Ermüdungsrisse erkennen, sicher beurteilen, vermeiden

Hans Albert Richard | Manuela Sander Ermüdungsrisse

Hans Albert Richard | Manuela Sander

Ermüdungsrisse Erkennen, sicher beurteilen, vermeiden Mit 181 Abbildungen PRAXIS

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

1. Auflage 2009 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2009 Lektorat: Thomas Zipsner Vieweg+Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: Krips b.v., Meppel Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in the Netherlands ISBN 978-3-8348-0292-7

V

Vorwort In der technischen Praxis kommt es von Zeit zu Zeit zu Schäden durch mechanische Beanspruchung. Ursache sind häufig kleine Fehlstellen oder Risse, die in einem Bauteil oder einer Struktur bereits vorhanden oder durch intensiven Betrieb erst entstanden sind. Unter Betriebsbelastung – meist zeitlich veränderlicher Belastung – können sich diese Risse ausbreiten. Im Allgemeinen erfolgt die Rissausbreitung zunächst stabil, d. h. der Riss wächst pro Belastungszyklus um einen kleinen Betrag. Dieses Phänomen bezeichnet man als Ermüdungsrisswachstum. Je nach Belastung, Geometrie und Werkstoff kann dieses Ermüdungsrisswachstum über mehrere Hunderttausend Belastungswechsel erfolgen, ohne dass ein Bruch des Bauteils oder der Maschine einsetzt. Erst wenn die Belastung oder die Risslänge eine kritische Grenze erreicht, tritt instabile Rissausbreitung und somit Bruch einer Komponente oder der gesamten Struktur ein. Das vorliegende Fachbuch beschäftigt sich mit diesen Vorgängen. Unter dem Titel „Ermüdungsrisse – Erkennen, sicher beurteilen und vermeiden“ wird zunächst die Auslegung von Bauteilen und Strukturen nach Festigkeitskriterien beschrieben. Daran schließt sich ein Kapitel an, in dem zahlreiche Schäden durch Risswachstum dargestellt werden. Hierbei wird sowohl auf schwerwiegende Schadensfälle als auch auf die Schadensanalyse durch Betrachtung der Bruchflächen sowie auf prinzipielle Rissverläufe und Rissformen in Bauteilen und Strukturen eingegangen. Das Erkennen von Rissen mit zerstörungsfreien Prüfverfahren steht im Mittelpunkt eines weiteren Abschnitts. Daran schließt sich ein Kapitel an, das sich mit den Grundlagen der Bruchmechanik beschäftigt, soweit diese für das Verständnis der in diesem Buch beschriebenen Konzepte und Methoden erforderlich sind. Erläutert werden die Spannungsverteilungen an Rissen und die Spannungsintensitätsfaktoren für die drei grundlegenden Rissbeanspruchungsarten Mode I, Mode II und Mode III sowie ebene und räumliche Mixed-Mode-Beanspruchungen. Zudem werden Konzepte zur Vorhersage des instabilen Risswachstums und die Bewertung von Bauteilen mit Rissen mittels bruchmechanischer Methoden beschrieben. Das vierte Kapitel ist dem Ermüdungsrisswachstum bei zyklischer Belastung mit konstanter Amplitude gewidmet. Beschrieben werden der Zusammenhang zwischen Bauteilbelastung und zyklischer Spannungsintensität, die Abhängigkeit der Rissgeschwindigkeit vom zyklischen Spannungsintensitätsfaktor sowie die Rissausbreitungskonzepte bei Mode I-, Mode II- und Mixed-Mode-Beanspruchung. In einem weiteren Unterkapitel wird die Vorgehensweise bei der Bewertung des Ermüdungsrisswachstums dargestellt. Die experimentelle Ermittlung bruchmechanischer Werkstoffkennwerte steht im Mittelpunkt des fünften Kapitels. Veranschaulicht werden die Bestimmung der Risszähigkeit, des Schwellenwertes gegen das Ermüdungsrisswachstum sowie die Ermittlung der Rissgeschwindigkeitskurve. In weiteren Unterkapiteln sind Werkstoffkennwerte und Kennfunktionen für das Mode I-Risswachstum sowie die Ermittlung von Werkstoffkennwerten bei Mode II-, ebener und räumlicher Mixed-Mode-Beanspruchung beschrieben. Kapitel 6 behandelt das Ermüdungsrisswachstum bei Betriebsbelastung. Neben Lastspektren und Lastkollektiven wird dem wichtigen Thema „Reihenfolgeeffekte und ihre Wirkung“ Raum gegeben. Daran schließen sich die Rissfortschrittskonzepte bei Belastung mit variabler Amplitude an. Abgerundet wird dieser Abschnitt mit der Darstellung der Wirkung von Mixed-ModeBeanspruchungen.

VI

Vorwort

Analytische und numerische Simulationen des Risswachstums stehen im Mittelpunkt eines weiteren Kapitels. Beispielsweise werden das analytische Programm NASGRO und die FiniteElemente-Programme FRANC/FAM und ADAPCRACK3D vorgestellt. In einem abschließenden Kapitel des Buches stehen Praxisbeispiele, wie z. B. das Leck in einer Rohrleitung, die Untersuchung des Ermüdungsrisswachstums im ICE-Radreifen sowie die Simulation des Ermüdungsrisswachstums in einem Pressenkörper, im Fokus. Abgerundet wird der Inhalt des Buches durch Vorschläge von Maßnahmen zur Verlängerung der Lebensdauer von Maschinen, Anlagen und Strukturen. In allen Kapiteln sind die grundlegenden Gegebenheiten und Konzepte ausführlich beschrieben. Darüber hinaus sind einige Themengebiete um Beispiele ergänzt. Diese sollen dazu dienen, die Grundlagen der Bruchmechanik und des Ermüdungsrisswachstums zu vertiefen und einen Gewöhnungsprozess für die dem Ingenieur zunächst nicht vertrauten Einheiten der bruchmechanischen Größen und Kennwerte einzuleiten. Um sich mit den i. Allg. sehr grundlegend beschriebenen Konzepten näher auseinandersetzen zu können, ist bei jedem Kapitel dieses Buches ein Literaturverzeichnis mit Spezialliteratur angefügt. Bei der Anwendung der in diesem Buch dargestellten bruchmechanischen Konzepte soll aber nie vergessen werden, dass unter bestimmten Umständen auch Bauteile mit Riss nach Festigkeitskriterien versagen können. Daher sei gesondert auf die Kapitel 1, 3.11 und 4.6 verwiesen. Die Autoren wünschen viel Spaß beim Lesen und viel Erfolg beim Anwenden der in diesem Buch beschriebenen Konzepte und Methoden. Möge das Studium dieses Buches dazu führen, dass künftig weniger Schäden durch Ermüdungsrisswachstum zu beklagen sind. Herzlich gedankt sei an dieser Stelle Herrn cand.-Ing. Andre Riemer für das Zeichnen der Bilder und Frau cand.-Ing. Cornelia Glaschick für das Übertragen der Texte und Formeln in das Manuskript. Den derzeitigen und ehemaligen Mitarbeitern der Fachgruppe Angewandte Mechanik der Universität Paderborn danken wir für zahlreiche Anregungen. Weiterhin gilt unser Dank dem Verlag Vieweg+Teubner für die gewährte Unterstützung und insbesondere Herrn Thomas Zipsner und Frau Imke Zander für das Lektorat und die wertvollen Hinweise.

