mesure et intégration

Université des Sciences et techniques de Masuku Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique COURS...

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Université des Sciences et techniques de Masuku Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique

COURS DE MESURE ET INTEGRATION 3ème Année de Licence en Mathématiques par

Guy Martial NKIET Professeur Titulaire

Chapitre 1 Espaces et applications mesurables 1. Espaces mesurables * tribu Soient X un ensemble, P (X) l’ensemble des parties de X et T ⊂ P (X). Pour tout élément A de P (X), on désigne par Ac le complémentaire de A dans X. D´ efinition 1.1.1. On dit que T est une tribu des parties de X, ou encore tribu sur X si : (i) ∅ ∈ T , X ∈ T (ii) A ∈ T ⇒ Ac ∈ T (stabilité par passage au complémentaire) S (iii) pour toute famille (An )n∈N d’éléments de T , on a n∈N An ∈ T (stabilité par réunion dénombrable) Cela permet la définition suivante : D´ efinition 1.1.2. On appelle espace mesurable tout couple (X, T ) o` u X est un ensemble et T une tribu sur X. Remarque 1.1.1. Lorsque (X, T ) est un espace mesurable, les propriétés suivantes sont aussi vérifiées: 1) Stabilité par réunion finie : A ∈ T , B ∈ T ⇒ A ∪ B ∈ T . En effet, il suffit de considérer la famille S (An )n∈N d’éléments deST , définie par : A0 = A, A1 = B et, pour n ≥ 2, An = ∅; on a alors n∈N An ∈ T , et comme n∈N An = A ∪ B, il vient que A ∪ B ∈ T . 2) Stabilité par intersection dénombrable : pour toute famille (An )n∈N d’éléments de T , on a T n∈N An ∈ T . En effet : !c \ [ An = Acn n∈N

n∈N

et le résultat est obtenu des stabilités par passage au complémentaire et par réunion dénombrable. 3) Stabilité par intersection finie : A ∈ T , B ∈ T ⇒ A ∩ B ∈ T . En effet, il suffit de considérer la famille (An )n∈N d’éléments de T , définie T par : A0 = A, A1 = B T et, pour n ≥ 2, An = X; on a alors (d’après la propriété 2 ci dessus) n∈N An ∈ T , et comme n∈N An = A ∩ B, il vient que A∩B ∈T . 4) Stabilité par différence : A ∈ T , B ∈ T ⇒ A\B ∈ T . Cela provient de A\B = A ∩ B c et des stabilités par passage au complémentaire et par intersection finie. 5) Si X 6= ∅ alors T = {∅, X} est une tribu sur X. C’est la plus petite tribu (au sens de l’inclusion) sur X; elle est appelée tribu grossière sur X. 6) Si X 6= ∅ alors T = P (X) est une tribu sur X. C’est la plus grande tribu sur X; elle est appelée tribu triviale sur X. D´ efinition 1.1.3. Soit E ⊂ P (X). On appelle tribu engendrée par E la plus petite tribu sur X contenant E. Elle est notée σ (E) . 2

Remarque 1.1.2. 1) Lorsque T est une tribu sur X, on appelle sous-tribu de T toute tribu S sur X vérifiant S ⊂ T . La définition précédente indique que la tribu engendrée par E est une sous-tribu de toute tribu T sur X contenant E; c’est ` a dire : E ⊂ T ⇒ σ (E) ⊂ T . 2) Si A et B sont deux tribus sur X, alors A ∩ B est une tribu sur X. En effet: (i) X ∈ A ∩ B puisque X ∈ A et X ∈ B. De même ∅ ∈ A ∩ B. (ii) Pour tout A ∈ A ∩ B on a Ac ∈ A ∩ B puisque Ac ∈ A etSAc ∈ B. S (iii) Pour toute famille (An )n∈N d’éléments de A ∩ B , on a n∈N An ∈ A et n∈N An ∈ B. S On en déduit que n∈N An ∈ A ∩ B. 3) Comme conséquence de la remarque précédente, la tribu engendrée par E est l’intersection de toutes les tribus contenant E. Exemple 1.1.1. Si A ∈ P (X), A 6= ∅ et A 6= X alors on vérifie facilement que σ ({A}) = {∅, X, A, Ac }. * tribu borélienne Si X est un espace topologique, on a : D´ efinition 1.1.4. On appelle tribu borélienne de X la tribu BX engendrée par les ouverts de X. On appelle borélien de X tout élément de BX . Remarque 1.1.3. 1) BX est également engendrée par les fermés de X. En effet : - BX contient les fermés de X : si A est fermé, Ac est ouvert, donc Ac ∈ BX . Par la stabilité par passage au complémentaire, il vient A ∈ BX . - BX est la plus petite tribu sur X contenant les fermés de X : soit T une tribu sur X contenant les fermés de X; pour tout ouvert A de X, Ac est fermé, donc Ac ∈ T . Par la stabilité par passage au complémentaire, il vient A ∈ T . Donc T est une tribu sur X qui contient les ouverts de X et par suite BX ⊂ T . 2) Quelques boréliens de R : les singletons, les intervalles fermés, ouverts, semi-ouverts et semifermés sont des boréliensTde R. En effet, pour (a, b) ∈ R2 , a < b, on a : (i) singletons. {a} = n∈N∗ a − n1 , a + n1 . Comme chaque a − n1 , a + n1 appartient à BX , la stabilité par intersection dénombrable permet de conclure que {a} appartient à BX . (ii) intervalles fermés. Puisque BR est également engendrée par les fermés de R, les intervalles fermés de R appartiennent ` a BR . (iii) intervalles semi ouverts. [a, b[ = [a, b] \ {b} ∈ BR ; ]a, b] = [a, b] \ {a} ∈ BR ; ]a, +∞[ = S S ]a, a + n[ ∈ B ; ]−∞, a[ = R n∈N∗ n∈N∗ ]a −Sn, a[ ∈ BR ; S (iv) intervalles semi fermés. [a, +∞[ = n∈N∗ [a, a + n[ ∈ BR ; ]−∞, a] = n∈N∗ ]a − n, a] ∈ BR ; 2. Applications mesurables * mesurabilité d’une application Soient (X1 , T1 ) et (X2 , T2 ) deux espaces mesurables. 3

D´ efinition 1.2.1. Une application f : (X1 , T1 ) → (X2 , T2 ) est mesurable si quelque soit A ∈ T2 , on a f −1 (A) ∈ T1 . Lorsque X1 et X2 sont des espaces topologiques et T1 = BX1 , T2 = BX2 toute application f mesurable est dite borélienne . Exemple 1.2.1. 1) Mesurabilité d’une fonction indicatrice. Soient X2 = {0, 1}, T2 = P ({0, 1}) et A un élément de P (X1 ). La fonction indicatrice de A, notée 1IA , est l’application de (X1 , T1 ) vers (X2 , T2 ) définie par : 1 si x ∈ A 1IA (x) = . 0 si x ∈ /A On a T2 = {∅, {0} , {1} , {0, 1}} et −1

(1IA )

(X2 ) = X2 , (1IA )

−1

(∅) = ∅, (1IA )

−1

({0}) = Ac , (1IA )

−1

({1}) = A.

Ainsi, si A ∈ T1 alors 1IA est mesurable. 2) Mesurabilité d’une fonction constante : toute fonction constante f : (X1 , T1 ) → (X2 , T2 ) est mesurable. En effet si ∀x ∈ X1 , f (x) = y0 o` u y0 ∈ X2 , alors pour tout A ∈ T2 on a : - si y0 ∈ A, alors f −1 (A) = X1 ∈ T1 ; - si y0 ∈ / A, alors f −1 (A) = ∅ ∈ T1 .

D´ efinition 1.2.2. Soit une S1 sous-tribu de T1 et f : (X1 , T1 ) → (X2 , T2 ) une application. On dit que f est mesurable par rapport ` a S1 , ou encore S-mesurable si, pour tout A ∈ T2 , on a f −1 (A) ∈ S1 . La propriété précédente est aussi désignée en disant que S1 rend f mesurable. * tribu engendrée par une application mesurable Proposition 1.2.1. Soient f : X1 → X2 une application et T2 une tribu sur X2 . Alors l’ensemble σ (f ) = f −1 (B) / B ∈ T2 = f −1 (T2 ) est une tribu sur X1 . Preuve. (i) X1 = f −1 (X2 ) ∈ σ (f ) et ∅ = f −1 (∅) ∈ σ (f ) . c (ii) Si A ∈ σ (f ) on a A = f −1 (B) o` u B ∈ T2 . Donc Ac = f −1 (B) = f −1 (B c ); comme B c ∈ T2 on a Ac ∈ σ (f ) . (iii) Si (An )n∈N est une famille d’éléments de σ (f ), on a pour tout n ∈ N, An = f −1 (Bn ) o` u Bn ∈ T2 . Donc ! [ [ [ −1 −1 An = f (Bn ) = f Bn n∈N

et comme

S

n∈N

Bn ∈ T2 , on en déduit

n∈N

S

n∈N

n∈N

An ∈ σ (f ) .

D´ efinition 1.2.3. La tribu σ (f ) est appelée tribu engendrée par f .

Proposition 1.2.2. σ (f ) est la plus petite tribu sur X1 qui rend f mesurable. 4

Preuve. σ (f ) rend f mesurable car, par définition, pour tout B ∈ T2 on a f −1 (B) ∈ σ (f ). Soit T une tribu sur X1 qui rend f mesurable, alors pour tout A ∈ σ (f ), puisque A = f −1 (B) o` u B est un élément de T2 , il vient A ∈ T . On a ainsi montré que σ (f ) ⊂ T .

*simplification du critère de mesurabilité d’une application Comme on peut facilement l’imaginer, une tribu peut comporter un nombre infini d’éléments. Par exemple, BR comporte non seulement les intervalles spécifiées dans la remarque 1.1.3, mais aussi leurs complémentaires, leurs réunions finies ou dénombrables, leurs intersections finies ou dénombrables, etc. Ainsi donc vérifier la mesurabilité d’une application par le critère donné dans la définition 1.2.1, comme nous l’avons fait dans l’exemple 1.2.1 pour la fonction indicatrice, peut s’avérer impossible. Cependant, dans certains cas on peut réduire l’ensemble des parties sur lesquelles on doit appliquer ce critère pour établir la mesurabilité d’une application. Cela est indiqué dans la proposition 1.2.3 ci-dessous dont la démonstration nécessitera le lemme suivant. Lemme 1.2.1. (Lemme de transport ). Soit f : X1 → X2 et E ⊂ P (X2 ). Alors σ f −1 (E) = f −1 (σ (E)) Preuve. (a) montrons σ f −1 (E) ⊂ f −1 (σ (E)); on a f −1 (E) ⊂ f −1 (σ (E)) car E ⊂ σ (E). Comme f −1 (σ (E)) est une tribu (cf. proposition 1.2.1), il vient σ f −1 (E) ⊂ f −1 (σ (E)) . (b) montrons f −1 (σ (E)) ⊂ σ f −1 (E) ; soit T = A ∈ P (X2 ) / f −1 (A) ∈ σ f −1 (E) alors T est une tribu sur X2 . En effet : (i) f −1 (X2 ) = X1 ∈ σ f −1 (E) donc X2 ∈ T . De même ∅ ∈ T car f −1 (∅) = ∅ ∈ σ f −1 (E) . c (ii) Si A ∈ T , on a f −1 (A) ∈ σ f −1 (E) . Donc f −1 (Ac ) = f −1 (A) ∈ σ f −1 (E) , ce qui c prouve que A ∈ T . (iii) Si (An )n∈N est une famille d’éléments de T , on a pour tout n ∈ N, f −1 (An ) ∈ σ f −1 (E) . Donc ! [ [ f −1 An = f −1 (An ) ∈ σ f −1 (E) , n∈N

n∈N

S

ce qui prouve que n∈N An ∈ T . De plus, T contient E car A ∈ E ⇔ f −1 (A) ∈ σ f −1 (E) ; donc σ (E) ⊂ T , d’o` u f −1 (σ (E)) ⊂ −1 −1 −1 −1 f (T ). Or, par définition de T , on a f (T ) ⊂ σ f (E) , on conclut donc que f (σ (E)) ⊂ −1 σ f (E) Ce lemme permet la caractérisation suivante de la mesurabilité d’une application. Proposition 1.2.3. Soit f : (X1 , T1 ) → (X2 , T2 ) avec T2 = σ (E) o` u E ⊂ P (X2 ). Alors est mesurable si et seulement si quelque soit A ∈ E, on a f −1 (A) ∈ T1 . Preuve. −1 Si f est mesurable, quelque si soit A ∈ E, on a A ∈ T2 donc f (A) ∈ T1 . Réciproquement, −1 −1 f (E) ⊂ T1 alors σ f (E) ⊂ T1 et comme, d’après le lemme de transport, on a f −1 (T2 ) = σ f −1 (E) , il vient f −1 (T2 ) ⊂ T1 , c-a-d f est mesurable.

5

Ainsi, au lieu de vérifier le critère de mesurabilité pour tout A ∈ T2 , il suffit de ne l’utiliser que pour A ∈ E, ce qui simplifie la vérification de la mesurabilité de f . Dans le cas o` u la tribu d’arrivée est la tribu borélienne sur un espace topologique X2 , la proposition précédente devient : Corollaire 1.2.1. Lorsque X2 est un espace topologique l’application f : (X1 , T1 ) → (X2 , BX2 ) est mesurable si et seulement si, pour tout ouvert A de X2 , on a f −1 (A) ∈ T1 . Dans le cas o` u X2 = R, on peut obtenir une meilleure simplification de la mesurabilité. Cela est énoncé dans le corollaire suivant : Corollaire 1.2.2. Une application f : (X, T ) → (R, BR ) est mesurable si et seulement si, pour tout a ∈ R, on a f −1 (]−∞, a]) ∈ T . Preuve. Si f est mesurable, puisque pour tout a ∈ R on a ]−∞, a] ∈ BR , il vient tout de suite f −1 (]−∞, a]) ∈ T . Réciproquement, si pour tout a ∈ R on a f −1 (]−∞, a]) ∈ T , montrons d’abord qu’il en est de même des singletons. En effet, pour tout a ∈ R, on a ! \ \ 1 1 −1 −1 −1 = f ]−∞, a] \ −∞, a − f ({a}) = f a − ,a n n n∈N∗ n∈N∗ \ 1 = f −1 (]−∞, a]) \f −1 −∞, a − ∈T. n ∗ n∈N

Montrons maintenant qu’il en est de même des intervalles du type ]−∞, a[. En effet : f −1 (]−∞, a[) = f −1 (]−∞, a] \ {a}) = f −1 (]−∞, a]) \f −1 ({a}) ∈ T . Enfin, soit I un intervalle ouvert de R ; comme R est séparable, I est une réunion dénombrable de S boules ouvertes, c-a-d I = n∈N∗ ]xn − rn , xn + rn [ o` u xn ∈ R et rn ∈ R∗+ . Ainsi f −1 (I) =

[ n∈N∗

=

[

[

f −1 (]xn − rn , xn + rn [) =

f −1 (]−∞, xn + rn [ \ ]−∞, xn − rn ])

n∈N∗

f −1 (]−∞, xn + rn [) \f −1 (]−∞, xn − rn ]) ∈ T ,

n∈N∗

ce qui termine la démonstration.

