Penerapan kalkulus tensor pada kasus pemintalan benang

2017 Lab Fisika-Mekatronika Politeknik STTT Bandung Dr. Valentinus Galih V.P.,M.Sc.

[PENERAPAN KALKULUS TENSOR PADA KASUS PEMINTALAN BENANG] Pada buku ini dibahas penerapan kalkulus tensor pada kasus pemintalan benang terutama benang yang diproduksi menggunakan mesin rotor OE. Hasil analisa dan pemodelan kemudian disimulasikan i menggunakan komputasi dengan piranti software MATLAB

PENERAPAN KALKULUS TENSOR PADA KASUS PEMINTALAN BENANG Penulis: Dr. Valentinus Galih Vidia Putra, S.Si., M.Sc. Editor: Budi Soewondo, M.Sc.

ii

PENERAPAN KALKULUS TENSOR PADA KASUS PEMINTALAN BENANG Penulis

:

Dr. Valentinus Galih V.P.M.Sc

ISBN Editor

:978-602-72713-7-1 :

Budi Soewondo, M.Sc.

Penyunting

:

Andi Risnawan, S.T

Desain Sampul dan : Tata Letak Agustinus Budi, S.S

Penerbit

:

CV. Mulia Jaya Publisher

Redaksi

:

Jalan Anggajaya II No. 291-A, Condong Catur Kabupaten Sleman, Yogyakarta Telp: 0812-4994-0973 Email: [email protected]

Cetakan Pertama September 2017 Hak Cipta dilindungi undang-undang Dilarang memperbanyak karya tulis ini dalam bentuk dan dengan cara Apapun tanpa ijin tertulis dari penerbit dan penulis

iii

KATA PENGANTAR Dengan mempersembahkan puji dan syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmat dan karunia-Nya, akhirnya penulis dapat menyelesaikan penyusunan buku yang berjudul “Penerapan Kalkulus Tensor pada Kasus Pemintalan Benang”. Buku ini ditulis untuk memberikan suatu pengantar tentang teori kalkulus tensor dan juga terapannya pada dosen atau mahasiswa yang tertarik mempelajari pemodelan mekanis benang. Penulis menyadari bahwa Buku ini dapat diselesaikan berkat dukungan dan bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, ucapan terima kasih kepada semua pihak yang secara langsung dan tidak langsung memberikan kontribusi dalam penyelesaian Buku ini. Pada kesempatan ini penulis juga menghaturkan terima kasih kepada: 1. Direktur Politeknik STTT Bandung. 2. Para dosen dan pegawai di lingkungan Fakultas MIPA UGM dan Politeknik STTT, Bandung. Buku ini tentunya masih banyak kekurangan dan kelemahan yang penulis tidak sadari. Untuk itu, saran dan masukan untuk perbaikan yang membangun sangat penulis harapkan. Semoga karya kecil ini dapat berguna bagi kita semua. Yogyakarta, 3 April 2017 Penulis

iv

DAFTAR ISI Kata Pengantar Daftar Isi Bab.1 Bab.2 Bab.3 Bab.4

BENANG OE PADA MESIN ROTOR VEKTOR DAN TENSOR PERGERAKAN BENANG PADA ROTOR SIMULASI KOMPUTASI DENGAN MATLAB

Lampiran-1 Lampiran-2 Biografi

v

𝑖v 𝑣 Hal.1 Hal.8 Hal. 36 Hal. 52 Hal. 56 Hal. 72 Hal. 82

BAB I BENANG OE PADA MESIN ROTOR Abstrak Pada bab ini dibahas latar belakang penelitian dan hal-hal mengenai benang OE dengan mesin rotor serta ringkasan kajian beberapa peneliti mengenai pemodelan benang serta kajian eksperimen. Pada bab ini diulas tujuan pemodelan pergerakan benang serta hasil yang didapatkan berkaitan dengan pengaplikasian konsep kalkulus tensor dan vektor.

1.1. Latar Belakang Penelitian Penerapan kalkulus tensor pada saat ini berkembang sangat pesat di bidang sains dan teknik. Penjelasan matematika kalkulus seperti diferensial dan integral pada ruang datar atau euclidean sudah tidak mampu lagi untuk menjelaskan berbagai bentuk pemodelan suatu materi yang bergerak dalam sistem koordinat lengkung baik di ranah makroskopik ataupun mikroskopik. Perkembangan ilmu pengetahuan, termasuk dalam bidang industri, di setiap negara sangat diperlukan, karena dapat menunjang perekonomian dan kesejahteraan masyarakat pada suatu negara, salah satunya adalah industri tekstil. Dalam industri tekstil pemintalan adalah suatu tahap awal dalam pembentukan benang dari kumpulan serat. Mesin spinning atau mesin pintal adalah salah satu mesin yang digunakan dalam proses pembuatan benang. Perkembangan mesin spinning telah dimulai pada masa pra sejarah, sebagai contoh adalah kain mumi mesir kuno. Seiring berjalannya waktu serta perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi, pengoperasian mesin pintal manual diotamatiskan secara bertahap. (Rohlena, 1975). Mesin pintal jenis OE (Gambar-1) adalah mesin yang sampai saat ini banyak digunakan di industri tekstil, khususnya di Indonesia. 1

Mesin pintal open end spinning memiliki tiga buah proses mekanis, yaitu: (1) proses pemasukan serat (fiber); (2) proses transport dan (3) proses twisting hingga winding. Kajian mekanis untuk memperoleh kualitas benang yang baik secara teoritik dan eksperimen pada mesin pintal open end spinning belum dilakukan secara detail di bagian proses pembentukan benang. Kajian gerakan mekanis pada setiap proses mesin umumnya dapat digunakan dengan metode kalkulus tensor secara khusus dengan menggunakan persamaan geodesik.

Gambar-1 Mesin Rotor Spinning (Lawrence, 2003) Salah satu bagian yang vital dalam industri tekstil adalah pemintalan benang dari serat. Penelitian mendalam baik praktis (eksperimental) maupun teoritis menjadi aspek yang sangat penting dan menarik. Penelitian eksperimental pada proses pemintalan benang yang meliputi banyak faktor ( parameter) seperti kekuatan benang, tenacity, jumlah bulu (hairiness) dan juga bentuk benang sudah banyak dilakukan, namun kajian teoritis yang mendalam dan simulasi belum ditemukan dalam berbagai buku dan jurnal tekstil khsusnya struktur benang open end spinning. Pemodelan Bab.1 Benang OE pada Mesin Rotor

Hal. 2

pergerakan serat untuk menganalisa struktur internal mekanik benang terhadap parameter-parameter mesin tidak banyak dilakukan oleh peneliti. Rohlena (1975) menyatakan bahwa penelitian teori yang mendalam serta pemodelan matematis untuk menjelaskan sistem pemintalan sangat diperlukan dan merupakan suatu penelitian kajian yang penting dalam tekstil. Beberapa peneliti yang berkecimpung dalam pemodelan tersebut adalah Backer, Hearle dan Grosberg (1969), Hearle, dkk. (1965), Rohlena (1975), Lawrence (2003), Lawrence (2010),Putra (2014), Putra dan Iskandar (2014), Putra dkk. (2015 dan 2016) dan Zeidman (2003) . Beberapa pemodelan geometri twist pada benang umumnya menggunakan koordinat silinder dan dengan menganggap bahwa setiap serat mengikuti bentuk pergerakan geodesik silinder. Backer, Hearle dan Grosberg (1969) merumuskan hubungan twist terhadap nomor benang dalam tex menggunakan analisa dimensi dan menggunakan model geometri silinder. Hasil pemodelan Backer, Hearle dan Grosberg (1969) memperlihatkan bahwa besar sudut twist optimal adalah sebagai fungsi nomor benang dalam tex. Bentuk pemodelan Hearle, dkk (1965) memiliki banyak kekurangan, yaitu bentuk pemodelan hubungan twist terhadap nomor benang (tex) didapatkan dengan menggunakan analisa dimensi dan pemodelan geometri menggunakan bentuk koordinat silinder (keadaan ideal) yang dirasakan kurang mewakili bentuk pergerakan serat pada benang khususnya pada benang OE serta hasil pemodelan struktur benang tidak dapat menghubungkan parameter-parameter mesin terhadap besar sudut twist ditinjau dari pergerakan benang. Hal yang sama dilakukan Rohlena (1975) dalam menjelaskan hubungan twist terhadap nomor benang (tex). Rohlena (1975) merumuskan hubungan twist terhadap nomor benang (tex) tersebut melalui studi empiris dan analisa dimensi. Rohlena (1975) dan Lawrence (2003,2010) memodelkan pergerakan benang dalam mesin rotor OE dengan menganggap bahwa benang seperti sebuah materi titik yang bergerak dalam suatu rotor yang bergerak dengan Bab.1 Benang OE pada Mesin Rotor

Hal. 3

kecepatan putar tertentu dan tidak menjelaskan pengaruh pergerakan benang dalam rotor terhadap bentuk struktur geometri benang serta tidak menjelaskan besar sudut optimal twist. Rohlena (1975) mengatakan bahwa kajian ilmiah distribusi serat pada benang umumnya digunakan pendekatan yaitu serat terdistribusi secara seragam dan terdistribusi dalam bentuk silinder. Tujuan dari kajian ini adalah untuk mengetahui struktur internal pada benang sebagai contoh konfigurasi serat tunggal sepanjang benang. Struktur internal pemintalan pada sebuah serat tunggal bergantung pada rasio panjang benang terhadap panjang serat. Rohlena (1975) secara kajian empiris menyatakan bahwa pada benang OE, besar rasio panjang benang terhadap panjang serat Kf adalah sebesar 0,65, sedangkan struktur internal pemintalan yang baik memiliki rasio sebesar Kf = 0,95. Lawrence (2003) menyatakan bahwa besar rasio panjang benang terhadap panjang serat Kf adalah sebesar 0,63. Trommer (1995) menyatakan bahwa terdapat batasan dalam pembuatan benang pada mesin OE, yaitu seperti rasio diameter rotor terhadap panjang serat benang tunggal adalah sebesar 0,7 dan besar rasio tenacity benang terhadap tenacity serat sebesar 50%. Zeidman (2003) menjelaskan pergerakan serat dalam benang menggunakan pemodelan geometri dalam koordinat silinder dengan besar twist didefinisikan sebagai rasio kecepatan putar benang terhadap kecepatan translasi benang ( vd ) dan besar migrasi serat didefinisikan sebagai rasio panjang jejari benang terhadap panjang benang. Pada pemodelan Zeidman (2003) tidak dijelaskan hubungan antara nomor benang terhadap besar twist serta besar sudut twist untuk pemodelan benang OE serta bentuk pergerakan serat menggunakan koordinat silinder. Penelitian Zeidman (2003) hanya menjelaskan pergerakan serat tanpa adanya pengaruh deformasi benang pada struktur benang dalam koordinat silinder. Penelitian secara teoritik dan mendalam untuk dapat menjelaskan aspek-aspek mekanis pembentukan benang serta studi analisa struktur benang dan pengaruh deformasi hingga saat ini Bab.1 Benang OE pada Mesin Rotor

Hal. 4

masih sangat sedikit dilakukan terutama pada benang OE. Dalam keadaan yang seperti tersebut di atas, dirasa sangat perlu dilakukan penelitian secara terintegrasi, baik secara teoritik maupun secara eksperimen pada proses pemintalan dengan menggunakan pemodelan geometri untuk mendapatkan persamaan struktur benang yang sesuai dengan pergerakan serat yang diproduksi dengan mesin OE. Trommer (1995) menyatakan bahwa pada proses pemintalan terdapat suatu tenacity take-off yang digunakan untuk menentukan besar kecepatan rotor serta diameter rotor terhadap pengaruhnya terhadap tenacity take-off benang. Hasil penelitian Trommer (1995) menyatakan bahwa hubungan antara tenacity dan kecepatan rotor serta diameter rotor adalah berbanding lurus. 1.2. Rumusan Masalah Pada beberapa penelitian pemodelan pergerakan benang umumnya dapat dirumuskan sebagai berikut 1 Apakah teori kalkulus tensor dapat diterapkan dalam pemodelan mekanis benang pada kasus pemintalan? 2. Bagaimanakah hubungan antara tenacity take-off benang terhadap kecepatan putar rotor? 3. Bagaimanakah persamaan gerak benang pada rotor saat terjadi tarikan take-off dengan menggunakan simulasi? 1.3. Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian teori pada pemodelan benang dapat dijabarkan sebagai berikut: 1. Dapat menerapkan teori kalkulus tensor dalam pemodelan mekanis benang pada kasus pemintalan. 2. Dapat menunjukkan secara teori hubungan antara tenacity benang terhadap kecepatan putar rotor.

Bab.1 Benang OE pada Mesin Rotor

Hal. 5

3. Dapat menunjukkan persamaan gerak benang pada rotor saat terjadi tarikan take-off Umumnya untuk membatasi masalah dan mempermudah perhitungan, maka permasalahan pada penelitian dibatasi untuk menentukan pergerakan mekanis serat-benang open end spinning pada rotor groove dengan menggunakan koordinat polar dengan asumsi benang disusun oleh sebuah serat seragam. Pemodelan dengan komputasi MATLAB digunakan untuk menentukan bentuk struktur dan mekanisme serat-benang dan kesesuaian dengan hasil eksperimen secara literatur di industri. Metode penelitian yang sering digunakan dalam penelitian ini dilakukan dengan studi literatur dan disertai perhitungan-perhitungan dengan menggunakan mekanika analitik dan komputasi MATLAB. Referensi Backer, Hearle & Grosberg, 1969, Structural Mechanics of Fibres, Yarns and Fabrics, Wiley-Interscience, New York. Hearle, J.W.S. dan Gupta, B.S.., 1965, Migration of Fibres in Yarns Part III: A Study of Migration of Staple Rayon Yarn, Textile Research Journal, No.9, Vol. 35 Hal 788-795. Hearle, J.W.S., Gupta, B.S., dan Megchant, V.B., 1965, Migration of Fibres in Yarns Part I: Characterization and Idealization of Migration Behaviour, Textile Research Journal, No.4, Vol. 35 Hal 329-334. Lawrence C.A, 2003, Fundamentals of Spun Yarn Technology, CRC Press, New York. Lawrence C.A, 2010, Advances in Yarn Spinning Technology , Woodhead Publishing, Cambridge.

Bab.1 Benang OE pada Mesin Rotor

Hal. 6

Putra, V.G.V, Rosyid, M.F & Maruto, G, 2016, A Simulation Model of Twist Influenced by Fibre Movement inside Yarn on Solenoid Coordinate, Global Journal of Pure and Applied Mathematics, No.1, Vol 12, Hal. 415-412. Putra, V.G.V & Rosyid, M.F. , 2015, Theoretical Modeling for Predicting the Optimum Twist Angle of Cotton Fiber Movement on OE Yarn Made by Rotor Spinning Machine, Journal of Applied Mathematics and Physics, Vol.3 Hal. 623-630. Putra V.G.V dan Iskandar, 2014, Studi Pengaruh Bentuk S-Twisted Dan Z-Twisted Terhadap Besar Twist Pada Mesin Pintal, TEXERE ( Journal of Textile Science and Technology), No.1,Vol. 12., Hal 60-65. Putra V.G.V, 2014, Pemodelan Untuk Menentukan Hubungan Actual Twist Tipe-Z Terhadap Kecepatan Sudut Pada Mesin Spinning (Rotor Dan Ring Spinning), TEXERE ( Journal of Textile Science and Technology), No.2, Vol. 12. Hal 20-26. Rohlena, V,1975, Open-End Spinning, Elseiver Scientific Publishing Company, New York. Trommer, G., 1995, Rotor Spinning, Deutscher fachverlag, Frankfurt. Zeidman, Shawney dan Herington, 2003 Fiber Migration Theory of Ring Spun Yarn, Indian Journal of Fibre and Textile Research, Vol 28., Hal. 123-133.

Bab.1 Benang OE pada Mesin Rotor

Hal. 7

BAB 2 VEKTOR DAN TENSOR Abstrak Pada bab ini dibahas piranti matematika yang mendukung penelitian, yaitu konsep vektor dan tensor dimulai dari ruang topologi hingga deferensial geometri pada koordinat lengkung dan ruang Riemannian.

2.1.Material dan Koordinat Piranti matematika untuk mendeskripsikan persamaan gerak suatu material padat yang mengalami perubahan bentuk biasanya berdasarkan suatu asumsi bahwa material padat tersebut terdistribusi dalam suatu ruang pada suatu waktu tertentu. Pada setiap waktu tertentu, setiap titik pada suatu daerah tersebut diisi oleh sebuah elemen kecil dari material padat yang disebut sebagai partikel padat. Berlainan dengan material rigid (kaku), pada material elastis, adanya gaya luar pada material tersebut akan mengakibatkan adanya deformasi. Pada bab ini akan dibahas bagaimana persamaan gerak dari suatu partikel dalam material yang terpengaruh deformasi dapat dijelaskan dan diukur. Diasumsikan bahwa masing-masing partikel menempati suatu posisi tertentu dalam ruang tiga dimensi pada suatu ruang Euclidean (ruang koordinat nyata datar)pada suatu waktu tertentu. Jika ruang ℜ𝑡 adalah daerah ruang yang ditempati oleh setiap partikel dan disebut sebagai ruang konfigurasi pada benda pada waktu t. ruang konfigurasi ℜ𝑜 (ruang konfigurasi partikel sebelum terjadi perubahan bentuk atau ruang konfigurasi alami) dipilih sebagai ruang konfigurasi acuan, dan masing-masing partikel pada ruang konfigurasi ini dapat diidentifikasi atau diketahui melalui koordinatnya yaitu 𝑥 𝑜 ∈ ℜ𝑜 (yang merupakan koordinat partikel P pada ruang konfigurasi acuanℜ𝑜 ). Setelah benda diberikan beban 8

(tegangan), maka terdapat suatu pergerakan partikel yang diiringi dengan sebuah perubahan bentuk ( deformasi). Partikel pada benda di ruang konfigurasi ℜ𝑜 secara kontinu berubah hingga pada suatu posisi tertentu pada waktu t di ruang konfigurasi ℜ𝑡 dan diketahui melalui koordinat 𝑥 𝑡 ∈ ℜ𝑡 . Diasumsikan bahwa konfigurasi pada benda saat waktu t dapat dituliskan sebagai hubungan fungsional dengan bentuk 𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝑥 𝑜 , 𝑡 = 𝐹 𝑥 𝑜 , 𝑡 . Levrino(2011) dan Mal, A.K.& Sarva (1991) menyatakan bahwa Syarat transformasi koordinat adalah terdapat suatu pemetaan 𝐹: ℜ𝑜 → 𝐹 ℜ0 dan terdapat invers 𝐹 −1 ≔ 𝑓: ℜ𝑡 → 𝑓 ℜ𝑡 sehingga 𝐹 𝒙𝒐 , 𝑡 = 𝑓 𝒙𝒕 , 𝑡 memenuhi syarat transformasi koordinat yaitu inversibel , bikontinu ( bijektif dan kontinu), differensiabel dan pemetaan C1 dengan kata lain besar Jacobian 𝒅𝑭 𝒙

=

𝝏𝒙𝒌 𝝏𝒙𝝁

= 𝐽 ≠

0 untuk setiap anggota 𝑥 𝑜 ∈ ℜ𝑜 saat 𝑡 > 0. Suatu pemetaan yang diffeomorphism akan membawa suatu titik, kurva, permukaan dan juga volume pada ruang konfigurasi ℜ𝑜 ke suatu ruang konfiguarsi lain ℜ𝑡 dan sebaliknya. (seperti pada Gambar-1)

Gambar-1 Deformasi pada Suatu Material 2.2.Keragaman atau Manifold Hilgert (2010) menyatakan bahwa keragaman atau manifold adalah suatu ruang topologi yang menyerupai ruang Euclidean ( ruang koordinat nyata) di setiap titik yang berdekatan. Walaupun sebuah manifold atau keragaman menyerupai suatu ruang Bab.2 Vektor dan Tensor

Hal. 9

Euclidean pada tiap titik yang berdekatan, tetapi secara global tidak sama. Jika terdapat suatu keragaman licin ℕ dengan n,m ∈ ℕ ( keragaman licin ) dan suatu peta F memetakan suatu titik di 𝑈 ⊆ ℝ𝑛 sebagai sub himpunan terbuka ke 𝐹 𝑥 ⊆ ℝ𝑚 , dengan𝐹: 𝑈 → ℝ𝑚 . Pemetaan F disebut sebagai pemetaan yang diferensiabel (licin) pada 𝑥 ∈ 𝑈 jika terdapat pemetaan linear 𝐿 ∈ 𝐻𝑜𝑚⁡ (ℝ𝑛 , ℝ𝑚 ) yang homomorphism (suatu pemetaan yang menjaga struktur yang dipilih diantara dua buah struktur aljabar) dari ℝ𝑛 ke ℝ𝑚 (seperti pada Gambar-2 )

Gambar-2 Pemetaan Linear Dengan suatunormatau besar ( magnitude) pada ℝ𝑛 sebagai berikut F ( x  h)  F ( x )  L( h) lim 0 h 0 h

lim

t 0

lim

t 0

F ( x  th)  F ( x )  L(th) 0 t

F ( x  th)  F ( x )  lim L( h )  L( h ) t 0 t

dF ( x )( h ) : L( h )  lim

t 0

F ( x  th)  F ( x ) t

L(h) adalah derivatif arahF pada x di arah h, dengan h adalah vektor basis. Suatu fungsi F di atas dikatakan kontinu dan diferensiabel jika terdapat pemetaan 𝐶 1 . Jika (𝑒1 , … 𝑒𝑛 ) adalah vektor-vektor basis di ℝ𝑛 , maka dapat didefinisikan bahwa Bab.2 Vektor dan Tensor

