Pascalによるデータ構造 (情報科学)

情 ★報 ★科 ★学

Pascalに

よる

デー タ構造 古東 馨 著

東京電機大学 出版局

まえがき

  プ ロ グ ラ ミ ング を初 め て 学 ぶ 人 に 対 す る忠 告 と して,「 プ ロ グ ラム を 書 くこ と は,小 説 を書 くこ とで あ る」 とい う例 え を よ く耳 に す る.小 説 もプ ロ グ ラ ム も正 確 に書 か な け れ ば な ら な い の は 当然 で あ るが,修 辞 上 の 善 しあ しだ けで 小 説 の 価 値 が決 ま る わ け で は な い よ う に,プ

ログ ラム も,表 現 の た め の 言 語 を超

え た 内容 が最 も大 切 とい え よ う.プ ロ グ ラ ミン グ言 語 を 習 得 してプ ログ ラ ミ ン グ に精 通 した つ も りに な る は早 計 で あ る し,逆 に,プ

ロ グ ラ ミ ング 言 語 を味 気

な い規 則(文 法)だ らけ の 言 葉 と敬 遠 した 人 で も,プ ロ グ ラ ミン グ(小 説)の お も しろ さ が 理解 で き る と もい え る.   本 書 は,計 算機 言 語 の 学 習 の た め の プ ロ グ ラ ミ ング を 終 え て,プ

ログ ラ ミ ン

グ 自身 を学 ぶ 入 門 書 とな る こ とを 目的 と して い る.内 容 は,計 算 機 の最 も基 本 的 な機 能 で あ るデ ー タの 検 索,整 列 の 計 算 方 法 を題 材 と して,プ

ロ グ ラム の 基

礎 とな るア ル ゴ リズ ム とそ の計 算 対 象 とな るデ ー タの 表 現 方法 を 中心 に,計 算 シ ス テ ム と して抽 象 的 に捕 え る考 え方,ア

ル ゴ リズ ム の 評 価,具

体的 なプ ログ

ラム へ の 実 装 とデ ー タ構 造 に つ い て解 説 して い る.   ま た本 書 は,著 者 の 講 義 内容 を基 に,１ 年 間 の 授 業 テ キス トと して も使 え る こ とを念 頭 に コ ンパ ク トに ま とめ て あ る.こ の ため,全 体 につ い て広 く述 べ る こ とを心 が け,細 部 に わ た り解 説 す る こ とを あ え て避 け て い る.特 に,ア ル ゴ リズ ムの 緒 性 質 の 論 理 的 ま た は 数 学 手 法 に よ る解析 は,よ

く知 られ て 身 近 な ア

ル ゴ リズ ム で も高 度 の 知 識 が 必 要 と され た り,未 解 決 問題 で あ っ た りす る こ と か ら,直 観 的 な,あ

るい は,例 え に よ る手 法 の 理 解 を優 先 して 解 説 した.幸

い

に も本 書 の 目的 ど お りに,プ ロ グ ラ ミン グ に 関 す る興 味 が 増 した読 者 は,さ

ら

に専 門 的 な本 に よ り理 解 を深 め る こ と を希 望 す る.   プ ロ グ ラ ミング 言 語 にはPascalを

用 い た.読 者 はPascalに

つ い て一 通 りの 知

識 が あ る もの と仮 定 して い るが,デ ー タ の構 造 を議 論 す る上 で 重 要 なPascalの

各 種 構 造 型 デ ー タ,お

よ び ポ イ ン タ 型 デ ー タ に つ い て は,復 習 の 意 味 で 第 ３章

に ま とめ て あ る.Pascalの

これ らの デ ー タ構 造 に つ い て の 知 識 が あ る読 者 は,

第 ３章 を とば して読 み 進 ん で い た だ い て さ しつ か え な い.   プ ロ グ ラ ミン グ の 対 象 は,近 年 ます ます 広 範 囲 に大 規模 に な りつ つ あ り,高 い生 産 性,信

頼 性 が 要 求 され て い る.そ れ に 伴 っ て基 本 的 な アル ゴ リズム や デ

ー タ構 造 を抽 象 的 な 計 算 シス テ ム と して と ら え る こ と,さ

らに,人 間 の 思 考 過

程 に あ った プ ロ グ ラ ム作 成技 法 や 計 算機 言 語 が 注 目 され て い る.本 書 が そ の よ う な プ ロ グ ラ ミ ン グへ の 入 門 と して 役 だ て れ ば,著 者 と しての 最 上 の 喜 び で あ る.な お,本 書 に 対 す る ご 意 見,感

想 等 お よせ い た だ け れ ば幸 い で あ る.

