Grundlegende Algorithmen mit Java

Doina Logofa ˘tu Grundlegende Algorithmen mit Java Aus dem Bereich IT erfolgreich lernen Algorithmen und Problemlösu...

Author: Doina Logofatu

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Doina Logofa ˘tu Grundlegende Algorithmen mit Java

Aus dem Bereich IT erfolgreich lernen

Algorithmen und Problemlösungen mit C++ von Doina Logofa ˘tu Programmieren lernen mit Java von Erwin Merker und Roman Merker Grundkurs Java-Technologien von Erwin Merker und Dietmar Abts Java ist eine Sprache von Ulrich Grude Grundkurs Java von Dietmar Abts Masterkurs Client-/Server-Programmierung mit Java von Dietmar Abts

Grundlegende Algorithmen mit Java von Doina Logofa ˘tu

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Doina Logofa ˘tu

Grundlegende Algorithmen mit Java Vom Algorithmus zum fertigen Programm – Lern- und Arbeitsbuch für Informatiker und Mathematiker Mit 115 Abbildungen

Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

Das in diesem Werk enthaltene Programm-Material ist mit keiner Verpflichtung oder Garantie irgendeiner Art verbunden. Der Autor übernimmt infolgedessen keine Verantwortung und wird keine daraus folgende oder sonstige Haftung übernehmen, die auf irgendeine Art aus der Benutzung dieses Programm-Materials oder Teilen davon entsteht. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne von Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürfen. Höchste inhaltliche und technische Qualität unserer Produkte ist unser Ziel. Bei der Produktion und Auslieferung unserer Bücher wollen wir die Umwelt schonen: Dieses Buch ist auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier gedruckt. Die Einschweißfolie besteht aus Polyäthylen und damit aus organischen Grundstoffen, die weder bei der Herstellung noch bei der Verbrennung Schadstoffe freisetzen.

1. Auflage 2008 Alle Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008 Lektorat: Günter Schulz / Andrea Broßler Der Vieweg-Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.vieweg.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0369-6

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Vorwort ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱ ȱȱ ȱȱ ȱȱ ȱ ȱãȱȱƸƸȱǰȱȱȱ£ȱ ȱȱǯȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãđȱ ȱ ǰȱ §ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ǯȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱûȱȱȱȱ Ȭ ¡§ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ §ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ȱ §£ȱ ãȱ ǯȱ

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X

Danksagung ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ûǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱ£ ȱȱ ȱȱ£ȱȱǯȱûȱȱȱȱ ȱãȱǰȱ ȱ§ȱȱ ȱȱȱȱȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ǯȱ ǯȱ ȱ ûȱ ȱ £ ȱ ŗşŞŜȱ ȱ ŗşŞŞȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ ǻȬ ǼȱȱȱȱȬ¢ȱǻǼȱȱ ȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱû ȱ ǯȱ ȱ ȱȱȱȱ£ȱȱ£ȱȱ ǰȱȱȱȱ ȱȱȱȱ Ȭȱȱȱȱȱȱȱȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ǯȱ ǯȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱ§ȱǯȱȱȱȱȱǰȱ ȱȱȱȱȱȱȱ£ȱ £ȱȱȱȱǮȱȱ ȱ Ȅȱ £ȱ ǯȱ đȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱǻȱŗŘǰȱ ȱŝǰȱǼȱȱȱȱȱ ȱ ǻ ȱ ŚǼȱ ǯȱ tȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ã ȱ ¢ǰȱ ȱ đǰȱ ǯȱ ûȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ §ȱûǯȱûȱȱȱǯȱȱ ȱ ûȱȱ£ȱȱȱȱȱȱ ȱǯȱǯȱȱȱ ȱǻ§ȱǰȱǼǰȱǯȱǯȱȱ ȱȱǯȱǯȱȱ l©óȱǻȱ§ȱǰȱ§Ǽǯȱ ȱ ûȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ûǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ

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XI

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XII

Inhaltsverzeichnis ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ GELEITWORT von Dr. Eric Müller

VII

VORWORT

IX

DANKSAGUNG

XI

ȱ ȱ 1 ALGORITHMEN – GRUNDLEGENDE KONZEPTE

1

Abstammung des Wortes Algorithmus Alternative Definitionen Beispiele für Algorithmen Euklidischer Algorithmus Das Sieb des Eratosthenes Binäre Suche Rezept für Tiramisu Vom Problem zur Lösung Eigenschaften eines Algorithmus Algorithmik Das RAM-Rechnermodell Die Komplexität von Algorithmen Optimalität, Reduktion, Beispiele Wachstum von O(g(n)) Die reelle Zeit eines Algorithmus (polynomial vs. exponentiell) Klassifizierung der Probleme (P, NP, NP-vollständig, NP-hart) Probleme NP-vollständig (NP-complete) Das Erfüllbarkeitsproblem (SAT) Die Klasse der NP-hart Probleme Aufgaben

1 1 2 2 3 4 6 7 10 10 11 12 14 17 17 18 19 20 21 22

ȱ

XIII

2 VERSCHACHTELTE SCHACHTELN Problembeschreibung Problemanalyse und Entwurf der Lösung Der Algorithmus Das Programm Die Programmanalyse Aufgaben Anmerkungen

3 GREEDY Grundlagen Problem 1. Rucksackproblem Problem 2. Kartenfärbung Problem 3. Springer auf dem Schachbrett Problem 4. Minimaler Spannbaum (Kruskal-Algorithmus) Problem 5. Huffman-Kodierung

4 DATA ORDERING PROBLEM Problembeschreibung Problemdomäne, Definitionen DOP und DOPI sind NP-vollständig Algorithmen für DOP und DOPI Zufällige-Lösung-Algorithmen (RAN) Exakt-Algorithmen (EX) Greedy_Min-Algorithmen (GM) Greedy_Min Simplified-Algorithmen (GMS) Algorithmen mit unterer Schranke (LB) Implementierungsdetails Programm Auswertung der Ergebnisse Aufgaben

5 REKURSION Vollständige Induktion Rekursion: Grundlagen Problem 1. Quersumme und Spiegelung einer natürlichen Zahl Problem 2. Die Zahl 4 Problem 3. Rest großer Potenzen Problem 4. Die Torte (lineare Rekursion) Problem 5. Die Ackermannfunktion (verschachtelte Rekursion, "compound recursion") Problem 6. Rekursive Zahlenumwandlung (Dezimalsystem in System mit Basis P) XIV

25 25 26 27 29 32 37 38

39 39 40 43 45 48 56

65 65 66 71 72 73 74 74 75 75 77 84 94 96

99 99 105 106 108 111 115 118 120

Problem 7. Summe zweier Wurzeln (verzweigte Rekursion) Problem 8. Collatz-Funktion (nicht-monotone Rekursion) Problem 9. Quadrate und Quadrätchen Problem 10. Quadrate (direkte Rekursion) Problem 11. Quadrate und Kreise (indirekte Rekursion) Problem 12. Die Koch’sche Schneeflockenkurve

6 TEILE UND HERRSCHE Grundlagen Problem 1. Größter gemeinsamer Teiler mehrerer Zahlen Problem 2. Die Türme von Hanoi Problem 3. Integral mit Trapezregel Problem 4. Quicksort Problem 5. Mergesort (Sortieren durch Verschmelzen) Problem 6. Quad-Bäume Problem 7. Diskrete Fourier-Transformation (DFT)

7 BACKTRACKING Problem 1. Das Problem der n Damen Allgemeine Bemerkungen zum Backtracking-Verfahren Problem 2. Das Problem der n Türme Problem 3. Das Problem der Türme auf den ersten m Reihen Problem 4. Das Problem der aufsteigenden Türme auf den ersten m Reihen Problem 5. Die Freundschafts-Jugendherberge Problem 6. Partitionen einer natürlichen Zahl Problem 7. Erdkunde-Referate Problem 8. Alle Wege des Springers Problem 9. Das Fotoproblem Problem 10. Der ausbrechende Ball Problem 11. Orangensport Problem 12. Testmusterkompaktierung Problem 13. Sudoku Problem 14. Das Haus des Nikolaus Noch 10 Probleme 8 DYNAMISCHE PROGRAMMIERUNG Grundlagen, Eigenschaften des Verfahrens 1. Ursprung des Konzeptes 2. Optimalitätsprinzip 3. Überlappung der Probleme, Speicherung der optimalen Teilproblemlösungen (Memoization) 4. Einführendes Beispiel – die Fibonacci-Folge 5. Bottom-up versus top-down

123 125 127 130 133 135

145 145 146 148 150 152 155 157 162

169 169 175 178 179 180 181 182 185 188 191 193 196 205 214 221 224 231 231 231 231 232 232 234 XV

6. Vergleich mit anderen Verfahren Aufgaben Problem 1. Das Zählen der Kaninchen Problem 2. Längste aufsteigende Teilfolge Problem 3. Längste gemeinsame Teilfolge (LCS) Problem 4. Zahlen-Dreieck Problem 5. Domino Problem 6. Verteilung der Geschenke Problem 7. Ähnliche Summe Problem 8. Schotten auf dem Oktoberfest Problem 9. Springer auf dem Schachbrett Problem 10. Summen von Produkten Problem 11. Minimale Triangulierung eines konvexen Vielecks Problem 12. Multiplikation einer Matrizenfolge Problem 13. Edit-Distanz Problem 14. Arbitrage

9 POTENZSUMMEN Problembeschreibung Problemanalyse. Algebraische Modellierung Von der Rekursionsgleichung zum Algorithmus Der Algorithmus Programm Aufgaben

234 235 236 240 245 249 253 258 261 266 275 280 286 291 297 305

311 311 311 313 316 318 321

LITERATURVERZEICHNIS

323

STICHWORTVERZEICHNIS

327

ȱ

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XVI

Algorithmen – grundlegende Konzepte

1

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2

Grundlegende Algorithmen mit Java • •

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Beispiele für Algorithmen Euklidischer Algorithmus.ȱȱȱǰȱ ȱ ȱȬ ȱ ûȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ǯȱ ȱ ȱ ¡£ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ǯȱ řŖŖȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ǯȱ ãđȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ǯȱ ȃȱ ǰȱ ȱ ȱ ŗřȱ ûȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £Ȭ ȱǯȱȱ ȱ ȱ

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1 Algorithmen – grundlegende Konzepte Ǳȱ ȱ a = 294, 294 = 3 x 77 77 = 1 x 63 63 = 4 x 14 14 = 2 x 7

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3

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a 7 2 5 1 1 6 2

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ȱ Das Sieb des Eratosthenesǯȱ ȱ ȱ ȱ ǻǯȱ ŘŝŜȮŗşŚȱ ǯȱ ǯǼȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ǰȱ ȱ ¢ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ǯȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱ¡ǯȱȱ ȱȱȱ đȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ

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4

Grundlegende Algorithmen mit Java

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1 Algorithmen – grundlegende Konzepte

5

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6


Rezept für Tiramisu. ȱ ȱ Ǳȱ

ŗȱ

đȱ

ȱ

ǻŘŖŖȱ

Ǽȱ

ãǰȱ śŖŖȱ ȱ ǰȱ Śȱ ǰȱ Řȱ ãȱ ǰȱ śȱ ãȱ ǰȱ ȱ

ǰȱŗȱȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȏȱ ŗǯ ȱ ȱȱȱȱđǯȱ Řǯ ȱȱ£ȱȱ ȱ§ǯȱ řǯ ȱȱȱȱȱȱȱȱǯȱ Śǯ ȱȱ đȱǯȱ śǯ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱǯȱ Ŝǯ ȱ£ȱȱȱǰȱȱȱȱ ǯȱ ŝǯ ȱ đȱȱȱȱ§ȱȱǯȱ Şǯ ȱȱ đȱ£ȱȱ£ǯȱ şǯ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §đȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ û£ǯȱ ŗŖǯ ȱȱȱȱ§ȱȱǯȱ ŗŗǯ ȱȱȱȱ§đȱǯȱ ŗŘǯ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ûȱ ǰȱ ȱ ȱ

ûȱǯȱ ŗřǯ ȱȱȱȱ ȱǯȱ ȏȱ ȏȱ ȱ ǰȱȱȱȱȱȱȱ£ȱȱȱȱǯȱ ȱ ȱ £ȱ ûȱ ǰȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ûȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱȱûȱ ȱȱȱŗŘȱȱŗŗȱ ûǰȱ ȱ ȱ ȱȱŗřȱ ǻȱ ȱǼȱȱŗŘȱǰȱȱȱȱȱǯȱ ȱ


7

ȱȱȱ ȱǰȱȱȱȱȱȱǰȱȱ£ȱȬ ȱãȱȱûǯȱȱȱ ǰȱȱȱ§ȱȱȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ããǯȱ ȱ ãȱ ȱ £ ȱ £ȱ ǰȱȱȱȱȱ£ȱȱȱȱȱȱȱȱȱãȬ ȱȱ ȱ§ȱ ǯȱȱȱȱȱ ȱȱȱ ãǯȱȱûȱãȱ ȱȱȱȱȱǰȱȱȬ ȱ£ǯȱ

Vom Problem zur Lösung ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ đȱ ǰȱȱ ȱǯȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱ£ ȱǱȱȱȱǯȱȱ • ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻ ȱǰȱǰȱãǼǲȱ • ȱ ȱ ȱ £ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ûȱ ȱ £ȱ £ǯȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ȱ

ãȱ £ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱ£ȱãȱȱȱȱ£ǰȱȱȱȱǯȱȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱ ¡§ȱȱȱȱȱ §ȱȱ§ǯȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ûȱ Ǳȱ ȱ • ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ £ȱȱ ȱãȱǻǼǯȱ • ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ

ȱȱȱȱ ûȱȱǯȱ • ȱȱȱȱȱȱǯȱ ȱ ȱŗǯȱ §ȱǻǯȱȱȱǼǯȱȱ ȱȱȱ ȱȱ§ǰȱ§ǰȱǰȱ ȱȱ£ȱȱ ȱȱȱȱǰȱȱ ȱȱȱȱȱ§ǰȱȱ£ ȱ ȱȱȱȱȱǯȱ ȱ ȱ ȱ

8


ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ãǰȱ ûȱ ȱ £ȱ ȱ ¢ȱ

ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱȱȱûȱȱȱŗȱȱȱ££ ǯȱ £ȱûȱ ȱȱȱ ȱǰȱ ȱȱȱȱǯȱȱȱȱ£ ȱ ¡ȱȱȱȱȱȱȱǯȱȱȱȱȱȱȬȱȱȱȬȱȱȱ §ȱ ȱ ȱ ŗǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ Ŗǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ƽȱ ǯȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱȱŗȱȱǯȱȱãȱȱ ȱȱȱ¢ȱȱƽȱǿŗǰȱŘǰȱǳǰȱȀǰȱȱ∈ǿŗǰȱ ǯǯǰȱȀȱȱǯȱȱûȱȱǰȱȱȱȱ≠ȱǰȱ ȱȱƽȱŗȱǯȱȱ ȱȱȱȱǰȱȱ ȱȱȱȱǰȱȱȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ§ȱǯȱ ǯȱȱ ȱȱ ȱ[ȱȱřȱãȱȱ§ǰȱȱȱ §ȱȱȱǱȱ ȱ

ȱ ȱ ȱ§ȱȱ ȱ ȱȱȱ ȱ£ǯȱȱǰȱȱȱ ȱ£ ȱ ȱȱǯȱȱ ȱ ££¡ȱ ȱ ¢ǰȱ ȱ ȱ ȱ ƽȱ ȱ ûȱ ȱ ǰȱ ȱ zȱ ǿŗǰȱ Řǰȱ ǳǰȱ ŗŖȀǯȱ ȱ ãȱȱȱǿȱÁ ÁÁ ÁÁ ÁȱȀǯȱ ȱ ȱ ȱ

1 Algorithmen – grundlegende Konzepte ȱȱ ȱ ȱ ȱ

1

4

7

2

5

3

6

8

9

9 ȱ££¡ȱş¡şȱ §0 1 0 0 0 0 0 0 0· ¨ ¸ ¨1 0 1 1 0 0 0 0 0¸ ¨0 1 0 1 1 1 0 0 0¸ ¨ ¸ ¨0 1 1 0 1 0 0 0 0¸ ¨ ¸ȱ ¨0 0 1 1 0 1 1 1 0¸ ¨0 0 1 0 1 0 0 1 0¸ ¨ ¸ ¨0 0 0 0 1 0 0 1 0¸ ¨0 0 0 0 1 1 1 0 1¸ ¨¨ ¸¸ ©0 0 0 0 0 0 0 1 0¹

ȱ ȱãȱ§ȱȱ ȱȱ ȱȱȱ§ȱȱȱ Ǳȱ ȱ ȱ 1 2 3 ȱ ȱ ȱ 5 6 4 ȱ ȱ ȱ 7 9 8 ȱ ȱ

ȱ

10


ȱŘǯȱȱȱȬǯȱ ȱ ȱûȱȱȱȱ§ȱȱȱǯȱȱ ȱȱ ȱ£ǰȱ ȱȱ ȱȱȱ£ ǯȱ ȱǰȱȱ đȱȱǰȱȱ ȱȱȱȱȱȱ ȱȱ ȱ§ǯȱȱȱȱ ȱȱȱǰȱ ȱȱȱȱȱǰȱȱ ¢ȱ ȱ £ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ǰȱ §ȱ ǻ ãǰȱǰȱǼǰȱȱȱȱȱȱûȱȱ£ǯȱ ȱȱ ȱȱȱǰȱȱȱȱãȱûȱ ȱ ûȱ ǻȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǲȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ§ȱȱȱȱȱǲȱȱȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ǲȱ ǯǯǯǼǯȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ǻȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ §ǰȱ £ǯȱ ǯȱ ȱ ǰȱ ȱ ǲȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ £ ȱ §ȱ ǲȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ £ȱ ¡ȱ ȱ ȱ ǲȱ ǯǯǯǼǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ǰȱ ãȱ ȱȱȱ ȱȱȱǯȱ

Eigenschaften eines Algorithmus • • • • • • •

ȱãȱȱǻȱǼȱ ȱȱȱǻȱǼȱ ȱ ǻȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ §ȱȱȱǼȱ

ȱȱȱȱ£ȱȱȱ ȱ ǻȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱǼȱ

¡§ȱ ǻ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ £ǰȱȱ Ǽȱ ȱ ǻȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ǰȱȱȱȱûǰȱȱûȱȱȱ Ǽǯȱ

Algorithmik ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱȱȱ§ǰȱȱȱȱ¢ȱȱ ȱǯȱ ŗǯ ȱǮ Ȅȱȱȱ£ ȱǱȱ • ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻȱ ǰȱȱȱȱ§ȱȱȱȱ ǰȱ ǯǼȱ


11

•

Řǯ

ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ £ȱȱ ȱûȱãȱǯȱ ȱȱ¢ȱȱȱ ȱȱȱ£ȱ ǰȱ ȱ ȱ ãȱ £ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ãǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ §ȱ ǻ£ȱ §ȱǼǯȱ

ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱǰȱȱ£ȱȱȱȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ û£ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ǯȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻȱ ȱ Ǽǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ǳȱ ǰȱ ǰȱ ȱ ǰȱ Ȃȱ ǰȱ ǰȱ ǯȱ

Das RAM-Rechnermodell ȱ ȱȱȱ§ȱȱȱȱȱȱȱ ȱ ¢ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ đǯȱ ȱ Ȭ ȱȱȱǱȱ • ȱǮȄȱȱǻƸǰȱȬǰȱȘǰȱȦǰȱƖǰȱƽǰȱȦ ǰȱȦǼȱãȬ ȱȱȱ£ ǯȱȱǯȱ • ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ ǯȱ ȱ ǯȱȱ£ȱȱȱȱȱȱ£ǯȱ ȱ §ȱ£ȱȱǰȱȱȱǻǼȱȱȱ££ ǰȱ ȱȱȱ§ȱǰȱȱȱȱ£ȱȱȱȱŗŖǯȱȱ ǰȱȱȱȱȱȱǻǼȱãǰȱ§ȱȱȱ £ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ đȬ ǯȱ • ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ £ȱȱ£ȱûǯȱȱȱûȱǰȱȱȬ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻ£ǯȱ ǯȱ ȱ Ǽȱ ǯȱȱȱȱ¢ȱȱǯȱ ȱȱȬȱȱȱȱ£ȱȱȱǻǼǰȱȱûȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱ§£ǰȱ ȱȱȱȱ£ȱ ȱȱȱȬ ȱ£ȱȱ§ǯȱ £ȱȱȱǰȱȱȱȱ£ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ûȱ §£ȱ£ȱãǯȱȱȱ ȱȱȱȱǰȱȱȱȱ ¡ȱȱȱȱȱȱȱȱǯȱȱȱȱȱ ǰȱȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱȬ

12


ȱ ȱ £ȱ ȱ £ ǯȱ ȱ ȱ ǯȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȬȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱ£ȱȬ ¢ǯȱȱȱȱ ȱȱȱ ȱȱȱ£ȱȱ §ȱȱ ǯȱȱ ȱ ȱȱȱ £ǰȱȱȱȱȱ£ȱ ȱǯȱȱ ȱ £ȱȱȱȱȱȱȱǯȱȱȱǰȱȱȱȱȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ãȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ûȱûǰȱȱȱȱ ǯȱȱ §ȱȱǰȱȱȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ǯȱ ȱ§ȱȱȱȱȱȬǯȱȱȱȱǰȱȱȱȬ ǰȱȱȱȱǰȱȱû£ȱǰȱȱȱȱȱȱ §ȱ£ȱǯȱȱ

Die Komplexität von Algorithmen ȱ ¡§ȱȱȱȱȱȱ ǰȱȱȱ ȱ ȱȱȱ ȱǻ£ǰȱãȬ ȱ ǰȱ £ȱ ȱ ȱ ǯǼǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ ǰȱ ǰȱ ȱ ȱ £ȱȱȱȱ ȱǯȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱȱ ǻǼȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ £ȱ §ȱ ûȱȱȱȱȱȱȱǯȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱǰȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ Ǽǰȱ ȱ ǻȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ Ǽǰȱ ǰȱ ǰȱ ǰȱ Ȭ ǰȱȬȱ ǯȱǯȱ ȱ Die Ĭ-, O- und ȍ-Notation.ȱȱȱ ȱ ǰȱȱȱȱ ȱ ¡§ȱ ȱ ȱ £ȱ ¢ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ

ȱȱȱǯȱ ȱ Die Ĭ-Notation (konstante Kategorie – same order).ȱȱȱȱȱ ȱ Ŗȱ zWȱȱŗǰȱŘȱzȱ[ȱǰȱûȱȱȱȱȱǻǼȱûȱȱûȱȱǰȱȱ ãđȱȱŖȱǰȱȱ£ ȱŗȱȉȱǻǼȱȱŘȱȉȱǻǼȱǰȱȱȱ ǰȱȱȱ zȱ̋ǻǼȱǯȱ


13

ȱ ȱ̋ȬǱȱ∃ŖǰȱŗǰȱŘȱ∀ȱ≥ȱŖǱȱŗȉǻǼȱ≤ȱǻǼȱ≤ȱŘȉǻǼȱȱ ȱ Die O-Notation (obere Schranke – upper bound). ȱ ǰȱ ȱ ǻǼȱ zȱ ǻǻǼǼȱ ǰȱ ȱȱȱȱ ȱŖȱzWȱȱȱz[ȱǰȱûȱȱȱȱȱǻǼȱûȱ ȱûȱȱǰȱȱãđȱȱŖȱǰȱȱȱȱȉǻǼȱǯȱ ȱ

ȱ ȱȬǱȱ∃Ŗǰȱȱ∀ȱ≥ȱŖǱȱǻǼȱ≤ȱȉǻǼȱ Die ȍ-Notation (untere Schranke – lower bound).ȱ ȱ ǰȱ ȱ ǻǼȱ zȱ ̛ǻǻǼǼȱ ǰȱ ȱȱȱȱ ȱŖȱzWȱȱȱz[ȱǰȱûȱȱȱȱȱǻǼȱûȱ ȱûȱȱǰȱȱãđȱȱŖȱǰȱȱãđȱȱȉǻǼȱǯȱ ȱ

14


ȱ ơ̇̄ȬǱȱ∃Ŗǰȱȱ∀ȱ≥ȱŖǱȱǻǼȱ≥ȱȉǻǼȱ

Optimalität, Reduktion, Beispiele ȱ ¡§ȱȱȱȱȱȱǻǼǰȱȱȱ£ȱȱãȬ ȱȱǻȱȱ£ǼȱȱȱûȱȱȱȱȱȱȬ §ǯȱȱȱ£ ȱȱȱȱǱȱ ǯ ȱ ¡§ȱ ȱ ûȱ ȱ ǻǯȱ Ȭȱ ¡¢ǼǱȱ ȱ£ȱȱȱȱȱȱ§ȱȱȱȱȱ ǯȱ ǯ ȱ£ȱûȱȱȱȱȱȱȱȬ ȱȱ£ȱȱ£ȱȱǯȱ ȱ ȱ ȱǰȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ §ȱǰȱ£ǰȱ ȱȱȱȱȱ§ȱȱȱȱ ǻǯȱ ȬǼǯȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ¡§ȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ǻǻǼǼȱ ǰȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ǳȱ ȱ ǻȱ

¡§Ǽǰȱ ǻǼȱ ǻȱ ¡§Ǽǰȱ ȱ ûȱ ≥Řȱ ǻ¢ȱ

¡§Ǽǰȱȱǻ¡ȱ ¡§ǼǰȱǷȱǻȱ ¡§Ǽǯȱȱȱ ȱȱȱȱ £ ȱȱȱ¢ǯȱûȱȱ £ǰȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ ǻǼȦǻǼȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ ȱǰȱȱǻǼȱȱȱǻǻǼǼǯȱǱȱ ŗǯ

Řǯ řǯ Śǯ

n = 0 ȱmȱ n ȱzȱǻǼȱ n→ ∞ n n lim = ∞ mȱȱ{ȱǻ n Ǽȱ n →∞ n n 1 lim = mȱȱzȱǻŘǼȱ n → ∞ 2n 2 2n lim = 2 mȱŘȱzȱǻǼȱ n→∞ n

lim


15

ȱȱȱđȱȱ §ǰȱȱȱȱûǱȱ ǻǼȱǀȱȱǀȱȱȉȱǻǼȱǀȱŘȱǀȱřȱǀȱŘǰȱȱȱȱǻǻǼǼȱ£ȱǻǼȱ£ȱǻȱǻǼǼȱ£ǻŘǼȱ £ȱǻřǼȱ£ȱǻŘǼǯȱȱ ǱȱŗŖȱƸȱśȱǻǼȱƸȱŞȱȱ∈ȱǻǼǰȱŞȱ∈ȱǻŘǼǰȱŜśȱȱ∈ȱǻŗǼǰȱŗŖŖŖȱȱ∈ȱǻŘǼǯȱ ȱ ȱȱ ¡§ȱȱȱȱ ǰȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱûȱȱȱȱȱȱǰȱ ȱ ȱ ¡§ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ¡§ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãǯȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱǰȱȱûȱȱȬ n ȱ §¨ ·¸ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¨ 2¸ © ¹ ȱ ȱ ȱ ¡§ȱ ǻŘǼǯȱ ȱ ãȱ ȱ £ǰȱ ȱ ȱ ȱȱ ¡§ơ̇̄ǻŘǼȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ǰȱ ȱ ȱ ¡§ȱ ȱ Ȭ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ £ȱ ǯȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱûȱȱȱȱȱȱ ûȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȬ ǰȱȱ ȱȱȱ ȱãȱȱȱǰȱȱȱȱȱ ȱãǰȱȱȱȱȱȬ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ§ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ûȱ ȱ ȱȱȱȱȱ£ȱǻ ¡§Ǳȱ̋ǻȱǻǼǼǼǯȱ ǱȱǻȱƸȱǻǼǼȱƽȱǻǼǰȱȱǻǼȱǀȱǰȱǻǷȱƸȱřǼȱƽȱǻǷǼǰȱȱřǀǷǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱ ¡§ȱȱ££ȱȱȬ ȱ¢ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ

