[FIA] B - Gruppen und Hypergruppen

Moaalshetieliir

Mh. Math. 89, 9--t7 (1980)

dhemalik

9 by Springer-Verlag 1980

[FIA]B Gruppen und Hypergruppen Von

Klaus Hartmann, Paderborn ( Eingeffangen am 5. September 1978, revidierte Fassung am 13. April 1979)

Abstract. [FIA]~Groups and Hypergroups.The space GBof/~-orbits of an [FIA]B group G is a commutative hypergroup (= commutative eonvo in Jewet~'s terminology). Its space of "hypergronp characters" is a hypergroup itself (see [3]) which can be identified with E (G, B) (the extreme points of B-invariant positive definite continuous functions p : G -* C with p (e) = 1), endowed with the topology of compact convergence. We determine the structure space of L 1(E (G,B), #PL) where ~PL is the Plancherel measure (which is the "Haar measure" of E (G, B)) and characterize the convolution algebras M (E (G, B)) and L 1(E (G, B)) via the inverse Fourier-Stieltjes transformation. O. Priiliminarien Sei G eine [FIA]B Gruppe, B _ I (G), d . h . eine lokalkompakte Gruppe, ffir die B relativ k o m p a k t bezfiglich der B i r k h o f f Topologie in Aut Gist, oder, was d a m i t gleichwertig ist: J e d e r B-Orbit in G i s t relativ k o m p a k t u n d G h a t beliebig kleine B-invariante Einsumgebungen. Sei GB der R a u m der/~-Orbits, versehen mit der Quotiententopologie; die kanonisehe Projektion ~: G-~ GB ist often u n d eigentlich u n d induziert eine Abbildung ~ : M ( G ) - * M(GB) der beschr/inkten komplexen R a d o n m a 6 e y o n G a u f die yon GB. Identifiziert m a n vermSge ~ Z n (M (G)) (die B-invari~nten Mage) mit M (GB), so induziert dies eine F a l t u n g * a u f M (G~) u n d eine I n v o l u t i o n - ' (B (xi)- ' = B (x-l). D a d u r e h wird (GB, *) eine komm u t a t i v e H y p e r g r u p p e (in der Terminologie y o n JEWETT ,,commut a t i v e convo") mit Haarmal3 2, welches das Bild des HaarmaBes yon G unter nist. Ffir eine k o m m u t a t i v e H y p e r g r u p p e (H, *) mit H a a r m a B )~ (welches bis a u f skalare Viclfache eindeutig ist, u n d wie I~. SPECTOR kfirzlich gezeigt h a t [12], stets existiert) bezeichne 5 ( H ) alle beschr/~nkten stetigen F u n k t i o n e n )/:H -~ C mit X (x) Z (Y) =-----~zdp~*py (p~ DiracmaB in x) Yx, y ~ H , versehen mit der H

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K . HARTMANN

Topologie der gleichmgBigen K o n v e r g e n z a u f k o m p a k t e n Teilmengen. D a n n k a n n X(H) m i t d e m S t r u k t u r r a u m A (L j (H,2)) v o n L 1 (H,2) (L 1 (H,2) ist Unteralgebra yon M(H)), versehen mit der Gelfand Topologie, identifiziert werden verm6ge Z~-~Fx, wo F,(f)" = ~f2d2 ([4], 6.3). /~: = { Z e S ( H ) ; Z ( x - ) = 7 ~ ( x ) } ist ein H

abgesehlossener Teilraum y o n 5 (H). Fourier(-Stieltjes) u n d inverse Fourier(-Stieltjes) T r a n s f o r m a t i o n werden eingefiihrt dureh ( z ) = S z (x)

(x)

()~eI~,#eM (H))

H

(x): = S Z (x) d e (Z) ( x e H , QeM (I::I)). /7

Naeh [BOCHNERs Satz ([4], 12.3) ist v eine Bijektion yon M (/~) a u f alle beschriinkten positiv definiten F u n k t i o n e n yon H (q:H ~ C positiv definit : ~ q stetig u n d ~ ci ~ S q dpx, * P~; >~~0V xi e H, ci e C, n ~ N ). Falls das P r o d u k t beschri~nkter positiv definiter F u n k t i o n e n wieder positiv definit ist, k a n n m a n a u f M (/~) eine F a l t u n g durch die Formel (Q1

v =

,Q2eM(B))

u n d eine I n v o l u t i o n durch komplexes Konjugieren der E l e m e n t e aus /~ definieren. I m allgemeinen b r a u e h t (/~, *) keine H y p e r g r u p p e zu sein; falls (/~, *) jedoch eine ist, so heiBt sie die zu (H, *) duale Hypergruppe. I m Falle einer [FIA]~-Gruppe (B D_ I (G)) h a t K. A. Ross ([11], p. 252) u n t e r V e r w e n d u n g eines Satzes y o n HULANICKI ([10], 4.12) gezeigt, dab die Abbildung

(C,j~) ~ ~ E(G,B), Z~-~X o~ eine topologisehe Bijektion ist ( E ( G , B ) = E x t r e m a l p u n k t e der Menge aller B - i n v a r i a n t e n p E P (G) m i t p ( e ) = 1, wo P (G) die stetigen positiv definiten F u n k t i o n e n a u f G bezeiehnet). I n [3] wurde sehlieglieh gezeigt, dag ((GB) ~, *) (= (E (G, B), *)) eine H y p e r g r u p p e , u n d zwar die duale H y p e r g r u p p e y o n (GB, *) ist. (Im Falle zentraler Gruppen, B = I (G), wurde dies bereits y o n K. A. Ross in [11], t h e o r e m 5.5, gezeigt.) Das zu 2 a u f GB gehSrende P l a n c h e r e l m a g #PL a u f (GB) ~ = E (G, B) ([4], 7.3) ist ein H a a r m a B yon E (G, B) ([4], 12.4. A) u n d somit Trigger #PL = E (G, B) ([4],

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5.1.A). Es fgllt z u s a m m e n mit dem PlaneherelmaB, das yon KANINTH u n d SCHLICHTING in [6] eingeffihrt wurde, u n d auf dessen Grundlage in [7] eine F a l t u n g f/it L ~(E (G,B)) (unter etwas einsehrgnkenden B e d i n g u n g e n an B) eingeffihrt wurde. Aus den F o r m e l n in [4], 5.5 folgt die Konsistenz der F a l t u n g in [7] mit der von JEWETT.

