Introduction aux problèmes d'approximation-fractions continues, différences finies

fRACTIONS CONTINUES JEAN TRIGNAN

EDITIONS DU CHOIX

Couverture: Bédouin PeineJarre.

© 1994 Editions du Choix B.P. 129 - 95103 Argenteuil CEDEX.

Tous droits réservés. Aucun extrait de ce livre ne peut être reproduit sous quelque forme et par quelque procédé que ce soit, sans le consentement préalable de l'éditeur.

ISBN: 2 - 909028-16-X Imprimerie lOUIS JEAN, GAP. Dépot légal: Avril 1994

Prix conseillé: 96F

Introduction aux Problèmes d'approximation • Fractions continues • Différences finies par

J. Trignan Agrégé de mathématiques Professeur à l'Ecole Préparatoire de l'Armement de la DeN de Toulon

LmRAIRIE SCIENTIFIQUE ET TECHNIQUE

ALBERT BLANCHARD 9, RUE DE MÉDICIS, PARIS 6
q

1.4. Développement d'un rationnel en fraction continue finie.

37 - 44

Observons que positifs.

al

11

= [-1,6,3,2] = [-1,6,3,1,1]

peut être négatif, alors que

a2, a3, a4, . .. , an

sont

Observons aussi que le développement fraction continue de 354 177x2 t l A l ' d 177 " l l 466 = 233x2 es e meme que ce Ul e 233' malS SIon ca cu e [1,3,6,4,2] = 1 + ~ + + ~ + ~, on obtient g~ et non ~~~.

i

La fraction pjq est donc une fraction irréductible.

1.4

Développement d'un rationnel en fraction continue finie.

On démontrera le théorème suivant : Théorème 1.1 Toute fraction continue arithmétique finie est un nombre rationnel, et réciproquement tout rationnel peut s'exprimer sous forme de fraction continue arithmétique finie, et cette représentation est unique. La première partie du théorème est évidente. Démontrons la réciproque.

a) Divisons p par q

o ~ rI < q appartenant à Z, si rI = 0 la fraction continue est

avec

al

Si rI

t- 0, on a:

(3) Divisons q par

p - = al q

rI

q et rI sont positifs donc

Si

r2 =

0, on a :

1

+.!J...

Tl

12 Chapitre 1. Développement en fraction continue d'un nombre rationnel. Si r2

=1=

'Y) Divisons

rI

0, on a:

rI

par

r2

et r2 sont positifs donc a3

>0

Deux cas se présentent alors r3 = 0 ou r3 dernier reste nul supposons rn .

rn-2

0 et ainsi de suite jusqu'au

=1=

= anrn-l + rn

rn

=0

En effet ce calcul se termine au bout d'un nombre fini de divisions puisque les restes successifs rI, r2, r3, ... ,rn forment une suite décroissante d'entiers positifs minorée par q entier positif donné. Le rationnel p/q peut s'écrire sous la forme

P

- =al q

1 +a2 +

1

a3

+

L'unicité du développement en résulte. Remarque 1 : On peut cependant modifier le dernier terme an en effet

an 1

d'où

an

= (an -

=

1)

+1

1 l

(an -l)+ï

d'où Si

an = 1 1

an-l

+ a:

1

an-l

+1

P

-q = [a!, a2, a3, ... ,an-l + IJ

Remarque 2 : Remarquons la similitude de la méthode précédente avec celle de l'algorithme d'Euclide permettant de rechercher le PGCD de deux nombres pet q. Le dernier reste non nul donc ici rn-l, étant le PGCD de p et q.

13

1.5. Définition et calcul des réduites.

1.5

Définition et calcul des réduites.

Considérons le développement en fraction continue finie d'un nombre rationnel p/q P - = [al, a2, a3, ... , an] q

Définitions : Les al, a2, a3, ... , an s'appellent quotients partiels, et les diverses fractions

sont respectivement la première, la seconde, la troisième réduite. La nième réduite étant

Calcul des diverses réduites:

Cl

-

C2

-

C3 C4

=

al - - Pl 1 ql 1 al+- = a2 1 al+a2 + 1 al+a2 +

avec

Pl

= al;

ql = 1

ala2 + 1 P2 =avec P2 = ala2 + 1; q2 = a2 a2 q2 1 ala2a3 + al + a3 P3 - = = a3 a2a3 + 1 q3 1 1 ala2a3a4+ala2+ala4+a3a4+1 P4 - = a3 + a4 a2a3a4 +a2+a4 q4

Remarquons que :

d'où

{ P3 = a3P2 + Pl q3 = a3q2 + 1

De même on peut écrire pour C4 :

(1)

14 Chapitre 1. Développement en fraction continue d'un nombre rationnel. d'où {

+ P2 = a4q3 + q2

P4 = a4P3 q4

(2)

Supposons que : avec {

Pi

= aiPi-1 + Pi-2

qi = aiqi-I

(3)

+ qi-2

et démontrons que

avec { Pi+1 = ai+1Pi qi+1 = ai+Iqi

+ Pi-I + qi-I

On a

que l'on peut écrire

+ atI-) Pi-I + Pi-2 = ( ai + ai~l) qi-I + qi-2

( ai

(ai a i+1

+ l)Pi-1 + ai+1Pi-2

(ai a i+1

+ l)qi-1 + ai+Iqi-2

en mettant ai+1 en facteurs Ci+1 =

ai+1(aiPi-1

+ Pi-2) + Pi-I

ai+1 (aiqi-I

+ qi-2) + qi-I

ce qui donne en utilisant la formule (3) Ci+I=

+ Pi-I ai+1qi + qi-I

ai+1Pi

Pi+1 qi+1

La démonstration par récurrence est donc effectuée

Théorème 1.2 Le numérateur Pi et le dénominateur qi de la réduite Ci de la fraction continue [ai, a2, ... ,an] satisfont aux égalités.

