How to Prove it: A Brief Guide for Teaching Proof to Year 1 Mathematics Undergraduate

! "#$ ! "#! ' () ' ,,+ -') ,,+ -') # 1

! %

' '

&

! "#

%

&

')* +' () ' ')* ')*-./ ')*- )-/ , 0 ' ,/

#"!##1! 1 1

2 / , 3 0 )0 , + 4 4 5 , 60 , /, , , 0 /+ 00 7 , )/ , , )/7 0 % / 8 , , , 8 ) ) , 7 &' 5 , 60 + 4 0 7 0 ,7 / * 0 0 0 2 , , 4 3 8 23 4 , 0 9) 4 )/7 0 : , 0 + 00 7 , 0, ) , )/7 $ ! , , 0 , , , 0,' / /7 3 3 8 0 2, 0 2 / 0 ; ) 2 ) , / , 0, ) , 4, , / , 4 0 3 8 ,) 8' 7 3 , , / 20, , 7< , 3 0 4 / , / , 0 ) , 0 0, ) , 0) , 2 + 0 , , 0% , 3 7 2 // , 08/7 , & +/ * , /+ , 4 / 60 0 + 4 ) 3 0 ,8 / , / , 0' ! , + 2 0 , = 2 >8 0 " # % 2) ? ## - #" & 0 7 0 / 0, , 2 + , 4 / 8 ) , 06 / , / , 06 9) 0 , , , 2 2 4 / , / , 0: 0 ,, + + 0 2' 0 , , 4 0, 0 , 3 , )2 , 4 , 0 + + 0 2 − @ / 60 " # $ % % %$ & 0 , 0, / 0 − / 8 3 , , * /4 , , + 00 7 ,8 , , , 2) 60 2 ,8 0 , 0, , , ) 4,, A $

&

'

$

%

( ( )

?

%

*

4

$

(

%

) , 3 0 ,8 4

B4 0,

2B 2

2

,

) , *

2 /

,0

5

+,) 0 2 4 / 00 ,8 4 4

C

46 78 D /+ 4 78 5 ) , 4 78 F , (( % 4 78 5

+ G7

2) 2 + 8

/ ,

?8

/

D /+

0

/ ,

,

/ ,

,

) ,

?+ ,, 2 ,

0

2

0, , 2 +

,E

02 5

0/

3 8 2

:

,

0

,

,

8E 0

4,

7 * , 8 ) 8 ) 0 0 , ), / 4 0/ + < , ) , , , 4 0)++ , 4 , J2 ) , /8 %F , / , 0 ?, , 0, 0 K+ , 0 7 & 7 , + ? +, /7 $ ' 0+ 0 , J F?K 60 , 0, C // 00 2 + < , , , + 3 0 0)++ , , , 0 , 2 C 46 , ) F , / , 06' L + + 0 , + ) =) 3 7 0 7 * , , 8 , , + 3 0) 0)++ , 7 0 • M 20 4 / ) + 3 )0 0,) 0 , F , / , 0 2 0+ 4 8 4 , / ) 2 00 , , , • 3 , , ,) • , / 3 ) , 4 , =) 60 4, 78 2 )+0 0 0 / , / , 0 ) , 7 0 0, ,), 0 , , + , + , , + 3 )0 0,) , F?K 0

++ 0,

L, 2 2 2 , 2 02 4 , •

D, , 07 * , 0 7 , + , , ) + ,

+,)

,0 0, ) ,) 0+ , 4 ,

0 2 4 /

4/ , , 0'

+ 3 , + < ,60 M 00 , )2 + 20 4 , 0 *'

,

2)

0 0,0 2

2

/ ,

%+ , ) 8 2 3 , , 0 7 00 , 80 0 , 0 0,) 0&

/ ,

0

/ ,

,

+ ,, J ) , 2)

4 43 0 4 , ,

2

0

, 0 + + 0

,

0

00 ,8 4

4 • , 4 D /+ 0 4 , , 0 7 , , 2 + , ) C+ 46 78 D /+ • , 4 D /+ 0 4 4 78 5 ) , D /+ • 4 78 F , / , ) , , 0, + 4 / , • 4 78 5 , , 0+ ,, 2 , , , 0

,

0 0+ ,

,

0)7 0

,

0 04

0

• +

D /+ 0 4 / , , , , 3 )0 4 ) + 3 )0 0,) 0 , , )0, , 0 , , )0) 8 0, ,0 , D /+ 0 4 0,) , ,, 0+ / , / , + 7 / , , 9) , )0 4 + , ) 4, ,, , / 4, 0 , /0 , D+ ' , , 7 4 4 , , // ,0 / , 0,) , 0+ / , / , 0 , 3 , , 0,) 8 ) 0 , " #

$

H

I

,

*

,

,

/ ' 0 0 0 , 0+ , 4 ) 0 , 0 0 78 , 0, 2 4

00) 0 , , , D /+ 0'

0

3,

,

0

,

2 ,

•

% % % ( / , / , 0 ) , 0 , ,) 0 , /0 , D+ + , ) 8 , 0,) ,0 4 ' • ( & % + 2 2 + , 0 +

3

++ 2

0 , , , % %

, + 0 ,0 , + , ) 8 37 , 3 3 3 •

• •

%

,

& 0% 0,) 0& 4 4 , F 8+ 8 , 0 /+ 0 4 , 7 2 7

% (

0 ,8+ 8 0, ) ,) 0 , , * 0,) ,06 2 ) 0, 2 4 4 4 / , / , 0 ) , 0 ' M 20 , ) , 4 2 9) 0, 0

J 0,) 0,) ,0 3 0,) ,0 /+ , % J 0 , 0) J 0 0,) ,06 +

0

3 , , / , 44 ) , 0

,

,0

+,) 0 4E L , /+ / , 2 0 / 4, 0 , 7 +, 7 + 4E ,/ , / , 0+ 3 0 & 4 / , / , 0 44 , 0,) 00 0, ) , 2 + 40E % (( % ,) , , -0 / /00 +, 4 4E % % %