  最 後 に,本 書 の 草 稿 に 関 して,片 岡 一 夫 氏 を始 め,多

くの 方 々 か らお よせ い

た だ い た ご意 見 や 激 励 に 深 謝 す る.ま た,本 書 の 刊 行 に際 して は,東 京 電機 大 学 出 版 局 の 植 村 八潮 氏 に た いへ ん お 世 話 に な っ た こ と を感 謝 す る.

1987年 ５月

鳩 山 にて

古東

馨

目

１

次

プログラミングとその考え方

1.1プ

ロ グ ラ ム と そ の は た ら き 

１

1.2よ

い プ ロ グ ラ ム と は 

３

1.3プ

ロ グ ラ ム の 構 成 

５

1.4プ

1.3.1ア

ル ゴ リ ズ ム 

６

1.3.2デ

ー タ構 造 と型 

10

1.3.3実

装 プ ロ グ ラ ム 

11

ロ グ ラ ミ ン グ の 手 法 

12

1.4.1プ

ロ グ ラ ム の 読 み や す さ に つ い て 

12

1.4.2下

降 型 プ ロ グ ラ ミ ン グ と 上 昇 型 プ ロ グ ラ ミ ン グ 

15

1.4.3下

降 型 プ ロ グ ラ ミ ン グ と そ の 例 

18

２

アルゴリズムの評価

2.1ア

ル ゴ リ ズ ム の 記 述 

29

2.2ア

ル ゴ リ ズ ム の 計 算 時 間 

34

2.2.1評

価 基 準 に つ い て 

34

2.2.2ア

ル ゴ リズ ム の 計 算 時 間 

35

2.2.3デ

ー タ 量 に 対 す る 計 算 時 間 

37

2.2.4計

算 時 間 の 解 析 の 例 

40

2.3ア

ル ゴ リ ズ ム の 改 善 

43

2.3.1演

算 の 回 数 の 減 少,短

時 間 演 算 へ の 置 き 換 え 

2.3.2計

算 し た 結 果 の 有 効 利 用 

45

2.3.3分

割 ・処 理 ・統 合 に よ る 計 算 時 間 の 縮 小 化 

47

３Pascalに 3.1デ

3.2.1配

3.3ポ

お ける構造型 のデ ータ

ー タ の 型 

3.2Pascalの

44

51 構 造 型 デ ー タ 

55

列 型 デ ー タ 

55

3.2.2レ

コー

ド型 デ ー タ 

58

3.2.3集

合 型 デ ー タ 

64

3.2.4フ

ァ イ ル 型 デ ー タ 

65

イ ン タ 型 デ ー タ  3.3.1LHS表

68

現 とRHS表

現 

69

3.3.2静

的 領 域 と 動 的 領 域 

70

3.3.3ポ

イ ン タ 型 デ ー タ 

71

４

線形 リス ト

4.1リ

ス ト型 の デ ー タ 

79

4.2リ

ス ト の 実 装 

82

4.3ス

4.2.1配

列 構 造 に よ る リ ス トの 実 装 

82

4.2.2リ

ン ク 構 造 に よ る リ ス トの 実 装 

86

タ ッ ク と キ ュ ー 

92

4.3.1特

殊 な リ ス ト 

92

4.3.2ス

タ ッ ク 

92

4.3.3ス

タ ッ ク の 応 用 例 

95

4.3.4キ

ュ ー 

101

4.3.5キ

ュ ー の 応 用 例 

105

５

木

構

造

5.1木

構造 のデー タ

111

5.2グ

ラ フ 構 造 と し て の 木 構 造 

116

5.3木

構 造 の 操 作 

119

