedene Bewegungen ausfiihren. So ist etwa bei einem fahrenden Auto die Bewegung eines Punktes der Karosserie vollig verschieden von jener eines Punktes auf einem Reifen. Fiir die vollstandige Beschreibung des Bewegungszustands eines Systems sind demnach unter Umstanden viele Angaben erforderlich. Da aber jedes System aus einzelnen Punkten zusammengesetzt ist, hat die Beschreibung der Bewegung eines einzelnen Punktes eine vorrangige Bedeutung. In diesem Abschnitt ist deshalb ausschlieBlich die Kinematik des einzelnen Punktes beschrieben. Die Kinematik der starren Korper wird in Abschn. 2.9.1 erlautert. Die Kinematik befaBt sich nicht mit der Frage nach der Ursache einer bestimmten Bewegung. Dies ist Aufgabe der Dynamik oder Kinetik. Die Kinematik ist eine reine Bewegungsgeometrie. 2.2.1. Eindimensionale Kinematik 2.2.1.1. Geschwindigkeit Eindimensional ist die Kinematik eines Punktes, wenn die Bewegung nur auf einer vorgegebenen Bahn erfolgt, wie es beispielsweise bei Schienenfahrzeugen und Werkzeugschlitten der Fall ist. Eindimensional wird die Bewegung deshalb genannt, weil zur eindeuti-

20

2. Mechanik MECHANIK

1 test

flussig

gasfdrmig

Masse m

Massenelement dm = pd V

Massenelement dm = pdV

1

I

Hydromechanik

Aeromechanik

1 kein Feld

Mechanik des starren KSrpers

— •

VektorRechnung

Strdmungsmechanik

Rotation

Ursache

—u~ ^

Wirkung

Ursache

ma = my(t)

IMa

^Fa{r) = ma = ml'

Ja 1 I M a = J a = Jcp

rXF=Ma

Energie E

Impuisp P=

GravitationsKraft

^ DrehimpulsL L=Jix}=yMa(t)dt

= 0

l-Mdt) = 0

ImpulsErhaltung

DrehimpulsErhaltung

EnergieErhaltung

Reibungsmoment

Reibungskraft FR

Energie E E = /M(cp)d0

Av

(\v

At

dt

= V.

(2-5)

Die Beschleunigung kann anschaulich interpretiert werden: Die Beschleunigung ist die Steigung der Kurve in einem Geschwindigkeit-ZeitDiagramm. Beispiel 2.2-2: Bei einem mathematischen Pendel hangt an einem Faden ein kleiner Korper mit vernachlassigbarer Ausdehnung. Die Geschwindigkeit dieses

a)

m/s 0)

0,2

0,4

0,6

0,8 s 1

Zeitr b)

1m/s2

^ ( r = 0,5 s)

0,5 0

0,2

0,4

\ b , 6 0,8 s i

-0,5 -1 Zeitr

Bild 2-5. Beschleunigte Bewegung (Beispiel 2.2-2). a) Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm, b) Beschleunigung-Zeit-Diagramm. Massenpunktes wird durch die Beziehung v{t) = 0,25 m/s • sin (3,14 s~* /) beschrieben und ist in Bild 2-5 a dargestellt in der Zeitspanne 0 ^ / ^ 1 s. Wie lautet der Ausdruck fiir die Beschleunigung des Punktes? Wie groB sind die Extremwerte? Losung: Fiir die Beschleunigung gilt a = dv/dt = 0,79 m/s^ • cos(3,14 s'^ /). Die Extremwerte sind fl^ax = i 0 J 9 m/s^ bei / = 0 bzw. / = 1 s. Den Verlauf zeigt Bild 2-5 b. Liegt die a, /-Kurve vor (z. B. mit einem Beschleunigungsaufnehmer gemessen), dann ergibt sich daraus die v, /-Kurve durch Integration: v(tx) = v^^\

a(Od/

(2-6)

^0

mit 1^0 als der Geschwindigkeit zur Zeit /QDie rot eingezeichnete Flache in Bild 2-5 b stellt beispielsweise die Geschwindigkeit zur Zeit /j = 0,5 s dar. Weil die Beschleunigung analytisch vorliegt, kann sofort integriert werden. Man erhalt 0,5 s

i;(0,5s)= j 0,79m/s2-cos(3,14s-'0d/ 0

= 0,25 m/s.

2.2. Kinematik des Punktes

i^

V

\

s s oj

\

bO ^

a

\\ \

V

i*-

\ \

\\ \\

J

^

s — •'>f

CO

-^

1

\^ \^ "^ \ ""^ ^ \ \ \ \\\

\

\\[

CO

•*>J

i

,I

s s c^

N.

^^

CO

Co'

\

1

'" N

'*»

4 \

tob oj

\\

V

(5

X

CO

(0°

1

i "^ x .X

*-

\

4 \

"*p

>

^

1

^ ^°

^•^

:^

z^^ ^3

+

0

K» ;i

0

1

1

0 Jo

0

"'~-»^

+

1>3

II o

03

+0

fN

0

+

^

a

0 Ci d/ '

R = n + FU + F\. 4w k - + ... + FL = ^2k + F L + FA

dPk dt

und so fort. Zusammenfassend ergibt sich k= l

(2-51)

m

. + n.=

und so fort;

ih-in+

k=l

dp2 dt

F 2 = F | + Fi2 +

k=l

Z ^k • '•k (0 h{t)-

i ^'k=i%. j,k=l j4=k

k=l

(2-48)

a/

Bei der Summation sind die nicht existierenden Krafte Fi^ wegzulassen. Nach dem dritten Newtonschen Axiom gibt es fur jede auftretende innere Kraft Fjy^ eine entsprechende Gegenkraft F^j. Diese beiden Krafte kompensieren sich; deshalb vereinfacht sich das Gleichungssystem (2-48) erheblich. Die Gesamtsumme der inneren Krafte verschwindet:

Hierbei ist w = XI ^ k die Gesamtmasse des k=l

Systems und r^ der Ortsvektor des einzelnen materiellen Punktes. Weisen Systeme aus gleichen Massenpunkten eine Symmetrieachse auf, dann liegt der Massenmittelpunkt auf dieser Achse. Die Geschwindigkeit des Schwerpunktes ergibt sich durch die Differentiation von Gl. (2-51) zu n

dt

^^v)-

m

n

ZFk(0 k=l

m

^P^ m

Bezogen auf die Schw^erpunktsbewegung v^ laBt sich der Impulssatz aus Gl. (2-50) um-

2.5. Impuls formen in den Schwerpunktsatz = m dv^/dtodQY F^=ma^.

F^ =

dp/dt

(2-52)

Der Schwerpunkt eines beliebigen Systems materieller Punkte bewegt sich so, als sei im Schwerpunkt die Gesamtmasse m des Korpers vereinigt, und als griffen die auBeren Krafte im Schwerpunkt an. Wirken auf ein System von Massenpunkten keine auBeren Krafte, dann bleibt der Massenmittelpunkt nach dem Newtonschen Tragheitsgesetz in Ruhe, oder er bewegt sich gleichformig geradlinig.

45

Losung: Aus den Bremsspurlangen werden die Geschwindigkeiten v\ und V2 kurz nach dem Aufprall berechnet: Bremsverzogerung: a^ = (F^ — Fii)/m

^B = v'^/2 a^,

Bremsweg:

Geschwindigkeiten nach dem StoB: v\ = ]/2si a^ = 8,3 m/s; V2 = ]/2s2aB = 10,6 m/s. Mit dem Impulserhaltungssatz nach Gl. (2-54) berechnet man die Auffahrgeschwindigkeit Vi: mi v'l +

m2V2

= 16,4m/s = 59km/h.

2.5.2.3. Impulserhaltungssatz

2.5.3. Raketengleichung

Wirkt auf ein System materieller Punkte keine resultierende auBere Kraft, ist also

Die Beschleunigung einer Rakete ist der besondere Bewegungsfall, bei dem die Masse des Korpers, der eine Bewegungsanderung erfahrt, nicht konstant ist. Durch den MassenausstoB heiBer Gase gemaB Bild 2-29 wird die Schubkraft der Rakete erzeugt. In der Zeitspanne dt andert sich die Raketenmasse m um dm, die Geschwindigkeit v andert sich um dv.

n

X ^k = 0, dann ist nach Gl. (2-50) dp/dt = 0. k=l

Der Gesamtimpuls des Systems p ist konstant. Fur die Summe der Einzelimpulse des Systems gilt der Impulserhaltungssatz

(2-53) Pi + ^2 + • • • + Pn = konstant oder mi Vi -\- m2 V2 + ... -\- m^ Vj^

IliS.

^

= miV\-\-m2V2 + ...+m^v!^. (2-54) d/77T

Wirken auBere Krafte, wie beispielsweise beim StoB auf einer schiefen Ebene, so gilt der Impulserhaltungssatz - eingeschrankt auf die Zeitpunkte kurz vor und kurz nach dem StoB - , wenn die Wirkung der auBeren Krafte im StoBintervall vernachlassigbar ist. Beispiel 2.5-2: Ein Pkw mit der Masse mi = 1,3 t fahrt auf einer abschussigen StraBe mit dem Neigungswinkel ^=5° auf einen stehenden Wagen mit der Masse W2 = 11 auf Nach dem Aufprall rutscht der gestoBene Wagen vollgebremst ^2 = 8 m weit. Die Bremsspur des auffahrenden Wagens ist ^i = 5 m lang. Bei den StraBenverhaltnissen betragt die Gleitreibungszahl JUQ = 0,8. Mit welch er Geschwindigkeit Vi fuhr der Pkw auf, wenn ein gleichmafiig verzogerter Bremsvorgang angenommen wird?

-m

t + dt

m + dm ||i|||||||i|li^ iiiililiiiliiill^

v + dv ^

Bild 2-29. Massen und Geschwindigkeiten von Rakete und Treibstoff zur Zeit t und t-\- dt. Mit dem Impulssatz nach Gl. (2-50) laBt sich der Verlauf der Raketengeschwindigkeit, die Raketengleichung, ableiten. Die Impulsanderung des Systems aus Rakete und Gas im Zeitintervall dt ist dp = [(m + dm) (v + dv) -h dmj Vj] — m v oder mit dmj = - dm dp = m dv - dm [Vj - (v -\- dv)]. Mit der v,^i =

Strahlgeschwindigkeit vj-{v^dv).

46

2. Mechanik

mit der sich das Treibgas relativ zur Rakete entfernt, lautet der Impulssatz ^

dp

dv

dm

Die fiir den Raketenantrieb charakteristische Schubkraft ist

Die Bewegungsgleichung der Rakete hangt von der Schubkraft /'schub ^^d den auBeren Kraften F^, wie beispielsweise den Gravitationskraften, ab:

Mit folgenden Naherungen soil Gl. (2-56) integriert werden: — Der Treibstoff wird im Zeitintervall 0 ^ t ^ /B bis zur BrennschluBzeit ^B ausgestoBen; — die Relativgeschwindigkeit t^rei ist wahrend der Brennzeit konstant; — der Massenstwm m der ausgestoBenen Treibgase ist konstant. Ist mo die Anfangsmasse, bestehend aus Rakete und Treibstoff, und mieer die Masse der ausgebrannten Rakete, dann ist der Massenstrom m o - mieer

m=

h und die Abnahme der Raketenmasse m(t) = mQ — m t.

(2-57)

In Tabelle 2-4 sind einige charakteristische Daten der Saturn-V-Rakete angegeben, mit Tabelle 2-4. P a t e n der Mondrakete Saturn V mit dem Treibsatz der ersten Stufe. Startmasse WQ Leermasse wjeer BrennschluBzeit t^ Relativgeschwindigkeit v^^i Massenstrom m Schub Fschub

2,9- 10^ kg 0,82- 10^ kg 160 s 2,6 • 10^ m s-i 1,3- lO^kgs-i 3,4- 10^ N

der 1969 das amerikanische Apollo-Raumschiff die erste bemannte Mondlandung durchfiihrte. Die erreichbare Endgeschwindigkeit hangt linear von der Ausstromgeschwindigkeit t^rei ab. Bei mehrstufigen Raketen wird die ausgebrannte Stufe abgeworfen. Der Start der nachsten Stufe erfolgt mit der Endgeschwindigkeit der Vorstufe als Anfangsgeschwindigkeit i^oErfolgt der Start der ersten Stufe der Rakete im Schwerefeld der Erde, dann ist als auBere Kraft die Gravitationskraft auf die Rakete zu beriicksichtigen. Die Gravitationskraft ist der Schubkraft entgegengerichtet. Werden fiir die Startphase der Luftwiderstand und die Anderung der Fallbeschleunigung mit der Steighohe vernachlassigt, rechnet man also mit 9 = do = konstant, dann ist die auBere Kraft Fa, = m{t) QQ. Fur den Betrag der Beschleunigung gilt

Durch Integration ergibt sich fiir den Betrag der Geschwindigkeit mo mo — m t

V (0 = i;rei In

•got

+ VQ.

(2-59)

Beim Start von der Erdoberflache mit der Anfangsgeschwindigkeit i^o = 0 erhalt man fur die BrennschluBzeit t^ die Endgeschwindigkeit

(2-60)

V (h) = t'rel In \Wleer/

(Raketengleichung nach K. ZIOLKOWSKIJ (1857 bis 1935).) Durch eine weitere Integration folgt aus Gl. (2-59) die Hohe h (t) der Rakete iiber der Erdoberflache:

h(t) =

^rei ('^o

-rht)

(2-61)

m mo m^ — mt

1-ln

mo mQ — m t

100?'.

2.6. Arbeit und Energie

47

Zur tJbung

Bei BrennschluB t^ ist die Hohe

U 2.5-1: Auf einer ebenen Unterlage liegt eine Kugel (Masse m = 2,0 kg). Die Kugel wird parallel zur Unterlage mit einem Hammer angeschlagen. Die Kontaktzeit ist t = 5 ms, die mittlere Kraft i^= lOON. a) Wie groB sind Geschwindigkeit und Impuls der Kugel nach dem StoB; b) Wie groB ist die Beschleunigung wahrend der StoBzeit?

Mit der Geschwindigkeit I'(^B) aus Gl. (2-60)

erreicht die Rakete nach BrennschluB noch (GL (2-10)). eine Steighohe h, = v^{t^)/2gQ Der Bahnscheitel des senkrechten einstufigen Raketenaufstiegs liegt nach dieser Naherungsrechnung in der Hohe /ztotai uber Startniveau gemaB

U2.5-2: Bin Auto hat die Masse m= 1000 kg. Es fahrt mit r = 50 km/h geradeaus. Welche Impulsanderung A/? - nach Betrag und Richtung - muB aufgebracht werden, um eine Richtungsanderung von 120° zu bewerkstelligen, ohne den Betrag der Geschwindigkeit v zu andern? U 2.5-3: Die Mondmasse w^ betragt etwa 0,0123 m^ (m^ = Erdmasse). Der Abstand zwischen Erdmittelpunkt und Mondmittelpunkt ist R^u = 3,8 • 10^ km, der Erdradius R^ = 6370 km. Wo liegt der Massenmittelpunkt S des Systems Erde und Mond? U 2.5-4: Beim spontanen radioaktiven Zerfall sendet ein U-238-Kern ein a-Teilchen gemaB folgender Reaktion aus:

In Bild 2-30 ist jeweils der Verlauf der GeH | U ^ 2 3 U h + !He. schwindigkeit fur den Fall, daB - wie im Weltraum - keine auBere Kraft wirkt (^o = 0), Die Geschwindigkeit des a-Teilchens wird zu und fiir den Fall, daB der Start gegen die I'a = 1,4 • lO^m/s gemessen. Welches ist die GeErdgravitation erfolgt, wiedergegeben. Den schwindigkeit i;jh cles RiickstoBkems Thorium? angegebenen Zahlenwerten liegen die Daten U 2.5-5: Wieviel Treibstoff muB eine Einstufenrader Startstufe der Saturn V-Rakete nach Takete aufnehmen, damit sie nach Verbrennen des gebelle 2-4 zugrunde. samten Treibstoffs die erste kosmische Geschwindigkeit von V = 7,9 km/s erreicht? Die Leermasse der Rakete ist Wieer = 1000 kg, die Ausstromgeschwindigkeit gegen die Rakete ist v^^i = 3000 m/s, die BrennschluBzeit ist /B = 120 s. Unterscheiden Sie zwischen einem „Start" im Weltraum auBerhalb des km Graviationsbereichs eines Himmelskorpers und einem Start im Schwerefeld der Erde.

«

2 II

/

r

I'

2.6. Arbeit und Energie 2.6.1. Arbeit

I ^

O 50

100

150

Zeit t Bild 2-30. Geschwindigkeit der Saturn-V-Rakete (1. Stufe) bei senkrechtem Start auf der Erde mit ndherungsweise konstantem Schwerefeld (I) und ZUndung im Weltraum ohne Einwirkung dufierer Krdfte (II).

Wirkt eine Kraft F auf einen materiellen Punkt Oder Korper und verschiebt ihn dabei um ein Wegelement A*, so hat die Kraft den Zustand des Korpers verandert, sie hat Arbeit verrichtet. Die mechanische Arbeit ist definiert als

^w=\F\ \^s\co^{F,^s)

(2-64)

48

2. Mechanik

entsprechend Bild2-31 oder in different!eller Schreibweise als Skalarprodukt (2-65)

dW=F'ds.

Die insgesamt langs eines Weges von s^ nach 52 von einer Kraft F{r, t) verrichtete Arbeit ergibt sich durch Integration der Einzelbeitrage, wie Bild 2-32 verdeutlicht:

Bild 2-3L Zur Definition der Arbeit.

^2

^2

W^2=\ dW=\ S\

F'ds.

