Mathematische Grundlagen der Geophysik 001

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Geophysikalisches Institut, Universität Karlsruhe

Mathematische Grundlagen der Geophysik

Ein Skript zur gleichnamigen Vorlesung.

Version v2.03 Stand: November 2001

Vorwort Warum dieses Manuskript? Dieses Skript wurde geschrieben, um allen Studenten einen roten Leitfaden für die Mathematik, die in der Geophysik gebraucht wird, zu geben. Schwerpunkte sind dabei die Themengebiete Wellentheorie, Filtertheorie, Kommunikationstheorie und Spektralanalyse, die insbesondere in der Seismik und Seismologie von Bedeutung sind. Aber auch andere geowissenschaftliche Arbeitsgebiete werden tangiert. Dieses Skript kann natürlich nur das Basiswissen vermitteln und dient eher zum kurzen Nachschlagen. Ein gründliches Studium der hier behandelten Mathematik ist nur mit der Hilfe von Textbüchern möglich. Eine Literaturliste findet sich im Anhang.

An wen richtet sich dieses Manuskript? Die Vorlesung “Mathematische Grundlagen der Geophysik“ wird normalerweise von Studenten im fünften Semester, d.h. nach dem Vordiplom, besucht. Ein Besuch der Vorlesungen “Höhere Mathematik“ oder “Analysis“ wird vorausgesetzt.

Fehler?! Dieses Manuskript wurde unter LATEX 2ε mit deutschen Anpassungen gesetzt und mit dvips nach Postscript konvertiert. Es entstand im Laufe vieler Wochen und Monate. Es bleibt nicht aus, daß im Verlaufe dieser Zeit bessere und weniger gute Abschnitte entstanden. Auch wenn wir eine Menge Fehler beseitigen konnten, so möchten wir den Eindruck vermeiden, es handele sich um ein fertiges Produkt. Die dicken Fehler sind nur besser versteckt ;–) Vielleicht haben wir ja die Chance, es beim nächsten Mal besser zu machen. Verbesserungsvorschläge und Korrekturhinweise sind daher stets erwünscht und willkommen.

Danksagung Die vorliegende zweite Auflage (v2.0) des Skriptes basiert auf den ursrünglichen Quelltexten und wurde von Th. Hertweck komplett u¨ berarbeitet und erweitert. Leider konnten viele Abbildungen sowie die Kapitel 7 und 8 noch nicht erneuert werden, aber wir arbeiten daran. Am Gelingen des Werkes haben viele Menschen direkt oder indirekt mitgewirkt – Allen sei hiermit herzlich gedankt. Autoren: Kapitel 1 - Vektoranalysis (neu in v2.0): Th. Hertweck Kapitel 2 - Spektralanalyse (überarbeitet): P. Hubral, Th. Hertweck Kapitel 3 - Analytische Signale (überarbeitet): P. Hubral, Th. Hertweck Kapitel 4 - Kugel- und Kugelflächenfunktionen (neu in v2.0): Th. Hertweck Kapitel 5 - Die Wellengleichung (überarbeitet): F. Adler Kapitel 6 - Funktionentheorie (urspr. Version v1.1): M. Tygel Kapitel 7 - Statistik (urspr. Version v1.1): S. Shapiro, J. Schleicher Kapitel 8 - Grundgleichungen der Strömungsmechanik (neu in v2.0): Th. Hertweck Anhang A - Definitions (neu in v2.0): Th. Hertweck Anhang B - Matlab (tm) Beispielprogramm (neu in v2.0): Th. Hertweck Wem dieses Skript gefällt, der empfehle es weiter, wem es nicht gefällt, der schweige stille.

I

Inhaltsverzeichnis 1

2

Vektoranalysis 1.1 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Vektoroperationen in verschiedenen Koordinatensystemen . . . . . . 1.2.1 Vektorielle Operationen im kartesischen Koordinatensystem . 1.2.2 Vektorielle Operationen im zylindrischen Koordinatensystem 1.2.3 Vektorielle Operationen im sphärischen Koordinatensystem . 1.2.4 Rechenregeln für den Gradienten eines Skalarfeldes . . . . . 1.2.5 Rechenregeln für die Divergenz eines Vektorfeldes . . . . . . 1.2.6 Rechenregeln für die Rotation eines Vektorfeldes . . . . . . . 1.2.7 Der Laplaceoperator eines Vektorfeldes . . . . . . . . . . . . 1.3 Integralsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spektralanalyse 2.1 Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Reelle Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Alternative Darstellungen der Fourierreihe . . . . . . . . . 2.1.3 Das Gibbs’sche Phänomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Fourier-Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Herleitung der Fouriertransformation aus den Fourierreihen 2.2.2 Kurze Einführung der Dirac’schen Deltafunktion . . . . . . 2.2.3 Definition des Fourierintegralpaares . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Eigenschaften der Fouriertransformierten . . . . . . . . . . 2.2.5 Alternative Darstellung der Fouriertransformation . . . . . . 2.2.6 Einfache Theoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Die Faltung (Konvolution) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Die Autokorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Die Kreuzkorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Kurze Einführung in Lineare Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Mehrdimensionale Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 2D-Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Hankeltransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 3D-Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Spektralanalyse diskreter Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Abtasttheorem und Aliasing-Effekte . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Die Fouriertransformation diskreter Funktionen (DFT) . . . 2.6.3 Die schnelle Fouriertransformation (FFT) . . . . . . . . . . III

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1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 5

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7 7 7 8 9 9 9 11 12 14 14 16 21 24 24 26 27 27 28 30 30 30 32 32

INHALTSVERZEICHNIS

2.7 2.8

3

4

5

2.6.4 Zweidimensionale diskrete Fouriertransformation . . . 2.6.5 Theoreme der diskreten Fouriertransformation . . . . 2.6.6 Die z-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.7 Theoreme der z-Transformation . . . . . . . . . . . . 2.6.8 Die inverse z-Transformation . . . . . . . . . . . . . . Die Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Theoreme der Laplace-Transformation . . . . . . . . Fenster- und Gewichtsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1 Gegenüberstellung verschiedener Gewichtsfunktionen

Reelle und analytische Signale 3.1 Definition des Hauptwertintegrals . . . . . . . . . . . . . 3.2 Definition des Analytischen Signals . . . . . . . . . . . . 3.3 Die Hilbert-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Einige Eigenschaften der Hilbert-Transformation . 3.4 Complex seismic trace analysis - Ein Anwendungsbeispiel 3.5 Berechnung des Analytischen Signals . . . . . . . . . . . 3.5.1 Berechnung mit Hilfe der Hilberttransformation . . 3.5.2 Berechnung im Frequenzraum . . . . . . . . . . . 3.5.3 Berechnung durch Konvolution . . . . . . . . . . 3.6 Modellsignale in der Seismik . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Details zum Rayleigh-Puls . . . . . . . . . . . . . 3.7 Energie und Länge eines Signals . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Anwendung auf den analytischen Rayleigh-Impuls

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33 33 33 34 35 35 36 37 38

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43 43 44 44 45 47 48 48 49 49 49 52 53 54

Legendre-Polynome und Kugelfla¨ chenfunktionen 4.1 Legendresche Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Die zugeordneten Legendreschen Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Kugelflächenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Entwicklung des Gravitationspotentials der Erde nach Kugelflächenfunktionen

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55 55 57 58 59 61

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63 63 63 65 66 67 67 68 69 70 70 71 73 74 74

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Die Wellengleichung 5.1 Die elastodynamische Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Die Kinematik der Deformation und der Verzerrungstensor 5.1.2 Der Spannungstensor (stress tensor) . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Die Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4 Das Hook’sche Gesetz und die Naviergleichung . . . . . . 5.1.5 Der Elastizitätstensor von Kristallsystemen . . . . . . . . 5.1.6 Die elastodynamische Wellengleichung . . . . . . . . . . 5.2 Die akustische Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Ansätze zur Lösung der Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Anfangs- und Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Die Green’sche Funktion der Wellengleichung . . . . . . 5.3.3 Die Green’sche Funktion des unbegrenzten Raumes . . . . 5.3.4 Das retardierte Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.5 Der Separationsansatz und die Eigenfunktionsentwicklung IV

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INHALTSVERZEICHNIS

5.3.6 6

7

8

Die Eikonal- und die Transportgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

Funktionentheorie 6.1 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Einige Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Operationen und spezielle Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Funktionen einer komplexen Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.4 Grenzwert, Stetigkeit und Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.5 Cauchy-Riemann’sche (CR) Gleichungen und analytische Funktionen . . . . 6.2 Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Jordan Theorem für Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Linien- oder Kurven-Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4 Fundamentale Beziehungen zwischen analytischen Funktionen und einfachen abgeschlossenen Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.5 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.6 Stammfunktionen und Unabhängigkeit vom Weg . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.7 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.8 Cauchy’sche Integral Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Taylor- und Laurent - Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Taylor- und Laurent - Theoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Residuen und Pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Residuensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.3 Pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Berechnung bestimmter Integrale mit Hilfe des Residuensatzes . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Berechnung von Integralen mit sin und cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.3 Berechnung von uneigentlichen Integralen mit Hilfe des Residuensatz . . . . 6.6 Methode der Stationären Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77 77 77 78 81 82 83 84 84 86 86 88 93 96 97 98 99 99 101 104 104 105 105 106 106 107 111 118

Statistik 7.1 Einführung und Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Stationäre Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Eigenschaften von Korrelationsfunktionen . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Fluktuationsspektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Streufeld (scattering field) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.4 Streuquerschnitt eines Einheitsvolumens in einem Zufallsmedium 7.2.5 Dämpfung durch einfache Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.6 Wellenfeld (mean field) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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131 131 133 133 133 134 136 137 138

Die Grundgleichungen der Stro¨ mungsmechanik 8.1 Die Kontinuitätsgleichung (Masseerhaltung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Die Navier-Stokes-Gleichungen (Impulserhaltung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Die Energiegleichung (Erhaltung der Energie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

139 139 140 145

V

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INHALTSVERZEICHNIS

A Definitions and explanations

149

B A Matlab (tm) example program

157

C Literatur

161

VI

Abbildungsverzeichnis 1.1

Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 2.24

Das Gibbs’sche Phänomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Der Ubergang vom diskreten zum kontinuierlichen Spektrum . . . . . . . Die Dirac’sche Deltafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funktionen und ihre Fouriertransformierten . . . . . . . . . . . . . . . . Symmetrieeigenschaften von Funktionen und ihren Fouriertransformierten Das Additionstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Das Ahnlichkeitstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Das Ahnlichkeitstheorem am Beispiel der Cosinusfunktion . . . . . . . . Das Verschiebungstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Modulationstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Differentiationstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Parseval’sche Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die einzelnen Schritte bei der Konvolution. . . . . . . . . . . . . . . . . Der Glättungseffekt der Konvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Konvolutionstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Autokorrelationstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Graphischer Vergleich zwischen Konvolution und Korrelation . . . . . . Zweidimensionale Fouriertransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . Die Besselfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Aliasing-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Begrenzte Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gewichtsfunktionen und ihre Spektren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Einfluß von Länge und Gestalt der Gewichtsfunktion . . . . . . . . .

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9 10 12 13 15 17 18 18 19 20 20 21 22 22 23 24 25 28 29 30 31 39 40 41

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

Die Hilberttransformation . . . . . . . . . . . Komplexe seismische Spur . . . . . . . . . . Zerlegung einer komplexen seismischen Spur Gebräuchliche phyiskalische Signale . . . . . Klauder-Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . Ricker-Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . .

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46 47 48 50 50 52

4.1 4.2

Die Legendre-Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Veranschaulichung einer Kugelflächenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56 60

VII

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1

ABBILDUNGSVERZEICHNIS

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Verschiebungsvektoren . Volumenänderung . . . . Der Spannungstensor . . Die Randbedingungen . Das Fermat’sche Prinzip

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64 65 65 71 76

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 6.14 6.15 6.16 6.17 6.18 6.19 6.20 6.21 6.22 6.23 6.24 6.25 6.26 6.27 6.28 6.29 6.30

Komplexe Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Komplexe Quadratwurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funktion einer komplexen Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grenzwertdefinition im der komplexen Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . Glatter Bogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einfache Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abgeschlossene Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jordan-Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Jordan-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kurvenintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inverse Richtung einer Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zum Cauchy-Goursat-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zum Cauchy-Goursat-Theorem (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Orientation von Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ein weiteres Beispiel zum Cauchy-Goursat-Theorem . . . . . . . . . . . . . . Zum Cauchy-Goursat-Theorem für mehrfach zusammenhängende Bereiche . . Zum Cauchy-Goursat-Theorem für mehrfach zusammenhängende Bereiche (II) Kurvenintegrale - Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kurvenintegrale - Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kurvenintegrale - Beispiel 2 für kleine Epsilon . . . . . . . . . . . . . . . . . Kurvenintegrale - Beispiel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Cauchy’sche Integralformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zum Taylor-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zum Laurent-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CR = C1R ∪ C2R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cρ,R = CR ∪ C2ρ,R ∪ Cρ ∪ C1ρ,R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Punkt stationärer Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zur Lösung des Fresnel-Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnung des Integrals IC2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77 80 81 83 84 85 85 85 86 86 87 88 89 89 90 91 92 93 93 94 94 95 99 100 101 111 116 120 124 125

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5

Zufallsprozeß . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementare Kugelwelle . . . . . . . . . . . . . Streuquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . Verhältnis des Streuquerschnitts zum Winkel . . Skizze zur Dämpfung durch einfache Streuung.

. . . . .

. . . . .

. . . . .

131 135 136 137 137

8.1 8.2 8.3

Die Massenströme am Volumenelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Die Impulsströme am Volumenelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Die Normal- und Schubspannungen am Volumenelement . . . . . . . . . . . . . . . 141

VIII

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

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. . . . .

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. . . . .

Kapitel 1

Vektoranalysis 1.1 Koordinatensysteme Ein Punkt P wird im rechtwinklig kartesischen Koordinatensystem durch die Angabe der drei Koordinaten x, y und z beschrieben, im Zylinderkoordinatensystem durch die Angabe der Koordinaten ρ, ϕ und z und im Kugelkoordinatensystem (sphärisches Koordinatensystem) durch die Angabe der Koordinaten r, ϕ und ϑ. Die Definitionen der einzelnen Strecken und Winkel können der nachstehenden Abbildung entnommen werden. ~e3

ρ P

r

ϑ

z

~e2 ϕ

x y

~e1

Abbildung 1.1: Zusammenhang zwischen einem kartesischen, einem zylindrischen und einem sphärischen Koordinatensystem.

1

KAPITEL 1. VEKTORANALYSIS

Im kartesischen Koordinatensystem ist ein Volumenelement gegeben durch dV = dx dy dz .

(1.1)

Für das Zylinderkoordinatensystem gilt x = ρ cos ϕ y = ρ sin ϕ

(1.2)

z=z dV = ρ dρ dϕ dz , entsprechend für das Kugelkoordinatensystem x = r sin ϑ cos ϕ y = r sin ϑ sin ϕ

(1.3)

z = r cos ϑ dV = r 2 sin ϑ dr dϑ dϕ .

1.2 Vektoroperationen in versch. Koordinatensystemen 1.2.1 Vektorielle Operationen im kartesischen Koordinatensystem ~ = grad f = ∂f ~e1 + ∂f ~e2 + ∂f ~e3 ∇f ∂x ∂y ∂x ~ · ~v = div ~v = ∂vx + ∂vy + ∂vz ∇ ∂x ∂y ∂z ~e1 ~e2 ~e3 ∂ ∂ ∂ ~ × ~v = rot ~v = ∇ ∂x ∂y ∂z v v v x

y

(1.4) (1.5)

(1.6)

z

∂2f ∂2f ∂2f ~ ∇f ~ ∇ = ∆f = + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 p ds = dx2 + dy 2 + dz 2

(1.7) (1.8)

1.2.2 Vektorielle Operationen im zylindrischen Koordinatensystem ~ = grad f = ∂f ~eρ + 1 ∂f ~eϕ + ∂f ~ez ∇f ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z ~ · ~v = div ~v = 1 ∂(ρvρ ) + 1 ∂vϕ + ∂vz ∇ ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z ~e ~eϕ ~ez 1 ∂ρ ∂ ∂ ~ ∇ × ~v = rot ~v = ∂ρ ∂ϕ ∂z ρ vρ ρvϕ vz

1 ∂f ∂2f 1 ∂2f ∂2f ~ ∇f ~ + + ∇ + = ∆f = ∂ρ2 ρ ∂ρ ρ2 ∂ϕ2 ∂z 2 p ds = dρ2 + ρ2 dϕ2 + dz 2 2

(1.9) (1.10)

(1.11)

(1.12) (1.13)


1.2.3 Vektorielle Operationen im sph¨ arischen Koordinatensystem

~ = grad f = ∂f ~er + 1 ∂f ~eθ + 1 ∂f ~eϕ ∇f ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ

(1.14)

2 ~ · ~v = div ~v = 1 ∂(r vr ) + 1 ∂(vθ sin θ) + 1 ∂vϕ ∇ r 2 ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂ϕ

(1.15)

~er ∂ 1 ~ ∇ × ~v = rot ~v = 2 r sin θ ∂r vr 1 ∂ ~ ∇f ~ ∇ = ∆f = 2 r ∂r

r

2 ∂f

ds =

∂r

q

∂ 1 + 2 r sin θ ∂θ

r~eθ r sin θ ~eϕ ∂ ∂ ∂θ ∂ϕ rv r sin θ v ϕ

θ

∂f sin θ ∂θ

(1.16)

+

∂2f 1 r 2 sin2 θ ∂ϕ2

dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin2 θ dϕ2

(1.17)

(1.18)

1.2.4 Rechenregeln f ür den Gradienten eines Skalarfeldes

grad c = 0 grad (cF ) = c grad F grad (F1 + F2 ) = grad F1 + grad F2 grad (F1 F2 ) = F1 grad F2 + F2 grad F1 grad f~1 · f~2 = f~1 grad f~2 + f~2 grad f~1 + f~1 × rot f~2 + f~2 × rot f~1 Dabei gilt c = const. F ist eine skalare, f~ eine vektorielle Funktion. 3

(1.19)


1.2.5 Rechenregeln f ür die Divergenz eines Vektorfeldes div ~c = 0 div cf~ = c div f~ div f~1 + f~2 = div f~1 + div f~2 div F f~ = F div f~ + f~ grad F div f~1 × f~2 = f~2 rot f~1 − f~1 rot f~2 div rot f~ = 0

(1.20)

Dabei gilt ~c, c = const. F ist eine skalare, f~ eine vektorielle Funktion.

1.2.6 Rechenregeln f ür die Rotation eines Vektorfeldes rot ~c = 0 rot cf~ = c rot f~ rot f~1 + f~2 = rot f~1 + rot f~2 rot F f~ = F rot f~ + grad F × f~ rot f~1 × f~2 = f~2 grad f~1 − f~1 grad f~2 + f~1 div f~2 − f~2 div f~1

(1.21)

rot grad F = 0

Dabei gilt ~c, c = const. F ist eine skalare, f~ eine vektorielle Funktion.

1.2.7 Der Laplaceoperator eines Vektorfeldes Es sei f~ ein Vektorfeld. Dann definiert man ∆ f~ durch ∆f~ = grad div f~ − rot rot f~ .

