La geometrie des groupes classiques (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete) (French Edition)

ERGEBNISSE DER M X H E M A T I K U N D IHRER GRENZGEBIETE U N T E R iLiIT\VlRKU&ti UER S C H R I F T L E I l ' U S G 13ES ,,%IXNTRr\Ll3W7'1' FOR h,l;\TI-IBI\lATIIC"

DES GROUPES CLASSIQUES

14ERAUSGECEBEN V O N

L.V.AHLFORS . R.BAER. R . C O U R A N T e J.L.DOOB S. E I L E N B E R G . T. NAKAYAMA . H. RADEMACliER F. IC. SCFIMIDIS. B. S E G R E - E. S P E R N E R XEUF, FOLGE . IiEFT 5

PAR

JEAN

DIEUDONNE

REIHE:

GRUPPENTHEORIE BESORGT VON

R. BAER

S P R I N G ER-VERLAG B E R L I S . G G O T T I N G E N. H E I D E J ~ E RR G

SPRINGER-VERLAG B E R L I X - G ~ T T I N G E N- I l E I D E L B E R G

1955

ipa5

iI'a1)lc clcs iiiatiCres .

VI1

Clia1)ili-c I l l . Lai-act~i~isatioiis gCorriCtriq~icstlcs groiil)c:s cl;issicl i i i . 5

.

72

3 1 . 1.1: lll6oi‘biil~I ' o ~ l d a ~ l l ~ l(le l t ala~ gdoiiikti-ic prt~jccti\~c: . . . . . . . $ 2. I.css Li-niisforiiiatioiis coiisci-vaiiI: l'((acljacciicc)). I . ' I ' i - : i i i ~ ; l o i ~ i i i ; i t iclc o~~

Table des matières . Cllapitre 1. Colliriéations c t corrélations

.

.

.

!j 1. ~ ~ p p l i c a t i o liiiéaircs ii~ e t seiili-linhircs .

.

.

$

. . . . . . . . . . . . . . . .

S 2 . Dilatations c t transvections . . . . . . . . . S 3 . Iilvolutions e t semi-iilvoliitions . . . . . . . . . . S 4 . Cciltralisateui- d'une involutioil projective S 5 . CorrPlations et formes sesquilinéa.ires . . . . . $ 6. S 7. S S. 9.

s

S 10. S Il. $ 12.

S 13.

S

14.

15. 16.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Foriiies sesqnilinkaires réflexives . . . . . . . . . . . . . . . . . Sous-espaces orthogoilanx e t sous-espaccs isotropes . . . . . . . Equil-alence des forines sesquiliiléaires réflexives . . . . . . . . . Groupes unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lTornies traciques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriétés des lormes traciques . . . . . . . . . . . . . . . . Quasi-symétries e t transvections dans les groupes uiiitaircs . Semi-involutions dans lcs groupcs unitaires e t leurs ccntralisalc~irs: Premier cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Semi-involutions clans les groupcs unitaires et lcurs cciili-;il is;i 1t.11 rs . Second cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corrélations permutables . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forines quadratiques e t groupes orthogonaux sur uii coi-1)s clc caractéristique 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cliapitre I I . Structure des groupes classiques . . . . . . . . . . . . . .

S 1. S 2. S 3. S 4. S 5.

Centre e t groupe des conimutateurs de GL, (K) . . . . . . . . . . Structure du groupe SL, (K) . . . . . . . . . . . . . . . . . Générateurs e t centre du groupe unitaire .

. . . . . . . . . .

Structxre d u groupe U,(IC. f ) (f forme tracique d'indice 11 2 1 . groupes orthogonaux exclus) . 1: Le groupe T,,(K. f) . . . . . . . . . . . . Structure d u groupe U,(K. /) (f forme tracique d'indice 2 1. gi-oiipes orthogonaux exclus) . I I : Le groupe U,(IC. f)/T,,(K. f ) . . . . . . . LJ

s 6 . Le

groupe O,[K. f ) (I<de caractéristique + 2 ) : groupe tlcs rotations e t groupe des cominutateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S 7. S S.