15

1.5. Définition et calcul des réduites.

Pi = aiPi-l qi = aiqi-l

{

+ Pi-2 + qi-2

i E {3,4,5, ... ,n}

avec {

Pl = al ql = 1

Remarque: Cette formule de récurrence peut être prolongée pour le calcul des réduites Cl et C2 d'où

{ PO = 1; P-l = 0 qo = 0; q-l = 1

d'où

{ Pl = al; Po= 1 ql = 1; qo = 0

Disposition pratique: Calculer les réduites du développement en fraction continue de

121

21 = [5, 1, 3, 5] En utilisant les formules et compte tenu de la remarque précédente =

Pl = QlPo +P-I = 5xl +0 = 5

ql

= QlqO +

P2 = Q2PI + Po = lx5 + 1 = 6

q2

= Q2ql + qo = lxl + 0 = 1

C2 = ~

P3 = Q3P2 +PI = 3x6+5 = 23

q3

=

Q3q2

+

ql

= 3xl + 1 = 4

C3= ~

P4 = Q4P3 + P2 = 5x23 + 6 = 121

q4

=

Q4q3

+

q2

= 5x4 + 1 = 21 .

~ = 12~1

= QiPi-1 +

Pi-2

Qiqi-l

+

Ci=l!i. q,

qi

Pi

qi-2

q-l

= 5xO + 1 = 1

Cl =

i

ce qui peut se simplifier dans le schéma suivant : i

-1

0

1 2 54 1 4

3

Pi

0

~1

3~ ~V~v~~

qi

1

~O

~1

~1

~4

5/1

6/1

23/4

ai

Ci=l!i. q,

4 5 ~

21 121/21

~

ex: 121 = 5x23 + 6 ex: 21 = 5x4 + 1

16 Chapitre 1. Développement en fraction continue d'un nombre rationnel.

1.6

Propriétés des réduites.

Remarquons que : • • •

POq-1 - P-IqO = 1 x 1 - 0 x 0 = 1 = (_1)0 PlqO - Poql = al x 0 - 1 x 1 = -1 = (_1)1 P2ql - Plq2 = (ala2 + 1) x 1- ala2 = 1 = (-1)2

pour i = 0 pour i = 1 pour i = 2

Supposons que Piqi-l - Pi-Iqi = (_I)i et démontrons que Pi+l qi - Piqi+l = (-1 )i+l . On a Piqi-l - Pi-Iqi = (_I)i et

D'où

Vi E {O,I,2, ... ,n} Piqi-l-Pi-lqi = (_I)i Concluons en indiquant que d'après le théorème de Bezout, Pi et qi sont deux nombres premiers entre eux .. En effet tout nombre divisant Pi et qi doit diviser aussi leur différence qui est (_I)i donc 1 ou -1, les seuls diviseurs communs de Pi et qi sont 1 ou -1, ils sont donc premiers entre eux. Les réduites Ci = ~ (i ~ 1) sont des fractions irréductibles.

Théorème 1.3 Quel que soiti E {O,I,2, ... ,n} Piqi-l-Pi-lqi = (_I)i et toutes les réduites Ci = ~ (i ~ 1) d'une fraction continue arithmétique sont des fractions irréductibles.

r.

Chapitre 2

Equations diophantiennes.· 2.1

Etude d'un exemple à l'aide de la méthode d'Euler.

Il s'agit de résoudre avec (x, y) E Z x Z l'équation

8x + 3y

= 61

(1)

appelée équation diophantienne. On utilisera pour cela la méthode utilisée par Euler qui consiste à remplacer la résolution de l'équation initiale par la résolution d'une équation analogue, mais à coefficients plus petits.

a) Résolvons l'équation par rapport à la variable qui a le plus petit coefficient 61-8x (2) y= 3

/3) Mettons en évidence le plus grand multiple de 3 contenu dans 61 et 8 61 = 3x20 + 1

8=3x2+2

Remplaçons dans (1)

= 3 x 20 + 1 - (3 x 2 + 2)x = (20 _ 2x) + 1 - 2x 3 3 que l'on peut écrire sous la forme: y

y =

(20 - 2x)

+t 17

1- 2x avec t = - 3

Chapitre 2. Equations diophantiennes.

18 qui donne:

2x + 3t = 1

(3)

'Y) Résolvons l'équation (3) suivant la variable x 1 - 3t 1 - (2 x 1 + l)t x = - 2 - = ----!...-2--~ d'où

1-t

x=-'-t+-2

1-t

x = -t+u

(4)

avec u= -2-

que l'on peut écrire 2u = 1- t, d'où t = 1- 2u, t et u étant des entiers relatifs. 6) Remplaçons dans x et y, t par la valeur 1 - 2u, on a

x

= 2u -

1+u

= -1 + 3u

et pour y: y = (20 -

2x) + t = 20 - 2(-1 + 3u) + 1 - 2u = 23 - 8u

e) La solution générale de l'équation (1) est donc {

X = -1 + 3u Y = 23 - 8u

uEZ

(5)

Vérification : Dans l'équation (1) remplaçons x et y par les valeurs trouvées dans (5), on obtient: 8(-1 + 3u)

+ 3(23 -

8u)

= -8 + 24u + 69 -

24u

= 61

L'équation (5) admet donc une infinité de solutions appartenant à Z. Par exemple

u x y

-2 -7 39

-1 -4 31

0 -1 23

1 2 15

2 5 7

3 8 -1

2.2. Résolution de l'équation diophantienne ax - by

= 1.

19

Supposons que l'on veuille les solutions positives. On a alors {

X

= -1 + 3u > D

Y = 23 - 8u

d'oùu> l d'oùu < ~3 8

>D

ce qui donne u = 1 et u = 2. Les couples de solutions positives de 8x

+ 3y = 61

sont alors:

(2;15) et (5;7)

2.2

Résolution de l'équation diophantienne ax - by = 1.

a) Position du problème: Il s'agit de trouver les couples (x; y) E Z2 de l'équation diophantienne

ax-by=1 avec (a; b) E N*2 et tels que a et b soient premiers entre eux que l'on notera (a~b) = 1.