Hal. 10

𝑑𝐹 𝑥 𝑒𝑖 ∶=

𝜕𝐹 (𝑥) 𝜕𝑥 𝑖

dan disebut sebagai derivatif parsial 𝐹 ke-i pada x.

jika 𝐹 differensiabel pada setiap 𝑥 ∈ 𝑈, maka derivative parsial 𝐹 adalah suatu fungsi

𝜕𝐹 (𝑥) 𝜕𝑥 𝑖

: 𝑈 → ℝ𝑚 yang disebut sebagai suatu fungsi

yang kontinu differensiabel atau pemetaan 𝐶 1 untuk semua derivative parsialnya kontinu. Untuk 𝑘 ≥ 2, maka pemetaannya disebut pemetaan 𝐶 𝑘 jika pemetaan 𝐹 adalah pemetaan 𝐶 1 dan semua derivative parsialnya adalah pemetaan 𝐶 𝑘−1 . Fungsi 𝑭 licin atau pemetaan 𝐶 ∞ adalah suatu fungsi yang dapat dinotasikan sebagai 𝐶 𝑘 𝑈, ℝ𝑚 .Suatu ruang topologi ℝ𝑛 secara lokal Euclidean pada dimensi n untuk setiap titik 𝑥 ∈ ℝ𝑛 , jika 𝑈 ⊆ ℝ𝑛 dan 𝑉 ⊆ ℝ𝑚 dan terdapat suatu pemetaan 𝐹: 𝑈 → ℝ𝑚 , maka terdapat pemetaan Ck jika 𝐹: 𝑈 → ℝ𝑚 , dan dapat disebut pemetaan Ck diffeomorphism jika terdapat pemetaan Ck dengan 𝐹: 𝑈 → 𝑉 dan terdapat pemetaan Ck𝑔: 𝑉 → 𝑈 dengan 𝐹𝑜𝑔 = 𝑖𝑑𝑉 dan 𝑔𝑜𝐹 = 𝑖𝑑𝑈 , dengan fungsi 𝐹 memiliki sifat bikontinu ( bijektif, kontinu), inversibel dan differensiabel, seperti pada Gambar-3a di bawah. Dapat disimpulkan bahwa jika terdapat suatu diffeomorphism pada suatu pemetaan, maka U dan V disebut Ck diffeomorphic. Jika pemetaan Ck memiliki k=0, maka pemetaannya bersifat homeomorphisatautopological isomorphism ( karena bikontinu, inversibel tapi tidak differensiabel). Syarat suatu ruang topologi dimensi n secara lokal adalah ruang Euclidean yaitu jika U dan V disebut C0 diffeomorphic atau homeomorphic

Gambar-3 a)Pemetaan Diffeomorphism b) Pemetaan halus Diffeomorphism

Bab.2 Vektor dan Tensor

Hal. 11

Jika 𝑀, 𝑁 adalah dua buah keragaman dengan dimensi 𝑚, 𝑛 suatu peta 𝐹: 𝑀 → 𝑁 dikatakan licin pada 𝑝 ∈ 𝑀 jika terdapat pemetaan 𝑈, 𝜙 dan 𝑉, 𝜓 dengan 𝑝 ∈ 𝑈 ⊂ 𝑀 dan 𝐹(𝑝) ∈ 𝑉 ⊂ 𝑁 serta 𝐹(𝑈) ⊂ 𝑉 sehingga terdapat suatu pemetaan transisi −1 𝜓𝑜𝐹𝑜𝜙 : 𝜙(𝑈) → 𝜓(𝑉) yang licin. Fungsi 𝐹 dikatakan licin jika licin untuk setiap titik 𝑝 ∈ 𝑀. Fungsi 𝐹: 𝑀 → 𝑁 dikatakan diffeomorphism jika licin, bijektif dan inversnya licin serta differensiabel, sehingga dapat didefinisikan bahwa suatu keragaman licin dimensi n adalah suatu keragaman topologi dimensi n bersamaan dengan struktur licin.( Gambar-3 b). Vektor singgung 𝑋 pada p∈ 𝑀 terhadap kurva 𝑐: (−𝜖, 𝜖) → 𝑀 atau 𝑐: 𝐼 → 𝑀 pada saat 𝑡 = 0 dan 𝑐 0 = 𝑝, p∈ 𝑀adalah pemetaan terhadap suatu fungsi licin di M ke himpunan real, yaitu 𝑐 ′ (0):𝐶 ∞ (𝑀)𝑝 → ℝ = 𝑐 ′ 0 : = 𝐶 ∞ (𝑝) ↦ ℝ dengan rumus 𝑋 𝑓 = 𝑐′ 0 𝑓 ≔

𝑑(𝑓𝑜𝑐 ) 𝑑𝑡

𝑡=0

dengan 𝑓 ∈ 𝐶 ∞ (𝑝).

Suatu vektor

singgung 𝑋 pada 𝑝 ∈ 𝑀 adalah suatu vektor singgung pada 𝑡 = 0 untuk beberapa kurva 𝛼: (−𝜖, 𝜖) → 𝑀 dengan 𝛼 0 = 𝑝, yaitu 𝛼 ′ (0):𝐶 ∞ (𝑀)𝑝 → ℝ dengan 𝑋 𝑓 = 𝛼′ 0 𝑓 ≔ 𝑑(𝑓𝑜𝛼 ) 𝑑𝑡

𝑡=0

.Suatu vektor singgung di p∈ 𝑀 dikenal sebagai fungsional

linear jika memenuhi sifat Leibniz𝑋 𝑓𝑔 = 𝑓𝑋 𝑔 + 𝑋 𝑓 𝑔 Ruang singgung di p∈ 𝑀 dinotasikan sebagai 𝑇𝑃 𝑀 adalah himpunan semua vektor singgung di p. beberapa vektor singgung 𝜕 𝑑𝑥 𝑖

𝑐 ′ : = X ∈ 𝑇𝑃 𝑀 dituliskan sebagai 𝑋 ≔ 𝜕𝑥 𝑖

𝑑𝑡

𝜕

= 𝑣 𝑖 𝜕𝑥 𝑖

𝑝

= 𝑣 𝑖 𝜕𝑖 dengan

𝜕𝑖 sebagai derivatif arah atau vektor basis. Untingan singgung 𝑇𝑀 adalah kumpulan dari ruang singgung 𝑇𝑃 𝑀 yang diskret di 𝑝 ∈ 𝑀 dan dinotasikan sebagai𝑇𝑀 ≔ 𝑝∈𝑀 𝑇𝑃 𝑀. Menurut Waner (2005) Ruang singgung 𝑇𝑃 𝑀 mirip dengan ruang Euclidean ( ruang koordinat nyata) dan hubungan antara pemetaan dari suatu ruang ke ruang yang lain adalah homeomorphism ( isomorphism secara topologi).

Bab.2 Vektor dan Tensor

Hal. 12

Medan vektor dijelaskan oleh Hilgert (2012) yaitu sebagai berikut: setiap ruang singgung 𝑇𝑝 𝑀 akan membawa suatu struktur unik suatu ruang vektor dimensi-n ℝ𝑛 dengan suatu pemetaan (𝜑, 𝑈) dengan p∈ 𝑈 dan [𝛾] ∈ 𝑇𝑝 𝑀 sehingga pemetaan 𝑇𝑝 (𝜑): 𝑇𝑃 𝑀 → ℝ𝑛 dengan 𝑇𝑝 𝜑 ≔ [𝛾] ⟼ 𝜑𝑜𝛾 ′ (0) . struktur unik pada ℝ𝑛 dapat diperlihatkan adalah suatu relasi ekivalen dengan sifat 𝑇𝑝 (𝜑) adalah bijektif, kontinu dan inversibel (homeomorphism). Waner (2005) menjelaskan bahwa medan vektor V pada suatu keragaman licin 𝑀 adalah pemetaan licin dari suatu keragaman licin M ke suatu untingan singgung 𝑇𝑀, yaitu 𝑉: 𝑀 → 𝑇𝑀 dengan 𝑉 ≔ 𝑝 ↦ 𝑉(𝑝) ≡ 𝑉𝑝 . Maka 𝑉 ≔ 𝔵(𝑀) dan 𝔵(𝑀) adalah sebuah ruang vektor ℝ ( kumpulan dari ruang singgung) atau medan vektor licin.Untuk 𝑌, 𝑍 ∈ 𝔵(𝑀),𝑝 ∈ 𝑀dan𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, maka 𝑎𝑌 + 𝑏𝑍 𝑝 = 𝑎𝑌 + 𝑏𝑍 𝑝 = 𝑎𝑌𝑝 + 𝐵𝑍𝑝 . Untuk 𝑌, 𝑍 ∈ 𝔵(𝑀), maka kurung Lie 𝑌, 𝑍 = 𝑌𝑍 − 𝑍𝑌, sehinggauntuk𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝔵(𝑀)akan memenuhi identitas Jacobi jika [𝑋, 𝑌], 𝑍 + [𝑌, 𝑍], 𝑋 + [𝑍, 𝑋], 𝑌 = 0. Jika 𝑀 adalah suatu keragaman licin dan 𝑝 ∈ 𝑀 maka dapat didefinisikan bahwa ruang cotangent pada p adalah 𝑇𝑃 ∗ 𝑀 yang merupakan sebagai ruang jodoh ( dual space) dari ruang singgung𝑇𝑃 𝑀 di p. maka pemetaan halus 𝑓: 𝑇𝑃 𝑀 → ℝ. Dengan ℝ ∈ 𝑇𝑃 ∗ 𝑀 ≔ (𝑇𝑃 𝑀)∗ Himpunan dari 𝑇𝑃 ∗ 𝑀 disebut sebagai vektor cotangent atau convektor singgung. Kumpulan dari ruang cotangent adalah untingan cotangent 𝑇 ∗ 𝑀 ≔ 𝑝∈𝑀 𝑇𝑃 ∗ 𝑀. Medan vektor kontravarian (secara mudah dapat disebut medan vektor)

dan

dinotasikan

[c] : v n  n  T p M

sebagai

dengan 𝑐 : 𝑇𝑃 ∗ 𝑀 → ℝ dan dituliskan sebagai 𝑐 ≔ Transformasi koordinat 𝑣 𝑛 =

𝑑𝑥 𝑛 𝑑𝑡

𝜕 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 𝑚

= 𝜕𝑥 𝑚

𝑑𝑡

𝑑𝑞 𝑛 𝜕 𝑑𝑡 𝜕𝑞 𝑛

= 𝑣 𝑛 𝜕𝑛 .

𝜕𝑥 𝑛

= 𝜕𝑥 𝑚 𝑣 𝑚 merupakan

aturan transformasi kontravarian, sehingga vektor kontravarian 𝑣 𝑛 merupakan vektor singgung. Aturan transformasi kovarian ( vektor basis) dapat dituliskan sebagai berikut 𝜕𝑛 = Bab.2 Vektor dan Tensor

𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝑛

𝜕𝑚 , . Hal. 13

Menurut

Levrino 𝜕𝑥𝑛

𝑐 = 𝑣 𝑛 𝜕𝑛 = 𝜕𝑥 𝑚 𝑣 𝑚

𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝑛

(2011)

medan

𝜕𝑚 = 𝑣 𝑚 𝜕𝑚

vektor

adalah

kontravarian

invariant

tidak

bergantung pada kerangka. Didefinisikan bahwa ruang cotangent pada p adalah 𝑇𝑃 ∗ 𝑀 yang merupakan ruang jodoh ( dual space) dari ruang singgung 𝑇𝑃 𝑀 di p yang memiliki medan vektor kovarian n n adalah  :  n dx   n dx  Tp * M .

Suatu medan vektor kontravarian didefinisikan sebagai pemetaan ( bersifat linear isomorfis dan bijektif/ pemetaan satusatu secara bersama) medan vektor kovarian ke suatu himpunan real 𝑐 : 𝑇𝑃 ∗ 𝑀 → ℝ, dengan [c] :   [c](  )   ([ c])  Tp M (Waner, 2005). Suatu medan vektor kovarian didefinisikan sebagai pemetaan ( bersifat isomorfis dan bijektif) medan vektor kontravarian ke suatu himpunan real  : T p M   , dengan  : [c]   ([ c])  Tp * M (Hilgert, 2010). Waner (2005) menyatakan bahwa Medan Tensor adalah suatu produk tensor dari banyak medan vektor. Suatu produk tensor dari ruang singggung𝑣𝑖 = 𝑣1 … 𝑣𝑘 didefinisikan sebagai produk tensor dari ruang-ruang singgung yaitu𝑣1 … 𝑣𝑘 . Medan tensor dapat didefinisikan sebagai 𝑇 ≔ 𝑣1

…

𝑣𝑘 ⟼ ℜ . Jika v  Tp M , atau

v  Tp * M , maka suatu medan tensor T yang kontravarian didefinisikan

T : Tp * M  ....  Tp * M   dan disebut sebagai

medan tensor kontravarian berderajat k di p  M dan dituliskan ( k,0).

Medan

tensor

T

kovarian

didefinisikan

sebagai

T : T p M  ....  T p M   dan disebut sebagai medan tensor kovarian berderajat k di p  M dan dituliskan ( 0,l). Contoh medan tensor adalah tensor metric yang dapat dituliskan (0,2). Medan tensor T disebut suatu medan tensor gabungan kovarian dan kontravarian jika memetakan

T : Tp * M  Tp * M  ....  Tp M  Tp M   dan

Bab.2 Vektor dan Tensor

Hal. 14

disebut sebagai medan tensor kontravarian berderajat k dan medan tensor kovarian berderajat ldi p  M dan dituliskan ( k,l). Ruang vektor didefinisikan sebagai tensor 𝑉𝑠𝑟 ≔ 𝑉 1

. . . 𝑉 𝑘 𝑉1

…

himpunan dari produk

𝑉𝑠 atau T : Tp * M  ....  Tp M  

2.3.Medan Vektor Licin Syarat dari suatu medan vektor V pada keragaman licin M adalah medan vektor licin di M yaitu jika suatu medan vektor V pada suatu keragaman licin 𝑀 adalah pemetaan licin 𝑉: 𝑀 → 𝑇𝑀 dengan 𝑝 → 𝑉(𝑝) ≡ 𝑉𝑝 . Maka 𝑉 ≔ 𝔵(𝑀) dengan 𝔵(𝑀) adalah sebuah medan vektor licin di keragaman licin M. Untuk 𝑌, 𝑍 ∈ 𝔵(𝑀),𝑝 ∈ 𝑀dan𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, maka 𝑎𝑌 + 𝑏𝑍 𝑝 = 𝑎𝑌 + 𝑏𝑍 𝑝 = 𝑎𝑌𝑝 + 𝐵𝑍𝑝 . Untuk 𝑌, 𝑍 ∈ 𝔵(𝑀), dengan kurung Lie 𝑌, 𝑍 = 𝑌𝑍 − 𝑍𝑌, maka jika 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝔵(𝑀), maka syarat dari suatu medan vektor pada keragaman licin M akan memenuhi bentuk identitas Jacobi [𝑋, 𝑌], 𝑍 + [𝑌, 𝑍], 𝑋 + [𝑍, 𝑋], 𝑌 = 0. Dapat dibuktikan identitas Jacobi sebagai berikut [𝑋, 𝑌], 𝑍 + [𝑌, 𝑍], 𝑋 + [𝑍, 𝑋], 𝑌 = 0 𝑋𝑌 − 𝑌𝑋, 𝑍 + 𝑌𝑍 − 𝑍𝑌, 𝑋 + 𝑍𝑋 − 𝑋𝑍, 𝑌 = 0 𝑋𝑌𝑍 − 𝑌𝑋𝑍 − 𝑍𝑋𝑌 + 𝑍𝑌𝑋 + 𝑌𝑍𝑋 − 𝑍𝑌𝑋 − 𝑋𝑌𝑍 − 𝑋𝑍𝑌 + 𝑍𝑋𝑌 − 𝑋𝑍𝑌 − 𝑌𝑍𝑋 + 𝑌𝑋𝑍 = 0 2.4. Keragaman Riemann dan Tensor Metrik Produk skalar atau perkalian dalam pada suatu ruang vektor V adalah suatu fungsi … : 𝑉 × 𝑉 → ℝ dan memiliki sifat: 1. Simetri 𝑢, 𝑣 = 𝑣, 𝑢 ; 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉. 2. Bilinear 𝑢, 𝑎𝑣 + 𝑏𝑤 = 𝑎 𝑢, 𝑣 + 𝑏 𝑢, 𝑤 ; 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ 3. Non-degenerate jika 𝑢, 𝑣 = 0 untuk setiap 𝑣, maka 𝑢 = 0 4. Positif definite 𝑢, 𝑣 > 0, non singular. 5. Inversibel . Bab.2 Vektor dan Tensor

Hal. 15

6. Suatu pasangan (𝑀, 𝑔) sebuah keragaman 𝑀 yang dilengkapi dengan sebuah metrik Riemann 𝑔 disebut sebagai keragaman Riemann. Bentuk tensor yang memiliki sifat produk skalar seperti di atas disebut sebagai tensor fundamental atau tensor metrik. Contoh dari tensor metrik adalah metrik Euclidean ( ruang datar-3) dan metrik Minkowskian (ruang datar-4). Metrik Riemann adalah pemetaan 𝑔𝑝 : 𝑀 → ℝ dengan 𝑝 ∈ 𝑀 dan untuk setiap 𝑢, 𝑣 ∈ 𝔵(𝑀) dan 𝑝 ↦ 𝑣, 𝑢 (p) yang licin, maka sifat dari metrik Riemann adalah simetri, positif definite dan medan tensor (0,2) pada keragaman M. Jika diberikan suatu keragaman Riemannian (𝑀, 𝑔) dan suatu peta (𝑈, 𝑥 𝑖 ) dengan suatu pemetaan 𝑔𝑖𝑗 : 𝑈 → ℝ yang memetakan 𝑝 ↦ 𝑔𝑖𝑗 𝑝 ≔

𝜕 𝜕𝑥 𝑖

𝜕

, 𝜕𝑥 𝑗

𝑝

dengan 𝑝 ∈ 𝑈 ⊆ 𝑀, maka sifat 𝑔𝑖𝑗 adalah

simetri dan positif definite. Fungsi 𝒈𝒊𝒋 disebut sebagai wakilan lokal dari metrik Riemann 𝑔 terhadap peta (𝑈, 𝑥 𝑖 ). Jika (𝑀, 𝑔) adalah keragaman Riemann dan 𝑝 ∈ 𝑀 maka dapat didefinisikan panjang dari suatu vektor singgung 𝑣 ∈ 𝑇𝑝 𝑀adalah 𝑣 ≔ 𝑣, 𝑣 𝑝 . Dua buah vektor dikatakan orthogonal jika 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑇𝑝 𝑀 dengan 𝑢, 𝑣 𝑝 = 0 dan dikatakan orthonormal jika 𝑢, 𝑣 𝑝 = 0dan 𝑢 = 1. Levrino (2011),Clarke, D.A., (2011) dan Moore (1934) menyatakan bahwa transformasi koordinat bergantung pada tensor metrik, sifat dari tensor metrik adalah simetri pada bagian kovarian, yaitu 𝑔𝑖𝑗 = 𝑔𝑗𝑖 , tidak singular 𝑔𝑖𝑗 ≠ 0, merupakan tensor dengan pemetaan C2 diffeomorphism (differensiabel, inversibel, kontinu dan bijektif) serta 𝑔𝑖𝑗 adalah positive definite. Dengan pemetaan C2 diffeomorphism maka tensor metrik 𝑔𝑖𝑗 memiliki invers metrik 𝒈𝒊𝒋 = 𝒈𝒊𝒋 −𝟏 . Tensor metrik dapat digunakan untuk membuat sebuah tensor baru, yaitu dengan melakukan perkalian dalam ( inner product) antara suatu tensor dengan tensor metrik. Bentuk perkalian dalam untuk mendapatkan tensor baru disebut sebagai

Bab.2 Vektor dan Tensor

Hal. 16

operasi lowering atau raising pada sebuah tensor dan dijabarkan sebagai berikut ( Moore, 1934) : 𝜕𝑟 𝑣 = 𝜇 𝑥 𝜇 = 𝛽𝜇 𝑥 𝜇 = 𝑥𝑐 𝛽 𝑐 𝜕𝑥 𝛽 𝑐 = 𝐾𝜇𝑐 𝛽𝜇 𝛽 𝑠 ∙ 𝛽 𝑐 = 𝐾𝜇𝑐 𝛽 𝑠 ∙ 𝛽𝜇 𝑔 𝑠𝑐 = 𝐾𝜇𝑐 𝛿𝜇𝑠 = 𝐾 𝑠𝑐 𝛽 𝑐 = 𝑔𝜇𝑐 𝛽𝜇 = 𝑔𝜇𝑐 −1 𝛽𝜇 2.5. Koneksi Affine Koneksi affine, ∇ , adalah jenis derivatif arah dari suatu medan vektor pada sebuah keragaman M dan bukanlah sebuah medan tensor karena suatu derivative arah pada V, dinotasikan ∇X 𝑉, tidak linear𝐶 ∞ 𝑀 . Setiap keragaman licin minimal akan memiliki minimal sebuah koneksi affine. (Waner,2005) Jika suatu medan vektor 𝑉 pada ℝ𝑛 , memetakan 𝑉: ℝ𝑛 → ℝ𝑛 dan diambil suatu titik 𝑝 ∈ ℝ𝑛 dan sebuah vektor singgung 𝑋 ∈ 𝑇𝑝 ℝ𝑛 ≅ ℝ𝑛 dan dinotasikan bahwa ∇X 𝑉 adalah suatu derivative arah di medan vektor 𝑉 pada p dengan arah 𝑋 = 𝑣 𝑖 𝜕𝑖 sehingga dapat 𝜕𝑉

dituliskan ∇X 𝑉 = X𝑉 = 𝑣 𝑖 𝜕𝑖 𝑉 = 𝑣 𝑖 𝜕𝑥 𝑖 ∈ 𝑇𝑝 ℝ𝑛 ( Waner, 2005). Koneksi affine atau Koneksi linear pada suatu keragaman 𝑀 adalah pemetaan ∇: 𝔵(𝑀) × 𝔵(𝑀) → 𝔵(𝑀) yaitu memetakan (𝑋, 𝑌) → ∇X 𝑌 untuk setiap 𝑌 ∈ 𝔵 𝑀 yang memenuhi syarat: 1) pemetaan 𝑋 → ∇X 𝑌 adalah linear 𝐶 ∞ 𝑀 , sehingga ∇𝑓𝑋 +𝑔𝑌 𝑉 = 𝑓∇X 𝑉 + 𝑔∇X 𝑉, untuk semua 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶 ∞ 𝑀 dan 𝑋, 𝑌 ∈ 𝔵 𝑀 . Contoh jika ∇𝑓𝑋 𝑉 = 𝑓∇X 𝑉 dengan 𝑉 = (1 + 𝑥)2 misal 𝑓(𝑥) = (1 + 𝑥), maka 𝑑𝑉 (𝑥) 𝑑𝑥

