L'universo meccanico. Meccanica e calore

STEVEN C. FRAUTSCHi TOM M. APOSTOL

RICHARD P. OLENICK DAVID L GOODSTEIN

L'UNIVERSO MECCANICO MECCANICA E CALORE

A

.

ZANICHELLI

Titolo originale: The mechanical universe - mechanics and heat - advanced edition Copyright © 1986 by Cambridge University Press Traduzione: Alfredo Suvero

Copyright © 1986 Zanichelli Editore S.p.A. Bologna ,

I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica di iproduzione e di adattamento totale o ,

r

,

r

parziale, con qualsiasi mezzo (compresi i microfilm e le copie fotostatiche), sono iservati per tutti i

Sommario

paesi.

Realizzazione editoriale a cura di: Fulco Douglas Scotti, Firenze Copertina: Duilio Leonardi su progetto grafico di Raimondo Biscaretti Prima edizione. Settembre 1988

1

1992

1991

itampato a Firenze [alla Tipolitografia STIAV S.p.A.

na Aretina 2191

>er conto della N. Zanichelli Editore S.p.A. la Irnerio 34 - 40126 Bologna

1990

1989

1988

Prefazione

XIII

oyXJapitolol INTRODUZIONE ALL'UNIVERSO MECCANICO 1

1 La ivoluzione copernicana

.

1 2 Unità e dimensioni

1

3

.

1 3 Conclusioni

1

7

.

Problemi

8

X Capitolo 2 LA LEGGE DI CADUTA DEI GRAVI 2 1 Premesse storiche

9

9

.

2 La legge di Galileo 10 2 3 I corpi pesanti cadono più velocemente di quelli leggeri? 2 4 Le leggi medievali di caduta dei gravi 11

2

.

.

10

.

2

5 Determinazione sperimentale della legge di caduta dei gravi

2

6 Velocità media di un grave in caduta libera

.

.

2 7 Velocità istantanea: la derivata .

2 8 Accelerazione

15

16

.

2 9 Conclusioni

18

.

Problemi

12

14

19

y Capitolo 3 IL LINGUAGGIO DELLA NATURA: DERIVATE E INTÉGRALI .

3

1 2 33 34 3 5 36 37 3 8 .

3

.

.

.

.

.

.

.

Lo sviluppo del calcolo differenziale 23 Derivate e coeficienti angolari delle tangenti 24 Notazione di Leibnitz. Definizione analitica della derivata Regole di derivazione e derivate di funzioni speciali 27 Integrazione indefinita, l'inverso della derivazione 32 Integrazione indefinita e quadratura 33 La notazione integrale di Leibnitz 38 Applicazioni del secondo teorema fondamentale alla fisica

f

2

r

Ristampe. 5 4 3

3 9 Conclusioni

44

.

Problemi

45

27

42

SOMMARIO

Capitolo 4 INERZIA

49

8 3 Forze di contatto

735

.

j wpO J8.4i Applicazione della legge di Newton '"fc~~m

747

~~ _

4

1 Se la Terra si muove: obiezioni aristoteliche

4

2 La Terra si muove: il principio d'inerzia di Galileo

.

4 3 II moto relativo .

4

50

8

6 Viaggiando in automobile su strade con curve

8

8 L'esperienza della goccia d'olio di Millikan

.

757

53

.

4

SséìiàSa. - .'48


tutti ' C £

>

-

_

,J

P' cadono conjajtessa accelerazione costante.

Questo enunciato, dall'apparenza innocente, stabilisce tre fatti distinti:

f

(a) La forza di gravità ha lo stesso effetto su tutti i corpi, indipendentemente dalla loro grandezza o dal loro peso. Da Galileo a Newton ad Albert Einstein, questo fatto è stato uno dei più importanti misteri di tutta la isica. Ritorneremo su di esso a vari livelli, via via che procederemo nel nostro studio.

(b) L'effetto della forza di gravità sulla superficie della Terra è un'accelerazione costante. Per capire che cosa significa questo fatto, introdurremo una nuova invenzione matematica, la derivata, che si dimostrerà uno strumento di importanza cruciale per la comprensione del mondo.

(c) I fatti (a) e (b), profondi e importanti come sono, violano la nostra più semplice intuizione, poiché si producono soltanto nel vuoto, e non nel mondo dell'aria e dell acqua con cui abbiamo familiarità. In presenza della resistenza dell aria, le piume '

'

cadono più lentamente dei sassi, ma questo fatto risulta essere una complicata devia'

zione dalla norma, non l

2

.

3

essenza del fenomeno della caduta dei gravi.

I CORPI PESANTI CADONO PIÙ VELOCEMENTE DI QUELLI LEGGERI?

Nella isica aristotelica

i corpi pesanti cadono più velocemente di quelli leggeri; natuquesto è il comportamento che si osserva nell'atmosfera. Ma Galileo, nei suoi Discorsi intorno a due nuove scienze pubblicati nel 1638, prese in considerazione la caduta dei gravi in assenza della resistenza dell'aria. Fu una brillante intuizione: Galileo non essendo in grado di otteneré il vuoto, lo immaginò. Egli si rese conto del fatto che il problema di iuscire a ottenere il vuoto non era cruciale: ciò che era importante era che per capire la caduta dei gravi, si ralmente

,

,

,

Figura 2.1 L'astronauta David R. Scott della missione Apollo, nell'atto di lasciare cadere una penna di falco e un martello sulla Luna. ,

r

,

,

doveva trascurare la resistenza dell'aria.

Il ragionamento seguito da Galileo fu il seguente. Consideriamo un sasso pesante collegatomediante un filo a un sasso leggero. Secondo Aristotele quando i due sassi vengono abbandonati a se stessi fi sasso più pesante tira verso il basso quello più leggero, tentando di farlo cadere con una velocità maggiore di quella che acquisterebbe se fosse indipendente. D'altra parte, il sasso più leggero tende a rallentare quello più pesante. Perciò, il sistema dei due corpi deve cadere con una velocità maggiore di quella con cui cadrebbe il corpo più leggero e minore di quella con cui cadrebbe il corpo più pesante se i due corpi fossero indipendenti. Ma il sistema dei dùe corpi è più pesante del corpo pesante e perciò dovrebbe cadere più velocemente di quest'ultimo. La isica aristotelica conduce perciò a una contraddizione se trascuriamo gli ,

,

,

,

effetti atmosferici come la resistenza dell'aria.

Erano stati ragionamenti come questi che avevano indotto Aristotele stesso a credere che fosse impossibile il vuoto in quanto avrebbe condotto a risultati assurdi. Galileo giunse invece alla conclusione che, se fosse esistito il vuoto, ivi tutti i corpi ,

sarebbero caduti con la stessa velocità.

.

LE LEGGI MEDIEVALI DI CADUTA DEI GRAVI

Come abbiamo accennato, alcuni studiosi medievali tentarono di descrivere il moto

di caduta di un grave. Uno dei primi tentativi è attribuito a uno studioso del XIV corpo acquista velocità mentre cade?»

,

Alberto trasse la conclusione che la velocità V

Un altro studioso del XIV secolo, Nicola di Oresme

,

[

egli jjLjfl trovò una legge che gli sembrò capace di descrivere la caduta dei gravi, benché non

f

|

differente. Basandosi su uno studio matematico dei vari tipi possibili di moto

,

gli interessasse molto una cosa cosi disordinata come il mondo reale. .Quella che egli \f

!i W, f .cwì

£

j

~

prospettò era una relazione tra velocità e tempo, anziché tra velocità e-spazio percor-

so: la velocità è direttamente proporzionale al tempo di caduta. [

j

.

,

,

.

un grave. Nel XV secolo, Leonardo da Vinci formulò una legge di tipo diverso, che «S.O*v-s. x.ci, » jj . \,v < < v espresse mediante grandezze facili da misurare: lunghezze degli spazi percorsi e inter-

valli di tempo impiegati per percorrerli. Egli prospettò che gli spazi percorsi in inter- A % valli di tempo successivi uguali fossero direttamente proporzionali ai numeri interi j\jt

|\|

~ -

_

consecutivi (1, 2, 3, ...). Se un grave percorre 1 unità di-spazio in 1 unità di tempo,

moneta cadono con la stessa velocità in un tubo in cui è stato praticato il vuoto.

quali somigliava alla formulazione di Leonardo. Egli disse che lo spazio percorso in

Galileo enunciò le sue idee sulla caduta dei gravi in alcuni modi diversi, uno dei

successivi intervalli di tempo è direttamente proporr'"""11* t\ numftP disp i/l. 3, l J) .

alla forza di pravità. fN.d.T.l

,

avanzò una congettura

allora nella 2* unità di tempo percorre 2 unità di lunghezza, 3 nella 3a, e così via.

In meccanica, è detto corgojrave a. più semplicemente. grgye.uii-£nrrio rwvintp. cio soggetto.

IjL

acquistata da un grave è direttamente proporzionale allo spazio che ha percorso cadendo. Per secoli, la maggior parte degli studiosi che si occuparono del problema ritenne che Alberto avesse ragione.

Oggi siamo in grado di verificare facilmente la legge di Galileo. Innumerevoli studenti hanno osservato in aula l'esperienza dimostrativa in cui una piuma e una

*

ì

secolo, Alberto di Sassonia. Nel tentare di rispondere alla domanda «In che modo un nXfciuXó cLi tD&us/wv e-

Queste due leggi concentravano l'attenzione sul modo in cui varia la velocità di

Le possibilità che Galileo aveva di veriicare sperimentalmente questa conclusione erano molto limitate, in quanto egli non disponeva del vuoto. Il meglio che poteva fare era fare rotolare sfere di differente massa lungo lo stesso piano lievemente inclinato e verificare che si muovevano con la stessa velocità (quando i corpi si muovono lentamente, la resistenza dell'aria può essere trascurata). .

24

r

'

f

N



proposta da Leonardo? Si scriva questa legge nella forma s = s(t). (b) Qual è la velocità istantanea secondo questa legge? (c) Qual è l'accelerazione istantanea? 5

.

Si dimostri che, se l'equazione (2.1), s{t) = ci2, viene valutata in successive unità di tempo 1/2, 3/2, 5/2, 7/2, anziché nelle solite unità di tempo 0, 1,2, 3, lo spazio incrementale percorso in queste successive unità di tempo da un grave in caduta cresce in un modo equivalente alla legge di Leonardo.

14. Un pomeriggio, Chuang Tzu si svegliò dopo avere sognato di essere una farfalla. Si chiese se non fosse in realtà una farfalla che aveva sognato di essere una

persona. Supponiamo che avesse fatto questo sogno. Chuang Tzu era una farfalla

Legge di Galileo della caduta libera dei gravi 6

.

'

straordinariamente veloce e agile. Un giorno guardò in alto e vide un incudine 9

in equilibrio 2 m sopra il suo capo. Nello stesso istante in cui l'incudine cominciò a cadere, Chuang Tzu cominciò a volare verso di essa a una velocità di 20 m/s

Un tuffatore che si lancia da un'alta scogliera imane nell'aria 2 s prima di colpire acqua. Si calcolino i seguenti parametri del suo tuffo

(era una farfalla velocissima). Quando raggiunse l'incudine invertì istantanea-

Un corpo cade secondo la legge del quadrato del tempo di caduta. Se percorre 4

,

"

m in 1 s quanto tempo impiega per percorrere 44,1 m? / £ ,

7

.

"

.

3 i '

r

l

'

.

(a) L'altezza da cui è caduto. (b) La sua velocità media durante l'intero tuffo. 8

.

di un edificio di tre piani». Supponendo che l'autore della pubblicità intenda dire che si acquista una velocità di 50 km/h cadendo da un'altezza di tre piani si trovi l altezza esatta dell'edificio di tre piani Una palla è lasciata cadere da una torre molto alta. Dopo 1 s è lasciata cadere ,

'

.

.

incudine del sogno schiacciò la farfalla del sogno. Quanto spazio percorse la

'

farfalla nel suo volo?

,

a una velocità di soli 50 km/h ha lo stesso effetto distruttivo della caduta dall'alto

9

mente il suo moto e volò verso il suolo alla stessa velocità. Raggiunto il suolo, inverti di nuovo il suo moto e volò verso l'incudine, nello stesso istante in cui l

(c) La sua velocità media durante gli ultimi 0,5 s. Secondo una pubblicità di sedili di sicurezza per bambini «l'urto di un'automobile

'

altra palla. (a) La distanza tra le due palle, aumenta, diminuisce, o resta invariata mentre esse cadono? Si spieghi il ragionamento. un

(b) Il rapporto tra le loro velocità (tra la velocità della palla lasciata cadere per prima e quella dell'altra) aumenta, diminuisce, o rimane invariato mentre esse cadono? Si spieghi.

(c) Qual è la distanza tra le due palle dopo che la prima è caduta per 3 s? 10. (a) Si calcoli l'intervallo di tempo che un grave in caduta libera impiega per raggiungere una velocità di 80 km/s.