L'algèbre de CLIFFORDd'une forme qiiaclratique (IC de caractéristique +2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Structure du groupe O,(Ii'. f ) (Ii de caractéristique + 2 . f d'indicc 2 1. 7% 2 2 ) . 1 : Structure de O:/% et de 0, A 2, . . . . . . .

v

S 9.

Structure du groupe O,(Iii. f ) (K de caractéristique + 2 . f d'indicc v 2 1. n 2 3). I I : Structure du groupe R,/(0, n Z,, ) = P0,,(I t2; le noyau 1; de cette applicatioii est donc un sousespace vectoriel de EO,de dimension q 5 n - 2 6 , et l'image M = h ( E O )

,

( t : i ) 2 y .;

dc

J;,

l'expression dc

, ,,

Q ( x ) , 1)oiii.

;

Q ( r ) = J'(ai i=

+ (2

[:

6,

a i=Q?fl

Y

.Y =

20 i (1

11

.7p

g 16. Formes quadratiques et groupes orthogonaux sur un corps de

.,-

=O

Y i [;j

i flj[i[yli+

entraînalit

ci

=O

+ {)

i-. ,l =z

27) I l

pour 3P -1- 1 5 t

_C,

(Yi [:,

121

..

e, [,,

est

1-elatioii

2$ 4- d. Nous dirons

que Q est ,1101z dégé~téréesi q = O; d = 11 - 2fi est alors appelé le défazrl dc Q, et Q est dite défective si d > O (ce qui est toujours lc cas pour un espace E de diniension impaire). Nous supposero~istoujours désormais que la forme quadratique Q ( x ) est I Z O I Z dégénérée; sa restriction à tout supplémentaire U de E0 est alors I Z O I Z défective. Un vecteur non nul x $ E est dit s i ~ z g u l i esi ~ ~ Q ( x ) = O ; uii sousespace Tf de E est dit sinpliel/ si Q ( x ) = O pour tout x f I f ; comine Q ( x ) $ O en tout point x $ O de Eo, on a V n Eu = (O) et par suite Ti est contenu dans uii supplémentaire E, de EO,et en vertu de ( 3 4 ) , il est Lotalement isotrope (pour la fornie f), donc sa dimension est SI$. 011 appelle indice de Q la diinension maxima 77 des sous-espaces si;izguliers de E ; on a donc v 1 p, et on peut choisir un sous-espace El suppliimentaire de EO, coiitenant un sous-espace singulier dc dimension maxima v ; on supposera désormais E, clîoisi une fois pour toutes de dans E, sera toujours entendue relativenîent cette façon; l'ortlzogo~~alité à la forme alternée f . On a alors le lemme analogue au premier leminc d u 11: Pour tout vecte.ur singulier n de El et tout filan non isotrope P cogztenagzt a, il existe dans P u n second vecteur si1zgzrl7.e1/et zr~z seul O tel que f(a, b) = 1. Si f(a, c) 0, l'équation Q(c -1- a [ ) = O s'écrit en cffet / ( a , c) [ Q(c) = O. De là on déduit que les résultats 1) et 2) du $ I l sont valables en remplaçant E par E, et «totalcinent isotrope)) par «singulier». On notera aussi que si TfcE, est singulier et W un sousespace singulier contenu dans V 0 (orthogoiial de 17 dmzs E,), V + TV est encore singulier; si V est de dimension riiaxima v , tout vecteur sii~guliercontenu dans I f 0 est donc dans V .

+

+

' S i E et F sont des espaces vectoriels de même dimension sur IC, et u un isomorphisme de F sur E , la forme x -t Q(u.(x))sur 1; est évidemment une fornie quadratique, qu'on dit obtenue en t~a~zsfiortant la forme Q au moyen de u ; la fornie alternée correspondante est transportéc de f par u. Deux formes quadratiques sont dites éqz.tivnlela1e.s si elles Ergebn. d. SIathern. Nu'. F. H.5' Dieudoriné.

3

---

34

.- --.

. ..