𝜕𝑉 (𝑥) 𝑑𝑓 (𝑥)

= 𝜕𝑓 (𝑥)

𝜕𝑥

𝜕𝑉 (𝑥)

= 𝜕𝑓 (𝑥)

dengan

𝑑𝑉 (𝑥) 𝑑𝑥

𝜕𝑉 (𝑥)

= 𝜕𝑓 (𝑥) = ∇𝑓𝑋 𝑉;

2)

untuk

∇X 𝑎𝑉 + 𝑏𝑊 = 𝑋𝑎𝑉 + 𝑋𝑏𝑊 = 𝑎∇X 𝑉 + 𝑏∇X 𝑊 untuk 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ dan𝑉, 𝑊, 𝑋 ∈ 𝔵 𝑀 ; 3)∇X 𝑓𝑉 = 𝑓∇X 𝑉 + 𝑋 𝑓 . 𝑉 untuk 𝑓 ∈ 𝐶 ∞ 𝑀 dan 𝑋, 𝑉 ∈ 𝔵 𝑀 . Bab.2 Vektor dan Tensor

Hal. 17

Jika terdapat sebuah medan vektor 𝑌 pada ℝ𝑛 dan 𝑝 ∈ ℝ𝑛 ∈ 𝑀 dan terdapat vektor singgung pada 𝑋 ∈ 𝑇𝑝 ℝ𝑛 ≅ ℝ𝑛 . Disimbolkan bahwa ∇X 𝑌 adalah derivatif arah pada medan vektor Y di p dengan arah X pada sebuah keragaman M, maka ∇X 𝑌 ∈ 𝑇𝑝 ℝ𝑛 . Jika didefinisikan bahwa 𝑋 = 𝑣 𝑖 𝜕𝑖 , dengan 𝝏𝒊 sebagai derivatif arah atau vektor basis maka ∇X 𝑌 = X𝑌 = 𝑣 𝑖 𝜕𝑖 𝑌. ∇ adalah koneksi affine pada suatu keragaman M dan jika 𝑋, 𝑌 ∈ 𝔛(𝑀) yang ditunjukkan pada kerangka lokal 𝜕𝑖 pada 𝑈 ⊂ 𝑀di TM oleh X=𝑣 𝑖 𝜕𝑖 danY=𝑦 𝑗 𝜕𝑗 , maka seperti pada Gambar-4 di bawah

Gambar-4 Koneksi Affine pada Keragaman M Derivative arah di medan vektor 𝑌 pada p dengan arah 𝑋 = 𝑣 𝑖 𝜕𝑖 ∇X 𝑌 = X𝑌 = 𝑣 𝑖 𝜕𝑖 𝑌 Suatu vektor singgung di p∈ 𝑀 dikenal sebagai fungsional linear jika memenuhi sifat Leibniz 𝑋 𝑓𝑔 = 𝑓𝑋 𝑔 + 𝑋 𝑓 𝑔 ∇𝑣 𝑖 𝜕 𝑖 𝑦 𝑗 𝜕𝑗 = 𝑣 𝑖 ∇𝜕 𝑖 𝑦 𝑗 𝜕𝑗

= 𝑣 𝑖 𝑦 𝑗 ∇𝜕 𝑖 𝜕𝑗 + ∇𝜕 𝑖 𝑦 𝑗 𝜕𝑗

= 𝑣 𝑖 𝑦 𝑗 ∇𝜕 𝑖 𝜕𝑗 + 𝜕𝑖 𝑦 𝑗 𝜕𝑗 = 𝑣 𝑖 𝑦 𝑗 ∇𝜕 𝑖 𝜕𝑗 + 𝑣 𝑖 𝜕𝑖 𝑦 𝑗 𝜕𝑗 = 𝑣 𝑖 𝑦 𝑗 ∇𝜕 𝑖 𝜕𝑗 + 𝑋 𝑦 𝑗 𝜕𝑗 = 𝑣 𝑖 𝑦 𝑗 Γ𝑖𝑗𝑘 𝜕𝑘 + 𝑋 𝑦 𝑗 𝜕𝑗 = 𝑣 𝑖 𝑦 𝑗 Γ𝑖𝑗𝑘 + 𝑋 𝑦 𝑘 𝜕𝑘 ∇i y k = ∂i y k + Γ𝑖𝑗𝑘 𝑦 𝑗 Pada ruang Euclidean, maka dapat dituliskan ∇X 𝑌 p = ∇𝑣 𝑖 𝜕 𝑖 𝑦 𝑗 𝜕𝑗 = 𝑋 𝑦 𝑘 𝜕𝑘 = 𝑣 𝑖 𝜕𝑖 𝑦 𝑘 𝜕𝑘 = 𝑣 𝑖 𝜕𝑖 𝑌 𝑌 𝑝 + 𝑡𝑋𝑝 − 𝑌(𝑝) 𝑡→0 𝑡 Turunan kovarian didapatkan sebagai berikut ( Moore, E.N 1934) = lim

𝐴𝜇 =

Bab.2 Vektor dan Tensor

𝜕𝑥 𝑚 𝐴 𝜕𝑥 𝜇 𝑚

Hal. 18

𝜕𝐴𝜇 𝜕 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝑚 𝜕 𝜕 𝜕𝑥 𝑚 = 𝐴 = 𝐴 + 𝑞 𝐴𝑚 𝜕𝑥 𝑞 𝜕𝑥 𝑞 𝜕𝑥 𝜇 𝑚 𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝑥 𝑞 𝑚 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝐴𝜇 𝜕𝑥 𝑚 𝜕 𝐴𝑚 𝜕𝑥 𝑓 𝜕2𝑥𝑚 = + 𝐴 𝜕𝑥 𝑞 𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝑥 𝑓 𝜕𝑥 𝑞 𝜕𝑥 𝑞 𝜕𝑥 𝜇 𝑚 𝜕𝐴𝜇 𝜕𝑥 𝑚 𝜕 𝐴𝑚 𝜕𝑥 𝑓 𝜕 2 𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝐻 = + 𝐴 𝜕𝑥 𝑞 𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝑥 𝑓 𝜕𝑥 𝑞 𝜕𝑥 𝑞 𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝑥 𝑚 𝐻 𝜕𝐴𝜇 𝜕𝑥 𝑓 𝜕𝑥 𝑚 𝜕 𝐴𝑚 H = + Γqμ 𝐴𝐻 𝜕𝑥 𝑞 𝜕𝑥 𝑞 𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝑥 𝑓 𝜕𝐴𝜇 𝜕𝑥 𝑓 𝜕𝑥 𝑚 𝜕 𝐴𝑚 H H = + Γqμ 𝐴𝐻 = Γqμ 𝐴𝐻 𝜕𝑥 𝑞 𝜕𝑥 𝑞 𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝑥 𝑓 𝜕𝐴𝜇 H 𝑑𝐴𝜇 = 𝑞 𝑑𝑥 𝑞 = Γqμ 𝐴𝐻 𝑑𝑥 𝑞 𝜕𝑥 𝜕𝐴𝜇 H − Γqμ 𝐴𝐻 𝑑𝑥 𝑞 = 0 𝑞 𝜕𝑥 𝜕𝐴𝜇 H − Γqμ 𝐴𝐻 ≡ 𝐴𝜇 ;𝑞 𝜕𝑥 𝑞 H 𝐴𝜇 ;𝑞 = 𝐴𝜇 ,𝑞 − Γqμ 𝐴𝐻 Turunan pada sebuah medan tensor yang terdiri dari dua buah medan vektor terhadap suatu vektor singgung dapat dijabarkan sebagai berikut ∇𝑥 𝑖 𝜕 𝑖 𝑦 𝑗 𝜕𝑗 𝑧 𝑘 𝜕𝑘 = 𝑥 𝑖 ∇𝜕 𝑖 𝑦 𝑗 𝜕𝑗 𝑧 𝑘 𝜕𝑘 = 𝑥 𝑖 ∇𝜕 𝑖 𝑦 𝑗 𝜕𝑗 𝑧 𝑘 𝜕𝑘 + 𝑦 𝑗 𝜕𝑗 ∇𝜕 𝑖 𝑧 𝑘 𝜕𝑘 𝛻𝑥 𝑖 𝜕 𝑖 𝑦 𝑗 𝜕𝑗 𝑧 𝑘 𝜕𝑘 = 𝑥 𝑖 Γ𝑖𝑗𝑐 𝑦 𝑗 + 𝑋 𝑦 𝑐

𝜕𝑐 𝑧 𝑘 𝜕𝑘

+ 𝑦 𝑗 𝜕𝑗 𝑥 𝑖 Γ𝑖𝑘𝑚 𝑧 𝑘 + 𝑋 𝑧 𝑚

Bab.2 Vektor dan Tensor

𝜕𝑚

Hal. 19

∇𝑥 𝑖 𝜕 𝑖 𝑦 𝑗 𝜕𝑗 𝑧 𝑘 𝜕𝑘 = 𝑥 𝑖 Γ𝑖𝑗𝑐 𝑦 𝑗 𝑧 𝑘 + 𝑋 𝑦 𝑐 𝑧 𝑘 𝜕𝑐 𝜕𝑘 + 𝑦 𝑗 𝑥 𝑖 Γ𝑖𝑘𝑚 𝑧 𝑘 + 𝑦 𝑗 𝑋 𝑧 𝑚

𝜕𝑗 𝜕𝑚

𝑗

= 𝑥 𝑖 Γ𝑖𝑐 𝑦 𝑐 𝑧 𝑚 + 𝑋 𝑦 𝑗 𝑧 𝑚 𝜕𝑗 𝜕𝑚 + 𝑦 𝑗 𝑥 𝑖 Γ𝑖𝑘𝑚 𝑧 𝑘 + 𝑦 𝑗 𝑋 𝑧 𝑚

𝜕𝑗 𝜕𝑚

∇𝑥 𝑖 𝜕 𝑖 𝑦 𝑗 𝜕𝑗 𝑧 𝑘 𝜕𝑘 𝑗

= 𝑥 𝑖 Γ𝑖𝑐 𝑦 𝑐 𝑧 𝑚 + 𝑋 𝑦 𝑗 𝑧 𝑚 + 𝑦 𝑗 𝑥 𝑖 Γ𝑖𝑘𝑚 𝑧 𝑘 + 𝑦 𝑗 𝑋 𝑧𝑚

𝜕𝑗 𝜕𝑚 𝑗

= 𝑋 𝑦 𝑗 𝑧 𝑚 + 𝑦 𝑗 𝑋 𝑧 𝑚 + 𝑥 𝑖 Γ𝑖𝑐 𝑦 𝑐 𝑧 𝑚 + 𝑦 𝑗 𝑥 𝑖 Γ𝑖𝑘𝑚 𝑧 𝑘 𝜕𝑗 𝜕𝑚 𝑗

∇𝑥 𝑖 𝜕 𝑖 𝑦 𝑗 𝜕𝑗 𝑧 𝑘 𝜕𝑘 = ∇i 𝑇𝑗𝑚 + 𝑥 𝑖 Γ𝑖𝑐 𝑇 𝑐𝑚 + 𝑥 𝑖 Γ𝑖𝑘𝑚 𝑇𝑗𝑘 𝜕𝑗 𝜕𝑚 𝑗

= 𝑇,𝑖 𝑗𝑚 + Γ𝑖𝑎 𝑇 𝑎𝑚 + Γ𝑖𝑎𝑚 𝑇𝑗𝑎 𝜕𝑗 𝜕𝑚 Pada kerangka lokal dapat dituliskan sebagai berikut 𝑗

d𝑖 𝑇𝑗𝑚 = ∇𝑖 𝑇𝑗𝑚 + Γ𝑖𝑎 𝑇 𝑎𝑚 + Γ𝑖𝑎𝑚 𝑇𝑗𝑎 d𝑖 𝐴𝑗𝑚 = d𝑖 𝐴𝑗 𝐴𝑚 + 𝐴𝑗 d𝑖 𝐴𝑚 + d𝑖 𝐴𝑗 𝐴𝑚 𝑗

𝑗

d𝑖 𝐴𝑗𝑚 = ∇𝑖 𝐴𝑗𝑚 + 𝐴𝑗 Γ𝑖𝑎𝑚 𝐴𝑎 + Γ𝑖𝑎 𝐴𝑎 𝐴𝑚 = ∇𝑖 𝑇𝑗𝑚 + Γ𝑖𝑎 𝑇 𝑎𝑚 + Γ𝑖𝑎𝑚 𝑇𝑗𝑎 Untuk tensor kovarian didapatkan menggunakan anologi turunan terhadap suatu metrik 𝜕𝑔𝑛𝑚 = 𝜕μ 𝛽n . 𝛽m = 𝛽n . 𝜕μ 𝛽m + 𝜕μ 𝛽n . 𝛽m 𝜕𝑥 𝜇 ρ ρ 𝜕μ 𝛽n . 𝛽m = 𝛽n . Γμm 𝛽ρ + Γμn 𝛽ρ . 𝛽m ρ

𝑑𝑔𝑛𝑚

ρ

𝜕μ 𝛽n . 𝛽m = Γμm 𝑔nρ + Γμn 𝑔ρm 𝜕𝑔𝑛𝑚 ρ ρ = 𝑑𝑥 𝜇 = Γμm 𝑔nρ + Γμn 𝑔ρm 𝑑𝑥 𝜇 = 0 𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝑔𝑛𝑚 ρ ρ − Γμm 𝑔nρ − Γμn 𝑔ρm 𝑑𝑥 𝜇 = 0 𝜇 𝜕𝑥 ρ ρ ∇μ 𝑔𝑛𝑚 − Γμn 𝑔ρm − Γμm 𝑔nρ = dμ 𝑔𝑛𝑚

Bab.2 Vektor dan Tensor

Hal. 20

dμ 𝑔𝑛𝑚 = ∇μ (𝐴𝑛 𝐴𝑚 ) − 𝐴𝑛 ∇μ (𝐴𝑚 ) − ∇μ (𝐴𝑛 )𝐴𝑚 ρ

ρ

= ∇μ (𝑔𝑛𝑚 ) − 𝐴𝑛 Γμm 𝐴ρ − Γμn 𝐴ρ 𝐴𝑚 𝜕𝑔𝑛𝑚 ρ ρ = − Γμm 𝑔nρ − Γμn 𝑔ρm 𝜕𝑥 𝜇 Maka dapat dituliskan bahwa 𝜕𝑔𝑛𝑚 ρ ρ dμ 𝑔𝑛𝑚 = − Γμm 𝑔nρ − Γμn 𝑔ρm 𝜇 𝜕𝑥 Untuk tensor gabungan dapat digunakan relasi berikut 𝜌 𝑑𝜇 𝑇𝑚 = 𝑑𝜇 (𝐴𝜌 𝐴𝑚 ) + 𝑑𝜇 (𝐴𝜌 )𝐴𝑚 − 𝐴𝜌 𝑑𝜇 (𝐴𝑚 ) 𝜌

𝜌

𝜌

𝜌

𝑘 = 𝑑𝜇 𝑇𝑚 + 𝛤𝜇𝑘 𝐴𝑘 𝐴𝑚 − 𝐴𝜌 𝛤𝜇𝑚 𝐴𝑘 𝜌

𝑘 = 𝑑𝜇 𝑇𝑚 + 𝛤𝜇𝑘 𝑇𝑚𝑘 − 𝛤𝜇𝑚 𝑇𝑘

2.6. Panjang Vektor Singgung Jika (𝑀, 𝑔) adalah keragaman Riemann dan 𝑝 ∈ 𝑀 maka dapat didefinisikan panjang dari suatu vektor singgung 𝑣 ∈ 𝑇𝑝 𝑀adalah 𝑣 ≔

𝑣, 𝑣

𝑝

𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑥 𝑘 𝜕𝑥 𝑓 𝜇 𝑚 𝑑𝑠 = 𝜇 ∙ 𝑚 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 𝜇 𝛽𝑘 ∙ 𝑚 𝛽𝑓 𝑑𝑥 𝜇 𝑑𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑘 𝜕𝑥 𝑓 = 𝜇 𝑚 𝑔𝑘𝑓 𝑑𝑥 𝜇 𝑑𝑥 𝑚 = 𝑔𝑘𝑓 𝑑𝑥 𝜇 𝑑𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝜕𝑥 2

𝑑𝑠 =

𝑔𝑘𝑓 𝑑𝑥 𝜇 𝑑𝑥 𝑚

2.7.Luas Elemen Permukaan Dapat dijabarkan luas elemen suatu permukaan adalah sebagai berikut (Margenau, 1956) 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑑𝐴1 = 𝑑𝑠2 × 𝑑𝑠3 = 2 𝑑𝑥 2 × 3 𝑑𝑥 3 = 𝛽2 × 𝛽3 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 3 𝜕𝑥 𝜕𝑥 Besar skalar luas permukaan tersebut adalah 𝑑𝐴1 = Bab.2 Vektor dan Tensor

𝛽2 × 𝛽3 ∙ 𝛽2 × 𝛽3 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 3 Hal. 21

Dapat dijabarkan 𝑨 × 𝑩 ∙ 𝑪 × 𝑫 = 𝐴𝑖 𝑒𝑖 × 𝐵𝑗 𝑒𝑗 ∙ 𝐶𝑘 𝑒𝑘 × 𝐷𝑛 𝑒𝑛 = 𝐴𝑖 𝐵𝑗 𝜀𝑖𝑗𝑚 𝑒𝑚 ∙ 𝐶𝑘 𝐷𝑛 𝜀𝑘𝑛𝑚 𝑒𝑚 = 𝐴𝑖 𝐵𝑗 𝐶𝑘 𝐷𝑛 𝜀𝑖𝑗𝑚 𝜀𝑘𝑛𝑚 = 𝐴𝑖 𝐵𝑗 𝐶𝑘 𝐷𝑛 𝛿𝑖𝑘 𝛿𝑗𝑛 − 𝛿𝑖𝑛 𝛿𝑗𝑘 = 𝐴𝑖 𝐵𝑗 𝐶𝑖 𝐷𝑗 − 𝐴𝑖 𝐵𝑗 𝐶𝑗 𝐷𝑖 = 𝑨. 𝑪 𝑩. 𝑫 − 𝑨. 𝑫 𝑩. 𝑪 𝑨 × 𝑩 ∙ 𝑨 × 𝑩 = 𝑨. 𝑨 𝑩. 𝑩 − 𝑨. 𝑩 𝑩. 𝑨 sehingga 𝑑𝐴1 =

𝑔22 𝑔33 − 𝑔23 2 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 3

Dapat dilakukan cara yang sama, sehingga didapatkan bahwa 𝑑𝐴2 =

𝑔33 𝑔11 − 𝑔31 2 𝑑𝑥 3 𝑑𝑥1

𝑑𝐴3 =

𝑔11 𝑔22 − 𝑔12 2 𝑑𝑥1 𝑑𝑥 2

2.8. Volume Suatu Elemen Dapat dijabarkan volume suatu elemen sebagai berikut di bawah (Margenau, 1956) 𝑑𝑉 = 𝑑𝑠1 ∙ 𝑑𝑠2 × 𝑑𝑠3 = 𝛽1 𝑑𝑥 1 ∙ 𝛽2 × 𝛽3 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 3 𝑑𝑉 = 𝛽1 𝛽2 𝛽3 𝑑𝑥1 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 3 Jika 𝑑𝑠2 × 𝑑𝑠3 = 𝛽2 × 𝛽3 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 3 = 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 3 𝛽1 = 𝑑𝑟, maka 𝑑𝑉 = 𝑑𝑠1 ∙ 𝑑𝑟 Dengan mengingat bahwa 𝜕𝑟 𝑑𝑟 = 𝜇 𝑑𝑥 𝜇 = 𝛽𝜇 𝑑𝑥 𝜇 = 𝑑𝑥𝜇 𝛽 𝜇 𝜕𝑥 𝑑𝑟 ∙ 𝛽 𝑚 = 𝛽𝜇 𝑑𝑥 𝜇 ∙ 𝛽 𝑚 𝑑𝑟 ∙ 𝛽 𝑚 = 𝑑𝑥 𝜇 ∙ 𝛿𝜇𝑚 = 𝑑𝑥 𝑚 Sehingga 𝑑𝑟 = 𝛽𝑚 𝑑𝑥 𝑚 = 𝛽𝑚 𝑑𝑟 ∙ 𝛽 𝑚 Dengan cara yang sama didapatkan bahwa Bab.2 Vektor dan Tensor

