Evolutes en superfícies

Evolutes en superfícies Xavier Montell Zabay

C + K 2 = Ku

Treball de Recerca elaborat per Xavier Montell Zabay Direcció del Dr. Agustí Reventós Tarrida Universitat Autònoma de Barcelona 8 de juliol de 2008

1

2

Índex 1 Introducció

5

2 Preliminars

7

3 Coordenades Geodèsiques Rectangulars

15

4 Camps de Jacobi

29

5 Evoluta i Radi de Curvatura

35

5.1

Relació del Teorema 5.14 amb l'article [5] . . . . . . . . . . . .

47

5.2

Punxes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

5.2.1

51

Punxes punxegudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Curvatura de Gauss constant 6.1

. Demostració dels corol laris 6.3 i 6.4 . . . . . . . . . . . . . . .

3

55 59

4

1

Introducció

Aquest Treball de Recerca estudia en superfícies conceptes prou coneguts en el pla com són l'evoluta d'una corba, el radi de curvatura d'una corba en un punt o la circumferència osculadora d'una corba en un punt. Pràcticament tots els resultats que s'obtenen són vàlids per S una va∞ rietat riemanniana C de dimensió 2, connexa, orientable i geodèsicament completa, els canvis a fer serien bàsicament eliminar el vector normal a

S

(amb tot el que això comporta) i usar el tensor de curvatura i la connexió de . Levi-Civita per reescriure les demostracions sense fer al lusions a la geometria 3 de corbes en R . El capítol Preliminars consisteix en recordar conceptes bàsics de Geometria Diferencial que cal saber per entendre bé els capítols posteriors, i a diferència d'aquests, només hi hauran dues demostracions: el Teorema Egregium de Gauss i la propietat de la curvatura geodèsica de ser un concepte intrínsec en les corbes sobre varietats. El capítol Coordenades Geodèsiques Rectangulars introdueix sobre una superfície les esmentades coordenades i procedeix al seu estudi, encara que aquestes coordenades seran una eina per capítols posteriors, s'obtindrà algun resultat interessant com és la caracterització de la constància de la curvatura de Gauss per la constància de la curvatura geodèsica de les circumferències. El capítol Camps de Jacobi és purament tècnic i ens proporcionarà una eina molt potent (els esmentats camps) i que es compenetra d'una forma molt natural amb les anteriors coordenades. El capítol Evoluta i Radi de Curvatura és la secció central del treball, aquí serà on s'aplicaran de manera clara els dos anteriors capítols per obtindre resultats coneguts en curvatura nula o constant però ara en curvatura arbitrària. Hi ha dos subcapítols. El primer està dedicat a veure la relació entre un teorema del present treball i l'article Focal Sets In Two-Dimensional

Space Forms de C.A.Escudero, A.Reventós i G.Solanes (veure [5]), veurem que el teorema engloba com a cas particular el resultat de l'article quan la curvatura de Gauss no és nula. En el segon s'estudiarà la relació entre els vèrtexs de la corba original i les possibles punxes de la seva evoluta, veurem que si no s'imposa una certa condició sobre la curvatura de Gauss llavors el lligam entre vèrtexs i punxes es perd.

5

El capítol Curvatura de Gauss constant estarà dedicat a obtindre explícitament les expressions de conceptes tractats en els altres capítols i així poder dir alguna cosa més sobre els mateixos ja que els tindrem explícitament. Originalment la idea era investigar sobre l'esmentat article [5], i obtindre algun resultat semblant però en curvatura de Gauss arbitrària. D'entrada vaig començar per estudiar el radi de curvatura i les evolutes en curvatura constant, integrant equacions i fent càlculs llarguíssims sobre superfícies de revolució, però poc a poc i conforme anava aprenent i veient més clares les coses vaig adonar-me'n que era com un mico davant d'un ordinador, molts càlculs dels que havia fet eren innecessaris i sovint tautologies (alguns càlculs havia estat dies per fer-los), em feia falta entendre i digerir bé molts conceptes bàsics de Geometria Diferencial de nivell de llicenciatura que pensava que dominava, llegir articles i llibres i usar eines més potents que ara considero bàsiques per poder treballar bé en superfícies com són per exemple l'aplicació exponencial i els camps de Jacobi. Finalment hom s'adona que, amb poques eines però entenent-les bé per poder-les usar, pots arribar a obtenir resultats força graticants (encara que siguin senzills i que no siguin res de nou), els quals et fan gaudir de la Matemàtica i estimar-la cada cop més.

Vull mostrar el meu agraïment al Dr. Agustí Reventós Tarrida, el qual ha estat el meu tutor en l'elaboració del present treball i que considero també el meu tutor en els dos anys que he estat cursant el Màster de Matemàtica Avançada, m'ha ajudat en tot moment que l'he necessitat i sempre ha tingut bona disposició a l'hora d'atendre'm. També vull mostrar el meu agraïment a tots els professors del Master de Matemàtica Avançada, tant del curs 2007-2008 com del 2006-2007, per que amb les seves classes he despertat d'una llarga letargia matemàtica que feia massa anys que durava.

Espero que el present treball agradi als lectors que el llegeixin. Xavier Montell Zabay.



6

2

Preliminars Aquest capítol és simplement un

recordatori de conceptes bàsics de

Geometria Diferencial que usarem en els capítols posteriors per tal de no carregar posteriorment les demostracions. Al llarg d'aquest treball, moltes demostracions veurem que es poden fer de manera intrínseca com si ens trobéssim en una varietat riemanniana abs3 tracta o usant geometria de corbes en R , i per això recordarem conceptes de les dues menes.



3 és una corba regular de R i s és el seu paràmetre arc, llavors usant d = · , el en un punt γ(s0 ) de γ és (quan la notació ds 3 existeixi) la base ortonormal de R donada per {t(s0 ), n(s0 ), b(s0 )} de manera Si

γ

Triedre de Frenet

que:

t(s0 ) := γ(s ˙ 0 ) n(s0 ) := Els vectors

˙ 0) t(s , ˙ 0) k k t(s

{t, n, b} s'anomenen vector

b(s0 ) := t(s0 ) × n(s0 )

tangent, vector normal i vec-

tor binormal respectivament i compleixen les següents relacions entre ells:  ˙ = k(s)n(s)  t(s) n(s) ˙ = −k(s)t(s) − τ (s)b(s)  ˙ b(s) = τ (s)n(s)

Les funcions

kiτ

s'anomenen

(2.1)

curvatura i torsió respectivament.

S de R3 i donada γ una corba sobre S , si N (s0 ) denota el vector unitari normal a S en el punt γ(s0 ), llavors el Triedre de Darboux en el punt γ(s0 ) de γ és la base ortonormal de R3 donada per {t(s0 ), m(s0 ) := N (s0 ) × t(s0 ), N (s0 )}. És conegut també que si s és el paràmetre arc de γ , llavors compleixen Fixada una orientació d'una superfície

les següents relacions entre ells:

 ˙ = kg (s)m(s) + kn (s)N (s)  t(s) m(s) ˙ = −kg (s)t(s) − τg (s)N (s)  ˙ N (s) = −kn (s)t(s) + τg (s)m(s) 7

(2.2)

Les funcions kg , kn , i τg s'anomenen curvatura geodèsica, curvatura normal i torsió geodèsica respectivament. El Teorema de Meusnier ens diu que kn depén només de la direcció del vector tangent i no de la corba en si, amb això volem dir que qualsevol altra corba sobre

S

tangent a

γ

en un punt

p∈γ

dóna la mateixa curvatura

normal. Observem que

kg

a diferència de

k

pot ser negativa.

Demostrarem en el lema 2.2 que la curvatura geodèsica es pot calcular de manera intrínseca usant només la 1a forma fonamental.

Tp (S) tangent a Si

denotarà l'espai vectorial tangent a

S

p ∈ S

en

i

T (S)

el brat

S.

h·, ·i

3 deneix la 1a Forma DR , es → − → −E → − → − → − − Ip ( a , b ) := a , b per → a , b ∈ Tp (S).

denota el producte escalar usual en

Fonamental de S en p ∈ S com Es deneix l'

aplicació de Gauss:

assigna el vector normal unitari a

S

N : S → S2

que a cada punt de

S

li

en aquest punt.

dNp : Tp (S) → TN (p) (S2 ) es pot considerar com un endomorsme dNp : Tp (S) → Tp (S) anomenat Endomorsme L'aplicació diferencial de l'anterior

de Weingarten, es demostra que és autoadjunt i això ens permet denir la 2a Forma D Fonamental de E S en p ∈ S com la forma bilineal simètrica

→ − → − − − IIp (→ a , b ) := −dNp (→ a ), b

→ − → − a , b ∈ Tp (S). Es demostra que tot endomorsme autoadjunt W té una base ortonormal → − → − → − de vectors propis i la forma quadràtica denida com Q( a ) := h−W ( a ), a i, per

si la restringim a vectors unitaris, assoleix el màxim i el mínim en aquesta base. És conegut que si

→ − w

és un vector unitari llavors

− − − II(→ w,→ w ) = kn (→ w ).

Aquests dos últims fets ens diuen que en cada punt

p ∈ S

(i si

kn

no

és constant) tenim dues direccions privilegiades mutuament perpendiculars donades pels vectors propis de

dNp

en les quals les curvatures normals són

Direccions Principals. s'anomena Curvatura de

màxima i mínima, aquestes direccions s'anomenen El producte d'aquestes curvatures normals

Gauss que notarem per C

2 i tenim C(p) = det(−dNp ) = (−1) det(dNp ) = det(II) det(dNp ) = det(I) . Demostrarem en el lema 2.1 que det(II) es pot calcular de manera intrínseca usant només la 1a forma fonamental.

8

Si

X : (u, v) → R3

és una parametrització de

Xu = ∂u

tintament les notacions

i

X v = ∂v

S

llavors usarem indis-

per indicar el vector derivada

direccional en les direccions dels paràmetres.

Xv ×Xu (el motiu de kXv ×Xu k prendre'l amb aquesta orientació és degut a les coordenades geodèsiques rec-

N

serà el vector normal a

S

N :=

denit així:

tangulars que denirem més endavant). Abusant de la notació prescindirem de l'escriptura dels paràmetres i les etxes en els vectors i les funcions llevat que sigui necessari pel context. En aquesta parametrització escriurem les matrius de les formes fonamentals de S així:

 I=

g11 g12 g12 g22





;

II =

h11 h12 h12 h22

 ;

I

−1

 =

g 11 g 12 g 12 g 22



Amb les anteriors notacions l'endomorsme de Weingarten té matriu:

 W =−

h11 g 11 + h12 g 12 h12 g 11 + h22 g 12 h11 g 12 + h12 g 22 h12 g 12 + h22 g 22

En superfícies si derivem els vectors



{Xu , Xv }

  Xuu = Γ111 Xu + Γ211 Xv + h11 N Xuv = Γ112 Xu + Γ212 Xv + h12 N  Xvv = Γ122 Xu + Γ222 Xv + h22 N Els coecients

{Γ111 , Γ211 , Γ112 , Γ212 , Γ122 , Γ222 } s'anomenen Simbols de Chris-

toel de 2a espècie i poden ésser calculats només amb la 1a forma fonamental usant els Símbols de Christoel de 1a espècie: [i, j; k] :=

1 2



∂gik ∂xj

+

∂gjk ∂xi

−

∂gij ∂xk



( x1

:= u ; x2 := v )

mitjançant les relacions:



Γ1ij Γ2ij



 =

g 11 g 12 g 12 g 22

9



[i, j; 1] [i, j; 2]

 (2.3)

Si S és només varietat riemanniana, llavors es deneix la Connexió de Levi-Civita sobre S com l'única connexió afí ∇ simètrica i compatible amb la mètrica sobre

S

(veure [4]), es demostra que per aquesta connexió els sím-

bols de Christoel de 2a espècie es calculen igual que en les superfícies.

  ∇∂u ∂u = Γ111 ∂u + Γ211 ∂v ∇∂u ∂v = ∇∂v ∂u = Γ112 ∂u + Γ212 ∂v  ∇∂v ∂v = Γ122 ∂u + Γ222 ∂v Si aquesta connexió es considera en superfícies llavors rep el nom de

De-

rivada Covariant i coincideix amb la projecció sobre T (S) de la derivada usual de vectors en

R3 .

Continuant amb els abusos de notació farem

∇u := ∇∂u , ∇v := ∇∂v .

De la teoria d'equacions en derivades parcials és conegut que, donades a priori una 1a forma fonamental i una 2a forma fonamental, llavors si es compleixen les 6 equacions donades per la igualtat de vectors: 

Xuuv = Xuvu Xvvu = Xuvv

anomenades

Equacions de compatibilitat de Gauss i

Mainardi-Codazzi i afegint les condicions inicials pel sistema d'EDPs que formen, tenim que

X

és una parametrització d'una superfície

S

amb aquestes

1a i 2a formes denides a priori (veure [8]). Denim l'aplicació Denim el

Curvatura R(x, y)z := ∇y ∇x z − ∇x ∇y z + ∇[x,y] z

Tensor de Curvatura R(x, y, z, t) := hR(x, y)z, ti

Lema 2.1. R(∂u , ∂v )∂u = det(II)g 12 ∂u + det(II)g 22 ∂v R(∂u , ∂v , ∂u , ∂v ) = det(II) Demostració. Per fer aquesta demostració calcularem les equacions de Gauss.

