高等几何(Higher Geometry)

21





 



 

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2003.9

21 ISBN 7-03-011617-8 ···

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CIP

(2003)

张克忠 /

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051897

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100717

http://www.sciencep.com

2003 2005

9 6

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7 001—9 001

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20 
 
    




 
 


 
 
  

  
 

 




 


 

 

  



     

  

   

   
 
   

  
   
    

 
     
  



 



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ii

 


      

 

 1999  2000   
   

    


    


 

5  2003





  §1.1

§1.2 §1.3 §1.4 §1.5

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1  1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8  1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Desargues  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

   §2.1

§2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6

 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54  2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59  2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68  2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72  2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79  2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    

§3.1

§3.2

 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88  3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90  3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92



iv

§3.3




. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93  3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

   §4.1 §4.2 §4.3 §4.4 §4.5 §4.6 §4.7

 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98  4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110 Pascal  Brianchon  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111  4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116  4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123  4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128  4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135  4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145  4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148

  




. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149  Pappus 


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Descartes 


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Gauss, Riemann 


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161  Cantor  Poincar´e 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Hilbert 


 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

§5.1 Euclid §5.2 §5.3 §5.4 §5.5 §5.6

 §5.7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

       
 
 
 
 Desargues  


 


      
 





 
  


 

 
 
  
 

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      1.    1.1  l, l
 
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 ABC

 abc

 



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 §1.1










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1.1

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1.
















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 3  #4 (  
3    n-01+,  R  R  n 
Æ §1.2

n

Rn = {(x1 , x2 , · · · , xn )|xi ∈ R},

 0 ∈ R
n $ R \ {0}  ∼:  x, y ∈ R \ {0}.  x  y $ ∼ %% ρ ∈ R(ρ = 0)  x = ρy.   ∼
R \ {0} 
"% n

n

n

n

RP n−1 = (Rn \ {0})/ ∼

(n  2).

 RP
 n $


 
  

x ∈ RP  RP 
Æ R  x = (x , x , · · · , x ) 

&Æ n   x.  x   '
" 
 


 n−1

n−1

1

2

n

n−1

n

'+)'% -1 9 RP '*%
,  
 %
Æ x = [x , x , · · · , x ].  $ n 
  §1.2

n−1

1

2

n

(RP n−1 )∗ = (Rn \ {0})/ ∼

(n  2),

! R % )
RP  (RP ) 


(



.2/ 1.   ( )  1.4 % P , 3 
x,  x /x = x( x = 0) *( (x , x )
 P  .2/; "&  P ,  (x , 0)(x = 0)
 

 3 
0.2/.  1.4, 
"& ( 
Æ" (x , x )
 P  
 ρ = 0, (ρx , ρx )
 P  

 ( 
(0, 1), "& ( 
(1, 0).  1.4 #+ %  
 1.4  RP  $ ϕ,  ϕ
 # 2.   (  ) 
  P 
 l , l  ( !
l , l &
& ), " P
& 
 l ∦ l ; "
"&  P ,  l //l .  ,  
(   n

n−1

n−1 ∗

1

2

1

1

2

2

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1

1

2

2

1

1

1

2







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C1

B2

C2

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B1

A2

B2

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1

2

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P (x, y), 

∦ l2 , P





C1





C2
, y =




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A2




B1 x1 =


B2

1

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" l

2



C1

,
C2




A1


A2

.
B1


B2





C1 x2 =


C2






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A2



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,
A2




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B2



l




A1 x3 =


A2

1



B1

,
B2


∦ l2 ).

2

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 (x, y, 1) *( (x , x , x ) 
 P    " l
//l , 
"&  P , % P
l , l "&


 x =



A B



= 0. # & (x , x , 0) *( A B  P  $ l = l  x , x 
$
) 
 x = 0,  ! x /x 


A A A B = = , = = . B B A B  A A = 0(l ∦ x )) ! B B = 0(l ∦ y )), ) B B = 0,  10

1

3

2

3

1

1

1

2

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1

1

2

2

1

1

2

∞

1

∞

1

3

3

2

3

2

2

2

1

2

1

1

2

2

2

2

2

1

1

1

2

2

1

i

1

i

1



C2 A2 C1 A2 C1 A1 C2 − − x2 A2 C1 − A1 C2 B2 B1 B2 B1 B2 B1 B2 = = =− B2 C1 C2 B1 C2 C1 x1 B1 C2 − B2 C1 − − B1 B2 B1 B2 B1 B2