(1.22)

∆f~ = (∆fx ) ~e1 + (∆fy ) ~e2 + (∆fz ) ~e3 ,

(1.23)

In kartesischen Koordinaten gilt

in anderen Koordinatensystemen besitzt ∆ f~ nicht so eine einfache Gestalt. Man benutze dann die Definitionsgleichung (1.22) und die entsprechenden Ausdrücke für grad F , div f~ und rot f~. 4


1.3 Integrals¨ atze Mit V sei im folgenden stets ein Volumen, mit S die Randfläche dieses Volumens gemeint. Die Funktion f sei in V stetig und habe stetige beschränkte erste partielle Ableitungen. Die Randfläche S besitze bis auf endlich viele Ecken und Kanten sich stetig a¨ ndernde Tangentialebenen, wobei die in¨ neren Offnungswinkel der Ecken und Kanten größer als Null sind. 1. Satz von Gauß:

Z ZZ

div f~ dV =

V

ZZ

~ f~ · dS

S

2. Reynoldssches Transportheorem (~v = Geschwindigkeitsvektor): ZZZ ZZ ZZ Z ∂f d ~ f ~v · dS f dV = dV + dt ∂t V

V

(1.25)

S

3. Erste Greensche Formel: ZZ Z ZZ Z ZZ ~ − (∆f1 ) f2 dV = f2 (grad f1 ) · dS (grad f1 ) · (grad f2 ) dV V

(1.24)

S

(1.26)

V

4. Zweite Greensche Formel: ZZ Z ZZ ~ {(∆f1 ) f2 − f1 (∆f2 )} dV = {f2 (grad f1 ) − f1 (grad f2 )} · dS V

(1.27)

S

Mit A sei im folgenden ein ebenes Gebiet, mit R die Randkurve dieses Gebietes gemeint. Die Funktion f sei in A stetig und habe stetige beschränkte erste partielle Ableitungen. Die Randkurve R besitze bis auf endlich viele Ecken eine sich stetig a¨ ndernde Tangente, wobei die Innenwinkel der Ecken größer als Null sind. 5. Satz von Stokes:

ZZ A

~ = rot f~ · dA

5

I

R

~ f~ · dR

(1.28)

Kapitel 2

Spektralanalyse Fourierreihen und -integrale spielen in der Angewandten Geophysik eine tragende Rolle. Sie dienen dazu, gemessene Daten so zu transformieren, daß entweder der Informationsgehalt leichter u¨ berschaubar ist oder die Daten einfacher mit Hilfe mathematischer Prozesse weiter zu bearbeiten sind.

2.1 Fourierreihen 2.1.1 Reelle Fourierreihen Die Darstellung einer stückweise glatten, 2p-periodischen Funktion f (t) als Reihe trigonometrischer Funktionen ∞ π π a0 X an cos n t + bn sin n t + (2.1) f (t) = 2 p p n=1

heißt Fourierreihe. Die Entwicklung einer Funktion in ihre Fourierreihe wird als harmonische Analyse bezeichnet. In praktischen Anwendungen bricht man die Entwicklung der Fourierreihe oft nach endlich vielen Gliedern ab und hat dann eine Approximation der Funktion f (t) durch ein trigonometrisches Polynom fN (t). Mit den Konstanten an und bn , den sog. Fourierkoeffizienten, 1 an = p

bn =

1 p

d+2p Z

π f (t) cos n t dt, p

d d+2p Z

π f (t) sin n t dt, p

n = 0, 1, 2, . . .

(2.2)

n = 1, 2, 3, . . .

(2.3)

d

wird der mittlere quadratische Fehler 2

σ =

d+2p Z

[f (t) − fN (t)]2 dt

(2.4)

d

minimal. Der Parameter d kann dabei frei gewählt werden, meistens wird jedoch d = 0 oder d = −p gesetzt. Für viele Fragen ist es von Interesse, wann die Fourierreihe konvergiert und inwieweit sie f (t) darstellt. Auf diese Fragestellung kann der Satz von Dirichlet eine weitgehende Antwort geben: 7

KAPITEL 2. SPEKTRALANALYSE

f (t) genüge in (−p, p) den sogenannten Dirichletschen Bedingungen: 1. Das Intervall (−p, p) läßt sich in endlich viele Teilintervalle zerlegen, in denen f (t) stetig und monoton ist. 2. Ist t0 eine Unstetigkeitsstelle von f (t), dann existieren die Grenzwerte f (t 0− ) und f (t0+ ). Dann konvergiert die Fourierreihe von f (t), und es gilt: ( ∞ f (t) a0 X π π an cos n t + bn sin n t = f (t0+ )+f (t0− ) + 2 p p 2 n=1

falls f in t stetig sonst

(2.5)

In Worten bedeutet dieser Satz folgendes: Unter den o.g. Bedingungen konvergiert die Fourierreihe und hat in allen Punkten, in denen f (t) stetig ist, genau den Wert f (t). In Unstetigkeitstellen nimmt die Fourierreihe das Mittel des rechts- und linksseitigen Grenzwertes der Funktion an der Unstetigkeitsstelle an. Ist f (t) eine gerade Funktion, d.h. f (−t) = f (t), dann ist 2 an = p

Zp

π f (t) cos n t dt p

bn = 0 .

(2.6)

π f (t) sin n t dt . p

(2.7)

und

0

Ist f (t) eine ungerade Funktion, d.h. f (−t) = −f (t), dann ist an = 0

2 bn = p

und

Zp 0

2.1.2 Alternative Darstellungen der Fourierreihe Statt (2.1) findet man häufig auch folgende komplexe Fourierreihendarstellung: f (t) =

∞ X

π

cn ein p t

(2.8)

n=−∞

mit 1 cn = 2p

d+2p Z

f (t) e

−in πp t

dt .

(2.9)

d

Die Fourierreihe (2.1) kann auch mit Hilfe eines Amplituden- und Phasenspektrums dargestellt werden: ∞ X π f (t) = A0 + (2.10) An cos n t − Φn p n=1

mit

A0 =

a0 , 2

An =

p a2n + b2n

und

Φn = arctan

bn . an

(2.11)

Die Koeffizienten An werden als diskretes Amplitudenspektrum, die Koeffizienten Φ n als diskretes Phasenspektrum bezeichnet. 8


2.1.3 Das Gibbs’sche Ph¨ anomen Die Fourierreihe zeigt in der Nähe einer Unstetigkeitsstelle nur eine sehr langsame Konvergenz gegen 1 die Grundfrequenz des f (t) für n → ∞. Deutet man t als Zeit und f (t) als ein Signal, dann ist 2p n Signals und νn = 2p , (n = 1, 2, . . .) sind die zur Komposition aus Sinus- und Cosinusfunktionen benötigten Oberfrequenzen. Zur Beschreibung von Unstetigkeitsstellen werden (sehr) hohe Frequenzen benötigt. Die Fourierreihendarstellung zeigt in der Nähe dieser Stellen starke Undulationen, wobei sie direkt an der Unstetigkeitsstelle den Mittelwert aus rechts- und linksseitigem Grenzwert der Funktion annimmt. Dieses Verhalten der Funktion f (t) in der Nähe von Unstetigkeitsstellen wird nach J. W. Gibbs (1839-1903) als Gibbs’sches Phänomen bezeichnet.

7 6 5

f(t)

4 3 2 1 0 −6

−4

−2

0 t

2

4

6

Abbildung 2.1: Zum Gibbs’schen Phänomen. Hier wurde eine Dreiecksfunktion mit einer Fourierreihe bis zur 14. Oberfrequenz angenähert. Man erkennt deutlich die Undulationen in der Nähe der Unstetigkeitsstellen, während die Funktion an sich bereits gut approximiert wird.

2.2 Fourier-Integrale 2.2.1 Herleitung der Fouriertransformation aus den Fourierreihen Zur Erweiterung der Fouriertheorie auf nichtperiodische Funktionen, die nicht mit Hilfe von Fourierreihen dargestellt werden können, setzen wir (2.9) in (2.8) ein und erhalten damit ∞ X



1 f (t) = 2p n=−∞

Zp

−p

0

f (t ) e

−in πp t0

dt



π 0  in p t

e

9

∞ X

1 = 2p n=−∞

Zp

−p

π

0

f (t0 ) e−in p (t −t) dt0 .

(2.12)

KAPITEL 2. SPEKTRALANALYSE Weil wir später t als Zeit ansehen wollen, nennen wir jetzt ω n = n πp die (diskrete) Kreisfrequenz und substituieren πp mit ∆ω. Für nichtperiodische Funktionen geht p → ∞ und wir erhalten schließlich f (t) = lim

p→∞

∞ X



 ∆ω 2π n=−∞

Zp

−p

0



f (t0 ) e−iωn (t −t) dt0  .

(2.13)

Vergleichen wir dies nun mit der Riemannschen Summe einer Funktion g bei a¨ quidistanter Zerlegung (siehe auch Abbildung 2.2), lim

∆S→0

∞ X

n=0

g(n · ∆S) ∆S

=⇒

Z∞

g(s) ds ,

(2.14)

0

wobei hier ∆S = 1p ist. Dementsprechend führen wir in Gleichung (2.13) den Grenzübergang für p → ∞ aus: Aus ∆ω wird dann ein dω, aus dem diskreten ω n = n · ∆ω wird ein kontinuierliches ω und aus der Summation u¨ ber n wird eine Integration u¨ ber ω. Die Grenzen des nun inneren Integrals 1 vor die Integrale und erhalten u¨ ber t0 verschieben sich ebenfalls ins Unendliche. Wir ziehen noch 2π 1 f (t) = 2π

Z∞ Z∞

0

f (t0 )e−iωt dt0 eiωt dω .

(2.15)

−∞ −∞

ˆ Bezeichnet man das innere Integral als f(ω), so ergibt sich das folgende Transformationspaar 1 f (t) = 2π und fˆ(ω) =

Z∞

fˆ(ω) eiωt dω

(2.16)

−∞

Z∞

0

f (t0 )e−iωt dt0 .

−∞

¨ Abbildung 2.2: Der Ubergang vom diskreten zum kontinuierlichen Spektrum. 10

(2.17)

KAPITEL 2. SPEKTRALANALYSE Bemerkung: Die Unterscheidung zwischen t und t 0 ab Formel (2.12) ist eine “künstliche“, um nicht die Unabhängige der Funktion f (t) mit t 0 , der Integrationsvariablen des Koeffizienten, zu verwechseln. Physikalisch gesehen kann man sich sowohl t als auch t 0 als Zeitvariable denken.

2.2.2 Kurze Einf ührung der Dirac’schen Deltafunktion Die Dirac’sche Deltafunktion δ(t) ist ein bedeutendes Hilfsmittel in der angewandten Mathematik. Sie vereinfacht die Herleitung und Darstellung vieler Resultate, die sonst a¨ ußerst kompliziert wären. Die Deltafunktion stellt im eigentlichen Sinne keine Funktion mehr dar, vielmehr fällt sie in den Bereich der Distributionen, die Grenzwerte von Funktionenfolgen sind. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von Verallgemeinerten Funktionen. Die Deltafunktion darf nicht als gewöhnliche Funktion aufgefaßt werden, die für alle t fest definierte Werte besitzt. Es kommt eigentlich nur auf gewisse Eigenschaften von δ(t) an, die im folgenden definiert werden. Die Deltafunktion wird definiert durch die Eigenschaft Z∞

δ(t)f (t) dt = f (0) ,

(2.18)

−∞

wobei f (t) eine beliebige, im Ursprung stetige Funktion ist. Manchmal wird die Deltafunktion auch durch Z∞ δ(t) dt = 1, δ(t) = 0 für t 6= 0 (2.19) −∞

oder als Grenzwert δ(t) = lim fn (t) n→∞

(2.20)

einer Funktionenfolge mit den Eigenschaften Z∞

−∞

fn (t) dt = 1,

lim fn (t) = 0 für t 6= 0

n→∞

(2.21)

eingeführt. Es soll nicht unerwähnt bleiben, daß die letzten Gleichungen die Deltafunktion nicht exakt definieren, da es andere Distributionen gibt, die diese ebenfalls erfüllen, z.B. die Distribution δ(t) + δ 0 (t). Weitere wichtige Eigenschaften der Deltafunktion (a = const): • δ(t) = 0 für t 6= 0 • f (t)δ(t − a) = f (a) • δ(at) = • δ(t) =

1 |a| δ(t)

1 2π

R∞

eiωt dω

−∞

Diese Relationen sind streng genommen nur unter dem Integral u¨ ber t definiert, wobei das Integrationsintervall die Stelle, an der das Argument der Deltafunktion verschwindet, einschließen muß.

11

KAPITEL 2. SPEKTRALANALYSE f (t)

f (t) a 2 a −a|t| e 2

1 a

− a2

a 2

t

t

f (t)

f (t)

1 a

−a

√1 2πa

a

−t2

√ 1 e 2a2 2πa

t

t

Abbildung 2.3: Verschiedene Funktionenfolgen, die im Grenzfall gegen die Dirac’sche Deltafunktion streben. Bemerkung: Sicherlich ist in vergangenen Vorlesungen bereits einmal der Name “Green’sche Funktion“ aufgetaucht. Die Green’sche Funktion stellt dabei nichts anderes dar als die Antwort eines Linearen Systems auf den Input Deltafunktion. Ist die Green’schen Funktion eines Systems einmal bekannt, so kann die Antwortfunktion auf jeden beliebigen Input berechnet werden (siehe Abschnitt 2.4 auf Seite 26).

2.2.3 Definition des Fourierintegralpaares Die Fourier-Transformation ˆ f(ω) =

Z∞

f (t) e−iωt dt

(2.22)

−∞

und die Fourier-Rücktransformation (inverse Fouriertransformation) 1 f (t) = 2π

Z∞

ˆ f(ω) eiωt dω

(2.23)

−∞

bilden das sogenannte Fourierintegralpaar. Das Fourierintegralpaar ist von absolut fundamentaler Bedeutung. Es existieren alternative Definitionen (umgekehrte Vorzeichen in den Exponenten, andere Vorfaktoren), die alle gleichwertig sind. Nach der Wahl einer Definition muß allerdings genau darauf geachtet werden, daß alle folgenden Schritte konform sind. ˆ Die Funktion f(ω) nennt man das (komplexe) Spektrum von f (t). Es läßt sich auch darstellen als ˆ f(ω) = R(ω) + iI(ω) = A(ω)eiΦ(ω)

(2.24)

mit dem Amplitudenspektrum A(ω) und dem Phasenspektrum Φ(ω). Die Funktion −Φ(ω) nennt man phaselag spectrum.

12


Graphisch wird das komplexe Spektrum meist in der Form eines Plots für das Amplitudenspektrum und eines getrennten Plots für das Phasenspektrum dargestellt. Es stellt sich, wie auch bei den Fourierreihen, die Frage nach der Konvergenz und Gültigkeit des Fourierintegralpaares. Darüber geben die Kriterien von Dirichlet-Jordan Auskunft. Die Gültigkeit des Transformationspaares ist garantiert, wenn • f (t) nur endlich viele Sprungstellen besitzt, wobei die Grenzwerte von beiden Seiten existieren und endlich sind, • f (t) in jedem Teilintervall von begrenzter Schwankung ist und • f (t) absolut integrierbar ist, d.h.

R∞

−∞

|f (t)| dt = G < ∞.

Falls das Integral (2.22) nicht existiert, kann mit der erweiterten Definition der Fouriertransformation fˆ(ω) = lim

Z∞

a→∞ −∞

2

f (t) e−at e−iωt dt

(2.25)

manchmal dennoch eine Fouriertransformierte (im Sinne einer hebbaren Unstetigkeit) berechnet werden.

Abbildung 2.4: Einige Funktionen und ihre Fouriertransformierten, graphisch dargestellt.

13


2.2.4 Eigenschaften der Fouriertransformierten Eine Funktion f(t) heißt gerade, ungerade, kausal oder hermitisch, falls sie gewisse Symmetrieeigenschaften aufweist: • Gerade Funktion: f (t) = f (−t) • Ungerade Funktion: f (t) = −f (−t) • Kausale Funktion: f (t) = 0 für t < 0 • Antikausale Funktion: f (t) = 0 für t > 0 • Hermitische Funktion: f (t) = f ∗ (−t), d.h. ihr Realteil ist gerade, ihr Imaginärteil ungerade. • Antihermitische Funktion: f (t) = −f ∗ (−t), d.h. ihr Realteil ist ungerade, ihr Imaginärteil gerade. Kausale Funktionen spielen in der Geophysik eine entscheidende Rolle, da (normalerweise) an einem Empfänger kein Signal ankommen kann, bevor es an der Quelle ausgesandt wurde. Grundsätzlich gilt: Weist eine Funktion f (t) eine gewisse Symmetrie auf, so weist auch ihre konjugiert komplexe Funkˆ tion f ∗ (t) diese Symmetrie auf. Ebenso besitzt dann die Fouriertransformierte f(ω) eine gewisse Symmetrie. Dabei gilt (siehe dazu auch Abb. 2.5): Funktion f (t) gerade ungerade reell imaginär hermitisch antihermitisch

ˆ Fouriertransformierte f(ω) gerade ungerade hermitisch antihermitisch reell imaginär

Selbstverständlich gilt analog: ˆ Weist eine Funktion f(ω) eine gewisse Symmetrie auf, so besitzt auch ihre konjugiert komplexe Funk∗ ˆ tion f (ω) diese Symmetrie. In Abbildung 2.5 sind diese Symmetrieeigenschaften von Funktionen und deren Fouriertransformierten dargestellt.

2.2.5 Alternative Darstellung der Fouriertransformation Die Fouriertransformierte einer reellen Funktion f (t) ist hermitisch, d.h. fˆ(ω) = fˆ∗ (−ω). Daraus folgt, daß das Integral (2.23) darstellbar ist als Integral nur u¨ ber positive Frequenzen:   ∞  1 Z ˆ (2.26) f(ω) eiωt dω f (t) = Re  π 0

Dieses Integral akzeptiert auch komplexe Werte für t mit nicht-negativem Imaginärteil.

14


f(u)

f(v)

reell, gerade

reell, gerade

reell, ungerade

imaginaer, ungerade

imaginaer, gerade

imaginaer, gerade

imaginaer, ungerade

reell, ungerade

gerade

gerade

ungerade

ungerade

reell (nach rechts verschoben)

hermitisch

imaginaer (nach rechts verschoben)

antihermitisch

Abbildung 2.5: Symmetrieeigenschaften von Funktionen (linke Spalte) und ihren entsprechenden Fouriertransformierten (rechte Spalte).