(b) Se il corpo della parte (a) raggiunge quella velocità immediatamente prima

Accelerazione costante

15. Un'esperienza compiuta sulla Luna determina che una piuma percorre cadendo 20 m in 5 s. Si trovi il valore di g sulla Luna. 16. Un treno merci inizialmente fermo, parte e acquista una velocità di 20 km/h mentre percorre 5 km con accelerazione costante. (a) Si trovi la sua accelerazione in kilometri all'ora quadrato. (b) Si esprima questa accelerazione in metri al secondo quadrato. ,

17. Si supponga che lo spazio percorso in funzione del tempo da un grave in caduta libera sia risultato s(t) = kt, dove k è una costante. (a) Quale sarebbe la velocità di un grave in caduta libera in un istante qualsiasi? (b) Quale sarebbe l'accelerazione istantanea del grave? 18. Per trovare la profondità di un pozzo si lascia cadere in esso un sasso. Si ode che colpisce il fondo 3 s dopo. ' (a) Si calcoli la profondità del pozzo, supponendo che il suono si propaghi con ,

velocità indefinita.

di colpire il suolo, da che altezza è stato lasciato cadere?

11. (a) Si determini quanto tempo impiega un corpo per cadere da un'altezza di 65 m

.

(b) Si trovi la velocità raggiunta dal corpo dopo avere percorso 65 m. 12. Un geologo alto 170 cm stava camminando in una grotta quando vide una goccia d acqua passargli davanti al viso e andare a infrangersi sul suolo Colto dall'ispirazione, rimase in attesa e cronometrò la successiva goccia che impiegò 0,1 s per percorrere lo spazio tra la sommità del suo capo e il suolo. Quanto era alto il

19. Sul pianeta Marte, un astronauta sta salendo lungo uno stretto camino roccioso lungo 30 m, trasportando un apparecchio. Ingombrato com'è, può soltanto cam-

,

.

10 m

,

soffitto della grotta? 13. In una certa fontana, due gocce d'acqua schizzano oltre il bordo di una vasca e cadono in uno stagno sottostante. La goccia proveniente da sinistra cade direttamente nello stagno. Quella proveniente da destra percorre 1 m colpisce una ,

sporgenza e perde istantaneamente tutta la sua velocità poi icomincia a cadere. ,

-

(b) Si calcoli la profondità, supponendo che la velocità dei suono sia 300 m/s.

'

r

20

T

21

2 LA LEGGE DI CADUTA DEI GRAVI .

minare carponi in su o in giù lungo il camino alla stessa velocità costante

.

All'im-

provviso vede che un sasso, situato a 10 m sopra il camino, comincia a cadere verso di lui. Si rende conto istantaneamente che può a malapena fuggire carponi dall'una o dall'altra estremità del camino Di quanto si era inoltrato nel camino? .

CAPITOLO 3

IL LINGUAGGIO DELLA NATURA: DERIVATE E INTEGRALI È utilissimo che si conoscano le origini delle invenzioni memorabili, specialmente di quelle che sono state concepite non per caso ma attraverso lo sforzo e la meditazione... Una delle più nobili invenzioni del nostro tempo è stata un nuovo tipo di analisi matematica, chiamata calcolo differenziale.

Gottfried Wilhelm von Leibniz, Histoia et Origo Calculi Differentialis (1714) r

3 1 LO SVILUPPO DEL CALCOLO DIFFERENZIALE .

Dopo l'avvento dell'algebra nel XVI secolo le scoperte matematiche inondarono Le più importanti furono il calcolo differenziale e il calcolo integrale, metodi nuovi e audaci per affrontare una miriade di problemi che avevano sfidato le migliori menti di tutto il mondo per più di 2000 anni. Il calcolo differenziale si occupa di concetti quali la velocità, la velocità di accrescimento, le tangenti e la curvatura, men,

l'Europa.

tre il calcolo integrale tratta argomenti come l'area, il volume, la lunghezza di un arco e i baricentri. '

opera iniziata da Archimede nel III secolo a.C. inì col condurre alla nascita f

L

del calcolo integrale nel XVII secolo. Questo sviluppo ha una storia lunga e affascinante, che esamineremo in modo più particolareggiato più avanti. Il calcolo differenziale ha una storia relativamente breve. Il concetto di derivata

fu formulato per la prima volta all'inizio del XVII secolo, quando il matematico francese Pierre de Fermat tentò di ideare un metodo per trovare i valori minimi e i valori massimi di una funzione data. Egli immaginò il diagramma (o grafico) di una funzione avente, in ciascuno dei suoi punti, una direzione data da una tangente, come è indicato dai punti contrassegnati nella igura 3.1, e notò che la tangente è orizzontale nei punti come A e C, dove la funzione ha un massimo o un minimo. Questa f

22

osservazione pose in evidenza l utilità di avere un metodo generale per trovare il '

coefficiente angolare (o pendenza) della tangente in un punto arbitrario. Questo metodo fu la derivazione. Fermat lo trovò nel 1629, lo comunicò a Descartes nel 1638 e

lo pubblicò nel 1642.

IL LINGUAGGIO DELLA NATURA: DERIVATE E INTEGRALI

3

.

IL LINGUAGGIO DELLA NATURA: DERIVATE E INTEGRALI

Per essere precisi, supponiamo che la collina abbia la forma di una parabola, y{x) = x2 Per i due punti che useremo per calcolare il coeficiente angolare scegliamo .

A x

s

B

.

= x e x,

= x + h Stiamo usando h come simbolo alternativo a Ax, come abbiamo .

fatto nel capitolo 2. I corrispondenti valori di y saranno yi = y(x) e y2 = y(x

coeficiente angolare medio =

Figura 3.1

-

h). Il

coeficiente angolare del segmento rettilineo congiungente i due punti è

Una curva e le sue tangenti in vari punti.

Ay

y(x + h)-y(x)

Ax

(x + h) - x

(3.2)

Sostituendo y(x) = x2 e y{x + h) = (x + h)2, troviamo Ay

coeficiente angolare medio =

Ax

3 2 DERIVATE E COEFFICIENTI ANGOLARI DELLE TANGENTI

-

(x+/z)2-x2 (x + h) - x

.

Per avere presente un esempio concreto immaginiamo che x, nella igura 3.1, rappresenti la distanza orizzontale dalla nostra abitazione e che y(x) rappresenti la quota sopra la nostra abitazione. La ipidità della curva risulta particolarmente notevole se ci rechiamo a scuola in bicicletta. Vogliamo esprimere questa ipidità con un numero detto coefficiente angolare, o pendenza della curva. Il coefficiente angolare, o pendenza del segmento rettilineo congiungente i punti

2xh + h2

r

f

,

2x + h

(3.3)

r

*

,

,

Poiché h è scomparsa dal denominatore, ora possiamo fare tendere , ottenendo il coeficiente angolare in un punto qualsiasi della parabola:

a zero,

f

(*,, y,) e (x2, y2) è

coeficiente angolare = 2x

f

coeficiente angolare = --x2-xl

Nel caso più generale di una curva si può trovare un valore medio del coefficiente angolare tra due punti approssimando la curva tra i due punti con una retta come è indicato nella igura 3.2. Denotiamo con Ay la distanza verticale tra i due punti, e con Ax la distanza orizzontale. Il coefficiente angolare del segmento rettilineo congiungente i due punti (detto corda) è dato da

Questo risultato può apparire familiare, e in verità lo è: abbiamo appena calcolato la derivata y'(x) della funzione y(x) = x2 rispetto a x [esattamente come abbiamo calcolato la derivata della funzione spazio percorso s(t) - et2 rispetto a t nel capitolo 2 trovando s'(t) = 2ct]. Ma ora abbiamo un'interpretazione geometrica, indicata nella successione di diagrammi della igura 3.3. Al tendere di h a zero, x + h tende a x e la corda si avvicina sempre più a una retta passante per (x, y) e avente coefficiente angolare 2x. Questa retta è detta tangente in (x, y), e il numero 2x è il suo coeficiente

coefficiente angolare medio =

angolare.

,

f

f

,

f

,

= Ax

(3.1)

x2 - x,

>'(*} 2

corda

I

Figura 3.3 Figura 3.2

Diagramma di una funzione con i punti indicati per

La tangente è la posizione limite a cui tende la corda '

quando un estremo si avvicina all altro.

determinare il coefficiente angolare di una corda.

t

In altre parole, la retta passante per (x, y) e avente coefficiente angolare y' (x) è, per definizione, la ìngente alla curva nel punto (x, y). Quindi, geometricamente, la derivazione ci dà il coefficiente angolare della tangente in ogni punto della curva. E questo il collegamento che Fermai cercava e che ci offre un interpretazione geometrica della derivazione. Nei punti particolari A e C della figura 3.1, in cui la funzione ha un massimo locale o un minimo locale, il coeficiente angolare y' (x) = 0.

Ma un ciclista vuole conoscere qualcos'altro, oltre al coefficiente angolare medio tra, per esempio, la sua abitazione e la scuola. In particolare quando sta pedalando

'

f

f

f

in salita, il coefficiente angolare nel punto in cui si trova sembra più importante del coeficiente angolare medio: è il coeficiente angolare locale che determina quanto

Se la collina è semplicemente una retta con coeficiente angolare m, allora y (x) = mx + b e il coeficiente angolare medio tra due punti qualsiasi è

Abbiamo incontrato un problema analogo nello studio della caduta dei gravi quando abbiamo voluto conoscere non soltanto la velocità media del grave in caduta,

f

f

energicamente deve pedalare.

ma anche la velocità in un determinato istante (velocità istantanea). Partendo dalla

Ay

velocità media e facendo tendere a zero l intervallo di tempo, abbiamo trovato la

Ax

velocità istantanea, che era una derivata. Useremo un metodo analogo per trovare il coeficiente angolare della collina in ogni singolo punto.

e quindi anche il coefficiente angolare in ciascun punto della retta è m: y (x) = m.

m(x + h) + b - (mx + b) _

f

'

_

=

m

'

25

3 IL LINGUAGGIO DELLA NATURA: DERIVATE E INTEGRALI

3 IL LINGUAGGIO DELLA NATURA: DERIVATE E INTEGRALI

.

.

3 3 NOTAZIONE DI LEIBNIZ. DEFINIZIONE ANALITICA DELLA DERIVATA .

Esempio 1 Per la funzione sottostante come si può costruire almeno grossolanamente, un diagramma della sua derivata? ,

,

Un altro modo di scrivere la derivata, invece di y' (x), è dy/dx. È la notazione inventata da Leibniz; vediamo qual è la sua origine. La derivata dy/dx denota il limite* a cui tende Ay/Ax quando Ax tende a zero:

dx 1

a*-»o Ax

k-Mi

(3.4)

h

8 '

L

equazione (3.4) è la definizione analitica della derivata e può essere usata per

f

calcolare la derivata di qualsiasi funzione che si incontra in isica. È facile verificare f

Usando il concetto che la derivata di una funzione in un punto è il coeficiente angolare della tangente in quel punto possiamo stimare i coeficienti angolari delle tangenti nei punti 1- -8. Nel punto 1 il coeficiente angolare è grande e positivo (la funzione è ripida); nel punto 2 è ancora positivo ma minore; nel punto 3 è nullo; nel f

,

+ b possono essere scritti nella notazione di Leibniz nel modo seguente:

f

,

che corrisponde alle tappe che abbiamo percorso per calcolare ogni esempio che abbiamo incontrato finora. I risultati per la parabola y {x) = x1 e per la retta y (x) - mx

,

punto 4 è negativo; e così via. Costruendo graficamente questi punti e congiungendoli

d

,

-

dx

(jc2) = 2jc,

d

-(mx + V) = m dx

con una linea regolare otteniamo il seguente diagramma: ,

'

y

Leibniz considerava la derivata dy/dx come un quoziente di quantità «infinitesime» dy e dx, che egli pensava inimmaginabilmente piccole e tuttavia non esattamente uguali a zero. Questo concetto suscitò un'animata controversia durante i primi decenni del calcolo infinitesimale, poiché né Leibniz né i suoi seguaci erano in grado di offrire una definizione soddisfacente degli infinitesimi. Alla fine la controversia venne risolta con l introduzione della teoria dei limiti, la quale trattava dy/dx come' un unico simbolo, anziché come rapporto di infinitesimi. Ciò nonostante, l idea di Leibniz di trattare dy/dx come se fosse una frazione, costituita da dy diviso per dx, è tuttora diffusa poiché spesso conduce a risultati corretti che, senza l'uso degli infinitesimi, potrebbero essere ottenuti soltanto con un grande sforzo. Talvolta, la notazione funzionale y' (x) è preferibile alla notazione di Leibniz dy/dx, poiché specifica esattamente dove si vuole calcolare la derivata. Per esempio, se y (x) = 2x, allora y'(4) = 8. Nella notazione di Leibniz, l'ultima equazione

M

,

8

'

'

'

'

Esempio 2 Si costruisca un diagramma grossolano della derivata seconda della funzione dell

(4) = 8 si scriverebbe nella forma meno comoda

dy

'

esempio 1.

dx

Come abbiamo visto nel capitolo 2 la derivata seconda è la derivata della deriva-

,

,

ta (prima). Perciò è il coeficiente angolare della tangente della derivata prima in

f

,

ciascun punto. Usando questo concetto stimiamo che y" (x) ha la forma presentata ,

qui.