5.4木

構 造 の 実 装 

126

5.4.1一 5.4.2ｎ-分 5.4.3配 5.5木

般 的 木 の 実 装 

126

木 の 実 装 

130

列 を 用 い た 平 衡 ｎ-分 木 の 実 装 

の 操 作 の 実 装 

131 133

６

整

列

6.1デ

ー タ の 処 理 と 整 列 

142

6.2整

列 に 関 す る 基 礎 

145

6.3挿

入 法 に よ る 整 列 

148

6.4入

6.5そ

6.3.1挿

入 法 に よ る整 列 の 基 本 

148

6.3.2基

本 的 挿 入 法 に よ る 整 列 ア ル ゴ リ ズ ム の 実 装 

150

6.3.3シ

ェ ル の 方 法 

152

れ 換 え 法 に よ る 整 列 

154

6.4.1入

れ 換 え 法 に よ る 整 列 の 基 本 原 理 

154

6.4.2バ

ブ ル ソ ー ト(bubble

sort)

155

6.4.3ク

イ ッ ク ソ ー トの ア ル ゴ リ ズ ム の 原 理 と実 装 

157

の 他 の 方 法 に よ る 整 列  6.5.1選

択 法 に よ る 整 列 

161 161

6.5.2併

合 法 に よ る 整 列 

165

6.5.3複

合 ア ル ゴ リ ズ ム に よ る整 列 

171

７

検

索

7.1検

索 と は 

176

7.2順

次 検 索 

180

7.3２

分 検 索 

182

7.3.1配

列 構 造 の フ ァ イ ル に お け る ２分 探 索 

182

7.3.2２

分 木 構 造 の フ ァ イ ル に お け る ２分 探 索 

183

7.3.3２

分 検 索 法 の 計 算 時 間 の 解 析 

187

7.4最

適 ２分 木 検 索190

7.5デ

ィ ジ タ ル 検 索 

198

7.5.1デ

ィ ジ タ ル 検 索 木 

198

7.5.2ハ

ッ シ ュ 検 索 

201

８ 8.1い

記憶の方式と管理

ろ い ろ な 記 憶 方 式 

8.2Pascalに 8.3集

213

お け る 可 変 長 レ コ ー ドの 記 憶 方 式 

合型 の デ ー タ と ビ ッ トマ トリ ク ス 

8.4Pascalに

お け る 動 的 記 憶 領 域 と ヒー プ構 造 

付

214 218 224

録

付録 Ａ

アル ゴ リズ ム の 計 算 時 間 と〓-記 法 

234

付録 Ｂ

置 換 の 反 転 数 の 解 析 

236

索

引 

243

[１] プ ログラミングとその考 え方

1.1

プログラムとそのはたらき

  は じめ に,「 計 算 機 の プ ロ グ ラ ム 」お よび 「プ ログ ラ ミ ング 」とは な ん で あ るか を考 え て み た い.数 学 事 典(岩 波 書 店)に よ る と,計 算 機 プ ロ グ ラム とは 「所 用 の 計 算 を 実 行 す る た め に こ れ らの 命 令 の 有 限個 を適 当 に 並 べ た列 」 とあ り,プ ロ グ ラ ミ ン グ とは 「プ ロ グ ラム を作 る作 業,す

な わ ち 目的 の 計 算 を単 位 の 命令

の 有 限 個 の 列 で 表 現 す る こ とで あ る」とあ る.こ の 記 述 は 抽 象 的 で あ り,ま た 数 学 的 に も厳 密 な もの で,こ れ だ け で,な