(2-66)

Si

Nach der Definitionsgleichung (2-64) ist die MaBeinheit der Arbeit 1 N m = 1 J (Joule). In Bild 2-33 sind Falle zusammengestellt, bei denen die Kraft F Arbeit gegen ortsBild 2-32. Arbeit einer ortsabhdngigen Kraft F (x, y) unabhangige Krafte verrichtet. Dazu zahlen die im erdnahen Gravitationsfeld naherungsIdngs des Wegs von s^ (x^,yj nach s^ (X2,y2). Geometric

Hubarbeit gegen Gewichtskraft

1

i

erforderliche konstante Kraft

Weg

verrichtete Arbeit

F = mg

s = hi— h\ = h

Wi2 = m g h nur abhangig von der Hohendifferenz

F= mg since

s=

F = MF^

S = $2 — Sx

F

() - 0

Arbeit auf reibungsfreier schiefer Ebene gegen Hangabtriebskraft

s

F F H ^

h sin a

h

i a

Wi2 = mgh nur abhangig von der Hohendifferenz

M FG

Festkorperreibungsarbeit gegen Reibungskraft FR

= jumg

F

-^

»-

=

Wi2 = Mf^Q

s

Reibungszahl ^ auf Weg konstant

».

1

Beschleunigungsarbeit ohne Reibung gegen Tragheitskraft F^

^t

r O

n

F=

h

:>

(

s

Bild 2-33. Arbeit gegen ortsunabhdngige Krafte.

ma

2a

V^i2 = im(vl-v^) nur abhangig von Anfangs- und Endgeschwindigkeit

2.6. Arbeit und Energie

Verformungsarbeit

System

Kraftgesetz

Feder-Masse-System

'nick

Arbeit

^ -^

normiert: H^= 0 fiir Xi = 0 I

•

X

Xy

Hubarbeit gegen die Gravitationskraft

49

Zentralgestirn und Satellit

Fr.= ^G =

X2

X

mM r - y G — 2 —

r^

X-i

X

lVi2 = yGMm\ r,

r

r2

normiert: W^ = 0 fiir ^2 -• oo

FrA

Wk

Bild 2-34. Arbeit gegen ortsabhdngige Krdfte. weise konstante Schwerkraft FQ und die von ihr verursachte Hangabtriebskraft sowie die auf dem Verschiebungsweg konstante Festkorperreibungskraft F R . Mit aufgenommen ist die Beschleunigungsarbeit gegen die Tragheitskraft F^ der beschleunigten Masse (Gl. (2-33)):

Wn^Fds S2

I

ken wird nicht mehr gegen konstante Krafte geleistet. Bild 2-34 enthalt fur diese Falle ortsabhangiger Krafte die Integration von Gl. (2-66). Die Arbeit entspricht dabei der Flache zwischen der Kraftkurve und der Wegachse innerhalb der Integrationsgrenzen.

Beispiel ^ ^ \

2.6-1: Wie groB ist der Arbeitsaufwand beim Dehnen Oder Stauchen einer idealen Feder?

V2{S2)

Losung: Die Integration zeigt, daB die Beschleunigungsarbeit nur von der Differenz der Quadrate der Geschwindigkeiten abhangt: Wnn=2^i^2=

v]).

(2-67)

Nach Gl. (2-32) gilt als lineares Kraftgesetz fiir die Federauslenkung /^riick = — ex. Beim Stauchen oder Dehnen halt die Kraft F der rucktreibenden Systemkraft zu jedem Zeitpunkt das Gleichgewicht: /'=-/'ruck- Die aufzuwendende Arbeit Wx2 beim Dehnen von x^ auf ^2 ist W,2=lF'dx=l{-){-cx)-dx.

Die Beschleunigungsarbeit ist null, wenn, wie bei der gleichformigen Kreisbewegung, dv und V senkrecht aufeinander stehen, sich der Geschwindigkeitsbetrag also nicht andert. Die Arbeit beim Dehnen und Stauchen einer Feder und beim Anheben eines Korpers gegen die Gravitationskraft iiber groBere Strek-

X und dx sind parallel gerichtet, daher ergibt sich W,2 = kc(xi-

A).

(2-68)

Die aufzuwendende Verformungsarbeit nimmt quadratisch mit der Auslenkung zu.

50

2. Mechanik

2.6.2. Leistung, Wirkungsgrad Das MaB dafiir, in welcher Zeitspanne eine Arbeit verrichtet wird, ist die Leistung

Werden mehrere Antriebe und Wandler hintereinandergeschaltet, dann ist der Gesamtwirkungsgrad der Anlage das Produkt aus den Einzel wirkungsgrad en: ^

^ab,n

%es

Die MaBeinheit der Leistung ist 1 N m s"^ = 1 J s~' = 1 W (Watt). Die Leistung hangt vom Zeitintervall A/ ab. Die Momentanleistung P ergibt sich mit Gl. (2-65) zu

p=

AW

= Fv.

(2-70)

Aus der uber die Gesamtzeit /g verrichteten Gesamtarbeit W^ errechnet sich die mittlere Leistung ^m =

^^ab,l

W-. ZU, 1

w.ab,n

oder

^ab,n-l

rjgts =

(2-74)

rjirj2...rjr,.

Beispiel 2.6-2: Ein Forderkorb, dessen Masse einschlieBlich maximaler Nutzlast mi = 1000 kg betragt und dessen Gegengewicht die Masse nii = 450 kg hat, fahrt mit der Beschleunigung Ui = 1 m/s^ aufwarts, bis er

(2-71)

Leistungen von Antrieben miBt man, indem die in der Zeitspanne abgegebene Arbeit definiert in meBbare Reibungsarbeit oder Reibungswarme umgewandelt wird. Die abgegebene effektive Leistung Pgff eines Antriebs oder mechanischen Wandlers ist wegen der Reibungsverluste Py kleiner als die zugefiihrte Nennleistung P^. Das Kennzeichen fiir die Effektivitat der Leistungswandler ist der Wirkungsgrad

I

Der Wirkungsgrad ist dimensionslos, der Wertebereich liegt zwischen 0 ^ rj^ I. Stimmen die Zeitintervalle der Leistungszufuhr und Leistungsabgabe nicht iiberein, beispielsweise bei dem langsamen Anheben eines Rammbars mit anschlieBendem raschem Aufprall, dann wird der Wirkungsgrad iiber das Verhaltnis von Nutzarbeit ^ab zur zugefiihrten Arbeit W:,^ definiert:

Ft2--A772a

FG2 = /772g

Fr\--mia

B ild 2-35.

Zu Beispiel 2.6-2.

2.6. Arbeit und Energie die konstante Fordergeschwindigkeit i;2 = 5 m/s erreicht. Die gesamte Reibungskraft ist FR = 500 N. Bild 2-35 verdeudicht den Vorgang. Welche Spitzenleistung und welche Dauerleistung benotigt der Antrieb, wenn der Wirkungsgrad rj = 0,9 betragt?

Die Energie wird in der gleichen MaBeinheit 1 J angegeben wie die Arbeit, durch die sie verandert wird. Es gilt also der Energiesatz der Mechanik: AE = E,nachher -E.

Losung: Die Kraft F^ an dem Umfang der Trommel wahrend des Anfahrens ergibt sich aus ^1 •^^2{g-a)

= wi {g + a) + F^

zu F\ = mi(g-\-a)-

^2 (g -a)-\-F^ = 7450 N.

Im Bewegungsabschnitt mit konstanter Fordergeschwindigkeit ist F2 = (wj -m2)g-\-F^=

6000 N.

Die maximale Nennleistung wahrend des Anfahrens betragt ^1^2

N,max •

= 41,4kW.

Die Dauer-Nennleistung bei der anschliefienden gleichformigen Bewegung des Forderkorbes ist Fj v-j

Antriebsaggregate miissen so ausgelegt werden, dal3 sie uber die Dauerleistung hinaus kurzfristig eine wesentlich hohere Spitzenleistung aufbringen kon-

51

vorher "

AW.

(2-75)

Die Energieanteile eines Korpers werden durch die Arbeit, die sie erzeugt haben, beschrieben und ergeben wie diese additiv die Gesamtenergie. Die mechanische Energie eines Korpers ist r,

— xSj^^in '

^^pot 1

•

(2-76)

Sie setzt sich zusammen aus der durch die Beschleunigungsarbeit W^ erzeugten kinetischen Energie ^kin = •

m V"

(2-77)

und der potentiellen Energie ^pot, in der die Energieanteile zusammengefaBt sind, die nur von einer Ortskoordinate abhangen. Hierzu gehoren die von der Verformungsarbeit Wy herriihrende elastische Energie -^elast

2 *^ "^

(2-78)

und die durch die Hubarbeit Wu erzeugte Lageenergie 2.6.3. Energie Fiihrt man einem Korper mechanische Arbeit zu, dann andert sich der physikalische Zustand des Korpers: Eine gespannte Feder kann einen an ihr befestigten Korper beschleunigen, also Beschleunigungsarbeit verrichten; ein durch Arbeitsverrichtung beschleunigter Wagen kann eine schiefe Ebene bergauf fahren und damit Hubarbeit verrichten. Korper unterscheiden sich also dadurch, in welchem MaB ihnen Arbeit zugefiihrt wurde. Das MaB dafiir ist die Energie E. Durch Zufuhr oder Abgabe von Arbeit wird die Energie eines Korpers oder die Gesamtenergie eines Systems materieller Punkte erhoht oder erniedrigt.

^Lage =

mgh.

(2-79)

Die Energieanteile hangen betragsmaBig davon ab, wo das Bezugsniveau h = 0 und der Ausgangszustand ^ = 0 liegen und auf welches Koordinatensystem die Geschwindigkeit v bezogen ist.

2.6.4. Energieerhaltungssatz Die als Energie gespeicherte Arbeit muB nicht in der Arbeitsform abgegeben werden, in der sie aufgenommen wurde. Diese Abgabe ist auch in anderen Arbeitsformen moglich. Beim BogenschieBen wird beispielsweise die elastische Energie in Beschleunigungsarbeit des Pfeils und eventuell beim SchuB bergauf in Hubarbeit umgewandelt. AUe Naturerschei-

52

2. Mechanik

nungen gehorchen einem fundamentalen Gesetz, der Erhaltung der Energie: In einem abgeschlossenen System bleibt der Energieinhalt konstant. Energie kann weder vernichtet werden noch aus nichts entstehen; sie kann sich in verschiedene Formen umwandeln oder zwischen verschiedenen Teilen des Systems ausgetauscht werden. Es gibt kein Perpetuum mobile erster Art; d.h., es ist unmoglich, eine Maschine zu bauen, die dauernd Arbeit verrichtet, ohne daB ihr von auBen ein entsprechender Energiebetrag zugefuhrt wird (s. Abschn. 3.3.2). Der Energieerhaltungssatz ist nicht beweisbar; er faBt die jahrhundertelangen Erfahrungen mit Energieumwandlungsexperimenten zusammen. In seiner allgemeinen Form beinhaltet er auBer den mechanischen Energieformen der kinetischen und der potentiellen Energie auch thermische Energien, chemische Energien, elektrische und magnetische Feldenergien. Bleiben in Systemen die nichtmechanischen Energien der Korper konstant, ist also in idealisierten mechanischen Systemen die Reibungsarbeit vernachlassigbar, dann gilt fiir die kinetische Energie und die potentielle Energie des Systems materieller Punkte der Energieerhaltungssatz der Mechanik (2-80)

Evin + Er^f ^pot = konstant.

In diesem Fall hangen die mechanischen Energien zu zwei Zeitpunkten t und /' folgendermaBen zusammen:

+ ^cds]-s\')^^C2(sl-s'2')-^... -\-m^g(hi-

h\) + m2g{h2-

(2-81) h'2) +

...=0.

Im mechanischen Energieerhaltungssatz ist die potentielle Energie des Systems durch die Lagekoordinaten s oder h eindeutig bestimmt; sie hangt nicht vom Weg und den Wechselwirkungen auf diesem Weg ab. Die elastische Kraft und die Gewichtskraft, die die potentielle Energie bestimmen, werden als konservative Krdfte bezeichnet. Im Gegensatz dazu gilt Gl. (2-81) nicht mehr, wenn Reibungsvor-

gange und nichtelastische Verformungen bewirken, daB der Energiezustand vom gewahlten Weg abhangt. In dieser Weise vom Weg abhangige Krafte sind dissipative Krdfte. Zur tJbung U 2.6-1: Eine Stahlkugel (Masse m) fallt frei aus der Hohe h auf eine Stahlplatte und springt danach auf eine Hohe hi = 0,9 h zuriick. a) Wie groB ist ihre Geschwindigkeit i^o unmittelbar vor dem Aufprall? b) Wie groB ist die Geschwindigkeit unmittelbar nach dem Aufprall? c) Wie groB ist die Impulsanderung Ap der Stahlkugel nach Betrag und Richtung? d) Welch er Anteil der ursprunglichen kinetischen Energie wurde in nicht-mechanische Energieformen umgesetzt? U 2.6-2: Eine Feder (Federkonstante c = 200N/m) wird um Ay= 15 cm zusammengedriickt. Dann wird eine Kugel (Masse m = 80 g) auf sie gelegt. Wie hoch springt die Kugel, wenn die Feder plotzlich entspannt wird? U 2.6-3: Eine Schraubenfeder ist durch eine Kraft 7^1 = SON gespannt. Wirkt zusatzlich eine Kraft AF = 30 N an der Feder, wird diese um A/ = 20 cm verlangert. a) Wie groB ist die fur diese Verlangerung erforderliche Arbeit? b) Wie groB ist die Gesamtenergie der gespannten Feder? 0 2.6-4: Bei groBen Deformationen wird das Kraftgesetz einer realen Feder nicht-linear. Fiir eine Pufferfeder gilt c{x) = k^-\- ^2-^^ i^it ^i = 10^ N/m und A:^ = 10^ N/m^. Wie wcit wird diese Feder zusammengedruckt, wenn ein Korper, der die kinetische Energie Ej^j^ = 0,3 N m hat, in Jc-Richtung aufprallt?

2.7. StoBprozesse 2.7.1. Ubersicht und Grundbegriffe Bei einem StoBprozeB beruhren sich zwei (oder auch mehrere) Korper kurzzeitig unter Anderung ihres jeweiligen Bewegungszustands, wie Bild 2-36 verdeutlicht. Kennzeichnend ist die Einmaligkeit und die im Vergleich zur gesamten Beobachtungsdauer kurze Kontaktzeit der beteiligten Korper. In dieser Wechselwirkungszeit treten verhaltnismaBig groBe Krafte auf. Die Bewegung wenigstens eines der beteiligten Korper andert sich abrupt. StoB-Beispiele sind Billard-, Tennis- oder FuBballstoBe und Auto-Unfallversuche. Bild

2.7. StoBprozesse

53

2-37 zeigt ein Beispiel hierfiir. StoBprozesse treten auch bei atomaren Vorgangen auf. Bei ZusammenstoBen zwischen Atomen und Molekiilen treten an die Stelle der elastischen Krafte der Mechanik elektrostatische Wechselwirkungskrafte. Eine Klassifikation der StoBe zwischen makroskopischen Korpern laBt sich nach den geometrischen Verhaltnissen und den Anderungen der kinetischen Energie der StoBpartner treffen. Bild 2-38 zeigt eine Ubersicht. nachher

Bild2-36. Zeitlicher Verlauf des StoBes zweier elastischer Korper.

2.7.2. Gerader, zentraler, elastischer StoB Fiir ein Zeitintervall kurz vor und kurz nach dem StoB sind die Anderungen der potentiellen Energien der StoBpartner und die Reibungsverluste vernachlassigbar gegeniiber den kinetischen Energien; fur den StoBzeitraum ist das System abgeschlossen und ohne Einwirkung auBerer Krafte. Zwischen den Geschwindigkeiten der StoBpartner vor dem StoB Vx sowie V2 und nach dem StoB v\ sowie v^ besteht nach dem Impulserhaltungssatz gemaB Gl. (2-54) der Zusammenhang rrix Vx -h m2 ^'2 = ^ i i^\ + mi Vi-

(2-82)

Die Vektoren konnen algebraisch addiert werden, weil der gerade zentrale StoB eindimensional ist, wie Bild 2-39 verdeutlicht. Die zweite Bestimmungsgleichung ist der Energieerhaltungssatz nach Gl. (2-81): ^m\ v\ + Y ^ 2 1'2 = T m\ V\^ + J ^ 2 V2^.

(2-83) Durch Umformung von Gl. (2-83) ergibt sich m^{v^+ v\) (v^ - v\) = m^ {v'2 + v^) {v'2 - ^2) und mit Gl. (2-82) r, -V2 = - (^'1 - ^2) .

Bild 2-3 7. Crash-Test-Zeitverlauf. Auffahrgeschwindigkeit 50 km/h, Zeitspanne seit dem Aufprall a) 234 ms, b) 1886 ms, c) Endzustand. Werkphoto: Daimler-Benz AG

(2-84)

Vom Korper 2 aus gesehen, bewegt sich der Korper 1 nach dem StoB mit derselben Relativgeschwindigkeit weg, mit der er vor dem StoB auf den Korper 2 zugelaufen ist.