La barra verticale accanto al simbolo dy/dx, con x = 4 come pedice, specifica il punto in cui viene valutata la derivata. Questo simbolo ingombrante non verrà usato in questo libro; però, essendo presente nella letteratura, deve essere conosciuto dal lettore.

3 4 REGOLE DI DERIVAZIONE E DERIVATE Di FUNZIONI SPECIALI .

8

Abbiamo presentato qualche semplice esempio in cui la derivata-è'utile, ma la potenza del calcolo differenziale sviluppato da Newton e Leibniz sta nel suo ampio campo di applicabilità a funzioni più complicate. Per questa potenza sono essenziali alcune semplici regole di derivazione. Newton e Leibniz compresero che le funzioni complicate sono spesso composte da funzioni semplici, che vengono sommate, sottratte, moltiplicate, o divise. Di conseguenza, le regole di derivazione riguardano i modi in cui le funzioni vengono costruite.

i

Questo esempio illustra tre possibili circostanze in cui y'(x) = 0: un massimo [y (x) < 0 come nel punto 3], un minimo [y (x) > 0 come nel punto 7], un punto di lesso {y" {x) = 0 come nel punto 5].

Consideriamo anzitutto la derivata della somma di due funzioni, y(x) + z(x).

"

f

"

In questo libro il concetto di limite è usato in modo intuitivo, che è suficiente per i nostri scopi. Una più sistematica trattazione dei limiti si può trovare nella maggior parte dei *

manuali di analisi matematica.

3 IL LINGUAGGIO DELLA NATURA: DERIVATE E INTEGRALI

3 IL LINGUAGGIO DELLA NATURA: DERIVATE E INTEGRALI

.

.

Fisicamente

,

L

y(x) potrebbe rappresentare la quantità d'acqua in un barile in funzione

della precipitazione piovosa x e z(x) potrebbe rappresentare la quantità d'acqua in

uso dei limiti mostra perché l equazione (3.6) è corretta. Infatti, applicando la

'

'

definizione di derivata, abbiamo che

,

un altro barile di forma diversa. L'intuizione ci dice che la variazione della quantità d acqua totale nei due barili in corrispondenza di una variazione della precipitazione '

'

piovosa, [y(x) + z(x)] è semplicemente la somma delle variazioni di ciascuna quantità, y'(x) + z'(x). Per dimostrarlo, applichiamo la definizione di derivata, espressa nell equazione (3.4), alla somma: ,

dx

(x + A*) - x

'

=

lim

y Az + z Ay + Ay Az Ax

dx

[yU + h) + z(x + h)} - {y{x) + z{x)}

(>' + z) = lim

=

o

v(* + h) - \ix)

= lim 1

,

:

-o

+ lim

h

h

dy

dz

dx +

dx

.

Ay

lim it->0

Ax

+ z -r- +

Ay Az

Ax

Ax /

2{x + h) - z{x)

h-.Q

dz

h

dy

Ay Az

= y dx - + z dx -f + it-o hm

(3.7)

Ax

(3.5) L

'

ultimo termine corrisponde al rettangolino nell'angolo. Possiamo scriverlo nel-

la forma

Una seconda regola riguarda la derivata di un prodotto di due funzioni d(yz)/dx. ,

Per esempio, se un rettangolo ha lati di lunghezza y(x) e z(x) che si dilatano al crescere della temperatura x d(yz)/dx è la rapidità di variazione dell'area rispetto alla temperatura. Possiamo trovare questa derivata servendoci dell'intuizione come fece New,

lim Ay

a*-o

oppure nella forma lim Az

\ Ax

Ax-~0

,

,

ton.

f

La igura 3.4a presenta un rettangolo con lati y e z e area yz. Se y cresce di una piccola quantità Ay e z di una piccola quantità Az, l'area cresce come è indicato nella igura 3.4b.

Poiché sia Ay -0 sia Az-*0 per Ax-K), il termine in più è il prodotto di una quantità che tende a 0 per una quantità che tende a una derivata. In altre parole, l ultimo limite è 0, e otteniamo l equazione (3.6). Ecco perché Newton aveva ragione a trascurare il rettangolino nell angolo. Sia Newton sia Leibniz applicarono la regola di derivazione di un prodotto di funzioni per trovare la derivata della funzione potenza y(x) = x", dove « è un numero intero. Illustriamolo nel caso della funzione y(x) = x3, che possiamo scrivere nella '

f

'

'

,

Ay|

y

|

|

y 2

2

forma x x3. Sappiamo già che dxldx = 1 e che d{x2)ldx = 2x, e quindi la regola di Az

(a)

derivazione di un prodotto di funzioni ci dà

(b)

Figura 3.4 (a) Rettangolo di lati y e z e area yz (b) Aumento dei lati e dell'area del rettangolo.

dx

.

Lo stesso ragionamento dimostra che d(xf)ldx = 4x3, d(x5)/dx = Sx4, e così via.

La variazione dell'area è composta da tre elementi:

Ciò che emerge è la regola di derivazione di una funzione potenza:

A )= dx

Az

z

A i-|

area z Ay

|

Ay |

(x3) = dx (x-x2) = x(2x) + (x2)l = 3x2 (3.8)

-\- rettangolino di area (Ay) (Az)

e anche per n = 0, Essa vale per ogni numero intero positivo n = 1 2, 3, poiché la derivata di una costante è nulla. Newton iuscì a dimostrare che la regola r

,

y

- - area y Az

di derivazione di una funzione potenza vale anche per esponenti negativi. In realtà, l equazione (3.8) vale per tutti i valori di n, positivi o negativi, interi o no. Un'altra regola di derivazione riguarda la derivata di una funzione che è essa stessa una funzione di un'altra funzione. Supponiamo, per esempio, di denotare con y il cammino percorso da un automobile e con x la quantità dicarburante che consuma. Il cammino percorso dall automobile dipende dalla quantità di carburante che consuma; in altre parole, y è una funzione di x. E, mentre procede, l automobile consuma carburante, e quindi x varia con il tempo: x è una funzione di t. Se sappiamo che questa automobile percorre 5 km/1 e che consuma carburante con una rapidità di 10 1/h, possiamo calcolare facilmente che marcia a una velocità di 50 km/h: '

Az

*'

'

'

In altre parole, la variazione del prodotto yz è y volte la variazione di z, più z volte la variazione di y più un rettangolino nell'angolo, di area Ay Az, che è molto piccolo rispetto agli altri due rettangoli. Ciò condusse Newton a enunciare la seguente regola di derivazione di un prodot,

to di funzioni: la derivata di yz è uguale al prodotto di y per la derivata di z più il prodotto di z per la derivata di y. In simboli,

'

.

km

d

lx{yZ)

di

dy

=y7x + Zlx

10 -L = 50 h

(3.9)

h



Che cosa è accaduto al rettangolino nell'angolo? Newton scelse di trascurarlo: sapeva di avere ragione, ma non offrì alcuna dimostrazione.

Nel linguaggio delle funzioni e delle derivate 5 km/1 = dyfdx, 10 1/h = dx/dt, e 50 km/h = dy/dt, e quindi ,

3 IL LINGUAGGIO DELLA NATURA: DERIVATE E INTEGRALI

3. IL LINGUAGGIO DELLA NATURA: DERIVATE E INTEGRALI dy dx

dy

IxTt

dt

.

spendente sulla cosinusoide. Le dimostrazioni si possono trovare in qualsiasi manuale di analisi matematica.

(3.10)

In molte applicazioni, 9 è una funzione di un'altra variabile, per esempio del tempo t. La regola di derivazione di una funzione di funzione ci permette di scrivere

'

L equazione (3.10) che abbiamo scritto basandoci su un caso particolarmente semplice ha validità generale. Questo risultato è detto regola di derivazione di una ,

,

funzione di funzione o regola di derivazione di una funzione composta. La ragione per cui questa regola è valida è che dyldx è il limite a cui tende Ayl&x

d -

dt

d

d%

M

dQ

dt

dt

sin 6(0 = -sin 9(0 - = cos 9(0 -

al tendere di Ax a zero e dxldt è il limite a cui tende àx/At al tendere di Ar a zero Se Ai e Ax non sono nulli possiamo formare il prodotto delle frazioni ordinarie:

.

In particolare, se 9(0 = bt, dove b è una costante, abbiamo che cfà/dt = b, e quindi

,

Aj Ax A/

d

(3.11)

Ar

-

dt

sin(bl) = b cos(bt)

Al tendere di A; a zero anche Ax tende a zero, poiché Ax = (àxlàt)At Passando ,

.

Enunciamo anche (senza dimostrazione) le derivate di altre due funzioni che si

al limite nell'equazione (3 11), otteniamo .

dy dx

dy

dx dt

dt

incontrano spesso:

(3.12)

In questa equazione possiamo pervenire alla risposta corretta, trattando dy/dx come se fosse una frazione ordinaria ed elidendo dx in dy/dx e dx/dt ,

7x(eX)

= e"

(3 15) -

.

Oltre alle funzioni potenza in fisica si presentano spesso parecchie altre funzio,

ni. I fenomeni che sono ciclici o ripetono il loro moto possono essere descritti como

-

damente per mezzo di funzioni periodiche cioè per mezzo delle funzioni trigonome,

triche: seno coseno e loro combinazioni. Perciò, dobbiamo conoscere le loro derivate I risultati che enunciamo senza dimostrazione sono i seguenti: ,

,

£(lnx) = £(log,x) = i

,

.

x>0

(316)

,

Esse, insieme alla regola di derivazione di una funzione di funzione, ci forniscono le formule più generali -

(sin 8) = cos

(3.13)

d

,

dx

-

(cos 9) = -sin i

u,

du

(e") = e" -

-

dx

(3.14)

dove 9 è misurato in radianti

.

L'equazione (3.13) è illustrata nella igura 3.5 f

.

Il coeffi-

ciente angolare in ogni punto della sinusoide è uguale all'ordinata del punto corri

dx

u dx

-

dove u è una funzione di x.

La funzione esponenziale e* è particolarmente notevole per quanto la principale ragione della sua ampia applicazione a vari fenomeni in cui interviene la crescita di quantità fisiche {popolazione, denaro in banca, ecc.) è il comportamento della sua derivata. Qualsiasi quantità che cresca con una rapidità direttamente proporzionale a se stessa verrà descritta da una funzione esponenziale. Il simbolo In x o log,, x che

figura nella (3.16) è il logaritmo naturale o logaritmo in base e* 2,71828... .* Mediante un'attenta applicazione delle regole di derivazione e delle derivate dì sin 6, e e*, si può derivare facilmente la maggior

d sin S

alcune funzioni speciali come x

"

d8

,

parte delle funzioni che si incontrano in fisica; è impossibile e non è necessario man dare a memoria ogni derivata che esista, in quanto la maggior parte di esse può essere calcolata. Dopo un po di pratica, il procedimento per calcolare le derivate diventerà -

'

-

2*

-3i ri

una seconda natura. Riassumiamo nel iquadro e nella tabella 3.1 le regole che abbiamo imparato e le derivate di tutte le funzioni speciali che useremo in questo libro. r

30

-jt

ytn I

-

2ir

-

*

Occorre tenere presente che nei manuali di analisi matematica e nelle tavole matematiche è

scritto spesso log x in luogo di In x, mentre in alcuni libri tecnici la notazione log x è riservata Figura 3.5

Significato geometrico della derivata di sin 8

.

ai logaritmi in base 10.

IL UNtiUAUCàlO DELLA NATURA: DERIVATE E INTEGRALI

3


(t) = C + gt, con C una costante qualsiasi, dv/dt = g, e quindi vediamo che esistono molte funzioni siffatte, una per ogni valore di C. Ciò è tipico del procedimento di integrazione indefinita. Una funzione non è

determinata in modo unico dalla sua derivata, poiché possono esistere molte funzioni

REGOLA DI DERIVAZIONE DI UNA FUNZIONE DI FUNZIONE

che hanno la stessa derivata; ma è facile vedere che due qualsiasi di esse possono differire soltanto per una costante. In realtà, se due funzioni g(t) e /(?) hanno la stessa

dy

dy dx

derivata, g'(t) = f'(t), la loro differenza g(t) -f(t) ha la derivata 0, la qual cosa significa

dt

dx dt

.

(3.12)

che la differenza non varia, e quindi la differenza g(t) - f(t) = C, dove C è una

costante. Quindi, g{t) = f(t) + C. In altre parole, se f(t) è un integrale indefinito di '

f (t), allora tutti gli integrali indefiniti sono dati da f(t) + C, dove C è una costante arTabella 3

.

bitraria.