Paderborn, August 2008

Hans Albert Richard und Manuela Sander

VII

Inhaltsverzeichnis 1

Auslegung von Bauteilen und Strukturen nach Festigkeitskriterien............................ 1 1.1 Belastungen von Bauteilen und Strukturen ................................................................ 1 1.2 Spannungen und Spannungszustände in Bauteilen und Strukturen............................ 4 1.2.1 Ebener Spannungszustand ............................................................................. 5 1.2.2 Räumlicher Spannungszustand...................................................................... 6 1.2.3 Hauptspannungen .......................................................................................... 6 1.2.4 Ebener Spannungs- oder ebener Verzerrungszustand ................................... 8 1.3 Statischer Festigkeitsnachweis ................................................................................... 8 1.3.1 Vergleichsspannung ...................................................................................... 8 1.3.2 Zulässige Beanspruchung.............................................................................. 9 1.3.3 Ablauf eines Festigkeitsnachweises .............................................................. 9 1.3.4 Berücksichtigung der Kerbwirkung ............................................................ 11 1.3.5 Kerbfaktoren................................................................................................ 12 1.3.6 Materialkennwerte und Sicherheitsfaktoren ................................................ 14 1.4 Dauerfestigkeitsnachweis ......................................................................................... 16 1.4.1 Wirksame und zulässige Spannungen ......................................................... 16 1.4.2 Werkstoffkennwerte .................................................................................... 18 1.4.3 Oberflächen- und Größenbeiwerte .............................................................. 19 1.4.4 Dauerfestigkeitsnachweis bei gekerbten Bauteilen ..................................... 21 1.5 Betriebsfestigkeitsnachweis ..................................................................................... 21 1.6 Sonstige Nachweise.................................................................................................. 22 1.7 Grenzen der klassischen Bauteilauslegung............................................................... 22 Literatur zu Kapitel 1......................................................................................................... 23

2

Schäden durch Risswachstum ........................................................................................ 24 2.1 Rissentstehung und Risswachstum........................................................................... 26 2.2 Stabiles und instabiles Risswachstum ...................................................................... 28 2.3 Schadensanalyse / Bruchflächenanalyse .................................................................. 29 2.4 Ermüdungsrisswachstum beim ICE-Radreifen......................................................... 33 2.5 Risswachstum in einem Pressenkörper..................................................................... 34 2.6 Ermüdungsrisswachstum im Verschlusskörper einer Innenhochdruckumformmaschine ............................................................................ 35 2.7 Bruch der Antriebswelle eines Oldtimer-Autos ....................................................... 36 2.8 Weitere Schadensereignisse ..................................................................................... 36 2.9 Prinzipielle Rissverläufe und Rissformen in Bauteilen und Strukturen ................... 38 2.9.1 Rissverläufe bei grundlegenden Spannungszuständen ................................ 38 2.9.2 Rissverläufe und Rissformen in Wellen ...................................................... 40 2.9.3 Systematisierung der Rissarten in Bauteilen und Strukturen....................... 42 2.10 Risse erkennen mit zerstörungsfreien Prüfverfahren................................................ 46 Literatur zu Kapitel 2......................................................................................................... 48

VIII 3

Inhaltsverzeichnis Grundlagen der Bruchmechanik.................................................................................... 51 3.1 Risse und Rissbeanspruchungsarten ......................................................................... 51 3.1.1 Mode I ......................................................................................................... 52 3.1.2 Mode II ........................................................................................................ 53 3.1.3 Mode III....................................................................................................... 53 3.1.4 Mixed Mode ................................................................................................ 53 3.2 Spannungsverteilungen an Rissen ............................................................................ 53 3.2.1 Elastizitätstheoretische Lösungen für Rissprobleme ................................... 53 3.2.2 Spannungsverteilungen bei ebenen Rissproblemen..................................... 55 3.2.3 Spannungsverteilungen bei räumlichen Rissproblemen .............................. 59 3.3 Verschiebungsfelder in der Rissumgebung .............................................................. 61 3.4 Spannungsintensitätsfaktoren ................................................................................... 62 3.4.1 Spannungsintensitätsfaktoren für die Rissmoden I, II und III ..................... 62 3.4.2 Spannungsintensitätsfaktoren für grundlegende Rissprobleme ................... 63 3.4.3 Überlagerung von Spannungsintensitätsfaktoren, Vergleichsspannungsintensitätsfaktoren...................................................... 73 3.5 Lokale Plastizität an der Rissspitze .......................................................................... 77 3.5.1 Abschätzung der plastischen Zone .............................................................. 78 3.5.2 Risslängenkorrektur..................................................................................... 82 3.5.3 Bedeutung der plastischen Zone bei der Ermüdungsrissausbreitung .......... 82 3.6 Energiefreisetzungsrate und J-Integral ..................................................................... 82 3.6.1 Energiefreisetzungsrate ............................................................................... 82 3.6.2 J-Integral...................................................................................................... 83 3.7 Ermittlung der Spannungsintensitätsfaktoren und anderer bruchmechanischer Größen ...................................................................................... 84 3.7.1 Ermittlung von Spannungsintensitätsfaktoren aus dem Spannungsfeld in der Rissumgebung ................................................................................... 85 3.7.2 Ermittlung der Spannungsintensitätsfaktoren aus dem Verschiebungsfeld in der Rissumgebung .................................................... 86 3.7.3 Ermittlung bruchmechanischer Größen mit dem J-Integral ........................ 86 3.7.4 Ermittlung bruchmechanischer Größen mit dem Rissschließungsintegral .. 86 3.8 Konzepte zur Vorhersage des instabilen Risswachstums ......................................... 89 3.8.1 K-Konzept für Mode I ................................................................................. 89 3.8.2 K-Konzept für Mode II-, Mode III- und Mixed-Mode-Beanspruchungen .. 90 3.8.3 Kriterium der Energiefreisetzung ................................................................ 94 3.8.4 J-Kriterium .................................................................................................. 95 3.9 Risszähigkeiten......................................................................................................... 95 3.10 Bewertung von Bauteilen mit Rissen mit bruchmechanischen Methoden................ 96 3.10.1 Ablauf eines bruchmechanischen Nachweises ............................................ 96 3.10.2 Anwendungen des Bruchkriteriums und des bruchmechanischen Nachweises auf Mode I-Rissprobleme ........................................................ 97 3.10.3 Anwendungen des Bruchkriteriums und des bruchmechanischen Nachweises auf Mode II-, Mode III- und Mixed-Mode-Probleme.............. 99 3.11 Zusammenwirken von Festigkeitsberechnung und Bruchmechanik ...................... 100 Literatur zu Kapitel 3....................................................................................................... 103

Inhaltsverzeichnis

IX

4

Ermüdungsrisswachstum bei zyklischer Belastung mit konstanter Amplitude ...... 106 4.1 Zusammenhang zwischen Bauteilbelastung und zyklischer Spannungsintensität.. 106 4.1.1 Spannungsfeld bei zeitlich veränderlicher Mode I-Beanspruchung .......... 106 4.1.2 Zyklischer Spannungsintensitätsfaktor bei Mode I ................................... 108 4.1.3 R-Verhältnis............................................................................................... 109 4.1.4 Rissausbreitungsvorgang........................................................................... 109 4.1.5 Spannungsfeld bei zeitlich veränderlicher Mode II-, Mode III- und Mixed-Mode-Beanspruchung.................................................................... 109 4.1.6 Zyklischer Spannungsintensitätsfaktor für Mode II .................................. 110 4.1.7 Zyklischer Spannungsintensitätsfaktor für Mode III................................. 111 4.1.8 Ebene Mixed-Mode-Beanspruchung......................................................... 111 4.1.9 Räumliche Mixed-Mode-Beanspruchung.................................................. 112 4.2 Zusammenhang zwischen Rissgeschwindigkeit und zyklischem Spannungsintensitätsfaktor bei Mode I .................................................................. 112 4.2.1 Grenzen der Ermüdungsrissausbreitung bei Mode I ................................. 113 4.2.2 Einflussfaktoren auf die Rissgeschwindigkeitskurve ................................ 114 4.2.3 Rissschließverhalten beim Ermüdungsrisswachstum ................................ 115 4.2.4 Thresholdwert und Schwellenwertverhalten ............................................. 119 4.2.5 Kurzrisswachstum ..................................................................................... 123 4.3 Rissausbreitungskonzepte bei Mode I .................................................................... 124 4.3.1 PARIS – Gerade ........................................................................................ 124 4.3.2 ERDOGAN/RATWANI-Gesetz ............................................................... 124 4.3.3 FORMAN/METTU-Gleichung ................................................................. 125 4.3.4 Vergleich der Rissfortschrittsgleichungen................................................. 126 4.3.5 Bestimmung der Restlebensdauer.............................................................. 127 4.4 Risswachstum bei Mode II-, Mode III- und Mixed-Mode-Beanspruchung ........... 130 4.4.1 Risswachstum bei Mode II-Beanspruchung am Ausgangsriss .................. 131 4.4.2 Risswachstum bei Mode III-Beanspruchung am Ausgangsriss................. 132 4.4.3 Risswachstum bei ebener Mixed-Mode-Beanspruchung .......................... 132 4.4.4 Risswachstum bei räumlicher Mixed-Mode-Beanspruchung.................... 133 4.5 Vorgehensweise bei der Bewertung des Ermüdungsrisswachstums ...................... 134 4.5.1 Bruchmechanische Bewertung des Ermüdungsrisswachstums ................. 134 4.5.2 Ermittlung der Risslänge, ab der Ermüdungsrisswachstum möglich ist.... 135 4.5.3 Sicherheit gegen das Auftreten des Ermüdungsrisswachstums................. 137 4.5.4 Bereich des Ermüdungsrisswachstums...................................................... 137 4.5.5 Festlegung von Inspektionsintervallen ...................................................... 137 4.6 Zusammenwirken von Dauerfestigkeitsberechnung und Bruchmechanik ............. 138 Literatur zu Kapitel 4....................................................................................................... 140

