O группах периода 60 с заданными порядками элементов

Алгебра, и логика,, 39, N 3 (2000), 329-346

УДК 512.542

О ГРУППАХ ПЕРИОДА 60 С З А Д А Н Н Ы М И П О Р Я Д К А М И ЭЛЕМЕНТОВ*) В-Д. МАЗУРОВ К 60-летию Ю. JI. Ершова

Для периодической группы G обозначим через u>(G) множество по­ рядков элементов группы (У. Очевидно, что группа G, для которой u(G) = = {1,2}, является элементарной абелевой. Ф. Леви и Б. Л. Ван-дер-Варден [1] показали, что группа G нилыютентна и ее ступень нильпотентности не превосходит 3, если u>(G) = {1,3}. Б.Х.Нойман [2] описал группы, удо­ влетворяющие условию u)(G) = {1,2,3}. И. Н. Санов [3] и М. Холл [4] уста­ новили локальную конечность групп G, для которых u)(G) С {1,2,3,4} и, соответственно, u(G) С {1,2,3,6}. М.Ф.Ньюмэн [5] определил строение группы G, если u(G) = {1,2,5}. Из [6] следует, что произвольная группа G, для которой LJ(G) = {1,2,3,5}, изоморфна знакопеременной группе А5. Н. Д. Гупта и автор [7] доказали, что в случае, когда u(G) является соб­ ственным подмножеством множества {1,2,3,4,5}, группа G либо локально конечна, либо содержит нильпотентную нормальную силовскую подгруп­ пу S такую, что G/S является 5-группой. Цель настоящей работы — показать, что любая группа G, для ко­ торой u)(G) = {1,2,3,4,5}, является локально конечной. Более точно, мы доказываем следующий результат. *' Статья была написана во время поездки автора в Университет Манитобы (Кана­ да). Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь­ ных исследований, проект N 99-01-00550.

©

Сибирский фонд алгебры и логики, 2000

330

В. Д. Мазуров Т Е О Р Е М А . Пусть G — группа} для которой OJ(G) = {1,2,3,4,5}.

Тогда верно одно из утверждений

(i)G~A6; (ii) G = VCf где V — нетривиальная элементарная абелева нор­ мальная 2-подгруппа группы G} а С ~ А$. Для конечных групп этот результат является несложным следствием классификации конечных простых групп с нильпотентными централиза­ торами нетривиальных элементов, которую получил М. Сузуки [8, 9]. Обозначения ЕСЛИ

Н — подгруппа группы G, i , i / 6 G, 1 , У -

Y

G, то ху = у~1ху,

уХ

у

= {у~1ху

подмножества в

| х G -X"}, [я, у] = х~гху,

ху

= {ху \

у е У}, x = {х \ х е х,у е У}, NH(X) = {Й е Я | Р = I}, (X) — подгруппа, порожденная подмножеством JT, [X, У] = ([ж, у]\х £ Х}

У € У]), С я Р О = {Л € Я | [Л, ж] = 1 для всех х G X } , Z{G) = C G (G). Для простого числа р подгруппа O p (G) определяется как произведение всех нормальных р-подгрупп группы С?, Ат и 5 т означают знакопеременную и соответственно симметрическую группу степени га.

Предварительные результаты Группа автоморфизмов некоторой группы называется

регулярной,

если каждый ее нетривиальный элемент не имеет нетривиальных непо­ движных точек. Отметим следующий хорошо известный результат. Л Е М М А 1. Пусть А — регулярная группа автоморфизмов конеч­ ной группы. Тогда для любых простых чисел р, q каждая подгруппа груп­ пы А, имеющая порядок pq, является циклической. Каждая

силовская

р-подгруппа группы А при р > 2 будет циклической. Каждая

силовская

2-подгруппа, группы А либо циклична} либо изоморфна обобщенной группе кватернионов. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. См., например, теорему V.8.15 в [10].

