Espazio metrikoen topologia

ESPAZIO - METRIKOEN ( TOPOLOGIA

I .1n9

I le cuksikkci I) IMIII~ unibertsitatea

IRUÑEA 1982

ESPAZIO METRIKOEN TOPOLOGIA J. DUOANDIKOETXEA

1981-1982 IKASTURTEA LEIOA

EUSKO JAURLARITZAREN LAGUNTZAZ

Jabegoa: U.E.U.ko MATEMATIKA Saila Lege-gordailua: BI-2.099-82 ISBN:

84-300-7954-8

Inprimategia: I. BOAN, S.A. - BILBO

HITZAURREA

"Baina oroitzen naiz, noski, ni re ikaslea izan zen aspaldian. Gero poeta bilakatu da: jakina, ez zuen irudimenik nahikoa Ala-

tematikan aritzeko". HILBERT.

Gure eskola-denboran Matematika eta zenbakia gauza bera ziren eta kalkulua zen Matematikaren muina. Oraindik ere, askoren ustez, matematikaria kontuak besteek baino arinago et'a errezago egiten dituen pertsona bat baizik ez da. Baina Plate-

matika, mundu guztia bezala, XIX. mendetik pasatu da eta mende horretatik eraberritua atera da, itxura berria kaleko jendearen artera urte asko ez direla zabaldu bada ere, lehen mai lako ikasketetan sartzearekin batera, alegia.

Jorge Luis Borges-ek "El Libro de los Seres Imaginarios" delakoaren hitzaurrean hauxe dio: "Liburuaren izenak justifika tuko luke Hamlet printzea, puntua, lerroa, gainazala, hiperkuboa,... sartzea". Ez dabil oker argentinar idazle ospetsua iru dimenezko izakien artean kontzeptu matematikoen aipamena egite rakoan

Horrela da, Matematikan gaur ez dago dena begiz

ikusterik, baina, ikusten ez den hori irudimenez atzematekopo sibilitaterik ez duenak, nekez ulertuko du gauza handirik.

Matematikaren berriztapena gaur, gutxi aski, eskoletan sartuta dago -ez gara hasiko horren egokitasunaz hitz egiten-

iv

eta Fakultatera heltzen den ikasleak ba du, gure denboran ez bezala, mundu matematikoaren zenbait kontzepturen berri. Hala ere, momentu horretan sentitzen du eraginik handiena eta "ez da hau nik espero nuena" esango dizu batek baino gehiagok urte-bukaeran.

Matematika saileko lehen kurtsoan bide klasikotikgehien alderatzen den gaia "Topologia" izenekoa dugu, batipat. Ezin izan bestela, izenak berak ere ez du konfidantza handirik ematen eta. 1981-82 ikasturte honetan matematikarigaien talde bati gai honen eskolak ematea nire gain gelditu zenean -neure gogoz- ba nekien jakin Topologiaren abstraktutasuna ikasleen baitan modu atseginez txertatzea zaila izango zitzaidana. Eta, urrian lehen klaseetara neraman ilusioa emendatuz joan da urteak aurrera egin ahala, ikasleen jokabideari esker.

Gero gerokoak. Ohizko kontzeptuen generalizazioa egite rakoan, bolak ez dira beti borobilak, batzutan karratuak aterako dira, inoiz zartaginen antza daukate, distantziak nola neurtzen diren arabera. Baina, ba ote dago ohi dugun moduaz aparte distantziak neurtzerik? Ez esan horretaiako ez dela irudimenik behar!.

"Orduan Topologiak pelotak, zartaginak eta kaixak zaku berean sartzen baldin baditu, ez du seriotasun handirik" esan go du norbaitek. Azal dezagun, bada, nola edo hala, Topologiak zer dakarkigun.

v

Hasteko, Topologia hitza grekotik dator, "topos"

le

kua eta "logos" = zientzia, estudioa direlarik. Etimologikoki "lekuaren estudioa" litzateke, beraz, eta hasieran Geometriaren inguruko problemak tratatzen zirela esateak zerbait azalduko luke izenaren zergatia. Gaur, Topologian bi adar nagusi daude, Topologia orokorra eta Topologia algebraikoa izenekoak, eta gure espazio metrikoen topologia hau lehenaren azpisail bat baino besterik ez da.

Topologiaren definizioak ematerakoan, egitura espazialaren deskribapena egiten duela esango du norbaitek; bijekzio birjarraiez (jarraia aplikazioa eta jarraia inbertsoa) aldatzen ez diren propietateen estudioa beste batek; limitea eta jarraitasuna aztertzen dituen saila dela ere ikus daiteke non bait. Dena dela, definizioak ez dira sekulan gogobetekoak iza ten.

Limitea eta jarraitasuna zer diren ulertzeko, azken ba tez, liburuan barrena abiatu beharko denez, egitura espaziala ren ideiaz hitz bi. Espazioan, multzo batetan, puntuen arteko distantziak neurtzen jakinez gero, puntu bakoitzetik hurbil dauden puntuak kontsidera daitezke. Horrela, ingurunearen kontzeptua sortuko da; bestalde, azpimultzo baten puntu bakoi tzak ingurune bat azpimultzoaren "barruan" badu, irekia izango da; itxia, multzokoak ez diren puntuek ingurune oso bat multzotik "kanpora" badute (multzoak ez du bereak ez

diren

puntuekiko "harremanik"), eta abar. Era honetako ideien abs trakzioak garatuz egiten da Topologia.

v

i

Lan honetaz ere zerbait esatea komeni da. Gaiak ez dira derrigorrez datozen ordenean irakurri behar. Lehen eta bigarren kapituluak oinarrizkoak dira eta ez dago atzerago ematerik. Besteak, ordea, nahi bezala ordena daitezte eta guk se gitu duguna klasean emandakoa da; ez du horrek esan nahi onena denik (oso posible da ez izatea, gainera). Demagun funtzio jarraiak (hemen seigarren kapituluan) hirugarren kapitulutzat sartu nahi direla, ezin izango ditugu bertan sartu ez segidekiko erlazioa ez trinko edo konexuen propietateak, dagozkien kapituluak tratatzen direnerako utzi beharko dira. Honelako es kema bat argigarri izan daiteke.

I. Espazio metrikoa

II. Egitura topologikoa

III.

/

Trinkotasuna

V. Segidak

IV. Konexutasuna

1/1 VI. Jarraitasunal

VII. Biderkadura-espazioa I

Ez da aurretik gauza asko jakin behar Topologia ulertzeko. Komeni da Multzoen Teoriaren oinarriak eta zenbaki errealen propietateak berrikustea, azkena adibideak ulertzeko batez ere. Bibliografian aipatzen diren liburuen hasieran

vii

aurki daitezke, esate baterako. Analisia jakitea ez da derrigorrezkoa baina bai oso lagungarri.

Maila honetako gaietan ez dago norberak asmaturiko lanik idazterik. Ezin da esan, hala ere, egilearen eskua ageriko ez denik: aurkezpena, estiloa, frogapenen aukera, gai bati zein besteri lehentasuna ematea,...; ba dago zer erabakirik eta non huts egiterik ere. Aitor ditzadan, bada, lan honi aur kitzen dizkiodan akats batzu: "definizioa-teorema-frogapena" sistema hertsiegia, irazkin eskasez ornitua; kasu errealekiko (begiekin ikusten direnekiko) konparaketa gutxi; problema-zerrenda ez-osoak, teorikoak nagusi bait dira. Hutsok, neure bu rua zuritzeko edo esango dut, kurtsoa lehen aldiz ematearen ondorio izan daitezke eta hurrengoetan konpontzeko esperantza ez dugu galduko. Ez zaio, bestalde, apuntu-liburu bat izan go

go duenari gehiegi eskatu behar, irakasleak ere klasean zer gaineratu edukiko du beti.

Ez da hau euskaraz agertzen den Topologiazko lehen lana. Aintzindari du 1978. urtean UEUn argitaratutako "Espazio topologikoak" delakoa, Leioako matematikari-taldeak egina. Gaur egun, espazio topologikoei gainbegirada bat botatzekoba lio badu ere, terminologiaren problema nabaria du, batzuk bes terik pentsatu arren, urte gutxi hauetan hango hitz asko zahar kituak eta ordeztuak gelditu bait dira. Gure lan honetan erabiltzen den terminologia UZEIren Matematika-Hiztegiarekin (egunen batetan kaleratuko den horrekin) bat dator, gehiena behintzat, diferentzia txiki bat edo beste ba dago eta.

viii

Azkenerako, ohi denez, eskerrak emateko ordua. Eskerrak, bada, amaitu berri dugun ikasturte honetan Matematika Saileko lehen kurtsoko bigarren taldean adiskide eta lankide izan ditudan ikasle-irakasleei; denen . artean bizi izan dugun giroak lagundu nau lanari eusten_beste nonbaitetik zetorkidan etsipenerako gogoa gaindituz. Makinaz pasatzen eman diodan lana gatik ere eskertu nahi nuke Mari Karmen Menika idazkaria.

Hitzaurre hau burutik buru irakurtzeko kemenik izan baduzu lasai abia zaitezke espazio metrikoetan barrena. On dagizula.

Leioan, 1982.eko ekainean J. Duoandikoetxea

ix

AURKIBIDEA

HITZAURREA

iii

Aurkibidea



ix

I. KAPITULUA. ESPAZIO METRIKOAK



1

1. Definizioa eta adibideak

3

2. Multzoen arteko distantzia

14

3. Espazio metriko baten azpiespazioak

18

4. Isometriak



18

Problemak



23

II. KAPITULUA. ESPAZIO METRIKOAREN EGITURA TOPOLOGIKOA

27

1. Bola irekiak, itxiak eta esferak

2. Multzo irekiak

29

34

3. Inguruneak. Puntu atxekiak eta metatze-puntuak

39

4. Multzo itxiak

44



5. Multzo baten muga

51

6. Irekiak eta itxiak azpiespazioetan

52

7. Multzo dentsoak eta inon ez dentsoak

55

8. Metrika topologikoki baliokideak

58

9. F-ko irekien egitura

61

Problemak



64



69

1. Multzo bornatuak. Diametroa

71

2. Aurretrinkotasuna

74

III. KAPITULUA. TRINKOTASUNA

X

3. Multzo trinkoak



80

4. Multzo erlatiboki trinkoak eta lokalki trinkoak

88

5. Multzo trinkoak P n -n

91

Problemak

94



97

IV. KAPITULUA. KONEXUTASUNA



1. Multzo konexuak 2. Konexuen itxidura eta bildura



99 102



104

3. Osagai konexuak



106

4. Konexuak R-n 5. Konexutasun lokala

108

111

Problemak



117

1. Segidak. Segiden limiteak



120

2. Segida cauchyarrak



126

V. KAPITULUA. SEGIDAK ETA OSOTASUNA

3. Espazio osoak



129

4. Osotasuna eta trinkotasuna



137

5. Baire-ren teorema



141

6. Osakuntza



145

Problemak



152



159

1. Jarraitasuna puntu batetan



163

2. Jarraitasuna multzo batetan



170

VI. KAPITULUA. JARRAITASUNA

3. Jarraitasun uniformea



176

4. Jarraitasuna multzo trinkoetan



180

xi

5. Jarraitasuna multzo konexuetan

184

6. Arkuzko konexutasuna

187

7. Metrika baliokideak

191

8.

Konbergentzia uniformea

9.

Hedapen-teoremak

10.



194



197

Puntu finkoaren teorema bat

Problemak

VII.







208

BIDERKADURA-ESPAZIO METRIKOAK

KAPITULUA.

1. Biderkadura-espazio metrikoak 2.

204

.

217'



219



Projekzioak

221

3. Segidak eta aplikazioak



223

4.

Trinkotasuna

226

5.

Konexutasuna

229



Problemak

232

ERASKINAK

235

1.

Supremoa eta infimoa ]R-ren azpimultzoetan

2.

Kontagarritasuna

3.

Espazio topologikoetarantz

4. Historia pixka bat

BIBLIOGRAFIA

HIZTEGIA





.

237



241

251 257

269

273

I. KAPITULUA

ESPAZIO METRIKOAK

I.1 Definizioa eta adibideak 1.2 Multzoen arteko distantzia 1.3 Espazio metriko baten azpiespazioak 1.4 Isometriak

2

I. KAPITULUA

ESPAZIO METRIKOAK

Kapitulu honetan metrikaren definizioa ematen da, espazio metrikoa definitzeko oinarria. Metrika, ikusiko denez, ohizko distantzia geometrikoaren abstrakzioa da, honen propietate garrantzitsuenak atxikiz. Orokortasuna gorde nahiz, beste propie tate batzu kanpoan gelditzen dira, batez ere eragiketekin zer ikusia dutelako. Eragiketak kontutan hartu gabe distantziak ne urtzea interesatzen bait zaigu.

Puntuen arteko distantziak neurtu ondoren, puntu batetatik multzo batetarakoa eta bi multzoren artekoa ere definituko dira, biak modu natural batez.

Multzo batetan metrika bat edukiz gero, edozein azpimul tzotako puntuen arteko distantziak ere definituta dauzkagu. Ho nela, azpiespazio metrikoaren kontzeptua agertzen zaigu. Azkenik, isometriak definitzen dira, bi ikuspuntutatik begira daitezkeelarik; alde batetik, espazio metrikoak identifikatzeko balioko dute; bestetik, espazio metriko batetatik bijekzio ba ten bidez beste multzo batetara distantzia pasatzeko modua es kaintzen digute.

3

I.1. DEFINIZIOA ETA ADIBIDEAK

Espazio metrikoa zer den esateko, distantzia bat definitu behar dugu.

"Distantzia" hitza ezaguna zaigu guztioi, hizketa arrun tean erabiltzen bait dugu. Nork ez du ulertzen "Bilbotik Gasteizerako distantzia 60 kilometrotakoa da" esaldia? Hizketa arruntaren esanguraz ari gara eta ez dugu aztertzen esaldiaren zehaztasuna, Bilboko zein puntutatik Gasteizko zein puntutara neurtzen dugun, zein bidetatik joanda, etab.

Distantzia geometrikoak (eta distantzia geografikoak gutxi gora-behera distantzia geometrikoak dira) ulerterrezakzaiz kigu, baina, nola defini distantziak edozein multzo batetan? Jar dezagun adibide bat. Biz B bokaleen multzoa, hau da, B={a, e,

o, u} . Letra hauen arteko distantzia neurtzeko har de-

zagun "IRUNEKOAK" hitza. Hona zer egingo dugun: bokale batetatik beste batetara joateko zenbat "jauzi" eman behar diren kontatu eta lortutako zenbakiari bi bokale horien arteko distantzia deitu. Esate baterako, a-tik i-rako distantzia 7 da eta o-tik a-rakoa 1. B-n distantziak neurtzeko modu hau nahiko bitxia badirudi ere, ez dago arrazoi berezirik hori distan tzia ez izateko.

Baina, orduan, multzo baten puntu-bikote bakoitzari zenbaki bat lotzea nahikoa izango da distantzia bat definitzeko? Ba, ez dirudi horren zabal jokatuz asko irabaziko genukeenik;

4

egia esan, propietate batzu eskatzea, ohizko distantziek betetzen dituztenetariko batzu, ezinbestekoa zaigu.

Hauxe da

orain egingo duguna.

1.1. Definizioa

Biz E edozein multzo ez-huts eta d:

aplika-

zio bat. d metrika da ondoko propietateok betetzen baditu:

M1.

V x,y c E

d(x,y)

M2.

V x,y e E

d(x,y)

M3.

V x,y c E t

d(x,y)= d(y,x)

M4.

fl x,y,z e E

d(x,y)

0 =0

<

x

=

y

(simetria)

d(x,z) + d(y,z)

(desberdintza triangeluarra)

Zer esan nahi dute propietate horiek hizketa arruntean?

M1.

Bi lekuren arteko distantzia ez dugu inoiz negatibotzat hartzen.

M2.

Bi lekuren arteko distantzia 0 bada, leku batetatik ez gara higitzen, eta alderantziz.

M3.

Bilbotik Gasteizera edo Gasteizetik Bilbora distantzia berbera dago.

M4. Bilbotik Gasteizera zuzen joatea, Donostiatik pasatuz joa tea baino laburragoa da (har bitez x = Bilbo, z = Donostia).

y

=

Gasteiz,



5

Azken propietateari jarri zaion izena (desberdintza triangeluarra) geometriak justifikatzen du. Irudian ikus deza kegunez zera da: edozein triangelutan alde baten luzera beste bien luzeren batura baino txikiagoa da.

Oharra.- Metrika hitza erabiliko dugu aplikazioa izendatzeko. Metrikak bikote bati lotzen dion balioa bi puntu horien arteko distantzia izango da.

1.2.

Definizioa.

Biz E edozein multzo ez-huts eta d E-n definitutako metrika bat; orduan, (E,d) bikotea espazio metrikoa deitzen

da.

Har bedi kontutan espazio metrikoa bikotea dela. E mul tzo ber batetan bi metrika desberdin definituz gero, bi espazio metriko desberdin lortzen dira.

Ez da beharrezkoa M1, M2, M3 eta M4 baldintza guztiak ematea 1.1. definizioan. M2 eta M4 emanez gero, beste biak lor daitezke. Hona hemen nola:

Idatz dezagun M4 propietatean y=x. Zera dugu orduan, V x,z

E

E

d(x,x)

<

d(x,z) + d(x,z)

eta M2 aplikatuz x,z E

E

0 < 2 d(x,z), hots, 0 < d(x,z)

(M1)



6

Egin dezagun orain M4-ean x,y

E

E

eta M2 aplikatuz,

d(x,y)

z=x d(x,x) + d(y,x)

d(x,y) < d(y,x)

x eta y-ren tokia aldatuz, d(y,x) < d(x,y) eta bi desberdintzetatik

V x,y C E

1.3.

d(x,y) = d(y,x)

(M3)

Teorema.