10


∂Γ111 1 1 2 1 11 12 = + Γ11 Γ12 + Γ11 Γ22 − h11 h12 g + h22 g ∂v  2 
∂Γ11 1 2 2 2 12 22 + Γ11 Γ12 + Γ11 Γ22 − h11 h12 g + h22 g ∂v   ∂h11 2 1 + Γ11 h12 + Γ11 h22 ∂v  1 
∂Γ12 1 1 2 1 11 12 = + Γ12 Γ11 + Γ12 Γ12 − h12 h11 g + h12 g ∂u  2 
∂Γ12 1 2 2 2 12 22 + Γ12 Γ11 + Γ12 Γ12 − h12 h11 g + h12 g ∂u   ∂h12 1 2 + Γ12 h11 + Γ12 h12 ∂u   1
∂Γ22 1 1 2 1 11 12 + Γ22 Γ11 + Γ22 Γ12 − h22 h11 g + h12 g = ∂u  2 
∂Γ22 1 2 2 2 12 22 + Γ22 Γ11 + Γ22 Γ12 − h22 h11 g + h12 g ∂u   ∂h22 1 2 + Γ22 h11 + Γ22 h12 ∂u   1
∂Γ12 1 1 2 1 11 12 + Γ12 Γ12 + Γ12 Γ22 − h12 h12 g + h22 g = ∂v  2 
∂Γ12 1 2 2 2 12 22 + Γ12 Γ12 + Γ12 Γ22 − h12 h12 g + h22 g ∂v   ∂h12 1 2 + Γ12 h12 + Γ12 h22 ∂v 

Xuuv

Xuvu

Xvvu

Xuvv

Xu + Xv + N Xu + Xv + N Xu + Xv + N Xu + Xv + N

Ara igualant: ∂Γ1 11 ∂v ∂Γ2 11 ∂v ∂Γ1 22 ∂u ∂Γ2 22 ∂u

“ 1 2 1 11 + Γ1 11 Γ12 + Γ11 Γ22 − h11 h12 g “ 1 2 2 2 + Γ11 Γ12 + Γ11 Γ22 − h11 h12 g 12 “ 1 2 1 11 + Γ1 22 Γ11 + Γ22 Γ12 − h22 h11 g “ 1 2 2 2 + Γ22 Γ11 + Γ22 Γ12 − h22 h11 g 12

+ h22 g 12

”

=

+ h22 g 22

”

=

+ h12 g 12

”

=

+ h12 g 22

”

=

∂Γ1 12 ∂u ∂Γ2 12 ∂u ∂Γ1 12 ∂v ∂Γ2 12 ∂v

“ 1 2 1 11 + Γ1 12 Γ11 + Γ12 Γ12 − h12 h11 g “ 1 2 2 2 + Γ12 Γ11 + Γ12 Γ12 − h12 h11 g 12 “ 1 2 1 11 + Γ1 12 Γ12 + Γ12 Γ22 − h12 h12 g “ 1 2 2 2 + Γ12 Γ12 + Γ12 Γ22 − h12 h12 g 12

i simplicant obtenim les 4 equacions de Gauss:

11

+ h12 g 12

”

+ h12 g 22

”

+ h22 g 12

”

+ h22 g 22

”

det(II)g 12 det(II)g 22 det(II)g 11 det(II)g 12

= = = =

∂Γ111 ∂v ∂Γ211 ∂v ∂Γ122 ∂u ∂Γ222 ∂u

− − − −

∂Γ112 ∂u ∂Γ212 ∂u ∂Γ112 ∂v ∂Γ212 ∂v

+ Γ211 Γ122 − Γ212 Γ112 + Γ111 Γ212 + Γ211 Γ222 − Γ112 Γ211 − Γ212 Γ212 + Γ122 Γ111 + Γ222 Γ112 − Γ112 Γ112 − Γ212 Γ122 + Γ122 Γ211 − Γ112 Γ212

    

(2.4)

   

Per altra banda:

R(∂u , ∂v )∂u = ∇v ∇u ∂u − ∇u ∇v ∂u + ∇[∂u ,∂v ] ∂u = ∂Γ1 ∇v (Γ111 ∂u + Γ211 ∂v ) − ∇u (Γ112 ∂u + Γ212 ∂v ) = ∂v11 ∂u + Γ111 (Γ112 ∂u + Γ212 ∂v ) + ∂Γ211 ∂v +Γ211 ∂v

(Γ122 ∂u + Γ222 ∂v )−

∂Γ112 ∂ −Γ112 ∂u u



∂Γ111 ∂v

+ Γ111 Γ112 + Γ211 Γ122 −

∂Γ112 ∂u



∂Γ211 ∂v

+ Γ111 Γ212 + Γ211 Γ222 −

∂Γ212 ∂u

(Γ111 ∂u + Γ211 ∂v )−  − Γ112 Γ111 − Γ212 Γ112 ∂u +  2 2 2 1 − Γ12 Γ11 − Γ12 Γ12 ∂v =

∂Γ212 ∂ −Γ212 ∂u v

(Γ112 ∂u + Γ212 ∂v ) =

det(II)g 12 ∂u + det(II)g 22 ∂v i per tant:

R(∂u , ∂v , ∂u , ∂v ) = hR(∂u , ∂v )∂u , ∂v i = hdet(II)g 12 ∂u + det(II)g 22 ∂v , ∂v i = det(II) (g 12 g12 + g 22 g22 ) = det(II). Com que det(II) es pot calcular només amb la 1a forma fonamental i , tenim com a conseqüència el C = det(II) det(I) que ens diu que C es pot calcular únicament amb la 1a forma fonamental.

Teorema Egregium de Gauss

12

Lema 2.2.



g11 g12 g12 g22



llavors la curvatura geodèsica de

γ

Donada la 1a forma fonamental:

 γ:

u = u(t) v = v(t)

I=

i una corba té la següent expressió:

√ det(I) m3

kg (t) = amb

v + Γ211 u˙ 2 + 2Γ212 u˙ v˙ + Γ222 v˙ 2 )] [v˙ (¨ u + Γ111 u˙ 2 + 2Γ112 u˙ v˙ + Γ122 v˙ 2 ) − u˙ (¨

m = ku∂ ˙ u + v∂ ˙ vk =

p

g11 u˙ 2 + 2g12 u˙ v˙ + g22 v˙ 2

Demostració.

n→ − → −o − → − → t , N × t , N sabem que D→ − → → − → → − − → −E → − − t s = kg N × t +kn N on s és el paràmetre arc i per tant kg = t s , N × t = → − → − → − det N , t , ts Considerant el triedre de Darboux sobre

Prenent ara

→ − ∂u ×∂v N = −√

det(I)

γ

el normal interior i usant la notació

d dt

=·

queda:

 kg = det m2

√1

det(I) 1 √ m4 det(I)

m4

√1

det(I) 1 √ m4 det(I) √u˙ m4 det(I) √v˙ m4 det(I)

∂u ×∂v ˙ u +v∂ ˙ v −√ , ∇t , u∂ m det(I)

u∂ ˙ u +v∂ ˙ v m

 det ∂v × ∂u , u∂ ˙ u + v∂ ˙ v , ∇t




1 m



=
 u∂ ˙ u +v∂ ˙ v m

=

det [∂v × ∂u , u∂ ˙ u + v∂ ˙ v , (¨ u∂u + u∇ ˙ t ∂u + v¨∂v + v∇ ˙ t ∂v ) m − (u∂ ˙ u + v∂ ˙ v ) m] ˙ = det [∂v × ∂u , u∂ ˙ u , (u∇ ˙ t ∂u + v¨∂v + v∇ ˙ t ∂v ) m − v∂ ˙ v m] ˙ + det [∂v × ∂u , v∂ ˙ v , (¨ u∂u + u∇ ˙ t ∂u + v∇ ˙ t ∂v ) m − u∂ ˙ u m] ˙ = det [∂v × ∂u , ∂u , (u∇ ˙ t ∂u + v∇ ˙ t ∂v ) m + (¨ v m − v˙ m) ˙ ∂v ] + det [∂v × ∂u , ∂v , (u∇ ˙ t ∂u + v∇ ˙ t ∂v ) m + (¨ um − u˙ m) ˙ ∂u ] =

Fem un parèntesi per calcular

u∇ ˙ t ∂u + v∇ ˙ t ∂v



:

 u∇ ˙ t ∂u + v∇ ˙ t ∂v =  u˙ (u∇  ˙ u ∂u + v∇ ˙ v ∂u ) + v˙ (u∇ ˙ u ∂v + v∇ ˙ v ∂v ) = 2 1 2 1 2 2 1 2 u˙ (Γ11 ∂u + Γ11 ∂v ) + 2u˙ v˙ (Γ12 ∂u + Γ12 ∂v ) + v˙ (Γ22 ∂u + Γ22 ∂v ) Ara substituint:

13

m4

m4

√u˙ det(I)

√v˙ det(I)

det [∂v × ∂u , ∂u , (u˙ 2 Γ211 ∂v + 2u˙ vΓ ˙ 212 ∂v + v˙ 2 Γ222 ∂v ) m + (¨ v m − v˙ m) ˙ ∂v ]+ det [∂v × ∂u , ∂v , (u˙ 2 Γ111 ∂u + 2u˙ vΓ ˙ 112 ∂u + v˙ 2 Γ122 ∂u ) m + (¨ um − u˙ m) ˙ ∂u ] =

u˙

˙ 212 +v˙ 2 Γ222 )m+(¨ v m−v˙ m) ˙ (u˙ 2 Γ211 +2u˙ vΓ √

v˙

˙ 112 +v˙ 2 Γ122 )m+(¨ um−u˙ m) ˙ (u˙ 2 Γ111 +2u˙ vΓ √

m4

m4

det(I) det(I)

det [∂v × ∂u , ∂u , ∂v ] + det [∂v × ∂u , ∂v , ∂u ] =

v˙ {(u˙ 2 Γ111 +2u˙ vΓ ˙ 112 +v˙ 2 Γ122 )m+(¨ um−u˙ m) ˙ }−u˙ {(u˙ 2 Γ211 +2u˙ vΓ ˙ 212 +v˙ 2 Γ222 )m+(¨ v m−v˙ m) ˙ } m4

√

det(I)

v˙ {u˙ 2 Γ111 +2u˙ vΓ ˙ 112 +v˙ 2 Γ122 +¨ u}−u˙ {u˙ 2 Γ211 +2u˙ vΓ ˙ 212 +v˙ 2 Γ222 +¨ v} m3

√ det(I) m3

√

det(I)

det [∂v × ∂u , ∂v , ∂u ] =

det(I) =

˙ 212 + v˙ 2 Γ222 + v¨)] ˙ 112 + v˙ 2 Γ122 + u¨) − u˙ (u˙ 2 Γ211 + 2u˙ vΓ [v˙ (u˙ 2 Γ111 + 2u˙ vΓ

Observació 2.3. kg es pot calcular usant únicament la 1a forma fonamental. si kg (0) 6= 0 llavors sempre podem suposar que és kg (t) > 0 en un  u = u(−t) t=0 ja que parametritzant γ així canviem el signe v = v(−t)

Notem que A més entorn de de

kg .

14

3

Coordenades Geodèsiques Rectangulars

S i a partir d'una corba γ , consistiran en una parametrització d'un entorn de γ en S que Les coordenades geodèsiques rectangulars en una superfície

ens facilitara molt l'estudi local de la superfície, el gran avantatge d'aquestes coordenades respecte d'altres és que tota la informació local de la superfície quedarà concentrada en una única funció, i serà relativament senzill traduir les propietats geomètriques de la superfície a propietats d'aquesta funció (i a l'inrevès), això ens permetrà veure com interaccionen la curvatura geodèsica de les corbes i la curvatura de Gauss de la superfície. Un exemple on es veu molt clar que aquestes coordenades faciliten de manera signicativa l'estudi de la superfície és, com veurem més endavant, . prendre γ un paral lel en una superfície de revolució. La interpretació geomètrica d'aquestes coordenades és molt simple d'entendre, la idea és semblant a les coordenades cartesianes del pla: si l'eix

γ

fos

i estem en el punt

(0, 0)

llavors per arribar a un altre punt

desplacem sobre aquest eix una longitud

y

|y|

Y

ens

amunt o avall segons el signe de

i després ens desplacem per la geodèsica ortogonal una longitud

l'esquerra o la dreta segons el signe de

(x, y) |x|

cap a

x.

En aquestes coordenades i deixant a part la injectivitat o exhaustivitat de la parametrització, resultarà que en general hi haurà punts on la mètrica de la superfície en les nostres coordenades s'anularà, i en aquest cas, aquest conjunt de punts serà l'evoluta de la corba

γ

però això ja és d'un altre capítol.

La generalització a dimensió arbitrària d'aquestes coordenades s'anomenen

Coordenades de Fermi i el lector interessat pot consultar el llibre [6]

on hi ha una molt bona exposició de les mateixes.

15



S

serà una superfície

C∞

de

R3 , connexa, orientable i geodèsicament com-

pleta (les geodèsiques estan denides per tot valor del paràmetre).

γ : I → S C ∞ serà un arc de corba regular sobre S , parametritzat per l'arc i amb I = (a, b) un interval obert i acotat de R de manera que γ(I) és homeomorf a [a, b], aquesta última condició l'exigim per que així garantim que γ(I) és subvarietat de S . Suposant coneguda l'

aplicació exponencial (veure [4]) i si N (v) i t(v)

denoten respectivament els vectors normal a (v) llavors denotarem per Γ l'aplicació:

S

i tangent a

γ

en el punt

γ(v),

γ

en el

Γ(v) : R −→ S u −→ expγ(v) (u· N (v) × t(v)) La qual és una parametrització per l'arc de la geodèsica normal a punt

γ(v).

Per ser rigurosos, quan parlem de parametrització hauriem de exigir la bijectivitat de la mateixa, però com que l'incompliment d'aquesta condició només afecta al fet que es descrigui o no tota la varietat o que un punt tingui únicament unes coordenades i no pas a la validesa dels resultats del nostre estudi, no l'exigirem. La proposició següent denirà la parametrització per coordenades geodèsiques rectangulars, cal dir que aquesta parametrització serà efectivament una carta en un entorn de la corba en l'aspecte de que serà bijectiva en aquest entorn degut a les condicions que hem imposat de entrada a la corba que fan que

γ(I)

sigui homeomorf a

[a, b].

Proposició 3.1. L'aplicació punt de

X : (u, v) −→ Γ(v) (u) ⊂ S ⊂ R3

és difeomorsme local

C∞

en tot

γ.