54

2. Mechanik

Beriihrungsebene

Im Beruhrpunkt P der beiden StoBpartner Iddt sich eine BerUhrungsebene (Tangentialebene) und senkrecht darauf die StoRnormale konstruieren. Ohne du&ere Krdfte gilt fur die impuis^nderungen (Kraflstdde) der beiden Stofipartner:

Ap, = JF21 df =-Ap2 = J F I 2 df Entsprechend gilt fur die Komponenten: ^ . t a n = - ^ . t a n ""d Apt^porm = -^Pz.norm

Stofinomiale glatter Stod

Api tan = Ap2,tan = 0 , tritt auf, wenn im Beruhrpunkt keine Reibungskrafl wirksam wird

rauher SioQ>

^ . t a n = -AP2,tan ^^ 0 , im BerUhrpunkt wirkt eine Reibungskrafl

zentraler Stod

Die Wirkungslinie der Kraftst5&e Ap geht durch die beiden Schwerpunkte Si und S2. Die Sto&partner werden durch den Stofivorgang nicht in Rotation versetzt. Homogene, glatte Kugein stoBen stets zentral

exzentrischer (nicht zentraler) Stoa

Die Wirkungslinie der Kraftstd&e Ap geht nicht durch die beiden Schwerpunkte Si und S2; mindestens einer der StoSpartner wird durch den StoBvorgang in Rotation versetzt

gerader StoB

Die Geschwindigkeiten vi und V2 der beiden Schwerpunkte Si und S2 bewegen sich parallel zur Stodnonnalen. Bei stoBenden Kugein laufen die Schwerpunkte Si und S2 vor und nach dem StoB auf derselben Geraden

schiefer StoS

Die Geschwindigkeit wenigstens eines der beiden Schwerpunkte Si und S2 besitzt eine Komponente in tangentialerRichtung: v^ tan .^2,tan "^^ •

eiastischer StoB

Es tritt kein Verlust an kinetischer Energie auf

unelastischerStoB Ein Teil der kinetischen Energie wird in andere Energiefomrien umgewandelt

Bild 2-38. Klassifikation der Stofiprozesse. Betrachtet werden nur Stofie, bei denen die Stofipartner vor dem Stofi reine Translationsbewegungen ausfUhren.

vor dem StoB

G>

o

V2

nach dem StoS "2

o-

Bild 2-39. Gerader, zentraler StoB. Setzt man Gl. (2-84) in Gl. (2-82) ein, so fiihrt dies auf die Bestimmungsgleichungen flir die Geschwindigkeiten nach dem StoB:

v[ =

( ^ 1 — ^ 2 ) I'l + 2 fn2V2

(2-85)

m ] + W2 2 ni] Vi -\-{m2 — m\) V'2 =

m\ + nil

t'2

(2-86)

Sind die Massen der Stofipartner gleich, so tauschen die beiden Korper Geschwindigkeit, Impuls und kinetische Energie aus; war vor dem StoB der gestoBene Korper in Ruhe, so ist nach dem StoB der stoBende Korper in Ruhe. StoBt ein schwerer Korper einen leichten, dann bewegen sich beide nach dem StoB in der gleichen Richtung weiter. Ist dagegen die Masse des gestoBenen Korpers groBer als die des stoBenden, so wird der stoBende Korper reflektiert, und nach dem StoB laufen die Korper entgegengesetzt auseinander. KolUdieren Korper extrem unterschiedhcher Massen — prallt beispielsweise ein Ball auf eine Wand - , dann wird beim elastischen StoB der stoBende Korper vollstandig reflektiert. Er behalt seine kinetische Energie; der Impuls und die Geschwindigkeit sind nach dem StoB entgegengesetzt zur Einfallsrichtung gerichtet. Beispiel 2.7-1: Ein Neutron mit der Masse mi = m^ stoBt zentral auf einen ruhenden Atomkem mit der Masse

2.7. StoBprozesse m2 = Nm^. Die Kollision ist naherungsweise elastisch. Welcher Anteil/der kinetischen Energie des Neutrons wird auf den Atomkern iibertragen? Losung: — 1

2

^kin,Nvor — I ' ^ l ^1 •

Beim StoB wird die Energie AE iibertragen:

Der Anteil / der ubertragenen kinetischen Energie ist A^"

/=

ist also Wasser (H2O) oder schweres Wasser (D2O) sehr viel effektiver als etwa eine Bleiabschirmung.

2.7.3. Gerader, zentraler, unelastischer Stofi

Die Energie des stoBenden Neutrons ist J7

55

1-

=1

-^kin,Nvor

4 m\ mi

Geht beim StoBvorgang kinetische Energie beispielsweise durch Reibungs- oder inelastische Verformungsarbeit verloren, dann muB der allgemeine Energiesatz nach Gl. (2-75) zur Berechnung der Geschwindigkeiten nach dem StoB herangezogen und der Energieverlust A ^ beriicksichtigt werden:

m, -m,V mi -\-m2i

AN {\+NY

{mi+miY

Der Anteil / der Energieubertragung bei einem geraden, zentralen, elastischen StoB eines ruhenden StoBpartners ist in Abhangigkeit vom Massenverhaltnis m^-.mi in Bild 2-40 aufgetragen. Der Energieiibertrag ist um so hoher, je geringer der Massenunterschied zwischen den StoBpartnern ist. Zum Abbremsen schneller Neutronen in Kernreaktoren l\J^-

Zusatzlich zum Impulserhaltungssatz nach Gl. (2-82) ist eine weitere Bestimmungsgleichung notwendig, um die Geschwindigkeiten v\ und V2 nach dem StoB und den Energieverlust AW berechnen zu konnen (Beispiel 2.5-2). Besonders interessant ist der unelastische Stofi, bei dem die beiden Korper miteinander verkoppelt werden und sich nach dem Stofi mit der gemeinsamen Geschwindigkeit

O"

gemaB Bild 2-41 bewegen. Der Impulserhaltungssatz dieses unelastischen StoBes lautet z •

^ i n

ni] Vi -h m2 V2 = (^1 + ^ 2 ) ^'' 5

1-

< vor dem StoS

5"

IQ2

9.

my

A772

nach dem StoS 10-210-2

5 10-1

5 100

5

101

5 102

Massenverhaltnis — /772 /77-I+/772 Bild 2-40. Gerader, zentraler StoB: Anteil f der Energieiibertragung in Abhangigkeit vom Massenverhalt- Bild 2-41. Gerader, zentraler, unelastischer Stofi mit nis der StoBpartner. Kopplung (vollplastischer Stofi).

56

2. Mechanik

daraus folgt v' =

mi v\ + m2V2 mi + m2

.

(2-88)

Die fur den elastischen StoB gefiindene Gl. (2-84) fur die Geschwindigkeitsdifferenzen vor und nach dem StoB gilt fur den unelastischen StoB nicht mehr. Vielmehr gilt fiir den StoB mit Kopplung, der auch als vollkommen plastischer StoB bezeichnet wird Es liegt nahe, den teilplastischen StoB zu definieren, bei dem folgender Zusammenhang gilt: v;=£:i(Vi-V2).

(2-89)

e wird als Stofizahl bezeichnet und kann folgende Werte annehmen: £=1 £=0

elastischer StoB vollkommen plastischer StoB 0< £< \ teilweise plastischer StoB Die StoBzahl kann experimentell bestimmt werden. Beispielsweise betragt sie iur Korper aus gehartetem Stahl e = 0,95; fur Blei gilt £=0.

Der Verlust an kinetischer Energie ergibt sich zu AW = - m, m^

2 (mi + m2)

( l - £ 2 ) ( v 2 - v 2 ) . (2-90)

Beispiel 2.7-2: Die StoBzahl laBt sich aus Fallversuchen bestimmen. Dabei laBt man eine kleine Kugel aus der Fallhohe h auf einen schweren (m2 > m^) ruhenden Korper fallen (Bild 2-42). Wie groB ist die StoBzahl £, wenn die Fallhohe /? = 70 cm betragt und die Zeitspanne zwischen dem ersten und dem zweiten AufprallAr-0,72 s? Losung: Nach dem freien Fall kommt es zum ersten Aufprall nach der Zeit 2h_ ^ 0,378 s. g

m2»m^,

Bild 2-42. Stofizahl.

\/2=0

Zu Beispiel 2.7-2: Bestimmung der

Die Aufprallgeschwindigkeit der kleinen Kugel ist v,=yl2gh=gt^ Nach Gl. (2-89) pralk die Kugel ab mit der Geschwindigkeit dabei sind V2 und V2 jeweils null. Die Zeitspanne bis zu einem emeuten Aufprall ist ^

2\v[\

2£v,

^

Damit wird die StoBzahl . - ^ = 0,95. It,

2.1.4. Schiefe, zentrale StoBe 2.7.4.1. ElastischeStoBe Bild 2-43 skizziert die Lage der StoBpartner fiir den Augenblick, in dem sie sich beriihren. Die Verbindungslinie der beiden Massenmittelpunkte in diesem Augenblick ist die StoBgerade; in Bild 2-43 ist es die >^-Achse. Ohne Reibung kann in die x-Richtung senkrecht zur StoBgeraden keine Kraft iibertragen werden. Die Komponenten der Impulse in xRichtung sind vor und nach dem StoB gleich: mivi^ = mivi^.

(2-91) (2-92)

Der Impulserhaltungssatz nach Gl. (2-54) in Richtung der StoBgeraden ergibt eine weitere skalare Bestimmungsgleichung: mi i;iy + m2V2y = mi [;'iy + m2?^2y

(2-93)

2.7. StoBprozesse

57

Sind die Massen der beiden StoBpartner gleich, und ist der gestoBene Korper in Ruhe, dann folgt aus Gl. (2-94) V\ — Vi i^ V2

(2-95)

Die Geschwindigkeitsrichtungen der StoBpartner stehen in diesem Fall nach dem StoB senkrecht aufeinander. Erfolgt andererseits der schiefe, zentrale, elastische StoB gegen eine Wand (^2 > mi), dann folgt aus Tabelle 2-5 t^ly =

Bild2-43. Schiefer, zentraler, elastischer StoB.

Beim elastischen StoB entsteht kein Energieverlust; der Energieerhaltungssatz nach Gl. (2-81) lautet also 1 mi (r?x + vl^) + 1 m2 {vl^ + vly) (2-94)

-|^ly.

(2-96)

Die Winkel y^i = tan (viy/v\ x) und fi[ = = tan(i;iy/z;ix) sind gleich groB. Dies ist das Reflexionsgesetz fiir den schiefen elastischen StoB eines Korpers an einer Wand: Ai = A .

(2-97)

Der Ausfallwinkel ist also gleich dem Einfallwinkel. Gl. (2-91) bis (2-94) sind vier Bestimmungsgleichungen fiir die unbekannten Komponen2.7.4.2. Inelastische StoBe ten ^ix, ^iy, V2x und i'2y ^^r StoBpartner nach dem StoB. Die Losungen des GleichungssyWenn der StoBvorgang nicht mehr elastisch stems sind in Tabelle 2-5 dargestellt. erfolgt, dann gilt der Energieerhaltungssatz der Mechanik nicht mehr. Zwar liefert der Tabelle 2-5. Schiefer, zentraler, elastischer StoB. Impulserhaltungssatz fiir die beiden kartesischen Koordinaten zwei skalare Gleichungen, aber es sind zusatzlich noch zwei geometriGeschwindigkeiten sche Bedingungen fur den StoBvorgang notwendig. Diese konnen beobachtete Ablenkvor dem nach dem winkel oder gemessene GeschwindigkeitsbeStoB StoB trage sein. Hat man die Geschwindigkeiten Korper 1 nach dem StoBvorgang bestimmt, so kann Masse mx VXy man durch Vergleich der kinetischen Energien vor und nach dem StoB den Energiean(wi - mi) viy-\- ImiViy teil ermitteln, der in nichtmechanische Enermj + mi gieformen umgesetzt wurde. Ein grundlegendes Beispiel fiir einen inelaKorper 2 l^2x = ^2x V2x stischen StoB ist der Franck-Hertz-Versuch Masse mi V'ly = ^2y (Abschn. 8.1). Gasatome nehmen beim StoB 2 mi ?;iy+ (mi- mi) viy mit Elektronen nur diskrete Energien auf und mi-\-mi geben sie kurze Zeit spater als Lichtquant ab.

58

2. Mechanik

Zur tJbung U2.7-1: Im Weltraum, wo auBere Krafte vernachlassigt werden durfen, soil von einer Tragerrakete (Masse m, Geschwindigkeit v) eine Raumkapsel (Masse m/1) abgesprengt werden. Das nicht mehr gebrauchte Bruchstuck (Masse m/2) soil dabei zur Ruhe kommen. Welcher Energiebetrag ist dem System zuzufiihren? t)2.7-2: Ein Eisenbahnwaggon (Masse mi = 24000kg) rollt mit einer Geschwindigkeit i^i = 3 m/s auf geraden, ebenen Schienen. Er st6I3t mit einem zweiten Waggon (Masse mi = 20 000 kg), der sich mit der Geschwindigkeit vi = 1 ^8 m/s in derselben Richtung bewegt, zusammen. a) Nehmen Sie an, die Waggons kuppeln beim StoB zusammen. Welches ist die gemeinsame Endgeschwindigkeit v'l Welcher Betrag an Energie wurde in Warme umgesetzt? b) Nehmen Sie an, der ZusammenstoB sei vollstandig elastisch und die Waggons trennen sich dann wieder. Welches sind dann die Endgeschwindigkeiten v\ und v'2 der beiden Waggons? c) Was andert sich an den Antworten zu den Teilfragen a) und b), wenn sich die beiden Waggons anfangs aufeinander zu bewegen? U2.7-3: Ein GeschoB (Masse mj = 20 g) fliegt horizontal mit der Geschwindigkeit v^ = 200 m/s. Es trifft auf einen als Pendel an einem langen Draht aufgehangten Holzklotz (Masse w = 1,0 kg) und durchschlagt ihn. Nachdem die Kugel aus dem Klotz ausgetreten ist, hat das Pendel eine Geschwindigkeit von I'p = 2,0 m/s. a) Wie groB ist die Geschwindigkeit v\ des Geschosses nach Durchschlagen des Pendelklotzes? (Dabei darf die Bewegung des Pendels in der Wechselwirkungszeit mit dem GeschoB vernachlassigt werden.) b) Ist der ZusammenstoB vollstandig unelastisch? Welcher Anteil der kinetischen Energie wird in nichtmechanische Energien umgesetzt? U2.7-4: Ein Korper (Masse Wi = 50 g) hat eine Geschwindigkeit v^ = \0 m/s. Er trifft auf ein ruhendes Objekt (^2 = 100 g). Nach dem ZusammenstoB ist die Geschwindigkeit des ersten Korpers auf vi = 6 m/s vermindert; er fliegt in eine Richtung, die um 45° gegen seine ursprungliche Flugrichtung abweicht. a) Wie groB ist die Geschwindigkeit V2- nach Betrag und Richtung - des zweiten Korpers nach dem StoB? b) Wieviel Energie wird beim StoB in nichtmechanische Energieformen umgesetzt?

2.8. Drehbewegungen 2.8.1. Drehmoment Um einen materiellen Punkt oder einen Korper in Rotation um eine vorgegebene Drehach^e zu versetzen, muB ein Drehmoment ausgeiibt werden. Das Drehmoment hangt gemaB Bild 2-44 ab von Betrag und Richtung der Kraft F und dem Abstand r des Angriffspunkts der Kraft von der Drehachse. Die Richtung des Drehmoments steht senkrecht auf der von r und F aufgespannten Ebene. Das Drehmoment ist definiert als Vektorprodukt aus dem Radiusvektor r und der auBeren Kraft F: M= rx F.

(2-98)

Bild 2-44. Zur Definition des Drehmoments M. Ein Drehmoment hat seinen groBten Wert, wenn der Radiusvektor r und die Kraft F senkrecht aufeinander stehen. Die MaBeinheit des Drehmoments ist 1 N m. Dies ist formal die gleiche Einheit, die auch Arbeit und Energie haben; im Gegensatz zu diesen skalaren GroBen ist das Drehmoment jedoch eine VektorgroBe. Fiir die Berechnung von Gleichgewichten, besonders bei starren Korpern (Abschn. 2.9), spielt das Drehmoment eine zentrale Rolle.

2.8.2. Newtonsches Aktionsgesetz der Drehbewegung 2.8.2.1. Drehimpuls eines materiellen Punktes Der momentane Ort eines materiellen Punktes der Masse m, der sich unter dem EinfluB

2.8. Drehbewegungen

einer Kraft F auf einer Bahnkurve bewegt, wird durch den Radiusvektor r vom Ursprung eines Inertialsystems aus beschrieben, wie aus Bild 2-45 hervorgeht. Seine Momentangeschwindigkeit ist v, der Impuls p = m V. Der materielle Punkt fiihrt eine Drehbewegung aus, wenn sein Impuls p eine Komponente senkrecht zum Ortsvektor r des materiellen Punkts hat, das Vektorprodukt rxp also nicht verschwindet. Diese fiir die Drehbewegung charakteristische GroBe wird als Drehimpuls L definiert: L=rxp.

(2-99)

Bahn kurve

59

Proportionalitatskonstante ist das Massentrdgheitsmoment J des materiellen Punktes im Abstand r von der Drehachse: J = mr^.

(2-101)

Der Drehimpuls L als die BewegungsgroBe der Drehbewegung ergibt sich damit zu L = J 0).

(2-102)

Verglichen mit dem Impuls p der Translationsbewegung tritt beim Drehimpuls L der Rotationsbewegung an die Stelle der Masse m das geometrieabhangige Massentragheitsmoment / und an die Stelle der Bahngeschwindigkeit v die Winkelgeschwindigkeit m. 2.8.2.2. Dynamisches Grundgesetz der Rotation

Koordinatennullpunkt

Bild 2-45. Zur Definition des Drehimpulses L.

Die MaBeinheit des Drehimpulses ergibt sich zu 1 N m s. Fur einen materiellen Punkt, der mit der Winkelgeschwindigkeit o auf einer Kreisbahn umlauft, ist die momentane Bahngeschwindigkeit nach Tabelle 2-1 gegeben durch V = (D xr. Der Drehimpuls L der Drehbewegung des materiellen Punktes ist somit L = r Xp = m rx{(D X r) = m[{r ' r) o) - {r' m) r], Weil r senkrecht auf w steht, ist (r • co) = 0 und L = (mr^) 0) .

(2-100)

Der Drehimpuls L ist proportional zur Winkelgeschwindigkeit (o der Drehbewegung. Die

Aus Gl. (2-99) folgt fiir die zeitliche Anderung des Drehimpulses dr dp dL d = — (rxp) •• — xp -\- rx dt dt ^ ^^ dt ^ dt Die Bahngeschwindigkeit v = dr/dt und der Impuls p = m V sind gleichgerichtet, ihr Vektorprodukt verschwindet. Nach dem Newtonschen Aktionsprinzip Gl. (2-24) ist die Impulsanderung dp/dt gleich der auBeren Kraft F auf die Masse m, und somit ist

(2-103) M. dt Die zeitliche Anderung des Drehimpulses ist gleich dem Drehmoment der auBeren Krafte auf den Korper.

Wirken keine auBeren Momente, dann bleibt der Drehimpuls L nach Betrag und Richtung konstant, der Drehimpuls des materiellen Punkts bleibt erhalten. Zentralkrafte, wie beispielsweise die Gravitationskraft (Abschn. 2.10), die dem Radiusvektor r des materiellen Punktes entgegengesetzt gerichtet sind, uben auf diesen kein Drehmoment aus; der Bahndrehimpuls der Korper ist konstant. Wird das Massentragheitsmoment durch eine

60

2. Mechanik

Verkiirzung des Abstands der Masse zur Drehachse vermindert, so erhoht sich die Winkelgeschwindigkeit des Korpers. Auf einer Kreisbahn ist das Massentragheitsmoment J eines materiellen Punktes konstant. AusGl. (2-102) folgt dL d dco dt d/ dt und mit Gl. (2-103) und der Winkelbeschleunigung a = dco/d/ ergibt sich das dynamische Grundgesetz der Rotation: (2-104)

M = 7a.

