Reflective
INTEGRAREA SPATIÎLOCAL COMPACTE
Coperta de Dumitru
Negrescu
N.
DINCULEANU
INTEGRAREA SPATIFLOCAL COMPACTE
EDITURA A C A D E M I E I REPUBLICII POPULARE R O M A N E BUCUREŞTI,
1965
Prefaţa Cartea de faţă este o continuare a tratatului de A n a l i z ă M a t e m a t i c ă de acad. Miron Nicolescu. în volumul III al acestui tratat este expusă teoria generală a măsurii şi a integralei pe un spaţiu abstract. Prezenta lucrare este dedicată teoriei integralei într-un caz special important: cazul spaţiilor local compacte. Importanţa acestui caz este justi ficată de următoarele considerente : 1. Spaţiile local compacte sînt suficient de particulare pentru ca măsu rile pe aceste spaţii să posede proprietăţi speciale, care să le apropie mai mult de modelul clasic — măsura Lebesgue pe dreaptă. Particularitatea spaţiilor local compacte constă în existenţa unei clase bogate de mulţimi cu proprietăţi remarcabile — mulţimile compacte. Una dintre proprietăţile importante ale spaţiilor local compacte este existenţa unei familii local numărabile de părţi compacte disjuncte, a căror reuniune diferă de spaţiul întreg printr-o mulţime neglijabilă. Datorită acestei proprietăţi, o serie de teoreme importante cum sînt: teorema lui Lebesgue-Nikodym şi teorema lui LebesgueFubini, sînt valabile pe spaţii local compacte fără nici o restricţie asupra măsurilor, în timp ce în cazul spaţiilor abstracte, aceste teoreme sînt demons trate, general, numai pentru măsuri a-finite. 2. Spaţiile local compacte sînt în acelaşi timp destul de generale pentru ea o teorie a integralei dezvoltată pe asemenea spaţii să poată fi aplicată cu succes în cea mai mare parte ă problemelor importante din analiza mate matică — de exemplu în analiza armonică pe grupuri local compacte. Deoa rece în analiza armonică se foloseşte în mod frecvent teorema lui Fubini, utilizarea în acest caz a teoriei generale a integralei pe spaţii abstracte ar impune condiţia restrictivă ca măsura Haar să fie a-finitâ, deci, cu o ase menea integrală, analiza armonică poate fi dezvoltată numai în cazul grupu rilor local compacte numărabile la infinit. 3. Menţionăm, în sfîrşit, că, aşa cum a arătat S. Kakutani, integrarea pe spaţii abstracte poate fi redusă totdeauna la integrarea pe spaţii local compacte.
•
6
în mod obişnuit, plecînd de la o măsură — definită ea funcţie de mul ţime — se construieşte integrala corespunzătoare, care este o funcţională liniară pe spaţiul funcţiilor integrabile. O teoremă clasică a lui F. Biesz, extinsă apoi de S. KaJcutani la cazul spaţiilor compacte, arată că, reciproc, orice funcţională liniară şi continuă pe spaţiul funcţiilor continue este o integrală în raport cu o anumită măsură regulată. Această teoremă -a permis identificarea măsurilor regulate cu funcţionalele liniare şi continue şi a condus grupul N. BourbaJci la construirea unei vaste teorii a integralei pe spaţii local compacte plecînd de la definiţia măsurii, nu ca funcţie de mulţime, ci ca funcţională. Adoptarea acestui punct de vedere oferă numeroase avantaje.