- -

~

- -

1. Colli116ations et Corrélations. -- -

~

-

- -- --

-

sont transportées l'une d e l'autre; elles ont alors m ê m e rang, ainsi que les formes alternées associées, e t même indice. ' Le problème d'équivalence n'est résolu que dans u n petit noinbre d e c a s ; o n se bornera a u x formes n o n dégénérées. Si I< est algéb~iqu.eme7zt clos, o n a p = v, u n e équation quadratique ayant toujours des solutioi~s dans I x + a Af(a, x), où a est isotrope e t A est symétrique (chap. 1, $ 12). Nous désignerons par T n ( K ,f ) le sous-groupe distingué de Un(K,f) engend~épar les tvtz~zsvectioizs uizitaires. Pour l'étude de la structure de T,, on utilise les lemmes suivants: 1 ) S i le corps Ii fi'est pas conzmutatif et J =+ 1, I< est engendré par l'enscmble S des élé?ncnts symétriques, sauf lorsque I< est u n cor@ de gz~aternions génhalisés de caractéristique f 2, et qz~cS est identique azr. [13]). Lorsque K est commutatif et J $- 1 , centra 2 de K ( J . DIEUDONNI? S est évidemment un sous-corps de K tel que I< soit une extension quadratique séparable de S. Un plan non isotrope contenant au moins un vecteur isotrope est dit plan hype+boliqzte; il existe alors deux vecteurs isotropes a , b formant une base de ce plan et tels que / ( a , b) = l (chap. 1, § 11). En outre, l'hypothèse que Un n'est pas un groupe orthogonal entraîne qu'il existe toujours au moins trois droites isotropes distinctes dans un plan hyperbolique. 2) Poztr 7%2 3, toute droite non isotrope cst intersection de d e z ~ x+lav~s hyperboliques. E n effet, soit s un vecteur non isotrope, y un vecteur isotrope. z un vecteur non orthogonal à x ni à y et non situé dans le plan P passant par x et y ; un tel vecteur existe, car s'il existe un vecteur 1 orthogonal à x et à y et non situé dans P, il suffit de prendre z dans le plan déterminé par n. et t et non colinéaire à x ni à t ; dans le cas contraire (qui ne peut se produire que pour 9% = 3), si t est un vecteur orthogonal

--44

-.

II. Structure des groupes classiques -- -- ---- -

.

-

-- -

-.

- --

à x et non colinéaire à y, on prend encore z dans le plan déterminé par x et t, et non colinéaire à x ni à t. Le plan Q déterminé par y ct z est

alors hyperbolique et contient trois vecteurs isotropes y, y,, y, non deux à deus colinéaires; deux au moins de ces vecteurs sont donc non à x , et définissent avec x deux plans hyperboliques orthogonaux répondant à la question. La propriété 2) est encore valable pour un groupe orthogonal O,(K,f ) (lC de caractéristique 2, v 2 1) sauf lorsque K = F, et 12=3 (J.DIEU DON NI^ [4], p. 30-31). 3) Si a el b sont deux vecteurs isotropes non colinéaij*es,il existe une transformation z~ E T,,, telle que @.(a)el b soient colinéaires. Si /(a, b) 0, EL= (/(a, b))-1 est tel que c a + b,u soit isotrope, et la transvection x -r .z. + c/(c, x) répond à la question. Si /(a, b) = O le plan défini par a et b est totalement isotrope, donc l a 2 3, et il existe un WCteur z tel que /(a, z ) =+ O et f(b, z) =+ O; le plan défini par a ct z est hyperbolique et contient un vecteur isotrope a, non colinéaire à a, et par suite non orthogonal à b. Coinme /(a, a,) O et f(a,, b) O. on est ramené au premier cas. Pour r, = 2, E est un plan hyperbolique; nous prendrons comme base dans ce plan deux vecteurs isotropes el, e, tels que /(el, e-) = 1. Avec une telle base (et les notations du $ 1): 4) Le groufle T,(K, 1) est engendré par les transvections unitaires Bl,(A) et B,,(,u) (où A et parcourent l'ensemble des éléments symétriqz~es de Ii'). Il suffit de remarquer que la conditioil pour que n. = e,a + e,p soit isotrope s'écrit aJp - PJa = O et exprime donc que ab-' est symétrique si p =+ O; la transvection Br,(-aP-l) transforme alors r en un vecteur colinéaire à e,, et par suite toute transvection de vecteur x est transformée par BI,(- ap-l) en une transvection de la forme B,,(A), d'où le lemme. Ces lemmes permettent d'abord de voir que le centre de T, est l'intersection W, = T, nZn de T, avec le centre de GL,(K). Une transformation de Tn permutant avec toute transvection de T,, laisse en effet invariante toute droite isotrope, donc tout plan hyperbolique, et par suite aussi toute droite si 2 3, en raison du lemme 2. Pour ?z = 2, une transformation du centre de T,%doit permuter avec les transvections RI,(].)