15


2.2.6 Einfache Theoreme Im folgenden werden einige einfache Theoreme aufgeführt, die alle aus den Gleichungen (2.22) und (2.23) hergeleitet werden können. Es wird davon ausgegangen, daß für alle angeführten Funktionen ˆ auch tatsächlich Fourierintegrale existieren. Es gelte ferner stets f (t) ◦−• f(ω) und g(t) ◦−• gˆ(ω). 1. Linearität, Additionstheorem (a, b = const) (Abb. 2.6): afˆ1 (ω) + bfˆ2 (ω)

◦−•

af1 (t) + bf2 (t)

(2.27)

2. Symmetrie: ˆ f(t)

◦−•

2π f (−ω)

(2.28)

¨ 3. Ahnlichkeitstheorem - time scaling (a = const) (Abb. 2.7 und 2.8): f (at)

1 ˆ ω f |a| a

◦−•

(2.29)

4. Verschiebungstheorem - time shifting (τ = const) (Abb. 2.9): f (t − τ )

e−iωτ fˆ(ω)

◦−•

(2.30)

5. Verschiebungstheorem - frequency shifting (Ω = const): eiΩt f (t)

ˆ − Ω) f(ω

◦−•

(2.31)

6. Modulationstheorem (Ω = const) (Abb. 2.10): 1ˆ 1ˆ f(ω − Ω) + f(ω + Ω) 2 2

◦−•

f (t) cos Ωt

(2.32)

7. Differentiationstheorem - time differentiation (Abb. 2.11): dn f (t) dtn

ˆ (iω)n f(ω)

◦−•

(2.33)

8. Differentiationstheorem - frequency differentiation: (−it)n f (t)

◦−•

ˆ dn f(ω) dω n

(2.34)

9. Konjugiert komplexe Funktion: f ∗ (t)

◦−•

fˆ∗ (−ω)

(2.35)

10. Momententheorem (n = 1, 2, 3, . . .): (−i)

n

Z∞

tn f (t) dt

−∞

16

◦−•

ˆ dn f(0) dω n

(2.36)


11. Konvolutionstheorem - time convolution (Abb. 2.15): f (t) ∗ g(t)

◦−•

ˆ f(ω) · gˆ(ω)

(2.37)

1 ˆ f(ω) ∗ gˆ(ω) 2π

(2.38)

12. Konvolutionstheorem - frequency convolution: f (t) · g(t)

◦−•

Die Faltung oder Konvolution wurde bisher noch nicht eingeführt, wir werden das in Abschnitt 2.3 nachholen. Die Theoreme seien hier aber der Vollständigkeit wegen mit aufgeführt. 13. Parseval’sches Theorem (Energiespektrum) (Abb. 2.12): Z∞

−∞

1 |f (t)| dt = 2π 2

Z∞

−∞

2 ˆ |f(ω)| dω

(2.39)

Nach dem letzten Theorem ist die Energie von f (t) proportional dem Integral u¨ ber das Absolutquadrat ˆ des komplexen Spektrums f(ω). Man bezeichnet die Größe |fˆ(ω)|2 deshalb als spektrale Energiedichte der Funktion f (t).

Auf den nun folgenden Seiten werden einige der Theoreme durch Abbildungen verdeutlicht.

f(t)

f(w)

g(t)

g(w)

f(t)+g(t)

f(w)+g(w)

Abbildung 2.6: Zum Additionstheorem. Man beachte: Wenn es sich nicht um rein relle gerade Funktionen handelt, muß eine Vektoraddition durchgeführt werden!

17


¨ Abbildung 2.7: Zum Ahnlichkeitstheorem: Effekte bei verschiedener Skalierung. Die graue Fläche bleibt stets konstant.

¨ Abbildung 2.8: Das Ahnlichkeitstheorem am Beispiel der Cosinusfunktion. Links: Cosinusfunktionen, rechts: Spektren der Cosinusfunktionen. 18


Abbildung 2.9: Zum Verschiebungstheorem.

19


Abbildung 2.10: Zum Modulationstheorem. Eine Hüllfunktion f (t) wird mit Cosinusfunktionen verschiedener Frequenzen multipliziert (linke Spalte). Rechts sieht man die zugehörigen Spektren.

exp(-pi t^2)

exp(-pi w^2)

t d/dt(exp(-pi t^2))

i 2pi w exp(-pi w^2)

t

Abbildung 2.11: Zum Differentiationstheorem.

20


t

t

Abbildung 2.12: Zum Parseval’schen Theorem.

2.3 Die Faltung (Konvolution) Die Faltung (Konvolution) zweier Funktionen f (t) und g(t) ist definiert als f (t) ∗ g(t) =

Z∞

−∞

0

0

0

f (t )g(t − t ) dt =

Z∞

−∞

f (t − t0 )g(t0 ) dt0 .

(2.40)

Die Faltung ist • kommutativ, d.h. f (t) ∗ g(t) = g(t) ∗ f (t), • assoziativ, d.h. f (t) ∗ [g(t) ∗ h(t)] = [f (t) ∗ g(t)] ∗ h(t), und • distributiv bezüglich der Addition, d.h. f (t) ∗ [g(t) + h(t)] = f (t) ∗ g(t) + f (t) ∗ h(t). Die einzelnen Schritte bei der Berechnung einer Faltung werden in Abb. 2.13 verdeutlicht. Die Faltung kann zur Glättung einer Funktion eingesetzt werden (siehe Abb. 2.14). Zwei spezielle Faltungen spielen in den Anwendungen eine besondere Rolle: 1. Die Faltung einer Funktion f (t) mit der Dirac’schen Deltafunktion: f (t) ∗ δ(t) = f (t)

f (t) ∗ δ(t − τ ) = f (t − τ )

bzw.

(2.41)

Die Faltung einer Funktion mit δ(t − τ ) entspricht also einer Verschiebung der Funktion um τ . 2. Die Faltung einer Funktion f (t) mit der Heaviside-Funktion: Die Heaviside-Funktion ist definiert als ( 0 für t < 0 h(t) = . 1 für t > 0 Als Resultat der Faltung ergibt sich f (t) ∗ h(t) =

Z

f (t) dt ,

d.h. die Heaviside-Funktion fungiert als Integraloperator.

21

(2.42)

(2.43)


Abbildung 2.13: Die einzelnen Schritte bei der Konvolution.

Abbildung 2.14: Zum Glättungseffekt der Konvolution. 22


Wie bereits erwähnt, entspricht der Faltung zweier Funktionen im Zeitbereich eine Multiplikation der entsprechenden Fouriertransformierten im Frequenzbereich und, bis auf einen Vorfaktor, vice versa. Dies wird in untenstehender Abbildung nochmals verdeutlicht. Bemerkung: Alle Rechenregeln für die Faltung im Zeitbereich gelten analog im Frequenzbereich, wenn t durch ω, t0 durch ω 0 und dt0 durch dω 0 ersetzt wird.

Abbildung 2.15: Zum Konvolutionstheorem.

23


2.3.1 Die Autokorrelation Die Autokorrelation entspricht einer Faltung von f (−t) mit g(t) = f ∗ (t): f (−t) ∗ f ∗ (t) =

Z∞

−∞

f (t0 )f ∗ (t0 − t) dt0 =

Z∞

f (t + t0 )f ∗ (t0 ) dt0

(2.44)

gˆ(ω) = fˆ(ω) · fˆ∗ (ω) = |fˆ(ω)|2 ,

(2.45)

−∞

Für die Fouriertransformierte einer Autokorrelationsfunktion gilt g(t) = f (t) ∗ f ∗ (−t)

◦−•

d.h. die Bildung einer Autokorrelation im Zeitbereich führt zu einer Quadrierung des Spektrums (Autokorrelationstheorem). Alle Funktionen, die die gleiche Autokorrelation haben, unterscheiden sich nur in den Phasenspektren. Die Amplitudenspektren sind gleich. In Abbildung 2.16 ist der Effekt der Autokorrelation dargestellt.

Abbildung 2.16: Zum Autokorrelationstheorem.

2.3.2 Die Kreuzkorrelation Die Kreukorrelation entspricht einer Faltung von f (−t) mit g(t). Der einzige Unterschied bei der Berechnung im Vergleich zur Faltung selbst besteht darin, daß die Funktion g nicht gespiegelt wird. Es gilt: Z∞ f (t0 )g(t + t0 ) dt0 ◦−• fˆ(ω)∗ · gˆ(ω) (2.46) f (−t) ∗ g(t) = −∞

Man beachte, daß die Kreuzkorrelation nicht kommutativ ist! Mit Hilfe der Kreuzkorrelation können z.B. Einsatzzeiten in einem Seismogramm bestimmt werden. Ein graphischer Vergleich zwischen Konvolution und Korrelation zeigt Abbildung 2.17 auf der nächsten Seite. 24


Abbildung 2.17: Vergleich zwischen Konvolution und Korrelation (oben). Anwendungsbeispiel für Korrelation/Autokorrelation (unten). 25


2.4 Kurze Einf ührung in Lineare Systeme Die Analyse der meisten physikalischen Systeme kann darauf reduziert werden, eine Beziehung zwischen einer Ursache und deren Auswirkung(en) zu finden. In diesem Sinne kann jedes System als eine Art “Wandler“ aufgefaßt werden, mit der Ursache f (t) als Eingangssignal und der Auswirkung g(t) als Ausgangssignal oder Antwort des Systems. Das System wird komplett beschrieben, wenn die Abhängigkeit des Ausgangssignals vom Eingangssignal bekannt ist, d.h. es muß sowohl der systembeschreibende Operator S als auch die Verknüpfung ◦ bekannt sein: g(t) = S ◦ f (t)

(2.47)

Ein System wird als linear bezeichnet, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist: Mit g1 (t) als Ausgangssignal zum Input f1 (t) und g2 (t) als Ausgangssignal zum Input f2 (t) und zwei beliebigen Konstanten a 1 und a2 läßt sich das Ausgangssignal zum Input a1 f1 (t) + a2 f2 (t) schreiben als a1 g1 (t) + a2 g2 (t). Lineare Systeme haben zusätzlich folgende Eigenschaften: • Stabilität, d.h. die Antwort auf ein begrenztes Eingangssignal |f (t)| < M < ∞ ist ebenfalls begrenzt mit |g(t)| < M · I, wobei I < ∞ eine vom Eingangssignal unabhängige Konstante ist. • Kausalität, d.h. bei einem Eingangssignal f (t) = 0 für t < t 1 (kausal) ist auch das Ausgangssignal g(t) = 0 für t < t1 . • Die Antwort g(t) auf ein beliebiges Eingangssignal f (t) kann bei bekannter Antwort G(t) des Systems auf einen Normimpuls, mathematisch beschrieben durch die Dirac’sche Deltafunktion δ(t), geschrieben werden als g(t) = G(t) ∗ f (t) =

Z∞

−∞

G(t0 )f (t − t0 ) dt0 .

(2.48)

G(t) wird als Green’sche Funktion des Systems, Impulsantwort des Systems oder Systemantwort bezeichnet. Bei linearen Systemen ist also der systembeschreibende Operator die Impulsantwort und die Verknüpfung entspricht einer Faltung. Lineare Systeme spielen insbesondere in der Filtertheorie eine entscheidende Rolle. Der Ausdruck “Filter“ wird benutzt, um ein Lineares System zu beschreiben, dessen Amplitudencharakteristik A(ω) in gewissen Frequenzbereichen (nahezu) verschwindet bzw. vernachlässigt werden kann. Ist z.B. A(ω) verschwindend klein für ω > ωc , dann wird das System Tiefpaßfilter und ω c cutoff frequency genannt.

26


2.5 Mehrdimensionale Fouriertransformation 2.5.1 2D-Fouriertransformation Das 2D-Fourierintegralpaar ist gegeben durch die Gleichungen ˆ v) = f(u,

Z∞ Z∞

f (x, y) e−i(ux+vy) dx dy

(2.49)

−∞ −∞

und 1 f (x, y) = 2 4π

Z∞ Z∞

ˆ v) ei(ux+vy) du dv . f(u,

(2.50)

−∞ −∞

Einige Eigenschaften von 2D-Fouriertransformationen: • Linearität, Additionstheorem (a, b = const): ◦−•

af1 (x, y) + bf2 (x, y) ¨ • Ahnlichkeitstheorem (a, b = const): f (ax, by)

afˆ1 (u, v) + bfˆ2 (u, v)

(2.51)

◦−•

1 ˆ u v f , |ab| a b

◦−•

ˆ v) e−i(ua−vb) f(u,

(2.53)

1ˆ 1ˆ f(u − a, v) + f(u + a, v) 2 2

(2.54)

(2.52)

• Verschiebungstheorem (a, b = const): f (x − a, y − b) • Modulationstheorem (a = const): f (x, y) cos ax

◦−•

• Konvolutionstheorem: f (x, y) ∗∗ g(x, y)

◦−•

ˆ v) · gˆ(u, v) f(u,

(2.55)

ˆ v)|2 |f(u,

(2.56)

• Autokorrelationstheorem: f (x, y) ∗∗ f ∗ (−x, −y)

◦−•

• Parseval’sches Theorem: Z∞ Z∞

−∞ −∞

2

|f (x, y)| dx dy

◦−•

• Differentiationstheorem: m n ∂ ∂ f (x, y) ∂xm ∂y n

27

1 4π 2

◦−•

Z∞ Z∞

−∞ −∞

|fˆ(u, v)|2 du dv

ˆ v) (iu)m (iv)n f(u,

(2.57)

(2.58)


0.5

cos(Pi x)

x

y

2

(u-0.5,v)+

v

2

(u+0.5,v)

u

cos[2Pi(xcos +ysin )] x

2

v

u

(x,y)

y

v

x

u

exp[-Pi(u2 +v 2)]

exp[-Pi(x2+y2)]

y

v

x

u

Abbildung 2.18: Zweidimensionale Fouriertransformationen.

2.5.2 Hankeltransformation Die Hankeltransformation beschreibt die 2D-Fouriertransformation radialsymmetrischer Funktionen. Radialsymmetrische Funktionen sind Funktionen, die in Polarkoordinaten nur vom Abstand ρ zum Ursprung, nicht jedoch von der Winkelkoordinate ϕ abhängen.

ˆ = 2π f(q)

Z∞

f (ρ) J0 (ρq) ρ dρ

(2.59)

0

1 f (ρ) = 2π

Z∞

ˆ J0 (ρq) q dq f(q)

0

28

(2.60)


Die Funktion J0 (ρq) ist die Besselfunktion nullter Ordnung, definiert durch 1 J0 (ρq) = 2π

Z2π

e−iρq

cos ϕ

dϕ .

(2.61)

0

Die Besselfunktion ν−ter Ordnung ist allgemein definiert durch Jν (z) =

∞ X (−1)n ( 21 z)ν+2n , n! Γ(ν + n + 1) n=0

(2.62)

wobei Γ(z) die Gamma-Funktion Γ(z) =

Z∞

e−t tz−1 dt ,

Re{z} > 0

0

ist. J (x) n

1.0

n=0 n=1

n=2

n=3

0 x

0

2

4

6

8

10

12

14

Abbildung 2.19: Besselfunktionen bis zur dritten Ordnung.

29

(2.63)


2.5.3 3D-Fouriertransformation Das 3D-Fourierintegralpaar ist gegeben durch fˆ(u, v, w) =

Z∞ Z∞ Z∞

f (x, y, z) e−i(ux+vy+wz) dx dy dz ,

(2.64)

−∞ −∞ −∞

1 f (x, y, z) = 3 8π

Z∞ Z∞ Z∞

ˆ v, w) ei(ux+vy+wz) du dv dz . f(u,

(2.65)

−∞ −∞ −∞

2.6 Spektralanalyse diskreter Funktionen Geophysikalische Vorgänge, wie z.B. die Ausbreitung seismischer Wellen, laufen zeitlich und räumlich kontinuierlich ab. Bei der Registrierung, spätestens jedoch bei der Bearbeitung, werden die kontinuierlichen Meßgrößen aber durch Abtasten diskretisiert und so in eine Form gebracht, die die weitere Bearbeitung mittels Digitalrechner und die Anwendung digitaler Rechenverfahren ermöglicht. Viele Meßinstrumente registrieren bereits digital, d.h. sie liefern direkt die Zeitreihe u¨ ber einen angeschlossenen Analog-Digital-Wandler. Bei der zeitlichen Diskretisierung wird das Signal nur durch seine Werte in bestimmten fixierten Zeitpunkten dargestellt. Aufgrund der technisch und rechnerisch einfacheren Handhabung hat sich die a¨ quidistante Abtastung durchgesetzt. Dabei wird der Stützstellenabstand durch den Frequenzgehalt des Signals bestimmt, das als frequenzbandbegrenzt mit der oberen Grenzfrequenz fmax angenommen wird.

2.6.1 Abtasttheorem und Aliasing-Effekte Von zentraler Bedeutung für die diskrete Erfassung kontinuierlicher Funktionen ist die Frage nach dem Stützstellenabstand ∆t. Ist der Stützstellenabstand gemessen an der oberen Grenzfrequenz zu klein gewählt, dann ergibt sich eine Datenfolge hoher Redundanz und damit ein unnötiges Anwachsen der insgesamt zu verarbeitenden Datenmenge. Demgegenüber kann ein zu großer Stützstellenabstand den Frequenzgehalt nicht richtig erfassen. Falsches Abtasten führt dabei stets zu einem scheinbar niederfrequenteren Signal.

Abbildung 2.20: Zum Aliasing-Effekt: Vortäuschung einer niedrigeren Frequenz durch die Wahl eines zu großen Stützstellenabstandes. Das vorgegebene Signal besitzt die Frequenz f = 4 Hz. Bei einer Abtsatung mit ∆t = 0.2 s wird eine 1-Hz-Schwingung vorgetäuscht.

30


Für eine diskrete Zeitreihe x[j · ∆t], j = −∞, . . . , ∞ wird die kürzere Schreibweise x j gewählt. Die Reihe xj kann als kontinuierliche Funktion x s (t) verstanden werden, die nur an den abgetasteten Stellen die Funktionswerte von x(t) annimmt und sonst Null ist. Somit läßt sich x s (t) als Produkt der Funktion x(t) mit der Delta-Kammfunktion darstellen: xs (t) = x(t) ·

∞ X

j=−∞

δ(t − j · ∆t)

(2.66)

Abbildung 2.21: Zur Diskretisierung: a) kontinuierliche Funktion x(t); b) Delta-Kammfunktion; c) Produkt der kontinuierlichen Funktion mit der Delta-Kammfunktion Unter Benutzung des Faltungstheorems und der Beziehung f = x ˆs (f ) =

ω 2π

folgt für das Spektrum von xs (t)

∞ n 1 X x ˆ f− . ∆t n=−∞ ∆t 1 ∆t

und hängt von der Wahl von ∆t ab. Unter

1 2∆t

(2.68)

Das Spektrum x ˆs (f ) ist periodisch mit der Periode Einführung der sog. Nyquist-Frequenz fN y =

(2.67)

läßt sich Gleichung (2.67) darstellen als ( ) ∞ h i X 1 x ˆ(f ) + x ˆs (f ) = x ˆ(f − 2nfN y ) + x ˆ(f + 2nfN y ) , ∆t

(2.69)

n=1

1 d.h. zum abgeschätzten Spektralwert an der Stelle f = f 0 ≤ 2∆t tragen die Spektralwerte an den Stellen f0 ±2nfN y , n = 1, 2, 3, . . . bei. Um Spektralverfälschungen zu vermeiden, muß ∆t so gewählt

31


werden, daß die größte in x(t) vorkommende Frequenz f max kleiner als die sich ergebende NyquistFrequenz ist: 1 ∆t < (2.70) 2fmax Der Summenterm in Gleichung (2.69) liefert dann für das Intervall (−f N y , fN y ) keinen Beitrag, und für dieses Intervall ist x ˆ s (f ) = x ˆ(f ). Außerhalb dieses Grundintervalls ist x ˆ s (f ) dann eine periodische Wiederholung von x ˆ(f ). Hat man dagegen ∆t nicht hinreichend klein gewählt, so daß x ˆ(f ) 6= 0 1 für |f | > 2∆t ist, dann treten Spektralanteile oberhalb der Nyquist-Frequenz als Störung im Intervall 1 1 − 2∆t ≤ f ≤ 2∆t auf und verfälschen das tatsächliche Spektrum. Dieser Effekt wird als Aliasing bezeichnet. Gleichung (2.70) wird als Abtasttheorem (sampling theorem) bezeichnet und sagt aus, daß eine Abtastung mit wenigstens zwei Stützwerten pro Wellenlänge erfolgen muß.