Biz (E,d) espazio metrikoa. Orduan,

V x,y,z

e E

d(x,z) - d(y,z)I

d(x,y)

Frogapena

Desberdintza triangeluarra bi bider aplikatuz zera dugu: d(x,z) < d(x,y) + d(z,y) = d(x,y) + d(y,z) eta

d(y,z)

beraz,

d(y,x) + d(z,x) = d(x,y) + d(x,z) d(x,z) - d(y,z) < d(x,y)

eta Hemendik,

-d(x,y) < d(x,z) - d(y,z) Id(x,z) - d(y,z)I < d(x,y)

f.n.g.

Prupuuiziu hunen esangura ere geometria elementalean aurkitzen dugu: edozein triangelutan alde baten luzera beste bien luzeren kendura baino handiagoa da.

7

1.4. Teorema. Bira x 1 , x 2 , Orduan d(xx

n

)

xn espazio metriko baten n puntu.

d(x 1, x 2 ) + d(x 2, x 3 ) +

+ d (x

n-1

,x

n

).

Teorema hau M4 propietatearen generalizazioa da eta handik, indukzioa aplikatuz, erraz lortzen da. Egin ariketa bezala.

Ikus dezagun zein den teorema honen esangura geometrikoa: edozein poligonotan alde ba ten luzera beste alde guztien lu zeren batura baino txikiagoa da. (Honegatik, desberdintza poligonala deitzen zaio).

1.5.

Definizioa.

Biz (E,d) espazio metrikoa. Existitzen bada k> 0 zei nentzat d(x,y) ‹ k bait da edozein x eta y-tarako, (E,d) espazio metriko bornatua dela esaten da.

Adibideak

1. Biz E edozein multzo ez-huts eta defini dezagun d(x,x) = 0 d(x,y) = 1





x e E `7" x,y e E,

x

y

8

Erraz ikus daiteke (E,d) espazio metrikoa dela, hots, d metrika dela. Espazio metriko hau diskretua deitzen da. Kontutan har bedi ez dugula eskatzen E multzoan inolako egitura algebraikorik, eragiketarik ere ez dugu behar.

2.

E=R izanik,

biz d(x,y) =

c

lx-y1 V x,y

Balio absolutuaren propietateetatik berehala lortzen di ra M1-M4 propietateak. d metrika da, beraz, 13R-ren ohiz ko metrika deitua. Beste metrikarik aipatzen ez denean hau xe izango da ]R-n erabiliko duguna.

3.

Har dezagun E = ]Ft n , eta idatz dezagun x = (x

1

,x.x

n

)cE

Defini dezagun

d(x,y) =

(n =2 edo n =3 denean hauxe da distantziak neurtzeko modu arrunta). d metrika da, metrika euklidearra izenekoa. ]R ri espazioko ohizko metrika da d. M1 eta M3 nabariak dira. Ikas dezagun M2: d(x,x) = O dela bistakoa da. d(x,y) = 0 0

d(a,a) = d(b,b) = 0

Froga bedi (E,d) espazio metrikoa dela. Beste metrikarik defini ote daiteke E-n?

1.5. Biz E ez-hutsa,

d(x,x) = 0 Vx cE

= d(y,x) c[1,2] x

Ikus d metrika dela.

y .

1.6. Biz E = IR n . k finkatuz,

d

1.7. d

k

1

eta d(x,y) =

1< k< n, defini dezagun

ixk -Etaerdimetrika? Ykl ha du k :rik: da?

eta d

2

E-n definitutako bi metrika badira, zer esan

daiteke ondoko hauetaz:

d +d 2 • 2 ; 1

max (d

,d 2 ) d ) •; min ( d1 1' 2

?

1.8. d metrika bada, ikus d . ( x ,Y) =

d(x,y)

metrikak direla.

+d(x,y)

'eta

d"(x,y) = min (1,d(x,y))

25

1.9. Biz E =

eta

d(x,y) = =

lx-yI + 1

zeinu x

zeinu

y

bada

Ix-yl

zeinu x = zeinu

y

bada

Froga bedi (E,d) espazio metrikoa dela. (zeinu 0 = + hartuko da).

1.10. Biz

E =

C1 ( [ a,b] ),

hots, [a,b] tartean deribatu ja-

rraia duten funtzioen multzoa. Defini dezagun

d(f,g) = If(a)

g(a)I +

max a 0 zenbaki erreala. a zentruko eta r erradioko bola irekia zera izan go da: B(a,r) = {x e E / d(x,a)

A n B da. Gaine

o

irekia da (irekien ebakidura) beraz, aurreko teore

o

mak An B C A f113 A

ematen digu.

B C A denez, An BCA da. Ha laber,

eta orduan,

A

n

U

B denez, ACAU B

A

nBCB

,

B o

( ii) A o

beraz,

C

A

da. Halaber Bc A U B ;

o

AUBCAUB.

Oharrak 1. Bi multzorentzat definitu dugun teorema hau, n multzo-

39

rentzat defini daiteke, noski.

2.

dugu, baina berdintza ez da beti ger

AUBCAUB

tatzen. Hona hemen bi kontradibide ]R-n (bigarrenak bi multzo horiek oso desberdinak izan daitezkeela erakusten du):

a) A = (0,1] , A = (0,1) ,

B = (1,2) B = (1,2) ,

n (0,1) ,

A = 6 ,

B = d

Orain ere

AU B = (0,2),

AU B = (0,2)

AU B .

beraz, AU B

b) A = Q

badira, zera dugu:

B = O c n (0,1)

badira:

, AUB = (0,1) ,

AB U

AUB = (0,1)

AUB .

§II.3. INGURUNEAK. PUNTU ATXEKIAK ETA METATZE-PUNTUAK.

2.9. Definizioa Biz E espazio metrikoa eta x o c E. Vc:E x o -ren ingurunea dela esango dugu, existitzen bada multzo ireki bat,A,

xc AC V betetzen duena. o

Beste modu batez esanda, V x o -ren ingurunea da, xo V-ren barruko puntua bada.

Nabaria da x

zentrutzat duen edozein bola x -ren o o

ingurunea dela, eta baita ere, multzo ireki bat bere puntu guztien ingurunea dela.

40

2.10. Teorema x

o

puntuaren ingurune-familia finitu baten ebakidura,

x -ren ingurunea da. o

Frogapena ...,V Bira V ,V 1 2' n

x -ren n ingurune. Ingurunearen o

definizioaz, existitzen dira A 1 , A 2 ,...,A n irekiak non Baina, 2.5 teoremaz, c A C V i = 1,2 ..... n bait da. i i n V.denez, A. irekia da eta orduan, x c A C n A = n i o i=1 i=1 1 azken hau x -ren ingurunea da. o x

o

n

Puntu atxekiak

2.11. Definizioa Bira • (E,d) espazio metrikoa,

AC:E eta x

o

E

E.

x

o

A-ren puntu atxekia da, x -ren edozein ingurunetan A-ren o punturen bat badago.

A-ren puntu atxekien multzoa A-ren atxekiduraedoitXi-

dura deitzen da, eta A idazten.

Nabaria da A C A dela, zeren x o c A hartuz, beti egon puntua. go bait da x -ren edozein ingurunetan x o o Bistakoa da, baita ere', AC B bada, A C B dela. Puntu atxekiaren definiziotik berehala ikusten da.

41

2.12. Teorema Biz (E,d) espazio metrikoa eta A,B c E. Orduan

AU B = A

( i)

A flB C

( ii)

U

7n•

Frogapena

( i) AC A U B eta BC A U B direnez, A

C

A U B eta BC A U B

izango dira, beraz, ÄUBCAU B.

A U B C A U EÎ ikusteko, absurdura eramango dugu. Demagun x0

E

AU B dela, baina x o U B. Orduan, x o eta

x



B betetzen zaizkigu. Puntu atxekien definizioa apli

o

katuz zera dugu: existitzen dira V 1 eta V 2 , x o -ren inguru neak , zeinentzat V 1 n A =

eta V 2 n

= d bait dira.

Baina, orduan, (V i (1 v 2 )n(A u B) = eS da, eta V 1 n v 2 xo-ren ingurunea izanik, x

o

ez da AU B-ren puntu atxekia, hi-

potesiaren aurka.

( ii) An Bc A eta An Bc B direnez, A n BCA eta An BCB dira; hortaz,

An B CA 11B

f.n.g.

Oharrak

1.

Proposizio hau

2.

Ez da lortzen A = (0,1)U { 2}

n

multzotarako defini daiteke.

An B = AnB eta

. Hona kontradibide bat:

B = (0,2)

izanda,

42

A(1B = 10,1)

eta

Af1B = fo,1iut2

dira.

Metatze-puntuak

2.13. Definizioa Bira (E,d) espazio metrikoa, AC:E eta x A-ren metatze-puntua da, x

o

o

cE.

x

o

-ren edozein ingurunetan A-ren pun

turen bat badago, puntu hau x o bera ez delarik.

A-ren metatze-puntuen multzoa A-ren multzo deribatua deitzen da eta A' idazten.

Ikusten denez, puntu atxekien eta metatze-puntuen defi nizioetan diferentzia txiki bat bakarrik dago. Bistakoa da me tatze-puntuak puntu atxekiak direla baina x o eA atxekia izan daiteke metatze-puntua izan gabe. Honela gertatuko da xo-ren ingurune batetan A-ren puntu bakar bat badago, x

o

bera, hain

zuzen.

Puntu atxekiak bi sailetan bana ditzakegu: Metatze-pun tuak eta metatze-puntu ez direnak. Azken hauek jp ntu isolatuak deitzen dira. Izena ongi justifikatuta dagoela uste dugu: pun tu isolatuak ba du ingurune bat non bera bait da A-ren puntu bakarra.

Multzoen notazioa erabiliz zera idatz dezakegu:

= AU A'

{puntu isolatuak }=

- A' = A - A'

43

Adibideak Ondoko taulan lR-ren bost azpimultzo jartzen dira berauen itxidura, metatze-puntu eta puntu isolatuekin

A'

puntu isolatuak

[0,1 ] U {2}

[0,1 ]

{2}

1\1

(6

1\1

A (0,1 ) U

{2}

]N (a,b] 1 {— , n

ne iiN }

[a,b]

[a,b]

AU { -0}

{0}

A

IR

e5

TR

'1.)

Egiazta bedi taula hau ondo dagoela.

Metatze-puntuen definizioan x -ren ingurune bakoitzean o A-ren puntu bat (x o -ren desberdina) egotea eskatzen genuen. Egia esan, ondoren ikusiko dugunez, puntu bat baino askoz ere gehiago egon beharko du.

2.14. Teorema Biz x

o

c A'. Orduan, x -ren edozein ingurunetan A-ren o

infinitu elementu daude.

Frogapena Absurdura eramanez frogatuko dugu. Demagun, bada, xo-ren V ingurunean A-ren n puntu bakarrik ditugula (x o -ren desber dinak): y1,y2,...,yn.

44

V x -ren ingurunea denez, 3r> 0 zeinentzat B(x

o

,r)C V

bait da. Biz, orduan, r' = min {r,d(x0,y1),.., d(x 0 ,y n ) } eta har dezagun B(x o ,r'). Argi dago B(x o ,r') x o -ren ingurunea de la, gainera B(x o ,r' )C V da eta B(x o ,r')n{ y1,y2,..,yn} = dugu. Honelatan, B(x rik. Ez litzateke x

o

o'

r') bolan ez dago A- {x o } -ren puntu

A-ren metatze-puntua izango, hipotesia

ren aurka.

Ondorioa.- Multzo batek metatze-puntuak edukiko baditu, infinitua izan behar du. Alderantzizkoa ez da egia; aurreko adibi de batek erakusten digunez, A = 1N multzo infinituak ez du F2-n metatze-punturik.

§II.4. MULTZO ITXIAK

2.15. Definizioa

Biz (E,d) espazio metrikoa. Ac:E itxia dela esango dugu, A c irekia bada.

E eta (r5 multzo itxiak dira (berauen osagarriak, eta E, hain zuzen, irekiak bait dira). Honek erakusten digu multzo bat irekia eta itxiabatera izan daitekeela. Propietate hau multzo hutsak eta E-k espazio metriko guztietan daukate. E-ren beste azpimultzoren batek propietate hori duenez ikusteagarrantzizkoa izango da konexutasunean (ikus IV. kapitulua).

45

Bestalde, har bedi kontutan multzo bat irekia ez bada ez dela derrigorrez itxia izango. Adibidez, IFt-n [a,b) tarte erdireki bat ez da ez irekia ez itxia.

2.16. Teorema Bola itxiak eta esferak multzo itxiak dira.

Frogapena

1)(a,r) bola itxia multzo itxia izango da, i3(a,r) c irekia bada. Ikus dezagun, beraz, hala dugula. g (a,r) c ={ xe E / d(x,a)> r}da. x Biz

xe l(a,r) c ; x zentrutzat

duen bola bat aurkitu behar du gu,

(a,r)c-ren parte dena.

Irudiak laguntzen digu bola ho nen erradioa zein izan daitekeen aukeratzen. Har dezagun

ye B(x,r') bada,

Beraz

ye t(a,r) c eta

Bestalde,

r'< d(a,x) -r,

eta B(x,r').

d(y,a)..? d(a,x) - d(x,y)> d(a,x)-r'>r

B(x,r') c

.i3-(a,r)c

S(a,r) ={ xe E / d(a,x) = r} =

= ({x eE /d(a,x) r} ) c = (B(a,r)UB(a,r)c)c

Baina, B(a,r) irekia da eta, halaber, r3(a,r) c , oraintxe ikusi dugunez. Bion bildura ere irekia izango da etaS(a,r) itxia, ireki baten osagarria izateagatik.



46

2.17. Teorema (i) Multzo itxien familia finitu baten bildura itxia da. (ii) Multzo itxien familia baten ebakidura itxia da.

Frogapena 2.5. teorematik berehala ateratzen da osagarriak hartuz. (i) A1A2'An itxiak badira, (A irekia

Har

da,

U

beraz,

A

i=1

i ic I multzo

( ii) {A }

eta, halaber,

i

1 U A2

n

U...UA )c=

U

A nn

itxia.

itxiak badira, {A} i ic I icI

A c1 " n A c n

irekiak dira

Ai . Beraz,

n A. ( iu cI

A. c)c

itxia da.

Oharra.- Bildura finituentzat balio duen erresultatu honek ez du balio bildura infinituentzat. dezagun

A

n

=

—n , n Ue

r 1

( bola itxi bat da) , baina

1

n

A

1 - — j V n An = ( 0,1)

n

itxia da

ez da itxia.

Ondoren, multzo itxiaren bi ezagupide emango ditugu. Biak erabiltzen dira multzo itxiak definitzeko.

2.18. Teorema Biz Ac:E. Ondoko hiru baiezpenok baliokideak dira: (i) A itxia da ( ii) A'C A

47

(iii ) A = A

Frogapena

A = E bada, nabaria da. Biz A

E; A itxia ba-

da, A c irekia da. Biz x e A c ; orduan, existitzendax-en ingurune bat V zeinentzat Vc:A c bait da. Beraz, V ingurunearentzat

v(1 A

= vS dugu eta x ezin daiteke izan

A-ren metatze-puntua. Nola x e A c edozein den, A'C A izan behar.

(ii )

)

= A U A' denez, A'

CA

bada, ÄCA dugu. No-

la ACTn beti den, A = A izan behar.

. Biz c A irekia).

= A eta ikus dezagun A itxia dela(hots, Biz xeA

c

; nola x

x-en ingurune bat, V, zeinentzat nk e

VC A

c

den, existitzen da

vn

A = d den; baina ho

suposatzen du, beraz, A c irekia da.

Esan dugunez, teorema honen hiru baiezpenak erabiltzen dira multzo itxien definizioa emateko:

(i) (ii) (iii)

A itxia da A c irekia bada. A itxia da bere metatze-puntuak barne baditu A itxia da bere atxekiduraren berdina bada

Multzo finituak beti itxiak dira.

2.14 proposizioaren

ondorioz ikusi dugu multzo finituek ez dutela metatze-punturik; nabaria da, orduan, A' = d C A dela.

48

2.19. Teorema Biz AC E. Orduan ,

(A) ' = A'

Frogapena Nola ACA den, argi dago A-ren metatze-puntuak nak ere izango direla eta A'C()' dela.

frogatu behar dugu orain. baria da; orduan, (Ä)'

(Ä)' = r6 bada, na

suposatuko dugu.

Biz x c(Ä)';

V x-en edozein ingurune ireki bada, Vf1A multzoak infinitu puntu ditu.

= AU A' dugunez, tzateke eta y eta

y

vn

vn

A = (15 balitz,

A'

A' har liteke. Baina, V irekia denez

e V, V ' y-ren ingurunea da, eta

izan behar. Beraz,

vn

x cA'

y

cA' denez, VflA

dugu.

2.20. Korolarioa Edozein A multzotarako, A' eta A itxiak dira.

Frogapena (i) (A)' = A'C A denez, (ii)

A'C A denez,

A

itxia da.

(A')'C(K)' = A'.

Beraz, A' itxia da.

2.21. Teorema (i) A A partetzat duen multzo itxirik txikiena da. (ii) A A partetzat duten multzo itxi guztien ebakidura da.

