Matematiksel Elyazmaları

MATEMATİKSEL ELY AZMALARI

Ç eviren: Öner Ünalan

B A ŞA K Y A Y IN L A R Fevzi Çakmak Sokak 36/13 Tel: 229 99 11 Demirtepe / ANKARA

Karl Marx, Mathematical Manuscripts (New Park Publications Ltd., 1983) adlı yapıtı Öner Ünalan, dilimize, Matematiksel Elyazmalart adıyla çevirmiş ve kitap BAŞAK YAYINLAR'ca Mayıs 1990 'da Şafak Matbaasında bastırılmıştır (Birinci baskı).

İÇ İN D E K İL E R T ü rk ç e Ç e v ire n in N o tu ............................................................................................ V İn g iliz c e Y a y ım la y a n la rın N o tu ..........................................................................VI S.A . Y anovskaya, 1968 R usça B asım a Ö n sö z............................................ VII E ngels'ıcn M arx'a M ektup (L o n d ra 'd a )................................................... XXVIII E n g els'tcn M arx 'a M ektup (V cn to r’d a )........................................................XXX M arx'tan E n g els'e M ektup (L on d ar’d a )...................................................... XXXI D İFERA NSİYEL H ESA P ÜSTÜNE İKİ ELY A ZM A SI.......................................1 "T üretilm iş F on k siy o n K avram ı Ü stü n e ”...........................................................3 I ..............................................................................................................................................3 I I ............................................................................................................................................ 6 D ife ra n siy e l Ü s tü n e ..................................................................................................15 I ............................................................................................................................................15 I I ..........................................................................................................................................24 "DİFERANSİYEL ÜSTÜNE” ADLİ ÇALIŞMAYLA İLGİLİ T A SL A K L A R V E E K L E R .................................................................................... 35 B irin c i T a s la k .........................................................*.................................................. 37 İk in c i T a s la k ...............................................................................................................55 [ I ] ........................................................................................................................................55 I I ..........................................................................................................................................60 Ü çü n cü T a s la k ............................................................................................................66 K im i E k le r................................................................................................................... 7 0 D İFE R A N SİY E L H ESA P TARİH İ Ü STÜ N E.................................................... 73 Deftere K onm am ış B ir Sayfa "B (A 'nm A rkası) II"..................................... 75 I. ilk T a s la k la r ......................................................................................................... 76 II. T a rih se l G e lişim Y o lu....................................................................................91 III. Ö z e tle rin A rk a s ı.......................................................................................... 100 TAYLOR TEOREMİ, MACLAURÎN TEOREMİ VE LAGRANGE'IN TÜRETİLM İŞ FONKSİYONLAR T EO R İSİ....................... 105 1. 'T ay lo r Teorem i, M acLaurin Teorem i ve Lagrange'm Türetilm iş F o nksiyonlar T e o risi" B aşlıklı E ly azm asın d an .......................................... 107 I I ..................................................................................................................................... 109 III. LagTange'ın F o n k siy o n lar T e o ris i.......................................................... 111 2. "T aylor T eorem i" B aşlıklı B itirilm em iş E lyazm asından...................... 114

"DİFERANSİYEL HESABIN TARİHİ ÜSTÜNE" BAŞLIKLI ELYAZMASINA VE D’A LEM BERT Y ÖN TEM İNİN Ç ÖZÜ M LEM ESİNE EKLER.........................117 "L im it” ve "L im it D eğer" T erim lerin in B elirsizliği Ü stüne..................... 119 D 'alem bcrt Y öntem inin C ebirsel Y öntem le K arşılaştırılm ası.....................122 D 'alem bert Y öntem inin B aşka B ir Ö m cklc D aha Ç özüm lem esi............... 126 RUSÇA Y A Y IM L A Y A N L A R IN E K L E R İ........................................................135 EK - 1 M arx’in B aşvurduğu K aynaklardaki "Limit" Kavramı K onusunda 137 E K -B Nevvton'un M arx'ça A nılan L cm m a’la n Ü stüne.............................................152 EK -111 L eonhard E ulcr'in S ıfırla r H esabı Ü stü n e ......................................................157 E K -IV John L anden'in R e s id u a l A n a ly sis' i ................................................................. 162 E K -V B oucharlat’ya G öre D iferan siy el H esap ilk e le ri......................................... 170 E K -V I M arx’in K ullandığı Kaynak K itaplarda T aylor ve M acLaurin T eorem leri ve L agrange'ın Ç özüm sel F onksiyonlar T eo risi....................... 180 N O T L A R ........................................................................................................................191 MARX'IN MATEMATİKSEL ELYAZMALARI ÜSTÜNE EK G E R E Ç L E R ........................................................................................................213 E. Kol’man, KARL MARX ve MATEMATİK: M arx'm "M atem atiksel E ly azm aları" Ü stü n e ................................................215 HEGEL VE MATEMATİK E m si Kol'man ve Sonya Y anovskaya M a rk sç ıltk B a yra ğ ı A ltın d a 'd m ........................................................................ 2 36 HEGEL, MARX ve KALKÜLÜS C. Sm ith 1. M a rx'in M a te m a tik se l Y a p ıtı......................................................................258 2 . S o n su z B u n a lım ı.............................................................................................. 2 6 0 3. Ile g e l ve S o n s u z ............................................................................................. 263 4. S onsuz K onusunda M arx ve E n g e ls........................................................265 5. M arx ve D ifera n siye l ve In te g ra l H esa p ................................................. 267 6. S o n ra k i G e liş m e le r......................................................................................... 2 70 7. M a tem a tikse l B ilg i N e d ir ? ..........................................................................272 M ARX’IN BAŞVURDUĞU K A Y NA KLA R D İZİN İ.......................................275 K O N U L A R D İZ İN İ................................................................................................ 277

T Ü R K Ç E Ç E V İR E N İN NOTU Okur, bu kitabın biçimiyle ilgili kimi bilgileri Prof. S.A. Yanovskaya’nm yazdığı önsözün sonunda bulacaktır. Onlara şunları eklemekte ya­ rar var: Ayraç içindeki İngilizce sözcükler, terimler, vb. eksik veya yanlış anlamaları önlemek için çevirence alıkonmuştur. Türkçeye çevirenin her­ hangi bir notunun, eklemesinin, vb. sonuna "-ç." konm uştur. "-Trans." İngilizceye çeviren, "-Ed.” İngilizce yayımlayan ile ilgili noüarı, yorum­ ları, vb. gösterir. Ç eviride, elden geldiğince, alışılm ış Türkçe matematik terimleri kullanıldı. Yalnız, eldeki matematik terimleri sözlüklerinde Türkçe karşı­ lığı bulunmayan veya bulunup da yadırganan birkaç terime karşılık bul­ mak gerekti: increm ent-aıim , d e c r e m e n tksilim, dijferenliation-hıkhfoşlırma, derivation-türetim gibi... Bu not vesilesiyle, elinizdeki çeviriyi, onu gözden geçiren kızım Yosum'a armağan etliğimi söylemek isterim.

[İN G İL İZ C E , -ç] Y A Y IM L A Y A N L A R IN N O T U Bu kitabın büyük kesim i, Profesör S.A. Yanovskaya'nın 1968'de Moskova'da yayımlanmış Karl M arx, M athcm aticheskie R ukopsii'nden çevrildi (Anılan kitaba bu ciltte Yanovskaya, 1968 diye göndermede bulu­ nulacak). Bu kitap, Marx'in matematiksel elyazmalarını, Rusça çevirileri­ nin yanısıra, orijinal biçim leriyle de içerir. (Bu clyazmalarının Rusçaya çevrilmiş parçalan 1933'tc çıktı.) Diferansiyel hesap konusunda Marx'tan kalmış, az veya çok bitmiş elyazmalarını ve bunların ilk taslaklarını kap­ sayan Rusça yayının Birinci Bölümünü aldık. M arx'in incelediği matema­ tik kitaplarıyla ilgili alıntılardan ve yorumlardan oluşan İkinci Bölümü (Yanovskaya, 1968) çevirmedik. 1930'dan beri bu elyazm alan üzerinde çalışmış olan Profesör Yanovskaya, bu kitap yayım lanmak üzereyken öldü. Birinci bölüme onun önsözünün, altı Ekinin ve Notlarının çevirisini kattık. Bunlardan başka şunları aldık: a) Bu yazmaların tartışıldığı, Engcls'in Marx'a yazdığı iki ve Marx' m Engcls'c >azdığı bir mektuptan alınlılar; b) Bu clyazmalarıyla ilk kopyalarının çıkarılmasından beri ilgilen­ miş ve 1979'da İsveç'te ölm üş olan Sovyet Matcıtıatikçisi E. Kol'man'ın Yanovskaya 1968 üstüne incelemesinin Rusçadan çevirisi; c) Yanovskaya ile Kol'man'ın 193 l ’dc Pod znamenem markzisma Dergisinde çıkmış, "Hegel ve M atematik" konulu bir m akaleleri. Bu, Ünler dem Banner des M arxism us adlı Alman dergisinde çıkmış versiyo­ nundan çevrildi; d) Cyril Smith’in bu kitap için yazdığı "Hegel, Marx ve Kalkülüs" konulu bir deneme. Yanovskaya 1968’dcn alman gereçleri ve E. Kol'man'ın incelemesi­ ni C. Aronson ile M. Mco çevirdi. Marx ile Engels arasındaki mektupları ve Yanovskaya ile Kol'man' in makalesini R. A. Archer çevirdi.

VI

S. A. Y anovskaya 1968 R U SÇ A B A SIM A Ö NSÖZ

Engels, Anti-D ühringin ikinci basımına önsözünde, Marx’utn ken­ disine kalan clyazmalarından matematiksel içerikli olan kimilerine büyük önem verdiğini ve onları ileride yayımlamak niyetinde olduğunu açıklar. Bu elyazm alannın fotokopileri (yaklaşık 1.000 yaprak), Sovyetler Birliği Komünist Partisi Merkez Komitesinin Marx-Lcnin Enstitüsü arşivlerinde saklanm aktadır. 1933'te, Marx'm ölümünden elli yıl sonra, bu Ayazma­ larından Marx'in diferansiyel hesabın temelleri üstüne düşüncelerini içeren ve 1881'de hazırlayıcı nitelikteki gereçlerle birlikle Engels için özetlediği parçalar Rusçaya çevrilip önce M arksçılık Bayrağı Alım da D ergisinde (1933, no. 1, s. 15-37), sonra da M arksçılık ve Bilim dermesinde (1933, s. 5-61) yayımlandı. Ne var ki, matematiksel Ayazmalarının bu parçalan bile, şimdiye değin kendi dillerinde yayımlanmamışur. Şimdiki basımla, Marx'in az veya çok bilmiş karakterde olan veya diferansiyel ve integral hesap kavranılan veya öbür matematiksel sorunlar üstüne gözlemlerini içeren bütün Ayazmaları, tümüyle yayımlanıyor. M arx'm matematiksel Ayazmaları birkaç çeşittir; kimileri onun di­ feransiyel hesap, bu hesabın doğası ve tarihi üstüne çalışmalarını, kimileri ise kullandığı kitapların özellerini ve onlarla ilgili notları içerir. Bu cilt, buna uygun olarak, iki bölüme ayrıldı. Marx'in özgün çalışmaları birinci bölüm de yer alıyor, ikinci bölümde ise m atem atiksel içerikli, tümüyle açıklayıcı özeller ve parçalar bulunuyor*. M arx’in incelemelerde yer alan yazıları da, gözlemleri de, kendi dilleriyle ve Rusça çevirileriyle yayımla­ nıyor. M arx’in kendi çalışması, doğallıkla özetlerden ve başkalarının çalış­ malarını alıntılayan uzun parçalardan ayrıdır; bununla birlikte, Marx'm düşüncesini tümüyle anlamak, yazınla ilgili incelemelerinden sık sık bil* İtlinizdeki cilı yalnız birinci bölümün çevirisini içeriyor.