2.6.2 Die Fouriertransformation diskreter Funktionen (DFT) Die Funktion x(t), 0 ≤ t ≤ T mit der Fouriertransformierten x ˆ(f ) werde an N a¨ quidistanten Stützstellen t = j · ∆t, j = 0, 1, . . . , N − 1 diskretisiert. Die diskrete Fouriertransformierte ist dann gegeben durch N −1 X nj (2.71) xj e−i2π N , n = 0, 1, . . . N − 1 . x ˆn = j=0

Die inverse diskrete Fouriertransformation lautet xj =

N −1 nj 1 X x ˆn ei2π N , N n=0

j = 0, 1, . . . N − 1 .

(2.72)

2.6.3 Die schnelle Fouriertransformation (FFT) Die FFT (fast fourier transform) ist ein spezieller Algorithmus zur Auswertung der diskreten Fouriertransformation (DFT) und liefert dasselbe Resultat. Man macht sich zur Berechnung der in den Gleichungen (2.71) und (2.72) auftretenden Summen die Symmetrieeigenschaften der trigonometrischen Funktionen zu Nutzen. Die Anzahl der Rechenoperationen ist dabei deutlich reduziert. Als Voraussetzung muß jedoch die Anzahl N der Stützstellen folgende Beziehung erfüllen: N = 2γ ,

γ∈N

(2.73)

Sind bei der diskreten Fouriertransformation N 2 komplexe Multiplikationen und N (N − 1) komplexe Additionen durchzuführen, so reduziert sich der Arbeitsaufwand bei der FFT auf N γ2 komplexe Multiplikationen und N γ komplexe Additionen. Die Rechenzeit am Computer hängt hauptsächlich von Multiplikationsoperationen ab, so daß sich die Rechenzeitersparnis leicht aus der Formel N2 FFT 2N = γ = DFT N2 γ

(2.74)

abschätzen läßt. So ergibt sich z.B. für N = 2 10 , daß die FFT rund 200 Mal schneller als die DFT ist. 32


2.6.4 Zweidimensionale diskrete Fouriertransformation Für die zweidimensionale diskrete Fouriertransformation gilt analog zu den Gleichungen (2.71) und (2.72): x ˆjl =

N −1 M −1 X X

nj

ml

xnm e−i2π( N + M ) ,

n=0 m=0

j = 0, . . . , N − 1; l = 0, . . . , M − 1

(2.75)

n = 0, . . . , N − 1; m = 0, . . . , M − 1 .

(2.76)

und xnm

N −1 M −1 nj ml 1 X X x ˆjl ei2π( N + M ) , = NM j=0 l=0

2.6.5 Theoreme der diskreten Fouriertransformation Die Theoreme (2.27) bis (2.39) gelten entsprechend modifiziert auch für die diskrete Fouriertransformation. Die Faltung zweier diskreter Funktionen f n und gn ist dabei wie folgt definiert: fn ∗ g n =

∞ X

fk gn−k =

∞ X

fn−k gk

(2.77)

k=−∞

k=−∞

Im zweidimensionalen Fall gilt: fmn ∗∗ gmn =

∞ X

∞ X

fkl g(m−k)(n−l) =

∞ X

∞ X

f(m−k)(n−l) gkl

(2.78)

k=−∞ l=−∞

k=−∞ l=−∞

2.6.6 Die z-Transformation Für die numerische Bearbeitung diskreter Zeitreihen wird die z-Transformation eingeführt. Sie besitzt die wichtige Eigenschaft, daß mit ihr für diskrete Zeitreihen vielfach ein analytischer Ausdruck in geschlossener Form angegeben werden kann. Darüber hinaus bietet die z-Transformation insbesondere zwei Vorteile: • Bestimmte mathematische Prozesse können damit bei diskreten Folgen unter Ausnutzung bestimmter Theoreme leichter durchgeführt werden. • Digitalfilter lassen sich anhand ihrer z-Transformierten gezielt entwerfen und klassifizieren. Die z-Transformierte der diskreten Folge x n wird als Funktion der komplexen Variablen z (z = u + iv) wie folgt definiert: Z{xn } = X(z) =

∞ X

xn z n

(2.79)

n=−∞

X(z) ist eine Potenzreihe in z. Aus der Sicht der Funktionentheorie entspricht die z-Transformierte der Laurent-Reihenentwicklung um z 0 = 0. Für rechtsseitige Zeitreihen, d.h. x n = 0 für n < 0, lautet die z-Transformierte Z{xn } = X(z) = 33

∞ X

n=0

xn z n .

(2.80)


Die einseitige z-Transformierte (2.80) ist eine Taylor-Reihe um z 0 = 0 (MacLaurin-Reihe). Die Taylorsche Reihe ist die zu f (z) gehörende Potenzreihe f (z) =

∞ X 1 (n) f (z0 )(z − z0 )n n!

(2.81)

n=0

mit der Bedingung, daß f (n) (z) in der Umgebung von z0 existiert, d.h. f (z) im Punkt z0 analytisch ist. Unter einer MacLaurinschen Reihe versteht man die Entwicklung einer Funktion in eine Taylorsche Reihe um z0 = 0. Besitzt die einseitige Zeitreihe x n nur endlich viele Stützstellen, dann ist die z-Transformierte das Polynom N X xn z n . (2.82) Z{xn } = X(z) = n=0

Die z-Transformierte der linksseitigen Folge x n (xn = 0 für n ≥ 0) lautet −1 X

X(z) =

n

xn z =

n=−∞

∞ X

n=1

x−n z −n .

(2.83)

Im allgemeinen konvergiert die z-Transformierte einer Folge x n nicht für alle z-Werte; vielmehr läßt sich für jede Folge ein Bereich angeben, für den die z-Transformierte konvergiert und in dem sie eine reguläre Funktion darstellt. Die z-Transformierte konvergiert für die z-Werte mit r = |z|, für die ∞ X

n=−∞

|xn r n | ≤ c < ∞

(2.84)

ist. Für Folgen endlicher Länge konvergiert die z-Transformierte X(z) =

n2 X

xn z n ,

(2.85)

n=n1

falls |xn | < ∞ für n1 ≤ n ≤ n2 . z kann alle Werte annehmen mit Ausnahme von z = ∞, falls n2 > 0 und z = 0, falls n1 < 0 ist. Rechtsseitige Folgen konvergieren im Inneren eines Kreises ¨ |z| < rmax mit der Ausnahme von z = 0, falls n1 < 0. Linksseitige Folgen konvergieren im Außeren eines Kreises |z| > rmin mit der Ausnahme von z = ∞, falls n2 > 0. Bei zweiseitigen Folgen X(z) =

∞ X

n

xn z =

n=−∞

−1 X

n=−∞

n

xn z +

∞ X

xn z n

(2.86)

n=0

ist die erste Summe der rechten Seite die z-Transformierte einer linksseitigen Folge, die für |z| > r min konvergiert; die zweite Folge in (2.86) ist rechtsseitig und konvergiert für |z| < r max . Falls rmin < rmax ist, so konvergiert die z-Transformierte der zweiseitigen Folge innerhalb des Ringgebietes, das durch rmin < |z| < rmax bestimmt wird.

2.6.7 Theoreme der z-Transformation Es sei X(z) = Z{xn } und Y (z) = Z{yn }. 34


1. Linearität (a, b = const): axn + byn

◦−•

aX(z) + bY (z)

(2.87)

xn+N

◦−•

z −N X(z)

(2.88)

◦−•

z N X(z)

(2.89)

◦−•

X(az)

(2.90)

d X(z) dz

(2.91)

2. Vorschub (N = const):

3. Verzögerung (N = const): xn−N 4. Multiplikation mit an (a = const): an xn 5. Multiplikation mit n: nxn

◦−•

z

6. Zeitliche Umkehr:

1 z

x−n

◦−•

X

xn ∗ y n

◦−•

X(z)Y (z)

7. Faltung:

(2.92)

(2.93)

2.6.8 Die inverse z-Transformation Ein einfacher Weg, um aus der z-Transformierten X(z) die zugeh¨ x n zu bestimmen, ist P∞ orige Folge n die Entwicklung von X(z) in eine Potenzreihe in z: X(z) = n=−∞ an z . Bei gegebenem Konvergenzbereich sind die auftretenden Koeffizienten a n eindeutig bestimmt und entsprechen der inversen z-Transformierten xn . Eine andere Möglichkeit zur Bestimmung der inversen z-Transformierten ergibt sich aus der Tatsache, daß die zweiseitige z-Transformierte eine Laurent-Reihe ist. Die Entwicklungskoeffizienten einer komplexen Funktion in eine solche Reihe sind gegeben durch I 1 X(z) xn = dz , n = 0, ±1, ±2, . . . (2.94) 2πi z n+1 C

Der geschlossene Integrationsweg C ist innerhalb des Konvergenzbereiches so zu legen, daß die in C liegenden Singularitäten des Integranden zX(z) n+1 im mathematisch positiven Umlaufsinn umschlossen werden. Dann kann das obige Integral mittels des Residuensatzes ausgewertet werden. Siehe dazu Kapitel 6.

2.7 Die Laplace-Transformation Die Konvergenz des Fourierintegrals versagt in einigen sehr wichtigen Fällen. Sie läßt sich jedoch erzwingen, indem man anstelle von x(t) die Funktion x(t) e −αt transformiert. Dieser Ansatz führt 35


auf die Laplace-Transformation, durch die eine komplexwertige Funktion x(t) der reellen Variablen t mittels Z∞ X(p) = x(t) e−pt dt (2.95) 0

in eine Funktion der komplexen Variablen p transformiert wird, deren imaginärer Teil die Kreisfrequenz ω ist: p = α+iω. Im Vergleich zur Fourier-Transformation ist e −αt ein die Konvergenz erzwingender Faktor. In Gleichung (2.95) wird zugrunde gelegt, daß x(t) = 0 ist für t < 0 (Kausalität). Die eingeführte Laplace-Transformation ist eine Funktion der komplexen Variablen p und existiert nur für Re{p} = α > αmin , d.h. in dem Teil der p-Ebene, der rechts der Konvergenzabszisse α min liegt. Dabei ist die Konvergenzabszisse α min so definiert, daß für jede Konstante α > α min der Grenzwert von x(t) e−αt für t → ∞ verschwindet. Für p-Werte links der Konvergenzhalbebene hat Gleichung (2.95) keinen Sinn. Vergleicht man die Laplace-Transformierte einer kausalen Zeitfunktion x(t) mit der Fourier-Transformierten derselben Funktion, so scheinen beide für p = iω identisch zu sein. Dies gilt nur dann, wenn die imaginäre Achse innerhalb des Konvergenzbereiches liegt. Ist α min > 0, dann liegt die imaginäre Achse in jenem Bereich der p-Ebene, für den die Laplace-Transformierte nicht existiert. Eine Fourier-Transformierte gibt es in diesem Fall nicht. Mit funktionentheoretischen Methoden läßt sich die Umkehrungsformel zu Gleichung (2.95) gewinnen, die es gestattet, die Originalfunktion x(t) zu berechnen, wenn ihre Transformierte X(p) bekannt ist: C+i∞ Z 1 X(p) ept dp (2.96) x(t) = 2πi C−i∞

Der Integrationsweg ist längs einer Parallelen zur imaginären Achse der p-Ebene zu führen, derart, daß alle Singularitäten der Funktion X(p) links des Integrationsweges liegen, d.h. links der Geraden Re{p} = C. Die Laplace-Transformation ist zwar weniger anschaulich als die Fourier-Transformation, sie bietet aber den Vorteil, daß mit ihr oft eleganter und einfacher gerechnet werden kann.

2.7.1 Theoreme der Laplace-Transformation X(p) sei die Laplace-Transformierte von x(t), Y (p) die Laplace-Transformierte von y(t). 1. Linearität, Additionstheorem (a, b = const): ax(t) + by(t)

◦−•

aX(p) + bY (p)

(2.97)

x(t) ∗ y(t)

◦−•

X(p) · Y (p)

(2.98)

X(p) p

(2.99)

2. Konvolutionstheorem:

3. Integrationstheorem:

Z

t

x(t0 ) dt0

0

◦−•

4. Verschiebungstheorem (τ = const): x(t − τ )

◦−• 36

e−τ p X(p)

(2.100)

KAPITEL 2. SPEKTRALANALYSE ¨ 5. Ahnlichkeitstheorem (a = const > 0): p 1 X a a

◦−•

x(at)

(2.101)

6. Dämpfungstheorem (a = const): e−at x(t)

◦−•

X(p + a)

7. Multiplikationstheorem: tn x(t)

(−1)n

◦−•

(2.102)

dn X(p) dpn

(2.103)

8. Divisionstheorem (gültig, falls 1t x(t) transformierbar ist): 1 x(t) t

◦−•

Z∞

X(s) ds

(2.104)

p

9. Differentiationstheorem: dn x(t) dtn (ν)

◦−•

wobei x0 = limt→0+

(0)

(n−2)

pn X(p) − pn−1 x0 − . . . − px0

dν x(t) dtν

(n−1)

− x0

,

(2.105)

ist.

Das letzte Theorem ist eine der wesentlichen Grundlagen für die Anwendung der LaplaceTransformation auf Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen.

2.8 Fenster- und Gewichtsfunktionen In der geophysikalischen Praxis spielen zeitlich begrenzte Beobachtungen eine dominierende Rolle. Im folgenden werden daher die Auswirkungen der Beschränkung auf endliche Intervallängen für determinierte nichtperiodische unbegrenzte Vorgänge dargestellt. Die Beschränkung auf ein zeitlich begrenztes Intervall der Länge T bedeutet anschaulich eine Multiplikation des zeitlich nichtbegrenzten Signals s(t), −∞ < t < ∞, mit der Rechteckfunktion (boxcar function) ( 1 für |t| ≤ T2 wR (t) = , (2.106) 0 für |t| > T2 das heißt sT (t) = s(t) · wR (t) .

(2.107)

Nach dem Faltungstheorem entspricht dieser Gleichung im Frequenzbereich das Faltungsintegral ST (f ) =

Z∞

−∞

S(g)WR (f − g) dg , 37

(2.108)


wobei ST (f ), S(f ) und WR (f ) die Fourier-Transformierten von s T (t), s(t) und wR (t) sind. WR (f ) läßt sich leicht berechnen und ergibt sich zu sin πf T . πf T

WR (f ) = T

(2.109)

Für kleines T gibt ST (f ) im allgemeinen ein stark verwaschenes Bild des tatsächlichen Spektrums S(f ), da dann das Spektralfenster W R (f ) relativ breit ist, und daher Spektralwerte, die weit entfernt von einem bestimmten f0 sind, noch zu ST (f0 ) beitragen. Diesen Effekt nennt man leakage (“Durchsickern“). Mit wachsendem T wird die Schätzung des Spektralwertes besser, und für T → ∞ strebt WR (f ) gegen den Dirac’schen Deltaimpuls und S T (f0 ) stimmt mit S(f0 ) u¨ berein. Die aus einem begrenzten Intervall berechneten Spektren ergeben also nicht das wahre Spektrum, sondern sind lediglich eine Schätzung des Faltungsintegrals (2.108). Die zeitliche Begrenzung der zu analysierenden Funktion hat zur Folge, daß man das wahre Spektrum wie durch einen breiten Spalt sieht. Durch diese Glättung sind benachbarte Spektralanteile schlechter voneinander zu trennen. Darüber hinaus können nichtexistierende Spektralanteile vorgetäuscht werden. Siehe dazu Abbildung 2.22 auf der nächsten Seite.

2.8.1 Gegen überstellung verschiedener Gewichtsfunktionen Das spektrale Auflösungsvermögen und das Vortäuschen nichtrealer Spektralanteile hängen sowohl von der Fensterbreite als auch von der Form des benutzten Fensters ab. Vor allem bewirken Diskontinuitäten am Anfang und Ende der gewählten Gewichtsfunktion hohe Nebenmaxima im Spektrum. Es ist daher vorteilhaft, anstelle der Rechteck-Gewichtsfunktion andere Fenster zu benutzen, deren Spektren ein möglichst scharfes Hauptmaximum bei stark reduzierten Nebenmaxima besitzen. Das sind jedoch zwei konträre Forderungen, zwischen denen lediglich Kompromißlösungen möglich sind. Im Prinzip existiert eine Vielzahl möglicher Kriterien zur Bestimmung geeigneter Gewichtsfunktionen. So sind z.B. die Minimierung der effektiven Signaldauer (Berkhout, 1973) oder auch die Minimierung der Nebenmaxima (Chebychev) sinnvolle Ansätze. Andere Kriterien basieren auf Fehler und/oder Varianz der Spektralschätzung (Papoulis, 1973). Von der Vielzahl der möglichen Gewichtsfunktionen werden vier Gewichtsfunktionen, die sich als zweckmäßig erwiesen haben, gegenübergestellt: 1. Rechteck-Gewichtsfunktion: ( wR (t) =

1, 0,

|t| ≤ M |t| > M

◦−•

2. Bartlett- oder Dreieck-Gewichtsfunktion: ( |t| 1− M , |t| ≤ M wB (t) = ◦−• 0, |t| > M

WR (f ) = 2M

WB (f ) = M

sin 2πf M 2πf M

sin πf M πf M

2

(2.110)

(2.111)

3. Tukey- oder Hanning-Gewichtsfunktion: wT (t) =

(

1 2

0,

πt 1 + cos M ,

|t| ≤ M |t| > M

◦−• WT (f ) = M 38

1 sin 2πf M (2.112) 2πf M 1 − (2πf M )2


Abbildung 2.22: Gegenüberstellung der Spektren einer unendlich langen und einer zeitlich begrenzten monochromatischen Cosinusfunktion. a) zeitlich nicht begrenzte Cosinusfunktion der Frequenz f 0 = 50Hz, b) Spektrum der Funktion aus (a), c) zeitlich begrenzte Cosinusfunktion der Länge 0.2s, d) Spektrum der Funktion aus (c).

4. Parzen-Gewichtsfunktion:

wP (t) =

   1 − 6

2 1−    0,

t 2 + M 3 |t| M ,

6

|t| M

3

,

|t| ≤ M 2

M 2

< |t| ≤ M |t| > M 39

◦−•

3 WP (f ) = M 4

sin πf M 2 πf M 2

!4

(2.113)


Abbildung 2.23: Verschiedene Gewichtsfunktionen a) und ihre Spektren b). Bei gleicher Fensterlänge besitzt das Rechteckfenster das größte und die Parzenfunktion das geringste Auflösungsvermögen

Die Gewichtsfunktionen sind reelle, gerade Funktionen, w(t) = w(−t), für die das Phasenspektrum Null bzw. 180◦ ist. Da die Spektren der Bartlett- und Parzengewichtsfunktion stets positiv sind, ermöglichen diese Gewichtsfunktionen phasentreue Spektralbestimmungen, dagegen kann die Anwendung der Rechteck- oder Tukey-Gewichtsfunktion zu Phasenumkehrungen führen. Das Spektrum der Rechteckgewichtsfunktion besitzt das schärfste Hauptmaximum, aber auch die größten Nebenmaxima. Die Spektralfenster der Rechteck-, Bartlett- und Parzengewichtsfunktion sind von der Form

W (f ) =

sin 2πf M n 2πf

M n

!n

,

n = 1, 2, 4 ; M =

T . 2

(2.114)

Wachsendes n bedeutet Abnahme der Höhe der Nebenmaxima, aber gleichzeitig Verbreiterung des n Hauptmaximums, da die erste Nullstelle bei f = 2M liegt. Den Effekt der unterschiedlichen Fensterbreite und der Fenstergestalt zeigt Abbildung 2.24. 40


Abbildung 2.24: Der Einfluß von Länge und Gestalt der Gewichtsfunktion (links) auf das berechnete Signalspektrum (rechts). a) vorgegebenes Spektrum einer Zeitfunktion, bestehend aus zwei periodischen Anteilen der Frequenz 1Hz und 2Hz, d.h. ∆f = 1Hz, b) Spektrum bei Anwendung des Recht1 eckfensters der Länge T = ∆f , c) wie (b), jedoch doppelte Fensterlänge, d) und e) Spektren bei der Anwendung der Tukey- und Parzengewichtsfunktion, Fensterlänge wie bei (c).