1 Derivate di funzioni speciali usate

Nel nostro problema della velocità, la costante C ha un significato isico specifif

r

f

in isica (b appresenta una costante) Funzione

Derivata

yU!

v ( v) = dvidx

x"

nx"

sin bx

b cos bx

co: rappresenta la velocità quando t = 0, cioè, la velocità iniziale i>0. Perciò, tra tutte le possibili funzioni v(t) = C + gt con derivata g, scegliamo quella per cui C= v0 e otteniamo

'

.

v = v0 + gt

>

-

Ripetiamo ora il procedimento. Sapendo che v = u0 - gt e che ds

cos bx

e

~

"'

log

b sin bx

V = 7t

be'"

,

x = In jc

'1

x

vogliamo trovare s(t), un integrale indefinito di v. Anche in questo caso, conosciamo

(o possiamo congetturare) un integrale indefinito del genere, e cioè s = i>0t + -

(x > 0)

2>

poiché la sua derivata è v0 + gt. Ma sappiamo anche che tutti gli integrali indefiniti devono essere uguali a questo integrale indefinito più una certa costante C, e quindi 2

3

.

s = C + v0t + \gt

5 INTEGRAZIONE INDEFINITA L'INVERSO DELLA DERIVAZIONE ,

In questo caso, la costante C rappresenta la posizione iniziale all'istante ( = 0, che

Nella trattazione del moto di caduta libera dei gravi nel capitolo 2, siamo partiti dalla conoscenza della funzione spazio di caduta s(t) (lo spazio percorso da un grave in caduta libera in un dato intervallo di tempo t) poi abbiamo preso la sua derivata per trovare la velocità del grave v(t) = dsldt (la rapidità con cui il grave cade) poi ,

,

,

abbiamo preso la derivata della velocità per trovare la sua accelerazione a(t) = duldt (la rapidità con cui il grave acquista velocità). Ma non sempre conosciamo la posizione in funzione del tempo Come abbiamo sottolineato nel caso della legge di caduta libera dei gravi il più importante enunciato .

,

di questa legge è quello espresso per mezzo dell'accelerazione: '

a = g

(3.17)

chiamiamo s0. Otteniamo così la funzione posizione richiesta. 2

s = s0 + y0( + \gt

In questo caso, la posizione iniziale 50 = s(0) è misurata a partire da qualsiasi punto che scegliamo come origine delle nostre coordinate, e v0 = L>(0) è la velocità iniziale impartita al corpo all'istante ; = 0. Se il corpo è inizialmente in quiete, va = 0. Il successo di questo metodo dipende dalla capacità di trovare gli integrali indefiniti. Trasponendo le colonne della tabella 3.1, otteniamo (con modificazioni di secondaria importanza della notazione) la tabella di integrali 3.2. La derivata di ciascuna funzione scritta nella colonna di destra è la corrispondente funzione-nella colonna di sinistra.

Supponiamo di partire da questa legge fondamentale e di cercare di determinare la velocità v e la posizione i all'istante / Poiché a - dv/dt, la legge fondamentale stabili.

sce che

3 6 INTEGRAZIONE INDEFINITA E QUADRATURA .

dv dt

Un famoso problema dell'antichità, che sfidò i migliori intelletti del mondo per quasi 2000 anni, fu quello della quadratura: data una regione con contorni curvi, trovare un quadrato avente la stessa area. Uno dei più importanti eventi nella storia della matematica fu la scoperta, fatta da Newton e Leibniz, che l antico problema della '

.

,

f

sia la costante g. Ciò è tipico di molti problemi di isica in cui si tenta di determinare qualcosa partendo dalla sua rapidità di variazione, ossia dalla sua derivata Il procedi.

'

quadratura poteva essere risolto con l aiuto dell integrazione indefinita. Non è affatto evidente che tra la quadratura e la derivazione esiste una relazione: '

la quadratura riguarda l'area, mentre la derivazione iguarda la rapidità di variazione. Possiamo scoprire la relazione che le lega esaminando alcuni esempi semplici. r

e noi vogliamo trovare v Perciò, trovare v è semplicemente questione di invertire dv/dt, ossia in altre parole, di trovare una funzione v(t) la cui derivata rispetto a t

33

IL LINGUAGGIO DELLA NATURA: DERIVATE E INTEGRALI

3 IL LINGUAGGIO DELLA NATURA: DERIVATE E INTEGRALI .

Tabella 3.2 Integrali indefiniti usati in isica (b f

Tracciamo ora il diagramma della funzione velocità, che è una retta di coefficiente angolare g nella igura 3.8a, e calcoliamo l'area della regione situata sotto il suo diagramma dall'istante 0 all'istante qualsiasi t. Questa regione, ombreggiata nella igura 3.8b, è un triangolo di base t e altezza gt, e quindi la sua area (metà del f

e C denotano costanti) Funzione

f

Integrale indefinito

prodotto della base per l altezza) è --gt2, una nuova funzione di t. '

bx"

b n +

\

+C

(« # - 1)

1

v - velocità

o

1

cos bx

sin bx + C

i

(b * 0)

-

b

-

-

cos bx + C

(6

b

>»

i

01

Figura 3.8

g'

I

(a)

0)

(b * 0)

e

area

altezza. = gt 0

sin bx

0»

Curva della velocità di un grave in caduta libera

inizialmente fermo: (a) diagramma della funzione velocità v(t) = gt, (b) '

area della regione compresa tra il diagramma e l asse t. 1

in x + C

( v > 01 .

Anche in questo caso, vediamo che questa funzione area è un integrale indefinito

X

della funzione da cui siamo partiti. L'area -?'2 è uguale allo spazio di caduta nell'intervallo di tempo t.

La igura 3.6 presenta il diagramma dell'accelerazione costante di un grave in

La relazione tra area e integrazione indefinita ivelata da questi due esempi non è semplicemente un caso: è il concetto che sta alia base della sbalorditiva scoperta r

caduta libera: a = g.

fatta da Newton e Leibniz.

Per esplorare ulteriormente questo concetto, cerchiamo di calcolare l'area del segmento parabolico presentato nella figura 3.9. La curva (parte di una parabola) è il diagramma della funzione y = x2, e vogliamo trovare l'area della regione compresa tra la curva e l'asse x, tra x = 0 e x = t. Questa regione (ombreggiata nella igura 3.9) è detta segmento parabolico di base t e altezza t2.

f

a - accelerazione

2

tempo

Figura 3.6

Diagramma dell'accelerazione costante.

Calcoliamo l'area della regione compresa tra questo diagramma e l'asse dei tem'

pi. Quest area dipende, naturalmente da dove partiamo e da dove ci arrestiamo. Supponiamo di partire all'istante 0 e di fermarci all'istante t Allora la regione considerata è il rettangolo ombreggiato della igura 3 7 e la sua area è semplicemente gt, il prodotto della base per l'altezza. Se consideriamo che t sia non un numero fisso bensi una variabile, allora l'area gt è una funzione di / che possiamo chiamare funzio-

X

0

,

.

.

,

,

ne area. Questa funzione ha derivata g e quindi è un integrale indefinito della funzione costante a(t) - g da cui siamo partiti Ma un integrale indefinito dell'accelerazione è la velocità, e quindi in questo caso, la funzione area gt rappresenta la velocità di un grave in caduta libera a partire dalla quiete: .

,

velocità - v(t) = gt

Figura 3.9 Segmento parabolico di base / e altezza r2. Dalla igura 3.9 risulta chiaro che l'area del segmento parabolico è minore di quella di un triangolo avente la stessa base e la stessa altezza. Questo triangolo ha area del segmento parabolico è minore di yf3 Di quanf

f

.

f

3

area -L- t(t2) = - -P, e quindi l

'

.

,

to è minore?

Con un ingegnoso ragionamento geometrico, Archimede (287-212 a.C.) diarea è esattamente - r3: fu il primo a risolvere il problema della quadra'

mostrò* che l

-

'

tura per un segmento parabolico. Risolveremo ora lo stesso problema mediante l integrazione indefinita. -

area della regione « gt tempo

Figura 3.7 0 e t.

Area della regione compresa tra il diagramma e l'asse x, tra

Denotiamo con A(t) l'area del segmento parabolico. È la funzione che cerchiamo di determinare mediante l'integrazione indefinita e quindi cerchiamo di trovare la sua derivata dA/dt. Teniamo presente che la derivata dA/dt è il limite del rapporto

Una descrizione del ragionamento di Archimede si può trovare in: A. Rosenthai, «The History of calculus», American Mathematical Monthly, voi. 58 (1951), pp. 75-86. *

3

3 IL LINGUAGGIO DELLA NATURA: DERIVATE E INTEGRALI .

.

IL LINGUAGGIO DELLA NATURA: DERIVATE E INTEGRALI

Leibniz risolvettero il problema della quadratura nel caso di un segmento parabolico:

A(t + h) - A(t)

dopo tutto Archimede l'aveva già fatto circa 2000 anni prima. Invece, l'importanza ,

h

al tendere di h a 0. Il numeratore di questo rapporto è la differenza di due aree,

'

l

della loro scoperta sta nel fatto che lo stesso metodo è applicabile quando la parabola viene sostituita con una qualsiasi curva continua e regolare Il ragionamento si svolge come segue: sia f{x) una funzione il cui diagramma giace al disopra dell'asse x come è indicato nella igura 3.12 e sia A(() l'area della regione ombreggiata compresa tra x = aex=t La differenza A(t + h) - A(t) è l'area della regione ombreggiata nella figura 3 13a, e la igura 3.13b presenta un rettangolo di altezza f(x) e di stessa area Perciò

area

.

di un segmento parabolico di base t + h e l'area di un segmento parabolico di base t.

f

Questa differenza è presentata nella figura 3.1 Oc.

.

.

f

.

area A{t+h) - A{l)

area/!(!+«

A(t + h) - A{t) = kf(x)

rea A(t)

0

t

0

t*h

(a)

t

'+'"

(b)

(0

fM

Figura 3.10 A(t + h) - A(t) è la differenza tra le aree dei due segmenti parabolici. '

L

Nella igura 3.11 abbiamo costruito un rettangolo avente un area uguale a quella '

area A(t) della regione compresa tra la curva y - f(x) e

'

f

l asse x tra x - a e x - t.

della regione della igura 3.1 Oc: esso ha base h e altezza x1 per un certo valore (incof

«

P:#*1?S rettangolo -/(*)

are3

!

A{t + h)-Ad)

'

j t - " altezza del

}

'

v

i

r-rh

i

Figura 3.13

'

x

: + h

(b)

/ + h

(a) Una regione con area A(l + h) - A(t) (b) Un rettangolo .

con la stessa area.

Figura 3.11 Un rettangolo la cui area è uguale a A(t + h) - A(t). L

rettangolo = h f(x)

rettangolo = hx2 (a)

t

,

rettangolo - x2

\ .- area del


Figura 3.15 "L'integrale è la somma delle àfèé delle regioni" giacenti al disopra dell'asse t, diminuita della somma delle aree delle regioni '

'

-

"

e

,

per una certa costante C.

Per una lunga tradizione storica, il simbolo / f(x) dx è detto integrale indefinito (come abbiamo già visto), mentre il simbolo /J f(t) dt è detto integrale definito. Ciò è giustificato, in parte, dall'equazione (3.25), la quale dice che jf(x)dxè un integrale esteso da un certo punto non specificato a a x, più una certa costante non specificata C I manuali di tavole matematiche contengono spesso ampi elenchi di formule dette tavole di integrali indefiniti: la nostra abilità di calcolare gli integrali dipende dalla .

f(x) dx = -

ix) dx

f

40

In altre parole invertendo gli estremi di integrazione, si cambia il segno dell'integrale. ,

Infine

,

se a = t, per definizione

precedente quanto ; - a.

f(x) dx = 0. Ciò è compatibile con l'equazione

41

3 IL LINGUAGGIO DELLA NATURA: DERIVATE E INTEGRALI

3 IL LINGUAGGIO DELLA NATURA: DERIVATE E INTEGRALI

.

.

3

.

Poiché la velocità è la derivata della quota, possiamo trovare y integrando u otteniamo

8 APPLICAZIONI DEL SECONDO TEOREMA FONDAMENTALE ALLA FISICA

_

Scrivendo

inluogojy

,

t

,

Il secondo teorema fondamentale del calcolo infinitesimale stabilisce che

y(f) = yo + '

P

(x) dx = P(t) - P(a)

(3.30)

dT = y0 + vot

(3.24)

Questa formula vale non soltanto per i gravi in caduta libera, ma anche per qualsiasi problema in cui interviene un'accelerazione costante -g. Che velocità acquista un grave in caduta libera percorrendo un dato spazici Né

ossia '

P

(x) dx + P(à)

(3.26)

'

equazione (3.29) né l'equazione (3 30), singolarmente, ci forniscono da sole la risposta. Ma, risolvendo ispetto a t la (3.29) otteniamo l

.