• în această carte am urmat îndeaproape punctul de vedere al lui N. Bour baJci, pe care l-am adaptat la cazul măsurilor vectoriale, definite ca operaţii liniare pe spaţiul funcţiilor vectoriale JC (T) cu valori într-un spaţiu Banach F. în cazul măsurilor majorate este suficient ca domeniul iniţial de defi niţie să fie spaţiul funcţiilor reale JC( T) iar domeniul valorilor un spaţiu Banach X, deoarece asemenea măsuri pot fi „prelungite" la spaţiul JC (T) cu valori în F, oricare ar fi spaţiile Banach E şi F astfel încît X d Jl(E, F). Cartea conţine trei părţi. în prima parte se studiază măsurile vectoriale, integrala superioară, spaţiile £ , funcţii integrale, funcţii măsurabile şi proprietatea de ridicare a spaţiului Jl . Această primă parte este consacrată în cea mai mare parte măsurilor pozitive (cu excepţia Cap. I). Partea a Il-a este consacrată în special măsurilor vectoriale. în această parte se studiază măsurile definite prin densitate, măsuri absolut continue şi teoreme de tip Lebesgue-Nikodym cu aplicaţii la reprezentarea integrală a operaţiilor liniare pe spaţiile J2?, sume de măsuri, imagini de măsuri, măsuri induse şi măsuri pe spaţii produs. Prin utilizarea unei ridicări a spaţiului Jd™, teoremele de tip Lebesgue-Nikodym şi teoremele de reprezen tare integrală a operaţiilor liniare pe J2. sînt demonstrate în condiţii foarte generale. în partea a IlI-a se studiază măsurile pe grupuri local compacte : măsura Haar, produsul de convoluţie (pentru funcţii vectoriale), algebre grupale (defuncţii şi măsuri vectoriale), reprezentările grupului şi ale algebrei grupale şi analiza armonică pe grupuri comutative. Tot în această parte se studiază măsurile definite pe spaţii de cîmpuri de vectori, spaţiile Lebesgue şi Orlicz de cîmpuri de vectori şi se dau teoreme de reprezentare integrală a operaţiilor definite pe aceste spaţii. E
E
p
a
00
v
• Trebuie observat că majoritatea rezultatelor demonstrate de N. Bourbaki pentru integrala superioară rămîn valabile şi pentru integrala superioară esenţială. în schimb, o serie de rezultate importante, cum sînt cele privitoare la măsurile definite prin densităţi, imaginile de măsuri şi restricţiile de măsuri, nu sînt în general valabile decît pentru integrala superioară esenţială.
7
Pentru o enunţare unitară a tuturor acestor rezultate am efectuat o modificare în definirea integralei superioare : am numit integrală superioară ceea ce Bourbaki numeşte integrală superioară esenţială. în conformitate cu aceasta am numit funcţie neglijabilă, respectiv integrabilă, ceea ce BourbaM numeşte funcţie local neglijabilă, respectiv esenţial integrabilă. Cu aceste modificări, toate spaţiile L se pot defini în mod unitar prin egalitatea L = JP/Tt, fie că 1 ^Cp < o o , fie că p — oo, Iii fiind mulţimea funcţiilor, neglijabile. De asemenea, inegalitatea lui Holder v
v
fg&\L
^CN
P
(/) N
Q
(g) este adevărată
pentru
funcţii
f > - 0 şi g^> 0,
chiar
şi în cazul cînd p — 1 şi q — o o . Teorema lui Lebesgue-Fubini nu este însă valabilă pentru funcţii esenţial integrabile. De aceea, în cadrul modificărilor menţionate mai sus, teorema lui Lebesgue-Fubini se enunţă în condiţia — aparent restrictivă — ca funcţiile să se anuleze pe complementara reuniunii unui şir de mulţimi deschise integrabile. De altfel, restricţii de acest fel se impun în unele propo ziţii relative la produsul de măsuri, chiar cu denumirile lui Bourbaki, Menţionăm, în sfîrşit, că majoritatea rezultatelor enunţate în această carte pentru măsuri cu valori în spaţii Banach se lasă uşor extinse pentru măsuri cu valori într-un spaţiu vectorial cu topologia definită de o seminormă şi apoi pentru măsuri cu valori în spaţii local convexe. N.
DlNCULEANU
Tabla
de
materii
Pag.
PARTEA
ÎNTÎI
CAPITOLUL I. MĂSURI P E SPAŢII LOCAL COMPACTE § 1. Definiţia măsurii 1. Spaţiul funcţiilor continue cu suport compact 2. Definiţia măsurii 3. Două metode de a defini o măsură
17 21 27
§ 2. Proprietăţile măsurilor 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Integrarea funcţiilor scalare în raport cu o măsură vectorială Măsuri definite pentru funcţii scalare Măsuri scalare Integrarea funcţiilor vectoriale în raport cu o măsură scalară Măsuri pozitive Măsuri cu valori scalare
§ 3. Măsuri
31 34 39 41 44 48
majorate
1. Familii majorate de* măsuri reale 2. Măsuri majorate 3. Măsuri mărginite
52 55 60
§ 4. Suportul unei măsuri
CAPITOLUL II. SPAŢIILE JP.