る ほ ど と納 得 の い く人 はプ ロ グ ラム

と は何 か を 知 っ て い る とい って い いの で は な い だ ろ うか.   引 き続 い た 説 明 に,「 各 命 令 は,制 御 装 置 の構 造 か ら定 ま る一 定 の 形 式 で 数 値 的 に表 現 され,計 算 に 先 立 っ て 記 憶 装 置 の 中 に 蓄 え られ る 」 と あ るの を 見 て もわ か る と お り,こ こ で は機 械 語 の プ ロ グ ラム の 説 明 を して い る.   プ ロ グ ラ ム とは,計 算 機 に 実 行 して も ら う計 算 の 方法 を計 算 機 に指 令 す る命 令 群 で あ る し,計 算 機 は機 械 語 しか 理 解 で きな いの で,厳 密 に は こ こ に書 か れ て い る とお りで あ る.   しか し,人 間 が 直 接機 械 語 の プ ロ グ ラ ム を書 か な くて も,ア セ ンブ リ言 語や 数 多 くの 標 準 化 さ れ た プ ロ グ ラ ミン グ言 語 を 用 い て書 い た プ ロ グ ラム を,計 算 機 内 に用 意 され て い る翻 訳 プ ログ ラム に 入 力 して,機 械 語 の プ ロ グ ラム に 変換

して 目的 の プ ロ グ ラ ム を得 る方 法 が機 械 語 の プ ロ グ ラ ミン グ よ り も一般 的 で あ る こ とは,読 者 諸 氏 の よ く知 る と ころ で あ ろ う.ア セ ンブ リ言 語 に始 ま り,問 題 向 き言 語 とか 高 級 言語 とか は,無 味 乾 燥 な機 械 語 の プ ロ グ ラ ミン グ を人 間 の 言 葉 に近 く,ま た機 械 に依 存 しな い 言 語 へ と発 展 させ て きた 結 果 で あ る と もい え る.   機 械 語 の プ ロ グ ラム が 機 械 へ の 指 令 を表 現 す るだ け もの で あ った の に対 し, Pascalの

よ うな 高 級 言 語 に よ るプ ロ グ ラム は,そ の 本 来 の 目的 で あ る機 械 へ の

指 令 を表 現 す る た め で は な く,人 と人 との 意 志 の伝 達 手 段 を 目的 と して も利 用 され て い る.た

とえ ば,複 雑 な仕 事 の 手 順 を仲 間 に 知 らせ るの に く ど くど と文

章 で 表 現 す る よ り も,Pascalの

プ ログ ラム で書 き示 した ほ うが 正 確 で わ か りや

す い とい う こ とが あ り得 る.   著 者 の 知 る限 りでの こ の よ う な仕 事 の 手 順 を記 述 して あ る例 は,料 理法 の 本 で あ る.誰 に で も同 じ味 の 料 理 が で き る よ うに,用

い られ る材 料(デ ー タ)の 記

述 に 始 ま り,料 理 の 手 順(計 算 の 方法)を あ い ま い な とこ ろ が な い よ う に正 確 に 記 述 す る.料 理 の 方 法 をPascalで ての 料 理 人 がPascalを

書 い た 本 な ど見 た こ と もな いが,も

し,す べ

自然 言 語 の よ う に理 解 で き る とす れ ば,料 理 法 の本 は 半

分 以 下 の 厚 さ に な り,も っ と正 確 な 記 述 が で き るの で は な いか と冗 談 半 分 に思 っ て い る. 図1・1に

示 さ れ た 三 つ の プ ロ グ ラ ム は,50個

図 1・1

の 数 の 和 を 求 め る機 械 語,ア セ

ン ブ リ語 お よ びPascalの

プ ロ グ ラ ム の 一 部 分 を 示 し た もの で あ る が,詳

と は と も か く機 械 語 よ り は ア セ ン ブ リ語 に よ る プ ロ グ ラ ム が,ま 語 よ り はPascalに

しい こ

た ア セ ンブ リ

よ る プ ロ グ ラ ム の ほ う が 読 み や す く は な い だ ろ う か.