2



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A2 A1 =− . B2 B1



x /x
l 1'
(x , x , 0) 
λ = x /x "&  (x , x , 0) 0
(1, λ, 0). 
 λ = 0(Æ x = 0) 
 x )" &  y )"& 
 
(0, x , 0), (x = 0).   (    1.5  % P , "3( 
(x, y),  *( (x , x , x )
 .2/,  x = 0 % x /x = x, x /x = y.   y )"& 
 
(x , x , 0),  x = 0 % x /x
%1' y )"&  
(0, x , 0),  2

1

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2

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2

1

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0.2/. $ 1.5,  "& ( 
"& (  
Æ" (x , x , x )
 P  
 ρ = 0, (ρx , ρx , ρx )
 P  
# P  
 P (ρx , ρx , ρx )(ρ = 0),   P (x , x , x ). $ (0, 0, 0) 

  
 
(0, 0, 1), x )"&  y ) "& 
(1, 0, 0)  (0, 1, 0). %
 1.5 #+ "& 
 1.5 #+
 %1' 
 1.5   RP $ x2 = 0.

1

1

2

1

2

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3

2

3

1

2

3

2

'+)'% -1 11  ϕ,  ϕ
  #

 x, y, a, b, · · ·   (x , x , x ), (y , y , y ), (a , a , a ), (b , b , b ), · · · . 1 1.1 (1)    §1.2

1

2

P1 (0, 0),

3

1

P2 (1, 0),

2

3

1

P3 (0, 1),

2

3

P4 2,

1

5 3

2

3

.

 3x − 4y + 1 = 0 "&  2 (1) 


P (0, 0, x ),  x = 0, 
P (0, 0, 1). P (ρ, 0, ρ),  ρ = 0, 
P (1, 0, 1). P (0,  ρ = 0, 
P (0, 1, 1).  ρ, ρ),  5 P 2ρ, ρ, ρ ,  ρ = 0, 
P (6, 5, 3). 3 (2) 
 (1')
λ = 3/4, "&    3  
1, 4 , 0 , ! (4, 3, 0).

.2/34

   1.2  

(2) 1

3

3

1

2

2

3

3

4

4

3 

ui xi = 0.

(1.1)


(1.1) 5 (1.1)
 .34. 35 % l, 3( 
i=1

l : Ax + By + C = 0 (A2 + B 2 = 0),

(1)

 x = x /x , y = x /x (
 1

3

2

3

x1 x2 +B + C = 0, x3 x3

(2)

Ax1 + Bx2 + Cx3 = 0.

(3)

A

Æ

 (3) Æ
(1) $ "&  (B, −A, 0)  
5
(1.1). "&  l , *
x = 0, Æ
(1.1) u = u = 0, u = 0  
 (1.1)

" u + u = 0,  $  u x + u y + u = 0 $ "&  (u , −u , 0) " u = u = 0,   u = 0, Æ x = 0, "&  ∞

3

2 1

2

3

3

2

1

1

2

3

2 2

1

1

2

3

12

4

!% #" 1.1

 u1 x1 + u2 x2 = 0.

$
& "

.2/ 

+






&%

 
2
  ,  

&%





 (,3(),  



Æ 

. 










(   

u1 x1 + u2 x2 + u3 x3 = 0,

%
 ρ = 0, ρu1 x1 + ρu2 x2 + ρu3 x3 = 0

2
(!
$ ($  1.    1.6  l 
u x + u x + u x = 0.  (
 l  .2/,   [u , u , u ]. $ 1.6 !

(1) & 

$*( [u , u , u ] 
 
$*( [u , u , u ],  !  u x = 0.  ρ = 0, [ρu , ρu , ρu ] ≡ [u , u , u ], % [0, 0, 0] 

  (2) "& 
u x = 0(u = 0) ! x = 0,  
[0, 0, u ] ! [0, 0, 1]; 
u x + u x = 0,  
[u , u , 0](u , u 
$); y ) x = 0,  [1, 0, 0]; x ) x = 0,  [0, 1, 0]. 
  