5

Experimentelle Ermittlung bruchmechanischer Werkstoffkennwerte .................... 143 5.1 Kritischer Spannungsintensitätsfaktor und Risszähigkeit ...................................... 143 5.1.1 Ermittlung der Risszähigkeit nach ASTM E 399 ...................................... 144 5.1.2 Versuchsdurchführung bei der Risszähigkeitsbestimmung....................... 147 5.1.3 KIC oder KQ? – Auswertung der Versuche................................................. 148

X

Inhaltsverzeichnis 5.2

Thresholdwerte und Rissgeschwindigkeitskurven ................................................. 151 5.2.1 Ermittlung der Thresholdwerte und Rissgeschwindigkeitskurven nach ASTM E 647.............................................................................................. 151 5.2.2 Methoden der Thresholdwertbestimmung ................................................. 154 5.2.3 Methoden der Risslängenmessung ............................................................ 157 5.2.4 Rissgeschwindigkeitsermittlung ................................................................ 161 5.2.5 Auswertung der Thresholdwert- und der Rissfortschrittskurvenversuche.................................................................. 162 5.3 Werkstoffkennwerte für das Mode I-Risswachstum .............................................. 164 5.3.1 Risszähigkeitswerte ................................................................................... 164 5.3.2 Schwellenwerte des Ermüdungsrisswachstums......................................... 167 5.3.3 Rissgeschwindigkeitskurven ..................................................................... 168 5.4 Werkstoffkennwerte bei Mode II- und Mixed Mode-Beanspruchung ................... 170 5.4.1 Mode II-Beanspruchung ............................................................................ 170 5.4.2 Ebene Mixed-Mode-Beanspruchung ......................................................... 171 5.4.3 Räumliche Mixed-Mode-Beanspruchung.................................................. 173 Literatur zu Kapitel 5....................................................................................................... 174 6

Ermüdungsrisswachstum bei Betriebsbelastung ........................................................ 177 6.1 Lastspektren und -kollektive .................................................................................. 177 6.1.1 Bestimmung von Betriebsbelastungen....................................................... 177 6.1.2 Klassier- und Zählverfahren ...................................................................... 178 6.1.3 Standardlastspektren.................................................................................. 179 6.2 Reihenfolgeeffekte und ihre Wirkung .................................................................... 180 6.2.1 Überlasten.................................................................................................. 181 6.2.2 Unterlasten................................................................................................. 185 6.2.3 Kombinationen aus Über- und Unterlasten ............................................... 186 6.2.4 Überlastsequenzen ..................................................................................... 186 6.2.5 Blocklasten ................................................................................................ 188 6.2.6 Betriebsbelastungen................................................................................... 190 6.3 Rissfortschrittskonzepte bei Belastung mit variabler Amplitude ........................... 193 6.3.1 Globale Analysen ...................................................................................... 194 6.3.2 Lineare Schadensakkumulation ................................................................. 195 6.3.3 Fließzonenmodelle..................................................................................... 195 6.3.4 Rissschließmodelle .................................................................................... 203 6.3.5 Fließstreifenmodelle .................................................................................. 203 6.4 Mixed-Mode-Beanspruchung................................................................................. 206 6.4.1 Risswachstum beim Wechsel der Belastungsrichtung bzw. der lokalen Beanspruchung am Riss............................................................................. 207 6.4.2 Einfluss von Mixed-Mode-Überlasten auf das Ermüdungsrisswachstum . 207 Literatur zu Kapitel 6....................................................................................................... 208

7

Simulationen des Ermüdungsrisswachstums .............................................................. 212 7.1 Analytische Risswachstumssimulationen ............................................................... 212 7.1.1 NASGRO und ESACRACK ..................................................................... 212 7.1.2 AFGROW.................................................................................................. 214

Inhaltsverzeichnis

XI

7.2

Numerische Risswachstumssimulationen............................................................... 214 7.2.1 Grundlegende Vorgehensweise mittels der Finite-Elemente-Methode ..... 215 7.2.2 Programmsystem FRANC/FAM für ebene Rissausbreitungssimulationen ................................................................... 218 7.2.3 Programmsystem ADAPCRACK3D für räumliche Rissausbreitungssimulationen ................................................................... 219 7.3 Bestimmung der Wirkung von Belastungswechseln mittels Finite-Elemente-Analysen ...................................................................................... 220 Literatur zu Kapitel 7....................................................................................................... 224

8

Praxisbeispiele ............................................................................................................... 227 8.1 Leck in einer Rohrleitung....................................................................................... 227 8.1.1 Spannungen im Rohr ................................................................................. 227 8.1.2 Spannungsintensitätsfaktoren für den vorliegenden Riss .......................... 228 8.1.3 Sicherheit gegen instabile Rissausbreitung ............................................... 229 8.1.4 Risslänge, bei der instabile Rissausbreitung eintritt .................................. 229 8.2 Untersuchung des Ermüdungsrisswachstums im ICE-Radreifen ........................... 230 8.2.1 Aufbau und Belastung gummigefederter Räder ........................................ 230 8.2.2 Rechnerische Spannungsanalyse ............................................................... 231 8.2.3 Schadensanalyse des Radreifenbruches..................................................... 233 8.2.4 Bruchmechanische Charakterisierung des Radreifenwerkstoffs ............... 233 8.2.5 Numerische Simulation des Ermüdungsrisswachstums ............................ 233 8.2.6 Experimentelle Simulation des Risswachstums ........................................ 235 8.3 Simulation des Ermüdungsrisswachstums in einem Pressenkörper ....................... 237 8.4 Maßnahmen zur Verlängerung der Lebensdauer von Maschinen, Anlagen und Strukturen.......................................................................................... 240 8.4.1 Weiterbetrieb einer Maschine oder Anlage nach einer Rissdetektion ....... 240 8.4.2 Optimierungsmaßnahmen bei einer Neukonstruktion ............................... 242 Literatur zu Kapitel 8....................................................................................................... 243

9

Wichtige Formelzeichen................................................................................................ 245

Sachwortverzeichnis.............................................................................................................. 251

1

1 Auslegung von Bauteilen und Strukturen nach Festigkeitskriterien Bauteile und Strukturen werden i. Allg. nach der klassischen Festigkeitslehre nach Spannungs-, Verformungs- oder Stabilitätsgesichtspunkten ausgelegt. Dabei werden z. B. beim Festigkeitsnachweis die maximalen Spannungen mit zulässigen Spannungswerten verglichen. Die maximalen Spannungen ergeben sich aus den Belastungen und der Geometrie der Bauteile z. B. •

nach klassischen Methoden aus Nennspannungen u. U. unter Berücksichtigung von Kerbwirkungen,

•

unmittelbar aus einer Analyse mittels der Finite-Elemente-Methode oder

•

durch experimentelle Ermittlungen.

Die zulässigen Spannungen werden i. Allg. aus den entsprechenden Werkstoffkennwerten, Oberflächenbeiwerten, Größenbeiwerten, Stützziffern und Sicherheitsbeiwerten ermittelt. Bei überwiegend statischer Belastung ist ein statischer Festigkeitsnachweis erforderlich. Eine schwingende oder allgemein zeitlich veränderliche Belastung erfordert einen Dauerfestigkeitsnachweis oder einen Betriebsfestigkeitsnachweis. Bei verschiedenen Anwendungen ist auch ein Verformungs-, ein Stabilitäts- oder ein Standsicherheitsnachweis zu erbringen. In zahlreichen Fällen ist zusätzlich zum Festigkeitsnachweis ein bruchmechanischer Nachweis erforderlich. D. h., es ist einerseits zu untersuchen, unter welchen Bedingungen sich ein im Bauteil befindlicher Fehler oder Riss instabil ausbreiten kann und somit einen plötzlichen Bruch des Bauteils hervorruft. Andererseits ist zu prüfen, ob der Riss zum Beispiel unter zyklischer Belastung (d. h. bei Ermüdungsbedingungen) stabil wächst, welche Risswachstumsrate oder Rissgeschwindigkeit vorliegt und welche Restlebensdauer das Bauteil oder die Struktur besitzt, bevor ein Versagen eintritt. Diesem wichtigen Problem des Ermüdungsrisswachstums sind die nachfolgenden Hauptkapitel gewidmet. Durch das Studium dieser Grundlagen sollen kleinere Schäden und auch katastrophale Schadensereignisse in Maschinen, Anlagen und Verkehrsfahrzeugen verhindert werden. Zunächst wird aber auf wichtige Grundlagen der Festigkeitsberechnung eingegangen, da auch bei Bauteilen mit Rissen ein Festigkeitsversagen möglich ist.

