Para Atrapar Un Foton

PARA ATRAPAR UN FOTÓN Autor: VIRGILIO BELTRÁN L. COMITÉ DE SELECCIÓN EDICIONES DEDICATORIA INTRODUCCIÓN I. LOS RAYOS TÁCTILES II. LOS RAYOS LUMINOSOS III. LA ÓPTICA GEOMÉTRICA IV. REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE LA LUZ V. LA DIFRACCIÓN DE LA LUZ VI. LA ÓPTICA ONDULATORIA VII. LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS VIII. LAS FUENTES DE LA LUZ IX. ¿ONDAS O PARTÍCULAS? X. PARA ATRAPAR UN FOTÓN XI. EL FOTÓN GLOSARIO COLOFÓN CONTRAPORTADA

COMITÉ DE SELECCIÓN Dr. Antonio Alonso Dr. Juan Ramón de la Fuente Dr. Jorge Flores Dr. Leopoldo García-Colín Dr. Tomás Garza Dr. Gonzalo Halffter Dr. Guillermo Haro † Dr. Jaime Martuscelli Dr. Héctor Nava Jaimes Dr. Manuel Peimbert Dr. Juan José Rivaud Dr. Emilio Rosenblueth † Dr. José Sarukhán Dr. Guillermo Soberón Coordinadora Fundadora: Física Alejandra Jaidar † Coordinadora: María del Carmen Farías

EDICIONES Primera edición, 1992 Primera reimpresión, 1995 Dibujos de Alberto R. García, sobre diseños del autor. La Ciencia desde México es proyecto y propiedad del Fondo de Cultura Económica, al que pertenecen también sus derechos. Se publica con los auspicios de la Subsecretaría de Educación Superior e Investigación Científica de la SEP y del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología. D. R.© 1992, FONDO DE CULTURA ECONÓMICA, S. A. DEC. V. D. R.© 1995, FONDO DE CULTURA ECONÓMICA Carretera Picacho-Ajusco 227; 14200 México, D.F. ISBN 968-16-3579-5 Impreso en México

DEDICATORIA En febrero de 1942 fue fundado el Observatorio Astrofísico Nacional de Tonantzintla, muy cerca de la ciudad de Puebla. El nuevo observatorio atrajo a científicos mexicanos de todas partes, muchos de los cuales ligaron su nombre permanentemente a este singular evento por lo que su trabajo en el Observatorio significó para la astronomía de México. Algunos de esos científicos se acercaron a la Universidad de Puebla integrándose posteriormente a ella o, casi heroicamente, añadieron la enseñanza, la administración académica y la formación de recursos humanos a sus tareas de investigación en el observatorio. El impacto social de su trabajo universitario sólo puede ser resumido en una forma: trajeron la ciencia del siglo XX a la comunidad universitaria y, por extensión, a la ciudad de Puebla. Prácticamente todos los científicos, ingenieros y técnicos egresados de la Universidad de Puebla aprendieron de ellos o de alumnos de ellos. La Facultad de Ciencias y el Instituto de Ciencias de la Universidad Autónoma de Puebla se deben también a su esfuerzo. Uno de estos seres excepcionales fue el ingeniero Luis Rivera Terrazas, maestro distinguido de varias generaciones de físicos, fundador de la Facultad y del Instituto de Ciencias de la UAP, doctor honoris causa y dos veces rector de la UAP, incansable luchador social y leal amigo. Dedico este trabajo a su memoria con gratitud y admiración, en personal homenaje póstumo.

INTRODUCCIÓN La naturaleza de la luz ha interesado siempre al hombre. Científicos, filósofos o simples pensadores han intentado responder a preguntas aparentemente sencillas como ¿de qué está hecha la luz? desde que aparecieron las civilizaciones más antiguas de que se guarda memoria. La ciencia, la física en particular, no tiene respuestas sencillas a estas preguntas. Responder, por ejemplo, que la luz está compuesta de fotones, no es responder; a menos que ya estuviéramos de acuerdo en el significado de la palabra fotón. Pero un fotón no es un objeto que pertenezca a nuestra experiencia ordinaria, como una pelota, ni como ninguna otra cosa conocida por todos. El concepto del fotón se desarrolló intentando explicar fenómenos luminosos muy diversos, algunos de ellos en aparente contradicción, a partir de hipótesis simples. Se puede decir que este concepto surgió por una transformación "de sobrevivencia" de nuestras ideas al enfrentarlas a fenómenos luminosos nuevos. O, dicho de otra forma, el concepto de fotón es el resultado de la evolución de nuestras ideas sobre la naturaleza de la luz, y con él podemos explicar, sin contradicciones, todos los fenómenos luminosos conocidos. Un fotón no se parece a ningún objeto de nuestra experiencia común. No es como una pelota, ni como una canica, ni tampoco como las ondas sonoras; aunque en algunos fenómenos ciertos aspectos de su comportamiento son como los de las partículas materiales y en otros como los de las ondas. Pero la representación de una idea en forma de imágenes de objetos conocidos no es esencial para la ciencia, lo importante es que con esa idea podamos describir los fenómenos. Las ideas sobre la luz han dependido, pues, de los fenómenos luminosos que se ha pretendido explicar con ellas. Cuando se conocían sólo los fenómenos luminosos más comunes, las ideas sobre la naturaleza de la luz eran muy simples; pero a medida que se fueron conociendo fenómenos luminosos más complejos, esas ideas cambiaron para adaptarse a los fenómenos ya conocidos y a los nuevos dentro de una misma teoría. Por estas mismas razones no es posible comprender las ideas modernas sobre la luz sin conocer los fenómenos luminosos que les dieron origen. En esta obra se desarrollan las ideas sobre la luz a partir de la discusión de algunos de los fenómenos y experimentos más importantes sobre ella; desde las primeras ideas griegas acerca de la luz hasta las contemporáneas, en las que intervienen fenómenos a escala atómica y el concepto del fotón.

I. LOS RAYOS TÁCTILES EN TIEMPOS anteriores a la antigua civilización griega, las ideas que se tenían sobre la naturaleza de la luz estaban llenas de misterio. Además, no se mantenían por mucho tiempo: desaparecían y regresaban en forma apenas diferente. Los antiguos griegos produjeron las primeras ideas útiles sobre la luz y, posiblemente por esto, se sostuvieron durante siglos. Los griegos no distinguían claramente la luz de la vista y basaban sus ideas sobre ambas en la hipótesis de los rayos visuales táctiles atribuida a Pitágoras. Según esta hipótesis, el ojo emite rayos rectos infinitamente tenues que al ser interrumpidos por los objetos producen la sensación de ver. Estos rayos táctiles deberían ser rectos para explicar la propagación rectilínea de la luz; o sea, para explicar el hecho de que podemos ver a través de un popote sólo si éste es recto (Figura 1).

Figura 1. La propagación rectilínea de la luz se puede demostrar con este sencillo experimento. La vela se ve por el popote sólo si está derecho.

La percepción por medio de esos rayos visuales sería, pues, análoga a la percepción táctil cuando utilizamos brazos y manos para discernir la forma y el tamaño de los objetos. Un objeto grande separaría más los rayos táctiles que un objeto pequeño y esta mayor separación angular de los rayos produciría en la mente la sensación de mayor tamaño del objeto más grande (Figura 2).

Figura 2. La hipótesis de los rayos visuales de Pitágoras suponía que éstos eran emitidos por los ojos y al ser interrumpidos por los objetos producían la sensación de ver. El tamaño de los objetos se percibía por la separación anular de los rayos interrumpidos.

La hipótesis de los rayos táctiles explicaba también la aparente disminución de tamaño de un objeto al alejarse, ya que los rayos táctiles interrumpidos por el objeto formarían un ángulo menor y menor, hasta reducirse a cero, al alejarse el objeto del observador. Esto explicaría por qué las líneas paralelas que se alejan indefinidamente parecen converger en un punto; el que posteriormente se llamaría "punto de fuga" por los artistas del Renacimiento (Figura 3). Más aún, conforme a esta hipótesis la disminución del tamaño aparente estaría en la misma proporción que el aumento en la distancia; esto es, si la distancia aumentara dos veces, el tamaño aparente disminuiría también dos veces. Como esto es precisamente lo que ocurre al tamaño aparente al aumentar la distancia, la hipótesis de los rayos táctiles se veía apoyada por la experiencia; al menos por esta experiencia.

Figura 3. La hipótesis de los rayos visuales explicaba la disminución del tamaño aparente de un objeto que se aleja; la separación angular de los rayos interrumpidos se reduce al aumentar la distancia entre el ojo y el objeto. Por esto las líneas paralelas que se alejan indefinidamente parecen converger hacia un punto del horizonte que posteriormente se llamó "punto de fuga".

La hipótesis de los rayos táctiles era útil porque relacionaba matemáticamente el tamaño aparente y la distancia, y pudo emplearse en muchas actividades prácticas como el diseño y la proyección de obras de arquitectura o de ingeniería. Pero más importante para los griegos resultó su aplicación a la astronomía para calcular distancias y tamaños de cuerpos celestes; por ejemplo, para calcular el diámetro del Sol. Estas aplicaciones a la astronomía les permitieron formarse una idea del tamaño del Universo apoyada en observaciones y —sobre todo— apoyada en la geometría, que era la ciencia perfecta de la cultura griega. Todo esto debe haber contribuido a que la hipótesis de los rayos visuales táctiles fuera aceptada hasta por el mismo Euclides, el creador de la geometría, y que perdurara unos 1 500 años sin ser seriamente cuestionada.

II. LOS RAYOS LUMINOSOS LA TEORÍA pitagórica de los rayos táctiles prevaleció más de 1 500 años. Esta larga vida de una teoría tan ingenua posiblemente se debió a la falta de una experimentación rigurosa que la pusiera a prueba, porque en realidad no resiste el menor cuestionamiento experimental. La hipótesis de los rayos táctiles que emanaban del ojo fue derrumbada de golpe por un extravagante científico árabe llamado Abu Ali ibn al-Hasan ibn al-Haitham, nacido en Basra, Irak, alrededor del año 965 d.C., fallecido en El Cairo, Egipto, el año 1039 y conocido después simplemente como Alhazán. Este singular personaje llegó a Egipto en 996 d.C., contratado por el califa Al-Hakim para controlar las inundaciones del río Nilo, cosa que Alhazán se jactaba públicamente de poder hacer sin gran dificultad. Incapaz, sin embargo, de cumplir su irreal promesa y justamente temeroso de la ira del califa, Alhazán fingió demencia, hasta el fallecimiento del califa el año de 1021, para evitar la pena de muerte por su fracaso. A pesar de sus problemas con el río Nilo y con el califa Al-Hakin, Alhazán pudo hacer un importante trabajo de investigación en la óptica, o ciencia de la luz. En su principal obra, titulada Kitab al-Manzir en árabe y traducida al latín como Opticae Thesaurus, Alhazán demuestra que la visión no puede deberse a rayos que partan del ojo al objeto, sino del objeto al ojo. De esta manera, distinguió claramente la luz del sentido de la vista. Un sencillo experimento que demuestra esto es el muy conocido de producir fuego enfocando por medio de una lupa la imagen del Sol sobre un papel (Figura 4). Si los rayos táctiles existieran, la imagen del Sol sobre el papel resultaría de rayos visuales que de alguna manera se habrían reflejado en el papel, pasado por la lente y alcanzado el Sol. El papel, por lo tanto, no debería inflamarse si cerráramos los ojos o miráramos para otro lado mientras se mantiene la imagen enfocada. Pero el papel sí se inflama si la lupa se mantiene a la distancia adecuada del papel, hagamos lo que hagamos; de manera que la imagen se forma por algo que llega del Sol, y no de nuestros ojos, al papel.

Figura 4. Los fenómenos ópticos importantes en el silo XIII. La propagación rectilínea de la luz, la reflexión de imágenes en espejos, la refracción de la luz en agua, el poder calorífico de los rayos solares concentrados por una lente y la aparición del arcoiris.

Otro experimento que también demuestra la existencia de la luz independientemente del sentido de la vista es la formación de imágenes en el sencillo instrumento llamado "cámara oscura" (Figura 5). Este instrumento emplea un pequeño orificio para producir una imagen de un objeto externo sobre una pantalla colocada en un cuarto oscuro o en una simple caja de cartón. La imagen que se observa es siempre invertida y esto no se puede explicar con los rayos táctiles, porque el objeto podría verse sobre la pantalla, desde el interior de la cámara sólo si estos

rayos se reflejaran en la pantalla y salieran por el orificio. De esta manera percibiríamos el objeto igual que si lo viéramos directamente; esto es, lo veríamos erecto y no invertido. Sin embargo, si suponemos que cada punto del objeto externo emite rayos rectos en todas direcciones, aquellos que partiendo de un punto en la parte superior del objeto pasaran por el orificio producirían un pequeño punto luminoso de la imagen en la parte inferior de la pantalla. La imagen completa estaría invertida, y esto es precisamente lo que se observa.