Demostració. Primer veiem que és

p∈γ

C ∞.

S denida per un atlas ψ de parametritzacions C , considerem una carta (Ω, Ω − → S) amb paràmetres x, y ∈ Ω ⊂ R2 que parametritzi un entorn de p i situem-nos en aquest context Donat

i suposant que originalment teniem

∞

per fer la demostració.

16

L'aplicació

X : (u, v) −→ Γ(v) (u)

prové de resoldre el següent sistema

d'equacions diferencials ordinàries:

          

d2 x du2

+ Γ111


dx 2 du

+ 2Γ112

dx du




dy du




+ Γ122


dy 2 du

=0

d2 y du2

+ Γ211


dx 2 du

+ 2Γ212

dx du




dy du




+ Γ222


dy 2 du

=0

   (x(0), y(0)) = γ(v)      
 dx dy (0), (0) = γ 0 (v)⊥ du du i després fer la substitució

X(u, v) := ψ (x(u, v), y(u, v)),

per tant el Teo-

rema d'existència, unicitat i diferenciabilitat de solucions, juntament amb el Teorema de dependència contínua i diferenciabilitat respecte de les condici∞ ∞ ons inicials i que ψ i γ són C ens garanteix que X és C en un entorn de

p,

(veure [1]). Veiem ara que és difeomorsme local en tot punt

p ∈ γ.

p = γ(v0 ). −−−→ → − (dX)(0,v0 ) ((1, 0)) = (dΓ(v0 ) )v0 ( 1 ) = γ 0 (v0 )⊥ 6= 0 per ser γ regular en tot punt. −−−→ → − (dX)(0,v0 ) ((0, 1)) = (dγ)(v0 ) ( 1 ) = γ 0 (v0 ) 6= 0 també per ser γ regular en tot Considerem

punt. I per ser linealment independents tenim que (pel teorema de la funció inversa) és difeomorsme local en tot punt

Lema 3.2. En la parametrització

p ∈ γ.

X : (u, v) −→ Γ(v) (u)

la matriu de la

1a

forma fona-

mental queda:



1 0 0 g(u, v)

 amb

g(0, v) = 1

Demostració. Observem abans de començar la demostració que aquest lema  ens diu que les corbes (que anomenarem "

són ortogonals a les geodèsiques s'anomena

(v)

Γ

 :

corbes paral.leles")

u=s v = ctt.

ja que

g12 ≡ 0,

Lema de Gauss i bàsicament és el que demostrarem. 17

u = ctt. v=t

aquest fet

Per hipòtesis de construcció tenim les 3 igualtats següents:

g11 (s, t) = hXu (s, t), Xu (s, t)i = 1 ∀s, t

per ser geodèsiques parametritza-

des per l'arc.

g22 (0, t) = hXv (0, t), Xv (0, t)i = 1 ∀t ser X(0, v) = γ(v).

per estar

g12 (0, t) = hXu (0, t), Xv (0, t)i = 0 ∀t

γ

parametritzada per l'arc i

per prendre sobre

γ

les geodèsiques

normals. Ara com que les corbes

Γ(v)

són geodèsiques, substituint en les equacions

de les geodèsiques :

  u¨ + Γ111 u˙ 2 + 2Γ112 u˙ v˙ + Γ122 v˙ 2 = 0 

v¨ +

Γ211 u˙ 2

+

2Γ212 u˙ v˙

+

Γ222 v˙ 2 

i per (2.3) i usant

obtenim

g11 ≡ 1 ⇒

0 = g 12 ∂g∂u12 =

però com que

=0 Γ111 Γ211

−g12 ∂g∂u12 2 g11 g22 − g12

g12 (0, v) = 0

obtenim:

tenim

 1  Γ11 = 0 

Γ211 = 0

g 12 ∂g∂u12 = g 22 ∂g∂u12 2 1 ∂ (g12 ) 2 ∂u =− 2 g11 g22 − g12 





X

2 ∂g12 ∂u

=0

g12 (u, v) = 0 ∀ u, v .

Arribat aquest punt és important observar que no afecta en absolut al fet que

i per tant

√

g

es pot anular, això

continui parametritzant

S,

però si que en

principi sembla un fet molt greu per que la 1a forma fonamental deixa de ser denida positiva. En els dos capítols següents (i especialment en el capítol Evoluta i radi de curvatura) tractarem aquest fet i veurem que els conjunts √ g seran corbes C ∞ ben denides parametritzables per de punts on s'anula

X,

per altra banda l'estudi local de

S

fora de punts d'aquestes corbes no es

veu afectat i a més per ser corbes tenen mesura nula i per tant no afectaran en càlculs d'àrees, també cal fer notar que aquestes corbes no són corbes en les que

S

tingui quelcom d'especial o diferent ja que són conseqüència d'una

limitació de la nostra parametrització a l'escollir originalment Dit això continuem ja amb el nostre estudi.

18

γ.

Existeixen unes altres coordenades en les que la matriu de la 1a forma fonamental queda de la mateixa manera, són les

coordenades geodèsiques

polars (veure [3]), aquestes es deneixen de la manera següent: n coordenades o Fixats un punt

p∈S

i

→ − → − a, b

una base ortonormal en

Tp (S),

llavors les

coordenades geodèsiques polars venen donades per

  → −  → − P : (r, θ) → expp r cos(θ) a + sin(θ) b . Anem a provar que efectivament la 1a forma fonamental queda diagonal

g11 ≡ 1. Si P (r, θ) són coordenades geodèsiques polars centrades en un punt p tenim que k ∂r k= 1 ja que xat θ les corbes al variar r són geodèsiques que amb

podem parametritzar per l'arc, per altra banda pel lema de Gauss com que . les corbes paral leles són ortogonals a les geodèsiques normals i aquestes es tallen en

p

tindrem

h∂r , ∂θ i = 0

Direm que una corba

r

i centre

p∈S

γ

i per tant la matriu quedarà diagonal.

sobre

S

és un

arc de circumferència de radi

si es pot parametritzar prenent coordenades geodèsiques

polars centrades en

p

(a, b)

S1 .

un interval de

de manera que

Observem que per ser

S

γ

sigui

γ : (a, b) → S θ → P (r, θ)

amb

geodesicament completa tenim arcs de circumfe-

rències de qualsevol radi positiu i a més són connexos ja que són imatge d'un connex per una aplicació contínua. Si denim un

arc de circumferència clàssica de radi r i centre p ∈ S

com un arc de corba connexa els punts de la qual estan a distància

r

de

p,

llavors els arcs de circumferència clàssica també són arcs de circumferència, notem que si no posem la condició de corba connexa llavors podriem tindre situacions com que fos un punt o no fos connexa, per altra banda pot passar també que segons el radi que triem no existeixi la circumferència, per exemple en una esfera de radi

R

no hi ha circumferències de radi

πR

per que la

parametrització anterior en aquest cas apuntaria al punt antipodal de

p

i no

descriuria una corba. Per fer-se una idea de com pot ser un arc de circumferència que no sigui arc de circumferència clàssica dibuixem en un full de paper una circumferència clàssica de diàmetre l'amplada del full i ara enrotllem el full formant un cilindre de radi prou petit, per veure-ho bé fem-ho de manera que el paper sigui transparent per que a l'enrotllar-lo es sobreposarà.

19

En les coordenades geodèsiques polars

P (r, θ), el camp ∂θ

ens proporciona

informació sobre les circumferències concèntriques i tenim unes condicions  

√

√ G

√

G :=k ∂θ k), r mentre que en les coordenades geodèsiques rectangulars el camp ∂v ens pro. porciona informació sobre les corbes paral leles i les respectives condicions inicials

lims→0

inicials són

√

G(s, θ) = 0

g(0, v) ≡ 1

i

i

lims→0

(s, θ) = 1

√
g u (0, v) = −kg (v),

(on

aquesta última la veurem

de seguida en (3.1). Veiem ara la relació entre els dos sistemes de coordenades quan les rectangulars es prenen a partir d'una circumferència:

p ∈ S si P (r, θ) són coordenades geodèsiques polars centrades en p i si X(u, v) són coordenades geodèsiques rectangulars a partir d'una circumferència de radi R centrada en p de manera que v i θ tinguin la mateixa orientaRθp G(R, t)dt ció i X(0, 0) = P (R, 0), llavors observem que u = R − r i v = 0 ja que v és el paràmetre arc de la circumferència de radi R i la integral corFixat

respon a la longitud de l'arc corresponent a aquesta circumferència. Això ens diu que

∂r = ∂u ur + ∂v vr = −∂u i ∂θ = ∂u uθ + ∂v vθ =

p G(R, θ)∂v

Retornem ja a les nostres coordenades.

Lema 3.3. En aquest sistema de coordenades la curvatura de Gauss de √ ( g) C = − √guu

S

és:

Demostració. Usant (2.3) obtenim que els símbols de Christoel en aquesta parametrització són:

Γ111 = Γ211 = Γ112 = 0 ; Γ212 =

gu 2g

=

√ ( g)u √ g

; Γ122 = − g2u ; Γ222 =

Ara usant les equacions de Gauss (2.4) traiem també després l'observació 3.9). det(II) I nalment obtenim: C = det(I)

=

2 gu 4g 2

−

20

guu 2g

=−

det(II) =

√ ( g)uu √ g

2 gu 4g

gv 2g

−

=

√ ( g)v √ g

guu (veure 2

Lema 3.4.

La curvatura geodèsica de les corbes paral .leles és

K := −

√ ( g)u √ g

Demostració. Notem que

n

X ×Xu √v , Xu , Xv√ g g

o

és el triedre de Darboux sobre les corbes

. paral lelesi per  tantsi

sdenota el paràmetre arc sobre X X √ √
d √vg d √vg Xvv g − Xv g v 1 dv √ = tenim: = = g ds dv ds g √ ( g)u gu i en conseqüència per (2.2) K := − = − √g és la 2g

. una corba paral lela

−gu Xu 2g

+

h22 Xv√ ×Xu g g

curvatura geodèsica

. de les corbes paral leles.

 També podem demostrar-ho usant el lema 2.2 sobre la corba

u = ctt. v=t

si és que volem una demostració més intrínseca. En particular si

kg (v)

denota la curvatura geodèsica de

γ

tenim

√
g √ kg (v) = K(0, v) = − √ u (0, v) = − ( g)u (0, v) g . Les corbes paral leles a

γ

(3.1)

i la seva curvatura geodèsica tindran un paper

fonamental en aquest treball; fent una analogia, podriem dir que en curvatura de Gauss nula, aquestes corbes reecteixen com es va transformant parallelament la corba seria la seva

γ

sotmesa només a la seva càrrega genètica original (que

kg ); en curvatura de Gauss constant hi ha, a més, una inuència

exterior uniforme i en curvatura de Gauss arbitrària la càrrega genètica té un pes puntual i esbrinar la seva evolució és gairebé com endevinar el futur, com exemple d'això més endavant estudiarem l'evolució dels vèrtexs de la corba original. Podria pensar-se (erròniament) que la propietat d'una corba de ser ge. odèsica es manté en les corbes paral leles, si més no almenys en curvatura de Gauss constant, però no, i com a contraexemple senzill pensem en una . circumferència màxima en l'esfera, les seves corbes paral leles no són circumferències màximes i per tant no són geodèsiques. En canvi observem que si . la corba és una circumferència llavors les corbes paral leles també ho són. El que és cert, és que si la corba original té curvatura geodèsica constant i la . curvatura de Gauss és constant, llavors les corbes paral leles tenen curvatura geodèsica constant (veure la proposició 6.6).

21

Corol.lari 3.5.

√

I per tant conèixer

g (u, v) = e−

K

Ru 0

K(t,v)dt

és equivalent a conèixer

Això ens ve a dir que observant l'evolució de pletament la mètrica de

Lema 3.6.

√

γ

g.

podem determinar com-

S.

C + K 2 = Ku

Demostració. √ √ ( g)uu ( g)u √ i K = − √ és una simple comprovació. g g No obstant de les equacions de Gauss s'obté també aquest resultat: veure Sabent que

C=−

l'observació 3.9.

Aquest últim lema l'usarem posteriorment en el capítol Evoluta i radi de curvatura juntament amb les relacions de l'observació següent.

Observació 3.7.

Derivant obtenim:

 Cu + 2KKu = Kuu      Cv + 2KK v = Kuv (√g)uv √g−(√g)u (√g)v Kv = −  g  2   (√g)uu √g−(√g)u  Ku = − g

La proposició següent serveix d'exemple per veure que les circumferències no tenen en general curvatura geodèsica constant.

Proposició 3.8. Tot arc de circumferència clàssica té curvatura geodèsica constant

⇐⇒

La

curvatura de Gauss és constant. Demostració. Cal dir, abans de res, que per tot punt d'una superfície sempre existeixen circumferències clàssiques de centre aquest punt.

22

=⇒ Considerem coordenades geodèsiques rectangulars sobre una circumferèn. cia. Com que les corbes paral leles són circumferències concèntriques, i per hipòtesi tenen curvatura geodèsica ctt., llavors K només depén de u, ara pel √ . corol lari 3.5, g també depén només de u, i nalment pel lema 3.3, tenim que

C

només depén de

u

i en conseqüència

C

es manté constant sobre les

circumferències. Això ens diu que si podem unir dos punts per una corba formada per troços d'arcs de circumferència llavors aquests dos punts tenen la mateixa curvatura de Gauss.

S , volem veure que C(p) = C(q). γ : [a, b] → S de p a q (γ(a) = p, γ(b) = q), i per cada punt γ(t) considerem una bola Bt (r(t)) de radi r(t) prou petit de S manera que sigui homeomorfa a una bola del pla, clarament t∈[a,b] Bt (r(t)) és un recobriment del compacte γ([a, b]), ara extraiem un subrecobriment nit {Bti (r(ti )) : i = 1, ...n} i considerem un nombre r ∈ R | 0 < r < min {r(ti ) : i = 1, ...n}. Considerem ara un altre camí de p a q format per un nombre nit de petits arcs de circumferència clàssica de radis menors o iguals que r amb els centres en el camí γ i obtenim C(p) = C(q). Siguin

piq

dos punts de

Considerem un camí

⇐= . Ho veurem de dues formes independents en els corol laris 5.19 i 6.5.