VII

gilcnmcyi gerektirir. Bundan ötürü, Marx'in matematiksel yazılarının içe­ rikleri üstüne doğru bir sunum, ancak kitabın bütününden çıkarılabilir. Marx, matematiğe ilgisini Kapital üstüne çalışması sırasında geliş­ tirdi. Engels'e gönderdiği 11 Ocak 1858 tarihli mektubunda şöyle yazar: "Ekonomik ilkeleri çözerken hesaplama yanlışlarıyla öyle kötü engellendim ki, umutsuzluktan bir an önce cebir öğrenmeyi tasarladım. Aritmetik bana yabancı kalıyor. Ama cebirsel yol bo­ yunca kendi yönüm de yeniden hızla ilerliyorum." (K. Marx'tan F. Engels'e, Works, Vol. 29, Berlin 1963, s. 256.) Marx'in ilk matematiksel incelemelerinin izleri, politik ekonom iy­ le ilgili ilk defterlerinin paragraflarına dağılmıştır. Kimi cebirsel yorumla­ malar, çoğunlukla, 1846'ya tarihlenen defterlerde görülür. Ama bu, daha geç bir zamanda yazılmış defterlerin dağınık yapraklarında böyle olm a­ mıştır demek değildir. Kimi öğesel geometri taslakları ile seriler ve loga­ ritmalar üstüne çeşitli cebirsel yorumlar, Nisan-Haziran 1858'c tarihlcnip de Politik Ekonomi E leştirisine (Critique o f Political Economy) hazırlık niteliğindeki gereçleri içeren defterlerde bulunabilir. Ama, bu dönemde, Marx'in matematiksel düşünceleri, düzensiz ola­ rak, çoğu zaman başka herhangi bir şeyle uğraşmadığı sırada ilerler. Nite­ kim 23 Kasım 1860'la Engels'e şöyle yazar: "Benim için yazmak neredey­ se 'olanaksız*. Gerekli 'kafa rahatlığını' hâlâ bulduğum tek konu m atema­ tik." (M arx-Engels, Works, Vol. 30, Berlin, 1964, s. 113) Buna karşın, matematiksel düşüncelerini aralıksız sürdürür ve 6 Temmuz 1863'tc Engcls'c şunları yazar

"Boş zamanımda diferansiyel ve integral hesapla uğraşıyo­ rum. Bir öneri! Elimde bir yığın kitap var ve konuyu incelemek is­ terseniz birini size göndereceğim . Askeri incelem eleriniz için hemen hemen zorunlu sayıyorum. Yeri gelmişken söyleyeyim ki (yalnız teknikle ilgili olarak), örneğin ccbirin yüksek bölüm lerin­ den çok daha kolay bir matematik bölümü. Konik kesitler üstüne VIII

genel bilgi dışında, incelemek için alışılm ış cebir ve trigonometri bilgisinden başka hiçbir şey gerekli değil." (Agy., s. 362)

1865 sonundan veya 1866 başından kalma, korunmamış bir mektu­ bun ekinde, Marx parabole çizilen teğet probleminden bir örnekle diferan­ siyel hesabın temellerini Engels'c açıklar. Bununla birlikte, hûlâ matematiğin tem elleriyle önce politik eko­ nomiyle bağlantıları içinde ilgilenmektedir. Böylccc, 1869'da, kapital do­ laşımı sorunlarına ve devletlerarası bonoların rolüne ilişkin incelemeleri dolayısıyla Marx, ticari aritmetiğin genel gidişi, ayrıntılı olarak özetlediği Fcllcr ve Odcrmann üstüne bilgi edindi (krş. elyazm ası 2388 ve 2400). Kendisini önceden yeterli bulmadığı kimi sorunlarla karşılaşınca, onları tümüyle, temellerine dek öğrenmeden etmemek, Marx'in inceleme teknik­ lerinin ayırıcı özelliğiydi. Fcllcr ile Odcrmann'ın matematiksel bir teknik kullandıkları her kez, Marx o tekniği biliyor bile olsa, bellediklerini taze­ lem eyi zorunlu saym ıştır. Ticari aritm etikle ilgili incelem elerinde yukarıda anılanlarda ve çok daha sonrakilerde, krş. elyazması 3881,3888, 3981- ayrıca, Marx'in yüksek matematik alanlarına geliştirdiği tümüyle matematiksel içerikli ekler bulunur. 1870'lcrde, 1878'dcn başlayarak, Marx'm matematik üstüne düşün­ celeri daha sistemli bir karakter kazanır. Bu dönem le ilgili olarak Engels, Kapital’ in ikinci basımına önsözde der ki:

"1870'len sonra, daha çok Marx'in ağrılı hastalıkları yüzün­ den bir duraklam a oldu. Zam anını çoğunlukla inceleme yaparak geçirmek M arx'in alışkanlığıydı; bilimsel tarım, Amerikan ve özel­ likle Rus toprak ilişkileri, parasal pazarlar ve bankalar, son olarak da doğal bilim: Yerbilim ve fizyoloji, özellikle de kendi matema­ tiksel çalışması; bütün bunlar, o dönemden kalma sayısız defterle­ rin içeriklerini oluşturdu." (M arx-Engcls, Works, Vol. 24, Berlin, 1963, s. 11)

IX

Aynı zamanda, matematiği politik ekonomiye uygulama problem­ leri Marx'i ilgilendiredurdu. Nitekim 31 Mayıs 1873 tarihli bir mektubun­ da Engcls'e şunları yazdı: "Privatim [özel olarak, -ç.] gümrükten kaçırılmak gerekmiş bir tarihi Moore'a demin gönderdim. Ama o, bu sorunun çözülmez olduğunu ve hiç değilse bu sorunla ilgili olguların hâlâ ortaya çı­ karılması gereken birçok parçası bakımından proiem pore [geçici olarak, -ç.) çözülm ez olduğunu sanıyor. Konu şöyle: Fiyatların yüzde ile vb. vb. hesaplandığı, bir yıl içindeki gelişim leriyle vb. yükselmelerinin ve düşmelerinin zigzag çizgilerle gösterildiği tab­ loları biliyorsunuz. Bu alımların çözümlemesi için bu "çıkışları ve inişleri" sayıntısal (fictional) eğriler gibi hesaplamaya birçok kez çalıştım ve bundan matematiksel olarak önemli bir bunalım lar ya­ sası çıkarmayı düşündüm (yeterli deneysel gereçle bunun olabile­ ceğini şimdi bile düşünüyorum). Moorc, önceden söylediğim gibi, problemi epeyce uygulanmaz sayıyor. Ben de uğraşmaktan şimdilik vazgeçtim" (Marx-Engcls, Works, Vol. 33, Berlin, 1966, s. 82). Dolayısıyla, bellidir ki, Marx matematiği politik ekonom iye uygu­ lama olanağını bilinçli olarak konu ediyordu. Kitabımızın ikinci bölü­ münde Marx'in bütün matematiksel elyazrnalarının eksiksiz metinlerinin verilmesi, Marx'i cebiri ve ticari aritmetiği incelemekten diferansiyel hesa­ ba ne sürükledi sorusunu gene de tümüyle yanıtlamaz. Gerçekte, Marx'in matematiksel elyazmaları kesinlikle bu dönemde, öğesel matematikle yal­ nız diferansiyel hesabı incelemesinden doğan problemlerle bağlantılı ola­ rak ilgilendiği sırada başlar. Trigonometri ve konik kesitler konusundaki incelemeleri, Engcls'e zorunlu olduğunu bildirdiği işte bu koşullarla an­ lanır. Ama diferansiyel hesapla, özellikle de temellerinde -üzerine kurul­ duğu yönıcmbilimsel tabanda- güçlükler vardı. Engels'in A nti-D iihring' inde bu durum daha çok aydınlatılmıştır:

X

"Değişken büyüklükler ile onların sonsuz küçüğe ve sonsuz büyüğe değişkenlikleri kapsam ının ortaya konm asıyla birlikle, başka bakımlardan pek ahlaksal olan matematik gözden düştü; ken­ disine en ulu başarıların yolunu, ama aynı zam anda yanılma yolu­ nu açmış olan bilgi ağacını yedi. M atematiksel olan her şeyin o el değmemiş saltık geçerlik ve söz götürm ez kesinlik durumu, son­ rasıza dek yitti; matematik taruşma alanına girdi ve pek çok kimse­ nin yalnız anladığı için değil, katışıksız inançtan ölürü farklılaştır­ ma ve bütünlem e hesabı yaptığı bir noktaya vardık; çünkü inanç şimdiye dek hep haklı çıkmışu." (Anti-D ühring, s. 107) M arx, doğal olarak bunu benimsemedi. Onun kendi sözcüklerini kullanarak diyebiliriz ki, Marx için, "burada, her yerde olduğu gibi, belir­ sizlik peçesini kaldırıp atmak bilim için önem lidir.” (Bkz. : s. 107) Bu çok önemliydi; çünkü öğesel matematikten değişken bir niceliğin mate­ matiğine geçmek, özünde diyalektik bir karakterde olmalıydı; Marx ile En­ gels de, kendilerini, maddeselci diyalektiğin yalnız toplumsal bilimlerle değil, doğal bilimlerle ve matematikle de nasıl uzlaştırıldığmı göstermekle yükümlü saydılar. Değişken nicelikler matematiğinin diyalektikle incelen­ mesi, ancak "çağımızda sonsuz küçüğü -diferansiyelleri ve çeşitli sıralar­ dan sonsuz küçük nicelikleri- hesaplamak için kullanılan niceliklerle çev­ rilmiş bir peçe" (M arx-Engels, Works, Vol. 20, Berlin, 1962, s. 30) oluşturan şey başlan sona soruşturularak başarılabilir. Marx kendi önüne işte bu problemi koydu: Diferansiyelin değerleriyle işlem yaparak sembo­ lik hesap diyalektiğinin aydınlatılması. Marx matematik konusunda kendi başına düşündü. Yararlandığı tek kişi, o zam anlar matematik anlığı epey sınırlı olan dostu Samuel Moore idi. Moore, Marx’a önemli bir yardımda bulunamadı. Üstelik, Marx'in türetim ve sembolik diferansiyel hesabın anlamı üstüne açıklayıcı düşünce­ lerini içeren (Engcls'e gönderdiği) 1881 clyazm alarıyla ilgili sözlerinden anlanabilcccği gibi, M oore bu düşünceleri düpedüz anlam adı. (Krş. Marx'in Engcls'e mektubu bu ciltte s. XXXV) Marx, diyalektik hesapla ilgili ders kitaplarını inceledi. Kendisini Cambridge Üniversitesindeki kurslarda kullanılan kitaplarla yöneltti. Bu XI