Figura 5. La cámara oscura forma sobre una pantalla imágenes invertidas de los objetos situados frente a su pupila. Esto demuestra que la hipótesis de los rayos visuales es falsa.

Sirviéndose de estos y de otros experimentos, Alhazán eliminó para siempre de la ciencia de la luz la hipótesis pitagórica de los rayos táctiles; aunque todavía usemos expresiones, como "echar una mirada", que nos la recuerdan.

III. LA ÓPTICA GEOMÉTRICA LA SUPOSICIÓN de que cada punto de un objeto luminoso o iluminado emite rayos rectos de luz en todas direcciones es la hipótesis principal de una teoría de la luz extraordinariamente fructífera que, hasta la fecha, se llama óptica geométrica (Figura 6). El nombre se debe a que en esta teoría la naturaleza de los rayos luminosos no se cuestiona; ni siquiera es importante. El propósito de la teoría es solamente entender, o predecir, lo que ocurre a los rayos emitidos por los objetos cuando son interceptados por diversos objetos opacos, como en la cámara oscura, o desviados de su camino recto de maneras que veremos enseguida. Como para esto solamente es necesario aplicar conocimientos de geometría a cada problema, el nombre de la teoría es óptica geométrica.

Figura 6. La hipótesis básica de la óptica después de Alhazán. Cada punto de un objeto luminoso emite rayos rectos de luz en todas direcciones.

Trazando sobre un esquema algunos sencillos rayos rectos se encuentran fácilmente las regiones de sombra producidas por un cuerpo opaco iluminado por cuerpos luminosos. Estas regiones se llaman, en general, la "sombra geométrica" del cuerpo. Por ejemplo, una esfera iluminada por un solo punto luminoso produce un solo cono de oscuridad total, llamado umbra, a donde no llega ningún rayo emitido por el punto luminoso (Figura 7 (a)). Este cono lo forman las tangentes a la esfera desde el punto luminoso. Fuera de él la luz llega a todas partes. Pero si la esfera opaca está iluminada por una esfera luminosa, además del cono de oscuridad total limitado ahora por las tangentes exteriores a las dos esferas, se produce una zona sólo parcialmente oscura a la que llega luz de algunas partes de la esfera luminosa. Esta zona se llama penumbra (casi sombra) y está limitada por la umbra y por el cono formado por las tangentes interiores a las esferas. Estas zonas se observan claramente durante los eclipses lunares. La Luna adquiere un color rojo cobrizo cuando está en la región de penumbra y se oscurece casi completamente en la región de umbra (Figura 7(b)).

Figura 7. La óptica geométrica explica la forma de la sombra producida por un cuerpo opaco. Esta región se llama sombra geométrica. En la figura (a) es el cono formado por las tangentes de la esfera. A esta zona no llega ningún rayo de luz; se llama "umbra". En la figura (b) la umbra es el cono formado por las tangentes exteriores a las dos esferas; fuera de ésta hay una zona donde llega luz, pero sólo de algunas partes del objeto luminoso. Esta región, llamada prenumbra, está incluida entre la umbra y el cono de las tangentes interiores a las dos esferas.

La cámara oscura es un ejemplo interesante de aplicación de la óptica geométrica. Si en un diagrama como el de la figura 8 trazamos las imágenes de un mismo objeto colocado a distintas distancias de la cámara, encontramos fácilmente que el tamaño de la imagen disminuye en la misma proporción que aumenta la distancia. Esto es, la relación del tamaño de la imagen con la distancia es la misma que en el caso del tamaño aparente en la teoría de los rayos táctiles. Esto sugiere que el ojo funciona como una cámara oscura. El orificio de la cámara es la pupila en el ojo; ese pequeño círculo negro colocado en el centro del iris. La cavidad formada por el globo del ojo no está vacía como en la cámara oscura, sino llena de un medio gelatinoso transparente llamado "humor vítreo" que deja pasar la luz sin dificultad. La imagen de un objeto se forma en el fondo del ojo sobre un fino tejido nervioso, sensible a la luz, llamado retina, que la trasmite al cerebro por un gran número de fibras nerviosas que se juntan en un solo nervio llamado nervio óptico. El tamaño aparente de un objeto depende del tamaño de la imagen que forma en la retina. Si el objeto se aleja el tamaño de su imagen disminuye y se ve más chico. Por esto las líneas paralelas que se alejan de nuestros ojos parecen converger en un punto lejano, en el horizonte, llamado por los artistas "punto de fuga" (Figura 3). La variación del tamaño aparente de los objetos con la distancia es la base del arte de representar los objetos en una superficie como aparecen a la vista; o sea, es la base de la perspectiva.

Figura 8. El ojo funciona como una cámara oscura. Los rayos luminosos que pasan por la pupila forman una imagen (invertida) del objeto sobre la retina. Ésta, que se encuentra en el fondo del ojo, la trasmite al cerebro por el nervio óptico.

Hay un problema interesante con el modelo del ojo como una cámara oscura. Aunque sobre la retina se forman imágenes invertidas, los objetos se perciben erectos; es decir, de pie. Este reacomodo lo hace el cerebro y se puede demostrar con el sencillo experimento mostrado en la figura 9. El ojo es iluminado por la luz que pasa por un pequeño orificio perforado con un alfiler en una tarjeta de cartoncillo que se coloca frente a la pupila y a unos 10 o 15 cm de ella. Interponiendo un extremo de un palillo entre la parte inferior del orificio y la pupila, a unos 2 o 3 centímetros de ésta, se proyecta su sombra hacia la parte inferior del ojo. La sombra, sin embargo, se ve aparecer precisamente por la parte superior del ojo; como si el palillo se hubiera interpuesto por la parte superior y no por la inferior del orificio. Esto demuestra que las impresiones ópticas hechas sobre la retina, imágenes o sombras, son reinvertidas por los nervios ópticos y el cerebro de manera que la parte inferior se percibe arriba, la izquierda a la derecha y viceversa. Por lo demás, las imágenes que vemos son como las de una cámara fotográfica, aunque de mucho mejor calidad.

Figura 9. Experimento para demostrar la reinversión de imágenes por el cerebro. La sombra del objeto proyectada al fondo del ojo se percibe como si apareciera por arriba, y no por abajo, del orificio en la tarjeta.

IV. REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE LA LUZ LA HIPÓTESIS de los rayos rectos luminosos no es la única hipótesis de la óptica geométrica. Para explicar el fenómeno de la reflexión de la luz (Figura 4) es necesario suponer que la dirección de los rayos luminosos cambia en algunas circunstancias. Una imagen en un espejo se ve como si el objeto estuviera atrás, y no frente a éste. La óptica geométrica explica este familiar fenómeno suponiendo que los rayos luminosos cambian de dirección al llegar al espejo. La forma precisa en que ocurre este cambio se conoce como ley de la reflexión de la luz. Es una ley muy sencilla: los rayos incidente y reflejado hacen ángulos iguales con el espejo; o con la perpendicular al espejo, que es como suelen medirse estos ángulos (Figura 10). Esta ley, por cierto, también se puede deducir aplicando la ley de variación del tamaño aparente con la distancia para explicar los tamaños aparentes de un objeto y de su imagen en un espejo plano. O, dicho de otra forma, si vemos nuestra imagen en un espejo plano del tamaño que la vemos es porque los rayos incidente y reflejado forman ángulos iguales con el espejo.

Figura 10. La ley de la reflexión de la luz: el ángulo de incidencia, i, y el de reflexión, r, de un rayo luminoso sobre una superficie son iguales; esto es i = r. La ley de la refracción de la luz: el seno del ángulo de incidencia, sen i, y el seno del ángulo de refracción, sen r', de un rayo luminoso que atraviesa la superficie de separación de dos medios transparentes están en las misma proporción para cualquier valor del ángulo i; esto es, sen i /sen r' = n. Si la luz pasa de aire al agua, sen i /sen r' = 4/3.

Un cuerpo parcialmente sumergido en agua se ve chueco; como si se doblara al entrar al agua. Este fenómeno se llama refracción. Además del agua se observa en muchos otros medios transparentes, como el vidrio, llamados refringentes. Era uno de los problemas ópticos pendientes de solución todavía hacia el siglo XIII (Figura 4). Los fenómenos de refracción se incorporan a la óptica geométrica simplemente suponiendo que los rayos luminosos cambian de dirección no sólo al reflejarse sino también al pasar de un medio refringente a otro; por ejemplo, del agua al aire, o del agua al vidrio, o del vidrio al aire. Un experimento sencillo que demuestra este cambio de dirección se muestra en la figura 11. Una moneda pequeña en el fondo de una taza vacía está apenas oculta por el filo de la taza en la figura 11 (a). Llenando lentamente la taza con agua la moneda aparece poco a poco, hasta observarse por completo, en la figura 11(b). Los rayos luminosos emitidos por la moneda que llegan al ojo debido a que son refractados en la superficie del agua se muestran en esa figura; la moneda se ve en la dirección de estos rayos. El experimento muestra también que los rayos refractados están más cerca de la superficie en el medio menos denso; el aire en la figura 11(b).

Figura 11. Un experimento para demostrar la refracción de la luz. En (a) la moneda está apenas oculta por una orilla de la taza. En (b) la moneda aparece al llenar lentamente la taza con agua. Los rayos luminosos cambian de dirección al pasar del agua al aire.

La forma precisa en que cambia la dirección de los rayos en la refracción, esto es, la ley de la refracción, no es tan simple como la ley de la reflexión. Tal vez por esto, aunque el fenómeno de la refracción era conocido desde la antigüedad, la ley de la refracción no fue descubierta sino hasta el siglo XV por el astrónomo holandés Willebrord Snell, quien, inexplicablemente, no la dio a conocer, describiéndola solamente en sus notas personales de investigación. La ley de la refracción fue divulgada por Descartes en 1627, pero se conoce universalmente como la ley de Snell. No relaciona los ángulos de los rayos luminosos con la perpendicular a la superficie de refracción, sino los senos de esos ángulos. En símbolos matemáticos se expresa así: sen (i) / sen (r') = constante = n; esto es, el cociente de los senos de los ángulos de incidencia i y de refracción r' toma el mismo valor para todos los valores posibles de estos ángulos. Por ejemplo, si los rayos pasan del aire al agua la cantidad constante n, llamada índice de refracción, vale 4/ 3 y se tiene sen (i) / sen (r') = 4/ 3. La ley de la refracción de la luz también puede ser deducida aplicando la ley de variación del tamaño aparente con la distancia. La figura 12 muestra un sencillo experimento para hacer esto. Dos monedas pequeñas se ponen en dos tazas, una vacía y la otra parcialmente llena de agua. Observándolas desde arriba y a la misma altura, la moneda sumergida en agua se ve más grande debido a que por la refracción de la luz los rayos que emite se abren más al pasar por la superficie del agua y llegan al ojo como si hubieran sido emitidos por una moneda más cercana. De los tamaños aparentes de las dos monedas se deducen los ángulos que forman los rayos con la perpendicular a la superficie; el de los rayos refractados depende de la altura de llenado de la taza. Los senos de estos ángulos se obtienen de una tabla de valores y dividiendo el mayor entre el menor se encuentra que su cociente siempre es 4/ 3, el índice de refracción del agua; independientemente de la altura de llenado de la taza.

Figura 12. Un experimento para comprobar la ley de la refracción. La moneda sumergida en el agua se ve más grande porque los rayos que parten de ella se abren al salir aire y parecen llegar de una moneda más cercana. Relacionando los tamaños aparentes con los ángulos de los rayos se obtiene la ley de la refracción, o ley de Snell.

La hipótesis de los rayos luminosos y las leyes de la reflexión y de la refracción de la luz son el fundamento de la óptica geométrica. Con ellas es posible predecir el curso que tomarán los rayos luminosos que lleguen a lentes o a espejos. Por ejemplo, en la figura 13, los rayos que llegan de un punto luminoso a la lente de una lupa común son divergentes, pero se hacen convergentes al atravesarla debido a las refracciones que ocurren en las dos superficies del vidrio. Después de alcanzar el punto de convergencia los rayos vuelven a ser divergentes, de manera que si los vemos desde un lugar más lejano aún, los percibimos como si se originaran en el punto de convergencia; es decir, como si el objeto hubiera sido transportado a ese lugar. Se dice que en este punto se forma una imagen real del objeto. Las leyes de la refracción permiten calcular el lugar preciso donde se forma esa imagen. Mirando con otra lupa en ese lugar se observa la imagen amplificada del objeto. Así es, esencialmente, como funciona un telescopio (Figura 14). Este instrumento utiliza dos lentes del tipo llamado convergente, parecidas a la de una lupa en que son más gruesas enmedio que en la orilla. La primera de ellas —llamada objetivo— produce una imagen real de un objeto lejano, como la Luna, en un punto atrás y cerca de la lente. La segunda lente del telescopio, llamada ocular, se usa simplemente como una lente de aumento común para amplificar y observar esta imagen (Figura 14).