L'anterior proposició ens diu que en general no hi haurà una relació independent del punt entre la curvatura geodèsica i el radi de curvatura, ja que per un mateix radi podem tindre curvatures geodèsiques diferents, i, re∞ cíprocament, no és difícil imaginar (fent enganxaments C ) una situació en la que per valors diferents del radi de curvatura s'obtingui un mateix valor de la curvatura geodèsica. Només en curvatura de Gauss constant i positiva, o nula, tota corba amb curvatura geodèsica constant no nula serà circumferència, això ho veurem en el capítol 6 Curvatura de Gauss constant. Si la curvatura de Gauss és . constant i negativa tenim corbes com els i les corbes paral leles

horocicles

a les geodèsiques, que tenen curvatura geodèsica constant, però no són arcs de circumferències (veurem que no tenen radi de curvatura ni circumferència osculadora). . La gura següent il lustra en el semipla de Poincaré aquests fets:

23

Semipla de Poincaré:

C1, C2 i C3 són horocicles, i per tant tots tres tenen curvatura geodèsi√ ca igual en valor absolut a −C , a més són paral.lels tal com estan dibuixats. C5 és una geodèsica, la seva curvatura geodèsica és 0. . C4 i C6 són 2 corbes paral leles a la geodèsica C5, tenen curvatura geodèsica inferior en valor absolut a

√

−C .

C7 és una circumferència, la seva curvatura geodèsica és major que

√

−C .

√

Si en la proposició 6.6, substituim kg = 0 s'observa que K = − −C tanh . i per això les corbes paral leles a les geodèsiques tenen curvatura geodèsica inferior en valor absolut a

√ −C

ja que

−1 < tanh(x) < 1 ∀x. √

Si en la proposició 6.6, substituim kg = −C s'observa que . i per això les corbes paral leles als horocicles són horocicles.

24

K=

√ −C ,

√


−Cu ,

Observació 3.9. En aquesta parametrització les quatre equacions de Gauss 2.4 són:

0 = 0 det(II) = Ku − K 2 g gu −guu −K det(II) = 2 2 0 = 0 i les dues equacions de Mainardi-Codazzi són:

∂h11 ∂h12 = − Kh12 ∂u √ ∂v ( g)v ∂h12 ∂h22 gu − h11 + √ h12 = − Kh22 ∂u 2 g ∂v

25

Exemple genèric: (Superfícies de revolució) En les superfícies de revolució és fàcil construir unes coordenades geo. dèsiques rectangulars prenent com a γ un paral lel i els meridians com les geodèsiques normals, a més fent-ho així resulta també ser una parametrització per línies de curvatura.

3

Considerem en

R

parametritzem-la per l'arc

  y = l(u) z = h(u) ϕ:  x=0

C

una corba plana



∞

Anomenarem 

S

amb els plans

2 amb lu

i 

meridians

paral.lels

y = ctt.

z = f (y) x=0

amb

f >0

i

p du = 1 + f 0 (y)2 dy + h2u = 1

i

l(0) = 0

Ara considerem la superfície de revolució voltant de l'eix Y.

ϕ:

així

a les corbes

S

generada per

u = ctt.

ϕ

al girar al

que són la intersecció de

(clarament són circumferències en aquests plans)

a les corbes

v = ctt.

S amb els ϕ és un meridià).

que són la intersecció de

semiplans amb vora l'eix Y (és conegut que són geodèsiques i

Ara podem considerar el sistema de coordenades geodèsiques rectangu. lars consistent en prendre γ un paral lel.    És fàcil veure que

S

es pot parametritzar així:

v    x = h(u) cos h(0) y = l(u) X:      z = h(u) sin v h(0)

1 i la 1a forma fonamental és

Tenim que

00

0

!

0 

h(u) h(0)

2

0

(u) (u) C = − hh(u) i K = − hh(u)

. d'on es dedueix que els paral lels

tenen curvatura geodèsica ctt. i curvatura de Gauss ctt. Observem també que els meridians són geodèsiques ortogonals als paral1 2 lels ja que kXu k = 1 i Xuu = Γ11 Xu + Γ11 Xv + h11 N = h11 N ⇒ ∇u Xu = 0.

26

Exemple concret: (Tor de revolució) Si prenem

l(u) := r sin( ur ) i h(u) := R + r cos( ur )

amb

u ∈ (−πr, πr)

tenim que:


 u  x = R + r cos( r ) cos y = r sin( ur ) X:
 z = R + r cos( ur ) sin

v R+r


amb

v R+r

v ∈ [0, 2π(R + r)]




és una parametrització geodèsica rectangular d'un tor de revolució (el tor està de peu com una roda de moto respecte al paviment el qual seria i radis

z = 0)

R > r > 0.

Observem que

γ

és en aquest cas una geodèsica (és la part de la roda

que toca el terra al moure's la moto en línia recta la qual seria l'eix X) i les . . corbes paral leles (que són els paral lels) tenen curvatura geodèsica ctt.

A més:

 √ R+r cos( u )  g = R+r r       sin( u ) r K = R+r cos( u ) r        C = r1 cos( ur u) R+r cos( r )



27

28

4

Camps de Jacobi Els camps de Jacobi, són un tipus camps vectorials sobre les geodèsiques

que, en el nostre cas, seran una eina que ens proporcionarà informació sobre com varia la mètrica de la superfície en les coordenades geodèsiques rectan(v) gulars al llarg de les geodèsiques Γ , i especícament, ens permetran saber quan aquesta s'anula, això ens permetrà trobar corbes on la mètrica en les nostres coordenades perdrà la derivabilitat, cal dir que la continuïtat no es perdrà i per tant seguirant essent vàlides per coordenar la superfície. En el següent capítol i mitjançant els camps de Jacobi, podrem estudiar aquestes corbes sense cap problema de derivabilitat. Els camps de Jacobi també de vegades proporcionen informació global i no només local sobre la superfície, com per exemple quan una geodèsica ja no dóna la distància mínima entre dos punts de la mateixa (veure els teoremes 4.11 i 4.12). No és el nostre objectiu l'estudi en profunditat dels camps de Jacobi però si que necessitem conèixer propietats bàsiques dels mateixos per usarles posteriorment.



Si considerem una geodèsica

Γ

és un

Γ

direm que un camp

camp de Jacobi si compleix l'equació:

J

(tangent a

S)

sobre

∇Γ0 ∇Γ0 J + R(Γ0 , J)Γ0 = 0 anomenada

equació de Jacobi.

Observació 4.1. 1. La denició de camp de Jacobi no depèn del sistema de coordenades i per tant està ben denit. 2. L'equació de Jacobi és una equació diferencial ordinària de segon ordre,

p és un punt de Γ llavors tot camp de Jacobi sobre Γ queda per les condicions inicials J(p) i (∇Γ0 J) (p).

i per tant, si determinat

3. Clarament el camp identicament nul és un camp de Jacobi, i per tant, si

J

és un camp de Jacobi no identicament nul, llavors no pot passar

29

que

J(p) = (∇Γ0 J) (p) = 0

per cap punt

p∈Γ

per unicitat de la solució

de l'equació de Jacobi. 4. Si

J

és un camp de Jacobi no identicament nul, llavors els seus zeros (si

és que n'hi ha) són isolats, degut a que si

J(p) = 0

llavors

(∇Γ0 J) (p) 6=

0. √

∂ pot anular-se, l'escriptura √v perd sentit i per tant a partir g ∞ d'ara usarem la lletra j per denotar el camp C unitari tangent a S i orCom que

g

∂u de manera la base {∂u , j} conservi en S l'orientació {∂u , ∂v } en γ . Compte que j no és en general camp de Jacobi. togonal a

Lema 4.2. {∂u , j}

que tenia

és una base ortonormal de camps paral .lels sobre la geodèsica

Γ(v) .

Demostració. Observem que per (2.1) tant

j

{∂u , N, j}

és el triedre de Frenet sobre

és el vector binormal que al ser derivat dóna

Γ(v) són de a, b ∈ R i muu + mC = 0

Els camps de Jacobi sobre les geodèsiques

J = (au + b)∂u + mj

amb

i per

τ (u)N .

No obstant donarem una demostració intrínseca: √ √ −K∂v g−∂v ( g ) u ∇u ∂u = 0 per ser geodèsica i ∇u j = ∇u √∂vg = g K) √∂vg = 0

Lema 4.3.

Γ(v)

= (−K +

la forma:

Demostració.

J = A∂u + Bj un camp de Jacobi. Pel lema anterior: ∇u ∇u J = Auu ∂u + Buu j . Per altra banda i usant el lema 2.1: R (∂u , A∂u + Bj) ∂u = Considerem

B det(II) √ ∂v = g g D'on surt

B √ R(∂u , ∂v )∂u g

=

BCj i per ser camp de Jacobi tenim Auu ∂u +(Buu + BC) j = 0. Auu = 0 i Buu + CB = 0.

∞ Observem que l'anterior lema ens diu que els camps de Jacobi són C , ja ∞ que, xades les condicions inicials en l'equació de Jacobi, com C és C llavors el Teorema d'existència i unicitat de solucions per a equacions diferencials

30

ordinàries ens garanteix que la solució és

C ∞.

(v) Direm que un camp de Jacobi J sobre Γ és un (v) en tot punt a la geodèsica Γ (veure [2]).

γ -Jacobià si és ortogonal

Corol.lari 4.4. Tot

γ -Jacobià

J és de la forma

J = mj

amb

muu + mC = 0.

Demostració. És conseqüència immediata del lema 4.3.

El següent lema ens fa veure el per què necessitem conèixer propietats dels camps de Jacobi.

Lema 4.5. Fixat

v = v0 ,

el camp

∂v (· , v0 )

és un

γ -Jacobià

sobre la geodèsica

Γ(v0 ) .

Demostració. Que és ortogonal està clar i per tant només cal veure que

∇u ∇u ∂v +C∂v =

0. ∇u ∇u ∂v = ∇u ∇u

√

 √
g √1g ∂v = ∇u ∇u g √1g ∂v =

Lema 4.6. Si

J1 = Aj

i

J2 = Bj

són

γ -Jacobians

sobre

Γ(v)

√ ( g)uu √ ∂v g

= −C∂v

llavors

Au B − ABu = hJ10 , J2 i − hJ1 , J20 i = ctt.. Demostració.

−C = AAuu = BBuu d'on surt Auu B − ABuu = 0 i per tant Au B − ABu = ctt igualtat que escrita en termes de productes escalars és hJ10 , J2 i − hJ1 , J20 i = ctt.. Observem que

31

Proposició 4.7. Fixat un punt

p = (u0 , v0 )

els

formen un espai vectorial sobre

γ -Jacobians sobre Γ(v0 ) R de dimensió 1.

que s'anulen en p

Demostració. L'estabilitat i linealitat per la suma de camps i producte per escalars és clara i per tant només cal demostrar que la dimensió és 1.

Y = mj i Z = nj dos γ -Jacobians que s'anulin en p i considerem el següent γ -Jacobià: L := mu (u0 )Z − nu (u0 )Y = (mu (u0 )n − nu (u0 )m) j el qual compleix L(u0 ) = 0 per ser m(u0 ) = n(u0 ) = 0. Observem que ∇u L = (mu (u0 )nu − nu (u0 )mu ) j i per tant: ∇u L(u0 ) = (mu (u0 )nu (u0 ) − nu (u0 )mu (u0 )) j = 0 Ara per l'observació 4.1 tenim L = mu (u0 )Z − nu (u0 )Y = 0 la qual cosa ens diu que Y i Z són linealment dependents sobre R. Siguin

γ -Jacobians linealment dependents recordem aquí 1 circumferència llavors ∂v = √ ∂θ .

Com a exemple de dos que quan

γ

era una

G(R,θ)

Γ, dos punts Γ(a) i Γ(b) es diuen punts conjugats algun camp de Jacobi no identicament nul sobre Γ que

Donada una geodèsica

sobre

Γ

si existeix

s'anuli en aquests dos punts. Per exemple en l'esfera veurem que dos punts són conjugats si i només si són antipodals.

Lema 4.8. Si existeix un

γ -Jacobià

sobre

Γ(v)

sense zeros, llavors no existeix cap camp (v) de Jacobi no identicament nul sobre Γ amb més d'un zero (i per tant no hi (v) hauran punts conjugats sobre Γ ). Demostració. Observem 1r que un camp de Jacobi necessariament un

J

sobre

Γ(v)

amb més d'un zero és

γ -Jacobià, ja que pel lema 4.3, la component de J

tangent

a la geodèsica només es pot anular en un punt al ser el seu mòdul un polinomi de 1r grau. Suposem

Bj un sense zeros i Aj
γ -Jacobià Au B−ABu A = constant = B u B2 B2

un altre

γ -Jacobià,

pel lema

4.6 tenim que

A f (u) := B conseqüència A no

Això ens diu que

és monòtona i per tant no pot tindre més d'un

zero i en

pot tindre més d'un zero.

32

Observació 4.9.

Per la demostració del lema anterior, veiem també que si

en un arc de geodèsica hi ha un camp de Jacobi sense zeros, llavors en aquest arc no poden haver-hi punts conjugats.

Proposició 4.10. Si

C(p) ≤ 0 ∀ p ∈ S

llavors cap geodèsica té punts conjugats en

S.

