Kurzlehrbuch Physik

Hartmut Zabel

' Thieme

Auf einen Blick 1

Grundbegriffe des Messens und der quantitativen Beschreibung

2 3

Mechanik des Massenpunkts und der starren Körper

4

Wärme, Löslichkeit, Diffusion

5 6

Elektrizität, Magnetismus und Elektromagnetismus Schwingungen und Wellen

7

Optik

8

Ionisierende Strahlung

9

Anhang

Mechanik ausgedehnter und deformlerbarer Körper

Kurzlehrbuch

Physik Hartmut Zabel

235 Abbildungen 42 Tabellen

Georg Thieme Verlag

Stuttgart · New York

IV Prof. Dr. Dr. h. c. Harrmur l.lbel Lehrstuhl f\ar Expen menr•lphysik Ruhr-Una~rsitJt

Umversnatsstr. 150 4480 I Bochum hartmuLZabelllrub.dc

Grafiken: Walh Kuhn. Tubangen Klinische r~lle als Kapaelemstiege: Lehrbuchredaktion Georg Thicmc Verlag Layout: Konkel u. Lopka. Headelberg Umschlaggemltung: Thieme Verlagsgrup~

Dae Deutsche Babhothek CIP· Einheitsaufnahme Em Titeldatensatz für diese Publikation 1st be1 der Deutsch~n Bibliothek ~rh.tlllich.

Wichtiger Hinweis: Wae jede Wissensch.trt ast die McdiZIIl ständigen Fnrwicklungen unterworfen. Forschung und klinische Erf.thrung erv.oeatern unsere l:rkenntm~~e. ans besondere was Behandlung und medikamentöse Therapie anbelangt. Soweit m daesem Werk eine Dosaerung oder eme Applikation erwähnt Wird, darf der Leser zwar darauf vertrauen, dass Autoren, Herau•geber und Verlag große Sorgfalt darauf verwandt haben. dass diese Angabe dem Wissensstand bei Fertlgstellung des Werkes cntspnchr. Ftlr Angaben uber DosierungsanwCI>uatgen und Apphka· tionsformen kann vom Verlag Jedoch keanc Gewähr liber llOmmen werden. Jeder Benutzer 1st angt'halten, durch sorgflltigc Prüfung der Beipackze«el der verwendeten Präparare und gegebenenfalls nach KonsultatiOn cme~ Spemhsten festzustellen. ob die dort gegebene Empfehlung für Dosierungen oder die Be•chrung von Kontramdikatio· nen gegenOber der Ang.tbe an dae~m Buch atr....c•cht. Eine solche Prüfung ISt besonders wichtag bea selten verwende· ten Präparaten oder o;olchen. dae neu auf den Markt gebracht worden sind. jede Dosierung oder Applikation erfo~ auf eigene Gefahr des Benutzers. Autoaen und Verlag ap~llieren an jeden Benutzer. 1hm etwa auffallende UngenaUigkeiten dem Verlag mitzutctlcn.

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•

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I 2 3 4 56

Sy~temen.

V

Vorwort Das Physikstudium ist für Studierende der Medizin eine unbeliebte Hürde, wenn nicht sogar eine Blockade gleich zu Beginn des Studiums. Während die im ersten Semester gleichzeitig angebotenen Fächer Chemie, Biologie und Anatomie einen offensichtlichen Bezug zur Medizin haben, ist dies bei der Physik den Studierenden nicht unmittelbar einsichtig. Darüber hinaus ist die mathematisch-physikalische Denkweise, die in der Physikausbildung verlangt wird, vielen Studenten weniger zugänglich, als die deskriptive und operative Vorgehensweise in anderen Fächern. Dies führt dazu, dass die Physik sich zum unbeliebtesten Fach der Studierenden der Medizin entwickelt hat. Der für die ärztliche Vorprüfung notwendige Stoff wird schließlich im Rahmen eines Tutoriums kurzfristig eingepaukt. Tatsächlich ist der Bezug der Medizin zur Physik auf allen Ebenen gegeben. Die Knochenmechanik baut auf den Hebelgesetzen, auf dem Trägheitsgesetz und auf den Elastizitätseigenschaften der Knochen auf. Der Blutkreislauf gehorcht den Gesetzen der Hydrodynamik. Die Abbildungseigenschaften des Auges folgen aus der geometrischen Optik, und das Ohr entspricht einem hochempfindlichen, frequenzsensitiven Detektor mit Impedanzanpassung. Die Physik spielt auch bei der Diagnose und Therapie eine überragende Rolle. Neben Röntgenabsorptionsaufnahmen kommen Kernspintomographie, Positronen-Emissionstomographie und die Ultraschalldiagnostik zum Einsatz. Für die Behandlung werden radioaktive Quellen, Teilchenbeschleuniger und mikromechanische Roboter verwendet. Der zunehmende Einsatz von Hochtechnologie in der Medizin, basierend auf physikalischen Grundlagen, mögen für Studierende des ersten Semesters noch nicht relevant sein. Aber bereits im ersten Semester müssen die Grundlagen für ein grundsätzliches physikalisches Verständnis gelegt werden, auf dem zu einem späteren Zeitpunkt aufgebaut werden kann. Es gilt also, die Scheu vor physikalischen Fragestellungen und physikalischer Denkweise zu überwinden und den Bezug zwischen Physik und Medizin zu verdeutlichen. Der Inhalt der acht Kapitel ist auf Prüfungsrelevanz getestet worden. Zahlreiche klinische Bezüge verdeutlichen den Bezug zwischen Physik und Medizin. Rechenbeispiele sowie Übungsaufgaben mit Lösungswegen leiten zum eigenen Nachrechnen an und bereiten auf die ärztliche Vorprüfung vor. Beispiele für Praktikumsversuche sind repräsentativ aus dem Praktikumsangebot verschiedener Universitäten ausgewählt.

Jedes Kapitel wird durch einen klinischen Fall eingeleitet, der besonders charakteristisch für den Inhalt des Kapitels ist. Innerhalb der Kapitel werden Sie mit Hilfe der schon von den anderen Kurzlehrbüchern bewährten didaktischen Elementen durch den Stoff durchgeführt: Lerncoach zu Beginn jedes Abschnitts, Übersicht über den Inhalt der Abschnitte, Lerntipps/Praxistipps, Merksätze und zum Schluss jeweils ein Check-up, um die wesentlichen Lerninhalte noch einmal zu rekapitulieren. Im Anhang sind alle Formeln gegliedert nach Kapitel noch einmal zusammengefasst. Außerdem sind alle verwendeten Symbole kapitelweise mit ihren Einheiten aufgelistet und erläutert. Damit gewinnen Sie Übersicht, ob in dem jeweiligen Kapitel z.B. das Symbol „T“ für die Temperatur steht oder „T“ die Bedeutung einer Periodendauer hat. Dieses Buch wäre nicht entstanden ohne die Hilfe von Vielen, die dran direkt oder indirekt mitgewirkt haben. Zuallererst möchte ich meinen Teilnehmern an der Vorlesung „Physik für Mediziner“ an der Ruhr-Universität Bochum danken, die über viele Jahre hinweg durch Interesse und Fragen viele Anregungen für Bezüge und Inhalte geliefert haben. Auch die Studierenden im Studiengang Projektorientiertes Lernen (POL) an der Ruhr-Universität Bochum haben durch ihre alternative Vorgehensweise der Erarbeitung des Stoffes in Seminaren und im Selbststudium durch ihre Fragen zur Verbesserung der Inhalte von Jahr zu Jahr beigetragen. Mein besonderer Dank gilt Frau Dr. Karin Hauser vom Thieme Verlag, die den ganzen Stoff sorgfältig durchgelesen und durchgearbeitet hat und durch zahlreiche Anregungen die Klarheit des Textes deutlich verbesserte. Besonders gefreut hat mich, dass Frau Dr. Hauser als Biologin Gefallen an der Physik gefunden hat, je mehr sie den Text durcharbeitete. Ich hoffe sehr, dass es allen Medizinstudierenden, die das Kurzlehrbuch sorgfältig durcharbeiten, genauso ergehen wird. Danken möchte nicht zuletzt meiner Frau Rosemarie, die immer Verständnis und Geduld für die Arbeiten an dem KLB Physik aufgebracht hat. Bochum, den 20. September 2010 Hartmut Zabel

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

Inhalt

Inhalt

1 1.1 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5 1.1.6 1.1.7 1.2

Grundbegriffe des Messens und der quantitativen Beschreibung 3 Physikalische Größen und Einheiten 3 Überblick 3 Physikalischen Größen und Einheiten 3 Basisgrößen und Basiseinheiten des Internationalen Einheitensystems 4 Skalare und Vektoren 5 Bedeutung von Differenzial und Integral 8 Flächen und Volumina 9 Definition und Einheiten von Winkeln 10

1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4

Messen und Unsicherheiten beim Messen Überblick Messfehler Mittelwert und Standardabweichung Fehlerfortpflanzung

11 12 12 12 14

1.3

Wichtige Funktionen

15

2

3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4

Aufbau der Atome und Atomkerne Überblick Aufbau des Atoms Die Elektronenhülle Der Atomkern

49 49 49 50 51

3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.3.5

Verformung fester Körper Zug und Druck Hydrostatischer Druck Scherung und Drillung Biegung Plastische Verformung

52 52 54 54 54 55

3.4 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.4.5 3.4.6

Hydrostatischer Druck Überblick Hydrostatischer Druck Druckmessung Compliance Luftdruck und Schweredruck Auftrieb

56 56 56 57 58 59 60

3.5 3.5.1 3.5.2 3.5.3 3.5.4

Kräfte an Grenzflächen Überblick Kohäsion und Adhäsion Oberflächenspannung Kapillarität

62 62 62 63 64

3.6 3.6.1 3.6.2 3.6.3 3.6.4

Strömung von Flüssigkeiten Überblick Laminare und turbulente Strömung Dynamik von Flüssigkeiten Reale Flüssigkeiten

65 65 66 67 67

Mechanik des Massenpunkts und der starren Körper

23

2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3

Bewegung Einleitung Geschwindigkeit und Beschleunigung Arten der Bewegung

23 23 23 24

2.2

Impuls, Kraft, Drehimpuls, Drehmoment Überblick Impuls und Impulserhaltung Drehimpuls und Trägheitsmoment Kraft und Arten von Kräften Reibungskräfte Drehmoment Bezugssysteme

29 29 29 30 31 34 35 39

4

Wärme, Löslichkeit, Diffusion

75

4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3

Temperatur Einleitung Temperaturmessung Thermische Ausdehnung

75 75 76 77

41 41 41 41 43

4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4

Wärme und Wärmekapazität Überblick Wärme und Wärmekapazität Hauptsätze der Wärmelehre Wärmetransport

77 77 78 80 82

Thermodynamik von Gasen Überblick Allgemeine Gasgleichung Zustandsänderungen Gasgemische

85 85 85 85 86

Änderung des Aggregatzustands Überblick Phasenübergang Sättigungsdampfdruck und Siedepunkt

87 87 87 88

2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5

3 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3

Arbeit, Energie, Leistung Überblick Mechanische Arbeit Hubarbeit und potenzielle Energie Leistung Vergleich Translations-/Rotationsbewegung

Mechanik ausgedehnter und deformierbarer Körper

47

4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4

Wichtige Grundlagen Mengengrößen, bezogene Größen Begriffsdefinitionen Aggregatzustände

47 47 47 48

4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3

43

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

VII

VIII

Inhalt

4.5 4.5.1 4.5.2 4.5.3 4.5.4 4.5.5 4.5.6 4.5.7

5 5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5 5.1.6 5.1.7 5.1.8

Stoffgemische Überblick Molarität Löslichkeit Dampfdruckerniedrigung Osmose Diffusion Vergleich Osmose und Diffusion

89 89 89 89 90 90 92 93

Elektrizität, Magnetismus und Elektromagnetismus

97

Elektrizität Überblick Elektrische Stromstärke, elektrische Ladung Elektrisches Feld Elektrische Spannung Elektrischer Strom und elektrischer Widerstand Elektrischer Stromkreis Elektrizitätsleitung Elektrische Spannungen an Grenzflächen, Diffusionsspannungen

97 97

Huygen-Prinzip Wellengeschwindigkeit Impedanz Stehende Wellen Intensität

146 146 147 147 148

6.3 6.3.1 6.3.2 6.3.3 6.3.4 6.3.5 6.3.6 6.3.7

Schallwellen Überblick Schallwellen Isophone Reflexion Schallwahrnehmung im Ohr Ultraschall in der Medizin Doppler-Effekt

149 149 149 151 151 152 152 153

97 99 103

6.4

Elektromagnetische Wellen

154

7

Optik

159

106 108 113

7.1 7.1.1 7.1.2 7.1.3 7.1.4

Geometrische Optik Überblick Brechung und Reflexion Abbildungen Linsenfehler

159 159 159 163 167

7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3

Wellenoptik Einleitung Beugung von Licht Polarisation

167 168 168 170

7.3 7.3.1 7.3.2 7.3.3

Optische Instrumente Überblick Kamera und Auge Vergrößerung und Verkleinerung

172 172 172 174

7.4 7.4.1 7.4.2 7.4.3 7.4.4

Quantenoptik Welle-Teilchen-Dualismus Photoeffekt Lichtquellen Wahrnehmung von Gegenständen und ihrer Farben

178 178 179 179

116

5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.2.5 5.2.6 5.2.7

Magnetismus Überblick Magnetische Feldstärke Magnetische Flussdichte Magnetischer Dipol Magnetische Materialien Magnetisierung Materie im Magnetfeld

118 118 118 120 120 121 122 122

5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.4

Elektromagnetismus Überblick Elektromagnetische Induktion Wechselstrom Widerstände im Wechselstromkreis (elektrische Impedanzen) Transformatoren Elektromagnetischer Schwingkreis

124 124 124 127

5.3.5 5.3.6

6.2.5 6.2.6 6.2.7 6.2.8 6.2.9

129 133 133

6

Schwingungen und Wellen

139

6.1 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4

Schwingungen Ungedämpfte Schwingungen Gedämpfte Schwingungen Erzwungene Schwingungen Überlagerung von Schwingungen

139 139 140 140 142

6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4

Wellen Überblick Eigenschaften von Wellen Ausbreitung von Wellen Überlagerung von Wellen

143 143 143 143 144

7.5

180

7.5.3

Lichtstärke, Beleuchtungsstärke und Schattenbildung Überblick Lichtstärke, Lichtstrom und Beleuchtungsstärke Schattenbildung

183 184

8

Ionisierende Strahlung

189

8.1 8.1.1 8.1.2 8.1.3

Radioaktivität Nuklide und Radionuklide Radioaktiver Zerfall Radionuklide in der Medizin

189 189 190 194

8.2 8.2.1

Röntgenstrahlen Einleitung

195 195

7.5.1 7.5.2

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

183 183

Inhalt

8.2.2 8.2.3 8.2.4 8.3

Erzeugung und Arten von Röntgenstrahlung Röntgenröhre Röntgenstrahlung in der Medizin

9.4.3 195 196 197

9.4.5

8.3.1 8.3.2 8.3.3

Nachweis und Wirkung ionisierender Strahlung Überblick Nachweis ionisierender Strahlung Strahlenwirkung

198 198 198 199

9

Anhang

204

9.1

Mathematische Grundlagen

204

9.2

Mathematische Zeichen und Symbole

206

Naturkonstanten und nützliche Werte

206

9.3 9.4 9.4.1 9.4.2

Formeln, Symbole und Einheiten zu Kapitel 1: Grundbegriffe zu Kapitel 2: Mechanik des Massenpunkts und der starren Körper

9.4.4

9.4.6 9.4.7 9.4.8 9.5 9.5.1 9.5.2 9.5.3 9.5.4 9.5.5

zu Kapitel 3: Mechanik ausgedehnter und deformierbarer Körper zu Kapitel 4: Wärme, Löslichkeit, Diffusion zu Kapitel 5: Elektrizität, Magnetismus und Elektromagnetismus zu Kapitel 6: Schwingungen und Wellen zu Kapitel 7: Optik zu Kapitel 8: Ionisierende Strahlung Lösungen zu den Aufgaben Grundbegriffe Mechanik des Massepunkts Mechanik ausgedehnter und deformierbarer Körper Wärme, Löslichkeit, Diffusion Elektrizität, Magnetismus und Elektromagnetismus Schwingungen und Wellen Optik Ionisierende Strahlung

209 211 212 216 217 220 221 221 222 224 225 227 227 228 229

207 207

9.5.6 9.5.7 9.5.8

208

Quellenverzeichnis

230

Sachverzeichnis

231

aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

IX

2

Klinischer Fall

l

Nadelöhr im Herzen

E.Jnsetzen erner Igeschwächt. Zudem hat Frau linz Unterschenkelödeme.•Sie haben Wasser in der Lunge und in den Beinen. Schuld daran ist vermutlich eine Herzschwäche". erklärt der Arzt und rät der Rentnerin. ihr Leiden in der Klmik abklären zu lassen.