-+

+

-

-+

et B,,(p), ce qui signifie que sa matrice est de la forme

(i

(a!,)J)

a l = A(a-l).' pour tout élément symétrique 1 de K. Le lemme 1 montre alors que a est dans le centre de I f) est (pn-l - 1) q y q n p 3 - 1) gn-4. . . (q" 1) q pour n impair (tous les groupes orthogonaux à n variables sur F , sont alors isomorphes), et, pour n = 2m pair où

E =1

si (- l)mA est un carré dans F,,

E =-1

dans le cas contraire,

A étant le discriminant de f (L. E. DICI<SON[l], p. 160). Comme l'indice de f est toujours 2 1 pour n 2 3, et que le groupe K*/K*2 est d'ordre 2 pour un corps fini, on voit que Qn(F,, f ) est d'indice 2 dans O,t(K, f) ( $ 8 ) ,et que, pour n pair, Q n n Z n est d'ordre 2 ou 1 suivant que le disçrimi ant A est ou non un carré dans F,.

.$

5 10. Le groupe O,(rc,

Q). ( K corqs de caractéristique 2, Q forme non défective.) Rappelons que n = 2m doit être pair, et que le groupe O,(K, Q) est un sous-groupe du groupe s~rmplectiqueSp,(K) correspondant à la forme bilinéaire f associée à la forme quadratique Q (chap. 1, $ 16). Le centralisateur de O,(K, Q) dans I'Ln(K) s'obtient en raisonnant comme au $ 3 (les transvections orthogonales remplaçant les symétries, et les vecteurs singuliers les vecteurs isotropes). On voit ainsi que ce centralisateur est le groupe des homothéties Hm, sauf dans les deux cas suivants: l0 n = 2, K = F,, v = 1, où le centralisateur comprend en outre la transformation semi-linéaire échangeant deux vecteurs singuliers e,, e, tels que f(e,, e,) = 1; Znn = 2, K = F Z , v = 1 , le groupe O,(K, Q) étant alors un groupe d'ordre 2, qui est son propre centralisateur. Sauf dans ce dernier cas, le centre de O,(K, Q) est donc réduit à l'unité.

-

~

- -- ---

g 10. Le groupe O,,(I C(Q) (C. AIZF [ I l , C. CHEV:\I-LEY [ l ] ) ; c'cst le quotient dc l'algèbre tensorielle T ( E ) par l'idéal bilatère a, engendré par les éléments de la fonne n . 8 -~ Q(x) (idéal qui contient celui engendré par les 'G@ y 4- y @x - f(x, y)). L'algèbre C(Q) est encore une algèbre sur Ii, de rang ZZnz;E peut être identifié au sous-espace des élémerits de degrd 1 de C(Q), et on a alors, pour tout couple d'élén~ci~ts x , y dc E r y + y % = / ( % y, ) , (14) r" Q(x) . (15) E n particulier, si (ei)lSis2,1Lest une base sympleclique de E (pour la forme /) , telle que /(e,, ej) = f (e,,,+ ,, en,,j) = O et f (e,, c,, ,-;) = 6 , pour l$iSrn, 151(m,ona

l

+ i = Q(e,, + i ) , 8%= Q(ei) , (16) e.e. z = e.e.~r entsietn+i=em+jer,,+ i , I eie,,,, 4 e,,.jei= di, C pour 1 5 i 5 nt, 1 j 5 m. Le centre de C(Q) est rEduit A K. Les combinaisons linéaires des eu (définis comme au § 7) correspondant aux parties Ii ayant un nombre pair d'éléments (éléments de degré $ail( de C(Q)) forment une sous-algebre C+(Q) de C(Q), de rang 22"-l sur K , engendrée par les produits eiej (1 5 i Sq I 2 m ) et l'unité. Le centre T de C+(Q) est une algèbre de rang 2 sur K. ayant pour base 1 et l'élément

vérifiant l'équation où

011

1 dimciisioiis, il laiit ct il suffit q u e G soit isomoryhc à uii groiipc dc déplacemciits cl'iiiic g6oiiiétric elliptique, auquel cas oii a cl'aillcurs II = 3.