49

Frogapena (i) Ba dakigu A itxia dela eta ACÄ dugula. Biz orain B itxia eta ACB ; orduan, AC g = B

Aurreko puntutik nabaria da.

Oharra.- Pentsa liteke bola ireki baten itxidura erradio bereko bola itxia dela, eta horrelaxe gertatzen da 11R n espazioan, ohizko metrika batekin (ikus 2.15. problema). Bainaez da egia edozein espazio metrikotan.

B(x,r) B(x,r)

c

c

g(x,r)

B(x,r)

denez, eta azken hau itxia,

izango da beti. Partekortasun hertsiagerta-

tzen den kasu bat ondoko hauxe da:

Biz E espazio metriko diskretu bat (puntu birekin gu txienez); orduan,

B(a,1) eta

ae E hartuta,

= E

{ a }

B(a,1) = {a }c g(a,l) = E eta ez dira berdinak.

2.22. Teorema xeA baldin eta soilik baldin d(x,A) =0 bada.

Frogapena (i) Biz x eA eta e > 0 ; orduan, denez,

B(x,e

)nA

B(x,e ) x-en ingurunea

da, hots, existitzen da ye AC1B(x,e).

50

d(x,y) < e izango da eta d(x,A) < d(x,y) <e. d(x,A)<e

VE >0 denez, halabeharrez, d(x,A) = 0 izango da.

eta V x-en ingurune bat. Existitu

(ii) Biz d(x,A) = 0

Baina,

B(x,r)c:V betetzen duena.

behar du r >0 , d(x,A) = 0 bada,

3y

eA: d(x,y) > a (A c ) = a (A)C=A c

4=¥

a (A)(1 A = (r5

Multzo baten muga hutsa izan daiteke. Adibidez, espazio metriko diskretu batetan, a cE bada, da, beraz

{a} irekia eta itxia

{a} c ere itxia da eta a({a}) =

.

Bestalde, 1R n -n gertatzen dena ikusita, pentsa liteke B(a,r)

eta ff(a,r)

bolen muga S(a,r) dela. Ez da hau egia

edozein espazio metrikotan eta, askotan bezala, espazio metri ko diskretua da kontradibide bat bilatzeko egokiena:

B(a,1) = {a}

eta

8(B(a,1)) =

S(a,l) = E - {a} .

Goiko (vi) eta (vii) propietateek interpretazio bat dute, F n -n multzo irekiak eta itxiak ezagutzeko balio duena: multzo baten muga osorik multzoan bertan badago, multzoa itxia da eta mugako puntu bat ere ez badago multzoan, hau ire kia izango da.

§II.6. IREKIAK ETA ITXIAK AZPIESPAZIOETAN Biz (E,d) espazio metrikoa eta Fc E ez-hutsa. d-ren FxF-rako murrizpena d idazten badugu berriz, ba dakigu (F,d) espazio metrikoa dela,

E-ren azpiespazio metri

koa, hain zuzen.

Biz a EF

eta

r > 0 ; orduan,

53

B F (a,r) ={x E F / d(a,x) < r} = B(a,r)n F non B(a,r) zentru eta erradio bereko bola den, baina (E,d) espazioan.

2.26. Teorema Ac:F irekia da (F,d) azpiespazio metrikoan baldin eta soilik baldin existitzen bada A A = A

l

n F

1

cE irekia, zeinentzat

da.

Frogapena (i)

Biz A = A i n F , A 1 irekia E-n, eta har dezagun x E A. Nola xeA l den, 3r >0 :

B(x,r)C A 1 , baina orduan,

B F (x , r) = B(x,r)fl Fc:A nF = A 1 eta beraz, A irekia da.

(ii)

Biz A irekia F-n . Vx E A eta A =

LJ

x E A

Dei dezagun

B (x r ) ' x F Al = x

L c

3r x :

BF(x,rx)C:A

(ikus 2.6 teorema).

A B(x r ). A irekia da E-n, ' x 1

bola irekien bildura bait da, eta Ai

n

F = ( x YA B(x,r x »n F =

x A

A (B(x,r x )n F)=

B (x r ) = A ' x F

Oharra.- F-ren azpimultzo bat irekia izan daiteke F-n E-n izan gabe. F bera beti izango da irekia F-n. rt-n

F = [-1,1] hartzen badugu, eta ac(-1,1) bada,

54

edozein (a,1) eratako tarte erdirekia multzo irekia da F-n, baina ez

. F bera, kasu honetan, ez da irekia

2.27. Korolarioa F-ren azpimultzo ireki guztiak irekiak dira E-n baldin eta soilik baldin F irekia bada E-n.

Frogapena (i) F-ren irekiak E-n ere irekiak badira, F irekia izango da E-n, beti irekia bait da F-n.

(ii) F irekia bada E-n, aurreko teoremaz F-ren irekiak E-n ere irekiak dira, irekien ebakidurak bait dira.

2.28. Teorema Cc:F itxia da F-n baldin eta soilik baldin existitzen bada C itxia E-n, zeinentzat CnF=C den. 1 1

Frogapena (i) C F-n itxia bada, F-C irekia da eta existitzen da AC E irekia zeinentzat F-C= C = F -

(ii) Biz C =

(AnF)

C

i

n

=

Fn

A c eta

A fl F

A

c

den. Baina orduan,

= C itxia da E-n. 1

F eta C i itxia E-n. Orduan F-C =

Fn

C

c 1

eta 2.26 teoremaz F-C irekia da F-n. Orduan C itxia da F-n.

55

2.26 teoremaren atzetik egindako oharra itxientzat ere egin dezakegu. 2.27 korolarioaren parekoa ondoko hau izango da:

2.29. Korolarioa F-ren azpimultzo itxi guztiak itxiak dira E-n baldin eta soilik baldin F itxia bada E-n. (Frogapena hangoa bezalakoxea da).

§II.7. MULTZO DENTSOAK ETA INON EZ DENTSOAK

2.30. Definizioa (i) Bira A eta B (E,d) espazio metriko baten azpimul tzo bi. A B-rekiko dentsoa dela esaten da baldin BC A

bada.

(ii) A E-rekiko dentsoa denean, hots,

= E denean, A

dentsoa dela esaten da.

Nabaria da E dentsoa dela eta A itxia bada, A A ez dela dentsoa izango,

= A

E,

E izango bait da.

3R-n zenbaki razionalen azpimultzoa dentsoa da. (Erresultatu honek garrantzi handia du Analisian).

A-ren itxidurarentzat ikusi ditugun propietateetatik berehala ateratzen da ondoko hiru puntu hauen baliokidetasu-

56

na: (i ) A dentsoa da

(ii) (iii)

X/xc E

d(x,A) = 0

V c E irekia ez-hutsa bada,

vnA



56

(V

bere edo-

zein punturen ingurune da eta puntu hori A-ren puntu atxekia izango da).

2.31. CWinizioa A inon ez dentsoa da beraren itxiduraren osagarria dentsoa bada, hots, W c = E bada.

2.24 teorema aplikatuz zera dugu: Ac

= E

- —c

C =

Beraz, definizio baliokide bat eman dezakegu:

A inon ez dentsoa da beraren itxiduraren barrualdea hutsa bada (ez dago itxiduraren parte den bolarik).

Ondoko erresultatu hau ere berehala ateratzen da:

(i) A dentsoa bada, eta Ac:B, B ere dentsoa da (ii) A inon ez dentsoa bada, eta Bc:A, B ere inon ez den tsoa da.

2.32. Teorema A irekia edo itxia bada, A-ren muga inon ez dentsoa da.



57

Frogapena

(A) = 7N-^

(i ) Biz A irekia, orduan

(A)c = ,Tn c U A eta

Beraz,

(A) c = A o U A = Ä

c

U

a (A)

c

(A) c = A c U

A c U

=

A

Äc U

A = E

(A) = A - ;Da

(ii ) Biz A itxia, orduan Orain,

Ac

- A =

=

An

`Ac

eta

= AC U A = AC U

Kasu bietan (A) = E dugunez,

;Tn

AC U

A =

E

a(A) inon ez dentsoa

da.

2.33. Teorema A1,A2,...,An

(E,d)

espazio metrikoaren n azpimul-

badira, beraien bildura ere inon ez den

tzo inon ez dentso tsoa da.

Frogapena Aski da bi multzorentzat egitea eta gero indukzioa apli katzea. Biz B = A 1 U A 2 ; orduan, B irekia da eta Bc:A l

A2 = Al

u

U

irekia da eta A

1

A 2 . Hortaz, Bn A 2 c C A l . Baina =

rd

Hemendik B c A eta A

dugu (A inon ez dentsoa izateagatik) 1

2.7 teorema aplikatuz,

beraz,

2

= ,75

2

BnA2c

BnA 2 c

= fzi

dugu.

ateratzen da eta B irekia denez,

, aurreko kasuan bezala B = d izan behar.

58

o

A l u A 2 = 9:5 dela ikusi dugunez, A l L) A 2 inon ez den tsoa da.

2.34. Definizioa Espazio metriko bat banangarria da azpimultzo kontagarri dentso bat badu.

Espazio metriko baten azpimultzo bat banangarria da az piespazio bezala hartuta banangarria bada.

Kontagarritasunaz ikus bigarren eraskina.

Edozein espazio metriko finitu banangarria da; F ere banangarria da, Q kontagarria eta F-n dentsoa delako. 7R

2

ere banangarria da, Qx 0 kontagarria eta dentsoa delako. n Erresultatu hau 1P -rako ere gertatzen da.

§II.8. METRIKA TOPOLOGIKOKI BALIOKIDEAK

E multzoan bi metrika, d i eta d 2 , baditugu, bi espazio metriko, (E,d 1 ) eta(E,d 2 ), ditugu.

E-ren azpimultzo bat irekia izan daiteke metrika baten tzat eta ez bestearentzat. Honen bidez, topologikoki, konpara keta bat egin daiteke metrika bien artean.

59

2.35. Definizioa (i)

Espazio

metriko baten irekien multzoa espazioaren to-

pologia dela esango dugu.

(ii) Bira T 1 T

1

c T

2

(E

bada,T 2

'

d

1

)-en topologia eta T

(E,d2)-rena.

2

baino finagoa dela esango dugu.

T

(iii) E multzoan definituriko d 1 eta d 2 metrikak topoespazio metri

logikoki baliokideak dira (E,d 1 ) eta (E,d 2 ) koen topologiak berdinak badira.

Irekien definizioa aplikatuz berehala ateratzen da:

2.36. Teorema

i r Bira B i ( (i) T

1 C:T 2

T

1

(E t opologia '

eta

izango da edozein ac E eta r > 0

T

(E,d2)-rena.

2

- tarako

existitzen

bada r' > 0 zeinentzat B (a r') C B (a , r) 2 ' 1

den

(ii) d 1 eta d topologikoki baliokideak dira edozein 2 ac E eta r > 0-tarako existitzen badira r',r" > 0 zeinentzat B 2 (a,r') C B i (a,r)

eta

Bi(a,r") c B 2 (a,r)

bait dira.

(B (a , r) d metrikarentzako a zentruko eta r erra1 1 dioko bola da eta B 2 (a , r) d

2

metrikarentzakoa).

Metriken baliokidetasunara berriz itzuliko gara VI.ka pituluan, jarraitasunaz hitz egiterakoan.

60

n R -ko irekiak eta itxiak n IR -n hiru metrika nagusi definitu ditugu, hirurak n 3R -ren ohizko metrikak direla esanez. Eta ez dugu hiruren ar teko bat aukeratu hirurak,topologikoki baliokideak bait dira.

Dei ditzagun:

d

d

d

1

(x y) '

2

(x y) = '

3

(x y) '

=

=

/: 1x.-y.1 i=1

max 1 1} 1 2

2 , 2

E

+

2 x2 > 1 }

1 1 {(— —) / n, m elN } n m

d)

{x

e)

{x

f )

{x

2 2 / x - x < 1 } 1 2 2

E

IR

2

/ x

1

> 0 }

/ x1 > 0 }

2.6. Froga bedi edozein espazio metrikotan puntu bakar bateko multzo bat itxia dela. Ondorioz, edozein multzo multzo irekien ebakidura bezala ipin daiteke.

2.7. Biz 0 < r < s eta a E E puntu finko bat. Froga bedi {x e E / r < d(a,x) < s }

eraztuna multzo irekia dela eta

{x

eraztuna multzo itxia dela.

E

E / r < d(a,x) < s }

2

(IR -ren ohizko metrikekin multzo horiek duten eitea ikus tea komeni da; metrika euklidearrak erakusten du "eraztun" izenaren zergatia).

2.8. Biz ACR ez-hutsa eta goitik bornatua eta x = sup A. Froga bedi

x

A bada,

x E A' dela. Aurki bedi

multzo bat zeinentzat sup A

den.

2.9. Biz A C3R irekia, ez-hutsa eta bornatua. a = inf A eta B= sup A izanik, ikus

ÇUn

eta

B A direla.

66

2.10. Froga bedi multzo ireki batetatik puntuak kopuru finituan kenduz gero, irekia izaten jarraitzen duela. (Aski da A irekia bada eta x

o

A, A-{x o } irekia dela ikustea).

2.11. Biz (E,d) espazio metriko bat metrika diskretuarekin. Fro ga bitez ondoko baiezpenok: (i)

edozein azpimultzo irekia eta itxia da,

(ii)

puntu guztiak isolatuak dira,

(iii) ezein azpimultzok ez du metatze-punturik, (iv)

edozein bola edo puntu bakarrekoa da, edo espazio guztia.

2.12.

a) Biz A irekia (E,d) espazio metrikoan; froga bedi edozein B cE-tarako, A BCAnB b) Eman zuzen errealean A,B multzo ireki bi, zeinentzat

An g , BnA,

An B eta

multzoak desberdinak diren.

c) Eman zuzen errealean tarte bi, A eta B, zeinentzat A

n B

An

ez den

B-ren parte.

2.13. Biz (E,d) espazio metrikoa. AcE bakoitzarentzat defini ditzagun a(A) = A eta

0(A) = A.

a) Froga bedi A irekia bada, Aca(A) dela, eta A itxia bada,

$(A)c:A.

b) Aurrekoa aplikatuz, ikus bedi edozein AC:E-tarako,

a(a (A))

=

a(A)

eta

$($(A)) = $(A)

direla.

67

c) Eman zuzen errealean multzo bat , A, zeinentzat o

_

A, A , A,

a(A),

0(A),

a(A), 0(Ä) multzoak des-

berdinak diren, beraien arteko partekortasun bakarrak hauexek izanda: Ac:ACZ ; Ac a(A)c 0(A)c:A- ;

A C a(A) C

7n )C7n• A.

2.14. Bira x,y E E. Froga bedi U

eta V ireki disjuntuak

aurki daitezkeela, x E U eta ye V izanik. co— (1v = izatea ere eska daiteke).

2.15. Froga bedi

1R n -n

B(a,r) = B(a,r)

eta

a

B(a,r) = S(a,r)

direla.

2.16. A eta B ez-hutsak badira, ikus d(A,B) = d(Ä,E7) dela.

2.17. a) Froga bedi E-ren edozein A azpimultzotarako, a (A)C:(A)

eta

(A) c

(A). Eman 1R-n hiru multzo ho-

riek desberdinak direneko kasu bat. b) Bira A,BCE.

Froga bedi 3 (A U 8) C

(A) U B(B) de-

la eta eman partekortasun hertsiaren adibide bat 1R-n. Baldin A f18 =

ep

bada, froga bedi

(A U B) =

(A) U B( B )

dela.

2.18. A,B itx iak dis juntuak badira, ikus U eta V =

{xE

xe E / d(

E / d(x,B) 0

:

I x-a I

\y x e A

,

edo

3 k > 0

:

x e [a-k,a+k]

Vx e A

,

edo

3k

:

AC[

> 0

< k

a-k,a+k ]

Beraz, multzo bornatu bat tarte itxi baten parte da (tarte ireki baten parte ere izango da).

Biz, orain,

A

c [a,b] .

Orduan,

x,y e A badira,

72

d(x,y) = lx-yi 0 d(x,y)< k

Vx,y eA betetzen duena. Orduan, x eA izanik, har dezagun

r> d(a,x) + k eta ikus dezagun Ac:B(a,r) dela.

Horretarako, har dezagun z eA ; d(z,a) n}

ipini

ta, propietatearen baldintzetan gaude eta existitzen da x

nc

F

.

1\1

l

r {x nc

/ k

k>n}= —

denez, xeF'c: T'c A'

eta A-k ba du metatze-puntu bat.

3.22. Teorema Multzo trinko baten azpimultzo itxiak trinkoak dira.

Frogapena Biz A trinkoa eta Bc:A itxia A-n. B finitua bada, trinkoa da. B infinitua bada, biz T B-ren azpimultzo

88

infinitu bat. A trinkoa denez, T horrek ba Ou metatze-pun tu bat A-n, x

x B-ren metatze-puntua ere ba da eta, B itxia

denez, xE B dugu. Orduan, T-k ba du metatze-puntu bat B-n eta B trinkoa da.

Teorema honen frogapen zuzen bat eman daiteke estalkiak erabiliz (3.10 problema).

Multzo trinkoak aurretrinkoak, itxiak, bornatuak etaba nangarriak dira. Propietate hauek, ordea, ez dute trinkotasuna halabehartzen. Ba dago, dena dela, R n -n garrantzizko erre sultatu bat (ikus

111.5) : 1R n -ko azpimultzo itxi bornatuak

trinkoak dira.

§III.4. MULTZO ERLATIBOKI TRINKOAK ETA LOKALKI TRINKOAK.