L ) * , 0)22 0, , 8 4 ++ 7 * ,' ; ) / 8 0 , , 4 0 4 ' ; ) / 8 3 0 0 , 0 0 + , 8 + ,8 4, , 0' L,

0

//

4 / / , % % % ' % $ + 00&' , 0, + 0+ , 3 0 4 / , / , + , + , 2 )+ , 3 0 , )0 4 ) + 3 )0 + 0 , , 0 2 ,8 ) 3 , 7), , ) )0) 4 / , 8 , , 2 ) 2) 7 , , , 0 F / , / , 0 / , / , 0 ) , ' 0 )00 7 , F F 0, ,0 ), 4 / // , 2 ; / , / , 0 0,) ,06 ,, 0+ 0 0 , 9) 0, 0 , ), 0 C / *6 , , D, 4 5 ) )0 B = )+ 8 ) 0 0' %

7

0,

4 ,

)

" #

* , 0)22 0, ,

$

H

I

, 44 ) , 0 9) 0E L , J 0 , 0 +, 7 + 4E ,06

& / ) ,) &

2 , 4 / 0, , , 4 % &3 0 , 2

,

,

2 2 / 44

, ,

2 4 , 0 0 ' 0 0 0 ,

• 8 ) 4 0, 2 2 7 4 8 , , / , / , + 7 /, ,7 / 0, , 22 4 , 0 )00 7 , F F , + • 8 ) 4 ,7 48 , D /+ 0 4 0,) , 0+ 0 0 , , + 7 / • 8 ) 4 , 7 48 , 0/ D +, 4 3 0 , 7 , , 0F F • 8 ) ,, /+, , / 3 0 + 0+ , 3 , 00) , , 0 44 , 0 , , ,4 0' ; ) / 8 , 2 2 , 0 / ) , 0 , /0 , 0 0 , 7), 3 , , * + , 0 , / / • 8 ) 0 , // + , 0 , 4 0 , ' )2 ), 9) 0, 0

• •

,

, 8 )

0

2 ,

4

0, 0 00) , , 8 ) 7 3 8 ) 0,) ,0 4 E 48 0 , , D, ,E 8 ) 0, , )0) 8 , /, 0 / /+ 0 3 , * 2 4 , 0 00) E 8 ) 4 , , , 0 4 20 + 0 , 44 ) , -/ 24) 0 +, 4 0,) , - 44 ) ,8E 8 )4 , // + 2 2 + , 0 0+ , , )0 4) E 8 ) 8 )0 0 / 4 , 0 0/ + , 0 8 , 2E 5 8 ) , * 4 , 0 0 2 , // , 0 ) 7 +4) E L , / 4 , 0 %080, / + , ,, ,) , '& 4 0, + , ) , 0 / , )0 4 , // , / /+ 8E , 0 4 07 E , '

• • • •

• L

, , 00 +)7 , ) 2 + < ,

, "' +, 0/

//

NDO 0 ,

00) 0 2 2, , 2 4 4 78 / , / , 0 ) , 0 0 , , / , 0)++ , , 0 , ) , 0E L , 3 4, ),E = 3 , , 7 )0, 80 ,3 : 00 , , D, )/7 0 0 / , , 0, 3 0 , + ,0 4 , 2)

"

09) 7 7), , 0 4

' " #

$

H

I

.

2

+

8 ) 0

0

)

8 ) * , 0 4),) 0/ 4, / , / , 0 / ), 0 4, 0

* ,0 4 , 0 , 0 00 4 2 / 8 , 0/ 00)

!

" ( %

( 2

" 3

( ' ( % & ,7789 ( ( 5 ( ( % 0 &

0

% % % 40 # #

%

% # %

# (

%

% 9

% #

5 −

# &

4 % #

$

% &0 (

H

%5

#

I

5

# 6

% &

% #

& %

(

% ( %

9

" #

5

% 0 1

(

&0

& 1

/

(

# " % '

$

" &'

%

'

&

"

'

?,)

,0 4, 8 8 ) 7 , , 2) 2 7 ), H , + 3 2 H , , ), 4 73 )0 8 , ) 0, , / ,' 4 , 0 0 0)70, , / , 4, /8 4 , )/ 7 , + +0 0* 2 0,) ,0 , ) + *, , * 27 , 0 / , 4 73 )0 8 , ) 0, , / ,0 0 , , , 3 0 2 0, , ,) , 0' 40 , 0, , / , 4 ' J 0 )00 8 , 0 ) + * 2 0 0) 4) / , / , 4 / , / , , * 2 , 0 2 , 0 2 , 7 : )2 8 0, ) , 3 ' 4 2 + 7 / 0 0 , , ; 0,) ,0 , 4 0, *0 4 80 0 ) 0 # % &% ( % 49

1 % ( % K

? /+

4,

0,)

,

4 / +0

( %

#

,0

0

√, ∉

(

5

&

,

4

+, 0 !