Herz in Not Schon wenig~ Stunden später liegt tlie alte Dame im Echokardiografieraum des Krankenhauses.•Ihre Aortenklappe tSt verengt". sagt die Kardiologin, nachdem s•e ~rau linz' Herz son09rafiert hat. Dte erworbene Aortenstenose ist heute der häufigste Klappenfehler. ~ie entsteht meist lnlolge degenerativer Veränderungen und führt zu Verkalkungcn mit verringerter Klappenöffnungsfläche. Die durch d1e Enge gesteigertt> Druckbelastung des linken Ventrikels bewirkt eine Vergroßerung (Hypt>rtrophie) dt.>~ Her.:muskel~. Da~ Herzzeitvolumen k
··~ Für das lösen vieler Physikumsaufgaben ist es wichtig, mit Zehnerpotenzen umgehen zu können. Deshalb im Folgenden eine kurze Zusammenfassung der entsprechenden Regeln. Rechenbelspiel Rechnen mit Zehnerpotenzen - ßt>o Multiplikationen werden die Exponenten addiert 4 • 106•101 - 4x t 09 (6 + 3-9) - ßei Divisionen werden die Exponenten subtrahiert 4•106/101 ~4xte>l(6- 3=3)

- Bei Addotionen und Subtraktionen andert sich der Ex·

ponent nocht. Sie können nuo dann durchgelilhrt werden, wenn es sich um dieselben Exponenten haoldelt. )x iOl+4xtcP•7 x 1cP oder 3.2•101 + 4.5• 10'- 3.2 •1 01 + 4,5 • 10• 101 • 3.2 X 10) + 45 X JOl • 48,2 X 101.

s·2. Dezimale Vielfache und Teile von Einheiten Sie werden durch Vorsi lben benannt oder durch Multiplikation mit Zehnerpotenzen angegeben (Tab. 1.2). Übl ich ist die Schreibweise in Potenzen zu der Basis i 0. Oie Vorsilbe Milli drückt ein Tausendstel einer Grundgröße aus. oder 10 l. 01e Vorsilbe Kilo drückt das Tausendfache einer Grundgröße aus. oder 103. Mit dieser Schreibweise können leicht Umrechnungen durchgeführt werden. Zum Belspiel ist der Normaldruck 105 Pa (Pa • Pascal). oder 103 hPa (h = Hekto= 100 = 102 ).

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hbelle 1.2 ll'&zl

.................,

Klein~

Symbol

,

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Zahlenwert

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1.1.4 Skalare und Vektoren in der Physik unterscheidet man zwischen skalaren und vektoriellen Größen. Skalare sind physikali sche Größen. die ausschließlich einen gewissen Wert ausdrücken. wie z.B. die Masse. das Volumen oder die Zeit. Vektoren sind physikalische Größen. die außer ihrem Wert noch zusätzlich eine Richtung im Raum angeben, wie z.B. die Lage eines Objekts. die Geschwindigkeit eines Objekts in eine bestimmte Rich tung. oder die Kraft. die in einer bestimmten Richtung wirkt.

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Symbol

Zahlenwert

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Mega

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I 000 000

6

Nano

n

0.000000 001

9

Giga

G

I 000 000000

9

Piko

p

0.000000 000001

12

Tera

T

1 000 000 000 000

12

0.000 000 000 000 001

15

Peu

p

1 000 000 000 000 000

15

remto

5

6

Physikalische Größen und l1nhe1ten 1 Grundbegriffe des Messens und der quantitativen Beschreibung

l.ffili;JijM SUI•re • Grö&n. dlf' nur t'lnt'n Wt'rt haben. VelrtorM z

Gr~n.

die t>iflt'n Wt'f't und enw R11bt d1e Rtchtung erhalten. Kraft und Jk>~chleumgung ze•gen m dte gletche Rtchtung. jedoch smd dte Be· rrage von Kraft und Beschleunigung sowie thre Ein· heiten verschieden. in dtesem Fallsehretben wirdas

1 Grundb~grlff~ d~s M~ssens und der quantitativen Beschreibung

...-·. .•.•.••.•.••......... .

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-

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ii

-•

Abb. 1.) Z«ri«gung eoncs Vd!ton in ~ine ltem•

f>rodukt ohne weitere Kennzeichnung zwischen dem Skalar und dem Vektor. Dabei ist stillschwei gend angenommen. dass es sich um ein Produkt handeiL W1r werden in den nächsten Abschnirten sehen. dass sogenannte Skalarprodukte und Vektorprodukte spez1ell mit Symbolen gekennzeichnet sind. die s1e von dem Produkt aus Skalar mit Vektor unterscheiden.

lttij;J3W IWi L1uit•pl•kahon euu.' \ V~kto~ mtt emem Skalar ändert soch die Rochtung de\ Vl'ktor~ nochL ldnqe und Einhett können Jed'Kh ~'"'ch~eo sein.

Ii

6, tilcos( d

6)

o.

-

/ ---:--- b

Öl PU'*I~

Oie l .Jgf' dM nommt proportoo •.ol mo1 d,. leot ru.

1.1.5 Bedeutung von Differenzial und Integral

Sk.tl.trprodulctc lWi~chen lWt'i Vektoren 6 und berQ('bcn t'onen Skalar Oie~r 1st maximal. wenn die bt.'oden W k· toren a und b paralld verlaufen. Das Vektorprodukt aus zwei Veklort•n ii und ii ergibt einen neUl hangt der Ort linear von

der Zeat ab. d. h. dte Steagung J)t konstant und d•e Ge~hwandigkeu hangt nkht do~von ab, wo die Dafferenz tJx und llt gemessen ward und wae groß die Dafferenzen gewählt wurden. In die~em rall spricht man von emer geradhmgen und glc.>ichformigen Bewegung . Differenzialquotient

_ _ _b Abb. 1 6

~·~ Lassen Sie sich vom nachHen Ab~chnitt nicht abschrecken, auch wenn darin von Differenzial und Integral die Rede Ist. Sie mussen damit nicht rechnen konnen. Sie ~ollten nur verstanden haben, was sich hinter diesen Begriffen verbirgt.

~

Haufig asteine physikalische.> Größe wae z. B. die Be\vegung mehr gleachförmag. sondern hangt sel~r von der Zeat ab Abb.1.8b). In der Da~tellung von Ort x gegen Zeitt •~t der Kurvenverlau I dann keine eanfache Gerade. In daesem fall k.lnn m.ln nur lokal oder punktweise den DifTcrenzenquouenten bilden. ln Jedem Abschniu dndert er ~eanen Wert. tn

l Grundbegriffe des Messens und der quantitativen Beschreibung

Physikalische Größen und Einheiten

f(x)

x, ---··············· :

t,

t,

t,

a

t,

b

Abb. 1.8 Weg-Zeit-Qiagramm (x,t-Oiagramm) zur Bestimmung von Geschwindigkeiten. a Gieichförmoge Be""e<jung. b 'lieht gleo(h~tzt werden. D•e

Absolute und relotlve Messfehler Der Jbwlute Mc~~fchler t:J.x ist unabhängig von der

Größe x.. Er ward in absoluten Zahl~n .mgegt'ben und hat dae gleache Emhear wie dae Große x. (7. 8. t..lnge t 1 mm: I m t I mm. 2m:!: 1 mm. 3 m ± I mm ... ). Bea relativen Messfehlern wachst t:J.x mll x.. sodass der Quou~ntt:J.xjx konstant bleabr. Der relauve Messfehler ward an Prozent angeg~ben und ast eme reane l.lhl ohne Einheit ( z. 8. lAnge! 0.11 der

gemessenen länge bedeutet I m t I mm. 2 m ± 2 mm. 3 m ± 3 mm ... ). Systemausehe Fehler zeigen meist einen absoluten Me~sfehler. wahrend bea zufalhgen Fehlern häufig l:J.xf.~ kon~rant a~r. RN:henaufgaben Aufgabe 1.7: Bei einem PatiPnt~n hdert die etnmalige

Messung des systolischen Blutdrucks mit einem automataschen Blutdruckmcssgerat das frgcbnts von 120 mmHg. Der Her-tellr gibt dt>n rt•f,JIIvt>n Ml'\\fehler cfps Gl'rats mit :t 1,5% «n. W~e hoch ist der ge-ch;)tzte Jbsolu te Messfehler d·~ Messung '" Ul1hCitcn von mmll<jl t.utgabe 1.8: Der a~te Mes~t'hk>r elnes Fieberther· f1101llt'tP~"> wird vom He~tf'lkor m r 1 0,1 C a~ ben. W.e hoch ist der relat~ Mcssfd,ler IUr ctne gcml.'s!.ene Temperatur von 40 C? {I ÖJUII(J«''l 5. 221)

1.2.3 Mittelwert und Standardabweichung Gou8'sche Nonnaiverteilung (Ciockenkurve)

Ward eane Messung ein und derselben physakala!>Chen Größe h.iufig wiederholt. dann werden d1e meisten Messwerte sich um einen .minieren Wen· scharen. Kleanere Abweichungen vom Mittelwert kommen haufig, großere Abweachungen selten vor. Oblicherwease werden alle Me~swene an emem Hastogramm aufgetragen (Abb. 1.14): Haufigkear eanes Messwertes h, gegen den -..essw('rt im Intervall zwischen x, und "t dH! Häufigke1t des Auftrctens elnC$ bestimmten Wertes aufgt>tragen, .ltlf d~r Absnss~ stehen die Messwerte. Die durchgelogene Kur.e 1U die berechnete Normalverteilung nach Gauß m1t do x: 0 landt>t, sondern 1n 10 m AbstJnd. Wie groS war die Anfangsgeschwiodigkctl v, in deo x·Rkhtung? (Lösungen S. 222)

Periodische Bewegungen

Periodische Bewegungen smd Bewegungen, dte nach einer konstanten Pertodendauer r sJCh ex.tkr wiederholen. Das Maß der periodtschen Bewegung ist d1e Frequenz/. d.h. die Anzahl der Perioden pro Zeiteinheit: I • 1/T. Die Einhc1t der Frequenz I 1st Hertz, abgekürzt Hz: [fJ • Hz. I H7 entspncht emcr Penode pro Sekunde. Falls die pertod1sche Bewegung mir einer Sinus- oder Kosinusfunktton dar· stcllb.tr ist. dann spncht man von harmonischen periodischen Bewegungen (z.B. Fadenpendel). Pen· odtsehe aber mcht·harmoni~he Bewegungsvorgange smd das Gehen be1 konsrantcr Ge~hwindtg­ keit, doe Herzraugkett und d1e Aamung. bei harmo· nischen aber nicht-periodischen Bewegungen an· dert sich die harmonische Periodendauer T mll der Zctt (Abb. 2.4 ). Periodische Bewegungen werdrn

500 450 400 - 350

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tung und glerchförrruqLcntrums.

27

28

2.1 Bewegung

2 Mechanik des Massenpunkts und der starren Körper

Vektoriell folgr dte Zentnperalbeschleunigung aus dem Vekrorprodu lnt>m 'oAolekulhungrn pro Minute (Rota·

piJnes Gelenk

tionen pro Minute • r.p. m.). ln welchem Abstand von der Orehdchse mussen Makromolt>kült> pla11ert wr:rdl'n, damit ,;t' t>in(> ße\Chll'tmigung erfahren, die das 105-Fache der Erdbt>schleunigung beträgt. Nehmen Sie für die Erdbeschleunigung der Einfachhcot halber den Wert g • 10 ms·' an (Lorung S. 222)

Freiheitsgrade der Bewegung. Ein ausgedehnter Körper hat 6 Bewegungsfreiheitsgrade: 3 Translationsbewe· gungen des Schwerpunkts in x·. y·. und z·Richtung und 3 Rotationsbewegungen um die Raumachsen x. y. und 1. Um t>int>n bestimmten Punkt im Raum zu erreichen. braucht man on~gt'5amt 6 8t'WE'gungsmöghchkeoten • rreohCitsqrade der Bewegung. Die meisten Roboter sind so konstruocrt. dass sit> alle 6 Freiheitsgrade ausführen können. Deo Mensch hat jedoch häufig wesentlich mehr als 6 Freiheotsqrade der Bewegung. Besonders be· weglieh ist der Unterarm Oie Beweglichkeit des menschlichen Skeletts wird durch mindestens 6 verschiedene Arten von Gelenken unte~tützt. die verschiedene Freiheits grade aufweisen (Abb. 2.6). Da5 Schamol'rgelenk hat nur eonen Freihe•tsgrad der Bewegung. d.h. es kann nur eine eonfache Rotation ausführen. Das Sattelgelenk hat 2 Rot ... tionsfreiheotsgrade. das Kugelgelenk hat3 Frciheitsqrade etc.

Rad· oder Zapfengelenk

Kugelgelenk

Scharniergelenk Abb. 2.6 Sechs verschiedene Gelenke. die die Be.wgung der Skelettknochen ermöglichen.

E•gel('nk

2 Mechanik des Massenpunkts und der starren Körper 2.2 Impuls. Kraft, Drehimpuls. Drehmoment «> ..•~ Check-up t/ Zeichnen Sie je ein Weg-Zeit-, Geschwindigkeit-Zeit-, und Beschleunigung-Zeit-Diagramm und machen Sie sich bei jedem Diagramm klar, wie und ob daraus zu einem bestimmten Zeltpunkt eine Geschwindigkeit abgelesen werden kann. t/ Wie ist eine periodische Bewegung definiert? t/ Überiegen Sie sich, wie Zentripetalbeschleunigung, Winkelgeschwindigkeit und Radius miteinander zusammenhängen.

2.2 Impuls, Kraft, Drehimpuls, Drehmoment

-

...... Lerncoach Im folgenden Kapitel lernen Sie u. a. die 3 Newton'schen Axiome kennen. Sie sind die Grundlage der Dynamik, dem Gebiet der Mechanik, das sich mit Bewegung beschäftigt. Wichtig für das Verständnis des folgenden Kapitels ist, dass Sie sich das vorangehende Kapitel Geschwindigkeit und Beschleunigung bereits erarbeitet haben.

2.2.1 Überblick Im vorangehenden Abschnitt haben Sie die Bewegung von Massenpunkten kennengelernt. Dies w ird auch als die Kinematik der Massenpunktes bezeichnet. Dabei ging es darum festzustellen, welche Geschwindigkeit und welche Beschleunigung e in ObJekt an Raum und Zeit hat. Damit ist jedoch noch lange nicht die gesamte Dynamik eines Objekts erfasst. Denn ein Objekt hat .1uch eine Masse, auf das Objekt wirken Kräfte und Drehmomente, und das Objekt wird je nach Geschwindigkeit und Lage eine kinetische und potenzielle Energie haben. Wir werden diese physikalischen Größen nacheinander kennenlernen. Dabei machen wir eine erstaunliche Feststellung: Es gibt d rei physikalische Größen. fur die wir mechanische Erhaltungssatze formulieren können: das ist der Impuls. der Drehimpuls und die Energie. ln einem geschlossenen System bleiben diese Größen erhal ten. d.h. zeitlich konstant. W1r beginnen mit dem Impuls und dem Impulserhaltungssatz. diskutieren dann den Drehunpuls. und im nächsten Kapitel den Energieerhaltungssatz.. Weiterhin lernen wir die drei Newton·schen Axiome kennen, die in e infacher Weise die Wirkung von Kräften auf Objekte beschreiben.