Wie bei der Newtonschen Grundgleichung (2-25) gilt: Die Winkelbeschleunigung a der Drehbewegung ist der Ursache, dem auBeren Drehmoment M, proportional. Die Integration von Gl. (2-103) ergibt den DrehmomentenstoB: \Mdt

= M.

(2-105)

Die Drehimpulsanderung AZ ist gleich dem Integral des von den auBeren Kraften ausgeiibten Drehmoments. Ist das auBere Drehmoment M = MQ = konstant, dann ist die Drehimpulsanderung durch den DrehmomentenstoB AL = MQ A/.

2.8.3. Arbeit, Leistung und Energie bei der Drehbewegung Ein Drehmoment M, das einen Korper um eine Achse in eine Drehbewegung versetzt, verrichtet Arbeit. Die Arbeit W bei der Rotationsbewegung ist nach Bild 2-32

W=iF(s)'ds=iFi(p)'(dipxr) So

(Po

= j

(rxF{(p))'d(p

Oder

Ist das Drehmoment konstant, dann gilt W=M{cp,-(p^). Das aufzuwendende Drehmoment M ist proportional zum Drehw^inkel cp bei der Torsion von Korpern im elastischen Bereich oder bei Torsionsfedern. Die Proportionalitatskonstante wird analog zum Hookeschen Gesetz der longitudinalen Dehnung als Richtmoment c* bezeichnet. Die Arbeit gegen das winkelabhangige Torsionsmoment ergibt sich aus der Integration von Gl. (2-106):

W=^cHcp]-(pl).

(2-107)

Die Torsionsarbeit wird in der elastischen Verformung des deformierbaren Korpers gespeichert. Die sehr kleinen Richtmomente von Torsionsfaden ermoglichen es, aus der Drehwinkelanderung sehr kleine Energien, wie beispielsweise bei der Bestimmung der Gravitationskraft mit der Torsionswaage (Abschn. 2.10.2), zu messen. Aus Gl. (2-106) folgt fiir die momentane Leistung der Kraft, die das Drehmoment bewirkt. dW P = -—- = Ma). dt

(2-108)

Durch die Arbeitszufuhr oder -abfuhr andert sich die kinetische Energie eines im Abstand r um eine Drehachse rotierenden materiellen Punktes. Seine Rotationsenergie betragt n^ ^=J.J^Vm 7 v^ m^ oder m v"r^ co^ ^kin ^kin •

rJco'

(2-109)

Nach dem Energiesatz Gl. (2-75) andert die Arbeit der auBeren Kraft eines Drehmoments die Rotationsenergie. Mit Gl. (2-104) und (2-106) ergibt sich der Energiesatz fiir Drehbewegungen:

2.8. Drehbewegungen

W=iJad(p = J j 90

61

-r-codt

ticpo) dt

=J

j

codco

bzw.

W=\Jicoj-ajl).

(2-110)

Die Differenz der Rotationsenergie in der End- und Anfangslage ist gleich der Arbeit, die von dem am Korper angreifenden, auBeren Drehmoment bei der Drehung des Korpers um eine feste Drehachse verrichtet wird.

Bezugspunkt

Bild 2-46. Zum Drehimpulssatz: System aus drei materiellen Punkten.

ren Momente zu einem resultierenden GeN

samtdrehmoment M=^ 2.8.4. Drehbewegungen von Systemen materieller Punkte 2.8.4.1. Drehimpulssatz In einem System von A^ materiellen Punkten, deren Koordinaten von einem beliebigen Koordinatennullpunkt aus gemessen werden, wirken auf jeden materiellen Punkt k am Ort r^{t) eine resultierende auBere Kraft F^ und innere Krafte /Vj^k, die von alien iibrigen materiellen Punkten j =^ k des Systems ausgehen. Der Drehimpulssatz (Gl. 2-103) lautet dann fiir den materiellen Punkt k dLi dt

-'•kxf/'l+Z /^/kj

Mg zusammengek=\

faBt, dann folgt der Drehimpulssatz fiir ein System von materiellen Punkten: dL dt

M.

(2-111)

Der Drehimpulssatz fiir ein System entspricht formal v511ig dem fiir einen einzelnen materiellen Punkt (Gl. (2-103)). 2.8.4.2. Drehimpulserhaltungssatz Wirken auf ein System von A^ materiellen Punkten mit dem Gesamtdrehimpuls A^

L= Y^ L^ keine auBeren Momente (M^ = 0), k=\ j+k

Es ergeben sich A^ Gleichungen fur die materiellen Punkte des Systems. Werden diese summiert, dann verschwindet die Summe der Momente der inneren Krafte:

dann ist nach dem Drehimpulssatz Gl. (2-111) die Drehimpulsanderung dL/dt = 0. Die Summe der Einzeldrehimpulse des Massensystems ist konstant, und der Gesamtdrehimpuls L bleibt nach Betrag und Richtung erhalten: L = Li + L2 -\-... + L^ = konstant. (2-112)

k=l j+k

Nach Gl. (2-98) und dem dritten Newtonschen Axiom F^\ = - F^-^ ergibt sich 1-1 X /'ji + #-2 X FI2 = ir2-ri)

X FI2 = 0,

weil ^2~''i parallel zu FI2 ist, wie man in Bild 2-46 erkennt. Werden die Drehimpulse der einzelnen materiellen Punkte zu einem N

Gesamtdrehimpuls L= ^ A:=l

L^ und die auBe-

Verschwindet das Gesamtdrehmoment der auBeren Krafte auf ein System materieller Punkte, dann gilt der Drehimpulserhaltungssatz. Ji wi (ti) + / 2 ^ 2 (^1) + . . . + -^N ^ N (^1) = / l COi (^2) + Jl 0)2 ih) + . . . + ^N ^ N (^2)

(2-113)

62

2. Mechanik

Beispiel

Losung:

2.8-1: Eine Eiskunstlauferin dreht sich mit ausgebreiteten Armen mit der Drehfrequenz nQ = 2s~K Zur Pirouette verkleinert sie ihr Massentragheitsmoment von /Q = 6 kg m^ auf Ji = 1,2 kg m^ in der Zeit A/= 1,0 s. Wie groB ist die neue Drehfrequenz «i und die mittlere Leistung, die sie aufbringt?

Bei Vernachlassigung der Reibung zwischen Schlittschuhen und Bis bleibt der Drehimpuls erhalten: LQ = Lx OdernQjQ = niJ\. Daraus folgt«i = HQJQ/JI = 10 s~'. Die mittlere Leistung ist AW _

1 J^CO^I-JQCOI

At

At

= l,9kW.

Tabelle 2-6. Analogic Translation und Rotation. Rotation

Translation GroBe, Formelzeichen

Einheit

GroBe, Formelzeichen

Einheit

Weg s, ds

m

Winkel

rad= 1

Geschwindigkeit ds v=— dt

m/s

Beschleunigung dv d^s ^^~dt^~dt^

m/s^

Masse m

kg

'- Mit a> = 2 7c « ergibt sich die Drehzahl nach dem Kupplungsvorgang:

70

2. Mechanik 2. Dickwandiger Hohlzylinder, Massentragheitsmoment bezuglich Rotationssymmetrieachse (Bild 2-59). Der dickwandige Hohlzylinder kann erzeugt werden durch Ineinanderstellen von unendlich vielen dunnwandigen Hohlzylindern, von denen in Bild 2-59 einer rot eingezeichnet ist. Die Masse dieses Hohlzylinders der Dichte Q mit Radius r und Wandstarke dr ist dm = 2n r Igdr. Sein Massentragheitsmoment ist nach Gl. (2-131) dJ = dm r'^ = 2K Igr^

Bild 2-58.

dr.

Zu Beispiel 2.9-3.

«i = 1667 min ' . Die Verlustarbeit Wy ist nach dem Energiesatz GL (2-110)

Wy =

\j,w] 1^1(271 «,)2

1--

/,+/2

= llkJ;

der Verlustanteil belauft sich auf Wy y, (D\

Ji

- = 44%

Jx'^Ji

Die Enddrehzahl n' und der Energieverlust H^y sind unabhangig von der Kupplungszeit. Wahrend der Kupplungsdauer wird der Drehimpuls der Kupplungsscheibe verandert; das dabei am Kupplungsbelag auftretende Drehmoment ist nach Gl. (2-105) von der Kupplungsdauer abhangig und bestimmt die maximale Abriebkraft.

2.9.5. Massentragheitsmomente starrer Korper Das Massentragheitsmoment hangt auBer von der Masse selbst ganz wesentlich von der Form des Kdrpers und der Verteilung der Masse beziiglich der Drehachse ab. An einigen Beispielen soil die Berechnung mit Hilfe von Gl. (2-129) gezeigt werden. 1. Dtinnwandiger Hohlzylinder, Massentragheitsmoment bezuglich Rotationssymmetrieachse. Ein Hohlzylinder wird diinnwandig genannt, wenn die Wandstarke s gegenuber seinem Radius r vernachlassigbar ist: s < r. Alle Masseteilchen haben dann praktisch den gleichen Abstand r von der Drehachse, so da6 die Summation nach Gl. (2-127) ergibt J = mr^

(2-131)

Bild 2-59. Zum Massentragheitsmoment wandigen Hohlzylinders.

des dick-

Das Massentragheitsmoment des dickwandigen Hohlzylinders erhalt man durch Summation (Integration) der Massentragheitsmomente aller diinnwandigen Hohlzylinder: J = 2n IQ \ r^ dr=2n

IQ-

inlQ(rt-ri).

Dieser Ausdruck kann mit Hilfe der Masse des Korpers m = 7i (r^ - rf) / ^ umgeschrieben werden

7 = l m ( r 2 + r?).

(2-132)

3. VoUzylinder, Massentragheitsmoment bezuglich Rotationssymmetrieachse. Das Massentragheitsmoment eines Vollzylinders mit dem Radius r und der Masse m folgt sofort aus Gl. (2-132) fiir rj = 0 und r^ = r.

J=

\mr^.

(2-133)

Bild 2-60 zeigt e i n e Z u s a m m e n s t e l l u n g v o n Massentragheitsmomenten einiger Korper.

2.9. Mechanik starrer Korper

Hohlzylinder

diinnwandiger Hohlzylinder

J^ = m n

Vollzylinder

J^ = Jy

jmr^ J^

1

2 . 1

1

2

diinne Scheibe (/ < r) T

diinner Stab (/ > r) unabhangig von der Form des Querschnitts

J =J

=-^

diinner Ring Jy = Jz = ^mr^

Kugel, massiv

J^ = Jy = J^ =

diinne Kugelschale

Jx^Jy^Jz^J^f"^

jmr^

Quader / , = ^ m ( / 2 + /,2)

Bild 2-60.

Massentrdgheitsmomente

einiger Korper.

a

71

72

2. Mechanik

Beispiel 2.9-4: Ein Vollzylinder mit der Masse m und dem Radius r rollt eine schiefe Ebene mit dem Neigungswinkel P hinab, wie in Bild2-61 verdeutlicht. Wie groB ist seine Beschleunigung?

Bild 2-62. Zum Steinerschen Satz.

Bild2-6L Ebene.

Zu Beispiel 2.9-4: Walze auf schiefer

Losung: Vemachlassigt man die Rollreibungsverluste, so lauft der Vorgang unter Energieerhaltung ab. Wenn die Walze langs der schiefen Ebene den Weg s zuriicklegt, nimmt ihre potentielle Energie um ab. Um den gleichen A£'pot = mgh = mgssinp Betrag nimmt die Bewegungsenergie zu, die sich als Summe von Translationsenergie und Rotationsenergie bezuglich der Symmetrieachse darstellen laBt: A£win -kin ==^^mv^-\-T^''^^ -ri«/s

1

-1

(U

K

IX .

0

kT

1 •

^•-

1^

0

^-Komponente

z-Komponente

Normalspannung a

Dehnung e

E 1 1 +// \

E

fie \ 1 -2jul

^^^if^^^T^) E 1 l+ju \

MS \ 1 -2fil

quasiisotrope Werkstoffe. Fiir anisotrope Einkristalle miissen dagegen die Richtungsabhangigkeiten der KenngroBen beriicksichtigt werden. Die in diesem Abschnitt aufgezeigten Zusammenhange zwischen Normalspannungen a und Dehnungen e bzw. Schubspannungen T und Schiebungen y gestatten die allgemeine Formulierung des Hookeschen Gesetzes fur alle drei Raumrichtungen. Alle moglichen Belastungsfalle konnen hieraus errechnet werden. Tabelle 2-9 vermittelt eine Ubersicht. Elementare Belastungsfalle Bild2-81 zeigt die vier elementaren Belastungsfalle Zug bzw. Druck, Scherung, Biegung und Torsion, ihre zugehorigen Normalund Schubspannungen, Dehnungen und Schiebungen sowie einige Beispiele. Daraus ist ersichtlich, dafi bei reinem Zug bzw. Druck sowie reiner Biegung keine Schubspannungen und Schiebungen vorhanden sind, wahrend bei reiner Scherung bzw. Torsion keine Normalspannungen und Dehnungen auftreten. In der Praxis treten diese vier elementaren Belastungsfalle kombiniert auf Dann konnen sie unter Verwendung von Tabelle 2-9 und Bild 2-81 ermittelt werden.

Schiebung y

^xy = ^

^xy ~ ~^ "^xy

1 7x7

1

1

1

^xz = ^yz — ~

^

^xz

1 ^yz

Haufig treten Beanspruchungen an Bauteiloberflachen auf, in denen die Hauptachsen 1, 2 und 3 mit den Koordinatenachsen x, y und z zusammenfallen. Fiir diese Falle lassen sich die gesuchten Hauptspannungen durch ein graphisches Verfahren nach Mohr (C. O. MOHR, 1835 bis 1918) ermitteln. Es ergeben sich drei Kreise, die Mohrschen Spannungskreise. Wenn jedoch in alien Ebenen x, y und z von null verschiedene Schubspannungen auftreten, dann versagt diese Methode. Die gesuchten Hauptspannungen miissen dann durch aufwendigere mathematische Verfahren errechnet werden. Um die Gleichung fiir den Mohrschen Spannungskreis aufzustellen, wird ein Bauteil mit einer Zugkraft F^ beansprucht. Deshalb ist die Normalspannung a^ bereits Hauptspannung, wie Bild 2-82 zeigt. Wird eine Ebene A'^ betrachtet, die um den Winkel (p verdreht ist, dann kann die Zugkraft F^ in eine Komponente F^ senkrecht zur Ebene A'^ und in eine Komponente F^ tangential dazu zerlegt werden. Es gel ten F^ = F^ cos (p und F^ = F^ sin (p. Damit ergeben sich fiir die beziiglich der Ebene A'^ = A/coscp wirkende Normalspannung G^ bzw. die Schubspannung T^ ^n ^(p

=

''^^

Hauptspannungen Als Hauptspannungen werden die Normalspannungen G bezeichnet, fiir die keine Schubspannungen auftreten. Die Hauptspannungsrichtung nennt man Hauptachse. Ein Spannungszustand ist demnach vollstandig beschrieben, wenn alle drei Hauptspannungen G\, (72, 0-3 und deren Hauptachsen bekannt sind.

Schubspannung r

C3 6i) ^

\ ^

II

o^ 00

eg Jo

1 U t

o

• ^ Q

^

O

^

O

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(D i-i

r F

^

:

Flussigkeit Bild 2-98. Kohdsionskrdfte in Fliissigkeiten.

gen, muB die Arbeit H^ verrichtet werden. Aus diesem Grund haben auch Molekiile an der Oberflache einer Fliissigkeit eine potentielle Energie, die Oberfldchenenergie genannt wird. Wird die Arbeit dW zur OberflachenvergroBerung auf die Oberflachenanderung dA bezogen, so ergibt sich die Oberfldchenspannung

Die Einheit ist 1 J/m^ = 1 kg/s^ = 1 N/m. Da ein System immer den Zustand kleinstmoglicher potentieller Energie einnimmt, sind FlUssigkeitsoberfldchen stets Minimalfldchen\ z. B. besitzt die Kugel die kleinste Oberflache unter alien Korpern gleichen Volumens. Die Oberflachenspannung wird haufig mit einem beweglichen Biigel nach Bild 2-99 gemessen. Ein Drahtbiigel der Lange / wird in die Fliissigkeit getaucht und mit einer Kraft F herausgezogen. Dabei bildet sich zwischen den Eckpunkten ABCD eine diinne Fliissigkeitshaut. Werden die Kraft F, bei der die f I

°l

1m

A

Bild 2-99.

1

(\

— ^

As

".i-_-_-_---

Zur Messung der Oberflachenspannung.