Hal. 22

𝑑𝑟 = 𝑑𝑟 ∙ 𝛽𝑚 𝛽 𝑚 = 𝛽𝑚 𝑑𝑟 ∙ 𝛽 𝑚 Sehingga besar volume suatu elemen 𝑑𝑉 = 𝑑𝑠1 ∙ 𝑑𝑟 = 𝑑𝑠1 ∙ 𝑑𝑟 ∙ 𝛽𝑚 𝛽 𝑚 𝑑𝑉 = 𝑑𝑠1 ∙

𝑑𝑟 ∙ 𝛽1 𝛽1 + 𝑑𝑟 ∙ 𝛽2 𝛽 2 + 𝑑𝑟 ∙ 𝛽3 𝛽 3

𝑑𝑉 = 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 3 𝛽1 ∙

𝛽2 × 𝛽3 ∙ 𝛽1 𝛽1 +

+

𝛽2 × 𝛽3 ∙ 𝛽3 𝛽 3

𝛽2 × 𝛽3 ∙ 𝛽2 𝛽 2

Margenau (1956) dan Moore (1934) menyatakan bahwa 𝛽1 =

𝛽2 =

𝛽3 =

𝛽2 × 𝛽3 𝛽2 𝛽3 𝛽1 𝛽3 × 𝛽1 𝛽2 𝛽3 𝛽1 𝛽1 × 𝛽2 𝛽2 𝛽3 𝛽1

=

𝛽2 × 𝛽3 𝑣

=

𝛽3 × 𝛽1 𝑣

=

𝛽1 × 𝛽2 𝑣

Sehingga 𝑑𝑉 = 𝑑𝑥1 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 3 𝛽1 ∙

𝛽2 × 𝛽3 ∙ 𝛽1

𝛽2 × 𝛽3 + 𝑣

+

𝛽2 × 𝛽3 ∙ 𝛽3

𝛽1 × 𝛽2 𝑣

𝑑𝑉 = 𝑑𝑥1 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 3

𝛽1 ∙ 𝑣

𝛽2 × 𝛽3 ∙ 𝛽2

𝛽2 × 𝛽3 ∙ 𝛽1

𝛽2 × 𝛽3 + 𝛽1

∙

𝛽2 × 𝛽3 ∙ 𝛽2

𝛽3 × 𝛽1 + 𝛽1

∙

𝛽2 × 𝛽3 ∙ 𝛽3

𝛽1 × 𝛽2

Bab.2 Vektor dan Tensor

𝛽3 × 𝛽1 𝑣

Hal. 23

Dengan mengingat bahwa 𝑑𝑉 = 𝑑𝑠1 ∙ 𝑑𝑟 = 𝑑𝑠1 ∙ 𝑑𝑟 ∙ 𝛽𝑚 𝛽 𝑚 = 𝑑𝑠1 ∙ 𝛽𝑚 𝑑𝑟 ∙ 𝛽 𝑚 = 𝑑𝑠1 ∙ 𝛽1 𝑑𝑟 ∙ 𝛽1 + 𝑑𝑠1 ∙ 𝛽2 𝑑𝑟 ∙ 𝛽 2 + 𝑑𝑠1 ∙ 𝛽3 𝑑𝑟 ∙ 𝛽 3 𝑑𝑉 = 𝛽1 𝑑𝑥1 ∙ 𝛽1 𝑑𝑟 ∙ 𝛽1 + 𝛽2 𝑑𝑟 ∙ 𝛽 2 + 𝛽3 𝑑𝑟 ∙ 𝛽 3 Sehingga dapat dituliskan 𝑑𝑉 = 𝑑𝑥1 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 3

𝛽1 𝑣

∙

𝛽2 × 𝛽3 ∙ 𝛽2 × 𝛽3

𝛽1

+

𝛽2 × 𝛽3 ∙ 𝛽3 × 𝛽1

𝛽2

+

𝛽2 × 𝛽3 ∙ 𝛽1 × 𝛽2

𝛽3

Dengan mengingat bahwa 𝑨 × 𝑩 ∙ 𝑪 × 𝑫 = 𝑨. 𝑪 𝑩. 𝑫 − 𝑨. 𝑫 𝑩. 𝑪 Maka dengan mengingat bahwa 𝛽𝑖 ∙ 𝛽𝑗 = 𝑔𝑖𝑗 , sehingga 𝑑𝑉 = 𝑑𝑥1 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 3 ∙

𝛽1 𝑣

𝑔22 𝑔33 − 𝑔23 𝑔32 𝛽1 + 𝑔23 𝑔31 − 𝑔21 𝑔33 𝛽2

+ 𝑔21 𝑔32 − 𝑔22 𝑔31 𝛽3 𝑑𝑉 = 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 3

1 𝑣

𝑔22 𝑔33 − 𝑔23 𝑔32 𝛽1 ∙ 𝛽1

+ 𝑔23 𝑔31 − 𝑔21 𝑔33 𝛽1 ∙ 𝛽2 + 𝑔21 𝑔32 − 𝑔22 𝑔31 𝛽1 ∙ 𝛽3

Bab.2 Vektor dan Tensor

Hal. 24

𝛽1 𝛽2 𝛽3 𝑑𝑥1 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 3 = 𝑑𝑥1 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 3

1 𝛽2 𝛽3 𝛽1

𝑔22 𝑔33 − 𝑔23 𝑔32 𝑔11

+ 𝑔23 𝑔31 − 𝑔21 𝑔33 𝑔12 + 𝑔21 𝑔32 − 𝑔22 𝑔31 𝑔13 𝛽1 𝛽2 𝛽3 =

𝑔22 𝑔33 − 𝑔23 𝑔32 𝑔11 + 𝑔23 𝑔31 − 𝑔21 𝑔33 𝑔12

+ 𝑔21 𝑔32 − 𝑔22 𝑔31 𝑔13 Maka dapat ditentukan bahwa 𝑑𝑉 = 𝛽1 𝛽2 𝛽3 𝑑𝑥1 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 3 =

1/2

=

𝑔

𝑔 𝑑𝑥1 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 3

2.9.Vektor Satuan dan Vektor Basis Dapat dijelaskan hubungan antara vektor satuan dengan vektor basis sebagai berikut (Margenau (1956) dan Clarke (2011)): Suatu vektor dapat dituliskan sebagai berikut 𝑑𝑟 = 𝑑𝑥(𝑖) 𝒖(𝑖) Dalam konsep vektor dalam suatu vektor basis dapat dituliskan sebagai berikut ( Clarke, 2011) 𝑑𝑟 = 𝑕(𝑖) 𝒖(𝑖) 𝑑𝑥 𝑖 = 𝜷𝒊 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑟

2

= 𝑕(𝑖) 𝑕(𝑗 ) 𝒖(𝑖) ∙ 𝒖(𝑗 ) 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑥 𝑗 = 𝜷𝒊 ∙ 𝜷𝒋 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑥 𝑗

Maka 𝑕(𝑖) 𝑕(𝑗 ) 𝒖(𝑖) ∙ 𝒖(𝑗 ) = 𝜷𝒊 ∙ 𝜷𝒋 𝑔𝑖𝑗 = 𝑕(𝑖) 𝑕(𝑗 ) 𝒖(𝑖) ∙ 𝒖(𝑗 ) Clarke (2011) menyatakan bahwa metrik untuk sistem koordinat orthogonal dapat dinyatakan sebagai berikut 𝑔𝑖𝑗 = 𝑕(𝑖) 𝑕(𝑗 ) 𝛿𝑖𝑗 𝛿 𝑖𝑗 𝑕𝑖 𝑕𝑗 Dapat diperlihatkan hubungan besar panjang suatu vektor 𝑑𝑟 = 𝑑𝑟 𝑕(𝑖) 𝒖(𝑖) 𝑑𝑥 𝑖 = 𝑑𝑥(𝑖) 𝒖(𝑖) 𝑔𝑖𝑗 =

Bab.2 Vektor dan Tensor

Hal. 25

𝑕(𝑖) 𝒖(𝑖) 𝑔𝑖𝑗 𝑑𝑥𝑗 = 𝑑𝑥(𝑖) 𝒖(𝑖) Sehingga didapatkan bahwa besar panjang adalah 𝑑𝑥(𝑖) = 𝑕(𝑖) 𝑔𝑖𝑗 𝑑𝑥𝑗 Sedangkan hubungan antara vektor satuan dengan vektor basis adalah 𝑑𝑟 = 𝑑𝑟 𝑕(𝑖) 𝒖(𝑖) 𝑑𝑥 𝑖 = 𝜷𝒊 𝑑𝑥 𝑖 𝜷𝒊 = 𝑕(𝑖) 𝒖(𝑖) 𝜷𝒊 𝜷𝒊 𝒖(𝑖) = = 𝑕(𝑖) 𝑔𝑖𝑖 Atau dapat pula dalam bentuk 𝒖(𝑖) =

𝑔𝑖𝑗 𝜷𝑗 𝜷𝒊 = 𝑕(𝑖) 𝑕(𝑖)

𝑔𝑖𝑗 𝜷𝑗 𝑕(𝑖) 𝑕(𝑗 ) 𝛿𝑖𝑗 𝜷𝑗 = = 𝑕(𝑖) 𝜷𝑖 𝑕(𝑖) 𝑕(𝑖) 𝒖 𝒖𝑖 𝑖 𝜷𝑖 = = 𝑕𝑖 𝑔𝑖𝑖 𝒖(𝑖) = 𝑕(𝑖) 𝜷𝑖 Untuk system Nonortogonal, maka 𝑔𝑖𝑗 𝜷𝑗 𝒖(𝑖) = 𝑕(𝑖) 𝜷𝑗 =

𝑕𝑖 𝒖𝑖 = 𝑔𝑖𝑗

𝑔𝑖𝑖 𝒖 𝑖 𝑔𝑖𝑗

𝜷𝑖 = 𝑔𝑖𝑗 𝜷𝒋 = 𝑔𝑖𝑗 𝑕(𝑖) 𝒖(𝑖) = 𝑔𝑖𝑗 𝑔𝑖𝑖 𝒖(𝑖) Maka 𝑔𝑖𝑖 = 𝑔𝑖𝑗 𝑔𝑖𝑖 𝑔𝑖𝑗 𝑔𝑖𝑗 = 𝑔𝑖𝑗 −1 Yang sesuai dengan definisi Levrino (2011), Clarke, D.A., (2011) dan Moore (1934). Hubungan antara vektor satuan dan vektor basis dapat dijabarkan sebagai berikut Bab.2 Vektor dan Tensor

Hal. 26

𝜷𝒊 = 𝑔𝑖𝑗 𝑑𝑥𝑗 𝜷𝒊 = 𝜷𝒊 𝑑𝑥 𝑖 𝑕(𝑖) Menurut Margenau (1956) 𝑕(𝑖) adalah suatu faktor skala ( bukan sebuah tensor). Menurut Clarke ( 2011) dapat dihubungkan besar tensor secara fisik dengan tensor kontravarian dan juga kovarian sebagai berikut: Jika tensor orde-1 dituliskan sebagai berikut𝑑𝑥(𝑖) = 𝑑𝑟 = 𝑑𝑥(𝑖) 𝒖(𝑖) = 𝑕(𝑖) 𝑔𝑖𝑗 𝑑𝑥𝑗

𝑕(𝑖) 𝑔𝑖𝑗 𝑑𝑥𝑗 , maka medan tensor adalah suatu produk tensor dari banyak medan vektor dan dapat didefinisikan sebagai 𝑇: 𝑣1 × … × 𝑣𝑘 → ℝ, sehingga besar tensor fisik dapat dituliskan sebagai berikut 𝑻 𝒊𝒋 𝑻 𝒊𝒋 𝑻𝒊𝒋 = = 𝑕𝑖 𝑕𝑗 𝑔𝑖𝑖 𝑔𝑗𝑗 Untuk system Nonortogonal, maka 𝜷𝑗 = 𝑔𝑖𝑗 𝑔𝑖𝑖 𝒖(𝑖) 𝑻𝑖𝑗 = 𝑔𝑖𝑚 𝑔 𝑗𝑛 𝑔𝑖𝑖 𝑔𝑗𝑗 𝑻(𝑖𝑗 ) 2.10. Gradien dari Skalar 𝜵 = 𝛽 𝑖 ∇𝑖 = 𝑔𝑖𝑗 𝛽𝑗 ∇𝑖 = 𝑔𝑖𝑗 𝑔𝑗𝑗 𝑢𝑗 ∇𝑖 Dengan notasi 𝐴𝑖 = 𝑔𝑖𝑗 𝑔𝑗𝑗 𝐴(𝑗 ) 𝑇 𝑖𝑗 = 𝑔𝑖𝑚 𝑔 𝑗𝑛 𝑔𝑚𝑚 𝑔𝑛𝑛 𝑇(𝑚𝑛 ) 𝜵 = 𝑔11 𝛻1 + 𝑔21 𝛻2 + 𝑔31 𝛻3

𝑔11 𝑢(1)

+ 𝑔12 𝛻1 + 𝑔22 𝛻2 + 𝑔32 𝛻3 13

23

33

+ 𝑔 𝛻1 + 𝑔 𝛻2 + 𝑔 𝛻3 11

𝑔22 𝑢(2) 𝑔33 𝑢(3)

22

= 𝑔 𝛻1 𝑔11 𝑢(1) + 𝑔 𝛻2 𝑔22 𝑢(2) + 𝑔33 𝛻3 𝑔33 𝑢(3) 2.11. Simbol Christoffel Simbol christoffel adalah salah satu jenis dari koneksi affine. Memiliki sifat simetri pada bagian kovarian dan besarnya pada ruang datar akan bernilai nol. Bab.2 Vektor dan Tensor

Hal. 27

Turunan dari posisi dapat dijabarkan sebagai berikut 𝑑𝑟 𝑑 𝜇 𝑣= = 𝑥 𝛽𝜇 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝜇 𝑑 𝜇 𝑑 𝑥 𝑑 𝑥 𝛽𝜇 = 𝛽𝜇 + 𝑥 𝜇 𝛽 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝜇 𝜇 𝑚 𝑑 𝜇 𝑑 𝑥 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑚 𝜇 𝑥 𝛽𝜇 = 𝛽 +𝑥 𝛽 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑚 𝑑𝑡 𝜇 𝑑𝑥 𝑚 𝜇 𝑑𝑡 𝑑 𝜇 𝑑 𝑥𝜇 𝑚 𝑑 𝑥𝑐 𝜇 c 𝑚 c 𝑥 𝛽𝜇 = 𝑥 𝛽 + 𝑥 Γ 𝛽 𝑥 = + 𝑥 𝜇 Γmμ 𝛽𝑐 𝑥 𝑚 𝜇 mμ 𝑐 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑚 𝑑𝑥 𝑚 𝑑 𝑥𝑐 c 𝑣= + 𝑥 𝜇 Γmμ 𝛽𝑐 𝑥 𝑚 𝑑𝑥 𝑚 𝑑

c Pada ruang datar Simbol Christoffel Γμm = 𝑑𝑥 𝑚 𝛽𝜇 = 0, maka 𝑐 𝑐 𝑑 𝑥 𝑑𝑥 𝑚 𝑚 𝑣= 𝛽 𝑥 = 𝑣 𝛽𝑐 = 𝑣 𝑐 𝛽𝑐 𝑐 𝑚 𝑚 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Turunan dari kecepatan dapat dijabarkan sebagai berikut Simbol Christoffel dapat dijabarkan sebagai berikut 𝑑𝑣 𝑑 𝜕𝑟 𝜇 𝑎= = 𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜇 𝑑 𝜕𝑟 𝜇 𝑑 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑑 𝜇 𝑑 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑥 = 𝑥𝜇 + 𝜇 𝑥 = 𝑥𝜇 + 𝜇 𝑥𝜇 𝜇 𝜇 𝜇 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑑𝛽𝜇 𝑑 𝜕𝑟 𝑥𝜇 𝛽𝜇 + 𝜇 𝑥 𝜇 = 𝑥 𝜇 𝑥 𝑚 𝑚 + 𝛽𝜇 𝑥 𝜇 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝑑𝑥 𝜇 𝑚 s = 𝑥 𝑥 Γμm 𝛽𝑠 + 𝛽𝜇 𝑥 𝜇 s s 𝑥 𝜇 𝑥 𝑚 Γmμ 𝛽𝑠 + 𝛽𝜇 𝑥 𝜇 = 𝑥 𝜇 𝑥 𝑚 Γμm + 𝑥 𝑠 𝛽𝑠 = 𝑎 𝑠 𝛽𝑠 = 𝑎 Dengan 𝑑𝛽𝜇 𝑑 𝑑𝜉 𝑐 s Γμ𝑣 𝛽𝑠 = 𝑣 = 𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝜇 𝑑𝑥 λ 𝑑 𝑑𝜉 𝑐 s λ λ Γμ𝑣 𝛽𝑠 ∙ 𝛽 = Γμ𝑣 = 𝑐 𝑣 𝑑𝜉 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝜇 Maka dapat dijabarkan bahwa saat pada kerangka K 𝜕𝑥 λ 𝜕 2 𝜉 𝑐 λ Γμv = 𝑐 𝜇 𝑣 𝜕𝜉 𝜕𝑥 𝜕𝑥 Sedangkan pada kerangka K’

Bab.2 Vektor dan Tensor

Hal. 28

𝜕𝑥 λ 𝜕 2 𝜉 𝑐 = 𝑐 𝜇 𝑣 𝜕𝜉 𝜕𝑥 𝜕𝑥 Syarat sebuah tensor adalah adanya keseragaman seperti di bawah 𝜕𝑥 λ 𝜕𝑥 d 𝜕𝑥 e c λ Γμv = 𝑐 μ v Γde 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 Tetapi bentuk penjabaran dari 𝜕𝑥 λ 𝜕 2 𝜉 𝑐 𝜕𝑥 λ 𝜕𝑥 𝑑 𝜕 2 𝜉 𝑐 𝜕𝑥 λ 𝜕𝑥 𝑑 𝜕 𝜕𝜉 𝑐 λ Γμv = 𝑐 𝜇 𝑣= 𝑑 𝑐 = 𝜕𝜉 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝜉 𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝑥 𝑣 𝜕𝑥 𝑑 𝜕𝜉 𝑐 𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝑥 𝑣 𝜕𝑥 λ 𝜕𝑥 𝑑 𝜕 𝜕𝜉 𝑐 𝜕𝑥 𝑚 λ Γμv = 𝑑 𝑐 𝜇 𝜕𝑥 𝜕𝜉 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝑣 𝜕𝑥 λ 𝜕𝑥 𝑑 𝜕 𝜕𝜉 𝑐 𝜕𝑥 𝑚 = 𝑑 𝑐 𝜕𝑥 𝜕𝜉 𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝑣 𝜕𝑥 λ 𝜕𝑥 𝑑 𝜕𝜉 𝑐 𝜕 𝜕𝑥 𝑚 + 𝑑 𝑐 𝑚 𝜕𝑥 𝜕𝜉 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝑥 𝑣 𝜕𝑥 λ 𝜕𝑥 𝑑 𝜕𝑥 𝑠 𝜕 𝜕𝜉 𝑐 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 λ 𝜕𝑥 𝑑 𝜕 𝜕𝑥 𝑚 λ Γμv = 𝑑 𝑐 + 𝜕𝑥 𝜕𝜉 𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝑥 𝑠 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝑣 𝜕𝑥 𝑑 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝑥 𝑣 𝜕𝑥 λ 𝜕𝑥 𝑠 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝑑 𝜕 𝜕𝜉 𝑐 = 𝑑 𝜇 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑣 𝜕𝜉 𝑐 𝜕𝑥 𝑠 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 λ 𝜕 𝜕𝑥 𝑚 + 𝑚 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝑥 𝑣 𝜕𝑥 λ 𝜕𝑥 𝑠 𝜕𝑥 𝑚 d 𝜕𝑥 λ 𝜕 𝜕𝑥 𝑚 = 𝑑 𝜇 Γ + 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑣 sm 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝑥 𝑣 Sehingga simbol christoffel bukanlah tensor. Sifat dari koneksi ini adalah simetri pada bagian kovarian. 1 s s Γμm = Γmμ = 𝑔 𝑠𝑐 𝑑𝑚 𝑔μc + 𝑑μ 𝑔cm − 𝑑𝑐 𝑔mμ 2 𝑑𝑚 𝑔μc = 𝑑𝑚 𝛽μ . 𝛽c = 𝛽μ . 𝜕𝑚 𝛽c + 𝛽c . 𝜕𝑚 𝛽μ 𝑑μ 𝑔cm = 𝛽c . 𝜕μ 𝛽m + 𝛽m . 𝜕μ 𝛽c −𝑑𝑐 𝑔mμ = −𝛽m . 𝜕𝑐 𝛽μ − 𝛽μ . 𝜕𝑐 𝛽m λ Γμv

