Inventiones Mathematicae Volume 2, 1966

Inventiones math. 2, 1-14 (1966)

Beispiele znr Differentialtopologie von Singularitaten EGBERT BRIESKORN

(Cambridge, Mass.)*

Einleitung Nach einem bekannten Satz von MUMFORD [8] kann eiD 2-dimensionaler normaler komplexer Raum mit Singularitaten keine topologische 1 Mannigfaltigkeit sein . Für hohere Dimensionen gîlt keine derartige Aussage. Ein erstes Beispiel wurde in [2] angegeben. Die singulâre n HyperfHiche X im c mit der Gleichung

zî+···+Z;-1 +z;=O ist für gerades n eine topologische Mannigfaltigkeit. Âquivalent dazu ist die Feststellung, daB der Durchschnitt l von X mit der Sphare

s

2

n- 1=

{Z E C

n

1Z .1

2

+ ·.. + 1Zn 1

2

= 1}

homoomorph zur (2n- 3)-dimensionalen Sphare ist. Die Mannigfaltigkeit l hat in natürlicher Weise auch eine differenzierbare Struktur. HIRZEBRUCH [3] hat aIs erster bemerkt, daB für n::2(4) diese differenzierbare Struktur nicht die Standardstruktur von s2n-3 ist. Er hat gleichzeitig Beziehungen zur Theorie der Transformationsgruppen auf Spharen hergestellt, insbesondere zu [1,4,5]2, und hat in diesem Zusammenhang weitere Beispiele für topologisch triviale Sîngularitaten von HyperfHichen konstruiert. MILNOR hat dann ais Beispiele die folgenden Hyperflachen X a betrachtet: Es sei a=(a 1 , ••• , an) ein beliebiges n-tupel von ganzen n Zahlen ai> 1. Dann ist X a =X(al' ... , an) die Hyperflâche in c mit der Gleichung

Ferner wird eine (2n-3)-dimensionale kompakte differenzierbare orientierbare Mannigfaltigkeit ra =E(a 1 , ••• , an) definiert durch l ( al' ... , an) = X (a l'

* This

.•• ,

an) n S

2

n- 1•

Research was supported by Air Force Office of Scientific Research gran A-AFOSR 335-63. 1 Für hoher-dimensionale Singularitaten wurde z.B. von D. PRILL in [11] bewiesen, daB eiD singularer Kegel über einer projektiv algebraischen Mannigfaltigkeit keine topologische Mannigfaltigkeit sein kann. 2 Beispielsweise îst die weiter unten definierte (2n- 3)-dimensionale Mannigfaltigkeit I(2, ... , 2, 2k+ 1) diffeomorph zu BREDONS Mannigfaltigkeit Mi R - 3 • 1 Inventiones math., Vol. 2

Inventiones math. 2,15-58 (1966)

The Multiplicity of a Holomorphie Map WILHELM STOLL

* (Notre Dame, Indiana)

Dedicated to

MARILYN STOLL 1

Let M and N be pure dimensional complex spaces with dim M =m and dim N=n. Letf: M ~Nbe a holomorphie map whose fibersf-1(y) are pure dimensional and ail have the same dimension q. For every point aeM, a certain positive integer v/Ca) is introduced as the multiplicity of fat a. If bEN, the b-multiplicity of fat ais defined by vf(a; b)=O if f(a)=t:-b and v,(a; b) =v/(a) if 1(a) =b. At first, the case q =0 is studied. Here, the fibers consist of isolated points. If G is an open, relative compact subset of M, the sum nf(G; b)=

L vf(x; b) xeG

is defined. A main result is the generalization of the well-known Theorem of ROUCHÉ (Theorem 2.7). It asserts, that nf(G; b) is constant if f and b depend continuously on a parameter provided sorne reasonable assumptions are satisfied. As a further generalization, the co nti nuity of the fiber sum L vf(z; b) g(z) zeG

and the fiber product

Il g(z)v/(Z;

h)

reG

is shown if g is continuous on M. Then, the case q>O is studied. Here, more interesting results are only obtained if M is a complex manifold, if f is open and if q=m-n. Theorem 5.5 asserts: If a is a simple point of thefiber Fb=f-l(b) and if the pure n-dimensional, smooth, complex submanifold S of M intersects Fh at a simply, then VI (a) =Vj 1s(a). The map 1 S bas pure fiber dimension o in a neighborh~od of a on S. Theorem 5.6 shows that vI is locally constant on the set F b of simple points of Fb. If {Fb (À)} ).eA is the family of • branches of Fb' then vI is constant on each FbflFh(À); hence vI is almost everywhere constant on Fb(À) for each ÀEA. Therefore, vI shows the same behavior as the divisor of a holomorphie function. * This research was partially supported by the National Science Foundation under grant NSF OP-3988. 1

Ail complexes spaces are reduced. They are complex spaces in the sense of SERRE.