2.11. Mechanik deforaiierbarer Korper Fliissigkeitshaut reifit, und der Weg A^ gemessen, so kann die Oberflachenspannung berechnet werden. Es gilt nach Gl. (2-192)

105

groBere Seifenblase aufblasen. Dadurch wird die groBere Seifenblase groBer und die kleinere kleiner werden; die groBere Seifenblase „schluckt". also die kleinere. Kapillaritat

Hierbei ist 2 / die gesamte Randldnge der Fliissigkeitshaut an der Vorder- und Ruckseite des Biigels. Aus Gl. (2-193) wird ersichtlich, daB die Oberflachenspannung als eine auf eine Randlinie bezogene Oberflachenkraft verstanden werden kann. Beispiel 2.11-4: Es ist der Oberflachendruck p in einer Fliissigkeitskugel (oder einer Gaskugel innerhalb einer Fliissigkeit) bei bekannter Oberflachenspannung a und dem Kugelradius r zu bestimmen (cr= 30- 10"^ N/m, r = 1,8 cm). Was wird geschehen, wenn zwei Seifenblasen unterschiedlicher Radien miteinander verbunden werden? Losung: Wird der Kugelradius r um dr vergroBert, so wird auch die Oberflache A um dA groBer. Somit gilt fiir die hierfiir aufzuwendende Arbeit

Bei der Beriihrung eines Flussigkeitstropfens mit einer festen Unterlage konnen gemaB Bild 2-100 zwei Extremfalle auftreten: — vollkommene Benetzung: Die Adhasionskrafte sind groBer als die Kohasionskrafte. Deshalb wird sich die Fliissigkeit auf der Oberflache des festen Korpers ausbreiten; — unvollkommene Benetzung: DIQ Adhasionskrafte sind wesentlich kleiner als die Kohasionskrafte. Deshalb wird sich die Fliissigkeit tropfenformig zusammenziehen. Es wirken die Grenzfldchenspannungen a^2> zwischen gasformiger (1) und fester Phase (3), GX2 zwischen gasformiger (1) und fliissiger (2) und cr23 zwischen fliissiger (2) und fester Phase (3). Der Winkel zwischen der festen Phase und der • Fliissigkeitsoberflache ist a. Wie aus Bild 2-100 hervorgeht, mussen die waagrechten Spannungskomponenten gleich groB sein, damit sich die Fliissigkeit nicht verschiebt: (^n = ^23 + cri2 cos a

oder

dW^^^= F dr = p A dr = p An r'^ dr. Andererseits errechnet man nach Gl. (2-192) fiir die VergroBerung der Oberflachenenergie dW^^ = o dA^ a{An{r + drY - ATZ r^) = cr(47r r^+ 8 71 r d r + 47C dr^-47r r^). Weil dr^ Kohasionskrafte

Adhasionskrafte < Kohasionskrafte

Wirkung

Ausbreitung der FliJssigkeit auf der Oberflache des festen Korpers

Fliissigkeit zieht sich tropfenformig zusammen gasformig (1)

gasformig (1) Skizze (Die Pfeile symbolisieren die aufgrund der Grenzflachenspannungen auftretenden Krafte)

flijssjg (2)

fliissig (2)

Gleichung

a-|2 cos a = C7i3 — O23

0

^ ^ -g »U 1 -

N 0

« "C

O

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II

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Q. CO c

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CO

CO

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Q.

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c 0

O

2.11. Mechanik deformierbarer Korper

sentransports als Folge des Gefalles {Gradienten) des Stromungspotentials mathematisch nicht von derjenigen des Warmetransports bei einem Temperaturgradienten oder des Ladungstransports bei einem elektrischen Potentialgradienten. 1st die jeweilige TransportgroBe (Masse, Warmemenge, Ladung) in einem abgegrenzten Raumteil konstant, existieren in diesem Feldbereich also keine Quellen oder Senken der Transportgr513e, so gilt fiir die jeweilige Feldstdrke E die Kontinuitdtsgleichung, namlich div£'=0, die die Massenerhaltung, die Warmeerhaltung oder die Ladungserhaltung beschreibt. Die Verknupfung der Kontinuitatsgleichung mit der Felddefinitionsgleichung fiihrt in alien Fallen von Bild 2-102 zu einer gleichartigen Differentialgleichung fiir die Potentialfunktion cp, die den raumlichen Verlauf des Geschwindigkeitspotentials, der Temperatur oder des elektrischen Potentials beschreibt. Fiir das jeweilige Transportproblem ist also diese Differentialgleichung fur die Potentialfunktion, die sogenannte Laplace-Gleichung (P. LAPLACE, 1749 bis 1827), unter den geometrischen Randbedingungen des Transportproblems zu losen:

ox^

oy^

oz^

109

oder zweidimensional auf Leitfdhigkeitspapier bestimmt werden. Dazu werden die Geometrien der Transportwege als Elektroden in einem Elektrolyten (z. B. Wasser) bzw. auf Spezialpapier aufgezeichnet, durch das Anlegen einer elektrischen Spannung an die Elektroden die Randbedingungen festgelegt und der Verlauf der elektrischen Spannung und damit das Potentialfeld gemessen. Bild 2-104 zeigt die Stromlinien eines Stromungsfeldes bei einer plotzlichen Querschnittsveranderung, wie man sie mittels eines automatischen Aquipotentiallinienschreibers (Bild 4-50, Abschn. 4.3.4) aufzeichnen kann. Werden die Randbedingungen der Temperatur bzw. des Drucks durch proportionale elektrische Spannungen nachgebildet, so konnen im elektrolytischen Trog auch Probleme des Massentransports (z.B. Stauzonen) oder des Warmetransports (z.B. Warmebriicken) analysiert werden.

(2-197)

Die Mathematik hat dafiir in der Potentialtheorie eine Vielzahl an Losungswegen und Losungen entwickelt. Experimentell kann die raumliche Potentialverteilung dreidimensional im elektwlytischen Trog gemal3 Bild 2-103

Bild 2-104. Stromlinien bei plotzlicher Querschnittsverdnderung (Auftreten eines Eckenwirbels).

1st die Potentialfunktion (p (x, y, z) ermittelt, konnen durch Gradientenbildung die raumliche Feldstarkeverteilung bestimmt und damit die zur Feldstarke proportional en TransportfluBdichten, namlich die MassenstromdichteyH? die Warmestromdichte y'w und die elektrische Stromdichteyei berechnet werden.

Bild 2-103. Elektrolytischer Trog (schematisch).

2.11.3.2. Grundgleichungen idealer (reibungsfreier) Stromungen Ideale Gase sind Gase, deren Kohasion vernachlassigbar klein ist, und ideale Fliissigkeiten sind inkompressibel. Die Stromungen idealer Gase und idealer Fliissigkeiten sind definitionsgemaB reibungsfrei.

no

2. Mechanik

Kontinuitatsgleichung(DurchfluBgleichung) Fiir den Vektor der Massenstromdichte gilt nachBild 2-102 J=Q^'

(2-198)

Im allgemeinen Fall wird weder die Stromungsgeschwindigkeit v konstant sein (keine parallele Stromlinien), noch die Flache A senkrecht durchstromt werden, wie aus Bild 2-105 hervorgeht. Der Anteil des Massenstroms dm, der ein kleines Flachenelement dA durchstromt, betragt (mit dem Winkel a zwischen dem Stromungsgeschwindigkeitsvektor V und dem Vektor dA des Flachenelements, der senkrecht auf der Flache dA steht) dm = Iy 11 d^ I cos a =y d^ .

stant bleibt. Fiir eine solche stationare Stromung existiert eine Kontinuitatsgleichung; sie ergibt sich aus Gl. (2-200) fiir dmidt = const durch Integration zu

(2-199)

Bild 2-105. Zur Kontinuitdtsgleichung.

Dies bedeutet: Der Anteil des Massestroms dm ist gleich dem Skalarprodukt aus der Massestromdichte j und dem Flachenelement dA. Durch Integration iiber die geschlossene Oberflache ergibt sich der gesamte, durch die Oberflache des eingeschlossenen Volumens ein- und austretende Massenstrom (analog zum elektrischen FluB ij/, Gl. (4-134) in Abschn. 4.3.6.1):

Drei Falle treten auf: Quelle: Das Integral ist > 0; Senke: Das Integral ist < 0 und Quellenfreiheit: Das Integral ist = 0. Quellen- bzw. Senkenfreiheit bedeutet, daB der Massenstrom durch ein Volumenelement kon-

m = QiViAi = Q2V2A2 = QvA = konstant. (2-201) Bei inkompressiblen Fliissigkeiten ist die Dichte Q konstant. Fiir diese und Gasstromungen mit vemachlassigbaren Druckunterschieden geht Gl. (2-201) in m V= — = Av= konstant

(2-202)

Q

iiber. Der Volumenstrom F, das Produkt aus der Querschnittsflache A und der Stromungsgeschwindigkeit v = ds/dt, ist entsprechend Bild 2-106 konstant.

Bild 2-106. Konstanz des Volumenstroms in einer Stromrohre (stationare Stromung).

Bernoulli-Gleichung Um ein Fliissigkeitsvolumen AFi=y4iA^i durch die Querschnittsflache Ax in die Stromungsrohre einzubringen, muB bei dem dort herrschenden Druck p\ die Arbeit W\ =/7i AKi = /7iy4iA5i aufgebracht werden. Wegen der Inkompressibilitat der Flussigkeit tritt bei A2 dann ein gleich groBes Volumen AF2 = AKi = A F aus und verrichtet die Arbeit W2 = /72 AK2 = /72^2 A5'2. Hat das Flussigkeitsvolumen am Ort der Querschnittsflache Ax die potentielle Energie Q AFi ^ /?i und die kinetische Energie ^qd^Vv] sowie bei A2 die potentielle Energie QAVgh2 und die kinetische Energie J Q AVvl, so gilt nach dem Energieerhaltungssatz bei vernachlassigbarer Reibung gemaB Bild 2-107 a

AW^i^gAVv^+gAVghi)-(^QAVvi-hQAVgh2).

2.11. Mechanik deformierbarer Korper

111

P^0 h i"^

\

^1

^"^"^-^...^^^

P2K^

/\

^2 1

1

^===:

J vT" hi

''

1 1 1

b) Druck

®

©

Energie

©

statischer Druck Druckenergie

Pi

statischer Druck m

dynamischer Druck

P2

2^ 2

kinetische Energie

^"^^^^^^ ^""""^---.^.^^ dynamischer Druck Q^2 2

geodatischer Druck Pfl'^ potentielle Energie

1

geodatischer Druck gghi

Bild 2-107. Zur Bemoulli-Gleichung: a) Stromrohre, b) Druck- und Energieverlauf.

MiiAW = p2AV-pi

AKfolgtdaraus

(2-203) Oder allgemein

statischer Druck

dynamischer Druck (Staudruck)

geodatischer Druck

(2-204)

Diese Gleichung wird nach ihrem Entdecker Bemoulli-Gleichung genannt (D. BERNOULLI,

1700 bis 1782). Sie besagt, daB an jedem Ort

fiir eine Stromlinie die Summe aus statischem, geodatischem und dynamischem Druck (Staudruck) konstant ist. Analog zur Energieerhaltung ist in Bild 2-107 b an der Seite die Druckerhaltung nach der Bemoulli-Gleichung aufgezeigt. Aus Bild 2-107 a ist erkennbar, daB an Punkt (D wegen der groBeren Flache A2 die Durchstromgeschwindigkeit V2 kleiner und damit auch die kinetische Energie bzw. der dynamische Druck geringer ist als in Punkt 0 . Zudem ist die Lage des Punktes (D tiefer, so daB auch der geodatische Druck abnimmt. Da aber die Summe aller Driicke konstant sein muB, hat dies zur Folge, daB der statische Druck/72 stark zunehmen muB.

112

2. Mechanik

Wahrend der geodatische Druck qg h und der Betriebsdruck p bereits aus der Mechanik der ruhenden Fliissigkeiten und Gase bekannt sind {hydrostatischer Druck, Gl. (2-180) in Abschn. 2.11.2.4), tritt der dynamische Druck (Staudruck) nur in stromenden Medien auf.

stimmung der Stromungsgeschwindigkeit v. Fiir reibungsfreie Stromungen ergibt sich aus Gl. (2-204)

Anwendungen der Kontinuitats- und der BernouUi-Gleichung

Mit dem Prandtlschen Staurohr werden lokale Stromungsgeschwindigkeiten ermittelt. Soil der Volumenstrom durch eine Querschnittsflache A nach Gl. (2-202) berechnet werden, dann muB durch Ausmessen des Stromungsgeschwindigkeitsprofils uber die Querschnittsflache die mittlere Stromungsgeschwindigkeit abgeschatzt werden.

Druck- und Volumenstrommessung Bild 2-108 zeigt die Wirkungsweise von Druckmessern, deren MefigroBen sowie die Berechnungsgleichungen. Die Drucksonde miBt durch radiale Offnungen im Mantel der Sonde (parallel zu den Stromlinien) den statischen Druck /?stat- Bei den Drucksonden wird meist ein piezoelektrischer Drucksensor eingesetzt. Den statischen Druck />stat und den Staudruck p^y^ miBt das Pitot-Rohr (H. PITOT, 1695 bis 1771), das eine axiale Bohrung hat. Das Prandtlsche Staurohr (L. PRANDTL, 1875 bis 1953) ist eine Kombination von Drucksonde und Pitot-Rohr. Es miBt den Differenzdruck zwischen Gesamtdruck und statischem Druck, d.h. den dynamischen Druck bzw. den Staudruck /?dyn direkt. Sind Druck und Dichte konstant, dann eignet sich das Prandtlsche Staurohr auch zur BeBezeichnung

Besser geeignet zur Volumenstrommessung sind die Drosselgerdte nach DIN 1952, mit denen man direkt die mittlere Stromungsgeschwindigkeit I'm rniBt. In Drosselgeraten wird durch Diisen oder Blenden der Stromungsquerschnitt vermindert - Bild 2-109 zeigt drei Ausfiihrungen - und aus der Differenz der statischen Driicke vor und im Bereich der Drosselstelle die mittlere Stromungsgeschwindigkeit berechnet. Mit Beriicksichtigung der Reibungsarbeit W^R und der Kompressionsverluste W^K am Drosselgerat lautet die Beziehung fiir ein Volumenelement AV

Pitot-Rohr

Drucksonde

Prandtlsches Staurohr

J

3::^>

L

1

Skizze

E:§^I) Psts

Pstat

Pstat

^T MeSgroSe

statischer Druck

statischer Druck und Staudruck

BerechnungsFormel

P = Psi

Pges Psl ^ges ~ A'Stat ^

T Differenzmessung von Pitot-Rohr und Drucksonde Staudruck, Stromungsgeschwindigkeit

A'dyn

Bild 2-108. Messung des Drucks und des Volumenstroms.

2

,=V

o

^Pdyi

2.11. Mechanik deforaiierbarer Korper Venturi-DiJse

113

Blende

Einlaufduse

_L APst

Bild 2-109. Drosselgerdte nach DIN 1952.

PX+\Q\V\=P2

+ \Q2VI +

^v

^v'

V2 = OL 8

1 /

2(pi-p2)

(2-206) (2-209) Die Kompressionsarbeit Wy^ ist abhangig vom Isentropenexponenten K = C^/C^ (Abschn. 3.3.3), bei inkompressiblen Medien aber vemachlas- Somit betragt der Volumenstrom sigbar. Die Reibungsverluste W^ der Fliissig(2-210) V=A2V2 keit Oder des Gases an der Grenzschicht des Drosselgerats konnen auch zur Entstehung / ^(P\-P2) von Wirbeln fiihren. Die Verlustanteile in = a £^2 Gl. (2-206) werden mit Hilfe der Expansionszahl 8 und der DurchfluBzahl a auf die kinetische Energie der Stromung im Drosselgerat bezogen: Das Korrekturfaktorprodukt oc 8 ist abhangig von der Drosselgeratbauweise und von der Starke des Volumenstroms. Es muB auf einer Eichstrecke bestimmt werden; fiir Normdrosselgerdte ist a £ in DIN 1952 tabelliert. 8 = (2-207) Das Venturi-Rohr wird haufig zur BestimV \Q2VV mung der Stromungsgeschwindigkeit in Fliissigkeiten eingesetzt. Bei ihm ist in weiten / ^v Volumenstrombereichen a £ = 1; allerdings ist (2-208) beim Venturi-Rohr, besonders bei der Messung von Gasstromen, der Wirkdruck px —p2 im Vergleich zu den anderen Drosselgeraten Werden Gl. (2-207) und (2-208) in Gl. (2-206) klein. Blenden in Gasstromungen liefern einen eingesetzt und die quadratischen Glieder der hohen, leicht mefibaren Wirkdruck. Bei BlenVerluste vernachlassigt, dann ergibt sich der den ist a £ < 1 und stark stromungsabhangig. Staudruck

v4-f.i"'']'

A—^

J Q2VI= a^ 8^ (Pl - P2-^ J Ql V^l) und mit Gl. (2-201) die Stromungsgeschwindigkeit an der Drosselstelle:

AusflieBen von Flussigkeiten aus GefdBen Ein mit Fliissigkeit gefulltes GefaB entsprechend Bild 2-110 habe in der Hohe h unter-

114

2. Mechanik

(2-213)

(pOL.

Po.^2

^ 2-fl_-_ -_

Bild2-110. Zum Torricellischen AusfluBgesetz. halb des Fliissigkeitsspiegels ein Loch, das so klein ist, daB der Fliissigkeitsspiegel beim Ausstromen kaum sinkt {vi'^vi). Fiir das Niveau 1 und das Niveau 2 ist der statische Druck gleich dem Luftdruck p^. Nach der Bemoulli-Gleichung (2-204) gilt

Mit der AusfluBzahl // miissen die Werte fiir die AusfluBgeschwindigkeit V2 (Gl. 2-211) und den Massenstrom rh (Gl. 2-212) multipliziert werden, um realistische Ergebnisse zu erzielen (z.B. fiir Wasser bei scharfkantiger AusfluBoffnung i^ = (pa = 0,59). Saugeffekt von

Stromungen

Wie Bild 2-111 zeigt, nimmt (bei gleichbleibendem geodatischem Druck) mit zunehmender Stromungsgeschwindigkeit v der Betriebsdruck p nach der Bernoulli-Gleichung ab. Dies fiihrt zu Saugeffekten bei Stromungen. i

Daraus folgt

i

V2 = ]/2g h .

(2-211)

Pstatl

statischer Druck

dynamischer Druck

P

Die AusfluBgeschwindigkeit V2 ist gleich der Geschwindigkeit des freien Falls irgendeines Korpers (auch der Fliissigkeitssaule) aus der Hohe h (Bild 2-110 b). Dies wurde bereits von E. ToRRiCELLi (1608 bis 1647) festgestellt. Nach Gl. (2-201) erhalt man den Massenstrom aus m = QAV oder

m = QA

yigh.

(2-212)

In der Praxis sind weit geringere Werte fiir die AusfluBgeschwindigkeit V2 oder den Massenstrom m festzustellen. Dies ist auf zwei Einfliisse zuruckzufiihren:

Pdynl

L—^-^—"""^

'

Qv2 2

Geschwindigkeit v Bild 2-111. Statischer und dynamischer Druck in Abhdngigkeit von der Geschwindigkeit (BernoulliGleichung). — Zerstduber: Durch ein waagrechtes Rohr stromt Luft. Die Stromungsgeschwindigkeit nimmt im Punkt A in Bild 2-112 wegen der Einengung des Rohrs zu, so daB auch der dynamische Druck an der Stelle A zunimmt und sich der Betriebsdruck im Steigrohr vermindert. Der Luftdruck p^ wirkt auf die Fliissigkeit im Steigrohr, die im Luftstrahl zerstaubt wird.