%

$

" #

$

9 √, ; (

2

0+

< # =

0 %

0

+ 00&

H

I

:

+ ,

4 , 0,) 0 , C 4 , 09) 0, , 8 , 4, ) + 3 00)/ 2 , , ), 4 0, 2 D+ , , + ++ , 8 73 )0E F

0 )00 0 ,

F

: , 0

,

*

,

F

04

0

4

; 0 0,) ,0 4, /, , , D+ ,60 0,8 , 0 , 0 / , /) 7 ), , 00 ,8 , + 3 3 , ,) , 3 8 / 0, 73 )0'

0 ,

2 8 4

0 4 4

8 /0

K73 )0 00 , 0 + 7 /0 + , , / 0) 0, 20 7 ), , 3 4 , 0 D+ , ' + 4 4 , 0 0 , 0 , , , + ) , 4 , 3 )/7 0 0 3 )/7 ' , , D /+ 0 4 0 /+ + 4 0,) ,0 , 4 /' + +0 , , 2 8 ) ,, /2 , 8 , ), 4, 0 , 2)/ , 7), 4 0* , D+ , , ) 7 , ,, 8 , / 2 ,E +)7 , 7 :A

F , F

7 3

0+ 0 ) * , 4 )0 0 )/7 0 3 , , )/7 0 3 6 0 0 0 0/ 7), 0 2 4 , 0, + 4 , 0 + 4' 0 0, , / , +, 7 E , 0,) ,0 , , 0 , + 4 4 3 8 0, + + 4 3 ,

D+ , 00 0 )7 )0' ?,) ,0 3 + 7 / 2 , 3 4 0 + 0, , , 8 , + 0 , , , 2' L , 2 ), + 4 4 3 8 0 2 / 0) , 0 +, 0 / , 2 0,) ,0 , )0 , ' ? , 0 80 , 3 7 D+ , , 0/ , 20 0+ 0 , 0/ ) *0 , 08 7)0' ) 7 ++8 , 0) + 4 , 4 , 0 0 0/ 0 /+ 2)/ ,0 7 + 3 ' G), , 0 4 / ++ 4 0, ) 0 0) 0 , 0 ) D+ , /+ , + 4 4 , 0' ,0 4 , 0 0/ 7), 0)70, , + 4 : , , 0, 2 , 0 + 4 4 , 0 , /+ , 8 0 , 04 , 8' / )0 , , 0, 2) 0 2 , * 2 7 00)/ /+ 00 / ,, 4 / 0 +, 0 44 ) ,8 ,0 4' 4, * 7 0,) , 0+ 0 0 7), / , 0) , 8 80 3 8 3 2'

F

F

,60 4 ' , 0 3

? 0 /+ 00 8E /0 3 0

,8 , ,

70, ) ,0 / 0,) ,0 0 0E

?,) ,0 )0, / 4 0 ,8 4 0, , / ,0 ,, , , * , , 0 0, 2 4 )0 0 0 4 0, /0 2 / " #

$

,

+

7

) , 4 0

2 , 2 , /0 , 0 , * 2 7 / +) 2 4 / , / H

I

+

+, ,

0 3 0 , , 0 8

4 4

3

, 0 2

7 ), , , ), , 0 0 0, + , 8 8 0 / , 2 0 ,) ' , + 4' L / 8 0 7 2 7 ),

/

+) , 8 / 00 2 , )0 / 8 + 4' 0 ) 7 0, 4 + 40 44 ) ,' ?

, 4, ) 0 /+ ,8 / 2 0 0) ,8

8 0,) ,0 + 3 7), , 4, + + 0, 3 4 , 0 73 )0

) ,

7 ), 8, 9) 0, 4 D+ , 00'

'

%

, 0 , , * 4 D+

,

4 / , D+ 0

/ , 0 8 , 8

,

7 , * 4 2 , 0, , 0 / 87 D 7 , 78 , 08 / 4, 73 )0 , + 47 / 0 , 2 , 0,

&

" $

"

(

' 7 3 0 /+ 4 )0 0 , 8 70 4 8 , 3 ) + 3 0, , / ,0 % 4, ) , /&' 0 3 0,) 0 , , 4 )0 , % ) 2 / $ P 84)0 ###P J = $ , '& , 8 2 84 , / , / , 0 ) , 0 , , D / 0,) ,0 0 , 00 ,8 4 + 4E 0,) 3 2 , /0 3 0 , 0 % , 4 #1"&E , ' =3

,

, 9) 0,

0 0) 0, 7 0, 0 / / < , , , 0 0 $ # $

KQG

' % # $& QB 2 % $1

KQG

' % # !& B 2 % " #

,

)0

/

F' %$

) 0, ! # H !$"

' F' I = / , + 4'

/ ,

? * 2) @ '$ !

' I ? ,0 %

? ) 3

' I? ) , 0 ,

B

2

L 7 % L +

/0 4' 6

' I

, 0

0 +

%

8G

3 E

%

8

&

0, ,),

' % ##"&

4+

+

+ )0 % 0 :,

+ 0 / % 0 /? 1! H ##

20 4 (

'

* 2 , % 0 $#

F

/+

0

2 , 2 % 0 :7 !!" !

? %

0,) %

,

$

H

I

+

4 +

,0Q ) 0, ** $!# $

*8

/

J

/ ,

0 , D,0 /E 6

,

& ? / , 08 , % " $ # H $! + ,0 J 2

)

2 4 / , $! "

; )0 /8 F' = F' I 5 R ' % ## & F , 0 2 /+ , 0 4 4 , , 2 0,) , 9) 8 % % % *@ $ # $ "

" #

%

(

%

' % #1 & G 4 ( 3 %

4'

8

, 4 + 40 2)/ , + 3 0 0 ./% & !