üniversitede, XVII. yüzyılda Ncwion'un bir yüksek matematik kürsüsü vardı ve Ingilizlcr bu kürsünün geleneklerini Marx'in gününe dek sürdür­ müşlerdi. Gerçekte, geçen yüzyılın 20’lcrinde ve 30'larında, matematikçile­ rin "Analytical Socicly"si çevresinde toplanmış genç İngiliz bilginleri ile onlara karşı olup da Newton ile simgelenen dokunulmaz bir "clerical" dog­ maya döndürülmüş yerleşik ve eskimiş gelenekler arasında sert bir sava­ şım vardı. İkinciler, onun Fn7ıc//;/a'sındaki sentetik yöntemleri, her prob­ lem sonradan diferansiyel ve integral hesap aygıtıyla çözülebilen daha ge­ nel bir probleme döndürülmeksizin başlangıçtan çözülmek gerekir koşu­ luyla uyguladılar. Bu bakımdan, olgular yeterince açık gösteriyor ki, Marx diferan­ siyel hesabı incelemeye, Fransız Baş Rahip Sauri'nin Leibnitz yöntemleri­ ne dayanan ve onun işaretlemesiyle yazılmış Coıırs complet maıhematiques (1778) adlı yapılıyla başlayıp sonradan Ncwion'un D e analyse per aequationes numero termiforum infıniias'mûım yararlanmıştır (krş. elyaz­ ması 2753). Marx, Sauri’nirı Leibnitz algoritmik farklılaştırma yöntem le­ rini kullanışından öyle hoşlanmışım ki, bunun bir açıklamasını (parabolün teğeti problemine uygulanışıyla birlikte), mektuplarından birine yazdığı özel bir ekle Engels'e göndermiştir. Ama Marx Sauri'nin Coıırs 'u ile yetinmedi. Yararlandığı sonraki metin, Fransızca modern (1827) bir ders kitabının, J. -L. Boucharlal'nm Elements de calcul differential el du calcul integral' inin İngilizce çeviri­ şiydi. Bu kitap scçmcei bir ruhla yazılmış olup d'Alembert ile Lagrange’m düşüncelerini bileştirir. Kitap yalnız. Fransa'da sekiz kez basılmış, yabancı dillere (Rusçaya da) çevrilmiştir, ama Marx’a yetmemiştir. M arx, bundan sonra bir dizi monografiden ve inceleme ders kitaplarından yararlanır. Euler'in ve (Newton'u halkçıllaşlırmış olan) MacLaurin'in klasik yapıtla­ rından başka, Lacroix'mn, Hind'in, Hcmming’in ve başkalarının üniversite ders kitapları vardır. Marx bütün bu kitaplardan özetler ve işaretlemeler (notation) çıkarm ıştır. Bu ciltlerde, diferansiyel hesabın kendine özgü güçlükleriyle başa çıkmaya, diferansiyel ve integral hesabı cebirsel bir biçime, yani aşırı bu­ lanık Newtonsal "sonsuz küçük" ve "limit" kavramlarından yola çıkmayan bir biçime sokma yollarını bulmaya girişmiş olan Lagrangc’ın görüş nok­ XII

tası, Marx'i öncelikle ilgilendirdi. Ama Lagrange'm düşüncelerini ayrıntılı olarak öğrenm ek, Marx'i diferansiyel hesabın sem bolik aygıtıyla bağ­ lantılı güçlükleri çözm ede bu yöntem lerin yetersizliğine inandırdı. O zaman Marx, diferansiyel ve integral hesabın doğasını açıklamak amacıyla kendi yöntemini bulmak için çalışmaya başladı. Cildin ikinci yarısında yapıldığı gibi, Marx'in matematiksel clyazmalarınm düzenlenmesi, onun bu yöntemlere ulaşma yolunu aydınlatmaya olanak verebilir. Örneğin, Lagrange'm bakışını düzeltmek çabasıyla baş­ layarak, Marx'in diferansiyel hesabın cebirsel köklerinin yetkin bir unlan­ masıyla birlikle cebire nasıl yeniden döndüğünü görüyoruz. Doğal olarak, burada Marx'in ilgisi, cebirsel bir denklemin çokkatlı (multiple) kökleri teoremine yöneliktir ki, bu teoremin bulunuşu denklemlerin ardışık farklılaştırılmalarıyla sıkıca bağlantılıdır. Bu sorunu Marx "Cebir I" ve "Cebir II" başlıkları altında 3932, 3933 elyazm alan serisinde özellikle konu et­ miştir. Önemli Taylor ve MacLaurin teoremlerine özel dikkat göstermiş­ tir. Böylece, özeller, özet sayılmaları olanağı kolayca bulunmadığı için tü­ müyle verilen 3933,4000 ve 4001 sayılı elyazmalarına varmıştır. Özetlerdeki genel anlatımda Marx kendi işaretlemesini gittikçe daha çok kullanm aya başlar. Çeşitli yerlerde, fonksiyon kavramı yerine özel işaretleme ve ^ yerine ^ kullanır. Bu sembollere öbür elyazmalarından 0 ax birkaçının çeşitli yerlerinde rasüanır (krş. 2 7 6 3 ,3 8 8 8 ,3 932,4302). Lagrange'm "katışıksız cebirsel" yönteminin diferansiyel hesabın dayanaklarıyla ilgili güçlükleri çözmediğine inanmış ve aslında diferan­ siyel ve integral hesabın doğası ve yöntemleri üstüne kendi öz düşüncele­ rini edinmiş olan Marx, çeşidi farklılaştırma yolları üstüne yeniden melinsel gereç toplam aya başlar (krş. elyazm alan 4038 ve 4040). Ancak (belirli fonksiyon sınıfları için) "cebirsel olarak" farklılaştırma yöntemleri ileri süren yorumları okuduktan sonra, ancak temel düşüncelerin taslak­ larını kurduktan sonra, kendi görüş noktasını dile getirir. Bunlar, burada bu cildin ilk bölümünde yayımlanmış elyazm alarm da ve değişikliklerde gösterilmiştir. Şimdi bu clyazmalarının içeriklerine geçiyoruz. Marx'in matematiksel çalışmalarından pek çoğunun larihlcndiği 1870'lcrde, gerçek sayıların ve limitlerin çağdaş klasik çözümlemesi ve XIII

kendine özgü teorileri Avrupa Kıtasında (çoğunlukla W cicrstrass, Dedekind ve Cantor'un yapıtlarında) saptanmıştı. Bu daha tam çalışm a o zam anki İngiliz üniversitelerinde bilin­ miyordu. Ünlü İngiliz Matematikçi Hardy, anlamlı biçimde daha sonra (1917) yazılmış Course o f Pure M athematics'inûz şu yorumu nedensiz yapmamıştır: "[bu kitap] çözüm lem e Cam bridgc'le yüzüstü bırakıldığı sırada, şimdi epey gülünç görünen bir vurgulama ve istekle yazıldı. Onu şimdi yeniden yazmam gerekseydi (Prof. Lililcwood'un benzetmesini kul­ lanarak) "yamyamlara misyonerce konuşma" gibi yazmamam gerekirdi", (1937 basımının önsözü). Hardy'nin çözümlemeyle ilgili monografilerde "şimdi [yani 1937'dc] Ingiltere'de bile hiçbir eksiklik yoktur” olgusunu özel bir başarı gibi göstermesi gerekmiştir. Bundan ötürü, Marx'in matematiksel çalışmalarında o zaman Kıtada yaratılmış daha çağdaş matematiksel çözümleme problemlerinden yoksun kalabilmiş olması şaşırtıcı değildir. Her şeye karşın, Marx'in sembolik di­ feransiyel hesabın doğası üstüne düşünceleri şimdi bile ilgi uyandırmak­ tadır. Diferansiyel hesap, kendi sembolleri ve terminolojisiyle, "diferan­ siyel" ve farklı sıralardan "sonsuz küçük" gibi kavramlarla, dx, dy, c fy , d3y... — ,

ve başkaları gibi sem bollerle tanımlanır. Ge-

dx2 dx3 çen yüzyılın ortasında, Marx'in kullandığı ders kitaplarından birçoğu, bu kavramları ve sembolleri, alışılmış matematiksel sayılardan ve fonksiyon­ lardan farklı nicelikler kurma özel yöntemleriyle birleştirdiler. Gerçekte, matematiksel çözümleme bu özel niceliklerle iş görmek zorundaydı. Bu, günümüzde doğru değildir: Çağdaş çözümlemede özel semboller yoktur; ama bu sem boller ve terminoloji korunmuştur ve tüm üyle uygun bile görünür. Nasıl? Onlara karşılık olan kavramların hiçbir anlamı yoksa bu nasıl olabilir? Karl M arx’m matematiksel elyazm aları bu soruya en iyi yanıtı verir. Gerçekle öyle bir yanıt ki, genel teorisi ancak yakın zaman­ larda çağdaş matematiksel mantıkla kurulmuş olan bütün sembolik dife­ ransiyel ve integral hesabın anlanmasına olanak verir.

XIV

işin can alıcı noktası, sembollerin diferansiyel ve integral hesaptaki işlemsel rolüdür. Örneğin, bir dizi problemin çözümünde belirli bir hesap­ lama yöntemi yinelenerek kullanılmak gerekirse, o zaman, bu yöntem için uygun biçimde seçilmiş özel sembol, onun doğuşunu veya Marx'm deyişiyle, onun "eylem stratejisini” gösterir. Süreç için ortaya konmpş sembolik gösterimden ayrı olarak, sürecin kendisi için ortaya çıkan o sem­ bole, Marx "gerçek" der. Öyleyse bunun için uygun biçimde seçilmiş yeni bir sembol getir­ mek neden? Marx'm yanıtı, bunun bize bütün işlem i her kezindc yeniden yapmama, tersine, onun daha önce çeşitli durum larda yapılmışlığı olgu­ sundan yararlanarak, daha karmaşık durumlardaki işlemi daha basit durum­ lardaki işleme indirgeme olanağı verdiğini bildirir. Belirli yöntemin düzen­ lilikleri bir kez iyice bilinince, bunun için yalnızca bu indirgemeyi başarmak için seçilmiş yeni sembollerle iş görmenin çeşitli genel kural­ larını göstermek gereklidir. Bu adımla da, Marx'm dediği gibi, "kendi öz tabanında" yeni sembollerle işleyen bir hesap elde ederiz. Ve Marx, "tersi­ ne çevrilmiş yöntem"in diyalektiği ile, sembolik hesaba bu geçişi tümüy­ le aydınlatır. Öte yandan, diferansiyel hesap kuralları, "gerçek" süreçten sembolik olana geçmeyip sembole karşılık olan "gerçek" süreci aramamı­ za, sembolü bir iş görücü yapmamıza izin verir -yukarıda anılan "eylem stratejisi". Marx, 1881'de yazılmış iki önemli çalışmasında bütün bunu yapıp Engels'e göndermiştir: "Türetilmiş Fonksiyon Kavramı Üstüne" (bkz. s. 3) ve "Diferansiyel Üstüne" (s. 15). Birinci çalışm asında Marx, çeşitli fonksiyon tipleri için, türetilmiş fonksiyonları ve diferansiyelleri bulmak amacıyla, "gerçek" yöntemi göz önünde tutar ve ("cebirsel" yöntem dediği) bu yöntem için uygun semboller sunar. İkinci çalışm asında "tersine çev­ rilmiş yöntem"i elde eder ve diferansiyel hesabın "kendi tabanı"na aktarır; bu amaçla da her şeyden önce bir çarpımın, çarpanlarının türevlerinin top­ lamı olarak anlatılan, türeviyle ilgili teoremi kullanır. Marx'm kendi sözcükleriyle "böylcce, sembolik diferansiyel katsayısı, gerçek eşdeğeri ilk bulunan özerk (autonomous) başlangıç noktası olur... Ama, buna uyarak, diferansiyel hesap da şimdiden kendi tabanından (Boden) bağımsız olarak işleyen özel bir hesaplama biçimi gibi görünür. Çünkü onun — , — XV