Bezeichnungen: (X l o k a l k o m p a k t e r I~aum, G eine [FtA]~ Gruppe, B U n t e r g r u p p e von A u t G, die die inneren A u t o m o r p h i s m e n umfat3t) C ~ (X) = die stetigen, besehrgnkten F u n k t i o n e n auf X, Co (X) = die stetigen im Unendlichen versehwindenden F u n k tionen a u f X, C00 (X) = die stetigen F u n k t i o n e n mit k o m p a k t e m Trgger auf X, M (X) = die besehrgnkten k o m p l e x e n R a d o n m a g e auf X, P (G) = die stetigen positiv definiten F u n k t i o n e n auf G, A (G) = Fourier-Algebra yon G [2], B (G) = Fourier-Stieltjes Algebra yon G [2], E (G, B) = E x t r e m a l p u n k t e der B-invarianten p e P (G) mit p (e) = 1 (bei B = I (G): E (G)), ZB (A) = die Menge der B-invarianten F u n k t i o n e n aus einer Menge A yon F u n k t i o n e n G ~ C, ZB(M(G)) = Algebra der B-invarianten Mal~e aus M(G) (d.h. J =/~ V ~ e B, wo #~ (f): =/~ (fi), f f (x): = f (fl -~ (x))), A (G, B) = R a m n der L i n e a r k o m b i n a t i o n e n yon F u n k t i o n e n aus P (G) c~ Z B (L' (G)).

Beme@ung: Da G x AutG ~ G, (x, fl)~ fi(x) stetig ist, sind stetige B-invariante F u n k t i o n e n stets B-invariant u n d daher Binvariante R a d o n m a B e /-~-invariant. Ftir f ~ C b (G) sei f # definiert dureh f # ( x ) : = ~f(fl-l(x))dfl (dfl das normierte Haarmal3 der k o m p a k t e n Gruppe/~), f # ~ C b (G). Ffir weitere Eigensehaften v o n # (z. B. ffir L L F u n k t i o n e n auf G) siehe [10], 1.

1. l)er Strukturraum von L ~ (E (G, B)) Sei stets O ~ [FIA]~, B ~_ I (G). Definiert m a n ffir M (E (G, B)) eine I n v o l u t i o n 03: =

Oe*), WO

!2

K. HARTMANN

f*(~)----f(~) f f e C o ( E ( G , B ) ) , ~ e M ( E ( G , B ) ) ,

~eE(G,B))

so wird M (E (G, B)) eine k o m m u t a t i v e Banachalgebr~ mit isometrischer Involution, u n d i 1 (E (G, B)) ist ein abgeschlossenes, selbstadjungiertes Ideal darin (vgl. [4], 5.5, 5.6). In [7], 3. wurde gezeigt : Der S t r u k t u r r a u m A (L 1 (E (G)) mit Gelfandtopologie ist hom6omorph zu G~(a) verm6ge G~(~) -~ A (L ~(E (G)), ~ (x) -* ~.(z), wo ~ (x) (f)" = ~ f (a) ~ (x) d#pL (~), x ~ G, u : G -~ GI 0 ein f ~ A ( G , B ) gibt mit Trf~_ U und

lift- I1
0 e i n f ' ~ A (G,I(G)) gibt mit Tr (f') A~ _~ U' u n d [[(f')A~- ~~ < e. U: = ~ ( U ' ) u n d f: = (f')~ h a b e n genau die verlangten Eigenschaften. L ~ (E (G, B), #Pz) ist eine halbeinfache, symmetrische, vollstdindig reguliire kommutative Banachalgebra mit isometrischer Involution und beschrdinkter approximierender Eins. Korollar:

Beweis: Wegen ~' o u = ~' genfigt es fiir die vollst/~ndige Regularit~t zu zeigen: K _ G/~-invariant, U offene,/3-invariante Umgebung y o n K es gibt eine L i n e a r k o m b i n a t i o n u v o n F u n k t i o n e n aus ZB (P (G)) c~ Coo (G) ~_ Z~ (A (G)) m i t 0 ~< u ~< 1, u]K = 1, u l G \ U = O. N a c h [2], L e m m a 3.2 gibt es ein v, das L i n e a r k o m b i n a t i o n v o n F u n k t i o n e n aus P (G) c~ Coo (G) _~ A (G) ist, m i t 0 ~ v ~< 1, v[K = = l , v IG \ U = 0. u : = v # leistet das Gewiinschte.

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Eine beschr~nkte approximierende Eins besitzt L 1(E (G)) n~ch [7], p. 321, corollary 2, also auch L 1(E (G, B)) wegen Lemma 1 d). Die iibrigen Aussagen sind Mar.

Bemerkung: Dieses Korollar folgt natfirlich auch aus Ill, section 2.

Literatur

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Monatshef~effir Mathematik, Bd. 89/i