,

r

P(t) =

Questa formula dice come si ricava una funzione P(t) dalla sua derivata: si integra la derivata P (x) da x = a a x = t e poi si somma P(a). Adesso disponiamo di una regola matematica per ciò che abbiamo fatto precedentemente in questo capitolo '

'

e, sostituendo questa espressione nella (3 30), troviamo .

r

quando abbiamo ricavato la posizione e la velocità di un grave in caduta dall accelerazione. Traduciamo quei isultati nel nuovo linguaggio degli integrali.

Possiamo ricavare la yglncità di yn corpo

2 / 3

In che modo il principio d'inerzia potrebbe spiegare il fatto che una rapida scossa a una giacca impolverata iesce a liberarla dalla polvere?

4

Immaginiamo di essere Galileo. Come risponderemmo a un aristotelico che dicesse che una palla di cannone sparata orizzontalmente verso ovest percorrerebbe un cammino maggiore rispetto a una palla sparata orizzontalmente verso est sulla

.

r

Il salto richiede

,

=

i_iMm t)0

4 27s

.

,

20 m/s

La velocità verticale immediatamente prima di toccare il suolo è S

v = -gt = - 9,8 M. (4,27 s) « - 42 _2L y

s1

Terra in rotazione? .

s

Un treno si muove lungo un binario orizzontale con una velocità costante di 20 m/s. Un passeggero lascia cadere una palla dal soffitto che è 2,5 m sopra il pavi,

mento del treno.

dove il segno meno indica che y è decrescente.

(a) Secondo il passeggero, quanto tempo impiega la palla per raggiungere il pavi-

In pratica, la distanza registrata per un salto con gli sci non è xt, ma

mento?

Vxl + (y - yj2, la lunghezza del segmento rettilineo congiungente il punto di decollo

(b) Secondo il passeggero, in che punto la palla colpisce il pavimento? (c) Secondo un osservatore situato accanto al binario, di quanto si allontana il treno mentre la palla è nell'aria? (d) Secondò un osservatore situato accanto al binario, di quanto si sposta orizzontalmente la palla mentre cade?

con il punto di atterraggio: il lettore è invitato a determinarla in questo caso. È anche importante notare che i salti reali con gli sci vengono modificati apprezzabilmente dalla resistenza dell'aria.

Moto relativo 4 6 CONCLUSIONI .

6

Né Galileo né gli artiglieri sosterrebbero che i proietti reali si muovono descrivendo traiettorie esattamente paraboliche. Per esempio, è stato stimato che la resistenza dell'aria riduca il cammino delle palle da baseball colpite correttamente di ben il 40% della traiettoria parabolica ideale. Gli artiglieri devono tenere conto di questo effetto. Ai tempi di Galileo lo facevano osservando semplicemente dove i proietti colpivano il suolo e correggendo il puntamento in conformità. Oggi lo fanno generalmente con

.

Supponiamo di essere un passeggero su un'automobile che marcia molto regolarmente su una strada orizzontale rettilinea a una velocità costante. Se chiudiamo ,

gli occhi e ci tappiamo gli orecchi, siamo in grado di dire che siamo in movimento? Se l'automobile compie una svolta siamo in grado di accorgercene con gli occhi ,

chiusi? Perché? 7.

Immaginiamo un veicolo spaziale che procede con velocità costante nello spazio profondo. Un braccio meccanico afferra un carico di ifiuti e lo libera all'esterno r

l'ausilio di elaboratori.

del veicolo. Si descriva il moto dei ifiuti osservato da un passeggero del veicolo r

Quando si include la resistenza dell'aria, la traiettoria di un proietto può somi-

,

spaziale.

gliare più alla traiettoria prevista in base alla teoria dell impeto (figura 4.4) che alla '

parabola di Galileo. Perché allora dovremmo preferire la teoria di Galileo per le '

applicazioni ordinarie nell atmosfera

terrestre?

Una ragione è che, anche senza realizzare il vuoto, si possono trovare proietti di

8

.

Supponiamo di viaggiare in automobile a 120 km/h lungo un'autostrada e di passare accanto a una Ferrari parcheggiata davanti a un autogrill 20 minuti dopo, la Ferrari parte e ci segue a 150 km/h .

.

conto della resistenza dell'aria del vento, della componente verticale del volo

(a) Con quale velocità si muove la Ferrari ispetto a noi?

,

r

,

ecc.)

(b) Con quale velocità ci muoviamo noi rispetto alla Ferrari? (c) Quanto tempo impiega la Ferrari per raggiungerci? 9

.

16. Un bombardiere in picchiata sgancia la sua bomba da una quota di 500 m mentre

Mentre un treno è fermo in una stazione, Michele, nella parte anteriore di una carrozza, e Anna, nella parte posteriore della carrozza, fanno rotolare una palla avanti e indietro. Ciascuno è capace di fare rotolare la palla con una velocità di 10 m/s.

sta scendendo in picchiata verso il suolo a una velocità di 600 km/h sotto un angolo di 45 ,

"

.

(a) Quanto tempo impiega la bomba per raggiungere il suolo? (b) Di quanto si sposta orizzontalmente la bomba tra l'istante in cui viene sganciata e l istante in cui colpisce il suolo? '

(a) Qual è la velocità della palla rispetto a Michele? Ad Anna? (b) Se il treno si muove in avanti a una velocità di 10 m/s, qual è adesso la velocità della palla rispetto a Michele? Ad Anna?

17. (a) Un'iscrizione mongola risalente ai tempi di Genghis Khan registra un primato di tiro con l'arco di 500 m orizzontali [O. Lattimore, Nomads and Commissars, London Oxford University Press, 1962, p. 22]. Se la freccia fu lanciata sotto l angolo ottimale con resistenza dell'aria trascurabile quale fu la .

r

(c) Mentre il treno si muove come in (b), qual è la velocità della palla ispetto a

,

un osservatore situato sul suolo quando essa va da Michele ad Anna? Da Anna

'

,

a Michele?

,

sua velocità iniziale?

(b) Una tattica prediletta dai mongoli era quella di lanciare le frecce contro il nemico mentre cavalcavano verso di esso impartendo così alle frecce la velocità supplementare del cavallo, e poi di svoltare e tornare indietro. Se la freccia ha la velocità iniziale V0 e l'angolo iniziale 9 rispetto al cavallo e se il cavallo si muove con velocità orizzontale V0 rispetto al suolo, si trovi il rapporto tra la gittata della freccia lanciata da un cavallo in movimento e la ,

f

r

f

10. Una palla, che si muove con velocità u, va a colpire, sotto incidenza normale, una parete massiccia stazionaria e rimbalza con una velocità inale v nella stessa direzione ma nel verso opposto. In una seconda situazione, l'unica variante è che ora anche la parete si muove con velocità u verso la palla. Se la velocità della palla è ancora u, sempre secondo una direzione normale alla parete, e la palla imbalza elasticamente sulla parete in movimento, qual è la velocità inale della

gittata della freccia lanciata con lo stesso 9 e la stessa V0 da una posizione

palla?

stazionaria. (Si trascuri l altezza del cavallo.) '

Moto dei proietti (Nei problemi seguenti si trascuri la resistenza dell'aria).

11. Per colpire un bersaglio, un bombardiere dovrebbe sganciare le sue bombe (a) quando si trova sulla verticale del bersaglio, (b) prima di essere sopra il bersaglio, (c) dopo avere oltrepassato il bersaglio. Se il bombardiere continua a volare con velocità costante, qual è la traiettoria di una bomba in caduta secondo il pilota? Che tipo di traiettoria vede un osservatore al suolo?

18. Uno scattista di classe mondiale è capace di correre i 100 m in circa 10 s (uomini) o 11 s (donne). Quale rapporto ci si aspetta tra il primato maschile e quello femminile di salto in lungo? Si faccia un confronto con i primati mondiali registrati nell agosto del 1983: 8,90 m per gli uomini e 7 43 m per le donne. '

,

19. Un giocoliere è in una stanza il cui soffitto dista 3 m dalle sue mani

0 5 s nelle sue mani tra il momento in cui viene afferrata e il momento in ,

.

cui viene lanciata, quante palle è in grado di manipolare? Quante ne potrebbe manipolare in una stanza identica situata sulla Luna? ,

f

12. Un aeroplano che lancia balle di ieno al bestiame in difficoltà a causa della neve sta volando orizzontalmente a una quota di 200 m con una velocità di 65 m/s.

.

(a) Quale velocità verticale iniziale mantiene più a lungo una palla nell'aria? (b) Se il giocoliere lancia in alto una palla ogni 0,7 s, e ciascuna palla rimane per

f

f

(a) Quanto tempo impiega la balla di ieno per raggiungere il suolo? (b) Qual è la velocità della balla di ieno immediatamente prima che colpisca il

(c) Mentre il giocoliere fa il suo gioco di destrezza con le palle, le sue mani distano tra loro 35 cm. Qual è il rapporto fra la velocità orizzontale delle palle lanciate sulla Luna (l'altezza è sempre la stessa) e la velocità orizzontale

suolo?

f

(c) Qual è la componente della velocità della balla di ieno nella direzione orizzontale immediatamente prima che essa colpisca il suolo?

f

(d) Di quanto si sposta orizzontalmente la balla di ieno mentre è nell'aria? 13. Si trovi l'intervallo di tempo che un proietto impiega per raggiungere il vertice della sua traiettoria. Qual è la relazione tra questo intervallo di tempo e il tempo di volo totale espresso dall'equazione (4.6)?

destrezza è la necessità di lanci precisi. (a) Si supponga che tutti i lanci raggiungano la stessa quota h. Si consideri una palla lanciata da una mano nella posizione x = 0. Per essere afferrata, la palla deve scendere in prossimità dell'altra mano nell'intervallo a < x < b. Si ,

trovi un'espressione che ponga in relazione l'angolo di lancio iniziale 9, con la posizione in cui la palla viene afferrata. Si dovrebbe ottenere un'espressio,

f

14. Un sasso attacco a un ilo viene fatto roteare. Quando il ilo forma un angolo di 45' con la verticale viene tagliato. Quale traiettoria seguirà il sasso? Se il sasso si muove inizialmente con una velocità di 5 m/s, di quanto si sposta orizzontalmente prima di ricadere alla stessa quota a cui si trovava quando è stato tagliato il f

delle palle lanciate sulla Terra?

20. Uno dei limiti al numero di oggetti con cui un giocoliere può fare giochi di

ne in funzione di h e della posizione laterale. (b) In pratica, a e è sono dell'ordine di 0,2 m e 0,4 m, rispettrvamente: Nel caso di un giocolière di classe mondiale che lancia le palle molto rapidamente, le ,

quote (in metri) necessarie per manipolare 3, 7 e 13 palle sono le seguenti:

ilo?

f

h

15. Un aeroplano, in volo orizzontale con velocità u a una quota h, si prepara a bombardare un bersaglio B situato a una distanza d davanti a esso. Il bombardiere guarda il bersaglio attraverso l apparecchio di puntamento sotto un angolo 6 = are tan (h/d) al disotto dell orizzonte. In corrispondenza di quale valore di 6 (se si trascura la resistenza dell'aria) dovrebbe essere sganciata la bomba perché vada a colpire il bersaglio? (Nota. Un apparecchio di puntamento automatico imposta l'angolo 8 corretto in base ai valori di h e v che iceve attraverso collegamenti con l altimetro e il tachimetro, apportando ulteriori regolazioni per tenere '

a

b

3 palle

0,35

02 ,

04

7 palle

3 25 ,

02 ,

04

13 palle

13,00

02

04

%

,

,

r

'

'

,

,

Si completi il resto della tabella. (Il primato mondiale è di 13 palle Si rilevi quanto è diventato rigoroso il requisito della precisione angolare in questo .

caso.)

21. Un tipo di fuoco d'artificio, chiamato «ragno», ha l'aspetto di una palla di stelle f

f

ilanti incandescenti. Le «stelle ilanti» sono tracce lasciate dalla combustione del

fosforo su frammenti dell'esplosione del fuoco d'artificio. Il fuoco d'artificio viene lanciato da un mortaio e generalmente sale a una quota di 250 m. Se il fuoco d artificio fosse fermo nel momento in cui esplode, il fosforo brucerebbe tutto in '

circa 1 s, lasciando una palla di fuoco di 45 m di raggio. Nel caso di un fuoco d artificio che viene lanciato sotto un angolo di 5 ispetto alla verticale, si dise'

r

'

CAPITOLO 5

1

VETTORI Se desiderassi attirare lo studente di qualsiasi di queste scienze verso un'algebra per i vettori, dovrei dirgli che i concetti fondamentali di questa algebra sono esattamente quelli con cui ha familiarità... In realtà, dovrei dirgli che i concetti che usiamo nell analisi vettoriale sono quelli che egli, leggendo tra le righe, incontrerà in ogni pagina dei grandi maestri dell analisi o di coloro che hanno sondato i più profondi segreti della natura. '

'

J W. Gibbs, in Nature, 16 marzo 1893. .

5 1 .

.