4

* B' %$

&0 -

,

( & %

%

%

%

4E

!& @

+,0 4

%

,0'Q ,0

,

% %

' %$ , %

+

2 0,)

,

' %$

4 /

%

% 2 M' %$ $& 2 7 '

0,

5

'

;' % ## & % !$

? 0, , /

,

,0Q

( $ !

5

' % #1"&

* 2

!& 8 + + 3

0,)

, $

* 2

' % ## & L , % ,* "1# "#1

4 2)

%

%

40

*.

F

,

+

4,

8

,

/ ,

/ , ,

/

( , 8

) ,

0' 2

4

7 / 00 /'

! *

"

" #

'+,-&, . " 4

$

"

'

2 + 7 / 0 0 , , )0 7 0 80 0

, -

%

4 0, 8 ) 2 7

2

%

• ;

E # • ; ,;79

) ,

9D

E

2

49 %

0,)

F

//

,0

F

/ 4, 0* 78 0,) ,0 2 R , , 2 , $D$ 0 8 /2 , , 7 )2 , 7), , 2 , 8 4, 7 3 0 4 , 0: , 0 )2 4 5 8 8 J / , 78 , 8' ; ) * , 8 , 0 $D$ , , ++ D , 8 44 , !D! 0 ' ,60 ,' ,60 , + 4A 0,) ,0 4, ++8 , 3 M , A G), , 0 0 2 , 8 44 , 00) 0 , 0 9) 0, ) 6, 7 0) + 0 4 , 8 0 0, , 3, , , 0, ) , D /+ ' 8 4, 0 0, ) 44 ,0 , 2 , , / , 2 3 D /+ 0' 8 6, * 2 D /+ 0' 8 , 0 / , , 0 , 0 ), 0 , 7 , 9) 0, 8' 8 6, , , 7 9) , 0, ) , 8 , 0A B , D+ , 0 , 0 / , 7 ' 4 /5

,

+,

7 3

!

% " #

04

$ $

0+

)

4,

? /+

, 0

(

;7 1

,0

K

$

,0

,

0,)

0

0

+ 00& H

I

*>

• •

F % & %

# %

1

G$ %

# %

%

(

( &

% %

% % % (

(

%

%

%

( 0

" $

"

% &

(

# % ( H

& %

&

( '+,-&, . "

( ( 0

0 %

*

(F &

4 %

•

# &

& & % & (

%

(

% &

'

C 46 78 D /+ ?8 / , 0 +, 4 )0 0 0 )/ , , , ,) 0 0,) ,, 8, , 7 , 7 *, , 0,) ,06 D+ 40 / , / , 0' M D /+ J 8 I J 8 0 %$ & 4 ) , , , - " 8 0,) ,0 , 0,) 8 4, /+ 2)/ ,0 , , 4, 87 3 , < ,) , 4 0, + , , 8 , , 8 / 3 8 7 3 78 /+ 2)/ ,0' 2 7 2)/ ,0 2 8 3 ) 78 0,) ,0 7), 0,) ,0 0 4 ) , 0 + 40 44 ) , , + ) ) 0, ' ,3 2)/ ,0 + +) 4 , D+ , 8 + , 0,) ,0Q ,3 0, ) , 0 4, , R 78 2 4 ) ,3 0 2' + ,, 0 / 00 /+ 3 , 3 , 0 + ,) 0 , /+ , , 2)/ ,' ,

0 7 , 3 )0 0, , 2 0 , , 0,) ,0 /+ 8 + ) / , / , 2)/ , J I ? % ##1& 3 , , 4 ') " ' ') " 0, , 4 , , 0,) ,% / , / , & /+ 80 , 3 0 4 , 3 ,8 4 / , / , 0, , / ,' 8 0)22 0, , , , ,8+ 0 4 4? / 0 2 )+ , , 2 0 04 0 • (.

, ) 2)/ ,0 , 0 4 0 3

% % 3 2 / 0 4 / , 4 / 4 , + 4 , , 4 / , , ,& ( % % 3 2 78 ), ,8 4 , 7 * , ,) & & % ( % % 3 2 / 0 4 / / +) , 4 08/7 0 7 , /2 , /2 , ,7 / 2& • (" 0 7 % % 0,) ,0 0 3 2 ) / , 8 / 2 0 4 , / , / , +,0 3 3 0 , 4) 8 0)++ , 78 ) , & % % / D /+ 0

0)/ , 2 ,

++ ) ,

, 7 ,

0 ,0 4 00) 0 ,

,

,)

00 0

,

'

44 ) , 0 , ) 0, 2, / 0/ 4 4 78 F , / , ) , % '2' 8 , 0, ,), 0 + 4 ,0 0, +0 , , , 00 8 /+ ,0 4 , 2)/ ,&' $' 44 ) , 0 , 2 , 2 7 / +) , 0 % '2' 9) , 0& , )0 4 / , / , - 2 08/7 0/ % '2' 9) , 4 0 ∑ , '&' ' -& $

F 0, 4 7 ), , + , , ,3 ,)

) 4 )/ ++ < %+ ++ + +

"