&

'


'%*% $
 

   (RP ) $ ψ,  ψ
  # 1 1

1

2

2 2

3 3

3

1

1

1

2

3

2

1

2

2 ∗

3

3

1

3 3

1 1

2

2 2

2

3

i=1

i i

3

3

3

3

1

2

1

2

'+)'% -1 13 -
  3( 
15   

65.2/. $ 
  # ψ $ # ϕ !
1
 u,v, · · · 2 [u , u , u ], [v , v , v ], · · · . 2.   1.3  
 x  u  ⇐⇒ §1.2

1

3 

2

3

1

2

3

ui xi = 0.

(1.2)

  
,$  " %% !  

  .34   
 
i=1

1.7

[u1 , u2 , u3 ]

P

P

.

1.4

a = (a1 , a2 , a3 )

a1 u1 + a2 u2 + a3 u3 = 0.

(1.3)


$)  [u , u , u ] "  35  1.3,  
 u = [u , u , u ]  a = (a , a , a )  (&
a u + a u + a u = 0.  1.7, (1.3)
 a  
$) " (1.3),   a , a , a 
$
" 
  (1.3) 
# (1.3)  a = (a , a , a ). $ 1.3  1.4 
 
 x 
1

2

3

1

1 1

2 2

2

3

1

2

3

3 3

1

1

2

2

3

3

3 

xi ui = 0.

(1.4)

!
$ x
*
# x

 u
)  

5 5
 '   u
x   ) 
*  (1.2) 5
 !- $ $
"  
a = (a , a , a ),   
 (1.3) 5
 a

 u
) Æ 1 1.2  

(1)  (3, 1, 5); (2)  (3) x )"&  (4)  x + 2x + x = 0 "&  2 (1) 3u + u + 5u = 0; i=1

i

i

i

i

1

i

i

1

1

2

3

2

3

2

3

!% #" (2) 
 
(0, 0, 1), 

u = 0; (3) 
x )"&  
(1, 0, 0), #
u = 0; 1 (4) 
 (1')
λ = − , 
"& 2  
(1, λ, 0), Æ (2, −1, 0), 
2u − u = 0.   % x = 0,  x : x , Æ x + 2x + x = 0  "&  
(2, −1, 0), 0  
"& 5 . 0.2/  1.8  u = [u , u , u ], " u = 0,  
[U, V ],  14

3

1

1

3

1

1

U=

2

2

3

u1 , u3

2

1

2

3

3

V =

u2 . u3

$ 1.8 
 [u , u , 0]  

   
 
1

2

U x + V y + 1 = 0.

(1.5)


"& &

 
  


 $%
Æ"&  40
 67
  
" (x , y ) 

x U + y V + 1 = 0; "  [U , V ] "& 

U x + V y + 1 = 0.  )
 
"& & $
2' 1   

&


 + ) 

,3(


 
5(&

 &, (Æ3() 
+ )
  , "+
 3( (Æ, *). 7&6.2/ !8   
- 0

0

0

0

0

0

0

0

§1.2

'+)'% -1  1.5  a, b  ⇐⇒ 

/





a1

a2

a3

b1

b2

b3

/

 = 1.

35

15

1.5
 a  1 b1

 a, b  ⇐⇒ 

a2

a3

b2

b3

 = 1.

0 1.5. 
 a, b  ⇐⇒ a, b
RP &% &% ⇐⇒  1/2 2, 
a, b ∈ (R \ {0}), # 1/2  1, /
1.  1.6   a, b   1.6   a, b 

2

3








a 
2

b2

35




x1


a1


b1

x2 a2 b2





a3

a3
,


b3

b3



x3


a3
= 0.

b3




a1

a1
,


b1

b1






a2

 .
b2





a 
2

b2

0 1.6. a, b 
u x

1 1

  u x + u2 x2 + u3 x3 = 0    1 1 u 1 a1 + u 2 a2 + u 3 a3 = 0     u b +u b +u b =0 1 1

2 2




u1


a1


b1

2

a2 b2





a3

a3
,


b3

b3



u3


a3
= 0.