Dengan menjumlahkan persamaan di atas, maka

Bab.2 Vektor dan Tensor

Hal. 29

𝑑𝑚 𝑔μc + 𝑑μ 𝑔cm − 𝑑𝑐 𝑔mμ = 𝛽c . 𝜕𝑚 𝛽μ + 𝛽c . 𝜕μ 𝛽m 1 𝑑 𝑔 + 𝑑μ 𝑔cm − 𝑑𝑐 𝑔mμ = 𝛽c . 𝜕𝑚 𝛽μ 2 𝑚 μc 1 𝑑 𝑔 + 𝑑μ 𝑔cm − 𝑑𝑐 𝑔mμ = 𝛽c . Γmd μ 𝛽d 2 𝑚 μc 1 d 𝑑 𝑔 + 𝑑μ 𝑔cm − 𝑑𝑐 𝑔mμ = 𝑚μ, c = Γmμ 𝑔cd 2 𝑚 μc 1 𝑠𝑐 d 𝑔 𝑑𝑚 𝑔μc + 𝑑μ 𝑔cm − 𝑑𝑐 𝑔mμ = Γmμ 𝑔cd 𝑔 𝑠𝑐 2 1 𝑠𝑐 d s 𝑔 𝑑𝑚 𝑔μc + 𝑑μ 𝑔cm − 𝑑𝑐 𝑔mμ = Γmμ δsd = Γmμ 2 2.12. Divergensi dari Vektor 1 𝑗 𝛁y = ∇i 𝑦 𝑗 + Γ𝑖𝑘 𝑦 𝑘 = ∂i y j + 𝑔 𝑗𝑠 (𝜕𝑖 𝑔𝑘𝑠 + 𝜕𝑘 𝑔𝑠𝑖 − 𝜕𝑠 𝑔𝑖𝑘 )𝑦 𝑘 2 1 𝛁 ∙ y = ∇i 𝑦 𝑖 + Γ𝑖𝑘𝑖 𝑦 𝑘 = ∇i y i + 𝑔𝑖𝑠 (𝜕𝑖 𝑔𝑘𝑠 + 𝜕𝑘 𝑔𝑠𝑖 − 𝜕𝑠 𝑔𝑖𝑘 )𝑦 𝑘 2 1 𝛁 ∙ y = ∇i y i + 𝑔𝑖𝑠 𝜕𝑖 𝑔𝑘𝑠 + 𝑔𝑖𝑠 𝜕𝑘 𝑔𝑠𝑖 − 𝑔𝑖𝑠 𝜕𝑖 𝑔𝑠𝑘 𝑦 𝑘 2 ∂i y i 𝑦𝑘 1 1 = ∂i y i + 𝑔𝑖𝑠 𝜕𝑘 𝑔𝑠𝑖 𝑦 𝑘 = + 𝑔𝑖𝑠 𝜕𝑘 𝑔𝑠𝑖 2 𝑕(𝑖) 2 𝑕(𝑘) Dapat dituliskan dalam bentuk lain 1 1 𝑖 𝛁 ∙ y = ∇i 𝑦 𝑖 + Γ𝑖𝑘𝑖 𝑦 𝑘 = 𝛻𝑖 y(i) + Γ y 𝑕𝑖 𝑕 𝑘 𝑖𝑘 (k) 2.13. Gradient dari Vektor d𝑖 𝐴𝑗 = ∇𝑖 𝐴𝑗 − Γ𝑖𝑗𝑘 𝐴𝑘 2.14. Divergensi dari Tensor 𝑗

d𝑖 𝑇𝑗𝑚 = ∇𝑖 𝑇𝑗𝑚 + Γ𝑖𝑎 𝑇 𝑎𝑚 + Γ𝑖𝑎𝑚 𝑇𝑗𝑎 𝛁 ∙ T = d𝑖 𝑇 𝑖𝑚 = ∇𝑖 𝑇 𝑖𝑚 + Γ𝑖𝑎𝑖 𝑇 𝑎𝑚 + Γ𝑖𝑎𝑚 𝑇 𝑖𝑎 1 1 1 = ∇𝑖 𝑇 𝑖𝑚 + Γ𝑖𝑎𝑖 𝑇 𝑎𝑚 + Γ𝑚 𝑇 𝑕(𝑖) 𝑕(𝑚 ) 𝑕(𝑎) 𝑕(𝑚 ) 𝑕(𝑎) 𝑕(𝑖) 𝑖𝑎 𝑖𝑎 2.15. Curl dari Vektor

Bab.2 Vektor dan Tensor

Hal. 30

Dapat didefinisikan bahwa curl suatu vektor adalah 𝛁 × 𝑨 = d𝑖 𝐴𝑗 − d𝑗 𝐴𝑖 = ∇𝑖 𝐴𝑗 − Γ𝑖𝑗𝑘 𝐴𝑘 − ∇𝑗 𝐴𝑖 − Γ𝑗𝑖𝑘 𝐴𝑘 = ∇𝑖 𝐴𝑗 − ∇𝑗 𝐴𝑖 2.16. Laplacian Vektor 𝛻2𝑨 = 𝛁 𝛁 ∙ 𝐀 − 𝛁 × 𝛁 × 𝑨 𝛁 𝛁 ∙ 𝐀 = 𝛻2 𝑨 + 𝛁 × 𝛁 × 𝑨 atau 𝑗

𝐴𝑖,𝑗 = 𝑔 𝑗𝑘 𝐴𝑖,𝑗

,𝑘

= 𝑔 𝑗𝑘

,𝑘

𝐴𝑖,𝑗 + 𝑔 𝑗𝑘 𝐴𝑖,𝑗

,𝑘

2.17. Gradient dari Divergensi Vektor 𝑗

𝛁 𝛁 ∙ 𝐀 = 𝐴𝑗 ,𝑖 2.18. Laplacian Skalar Laplacian skalar didefinisikan sebagai 𝛻 2 𝑓 = 𝛁 ∙ 𝛁𝑓 = 𝛁 ∙ 𝐲 1 1 𝑖 𝛁 ∙ 𝐲 = ∇i 𝑦 𝑖 + Γ𝑖𝑘𝑖 𝑦 𝑘 = 𝛻𝑖 y(i) + Γ y 𝑕𝑖 𝑕 𝑘 𝑖𝑘 (k) Sehingga dapat dituliskan sebagai 1 1 𝑖 𝛁 ∙ 𝛁𝑓 = 𝛻𝑖 𝛻 𝑖 𝑓 + 𝛤𝑖𝑘𝑖 𝛻𝑘 𝑓 = 𝛻𝑖 𝛻(i) 𝑓 + Γ 𝛻 𝑓 𝑕𝑖 𝑕 𝑘 𝑖𝑘 (k) 2.19. Koneksi Levi-Civita Sebuah koneksi Affine ∇ disebut simetri jika komutator 𝑋, 𝑌 = ∇X Y − ∇Y X = − 𝑌, 𝑋 = 0 ( komutatif dan simetri) untuk simetri pada 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝔛(𝑀). Didefinisikan sebuah tensor Torsi pada ∇ adalah 𝑇: 𝔛 𝑀 × 𝔛 𝑀 → 𝔛 𝑀 yang memetakan (X,Y) → 𝑇 𝑋, 𝑌 ≔ ∇X Y − ∇Y X − 𝑋, 𝑌 . Sifat tensor T adalah 𝐶 ∞ (𝑀)-linear serta antisimetri. Jika produk skalar pada koneksi Affine kompatibel dengan metrik g yaitu mengikuti 𝑋, 𝑌 = ∇X Y + ∇Y X. Diberikan sebuah keragaman Riemannian (𝑀, 𝑔) dan terdapat suatu koneksi Affine ∇pada keragaman M yang simetri ( mengikuti kurung Lie)

Bab.2 Vektor dan Tensor

Hal. 31

dan kompatibel dengan 𝑔. Bentuk koneksi antara koneksi Affine dan metrik 𝑔 dapat dihubungkan dengan koneksi Levi-Civita. Syarat bahwa ∇ compatibel dengan metrik 𝑔 adalah 𝑋 𝑔 𝑌, 𝑍 = 𝑔 ∇X Y, Z + g Y, ∇X Z 𝑋 Y, Z = ∇X Y, Z + 𝑌, ∇X Z ∇X Y, Z = 𝑋 Y, Z − 𝑌, ∇X Z = 𝑋 Y, Z − 𝑌, 𝑋, 𝑍 + ∇Z X ∇X Y, Z = 𝑋 Y, Z − 𝑌, 𝑋, 𝑍 + ∇Z X … (𝑎) Lakukan hal yang sama ∇Y Z, X = 𝑌 Z, X − 𝑍, 𝑌, 𝑋 + ∇X Y … (𝑏) − ∇Z X, Y = −𝑍 X, Y + 𝑋, 𝑍, 𝑌 − ∇Y Z … (𝑐) Jumlahkan ketiga persamaan di atas, maka ∇X Y, Z + ∇Y Z, X − ∇Z X, Y = 𝑋 Y, Z − 𝑌, 𝑋, 𝑍 + ∇Z X + 𝑌 Z, X − 𝑍, 𝑌, 𝑋 + ∇X Y − 𝑍 X, Y + 𝑋, 𝑍, 𝑌 − ∇Y Z ∇X Y, Z + ∇Y Z, X − ∇Z X, Y = 𝑋 Y, Z − 𝑌, 𝑋, 𝑍 + Y, ∇Z X + 𝑌 Z, X − 𝑍, 𝑌, 𝑋 + 𝑍, ∇X Y − 𝑍 X, Y + 𝑋, 𝑍, 𝑌 − 𝑋, ∇Y Z ∇X Y, Z + ∇Y Z, X − ∇Z X, Y = 𝑋 Y, Z − 𝑌, 𝑋, 𝑍 − ∇Z X, Y + 𝑌 Z, X − 𝑍, 𝑌, 𝑋 − ∇X Y, Z − 𝑍 X, Y + 𝑋, 𝑍, 𝑌 + ∇Y Z, X 2 ∇X Y, Z = 𝑋 Y, Z − 𝑌, 𝑋, 𝑍 + 𝑌 Z, X − 𝑍, 𝑌, 𝑋 − 𝑍 X, Y + 𝑋, 𝑍, 𝑌 1 ∇X Y, Z = 𝑋 Y, Z + 𝑌 Z, X − 𝑍 X, Y − 𝑌, 𝑋, 𝑍 − 𝑍, 𝑌, 𝑋 2 + 𝑋, 𝑍, 𝑌 1 ∇X Y, Z = 𝑋 Y, Z + 𝑌 Z, X − 𝑍 X, Y − 𝑌, − 𝑍, 𝑋 − 𝑍, − 𝑋, 𝑌 2 + 𝑋, − 𝑌, 𝑍 1 ∇X Y, Z = 𝑋 Y, Z + 𝑌 Z, X − 𝑍 X, Y + 𝑌, 𝑍, 𝑋 + 𝑍, 𝑋, 𝑌 2 − 𝑋, 𝑌, 𝑍 Dengan menggunakan persamaan ∇X 𝑌 = X𝑌, serta 𝑋, 𝑌 = ∇X Y − ∇Y X dan 𝑋, 𝑌 = ∇X Y + ∇Y X, maka dapat dibuktikan Bab.2 Vektor dan Tensor

Hal. 32

bahwa 𝑌, 𝑍, 𝑋 + 𝑍, 𝑋, 𝑌 − 𝑋, 𝑌, 𝑍 = 0, yang dikarenakan 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝔛(𝑀) dan ∇ simetri ( Hilgert, 2010), sehingga 1 ∇X Y, Z = 𝑋 Y, Z + 𝑌 Z, X − 𝑍 X, Y 2 1 = 𝑑𝑋 𝛽Y , 𝛽Z + 𝑑𝑌 𝛽Z , 𝛽X − 𝑑𝑍 𝛽X , 𝛽Y 2 1 XY, Z = 𝑑𝑋 𝑔YZ + 𝑑Y 𝑔ZX − 𝑑𝑍 𝑔XY 2 Penjabaran lain adalah 1 𝑠𝑐 𝑔 𝑑𝑚 𝑔μc + 𝑑μ 𝑔cm − 𝑑𝑐 𝑔mμ 2 𝑑𝑚 𝑔μc = 𝑑𝑚 𝛽μ . 𝛽c = 𝛽μ . 𝜕𝑚 𝛽c + 𝛽c . 𝜕𝑚 𝛽μ 𝑑μ 𝑔cm = 𝛽c . 𝜕μ 𝛽m + 𝛽m . 𝜕μ 𝛽c −𝑑𝑐 𝑔mμ = −𝛽m . 𝜕𝑐 𝛽μ − 𝛽μ . 𝜕𝑐 𝛽m Dengan menjumlahkan persamaan di atas, maka didapatkan 𝑑𝑚 𝑔μc + 𝑑μ 𝑔cm − 𝑑𝑐 𝑔mμ = 𝛽c . 𝜕𝑚 𝛽μ + 𝛽c . 𝜕μ 𝛽m 1 𝑑 𝑔 + 𝑑μ 𝑔cm − 𝑑𝑐 𝑔mμ = 𝛽c . 𝜕𝑚 𝛽μ 2 𝑚 μc 1 𝑑 𝑔 + 𝑑μ 𝑔cm − 𝑑𝑐 𝑔mμ = 𝛽c . Γmd μ 𝛽d 2 𝑚 μc 1 d 𝑑 𝑔 + 𝑑μ 𝑔cm − 𝑑𝑐 𝑔mμ = Γmμ 𝑔cd 2 𝑚 μc 1 𝑠𝑐 d 𝑔 𝑑𝑚 𝑔μc + 𝑑μ 𝑔cm − 𝑑𝑐 𝑔mμ = Γmμ 𝑔cd 𝑔 𝑠𝑐 2 1 𝑠𝑐 d s 𝑔 𝑑𝑚 𝑔μc + 𝑑μ 𝑔cm − 𝑑𝑐 𝑔mμ = Γmμ δsd = Γmμ 2 s s Γμm = Γmμ =

2.20. Tensor Riemann Jika diberikan bahwa 𝐴 ∈ 𝔵(𝑀) sehingga secara umum dapat dituliskan bahwa ∇X ∇Y A − ∇Y ∇X A ≠ 0, maka untuk H H 𝐴𝑛;𝑚 = 𝜕𝑚 𝐴𝑛 − Γmn 𝐴𝐻 = 𝐴𝑛,𝑚 − Γmn 𝐴𝐻 ≡ 𝑇𝑛𝑚 Dengan ρ ρ dμ 𝑇𝑛𝑚 = ∇μ 𝑇𝑛𝑚 − Γμn 𝑇ρm − Γμm 𝑇nρ Bab.2 Vektor dan Tensor

Hal. 33

dan ρ

ρ

dm 𝑇𝑛μ = ∇m 𝑇𝑛μ − Γmn 𝑇ρμ − Γmμ 𝑇nρ Maka selisih dari kedua persamaan di atas dapat dituliskan ρ ρ dμ 𝑇𝑛𝑚 − dm 𝑇𝑛μ = ∇μ 𝑇𝑛𝑚 − Γμn 𝑇ρm − ∇m 𝑇𝑛μ + Γmn 𝑇ρμ ρ

ρ

dμ 𝑇𝑛𝑚 − dm 𝑇𝑛μ = ∇μ 𝑇𝑛𝑚 − ∇m 𝑇𝑛μ + Γmn 𝑇ρμ − Γμn 𝑇ρm dμ 𝑇𝑛𝑚 − dm 𝑇𝑛μ H H = ∇μ 𝐴𝑛,𝑚 − Γmn 𝐴𝐻 − ∇m 𝐴𝑛,μ − Γμn 𝐴𝐻 ρ

ρ

H H + Γmn 𝐴𝑝,μ − Γpμ 𝐴𝐻 − Γμn 𝐴𝑝,m − Γpm 𝐴𝐻

Jika diberikan sebuah keragaman Riemann ℝ𝑛 , 𝑔𝑒𝑢𝑐𝑙𝑖𝑑 , maka ∇∂ m ∂n = 0 untuk semua m,n dan 𝑀, μ = ∇M N − ∇N M = 0 dengan 𝑴 = ∂m , 𝑵 = ∂μ ∇∂ m 𝑵 = ∇∂ m ∂μ = M ∂μ + ∇∂ m ∂μ = 0 Maka ρ H ρ H H H dμ 𝑇𝑛𝑚 − dm 𝑇𝑛μ = ∇m Γμn 𝐴𝐻 − ∇μ Γmn 𝐴𝐻 + Γμn Γpm 𝐴𝐻 − Γmn Γpμ 𝐴𝐻 ρ

ρ

H H H H = ∇m Γμn − ∇μ Γmn + Γμn Γpm − Γmn Γpμ 𝐴𝐻 ρ

ρ

H H H H ∇m Γnμ − ∇μ Γnm + Γμn Γpm − Γmn Γpμ 𝐴𝐻 = dμ 𝑇𝑛𝑚 − dm 𝑇𝑛μ ρ

ρ

H H H H H Γnμ,m − Γnm ,μ + Γnμ Γpm − Γnm Γpμ 𝐴𝐻 = R nμm 𝐴𝐻 ρ

ρ

H H H H RHnμm = Γnμ,m − Γnm ,μ + Γnμ Γpm − Γnm Γpμ

Tensor Ricci dapat ditentukan sebagai R nm = RHnHm Besar skalar kelengkungan Besar skalar kelengkungan 𝑅 = 𝑔𝑛𝑚 R nm Kesimpulan Telah dijelaskan pada bab ini piranti matematika yang mendukung penelitian, yaitu konsep vektor dan tensor dimulai dari ruang topologi hingga deferensial geometri pada koordinat lengkung dan ruang Riemannian sehingga teori kalkulus tensor dapat diterapkan dalam pemodelan mekanis benang pada kasus pemintalan. Bab.2 Vektor dan Tensor

Hal. 34

Referensi Clarke, D.A., 2011, A Primer on Tensor Calculus, Saint Mary’s University, Halifax NS. Hilgert dan Karl, 2010, Structure and Geometry of Lie Group, Springer, New York. Levrino, 2011, Elastic Continua as Seen from Cosmology, Thesis, Politecnico Di Torino, Turin. Mal, A.K., & Sarva,1991, Deformation of Elastic Solid, Prentice Hall, Inc, New Jersey. Margenau, H., 1956, The Mathematics of Physics and Chemistry, East-West Press Private Ltd. New Delhi. Moore, E.N., 1934, Theoretical Mechanics, John Wiley &Sons, New York. Waner, 2005, Introduction to Differential Geometry & General Relativity, Department of Mathematics and Physics, Hofstra University, New York.

Bab.2 Vektor dan Tensor

Hal. 35

BAB 3 PERGERAKAN BENANG PADA ROTOR Abstrak Pada bab ini dibahas pemodelan gerakan benang pada rotor serta besar tenacity take-off yang diijinkan pada proses pemintalan benang yang dipengaruhi oleh kecepatan putar rotor pada rotor groove serta pengaruh diameter rotor. Pada bab ini digunakan piranti matematika pada bab 2 yaitu kalkulus tensor.

3.1. Persamaan Penting pada Kasus Koordinat Polar Beberapa peneliti yang berkecimpung dalam pemodelan pergerakan ebnang serta struktur internal benang adalah Backer, Hearle dan Grosberg (1969), Hearle, dkk. (1965), Rohlena (1975), Lawrence (2003), Lawrence (2010),Putra (2014), Putra dan Iskandar (2014), Putra VGV dkk. (2015 dan 2016) dan Zeidman (2003) . Pada bab ini dianalisa pergerakan benang pada rotor berjejari 𝑅 = 𝑟 dengan menggunakan koordinat polar. Benang berputar pada rotor dengan suatu kecepatan 𝜃 dan ditarik oleh suatu gaya take-off 𝐹𝑜 . Benang bermassa m mengalami dua buah gaya, yaitu gaya internal (deformasi) dan eksternal. Gaya internal diakibatkan adanya deformasi pada benang, sedangkan gaya eksternal diakibatkan adanya tarikan oleh gaya take-off (spinning tension). Gambar-1 memperlihatkan pergerakan benang pada rotor.