Demostració.

p, q ∈ Γ són dos punts diferents sobre una geodèsica Γ i que J és un camp de Jacobi no identicament nul sobre Γ tal que J(p) = J(q) = 0 Suposem que

(és a dir que suposem que existeixen dos punts conjugats). Si considerem coordenades geodèsiques rectangulars a partir d'una corba

γ que Γ(0) .

talli ortogonalment a

Com que

J

Γ

en un punt, llavors podem suposar que

Γ(0) i s'anula en R(∂u , J)∂u = CJ ,

és camp de Jacobi sobre

Γ

és

dos punts, és ne-

γ -Jacobià i per tant això ens diu que ∇u ∇u J + CJ = 0. Ara observem que h∇u ∇u J, Ji = −C hJ, Ji ≥ 0 ja que C ≤ 0. d h∇u J, Ji = h∇u ∇u J, Ji + h∇u J, ∇u Ji ≥ 0, tenim per tant Com que du que la funció s → h∇u J, Ji (s, 0) és creixent, però com que J(p) = J(q) = 0 (0) obtenim h∇u J, Ji = 0 sobre Γ . d hJ, Ji = 2 h∇u J, Ji = 0 tenim per tant que |J| és constant, Ara com que du però com que J(p) = 0 obtenim J = 0, contradicció. I per tant si J 6= 0 llavors no es pot anular en més d'un punt, la qual cosa ens diu que sobre Γ no hi ha punts conjugats, però al ser Γ arbitrària tenim que no existeixen punts conjugats en S per cap geodèsica. cessariament un

Observacions i denicions: Indicarem la distància entre dos punts p i q de una geodèsica

punts Γ(a) i

S

per

d(p, q)

i es diu que

Γ : [a, b] → S és una geodèsica minimitzant Γ(b) si la seva llargària és igual a d (Γ(a), Γ(b)).

entre els

Per exemple dos punts antipodals en una esfera tenen innites geodèsiques minimitzants.

Γ : R → S d (p, Γ(t)) = |t|,

Donat un punt p i una geodèsica parametritzada per l'arc amb

Γ(0) = p,

és conegut que per t prou petit es compleix

33

t0 ∈ R de manera que d (p, Γ(t0 )) < |t0 |, en Γ(t0 ) és un punt Cut de p sobre Γ si t0 = sup {t > 0 : d(p, Γ(t)) = t} o bé t0 = inf {t < 0 : d(p, Γ(t)) = −t}. Es deneix el Cut Locus d'un punt p com el conjunt de punts de S

però pot passar que existeixi aquest cas es diu que el punt

format pels punts cut de p sobre totes les geodèsiques que parteixen de p. Per exemple el cut locus d'un punt p d'una esfera

S

consta d'un únic

punt: l'antipodal de p. Hi ha estudis que relacionen punts conjugats, geodèsiques minimitzants i cut locus, valguin com a exemples els dos teoremes següents:

Teorema 4.11.

([7] teorema 5.7 pàg. 87)

Γ : [a, b] → S és una geodèsica i existeix un punt Γ(c) conjugat amb Γ(a) sobre Γ de manera que a < c < b llavors Γ no és geodèsica minimitzant entre Γ(a) i Γ(b).

Si

Teorema 4.12. Si

([7] teorema 7.1 pàg. 97)

p ∈ cutlocus(q)

llavors ocorre almenys una (possiblement les dues) de les

dues condicions següents: 1.

piq

són punts conjugats consecutius.

2. Existeixen almenys dues geodèsiques minimitzants unint

p i q.

Observació 4.13. 1. Podem tindre punts conjugats consecutius sobre una geodèsica i que aquesta no sigui minimitzant entre aquests dos punts, pensem en el pols ∞ nord i sud d'una esfera i ara deformem-la lateralment C de manera que hi hagi un camí més curt que un meridià per arribar de pol a pol, els pols seran conjugats sobre el meridià però aquest no és minimitzant. 2.

q ∈ cutlocus(p) ; p i q s´ on conjugats: √

R+r cos( u ) r mai s'anula R+r (v) i per tant pel lema 4.8 no existeix cap camp de Jacobi sobre Γ que

En l'exemple anterior del tor tenim que

g =

s'anuli en dos punts per lo qual no existeixen punts conjugats en el tor sobre els meridians, en canvi el punt

(πr, v)

és del cut locus de

(0, v).

Notem també que la curvatura de Gauss en els meridians assoleix valors positius i negatius.

34

5

Evoluta i Radi de Curvatura

En aquest capítol veurem nalment com són els conjunts on g s'anula i re∞ sultarà que són corbes C , el més curiós és que resultaran ser les evolutes de la corba

γ

i donarem algun resultat conegut en geometria plana però ara

per curvatura de Gauss arbitrària. També generalitzarem el concepte de radi de curvatura i circumferència osculadora a curvatura de Gauss arbitrària i veurem que poden des de no existir ns (i això és una conjectura) a haver-n'hi més d'una amb radis diferents .



v0 ∈ (a, b),

els punts on s'anula el camp de Jacobi ∂v (· , v0 ) són (v ) (en cas d'existir) clarament conjugats sobre la geodèsica Γ 0 i s'anomenen (v0 ) γ(v0 ) Γ , el conjunt format per tots Fixat

punts focals de

sobre la geodèsica

els punts focals de tots els punts de

γ

s'anomena

conjunt focal de γ (veure

[2]). Pel punt 4. de l'observació 4.1 el conjunt dels punts focals de γ(v0 ) sobre (v ) la geodèsica Γ 0 és discret i per tant els podem numerar en Z − {0} de manera que prenent

γ(v0 )

u ↑

el primer punt focal que ens trobem després de

li assignem el número 1.

Al nombre

s∈R

tal que

Γ(v0 ) (s)

és el n-èsim punt focal (n

∈ Z − {0})

li

n-èsim radi de curvatura de γ en el punt γ(v0 ) i el notarem per

direm ρ(n) (v0 ).

Observació 5.1. Notem que per la denició que hem donat si n ∈ N llavors (n) l'existència de ρ implica l'existència de (−n) (−m) de ρ implica l'existència de ρ ∀m

ρ(m) ∀m ≤ n , m ∈ N ≤ n , m ∈ N.

i l'existència

A partir d'ara (per no haver de estar repetint-lo cada vegada) si es fa alguna armació sobre propietats dels radis de curvatura o punts focals llavors suposarem la seva existència. Observem que el coecient

λ

del camp de Jacobi

∇u ∇u J + CJ = 0, canvia de signe √ notació J = gj sigui incorrecte.

l'equació que la

35

J = λj

solució de

al creuar un punt focal, això fa

Per tant a partir d'ara,

λ(u, v)

denotarà la solució del següent problema

de valors inicials:

 

d2 λ du2

+ Cλ = 0 λ(0, v) = 1  dλ (0, v) = −kg (v) du El Teorema d'existència, unicitat i diferenciabilitat de solucions juntament amb el Teorema de dependència contínua i diferenciabilitat respecte de ∞ ∞ les condicions inicials i que C i kg són C ens garanteix que λ és C .

Proposició 5.2. C ∞.

1. Les aplicacions

ρ(n) : v −→ ρ(n) (v)

2. Les aplicacions C ∞ connexes.

%(n) : v −→ X(ρ(n) (v), v)

són

són o bé constants o bé corbes

Demostració.

λ(u, v) = 0 és l'equació en forma implícita del conjunt focal de γ , i si (u0 , v0 ) és el n-èsim punt focal de γ(v0 ) sobre la geodèsica Γ(v0 ) , tenim pel punt 3. de l'observació 4.1, que λu (u0 , v0 ) 6= 0 i per tant ∞ com que λ és C , pel teorema de la funció implícita concluim que existeix (n) un entorn Ω de v0 i una funció ρ : Ω → R C ∞ de manera que λ(u0 , v0 ) = 0 (n) i λ(ρ (v), v) = 0 en Ω. ∞ Ara com que pel lema 3.1 X és C (i en particular contínua) tenim que (n) % és o bé un punt o bé una corba connexa C ∞ . Observem que

Notem que podem tenir situacions com la que es dóna en l'esfera en la que si kg (v) no és constant, llavors només hi ha dues de diferents de corbes  (−6) (−4) (−2) (1) (3) (5) %(n) (que a més són antipodals) ja que ..., % , % , % , % , % , % , ...  (−5) (−3) (−1) (2) (4) (6) són totes la mateixa i les ..., % , % , % , % , % , % , ... també. (n+1) A més si n 6= 0, −1 llavors ρ − ρ(n) = ρ(1) − ρ(−1) = πR = √πC ∀n, veurem més endavant que això es donarà sempre en curvatura de Gauss constant positiva. Notem també que si

C(p) ≤ 0 ∀p ∈ S llavors, al %(n) (si és que existeixen) són

conjugats, totes les corbes

36

no haver-hi punts la mateixa, de fet,

observem que una condició necessària per a l'existència de com a mínim dos (v ) radis pel punt v0 , és que la geodèsica Γ 0 sigui tancada i en aquest cas els (n) punts % (v0 ) serien tots el mateix per a tot n.

Lema 5.3.

ρ(n)

és constant

⇐⇒ %(n)

és constant.

Demostració. Observem que: (n) d%(n) (v) = ∂u (ρ(n) (v), v) dρdv (v) dv i per tant

ρ(n)

constant

Proposició 5.4.

(n)

+ ∂v (ρ(n) (v), v) = ∂u (ρ(n) (v), v) dρ dv(v)

⇐⇒ %(n)

Existeix algun

és constant ja que

ρ(n)

constant

∂u (ρ(n) (v), v) 6= 0∀v .

⇐⇒ γ

és un arc de circumfe-

rència. Demostració.

⇒ p

(n) (n) Si existeix un ρ constant llavors pel lema anterior % és constant, sigui (n) = Im(% ), aquest punt p és comú a totes les geodèsiques normals a γ i es

troba a la mateixa distància (sobre aquestes geodèsiques) de tots els punts (n) de γ per ser ρ constant i per tant γ és un arc de circumferència amb centre p i radi ρ(n) .

⇐ p el centre i R el radi, sabem que les geodèsiques radials des de p tallen ortogonalment a γ i per tant totes les geodèsiques normals a γ es tallen en p, això ens diu que X(R, t) = p ∀t → − i per tant Xv (R, t) = 0 ∀t, és a dir, que ∂v s'anula en p ∀v i per tant p és punt focal de γ(v)∀v . (v) Ara tenim que per cada geodèsica Γ existirà un n(v) ∈ Z de manera (v) (n(v)) (n(v)) que p = Γ (ρ (v)) essent ρ (v) = R, ara hem de veure que existeix un n comú per a tot v . Es conegut que existeix un entorn U de p en S dins del qual tots els arcs de geodèsiques radials des de p són minimitzants, ara sigui v0 ∈ γ i n0 ∈ Z tal que ρ(n0 ) (v0 ) = R, i considerem l'aplicació %(n0 ) , si no fos constant, Si

γ

és un arc de circumferència considerem

llavors per la proposició 5.2, seria una corba connexa i existirien punts de la (n ) mateixa arbitrariament propers a p (i per tant dins de U ), sigui (ρ 0 (v1 ), v1 ) (v ) un d'aquests punts, aquest és conjugat amb p sobre la geodèsica Γ 1 , ara aplicant el Teorema 4.11 resulta que aquesta geodèsica no és minimitzant (n ) (n ) en U , contradicció. Per tant % 0 és constant i pel lema enterior ρ 0 és (v) (n0 ) (n0 ) constant amb lo que p = Γ (ρ (v)) i ρ (v) = R ∀v .

37

Observació 5.5.

En aquesta última implicació hem demostrat que el centre

de la circumferència és un punt on s'anulen simultàniament tots els camps de Jacobi obtinguts al prendre coordenades geodèsiques rectangulars sobre la circumferència. (n) Com que les corbes % són en cada punt (u0 , v0 ) tangents a la geodèsica (n) (n) d%(n) (v0 ) Γ ja que (v0 ) = ∂u (u0 , v0 ) dρdv (v0 ) + ∂v (u0 , v0 ) = ∂u (u0 , v0 ) dρdv (v0 ) i dv aquest fet coincideix amb la denició clàssica d'evoluta d'una corba com la corba envolupant de les normals de la primera, a partir d'ara les anomenarem

Evolutes de γ .

Reprenent de nou l'esfera, veiem que si "antipodal"de

Γ

també és evoluta de

A partir d'ara la notació

ρ

Γ

és evoluta de

γ

llavors la corba

γ.

es referirà indistintament a qualsevol radi de

curvatura (entenen que una vegada escollit un, llavors sempre es referirà a l'escollit) de la mateixa manera quan parlem de l'evoluta ens referirem a (n) qualsevol corba % i la notarem per % (entenen que una vegada escollida una, llavors sempre es referirà a l'escollida). La proposició següent amplia la validesa d'un resultat conegut en geometria plana a curvatura de Gauss arbitrària:

Proposició 5.6. Si

ρ(v) és monòtona entre dos punts (0, v0 ) i (0, v1 ) llavors la longitud de l'arc (ρ(v0 ), v0 ) i (ρ(v1 ), v1 ) és igual a |ρ(v1 ) − ρ(v0 )| .

d'evoluta entre els punts Demostració. Longitud evoluta entre

|ρ(v1 ) − ρ(v0 )|

v0 i v1 =

R R v1 p 0 (v)2 + λ2 (ρ(v), v)dv = v1 |ρ0 (v)|dv = ρ v0 v0

.

38

Corol.lari 5.7. Si

ρ(v)

és monòtona entre dos punts

recinte tancat per l'arc de

(0, v0 ) ,(0, v1 )

llavors el perímetre del

γ

entre aquests dos punts, l'arc d'evoluta corresv ponent i les geodèsiques pels extrems és: long(γ) |v10 +2ρM on ρM és el radi de curvatura màxim en aquest arc de γ (que a més s'assoleix en un dels dos extrems per monotonia). Demostració. Perímetre=(Longitud

arc de γ) + (ρM ) + (ρm´inim ) + (ρM − ρm´inim )

. Cal dir, que el recinte del corol lari anterior pot perdre sentit si no im. posem la condició de ρ(v) monòtona. Per exemple, en la gura de l'el lipse, part de l'arc d'evoluta que estem considerant entraria dintre del recinte si en l'interval

[v0 , v1 ]

hi ha alguna punxa de l'evoluta i llavors el recinte estaria

mal denit tal com ho hem fet. Veurem en el capítol següent que les punxes 0 de l'evoluta es corresponen amb els punts on ρ s'anula.