Figura 13. Una lupa intercepta rayos divergentes emitidos por un punto luminoso y los reúne en otro punto. Los rayos reunidos parecen salir de este lugar. Se dice que aquí se forma una imagen real del punto luminoso.

Figura 14. Un telescopio sencillo se compone de una lente, llamada objetivo, que forma cerca de ella una imagen real de un objeto lejano, y de una lente de aumento, llamada ocular, con la que se examina esta imagen.

Resumiendo lo anterior, la óptica geométrica está compuesta por una hipótesis, la de los rayos rectos luminosos; por dos leyes derivadas de la experiencia, la de la reflexión y la de la refracción de la luz, y por una ciencia matemática, la geometría, con la que se puede aplicar metódicamente a los problemas ópticos. La óptica geométrica ha sido extraordinariamente fructífera por estar basada en leyes que se cumplen con precisión y en una ciencia tan completa como la geometría, pero parte de su éxito es resultado de su hipótesis principal. Es decir, aunque no se ha intentado siquiera aclarar de qué están hechos los rayos luminosos, deben estar hechos de algo que se propaga como esos rayos; de otra manera la teoría no habría tenido tanto éxito. Isaac Newton suponía que los rayos luminosos están compuestos por partículas extraordinariamente diminutas que los cuerpos luminosos arrojan a gran velocidad y que al penetrar al ojo e incidir sobre la retina estimulan la visión. Newton apoyaba estas ideas en el fenómeno de la propagación rectilínea de la luz, pues sólo suponiéndola compuesta por partículas independientes podía imaginar que los rayos de luz pudieran ser separados unos de otros por medio de un popote como en la figura 1, o de una lente convergente como en la figura 13. Otro importante argumento que Newton daba en apoyo a esta idea era que la luz no da la vuelta a cuerpos opacos; o bien, que la sombra geométrica de un cuerpo está limitada por líneas rectas como en la figura 7. Este argumento se esgrimía principalmente en contra de las ideas de Descartes, quien suponía que la luz era una "especie de presión" propagada alrededor de los cuerpos luminosos que al llegar al ojo estimulaba la visión. Pero, argüía Newton, una zona de presión como ésta no tendría por qué no propagarse alrededor de los cuerpos y entrar en la sombra geométrica; esto es, si la luz fuera causada por esas "zonas de presión", también debería percibirse en la sombra geométrica de cuerpos opacos. Las ideas de Newton desembocaban también en importantes conclusiones al aplicarlas a la refracción de la luz. La figura 15 intenta explicar la refracción estudiando el movimiento de una pelota de tenis. Debido a que la velocidad de la pelota es diferente en el agua que en el aire, la dirección de su movimiento cambia al atravesar la superficie; esto es, se refracta. Y se puede demostrar que si la velocidad en el agua es menor que en el aire el ángulo de refracción r' es mayor que el de incidencia i, como aparece en esa figura. Pero en la refracción de la luz ocurre precisamente lo contrario, el ángulo de refracción es menor que el de incidencia al pasar del aire al agua, o al pasar a cualquier otro medio más denso como, por ejemplo, el vidrio. Es, entonces, inevitable concluir que, si estuviera compuesta por partículas, la luz sería más rápida en los medios más densos. En particular, debería ser más rápida en cualquier medio transparente que en el vacío. En tiempos de Newton (1642-1727) sólo era posible medir la velocidad de la luz por medios astronómicos y de ninguna manera en un laboratorio, como hubiera sido necesario para medirla en agua, o en vidrio, y comparar este valor con el ya conocido para el vacío. Por este camino, pues, no fue posible adentrarse en el conocimiento de la naturaleza de los rayos luminosos por muchos años.

Figura 15. La velocidad de una pelota de tenis disminuye y la dirección de su movimiento se acerca a la

superficie al entrar al agua. La luz, por el contrario, al entrar al agua se aleja de la superficie. De esto se deduce que, si la luz estuviera formada por partículas, éstas se moverían más rápidamente en agua que en aire.

V. LA DIFRACCIÓN DE LA LUZ EN ITALIA —posiblemente mientras Newton desarrollaba su famosa Óptica o Tratado de la reflexiones, refracciones, inflexiones y colores de la luz— un jesuita italiano, Francesco Grimaldi (1618-1663), físico y astrónomo, quien en 1651 dio los nombres que hasta ahora conservan los accidentes del lado visible de la Luna, descubría un importante fenómeno óptico llamado por él mismo difracción de la luz. Este fenómeno se presenta siempre que de la luz emitida por una fuente se separa una fracción interponiendo un cuerpo opaco y esto es lo que da origen a su nombre: división en fracciones. La difracción se puede observar interponiendo, justo frente a un ojo, una ranura muy estrecha recortada en una lámina opaca; o bien, una ranura formada por los filos de dos hojas de afeitar pegadas con durex sobre una ranura más ancha recortada en una tira de cartoncillo (Figura 16). Mirando solamente por este ojo una luz distante, por ejemplo la flama de una vela colocada a unos metros de distancia, esperaríamos percibir la imagen de la flama como en la figura 17(a); sin embargo, si la ranura es suficientemente estrecha, se perciben varias imágenes como en la figura 17(b). Esto, desde luego, tampoco es lo que esperaríamos de acuerdo con la óptica geométrica. La figura 18(a) muestra las regiones geométricas de iluminación y de sombra producidas por una ranura. Si colocáramos el ojo justo en el origen de estas regiones los rayos de la región de iluminación pasarían al interior del ojo y formarían una imagen, y sólo una, de la flama de la vela; esto es lo que vemos por una ranura ancha (Figura 17(a)). Las imágenes múltiples que se observan con la ranura delgada indican que, al pasar por la ranura, la luz forma varias regiones de iluminación a ambos lados de una región central iluminada que corresponde, más o menos, a la región geométrica de iluminación. El ojo forma imágenes con los rayos que recibe de cada una de estas regiones y las percibe como en la figura 17(b).

Figura 16(a). Una ranura delgada para observar el fenómeno de la difracción de la luz construida fijando con durex dos hojas de afeitar, filo a filo, sobre una ranura más ancha recortada en una tira de cartoncillo. Antes de fijar las hojas con durex los filos se mantienen separados por el espesor de una tira de papel. (b) La ranura de difracción terminada.

Figura 17. La imagen de la flama de una vela según la percibe el ojo. (a) A través de una ranura ancha; (b) A través de una ranura delgada; de difracción.

Figura 18. Las zonas de iluminación y de sombra producidas por una ranura delgada. (a) según la óptica geométrica. (b) según se observa en una ranura de difracción.

El fenómeno de la difracción de la luz y otros análogos se observan más nítidamente en un cuarto oscuro y si en vez de la flama de una vela empleamos como fuente de luz un solo punto luminoso. Se consigue uno fácilmente pasando luz de la flama de una vela por un orificio pequeño perforado en un cartoncillo grueso, negro de preferencia, en la forma que muestra la figura 19. Mirando la luz de la vela que pasa por el orificio a través de la ranura de difracción colocada justo frente al ojo se observa un conjunto de bandas luminosas, de intensidad decreciente respecto a la más intensa del centro, que se llama patrón de difracción de una ranura (Figura 19).

Figura 19. Arreglo para observar la difracción de un haz de luz que se forma haciendo pasar luz de la flama de una vela por un orificio pequeño perforado en un cartoncillo.

Arriba se muestran los patrones de difracción observados con una ranura sencilla y con una ranura doble (figura 21). El patrón de difracción de una ranura parece negar la propagación rectilínea de la luz. Si pensamos en la luz simplemente como si fueran rayos, sin importar su naturaleza, las imágenes laterales parecerían provenir de rayos desviados de la dirección de los rayos centrales; es decir, de rayos que habrían torcido su rumbo al pasar los filos de las hojas y penetrado en la sombra geométrica. El fenómeno de la difracción de la luz, por lo tanto, contradice la hipótesis de los rayos rectos; es decir, contradice la hipótesis de la propagación rectilínea de la luz. Parece que la luz, después de todo, sí puede dar la vuelta a los objetos opacos. Si pensamos en la luz como rayos formados por partículas, o corpúsculos, el fenómeno de la difracción de la luz nos lleva también a consecuencias muy interesantes. Podríamos, por ejemplo, imaginar un sencillísimo experimento para medir el "tamaño" de tales partículas; simplemente pasaríamos luz, como la proveniente de una vela, por ranuras más y más estrechas hasta alcanzar una que apenas permitiera su transmisión. El diámetro de las "partículas de luz" sería apenas superior a la anchura de esta ranura. Sin embargo, observando la flama de una vela a través de ranuras de difracción de diferentes anchuras, o con una ranura estrecha de anchura variable como la de la figura 20, se encuentra que todas producen imágenes múltiples; esto es, se comprueba que no es posible encontrar una ranura que "apenas permita el paso de la luz"; para conseguir esto es necesario cerrar la ranura completamente. Las "partículas" que según Newton compondrían los rayos luminosos parecerían, pues, carecer de dimensiones definidas, ya que la luz pasa por las ranuras más estrechas. Este sorprendente resultado no demuestra, sin embargo, que la luz no está compuesta por partículas; sólo demuestra que, si lo estuviera, las partículas no serían como pequeñísimas canicas ni pelotas rígidas con dimensiones definidas.

Figura 20. Una ranura de difracción de anchura variable. Los filos de las hojas se pone en contacto por un extremo y se separan en el otro por el espesor de un trocito de papel antes de fijarlos con durex a la tira de cartón.

VI. LA ÓPTICA ONDULATORIA LA DIFRACCIÓN de la luz puso a pensar a muchos científicos, incluyendo a Grimaldi, su propio descubridor. La hipótesis de los rayos rectos luminosos enfrenta, ciertamente, serios problemas lógicos para explicar este fenómeno. ¿Cómo le dan la vuelta los rayos a los filos de la ranura e invaden la sombra geométrica? Éste es sólo uno de los principales interrogantes que se plantean. Otro problema que resulta del fenómeno de la difracción en la teoría de los rayos es la multiplicidad de las imágenes. ¿Por qué se forman varias imágenes luminosas? O ¿por qué los rayos trasmitidos por la ranura habrían de preferir propagarse en unas direcciones y rehusar hacerlo en otras? (Figura 17 (b)). Estos problemas no pueden ser resueltos por medio de la teoría de los rayos. Para resolverlos es necesario abandonar por completo la hipótesis de que la luz está formada por rayos rectos. La idea Cartesiana de la "especie de presión" que se propaga en un medio que rodea a la fuente luminosa explicaría que la luz dé la vuelta a obstáculos, ya que esa "especie de presión" pasaría por la ranura y se propagaría en el medio que la rodea, en particular en el que está atrás de ella. Pero para explicar las imágenes múltiples es necesario suponer algo más. Este "algo más" se sugiere de otro fenómeno óptico que se observa haciendo pasar luz de una fuente por dos ranuras estrechas contiguas. Este experimento, llamado de la ranura doble, fue ideado por el físico inglés Thomas Young en 1815 y se puede realizar fácilmente con los mismos elementos empleados para observar la difracción (Figura 16). La ranura doble se construye dividiendo longitudinalmente, con un alambre fino de cobre o un hilo de seda, una de las ranuras sencillas que se construyen fijando con durex dos hojas de afeitar, filo a filo, sobre una ranura mucho más ancha recortada en una tira de cartoncillo duro (Figura 21(a)). Mirando con un solo ojo a través de la ranura doble la flama de una vela distante unos 5 metros, con la ranura colocada justamente frente al ojo abierto, se observa un patrón de imágenes múltiples como el de la figura 21(b). En este patrón, como era de esperarse, aparecen las imágenes laterales de difracción de cada una de las dos ranuras; éstas son las más distantes del centro. Pero más cerca del centro, en donde se formaría la banda central del patrón de difracción de una ranura, aparecen ahora varias imágenes más brillantes y detalladas que las de difracción. Estas imágenes múltiples se llaman "imágenes de interferencia" porque se obtienen sólo si la luz proveniente de un sitio interfiere con luz similar que proviene de otro sitio; en este experimento esos sitios diferentes son las dos ranuras.