başlangıç noktaları, yalnız onun olan ve ona özgü matematiksel nicelik­ lerdir." (s. 21). Onlar bunun için "işlemsel sembollere (Operationssymbole), "türevlerini" bulmak için... yürütülmek gereken işlemin sembollerine dönüşıürülüvcrir. Aslında ”ıürcv"in sembolik anlatımı olarak ortaya çıkıp böylecc önceden bütünlenmiş olan sembolik diferansiyel katsayısı, şimdi henüz bitirilecek farklılaştırma işleminin sembollerinin rolünü oynar." (s. 21 - 22 ) Marx'in öğretilerinde, temel matematiksel çözümleme kavramla­ rının çağdaş matematiğe özgü katı tanımları yoktur. Bu yüzden, clyazmalarınm içerikleri, ilk bakışta XVIII. yüzyılın sonunda, sözgelimi Lagrangc'ın gereklerine uygun olmayarak, modası geçmiş görünür. Gerçeklikte, Marx'in elyazmalarının ana ilke karakteristiği bugünkü günde bile önemli anlamdadır. Marx, çağdaş katı tanımlanmış gerçek sayı, limit ve süreklilik kavramlarını tanımıyordu. Ama o kavramları bilseydi bile, besbelli onlar Marx'a yetmezdi. Marx'in türev fonksiyonu arama "gerçek" yöntemini, yani algoritmayı, önce belirli bir fonksiyon için bir türev var olup olm a­ dığı sorusunu yanıtlamak, sonra da, var ise, onu bulmak için kullanması, kanıttır. İyi bilindiği gibi, limit kavramı algoritmik bir kavram değildir ve bundan ölürü böyle problem ler yalnız belirli fonksiyon sınıfları için çözülebilir. Bir fonksiyonlar sınıfı, cebirsel fonksiyonlar sınıfı yani, her­ hangi bir kuvvete yükseltilm iş değişkenlerden bileşmiş fonksiyonlar, Marx'ça, "cebirsel" farklılaştırma nesneleri gibi gösterilir. Gerçekte, Marx yalnız bu türlü fonksiyonlara değinir. Bugünlerde, yukarıdaki soruların ikisi içinde yanıtı olanaklı fonksiyonlar sınıfı önemli ölçüde genişletil­ miştir ve bunların hepsi üzerinde çağdaş katılık ve kesinlik standartlarına uyan işlemler yapılabilir. Demek ki, Marksçı görüş için özsel olan şudur: Limitlerin dönüştürülmeleri gerçek işleyişlerinin ışığında dikkate alınır; başka bir söyleyişle, matematiksel çözümleme, burada tanımladığımız al­ goritmalar teorisine dayanılarak kurulmaktadır. Engels'in Doğa Diyalektiği'nücki şu sözlerini kuşkusuz iyi biliyo­ ruz: "Matematikte dönüm noktası, Dcscarıcs'ın değişken nicelikleri ortaya koymasıydı. İyi ki bu hareket ve onunla birlikle diyalektik m atem atiğe girdi ve iyi ki aynı zamanda doğan ve genellikle ve bütün olarak Newton

XVI

vc Lcibnitz'çe onaya konmamışsa da yetkinleştirilen diferansiyel ve integ­ ral hesap çabucak zorunlu oldu" (Dialectics o f Nature, s. 258). Peki ama, bu "değişken nicelik" nedir? Genellikle, matematikte bir "değişken" nedir? Ünlü İngiliz Filozof Bertrand Russel bu noktada der ki: "Bu, doğal olarak, anlanması en güç kavramlardan biridir." Matematikçi Kari M enger ise, bu kavramın tümüyle farklı allı anlamını sayar. Değiş­ kenler -başka bir söyleyişle, fonksiyonlar- kavramını ve genellikle mate­ matikte değişkenler kavramını aydınlatmak için, M arx’m matematiksel elyazm alan şimdi pek önemli şeyler göstermekledir. Marx, fonksiyon kavramlarının çeşitli anlamları sorununu doğrudan doğruya koydu: "x" fonksiyonları ve "x 'li" fonksiyonlar; ve değişkenlerin değişmesiyle ilgili matematiksel işlemin nasıl gösterileceği, bu değişmenin ne içerdiği üze­ rinde özellikle durdu. Değişkenlerin değişmesinin gösterilme yolu sorunu­ na Marx özel önem verdi; öylesine ki, ayırıcı nitelikte olarak, onun ortaya koyduğu "cebirsel" farklılaştırma yönteminden söz ediliyor. Gerçek odur ki, Marx değişkenin değerinde (salt değeri) arlımın önceden hazırlanmış değerlerinin artması (veya eksilmesi) olarak herhangi bir değişme gösterilmesine olanca gücüyle karşı çıktı. Bir veya başka bir niceliğin değişme sırasında aldığı biiıiin değerleri kesinlikle inceleyebile­ ceğimizi öne sürmek, o niceliğin değerinin gerçek değişmesinin yeterli bir düşünselleştirilmesi gibi görünür. Gerçeklikte bütün böyle değerler ancak yaklaşık olarak bulunabildiğinden, diferansiyel hesabın dayandırıldığı var­ sayımlar öyle olmalıdır ki, belirli f(x)'ıcn dolayı f(x ) türev fonksiyonunun eksiksiz bir anlatımı için böyle herhangi bir değişkenin değerleri bütünü üstüne bilgi gereksenmesin, am a/(x) anlatımının elde bulunması yetsin. Bunun için yalnızca şunu bilmek gerekir: Değişken x 'in değeri gerçeklen öyle bir biçimde arlar ki, değişken x'in her bir değerinin seçilmiş (ne denli küçük olursa olsun) bir komşuluğu (neighbourhood) içinde (değerinin be­ lirli bir varış kümesi içinde) x 'ten farklı, ama yalnızca farklı, bir x, değeri var olur. "X]... bundan dolayı, tümüyle x kadar belirsiz kalır." (s. 88) Bundan ötürü, x, Ax olarak gösterilen Xj - x farkını doğurarak Xj 'e değişince, ortaya çıkan x\ 'in x + Ax'e eşil olması usa uygundur. Marx, bu noktada, bunun yalnız x değerinin X\ değerine değişmesinin bir sonucu olarak ortaya çıktığını vc bu değişmeden önce olmadığını ve bu jcj'i sap­ XVII

tanmış x + Ac anlatımı kadar bilinir göstermenin, hareketin (ve genelde her türlü değişm enin) gösterilm esi konusunda çarpıtılmış bir varsayım içerdiğini vurguladı. Çarpıtılmış; çünkü buradaki durum, "x + Ac 'teki Ac, büyüklüğü söz konusu olunca, belirsiz değişken x ’in kendisi kadar belirsizdir; Ac, x ’ten ayrı, başka bir nicelik gibi, daha önce kendisini doğurmuş olan anasının yanında bir meyve gibi durur." (s. 88) Bununla bağlantılı olarak; Marx, şimdi x 'in jcj’e değişmesiyle (f(x) fonksiyonundan türetilm iş/'(jc) fonksiyonunu belirlemeye başlar. Bu fix )'in f(x ı) ’e değişmesinin bir sonucu olarak, hem jcj -x , hem de fix \) f{x) farkları doğar; bunların birincisi, x x * x oldukça, belli ki sıfırdan farklıdır. "Burada artm ış x, büyümeden önceki kendisinden, yani x 'ten, x\ olarak ayırt edilir; ama x \, Ac kadar anm ış bir x olarak görünmez; bundan dolayı, tümüyle x kadar belirsiz kalır.” (s. 88) Marx’a göre diferansiyel hesabın gerçek gizi şurada yatar: x nokta­ sında (türevin var olduğu noktada) türetilmiş fonksiyonu değerlendirmek için yalnız noktanın kom şuluğuna, x ’ten farklı x\ noktasına gitm ek ve f i x ) ~fix ) f i x ı) - fix ) ve jcr x farklarını, yani --------------- anlatımını biçimlendirX\ - x

mek değil, yeniden x noktasına dönm ek de gereklidir, ve/fc) fonksiyonu­ nun somut değerlendirilmesiyle ilgili özel tanıniılarla birlikte, sapmadan f(x

dönmek gereklidir, çünkü J mak, onu

^ x - x sızlığa döndürür.

} -

fix)

J xx - x

’e yani

anlatımında basitçe x x = x koy-

— ’a, veya başka bir söyleyişle anlam0

Türevin değerlendirilm esinin bu karakteri -ki buna göre sıfır ol­ mayan x x - x farkı biçim lendirilir ve ardından (

^ ^ oranının kuJfl - x rulmasından sonra) bu fark diyalektik olarak "ortadan kaldırılır”- türevin bugünkü, X \ - x farkının ortadan kaldırılmasının X\ 'den x 'e limit geçişin yardımıyla olduğu değerlendirilmesinde hâlâ korunuyor. XVIII

" 'D iferansiyel Hesabın Tarihi Üstüne' Başlıklı Elyazmasına ve D'alcm bcrt Yönteminin Çözümlemesine Ekler” adlı çalışmasında, Marx da, başka terimlerle belirtirse de, türevden aslında — — ^ oranının X j —X değerinin limiti olarak söz eder. Gerçekle, Marx'm "limitte değer kavramı kolayca yanlış anlanıyor ve hep yanlış anlanıyor" gözlemiyle ilgili olarak, "limit" ve "limit değer” terimlerini kuşatan karışıklık, onu, türevin belir­ lenmesinde "limit" terimi yerine "salt enküçük anlatım" demeye yöneltti. Ama, Lacroix’nm uzun Traite du calcul differentlel et dıı calcul integral adlı -kendisini öbür kitaplardan daha çok doyuran- kitabında karşılaştığı daha kesin lim it kavram ı tanımının ilerde gereksiz yeni terimler ortaya konmasına yol açabileceğini önceden görerek, bunun üzerinde durmadı. Limit kavramı tanımı üstüne Marx gerçekte şunu yazdı: "Lacroix'nin özel­ likle çözümsel bakımdan genişlettiği bu kategori, ancak... "enküçük an­ latım" kategorisinin yerine bir geçme olarak önemli olur." (Bkz. s. 69) Böylece M arx, türevin çağdaş matematiksel çözümlemelerdeki de­ ğerlendirilmesiyle bile bağlantılı olan diyalektiğin temellerini aydınlattı. Aşağıda gösterileceği gibi, Ncwton'un ve Leibnitz'in diferansiyel hesabı­ nın "gizemsel" görünmesini biçimsel bir çelişki değil, bu diyalektik sağ­ lar. Yalnız, bunu görm ek için, değişkenin değerinde önceden bir değeri olan bir "artım"ın toplanması olarak her değişmenin gösterilmesini Marx' in asla toptan yadsımadığını anımsamak gerekir. Tersine, önceden ortaya konmuş değişmenin sonucunun değerlendirilmesinden söz edilirken, değiş­ kenin değerinin artmasından (örneğin, fonksiyonun artmasının bağımsız değişkendeki artmaya bağımlılığından) da eşit ölçüde söz etmeye yönelinir ve "toplamla ilgili görüş noktası" x , = x + Ax veya Marx'm adlandırdığı gibi, X/ = x + h, tüm üyle doğrulanmış olur. "Cebirsel" yöntemden "dife­ ransiyel" yönteme bu geçişe "Taylor Teoremi" ile ilgili son çalışmasında Marx kendisini özellikle adamıştır. Bu çalışma ne yazık ki yarım kalmış ve bu yüzden elinizdeki kitapta yalnız parçal olarak yinelenmiştir. (Marx'in bu clyazmasımn çok ayrıntılı bir tanıtımı, hemen hemen bütün metinle birlikte, kitabın ikinci bölümünde çıkar, [Yanovskaya, 1968, s. 498-562]).