— Flussigkeitsreibung: Die Fliissigkeitsreibung wird durch die Geschwindigkeitsziffer cp beriicksichtigt (fiir Wasser betragt (p ^ 0,97); — Verengung des austretenden Strahls (Kontraktion): Am AusfluBloch tritt eine Einschnurung des austretenden Fliissigkeitsstrahls ein, so daB sich der AusfluBquerschnitt verkleinert. Der Grad der Einschnurung wird durch die Kontraktionszahl OL berucksichtigt, die von der AusfluBform abhangt (fiir scharfkantige AusfluBoffnung e n a ^ 0,61). Das Produkt aus beiden EinfluBgroBen ist die AusfluBzahl

Pdyn

Bild 2-112. Prinzip des Zerstdubers.

2.11. Mechanik deformierbarer Korper

115

Wasserstrahlpumpe: Durch eine Duse wird der Wasserstrahl eingeschniirt, so daB am Punkt A in Bild 2-113 eine hohere Stromungsgeschwindigkeit auftritt (hoherer dynamischer Druck). Der dadurch verminderte statische Druck bewirkt, daB Luftteilchen in der Umgebung angesaugt werden. Einen angeschlossenen Rezipienten kann man auf diese Weise leerpumpen. Die untere Grenze der Wirksamkeit der Wasserstrahlpumpe wird durch den Dampfdruck des Wassers gesetzt; bei Raumtemperatur liegt der Grenzwert bei /? » 2,7 • 10^ Pa. Bild 2-115. Magnus-Effekt. kurz vor dem Boden direkt an den Eimerboden gepreBt. Mit diesem Effekt ist auch erklarbar, weshalb sich dicht nebeneinander fahrende Fahrzeuge anziehen konnen. — Magnus-Effekt: Rotiert ein Zylinder in einer stromenden Fliissigkeit oder in Gas entsprechend Bild 2-115, so nimmt die Stromungsgeschwindigkeit an der Oberseite zu. Weil dadurch der statische Druck an der Oberseite kleiner wird als an der Unterseite, erfahrt der Zylinder eine senkrecht zur Stromung wirkende, Magnus-Effekt genannte Kraft /'(H. G. MAGNUS, 1802 bis 1870). Beispiel Bild 2-113. Prinzip der Wasserstrahlpumpe. — Hydrodynamisches (aerodynamisches) Paradoxon: Ein Fliissigkeits- oder Gasstrahl, der gemaB Bild 2-114 gegen eine bewegliche Platte gerichtet ist, driickt diese nicht weg, sondern zieht sie an. Der statische Druck p^^.^^ nimmt an der Plattenoberflache ab, so daB der auBere Druck p^ die bewegliche Platte an den Strahl preBt. Dieser Effekt kann leicht nachvoUzogen werden, wenn ein spritzender Gartenschlauch in einen sich fiillenden Eimer getaucht wird. Wird der Schlauch in Richtung des Eimerbodens gefiihrt, so wird er

2.11-5: In einer Stahlflasche befindet sich Gas unter dem Druck/^Gas- E)er auBere Druck betragt/7o. Wie groB ist die Ausstromgeschwindigkeit v^^^^ beim Offnen des Ventils? Losung: Nach der Bernoulli-Gleichung (2-204) gilt im vorliegenden Fall /?Gas = Q^aus/2+/?o- Daraus ergibt sich das Ausstromgesetz nach Bunsen:

y

2(/?Gas-Po)

(2-214)

Stromungsimpuls

Bild 2-114. Hydrodynamisches Paradoxon.

Geschwindigkeitsanderungen stromender Medien bewirken Impulsanderungen, die nach dem Impulssatz (Abschn. 2.5.2.1) Krafte ergeben. Solche Krafte treten in der Stromungslehre vor allem beim Verzogem oder Beschleunigen der Medien sowie beim Umlenken auf. Der Impulssatz wird im folgenden auf reibungsfreie, inkompressible Medien und stationare Stromungen beschrankt. Der Vorteil bei der Anwendung des Impulssatzes ist, daB nur die Stromungsverhaltnisse beim Eintritt in und Austritt aus dem Stromungsraum bekannt sein miissen, um die Kraftwirkungen zu

116

2. Mechanik

bestimmen, nicht aber die Stromungsvorgange im Inneren des Stromungsraumes. Der Impulssatz lautet nach Gl. (2-50)

Z^a =

dp

y^

(2-215)

QVV.

In inkompressiblen, stationaren Stromungen sind Dichte und Geschwindigkeit konstant. Dann gilt fiir die Impulsanderung

-di =

1J

A---^

dr

Darin ist der Impuls p = m v. Mit der Dichte Q = m/V kann fiir den Impuls in stromenden Medien geschrieben werden P =

DiJse

dV

''^-

Bild2-116. Zum Impulssatz in der Hydrodynamik: Wasserstrahl aus einer Diise a) auf eine feststehende Platte, b) auf eine mit der Geschwindigkeit u bewegte Platte.

(2-216)

Der Impulssatz fiir einen beliebigen Stromungsraum lautet damit

Rolle. Ein Strahl, der aus einer Diise austritt, wird an einer Wand so umgelenkt, daB er parallel zur Wand abstromt. Wird der Strahl wie in Bild2-116 senkrecht auf eine Platte gerichtet, so gilt fur die Kraft in x-Richtung F^^^Qvd V/dt und wegen d V/dt = Av F^ = Qv^A.

X ^a

auBere Krafte, die an den Grenzen des Stromungsraums von auBen angreifen (z. B. Druck- oder Schwerekrafte),

VdV ZJQV—— Impulskrafte, die an den Grenzen des Stromungsraums nach auBen wirken. Das Vorzeichen ist beim Eintritt in den Stromungsraum positiv und beim Verlassen negativ. Bei der Anwendung des Impulssatzes ist folgende Vorgehensweise zweckmaBig: - Abgrenzen des Systems (Stromungsraums) und Festlegen des Ein- und Austritts des Stromungsraums; - Ermitteln der Querschnitte, der Stromungsgeschwindigkeiten und Driicke am Ein- und Austritt; - Bestimmen der auBeren Krafte und der Impulskrafte sowie - Ermitteln der resultierenden Kraft (graphisch und analytisch). Der Impulssatz spielt bei Wasserkraftmaschinen wegen der Strahlablenkung eine wichtige

(2-218)

Bewegt sich die Wand mit der Geschwindigkeit u in Strahlrichtung, dann nimmt die Kraft ab(Bild 2-116b):

F^ =

QA{v-uy

(2-219)

Je nach Form der Wand und Auftreffwinkel des Strahls ergeben sich unterschiedliche Krafte bzw. Drehmomente.

Beispiel 2.11-6: Ein Rohrkrummer von 90° hat einen Durchmesser (Nennweite) d= 10 cm. Bei einem auBeren Druck /? = 5 • 10^ Pa flieBen V= 0,2 mVs Wasser hindurch. Der Krummer ist am Eintritt und am Austritt an ein gerades Rohrstuck angeflanscht. Berechnet werden sollen die resultierende Kraft F^es auf den Kriimmer und die Kraft /'schr auf die Flanschschrauben entsprechend Bild 2-117. Losung: Die Geschwindigkeiten am Ein- und Austritt sind V\=V2

= V.

2.11. Mechanik deformierbarer Korper Man erhalt mit z; = 4 V/d'^ n = 25,46 m/s, = 103kg/m3unda = 90°

117 Q=

i^res=12,76kN. Die Kraft fschr ^uf die Flanschschrauben ist gleich der Summe aus der Druckkraft F^ und der Impulskraftfi: :d' -{Pi + Qv^) = 9fikN. F^chr — ^ np i1' + ^T 1 = Stromungs-Drehimpuls Ein Masseteilchen dm, das sich gemaB Bild 2-118 im Abstand r von einem Bezugspunkt D mit der Geschwindigkeit v bewegt, besitzt beziiglich D den Drehimpuls dL = dmrx

v

Mit der Umfangsgeschwindigkeit v^ gilt fiir den Betrag des Drehimpulses dL = dmrv^ Nach dem Drehimpulssatz (2-103) ist die zeitliche Anderung des Drehimpulses mit einem auftretenden Moment verknupft: M=

rhru,.

(2-221)

Bild 2-117. Beispiel 2.11-6: Krdfte in einem durchstromten Rohrkrilmmer. Krafte am Eintritt ® (in Stromungsrichtung): nd^ pi

6m

-yi^--yi—^^

dV . .nd^ Impulskraft i^i i = ^ v—- = QAV'^ = QV^ -——. at 4 Krafte am Austritt (D (gegen die Stromungsrichtung): nd^ Druckkraft F^2 = Pi^= Pi ~~7~' ,nd^ Impulskraft Fi2 = Qv"^ ——.

Bild 2-118.

Nach dem Kraftedreieck in Bild 2-117 b ist . a Fre^ 1 nd^ nd^

Das in einer Turbine dem Laufrad vorgeschaltete Leitrad in Bild 2-119 steht fest. In ihm wird die Stromung von der Geschwindigkeit I'l auf die Geschwindigkeit V2 beschleunigt. Das auf die Leitschaufeln ausgeiibte Drehmoment M ist die Differenz aus Austrittsmoment M2 und Eintrittsmoment M i . Es ergibt sich aus der Anderung des Drehimpulses L.

^ , . _ _ + ^ j _

Daraus folgt nd^ ^

-,, . oc

^res = ^ - ( P l + Qi^ ) s i n y

(2-220)

Zum Drehimpulssatz.

118

2. Mechanik tiven Stromungsgeschwindigkeit v des Mediums iiber Vektorraddition die absolute Stromungsgeschwindigkeit c = u + V ermitteln. Diese laBt sich in eine Komponente, die in die Mitte weist {Mediankomponente c^) und eine Komponente, die am Umfang angreift (Cu), zerlegen. Daraus ergibt sich nach Gl. (2-222) das Drehmoment fiir eine Turbine: dV M=Q—-{c^xr\a/

Bild 2-119. Turbinenleitrad, schematisch.

MaBgebend sind die Komponenten der Geschwindigkeiten in Umfangsrichtung z;u2 bzw. i^ui.NachGl. (2-221) ist

Bei Pumpen ist das feststehende Leitrad dem Laufrad zur Druckerhohung nachgeschaltet. Deshalb sind die Komponenten der Umfangsgeschwindigkeiten v^i kleiner als v^i, so daB nach Gl. (2-222) ein verzogerndes Moment auftritt. In Bild 2-120 sind die Stromungsverhaltnisse fiir radiale Laufrader in Turbinen und Pumpen vergleichend gegeniibergestellt. Hierin sind u Umfangsgeschwindigkeit am Laufrad (u = (jo r), V relative Stromungsgeschwindigkeit des Mediums, c absolute Stromungsgeschwindigkeit des Fluidums, bezogen auf die ruhende Umgebung, c^ Mediankomponente von c, c^ Umfangskomponente von c. Fiir die Berechnung des Drehmomentes M ist die absolute Stromungsgeschwindigkeit am Umfang Cy von Bedeutung. Aus dem Geschwindigkeitsdiagramm am Eintritt bzw. am Austritt laBt sich durch Messen der Umlaufgeschwindigkeit u des Laufrades und der rela-

c^i rj) .

(2-223)

Bei Pumpen werden die Indizes im Klammerausdruck vertauscht. Die Leistung des Laufrades kann aus P = M at ermittelt oder aus der Fallhohe H^: der Turbine und dem Volumenstrom dV/dt errechnet werden: dK

(2-224)

Wird diese Gleichung nach der Fallhohe Hp umgestellt und fiir M Gl. (2-223) eingesetzt (co = v/r), dann ergibt sich die Eulersche Gleichung fiir die Turbine: (2-225)

G (Fiir Pumpen werden die Indizes in dem Klammerausdruck vertauscht.) Als Folge von Verlusten wird die wirkliche Fallhohe i/F,reai einer Turbine kleiner, die wirkliche Forderhohe //F,reai ciucr Pumpe groBer sein, als sich aus Gl. (2-225) ergibt. Ist eine Stromung drehimpulsfrei, gilt fiir die Turbine Cu2 = 0, fiir die Pumpe Cui = 0. Fiir die Fallh5he //pT einer Turbine bzw. die Forderhohe i/pp einer Pumpe ergibt sich dann

9 9

bzw. (2-226)

Beispiel 2.11-7: Eine Forderpumpe (Radialkreiselpumpe) hat einen Laufraddurchmesser d = 250 mm und lauft

2.11. Mechanik deformierbarer Korper

>»

CN

^

^

r^^ -^

®

4 V/ ^\

/ / ,.i^

\]

> ^ j 'a

s" 3 ; j

^

0,?> c\ c Schallgeschwindigkeit) nicht vernachlassigbare Dichteanderungen. Die Bernoulli-Gleichung (2-204) gilt dann nur noch fiir sehr kleine Stromungsbereiche, in denen die Hohendifferenzen vemachlassigbar klein sind und die Dichte naherungsweise konstant ist. Eine differentielle Druckanderung &p bewirkt dann eine differentielle Anderung der Stromungsgeschwindigkeit v dv\ dp •• 0 Oder integriert V dv + v'^ .dp ^ h = konstant. 2 Q

dA

Fiir die adiabatischen Stromungen idealer Gase ergibt sich nach Gl. (3-66) (Abschn. 3.3.4.4) /7/g^ = konstant. Wird daraus die Dichte Q in Gl. (2-268) eingesetzt und diese integriert, ergibt sich V

X

2

X— \

P

— = konstant. Q

(2-269)

Bei idealen Gasen ist der Isentropenexponent x = Cp/(Cp-/?i) (Abschn. 3.3.3, Gl. (3-60)). Mit Hilfe der Zustandsgleichung idealer Gase (Abschn. 3.1.5, Gl. (3-20)) erhalt man fiir die adiabatischen Gasstromungen den folgenden Zusammenhang zwischen der Strdmungsgeschwindigkeit v und der absoluten Gastemperatur T\ — + Cp r = konstant.

Mit der differentiellen Schreibweise der verallgemeinerten Bernoulli-Gleichung (2-268) vdv^ dp/g = 0 und c^ = dp/dg ergibt sich aus Gl. (2-272) — V dv dA dv r— + + = 0 Oder

(2-268)

Diese Gleichung ist die verallgemeinerte Bernoulli-Gleichung fur kompressible Medien.

—+

Fiir eine stationare Stromung gilt dm/dt = QAV = konstant oder in differentieller Form

(2-270)

=^ - -

dv.

Damit gilt fiir die Querschnittsabhangigkeit von Uber- und Unterschallstromungen {v/c = Ma) dA

dv

A

V

(Ma2-- 1 ) .

(2-273)

Tabelle2-12 gibt das Geschwindigkeitsverhalten bei Querschnittsanderungen fur den Unterschall- bzw. Uberschallbereich an. Es ist ersichtlich, daB sich Unterschallstromungen entgegengesetzt zu den tJberschallstromungen verhalten. Im Unterschallbereich erhoht sich bei Querschnittsverengung die Geschwindigkeit, wahrend sie sich im Uberschallbereich vermindert. In Hohen oberhalb /z = 180 km ist die Atmosphare allerdings so diinn, daB keine Schallausbreitung mehr stattfinden kann. Die Machzahl ist dann bedeutungslos. — Wichtig ist ebenfalls das unterschiedliche Verhalten bei einer Querschnittserweiterung. Bei einer LavaldUse ist dies beispielsweise der Fall. Deshalb ist am Einlauf v < c, so daB am

2.11. Mechanik deformierbarer Korper Tabelle2-12. Unterschall- und Uberschallstromung bei Querschnittsanderung (v Stromungsgeschwindigkeit, c Schallgeschwindigkeit). Querschnittsverengung

Querschnittserweiterung

dA0

Unterschall Ma< 1

dy>0

d?; 1

di;0

QuerschnittsMinimum dA = 0 entweder d[; = 0 Oder v= c

engsten Querschnitt v = c wird. Bei einem Diffusor hingegen wird v > c, wenn p genugend abgesenkt wird. 2.11.3.4. Anwendungen Pumpen Pumpen sind Arbeitsmaschinen zur Forderung von fliissigen Medien von einem niedrigen auf ein hoheres Energieniveau. Die verschiedenen Eigenschaften der Fordermedien (z.B. geringe oder groBe Viskositat, chemische Aggressivital), die Forderungen nach bestimmten Forderstromen und die Uberwindung genau definierter Forderhohen sind der Grund fiir die Vielzahl von Pumpentypen. In Bild 2-133 sind sie vergleichend gegenubergestellt. In der Hydrodynamik sind die Kreiselpumpen und die Strahlpumpen von Bedeutung. Die folgenden Beispiele beziehen sich auf die in der Praxis haufig eingesetzte Kreiselpumpe und auf die Begriffe, Zeichen und Einheiten nach DIN 24260, die im Pumpenbau ublich sind. Die Funktion Hp,=f(Q) wird Anlagekennlinie (Rohrleitungskennlinie) genannt. Sie hat den schematischen Verlauf gemaB Bild 2-134. Bei der Pumpenkennlinie H=f(Q) dagegen nimmt bei Stromungspumpen mit zunehmendem Forderstrom Q die Forderhohe H ab (Bild 2-133). Bild 2-135 zeigt den Verlauf der Anlagenkennlinie und der Pumpenkennlinie. Im Schnittpunkt ist die Forderhohe der Anlage / / A gleich der Pumpenforderhohe H. Dies stellt den Betriebspunkt B der Pumpe dar. In Bild 2-135 b ist eine g,//-Kennlinie einer Spiralgehause-Kreiselpumpe dargestellt.