1.1 Belastungen von Bauteilen und Strukturen Zu Beginn einer Festigkeitsberechnung oder einer bruchmechanischen Analyse muss man sich über die Belastungssituation von Bauteilen und Maschinen Klarheit verschaffen. Diese Belastungen lassen sich z. B. unterteilen in: •

Hauptlasten,

•

Zusatzlasten und

•

Sonderlasten.

Zu den Hauptlasten gehören u. a. Eigenlasten oder Gewichte, Nutzlasten oder Betriebslasten und Massenkräfte. Zusatzlasten sind Windlasten, Kräfte bei speziellen Situationen oder Kräfte

2

1 Auslegung von Bauteilen und Strukturen nach Festigkeitskriterien

infolge von Wärmeentwicklung. Unter Sonderlasten versteht man u. a. Prüflasten sowie Belastungen beim Transport oder bei der Montage. Bauteile und Strukturen sind i. Allg. belastet durch Einzelkräfte, Linienlasten, Flächenlasten, Volumenlasten oder Momente (ausführliche Darstellungen hierzu finden sich in [1-1]). Je nach Belastungsrichtung und Geometrie des Bauteils rufen sie einachsige, ebene oder räumliche Spannungszustände im Bauteil hervor (siehe Kapitel 1.2 und [1-2]). Die Spannungen können als Normalspannungen σ (oder z. B. σx, σy, σz) oder Schubspannungen τ (oder z. B. τxy, τyz, τzx) im betrachteten Gebiet auftreten, (siehe beispielsweise Bild 1-1 und Kapitel 1.2).

F



MT

MT

 MB

F

MB

Bild 1-1 Belastung einer Welle durch eine Kraft F, ein Biegemoment MB und ein Torsionsmoment MT mit den hierdurch hervorgerufenen Spannungen: Normalspannung σ, Schubspannung τ

Von großer Bedeutung für die Festigkeitsberechnung ist u. a. die Belastungsart, wie beispielsweise Zug, Biegung oder Torsion, siehe z. B. Bild 1-1, und der zeitliche Verlauf der Belastung (Belastungsfall). Als Belastungsfälle unterscheidet man: •

statische Belastung,

•

Schwellbelastung,

•

Wechselbelastung,

•

allgemein periodische Belastung,

•

Belastungen mit variabler Amplitude und

•

Stoßbelastung.

a)

c)

b) F

F

t

F

t

Bild 1-2 Grundlegende Belastungsfälle in Form von Kraft-Zeit-Diagrammen a) Ruhende Belastung b) Schwellende Belastung c) Wechselbelastung F: Kraft, t: Zeit

t

1.1 Belastungen von Bauteilen und Strukturen

3

Statische Belastung, auch ruhende oder konstante Belastung genannt (Fall I nach BACH), ist gekennzeichnet durch eine über eine längere Zeit t konstante Kraft F (Bild 1-2a). Eine reine Zugschwellbelastung (Fall II nach BACH) ist z. B. eine periodisch sich ändernde Belastung, bei welcher der Minimalwert stets den Wert Null besitzt (Bild 1-2b). Liegt die gesamte Belastung im Druckbereich, tritt eine Druckschwellbelastung auf. Von einer reinen Druckschwellbelastung spricht man, wenn der Maximalwert der Schwingung null ist [1-17]. Eine reine Wechselbelastung (Fall III nach BACH) liegt vor, wenn die maximale und minimale Belastung betragsmäßig gleich groß sind, aber unterschiedliche Vorzeichen besitzen und die mittlere Belastung den Wert Null annimmt (Bild 1-2c). F Fo , Fmax Fa Fm

Fu , Fmin t 1 Schwingspiel Bild 1-3 Allgemein periodische Belastung mit den Kräften Fo = Fmax, Fu = Fmin, Fa und Fm

Die allgemein periodische Belastung ist gekennzeichnet durch den Maximalwert der Belastung, z. B. Fo, Fmax, den Minimalwert der Belastung, z. B. Fu, Fmin, die Amplitude, z. B. Fa, den Mittelwert, z. B. Fm, oder das R-Verhältnis. Der R-Wert drückt das Verhältnis von minimaler zu maximaler Belastung aus. Für den in Bild 1-3 dargestellten Kraft-Zeit-Verlauf der allgemein periodischen Belastung ist F F R = u = min Fo Fmax

(1.1).

Errechnet man aus den Kräften eine Spannung σ, so gilt: R=

σ u σ min = σ o σ max

(1.2),

wobei σo bzw. σmax die Ober- oder Maximalspannung und σu bzw. σmin die Unter- oder Minimalspannung des periodischen Spannungs-Zeit-Verlaufs darstellen. Bei nicht-periodisch ablaufende Belastungsvorgängen, wie sie z. B. in Bild 1-4 dargestellt sind, ändern sich die Amplitude und die Mittelspannung der Belastung ständig. Nichtperiodische Belastungs-Zeit-Funktionen können sowohl deterministischer als auch stochasti-

4

1 Auslegung von Bauteilen und Strukturen nach Festigkeitskriterien

scher Art sein. Solche Belastungen treten z. B. bei Autos, bei Flugzeugen, bei Windrädern und vielen anderen Maschinen und Bauteilen auf. a)

b)

F

F

t

t

Bild 1-4 Verschiedene Arten der Belastung mit variabler Amplitude a) Beliebig nicht-periodisch ablaufender Belastungsvorgang b) Über- und Unterlasten in einer weitgehend periodischen Grundbelastung

Eine Stoßbelastung, Bild 1-5, ist gekennzeichnet durch ein sehr schnelles Ansteigen und Abfallen der Kraft F. Dies bedeutet, der Kraftanstieg erfolgt in einem sehr kurzen Zeitintervall ∆t. F

∆t

t

Bild 1-5 Stoßartige Belastung

Zeitlich veränderliche Belastungen rufen auch zeitlich veränderliche Spannungen im Bauteil hervor. Bei mehrachsigen Spannungszuständen können die Spannungen zeitlich proportional oder auch nicht-proportional verlaufen.

1.2 Spannungen und Spannungszustände in Bauteilen und Strukturen In Bauteilen und Strukturen treten je nach Belastung und Bauteilgeometrie einachsige, ebene oder räumliche Spannungszustände auf, Bild 1-6. Ein einachsiger Spannungszustand, charakterisiert durch die Normalspannung σ, Bild 1-6a, entsteht z. B. bei Zugbelastung (oder auch Druckbelastung) von Stäben und Scheiben oder bei reiner Biegebelastung von Balken oder Wellen (siehe z. B. [1-2]).

1.2 Spannungen und Spannungszustände in Bauteilen und Strukturen

5

Ein reiner Schubspannungszustand mit den Schubspannungen τ, Bild 1-6b, tritt z. B. bei Torsionsbelastung von Wellen und bei Querkraftbelastung von Bauteilen und Strukturen auf. a)



b)







Scheibenelement des Bauteils c)

d)

y

y yx yz

xy

xy

zy x zx

x

xz

z y

y x

Bild 1-6

z

Volumenelement des Bauteils x

Spannungen und Spannungszustände in Bauteilen und Strukturen a) Normalspannung σ : einachsiger Spannungszustand b) Schubspannung τ : Sonderfall des ebenen Spannungszustands c) Normalspannungen σx, σy und Schubspannung τxy: ebener Spannungszustand d) Normalspannungen σx, σy, σz und Schubspannungen τxy, τyz, τzx: räumlicher Spannungszustand

1.2.1 Ebener Spannungszustand Ein allgemeiner ebener Spannungszustand ist gekennzeichnet durch das Auftreten der Normalspannungen σx, σy und der Schubspannung τxy, Bild 1-6c. Ein derartiger Spannungszustand entsteht z. B. bei beliebiger Belastung von scheibenartigen Strukturen in der Scheibenebene oder an der lastfreien Bauteiloberfläche bei Belastung von räumlichen Bauteilen. Der reine Schubspannungszustand, Bild 1-6b, stellt somit einen Sonderfall des allgemeinen ebenen Spannungszustandes dar (σx = 0, σy = 0, τxy = τ). Auch bei einer gleichzeitig auf Zug, Biegung und Torsion belasteten Welle, Bild 1-1, tritt ein ebener Spannungszustand mit den Spannungen σx = σ, σy = 0 und τxy = -τ an der Oberfläche auf.