&

0 0 0, , 4 / * 2 2 , + 7 /0 0,) ,0 / , ) , + , + + 0 2 0, ) , , /0 , 3 , , 0 + 7 /0' M D /+ %$ 8 00 / D+ / , , , 0, , 4 / 0 )00 2 4) ) 0 / 3 , 0 ) 03 4 , 0 , ) + 00 0 4 F , / , ) , , )2 / 0, , D, 4 ++ , 0 % 2 , 5) = + 00 0 ), &'

4 0 , D

) , , &0 , , 0 , , 2 , 7 2

2 , 4 )0 0, ) , 2 ) 0, 2 4 F , / , , 0, + 78 0, + 3 * 3 60 % ##1& 0 3 , 3 , 0 , 0 4 )0 3 + 2 0,) ,06 0* , / 2 2) , 0 , )2 D / 2 D /+ , 0)/ 4 , 4 0, ,) )/7 0 % 3 & 8 3 0) 8&' 5 ) 8 0 / 4 , ,3, 0 + 3 ,) ,8 , 2 2 , , , C ) ,3 0 2 0 / ,/ 0 8 0 4 0 ,) 06 %+ !#& , )0 , , C 3 8 < ,) 0 , 7 + 3 6 &' ? / 00 4 , + , , + ,4 0 4 8 2 , 0 , , , ), 0 4 ) ,3 0 2) 0, , 00 / D 0 0 0 78 ,0 F 30 3 ,R J % ##!7&' I

)

'

4, 7 3 9) , ), 0 /+ 8 , 80 0 4 , 0+ ,0 78 F , / , ) , , , 0,) ,0 4 + 7 / , , , 4 , , 0,) ,06 ) , , , / , 'M D /+ + 9) , 7 3 % I $ !& // , 2 0 , 0, 00 , 4 , 0, , / , 4 % & 0 0 , ,) )/7 0P 4* , ) , 0, + * 0 4 D )/7 * 0 ,0 0) 00 '

F 0, ), , F , + 2 // )+ 4 3 + ,, 0 4 , , 0, ) , 3 0

"

84)0 %$ & /+ 8 , 0, 2/ , / , " #

$

/ / , ) , ' 8 0, , H

I

3 8 , 0, +0 0 0, +0 0 4 .?

3 3 0

• , 0, • • ) + 0, • )

, +& ,

, + 0

0, , 4, , / 0, + 4 * 7

8 %+

0

7

0

, , 4

,

) ,

4% ) , 7 00 ) ,3 7 , 00 8P , 4 / + 4P * 2 , 4 0, 0, + 0 , 2 , 3 8 )0 4, ,,

,

, 2 , , 2, ) , 7 00 % + 4 ,0 / , 2 , 0 * 8, 7 ,) & 2 , 0, 2 4 , ) , 0, + %, , , 0 0 0, , 3 + 4 44 ,4 /, 3 8 ,) )/7 &' ,

0

+ ,

,

, 7),

4 ,

/

0, , / , 4 0, , / ,

F

0 4

&

/ ( 0/(%/ 1 0%/ 23/ 0% 0# / ( 40$ %0 $04(1 /0 3%4( )/ %4 %5 00# 26 $ / ($ / 1 %43 / 0% +)0 2 4 , 4 0, / , 0 , , ,0 4 + 0 ,0 , 7 0 0 0, 2 ' , 0, 00 , 00 ,8 4 , 0 0, 2 , , / 0, , , , , 4 0 4 , 4 0, 0 6, 3 , )2 , , 0 2 0) , , 3 8 , ) * * , D, 4 , , 4 ' 84 2, * *0 , D, ' 4

+

, ' 8

4

0,

,*

*0

4,

/

,

, 04

D,

(1($(%/) 0# 00# 26 $ / ($ / 1 %43 / 0% %4 7%081(45( (1 /(4 /0 00# 26 $ / ($ / 1 %43 / 0% 4, 7 0 0' & 4,

+ 0 0, +' L , 0, +E

' 8+ ,

X) 0, 0 7 ), , 2,/ 8 4, ) , 8+ , 0 0 7 ), , 0/ ,8 7 , , 0, , / , , 7 + 3 , ) , 8+ , 0 0 7 , , 78 4 , , / 0+ 4 8, , 0 + 4, 8+ , 0 0' , 0 8 4 D /+ SK , 7 0 0 4 , 8+ , 0 0 8 + 3 , , , 0, , / , 0 , ) 4 * ' , 0 * 0 8 2, , 4, , * 4 0 , , , !9 0 4 0' L 6, , * 7 ), , , 0 7), 8 7 ), 'T 3 8, * *0 , D, ' / 0,

, 0 /

0)44 '

" #

$

4,

+ 3

,

7 0 0'

) , 0, +

) ,

4,

"

L , 0, 8+ , 0 0 0, , / ,E

'' ,

'

) ,

, )0 ,

7 , 2

,

& 4, 3 7 *, , ) , 8+ , 0 0' 0 , ) , 0, + , 7 ++ ,0 / + ' ,

I

.@

) , 7 00

) ,

+ 0 , , 4, ) , 0 0' ) , 8+ , 0 0 0 '

L 8 0 , 8+ , 0 0E

H

) ,

, ,

L , 0, 8+ , 0 0E

0 )0 ? ,) ,

,872

) ,

0

) // ) ,

0, % #1 & 0 0 2 ,

4

0 0 , 2

/ +,)

/

%+ 1 & 80 0 4 F ,

0 / ,

(#( (% () B' %$ %

& %

2 F , # % & "

/ , "

3,

?' I B 7 0* ?' % # 1& F , , / , / , 00) 0 $# !1 5) , D, 0, % M0 ,

7

' ' I = % -

7 2

' % #1 & F ,

/ ,

' % #1#& / , " #

/ , %

,

) ,

,3

,

++

00

' ' % ##$& F , / , ) , $%!I & 1 $ + 1!& ) , % 0 "

' I 2 + 4 F ,

) ,

$

08 ) , H

+

2 2

/ % 0 #

3 0)

0 )00

'

! 1# 2 6 $ % I

44 ) , 0 ( /7

0, *.