  機 械 語 とア セ ン ブ リ語 との 相 違 は,前 者 が 単 な る 数 字 の 羅 列 で あ るの に対 し, 後 者 は命 令 や デ ー タ の 意 味 との連 想 づ け した 記 号 化 を用 い て 読 み や す くな っ て い る.し か し,双 方 の プ ロ グ ラ ム と もにプ ログ ラム を構 成 す る命 令 の 一 つ 一 つ が か な り微 細 な機 能 しか 持 っ て い な い た め に,プ ロ グ ラム か ら全 体 の 構 成 とか, 思 想 を理 解 す る こ とは 容 易 で は な い.   ま た,各 命 令 も機 械 特 有 の もの で わ れ わ れ が 日常 な じみ の な い もの ば か りで あ り,か つ機 械 が 異 な る と異 な っ た 言 語 で 記 述 しな け れ ば な らな い.こ して 高 級 言 語 は,よ

れ に対

りな じみ の あ る 単 語 や 表 現 を用 い書 か れ たプ ロ グ ラ ム も普

通 の 文 章 に近 い し,言 語 が標 準 化 さ れ て 異 な っ た機 械 に も共 通 の プ ロ グ ラ ミ ン グ が 可 能 で あ る.   プ ログ ラム 言 語 が 発 達 して くる と,機 械 的 な決 ま りき っ た 手 順 の 記 述 は機 械 に まか せ る こ とが で き る よ う に な り,プ ロ グ ラ ミ ング は,「 どの よ う」に計 算 す る か で は な く「何 を 」計 算 す るか を記 述 す る とい う意 味 あ いが 強 くな っ て くる.   現 代 の プ ロ グ ラ ム は,単

に機 械 へ の 指 令 伝 達 の た め ば か りで は な く,人 間 的

な 要 素 つ ま り人 間 の 思 考 の 表 現 とか,情 報 交 換 の 手 段 と して の機 能 も重 視 され て きつ つ あ る こ とに注 意 してプ ログ ラ ミン グ を 考 え な けれ ば な らな いで あ ろ う.

1.2

よいプログラムとは

  よ いプ ロ グ ラム とは どの よ うな プ ロ グ ラ ム を指 す の で あ ろ う か.プ

ログラム

と は,計 算 機 に仕 事 を させ る と きの 手 順 を書 き示 した もの で あ る か ら,そ れ が 正 し く書 か れ て い る こ とが 一 番 大 切 で あ る.   仮 に,こ の条 件 が満 た さ れ て い る もの とす れ ば,答

を得 るまでの計算時 間が

短 い こ と,プ ロ グ ラム が 作 動 す る た め に 必 要 と され る記 憶 領 域 が 小 さ い こ とな どが あ る.こ れ は,計 算 機 資 源 の 利 用 効 率 の 面 か らの評 価 方 法 で あ る.

  こ れ に対 して,プ

ロ グ ラ ム の 適 用 範 囲 が 広 い こ と,改 造 が しや す い こ と,プ

ロ グ ラ ム が 人 間 に と っ て読 み や す い こ とな どが よい プ ロ グ ラ ム の 条 件 と な る こ と もあ る.   これ らの 評 価 の観 点 を ま とめ る と, (１)

計 算機資源 の利用効 率の観点か らみ た評価

(２)

プ ロ グ ラ ム の 利 用 者 や 作 成 者 な どの 対 人 間 的 な 面 か ら見 た評 価

の 二 つ の 観 点 か らプ ログ ラ ム を評 価 して い る こ とが わ か る.こ の 二 つ の 評 価 方 法 は,異

な った 次 元 に 立 って い る の で,簡 単 に優 劣 を つ け る こ とが で きな い.

こ の 二 つ の 評 価 方法 につ い て も う少 し考 え て み よ う.   あ る人 が,数 多 くの場 合 に わ た っ て 同 じよ うな 計 算 を す る問 題 に対 してA, Bの 二 つ の プ ロ グ ラ ム の ど ち ら を 用 い た らよ いの か 考 慮 してい る もの と しよ う. Ａ の プ ロ グ ラム は一 つ の デ ー タ に対 して10秒,Ｂ