Figura 21. (a) Una ranura doble para observar el fenómeno de interferencia en la luz construida dividiendo longitudinalmente una ranura delgada por medio de un alambre fino de cobre o con un hilo fino de seda.

Figura 21 (b) Imágenes de interferencia de la flama de una vela, al centro, y de difracción, laterales, producidas por la ranura doble.

Si se hace el experimento empleando, en vez de la vela, un punto luminoso como el de la figura 19, se observan con gran nitidez varias brillantes imágenes de interferencia del punto luminoso. Si las dos ranuras y el alambre que las separa son de la misma anchura, se observan tres imágenes prácticamente de la misma intensidad. Los fenómenos de interferencia son típicos del llamado movimiento ondulatorio de un medio, como el aire o el agua. Un ejemplo común de movimiento ondulatorio es el que ocurre en una superficie de agua tranquila al arrojar un objeto pequeño en ella (Figura 22). El impacto del objeto produce una pequeña deformación, compuesta por una depresión y una elevación de la superficie, que aumenta de diámetro propagándose a su alrededor como una onda de forma circular. Las oscilaciones posteriores del agua en el sitio del impacto producen otras ondas similares que siguen a la primera a intervalos iguales de distancia y de tiempo. Si se producen ondas circulares como éstas en dos puntos cercanos del medio, en ciertos lugares suman sus efectos y producen una deformación mayor de la superficie porque las depresiones y las elevaciones de las dos ondas coinciden, mientras que en otros sus efectos se cancelan porque la depresión de una onda coincide con la elevación de la otra. En los primeros sitios se dice que las ondas interfieren constructivamente y, en los segundos, que interfieren destructivamente. Estas zonas de interferencia se pueden observar en un diagrama como el de la figura 23. En éste, las posiciones de las ondas en cierto instante están representadas por los círculos concéntricos centrados en sus sitios de origen S1 y S2. Mirando el diagrama en un ángulo oblicuo desde el extremo opuesto a S1 y S2, se distinguen unas regiones más oscuras que alternan con otras más claras; las primeras son las de interferencia destructiva, o negativa, de las ondas circulares.

Figura 22. Ondas circulares formadas al caer un objeto pequeño en agua tranquila.

Figura 23. Diagrama de Young para observar las zonas de interferencia constructiva de ondas circulares. Viendo el diagrama en un ángulo oblicuo desde el extremo opuesto a los centros estas zonas son las que aparecen más oscuras.

Este ejemplo sugiere que las imágenes de interferencia observadas en el experimento de la ranura doble resultan de la interferencia constructiva de movimientos ondulatorios que se originan en las dos ranuras. Qué es exactamente lo que se mueve y qué medio lo propaga no es importante por ahora; así como no era importante en la óptica geométrica la naturaleza de los rayos para describir muchos fenómenos ópticos. Podemos pensar, si queremos, que lo que se mueve son zonas de esa "especie de presión" cartesiana, que se propagan como ondas desde cada ranura sumando sus efectos en los lugares donde se observan las imágenes de interferencia. Esto explicaría que la luz dé la vuelta a los filos de las ranuras, así como la aparición de imágenes múltiples de interferencia, sin que sea necesario aclarar todavía lo que es esa "especie de presión". Podríamos, incluso, llamarlas zonas de perturbación del medio", o simplemente zonas de "perturbación". Las imágenes múltiples de difracción por una sola ranura se explican muy bien también con estas ideas de la luz como un fenómeno ondulatorio. Imaginamos ahora que la ranura está compuesta por un gran número de ranuras contiguas y mucho más angostas, y que cada una de ellas produce ondas de perturbación del medio al mismo ritmo que las demás. Combinando los efectos de estas ondas en cada punto atrás de la ranura, sumándolos o restándolos según tengan la misma dirección o direcciones opuestas al llegar a ese punto, se encuentran zonas de mayor o de menor perturbación que corresponden exactamente con las de iluminación y de sombra observadas visualmente o con una fotografía. Así pues, es también la interferencia de ondas, aunque de muchas ondas, la causante del patrón de difracción, y el "algo más" que buscábamos para explicarlo es el movimiento ondulatorio de las zonas de perturbación del medio. La óptica ondulatoria, o teoría ondulatoria de la luz, nació de analogías como éstas entre fenómenos ópticos y

fenómenos propios de movimientos ondulatorios conocidos como el de las ondas en líquidos, o el aún más conocido de las ondas acústicas que producen el sonido. Un movimiento ondulatorio muy simple se puede observar en una manguera de jardín fija a la pared por un extremo y movida rítmicamente hacia arriba y hacia abajo por el extremo suelto al tiempo que se le mantiene tensa (Figura 24). Cada oscilación produce en la manguera una joroba que avanza hacia el extremo opuesto seguida por otras jorobas análogas a intervalos iguales de distancia y de tiempo, tal y como ocurre con las ondas circulares en la superficie del agua. Estas ondas se llaman ondas elásticas porque se propagan en un medio elástico como es el hule de la manguera.

Figura 24. Ondas elásticas en una manguera de jardín.

El tiempo que toma generar una joroba completa se llama periodo y es igual al tiempo necesario paa ejecutar la oscilación completa del extremo suelto por la manguera. La distancia horizontal que ocupa una joroba completa se llama longitud de onda. Como cada joroba avanza una longitud de onda en el transcurso de un periodo, la velocidad de avance de la onda es igual a la longitud de onda dividida entre el periodo; por ejemplo, si cada joroba ocupa una longitud horizontal de 0.6 m, y el tiempo de cada oscilación del extremo suelto de la manguera es de 2 s, la longitud de onda es de 0.6 m, el periodo es de 2 s y la velocidad de avance de la onda es de 0.6 m/ (2s) = 0.3 m/ s. El número de jorobas que se producen cada segundo es igual al número de oscilaciones que se den, cada segundo, al extremo suelto de la manguera. Esta cantidad se llama frecuencia de la onda y se puede obtener dividiendo la unidad entre el periodo; en el ejemplo anterior la frecuencia es igual a 1/ (2s) = 0.5/ s, o bien, 0.5 Hz (léase hertzios). Se comprueba fácilmente que la velocidad de avance de la onda se obtiene también multiplicando la longitud de onda y la frecuencia; en este ejemplo, se tiene: velocidad = 0.6 m X 0.5 Hz = 0.3 m/ s. El sonido es un movimiento ondulatorio que se propaga en el aire y en otros medios materiales. Por ejemplo, al sonar una campana sus vibraciones producen, alternadamente, zonas de compresión y de expansión del aire que la rodea. Estas zonas se propagan en forma parecida a la de las ondas circulares del agua, pero como pueden hacerlo en todas direcciones forman una onda esférica (Figura 25). La distancia entre dos zonas consecutivas de compresión o de expansión del aire es la longitud de onda y la frecuencia de vibración de la fuente es también la frecuencia de la onda. Estas ondas se llaman, en general. ondas sonoras o acústicas. Su velocidad de propagación en aire es de 330 m/s aproximadamente. Al llegar al oído hacen vibrar el tímpano y si la frecuencia de vibración está comprendida entre unos 20 Hz y unos 16 000 Hz producen la sensación de sonido. La longitud de onda está comprendida entre (330 m/ s) / (20 Hz) = 16.5 m y (330m/ s) / (16 000 Hz) = 0.021 m = 22.1 cm.

Figura 25. Ondas esféricas de compresión y de expansión del aire producidas por las vibraciones de una campana. Se propagan a la velocidad del sonido, 330 m/ s.

Todos los movimientos ondulatorios producen fenómenos análogos. Por ejemplo, el sonido se refleja en paredes sólidas en forma análoga a la reflexión de la luz en espejos; este fenómeno se llama eco. El sonido da la vuelta a obstáculos en forma análoga a la difracción de la luz; por esto se pueden oír conversaciones alrededor de una esquina, y de una habitación a otra si una puerta intermedia está abierta. El sonido también produce fenómenos de interferencia. Cuando suenan dos notas musicales muy parecidas se escuchan fácilmente modulaciones de su intensidad, llamadas batimientos, que resultan de la interferencia de las ondas que las notas producen. Estas analogías entre fenómenos ópticos y acústicos fueron demostradas por los experimentos con ranuras realizados por Thomas Young hacia 1815 y dieron una gran fuerza a la hipótesis de que la luz, como el sonido, es un fenómeno ondulatorio que resulta de ondas esféricas que se producen en cada punto de los cuerpos luminosos y se propagan en los medios transparentes, como el aire, el agua, el vidrio o el vacío. Ésta es la hipótesis fundamental de la óptica ondulatoria y con ella es posible entender fenómenos ópticos inexplicables con la teoría de rayos, sin que sea siquiera necesario en muchos casos precisar la naturaleza de las ondas luminosas; es decir, sin que sea necesario precisar la propiedad del medio que es perturbada y que se propaga en forma de ondas luminosas. Por ejemplo, se pueden calcular los ángulos de desviación de la luz difractada por una ranura conociendo solamente la anchura de la ranura y la longitud de onda de la luz, sin que sea necesario precisar la propiedad del medio que constituye las ondas luminosas. Así, el ángulo de desviación de la luz que forma la primera imagen lateral se calcula con la fórmula ∅=38.2(L/a); siendo "L" la longitud de onda de la luz y "a" la anchura de la ranura. Desde luego, también se puede calcular la longitud de onda de la luz difractada y de la anchura de la ranura utilizando la fórmula anterior en la forma L=( ∅ / 38.2)a. Por ejemplo, si la anchura de la ranura es de 0.001cm y el ángulo de desviación de la luz que forma la primera imagen lateral es de1.9º, la longitud de onda de la luz es L=(1.9º/ 38.2) X 0.001=0.0005 cm. De manera similar Thomas Young midió la longitud de onda de la luz de cada color del arco iris encontrando que son diferentes. La de la luz roja, por ejemplo, es de unos 0.000075 cm; la de la amarilla es de unos 0.00060 cm y la de la luz violeta de 0.000040 cm.¡entre 100 000 y 1 000 000 de veces más pequeñas que las longitudes de onda de las ondas acústicas! La frecuencia de las ondas luminosas se pudo calcular también fácilmente porque la velocidad de la luz, 300000 km/ s=3000000000 cm/ s, ya era conocida. Para la luz amarilla la frecuencia resulta ser de 30000 00 0 000 cm/s)/(0.000,060cm) = 50 000 000 000 000 Hz. Esta frecuencia es miles de millones de veces mayor que la de las ondas acústicas. Las cantidades muy, muy pequeñas y las muy, muy grandes hacían su aparición en la física. Los experimentos de Thomas Young dieron una gran fuerza a la hipótesis ondulatoria de la luz pero no fueron su origen. Las ideas ondulatorias de la luz surgieron simultáneamente con las corpusculares de Newton, muy posiblemente inspiradas en las ideas cartesianas de la "especie de presión" propagadas en un medio. Su principal proponente fue el físico holandés, contemporáneo de Newton, Hans Christian Huygens, alrededor de 1670. Sin embargo, Huygens dedicó su teoría ondulatoria de la luz principalmente a explicar problemas de reflexión y de refracción de la luz como los llamados fenómenos de refracción atmosférica; por ejemplo, la aparición de espejismos, el parpadear de las estrellas o la aparente deformación del disco de la Luna o del Sol cuando están

cerca del horizonte. Huygens explicó estos fenómenos a partir de la hipótesis ondulatoria principal de que un punto luminoso produce ondas esféricas y de que éstas estimulan la vista sólo si la mirada se dirige a lo largo del radio de las ondas esféricas que llegan al ojo; o sea, sólo si se dirige la vista hacia el punto luminoso. Esta segunda parte de la hipótesis es necesaria para incluir la propagación rectilínea de la luz (Figura 26). En muchos fenómenos las ondas cambian de forma por distintas razones y dejan de ser esféricas, por lo que no se puede hablar del radio de la esfera. Se supone entonces que la onda estimula la vista si la mirada se dirige a lo largo de la perpendicular a la zona de perturbación que está en contacto con el ojo (Figura 27). Esto no cambia la hipótesis principal porque si la onda es esférica, la perpendicular y el radio tienen la misma dirección.

Figura 26. La hipótesis principal de la óptica ondulatoria es que cada punto luminoso produce ondas esféricas.

Figura 27. Si la mirada se dirige en dirección perpendicular a las zonas de perturbación se estimula el sentido de la vista. En las ondas esféricas esta dirección coincide con un radio de la esfera.