* propriétés des applications mesurables Proposition 1.2.4. Soient f : (X1 , T1 ) → (X2 , T2 ) et g : (X2 , T2 ) → (X3 , T3 ) deux applications. Si f et g sont mesurables alors g ◦ f est mesurable. Preuve. −1 Pour tout A ∈ T3 on a (g ◦ f ) (A) = f −1 g −1 (A) ∈ T1 car g −1 (A) ∈ T2 . Proposition 1.2.5. Soient X1 et X2 deux espaces topologiques. Alors si f : (X1 , BX1 ) → (X2 , BX2 ) est une application continue, elle est mesurable. Preuve. Soit Ok l’ensemble des ouverts de Xk (k = 1, 2); On a BXk = σ (Ok ). Puisque f est continue, 6

l’image inverse de tout ouvert de X2 par f est un ouvert de X1 ; ainsi f −1 (O2 ) ⊂ O1 ⊂ σ (O1) = BX1 . Cela implique σ f −1 (O2 ) ⊂ BX1 . Or par le lemme de transport, on a σ f −1 (O2 ) = f −1 (σ (O2 )) = f −1 (BX2 ); donc f −1 (BX2 ) ⊂ BX1 , c’est à dire que f est mesurable. Proposition 1.2.6. Soit f = (f1 , f2 ) : (X, T ) → R2 , BR2 une application. Alors f est mesurable si, et seulement si, f1 et f2 sont des applications mesurables de (X, T ) vers (R, BR ). Preuve. Si f est mesurable, on considère les projections canoniques πk : (x1 , x2 ) ∈ R2 7→ xk ∈ R (k = 1, 2); ce sont des applications linéaires, par conséquent elles sont mesurables parceque continues. La mesurabilité de chaque fk (k = 1, 2) provient alors de ce que fk = πk ◦ f . Réciproquement, si chaque fk est mesurable (k = 1, 2). Puisque R2 est produit d’espaces S 2 séparables, tout ouvert O de R s’écrit O = i∈I Ai × Bi o` u I est dénombrable, Ai et Bi sont des ouverts de R. Donc : [ [ f −1 (O) = f −1 (Ai × Bi ) = f1−1 (Ai ) ∩ f2−1 (Bi ) ∈ T i∈I

i∈I

et, ainsi, f est mesurable. Cette proposition permet d’établir les propriétés suivantes : Proposition 1.2.7. Soient f1 et f2 sont deux applications mesurables de (X, T ) vers (R, BR ). Alors : (i) ∀ (α, β) ∈ R2 , αf1 + βf2 est mesurable; (ii) f1 f2 est mesurable; (iii) si ∀x ∈ X, f2 (x) 6= 0 la fonction f1 /f2 est mesurable. Preuve. f = (f1 , f2 ) est mesurable d’après la proposition 1.2.6; alors pour toute application mesurable ϕ : R2 → R, l’application ϕ ◦ f est mesurable. (i) ϕ1 : (x1 , x2 ) ∈ R2 7→ αx1 + βx2 est linéaire donc continue. Par conséquent, elle est mesurable et αf1 + βf2 = ϕ1 ◦ f. (ii) ϕ2 : (x1 , x2 ) ∈ R2 7→ x1 x2 est mesurable car continue, et f1 f2 = ϕ2 ◦ f. (iii) ϕ3 : (x1 , x2 ) ∈ R × R∗ 7→ x1 /x2 est mesurable car continue, et f1 /f2 = ϕ3 ◦ f. Proposition 1.2.8. Soit f : (X, T ) → (R, BR ) et g : (X, T ) → (R, BR ) deux applications mesurables. Alors : max (f, g) et min (f, g) sont des applications mesurables. Preuve. Posons ϕ = max (f, g) et ψ = min (f, g) .. Pour tout a ∈ R, on a ϕ−1 (]−∞, a]) = {x ∈ R / ϕ (x) ≤ a} = {x ∈ R / max (f (x) , g (x)) ≤ a} = {x ∈ R / f (x) ≤ a} ∩ {x ∈ R / g (x) ≤ a} = f −1 (]−∞, a]) ∩ g −1 (]−∞, a]) ∈ T . et ψ −1 (]−∞, a]) = {x ∈ R / ψ (x) ≤ a} = {x ∈ R / min (f (x) , g (x)) ≤ a} = {x ∈ R / f (x) ≤ a} ∪ {x ∈ R / g (x) ≤ a} = f −1 (]−∞, a]) ∪ g −1 (]−∞, a]) ∈ T . 7

Remarque 1.2.1. 1) Puisque les applications contantes sont mesurables (cf. exemple 1.2.1), on en déduit que si f est mesurable alors pout tout réel λ ∈ R, les applications max (f, λ) et min (f, λ) sont mesurables. 2) En particulier, les applications f+ et f− définies par f+ = max (f, 0) et f− = − min (f, 0) sont mesurables; en outre, il est aisé de vérifier que ce sont des applications positives et que f = f+ −f− . Ces applications joueront un rˆ ole fondamental dans la définition de l’intégrale de Lebesgue. La proposition suivante concerne la mesurabilité de limites de suites de fonctions mesurables. Proposition 1.2.9. Soit (fn )n∈N une suite de fonctions mesurables de (X, T ) vers (R, BR ). Alors : (i) pour I ⊂ N, les applications supn∈I (fn ) et inf n∈I (fn ) sont mesurables; (ii) les applications lim supn (fn ) et lim inf n (fn ) sont mesurables; (iii) si f = limn→+∞ (fn ), l’application f est mesurable. Preuve. (i). Posant g = supn∈I (fn ) et h = inf n∈I (fn ), on a [ \ g −1 (]−∞, a]) = fn−1 (]−∞, a]) ∈ T et h−1 (]−∞, a]) = fn−1 (]−∞, a]) ∈ T . n∈I

n∈I

(ii). On a lim supn (fn ) = inf n∈N (gn ) o` u gn = supk≥n (fk ); de même lim inf n (fn ) = supn∈N (hn ) o` u hn = inf k≥n (fk ). D’après (i), les applications gn et hn sont mesurables. Donc, toujours d’après (i), les applications lim supn (fn ) et lim inf n (fn ) sont mesurables. (iii). Si f = limn→+∞ (fn ) alors f = lim supn (fn ) = lim inf n (fn ); la mesurabilité de f découle alors directement de (ii). 3. Fonctions ´ etag´ ees D´ efinition 1.3.1. On appelle fonction étagée toute application f : (X, T ) → (R, BR ) qui s’écrit comme combinaison linéaire d’un nombre fini de fonctions indicatrices d’éléments de T : f=

p X

αi 1IAi

i=1

avec αi ∈ R et Ai ∈ T (i = 1, · · · , p). Remarque 1.3.1. 1) Une fonction étagée est mesurable puisqu’elle est combinaison linéaire d’applications mesurables. 2) Une fonction est étagée si, et seulement si, elle prend un nombre fini de valeurs. En effet, si elle prend nombre fini de valeurs (distinctes) P α1 , · · · , αp , on pose Ai = {x ∈ X / f (x) = αi } et on a Pun p p ; pour tout ⊂ {1, · · · , p} f = i=1 αi 1IAi . Réciproquement, si f = T i=1 αi 1IAi T x ∈ X il existe I P c et J ⊂ {1, · · · , p}, I ∩ J = ∅, tels que x ∈ i∈I Ai ∩ i∈J Ai , on a alors f (x) = i∈I αi . Il y a exactement 2p telles valeurs. 3) La décomposition d’une fonction étagée comme combinaison linéaire d’indicatrices n’est pas unique. Cependant, il existe une unique décomposition telle que les Ai forment une partition de X; elle est appelée décomposition canonique . L’importance des fonctions étagées vient du lemme suivant qui montre que toute fonction mesurable peut être approchée par une suite de fonctions étagées. 8

Proposition 1.3.1. (Lemme fondamental d’approximation ). Soit f : (X, T ) → (R, BR ) une application mesurable. Alors, il existe une suite (fn )n∈N∗ de fonctions étagées telles que f = limn→+∞ fn simplement. En outre : (i) si f est positive, on peut choisir la suite (fn )n∈N∗ croissante; (ii) si f est bornée on peut choisir la suite (fn )n∈N∗ de sorte qu’elle converge uniformément vers f . Preuve. 1) Supposons f ≥ 0 et considérons k k+1 −1 , (k ∈ {0, · · · , n2n − 1} ) et An,∞ = f −1 ([n, +∞[) ; An,k = f 2n 2n de la mesurabilité de f on déduit An,∞ ∈ T et An,k ∈ T n n2 −1 X

fn =

k=0

(k ∈ {0, · · · , n2n − 1}). On définit :

k 1IAn,k + n 1IAn,∞ . 2n

(a). Montrons que f = limn→+∞ fn simplement. Soit x ∈ X et un entier n0 ∈ N tel que f (x) < n0 . Alors pour tout n ≥ n0 on a f (x) < n, c-a-d x ∈ / An,∞ . Puisque An,0 , · · · , An,n2n −1 , An,∞ forment une partition de X, il existe k ∈ {0, · · · , n2n − 1} tel que x ∈ An,k . Cela signifie k k+1 ≤ f (x) < 2n 2n

et

fn (x) =

k . 2n

Donc 0 ≤ f (x) − fn (x) < 2−n , ce qui prouve f (x) = limn→+∞ fn (x). (b). Montrons que la suite (fn )n∈N∗ est croissante. Soit x ∈ X : - si x ∈ A , on a k2−n ≤ f (x) < (k + 1) 2−n et fn (x) = k2−n . Comme 2kn , k+1 = 2n 2k 2k+1 n,k 2k+1 2k+2 , ∪ , , on peut ´ e crire : 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 2k k 2k si 2n+1 ≤ f (x) < 2k+1 2n+1 = 2n 2n+1 fn+1 (x) = k 1 2k+1 2k+2 2k+1 = + si ≤ f (x) < n+1 n n n+1 2 2 2 2 2n+1 ce qui montre fn+1 (x) ≥ fn (x) . - si x ∈ An,∞ , on a f (x) ≥ n et fn (x) = n. Comme   (n+1)2n+1 −1 [ l l+1  [n, +∞[ = [n, n + 1[ ∪ [n + 1, +∞[ =  , ∪ [n + 1, +∞[ n+1 2n+1 2 n+1 l=n2

on peut écrire fn+1 (x) =

l 2n+1

n+1

si si

l 2n+1

≤ f (x) < 2l+1 n+1 , f (x) ≥ n + 1

n2n+1 ≤ l ≤ (n + 1) 2n+1 − 1

;

l puisque pour tout l ≥ n2n+1 on a 2n+1 ≥ n, on déduit de l’égalité précédente fn+1 (x) ≥ fn (x) . (c). Montrons que si f est bornée, la convergence est uniforme. On peut trouver n0 tel que f (x) < n0 . Pour n ≥ n0 , on a An,∞ = ∅ et ∀x ∈ X, ∃k ∈ {0, · · · , n2n − 1}, x ∈ An,k . Donc ∀x ∈ X, 0 ≤ f (x) − fn (x) < 2−n , ce qui implique supx∈X |f (x) − fn (x)| < 2−n et entraine la convergence uniforme. 2) Cas général pour f . On décompose f = f+ −f− o` u f+ = max(f, 0) et f+ = − min(f, 0); ces deux dernières applications sont mesurables positives. D’après 1) il existe des suites de fonctions étagées

9

(fn+ )n∈N∗ et (fn− )n∈N∗ telles que f+ = limn→+∞ fn+ et f− = limn→+∞ fn− , simplement; posant, fn = fn+ − fn− , il est clair que (fn )n∈N∗ est une suite de fonctions étagées et f = limn→+∞ fn , simplement. Si f est bornée, l’égalité |f | = f+ + f− montre que f+ et f− le sont aussi. D’après 1) (fn+ )n∈N∗ et (fn− )n∈N∗ peuvent être choisies de sorte qu’elles convergent uniformément; en conséquence, (fn )n∈N∗ converge uniformément vers f .

10

Chapitre 2 Mesure et intégrale par rapport a` une mesure 1. Mesure sur un espace mesurable Soit (X, T ) un espace mesurable. D´ efinition 2.1.1. On appelle mesure sur (X, T ) toute application µ : T → R+ vérifiant : (i) µ (∅) = 0 S (ii) pour toute famille (An )n∈N d’éléments deux à deux disjoints de T , on a µ n∈N An = P+∞ eté de σ-additivité ). n=0 µ (An ) (propri´ Si µ (X) < +∞ la mesure µ est dite finie S ou bornée. Si X peut s’écrire sous la forme X = n Xn avec µ (Xn ) < +∞ pour tout n, la mesure µ est dite σ-finie Remarque 2.1.1. La σ-additivité précedente implique la propriété d’additivité : ∀ (A, B) ∈ T 2 t.q. A ∩ B = ∅, µ (A ∪ B) = µ (A) + µ (B). En effet, il suffit de considérer la famille (An )n∈N d’éléments de T définie par : A0 = A, A1S= B et, n ≥ 2, An = ∅; les éSléments de cette pour P+∞ famille étant deux ` a deux disjoints, on a µ n∈N An = n=0 µ (An ), et comme n∈N An = A ∪ B et +∞ X

µ (An ) = µ (A) + µ (B) +

n=0

+∞ X

µ (An ) = µ (A) + µ (B) (car µ (An ) = 0 pour n ≥ 2)

n=2

on obtient la relation recherchée. Exemple 2.1.1. 1) La mesure de comptage ou mesure de dénombrement sur (X, P (X)) : card (A) si A est fini ∀A ∈ P (X) , µ (A) = . +∞ sinon 2) La mesure de Dirac au point a ∈ X : ∀A ∈ P (X) , δa (A) =

1 0

si si

a∈A ; a∈ /A

on peut écrire δa (A) =1IA (a) . 3) La mesure de Lebesgue sur R : c’est l’unique mesure λ sur (R, BR ) telle que pour tout intervalle I de R d’extrémités a et b, on a λ (I) = |b − a|; l’existence de cette mesure est montré au chapitre 3. Les propriétés essentielles des mesures sont données dans la proposition suivante : Proposition 2.1.1. Soit µ une mesure sur l’espace mesurable (X, T ). Les assertion suivantes sont vérifiées : 11

(i) ∀ (A, B) ∈ T 2 , si A ⊂ B alors µ (A) ≤ µ (B). Si de plus µ (A) < +∞, alors µ (B\A) = µ (B) − µ (A). (ii) ∀ (A, B) ∈ T 2 , µ (A ∪ B) + µ (A ∩ B) = µ (A) + µ (B) . (iii Soit (An )n∈N une famille croisssante (c-a-d ∀ n ∈ N, An ⊂ An+1 ) d’éléments de T , alors : ! [ µ An = lim ↑ µ (An ) . n→+∞

n∈N

(iv) Soit (An )n∈N une famille décroisssante (c-a-d ∀ n ∈ N, An+1 ⊂ An ) d’éléments de T telle qu’il existe un entier n0 ∈ N pour lequel µ (An0 ) < +∞, alors : ! \ µ An = lim ↓ µ (An ) . n→+∞

n∈N

(v) Sous σ-additivité : Soit (An )n∈N une famille d’éléments de T , alors ! µ

[

An

≤

+∞ X

µ (An ) .

n=0

n∈N

Preuve. (i). Lorsque A ⊂ B, on a la réunion disjointe B = A ∪ (B\A); donc µ (B) = µ (A) + µ (B\A). Puisque µ (B\A) ≥ 0, il vient µ (B) ≥ µ (A) ; si de plus µ (A) < +∞, on en déduit µ (B\A) = µ (B) − µ (A). (ii). Si µ (A ∩ B) = +∞, puisque A ∩ B ⊂ A, A ∩ B ⊂ B et A ∩ B ⊂ A ∪ B, on a aussi, d’après le (i), µ (A) = +∞, µ (B) = +∞ et µ (A ∪ B) = +∞ et la relation annoncée est vraie. Si µ (A ∩ B) < +∞, on déduit de la réunion disjointe A ∪ B = (A\ (A ∩ B)) ∪ (A ∩ B) ∪ (B\ (A ∩ B)) et de (i) que l’on a µ (A ∪ B) = µ (A\ (A ∩ B)) + µ (A ∩ B) + µ (B\ (A ∩ B)) = µ (A) − µ (A ∩ B) + µ (A ∩ B) + µ (B) − µ (A ∩ B) = µ (A) + µ (B) − µ (A ∩ B) ; d’o` u la relation recherchée. (iii). SnPosons B0 = A0 et Bn = An \An−1 pour n ≥ 1. Vérifions tout d’abord, par récurrence, que An = k=0 Bk ; cetteSrelation est trivialement vraie pour n = 1, supposons qu’elle le soit à l’ordre n n, c’est ` a dire An = k=0 Bk . Alors, puisque l’on a la réunion disjointe An+1 = (An+1 \An ) ∪ An , il vient ! ! n+1 n n [ [ [ An+1 = (An+1 \An ) ∪ Bk = Bn+1 ∪ Bk = Bk k=0

k=0

k=0

et montré la relation cherch´ ee. Remarquons maintenant que cette relation S on a ainsiS S Snimplique que ∈ N tel que x ∈ A = n n∈N An = n∈N Bn ; en effet si x ∈ n∈N An , il existe n k=1 B S Sk . Donc il existe k ≤ n tel que x ∈ Bk , ce qui implique que x ∈ n∈N Bn . Inversement, si x ∈ S n∈N Bn , il existe n ∈ N tel que x ∈ Bn = An ∩ Acn−1 ; donc x ∈ An , ce qui implique que x ∈ n∈N An et établit la relation recherchée. De plus, pour tout (n, m) ∈ N2 tel que n 6= m (on peut prendre n > m sans perte de généralité), on a Am ⊂ An−1 et Bm = Am ∩ Acm−1 ⊂ Am ; ceci implique 12

Bn = An \An−1 ⊂ Acn−1 ⊂ Acm et Bn ∩ Bm ⊂ Acm ∩ Am = ∅. Donc Bn ∩ Bm = ∅, c’est à dire que les Bn sont deux ` a deux disjoints. En conséquence : ! ! +∞ ! n n [ [ X X [ µ An = µ Bn = µ (Bn ) = lim µ (Bk ) = lim µ Bk = lim µ (An ) ; n∈N

n→+∞

n=0

n∈N

n→+∞

k=0

k=0

n→+∞

la suite est croissante en vertu de (i). (iv). Pour n ≥ 0, la suite définie par Bn = An0 \An0 +n est croissante car Bn = An0 ∩ Acn0 +n ⊂ An0 ∩ Acn0 +n+1 = Bn+1 ; on peut donc appliquer (iii); il vient !

+∞ [

µ

= lim ↑ µ (Bn ) .