2.2.2 Impuls und Impulserh altung Wenn ein Lastwagen und ein Kleinwagen die gleiche Geschwindigkeit haben, dann sagt unser Gefühl, dass ein Zusammenstoß für den Kleinwagen ungüns tig ausgehen kann. Der Grund darür ist d1e unterschiedliche Masse der beiden Wagen. Masse multipl iziert mit Geschwindigkeit ergibt Impuls: p - m v. Bei gleicher Geschwindigkeit vist der Impuls des Lrthim pul> L etnes M•ssepunkt"' stellt senl recht •ul d...m ~·•tttlptmiQurte gepresst. Wie groß ist der Betrg der Kraft F. d1e durch die Verzögerung ausgelost wird, im Vergleich zur Gewicht>· kraft Fe; des Babys? D. h. um etwa welchen Faktor rst f' großer als FG? (Lösung S. 223)

Federkraft Die Federkraft ( Abb. 2.12) ist die Kraft. die man benötigt, um eine Feder um eine bestimmt Länge zu dehnen. Im Gleichgewicht ist d1e Federkraft FK giC'ich und entgegensetzt geri ch tet 7u der GewiChtskraft Fe; mg. Für nicht zu große Dehnungen der Feder ist die Längeniinderungen (Delmung) ll/ der Feder proportional zum Gewicht: mg - k lll. Die Proponionalitätskonstante k wird Federkonstante genannt und IH eme Matenalkonstante der Feder. S1e hat d1e Einheit lkl = Nfm = kgfs 2• M1t Hilfe de>r Längen:lnderung kann man leicht Kräfte bzw. Gewichte messen. Moderne Waagen haben allerdings elektronische Drucksensoren eingebaut.

2 Mechanik des Massenpunkts und der sUirren Körper

2.2 Impuls. Kraft.

Or~himpuls,

Drehmoml'nt

-- F•f, • f ,

F,

-r, r'- • mg Abb. 2.12

F~cleoirden. Alle anderen Massen des Seils und Kräfte, die durch Reobung auftreten, sollen nicht berücksichtigt werden. Mit welcher Kraft muss der Sportler an dem Seil Ziehen. um die Gewichte mit einer Masse zwischen 5 kg und 50 kg 1m Gleichgewicht zu halten? (Losung 223)

s.

Haft- und Gleitreibung Reibungskraft hängt von der Oberflachenbeschaffenheit bzw. Rauigkeit ab. Das Gew1cht Fe; und die Reibungskraft FR sind proportional zueinander: FR •1111R Fe. Der Proportionalitätsfaktor wird Haftreibungskoeffizient llHl genannt. Nur wenn die an gewandte Zugkraft fzus größer 1st als dte Reibungskraft FR. kann der Körper bewegt werden (Abb. 2.1sa). Damit kann man den Reibungskoeffizienten für verscniedene M.lterialien und Oberf\ächenbeschaffenheiten bestimmen. Sobald ein Körper in Bewegung ist bzw. gleitet, ist der entsprechende Gleitreibungskoeffizient llca llledriger als fllr die Haftreibung: IJcR < IJHR· Der Reibungskoeffizient kann auch über eine schiefe Ebene definiert werden (Abb.2.15b). Dazu wird die Gewichtskraft Fe in die Komponenren parallel und senkrecht zur schiefen Ebene aufgeteilt: Fe; F11 + fH. Oie Normalkraft senkrecht wr schiefen Ebene FN = Fc;cosa hat keinen Einfluss auf das Abrutschen. Wichtig ist dagegen die parallel zur schiefeneo Ebene projizierte Horizontalkraft FH Fcsina. Wenn der Neigungswmkel der schiefen Ebene variiert wird. dann überwmder f 11 die Reibungskraft FR. Der Tangens des Winkels a. bei dem der Körper zu rutschen beginnt. ergibt den Reibungskoeffizienen: IJR • tana. Rollreibung Außer dem Haft- und Gleitreibungskoeffizienten w1rd auch ein Reibungskoeffizient für Rollen definiert. ln allen Fällen dienen Schmiermittel dazu. den Reibungskoeffizienten zu erniedrigen. Für Lager von rotierenden Bauteilen ist d1es eine Notwendigkeit.

Reibung gibt es auch lWischen Knochen in Gelenken. Zur Vernngerung der Abnutzung durch Re1bung word •m Ge· Ienkspait die Synov1alflüssigkeit procJu,dert, die dem Knorpel über dem Knochen wichtige Nahrstoffe zuführt und gleichze111g Abbauprodukte abtransportot>rt.

2 Mechanik des Massenpunkts und der starren Körper 2.2 Impuls. Kraft. Drehimpuls. Drehmoment

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Abb. 2.15 Haftreibung und ang~wandt~

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R~lbungsl GIMrejbun9$1.oti'lil,cntcn mot d..~ "'""'~" (~;Der 1 ~ngcns ~ Workl'l• a tlf'i dffl1 MI" Korper tu rut>ehen ~iMt. i\1: gk.-kh ck'ITl Glcitrdbufl9$l.otffll~ntcn I'•·

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Innere Reibung (Viskosität) Llut Newton smd im reibungsfreien Fall Kraft und Beschleumgung ubcrd1c Masse verknüpft: F m d ln der folgenden 01skusssion geht es nur um Bctrii ge von Kraften. mcht um deren Richtung. sodass wn der Einfachheit halber d1e Vektorpfeile weglas sen. Bei Aufl1cten von innerer Reibung ist die Kraft mit der Ceschwmd1gkeit verknüpft und nicht mit der Beschleumgung. Beim freien Fall im luft leeren Raum ist d1e Erdbeschleunigung g F m Lasst man Jedoch eme Kugel m emer Flüssigkelt fallen. dann stellt ~ich nach kurzer Ze•t eme konstante Geschwindigkeit em 'Aus dem gleichen Grund fdllen duch Regentropfen m der Luft mit einer konstanten Geschwindigkeit.) D1e sogenannte Sedimentations· geschwindigkeit v ISt durch die Bez•ehung v F k defin•en Abb. 2.16) Der Proportionalitlitsfaktor k hangt von der Geometrie des sinkenden Körpers und von der VIskosität {inneren Reibung) IJI' der Flüssigken ab: k 'lt· Die Viskosität von Flüss1gkei ten 1st eme WIChtige Materialeigenschaft. d1e das dyna1m~che Verhalten (Fließen) von Flussigke1ten

9

Kralt

V

stark beetnflusst (vgl. S. 67 . Mit Hilfe der Sinkgeschwindigkeit einer Metallkugel in einer Fhissigkeit kann man die Viskosität der nü~s1gke1t bestimmen. Praktikum Kugelviskometer An eine Kugel. wiP sir in Abb.2.16 gezeigt ist. greifen dreo Krafte an: die nach untt>n gt•rlchtl'll' Gto~Vlt.llions­ kr~h rn g. die nach oben gerichtete Auftri Rechenaufgabe Aufgabe 2.11: Eine Person tragt •n ihrer Hand eine Stahlkugel mit einer Masse von 10 kg. Gehen Sie von einem ideahsil'rten Modell aus und vef~R. r- 0.2 m set der Abstand des Tellehens vom Zentrum der Zcntrof~ ge, und für die Konstant!! k nehmen wu cu1~n WNt von 240 kg/s an. Wie lange muss man Tentrrfug•t'ren, b•s soch das Teilchen m1t der Mtem (a) und om ruhrndm

Bffll>arhl~•

Sy>ttm (b) kvmmen lU unte~h·tdhd'k'n Au'o'..I'Jgriffe, die man auch aus dem Alltag kennt. Allerdings sind sie ln der Physik ganz klar definiert und diese Definitionen entspre~~o~:rt durch F

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1iJ cosa

g;Jng auf emt>n der Kltntk Nhe gelegenen Hugel gelauf,•n. Der Hügt'l ost 100 m hoch. IH-r P~t reot hat eto'>'>('m ~achmottag fur dw~nd,gkelt,

\VInkelgeschY.,ndlqkeit

Bahngeschwlnd.gle• t Beschleunigung

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43

44

2.3 Arbeit. Energie. Leistung 2 Mtthanik des Massenpunkts und der starren Körper Translationsbewegung: Bewegung e ines Masse punktes auf einer Geraden. Rotatlonsbewegung: Drehung eines srarren Körpers um e ine feste Achse.

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Wiederholen Sie die Bedingungen, unter denen die Erhaltungssätze für den Impuls, den Drehimpuls und die Energie gelten. Was ist der Unterschied zwischen Arbeit und Leistung? Vergleichen Sie Translationsenergie und Rotationsenergle. Worin besteht der Unterschied?

•

•

46

Klinischer Fall

3

Plötzlicher Druckverlust

Diese Computertomografie (CT) zeigt einen Pneumothorax in Bauchlage (Blick von unten). Links ist die eigedrungene Luft deutlich an der schwarzen Fläche erkennbar. Die Lunge ist stark kollabiert.

Die Atemmechanik des Menschen gelingt durch ein Zusammenspiel verschiedener Faktoren. Während der Brustkorb danach strebt, sich auszudehnen, neigt die Lunge dazu, ihrer Eigenelastizität nachzugeben und sich zusammenzuziehen. Im flüssigkeitsgefüllten Pleuraspalt, dem Raum zwischen Lunge und Brustfell, entsteht so ein Unterdruck. Er hält Lunge und Thorax zusammen und liegt beim Ausatmen am Ende bei –5 cm H2O. Sein Maximum erreicht er beim Einatmen, wenn die Lunge am meisten gedehnt ist. Schreck auf dem Court Auf dem Tennisplatz ist strahlender Sonnenschein. Dirk ist konzentriert, denn für das Turnier, an dem er heute teilnimmt, trainiert er schon seit Monaten. Das Spiel läuft gut. Gerade will er zum vielleicht entscheidenden Aufschlag ausholen, da zuckt er zusammen und verfehlt den Ball. Durch die Zuschauermenge geht ein Raunen. Als sich der junge Mann außer Puste zur Spielfeldumrandung schleppt, rennt Mutter Karin zu ihrem Sohn. Dirk hat plötzlich stechende Schmerzen in der Brust und auch die Luft ist ihm auf einmal knapp geworden. Karin ist die ganze Sache nicht geheuer. Ohne zu zögern ruft sie die Feuerwehr.

Dirks Pleuraspalt gelangt und dadurch sein rechter Lungenflügel kollabiert – er hat einen Pneumothorax. Schuld daran sind oft Luftbläschen im Lungengewebe, sogenannte „Bullae“, die meist an der Lungenspitze sitzen. Platzt eine solche Blase, entsteht eine Verbindung zwischen Bronchialsystem und Pleuraspalt. Entlang des Druckgefälles strömt nun Luft in den Raum zwischen Lunge und Brustfell, die Lunge fällt aufgrund ihrer Elastizität in sich zusammen und kann nicht mehr an den Atembewegungen teilnehmen. So auch bei Dirk. Als Dr. Klein den jungen Patienten über seine Erkrankung aufklärt, ist der beunruhigt und möchte wissen, wie man ihm helfen kann. Atmung unter Druck Damit sich Dirks Lunge wieder richtig entfaltet, legen die Ärzte ihm eine Pleurasaugdrainage. Dabei wird in Lokalanästhesie ein Kunststoffschlauch in die Pleurahöhle vorgeschoben. An diesen schließen die Mediziner nun einen Dauersog von –20 cm H2O an. Durch den Sog wird der Unterdruck im Pleuraspalt wiederhergestellt und die Lunge kann sich ausdehnen. Das kleine Leck im Lungengewebe, das den Kollaps verursacht hat, kann sich nun von selbst verschließen, indem beide Pleurablätter verkleben und später miteinander verwachsen. Dirk ist erleichtert, als er den Eingriff überstanden hat. An das monotone Sauggeräusch der Drainage muss er sich aber noch gewöhnen. Als der Arzt abends nach ihm schaut, macht der Junge schon einen ganz zufriedenen Eindruck. Zwar schmerzt ihn der Schlauch etwas, doch die Luftnot ist vorüber. Der Mediziner erklärt ihm, dass sich ein solcher Kollaps der Lunge leider wiederholen kann. In diesem Fall muss man eventuelle weitere Bläschen im Lungengewebe operativ entfernen und die Pleurablätter künstlich verkleben, etwa mit pleurareizenden Mitteln. Doch vorerst sieht alles gut aus. Vier Tage später kann die Drainage gezogen werden. In der Röntgenkontrollaufnahme ist Dirks rechter Lungenflügel wieder voll entfaltet. Als Mutter Karin ihren Sohn aus der Klinik abholt, steht der in Gedanken schon wieder auf dem Tennisplatz. Zwar wird es noch ein paar Wochen dauern, bis der Junge wieder in Form ist. Doch bei seinem nächsten Turnier wird ihm dann hoffentlich nur noch die Freude am Sport den Atem nehmen.

Kleines Leck mit großen Folgen Bei der Auskultation bemerkt Klinikarzt Dr. Klein ein abgeschwächtes Atemgeräusch über Dirks rechtem Lungenflügel. Beim Abklopfen der Lunge fällt dem Mediziner ein ungewöhnlicher Klopfschall auf. Um seinen Verdacht zu erhärten, lässt er eine Röntgenaufnahme des Thorax machen. Als der Arzt das Bild sieht, ist ihm die Diagnose klar. Auf der rechten Thoraxhälfte sieht man einen zentralen Schatten. In der Peripherie der Lunge fehlt die typische Gefäßzeichnung. Luft ist in aus: Zabel, Physik (ISBN 9783131464712) 쏘 2011 Georg Thieme Verlag KG

3 Mechanik ausgedehnter und deformlerbarer Körper 3.1 Wichtige Grundlagen

3

Mechanik ausgedehnter und deformlerbarer Körper

Im zwe1ten K.Jp1tel haben wir die Mechan1k der starren und nicht deformterbaren Körper betrachtet. OteS ISt eme WIChtige Abstraktion. um d1e Translations und Rotationsfreiheitsgrade emes Körpers be · schreiben zu können sowie die Erhaltungsgrößen. die den Bewegungsablauf charakterisieren. Tatsächlich sind jedoch d1e meisten physikalischen Körper deformierbar. sie andem ihre Gestalt. d.h. Volumen und Form. oder sie haben keine definierte Gestalt. wie z. ß. nussigke1ten und Gase. Ln diesem Kapiteller nen w1r d1e Phys1k der deformierbaren Körper kennen und kommen dam1t zu v1elen neuen Einsichten· WJe Korperdefolllllerbar srnd. wann dte Bruchgrenze erreiCht Wird, welcher Zusammenhang ZWISChen Druck und der Volumenflussrate einer Aüssigkeit be· steht und rn welcher Beziehung Druck und Volumen von Gasen stehen. Aber zunächst ernmal müssen w1r eme Re1he von neuen Defimtionen ernfuhren. um ausgedehnte Körper besser beschreiben zu können.

3.1 Wichtige Grundlagen ~

~

lernc~ch

Oie im folgenden Kapitel definierten Begriffe werden Ihnen in der Physik, aber auch in der Chemie und Ue nach Fac:hrichtung) auch Im ldint)chen Alltag Immer wieder begegnen. Es ist deshalb sehr empfehlenswert, sich diese Begriffe und deren Definitionen sorgfo~ltlg zu erarbeiten und zu verinnerlichen.