Gambar-1 Pergerakan Benang pada Rotor 36

Untuk menjabarkan bentuk persamaan gerak benang pada rotor dan menghitung besar gaya take-off yang dibutuhkan, maka dapat dilakukan transformasi koordinat dari koordinat kartesian ke koordinat polar yang dirumuskan sebagai berikut 𝑆 = 𝑥, 𝑦 = (𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 )

(1)

Maka Transformsi vektor dari koordinat 𝑥𝑡 ∈ ℜ𝑡 ke koordinat 𝑥𝑜 ∈ ℜ𝑜 adalah sebagai berikut ~

dx 1

dx 2

(2)

dy

dx

1  ~ 1 1  ~ 1  2  i  j dr dr dx dx ~ 1  cos  .i  sin  . j ~

dx 1

dx 2

(3)

dy

dx

 2  ~ 2 1  ~ 2  2  i j d d dx dx ~  2  r sin  .i  r cos  . j

(4) (5)

Besar vektor satuan dapat ditentukan sebagai berikut 𝑢(𝑖) = 1 𝑔 𝑖𝑖

βi (Margenau (1956) dan Clarke(2011))dengan indeks 𝑖 tidak

dijumlahkan. 𝛽1 = 𝛽2

𝑔11 𝑟 𝑔22 𝜃

=

𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 = −𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜃

𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑖 𝑗

𝑖 𝑗

(7) (8)

Besar kuadrat elemen panjang dan tensor metrik dapat ditentukan sebagai berikut

Bab.3 Pergerakan Benang pada Rotor

Hal. 37

𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑥 𝑘 𝜕𝑥 𝑓 𝜇 𝑚 𝑑𝑠 = 𝜇 ∙ 𝑚 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 𝜇 𝛽𝑘 ∙ 𝑚 𝛽𝑓 𝑑𝑥 𝜇 𝑑𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑘 𝜕𝑥 𝑓 = 𝜇 𝑚 𝑔𝑘𝑓 𝑑𝑥 𝜇 𝑑𝑥 𝑚 = 𝑔𝑘𝑓 𝑑𝑥 𝜇 𝑑𝑥 𝑚 (9) 𝜕𝑥 𝜕𝑥 1 0 (10) 𝑔𝑘𝑓 = 2 0 𝑟 Tensor metrik pada koordinat lengkung adalah tensor dengan pemetaan C2 diffeomorphism (differensiabel, inversibel, kontinu dan bijektif) serta 𝑔𝑖𝑗 adalah positive definite. Dengan pemetaan C2 diffeomorphism maka tensor metrik 𝑔𝑖𝑗 memiliki invers metrik 2

𝑔𝑖𝑗 = 𝑔𝑖𝑗 −1 pada koordinat datar tensor metrik dapat dituliskan sebagai 𝛿 𝑖𝑗 = 𝛿𝑖𝑗 −1 . Sifat dari tensor metrik pada koordinat datar adalah inversibel, kontinu, bijektif dan differensiabel. 𝑔𝑘𝑓 = 𝑔𝑘𝑓

−1

=

1 𝑟2 𝑟2 0

0 = 1 0 0 𝑟 −2 1

Panjang kuadrat elemen garis adalah 𝑑𝑠 2 = 𝑔𝑘𝑓 𝑑𝑥 𝑘 𝑑𝑥 𝑓 = 𝑔1𝑓 𝑑𝑥1 𝑑𝑥 𝑓 + 𝑔2𝑓 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 𝑓 = 𝑔11 𝑑𝑥1 𝑑𝑥1 + 𝑔21 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥1 + 𝑔12 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 2 + 𝑔22 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 2 𝑑𝑠 2 = 𝑔𝑘𝑓 𝑑𝑥 𝜇 𝑑𝑥 𝑚 = 𝑑𝑟 + 𝑟 2 𝑑𝜃 2

(11)

(12) (13)

Besar nabla dapat ditentukan menggunakan (14) 𝛁 = βm ∇m = g mn βn ∇m 𝛁 = g mn 𝑣 un ∇m (15) Dengan 𝑣 adalah suatu besaran skalar dengan besar g nn . Besar gradient atau kemiringan dari skalar adalah 𝜵𝑓 = 𝑔𝑚𝑛 𝑣 𝑢𝑛 𝛻𝑚 𝑓 = 𝑔𝑖𝑗 𝑔𝑖𝑖 𝑢(𝑖) 𝛻𝑖 𝑓𝜵 = 𝑔11 𝛻1 + 𝑔21 𝛻2 𝑓 𝑔11 𝑢(1) + 𝑔12 𝛻1 + 𝑔22 𝛻2 𝑓 𝑔22 𝑢(2)

Bab.3 Pergerakan Benang pada Rotor

(16)

Hal. 38

𝜵𝑓 = 𝑔11 𝛻1 𝑓 𝑔11 𝑢(1) + 𝑔22 𝛻2 𝑓 𝑔22 𝑢(2) 1 = 𝛻𝑟 𝑓𝑟 + 𝛻𝜃 𝑓𝜃 𝑟

(17)

Divergensi dari vektor adalah 1 𝛁 ∙ y = ∇i 𝑦 𝑖 + Γ𝑖𝑘𝑖 𝑦 𝑘 = ∇i y i + 𝑔𝑖𝑠 (𝜕𝑖 𝑔𝑘𝑠 + 𝜕𝑘 𝑔𝑠𝑖 − 𝜕𝑠 𝑔𝑖𝑘 )𝑦 𝑘 2 1 𝛁 ∙ y = ∇i y i + 𝑔𝑖𝑠 𝜕𝑖 𝑔𝑘𝑠 + 𝑔𝑖𝑠 𝜕𝑘 𝑔𝑠𝑖 − 𝑔𝑖𝑠 𝜕𝑖 𝑔𝑠𝑘 𝑦 𝑘 2 ∂i y i 𝑦𝑘 1 1 = ∂i y i + 𝑔𝑖𝑠 𝜕𝑘 𝑔𝑠𝑖 𝑦 𝑘 = + 𝑔𝑖𝑠 𝜕𝑘 𝑔𝑠𝑖 2 𝑕(𝑖) 2 𝑕(𝑘) Sehingga 1 𝛁 ∙ y = ∇1 y1 + ∇2 y 2 + 𝑔22 𝜕1 𝑔22 𝑦 1 2 y𝜃 1 (18) = 𝛻𝑟 y(r) + 𝛻𝜃 + y(r) 𝑟 𝑟 1 1 1 1 𝛁 ∙ y = 𝛻𝑟 y(r) + 𝛻𝜃 y 𝜃 + y(r) = 𝛻𝑟 𝑟y(r) + 𝛻𝜃 y 𝜃 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 (19) Dapat pula dikerjakan dengan menggunakan notasi dyadic. Menurut Mal, A.K dan Sarva (1991) penulisan notasi dengan dyadic dapat dituliskan 𝐲 = y(r) 𝑟 + y(𝜃) 𝜃 , maka 𝜕 1 𝜕 (20) 𝛁𝐲 = 𝑟+ 𝜃 y(r) 𝑟 + y(𝜃) 𝜃 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝜕 1 𝜕 (21) 𝛁𝐲 = y(r) 𝑟 + y(𝜃) 𝜃 𝑟 + y 𝑟 + y(𝜃) 𝜃 𝜃 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 (r) 𝜕 𝜕 𝛁𝐲 = 𝑟𝑟 y(r) + 𝑟𝜃 y(𝜃) 𝜕𝑟 𝜕𝑟 1 𝜕 1 𝜕 𝜕𝑟 + y(r) 𝑟𝜃 + y(𝜃) 𝜃𝜃 + y(r) 𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑟 𝜕𝜃 1 𝜕 1 𝜕 + y(𝜃) 𝑟 + y(r) 𝜃 𝑟 + y(𝜃) 𝜃 𝜃 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑟 𝜕𝜃 (22) dengan menggunakan persamaan (8) didapatkan bahwa 𝜕𝑟 = −𝑠𝑖𝑛𝜃𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑗 𝜕𝜃 Bab.3 Pergerakan Benang pada Rotor

(23)

Hal. 39

(24) 𝜕𝜃 = −𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 − 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑗 = − 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 + 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑗 𝜕𝜃 Dengan melakukan invers matrik persamaan (8) didapatkan bahwa (25) 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑖 = −𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑗 𝜃 (26) 𝑟 𝑎 𝑏 𝑖 = 𝑐 𝑑 𝑗 𝜃 1 𝑖 𝑑 −𝑏 𝑟 = (27) 𝑗 𝜃 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 −𝑐 𝑎 𝑖 𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑟 = = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑟 − 𝑠𝑖𝑛𝜃𝜃 𝑗 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑟 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝜃 Sehingga 𝜕𝑟 𝜕𝜃 = =0 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 + 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑗 = −𝑠𝑖𝑛𝜃𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑗 (28) 𝜕𝜃 𝜕𝜃 = −𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑟 − 𝑠𝑖𝑛𝜃𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑟 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝜃 = 𝜃 𝜕𝜃 = −𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 − 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑗 𝜕𝜃 = −𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑟 − 𝑠𝑖𝑛𝜃𝜃 − 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑟 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝜃 = −𝑟 𝜕 𝜕 𝛁𝐲 = 𝑟𝑟 y(r) + 𝑟𝜃 y(𝜃) 𝜕𝑟 𝜕𝑟 1 𝜕 1 𝜕 𝜕𝑟 + y(r) 𝑟𝜃 + y(𝜃) 𝜃𝜃 + y(r) 𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑟 𝜕𝜃 1 𝜕 1 𝜕 + y(𝜃) 𝑟 + y(r) 𝜃 𝑟 + y(𝜃) 𝜃 𝜃 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑟 𝜕𝜃

(29)

(30)

𝜕 1 𝜕 1 𝛁. 𝐲 = 𝑟𝑟 y(r) + y(𝜃) 𝜃𝜃 + y(r) 𝜃 𝜃 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑟 Sehingga didapatkan bahwa

(31)

Bab.3 Pergerakan Benang pada Rotor

Hal. 40

𝛁 ∙ 𝐲 = 𝛻𝑟 y(r) + 𝛻𝜃

y𝜃 𝑟

1 + y(r) 𝑟

(32)

Divergensi dari Tensor Untuk komponen sepanjang sumbu-r didapatkan bahwa 𝛁 ∙ 𝑇 = d𝑖 𝑇 𝑖𝑚 = T𝑖 𝑖𝑚 d𝑖 𝑇 𝑖1 = ∇𝑖 𝑇 𝑖1 + Γ𝑖𝑎𝑖 𝑇 𝑎1 + Γ𝑖𝑎1 𝑇 𝑖𝑎 d𝑖 𝑇 𝑖1 = ∇𝑖 𝑇 𝑖1 + Γ𝑖𝑎𝑖 𝑇 𝑎1 + Γ𝑖𝑎1 𝑇 𝑖𝑎 1 𝑎1 1 1𝑎 2 𝑎1 = ∇1 𝑇 11 + Γ1𝑎 𝑇 + Γ1𝑎 𝑇 + ∇2 𝑇 21 + Γ2𝑎 𝑇 1 2𝑎 + Γ2𝑎 𝑇 1 11 1 11 2 11 1 21 11 11 d1 𝑇 = ∇1 𝑇 + Γ11 𝑇 + Γ11 𝑇 + ∇2 𝑇 21 + Γ21 𝑇 + Γ21 𝑇 1 21 1 12 2 21 1 22 + Γ12 𝑇 + Γ12 𝑇 + Γ22 𝑇 + Γ22 𝑇 2 11 1 22 11 d1 𝑇 = ∇1 𝑇 11 + ∇2 𝑇 21 + Γ21 𝑇 + Γ22 𝑇 𝑟𝑟 𝜃𝑟 𝜕𝑇 𝜕𝑇 1 d1 𝑇 11 = + + 𝑇 𝑟𝑟 − 𝑟𝑇 𝜃𝜃 𝜕𝑟 𝜕𝜃 𝑟 𝜕𝑇(𝑟𝑟 ) 1 𝜕𝑇(𝜃𝑟 ) 1 𝑟 = + + 𝑇(𝑟𝑟 ) − 2 𝑇(𝜃𝜃 ) 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑟 𝑟 𝜕𝑇(𝑟𝑟 ) 1 𝜕𝑇(𝜃𝑟 ) 1 1 + + 𝑇(𝑟𝑟 ) − 𝑇(𝜃𝜃 ) 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑟 𝑟 𝜕𝑇 𝑟𝑟 1 𝜕𝑇 𝜃𝑟 1 d1 𝑇 11 = + + 𝑇 𝑟𝑟 − 𝑇 𝜃𝜃 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑟 Dengan cara yang sama didapatkan bahwa 𝜕𝑇 𝑟𝜃 1 𝜕𝑇 𝜃𝜃 2 d2 𝑇 22 = + + 𝑇 𝑟𝜃 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑟 d1 𝑇 11 =

(34) (35)

(36) (37) (38)

(39) (40) (41) (42)

Bentuk di atas didapatkan dengan mengingat bahwa 𝑨𝒊 𝑨𝒊 𝑨𝒊 = = 𝑕𝑖 𝑔𝑖𝑖 𝑻 𝒊𝒋 𝑻 𝒊𝒋 𝑻𝒊𝒋 = = 𝑕𝑖 𝑕𝑗 𝑔𝑖𝑖 𝑔𝑗𝑗 Untuk menentukan divergensi dari tensor pada sumbu-r dengan menggunakan notasi dyadic dapat dikerjakan sebagai berikut. Dalam Bab.3 Pergerakan Benang pada Rotor

Hal. 41

bentuk vektor, maka divergensi dari sebuah vektor pada koordinat polar adalah sebagai berikut 𝛁 ∙ 𝐲 = 𝛻𝑟 y(r) + 𝛻𝜃

y 𝜃 𝑟

1

+ 𝑟 y(r)

(43)

Pada koordinat bola, divergensi dari tensor dapat dijabarkan sebagai berikut 1 1 𝛁 ∙ 𝐭 = 𝛻𝑟 𝐭 (𝐫) + 𝛻𝜃 𝐭 𝜽 + 𝐭 (𝐫) (44) 𝑟 𝑟 𝑟𝑟 𝑟𝜃 𝒕(𝒓) 𝑇 𝑟𝑟 𝑇 𝑟𝜃 𝑟 Dengan nilai 𝐭 = = 𝑇𝜃𝑟 𝑇𝜃𝜃 𝑇 𝜃𝑟 𝑇 𝜃𝜃 𝜃 𝜽 𝑇 𝑇 Dengan perhitungan lebih lanjut didapatkan bahwa

𝛁∙𝐭=

𝑟 𝜃

𝜕𝑇 𝑟𝑟 1 𝜕𝑇 𝜃𝑟 1 + + 𝑇 𝑟𝑟 − 𝑇 𝜃𝜃 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑟

Nilai koneksi affine 1 𝑑 𝑔 + 𝑑1 𝑔11 − 𝑑1 𝑔11 = 0 2 1 11 1 Γ1 12 = Γ1 21 = g11 𝑑1 𝑔21 + 𝑑2 𝑔11 − 𝑑1 𝑔12 = 0 2 1 Γ1 22 = g11 𝑑2 𝑔21 + 𝑑2 𝑔12 − 𝑑1 𝑔22 = −𝑟 2 1 𝛤 2 11 = 𝑔22 𝑑1 𝑔12 + 𝑑1 𝑔21 − 𝑑1 𝑔11 = 0 2 1 1 𝛤 2 12 = 𝛤 2 21 = 𝑔22 𝑑1 𝑔22 + 𝑑2 𝑔21 − 𝑑1 𝑔12 = 2 𝑟 1 𝛤 2 22 = g 22 𝑑2 𝑔22 + 𝑑2 𝑔22 − 𝑑2 𝑔22 = 0 2 Γ1 11 = g11

Untuk menentukan persamaan gerak dapat digunakan 𝑎=

𝑑𝑣 𝑑 𝜕𝑟 𝜇 = 𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜇

Bab.3 Pergerakan Benang pada Rotor

Hal. 42

𝑑 𝜕𝑟 𝜇 𝑑 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑑 𝜇 𝑥 = 𝑥𝜇 + 𝜇 𝑥 𝜇 𝜇 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝑑 𝜕𝑟 𝜕𝑟 = 𝑥𝜇 + 𝑥𝜇 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝑥 𝜇 𝑑 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑑 𝑥𝜇 + 𝜇 𝑥𝜇 = 𝑥𝜇 𝛽 + 𝛽𝜇 𝑥 𝜇 𝜇 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜇 𝑑𝛽𝜇 𝑑 𝜕𝑟 𝑥𝜇 𝛽𝜇 + 𝜇 𝑥 𝜇 = 𝑥 𝜇 𝑥 𝑚 𝑚 + 𝛽𝜇 𝑥 𝜇 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝑑𝑥 𝜇 𝑚 s = 𝑥 𝑥 Γμm 𝛽𝑠 + 𝛽𝜇 𝑥 𝜇 s s 𝑥 𝜇 𝑥 𝑚 Γmμ 𝛽𝑠 + 𝛽𝜇 𝑥 𝜇 = 𝑥 𝜇 𝑥 𝑚 Γμm + 𝑥 𝑠 𝛽𝑠 = 𝑎 𝑠 𝛽𝑠 = 𝑎 𝛼 𝛽 𝑑2 𝑥 𝑠 𝑠 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + Γ = 𝑎𝑠 𝛼𝛽 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Sehingga didapatkan bahwa 𝛼 𝛽 𝑑2 𝑥1 1 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + Γ𝛼𝛽 = 𝑎1 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑2 𝑟 − 𝑟𝜃 2 = 𝑎𝑟 (45) 2 𝑑𝑡 𝛼 𝛽 𝑑2 𝑥 2 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + Γ = 𝑎2 𝛼𝛽 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑2 𝜃 2 + 𝜃𝑟 = 𝑎𝜃 (46) 𝑑𝑡 2 𝑟 Jika digunakan persamaan Cauchy, maka dapat dirumuskan 𝑖𝑗 𝑖 𝑖 𝜎 ,𝑗 + 𝑓 = 𝑚𝑎 Jika ditinjau pada sumbu r, maka bentuk persamaan gerak adalah 𝜎 11 ,1 + 𝑓 1 = 𝑚𝑎1 ∇ ∙ 𝜎 + 𝒇 = 𝑚𝒂 𝜕𝜎 𝑟𝑟 1 𝜕𝜎 𝜃𝑟 1 + + 𝜎 𝑟𝑟 − 𝜎 𝜃𝜃 + 𝑓(𝑟) 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑟 = 𝑚𝑎 𝑟 𝜕𝜎 𝑟𝑟 1 𝜕𝜎 𝜃𝑟 1 + + 𝜎 𝑟𝑟 − 𝜎 𝜃𝜃 + 𝑓(𝑟) 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑟 𝑑2 𝑟 (47) =𝑚 − 𝑟𝜃 2 2 𝑑𝑡

Bab.3 Pergerakan Benang pada Rotor

Hal. 43

Tensor regangan dijabarkan sebagai berikut 𝑑𝐿2 = 𝑔𝑚𝑛 𝑑𝑥 𝑚 𝑑𝑥 𝑛 𝑑𝐿2 = 𝑔𝑚𝑛 𝑑𝑥 𝑚 + 𝑑𝑢𝑚 𝑑𝑥 𝑛 + 𝑑𝑢𝑛 𝜕𝑢𝑚 𝑘 𝜕𝑢𝑛 𝑗 2 𝑚 𝑛 𝑑𝐿 = 𝑔𝑚𝑛 𝑑𝑥 + 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝑗 𝑑𝑥 𝜕𝑥 𝑘 𝜕𝑥 𝑛 𝜕𝑢 𝑑𝐿2 = 𝑔𝑚𝑛 𝑑𝑥 𝑚 𝑑𝑥 𝑛 + 𝑔𝑚𝑛 𝑑𝑥 𝑚 𝑑𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑢𝑚 𝑘 𝜕𝑢𝑚 𝑘 𝜕𝑢𝑛 𝑗 + 𝑔𝑚𝑛 𝑑𝑥 𝑛 𝑑𝑥 +𝑔 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑚𝑛 𝜕𝑥 𝑘 𝜕𝑥 𝑘 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑢𝑚 𝑗 𝑑𝐿2 = 𝑔𝑚𝑛 𝑑𝑥 𝑚 𝑑𝑥 𝑛 + 𝑑𝑥 𝑚 𝑑𝑥 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑢𝑛 𝜕𝑢𝑚 𝜕𝑢𝑛 𝑘 𝑗 + 𝑑𝑥 𝑛 𝑘 𝑑𝑥 𝑘 +𝑔𝑚𝑛 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑘 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑢𝑚 𝑚 𝑗 𝜕𝑢𝑛 𝑛 𝑘 𝑑𝐿2 ≈ 𝑔𝑚𝑛 𝑑𝑥 𝑚 𝑑𝑥 𝑛 + 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝑘 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑚 𝑛 𝜕𝑢 𝜕𝑢 + 𝑔𝑚𝑛 𝑑𝑥 𝑘 𝑑𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑘 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑢𝑚 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑢𝑛 2 𝑚 𝑛 𝑑𝐿 ≈ 𝑔𝑚𝑛 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + + 𝑑𝑥 𝑛 𝑑𝑥 𝑘 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑘 𝜕𝑥 𝑛 𝜕𝑥 𝑘 𝜕𝑢𝑛 𝜕𝑢𝑛 𝑘 𝑗 + 𝑘 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑢𝑚 𝑚 𝑗 𝜕𝑢𝑛 𝑑𝐿2 ≈ 𝑔𝑚𝑛 𝑑𝑥 𝑚 𝑑𝑥 𝑛 + 𝛿 𝛿 + 𝑑𝑥 𝑛 𝑑𝑥 𝑘 𝜕𝑥 𝑗 𝑘 𝑛 𝜕𝑥 𝑘 𝜕𝑢𝑛 𝜕𝑢𝑛 𝑘 𝑗 + 𝑘 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑢𝑘 𝜕𝑢𝑗 𝜕𝑢𝑛 𝜕𝑢𝑛 2 2 𝑑𝐿 ≈ 𝑑𝐿 + + + 𝑑𝑥 𝑗 𝑑𝑥 𝑘 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑘 𝜕𝑥 𝑘 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑢𝑘 𝜕𝑢𝑗 𝜕𝑢𝑛 𝜕𝑢𝑛 𝑑𝐿2 ≈ 𝑑𝐿2 + + + 𝑑𝑥 𝑗 𝑑𝑥 𝑘 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑘 𝜕𝑥 𝑘 𝜕𝑥 𝑗 = 𝑑𝐿2 + 2𝑒𝑘𝑗 𝑑𝑥 𝑘 𝑑𝑥 𝑗 𝑑𝐿2 − 𝑑𝐿2 = 2𝑒𝑘𝑗 𝑑𝑥 𝑘 𝑑𝑥 𝑗 Jika vektor pergeseran sangat kecil, maka 𝜕𝑢𝑘 𝜕𝑢𝑗 𝜕𝑢𝑛 𝜕𝑢𝑛 1 𝜕𝑢𝑘 𝜕𝑢𝑗 𝑒𝑘𝑗 = + 𝑘+ 𝑘 ≈ + 𝑗 𝑗 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑘 Bab.3 Pergerakan Benang pada Rotor

(48) (49) (50)

(51)

(52)

(53)

(54)

(55)

(56)

(57) (58) (59)