2

( % B

%

D ( ) 8 # ! @ )/

0 M ,

)0

(

4

M' I 0 2 %

F 30 3 ,R J ) , $"! $ 1 F 30

F , $ % %

3 ,R J +,) 4 / ' I / ,

7 2 %

' % ##!7& F , * % % %

/ ,

(

/ ,

=' I / ,

!& % & →

5

) , %

)2 ) & ?, +

%

$1' ! "

84)0 ) , D (

) 8$

++ 2/ ,

!

8 F , ( % 0 = '

,

, / , / , 0

' %$ & $ % $ &%

)0 ( & (

%

?

7 / %

(

.

3 * 3 % ##1& 8 0, 2 0 4 , $

(

' % ##$& F , / , 0 ) , % M % #$%"& $!! !1 M 0

4 ,

&

'

' % ##! & 2 M 2 ,8 6

' %$

$

$ &%

/ ,

) , %

4 / ,?

0

F ,

4

)0 1

0 / ,

5

#!%1&

/ , $%!&

,

0 0, ) ,

H 0, , 2 4 / , % ! !"

, %

2 + % @

! ? 2 6

' % ##1& CB ( %

0Q

" #

44 ) , 0 % %

$

H

, ) , % M %

I

406 & $#%$&

/*

, 9 %

( %

P

"#

4 78 ( $!

' -&

)

' 2&

"

0 )00

1 % ( %

4 0, , # % &% ( % 49

(

: ;

'

0 / 9) 0, √, ∉

(

9 √, ; (

% #

&

, , , D /+ 4 0,) , 0+ 2 %?,) , L & 0 0 / , + 7 /0 0,) ,0 3 , D ), 2

4 ,

F

/

,

< # =

0 0

N O

0 %

, , %?,) , B& , F F 60 0 )00 4 4 78 5 , ,

?,) ,0 / 00 2 , + 3 2 + , ' D+ , + + 44 ) ,8 , 4 78 5 ) 3 2 0 4 0 0,) ,0 )0 , 2)/ , , 8 0, , 4 / + , 3 0 9) 4 2 0, +0' 4 78 5 , , , 0 ++ 8' 2 /8 D+ , 00) 0 , , 0' K , + 4 0 , 2 , 4 0, * 2, 00)/+, 8 ) 0, , 2 4 /' 0, 8 ) /)0, 7 7 , 0 , , 0 0 ,) 8 0 , ,0 , 8 ) 00)/ '

F

? /+

?,) ,

,0 , ,

++ 0

,

3 0 9)

,

4 / +0 " #

0

5 $

+,

+ 7 / , 4 /0 , ! H

%

$ I

4 ,

,, /+, , , 0 + 3 2 , , ,8 0 , 0 , , / ,8 8 ) , 8 2 8 ,

0+ ,, 2 8 , ),' B + 00&

/,

, *

,

?,) , 2 )2 F

F

F

48 )

L 60 0+ 0 , 44 ' 0 , 0, 0 + 00 7 8 8, /+ , , + 00 4

4 09) 0 , 2 7 , ), / 4 0+ , 0 , , 78 0+ ,, 2 '

0

* , ?,) , B60 0+ 0 , 0 , 4* 22 2 2 , ,* 2 , )+ , +, 2)/ , )+ 0 ,' 0 0 48 ) , 0, , , , , + 4 8 ) 2)/ , , D 0, 4 // 4 , 0 , 8 )4 8 )0 4 , / 4 < 22 2 , 2 )+ , , 4 0 , 0 /) 0+ , ,, /+, , /+ , , 2)/ , , 0 / , 2 , , / 00 / * 0 0 0 ' , 0 0 0 4 ?,) , B60 ( % % ( ( , 0 7 ' / 0 78 ++8 00)/ 2 , 0,) , ,0 8+ 4 * , 07 4 ' / 2 , , / * , 0 00)/+, E ' K / 87 / 7 2 7, , 2 )0: 0 0 / 0 0 7), , )2 / 0, , 4 ) 0, 2' + 7 / , 0+ 0 0 , , 0 0 6, +), , , 7 2 2 4 , 0 , , , 3 // 4 , 0' 0 0) , 0 ,2 ,, , , , / 2 2 4 / , 4 , , , , 8 )+ ++ 2 , 3 // 4 , 0' 0, 0 4 0 44 , , , 'J 2)/ , 0 , 0 , 4 80 0 , , 0 4 0 /+ 48 2 4 3 3 A ++ , , , ) 8 2 0+ , 4 4 ,8 7 2 , ) , , 0 )00 ' / / 7 ), ,+ 3 2, , 4 09) 0 3 , /)0, 7 3 N O' ) 0, * , 0, 00 , )2 , 2 ,8 4 , )2 ,:A ? 8 0 , 0 /0 , , 0,) ,0 3 + 7 / , 0+ ,, 2 , , , 0' , , , 4, 0 , +, )0 N O , 8 + 4 /' F 0, 0,) )+ , , ? 8 )