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3.1.1 Mengengrößen, bezogene Größen Mengengrößen werden in Volumen Emhe1t: m '). Masse (Einheit: kg) und Tellehenzahl (reme l.lhl ohne Einheit) angegeben. Es g1bt volumenbezogene Größen • Dichte. ToJb.l.l ), massebezogene Großen (• spezifische Größen. z.B. spezifische Wärmekapazität) und stoffmengebezogene Größen (• molare Größen, z.B. molare Wärmekapaz1tat). 3.1.2 Begriffsdefinitionen Der Begriff .Stoff" 1st nicht gut definiert. Er kann eine makroskopische oder eme mikroskopische Bedeutung haben. Immer 1st aber damit eine abzählbare Menge von Teilchen gemeint. w1e z.B. Kaffeebohnen. Proteme. oder Atome. ln der Phys1k 1st es ubhcher von Teilchen zu sprechen. Wir bleiben aber hier bei dem Begnff .Stoß". der auch in der Chem1e gebräuchlidt ist. 01e Stoffmenge ist definiert als Tellehenzahl (Atome oder Moleküle) pro Volumen. 01e molare Masse oder d1e Molmas~e emes Stoffes sind genauso v1el Gramm. wie dessen Atomgewicht entspricht (z.B. enthclh eine Molmasse von H20 18 g Wasser). D1e Anzahl von Molekülen pro Mol ist eme Konstante (Avogadro-Konstante oder Loschmidtl.lhl). Das Mol 1st eme reme l.lhl ln emem Mol sind immer exakt 6,023" Ion Atome oder Moleküle enthalten. F~lls der Stoff ein (ideales) Gas 1st. dann 1st das Molllolurnen des Gases Vmoe unter Standardtemperatur und -druck (STP-Bedmgungen (273.15 K, 101 kPaJ) eme Konstante: v"..... ~ 22.4 l.Her/mol.

rnGIK Formel

~

47

EinMit

wl
(C.,)·J k 1 kg 1

Olt wlchtlgsttn stoffmtngebnogene Gr68tn (molllre Gr68tn)

(V,)• m1/mol

~b.olvmt'l Mob~ M.lSI.t' t.lol.l~ V.';i<me4.lpollt3t

m,.•mn

(m,J • g mol (C,I•J k 1 mot'

•

48

3.1 Wichttge Grundlagen 3 Mechanik ausgedehnter und deformlerbarer Körper Natrium (Na') ln der Medizin wird auch die STPD-8edingung ver· wendl't: 273.15 K, 101kPa, lufrll'Uchtigkeit (Dry) • O't, bzw. PthO • 0 Pd. Chlor (Cl) Bei Stoffgemischen müssen die Stoffmengenanteile bzw. Massenanteile aller Komponenten berucksichtigt werden. Der Begriff Konzentration bezieht sich immer auf die Anzahl emer Komponente bezogen auf die Gesamtzahl. Falls in einer Dose N1 grüne Bohnen und N2 gelbe Bohnen sind. dann ist d1e Gesamtzahl N = N1 + N1. Die Konzen tration c1 von grunen Bohnen ist: c1 • N.fN und von gelben Bohnen: c2 • N2 {N. Die Gesamtkonzentration aller Teilmengen muss 1 ergeben: c, + c2 • 1. Der Molenbruch (Stoffmengenanteil) bezieht sich auf die Molantetle in emem Gas- oder Flüssigkeitsgemisch. Ein Mol Luft besteht z.B. aus 20% Sauerstoff und 80% Stickstoff. Dann ist der Molanteil oder die Molfraktion von Sauerstoff 0,2 und von Stickstoff 0,8. Molarität ist d•e Anzahl von Molen pro Liter Lösungsmittel (Einheit: mol/1). M assenanteil ist der Anteil der Masse einesgelösten Stoffs bezogen au f d ie Gesamtmasse der Lösung (wird i n %angegeben). Stoffmengendichte ist die Stoffmenge eines gelösten Stoffes bezogen au f das Volumen der Lösung ( Einhe1 t: mol{l). Partielle Massendichte ist die Masse eines gelösten Stoffes bezogen auf d,lS Volumen der Lösung (Einheit: kgjl) Spezifische Größen sind Größen. dte auf die Masse bezogen sind. Das spezifhche Volumen ist das Volumen pro Masseneinhetl: V111 • Vfm (Einheit: m 3/kg). Demnach ist das spezifische Volumen die reziproke Größe zur Massendichte Prn = mf V (Einhett: kgjmJ).

Abb. 3.1 Kristallstruktur. Viele restkörpc< bilden penodisch 9eordncte Kristaltrtrukturen, wit' 1.8. NaCI oder Mdere looel'krist.l lle.

auch fest an ihren Plätzen. sie bilden jedoch kein geordnetes Gitter sondern sind strukturell ungeord net. Ein fester Körper hat eine bestimmtes Volumen, eme bestimmte Anzahl von Atomen pro Volumeneinheit. und eine besummte Masse. Aus diesen Angaben kann d ie Anzah ldichte und die Massendichte berechnet werden. Feste Körper haben auch eine bestimmt Gestalt. die erhalten bleibt, sofern der Körper nicht durch Einwirkung von äußeren Kraften verfonnt wird.

Im menschlichen Körper ist die Kristallisation meist un· erwunscht und w~rd übltcherwerse durc:h lnhrboiOen sich Flüssigkeiten nicht w1e Festkörper verformen, s1e lassen sich nur kompn mteren. ln Flüssigkeiten ist d ie Bindung der Atome unteremander wesentlich geringer als in Festkörpern. Gasförmiger Zustand ln Gasen ist die Bindungen zwischen den Atomen oder Molekufen fast ganz aufgehoben. Die Dichte

3 Mechanik ausgedehnter und d~formlerbar~r Körper 3.2 Aufbau der Atome und Atomkerne ist üblicher...,ei~e ~gering. dass Gasarome sich nur sehen berühren. Diese gelegentlichen Beruhrungen sind dennoch ~ehr wichtig. da sie dabe1lmpuls austauschen. Zu ~chnelle Gasmoleküle werden abgebremst und lu ldngsame bekommen durch Impulsausrausch ZllS.ltllilh kinetische Energie. b1s alle Gasmolekult erwa d1e gle~ehe kinetische Energu~ haben. D1cse k10rnsche fnerg1e besnmmt d1e Temperatu l e10es GChen Atomen. die zur B1ldung von Molekulen und Festkörpern führt. Sie ist heute fester Bestandtell der Chem1e. Der Grundzustand von Atomen. d. h. der energen~ch günstigste Zustand samtlicher Elektronen 10 e10em Atom. d1e Anre gungen von Elektronen 10 Atomen zu höheren Energie7uständen. Reaktionen mit anderen Atomen bis hin zur Bildung von Makromolekülen und ausgedehnten Festkörpern kann mu den theo ren~chen Konzepten der Atomphysik verstanden werden. Atomkerne nehmen w1r libhcherwe1se als .gegeben" hin. Sie machen sich erst dann .unangenehm" bemerkbar wenn sie unstabil sind und unter Aussendung von radioaktiver Strahlung in andere Eie-

mente zerfallen. Während Atome Bestandteile des Lebens smd. drenen Kerne nicht nur zur Energiegewinnung 10 Kernkraftwerken sondern .Juch zur TI1erapie und Diagno~uk m der Medizin.

3.2.2 Aufbau des Atoms Alle Matene 1st aus Atomen aufgebaut d1e m den mersten Fällen chem1sche Verbindungen m1t anderen Atomen eingehen. Atome setzen s1ch aus Elektronenschalen und emem Kern zusammen. Im einfachsten Atom. dem Wasscrstoffatom, umgibt em negativ geladenes Elektron ein positiv geladenes Proton (Abb.3.2). ln rmer halbklass1schen Vo~tellung des Bohr'schen Atommodells umkreist das le1chte Elektron das sch\~ere Proton 1m Kern. Es ist ca. 2000 mal le1chter als das Proton und hat exakt die gleiche elektn~he Ladung WJe das Proton, Jedoch m1t entgegen gescrztem Vor1e1chen. Seme emfach negative Ladung w1rd Elementarladung genannt. Das Proton 1~1 emfach positiv geladen. 01e schwereren Atome besitzen in 1hrer Schale weitere Elektronen. Gleichzeitig nunmt auch d1e Zahl der Pr·otonen zu, sodass Atome immer elektrisch neutral sind. Die Zahl der r:lektronen bzw. t>rotonen eines Atoms wird als Ordnungszahl Z bezerchnet. Sie bestimmt d1e chem1schen Eigenschaften des Atoms. D1e Atomkerne smd 1m Zentrum emes Atoms konzentnert und haben e1nen gut definierten RadJus von ca emem Femtometer (c!bgekurzt fm (f • 10 15)l. Im Vergleich dalu ist der Radius eines Atoms weniger gut definiert, hegt jedoch im Bere•ch von 0.1 b1s 0.2 NanomNern (abgekurzt nm (n • J0-9 1. Abb.3.2 ). Zwischen l<ern und äußerer Atomhülle liegen also 105 GJößeno1dnungen.

Abb. 3.2 ~iKM und ~nfiKht~ Danteilung des Wassentolfatoms. Im Zentturn Md. • ·Ltr xh I" ''"' ~ dmc Pn.i'>n ""~" 11011 .,._, 1W9-1lov ,....Kl....._." E lrtrcn D.H vif~ ~htt'ft Deimon ~ M Proton 1n ~~~ />b~und.

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3.2 Aufbau der Atome und Atomkerne 3 MeIoem.

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3.3 Verformung fester Körper

3 Mechanik ausgedehnter und deformierbarer Körper

Atomare Masseneinheit Die Massen der Kerne werden im SI-System in atomaren Masseneinheiten u ausgedrückt. Die Definition ist: 1u = 1/12 der Masse des Kohlenstoffisotops 12C, also 1 u = 1,66×10–27 kg. In diesen Einheiten hat das Neutron die Masse mN = 1,0086 u, und das Proton hat die Masse mP = 1,0072 u. Massendefizit und Bindungsenergie Wir betrachten den Sauerstoffkern 16 8 O. Experimentell bestimmt man eine Masse dieses Kerns zu m(16O)=15,99 u. Wenn wir die Massen der Komponenten zusammenzählen kommen wir auf den Wert: 8mP + 8mN = 16,13 u. Daraus folgt, dass der Gesamtkern weniger Masse hat als die Summe seiner Bestandteile. Der Kern hat bei der Bindung offensichtlich Δm = 0,14 u verloren. Dies ist als Massendefizit bekannt. Die fehlende Masse steckt in der Bindungsenergie des Kerns. Nach der fundamentalen Einstein-Beziehung E = mc2 kann man dem Massendefizit die Energie 2,12 × 10–11 J = 128 MeV (Mega-Elektronenvolt) zuordnen. Dies ergibt 128 MeV/16 = 8 MeV pro Nukleon als Bindungsenergie. Dies ist ein typischer Wert für die Bindungsenergie von Nukleonen. Er ist um einen Faktor 106 größer als die Bindungsenergie der äußeren Elektronen in Atomen. Bei kleineren Kernen ist die Bindungsenergie pro Nukleon geringer, ebenso bei sehr schweren Kernen. Daher kann man nukleare Energie gewinnen, indem man entweder leichte Kerne fusioniert, oder schwere Kerne spaltet. Die erste Art der Energiegewinnung läuft in der Sonne ab, ist jedoch kontrolliert im Labor noch nicht gelungen. Die kontrollierte Kernspaltung zur Energiegewinnung wird in Kernkraftwerken genutzt. Während zwischen negativ geladenen Elektronen und positiv geladenen Protonen eine anziehende elektrische bzw. Coulombwechselwirkung herrscht, die einige Elektronenvolt bis einige Kiloelektronenvolt stark ist, sind die Bindungsenergien im Kern wesentlich größer und verschiedener Natur. Diese sogenannte Kernwechselwirkung oder starke Wechselwirkung muss viel stärker als die Coulombwechselwirkung sein, denn sie hält die sich elektrisch abstoßenden Protonen auf engstem Raum zusammen. Die starke Wechselwirkung hat drei wichtige Eigenschaften: Sie ist sehr stark (starke Wechselwirkung, ca. 103 mal stärker als die Coulombwechselwirkung zwischen geladenen Teilchen); Sie ist sehr kurzreichweitig und wirkt nur innerhalb eines Kerns; Sie ist unabhängig vom Ladungszustand der Nukleonen, aber im Detail ist sie hoch komplex, wesentlich komplexer als die Coulombwechselwirkung.

✔ ✔

✔

Check-up Rekapitulieren Sie, unter welchen Bedingungen Atome „leuchten“. Was ist der Unterschied zwischen Massenzahl und Ordnungszahl eines Atoms? Welche der beiden Zahlen gibt an, um welches Element es sich handelt? Was sind Isotope?

3.3 Verformung fester Körper Lerncoach Verformungen kommen im menschlichen Körper an vielen Stellen vor. Haut kann elastisch gedehnt werden, der Brustkorb verformt sich beim Atmen, Muskeln und Sehnen dehnen und kontrahieren sich etc. Auch bei Unfällen wie z.B. bei einem Sturz kommt es zu Verformungen, die im ungünstigen Fall nicht mehr elastisch sind, sondern zum (Knochen)Bruch führen können. Im folgenden Kapitel lernen Sie die verschiedenen Arten der Verformungen kennen. Es gibt sechs Arten, einen festen Körper zu verformen: Zug, Druck, hydrostatischer Druck, Scherung, Biegung, und Drillung.

3.3.1 Zug und Druck

Hooke’sches Gesetz Zug von Festkörpern bewirkt Dehnung, d.h. positive Längenänderung Δl oder Expansion. Zug σ ist Kraft F pro Fläche A, an der die Kraft angreift (Abb. 3.6): σ¼

F : A

Da bei Zug immer ein Kräftepaar auftritt, resultiert Zug nicht in einer Translationsbewegung, sondern bei einem elastisch verformbaren Körper in Dehnung. Druck ist die Umkehrung von Zug. Druck auf einen Festkörpern bewirkt Stauchung, d.h. negative Längenänderung –Δl oder Kontraktion. Druck σ ist ebenfalls Kraft F pro Fläche A, an der die Kraft angreift: σ¼

F : A

In beiden Fällen, Zug und Druck, wird angenommen, dass die Kraft F normal, d.h. senkrecht auf der Fläche A angreift. Mathematisch-physikalisch ausgedrückt bedeutet dies, dass der Normalenvektor der Fläche A parallel zur angreifenden Kraft F steht (Zug) bzw. antiparallel (Druck). In den folgen-

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3 Mechanik ausgedehnter und deformierbarer Körper

Δl/2

σ

Δl/2

Abb. 3.6 Zug. σ ist Kraft pro Fläche und bewirkt eine Längenänderung Δl eines elastisch deformierbaren Körpers.

den Abschnitten werden wir den Vektorcharakter (genauer gesagt Tensorcharakter) von Druck und Zug nicht weiter betonen. Die Einheit von Zug und Druck sind identisch und ergeben sich aus der Definition: [σ]= N/m2 = Pascal (Pa). Dabei ist 1 N/m2 = 1 Pa. Rechenaufgaben Aufgabe 3.1: Wie groß ist der Druck, den eine stehende Person mit einer Masse von 60 kg auf den Fußboden unter ihr ausübt? Wie groß ist der Druck bei gleicher Masse im Liegen? Nehmen Sie dabei an, dass die Standfläche 0,3 × 0,1 m2 beträgt und die Fläche im Liegen 1,8 m × 0,5 m. Aufgabe 3.2: Ein Muskel habe die maximale Querschnittsfläche von 10 cm2. Wie groß ist die Spannung im Muskel, wenn eine Masse von 40 kg angehoben werden soll? (Lösungen S. 224)

Zug und relative Längenänderung Δl=l(Dehnung) sind linear proportional. Ebenfalls sind Druck und Stauchung linear proportional. Die Proportionalitätskonstante ist der Elastizitätsmodul E: Δl σ¼E : l

Die Druckspannung des Oberkörpers auf den Femur ist erheblich. Bei einer Masse von 50 kg des Oberkörpers lasten auf dem Oberschenkelknochen mit einer Querschnittsfläche von 50 cm2 ein Druck von 1 bar = 105 Pa.