b3






a1

a1
,


b1

b1



a2

 .
b2


+ u2 x2 + u3 x3 = 0 ⇐⇒

 u , u , u $ 1

u2

3

3 3




x1

⇐⇒
a1


b1

x2 a2 b2



x3


a3
= 0.

b3



  
 ( 
$ #-  1.7   a, b, c   1.7   a, b, c 


⇐⇒

 

 a1

a2

1

b2

c1

c2

/  b

35

a3

  b3  = 2.  c3

⇐⇒

 

 a1

a2

1

b2

c1

c2

/  b

a3

  b3  = 2.  c3

 1.6, /2 3


# /
 2.

!% #"  1.8   a, b 
 1.8   a, b  &  %%
((   
la + mb(l + m = 0). %%
la + mb(l + m = 0). 35 0 1.8. 

c = la + mb  16




2

2

2




a1


b1


c1

a2 b2 c2

2



a3


b3
= 0.

c3


# c  a, b 
&  
 c
 a, b 
& 


a1


b1


c1

a2 b2 c2



a3


b3
= 0.

c3


Æ
 a, b 
# a, b "
 c = la + mb, % l + m = 0. $ 1.8,  c = la + mb 
  a, b
  . m 798. " λ = l ,  0.798 c = a + λb.  
 x x = ∞(x ∈ R, x = 0), = 0(x ∈ R, x = 0),  l = 0 
λ = ∞, %2 0 ∞ ∞ = 1.  R = R ∪ {∞}  R
&07:, $ c = a + λb   ∞  R $ $
λ = 0 
c = a; λ = 1 
c = a + b; λ = ∞ 
c = b. * 
   $ 1.8 $(**( *


$  1.9   a, b, c   1.9   a, b, c  ⇐⇒  p, q, r(pqr = 0),  ⇐⇒  p, q, r(pqr = 0),  2

2







pa + qb + rc = 0.

pa + qb + rc = 0.

-

$ $ 
 -5

 2
() 0$ 5

'+)'% -1 1 1.3  a = (3, 1, 1), b = (7, 5, 1), c = (6, 4, 1). (1) 30 (2)  l, m,  c 
la + mb 5 λ,  c = a + λb. 2 (1)  . (2)   c = la + mb. Æ

§1.2

6

7

3













17

            l 1  + m 5  =  4 ,       1 1 1

 l = 41 , m = 34 , Æ c=

3 1 a + b. 4 4


6# a, b, c  
 c = a + 3b, Æ λ = 3.  %       6 3 7           ρ 4  =  1  + λ 5      1 1 1

  . 

 λ = 3. 
 # a, b, c  
 c = a + 3b. 1 1.4 (1)  a = (a , a , a ), b = (b , b , b ), c = (c , c , c )
 0  


!

ρ,

1

2

3

1

lai + mbi + nci

2

3

1

2

3

(i = 1, 2, 3),

 l, m, n

$ (2)  d = (d , d , d )

% a, b, c, d  " 0 
$ p, q, r, s,  1

2

3

pai + qbi + rci + sdi = 0

(i = 1, 2, 3).

$2
6#

  (a , a , a ), (b , b , b ), (c , c , c ), (d , d , d ), 
1


2




2


3


1


2


3


1


2


3


1


3

35

a
i + b
i + c
i + d
i = 0

(1)

(i = 1, 2, 3).

 d
2 d  a, b, c 
 

18

$

!% #"  1. d
a, b, c 5
% l, m, n 


 2. d  a, b, c  ( d
 
&  
5 l, m, n 
$  3. d "
Æ a, b, c, d  
 t
a, d  b, c  1.8  di = lai + f ti

(i = 1, 2, 3).


d = a, t,  lf = 0.  ti = gbi + hci

(i = 1, 2, 3),

 gh = 0. - 5 di = lai + mbi + nci (2)

(i = 1, 2, 3).

$ (1)  pai + qbi + rci + sdi = 0,



a, b, c, d  "
# pqrs = 0.  a c = rc , d = sd , ( 
i

i


i


i

= pai , b
i = qbi ,

i

a
i + b
i + c
i + d
i = 0

(i = 1, 2, 3)

  1.4 )
"   
*


,
  +61
$ " & ( 
 
 3
 
 A , A , A 2
3  x, y )"&   2( 
(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), 
   x 
1

2

3

x = (x1 , x2 , x3 ) = x1 (1, 0, 0) + x2 (0, 1, 0) + x3 (0, 0, 1).