,0 ,

,

,

0, ) , 0 , 3 + , 0, , ' 2 7

' 2& C

/

+

,

,

, ,

+) ,

7),

"

(

" $

+ 4 ) , * ,

,, 0

D+

2 , 4 ) ,

,3 + ,

2 ,EA

'

, + / / 8 ,/ 0 7 4 , ,, 0+ 4N & & O 0+ , ,0 ++ , 0 /+ ,8 3 0 / 0, ,0 N:O /80, 4 , 4 0, , / , 8 0 ,' % 0 0 3 / + ) + 0 , , 7 )0 4 ,0 ,8 ) , 00'& ? , * , , + 0 , , 0 8 8 3 3 2 , 0,) ,0 , / , 0, +0 4) 8 D+ 2 , /0 )0 , 'J 3 0 , + 4 , , , )/+ , ) / , 4 , , , 8 0 , , , 0,) ,0 , 4 2 , )/+ , , ' 4 , 4 0 0 , 0 / 2 R * 4 7 / , 7 * 00' (

0,)

, ,+ , 0 / 7), 0, ++

" #

$

H

I

/.

K + /

/ 0 4, 00 2 78 , 0,) ,0' L 8 , 0 + + D 2 , , 0,)

44 ) , 0 ) + 3 2 ) 4 D+ 2 0,) 0 3 / , / , 0 ) / 0 % ## +$ & /+ 2 + 4 0, + ,

0,) 8 2 + / 78 , 0,) ,0 + 40 78 , , ' 9) , , , 0 /+ + 4 78 , , %( , 0, , / , , * 2 )+ , ++ ,) ,8 M

D /+ , , , , 0,) 4 , D, 0, +' 0/ , 0 0 , J , 0 0, 3 , 4 0, 0 ,

2 7 ), , ,) 4 , 0 + 4 , 0 , , + 4 , , / * 0 , 0 0 /+ ,0E6 B % #1" +!$ $&'

2 , , ,8 4 √$ 3 + 3 ,06 44 ) , 0 , + 4 78 , , 0' M D /+ % # #& , ,8+ 0 4 + 4 4 , , 4 + 4 78 , , '

4 , , 4 7 , I ,8 4 √$

40 0 / , 2 ,, 0 8 0, 2 0 0 , 0 , 7 3 0,) ,0

, 00 4)0 7 / 4, ) , , + 4, ) D+ 4 / , 0,) 8 0 3 ++ ,) , 0 , /+ 8 , % ;7 N$O 0 4 , 0 & 2 8 4 + 8 8 2 0) + 40 , )2 '

0 4 + 3 2 , , ,8 4 √$ , 0 4 + , , , ,0 , + ,, ; , , 8 ) + 4 , , , 0 ) /, )/7 4 + / , , , 0, + , , 4 0/ / , 7 , , +7 , , ; * 2 , , , 0 /+ 0 , , 8 /)0, 0 // 4 , , ,, , ' , + * 2 )+ , , 0, + 0 4 '

' 2&

'

"

$

) , 0 0 ' ,

&

J 3 2 D+ , 44 ) , 0 ; 3 0,) ,0 , , ,8 4 √$ H 0 0, , 2 4 / , D+ 0 H G % ## & /+ 0 , / , 8 , /0 0 4 0

" #

,0 ,

H

I

//

, + 3 2 / , / , + 4 , ,0

" #

$

H

I

/:

,, 0, , 8 4 / , 7 3 /+ 0 , B % #1"& 2) 0 , , , 0 , 8 , , + 40 78 , , + 0 , , , 4)0 0 , 0,) ,0' M D /+ , + 4 4 0 , , 9) , , , + 0 , + 3 )0 0)7 0 , 0 2 8 2 4 ,0 0 7 ),8' J 3 0,) ,0 / , 0 , , ) 2 4 0, , 0, ) , 4 , )/7 F 0 + ) , 4 + / 0 ' , , 0 + , , 8 + 8 , , ) 0, , *0 C ,6' K , 8 7 / 4 / , , 0 0, ) , 2 2 2 , 2 , 2 + 4 78 , , 0 8 , 3 ' 0/ 87 4 , , , 0, , /0 4 / , / , 0 7), , 00 /, * 7 ,, 4 , 0,) ,0' B 0 2) 0 , , / 0, + 40 , ) C , 4 0, ) , 6 + 4 78 , , 0 , C , 4 0, ) , 6 0 * 8 , 7 +08 2 8 00 0 8 +, 7 78 , 0,) ,0' , B 60 , )2 ,0 % # #& H 4 + 3 2 , ,

, 07 ,8 4 √$

4 ) 0)22 0,

0 H 78

3

&L 0 , ,, 00)/+, , , , -= D 0,0 0) , , $ $ -= V $ 0, , , ' ?)++ 0 , , -= V $ = $ $ $ , 2 0 , 4 , // , V $= ' )0 0 3 ' G), 4 $ , ) 7 '? , 0/ 0 , , /)0, 7 3 V$ $ $ $ $ 0 , 2 ' ?)70, ,), 2 V $= 7, V $= 0 $ $ V =$' 0 / 2)/ , 0 0 , , = /)0, 0 7 3 ' ? = 3 // 4 , $ , , 2 , 4 , , , , 8 3 // 4 , ' $

1

$

# ( &%

% %

(

% %

4'