16


¢ȱȱ ¡§ǯȱ ȱȱȱȱǱȱ ŗǯ ȱȱ Řǯ ȱ←Ŗǰȱȱ←ȱŖǰȱȱ←ȱŖȱ řǯ ȱǻȱȱǀȱȱǼȱȱ ȱȱȱ ȱ ȱȱȱ←ȱȱƸȱŗȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱ←ȱȱȮȱŗȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ←ȱȱƸȱŗȱ ȱȱȱȱȱȱȏȱ Śǯ ȱ←ȱŖȱ śǯ ȱǻȱȱǀȱřȱǼȱȱ ȱȱȱ ȱ ȱ←ȱȱȬȱŗȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱ←ȱȱƸȱŗȱ ȱȱȱȱȱȱȏȱ Ŝǯ ȱǰȱȱ

ȱŘȱȱřȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ řȱ ûȱ Ř ǰȱ ȱ ȱ ȱ ř ȱ ǰȱ ãȱ ȱ ȱŜȱǯȱ ȱŚȱȱȱǯȱ ȱ ȱ śȱ ȱ Řȉřȱ ǰȱ řȱ ȱ ȱ řȱ ȱ ǰȱȱȱŗŘȱǯȱ ȱ ǱȱřƸŜƸŗƸŗŘȱƽȱŗŞƸŚȱ ȱđȱȱ ¡§ȱȱǻǼǯȱ

ȱ ¢ȱ ȱ ¡§ȱ ȱ ££ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱȱȱãǱȱȱȱȱȱŗȱƸȱŘȱƸȱǯǯǯȱƸȱǯȱȱ ȱ

ȱȱ ȱ←ȱŖȱ ȱǻȱ←ȱŗǰȱǼȱ ȱȱȱȱ←ȱȱƸȱȱ Ƹŗȱ ǰȱȱ ȱȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ǱȱŘȱƸȱŗȱ ǻǼȱ

ȱȱ ȱ←ȱŖȱ ȱǻȱȱ←ȱŗǰȱȱǼȱȱ ȱȱȱǻȱȱ←ȱŗǰȱȱǼȱ ȱȱȱȱȱ←ȱȱƸȱŗȱ

ŗƸǻƸŗǼȦŘȱ ȱ ȱȱȱȱǻƸŗǼȦŘȱȱ ȱ ȱ ȱ ǱȱŘȱƸȱȱƸȱŗȱ ǻŘǼȱ

ȱȱ ȱ←ȱȘǻƸŗǼȱȦȱŘȱ

ŗȱǰȱȱ ŗȱǰȱȱ ŗȱǰȱȱ ŗȱ ȱ ȱ ǱȱŚȱ ǻŗǼȱ

ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ £ȱȱȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ


17

Wachstum von O(g(n)) – vergleichendes Beispiel ȱ

ŗŖȱ ŗŖŘȱ ŗŖřȱ ŗŖŚȱ ŗŖśȱ ŗŖŜȱ

ǻȱǼȱ

ȱȱȱǻǻǼǼȱǻȱǱƽȱǼȱ ȱ ȱȱȱ Řȱ ȱ ȱȱ ǻȱǼŘȱ

Řȱ řȱ řȱ Śȱ Śȱ Śȱ

řȱ ŝȱ ŗŖȱ ŗřȱ ŗŝȱ ŘŖȱ

ŗŗȱ ŚŚȱ şşȱ ŗŝŝȱ ŘŝŜȱ řşŝȱ

ŗŖȱ ŗŖŖȱ ŗŖŖŖȱ ŗŖǯŖŖŖȱ ŗŖŖǯŖŖŖȱ ŗǯŖŖŖǯŖŖŖȱ

řřȱ ŜŜŚȱ şşŜŜȱ ŗřŘǯŞŝŝȱ ŗǯŜŜŖǯşŜŚȱ ŗşǯşřŗǯśŜşȱ

ŗŖŘȱ ŗŖŚȱ ŗŖŜȱ ŗŖŞȱ ŗŖŗŖȱ ŗŖŗŘȱ

Řȱ

Ƿȱ

ŗŖřȱ ŗŖřŖȱ ŗŖřŖŗȱ ŗŖřǯŖŗŖȱ ŗŖřŖǯŗŖřȱ ŗŖřŖŗǯŖřŖȱ

ŗŖśȱ ŗŖşŚȱ ŗŖŗŚřśȱ ŗŖŗşřřśȱ ŗŖŘŚřǯřřŞȱ ŗŖŘǯşřřǯřŜşȱ

¡§ȱûȱȱǱȱ ŗǯ ȱȱ ǰȱȱȱȱȱȱ ¡§ȱǻǻȱ ǼǻȱǼǼȱ ǯȱ Řǯ ȱ ¡§ȱûȱȱȱȱȱǻǼǰȱ ȱȱûȱȱȱ ȱȱ ȱûǯȱ řǯ ûȱȱ§ȱȱ§ȱȱ ¡§ȱǻȱǼǰȱ ȱȱûȱ ȱǻŗȱƸȱȱǼȱȱûȱ ǯȱȱ Śǯ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ

ȱ ȱ ǻȱ ¡ȱ Ǽǰȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ǻȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱǼǯȱȱ

¡§ȱȱȱ¡ǱȱǻǼǯȱȱ

Die reelle Zeit eines Algorithmus (polynomial vs. exponentiell) ȱ ȱ ȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ §ǰȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ǻȱ ȱ ȱ Ǽȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ǰȱȱȱȱ£ȱȱȱȱȱȱȱǯȱȱ µsȱȱŗŖȬŜȱǯȱ ȱȱȱȱ ȱǻ¢ȱȱ¡ȱǼȱ ȱ

ȱ śȱ ŗŖȱ ŘŖȱ śŖȱ ŗŖŖȱ

ǻǼȱƽȱȱ ǻǼȱƽȱȱǻǼ ŖǯŖŖśȱΐȱ Ŗǯŗȱΐȱ ŖǯŖŘȱΐȱ ŖǯŖśȱΐȱ Ŗǯŗȱΐȱ

ŖǯŖŗȱΐȱ ŖǯŖřȱΐȱ ŖǯŖşȱΐȱ ŖǯŘŞȱΐȱ ŖǯŜŜȱΐȱ

ǻǼȱƽȱŘȱ ǻǼȱƽȱřȱ ŖǯŖřȱΐȱ Ŗǯŗȱΐȱ ŖǯŚȱΐȱ Řǯśȱΐȱ ŗŖȱΐȱ

Ŗǯŗřȱΐȱ ŗȱΐȱ Şȱΐȱ ŗŘśȱΐȱ ŗŖŖŖȱΐȱ

ǻǼȱƽȱŘȱ ŖǯŖřȱΐȱ ŗȱΐȱ ŗŖŖŖȱΐȱ ŗřȱȱ Śȱ¡ȱŗŖŗřȱ ȱ

18


ȱ ǰȱ ȱ ûȱ ȱ ≥ȱ śŖȱ ȱ £ȱ ûȱ ǻǼȱ ƽȱ Řȱ ȱ £ȱ đȱ ǯȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱãǰȱ ûȱȱ ûȱȱƽȱŗŖŖȱȱŚŖǯŖŖŖǯŖŖŖȱ ȱ§ȱǯȱ

Klassifizierung der Probleme (P, NP, NP-vollständig, NP-hart) ȱ ȱ ȱ ȱ ¡§ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻȱ ȱ Ǽǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ ȱ Ȭȱ

£ǯȱ Ȭ§ȱ ȱ Ȭȱ ȱȱȱǯȱȱȱȱȱ £ûȱȱȱȱȱ£ȱǰȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ

ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ đȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ £ȱ ãȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ £ ǯȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £§ȱ ȱ ǻǯȱ ǯǰȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ £ ȱ ȱ ȱ ȱ Ǽǯȱ ȱ ȱȱȱ ȱȱȱ ȱȱ ȱ ȱǻȱǰȱȱȱ ȱǼǰȱȱȱȱǱȱǮȱ ȱ£§ǵȄǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ûûȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ

ȱ ǻȱ Ȯȱ ȱ ȱ Ǽȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱ ȱȱȱǯȱȱȱǱȱǮȱ ȱȱȱȱ ȱ§ǰȱȱȱȱȱ ȱǵȄǯȱ ãȱȱȱȱ ȱ ȱȱȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ¢ȱ ãȱ ǲȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ NP ȱãȱǻǼȱ ǯȱȱȱ ȱ P ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £§£ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ǮȬȱ ¢Ȅȱ ãȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǱȱûȱȱ£ȱȱǰȱȱȱȱǮ Ȅȱãȱ ǰȱȱ ȱȱȱȱ¢ȱȱûûȱ ǯȱȱȱ£ȱ ȱ ȱ ȱ Ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȃȱ ǵȄǯȱ ȱ £ȱ Ǯ Ȅȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ǰȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ Ǽȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȃȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ £ȱ ûǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ


19

ȱ£ ȱ ȱȱ Ȃȱǰȱǯȱǯǰȱȱȱûȱȱ ȱǿǰȱȀȱȱ ȱȱ ȱ ǿǻǼǰȱ ǻǼȀȱ ȱ Ȃȱ ȱ ȱ Ȃȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱȱȱ£ȱȱȱ ȱ ȱȱ Ȃǯȱ ȱãȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ

ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ǯȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ƽŗŖŖȱ ǰȱ ȱ ȱȱ ȱǮ Ȅǰȱȱȱȱȱȱ ȱȱ¡ȱŗŖŖȱȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǻȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱȬȱȱȱȱǰȱȱȱûȱȱ ȱ ȱ ȱǼȱȱ ȱǯȱȱȱȱȱȱ ǰȱȱȱ ȱȱȱ ¢ȱ£ȱȱǰȱȱȱ ȱ£ȱȱǮ Ȅȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ £ ȱ ȱ ȱ ȱ Ǯ Ȅȱ ȱ ǮȄǯȱ ȱ ȱ £ȱ û£ǰȱ ȱ ȱ ȱ Ǯ Ȅȱ ǰȱ ûȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ãȱ ãȱ ûǯȱ ȱ ȱ ȱ ǮȄȱ ǰȱ ȱ ȱ £ȱ ǻ ȱ ûȱ ȱ ãȱ ȱ ûǰȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱȱãǼǯȱȱ ȱȱȱȱȱȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ £ãȱ ȱ Ȭǯȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ

ȱȱȱȱȱǱȱǮ ȱ ȱãȱȱȱ ȱȱ§ȱãđȱȱ ǵȄǯȱȱ ȱȱȱǰȱȱǰȱȱȱȱ ȱ £ȱ ȱȱȱ£ȱ ȱ Ȭȱãǰȱ ȱûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǮ ȄǼǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱǱȱ Ǯȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ

ǰȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱȱǵȄǯȱ

Probleme NP-vollständig (NP-complete) ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ NP ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱȱȱǯȱ£ȱ£ȱȱ NPC P ȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ǯȱ ȱ

ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱȱȱȱȱ ȱǯȱ ȱ ȱ đȱ Ȭ§ȱ ǻǯȱ ȬǼǰȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱȱǰȱȱȱ£ȱȱ ȱȱ£§ǰȱȱȱ £ȱȱǯȱȱ

20


ȱȬ§ȱǱȱ • Ȭȱ ǻ ȱ ȱ ǼǱȱ ȱ £ ȱ Ȭ ȱ ȱǵȱ • §ȱ ǻ ȱ ȱ ǼǱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ≥ȱ ŗȱ ǯȱ Ǳȱ ȱ Ȭ§ȱ ȱ Ȭ ȱ ȱȱȱãǰȱȱ ȱȱ ȱȱȱȱȱŗǰȱŘǰȱ ǳǰȱȱ£ȱ§ǰȱȱȱ ȱȱȱǯȱ ȱ ȱȱȬ§ȱȱ ǵȱ • ȱ Ǳȱ ¡ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ §ǰȱ ȱȱ§ȱȱȱȱȱǰȱȱȱȬ ȱȱǵȱ • ȱǻȱȱǼǱȱȱȱȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱȱȱȱȱȱ ȱǵȱ • ûȱǻȱȱǼǱȱȱȱȱȱǰȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱûȱȱȱǯȱ ȱ ȱȱãǰȱȱȱȱȱ¡ȱȱȱȬ £ǵȱ • ȱǻ ȱǼǱȱȱȱȱȱȱȱ £§ȱ ǰȱȱȱȱȱȱȱ ãđȬȱȱ ȱȱȬ ȱȱȱȱǯȱ ȱȱȱȱȱǰȱûȱȱǰȱ ȱȱȱȱãȱȱđȱȱȱȱ ȱǵȱ

Das Erfüllbarkeitsproblem (SAT) ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ŗşŝŗȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢Ȭ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ǰȱ ǯȱ ŗśŗȬŗśŞǰȱ ǯȱ ȱ Ȭ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱǻǰȱȱengl. satisfiabilityǼǰȱȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ Ȭ§ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ§ȱ ȱ ãȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ Ȭ§ȱ ȱ ãǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Prof. Dr. Stephen Arthur Cook ȱ Ǳȱ ȱ ȱ ȱ (geb. 1939) ¢ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱ ȱȱãǰȱȱ¡ȱûȱȱȬ ȱȱ¢ȱȱȱãǯȱȱ


21

ȱ ȱ Ȭǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡§ȱ Ǳȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûǵȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ£ȱȱǰȱûȱȱȱȱ ȱǵȱȱ ȱ ǯȱȱǰȱȱȱȱȱǻ Ǽȱǰȱȱȱȱ ȱ ( y11 ∨ y12 ∨ ... ∨ y1n1 ) ∧ ( y11 ∨ y12 ∨ ... ∨ y1n 2 ) ∧ ... ∧ ( y11 ∨ y12 ∨ ... ∨ y1n m ) ǰȱ ȱ ȱȱ¢ȱȂȱȱȱȱȱǿ¡ŗǰȱ¡Řǰȱǳǰȱ¡ǰȱ"¡ŗǰȱ"¡Řǰȱǳǰȱ"¡Ȁȱ ǯȱȱ ȱ ȱȱȱȱ Ȭȱ ȱƽȱǻ¡ŗȱ∨ȱ"¡ŘǼȱ∧ȱǻ¡Řȱ∨¡řǼȱ∧ȱǻ"¡ŗ∨"¡Ř∨"¡řǼȱ∧ȱǻ¡ŗ∨"¡řǼȱ ǰȱȱ ȱûȱ ǰȱȱȱȱ ȱȱȱ¡ŗǰȱ ¡Řǰȱ ¡řȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱȱ ȱȱ£ ȱȱ ȱǯȱ ȱ ¡ ŗȱ ¡Řȱ ¡řȱ ȱ Ŗȱ Ŗȱ Ŗȱ Ŗȱ Ŗȱ Ŗȱ ŗȱ Ŗȱ Ŗȱ ŗȱ Ŗȱ Ŗȱ Ŗȱ ŗȱ ŗȱ Ŗȱ ŗȱ Ŗȱ Ŗȱ Ŗȱ ŗȱ Ŗȱ ŗȱ ŗȱ ŗȱ ŗȱ Ŗȱ ŗȱ ŗȱ ŗȱ ŗȱ Ŗȱ

Die Klasse der NP-harten Probleme ȱȱȱ ȱȬȱȱȱȱȱȱ ǰȱ ȱȱȱȱ ǰȱȱȱȱȱȱ ȱȱ ȱ ȱ Ȭǯȱ Ȭȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ Ȭ§ȱ ȱ ǻ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ

Ǽǯȱȱȱȱǰȱȱȱ£ȱûȱȱȱ ȱ ȱ ãȱ £ȱ ǰȱ ǯǯȱ ȱ ȱ ȱ ãǰȱ ȱ ȱãȱ£ȱǯȱȱȱ£ȱ ȱȱ ȱȱȱȱ ȱǰȱȱûȱȱȱãȱǰȱȱǮȱȱ ȱ ãȄȱ ǯȱ £ȱ ãȱ ǯǯȱ §ȱ ǰȱ ûȱ £ȱ ȱ££¢ȱ¢ǰȱȱȱȱȱûȱȱǯȱ

22


Aufgaben ŗǯ

ȱ ȱ ȱ ȱ ǵȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǯȱ Řǯ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱȱǰȱȱȱȱȱȱŘřŘŘȱȱŜśŚȱ£ȱǯȱ řǯ ȱ ǰȱ ȱ £ ȱ ûȱ ȱ £ ȱ £ȱ ǯȱ Śǯ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱȱȱ£ȱǯȱȱ ¡§ȱȱǵȱ śǯ ȱȱȱȱȱûȱȱ£ȱȱȱ§ȱǯȱ ȱ ¡§ȱ ȱȱǵȱȱȱȱǰȱȱ ȱ§ȱȱǵȱ Ŝǯ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ǻǼȱ ȱ ȱ ǯǯȱȱǯǯ¢ȱȱȱ ȬȬȱȱȱ ȱȱȱǰȱȱȱȱ ǯȱ ŝǯ ȱȱȱǰȱȱȱȱ £ȱȱȱǵȱ Şǯ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ £ǯȱ

Ǳȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱȱȱȱǯȱ şǯ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǵȱȱ ŗŖǯ ȱȱȱ §ȱȱ ȱȱȱǵȱ ŗŗǯ ȱȱ£ȱȱǵȱ ŗŘǯ ȱȱȱȱȱ ȱ£ ǯȱȱ¢ȱȱǵȱ ŗřǯ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǵȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ǯȱ ŗŚǯ ȱ ȱ ȱ ¡§ȱ ȱ ǵȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ̋ǰȱȱơ̇̄ȱǯȱȱ ŗśǯ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ǵȱ ȱȱȱûȱȬ§ȱǯȱȱ ŗŜǯ ȱ ȱ ȱ Ȭǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱ ȱȬ§ȱǵȱ ŗŝǯ ȱȱȱ ȱȱȬȱǵȱ ŗŞǯ ȱȱȱ ȱǵȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱǯȱŘȱ∈ǻřǼȱȱȱȱȱȱǯȱřȱ∈ǻŘǼȱȱȱȱȱǯȱŘƸŗȱ∈ȱǻŘǼȱȱȱȱǯȱǻƸŗǼǷȱ∈ȱǻǷǼȱ ŗşǯ §ǯȱȱȱȱ ǰȱȱ§ȱȱȱ £ȱ £ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ £ȱ §ȱ £ȱûǯȱȱȱûȱȱ§ȱȱŚȱȱǱȱ


§ ȱ ȱ §ȱȱȱȱ Ǳȱ ȱ ȱ

ȱ ȱ

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24

Grundlegende Algorithmen mit Java ŘŖǯ ȱȱȱ ¡§ȱȱȱǱȱ ȱ ȱȱȱ←ȱŗǰȱȱȱ¡ȱ ȱȱȱ←ȱŗǰȱȱȱ¡ȱ ȱȱȱ←ȱŗǰȱśȱ¡ȱ ȱȱȱ←ȱŗǰȱƸŗȱ¡ȱ ȱȱȱǿȱȀȱ ȱȱȱǿȱȀȱ ȱȱȱ←ȱŗǰȱȱȱ¡ȱ ȱȱȱ←ȱŗǰȱȱȱ¡ȱ ȱȱȱ←ȱŗǰȱŜȱ¡ȱ ȱȱȱ←ȱŗǰȱȱ¡ȱ ȱȱȱȱ←ȱŗǰȱȱ¡ȱȱȱ ȱȱȱȱȱ←ȱŗǰȱȱ¡ȱ ȱȱȱȱǿȱȱȱȀȱ ȱȱȱȱȱȱȱǿȱȱȱȀȱ

ȱ

ȱȱǰȱ§ȱ

ȱ

Verschachtelte Schachteln

2

ȱ ȱ ȱȱ ȱȱ ȱȱȱȱ¢ȱȱ ǯȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱȱ ȱȱãǰȱȱȱȱ£ȱȱûǯȱȱȬ ȱ ȱ ȱ Ȭǰȱ ȱ đȱ £ûȱ ȬȦȬȱ ¢ȱ ǯȱ

Problembeschreibung ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ǯȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱȱǻŘǰȱřǼȱȱȱȱȱ§ȱřȱȱ ȱ ȱ Řȱ §ǯȱ ȱ ȱ Ȭ ȱȱȱȱȱǻŚǰȱŞǰȱşǼȱȱȱ ȱ §ȱ Śǰȱ ȱ ȱ Şȱ ȱ ȱ ãȱ şȱ §Ȭ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £Ȭ ǰȱȱ ȱãȱȱǯȱȱȬ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ƽȱ ǻŗǰȱ Řǰȱ ǯǯǯǰȱ Ǽȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ƽȱ ǻŗǰȱ Řǰȱ ǯǯǯǰȱ Ǽȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ πȱ ȱ ǿŗǰȱ Řǰȱ ǳǰȱ Ȁȱ ǰȱ ȱ ȱ aπ (i ) < bi ȱ ûȱ ȱ ȱ ∈ȱ ǿŗǰȱ Řǰȱ ǯǯǯǰȱ Ȁǯȱ ȱ đǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱǯȱȱȱŗǰȱŘǰȱǯǯǯǰȱȱȱȱȱȱǰȱ ȱȱ ȱȱȱȱȱƸŗȱǻŗȱ≤ȱȱǀȱǼȱǯȱȱ ȱȱȱȱȱȱƽȱǻŘǰȱŜǼȱȱȱȱȱƽȱǻŝǰȱřǼǰȱ ȱȱȬ ȱȱȱȱ ȱãȱ£ȱȱƽȱǻŜǰȱŘǼȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱǯȱȱȱȱƽȱǻşǰȱśǰȱŝǰȱřǼȱȱȱȱȱ ȱ ȱ ƽȱ ǻŘǰȱ ŗŖǰȱ Ŝǰȱ ŞǼǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûǯȱȱȱȱȱƽȱǻşǰȱśǰȱŝǰȱŗǼȱȱȱȱȱǰȱ ȱȱȬ ȱ£ȱǻŗǰȱşǰȱśǰȱŝǼȱȱ ȱãȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱǯȱ Ǳȱȱȱȱǯȱȱȱȱȱȱǯȱ ȱȱȱ ȱȱǰȱȱȱ£ȱȱȱȱȱȱȱȱǯȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱǯȱȱ

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Ǳȱȱǰȱ ȱûȱȱ¡ȱȱȱȱǰȱȱȬ ȱǯȱûȱȱ ǰȱȱȱȱȱ¡ȱȱǰȱ ȱ ȱȱȱȱǰȱ ȱȱǯȱ£ȱȱǯȱȱ¡ȱ£Ȭ £ȱ §ȱȱȱȱŘśŖǰȱȱȱȱŗǯȱȱ¡ȱ£ȱ ȱȱȱȱ£ȱȱřŖŖǯȱȱȱǰȱȱȱȱȱ Ƿȱ Ǳȱ ȱ schachteln.in schachteln.out 5 2 Laenge: 4 -------------3 7 3 1 4 5 8 10 ******************************* 5 2 12 7 Laenge: 4 21 18 8 6 -------------7 2 5 8 5 2 20 1 30 10 ******************************* 23 15 7 9 11 3 40 50 34 24 14 4 Laenge: 5 9 10 11 12 13 14 -------------31 4 18 8 27 17 5 4 2 7 9 44 32 13 19 41 19 ******************************* 1 2 3 4 5 6 80 37 47 18 21 9 9 5 7 14 2 1 3 49 80 15 50 10 90 53 17 60 11 4 3 2 15 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 89 53 17 60 11 3 2 1 14 9 92 54 65 19 15 ǻȱȱȱȱŗşşŖǰȱȱǯȱȱ¡Ǽȱ

Problemanalyse und Entwurf der Lösung £ȱŗǯȱ ȱȱȱȬȱȱȱƽȱǻŗǰȱŘǰȱǳǰȱȬŗǰȱǼȱȱȱƽȱǻŗǰȱ ŘǰȱǳǰȱȬŗǰȱǼȱȱȱȱȱ ≤ȱƸŗǰȱȱ ≤ȱƸŗȱûȱȱȱȱŗȱȱȬŗȱǻȱȬ ȱ ȱ ȱ Ǽǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǰȱ ȱȱǀȱȱûȱȱ∈ǿŗǰȱŘǰǯǯǯǰȱȀǯȱ ǯȱȱ£ȱȱ ȱȱǯȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱ∈ǿŗǰȱŘǰǯǯǯǰȱȀȱǰȱȱȱ ȱ≥ȱ ȱǯȱ ȱȱȱȱ ȱȱ

2 Verschachtelte Schachteln

27

ȱǱȱȱǀȱȱûȱȱ∈ǿŗǰȱŘǰǯǯǯǰȱȬŗȀȱȱȱ≥ȱȱǯȱȱȱȱȱ ȱǰȱǰȱȱȱȱ≥ȱȱȱûȱȱ∈ǿƸŗǰȱǯǯǯǰȱȀȱǯȱȱ£ȱãǰȱȱ ȱȱȱȱȱȱ v[i]) { v[i] = v[j] + 1; vPred[i] = j; } } if (v[i] > v[indexMax]) { indexMax = i; } } out.print("Laenge: "); out.println(v[indexMax]); StringBuilder bf = new StringBuilder(); for (int currIdx = indexMax; currIdx >= 0; currIdx = vPred[currIdx]) { bf.insert(0, ' ').insert(0, (boxes[currIdx].getIndex() + 1)); } out.println(bf); out.println("*******************************"); } } catch (Throwable th) { th.printStackTrace(); } finally { if (scanner != null) { scanner.close(); } if (out != null) { out.close(); } } } }

31

32


Die Programmanalyse ǯȱ ȱ ȱ ¢ȱ ¡ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ £ȱ ȱȱȱȱǯȱȱȱȱ§ȱȱȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǻ £Ǽȱ Ǳȱ ȱ ȱȱȱȱ£ȱȱȱ ȱȱȱȱ ȱȱȱȬ ǯȱȱȱ ȱȱ¡ȱȱȱȱȱȱãȬ ǯȱȱ ȱ

ǯȱȱ ȱȱȱ ȱȱȱȱû ȱȱ§ȱ ȱȱ ȱȱ ǰȱȱȱǯȱ ȱ ȱȬ ȱûǰȱ ȱȱȱȱ ȱȱ ǰȱûȱȱȬ ȱ£ȱȱȱȱȱãȱûȱ ǯȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ£ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ ȱ £ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ

ǰȱȱȱ£ȱǱȱ ȱ public Box(int boxIndex, int boxDimensions[]) { this.index = boxIndex; this.dimensions = boxDimensions; } ȱ ȱ£ȱ ȱȱȱǻǼȬȱȱȱȱ¢ȱ¡Ǳȱ ȱ boxes[i] = new Box(i, boxDimensions); ȱ ȱûȱȱ ȱ ȱ ȱ¡ǰȱ£ȱȱȱȬ ȱȱȬ ȱȱǰȱȱ ȱȱȱȬ ȱ ȱȱȱǯȱ ȱȱ ȱȱ ȱȱ ȱ ǰȱ£ȱȱȱȱȬ ǯȱ ȱ ¢ǯȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ǳȱ Ǯȱ ȱ ȃǯȱ ¢ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûǯȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ȱ Ȭȱ ǻûȱ ǰȱ ǯȱ Ǽȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ ȱ û¢ȱ ǻûȱ ǰȱ ǯȱ Ǽǯȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ȱȱûȱȱǯǯ¢ǯǻǼǰȱȱȱȱȬ ȱȱ¢ȱǽǾȱȱȱȱȱȱȱ¢ȱ¡ǽǾǯȱ ȱ


33

ȱȱȱ ȱ¡ǯȱȱ ȱ¡ȱȱȱȱȱ ȱǻǯȱȱ ȱǼȱȱŖŗȏ¡¡ǯȱȱȱȱȱȱȱǰȱ ȱȱȱ ȱȱȱ£ȱ ȱȱȱȱȱȱ£ȱ ǯȱȱ ȱ¡ȱȱǰȱ ȱȱȱȱǰȱȱȱđȱ£ȱ£Ȭ ǯȱ ȱ ȱȱǯǯǯȱ ǰȱȱȱȱǰȱãȱȬ ȱȱ ȱȱȱȱ ȱ£ǰȱ£ȱȱȱ ǯȱȱ ȱȱȱû ȱȱȱȱȱȬ ȱ ǰȱȱȱ ȱ ȱ £ȱãǰȱȱȱȱ ȱ ȱǯȱȱ ȱȱȱ§ȱȱȱ£ȱȱȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ Ǳȱ ǯǯǰȱ Ȭ ǯǯǰȱ ǯǯǰȱ ǯǯ£ǰȱ ǯǯǰȱ Ȭ ǯǯǰȱǯǯǰȱǯǯǰȱǯǯǯȱȱãǰȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǻǽǾȱ Ǽȱ ȱȱ ȱ¢ȱǰȱȱȱȱȱǯȱǱȱȱ ȱ Arrays.sort(boxes); ȱ ûȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ Ȭ Ǳȱ ȱ public int compareTo(Object o) ȱ ȱȱȱȱȱȱǻǼǰȱȱȱȱ£ȱȱ