(3) Recherche d'où solution particulière: L'idée directrice est que quelque soit i E {D, 1,2, ... ,n} Piqi-l - Pi-Iqi = (_1)i Pi-l, Pi étant les numérateurs et qi-l, qi étant les dénominateurs des réduites Ci de la fraction continue arithmétique î.

Transformons donc

î

en fraction continue arithmétique finie

a

b=

[al, a2, a3,···, an-l, an]

puis calculons les différentes réduites

Cl, C2, C3,··., Cn.

Les deux dernières réduites Pn-l qn-l

Cn-l = - - ;

Pn qn

a b

Cn=-=-

vérifient or

Pn = a, qn = b

Chapitre 2. Equations diophantiennes.

20

d'où Si n est pair, le nombre de quotients partiels al, a2, ... , an est pair et (_I)n = 1, qui est aqn-l - bPn-1 = 1

li

on a ainsi obtenu une solution patriculière (xo; Yo) de l'équation diophantienne ax - by = 1, que est

Yo = Pn-l) Si n est impair, on a (_1)n = -l. On modifie alors le développement en fraction continue de remplaçant 1 1 par si a n >1

î

en

a

1

par

an-l

si

+1

an

=1

on obtient alors un nombre de quotients partiels pair. [aI, a2,··. ,an - 1, IJ

[al, a2,· .. ,an-l

+ IJ

si

an

=1

En appliquant la méthode précédente, on obtient de nouveau avec Cn-l = ~:=~, et Cn = ~, la solution particulière (xo; YO) = (qn-I;Pn-l) de l'équation diophantienne ax - by = 1

1) Recherche de la solution générale: Une fois trouvée une solution particulière (xo; YO) de l'équation ax - by = 1, on peut trouver facilement la solution générale. En effet on a :

{

ax-by= 1 axo - byo = 1

Par soustraction membre à membre

a(x - xo)

= bey - YO)

21

2.3. Exemples.

b divisant le second membre, doit diviser le premier membre, or a et b sont premiers entre eux, c'est donc que b divise x - xo, donc x - xo est un multiple de b

x - xo

= tb

tE Z

En remplaçant donc le premier membre x - xo par tb

a(tb) = b(y - YO) d'où

y-yo=ta

tE Z

Les solutions (x; y) E Z2 de l'équation ax - by

(xo

+ tb ;

Yo

+ ta)

= 1 sont de la forme: (6)

t EZ

8) Réciproquement : (xo; YO) étant une solution particulière de l'équation ax - by = 1, en rémplaçant t par un entier relatif quelconque dans (6), alors, les valeurs correspondantes de x et y satisfont l'équation ax - by = 1. En effet:

ax - by = a(xo + tb) - b(yo

Il 2.3

+ ta) = axo -

byo

=1

Les couples de la forme (xo + tb; Yo + ta) t E Z constituent la solution générale de l'équation diophantienne ax-by = 1

Exemples.

1. Résoudre dans Z2 l'équation diophantienne

634x -75y

=1

• La fraction continue correspondante est 634 75 = [8,2,4,1,6]

Chapitre 2. Equations diophantiennes.

22

Remarquons qu'elle contient un nombre impair de quotients partiels. On peut donc lui substituer [8,2,4,1,5,1] qui est un développement en fraction continue équivalent mais contenant un nombre pair de quotients partiels. • Calculons les réduites correspondantes. i

-1

0

0 1

1 0

ai

Pi qi

8

Ci=~ • Pour n = 6

1 8 8 1 ï

{ Pn-1 qn-1

2 2 17 2 17

"2

3 4 76 9

4 1 93 11

5 5 541 64

6 1 634 75

76

93

541 64

75

9

11

= P5 = 541 = Yo = q5 = 64 = Xo

La solution générale de l'équation 634x - 75y

(x

634

= 1 est

= Xo + tb = 64 + 75t; Y = Yo + ta = 541 + 634t)

tEZ

Vérification : • Pour t = 1 on a alors x

= 64 + 75 = 139

y

= 541 + 634 = 1175

Remplaçons x et y par leurs valeurs dans le premier membre de l'équation initiale: 634 x 139 - 75 x 1175

= 88126 -

88125

=1

• Pour t quelconque appartenant à Z. On a 634 x (64 + 75t) -75x (541

+ 634t)

= 634 x 64 -75x541 = 1

2. Résoudre dans Z2 l'équation diophantienne

634x -75y =-1

23

2.3. Exemples.

• Commençons par transformer la fraction 67~ en une fraction continue arithmétique avec un nombre impair de quotients partiels, donc de réduites. i

-1

0

0 1

1 0

1 8 8 1

ai Pi qi

8

q-El. - qi

ï

2 2

17 2 17

3 4 76 9

4 1 93 11

76

93

9

2"

5 6 634 75

11

634

75

Pour n = 5, on a P5q4 - Q5P4

= (_1)5 = -1

c'est-à-dire 634Q4 - 75p4

or ici P4

= -1

= 93 et Q4 = 11, on a bien 634 x 11 - 75 x 93

= -1

• Une solution particulière de l'équation initiale est le couple

(xo

= 11 ; Yo = 93)

Soustrayons membre à membre les deux égalités. 634x - 75y

= -1

634 x 11 -75x93 = -1 on obtient 634(x - 11) - 75(y - 93) = 0

ou 634(x - 11) = 75(y - 93)

Mais 634 et 75 étant premiers entre eux. On a {

x-Il = 75t y - 93 = 634t

tE Z

Chapitre 2. Equations diophantiennes.