Para explicar los fenómenos de refracción atmosférica se hacen diagramas en los que las ondas esféricas se

representan mediante círculos concéntricos centrados en el punto luminoso que las produce (Figura 28). La distancia entre círculos consecutivos representa la longitud de onda a una cierta escala de dibujo; por ejemplo, 1cm podría representar una longitud de onda de 0.000050cm.

Figura 28. La separación entre las zonas esféricas y la longitud de onda cambia de un lugar a otro si la velocidad de propagación cambia.

Si la longitud de onda cambiara en algún lugar representado en el diagrama, por ejemplo, porque cambiara la velocidad de propagación de las ondas, la distancia entre los círculos concéntricos también se alteraría en los puntos del diagrama correspondientes a ese lugar. Un espejismo es la reflexión aparente de cuerpos en el suelo, como si existiera un espejo de agua (Figura 29). Se observa en días muy soleados, cuando el aire que está en contacto con la superficie terrestre se calienta mucho más que el que está en capas superiores. El aire caliente de abajo se dilata y se hace menos denso que el aire más frío de arriba. Esto, a su vez, disminuye continuamente el índice de refracción del aire desde las capas superiores hasta la que está en contacto con el suelo. La luz emitida desde un objeto hacia el suelo cambia su dirección de propagación también continuamente y termina recorriendo un camino curvo que la dirige finalmente hacia arriba, como se muestra en la figura 29. Un observador ve el objeto en la dirección que tiene la luz cuando llega a su ojo; o sea, la ve en la dirección general del suelo, como si ahí se hubiera reflejado la luz del objeto.

Figura 29. Un espejismo es la reflexión aparente de cuerpos, como si existiera un espejo de agua en el suelo. Se observan en días muy asoleados y se deben al calentamiento de la capa de aire en contacto con el suelo.

Si representamos las ondas luminosas emitidas por un punto del objeto por medio de círculos concéntricos, la distancia entre círculos consecutivos debe cambiar de uno a otro porque la velocidad de propagación de la luz también cambia de una capa de aire a otra. Si la distancia entre círculos aumenta de los superiores a los inferiores, la dirección de la perpendicular a los círculos, que es la dirección de propagación de la luz, se curva hacia arriba como se muestra en la figura 30 (a); pero si la distancia entre círculos disminuye, la dirección de propagación se curva hacia abajo como se muestra en la figura 30 (b). Los espejismos se forman porque la dirección de propagación se curva hacia arriba cuando el aire se hace menos denso. Esto demuestra, entonces, que si la luz es un fenómeno ondulatorio su velocidad de propagación debe ser mayor en los medios menos densos y alcanzaría su valor máximo cuando la densidad fuera nula; o sea, en el vacío.

Figura 30. (a) La dirección de propagación de a luz se curva hacia arriba si su velocidad aumenta en las capas inferiores. (b) La dirección de propagación de la luz se curva hacia abajo si su velocidad disminuye en las capas inferiores.

Esta conclusión de la teoría ondulatoria sobre la velocidad de la luz en medios de densidades diferentes se opone completamente a la obtenida con la hipótesis corpuscular de Newton, la cual afirma que la velocidad de propagación es mayor en el medio más denso. La controversia entre las dos teorías hubiera podido ser dirimida midiendo la velocidad de la luz en medios de distintas densidades, por ejemplo en aire y en agua; pero la velocidad de la luz es tan grande que en tiempos de Huygens y Newton no era posible hacer esta medición mas que por métodos astronómicos y sólo se conocía su valor en el vacío, que es aproximadamente igual a 300 000 km/ s. La controversia duró cerca de 150 años, hasta que los experimentos de difracción y de interferencia hechos por Thomas Young en 1815 dieron tanto apoyo a las ideas ondulatorias que la medición de las velocidades de la luz en distintos medios perdió algo de su importancia para dirimir la controversia. Sin embargo, en 1850 el físico francés Jean B. Foucault pudo medir la velocidad de la luz en agua encontrando un valor 33% menor que en aire. La teoría corpuscular de Newton parecía estar definitivamente muerta.

VII. LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS MUCHOS fenómenos ópticos, como la difracción y la interferencia, pueden explicarse simplemente con la hipótesis ondulatoria de la luz sin necesidad de precisar la propiedad del medio que es perturbada y se propaga en ondas. La óptica ondulatoria sobrevivió y se desarrolló por casi 200 años, durante los cuales muchos problemas ópticos fueron resueltos y muchos instrumentos ópticos fueron desarrollados sin conocer la naturaleza de las ondas; sólo se necesitaba saber que eran ondas. Tampoco fue necesario en muchos casos precisar la naturaleza del medio en que se propagan las ondas luminosas; bastaba con suponer que existía uno capaz de propagarlas. Este medio fue llamado "éter". Sin embargo, para entender la naturaleza de la luz se hacía necesario conocer las propiedades del medio y determinar la que es perturbada y se propaga ondulatoriamente. Basándose en los valores ya conocidos de la velocidad, de la longitud de onda y de la frecuencia de la luz se determinó que el supuesto éter debía tener características muy especiales que lo hacían diferente a cualquier otro medio conocido, como el aire o el agua. Por ejemplo, como se pensaba en las ondas luminosas en analogía con las acústicas, el éter sería un medio análogo al aire, pero como la frecuencia de las ondas luminosas es miles de millones de veces superior a la de las ondas acústicas, el éter debía ser miles de veces más elástico que el aire, con propiedades parecidas al acero, para poder vibrar tan rápidamente. También debía de ser transparente para dejar pasar la luz, e infinitamente tenue para permitir la circulación indefinida de los cuerpos celestes. Todos los intentos realizados por muchos años para demostrar la existencia del éter fueron inútiles. No sorprende ahora, después de todo, que un medio tan extraordinario no haya sido jamás encontrado. Mientras la óptica se desarrollaba hasta alcanzar la teoría ondulatoria y se atoraba con las ideas del éter, otras partes de la ciencia también crecieron. En particular, la ciencia de la electricidad y la del magnetismo se habían desarrollado independientemente, desde los fenómenos elementales descubiertos hace siglos por los griegos, frotando con piel objetos de ámbar para producir cargas eléctricas y moviendo objetos de hierro sin tocarlos, con trocitos de un extraño mineral —magnetita— traído de la región de Magnesia en el Asia Central, hasta los experimentos del físico danés Hans Christian Oersted en 1820 y del físico inglés Michael Faraday en 1839, que demostraban una fuerte relación entre la electricidad y el magnetismo. Estos experimentos probaron que las cargas eléctricas que se generan al frotar dos cuerpos y que atraen o rechazan a otras cargas generadas de la misma manera también pueden atraer o rechazar cuerpos magnetizados, como una brújula, aunque sólo si están en movimiento. Es decir, que las cargas eléctricas, además de las fuerzas eléctricas que atraen o rechazan a otras cargas eléctricas, si se ponen en movimiento producen también a su alrededor fuerzas magnéticas que mueven cuerpos magnetizados como brújulas e imanes. Este descubrimiento, por lo pronto, dio origen a uno de los inventos más importantes de la civilización moderna —el motor eléctrico—, que consiste esencialmente en un dispositivo para hacer circular cargas eléctricas por un conductor de electricidad y de un cuerpo magnetizado que es puesto en movimiento por las fuerzas magnéticas generadas por esas cargas móviles. El mismo descubrimiento, insospechadamente, también liberó a la óptica de su inútil búsqueda del éter. La fuerza magnética producida por cargas eléctricas en movimiento aparece alrededor de las cargas, en donde antes no había ninguna fuerza magnética, al empezar éstas a moverse. Es una propiedad del medio, que cambia si las cargas eléctricas se mueven. La magnitud de la fuerza magnética cambia desde el valor cero, cuando las cargas están en reposo, hasta valores distintos de cero, que alcanza cuando las cargas se mueven, y que dependen de la velocidad de las cargas. En otras palabras, las cargas en movimiento perturban el medio en una forma parecida a la forma en que la presión y la densidad del aire son perturbadas por la vibración de una campana. Se puede pensar, entonces, que la fuerza magnética producida por el movimiento de cargas eléctricas se propaga alrededor de las cargas en forma análoga a como se propagan en el aire los cambios de presión que constituyen el sonido; es decir, por ondas. Si las cargas vibran cambiando la dirección de su movimiento continuamente, la fuerza magnética que producen también cambia de valor y de dirección continuamente, produciendo a su alrededor zonas de fuerza magnética con distintos valores y direcciones opuestas. Así pues, se puede hablar de ondas de fuerza magnética producidas por cargas en movimiento de la misma forma en que se habla de ondas acústicas de presión, producidas por objetos en vibración como campanas o bocinas. Estas ondas se llaman ondas electromagnéticas porque junto con la fuerza magnética se propaga también la fuerza eléctrica producida por las cargas (Figura 31).

Figura 31. Las cargas eléctricas en movimiento producen fuerzas eléctricas y magnéticas que se propagan a su alrededor a la velocidad de la luz. La propagación de estas fuerzas se llama onda electromagnética. A ciertas frecuencias estas ondas se perciben como luz.

Las fuerzas eléctricas y magnéticas producidas en cierto lugar por cargas en movimiento no aparecen instantáneamente en ese lugar al iniciarse el movimiento de las cargas, sino que toman un cierto tiempo. La velocidad de propagación de la fuerza magnética es igual a la distancia entre las cargas y el lugar, dividida entre el tiempo que tarda en aparecer la fuerza magnética desde que las cargas inician su movimiento. Desde luego, ésta es también la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas. El físico escocés James Clerk Maxwell encontró en 1865 la forma de calcular esta velocidad y obtuvo el valor de 300 000 km/s. ¡El mismo valor de la velocidad de la luz! Esto no podía ser sólo una simple coincidencia, y llevó a Maxwell a declarar que tenía "fuertes razones para concluir que la luz es una perturbación electromagnética en forma de ondas...". Parecía por fin que se habían encontrado la perturbación ondulatoria que constituye la luz, y las ideas acerca del éter fueron sepultadas para siempre.

VIII. LAS FUENTES DE LA LUZ LAS IDEAS de Maxwell produjeron otro resultado de enorme importancia: explicaron cómo se produce la luz. Ésta se produce moviendo cargas eléctricas. La onda electromagnética más sencilla se produce haciendo oscilar el sistema de cargas más sencillo. Este sistema, llamado dipolo eléctrico, está formado por dos cargas eléctricas iguales y de signos opuestos; esto es, por una carga positiva y otra igual pero negativa. Es el sistema más sencillo porque nuestro universo es eléctricamente neutro y al producirse una carga eléctrica de un signo siempre se produce una carga igual del signo opuesto. La figura 32 muestra, en cierto momento, las fuerzas eléctricas que se producen alrededor de un dipolo eléctrico oscilante. Estas fuerzas oscilan en cada punto a la misma frecuencia con la que oscila el dipolo. Si uniéramos por una superficie los extremos de todas las fuerzas eléctricas, las veríamos ondular alejándose del dipolo, como las ondas circulares de la figura 22 generadas al perturbar la superficie del agua tranquila.

Figura 32. La longitud de las ondas de radio es de cientos de metros y se producen en sistemas de cargas eléctricas en movimiento, llamados antenas, que tienen dimensiones comparables, de unos 100 a 200 m.

Las ondas de radio y de televisión son como éstas. Se generan haciendo oscilar cargas eléctricas por un conductor de cargas, generalmente vertical, llamado antena. Estas ondas difieren de las ondas de luz solamente en la frecuencia; las de radio tienen frecuencias entre millones y miles de millones de hertzios (megahertzios, MHz, a gigahertzios, GHz), y las de luz tienen frecuencias de decenas de billones de hertzios (tera hertzios, THz). Las ondas electromagnéticas de radio fueron producidas artificialmente por primera vez en 1887 por el físico alemán Heinrich Hertz, quien además midió su velocidad de propagación y comprobó que es igual a la de la luz; tal y como había predicho Maxwell. Las ondas producidas por un cuerpo luminoso, responsables de los fenómenos de difracción y de interferencia, se producen por el movimiento de las partículas con carga eléctrica con que están construidos los átomos y las moléculas del cuerpo. Debido a que estos movimientos ocurren en todas direcciones y no sólo en una como sucede en una antena vertical, la onda electromagnética producida por cada punto luminoso es esférica y se propaga en todas direcciones. La perturbación que se propaga está formada por las fuerzas eléctrica y magnética producidas por las cargas en movimiento y no requiere de un medio material para propagarse, ya que puede hacerlo en el espacio vacío. Es difícil representar estas ondas por un dibujo sobre un papel porque las fuerzas eléctrica y magnética son perpendiculares entre sí y perpendiculares, a su vez, a la dirección de propagación de la onda. La figura 33 muestra cómo se verían, en cierto instante, las fuerzas magnéticas de una onda esférica

alrededor de las cargas que las producen. La fuerza en cada punto oscila continuamente de manera que las esferas que pasan, por ejemplo, por los máximos de las fuerzas, se alejan de su centro a la velocidad de propagación de la luz. Excepto porque las fuerzas son perpendiculares a la dirección de propagación, Huygens postuló correctamente la existencia de estas ondas para explicar los fenomenos de refracción de la luz (Figura 28), y Young para explicar los de interferencia y de difracción (Figuras 17 y 23).