Hal. 44

Maka dapat dijabarkan bahwa 1 𝜕𝑢𝑘 𝜕𝑢𝑗 1 𝑒𝑘𝑗 ≈ + = 𝑢 + 𝑢𝑗 ,𝑘 (60) 2 𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑘 2 𝑘,𝑗 1 1 𝒆 = 𝛁𝒖 + (𝛁𝒖)𝑇 = 𝛁𝒖 + 𝒖𝛁 = 𝛁𝒖 (61) 2 2 Dengan menggunakan persamaan (31) didapatkan bahwa 𝜕 𝜕 1 𝜕 1 𝜕 𝒆 = 𝛁𝐮 = 𝑟𝑟 u(r) + 𝑟𝜃 u(𝜃) + u(r) 𝑟𝜃 + u 𝜃𝜃 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑟 𝜕𝜃 (𝜃) 𝜕𝑟 𝜕𝜃 + u(r) 𝑟 + u(𝜃) 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 1 𝜕 1 𝜕 + u(r) 𝜃 𝑟 + u(𝜃) 𝜃 𝜃 (62) 𝑟 𝜕𝜃 𝑟 𝜕𝜃 𝜕 1 𝜕 1 𝜕u(r) u(𝜃) u(r) + − 𝜕𝑟 2 u(𝜃) 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑟 𝒆= (63) 1 𝜕u(𝜃) 1 𝜕u(r) u(𝜃) 1 𝜕u(𝜃) u(r) + − + 2 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑟 Hubungan antara tensor tegangan dan tensor regangan 𝜎 𝑖𝑗 = 𝐾 𝑖𝑗𝑘𝑚 𝑒𝑘𝑚 Pada keadaan isotrop dan seragam dapat dituliskan sebagai berikut Martin (2005) 𝐾 𝑖𝑗𝑘𝑚 = 𝜆𝛿 𝑖𝑗 𝛿 𝑘𝑚 + 𝜇 𝛿 𝑖𝑘 𝛿 𝑗𝑚 + 𝛿 𝑖𝑚 𝛿 𝑗𝑘 Dengan 𝜆 adalah konstanta Lame dan 𝜇 modulus geser 𝜎 𝑖𝑗 = 𝜆𝛿 𝑖𝑗 𝛿 𝑘𝑚 𝑒𝑘𝑚 + 𝜇 𝛿 𝑖𝑘 𝛿 𝑗𝑚 + 𝛿 𝑖𝑚 𝛿 𝑗𝑘 𝑒𝑘𝑚 1 𝜎 𝑖𝑗 = 𝜆𝛿 𝑖𝑗 𝛿 𝑘𝑚 𝑢 + 𝑢𝑚 ,𝑘 2 𝑘,𝑚 1 + 𝜇 𝛿 𝑖𝑘 𝛿 𝑗𝑚 + 𝛿 𝑖𝑚 𝛿 𝑗𝑘 𝑢 + 𝑢𝑚 ,𝑘 2 𝑘,𝑚 1 𝜕𝑢𝑘 𝜕𝑢𝑚 𝜎 𝑖𝑗 = 𝜆𝛿 𝑖𝑗 𝛿 𝑘𝑚 + 2 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝑘 1 𝜕𝑢𝑘 𝜕𝑢𝑚 + 𝜇 𝛿 𝑖𝑘 𝛿 𝑗𝑚 + 𝛿 𝑖𝑚 𝛿 𝑗𝑘 + 2 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝑘

Bab.3 Pergerakan Benang pada Rotor

Hal. 45

𝑖𝑗

𝜎 = 𝜆𝛿

𝑖𝑗

1 𝜕𝛿 𝑘𝑚 𝑢𝑘 𝜕𝛿 𝑘𝑚 𝑢𝑚 + 2 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝑘 + 𝜇 𝛿 𝑖𝑘 𝛿 𝑗𝑚 + 𝛿 𝑖𝑚 𝛿 𝑗𝑘

𝑖𝑗

𝜎 = 𝜆𝛿

𝑖𝑗

1 𝜕𝑢𝑘 𝜕𝑢𝑚 + 2 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝑘

1 𝜕𝑢𝑚 𝜕𝑢𝑘 + 2 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝑘 +

𝜇 2

𝛿 𝑖𝑘 𝛿 𝑗𝑚 + 𝛿 𝑖𝑚 𝛿 𝑗𝑘

+ 𝛿 𝑖𝑘 𝛿 𝑗𝑚 + 𝛿 𝑖𝑚 𝛿 𝑗𝑘

+ 𝜎 = 𝜆𝛿

𝜇 2

𝜎 = 𝜆𝛿

𝛿 𝑗𝑚

𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑢 𝑗 𝜕𝑢 𝑗 𝜕𝑢𝑖 𝑖𝑚 𝑖𝑘 𝑗𝑘 + 𝛿 + 𝛿 + 𝛿 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝑘 𝜕𝑥 𝑘

1 𝜕𝑢𝑚 𝜕𝑢𝑘 + 2 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝑘

𝑖𝑗

+ 𝑖𝑗

𝜕𝑢𝑚 𝜕𝑥 𝑘

1 𝜕𝑢𝑚 𝜕𝑢𝑘 + 2 𝜕𝑥 𝑚 𝜕𝑥 𝑘

𝜎 𝑖𝑗 = 𝜆𝛿 𝑖𝑗

𝑖𝑗

𝜕𝑢𝑘 𝜕𝑥 𝑚

𝜇 2

𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑢 𝑗 𝜕𝑢 𝑗 𝜕𝑢𝑖 + + + 𝛿𝑗𝑚 𝜕𝑥 𝑚 𝛿𝑖𝑚 𝜕𝑥 𝑚 𝛿𝑖𝑘 𝜕𝑥 𝑘 𝛿𝑗𝑘 𝜕𝑥 𝑘

1 𝜕𝑢𝑚 𝜕𝑢𝑘 𝜇 + 𝑘 + 𝑚 2 𝜕𝑥 𝜕𝑥 2

𝑖𝑗

𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑢 𝑗 𝜕𝑢 𝑗 𝜕𝑢𝑖 + + + 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑗

𝜆 𝑚 𝜇 𝑢 ;𝑚 + 𝑢𝑘 ;𝑘 + 𝑢𝑖,𝑗 + 𝑢 𝑗 ,𝑖 + 𝑢𝑖,𝑗 + 𝑢 𝑗 ,𝑖 2 2 𝜎 𝑖𝑗 = 𝛿 𝑖𝑗 𝜆𝑒 + 2𝜇𝑒 𝑖𝑗 = 𝜆 𝑡𝑟 𝑒 𝑰 + 2𝜇𝑒

𝜎 𝑖𝑗 = 𝛿 𝑖𝑗

1 𝜕𝑢 𝑘

Dengan 𝑒𝑘𝑗 ≈ 2

𝜕𝑥 𝑗

𝜕𝑢

+ 𝜕𝑥 𝑘𝑗 𝑗

Jika 𝜎 𝑖𝑗 = 𝐻 𝑖 𝐾𝑗 = 𝑔𝑖𝑝 𝐻𝑝 𝐾𝑗 = 𝑔𝑖𝑝 𝜎𝑝 , maka 𝜎 𝑖𝑗 ,𝑗 + 𝑓 𝑖 = 𝑚𝑎𝑖 𝑗

𝑔𝑖𝑝 𝜎𝑝,𝑗 + 𝑔𝑖𝑝 𝑓𝑝 = 𝑚𝑔𝑖𝑝 𝑎𝑝 𝑗

𝜎𝑝,𝑗 + 𝑓𝑝 = 𝑚𝑎𝑝 Dengan Bab.3 Pergerakan Benang pada Rotor

Hal. 46

𝜎 𝑖𝑗 = 𝛿 𝑖𝑗 𝜆𝑒 + 2𝜇𝑒 𝑖𝑗 𝑗

𝑗

𝑗

𝑔𝑖𝑝 𝜎𝑝 = 𝑔𝑖𝑝 𝛿𝑝 𝜆𝑒 + 2𝜇𝑔𝑖𝑝 𝑒𝑝 𝑗

𝑗

𝑗

𝑗

𝑗

𝜎𝑝 = 𝛿𝑝 𝜆𝑒 + 𝜇𝑒𝑝 = 𝛿𝑝 𝜆𝑒 + 2𝜇𝑔 𝑗𝑘 𝑒𝑝𝑘 = 𝛿𝑝 𝜆𝑒 + 2𝜇𝛿 𝑗𝑘

1 𝑢 + 𝑢𝑝,𝑘 2 𝑘,𝑝

𝑗

= 𝛿𝑝 𝜆𝑒 + 𝜇𝛿 𝑗𝑘 𝑢𝑘,𝑝 + 𝑢𝑝,𝑘 𝑗

= 𝛿𝑝 𝜆𝑢𝑚 ;𝑚 + 𝜇𝛿 𝑗𝑘 𝑢𝑘,𝑝 + 𝑢𝑝,𝑘 Persamaan diatas sesuai dengan hasil studi Levrino (2011), maka 𝑗

𝑗

𝜎𝑝,𝑗 = 𝛿𝑝 𝜆𝑢𝑚 ;𝑚𝑗 + 𝜇𝛿 𝑗𝑘 𝑢𝑘,𝑝𝑗 + 𝑢𝑝,𝑘𝑗 𝑗

𝑗

𝑗

𝜎𝑝,𝑗 = 𝛿𝑝 𝜆𝑢𝑚 ;𝑚𝑗 + 𝜇𝑢,𝑝𝑗 + 𝜇𝛿 𝑗𝑘 𝑢𝑝,𝑘𝑗 𝑗

𝑚 𝜎𝑝,𝑗 = 𝜆𝑢𝑚 ;𝑚𝑝 + 𝜇𝑢,𝑚𝑝 + 𝜇𝛿 𝑗𝑘 𝑢𝑝,𝑘𝑗 𝑗

𝑚 𝜎𝑝,𝑗 = (𝜆 + 𝜇)𝑢,𝑚𝑝 + 𝜇 𝑔 𝑗𝑘 𝐴𝑝,𝑘 𝑗 𝜎𝑝,𝑗

,𝑗

𝟐

= 𝜆 + 𝜇 𝜵 𝜵 ∙ 𝒖 + 𝜇𝜵 𝒖

Sehingga dapat dituliskan 𝜆 + 𝜇 𝜵 𝜵 ∙ 𝒖 + 𝜇𝜵𝟐 𝒖 + 𝒇 = 𝑚𝒂 (64) Maka bentuk persamaan gerak benang pada rotor dapat digunakan persamaan (47) dan persamaan (64) 𝜕𝜎 𝑟𝑟 1 𝜕𝜎 𝜃𝑟 1 𝑑2 𝑟 + + 𝜎 𝑟𝑟 − 𝜎 𝜃𝜃 + 𝑓(𝑟) = 𝑚 − 𝑟𝜃 2 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑟 𝑑𝑡 2 𝑑2 𝑟 𝜆 + 𝜇 𝜵 𝜵 ∙ 𝒖 + 𝜇𝜵𝟐 𝒖 + 𝑓(𝑟) = 𝑚 − 𝑟𝜃 2 (65) 𝑑𝑡 2 𝑑2 𝑟 𝑓𝑏𝑒𝑛𝑎𝑛𝑔 + 𝑓(𝑟) = 𝑚 − 𝑟𝜃 2 𝑑𝑡 2 𝑑2 𝑟 𝑓𝑏𝑒𝑛𝑎𝑛𝑔 − 𝐹𝑡𝑎𝑘𝑒 −𝑜𝑓𝑓 = 𝑚 − 𝑟𝜃 2 𝑑𝑡 2 𝑑2𝑟

Jika 𝑑𝑡 2 = 0 dan gaya deformasi benang dapat diabaikan, maka 𝐹𝑡𝑎𝑘𝑒 −𝑜𝑓𝑓 = 𝑚𝑟𝜃 2 Besar gaya take-off 𝑑𝐹𝑡𝑎𝑘𝑒 −𝑜𝑓𝑓 untuk tiap perubahan massa 𝑑𝑚, jika besar jejari rotor 𝑟 dan kecepatan putar rotor konstan 𝜔 dapat ditentukan sebagai berikut 𝑑𝐹𝑡𝑎𝑘𝑒 −𝑜𝑓𝑓 = 𝑑𝑚 𝑟𝜔2 Bab.3 Pergerakan Benang pada Rotor

Hal. 47

𝑑𝐹𝑡𝑎𝑘𝑒 −𝑜𝑓𝑓 = 𝜆𝑑𝑟 𝑟𝜔2 𝜆𝜔2 2 𝐹𝑡𝑎𝑘𝑒 −𝑜𝑓𝑓 = 𝑅 − 𝑟2 2 Maka besar tenacity atau ketahanan benang dengan nomor benang dalam tex yaitu 𝑇𝑡 adalah 𝐹𝑡𝑎𝑘𝑒 −𝑜𝑓𝑓 𝐹𝑡𝑎𝑘𝑒 −𝑜𝑓𝑓 𝜔2 2 = = 𝑅 − 𝑟2 (66) 𝜆 𝑇𝑡 2 Saat di daerah Navel atau nozzle, maka 𝑟 = 0 𝑅 2 𝜔2 1 𝑅𝑡𝑎𝑘𝑒 −𝑜𝑓𝑓 = = 𝑛𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟 2 𝜋 2 𝑑𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟 2 (67) 2 2 Hubungan antara tegangan take-off nozzle terhadap kecepatan rotor untuk diameter rotor konstan diperlihatkan pada Gambar-2

Gambar-2 Hubungan antara Tegangan Take-Off Nozzle terhadap Kecepatan Rotor Untuk memperlihat hubungan antara tenacity dan diameter rotor untuk kecepatan rotor yang berebda dapat dilakukan simulasi menggunakan persamaan (66) dengan nilai konstanta yang berubah (misalkan nrotor =1(biru tua), 2 (hijau), 3 (merah), 2 (biru muda). Hasil simulasi dapat dilihat pada Gambar-3 di bawah ini. Bab.3 Pergerakan Benang pada Rotor

Hal. 48

Gambar-3 Hubungan Tenacity terhadap Diameter Rotor (kecepatan rotor berbeda) Pada Gambar-3 dapat dijelaskan bahwa hubungan tenacity terhadap diamater rotor membentuk grafik parabola. Semakin besar kecepatan rotor maka menghasilkan tenacity take-off yang lebih besar. Dengan melakukan pemodelan pergerakan benang dalam rotor yang digambarkan pada Gambar-1 dan hasil pemodelan tenacity take-off terhadap kecepatan rotor yang digambarkan pada Gambar-2 yang didapatkan dari persamaan (67) sesuai dengan hasil penelitian Trommer (1995) yang menyatakan bahwa besar yarn tension untuk nomor benang Tex adalah (1,4.10-13)nR2dR2 [cN/Tex]. Persamaan (67) disebut sebagai gaya tegangan tiap satuan tex yang dihasilkan pada daerah take-off nozzle sesaat setelah keluar dari rotor. Persamaan gerak benang pada rotor secara umum dapat diperlihatkan pada persamaan (65). Kesimpulan Telah dijelaskan pada bab ini pemodelan gerakan benang pada rotor serta besar tenacity take-off yang diijinkan pada proses pemintalan Bab.3 Pergerakan Benang pada Rotor

Hal. 49

benang yang dipengaruhi oleh kecepatan putar rotor pada rotor groove serta pengaruh diameter rotor menggunakan persamaan (65) pada kasus umum dan persamaan (67) pada kasus khusus. Referensi Backer, Hearle & Grosberg, 1969, Structural Mechanics of Fibres, Yarns and Fabrics, Wiley-Interscience, New York. Clarke, D.A., 2011, A Primer on Tensor Calculus, Saint Mary’s University, Halifax NS. Hearle, J.W.S. dan Gupta, B.S.., 1965, Migration of Fibres in Yarns Part III: A Study of Migration of Staple Rayon Yarn, Textile Research Journal, No.9, Vol. 35 Hal 788-795. Hearle, J.W.S., Gupta, B.S., dan Megchant, V.B., 1965, Migration of Fibres in Yarns Part I: Characterization and Idealization of Migration Behaviour, Textile Research Journal, No.4, Vol. 35 Hal 329-334. Hilgert dan Karl, 2010, Structure and Geometry of Lie Group, Springer, New York. Lawrence CA, 2003, Fundamentals of Spun Yarn Technology, CRC Press, New York. Lawrence, Erdem & Cherian, 2005, Wrapper Fibres in Open-End RotorSpun Yarns: Yarn Properties and Wrapper Fibres, FIBRES & TEXTILES JOURNAL, No. 2,Vol. 13, Hal 8-15. Lawrence CA, 2010, Advances in Yarn Spinning Technology , Woodhead Publishing, Cambridge. Levrino, 2011, Elastic Continua as Seen from Cosmology, Thesis, Politecnico Di Torino, Turin. Mal, A.K., & Sarva,1991, Deformation of Elastic Solid, Prentice Hall, Inc, New Jersey. Bab.3 Pergerakan Benang pada Rotor

Hal. 50

Margenau, H., 1956, The Mathematics of Physics and Chemistry, EastWest Press Private Ltd. New Delhi. Moore, E.N., 1934, Theoretical Mechanics, John Wiley &Sons, New York. Putra, V.G.V, Rosyid, M.F & Maruto, G, 2016, A Simulation Model of Twist Influenced by Fibre Movement inside Yarn on Solenoid Coordinate, Global Journal of Pure and Applied Mathematics, No.1, Vol 12, Hal. 415-412. Putra, V.G.V & Rosyid, M.F. , 2015, Theoretical Modeling for Predicting the Optimum Twist Angle of Cotton Fiber Movement on OE Yarn Made by Rotor Spinning Machine, Journal of Applied Mathematics and Physics, Vol.3 Hal. 623-630. Putra, V.G.V dan Iskandar, 2014, Studi Pengaruh Bentuk S-Twisted Dan Z-Twisted Terhadap Besar Twist Pada Mesin Pintal, TEXERE ( Journal of Textile Science and Technology), No.1,Vol. 12., Hal 60-65. Putra, V.G.V 2014, Pemodelan Untuk Menentukan Hubungan Actual Twist Tipe-Z Terhadap Kecepatan Sudut Pada Mesin Spinning (Rotor Dan Ring Spinning), TEXERE ( Journal of Textile Science and Technology), No.2, Vol. 12. Hal 20-26. Rohlena, V,1975, Open-End Spinning, Elseiver Scientific Publishing Company, New York. Trommer, G., 1995, Rotor Spinning, Deutscher fachverlag, Frankfurt. Waner, 2005, Introduction to Differential Geometry & General Relativity, Department of Mathematics and Physics, Hofstra University, New York. Zeidman, Shawney dan Herington, 2003 Fiber Migration Theory of Ring Spun Yarn, Indian Journal of Fibre and Textile Research, Vol 28., Hal. 123-133.

Bab.3 Pergerakan Benang pada Rotor

Hal. 51

BAB 4 SIMULASI KOMPUTASI DENGAN MATLAB Abstrak Pada bab ini dibahas simulasi komputasi dengan komputer yang mendukung penelitian pergerakan materi, yaitu dengan menggunakan software MATLAB. Pada simulasi digunakan listing program pada jendela kerja

4.1. Simulasi Matlab Dari persamaan (66) dapat dimodelkan hubungan antara tenacity take-off terhadap yarn path (diameter rotor) dengan listing program sebagai berikut: (jika diandaikan jejari rotor groove adalah 𝑅 =33) . >> rho=linspace(33,0); % pergerakan yarn sepanjang jejari rotor groove >> Ro=(33^2-rho.^2); %tenacity dalam cN/Tex >> plot(rho,Ro)

Hasil simulasi MATLAB dapat dilihat pada Gambar-1 di bawah.

Gambar-1. Hubungan Tenacity terhadap Yarn Path. Pada Gambar-1 dapat dijelaskan bahwa hubungan antara tenacity take-off terhadap diameter rotor yaitu tenacity terbesar ada di daerah nozzle dan besar tenacity mengikuti persamaan (66). Untuk 52

kecepatan rotor yang konstan didapatkan hasil bahwa semakin besar diameter rotor maka semakin besar tenacity take-off Dari persamaan (66) didapatkan hasil penyelesaian yang sesuai dengan eksperimen Trommer (1995), Putra (2016) yang menyatakan bahwa besar tenacity take-off akan bergantung pada kecepatan putar rotor dan diameter rotor. Untuk memperlihatkan pengaruh kecepatan rotor terhadap tenacity take-off dapat dilakukan simulasi menggunakan persamaan (66) dengan nilai konstanta yang berubah (1(biru dengan kecepatan rotor terrendah), 2(hijau dengan kecepatan rotor sedang), 3(merah dengan kecepatan rotor tertinggi)). dengan listing program sebagai berikut: >> rho=linspace(33,0); >> Ro=(33^2-1*rho.^2); %tenacity rotor 1 dalam cN/Tex >> Ri= (33^2-2*rho.^2); %tenacity rotor 2 dalam cN/Tex >> R3=3*(33^2-3*rho.^2); %tenacity rotor 3 dalam cN/Tex >> plot(rho,Ro,'.',rho,Ri,'+',rho,R3)

Hasil simulasi dapat dilihat pada Gambar-2 di bawah ini.

Gambar-2. Tenacity dengan Kecepatan Rotor yang Berbeda (Diamater Rotor Sama). Bab.4 Simulasi Komputasi dengan MATLAB

Hal. 53

Pada Gambar-2 dapat dijelaskan bahwa semakin besar kecepatan rotor maka semakin besar tenacity take-off. Hal ini menunjukkan kecepatan rotor mempengaruhi tenacity take-off. Untuk memperlihat hubungan antara tenacity take-off pada navel dan diameter rotor untuk kecepatan rotor yang berbeda dapat dilakukan simulasi menggunakan persamaan (67) dengan nilai konstanta yang berubah (misalkan nrotor =1(biru tua), 2 (hijau), 3 (merah), 2 (biru muda) dengan listing program sebagai berikut: >> rho=linspace(0,20);%diameter rotor >> Ro=rho.^2;%tenacity rotor n1 >> R1=2*rho.^2; %tenacity rotor n2 >> R2=3*rho.^2; %tenacity rotor n3 >> R3=4*rho.^2; %tenacity rotor n4 >> plot(rho,Ro,'.',rho,R1,'+',rho,R2,rho,R3,'o')

Hasil simulasi dapat dilihat pada Gambar-3 di bawah ini.

Gambar-3. Hubungan Tenacity terhadap Diameter Rotor (Kecepatan Rotor Berbeda) Pada Gambar-3 dapat dijelaskan bahwa hubungan tenacity terhadap diamater rotor membentuk grafik parabola. Semakin besar kecepatan rotor maka menghasilkan tenacity take-off yang lebih besar. Bab.4 Simulasi Komputasi dengan MATLAB

Hal. 54

Kesimpulan Telah dibahas simulasi komputasi dengan komputer yang mendukung penelitian pergerakan materi, yaitu dengan menggunakan software MATLAB. Pada simulasi digunakan listing program pada jendela kerja Referensi Putra, Purnomosari dan Ngadiono., 2016, Pengantar Listrik Magnet dan terapannya, CV. Mulia Jaya, Yogyakarta. Putra, V.G.V, Rosyid, M.F & Maruto, G, 2016, A Simulation Model of Twist Influenced by Fibre Movement inside Yarn on Solenoid Coordinate, Global Journal of Pure and Applied Mathematics, No.1, Vol 12, Hal. 415-412. Trommer, G., 1995, Rotor Spinning, Deutscher Fachverlag, Frankfurt.