41

Kapitel 3

Reelle und analytische Signale 3.1 Definition des Hauptwertintegrals Rb Die Integration a f (t) dt ist unter der Bedingung definiert, daß die Funktion f (t) beschränkt und das Integrationsintervall endlich ist. Die Motivation zur Einführung des Hauptwertintegrals besteht in der Erweiterung der Integraldefinition auf unbeschränkte Funktionen f (t) und unbeschränkte Grenzen a und b. Man spricht in diesen Fällen von uneigentlichen Integralen. 1. Unbeschränkte Funktion: f (t) sei in der Umgebung des inneren Punktes c im Intervall (a, b) unbeschränkt. Dann ist laut Definition c− Zb Z 1 Zb f (t) dt = lim f (t) dt + lim f (t) dt , (3.1) 1 →0+

a

2 →0+ c+2

a

falls die Integrale der rechten Seite von Gleichung (3.1) existieren. Die beiden Grenzwerte sind einzeln zu berechnen, d.h. 1 und 2 gehen unabhängig voneinander gegen Null. Bildet man dagegen   c− Zb  Z f (t) dt , (3.2) lim f (t) dt + →0+   c+

a

so nennt man den Grenzwert, falls er existiert, den Cauchyschen Hauptwert des Integrals und bezeichnet das Integral mit

V.p.

Zb

f (t) dt

oder

PV

a

Zb

f (t) dt

oder

a

2. Unbeschränkte R ∞Grenzen: Das Integral −∞ f (t) dt bedeutet eigentlich lim

lim

f (t) dt .

(3.3)

a

Za2

a1 →∞ a2 →∞ −a1

43

P

Zb

f (t) dt ,

(3.4)

KAPITEL 3. REELLE UND ANALYTISCHE SIGNALE

d.h. a1 und a2 streben unabhängig voneinander gegen ∞. Der spezielle Grenzwert lim

Za

a→∞ −a

f (t) dt

(3.5)

heißt, falls er existiert, Hauptwert des Integrals. Die Bezeichnung erfolgt wie unter 1. Anstelle der Bezeichnung Hauptwertintegral findet man auch die Namen Cauchyscher Hauptwert, Hauptwert des Integrals oder auch einfach Hauptwert. Oft wird bei uneigentlichen Integralen ohne eine besondere Kennzeichnung vorausgesetzt, daß es sich um den Hauptwert des Integrals handelt.

3.2 Definition des Analytischen Signals Das Analytische Signal F (t) ist definiert als 1 F (t) = π

Z∞

ˆ f(ω) eiωt dω ,

0

Im{t} ≥ 0 .

(3.6)

Man vergleiche diese Definition mit der alternativen Darstellung der Fouriertransformation reeller Signale (2.26). F (t) bezeichnet man als das Analytische Signal der reellen Funktion f (t); es ist definiert für reelle t und für komplexe t mit nicht-negativem Imaginärteil. Das analytische Signal hat folgende Eigenschaften: • F (t) ist eindeutig für Im{t} > 0. • F (t) ist stetig für Im{t} ≥ 0, analytisch für Im{t} > 0. • F (t) verschwindet für Im{t} → ∞. Für reelle Signale, d.h. t und f (t) reell, gilt: Der Realteil des analytischen Signals F (t) ist das Signal f (t) selbst, d.h. Re{F (t)} = f (t). Der Imaginärteil des analytischen Signals multipliziert mit −1 ist die Hilbert-Transformierte des reellen Signals, die im nächsten Abschnitt eingeführt wird. Das analytische Signal läßt sich also für reelle t schreiben als  ∞    ∞ 1 Z   1 Z ˆ ˆ (3.7) f(ω) eiωt dω + i Im f(ω) eiωt dω = f (t) − i H{f (t)} F (t) = Re π   π 0

0

3.3 Die Hilbert-Transformation

Die Hilbert-Transformation wird durch die folgenden Gleichungen auf drei verschiedene Arten definiert: 1. Definition:

   1 Z∞  H{f (t)} = Im − fˆ(ω) eiωt dω  π  0

44

(3.8)


2. Definition: i H{f (t)} = 2π

Z∞

ˆ f(ω) sgn(ω) eiωt dω

(3.9)

−∞

3. Definition: 1 1 H{f (t)} = − ∗ f (t) = V.p. πt π

Z∞

−∞

f (ξ) dξ ξ−t

(3.10)

Das Amplitudenspektrum der Hilberttransformierten einer Funktion f (t) und das Amplitudenspektrum der Fouriertransformierten fˆ(ω) sind gleich, die Spektren unterscheiden sich nur in der Phase. Das Phasenspektrum ist um 90◦ verschoben (phase shift), was einer Multiplikation mit der imaginären Einheit i entspricht. ˆ Für die Fouriertransformierte f(ω) einer kausalen Funktion f (t) gilt: n n o o ˆ ˆ (3.11) und Re{f(ω)} = −H Im f(ω) Im{fˆ(ω)} = H Re fˆ(ω) Wie man anhand von Gleichung (3.10) sieht, ist die Hilberttransformierte einer Funktion f (t) für alle t definiert, auch für t, bei denen f (t) eventuell verschwindet. Das bedeutet, daß die Hilberttransformierte einer kausalen Funktion f (t) nicht kausal sein muß! Eine zweimalige Anwendung der Hilberttransformation auf eine Funktion f (t) liefert H H{f (t)} = −f (t) . (3.12)

3.3.1 Einige Eigenschaften der Hilbert-Transformation

Es sei g(t) die Hilberttransformierte von f (t), d.h. g(t) = H{f (t)}. Dann gilt: • Linearität, Addition (a, b = const): af1 (t) + bf2 (t)

⇐⇒

ag1 (t) + bg2 (t)

(3.13)

f (at)

⇐⇒

g(at)

(3.14)

f (t − τ )

⇐⇒

g(t − τ )

(3.15)

⇐⇒

Z∞

g(t)g ∗ (t) dt

(3.16)

Z∞

g(t0 )g ∗ (t0 − t) dt0

(3.17)

¨ • Ahnlichkeit (a = const): • Verschiebung (τ = const): • Parseval:

Z∞

f (t)f ∗ (t) dt

−∞

−∞

• Autokorrelation: Z∞

−∞

0

∗

0

f (t )f (t − t) dt

0

⇐⇒

45

−∞


• Konvolution:

f1 (t) ∗ f2 (t)

⇐⇒

−g1 (t) ∗ g2 (t)

(3.18)

FT a)

b)

HT

FT

c)

d)

HT

FT e)

f)

Abbildung 3.1: Zur Hilberttransformation. Linke Spalte: Vorgegebene Funktion und zwei aufeinanderfolgende Hilberttransformationen; rechte Spalte: korrespondierende Fouriertransformationen.

46


3.4 Complex seismic trace analysis - Ein Anwendungsbeispiel In der Seismik kann man durch Auswertung analytischer anstatt reeller Signale Zusatzinformationen erhalten, die, verbunden mit empirischen Beobachtungen, Interpretationshilfen geben. Es werden Entscheidungen erleichtert, ob Kontinuitäten, Anomalien oder Sprünge vorliegen, außerdem läßt sich die Datenqualität besser bewerten. Der Vorteil beim Verwenden von analytischen Signalen liegt neben der vereinfachten Mathematik (Singularitäten werden vermieden) unter anderem darin, daß lokale Informationen bewahrt werden, wogegen die Fouriertransformation gemittelte Eigenschaften eines Spurabschnittes auswertet. Die Darstellung einer komplexen Spur mit ihrem Real- und Imaginärteil geht aus Abbildung 3.2 hervor.

time quadrature trace (imaginary)

actual seismic trace (real)

complex seismic trace

Abbildung 3.2: Isometrisches Diagramm einer komplexen seismischen Spur. Die reelle seismische Spur (actual seismic trace) f (t) läßt sich in Abhängigkeit von Amplitude und Phase schreiben als f (t) = A(t) cos Θ(t) . (3.19) Einige beim Betrachten von analytischen Signalen wichtige Größen sind: 1. Imaginäre Spur (quadrature trace): g(t) = H{f (t)} = A(t) sin Θ(t)

(3.20)

2. Analytisches Signal / komplexe Spur: F (t) = f (t) − ig(t) = A(t) e−iΘ(t)

(3.21)

3. Betrag (reflection strength), Einhüllende: A(t) = |F (t)| = 47

p f 2 (t) + g 2 (t)

(3.22)


4. Momentane Phase (instantaneous phase): Θ(t) = arctan

g(t) f (t)

(3.23)

¨ 5. Zeitliche Anderung der Phase (instantaneous frequency): ω(t) =

dΘ(t) dt

(3.24)

a)

b)

c)

d)

Abbildung 3.3: Zerlegung einer komplexen seismischen Spur in a) Realteil mit Einhüllender, b) Imaginärteil mit Einhüllender und c) Phase Θ(t). In d) sieht man die instantaneous frequency mit gewichteter mittlerer Frequenz.

3.5 Berechnung des Analytischen Signals 3.5.1 Berechnung mit Hilfe der Hilberttransformation Wir wir bereits kennengelernt haben, hängt das Analytische Signal einer reellen Funktion eng mit der Hilberttransformation zusammen: Re{F (t)} = f (t) Im{F (t)} = −H{f (t)} H Im{F (t)} = Re{F (t)}

Das Analytische Signal läßt sich also einfach nach Gleichung (3.7) berechnen. 48

(3.25)


3.5.2 Berechnung im Frequenzraum ˆ Man multipliziere die Fouriertransformierte f(ω) von f (t) für negative Frequenzen mit Null und für positive Frequenzen mit 2 und transformiere die so entstandene Funktion zurück in den Zeitbereich: 1 F (t) = π

Z∞

ˆ f(ω) eiωt dω

(3.26)

0

Die o.g. Manipulation der Fouriertransformierten läßt sich formal einfach mit der mit 2 multiplizierten Heaviside-Funktion durchführen.

3.5.3 Berechnung durch Konvolution Das Analytische Signal läßt sich auch u¨ ber eine Konvolution berechnen: F (t) = f (t) ∗ ∆(t)

(3.27)

Bei der Funktion ∆(t) handelt es sich um das Analytische Signal der bereits besprochenen Dirac’schen Deltafunktion δ(t): 1 ∆(t) = π

Z∞ 0

e

iωt

dω =

(

δ(t) +

i πt

i πt

für reelle t für komplexe t mit Im{t} > 0

(3.28)

3.6 Modellsignale in der Seismik Die Theorie seismischer Signale (Pulse, Wavelets) ist ein umfangreiches Teilgebiet der seismischen Erkundung. Im einfachsten Fall einer Kompressionspunktquelle wird das Druckfeld in einem homogenen Vollraum in der Entfernung R vom Zentrum beschrieben durch f t− Φ(R, t) = R

R c

,

(3.29)

wobei c die Ausbreitungsgeschwindigkeit und f (t) ein beliebiges kausales Signal ist. In Abbildung 3.4 sind einige gebräuchliche physikalische Signale dargestellt. Gewünscht sind möglichst kurze, also breitbandige, und sehr stark physikalische Quellsignale, d.h. eine Approximation der Dirac’schen Deltafunktion. Doch auch Signale, deren Autokorrelation eine Deltafunktion approximiert, sind erwünscht, da z.B. Korrelationstechniken zur Signalkompression angewendet werden können. In Abbildung 3.5 ist die Autokorrelationsfunktion eines Vibroseis-Signals dargestellt. Diese Funktion hat einen speziellen Namen, sie wird Klauder-Wavelet genannt. Selbstverständlich besteht der Wunsch, die in situ beobachteten Signale durch einfache mathematische Modellsignale zu beschreiben. Die Modellsignale sollen einfache Funktionen sein und einfache Attribute (Spektrum, Hilberttransformierte, Autokorrelation, Hauptfrequenz, Bandbreite, Pulslänge, etc.) haben. Dabei läßt man auch gerne die Einschränkung fallen, daß ein Modellsignal unbedingt kausal sein soll. 49


a) Landseismik Signal

b) Seeseismik Signal - Airgun Signature -

c)

Vibroseis (UPSWEEP)

d) Zufallssignal (Mini-Sourci)

Abbildung 3.4: Gebräuchliche physikalische Signale.

Abbildung 3.5: Autokorrelationsfunktion eines Vibrosignals: Klauder-Wavelet.

50


Folgende Modellsignale haben in der Seismik eine gewisse Popularität erlangt und werden daher oft benutzt. a) Nicht-kausale Signale: 1. Rayleigh-Signal: b (t) =

1 π t2 + 2

2. Gabor-Signal: x(t) = cos(2πfM t + ν) e

−

(3.30) “

2πfM t γ

”2

,

wobei fM die Hauptfrequenz des Signals, ν die Verschiebung und Dämpfungsterm ist. 3. Ricker-Signal (normierte zweite Ableitung der Gauss’schen Glockenkurve): 2 x(t) = 1 − 2(βt)2 e−(βt)

(3.31) 2πfM t γ

ein

(3.32)

b) Kausale Signale:

4. Berlage-Signal: x(t) = tN sin(2πfM t + ν) e−βt 5. Küpper-Signal: x(t) = sin

N πt πN t − sin (N + 2) γ N +2 γ

(3.33)

(3.34)

Alle Parameter in obigen Formeln, d.h. , ν, γ, β, f M und N , können beliebig gewählt werden. Oft braucht man von einem Signal die Hilberttransformierte. Nur der Rayleigh-Puls hat eine einfache Hilberttransfromierte, gegeben durch H{b (t)} = h (t) = −

t 1 . 2 π t + 2

(3.35)

Für große fM hat auch das Gabor-Signal eine einfache Approximation der Hilberttransformierten, gegeben durch 2 F − 2π γM t2 . (3.36) H{x(t)} = − sin(2πfM t + ν) e

Für das (immer noch) häufig benutzte Ricker-Wavelet gibt es keine analytische Hilberttransformierte. Für die Berlage- und Küpper-Signale existiert sie zwar, ist jedoch nur a¨ ußerst kompliziert zu beschreiben.

51


Re(f(t))

|f(t)|

Im(f(t))

phase Re(f(t)) Im(f(t))

a)

b)

|f(t)| Spektrum

0 Hz

c)

25 Hz

60 Hz

d)

Abbildung 3.6: Ricker-Wavelet (25Hz). a) Real- und Imaginärteil, Betrag und Phase; b) Real- und Imaginärteil; c) Polardarstellung des Betrages; d) Spektrum.

3.6.1 Details zum Rayleigh-Puls Aus dem Rayleigh-Puls (3.30) und seiner Hilberttransformierten (3.35) läßt sich ein analytisches Wavelet t i B (t) = +i 2 = (3.37) π(t2 + 2 ) π(t + 2 ) π(t + i) aufbauen, dessen n-te Ableitungen ebenfalls analytische Signale sind: B(n) (t) =

n! i (n) (−1)n = b(n) + ih π (t + i)n+1 (n)

(3.38)

(n)

Es folgt, daß sich die Einhüllende von b und h darstellen läßt als n d n! i (n) = |B (t)| = n n+1 , dt π(t + i) π(t2 + 2 ) 2

(3.39)

deren Maximum bei t = 0 gleich

|B(n) (0)| = 52

n! πn+1

(3.40)


ist. Normiert man das analytische Signal (3.38) mit (3.40), so ergibt sich das normierte analytische Wavelet i (n) n . (3.41) N B (t) = (−1) (i + t )n+1 π

Multipliziert man dieses Signal mit C = e iα und nutzt i = ei 2 , so ergibt sich schließlich das verallgemeinerte analytische Wavelet (n) N B,α (t)

1

π

= (−1)n ei(α+ 2 )

(i + t )n+1

.

(3.42)

Bemerkung: Wie man leicht sieht, ist B (t) = ∆(t + i), d.h. bei der Definition obiger analytischer Signale kommt eine komplexe Zeit als Argument der ∆-Funktion ins Spiel. In obigen Formeln läßt sich ersetzen durch =

n , 2πfM

(3.43)

¨ wobei fM wieder die sog. Hauptfrequenz ist. Sie resultiert aus folgender Uberlegung: (n) Das Fourierspektrum von B ist ˆ(n) (ω) = 2(iω)n e−ω h(ω) B

(3.44)

mit h(ω) als Heaviside-Funktion. Sucht man das Maximum ω M dieses Spektrums, so folgt aus d ω n e−ω = (n − ω) ω n−1 e−ω , dω n

daß n − ωM = 0 ist und mit ωM = 2πfM = Die Funktionen

(n) B

ω > 0, n > 0 ,

(3.45)

resultiert Gleichung (3.43).

werden als analytische Rayleigh-Wavelets n-ter Ordnung bezeichnet.

3.7 Energie und L¨ ange eines Signals Die Energie eines beliebigen Signals x(t) definiert man als Z∞

Ex =

−∞

|x(t)|2 dt

und dessen Länge in Bezug auf die Referenzzeit t 0 als v u u 1 Z∞ u (t − t0 )2 |x(t)|2 dt . L(t0 ) = t Ex

(3.46)

(3.47)

−∞

Die normierte Länge schließlich erhält man dann, wenn man t 0 = tw setzt mit 1 tw = Ex

Z∞

−∞

t |x(t)|2 dt .

53

(3.48)


3.7.1 Anwendung auf den analytischen Rayleigh-Impuls (n)

Berechnet man die Energie EB und die Länge LB des analytischen Rayleigh-Pulses B (t), so ergibt sich 2 (2n)! (3.49) EB = π (2)2n+1 bzw.

LB = √ . 2n − 1

54

(3.50)

Kapitel 4

Legendre-Polynome und Kugelfl¨ achenfunktionen 4.1 Legendresche Polynome Das Legendre-Polynom Pn (x), −1 ≤ x ≤ 1, ist die einzige linear unabhängige Lösung der Legendreschen Differentialgleichung (1 − x2 )y 00 (x) − 2xy 0 (x) + n(n + 1)y(x) = 0 ;

n ∈ N0 ,

(4.1)

die in x = −1 und x = 1 beschränkt ist. Es gibt verschiedene Wege die Legendreschen Polynome zu berechnen, die im folgenden aufgezählt werden: 1. Formel von Rodriguez: Pn (x) = 2. Summendefinition: Pn (x) =

t X j=0

1 dn 2 n (x − 1) 2n n! dxn

(2n − 2j)! xn−2j ; (−1)j n 2 j! (n − j)! (n − 2j)!

t=

(4.2)

(

n 2, n−1 2 ,

n gerade n ungerade

(4.3)

3. Erste Rekursionsformel (P0 (x) = 1, P1 (x) = x): (n + 1)Pn+1 (x) = (2n + 1)xPn (x) − nPn−1 (x)

(4.4)

4. Zweite Rekursionsformel (P0 (x) = 1, P1 (x) = x): d Pn+1 (x) − Pn−1 (x) = (2n + 1)Pn (x) dx

(4.5)

5. Dritte Rekursionsformel (P0 (x) = 1): (x2 − 1)

d Pn (x) = n xPn (x) − Pn−1 (x) dx

Wichtige Eigenschaften der Legendre-Polynome sind: 55

(4.6)

¨ KAPITEL 4. LEGENDRE-POLYNOME UND KUGELFL ACHENFUNKTIONEN

• Pn (x) ist ein Polynom n-ten Grades in x mit |P n (x) ≤ 1|. • Pn (−x) = (−1)n Pn (x). • Pn (x) ist linear unabhängig von Pm (x) für n 6= m. • Die Legendreschen Polynome bilden ein orthogonales Funktionensystem: ( Z1 1, n = m 2 Pn (x) Pm (x) dx = δnm mit δnm = 2n + 1 0, n = 6 m

(4.7)

−1

Die normierten Legendreschen Polynome ergeben sich aus √ P n (x) = 2n + 1 Pn (x)

(4.8)

mit der Eigenschaft Z1

P n (x) P m (x) dx = 2δnm .