3.23. Definizioa Biz (E,d) espazio metriko bat.

Ac:E erlatiboki trin-

koa aa, A trinkoa bada.

Multzo trinkoak erlatiboki trinkoak dira, beti itxiak bait dira.

3.24. Teorema Multzo erlatiboki trinko baten azpimultzoak erlatiboki trinkoak dira.

89

Frogapena Biz A trinkoa eta Bc:A. rTic=7, dugunez eta A trinkoa, 3.22 teoremaz, B ere trinkoa da; beraz, B erlatiboki trinkoa.

3.25. Teorema Multzo erlatiboki trinkoak bornatuak eta aurretrinkoak dira.

Frogapena Nahikoa dugu aurretrinkoa dela ikustea. Biz A erlatiboki trinkoa, orduan, A trinkoa da, beraz, aurretrinkoa. 3.7 teorema aplikatuz A aurretrinkoa da.

3.26. Definizioa Biz (E,d) espazio metriko bat. AczE lokalki trinkoa da A-ren edozein puntuk ingurune trinko bat badu.

Adibideak 1.

Edozein espazio trinko lokalki trinkoa da.

2.

Espazio metriko diskretu bat lokalki trinkoa da.

3.

IR (eta IR n ) lokalki trinkoa da: edozein puntuk tarte itxi bat du ingurunetzat eta IR-ren tarte itxiak trinkoak dira (ikus 3.29 teorema).

4.

Q , F-ren azpiespaziotzat hartuz, ez da lokalki trinkoa.

90

3.27. Teorema Espazio lokalki trinko baten azpimultzo itxi bat lokal ki trinkoa da.

Frogapena Biz E lokalki trinkoa eta Ac:E itxia. x EA bada, x-ek ba du E-n ingurune trinko bat, V. Baina vnA V-n, beraz, trinkoa. Orduan,

itxia da

x-ek ba du A-n ingurune trinko

bat, vn A.

3.28. Teorema A eta B E-ren azpimultzo lokalki trinkoak izanik,

AnB ere lokalki trinkoa da.

Frogapena Biz x Afl B.

x honek ba ditu A-n ingurune trinko bat,

V, eta B-n beste bat, V' . Orduan, v nv , koa da A

n B-n

eta A

nB

x-en ingurune trin-

erlatiboki trinkoa.

Bi azpimultzo lokalki trinkoen bildurak ez du zertan lokalki trinkoa izan behar: har ditzagun

2

-n

A = { (x,y)/ x >0} eta B = {(0,0)}

A eta B lokalki trinkoak dira, baina AuB ez da lokalki trinkoa, (0,0) puntuak ez bait du ingurune trinkorik.

91

n

111.5. MULTZO TRINKOAK

-N

Gorago aurreratu dugun erresultatu bat frogatuko dugu, n

-ko trinkoak eta itxi bornatuak bat datozela, alegia.

3.29. Teorema (Borel-Lebesgue) JR-ren azpimultzo bat trinkoa da baldin eta soilik baldin itxia eta bornatua bada.

Frogapena Aski dugu tarte itxiak trinkoak direla ikustea. Horrela izanik, A bornatua bada tarte itxi baten parte izango da eta, gainera itxia bada, trinkoa izango da 3.22 teoremaz.

Biz, orduan, {A i } ic I

[a,b]

tarte itxia estaltzen duen

ireki-familia bat. Idatz dezagun c=sup {x E [a,b] / [a,x] azpifamilia finitu batek estaltzen du} .

Familia horretako ireki batetan a puntua egongo da, acA.;orduan,

E >Obaterdzatzango

da

eta

definitu dugun multzoa ez da hutsa izango. Goitik bornatua da goenez supremoa ondo definituta dago.

Ikus dezagun c = b dela. Demagun c 2) trinkoa da baldin etasoi

lik baldin itxia eta bornatua bada.

Frogapena 2 Frogapen hau IR -rentzat egingo dugu. Arrazonamendua n > 2 denean ere egin daiteke, indukzioa erabiliz. Orain,aski dugu

[a,b] x [c,d]

eratako multzo bat trinkoa dela ikustea

(bolak maximoaren metrikarako hartuta).

Biz ki bat.

{A.} .[a,b] x [c,d] I

z

[a,b] x [c,d]

bada,

multzoaren estalki ire

i batentzat z eA i izango

da eta, A irekia denez, z zentrutzat duen bola bat har deza kegu V(z) x W(z)CA. {V(z) x W(z) / ze [a,b] x [c,c1]}

[a,b] x [c,d] -ren estalki

bat da.

Finka dezagun x E [a,b]. Orduan, {x} x [c,d] zuzenkiaren estalki bat daukagu eta aurreko teoreman bezala estalki fi nitu bat lor daiteke: V(z i ) xW(z 1 ), B(z 2 ) xW(z 2 ),.., V(z n ) xW(zn) n = n(x) delarik.

Orain

Dei dezagun V(x) = n i=1

{V(x) / xE [a,b]}

v(zi).

[a,b]-ren estalkia da eta

azpiestalki finitu bat atera daiteke: V(x 1 ),..., V(x m ). ditzagun

{x i } x

Har

[c,d] zuzenkla estaltzen zuten bolak,

i = 1,2 ..... m izanik.

Horrela lortzen dugun bolen familia fi

93

nitua da eta

[a,b] x [c,d]

estaltzen du. Bola bakoitzari

hasierako familiako ireki bat dagokionez, ireki hauek hartuta [a,b] x [c,d] -rentzat azpiestalki finitu bat dugu.

Frogapen honek ez du zuzenean metrikaren propietaterik erabiltzen eta beste kasu batzuetan erabilgarria da. Dena dela, espazio metrikoetan gaudenez, errazago da segiden bidez frogatzea geroago ikusiko dugunez

(ikus VII. kapitulua).



94

PROBLEMAK

3.1. A eta B multzo bornatuak izanik, froga bedi (AUB) < d(A,B) -4-c5 (A) -1-(5 (B)

dela.

Ondorioa: Multzo bornatuen bildura finituak bornatuak dira.

3.2. Froga bedi A bornatua dela baldin eta soilik baldin bornatua bada eta

(A) =, (5 (Ä) dela.

Eman multzo

ez-bornatu bat barrualde bornatua duena.

3.3.

Ikus dela.

3.4.

Biz

n

-n ohizko edozein metrikarentzat 6(B(a,r)) = 2r

Zein da

(E,d)

d (S(a,r)) ?

espazio metriko diskretu bat. Froga bedi A

aurretrinkoa dela baldin eta soilik baldin A finitua bada.

3.5. Froga bedi A aurretrinkoa dela baldin eta soilik baldin c >0 guztietarako existitzen bada e baino diametro txikiagoko ireki-familia finitu baten bidezko A-ren estalki bat.

95

3.6. Froga bedi A aurretrinkoa bada A eta A' ere aurretrinkoak direla.

3.7. Biz (E,d) espazio metriko banangarri bat. Froga bedi ireki binaka disjuntuen familia bat kontagarria dela. Gauza bera gertatzen da irekien ordez itxiak erabiliz?

3.8. A itxia bada eta B trinkoa, froga bedi A

nB

trinkoa

dela.

3.9.

(i) Froga bedi multzo trinkoen familia baten ebakidura trinkoa dela.

(ii) Froga bedi multzo trinkoen familia finitu baten bil dura trinkoa dela. Zer gertatzen da familia infinitu batekin?

3.10. Froga bedi zuzenean (estalkiak erabiliz) trinko baten parte itxiak trinkoak direla.

3.11. P-ren hurrengo azpimultzootan esan zeintzu diren trinkoak:

(0,1] , [0,1j,

{1,2,3,4} ,

Z

. Trinkoak ez di

renentzat eman azpiestalki finiturik ez duen estalki ire ki bat.

96

3.12. Biz K trinkoa eta x zeinentzat

d(a,x

o

or

K. Froga bedi ba dagoela acK

) = d(x

o'

K) den.

a hori bakarrada?

3.13. Bira A,KC:E eta K trinkoa. Froga bedi ba dagoela aE K

zeinentzat d(a,A) = d(A,K).

Ondorioa: K

trinkoa denean, d(A,K) =

K

3.14. Froga bedi A trinkoa bada, A' ere trinkoa dela.

3.15. Froga bedi zuzenean

n[0,1]

ez dela trinkoa, hau da,

eman estalki ireki bat azpiestalki finiturik ez duena. [0,1] tartea estaltzen duen ireki-familia bat har dezakegu?

3.16. Suposa dezagun

(E,d) espazio metrikoaren bola itxiak

trinkoakdirela.Froga bedi edozein bornatu erlatiboki trinkoa dela.

3.17. Biz K trinkoa, A irekia eta Kc:A.

Froga bedi ba da

goela F itxia zeinentzat KCFCA den. bedi ahal bada).

(F

K hauta

IV. KAPITULUA

KONEXUTASUNA

IV.1 Multzo konexuak IV.2 Konexuen itxidura eta bildura IV.3 Osagai konexuak IV.4 Konexuak P-n IV.5 Konexutasun lokala

98

IV. KAPITULUA

KONEXUTASUNA

Topologian erabiltzen ditugun kontzeptuetan konexutasu na dugu intuitiboenetarikoa. Gauza bat ez da konexua (ez dago konektatuta) bitan banantzerik badago, multzo bat bi irekidis juntutan, hain zuzen. Konexua izango da ez-konexua ez dena.

Konexuen itxidurak beti konexuak dira. Konexuen bildurak, aldiz, ez, aise egiazta daitekeenez. Zein baldintza osagarri eska dakiokeen konexu-familia bati bildura konexuduna izateko erakutsiko da.

Edozein multzotan partiketa bat antola daiteke, parte bakoitza konexua izanik eta ez beste konexu handiago baten par te. Parte konexu maximal horiek multzoaren osagai konexuakdei tuko ditugu.

IR-ren ordena-erlazioak erresultatu berezi bat eskaini ko digu: multzo konexuak tarteak baino ez direla, hain zuzen.

Azkenik, konexutasun lokalaz arituko gara, puntu bakoi tzaren inguruan konexutasuna gorde ahal izatea eskatuko da. Ikusiko denez, konexutasunak eta konexutasun lokalak ez dute elkarren arteko erlaziorik.

99

§IV. MULTZO KONEXUAK Har ditzagun E-ren bi azpimultzo hauek: A= (0,2) eta B=(0,1)U(2,3). Berauen adierazpen grafikoari begiratzeanahi koa da lehen multzoa konexua dela esateko, eta ez bigarrena. Eta hau konexutasunaren definiziorik eman gabe, soil- soilik hitz horren zentzu arruntak dioskunaz baliatuz.

Definizio matematiko bat bilatzean zera ikusten da: errazago dela konexua zer ez den esatea zer den esatea baino. Horregatik, multzo ez-konexuen definizioa emango dugu.

4.1. Definizioa (E,d) espazio metrikoa ez-konexua dela esango dugu bal din existitzen badira A,B ireki disjuntuak eta ez-hutsak, zeinentzat E = AUB den.

(E,d)

konexua da ez-konexua ez bada.

4.2. Teorema Biz (E,d) espazio metrikoa. Hurrengo lau baiezpenok baliokideak dira:

(i)

E ez-konexua da.

(ii)

E = AUB da non A eta B itxi disjuntu ez-hutsak di ren.

(iii) E-ren azpimultzo jator ez-huts bat dago, irekiaetaitxia.

100

( iv ) E

=

AUB da, non A eta B ez-hutsak eta An g =

n B

=

r6

e3 ,

diren.

Frogapena Nabaria da 4.1 definizioan A eta B-ren osagarriak hartuz. E = AUB, AnB = d , A,B itxi ez-hutsak dugu. Orduan, A = B c eta, B itxia denez, A irekia. A irekia eta itxia da eta, hipotesiz,

A

e5 ,

E dugu.

Biz AC:E irekia eta itxia, A c

ra gertatuko da A -rentzat. A

c

e5,

E. Gauza be

= B deituz, nabariak

dira AUB

=

E ,



Anr3 = A n A c = A n A c

( iv

E = AUB , E

A uB

eta

ÄnB = An A c =

A

n

eta A n =

B

=

6

=

05

.

eta 7am3 = d dugu orain.

direnez , A

=

B c

kia . Modu berean B irekia da eta A n B

da eta A ire=

aS

izan be-

har duenez , frogatuta dago.

Teorema honen baiezpenek ez-konexutasuna adierazten ba digute, berauen ukapenak konexutasunaren ezagupideak izango zaizkigu. Hona hemen garrantzizkoena:

(E,d) espazio metrikoa konexua da baldin eta soilikbal din ez badago E-ren azpimultzo jator ez-hutsik, baterairekia eta itxia dena.

101

Bestalde,

Ant5

= d eta

ranB

= d baldintzak betetzen

dituzten multzoak bananduta daudela esaten da. Ikus problemetan zenbait erresultatu multzo bananduetaz.

4.3. Definizioa Biz (E,d) espazio metrikoa eta FCE. F konexua (edo ez-konexua) da (F,d) azpiespazioa konexua (edo ez-konexua) ba da.

Azpiespazio baten irekiak espazioaren irekiekiko ebaki duraz lortzen direnez, ondoko teorema hau ateratzen da:

4.4. Teorema Biz (E,d) espazio metrikoa eta FCE. F ez-konexua da baldin eta soilik baldin existitzen badira A,B irekiak (E-n) zeinentzat FC AU B , AnB = 93 eta FnA , FnB ez-hutsak.

4.5. Teorema Biz (E,d) espazio metrikoa eta A,BCE. B konexua ba da eta AnB eta AnB c ez-hutsak, orduan, B

n

(A)

6.

Frogapena —c E = A U (A)U A izanik gainera),

denez

B = (B(l;k)

Demagun, orain,

Bna

u

(B fl

(hiru multzook dis juntuak a (A))

u

(A) = (r5 dela.

(B n7, c ) .

Orduan,

102

u

B = (Bn/°a)

(Bn7,c)

,-,— c B n A eta B A

B-n irekiak direlarik. Gainera,

BnA CB n jaua (A» = (Bn;,)u (Bna (A)) = Bn'A)

eta

. Modu berean,

BnA

Bn A c C B n (A c U MA)) = (BnA c ) U (B n 3(A)) = BnAo eta

. Baina, orduan, B ez litzateke konexua izan

B

go, hipotesiaren aurka. Derrigorrez,

izan behar

B n a (A)

du.

gIV.2. KONEXUEN ITXIDURA ETA BILDURA

4.6. Teorema A konexua bada eta ACBCFn , B ere konexua da. Ondorioz,

A

ere konexua da.

Frogapena Izan bitez V 1 eta V 2 irekiak, eta (B

n V1

) n (B n

v2 )

B = (E

)U(B n V2)

. B konexua dela ikusteko ebakidura

=

horietariko bat hutsa dela frogatu behar da.

ACB denez, A = (A n V i ) U (AnV2) da eta (A n

n (A n V 2 ) = d

edo A n v 2 = eta x E A

nv i ,

.

. A hipotesiz konexua denez, edo A (1 V1=e5

Demagun A nv i = d dela. A nv i balitz

nola V 1

x-en ingurunea den eta xe

vinA

izango litzateke, suposatu dugunaren aurka. Baina, orduan,



103

n v1

=

,23

n vi

izango da eta, halaber B

n

V 1 -en parte

bait da.

Multzo konexuen bildura ez da beti konexua. Nabaria da tartea kontsideratuz, adibidez. Baina biltzen

(0,1)U (2,3)

diren multzoei gainerako hipotesiak eskatuz konexutasuna gorde daiteke. Hipotesiotan errazena ondoko teoremak erabiltzen duena da, multzo guztiak "konektatuko" dituen parte bat egotea, alegia.

4.7. Teorema Biz {A.} ie I multzo konexuen familia bat eta suposa dezagun . n ie I



A.

dela. Orduan

U

'

ie I

A

i

konexua da.

Frogapena Dei dezagun A =

i e I

A. eta demagun A = BUC dela, i

B eta C ireki ez-hutsak izanik

Har dezagun xe

(A-n) eta Bnc

=

suposa dezagun xe B de

A.

la. Ba dago, gutxienez, familiako elementu bat, A k , betetzen duena. Baina, xe A k denez, Ak = Orduan, A

(A

k

k

(1 B)

u

(A

k

(1

c) ,

es .

(A

k

A

k

n

(1 B)n(A

B k

Akn

da eta n

C) =

.

ez litzateke konexua izango, hipotesiaren aurka.

Ez dago, beraz, gorago jarri dugun A-ren deskonposaketa egiterik eta A konexua da.

Teorema honek eskatzen duen baldintza bete gabe ere ko

104

nexutasuna gorde daiteke. Hona hemen beste modu batetako erre sultatu bi, aurreko teorematik aterata:

4.8. Korolarioa multzo konexuen familia bat eta A mu l } ic I o tzo konexu bat, A o nA i baldintza betetzen duena EI. Biz {A i

Vi

Orduan, A o

U( i Y,

A i ) konexua da.

Frogatzeko, aplika bekio aurreko teorema {A o tj A i} ei familiari.

4.9. Korolarioa Biz {A } i •

multzo konexuen familia finitu bat 1< n — — n eta A n A # ei 1 < i 0 bada, froga bedi A eta B bananduta daudela. Erakuts bedi adibide batekinal derantzizkoa ez dela egia.

4.6. Froga bedi A eta B bananduta badaude eta AU B irekia, A eta B irekiak direla; AUB itxia bada, A eta B ere itxiak dira.

4.7. Froga bedi A eta B konexuak badira eta

,

AU B konexua dela.