6

1 Auslegung von Bauteilen und Strukturen nach Festigkeitskriterien

1.2.2 Räumlicher Spannungszustand Allgemeine räumliche Spannungszustände werden durch insgesamt sechs Spannungskomponenten beschrieben. Dies sind die drei Normalspannungen σx, σy und σz und die drei Schubspannungen τxy, τyz und τzx, Bild 1-6d. Derartige Spannungszustände können sich bei beliebig belasteten und beliebig geformten Bauteilen und Strukturen einstellen. Liegen Symmetrien vor, so treten Sonderfälle des allgemeinen räumlichen Spannungszustandes auf. An den lastfreien Oberflächen (nicht belasteten Oberflächen) von räumlichen Strukturen herrscht lediglich ein ebener Spannungszustand (siehe Kapitel 1.2.1).

1.2.3 Hauptspannungen Bei mehrachsigen Spannungszuständen ist bei der Festigkeitsauslegung u. a. die größte Normalspannung oder die größte Schubspannung von Bedeutung (siehe Kapitel 1.3.1). Darüber hinaus wachsen Ermüdungsrisse in beliebigen Bauteilen und Strukturen normalspannungsgesteuert (siehe Kapitel 2.9). Der Rissverlauf erfolgt senkrecht zur größten Normalspannung, der so genannten Hauptnormalspannung σ1, d. h. die Spannung σ1 steht senkrecht auf der Rissebene (Rissfläche).

Bild 1-7

Hauptnormalspannungen für den ebenen Spannungszustand a) Scheibenelement mit den Hauptnormalspannungen σ1 und σ2 (σ1 > σ2) b) Darstellung der Hauptnormalspannungen und der Hauptschubspannung τH im MOHRschen Spannungskreis

Für den ebenen Spannungszustand, Bild 1-6c, errechnet sich die Hauptnormalspannung σ1 (größte Normalspannung) mit den Spannungskomponenten σx, σy und τxy mit der Beziehung

σ1 =

σx +σ y 2

+

1 2 (σ x − σ y ) 2 + 4τ xy = σ max 2

(1.3),

siehe auch [1-2] und Bild 1-7a. Der Winkel unter dem die Hauptnormalspannung σ1 wirkt, der so genannte Hauptspannungswinkel αH, lässt sich mit der Formel

αH = berechnen.

2τ xy 1 arctan σx −σy 2

(1.4)

1.2 Spannungen und Spannungszustände in Bauteilen und Strukturen

7

Die kleinste Normalspannung σ2 = σmin ergibt sich mit

σ2 =

σx +σy

−

2

1 2 (σ x − σ y ) 2 + 4τ xy = σ min 2

(1.5).

Für die Festigkeitsbetrachtung ist häufig auch die größte Schubspannung, d. h. die Hauptschubspannung τH = τmax von Bedeutung. Diese lässt sich mit der Beziehung

τH =

σ1 − σ 2 2

=

1 2 (σ x − σ y ) 2 + 4τ xy 2

(1.6)

errechnen. Sie wirkt an Rändern des Scheibenelements, die um 45° gegenüber den Hauptnormalspannungsrichtungen verdreht sind. Der ebene Spannungszustand, die Hauptnormalspannungen σ1 und σ2 sowie die Hauptschubspannung τH lassen sich auch in einem MOHRschen Spannungskreis darstellen (siehe z. B. [21] und Bild 1-7b). 2 1

y

3 x

z

Bild 1-8

Hauptnormalspannungen für den räumlichen Spannungszustand a) Volumenelement mit den Hauptnormalspannungen σ1, σ2 und σ3 (σ1 > σ2 > σ3) b) Darstellung der Hauptnormalspannungen durch die MOHRschen Spannungskreise für die drei Ebenen 1-2, 2-3, 1-3

Auch der allgemeine räumliche Spannungszustand, Bild 1-6d, lässt sich durch eine größte und eine kleinste Normalspannung und somit durch die Hauptnormalspannungen σ1, σ2 und σ3 mit σ1 > σ2 > σ3 beschreiben, Bild 1-8a. Die Ermittlung der Hauptnormalspannungen und der Hauptnormalspannungsrichtungen erhält man durch Lösen einer Gleichung dritten Grades (Eigenwertgleichung, siehe z. B. [1-3] bis [1-5]). Der allgemeine räumliche Spannungszustand lässt sich auch in Form von MOHRschen Kreisen verschiedener Beanspruchungsebenen (1-2, 2-3 und 1-3) darstellen, Bild 1-8b. Die größte Schubspannung, die so genannte Hauptschubspannung τH, ergibt sich für den räumlichen Spannungszustand als Radius des größten MOHRschen Spannungskreises:

τH =

σ1 − σ 3 2

(1.7).

8

1 Auslegung von Bauteilen und Strukturen nach Festigkeitskriterien

1.2.4 Ebener Spannungs- oder ebener Verzerrungszustand Bei scheibenartigen Proben, Bauteilen und Strukturen unterscheidet man zwischen dem ebenen Spannungszustand (ESZ) und dem ebenen Verzerrungszustand (EVZ), siehe z. B. auch in [1-2]. Beim ebenen Spannungszustand treten lediglich in der Scheibenebene d. h. in x-y-Richtung Spannungen auf: σx, σy und τxy oder σ1 und σ2 (siehe Bild 1-6c und Bild 1-7a). In Dickenrichtung (z-Richtung) ist die Normalspannung σz = 0. Infolge der Belastung tritt neben den Dehnungen in x- und y-Richtung auch eine Dehnung εz in z-Richtung auf. Beim ebenen Verzerrungszustand, wie er z. B. im Inneren von dickwandigen Bauteilen auftritt, ist eine Dehnung in z-Richtung nicht möglich, so dass in z-Richtung infolge der Verformungsbehinderung eine Normalspannung σz wirkt. σz lässt sich mit der Querdehnzahl ν (siehe [1-2]) aus den Spannungen σx und σy mit der Beziehung

σ z = ν ⋅ (σ x + σ y )

(1.8)

errechnen. Mit den Hauptnormalspannungen σ1 und σ2, Bild 1-7a, erhält man für die dritte Dimension die Normalspannung

σ 3 = ν ⋅ (σ 1 + σ 2 )

(1.9).

Der ebene Verzerrungszustand stellt somit einen Sonderfall des räumlichen Spannungszustandes mit σx, σy, σz und τxy (τyz = τzx =0) oder σ1, σ2 und σ3 (nach Gleichung (1.9)) dar.

1.3 Statischer Festigkeitsnachweis Aufgabe der Festigkeitsberechnung ist es, die von der äußeren Belastung im Bauteil hervorgerufene Beanspruchung rechnerisch zu erfassen und mit der Tragfähigkeit der Konstruktion bzw. des Werkstoffs zu vergleichen. Die Beanspruchung muss dabei stets kleiner als die Tragfähigkeit sein. Formelmäßig gilt:

σ max < σ zul

(1.10),

wobei σmax die maximal auftretende Normalspannung und σzul die zulässige Spannung darstellen.

σmax erhält man beispielsweise nach klassischer Festigkeitsberechnung, siehe z. B. [1-2 bis 14], durch Finite-Elemente-Analysen [1-5, 1-6] oder durch Experimente [1-7, 1-8].

1.3.1 Vergleichsspannung Bei mehrachsiger Beanspruchung gilt für den Festigkeitsnachweis:

σ V, max < σ zul

(1.11).

Die maximale Vergleichsspannung σV,max ergibt sich bei Berechnung gegen Trennbruch nach der Normalspannungshypothese (NAVIER-Hypothese). Bei dreiachsigem Spannungszustand (siehe Kapitel 1.2.2 und Bild 1-6d) mit den Hauptnormalspannungen σ1 > σ2 > σ3, siehe Bild 1-8, gilt dann z. B. bei überwiegender Zugbelastung

σ V = σ1

(1.12).