El concepte en geometria plana de circumferència osculadora a una corba també s'amplia a curvatura de Gauss arbitrària en la proposicío següent:

Proposició 5.8.

Circumferència osculadora

La curvatura geodèsica de la circumferència de centre en el punt

p = (0, v0 )

(ρ(v0 ), v0 ) i radi ρ(v0 ) γ en el punt (0, v0 ).

és igual a la curvatura geodèsica de

Demostració. Considerem aquesta circumferència (que denotarem per

Σ)

i prenem co-

ordenades geodèsiques rectangulars sobre Σ, observem ara que sobre la ge√ (v ) G(u, v0 ) √∂vG (u, v0 ) obtingut al odèsica Γ 0 tenim un γ -Jacobià (seria el prendre les coordenades geodèsiques rectangulars sobre Σ), per consideracions anteriors (observació 5.5), aquest camp s'anula a

√

G(0, v0 ) = 1. 39

(ρ(v0 ), v0 )

i a més

Denotarem per

kgγ i kgΣ les curvatures geodèsiques de γ i Σ respectivament. √

√

Ara usant la proposició 4.7 i que

G(0, v0 ) = 1 = λ(0, v0 ),

G(u, v0 ) = λ(u, v0 ) ∀u. kgγ (v0 ) = −λu (0, v0 ) = −

i en particular usant (3.1):

tenim que

√  G (0, v0 ) =

kgΣ (v0 ).

u

Aquesta circumferència seria una circumferència osculadora en el punt

S

a

γ

en

(0, v0 ).

Observem per tant que no sempre tindrem circumferència osculadora, ja que el punt de la corba pel qual li volem trobar la circumferència osculadora ha de tindre un punt focal, per exemple els horocicles no tenen conjunt focal i això és degut com veurem en el capítol 6 Curvatura de Gauss constant a una relació entre la seva curvatura geodèsica i la curvatura de Gauss. Per altra banda, aparentment no hi ha cap impediment per a que tinguem més d'una circumferència osculadora si el punt té més d'un punt focal. El lema següent ens proporcionarà un altre teorema en curvatura arbitrària, el 5.14, que englobarà com a cas particular el teorema principal de la tesi de l'article Focal Sets In Two-Dimensional Space Forms de

C 6= 0. . També ens permetrà obtenir una relació (en el corol lari posterior) entre

C.A.Escudero, A.Reventós i G.Solanes, (veure [5]) quan

la curvatura geodèsica de l'evoluta i el radi de curvatura.

Lema 5.9. és un recinte com el del corol .lari 5.7 (i per tant suposarem ρ monòγ tona en l'arc de γ corresponent) i denotant per kg la curvatura geodèsica de % γ , % l'evoluta i kg la curvatura geodèsica de la mateixa llavors : Si

Ω

Z

v1

v0

kgγ dγ

Z

v1

+

kg% d%

Z Z +

CdS = 0

v0

Ω

Demostració. És una conseqüència directa del teorema de Gauss-Bonnet : Com que dos dels costats que delimiten

40

Ω

són geodèsiques tenim:

R v1 v0

kgγ dγ +

R v1 v0

kg% d% +

RR

CdS + Ω

P

i

αi = 2π π

P γ són cadascun de 2 i αi = 2π i per tant:

Ara com que els angles entre les geodèsiques i angles entre les geodèsiques i

R v1 v0

kgγ dγ +

R v1 v0

kg% d% +

Corol.lari 5.10.

RR Ω

%

són 0 i

π

tenim

i els

CdS = 0

kg% (ρ(v), v)ρ0 (v) = λu (ρ(v), v) ∀v

Demostració. El lema anterior escrit explícitament i variant el punt

Rv

Rv k γ (v)dv + v0 kg% (v)ρ0 (v)dv + v0 g R ρ(v) kgγ (v) + kg% (v)ρ0 (v) + 0 Cλdu

Rv v0

dv

R ρ(v) 0

Cλdu = 0 ∀v

v1

de

γ

ens diu que:

i ara derivant:

= 0 ∀v

Per altra banda, integrant λuu + Cλ = R ρ(v) λuu du + 0 Cλdu = 0 ∀v 0 R ρ(v) λu (ρ(v), v) − λu (0, v) + 0 Cλdu = 0 ∀v R ρ(v) λu (ρ(v), v) + kgγ (v) + 0 Cλdu = 0 ∀v ara igualant obtenim: kg% (ρ(v), v)ρ0 (v) = λu (ρ(v), v) ∀v

0:

R ρ(v)

 També es pot demostrar considerant la corba aplicant el lema 2.2 i fent el límit quan

Observació 5.11.

u = ρ(t) − δ v=t

per

δ petit,

δ → 0.

Aquest últim corol .lari ens diu (ja que

per l'observació 4.1) que si la derivada del radi de

λu (ρ(v), v) 6= 0 ∀v curvatura en un punt v0

s'anula llavors la curvatura geodèsica de l'evoluta no està denida en el punt

(ρ(v0 ), v0 )

(es fa innita), això ens fa pensar que aquests punts deuen de

ser força problemàtics. Després del lema següent en la secció Punxes els estudiarem.

41

Suposem ara que γ és corba tancada i particionem l'interval [a, b] així: Si=n−1 [vi , vi+1 ] de manera que a = v0 < v1 < ... < vn−1 < vn = b i=0 i el radi de curvatura sigui monòton en cada interval [vi , vi+1 ] per tot i ∈

[a, b] =

{0, ..., n − 1}.

Rv [vi , vi+1 ] i obtenim vii+1 kgγ dγ + R vi+1 % RR kg d%+ Ωi CdS = 0 per cada i ∈ {0, ..., n − 1} i sumant totes aquestes vi Apliquem ara el lema 5.9 en cada interval

igualtats tenim la proposició següent:

Proposició 5.12. Z

kgγ dγ

Z +

γ

kg% d%

+

%

n−1 Z Z X

CdS = 0 Ωi

i=0

El sumatori de l'anterior proposició es pot simplicar de la següent manera: Considerem el conjunt

Mρ :=

v∈[a,b]

([0, ρ(v)] × {v})

i observem que

Si=n−1

Ωi . i=0 Ara considerem l'aplicació ν ] (X −1 (p) ∩ Mρ ) i denotem Ip :=

X (Mρ ) =

S

Notem que passen per

p

si

ν(p) ens p està en

: S − (γ ∪ %) → R X −1 (p) ∩ Mρ

denida així

ν(p) :=

dóna el nombre de geodèsiques normals a algun

Ωi

γ

que

o 0 en cas contrari.

Amb aquestes notacions tenim:

n−1 Z Z X i=0

Z Z CdS =

ν(p)CdS

(5.1)

p∈S

Ωi

Ara introduirem el concepte de winding number per reformular l'anterior proposició en un teorema més autònom.

a < b, denim S1a,b := [a,b] . a∼b Direm que un obert ∆ de S és convex si donats dos punts de ∆ existeix una única geodèsica de ∆ que els uneix. Donats ∆ un obert convex de S , ψ : [a, b] → ∆ una corba tancada (a < b) + i p ∈ ∆ − Im(ψ), tenim que existeixen aplicacions contínues rp : [a, b] → R 1 1 wΨ,p : Sa,b → S i de manera que expp (rp (v)wΨ,p (v)) = ψ(v). v → wΨ,p (v) A l'aplicació wΨ,p li direm aplicació winding de la corba tancada ψ respecte del punt p en ∆. Donats

a, b ∈ R

amb

42

Denim el

p

∆

en

número de winding de la corba tancada ψ respecte del punt

com el grau de l'aplicació

wΨ,p ,

i el notarem per

wind(ψ, p).

∆ convex) i intuitivament coinfa la corba ψ al voltant del punt

Es demostra que està ben denit (per ser cideix amb el nombre enter de voltes que

p. dθ denota la mesura donada la longitud d'arc en
R R per dθ dθ ∗ = S1 wΨ,p = wind(ψ, p) := gr(wΨ,p ) = gr(wΨ,p ) S1 2π 2π

Observem que si

S1 1 2π

llavors

a,b

R

S1a,b

∗ wΨ,p (dθ).

Lliguem ara tot això amb la nostra corba

γ

i la seva evoluta

%:

γ : [a, b] → S C ∞ és corba regular tancada parametritzada per l'arc i amb una evoluta % (que serà tancada per ser-ho γ ) de manera que ambdues estan contingudes en un mateix obert convex ∆ de S . Suposarem que

Lema 5.13.

Si

p ∈ ∆ − (γ ∪ %)

llavors

ν(p) = wind(γ, p) − wind(%, p)

Demostració.

p ∈ ∆ − (γ ∪ %), amb les notacions anteriors considerem les aplicaci1 + ons e : Mρ −Ip → S i f : Mρ −Ip → R de manera que expp (f (u, v)e(u, v)) = X(u, v). Per cada i ∈ Ip considerem Ci un petit cercle centrat en i de manera que S siguin disjunts entre si i Ci ∩ (γ ∪ %) = ∅ ∀i. Sigui I = i Ci . R R Stokes R ∗ ∗ Observem que 0 = e ddθ = Mρ −I de dθ = ∂(Mρ −I ) e∗|∂(Mρ −I ) dθ. Mρ −I Sigui

Amb

∂ (Mρ − I ) = {(0, v)}v∈[a,b]

S

{(ρ(v), v)}v∈[a,b]

S

i

∂Ci .

γ e = {(0, v)}v∈[a,b] i %e = {(ρ(v), v)}v∈[a,b] R ∗ R R = γe e|eγ dθ − %e e∗|e% dθ − S ∂Ci e∗|S ∂Ci dθ.

Usant les notacions

R

e∗ dθ ∂(Mρ −I ) |∂(Mρ −I )

i

R S1

dθ = 2π R γ e

i a

e∗|eγ dθ −

R

i

e|∂Ci té grau 1 i preserva més ]Ip = ν(p), per tant:

l'orientació tenim

e∗% dθ %e |e

R

Ara com que

− 2πν(p) = 0 ⇒

Ara només cal observar que

1 2π

γ e

e∗|eγ dθ −

e|eγ = wγ,p i e|e% = w%,p

wind(%, p) = ν(p)

43

tenim:

1 2π

R ∂Ci

e∗% dθ %e |e

R

per lo que

e∗|∂Ci dθ =

= ν(p).

wind(γ, p) −

Finalment obtenim el teorema desitjat:

Teorema 5.14. Si

γ

i la seva evoluta

Z

kgγ dγ

γ

Z +

%

estan les dues en un mateix domini convex llavors:

kg% d%

Z Z (wind(γ, p) − wind(%, p)) CdS = 0

+

%

p∈S

Demostració. Només cal reescriure la proposició 5.12 substituint el sumatori mitjançant (5.1) i aplicant el lema 5.13:

Pn−1 R R i=0

Ωi

CdS =

RR p∈S

ν(p)CdS =

RR p∈S

(wind(γ, p) − wind(%, p)) CdS .

El lema següent és purament tècnic i està aquí una mica fora de context, l'usarem en la secció Punxes i en el capítol Curvatura de Gauss constant. Després d'aquest lema obrirem una secció per veure la relació entre el teorema 5.14 i l'article [5].

Lema 5.15.

Si existeix

ρ(v0 )

llavors:

1.

lims→ρ(v0 ) K(s, v0 ) = ∞.

2.

lims→ρ(v0 ) Ku (s, v0 ) = +∞.

3. Si

∃ lims→ρ(v0 )

Kv (s, v0 ) llavors Ku

lims→ρ(v0 )

Demostració.

44

Kv (s, v0 ) Ku

= −ρ0 (v0 ).

1.

lims→ρ(v0 ) K(s, v0 ) = lims→ρ(v0 ) −λλ u (s, v0 ) = lims→ρ(v0 ) que λu (ρ(v0 ), v0 ) 6= 0 per l'observació 4.1

−λu (ρ(v0 ),v0 ) λ(s,v0 )

=∞

ja

2. És degut a la relació

C + K 2 = Ku

3. Observem primer que:

λ(ρ(v), v) = 0∀v i per tant λu (ρ(v), v)ρ0 (v) + λv (ρ(v), v) = 0∀v λ 0 iem v (ρ(v), v) = −ρ (v). λu A més recordem que

λu (ρ(v), v) 6= 0 ∀v

d'on tra-

per l'observació 4.1.

Tenint en compte lo anterior calculem ara ja el límit: Distingirem 2 casos:

Cas

λv (ρ(v0 ), v0 ) 6= 0

lims→ρ(v0 )

Kv (s, v0 ) Ku

lims→ρ(v0 )

λv λ λu λ

λv (ρ(v0 ), v0 ) 6= 0 i λv (ρ(v0 ), v0 ) = 0.

(⇔

ρ0 (v0 ) 6= 0)
λu

= lims→ρ(v0 )

(s, v0 ) = lims→ρ(v0 )

λv (s, v0 ) λu

λv l0 H oˆpital λ u
(s, v ) = 0 λu λ u




λ v
(s, v0 ) λu λ u

= lims→ρ(v0 )

= −ρ0 (v0 ).