 A , A ! A +  
52 x,   7 I, % 1

2

3

I = (1, 1, 1) = (1, 0, 0) + (0, 1, 0) + (0, 0, 1).

'+)'% -1 19 
A , A , A , I 
 (A A A |I)
  65.2 /*,  A A A 
2/ +, I 
;9. 
6 I  
 ' #  1 1.5  A A A
3    §1.2

1

2

3

1

1

2

3

1

2

2

3

3

P1 (p, g, h), P2 (f, q, h), P3 (f, g, r).

0 P P  A A 
P P  A A 
P P  A A  
 (2) " f gh = pqr, 0 A P , A P , A P 
A P , A P , A P  35 
A , A , A  
A (1, 0, 0), A (0, 1, 0), A (0, 0, 1). (1)  1.6, P P 
(1)

2 3

2

3

3 1

1

1

2

2

2 3

3

1

3 1

3

1 2

1 3

1

2 1

2

1

2

3 2

3

2 3




x1


f


f

Æ  A A 
2

x2 q g



x3


h
= 0,

r


(qr − gh)x1 + (f h − f r)x2 + (f g − f q)x3 = 0.

3

x1 = 0.

 1.6 ,  P P  A A  
(0, g − q, r − h). 
P P  A A  
(p − f, 0, h − r). P P  A A   
(f − p, q − g, 0). 30




2 3

3 1

2

3

3

1



0


p−f


f −p

1 2

g−q 0

q−g


r−h


h − r
= 0,

0


# 1.7, 




x1


p−f


f −p

Æ

x2 0 q−g






h − r
= 0,

0
x3

x2 x3 x1 + + = 0. p−f q−g r−h

1

2

20


A P 
hx − qx = 0; A P 
gx − px = 0.  ⇐⇒

(2) A3 P1

1 2

1

2

2



h
0


−r 0


g −p

3

2 3

!% #" 
f x − rx = 0; 3

1



−q


f
= 0,

0


Æ f gh = pqr. 0 A P , A P , A P (&
f gh = pqr. 1 1.6  ABC ! BC, CA, AB 
α = 0, β = 0, γ = 0,  A, B, C 0  ⇐⇒ 
qβ−rγ = 0, rγ − pα = 0, pα − qβ = 0,  p, q, r
 35  ⇐=   =⇒ ) ! A  
qβ − rγ = 0.  B 
6# p, 
rγ − pα = 0.  C 
6# q , 
pα − q β = 0. 
 %!
 l, m, n(lmn = 0)  1 3

2 1

3 2







l(qβ − rγ) + m(rγ − pα) + n(pα − q
γ) = 0,

Æ

(np − mp)α + (lq − nq
)β + (nr − lr)γ = 0.

 α = 0, β = 0, γ = 0 
Æ q = q .

. /

1.




1.2

,/ -*)'% - 1(34+4324-4!2)  

(1)

(2, 0),

(1, 3),

(4, 1),

5 ,2 ; 3

- 34 *.5)635*/ (3) !) 3x + y = 0 +)635*) 2. .',/(,/ -*)/'% - 1) √ √ P (2, 4, −1), Q( 10, − 6, 2), R(0, 1, 0), S(0, 4, 3), T (1, 4, 0), U (1, 0, 4). 3. .'%0-(--544(. (±1, ±1, ±1) (-78/&76)*.4+5,-,+, 7.)/'%-1) 4. ,/ -!))'% - 1) (1) x 3/ (2) y 3/ (3) 635!)/ (4) x − 2x − 3x = 0; (5) 6(6*(8-* 2 )!)/ (6) * (0, 1, 0) . (1, 0, 1) ).)) (2)

1

2

3

'+)'% -1 5. .',/(, 4 . -!))/'%) - 1) 6. ,/ -!)+)635*)

§1.2

(1)

7.

x1 + x2 − 4x3 = 0;

(2)

x1 + 2x2 = 0;

x2 − 3x3 = 0;

(4)

x1 + 5x3 = 0.