133

Fur Pumpenanlagen aller Art sind folgende charakteristischen GroBen wichtig: Forderstrom Q = vA(in mVs), Forderhohe H (in m), Forderleistung PQ = gg QH, Wirkungsgrad rj = PQ/P, Leistungsbedarf P = Pq/rj = {Qg QH)/n sowie Drehzahl n (in min~^). Bild 2-136 zeigt das Schema einer Pumpstation. Die Bernoulli-Gleichung (2-204) fiir diese Anlage lautet unter der Beriicksichtigung der Reibungsverluste durch die Verlusthohe hy fiir den Eintritt e bzw. den Austritt a h^ + Hp,^-

+ -—

Q9 ^9 Die Geschwindigkeiten v^ und v^ sind in den Punkten e und a zu messen. Daraus errechnet sich die Forderhohe H^ zu

statischer Anteil

+-

2^

- + /zv

(2-274)

dynamischer Anteil

Gl. {1-21 A) enthalt einen statischen Anteil, der vom Forderstrom Q unabhangig ist, und einen dynamischen Anteil, der eine Funktion des Forderstromes 2 ist. (Hierbei ist die Verlusthohe hy durch den Forderstrom Q bedingt.) Wegen v = Q/A resultiert

Mit zunehmendem Forderstrom Q nimmt die erforderliche Forderhohe ^ A der Pumpe zu. Bild 2-137 a zeigt eine Spiralgehause-Kreiselpumpe nach DIN 24 255, Bild2-137b eine Querschnittszeichnung sowie Bild 2-137 c die Fordermenge-Leistungs-Kurve {Q, P-Kennlinie).

134

2. Mechanik

^a 05 > C D ^ 0)

O

V

ro S

•*-* ^c»

cn 0) - Q -*^. < c^

CO CO

S^ o

J 3 T3 CD C X 3

ia

(U Q.

O)

c

E :0 CO

Qi Q.

E D

b

Q. CD C CO

Q. CD (D

c 0)

^

CO

1

O) O

V

'55

E

1

O)

o

E

O)

>

:0

O)

^

c

U

:C0

0) Q.

Aa

CD O)

^

J3 CO

E D O)

c 3

^ 0) DC

Q.

CD

c

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:0

o V

^ O 0}

c

C3) C

CD

sr

CO

N

E

E

'^

CO T 3

H| C

CD' N •-

1

(D

o

JZ

o

CO

4a

(D Q.

E D

-^ •£ < 3

Q.

LO

•4-'

3

O

b

V

E CD

^

/,C : 0

>

CD CD

0)

^

CD

1

0) Q.

c D

c :C0

•a CD

>

E Q. •o CO

c CD

N

V Q. CD

a D E Q. C (D

o

^

Aa

E

O)

^ o

3 Q. C (D

CD

W

a3

^ -o -E E

O CO (D

CD

O

p >

1

1

•o C

d V sr

V CN

a d

S

Q E CD (^

3 Q.

2 ^ 0 > CO ._ O -C Q CD

1

o c

II

C *^

N3 CO

^

.E 0) LLi CD

2.11. Mechanik deformierbarer Korper

135

,l [^ dynamischer Anteil Pumpenkennlinie •a :0

statischer Anteil

^"X.

N&/

:0

Forderstrom Q BiId 2-134. Forderstrom Q in Abhdngigkeit von der Forderhohe H^.

"E :0 U-

^^^^

Anlagenkennlinie

Forderstrom Q Bild 2-135. Pumpenkennlinien. a) Verlauf der Pumpen- und Anlagenkennlinien, b) Q, H-Kennlinie einer Spiralgehduse-Kreiselpumpe. rj Wirkungsgrad Werkbild: Ritz b)

1^ 1470 min" 50 Hz

L-40 rj< V

- 0 >30D —

-1

K}—^

6u bb ^u- /t 3

80 fi'o R 1 * • »

vJ

35

- 0 32 1

85

- 0 30 R

\ttif,t)

h30

y0

0 291 0) •O

0

- 2 5 - 0 ?7 6

^7!

•D

^0-

^ 0 ^D 1

-20

-15

C):L lufr,addurclim€»SS€»rin mn

100

200

300 Forderstrom Q

400

500

m3/ h

600

136

2. Mechanik Beispiel 2.11-11: Die Forderhohe //^ und der Leistungsbedarf P einer Kesselspeisepumpe (Hohenunterschied /Za - /^e = 5 m; Q = 907 kg/m^) sollen errechnet werden (analog DIN 24 260). Die Anlage weist folgende Betriebsdaten auf: Eintrittsdruck Austrittsdruck Forderstrom Verlusthohe Eintrittsquerschnitt Austrittsquerschnitt Wirkungsgrad

/7e=6 105Pa, /7a = 11 10^ Pa, Q = 0,06 mVs, A^= 1,5 m^, ^a = 0,8 m^, n =0,85.

Bild 2-136. Schema einer Pumpstation.

0

I

(

20

40

60

1

I

80

100

I

120

140

160

kW 50

^ ^° I

30

CO

0) _J

180

l/s

1 1 ^ 0 336 0 321

-r

1 13 306 0 291 • 0 276 - 0 261

20 1

10

1 1 1 1 1 1 1

- d

Forderstrom Q Bild2-137. Spiralgehduse-Kreiselpumpe nach DIN 24 255. a) Pumpe, b) Querschnitt durch die Pumpe, c) Q, P-Kennlinien. Werkphotos: Ritz

2.11. Mechanik deformierbarer Korper Losung: a) Nach Gl. (2-275) ergibt sich fiir die Forderhohe

^A = ( / ^ a - W + ^ ^ ^ - ^ + Q9

137

1829 bis 1908), Francis-Turbinen (J. B. 1815 bis 1892) und Kaplan-Turbinen

FRANCIS,

(V. KAPLAN, 1876 bis 1934) genannt werden;

auBerdem gibt es noch S-Turbinen (S-formiger Stromungskanal) und Rohrturbinen. Nach der Fallhohe werden die Wasserturbinen eingeteilt in

— Hochdruck'Turbinen: Bei ihnen ist die Fallhohe H groB {H > 200 m) und der Volumenstrom Q klein. Beispiele dafiir sind +7 m Pelton- und Francis-Turbinen; — Mitteldruck-Turbinen: Bei ihnen ist die Fallhohe H mittelgroB und der Volumenstrom b) Der Leistungsbedarf ist P = ^ ^ ^ = 42,8 kW. Q ebenfalls. Beispiele dafiir sind Francisund Kaplan-Turbinen; — Niederdruck-Turbinen: Bei ihnen ist die Fallhohe H klein {H < 50 m) und der VoluWasserturbinen menstrom Q groB. Beispiele hierfur sind Kaplan-, S- und Rohr-Turbinen. Wasserturbinen sind Wasserkraftmaschinen, in denen hydraulische Energie (Lageenergie und Um diese verschiedenen Turbinentypen sowie Stromungsenergie) in mechanische Arbeit unterschiedliche BaugroBen desselben Typs umgewandelt wird. Je nach Anteil der Lage- untereinander vergleichen zu konnen, dient energie (bestimmt durch die Fallhohe H) im die spezifische Drehzahl ric^. Sie ergibt sich Verhaltnis zur Stromungsenergie unterschei- aufgrund von Ahnlichkeitsgesetzen aus anadet man drei Ausfiihrungen, die nach ihren logen Uberlegungen wie die Reynolds- bzw. Konstrukteuren Pelton-Turbinen (L. A. PELTON, die Froudezahl (Abschn. 2.11.3.3). Sie ist die 0,06^ 0,06^ (ll-6)-105 \ 0,82 152 5+-^^ 907-9,81 — + 2-9,81 68,19 m.

2000

0 1020

40

60

80

100

150

200

250

Spezifische Drehzahl n^ Bild 2-138. Anwendungsbereiche der verschiedenen Arten von Wasserturbinen. Werkbild: Voith

300

350

138

2. Mechanik

Drehzahl, die sich ergibt, wenn die Turbinen bei einer Fallhohe / / = 1 m einen Volumenstrom Q = 1 m^/s verarbeiten. Der Zusammenhang zwischen Fallhohe und Volumenstrom ergibt sich aus

mit n als der Drehzahl der Anlage. Die Anwendungsbereiche von Wasserturbinen in Abhangigkeit von Fallhohe H und spezifischer Drehzahl «q sind in Bild 2-138 dargestellt. Daraus ist ersichtlich, daB Pelton-Turbinen fur hohe Fallhohen bei niedrigen spezifischen Drehzahlen und Kaplan- bzw. S- oder Rohrturbinen bei niedrigen Fallhohen und hohen spezifischen Drehzahlen zum Einsatz kommen. In den Uberschneidungsbereichen muB man die Vor- und Nachteile der Turbinenart abwagen. Haufig sind die ortlichen Gegebenheiten ausschlaggebend. In Bild 2-139 sind die Turbinentypen vergleichend gegeniibergestellt. Es sind auBerdem Einbaubeispiele und Laufrader der verschiedenen Turbinenarten sowie konstruktive Merkmale und Einsatzbereiche aufgefiihrt. In Abschn. 2.11.3.2 ist darauf hingewiesen, daB nach der Bernoulli-Gleichung (2-204) der statische Druck /7stat rnit zunehmender Stromungsgeschwindigkeit v abnimmt. Sinkt der statische Druck unter den Dampfdruck /?D der Fliissigkeit, dann bilden sich Dampfblasen, oder vorhandene Blasen vergroBern sich. Steigt der Druck wieder an, dann kondensiert der Dampf in den Hohlraumen, und das Stromungsmedium schlagt mit hoher Geschwindigkeit auf das Turbinenmaterial. Dieser Vorgang wird Kavitation (Hohlraumbildung) genannt. Dabei konnen Drucke bis 10^^ Pa bei Frequenzen um 2 kHz auftreten. Diese standigen Beanspruchungen fuhren zur Zerstorung der Materialoberflache. Die kritische Geschwindigkeit, oberhalb der Kavitation

eintritt, lal3t sich aus der Bernoulli-Gleichung (2-204) zu

^krit

=

/

/2(Pges-PD) Q

(2-277)

errechnen. Sie ist fiir Wasser bei p^^^ = 1 bar und 20 °C (;?D = 2340 Pa) t;krit = 14 m/s. Dies bedeutet, daB mit der Kavitation bei vielen Wassermaschinen gerechnet werden muB. Bei der Konstruktion von Wasserturbinen sollte daher darauf geachtet werden, daB — moglichst hohe auBere Drucke auftreten, — diinne Schaufelprofile verwendet werden und — nur kleine Anstellwinkel moglich sind.

Zur Ubung U 2.11-12: Ein Oltankeinlauf liegt 6 m hoher als die Pumpe (Forderstrom Q = 0,8 1/s). Das Zuleitungsrohr hat eine Lange von 1=1 m und einen Durchmesser d= \,1 cm. Wie groB ist der erforderliche Pumpendruck (QQ^ = 0,85 kg/1; voi = 0,2 Ns/m^)? U 2.11-13: Zur Messung der dynamischen Viskositat rj eines 01s (QQI = 0,85 kg/1) wird ein Kugelfallviskosimeter benutzt. Die Stahlkugel (QK = 7,85 kg/ dm^) hat einen Durchmesser d=2 mm und fallt in t = 2s s= 10 cm weit. Wie groB ist //? U 2.11-14: Ein Segelflugzeug der Masse m = 200 kg und der Projektionsflache A= 18 m^ fliegt mit einer Geschwindigkeit i^ = 60 km/h unter einem Anstellwinkel a = 8°. Wie groB sind Auftriebs- und Widerstandskraft? Zu bestimmen sind ferner der Widerstandsbeiwert c^^ und der Auftriebsbeiwert c^ (^Luft= 1,25 kg/m^). U 2.11-15: Ein Wasserbehalter hat am Boden eine waagerechte AusfluBrohre mit dem Durchmesser d=\,2mm, die / = 5 0 c m lang ist. Aus welcher Hohe h iiber der AusfluBrohre sinkt der Wasserspiegel ab, wenn turbulente Stromung in laminare Stromung umschlagt {r}^^= 10"^ Ns/m^)?

2.11. Mechanik deformierbarer Korper

139

J 8 i E .i o

i J O ^ "^ _ ^

^

p .E

CD :Q - - a ^ (0 CO CD

!o ^ « 2

9 -E c 2* -si 22 i -2

CD

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3.0 2 ^m

E :(D

5

2? l o co

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^ 0

y

^

1

50


C^y. 3.3.4.4. Isentrope Zustandsanderung Die isentrope Zustandsanderung kann in einem adiabaten System realisiert werden, bei dem jeglicher Warmeiibergang zur Umgebung unterbunden wird. Im Gegensatz zur isothermen Zustandsanderung, bei der gemaB

168

3. Thermodynamik

Bild 3-15 ein guter Warmekontakt zur Umgebung notwendig ist, muB der Zylinder jctzt mit einer geeigneten Warmeisolation versehen werden. Die adiabate Zustandsanderung laBt sich leicht verwirklichen, wenn der ProzeB sehr schnell ablauft, so da6 fiir eine Warmeiibertragung keine Zeit bleibt. Der Name Isentrope riihrt daher, daB die ZustandsgroBe Entropie, die in Abschn. 3.3.6 definiert ist, bei einer reibungsfrei und quasistatisch verlaufenden Zustandsanderung konstant bleibt. Die reversibel durchlaufende Adiabate ist mit der Isentrope identisch (Einzelheiten hierzu in Abschn. 3.3.6). Bei einem adiabaten System {^Q = ^) nimmt der erste Hauptsatz die Form dU = bWoder d^+/7dF=0

(1)

an. Mit Gl. (3-46) gilt vCn,vdr + / 7 d K = 0 .

(2)

Die Anderung der Enthalpie ist nach Gl. (3-51) und (3-52) d// = d ^ + pdV-^Vdp

SchlieBlich laBt sich noch eine Beziehung zwischen Druck und Temperatur herstellen: ,1-

P\

^ \ — Pi

^2

Oder

(3-68)

?'~^r^ = konst.

Gl. (3-66) bis (3-68) werden als Poissonsche Gleichungen bezeichnet. Sie wurden von D. PoissoN (1781 bis 1840) im Jahr 1822 gefunden. Im /7, F-Diagramm von Bild 3-20 ist eine isentrope Kompression dargestellt. Der Kurvenverlauf 1 nach 2 entspricht /? = konst/K^ (Gl. (3-66)) und ist steiler als bei einer isothermen Zustandsanderung. Dies bedeutet, daB die Temperatur des Systems wahrend der Kompression zunimmt. Umgekehrt kiihlt sich das Gas bei einer isentropen Entspannung ab.

= vC mpdr.

Mit Gl. (1) ergibt sich hieraus vCn,pdr = Vdp.

(3)

Durch Elimination von dTaus Gl. (2) und (3) folgt Cn,pdK dp C V P Diese Gleichung laBt sich direkt integrieren. Fiihrt man noch zur Abkiirzung den bereits in Gl. (3-60) definierten Isentropenexponenten (Adiabatenexponenten) yi= C^^/C^y ein, so ergibt sich 1

^2

%ln—— Vx =

In^. P2

Aus dieser Beziehung folgt sofort die Isentropengleichung (Adiabatengleichung) P\ ^x^Pi

^2

pV^= konst.

Oder

(3-66)

Eine Verkniipfung zwischen Temperatur und Volumen ergibt sich, wenn mit Hilfe der Zustandsgleichung idealer Gase der Druck eliminiert wird:

Volumen V

Bild 3-20. Isentrope zum Zustand 2.

Kompression

vom Zustand

1

Die Volumenanderungsarbeit laBt sich auch hierbei als Flache unter der Kurve ermitteln bzw. durch Integration von Gl. (3-66) berechnen: V2

Wy

-\p{V)dV,

miip{V)=p^

Kf/K^ ergibt sich

3.3. Hauptsatze der Thermodynamik

Diese Beziehung ist mit Hilfe der Poissonschen Gleichungen und der Zustandsgleichung idealer Gase auf vielfaltige Art und Weise umformbar. Eine wesentlich einfachere Berechnung der Arbeit hingegen ist durch den ersten Hauptsatz moglich. Fiir ein adiabates System (-II >1 II o

d o

+ o ^

E

(N

o II Ki

_co

^1

CM

s o

^

1"I11

CO

c o II

CD

£ N

a

"c CQ W

c

c o

CO

o

II

CD

OQ

CLlK

CO *i CO C

iT

,

^

QC

II O

II

«o

d

O K5

^

*/9F)7:=0 (waagrechte Tangente) und (9^/7/9 F^)7^ = 0 (Wendepunkt). Aus {dp/hV)T^ = 0 und (a2;7/8F2)7^^ = 0folgen K^k = 3 /?