4.8. Froga bedi bi osagai konexu desberdin bananduta daudela.

4.9. Bira A eta B ez-hutsak. Baldin A eta B itxiak ba dira eta A U B eta

AnB

konexuak, A eta B konexuak di

ra. Ikus bedi A eta B itxiak ez badira, ez duelazer tan egia izan behar.

4.10. Biz

(E,d) espazio metriko konexu ez-bornatua. Froga be

di E-ren esferak ez-hutsak direla.

4.11. (i) Biz

(E,d) trinkoa eta demagun

B(a,r)-ren itxidura



113

EJ(a,r) dela Va E E, r > 0 . Froga bedi E-ren bola irekiak konexuak direla. (Suposa bedi B(a,r)= CU D non C,D ez-hutsak, itxiak B(a,r)-n eta c(1D = diren; baldin a E C bada, kontsidera bedi x EDzei nentzat d(a,x) minimoa den. Ikus aurreko kapitulua ren 3.12 problema).

(ii) Eman espazio metriko guztiz ez-konexu bat non bola ireki bakoitzaren atxekidura dagokion bola itxiaden. 2 (iii) F( -n

d(x,y) = max {ix i -y i l, ix 2 -y 2 1} metrika kontsi

deratuz,

biz E = {(x l ,x 2 ) / x 1 = 0 eta 0 < x 2 < 1

edo x 2 = 0 eta 0<x 1 < 1} . Froga bedi E-n bola irekiak konexuak direla B(a,r)-ren itxidura (a,r) izan ez arren.

4.12.

Biz E konexua gutxienez bi punturekin. Froga bitez:

(i)

A E-ren azpimultzo konexua bada eta B A c -ren az pimultzoa A c -n irekia eta itxia, AUB konexua da.

(ccm n N irekia (edo itxia) bada M eta N-re

kiko, irekia (edo itxia) da MUN-n).

(ii) A E-ren parte konexua bada eta B A c -ren osagai konexua, B

c

konexua da.

(iii) Froga bedi ba daudela E-n bi parte konexu ez-huts M eta N zeinentzatMUN =E eta mnN= d diren.



114

4.13. Biz E espazio metrikoa, puntu baten osagai konexua puntua barne duen edozein multzo ireki eta itxiren par te da.

4.14. E konexua da baldin eta soilik baldin E-ren edozein bi punturentzat biak barne dituen E-ren azpimultzo nexurik badago.

4.15.

Biz

(E,d) trinkoa. Froga bedi

(E,d)-ren osagaiak ire

kiak badira, gehienez kopuru finituan daudela.

4.16. Froga bedi E-ren osagaiak kopuru finituan badaude ire kiak eta itxiak direla.

4.17.

Froga bedi

{(x 1 ,x 2 ) E IR

xua dela eta ez

2

/ x i e

{(x 1 ,x 2 ) e1R 2 /

edo x 1 ,x 2 c

x

2

e

kone-

}.

4.18. Biz A konexua eta B, A C B C A baldintza betetzen duen multzo bat. Froga bedi B konexua dela B= AU(

yeB-A

{y})

eta 4.7 problema erabiliz.

4.19.

Biz E konexua,

x E E eta Ac:E - { x} .

Froga bedi

115

A E-{x}-en irekia eta itxia bada, A." = AU{x} dela eta konexua.

4.20.

Biz A

=

1 {( — ,y) n

/

n

E ]N* , 0
n}cA n denez,

6(T n )

6(A

n

) dugu

eta lim 6(T ) = 0 izango da; beraz, {a n } cauchyarra da n n+co (ikus 5.7 definizioa, bis).

(E,d) osoa denez, existitzen da

= lim a . Gainen+co n A .

n

ao

ra, Q c '71"

C

n

n

= A

n

, beraz, Q e

n=1

ao

£le

A n balitz,

n=1 beraz,

teke,

(ii)

n

d(R,R 1 ) = 0

) < 6(A n ) Vn izango litza eta

52,= Q 1 .

> (i)

Biz {a n } segida cauchyar bat eginez,

T

1

:)T

2

:DT d ugu 3

(E,d)-n . T n = {a k /k>n }

eta

lim (5(T ) = 0 da, n n+co

segida cauchyarraren definizioaz.

Orain, A n

= Tn

ipiniz, A 1

lim 6 (A n ) = 0, 6(A n ) = 6(T ) n n+w siz, A n = {x} dugu. n=1

n

D

A

2 A 3

bait da.

D



eta

Orduan, hipote



137

e >0 bada, har dezagun n n > n

Orduan ,

o

zeinentzat

o

(A

n

)<eden.

d(a n ,x)<e da eta x = lim a n dugu . n co

Teorema honek ]R-ren kasuan zera ematen du: ]R-ren oso tasuna eta Cantor-en tarte kolkoratuen teorema baliokideak di ra.

Teoremaren propietatean hipotesi guztiak beharrezkoak dira:

a) Multzoak itxiak ez badira, ebakidura hutsa lor daiteke. Adibidez,

]R-n A

n =

(O,

1

)

hartzen denean, segida beheao

rakor bat dugu,

lim

(A ) = 0 da baina n

n

n=1

A

n

= ,25 .

b) Diametroek ez badute 0-rantz jotzen ere ebakidura hutsa lor daiteke. Adibidez,

R-n

A

n

= [n, + op )

ez-hutsen segida beherakor bat dugu, baina

hartuta, itxi co A = (6 da. n n=1

n

§V.4. OSOTASUNA ETA TRINKOTASUNA

5.20. Definizioa

Biz

(E,d) espazio metrikoa eta Ac:EE. A

segidaz

trinkoa da A-ren edozein segidak azpisegida konbergente bat (A-n) badu.

5.21. Lema Multzo aurretrinko batetan edozein segidak azpisegida cauchyar bat du.



138

Frogapena Biz {a n } multzo aurretrinko batetako segida bat eta dei dezagun T segidaren multzo euskarria.

T finitua bada, gutxienez elementu bat infinitu aldiz agertzen da eta, horrela, azpisegida konstante bat dugu, cauchyarra beraz.

T infinitua bada, 1 erradioko bolez estal dezakegu, bo lak kopuru finituan egonik. Orduan, gutxienez bola batek T-ren infinitu elementu ditu. Bola hori B

1

deituko dugu eta ber-

tan dauden elementuek ematen duten segida {a

1

1 , a 2

a

1

onen multzo eskarria. idatziko dugu. Biz T h 1

1/2 erradioko bolez estalki bat eginez, bola batek B bola hori eta T -en infinitu elementu ditu. Biz 2 1 2 2 elementu horiek ematen duten segida. , ....} , a3 {a a 1 , Biz T

segida honen multzo euskarria eta errepika dezagun

2

prozedura, hurrengoan 1/3 erradioa erabiliz.

Honela, segida bakoitza aurrekoaren azpisegida da, segidaren multzo euskarria beti infinitua da eta T

1

6 (T

DT n

2 T 3 T n

)

6(B ) < n — n

Har dezagun

,

T

n

C B

izanik,

n

hots,

.

1 2 3 {a l , a 2 , a 3 ,

a

n

'

...}

segida dia-

gonala. Segida hau emandakoaren azpisegida da; ikus dezagun cauchyarra dela. o

badira,

c> 0 bada, biz n

o

: n

o

> 2/ c orduan,

< c . , aq)< a P , a q B eta d(a pp' n q n p q o o

139

5.22. Teorema Biz (E,d) espazio metrikoa. Orduan, ondoko baiezpenok baliokideak dira: (i)

E trinkoa da.

(ii)

E aurretrinkoa eta osoa da.

(iii)

E segidaz trinkoa da.

Frogapena

Multzo trinkoak aurretrinkoak direla 3.12 teoremak fro gatzen du.

E osoa dela ikusteko, 5.18 teoremaren ezagupideaz baliatuko gara. Biz, bada, A 1 D A 2 A33 ez-hutsen segida beherakor bat eta lim

multzo itxi (An) = 0 ; 3.15 ko-

rolarioak erakusten duenez, E trinkoa izateagatik, da eta lim

n

A

neiN n

(An) = 0 denez, puntu bakar bat izango da. Hor

taz, E osoa da.

(ii)==>(iii) Biz {a } E-ren segida bat. E aurretrinkoa bada, aurre n ko lema aplikatuz {a n }-tik azpisegida cauchyar bat atera daiteke eta, espazioa osoa denez, azpisegida hori konbergenteada. Hortaz, E segidaz trinkoa da.

(iii)==>(i) E segidaz trinkoa denean BW dela ikusiko dugu (3.21

140

teoremaz trinkoa ere izango da).

Biz Ac:E multzo infinitu bat. A-n {a n } segida bat har daiteke beronen gai guztiak desberdinak direlarik; E segi daz trinkoa denez, segida horrek azpisegida A-n konbergente bat du eta azpisegida horren limitea A-ren metatze - puntua izango da. Hortaz, E BW da.

Oharrak. 1. Teorema honetan erdi izkutuan erresultatu hau du gu: espazio trinkoak osoak dira.

2. Trinkotasunaren hirugarren forma baliokide bat daukagu hemen, segidazko trinkotasuna hain zuzen. Baina, besteentzat ger.tatzen den legez, baliokidetasuna espazio metrikoetan dugu, ez topologia orokorrean.

§V.5. BAIRE-REN TEOREMA

Orain lortuko dugun erresultatu hau garrantzizkoa da Analisi Funtzionalean, teorema handi batzuen frogapenetan era bilia bait da.

5.23. Definizioa

Biz (E,d) espazio metriko bat eta ACE. A lehen kategoriakoa da multzo inon ez dentsoen bildura kontagarria bada. Bigarren kategoriakoa da lehen kategoriakoa ez bada.

Gogora bedi multzo bat inon ez dentsoa dela beraren

141

itxiduraren osagarria dentsoa denean (edo itxiduraren barrual dea hutsa).

Izen hauek ez dute inolako informaziorik ematen propie tate honetaz eta beraien ordez mehea ("magro, maigre, meager") eta ez-mehea erabil daitezke. Dena dela, oraindik, askoz ere gehiago ikusten dira kategoriazko izendapenak.

Berehalako propietate batzu:

(i)

ACB bada eta B lehen kategoriakoa, A ere.

(ii) Lehen kategoriako multzoen bildura kontagarriak lehen ka tegoriakoak dira.

(iii) Multzo itxi batek barrualde hutsa badu, lehen kategoria koa da (nabaria da, inon ez dentsoa bait da).

Adibideak

1. Puntu bakar bat duen multzo bat inon ez dentsoa (eta, beraz, lehen kategoriakoa) da baldin eta soilik baldin puntua isolatua ez bada.

2. Q lehen kategoriakoa da; kontagarria denez, puntu bakar bateko multzoen bildura kontagarri bezala idatz daiteke eta puntu horiek isolatuak ez direnez, multzoak inon ez dentsoak dira.

3. Espazio diskretu batetan ez dago inon ez dentsoa den multzo ez-hutsik. Ondorioz, edozein multzo ez-huts bigarren katego riakoa da.

142

4. IR

2

planoaren abzisa-ardatza lehen kategoriakoa da (inon ez

dentsoa da). F

2

bera bigarren kategoriakoa da, Baire-ren

teorematik aterako denez.

5.24. Lema A inon ez dentsoa bada eta U ireki ez-hutsa, aurki daiteke bola bat B, U-ren parte eta A-ren disjuntua.

Frogapena Demagun ez dela hori gertatzen. Orduan, xe U bada, x zentrutzat duen edozein bolak A-ren puntuak ditu eta, ondorioz, xc A da. Hau U-ren puntu guztientzat egia izanik, Uc:Ä litzateke. Baina hau absurdua da, JA" =

bait da.

5.25. Teorema (Baire-ren teorema)

Espazio metriko oso bat bigarren kategoriakoa da.

Frogapena Demagun lehen kategoriakoa dela. Orduan, E =A n ' nelNI A

inon ez dentsoa delarik. n

Har dezagun A l ; aurreko lema aplikatuz, B 1 bola itxia aurki dezakegu, A 1 -en disjuntua eta erradioa < 1

duelarik.

(Bola batek lema betetzen badu zentru bereko eta erradio txikiagoko edozeinek betetzen du). Orain A 2 hartuta, aurki dai teke B

2

bola itxia, B -en partea, A -ren 2 1

erradioa < 1/2 duelarik (A = A

2

eta U = B

disjuntua eta 1

multzoei apli-



143

katu behar zaie aurreko lema). Honela segituz, bola itxien se gida beherakor bat lortzen dugu, erradioek 0-rantz jotzen dun 1 hartubaitda) etaB n 0(U A)= e5 telarik (B -ren erradioa n i=1 izanik.

n

Espazioa osoa denez,

nc }I\I

B = { a} da (ez-hutsa) eta n

An Vn . Ondorioz, E

eraikibideaz, a

#

U

nelf\I

A

n

hipotesia ,

ren aurka. Beraz, E bigarren kategoriakoa da.

5.26. Korolarioa Espazioa metriko oso batetan ireki dentsoen ebakidura kontagarria dentsoa da. Bereziki, ireki dentsoen ebakidura ho ri ez da hutsa.

Frogapena Izan bitez

ireki dentsoak; orduan r i k = E n __c eta, beraz, A cn inon ez dentsoa da (A cn = A n bait da). {An}nc

E osoa denez, E

U

nc

Gainera, V irekia bada, V

Ac n

dugu aurreko teoremaz.

J i\J A da, aurreko frogapenean ne n

B c:V hartuz gero ikusten denez (posible da 5.24 lemaren ara 1 bera). Orduan, A c ) c v nU nc 1\1 n

beraz,

nc

A

n

edo

v

n

n e lN

A ) n

dentsoa da.

Aplikazioak Ez da erraza maila honetan Baire-ren teoremaren aplika



144

zioak aurkitzea. Analisi Funtzionaleko teorema garrantzitsuenetariko bi frogatzeko erabiltzen da (korolarioa batez ere); teorema horiek Banach-Steinhaus-ena eta aplikazio irekiarena dira eta liburu espezializatuetan aurki daitezke.

Ba dago, bestalde, beste aplikazio bat hurbilago gelditzen dena Analisi elementala ezagutuz gero. Erresultatu hau lortzen da: [a,b] tartean definituriko funtzio jarrairik "gehienak" ez dute deribaturik (ezta albo-deribaturik ere) inongo puntutan. Frogapena, labur esanda, honelaxe egitenda:

(i)

C( [a,b] ) , [a,b]

tartean definituriko funtzio jarraien

multzoa izanik, eta f,ge

d(f,g) =

sup a < t‹ b

c(

[a,b] ) ,

If(t) — g(t)I

metrika bat da eta (C( [a,b] ),d) osoa da (konbergentzia uniformea erabili behar da; ikus hurrengo kapitulua), be raz, bigarren kategoriakoa.

(ii) Biz A [a,b)-ko puntu batetan gutxienez eskuin-deribatua duten funtzioen multzoa. Ipin dezagun

E f n

e

e( [a,b] ) / 3x

f(x+h) - f(x)

Orduan, A

C n Y iN

En

lehen kategoriakoa da.

c [a,b -

n den V h,

eta E

n

zeinentzat

1 h< — n

inon ez-dentsoa denez, A

145

(iii) B (a,b] -ko puntu batetan gutxienez eskuin-deribatua duten funtzioen multzoa bada, B ere lehen kategoriakoa da.

(iv)

Ondorioz, e( [a,b] ) - (A(J B)

bigarren kategoriakoa

da, beraz ez-hutsa. Multzo honetako funtzioek ez dute ez eskuin- ez ezker-deribaturik [ a,b] tarteko inongo puntutan. Lehen kategoriako multzoak bigarren kategoria koak baino "meheagoak" direnez, funtziorik "gehienak"

e(

a,b] ) - (AU B)-n daude.

Frogapen hau Banach-ek eman zuen lehen aldiz (1931) eta Pitts-en "Introduction to Metric Spaces" liburuan aurki daite ke (7. kapituluan).

Existentzia teoriko hau frogatu orduko Weierstrass-ek XIX. mendean eraiki zuen funtzio jarrai bat inon ez deribaga rria. Ikus adibide bat Spivak-en "Calculus" liburuan, 23. ka pituluan.

§V.6. OSAKUNTZA

Espazio metriko ez-oso bat dugunean, osotzeko bide bat eman daiteke. Baina osotze hori honela ulertu behar dugu: bes te espazio metriko bat lortuko dugu eta hasierako hura berri honen parte baten isometrikoa izango da, parte horrekin identifikatzen delarik.

146

5.27. Teorema Biz (E,d) espazio metriko bat; orduan, existitzen da (E*,d*) espazio metriko osoa zeinentzat zera dugun:

(i)

(E,d) (E*,d*)-ren E 1 azpiespazio baten isometrikoa da.

(ii) E

1

dentsoa da E*-n.

Baldintza hauek betetzen dituen beste edozein espazio oso (E*,d*)-ren isometrikoa da.

Frogapena Urrats hauek emango ditugu:

a)

(E*,d*)-ren eraiketa: multzoa eta metrika.

b)

(E,d)-ren azpiespazio isometrikoa

c)

E

d)

E* osoa da.

e)

(E*,d*) bakarra da, isometrikoak salbu.

1

: E1

dentsoa da E*-n.

a) E-ren segida cauchyarren multzoan erlazio bat definitzen dugu:

{a n }

{a n } eta {b n } segida cauchyarrak badira,

R

{b l im n

d(a ,b ) = 0 n n n.a)

Adibidez, limite berbera duten segida konbergenteak erlazionaturik daude. Baliokidetasun-erlazioa da (ia nabaria) eta, orduan, zatidura-multzoa defini daiteke. Zatidura-mul tzo honi E* deituko diogu.