ȱ ȱ Ǯûȱ ȃȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ǯȱ ǯȱ ȱ Ȭ ȱȱ ȱãǯȱǻǼȱȱ ȱǀȱŖǰȱ ȱȱȱȱȱȱ£ȱȱǰȱ ȱȱȱȱŖǰȱ ȱȱȱȱȱȱ£ȱȱȱȱȱ ȱǁȱŖǰȱ ȱȱȱȱȱȱ£ȱȱǰȱ £ûǯȱ ȱ ȱȱȱȱǰȱ ȱȱȱ¢ǯǻǽǾȱǼȱȱȱȬ ¢ȱȱǯȱ ȱ ȱ ȱǯǯ¢ȱȱǰȱȱ¢ȱȱȱ¢ȱ ȱȱǰȱǰȱǰȱǰȱǰȱûȱȱȱ ãđȱǯȱǯǯ¢ȱȱȱȱȱǻǼǰȱȱȱ¢ȱȱ ȱ§ǯȱȱ ȱȱȱ¡ǰȱ ȱȱ££Ȭ

34


ȱ£ȱȱǯȱȱ ȱȱȱȱȱȱ¢ǯǻǼȱ ȱ¢ǯǻǼǯȱ ȱ ȱȱȱȱ ȱȱȱ¢ȬȬ ǯȱȱȱȱȱ Ǳȱȱ ȱ try { Anweisung; … } catch (Ausnahmetyp_1 x1) { Anweisung; … } catch (Ausnahmetyp_2 x2) { Anweisung; … } … catch (Ausnahmetyp_n xn) { Anweisung; … } [ finally { … } ] ȱ ȱ ǰȱȱȱȱ¢Ȭȱǰȱãȱȱȱûȱ£ȱȬ ȱȱȱ¢ȱ¢ȏȱûǯȱȱȱǰȱ ȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȬȱ ûǰȱȱ ȱȱȱȱȱ ¢ȱ§ǯȱȱȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ǰȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ Ȭ £ȱ £ûǯȱ ȱ ¢Ȭ ȱ ȱ ȱ ¢ȬȬ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ǻȱ Ǽǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢Ȭȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱȱ Ȭȱȱȱȱǰȱ ȱȱȱ§ȱûǰȱ §ȱ £ȱ ǻ£ǯȱ ǯȱ ȱ £Ǽǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ǰȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ ȱ £ȱ đǯȱȱ ȱ


35

ȱ ȱ ǯȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ śȱ ûȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ Ȭ ȱȱȱ£ȱȱǯȱȱ ȱȱȱȬ ǻǼȱȱǻǼǰȱȱȱ¢ȱ£ǱȱǻǼȱûȱȱȱȱȬ ȱȱȱȱȱ£ǰȱǻǼȱûȱȱȱȱȱȱ ȱǯȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱǯȱȱȱȱȱȱȱȬ ȱǯȱȱȱ ȱȱ ȱśȱûǯȱȱȱȱ£ȱȱȱ £ǯȱǯȱȱ§ȱ ȱǯǯǯȱȱ£ȱȱȱȱȱȱ ¡ǰȱȱȱ¢ȱȱȱȱǯȱȱûȱ Ȭ Ǳȱ • ȱ£ȱȱȬȱ ȱȱȬȬ ȱȱȬ ǰȱ ȱȱȱǱȱ ȱ scanner = new Scanner(new File("schachteln.in")); ȱ ǻȱȱȱ£ ǰȱȱȱȱȱ£ȱ ȱȱȱ¢ȬȬǼȱ • ȱȱȱȱȱ¡ǻǼȱǰȱȱȱǱȱ ȱ Box boxes[] = new Box[scanner.nextInt()]; int numDimensions = scanner.nextInt(); for (int i = 0; i < boxes.length; i++) { int boxDimensions[] = new int[numDimensions]; for (int j = 0; j < numDimensions; j++) { boxDimensions[j] = scanner.nextInt(); } … ȱ • ȱ¡£ȱȱȱȱȱ¢ȱȱȱȱȬ ¡ǻǼȱûǰȱȱȱǱȱ ȱ while (scanner.hasNextInt()) { … ȱ ȱ ȱȱȱȱȱǯȱȱȱãǰȱȱȱȬ ¢ȱȱȱ¡ȱȱ£ǰȱȱ£ ȱǱȱ • ȱ ǰȱ £ǯȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ Ȭ ȱ£ǰȱȱȱȱȱȱ ȱǱȱ

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out = new PrintWriter(new File("schachteln.out"));ȱ ȱ •

ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ûȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ǻ¢Ǽȱȱǻ¢Ǽǯȱȱȱȱ ȱ ȱȱǱȱ

ȱ out.print("Laenge: "); out.println(v[indexMax]); StringBuilder bf = new StringBuilder(); … out.println(bf); out.println("*******************************"); ȱ ȱȬ ȱȱȱȱ ȱŗǯŚǯȱȱȱȱ£ǰȱǰȱȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ £ȱ ûûǯȱ §đȱ Ȭ ȱȱȱȱȱȱǻȱ ûȱȱ §Ȭ §Ǽǯȱȱȱȱȱȱûȱ£ȱǰȱȱȱȱȱȱ ȱŗǯŚȱȱ ȱȮȱŗǯŚȱǰȱȱ ȱŗǯśȱȮȱŗǯśȱȱȱ ȱŗǯŜȱȮȱŗǯŜǯȱȱȱȬ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǯȱ ȱ Ȭ ȱ £ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ û ȱ £ȱ ãȬ ǯȱȱȱȱȱȬ ȱǱȱ ȱ assert Ausdruck1 [ : Ausdruck2 ]; ȱ

ȱ ȱ£ȱ£ȱûǰȱȱŗǰȱȱȱ¢ȱȱȱǰȱ ȱ ǯȱȱǰȱûȱȱȱȱȬ ǰȱ ȱ ȱȱ ȱ ȱ ¢ȱ ǯǯȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ Řȱ ȱ ¡ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ǯȱ ȱ ȱ ȱ Řǰȱȱ ȱȱ ȱȱ ȱȱȱûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ǯȱ ȱ ¢ȱ ȱ Řȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱǰȱȱȱ £ûǯȱȱ ȱȱȱȱȱȬ ȱȱȱȬ ȱ ǻǼȱȱȱǻǼǰȱȱ£ȱ£ǰȱȱ£ ȱȱȱȬ ȱǱȱ ȱ assert this.dimensions.length == otherBox.dimensions.length : " Schachteldimensionen sind nicht einheitlich!"; ȱ


37

Aufgaben ŗǯ

ȱ ȱ ¡ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱûȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱǰȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱǯȱȱȱȱȱȱȱȬ ǵȱ ǯȱ Řǯ ȱȱȱȱȱȱȱǻǼǯȱȱ řǯ ȱãȱǰȱȱȱȱȱȱȱǻȱǰȱ§ȱ ȱȱ£ȱđȱȱȱ ǯǼǯȱ ȱȱȱȱ ǰȱȱȱ ȱȱȱûȱ ǯȱ Śǯ ȱȱȱǰȱȱȱđȱȱûȱȱ ȱǰȱȱûȱȱȱȱǯȱȱȱȬ ȱȱǰȱȱȱȱȱ§£ȱȱđȱȱȱ §ȱȱȱȱȱȱǯȱ śǯ ȱãȱǰȱȱȱȱȱȱȱȱȬ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ §ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱȱȱȱȱȱȱ ǯȱ Ŝǯ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ǰȱȱȱȱãǰȱȱȱ£ȱȱȱ ȱȱȱ£ȱǯȱ ŝǯ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȏȏȱ £ȱ ¢Ȭ ȱ ȱ ãǰȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ¢ǰȱ ȱ ȱȬȬǯȱ Şǯ ȱȱȱ ȱȱȱȱȱǯǯȱȱ ȱ ȬȬǰȱȱȱȱȱ ȱȱȱ ȱȱȱǻǼȱȱȱ ȱǻ ¢Ǽȱǯȱ şǯ ȱ ȱ ȱ ȬȬȱ ûȱ ȱ ȱ ǯǯǰȱ ǯǯǰȱ ǯǯǰȱ ǯǯ£ǰȱ ǯǯǰȱ ǯǯǰȱ ǯǯǰȱ ǯǯȱ ȱ ǯǯȱ ǯȱ ȱȱǰȱȱȱȱȱ£ǯȱ ŗŖǯ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȬȬ Ǳȱ ȱ ȱ Ȭ ǰȱȱȬ ǰȱȱ¢Ȭ ȱȱǯȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢Ȭȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭãȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱȱǱȱ¡ǰȱ¡Ȭ ¡ǰȱ ¡ǰȱ ¢¡ǰȱ Ȭ ¡ǰȱ ¡ǰȱ ¢£¡ǰȱ Ȭ ¡ȱǻȱȱȱȱǯǼȱ ŗŗǯ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ¢Ȭ ȱȱȱȱȱȱǯȱ Ǳȱȱ Ȭ

38

Grundlegende Algorithmen mit Java ǰȱ ûȱ ǻǻǼǰȱ ǻǼǼǰȱ ãȱ ǻǻǼǰȱ ǻǼǼȱ ȱȱ §ȱ ȱ ȱ ǻǻǼǰȱ ǻǼǼǰȱ ȱ ȱ §ȱ ǻǻǼǰȱ¢ǻǼǼǰȱ ȱȱȱǯǯȱǻǻǼǼǯȱ£ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱǯȱ

Anmerkungen ȱȱȱ ȱȱȱ ȱȱȱǱȱ ŗǯ ȱȱ¢ȱǯȱ Řǯ ȱ £ȱ ȱǰȱ¢ǯȱ řǯ ȱ £ȱȱȱȱ ǯȱ Śǯ ȱȱǯǯǯȱ śǯ ȱ ȱǯǯǯȱ Ŝǯ ȱȱȱȱ ȱȱ¢ȬȬȱȱȬ ǯȱ ŝǯ ȱȱȱ¢ȱȱȱȱȱȱȱȱȬ ȱǯǯȱ Şǯ ȱȱȱ¢ȱȱȱȱȱǯǯǯȱ ȱ

ȱ ¢ȱȱǰȱȱ

ȱ

3

Greedy ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ

Grundlagenȱ ¢Ȭȱ ǻǯȱ ¢ȱ ƽȱ Ǽȱ ȱ ȱ £ǰȱ ȱ ȱ Ȭ ȱȱȱȱȱ §ǯȱȱûȱȱȱȱ£ȱȬ ûȱȱȱ ǰȱȱ£ȱ ȱȱȱ Ȭ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãǯȱ ȱ đȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱȱǰȱ ȱȱȱȱȱûȱȱȱȬ ǰȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ǯȱȱ ¢Ȭȱȱûȱȱȱȱãǰȱȱȱȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ Ȭȱ ǰȱ ȱȱȱȱ ȱ§ǯȱȱȱȱȱȬ§ǰȱ ȱ ȱ ȱ ¢Ȭȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ûȱ £ȱ ȱ §ǰȱȱȱ§ȱȱȱȱ££ȱȱȱȬ ǯȱȱ

ȱȱȱȱȱGreedyȬǱȱ

ȱ ȱ

ȏ ¢ǻȱǼȱ ŗȱȱȱȱȱ←ȱȱ ȱ←ȱ∅ȱ ȱȱǻȱȬǼȱȱ ȱȱȱ¡ȱ←ȱȱȱ¢ȱȱȱȱŗȱ ȱȱȱŗȱȱ←ȱŗȱȱǿ¡Ȁȱ ȱȱȱȱǻȱ∪ȱǿ¡Ȁȱ¢ȱǼȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱ←ȱȱȱȱ∪ȱȱǿ¡Ȁȱ ȱȱȱȏȱ ȏȱ ȏ ȏ ¢ǻȱǼ

40


ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ǳȱ ȱ ȱ û£ȱ ȱ ȱ ȱ ǻDijkstraǼǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻPrim, KruskalǼǰȱȱȱǰȱ Ȭ ǯȱ

Problem 1. Rucksackproblem ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ǯȱȱȱȱȱȱȱ £§ȱȱȱȱ ȱȱȱȱ£ ǯȱ ǯȱȱȱ ȱãǰȱȱȱȱȱȱ£ȱûǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ ǻȱ ǮȬ ȃǼȱȱȱȱȱȱȱȱǯȱǱȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £§ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǻ ǰȱǼȱûȱȱǰȱȱȱȱǯȱǱȱȱȱȱȱȬ ȱǯȱȱ£ ǯȱȱȱûȱȱǰȱ ȱȱǱȱ ȱ rucksack.in rucksack.out 41 Objekt 2: 23.45 600.54 - vollstaendig 12.34 123.99 Objekt 1: 12.34 123.99 - vollstaendig 23.45 600.54 Objekt 3: 12.78 90.67 - 5.21kg 12.78 90.67 9.34 45.32 ȱ

Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ Ȧ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱȱȱȱȱȱȱǯȱȱ£ȱȱ ȱȱ ȱ ȱȱȱȱ ǯȱȱȱȱ ȱǰȱȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ Ǳȱ ȱ ǻ Ǽǰȱ ȱ ǻǼȱ ȱ Ȭ ¡ȱ ǻ¡Ǽȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ǻǼǯȱ ȱ ãǰȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ȱ£ȱǰȱȱȱȱǻǼȱȱȱ ȱȱǰȱ ȱȱȱȱǯȱǱȱȱ ȱ Collections.sort(v); ȱ ûȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ Ȭ Ǳȱ public int compareTo(Object o)

3

Greedy

41

ȱ ȱȱȱȱȱȱǻǼǰȱȱȱȱ£ȱȱ

ȱ ȱ Ǯûȱ ȃȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ǯȱ ǯȱ ȱ Ȭ ȱȱ ȱãǯȱǻǼȱȱ ȱǀȱŖǰȱ ȱȱȱȱȱȱ£ȱȱǰȱ ȱȱȱȱŖǰȱ ȱȱȱȱȱȱ£ȱȱȱȱȱ ȱǁȱŖǰȱ ȱȱȱȱȱȱ£ȱȱǰȱ £ûǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ Ȧ ǯȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱȱ£ȱȱǯȱȱȱ£ȱȱȱȱǰȱȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãǰȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱȱ ǻȱ≤ȱŖȱǰȱȱȱȱȱǼǯȱȱ ¡§ȱȱȬ ȱȱǻȱȱǼǰȱ ȱȱȱȱȱǻǼȱ§ȱǯȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǱȱ ȱ out.print(v.get(i));ȱ ȱ

ȱ ȱȱȱǻǼȱȱȱ ȱȱȱȬ ǯȱ ȱ

Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P01Rucksack { private static final String FileInputName = "rucksack.in"; private static final String FileOutputName = "rucksack.out"; public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner scanner = null; PrintStream out = null; try { scanner = new Scanner( new File(FileInputName)).useLocale(Locale.ENGLISH); out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); float M = scanner.nextFloat(); List v = new ArrayList(); int index = 0;

42

Grundlegende Algorithmen mit Java while (scanner.hasNextFloat()) { float weight = scanner.nextFloat(); if (!scanner.hasNextFloat()) break; float value = scanner.nextFloat(); v.add(new RucksackObject(++index, weight, value)); } Collections.sort(v); int i = v.size() - 1; while (i >= 0 && M > 0) { float wgt = v.get(i).getWeight(); if (M >= wgt) { M -= wgt; --i; } else { M = -M; } } for (int j = v.size() - 1; j > i; --j) { out.print(v.get(j)); out.println(" - vollstaendig"); } if (i >= 0 && M < 0) { out.print(v.get(i)); out.print(" - "); out.print(-M); out.print(" kg"); } } finally { if (scanner != null) { scanner.close(); } if (out != null) { out.close(); } } }

} class RucksackObject implements Comparable { private int index; private float weight, value; RucksackObject(int index, float weight, float value) { this.index = index; this.weight = weight; this.value = value;

3

Greedy

43

} public int compareTo(RucksackObject other) { float diff = this.value / this.weight – other.value / other.weight; return diff > 0f ? 1 : (diff < 0f ? -1 : 0); } public String toString() { return "Objekt " + this.index + ": " + this.weight + " " + this.value; } public float getWeight() { return weight; } }

Aufgaben ŗǯ

ȱ ȱ ãǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱǯȱǰȱȱȱȱȱȱ

ȱ public int compare(Object o1, Object o2) ȱ Řǯ

ǯȱȱȱȱȱȱǯȱȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢Ȭȱ ȱȱȱȱãǯȱȱȱȱȱûǯȱȱ

Problem 2. Kartenfärbung ȱȱȱ£ȱȱǻŘȱ≤ȱȱ≤ȱŘŖǼȱȱ§ȱȱȱ£ãȱȱȱ ¡ȱǽǾǽǾȱǰȱȱȱǽǾǽǾȱƽȱŗȱǰȱ ȱȱ§ȱȱȱȱȱǰȱȬ ȱ ȱ ǽǾǽǾȱ ƽȱ Ŗǯȱ ȱ ȱ ȱ ãǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ £§ǰȱ ȱ £ ȱ §ǰȱ ȱ ȱ £ǰȱ ȱȱȱûǯȱȱȱȱȱȱȱȱ £ ȱȱûȱȱŗȱȱȱȱǯȱǱȱ ȱ map.in colors.out 7 1 2 3 4 1 2 5 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1

44 1 0 0 1 ȱ

Grundlegende Algorithmen mit Java 1 0 0 0

1 1 0 1

0 1 0 1

1 0 1 1

0 1 0 1

1 1 1 0

Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ¡§ǯȱ ȱ ¢Ȭȱ ȱ £ ȱ ȱ £ȱ£ȱȱǰȱȱȱȱȱȱ£ǯȱȱ§ȱȱ ȱ ȱ ȱ Ŗȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ǻȱȱȱȱ§ȱǼȱǯȱ ȱ

Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P02MapColoring { private static final String FileInputName = "map.in"; private static final String FileOutputName = "colors.out"; public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner scanner = null; PrintStream out = null; try { scanner = new Scanner(new File(FileInputName)); int n = scanner.nextInt(); int a[][] = new int[n][n]; for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { a[i][j] = scanner.nextInt(); } } int col[] = new int[n]; col[0] = 0; for (int i = 1; i < n; i++) { int j = -1; boolean ok = do { j++; ok = true; for (int k ok && if (1 ==

false;

- col[0] ← 0 - ȱ ȱȱȱȱûȱȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ǻ ȱ ȱ ȱ ǮȄȱ ȱ ȱȱ¡ȱȱȱȱǰȱȱ 1==a[k][i] && col[k]==jȱ ǰȱ ȱ §ȱ ok ȱ false)ȱ

= 0; k < i; k++) a[k][i] && col[k] == j)

3

Greedy

45

ok = false; } while (!ok); col[i] = j; } out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); for (int i = 0; i < n; i++) { out.print(col[i] + 1); out.print(" "); } } finally { if (scanner != null) scanner.close(); if (out != null) out.close(); } } } ȱ

Aufgabe ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ãȱȱȱȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ Śȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱ§ȱǰȱȱ£ ȱ§ȱȱȱȱȱ ǯȱ

Problem 3. Springer auf dem Schachbrett ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ )ȬȱǻŚȱ≤ȱǰȱȱ≤ȱŗŖŖǼȱȱȱǰȱȱȱȱȱ ȱȱȱǯȱǱȱȱȱȱǯȱȱ ȱȱȱȱȱȱ ãđȱǰȱȱȱȱȱ£ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻ ǰȱ Ǽȱ ȱ ǯȱ Ǳȱ ȱȱȱȱȱǯȱȱȱǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ŗȱ ȱ ȱ ȱ ȱûȱȱŗȱ£§ȱ ǯȱȱȱãȱȱ ǰȱȱȱ ȱǮ ȱǷȃȱǯȱǱȱ ȱ springer.in springer.out 5 5 19 12 7 2 21 2 2 6 1 20 17 8 11 18 13 22 3 14 5 24 9 16 25 10 15 4 23 5 5 Keine Loesung! 2 3

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Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ £ǯȱ ǯǯȱ ȱȱŗŞŘřȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱãȱȱȱ £ȱȱãȱûǯȱȱȱ ȱȱȱ £ȱȱ ȱ ȱ ãȬ ȱȱǰȱȱȱûȱȱǰȱ ȱȱȱûȱ ¡ǯȱȱȱȱȱ ǰȱȱȱ §ȱȱ£ ǯȱȱ ǰȱȱȱȱ£ȱȱȱãȱ ǯȱȱ§Ȭ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ãȱ ûȱȱȱȱǱȱȱ ȱȱȱȱȱ§ȱȱǰȱȱ ȱȱǰȱ£ûȱȱ£ȱ ǰȱ ȱȱȱȱȱȱ Ȭ ȱȱȱȱȱȱȱ ȱãǯȱ ȱȱ ȱȱ ȱȱȱ¡ȱǽǾǽǾȱǯȱȱȱȱȬ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ¡ǽǾȱ ȱ ¢ǽǾȱ ȱǻȱǼǯȱȱ ȱȱȱȱǻ¡ǰȱ¢ǼȱǰȱȱȱȱȬ ȱȱãȱ¡Ƹ¡ǽǾǰȱ¢Ƹ¢ǽǾȱȱƽŖǰǯǯǯǰŝǯȱȱȱ ǻǼȱȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ £ûǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻ¡ǰȱ ¢Ǽȱ ȱ £ȱ ȱ ǻȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûǼǯȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼǱȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ûȱ ȱȱ£ ǯȱȱȱȱȱȱ£ȱȱ ȱûȱ ȱ£ûȬ ǯȱȱȱȱǰȱ ȱȱȱȱȱȱȱȬ ǰȱȱȱȱȱǯȱȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱȬ ȱǻȱȱ£ȱȱ ȱûǼȱȱȱ ȱ¡ȱȱ¢ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ ȱ ȱ ȱǰȱȱ ȱȱȱǻǼȱǯȱȱȱȱ £§ȱȱûȱȱǯȱ ȱ

Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P03Knight private static final private static final private static final private static final

{ String FileInputName = "springer.in"; String FileOutputName = "springer.out"; int dx[] = { -2, -2, -1, -1, 1, 1, 2, 2 }; int dy[] = { -1, 1, -2, 2, -2, 2, -1, 1 };

private static boolean onTheTable(int x, int y, int m, int n) { return (0 2.0 0 4 3 10 0 0 0 0 18 0 (6, 8) -> 2.0 4 0 1 0 5 0 0 0 0 0 (1, 3) -> 3.0 3 1 0 9 5 0 0 0 0 0 (8, 10) -> 3.0 10 0 9 0 7 8 0 9 8 0 (2, 5) -> 5.0 0 4 5 7 0 9 9 0 0 0 (4, 5) -> 7.0 0 0 0 8 9 0 2 2 0 0 (4, 6) -> 8.0 0 0 0 0 9 2 0 4 0 6 (4, 9) -> 8.0 0 0 0 9 0 2 4 0 9 3 -------------------18 0 0 8 0 0 0 9 0 9 Gewicht: 39.0 0 0 0 0 0 0 6 3 9 0

3

Greedy

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Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱȱ ȱȱǯȱȱȱȱȱȱȱȱǰȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǯȱ ŘşǯŖŗǯŗşŘŞǰȱ ȱ Ǽȱ ȱ ȱŗşśŜȱȱȱȱȱȱȱ¢ȱȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǻŗşśŜǼǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ƽǻǰȱ Ǽȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ǳȱ ȱ Řȱ [ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ƽǻǰȱ xǼǰȱ ȱȱ ȱǯȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȬŗȱ ȱȬ ǯȱȱûȱ ȱȱ ȱȱȱȱ ȱ ȱ£ǯȱȱȬ ȱ ȱȱȱȱȬŗȱ ǯȱ£ȱ §ȱ ȱȱȱ ȱ ȱȱȱ ȱȱȱǰȱȱȱ¢ȱȱȱȱȬ §ȱ ȱ£ǯȱȱđǰȱ ȱȱȱûȱȱ ȱȱȬ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ £ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ŗǯȱ ȱȱǰȱ ȱȱȬŗȱ ȱ §ȱǯȱȱ ȱȱȬ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǯȱ ȱ ȏ ǻ ȱ Ǽȱ ȱ ȱȱȱǻŗǰȱŘǰȱǳǰȱǼȱ ȱ ȱȱȱȱǻƜŗǰȱǲȱȱŗǼȱ¡ȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱ ǽǾȱƜȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȦȦȱȱ ȱ£ȱ ȱ ȱȱȱȏȱ ȱ ȱȱȱ ȱƜȱŖȱ ȱ ȱȱȱȱƜȱŖȱ ȱ ȱȱȱȱǻǀȬŗǼȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱǻǰȱǼȱƜȱ¡ǻǼȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻ ǽǾȱƽȱ ǽǾǼȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻǰȱǼȱƜȱ¡ǻǼȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȏȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱ ǯǻǻǰȱǼǼȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱƜȱ ƸǻǰȱǼȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱƜȱƸŗȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱ¡ȱƜȱ¡ǻ ǽǾǰȱ ǽǾǼȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱƜȱǻ ǽǾǰȱ ǽǾǼȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻƜŗǰȱǲȱȱŗǼȱ¡ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȦȦȱ£ ȱ ȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻȱ ǽǾƽ¡Ǽȱȱ ǽǾƜȱȱȏȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȏȱ ȱ ȱȱȱȏȱ ȱ ȱȱȱȱ ǰȱ ȱ ȏ ȏ ǻ ȱ Ǽȱ

52


ȱȱ ȱȱȱȱ £ȱǰȱȱ ȱȱȬ ǰȱȱȱȱ ȱȱȱȱ ȱȱǯȱȱ ȱ ȱ ȱȱȱǯǰȱȱȱȱȱȱûȱȬ ȱǯȱȱ ȱȱȱûȱǰȱȱ ȱȱ ȱ ȱ ȱȱãǰȱ ȱ ȱȱûȱȱȱ£ǯȱȱ ȱ TreeMap E = new TreeMap(); ȱȱȱ£ȱȱ ȱȱ ȱǰȱ§ȱȘƸȱȱ ȱǻǰȱǼȱǻȱ ȱȱȱȱȱȱ ȱȱ ȱȱ£ȱǱȱȱȱѥȱȱǰȱѥȱ ȱǼǯȱȱȱ ¡ȱ¢ȱ£ȱ ȱǰȱȱ ȱ ȱȱȱûȱȱ Ǳȱ ȱ for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { double aux = scanner.nextDouble(); if (i < j && aux != 0D) { putInMultimap(E, aux, i * n + j); ȦȦȱȱǻ¡ǰȱȘƸǼȱûȱ } } } ȱȱȱȱǻûǰȱǼȱ££ûǰȱȱ ȱȱȬ ȱǻǼǱȱȱȱûȱȱȱûȱȱȱȱǻvalues == nullǼǰȱȱ ȱȱȱǻ¢ǰȱǼǰȱ ȱȱȱȱȱǰȱȱ ûȱȱȱȱȱȱ£ǯȱȱȱûȱȱȱûȱȬ ȱȱǰȱȱ ȱȱȱȱȱǯȱ ȱ private static void putInMultimap(TreeMap mmap, Double key, Integer value) { List values = mmap.get(key); if (values == null) { values = new ArrayList(); mmap.put(key, values); } values.add(value); } ȱȱȱ£ȱǰȱ ȱ ȱȱ ȱȱȱ ȱȱ¢ǻǼǰȱǻǼǰȱ¡ǻǼȱȱǻǼǯȱȱȱȱȱȱ ǯǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǯǯȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ tȬ ǯȱ