XIX

Burada M arx, X\ - x 'in "cebirsel" yöntemde bizim için yalnız bir fark biçimi olduğunu, bir x \ - x = h gibi, dolayısıyla da jq = x + h top­ lamı gibi olmadığını, oysa diferansiyel yöntem e geçişte h 'yi (artı veya eksi) bir x artımı olarak görebildiğim izi vurgular. Bunu yapmakta haklıyızdır; çünkü x^ - x = A x 'tir ve aynı Ax, yolum uzdan dolayı, x 'lerin farklarının, yani x\ - x 'in, sem bolü veya işareti, aynı zam anda ve aynı ölçüde X\ - x denli belirlenemez (indeterminate) ve onların değişmesiyle değişmiş olarak x x - x farkının niceliği gibi iş görebilir. "Böylccc Xı - x = A x veya = belirlenemez h niceliği. Bundan ötürü x \ = x + h "dir ve f ( x x) veya yj ,f( x + h) 'ye dönüştürülür." (Yanovskaya, 1968, s. 522) Bu yolla, M arx'in görüş noktasını diferansiyel hesapla kullanılmış bütün öbür yöntemlerin reddini gerektirir gibi sunmak haksız olmazdı. Bu yöntemler başarılı iseler, Marx onların başarısının gizini aydınlatma göre­ vini üstlenir. Ve bunu gördükten sonra, yani incelenen yöntem geçerliğini kanıtladıktan ve kullanım koşullarını yerine getirdikten sonra, M arx bu yönteme yalnız tümüyle doğrulanm ış değil, uygun da olan bir geçiş düşü­ nür. Diferansiyel hesabın özü üstüne düşüncelerinin temel sonuçlarını içeren 1881 elyazmalarının ardından, Marx, Engcls'e diferansiyel hesap yönteminin tarihiyle ilgili üçüncü bir çalışma göndermek isledi. Önce, bu tarihi türevin türelim i konusundaki teoremleri gösterm enin çeşitli yön­ temlerinden somut örneklerle anlatmak istedi, ama sonra bu tasandan vaz­ geçip diferansiyel hesap yöntem lerinin tarihindeki başlıca dönem lerin genel ayırıcı özelliklerine geçli. Bu üçüncü çalışmayı Marx tümüyle biçimlendirmedi. Geriye yalnız bu konuda yazmaya karar verdiğinin kanıtları ve clyazmasımn taslakları kaldı. M arx'in bu konudaki tarihsel denemesinin planını yapıp uygula­ maya niyet ettiğini onlardan biliyoruz. Bu kaba kopya bu kitabın birinci bölümünde tümüyle yayım lanıyor (bkz. s. 73-104). Marx'in öbür elyazmalarının şu veya bu sayfasında bulunup da metne sokulması gereken bütün söyledikleri burada tümüyle izleniyor. Elyazması, bize, Marx'in

XX

temel diferansiyel hesap yöntemlerinin tarihi konusundaki görüş noktasını yorumlama olanağını veriyor. 1) Ncwion'un ve Leibnitz'in "gizemsel diferansiyel hesabı", 2) Eulcr'in ve d'Alembcrt’in "ussal (rational) diferansiyel hesabı", 3) Lagrange'm "kauşıksız cebirsel hesabı". Ncwton'un ve Leibnitz'in yöntemlerinin ayırıcı tanıntılan, Marx'a göre, o yöntem leri yaratanların diferansiyel hesabın "cebirsel" özünü görmem iş olm alarıyla açığa vuruluyor: Onlar, işlemsel formülleriyle işe başlayıverirler; dolayısıyla o formüllerin kökenleri ve anlamı yanlış an­ laşılmış, hatta gizemli kalır; öyle ki, diferansiyel ve integral hesap, "alı­ şılmış cebirden farklı karakteristik bir hesap tarzı” (s. 85) gibi, bir buluş, tümüyle özel bir m atem atik disiplini gibi, "alışılmış cebirden dünyalarca uzak" (s. 111) gibi görünür, "işlemsel formüller olarak diferansiyel sem­ bollerin çıkış noktası nasıl elde edilmektedir" sorusuna Marx, "ya gizlice, ya da açıkça mctafiziksel varsayımlarla. Bu varsayımların kendileri, meta­ fiziksek matematikdışı sonuçlara bir kez daha yol açar ve böylcce o nokta­ da zorla örtbas etme kesinleştirilir, türelim işe başlatılır ve nicelikler ger­ çekten kendilerinden çıkarılır", yanıtını verir. Başka bir yerde Marx, Ncw­ ton'un ve Leibnitz’in yöntemleriyle ilgili olarak şunları yazar: x x = x + Ax başlangıçtan, x x = x + d x 'c ... değişir; burada dx mctafiziksel açıklama ile varsayılır. Ö nce var olur, sonra da açıklanır.” "Keyfi varsayımdan şu so­ nuç çıkar: ... terimler, doğru sonucu elde etmek için, el çabukluğu ile gi­ derilmelidir." (s. 91) Başka bir söyleyişle, diferansiyel sembollerin matemetiğe sokul­ ması açıklanmamış -dahası, d x , dy diferansiyelleri basitçe A x , Ay artım­ ları ile özdeşlcştirildiği için, genellikle yanlış- kaldıkça, onları ortadan kaldırma yolları doğrulanmamış, "zora dayanan", "aldatan” bir örtbas eune ile elde edilm iş görünür. Belirli m etafiziksek gerçekten sonsuz küçük, aynı anda hem alışılmış, sıfırdan-farklı (şimdilerde "Arşimctscl" denen) ni­ celikler gibi, hem de aşağı bir sıradan (order) olan sonlu ve sonsuz küçük niceliklere oranla "sıfıra eşitlenen" (sıfıra dönüşen) nicelikler gibi (yani, "Arşimctscl olmayan" nicelikler gibi) işlemden geçirilmek; veya, aynı za­ manda basitçe hem sıfır hem de sıfır-olmayan gibi konmak gereken nice­ likler tasarlamalıyız. "Bundan ölürü", diye yazar Marx bununla ilgili ola­ XXI

rak, "ondan sonra, değişkenin h artımlarının sonsuz küçük artım lar ola­ cağını kavrayıp onlara örneğin, x' ? y vb. veya dx , dy [vb.] sem bollerin­ de bu sıfatla bağımsız varlık tanımaktan başka hiçbir şey kalmaz. Ama sonsuz küçük nicelikler tıpkı sonsuz büyük olanlar gibidir (sonsuz (unendlicfı) Lküçük] sözcüğü, gerçekte yalnız belirsiz (unbestimml) küçük anlamına gelir); dolayısıyla, dy . d x ... hesaplamada tıpkı bayağı cebirsel nicelikler gibi yer alır ve (y + k) - y veya k = 2xdx + dxdx denklem inde dxdx 'in var olma hakkı, 2 xd x 'inkinin aynıdır." ... "bundan ölürü, onu zorla... örtbas eden usavurmaya pek özgüdür." (s. 84) M atematiksel olarak kurulm uş bağlam işlem leriyle ortaya konmayıp metafiziksel "açıklamalar"a dayanılarak varsayılan ve "clçabukluklan" ile ortadan kaldırılan bu gerçekten küçük, yani biçimsel olarak çelişik kalemlerin (item) varlığı, M arx’a göre, Newion'un ve Lcibnitz'in diferan­ siyel ve integral hesabına, bu hesap işlem form ülleriyle başlayıvcrdiği için birçok yarar sağlamasına karşın, "gizemsel" bir nitelik verir. Marx, aynı zamanda, Newton'un ve Leibnilz'in yöntemlerinin ta­ rihsel önemine çok büyük bir değer biçer. "Bu yüzden", diye yazar, "mate­ matikçiler, doğru (ve özellikle geometrik uygulamada şaşırtıcı) sonuca, kesinlikle yanlış bir matematiksel işlemle varan yeni bulunmuş hesapla­ ma aracının gizemli karakterine gerçekten güvendiler. Bu tutumla, kendile­ ri gizemlilcşmiş oldular, yeni buluşa daha yüksek bir değer biçtiler, eski ortodoks matematikçiler kalabalığını daha çok ölkelendirdiler ve uzman ol­ mayanların dünyasında bile yankılanan ve bu yolun tutulması için zorunlu olan düşmanlık çığlıklarının aulmasını sağladılar." (s. 94) Marx'a göre, diferansiyel hesap yöntemlerinin gelişiminde sonraki aşama, d'Alcmbcrı'in ve Eulcr’in "ussal (rational) diferansiyel lıcsabı"dır. Burada, Newton ile Lcibnitz'in matematiksel bakımdan doğru olmayan yöntemleri düzeltilir, ama çıkış noktası aynı kalır. "D'Alembert, doğrudan doğruya Newton'un ve Leibnilz’in point de depart 'ından [çıkış noktasın­ dan, -ç] işe başlar: x x = x + dx. Ama köklü düzeltmeyi yapıverir: x x = x + Ac, yani x ve d'Alcmbcrt'in h dediği tanımlanmamış, ama prime facie [ilk bakışta, -ç.] sonlu bir artım.* Bu h 'nin veya jc 'in dx 'e dönüştürülmesi... * Marx’in başvurduğu yazında, "sonlu artım"dan sıfır-olmayan bir sonlu arlım anlanır. -SA . Yanovskaya.