О группах периода 60 с заданными порядками элементов Л Е М М А 2. Если R = (г) — регулярная группа

331

автоморфизмов

порядка 3 конечной группы Н, то для любой абелевой подгруппы А из Н выполняется равенство (AR) = (А, А г ) и подгруппа (А, А г )

является

абелевой. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть НА — естественное полупрямое про­ изведение групп И и А. Тогда НА ~ группа Фробениуса, и поэтому (hr~1)3

= 1 для любого элемента h £ Я . Поскольку (/ir~ x ) 3 = /i/irfer ,

то hr2

=

( / Г 1 ) ^ 1 - Отсюда Аг* < (А,А Г ). Пусть а,Ь е А. Тогда

1 = аЬ(аЬ)г(аЬ)г2 = ab(arbr)ar'2br2 1

г

= a(bbr)Kar2)br2 = ^ { r ^ W Т

=

г

= [а~ ,6 ]. Следовательно, [а,Ъ ] = 1 и [а ,4] = 1. Это означает, что подгруппа Аг централизует подгруппу А. Лемма доказана. Элемент порядка 2 из группы называется инволюцией. Доказатель­ ство следующей хорошо известной леммы не составляет труда. ЛЕММА

3. Пусть i,j

— инволюции.

Тогда верны следующие

утверждения: 1. Для любого элемента х £ (ij) справедливо равенство х% = x J = = х-1. 2* Если порядок элемента ij конечен и нечетен, то инволюции

i,j

сопряжены с помощью элемента из подгруппы (ij), они сопряжены также с помощью инволюции из смежного класса i(ij). 3. Если порядок ij конечен и четен, то подгруппа (ij)

содержит

инволюцию, перестановочную одновременно с г и с j . Л Е М М А 4. Пусть t — инволюция из группы А автоморфизмов периодической группы G. Если t не имеет нетривиальных

неподвижных l

точек, то для любого элемента g E G верно равенство g = д~г, группа G абелева и инволюция t принадлежит центру группы А. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Я = G(t) - естественное полупрямое произведение, и g Е G. Поскольку С#(£) = (t) и t9t = g~ltgt = g~lg* £ G, порядок t9t нечетен по п. 1 леммы 3. По п. 2 леммы 3 существует инволюция i € tG такая, что tgt = t, и поэтому gi = 1 или gi = t. Если gi = 1, то д = i € tG, а это неверно. Отсюда gi = £, # = ii, и по п. 1 леммы 3,

332

В. Д. Мазуров

дг = д~1. Если h e G, то gh = (Л*"1^""1)"1 = (/iV)' = hg,nG

абелева. Если

а £ А, то р*а = (flT1)* = (5 0 )" 1 = да\ откуда ta = at. Лемма доказана. Л Е М М А 5 (И. Н. Санов [3]). Группа Н, для которой и(Н)

С

С {1,2,3,4}, локально конечна. Л Е М М А 6 (В. П.Шунков [11]). Если подгруппа C G ( 0 конечна для некоторой инволюции г из периодической группы G, то группа G локально конечна. Л Е М М А 7* Пусть А — собственная подгруппа группы Я . Если в А нет элементов порядка 3 и каждый элемент из Н\А ментом, то А нормальна в Н и А двуступенно

является 3-эле­

нильпотентна.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, что подгруппа А нормальна в Я . Пусть х — элемент порядка 3 из Я . Тогда для любого элемента а £ А спра­ ведливо ах""1 ^ А и ( а х - 1 ) 3 6 А. Поскольку ах"1 является 3-элементом, то (ах"" 1 ) 3 = 1 и, значит, аахах

= 1. Б. X. Пойман [12] показал, что в такой

ситуации любой элемент из А перестановочен с каждым своим сопряжен­ ным элементом. По результату Ф.В.Леви [13] группа А нильпотентна и третий член Т нижнего центрального ряда группы А имеет период 3. По условию Г = 1. Лемма доказана. Л Е М М А 8 (лемма 3 из [6]). Если А — периодическая

регулярная

группа автоморфизмов элементарной абелевой 2-группы, то шждый эле­ мент порядка 3 из А принадлежит центру группы А. Л Е М М А 9. Если Я — группа, для которой о?(Я) = {1,2,3,5}, то Н изоморфна знакопеременной группе А$. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Это утверждение — частный случай основно­ го результата работы [6]. Л Е М М А 10. Пусть Я — конечная простая группа, для которой ы(Н) = {1,2,3,4,5}. Тогда Я ~ А 6 . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, что централизатор любого нетри­ виального элемента из Я нильпотентен. По результату М.Сузуки [8, 9], Я - Ае.