147

E* eta {a n } eta {b n } A eta B klaseen

Bira A,B

adierazleak, hurrenez hurren. Defini dezagun

d*(A,B) =

lim n .co

d(an , bn)

Ikus dezagun d*(A,B) elR dela, ez duela hautatutako adierazleen dependentziarik eta metrika bat dela.

1d(a

n'

b

n

) - d(a

b )1 d(a ,a ) + d(b b ) m m' m n n' m

dugunez, {a n } eta {b n } cauchyarrak izanik,

{d(a n, b n )} cau

chyarra da ]R-n eta orduan konbergentea, hots, d*(A,B)0-rantz konbergentea

)-en ere konbergentea dela. Orobat

n} eta b

n

= inf T

n

, c

n

= sup T

n

. Froga bedi {b n } eta

{c n } konbergenteak direla.

{b n } segidaren limitea {a } -ren behe-limitea deitzen n da eta lim inf

a

n

.idazten. Halaber, {c

n

} segidaren

limitea {a n } -ren goi-limitea da eta lim sup a

n

idaz

ten da. Froga bedi {a n } konbergentea dela baldin eta soilik baldin goi- eta behe-limiteak berdinak badira eta bien balio hori dela {a } -ren limitea. n

157

5.20. Froga bedi ]R osoa dela bide hau segituz: (i) Edozein segida erreal bornatuk azpisegida konbergen te bat du. (Laguntza: {a n } bornatua bada, ipin dezagun S = {xcIR / a n > x gehienez n-ren balioen kopuru fini tu batentzat } eta biz b = inf S . Ikus b-rantz konber gitzen duen

(ii) {a

n

{a n }-ren azpisegida bat eraiki daitekeela).

} cauchyarra bada, aurreko erresultatua aplika

dakioke.

(iii)

7R osoa da.

5.21. IR-ren osotasuna (eta 5.14 lemaz IR n -rena) erabiliz, fro ga bedi IR-ren (edo 1R n -ren) azpimultzo itxi bornatu bat segidaz trinkoa dela (beraz, trinkoa eta BW).

5.22. Biz (E,d) espazio metriko lokalki trinkoa. Froga bedi ondoko hiru propietateok baliokideak direla:

(i)

E trinkoen bildura kontagarria da.

(ii) E-ren parte trinkoen segida bat dago, zeinentzat

K

n

c:K

neIN

n+1 '

eta E

{K n } n

'

K den. = nU e 1N n

(iii) E banangarria da. (Laguntza: K E-ren azpimultzo trinko ez-hutsa izanik, ikus existitzen dela r > 0 zeinentzat K(r) ={ycE/d(y,K) < r} trinkoa den. E =

lJ ne

]N F

n

badugu, F

Vn, K = F eta K = F U Kn-1(r) n n n o o gu).

n

trinkoa ez-hutsa 0 definitzen ditu

VI, KAPITULUA

JARRAITASUNA

VI.1 Jarraitasuna puntu batetan VI.2 Jarraitasuna multzo batetan VI.3 Jarraitasun uniformea VI.4 Jarraitasuna multzo trinkoetan VI.5 Jarraitasuna multzo konexuetan VI.6 Arkuzko konexutasuna VI.7 Metrika baliokideak VI.8 Konbergentzia uniformea VI.9 Hedapen-teoremak VI.10 Puntu finkoaren teorema bat

160

VI. KAPITULUA

JARRAITASUNA

Topologian oinarrizko kontzeptua dugu jarraitasuna. Esan ohi da Topologia jarraitasunaz arduratzen den Matematika ren ada r ' ra dela.

Oso ezaguna da funtzio errealen jarraitasunaren defini

zioa.

Definizio berbera egokitzen da espazio metrikoen kasura

ere baina, aurretik, inguruneen bidezko definizio baliokide orokorrago bat emango dugu, generalizazioetarako balioko duena.

Jarraitasuna puntu bakoitzean aztertu behar da (puntua la) eta multzo batetako puntu guztietan bete daiteke (globala). Zenbait propietate agertzen dira: segidekiko erlazioa, konposizioaren jarraitasuna, funtzioen limiteekiko lotura (funtzio errealetan gertatzen zena oroiteraziz), jarraitasun globalaren ezagupideak (irekien eta itxien irudi inbertsoak irekiak eta itxiak izatea, alegia).

Bijekzio batek bi multzoren elementuak identifikatzen baditu, homeomorfismo batek bi espazio metrikoren (orokorrago, bi espazio topologikoren) egitura topologikoak identifikatzen ditu. Nahikoa izango da irekiak identifikatzea eta hau jarraitasunaz lor daiteke.

161

Ondoren, jarraitasun uniformeaz arituko gara. Funtzio errealetan dugun kontzeptu berberaren egokitzapena baino ez da oraingo definizioa; metrikak posiblez.tatzen du hedapena egitea eta ez dago inguruneen bidez orokorrago ematerik.

Multzo trinkoek eta konexuek propietate bereziak ematen dizkiete funtzio jarraiei. Analisi Errealeko erresultatu ezagunak egoera honetara aldatzen dira: Weierstrass, Heine, Bolzano, Darboux.

Arkuzko konexutasuna konexutasuna bera baino intuitiboagoa da. Edozein bi puntu arku baten bidez lotzerik badago arkuzko konexutasuna dugu. Honek hura halabehartzen duen artean, alderantzizkoa ez da beti gertatzen.

Metrika desberdin bi multzo ber batetan topologikoki baliokideak izan zitezkeen bigarren kapituluan esan bezala. Orain beste baliokidetasun-erlazio bi definituko ditugu hangoa baino sendoagoak biak.

Funtzio-segiden kasuan puntuz-puntuko konbergentzia eta uniformea desberdinduko dira eta funtzio jarraien segida baten limite uniformea jarraia dela frogatuko da.

Hedapen-teorema batzu ikusiko ditugu ondoren, hedapenari jarraitasuna edo jarraitasun uniformea gordetzea eskatuz. Funtzio errealen kasuan, Tietze-ren teorema emango dugu, bertan bornapen-baldintzak ere eskatzen direlarik.

162

Azkenik, puntu finkoaren teorema bat ere ikusiko dugu, kontrakzioena, hain zuzen. Ba daude beste puntu finkoaren teo rema batzu ere baina hemen kasu berezi horrekin konformatu be harko dugu.



163

§VI.1. JARRAITASUNA PUNTU BATETAN.

6.1. Definizioa eta (E',d') espazio metrikoak eta f:E' E'

Bira (E,d) aplikazio bat. x

o

e E bada, f x -n jarraia dela esango dugu o

ondoko baldintza hau betetzen bada:

VV f(x )—ren ingurunea, 3U x —ren ingurunea: f(U)C V . o o

Ingurune bakoitzak puntuan zentraturiko bola bat parte tzat duenez, beste definizio baliokide bat emango dugu:

6.1. Definizioa (bis)

f

x -n jarraia da baldin eta soilik baldin o

> 0

3,5 > 0 :

f(B(x 0 ,45)) C B(f(x 0 ),E )

Vc>0

38 > 0 :

d(x,x 0 ) < 6



d'(f(x), f(x

bada

edo

))n - o



n > no

lim f(a ) = f(x ) o n n4co

))< e

d( a ,x ) < 6 o n

.

d'(f(a

n

), f(x

o

)) <e

eta be-

e.

165

(ii) Demagun f ez dela jarraia x o -n . Orduan, tzat eta 6>0 bakoitzarentzat aurki daiteke bat zeinentzat d(x,x

o

c >0 baten x

puntu

)< d eta d'(f(x), f(x 0 ))>s

bait

d-ren dependentea izango da, noski).

dira (x hori

d = 1/n hartuta, dagokion x hori a n izendatuz zera dugu:

d(a n , x o ) < 1/n eta d(f(a n ), f(x 0 ))> c . Honek

esan nahi du eraiki dugun {a n } segida horrek xo-rantz konbergitzen duela, baina {f(a n )} ez dela f(x0)-rantz konbergentea.

6.3. Teorema

Bira ko eta da x

o

(E,d) , (E',d')

(E",d") hiru espazio metri

eta

E" funtzio bi. f jarraiaba

E' eta puntuan eta g f(x

o

) puntuan, g o f jarraia da x

o

puntuan.

Frogapena Biz W

(gof) (x o ) = g(f(x 0 ))-ren ingurunea. g f(x0)-n

jarraia denez, existitzen da V f(x

o

)-ren ingurunea zeinentzat

g(V) c W den. Baina f x -n jarraia denez, existitzen da o U x -ren ingurunea: o (gof) (U) C g(V) c W

f(U)c:V V. eta

Orduan,

g of jarraia da x -n. o

Oharra.- Teorema honetan nahikoa da g f(E)-n definituta ego tea.

166

Funtzioen limiteak

6.4. Definizioa Bira (E,d) x

o

espazio metrikoak eta

eta (E',d')

E-ren metatze-puntua bada, lim f(x) = R c E' dela esango n->eo

dugu zera betetzen denean:



Vv

R-ren ingurunea 3u x -ren ingurunea: f(U-{x })cV o o

edo, metrikak erabiliz,

Ve>

x

0

o

3d

>0 :

d'(f(x), z) < E

0 < d(x,x 0 ) < 6

E-ren metatze-puntua izatea eskatzen dugu zeren, pun

tu isolatua balitz, U = {x o } hartuz, f(U - {x 0 })c:V beti bete •

ko bait litzateke eta edozein

limitea izango bait litzate

R

ke.

, x

A C E bada eta f :

A-ren metatze-puntua

o

bada, nahiz eta f x o -n definitu gabe egon, limiteaz hitz egi teak zentzua du. Orduan,

$2, -ren ingurunea

3 f(A

edo,

Ve> 0

36 > 0 :

U x -ren ingurunea (E-n): o fl

U - {x o } ) C V

0 < d(x,x .0 )< eta

x

Kasu honetan, A azpimarratu nahi delarik, idatziko da.

Biz, orain, BC:Ac:E. definiziotik b stakoa denez,

A --4>d'(f(x),

)<E

lim f(x) = z x.x x s A

x o B-ren metatze-puntua bada,

167

lim f(x) x . x X C

(bigarrena existitzen bada)

= lim f(x) x.x

B

X E

Gerta daiteke, hala ere, gabe.

A

lim f(x) existitzea, lim existitu x.x x.x x e A

x e B

Areago, B i C:A eta B 2 C2A badira, x o B 1 eta B 2 -ren lim f(x) lim f(x) bada, metatze-puntua eta lim f(x) x.xx.x X4X o ez da existitzen. c A xE 13 x xc B 1 2

Adibidez, f funtzio erreal bat bada, A = (x o -r,x 0 ) U (x 0 ,x 0 + r)-n definitua eta B i = (x o -r, xo) eta B 2 = (x 0 ,x 0 + r) zera esan daiteke: f-k x -n limitea badu, albo-limiteakexis o titzen dira eta limitearen balioa dute; albo-limiteak desberdi nak badira, funtzioak ez du x -n limiterik. o

6.5. Teorema Bira

(E,d)

eta

espazio metrikoak eta

A-ren metatze-puntua bada eta lim f(x) x.x existitzen bada, limitea bakarra da. x EA f : AC:E

E' .

x

(E',d')

o

Frogapena Demagun bi limite daudela,

eta Q 2 ,

R 1 # 2 2 .

Har ditzagun V i R 1 -en ingurunea eta V 2 R 2 -rena, vinv2=r6 delarik (adibidez,

V 1 = B(21 , r/2)

eta V 2 = B(2,2,r/2), non



168

r

= d(t 1

,£ 2

)

bait da). Orduan, ba dauzkagu U 1 eta U 2 xo-ren

inguruneak zeinentzat f (U Baina f(U

1

nA-

U

u2

n

1

{x

fl U

nA

o

2

-{x

})

c v



eta f (u 2

(l

A -

x -ren ingurunea da, u i o o

})cf(u nA 1

-{x

o

)n f (U

{x 0 }) C V 2

u

n

2

nA

2

fl

A -

diren.

{x

eta

} o

-

{x

o

})cv

i

n

v

2

= r6

Hau absurdua da; beraz, ez da posible bi limite desberdin izatea.

Hurrengo teoremak jarraitasunaren eta funtzioen limiteen arteko lotura egingo du, Analisi errealean egin ohi den bezala.

6.6. Teorema Bira (E,d) eta (E',d') espazio metrikoak eta

(i)

x

o

E'.

E-ren puntu isolatua bada, f jarraia da x o -n.

E-ren metatze-puntua bada, f jarraia da x o -n bal bada. lim f(x) = f(x ) din eta soilik baldin o X+X o

(ii) x

o

Frogapena (i)

x

o

isolatua bada, U={x o } x o -ren ingurunea da eta beti

hauxe hartuz jarraitasunaren definizioan nabaria da f(U) C V dela V f(x

(ii) lim f(x) = f(x o ) x+x

o

)-ren edozein ingurune izanik.

bada, aurreko 6.4 definizioaz zera

O

dugu:

V E

>0

3 is

>0 : 0

cl'(f(x),f(x0)

169

baina nabaria da x = x

o

puntuak ere d'(f(x), f(x

o

))< c

betetzen duela, beraz, Ve> 0

36 > 0 :

d(x,x 0 ) < d ---> d'(f(x), f(x 0 )) < e

hau da, x -n jarraia izateko baldintza. o Bestalde, f x o -n jarraia bada, jarraitasunaren definizioaz nabaria da

lim f(x) = f(x X+ X

o

)

dela.

6.7. Teorema Bira (E,d), (E',d') eta (E",d")

, g: BCE'--+E" aplikazio bi, f(A) C B

eta f: ACE izanik. x

hiru espazio metriko

A-ren metatze-puntua bada, lim f(x) = b cB exis x+x titzen bada eta g b puntuan jarraia bada,

lim x+x x E

o

(go f) (x) = g(b)

da.

O

A

Frogapena W g(b)-ren ingurunea bada, g-ren jarraitasunaz exis titzen da V b-ren ingurunea zeinentzat g(VnB)CW den.

lim f(x) = b denez, existitzen da U x o -ren ingurux+x O

x e A nea zeinentzat (g o f)

eta

lim x+x x e A

f(U(l A - {x 0 }) C V den.

(un

A - {x 0 })C g(V n B) C

(gof) (x) = g(b).

Orduan, .



170

Oharra.- Erresultatu hau da Analisian beti erabiltzen dena li miteak kalkulatzeko.

lim x+x

g(f(x)) = g (lim x+x

f(x))

egin daiteke g funtzioa jarraia denean

(lim . f(x) puntuan). x+ x

§VI.2. JARRAITASUNA MULTZO BATETAN

Orain arte funtzio baten jarraitasuna puntu bakoitzean ikusi dugu, puntuan eta ingurune batetan gertatzen zena kontu tan hartuz. Ondoren, modu zabalago batez, multzo batetango ja rraitasuna aztertuko dugu.

6.8. Definizioa Biz

f: (E,d)

(E',d')

eta Ac:EE.

f A-n jarraia

dela esango dugu A-ren puntu guztietan jarraia bada.

6.1 definizioaren arabera honela jar dezakegu: Vx

A , Ve >0

3 (5

d(x,y) 0 :

hori x puntuaren eta E

-d'(f(x), f(y))
-(E',d') {a

uniformeki jarraia A-n eta

} A-ren segida cauchyar bat. Orduan, {f(a n )} cauchyarra

n

da E'-n.

Fro2apena Biz

3 6>

e >O, orduan

0 : x,y e A eta d(x,y) .

d'(f(x), f(y)) < e . 8 horrentzat eta {a n } cauchyarra izanik, aurki daiteke n den.

o

zeinentzat p,q>n

d'(f(a ), f(a )) < e

da eta

Oharrak. 1: Erresultatu hau uniformeki). Adibidez, = n 1

{f(a

n

)} cauchyarra.

ez da egia f jarraia denean (ez

IR , f(x) = ;17

f:

hartuta, f(a

den arren, {f(a n )}

direnean, d(a ,a ) < 6 P

p,q > n o direnean,

Baina, orduan,

baina a

o

n

jarraia da,

) = n dugu eta {a n } cauchyarra

ez.

2. Segida cauchyar guztien irudiak cauchyarrak izatea ez da nahikoa aplikazioa uniformeki jarraia izateko. Adibidez,

f(x) = x 2 ,

]R-rako aplikazioa, ez da unifor-

meki jarraia baina segida cauchyarren irudiak cauchyarrak dira.

VI.4. JARRAITASUNA MULTZO TRINKOETAN 6.17. Teorema Biz

(E',d') jarraia.

E

trinkoa bada f(E)



le

181

ere trinkoa da.

Frogapena Biz {f

-1

{V.}

(V.)}. I

f(E)-ren estalki bat.

ic I

Orduan,

E-ren ireki-familia bat da eta E= . 0 ,f-i(v.)

•

E trinkoa denez, ireki-familia honen azpifamilia finitu batek ere E estaltzen du, hots,

n

3

V i , V 2 ,

Vn

:

E =

U i=1

f -1 (Vi)

Orduan,f(E)= i=i f(f -1 (V.)) C i=1 Vi

beraz,

f(E)-ren azpiestalki finitu bat lortu dugu eta f(E)

trinkoa da.

Oharrak.- 1. f:

(E',d')

jarraia bada eta AC:E trin

koa, f(A) ere trinkoa da. Aski da f-ren A-rako murrizpena kontutan hartzea.