FUNCŢII
INTEGRABILE
§ 5. Integrala superioară 1. 2. 3. 4. 5.
Funcţii semicontinue inferior Integrala superioară a funcţiilor semicontinue inferior Măsura exterioară a mulţimilor deschise Integrala superioară a funcţiilor pozitive Măsura exterioară a mulţimilor oarecare
70 72 75 77 87
10 Pag.
§ 6. Funcţii şi mulţimi neglijabile 1. 2. 3. 4. 5.
Funcţii neglijabile pozitive Proprietăţi adevărate aproape peste tot Clase de funcţii echivalente Funcţii definite aproape peste tot Funcţii cu valori în R
. . . . ,
§ 7. Spaţiile
88 90 91 92 93
p
J>
1. Inegalităţile lui Holder şi Minkowski
94
2. Seminormele N
97
p
3. Spaţiile Cf?
101
9
4. Spaţiile £
106
5. Relaţii între spaţiile J2.% (ţi) şi J2£ (JA)
108
6. Relaţu între spaţiile E. î n c a z u l cîrid T e s t e c o m p a c t , . JC (T) = & (T). D a c ă E = R, v o m scrie r e s p e c t i v X(T), X(T, A), &(T) î n l o c d e JC (T), JC (T, A), & (T). J£+(T) s a u 3£+ e s t e m u l ţ i m e a f u n c ţ i i l o r pozitive c o n t i n u e c u s u p o r t c o m p a c t d e f i n i t e p e T. S p a ţ i u l JC( T) e s t e o r d o n a t p r i n r e l a ţ i a / < ; g : E
E
E
E
E
E
E
B
R
/ E este o funcţie c o n t i n u ă c u s u p o r t c o m p a c t , , a t u n c i f se p o a t e p r e l u n g i l a o f u n c ţ i e c o n t i n u ă p e î n t r e g s p a ţ i u l T , c u s u p o r t u l c o m p a c t c o n ţ i n u t î n G, d î n d u - i v a l o a r e a 0 p e c o m p l e m e n t a r a l u i G. î n a c e s t fel se p o a t e i d e n t i f i c a s p a ţ i u l JC (G) c u s u b s p a ţ i u l JC ( T, G) a l l u i 3C (T), şi se p o a t e c o n s i d e r a c ă s p a ţ i u l JC (G) e s t e el î n s u ş i u n s u b s p a ţ i u al lui J£ (T). Amintim următoarele două propoziţii: P r o p o z i ţ i a 1 . Pentru orice mulţime compactă Kd T şi orice mulţime deschisă GZ)K, există o funcţie continuă cp pe T, cu valori în [ 0 , 1 ] , astfel ca y(t) = 1 pentru t(=K şi y(t) = 0 pentru t$G. P r o p o z i ţ i a 2 . Fie K d T o mulţime compactă. Orice aplicaţie con tinuă f definită pe K, cu valori într-un spaţiu Banach E, se poate prelungi la o funcţie f definită pe cu valori în E, continuă cu suport compact. Alte proprietăţi ale funcţiilor continue cu suport compact, care vor fi u t i l i z a t e m a i d e p a r t e , s î n t d a t e î n p r o p o z i ţ i i l e u r m ă t o a r e . P r o p o z i ţ i a 3 . Pentru orice mulţime compactă K (Z T , şi pentru orice acoperire finită (G^^^ a lui K, formată din mulţimi deschise, există o familie finită (fj^^n de aplicaţii continue ale lui T în [ 0 , 1 ] , astfel încît E
E
E
E
E
E
n
Yi f^t)
= 1
pentru
t
x
{
X
x
i
i
4
n
n
£
9%(t) > 0 p e n t r u < e V , u n d e V — (J
i
^
V*. E e s t r i c ţ i a f u n c ţ i e i
S 9i(t) i=l l a m u l ţ i m e a c o m p a c t ă V e s t e c o n t i n u ă , d e c i p o a t e fi p r e l u n g i t ă l a o f u n c ţ i e r e a l ă h c o n t i n u ă p e T. A v e m h(t) =
pentru t i= l
9iW
teV.
DEFINIŢIA MĂSURII
Există de asemenea o funcţie continuă şi n u l ă p e C V- P e n t r u f i e c a r e i, 1 < ; i
19
[0, 1 ] , e g a l ă c u 1 p e K n, s ă p u n e m
/*(*) = 9i(t)