3

Greedy

53

Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P04SpanningTree { private static final String FileInputName = "kruskal.in"; private static final String FileOutputName = "kruskal.out"; public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner scanner = null; PrintStream out = null; try { scanner = new Scanner( new File(FileInputName)).useLocale(Locale.ENGLISH); out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); int n = scanner.nextInt(); TreeMap E = new TreeMap(); for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { double aux = scanner.nextDouble(); if (i < j && aux != 0D) { putInMultimap(E, aux, i * n + j); } } } int C[] = new int[n]; for (int i = 0; i < n; i++) C[i] = i; TreeMap H = new TreeMap(); int szH = 0; while (szH < n - 1) { TreeMultimapIterator it = new TreeMultimapIterator(E); it.next(); int uu = it.value().intValue() / n; int vv = it.value().intValue() % n; while (C[uu] == C[vv]) { it.next(); uu = it.value().intValue() / n; vv = it.value().intValue() % n; } putInMultimap(H, it.key(), it.value()); szH++; it.remove(); int mi = Math.min(C[uu], C[vv]);

54

Grundlegende Algorithmen mit Java int ma = Math.max(C[uu], C[vv]); for (short i = 0; i < n; i++) if (C[i] == ma) C[i] = mi; } double cost = 0; Set<Map.Entry> hEntries = H.entrySet(); for (Map.Entry entry : hEntries) { List values = entry.getValue(); double key = entry.getKey(); for (int value : values) { ǮȬȃȱ out.printf("(%d, %d) -> ", value / n + 1, value % n + 1); out.println(key); cost += key; } } out.println("--------------------"); out.println("Gewicht: " + cost); } finally { if (scanner != null) { scanner.close(); } if (out != null) { out.close(); } } } private static void putInMultimap(TreeMap mmap, Double key, Integer value) { List values = mmap.get(key); if (values == null) { values = new ArrayList(); mmap.put(key, values); } values.add(value); } private static class TreeMultimapIterator { private Iterator<Map.Entry> mmapIt; private ListIterator currValuesIt; private Integer currValue;

3

Greedy

55

Map.Entry currEntry; TreeMultimapIterator(TreeMap mmap) { this.mmapIt = mmap.entrySet().iterator(); } boolean next() { if (this.currValuesIt != null && this.currValuesIt.hasNext()) { this.currValue = this.currValuesIt.next(); return true; } else if (mmapIt.hasNext()) { this.currEntry = this.mmapIt.next(); this.currValuesIt = this.currEntry.getValue().listIterator(); this.currValue = this.currValuesIt.next(); return true; } else { return false; } } Double key() { return this.currEntry.getKey(); } Integer value() { return this.currValue; } void remove() { this.currValuesIt.remove(); if (this.currEntry.getValue().isEmpty()) { this.currValuesIt = null; this.mmapIt.remove(); } } } } ȱ

Aufgaben ŗǯ Řǯ

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ǯȱ ȱȱȱǰȱȱȱȱȱǯȱ

56


Problem 5. Huffman-Kodierung ȱ ȱ ȱ ŘŜŘȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ ȱȱǯȱȱ¡ȱȱȱȱ ȱȱǰȱǰȱǰȱ¡ǰȱ¢ǰȱȱ£ǰȱ ȱȱŗŖŖȱ ǰȱȱŗŝȱǰȱȱ£ ǰȱ¡ȱśŞȱǰȱ¢ȱŞŖȱȱȱ£ȱûȱ ǯȱȱ ȱ tȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ŗȱ ȱ ŗȱ £ȱ §ǯȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ ȱ ȱ §ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ £ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱ§ȱ §ȱ ûǰȱ §ȱȱȱȱûȱȱȱȱ ȱãǯȱǱȱƽŖŖŖǰȱƽŖŖŗǰȱƽŖŗŖǰȱ¡ƽŖŗŗǰȱ¢ƽŗŖŖǰȱ£ƽŗŖŗǯȱȱȱ ȱ¡ȱŘŜŘȱȉȱřȱƽȱŝŞŜȱȱ£ǯȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱ§ǰȱȱȱȱȱ£ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ £ȱ ȱ §ȱ ȱȱ ǯȱȱûȱȱ¡ǱȱƽŖǰȱƽŗŗŖŗǰȱƽŗŗŖŖŖǰȱ¡ƽŗŗŗǰȱ¢ƽŗŖǰȱ £ƽŗŗŖŖŗǯȱȱ £ȱȱȱȱûǱȱŗŖŖȉŗȱƸȱȱŗŝȉŚȱƸȱŘȉśȱȱƸȱȱśŞȉřȱƸȱŞŖȉŘȱƸȱśȉśȱƽȱ śřŝǯȱȱȱŜŞǰřȱ£ȱȱŝŞŜǰȱȱȱȱ ȱûȱȱȱȱ ȱ§ȱřŗǰŝȱ£ȱ£ȱǯȱ ȱ ȱȱȱȱȱ§ȱûȱȱ¡ȱȱŘŜŘȱȱ ȱȱǰȱǰȱǰȱ¡ǰȱ¢ǰȱ£ȱȱȱ §ȱ ȱ

ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ¢ȱ £ȱ ȱȱ

§ȱ ŗŖŖȱ ŗŝȱ Řȱ śŞȱ ŞŖȱ śȱ Ȭȱ ŝŞŜȱ ȱ§ȱ ŖŖŖȱ ŖŖŗȱ ŖŗŖȱ Ŗŗŗȱ ŗŖŖȱ ŗŖŗȱ śřŝȱ ȱ§ȱ Ŗȱ ŗŗŖŗȱ ŗŗŖŖŖȱ ŗŗŗȱ ŗŖȱ ŗŗŖŖŗȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûǰȱ ȱ ȱ §ȱ

ȱ ȱ ȱ §¡ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §¡ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻ Ǽȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ § ȱ ŗŖŗŗŖŖŖŗŗŖŖŗŖŗŗŗȱ ȱ ȱ ȱ£ȱ¢£¡ȱǯȱ ȱ ȱȱ ȱǻŗşŘśȬŗşşşǼȱȱŗşśŘȱǻȱ ȱȱȱǯǯǯǰȱǯȱŗŖşŞȬŗŗŖŘǼȱ ȱ§¡ȱǯȱ ȱ ȱȱ§ǰȱȱ§ȱȱ ȱȱ¢ǯȱȱ ȱûȱȱȱȱǰȱȱ ȱȱȱȱȱ£ȱȱ£ȱȱ§ȱȱȱŖȱǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ŗǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ Ȭ

3

Greedy

57

§ȱȱ§ȱǻȱ ȱȱȱȱ£ ȱ§Ǽȱȱ ȱȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ûȱ ȱ ȱ ǰȱȱȱȱȱ§ǯȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱ£ǰȱȱȱȱȩȩȱ§ȱǻȱûȱȱ Ǽȱ ȱ ȩȩȬŗȱ ǯȱ ȱ ǻǼȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ Ǽǰȱ ȱ ȱ ȱûȱȱ¡ȱ

¦ f (c) ⋅ h(c) ȱȱȱȱȱ£ȱȱȱȱ ȱ

c∈C

ȱǯȱȱ ȱ ȱȱ ȱȱȱȱȱ ¢ȱǱȱȱ§ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȩȩȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȩȩȬŗȱ £ȱ ȱ ȱ đȱ ȱ §ȱ £ȱ ǯȱ ȱ ȱȱȱȱ£ ȱ§ȱ ŗȱ ȱŘȱȱ ȱ ȱǰȱȱ£ȱ ȱȱȱ£ȱ ǰȱȱŗȱȱŘȱȱ§ȱȱȱȬ ȱ ȱȱȱȱ ȱȱŗȱȱŘȱǯȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ǰȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ǯȱ Ǳȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǰȱ §Ǽǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱǰȱȱ §ȱȱûȱȱ£ ȱ ŗȱ ȱ ŗŖŖŖǯȱ Ǳȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ǯǰȱ ȱȱǱȱ ȱ huffman.in huffman.out p 100 p 0 q 17 y 10 r 2 r 11000 x 58 z 11001 y 80 q 1101 z 5 x 111

Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ £ǰȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱǱȱ ȱ ȱ ȱ

r:2

z:5

q:17

x:58

y:80

p:100

58


ȱȱȱȱ§ȱȱȱ ȱȱȱ£Ǳȱ 7 ȱ q:17 y:80 p:100 x:58 ȱ ȱ r:2 z:5 ȱ ȱ £ȱ£ȱ ȱȱ§ȱȱȱ ȱŝȱȱŗŝǱȱ ȱ ȱ 24 y:80 p:100 x:58 ȱ ȱ 7 q:17 ȱ

ȱ ȱ r:2 z:5 ȱ ȱȱ§ȱȱȱ ȱŘŚȱȱśŞǱȱ ȱ 82 y:80 ȱ p:100 ȱ ȱ 24 x:58 ȱ ȱ 7 ȱ q:17 ȱ ȱ r:2 z:5 ȱ ȱ ȱ§ȱȱȱ ȱŗŖŖȱȱŗŜŘǱȱ ȱ 162 p:100 ȱ ȱ 82 y:80 ȱ ȱ ȱ 24 x:58 ȱ ȱ 7 ȱ q:17 ȱ ȱ r:2 z:5

3

Greedy

59

ȱȱȱ£ȱ£ȱȱȱȱǰȱȱȱ ȱȱȱ Ȭ ȱȱŖȱȱŗȱǯȱ ȱ 262 ȱ 1 0 ȱ ȱ 162 p:100 0 1 ȱ ȱ 82 y:80 ȱ 0 1 ȱ ȱ 24 x:58 0 1 ȱ ȱ 7 q:17 ȱ 0 1 ȱ ȱ r:2 z:5 ȱ ȱȱ§ȱ§ȱãȱ ȱȱ Ȭ ȱȱȬ ȱǰȱ ȱ ȱȱȱȱȱ£ȱȱ£ȱ ȱȱ ǯȱ ȱȱȱǱȱ ȱ ȱ ȏ ǻǼȱ ȱ ȱȱȱȱѥû§ǻǼȱ ȱ ȱȱȱȱǻȱȱȱȱȱǼȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱŗǰȱŘȱѥ§ǻǼǰȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱǯȱǻŗǰȱŘǼȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱѥ£ǻŗǰȱŘǼȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱǯǻǼȱ ȱ ȱȱȱȱȏȱ ȱ ȱȱȱȱȱ ǻǼȱ ȱ ȏȱ ȏ ǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ¡§ȱȱȱȱǻȱȱǼȱȱȱȱȱȱ ȱ§ǯȱȱ Ȭȱûȱ£ȱȱȱ ǰȱȱ ȱȱȱȱȱȱ ǯȱ ȱûȱȱȱ£ǯȱ ǯȱȱǽŖŚǾȱȱǽ şŝǾǯȱ ȱ

60


ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ûȱ ȱ §ǰȱ ȱ £ ȱ ȱ ǰȱ £ȱ £ȱ ȱ ȱ §ǰȱ ǰȱ ȱȱȱȱȱȱǰȱȱȱǯȱȱ ȱȱ §ȱȱȱȱȱȱȱ¢ȱȱǰȱ ȱȱûȱȱ ȱǯȱȱȱ ȱ£ ȱ§ȱȱȱȱãǰȱȱ ȱȱȱȱ§ǯȱȱûȱȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱȱǯȱȱȱȱ ȱȱȱǰȱȱ ȱȱȱȱ §ȱȱȱ ȱ£ȱȱȱȱȱǻ ȱȱ ǻȱǰȱȱǼǼǰȱȱȱȱȱȱȱãǯȱ ȱ

Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P05HuffmanCode { private static final String FileInputName = "huffman.in"; private static final String FileOutputName = "huffman.out"; public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner scanner = null; PrintStream out = null; try { scanner = new Scanner(new File(FileInputName)); TreeMap map = new TreeMap(); while (scanner.hasNext()) { String s = scanner.next(); ` Integer cost = new Integer(scanner.nextInt()); List list = map.get(cost); if (list == null) { list = new ArrayList(); map.put(cost, list); } list.add(new Node(cost, s.charAt(0))); } if (map.isEmpty()) return; while (map.size() > 1) { Iterator<Map.Entry> it = map.entrySet().iterator(); Map.Entry entry = it.next();

3

Greedy

61

ListIterator listIt = entry.getValue().listIterator(); Node first = listIt.next(); listIt.remove(); if (!listIt.hasNext() && !listIt.hasPrevious()) { it.remove(); entry = it.next(); listIt = entry.getValue().listIterator(); } Node second = listIt.next(); listIt.remove(); if (!listIt.hasNext() && !listIt.hasPrevious()) { it.remove(); } Node newNode = new Node(first, second); List list = map.get(newNode.getCost()); if (list == null) { list = new ArrayList(); map.put(newNode.getCost(), list); } list.add(newNode); } out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); map.entrySet().iterator().next().getValue(). iterator().next().writeCosts( out, new ArrayList()); } finally { if (scanner != null) { scanner.close(); } if (out != null) { out.close(); } } } } class Node implements Comparable { private int cost; private char ch; Node left, right; Node(int cost, char ch) { this.cost = cost; this.ch = ch; } Node(Node left, Node right) {

62

Grundlegende Algorithmen mit Java this.left = left; this.right = right; this.cost = left.cost + right.cost; } int getCost() { return cost; } public int compareTo(Node o) { return this.cost - o.cost; } void writeCosts(PrintStream out, List pathPrefix) { if (left == null || right == null) { // Blattknoten out.print(this.ch); out.print('\t'); for (Boolean b : pathPrefix) { out.print(b.booleanValue() ? 1 : 0); } out.println(); } else { pathPrefix.add(Boolean.FALSE); left.writeCosts(out, pathPrefix); pathPrefix.set(pathPrefix.size() - 1, Boolean.TRUE); right.writeCosts(out, pathPrefix); pathPrefix.remove(pathPrefix.size() - 1); } }

} ȱ

Aufgaben ŗǯ Řǯ řǯ

Śǯ śǯ

ȱȱȱ Ȭ§ȱûȱȱ ȱȱãȱǰȱ ȱȱǯȱ ȱǰȱȱȱ Ȭȱ £ȱȱȱ ȱ ûǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ Ȭ £ȱ ȱ Ȭ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ǯȱ £ȱȱȱȱǰȱȱȱȱ¡ȱȱǰȱȱȱ ȱȱȱǯȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ §ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ƹŗȱ §ȱǯȱ

3

Greedy Ŝǯ

63

ȱǰȱȱȱ£ȱȱ§ȱ§§ȱȱȱ ȱȱ ȬȱȬȱǱȱ Cn =

1 § 2n · ¨ ¸ ǯȱ n + 1 ¨© n ¸¹

ȱ ȱ Řȱȱ ȱ ȱ řȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱŗŚȱ§ȱ§§ȱȱŚȱȱ ǯȱȱ ȱ

ȱ

ȱȱ¢ȱ

ȱ

ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ

ȱ ȱȱȱǯȱ§ȱȱ ãȱ

ȱ

Data Ordering Problem

4

ȱ ȱȱ ȱȱ ȱȱȬ§ȱȱǰȱȱȱȬ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ Ǳȱ £§ȱ ãȬ ǰȱ ¡ȱ ȱ ¢ǯȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §£ȱ £ȱ ãǯȱ ȱ Ȭ ȱ ȱȱȱ§ǰȱ ȱȱȱȱȱȬ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £Ǳȱ Ȭ ǰȱ ȱȱȱȱ§ȱȱȱ¡ȱȬ ȱ ȱ ȱ Ȭǰȱ Ȭȱ ǻǮȱ Ȭ §Ȭ ȃǼǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ǰȱ Ȭǰȱ ȱ ûǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱǻȱȱȱ ȱŜȱ£ȱǼǰȱȱȱ Ȭ £Ȭǯȱȱ

Problembeschreibung ȱȱȱȱȱȱȱȱ§ ãȱȱ§ȱǻǼǯȱ ȱȱȱǰȱȱûȱȱȱȱȱȱȱǰȱ Ȭ ȱ ȱȱȱ ȱǯȱȱ ȱȱȱȱȱãȱûȬ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ £ȱ ȱ Ȭ ȱ ȱ ȱ ȱ ûǯȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ § ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱûǰȱȱ ȱȱȱȱ§ȱȱȱȱ §ȱǯȱȱȱȱȱȱȱȱǯȱȱȱ ȱ§ ȱûȱ ǰȱȱ ȱȱ£ ȱȱȱȱȱ ǮŗȱřȱŜȱŞȃȱûȱȱǰȱ ȱȱȱ£ ȱȱȱȱȱ ȱȱǯȱȱ§ȱȱûȱ ǰȱ ȱȱȱǮŗȱřȱŜȱŞȃȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱŗǰȱřǰȱŜȱȱŞǯȱȱȱȱȱ£ ȱ§ ǯȱȱ ȱȱȱȱ§ȱȱȱ ȱȱ£ ȱȱȱȬ ȱŗȱȱśǯȱȱȱȱȱȱȱȱȱ§ȱȬ ǯȱ ȱ § ȱ ǰȱȱûȱȱ ȱȱ ȱ £ȱ ŖȱŗȱŖȱŖȱŗȱŗȱŗȱŖȱ ŖȱŗȱŖȱŖȱŗȱŗȱŗȱŖȱ Ŗȱ ŗȱŗȱŗȱŖȱŗȱŖȱŗȱŗȱ ŗȱřȱŜȱŞȱ Śȱ ŖȱŗȱŗȱŖȱŖȱŖȱŗȱŗȱ ŗȱśȱ Řȱ ȱ

66

Gundlegende Algorithmen mit Java

ȱǰȱȱȱȱ£ ȱ£ ȱȱȱȱȬ ȱ £ǰȱ £ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ Ȭ ȱȱãȱȱ§ȱȱ£ ǯȱȱ ǯȱ ȱ ãȱ ȱȱȱȱãȱȱ §ǰȱȱȱ £ȱȱȬ ȱȱ ǯȱȱȱȱȱȱǰȱ£ȱǰȱȱȬ ȱǮȱȱȃǯȱ ȱȱȱȱŗşşŚȱȱȬȱȱǰȱȱȱȱãȱ ȱȱtȱȱȱ ȱãǰȱȱȱ£ȱ ȱ £ȱȱǻǽşŚǾǼǯȱȱ ȱ ȱ ŗǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ § ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ £ȱ ǻŖȱ →ȱ ŗǰȱ ŗȱ →ȱ ȱ ŖǼǯȱ ȱ w ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ £ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ Ǳȱ ȱ ƽȱ ŗŖŗŗŖŖŖŗǰȱ w ȱȱƽȱŖŗŖŖŗŗŗŖȱȱ 10110 = 01001 ǯȱ ȱ ûȱ ȱ Ȭȱ ǻȱ ƽȱ ȱ ȱ Ǽȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ § ãȱȱȱȱȱûǯȱȱ ȱȱûȱȱȱǰȱ ȱ ȱȱȱ¡Ȭȱûȱȱ ǰȱȱȱ££ǯȱȱȱȮȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȯȱ ȱ Ȭ§ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱ¡ȱûȱȱȱ ȱ£ǯȱǯȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ǻ Ȭ ȱ Ǽǰȱ ȱ ȱ tȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱǯȱȱ

Problemdomäne, Definitionen ȱŘǯȱ Ȭ£ǯȱȱ ȱȱȱ ȱȱȱȱ ȱûǰȱ ȱȱ£ȱȱãȱȱȱ k

d ( wr , ws ) = ¦ wrj ⊕ wsj ǰȱȱȱȱ§ȱȱȱãȱȱȱȱǻŗǼǰȱ j =1

ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ Ȭ£ȱ £ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ǻŗǼȱȱ ȱȱ ȱȱȬȱȱȱȱ§ȱȱ ȱȱȱ⊕ȱȱȱȱȱ¡Ȭ ȱǱȱ ¡ȱ ¢ȱ ¡⊕¢ȱ Ŗȱ Ŗȱ Ŗȱ Ŗȱ ŗȱ ŗȱ ŗȱ Ŗȱ ŗȱ ŗȱ ŗȱ Ŗȱ ȱ ǱȱǻŗŖŖŖŗŗŗŖǰȱŗŖŗŗŖŗŗŗǼȱƽȱŚǯȱ

4 Data Ordering Problem

67

£ȱŗǯȱȱȱȱȱȱ£ȱǯȱȱ Ȭ£ǰȱȱȱȱȱȱ ãȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱûǱȱ ȱ ǻŗǼȱǻ¡ǰȱ¢Ǽȱ≥ȱŖȱûȱȱ¡ǰȱ¢∈ȱǰȱǻ¡ǰȱ¢ǼȱƽȱŖȱ⇔ȱ¡ȱƽȱ¢ȱ ǻŘǼȱ¢Ǳȱǻ¡ǰȱ¢Ǽȱƽȱǻ¢ǰȱ¡Ǽȱûȱȱ¡ǰȱ¢∈ȱȱ ǻřǼȱǱȱǻ¡ǰȱ¢Ǽȱ≤ȱǻ¡ǰȱ£ǼȱƸȱǻ£ǰȱ¢Ǽȱûȱȱ¡ǰȱ¢ǰȱ£ȱ∈ȱȱ Ǳȱ ŗǯȱȱǻ¡ǰ¢ǼȱƽȱŖȱǱȱȱ k

¦ d ( x , y ) = 0 ȱȱȱȱȱBȱȱûȱȱƽŗǰȱǳǰȱȱȱȱ¡ ȱȱƽȱȱ¢ ȱȱǻ¡ ȱȱ¢ ȱȱȱǰȱȱȱȱ j

j

j =1

ãȱ¡ȱȱ¢ȱǼǯȱ ȱ Řǯȱȱ¢ȱȱȱȱȱ¢ȱȱȱ⊕ǯȱ řǯȱȱȱǰȱȱȱãȱ¡ǰȱ¢ȱȱ£ȱȱ§ȱ¡ŗǯǯǯ¡ǰȱ¢ŗǯǯǯ¢ȱȱ £ŗǯǯǯ£ȱǯȱȱȱȱûȱãȱȱ§ȱŗȱ ȱȱ ȱȱȱǰȱȱȱȱ ǰȱȱȱ ȱûȱȱûȱǻǰȱǼȱȱǻǰȱǼƸǻǰȱǼȱȱǱȱ ȱȱûȱǻǰȱǼȱȱǻǰȱǼȱƸȱǻǰȱǼȱ

ȱ Ŗȱ Ŗȱ Ŗȱ Ŗȱ ŗȱ ŗȱ ŗȱ ŗȱ

ȱ Ŗȱ Ŗȱ ŗȱ ŗȱ Ŗȱ Ŗȱ ŗȱ ŗȱ

ȱ ǻǰȱǼȱ ǻǰȱǼȱƸȱǻǰȱǼȱ Ŗ Ŗȱ Ŗȱ ŗ Ŗȱ Řȱ Ŗ ŗȱ ŗȱ ŗ ŗȱ ŗȱ Ŗ ŗȱ ŗȱ ŗ ŗȱ ŗȱ Ŗ Ŗȱ Řȱ ŗ Ŗȱ Ŗȱ

ȱ ȱȱǰȱȱȱȱûȱȱãȱȱ§ȱŗȱûȱǰȱ ȱȱǰȱȱȱȱûȱãȱȱ§ȱ ȱǰȱ ȱ ȱȱȱȬ ǯȱ÷ȱ ȱ ȱřǯȱ £ȱȱǯȱ ȱȱȱ§ ãȱ ŗǰȱ Řǰȱǯǯǯǰȱ ǰȱ ȱ ȱ σȱ ǻȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ

68


ȱ ǿ ŗǰȱ Řǰȱ ǯǯǯǰȱ ȀǼȱ ȱ ȱ ȱ δȱ ǻȱ ȱ ȱ ȱ ȱǿŗǰȱŘǰȱǯǯǯǰȱȀȱȱȱȱǿŖǰŗȀǼǰȱȱûȱȱȱǰȱ ȱȱȱȱȱǯȱȱ £ȱȱȱȱȱǱȱ ȱ

NT =

n −1

¦ d (wσδ j =1

( j) δ ( j +1) ( j ) , wσ ( j +1) ) ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻŘǼȱ

ȱŚǯȱ££¡ǯȱûȱȱ£ȱȱȬȱȱȬȱǻ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ Ǽȱ ȱ ȱ ȱ ££¡ȱ ƽǻǼȱȱȱȱƽȱǻ ǰȱ Ǽǯȱ ȱ Ǳȱûȱȱƽȱřȱȱȱƽȱśȱȱȱ££¡ȱûȱȱãȱ ŗȱƽȱŖŖŖŗŗǰȱ Řȱƽȱ ŗŖŗŗŖȱȱ řȱƽȱŖŗŖŗŗȱȱǱȱ ȱ §0 3 1· ȱ ¸ ¨ ȱȱ A = ¨ 3 0 4¸ ¨ 1 4 0¸ ȱ ¹ © ȱ ǻȱǻ ŗǰȱ ŗǼȱƽȱŖǰȱǻ ŗǰȱ ŘǼȱƽȱřǰȱǻ ŗǰȱ řǼȱƽȱŗǰȱǳȱǼǯȱȱ ȱ £ûȱȱ££¡ȱȱȱǱȱ ŗǯȱȱ££¡ȱȱ¢ȱ£ȱ ǯȱȱȱ¢ȱȱ

Ȭ£ȱȱȱ ȱ

d ( wi , w j ) = d ( w j , wi ) aij = a ji ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻřǼȱ ȱ Řǯȱȱȱȱȱ ȱȱǯȱȱȱȱȱ Ȭ £ȱǰȱȱ ȱ d ( wi , wi ) = 0 a ii = 0 ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻŚǼȱ ȱ řǯȱȱ££¡ȱ§ȱȱǰȱ ȱȱȱãȱǯȱ ȱ

d ( wi , w j ) = d ( wi , w j ) ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻśǼȱ ȱ Śǯȱȱȱȱ§ȱȱãȱǰȱȱ ȱ


69

d ( wi , w j ) = d ( wi , w j ) = k − d ( wi , w j ) = k − aij ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻŜǼȱ śǯȱȱ ȱȱãȱȱȱûǰȱ ȱȱȱǰȱ ȱȱ ȱȱ ȱ §ȱ ȱ ãȱ ȱ ûǰȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ

ȱǯȱ ȱŗǯȱ ȱȱȱƽȱřǰȱȱƽȱŗŘȱȱȱãȱ ȱ ŗȱƽȱŖŗŖŗŖŖŗŗŗŖŖŖȱȱȱȱȱȱȱȱ ŘȱƽȱŖŖŗŖŗŖŗŖŖŗŗŖȱȱȱȱȱȱȱȱ řȱƽȱŖŖŗŗŗŗŖŗŗŖŗŗȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱ ȱȱȱ££¡ȱ ȱ § 0 8 7· ȱ A = ¨ 8 0 7¸ ¨ ¸ ȱ ¨ 7 7 0¸ © ¹ ȱ ȱ ȱȱãȱ ȱȱǰȱȱȱ £ȱȱȱ ȱ

N T = a12 + a 23 = 15

ȱ ȱȱȱ£ ȱȱǰȱȱ ȱ

N T = ( k − a12 ) + ( k − a 23 ) = (12 − 8) + (12 − 7) = 9 ȱ ȱ

ȱŚŖȱ£ȱǯȱ ȱŘǯȱûȱȱƽȱŝǰȱȱƽȱŗśȱȱȱãȱ ȱ ŗȱƽȱŖŖŗŖŗŖŗŖŖŗŗŖŗŗŖȱȱȱȱȱȱȱȱ ŘȱƽȱŖŖŖŖŖŖŖŖŗŗŗŗŗŗŖȱȱȱȱȱȱȱȱ řȱƽȱŖŖŗŗŗŗŖŗŗŖŗŖŖŗŖȱȱȱȱȱȱȱȱ ŚȱƽȱŖŖŖŖŗŖŖŗŗŗŗŖŗŗŗȱȱȱȱȱȱȱȱ śȱƽȱŖŖŖŖŖŗŗŗŗŖŗŗŖŗŗȱȱȱȱȱȱȱȱ ŜȱƽȱŖŖŖŗŗŖŖŗŖŖŖŗŗŖŖȱȱȱȱȱȱȱȱ ŝȱƽȱŖŖŖŖŖŗŖŗŖŖŖŗŗŗŖȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱȱ££¡Ǳȱ