Observem que podem aplicar la regla de l'Hôpital ja que per hipòtesi ∞ i per tant la indeterminació és del tipus . ∞

λv (ρ(v0 ), v0 ) 6= 0

Cas

λv (ρ(v0 ), v0 ) = 0

(⇔

ρ0 (v0 ) = 0)

Per l'observació 3.7: (∗) lim (λ (s,v0 )λ(s,v0 )) Kv u λv 0 ) uv lims→ρ(v0 ) K (s, v0 ) = lims→ρ(v0 ) λλuvuuλ−λ (s, v0 ) = s→ρ(v−λ 2 (ρ(v ),v ) λ−λ2u u 0 0 u

(∗)

λuu + Cλ ≡ 0 ⇒ λuu (ρ(v0 ), v0 ) = 0 Per hipòtesi el límit existeix i volem veure que és 0, suposem que no és 0

45

i arribarem a una contradicció: Si no és 0 tenim que:

∃ lims→ρ(v0 ) (λuv (s, v0 )λ(s, v0 )) 6= 0

i per tant

lims→ρ(v0 ) λuv (s, v0 ) = ∞

λv (s, v0 ) és indeterminat del tipus 00 i aplicant la regla de l'Hôλ lims→ρ(v0 ) λvu (s,v0 ) λ pital: lims→ρ(v0 ) vu (s, v0 ) = = ∞. λu λu (ρ(v0 ),v0 ) λv (s, v0 ) = ∞. I per tant lims→ρ(v0 ) λ Això ens diu que en aquest cas també seria vàlid l'ús de la regla de l'HôAra

lims→ρ(v0 )

pital en el càlcul del límit com hem fet en el cas anterior:

λu λ v
(s, v0 ) λu λ u




Kv (s, v0 ) lims→ρ(v0 ) K u

= lims→ρ(v0 )

λv l0 H oˆpital λ u
(s, v ) = 0 λu λ u




= lims→ρ(v0 )

λv λ (s, v0 ) = lims→ρ(v0 ) λλuv (s, v0 ) = −ρ0 (v0 ). λu λ K 0 I obtindriem 0 6= lims→ρ(v0 ) v (s, v0 ) = −ρ (v0 ), contradicció. Ku Per tant el límit ha de ser 0.

lims→ρ(v0 )

46

5.1

Relació del Teorema 5.14 amb l'article [5]

Recordem primer la tesi de l'article Focal Sets In Two-Dimensional

Space Forms de C.A.Escudero, A.Reventós i G.Solanes, [5].

XC2

denotarà una varietat riemanniana de dimensió 2, geodèsicament com-

pleta, simplement connexa i de curvatura constant C . K ⊂ XC2 denotarà un domini amb vora regular γ : [a, b] → XC2 i parametritzada per l'arc, kg (v) denotarà la curvatura geodèsica de γ en el punt

γ(v).

C ≥ 0, K serà fortament convex (i.e. K convex i kg (v) > 0 ∀v ). √ Si C < 0, K serà fortament h-convex (i.e. K convex i kg (v) > −C ∀v ). F serà l'àrea de K . Fe serà l'àrea algebràica que tanca l'evoluta de γ , això és: Z Z wind(%, p)dXC2 Fe = Si

2 p∈XC

Denim

tanC (x) :=

    


√ tanh −Cx si C < 0 x si C = 0 √  1 √ tan Cx si C > 0 C

√1 −C

Dit tot això, la tesi de l'article diu el següent:

Teorema 5.16.

(C.A.Escudero, A.Reventós i G.Solanes)

Amb les notacions anteriors tenim:



Z tanC γ

ρ(s) 2

 ds = F − Fe



Tot seguit anem a relacionar l'article amb el Teorema 5.14.

47

Observem que per ser C constant tenim:

C (F − Fe ) =

RR

(wind(γ, p) − wind(%, p)) CdXC2 .

2 XC

I per tant el teorema de l'article el podem escriure:



Z C tanC γ



Z Z ds = 2 XC

C=0

(wind(γ, p) − wind(%, p)) CdXC2 0=0

i per tant suposa-

kg% d%

del teorema 5.14:

v és el paràmetre arc de γ i per (3.1) √
(√g)u (ρ(v),v) . kgγ (v) = − g u (0, v) i kg% (v) = ρ0 (v)

. i el corol lari 5.10

Notem que si rem

ρ(s) 2

llavors l'anterior igualtat és

C 6= 0.

Ara calculem explícitament el terme

R γ

kgγ dγ +

R %

Recordem que tenim

R


R R % R γ R % 0 0 % γ γ (v)ρ (v) dv = (v)ρ (v)dv = (v) + k (v)dv+ k k d% = k dγ+ k k g g g g g g γ γ γ % γ
√
√
g u (ρ(v), v) − g u (0, v) dv .

R γ

√

g√del corol.lari 6.4 obtenim:  √ −C ρ(v))−1 √ −C cosh( si C < 0   sinh( −C ρ(v)) √
√
g u (ρ(v), v) − g u (0, v) = = √   √C cos( √C ρ(v))−1 si C > 0 sin( C ρ(v))  √ √ ρ(v)  −C tanh( −C 2 ) si C < 0 I derivant respecte de



√ √ − C tan( C I per tant

=−

R γ

R

C tanC

ρ(v) ) 2

k γ dγ + % γ g ρ(s) 2



les expressions de

si C > 0 R



u

kg% d%

=

 R √ √   γ −C tanh( −C   R −√C tan(√C γ

ρ(v) )dv 2

ρ(v) )dv 2

si C < 0 =

si C > 0

ds

La qual cosa ens diu que el teorema 5.14 engloba com un cas particular el resultat de l'article quan

C 6= 0.



48

5.2

Punxes

. Si pensem en la imatge prou coneguda en el pla de l'el lipse i la seva evoluta, s'observa que l'evoluta és una corba estrellada amb 4 punxes, anem a investigar una mica aquestes punxes de les evolutes.

2

1

0 -2

-1

0

1

2

-1

-2

Considerem la parametrització de l'evoluta donada per v → %(v), el vector 0 0 0 tangent ve donat per % (v) = ∂u (ρ(v), v)ρ (v) + ∂v (ρ(v), v) = ∂u (ρ(v), v)ρ (v), > 0 això ens diu que l'evoluta és una corba regular si ρ (v) 6= 0 i per tant les punxes (si és que n'hi ha) les trobem en els punts on s'anula la derivada del radi de curvatura.

(ρ(v0 ), v0 ) de l'evoluta és una punxa si ρ0 (v0 ) = 0. 0 Es diu que la corba γ té un vèrtex en el punt γ(v0 ) si kg (v0 ) = 0. 0 Cal dir que encara que ocorri ρ (v0 ) = 0, no necesariament l'aspecte vi-

Direm que el punt

sual de l'evoluta en aquest punt és punxegut, per exemple en el pla podem ∞ enganxar C a un arc no tancat de circumferència Σ una altra corba γ1 per un extrem i una altra corba

γ2

per l'altre extrem de manera que l'aspecte de

l'evoluta sigui suau. . Si observem el dibuix sembla que els vèrtexs de l'el lipse i de les seves . corbes paral leles es troben en les rectes normals als mateixos així com les punxes de l'evoluta, això ens podria portar a pensar (erróniament) que en el cas d'una superfície

S

també és així, veiem que no:

49

Considerem la funció

ϕ : s → Kv (s, v0 )

Γ(v0 ) ,

la qual ens . dóna el valor de la derivada de la curvatura geodèsica de la corba paral lela . en el punt (s, v0 ), si les corbes paral leles tinguessin totes un vèrtex sobre la (v0 ) geodèsica Γ llavors ϕ seria constant igual a 0 i a més Kvu (s, v0 ) = 0∀s. Ara considerem la igualtat (v ) sobre Γ 0 : Si fos

Kv (s, v0 ) = 0∀s

denida sobre

Cv +2KKv = Kuv

llavors tindriem:

(observació 3.7) i pensem-la

Cv (s, v0 ) = 0∀s,

la qual cosa no

passarà en general. Tot això ho podem resumir en el lema següent i la proposició posterior:

Lema 5.17.

Cv = 0 sobre Γ(v0 ) ⇐⇒ Kv g = kg0 (v0 ) sobre Γ(v0 )

Demostració. Si denim

f (0) =

f (s) := Kv (s, v0 )g(s, v0 ) − kg0 (v0 )

Kv (0, v0 )g(0, v0 )−kg0 (v0 )

2g 12 (Cv dents.

γ

2.

γ

=0

+ 2KKv ) − Kv K = gCv

Proposició 5.18. 1.




Si

i

f = Kvu g+Kv gu = 2g

v0 ⇒



1 K 2 vu

+

Kv g2gu



=

i ara ambdues implicacions ja són evi-

Cv = 0 sobre Γ(v0 )

té un vèrtex en (v ) geodèsica Γ 0 .

llavors ocorre el següent:

totes les corbes paral .leles tenen un vèrtex en la

v0 ⇔ ρ0 (v0 ) = 0 i punxa en (ρ(v0 ), v0 ).

té un vèrtex en

aquesta té una

0

tenim que:

per tant si hi ha evoluta llavors

Demostració. 1.

γ té un vèrtex en v0 llavors kg0 (v0 ) = 0 i pel lema anterior tenim que Kv (u, v0 ) = 0∀u i per tant totes les corbes paral.leles tenen un vèrtex en la (v ) geodèsica Γ 0 .

Si

2.

kg0 (v0 ) Kv g Kv (s, v0 ) = lims→ρ(v0 ) K (s, v0 ) = lims→ρ(v0 ) λ2 −λ (s, v0 ) Ku ug uu λ u i per tant existeix, ara aplicant l'apartat 3. del lema 5.15 tenim: −k0 (v0 ) 0 0 ρ0 (v0 ) = λ2 (ρ(vg 0 ),v i per tant ρ (v0 ) = 0 ⇔ kg (v0 ) = 0 0) u

lims→ρ(v0 )

50

=

kg0 (v0 ) λ2u (ρ(v0 ),v0 )

Corol.lari 5.19.

Si la curvatura de Gauss és constant llavors les circumfe-

rències tenen curvatura geodèsica constant. Demostració.

ρ(v) constant ∀v i tenim ρ0 (v) = 0∀v i per ser C constant tenim Cv (u, v) ≡ 0∀u, v , ara aplicant la proposició 5.18 0 obtenim kg (v) = 0∀v i per tant kg és constant.

Per ser circumferència existeix un

5.2.1 Punxes punxegudes Anem a estudiar ara quan les punxes són efectivament punxegudes (sempre (v ) dintre del context Cv = 0 sobre Γ 0 ). Una manera de garantir que les punxes de l'evoluta són efectivament pun00 xegudes és veure que ρ (v0 ) 6= 0 la qual cosa ens dirà (ja que el vector tangent 0 0 0 a l'evoluta és % (v) = ∂u (ρ(v), v)ρ (v)) que ρ canvia de signe al passar per v0 i per tant el vector tangent a l'evoluta fa marxa enrera.

00 00 Lo ideal seria obtindre el lligam kg (v0 ) = 0 ⇔ ρ (v0 ) = 0 ja que d'aquesta 00 0 manera la condició d'extrem kg (v0 ) = 0 6= kg (v0 ) del vèrtex original, seria 0 00 equivalent a la condició d'extrem ρ (v0 ) = 0 6= ρ (v0 ) del radi de curvatura. Malhauradament, això no ocorrira en general i haurem de afegir una hipò(v ) tesi addicional, que serà Cvv = 0 sobre Γ 0 , però abans veiem un lema previ:

Lema 5.20. 1.

Cv = 0 sobre Γ(v0 ) ⇒ λv j en (0, v0 ).

2. Si

Cv = 0

sobre

Γ(v0 )

i

és un camp de Jacobi sobre

ρ0 (v0 ) = 0

llavors:

Γ(v0 )

(a)

λv = 0 i λvu = 0

(b)

ρ00 (v0 ) = 0 ⇔ λvv (ρ(v0 ), v0 ) = 0
−Kvv = λλvv u sobre Γ(v0 )

(c)

sobre

51

Γ(v0 )

que s'anula

Demostració. 1.

v la igualtat λuu +Cλ = 0 obtenim λvuu +Cv λ+Cλv = 0 (v ) (v ) i considerant aquesta igualtat en Γ 0 tenim λvuu + Cλv = 0 sobre Γ 0 la (v ) qual cosa ens diu que λv j és un camp de Jacobi sobre Γ 0 que s'anula a (0, v0 ) ja que λ(0, v) ≡ 1 ⇒ λv (0, v) = 0 ∀v .

Derivant respecte de

2. (a) 0 Ara si ρ (v0 ) = 0 (i.e. Γ(v0 ) i per tant ∃a ∈

λv (ρ(v0 ), v0 ) = 0) el camp λv j és un múltiple de λj en R |λv = aλ en Γ(v0 ) però com que λv (0, v) ≡ 0 tenim a = 0 i per tant λv ≡ 0 en Γ(v0 ) i derivant sobre Γ(v0 ) obtenim també λvu ≡ 0 (v ) en Γ 0 .

2. (b)

e := (ρ(v), v) tenim λ(e) ≡ 0 ⇒ λu (e)ρ0 (v) + λv (e) ≡ 0 ⇒ ρ00 (v)λu (e) + (ρ0 (v))2 λuu (e) + 2ρ0 (v)λuv (e) + λvv (e) ≡ 0 ρ00 (v)λu (e) + 2ρ0 (v)λuv (e) + λvv (e) ≡ 0 0 (v ) i si ρ (v0 ) = 0 aquesta última igualtat escrivint-la sobre Γ 0 queda: 00 ρ (v0 )λu (ρ(v0 ), v0 ) + λvv (ρ(v0 ), v0 ) = 0 00 la qual cosa ens diu ρ (v0 ) = 0 ⇔ λvv (ρ(v0 ), v0 ) = 0 ja que per l'observació 4.1 λu (e) 6= 0 Denotant

2. (c)

−Kvv =

λu λ vv




=

λv λ uv




=

λv λ vu




=



λvv λ−λ2v λ2



ara la igualtat anterior sobre  i considerant 

λvv λ−λ2v λvv λ = λ2 u = λλvv u λ2 u

u

Γ(v0 )

com que

λv = 0

queda:

Els apartats 2.(b) i 2.(c) de l'anterior lema, ens diuen que el lligam bus00 00 cat entre kg (v0 ) i ρ (v0 ) no té per que donar-se en general i per tant haurem (v ) d'afegir alguna condició més, aquesta serà Cvv = 0 sobre Γ 0 . Escrivirem això en forma de proposició després de dues denicions.

vèrtex extrem en γ(v0 ) si kg0 (v0 ) = 0 i kg00 (v0 ) 6= 0. 0 Direm que l'evoluta té una punxa punxeguda en (ρ(v0 ), v0 ) si ρ (v0 ) = 0 Direm que

i

γ

té un

ρ00 (v0 ) 6= 0.