L

0 , , 4 0, , , 8 , -= 09) , , 0) , 2 09) , 7 $' K 09) 2 , 2 )/7 4 ,/ 0 8 + / 4 , ++ 0 , 4 , R , 4 $ , + / 4 , R , 4 0 , , + / 4 , $ $ $ )/7 4 ,/ 0 ' , 4 , -= 4 , R $ $ )/ , / , = 2 // 4 , 0 + 00 7 ' 4 , , 0 D ,8 4, , 3 )/7 4 ++ 0 4 , , 4 , , )/ , $ $ / , ' 4 , -= , 7 0 /+ 4 , 2 3 $- 7 , ,, 0 )/7 4 $0 , )/ , ' ? , 09) , -= 0 3 9) , $'

,

,

&, L -=$ V "-1

$

0

,

,,

0, " #

, $

00)/+, , , , , ' ?)++ 0 , , H

I

/8

, , 0 )0 ,

, )0 4

-= D 0,0 0) -= V "-1

$

$

, 2 0 , 4 , // ' 1 $ V "=$' )0 " 0 $ 4 , 41 ' 4" , 3 , , ) , 3 1 N$ ) , , " V 0 , 2 ' ?)70, ,), 2 , 2 $ $ $ $ 9) , 2 , 1%" & V "= ' 0 0 /+ 4 0 , V='M /, 0 0 $ , , " /)0, 3 = 78 , 0 / 2)/ , 0 7 4 , 3 0= , , 2, 4 ,, , = 3 // 4 , ' =

,L , , 0) , 4,/ 0, , , + / 4 , $ 4 ,/ 0 ' $D$D!D$D$D! )/7 4 ,/ // D ,8 , )/ , 7 0 /+ 4 , "0 , )/ 09) 4 , 0, ,

0 , , 4 0, , , 8 , -= 09) , $ -= , 7 "-1' K 09) 2 8 , 2 , )/7 8+ / 4 , ++ 0 , 4 , R , 4 0 $ R , 4 0 + / 4 , )0 )/7 $ %M 0, 4 V $ V $D$D! , V $D $ V V ! )0 , $ ) 0 4 ) ,/ 0 7 , 3 $ $ $ $ 0& , 4 , -= 4 , R = , + / 0 4 , 0 + 00 7 ' 4 , , 4, , 3 )/7 4 ++ 0 4, ,4 , $ $ / , 4, 4 , ' 4 , -= 3 ! 2 3 "-1 4 , ,, 0 "-$ 0 )/7 4 , % )/7 4 $0 , / , &' ? , -= 3 9) "-1' $

7 3 0

+

4+ + 0

78 J

8

)/7 0 09) 0 + 0,3 4 , 0, , /0 ) 00 + 4 $ $ 0)++ 0 4 + 00 7 , , -= V 3 2 4 , $ $ 4 , // , ' V =' 3 84 $ 3 0 = 3 // 4 , 3 84 $ 3 'J V = 0 , 2 ' G), , 0 3 3 0 3 // 4 , /)0, 7 ) ,8' )0 0 0, 7 + 3 ' + , ) ,4 0 78 , * 2 V , 7 , 09) 4 , )/7 ' -

L ) D+ / , 7 D+ 2 , ) D+

)

0

3 0,

0

,

2 )+ 4 $ 7 0,) 2 4 , + 4 Y 3 , + 4 , ,8+ 4 + 4' 0, / , 8 2 , *0 D+ , 8+ )0 4 2) 0, 0 , 0' J , 8 + 4 0,) ,0 0+ , ,0 2 4 / 8 4 + 40 ) 2 Y , , 08/7 0 0 , )0 3 9) ,8 0, 2' 3 0)22 0,0 , , 8 + 4 2 + 40 4 7 2 " #

$

H

I

- 0 , 09) 0' M // , = $ , 4 = /)0, , 4 =$ /)0, 0 V $P V $ V =$ $ V , ,$

,0 , 02 4 , + 4 5Y , 8 , , + 2 R 0 8 + 4 0 , , 2 ,8' F )2 / 3 7 4 D+ , 4 , , 0 ) 0 , , , />

4 3 4 5 , )2 , 44 ) ,8 3 2 , , 00 08 0 0 * , 0, ,

2 0, 2

0

2 , 8

)0

,8 4 2 + 40' / * 8 , 7 ++

0 2

, ,

0

4

,, ,

B

%

0

) &

/

,

'

9) ,

7 3 '

, %$ & 0)22 0,0 , , , 0 ,) , 0 0,) ,0 + ) 2)/ ,0 , , 0 , , 0+ , 4 4 78 5 , , 0+ , )0 8P + , ) 8 4 0 , , 0 0 0,) ,0 0)++ , , , 4 , )2 , 78 2 , 2 D /+ 0' 0 0 ,) , 0 + + 0 0 7 + , , 0, ++ 2 0, 4 , ) 2 4 78 5 , , ' G 0 D /+ 4 0) 0 ,) , %@ 5 0,) ,0& # %

% %

.

0

%

( &

9 K

(

#

& &

%

% &

&K

/$

#' @ K $ '5 $ ' @

, 8N 0O ,7 + + ) ' , ,60 , + 00 7 ' 8 , 7 + + ) 7 )0 , 0 , N, ) 7 + 4, , , , 0 ,, , % / * 0 2 0 4 2) 7 3 &'

.

0$

" #

$

H

I

/?

,O

! '@ L N, ,O ,7 + , 8 4, , 07 4 3 , 00 2 0 3 4, 8 ,+ + % / * 0 2 0 4 2) 7 3 & 4 N,O 0 + , , , , , 0 ,0