Figura 33. Las fuerzas magnéticas en una onda electromagnética esférica. Las fuerzas avanzan a la velocidad de la luz ocupando esferas cada vez mayores.

Todas las ondas electromagnéticas se generan por sistemas de cargas eléctricas en movimiento. En general, la longitud de la onda producida es comparable a las dimensiones del sistema de cargas; por ejemplo, las ondas de radio tienen longitudes de onda de más o menos 300 m y las antenas de transmisión de radio son también de unos 100 o 200 metros de longitud (Figura 32). La longitud de las ondas electromagnéticas, llamadas comúnmente "microondas", es de unos 12 cm. Las ondas se producen en instrumentos electrónicos, llamados "magnetrones", con esas dimensiones aproximadas. Las ondas electromagnéticas que llamamos luz tienen una longitud de unos 0.0005 mm, lo que indica que se generan en sistemas microscópicos de cargas eléctricas de dimensiones comparables. Estos sistemas tienen un diámetro aproximado de 0.00001 mm y se llaman átomos, o moléculas. Toda la materia está compuesta por átomos o moléculas de distintas especies; todos están compuestos por cargas eléctricas y, por lo tanto, todos son susceptibles de producir ondas electromagnéticas. Además de ondas de luz, estos sistemas pueden producir ondas de mayor longitud, llamadas radiación infrarroja, y ondas de menor longitud llamadas radiación ultravioleta y rayos X, que no pueden ser percibidas directamente por el ojo. En el interior de los átomos y de las moléculas existen además sistemas de cargas eléctricas mucho más pequeños, unas cien mil veces más pequeños, los llamados núcleos atómicos que son susceptibles de producir radiación electromagnética de mucho menor longitud que la de la radiación ultravioleta o que la de los rayos X. Estas ondas electromagnéticas se llaman rayos gamma y tampoco pueden ser percibidos por la vista. Al conjunto de los distintos tipos de ondas electromagnéticas se le llama espectro electromagnético. La figura 34 muestra sus longitudes de onda, sus frecuencias y las dimensiones de los sistemas de cargas eléctricas que las producen.

Figura 34. El espectro de las ondas electromagnéticas y las dimensiones de los sistemas de cargas que las producen.

IX. ¿ONDAS O PARTÍCULAS? LA TEORÍA electromagnética de la luz propuesta por Maxwell contestó preguntas y resolvió problemas muy importantes. Los principales fueron descubrir que la perturbación que se propaga como ondas de luz está formada por fuerzas eléctricas y magnéticas, y que estas perturbaciones se producen en cargas eléctricas en movimiento. Estos descubrimientos dieron origen a la radio, a la televisión y, en general, a toda la tecnología moderna de telecomunicaciones. Parecía también haber establecido definitivamente que la luz está constituida por ondas esféricas (electromagnéticas) que se producen en cada punto de los objetos luminosos. Sin embargo, en menos de unos diez años se encontró que esto no podía ser totalmente cierto; más bien la luz, en varios nuevos experimentos, daba muestras de estar compuesta por gránulos o corpúsculos y no por perturbaciones continuas como son las ondulatorias. El experimento más sencillo que muestra la naturaleza granular de la luz consiste simplemente en tomar fotografías de un objeto a diferentes grados de exposición de la película, desde uno muy bajo hasta el adecuado para obtener una buena foto. La figura 35 muestra el resultado de este experimento. La exposición en la primera foto fue 10 000 veces menor que en la última; o sea, que la cantidad de luz que llegó a la placa fotográfica en la primera foto fue también 10 000 veces menor que en la última. En la foto de menor tiempo de exposición, (a) y (b), se observa claramente que la película se va imprimiendo por puntos; como si la luz estuviera formada por gránulos o corpúsculos que llegan a ella separadamente y van dejando marcas individuales en la película. Esto contradice la idea de la luz como ondas esféricas porque éstas son continuas; su efecto en la película también debería ser continuo; y la imagen del objeto debería irse formando poco a poco pero toda completa y no por puntos individuales como se observa.

Figura 35. La naturaleza corpuscular de la luz se observa en fotos de objetos iluminados muy débilmente. La imagen se forma punto a punto, y muestra que la luz llega a la película fotográfica por unidades separadas que los producen.

En las mismas fotos (a) y (b) se puede notar que los puntos que forman la imagen son esencialmente iguales; simplemente hay más puntos en las partes brillantes que en las oscuras. Esto sugiere que los supuestos gránulos o corpúsculos de luz son también esencialmente iguales puesto que producen los mismos efectos en la placa fotográfica. Cada una de estas unidades es indivisible. Esto se demuestra también fácilmente con una variante del mismo experimento. Se divide en dos la luz que llega a la cámara en el experimento anterior por medio de un semiespejo;

esto es, por un espejo que refleja la mitad y trasmite la otra mitad de la luz que le llega (Figura 36). Tomando dos fotografías simultáneamente, una con la luz trasmitida y otra con la luz reflejada, se encuentra que las imágenes en ambas fotos se integran por puntos idénticos a los de las fotos de la figura 35. La única diferencia es que en este experimento las imágenes se integran en el doble del tiempo. Es decir, el semiespejo simplemente reduce a la mitad el número de unidades indivisibles de luz que llegan a la primera cámara y refleja la otra mitad del número de corpúsculos a la segunda cámara.

Figura 36. Experimento para observar la división de la luz en partes iguales. El semiespejo refleja la mitad de la luz que le llega y transmite la otra mitad.

La demostración más impresionante de la naturaleza corpuscular de la luz se puede obtener ahora simplemente advirtiendo cómo se forma la imagen de una estrella con una cámara sobre una placa fotográfica. Como en los experimentos anteriores, en la figura 37 se observa que la imagen de cada estrella en la película se integra con puntos idénticos a los de esos experimentos. Cada una de las unidades indivisibles de luz que producen estos puntos viaja miles de años a 300 000 km/s, desde una estrella hasta la Tierra, y produce en la placa fotográfica una marca idéntica a la que deja cada unidad de luz de un objeto colocado a unos metros de la cámara. Si la luz que produce cada una de estas marcas se hubiera originado en la estrella como una onda esférica, al propagarse a través de las enormes distancias interestelares se habría repartido sobre una inmensa esfera en el espacio sideral llegando a la cámara una parte tan insignificante de ella que no podría producir en la emulsión fotográfica un efecto igual al que produce cada unidad de la luz proveniente de una fuente cercana. Sólo mediante la propagación rectilínea de corpúsculos de luz se puede entender este resultado experimental. Esto, en buena medida, reivindica la hipótesis corpuscular de la luz de Isaac Newton basada en la simple observación de la propagación rectilínea de la luz mediante el sencillo experimento de la figura 1. En efecto, uno de los argumentos principales de Newton en apoyo de la hipótesis corpuscular era que si bien "el sonido de un cañón o de una campana puede oírse tras de una colina que lo oculte", porque el sonido es una perturbación ondulatoria que se propaga a todo el medio que rodea la colina, "las estrellas fijas dejan de verse por la interposición de un planeta", no pudiendo propagarse su luz al otro lado de éste "por estar compuesta de cuerpos pequeñísimos que son emitidos por las sustancias luminosas".

Figura 37. Las fotografías de las estrellas se forman también punto a punto, de la misma manera que las de los objetos cercanos los corpúsculos de luz, o fotones, que producen esos puntos viajan miles de años por el espacio sideral hasta llegar a la película fotográfica.

Los corpúsculos de luz manifiestan también su existencia por sus efectos sobre ciertos sistemas que los producen. Por ejemplo, los tubos luminosos que se llaman generalmente "de gas neón", pero que también se fabrican con otros gases, producen luz porque las cargas eléctricas, o electrones, de la corriente que se hace circular por ellos chocan con las moléculas del gas que llena el tubo y agitan las cargas eléctricas que las componen, haciendo que se muevan brevemente, como si fueran minúsculas campanas que vibran a determinadas frecuencias. Cada molécula así excitada produce luz de colores característicos durante un tiempo muy breve, de unas milmillonésimas de segundo, después del cual regresa a su estado original. Se observa también que el gas se calienta durante este proceso. Esto, a su vez, indica que sus moléculas adquieren velocidades mayores que las que tenían inicialmente, porque la temperatura de un gas depende de las velocidades de sus moléculas (Figura 38).

Figura 38. Producción de luz en una lámpara de gas. Las cargas de la corriente eléctrica, o electrones, chocan can las moléculas del gas y agitan las cargas eléctricas que las componen, haciendo que se muevan momentáneamente y produzcan luz de los colores característicos de la molécula.

Supongamos ahora que la luz se produce en ondas esféricas y que cada átomo, al producir luz, es como un pequeño corcho que cae sobre agua y produce una onda circular (Figura 39 (a)). Al caer, el corcho empuja agua en todas direcciones a su alrededor y esto forma la onda circular. Debido a que empuja en todas direcciones el corcho permanece en el mismo lugar en que cayó, pues de haber empujado en un solo sentido se habría movido en la dirección opuesta como lo hace una lancha de motor al empujar agua en una dirección con la hélice. Pero entonces no habría producido una onda circular, sino una más o menos "dirigida" en la dirección del empuje, parecida a la estela que forma tras de sí la lancha de motor al avanzar (Figura 39 (b)). Razonando ahora inversamente, si dejáramos caer muchos corchos sobre agua y encontráramos que adquieren velocidades que no

tenían antes de caer concluiríamos que, de alguna manera, cada uno de ellos habría empujado el agua en una sola dirección, adquiriendo, como consecuencia, una velocidad de retroceso en la dirección opuesta.

Figura 39. (a) Un corcho al caer en agua produce una onda circular. El corcho permanece donde cayó porque produce la onda circular empujando agua en todas direcciones simultáneamente. (b) Si el corcho empujara solamente en una dirección, la onda generada no sería circular, sino que estaría dirigida en esta dirección. Por reacción del agua a su empuje, el corcho retrocedería en la dirección opuesta.

De un problema análogo a éste Albert Einstein encontró en 1917 que para dar cuenta correctamente de la temperatura que alcanza un gas cuando sus moléculas emiten y absorben luz es necesario suponer que cada emisión de luz ocurre en una dirección precisa y no como una onda esférica. Cada molécula emisora adquiere así una velocidad de retroceso en dirección opuesta a la de emisión; produciendo el movimiento molecular justamente necesario para dar cuenta de la temperatura del gas. Es decir, Einstein demostró que no existen ondas luminosas esféricas, sino que la luz se emite en direcciones precisas como si estuviera constituida por corpúsculos que el propio Einstein llamó fotones. El trabajo de Einstein confirmó también la primera hipótesis de la composición granular de la radiación electromagnética. Esta hipótesis fue hecha en 1900 por el físico alemán Max Planck para explicar las longitudes de onda, es decir, los colores de la luz emitida por cuerpos incandescentes, como por ejemplo un lingote de hierro al rojo vivo. Para dar cuenta exactamente de las cantidades de luz emitidas a las longitudes de onda observadas, Planck encontró necesario suponer que la radiación electromagnética de cada frecuencia está compuesta por unidades indivisibles iguales y que cada una de ellas contiene una energía igual a la frecuencia de la onda multiplicada por un cierto número, conocido desde entonces como constante de Planck y que se representa universalmente por la letra h. Es decir, la energía E de cada uno de los "paquetes", o "cuantos", de energía que componen la onda de frecuencia f se obtiene de la llamada "ecuación de Planck": E =hf. Este problema de la física, conocido como el de la "radiación del cuerpo negro", y la célebre ecuación de Planck dieron origen a las ideas modernas de la composición granular, o corpuscular, de la luz.