Bn

(2.1.1)

n→+∞

n=0

Or +∞ [

Bn =

n=0

+∞ [

+∞ \

An0 \An0 +n = An0 \

An0 +n

n=0

n=0

et

µ

+∞ \

! An0 +n

≤ µ (An0 ) < +∞;

n=0

la relation (2.1.1) devient donc ! +∞ \ µ (An0 ) − µ An0 +n = lim (µ (An0 ) − µ (An0 +n )) = µ (An0 ) − lim µ (An0 +n ) n→+∞

n=0

c’est a` dire µ

+∞ \

! An0 +n

= lim ↓ µ (An0 +n ) = lim ↓ µ (An ) . n→+∞

n=0

Enfin, puisque

T+∞

n=0

n→+∞

An0 +n =

T+∞

n=0

n→+∞

An à cause de la décroissance des An , on conclut que µ

T +∞

n=0

An =

limn→+∞ ↓ µ (An ) . Sn Pn (v). Montrons par récurrence que µ ( S evident pour n = 1 et k=0 Ak ) ≤ Pk=0 µ (Ak ) . C’est ´ n n vrai pour n = 2 d’après (ii); supposons µ ( k=0 Ak ) ≤ k=0 µ (Ak ) , on a alors : ! ! ! n+1 n+1 n n [ [ [ X µ Ak = µ An+1 ∪ Ak ≤ µ (An+1 ) + µ Ak ≤ µ (Ak ) . k=0

k=0

k=0

Sn

k=0

Pn

Donc pour tout n ∈ N, posant Bn = k=0 Ak , on a µ (Bn ) ≤ k=0 µ (Ak ) ; d’o` u limn→+∞ µ (Bn ) ≤ P+∞ µ (A ) . Or (B ) est une suite croissante; d’apr` e s (iii) et la pr´ e c´ e dente in´ egalité on en déduit n n n=0 ! +∞ +∞ [ X µ Bn = lim µ (Bn ) ≤ µ (An ) . n=0

n→+∞

n=0

On obtient S+∞ finalement S+∞ l’inégalité recherchée en remarquant, tout comme dans la preuve de (iii), que n=0 Bn = n=0 An . D´ efinition 2.1.2. On appelle espace mesuré tout triplet (X, T , µ), o` u (X, T ) est un espace mesurable et µ une mesure sur (X, T ). 13

D´ efinition 2.1.3. Soit (X, T , µ) un espace mesuré et N une partie de X. On dit que N est négligeable pour µ, ou encore µ-négligeable, s’il existe A ∈ T tel que N ⊂ A et µ (A) = 0. Remarque 2.1.1. Evidemment, toute partie A ∈ T tel que µ (A) = 0 est µ-négligeable. La définition précédente permet aussi de “négliger” des parties non mesurables de X, c’est-à-dire des parties de X n’appartenant pas ` a T. * propriété vraie presque partout Soit P une propriété portant sur les éléments de X et telle que l’ensemble {x ∈ X / P (x) fausse} appartienne ` a T . On a D´ efinition 2.1.4. On dit que P est vraie presque partout pour µ, ou encore µ-presque partout (µ-p.p.), si µ ({x ∈ X / P (x) fausse}) = 0. Exemple 2.1.2. Soient f : (X, T ) → (R, BR ) et g : (X, T ) → (R, BR ) deux applications mesurables. −1 1) On a {f 6= g} = (f − g) (R\ {0}) ∈ T car f − g est mesurable et R\ {0} ∈ BR ; on dit que f = g µ-p.p. si µ ({x ∈ X / f (x) 6= g (x)}) = 0. 2) Soit (fn )n∈N une suite de fonctions mesurables; on a donc {f = limn→+∞ fn } ∈ T . On dit que cette suite converge µ-p.p. vers f si µ ({x ∈ X / f (x) 6= limn→+∞ fn (x)}) = 0. 3) Soit un espace mesuré (R, BR , µ), o` u µ est une mesure sur (R, BR ) qui ne charge pas les singletons n n (c’est ` a dire : ∀x ∈ R, µ ({x}) = 0); considérons la suite définie par fn (x) = (cos (x)) 1 − nx 1I[0,n] (x) et montrons qu’elle converge µ-p.p. vers la fonction f définie par f (x) = e−x 1I2πN (x) bien qu’elle ne converge pas vers cette fonction. Si x < 0, on a fn (x) = 0, donc limn→+∞ (fn (x)) = 0. Si x ∈ 2πN, alors cos (x) = 1 et pour n ≥ [x] + 1 (o` u [x] désigne la partie entière de x), on a n n 0 ≤ x ≤ n, donc fn (x) = 1 − nx ; ceci implique limn→+∞ (fn (x)) = limn→+∞ 1 − nx = e−x . n n Si x ∈ πN\ (2πN), alors cos (x) = −1 et, pour n ≥ [x] + 1, fn (x) = (−1) 1 − nx ; ceci implique que fn (x) n’a pas de limite lorsque n → +∞ et, par conséquent, que la suite (fn )n∈N∗ ne converge pas vers f car f (x) = 0. Si x ∈ R+ \ (πN), alors −1 < cos (x) < 1 et, pour n ≥ [x] + 1, on a n n fn (x) = (cos (x)) 1 − nx ; donc limn→+∞ (fn (x)) = 0. Ce qui précède permet d’affirmer que

lim fn 6= f

= πN\ (2πN) = {(2k + 1) π / k ∈ N} =

n→+∞

+∞ [

{(2k + 1) π} ;

k=0

d’o` u µ

lim fn 6= f

n→+∞

=

+∞ X

µ ({(2k + 1) π}) = 0,

k=0

c’est a` dire, limn→+∞ fn = f µ-p.p.. * Mesure image On considère deux espaces mesurables (X1 , T1 ) et (X2 , T2 ) et ϕ : (X1 , T1 ) → (X2 , T2 ) une application mesurable. Soit µ une mesure sur (X1 , T1 ), on introduit l’application ν : A ∈ T2 7→ µ ϕ−1 (A) ∈R+ . On a alors Proposition 2.1.2. ν est une mesure sur (X2 , T2 ) de même masse que µ. Preuve.(a) Montrons que est une mesure sur (X2 , T2 ). 14

(i) ν (∅) = µ ϕ−1 (∅) = µ (∅) = 0; (ii) soient A ∈ T2 , B ∈ T2 tels que A ∩ B = ∅, on a ν (A ∪ B) = µ ϕ−1 (A ∪ B) = µ ϕ−1 (A) ∪ ϕ−1 (B) et comme ϕ−1 (A) ∩ ϕ−1 (B) = ϕ−1 (A ∩ B) = ϕ−1 (∅) = ∅, il vient ν (A ∪ B) = µ ϕ−1 (A) + µ ϕ−1 (B) = ν (A) + ν (B) . (iii) soit (An )n∈N une famille d’éléments deux à deux disjoints de T2 , on a ! ! !! [ [ [ ν An = µ ϕ−1 An =µ ϕ−1 (An ) ; n∈N −1

or pour n 6= m, on a ϕ

n∈N −1

(An ) ∩ ϕ

n∈N

−1

(Am ) = ϕ

(An ∩ Am ) = ϕ−1 (∅) = ∅, donc

! [

ν

An

=

n∈N −1

(b) On a ν (X2 ) = µ ϕ

X

X µ ϕ−1 (An ) = ν (An ) .

n∈N

n∈N

(X2 ) = µ (X1 ), ces deux mesures ont donc même masse.

On peut alors définir : D´ efinition 2.1.5. On appelle mesure image de µ par ϕ, la mesure sur (X2 , T2 ), notée ϕ ∗ µ, définie par (ϕ ∗ µ) (A) = µ ϕ−1 (A) pour tout A ∈ T2 . 2. Int´ egrale de fonction ´ etag´ ee positive On note E (T ) l’ensemble des fonctions étagées T -mesurables et E+ (T ) le sous-ensemble de E (T ) constitué des fonctions étagées positives. Pp D´ efinition 2.2.1. P Soit f := i=1 αi 1IAi ∈ E+ (T ); on appelle intégrale de f par rapport à µ la p quantité Iµ (f ) := i=1 αi µ (Ai ) . L’exemple suivant détermine l’intégrale d’une fonction étagée par rapport aux mesures de Dirac et de comptage. Pp Exemple 2.2.1. Soit f := i=1 αi 1IAi ∈ E+ (T ). 1) Pour tout a ∈ X, p p X X Iδa (f ) = αi δa (Ai ) = αi 1IAi (a) = f (a) . i=1

i=1

2) Soit m la mesure de comptage; on a Im (f ) =

p X

αi m (Ai ) =

i=1

Or, on a card(Ai ) =

P

x∈X 1IAi

Im (f ) =

p X i=1

p X

αi card (Ai ) .

i=1

(x); donc αi

X x∈X

1IAi (x) =

p XX x∈X i=1

15

αi 1IAi (x) =

X x∈X

f (x) .

* propriétés de l’intégrale sur E+ (T ) Proposition 2.2.1. Soient f et g dans E+ (T ). Alors : (i) Additivité . Iµ (f + g) = Iµ (f ) + Iµ (g) . (ii) Croissance . f ≤ g ⇒ Iµ (f ) ≤ Iµ (g) . (iii) Positive homogenéité . ∀λ ≥ 0, Iµ (λf ) = λIµ (f ) . (iv). f = 0 µ-p.p. ⇔ Iµ (f ) = 0. Pp Pq Preuve. On écrit f et g sous forme canonique f = i=1 αi 1IAi et g = j=1 βj 1IBj , o` u (Ai )1≤i≤p et (Bj )1≤i≤q sont des partitions de X (et les αi et βj sont non nuls). (i). Les Ai ∩ Bj sont disjoints; en effet soient (i, j) et (k, l) distincts, si i 6= k alors (Ai ∩ Bj ) ∩ (Ak ∩ Bl ) ⊂ Ai ∩ Ak = ∅; donc (Ai ∩ Bj ) ∩ (Ak ∩ Bl ) = ∅. De même, si j 6= l on montre que (Ai ∩ Bj ) ∩ (Ak ∩ Bl ) = ∅. De plus, on a les unions disjointes suivantes   q q [ [   Ai = Ai ∩ X = Ai ∩ Bj = (Ai ∩ Bj ) (2.2.1) j=1

et

p [

Bj = Bj ∩ X = Bj ∩

j=1

! Ai

=

i=1

donc

p X

f=

αi

1ISq

j=1 (Ai ∩Bj )

g=

q X

(Ai ∩ Bj ) ;

(2.2.2)

i=1 p X q X

=

αi 1IAi ∩Bj

i=1 j=1

i=1

et

p [

βj 1ISpi=1 (Ai ∩Bj ) =

p X q X

βj 1IAi ∩Bj .

i=1 j=1

j=1

On en déduit f +g =

p X q X

(αi + βj ) 1IAi ∩Bj

i=1 j=1

et par définition de l’intégrale Iµ (f + g) =

=

p X q X i=1 j=1 p X q X

(αi + βj ) µ (Ai ∩ Bj ) αi µ (Ai ∩ Bj ) +

i=1 j=1

=

p X i=1

 αi 

p X q X

βj µ (Ai ∩ Bj )

i=1 j=1 q X

 µ (Ai ∩ Bj ) +

j=1

q X

βj

j=1

p X

! µ (Ai ∩ Bj ) .

i=1

D’après (2.2.1) et (2.2.2) on a  µ (Ai ) = µ 

q [

 (Ai ∩ Bj ) =

j=1

q X j=1

16

µ (Ai ∩ Bj )

et

p [

µ (Bj ) = µ

! (Ai ∩ Bj )

=

i=1

ainsi Iµ (f + g) =

p X

µ (Ai ∩ Bj ) ;

i=1

αi µ (Ai ) +

i=1

p X

q X

βj µ (Bj ) = Iµ (f ) + Iµ (g) .

j=1

Pp Pq (ii). g = f + (g − f ) et g − f = i=1 j=1 (βj − αi ) 1IAi ∩Bj . Puisque g − f ≥ 0 on a pour tout (i, j) ∈ {1, · · · , p} × {1, · · · , q}, βj ≥ αi ; donc Iµ (g − f ) =

q p X X

(βj − αi ) µ (Ai ∩ Bj ) ≥ 0.

i=1 j=1

Or d’après (i) : Iµ (g) = Iµ (f ) + Iµ (g − f ) ; donc PpIµ (g) ≥ Iµ (f ) . (iii). Si λ = 0, c’est trivial; si λ > 0, on a λf = i=1 (λαi ) 1IAi ; donc Iµ (λf ) =

p X

(λαi ) µ (Ai ) = λ

i=1

p X

αi µ (Ai ) = λIµ (f ) .

i=1

(iv). Remarquons queTf (x) égal ` a 0 si, et seulement si x n’appartient Sp à aucun des Ai ; cela signifie p que l’on a {f = 0} = i=1 Aci , ce qui est équivalent à {f 6= 0} = i=1 Ai . Si f = 0 µ-p.p., il vient ! p p [ X f = 0 µ-p.p. ⇔ µ ({f 6= 0}) = µ Ai = µ (Ai ) = 0 i=1

i=1

⇔ ∀i ∈ {1, · · · , p} , µ (Ai ) = 0 ⇔

p X

αi µ (Ai ) = 0

i=1

⇔ Iµ (f ) = 0

3. Int´ egrale de fonction mesurable positive On note M+ (T ) l’ensemble des fonctions mesurables positives de (X, T ) vers R+ , BR+ . D´ efinition 2.3.1. Soit f ∈ M+ (T ). On appelle intégrale de f sur X par rapport à µ la quantité Z f (x) dµ (x) := sup {Iµ (ϕ) dµ, ϕ ≤ f, ϕ ∈ E+ (T )} . X

Remarque 2.3.1. R R 1) Pour simplifier les écritures, on note souvent X f dµ au lieu de X f (x) dµ (x). 2) R Comme la fonction nulle est étagée positive, d’intégrale nulle et minore f on a forcément f dµ ≥ 0. X Le lien entre l’intégrale introduite ci-dessus et celle du paragraphe précédent est précisé ci-après. 17

R Proposition 2.3.1. Soit f ∈ M+ (T ); si f est une fonction étagée, alors X f dµ = Iµ (f ). Preuve. Si f ∈ E+ (T ), pour tout ϕ ∈ E+ (T ) tel que ϕ ≤ f , on a Iµ (ϕ) ≤ Iµ (f ) (cf. proposition 2.2.1-(ii)). Ainsi, Iµ (f ) majore l’ensemble {Iµ (ϕ) , ϕ ≤ f, ϕ ∈ E+ (T )}. Soit λ un autre majorant; puisque f ∈ E+ (T ) et f ≤ f , c’est-à-dire que f appartient à cet ensemble, il vient Iµ (f ) ≤ λ. Donc Iµ (f ) est le plus petit majorant de l’ensemble {Iµ (ϕ) , ϕ ≤ f, ϕ ∈ E+ (T )}, c’est-à-dire Z Iµ (f ) = sup {Iµ (ϕ) , ϕ ≤ f, ϕ ∈ E+ (T )} = f dµ. X

* propriétés de l’intégrale sur M+ (T ) Proposition 2.3.2. (Croissance de l’intégrale ). Soit f et g deux éléments de M+ (T ); si f ≤ g R R alors X f dµ ≤ X g dµ. Preuve. Pour tout ϕ ∈ E+ (T ) tel que ϕ ≤ f, on a ϕ ≤ g. Donc {ϕ ∈ E+ (T ) / ϕ ≤ f } ⊂ {ϕ ∈ E+ (T ) / ϕ ≤ g} d’o` u sup {Iµ (ϕ) , ϕ ≤ f, ϕ ∈ E+ (T )} ≤ sup {Iµ (ϕ) , ϕ ≤ g, ϕ ∈ E+ (T )} R c’est-` a-dire X f dµ ≤ X g dµ. R

Cette proposition permet d’obtenir le théorème suivant qui est un outil important dans la construction de l’intégrale de Lebesgue. Th´ eor` eme 2.3.1. (Théorème de convergence monotone, de Beppo Levi ). Soit (fn )n∈N une suite croissante (c-a-d ∀n ∈ N, ∀x ∈ X, fn (x) ≤ fn+1 (x)) de fonctions mesurables positives de (X, T ) vers R+ , BR+ . Alors posant f = limn→+∞ fn , on a : Z

Z f dµ = lim ↑

fn dµ.

n→+∞

X

X

R R Preuve. Montrons d’abord que limn→+∞ ↑ X fn dµR≤ X f dµ; on a fn ≤ fn+1 ≤ f donc R R R fn dµ ≤ X fn+1 dµ ≤ X f dµ. Ainsi, la suite X fn dµ n∈N est une suite croissante et X R R R majorée par X f dµ; d’o` u limn→+∞ ↑ X fn dµ ≤ X f dµ. Montrons maintenant l’inégalité (λ)

inverse; soit ϕ ∈ E+ (T ) tel que ϕ ≤ f. Pour tout λ ∈ ]0, 1[, posant En := {fn ≥ λf }, on a (λ) (λ) −1 En ∈ T car En = {fn − λf ≥ 0} = (fn − λf ) ([0, +∞[). De plus, remarquons que, puisque (λ)

fn ≤ fn+1 , on a, pour tout n ∈ N, l’inclusion En

(λ)

⊂ En+1 qui montre que

(λ)

En

est une

n∈N

famille croissante. D’autre part , λϕ 1IE (λ) ∈ E+ (T ) et comme n

λϕ 1IE (λ) ≤ λf 1IE (λ) ≤ fn 1IE (λ) ≤ fn n

il vient

n

Z X

d’o` u

n

Z λϕ 1IE (λ) dµ ≤ n

fn dµ X

Z lim

n→+∞

X

Z λϕ 1IE (λ) dµ ≤ lim

n→+∞

n

18

fn dµ. X

(2.3.1)