70


ȱ §0 5 7 ȱ ¨ ¨5 0 8 ȱ ¨7 8 0 ȱ ¨ A = ¨5 4 6 ȱ ¨9 6 6 ¨ ȱ ¨8 7 7 ȱ ¨ ©8 5 7 ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ

5 9 8 8· ¸ 4 6 7 5¸ 6 6 7 7¸ . ¸ 0 6 7 7¸ 6 0 9 5 ¸¸ 7 9 0 4¸ ¸ 7 5 4 0¹

ãȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ 6

N T = ¦ a t ,t +1 = 38 ȱ t =1

ȱ ȱȱãȱȱȱȱ ŗǰȱ Řǰȱ Śǰȱ řǰȱ śǰȱ ŝǰȱ Ŝȱǰȱȱ

NT = a12 + a24 + a43 + a35 + a57 + a76 = 30 ȱ ȱȱȱ£ȱȱŘŜǯŝȱ£ǯȱ ȱ ȱřǯȱ ȱȱȱƽȱŞǰȱȱƽȱŗřȱȱȱãȱ ȱ ŗȱƽȱŗŗŗŗŖŗŖŗŗŗŖŖŗȱȱȱȱȱȱȱȱ ŘȱƽȱŗŖŗŖŗŖŖŗŗŖŗŗŖȱȱȱȱȱȱȱȱ řȱƽȱŖŖŖŖŖŖŗŗŗŗŗŗŖȱȱȱȱȱȱȱȱ ŚȱƽȱŗŗŗŗŖŗŗŖŗŖŖŗŖȱȱȱȱȱȱȱȱ śȱƽȱŖŖŖŗŗŗŗŖŗŗŖŗŗȱȱȱȱȱȱȱȱ ŜȱƽȱŖŗŗŖŖŗŖŖŖŗŗŖŖȱȱȱȱȱȱȱȱ ŝȱƽȱŖŖŖŗŖŗŖŖŖŗŗŗŖȱȱȱȱȱȱȱȱ ŞȱƽȱŗŖŖŖŗŗŖŗŗŖŗŖŖǯȱ ȱ

ȱȱ££¡Ǳȱ ȱ ȱ § 0 8 9 5 7 6 8 7· ¨ ¸ ȱ ¨ 8 0 5 7 9 8 8 3¸ ȱ ¨ 9 5 0 8 6 7 5 6¸ ¨ ¸ ȱ ¨ 5 7 8 0 6 7 7 8¸ ǯ ȱ

A=¨

¸

ȱ ¨ 7 9 6 6 0 9 5 8¸ ¨ 6 8 7 7 9 0 4 7¸ ȱ ¨ ¸ ȱûȱȱãȱ ȱǯȱȱȱ 8 8 5 7 5 4 0 7

¨ ¸ ¨ 7 3 6 8 8 7 7 0¸ © ¹


71 7

N T = ¦ a t ,t +1 = 47 ȱ t =1

ȱûȱ ȱȱǱȱ ȱ

w1 → w3 → w4 → w8 → w2 → w5 → w6 → w7 ȱ ȱ ȱ£ȱȱȱ£ȱȱȱȱřŞǰřȱ£ǰȱȱ ȱ

N T = (13 − a13 ) + (13 − a34 ) + (13 − a 48 ) + a82 + (13 − a 25 ) + a56 + a 67 = 29 ȱ

ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱãȱȱ ȱȱãǯȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ǰȱ ãȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ ǰȱȱȱȱãȱ£ȱǯȱȱȱȱȱȱ ǰȱûȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ãȱ ȱ ãȱ ǰȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱȱȱȱȱǯȱ ȱ ȱśǯȱȱǻȱȱǼȱȱȱȱȱσȱȱȱȱ ãȱ ŗǰȱ Řǰȱǳǰȱ ǰȱȱȱȱ £ȱȱȱ n −1

ȱ

ȱ

NT = ¦ d ( wσ ( j ) , wσ ( j +1) ) ȱ

ȱ

ǻŝǼȱ

j =1

ȱ ǯȱ ȱ ȱŜǯȱȱǻȱȱȱȱǼȱȱȱȱȱ σȱȱȱ ȱδȱȱȱȱãȱ ŗǰȱ Řǰȱǳǰȱ ǰȱȱȱȱ £ȱ ȱȱ ȱ

NT =

n −1

¦ j =1

ȱ

d ( wσδ (( jj )) , wσδ (( jj ++11)) ) ȱ

ǻŞǼȱ

ȱ ǯȱ

DOP und DOPI sind NP-vollständig ȱ ǽşśǾȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ§ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ £ȱ ãȱ Ǳȱ ȱ ȱ ǻȱ ȱ ȱ Ȯȱ Ǽǰȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ ǻȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ Ȯȱ ȬǼȱ ȱ ¢ȱ ǻȱ ǰȱȱǰȱȱȱǼǯȱ

72


ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ

ȱ ȱ ǵȱ ǰȱ ûȱ ȱ Ȭ§ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ǯȱ ûȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ Ȭ§ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ǰȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ãȱ ȱ ȱ £ȱ ǯȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǰȱ ȱȱ£ȱ§ǯȱ ȱ ȱ ãȱǰȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱ ǰȱȱ£ȱȬ§ǯȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ǰȱ ǰȱ £ Ȭ ǰȱȱȱǰȱȱȱǰȱǰȱȱȱȬ ǰȱȬȱȱǰȱǰȱ ǯȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱ ǯȱȱ £ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ § ãȱ ŗǰȱ Řǰȱ ǯǯǯǰȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ǯȱȱ ǯȱ ȱȱȱȱ σȱȱȱ ȱ δȱȱȱ ŗǰȱ Řǰȱǳǰȱ ȱ ȱ ãǰȱȱȱ

NT =

n −1

¦ d (wσδ j =1

( j) δ ( j +1) ( j ) , wσ ( j +1) )

≤ m ȱȱȱȱȱȱǻşǼȱ

ȱ δ ( wi ) = wi ȱȱ δ ( wi ) = wi ǵȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ Ȭ§ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ§ȱ ȱǰȱ ȱȱȱãđȱȱ£ûȱȱȬ ȱǯȱȱ ȱȱȱ ǰȱȱȱȬ§ȱǯȱ

Algorithmen für DOP und DOPI ûȱȱãȱ ȱȱ¢ȱȱȱǰȱȱȱ ȱ ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãǯȱ ûȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ § ãȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ǻȱ ȱ ãǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ǻȱ ȱ ȱ ãǼǯȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ Ǳȱ Ȭǰȱ ¡Ȭǰȱ£ ȱ ¢Ȭȱȱ£ȱȱȱȱȱ ȱǻǯȱ ȱǼǰȱȱȱȱȱǯȱ ȱ ȱ ȱ

4 Data Ordering Problem ȱȱȱãȱ ȱ ȱ §0 ¨ ŗȱƽȱŖŗŖŗŗŖŖŗŗȱ ¨5 ŘȱƽȱŗŖŗŗŗŖŖŖŖȱ ¨5 ¨ řȱƽȱŖŖŗŖŖŖŖŖŗȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ££¡ȱŞşƽȱ ¨ 4 ŚȱƽȱŗŗŗŖŗŖŖŖŗȱ ¨ ¨5 śȱƽȱŗŗŗŖŗŗŗŗŗȱȱȱȱȱȱ ¨4 ŜȱƽȱŖŖŖŗŖŗŗŗŗȱ ¨ ¨4 ŝȱƽȱŗŖŖŖŗŖŖŖŗȱ ¨6 ŞȱƽȱŖŖŗŖŖŗŗŗŗȱ ©

73

5 5 4 5 4 4 6· ¸ 0 4 3 6 7 3 7¸ 4 0 3 6 5 3 3¸ ¸ 3 3 0 3 8 2 6¸ ¸ 6 6 3 0 5 5 3¸ 7 5 8 5 0 6 2¸ ¸ 3 3 2 5 6 0 6¸ 7 3 6 3 2 6 0 ¸¹

ȱ ȱ£ȱȱ£ȱȱŞşȱǻ ȱƽŞȱȱƽşȱǼȱȱ ȱȱ ȱ £ûǰȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǯȱ đȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱûȱ ǰȱȱřŘǯȱ

Zufällige-Lösung-Algorithmen (RAN) ȱ§ȬãȬȱûȱȱȱȱ£§ȱȱȱ ȱȱ£ȱȱȱȱ ȱǯȱûȱȱȱȱ £§£ȱȱ£§ȱǰȱȱȱȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȏȱȏǻǰȱǰȱ ŗǯǯ Ǽȱ ȱ ȱ←ȱȱȱ ȱǰȱǻǼȱ ȏȱ ȏȱȏǻǰȱǰȱ ŗǯǯ Ǽȱ

ȏȏǻǰȱǰȱ ŗǯǯ Ǽȱ ȱ←ȱȱȱ ȱ←ȱȱȱ ȱǰȱǰȱǻǰȱǼȱ ȏȱ ȏȏǻǰȱǰȱ ŗǯǯ Ǽ

74


£ûȱŞşȱȱȱȱȱ£ȱȱûȱȱȱǻŝǰȱŞǰȱŚǰȱŘǰȱřǰȱśǰȱ Ŝǰȱ ŗǼȱ ȱ ȱ řŚǯȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ǻŝǰȱŗǰȱ řǰȱ Şǰȱśǰȱ ŘǰȱŚǰȱ ŜǼȱ ȱȱ ȱǻŖǰȱŗǰȱŖǰȱŗǰȱŗǰȱŗǰȱŖǰȱŖǼȱ ȱȱřŞȱǯȱȱ ¡§ȱȬ ȱȱȱǻǼǯȱ

Exakt-Algorithmen (EX) ȱ¡Ȭȱûȱȱȱȱȱȱȱȱǰȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ûǯȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǰȱ Ǽȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ûǯȱ ȏȱ ȏǻǰȱǰȱ ŗǯǯ Ǽȱ ȱ←ȱȱǻǼȱ ȱ←ȱȱǻǼȱ ȱǻȱǻǼȱǼȱ¡ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ

ȱȱȱȱǻȱǻǼȱǼȱ¡ȱ ȱȱȱȱȱȱȱǻǻǰȱǼǀǻǰȱǼǼȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ←ȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ←ȱȱ ȏȱȱȱȏȱȱȱȱȏȱ ȱǰȱǰȱǻǰȱǼȱ ȏȱ ȏȱ ȏǻǰȱǰȱ ŗǯǯ Ǽȱ

£ûȱŞşȱȱ ȱȱȱûȱȱȱǻŗǰȱŜǰȱŞǰȱřǰȱŘǰȱŝǰȱŚǰȱśǼȱȱ ȱ ȱ Řŗǯȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ȱ ȱ ȱ ŗŜǰȱ ȱ ȱ ȱûȱȱȱǻŗǰȱŞǰȱŘǰȱŜǰȱŚǰȱŝǰȱřǰȱśǼȱȱȱ ȱǻŖǰȱŗǰȱŖǰȱŗǰȱŖǰȱŖǰȱŖǰȱŗǼȱ ǯȱ ȱ ¡§ȱ ȱ ȏȬȱ ȱ ǻǷǼǰȱ ȱ ȱ ȏȬ ȱȱǻǷȉŘǼǯȱȱ

Greedy_Min-Algorithmen (GM) ȱȱ ¢ȏȬ£ȱãȱ ȱ ȱȱȱȱǯȱ ȱǱȱ • ȱȱ ȱûȱȱãȱãȱȱȱȱȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ãȱ ûȱ ȱ ǯȱ

4 Data Ordering Problem • •

75

ȱȱȱȱ£ǯȱ §ȱ ȱ £ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǮȄȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱ£ȱ£ûȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ûȱ ûȱ ȱ ȱ §ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱȱǯȱȱȱȱȱȱȱȱ ǯȱ

ȱ ȱ ¡§ȱȱȱȱ¢ȱǻŘǼǯȱûȱŞşȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ǻśǰȱ ŗǰȱ Ŝǰȱ Şǰȱ řǰȱ Śǰȱ ŝǰȱ ŘǼȱ ȱ ȱ ŘŘȱ £ǯȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱǻśǰȱřǰȱŝǰȱŚǰȱŜǰȱŘǰȱŞǰŗǼȱȱȱ ȱȱǻŗǰȱŖǰȱŖǰȱŖǰȱŗǰȱ ŖǰȱŗǰȱŖǼȱ ȱȱŗŜǯȱ

Greedy_Min Simplified-Algorithmen (GMS) ȱ ȱ ȱ ¢ȏȬ£ȱ ǻ Ǽȱ ȱ ǯȱ ȱ £ȱ ûȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ûȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ đȱ £ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱȱ ¡§ȱȱȱȱȱ¢ȱǻŘǼǯȱ ȱ £ûȱŞşȱȱȱȱȱȱȱǻŚǰȱŝǰȱŘǰȱřǰȱŞǰȱŜǰȱŗǰȱśǼȱȱ Ȭ ȱȱŘřȱȱȱȱȱȱǻŚǰȱŜǰȱŞǰȱŗǰȱŘǰȱŝǰȱřǰȱśǼǰȱȱ ȱǻŖǰȱŗǰȱ ŗǰȱŖǰȱŗǰȱŗǰȱŗǰȱŖǼȱȱȱ ȱŗşǯȱ

Algorithmen mit unterer Schranke (LB) ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ

ȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ£ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ Ȭ£ȱ £ ȱ ãȱ §ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ ûȱ ȱ ǻȱ ǰȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǼǱȱ d ( wi , w j )

= d ( wi , w j ) ȱȱ d ( wi , w j ) = d ( wi , w j ) ǯȱ

ûȱȱ£ȱ ȱȱǰȱȱ ȱ£ ȱ ȱȱ£ ȱ ȱ ǰȱȱûȱȱǯȱȱȱ ȱûȱ ȱȱȱ ȱȱȱǰȱȱȱ ȱǰȱȱȱȱ ȱȱȱȱȬ§ǯȱȱ ȱ ȱȱȱȱ ȱ£ ǯȱȱȱȱȱȱ§ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱđǯȱȱȱãȱȱȱǻȱȱ¡ȬȱǼȱȱ ȱ ȱ ȱ đȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ

76


ȱ ȱ ǻǯȱ ȱ Ǽȱ ãȱ ȱ ȱ đȱ £ȱ ȱ §£ǰȱ ȱ ȱ ȱ ¢Ȭȱ ǰȱ ȱ ȱ ¡Ȭȱ ãȱ ȱȱȱȱ£ȱȱȱ£ǯȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǰȱ ȱȱȱǻ ȱȱ Ǽȱȱȱȱ ȱǻ ȱȱ Ǽǯȱ ȱ £ȱ ȱ Ȭȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Śȱ ȱ ȱ ¢Ȭ ȱȱǯȱ ȱ £ûȱŞşȱȱ ȱȱȱȱǱȱǻŚǰȱŝǼȱȬǁȱŘȱȩȱǻŜǰȱŞǼȱȬǁȱŘȱȩȱǻŘǰȱŚǼȱȬǁȱ řȱȩȱǻřǰȱŚǼȱȬǁȱřȱȩȱǻřǰȱŞǼȱȬǁȱřȱȩȱǻŚǰȱśǼȱȬǁȱřȱȩȱǻŗǰȱŚǼȱȬǁȱŚǯȱ ȱ w1 ȱ ȱ 4 ȱ w2 ȱ 3 ȱ 3 w4 w8 2 w6 w3 3 ȱ 3 ȱ 2 ȱ w5 ȱ ȱ ȱ w7 ȱ ȱȱûȱǰȱŞşȱ

ȱ ȱ ȱȱȱȱŘŖǯȱȱ ȱ ȱȱ£ȱ ȱȱȱǻŚǰȱŜǼȱȬǁȱŗȱȩȱǻŘǰȱŜǼȱȬǁȱŘȱȩȱǻŘǰȱŞǼȱȬǁȱŘȱȩȱǻŚǰȱŝǼȱȬǁȱŘȱȩȱǻŗǰȱŞǼȱȬ ǁȱřȱȩȱǻŘǰȱśǼȱȬǁȱřȱȩȱǻřǰȱŚǼȱȬǁȱřȱȱȱ ȱŗŜǯȱ ȱ ȱ

ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ

w3 w4

3 1 2

w6

2

3

w2

w5

2

w8

3

w1

w7 ȱȱûȱǰȱŞşȱǻȱȱûȱãȱȱȱȱ ȱ£ǰȱȱȱȱȱ ǯǼȱ

ȱ ȱ ¡§ȱȱȱȱ¢ȱǻŘǼǯȱ


77

Implementierungsdetails ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ûȱ ȱ £ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱǯȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱ§ȱȱȬ ȱȱȱȱ §ȱȱ£ȱ£ǯȱȱûȱȱȱ ȱȱȱȱ ȱȱȱȱǯȱ ȱ ȱȱǯǯȱȱȱȱȱǽǾǯȱ ȱȱȱ ȱŖŗȏȱȱȱǱȱ Ȭ Ǳȱ£ȱȱȱ§ ãǲȱ Ȭ Ǳȱ§ȱȱãǲȱ Ȭ ǽǾǱȱȱ¢ȱȱȱȱ¢ȱǰȱȱȱãȱǲȱ Ȭ ǽǾǽǾǱȱ£ ȱ¢ȱûȱȱ££¡ǲȱ Ȭ ǽǾǱȱ¢ǰȱȱȱȱûȱ ǽǾȱǲȱ Ȭ Ǳȱȱ ȱȱ¢ȱȱûȱȱãȱ ǽǾǯȱ ȱ ȱ ȱ Ŗŗȏǻȱ ǰȱ ȱ Ǽȱ ȱ ȱ £§ȱ § ãȱ ȱ ǽǾǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ££¡ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ȱȱȱȱǽǾȱȱȱȱǯȱ ȱ ȱȱȱǱȱ Ȭ ǻǼǱȱȱ£§ȱ §ȱȱȱȱȱ ǽǾȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ǯǲȱ Ȭ ǻǼǱȱȱȱ ȱûȱȱȱȱǽǾȱȱȱ ££¡ȱǽǾǽǾǰȱȱȱȱ£ȱȱȱǲȱ Ȭ ǻǼǱȱ ȱ ȱ ȱ ǽǾȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ

ȱ£ûǲȱ Ȭ ǻǼǱȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ǽǾȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ǳȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ w permi ȱ

w permi −1 ȱ ȱ a[ permi −1 ][ permi ] ȱ£ȱȱǰȱ ȱǽǾȱƽȱǽȬŗǾȱǰȱ

ȱȱ ȱȬ a[ permi −1 ][ permi ] ǲȱ Ȭ

ǻǼǱȱ ȱ ȱ ȱ ǽǾǰȱ £ȱ £§ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱ ȱ£ûǲȱ

ȱ ûȱȱ¡ȱȱûȱȱȱȱûȱ ȱȱȱȱ §ȱȱǯȱȱ ȱûȱȱȬǰȱȱȱȱ ǽŖŜǾȱȱȱŗŝřȱȱǯȱȱ

78


ȱ£ȱ ǰȱ ȱȱȱȱȱȱǻŗǰȱŘǰȱǳǰȱǼȱǯȱ ȱ ȱ ȱȱǱȱ ȱ ȏ ȏǻǰȱǼȱ ȱ ŗǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰ ȱȱǀȱƸŗȱǻŗ≤ǀǼȱûǯȱ ȱŘǯȱûȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱǰȱȱȱǁȱȱȱǻǀǼȱûǯȱǻȱȱȱȱ ǰȱȱȱȱȱ£ǰȱȱ§ȱȱƸŗǼǯȱ ȱřǯȱȱȱȱȱȱȱȱǯȱ ȱŚǯȱȱȱȱ£ȱƸŗƸŘǳȱǯȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱǻǼȱ ȏȱ ȏ ȏǻǰȱǼȱ ȱ ȱ ȱȱ ȱ ¡ȱ ǰȱ ȱ ãđȱ ȱ ȱ Ȭ ȱȱǯȱǱȱȱȱȱƽȱŜȱȱ ȱ ȱȱȱȱȬ ȱǻŜǰȱřǰȱśǰȱŚǰȱŘǰȱŗǼȱǯȱȱȱȱȱȱȱȱǀȱƸŗȱȱŘȱǻ ȱřȱǀȱśȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱûǼǯȱ£ûȱȱƽȱŘȱȱ ŚȱƽȱŚȱ ȱȱȱȱǰȱȱãđȱȱŘȱƽȱřȱǯȱȱȱȱŘȱȱŚȱ ȱȱȱǻŜǰȱŚǰȱśǰȱřǰȱŘǰȱŗǼǯȱȱȱȱ£ǰȱȱȱȱŘȱȬ ȱǻśǰȱřǰȱŘǰȱŗǼǰȱûȱđȱ£ȱǻŜǰȱŚǰȱŗǰȱŘǰȱřǰȱśǼǰȱȱ¡ȱȬ ȱȱȱȱǻŜǰȱřǰȱśǰȱŚǰȱŘǰȱŗǼǯȱȱ ȱ ȱ£ ȱȱȱ¢ȱ£ȱǰȱȱ ȱȱȱ ǻǼǰȱȱ ȱ ǮȬ §ȬȄȱ ǯȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱ ȱȱȱ£ ȱȱȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ


79

ȱȱȱȱ ȱȱ ȱǱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ 3 ȱ 1 ȱ ȱ ȱ 2 ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱǱȱ ȱ ȏǻǰȱǼȱ ȱ ȱȱ¡ȱƜȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱƜȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱƜȱ¡ȱ ȱ ȏȱ ȏȱǻǰȱǼȱ ȱ ȱ ȱȱ£ȱȱȱ¢ȱ£ǰȱ ȱ ȱȱȱ ǻǼǰȱ ȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ǻđȱ ȱ ȱ Ǽȱ ǯȱ ȱ ȱ£ȱȱȱȱȱ£Ǳȱ ȱ ȏǻǽǾǰȱǰȱǼȱ ȱ i + j −1 ȱ ȱȱȱȱȱƜ ȱ ȱ 2 ȱ ȱȱȱǻƜȱǲȱ≤ȱǲȱȱŗǼȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱǻǽǾǰȱǽƸȬǾǼȱ ȱ ȏȱ ȏǻǽǾǰȱǰȱǼȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱ£ȱǽǯǯǾȱǱȱǽǾȱȱǽǾǰȱǽƸŗǾȱ ȱǽȬŗǾǰȱǽƸŘǾȱȱǽȬŘǾǰȱǯǯǯȱȱđǰȱȱȱȱȱ£ȱȱƸȱ ǰȱȱȱ ȱȱǽǾȱȱǽƸȬǾǯȱȱ ȱ

80


ȱãȱ ȱȱȬȱȱȱǱȱ ȱ ȏŘǻǽǾǰȱǰȱǼȱ ȱ ȱȱȱǻȱȱǀȱȱǼȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱǻǽƸƸǾǰȱǽȬȬǾǼȱ ȱ ȱȱȏȱ ȱ ȏȱ ȏŘǻǽǾǰȱǰȱǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǰȱ ȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱȱ£ûǯȱȱȱ ȱ Ȭȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ £ûǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ǻǼȱ ǯȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ¢ǯ¢¢ǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ǰȱȱȱȱ£ȱȱȱ¢ȱȱȱȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ¡ǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ £ãȱ

ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ §ȱ ȱȱȱ£ȱȱȱȱȱãȱȱȱȱȱȱȱ

ȱȱȱǯȱȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ ȱ £ȱ ǰȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ¢ǯȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȏǻǼǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ûǰȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭǰȱ ȱ ȱ ȱ ǽŖŜǾǰȱ ȱ ŗŜŞǰȱȱ Ǳȱ ȱ ȱ ȏ ȏȱǻ¡Ȭŗǰȱ¡ȬŘǰȱǳǰȱ¡ŗǰȱ¡ŖǼȱ ŗǯ ȱ←ȱȱȱ¡ȱȱ¡ȱƽȱŖȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ Řǯ ȱǻ¡ȱȱ¡Ǽȱȱ ȱ ȱ ¡ȱ ƽȱ Ŗǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻ←ŖǲȱǀǲȱȱŗǼȱ¡ȱ←ȱŖȱȱ ȱ ȱ¡ȱ←ȱŗȱȱ¡ȱ←ȱŖȱûȱȱȱ≤ȱ ȱ Ȭŗǯȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ¡ȱ←ȱŗȱ ȱ Ǳȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻŗŖŖŖŗŗŗǼƽŗŖŖŗŖŖŖȱǻƽřǼȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȃȱȱȱǷȄȱȱȱȱ ȱ ȏȱ ȏ ȏȱǻ¡Ȭŗǰȱ¡ȬŘǰȱǳǰȱ¡ŗǰȱ¡ŖǼȱ ȱ ¡ǻǼȱȱȱȱãȱûȱȱȬǰȱȱȱȱȬ ȱǻǰȱǼȱȱȱ ȱûǰȱȱȱȱȱȱǻȬ ȱ Ǽȱȱȱȱǯȱȱǰȱ ȱȱȱȱǻǰȱǼȱǯȱ ȱ ȱ


81

ȱ ¢ȬȬȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ Ȭ ǯȱȱ ȱȱȱ ȱȱ ȱǻŖǰȱŖǼȱȱȱȱ ȱ ȱȱ£ûǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱȱȱȬǽǾǽǾȱûǯȱȱ ȱ if (isDOPI && k - a[i][j] < cost) { i0 = i; j0 = j; cost = k - a[i][j]; } ȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱȱȱǯȱȱȱ¡ȱȱȱȱ¡ǰȱȱ ȱ ȱȱȬ ȱǽ¡ƸŗǾȱǰȱûȱ ȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱȱ ǻȱǽŖǾȱȱǽ¡ǾǼǱȱ ȱ boolean found = false; for (int tmpIdx = 0; tmpIdx 1->10->5->50->504->252->2524 564 4->44->22->224->112->56->564 12 4->2->24->12 3 4->2->24->12->6->3 ǻȱȱȱ ȱ£ȱ ǰȱǱȱǯ ǯȱǼȱ ȱ

Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ ȱȱȱ£ȱȱȱȱǰȱȱ ȱȱȱȱȱȱ £ȱŚȱǯȱ£ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱǱȱ ȱ ′ǼȱȱȱȱȱŚǰȱ ȱȱȱȱǲȱ ′ǼȱȱȱȱȱŖǰȱ ȱȱȱȱǲȱ ′Ǽȱȱ£ȱȱȱȱŘǯȱ ȱ ǰȱȱȱȱȱûȱȱȱȱȱȱ£ȱȱȱŚȱ ȱǯȱȱãȱȱȱȱ£ȱȱ£ȱȱûȱȱ Ȭ ȱȱ ȱûǯȱȱûȱȱǰȱ ȱȱ£ǰȱȱȱȱȬ ȱȱ ≥ȱŚȱȱȱȱȱȱǯȱȱȱȱǰȱȱȱ ȱȱȱȱȱŘȱȱȱȱȱǯȱȱ£ȱȱ ȱȱȱȱûȱȱ Ǳȱȱ ȱ Ǽ ŗŖȱ→ȱǲȱȱ Ǽ ŗŖȱƸȱŘȱ→ȱŘŖȱƸȱŚȱ→ȱŘǲȱ Ǽ ŗŖȱƸȱŚȱ→ȱȱ→ȱŘǲȱ Ǽ ŗŖȱƸȱŜȱ→ȱŘŖȱƸȱŗŖȱƸȱŘȱ→ȱŚŖȱƸȱŘŖȱƸȱŚȱ→ȱŚȱƸȱŘǲȱ Ǽ ŗŖȱƸȱŞȱ→ȱŘŖȱƸȱŗŖȱƸȱŜȱ→ȱŚŖȱƸȱřŖȱƸȱŘȱ→ȱŞŖȱƸȱŜŖȱƸȱŚȱ→ȱŞȱƸȱŜǯȱ÷ȱȱ ȱ ûȱȱ ȱȱȱȱǻǼǯȱȱ ȱ

110


Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P02Number4 { private static final String FileInputName = "nr4.in"; private static final String FileOutputName = "nr4.out"; private static StringBuilder numberFour(int number, StringBuilder out) { if (number != 4) { switch (number % 10) { case 0: case 4: numberFour(number / 10, out); break; default: numberFour(number * 2, out); } out.append("->"); } out.append(number); return out; } public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner sc = null; PrintStream out = null; try { out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); sc = new Scanner(new File(FileInputName)); while (sc.hasNextInt()) { int number = sc.nextInt(); out.println(numberFour(number, new StringBuilder())); } } finally { if (sc != null) { sc.close(); } if (out != null) { out.close(); } } } }