Rechenaufgaben Aufgabe 3.3: Auf einen Knochen werde ein Druck von 0,30 GPa ausgeübt. Wie groß ist die Stauchung des Knochens, wenn der Elastizitätmodul des Knochens E = 15 GPa beträgt? Aufgabe 3.4: In dem Diagramm ist die Zugspannung, die an einem Muskel anliegt, gegen die Muskellänge aufgetragen. Der Kurvenverlauf hat nicht-lineare und lineare Anteile. In dem linearen oder Hooke’schen Bereich schätzen Sie den Elastizitätsmodel E des Muskels ab. 0,04

0,03

0,02

0,01

0

49

(Lösungen S. 224)

E hat die gleiche Einheit wie Zug und Druck, die relative Längenänderung Δl=l ist dagegen eine reine Zahl ohne Einheit. Diesen linearen Zusammenhang zwischen Zug und Dehnung bzw. Druck und Stauchung nennt man Hooke’sches Gesetz. Einige Werte für den Elastizitätsmodul von verschiedenen Materialien sind in der Tab. 3.2 zu finden. Tabelle 3.2 Elastizitätsmodul E für verschiedene Materialien in Einheiten von Gigapascal: 1 GPa = 109 Pa = 10 kbar. Material

E (GPa)

Aluminium

70

Stahl

200

Gummi

0.5

Holz

13

Knochen

15

53

Klinischer Bezug

Spannung in GPa

A

σ

3.3 Verformung fester Körper

50

51

52

53

Muskellänge in 10–3 m

Querkontraktion und Querexpansion Zug und Druck bewirken auch Längenänderung in den Richtungen senkrecht zur Kraftwirkung. Zieht man z.B. an den Enden eines Gummibandes, wird dies nicht nur länger, sondern auch dünner. Ähnlich weicht ein Zyliner seitlich aus und wird dicker, wenn man ihn entlang seiner senkrechten Achse zusammendrückt. Dies nennt man Querkontraktion bei Zugspannung und Querexpansion bei Druckspannung. Berücksichtigt man die Querkontraktion (Querexpansion), dann folgt für die relative Volumenänderung ΔV/V bei Zug oder Druck ΔV σ ¼ ð2μ  1Þ: V E Dabei ist μ die Querkontraktionszahl (Poissonzahl), d.h. das Verhältnis aus Längenänderung in der Querrichtung Δy/y zu Längenänderung in der Zugrichtung Δx/x:

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3

54

3.3 Verformung fester Körper

μ¼

3

3 Mechanik ausgedehnter und deformierbarer Körper

Δx=x : Δy=y

F2 A

Die Poissonzahl ist je nach Material größer als 0 und kleiner als 0,5. Falls μ = 0,5 ist, dann ist die Volumenänderung durch Zug gleich Null, d.h. die Längenänderung in der Zugrichtung wird vollständig durch die Längenänderungen in den dazu senkrechten Richtungen ausgeglichen. Ansonsten ist die relative Volumenänderung immer negativ, d.h. insgesamt verkleinert sich das Volumen des Körpers durch den Zug.

3.3.2 Hydrostatischer Druck Wenn auf einen Körper ein allseitiger oder hydrostatischer Druck p ausgeübt wird, dann verkleinert sich sein Volumen. Der Zusammenhang zwischen Druck und Volumenänderung ist durch den Ausdruck p ¼ B

ΔV V

F1 α

F1 α

F2

b

a

Abb. 3.7 Angreifende Tangentialkräfte bei Scherung (a) und Drillung (b). α ist der Scherwinkel bei Scherung bzw. der Drillwinkel bei Drillung.

sammenhang zwischen Scherspannung σ und Scherwinkel α wird durch den Schubmodul G hergestellt: σ ¼ G α; dabei ist σ ¼

F1 A

Analog dazu ist bei der Drillung der Zusammenhang zwischen angewandtem Drehmoment M und Drillwinkel α gegeben durch: M ¼ D α:

gegeben. Die Proportionalitätskostante B wird Kompressionsmodul genannt (Volumenelastizitätsmodul). Der Kompressionsmodul hat wie der Druck die Einheit Pascal: [B] = Pa. B ist eine Maß für die Dehnbarkeit des Körpers. Je größer B ist, umso so weniger kann man ihn komprimieren. Dehnbare Körper wie die Lunge und das Herz können ebenfalls mit einem Kompressionsmodul charakterisiert werden. Das negative Vorzeichen besagt, dass eine Druckerhöhung immer eine Volumenverkleinerung zur Folge hat. Wir benutzen für den hydrostatischen Druck das Symbol p um kenntlich zu machen, dass dieser von dem uni-axialen Druck σ unterschieden werden muss. Hydrostatischer Druck und uni-axialer Druck haben jedoch die gleiche Einheit: [p] = [σ] = Pa. Wir kommen auf den hydrostatischen Druck im nächsten Abschnitt auf S. 56 zurück und werden diesen dort noch ausführlicher behandeln.

Hier ist D das Richtmoment des Zylinders. Die Drillung errinnert an die Rotationsbewegung. Schlagen sie evtl. dort nochmals nach (S. 27), um sich wieder an das Drehmoment zu erinnern.

3.3.4 Biegung Biegung eines Balkens (Abb. 3.8) entsteht bei Kraftwirkung auf ein Ende eines Balkens, während das andere Ende fest eingespannt ist. Kraft mal Länge des Balkens bilden ein Drehmoment. Die Biegung ist durch eine neutrale Faser in der Mitte des Balkens gekennzeichnet. Oberhalb der neutralen Faser steht der Balken unter Zugspannung und wird expandiert, unterhalb der neutralen Faser steht der Balken unter Druckspannung und wird gestaucht.

α

Klinischer Bezug Der Augeninnendruck ist ein hydrostatischer Druck, der auf die Retina überall gleich groß wirkt. Bei zu hohem Augeninnendruck besteht die Gefahr der Schädigungen der Retina und des Sehnervs.

s → F Zug

3.3.3 Scherung und Drillung Bei Scherung, Drillung und Biegung (s.u.) tritt in erster Nährung keine Volumenänderung auf. Scherung wird durch ein Paar von Tangentialkräften auf eine Fläche ausgeübt (Abb. 3.7a). Ebenso sind bei der Torsion bzw. bei der Drillung Kräftepaare an den Stirnflächen eines Körpers notwendig (Abb. 3.7b). Diese üben ein Drehmoment aus, sodass sich der Körper ohne Volumenänderung verdrillt. Der Zu-

neutrale Faser Druck Abb. 3.8 Biegung eines Balkens durch Einspannen an einem Ende und Kraftwirkung auf das andere Ende. Die Biegung ist durch eine neutrale Faser in der Mitte des Balkens gekennzeichnet. Oberhalb der neutralen Faser führt die Biegung zur Dehnung, unterhalb der neutralen Faser zur Stauchung.

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Spannung σ

3 Mechanik ausgedehnter und deformierbarer Körper

α

l

3.3 Verformung fester Körper

Bruch

elastisch reversibler Bereich plastischer irreversibler Bereich

F2

3

F1 CCD-Winkel Dehnung

Femurachse Abb. 3.9 Das Drehmoment am Oberschenkelhalsknochen erzeugt eine Biegung und Verkleinerung des Schenkelhalswinkels (CCD-Winkels) mit zunehmendem Alter. Dadurch werden der Winkel α und das Drehmoment immer größer und es kann zum Oberschenkelhalsbruch kommen.

In der neutralen Faser wechselt die Spannung und Dehnung das Vorzeichen von positiv (Zug, Dehnung) zu negativ (Druck, Stauchung).

∆l l

Abb. 3.10 Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm. Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm enthält drei Bereiche: im elastisch reversiblen Bereich gilt das Hooke’sche Gesetz, d.h. Dehnung ist proportional zur Spannung und die Verformung ist vollständig reversibel. Im plastisch irreversiblen Bereich ist der Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung komplex. Überdehnung führt zum Bruch. Bei spröden Materialien fehlt der plastische Bereich. Auf den elastisch reversiblen Bereich folgt sofort der Bruch.

schnappt diese nicht zurück. Bei weiterer Dehnung folgt schließlich ein „Fließen des Materials“ gefolgt von einem Bruch (Abb. 3.10). Allerdings verhalten sich spröde Materialien wie Gläser und Keramiken elastisch anders. Bei diesen Materialien fehlt der plastisch irreversible Bereich und jenseits einer maximalen Spannung erfolgt sofort der Bruch. Klinischer Bezug

Klinischer Bezug Auf den Femur wirken besonders große Drehmomente und damit Biegekräfte (Abb. 3.9). Die Gewichtskraft F1 und die Stützkraft F2 bilden ein Kräftepaar mit Drehmoment: | M | = 2l · |F1| sinα Der Schenkelhalswinkel bzw. der CCD-Winkel (CentrumCollum-Diaphysen-Winkel) ist der Winkel zwischen der anatomischen Femurachse und der Schenkelhalsachse, d.h. der CCD-Winkel ist mit dem Winkel α über die Beziehung 180 °– α verknüpft. Während der Winkel α mit dem Alter durch die Belastung größer wird, nimmt der CCD-Winkel ab, wodurch wiederum das Drehmoment zunimmt. Gleichzeitig nimmt die Stabilität des Knochens durch Mineralisation ab. Die Kombination von beiden Effekten führt manchmal zum Bruch des Oberschenkelhalsknochens.

3.3.5 Plastische Verformung Das Hooke’sche Gesetz gilt nur für kleine Dehnungen und Stauchungen. Es ist durch Linearität zwischen Spannung und Dehnung und durch vollständige Reversibilität gekennzeichnet. Bei größerer Spannung und damit größerer Dehnung tritt plastische Verformung ein. In diesem Bereich ist die Verformung nicht mehr reversibel, d.h. bei Entfernung der Spannung bleibt die Verformung größtenteils bestehen. Beim Biegen einer Büroklammer

Die Porenstruktur eines Knochens macht diesen leicht, ohne dass er an elastischer Festigkeit verliert. Die langen Knochen sind im mittleren Teil als Hohlzylinder gebaut und haben einen hohen Biegewiderstand, vergleichbar dem von Vollzylindern. Als Hohlzylinder haben sie so den Vorteil, bei gleicher Biegefestigkeit wesentlich leichter zu sein. Knochen sind spröde Körper vergleichbar mit Glas. Man kann sie elastisch verformen, aber makroskopisch betrachtet gibt es keinen plastischen Bereich. Bei Überdehnung oder Scherung folgt sofort der Bruch. Nur bei Dauerbelastung können plastische Verformungen auftreten, wie z.B. beim CCD Winkel am Oberschenkelhalsknochen, allerdings kommt die Veränderung durch ständigen Auf- und Abbau sowie Verlagerung des organischen Materials über einen langen Zeitraum zustande.

✔

✔ ✔

55

Check-up Wiederholen Sie das Hooke’sche Gesetz und nennen Sie die Bedingungen, die erfüllt sein müssen, damit es gilt. Was ist der Unterschied zwischen uni-axialem Druck und hydrostatischem Druck? Machen Sie sich klar, ab wann eine elastische Verformung in eine plastische Verformung übergeht oder es gar zum Bruch kommt. Welche Rolle spielt dabei das Hooke’sche Gesetz?

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56

3.4 Hydrostatischer Druck

3 Mechanik ausgedehnter und deformierbarer Körper

3.4 Hydrostatischer Druck Lerncoach Der hydrostatische Druck spielt für den Menschen eine große Rolle, obwohl wir ihn im täglichen Leben eigentlich gar nicht wahrnehmen. Erst wenn er sich ändert, bekommen wir ihn unangenehm zu spüren, so z.B. in großer Höhe, beim Tauchen im Wasser, oder beim Sturm. Unser Körper ist optimal auf den hydrostatischen Druck der Luft an der Erdoberfläche angepasst. Im folgenden Kapitel lernen Sie wichtige Gegebenheiten des hydrostatischen Drucks kennen und bekommen Beispiele dafür, welche Rolle er im menschlichen Körper von der Atmung bis zum Kreislauf spielt.

3

3.4.1 Überblick Der hydrostatische Druck hat eine überragende Bedeutung für alle Phänomene, die mit Gasen oder Flüssigkeiten zu tun haben. Beim uniaxialen Druck auf einen festen Körper gibt es eine Vorzugsrichtung, nämlich die Richtung, in der die Kraft auf eine Fläche wirkt. Die Richtung senkrecht dazu verhält sich anders. Auch auf ein Gas oder eine Flüssigkeit können wir einen einseitigen Druck durch einen Kolben ausüben (z.B. Kolben in einer Fahrradpumpe). Jedoch ist dann der Druck in allen Richtungen senkrecht dazu gleich groß. Dieser allseitig gleichgroße Druck hat wichtige Konsequenzen für die Druckübertragung (hydraulische Presse) wie auch für die Strömung von Gasen und Flüssigkeiten, die im Kapitel 3.6 (S. 65) behandelt werden.

3.4.2 Hydrostatischer Druck Atome in einem Gas bewegen sich willkürlich und haben eine der Temperatur entsprechende Geschwindigkeit. Stoßen sie auf eine Wand, werden sie reflektiert und übertragen einen Impuls auf die Wand. Diese Impulsübertrag liefert einen nach außen hin messbaren Druck p. Der von Innen erzeugte Gasdruck p muss gleich dem Gegendruck der Gefäßwände sein, damit die Wände sich nicht bewegen. Für den Druck gilt: p¼

F ; A

wobei F die Kraft ist, die auf die Fläche A wirkt. Diesen Druck auf ein Gas (oder auf eine Flüssigkeit) nennt man auch hydrostatischen Druck, da er nach allen Seiten hin gleich groß ist. Darin unterscheiden sich Flüssigkeiten und Gase auf der einen Seite von Festkörpern auf der anderen Seite. Bei Gasen und Flüssigkeiten reicht ein einseitiger Druck aus, um diesen auf alle Richtungen in gleicher Größe zu

übertragen. Wegen des starren atomaren Gitters von Festkörpern ist dagegen die Druckübertragung von einer Seite auf die Querseiten nicht vollständig. Der Druck hat die Dimension: Kraft pro Fläche, und damit die Einheit: N/m2 = Pa. Ein N/m2 entspricht einem Pascal, abgekürzt Pa. 105 Pa = 1 bar. 1 bar entspricht dem Druck, die eine 10 m hohe Wassersäule ausübt, und ungefähr dem mittleren Luftdruck in Meereshöhe. MERKE Druck: p = F/A. Einheit: Pa (Pascal); 1 Pa = 1 N/m2. In der Medizin wird Druck in der Regel nicht in Pascal oder bar gemessen, sondern in mmHg (Millimeter Quecksilbersäule) angegeben. Als Umrechnungsfaktor gilt: 760 mmHg = 1 bar = 105 Pa. (Ganz genau wäre allerdings: 760 mmHg = 760 Torr = 1 atm = 101,3 kPa = 1,013 bar. In 1. Näherung ist dann 1 bar = 1 atm = 760 mmHg).