Or, posant ϕ =

Pp

i=1

αi 1IAi , on a

Z X

λϕ 1IE (λ) dµ =

Z X p

n

X i=1

λαi 1IAi ∩E (λ) dµ =

p X

n

λαi µ Ai ∩ En(λ)

i=1

d’o` u Z lim

n→+∞

X

λϕ 1IE (λ) dµ =

p X

n

λαi

i=1

lim µ Ai ∩

n→+∞

En(λ)

=

p X

λαi µ Ai ∩

+∞ [

!! En(λ)

(2.3.2)

n=0

i=1

(λ) la dernière égalité provenant de la croissance de la famille Ai ∩ En . Montrons maintenant n∈N S+∞ (λ) (λ) que n=0 En = X; puisque les En sont des sous-ensembles de X, il suffit de montrer que S+∞ (λ) (λ) X ⊂ n=0 En . Soit x ∈ X, si f (x) = 0, on a trivialement fn (x) ≥ λf (x) c’est à dire x ∈ En , S+∞ (λ) pour tout n ∈ N; donc x ∈ n=0 En . Si f (x) > 0, puisque f (x) = limn→+∞ fn (x), on a pour tout ε tel que 0 < ε < (1 − λ) f (x) l’existence d’un entier n0 vérifiant f (x) − ε ≤ fn0 (x); or f (x) − ε > f (x) − (1 − λ) f (x) = λf (x) S+∞ (λ) (λ) donc fn0 (x) ≥ λf (x) c’est ` x ∈ n=0 En . On peut alors conclure a dire x ∈ En0, ce qui implique S+∞ (λ) S+∞ (λ) que n=0 En = X et on en déduit Ai ∩ = Ai ∩ X = Ai ; reportant cette égalité dans n=0 En (2.3.2) on obtient Z lim

n→+∞

X

λϕ 1IE (λ) dµ =

p X

n

λαi µ (Ai ) = λIµ (ϕ)

i=1

et, d’aprèsR (2.3.1), on a ainsi montré que, pour tout ϕ ∈ E+ (T ) tel que ϕ ≤ f , on a λIµ (ϕ) ≤ limn→+∞ X fn dµ. Donc Z λ sup {Iµ (ϕ) , ϕ ≤ f, ϕ ∈ E+ (T )} ≤ lim fn dµ n→+∞

R

X

R

c’est a` dire λ X f dµ ≤ limn→+∞ X fn dµ. Comme cette inégalité est vraie pour tout λ ∈ ]0, 1[, il vient que pour tout m ∈ N∗ , on a Z Z 1 f dµ ≤ lim fn dµ; 1− n→+∞ X m X R R en faisant tendre m vers +∞, on obtient X f dµ ≤ limn→+∞ X fn dµ. Les deux exemples ci-dessous illustrent l’utilisation du théorème de Beppo-Levi pour obtenir certaines propriétés concernant l’intégrale des fonctions mesurables positives. Exemple 2.3.1. Intégration par rapport ` a la mesure de Dirac. Soit a ∈ X et f ∈ M+ (T ), R montrons que X f dδa = f (a) . D’après le lemme fondamental d’approximation, il existe une suite croissante (fn )n∈N d’éléments de E+ (T ) telle que f = lim R n→+∞ ↑ fn . Comme chaque fn est dans E+ (T ) on a (cf. proposition 2.3.1 et exemple 2.2.1) X fn dδa = Iδa (fn ) = fn (a); d’après le théorème de Beppo Levi, il vient Z Z f dδa = lim ↑ fn dδa = lim ↑ fn (a) = f (a) . X

n→+∞

n→+∞

X

19

Exemple 2.3.2. Montrons que si A ∈ T est µ-négligeable, alors pour tout f ∈ M+ (T ), on a R f 1 I dµ = 0. A X Pp 1) Si f est ´ etagée, f = i=1 αi 1IAi avec Ai ∈ T pour tout i ∈ {1, · · · , n}; on a alors f 1IA = Pp i=1 αi 1IAi ∩A ∈ E+ (T ). Comme Ai ∩ A ⊂ A et µ (A) = 0, il vient que pour tout i ∈ {1, · · · , n}, on a µ (Ai ∩ A) = 0. Donc Z f 1IA dµ = Iµ (f 1IA ) = X

p X

αi µ (Ai ∩ A) = 0 .

i=1

2) Soit f ∈ M+ (T ), alors, d’après le lemme fondamental d’approximation, il existe une suite croissante (fn )n∈N d’éléments de E+ (T ) telle que f = limRn→+∞ ↑ fn . Par conséquent, f 1IA = limn→+∞ ↑ fn 1IA ; le théorème de Beppo-Levi et le fait que X fn 1IA dµ = 0 (puisque fn ∈ E+ (T )) permettent donc d’écrire Z Z f 1IA dµ = lim ↑ fn 1IA dµ = 0. n→+∞

X

X

On va, ` a présent, obtenir d’autres propriétés de l’intégrale de fonctions mesurables positives, par utilisation du théorème de Beppo Levi. Proposition 2.3.3. Soient f et Rg dans MR+ (T ). Alors : R (i) Additivité . X (f + g) dµ = X Rf dµ + X g dµ. R (ii) Positive homogenéité . ∀λ ≥ 0, X λ f dµ = λ X f dµ. Preuve. (i). il existe (fn )n∈N et (gn )n∈N suites croissantes d’éléments de E+ (T ) telles que f = limn→+∞ ↑ fn et g = limn→+∞ ↑ gn . Alors (fn + gn )n∈N est une suite croissante d’éléments de E+ (T ) telle que f + g = limn→+∞ ↑ (fn + gn ); d’après le théorème de Beppo Levi : Z Z (f + g) dµ = lim ↑ (fn + gn ) dµ X

n→+∞

X

= lim ↑ Iµ (fn + gn ) n→+∞

= lim (Iµ (fn ) + Iµ (gn )) n→+∞

= lim Iµ (fn ) + lim Iµ (gn ) n→+∞ n→+∞ Z Z = lim fn dµ + lim gn dµ n→+∞ X n→+∞ X Z Z = f dµ + g dµ. X

X

20

(ii). On a aussi λf = limn→+∞ ↑ (λfn ); par le théorème de Beppo Levi, il vient : Z Z λf dµ = lim ↑ λfn dµ n→+∞

X

X

= lim Iµ (λfn ) n→+∞

= lim (λIµ (fn )) n→+∞

= λ lim Iµ (fn ) n→+∞ Z = λ lim fn dµ n→+∞ X Z =λ f dµ. X

R Proposition 2.3.4. Soit f dans M+ (T ). Alors f = 0 µ-p.p.⇔ X f dµ = 0. Preuve. Il existe (fn )n∈N suite croissante d’éléments de E+ (T ) telle que f = limn→+∞ ↑ fn . ⇒) Si f = 0 µ-p.p.; comme ∀n ∈ N, 0 ≤ fn ≤ f on a {fn 6= 0} = {fn > 0} ⊂ {f > 0} = {f 6= 0} donc 0 ≤ µ ({fn 6= 0}) ≤ µ ({f 6= 0}) = 0 ainsi µ ({fn 6= 0}) = 0 c’est-` a-dire fn = 0 µ-p.p.; onR en déduit (cf. proposition 2.2.1- (iv)) R R f dµ = 0. D’o` u , d’apr` e s le th´ e or` e me de Beppo Levi, f dµ = lim ↑ f dµ = 0. n n→+∞ n X X R RX R ⇐) Si f dµ = 0, puisque 0 ≤ f ≤ f on a 0 ≤ f dµ ≤ f dµ = 0 c’est à dire n n X X X R f dµ = I (f ) = 0, ce qui implique f = 0 µ-p.p. pour tout n ∈ N (cf. proposition 2.2.1n µ n n X (iv)). Or \ {fn = 0} ⊂ {f = 0} n∈N

c’est a` dire {f 6= 0} ⊂

[

{fn 6= 0}

n∈N

d’o` u

! 0 ≤ µ ({f 6= 0}) ≤ µ

[

{fn 6= 0}

≤

+∞ X

µ ({fn 6= 0}) = 0

n=0

n∈N

donc µ ({f 6= 0}) = 0, c’est ` a dire f = 0 µ-p.p..

R R Proposition 2.3.5. Soient f et g dans M+ (T ). Si f = g µ-p.p. alors X f dµ = X g dµ. Preuve. Soit l’application h définie par   max (f, g) − min (f, g) sur {min (f, g) < +∞} h= ;  0 sur {f = g = +∞} c’est une application mesurable et positive. Si

f = g µ-p.p., puisque {h 6= 0} ⊂ {f 6= g}, il vient

0 ≤ µ ({h 6= 0}) ≤ µ ({f 6= g}) = 0.

21

R RDonc h = 0 µ-p.p.,Rce qui implique X h dµ = 0. Comme max (f, g) = min (f, g) + h, on obtient max (f, g) dµ = X min (f, g) dµ. Or X Z Z Z max (f, g) dµ ≥ f dµ ≥ min (f, g) dµ X

et

X

Z

Z

Z

max (f, g) dµ ≥ X

donc

X

Z

g dµ ≥ X

Z

Z

f dµ =

Z

g dµ =

X

min (f, g) dµ X

X

min (f, g) dµ = X

max (f, g) dµ.

X

* Mesure ` a densité Dans ce paragraphe, nous allons voir comment le Théorème de Beppo-Levi permet de définir la notion de mesure ` a densité qui revêt une très grande importance, notamment dans la théorie des probabilités. On considère un epace mesuré (X, T , µ) et ψ : (X, T ) → R+ , BR+ une application mesurable; on considère on introduit l’application Z ν : A ∈ T 7→ ψ1IA dµ ∈ R+ X

et on a Proposition 2.3.6. ν est une mesure sur (X, T ) vérifiant : ∀A ∈ T , µ (A) = 0 ⇒ ν (A) = 0. Preuve. (a) Montrons que ν est une mesure sur (X, T ). R (i) Comme 1I∅ = 0, il vient ν (∅) = X ψ1I∅ dµ = 0. (ii) Soient A ∈ T , B ∈ T tels que A ∩ B = ∅, on sait que 1IA∪B =1IA +1IB ; donc Z Z Z Z ν (A ∪ B) = ψ1IA∪B dµ = ψ (1IA + 1IB ) dµ = ψ1IA dµ + ψ1IB dµ = ν (A) + ν (B) . X

P

X

X

X

(iii) Soit (An )n∈N une famille d’éléments deux à deux disjoints de T , on sait que 1ISn∈N An = n∈N 1IAn . Donc ! Z Z Z n [ X X ν An = ψ1ISn∈N An dµ = ψ 1IAn dµ = lim ψ 1IAk dµ. X

n∈N

P n Puisque la suite ψ k=0 1IAk

X

n∈N

X n→+∞

k=0

est croissante et positive, il vient d’après le Théorème de Beppon∈N

Levi : ! ν

[ n∈N

An

Z = lim

n→+∞

ψ X

n X k=0

1IAk dµ = lim

n Z X

n→+∞

k=0

X

ψ1IAk dµ =

XZ n∈N

X

ψ1IAn dµ =

(b) Si µ (A) = 0, on a déja montré dans l’exemple 2.3.2 qu’alors ν (A) = On peut alors définir :

22

X

ν (An ) .

n∈N

R X

ψ1IA dµ = 0.

D´ efinition 2.3.2. On appelle mesure de densité ψ par rapport à µ, la mesure sur (X, T ), notée ϕ · µ, définie par Z ∀A ∈ T , (ϕ · µ) (A) = ψ1IA dµ. X

Dans ce cas, l’application ψ est appellée densité de ν par rapport à µ. D´ efinition 2.3.3. Soient µ et ν deux mesures sur (X, T ), on dit que ν est absolument continue par rapport ` a µ, on note ν 0 et 1IA (x) = 1, on en déduit que f+ (x) = f (x) et donc que (f 1IA )+ (x) = f+ (x) 1IA (x). D’autre part, si (f 1IA )(x) ≤ 0 on a alors (f 1IA )+ (x) = 0. Puisqu’alors f (x) ≤ 0 ou 1IA (x) = 0, c’est ` a dire f+ (x) = 0 ou 1IA (x) = 0, il vient que f+ (x)1IA (x) = 0 = (f 1IA )+ (x). On a ainsi montré que (f 1IA )+ = f+ 1IA . On montre de même que R R (f 1IA )− = f− 1IA ; ainsi, puisque, d’après l’exemple 2.3.2, on a nécessairement X f+ 1IA dµ = X f− 1IA dµ = 0, on en déduit que : Z Z Z Z Z f 1IA dµ = (f 1IA )+ dµ − (f 1IA )− dµ = f+ 1IA dµ − f− 1IA dµ = 0. X

X

X

X

X

Les propriétés essentielles de l’intégrale d’une fonction mesurable par rapport à une mesure sont données dans la proposition suivante. Proposition 2.4.1. Soit (X, T , µ) un espace mesuré. (i) Si f ∈ L1 (µ) alors f est fini µ-p.p.. 2 R R (ii) Pour tout (f, g) ∈ L1 (µ) , si f = g µ-p.p. alors X f dµ = X g dµ. 2 (iii) Linéarité . Pour tous (f, g) ∈ L1 (µ) et (α, β) ∈ R2 on αf + βg ∈ L1 (µ) et Z Z Z (αf + βg) dµ = α f dµ + β g dµ. X

X

X

(iv) Positivité . Pour tout f ∈ L1 (µ), si f ≥ 0 µ-p.p. alors X f dµ ≥ 0. 2 R R (v) Croissance . Pour tout (f, g) ∈ L1 R(µ) , si f ≤ g µ-p.p. alors X f dµ ≤ X g dµ. R (vi) Pour tout f ∈ L1 (µ), X f dµ ≤ X |f | dµ. Preuve. (i). \ c {f est fini} = {|f | = +∞} = {|f | ≥ n} ; R

n∈N

comme ({|f | ≥ n})n∈N est une suite décroissante on en déduit c

µ ({f est fini} ) = lim ↓ µ ({|f | ≥ n}) ; n→+∞

or Z

Z

Z

|f | dµ = X

|f | 1I{|f |≥n} dµ + X

|f | 1I{|f | bkm +

m−1 X

bki −

i=1

aki+1 −

i=1

m−1 X

m X

aki

i=1

aki = bkm +

i=1

m X

m X

aki+1 −

i=2

m X

aki = bkm − ak1

i=1

> b − a = λ0 (K) . Pm Pn et puisque i=1 λ0 (Uki ) ≤ k=1 λ0 (Uk ), on obtient le résultat recherché.

S u I est un Lemme 3.2.4. Si (In )n∈N∗ est une suite d’intervalles de R telle que I ⊂ n∈N∗ In , o` P+∞ intervalle de R, alors λ0 (I) ≤ n=1 λ0 (In ) . Preuve. C’est évident s’il existe n ∈ N∗ tel que λ0 (In ) = +∞. Si λ0 (In ) < +∞ pour tout n ∈ N∗ , on a deux cas. 1er cas : λ0 (I) < +∞. Pour tout ε > 0, il existe un intervalle fermé borné K tel que K ⊂ I et λ0 (I) ≤ λ0 (K) + ε. En effet, soit I = (a, b); si ε < 2(b − a) il suffit, par exemple, de prendre K = a + 4ε , b − 4ε , et on a λ0 (I) = λ0 (K) − 2ε ≤ λ0 (K) + ε. Dans le cas contraire, c’est à dire si ε ≥ 2(b − a), on prend K = [α, β] avec K ⊂ I; alors λ0 (K) + ε = β − α + ε ≥ β − α + 2(b − a) ≥ 2(b − a) ≥ b − a = λ0 (I). De même, il existe des intervalles ouverts Un tels que In ⊂ Un et λ0 (Un ) ≤ λ0 (In ) + ε 2−n (par exemple Un = an − ε 2−n−2 , bn + ε 2−n−2 si In = (an , bn )). Les intervalles Un recouvrent le compact K; d’après le théor` Sepme de Bolzano Wieirstrass, on peut extraire un recouvrement fini (Uki )1≤i≤p c’est à dire K ⊂ i=1 Uki . Utilisant le lemme 3.2.3, on en déduit p +∞ X X λ0 (K) ≤ λ0 (Uki ) ≤ λ0 (Un ) ; n=1

i=1

d’o` u λ0 (I) ≤ λ0 (K) + ε ≤ ε + ≤ε+

+∞ X n=1

+∞ X

λ0 (Un )

n=1 +∞ X

λ0 (In ) + ε

n=1

2−n = 2ε +

+∞ X

λ0 (In ) .

n=1

P+∞ Puisque cela est vrai pour tout ε > 0, on en déduit λ0 (I) ≤ n=1 λ0 (In ). 2ème cas : λ0 (I) = +∞. Pour tout A > 0, il existe un compact K tel que K ⊂ I et λ0 (K) ≥ A; de même que dans le premier cas, il existe une famille (Un ) d’intervalles ouverts telle que In ⊂ Un et λ0 (Un ) ≤ λ0 (In ) + ε 2−n , on peut en extraire un recouvrement fini (Uki )1≤i≤p . Utilisant le

37

lemme 3.2.3, on en déduit A ≤ λ0 (K) ≤

p X

λ0 (Uki ) ≤

P+∞

n=1

+∞ X

λ0 (Un ) ≤

n=1

i=1

Ainsi ∀A > 0, A ≤ P+∞ n=1 λ0 (In ).