24

• D'où la solution générale de 634x - 75y

(X

= -1 sera le couple

= 11 + 75t; Y = 93 + 634t)

tEZ

Remarque générale : Supposons trouvée une solution particulière (xo; Yo) avec Xo = qn-l , Yo = Pn-l de l'équation ax - by = 1 (ar--..b) = 1 On peut alors trouver facilement une solution particulière notée de ax - by = -1 (a r--.. b) = 1 {

Xl

= b - Xo = b - qn-l

YI

=a-

Yo

=a-

(Xl,

yI)

Pn-l

En effet:

car aqn-l - bpn-l = 1 puisque le nombre de quotients partiels est pair (voir résolution de ax - by = 1). La solution générale de l'équation ax - by = -1 est donc le couple

(X

= Xl + tb; Y = YI + ta)

tE Z

Exemple: Résoudre l'équation diophantienne 634x - 75y = -1, sachant que l'on a trouvé une solution particulière (xo; YO) = (64; 541) de l'équation 634x - 75y = 1

Première méthode : Utilisons le fait que {

ce qui donne ici {

= b-

Xo YI = a - Yo Xl

= 75 - 64 = Il YI = 634 - 541 = 93 Xl

Le couple (11;93) est une solution particulière de 634x - 75y = -1. La solution générale sera:

(X

= 11 + 75t

; Y = 93

+ 634t) t

E Z

25

2.4;R:ésolution de l'équation diophantienne ax - by = c.

Deuxième méthode : Le couple (64; 541) étant une solution particulière de l'équation

634x -75y = 1 on aura 634 x 64 -75x541 = 1 en multipliant par (-1) 634 x (-64) -75x(-541) =-1. Le couple (-64; -541) est une solution particulière de l'équation

634x -75y =-1 La solution générale sera le couple

(x

2.4

= -64 + 75t; Y = -541 + 634t)

t

E

Z

Résolution de l'équation diophantienne ax-by=c (a----b)=1.

Supposons que l'on connaisse une solution particulière (xo; Yo) de l'équation ax-by=l On aura: axo - byo = 1 Multiplions par c les deux membres:

a(cxo) - b(cyo) = c Donc (cxo; CYo) sera une solution particulière de ax - by = c. La solution générale étant :

(x

= CXo + bt; Y = CYo + at)

t

E Z

Exemple 1: Résoudre l'équation 634x - 75y = 5 (x; y) E Z2.

Chapitre 2. Equations diophantiennes.

26

Dans l'exemple précédent, on avait trouvé une solution particulière de l'équation 634x - 75y = 1 qui était: (XO j YO)

= (64 j 541)

d'où

634 x 64 - 75 x 541 = 1 Multiplions par 5 les deux membres de l'égalité précédente:

634x (64x5) -75x (541 x5) = 5 donc (5xO j 5yo) = (320 j 2705)

est une solution particulière de l'équation 634x - 75y = 5 La solution générale sera alors (x

= 320 + 75t j Y = 2705 + 634t)

t E Z

Exemple 2: Résoudre l'équation 634x - 75y = -5 (x j y) E Z2. En multipliant cette fois-ci par (-5) les deux membres de l'égalité

634 x 64 - 75 x 541 = 1 on obtient la solution particulière (-5xO j -5yo) = (-320 j -2705)

La solution générale de l'équation initiale sera (x

2.5

= -320 + 75t j Y = -2705 + 634t)

tE Z

Résolution de l'équation diophantienne ax + by = c (a """"' b) = 1.

Supposons d'abord (a, b) E N*2

et (a"'--"'b)

=1

2.5. Résolution de l'équation diophantienne ax + by

= c.

27

• On développera la fraction %en fraction continue avec un nombre pair de quotients partiels. On aura alors • Ecrivons l'équation ax + by = c sous la forme

ax+by=cxl et remplaçons 1 par aqn-l - bpn-l, ce qui donne

ax + by

= c(aqn-l -

bPn-l)

que l'on peut écrire sous la forme

a(cqn-l - x)

= b(CPn-l + y)

(1)

Comme b divise le second membre, il doit diviser le premier membre. Or (a'--"'b) = 1, c'est donc que

cqn-l -

X

= tb

d'où

(2)

x = CQn-l - tb En remplaçant cqn-l -

X

par tb dans (1), on obtient

(3)

y = at - CPn-l

Réciproque : Quel que soit t E Z, remplaçons x et y par les valeurs précédemment trouvées dans ax + by, on obtient:

a(cQn-l - tb)

+ b(at -

CPn-l)

= c(aQn-l - bPn-l) = ex 1 = c

Théorème 2.1 L'équation diophantienne ax + by = c avec (a, b) E N*2 et (a'--"'b) = 1 admet une infinité de solutions de la forme

(x = cqn-l - tb ; Y

=

at - CPn-l)

t E Z

28

Chapitre 2. Equations diophantiennes. Exemple 1: Résoudre l'équation diophantienne 61x + 58y = 3.

• Recherchons d'abord une solution particulière de 61x - 58y = 1 Développons ~~ en fraction continue arithmétique, on obtient : 61 58 = [1,19,2,1]

Le tableau des réduites nous permet de trouver une solution particulière de l'équation 61x - 58y = 1, qui est (xo

= q3 = 39

j

Yo

= P3 = 41)

• L'équation 61x + 58y = 3 s'écrit sous la forme 61x + 58y

= 3(aq3 -

bp3)

= 3(61 x39 -

58x41)

que l'on peut écrire: 58(y + 41 x3) = 61(3x39 - x)

mais (61-----58) = 1, d'où: {

= 3 x 39 - 58t = 117 - 58t y = 6lt - 41 x 3 = -123 + 6lt

t EZ

X

Exemple 2: Résoudre l'équation diophantienne 61x + 58y = -3 d'après eexemple précédent, l'équation précédente s'écrit 61x + 58y = -3(61x39 - 58x41)

d'où 61(x + 3x39) = 58(41 x3 - y)

d'où les solutions (x

= -117 + 58t

j

Y = 123 - 6lt)

tE Z

~~F'Réso1ution

2.6

de l'équation générale Ax ± By = ±C.

29

Résolution de l'équation générale Ax±By = ±C.