SISTEMI DI COORDINATE

Galileo scoprì, attraverso il principio d'inerzia, che non esiste un unico sistema di riferimento preferenziale. Per sfruttare più efficacemente questa scoperta, dobbiamo esaminare alcuni concetti geometrici. Il primo tipo di costruzione geometrica di cui abbiamo bisogno è un modo di descrivere la posizione occupata dai corpi. Se il mondo fosse soltanto unidimensionale, tutto giacerebbe su un'unica linea. Per descrivere dove si trova qualcosa su questa linea, prima sceglieremmo un punto di questa linea come punto di riferimento, che costituirebbe l'origine. Poi sceglieremmo un verso (o senso) lungo la linea come verso positivo, per esempio quello a destra rispetto all origine. Fatte queste scelte, ci basterebbe assegnare un numero, che chiameremo coordinata x, per specificare la posizione di un punto. Su una superficie bidimensionale, come questa pagina, dobbiamo ricorrere a un procedimento un po' più complicato per descrivere la posizione di un punto. Prima scegliamo un asse (asse x) e poi un secondo asse (asse y) perpendicolare al primo, come nella figura 5.1 (non è essenziale che i due assi siano mutuamente perpendicolai, ma è comodo). L'intersezione dei due assi è l'origine. Dobbiamo scegliere per convenzione un verso positivo; assegnarne verso positivo al semiasse x a destra dell origine e verso positivo al semiasse y al disopra dell origine. Fatte queste scelte, possiamo descrivere la posizione di un punto mediante le coordinate ortogonali (o rettangolari) x0 e y0, come nella figura 5.la. Oppure, la posizione di un punto può '

r

gnino le traiettorie per alcuni frammenti in ciascuno dei seguenti casi: (a) Il fuoco d'artificio esplode quando si trova nel vertice della sua traiettoria. (b) Il fuoco d'artificio esplode durante la salita, a una quota di 200 m. (c) Si dimostri che, per un osservatore che si muova insieme al fuoco d'artificio, la palla di fuoco è una sfera.

'

y

'

y-

yo

e

(b)

Figura 5.1

Sistema di coordinate nei piano, in cui il punto è descritto

(a) dalle coordinate cartesiane ortogonali x0 e polari r e 9.

e (b) dalle coordinate

5

temente da qualsiasi sistema di coordinate ed è questa la ragione per cui sono utili in meccanica. Perché? Prima di Copernico, esisteva un unico sistema di riferimento concepibile, quello che aveva come centro il centro della Terra. L essenza della rivolu-

prescelto, sono necessari due numeri per specificare la posizione di un punto nello

zione copernicana consistette nello spostare l origine del sistema di coordinate che

r

essere descritta in modo equivalente mediante le coordinate polari r e 9, ispettivamente la distanza dall origine e l angolo (anomalia) che la semiretta radiale forma con l asse x, come nella figura 5.Ib. Comunque quale che sia il sistema di coordinate '

'

'

,

,

'

'

descriveva tutta la isica dal centro della Terra al centro del Sole. Poi, nell'ideate una

Nello spazio tridimensionale sono necessari tre numeri per specificare la posizione di un punto. Il sistema di coordinate più usato è il sistema di coordinate cartesiane ortogonali (o rettangolari) così chiamato in onore del matematico e ilosofo francese René Descartes (italianizzato in Renato Cartesio) Un sistema di coordinate cartesiane ortogonali nello spazio è costituito da tre assi mutuamente perpendicolari detti assi x, y, 2, come quelli della igura 5.2 Tale sistema di coordinate è detto destrorso per il modo in cui sono disposti gli assi: se si orienta la mano destra secondo il semiasse x positivo e si piegano le dita verso il semiasse y positivo il pollice indica l orientamento del semiasse z positivo.

nuova meccanica, Galileo scoprì, attraverso il principio d inerzia, che non esiste alcun sistema di riferimento preferenziale: i sistemi di coordinate non hanno alcunché di esclusivo, nessuno è migliore di qualsiasi altro. Di conseguenza, i sistemi di coordinate (sistemi di riferimento) possono essere ovunque nello spazio ed essere orientati in qualsiasi modo. Analogamente, i vettori possono essere ovunque nello spazio. Essi sono i mezzi naturali per descrivere le grandezze isiche con completa generalità e indipendenza da particolari sistemi di riferimento. Storicamente, l'uso dei vettori divenne un procedimento standard soltanto verso la ine del secolo scorso, quando Josiah Willard Gibbs, isico di Yale, e Oliver Heaviside, scienziato britannico autodidatta, dimostrarono che esso semplifica le equazioni e le notazioni che descrivono l elettricità e il magnetismo. Ma, una volta accettata per l elettromagnetismo, l elegante analisi vettoriale si dimostrò il metodo di elezione

f

spazio bidimensionale.

,

'

f

f

,

.

f

.

f

f

,

'

'

2

'

'

f

per la meccanica e altre branche della isica.

Avendo un modulo e un orientamento, un vettore è più che un singolo numero e, come tale, non dovrebbe essere rappresentato con lo stesso tipo di simbolo che si usa per rappresentare un singolo numero. I vettori richiedono un simbolo speciale. 1 fisici denotano spesso i vettori con una lettera sormontata da una freccia: A. Altri preferiscono usare il simbolo impiegato dai tipografi per denotare il carattere neretto, e cioè una lettera recante inferiormente un ghirigoro: A. Si può usare la notazione che si preferisce, ma noi useremo la notazione di Gibbs: le lettere in neretto come A

f

1

0

Figura 5.2

Sistema di coordinate cartesiane ortogonali destrorso nello

spazio, in cui un punto è descritto dalle coordinate (;t0, y , z0).

denoteranno vettori.

Per specificare un punto ispetto a questo sistema di coordinate specifichiamo la distanza x0 di cui ci spostiamo rispetto all'origine lungo l'asse x per portarci a

Il modulo o norma di un vettore A è denotato con | A | o semplicemente con A (in

r

,

carattere corsivo chiaro):

ianco del punto poi la distanza >>0 di cui ci spostiamo parallelamente all'asse y per

f

,

portarci direttamente sopra o sotto il punto, e infine la distanza z0 di cui ci spostiamo

modulo del vettore A = | À | oppure A

'

parallelamente all asse z per raggiungere il punto (figura 5.2).

Per porre in risalto la differenza tra i vettori e i numeri ordinari, Hamilton coniò il termine scalare (dal latino scala) per indicare i numeri ordinari come 2, -5, 144 e tu. Anche il modulo di un vettore è uno scalare (ma non è mai negativo). Lo spazio percorso da un punto mobile e il modulo della sua velocità sono esempi di moduli

5 2 I VETTORI .

di vettori.

In fisica, si usano talvolta nomi diversi per distinguere le grandezze vettoriali

.

f

f

sia una dijmgM Jinj!gjm nellfl paziajGfil metricamente, unj!£ttfliAiapf>res enta=., tOjttrynia ec! j3iuU.mgh£zza .

.

f

-

}

e-jfei

direziQiK_qiimiaia_d

H modulo del vettore velocità v = | v | è detto talvolta velocità intensiva: dice con quale Pur avendo un modulo e un orientamento un vettore non ha una-posizione issa

in qualsiasi posizione parallelamente a se stesso e continua a essere lo stesso vettore.

rapidità si muove il punto. Un altro esempio è lo spostamento di un punto mobile ispetto allo spazio percorso dal punto. Se un punto materiale* percorre uno spazio s da un punto a ,un altro, il vettore s che li congiunge è detto spostamento; il suo

Due vettori che hanno lo stesso modulo e lo stesso orientamento sono considerati

modulo, s = |s| (lo\spazio percorso) è uno scalare. Nella tabella 5.1 sono elencate al-

uguali; possono essere traslati in modo che uno si sovrapponga esattamente sull'altro

cune grandezze scalari e vettoriali che si incontrano frequentemente in -meccanica. Benché i vettori siano definiti indipendentemente dai sistemi di coordinate,

,

nello spazio. Un vettore, come quello mostrato nella igura 5.3 può essere traslato ,

,

.

Proprio perché non hanno una posizione definita i vettori esistono indipenden,

r

i

f

.

f

-

dai loro moduli scalari. Per esempio, la velocità v di un punto mobile è una grandezza vettoriale rappresentata da una freccia orientata nella direzione e nel verso del moto.

spesso conviene descrivere un vettore in un particolare sistetnà di coordinate. Un modo per farlo è traslare il punto origine del vettore nell origine del sistema di coordi'

In meccanica, è detto punto materiale, o semplicemente punto, un corpo materiale puntiforme, cioè tale che possono essere trascurate le sue dimensioni geometriche rispetto ai suoi sposta*

menti e le sue eventuali rotazioni e possa essere individuata la sua posizione con le coordinate di un punto geometrico. Per esempio, qaundo si studia iì moto della Terra nel sistema solare o quello di una nave sulla superficie del mare o quello di un proietto nell aria, si può assimilare la Terra o la nave o il proietto a un punto materiale. Si parla cosi di cinematica del punto (materiale). Il punto materiale è detto anche particella materiale o semplicemente particella (dall'inglese material particle o semplicemente particle). In questa trattazione e in quelle successive, quando si parlerà genericamente di corpo si intenderà che esso sia generalmente assimilabi'

Figura 5.3

Lo stesso vettore in differenti posizioni nello spazio e in

differenti sistemi di coordinate.

le a un punto materiale. [N.d.T.]

.

VETTORI

65

5. VETTORI

Tabella 5.1 Grandezze scalari e grandezze vettoriali di uso comune in meccanica Grandezze scalari

Grandezze vettoriali

spazio percorso i

spostamento s

(modulo della) velocità v

velocità (vettoriale) v

(modulo dell') accelerazione a

accelerazione (vettoriale) a

Figura 5.5

Scomposizione di un vettore nei (vettori) componenti nel

piano. forza F

(modulo della) forza F

L

'

angolo 8 definito nella figura 5 5 può essere calcolato in molti modi; il più facile è usare la definizione di tangente:

(intervallo di) tempo t

.

tan 8 =

massa m

e quindi

nate. Il punto termine del vettore si trova ora in un certo punto le cui coordinate forniscono le istruzioni che ci dicono come andare dal punto origine al punto termine del vettore. Per esempio, nel sistema di coordinate cartesiane ortogonali il punto

f

termine di un vettore A avrà tre coordinate che chiamiamo le componenti del vettore e che denotiamo con (Ax, Ay, AJ, come è illustrato nella igura 5.4.

1

6 - are tan

lA,\

r) Uri

(5,4)

-

La maggior parte delle calcolatrici ha un tasto «tangente inversa» (indicata di solito con la notazione usata nella letteratura inglese tan"1 anziché are tan) e quindi quan,

,

do si conoscono le componenti si può calcolare facilmente l'angolo

.

Esempio 1 Per una data velocità iniziale i>0

=V

o

+ "So si trovi la gittata massima di un proiet-

to.

Nel capitolo 4 abbiamo dedotto l'equazione (4 5) per la gittata di un proietto che itorna al suolo alla stessa quota da cui è stato lanciato: .

r

X

Figura 5.4

Componenti cartesiane (Ax, Ay,

A

R = 2 oiVo

) del vettore A.

z

S

Poiché esistono due modi equivalenti di specificare un vettore, e cioè mediante un modulo e un orientamento (direzione e verso) oppure mediante le componenti, dovrebbe essere possibile trovare le componenti quando si conoscono il modulo e l orientamento, e viceversa. Il procedimento per trovare le componenti è detto scomposizione (o decomposizione) di un vettore nei (vettori) componenti; perciò, esami'

In funzione di 9, l'angolo che la direzione iniziale del moto forma con l'orizzonte (figura 4.6), possiamo scrivere le componenti della velocità iniziale come = u0 cos 6 e = u0 sin 6. La gittata è quindi K

2vl sin e cos 8

=

'-

niamo come si scompongono i vettori nel piano.

Se conosciamo il modulo e l'orienta

gmcentfTnèn

j oJ irezions -Aimo

Jrigonometria alla igura 5.5, jgoniamo in relazione le comggneiUi modulo A eTangolp 6 nel moda segùentK

vi sin 26 g

che raggiunge il valore massimo quando sin 28 = 1 ;

_

4-t_e

j;oiLÌl.

~

R

.

.

=

8

f

.

°,

M

,

=i£ g

cioè, in corrispondenza di 8 - 45" La gittata massima si ottiene lanciando il proietto sotto un angolo di 45' .

e

.

In alcuni casi, si potrebbero conoscere le componenti di un vettore, ma si potrebbe volere il suo modulo e il suo orientamento. Per passare dalle componenti al modulo e all'orientamento, si inverte il procedimento or ora descritto. Supponiamo di di un vettore, come è indicato nella igura 5.5. Il conoscere le componenti A y vettore A e i lati contrassegnati Ax e Ay formano un triangolo rettangolo. Per il teorema di Pitagora, l ipotenusa, la cui lunghezza è il modulo A, è x

e A

5

.