は20秒

で あ っ た とす る と,

Ａ の ほ うが 選 ば れ る で あ ろ う.   こ の 場 合,Ａ

も Ｂ も正 しい プ ロ グ ラ ム で あ る とい う仮 定 が あ る.つ ま り,プ

ロ グ ラ ム の 善 しあ しの 最 大 の また 当然 の 条 件 で あ る正 し く作 動 す る とい う こ と を前 提 とで きれ ば,計 算 機 資 源 の 利 用 効 率 だ け で プ ロ グ ラ ム の評 価 が で き る.   しか しな が ら,プ ロ グ ラ ム が 正 し く作 動 す る か ど うか とい う こ とは 以 外 に む ず か しい.た

とえ ば,プ

ロ グ ラム に入 力 デ ー タが あ る と き に は,適 用 で き る デ

ー タ の範 囲 ,必 要 と され る精 度,表 が,望

現 の 方法 な ど に制 限 が あ る の が普 通 で あ る

む 結 果 を得 る ため の 入 力 デ ー タの 条 件 を知 る こ とが,プ

ログ ラム を正 し

く作 動 させ るた め に 必 須 とな る.こ れ はプ ロ グ ラ ムの 仕 様 書 な どに書 か れ て い る が,十 分 で な い と きに はプ ロ グ ラム を読 む 必 要 が あ る.利 用 者 で な く,プ ロ グ ラ ム の 作 成 者 側 で あ る と き に は な お さ ら とな る.   以 後 の 議 論 に お い て は,計 算機 資 源 の 効 率 の 面 か らのプ ロ グ ラム の 善 しあ し を 問題 とす る場 合 をプ ログ ラム の 効 率(ま た はア ル ゴ リズ ム の 効 率)と 呼 び,対 人 間 的 な面 か ら見 た場 合 をプ ロ グ ラ ミングの 効 率 と呼 ん で 区 別 す るこ とに す る.   こ の 二 つ の 評 価 を統 一 的 に議 論 す る こ と はむ ず か か しい.一 般 的 に は,プ

ロ

グ ラ ム の 効 率 とア ル ゴ リズ ム の 効 率 とは 直 接 関 係 が な い とい え るが,ア ル ゴ リ

ズ ム の効 率 の よ いプ ログ ラム は,複 雑 かつ 技 巧 的 で プ ロ グ ラ ミ ン グが む ず か し くな り,逆 に 人 間 に読 み や す く,明 快 なプ ロ グ ラ ミン グ をす る と,プ ロ グ ラム の 寸 法 が 大 き く,時 間 の か か るプ ロ グ ラ ム とな って しま う傾 向 に あ る.   プ ログ ラム の 効 率 は,あ

る物 理 量 か ら数 値 的 に優 劣 が 比 較 で き るが,プ

ログ

ラ ミ ング の 効 率 は な か な か そ うは い か な い.こ の 両 者 の 関 係 をひ とつ の比 喩 で 表 せ ば,「プ ロ グ ラ ミ ング は 小 説 を 書 くの と同 じで あ る」とい う こ とが で き よ う. 無 制 限 に 誰 にで もわ か りや す い 文章 と い う もの は あ り得 な い.小 学 生 の語 彙 で な ん で も説 明 しよ う とす れ ば,表 現 す る概 念 の や さ しい言 葉 で の 定 義 が 必 要 と な る な ど,文 章 は長 く複雑 と な る.か

え っ て大 人 に はわ か りず ら くな る 可 能性

が あ る.   逆 に,専 門 用 語 な どの 高 度 の 意 味 を持 つ 単語 を用 い れ ば,文 章 は簡 潔 か つ 正 確 とな る.だ が,専 門 用 語 を理 解 で き る 人 に は わ か りよ くて も,知 ら な い 人 に は わ か りず ら い.   プ ロ グ ラ ミン グ で も,そ の 技 術 の 高 さや,扱