Supposons A et B entiers positifs. Les équations suivantes 2x+5y=3 -2x - 5y = 3

2x-5y=3 -2x+5y=3

sont de la forme étudiée pour les deux premières. Les deux autres se déduisent de et de 2x - 5y = -3 2x+5y =-3 Toutes les équations de la forme Ax ± By = ±C n'admettent pas forcément des solutions entières. Supposons que le PGCD de A et B soit d que l'on note (A,.......B) = d. Si d ne divise pas C, aucune des équations de la forme Ax ± By = ±C n'admet de solution entière. Par contre si d divise C, on divisera les deux membres par d et l'équation va se réduire à l'une des formes déjà traitées ax + by

= c on ax - by = c avec (a,....... b) = 1

Théorème 2.2 Toute équation de la forme Ax±B = ±C admet une infinité de solutions entières si et seulement si le PGCD de A et B divise C. Dans ce cas en divisant A, B, C par le PGCD de A et B les équations se réduisent à l'une des formes ax + by = con ax - by = c.

Exemple 1: Résoudre l'équation diophantienne 183x - 174y = 9

174 = 2x3x29 . Remarquons que 183 = 3x61 . Le PGCD de 183 et 174 noté (183,.......174) = 3, et divise 9 . . L'équation devient après avoir simplifié par 3 les deux membres 61x - 58y = 3

et admet d'après les méthodes précédentes, la solution générale

(x

= 117 + 58t ; Y = 123 + 61t)

t E Z

1

1

30

Chapitre 2. Equations diophantiennes.

Exemple 2 : Résoudre l'équation diophantienne 183x - 174y

= 5.

Cette équation n'est pas résoluble dans ZxZ car le PGCD de 183 et 174 qui est 3 ne divise pas 5.

Chapitre 3

Développement en fraction continue cl 'un nombre irrationnel. 3.1

Introduction.

On a déjà vu dans le chapitre 1 que tout nombre rationnel pouvait se développer en fraction continue arithmétique finie et que réciproquement toute fraction continue arithmétique finie représentait un nombre rationnel. On va maintenant développer en fraction continue des nombres irrationnels, les fractions continues en résultant seront infinies . • Les nombres irrationnels que l'on considèrera sont de la forme a ± /b c appelés irrationnels quadratiques avec (a, b) E Z x Z* et b E N*, non carré parfait car ils proviennent du calcul des racines de l'équation

• Il existe d'autres nombres irrationnels, appelés nombres irrationnels transcendants, comme 7r et e. En utilisant des approximations décimales de ceux-ci, on pourra calculer quelques uns des premiers termes des fractions continues correspondantes.

31

32 Chapitre 3. Développement en fraction continue d'un nombre irrationnel.

3.2

Développement en fraction continue cl 'un irrationnel.

a) Soit x un irrationnel donné positif. Appelons al le plus grand entier inférieur ou égal à x al = E(x)

On a x

Donc

X2

(3) Appelons

1

1 0< - 1 et est irrationnel, x - al

a2= E(X2),

on peut écrire

X2

x

étant irrationnel.

sous la forme 0< -

1

X3

Donc

X3

1

=- - > 1 et est irrationnel, X2 X2 - a2

< 1

étant irrationnel.

"Y) On peut répéter indéfiniment ce calcul, on obtient 1

x

=

al+X2

X2

=

a2+X3

X3

=

a3+X4

X2>

1

X3>

1,

a2 ~

1

X4>

1,

a3 ~

1

1 1

an

1

+-Xn+l

avec (al, a2,· .. , an, .. .) entiers positifs (X2, X3," . ,xn , ... ) quotients complets irrationnels. Cette suite (al, a2, ... , an, ... ) ne pouvant par être finie, car alors un entier serait égal à un nombre irrationnel. 8) Pour trouver le développement en fraction continue de l'irrationnel x, on remplace dans l'expression

1l.

3;2. Développement en fraction continue d'un irrationnel. X2

par la valeur donnée par

X2

1

= a2 + -

X3

X3

obtient

> 1;

33 a2 ~

1 etc., on

~r

que l'on note

Théorème 3.1 Le développement en fraction continue d'un irrationnel est illimité.

Exemple : Déterminer le développement en fraction continue de

a) Soit

V17

V17 un irrationnel positif donné.

On a d'où

1

avec

0< -

X2

< 1

Donc 1 X2 = m - 4

et

X2=

1 V17+4 V17-4 = (V17-4)(V17+4)

=m+4

On peut écrire à ce stade

V17=4+

1

m+4

(3) Appelons

a2

= E( V17 + 4)

= 8

d'où X2

1

= 8 + --; X3

X3 =

1 --8 = X2 -

1

V17 17 -

4

= m+4

34 Chapitre 3. Développement en fraction continue d'un nombre irrationnel. On peut écrire à ce stade 1

W=4+

1

8 + -W=17=-+-4 Comme X2 = X3 = Vfj + 4, le calcul se prolonge indéfiniment et on obtiendra pour X4, XS, ..• toujours le même resultatm + 4. Les quotients partiels étant tous égaux à 8. D'où le développement de..jï7 sera. 1 1 1

W = 4+ 8 + 8 +

... +

8+

·r

... = [4,8,8, ... , 8, . ~ = [4,8]

La notation [4,8] avec 8 surligné indique que 8 se répète indéfiniment. Réciproquement, montrons que la fraction continue [4,8] réprésente le nombre irrationnel v'ï7. . Soit

1

1

x = 4+ -

1

+8+

8+8+

que l'on écrira sous la forme 1 1 x = 4 + - avec y = 8 + -

1

1

8+8+

y

-

+8+

... =

1

8+Y

Y est racine de l'équation

y2 _ 8y -1 = 0 qui admet pour racine y étant positif y = 4 + v'I7 D'où

1

1

x=4+- =4+---:::=

y 4+v'I7 en multipliant et divisant encore une fois par la quantité conjuguée

v'I7 - 4

x=4+

v'I7 - 4 1

=4-4+W=W

On pourrait aussi démontrér que

JIT =

[3, 3, 6J;

v'3ï =

[5,1,1,3,5,3,1,1, lOJ

v'13 = [3,1,1,1,1,6] Lagrange a démontré que le développement d'un nombre irrationnel quadratique en fraction continue était périodique à partir d'un certain rang.