XXI I

gelişimin son sonucu olarak veya en azından kapı lam kapanmadan önce bulunur; oysa diferansiyel ve integral hesabın gizemcilerinde ve başlaucılarında, çıkış noktası olarak görünür." (s. 94) Ve M arx, şunu vurgular: Diferansiyel sembollerin son sonuçtan bu uzaklaştırılması o zaman "doğru bir matematiksel işlemle olur. Böylccc onlar, şimdi elçabukluğuna başvu­ rulmadan atılır." (s. 96) M arx, bundan ötürü d’Alembert yönteminin tarihsel anlamına yük­ sek değer biçti. "D'Alembert diferansiyel hesaptan gizemci peçeyi kaldırdı ve ileriye doğru pek büyük bir adım attı", diye yazdı (s. 97). Bununla birlikte, d'Alcm bcrt'in çıkış noktası x değişkeninin x + değişkeninden bağımsız var olan bir öğenin, Ax artımının toplamı olarak gösterimi kaldıkça, d'Alem bert doğru diyalektik farklılaştırm a sürecini bulmamış demektir. Marx, d'Alembert ile ilgili şu eleştirel gözlemde bu­ lunur: "D'Alembert (x + dx) ile baylar, ama anlatımı (x + Ax)’c, öbür adıyla (x + h) 'ye göre düzeltir; şimdi Ax 'in veya h 'nin dx 'e dönüştürül­ düğü bir geliştirme zorunlu olur; gerçekten ilerleyen bütün geliştirme de budur." (s. 124)

iyi bilindiği gibi,

sonlu farklar oranından sonucunu Ajc dx elde etm ek için, d'Alembert "limit sürcci"ne başvurdu. Marx'in yararlan­ dığı ders kitaplarında, bu limite geçiş, f( x + k) anlatımının bütün h kuv­ vetlerine açılımı dolaylı olarak anlatılır ki, burada birinci kuvvete yüksel­ tilmiş h katsayısında, "önceden iç e rile n " /'(x) türevi açığa vurulur. Dolayısıyla problem, türevi h çarpanından ve serideki öbür terim­ lerden "kurtarmak" olur. Bu, doğal olarak, deyim yerindeyse, türevi f(x + h) anlatımının bir h kuvvetleri serisine açılımında birinci kuvvete yüksel­ tilmiş h katsayısı olarak basitçe tanımlamakla yapılm ışla. Gerçekte, "Birinci yöntem 1) 'de olduğu gibi, ikinci yöntem 2)'de de, aranan gerçek katsayı, ikitcrimli teoremi ile ürctilivcrir; dizi açılımının ikinci, bundan ölürü de h1 ile zorunlu olarak birleşik olan terimde bulunuverir. Diferansiyel işlemin bütün artakalanı ise, gerek 1) 'de, gerek 2) 'de, bir lükstür. Bu yüzden gereksiz safraları gemiden denize atarız." (s. 98)

XXIII

Aynı şeyi, diferansiyel hesabın gelişimindeki ikinci aşamanın us­ tası Lagrange yaptı: Marx'in döncmlcmcsindcki "katışıksız cebirsel" dife­ ransiyel hesap. Marx Lagrangc'ın yöntemini ilkin pek sevdi: "Diferansiyel hesaba yeni bir dayanak kazandıran bir türetilm iş fonksiyon teorisi". Kendisiyle birlikle çoğu zaman f( x + h) 'nin bir h kuvvetleri serisine açılım ı da elde edilen ve tarihsel bakımdan bütün diferansiyel hesabın bütünleyici yorumu olarak doğan Taylor Teoremi, bu yöntemle diferansiyel hesabı kendisinden önceki matematikle doğrudan doğruya bağlantılı kılarak, onun çıkış nok­ tası oldu. Marx bu konuda şunu belirtir: "Yeni ile eskinin gerçek ve bun­ dan ölürü en basit ilişkisi, yeni son biçimini alır almaz ortaya çıkarılır ve diferansiyel hesabın bu ilişkiyi Taylor ve MeLaurin teoremleriyle kazan­ dığı söylenebilir*. Bundan dolayı Lagrangc'ın ilk düşüncesi, diferansiyel hesabı sağlam bir cebirsel tabana geri döndürmek oldu." (s. 111) Ne var ki, Marx, Lagrange'm bu kavrayışı göstermediğini anlayı­ verdi. İyi bilindiği gibi, Lagrange, “genel olarak konuşmak gerekirse", yani, diferansiyel hesabın "uygulanamaz" olduğu "birtakım özel durumlar" ayrı tutulursa- f ( x + h) anlatımının f(x ) + ph + qh2 + rh3 + ... , serisine açılabilir olduğunu göstermeyi denedi. Burada h kuvvetlerine kat­ sayı olan p , q , r ,... , h 'den bağımsız ve f(x ) 'ten "türetilebilir" yeni x fonksiyonlarıdır. Ama Lagrange'm bu teoremi kanıtlaması -gerçekte pek matematik­ sel anlamı da yoktur- doğal olarak ortaya çıkmadı. "Alışılmış cebirden, üs­ telik alışılmış cebir ile, değişkenler cebirine bu sıçrama, un fait accompli [oldubitti, -ç.] varsayılır; kanıtlanmamıştır ve prima facie [görünüşle, -ç.] ... geleneksel cebirin bütiin yasalarına aykırıdır." (s. 115) diye yazar Marx Lagrangc'ın bu kanıtlaması için.

* MacLaurin Teoremi -.Marx'in yaptığı gibi (s. 109, 110)- Taylor T eorem inin özel bir durumu sayılabilir. -Ed.

XXI V

Ve M arx, Lagrange’ın "başlangıç denklem i” konusunda, onun yalnız kanıtlanmamış değil, am a "bu denklemin cebirden türelimi, bu yüz­ den bir aldatmacaya dayana görünür" (s. 115) de olduğu sonucunu çıkara. Elyazmasmın sonuç bölüm ünde, Lagrange'ın yöntemi Newton ile Leibnitz'in başlattığı ve d'Alembcrt'in düzelttiği yöntemin bütünlenmesi olarak, form üller yöntemi ile Taylor'a dayandırılm ış "cebirselleştirme" olarak ortaya çıkar. "Tıpkı Fichte'nin K anı'ı, Schclling'in Fichtc'yi ve Hegcl'in Schclling'i izlediği, ama Fichte’nin de, Schclling'in de, Hegcl'in de Kanı'ın, genelde düşünsclciliğin (idealism), genel temelini incelemediği bir tarzda. Yoksa onu daha çok gelişıircmezlcrdi." (s. 116) G örebiliyoruz ki, Marx tarihsel bir taslakta, kendi düşüncesine göre, matem atik tarihi gibi bir bilim de diyalektik m addcsclci yöntemin nasıl uygulanmak gerekliği konusunda bize canlı bir örnek vermektedir. Karl M arx'm Matematiksel Elyazmaları 'nm şimdiki basımının bü­ tünlenmesi, pek çok hazırlık gerektirdi. Elyazm alarının metni tümüyle çevrildi; zaman sırasına göre düzenlendi; alıntılar ve özeller Marx'in kendi bildirimlerinden ayrıldı; elyazmaları, matematiksel içeriklerinin çözümlen­ mesine dayanılarak, bir büLün gibi okunabilen birim lerde toplandı (gerçek­ te, elyazmalarının birçoğu defterler oluşturmaz, daha çok hiçbir düzeni ol­ mayan ayrı yapraklardır). Çoğu durum da M arx'in alıntı yaptığı veya özetlediği kaynaklar bellidir. Orijinal yapıtlarla karşılaştırılarak, Marx’m özetlerdeki kendi yorumlarının hepsi belirlendi; M arx’m bütün bağımsız yapıtı ve notları Rusçaya çevrildi. Marx'm kişisel düşüncelerinin, çıkardığı özellerden ve yaptığı alın­ lılardan ayrılması işi, bir yığın güçlüklere yol açtı. Marx, özetlerini gerek­ sediği gereçler eli altında bulunsun diye, kendisi için yazmıştır. Her za­ manki gibi, pek çeşitli büyük bir kaynaklar derm esinden yararlanmıştır; am a içeriği özel dikkate değer bulmamışsa, örneğin kaynak İngiltere'de çok yaygın çağdaş bir ders kitabı ise, alıntılarının kaynağını gösteren ekle­ meleri çoğu zaman yapmamıştır. Marx'in kullandığı kitaplardan çoğunun bugün bibliyografik bakımdan az bulunur olması yüzünden, iş daha da güçleşü. Bu sorunu çözmek için, İngiltere'deki şu kütüphanelerde günü­ müze ulaşan yazın varlıkları ayrıntılı olarak incelenip soruşturuldu: Bri­ tish M useum, Londra ve Cam bridge Üniversiteleri, University College XXV

London, Cambridgc'ie Trinity ve St. James Kolejleri, Londra'da the Royal SocicLy ve son olarak XIX. yüzyılın seçkin Ingilizlcri M organ ile Graves’in özel kütüphaneleri. St. Catherine's College gibi başka kütüphane­ lerde de araştırmalar yapıldı. Doğaları gereği Alman kaynaklardan hazır­ lanmış elyazmaları için, Enstitünün ricası üzerine, Alman Tarihçi ve M a­ tematikçi W ussing, Demokratik Alman Cumhuriyetindeki bibliyografik kaynakları soruşturdu. Elyazmalarının eksik birtakım sayfalarının fotokopileri, K. M arx' m matematiksel el yazmalarının orijinallerinin saklandığı Amsterdam Toplumsal Tarih Enstitüsünce incelik gösterilip sağlandı. Elyazmaları kaba taslaklar durumunda oldukları için, kopya edilen alıntılarda atlamalarla, hatta yanlışlarla karşılaşılabilir. Uygun çağdaş ekle­ meler ve düzeltmeler köşeli ayraçlar içinde verildi. Bu yüzden, M arx’m kendi köşeli ayraçları, köşeli çift ayraçlarla gösterildi. M arx’in kısalttığı sözcükler tümüyle yazıldı, am a m etin aslında değiştirilm edi. Eskim iş yazım yöntemi bile alıkondu. Elyazm alarının birincil dili Almancadır. Elyazm alarm da kaynak Fransızca veya İngilizce ise, Marx yorumlarını Fransızca veya İngilizce yazar. Böyle durumlarda Marx'm metni öyle karışıklaşır ki, hangi belirli dille yazıldığını söylemek güçleşir. Elyazmalarının tarihlenmesi de büyük güçlükler yarattı. Bu güçlük­ ler, elyazmalarıyla ilgili katalogda ayrıntılarıyla bildirildi. Katalog, clyazmasmın arşivsel numarasını, belirlenmiş başlığını, ya kaynaklarının ya da içeriğinin ayırıcı özelliklerinin dökümünü verir. Başlık veya altbaşlık Marx'm kendisininse, orijinal dilde ve Rusça çeviride tırnak içine yazıl­ mıştır. Kitabın birinci bölümünde Marx'm olmayan başlıklar bir yıldızla işaretlenmiştir. Elyazmalarının envanteri, arşivsel yaprakların düzenlenme sırasına göre veriliyor. M arx'm rakamlarla veya harflerle yaptığı kendi num ara­ landırması, arşivsel yaprakların bildirimleriyle birlikte envanterde veri­ liyor. Arşivsel yaprakların nasıl bulunacağının gösterimi yayım lanm ış meme eklenmiştir.