う内 容 が 専 門 的 に な れ ば,そ れ

に 応 じて 高 度 ま た は専 門 の プ ロ グ ラ ム 表 現(ア ル ゴ リズ ム)や デ ー タ の表 現(デ ー タ構 造)が

必 要 とな っ て く る.つ

ま り,プ ロ グ ラ ミン グ は計 算 機 言 語 だ け を

知 っ て い れ ば よ いの で は な く,少 な く と もあ る程 度 の ア ル ゴ リズ ム や デ ー タ構 造 の 知 識 が 不 可 欠 とな る.   どの よ うな 場 合 に どの ア ル ゴ リズ ム を用 い る か に は ア ル ゴ リズ ム の 評 価 が 必 要 で あ る し,ア ル ゴ リズ ム を多 く知 れ ば,そ れ だ け 書 か れ るプ ロ グ ラ ム も正確 で わ か りや す くな り,プ ロ グ ラ ミ ング も容 易 とな る.こ の よ うに,一 見 した と こ ろ で は異 な った 次 元 の プ ロ グ ラ ム 評 価 規 準 も 「よ い プ ロ グ ラ ム 」を作 る こ と で は 協 力 しあ って い る.

1. 3

プログラムの構成

  わ れ わ れ が 計 算 機 で 解 くべ き問 題 が 与 え られ た と き,ま ず 最 初 に しな け れ ば な ら な い こ とは,こ の 問題 が計 算 機 で 解 く対 象 に な る よ う に モ デ ル 化 す る こ と

で あ る.こ の モ デ ル は,一 般 に 数 学 的 モ デ ル(mathematical 象 モ デ ル(abstract

model)と

model),ま

たは抽

呼 ば れ て お り,解 くべ き問 題 を数 値 表 現 や 図 式表

現 な ど の 記 号 とそ の 記 号 間 の法 則 とで表 現 した もの で あ る.   た と え ば,宇

宙 空 間 を飛 行 す る ロ ケ ッ トの あ る時 刻 で の 位 置 を知 りた い とい

う問題 に対 して は,地 球 を原 点 とす る三 次 元 座 標 系 を仮 定 し,ロ ケ ッ トや 各 天 体 系 の 質 量,ロ ば,ロ

ケ ッ トの 噴 射 力 な ど と,引 力 の 法 則 や 運 動 方 程 式 が 与 え られ れ

ケ ッ トを含 め た 天 体 の 状 況 を 幾組 か の 数値 で 表 現 され た モ デル を作 る こ

とが で き る.   わ れ わ れ は,現 実 の 問題 を この モ デ ル の 上 に投 影 し,こ の モ デ ル の うえ で 問 題 の 解 を見 い だ そ う とす る.正 確 に は,解

そ の もの を求 め るの で は な く,ど の

よ う に した ら解 が 求 ま るか の 手 段 を見 つ け る こ とで あ る.こ の 解 を求 め る手法 は,ア

ル ゴ リズ ム と呼 ば れ て い る.

1.3.1 

アル ゴリズム

  ア ル ゴ リズ ム(algorithm)は,古

くは 四 則 演 算 に よ る計 算 の 手 順 の 意 味 に 用

い られ た り,単 に ユ ー ク リ ッ ドの互 除法 に よ る最 大 公 約 数 の 求 め 方 な ど を意 味 して い たが,現

在 で は計 算 の 手 順 全般 を意 味 す る.

  しか し,単 に計 算 の や り方 とい う よ りは制 約 が 強 く,計 算 機 関 連 の 記 述 に は 頻 繁 に 使 わ れ 重 用 な概 念 で あ るの で,単

にア ル ゴ リズ ム と訳 され て い る.

  アル ゴ リズ ム の 正 確 な 意 味 づ け に は,専 門 的 数 学*の 助 け を借 りな け れ ば な ら な い.む

しろ,ア ル ゴ リズ ム と い う言 葉 自体 が 数 学 の 専 門 用 語 で あ る とい うほ

うが 正 確 で あ る.し

か しな が ら,こ こ で は 正確 な数 学 的 な 定 義 をす る こ とが 目

的 で は な く,そ の概 念 を 平 易 に 理 解 す る だ け で 十 分 で あ る.   ア ル ゴズ ム とは,   (１)次

の(２)を 満 たす よ うな命 令 を有 限 個 並 べ て 表 現 した計 算 法 の 記 述 で あ

る. *  数 学 基 礎 論,計

算 の 理 論 な どの 分 野 の 数 学.