5

Rekursion

111

Aufgaben ŗǯ Řǯ

ȱȱȱȱûȱȱȱȱŚǯȱȱǯȱ ȱȱȱȱȱȱûǯȱ

Problem 3. Rest großer Potenzen ȱȱȱȱ R = B P mod M ǰȱ ȱǰȱȱȱȱûȱȱǰȱȱ Ŗȱ≤ȱǰȱȱ≤ȱŘŖŖǯŖŖŖǯŖŖŖȱȱŖȱ ≤ȱȱ≤ȱśŖǯŖŖŖǯȱǱȱȱȱȱǯȱȱȱ ȱ §ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ Ǳȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱȱȱûȱȱȱǻǰȱǰȱǼȱȱȱ R = B mod M ǯȱȱǱȱ p

bigmod.in 3 18132 17 17 1765 3 2374859 3029382 36123

bigmod.out 13 2 13195

ǻǱȦȦǯǯȦȦřȦřŝŚǯǼȱ

Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱȱȱȱ§ȱ£ȱǰȱȱ ȱȱ ȱȱȱȱ ȱǯǯȱȱ ȱȱȱ ãȱȱȱ ȱ ȱ £ȱ ǯȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ȱ £ ȱ ȬȱȱȱȮŗǰȱŖȱȱŗȱ£ûǯȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱ ¢ȱǱȱȱ ȱ ǻȱǼȱȱȱ ȱ ȱ ãđȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱȱǻǼȱ£ûȱ ǻȱ¡ǰȱȱǼȱȱȱ ȱ ȱ Ȭ£ȱ £ûǰȱ ȱ ȱ this exp mod m ȱ ǻȱ¢Ǽȱȱȱ ȱ ȱ £ûǰȱ ȱ Ȭȱ ȱȱȱȱǰȱ ȱȱȱ ££ȱȱȱ ȱ ȱ£ȱȱȱ ȱȱȱǯȱȱȱȱȱ§ȱȱtȱȱ ȱȱ ǻǼȱȱȱȱȱ ǯȱ £ǯȱûȱȱǰȱǰȱȱ∈ȱW{0},ȱȱǻȉǼȱȱƽȱǻǻȱȱǼȉǻȱȱǼǼȱȱǯȱȱ ȱ ŗǯȱ ¡ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱ£ ȱŖȱȱȬŗǰȱûȱȱȱ¡ȱȬȱ¡ȱȱȱȱȱȱǯȱȱȱ ȱ£ȱ£ǰȱȱ a ⋅ b − (a%c) ⋅ (b%c) ȱȱȱǯȱȱȱȱ ȱ µȱȮȱǻȱȱǼµǻȱȱǼȱƽȱµȱȮȱµȱǻȱȱǼȱƸȱµȱǻȱȱǼȱȮȱǻȱȱǼµǻȱȱǼȱƽȱȱ

112


ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱƽȱȱµȱǻȮȱǻȱȱǼǼȱƸȱǻȱȱǼȱµȱǻȮǻȱȱȱǼǼȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱ. ÷ ȱŘǯȱ §đȱȱ′ȱ£ȱȱ ȱ£Ǳȱ

∃R ∈ {0,..., c − 1} so dass a ⋅ b = Q ⋅ c + R → R = (a ⋅ b)%c = a ⋅ b − Q ⋅ c ∃R1 ∈ {0,..., c − 1} s.d. a = Q1 ⋅ c + R1 , R1 = a mod c ∃R2 ∈ {0,..., c − 1} s.d. b = Q2 ⋅ c + R2 , R2 = b mod c

ǻŗǼȱ

(2)

a ⋅ b = Q3 ⋅ c + R1 ⋅ R2

(a ⋅ b) mod c = ( R1 ⋅ R2 ) mod c = ( a mod c ⋅ b mod c) mod c . ÷

ȱ ȱ ȱȱȱȱǻǼȱǰȱȱȱȱ£ȱǱȱ ȱ

a ) 1, wenn P = 0 °b) 0, wenn nicht a) gilt und B = 0 ° °c) B%M , wenn nicht a) oder b) gilt und ( B = 0 oder P = 1) °° bigMod ( B, P, M ) = ®d) (BigMod(B, P/ 2,M)2 )%M , wenn nicht a), b) oder c) ȱ ° gilt und P gerade ist ° °e) (BigMod(B, P-1, M) ⋅ (B % M))%M , wenn nicht ° ¯° a), b), c) oder d) gilt und P ungerade ist

Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P03BigMod { private static final String FileInputName = "bigmod.in"; private static final String FileOutputName = "bigmod.out"; private static long bigMod(long b, long p, long m) { if (0 == p) return 1; if (0 == b) return 0; if (1 == b || 1 == p) return b % m;

5

Rekursion

113

if (1 == m) return 0; if (0 == p % 2) { long aux; aux = bigMod(b, p / 2, m); return (aux * aux) % m; } else return (bigMod(b, p - 1, m) * (b % m)) % m; } public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner sc = null; PrintStream out = null; try { out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); sc = new Scanner(new File(FileInputName)); while (sc.hasNextLong()) { long b = sc.nextLong(); long p = sc.nextLong(); long m = sc.nextLong(); out.println(bigMod(b, p, m)); } } finally { if (sc != null) { sc.close(); } if (out != null) { out.close(); } } } } ȱ


Śǯ śǯ

ȱȱȱȱȱûȱȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ Ǳȱ ȱ ȱ ȱ ƽȱ ȱ Ȯȱ ǻȱ ȱǼǰȱǻǻȱȱǼȉǻȱȱǼǼȱȱȱƽȱǻǻȬǻȱȱǼǼµǻȬǻȱȱǼǼǼȱƽȱǯǯǯȱ ȱȱȱȱȱ Ȭ ȱǻǱȦȦǯǯȦȦŜȦȦȦǼȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ

ȱȱȱ ǯȱ ãȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱ ǻǼǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ Ƿȱ ǻȱ §Ǽȱûȱȱđȱȱȱ£ȱǯȱǱȱǷȱƽȱŗµŘµǳµǯȱȱ

114

Grundlegende Algorithmen mit Java Ŝǯ

ȱȱȱûȱȱŗǰȱŘǰȱǳǰȱǰȱȱȱȱŘǯŖŖŖǯŖŖŖǰȱȱȱ ȱȱǀśŖǯŖŖŖǯȱȱȱȱǰȱȱȱȱǻŗ⋅Ř⋅ǯǯǯ⋅Ǽȱ

ŝǯ

Şǯ

ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ £ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ

ȱǯǯȱȱȱȱȱ ǯȱ ȱ ȱǰȱȱȱȱȱǯǰȱȱȱãǰȱ ȱȱ £ȱ£ȱǯȱȱȱȱȱȱ Ȭ Ȭ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ

ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ Ȭ ȱȱ ȱ ǯȱ tan

π

4

= 1 ȱȱ π = 4 ⋅ arctan 1 ȱ

ȱ

ȱ

ȱȱȱ

ȱ

ȱȱǻřǼȱ

ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ǻŗŜřŞȬŗŜŝśǼȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǻŗŜŚŜȬŗŝŗŜǼȱȱǯȱŗŜŝŖȱ§ȱȱȱȱȱ ȱûȱȱǱȱ

arctan x = x −

x3 x 5 x 7 + − + ..., ûȱȱ¡ȱz[ȱȱ¡≤ȱŗȱȱ 3 5 7

ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻŚǼȱ

ȱȱȱȱȱ Ǳȱ ȱ

arctan x = ȱ

§ x 2 n +1 · ¸, ȱûȱȱ¡ȱz[ȱȱ¡≤ȱŗȱ (−1) n ¨¨ ¸ n=0 © 2n + 1 ¹ ∞

¦

ȱ

ȱ

ǻśǼȱ

ȱ

ȱ ȱ Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) James Gregory (1638-1675) ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ π = 4 ⋅ arctan 1 ȱǰȱȱ ȱȱ Ǳȱ

5

Rekursion

115

≅ȱπȱ 0 4 1 2.666666666666667 2 3.4666666666666668 3 2.8952380952380956 4 3.3396825396825403 5 2.9760461760461765 100000 3.1416026534897203 100001 3.1415826537897158 200000 3.1415976535647618 200001 3.1415876536397613 300000 3.1415959869120198 300001 3.1415893202786864 400000 3.1415951535834941 400001 3.1415901536022441 ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻȱ ȱȱǁȱ πǼǰȱ ȱȱȱȱȱ ȱȱ ȱ ǻȱ ȱ ȱ ǀȱ πǼǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯǯȱ ȱ £ȱ πȱ ȱ ŗŖŖȱ ȱ ¡ȱǯȱȱ ȱȱȱǯȱȱ ȱŗŝŖŜȱȱȱȱȬ ȱ ȱ ȱ ǻŗŜŞŖȬŗŝśŗǼȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ πȱ ȱ ǯȱȱȱȱȱȱπȱȱŗŖŖȱȱȱǱȱ ȱ

şǯ

π

1 1 = 4 arctan − arctan 4 5 239

(6)

ȱȱȱǰȱȱπȱȱŗŖŖŖȱȱȱȱǻŜǼǰȱǻŚǼȱȱȱ

ȱȱǯȱ

Problem 4. Die Torte (lineare Rekursion) ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ đȱ ȱ ûǯȱ ȱ 1 ȱ ȱ ãȱ ȱ ŝȱ ûȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ 6 2 ȱ¡ȱȱȱȱǵȱǻȱȱ 7 ȱȱȱȱȱȱ¡ȱ£ǰȱ ȱȱȱ ȱȱǵǼȱǱȱȱȱ 5 3 ȱ ǯȱ ȱ £ ȱ ȱ £ȱ ȱ Ȭ 4 ȱȱǻŖȱ ≤ȱȱ ≤ȱŘǯŖŖŖǼǯȱǱȱȱȱ ȱ ǯȱ ȱ ¡ȱ £ȱ ȱ ûǰȱ ȱȱ ȱȱȱȱȱȱǯȱǱȱ

116

Grundlegende Algorithmen mit Java torte.in

0 1 2 9 10 2000 678 ȱ

0 1 2 9 10 2000 678

Schnitte Schnitte Schnitte Schnitte Schnitte Schnitte Schnitte

torte.out -> 1 -> 2 -> 4 -> 46 -> 56 -> 2001001 -> 230182

Stuecke! Stuecke! Stuecke! Stuecke! Stuecke! Stuecke! Stuecke!

Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱȱ¡ȱ£ȱȱ ȱûȱȬŗȱȱȱ ȱǻȬŗǼȱǰȱ ȱȱȱȱȱ ȱȱ ȱ£Ǳȱ ȱ ǻŖǼȱȱƽȱŗȱȱȱǻȱȱ→ȱȱȱȱûǱȱȱ£ȱǼȱ ǻǼȱƽȱȱƸȱǻȬŗǼȱǰȱûȱȱǁŖȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻŗǼȱ ȱ ȱȱǻŗǼȱȱȱȱǰȱȱ ȱȱȱȱȱ ǻǼǯȱȱ ȱ

Programm 4.1. import java.io.*; import java.util.*; public class P4Tart1 { private static final String FileInputName = "torte.in"; private static final String FileOutputName = "torte.out"; private static int S(int n){ if(n0){ transfBase10ToP(n/p, p, out); out.print(n%p) ; } } public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner sc = null; PrintStream out= null;

122

Grundlegende Algorithmen mit Java try { out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); sc = new Scanner(new File(FileInputName )); while(sc.hasNextLong()) { long n = sc.nextLong(); int p = sc.nextInt(); out.printf("%10d zur Basis %d = ", n, p); transfBase10ToP(n, p, out); out.println(); } } finally { if (sc!=null) { sc.close(); } if(out!=null) { out.close(); } }

} }ȱ ȱ

Aufgaben ŗǯ Řǯ řǯ Śǯ

ȱȱȱȬȱǰȱȱȱȱãǯȱ ȱȱȱȱ Ȭȱûȱȱȱȱȱȱ ȱǯȱ ȱȱȱǰȱȱȱȱȱ£ǯȱ ȱ ȱ ȱ §ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱȱȱȬ ȱȱãǯȱ ȱȱȱȱǻȱȱȱǼȱûȱȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǰȱ Ǽǰȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱ¢ȱȱȱȱȱȱȱ££ȱ ǯȱǱȱ

ȱ baseP10.in 42252100 8 11 2 12 6 ȱ

baseP10.out 9000000 3 8ȱ

ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ ȱȱȱǻǼȱȱȱ ȱǯȱ

5

Rekursion

123

Problem 7. Summe zweier Wurzeln (verzweigte Rekursion) − Sx + P = 0 ȱȱǰȱȱ ∈ȱ[ȱǯȱ¡ŗȱȱ¡ŘȱȱȱȬ n n £ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Tn = x1 + x2 für n ∈ Wȱ ǯȱ ȱ

ȱȱȱ ȱ x

2

ȱǰȱȱȱ£ȱ¡ŗȱȱ¡Řȱ£ȱǯȱȱȱȱǰȱȱȱȬ śŖŖȱ≤ȱȱǰȱȱ≤ȱśŖŖȱȱȱûȱȱȱǻŖȱ≤ȱȱ≤ȱŘŖǼȱȱȱȱǰȱȱȱ ȱǯȱǱȱ ȱ equation.in equation.out 5 6.54 3.22 7799.79 0 3 4 2 1 3.45 6.78 3.45 ȱ

Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ ¡ŗȱ ȱ ¡Řȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ǰȱ x 2 − Sx + P = ( x − x1 )( x − x2 ) ǯȱ ȱȱ x1 + x2 = S ȱ x1 ⋅ x2 = P ȱǻȱȬǼǯȱȱȱûȱȱȱǱȱ ȱ

2, wenn n = 0 ° ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱ Tn = ® x1 + x2 , wenn n = 1 °ST − PT , wenn n > 1 n−2 ¯ n−1

ȱ

ȱ

ǻŗǼȱ

ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ãȬ ǰȱȱ¢ȱȱ£ǯȱȱ¡ȱȱȱ ȱśȱȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ ȱ ȱ ƸƸǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȬȦ ȱ ȱ ȱ ǯǯȱȱǯǯȱȱ§ȱȱǻȱ§£ǼȱȬ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ Ȭ ȱȱȬȱ£ȱȱȱȱǻǼȱȱ ǯȱ ȱ

Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P7Equation { private static final String FileInputName = "equation.in"; private static final String FileOutputName = "equation.out"; private static double sum(int n, double s, double p){ if(0==n) return 2; if(1==n) return s;

124

Grundlegende Algorithmen mit Java return s*sum(n-1, s, p)-p*sum(n-2, s, p);

} public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner sc = null; PrintStream out= null; try { out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); sc = new Scanner( new File(FileInputName)).useLocale(Locale.ENGLISH); Formatter formatter = new Formatter(out, Locale.ENGLISH); while(sc.hasNextInt()) { int n = sc.nextInt(); double s = sc.nextDouble(); double p = sc.nextDouble(); formatter.format("%.6g%n", sum(n, s, p)); } } finally { if (sc!=null) { sc.close(); } if(out!=null) { out.close(); } } } }ȱ ȱ


ȱȱȱȱǻŗǼȱȱȱȱ§ȱǯȱ ȱȱȱȱȱ Ȯ ȱǻǱȦȦǯǯȦȦŜȦȦǼȱȱȬ ȱȱȱȱȱȱ ȱȱǯȱ ǯȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ

x k − S1 x k −1 + ... + (−1) k S k = 0 ȱ ȱ ȱ £ȱ ¡ŗǰȱ ¡Řǰȱ ǳǰȱ ¡ȱ ȱ ȱ Tn = x1n + x2n + ... + xkn ǯȱȱ ȱ

Ǳȱȱȱȱȱȱ

Tn = S1Tn−1 − S 2Tn−2 + ... + (−1) k −1 ⋅ S k ⋅ Tn−k ǯȱ ȱ

5

Rekursion

125

Problem 8. Collatz-Funktion (nicht-monotone Rekursion) ȱ£Ȭȱȱȱ ȱǱȱ ȱ

1, wenn n = 1 °n ° ȱ f (n) = ® , wenn n gerade °2 °¯3 ⋅ n + 1, wenn n ungerade ȱȱȱǰȱȱȱȱŗȱǮȃǯȱȱȱ ȱûȱƽŗŘȱ ȱȱ£ǱȱŗŘǰȱŜǰȱřǰȱŗŖǰȱśǰȱŗŜǰȱŞǰȱŚǰȱŘǰȱŗȱȱȱȱȱȱ§ȱşǰȱ ȱȱȱ şȱȱȱȱǯȱȱȱȱȱǰȱȱȱ£ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ Ȭ Ǳȱ ȱ collatzSeq.in collatzSeq.out 1 1 12 12 6 3 10 5 16 8 4 2 1 67 1003 67 202 101 304 152 76 38 19 58 29 88 44 22 11 234 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1 1003 3010 1505 4516 2258 1129 3388 1694 847 2542 1271 3814 1907 5722 2861 8584 4292 2146 1073 3220 1610 805 2416 1208 604 302 151 454 227 682 341 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 234 117 352 176 88 44 22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1 ȱ

Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ ȱȱȱȱ£ǻǼȱǰȱȱȱȱȬ ȱȱȱȱ£ȱȱȱ£§ǯȱ ȱ

Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P08CollatzSeq { private static final String FileInputName = "collatzSeq.in";

126


private static final String FileOutputName = "collatzSeq.out"; private int step; private PrintStream out; public P08CollatzSeq(PrintStream outStream) { this.step = 0; this.out = outStream; } public void calculate(long n) { this.out.print(n); this.out.print(' '); if (n != 1) { this.step++; this.calculate(n%2 == 0 ? n/2 : 3*n+1); } else { out.print(" ", yaux, n); ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ǽǾǽȬŗǾȱ ȱ §ȱ ȱ ǽǾǽǾȱ ȱ ǻǽǾǽǾȱ ƽȱ ǽǾǽȬŗǾƸŗǼȱ ȱ ǽȬŗǾǽǾȱ ȱ §ȱ ȱ ǽǾǽǾȱ ȱ ǻǽǾǽǾȱ ƽȱ ǽȬŗǾǽǾƸŗǼǱȱ ûȱ ûǰȱ ǻǼȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱ¡ȱŖȱǰȱȱ ȱȱ ȱ £ǯȱ ǯȱ ǻǻ¡ǯǻȬŗǼƽƽ¢ǯǻȬŗǼǳǼȱ ȱ ¡ǯǻǼƽƽ¢ǯǻǼǯȱ Ȭ ȱȱȱȱȱȱǻǰȱǰȱǰȱǼǯȱ ȱ

Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P13EditDistance { private static final String FileInputName = "edit.in"; private static final String FileOutputName = "edit.out"; private int T[][]; private StringBuilder x, y; P13EditDistance(StringBuilder x, StringBuilder y) { this.x = x; this.y = y;

302


this.T = new int[y.length() + 1][x.length() + 1]; } private int getEditDistance() { int m = x.length(); int n = y.length(); if (m == 0) return n; if (n == 0) return m; for (int i = 0; i 0) { if (x.charAt(m - 1) == y.charAt(n - 1)) { if (T[n - 1][m - 1] == T[n][m]) { flag = true; writeSolution(out, m - 1, n - 1, yaux); } } else { if (T[n - 1][m - 1] + 1 == T[n][m]) { flag = true; yaux.replace(n-1, n, x.substring(m-1, m)); writeSolution(out, m - 1, n - 1, new StringBuilder(yaux)); out.printf("%s T(%d) --> ", yaux, n); } }

8 Dynamische Programmierung

303

} if (n > 0 && !flag) { if (T[n][m] == T[n - 1][m] + 1) { flag = true; yaux.delete(n-1, n); writeSolution(out, m, n - 1, new StringBuilder(yaux)); out.printf("%s I(%d) --> ", yaux, n); } } if (m > 0 && !flag) { if (T[n][m] == T[n][m - 1] + 1) { yaux.insert(n, x.charAt(m-1)); writeSolution(out, m - 1, n, new StringBuilder(yaux)); out.printf("%s D(%d) --> ", yaux, n + 1); } } } } void writeSolution(PrintStream out) { out.printf("d(%s, %s) = %d%n", this.x, this.y, this.getEditDistance()); writeSolution(out, x.length(), y.length(), new StringBuilder(this.y)); out.println(this.y); out.println("========================"); } public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner scanner = null; PrintStream out = null; try { scanner = new Scanner(new File(FileInputName)); out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); while (scanner.hasNext()) { StringBuilder x = new StringBuilder(scanner.next()); if (!scanner.hasNext()) break; StringBuilder y = new StringBuilder(scanner.next()); new P13EditDistance(x, y).writeSolution(out); } } finally { if (scanner != null) { scanner.close();

304

Grundlegende Algorithmen mit Java } if (out != null) { out.close(); } }

} } ȱ

Aufgaben ŗǯ

Řǯ

ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ǯǯȱ ȱ ȱ ȬȬȱ ǯȱ £ȱ ȱ ȱ

ȱ ǯǯȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ Ȭ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯǯǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ¢ȱǽǾȱ ȱǻȱ ȱȱȱ¢ǻǼǼǯȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ Ǳȱ ûȱ ȱ £ȱ ǰȱ ûȱ ȱãȱǰȱûȱȱûȱǯȱȱ ȱȱȱȱǻǰȱȱȱȱǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱǰȱȱȱ ȱȱ ǯȱǱȱ

ȱ edit1.in probleme loesungen 4 2 1 baerchen zwerglein 5 3 1 boese gute 2 3 1

ȱ řǯ

edit1.out d(probleme, loesungen) = 17 probleme D(1) --> robleme D(1) --> obleme D(1) --> bleme D(1) --> leme I(2) --> loeme D(4) --> loee I(4) --> loese I(5) --> loesue I(6) --> loesune I(7) --> loesunge I(9) --> loesungen ======================== d(baerchen, zwerglein) = 19 baerchen D(1) --> aerchen D(1) --> erchen I(1) --> zerchen I(2) --> zwerchen D(5) --> zwerhen D(5) --> zweren I(5) --> zwergen I(6) --> zwerglen I(8) --> zwerglein ======================== d(boese, gute) = 7 boese D(1) --> oese T(1) --> gese T(2) --> guse T(3) --> gute ========================

ȱ ȱ ȱ λȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȬȬ

ȬȱȱȱȱȱǱȱ ǻλǰλǼȱƽȱŖȱ ǻ¡ŗ¡Řǳ¡ǰȱλǼȱƽȱȱȱûȱȱȱ≥ŗȱ ǻλǰȱ¢ŗ¢Řǳ¢Ǽȱƽȱȱȱûȱȱȱ≥ŗȱ ȱ


305

°max{m, n}, wenn es keine gemeinsamen Buchstaben gibt ° d ( x1 x2 ...xm , y1 y 2 ... y n ) = ®min ( d ( x1 ..xi −1 , y1 .. y j −1 ) + d ( xi +1 ..xm , y j +1 .. y n )), ȱ ° xi = y j °¯ wenn es mindestens einen gemeinsamen Buchstaben gibt

Śǯ

ȱ ȱȱȱȱûǯȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȬȬȱ ȱ Ȭ ȱȱȱȱȱȱȱ ȱǯȱȱȱȱ ǰȱȱȱȱȱ ǰȱ£ǯȱǯȱǱȱȱ Ȭ ǰȱȱûȱ¡ȱǻǻǼǰȱǻǼǰȱǻǼǼǰȱ§Ȭ ȱȱȱǻǻǼǼǰȱȱȱȱǻǻǼǰȱȬ ǻǼǰȱ ǻǼǰȱ ǻǼǰȱ ǻǼǼǰȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ǻ¡ǻǼǰȱ ¡ǻǼǼǰȱ £ȱ ȱ ȱ ǻ ǻǼǰȱ ǻǼǰȱǻǼǼǰȱ ȱǻǻǼǼǯȱ

Problem 14. Arbitrage ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱȱȱȱ§ȱ ȱ£ȱ£ǯȱȱȬ ȱ ȱ ȱ ȱ §ǯȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ Ŗǰśŗȱ ȱȱȱãǰȱȱȱȱȱŗǰŚŞȱȱȱȱȱ ȱ ŗǰřŜȱ Ȭǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ŗǰŖŘŜśŘŞȱ ȱ ȱ ȱ ŘǰŜȱ £ȱ ǯȱȱ ȱ ŗǞȱȘȱŖǰśŗǡȦǞȱȘȱŗǰŚŞǧȦǡȱȘȱŗǰřŜǧȦǞȱƽȱŗǰŖŘŜśŘŞǞȱ ȱ ȱȱȱȱ¡ȱûȱ£ȱǰȱȱ ȱȱđȱǯȱ ȱȱȱǰȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱ ȱ Ȭȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱȱȱǻȱ ǰȱȱȱǼǯȱȱǱȱȱȱȱȬ ǯȱ ãȱ ȱ ȱ §ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ Ȭȱ ǰȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ §ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱǰȱȱȱȱŘ≤≤ŘŖǯȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱ§Ȭ ȱ£ǰȱȱȱȱȱȱȱȱǯȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱ§ȱŗȱ £ȱȱȱ Ȭŗȱ§Ȭ ȱ ǻ£ȱ §ȱ Řǰȱ řǰȱ ǳǰȱ Ǽǰȱ ȱ £ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ§ȱŘȱ£ȱȱȱ§ȱǻ£ȱ§ȱŗǰȱřǰȱŚǰȱǳǰȱǼȱ ǯȱǱȱ

306


ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ûǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ǯȱ ȱ ȱŘȱȬǁȱŗȱȬǁȱŘȱ£ȱȱ§ȱ£ ȱȱǻȱ§ȱŘȱȱ ȱ§ȱŗȱǰȱȱȱ ȱ§ȱŘǼǯȱȱȱȱ ǯȱ ȱȱȱȱ£ȱǻȱŗǱǼǰȱȱȱȱȱȬȱȱ §Ȭ ȱ ȱ ǻȱ ŘǼǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ đȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ £ǯȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱ ȱǰȱȱȱȱ ȱȱ§ȱ ǯȱȱȱȱȱǰȱ ȱȱȱȱȱ Ȭ ȱǮȱȱȱǷȃȱǯȱ arbitrage.in 3 1.2 .89 .88 5.1 1.1 0.15 4 3.1 0.0023 0.35 0.21 0.00353 8.13 200 180.559 10.339 2.11 0.089 0.06111 2 2.0 0.45

arbitrage.out Fall 1: Waehrung 2 2 -> 1 -> 2 1.056 Fall 2: Waehrung 3 3 -> 1 -> 2 -> 3 2.189 Fall 3: Es gibt keine Loesung!