Inventiones math. 2, 59-78 (1966)

Un Theoreme sur les Homomorphismes de Schemas Abeliens A. GROTHENDIECK (Bures-sur-Yvettes) À

ANDRÉ WEIL,

pour son anniversaire

Introduction Soit S un préschéma, et A un préschéma abélien sur S, i. e. un S-préschéma en groupes propre et lisse sur S, à fibres connexes [10, Ch. 6]. Pour tout entier n>O, il est bien connu (et dû à WEIL) que l'endomorphisme n idA de multiplication par n est une isogénie fibre par fibre, donc [3, VI B , 2.2(i)] est plat fibre à fibre, ce qui implique [EGA VI 11.3.10] que n idA est un morphisme plat, donc que son noyau nA est plat sur S; comme il est de plus propre et de présentation finie sur S, et à fibres finies, il s'ensuit [EGA IV 8.11.1] que c'est un schéma en groupes sur S qui, comme S-préschéma, est «fini localement libre» i. e. défini par une Al .. gèbre sur (gs qui est localement libre de type fini comme ms-Module. 2g Si A est de dimension relative g sur S, alors le rang de nA sur S est n , comme il est bien connu [8, p.109]. Lorsque n croît multiplicativement, les nA forment un système inductif de schémas en groupes sur S. Il est parfois plus commode, avec WEIL et TATE, de considérer les nA comme les termes d'un système projectif, en convenant pour ni n' d'envoyer n~A dans nA par la multiplication par m=ni/n, qui est un morphisme fidèlement plat de noyau mA. Le système projectif obtenu ainsi, lorsqu'on fait parcourir à n les puissances d'un nombre premier fixé /, se dénote souvent par Tl(A). Il dépend fonctoriellement de A et sa formation est compatible avec tout changement de base. Lorsque 1 est distinct des caractéristiques résiduelles de S, les nA envisagés, n = IV, sont des groupes étales finis sur S, et il est licite de les regarder comme des faisceaux étales [1, VII] localement constants sur S, qui ont d'ailleurs l'interprétation cohomologique qu'on devine. Si alors S est connexe et muni d'un point géométrique ç, alors par la théorie de Galois [SGA V] la connaissance de Tz(A) équivaut à celle du groupe 1l(A(~)) = lim ,vA(ç) 0(

•

li

associé au groupe des points de A à valeurs dans ç, (groupe qui est un module libre de rang 2g sur l'anneau 'Il, des entiers l-adiques), muni des opérations naturelles de ni(S, ç) sur ce module, définissant un homomorphisme continu ni(S, ç) ~ GI(lI(A(ç)))= GI(M) ,

Inventiones math. 2, 79 - 80 (1966)

Aigebraic Group Schemes in Characteristic Zero are Reduced F.

OORT

(Amsterdam)

Theorem. Let K be a field of characteristic zero, S = Spec(K), and let G be an algebraic group scheme over S. Then G=Gred •

This theorem Îs due to CARTIER (cf. [1], footnote on p. 109). The proof suggested by CARTIER is to be found in lecture notes of MUMFORD (cf. [3], lecture 25). Also compare [2], exp. VI B , Corollary 1.6.1. In this note we present another proof of this fact, based on an elementary calculation concerning bialgebras. Pro of. We write e: S ~ G for the identity section of G, A for the local ring of e, 1 for the maximal ideal of A, and N for the ideal of nilpotent elements of A. We have to show N =0. 2 Suppose we can show N c 1 • Then we are done: as A is a noetherian 2 local ring such that Ared is regular, N cI implies N =0 (the arguments of [5], p. 13, Lemma 6 are: Ared is regular implies

and hence dim A = dim Ared = dimK(Ired / 1:ed) = dimK(111

2

);

thus A is a regular local ring, which implies that A has no zero-divisors). 2 Choose xeN; we are going to show that XE/ • Suppose x::f::O. n 1 Choose the integer n > 1 such that xn =0, and x - 9= O. As A is a noetherian local ring Ii = 0 (cf. [4], p. 50, Theorem 3), hence we can find an integer q n 1 q such that x - rt/ . We write A/lq =B, I/Iq =J, and p: A ~ A/lq =B for the canonical map. The group structure on G yields a ringhomomorphism

n

s:A--+B&;B A

1\

1\

1\

(tensor product taken over K) (we could also consider A ) A ® A, etc.). As e: S --+ G is a left- and right-identity for s, we easily deduce sx=px(8)1+1(8)px+y,

yEJ®J.

Thus O=s(xn)=(s x)n=(p x ® 1 + 1 cg) p x+ y)n.

Direct verification shows:

n (px)n-l®px e[(px)n-l.J®B+BJ2]cB®B. 1

Inventiones math. 2, 81- 86 (1966)

Indicatrices de croissance des fonctions entières de N-variables ANDRÉ MARTINEAU

(Montpellier, France)

Je me propose dans cet article de caractériser les régularisées semicontinues supérieurement des fonctions entières d'ordre fini. L'outil essentiel est un théorème d'extension pour les fonctions d'ordre fini définies sur un sous-espace linéaire d'un espace vectoriel complexe de dimension finie. Monsieur KISELMAN [3] m'a communiqué le manuscrit d'un article où il démontre mon théorème dans le cas du type exponentiel. Sa méthode consiste à remarquer que le domaine naturel de convergence de l'intégrale de Laplace projective que j'ai introduite en [6] est un ouvert d'holomorphie d'un espace projectif. Elle est distincte du procédé que je vais employer. Mon résultat a été présenté au séminaire d'analyse de Monsieur LELONG.

Une fonction holomorphe f définie sur