(２)各

命 令 は,そ れ が 実 行 され る すべ て の 状 況 に 対 して,あ い ま い さ が な く

明確 に記 述 され て い て,か つ,有 (３)命

限 時 間 で 実 行 され な けれ ば な ら な い.

令 の 実 行 順 序 は,特 に指 定 の な い 限 り,一 つ の 命 令 が 終 わ っ た後 は,

そ の 直 後 の 命 令 を実 行 す る もの とす る. (４)ア

ル ゴ リズ ム に は,必 要 に 応 じて計 算 の 初 期 値 と な るデ ー タ(ア ル ゴ リ

ズ ム の 入 力 と呼 ぶ)が あ って も よい.ま

た,少 な くと も一 つ の 計 算 結 果(ア

ル ゴ リズ ム の 出 力 と呼 ぶ)を 持 た な け れ ば な ら な い. (５)命

令 列 の 中 に は必 ず停 止 命 令 が あ り,計算 開 始 か ら有 限 回の 命令 の 実 行

の 後 に 必 ず 停 止 命 令 が 実 行 され る保 証 が な けれ ば な らな い. ア ル ゴ リズ ム の 条 件 の(５)の 代 りに (５')  命 令 列 の 中 には,必 で 置 き か え た も の,つ

ず停 止 命 令 が な けれ ば な らな い.

ま り ア ル ゴ リ ズ ム の 条 件 の う ち,有

に 停 止 す る 保 証 の な い 場 合 は,プ

ロ シ ジ ァ(procedure)と

限回の命令実行の 後 呼 ば れ る.す

べ ての

ア ル ゴ リ ズ ム は プ ロ シ ジ ァ で も あ る こ と は す ぐ に わ か る.   プ ロ シ ジ ァ と い う 用 語 も数 学 の 専 門 用 語 で,Pascalの じ綴 り で あ る の で ま ぎ ら わ し い.以 ぐ た め に,こ

下 の 議 論 で は,こ

手 順(procedure)と

同

の 二 つ が混 同 す るの を 防

こ で 定 義 し た プ ロ シ ジ ァ は 計 算 手 順 と 訳 し,Pascalの

ほ う は単 に

手 順 とす る こ と に す る. 【例 】

  与 え られ た整 数m(m>0)が

３の 公 倍 数 で あ るか否 か を判 定す る問 題 を考 えて

み よ う.

Procedure も しm=0 

A

Step

A1: 

な ら ば   Step

Step

A2:

m-3を

Step

A3:

Step  A1へ.

Step

A4: 

「ｍ は ３の 倍 数 で あ る 」と 出 力 す る.

Step

A5: 

計 算 を 停 止 す る.

計 算 し,そ

A4へ.

の 値 を 改 め て ｍ の 値 と す る.

(a)Procedure

A

(b)Algorithm

B

図1・2

  前 記 の計 算 の 手 順 は,有 限 の 命 令 数(５ ス テ ップ)で あ り,そ れ ぞ れ の 命 令 に は あ い ま い さ が な く有 限 時 間 で 実 行 で き る.入 力 は 非 負 の 整 数 ｍ,出 力 は「ｍ は ３の 倍 数 で あ る 」と い う文 章 で あ り,停 止 命 令 が あ る の で この 計 算 法 の 記 述 は 計 算 手 順 で は あ るが ア ル ゴ リズ ム で あ る とは い え な い.な ぜ な らば,ｍ 公 倍 数 の 場 合 に は 計 算 が 停 止 す るが,そ

が ３の

うで な い と きに は 永 久 に停 止 す る こ と

が な い.こ の 計 算 手 順 を

Algorithm ら ばStep

B

Step

B1: 

も しm=0な

Step

B2:

m-3を

Step

B3:

Step

Step

B4: 

「ｍ は ３の 倍 数 で あ る 」と 出 力 す る.

Step

B5: 

計 算 を 停 止 す る.

Step

B6: 

「ｍ は ３ の 倍 数 で は な い 」と 出 力 す る.

Step

B7: 

計 算 を 停 止 す る.

計 算 し,そ

B4へ.ま

たm