35

3.3. Calcul des réduites.

3.3

Calcul des réduites.

Le calcul des réduites d'une fraction continue illimitée

est analogue en calcul des réduites d'une fraction continue finie. Pn O n a en = , avec qn

pour tout entier

n 2: 1

On posera comme dans le cas d'une fraction continue finie P-1

=0

Po

=1

Exemple: Calculer la dixième réduite de y'I3, avec

Vi3 = [3,1,1,1,1,6] i

ai Pi qi

-1

0 1

0 +-1 +-0

1 3 3 1 3

Ci

ï

2 1 4 1 4

ï

3 1 7 2 7

"2

4 1 11 3 11

'3

5 1 18 5 18

5"

6 6 119 33 119

33

7 1 137 38 137

38

8 1 256 71

9 1 393 109

1 649 180

256

393 109

649 180

TI

10

La dixième réduite est PlO 649 ClO=-=. qlO 180

3.4

Propriétés des réduites.

1 Propriété: Les numérateurs Pn, et les dénominateurs qn des réduites en = Pn de la fraction arithmétique illimitée qn

vérifient la relation

n2:0

36 Chapitre 3. Développement en fraction continue d'un nombre irrationnel. Cette propriété démontrée dans le chapitre 1 est indépendante du fait que la fraction continue soit finie ou infinie. 2 Propriété: Divisons les deux membres de

(n 2: 0) par le produit qnqn-l

i= 0, on obtient Pn Pn-l (_l)n ----=

c'est-à-dire Cn - Cn-l =

quel que soit (n 2: 2)

1

(n 2: 2)

(-l)n

~--'-­

qnqn-l

-~

Cn - Cn-l - qnqn-l

3 Propriété: Calculons maintenant

or Pn

= anPn-l + Pn-2;

qn

= anqn-l + qn-2

En remplaçant Pn et qn par les valeurs précédentes dans l'équation donnant Cn - Cn-2, on aura

après réduction :

D'où en supposant les qn > 0

Si n 2: 3

a n ( _l)n-l

Cn - Cn-2 = --'---'--

qnqn-2

3.5. Suite des réduites.

3.5 Ct)

37

Suite des réduites. • D'après la 2ième propriété

pour n 2: 2 en supposant tous les qn positifs, on a pour n = 2 C2 - Cl = q2lql > 0 d'où Cl < C2 pour n = 3 C3 - C2 = - q3~2 < 0 d'où C3 < C2 • D'après la 3ième propriété pour n 2: 3

pour n

=3

C3 - Cl

trois positifs d'où

Cl

a3 0 . . = a3(-1)2 = -> pUIS qUI a3, q3, ql sont tous q3ql q3ql

< C3 •

• En conclusion

(3) De façon analogue en posant dans la 2ième propriété n = 3 et n = 4 et dans la 3ième propriété n = 4, on trouverait

etc ...

D'où Cl


an, et

X n +l

(2)

+ > an+l'

étant positif XnH 1

1

Xn+l

an+l

(1)

Xn+l

1

+-a n +2

D'après (1) Donc

1

-- qnqn-1 > q~-l· IPn~lqn - Pnqn-11

or x n+1 > 1 et qn, qn-1 On en tire donc : car qn > qn-1

Pn 1 < 1 qn qnqn-1

1x - -

1 0

Divisons par x-les deux membres de l'équation, on a avec x

1

1

i= 0

1

x=a+;;=a+-1 1 =a+ a+a+--x a+··· On peut donc dire que

[a,a,a, ... ,a, ... ] est le développement en fraction continue de la racine positive de l'équation x 2 - ax -1 = O.

3.8. Résolution de l'équation du second degré x 2 = ax + 1.

45

Par exemple l'équation x 2 = x + 1 admet une racine positive, dont le développement en fraction continue est

x= [1,1,1, ... , 1, ... ] Les réduites successives de cette fraction continue donnent une approxima. toujours . bon mm·11eure d e l a so1· utlOn 1 +2v'5 . Les réduites successives de cette fraction continue donnent une approxi1 + v'5 mation toujours meilleure de la solution - - 2

Chapitre 4

Fractions continues périodiques. 4.1

Introduction.

Au chapitre 1 on a vu qu'un nombre rationnel admettait un développement en ,fraction continue et que ce développement était fini. Au chapitre 3 on a remarqué que le développement en fraction continue d'un nombre irrationnel quadratique de la forme a±cv'b avec (a, c) E Z x Z*, b E N* était périodique à partir d'un certain rang ou périodique pur.

v'ï7 = [4,8], 4+

v'ï3 = [3,1,1,1,1,6]

v'ï7 = [8]

périodique pur

1 + VïO = rr211 3 L.1., -", .1.J

périodique pur

Nous allons maintenant étudier les nombres irrationnels quadratiques représentés par des développements en fractions continues, leur développement étant périodique pur. Donnons tout d'abord un exemple. Exemple: 'frouver l'irrationnel quadratique a, tel que

a) Dans le chapitre 3, on a vu que a peut s'écrire 1

1

1

a=2+3+4+a

47

Chapitre 4. Fractions continues périodiques.

48

avec

où E!!.qn, et Pn-l correspondent respectivement aux réduites Cn et Cn-l. n qn-l Appliquons cette règle à a = [2, 3, 4] Construisons la table des réduites. z·

-1 ·,0

~

Pi qi

0 1

1 0

1 '2· 3 2 3 4 2 7 30 1 3 13

4 a 30a+7 13a+3

ce qui donne ap3+p2 30a+7 a---- aq3 + q2 - 13a + 3. a vérifie l'équation du second degré. 13a2 - 27a - 7 = 0

(1)

{3) Considérons maintenant l'irrationnel quadratique {3 obtenu en inversant la période de a. 1 1 1 {3=[4,3,2]=4+ 3 + 2 + 7J La table des réduites est alors : i

-1

0

0 1

1 0

~

Pi qi

1 4 4 1

2 3 13 3

3 2 30 7

4 {3 30{3 + 13 7{3+3

ce qui donne {3 = {3P3 + P2 = 30{3 + 13 {3q3 + q2 7{3 + 3 {3 vérifie l'équation du second degré. 7{32 - 27{3 - 13 = 0 que l'on peut écrire 13 (_~)2 _ 27

(-!) -7 = 0

(2)

49

4.2. Démontrons généralement cette propriété. a et ( -

~) sont donc les solutions de l'équation du second degré 13x2

-

27x -7 = 0

!