52

Proposició 5.21. 1.

γ

Si

Cv = Cvv = 0 sobre Γ(v0 )

v0 ⇒ totes les corbes paral .leles tenen un vèrtex Γ(v0 ) .

té un vèrtex extrem en

extrem en la geodèsica 2.

llavors ocorre el següent:

γ té un vèrtex (ρ(v0 ), v0 ).

extrem en

v0 ⇔

l'evoluta té una punxa punxeguda en

Demostració. Com que en

v0

Cv = 0 sobre Γ(v0 ) ,

situem-nos en el context de tindre un vèrtex

i tinguem present la proposició 5.18.

1.

Kvv g = kg00 (v0 ) sobre Γ(v0 ) , veiem-ho: 2 Derivant dues vegades respecte de v la igualtat C + K = Ku obtenim (v0 ) 2 queda 2KKvv = Kuvv Cvv + 2Kv + 2KKvv = Kuvv , que aplicada sobre Γ (v0 ) sobre Γ i ara procedim com en la proposició 5.18. 00 Si denim f (s) := Kvv (s, v0 )g(s, v0 ) − kg (v0 ) tenim que:   gu 1 0 00 f (0) = Kvv (0, v0 )g(0, v0 )−kg (v0 ) = 0 i f = Kvvu g+Kvv gu = 2g 2 Kvvu + Kvv 2g = 2g (KKvv − Kvv K) = 0. 00 (v ) I per tant kg (v0 ) 6= 0 ⇒ Kvv 6= 0 sobre Γ 0 Per començar resulta que

2.

⇒

ρ00 (v0 ) = 0 ⇒ kg00 (v0 ) = 0) (v ) de Jacobi sobre Γ 0 : de v la igualtat λuu + Cλ = 0

(Ho farem pel contrarecíproc:

Veiem primer que

λvv j

és camp

Derivant dues vegades respecte

obtenim Cλvv = 0 i considerant aquesta igualtat sobre Γ(v0 ) (v ) i per tant λvv j és camp de Jacobi sobre Γ 0 .

λvvuu + Cvv λ + 2Cv λv + queda λvvuu + Cλvv = 0 00 Ara si ρ (v0 ) = 0 llavors per l'apartat 2.(b) del lema anterior tenim λvv (ρ(v0 ), v0 ) = 0, això ens diu que ∃a ∈ R | λvv j = aλ sobre Γ(v0 ) però com que λvv (0, s) = 0 ∀s llavors també és zero per s = v0 i tenim λvv = 0 sobre Γ(v0 ) , ara aplicant l'apartat 2.(c) del lema anterior concluim que Kvv = 0 (v ) sobre Γ 0 . ⇐ (Ho farem pel contrarecíproc: kg00 (v0 ) = 0 ⇒ ρ00 (v0 ) = 0) 00 (v ) Per l'apartat 1. d'aquesta proposició sabem que Kvv g = kg (v0 ) sobre Γ 0 (v ) i per tant Kvv = 0 sobre Γ 0 , ara usant l'apartat 2.(c) del lema anterior
λvv = 0 sobre Γ(v0 ) i per tant λλvv és constant sobre Γ(v0 ) , però tenim que λ u com que λvv (0, s) = 0 ∀s llavors també és zero per s = v0 i per tant λvv = 0 (v ) sobre Γ 0 , la qual cosa ens diu que λvv (ρ(v0 ), v0 ) = 0 i per l'apartat 2.(b) 00 del lema anterior tenim nalment ρ (v0 ) = 0.

53

Una conjectura: En curvatura de Gauss arbitrària, podria passar que els vèrtexs desa. pareguin o que n'apareguin de nous al saltar de corbes paral leles, ja que, ∞ al poder fer enganxaments C , podem imaginar situacions diverses en les . que les corbes paral leles vagin canviant de manera arbitrària. Per exemple podem tenir una mena de corona circular de curvatura de Gauss nula amb . corbes paral leles que siguin circumferències que vagin creixent i entrin en una zona de curvatura de Gauss variable, evolucionin i tornin a entrar en . una zona de curvatura de Gauss nula on alguna corba paral lela sigui una . el lipse clàssica de 4 vèrtexs i després tornin a .......... en una corba amb 30 vèrtexs. Acabem el capítol amb el següent teorema:

Teorema 5.22. En curvatura de Gauss nula i en un domini convex, si una corba tancada simple té més de 4 vèrtexs extrems llavors la seva evoluta té autointerseccions. Demostració. Suposem que

γ

és corba tancada simple amb

n

vèrtexs extrems i la seva

evoluta tanca una regió ben denida (amb això volem dir que no té autointerseccions ja que tancada ho serà per que ho és Denotem per

Ωi∆

els recintes que tanquen

γ ). γi%

respectivament i apli-

quem el teorema de Gauss-Bonnet a les dues corbes: R γ RR R % RR k dγ + CdS = 2π k d% + CdS + nπ γ g Ω % g ∆ Notem que per estar en curvatura constant i tenir γ llavors

%

té

n

punxes punxegudes i per tant la suma

Sumant les dues equacions tenim: R γ R % RR RR k dγ + k d% + CdS + CdS γ g % g Ω ∆ I ara usant la proposició 5.12 resulta: RR RR Pn−1 CdS + CdS + (n − 4)π = i=0 Ω ∆ I ara C = 0 ⇒ n = 4

54

= 2π n vèrtexs extrems d'angles serà nπ .

+ (n − 4)π = 0. RR Ωi

CdS

6

Curvatura de Gauss constant En aquest capítol trobarem en funció de la curvatura geodèsica de la cor-

ba original

γ

les expressions explícites de la mètrica, la curvatura geodèsica . de les corbes paral leles i el radi de curvatura, també demostrarem armaci-

ons fetes anteriorment sobre corbes en curvatura de Gauss constant.



Primer trobarem el radi de curvatura, una manera de procedir seria trobar explícitament

g

i després resoldre l'equació

g = 0,

però no ho farem així,

aprotarem el lema següent (que usarem posteriorment).



Lema 6.1.

Kv Ku

 =0 u

Demostració. Usarem l'observació 3.7 per substituir



Kv Ku



= u

Kvu Ku −Kv Kuu Ku2

Cv Ku −Kv Cu que és 0 si Ku2

= C

Kuu i Kuv

(Cv +2KKv )Ku −Kv (Cu +2KKu ) Ku2 és ctt.

kg0 (v) ρ (v) = − C + kg2 (v)

Corol.lari 6.2.

=

0


dkg = − C + kg2 dρ

Demostració. K K Pel lema 6.1 tenim que si Ku (0, v) 6= 0 llavors lims→ρ(v) v (s, v) = lims→ρ(v) v (0, v) Ku Ku Kv Kv Kv (0, v) i usant ara el lema 5.15 tenim ρ0 (v) = − K (0, v), i com que K (0, v) = Ku u u kg0 (v) kg0 (v) 0 obtenim: ρ (v) = − C+kg2 (v) C+kg2 (v)

0 = Ku (0, v) = C + kg2 (v) llavors no existeix el radi tant el punt (0, v) no té punts focals, això és el que passa

En el cas que curvatura i per els horocicles.

55

de en

=

Corol.lari 6.3.

ρ(kg ) =

              

1 kg

si C = 0

√1 −C

arg coth

√1 arc cot C





k √g C

k √g −C





k √g −C

si C < 0 i

>1

si C > 0 amb cot : (0, π2 ) → R

Demostració.

Les relacions anteriors surten de resoldre l'equació


dkg = − C + kg2 . dρ

Com que la resolució és llarga i pesada la deixem pel nal d'aquest capítol en l'apartat 6.1. Recordem que si entorn de

v0

kg (v0 ) 6= 0

Corol.lari 6.4. Si

∃ρ

llavors podiem suposar

i per tant no és restrictiu prendre

llavors:

p g(u, v) =

              

ρ(v)−u ρ(v)

kg (v) > 0

en un

kg ≥ 0.

si C = 0

√ sinh( −C (ρ(v)−u)) √ sinh( −C ρ(v)) √ sin( C (ρ(v)−u)) √ sin( C ρ(v))

si C < 0

si C > 0

Demostració. . La demostració que farem del corol lari 6.3 en l'apartat 6.1 també demostrarà . el present corol lari.

Corol.lari 6.5. Les circumferències tenen curvatura geodèsica constant i la relació amb el radi és la donada en el corol .lari 6.3. Demostració. En una circumferència hi ha algun radi de curvatura constant (proposició . 5.4), aplicant ara el corol lari 6.3 obtenim que té curvatura geodèsica ctt.

56

Proposició 6.6.  kg (v)   si C = 0    1 − kg (v)u      √ √ √    kg (v) cosh( −C u) − −C · sinh( −C u) si C < 0 √ √ kg (v) K(u, v) = cosh( −C u) − √ sinh( −C u)  −C      √ √ √    kg (v) cos( C u) + C · sin( C u)   si C > 0 √ √   cos( C u) − k√g (v) sin( C u) C  |1 − kg (v)u| si C = 0       √ √ p kg (v) | cosh( −C u) − √ sinh( −C u)| si C < 0 g(u, v) = −C       | cos(√C u) − k√g (v) sin(√C u)| si C > 0 C Demostració. . Una manera és substituir les expressions del radi de curvatura del corol lari . 6.3 en el corol lari6.4, i una altra manera és resoldre efectivament el problema √ C + K 2 = Ku de valors inicials i així trobem K , després trobem g fent K(0, v) = k (v) g R u √ g = e− 0 K(t,v)dt (corol.lari 3.5). Cal dir que es pot resoldre efectivament per que

C

és ctt.

. Observacions i corol laris:

1. Si

g C < 0 i | √k−C |≤1

llavors

@ρ

ja que

| coth(x)| > 1∀x.

Recordem aquí els horocicles i les corbes amb kg constant però amb g | √k−C | < 1, parlant grollerament podriem dir que la seva curvatura geodèsica no té prou força per vèncer la curvatura de Gauss la qual al ser negativa té tendència a separar-ho tot i impedeix que arribi a ser un arc de circumferència. També observem que aquestes corbes no poden tindre circumferència osculadora ja que aquesta al tindre radi de curvatura la seva curvatura kg geodèsica ha de complir | √ | > 1. −C

57

√π , C recordem aquí els punts antipodals i la doble evoluta d'una corba en

2. Si

C>0

llavors de l'expressió explícita de

ρ

traiem

ρ(1) − ρ(−1) =

l'esfera. D'aquesta igualtat podem treure una acotació per a la distància entre punts conjugats quan

Teorema 6.7.

no és constant però si acotada:

([7] corol .lari 4.3 pàg. 78)

C acotada 0 < C0 < C(p) < C1 ∀p ∈ S amb C0 , C1 ∈ R dues constats positives; i Γ és una geodèsica parametritzada per l'arc de manera que Γ(b) és el primer punt conjugat amb Γ(a) (a < b), llavors Si

S

C

és una varietat riemanniana amb curvatura seccional

de la següent manera:

tenim:

π π √ ≤b−a≤ √ C1 C0

58

6.1

. Demostració dels corol laris 6.3 i 6.4

Demostració. Les equacions

dkg dρ

= − C + kg2




i

C + K 2 = Ku

es poden resoldre

efectivament:

 1 si C = 0  ρ−a      √
√ −C coth −C(ρ − a) si C < 0 kg (ρ) =    √ √     C cot C(ρ − a) si C > 0 amb

a

una constant arbitrària.

 1 si C = 0  f (v)−u      √
√ −C coth −C(f (v) − u) si C < 0 K(u, v) =         √C cot √C(f (v) − u) si C > 0 amb f una funció arbitrària de v . En particular:

 1 si C = 0  f (v)      √
√ −C coth −Cf (v) si C < 0 K(0, v) =         √C cot √Cf (v) si C > 0 però com que

kg (v) = K(0, v) tenim per tant f (v) = ρ(v) − a amb lo que:

 1 si C = 0  ρ(v)−a−u      √
√ −C coth −C(ρ(v) − a − u) si C < 0 K(u, v) =         √C cot √C(ρ(v) − a − u) si C > 0

59

Ara integrant

p g(u, v) =

              

i nalment

K=−

( √g ) u

ρ(v)−u−a ρ(v)−a

√

g

amb la condició

si C = 0

√ sinh( −C (ρ(v)−u−a)) √ sinh( −C (ρ(v)−a)) √ sin( C (ρ(v)−u−a)) √ sin( C (ρ(v)−a))

si C < 0

si C > 0

g(ρ(v), v) = 0 =⇒ a = 0

60

g(0, v) = 1

obtenim:

Referències [1] Vladimir Arnold, Equations diérentielles ordinaires, Editions MIR Moscou, 1988, Traduction française, Traduit du russe. [2] Yu. D. Burago and V. A. Zalgaller, Geometric Inequalities, SpringerVerlag, 1988. [3] Manfredo P. Do Carmo, Dierential Geometry of curves and surfaces, Prentice-Hall, New Jersey, 1976. , Riemannian Geometry, Birkhäuser Boston, 1992.

[4]

[5] Carlos Arturo Escudero, Agustí Reventós, and Gil Solanes, Focal sets in

two-dimensional space forms, Pacic J. Math.

233 (2007), no. 2, 309320.

MR MR2366378 [6] Alfred Gray, Tubes, Birkhauser Boston, 2nd Revised edition (27 novembre 2003). [7] Shoshichi Kobayashi and Katsumi Nomizu, Foundations of Dierential

Geometry volume II, Interscience Publishers, 1969. [8] Michael

Spivak,

A

Comprehensive

introduction

to

dierential

geo-

metry/Michael Spivak, Houston : Publish or Perish, cop. 1970-1975, 1970, Volum 3.

61