Kommunizierende Röhren In verbundenen Gefäßen, die mit einer homogenen Flüssigkeit gefüllt sind, muss unabhängig von der Gestalt der Gefäße auf allen Seiten der hydrostatische Druck gleich groß sein: p1 = p2 (Abb. 3.11a). Wenn dies nicht so wäre, dann würde die Flüssigkeit solange von einer Seite zur anderen fließen, bis der Druck ausgeglichen ist. Der Druck wird durch das Eigengewicht der Flüssigkeit erzeugt und wird Schweredruck genannt (S. 60). Ist mg das Gewicht der Flüssigkeit und V sein Volumen, dann kann man mit Hilfe der Dichte das Gewicht mit ρVg angeben. Liegt nun dieses Gewicht auf der Querschnittsfläche A des Volumens V = A × h auf, dann wird der hydrostatische Druck p¼

F ρAhg ¼ ¼ ρg h A A

auf der Querschnittsfläche der Flüssigkeit A ausgeübt. Bei kommunizierenden (d.h. verbundenen) Röhren, die mit einer homogenen Flüssigkeit gefüllt sind, folgt aus dem Druckausgleich: p1 = p2 die Gleichheit der Flüssigkeitshöhe auf beiden Seiten: h1 = h2. In verbundenen Gefäßen steht eine Flüssigkeit in allen Gefäßen gleich hoch, unabhängig von der Gestalt und dem Radius des Gefäßes. Dies nennt man das Prinzip der kommunizierenden Röhren (Abb. 3.11). Schichtet man zwei nicht mischbare Flüssigkeiten mit verschiedenen Dichten ρ1 und ρ2 übereinander, dann sind die Drücke nicht an der Oberfläche bei gleichem Meniskusstand ausgeglichen, sondern an der Grenzfläche zwischen den beiden Flüssigkeiten (Abb. 3.11b). Die Bedingung für die Gleichheit der Drücke lautet dann: p1 ¼ ρ1 gh1 ¼ ρ2 gh2 ¼ p2 :

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3 Mechanik ausgedehnter und deformierbarer Körper

p1

p2

ρ2

h2

h1

h a

ρ1

b

3.4 Hydrostatischer Druck

57

Abb. 3.11 Kommunizierende Röhren und Dichtebestimmung von nicht mischbaren Flüssigkeiten. a eine homogene Flüssigkeit. b zwei nicht mischbare Flüssigkeiten.

3 Falls eine Dichte (z.B. ρ1) bekannt ist, kann die andere Dichte (z.B. ρ2) aus der Meniskushöhe bestimmt werden. Auflösen nach der unbekannten Dichte ρ2 ergibt: ρ2 ¼

h1 ρ : h2 1

Generell gilt: falls h2 > h1, dann ist ρ2 < ρ1. Hydraulisches Prinzip Den hydrostatischen oder allseitigen Druck in einer Flüssigkeit kann man auch zur Kraftübertragung nutzen. Denn wenn auf alle Flächen der Druck gleich groß ist, dann gilt z.B. für zwei unterschiedliche Flächen: p1 ¼

F1 F2 ¼ p2 ¼ ; A1 A2

Atmosphäre entweichen kann (Siffon-Prinzip). Durch den Gasdruck pGas wird im Gleichgewicht die Flüssigkeit um die Höhe h über den gasseitigen Meniskus angehoben. Das heißt, an der Grenzfläche zwischen Gas und Flüssigkeit ist der Gasdruck mit dem Druck der Flüssigkeit und der Luft ausgeglichen. Der Gasdruck pGas im Gasvolumen folgt dann aus der Summe von der Höhe der Flüssigkeitssäule h über dem Meniskus und dem äußeren Luftdruck: pGas = pFlüssig + pLuft. Den Flüssigkeitsdruck kann man bei Kenntnis der Dichte ρ der Flüssigkeit und der Erdbeschleunigung g aus der Höhe der Flüssigkeitssäule h über dem Meniskus berechnen: pFlüssig ¼

d.h. das Verhältnis aus Kraft und Fläche bleibt immer konstant. Anders ausgedrückt, bei gleichem Druck wächst die Kraft mit der Fläche. Daraus folgt, dass man mit einer kleinen Kraft F1 = (A1/A2)F2 auf einen Kolben mit kleiner Fläche A1 eine große Kraft F2 auf eine große Fläche A2 ausüben kann (Abb. 3.12). Dies nennt man das hydraulische Prinzip. Technische Anwendungen findet man u.a. bei Hebebühnen, hydraulischen Bremsen, und beim hydraulischen Anheben von Krankenbetten.

3.4.3 Druckmessung Eine einfache Methode zum Messen von Druck bietet das Flüssigkeitsmanometer (Abb. 3.13). Die Flüssigkeit im Schlauch verhindert, dass das Gas in die

Kraft mg ρV g ρAhg ¼ ¼ ¼ ¼ ρ g h: Fläche A A A

Druck, der größer als der Normaldruck unter STPBedingungen ist, wird Überdruck genannt, Druck unterhalb des Normaldrucks wird Unterdruck genannt. Rechenaufgaben Aufgabe 3.5: Wie groß ist der Druck einer 10 m hohen Wassersäule? Aufgabe 3.6: Nehmen wir an, dass Blut die gleiche Dichte hat wie Wasser. Wie groß ist bei einer 1,7 m großen Person der Druckunterschied des Bluts im Kopf im Vergleich zu dem in den Füßen, der alleine durch die Schwere der Flüssigkeit gegeben ist? (Lösungen: S. 224)

Luftdruck pLuft F1

Gasdruck pGas F2

Kolben A1

h

A2 Meniskus Flüssigkeit

Abb. 3.12 Hydraulisches Prinzip. Der Druck auf beide Kolben ist identisch und wird durch eine Flüssigkeit übertragen. Da die Flächen verschieden sind, sind auch die Kräfte auf beiden Seiten unterschiedlich.

Abb. 3.13 Flüssigkeitsmanometer. Das Gasvolumen ist auf einer Seite mit einem flexiblen Schlauch verbunden, der eine Flüssigkeit enthält. Auf der anderen Seite ist der Schlauch offen.

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58

3.4 Hydrostatischer Druck

3 Mechanik ausgedehnter und deformierbarer Körper

Klinischer Bezug

3

Die Lunge arbeitet nach dem Prinzip des Unterdrucks. In der Brusthöhle zwischen Thorax und Pleura herrscht ein Unterdruck von ca. –500 Pa. Mit Hilfe der Rippen- und Zwerchfellmuskulatur wird das Lungenvolumen vergrößert und der Unterdruck auf ca. –800 Pa erhöht. Dadurch strömt Luft in die Lunge ein. Bei der Expiration wird das Lungenvolumen wieder verkleinert und Luft strömt aus. Falls der Thorax durch Unfall oder Operation geöffnet wird, gleicht sich der Druck dem Umgebungsdruck an und die Atmung kann nicht mehr auf natürliche Weise erfolgen.

Gesetz von Boyle-Mariotte Drückt man ein Gasvolumen zusammen, wird das Gas komprimiert und das Gasvolumen nimmt ab. Das heißt, ein kleiner Druck entspricht einem großem Volumen und ein großer Druck entspricht einem kleinen Volumen. Daraus folgt, dass das Produkt aus Gasdruck und Gasvolumen konstant ist. Dieser Zusammenhang ist als Boyle-Mariotte-Gesetz bekannt: p V = konstant Die Konstante hängt nur von der Temperatur ab. Bei konstanter Temperatur ist der Druck umgekehrt proportional zum Volumen (Abb. 3.14): Druck ¼

Konstante : Volumen

Diese Abhängigkeit zwischen Druck und Volumen wird Isotherme genannt (Abb. 4.9, S. 85).

3.4.4 Compliance Auf S. 54 (hydrostatischer Druck) haben wir noch einen anderen Zusammenhang zwischen Druck und Volumen kennengelernt. Bei hydrostatischer Druckänderung ist die relative Volumenänderung: p ¼ B

ΔV ; V

wobei B der Kompressionsmodul des Gases ist. Beim idealen Gas gilt B = nRT/ΔV, wobei n die Mol-

zahl ist, R ist die allgemeine Gaskonstante, und T ist die absolute Temperatur. Einsetzen von B ergibt wieder das Boyle-Mariotte-Gesetz:
 nRT ΔV nRT p¼ ¼ ΔV V V oder pV = nRT. Damit sind beide Ausdrücke äquivalent. Der Gleichung pV = nRT werden wir auf S. 85 wieder begegenen und dort als die allgemeine Gasgleichung kennen lernen. Wir lösen nach der Volumenänderung auf und erhalten: ΔV 1 ¼ Δp ¼ κ Δp: V B Das Minuszeichen ist in der Druckänderung absorbiert. Der reziproke Kompressionsmodul B—1 = κ wird Kompressibilität genannt. Die Einheit ist, [κ] = Pa—1. In der Physiologie ist es üblich, nicht die relative Volumenänderung, sondern die absolute Volumenänderung anzugeben: ΔV ¼

V Δp ¼ C Δp: B

Die Proportionalitätskonstante C wird Compliance genannt. Die Einheit ist [C] = m3 Pa—1 oder l Pa—1. Die Compliance ist ein Maß für die Dehnbarkeit von Gefäßen. Bei einer konstanten Volumenänderung ΔV ist C umso größer, je kleiner die benötigte Druckdifferenz Δp ist, diese zu bewirken. Je größer C ist, umso dehnbarer ist der Körper. Bei der Atemmechanik der Lunge ist C keine Konstante, sondern nimmt mit zunehmender Volumenausdehnung ab. Für gleiche Volumenänderung ist für zunehmendes Volumen eine immer größere Druckänderung erforderlich (Abb. 3.15). Der Zusammenhang zwischen Volumen und Druck ist also nicht-linear. Tatsächlich wird aber bei der Einatmung nicht nur die Lunge, sondern auch der Thorax gedehnt. Beide Organe haben elastische Eigenschaften bzw. Dehnbarkeiten und daher geht bei der Atemmechanik die kombinierte Compliance von Lunge und Thorax

p

pV = konstant T = konstant

p1

p2

V1

V2

V

Abb. 3.14 Gesetz von Boyle-Mariotte. Das Produkt aus Gasdruck und Gasvolumen ist eine Konstante bei konstanter Temperatur. Die im rechten Bild dargestellt Abhängigkeit des Drucks vom Volumen nennt man Isotherme.

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3.4 Hydrostatischer Druck

59

Man kann die effektive Compliance leicht abschätzen. Bei Atemruhelage ist die Druckdifferenz in den Alveolen ca. 0,5 kPa und die Volumenänderung ca. 0,5 l. Daraus ergibt sich die Compliance von Lunge und Thorax zu:

3

Volumen V

3 Mechanik ausgedehnter und deformierbarer Körper

Ceff ¼

ΔV ΔPtm

Ceff ¼

CLunge CThorax : CLunge þ CThorax

ΔV 0; 5 l ¼ ffi 1 l=kPa: Δp 0; 5 kPa

Das Konzept der Compliance ist nicht nur auf den Atemapparat anwendbar, sondern auch auf Blutgefäße, Herzwand, Windkessel, Harnblasenkammer, Schädel, etc. Rechenaufgabe Druck p Abb. 3.15 Druckabhängigkeit des Volumens bei der Atmung.

ein. Lunge und Thorax bilden ein „verschachteltes“ System, so ähnlich wie zwei Federn. Die kleinere plaziert man in der größeren Feder, hängt sie beide gemeinsam an einer Halterung auf und zieht daran. In diesem Fall wird die Dehnung der Feder durch diejenige dominiert, die die steifere bzw. weniger dehnbare Feder ist. Auf S. 32 haben wir gelernt, dass die Dehnung einer Feder proportional zur Kraft ist, wobei die Propotionalitätskonstante die Kraftkonstante k der Feder ist: F ¼ k Δl. Durch Auflösen nach der Längenänderung haben wir: Δl ¼ F=k ¼ CF. C ist hier die Compliance oder die Dehnbarkeit der Feder. Bei zwei ineinander verschachtelten Federn (das gleiche gilt für zwei neben einander aufgehängten Federn) wird die Dehnbarkeit nicht etwa immer größer, sondern richtet sich nach der Feder mit dem kleineren C. Daraus folgt, dass wir die Dehnbarkeiten nicht einfach addieren dürfen, sondern deren reziproke Werte müssen addiert werden: 1 1 1 ¼ þ : Ceff C1 C2 Daraus folgt für die effektive Dehnbarkeit des Gesamtsystems: Ceff ¼

Aufgabe 3.7: Die „Windkesselfunktion“ der Aorta beruht auf deren Compliance (passive Dehnbarkeit der Aortenwand). Sie ist unter anderem für die Dämpfung der kardial erzeugten Pulswelle verantwortlich. Bei 150 ml Blut im „Windkessel“ herrscht dort ein transmuraler Druck von 10 kPa, bei 180ml sind es 15 kPa. Wie groß ist die Compliance der Aorta in diesem Druckbereich? (Lösung S. 224)

3.4.5 Luftdruck und Schweredruck Luftdruck Auf Meereshöhe herrscht ein Normaldruck von ca. 1 bar. Dieser Druck kommt durch das Gewicht bzw. die Schwere der Luftsäule von Meereshöhe bis in die Stratosphäre zustande. Da jedoch die Luft wie jedes Gas leicht komprimierbar ist, nimmt der Luftdruck mit steigender Höhe bzw. abnehmender Luftsäule nicht linear ab wie bei Flüssigkeiten, sondern exponentiell (Abb. 3.16). Der Luftdruck in Abhängigkeit von der Höhe kann durch folgende Formel ausgedrückt werden: pðhÞ ¼ p0 eh=h0 : Wenn p0 = 1 bar der Luftdruck auf Meereshöhe ist, dann ist h = h0 = 8000 m die Höhe, bei der der Luftdruck auf 1/e = 0,37 bzw auf 37 % des Normaldrucks abgefallen ist. Rechenaufgaben

C1 C2 : C1 þ C 2

In ganz analoger Weise gehen wir bei der Compliance des Atemapparats vor. Wenn die Compliance der Lunge CLunge und des Thorax CThorax bekannt sind, dann ist die effektive Compliance des Atemapparats:

Aufgabe 3.8: Auf welchen Wert fällt der Luftdruck in der üblichen Flughöhe von 12 km ab? Aufgabe 3.9: Bei welcher Höhe hat der Luftdruck nur noch den halben Wert des Normaldrucks? Diese Höhe wird als Halbwertshöhe h1/2 bezeichnet. (Lösungen S. 224)

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60

3.4 Hydrostatischer Druck

3 Mechanik ausgedehnter und deformierbarer Körper

MERKE Die Halbwertshöhe, d.h. die Höhe, bei der der Luftdruck um die Hälfte auf 0,5 bar gesunken ist, ist ca. 5500 m. Höhe [km]

Partialdruck Der Luftdruck auf Meereshöhe beträgt ca. 1 bar. Die Luft setzt sich aus mehreren Komponenten zusammen, die wichtigsten sind Stickstoff und Sauerstoff in einem Mischungsverhältnis von ca. 80/20. Wenn ein Gas aus mehreren Komponenten zusammengesetzt ist, dann ist der Gesamtdruck pGesamt gleich der Summe der Partialdrücke der einzelnen Komponenten. Die Partialdrücke entsprechen den Molanteilen bzw. Molfraktionen der Gaskomponenten. Der Partialdruck von Stickstoff ist pN2 = 0,8 × pGesamt = 0,8 bar. Entsprechend für Sauerstoff ist der Partialdruck pO2 = 0,2 × pGesamt = 0,2 bar.

10

Luftdruck

5 1

2

3

4

0 Tiefe [m]

3

15

Druck [bar]

10 20 30

Schweredruck in Wasser

Abb. 3.16 Schweredruck. Der Schweredruck in einer Flüssigkeit nimmt linear mit der Tiefe zu. Der Schweredruck der Luft (Luftdruck) nimmt exponentiell mit zunehmender Höhe ab.

Rechenaufgabe Aufgabe 3.10: In 5500 m Höhe ist der Luftdruck nur noch halb so hoch wie auf Meereshöhe. Etwa wie groß ist dort der Sauerstoffpartialdruck? (Lösung S. 224)

Klinischer Bezug Oberhalb von 5500 m kann sich der Mensch nicht mehr vollständig an die Höhe bzw. den Sauerstoffmangel anpassen. Es kommt zu einem kontinuierlichen Abbau der körperlichen und geistigen Leistungsfähigkeit. Diese Höhenmarke ist deshalb auch die oberste Grenze einer menschlichen Dauerbesiedelung und gleichzeitig die höchste noch sinnvolle Basislagerhöhe für Expeditionsbergsteiger.