+∞ X

λ0 (In ) + ε

n=1

λ0 (In ), cela signifie que

+∞ X

2−n = ε +

n=1

P+∞

n=1

+∞ X

λ0 (In ) .

n=1

λ0 (In ) = +∞ et on a encore λ0 (I) ≤

Lemme 3.2.5. Si (In )n∈N∗ est une suite d’intervalles deux à deux disjoints de R telle que I = S P+∞ (I) = n=1 n∈N∗ In soit un intervalle, alors λ0S Sλ0 (In ) . n Preuve. Pour tout n ∈ N∗ , on a k=1 Ik ⊂ n∈N∗ In = I; en utilisant le lemme 3.2.2 il vient Pn P+∞ λ0 (Ik ) ≤ λ0 (I) et, par passage à la limite, n=1 λ0 (In ) ≤ λ0 (I). D’autre part, puisque k=1 S P+∞ I ⊂ n∈N∗ In le lemme 3.2.4 permet de conclure que λ0 (I) ≤ n=1 λ0 (In ). L’utilisation du lemme précédent permet d’obtenir la proposition suivante Proposition 3.2.1. λ0 est une pré-mesure σ-finie sur (R, E). Preuve. (i). On a λ0 (∅) = λ0 ([a, a[) = 0. S (ii). Soit (En )n∈N∗ une famille d’éléments deux à deux disjoints de E telle que E = n∈N∗ En ∈ Spn (n) (n) E. On u pn ∈ N∗ et les Ik sont des intervalles deux à deux disjoints; de même Sap En = k=1 Ik , o` E = k=1 Ik o` u les Ik sont des intervalles deux à deux disjoints. Puisque pour tout k ∈ {1, · · · , p}, on a Ik ⊂ E, on peut écrire ! [ [ Ik = Ik ∩ E = Ik ∩ En = (Ik ∩ En ) [

=

n∈N∗ !! p n [ (n) Il l=1

Ik ∩

n∈N∗

d’après le lemme 3.2.5, on a alors λ0 (Ik ) =

λ0 (E) =

p X

P

n∈N∗

λ0 (Ik ) =

n∈N∗ pn [ [

=

(n)

Ik ∩ Il

;

n∈N∗ l=1

Ppn

l=1

(n) . D’o` u λ0 Ik ∩ Il

p X pn +∞ X X

(n) λ0 Ik ∩ Il .

k=1 n=1 l=1

k=1

Or En = En ∩ E = =

pn [

(n)

Il

∩

pn [

l=1 p [

l=1

pn [

(n)

Il

∩E

l=1

!! Ik

k=1 (n)

∩E =

=

pn [ p [

(n)

Il

∩ Ik ;

l=1 k=1

P+∞ et on en déduit λ0 (E) = n=1 λ0 (En ). On a montré S+∞ que λ0 est une pré-mesure sur (R, E), elle est σ-finie car on a R = n=1 ]−n, n[ et λ0 (]−n, n[) = 2n < +∞. donc λ0 (En ) =

Ppn Pp

! (n) Il

l=1

k=1

λ0 Il

∩ Ik

38

* existence et unicité de la mesure de Lebesgue sur R Th´ eor` eme 3.2.1. Il existe une unique mesure λ sur (R, BR ) telle que si I est un intervalle d’extrémités a et b, on a λ (I) = |b − a|. Preuve. Puisque σ (E) = BR et λ0 est une pré-mesure σ-finie sur (R, E); le théorème de Carathéodory garantit l’existence et l’unicité d’une mesure λ sur (R, BR ) telle que λ|E = λ0 . On a alors λ (I) = λ0 (I) = |b − a|; si une mesure sur (R, BR ) vérifie cette dernière propriété, elle co¨ıncide sur E avec λ0 , elle est donc égale ` a λ par unicité de celle-ci. D´ efinition 3.2.1. On appelle mesure de Lebesgue sur R, l’unique mesure λ sur (R, BR ) telle que si I est un intervalle d’extrémités a et b, on a λ (I) = |b − a|. Des propriétés de cette mesure sont données dans les propositions suivantes Proposition 3.2.2. L’espace mesuré (R, BR , λ) est invariant par translation, c’est à dire : ∀B ∈ BR , ∀a ∈ R, B + a ∈ BR et λ (B + a) = λ (B) . Preuve. Soit

ϕ : (R, BR ) x

→ (R, BR ) 7 → x−a

on a x ∈ ϕ−1 (B) ⇔ ϕ (x) ∈ B ⇔ x − a ∈ B ⇔ x = (x − a) + a ∈ B + a c’est a` dire B + a = ϕ−1 (B). Puisque ϕ est borélienne, car continue, on en déduit B + a ∈ BR . De plus, posant µa (B) = λ (B + a) = λ ϕ−1 (B) , on vérifie aisément que µa est une mesure sur (R, BR ). Pour tout intervalle I = (α, β), on a µa (I) = λ (I + a) = λ ((a + α, β + a)) = |β − α| . Par unicité de λ on en déduit µa = λ, c’est à dire ∀B ∈ BR , λ (B + a) = µa (B) = λ (B) .

Proposition 3.2.3. λ ne charge pas les singletons, c’est à dire ∀x ∈ R, λ ({x}) = 0. Preuve. ! \ 1 1 1 = lim ↓ λ x, x + = lim = 0. λ ({x}) = λ x, x + n→+∞ n→+∞ n n n ∗ n∈N

3. Int´ egrale de Riemann et int´ egrale par rapport ` a la mesure de Lebesgue L’objectif dans ce paragraphe est de montrer que, sous certaines conditions, l’intégrale d’une fonction par rapport ` a la mesure de Lebesgue se ramène à l’intégrale de Riemann de cette fonction. C’est ce résultat qui permet le calcul pratique de l’intégrale de Lebesgue (par rapport à la mesure de Lebesgue), de même qu’elle permet à l’intégrale de Riemann d’hériter des propriétés intéressantes de celle de Lebesgue. On commencera par rappeller l’intégrale de Riemann, puis on établira le théorème qui permet de faire le lien avec l’intégrale de Lebesgue. * l’intégrale de Riemann sur [a, b] 39

Soit E0 ([a, b]) l’ensemble des fonctions en escaliers sur [a, b], c’est-à-dire les fonctions u pour lesquelles il existe une subdivision a = x0 < x1 < · · · < xn = b Pn−1 et des réels (Ai )0≤i≤n−1 tels que u = etagées i=0 Ai 1I]xi ,xi+1 [ ; ce sont donc des fonctions ´ Rb Pn−1 particulières. Pour une telle fonction, on a a u (x) dx = i=0 Ai (xi+1 − xi ). Remarquons que l’on peut écrire l’égalité suivante qui donne un premier lien avec l’intégrale de Lebesgue Z

n−1 X

b

u (x) dx = a

Z Ai λ (]xi , xi+1 [) =

u dλ. [a,b]

i=0

Soit maintenant une fonction f : [a, b] → R; on pose : (Z

)!

b

U0 (f ) = sup

u (x) dx; u ∈ E0 ([a, b]) , u ≤ f a

(Z

)!

b

u (x) dx; u ∈ E0 ([a, b]) , u ≥ f

V0 (f ) = inf

;

a

ce sont, respectivement le supremum et l’infimum des sommes de Darboux inférieures et supérieures. La fonction est intégrable au sens de Riemann si U0 (f ) = V0 (f ) et dans ce cas b

Z

f (x) dx = U0 (f ) = V0 (f ) . a

Cette notion d’intégrabilité est caractétisée de la fa¸con suivante : f est intégrable sur [a, b] si et seulement si Z b 2 ∀ε > 0, ∃ (uε , vε ) ∈ E0 ([a, b]) , uε ≤ f ≤ vε , (vε (x) − uε (x)) dx < ε; a

cela revient ` a dire qu’il existe deux suites (un )n∈N et (vn )n∈N dans E0 ([a, b]) telles que un ≤ f ≤ vn Rb pour tout n ∈ N et limn→+∞ a (vn (x) − un (x)) dx = 0. Dans ce cas Z

b

Z f (x) dx = lim

a

n→+∞

b

Z vn (x) dx = lim

n→+∞

a

b

un (x) dx. a

* intégrabilité au sens de Riemann et intégrabilité au sens de Lebesgue Le lien entre ces deux notions est donné dans le théorème suivant: Th´ eor` eme 3.3.1. Si f : [a, b] → R est intégrable au sens de Riemann sur [a, b] et borélienne, alors f est λ-intégrable (au sens de Lebesgue) et on a : Z

b

Z f (x) dx =

a

f dλ. [a,b]

40

Preuve. Si f est intégrable au sens de Riemann sur [a, b], f est nécessairement bornée. En Rb 2 effet, il existe a (u1 , v1 ) ∈ E0 ([a, b]) , u1 ≤ f ≤ v1 , a (v1 (x) − u1 (x)) dx < 1. On a donc |f | ≤ max {|u1 | , |v1 |}; or u1 =

p X

ai 1I]xi ,xi+1 [ , v1 =

i=1

q X

bi 1I]yi ,yi+1 [

i=1

Pp Pq Pp Pq donc |u1 | ≤ i=1 |ai | et |v1 | ≤ i=1 |bi |, ce qui implique |f | ≤ max { i=1 |ai | , i=1 |bi |} = C. Comme conséquence, f est λ-intégrable sur [a, b] car Z Z |f | dλ ≤ C dλ = C λ ([a, b]) = C (b − a) < +∞. [a,b]

[a,b]

Il reste ` a montrer que les intégrales de Lebesgue et de Riemann de f co¨ıncident. On sait qu’il existe deux suites (un )n∈N et (vn )n∈N dans E0 ([a, b]) telles que un ≤ f ≤ vn pour tout n ∈ N et Rb limn→+∞ a (vn (x) − un (x)) dx = 0. On a alors Z Z Z un dλ ≤ f dλ ≤ vn dλ [a,b]

c’est a` dire Z

[a,b]

b

[a,b]

Z

Z

un (x) dx ≤

f dλ ≤

a

[a,b]

b

vn (x) dx a

et par passage ` a la limite, puisque b

Z

Z f (x) dx = lim

n→+∞

a

il vient

R [a,b]

f dλ =

Rb a

f (x) dx.

b

Z vn (x) dx = lim

n→+∞

a

41

b

un (x) dx, a

Chapitre 4 Espaces

Lp

1. L’espace Lp pour 1 ≤ p < +∞ Soit (X, T , µ) un espace mesuré; on considère l’ensemble Lp (X, T , µ) des fonctions mesurables p f : (X, T , µ) → (R, BR ) telles que |f | soit µ-intégrable. On va d’abord montrer que cet ensemble est un espace vectoriel réel; pour cela, on aura besoin des lemmes suivants : Lemme 4.1.1. Soit (α, β) ∈ R2+ tel que α + β = 1 et (u, v) ∈ R2+ . Alors uα v β ≤ αu + βv. 2 Preuve. L’inégalité est évidente si u ∈ {0} ∪ {+∞} ou v ∈ {0} ∪ {+∞}. Si (u, v) ∈ ]0, +∞[ , posant s = ln (u), t = ln (v) on a d’après la convexité de l’exponentielle eαs+βt ≤ αes + βet ; c’est a dire ` α β eln(u v ) ≤ αu + βv ce qui donne l’inégalité recherchée.

Cette inégalité, appelée inégalité de Young , permet d’obtenir le théorème suivant 2

Th´ eor` eme 4.1.1. Soient (p, q) ∈ ]1, +∞[ tel que mesurables de (X, T ) vers (R, BR ). Alors : Z

Z f g dµ ≤ X

Z

p1

= 1, et f et g deux fonctions positives

(Inégalité de Hölder );

X

≤

(f + g) dµ

1 q

p1 Z q1 q f dµ g dµ

Z

p1 Z p1 p f dµ + g dµ p

X

X

+

p

X

p

1 p

(Inégalité de Minkowski ).

X

1 1 R R Preuve. On pose A = X f p dµ p , B = X g q dµ q , F = f /A et G = g/B. Alors, d’après 1/p 1/q linégalité de Young F G = (F p ) (Gq ) ≤ p1 F p + 1q Gq ; donc Z

1 F G dµ ≤ p X

c’est a` dire

1 AB

Z f g dµ ≤ X

1 pAp

Z

Z

1 F dµ + q X p

f p dµ +

X

1 qB q

donc Z

Z

p

f g dµ ≤ AB = X

Z

Z

Gq dµ

X

g q dµ =

X

p1 Z

f dµ X

1 1 + =1 p q

q1 g dµ . q

X

R R Montrons ` a présent e de Minkowski; elle est évidente si RX f p dµ = +∞ ou si X g p dµ = R l’inégalit´ R p +∞ ou encore si X (f + g) dµ = 0. Supposons maintenant que X f p dµ < +∞, X g p dµ < +∞ p R p et X (f + g) dµ > 0; pour p > 1 l’application t 7→ tp est convexe, donc f +g ≤ 12 f p + 12 g p 2

42

ce qui implique obtient

p

R

p−1

(f + g) dµ < +∞. Appliquant l’inégalité de Hölder à h = f (f + g)

X

Z

p−1

f (f + g)

p1 Z q1 p−1 q (f + g) ; f dµ dµ

Z

p

dµ ≤

X

X

X

or

on

p p−1 p−1 = 1 = (p − 1) = p, q p − 1 1 1− p

on a donc obtenu Z

p−1

f (f + g)

Z dµ ≤

X

q1 (f + g) dµ .

p1 Z

p

p

f dµ X

X

En échangeant les rˆ oles de f et g , on obtient aussi : Z p1 Z q1 Z p−1 p p g (f + g) dµ ≤ g dµ (f + g) dµ . X

X

X

En additionnant ces deux inégalités, on obtient "Z p1 # Z q1 p1 Z Z p p p p + g dµ (f + g) dµ (f + g) dµ ≤ f dµ X

X

X

X

ce qui équivaut ` a Z

p

1− q1

p1 Z p1 f p dµ + g p dµ

Z ≤

(f + g) dµ

X

X

X

et donne le résultat cherché en remarquant que 1 −

1 q

=

1 p.

Ce lemme permet d’obtenir le résultat suivant : Proposition 4.1.1. Lp (X, T , µ) est un espace vectoriel réel. Preuve. Il suffit de montrer que c’est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des applications de X vers R. L’application nulle est trivialement dans Lp (X, T , µ). Soient f et g deux éléments de Lp (X, T , µ), et α un réel; on a Z Z p p p |αf | dµ = |α| |f | dµ < +∞ X

X

p

donc αf ∈ L (X, T , µ). Par ailleurs Z

p

Z

|f + g| dµ ≤ X

p

p1 Z p1 #p p |f | dµ + |g| dµ

"Z

p

(|f | + |g|) dµ ≤ X

X

X

R

p

la dernière inégalité provenant de l’inégalité de Minkowski. Donc X |f + g| dµ < +∞ c’est ` a dire f + g ∈ Lp (X, T , µ). Ainsi Lp (X, T , µ) est un sous-espace vectoriel. Considérons maintenant l’application Np : Lp (X, T , µ) f

→ 7→ 43

R+

R X

1 p |f | dµ p

on a Proposition 4.1.2. Np est une semi-norme sur Lp (X, T , µ). Preuve. Notant 0 l’application nulle, on a trivialement Np (0) = 0. Pour tout α ∈ R, on a Z Np (αf ) =

p1 Z p = |α| |αf | dµ p

Z p1 |f | dµ = |α| p

X

X

p1 = |α| Np (f ) . |f | dµ p

X

Enfin, utilisant l’inégalité de Minkowski, on obtient Np (f + g) ≤ Np (f ) + Np (g).

Remarque 4.1.1. 1) Np n’est pas une norme car Np (f ) = 0 n’implique pas f = 0. En effet, utilisant la proposition 2.3.4, on a p Np (f ) = 0 ⇔ |f | = 0 µ-p.p. ⇔ f = 0 µ-p.p. et f = 0 µ-p.p. n’implique pas f = 0. 2) Un exemple de fonction non nulle mais nulle µ-p.p.. On considère (R, BR , λ) et la fonction f : (R, BR ) → (R, BR ) définie par x si x ∈ Z f (x) = . 0 sinon Cette fonction n’est pas nulle (car elle ne l’est pas en les points de Z∗ ); montrons qu’elle est nulle λ-p.p.. On a ! +∞ [ X ∗ λ ({f 6= 0}) = λ (Z ) = λ {−n, n} = λ ({−n, n}) n∈N∗

=

+∞ X n=1

λ ({−n}) +

+∞ X

n=1

λ ({n}) = 0

n=1

ce qui prouve que f = 0 λ-p.p.. 3) L’égalité µ-p.p. est une relation d’équivalence. En effet, elle est réflexive car µ ({f = 6 f }) = µ (∅) = 0. La symétrie est triviale. Pour établir la transitivité, supposons f = g µ-p.p. et g = h µ-p.p.; comme h − f = (h − g) + (g − f ), on peut écrire {h 6= f } ⊂ {h 6= g} ∪ {g 6= f } et on en déduit 0 ≤ µ ({h 6= f }) ≤ µ ({h 6= g}) + µ ({g 6= f }) = 0 donc f = h µ-p.p. et la transitivité est démontrée. 4) Les remarques 1) et 3) permettent de voir que la classe de la fonction nulle est l’unique classe d’équivalence comportant une fonction f telle que Np (f ) = 0. Cela indique une méthode permettant de passer de la semi-norme ` a la norme : considérer l’espace quotient. D´ efinition 4.1.1. On appelle espace Lp (X, T , µ) l’espace quotient de Lp (X, T , µ) par la relation d’équivalence d’égalité µ-p.p..