2. Ireki eta itxien kasuetan ez bezala, trinkoen irudiak trinkoak dira baina ez irudi inbertsoak. Hona kontradibide bat: Biz E edozein espazio metriko ez-trinko eta f aplikazio konstante bat f(x) = ac E'

VxcEE. Orduan, {a}

trinkoa da E'-n baina f-1 ({a }) = E ez da trinkoa.

6.18. Teorema f: (E,d)

(E',d')

bijekzio jarraia bada eta

trinkoa, f -1 ere jarraia da (beraz, homeomorfismoa).

182

Frogapena 6.15 teorema aplikatuz, aski dugu AC:E itxia bada f(A) ere itxia dela ikustea.

E trinkoa denez, AC:E itxia bada trinkoa izango da eta, orduan,

f(A) ere.

(f eta f ikus 6.21

f(A)

trinkoa izanik, itxia izangoda.

jarraiak ezezik uniformeki jarraiak dira, j

teorema).

Ondoren emango ditugun bi teoremok oso ezagunak dira Analisian eta ez dago inolako oztoporik kasu orokor honetara pasatzeko. Aurretik lema bat emango dugu.

6.19. Lema R-ren azpimultzo trinko batek supremoa eta infimoa ditu eta azpimultzoan daude.

Frogapena ACR trinkoa bada, bornatua izateagatik supremoa eta infimoa ditu. Bi balio hauek A-ren puntu atxekiak dira, eta, A itxia denez, A-n daude.

6.20. Teorema (Weierstrass) f: (E,d)--+ R jarraia bada, eta E trinkoa, f-k ma ximoa eta minimoa iristen ditu E-n.

(f funtzioan aEE puntuan maximoa du f(a) >f(x)Vxe E

183

bada, eta b e E puntuan minimoa f(b) < f(x) Vx e E bada).

Frogapena E trinkoa bada, f(E)ClR trinkoa da eta aurreko lema ren arabera, supremoa eta infimoa iristen ditu. M = sup f(E) eta m = inf f(E)

badira, m,M c f(E)

izateak z.era suposatz.en

du: ba daude a,beE zeinentzat f(a) = M eta f(b) = m diren, a puntuan maximoa iristen da eta b puntuan minimoa.

Teorema honen aplikaziotzat, 3.12 eta 3.13 problemak oso erraz berregin daitezke

x F—›-d(x

o

,x) e-ta

aplikazioen jarraitasuna erabiliz.

6.21. Teorema (Heine) jarraia eta A trinkoa.

Biz f:

Orduan, f uniformeki jarraia da A-n.

Frogapena Biz E >0 . f A-ren puntu bakoitzean jarraia denez, 3 6(x)

Vx 6 A

> 0 :

d(y,x)< 6 (x) eta

{B(x, 6 (x)/2) / xcA}

E A

y

d'(f(x),f(y))
1 guztientzat gertatzea.

Metrika uniformeki baliokideak

6.32. Definizioa E-n definitutako bi metrika d liokideak dira baldin

eta d 2, uniformeki ba1

(E,d1)-->(E,d2) eta i

-1

: (E,d2)-->(E,d1)

uniformeki jarraiak badira.

6.14 teoremaz, baliokidetasun uniformearen baldintza ho nela jar daiteke: E-ren edozein bi segidatarako, {x

lim d (x 1 n' n•co

)

y n

= 0

n

} eta {y n } :

lim d (x 2 n' n•co

y

)

= 0

n

(Praktikan bide hau gertatzen da egokiena).

Bi metrika uniformeki baliokide topologikoki baliokideak

193

dira (nabaria da, jarraitasun uniformeak jarraitasuna halabehartzen bait du) eta bi metrika baliokide uniformeki baliokideak dira. Izan ere, baldintzatik

m 1 d 1 (x n ,y n ) lim d (x lim d (x 2 n' n 1 n' n n+co n•co

Alderantzizkoak ez dira gertatzen:

1.

3R-n d 1 (x,y) = lx-yi

Har ditzagun d

1

eta d

2

3 3 eta d 2 (x,y) = ix -Y 1

topologikoki baliokideak dira

ix n -a1 ---÷ 0 =:. lx ,1 - a 3n l

bait da

baina ez dira uniformeki baliokideak zeren, x = n eta n yn = n +

d

2

(x

ñ n'

hartuz gero, d i (x n ,y n )-->0

y

n

) = 3n +

n

+ n

—-->

3

eta

0.

di(x,y) 2.

]R-n d 1 (x,y) = lx-y1

eta d 2 (x,y) -

hartzen 1 +

( x ,y)

badira, d 1 eta d 2 uniformeki baliokideak dira, lim d i (x n ,y n ) = 0 < n•co



lim d 2 (x n ,y n ) = 0 bait da, n.co

baina ez dira baliokideak. Gorago bezala, d 1 < k d 2 balitz,

VXER

x = d (x 0) n d'(f (x), f(x)) < e Ve> 3 n 0n : n o — o

VxeE

non n

x-en eta

o

tzat n

o

(

e -en menpekoa den. Baldin x EE guztien

ber batek balio badu, konbergentzia uniformea de-

la esango dugu.

6.33. Definizioa funtzio segida f-rantz unifor-

{f n :

meki konbergentea da ondoko baldintza hau betetzen bada: Ve >0

3n

o

:

n > n d' — o

(f

n

(x), f(x)) < e Vx EE

Oharra. Orain arte esan dugun guztian ez da beharrezkoa abia buru-multzoa espazio metriko bat izatea. Ez gara d metrikaz ba

195

liatuko f-ren jarraitasunaz hitz egin arte.

ida-

E-tik E'-rako funtzio bornatuen multzoa 5(E,E') tziz, multzo honetan metrika bat defini daiteke d*(f,g) = sup d'(f(x), g(x)) xe E

Vf,ge

(E,E')

ipiniz. Erraz ikusten da d* metrika dela; d* konbergentzia uniformearen metrika deitzen da, zergatia ondoko teoremak ema ten duelarik.

6.34. Teorema {f n : (E,d)----* (E',d')} funtzio-segidak f-rantz unifor meki konbergitzen du baldin eta soilik baldin lim d*(f ,f)=0 n ntao bada, hots, {f n }-k f-rantz konbergitzen badu (53(E,E'),d*) es pazio metrikoan.

Frogapena (i)

lim d*(f n.co

d*(f

n

n

,f) = 0

,f) < c

n

sup

c >0 ,3 n o :

d'(f

xcE

eta hemendik (ii) {f

, hots,

bada eta

n

d'(fn(x),f(x))< c Vx

n2n

hots,

no:

n >n o

sup

d'(f n (x), f(x))<

_d'(f

n



>,

(x), f(x)) < e E.

}-k f-rantz uniformeki konbergitzen badu eta

bada,

o

(x), f(x))
0

Vxe E ,

< e,

x cE

Konbergentzia uniformeaz funtzio jarraiek limite jarraia dute baina ez derrigorrez puntuz-puntuko konbergentziaz.



196

6.35. Teorema {f



n :

funtzio jarraien segida bat ba

da eta f segidaren limite uniformea, f ere jarraia da.

Frogapena Bira a e E eta

{f

e > 0 .

n

}-k f-rantz uniformeki

konbergitzen duenez, 3n

• n >n o' — o

d'(f

Biz m>n

o

n

(x), f(x)) n i denean, d(xn,a)< 1 diren.

Orduan,

x') < d(x ,a) + d(a,a') + d(a' x' m n n m

m, n>n i denean, hots,

d'(f(x

co-rantz eramanez, jarraitasunaz,

n

< 6

), f(x')) < c .

n

eta m

d'(g(a), g(a'))< E eta g

1

s



201

uniformeki jarraia da.

Tietze-ren hedapen-teorema

Funtzio errealentzat beste hedapen-teorema bat daukagu. Ikus dezagun aurretik lema bat.

6.40. Lema jarraia,

Biz f: Fc:(E,d)

F itxia izanik.

f bornatua bada eta sup f(x) = M eta inf f(x) = -M , existi xe F xe F zeinentzat tzen da g:

ig(x)H; M

Vx eE

M

if(x) - g(x)1





V x eF

;

Ig(x)i
1} Orduan A eta B itxiak (F-n), disjuntuak eta ez-hutsak dira. F itxia denez, A eta B E-n ere itxiak dira.

Defini dezagun

x

g(x) = 1 M 3 eta x

d(x,A) - d(x,B) d(x,A) + d(x,B) funtzio erreal jarraiak dire

nez, berauen kendura eta batura ere jarraiak dira eta g jarraia izango da izendatzailea anulatzen ez bada. Baina,



202

d(x,A) + d(x,B) = O

d(x,A) = d(x,B) = 0

> x eÄ = A

eta hau ezinezkoa da A n B

(i)

x E g = B

eta =

x eA nB

bait da.

d

id(x,A) - d(x,B)1 < d(x,A) + d(x,B)

denez, ig(x)i<

1

M

VxsE .

(ii)

d( x,A )- d( x, B) xe F c ==.xyA, x%B eta orduan d(x,A) + d(x,B) 1 hots, Ig(x)1< - M . 3

(iii)

x A bada,

g(x)

if(x) - g(x)i
IR ,

VA,BCE ez-hutsak, f(8) = 0

f(x) = 1/x

bada.

eta g(x)= sin 1/x.

Froga bedi f eta g jarraiak direla, baina ez unifor meki jarraiak.

6.22.

f(x) = 1 +

Biz f: (0, +co

1

. Froga bedi

f

jarraia dela. Ikus f ez dela uniformeki jarraia (0,+OD )-n baina bai

6.23.

Biz

(1, +co )-n.

f: (E,d) ---> (E' ,d' ) bijekzioa. Froga bedi

E'

osoa, f uniformeki jarraia eta f -1 jarraiabadira, E osoa dela.

6.24.

Biz I = [0,1] eta f: I

►

jarraia.

Froga bedi exis

xe I zeinentzat f(x) = x den

titzen dela

(puntu

finkoa, beraz). (Laguntz.a: A = {xc I / x 0. Froga bedi ba dagoela k> 0 : \ix E A

f(x) >k .

6.26. AC:E trinkoa bada, froga bedi existitzen direla x,ye A zeinentzat

d(x,y) = 6(A)

6.27. Biz Ac:E eta^ A IIJ A (x) = 1

den.

A-ren funtzio ezaugarria, hots, xE A .

= 0

xe A ;

Noiz da

jarraia E-n?.

6.28. Froga bedi tarte itxi bat eta tarte ireki bat ezin dai tezkeela iz.an homeomorfoak.

6.29. Eman, ahal baldin bada, S-tik T-rako aplikaz.io jarrai suprajektibo bat ondoko kasu hauetan:

(i)

S = (0,1)

T = (0,1]

(ii)

S = (0,1)

T = (0,1)U (1,2)

(iii)

S = 7R

T =

(iv)

S =

[0,1]

x

[2,31

T =

(v)

S =

[0,1]

x

[0,1]

T = 7R2

(vi)

S = (0,1)

x

(0,1)

T = â

{0,1)

2

(ezin izanez gero, esan zergatik).

6.30. d E-n metrika bat bada, froga bedi d1- 1+ d

eta



214

d

2

= min (1,d) d-ren topologikoki baliokideak direla.

Ondorioa: edozein espazio metriko espazio metriko bornatu baten homeomorfoa da.

6.31.

11\i-n izan bitez d 1 = metrika diskretua, d 2 = ohizko metrika, d

3

d3(x,y)

= I

-

31

.

Froga bedi d 1 ,d 2 eta

topologikoki baliokideak direla; d

1

eta d

2

unifor-

meki baliokideak dira, baina ez d 3 ; ez daude metrika baliokide bi.

6.32.

Biz E = C([0,1]) ga bedi

d(f,g) =

funtzio erreal jarraien multzoa. Fro sup 0 0 zeinentzat

r ) c A eta B (a l ' l 1 l

B2(a2'r2)C A

2

diren.

r = min { r 1 ,r 2 } hartuz gero,

B(a,r) = B i (a l ,r) x B 2 (a 2 ,r) c A l x A eta A

1

x A

2

irekia da.

2



221

Oharra. Horrek ez du esan nahi E-ren ireki guztiak irekien 2 biderkadura bezala idatz daitezkeenik; aski da lR -ren kasua kontutan hartzea.

7.3. Teorema A

1

c:E

1

eta A 2 CE 2 badira,

A

1

x A

2 =

1

x A

2

Ondorioz, A 1 x A 2 itxia da E-n baldin eta soilik baldin A

1

E1

-en eta A i txiak 2

badira.

Frogapena (i)

Biz a = (a

1'

a )sÄ x 7n 2 1 2

;• orduan,

eta x 2 s A 2 : ci 1 (x 1 ,a 1 )< c x = (x l ,x 2 )

(ii)

Äl x A 2 a1

e A

1

eta d 2 (x 2 ,a 2 )< c . Beraz, . Honelatan, ae A 1 x A2.

d(x,a)<

bada, edo a l

3x 1

ki ,

edo a 2

A 2 , edo biak.

c bada, ac A l x E 2 irekia eta

7 1 x E

ipiniz,

Ve > 0

2

)n

(A l x A 2 ) = d .

Orduan, a  A 1 x A

2

. Modu

berean a 2  42denean.

§

VII.2. PROJEKZIOAK

7.4. Definizioa (E 1 ,c1 1 ) eta (E 2 ,d 2 )

espazio metrikoak badira eta (E,d)

biderkadura-espazioa, :

E



E.

222

aplikazioak (i = 1,2) projekzioak deitzen dira.

7.5. Teorema Projekzioak uniformeki jarraiak dira.

Frogapena

x,yE E badira, zera dugu: d i (w i (x), w i (y)) = d i (x i ,y i ) ‹ d(x,y)

7.6. Lema a 1 cE l finkatuz gero,

x 2 (a1,x2) aplikazioa

E -ren eta { } x E -ren arteko isometria da. 2 2 Halaber, a 2 E E 2 zioa E -ren 1

eta E

1

finkatuz gero, x 1

(x1,a2) aplika

x{a }-ren arteko isometria da. 2

Frogapena Bijekzioa dela nabaria da; distantzia gordetzen dituela d (edo d', d") -ren definiziotik berehala ateratzen da.

7.7. Teorema Ac:E x E irekia (itxia) bada eta a 1 2 1 A(a 1 ) = n 2 (An({a l } x E 2 ))

E

E

1

'

sekzioa irekia (itxia) da E2-n.

Frogapnea A E-n irekia bada, An({a l } x E 2 ) irekia da {a 1 } x E -n . 2

Orduan, lema aplikat

n2(An({a1} x E 2 ) ) ire

223

E2

kia da E -n . 2

7.8. Teorema CE 1 x E

irekia bada,

2

w i

(A) irekia da E i -n (i=1,2).

Frogapena ff

2

(A)

=

x

A(x ) denez, irekia da. Modu berean,

U 1

c E

1

Oharra. A itxia bada, ez da gertatzen erresultatu hau. A =

{(x, 1/x) / x c lIR - {0 }}

w.(A) =

1R - {0} ez da

itxia da P 2 -n baina

itxia.

5 VII.3. SEGIDAK ETA APLIKAZIOAK

7.9. Teorema E = E l x E 2 -ren segida bat, {a n } , 2, -rantz konbergentea (cauchyarra) da oaldin eta soilik baldin dak, i = 1,2, ra.

wi

{w i (

an

)}

segi-

(t)-rantz konbergenteak (cauchyarrak) badi-



224

5.14 lemaren generalizazioa da eta frogapena ariketa tzat uzten da.

7.10. Teorema (E,d) osoa da baldin eta soilik baldin (E 1 ,d 1 )

eta

(E 2, d 2 ) osoak badira.

Frogapena (E,d) osoa bada, E 1 x {a 2 } ere osoa da, itxia bait da

(i)

eta E -en isometrikoa denez, E osoa izango da. Hala1 1 ber E -rentzat. 2 (ii) Biz

{a n } segida cauchyarra (E,d)-n. Orduan,{w i (a n )} ,

i = 1,2,- cauchyarrak dira eta

(E 1 ,c1 1 ) eta

(E2,d2)

osoak direnez, konbergenteak, beraz, {a n } ere konbergen tea da.

7.11. Teorema Bira (F,d*) espazio metriko bat eta (E = E 1 x E2,d) biderkadura-espazio metrikoa. f: (F,d*) --- > (E,d) jarraia da z fi

EF puntuan baldin eta soilik baldin

o

= Tr

i

o

f : (F,d*)

(Ei,di)

jarraiak dira (i=1,2) zo-n.

Frogapena (i)

jarraia denez, f jarraia bada,

w

(ii) Biz f

1

E> 0; orduan,

3 6

(B (z 6 )) C B (f (z ) F o' 1 o ' 1 1

2 E)

> 0 : _ta

w

i

o

f ere.

225

f

2

(B (z 6 )) C B (f (z ) E) 2 o ' F o' 2

6= min

(6

f(BF(z

o'

1'

6

2

hartuz gero,

)

6)) C f

1

(BF (z

o

,6

1

)) x f

2

(BF(z.

6

o'

2

)) c

C B (f(z ),E) x B (f(z. ) c) = B(f(z. ),E) . o o ' 2 1 o

7.12. Teorema Aurreko teoremaren hipotesi berberetan f uniformeki jarraiadabaldinetasoilikbaldinf.=1T. of



uniformeki

jarraiak badira (i=1,2).

Frogapena ariketatzat uzten da.

7.13. Teorema Bira (F,d*)

espazio metriko bat, Ac:F, f:Ac(F,d*)

-->(E,d) aplikazio bat eta a A-ren metatze-puntua. b = lim f(x) existitzen da baldin eta soilik baldin x*a xEA b i =limf.(x) x*a x EA

existitzen badira (i=1,2). Orduan, b=(bb

2

).