X. PARA ATRAPAR UN FOTÓN LA COMPOSICIÓN granular de la luz, demostrada de múltiples formas, algunas de las cuales hemos descrito anteriormente, no puede ser puesta en duda. También queda demostrado por los descubrimientos de Einstein que la luz no es emitida por ondas esféricas. Sin embargo, el éxito de la óptica ondulatoria para explicar los fenómenos de refracción, difracción e interferencia de la luz no puede ser ignorado; así como tampoco puede pasar inadvertida la relación que establece la ecuación de Planck E=hf entre las "partículas de luz", o fotones, y alguna onda que tiene la frecuencia f. Esto es, el movimiento de los corpúsculos de luz, o fotones, debe estar asociado a la onda electromagnética que determina su energía y, en muchos experimentos, determina también su comportamiento. ¿Cómo es posible la difracción de la luz por una ranura si la suponemos compuesta por fotones indivisibles? Ya vimos que si intentamos medir el diámetro de los fotones cerrando la ranura hasta permitir apenas su paso, encontramos que éstos pasan por las ranuras más estrechas; de manera que no es posible asignarles una dimensión definida. Sin embargo, alguna propiedad del fotón debe estar relacionada con una longitud puesto que éste distingue una ranura estrecha en la que es difractado, de una ranura ancha por la que transita sin desviarse. La óptica ondulatoria, por su parte, establece que una ranura produce difracción sólo si su anchura es comparable con la longitud de onda de la luz; es decir, si la anchura es, cuando mucho, unas cuantas veces mayor que la longitud de onda. Esto implica que alguna propiedad del fotón debe estar relacionada con la longitud de una onda. La ecuación de Planck, E= hf, muestra esta relación. Si escribimos la frecuencia f como la velocidad de la luz c dividida entre la longitud de onda L, la ecuación de Planck queda escrita en la forma E = hc/L que relaciona una propiedad del fotón, la energía, con la longitud de una onda. Esta onda debe ser la onda electromagnética que producen las cargas eléctricas en movimiento, junto con el fotón. Podemos intentar ahora hacernos una representación más completa de lo que ocurre en la producción de un fotón. Según el resultado de Einstein, el fotón es producido en un tiempo muy breve, como de una milmillonésima de segundo, por la agitación momentánea de las cargas eléctricas de una molécula; además, es emitido a la velocidad de la luz, pero no como una onda esférica, sino en una dirección bien definida. Simultáneamente las cargas producen una onda electromagnética que se propaga, también a la velocidad de la luz, junto con el fotón. La onda puede ser esférica o no, esto depende sólo del movimiento de las cargas, pero su extensión es limitada. La onda ocupa sólo la distancia que viaja la luz durante el movimiento de las cargas. Por ejemplo, si el tiempo de emisión fuera de una milmillonésima de segundo, la extensión de la onda sería una milmillonésima parte de los 300 000 km que viaja la luz cada segundo; o sea, sería de 30 cm. Una onda de extensión limitada se llama "tren de ondas" y se representa como en la figura 40. Como la longitud de onda de la luz es tan pequeña, en el tren caben muchísimas ondas completas. Si la longitud de onda de la luz en el ejemplo anterior fuera de 0.00005 cm, en el tren cabrían 30/ 0.00005=600 000 ondas completas. La frecuencia de la onda es el número de oscilaciones en un segundo; o sea, f = 600 000/ 0.000000001=600 billones de hertzios. La energía del fotón emitido depende de la frecuencia de esta onda.

Figura 40. Un tren de ondas es una onda de extensión limitada.

El tren de ondas electromagnéticas es generado con el fotón, pero no es el fotón. Éste puede ser encontrado en cualquier lugar de la región ocupada por el tren de ondas, pero no está repartido sobre toda esta región; si se le encuentra en algún lugar, se le encuentra completo. Por ejemplo, si el tren fuera esférico, el fotón podría encontrarse, completo, en cualquier parte de un cascarón esférico de 30 cm de espesor y con un radio que aumenta a la velocidad de la luz. En este cascarón se encuentra el tren de ondas generado por el movimiento de las cargas (Figura 41). En otras palabras, el tren de ondas electromagnéticas indica dónde puede ser encontrado, pero no dónde está el fotón. Por ejemplo, si este tren de ondas esféricas llega a una ranura delgada, atrás de ella ya no se propaga como una onda esférica, sino que debido a interferencias en la onda trasmitida, se forman zonas de interferencia destructiva, donde la onda electromagnética se cancela por completo, y zonas de interferencia constructiva donde la interferencia refuerza la intensidad de la onda. Éstas son las zonas que se observan en la difracción de la luz por una ranura (Figuras 17 y 18). Si se ilumina la ranura con luz tan débil que los fotones pasen uno por uno por ella, cada uno de ellos podría ser encontrado en los lugares de interferencia constructiva, pero no podrá ser encontrado en los lugares de interferencia destructiva. Esto se comprueba recibiendo los fotones en una placa fotográfica. Los puntos marcados en la película por los fotones trasmitidos caen, uno por uno, en los lugares de interferencia constructiva de la onda y ningún punto cae en los lugares donde las interferencias anulan la intensidad de la onda trasmitida. Más aún, los puntos se acumulan más rápidamente en la banda central del patrón de difracción que en las laterales, indicando que los fotones prefieren llegar a los lugares donde la onda electromagnética es más intensa.

Figura 41. Un tren de ondas electromagnéticas esféricas producido al generarse un fotón por el movimiento de las cargas en un átomo. El fotón puede encontrarse, completo, en cualquier parte del tren con igual probabilidad.

El experimento de Young de la ranura doble comprueba esta relación del fotón con la onda electromagnética. El patrón de iluminación de la ranura doble difiere del de la ranura sencilla fundamentalmente en las imágenes brillantes de interferencia que aparecen al centro (Figura 21). Necesitamos ahora explicar cómo se forman estas imágenes de interferencia con los fotones que componen la luz que llega a la ranura doble. Puesto que los fotones son indivisibles, cada fotón pasa sólo por una de ellas. Si la ranura por la que no pasa un fotón no tuviera ningún efecto, todos los que pasan por una ranura producirían un patrón de difracción independiente del producido por los que pasan por la otra y no habría interferencia entre ellos. Se observaría solamente la superposición de dos patrones de difracción de una ranura y las imágenes brillantes centrales de interferencia constructiva no se observarían. Las dos ranuras influyen en cada fotón porque ambas trasmiten la onda electromagnética asociada a cada uno de ellos. Atrás de las ranuras se producen entonces zonas de interferencia constructiva donde un fotón que pase por cualquier ranura puede ser encontrado, y zonas de interferencia destructiva donde cualquier fotón trasmitido no puede ser encontrado. Cada fotón trasmitido tiene mayor probabilidad de llegar a las zonas centrales

donde la intensidad de la onda trasmitida es grande debido a la interferencia constructiva, y una menor probabilidad de llegar a las zonas intermedias y laterales, donde la intensidad de la onda trasmitida es pequeña debido a la interferencia destructiva. Todavía se podría pensar que las imágenes centrales observadas con la ranura doble resultan de interacciones directas entre los fotones que se encuentran en tránsito por las ranuras. Esto es, que los fotones, de alguna manera, alterarían mutuamente sus movimientos agrupándose en algunas regiones y alejándose de otras. Esta posibilidad fue eliminada en 1909 por el físico inglés G. I. Taylor, quien realizó el experimento de la ranura doble de Young con fuentes luminosas extraordinariamente débiles, de manera que los fotones pasaban uno a uno por la ranura doble y no existía posibilidad de que se influyeran mutuamente en sus movimientos. Los fotones trasmitidos eran recibidos en la película de una cámara fotográfica imprimiendo cada uno un punto en el sitio de su llegada. Acumulando puntos durante tiempos muy largos, en ocasiones durante varias semanas, se encontró que siempre forman las mismas imágenes de interferencia que se observan con fuentes de luz más intensas. Esto demostró que las imágenes no pueden resultar de influencias mutuas entre los fotones y apoya la hipótesis de que cada fotón trasmitido puede llegar a cualquier lugar donde la intensidad de la onda no se anule. Los fotones, desde luego, llegan con mayor probabilidad a las zonas donde la intensidad de la onda electromagnética trasmitida es grande y no llegan a las zonas donde esta intensidad se anula por interferencias destructivas. Para atrapar un fotón conviene, pues, buscarlo en las zonas de mayor intensidad de la onda electromagnética. Por ejemplo, para atraparlo después de pasar por una ranura doble, podemos hacer un diagrama de Young de las ondas trasmitidas por las ranuras, como el de la figura 23, y localizar las zonas donde interfieren constructivamente; éstas son las regiones más oscuras que se ven mirando el diagrama en un ángulo oblicuo desde el lado derecho hacia el izquierdo de la figura 42. Un fotón trasmitido por cualquiera de las ranuras puede ser atrapado, con gran probabilidad, en cualquiera de estas zonas. No es posible, sin embargo, saber anticipadamente en cuál será encontrado; puede llegar a cualquiera de ellas con la misma probabilidad. Tampoco es posible asegurar, una vez atrapado el fotón, por cuál de las dos ranuras fue trasmitido; pudo ser cualquiera de las dos con la misma probabilidad.

Figura 42. Diagrama de Young para encontrar las zonas de interferencia constructiva de las ondas transmitidas por dos ranuras. Éstas son las regiones oscuras que se notan viendo el diagrama oblicuamente desde el extremo derecho hacia el izquierdo. Un fotón de la luz transmitida por las ranuras puede llegar, con gran probabilidad, a cualquiera de esas zonas.

Figura 42. (b)

Este ejemplo muestra que generalmente no es sencillo saber dónde ocurren las zonas de interferencia constructiva de ondas que encuentran obstáculos porque las ondas trasmitidas, o reflejadas, se combinan en el espacio creando zonas de interferencia de formas complicadas. El ejemplo de la ranura doble es de los más sencillos y requiere de trazar un esquema a escala de la posición de las ranuras, y muchos semicírculos concéntricos equidistantes que representan las ondas trasmitidas por las ranuras. Las zonas de interferencia constructiva de ondas trasmitidas por dos o más ranuras se pueden encontrar más fácilmente trazando los juegos de semicírculos equidistantes correspondientes a cada ranura, en hojas de plástico transparentes como las mostradas en la figura 43. Por ejemplo, las zonas creadas por una ranura doble se observan sobreponiendo dos de estas hojas en un papel blanco de manera que las bases de los semicírculos queden sobre una misma recta con los centros ligeramente separados. Las zonas de interferencia constructiva de las ondas trasmitidas están representadas, como antes, por las regiones oscuras que se forman en las intersecciones de los semicírculos. Cambiando la separación entre los centros de los dos juegos de semicírculos se puede ver cómo cambian las regiones de interferencia constructiva al cambiar la distancia entre las ranuras. Este método se puede emplear también para más de dos ranuras, sobreponiendo más láminas; o para ranuras que no se encuentren sobre el mismo plano, colocando las bases de los semicírculos sobre rectas que formen un ángulo igual al de los planos de las ranuras.

Figura 43. Diagrama de Young para dos ranuras, construido con láminas de plástico transparente sobrepuestas en un papel blanco. En cada lámina se representa la onda esférica propagada desde una ranura con una serie de semicírculos equidistantes. Cambiando la separación de los centros de las láminas se observa cómo cambian las zonas de interferencia constructiva de las ondas transmitidas.