Remarquons que {3 = 4 + + ~ + ~ est tel que {3 > 1 donc o < ~ < 1 et -1 < -~ < 0 et a est la racine positive de l'équation 13x2 - 27x - 7 = O. On trouve facilement a=

27 +

v'I093 26

et

f.l _ fJ -

27 -

v'I093

26

En conclusion la fraction continue périodique pure a représente donc un nombre irrationnel quadratique.

4.2

Démontrons généralement cette propriété.

Posons on a

et

,

,

P~ et P~-l représentent respectivement la nième et la

qn qn-l la fraction continue [an, an-l, . .. , a2, al]. D'où

{ ' -=

Pn -Pn q~ qn

(n _l)ième réduite de

et

a étant périodique pure, on peut l'écrire 1 1 a=al+a2+ a2+

avec d'après le chapitre 3

+

1 an

+

1 a

Chapitre 4. Fractions continues périodiques.

50

cette équation donnant

(3) Inversons la périodique de a, on obtient: {3= a n

1

+-an-l

et {3

1

+

p'

l'

qn

p'

n-l 1

al

+

= {3p~ + P~-l {3q~

.-!!.

+

1 {3

+ q~-l

"' ., étant les n 1eme et (n - l)leme réduite de

qn-l

On sait que: et avec {3 =

{3Pn {3Pn-1

+ qn + qn-l

{3 satisfait alors à l'équation du second degré.

(4) que l'on peut écrire sous la forme

a et

~1

sont donc les deux solutions de l'équation du second degré

(5)

51

4.2. Démontrons généralement cette propriété. Remarquons que {3 est representé par la fraction continue

où an, an-I, ... , a2, al sont des entiers positifs, donc {3

>

1 0

1 et

- 1

< a' = 1 - v'2 < O.

52

Chapitre 4. Fractions continues périodiques.

Il s'agit donc d'un nombre irrationnel quadratique réduit et son développement en fraction continue doit donc être périodique pur. En effet avec

al

= 1 + V2 = a

1 + V2 = 2 + 1 +1v22 = 2 + (1 + ~ = 2 - 1 + V2 = 1 + V2 2)(1v2- v2) 2 D'où

1+V2=2+

1

a = [2]

l

2+-2+.

Exemple 2: Montrer que ..;'8 n'est pas un nombre irrationnel quadratique réduit, et déterminer son développement en fraction continue.

Posons a = ..;'8 et a' = -..;'8, ..;'8 est bien supérieur à 1, mais -..;'8 n'est pas compris entre 0 et 1 1

VS=2+X2

Calcul de

X2 :

1

VS-2=X2

d'où X2

1 2v2 + 2 = 2v2 _ 2 = 4

on a donc

1

V8=2+ ~ ,,;;;2

On a E

(1+°) = 1, d'où: 2

Calcul de

X3 : X2

=

1

1+X3

1+v2=1+...!.. 2

X3

2

53

4.3. Théorème de Lagrange. d'où

1+V2-2 2

1

=

X3

et

=

x 3

2 = 2(V2+1) =2(h+1) V2-1 (V2-1)(V2+1)

On obtient à ce stade

vis =

1

2+-1 1+X3

On a E (2( V2 + 1)) = 4 Calcul de

X4 : X3

=

1

4+X4

1

2(h + 1) - 4 = -

d'où

= 2h - 2

X4

d one

X4

=

V2+1 2

.,

et on reVlent a

1

X4

2V2+2

= 2V2 - 2 = -8---4-

X2·

Le développement en fraction continue de

J8 sera donc

vis = [2,1,4] 4.3

Théorème de Lagrange.

Le développement en fraction continue d'uri nombre irrationnel quadratique quelconque est périodique à partir d'un certain rang. Il s'agit de démontrer que lorsqu'un nombre irrationnel quadratique a se développe en fraction continue, on atteint à partir d'un certain rang un quotient an+! qui est un nombre irrationnel quadratique réduit, et à partir de ce rang la fraction est périodique, d'après ce que l'on a vu précédemment. Supposons que 1 a=a1+a2

On sait alors que

+

1 a3

+

Chapitre 4. Fractions continues périodiques.

54

avec a et an+! irrationnels quadratiques an+l > l. Le nombre conjugué de a étant noté a', on a de même

,

, an+lPn a= a~+l qn

ce qui permet de trouver

a~+!

+ Pn-l + qn-l

en fonction de

a'

, a' qn-l - Pn-l an+l = a'qn - Pn

En mettant qn-l en facteur au numérateur et qn en facteur au dénominateur, on obtient a' ~l Cn

(a' - ~) a'-~

= _ qn-l ~

= _ qn-l ~

(a' - Cn-l) a'-Cn

Pn et = -,

Cn-l = Pn-l - - e't ant les re'd·t Ul es d e a. qn qn-l D'après l'étude faite au chapitre 3, on sait que

lim Cn

n~+oo

= n--++oo lim Cn-l = a

d'où

a' a' - a lim - ---n-l - - - - - 1 n--++oo a' - Cn - a' - a Or lorsque n croît Cn est tantôt supérieure à 1, tantôt inférieure à 1, en a' - Cn-l conséquence lorsque n crOIt" tend vers 1 mais en étant tantôt a-Cn supérieure à 1, tantôt inférieure à l. De plus, dans a' __ qn-l Cn-l) n+l qn a' - cn f'__

A

(a' -

qn et qn-l sont des entiers positifs et 0

< qn-l < qn donc qn-l < qn

Etant donné une valeur de n, rendant la fraction

a' - Cn-l

--~...::.