О группах периода 60 с заданными порядками элементов

333

Л Е М М А 1 1 . Пусть Я — конечная группа, для которой и(Н) С С {1,2,3,4} и существует нормальная 2-подгруппа V в Н такая, что H/V ~ S3. Тогда подгруппа V элементарная абелева и существует подгруппа С группы Я', изоморфная группе £з, для которой Я = VC. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проводится индукцией по | # | , и можно счи­ тать, что V ф 1. Пусть г — элемент порядка З и з Я и й = (г), Тогда R — силовская 3-подгруппа в Я , и, по замечанию Фраттини, Я = Пусть С = NH{R).

VNH(R)-

Поскольку Ny{R) = G>(r) = 1, то С ~ C/NV{R)

=

= С / С П V - У С / У = Я / У - S 3 . Отсюда Я = УС, где С - 5 3 . Пусть £ — инволюция в С. Тогда г' = г" 1 . Поскольку У ^ 1, суще­ ствует инволюция г из центра группы У, перестановочная с t. По лемме 2 подгруппа Z = ( г я ) = {z, £г) является элементарной абелевой группой порядка 4. Так как (гг)г = z tr ~

= zr~

Е Z, подгруппа Z инвариант­

на относительно С. По индукции группа V/Z элементарная абелева и, по условию, R действует регулярно на V/Z. Преположим, что коммутатор [v,t] имеет порядок 4 для некоторого элемента и € У. Тогда порядок элемента (и*)2 = v2[v, t] равен 4, поскольку v2 G Z. Значит, порядок vi, вопреки условию, равен 8. Следовательно, [и, £]2 = 1 для любого элемента v

eV.

Пусть и £ У. Тогда [v, £][«,£] = [vw,£]z для некоторого элемента z £ Z. Отсюда вытекает, что подгруппа U = [У>(*)] ^ (fa^lk £ ^0

яв

~

ляется элементарной абелевой. По лемме 2 подгруппа W = (UR) тоже является элементарной абелевой. Покажем, что У = W. Действительно, У = [У, Л] = ([v,a?]|v Е У, # £ J?). Поскольку ж = txt для а; 6 й , то [v,a?] = [v,t*t] = [VjtJtv,**]* = [vjtlfv**,*]*"" . Следовательно, [v,x] £ W. Лемма доказана. Л Е М М А 12. Предположим, что Я — непримарная и и(Н) С {1,2,3,4}. Тогда справедливо одно из следующих (i) существует

нормальная

2-подгруппа V в Н}

{2,Ъ)-группа утверждений: для которой

|Я/У| = 3; (ii) существует нормальная элементарная абелева 3-подгруппа V группы Н, для которой фактор-группа H/V

действует регулярно на V

334

В. Д. Мазуров

при сопряжении в Н и изоморфна нетривиальной подгруппе группы ква­ тернионов порядка 8; (Ш) существует нормальная элементарная абелева 2-подгруппа V группы Я такая, что Я = VC для некоторой подгруппы С ~ 5з* В частности, либо Я содержит подгруппу, изоморфную S3, либо имеет место (i). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По лемме 5 группа Я локально конечна. По­ этому достаточно доказать лемму только для конечной группы Я . В этом случае группа Я разрешима. Пусть t — инволюция из Я . Если V = 0 з ( Я ) ф 1, то t при сопряжении не имеет в V нетривиальных непо­ движных точек, и по лемме 4 V — элементарная абелева группа. Так как CJJ{V) г

— нормальная 3-подгруппа в Я , то CH(V)

= V. По лемме 4,

г

х = х~ для любого элемента х Е V и tV принадлежит центру фактор­ группы Я = H/V.

Поскольку Я не содержит элементов порядка б, Я

является 2-группой, действующей на V регулярно. По лемме 1 группа Я является либо циклической, либо группой кватернионов. Так как период группы Я делит 4, то верно (п) и, в частности, Я содержит подгруппу, изоморфную 5зПредположим, что Оз(Я) = 1. Тогда V = 0 г ( Я ) ф 1. Поскольку силовская 3-подгруппа 5 группы Я действует регулярно на V, то \S\ = 3 по лемме 1. Следовательно, группа Я / У изоморфна подгруппе группы S3. Если \H/V\ = 3, то верно (i). Если H/V ~ 5з, то по лемме 11 выполняется (Ш). Лемма доказана. Л Е М М А 13. Пусть Я — группа, для которой ы(Н) С {1,2,3,4,5}, w пусть V = О2(Я). Предположим, что фактор-группа H/V

изоморфна

5з tMU A5. Тог&х а) V — элементарная абелева группа; б) V обладает дополнением в Я ; в) ее/ш группа Н конечна, то \V : Су(Л)| = |CV(/i)| для любого 2-элемента h 6 H\V,