3 SOMMA E DIFFERENZA DI DUE VETTORI; PRODÒTTO DI UN VETTORE PER UNO SCALARE

f

66

'

Poiché i vettori sono nuovi enti matematici si devono definire le operazioni algebriche che li riguardano; definiremo la somma la differenza e tre tipi di prodotto. ,

,

L

'

operazione più semplice è il prodotto di un vettore per uno scalare Se abbiamo un vettore B e lo moltiplichiamo per lo scalare 3 il nuovo vettore è 3 volte più lungo .

\ Pi' -

A = VA,2 + Ay

(5.3)

,

Ut,

68

5. VETTORI

5 VETTORI .

f

(ha un modulo pari a 3 volte quello) di B e si scrive 3B. Più in generale, jjjjrodoltodel vettore B per uno scalarejLàJttnjttuaYQuyettore cB iL.qpjlejBUS jjfi»-moduki

madore o minore jiLgaelio di B e lo stesso orientamentadi-B.(stessa direzione e stesso verso) je jLfigfi xSJ! ori

tamei|la aEP> dove 6 è l'anfioio tra i due vettori (misuratfl-in-jnadiì-CheJL . 8 < 180'). Inoltre

Queste relazioni ci offrono un metodo algebrico per determinare le componenti di A Infatti, formando il prodotto scalare di A e 1 otteniamo

= Axì + Ayj + Azt

.

A

-i = Aj-ì + Aj-Ì +

,

4:.k-Ì

= A

(5.24)

,

poiché 1-1= 1 ej-i = £- l = 0. Analogamente, troviamo che

.

l&QlagUJ edott&-seala]g di duej ttOiysUnoltiplicano i lóromoduli compreso tra i due yettojlJI prodotto scalare gode della pror

aMfc»Rei

'

e il coseno dell angolo

A

v

A-k;

(5.16)

A-B

= (A ì + Ay) + A k)-(BXÌ + Bj + B.k) x

,

La quantità scalare

condo membro, ottenendo

(5.17)

f

è detta (la) componente di B secondo A ed è illustrata nella igura 5.12a Il prodotto "

~

A B = AxBxì ì + A

-»---"-'

+ AyBjk

A-B = AB cos 8 = Ab

B

x

Ì} + AxB.i k + AvBx} ì + A,Bj }

y

.

(a)

(5.18)

+ A

(5.27)

contengono il prodotto scalare di un versore per un differente versore sono nulli e

uguale al prodotto di B per la componente di A secondo B come è illustrato nella figura 5.12b. Se A e B sono mutuamente perpendicolari cos 8 è zero e

quindi sopravvivono soltanto i tre termini contenenti ì ì, J . J e k . k. Perciò, resta

,

A-B = AXBX + A,B

V

A-B

"

"

= 0

Viceversa se il prodotto scalare è nullo almeno uno dei vettori è nullo, oppure i due ,

,

vettori sono mutuamente perpendicolari Se A e B hanno lo stesso orient fTitn rn» = ) e A . B è semplicemente il prodotto dei moduli dei due vettori. In particolare., A-A

= Al

(5.20)

_

f

t

iLfltadjato del modulo dijL Nella igura 5.13 b e c sono le componenti di B e C secondo A. È chiaro che b ,

+ c è la componente di B + C secondo A

.

Ma

A(b + c) = Ab + Ac

+ A ,8,

(5.28)

(5.19)

.

A secondo B.

k-i + A-B,.k-j + A,B;k-k

Ma questa espressione non è cosi complicata come sembra, poiché tutti i termini che

si ottiene moltiplicando il modulo A per la componente di B secondo A. È anche ,

Figura 5.12 (a) B cos 8 è la

(5.26)

Usando la proprietà distributiva (5.22) eseguiamo la moltiplicazione indicata nel se-

b = B cos 9

componente di B secondo A. (b) A cos 6 è la componente di

(5.25)

È utile esprimere il prodotto scalare di due vettori A e B per mezzo delle compo-

AB = B A

(W

POOOOTlI SlAtARi TGA

nenti. Il prodotto scalare A - B è dato da

Proprietà commutativa del prodotto scalare:

scalare

e

-Ì-A

prietà commutativa

In altre parole, per calcolare il prodotto scalare sommiamo semplicemente i prodotti delle corrispondenti componenti. Quando formiamo il prodotto scalare di un vettore per se stesso, troviamo, attra'

verso l equazione (5.28), A-A

= A1

,

+ Al + A)

(5.29)

Questa relazione dice che il quadrato del modulo di A è la somma dei quadrati delle sue componenti. Nel caso dei vettori nel piano xy, questa relazione è semplicemente il teorema di Pitagora, e quindi abbiamo trovato un'estensione del teorema di Pitagora allo spazio tridimensionale.

(5 21) .

che implica che il prodotto scalare gode della proprietà distributiva: Proprietà distributiva del prodotto scalare: A

-

.

(B + C) = A-B + A-C

Esempio 5 (5.22)

(a) Si calcoli il prodotto scalare di A = 3? + 2j e B -1 - J. (b) Qual è l'angolo tra questi due vettori? (a) Usando l'equazione (5.28) si trova facilmente che A-B

= (3)(1) + (2)(-l) + (0)(0) = 1 (b) A prima vista, può sembrare che si debba disegnare un diagramma dei due '

'

vettori e poi misurare l angolo compreso tra di essi. E invece possiamo trovare l ango-

lo cercato combinando il risultato appena trovato, A B = 1, con l'espressione del prodotto scalare, equazione (5.15): A-B = AB cos 6

Figura 5.13 Illustrazione della proprietà distributiva A-(B + C) - A-B

I moduli A e B si possono trovare facilmente mediante l'equazione (5.29), cioè me-

+ A-C.

diante il teorema di Pitagora:

5

.

A = VA

Il risultato ottenuto per

= \/Al + A2y + A? = V32 + 22 + 02 = VT}

'

,

r

-5 =

'

_ = 0 20

.

atterraggio

f

basta per garantire un atterraggio sicuro. Oltre il punto B la pista di atterraggio si appiattisce e v x diventa pericolosamen-

da. cui risulta che 8 = 79'.

te elevata. Per ragioni di sicurezza quando le condizioni della neve o del vento producono salti che terminano molto oltre il punto B, i saltatori partono da un punto inferiore della pista di lancio per ridurre la loro velocità di decollo. Nel trampolino ,

di «70 metri» costruito per le olimpiadi del 1980 a Lake Placid (New York, USA), la distanza tra il punto di decollo e A è 70 m e la distanza fra il punto di decollo e B è 86 m.

Esempio 6

Il saltatore con gli sci dell'esempio 1 del capitolo 4 ha una velocità v = (20i - 42j) m/s immediatamente prima di atterrare su una pista di atterraggio inclinata di 45*

.

Si trovino v j, la componente di v secondo una direzione parallela alla pista di atterraggio, e v

la componente di v secondo una direzione perpendicolare alla pista di atterraggio. (Interessano queste componenti poiché v, sarà la velocità del saltatore ,

V

j

.

5 5 PRODOTTO VETTORIALE DI DUE VETTORI .

±,

nella direzione della pista immediatamente prima dell'atterraggio mentre il contraccolpo che egli riceve al momento dell'atterraggio sarà direttamente proporzionale a

Consideriamo Ora il secondo tipo di prodotto di due vettori. Per descrivere molti fenomeni fisici, è utile disporre di un metodo per costruire un vettore perpendicolare a ciascuno di due vettori dati. Jl prodotto di due vettori per gsempio A_e_JL-,9heJ

"

,

produce un vettore C perpendicolare sia ad A

)

ga aJB, è. tto

_

.

Notiamo che v t = v . ù '

a 45

j,

dove u j è un versore parallelo alla pista di atterraggio

g

W.vejftórfefe-O.

prodotto vettóre o prodotto esterno ed è denotato con la notazione

e>\oc[0

Poiché

.

(5.30)

A A B = C

che _

Jeggej'('), z(/))

=

dt

dL\ + dlì + Ìli di di dt

(5 42) .

Se conosciamo le componenti cartesiane del vettore posizione, possiamn ottRnereJX vettore velocità seguendo le istruzioni dell equazione (5.42), che contiene le tre equar. zioni scalari per le sue componenti: '

.

1 La. velocità v(0 è essa stessaj Vettore posizione che descrive una curva sghemba (curva

f

Figura 5.16

junzione vettoriale, e spesso si vuole conoscere

la sua derivata, T'accélerazionp a(r) T a igura 5.18 presenta il vettore velocità v(r) '

istante t e il vettore velocità v(/ + h) a un istante di poco successivo t + h. La variazione della velocità Av = v(i + h) - v(i) e quindi l'accelerazione media è

all

nello spazio).

,

Al variare di l in un certojnt yallaj]Lyettore r(rt può variate-sia-in modulo-sia-

v(/ + /,)-vW

_

_

jn_on>ntamenTn (dirczions jasfl). Per studiare questa variazione, introduciamo il

(5 44)

'

concetto di derivata di una funzione vettoriale. Come nel caso delle funzioni ordina-

rie (che abbiamo incontrato nel capitolo 3) consideriamo il vettore posizione all'istante t, r(0, e il vettore posizione a un certo istante successivo t + h i(t + h). La differenza di posizione indicata nella igura 5.17a. è il vettore t(1 + h) - x(t). La velocità media in quell intervallo di tempo è ,

,

,

f

'

r(r + h)

r(' +

(5.39)

c

a




k

.

per indicare questa relazione. La notaztone

r/ 2 significa d(dr/dt)/dt, la dgxixalsjii.

dt/di.

5 7 VETTORE POSIZIONE IN COORDINATE POLARI .

Per le funzioni vettoriali valgono le stesse regole di derivazione che si applicano

derivata dellajomnm-dLdu&ifunziani-iieltoriali

alle funzioni scalari. La la somma delle loro derivate: _

A(t) s. B{0

è _

_

Sia

r = n + j/J

dtf (A(0 + B(0) - dt + dt-

(5.48)

-

.4u!eJ) gBÌje 3ali>.coiis ue dalla regola di

'

derivazione di un prodotto di funzioni scalari:

,

f

I denyata del prodotto sca

(5.51)

il vettore posizione congiungente l'origine degli assi coordinati con un punto del piano avente le coordinate cartesiane ortogonali (x, y). Se (x, y) * (0, 0), si può descrivere il vettore posizione anche specificando il suo modulo r e l'angolo 6 che il vettore forma con l asse x come è illustrato nella igura 5.19. I due numeri r e 8 (con 6 misurato in radianti) detti ispettivamente raggio vettore o raggio polare e anomalia o argomento, costituiscono le coordinate polari del punto avente le coordinate cartesiane ortogonali (x, y) e sono legate a queste ultime dalle equazioni

A.B dl

=

A. dt +

dt

.B

{5.49)

r

,

.

. _

jt = r cos 9

Analogamente,

.

aab = aa dt - + 4 di

v = r sin 0

(5 52) .

y i

ab

dt '

Infine, se A(endico]a.re alla velocità, per il principio dimostrato nell esempio 10. '

la

_

'

Mi/)i + (rw cos wr)jl -

dt

di

Esempio 11

Una navetta spaziale ruota attorno alla Terra (raggio 6400 km) a una quota di 240 km sopra la superficie terrestre compiendo 1 rivoluzione in 90 min. Qual è l'accelera,

zione della navetta?

Dall'equazione (5 65) sappiamo che l'accelerazione ha modulo .

a = m2r

Poiché co = 2it/rper l'equazione (5 58), possiamo scrivere l'accelerazione nella forma .

a = 4it2r/rz

= ( - reo2 cos wr)i - (reo2 sin ior)j Il periodo T è 90 min = 5400 s e il raggio r = 6400 km + 240 km = 6640 km; quindi ,

Mettendo in evidenza il fattore -co2, otteniamo che

,

otteniamo che

(5.63)

a(() = -io2[(r cos wf)i + (r sin wt)}]

a = 4jt2(6 64 . IO6 m)/(5400 s)2 = 8 99 m/s2 ,

e, ricordando dall equazione '

,

(5.55) che t(t) = (r cos

lf

2l

e m2 sono due masse e r è la distanza che le separa, la legge di gravitazione

volti. Se m,

universale di Newton può essere espressa nella forma

dove r21 è la distanza tra ml

Gè una costante universale (MLt£?iÌ3 ?l Ìa!H ?l!? HPiI£22

La costante

.

.

(7.1) che

F

-C

r .

= .

ha lo stesso valore per qualsiasi coppia di corpi nell'Universo. Questa costante non deve essere confusa con g, l'accelerazione di un corpo sulla superficie della Terra

dovuta all'attrazione che la Terra stessa esercita su di esso. Il valqrejlLG

f2t è il versore orientato da m2 a m,, come è

f

wJoj/ G p

e ml e

indicato nella igura 7.2. Analogamente, se fossero presenti soltanto m1 e m , la forza che eserciterebbe su ml sarebbe '

'

(7.4)

ìi

.