,/ -)-1478)!)..)

(3)

21

(1)

[0, 1, 1];

(2)

[1, 1, −1];

(3)

[1, 0, 1];

(4)

[1, −1, 0];

(5)

[2, −1, 5];

(6)

[0, 0, 1].

8. (1)

u1 = 0;

(2)

u3 = 0;

(3)

u2 − u3 = 0;

(4)

2u1 + u2 = 0;

(5)

u1 + u2 + 2u3 = 0;

(6)

u21 − 5u1 u2 + 4u22 = 0;

u21 − 3u1 u2 + 2u23 = 0;

(8)

au1 + bu2 = 0.

/ )-1..-783!!,.

,/ -*)'%) -1..) (1) x 3+)635*/ (2) y 3+)635*/ 1 )!)+)635*/ (3) 8-* − 2 (7)

9.

(4)

(0, 0, 1);

(5)

(2, 4, −3).

.',/(,+. -*)/'%)- 1..) 11. 9,- 2x + x + x = 0, 3x − 4x + 2x = 0, 4x + x − 3x = 0 *,)/*,) 8*-1) 12. 9,- A(1, 2, 3), B(2, 2, 1), C(3, 4, 3) *8*)/),)/,..) 13. ,/ !))0* - 1...) (1) x + 2x − 4x = 0 . 2x − x + x = 0; (2) x − 2x = 0 . 4x − 5x + x = 0. 14. 74/* P (1, 4, −3), P (0, 2, 5), P (3, 8, −19). (1) "-+ P , P , P /*$)/ (2) ,4/!)../ (3) 44 P )'% - 1:, P = P + λP . 15. //*, A B C . A B C //!#( B C . B C 0 X, C A . C A 0 Y , A B . A B 0 Z, 95 X, Y, Z /*$)),"+/!) A A , B B , C C $ *) (78+//*, A B C . A B C ), B C , C A , A B . B C , C A , A B ) '%..8%* α = 0,β = 0,γ = 0; . α = 0,β = 0,γ = 0, 4/ X, Y, Z 4/!)'% ..* δ = 0, 6)07814;)) 16. / O(f, g, h), A A A * - 1/*,( A O, A O, A O %*. A A , A A , A A 0 P, Q, R; QR, RP, P Q %*. A A , A A , A A 0 L, M, N . ,"+ L, M, N /*$ )(-,+/!))..) 10.

1

1

2

1

2

2

3

1

3

1

1

1

1

2

2

3

2

1

1

2

2

1

2

3

3

3

3

1

3

3

2

3

1

2

1

2

2

1

2

2

1

1

2

2

1

1

1

1

1

2

1

1

2

2

1

1

2

1

2

2

3

3

3

1

1

1

1

1

2

2

1

1

1

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

3

2

3

3

1

1

2

!% #" 17. / O *+!) x − kx = 0 +).*( A A A *:1)/=)D()7@#")-94;(?/83C# "+  
) 0 3
:: &0) 

J7@A 
   ) )   
#+ 
Æ

  u x = 0 
 !
  F
5 &%
 5F)  A

A

A

A

A

A

3

i=1

i i

Aξ1 + Bξ2 + Cξ3 = 0.

(1)

/86< 35 



(ξ , ξ , ξ )
 



[ξ , ξ , ξ ]
 ) 
 (1)  
) 
 (1)  
[A, B, C]  (A, B, C)  ( §1.4

1

2

3

1

2

3

   A1 ξ1 + B1 ξ2 + C1 ξ3 = 0,

(2)

  A ξ + B ξ + C ξ = 0. 2 1 2 2 2 3



 ( (2)  

 ( (2)  
 
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 )  (1)  (A, B, C) (1)  [A, B, C]  Au + Bu + Cu = 0.  Ax + Bx + Cx = 0. (2)  (0, 0, 1) (2) "&  [0, 0, 1]  u = 0.  x = 0. (3) "&  (A, B, 0) (3)  [A, B, 0]  Au + Bu = 0.  Ax + Bx = 0. (4)∼(8)  1.5∼  1.9. (4) ∼ (8)  1.5 ∼  1.9 . 1)




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