(3-110)

und

8«

(3-111)

n=-21 bR^

Werden diese beiden Gleichungen in die van der Waalssche Zustandsgleichung (3-109) eingesetzt, ergibt sich

Aus der Kombination aller drei Gleichungen erhalt man

Tabelle 3-10. Kritische Temperatur Ty., kritischer Druck/?^ sowie van-der-Waalssche Konstanten a und b verschiedener Stoffe. Stoff

^

in K

in MPa

Elemente

XT

4

. .^5 N m* in 10^^ kmor

^

^3

in 1 0 - ^ ^ kmol

Wasserstoff (H2) Helium (He) Stickstoff (N2) Sauerstoff (O2)

33,240 5,2010 126,20 154,576

1,296 0,2275 3,400 5,043

0,2486 0,0347 1,366 1,382

2,666 2,376 3,858 3,186

Luft

132,507

3,766

1,360

3,657

417 647,30 405,6 304,2

7,70 22,120 11,30 7,3825

6,59 5,5242 4,246 3,656

5,63 3,041 3,730 4,282

190,56 370 425,18

4,5950 4,26 3,796

2,3047 9,37 13,89

4,310 9,03 11,64

anorganische Verbindungen Chlor (CI2) Wasser (H2O) Ammoniak (NH3) Kohlendioxid (CO2) organische Verbindungen Methan (CH J Propan (CgHg) Butan (C4H10)

192

3. Thermodynamik

Bei dem Vergleich mit dem Wert des Realgasfaktors Z (Gl. (3-107)) ergibt sich fiir den kritischen Punkt

Wenn die allgemeine Gasgleichung fiir ideale Case am kritischen Punkt giiltig ware, miiBte Zk = 1 sein. Der Realgasfaktor Z gibt also den Grad der Abweichung von der allgemeinen Gasgleichung an (Bild 3-39). Sind zwei der kritischen Werte p^, V^y^ und 7^ bekannt, dann konnen die van-der-Waalsschen Konstanten a und b errechnet werden:

3

(3-115) 8/^k '

a = ^P^Vl^ = 21b^p^,

(3-116)

men wird. Dieser Effekt wird Joule-ThomsonEffekt genannt (J. P. JOULE, 1818 bis 1889,

und W. THOMSON, 1824 bis 1907). Die druckbezogenen Temperaturdifferenzen betragen beispielsweise fiir Luft Ar/A/? = 2,5 K/MPa und fiir Kohlendioxid Ar/A/7 = 7,5 K/MPa. Die Luftverflussigung gelang erstmalig Linde (C. V. LINDE, 1842 bis 1934) im Jahr 1876. Genaue Rechnungen ergeben, daB der JouleThomson-Effekt auch zu einer Erwarmung fuhren kann. Oberhalb der Inversionstemperatur Ti erwarmt sich ein Gas, und unterhalb dieser kuhlt es sich ab. Naherungsweise ist

Da fur die kritische Temperatur eines realen Gases nach Gl. (3-111) Tk = 8 a/(21 bR^) gilt, ist die Inversionstemperatur

T^^6J5T^. Beispiel 3.4-i: Fiir Kohlendioxid (CO2) gilt am kritischen Punkt 7; = 304,2 K und py, = 7,38 MPa. Es sollen hieraus die van-der-Waalsschen Konstanten a und b berechnet werden. Losung: NachGl. (3-115) giU R T •" "^ = 0,0428 m^kmol, 8/7, nachGl. (3-116) giU « = 27^7^^ = 3,66-10^

kmoP

3.4.2. GasverflUssigung (Joule-Thomson-Effekt) Bei einem realen Gas ist wegen der zwischenmolekularen Wechselwirkungen und des Eigenvolumens der Molekiile die innere Energie U volumen- und druckabhangig. Wird ein reales Gas adiabat (ohne Warmeubertragung) und ohne Arbeitsverrichtung (Drosselung) entspannt, so kiihlt es sich im Gegensatz zum idealen Gas ab. Zur Uberwindung der zwischenmolekularen Anziehungskrafte muB namlich Energie aufgewendet werden, die aus dem Vorrat der inneren Energie U entnom-

(3-118)

Weil fiir Luft, Stickstoff, Sauerstoff und Kohlendioxid die Inversionstemperatur T^ weit oberhalb der Raumtemperatur liegt, kuhlen sich diese Gase nach dem Joule-ThomsonEffekt ab, wahrend sich Wasserstoff bei Raumtemperatur (7^^= 33,3 K) erwarmt. Deshalb wird Wasserstoff zwecks Verfliissigung erst mit fliissigem Stickstoff vorgekiihlt. In Bild 3-41 sind einige technisch bedeutsame Temperaturen und die entsprechenden physikalischen Effekte zusammengestellt. Zwecks Untersuchung von Werkstoffen bei tiefen Temperaturen kiihlt man die Proben mit fliissiger Luft (r=79K) oder fliissigem Stickstoff ( r = 7 7 K ) ab. Zur Untersuchung des supraleitenden Zustandes (Abschn. 9.2.3) kiihlt man meist mit flussigem Helium (r=4,2K bis 0,83 K). Um tiefere Temperaturen, die durch den Joule-Thomson-Effekt nicht mehr erreicht werden, zu erhalten, miissen paramagnetische Sake adiabat entmagnetisiert werden. Infolge der wahrend der Entmagnetisierung zunehmenden Unordnung der magnetischen Struktur wird - analog zum VerdampfungsprozeB - dem Stoff Warme entzogen, so daB eine Abkiihlung eintritt (z. B. Casium-Titan-Alaun, r = 0,0034 K). Nach diesem magnetokalorischen Effekt werden Temperaturen bis r=10"-^K erzeugt. Noch tie-

3.4. Zustandsanderungen realer Gase

Adiabate Entmagnetisierung der Molekular- bzw. Atomarmagnete

Adiabate Entmagnetisierung der Kernmagnete

I

I

0,05

0,13

Schmelzpunkte

Joule-Thomson-Effekt

KaliumChrom- CerlumAlaun fluorid

Gold Wasser sieden schmelzen H2 No Luft Eis I \ / 1336 20 7 7 7 9 273 373

He 0,84

4,2

Siedetemperatur I (druckabh.)l

1 I 11 I T

10-6

10-

10-

10-

10

1

193

103

102

I

K

10*

Temperatur T

Bild 3-41. Physikalische Effekte und einige technisch bedeutsame Temperaturen.

fere Temperaturen (bis T = 10"^ K) kann man durch Entmagnetisierung von Atomkemen erreichen. 3.4.3. Phasenumwandlungen Eine Phase ist ein raumlich abgegrenztes Gebiet eines Stoffes mit gleichen physikalischen Eigenschaften. Der Begriff Phase kann sowohl auf die drei Aggregatzustdnde der Materie (fest, fliissig, gasformig), als auch auf die verschiedenen Modifikationen desselben Stoffs (z.B. a- und y-Eisen) angewandt werden. Die unterschiedlichen chemischen Bestandteile werden Komponenten genannt und zweckmaBigerweise durch eine chemische Strukturformel angegeben. ^N. von

nach fest

fiOssig

gasfbrmig

Modifikationsanderung (Modifikationsenthalpie AHM)

Schmelzen

Sublimieren

(Schmelzenthalpie AHs)

(Sublimationsenthalpie AHsub = AHs + AHv)

^Ns^

fest

flussig

i

Bild 3-42 zeigt die moglichen Phaseniibergange fiir die drei Aggregatzustande fest, flussig und gasformig unter Beriicksichtigung von Modifikationsanderungen innerhalb des festen Zustands. Allen Phasenubergangen ist gemeinsam, dai3 Warme zu- bzw. abgefiihrt werden mui3, ohne daB eine Temperaturanderung eintritt. Diese Warme wird deshalb als latente Warme bezeichnet. Wird beispielsweise der Phaseniibergang von fest nach flussig betrachtet, dann dient die zugefiihrte Warme der Aufbrechung des Festkorpergitters. Die bei konstantem Druck und konstanter Temperatur zugefiihrte Warme erhoht die Enthalpie der Substanz: ^fliissig = ^fest + ^ ^ s • ^ ^ s wird als Schmelz-

gasfdrmig

Erstarren

Sieden

(Erstarrungsenthalpie - AHs)

(Verdampfungsenthalpie AHv)

Desublimieren (Desublimationsenthalpie -AHsub = - A H s - A H v )

Kondensieren (Kondensationsenthalpie-AHv)

Bild 3-42. Phaseniibergdnge und zugehorige Enthalpien (Einstoffsystem).

194

3. Thermodynamik spezifische Verdampfungsenthalpie

Siedepunkt 373

330

Q.

E

Schmelzpunkt 2 3 0 J 273

419

3094

spezifische Enthalpie h Bild 3-43. Temperaturverlauf der spezifischen Enthalpie von Wasser.

Tabelle 3-11. Schmelz- bzw. Verdampfungstemperatur ^ sowie spezifische Schmelzenthalpie l^h^ und spezifische Verdampfungsenthalpie A/zy verschiedener Stoffe beim Druck /?„ = 1013 hPa. Stoff

Schmelzen in °C

Verdampfen A/^s in kJ/kg

^hy

in °C

in kJ/kg

Elemente Wasserstoff(H2) Helium (He) Stickstoff(N2) Sauerstoff(02) Luft

- 259,15 - 270,7 - 209,85 - 218,75 -213

58,6 3,52 25,75 13,82

-

252,75 268,94 195,75 182,95 192,3

461 20,9 201 214 197

anorganische Verbindungen Chlor (CI2) Wasser (H2O) Ammoniak (NH3) Kohlendioxid (CO2)

- 100,95 0,00 -80 - 56,55

90,4 335 339 184

- 34,45 100,00 - 33,45 - 78,45

289 2257 1369 574

- 182,45 - 187,65 - 138,35

58,6 80,0 77,5

- 161,45 - 42,05 -0,65

510 426 386

organische Verbindungen Methan (CH4) Propan (CjHg) Butan (C4H10)

3.4. Zustandsanderungen realer Gase

enthalpie bezeichnet Sie wird bei der Erstarrung wieder frei ( - A//s). Beim Ubergang vom festen in den gasformigen Zustand mul3 die Summe aus Schmelzenthalpie l^H^ und Verdampfungsenthalpie A/Zy als Sublimationsenthalpie A//sub = A//s + AT/y zugefiihrt werden. Bild 3-43 zeigt den Temperaturverlauf als Funktion der zugefiihrten spezifischen Enthalpie fiir Wasser vom Aggregatzustand fest (Eis) bis gasformig (Wasserdampf). In Tabelle3-ll sind die Schmelz- bzw. Siedepunkte sowie die spezifischen Schmelz- bzw. Verdampfungsenthalpien zusammengestellt (die Siedepunkte und Verdampfungsenthalpien beziehen sich auf den Normdruck /?n= 1,013- 10^ Pa).

gewichtszustand zuriicktreibt, forttreibt oder keinen EinfluB zeigt. In der Mechanik (Abschn. 2.9.3) liegt bei einem stabilen Gleichgewicht ein Minimum der potentiellen Energie vor. Unterschiede in der potentiellen Energie (Gradient des mechanischen Potentials) sind die treibenden Krafte, die im Minimum verschwinden. In der Warmelehre konnen je nach Systemzustand fiinf Gleichgewichtsforderungen auftreten (Abschn. 3.3.7). Sie sind in Bild 3-44 zusammengestellt: — Maximum der Entropie S fiir ein abgeschlossenes System ohne Materie- und Energieaustausch; — Minimum derfreien Enthalpie G fiir ein isobar-isothermes System; — Minimum derfreien Energie F fiir ein isochor-isothermes System; — Minimum der Enthalpie H fur ein isobar-adiabates System sowie — Minimum der inneren Energie U fiir ein isochor-adiabates System.

3.4.3.1. Thermodynamisches Gleichgewicht Ein physikalisches System befindet sich im Gleichgewicht, wenn sein physikalischer Zustand gleich bleibt. Es gibt stabile, labile und indifferente Gleichgewichte, je nachdem, ob eine auBere Storung das System zum Gleichisobar dp = 0

isochor 6V=0

isotherm dr=0

6U=0

Maximum der Entropie dS^ 0 Minimum der freien Entiia pie dG< 0 Minimum der freien Energie dF< 0 Minimum der Enthalpie dH< 0 Minimum der inneren Energie dC/< 0 Enthalpie H freie Enthalpie - G

1

U

1

+

pV

195

-

TS 1

freie Energie F

Bild 3-44. Gleichgewichtsbedingungen jur die verschiedenen thermodynamischen Zustdnde.

adiabat 6Q = 0

196

3. Thermodynamik

Chemische Reaktionen, die isobar und isotherm spontan ablaufen, haben alle eine negative molare freie Enthalpie AGj^. Dabei kann entweder Warme frei werden (A// < 0), oder der Endzustand der Reaktion weist eine sehr viel hohere Entropie auf (A^S = (AH-AG)/

TIR = 0,04 W/m K) und 54 = 6 mm Kunstharzputz (AR = 0,70 W/m K) gemafi Bild 3-54, auf die raumseitig ein 5i = 15mm dicker Kalkgipsputz (>IR = 0,70 W/m K) aufgebracht ist? Wie ist der Temperaturverlauf im Beharrungszustand in der Wand, wenn die Oberflachentemperaturen innen .9oi=17°C und auBen ,9oa = - 10 °C betragen? Losung:

5//6? J-52. Wdrmestrome durch die Oberfldche eines Volumenelements dV=dx dy dz mit der Wdrmequellendichtef.

nare, warmequellenfreie Temperaturfeld folgt aus der Losung der Laplace-Gleichung (Gl. (2-197))

Die Energieerhaltung fordert, daB die Warmestromdichte j ^ in alien Schichten gleich ist. Mit Gl. (3-140) fiihrt diese Forderung auf ^ = - ( • 9 0 1 - 5,) = - (^1 Sx

^2)=-{^2-h)

52

53

(3-152)

•^Qa)-

54

Der Quotient A = X/s ist der WdrmedurchlaBkoefflzient einer Schicht, der Kehrwert R = \/A der WdrmedurchlaBwiderstand mit der MaBeinheit m^K/W. Wird Gl. (3-152) in die Beziehung '9oi-«9oa = ( 5 o i - 5 l ) + ( 5 , - 6 l 2 ) +

Der Laplace-Gleichungstyp kommt auch in anderen Bereichen der Physik, beispielsweise in der Elektrostatik, vor. Dort experimentell fiir spezielle Randbedingungen gefundene Losungen konnen auf Warmetransportprobleme iibertragen werden {elektrisches Analogon der Wdrmeleitung, Abschn. 2.11.3, Bild 2-102). Sind das Temperaturfeld und der Verlauf der Isothermen bekannt, dann berechnen sich daraus die Warmestrome nach Gl. (3-131), wobei die Warmestromrichtung senkrecht auf den Isothermen steht. So lassen sich die in Bild 3-53 dargestellten Ldsungen fiir die stationare Warmeleitung durch eine Platte, eine Rohrwand und eine Hohlkugel ableiten. Der Warmestrom durch mehrschichtige Bauteile wird durch die sukzessive Aneinanderreihung der Berechnungen fiir die Einzelschichten ermittelt, wobei wegen des Energieerhaltungssatzes die Warmestrome an den

+ (-92-^3) + ( • 9 3 - 5 o a )

(3-153)

eingesetzt, so folgt

A\

Ai

A3

/L4

Wird als Gesamt- WdrmedurchlaBwiderstand S\

S2

S-i

SA

/?g = - + - + f + ^ A\

A2

/-3

(3-155)

/,4

defmiert, der im vorliegenden Fall /?g=2,01 m^K/W ist, so errechnet sich die Warmestromdichte y'q durch die Wand zu 7q = — (-^oi - ^oa) = 13,4 W/m2.

(3-156)

Die Temperaturen an den Schichtgrenzen lassen sich mit Hilfe von Gl. (3-152) bestimmen: •9i = ^ o i - i ? i 7 q = 1 7 , 0 ° C - (0,02 • 13,4) K = 16,7 °C,

(3-157)

h = ^i- RiJq = 10,3 °C,

(3-158)

3.5. Warmeubertragung

f^

oo'

^

^1

1 CO

CO,

s ?

LO

s

i

1

52

S2

207

^^ ub

"^1

^^-N

52

-IvT 1

^ 1 " 1 -

^

+

1

I? ^\^

vl" 1

!£ ^

"-^

,,^

x^

CO LL

c

.

I-.

t

^

^

^ ^

"^^

1

1^

11^

O i;

CT

x S

1

1

-

?

K

1

1

^ II

•o

^

1 CO

£2

£2,

1

1 ' O

1

5 \

^

'I •^

II

"T"

1 CO

CO LL

1-^

+

c

CT

li

0

_

1 hT

52

1

CM

—^

^-^

3

1—

1

i?

h^

1 CO

l-IX T3|-a f




D

5

^

g fi

g s ^I 8

. VH n-v C r !\2 ^^2

^

konvexe Flache A^ von konkaver Flache A2 umschlossen

Si 6 2 0

(3-205)

C12 —

1 - 1 ( 1 - c ) (1-62)

Halbraum A2 iiber ebener Flache A

1 f

b

.

i/F+F •i/?T?'

Z!7A/^,

arctan

-i/?TF (3-206)

y?• + c V

Rechteckflache parallel zum Flachenelement LA^

C12 = a 8182 7r~ V Cretan - —

£.'u \

Z7AA Rechteckflache senkrecht zum Flachenelement t^A-^

Bild 3-59. Strahlungsaustauschkoeffizienten Qg.

a

arctan

/ a" + c"

/ j2 + c V

(3-207)

3.5. Warmeubertragung

Cn =

Ex 82(7 (pn

-.(3-201) A2

217

Die absoluten Temperaturen der Temperaturstrahler bestimmen den Warmetransport durch Warmestrahlung. Wird Gl. (3-200) umgeschriebenin

Fiir nichtmetallische Strahler mit (1 — e) < 0,1 kann Gl. (3-201) naherungsweise ersetzt werden durch C 12 = £1 £2 0(px2'

(3-202)

In Bild 3-59 sind die Strahlungsaustauschkoeffizienten C12 einiger Spezialfalle zusammengestellt.

so laBt sich entsprechend Gl. (3-162) als Proportionalitatskonstante zwischen der Warmestromdichte der Warmestrahlung 7qs ^^^ der Temperaturdifferenz {T^ — T2) ein Wdrmeubergangskoeffizient fur Warmestrahlung a* definieren:

Beispiel 3.5-3: Wie groB ist die Warmestromdichte y'qs des Warmestrahlungsaustausches zwischen zwei sehr groBen Flatten mit den Oberflachentemperaturen Tx und T2 sowie den Emissionszahlen £1 und £2? Losung: Die von der Platte 1 abgestrahlte Gesamt-Ausstrahlung Mg^/g^es ist die spezifische Ausstrahlung Mgi der Platte 1 zuziiglich der an der Oberflache 1 reflektierten Gesamt-Ausstrahlung M^l^^ der Platte 2. Dasselbe trifft auf die Ausstrahlung der Platte 2 zu. Mit der Gl. (3-197) gilt also, wenn fiir nichttransparente Platten Gl. (2-196) beriicksichtigt wird M^l, = e,GTt + QxMi%, = £,arf + (l-£l)Me%, M^%, =

e2on^Q2Mi%,

= e2GT^ + {\-82)M^%,. Werden aus diesen beiden Gleichungen die Gesamt-Ausstrahlungen der Platten £1 G T\ + (1 — £1) £2 G T2 und l-(l-£l)(l-£2)

^t = Cx2{n + n){Tx

+ T2).

(3-209)

Er beschreibt den Warmeiibergang von der warmeren Flache A^ zur kalteren Flache A2. Die gesamte Strahlungswarmeabgabe oder -aufnahme einer Flache Ax ergibt sich, wenn der Strahlungsaustausch mit alien Flachen im Halbraum iiber der Flache Ax aufsummiert wird. 3.5.4. Warmedurchgang Die KenngroBe fiir den Warmetransport von einem Medium 1 mit der Temperatur .9^1 in ein Medium 2 mit der Temperatur I9M2 < '^MI durch die Flache A einer warmedammenden Trennwand, beispielsweise von der Raumluft durch die AuBenwand an die AuBenluft, ist der Wdrmedurchgangskoeffizient k. Im Beharrungszustand ist der Warmestrom

- ' • ^ e .