Remarque 4.1.2. 1) On notera f la classe de la fonction f ∈ Lp (X, T , µ) 44

2) Il est clair que Lp (X, T , µ) est un espace vectoriel muni des lois de composition interne et externe respectivement définies par f + g = f + g et α f = αf , et de l’élément neutre 0. 3) Grˆ ace au passage ` a l’espace quotient on obtient une norme à partir de Np . En effet, pour tout R R 2 p p p p p (f, g) ∈ (L (X, T , µ)) , on a f = g µ-p.p. ⇒ |f | = |g| µ-p.p.⇒ X |f | dµ = X |g| dµ ⇔ Np (f ) = Np (g). Ainsi, on peut définir l’application k·kp : Lp (X, T , µ) → f 7→

R+ . Np (f )

p C’est une

norme sur L (X, T , µ). En effet :

(i) f p = 0 ⇔ Np (f ) = 0 ⇔ f = 0 µ-p.p.⇔ f = 0.

(ii) αf p = αf p = Np (αf ) = |α| Np (f ) = |α| f p .

(iii) f + g p = f + g p = Np (f + g) ≤ Np (f ) + Np (g) = f p + kgkp .

Ainsi, Lp (X, T , µ) , muni de la norme k·kp , est un espace vectoriel normé. On va maintenant établir que c’est un espace de Banach. Pour cela, on utilisera la caractérisation suivante des espaces de Banach. Lemme 4.1.2. Soit (E, k·k) un espace vectoriel normé. Alors (E, k·k) est un espace de Banach si, et seulement si, toute série normalement convergente dans (E, k·k) est convergente dans (E, k·k). Preuve. Supposons que (E, k·k) soit un espace de Banach. Soit (xn )n∈N une suite dans E telle P+∞ Pn que n=0 kxn k < +∞; on considère sn = k=0 xk et on a

n+p

n+p

X

X

xk ≤ kxk k . ksn+p − sn k =

k=n+1

k=n+1

Pn+p Comme limn→+∞ k=n+1 kxk k = 0, il vient limn→+∞ ksn+p − sn k = 0, c’est à dire que (sn )n∈N est une suite de Cauchy dans (E, k·k). De la complétude de cet espace, on déduit que (sn )n∈N converge dans (E, k·k). Maintenant, on suppose que toute série normalement convergente dans (E, k·k) est convergente dans (E, k·k). Soit (xn )n∈N une suite de Cauchy dans (E, k·k); on pose k0 = 0 et on va montrer par l’absurde que pour tout n ∈ N∗ , kn−1 étant défini, il existe k > kn−1 tel que ∀m ≥ k, kxm − xk k < 2−n . Supposons que pour tout k > kn−1 on puisse trouver m ≥ k tel que kxm − xk k ≥ 2−n ; puisque la suite est de Cauchy il existe k ≤ kn−1 tel que ∀m ≥ k tel que kxm − xk k < 2−n . Soit 0 0 0 alors k tel que k > kn−1 , on a m ≥ k ⇒ m ≥ k ⇒ kxm − xk k < 2−n et on aboutit à une contradiction. On conclut que la propriété annoncée est vraie. On définit alors pour tout n ∈ N∗ l’entier kn = min k > kn−1 / ∀m ≥ k, kxm − xk k < 2−n ;

cela définit une sous-suite (xkn )n∈N qui vérifie : ∀n ≥ 1, xkn+1 − xkn < 2−n . Posant alors Pn u0 = xk0 = x0 et un = xkn − xkn−1 pour n ≥ 1 ≥, on a xkn = l=0 ul et kul k < 21−l pour P+∞ l ≥ 2; donc n=0 kun k < +∞ ce qui, en vertu d l’hypothèse initiale, implique la convergence de P+∞ la série n=0 un , c’est ` a dire celle de la sous-suite (xkn )n∈N . En conclusion, (xn )n∈N est une suite de Cauchy dans (E, k·k) qui admet une sous-suite convergente; elle converge donc et (E, k·k) est un espace de Banach. Utilisant ce lemme, on obtient le résultat fondamental suivant :

45

Th´ eor` eme 4.1.2. (Riesz-Fischer ). Lp (X, T , µ) est un espace de Banach.

P+∞ Preuve. Soit fn n∈N une suite dans Lp (X, T , µ) vérifiant n=0 fn p < +∞, on a en utilisant l’inégalité de Minkowski

n ! n n

X

X

X

|fk | = |fk | = Np |fk |

k=0

k=0

p

≤

n X

k=0

p

Np (|fk |) =

k=0

n X

+∞ n X X

fn < +∞

fk ≤ p p

Np (fk ) =

k=0

n=0

k=0

P

P P+∞

+∞

+∞ donc n=0 |fn | = Np n=0 |fn | < +∞, ce qui implique n=0 |fn | < +∞ µ-p.p. en vertu p P+∞ de l’assertionn(i) de la proposition o 2.4.1. En conséquence, la série n=0 fn est µ-p.p. convergente. P+∞ Soient A := n=0 |fn | < +∞ et P+∞

n=0

f= on a |f −

Pn

k=0

fk | ≤

P

k≥n+1

fn

0

sur sur

A , Ac

|fk | sur A, c’est à dire |f −

Pn

k=0

fk | ≤

P

k≥n+1

|fk | µ-p.p.. Donc

! n n n

X X X

f k = Np f − fk fk = f −

f −

k=0 k=0 k=0 p p   X X X

fk ≤ Np  |fk | ≤ Np (|fk |) = p k≥n+1

et puisque limn→+∞

P

k≥n+1

k≥n+1

k≥n+1

fk = 0, on en déduit que P+∞ fn dans Lp (X, T , µ) et a pour n=0 p

somme f ; le lemme 4.1.2 permet alors de conclure que Lp (X, T , µ) est un espace de Banach.

2. Un cas particulier important : l’espace L2 (X, T , µ) Soient f et g deux éléments de L2 (X, T , µ), d’après l’inégalité de Hölder, on a Z

Z |f g| dµ ≤ X

2

21 Z

12 |g| dµ < +∞; 2

|f | dµ X

X

donc f g est µ-intégrable. Par conséquent, on peut définir une forme bilinéaire symétrique sur L2 (X, T , µ) par Z hf, gi = f g dµ. X

Elle n’est pas dégénérée car, puisque hf, f i = N2 (f ), on sait que hf, f i = 0 ⇔ f = 0 µ-p.p.. 0 0 0 0 D’autre D part, puisque f = f µ-p.p. et g = g µ-p.p. implique f g = f g µ-p.p., ce qui implique E 0 0 hf, gi = f , g , on peut définir l’application h·, ·i :

L2 (X, T , µ) f, g 46

2

→ R . 7→ hf, gi

Il est facile de vérifier que cette application est une forme bilinéaire symétrique sur L2 (X, T , µ). De plus, elle est non dégénérée car

f , f = 0 ⇔ hf, f i = 0 ⇔ f = 0 µ-p.p. ⇔ f = 0. q

f , f = f 2 , le théorème de Ainsi, il s’agit d’un produit scalaire sur L2 (X, T , µ) et puisque Riesz-Fischer devient Corollaire 4.2.1. L2 (X, T , µ) est un espace de Hilbert. 3. L’espace L∞ (X, T , µ) * borne essentielle supérieure Soit f : (X, T ) → (R, BR ) une application mesurable; on suppose ici µ 6=0. D´ efinition 4.3.1. On appelle µ-borne essentielle supérieure de f le réel N∞ (f ) défini par N∞ (f ) = inf {M > 0 / |f | ≤ M µ-p.p.} = inf {M > 0 / µ ({|f | > M }) = 0} . La proposition suivante donne des propriétés de la borne supérieure essentielle qui seront utiles dans la suite. Proposition 4.3.1. Si N∞ (f ) < +∞ alors N∞ (f ) = min {M > 0 / µ ({|f | > M }) = 0}, c’est ` a dire : (i) µ ({|f | > N∞ (f )}) = 0; (ii) µ ({|f | > M }) = 0 ⇒ N∞ (f ) ≤ M . Preuve. (i). Suposons ∀M ≥ N∞ (f ) , µ ({|f | > M }) > 0; cela revient à avoir µ ({|f | > M }) = 0 ⇒ M < N∞ (f ). Cela est impossible car par définition de N∞ (f ), on a µ ({|f | > M }) = 0 ⇒ N∞ (f ) ≤ M ; donc il existe M ≥ N∞ (f ) tel que µ ({|f | > M }) = 0. Posons alors M0 = min {M ≥ N∞ (f ) / µ ({|f | > M }) = 0}; pour M > 0 tel que µ ({|f | > M }) = 0, on a N∞ (f ) ≤ M par définition de N∞ (f ). Ceci implique que M0 ≤ M puisque l’on a établit que M appartient ` a {M ≥ N∞ (f ) / µ ({|f | > M }) = 0}. On a ainsi prouvé que M0 minore {M > 0 / µ ({|f | > M }) = 0} et puisque M0 minore appartient à cet ensemble, il vient M0 = inf {M > 0 / µ ({|f | > M }) = 0} = N∞ (f ) . Donc µ ({|f | > N∞ (f )}) = µ ({|f | > M0 }) = 0. (ii) est évident par définition de N∞ (f ). D´ efinition 4.3.2. L’application f est µ-essentiellement bornée si N∞ (f ) < +∞. On note L∞ (X, T , µ) l’ensemble des applications µ-essentiellement bornée de (X, T ) vers (R, BR ) . On va maintenant examiner les liens entre µ-bornetude essentielle et bornetude. Posant kf ksup = supx∈X |f (x)|, on a d’abord : Proposition 4.3.2. Si f est mesurable et bornée, alors essentiellement bornée. 47

N∞ (f ) ≤ kf ksup ; donc f est µ-

n o Preuve. Si f est bornée, on a kf ksup < +∞, ce qui implique |f | > kf ksup = ∅, d’o` u n o µ |f | > kf ksup = 0. La proposition 4.3.1 permet alors de conclure que N∞ (f ) ≤ kf ksup < +∞. En réalité, il existe un lien plus profond entre ces deux notions. Pour l’établier on aura besoin du lemme suivant. Lemme 4.3.1. Soient f et g deux applications mesurables de (X, T ) vers (R, BR ). Si f = g µ-p.p. alors N∞ (f ) = N∞ (g). Preuve. On a la réunion disjointe {|f | > M } = ({|f | > M } ∩ {f = g}) ∪ ({|f | > M } ∩ {f 6= g}); donc µ ({|f | > M }) = µ ({|f | > M } ∩ {f = g})+µ ({|f | > M } ∩ {f 6= g}) . Or, comme {|f | > M }∩ {f 6= g} ⊂ {f 6= g} et µ ({f 6= g}) = 0, on a µ ({|f | > M } ∩ {f 6= g}) = 0. Donc µ ({|f | > M }) = µ ({|f | > M } ∩ {f = g}) = µ ({|g| > M } ∩ {f = g}) + µ ({|g| > M } ∩ {f 6= g}) la dernière égalité provenant de ce que, comme précédemment, on a µ ({|g| > M } ∩ {f 6= g}) = 0. Finalement µ ({|f | > M }) = µ (({|g| > M } ∩ {f = g}) ∪ ({|g| > M } ∩ {f 6= g})) = µ ({|g| > M }) ; d’o` u N∞ (f ) = N∞ (g).

Ce lemme permet alors d’obtenir Proposition 4.3.3. f est µ-essentiellemnt bornée si, et seulement si, il existe une application g : (X, T ) → (R, BR ) mesurable et bornée telle que f = g µ-p.p. et N∞ (f ) = N∞ (g) = kgksup . Preuve. ⇒) Si f ∈ L∞ (X, T , µ), considérons g = f 1I{|f |≤N∞ (f )} ; l’application g est bornée puisque |g| ≤ N∞ (f ) < +∞. On a donc kgksup ≤ N∞ (f ) < +∞. De plus, on a {|f | ≤ N∞ (f )} ⊂ {f = g}, c’est-` a-dire {f 6= g} ⊂ {|f | > N∞ (f )}, ce qui implique 0 ≤ µ ({f 6= g}) ≤ µ ({|f | > N∞ (f )}) = 0, c’est-` a-dire f = g µ-p.p.. On a alors (cf. lemme 4.3.1) N∞ (f ) = N∞ (g), et comme N∞ (g) ≤ kgksup (cf. proposition 4.3.2) il vient N∞ (f ) = N∞ (g) = kgksup . ⇐) S’il existe g mesurable et bornée telle que f = g µ-p.p., alors N∞ (g) < +∞ (cf. proposition 4.3.2) et N∞ (f ) = N∞ (g) (cf. lemme 4.3.1); donc N∞ (f ) < +∞. * structure de L∞ (X, T , µ) Proposition 4.3.4. L∞ (X, T , µ) est un espace vectoriel réel. Preuve. Il suffit de montrer que c’est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des applications de X vers R. (a) . Montrons que l’application nulle appartient à L∞ (X, T , µ). En effet, si f = 0 on a : ∀M > 0, µ ({|f | > M }) = 0 car {|f | > M } = ∅. Donc {M > 0 / |f | > M } = R∗+ ; d’o` u N∞ (f ) = inf ({M > 0 / µ ({|f | > M }) = 0}) = inf R∗+ = 0 < +∞. 48

(b) . Soient f1 et f2 deux éléments de L∞ (X, T , µ), et (α, β) un couple de réels; montrons que αf1 + βf2 appartient ` a L∞ (X, T , µ). Il existe g1 et g2 bornées telles que f1 = g1 µ-p.p., f2 = g2 µ-p.p., N∞ (f1 ) = N∞ (g1 ) = kg1 ksup et N∞ (f2 ) = N∞ (g2 ) = kg2 ksup (cf. proposition 4.3.3); on en déduit que αf1 + βf2 = αg1 + βg2 µ-p.p. et, d’après le lemme 4.3.1 et la proposition 4.3.2, il vient : N∞ (αf1 + βf2 ) = N∞ (αg1 + βg2 ) ≤ kαg1 + βg2 ksup ≤ |α| kg1 ksup + |β| kg2 ksup < +∞. Donc, on a bien αf1 + βf2 ∈ L∞ (X, T , µ) .

Proposition 4.3.5. N∞ est une semi-norme sur L∞ (X, T , µ). Preuve. (a). On sait déja que N∞ (0) = 0 (cf. preuve de la proposition 4.3.4) (b) . Montrons que pour tout f ∈ L∞ (X, T , µ) et tout α ∈ R, on a N∞ (αf ) = |α| N∞ (f ) . Si α = 0 c’est évident. Si α 6= 0, on a µ ({|αf | > |α| N∞ (f )}) = µ ({|f | > N∞ (f )}) = 0 donc |α| N∞ (f ) ∈ {M > 0 / µ ({|αf | > M }) = 0}. De plus, soit M > 0 tel que µ ({|αf | > M }) = 0, on a 1 M = µ ({|αf | > M }) = 0 µ |f | > |α| donc (cf. proposition 4.3.1) N∞ (f ) ≤

1 |α| M ,

c’est à dire |α| N∞ (f ) ≤ M ; ainsi

|α| N∞ (f ) = min ({M > 0 / µ ({|αf | > M }) = 0}) = N∞ (αf ) . (c). Montrons maintenant l’inégalité triangulaire. Soient f et g dans L∞ (X, T , µ); d’après 0 0 0 0 la proposition il existe f et g born´ e s tels que f = f µ-p.p., g = g µ-p.p., N∞ (f ) =

0 04.3.3, 0 0 0

0 N∞ f = f et N∞ (g) = N∞ g = g . Donc f + g = f + g µ-p.p.et sup

sup

0 0 N∞ (f + g) = N∞ f + g

0

0

≤ f + g sup

0

0

≤ f + g sup

sup

= N∞ (f ) + N∞ (g) .