1.3 Statischer Festigkeitsnachweis

9

Für den ebenen Spannungszustand mit den Spannungen σx, σy und τxy, Bild 1-6c, ergibt sich somit die Vergleichsspannung

σV =

σx +σ y 2

+

1 2 (σ x − σ y ) 2 + 4τ xy 2

(1.13),

(siehe auch Gleichung (1.3)). Für die Welle nach Bild 1-1 gilt mit σx = σ, σy = 0 und τxy = τ :

σV =

σ

+

2

1 σ 2 + 4τ 2 2

(1.14).

Bei Berechnungen gegen plastische Verformung hat sich u. a. die Gestaltänderungsenergiehypothese nach v. MISES bewährt. Beim dreiachsigen Spannungszustand (Bild 1-6d und Bild 1-8) gilt:

σV =

1 2

(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2

(1.15).

Beim ebenen Spannungszustand, Bild 1-6c, errechnet sich die Vergleichsspannung nach v. MISES mit der Formel 2 σ V = σ x2 + σ y2 − σ xσ y + 3τ xy

(1.16).

Für die Welle nach Bild 1-1 ergibt sich nun:

σ V = σ 2 + 3τ 2

(1.17).

1.3.2 Zulässige Beanspruchung Die zulässige Beanspruchung σzul bestimmt sich bei einer Berechnung gegen Trennbruch aus der Zugfestigkeit Rm und dem Sicherheitsfaktor SB gegen Bruch mit der Formel

σ zul =

Rm SB

(1.18)

und bei einer Berechnung gegen plastische Verformung aus der Rp0,2-Grenze des Werkstoffs und dem Sicherheitsfaktor SF gegen Fließen mit der Beziehung

σ zul =

Rp0,2 SF

(1.19).

Für Werkstoffe mit ausgeprägter Streckgrenze wird anstatt Rp0,2 die Fließgrenze Re verwendet.

1.3.3 Ablauf eines Festigkeitsnachweises Der Ablauf eines Festigkeitsnachweises ist in Bild 1-9 schematisch dargestellt. Aus der Belastung (z. B. gegeben durch die Kraft F und/oder die Biege- und Torsionsmomente MB, MT) und der Bauteilgeometrie (z. B. charakterisiert durch die Querschnittsfläche A, das Flächenträg-

10

1 Auslegung von Bauteilen und Strukturen nach Festigkeitskriterien

heitsmoment I oder die Widerstandsmomente W, WT) ergibt sich die wirksame Spannung (z. B. die Normalspannung σ, die Schubspannung τ, die Vergleichsspannung σV bzw. deren Maximalwerte σmax, τmax, σV,max). Aus dem Werkstoffkennwert und dem Sicherheitsfaktor (z. B. SF gegen Fließen oder SB gegen Bruch) erhält man die zulässige Spannung σzul. Als Werkstoffkennwerte kommen z. B. die Streckgrenze Re bzw. die Rp0,2-Grenze oder die Zugfestigkeit Rm sowie eventuell verwendbare Stützziffern (siehe z. B. [1-9, 1-10]) in Frage. Belastung z. B. F, MB , M T

Bauteilgeometrie z. B. A, I, W, WT

Werkstoffkennwert z. B. Rp0,2 , R e , R m

wirksame Spannung z. B. max, V,max, ...

Sicherheitsfaktor z. B. SF , SB

zulässige Spannung z. B. zul = Rp0,2 /SF oder Rm /SB

Festigkeitsnachweis max,  V,max < zul Bild 1-9 Schematischer Ablauf eines Festigkeitsnachweises

Ein Festigkeitsnachweis ist demnach erbracht, wenn die maximale Spannung σmax oder die maximale Vergleichsspannung σV,max im Bauteil kleiner ist als die zulässige Spannung σzul. 

F

F

A

Bild 1-10

Stab oder Scheibe unter einachsiger Zugbelastung

Für einen Zugstab (Bild 1-10), bei dem ein Bruch mit Sicherheit ausgeschlossen werden soll, errechnet sich mit der Kraft F und dem Stabquerschnitt A die Normalspannung σ mit der Beziehung

σ=

F A

(1.20).

Die zulässige Spannung σzul ergibt sich aus der Zugfestigkeit Rm des Werkstoffs und dem Sicherheitsfaktor SB gegen Bruch (siehe Gleichung (1.18)). Mit σ < σzul ist somit der Festigkeitsnachweis erbracht. Für eine Antriebswelle unter Torsionsbelastung (Bild 1-11), bei der plastische Verformung ausgeschlossen werden soll, errechnet sich aus dem Antriebsmoment MT und dem Torsionswiderstandsmoment WT die maximale Schubspannung τmax an der Wellenoberfläche mit der Beziehung

1.3 Statischer Festigkeitsnachweis

τ max =

11

MT WT

(1.21)

und mit Gleichung (1.16) und σx = σy = 0 sowie τxy = τmax die Vergleichsspannung (1.22).

σ Vmax = 3τ max

Die zulässige Spannung σzul erhält man mit dem Rp0,2-Wert des Materials und dem Sicherheitsfaktor SF gegen Fließen mit Gleichung (1.19). Ist Gleichung (1.11) erfüllt, so ist der Sicherheitsnachweis erbracht. WT = WP

MT

MT max

Bild 1-11

Ausschnitt aus einer Antriebswelle mit dem Antriebsmoment MT, dem polaren Widerstandsmoment WP und der sich ergebenden maximalen Schubspannung τmax

1.3.4 Berücksichtigung der Kerbwirkung Für eine abgesetzte Welle unter Biegung (Bild 1-12) ist die Spannungserhöhung infolge der Kerbe zu berücksichtigen. Aus dem Biegemoment MB und dem Widerstandsmoment WB des engsten Wellenquerschnitts ergibt sich die Nennspannung

σN =

MB WB

(1.23). 

MB d

D

MB

N Bild 1-12

Abgesetzte Welle unter Biegung MB: Biegemoment, d, D: Durchmesser, ρ: Kerbradius, σN: Nennspannung im engsten Querschnitt

Die maximale Spannung σmax in der Kerbe errechnet sich dann mit dem Kerbfaktor αK zu

σ max = α K ⋅ σ N

(1.24),

12

1 Auslegung von Bauteilen und Strukturen nach Festigkeitskriterien

wobei αK sich aus dem Kerbfaktordiagramm in Bild 1-14a ergibt. Will man plastische Verformung in der Welle vermeiden, so folgt σzul wiederum nach Gleichung (1.19). Der Festigkeitsnachweis ist für σmax < σzul erbracht.

1.3.5 Kerbfaktoren Kerbfaktoren können z. B. aus den Kerbfaktordiagrammen in Bild 1-13 oder Bild 1-14 entnommen werden. a)

a/d = 0 0,1

8

0,2

6

F

2d

7

2a

F

0,3 0,4 0,5



Dicke t

Kerbfaktor:

K

5

αK =

4

σ max σN

Nennspannung: F σN = 2 ⋅ (d − a) ⋅ t

3 2 1 0

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

a/ b)

a/d = 0 0,1 F

F

0,3 0,4

a

6

0,5

Dicke t

5 K

0,2

2d

7



a

8

αK =

4

2 1 0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

a/ 

Bild 1-13

σ max σN

Nennspannung: F σN = 2 ⋅ (d − a) ⋅ t

3

0

Kerbfaktor:

Kerbfaktoren für Scheiben/Stäbe unter Zugbelastung a) Scheibe mit Langloch b) Scheibe mit Außenkerben

1.3 Statischer Festigkeitsnachweis

13

Kerbfaktoren für andere Geometrien und Belastungen kann man z. B. in [1-3, 1-4, 1-9] finden. a)

8 

MB

6

a/d = 0

Kerbfaktor: a

5 K

MB Ø2d

7

0,1

4

0,2 0,3 0,4 0,5

3 2

αK =

σ max σN

Nennspannung: 4M B σN = π ⋅ (d − a) 3

1 0

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

a/

b)

8  MT

6

Kerbfaktor: a

5 K

MT Ø2d

7

αK =

4 a/d = 0 0,1 0,3 0,5

3 2 1 0

0

0,5

1

1,5

2

2,5

a/ Bild 1-14

Kerbfaktoren für abgesetzte Wellen a) Biegebelastung b) Torsionsbelastung

3

3,5

4

τ max τN

Nennspannung: 2M T τN = π ⋅ (d − a)3

14

1 Auslegung von Bauteilen und Strukturen nach Festigkeitskriterien

1.3.6 Materialkennwerte und Sicherheitsfaktoren Beispiele für die Materialkennwerte Rm und Re bzw. Rp0,2 sind in Tabelle 1.1 angegeben. Weitere Kennwerte sind z. B. in [1-9 bis 1-12] zu finden. Tabelle 1.1 Beispiele für die Materialkennwerte Rm und Re bzw. Rp0,2