а если группа Я бесконечна, то индекс \V : Cv(h)\

бесконечен. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку группа Я локально конечна, до-

О группах периода 60 с заданными порядками элементов

335

статочно доказать лемму для конечной группы Я . Из леммы 11 сразу следует п. а, поскольку А$ содержит подгруппу, изоморфную S3. Пусть г — элемент порядка 3 из Я , R = (г) и N = ЛГ#(15Е). Тогда iV ~ S3. Если Я / У с* S3, то подгруппа JV — искомое дополнение к У. Пред­ положим, что H/V ~ As. Пусть t — инволюция из N. Существует элемент и порядка 3 из Я , для которого (t,u)V/V

~ А 4 . В частности, подгруппа

(i, u) содержит нормальную силовскую 2-подгруппу, в которой и при со­ пряжении не имеет нетривиальных неподвижных точек. По лемме 2 под­ группа (t, tu) является w-инвариантной элементарной абелевой подгруппой порядка 4, и поэтому {£, и) ~ А±. Следовательно, подгруппа (£, tu) дополня­ ет У в некоторой силовской 2-подгруппе группы Н. По теореме Гашютца (см. [10, теор. 1.17.4]) подгруппа У обладает дополнением С в Я , и п. б доказан. При доказательстве п. в можно считать, что h £ С. Пусть VQ == Су (h). Подгруппу У можно рассматривать как векторное пространство над полем порядка 2. Строение жордановой формы линейного преобразования, кото­ рое элемент h индуцирует в векторном пространстве У при сопряжении, показывает, что |Vo|2 ^ |У|. Поскольку г* = г" 1 , то г = trt и VoHVJ = Cv(t)C\Cv(tr)

< Cy(trt)

=

= Cv(r) = 1, откуда |У| ^ |VoVo"| = |Уо|2. Лемма доказана. Л Е М М А 14. Если Я — локально конечная группа, для которой UJ(H) = {1,2,3,4,5}, то либо Я а Аб, либо существует

нетривиальная

элементарная абелева нормальная 2-подгруппа V группы Я такая, что Я = VC для некоторой подгруппы С ~ А$. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно доказать лемму для конечной группы Я . Используем индукцию по |Я|. Если группа Я проста, то, по лемме 10, Я ~ А& поэтому предположим, что Я не является простой. Пусть М — минимальная нормальная подгруппа группы Я . Если группа М неразрешима, то М — прямое произведение неабелевых простых групп и число \М\ делится на 30. По лемме 9 либо группа М изоморфна А 5 , либо и(М) = и(Н) и, по индукции, М ~ Аб. Так как Сн{М) = 1, то груп­ па Я изоморфна группе автоморфизмов группы М и, поскольку М ф Я ,

336

В. Д

Мазуров

группа Н содержит элемент порядка 6 или 8. Это противоречит условию и, следовательно, М — элементарная абелева р-группа для р = 2,3 или 5. Если р > 2, то по лемме 4 центр группы Н/Сн{М)

содержит инволюцию, а

группа Н содержит, вопреки условию, элемент порядка б или 10. Поэтому р = 2 и и(Н/М)

= {1,2,3,5} или и(Н/М)

= w ( # ) . В первом случае, по

лемме 9, Н ~ А*> и по лемме 13 заключение верно. Во втором случае, по индукции, либо группа Н/М является расширением 2-группы посредством группы. Аь и ло. лемме 13 верно заключение, либо группа Н/М изоморфна группе Ав- Тогда силовская 3-подгруппа из Я является нециклической и действует регулярно на группе М при сопряжении. А это невозможно по лемме 1. Лемма доказана. Следуюгцую лемму можно проверить с помощью алгоритма перечис­ ления смежных классов (см., например, [14]): Л Е М М А 15, Пусть А = (а,Ь | R). В таблице (см, след. стр.) указан порядок группы А при условии выполнения определяющих соотно­ шений R.