Remarque 4.3.1. N∞ n’est pas une norme car N∞ (f ) = 0 équivaut à f = 0 µ-p.p.. En effet, si f = 0 µ-p.p., alors N∞ (f ) = N∞ (0) = 0. Réciproquement, si N∞ (f ) = 0, il existe une application g mesurable et bornée telle que f = g µ-p.p et N∞ (f ) = N∞ (g) = kgksup = 0; donc g = 0 et, par conséquent, f = 0 µ-p.p. On peut cependant définir l’espace suivant : D´ efinition 4.3.3. On appelle espace L∞ (X, T , µ) l’espace quotient de L∞ (X, T , µ) par la relation d’équivalence d’égalité µ-p.p.. 49

Remarque 4.3.2. 1) Il est clair que L∞ (X, T , µ) est un espace vectoriel muni des lois de composition interne et externe respectivement définies par f + g = f + g et α f = αf , et de l’élément neutre 0. 3) Grˆ ace au passage ` a l’espace quotient on obtient une norme à partir de N∞ . En effet, pour tout 2 (f, g) ∈ (L∞ (X, T , µ)) , on a f = g µ-p.p. ⇒ N∞ (f ) = N∞ (g); ainsi, on peut définir l’application k·k∞ : L∞ (X, T , µ) → R+ . f 7→ N∞ (f ) ∞ Montrons

maintenant que c’est une norme sur L (X, T , µ). (i) f ∞ = 0 ⇔ N∞ (f ) = 0 ⇔ f = 0 µ-p.p.⇔ f = 0.

(ii) αf ∞ = αf ∞ = N∞ (αf ) = |α| N∞ (f ) = |α| f ∞ .

(iii) f + g = f + g = N∞ (f + g) ≤ N∞ (f ) + N∞ (g) = f ∞

∞

∞

+ kgk∞ .

Ainsi, L∞ (X, T , µ) , muni de la norme k·k∞ , est un espace vectoriel normé. On va maintenant établir que c’est un espace de Banach. Th´ eor` eme 4.3.1. (L∞ (X, T , µ) , k·k∞ ) est un espace de Banach. Preuve. Soit B (X) l’espace des fonctions bornées de X vers R; on sait que cet espace, muni de la norme k·ksup est un espace de Banach. Soit fn n∈N une suite dans (L∞ (X, T , µ) , k·k∞ ); posons ! A=

[ n∈N

{|fn | > N∞ (fn )}

 ∪

 [

{|fn − fm | > N∞ (fn − fm )} ,

(m,n)∈N2

on a µ (A) = 0 puisque A est une réunion dénombrable d’ensembles µ-négligeables. On définit alors gn = fn 1IAc ; c’est une fonction bornée car |gn | = |fn | 1IAc ≤ N∞ (fn ) < +∞. De plus

|gn − gm | = |fn − fm | 1IAc ≤ N∞ (fn − fm ) = fn − fm ∞

≤ fn − fm ∞ , ce qui prouve que (gn )n∈N est une suite de Cauchy dans

donc kgn − gm ksup B (X) , k·ksup ; elle est donc convergente dans cet espace vers un élément g de B (X). En particulier, on a la convergence simple de (gn )n∈N vers g, ce qui montre que g est mesurable. D’autre part

fn − g = N∞ (fn − g) ≤ N∞ (fn − gn ) + N∞ (gn − g) = N∞ (fn 1IA ) + N∞ (gn − g) , ∞

et comme {fn 1IA 6= 0} ⊂ A et µ (A) = 0, il vient µ (fn 1IA 6= 0) = 0, c’est à dire fn 1IA = 0 µ-p.p.. En conséquence, N∞ (fn 1IA ) = 0, d’o` u

fn − g ≤ N∞ (gn − g) ≤ kgn − gk sup ∞ la dernière inégalité venant de ce que gn − g ∈ B (X); en conséquence g = limn→+∞ fn dans L∞ (X, T , µ) .

50

Chapitre 5 Intégration sur un espace produit 1. Tribu produit * généralités On considère deux epaces mesurables (X1 , T1 ) et (X2 , T2 ). D´ efinition 5.1.1. On appelle tribu produit de T1 et T2 , la tribu sur X1 × X2 définie par T1 ⊗ T2 = σ ({A × B; A ∈ T1 , B ∈ T2 }) . Cette tribu peut être caractérisé au moyen des projections canoniques définies par π1 : (x1 , x2 ) ∈ X1 × X2 7→ x1 ∈ X1 et π2 : (x1 , x2 ) ∈ X1 × X2 7→ x2 ∈ X2 . En effet, on a :

Proposition 5.1.1. T1 ⊗ T2 est la plus petite tribu sur X1 × X2 rendant mesurables π1 et π2 . Preuve. T1 ⊗ T2 rend mesurables π1 et π2 ; en effet pour tout (A, B) ∈ T1 × T2 , on a π1−1 (A) = A × X2 ∈ T1 ⊗ T2 , et π2−1 (B) = X1 × B ∈ T1 ⊗ T2 . Soit T une tribu sur X1 × X2 qui rend mesurables π1 et π2 ; on a pour tout (A, B) ∈ T1 × T2 A × B = (A × X2 ) ∩ (X1 × B) = π1−1 (A) ∩ π2−1 (B) ∈ T donc {A × B; A ∈ T1 , B ∈ T2 } ⊂ T , ce qui implique que T1 ⊗ T2 ⊂ T

* produit de tribus boréliennes

On suppose ici que X1 et X2 sont munies de topologies. Proposition 5.1.2. (i) BX1 ⊗ BX2 ⊂ BX1 ×X2 . (ii) Si X1 et X2 sont ` a bases dénombrables d’ouverts, alors BX1 ×X2 = BX1 ⊗ BX2 . Preuve. (i). Il suffit de montrer que BX1 ×X2 rend mesurables π1 et π2 . Ces applications étant continues on a π1−1 (OX1 ) ⊂ OX1 ×X2 ⊂ σ (OX1 ×X2 ) = BX1 ×X2 . En utilisant le lemme de transport (lemme 1.2.1), on obtient : π1−1 (BX1 ) = π1−1 (σ (OX1 )) = σ π1−1 (OX1 ) ⊂ BX1 ×X2 ; on montre de même que π2−1 (BX2 ) ⊂ BX1 ×X2 . (ii). Soient U = {Un ; n ≥ 1} et V = {Vn ; n ≥ 1} les bases dénombrables d’ouverts de X1 et X2 respectivement. Alors U × V = {Un × Vm ; n ≥ 1, m ≥ 1} est une base dénombrable d’ouverts de X1 × X2 . Remarquons d’abord que Un × Vm ∈ {A × B; A ∈ BX1 , B ∈ BX2 }, ce qui implique

51

que Un × Vm ∈ BX1 ⊗ BX2 , c’est ` a dire U × V ⊂ BX1 ⊗ BX2 . D’autre part pour tout A ∈ OX1 ×X2 , puisque [ Un × Vm ∈ BX1 ⊗ BX2 A= (n,m)∈I×J

il vient que OX1 ×X2 ⊂ BX1 ⊗ BX2 , ce qui implique que BX1 ×X2 = σ (OX1 ×X2 ) ⊂ BX1 ⊗ BX2

Remarque 5.1.1. 1) Puisque R est ` a base dénombrable d’ouverts, on a donc BR2 = BR ⊗ BR . 2) Plus généralement puisque pour n ≥ 1, Rn est à base dénombrable d’ouverts, on a pour n ≥ 2 BRn = BRn−1 ⊗ BR = BR ⊗ BRn−1 . 3) On peut vérifier que le produit ⊗ est asociatif; les relations précédentes impliquent donc BRn = BR ⊗ BR ⊗ · · · ⊗ BR . {z } | n fois

* sections d’un élément de T1 ⊗ T2 Soient A ⊂ X1 × X2 et (x, y) ∈ X1 × X2 ; on considère les sections de A définies par Ax = {y ∈ X2 / (x, y) ∈ A}

et Ay = {x ∈ X1 / (x, y) ∈ A} .

On s’intéresse ` a la question de savoir à quelle(s) condition(s) ces sections sont mesurables; la réponse est donnée dans la proposition suivante : Proposition 5.1.3. ∀ (x, y) ∈ X1 × X2 , ∀A ∈ T1 ⊗ T2 , Ax ∈ T2 et Ay ∈ T1 . Preuve. Considérons Tx = {A ∈ T1 ⊗ T2 / Ax ∈ T2 } (a). Montrons que T1 ⊗ T2 ⊂ σ (Tx ). Soit C = A × B, A ∈ T1 , B ∈ T2 ; si x ∈ A, on a : (x, y) ∈ A × B ⇔ y ∈ B, c’est ` a dire : y ∈ Cx ⇔ y ∈ B, ce qui signifie Cx = B et montre que Cx ∈ T2 . Si x ∈ / A, on a Cx = ∅ ∈ T2 . On a ainsi prouvé que quelque soit x ∈ X1 , on a Cx ∈ T2 , donc C ∈ Tx . En conséquence {A × B; A ∈ T1 , B ∈ T2 } ⊂ Tx , ce qui implique T1 ⊗ T2 ⊂ σ (Tx ). (b). Montrons maintenant que Tx est une tribu sur X1 × X2 . On a d’abord (X1 × X2 )x = X2 ∈ T2 , donc X1 × X2 ∈ Tx . De plus ∅ ∈ Tx car ∅x = ∅ ∈ T2 . Soit A ∈ Tx , on a Ax ∈ T2 ; les équivalences c y ∈ (Ac )x ⇔ (x, y) ∈ Ac ⇔ (x, y) ∈ /A⇔y∈ / Ax ⇔ y ∈ (Ax ) c

montrent que (Ac )x = (Ax ) , et de la stabilité par passage au complémentaire de la tribu T2 on déduit (Ac )x ∈ T2 , c’est ` a dire Ac ∈ Tx , ce qui établit la stabilité par passage au complémentaire de Tx . Soit (An )n∈N une famille d’éléments S de Tx , on a pour tout n ∈ N, (An )x ∈ T2 ; la stabilité par réunion de la tribu T2 implique alors n∈N (An )x ∈ T2 . Les équivalences ! [ [ [ y∈ An ⇔ (x, y) ∈ An ⇔ ∃n ∈ N, (x, y) ∈ An ⇔ ∃n ∈ N, y ∈ (An )x ⇔ y ∈ (An )x n∈N

S

n∈N

n∈N

x

S

montrent que n∈N An x = n∈N (An )x ∈ T2 , ce qui signifie par réunion dénombrable de Tx . 52

S

n∈N

An ∈ Tx et établit la stabilité

(c). On déduit de (a) et (b) que T1 ⊗ T2 ⊂ Tx , c’est à dire ∀A ∈ T1 ⊗ T2 , Ax ∈ T2 . (d). Par un raisonnement similaire basé sur T y = {A ∈ T1 ⊗ T2 / Ay ∈ T1 }, on montre que ∀A ∈ T1 ⊗ T2 , Ay ∈ T1 . * sections d’une application Soit f : (X1 × X2 , T1 ⊗ T2 ) → (R, BR ) une application; on considère les sections de f définies par fx : y ∈ X2 7→ f (x, y)

(section d’abscisse x)

et f y : x ∈ X1 7→ f (x, y)

(section d’ordonnée y).

Nous nous intéressons ` a la mesurabilité de ces sections. Celles ci sont données dans la proposition suivante : Proposition 5.1.4. Si f est mesurable, alors pour tout (x, y) ∈ X1 ×X2 , fx et f y sont mesurables. Preuve. Pp (a). Si f est étagée, f = i=1 αi 1IAi avec Ai ∈ T1 ⊗ T2 . On a fx (y) = f (x, y) =

p X

αi 1IAi (x, y) =

i=1

p X

αi 1I(Ai )x (y)

i=1

et comme (Ai )x ∈ T2 , fx est T2 -mesurable comme fonction étagée. On montre de même que f y est T1 -mesurable. (b). Dans le cas général, f est limite d’une suite de fonctions étagées (fn )n∈N sur (X1 × X2 , T1 ⊗ T2 ) . Donc fx (y) = f (x, y) = lim fn (x, y) = lim (fn )x (y) ; n→+∞

n→+∞

or chaque (fn )x est T2 -mesurable d’après (a), donc fx est T2 -mesurable comme limite de fonctions T2 -mesurables. On montre de même que f y T1 -est mesurable. 2. Mesure produit Soient (X1 , T1 , µ1 ) et (X2 , T2 , µ2 ) deux espaces mesurés σ-finis. La mesure produit est définie dans le théorème suivant : Th´ eor` eme 5.2.1. (i). Il existe une unique mesure sur (X1 × X2 , T1 ⊗ T2 ), notée µ1 ⊗ µ2 , vérifiant : ∀A ∈ T1 , ∀B ∈ T2 , (µ1 ⊗ µ2 ) (A × B) = µ1 (A) µ2 (B) ; cette mesure est σ-finie et appellée mesure produit de µ1 et µ2 . (ii). Pour tout C ∈ T1 ⊗ T2 Z Z (µ1 ⊗ µ2 ) (C) = µ2 (Cx ) dµ1 (x) = µ1 (C y ) dµ2 (y) . X1

X2

Sp Preuve. (i). Soit E = { i=1 Ai × Bi ; Ai ∈ T1 , Bi ∈ T2 , (Ai × Bi )i deux à deux disjoints} . 53

(a). ebre de Boole sur X1 × X2 . Il est clair que X1 × X2 ∈ E; soient Sp Montrons que E est0 uneSalg` 0 0 q C = i=1 Ai × Bi ∈ E et C = i=1 Ai × Bi ∈ E; on a 0

C ∩C =

p [ q [

0

0

(Ai × Bi ) ∩ Aj × Bj =

i=1 j=1

p [ q [

Cij

i=1 j=1

0 0 0 o` u Cij = Ai ∩ Aj × Bi ∩ Bj . Pour pouvoir conclure que C ∩ C ∈ E , il reste à montrer que les Cij sont deux ` a deux disjoints; pour (i, j) 6= (k, l), on a 0 0 0 0 Cij ∩ Ckl = Ai ∩ Aj ∩ Ak ∩ Al × Bi ∩ Bj ∩ Bk ∩ Bl . Si i 6= k, comme Ai × Bi et Ak × Bk sont disjoints, c’est à dire (Ai × Bi ) ∩ (Ak × Bk ) = (Ai ∩ Ak ) × (Bi ∩ Bk ) = ∅, il vient Ai ∩ Ak = ∅ ou Bi ∩ Bk = ∅; d’o` u Cij ∩ Ckl = ∅. De même, si j 6= l on montre que 0 Cij ∩ Ckl = ∅. Donc les Cij sont deux à deux disjoints et C ∩ C ∈ E. Cela permet d’obtenir les stabilités par passage au complémentaire et par réunion finie; en effet pour S tous A ∈ T1 et B ∈ T2 , c p c c c c (A × B) = (A × B) ∪ (A × B ) ∪ (A × B ) ∈ E. Ainsi pour tout C = i=1 Ai × Bi ∈ E, on a T p c C c = i=1 (Ai × Bi ) ∈ E ` a cause de la stabilité par intersection finie de cet ensemble. D’autre 0 c c 0 0 ∈ E à cause des stabilités par part, soit un autre ensemble C ∈ E, on a C ∪ C = C c ∩ C passage au complémentaire et par intersection de cet ensemble. On peut alors conclure que E est une algèbre de Boole sur X1 × X2 . (b). Montrons que la tribu engendrée par E est T1 ⊗ T2 . Soit E0 = {A × B ; A ∈ T1 , B ∈ T2 }, il est clair que E0 ⊂ E ⊂ T1 ⊗ T2 ; donc σ (E0 ) ⊂ σ (E) ⊂ T1 ⊗ T2 et comme σ (E0 ) = T1 ⊗ T2 il vient σ (E) = T1 ⊗ T2 . (c). Considérons l’application ν :

p [

p X

Ai × Bi ∈ E 7→

i=1

µ1 (Ai ) µ2 (Bi ) ∈ R+

i=1

Sp et montrons que c’est une pré-mesure σ-finie sur E. Il est clair que ν (∅) = 0; soient C = i=1 Ai × Sq 0 0 0 0 Bi ∈ E et C = i=1 Ai × Bi ∈ E tels que C ∩ C = ∅, puisque pour (i, j) ∈ {1, · · · , p} × {1, · · · , q} on a 0 0 0 (Ai × Bi ) ∩ Aj × Bj ⊂ C ∩ C = ∅ il vient 0

C ∪C =

p [

! Ai × B i

i=1

d’o` u

 ∪

q [

 0

0

Aj × B j  ∈ E

j=1

p q X 0 0 0 X 0 ν C ∪C = µ1 (Ai ) µ2 (Bi ) + µ1 Aj µ2 Bj = ν (C) + ν C . i=1

j=1

Il reste ` a établir la σ-additivité. Remarquons d’abord que pour tout C = a ν (C) =

p X

Z µ1 (Ai ) µ2 (Bi ) =

f dµ1 X1

i=1

54

Sp

i=1

Ai × Bi ∈ E on

Pp o` u f = i=1 µ2 (Bi ) 1IAi . Or pour i ∈ {1, · · · , p}, si x ∈ Ai on a (Ai × Bi )x = Bi et si x ∈ / Ai on a (Ai × Bi )x = ∅; on en déduit : ! p p [ [ [ Cx = Ai × Bi = (Ai × Bi )x (Ai × Bi )x = i=1

i=1

x

i∈Ix

o` u Ix = {i ∈ {1, · · · , p} / x ∈ Ai }. Donc p X

f (x) =

µ2 (Bi ) 1IAi (x) =

i=1

X

µ2 (Bi ) =

X

µ2 ((Ai × Bi )x )

i∈Ix

i∈Ix

et comme pour i 6= j (Ai × Bi )x ∩ (Aj × Bj )x = ((Ai × Bi ) ∩ (Aj × Bj ))x = ∅x = ∅ il vient

! X

f (x) =

[

µ2 ((Ai × Bi )x ) = µ2

i∈Ix

(Ai × Bi )x

= µ2 (Cx )

i∈Ix

R et donc ν (C) = X1 µ2 (Cx ) dµ1 (x) . Soit (Cn )n∈N une famille d’éléments de E deux à deux S Sn disjoints telle que C = n∈N Cn ∈ E, S on pose Qn = k=0 Ck ; alors (Qn )n∈N est une famille croissante d’éléments de E telle que C = n∈N Qn . Remarquons que l’on a alors (Qn )x ⊂ (Qn+1 )x et donc, posant fn (x) = µ2 ((Qn )x ), il vient fn (x) ≤ fn+1 (x). D’o` u ! ! [ [ ν Cn = ν Qn n∈N

n∈N

!