(4.9)

−1

Unter der Entwicklung einer quadratisch integrierbaren Funktion f (x), −1 ≤ x ≤ 1, nach Legendreschen Polynomen versteht man die Reihenentwicklung f (x) =

∞ X

An Pn (x) =

∞ X

An P n (x)

(4.10)

n=0

n=0

mit den Koeffizienten 2n + 1 An = 2

Z1

f (ξ) Pn (ξ) dξ

−1

bzw.

An An = √ . 2n + 1

Abbildung 4.1: Legendresche Polynome P 0 (x) bis P4 (x). 56

(4.11)


4.2 Die zugeordneten Legendreschen Polynome Die den Legendreschen Polynomen Pn (x) zugeordneten Funktionen m

Pnm (x) = (1 − x2 ) 2

dm d(n+m) 2 1 2 m 2 P (x) = (1 − x ) (x − 1)n n m n (n+m) dx 2 n! dx

(4.12)

mit n = 0, 1, 2, . . . und m = 0, 1, . . . , n werden zugeordnete Legendresche Polynome genannt. Sie genügen der Differentialgleichung

m2 (1 − x )y (x) − 2xy (x) + n(n + 1) − 1 − x2 2

00

0

y(x) = 0 .

(4.13)

Auch für die zugeordneten Legendreschen Polynome existieren Rekursionsformeln. Sie lauten: 1. Erste Rekursionsformel: x Pn(m+2) (x) − 2(m + 1) √ Pn(m+1) (x) + n(n + 1) − m(m + 1) Pnm (x) = 0 (4.14) 1 − x2

mit den Startwerten

Pn0 (x) = Pn (x)

und

n Pn1 (x) = √ Pn−1 (x) − xPn (x) . 1 − x2

(4.15)

2. Zweite Rekursionsformel: (n − m + 1)P(n+1)m (x) − (2n + 1)xPnm (x) + (n + m)P(n−1)m = 0

(4.16)

mit Pnm (x) = 0 für m > n. Einige Eigenschaften von zugeordneten Legendre-Polynomen sind: • Es sei n, n ¯ ≥ m ≥ 0: Z1

Pnm (x) Pn¯ m (x) dx =

−1

(n + m)! 2 δn¯n (n − m)! 2n + 1

(4.17)

• Es sei n = 0, 1, 2, . . .; m = 1, 2, . . . , n: Z1

2 Pnm (x) dx =

0

(n + m)! 1 (n − m)! 2n + 1

(4.18)

• Es sei n = 0, 1, 2, . . .; m = 1, 2, . . . , n: Z1 0

2 (x) 1 (n + m)! Pnm dx = 2 1−x 2m (n − m)!

57

(4.19)


Die vollständig normierten zugeordneten Legendreschen Polynome ergeben sich aus √ P n0 (x) = P n (x) = 2n + 1 Pn (x) s (n − m)! Pnm (x), n ≥ m > 0 P nm (x) = 2(2n + 1) (n + m)!

(4.20)

In der Praxis treten fast ausschließlich Probleme auf, für die x = cos ϑ gesetzt wird. Die zugeordneten Legendreschen Polynome werden dann mit P nm (cos ϑ) bezeichnet. Wir beschränken uns bei allen weiteren Betrachtungen auf diesen Fall.

4.3 Kugelfl¨ achenfunktionen Bei allen folgenden Betrachtungen gehen wir von einem sphärischen Koordinatensystem mit den Koordinaten (r, ϑ, λ) aus, wie es in der Geodäsie, wo Kugelflächenfunktionen eine tragende Rolle spielen, u¨ blich ist. Unter einer Laplace’schen Kugelflächenfunktion n-ten Grades versteht man die Reihe Yn (ϑ, λ) =

n X

(anm cos mλ + bnm sin mλ) Pnm (cos ϑ) .

(4.21)

m=0

Die Laplace’schen Kugelflächenfunktionen erfüllen die partielle Differentialgleichung 2. Ordnung (Laplace-Beltrami-DGL) ∂Yn 1 ∂ 2 Yn ∂ 2 Yn + cot ϑ · + + n(n + 1)Yn = 0 . ∂ϑ2 ∂ϑ sin2 ϑ ∂λ2

(4.22)

Rnm (ϑ, λ) = cos mλ · Pnm (cos ϑ)

(4.23)

Snm (ϑ, λ) = sin mλ · Pnm (cos ϑ) ,

(4.24)

Oft setzt man und so daß Yn (ϑ, λ) =

n X

m=0

anm Rnm (ϑ, λ) + bnm Snm (ϑ, λ) .

(4.25)

Die Funktionen Rnm (ϑ, λ) und Snm (ϑ, λ) werden dann ebenfalls als Kugelflächenfunktionen bezeichnet. Man unterscheidet die Kugelflächenfunktionen in • zonale Kugelflächenfunktionen mit m = 0; R n0 (ϑ, λ) = Pn (cos ϑ), unabhängig von λ, Nullstellen auf n Breitenkreisen, Unterteilung der Kugel in n + 1 Zonen mit unterschiedlichem Vorzeichen der Funktion. • sektorielle Kugelflächenfunktionen mit m = n; P mm (cos ϑ) ≥ 0, 2π-periodisch in λ, Nullstellen auf 2m Meridianen, Unterteilung der Kugel in 2m Sektoren mit unterschiedlichem Vorzeichen der Funktion. 58


• tesserale Kugelflächenfunktionen mit n 6= m 6= 0; Nullstellen auf n − m Breitenkreisen und 2m Meridianen sowie auf beiden Polen. Die Kugelflächenfunktionen Rnm (ϑ, λ) und Snm (ϑ, λ) bilden ein vollständiges orthogonales Funktionensystem auf der Fläche der Einheitskugel σ: ZZ Rnm (ϑ, λ) Ssr (ϑ, λ) dσ = 0 ∀ n, m, s, r (4.26) ZZ

ZσZ σ

ZZ

σ

Rnm (ϑ, λ) Rsr (ϑ, λ) dσ = 0

für s 6= n oder r 6= m oder beides

(4.27)

Snm (ϑ, λ) Ssr (ϑ, λ) dσ = 0

für s 6= n oder r 6= m oder beides

(4.28)

ZZ

2 Rn0 (ϑ, λ)

σ

2 Rnm (ϑ, λ) dσ =

σ

ZZ

dσ =

ZZ

Pn2 (cos ϑ) dσ =

σ

2 Snm (ϑ, λ) dσ =

σ

4π 2n + 1

2π (n + m)! 2n + 1 (n − m)!

Die vollständig normierten Kugelflächenfunktionen ergeben sich aus s (n − m)! Rnm (ϑ, λ) Rnm (ϑ, λ) · , = 2(2n + 1) Snm (ϑ, λ) S nm (ϑ, λ) (n + m)!

(4.29) für m > 0

(4.30)

m>0.

(4.31)

4.4 Entwicklung nach Kugelfl¨ achenfunktionen Jede auf der Fläche der Einheitskugel stetige Funktion f (ϑ, λ) kann durch eine Reihe nach Kugelflächenfunktionen dargestellt werden: f (ϑ, λ) = = =

∞ X

n=0 ∞ X

Yn (ϑ, λ) n X

n=0 m=0 ∞ X n X

n=0 m=0

(anm cos mλ + bnm sin mλ) Pnm (cos ϑ)

anm Rnm (ϑ, λ) + bnm Snm (ϑ, λ)

(4.32)

Diese Reihe konvergiert gleichmäßig und stellt ein zweidimensionales Analogon zur Fourierentwicklung einer periodischen Funktion dar.

59


Die Koeffizienten anm und bnm ergeben sich aus den Orthogonalitätsbeziehungen für Kugelflächenfunktionen: ZZ 2n + 1 an0 = f (ϑ, λ) Pn (cos ϑ) dσ ; n ≥ 0 (4.33) 4π σ

bn0 = 0 ; anm = bnm =

n≥0

(4.34)

2n + 1 (n − m)! · 2π (n + m)! 2n + 1 (n − m)! · 2π (n + m)!

ZZ

f (ϑ, λ) cos mλ Pnm (cos ϑ) dσ ;

n ≥ 1, m 6= 0

(4.35)

f (ϑ, λ) sin mλ Pnm (cos ϑ) dσ ;

n ≥ 1, m 6= 0

(4.36)

σ

ZZ σ

Statt der (nichtnormierten) Kugelflächenfunktionen können auch die vollständig normierten zur Entwicklung verwendet werden, d.h. n ∞ X X anm Rnm (ϑ, λ) + bnm S nm (ϑ, λ) f (ϑ, λ) =

(4.37)

n=0 m=0

mit

anm bnm

=

s

1 (n + m)! anm · , bnm 2(2n + 1) (n − m)!

m>0.

(4.38)

Zur Auswertung der Integrale (4.33) - (4.36) mache man sich stets die Orthogonalitätsbeziehungen der trigonometrischen Funktionen zu Nutze.

Abbildung 4.2: Veranschaulichung einer Kugelflächenfunktion. Die Kugelflächenfunktion Y 69 (ϑ, λ) wurde einer Kugel vom Radius l0 gemäß l(ϑ, λ) = l0 + const · Y69 (ϑ, λ) aufmodelliert. 60


4.5 Entwicklung des Gravitationspotentials der Erde nach Kugelfl¨ achenfunktionen Das Gravitationspotential V (r, ϑ, λ) der Erde läßt sich für Punkte P außerhalb einer Kugel, die den gesamten Erdkörper umschließt, in eine Reihe nach Kugelflächenfunktionen entwickeln. Die Darstellung lautet ( ) ∞ X n X GM a n V (r, ϑ, λ) = 1+ (cnm cos mλ + snm sin mλ) Pnm (ϑ) (4.39) r r n=1 m=0 2

mit der allgemeinen Gravitationskonstanten G = 6.673 · 10 −11 Nkgm2 , der großen Halbachse des Erdellipsoids a ≈ 6.380 · 106 m und der Gesamtmasse des Erdkörpers M ≈ 5.99 · 10 24 kg. Die Koeffizienten berechnen sich aus ZZ Z 0 n 1 r 2 cn0 = Pn (ϑ0 ) ρ r 0 sin ϑ0 dr 0 dϑ0 dλ0 , (4.40) M a Ω Z ZZ 0 n r 2(n − m)! cos mλ0 cnm 2 Pnm (ϑ0 ) ρ r 0 sin ϑ0 dr 0 dϑ0 dλ0 . (4.41) = sin mλ0 snm M (n + m)! a Ω

Die Koeffizienten niedrigen Grades haben eine einfache physikalische Bedeutung, die im folgenden erläutert wird: • c00 = 1: Hauptterm (Erde in sphärischer Näherung) • c11 ,s11 ,c10 : Diese Koeffizienten entsprechen mit der großen Halbachse a skalierten Komponenten des Massenmittelpunktes der Erde. Sie verschwinden, wenn das zugrunde liegende Koordinatensystem geozentrisch gelagert ist. Die Koeffizienten zweiten Grades hängen alle mit dem Trägheitstensor des Erdkörpers zusammen: • c20 : Dieser Koeffizient spiegelt die Erdabplattung wider. ¨ • c22 : Dieser Koeffizient spiegelt die Asymmetrie der Aquatorebene bezüglich des Erdaufbaus, ¨ also die asymmetrische Massenverteilung in der Aquatorebene, wider. • c21 ,s21 ,s22 : Diese Koeffizienten hängen mit den Deviationsmomenten zusammen. Sie verschwinden, wenn die Hauptträgheitsachsen des Erdkörpers mit den Koordinatenachsen zusammenfallen. • c30 : Dieser Koeffizient spiegelt die Asymmetrie zwischen der Nord- und Südhemisphäre (“Birnenform“) wider. In der Realität kann natürlich keine Summation bis Unendlich erfolgen, sondern die Reihendarstellung wird nach endlich vielen Termen abgebrochen. Heutzutage wird bis zum Grad n = 360 entwickelt, das entspricht einer Anzahl von (n + 1) 2 ≈ 130000 Termen. Eine tiefergehende Einführung in dieses Thema wird in den Vorlesungen “Potentialtheorie“ am Geophysik. Institut oder “Physikalische Geodäsie“ am Geodät. Institut geboten.

61

Kapitel 5

Die Wellengleichung

1 ∂2 −∆ c2 ∂t2

u(~x, t) = 0

(5.1)

5.1 Die elastodynamische Wellengleichung Die Wellengleichung wird im Rahmen der Kontinuumsmechanik behandelt. Dabei werden die Eigenschaften des Mediums und alle physikalischen Größen als stetige und für unsere Zwecke genügend oft differenzierbare Funktionen angesehen. Die diskrete Struktur der Materie wird nicht berücksichtigt. Daher versagt die Kontinuumsmechanik in atomaren Dimensionen. Die Wellengleichung wird aus folgenden grundlegenden physikalischen Prinzipien hergeleitet: 1. Beschreibung der Kinematik bei einer Deformation. 2. Beschreibung der Kräfte und Spannungen, Definition des Spannungstensors. 3. Aufstellung der Bewegungsgleichung aus dem Newton’schen Gesetz. 4. Das Hook’sche Gesetz und die Naviergleichung. 5. Reduzierung der Naviergleichung zur Wellengleichung.

5.1.1 Die Kinematik der Deformation und der Verzerrungstensor Bei der Wellenausbreitung werden Partikel des Mediums um ihre Gleichgewichtslage ausgelenkt. Diese Auslenkungen kann man mit dem Verschiebungsfeld ~u(~x, t) beschreiben. Dieses Vektorfeld ordnet jedem Punkt ~x im Medium einen Verschiebungsvektor ~u zur Zeit t zu. Die Art der Verformung kann man durch eine Betrachtung des Verschiebungsfeldes an infinitesimal benachbarten Punkten ~x und ~x + d~x beschreiben (siehe Abbildung 5.1). Aus der linearisierten Taylorentwicklung (höhere Terme werden vernachlässigt) erhält man ui (~x + d~x, t) = ui (~x, t) +

∂ui dxj = ui (~x, t) + dui . ∂uj

63

(5.2)

KAPITEL 5. DIE WELLENGLEICHUNG

du dx’

u(x)

u(x+dx) dx

x x + dx

O

Abbildung 5.1: Ortsvektoren ~x und ~x + d~x und Verschiebungsvektoren ~u(~x) und ~u(~x + d~x). ∂ui ist ein Tensor und wird Deformationsgradiententensor gennant. Er kann wie folgt umDer Term ∂x j geformt werden: 1 ∂ui ∂uj ∂uj ∂ui 1 ∂ui = + − + (5.3) ∂xj 2 ∂xj ∂xi 2 ∂xj ∂xi

Hierdurch werden zwei neue Tensoren definiert: a) Der Verzerrungstensor (strain tensor): 1 ij = 2

1 Ωij = 2

b) Der Rotationstensor:

∂ui ∂uj + ∂xj ∂xi

∂uj ∂ui − ∂xj ∂xi

(5.4)

(5.5)

Somit setzt sich eine Deformation lokal in linearer Näherung aus einer Translation, einer Verzerrung und einer Rotation zusammen: ~u(~x + d~x, t) = ~u(~x, t) + d~x + Ω d~x

(5.6)

Der Verzerrungstensor heißt auf englisch strain tensor und ist für die Elastizitätstheorie im Zusammenhang mit dem Hook’schen Gesetz bedeutsam. Einige Eigenschaften des strain tensors sind: • ij ist symmetrisch. • ij ist nur für Deformatuionsgradienten • Die Spur von ij , ii = Abbildung 5.2).

dV 0 −dV dV

∂ui ∂xj

1 gültig (Linearisierung).

beschreibt die relative Volumenänderung ohne Scherung (siehe

64

KAPITEL 5. DIE WELLENGLEICHUNG • ∗ij = ij − 31 kk δij beschreibt eine reine Scherung ohne Volumenänderung (siehe Abbildung 5.2).

x2

x2

x1

x1 x2

x2

x1

x1

Abbildung 5.2: Volumenänderung ohne Scherung (oben) und Scherung ohne Volumenänderung (unten).

5.1.2 Der Spannungstensor (stress tensor) Während der Deformation eines Festkörpers wirken auf jedes Teilvolumen V Kräfte, die zur Beschleunigung dieses Teilvolumens beitragen. Dabei ist die Gesamtkraft F~ , die auf V wirkt, gleich der ~ dV in V , wobei K ~ die Kraftdichte in V ist (siehe dazu Abbildung 5.3). Summe aller Teilkräfte K p u

K dV V

F

Abbildung 5.3: Zum Spannungstensor. Dies ergibt das Volumenintegral Fi =

Z

Ki dV .

V

65

(5.7)


Da die interatomaren Kräfte sehr kurze Reichweiten besitzen, wirken die Kräfte der Umgebung von V vor allem u¨ ber dessen Oberfläche ∂V , so daß F~ auch durch ein Oberflächenintegral u¨ ber diese Oberflächenkräfte p~ ausgedrückt werden kann: Fi =

Z

pi dS =

∂V

Z

~σi · ~n dS =

∂V

Z

σij nj dS

(5.8)

∂V

Da pi eine Vektorkomponente ist, muß der Einheitsvektor ~n mit einem Tensor verknüpft sein. Eine Oberflächenkraft ist erst durch die Angabe der Oberfläche, auf die sie wirken soll, definiert. Aus dem Gauß’schen Integralsatz folgt: Z

σij nj dS =

Z

V

∂V

∂σik dV , ∂xk

d.h.

Ki =

∂σik ∂xk

(5.9)

Der Tensor σij wird Spannungstensor (stress tensor) genannt. Einige Eigenschaften des Spannungstensors: • σij ist symmetrisch. ∗ , wobei p der hydrostatische Druck ist. • σij = −pδij + σij

5.1.3 Die Bewegungsgleichung Für das Teilvolumen V lautet das Newton’sche Gesetz Z Z Z d ρ~v dV = σ · ~n dS + f~ dV . dt V

∂V

(5.10)

V

d auf, die auch materielle oder substantielle Ableitung genannt wird. Hier tritt die zeitliche Ableitung dt Sei a eine beliebige Größe, so ist

d ∂ ~ a(~x, t) a(~x, t) = a(~x, t) + ~v · ∇ dt ∂t

mit

~v =

d~x . dt

(5.11)

Die substantielle Ableitung berücksichtigt die Bewegung des Mediums und ist in der Strömungslehre x d~v ∂2u ~ wichtig. Hier soll das Medium als Ganzes ruhen, so daß d~ dt = 0 ist. Mit dt = ∂t2 folgt damit Z

ρ

∂ 2 ~u(~x, t) dV = ∂t2

Z

~ · σ dV . ∇

(5.12)

V

V

Wenn die Felder genügend oft stetig differenzierbar sind, gilt ρ

∂ 2 ~u(~x, t) ~ · σ(~x, t) . =∇ ∂t2

Diese Gleichung wird als Cauchy-Bewegungsgleichung bezeichnet. 66

(5.13)


5.1.4 Das Hook’sche Gesetz und die Naviergleichung Um die Bewegungsgleichung zu einer Gleichung in ~u zu machen, muß man das Hook’sche Gesetz für ideal linear elastische Körper einsetzen. Es lautet σij = Cijkl kl .