XXVI

M arx'in m atem atiksel elyazmalarının dili, birçok durumda, bizim alışılmış çağdaş dilimizden ayrılır ve M arx'in düşüncesini anlamak için kullandığı kaynaklara başvurmak, terimlerinin anlam ını aydınlatmak ge­ reklidir. Marx'in metnini kesintilere uğratmamak için böyle açıklamaları kitabın sonundaki notlara koyduk. Sonuç olarak, M arx'in başvurduğu kay­ nakların konusu üstüne gerekli görülm üş ayrıntılı bilgi Ek'tc veriliyor. Bütün böyle notlar ve başvuraklan tümüyle bilgisel niteliktedir. M arx'in metninde, kendisi için özel önem i olan noktalan vurgula­ dığı birçok allı çizili yer vardır. Bütün bu altı çizili yerler italiklerle göste­ rilmiştir. Kitabı M .V. Lomonosov M oskova D evlet Üniversitesi Profesörü S.A. Yanovskaya hazırladı. Önsöz, matematiksel elyazmalarının envanteri (A Z . Rybkin'in yardımcılığı ile), Ekler ve N otlar da onundur. Profesör K. A. Rybnikov, başka işler arasında, Karl M arx'in "M atematiksel Elyazmaları" dolayısıyla kullandığı kaynakları araştırma işinin de büyük bir bölü­ münün gereğini yerine getirerek, kitabın yayım ına katıldı. Şimdiki basımın hazırlanm asında, Akademisyen A.N. K olm ogorov ile I.G. Pctrovskii’nin yorumları ve öğütleri dikkatle göz önünde tutuldu. N auka Basım cvi'nin fizikscl-matcm atiksel bölümü baş yayımcısı A. Z. Rybkin ve Sovyctlcr Birliği K om ünist Partisi M erkez Komitesi Marksçılık-Lenincilik Enstiıüsü’ndcn O.K. Senckina, kitabı basıma hazır­ layarak ve düzeltm elerini yaparak, kitabın yayımını tümüyle yönettiler. Kitap hem alıntı ve başvuru kaynaklarının bir dizinini, hem de bir adlar dizinini içeriyor. Marx'in metnindeki başvuru kaynakları, dizinlerde italik­ lerle belirtiliyor.

XXVI I

EN G EL S 'T EN MA R X' A Londra'da 10 Ağustos 1SS1

Sevgili M ohr, ... D ün, m atematiksel elyazm alarınızı başvuru kitapları bile ol­ maksızın inceleme cesaretini sonunda buldum ve o kitapları gereksem e­ diğimi görüp sevindim. Çalışmanızdan ötürü sizi överim. Önem li nokta gün gibi açık, öyle ki matematikçilerin onu gizem sclleşıirmede ayak direyişlcrine yeterince şaşamayız. Ama bu, o beyefendilerin tek yanlı düşün­ melerinden ileri geliyor.

= — koymak, kesinlikle ve açıkça, kafadx 0 larına girmiyor. Ama açıktır ki, x ve y kuantum larınm son izi, onların herhangi bir nicelik olmadan değişm elerinin önce gelen sürecinin an­ latımını bırakarak ortadan kalktı ise, ^

ancak bütünlenmiş bir sürecin

katışıksız bir anlatımı olabilir. Burada herhangi bir matematikçinin sizden önde olduğundan kork­ manıza gerek yok. Bu türlü farklılaştırma, gerçekten öbürlerinin hepsinden daha basittir; öyle ki, birdenbire yitirdiğim bir formülü türetmek için onu hemen şimdi, kendim, sonradan alışılmış yolla doğrulayarak, uyguladım. Tutulan yol, özellikle açıkça kanıtlandığı gibi, dxdy 'yi vb. bir yana bırak­ manın alışılmış yöntemi kesinlikle yanlış olduğu için, pek büyük heye­ can yaratmak gerekirdi. Bu yolun özel güzelliği şurda ki, y a ln ız ^ - = 2. dx 0 ise, matematiksel işlem saltık olarak doğrudur. K oca Hegcl, farklılaştırm anın temel koşulunun, değişkenlerin farklı kuvvetlere ve hiç değilse birinin en azından ikinci v c y a |- 'nci.kuvXXVI I I

vete yükseltilmek gerekmesi o'duğunu söylediğinde, oranlaması tümüyle doğruydu. Nedenini şimdi biz de biliyoruz. y ~f ( x) 't e x v a y değişkendir dersek, daha ileri gitmediğimiz süre­ ce, bu savın başka sonuçlan yoktur ve gerçekte x ile y hâlâ, pro tempore [geçici olarak, -ç.] sabittir (constant). Onlar, ancak gerçekten değişince, yani fonksiyonun içinde, gerçekten değişken olurlar ve ancak ondan sonra orijinal denklemde hâlâ gizli duran ilişki kendisini açığa vurabilir -iki büyüklüğün ilişkisi değil de onların değişkenliklerinin ilişkisi. Gerçek değişme sırasında, yani belirli her değişmede olduğu gibi, ilk türev , Ax bu ilişkiyi gösterir- -2- onu genelliği içinde, katışıksız, gösterir ve bundan ötürü birincisi yalnız özel durumu kapsamakla birlikte, -2A

'ten her

^

'e gelebiliriz. Ne var ki, özel durumdan genel ilişkiye geçmek için, Ax özel durum bu sıfatıyla ortadan kaldırılmalıdır (aufgehoben). Dolayısıyla, fonksiyon bütün sonuçlarıyla birlikte sürecin aracılığıyla * 'ten x ’ 'ye geç­ tikten sonra, x ' yeniden x olmaya bırakılabilir; o artık yalnızca adı değiş­ ken olan eski x değildir, gerçek değişmeden geçmiştir ve değişmenin sonu­ cu, onu yeniden ortadan kaldırsak (aufheben) bile kalır. Sonunda, matematikçilerin, ussal (rational) temcileri, diferansiyelbölüm'ün orijinal, dx ve dy diferansiyellerinin ise türetilmiş olduğunu gö­ remeden, uzun zamandır neyi savladıklarını açıkça görebiliyoruz: Formül­ lerin türelimi, irrasyonel denen her iki çarpan denklemin bir yanında aynı zamanda bulunsun ister ve sizin yapabildiğiniz gibi, ancak denklemi kendi ilk &

=f

(x) biçimine sokarsanız, irrasyonellerden kurtulup onların

yerine rasyonel anlatımlarını elde edersiniz. Önemli nokta beni öyle sardı ki, bütün gün kafamdan çıkmıyor; geçen hafta düşümde farklılaştırması için gömlek düğmelerimi bir çocuğa verdim; düğmeleri alıp kaçtı. Sizin F.E. XXIX

E N G E L S 'T E N MA R X' A Ventnor'da Londra, 21 Kasim 1882

Sevgili Mohr, ... Moore'm m atem atiksel bir denemesi ilişiktir. "Cebirsel yöntem yalnızca gizlenmiş diferansiyel yöntemdir" sonucu, doğal olarak yalnızca onun kendi geometrik çizim yöntemine göndermedir ve orada epeyce de doğrudur. Sizin geometrik çizimde şeyin gösterildiği yola değer verm ediği­ nizi, eğri denklemlerine uygulamanın her yönüyle yeterli olduğunu ona yazdım. Bundan başka, sizin yönteminizle eskisi arasındaki köklü fark, sizin x 'i x 'ye değiştirmeniz, böylece onu gerçekten değiştirmeniz, oysa öbürlerinin her zaman yalnızca iki büyüklüğün toplamı olan, ama asla bir büyüklüğün değişmesi olmayan x + h 'den yola çıkmalarıdır. Sizin x'iniz, bundan ölürü, x ' 'ünden geçip yeniden eski x olunca bile, hâlâ olduğundan başkadır; oysa, x 'e Önce h kaulıp sonra yeniden geri alınırsa, x hep sabit kalır. Bununla birlikte, değişmenin her grafik gösterimi, zorunlu olarak bütünlenmiş sürecin, sonucun gösterimidir, dolayısıyla sabit olan bir ni­ celiğin, x doğrusunun gösterimidir; onun bütünlenmesi x + h olarak, bir doğrunun iki parçası olarak gösterilir. Bundan da anlaşıldığı gibi, x ‘ ’nün ve onun yeniden x olmasının grafik gösterimi olanaksızdır...

XXX

M A R X 'T A N E N G E L S'E L on d ra'd a 22 Kasım 1882 1, St Boniface Gardens Ventnor

Sevgili Fred, Anlayıverdiğiniz gibi, Sam, uyguladığım çözüm sel yöntemi he­ men bir yana atarak eleştiriyor, karşılık olarak da, hiç sözünü etmediğim geometrik uygulama ile uğraşıyor. Aynı biçimde, kendine özgü sözde dife­ ransiyel yöntemi -Newton ile Leibnitz'in gizemsel yönteminden başlayıp, d'Alembert ile Eulcr'in ussalcı (rationalistic) yönteminden geçip, Lagrange’m lam anlamıyla cebirsel yöntemi (ki her zaman Newton-Lcibnilz gibi aynı orijinal temel görüş noktasından başlar) ile bitirerek- başımdan saya­ bilirdim; diferansiyel hesabın geometrik uygulamasında, yani geometrik gösterimde, pratik olarak önemli hiçbir şeyin değişmediğini söyleyerek, çözümlemenin bütün bu tarihsel gelişimini başımdan savabilirdim. G üneş şim di pırıl pırıl; dolayısıyla yürüyüşe çıkm a zamanı; do­ layısıyla matematik üstüne pro nunc [şimdilik, -ç.] bunlar yeter; ama bun­ dan sonra farklı yöntemleri arada bir ayrıntılı olarak ele alacağım...

XXXI

DİFERANSİYEL HESAP ÜSTÜNE İKİ ELYAZMASI

I "TÜRETİLMİŞ FONKSİYON KAVRAMI ÜSTÜNE" 1 I

x bağım sız değişkeni x\ 'e artsın; o zaman y bağımlı değişkeni y\ 'e artar.2 Burada, I)'de, x 'in yalnız birinci kuvvetiyle göründüğü en basit du­ rumu göz önünde tutuyoruz. 1) y = a x ; x , X \ ' e artınca, = axx ve yı - y = a ( x x -x). Şimdi diferansiyel işlem yapılsın, yani, x j , x değerini alsın. Öy­ leyse; Xı = x ;

x\ - x = 0 ,

böylcce, a(x\ - x) = a . 0 = 0. Bundan başka, x , x x ’e artüğından, y yalnız y x olacağı için, aynı zamanda şunu elde ederiz: yı = y ;

yı - y = o.

Onun için, y\ - y = a (xx - x) şu duruma gelir: 0 = 0. ö n c e farklılaştırmak, sonra da onu ortadan kaldırmak, bundan ölü­ rü, gerçekten hiçbir şeye yol açmaz. Diferansiyel işlemi anlamada bütün güçlük, kesinlikle {yadsımanın yadsınması 'ndaki gibi), onun böyle basit 3

bir işlemden ne denli farklı olduğunu, dolayısıyla da gerçek sonuçlara yol açtığını görmededir. a (xı - x) 'i ve ona karşılık olan denklemin sol yanını x x - x çar­ panına bölersek, X x- X elde ederiz. y bağımlı değişken olduğundan, bağımsız hiçbir hareketi olamaz; bundan ötürü, önce x x , x ' & eşit olmadan, y x , y 'ye eşil ve y x - y = 0 ola­ maz. Öte yandan, gördük ki, a(xı - x) fonksiyonunda, x x o fonksiyonu sıfıra eşitlemeden x 'e eşit olamaz. Onun için, denklemin iki yam x x - x çarpanına bölündüğünde, x x - x zorunlu olarak sonlu bir farktır? yı-y

x x~x oram kurulduğu anda, x x - x bundan dolayı her zam an sonlu bir farktır. Sonuç olarak,

yı-y x x- x bir sonlu farklar oranıdır ve buna karşılık olarak, yı-y

= Ay

x x- x

Ax

Bundan ötürü; yı-y 4 Ay - veya =*- = a x x- x Ar ki, burada a sabiti, değişkenlerin sonlu farklarının oranının limit değerini (Grenzwert) gösterir.5 a bir sabit olduğu için, onda hiçbir değişme olamaz; dolayısıyla a 'ya indirgenen denklemin sağ yanında hiçbir şey olmaz. Böyle koşullarda diferansiyel işlem sol yanda yer alır. 4

y\-y

Ay

veya — , jci-jc Ax ve bu, a x gibi basit fonksiyonlar için ayırıcı özelliktedir. B u oranın paydasındaki j t ı , x ’e yaklaşacak biçim de azalırsa; x xpc olur olmaz, azalmanın limitine de ulaşılır. B ulada fark, x x - x x = x - x = 0 dolayısıyla &a y x- y = y - y = 0 olur. Biz de böylece, 0 elde ederiz. anlatımında, kökeninin ve anlamının bütün izleri ortadan kalktığı için, onun yerine

dy

koyarız kı, burada; x x - x veya A x ve y x - y

veya A y sonlu farkları, kısaltılm ış veya sıfıra eşitlenm iş farklar olarak sembolleştirilmiş deştirilm iş görünür j veya

Ax

dx

'e değişir.