Automorphismes et isomorphismes des groupes classiques. 1. Automorphismes des groupes C L , , ( [ { ) . La plupart des métiiodes coiiiiues pour dCteriiiiiicr les autoiiioi-pliisincs (i'iiii groiipe classique G (ou lrs isoiiloi-pliisnies d'un tel gi-oupr siir 1111 groupe dc niême nature) reposent sur la considération des ~ I Z ~ O ~ I I ~ ~ ' O I L S dii groupe G, et siir le fait qu'uii autoiiiorpiiisiiie (rcsp. ~ i i isomorl~liisiiic) i transfoi-inc une involutioii eii involution. 1,'Ctiide dcs involutioiis cles groupes classicliies, faite au cliap. 1, montre qu'on peut Iciir associer cle façoii intrinsèque des sous-espaces dc l'espace où opère lc çroiipc: iin autoinorphisme cle G induit donc iiiie traiisfori-riatioii entrc ces sous-espaces, ct dans la plupart des cas, Ic théorèine foiidanicntal clc la géoiiiétric projective (cliap. I I I , $ 1) perinet de voir quc cettc traiisformation provient d'une collinéatioii ou d'une corrélalioii, ce qui conduit filialenient à la dkterniination dcs automorpliismes dc G. Noiis conimeiicerons par l'étude des automorpliisines d'un groopc GL,n(II),où Ii: est un corps commutatif ou noil; la forme différente cles involutions de GL,(II), suivant que Ii a une caractéristique +? ou figale à 2, conduit à étudier séparément ces deux cas. 1. I L 2 3. K est de cauacléristique 2. Nous dirons qu'uiie (fi, ri - fi)involutioii (cliap. 1, § 3) est ext~~é~~zale si on a p = 1 ou p = n - 1. La première étape consiste à prouvei- que:

+

_I____-__-

86

- -

~

-

-- -~

___-__

) O au~omorphisme p> de GL,n(Z G, on aboutit à la distinction cherchée eii remarquailt que le produit de deus traiisvections permutables cst une transvection ou une (2, n - 2)-involutioii, tandis que le produit de deus (9, n - p)-involutions permutables peiit appartenir à pliis de deux [7], classes d'éléments conjugués dans GL,,(II) si p > 1 (J. DIEUDONNÉ p. 14). Pour iz = 4 ou 12 = 5, il s'agit de distinguer entre les deux classes C,, C , d'involutions dans GL,(I 6, que uii appartient à S si et seulement si 14 et v sont irr4gulikrcnient perinutables. pour n = 6, il faut un raisonnement différciit ( J . D I E U D O N N[7], ~ p. 54 et 80). Cela fait, apl~elonscol.$jble l7zini~~zaLd'involutions de S deux involritions u , v dont les sous-espaces propi-es dc dimension 2 ont une intersection de dimension 1 ; désignons d'autre part, pour deux involutions quelconques ZL,v de S. p u c l ( u , v ) l'ensemble clcs involutions de S qui permutent régulièrement avec u et v, par c'(c'(z4, v ) ) l'ensemble des involutions de S qui permutent régulièrenient avcc toutes celles de ct(zt, v). Avec ces modifications, le critère de MACICEY ( § 1) caractérise encore les couples minimaux. Cela fait, on procède comme pour le groupe Sjb,,(K) ( § 3) pour définir, à partir d'un automorphisme rp de U:(Ii. f ) , une application biunivoque de PIE) sur lui-même, dont on montre aisément qu'elle transforme deux droites de E orthogonales en droites orthogonales. On conclut comme dans les 58 précédents, et par suite: Pozw 7z pair et > 6, tout automorphisme de U,I(IC,f j (IC cor$s commutatif de caj'@cléristique 2,f forme /zermitieqzne ( o u symétrique) d'ilzdice 2 1 ) esl i n d u i t par zm automorphis~zede U,(IC, f ) . -

+

...-LI 8

- . _ ___

--

.