Fro2apena (i)

b existitzen bada, projekzioak jarraiak direnez., lim x*a x EA

f.(x) = u.(b)

da.

existitzen badira eta f 1 (B (a,6 1 )(1 A - {a}) C Bi(bi,E)

>0 bada,

3d

,6 >0:

226

f

2

)n

(B (a 6 F ' 2

6 = min

(6

1'

6

2

A - {a}) C B

2

(b

2'

E)

izanda

)

f(B F (a,6)(l A - {a})

C B i (b i ,E) x B 2 (b,E)= B(b,E)

7.14. Teorema Biz f: (E,d) ---÷(F,d*) aplikazio bat. f jarraia ba (x 1, a 2 ) x f 1

da (a 1 ,a 2 ) puntuan,

E -etik F-rako aplika1

zioa jarraia da a 1 -en. f uniformeki jarraia bada, x1.->f(x1,a2) ere uniformeki jarraia da.

Frogapena x1 1—> (x 1 ,a 2 )

Aplikazio hori

f(x1,a2) konposi-

zioa dugu, bakoitza jarraia (edo uniformeki jarraia) izanik.

Oharra.

x f (x 1, a 2 ) 1

eta

f(a1,x2)

jarraiak iza

tea ez da nahikoa f (a l ,a 2 )-n jarraia izateko. Kontsidera de zagun. 2xi x 2 2 f(x 1 ,x 2 ) = x1

f(0,x 2 ) eta f(x 1 ,0) (0,0)

(x 1, x 2 )

(0,0)

eta

f(0,0) = 0,

x2

jarraiak dira baina f ez da jarraia

puntuan; izan ere, f(x 1 ,x 1 ) = 1/2 dugu

x 1 # 0 denean.

§VII.4. TRINKOTASUNA

7.15. Teorema (E,d) aurretrinkoa da baldi- eta soilik baldin (E1,d1)

227

eta (E 2, d 2 ) aurretrinkoak badira.

Frogapena (i)

(E,d) aurretrinkoa bada,

E 1 x {a2 } aurretrinkoa da, be-

raz, E 1 ere honen isometrikoa bait da. Modu berean, E -rentzat. 2 c >0;

(ii) Biz

{B i (x ii ,c),

Bi(xin,c)}

B1(x12,e),...,

E 1 -en estalkia eta {B 2 (x 21 ,e) , B2(x22,e),.., B2(x2m,e)} E -ren estalkia aurki daitezke. Orduan, 2 {B (x ) 1 1 j'

x B (x e ) / j= 1,2,••,n 2 2k'

,

k= 1,2,.., m

E-ren estalkia da.

7.16. Teorema (Tychonoff) (E,d) trinkoa da baldin eta soilik baldin (E (E 2, d 2 )

1

,d

1

) eta

trinkoak badira.

Frogapena (i)

(E,d)

trinkoa bada,

jarraia denez, E

w

=w

(E) ere.

(ii) Ikus dezagun (E 1 ,d 1 ) eta (E 2 ,d 2 ) trinkoak izanez gero, (E,d) ere trinkoa dela. Segidazko trinkotasuna frogatuko dugu. Biz {a n } (E,d)-ren segida bat eta idatz dezagun a

n

= (a

1n

,a

2n

).

{a

1n

} (E

da konbergente bat du,

1

,d

1

)-en segida denez, azpisegi

{a ig(n) }. Honi dagokion {ag(n)}

segida emandakoaren azpisegida da.

{a

2g(n)

} segidatik

228

azpisegida konbergente bat atera daiteke {a {a {a

2h(n)

}hasierako segidaren azpisegida da eta,

h(n) 2h(n)

}

.

Orduan

{alh(n)}

eta

konbergenteak direnez, konbergentea.

}

7.17. Teorema (E,d) lokalki trinkoa da baldin eta soilik baldin eta (E 2, d 2 )

(E 1 ,d 1 )

lokalki trinkoak badira.

Frogapena (i)

a 1 sE l izanda,

biz a 2 eE 2 edozein.

(a 1 ,a 2 )

puntuak

ba du ingurune trinko bat E-n. Ingurune horren projek zioa trinkoa da eta a 1 -en ingurunea (zergatik?).

(ii) a =

(a

1

a ) sE 2

bada, ba daude V 1, a -en ingurune trin 1

koa E 1 -en, eta V 2 , a 2 -ren ingurune trinkoa E 2 -n. Orduan, V

1

x V

2

a-ren ingurune trinkoa da (E-n).

7.18. Teorema ACE erlatiboki trinkoa da baldin eta soilik baldin -en eta u (A) eta u (A) erlatiboki trinkoak badira ,E 1 1 2 E 2 -n, hurrenez hurren.

Froapena (i) Biz A erlatiboki trinkoa. Orduan, A trinkoa da eta Tr i

(W)

Gainera, u i (A)c u i (Ä) denez, ui(A)c:ui()

ere.

eta, alderantzizkoa ere gertatzen denez tasunaz),

Tr

i (A) = u i (A) .

erlatiboki trinkoa da.

u i (A)

(u i -ren jarrai

trinkoa izanik, ui(A)



229

(ii) Ac:E bada eta w i (A) eta Tr 2 (A) B = Tri (A)

biz

x Tr (A). 2

erlatiboki trinkoak,

B = Tri (A) x lr (A) 2

trinkoa da

eta ACZB denez, A C B. Orduan, A ere trinkoa da, beraz, A erlatiboki trinkoa.

§ VII.5. KONEXUTASUNA

7.19. Teorema konexua da baldin eta soilik baldin

(E,d)

(E 7 ,d 1 ) eta

konexuak badira.

(E 2, d 2 )

Frogapena (i)

konexua bada, u i -ren jarraitasunaz, u i (E) = Ei

(E,d) ere.

E

1

1

x{a E

1

2

konexuak badira, Va i EE 1 , a 2 EE2

eta {a } x E konexuak dira (7.6 lema) eta 1 2

x {a } 2

(E 1 x {a 2 }) (E

(E 2 ,d 2 )

eta

(ii) (E l ,d 1 )

fl

({a 1 }x E 2 ) = (a 1 ,a 2 )

})U ({a } x E ) konexua da. 1 2

x E

2

=

a EE i 1

(Ei

X {

denez, Orduan,

a 2 } )U({ a i }

X

E2)]

konexua (ebakidura ez-hutseko konexuen bildura)da.

7.20. Teorema (E,d) lokalki konexua da baldin eta soilik baldin (Ed 1 ) eta (E 2, d 2 ) lokalki konexuak badira.

230

Frogapena (i)

(E,d) lokalki konexua dela eta biz a

Demagun

1

e E1.

V a -en ingurune bat bada, V x E (a ,a )-ren ingurunea 1 2 2 1 da (a

2

EE

2

edozein izanik) eta, E lokalki konexua denez,

ba dago W, (a 1 ,a 2 )-ren ingurune konexua E-n, zeinentzat WcV x E 2 den. Orduan,

wi

(W) a 1 -en ingurune konexuada

eta w i (W)C:V .

(ii) Demagun, orain, direla. Biz

(E

1

,d

1

lokalki konexuak

(E 2, d 2 )

) eta

(a l ,a 2 )-ren ingurunea;

(a 1 ,a 2 )EE eta W

(i=1,2) .

orduan,w.(W)a.-ren ingurunea da E.-n 3V i

(E i ,d i ) lokalki konexua denez, nexua:

V

i

cw (W)

V

(i=1,2).

1

x V

a i -ren ingurune ko 2

(a

1

,a

2

)-ren ingu-

rune konexua da eta V 1 x V 2 cW W.

7.21. Teorema

(E,d) arkuz konexua da baldin eta soilik baldin (E1,d1) eta (E 2, d 2 ) arkuz konexuak badira.

Frogapena

(i)

arkuz konexua.

Biz (E,d)

a1,b1

adira, har ditzae E b 1

gun a 2 ,b 2 e E 2 (edozeintzu); ba dago h: [0,1] , E jarraia zeinentzat o u

h(1) = (b 1 ,b 2 ).

h : [0,1] ---* E 1 jarraia da eta

1 (h(1))

(ii) Bira

h(0) = (a 1 ,a 2 ),

= a 2 ,

(E 1 ,d 1 )

(b 1 ,b 2 ) EEE.

beraz,

eta

u

1 (h(0))

Orduan, = a 1 eta

E 1 arkuz konexua da.

(E 2 ,d 2 )

Existitzen dira

arkuz konexuak eta (a1,a2), h 1 : [0,1]

eta

231

eta h 2 : [0,1]---=E 2 h 2 (0) = a 2 ,

Defini dezagun

zeinentzat

h1(0) = a 1 , h 1 (1) = b1,

h 2 (1) = b 2 bait dira.

h:

0,1]

,

h(t) = (h i (t), h2(t)).

h jarraia da (7.11 teorema) eta h(0) = (a a ) 1' 2

,

h(1)=(b1,b 2 ).



232

PROBLEMAK

7.1. Bira A

1

c

E

C E . Froga bedi A x A = A x A 1 eta A 2 2 1 2 1 2

dela.

7.2. Biz a = (a l ,a 2 ) eE. E 1 -en eta V 2

Froga bedi V 1

a 1 -ren ingurunea

a 2 -ren ingurunea E 2 -n badira, V i x V2

a-ren ingurunea E-n dela.

7.3. A

1

eta A C E badira, froga bedi 1 E1 2 2 (A

x A 2 ) =

(A1 1 ) x A) U (T1 x

(A ) )

2

•

7.4. Froga bedi E bornatua (edo banangarria) dela baldin eta soilik baldin E

1

eta E

bornatuak (edo banangarriak) ba-

2

dira.

7.5. Demagun E eta E konexuak direla eta 1 2 A1C:E1' A2c:E2 c azpimultzo jatorrak. Froga bedi (A 1 x A 2 ) konexua dela.

A= {(x 1 ,x 1 )

7.6. Froga bedi la E

1

1

x 1 (diagonala) itxia de

x E -en.

1

7.7. f: (E1,d12'd2)

aplikazio bat bada,

G = f(x l ,f(x 1 )) / x l cE l } f-ren grafoa deitzen da. Froga bedi f jarraia denean G itxia dela E-n eta G eta E1 homeomorfoak direla.

233

7.8.

f,g: (E1,d12'd2)

jarraiak badira, froga bedi

{x 1 cE l / f(x 1 ) = g(x 1 )} itxia dela.

7.9. Bira A 1 eta A 2

E 1 eta E 2 -ren azpimultzo trinkoak, hu

rrenez hurren, eta W A 1 x A 2 partetzat duen E-ren ireki bat. Froga bedi ba daudela V 1 eta V 2 E 1 -en eta E 2 -n irekiak, hurrenez hurren, zeinentzat A1C=V1, W. A 2 C=V 2 eta V 1 x V 2 c:W

(A2 puntu bakar batekoa

den kasuarekin has daiteke).

7.10. Biz

f:(E l'

E 2' d ) d 1 )( 2

aplikazio bat eta G g-ren

grafoa. Froga bedi E 2 trinkoa eta G itxia izanez gero, f jarraia dela.

7.11. Espazio metrikoen biderkadura kontagarria Biz {(En'dn)}n i\J espazio metriko ez-hutsen familia c kontagarri bat eta demagun zagun E =

ó(E

n

)

1 dela. Definide

I E ={{ x } nd\J / x e E n el\l} ; E hau n n n elN n n

familiaren biderkadura cartesiarra da.

(i) Froga bedi

d({x

},{y

m

Vm (x,r) = {y eE /

n

})

=171 n=1 2 definitutako metrika bat dela.

( ii) x ={x n }cE,

n

eta

r > 0

d

n

(x

n

,y

n

)

E-n

izanik, biz

d k (x k ,y k ) x

\ixsA bada.

(ii)

b

VxcA bada.

(iii)

A multzoak goi-bornerik badu, goitik bornatua dela esa

A-ren behe-bornea da b <x

'cen da eta behe-bornerik badu, behetik bornatua. (iv)

A bornatua da, goitik eta behetik bornatua bada.

E.1.2 Definizioa A-ren goi-borneen multzoak elementu txikien bat badu, elementu hori A-ren supremoa deitzen da eta sup A idazten.

Halaber, behe-borneen multzoak elementu handien bat ba



238

du, elementu hori A-ren infimoa deitzen da eta inf A idazten.

Definizioaren arabera ezagupide hauek eman ditzakegu: A-ren goi bornea

a a = sup A •.—►

{A-re n goi bornea bada, a' >a edo a > x a = sup A



-g.

f V c>0

Vx eA

3x cA : x>a-

b A-ren behe-bornea b = inf A

f b'

A-ren behe-bornea bada, b'< b

edo b < x

Vx cA

b = inf A {. V

e>0

3x cA :

x < b + e

E.1.3 Supremoaren axioma

A goitik bornatua bada, supremoa du.

E.1.4 Ondorioa A behetik bornatua bada, infimoa du. (Axiomaren ondorioa da, hurrengo propietateen arteko 5.a era biliz).

]R-ren eraikuntza (Q-tik abiatuz) egin gabe, axiomatikoki defini daiteke. Orduan, supremoaren axioma onartu egiten

239

da eta ]R-ren osotasuna (segida cauchyarren konbergentzia), Cantor-en tarte kolkoratuen teorema eta propietate arkimedearra bertatik ondorioztatzen dira. Gertatzen da, hala ere, bes te propietate bat onartzen dela axiomatzat eta, orduan, supre moaren axioma teorema bezala agertuko da eta frogatu egin beharko da.

E.1.5 Propietateak

1.

A goitik (behetik) bornatua bada eta BC=A, B ere goitik (behetik) bornatua da eta sup B < sup A

2.

3.

sup(A U B) = max

{ sup A,

sup B }

inf (A U B) = min

{ inf A,

inf B }

A

E3

#

bada,

93

sup(A(1

B)
max

4.

(inf B > inf A)

Biz A + B =

{sup A, sup

B }

{inf A, inf B }

{x+y / xc A, ye B }

sup(A + B) = sup A + sup B inf(A + B) = inf A + inf B

5.

Biz -A = {-x / x E A} sup(-A) = - inf A inf (-A) = - sup A

240

6.

Bira f,g : A sup

eta f(x) (1,2)

(1,3)

(1,4)

(2,2) (3,1) (3,2) (4,1) '..-(4,2)

(2,3) (3,3) (4,3)

(2,4) (3,4) (4,4)

(2,1)

246

eta ordena ditzagun geziek erakusten duten moduan: (1,1);

(1,2),

(2,1);

(1,3),

(2,2),

(3,1);

(1,4),

(2,3),....

]N x 1\J eta ]N-ren arteko bijekzioa zera da:

f(m,n)

=

Z

(m+n -1) (m+n - 2 ) +m

g(m,n) = 2 m 3 n funtzioak

(Beste modu batez,

aV x 11\I eta

]N-ren azpimultzo jator baten arteko bijekzio bat emango ligu ke).

E.2.4. Ondorioak eta Q kontagarriak dira.

2

= {0,1,2,3,...} U {-1,-2,-3,...}

multzo kontaga-

rri biren bildura da.

= U

meZ

I

r.2

n

/ n

- (0}} multzo kontagarrien familia

kontagarri baten bildura da.

E.2.5. Teorema F ez da kontagarria.

Frogapena Aski dugu

(0,1)

tartea ez dela kontagarria ikustea.

Erresultatu honen frogapen desberdinak eman dira eta Cantor-ek emandakoetarik bat (bigarrena) erakutsiko dugu.

Demagun (0,1) kontagarria

eta idatz ditzaflun be

247

ronen zenbakiak IN-rekiko bijekzioaren arabera, garapen hamar tarra erabiliz:

0,

a11

a 12

a 13 a14

0, a 21 a 22 a 23 a24 0, a 31 a 32 a 33 a34

(a

nm

= n-garren zenbakiaren m-garren zifra hamartarra). Zenba

ki hamartar zehatzek bi garapen onartzen dituztelarik 0-ak dituena hartuko da. Eraiki de-

(0,5000... = 0,4999...), zagun beste zenbaki bat

0, b 1

zeinentzat

b b

b2

k 1

b



k 2

3 a



kk

1

akk = 1

bada bada.

Horrela definitzen den zenbakia ez daoo ooiko z p rr p ridan, 7eren k-garren lekuan balego,

bk = akk bait litzateke.

(Egia esan, b k aukeratzean bk

akk

bakarrik inte-

resatzen zaigu baina kontuz ibili behar da garapen baliokidee kin, 0-ak eta 9-ak, eta horregatik 1 eta 2 aukeratu dira).

E.2.6. Ondorioa Zenbaki irrazionalen multzoa ez da kontagarria.

Bestela IR multzo kontagarri biren bildura litzateke, kontagarria beraz.

248

Kardinalak

E.2.7. Definizioak

(i)

A finitua bada eta

{1,2,...,n)-ren kopurukidea,

n

A-ren kardinala dela esango dugu: kard A = n .

(ii)

kard ]1\1 = 1• (:) deitzen da

(}-j^

= aleph, hebraieraren

lehen letra).

(iii) kard

= c deitzen da ( ="continuum-aren potentzia").

Continuum-aren hipotesia

Lor daiteke A multzo bat zeinentzat 1N A-ren parte baten kopurukidea den, A 1R-ren parte baten kopurukidea eta A ez lN-ren eta ez IR-ren kopurukidea? Kardinalen notazioaz: ba ote dago kard tzorik?.

< kard A