Material

Rm

Re, Rp0,2

[MPa]

[MPa]

Stähle S355J2G3

1.0570

510

355

C45E

1.1191

700

490

34CrNiMo6

1.6582

1200

1000

36CrNiMo4

1.6511

1100

900

1.0552

520

260

EN-GJL-300

EN-JL-1050

300

190

EN-GJS-500-7

EN-JS-1050

500

320

EN-AW 2024-T4

425

275

EN-AW 7075-T651

540

470

135

90

Stahlguss GS 52 Gusseisen

Aluminiumknetlegierungen

Aluminiumgusslegierungen EN AC-46400 Weitere Werkstoffkennwerte sind z. B. in [1-9 bis 1-12] angegeben. Tabelle 1.2 Beispiele für Sicherheitsfaktoren SB und SF

Werkstoffe

SB

SF

Stähle

1,75 - 2,0

1,3 – 1,5

Aluminiumknetlegierungen

1,75 - 2,0

1,3 – 1,5

Eisengusswerkstoffe

2,24 – 2,8

1,8 – 2,1

Die jeweils niedrigen Werte gelten für geringe Schadensfolgen, die höheren Werte für höhere Schadensfolgen. Detaillierte Angaben sind z. B. [1-9, 1-10] zu entnehmen.

Beispiele für die Sicherheitsfaktoren SF und SB erhält man nach Tabelle 1.2. Die jeweils niedrigen Werte gelten für geringe Schadensfolgen, die höheren Werte für höhere Schadensfolgen. Detaillierte Angaben sind z. B. in [1-9, 1-10] zu finden.

1.3 Statischer Festigkeitsnachweis

15

Beispiel 1-1 MT d

MT MB

MB

Eine Welle aus dem Werkstoff C45E ist durch ein zeitlich konstantes Biegemoment MB und ein zeitlich konstantes Torsionsmoment MT belastet. Die Vollwelle hat einen Wellendurchmesser d. Man bestimme: a) die maximale Normalspannung σmax, b) die maximale Schubspannung τmax, c) die maximale Vergleichsspannung σV,max nach der Gestaltänderungsenergiehypothese und d) die vorliegende Sicherheit gegen plastische Verformung der Welle. geg.: MB = 800 Nm, MT = 1000 Nm, d = 40 mm Lösung: a) Maximale Normalspannung σmax infolge der Biegebelastung Nach [1-2] gilt:

σ max =

σ max =

MB WB

mit

WB =

800.000 Nmm 6.283 mm

3

π ⋅ d3 32

=

 ⋅ (40 mm)3 = 6283 mm3 32

= 127,3 N/mm 2

(wirkt als Zugspannung an der Wellenoberfläche im obersten Wellenbereich und als Druckspannung im untersten Wellenbereich)

b) Maximale Schubspannung τmax infolge Torsionsbelastung Nach [1-2] gilt:

τ max =

τ max =

MT WT

mit

WT = WP =

1.000.000 Nmm 12.566 mm

3

π ⋅d3 16

=

 ⋅ (40 mm)3 = 12.566 mm 3 16

= 79,6 N/mm 2 (wirkt an der gesamten Wellenoberfläche)

c) Maximale Vergleichsspannung σV,max nach der Gestaltänderungsenergiehypothese Nach Gleichung (1.17) erhält man: 2 2 σ V, max = σ max + 3 ⋅ τ max = (127,3 N/mm 2 ) 2 + 3 ⋅ (79,6 N/mm 2 ) 2 = 187,7 N/mm 2

16

1 Auslegung von Bauteilen und Strukturen nach Festigkeitskriterien

d) Vorliegende Sicherheit gegen plastische Verformung der Welle Mit Gleichung (1.11) und Gleichung (1.19) erhält man:

σ V, max =

Rp0,2 S F, vorl

bzw.

S F, vorl =

Rp0,2

σ V, max

und mit Rp0,2 = 490 N/mm2 für C45E nach Tabelle 1.1 ergibt sich: S F, vorl =

490 N/mm 2 187,7 N/mm 2

= 2,6

Mit SF,vorl = 2,6 > SF,erf = 1,5 (siehe Tabelle 1.2 ) ist der statische Festigkeitsnachweis erbracht!

1.4 Dauerfestigkeitsnachweis Im Gegensatz zur statischen Belastung führt eine zeitlich veränderliche Belastung zu einem völlig anderen Versagensverhalten von Bauteilen und Strukturen. Beispielsweise tritt unter schwingender Belastung Risswachstum bzw. Dauerbruch weit unterhalb der statischen Festigkeitsgrenzen ein. So liegt für Stahl die Dauerfestigkeit bei Zug-Druck-Wechselbelastung (Bild 1-2c) lediglich bei 40-45% des jeweiligen Zugfestigkeitswertes. Bei Gusseisen oder Aluminiumlegierungen beträgt das Verhältnis von Dauerfestigkeit zur Zugfestigkeit lediglich 0,3. Beim Dauerfestigkeitsnachweis sind nicht so sehr die maximalen Spannungen als vielmehr die Spannungsausschläge von Bedeutung.

1.4.1 Wirksame und zulässige Spannungen Wird ein Maschinenteil durch eine Kraft F(t) zyklisch belastet, so ergibt sich eine zeitlich veränderliche Spannung σ(t), Bild 1-15. Diese zyklische Spannung wird definiert durch die Oberspannung σo bzw. σmax, die Unterspannung σu bzw. σmin, die Mittelspannung σm und die Ausschlagsspannung σa. 

F

o, max a

F(t) m t

u, min t

Bild 1-15

Winkelhebel mit zeitlich veränderlicher Belastung F(t) und auftretender Spannung σ(t)

1.4 Dauerfestigkeitsnachweis

17

Für die Dauerfestigkeitsauslegung ist insbesondere der Spannungsausschlag σa und die Mittelspannung σm bzw. das R-Verhältnis, siehe Gleichung (1.2), von Bedeutung. Beim Dauerfestigkeitsnachweis wird z. B. die auftretende Ausschlagsspannung σa mit einem zulässigen Spannungsausschlag σa,zul verglichen. Es gilt somit

σ a < σ a, zul

(1.25).

σa oder σa,max kann nach klassischer Spannungsberechnung, mit der Finite-Elemente-Methode oder experimentell, z. B. mit Dehnungsmessstreifen, ermittelt werden. Bei mehrachsiger gleichphasiger Belastung gilt:

σ V, a < σ a, zul

(1.26).

Der Vergleichsspannungsausschlag σV,a errechnet sich dann z. B. für eine Welle mit Biegeund Torsionsbelastung aus dem Normalspannungsausschlag σa und dem Schubspannungsausschlag τa mit der Normalspannungshypothese:

σ V, a =

σa 2

+

1 σ a2 + 4τ a2 2

(1.27)

oder der Gestaltänderungsenergiehypothese:

σ V, a = σ a2 + 3τ a2 a

stat. Festigkeit

(1.28).

Zeitfestigkeit

Dauerfestigkeit

Rm

A ND N Bild 1-16 Prinzipielle Darstellung der Wöhlerkurve σa: Spannungsausschlag bei allgemein periodischer Schwingbelastung, σA: Dauerfestigkeit des Materials, Rm: Zugfestigkeit des Materials, N: Anzahl der Belastungszyklen (Schwingspiele) ND: Eckschwingspielzahl (z. B. 2⋅106 Lastwechsel bei Stahl)

18

1 Auslegung von Bauteilen und Strukturen nach Festigkeitskriterien

Die Normalspannungshypothese ist beim Auslegen gegen Ermüdungsbruch zu bevorzugen. Bei zäherem Materialverhalten kann auch die Gestaltänderungsenergiehypothese zum Zuge kommen. Besteht Unsicherheit, welche Hypothese die richtige ist, so sind beide Hypothesen anzuwenden und das ungünstigste Ergebnis ist zu berücksichtigen. Die zulässige Spannung σa,zul ergibt sich z. B. aus der Dauerfestigkeit σA des Materials, dem Oberflächenbeiwert b1 und dem Größenbeiwert b2 des Bauteils sowie dem Sicherheitsbeiwert SD gegen Dauerbruch:

σ a, zul =

σ A ⋅ b1 ⋅ b2

(1.29).