Доказательство теоремы Пусть G — группа, для которой OJ(G) = {1,2,3,4,5}. Доказательство теоремы проводится в несколько этапов. Л Е М М А 16. Пусть Н = (ж, у) — подгруппа группы G, в которой х — элемент порядка 3, а у — элемент порядка 2, 3 или 4. Тогда подгруппа Н конечна. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как Я = (х}ху)

= (я, у""1), то можно

считать, что порядок элемента х не превосходит порядка элемента ху, а порядок элемента ху не превосходит порядка элемента ху~~1. Поэтому су­ ществует гомоморфизм на Н одной из групп А леммы 15, который продол­ жает отображение а -* х) Ь -> у. Поскольку группа А конечна, подгруппа Н тоже конечна. Л Е М М А 17. Группа G содержит подгруппу, изоморфную 5з*

О группах периода 60 с заданными порядками элементов

R

\А\

a3,b3,(ab)3,(ab-lf 3

27

1

48

1 5

75

a ,bMab)Mab- )* 3

3

3

a ,b ,(ab) ,(ab- ) a3^3,^)4,^-1)4 3

3

168

4

a ,b ,(ab) ,(ab-^

1080

5

1 5

1

3

1

аЗ,б31(а6) ,(аЬ- ) ,(аЬа- Ь) 3

3

5

1 5

1

4

1920

3

3

5

1 5

1

5

62400

а ,6 ,(аЬ) ,(а6- ) ,(а6а- 6) а ,6 ,(аЬ) ,(аЬ- ) ,(аЬа- Ь) 3

А

1

а УЛ"Ь) ЛаЪ- )\(а#)* 2 4

а^ДагОМаб-ЧМаб ) 3

1

ъ

а ,Ь\(аЬ)\(аЬ- )*,(а^)

192 1152 1 14400

а3,Ь4,("Ъ)4ЛаЪ-1ГЛаЬ2)3 а3,Ь4,(аЬ)4,(аЬ-1)5,(а62)4 а3,Ь4,(а*)4,(аЬ-1)в,(аЬ2)в,[о,Ь]3 а 3 ,Ь 4 ,(а6) 4 ,И- 1 ) 5 ,И 2 ) 5 Л«.Ь] 4 а3,Ь4,(аЬ)4,(аЬ-1)5,(а62)5,[а,Ь]5 а3,Ь4,(аЬ)5,(аЬ-1)5,(аЬ2)3 о3|Ь41(аЬ)5,(оЬ-1)в,(а63)4,[а,6]3 а3,64,(а6)5,(аЬ-1)5,(а62)4,[а,Ч4, (аЪа-Ч)3

360

4 а 3 ^ 4 , ^ ) 5 , ^ - 1 ) 5 , ^ 2 ) 4 ' ^ 6 ] 4 ' (аЬа'Ч) 1 ъ а3, ЬМаЬ^И-^МаЬ 2 ) 4 ,[«, Ь]4, (аЬа- Ь)

а3^4,^)6,^-1)5,^)4,^^]5 а3^4,^)5,^-1)5.^2)5.^6]3 а3,Ь4,(аЬ)в,(аЬ-1)5,(аЬ2)Ма|Ь]4 а3^4,!^)5,!^"1)5,!^2)5,^^]5

80640

337

338

В. Д. Мазуров ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное. Пусть х — нетриви­

альный 2-элемент, а г — элемент порядка 3 из G. По лемме 16 подгруппа А = (х,г) конечна. Если А не является {2, 3}-группой, то согласно лем­ ме 14 группа А содержит подгруппу, изоморфную S3- Поэтому А является {2,3}-группой, и по лемме 2 (17.1) V = (х(г)) является 2-порожденной обелевой подгруппой пе­ риода 4. В частности, если х — инволюция, moV = (х, хг) — элементар­ ная абелева подгруппа порядка 4. Пусть t — инволюция в G и W — подгруппа, порожденная всеми инволюциями из Co(t)- Покажем, что (17.2) подгруппа W инвариантна относительно г. Пусть и — инволюция из Co(t). В силу 17.1 подгруппа (и^)

= (и} иг)

является r-инвариантной элементарной абелевой группой порядка 4. По­ скольку w, tr € Ccit) и, по условию, Co(t) является 2-группой периода 4, то х = tru будет 2-элементом, и по 17.1 подгруппа (х}хг) r

r

r

r

коммутатив­ r

на и г-инвариантна. Следовательно, [t u} {t u) ] = 1 = [tu ,f w]. Так как [t,tru] = 1, то [ur ,tru] = 1. Поскольку [V ,ti] = 1, то [ttr , £г] = 1 = [ti r ,£]. Отсюда г*г € W, и подгруппа W инвариантна относительно г. В частности, 17.2 означает, что подгруппа NQ(W) содержит все эле­ менты порядка 3 из группы G. Пусть N — подгруппа из