ǻǰȱȱȱǰȱŘŖŖŖǰȱ£Ǽȱ ȱ

Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ£ ȱ¢ȱǽǾǽǾȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱǰȱȱȱȱǮȃȱ ȱ ǯȱȱȱȱȬ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ §ǯȱûȱȱȱ ȱȱûûǰȱȱûȱȱȱȱȱû£ǯȱ ûȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǽǾǽǾȱ ȱ ŗǯȱ ȱ ǽǾǽǾȱ ȱ ȱȱ£ȱȬȱǯȱȱ


307

ȱ ȏ ȏ ǻǼȱ ȱ ȱȱȱ¡ȱǽǾǽǾȱȱȱ¢ȱȱ ȱ ȱȱȱǻƜŗǰȱǲȱȱŗǼȱ¡ȱ ȱ ȱȱȱȱȱǻƜŗǰȱǲȱȱŗǰȱƾǼȱ¡ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱǻƜŗǰȱǲȱȱŗǰȱƾǼȱ¡ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻǽǾǽǾȘǽǾǽǾȱǁȱǽǾǽǾǼȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǽǾǽǾȱƜǽǾǽǾȘǽǾǽǾȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǽǾǽǾȱƜǽǾǽǾȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȏȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȏȱ ȱ ȱȱȱȱȏȱ ȱ ȱȱȏȱ ȱ ȱȱȱǽǾǽǾȱ ȱ ȏ ȏȱ ȏ ǻǼȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱ − ȱ ǻǼǱȱ ȱ ȱ Ȭǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ȱȱ£ȱȱ§ȱȱȱȱȱ£ǰȱȱȱȬȱȱ §ǯȱȱ ȱȱȱȱȱȱ ≥ȱŗǯŖŗȱǰȱȱȱȱ ȱûȱãǰȱȱ ȱǯȱȱȱȱȱǰȱȱ ȱãȱûǲȱ − ȱ ǻǼǱȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ǽǾǽǾǰȱ ȱ ȱ ȱ £ûȱ £ȱ ǯȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ §ȱ ǽǾǽǾȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǽǾǽǾȱȱȬŗǯȱȱȱǽǾǽǾȱȱȱȱ§ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ £ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻȱ £ȱ ¡ ǰȱ ȱȱȱ§ȱȱȱȱ§ȱȱ Ǽǯȱ ȱ

Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P14StocksFluctuation { private static final String FileInputName = "arbitrage.in"; private static final String FileOutputName = "arbitrage.out"; private static void recoverPath(PrintStream out, int pred[][], int i, int j) { int t = pred[i][j]; if (i != t) {

308

Grundlegende Algorithmen mit Java recoverPath(out, pred, i, t); out.print(" -> "); out.print(t + 1); }

} static boolean find(PrintStream out, int n, float table[][], int pred[][]) { int i, j, k; for (k = 0; k < n; k++) for (i = 0; i < n; i++) for (j = 0; j < n; j++) if (table[i][k] * table[k][j] > table[i][j]) { pred[i][j] = pred[k][j]; table[i][j] = table[i][k] * table[k][j]; if (i == j && table[i][j] >= 1.01) { out.print(" Waehrung "); out.println(i + 1); out.print(' '); out.print(i + 1); recoverPath(out, pred, i, i); out.print(" -> "); out.println(i + 1); out.printf(Locale.ENGLISH, " %.3f%n", table[i][i]); return true; } } return false; } public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner scanner = null; PrintStream out = null; try { scanner = new Scanner( new File(FileInputName)).useLocale(Locale.ENGLISH); out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); int numCase = 0; while (scanner.hasNextInt()) { int n = scanner.nextInt(); float table[][] = new float[n][n]; int pred[][] = new int[n][n]; for (int i = 0; i < n; i++) { table[i][i] = 1.0f; for (int j = 0; j < n; j++) if (i != j) { table[i][j] = scanner.nextFloat();


309

pred[i][j] = i; } pred[i][i] = -1; } out.printf("Fall %d: %n", ++numCase); if (!find(out, n, table, pred)) out.println(" Es gibt keine Loesung!"); } } finally { if (scanner != null) { scanner.close(); } if (out != null) { out.close(); } } } } ȱ


£ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱȱȱ ȱȱȱȱ£ȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãđȱ ȱȱ ǯȱ ȱȱȱȱȱȱǻȱȱȱ£ǯȱǯȱȱȱȬ Ǽȱȱȱȱǰȱȱȱȱ ûȱȱ ȱȱȱ ȱǯȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱ ȱȱȱûȱȱȱȱȱȱȬǯȱ

ȱ

ãȱȱ¢ȱ

ȱ

ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ

ȱ ȱ ȱ

ȱ ȱȱǰȱȱ

ȱ ȱ ȱ

9

Potenzsummen ȱ ȱ

Problembeschreibung ȱȱȱûȱȱȱ≥ȱŖȱǯȱȱ£ȱûȱȱǱȱ ȱ

S k (n) = 1k + 2 k + 3k + ... + n k ǯȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ǻŗǼȱ

ȱ ȱȱ ȱǻȱ§ȱȱȱȱǻŗřǼȱǼǰȱȱǻǼȱ ȱ¢ȱǻƸŗǼȬȱ ȱȱȱǰȱȱȱȱ £ȱǰȱǯǯȱȱȱ ǻǼȱȱǱȱ ȱ 1 ȱ ȱ ȱ ȱ ǻŘǼȱ S k ( n) = (ak +1n k +1 + a k n k + ... + a1n + a0 ) ǯȱ M ȱ ȱ ȱ Ƹŗǰȱ ǰȱ ǯǯǯǰȱ ŗǰȱ Ŗȱ ȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱ đȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǰȱ Ƹŗǰȱ ǰȱ ǯǯǯǰȱ ŗǰȱ ŖǼȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱûȱȱȱûȱȱǯȱ ǱȱȱȱǯȱȱȱȱȱûȱȱǻŖȱ≤ȱȱȱ≤ȱŘŖǼǯȱ ǱȱȱǯȱȱûȱȱȱȱȱȱȱȱǰȱƸŗǰȱǰȱǯǯǯǰȱŗǰȱŖȱ ȱ ǰȱ ȱȱȱȱȱǯȱǱȱ ȱ psum.in 2 5 0 16

psum.out 6 2 3 1 0 12 2 6 5 0 –1 0 0 1 1 0 510 30 255 680 0 -2380 0 8840 0 -24310 0 44200 0 -46988 0 23800 0 -3617 0

ȱȱȱȱȱȱȱǻȱȬȱȱȱȱǰȱŗşşŝȬşŞǼȱȱ

Problemanalyse. Algebraische Modellierung. ȱȱǻǼȱǱȱ

S 0 (n) =

n

¦i i =1

0

=n

ǻřǼȱ

312

Grundlegende Algorithmen mit Java n

S1 (n)

¦i = i =1

n(n + 1) 1 2 = ( n + n) ȱ 2 2

n

¦i

S2 (n) =

2

=

i =1

¦i

3

i =1

n

S 4 ( n) =

¦ i =1

i4 =

ȱ

n(n + 1)(2n + 1) 1 = ( 2n3 + 3n 2 + n) ȱȱ 6 6

n

S 3 ( n) =

ȱ

=

n 2 (n + 1) 2 1 4 = ( n + 2n 3 + n 2 ) ȱ 4 4

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ǻŚǼȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ǻśǼȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ǻŜǼȱ

ȱ

ǻŝǼȱ

n(n + 1)(2n + 1)(3n 2 + 3n − 1) 1 = (6n5 + 15n 4 + 10n3 − n) ȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱ 30 30

ȱ ȱ ȱ ȱ §ǯȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ǯȱȱ ȱ£ȱśǻǼȱǯȱȱ ȱȱ ȂȱȬ ȱȱ Ǳȱ

§ 6· §6· §6· §6· § 6· (i − 1) 6 = i 6 − ¨¨ ¸¸i 5 + ¨¨ ¸¸i 4 − ¨¨ ¸¸i 3 + ¨¨ ¸¸i 2 − ¨¨ ¸¸i + 1 ©1 ¹ © 2¹ ©3¹ © 4¹ ©5¹

(8)

ȱ ȱȱ§ȱ£Ǳȱ

ȱ i 6 − (i − 1) 6 = 6i 5 − 15i 4 + 20i 3 − 15i 2 + 6i − 1

(9)

ȱȱȱŗȱȱȱ§ȱǱȱ ȱ n

n

¦ (i

6

¦i

− (i − 1) 6 ) = 6

i =1

i =1

n

5

¦i

− 15

i =1

n

4

¦i

+ 20

i =1

n

3

¦i

− 15

2

n

n

i =1

i =1

¦ i − ¦1 ,

+6

k =1

(10)

ȱ£ȱȱȱȱȱȱǱȱ

n 6 = 6 S 5 (n) − 15S 4 (n) + 20S 3 (n) − 15S 2 (n) + 6S1 (n) − S 0 (n)

(11)

ȱ ȱǻŗŗǼȱ ȱãȱ£Ǳȱ ȱ S 5 (n) =

n 2 (n + 1) 2 (2n 2 + 2n − 1) 1 = ( 2n 6 + 6n 5 + 5n 4 − n 2 ) 12 12

ȱȱȱȱȱûȱ£Ǳȱ

ȱ

(12)

9

Potenzsummen

313

(k + 1) S k (n) = § k + 1· § k + 1· § k + 1· § k + 1· ¸¸S k −1 (n) − ¨¨ ¸¸ S k −2 (n) + ... + (−1) p ¨¨ ¸¸ S k − p+1 (n) + ... + (−1) k ¨¨ ¸¸ S1 (n) + (−1) k +1 S 0 (n) n k +1 + ¨¨ 2 3 p © ¹ © ¹ © ¹ © k ¹

(13)

Von der Rekursionsgleichung zum Algorithmus ȱ ǻŗřǼȱ ǰȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǰȱ Ƹŗǰȱ ǰȱ ǯǯǯǰȱ ŗǰȱ ŖǼȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ãǰȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ǰȱ §ȱ Ŗǰȱ ŗǰȱ ǯǯǯǰȱ Ȭŗǰȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ £ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ £ȱ £ȱ ãǯȱȱ ȱȱ¢ȱǽǾȱ£ǰȱȱȱȱǽŖǾǰȱǽŗǾǰȱǽŘǾǰǳǰȱǽǾȱ ȱ ȱ ȱ Ǳȱ ǽǾȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱûȱǻǼǰȱŖȱ≤ȱȱ≤ȱǯȱ ȱ ȱ£ ȱ¢ȱǽǾǽǾȱȱ ȱȱȱȱǻƸŗǰȱǰȱǯǯǯǰȱŗǰȱ ŖǼȱûȱŖȱ ≤ȱȱ ≤ȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱ £ȱ ûȱǻǼȱǯȱ ȱ ȱȱȱ¡ȱǽǾǽǾȱȱȱȱǽǾȱ ǽŖǾǽŖǾȱ ǽŖǾǽŗǾȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǽŖǾȱ ǽŗǾǽŖǾȱ ǽŗǾǽŗǾȱ ǽŗǾǽŘǾȱ ȱ ȱ ȱ ǽŗǾȱ ǽŘǾǽŖǾȱ ǽŘǾǽŗǾȱ ǽŘǾǽŘǾȱ ȱ ȱ ȱ ǽŘǾȱ ǯǯǯȱ ǯǯǯȱ ȱ ǯǯǯȱ ȱ ȱ ǯǯǯȱ ǽȬŗǾǽŖǾȱ ǽȬŗǾǽŗǾȱ ǽŗǾǽŘǾȱ ǯǯǯȱ ǽȬŗǾǽǾȱ ȱ ǽȬŗǾȱ ǽǾǽŖǾȱ ǽǾǽŗǾȱ ǽǾǽŘǾȱ ǯǯǯȱ ǽǾǽǾȱ ǽǾǽƸŗǾȱ ǽǾȱ

ȱ ȱȱȱȱȱǻŘǼȱǱȱ ȱ S k (n) =

(

)

1 A[k ][k + 1]n k +1 + A[k ][k ]n k + ... + A[k ][1]n + A[k ][0] ȱ M [k ]

ȱ

ȱ

ǻŗŚǼȱ

ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ǻǽǾǰȱ ǽǾǽƸŗǾǰȱ ǽǾǽǾǰȱ ǳǰȱ ǽǾǽŗǾǰȱ ǽǾǽŖǾǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǽǾǰȱ ǽǾǽƸŗǾǰȱ ǽǾǽǾǰȱ ǳǰȱ ǽǾǽŗǾǰȱǽǾǽŖǾǼȱûȱŖȱ ≤ȱȱǀȱȱǯȱȱȱȱȱȱȱ ȱǰȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ§ǯȱȱȱ£Ǳȱ

314


( k + 1) S k (n) = n k +1 § k + 1· 1 k k −1 + ¨¨ ¸¸( M [k − 1] ( A[k − 1][k ]n + A[k − 1][k − 1]n + ... + A[k − 1][1]n + A[k − 1][0])) 2 © ¹ § k + 1· 1 ¸¸( (A[k − 2][k − 1]n k −1 + A[k − 2][k − 2]n k −2 + ... + A[k − 2][1]n + A[k − 2][0])) − ¨¨ © 3 ¹ M [k − 2]

ǻŗśǼ

+ ... + § k + 1· 1 ¸¸( ( −1) p ¨¨ ( A[k + 1 − p ][k + 2 − p ]n k + 2− p + ... + A[k + 1 − p ][1]n + A[k + 1 − p ][0])) © p ¹ M [k + 1 − p] + .. § k + 1· 1 ¸¸( ( −1) k ¨¨ ( A[1][2]n 2 + A[1][1]n + A[1][0])) + © k ¹ M [1] § k + 1· 1 ¸¸( ( −1) k +1 ¨¨ ( A[0][1]n + A[0][0])) © k + 1¹ M [0]

ȱ ȱȱȱȱȱȱȱŖǰȱŗǰȱǯǯǯǰȱȱȱȱȱȱǻŗřǼȱȱ¢ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱȱ ȱǻƸŗǼǱȱ ȱ (k + 1) S k (n) = n k +1 + § k + 1· A[k − 1][k ] ¸¸ )+ n k (¨¨ © 2 ¹ M [k − 1] § k + 1· A[k − 1][k-1] § k + 1· A[k − 2][k − 1] ¸¸ ¸¸ )+ n k −1 (¨¨ - ¨¨ © 2 ¹ M [k-1] © 3 ¹ M [k − 2] § k + 1· A[k − 1][k − 2] § k + 1· A[k − 2][k − 2] § k + 1· A[k − 3][k − 2] ¸¸ ¸¸ ¸¸ − ¨¨ + ¨¨ )+ n k −2 (¨¨ © 2 ¹ M [k − 1] © 3 ¹ M [k − 2] © 4 ¹ M [k − 3]

ǻŗŜǼ

... § k + 1 · A[ p − 1][ p] § k + 1· A[k − 1][ p] § k + 1· A[k − 2][ p] ¸¸ ¸¸ ¸¸ − ¨¨ + ... + (−1) k + 2-p ¨¨ )... n p (¨¨ 2 3 − − [ 1 ] [ 2 ] M k M k © ¹ © k + 2 − p ¹ M [ p − 1] © ¹ § k + 1· A[k − 1][1] § k + 1· A[k − 2][1] § k + 1· A[0][1] ¸¸ ¸¸ ¸¸ − ¨¨ + ... + (−1) k +1 ¨¨ )+ n(¨¨ 2 3 − − [ 1 ] [ 2 ] M k M k © ¹ © ¹ © k + 1¹ M [0] § k + 1· A[k − 1][0] § k + 1· A[k − 2][0] § k + 1· A[0][0] ¸¸ ¸¸ ¸¸ − ¨¨ + ... + (−1) k +1 ¨¨ (¨¨ ) 3 2 − − [ 1 ] [ 2 ] M k M k © ¹ © ¹ © k + 1¹ M [0]

ȱȱȱǻŗŜǼȱãȱȱ £ǰȱȱȱȱȱȱ ûȱǰȱ£ȱ ȱ£Ǳȱ ȱ

9

Potenzsummen

§ k +1 · ¨¨ ¸¸ k +1-t © k + 1 − t ¹ W [t ] = ( −1) , ûȱȱȱȱŖȱǂȱȱǂȱȬŗȱ M [t ]

315

(17)

ȱǻŗŝǼȱ ȱȱǻŗŜǼȱ£Ǳȱ

ȱ ( k + 1) S k ( n) = n k +1 + n k (W [k − 1] A[ k − 1][k ]) + n k −1 (W [k − 1] A[ k − 1][k − 1] + W [ k − 2] A[ k − 2][k − 1]) + n k − 2 (W [k − 1] A[ k − 1][k − 2] + W [k − 2] A[k − 2][k − 2] + W [k − 3] A[ k − 3][k − 2]) + ...

ǻŗŞǼ

n p (W [ k − 1] A[ k − 1][ p ] + W [k − 2] A[k − 2][ p ] + ... + W [ p − 1] A[ p − 1][ p]) + ... n(W [k − 1] A[ k − 1][1] + W [k − 2] A[k − 2][1] + ... + W [0] A[0][1]) + (W [k − 1] A[k − 1][0] + W [ k − 2] A[ k − 2][0] + ... + W [0] A[0][0])

ȱȱȱȱȱȱȱǯȱȱǽŖǾǽŖǾƽŖȱ§ȱȱȬ ȱǽŖǾǽŖǾǽŖǾȱ ǯȱȱ £ȱȱ£ȱȱȱȱȱ ȱãȬ ȱȱȱ¢ȱȱȱûȱǽǾȱȱ Ǳȱ ȱ k −1 ° W [t ] A[t ][0] für p = 0 ° t =1 °° k −1 (19) F [ p ] = ® W [t ] A[t ][ p] für alle p mit 1 ≤ p ≤ k °t = p −1 °1 für p = k + 1 ° °¯

¦

¦

ȱ ȱȱǻŗşǼȱȱǻŗŞǼȱ£ǰȱǱȱȱ

ȱ S k ( n) =

ȱ

1 ( F [ k + 1]n k +1 + F [ k ]n k + F [ k-1]n k-1 + ...F [1]n + F [0]) k +1

(20)

ȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱ§ȱǯȱȱ ûȱ ȱȱȱȱȱȱǯȱȱȱ ǰȱȱ ȱȱ ȱȱȱȱǽŖǾǰȱǽŗǾǰȱǳǰȱǽǾǰȱǽƸŗǾȱȱȱȱȱȬ ǯȱȱ ȱȱȱǻŘŖǼǱȱ ȱ

316


1 ( F'[ k + 1]n k +1 + F'[k ]n k + F'[k-1]n k-1 + ...F'[1]n + F'[0]) , ȱ ȱ ȱǻŘŗǼȱ ( k + 1)Q F'[r ] = F [r ] ⋅ Q, 0 ≤ r ≤ k + 1 ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ǽǾȱ ǰȱ ȱ ȂǽǾȱ£ȱǰȱȱǻƸŗǼȱȱȱȱȱûȱǻǼȱǯȱ S k (n) =

Der Algorithmus ȱȱȱȱȱǰȱȱǽŖǾƽŗǰȱǽŖǾǽŗǾƽŗǰȱǽŖǾǽŖǾƽŖǯȱȱ ȱȱȱǱȱ ȱ ȏȱ ȱ ŗǯ ȱȱǻŖȱ≤ȱȱ≤ȱŘŖǼȱ ȱ Řǯ ǻȱǽƸŗǾǽƸŗǾȱǼȱ ȱ řǯ ǽŖǾƽŗǰȱǽŖǾǽŗǾƽŗǰȱǽŖǾǽŖǾƽŖȱ Śǯ ȱǻȱ←ȱŗǰȱǲȱȱŗǼȱ¡ȱȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱŚǯŗǯȱȱƽȱŗȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱŚǯŘǯȱȱǻȱ←ȱȬŗǰȱŖǲȱȱȬŗǼȱ¡ȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǽǾȱƽȱ¢ǻȱȘȱǽƸŗǾǽƸŗȬǾȦǽǾǼȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱƽȱȱȘȱǻȬŗǼȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȏȱ ȱ ȱŚǯřǯȱȱǻȱ←ȱǰȱŖǲȱȱȬŗǼȱ¡ȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǽǾȱƽȱǻŖȦŗǼȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻȱ←ȱȬŗǰȱȬŗǲȱ≥ȱŖǲȱȱȬŗǼȱ¡ȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǽǾǯȱǻǽǾȘǽǾǽǾǼȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȏȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȏȱ ȱ ȱȱȱŚǯŚǯȱǽƸŗǾȱƽȱȱǻŗȦŗǼȱ ȱ ȱȱȱŚǯśǯȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱƽȱȱǻǽǾǰȱƸŗǼȱ ȱ ȱȱȱŚǯŜǯȱǽǾȱȱȱƽȱǻƸŗǼȘȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱŚǯŝǯȱȱǻȱ←ȱƸŗǰȱŖǲȱȱȬŗǼȱ¡ȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ¡ȱȱȱƽȱ¢ȱǻǽǾȘǼȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǽǾǽǾȱƽȱǻ¡Ǽȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȏȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȏȱ śǯȱȱȱȱȱȱȱȱǽǾǰȱǽǾǽƸŗǾǰȱǽǾǽǾǰȱǳǰȱǽǾǽŗǾǰȱǽǾǽŖǾȱ ȱ ȱȏ ȏ ȱ ȱ

9

Potenzsummen

•

317

ȱȱŘȱȱȱȱ£ȱȱ£ȱȱƸŗȱǻ§đȱ ȱ ǻŗřǼȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ Ƹŗǰȱ ȱ ǻǼȱ £ȱ Ǽǯȱȱȱȱȱȱȱȱȱ¢ȱ ȱȱ ȱȱǱȱ

ȱ

• •

•

•

ǽǾǽŖǾȱƽȱǽǾǽǾȱƽȱŗȱûȱŖȱ≤ȱȱ≤ȱƸŗȱ ǽǾǽǾȱƽȱǽȬŗǾǽȬŗǾƸǽȬŗǾǽǾȱûȱȱŗ≤ȱȱ≤ȱƸŗǰȱŗȱ≤ȱȱǀȱȱȱȱȱȱȱ ȱ ȱȱřȱ ȱȱȱȱûȱŖǻǼȱȱǻǻŘǼƸǻŗŚǼǼȱ ȱŚȱȱȱǰȱȱȱ ȱȱȱǽǾǽŖǾǰȱǽǾǽŗǾǰȱǯǯǯǰȱ ǽǾǽƸŗǾǰȱǽǾǰȱŗȱ≤ȱȱ≤ȱȱûȱ ǰȱȱȱȱãȱûȱŗǰȱŘǰǯǯǯǰȱȱ §đȱȱȱȱ ŚǯŗȱȱŚǯŘǱȱȱûȱǽǾȱ ȱȱȱǻŗŝǼȱǯȱȱȱ ¢ǻǼȱ ȱ ȱ û£ȱ ȱ ȱ ȱ £ûǯȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱãđȱȱȱ ȱȱȱ§ȱǰȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱ Śǯřȱ ȱ ȱ ûȱ ǽǾȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻŗşǼȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ǻȱ ȱȱ ȱ £ ȱ ȱ ûȱ Ǽȱ

1 1

•

ȱ ȱȱǻŗşǼȱȱȱŚǯśȱȱȱǽƸŗǾȱȱ ȱȱ

•

ȱ ȱ Śǯśȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ǽŖǾǰȱ ǽŗǾǰȱ ǯǯǯǰȱ ǽǾǰȱ ǽƸŗǾȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǻȱǼȱ ȱȱŚǯŜȱ ȱȱȱǽǾȱ§đȱǻŘŖǼȱ£ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Śǯŝȱ ȱ ȱ ȱ ǻŘŖǼȱ ȱȱ ǽǾǽƸŗǾǰȱ ǽǾǽǾǰȱ ǳǰȱǽǾǽŖǾȱǯȱ

• •

ȱȱ

¡§ȱȱ ȱȱǯȱȱ ¡§ȱȱȱȱ ǻřǼȱ ǻȱ Śȱ ȱ ȱ ȱ ȬǼǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ£ȱǯȱȱ ȱ £ȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ǯȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãǱȱ ǻŖǼǰȱ ǻŗǼǰȱǯǯǯǰȱǻȬŗǼǯȱȱȱȱȱȱȱȱȱûȱǻǼǱȱ ȱ Lösung ( Pk ) = Kombination( Lösung ( P0 ) ,Lösung ( P1 ) ,...,Lösung ( Pk −1 )) ȱ ȱ

318


ȱãȱȱȱǻǼȱȱȱȱãȱȱȱǻƸŗǼǰȱǻƸŘǼǰȱǳȱ ǰȱ ȱ ȱȱãȱȱȱȱȱȱȱǰȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ãđȱ ȱ ȱ £ȱ £ȱ ãǯȱ ȱȱȱȱȱ¢ȱǯȱ

ȱ A[k][0]

A[k][1]

A[k][2]

A[k][3]

A[k][4]

A[k][5]

0 0 0 0 0

1 1 1 0 -1

1 3 1 0

2 2 10

1 15

6

A[k][6]

M[k]

1 2 6 4 30

← ãȱȱƽȱŖ ← ãȱȱƽȱŗ ← ãȱȱƽȱŘ ← ãȱȱƽȱř ← ãȱȱƽȱŚ ← ãȱȱƽȱś

ȱ §Ǳȱûȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱ §ȱ ȱ ȱǰȱȱȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ǰȱȱȱȱȱȱǯȱ

Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P01SumOfPowers { private static final String FileInputName = "psum.in"; private static final String FileOutputName = "psum.out"; private final static int MAX_NO = 20; private static void genCombinations(long C[][], int n) { C[0][0] = 1; £ȱǻȱ for (int i = 1; i k , k ≠ 0 } © k ¹ © k − 1¹ © k ¹ (ȱûȱȱ ȱȱ ¢ȱ)

public static void main(String args[]) throws IOException { Scanner scanner = null; PrintStream out = null; try { scanner = new Scanner(new File(FileInputName));

9

Potenzsummen out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); Fraction fr[] = new Fraction[MAX_NO+2]; Fraction W[] = new Fraction[MAX_NO+1]; long C[][] = new long[MAX_NO+2][MAX_NO+2]; genCombinations(C, MAX_NO+1); long M[] = new long[MAX_NO+1], Q; M[0] = 1; long A[][] = new long[MAX_NO+1][MAX_NO+2]; A[0][1] = 1; A[0][0] = 0; for (int p = 1; p = 0; t--) { W[t] = new Fraction(sign*C[p+1][p+1-t], M[t]); sign *= -1; } for (int t = p; t >= 0; t--) { fr[t] = new Fraction(); for (int r = p-1; r >= t-1 && r >= 0; r--) { fr[t].add(W[r].multiply(A[r][t])); } } fr[p+1] = new Fraction(1, 1); Q = Fraction.lcmDenomin(fr, p+1); M[p] = (p+1)*Q; for (int t = p+1; t >= 0; t--) { A[p][t] = fr[t].multiply(Q).getNumerator(); } } while (scanner.hasNextInt()) { int k = scanner.nextInt(); out.print(M[k]); out.print(' '); for (int t = k+1; t >= 0; t--) { out.print(A[k][t]); out.print(' '); } out.println(); } } finally { if (scanner != null) scanner.close(); if (out != null) out.close(); } }

}

319

320


class Fraction { private long numerator; private long denominator; Fraction(long numerator, long denominator) { this.numerator = numerator; this.denominator = denominator; this.simplify(); } Fraction() { this.numerator = 0; this.denominator = 1; } long getNumerator(){ return numerator; } void add(Fraction other){ this.numerator = numerator*other.denominator + denominator*other.numerator; this.denominator = denominator*other.denominator; this.simplify(); } Fraction multiply(long n){ return new Fraction(numerator*n, denominator); } private static long gcd(long a, long b) { while (b != 0) { ȱȱǻǼǱȱ long r = a % b; ȱ ȱ ãđȱ ȱ ȱ a = b; ǻǼȱ£ ȱûȱȱ b = r; } return a; } void simplify() throws ArithmeticException { long d = gcd(this.numerator, this.denominator); this.numerator /= d; Ȭȱ ȱ ȱ ãđȱ ȱ this.denominator /= d; ȱȱȱȱ§ȱȱ if (this.denominator < 0) { Ȭȱ û£ȱȱȱ this.denominator *= -1; Ȭȱ ȱ ƽƽŖǰȱ ȱ ¡ȱ this.numerator *= -1; ȱ } }

9

Potenzsummen

321

static long lcm(long a, long b) { return (a/gcd(a, b))*b; }

ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱȱȱȱȱȱȱ a ⋅ b ȱ gcd( a, b)

static long lcmDenomin(Fraction fr[], int long gcd = 1; if (n == 0) return 1; gcd = fr[0].denominator; for (int i = 1; i < n; i++) { gcd = lcm(gcd, fr[i].denominator); } return gcd; } }

n) { ȱ ȱ ȱ ȱȱȱ ǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ǽǾǰȱ ȱȱȱǱȱ ȱǻµµǼȱƽȱȱǻǻµǼµǼȱȱ ȱ ǻȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ £ȱ ȱ ǰȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ãđȬ ȱ£ȱ£ȱûǯǯǯǼȱ

Aufgaben ŗǯ Řǯ

ȱǰȱȱûȱřȱȱûȱȱǰȱǰȱȱǱȱȱȱǻµµǼȱƽȱ ȱǻǻµǼµǼǯȱ ȱȱǰȱȱȱ£ȱȱȱȱǱȱ S k (n) = Fk +1n k +1 + Fk n k + ... + F1n + F0 ǰȱȱ ȱ ȱƸŗǰȱǰȱǯǯǯǰȱŖȱû£ȱûȱǰȱ£ǯǯǱȱȱ n