Se sia m1 sia mì attraggono

6.67.~u

è |a $Qnuna.

forza qsi4tapte agente su

'

.

vettoriale delle orze E,, e F,,: f

10~" N m2/kg2 ; nel capitolo 8 vedremo come fu misurata per la prima volta. _

La forza è una grandezza vettoriale, ma la relazione precedente stabilisce soltanto il suo modulo. Poiché la forza gravitazionale tende ad attrarre i corpi direttamente

altro, la jorza g jyj fU.r''tta..5.gCffldP la ri*fta rh2r

.

<M 4,



L'assenza di una forza centrifuga in questo sistema di riferimento è sorprendente se

teniamo presente la nostra esperienza infantile secondo cui, se noi siamo la massa e, tenendo estremità della fune, ci muoviamo in un cerchio insieme a essa, avvertiamo una potente tendenza a muoverci verso l'esterno: dobbiamo esercitare una trazione sulla fune per impedirci di volare verso l esterno. Nel capitolo 9 analizzeremo questa situazione dal punto di vista del '

l

f

,

(7.32). Eliminando T dalle equazioni (7 31) e (7.32), otteniamo

'

bambino (cioè, in un sistema di iferimento isso rispetto al bambino e in moto circolare uniforme rispetto alla Terra). Questo sistema dì riferimento, essendo costantemente accelerato rispetto alla Terra, non è un sistema di riferimento inerziale; l analisi che svolgeremo nel capitolo 9 dimostrerà che in questo sistema si esercita in realtà una forza orientata verso l'esterno, detta forza inerziale o pseudoforza, in conformità con quanto avverte il bambino. Ma nel nostro r

.

cos e = -4-

. u; -

Al crescere di co 6 cresce. ,

f

Nel caso di un ilo di lunghezza / possiamo sostituire r con / sin e nell'equazióne

'

sistema di riferimento inerziale, solidale con la Terra, tale forza centrifuga non si esercita.

figura 7.14 Forze nel moto circolare uniforme verticale nel

punto più alto e nel punto più basso della traiettoria circolare,

per (a) iP/r < g, (b) tflr > g.

7. GRAVITAZIONE UNIVERSALE E MOTO CIRCOLARE 7

.. GRAVITAZIONE UNIVERSALE E MOTO CIRCOWRE

esercitata nella parte inferiore: P' =m(g - flr) rispetto a P = m(g + tP-lr). Se la ruota t

Problemi

panoramica venisse fatta rotare a velocità pericolose (e presumibilmente illegali) tp-lr > g P' dovrebbe invertire il segno e orientarsi verso l'interno per contribuire alla necessaria forza centripeta (figura 7.l4b). La spinta del sedile sotto la persona può fornire soltanto P' > 0; per assicurare una forza verso il basso P' (P < 0), sarebbero essenziali le cinture di sicurezza. Se non si usassero le cinture, la forza centripeta sarebbe insufficiente a mantenere il moto circolare uniforme e la persona volerebbe

m

Legge di gravitazione universale

,

1

. Tre punti materiali ciascuno di massa m sono fissi nei vertici di un trian equilatero di lato a golo ,

,

come è indicato nella igura seguente gravitazionale che si esercita su ciascuno dei punti materiali Si calcoli la forza f

,

.

.

2

. Usando i dati astronomici dell'appendice D si calcoli la forza gravitazio si esercita fra la Luna e (a) la Terra (b) il Sole. Si deduca il rapporto tranale che forze queste Ha senso il risultato ottenuto; cioè, perché l'attrazione del S na la Luna dalla Terra? ole non allonta-

vìa dal suo sedile.

,

Il moto di un carrello sul «giro della morte» in un luna park, o quello di un

,

'

secchio d acqua fatto roteare in un cerchio verticale è più complicato poiché in questi casi la velocità angolare può non essere costante. Dedurremo più avanti una formula per l accelerazione per il moto circolare non uniforme (nell esempio 1 del capitolo 17) di cui si possono enunciare qui due conseguenze importanti:

.

,

'

'

3

. A quali distanze dal centro di un pianeta di massa volumica uniforme l'ac zione di gravità ha un valore pari alla metà di quello sulla superficie? celera4 . Si supponga di vivere in Flatlandia un universo bidimensionale piano

,

(a)

Quando la velocità angolare non è costante, c'è un componente tangenziale dell'accelerazione il quale non è presente nel moto circolare uniforme.

dipendenza della forza dalla distanza permetterebbe di svolgere ragionamQuale basati sulle «linee di forza»? enti ,

.

r

(b) Il componente centripeto dell'accelerazione ha ancora modulo f/r, esattamente come nel moto circolare uniforme.

In virtù della conseguenza (b) possiamo ancora applicare l'equazione (7.35) per la forza nella direzione centripeta. Troviamo il sorprendente isultato che la persona nella ruota panoramica o l'acqua in un secchio non cadono se il moto è abbastanza veloce. Per esempio il carrello che percorre il giro della morte si trova al disopra dei passeggeri alla sommità del percorso e quindi, in questo punto, il sedile può soltanto spingere verso il basso [/" < 0 nella convenzione per i segni dell equazione (7.35)]. Non sorprende quindi che a basse velocità, qualsiasi oggetto non assicurato cada

Accelerazione di gravità sulla superficie di un pianeta o della Luna

r

,

5

. Usando i valori di g di G e del raggio della Terra (6 4 . 106 m) si calcoli la m della Terra assa ,

,

.

,

6

. Sapendo che la massa della Luna è circa l'l% della massa della Terra e che il raggio è circa 1/4 del raggio della Terra si calcoli l'accelerazione di suo

'

superficie della Lun

,

gravità sulla

,

a

[cioè, la forza verso il basso è maggiore della forza centripeta necessaria e l'equazione (7.35) non può essere soddisfatta]. Ma, quando la velocità alla sommità della traiettoria è tale che uVr > g, una P orientata verso il basso è esattamente ciò che si rende necessario per assicurare una forza centripeta sufficiente a mantenere il passeggero sulla pista. In questo caso, il moto veloce è più sicuro di quello lento!

.

7

. Si supponga che una mela si trovi 100 km so la Terra in qualche mod pra là superficie della Terra e che o dilati uniformemente di 100 km il suo raggio mantenen do invariata la sua massa La forza di gravità che si esercita sulla maggiore, minore, o uguale rispetto al mela sarebbe valore che aveva prima dell

'

-

.

Perché?

a dilatazione?

8 Poiché

.

quando si calcolano gli effetti della gravitazione si può considerare che un coi pò denso a simmetria sferica abbia tutta la massa concentrata nel centr un filo a piombo (un peso attaccato all'estremo di un filo) si orienta di o, verso il centro della Terra nonna monte semisferico di 1 km diMa un ilo a piombo che disti 2 km dal centro di un raggio e di massa volumica pari a quella della Ter presenta una piccola deviazione Si stabilisca l'orientamento del il ra ,

,

77 .

CONCLUSIONI

Quegli 0,14 cm sarebbero stati un isultato sufficiente per l'intera vita di una persona

.

f

r

ordinaria, ma per Newton erano soltanto l inizio: l'elenco delle sue scoperte scientifi'

che e matematiche ci lascia senza fiato.

si trovi il valore approssimato dell angolo di deviazione

f

.

Ma non tutto ciò che egli fece era scientificamente ragguardevole. Infatti, dedicò anni della sua vita all alchimia, alla cronologia biblica e ad altre attività arcane: nella sua concezione, questi studi erano parte integrante della sua icerca di un sistema del mondo. Fu anche più che un politico dilettante: venne eletto due volte al Parlamento e, nel 1705, la regina Anna lo nominò baronetto, Sir Isaac Newton, e gli assegnò anche

'

o a piombo e

.

'

r

una sinecura, nominandolo direttore a vita della Zecca. In questa carica, era responsa-

Caduta nel moto orbitale 9

. Quale pianeta nel cadere verso il Sole, percorre uno spazio m Mercurio o la Terra? Si aggiore in 1 s: spieghi il ragionamento Usando i dati astronomici d ,

l'appendice D si calcoli lo spazio di caduta della Terra in un te elI s nell'orbita attorno a! Sole. mpo di caduta di .

bile della moneta del Regno e della cattura e dell'interrogatorio dei falsari. Nel 1693, subì un crollo nervoso. Oggi alcuni pensano che soffrisse di intossicazione da mercurio, contratta forse durante i suoi esperimenti di alchimia. Alcuni dati a sostegno di questa ipotesi sono stati ricavati con l analisi chimica dei suoi capelli. Ma non tutti '

gli storici sono d accordo. Comunque, egli guari da questa affezione e venne nomina'

to presidente della Royal Society, carica che tenne dal 1703 alla morte, nel 1727. Però, rispetto ai suoi risultati scientifici, i particolari personali della vita di Newton hanno scarsa importanza. Newton non ci diede soltanto una serie di scoperte scientifiche, ma anche una concezione coerente di come e perché «funziona» l Universo; concezione che ha do'

minato tutti gli aspetti del pensiero occidentale dai suoi tempi ai giorni nostri. Isaac

Newton fu un essere umano con difetti e pecche, ma fu anche un gigante pressoché ineguagliato.

,

Orbite circolari

10. Il pianeta Marte ha un satellite Phobos, che ha un raggio orbitale dì 9 e un periodo di 7b 39min 4 . IO6 m ,

In base a questi dati si calcoli la massa di Marte 11. Può un satellite spia sorvegliare costantemente New York ,

.

,

.

-

ghi.

,

per esempio? Si spie-

12. Qual è il raggio dell'orbita di un satellite geostazionario per telecomunicazio che permane sulla verticale di un punto dell'equatore? Si stimi niil itardo in unacostantemente conversazione telefonica tra Europa e A r

130

velocità del segnale è di 3

.

IO5 cm/s)

merica via satellite (la

.

13. Considerando che il raggio «M'orbita di Marte

attorno al Sole sia 1 52 volte ,

,132

7. GRAVITAZIONE UNIVERSALE E MOTO CIRCOLARE

quello della Terra, si determini il numero di anni che Marte impiega per compiere una rivoluzione attorno al Sole.

14. Si supponga che si possa mettere in orbita un satellite in una galleria circolare priva di atmosfera, scavata all'interno della Terra. La velocità del satellite in tale orbita sarebbe maggiore o minore di quella della palla da golf dell'esempio 4? Quale sarebbe la differenza tra la velocità angolare del satellite e quella della palla da golf?

Altri esempi di moto circolare uniforme 15. Si consideri un pendolo conico semplice con un filo di lunghezza l che può resistere a tensioni soltanto fino a un valore massimo Te' In funzione di Te e l, qual è la velocità angolare massima ù\ che il pendolo può sostenere, oltre la quale il

filo si spezza? 16. Tre masse sono disposte nei vertici di un triangolo equilatero. (a) A quak forza gravitazionale è soggetta ciascuna massa per la presenza delle y

altre due? Si supponga di voler fare rotare il triangolo nel suo piano in modo che le forze gravitazionali trovate nella parte (a) forniscano esattamente le forze

m,

centripete. (b) Attorno a quale asse si dovrebbe fare rotare il triangolo? Facendo riferimento alla figura, si esprima la risposta mediante le coordinate del punto per cui

,

!

~x

17. Una massa di 0,5 kg, montata all'estremo di un'asta leggera fatta rotare da un motore, si muove con velocità costante in modulo descrivendo un cerchio verti-

///

~-----~

.... ,

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FORZE Non so come posso apparire al mondo: ma a me sembra di essere stato soltanto come un ragazzo che gioca sulla riva del mare, divertendomi nel trovare ogni tanto un ciottolo più liscio o una conchiglia più bella del solito, mentre il grande mare della verità giaceva sconosciuto davanti a me.

Isaac Newton

dovrebbe passare l'asse. (c) Con quale velocità si dovrebbe fare rotare il triangolo?

m2

'1

CAPITOLO 8

cale di l m di raggio. (a) Se il modulo della velocità della massa è 3,0 m/s, si determini la tensione nell'asta nel punto più basso della traiettoria circolare. (b) In quale punto è più probabile che l'asta si spezzi, nel punto più alto oppure nel punto più basso della traiettoria circolare? (c) Si determini la velocità minima che la massa deve avere perché l'asta rimanga in tensione (non subisca compressione) nel punto più alto della traiettoria circolare .

8.1

LE FORZE FONDAMENTALI: CLASSIFICAZIONE E UNIFICAZIONE

Usando grossolani orologi ad acqua per cronometrare il moto di sfere rotolanti lungo piani inclinati, Galileo cercò e trovò una descrizione del moto di caduta dei gravi. Però, la sua legge di caduta libera dei gravi non era una legge fondamentale di natura: entro cinquant'anni, venne sostituita da una più profonda concezione della natura, e cioè dalla legge di gravitazione universale di Newton. Grazie a Newton, la forza gravitazionale ", ' , ,

F. -G

M~M" 1

(8.1)

si riv