Bab.4 Simulasi Komputasi dengan MATLAB

Hal. 55

LAMPIRAN-1 L.1. Teori Himpunan Pada lampiran ini akan dijelaskan ini tentang teori himpunan dan dijelaskan tentang notasi dasar pada teori himpunan. Umumnya himpunan dinotasikan dengan huruf besar, seperti 𝑈, 𝑉, sedangkan anggota- anggota dari himpuanan tersebut dinotasikan dengan huruf kecil, seperti 𝑢, 𝑣, sehingga dapat dituliskan bahwa 𝑢 ∈ 𝑈 dan 𝑣 ∈ 𝑉, yang bermakna bahwa 𝑢 adalah anggota dari himpunan 𝑈 dan 𝑣 adalah anggota dari himpunan 𝑉 , sedangkan 𝑣 ∉ 𝑈 memiliki arti bahwa 𝑣 bukan anggota himpunan dari 𝑈. Lambang " = " merupakan lambang identity logical, sehingga jika dituliskan bahwa 𝑢 = 𝑣, maka anggota 𝑢 1

2

dan 𝑣 adalah suatu objek yang sama. Contoh 𝑢 = 2 dan 𝑣 = 4, maka dapat dituliskan bahwa 𝑢 = 𝑣, jika 𝑢 dan 𝑣 adalah objek yang berbeda, maka dapat dituliskan 𝑢 ≠ 𝑣. Jika 𝑈 adalah sub himpunan dari 𝑉, maka dapat dituliskan bahwa 𝑈 ⊂ 𝑉, sedangkan untuk notasi 𝑈 ⊆ 𝑉 bermakna bahwa 𝑈 adalah sub himpunan dari V atau 𝑈 sama dengan 𝑉. Untuk menuliskan bahwa anggota-anggota 𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 adalah elemen dari himpunan 𝑈, maka dapat dituliskan 𝑈 = 𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , dan jika ternyata anggota 𝑢𝑖 adalah anggota-anggota dari himpunan bilangan bulat, maka dapat dituliskan 𝑈 = 𝑢𝑖 𝑢𝑖 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 𝑏𝑖𝑙. 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡 . Himpunan Union “∪ " diartikan sebagai kata “atau”, sebagai contoh 𝐴 ∪ 𝐵, maka dapat diartikan bahwa 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ∈ 𝐵, yang dibahasakan yaitu 𝑥, dimana 𝑥 adalah anggota himpunan 𝐴 atau 𝑥 anggota himpunan 𝐵. Dapat dijelaskan dengan Gambar-1 sebagai berikut

Lampiran-1

Hal. 56

Gambar-1 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝒙 𝒙 ∈ 𝑨 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝒙 ∈ 𝑩 Irisan/ intersection dari himpunan dapat diartikan sebagai “dan” sebagai contoh 𝐴 ∩ 𝐵, maka dapat diartikan bahwa 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∈ 𝐵 , yang dibahasakan yaitu 𝑥, dimana 𝑥 adalah anggota himpunan 𝐴 dan 𝑥 anggota himpunan 𝐵. Dapat dijelaskan dengan Gambar-2, sedangkan 𝐴 ∩ 𝐴 = ∅ menyatakan bahwa 𝐴 dan 𝐴 adalah disjoint ( tidak selibat). Himpunan kosong ∅ adalahh himpunan yang tidak memiliki elemen ( Gambar-3).

Gambar-2 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝒙 𝒙 ∈ 𝑨 𝒅𝒂𝒏 𝒙 ∈ 𝑩 Dapat diperlihatkan pada Gambar-3 suatu himpunan kosong. Dinotasikan 𝐴 ∩ ∅ = ∅, sedangkan 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴

Gambar-3 Himpunan Kosong

Lampiran-1

Hal. 57

Perbedaan dari dua buah himpunan dapat dinotasikan sebagai 𝐴 − 𝐵 yang dapat dirumuskan sebagai 𝐴 − 𝐵 = 𝐴⋂𝐵 dan dapat diperlihatkan pada Gambar-4 di bawah

Gambar-4 Perbedaan dari Dua Himpunan Munkres, J.R. (1999) dan Hilgert dan Karl, (2010) menyatakan bahwa relasi ekivalensi , 𝐸 ⊆ 𝐸 ′ , merupakan bentuk relasi kelas ekivalensi, yaitu dijelaskan sebagai berikut: jika diberikan suatu subhimpunan dari himpunan 𝐴, yaitu 𝐸 dan 𝐸′, maka jika relasi ekivalensi pada 𝐸 ditentukan dengan sebuah elemen titik 𝑥 dan relasi ekivalensi pada 𝐸′ ditentukan dengan sebuah elemen titik 𝑥′ dan andaikan 𝐸 ∩ 𝐸′ ≠ ∅, dan sebuah titik 𝑦 adalah titik pada irisan 𝐸 ∩ 𝐸′, maka 𝐸 ⊆ 𝐸′ ( Gambar-5)

Gambar-5 Relasi Ekivalensi Dari definisi jika 𝑦 ∼ 𝑥, notasi ∼ menunjukkan kelas ekivalensi, dan 𝑦 ∼ 𝑥′ dengan menggunakan sifat simetri, maka dapat dituliskan bahwa 𝑥 ∼ 𝑦 dan 𝑥′ ∼ 𝑦, sehingga 𝑥 ∼ 𝑥′ dan jika sebuah titik lain 𝑤 ∈ 𝐸, maka dapat dituliskan bahwa 𝑤 ∼ 𝑥 dan 𝑤 ∼ 𝑥′, sehingga dapat disimpulkan bahwa 𝐸 ⊂ 𝐸′, dari sifat kesimetrian maka dapat Lampiran-1

Hal. 58

disimpukan juga bahwa 𝐸′ ⊂ 𝐸, atau dapat dituliskan bahwa 𝐸 = 𝐸′, sehingga dapat dituliskan baha 𝐸′ ⊆ 𝐸 dan sebaliknya. L.2. Himpunan Terbuka Jika terdapat suatu ruang Euclidean dimensi-n, sebagai berikut 𝐸𝑛 = 𝑦1 , 𝑦2 , … 𝑦𝑛 𝑦𝑖 ∈ ℝ Dengan 𝐸1 adalah garis nyata ( real line) dan 𝐸2 adalah ruang Euclidean ( ruang koordinat nyata yang terdefinisi pada himpunan nyata ℝ) dimensi-2 dan 𝐸3 adalah ruang Euclidean dimensi-3. Suatu norm atau besar dari 𝑦 = 𝑦1 , 𝑦2 , … 𝑦𝑛 𝑦𝑖 ∈ ℝ di 𝐸𝑛 adalah 𝑦 = 𝑦1 2 + 𝑦2 2 + ⋯ + 𝑦𝑛 2 Jarak antara dua buah titik 𝑦 = 𝑦1 , 𝑦2 , … 𝑦𝑛 𝑦𝑖 ∈ ℝ 𝑧1 , 𝑧2 , … 𝑧𝑛 𝑧𝑖 ∈ ℝ di 𝐸𝑛 adalah 𝑟 = 𝑦−𝑧 = Dengan sifat 𝑛𝑜𝑟𝑚 adalah

𝑦1 − 𝑧1

2

+ ⋯ + 𝑦𝑛 − 𝑧𝑛

dan 𝑧 = 2

𝑟 ≥0 𝑦 + 𝑧 ≤ 𝑦 + 𝑧 dengan 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐸𝑛 𝑦 − 𝑧 ≤ 𝑦 − 𝑤 + 𝑧 − 𝑤 dengan 𝑦, 𝑧, 𝑤 ∈ 𝐸𝑛 Himpunan terbuka / open set didefinisikan sebagai kumpulan anggota tanpa daerah batasnya, sebagai contoh adalah suatu daerah padat tanpa daerah batasnya, dan jika daerah batasnya dimasukkan, maka akan didapatkan himpunan tertutup ( closed set). Contoh jika 𝑎 ∈ 𝐸𝑛 (𝐸𝑛 terbuka dan terdaapt ∅ terbuka), bola terbuka dengan pusat 𝑎 dan jejari 𝑟, adalah sub himpunan dari bola terbuka 𝐵 𝑎, 𝑟 = 𝑥 ∈ 𝐸𝑛 𝑥 − 𝑎𝑏 dengan S  ( x , y , z )  (( a  b cos  ) cos u, ( a  b cos  ) sin u, b sin  )

Lampiran-1

Hal. 71

LAMPIRAN-2 L.1 Penyelesaian dengan MATLAB Pada lampiran ini akan dipelajari penggunaan MATLAB untuk menyelesaikan persamaan-persamaan matematik serta pemodelan dengan menggunakan simulink. Sebagai contoh terdapat suatu persamaan deferensial sebagai berikut 𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 2 = 𝜇 1 − 𝑦 −𝑦 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 Maka pemodelan dengan menggunakan simulink dapat didesain sebagai berikut di bawah ( Gambar-1)

Gambar-1 Pemodelan dengan Menggunakan Mux Hasil keluaran dapat diperlihatkan pada Gambar-2 di bawah

Gambar-2 Hasil Keluaran dengan Menggunakan Mux Lampiran-2

Hal. 72

MATLAb juga dapat digunakan untuk menganalisa suatu gerbang logika pada rangkaian listrik seperti pada Gambar di bawah

Gambar-3 Gerbang Logika pada Rangkaian IC Dapat diperlihatkan suatu gerbang logika menggunakan MATLAB menggunakan menu seperti pada Gambar-4 di bawah

Gambar-4 Menu Gerbang Logika Contoh penggunaan simulink dengan menggunakan MATLAB pada gerbang logika dapat diperlihatkan pada Gambar-5 di bawah Lampiran-2

Hal. 73

Gambar-5 Gerbang Logika pada Rangkaian IC dengan MATLAB MATLAB juga menyediakan suatu simulink untuk menganalisa rangkaian listrik, yaitu pada menu Simulink di Library, seperti pada Gambar-6

Gambar-6 Menu Rangkaian Listrik pada MATLAB Lampiran-2

Hal. 74

Sebagai contoh akan digunakan menu simulink untuk menganalisa rangkaian sederhana. Dalam membuat skema, terlebih dahulu harus digunakan powergui dan dipilih menu configure parameters yang dapat diambil pada menu seperti pada Gambar-7 di bawah

Gambar-7 Menu Powergui Menu tampilan skema listrik yang akan dipasang dapat dijalankan dan hasil program dapat ditampilkan pada layar seperti pada Gambar-8 di bawah

Gambar-8 Contoh Program MATLAB Lampiran-2

Hal. 75

MATLAB juga menyediakan menu untuk menyelesaikan bentuk persamaan matematis suatu rangkaian elektronika, seperti rangkaian RC yaitu sebagai berikut 𝑉=0 𝐼𝑅 + 𝐼𝑅 +

1 𝐶

𝑄 = 𝑉𝐷𝐶 𝐶

𝐼𝑑𝑡 = 𝑉𝐷𝐶 = 𝜀

1 𝐼𝑑𝑡 𝐶 Dapat diselesaikan dengan MATLAB jika nilai 𝑅 = 𝐶 = 1 , seperti pada Gambar-9 𝑉𝑅 = 𝜀 −

Gambar-9 Simulasi MATLAB Rangkaian RC Untuk rangkaian RLC maka dapat dibuat sebuah listing program sebagai berikut 𝑉=0 Lampiran-2

Hal. 76

𝑄 𝑑𝐼 + 𝐿 = 𝑉𝐷𝐶 𝐶 𝑑𝑡 1 𝑑𝐼 𝐼𝑅 + 𝐼𝑑𝑡 + 𝐿 = 𝜀 𝐶 𝑑𝑡 1 𝑑𝐼 𝑉𝑅 = 𝜀 − 𝐼𝑑𝑡 − 𝐿 𝐶 𝑑𝑡 Hasil simulasi memperlihatkan sebagai berikut Gambar-10 jika 𝑅=𝐿=𝐶=1 𝐼𝑅 +

Gambar-10 Simulasi MATLAB Rangkaian RLC Beberapa contoh pemrograman dengan Matlab 1. Dapat diperlihatkan pemodelan untuk rangkaian R-C sebagai berikut

Gambar-11 Rangkaian RC Lampiran-2

Hal. 77

Pemodelan secara komputasi didapatkan bahwa

Gambar-12 Pemodelan secara Komputasi Hasil simulasi dapat diperlihatkan pada powergui

Gambar-13 Hasil Pemodelan pada LTI Viewer Tegangan vs Time Untuk memperlihatkan besar tegangan terhadap frekuensi, maka dapat digunakan menu edit pada LTI Viewer dan menggantinya ke menu Bode, seperti pada Gambar-14

Gambar-14 Tegangan vs Frekuensi Lampiran-2

Hal. 78

Berbagai bentuk pemodelan teori rangkaian RC dapat diperlihatkan sebagai berikut: Untuk mencari arus pada kapasitor: 𝑉=0 𝐼𝑅 + 𝐼𝑅 +

1 𝐶

𝑄 = 𝑉𝐷𝐶 𝐶 𝐼𝑑𝑡 = 𝜀

𝜀 1 − 𝐼𝑑𝑡 𝑅 𝑅𝐶 Untuk mencari tegangan pada kapasitor: 𝐼=

𝑉=0 𝑑𝑄 𝑄 𝑅+ =𝜀 𝑑𝑡 𝐶 𝑑𝑄 𝜀 𝑄 = − 𝑑𝑡 𝑅 𝑅𝐶

Gambar-15 Tegangan 𝑽 =

𝑄 𝐶

vs Time

2. Untuk rangkaian R-L dapat diperlihatkan sebagai berikut

Lampiran-2

Hal. 79

Gambar-16 Rangkaian R-L Hasil tegangan terhadap waktu dapat diperlihatkan pada Gambar-17 di bawah ( pada powergui )

Gambar-17 Kurva Tegangan vs Time Pemodelan teori dapat diperlihatkan sebagai berikut Untuk mencari arus pada induktor: 𝑉=0 𝑑𝐼 + 𝐼𝑅 = 𝑉𝐷𝐶 𝑑𝑡 𝑑𝐼 1 𝜀 + 𝐼𝑅 = 𝑑𝑡 𝐿 𝐿 𝑑𝐼 𝜀 𝐼𝑅 = − 𝑑𝑡 𝐿 𝐿

𝐿

Lampiran-2

Hal. 80

Dapat dikerjakan menggunakan rangkaian integrator untuk menentukan 𝑑𝐼

besar tegangan 𝑉 = 𝐿 𝑑𝑡 sebagai berikut ( Gambar-18)

Gambar-18 Tegangan pada Induktor vs Time L.2. Latihan Soal 1. Buatlah persamaan Fisika yang mewakili gambar berikut

Lampiran-2

Hal. 81

BIOGRAFI PENULIS Dr. Valentinus Galih Vidia Putra, S.Si., M.Sc lahir di desa Wedi, Kabupaten Klaten, Jawa Tengah. Pendidikan dasar sampai menengah diselesaikan di kota kecil Bekasi, Jawa Barat. Penulis menamatkan pendidikan starta satu (S-1) dan Master (S-2) Fisika di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam FMIPA UGM dengan predikat Cumlaude. Program Doktor diselesaikannya di Universitas yang sama juga dengan predikat Cumlaude dan dalam waktu tiga tahun sepuluh bulan dengan topik disertasi pemodelan serat benang pada mesin open end spinning. Kegiatan Organisasi dan Riwayat pekerjaan penulis: 1.

Asisten Tugas Lab I, II dan III di Laboratorium Fisika UGM (2007-2009).

2.

Tim panitia Lomba Fisika Nasional (TOP COP UGM), UGM, Yogyakarta( 2007).

3.

Tim Koordinator Lomba cerdas cermat KKN-PPM UGM, Yogyakarta di Purworejo (2008).

4.

Anggota keluarga mahasiswa Katolik (KMKath), UGM, Yogyakarta (20052010).

5.

Pengajar Fisika dan Matematika SMA, LBB SSC, Yogyakarta (2010-2012).

6.

Pengajar Olimpiade Sains Nasional Fisika SMA De Britto,Yogyakarta dan SMP IPH School, Surabaya (2011-2013).

7.

Asisten dosen Mata Kuliah Fisika Matematika, Prodi Geofisika, Jurusan Fisika UGM, Yogyakarta (2012).

8.

Dosen Fakultas Teknik Informatika Universitas Dian Nuswantoro, Semarang, Mata kuliah: Fisika dasar I dan 2, Pengantar Elektronika Dasar, (2012-2013).

Biografi Penulis

Hal. 82

9.

Dosen Fisika, Politeknik STTT, Bandung, Mata Kuliah: Utilitas I, Otomasi, Mekatronika Tekstil, Praktikum Mekatronika Tekstil, Praktikum Fisika Dasar I dan 2 (2014-sekarang).

Kegiatan Ilmiah yang pernah diikuti: 1. 2. 3. 4.

Indonesian Textile Conference, Seminar NasionalTekstil2014 Seminar Nasional Pekan Ilmiah Fisika XXV The 2nd International Conference on Kinematics, Mechanics of Rigid Bodies and Materials ( MECHKINEMATICS 2014) The 4th International Conference on Theoretical and Applied Physics (ICTAP) 2014

Karya Ilmiah yang pernah ditulis: No

Bidang

Karya Ilmiah

1

Tekstil

Jurnal Nasional Tekstil

2

Tekstil

Jurnal Nasional Tekstil

3

Tekstil

Prosiding Seminar Nasional Tekstil

4

Tekstil

Prosiding Seminar Nasional Tekstil

Biografi Penulis

Judul

Identitas Karya Ilmiah

Pemodelan Untuk Menentukan Hubungan Actual Twist Tipe-Z Terhadap Kecepatan Sudut pada Mesin Spinning (Rotor dan Ring Spinning) Studi Pengaruh Bentuk S-Twisted dan ZTwisted Terhadap Besar Twist pada Mesin Pintal

TEXERE ( Journal of Textile Science and Technology) Vol. 12 No.1, ISSN 1411309-0 , (2014),sebagai penulis ke1

Studi Pengaruh Bentuk Permukaan Navel terhadap Hairiness (Pendekatan Teori dan Validasi Eksperimen) Hubungan Actual Twist Tipe-Z terhadap Kecepatan Benang pada Mesin Pintal (Pendekatan Fisika)

TEXERE ( Journal of Textile Science and Technology) Vol. 12 No.2, ISSN 1411309-0 , (2014), sebagai penulis ke-1 Prosiding Seminar Nasional Tekstil 2014, ISSN 2356-5055, Volume 1, Nomor 1 (2014) penulis ke-1 Prosiding Seminar Nasional Tekstil 2014, ISSN 2356-5055, Volume 1, Nomor 1 (2014) penulis ke-1

Hal. 83

5

Tekstil

Prosiding Seminar Nasional Tekstil

6

Fisika

Prosiding Seminar Nasional Fisika

7

Fisika

Prosiding Seminar Nasional Fisika

8

Fisika

Prosiding Seminar Nasional Fisika

9

Fisika

Prosiding Seminar Nasional Fisika

10

Fisika

Jurnal Internasional

11

Fisika

Jurnal Internasional

Biografi Penulis

Pemodelan untuk Menentukan Hubungan Twist terhadap Nomor Benang Nm pada Mesin Rotor Open-End Spinning Menggunakan Metode Lagrange dan Komputasi Numerik (Pendekatan Fisika) Analisa Teori untuk Menentukan Yarn Tension pada Mesin Open End Spinning ( analisa Fisika) Analisa Teori Pembentukan Twist pada Mesin Air Jet Spinning Tipe Murata Vortex Spinning Pengenalan Sistem kerangka Acuan Non Inersia pada Pengaruh Bentuk S-Twist dan ZTwist terhadap besar Twist pada Mesin Pintal Ring Spinning Bentuk Pemodelan Pergerakan SeratBenang dalam Tampang Lintang Struktur Benang Ring Spinning (Tinjauan Fisika Teori) Theoretical Modeling for Predicting the Optimum Twist Angle of Cotton Fiber Movement on OE Yarn Made by Rotor Spinning Machine Predicting the Actual Strength of Open-End

Prosiding Seminar Nasional Tekstil 2014, ISSN 2356-5055, Volume 1, Nomor 1 (2014) penulis ke-1

Prosiding Seminar Nasional Fisika, ISSN 2339-160X, Volume 2, Nomor 1 (2014) sebagai penulis ke-2 Prosiding Seminar Nasional Fisika, ISSN 2339-160X, Volume 2, Nomor 1 (2014) sebagai penulis ke-2 Prosiding Seminar Nasional Fisika, ISSN 2339-160X, Volume 2, Nomor 1 (2014) sebagai penulis ke-1

Prosiding Simposium Nasional Inovasi dan Pembelajaran Sains 2015 (SNIPS 2015) 8 dan 9 Juni 2015, Bandung, Indonesia Journal of Applied Mathematics and Physics, (2015), 3, 623-630, Published Online May 2015 in SciRes. http://dx.doi.org/10.4236/j amp.2015.35074 penulis 1 Applied Mechanics and Materials , indexed by

Hal. 84

Spun Yarn Using Mechanical Model

12

Fisika

Jurnal Internasional

Biografi Penulis

A Simulation Model of Twist Influenced by Fibre Movement inside Yarn on Solenoid Coordinate

scopus , Vol 780 (2015) pp 69-74 © (2015) Trans Tech Publications, Switzerland doi:10.4028/www.scientif ic.net/AMM.780.69 penulis ke-2 Global Journal Pure and Applied Mathematics, indexed by scopus (2016)

Hal. 85