S0 ( n) =

¦i

0

= nȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

ȱ

i =1 n

S1 (n) =

¦i = 2 n 1

i =1 n

S 2 ( n) =

¦i i =1

2

2

1 + n ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 2

ȱ

1 1 1 = n3 + n 2 + n ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 3 2 6

ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱǯȱ Ǳȱ psum.in 2 5 0

ȱ řǯ

psum.out 1/3 1/2 1/6 0 1/6 1/2 5/12 0 –1/12 0 0 1 0

ȱȱȱȱǱȱ

ȱȱȱȱȱȱȱǼȱ S3 ( x ) = ( S1 ( x)) 2 ȱ

322

Grundlegende Algorithmen mit Java Ǽȱûȱȱȱ≥ȱŗȱǱȱȱ¢ȱ S k (x) ȱȱȱ S1 ( x) ȱȱȱ

S k ( x) = S k (−1 − x) ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱ ǻŘŘǼȱ Ǽȱûȱȱȱȱ≥ȱŗȱǱȱȱ¢ȱ S k (x) ȱȱȱ S 2 ( x) ȱȱȱ ȱ

S k ( x) = − S k (−1 − x) ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱ ǻŘřǼȱ Ǽȱûȱȱȱ≥ȱřȱǱȱȱ¢ȱ S k (x) ȱȱȱ S3 ( x) ȱǯȱ Ǽȱȱ S k ( n) = ak +1n k +1 + ak n k + ... + a1n + a0 ȱȱ ak − 2 = ak − 4 = ... = 0 ǯȱȱ

Ǳȱ ȱ ãȱ ȱ £ȱ £ ȱ S k (x) ȱ ȱ S k ( − x) ȱ ȱ ȱ ȱ ǻŘŘǼȱȱǻŘřǼȱǯȱ ȱ

ȱ

ȱ ȱ ȱôȱȱȱ§ȱ ȱ ȱ ȱ

ȱȱȱȱȱȱȱȱǯȱȱ ȱ ¢ȱ ȱ

Literaturverzeichnis ȱ

ȱ ǽŖŘǾȱ ǽŞřǾȱ ǽşřǾȱ ǽşŚǾȱ ǽŝŗǾȱ ǽŖŚǾȱ ǽŖŖǾȱ ǽşşǾȱ

ǽŖŘǾȱ ǽşŜǾȱ ǽ şŗǾȱ ǽ ŝşǾȱ

ȱǰȱ ûȱǯȱǰȱȱ ȱȱ ǰȱȱȬ ǰȱŘŖŖŘǯȱ

ȱǰȱȱȱ©ȱȱȱȱ©ȱ ǰȱ ȱ©ȱóȱ©ǰȱóǰȱŗşŞřǯȱ ¢ǰȱǯȱǯǰȱȱ¢ ǯȱȱǰȱȱȱǯǰȱ ǰȱŗşşřǯȱ ǰȱ ǯǰȱ ǰȱ ǯǰȱ Ȭ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ Ȧǰȱ ȱ Ȃȱ ȱȱ ȱ ȱǰȱŗşşŚǯȱ ǯȱ ǯǰȱ ǯǰȱ ȱ ¡¢ȱ ȱ Ȭȱ ǰȱ ǯȱ řȱ Ȭ ȱȱ¢ǯȱ¢ȱȱǰȱǯȱŗśŗȬŗśŞǯȱ ǯȱ ǯȱǰȱǯȱǯȱǰȱǯȱǰȱǯȱǰȱȬȱȬ ûǰȱȱǰȱûǰȱŘŖŖŚǯȱ ȱǰȱ ǰȱȬǰȱ ǰȱŘŖŖŖǯȱ ǰȱǯǰȱǰȱǯǰȱ¡ȱȂȱȱȱȱȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯǰȱ ǯȱ řŖřȬřŖŜǰȱ ŗşşşȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ Ȃȱ ¢ǰȱ ǰȱŘŖŖŘǯȱ ȱ ǰȱ ȱ ǰȱ ȱ ǰȱ ǰȱ ŗşşŜǯȱ ȱ ǰȱ ȱ óȱ ȱ ȱ ©ǰȱ ȱ ©ǰȱ óǰȱŗşşŗǯȱ ¢ǰȱǯȱǯǰȱȱ ǰȱǯȱǯǰȱȱȱȱ¢Ǳȱȱ ȱȱȱ ¢ȱȱȬǰȱȱǯȱ ǯȱǰȱ ȱȱǯȱ

324 ǽ Ǿȱ ǽ şŚǾȱ ǽ ŖřǾȱ

ǽŖŘǾȱ

ǽ şŝǾȱ

ǽ şşǾȱ ǽ ûŖŜǾȱ ǽŖŗǾȱ ǽŖśǾȱ ǽŖśǾȱ ǽŖśǾȱ

ǽŖŜǾȱ ǽŖŜǾȱ

ǽŖŜǾȱ

ǽŖŜǾȱ ǽŖŝǾȱ ǽ§ŖŗǾȱ

Grundlegende Algorithmen mit Java £ȱ©ǰȱȱ£ǰȱȱȱ ȱ ǯȱ ǯǰȱ ȱ ǯȱ ǯǰȱ ȱ ǯǰȱ ȱ ǰȱ Ȭ¢ǰȱŗşşŚǯȱ ȱ ǰȱ ȱ ǯȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ £ȱ ǰȱ Řǯȱ ǰȱ ȱ ǰȱ Ȭ ǰȱŘŖŖřǯȱ ȱ óǰȱ ȱ ©ǰȱ ôȱ ǰȱ ȱ ©ǰȱ ȱ ƸƸǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭǰȱ ȱ ǰȱ óǰȱ ŘŖŖŘǯȱ ȱǯȱ ǰȱȱȱȱȱǰȱȱǱȱȬ ȱ ǰȱ Ȭ¢ȱ ǰȱ ǲȱ Ǳȱ řǯȱ ǯǰȱ ŗşşŝǯȱ ȱǯȱ ǰȱȱǯȱǰȱȱǯȱ Ȭ ǰȱǰȱȱǯǰȱȱǰȱŗşşşǯȱ ȱ ûǰȱ ȱȱ ȬǰȱŚǯǰȱȱȬ ǰȱȬ¢ǰȱûǰȱŘŖŖŜǯȱȱ ȱ ©ǰȱ ƸƸǯȱ ȱ £ȱ óȱ ǰȱ ȱ ǰȱ óǰȱŘŖŖŗǯȱ ȱ ©ǰȱ ȱ ȱ ǰȱ ǰȱ ŗśȦŘȱ ŘŖŖśǰȱ ǯȱ ŚŖȬŚřǰȱ ǱȱǱȦȦ ǯǯȦȦŗśȏŘȦŘǯǯȱ ȱ ©ǰȱ kȱ ȱ ǰȱ ǰȱ ŗśȦśǰȱ ŘŖŖśǰȱ ǯȱ řŜȬŚŗǰȱ ȱ Ǳȱ ǱȦȦ ǯǯȦȦŗśȏśȦŗǯǯȱ ȱ©ǰȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱƸƸǰȱ ǰȱŗśȦśǰȱǯȱŘŝȬřŖǰȱǱȱ ǱȦȦ ǯǯȦȦŗśȏśȦŗǯǯȱ ȱ©ǰȱ£ȱ©ȱÉȱǯȱôǰȱȱǰȱóǰȱ ŘŖŖŜǯȱ ȱ ©ǰȱ ȱ ǰȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ řȱ ȱ ȱ ȱ

ȱȱȱǻ ǼǰȱȱřşŖŝǰȱǯȱřŘŖȬřřŗǰȱ ǰȱŘŖŖŜǯȱ ȱ©ǰȱ ¢ȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ŘŖŖŜǰȱȱ ¢Ȭ ȱȱȱǰȱǯȱŜśȬŞŖǰȱóǯȱ ȱ ©ǰȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ƸƸǰȱ Ȭ ǰȱǰȱŘŖŖŜǯȱ ȱ ©ǰȱ ȱ ȱ Éȱ ƸƸǯȱ ôǰȱ ǰȱ óǰȱ ŘŖŖŝǯȱ ȱ đȱ §ǰȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ǯǰȱ ûǰȱŘŖŖŗǯȱ

Literaturverzeichnis ǽŖŘǾȱ ǽşśǾȱ ǽşŝǾȱ ǽşŞǾȱ ǽ©ŞřǾȱ ǽŖŚǾȱ ǽşŞǾȱ ǽşŝǾȱ ǽşşǾȱ ǽŖřǾȱ ǽşŝǾȱ ǽŞŜǾȱ ǽŜŜǾȱ ǽŜŝǾȱ

ǽŖŜǾȱ ǽŞŗǾȱ ȱ

325

ǯȱ ñǰȱ ǯȱ ñìǰȱ ȱ ǯȱ ȱ ǰȱ ȱǰȱŘŖŖŘǯȱ ǰȱǯǰȱǰȱǯǰȱ ǰȱǯȱǯǰȱȱȱȱȱȬ ǰȱȱȂȱȱȱȱ¢ǯǰȱŗşşśǯȱ ǰȱ ǯǰȱ ǰȱ ǯǰȱ ǰȱ ǯȱ ǯǰȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱǰȱȱȱȂȱǯȱȱǰȱŗşşŝǯȱ ǰȱǯǰȱǰȱǯǰȱǰȱǯǰȱȱȱȱȬ ȱȱ£ȱǰȱȱȱȱǯǰȱǯȱŜşŚȬŜşŝǰȱŗşşŞǯȱ ǯȱ ©©ǰȱ ǯȱ ô©ǰȱ ǯȱ ǰȱ ǯȱ ôǰȱ ¡ôȱ óȱ ȱ ȱ ©ǰȱȱ©ȱóȱ©ǰȱóǰȱŗşŞřǯȱ ȱ £ǰȱ ȱ ûȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ǰȱ ȱǰȱǰȱŘŖŖŚǯȱ

£Ȭȱ ǰȱ ȱ ûǰȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ǯȱǰȱ ȱȱȱ ǰȱŗşşŞȱ ȱǰȱȱǯȱȱȱȱȬǰȱȱȱȬ ǰȱǰȱŗşşŝǯȱ ȱ ǰȱ ȱ ǯȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ǰȱǰȱŗşşşǯȱ ȱ ǯȱ ǰȱ ȱ ǯȱ ǰȱ ȱ ǯȱ ȱ Ȭ ȱȱȱǰȱȬǰȱ ȱǰȱŘŖŖřǯȱ ǰȱǯǰȱȱȱȱ¢ȱȱǰȱȬ ǰȱǰȱ ǯȱ ǯȱǰȱǯȱǰȱȱǰȱȬǰȱ Ȭ ǰȱŗşŞŜǯȱ

ȱǰȱûȱȱȱãȱǰȱȱǱȱ ǰȱ ǯȱǰȱûȬǰȱŗşŜŜǯȱ

ȱǰȱûȱȱȱãȱǰȱȱǱȱȱȬ ȱ ȱ ȱ §ǰȱ ǯȱ ǰȱ ûȬǰȱ ŗşŜŝǯȱ ȜȱǰȱȱȱŜȱȱǰȱȱ£Ǳȱ ǱȦȦǯǯȦȦŜȦȦȦǰȱȱ¢ǰȱǰȱŘŖŖŜǯȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ©ȱ óȱ ȱ ǰȱ ȱ ©ȱóȱ©ǰȱóǰȱŗşŞŗǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ

326


ȱ£ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ

ȱ ȱ

ȱ ȱǱȦȦǯ ǯȦ Ȧ ȱ ȱǱȦȦǯǯȦȦȱȱ ȱǱȦȦǯǯǯȦȱȱ ȱǱȦȦ ǯ ǯȦȱȱ ȱǱȦȦ¢ǯǯȦȦȦȦȱȱ ȱǱȦȦ¢ǯ ǯǯȦȦȱȱ ȱǱȦȦ ǯǯȦȱȱ ȱǱȦȦ ǯ ǯȦȱȱ ȱǱȦȦ ǯȬȬǯȱ ȱǱȦȦ ǯǯȦȱȱ ȱǱȦȦǯǯȦǅřȦŖǯȱȱ ȱǱȦȦǯȦȬȦȱȱ ȱǱȦȦ ǯǯǯȦȦȦŘǯȱ ȱǱȦȦ ǯǯȱ ȱǱȦȦ ǯȬǯȱ ȱǱȦȦ ǯȬǯȦǯȱ ȱǱȦȦ ǯǯǯȦ ȦŘŖŖŜȦŖŜŖŘŗŚȏǯȱȱ ȱǱȦȦ Ȭŗǯǯ ȬǯȦǅȱ ȱǱȦȦ ȬǯǯȦǅȦȦǯȱ ȱǱȦȦǯǯȦȦŜȦȦȦȦȦ¢ǯȱ ȱǱȦȦǯȦȬȦ ȦȦǯȱ ȱǱȦȦ ǯǯȬȱ ǯȦȦŘŖŖřȦ¢ȦȦŖřŖşǯȱ ȱ ȱ ȱȱȱ ȱ ȱ

Stichwortverzeichnis ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ

ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ

řȬȬȱȱŘřŘȱ ̋ȬȱȱŗŘȱ ̛Ȭȱȱŗřȱ ƋȱȱŗŗŚǰȱŗŜśȱȱȱ

A ȱȱŗŖŜȱ absȱȱŗŝŚǰȱŗŞŗǰȱŗşŖǰȱŘŝŝȱ ȱȱȱŘŚŖȱȱ ȱȱŗŗȱ ȱ ȇȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ

£ȱȱŗȱ §§ȱȱřŜȱ ǰȱȱȱŗŗŞȱȱ ȱȱŗŗŞȱ addȱȱŚŘǰȱśŚǰȱŜŖǰȱşŗǰȱŗřŗǰȱŗřŚǰȱŗŚŖǰȱŗŚŝǰȱŗŜśȱ addFirstȱȱşŗȱ addLastȱȱşŖȱȱȱ £ȱȱŘŘŘȱȱȱ ££¡ȱȱŞǰȱŜŞǰȱŘŘŘȱȱ §ȱȱȱŘŜŗȱȱȱ ȱŗŖǻǼȱȱ ȱǻǼȱȱŘşȱ ȱ ȏǻǼȱȱŘŞŞȱȱȱ ȏȏȱȱŗŝŜȱȱȱ ȏȏȱȱŗŝŜȱȱ ȏ ȏ ȱȱśȱȱ ȏȏ ȱȱŘŞŝȱȱȱ ȏȱȱŗŚŜȱ ȏŗŖȱȱŗŘŗȱȱȱ ȏ ȱȱŘȱ

ȏ ȏȱȱŝŚȱ ȏȱȱŗŜřȱȱȱ ȏȱȱŘřřȱ ȏȱȱŘřřȱ ȏ ¢ȱȱřşȱȱ ȏ ȏȱȱŘŗŘȱ ȏ ȱȱśşȱ ȏ ȱȱśŗȱ ȏȱȱŘŚŜȱȱ ȏȏȱȱŗŝřȱȱ ȏ ȏȱȱŞŖȱȱ ȏ ȏȱȱŝŞȱȱ ȏȏȏȱȱŘŖŞȱȱȱ ȏȱȱřŗŜȱ ȏȏȱȱŝřȱ ȏȏȱȱŝřȱ ȏȱȱŝşȱȱ ȏŘȱȱŞŖȱ ȏ ȏȱȱŗŖŞȱȱ ȏȏ ȱȱŚȱ ȏȱȱŝşȱ ȏȱȱŜȱ ȏ ȏ ȱȱŘŞȱ ȏ ȏ ȱȱřŖŝȱ ȱǻǼȱȱȱȱŗŜŚȱ ȱȱȱȱȱŝśȱȱ ȱȱŗŖȱ Ȭȱȱŗȱ ȱȱŗŖȱ allocateȱȱŘŚŘǰȱŘŝŘȱ ¢ȱȱ ¡§ȱȱŗŜȱ £ȱȱ ȱȱŗŞŗȱ

328 £ȱȱȬȱȱŗŝŞȱ £ȱȱȱȱŗŝşȱ £ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ Ȭ ȱȱřŖŚȱ £ȱȱ £ȱ¡ȱȱŗśŞȱ £ȱȱȱȱȱŗŞŜȱ £ȱȱȱȱȱȱŗŖŝȱ £ȱȱûǰȱûȱȱ ȱȱŗśŖȱȱ £ȱ§ȱ§§ȱȱŜřȱ appendȱȱřśǰȱŗŗŖǰȱŗŜŖȱ ȱȱřŖśȱ ArithmeticExceptionȱȱřŘŖȱ arraycopyȱȱŞŖǰȱŞŝȱ ArrayDequeȱȱŞřǰȱŞşȱ ArrayListȱȱŚŗǰȱśŘǰȱśŚǰȱŜŖǰȱşŗǰȱŗŚŜǰȱŗśŚǰȱŗŜśȱ ArraysȱȱřŖǰȱřřȱ asListȱȱřřȱ assertȱȱřŖǰȱřŜȱ AssertionErrorȱȱřŜȱȱȱ ȱȱŘřŞȱȱȱ ȱȱȱŘŝǰȱŘŚŖȱ ȱȱřŚȱ ¢ȱȱřŚȱ ȱŗŖŖȱ ȱȱȱȱşŚȱȱȱ

B ȱȱŗŜşǰȱŘřśȱ ǰȱǰȱȱȱ ȱȱŘŘŜȱ ȱȱȱȱȱŘŘŞȱȱ ȱȱŚşǰȱŗŖśǰȱŗśŝǰȱŘřřȱ ȱȱǵǱȱȱŚřǰȱŜŘǰȱŗŘŜǰȱŗŚŝǰȱŗŜŗǰȱ ŘŖşǰȱŘśśȱ ȱȱŘśǰȱŗŝŘȱ ǰȱȱȱŘřŗȱ ȱ£ȱȱŗŜşȱȱȱ ȱȱȱŗŖśȱ ȱȱŗŖȱȱ ȱȱȱȱȱŘřŗȱ ȱȱŗŗǰȱŗŖŖǰȱŗŖşǰȱŗŗŗǰȱŗŘŞǰȱŘŚŖȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ŗŖŗǰȱ ŗŖřȱȱȱ ££ǰȱ¡ȱȱŗŜşȱ BigDecimalȱȱŗŗŚȱ

Grundlegende Algorithmen mit Java BigIntegerȱȱŗŗŗǰȱŘřşȱȱ ȱȱȱŗŞȱ §ȱȱśŜȱȱȱ §ȱȱȱŚȱ § ȱȱśŜǰȱŜśȱȱȱ £ȱȱŘřśǰȱŘřşǰȱŘŝřǰȱřŗŞȱȱȱ ȱ £ȱ ǻ Ȃȱ Ȭ ǼȱȱŗŖŘǰȱřŗŘȱȱȱ Ȭȱ BitSetȱȱŞŚǰȱŘŖŗǰȱŘŗŞȱ ȱȱśŜȱ BooleanȱȱŜŘǰȱŞşȱ ȬȬ£ȱȱŘřŚȱ ȬȬȱȱŜŜȱȱ

C P ]164ȱȱ ·ȱȱȱŘŗŚȱȱ §ǰȱ ȱȱŗŚśȱȱȱ ȬȱȱŜřǰȱŘŘŚǰȱŘŝśǰȱŘŞŜǰȱŘşŘȱ catchȱȱřŗǰȱřŚȱȱȱ ¢Ȭ £Ȭȱ ǻ £Ȭ ȱǼȱȱŗŖŘȱ CharacterȱȱŘŗŝȱ charAtȱȱŜŖǰȱŗŜŖǰȱŘŖşǰȱřŖŘȱ clearȱȱŞŝǰȱŘŖřǰȱŘŗŖǰȱŘŗşȱ cloneȱȱŘŖřȱȱȱ closeȱȱřŗǰȱŚŘǰȱŚśǰȱŚŞǰȱśŚǰȱŜŗǰȱşŚǰȱŗŗŖȱ Ȭȱȱŗşȱȱ ȱȱȱ§ȱȱśŜȱ ȱȱȱ§ȱȱśŜȱ £ȬȱȱŗŖŜǰȱŗŘśȱ CollectionsȱȱŚŖǰȱŚŘȱȱȱ ȏȱȱŘŗŗȱ ComparableȱȱŘşǰȱřřǰȱŚŘǰȱŜŗȱ compareȱȱŚřȱ compareToȱȱřŖǰȱřřǰȱŚŖǰȱŚřǰȱŜŘȱ ȱȱȱŗŖŜǰȱŗŗŞȱ ǰȱȱǰȱǯȱǯȱȱŘŖȱ currentTimeMillisȱȱŘřŝȱȱȱ

D ȱȱŝǰȱřŘǰȱŗŘŗȱ

Stichwortverzeichnis ȱȱȱȱŜśȱȱȱ ȱȱřŘǰȱŚŖǰȱŗŜřǰȱŘśśǰȱřŗşȱ ȱȱŜśȱ ȱȱ £ȱȱ ȱŗŜŝȱ Ȭ ȱȱřŘȱ ȱȱśŜȱ deleteȱřŖřȱ DequeȱȱŞŘǰȱŞşȱ ȱȱŗŖȱȱ ȱȱȱŘȱȱ ȱȱŚȱȱŗŖŞȱ digitȱȱŘŗŝȱ DimensionȱȱŗřŗǰȱŗřřǰȱŗřŞȱȱȱ ȱȱȱŗŖŜǰȱŗřŖȱȱ ȱ ȱȱŗŖŖǰȱŗŖŘǰȱŗŖşǰȱŗŗŗǰȱŗŘŞȱȱȱ ȱ Ȭȱ ǻǼȱȱ ŗŜŘȱ ȱȱȱȱŗŚśȱȱ ȱȱȱȱŗŗŗȱȱ ȱȱŘśřȱ ȱȱûȱȱŗŜŞȱ ǰȱȱȱŜŜǰȱŝŗȱ DoubleȱȱśŘȱ ȱȱȱȱŞŘȱ drawLineȱȱŗřşȱ drawOvalȱȱŗřřȱ drawRectȱȱŗřŗǰȱŗřŚȱ ȱȱŜŝȱȱ Ȭ §ȬȱȱŝŞȱ ¢ȱȱȱŘŝǰȱŘřŗȱȱȱ

E Ȭ£ȱȱŘşŝȱȱȱ £ȱȱŗŜŘȱ ȱȱȱŗŗȱ ȱȱŗŖȱ ȱȱŗŖŜȱ enstrySetȱȱśśǰȱŜŖǰȱşŘȱȱȱ ȱȱŗŞǰȱŝŘȱ ȱȱ ¢ȱȱřȱ ûȱȱŘŖȱ ȱȱȱşśȱ ȱȱȱşŜȱ ȱȱŘȱȱȱ

329 ȱȱȱŘŞŞȱȱ ȱȱȱŘǰȱřŘŖȱ ǰȱȱȱŗŜŚǰȱŘŗŚȱ ¡ȬȱǻǼȱȱŝŚȱ EXIT_ON_CLOSEȱȱŗřŗǰȱŗřŚȱȱȱ ¡ȬȱȱŜŜȱ

F ȱȱȱǻǼȱȱȱ ȱȱȱŗŖŜǰȱŗŘřȱ ȱǻȱǼȱȱŘřŜȱȱȱ ȬȱȱŗŖśǰȱŘřŘȱ FileȱȱřŖǰȱřśǰȱŚŗǰȱŚŚǰȱśřǰȱŜŖǰȱŗŗŖȱ FileReaderȱřśȱ fillȱȱřŗǰȱŘśşǰȱŘŝŝȱȱȱ finallyȱȱřŗǰȱřŚǰȱŚśǰȱǳǰȱŗŗŖǰȱǳȱ FloatBufferȱȱŘŝŘȱ flushȱȱŘřŞȱ Ȭȱ ȱ śŚǰȱ ŜŘǰȱ şŖǰȱ ŗŜŜǰȱ ŗŝŚǰȱ ŗŞŝǰȱ ŘŖŚǰȱŘŗŖǰȱŘŚŘǰȱŘŜŖǰȱŘŝŝȱ FormatterȱȱŗŘřȱ ȱȱŗśŞȱ ȱȱŗşŗȱ ȱȱŗřśȱȱȱ ȱȬȱȱŗŚŗȱ

G gcdȱȱŗŗŗȱ £ȱȱřŘȱ ȱȱŘŖŞǰȱřŗŝȱ ȱȱŗřśȱ ȱȱȬȱȱŞŖȱ ȱȱȬȱȱŝŞǰȱŗŝŖȱ ȱȱȱȱŗŝşȱ ȱȱȱŗŘŞȱ £ȱȱȱȱŜŝȱ getȱȱŚŘǰȱśŘǰȱŜŖǰȱşŗǰȱŗŚŝǰȱŗŜśǰȱǳǰȱŘŗŖǰȱŘŚŘȱ getContentPaneȱȱŗřŗǰȱŗřŚǰȱŗŚŖȱ getDefaultToolKitȱȱŗřŗȱ getFirstȱȱşŗȱ getKeyȱȱśśȱ getLastȱȱşŗȱ getScreenSizeȱȱŗřŗȱ

330 getSizeȱȱŗřŗǰȱŗřřǰȱŗřŞǰȱŗŚŖȱ getValueȱȱśśǰȱŜŗȱ ȱȱ ȱȱŚşȱ ȱȱ Ȭȱȱśŝȱ ȱȱ ȱȱŚşȱ ¢ȱȱǰȱȱȱřŞȱ ȱȱŗŖŘǰȱŗŘřǰȱŘŘśǰȱŘŞŗȱ ȱȱȱȱřŗŖȱȱȱ ȱȱşǰȱŗŞǰȱŚŞǰȱŝśǰȱŘřřȱ §ȱȱŘŖȱ ȱȱŘŖȱȱ GraphicsȱȱŗřŗǰȱŗřřǰȱŗřŞȱ ¢ȱȱřşǰȱŘřśȱ ¢ȬȬȱǻ ǼȱȱŝŚȱ ¢ȬȬȬȱ ǻ Ǽȱȱ ŝŚȱ ¢ǰȱ ȱȱŗŗŚȱ £ ȱȱŗŚȱ ãđȱȱȱȱŘǰȱŗŚŜǰȱřŘŖȱ

H

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ȱȱȱȱŘŘŗȱ heightȱȱŗřŗǰȱŗřřǰȱŗřŞȱ

ǰȱǯȱǯȱǯȱȱŗśřȱ

£ȱȱȱȱȱŘřŖȱ

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Ȭ ȱȱśŜȱȱȱ

I §ȱȱȱŗȱ §ȱȱŗŜŘȱȱȱ ȱȱȱŗŖŜǰȱŗřřȱ

Grundlegende Algorithmen mit Java ȱȱŗŖŖȱ ȱȱŗŖŖȱ £ȱȱŗŖŖȱ ȱȱŗřśȱ insertȱřŗǰȱřśǰȱřŖřȱȱȱ IntBufferȱȱŘŚŗȱ Integer śŘǰȱŜŖǰȱŞşǰȱǳǰȱŗśŚ Integer.MAX_VALUEȱȱŚŝǰȱŘśŞǰȱŘŝŜȱȱȱ ȱȱŗśŖȱ ȱȱřřȱ intersectsȱȱŘŖŚȱ intValueȱȱśřǰȱşŖȱ ȱȱŜŜȱ IOExceptionȱȱŚŗǰȱŚŚǰȱŚŝǰȱśřǰȱŜŖǰȱşřǰȱŗŗŗȱ isDigitȱȱŘŗŝȱ isEmptyȱȱśśǰȱŜŖǰȱŘŖŚȱ ȱȱŗŞȱ isProbablePrimeȱȱŗŗŗȱ IteratorȱȱśŚǰȱŜŖǰȱşŗȱ iteratorȱȱśśǰȱŜŖǰȱşŗȱȱȱ

J JFrameȱȱŗřŗǰȱŗřŚǰȱŗřşȱ JPanelȱȱŗřŗǰȱŗřřǰȱŗřŞȱ

K

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§ȱȱŝǰȱŚřǰȱŘŘŚȱȱȱ ȱǻǼȱȱȱȱŗŜŚȱ ȱȱȱŘŘśȱ ȬȬȱȱŘřŞȱȱȱ keyȱȱśřǰȱşřȱȱȱ

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Stichwortverzeichnis

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