(5.14)

Cijkl heißt Elastizitätstensor und ist ein Tensor 4. Stufe mit insgesamt 81 Elementen. Der Elsatizitätstensor beschreibt das Materialverhalten bei Deformationen, die Spannungen auslösen. Da der Spannungs- und der Verzerrungstensor symmetrisch sind, besteht der Elastizitätstensor nur aus 21 unabhängigen Elementen. Für ein isotropes Medium ist das elastische Verhalten richtungsunabhängig, d.h. der Elastizitätstensor ist rotationsinvariant. Dadurch vereinfacht sich das Hook’sche Gesetz zu σij = λkk δij + 2µij .

(5.15)

Die Parameter λ und µ heißen Lamé’sche Größen. Aus der Diskussion u¨ ber den Verzerrungstensor sieht man, daß λ das Verhalten bei Volumenänderung beschreibt, während µ auch die Schereigenschaften beschreibt. Es gilt: 2 1 σij = λkk δij + 2µ(∗ij + kk δij ) = (λ + µ)kk δij + 2µ∗ij 3 3 2 k =λ+ µ (Kompressionsmodul) 3 G=µ (Schermodul)

(5.16) (5.17) (5.18)

Die Divergenz des Spannungstensors lautet nun ∂σij ∂ = (λkk δij + 2µij ) ∂xj ∂xj ∂uj ∂ ∂ui ∂µ ∂ ~ λ∇ · ~u δij + µ + ij +2 = ∂xj ∂xj ∂xj ∂xi ∂xj ∂ ~ · ~u + µ ∆ui + µ ∂ ∇ ~ · ~u + 2 ∂µ ij = λ∇ ∂xi ∂xi ∂xj i h ~ λ∇ ~ · ~u + µ ∆~u + µ∇ ~ ∇ ~ · ~u + 2∇µ ~ · . = ∇

(5.19)

i

Damit entsteht aus der Bewegungsgleichung die Naviergleichung ρ(~x)

∂ 2 ~u(~x, t) ~ λ(~x)∇·~ ~ u(~x, t) +µ(~x)∇ ~ ∇·~ ~ u(~x, t) +µ(~x)∆~u(~x, t)+2∇µ(~ ~ x)·(~x, t) . (5.20) = ∇ ∂t2

Sie gilt für inhomogene, isotrope und linear elastische Medien.

5.1.5 Der Elastizit¨ atstensor von Kristallsystemen Aufgrund der Tatsache, daß sich durch den Kristallaufbau gewisse Symmetrien ergeben, kann die Anzahl der Komponenten des ursprünglichen Elastizitätstensors verringert werden. Es geht hierbei um den Elastizitätstensor aus Gleichung (5.14), die sich in der Voigt’schen Schreibweise auch darstellen läßt als σi = Cij j . (5.21)

67


Der Elastizitätsmodul hat dabei folgende Anzahl von unabhängigen Komponenten: Kristallsystem triklin monoklin rhombisch trigonal tetragonal hexagonal kubisch elastisch isotrop

Zahl unabh. Konstanten 21 13 9 7 bzw. 6, je nach Kristallklasse 7 bzw. 6, je nach Kristallklasse 5 3 2

5.1.6 Die elastodynamische Wellengleichung Nun wird die Naviergleichung für ein homogenes, isotropes und linear elastisches Medium vereinfacht, d.h. ρ(~x) = ρ, λ(~x) = λ und µ(~x) = µ. ρ

∂ 2 ~u(~x, t) ~ ∇ ~ · ~u(~x, t) + µ ∆~u(~x, t) = (λ + µ)∇ 2 ∂t ~ · ~u − µ ∇ ~ × ∇~ ~u, ~ ∇ = (λ + 2µ)∇

(5.22)

~ ∇ ~ · ~u − ∇ ~ × ∇~ ~ u benutzt wurde. Nun ist zu verwenden, daß sich ein wobei die Identität ∆~u = ∇ Vektorfeld in einen divergenzfreien und einen rotationsfreien Anteil zerlegen läßt: ~u = ~up + ~us

mit

~ × ~up = 0 ∇

~ · ~us = 0 ∇

und

(5.23)

Setzt man dies in Gleichung (5.22) ein, so ergibt sich ρ

∂2 ~ ∇ ~ · ~u − µ ∇ ~ × ∇~ ~ us . (~up + ~us ) = (λ + 2µ)∇ 2 ∂t

(5.24)

Dies ist die Summe zweier Wellengleichungen

λ + 2µ ∂ 2 ~up λ + 2µ ~ ~ = ∇ ∇ · ~up = ∆~up , 2 ∂t ρ ρ −µ ~ ∂ 2 ~us ~ us = µ ∆~us , = ∇ × ∇~ ∂t2 ρ ρ ~ ∇ ~ · ~u − ∇ ~ × ∇~ ~ u angewendet wurde. wobei wieder jeweils ∆~u = ∇ Gleichung (5.25) ist die Wellengleichung für Kompressionswellen s λ + 2µ 1 ∂2 − ∆ ~up (~x, t) = 0 , cp = , 2 2 cp ∂t ρ Gleichung (5.26) ist die Wellengleichung für Scherwellen 1 ∂2 − ∆ ~us (~x, t) = 0 , c2s ∂t2 68

cs =

r

µ . ρ

(5.25) (5.26)

(5.27)

(5.28)

KAPITEL 5. DIE WELLENGLEICHUNG ~ × ~up = 0 und ∇ ~ · ~us = 0 gibt es auch zwei Funktionen Φ und Ψ ~ mit ~up = ∇Φ ~ und Wegen ∇ ~ ~ ~us = ∇ × Ψ, für die die Wellengleichungen gelten: 1 ∂2 − ∆ Φ(~x, t) = 0 (skalare Wellengleichung) (5.29) c2p ∂t2 1 ∂2 ~ x, t) = 0 − ∆ Ψ(~ (vektorielle Wellengleichung) (5.30) c2s ∂t2

5.2 Die akustische Wellengleichung Die akustische Wellengleichung für Fluide läßt sich aus den folgenden grundlegenden physikalischen Gleichungen herleiten: 1. Aus der Euler’sche Bewegungsgleichung für ein Fluid ohne Viskosität (innere Reibung) und ¨ Wärmeleistung. Außere Kräfte sollen vernachlässigt werden: ∂˜ ~ ~v˜(~x, t) = − 1 ∇˜ ~ p(~x, t) ~v (~x, t) + ~v˜(~x, t) ∇ ∂t ρ˜(~x, t)

(5.31)

2. Aus der Kontinuitätsgleichung: ∂ ~ · ρ˜(~x, t)~v˜(~x, t) = 0 ρ˜(~x, t) + ∇ ∂t

(5.32)

3. Aus der Zustandsgleichung des Fluids: p˜(~x, t) = f ρ˜(~x, t), s˜(~x, t)

(5.33)

Die Größen ~v˜ (Geschwindigkeit), ρ˜ (Dichte), p˜ (Druck) und s˜ (Entropie) sollen kleine Schwankungen um eine Gleichgewichtslage ~v0 , ρ0 , p0 und s0 beschreiben. Man macht daher einen linearen Störungsansatz ~v˜ = ~v0 + ~v

,

ρ˜ = ρ0 + ρ ,

p˜ = p0 + p ,

s˜ = s0 + s .

(5.34)

Für → 0 geht das Problem in das ungestörte Problem u¨ ber. Diese Ansätze werden nun in die Gleichungen (5.31) - (5.33) eingesetzt und die Terme nach Potenzen von geordnet. Für die 1. Potenz ~ 0 = 0 und ∂ρ0 = 0 erhält man folgende Differentialgleichungen: von und für ~v0 = 0, ∇p ∂t 1 ~ ∂~v (~x, t) =− ∇p(~x, t) ∂t ρ0 (~x)

(5.35)

∂ρ(~x, t) ~ · ~v (~x, t) + ~v (~x, t) · ∇ ~ ρ0 (~x) = 0 + ρ0 (~x ∇ (5.36) ∂t Die Zustandsgleichung dient dazu, die Gleichungen (5.35) und (5.36) zu verknüpfen. Es soll vorausgesetzt werden, daß die Wellenausbreitung isentrop (verlustfrei) verläuft, so daß p˜(~x, t) = f ρ(~ ˜ x, t) ist. Nun bildet man d d p˜(~x, t) = f 0 ρ0 (~x) ρ˜(~x, t) , (5.37) dt dt 69


und mit

d dt

=

~ erhält man + ~v · ∇

∂ ∂t

∂ p(~x, t) = f 0 ρ0 (~x) ∂t

∂ ~ 0 (~x) ρ(~x, t) + ~v (~x, t) · ∇ρ ∂t

.

(5.38)

Nun setzt man Gleichung (5.36) in Gleichung (5.38) ein und erhält ∂ ~ · ~v (~x, t) . p(~x, t) = f 0 ρ0 (~x) ρ0 (~x) ∇ ∂t

(5.39)

Einmal partiell nach t ableiten und Gleichung (5.35) einsetzen ergibt

∂2 1 ~ 0 ~ 0 = 2 p(~x, t) − f ρ0 (~x) ρ0 (~x) ∇ · ∇p(~x, t) ∂t ρ0 (~x) 1 ∂2 ~ ln ρ0 (~x) · ∇p(~ ~ x, t) − ∆p(~x, t) . 2 p(~x, t) + ∇ = 0 f ρ0 (~x) ∂t

(5.40)

Für ρ0 (~x) = ρ0 erhält man die akustische Wellengleichung

1 ∂2 − ∆ p(~x, t) = 0 f 0 (ρ0 ) ∂t2

(5.41)

mit c2 = f 0 (ρ0 ).

5.3 Ans¨ atze zur L¨ osung der Wellengleichung 5.3.1 Anfangs- und Randbedingungen Für eine partielle Differentialgleichung ist ein Problem korrekt gestellt, wenn die Lösung folgende Bedingungen erfüllt: • Die Lösung existiert. • Die Lösung ist eindeutig. • Die Lösung muß stetig von Anfangs- und Randbedingungen abhängen, d.h. eine kleine Variation der Anfangs- bzw. Randwerte darf die Lösung nur wenig verändern (→ Chaos). Die Wellengleichung ist im allgemeinen für ein gewisses Gebiet G zu lösen. Es gibt dabei folgende Problemstellungen: a) Anfangswertproblem: Falls G unbegrenzt ist, müssen u(~x, 0) = f (~x) ∂ u(~x, 0) = g(~x) ∂t in G vorgegeben sein. 70

und

(5.42) (5.43)


b) Anfangs- und Randwertproblem: Falls G begrenzt ist, müssen die Anfangswerte wie unter a) in G und die Randbedingungen  ∂u(~x, t)   α(~x)u(~x, t) + β(~x) = B(~x, t) ∂u ∂Vx

(5.44)

auf dem Rand ∂Vx vorgegeben sein1 . Spezielle Randbedingungen sind die Dirichlet-Bedingung mit β(~x) = 0 und die Neumann-Bedingung mit α(~x) = 0. Ein korrekt gestelltes Problem ist:

1 ∂2 Lu(~x, t) = − ∆ u(~x, t) = q(~x, t) , c2 ∂t2 ∂ u(~x, 0) = f (~x) , u(~x, 0) = g(~x) ∂t  ∂u(~x, t)   B(~x, t) = α(~x)u(~x, t) + β(~x) ∂t 

~x ∈ G ,

t>0

∂Vx

z

VT

V Vx

y

G G= V0 x

Abbildung 5.4: V - Volumen im (~x, t)-Raum; G - Volumen im ~x-Raum.

5.3.2 Die Green’sche Funktion der Wellengleichung ~ τ ) einer partiellen DGL in Ziel der Methode der Green’schen Funktionen ist es, die Lösung u( ξ, Integralform unter Einbeziehung aller Anfangs- und Randbedingungen anzugeben. Dazu bildet man 1 ∂ ∂u

~ = ~u · ∇

71

KAPITEL 5. DIE WELLENGLEICHUNG folgenden Auasdruck, der in einen Divergenzausdruck u¨ berführt werden kann 2 : 1 ∂2u 1 ∂2w w − u c2 ∂t2 c2 ∂t2 1 ∂w 1 ∂u ∂ ~ ~ ~ w − 2 = ∇ · −w∇u + u∇w + ∂t c2 ∂t c ∂t 1 ∂u 1 ∂w ∗ ~ ~ ~ = ∇ · −w∇u + u∇w; 2 w − 2u c ∂t c ∂t

wLu − uLw = −w∆u + u∆w +

(5.45)

Damit ist Z Z 1 ∂u 1 ∂w ~ + u∇w; ~ (wLu − uLw) dV = −w∇u · ~n dS w − 2u c2 ∂t c ∂t V ∂V  Z Z ∂w 1 ∂w  1 ∂u ∂u  d3 x +u w − 2u dS + = −w (5.46) ∂n ∂n c2 ∂t c ∂t t=T ∂Vx ∂VT  Z 1 ∂w  1 ∂u  d3 x . w − 2u − c2 ∂t c ∂t t=0 ∂V0

Für w(~x, t) müssen nun Bedingungen festgelegt werden, damit u(~x, t) aus den Integralen verschwindet. 1. Die DGL für w: ~ Lw = δ(~x − ξ)δ(t − τ) , ξ~ ∈ G , 0 < τ < T Z Z ~ τ) =⇒ (wLu − uLw) dV = wq dV − u(ξ, V

(5.47) (5.48)

V

2. Die Randbedingungen für w:

 ∂w   α(~x)w + β(~x) =0, t 0, L = − ∂x 2 und den Bedingungen

u(x, 0) = f (x) ;

∂ u(x, 0) = g(x) ; ∂t

Lösungsansatz:

  ∂ α(x)u(x, t) + β(x) u(x, t)  =0. ∂n δG

u(x, t) = M (x)N (t) =⇒ =⇒ =⇒ bzw.

(Separationsansatz)

1 00 N (t)M (x) + N (t)LM (x) = 0 c2 1 N 00 (t) LM (x) =− = k2 2 c N (t) M (x) N 00 (t) = c2 k 2 N (t) 2

LM (x) = −k M (x)

(5.65)

(5.66)

(5.67) (5.68) (5.69) (5.70)

M (x) erfüllt obige homogene Randbedingungen. Gleichung (5.70) heißt Helmholtzgleichung und lautet ausführlich 2 ∂ 2 (5.71) + k M (x) = 0 . ∂x2 Gleichung (5.70) ist eine Eigenwertgleichung mit dem Eigenwert k 2 und der Eigenfunktion M (x). Es gibt unendlich viele Lösungen für die Gleichungen (5.69) und (5.70). Lösungen: Nn (t) = an cos ωn t + bn sin ωn t r nπ nπ 2 Mn (x) = sin x, kn = l l l Die Eigenfunktionen bilden ein orthogonales Funktionensystem, denn für L gilt Z Z ∂w ∂u (wLu − uLw) dV = u dS = 0 . −w ∂n ∂n G

δG

74

(5.72) (5.73)

(5.74)

KAPITEL 5. DIE WELLENGLEICHUNG ∂u αu + β ∂n

αw +

= 0

β ∂w ∂n

=⇒

= 0

u

∂u ∂w −w =0. ∂n ∂n

(5.75)

Für zwei Eigenfunktionen gilt Z Z Z (Mi LMj − Mj LMi ) dV = (λj Mi Mj − λi Mj Mi ) dV = (λj − λi ) Mi Mj dV = 0 . G

G

G

(5.76) Zeigt man die Vollständigkeit der Menge {M n }, so konvergiert die Eigenfunktionsentwicklung u(x, t) =

∞ X

Nn (t)Mn (t) .

(5.77)

n=1

Die Koeffizienten ak und bk erhält man aus den Anfangsbedingungen ∞ X

u(x, 0) = f (x) =

n=1 ∞ X

∂ u(x, 0) = g(x) = ∂t

an Mn (x) ,

(5.78)

ωn bn Mn (x) .

(5.79)

n=1

Die Summen sind Fourierreihen und gehen für G = (−∞, ∞) in Fourierintegrale u¨ ber.

5.3.6 Die Eikonal- und die Transportgleichung Zur Lösung der Wellengleichung macht man häufig einen Störungsansatz, wenn die DGL von abhängt: ∞ X un (~x, t)n (5.80) u(~x, t) = n=0

Ein spezieller Ansatz ist un (~x, t) = an (~x)eiω

t−τ (~ x)

Dann ist u(~x, t) = e

iω t−τ (~ x)

mit

X ∞

= (iω)−n .

an (~x) (iω)−n .

(5.81)

(5.82)

n=0

Für → 0 bzw. ω → ∞ erhält man die Lösung des ungestörten Problems u(~x, t) = eiω

t−τ (~ x)

a0 (~x) .

(5.83)

Gleichung (5.83) heißt Hochfrequenzapproximation und führt uns direkt zur Strahlentheorie. Setzt man Gleichung(5.83) in die Wellengleichung ein, so ergibt sich h i 2 1 2 ~ ~ 0 ∇τ ~ + ∆a0 + iω a0 ∆τ + 2∇a =0. (5.84) ω a0 2 − ∇τ c 75


Für ω → ∞ ist ∆a0 vernachlässigbar und wir erhalten 1 ~ 2=0 − ∇τ c2 ~ 0 ∇τ ~ =0 a0 ∆τ + 2∇a

(Eikonalgleichung)

(5.85)

(Transportgleichung)

(5.86)

Der Parameter τ heißt Eikonal und ist nach dem Fermat’schen Prinzip definiert durch τ (~x) =

ZM

ds . v(~x)

(5.87)

M0

M

ds

V(x) M0 Abbildung 5.5: Zum Fermat’schen Prinzip. Der hier präsentierte Ansatz führt direkt zur Strahlentheorie, die ausführlich in der Vorlesung ˇ “Wellentheorie“ behandelt wird. Sehr umfassend wird dieses Thema auch bei Cerven´ y (1977) und Popov (1996) dargestellt.