XI. EL FOTÓN Yo soy quien soy, y no me parezco a nadie. PEDRO INFANTE DESPUÉS de las páginas anteriores podríamos contestar "la luz está hecha de fotones" con buenas probabilidades de que entendamos lo mismo con la palabra "fotones". A continuación resumiremos sus principales propiedades físicas. El fotón es una partícula indivisible que se mueve, siempre, a la velocidad de la luz. Ésta es la máxima velocidad de propagación posible en el Universo. Ningún cuerpo material puede alcanzarla porque la resistencia de la materia a ser acelerada, su inercia, aumenta con la velocidad, y se hace infinita a la velocidad de la luz. Para alcanzar esta velocidad sería necesario aplicar a ese cuerpo una fuerza de magnitud infinita, que no hay en la naturaleza. El fotón se mueve a la velocidad de la luz porque no es una partícula material; su masa es nula. Esto tiene la consecuencia adicional de que su velocidad no puede ser disminuida; esto es, los fotones no pueden ser frenados, existen sólo en movimiento a la velocidad de la luz. Como además nosotros no podemos movernos a esa velocidad es imposible detener, o alcanzar, un fotón para examinarlo. No tiene siquiera sentido imaginarle un aspecto físico; si es redondo y con costuras como pelota de beisbol, o liso, blanco y con un punto negro como bola de billar. Los puntos que aparecen en las fotos de baja exposición de la figura 35 no son fotones, sino las huellas que éstos dejan al transformar en plata metálica los cristales de sales de este metal que los absorben. La posibilidad de que existieran partículas sin masa moviéndose a la velocidad de la luz fue anticipada por Einstein en la teoría de la relatividad. Por esto se llaman "partículas relativistas". Existen otras partículas relativistas con propiedades diferentes a las del fotón. Los neutrinos, por ejemplo, no son visibles por el ojo humano. Los fotones son producidos por cargas eléctricas en movimiento. Las cargas eléctricas producen simultáneamente fuerzas eléctricas y magnéticas que se propagan en el espacio a la velocidad de la luz como ondas electromagnéticas. Los fotones se mueven en direcciones precisas, pero se les encuentra sólo en los lugares donde ocurren las ondas de fuerzas eléctricas y magnéticas generadas por las cargas. Se puede encontrar un fotón, todo completo, en cualquier lugar donde esas fuerzas existan; más probablemente en aquellos lugares donde esas fuerzas son mayores. Como las fuerzas electromagnéticas se propagan en forma de ondas, el fotón podrá ser encontrado con mayor probabilidad en lugares de interferencia constructiva de estas ondas y con menor o nula probabilidad en aquellos de interferencia destructiva. Esto, en algunos fenómenos como la difracción, hace que su movimiento se confunda con el de una onda, pero el fotón siempre se manifiesta como una unidad indivisible y nunca en fracciones, ni repartido sobre la región ocupada por la onda electromagnética. Los fotones se manifiestan como partículas, ya que concentran sus energías, sus movimientos y sus efectos en regiones definidas y separadas. En una fotografía producen marcas localizadas como si la energía de cada fotón, que transforma los cristales de la emulsión fotográfica estuviera concentrada en un pequeño paquete. De hecho, el primer paso de esta transformación es un choque entre un fotón y una partícula de carga eléctrica del cristal, un electrón, que se desprende de éste a consecuencia del impacto como si se tratara del choque de dos canicas. Este fenómeno, llamado "efecto fotoeléctrico", encuentra un gran empleo en la producción de corriente eléctrica por medio de luz en las llamadas "celdas fotoeléctricas" (Figura 44). Observando las trayectorias de los electrones que chocan con fotones se encuentra que estos choques ocurren exactamente como si electrón y fotón fueran dos bolas de billar; esto es, los ángulos de las trayectorias y las energías de las dos partículas antes y después del choque son idénticas a las que tendrían dos bolas de billar microscópicas con las mismas energías (Figura 45). Este fenómeno, llamado efecto Compton, es el que mejor muestra al fotón como partícula en el sentido de una canica o de una bola de billar.

Figura 44. Los fotones de un haz luminoso arrancan cargas eléctricas de un metal —electrones— al chocar con éstos, comunicándoles movimiento y energía como si se tratara de colisiones entre canicas. Este fenómeno, llamado efecto fotoeléctrico, es la primera etapa del proceso fotográfico, el fotón arranca un electrón a un cristal de la sal de plata de la emulsión fotográfica.

Figura 45. Las trayectorias que siguen un electrón y un fotón que chocan son idénticas a las que seguirían dos bolas de billar microscópicas que tuvieran sus mismas energías. En este fenómeno, llamado efecto Compton, la luz muestra claramente su aspecto corpuscular.

Extrañas propiedades mecánicas las de los fotones. En algunos casos son muy parecidos a las pelotas de beisbol o a las bolas de billar, pero en otros son muy diferentes. Si intentamos confinar el camino de un fotón por medio de una ranura delgada encontramos que los posibles caminos que puede seguir después de pasar por ella se multiplican y podemos encontrarlo en muchas partes al otro lado de la ranura. Esto se debe a que los fotones son creados siempre con ondas electromagnéticas y pueden encontrarse en cualquier lugar a donde éstas lleguen. Si las ondas se difractan en una ranura, cada fotón puede llegar a cualquier parte del patrón de difracción de las ondas. No existen fotones sin ondas porque la naturaleza misma de la luz es dual; tiene aspectos corpusculares y

ondulatorios simultáneamente y, aunque depende de lo que se haga con la luz cuál de los dos tipos de propiedad se hace aparente, siempre se mostrará el otro aspecto de alguna forma. Por ejemplo, para describir las colisiones de fotones el aspecto ondulatorio se muestra y se hace necesario al expresar la energía del fotón, puesto que ésta comprende inevitablemente la frecuencia de una onda. Los aspectos corpusculares y ondulatorios son, de hecho, complementarios. La teoría moderna de la luz da precisión a esta complementariedad al hacer los dos aspectos inseparables en la descripción matemática de la radiación por cargas eléctricas. Las descripciones y predicciones de fenómenos luminosos obtenidos con esta teoría se ajustan asombrosamente bien a los hechos experimentales, y apoyan las ideas básicas anteriores. Posiblemente algun día se encuentre un fenómeno que destruya o modifique estas ideas sobre la luz y los fotones, pero hasta ahora han resistido todas las pruebas. Es interesante notar también que las primeras ideas básicas sobre la luz no fueron nunca realmente abandonadas. La propagación rectilínea fue siempre un apoyo de la teoría corpuscular, y la difracción lo fue de la teoría ondulatoria. Las ondas electromagnéticas no son la luz, pero describen correctamente su propagación en el espacio. En cierto sentido, la distinción entre ondas electromagnéticas y fotones es el análogo contemporáneo de la distinción que, en tiempos remotos, hizo Alhazán entre vista y luz.

GLOSARIO acústica. Parte de la física que estudia los fenómenos relacionados con el sonido. átomo. Cada partícula eléctricamente neutra de que está constituida la materia. Consta de un núcleo con carga positiva rodeado por una cantidad igual de cargas negativas. carga eléctrica. Véase electricidad. corriente eléctrica. Cargas eléctricas en movimientos paralelos, por ejemplo por un alambre, forman una corriente eléctrica. Producimos corriente eléctrica todos los días conectando el filamento de un foco a la toma de corriente al encenderlo, pero hace apenas 150 años no se sabía cómo producirla y sólo se conocía en los rayos de las tormentas. electricidad. Hace 2 500 años el filósofo griego Tales de Mileto descubrió que una barra de ámbar frotada con una piel atrae objetos pequeños como trocitos de papel. Llamó electricidad a la propiedad adquirida por la barra porque ámbar en griego se dice elektron. El fenómeno se observa también en muchos otros materiales como plástico o vidrio y modernamente se llama carga eléctrica a la propiedad que adquieren al frotarlos. La corriente eléctrica que utilizamos diariamente consta de cargas eléctricas en movimiento, que se producen en formas más eficientes que frotando cuerpos. electrón. La carga eléctrica está compuesta por unidades indivisibles de dos tipos diferentes, que se llaman cargas eléctricas positivas y cargas eléctricas negativas. Se llama electrón a la unidad indivisible que contiene la mínima carga eléctrica negativa. energía. En el lenguaje cotidiano se dice que alguien tiene energía si es capaz de hacer mucho trabajo, como subir escaleras. En el lenguaje científico energía y trabajo están relacionados de la misma forma, pero trabajo quiere decir precisamente mover una fuerza, por ejemplo levantar un peso. La energía puede existir en diferentes formas. Existe en forma química en la gasolina y en forma eléctrica en una pila o en un acumulador de corriente. Cualquiera que sea su forma, la energía puede hacer trabajo; así, al quemar gasolina para mover un motor la energía se usa para hacer trabajo. hipótesis. Suposición inicial, posible o imposible, de la que se sacan consecuencias lógicas. Por ejemplo, antes de Copérnico la hipótesis principal de la astronomía era que la Tierra ocupaba el centro del Universo. ley. En el lenguaje de la ciencia una ley es una afirmación que describe cómo ocurre un fenómeno natural. Una ley es el resultado de la observación, de la experimentación o de la deducción sobre éstas; por ejemplo, la ley de la caída de los cuerpos afirma que sin resistencia del aire y desde alturas iguales todos los cuerpos caen con la misma velocidad. magnetismo. Se llama así a la propiedad que tienen los imanes de atraer cuerpos hechos de algunos materiales, como hierro o níquel, y de ejercer fuerzas sobre cargas eléctricas en movimiento o sobre alambres que las conducen como corriente eléctrica. El origen de esta palabra es el nombre que daban los antiguos griegos a los imanes, o magnetos, conocidos por ellos. Éstos eran trozos de un mineral, llamado ahora magnetita, que encontraban en una región del Asia Menor llamada Magnesia. molécula. Mínima cantidad de una sustancia que conserva sus propiedades químicas. Por lo general, una molécula está compuesta por unos cuantos átomos, y se llaman diatómicas, triatómicas o poliatómicas según estén formadas por dos, tres o muchos átomos, respectivamente. óptica. Originalmente, la parte de la física que estudia los fenómenos relacionados con la luz. Su origen es la palabra griega para visible, "optos", que todavía reúne los significados de luz y vista. Modernamente, la óptica se refiere más específicamente a la ciencia y técnica de fabricación de instrumentos auxiliares para la vista, como

lentes, microscopios y telescopios, o a la parte de la física que trata de este tema. perspectiva. Arte de representar en una superficie los objetos, en la forma y disposición con que aparecen a la vista. Las leyes de la perspectiva fueron descubiertas en el Renacimiento por el arquitecto italiano Filippo Brunelleschi (1377-1446). Están basadas en la ley de variación del tamaño aparente de los cuerpos con la distancia. presión. Fuerza ejercida por un líquido, o por un gas, sobre cada cm², o cada m², de la superficie de un sólido con el que está en contacto. La presión ejercida por el aire que nos rodea se llama presión atmosférica. seno de un ángulo. Cantidad que depende de la magnitud del ángulo formado por dos rectas. Es igual a cero si el ángulo es cero, igual a 1 si el ángulo es recto, y toma valores intermedios entre cero y uno si el ángulo es mayor que cero pero menor que un ángulo recto. El seno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo se obtiene dividiendo la longitud del lado (o cateto) opuesto al ángulo entre la longitud del lado mayor (o hipotenusa) del triángulo.

COLOFÓN Este libro se terminó de imprimir y encuadernar en el mes de agosto de 1995 en Impresora y Encuadernadora progreso, S. A. de C. V. (IEPSA), Calz. de San Lorenzo, 244; 09830 México, D.F. Se tiraron 2 000 ejemplares. La Ciencia desde México es coordinada editorialmente por MARCO ANTONIO PULIDO Y MARÍA DEL CARMEN FARÍAS.

CONTRAPORTADA El problema de la naturaleza de la luz ha despertado la curiosidad y el ingenio de algunos hombres desde muchos siglos atrás. Entre los antiguos griegos, Pitágoras intentó una hipótesis que hacia de los órganos del sentido de la vista, los ojos, la fuente de la luz. Aunque equivocada, esta suposición fue rebatida exitosamente por el árabe Alhazán. En el trabajo científico las teorías se superponen a las teorías conservando, sin embargo, un nexo causal que da coherencia a un desarrollo progresivo. Pero a veces ocurren, en el devenir de esa continuidad, sorpresas que alteran o modifican profundamente las constantes que parecían inamovibles. La teoría moderna de la luz explica los fenómenos conocidos hasta ahora. Isaac Newton representa un hito de gran importancia en el esclarecimiento del problema y hasta Planck y Einstein, el mundo en cuanto a la luz, fue iluminado por su genio. De hecho las teorías modernas confirman algunas de sus observaciones. De entre ellas destaca la hipótesis corpuscular. El fotón —término acuñado por Einstein— es la partícula que fundamenta esa teoría, pero su comportamiento no se comprende bien a bien sino se toma en cuenta la hipótesis que en un principio y durante mucho tiempo fue la opositora a la explicación corpuscular: la óptica ondulatoria. Actualmente se sabe que una y otra son complementarias para la práctica experimental. En este libro Virgilio Beltrán expone breve, pero precisamente, la importancia de las ondas para determinar y detectar —si no atrapar— el comportamiento y la posición del fotón en el tren de ondas electromagnéticas en que viajan estos corpúsculos inmateriales, que sin embargo responden a leyes físicas cuantificables y cualificables. Para atrapar un fotón resume el estado en que se encuentra nuestro saber acerca de la luz y sobre todo, de esas prodigiosas partículas cuyo estudio augura sorprendentes realizaciones prácticas y teóricas en un futuro cercano. Virgilio Beltrán pertenece a la primera generación de físicos egresada de la Facultad de Ciencias Fisicomatemáticas de la Universidad Autónoma de Puebla. Se licenció en física y en ingeniería civil. Obtuvo su maestría en ciencias en la Universidad de Lehigh EUA, y su doctorado en física en la Universidad de Yale. Dedicado a la investigación y la docencia en la UNAM, fue también director de la Escuela de Física de la UAP. Ha publicado numerosos artículos científicos y de divulgación, así como 16 libros de texto.