VA.

• Soit f la fonction définie sur R+ par f (x) = ~ (x + ~ ). Etudier les variation de f. Tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan. • Utiliser cette courbe pour représenter les premiers termes de la suite (un). (On pourra choisir A = 10 et Uo = 4). • Montrer que pour tout n de N Un 2:

VA.

• Etudier les variations de la suite (un).

65

66

Chapitre 5. Problèmes. • En déduire que la suite (Un) converge vers une limite que l'on précisera. 3. (un) étant la suite définie au 2), on pose pour tout n de N. Vn

un-VA un+VA

=

• Déterminer une relation de récurrence liant v n +1 et V n . En déduire l'expression de V n en fonction de n et Uo.

Iun - VAl

• Démontrer que pour tout n et N • On pose A

= 10, Uo = 4. Vérifier que Vo S

s (uo + VA)

V

n.

! et que

VnEN

En déduire une majoration de l'erreur lorsqu'on prend valeur approchée de VlO.

5.1.2

U3

pour

Méthode des fractions continues.

On pose encore x

= VA

1. Soit N l'entier naturel tel que N S x On pose A = x 2 = N2 + R Montrer alors que :

R

x=N+~=N+

+x

< N + 1.

R 2N +

quelles égalités obtient-on si A

=N+

R N+x

=2?

Si A

R 2N +

R 2N ---.IL +N+x

= 10 ?

2. Soit (un) la suite définie par Uo

= 3

Un+l = 3 + 3

1

+Un

VnEN

• Tracer la courbe représentative de la fonction x f-t 3+ 3~x dans un repère orthomormé du plan. A l'aide de cette courbe représenter graphiquement les premiers termes de la suite (un).

67

5.2. C.A.P.E.S. interne Session de 1990. • Montrer que, pour tout n et N

Un < Ji() => Un+l > Ji() et Un > Ji() => Un+1 < Ji() • On pose pour tout n et N V n =U2n et W n = U2n+l' Etudier les variations des suites (v n ) et (w n ). En déduire qu'elles convergent.

à

IUn+l - uni :s IUn - nn-ll et que IUn+l - uni :S lu! - ual· En déduire que les suites (v n) et (w n ) ont la même limite.

• Montrer que pour tout n et N

(àf

• Qu'en déduit-on pour la suite (un) ? Combien suffit-il de calculer de termes de la suite (un) pour obtenir à l'aide de celle-ci un encadrement de v'IO d'amplitude inférieure à 10- 6 ?

5.2

C.A.P.E.S. interne Session de 1990.

Première composition de mathématiques. Durée: 5 heures. L'usage d'instruments de calcul, en particulier d'une calculatrice électronique de poche - éventuellement programmable et alphanumérique - à fonctionnement autonome, non imprimante, est autorisé conformément à la circulaire No. 86-228 du 28 juillet 1986. Matériel à fournir: feuilles de papier quadrillé 5 x 5 i feuilles de papier millimétré.

L'objectif du probrème est la détermination d'approximations rationnelles de nombres réels, en particulier e, au moyen de développements en fractions continues. Les trois premières parties sont largement indépendantes. La partie 1 propose la construction d'une suite de nombres rationnels convergeant vers y'2, la partie 2 celle d'une suite de fonctions rationnelles convergeant vers la fonction tangente hyperbolique. La partie 3 introduit la notion de développement de fraction continue et la partie 4 propose la recherche de tels développements en utilisant les résultats des parties précédentes. Dans ce problème, on note (an), (un), (U2n) etc, des suites de nombres réels indéxées par n où n décrit l'ensemble des entiers naturels N.

Chapitre 5. Problèmes.

68

On peut utiliser, sans en faire la démonstration, le résultat suivant : on détermine une suite (xn) de nombres réels et une seule par la donnée de ses deux premiers termes xa et Xl et de la relation de récurrence : Vn ~ 2, X. = "nXn-l + X n -2 où (a,,)n~2 est IUle suite donnée de nombres réels.

Approximation de V2 par une suite de nombres rationnels.

5.2.1

1·

f~

1 i!]

1 ~

A. Construction d'une suite de nombres réels convergeant vers ~

v'2 -

1.

1. Vérifier que

v'2 -

1 est solution de l'équation

X

1

= _1_.

ij

j

2+x

2. Représenter graphiquement (repère orthonormal, unité 10 cm) la fonction f définie sur le segment [0,1] par f(x)

= - 12 . +x

3. Vérifier qu'on définit une suite (un) de réels appartenant au segment [0,1] par Ua = 0 et la relation de récurrence: Vn E N,

Un+l =

2 1

+un

En utilisant le graphique précédent, marquer sur l'axe des abscisses, les points d'abscisses respectives Ua, UI, U2, U3. 4. Montrer que,

En déduire que

puis

Conclure.

B. Propriétés de la suite (un). 1. Vérifier que Vn EN,

Un

est un nombre rationnel.

69

5.2. C.A.P.E.S. interne Session de 1990.

1 1 Î

2. Calculer Un pour les valeurs 1, 2, 3, 4, 5 de n. 3. Montrer que la suite (U2n) est croissante et que la suite (U2n-l) est décroissante.

On pourra s'appuyer, pour démontrer ces propriétés, sur le sens de variation de f.

m

4. Déduire des résultats précédents un encadrement d'amplitude inférieure à 10-3 de J2 - 1 par des nombres rationnels, puis une valeur décimale approchée J2 à 10-3 près.

1 !

5. On pose pour n 2:: 1, Un =

i

~ où Pn et qn sont des entiers naturels premiers entre eux et, pour n = 0, Po = 0, qo = 1.

(a) Déterminer Pl, ql, P2, q2· (b) Montrer que, si a et b sont deux entiers naturels premiers entre eux, il en est de même de b et a + 2b. (c) En déduire que '