.

_ -_

--

-

-

..-

5

I V . Autoinorpl~ismese t isoinorpl~isnicsdcs groupes classic~ues ___.

_

-

_ --____

_

- _-_ --__ - - ---A.-

. .

-- - ---

la considération clcs ensenibles masiinaux ~l'involutions conjuguées et permutables, sauf lorsque 12 = 4 et que - 1 n'est pas u11 carrc dalis 1< (cf. J. DIEUDONNI? [7]); dans ce dernier cas, on distingue les iiivolutioiis extrémales des involutions de seconde espèce, en notant que si z ~ v, , zh', v' sont q ~ i a t r eiiivolutioiis conjuguées de seconde espèce (corrcspondani à uii élément y Ii qui n'est pas un carré dans I~)c~iient ch: cclle de RICI@, Ü, F ) lc noinl~rcc1'élCiiiciits de c(c(Ü, G, G)) (la notation c(S) a le même scns qiic daiis le 1, inais clans le groupe /) coiisidéri:) ; crifiri, soit co(E) lc. inasiiii~imdc co(LL, Ü, G ) lorsqiie S et G varieiit en satisfaisarit a u s coiidi tions préII (basée sur les cédentcs. Grâce i unc btrrde précise de l'ei~seiilble: rdsultats du chap. 1, 5s 13 c l 1 ) J. WALTEI;parvient à montrer cluc la relation o(G) = S caractkrise les involutioiis cstréiiialcs parmi lcs éICnieiits de i1f, sauf pour II. = S et I L = 12, cas qui pciivciit Ctrc traités par des métliodes particiilièrcs (loc. cil.). Auparavant, les automorphismes des groupes 130,,,(Ii,/) avaient ttk clbterminés par J. D I E U D O N ([7], S ~ p. 55-57) lorsclue / est unc foi-nie syniétrique d'i.~zdice2 1 , inais 12 pouvant cettc lois être lin entier quelconque 2 3 , et Iil un corps coiiiiiiutatif quelconqiic de caractéristiqlic + 2 ; pour 7z impair, O ( ) cst isoniorphe A 0 ) , ct les autoniorphisincs ont été détci-minCs au 5; pour TL pair, la ni6tlioclc consiste à distinguer des involutions non estrémales les ii~\~olutions extrén~ales dont l'hyperplaii contient des droites isotropes, au moycii clcs propriétés clu centralisateur d'une involution: cette distinction cst asscz lacile, cn considdrant les deus premiers groupes des cominutateurs de ces centralisateurs, et en utilisant le fait que le carré de tout élément de O,,(I 2 ) ; aiiti-eincnt dit, 11, est iiiie ~ ~ : 7 7 ~ ~ - ~ ~ 1 . 7 ~ ~pour i I i t l ~ la ( l j formc i: /. l~éciproqircineilt, si I L est iine telle scnii-sii~iilitiiclc,l'application projective corrcsponclantc 6 traiisforinc G,(I;) cii lui-niSine; comme clcus 6lémcnts (iiissailcc cstéi-icurc sccoiide d'une :ipplicatioi~ semi-lin taire clc F sur 17* (autrenicnt dit, uiic corrklation de F), ct cle l'applicatioii caiioiiicluc (définie à 1111 lactcur pri.s) dc l'cspace dcs bivecteurs sur I;* sui- l'cspace des bivcctcurs siir 1;. Lorscluc 7 ' pst linéaire, zc est une siinilitzcde cii~ectepour la foi-lnc j, ct i-éciproclucniciit ; on voit donc que l'on a ddlini un ho~zo~?zor$his,~zc (,u, a ) ;1 2!(,) du produit I{* ?: GL,(I{) szlu le groupe GOi; (K, /) des siniilit~iclcsdirectes i-elativcs à la forine 1, le noyau dc cet l~oii~omorphisnic