Schweredruck in Flüssigkeiten Flüssigkeiten sind wesentlich weniger kompressibel als Gase. In guter Näherung kann man die meisten Flüssigkeiten als ideale inkompressible Flüssigkeiten behandeln, d.h. Druckzunahme führt nicht zur Volumenänderung. Reale Flüssigkeiten sind dagegen kompressibel. In der Näherung der idealen inkompressiblen Flüssigkeit hängt der Druck nur von der Höhe h der Flüssigkeitssäule ab: pflüssig ¼ ρ  g  h:

p(h = 10 m) = 1000 kg/m3 × 10 m/s2 × 10m = 105 Pa = 1 bar. Falls über dem Wasser noch eine Luftsäule mit 1 bar Druck liegt, dann herrscht in 10 m Tiefe ein Gesamtdruck von 2 bar. Falls ein Taucher auf 30 m Wassertiefe geht, dann muss Atemluft mit einem Druck von 4 bar angeboten werden, damit der Innendruck in den Alveolen gleich dem Außendruck ist. Rechenaufgabe Aufgabe 3.11: Der systolische Blutdruck des Menschen ist etwa so groß wie der Druck einer 120 mm hohen Quecksilbersäule. Wie hoch könnte bei diesem Druck das Blut theoretisch gepumpt werden? Die Dichte von Blut ist etwa gleich gross wie diejenige von Wasser (1000 kg/m3, diejenige von Quecksilber beträgt 13500 kg/m3)? Welchen Blutdruck muss eine Giraffe mit einer Schulterhöhe von 3,5 m mindestens haben? (Lösung S. 224)

3.4.6 Auftrieb

Daraus folgt, dass in einer Flüssigkeit von der Oberfläche in die Tiefe der Druck linear mit der Eintauchtiefe zunimmt (Abb. 3.16). Dies nennt man den Schweredruck einer Flüssigkeit. Die darüber liegenden Flüssigkeitsschichten üben durch ihr Gewicht auf die unteren Flüssigkeitsschichten einen Druck aus. Wie wir bereits in auf S. kennengelernt haben, ist der Druckanstieg in 10 m tiefem Wasser:

Wenn ein Körper in eine Flüssigkeit eingetaucht wird, dann wirkt auf den Körper ein allseitiger hydrostatischer Druck. Durch den Schweredruck ist der Druck p1 auf die Unterseite eines Körpers jedoch größer als der Druck p2 auf die Oberseite (Abb. 3.17). Die Druckdifferenz Δp = p1 – p2 liefert einen Auftrieb bzw. eine Auftriebskraft FA, die nach oben gerichtet ist und dem Gewicht des Körpers FGK = mK g entgegenwirkt. Auf den ganzen Körper

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3 Mechanik ausgedehnter und deformierbarer Körper

3.4 Hydrostatischer Druck

61

Rechenaufgabe

p4

p1

p2

p3

Abb. 3.17 Auftrieb. Der Auftrieb eines Körpers in einer Flüssigkeit hängt nicht von der Gestalt des Körpers oder von der Tiefe in der Flüssigkeit ab, sondern nur von der Dichte der Flüssigkeit und dem Volumen des Körpers, nicht von seiner Masse.

bezogen ist die Auftriebskraft FA gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit: FA = FGFl = mFl g. Daran erkennt man, dass die Auftriebskraft FA nicht von der Tiefe abhängt. Ob ein Körper schwimmt, schwebt oder sinkt, hängt von der Kraftbilanz ab. Ein Körper schwimmt, wenn die Gewichtskraft des Körpers FGK = mK g kleiner ist als die Auftriebskraft FA = mFl g. Er schwebt, wenn beide Kräfte gleich groß sind, und er sinkt, wenn die Gewichtskraft größer ist als die Auftriebskraft. Da das Volumen für Körper und verdrängter Flüssigkeit gleich groß ist und die Erdbeschleunigung g immer gleich ist, kommt es letztlich auf den Unterschied der Dichten an. Sofern die Gesamtdichte eines Körpers kleiner ist als die der Flüssigkeit, dann schwimmt der Körper, bei gleicher Dichte schwebt er, und bei größerer Dichte sinkt er. Das effektive Gewicht, welches ein fester Körper in einer Flüssigkeit hat, folgt aus der Differenz von Gewichtskraft und Auftriebskraft:

Aufgabe 3.12: Ein Patient mit einer Erkrankung des Schultergürtels macht Wassergymnastik (in normalem Wasser). Die Masse eines Arms beträgt etwa 5 kg und die mittlere Dichte etwa 1,1 kg/l. Wie groß etwa ist das relative effektive Gewicht des Arms im Wasser bezogen auf seine Gewichtskraft in Luft? (Lösung S. 225)

Archimedisches Prinzip Unter dem Archimedischen Prinzip versteht man die Bestimmung der Dichte eines Körpers, dessen Volumen man nicht kennt oder nicht bestimmt werden kann und dessen Dichte größer ist als die von Wasser. Wenn das Volumen bekannt ist, dann folgt die Dichte einfach aus dem Verhältnis von Masse zu Volumen: ρK = m/V. Bei unförmigen Körpern, wie auch beim menschlichen Körper kann man das Volumen nur schwer angeben. Man kann jedoch das Gewicht des Körpers in der Luft FG und nach Eintauchen in Wasser Feff mit einer Waage messen. Die Differenz ist der Auftrieb: FG – Feff = ρWasserVK ∙ g. Dividiert man durch die Gewichtskraft in Luft, so erhält man: FG  Feff ρWasser VK g ρWasser ¼ ¼ : FG ρK ρK VK g Auflösen nach der Dichte des Körpers ergibt: ρKörper ¼ ρWasser 

FG : FG  Feff

Da die Dichte von Wasser ρWasser = 1 g/cm3 ist, folgt h i F G ρKörper g=cm3 ¼ : ΔF

Da die Volumina des Körpers und der verdrängten Flüssigkeit identisch sind, folgt weiterhin:

Das Archimedische Prinzip kann man auch umdrehen, um die Dichte ρFlüssig einer Flüssigkeit zu bestimmen. Dazu taucht man in die Flüssigkeit einen Körper bekannter Dichte ρK und Volumen VK ein und misst das Gewicht des Körpers in Luft FLuft und in der Flüssigkeit Feff mit Hilfe einer Waage. Ganz analog folgt dann die Dichte der Flüssigkeit aus:

Feff = ρK VK g – ρWasserVK g = (ρK – ρWasser) g VK = Δρ g VK.

ρFlüssig ¼ ρK

Feff = FGK – FGFl = mK g – mFl g.

ΔF : FG

Das effektive Gewicht eines Körpers in Wasser wird null, wenn die Dichte des Körpers gleich der Dichte des Wassers ist. Dann hebt die Auftriebskraft die Gewichtskraft vollständig auf und der Körper schwebt.

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3

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3.5 Kräfte an Grenzflächen

3 Mechanik ausgedehnter und deformierbarer Körper

3.5.1 Überblick

MERKE

3

Der Auftrieb eines Körpers ist gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit (Archimedisches Prinzip). Die Auftriebskraft ist nach oben gerichtet und verringert das Gewicht eines Körpers in einer Flüssigkeit. Ein Körper schwimmt, wenn sein Auftrieb größer ist als sein Gewicht, er sinkt, wenn der Auftrieb kleiner ist als sein Gewicht und er schwebt, wenn der Auftrieb gleich seinem Gewicht ist.

Klinischer Bezug Druck spielt in der Medizin eine sehr große Rolle. Der Augeninnendruck ist ein hydrostatischer Druck und wird durch zu und abfließende Flüssigkeiten geregelt und konstant gehalten. Luftdruck in der Lunge variiert von leichtem Unterdruck beim Einatmen von ca. –500 Pa bis zum exspiratorischen leichten Überdruck von 150 Pa. Im Blutkreislauf wird durch die Herztätigkeit ein Druckunterschied von ca. 13 kPa zwischen der arteriellen und venösen Seite aufgebaut. Allerdings muss bei allen biologischen Systemen berücksichtigen werden, dass die Wände nicht starr sind, sondern dehnbar. Der elastisch dehnbare Schlauch ist daher ein besseres Modell für die Blutgefäße als ein starres Rohr und die elastische Kugel bzw. ein Luftballon ist ein Modell für die Lungenaktion. Bei dehnbaren Gefäßen hängt der Innendruck umgekehrt proportional vom Radius ab. Je größer der Radius um so kleiner der Druck.

✔ ✔

✔

Check-up Was steht hinter dem hydraulischen Prinzip? Wie und wo findet es technische Anwendung? Machen Sie sich nochmals klar, wie man den hydrostatischen Druck einer Flüssigkeit oder eines Gases berechnet und rechnen Sie die verschiedenen Einheiten für den Druck (Pa, bar, mmHg) ineinander um. Wie kann man mit dem Archimedischen Prinzip das Volumen und die Dichte eines Festkörpers mit bekannter Masse bestimmen?

Was hat die Haftung von Farben auf Oberflächen mit Seifenblasen zu tun und mit der Ausdehnung der Alveolen in der Lunge beim Atmen? Allen Phänomenen gemeinsam sind Grenzflächen und Oberflächen, die hier ins Spiel kommen. Wir werden in diesem Abschnitt die Kräfte und Spannungen kennenlernen, die an Grenzflächen zwischen zwei Substanzen herrschen und daraus eine Reihe von physikalischen Eigenschaften ableiten, die Bezug zur Physiologie und Klinik haben.

3.5.2 Kohäsion und Adhäsion Die Kräfte auf Moleküle an Oberflächen und Grenzflächen von Flüssigkeiten und Festkörpern sind verschieden von denen im Inneren. Man unterscheidet zwischen Kohäsions- und Adhäsionskraft. Unter Kohäsionskraft versteht man die Anziehung zwischen einem herausgegriffenen Molekül und seinen Nachbarn in der selben Substanz. Unter Adhäsionskraft versteht man die Wechselwirkung von Molekülen an der Grenzfläche zu einer anderen Substanz. In Abb. 3.18 ist die helle Kugel (Atom) einer anziehenden Kohäsionskraft von seinen Nachbarn ausgesetzt. Die Atome an der Grenzfläche zu der roten Substanz wechselwirken nicht nur mit den Nachbarn in der gleichen Substanz, sondern auch mit den Atomen in der roten Substanz. Daher sind diese Atome noch zusätzlich Adhäsionskräften ausgesetzt. MERKE Kohäsion ist die Kraft auf ein Molekül innerhalb des gleichen Stoffes, Adhäsion ist die Kraft auf ein Molekül an der Grenzfläche zu einem anderen Stoff.

3.5 Kräfte an Grenzflächen Lerncoach In diesem Kapitel lernen Sie, welche Kräfte die Atome und Moleküle in Flüssikeiten und Festkörpern zusammenhalten und welche Unterschiede zwischen den Kräften im Inneren und an Oberflächen herrschen. Es empfiehlt sich die Definitionen von Druck, Spannung und potenzieller Energie aus den vorigen Kapiteln noch einmal zu rekapitulieren, um die Grundlagen zu haben, die in diesem Abschnitt benötigt werden.

Abb. 3.18 Kohäsion und Adhäsion. Das hell gekennzeichnet Atom innerhalb des grünen Atomverbands ist Kohäsionskräften durch die Nachbaratome ausgesetzt, die grau-grün gekennzeichneten Atome an der Grenzfläche zur roten Substanz sind auch Adhäsionskräften ausgesetzt.

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3 Me~hanlk ausgedehnter und deformierbarer Körper 3.5.3 Oberflächenspann ung Im Inneren einer Substanz 1st du~ Kohäsionskraft großer als an der Oberfläche Da sie gle•chmaßig nach allen Sem~n w1rkt. gibt es keme Vorzugsnchtung und keme resultierende Kraft auf em Atom 1m Inneren. An der OberOllehe 1St d1e resultierende K1aft nach innen größer und die Atome an der Oberfläche werden nach innen gezogen (Abb.l.19a). Um eine Oberflache zu b1lden oder um eme Obernaehe zu vergrößern (also um Moleküle aus dem Inneren an d•e Oberfläche zu bringen). muss die nach innen gerichtete Kohäs•onskraft fKoo uberwundcn werden. Zieht man z.B. mit einem BOgel der Breite b einen Flüssigkeltsfilm um die Strecke öl aus einer Oberflache Abb. l .19b). muss dafur d1e Arbeit~ öl gele•Stet werden. d.h. d1e potenllelle Energie der F10ssigke1t w1rd vergrößert w1e beim Anheben cmes Gegenstandes. Setzt man die geleistete Arbe1t in Beziehung zur neu geschaffenen Oberflache. erhalt man d1e in der Oberflache enthaltene spez1fische Oberflachenenergie

y

W M

öl 2böl

fKoh

f Koh

2b .

Der Faktor 2 bcrucksichtig. dass gleichzeitig 1wei Oberflachen gebildet v.-erden. D1e spezifische Obcrflachenenergie hat d1e Einhe1t Jim2• S1e ISt 1denusch mit N/m. Damit kann die spe11fi~che Oberflachenenergieauch als die Kraft pro Ungeneinheir interpretiert werden. die benötigt w1rd. wn eine Oberflache zu vergrößern. Diese Kraft wirkt tangential zur Oberfläche und versucht d1e~e zu verkleinern. D1e Oberflachenenergie w1rcl auch Oberflächenspannung gPnannt. Die Oberflächenspannung 1st eme w1chuge Matenalkonstante von allen festen und flüssigen Materialien. Durch Tenside kann d1e Oberflachenspannung von Wasser reduziert werden. sodass ..Seifenblasen" entstehen.

Die

Ol)(>rflach~nspannung

3.5 Kr~fte

.m Grenzflächen

darl nocht m1t der men '>p~nnung o vcrw•ldet, sodass die Alveolen sich aufgrund einer zu hohen Oberflachenspannung nicht entfalten können und es so zum Atemnotsyndrom kommen kann. Kontaktwinkel Aus dem Kontaktwinkel zwischen einer nachcn Oberfläche und einem Flüssigkeitstropfen kann das relative Verhältnis von Adhäsion zu Kohäsion abgelesen werden (Abb.3.21). Bei guter Benen~ung ist der Kontaktwmkel (J < 90 •. 1m Idealfall ist be1 perfekter Benetzung 9 ~ o•. Dies tritt nur dann auf. wenn die Adhäsion wesentlich größer ist als die Kohäsion. Bei schlechter Benetzung ist der Kontaktwinkel 9 > 90 ". ln diesem Fall ist d1e Adhäsion schwächer als d1e Kohäsion. D•e FlussJgkelt neigt zur Tröpfchenbildung.

3.5.4 Kapillarität D1e Benetzungseigenschaften von Flüssigkeiten auf Oberflachen wirken sich auch auf d1e Kapillaritat aus. W1rd eme Glaskapillare in eme Flu~s•gkeit emgetaucht. dann sieht man am Meniskus, ob die Flüssigkeit in die Kapillare hineingezogen wird (kapillare Erhöhung bei benetzenden Fh.issigkeiten.

3 Mechanik ausgedehnter und deformlerbarer Körper 3.6 StJömung von Flüssigkeiten

Ji$11934 Röhrtn (S. 56) und K.1pillantltt •ind 9egenlaufiqc E~heinunqen. Kommunillt'fendt Röhrt'll betont>n die Glt>Khhtoit 1t00 Gld~röl>rtn un.l~"919 von ohrtr GC'stalt. Kapilldlotat f'rlt'ugt Unters< hoedc. lrflachE'. ln kommunozort'nden Röhr(.'fl ohne Kapillaritat ist doE' Wasse~ule ulwrall gldth hoch. 1n kommmunizierenden Röhren mot kappol,m·r Frhuhung ist doe Flüssigk"otss;iule um so höher, Jf kleoner der Radiu\ der RöhrP o\1.