Z =

µ2 X1

[

(Qn )x

dµ1 (x)

n∈N

Z =

lim µ2 ((Qn )x ) dµ1 (x) Z = lim µ2 ((Qn )x ) dµ1 (x) (par le théorème de Beppo-Levi) X1 n→+∞

n→+∞

X1

= lim ν (Qn ) n→+∞

= lim

n→+∞

=

+∞ X

n X

ν (Ck )

k=0

ν (Cn ) .

n=0

Montrons S maintenant que S ν est σ-finie; cette propriété étant vraie pour µ1 et µ2 , on peut écrire X1 = n∈N An et X2 = n∈N Bn , S o` u pour S tout n ∈ N on a An ∈ T1 , Bn ∈ T2 et µ1 (An ) < +∞, µ2 (Bn ) < +∞. Donc X1 × X2 = n∈N n∈N (An × Bm ) avec ν (An × Bm ) = µ1 (An ) µ2 (Bn ) < +∞. (d). On en déduit l’existence et l’unicité de µ1 ⊗ µ2 par une application directe du théorème 3.1.1; on a alors ∀ (A, B) ∈ T1 × T2 , (µ1 ⊗ µ2 ) (A × B) = ν (A × B) = µ1 (A) µ2 (B) . 55

Réciproquement, si une mesure µ sur (X1 × X2 , T1 ⊗ T2 ) vérifie cette dernière propriété, l’additivité de µ montre que µ|E = ν, d’o` u, par unicit´ R e (Théorème 3.1.1) µ = µ1 ⊗ µ2 . (ii). Soit m : C ∈ T1 ⊗ T2 7→ X1 µ2 (Cx ) dµ1 (x); montrons que m est une mesure sur (X1 × X2 , T1 ⊗ T2 ). Tout d’abord Z Z m (∅) = µ2 (∅x ) dµ1 (x) = µ2 (∅) dµ1 (x) = 0; X1

X1

0 0 0 0 soient C et C dans T1 ⊗ T2 tels que C ∩ C = ∅, puisque Cx ∩ Cx = C ∩ C = ∅x = ∅ il vient x

m C ∪C

0

Z =

µ2

C ∪C

x

X1

Z =

0

dµ1 (x)

0 µ2 Cx ∪ Cx dµ1 (x)

X1

Z

0 µ2 (Cx ) + µ2 Cx dµ1 (x) X Z 1 Z 0 = µ2 (Cx ) dµ1 (x) + µ2 Cx dµ1 (x) X1 X1 0 = m (C) + m C . =

Soit (Cn )n∈N une famille d’éléments deux à deux disjoints de T1 ⊗ T2 , puisque pour n 6= m on a (Cn )x ∩ (Cm )x = (Cn ∩ Cm )x = ∅x = ∅ il vient ! Z ! ! [ [ m Cn = µ2 Cn dµ1 (x) X1

n∈N

n∈N

Z =

[

µ2 X1

Z =

X

XZ n∈N

=

X

dµ1 (x)

n∈N

X1 n∈N

=

(Cn )x

!x

X1

µ2 ((Cn )x ) dµ1 (x) µ2 ((Cn )x ) dµ1 (x)

m (Cn ) .

n∈N

Ainsi, m est une mesure sur (X1 × X2 , T1 ⊗ T2 ); pour tous A ∈ T1 et B ∈ T2 , elle vérifie Z m (A × B) = µ2 ((A × B)x ) dµ1 (x) X1 Z Z = µ2 ((A × B)x ) 1IA (x) dµ1 (x) + µ2 ((A × B)x ) 1IAc (x) dµ1 (x) X1 X1 Z = µ2 (B) 1IA (x) dµ1 (x) car µ2 ((A × B)x ) 1IAc (x) = 0 X1

= µ1 (A) µ2 (B) ; 56

on déduit de cette propriété et de l’unicité de µ1 ⊗ µ2 que m = µ1 ⊗ R µ2 . Par un raisonnement 0 0 analogue, on montre aussi que m = µ1 ⊗ µ2 o` u m : C ∈ T1 ⊗ T2 7→ X2 µ1 (C y ) dµ2 (y). Remarque 5.2.1. 1) Ce théorème permet de définir la mesure de Lebesgue sur Rn , n ≥ 2. En effet, on peut vérifier que le produit des mesures est associatif. On peut donc poser λn = λ ⊗ · · · ⊗ λ; | {z } n fois

cette mesure, appellée mesure de Lebesgue sur Rn , est l’unique mesure sur (Rn , BRn ) qui vérifie que pour tous intervalles I1 , · · · , In de R, on ait λn (I1 × · · · × In ) = λ (I1 ) λ (I2 ) · · · λ (In ) . 2) La propriété (iii) du théorème précédent indiquecomment calculer l’intégrale d’une fonction indicatrice par rapport ` a une mesure produit. En effet, elle équivaut à Z Z Z Z Z 1IC d (µ1 ⊗ µ2 ) = 1ICx (y) dµ2 (y) dµ1 (x) = 1IC y (x) dµ1 (x) dµ2 (y) , X1 ×X2

X1

c’est-` a-dire Z Z 1IC d (µ1 ⊗ µ2 ) = X1 ×X2

X1

X2

Z

X2

Z 1IC (x, y) dµ2 (y) dµ1 (x) =

X2

X2

X1

Z

1IC (x, y) dµ1 (x) dµ2 (y) .

X1

3. Int´ egration par rapport ` a une mesure produit Soient (X1 , T1 , µ1 ) et (X2 , T2 , µ2 ) deux espaces mesurés σ-finis; on cherche, dans ce pargraphe, ` déterminer comment intégrer par rapport à une mesure produit. Une première réponse à cette a préoccupation est donnée dans la remarque précédente qui considère le cas de fonctions indicatrices. Dans les théorèmes ci-dessus, nous allons étendre cette propriété tout d’abord aux fonctions mesurables positives, puis aux fonctions mesurables quelconques.

Th´ eor` eme 5.3.1. (Fubini - Tonelli ). Soit f : (X1 × X2 , T1 ⊗ T2 ) → R+ , BR+ une fonction mesurable. Alors : R R (i). Les applications x ∈ X1 7→ X2 f (x, y) dµ2 (y) et y ∈ X2 7→ X1 f (x, y) dµ1 (x) sont respectivement T1 -mesurable et T2 -mesurable. (ii). On a : Z Z Z Z Z f d (µ1 ⊗ µ2 ) = f (x, y) dµ2 (y) dµ1 (x) = f (x, y) dµ1 (x) dµ2 (y) . X1 ×X2

X1

X2

Preuve. (a). Si f est une fonction étagée, f =

X2

Pp

i=1

57

X1

αi 1ICi o` u les Ci appartiennent à T1 ⊗ T2 , on

a Z F (x) = X2

Z = = =

p X

Z f (x, y) dµ2 (y) = p X

αi 1I(Ci )x (y) dµ2 (y)

X2 i=1 Z p X

αi

i=1 p X

αi 1ICi (x, y) dµ2 (y)

X2 i=1

X2

1I(Ci )x (y) dµ2 (y)

αi µ2 ((Ci )x )

i=1

et la T1 -mesurabilité des applications x 7→ µ2 ((Ci )x ) implique celle de F . De plus, d’après le théorème 5.2.1 Z Z p X F (x) dµ1 (x) = αi µ2 ((Ci )x ) dµ1 (x) X1

= =

i=1 p X i=1 p X

X1

αi (µ1 ⊗ µ2 ) (Ci ) Z 1ICi d (µ1 ⊗ µ2 )

αi

i=1

X1 ×X2

Z

p X

=

αi 1ICi d (µ1 ⊗ µ2 )

X1 ×X2 i=1

Z f d (µ1 ⊗ µ2 ) ,

= X1 ×X2

R R f d (µ ⊗ µ ) = f (x, y) dµ (y) dµ1 (x) . Par un raisonnement ana1 2 2 X1 ×X2 X1 X2 R R logue on montre que G (y) = X1 f (x, y) dµ1 (x) est T2 -mesurable et que X1 ×X2 f d (µ1 ⊗ µ2 ) = R R R G (y) dµ2 (y) = X2 X1 f (x, y) dµ1 (x) dµ2 (y) . X2

c’est ` a dire

R

(b). Si f n’est pas étagée, il existe une suite croissante (fn )n∈N de fonctions étagées positives telle que f = limn→+∞ fn . Le théorème de Beppo-Levi permet alors d’écrire Z Z Z F (x) = f (x, y) dµ2 (y) = lim ↑ fn (x, y) dµ2 (y) = sup fn (x, y) dµ2 (y) X2

n→+∞

n∈N

X2

et comme, d’après le point précédent, x ∈ X1 7→

58

R X2

X2

fn (x, y) dµ2 (y) est T1 -mesurable, il vient

que F est T1 -mesurable. De plus, une nouvelle application du théorème de Beppo-Levi donne Z Z Z Z Z f (x, y) dµ2 (y) dµ1 (x) = F (x) dµ1 (x) = lim fn (x, y) dµ2 (y) dµ1 (x) X1 X2 X1 X1 n→+∞ X2 Z Z = lim ↑ fn (x, y) dµ2 (y) dµ1 (x) n→+∞ X2 ZX1 = lim ↑ fn d (µ1 ⊗ µ2 ) (d’après le a) n→+∞ X1 ×X2 Z = lim fn d (µ1 ⊗ µ2 ) (par le théorème de Beppo-Levi) X1 ×X2 n→+∞ Z = f d (µ1 ⊗ µ2 ) . X1 ×X2

R Par un raisonnement analogue on montre que G (y) = X1 f (x, y) dµ1 (x) est T2 -mesurable et que R R R R f d (µ1 ⊗ µ2 ) = X2 G (y) dµ2 (y) = X2 X1 f (x, y) dµ1 (x) dµ2 (y) . X1 ×X2 Le théorème suivant étend le résultat précédent à des fonctions non positives. Th´ eor` eme 5.3.2. (Fubini ). Soit f : (X1 × X2 , T1 ⊗ T2 ) → (R, BR ) une fonction µ1 ⊗ µ2 intégrable. Alors : (i). Pour µ1 -presque tout x la fonction fx est µ2 -intégrable et pour µ2 -presque tout y la fonction f y est µ1 -intégrable; R R (ii). x ∈ X1 7→ X2 f (x, y) dµ2 (y) et y ∈ X2 7→ X1 f (x, y) dµ1 (x) sont respectivement µ1 -intégrable et µ2 -intégrable. (iii). On a : Z Z Z Z Z f d (µ1 ⊗ µ2 ) = f (x, y) dµ2 (y) dµ1 (x) = f (x, y) dµ1 (x) dµ2 (y) . X1 ×X2

X1

X2

X2

R

X1

R

Preuve. (i). Soit ϕ (x) = X2 |fx (y)| dµ2 (y) = X2 |f (x, y)| dµ2 (y); le théorème 5.3.1 montre que ϕ est T1 -mesurable, et, en utilisant ce même théorème, on obtient : Z Z Z Z |ϕ| dµ1 = |f (x, y)| dµ2 (y) dµ1 (x) = |f | d (µ1 ⊗ µ2 ) < +∞, X1

X1

X1 ×X2

X2

ce R quiyimplique ϕ < +∞ µ1 -p.p.. Par un raisonnement analogue, on montre que posant ψ (y) = |f (x)| dµ1 (x), on a ψ < +∞ µ2 -p.p.. X1 (ii). En utilisant les propriétés de l’intégrale, puis le théorème 5.3.1, on obtient : Z Z Z Z Z f (x, y) dµ2 (y) dµ1 (x) ≤ |f (x, y)| dµ2 (y) dµ1 (x) = |f | d (µ1 ⊗ µ2 ) < +∞ X1

X2

et Z Z X2

Z

X1

X1

Z f (x, y) dµ1 (x) dµ2 (y) ≤

X2

X1 ×X2

X2

Z

Z |f (x, y)| dµ1 (x) dµ2 (y) =

|f | d (µ1 ⊗ µ2 ) < +∞.

X1 ×X2

X1

(iii). On a f = f+ − f− ; l’application du théorème 5.3.1 à f+ et f− donne : Z Z Z Z f+ d (µ1 ⊗ µ2 ) = f+ (x, y) dµ2 (y) dµ1 (x) = f+ (x, y) dµ1 (x) dµ2 (y)

X1 ×X2

X1

X2

X2

59

X1

et Z

Z

Z f− d (µ1 ⊗ µ2 ) = X1

X2

f d (µ1 ⊗ µ2 ) =

X1

f+ d (µ1 ⊗ µ2 ) −

= X1

Z = X1

Z =

f− d (µ1 ⊗ µ2 ) Z Z f+ (x, y) dµ2 (y) dµ1 (x) − f− (x, y) dµ2 (y) dµ1 (x) X X X2 Z 2 1 (f+ (x, y) − f− (x, y)) dµ2 (y) dµ1 (x) X2 Z f (x, y) dµ2 (y) dµ1 (x) X1 ×X2

Z

X1

X2

Z

Z f+ d (µ1 ⊗ µ2 ) −

f d (µ1 ⊗ µ2 ) = X1 ×X2

Z

X1 ×X2

Z

et Z

Z

f− (x, y) dµ1 (x) dµ2 (y) ; X2

Z

X1 ×X2

Z

f− (x, y) dµ2 (y) dµ1 (x) =

X1 ×X2

d’o` u Z

f− d (µ1 ⊗ µ2 ) Z Z Z Z = f+ (x, y) dµ1 (x) dµ2 (y) − f− (x, y) dµ1 (x) dµ2 (y) X X X X1 2 Z 2 Z 1 (f+ (x, y) − f− (x, y)) dµ1 (x) dµ2 (y) = X2 X1 Z Z = f (x, y) dµ1 (x) dµ2 (y) . X1 ×X2

X1 ×X2

X2

X1

4. Int´ egration sur Rn : formule du changement de variables Soient U et V deux ouverts de Rn et un h : U → V un difféomorphisme (c’est à dire h est bijectif , et h et h−1 sont différentiables); on note Jh (x) le Jacobien de h en x. On a alors : Th´ eor` eme 5.4.1 (Formule du changement de variable ). Pour toute fonction f λn -intégrable sur V , |det (Jh)| (f ◦ h) est λn -intégrable sur U et Z Z f (y) dλn (y) = |det (Jh (x))| f (h (x)) dλn (x) . V

U

60

:

V → R

Index absolue continuité, 23 additivité, 11 dénombrable, 11 algèbre de Boole, 35 application borélienne, 4 essentiellement bornée, 47 mesurable, 4

mesure à densité, 23 finie, 11 image, 15 produit, 53 sigma finie, 11 sur un espace mesurable, 11 mesure de Lebesgue, 39

borne essentielle supérieure, 47

pré-mesure, 35 propriété d’additivité de l’intégrale, 16 d’additivté de l’intégrale, 20 de croissance de l’intégrale, 16, 18, 24 de linéarité de l’intégrale, 24 de positive homogénéité, 20 de positive homogeneité de l’intégrale, 16 de positivité de l’intégrale, 24 vraie presque partout, 14

changement de variables, 60 continuité croissante de la mesure, 12 décroissante de la mesure, 12 croissance de la mesure, 12 décomposition canonique, 8 densité, 23

sections d’un ensemble, 52 d’une application, 53 sous-additivité dénombrable, 12 finie, 12 stabilité par différence, 2 par intersection dénombrable, 2 par intersection finie, 2 par passage au complémentaire, 2 par réunion dénombrable, 2 par réunion finie, 2

ensemble négligeable, 14 espace de fonctions intgrables, 23 mesuré, 13 mesurable, 2 fonction étagée, 8 indicatrice, 4 intégrable, 23 inégalité de H¨ older, 42 de Minkowski, 42 de Young, 42 intégrale de fonction étagée positive, 15 de fonction mesurable, 23 de fonction mesurable positive, 17

théorème de Carathéodory, 35 de continuité sous l’intégrale, 32 de convergence dominée (Lebesgue), 30 de convergence monotone (Beppo-Levi), 18 de dérivation globale sous l’inté de dérivation sous l’intégrale, 33 de Fatou-Lebesgue, 29 de Fubini, 59 de Fubini-Tonelli, 57 de Radon-Nikodym, 23 de Riesz-Fischer, 46

lemme de Fatou, 29 de transport, 5 fondamental d’approximation, 9 61

tribu borélienne, 3 des parties des ensemble, 2 engendrée par un ensemble, 2 engendrée par une application mesurable, 4 grossière, 2 produit, 51 triviale, 2

62

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