76

Kapitel 6

Funktionentheorie 6.1 Komplexe Zahlen 6.1.1 Einige Definitionen Y

z = x + iy

y = Im{z} Re{z} < 0 Im{z} > 0

r = |z| i Θ

X x = Re{z}

−i Re{z} < 0 Im{z} < 0

Re{z} > 0 Im{z} < 0

Abbildung 6.1: Komplexe Zahlenebene und Darstellung der komplexen Zahl z. Es gilt √ −1

z = x + iy

mit i =

x = Re{z}

Realteil von z

y = Im{z} Imaginärteil von z p r = |z| = x2 + y 2 Betrag von z y Argument von z ; z 6= 0 Θ = arg z = arctan x 77

(6.1) (6.2) (6.3) (6.4) (6.5)

KAPITEL 6. FUNKTIONENTHEORIE

Zu beachten ist: 1. Für z = 0 ist arg z nicht definiert. 2. Für z 6= 0 ist arg z mehrdeutig definiert: k = 0, ±1, ±2, . . .

arg z = arg z + 2kπ ,

3. Für z 6= 0 gilt arg z = arctan xy . Ist x = 0, so gilt ( + π2 + 2kπ, arg z = arg iy = − π2 + 2kπ,

y>0 . y 0, immer dann, wenn |z − z0 | > 1/δ. 82


y

v

w = f(z) z z

w0 w

0 x

w

w-Ebene

z-Ebene

Abbildung 6.4: Grenzwertdefinition im der komplexen Zahlenebene Stetigkeit Eine Funktion f (z) ist stetig in einem Punkt z 0 , wenn gilt lim f (z) = f (z0 )

z→z0

(6.51)

In anderen Worten, der Grenzwert existiert und ist gleich dem Funktionswert im Punkt z 0 (f (z) muß definiert sein in z0 ). Alternativ kann man Stetigkeit in einem Punkt z 0 beschreiben durch: Für ein positives, beliebiges ε > 0 existiert ein positives δ, so daß |f (z) − f (z 0 )| < ε, immer dann, wenn 0 < |z − z0 | < δ. Eine Funktion w = f (z) kann einen Grenzwert im Punkt z 0 besitzen, ohne dort definiert zu sein. Stetigkeit bedeutet, daß die Funktion dort auch definiert ist. Wenn der Grenzwert w 0 einer Funktion im Punkt z0 existiert, kann man die Funktion dort stetig machen durch die Definition f (z 0 ) = w0 . Ableitung Die Ableitung von f (z) im Punkt z0 ist definiert durch den Grenzwert f 0 (z0 ) = lim

z→z0

f (z) − f (z0 ) z − z0

(6.52)

Die Berechnung von Grenzwerten und Ableitungen sind sehr a¨ hnlich wie bei gewöhnlichen Funktionen reeller Variablen.

6.1.5 Cauchy-Riemann’sche (CR) Gleichungen und analytische Funktionen Kartesische Koordinaten Es sei z = x + i y und f (z) = u(x, y) + i v(x, y). Wenn f 0 (z0 ) existiert (z0 = x0 + iy0 ), dann gilt ∂u ∂v ∂v ∂u 0 f (z0 ) = (x0 , y0 ) + i (x0 , y0 ) = −i (x0 , y0 ) + i (x0 , y0 ) , (6.53) ∂x ∂x ∂y ∂y so daß die Cauchy-Riemann’schen (CR) Gleichungen im Punkt z 0 gültig sind: ∂v ∂u = ∂x ∂y

∂v ∂u =− ∂x ∂y

,

83

(6.54)


Polarkoordinaten Es sei z = r eiθ und f (z) = u(r, θ) + i v(r, θ). Wenn f 0 (z0 ) existiert (z0 = r0 eiθ0 , dann gilt 0

f (z0 ) = e

−iθ0

∂u ∂v (r0 , θ0 ) + i (r0 , θ0 ) ∂r ∂r

e−iθ0 = r0

∂v ∂v (r0 , θ0 ) − i (r0 , θ0 ) ∂θ ∂θ

,

(6.55)

so daß die Cauchy-Riemann’schen (CR) Gleichungen lauten ∂u 1 ∂v = ∂r r ∂θ

∂v 1 ∂u =− ∂r r ∂θ

,

(6.56)

Die Cauchy-Riemann’schen Gleichungen sind notwendige Bedingungen, daß eine Funktion f (z) differenzierbar ist. Das bedeutet, wenn die Cauchy-Riemann’schen Gleichungen von einer Funktion in einem Punkt nicht erfüllt werden, kann die Ableitung in diesem Punkt nicht existieren. Sie alleine sind ∂u ∂u ∂v ∂v , , , keine hinreichende Bedingung, denn außerdem müssen die partiellen Ableitungen ∂x ∂y ∂x ∂y ∂u ∂u ∂v ∂v , , , definiert sein in einer Umgebung um z 0 und stetig sein in z0 . oder ∂r ∂θ ∂r ∂θ Analytische Funktionen f (z) ist analytisch im Punkt z0 , wenn die Ableitung f 0 (z) in jedem Punkt der Umgebung um z0 existiert. Mathematisch ausgedrückt: Es muß ein δ > 0 existieren, so daß f 0 (z) existiert, immer dann wenn |z − z0 | < δ.

6.2 Kurvenintegrale 6.2.1 Kurven C:

z = z(t) = x(t) + i y(t) ;

(a ≤ t ≤ b)

(6.57)

x(t) und y(t) sind stetige Funktionen des Parameters t. Die Ableitung lautet z 0 (t) = x0 (t) + i y 0 (t)

(6.58)

(1) Glatter Bogen: z 0 (t) existiert, ist stetig und ungleich Null im Intervall a ≤ t ≤ b

z(b) z(t)

z(a)

Abbildung 6.5: Glatter Bogen (2) Kurve (stuckweise ¨ glatte Bo¨ gen): Endliche Anzahl von glatten Bögen, verknüpft von Endpunkt zu Endpunkt 84


z(b)

z(c)

z(d)

C2

C4 C3

C1 C=C1 U C2 U C3 U C4

z(a)

Abbildung 6.6: Kurve

(3) Einfache Kurve: Kurve schneidet sich nicht selbst: z(t 1 ) 6= z(t2 ) für t1 6= t2 .

z(c) z(t1)

C

z(a)

z(t2)

z(b)

Abbildung 6.7: Einfache Kurve

(4) Abgeschlossene Kurve: Endpunkte stimmen u¨ berein: z(a) = z(b).

z(c)

z(d)

z(a)=z(b)

z(e)

C

Abbildung 6.8: Abgeschlossene Kurve

85


(5) Einfache abgeschlossene Kurve (Jordan-Kurve): Kurve schneidet sich nicht selbst und Endpunkte stimmen u¨ berein.

z(c)

z(d)

z(a)=z(b)

z(e)

Abbildung 6.9: Jordan-Kurve

6.2.2 Jordan Theorem f ür Kurven Für jede einfache abgeschlossene Kurve (Jordan Kurve) C existieren zwei Bereiche, die beide die ¨ Punkte von C als Grenzpunkte besitzen. Der Innere dieser Bereiche ist beschränkt, der Außere ist unbeschränkt.

Aeussere von C z(c) z(d)

Innere von C

z(a)=z(b)

C

z(e)

Abbildung 6.10: Das Jordan-Theorem

6.2.3 Linien- oder Kurven-Integrale Definition Gegeben sei: Eine Kurve C: z = z(t) = x(t) + i y(t) ; Funktion w = f (z), die darstellbar ist als

(a ≤ t ≤ b) und eine komplexwertige

f (z(t)) = u(x(t), y(t)) + i v(x(t), y(t)) und die stückweise stetig ist für a ≤ t ≤ b. Dann definiert man Zb Z f (z) dz = f (z(t)) z 0 (t) dt C

a

86

(6.59)

(6.60)


Also: Zb

0

f (z(t)) z (t) dt =

a

Zb a

so daß

Z

f (z) dt =

C

Hinweis: Wenn C = C1

S

Z

0

0

(ux − vy ) dt + i

(u dx − v dy) + i

C

Zb

(vx0 + uy 0 ) dt ,

(6.61)

a

Z

(v dx + u dy) .

(6.62)

Z

f (z)dz

(6.63)

C

C2 , dann gilt Z

f (z) dz =

C

Z

f (z) dz +

C2

C1

z(c) z(a)

z(b)

C1

C2

Abbildung 6.11: Kurvenintegral Linearität Z

[αf (z) + βg(z)] dz = α

C

Z

f (z) dz + β

C

Z

g(z) dz

(6.64)

C

(α, β: komplexe Konstanten) Reverse Richtung Definition der Kurve in reverser Richtung −C: z = z(−t), (−b ≤ t ≤ a). Dann gilt für alle f (z): Z

f (z) dz = −

f (z) dz

(6.65)

Zb

Zb p |z (t)| dt = (x0 (t))2 + (y 0 (t))2 dt

(6.66)

−C

Z

C

Länge einer Kurve

L=

Z

C

|dz| =

a

0

a

87


z(b) z(b)

C -C

z(a)

z(a)

Abbildung 6.12: Inverse Richtung einer Kurve ML-Theorem Wenn f (z) beschränkt ist durch M entlang einer Kurve C (z.B. |f (z(t))| ≤ M , a ≤ t ≤ b), und wenn L die Länge der Kurve ist, dann gilt Z f (z) dz ≤ M L (6.67) C

6.2.4 Fundamentale Beziehungen zwischen analytischen Funktionen und einfachen abgeschlossenen Kurven Cauchy-Goursat Theorem

Wenn eine Funktion f (z) analytisch ist in allen Punkten innerhalb und auf einer einfach abgeschlossenen Kurve C, dann gilt Z f (z) dz = 0 (6.68) C

Cauchy-Goursat Theorem fur ¨ einfach zusammenh a¨ ngende Bereiche Wenn f (z) analytisch ist u¨ berall in einem einfach zusammenhängenden Bereich D, dann gilt Zf

(z) dz = 0

C

für jede einfach abgeschlossene Kurve C, die vollständig innerhalb D liegt. 88

(6.69)


D

C

Abbildung 6.13: Zum Cauchy-Goursat-Theorem

D

C

Abbildung 6.14: Zum Cauchy-Goursat-Theorem (einfach zusammenhängende Beeiche) Hinweise 1. Wenn C abgeschlossen ist und sich selbst endlich oft schneidet, S dann gilt das Cauchy-Goursat Theorem ebenfalls. Denn man kann C ausdrücken durch N j=1 Cj , wobei Cj einfach abgeschlossene Kurven sind. Es gilt Zf

C

(z) dz =

N Z X j=1 C

f (z) dz = 0

.

(6.70)

j

2. Als Konsequenz aus dem Cauchy-Goursat Theorem folgt: Wenn C 1 und C2 zwei einfache Bögen mit denselben Anfangs- und Endpunkten innerhalb eines einfach zusammenhängenden 89


Bereichs D sind, dann gilt

Z

f (z) dz =

C1

Dies gilt, weil der Bogen C = C1 D ist, so daß gilt

0=

Z

f (z) dz =

C

Z

C1

S

Z

f (z) dz

.

(6.71)

C2

(−C2 ) ein einfach abgeschlossener Bogen innerhalb von

f (z) dz +

Z

−C2

f (z) dz =

Z

C1

f (z) dz −

Z

f (z) dz

(6.72)

C2

3. Eine einfach abgeschlossene Kurve C, parametrisiert durch z = z(t), (a ≤ t ≤ b) heißt positiv orientiert, wenn mit wachsendem t die Kurve in mathematisch positiver Richtung (entgegen dem Uhrzeigersinn) durchlaufen wird. Gleichwertig ist die Aussage, daß z(t) die Kurve so beschreibt, daß das Innere von C immer links liegt.

Inn(C)

Inn(C) linke Seite

rechte Seite

C

C

Abbildung 6.15: Links: Positiv orientierte Kurve; rechts: negativ orientierte Kurve. 90


C3 C = C1 U C2 U C3

C2 C1

B

C1 C2

A

D

Abbildung 6.16: Ein weiteres Beispiel zum Cauchy-Goursat-Theorem

Z

f (z) dz = 0

Z

;

C

C1

f (z) dz =

Z

f (z) dz

(6.73)

C2

Cauchy-Goursat Theorem fur ¨ mehrfach zusammenh a¨ ngende Bereiche R: Abgeschlossener Bereich, bestehend aus allen Punkten auf und zwischen C, außer den Inneren der Cj .   N [ [  Cj  (C positiv orientiert, Cj negativ orientiert). B=C j=1

91


Wenn f (z) analytisch ist in R, dann gilt Z

f (z) dz =

B

Z

f (z) dz +

N Z X j=1 C

C

f (z) dz = 0

(6.74)

j

R

C2

C1 C

Abbildung 6.17: Zum Cauchy-Goursat-Theorem für mehrfach zusammenhängende Bereiche Hinweis: Wenn C und alle Cj positiv orientiert sind, dann lautet das Cauchy-Goursat Theorem Z

f (z) dz =

N Z X j=1 C

C

f (z) dz

(6.75)

j

Dies bedeutet, daß das Integral entlang der a¨ ußeren Kurve C (in positiver Richtung) gleich ist der Summe der Integrale entlang der inneren Kurven C j (ebenso in positiver Richtung). Z

C

f (z) dz =

Z

f (z) dz +

C1

Z

C2

(f (z) ist analytisch in R) 92

f (z) dz

(6.76)


R

C2

C1 C

Abbildung 6.18: Zum Cauchy-Goursat-Theorem für mehrfach zusammenhängende Bereiche (II)

6.2.5 Beispiele Bestimmung der Integrale entlang der einfach abgeschlossenen Kurve C in den Abbildungen: 1. I1 =

Z

sin7 z dz

(6.77)

C

y

x

0

C

Abbildung 6.19: Kurvenintegrale - Beispiel 1 I1 = 0, da f (z) = sin7 z analytisch ist u¨ berall in der komplexen z-Ebene. 2. I2 =

Z

C

dz (z − 1)(z + i) 93

(6.78)


y

C

1 x

0 -i

Abbildung 6.20: Kurvenintegrale - Beispiel 2 1 ist nicht analytisch innerhalb C. Es besitzt singuläre Punkte (d.h. Punk(z − 1)(z + i) te, in denen f (z) nicht analytisch ist) in z = 1 und z = −i. Man kann kleine Kreise mit dem Radius ε um die singulären Punkte zeichnen und sie betrachten als einfach abgeschlossene Kurven Cj , die gegeben sind durch f (z) =

z = z1 (t) = 1 + ε eit ,

z = z2 (t) = −i + ε eit ,

(0 ≤ t ≤ 2π) .

(6.79)

Für ausreichend kleine ε sieht das Bild wie folgt aus

y

C

C1

1

x

0

C2

-i

Abbildung 6.21: Kurvenintegrale - Beispiel 2 für kleine Epsilon 1 analytisch ist innerhalb des mehrfach zusam(z − 1)(z + i) menhängenden Bereichs R, folgt mit dem Cauchy-Goursat Theorem Z Z Z dz dz dz = + (6.80) (z − 1)(z + i) (z − 1)(z + i) (z − 1)(z + i) Da die Funktion f (z) =

C

Wegen

C1

C2

1 1 1 1 gilt = − (z − 1)(z + i) 1+i z−1 z+i   Z Z Z dz dz dz  1  = − (z − 1)(z + i) 1+i z−1 z+i C1

C1

94

C1

(6.81)


Da der Punkt z = −i außerhalb von C1 liegt, ist g(z) = daß gilt

Z

1 analytisch innerhalb von C1 , so z+i

dz = 0. z+i

(6.82)

C1

Nun soll

Z

C1

dz berechnet werden: z−1

Mit z(t) = 1 + ε eit , z 0 (t) = i ε eit (0 ≤ t ≤ 2π) folgt Z

C1

dz = z−1

Analog läßt sich berechnen

Z2π 0

Z

C2

Damit lautet das Ergebnis I2 =

i ε eit dt = (1 + ε eit ) − 1

Z2π i dt = 2π i

(6.83)

0

dz = 2π i (z − 1)(z + i)

(6.84)

Z

(6.85)

C

dz = 4π i (z − 1)(z + i)

3. I3 =

Z

C

dz 1 − z2

(6.86)

y

C

0 -1

1

x

Abbildung 6.22: Kurvenintegrale - Beispiel 3 1 analytisch ist außer in den Punkten z = ±1, welche 1 − z2 außerhalb des von C umschlossenen Bereichs liegen. I3 = 0, da die Funktion f (z) =

95


6.2.6 Stammfunktionen und Unabh¨ angigkeit vom Weg f (z) sei eine stetige Funktion in einem Bereich D. Eine analytische Funktion F (z) heißt Stammfunktion von f (z) in D, wenn gilt F 0 (z) = f (z), (zD). Das folgende wichtige Resultat ist gültig, wenn f (z) eine Stammfunktion F (z) besitzt: Satz: Wenn eine stetige Funktion f (z) u¨ berall in einem Bereich D eine Stammfunktion F (z) besitzt, dann ist der Wert des Linienintegrals von f vom Punkt z 1 in D zum Punkt z2 in D unabhängig vom benutzten Weg, vorausgesetzt dieser liegt vollständig in D. Dann gilt Zz2 f (z) dz = F (z2 ) − F (z1 ) ,

(6.87)

z1

wobei das Integral für irgendein Kurvenintegral von z 1 zu z2 steht. Beweis: Mit der Kettenregel d [F (z(t))] = F 0 (z(t)) z 0 (t) = f (z(t)) z 0 (t) dt

(6.88)

folgt, wenn z = z(t), (a ≤ t ≤ b) eine z1 = z(a) mit z2 = z(b) verbindende Kurve ist, Zb Zz2 t=b d [F (z(t))] dt = F (z(t)) t=a = F (z2 ) − F (z1 ) f (z) dz = dt

z1

qed

(6.89)

a

Der Umkehrschluß des vorhergehenden Resultats ist ebenfalls gültig: Satz: Wenn alle Kurvenintegrale einer stetigen Funktion f (z) unabhängig vom Weg innerhalb des Bereichs D sind, dann besitzt f (z) eine Stammfunktion F (z). (F 0 (z) = f (z)) u¨ berall in D. Beweis: Die Stammfunktion ist wie folgt definiert: Man wähle einen festen Punkt z 0 D und betrachte Zz für alle Punkte zD die Funktion F (z) = f (s)ds (wie zuvor steht das Integral für ein beliebiz0

ges Kurvenintegral von z0 zu z, vollständig in D gelegen. Es kann gezeigt werden (Aufgabe!), daß F 0 (z) = f (z). Hinweis: Für jedes z0 wird eine andere Stammfunktion ermittelt. Diese Stammfunktionen können sich aber nur unterscheiden durch additive Konstanten (Aufgabe!). Denn bei der Benutzung einer beliebigen Stammfunktion tritt nur die Differenz Zz2 f (z) dz = F (z2 ) − F (z1 )

z1

auf. 96

(6.90)


6.2.7 Beispiele 1.

Z1−i z 4 1−i (1 − i)4 14 5 3 = z dz = − =− 4 1 4 4 4

(6.91)

1

2.

Z

dz =0 z2

(6.92)

C

y

C

0 x

1

-1

1 C ist eine abgeschlossenen Kurve, d.h. es hat denselben Anfangs- und Endpunkt. f (z) = 2 z 1 besitzt die Stammfunktion F (z) = − . Das Resultat folgt also nicht aus dem Cauchy-Goursat z 1 Theorem, denn die Funktion f (z) = 2 ist nicht analytisch im Punkt z = 0, der innerhalb von z C liegt. 3.

Z

dz = 2π i z

z = z(t) = eit ,

(Kurve C :

0 ≤ t ≤ 2π)

(6.93)

C

y

C 0 x

1 entlang der abgeschlossenen Kurve C nicht Null z ist impliziert, daß eine Stammfunktion F (z) nicht existieren kann in einem beliebigen Bereich, 1 der die Kurve C enthält. Mögliche Stammfunktionen für f (z) = wären F (z) = log z, je z nach Definition von arg z. Dies erfordert immer einen Schnitt (‘branch cut’) der z-Ebene. Wie auch immer, jeder Schnitt schneidet die Kurve C.

Die Tatsache , daß das Integral von f (z) =

97

KAPITEL 6. FUNKTIONENTHEORIE Z

i

dz entlang eines beliebigen Weges, der z 1 = 1 mit z2 = i in der oberen 1 z Halbebene ={z} > 0 verbindet.

4. Berechnung von

y

Im(z)>0

i

C 0 1

3Pi/2

x

-Pi/2

Wahl eines Zweigs des Logarithmus:

log z = log r + iθ ,

(−

π 3π

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