Kommurnzlt'ff'llde

schiC'chtC' ßtonf'trung

gutt ßf'netrung



d •1le lk'nl'LIUng 9 JWI-chl'fl rlulloi)L:P "tropfen und eoner Oberllico~n\C.hooft.

Konlaklw111kel 0 < 90 •) oder ob die Fllissigkeit aus der Kapollare verdr:lngt wo rd (kapillare Dcpressoon be• nicht bC'netzenden Flüssigkeiten. Kontaktwi n· kel 0 > 90 ) (Abb. l .22 ). Im Fall von kapillarer Erhö· hung beobachtet man d urch die Kapillantat eme Sterghohe h gegen die Gravitationsw u kung. die proportional zu r Oberflachenspannung y und um· gekehrt proportional zum Radius r der Kaprllare rst:

2t 11

pgr

p ISt dre D1chte der Fh.issigkeu und g rst du: Frdbe·

schleun1gung.

Doe kapill.lrf' Erh0hu09 ~m W~swrtransport on P!l~t(.'fl wird benötigt. d.Jmot die Wil~st.'ßdule on den lettuo>gsl>Jhnen nosion bei noc:l>t ~~ flüs~-

we.

..• .. Ched!~p t/ Was ist der Unterschied ZWischen Kohasion und Adhaslon? t/ Machen Sit sich nochmals klar was geschieht. wenn zwel unttrschiedlich große Luftblasen miteinander ln Kontakt kommen. t/ Wie hängen Kontaktwinkel und Kapillaritat miteinander zusammen? t/ Fassen Sie mit eigenen Worten nochmals zusammen, worfn der Unerschled zwischen kommunizierenden Röhren und Kapillarität liegt.

3.6 Strömung von Flüssigkeiten

;....

Lemroportional zur vierten Potenz des Rohrradius r. Damit 1st die Volumenstromstärke V proportionalwr vierten Potenz des Radius r'. Bei hal· bcm Radius sinkt die Volumensrromstärke um das 16-fache! Dies hat wichtige Konsequenzen be1 der Durchblutung. Be1 Verengung der Blutgelage nimmt die Volumenstromstärke dramatisch ab. Die Einheit des StrömungswiderstJods folgt aus der Definition: Rs • llp{V. Damit ist [Rs)• Pa · s(m 3•

ll&iä;JMM D1e Volumenwomst.irl<e ist proportional zur vierten Potenz des Radous: Sinkt der Durchmesser etnes Rohres um d1e H.illte, n1eßt p• o Zeiteinheit nw noch 1/ 16 der Aüssigkeit hindurch!

v= llp

R~.

Zwischen Volumenstromstärke und Druckdifferenz besteht emc lineare Beziehung. die Proportionalitätskonstante ist der inverse Strömungswiderstand l/Rs.. Der inverse Strömungswiderstand 1/Rs wird auch Leitwert oder Conductance genannt. Strömungswiderstand Gesetz von Hagen.Polseuille Auf der einen Seite wird die Flüssigkeitsströmung durch die Druckdifferenz angetrieben. Auf der anderen Seite wird die Flüssigkeit durch die innere Re1bung und Haftung an den Wanden an der Strömung gehindert Aus beiden Effekten zusammen kann man den Strömungswiderstand berechnen (Abb. 3.2.5). Der Strömungswiderstand hat einen Vorfaktor (Srr). der von der gewählten Geometrie abhängt (in diesem Fall em zylindrisches Rohr). einen geometrischen Anteil (l.dnge I und QuerschnitLSOäche A) und einen material-spezifischen Anteil {Viskosität IJ ): {l/

8 {l/

Rs = 81117 A2 = ;r'l ~

Abb. 3.25 Strömungswiderstand. S.O. l'lllt'm Rohlqu~rschtllll t~l

kretSform'9en

der Strömungsv.idcr>t~nd proportiOnal zur

Longe des Rohr$ und umgekehrt propot (Abb.3.26). Es bt>stt>ht aus eonem offenen Reservoirder Flüssigkeit (a). welches den notwend•qen Druck aufbaut, auch Manotte'sche flasche genannt. Verbindungsrohren (b}, der eigcnth· chen Kapillare (c). aufgeselLten und offenen Staurolr ren (d). sowie einem Auffanggefäß(e). womit das Volumen der auslautenden Flüssigkeit gemessen werden kann. Der Druckabfall über der Kapillare wird uber den Hohenunte=hled der Flüssigkelt in den Stauroh· renbestimmt flp • pgilh. Aus der Gleichung für die Ver Iumenstromstärke folgt für die Viskosität durch Umfor· men: I]

Reihenschaltung von Strömungswiderständen (Abb. l.27)

ln einer idealen Aüssigkeit fPoh\ub\ub\t.tnl Blut in e1nem geschlossenen und \ll:ll\\-eogten Rohrensy:.tcm. Wir betrachten hier einen stil'k vereoni.Khten Fall und nehmen an. dass der Krcoslauf durch eone geschlossene Röhrt reprd!.enllert "'-erden kann, doe beidseotlg an eone Pumpe angeschlossen ist (Abb. 3.29). Falls das H~z als Pumpe ruht. besteht vollständiger OruckausgiE>ich, be•dl' Selten des Röhrens wird kurue.bg in potenzielle Energie umgewandt'lt. ondem die Aorta gt'dchnt und das Blut dort gespeichert wird. Während der Diastole Wird die potenzielle Energie wieder in k.netische Cnergle zur!Jckverwandelt, wekhe da~ ge'lpt'icherte Blut weiter in die Penpheric treibt. Ocr Windke~scl ist ein fnergie<jrenLte lntzundung d.:r Haut und Unterl>aut. Fieber, die Erhöhung der Körpertemperatur über 38 Grad Celsius, ist einer der häufigsten Gründe für Arztbesuche. Infekte oder Tumoren bewirken mit Hilfe von fiebererzeugenden Proteinen, sogenanl')o ten Pyrogenen. die Freisetzung von Botenstoffen. Zytokine wie lnterleuklne oder Interferone lösen dann eine Sollwerterhöhung der Körperkerntemperatur im Hypothalamus aus. Der Körper reagiert mit einer verminderten Wärmeabgabe durch Vasokol')o striktion und steigert die Wärmeproduktion, 11')dem er zittert. Die resultierende Temperaturerhöhung unterstützt und beschleunigt die lmmunant· wort des Körpers. Unruhige Träume Zu Hause ist es doch am schönsten! Karl stellt seme Koffer ab und schließt die Wohnungstür hinter sich. Oie letzten zwei Wochen hat der frischgebackene Rentner auf der schönen Mittelmeerinsel Sizilien verbracht und dort etn straffes Kulturprogramm absolviert. Sogar den Ätna, Europas höchsten Vulkan, hat der 65-j.Jhrige bestiegen. Erschöpft liisst er sich aufs Bett fallen und denkt an die erlebnisreichen Tage zurück. Kurz vor dem Einschlafen merkt er noch. wie ihn etwas am Knöchel schmerzt. Doch 7u müde, um nach(usehen, schläft er ein. ln der Nacht träumt Ka I wtld durcheinal')o der, er wJILt sich unruhig im Bett und schwitzt. Als er am nächsten Morgen aufwacht, fühlt er sich schlapp, seine rechte Wade ist etwas gerötet und geschwollen. • Bestimmt habe ich mich im Flug1eug gestoßen·. vermutet der Mann. Doch als d•e venmemtltche Prellung immer hetßer und rQ'I'Chtung. • doch .•. rd ~tomen

>,,

von ~ktln ln ~rwm ~- Volumen. a Wulome Nbm lon>e VOr·

ITIItllt'ft' kiJ '9•ghe I von Mr Temp.:r~tur. Abb. 4.4

Lö~lichkeit,

Diffusion 4.2 Wdrmc und Wärmekapazität

schwimmen und dass Seen im Winter nicht ganz zufneren. Dtese Anomalit des Wassers beruht auf der komphz•erten Kristall~truktur von Eis und ßuss1gem Wasser. Tt mperaturmessung d~ Korpers gibt n•cht nur Au~­ kunlt über d•e Normaltcmperatur. wndem auch Annalt\punkle lür Krankheiten. Bei lnfekt•onen ist die Körpt'r · temperatur erhöht. M•t ~rwor Thermographie dl'r Kor· peroberflache konnl'n TumMte ..uftieten? ln doe.em Fall muss dlt> gesamte Wärme V« dem \1t.cllen gigung der spezrhschen \'Vallllt'kapantäten:

(C~m 1T, - C~mz Tz) ...r..,

(C~m ,

C~mz)n.v~~~~tt r•.

0~ d•e Wärmek\tlmmt.'fl. WL11n rm-hrere Veßuc~ mit unter~hlcdllc:hl'fl Mrogen von Wasser durchgeführt w~den.

r--------111-ArnJ)('remt>tf.'r Voltmeter

Thermometer

4.2.3 Hauptsätze der Wärmelehre Thermodynamische Systeme Die Grundgese1ze der Wärmelrhre werden in Haupr~atzen 1u~mmengefass1 Daw ward zu· nilchst detinaert. was ean thermodynamasche~ System tSI. Ein thermodynami!.ches System ast etn System von Teilchen (Gas. Aüssigkeat oder Festkörper). welches mat Sl'tner Umgebung in mindestens ZWI'i Arten Enl'rgte austauschen kann (Abb. 4.6~ Etne da von muss Wanne sean. Dae andere kann z.B. mechanaSrdrn: U,

Kalorimeter zur Bestimmung der >P"Zlfisch~n W.it'IM von Flüsslgkt'lt~n.

Abb. 4.5

~•., Die folgenden Hauptsaue der Wärmelehre sind wichtige Grundlagen der Thermodynamik. Sie spielen allerdings bei der täglichen Arbeit elot>S Medizinl'n nur eine untergeordnetete Rolle und werden •uch nur sehr selten gepruft. Troudem lohnt es sich, den n.ichsten Abschnitt zu leseo. ü erklärt einige Erfahrungen. die wir t~lich machen, wie z. 8. die Tat· ~ehe, dan eine heiße Tasse Kaffe sich von selbst ablih Ist.

U1

t;U

t;Q

t.W.

Dabr1 astdie Anclerung der Wärmeenergie t.Q po· Sallv. wenn Warme dem Sy~tem 1ugefiihrt ward. ~lbt negativ. Dae Anderung der mechanischen Energre t;W asr posrtav, lo\'t'nn .:an dem System Arben geleastet wird. umgekehrt wenn d.Js System Arbeat lelst des Körper$ und

zum anderen der Verrid\tung mechanischer Arbeit. Der Wirkungsgrad für die mechanische Arbeit rst von der Großenordnung 20 - 25 %. Hochlerstungssportfer erreichen einen Wirkungsgrad von 30 - 35 %. Lord Kelvin hat den 2. Hauptsatz in einer knappen Aussage auf den Punkt gebracht: ..Es gibt keine penodisch arbe1tende Maschine. deren einzige Wirkung darin bestehL. Wärme einem Reservoir zu entnehmen und vollständig in Arbeit umzuwandeln". Damit ist auch klar. dass es kem Perpetuum Mobile geben kann. 3. Hauptsatz der Wärmelehre: Entropie bei T 0 K Der 3. Hauptsatz der Thermodynamik besagt, dass am absoluten Nullpunkt der Temperaturskala die Entropie 0 ist. und dass kein System auf den absoluten Nullpunkt abgekühlt werden kann. M1t d1eser Aussage folgt auch. w1e man zeigen kann. dass die Wärmekapazität aller Körper ebenfalls am Nullpunkt gegen null gehen muss. Wir h.aben aufS. 78 gesehen. dass die molare Wärmekapazität von Festkörpern bei Raumtemperatur ca. 25 J mol 1 K 1 beträgt. Aus dem 3. Hauptsatz können wir schließen. dass die molare Wärmekapazität mit abnehmender Temperatur nicht konstant bleiben kann. sondern auch auf Null gehen muss. Dies wurde experimentell vielfach bestätigt. Zusammenfassung Der 1. Hauptsatz drückt die Energieerhaltung einschließlich der Wärmeenergie aus. g1bt aber keme Richtungsabhangigkeit von thermodynamischen Prozessen vor. Eine R1chtungsabhang1gkeit entspricht aber der tl

Temperatur

r. > r,

WJnnereservoir konstanter niedr~ Temperatur

r, < r.

Abb. 4.8 ~ltung. l - . Wln-~~ rn.t untr TemperatUrdttfrt('rdtur bleibt. D•e Heizleistung des Reser\'Qirs A ergibt den W.lrmewom •n Wdll. 01c w~, meleitf.ihlg!..eit folgt aus. dem Quot•enten: '

I !9_

"" • AilT' ln d~ nur belcdnnte I erme elngo.o/len. Analog zu Flussigkeitcn gelten auch hier be1m War· mestrom die Kirchhoff-Gesetze (S. 69 lL S. 108}. Wllrmewlderstände können parallel oder ln Reihe geschaltet werden. Fenster 10 e10em Haus lassen alle glerchze1tig Warme durch. d.h. sie s10d parallel g~haltet. Kleidungsstucke smd ublicherwetc:e 10 Rerhe ge~altet und vergro~rn den WärmewidcrStilnd mit jeder Schicht. Zur Wärmedämmung be· nougt man Material mrt cmcm hohen Wärme wtderstand. Fell und Bekleidung mit trocknen luftgefullten Poren haben emen hohen WarmeWiderstand. Was~er hat e10e ~ehr hohe Wärmelertf.ihigkt>it. Bei nasser Kleidung wird der Wärme w1derstand .kurz geschlossen· und Wärme kann aus dem Korper schnell nach .mßen dringen. Durch ve~hwnze Klerdung nach sportlichem Training kann schnell eine Unterkühlung mtt Erkältungsge fc1hr auftreten. Der Warmeverlust im Wasser ist c.J. 5· mal gtößer als in lufr du rch dre höhere Wärme lenf.ihigkeit des Wassers im Vergleich zur Luft. Dte Unterkuhlungsgefahr ist daher wesentlich großer. Konvektion Konvektion beschretbt dc.>n Austau~h von Warmeene~te durch gleichzelligen Materietransport. Bel Temperaturgradienten m Flussigkeiten und Gasen kommt es haufig zu dtffusivem Transport von herßen Partikeln zu kä lteren Beretchen. Luft streicht am Körper vorbei und n11nmt dabet Körperwarme auf. Der Warmeverlust durch Luftkonvektion kann erhebhch se10 und lercht zur UnterkOhlung des Korpers führen. W;!rmestrahlung W,umestrahlung ist kontaktloserWärmeenergrealb· tausch durch elekTromagnetische Wellen (vgl. S. t7g).

83

84

4.2 WJrme und Wärmekapalität 4 Wärme, löslichkeit, Diffusion jeder Körper mit einer Temperarur Tsrrahlt ein für diese Temperatur charakteristisches Spektrum von elektromagnetiSChen Wellen ab. Diese elektromagnensche Strahlung wird Wärmestrahlung genannt. Das Wellenlängenspektrum der Wärmestrahlung ist sehr breit und hat em charakteristisches Maximum. Die Gesamtintensität der Wärmestrahlung steigt mit der vierten Potenz der Temperatur:

,Q- o-

und ungeschützter Körper. der in der Nähe einer 20 ·c kalten Wand steht. kann schnell unterkühlen. Dies ist besonders wichtig für Klemkinder. die noch keine große Wärmekapazitat haben. Rechenbeispiel Nettoobstrah/leistung des menschlichen Körpers

r

Nehmen wor an, dass doe GesamtobPrfläche d!'s Körbeträgt; Durch die RauigkeJt der Korperoberfläche l~t doe EmissivoUlt e nicht 1 sondern auf e • 0,7 reduziert. Die Körpertemperatur ist r. • 37 'C • 3 I 0 K. und die Umgebungstemperatur Tu • 20 C • 293 K. Damot on dit> Nettoabstrahlungsle1stung: per~ ca. 2 ml

o ist eine universelle Konstante und wird als Stefa!l-

Boltzmanll-Konstante (o a 5.66 >