Onun için, dy zL = a dx Rasyonelleştiren kimi matematikçilerin katı inancı, dy ve dx 'in, nicel bakımdan yalnız jj- 'a yaklaşarak, gerçekten yalnızca sonsuz küçük olduğu, II) altında daha açıkça göreceğimiz gibi, bir kuruntudur. Yukarıda söz konusu edilen karakteristiğe gelince, sonlu farkların limit değeri, bundan dolayı, diferansiyellerin de lim it değeridir. 2) Aynı durumun ikinci bir örneği şudur: y = x ;

y , - y = x x- x ;

y\ = *ı

xj-x

veya ^ = ] ; Ax

Ç 0

yeya £ = , dx 5

II y = f(x ) 'te, x fonksiyonu denklemin sağ yanında kendi gelişmiş cebirsel anlatımı6 ile görününce, bu anlatıma, x 'in orijinal fonksiyonu, onun ilk "türetilmiş" x fonksiyonunun farklılaştırılm ası ile elde edilm iş birinci değişikliği (m odification) ve onun "türetilmiş" x fonksiyonunu farklılaştırnuı işlemiyle elde edilm iş son biçimi diyoruz.7 1)

y

= ax3 + bx2 + cx - e

x , X ı ' e anarsa, o zaman 3

2

y ı = ast! + b x ı + c x x - e, y ı - y = a ( x 3 - x 3) + b ( x \ - x 2) + c ( x t - x ) = a ( x ı - * ) (jcj + X \ X + x ) + b ( x \ - x ) (xı + x ) + c O tj-Jt) Bundan dolayı, X\-x

veya

Ax

= a ( x \ + x \ x + x 2) + b ( x ı + x) + c ;

ve ilk "türev" 2 2 a ( x ı + jcı jc + x ) + b (xı + x) + c [ve] burada, sonlu farkların oranlarının lim it değeridir. (Grenzwert); yani, bu farklar ne denli küçük olursa olsun,

değeri bu "türev" ile belirleAx nir. Ama bu, diferansiyellerin oranlarının lim it değerleriyle I) altındaki aynı durum değildir.* (*) Bu çalışmanın bir taslağında (4146, Yer 4) şu görülür: " ö le yandan, farklılaştırma işlemi (Differenliatprozess) ilk "türetilmiş" x fonksiyonunda (sağ yan­ da) yer alır; oysa aynı işlemin herhangi bir yürülümü sol yanda zorunlu olarak yasak­ lanmıştır.” -Ed.

6

2

2

a(xı +

x xx

+ x

) + b (xı + x) +

c

fonksiyonunda jq değişkeni azalmasının lim itine varana değin azalınca yani, x i l e a y n ı olunca, x ı , x 2 ile, X \ X , x 2 ile, x \ + x d e 2 x ile de­ ğiştirilir ve " tü retilm iş" x fo n k s iy o n u elde edilir: 3ax2 + 2 b x + c Burada şunlar çarpıcı bir biçimde gösteriliyor: Birincisi, "lürcv"i elde etmek için x t x 'e eşiılenm elidir; bundan ötürü, yalnızca sonsuz [çok] yaklaşma bahanesi olm aksızın, tam matematiksel anlatnda, X \- x = 0 'dır. İ k in c is i, X\ = x

dolayısıyla da X\ - x = 0 koym am ıza karşın,

"türev"de sembolik hiçbir şey ortaya çıkamaz.* jq niceliği, aslında x de­ ğişiminden elde edilm işse de, ortadan kalkmaz; yalnızca x 'e eşit olan en küçük lim it değerine indirgenir, orijinal x fonksiyonunda, kısmen kendi­ si ile, kısmen de orijinal fonksiyonun x 'i ile kom binezonları aracılığıyla getirilmiş yeni bir öğe (e le m e n t) olarak kalır, sonunda "türev"i, yani en k ü ç ü k s a lı (m u tla k ) n ic e liğ in e in d ir g e n m iş ilk tü r e v i verir. Birinci (ilk) "türetilmiş" fonksiyonda jq ’in x ’e indirgenmesi, sol yam ^

[ten] jj- 'a veya ^

—

0 tü re v ,

veya — dx

'e değiştirir; böylece:

=

3a x 2

+

2b x + c

,

diferansiyellerin oranımn lim it d e ğ e r i olarak ortaya çıkar.

Yalnız sol yanda görünen aşkın ( tr a n s c e n d e n ta l) veya sembolik yanlışlık, belki artık korkunç olmaktan çıkar; çünkü şimdi, gerçek içeriği(*) Taslakla aşağıdaki önerme vardır: "Orijinal x fonksiyonundan ’liircvi- bul­ mak öyle bir larzda ilerler ki, önce bir sonlu farklılaşm a (endtiche Oifferentialion) elde ederiz; bu, — limit değeri (Greniwerl) olan bir ilk 'liirev' sağlar. Ondan sonra izlediğimiz farklftaşlırma işlemi (Differentialprozess), bu limit değeri salt (mutlak) cn kiiçük (minimum) niceliğine (Minimalgrösse) indirger. Birinci farklılaştırmaya soku­ lan x t niceliği ortadan kalkmaz...” -Ed.

7

ni denklemin sağ yanında saptayan bir işlemin yalnızca anlatımı olarak görünür. 3co? + 2bx + c "türcvi"nde, x değişkeni, x 'in orijinal fonksiyonundakinden (yani, ax3 + bx2 + c x - e ’dekinden) tümüyle farklı bir koşulda var olur. Bundan ötürü [bu türevin] kendisi, sırayla orijinal bir fonksiyon gibi işlem görebilir ve yinelenmiş farklılaşürma işlem iyle başka bir "türev"in anası olabilir. Bu, x değişkeni sonunda "tiirevler"in birinden kaldırılmadığı sürece yinelenebi­ lir; dolayısıyla, yalnız sonsuz serilerde gösterilebilen x fonksiyonlarında sonsuz olarak sürer, ki pek çok durumda böyle [dir]. d2 —

d3 2

, vb sembolleri, yalnızca belirli orijinal x fonksiyo3

dx dx nuna göre "türevler"in soybilim sel (genealogical) kütüğünü gösterir. Onlar, yalnızca arı arda türetilmiş xfonksiyonlarının anlatımları gibi değil de, alıştırmanın başlangıç noktası gibi alındıkları sürece gizem lidirler (mysterious). Çünkü, sıfıra eşitlenm iş bir nicelikler oranının, yeni daha yüksek bir yitimden (disappearance) geçmek gerekmesi, gerçekten mucize görünür; oysa, örneğin, 3x2 'nin, anası x 3 gibi, farklılaştırma işlem in­ den geçebilmesi olgusunda (fact) şaşılacak hiçbir şey yoktur. Orijinal x fonksiyonu ile olduğu gibi, 3x2 ile de işe başlanabilirdi. Ama nota bene [iyi dikkat ediniz, -ç.]. Farklılaştırm a işleminin başlangıç noktası, [yukarıda] I)'deki gibi denklemlerde gerçekten

’tir

ki, o denklemlerde x yalnız birinci kuvvetiyle görünür. Bununla birlikte, o zaman, I)'de gösterildiği gibi, sonuç şu [dur];

Dolayısıyla, gerçekte burada,

Ay

’in geçtiği farklılaştırma işle­

minden ölürü yeni hiçbir limit değere erişilmez; ancak ilk "türev" x değiş­ 8

kenini içerdiği sürece, dolayısıyla da ^ gerçek b ir işlemin sembolü oladx rak kaldığı sürece olanaklı kalan [bir sonuç].* Kuşkusuz, diferansiyel hesapta, &

,

, vb. sembollerinin ve

* dx 2 kombinezonlarının, denklemin sağ yanında ortaya çıkm ası da, hiçbir an­ lamda bir engel değildir. Çünkü, böyle tüm üyle sem bolik denklemlerin, yalnızca, gerçek değişken fonksiyonlarına sonradan uygulanmak gereken işlemleri gösterdiği bilinir. 2)

y = ax*

x , x \ olurken, y ı = ax\

ve

y , - y = o (* 7 -x ") = a ( x \ - x ) (z**1 + x ? 2x + x ” 3x 2 + vb. x!

x

lenm m e ddk).

Bundan ölürü,

y i-y x\-x

Ay

r

m'l

veya —■*- = a ( z ı Az

m-m

+ z,

«-2

+ X\ z

m-3 2

x + x\

x

+ ...

« -lx

).

Farklılaştırm a işlemini şimdi bu "ilk türev"ç uyguluyoruz; şöyle ki xı = x

veya x \ - z = 0

ve (*) Taslakta (Yer 7) 5u tümce vardır: "Bu, yalnız ilk 'türetilmiş' fonksiyon x değişkenini içerdiğinde olur, ki onun hareketiyle, bundan ötürü gerçeklen yeni başka bir değer geliştirilebilir, öyle ki

gerçek bir işlemin sembolüdür."

-Ed.

9

m -1

xx

m -1.

, X

m-2

xx x , x m-3

xx x

2

, x

m -1

m-3

e;

x = x x

2

m-2+1

= x

= x

m-3+2

m-1

= x

e;

m-1,

'e ;

sonunda, m-m

X]

x

m-1

, x

m-m

x

m-1 _

- x

0 + m -l _

- x

m -1,

c

değişir. Böylcce xf"' 1 fonksiyonunu m kez elde ederiz; bundan dolayı da "lürev" max?1' 1 'dir. "İlk türev”deki x x = x eşitliğinden ötürü,* sol yanda

Ax

, — 0

veya -2- ile değiştirilir; onun için; dx = M X -1 dx Bütün diferansiyel hesap işlemleri bu tarzda yapılabilirdi; am a bu, can sıkıcı yararsız bir ayrıntılar yığını olurdu. Bununla birlikte, x x - x farkı x fonksiyonunda şimdiye dek yalnız bir kez göründüğünden, dolayı­ sıyla da yı-y

Ay

— veya x x- x Ax

biçimlenmesi aracılığıyla sağ yanda ortadan kalkuğı için, burada bir örnek daha verelim. Aşağıdaki durum bu değil [dir]: 3 )y = ax ; x , x x olsun. Öyleyse y, = a*; * Yani sağ yanda. -Ed.

10

Bundan ötürü, y \ - y =