SD

1.4.2 Werkstoffkennwerte Auskunft über das Werkstoffverhalten unter schwingender Belastung gibt die Wöhlerkurve, Bild 1-16, die i. Allg. durch Dauerschwingversuche an zylindrischen Probestäben ermittelt wird. Die Dauerfestigkeit σA ist dabei diejenige Spannungsamplitude, die bei einer gleichzeitig vorhandenen Mittelspannung beliebig oft ertragen wird. Die Abhängigkeit der Dauerfestigkeit von der Mittelspannung bzw. vom R-Verhältnis kann einem Dauerfestigkeitsschaubild entnommen werden, Bild 1-17.  Rm Sch

A

W

R = -1

R=0

R=1

m

-W

Bild 1-17

Dauerfestigkeitsschaubild nach SMITH mit der Dauerfestigkeitsamplitude σA, der Wechselfestigkeit σW und der Schwellfestigkeit σSch in Abhängigkeit von der Mittelspannung σm oder dem R-Verhältnis

Werte für die Dauerfestigkeit σA bei R = –1 (d. h. die Wechselfestigkeit σW) können entsprechend Tabelle 1-3 abgeschätzt werden. Dort sind auch Richtwerte für den Sicherheitsfaktor SD gegen Dauerbruch angegeben.

1.4 Dauerfestigkeitsnachweis

19

Tabelle 1.3 Beispiele für die Abschätzung der Wechselfestigkeitswerte σW aus den Zugfestigkeiten Rm sowie für die Sicherheitsfaktoren SD gegen Dauerbruch für verschiedene Materialien

Werkstoffe Stähle Aluminiumknetlegierungen Eisengusswerkstoffe

σW

SD

0,4 - 0,45 Rm

1,3 – 1,5

0,3 Rm

1,3 – 1,5

0,3 – 0,34 Rm

1,8 – 2,1

Werte für Rm, siehe z. B. Tabelle 1.1, weitere Werkstoffkennwerte und Sicherheitsfaktoren sind z. B. in [1-9 bis 1-12] zu finden.

1.4.3 Oberflächen- und Größenbeiwerte 1

Oberflächenbeiwert b1

Rautiefe R t = 2m

0,9

4 6

0,8

10 Wa lz,S chm ied e

0,7 0,6 0,5

300

400

500

20

40

-u

100

nd Gu ssh aut

600

700

800

Zugfestigkeit Rm in Bild 1-18

900

1000

1100

1200

1300

N/mm 2

Oberflächenbeiwert b1 in Abhängigkeit von der Rautiefe in µm und der Zugfestigkeit Rm

Der Oberflächenbeiwert b1 ist abhängig von der Rautiefe Rt, der Bauteiloberfläche und der Zugfestigkeit Rm des Materials. Er kann dem Diagramm in Bild 1-18 entnommen werden.

Größenbeiwert b 2

1 0,9 0,8 0,7 0,6

Bild 1-19

10

20

30

60 70 40 50 80 90 100 Bauteildurchmesser, Bauteildicke d in mm

110

120

Größenbeiwert b2 in Abhängigkeit von dem Bauteildurchmesser oder der Bauteildicke d

20

1 Auslegung von Bauteilen und Strukturen nach Festigkeitskriterien

Der Größenbeiwert b2 berücksichtigt den Bauteildurchmesser bzw. die Bauteildicke d, Bild 1-19 .

Beispiel 1-2 M



M max

D1

D2

M

t

A

Ein Gussteil aus dem Werkstoff EN-GJS 500-7 ist durch ein wechselndes Biegemoment M belastet. Die Oberfläche des Gussteils ist bearbeitet, so dass eine Rautiefe von Rt = 10 µm angenommen werden kann. Zeigen Sie, dass das Bauteil unter den gegebenen Bedingungen dauerfest ist. geg.: Mmax = 50 Nm, D1 = 40 mm, D2 = 32 mm, ρ = 1 mm, Rt = 10 µm Lösung: a) Maximale Spannung im Querschnittsübergang bei A

σ a, max = σ max = α K ⋅ σ N = α K ⋅

M max W2

mit W2 =

π ⋅ D2 3 32 §a

α K = α K ¨¨ , ©d

a = d

a

ρ

=

 ⋅ (32 mm)3 = 3217,0 mm3 32 a ·¸ ρ ¸¹

Kerbfaktor nach Bild 1-14a

D1 − D2 D − D2 40 mm - 32 mm 2 = 1 = = 0,2 D1 D1 40 mm 2

=

D1 − D2 2 =

ρ

D1 − D2 = 2ρ

40 mm - 32 mm =2 2 ⋅ 1 mm

Nach Bild 1-14a folgt: αK = 2,3 und somit:

1.5 Betriebsfestigkeitsnachweis

σ a, max = σ max = 2,3 ⋅

50.000 Nmm 3.217 mm3

21 = 35,8 N/mm 2

b) Zulässige Spannung

σ a, zul =

σ A ⋅ b1 ⋅ b2 SD

mit

σ A = σ W = 0,34 Rm nach Tabelle 1.3 und Rm = 500 MPa = 500 N/mm2 nach Tabelle 1.1 folgt:

σ A = 0,34 ⋅ 500 MPa = 170 N/mm 2 Weiterhin ergibt sich: b1 = b1 ( Rm , Rt ) = b1 (500 MPa, 10 m) = 0,87 nach Bild 1-18 b2 = b2 ( D1 ) = b2 (40 mm) = 0,85 nach Bild 1-19

sowie SD = 2,1 nach Tabelle 1.3 und somit:

σ a, zul =

170 N/mm 2 ⋅ 0,87 ⋅ 0,85 = 59,9 N/mm 2 2,1

c) Dauerfestigkeitsnachweis Mit σ a, max = 35,8 N/mm 2 < σ a, zul = 59,9 N/mm 2 erbracht!

ist der Dauerfestigkeitsnachweis

1.4.4 Dauerfestigkeitsnachweis bei gekerbten Bauteilen Beim Dauerfestigkeitsnachweis von gekerbten Bauteilen kann zur Ermittlung der maximalen Spannung anstatt des Kerbfaktors αK auch die Kerbwirkungszahl βK verwendet werden. Diese Kerbwirkungszahl errechnet sich dann aus dem Kerbfaktor dividiert durch eine Stützziffer n. Die Stützziffer ist vom örtlichen Spannungsgefälle und der Zähigkeit des verwendeten Materials abhängig. Siehe hierzu z. B. in [1-3, 1-4, 1-9, 1-10, 1-11 und 1-13 bis 1-16]. Wird auf die Berücksichtigung der Stützwirkung verzichtet, wie in Beispiel 1-2, ergibt sich eine konservative Auslegung.

1.5 Betriebsfestigkeitsnachweis Neben dem häufig verwendeten Dauerfestigkeitsnachweis kann bei zeitlich veränderlicher Belastung auch ein Betriebsfestigkeitsnachweis in Frage kommen. Bei praktischem Einsatz zahlreicher Bauteile und Strukturen sind diese i. Allg. einer beliebig nicht-periodisch ablaufenden Belastung ausgesetzt (siehe z. B. Bild 1-4). Kennt man die tatsächlichen oder voraussichtlich auftretenden Betriebsbelastungen, die i. Allg. durch Zähl- oder Klassierverfahren (siehe Kapitel 6.1) auf entsprechende Lastkollektive reduziert werden, so ist eine Lebensdauervorhersage mittels eines Betriebsfestigkeitsnachweises möglich.

22

1 Auslegung von Bauteilen und Strukturen nach Festigkeitskriterien

Die verwendbaren Konzepte können in drei Gruppen eingeteilt werden: •

Nennspannungskonzepte

•

örtliche Konzepte und

•

Strukturspannungskonzepte.

Ausführliche Beschreibungen dieser Konzepte finden sich in [1-13 bis 1-16].

1.6 Sonstige Nachweise Neben dem statischen Festigkeitsnachweis und dem Dauerfestigkeitsnachweis sind je nach Nutzung von Maschinen und Strukturen auch noch andere Nachweise erforderlich. Hierzu zählen z. B. •

der Verformungsnachweis,

•

der Stabilitätsnachweis,

•

der Standsicherheitsnachweis und

•

der bruchmechanische Nachweis.

Zusätzlich zum Festigkeitsnachweis ist häufig auch ein Verformungsnachweis erforderlich, d. h. für eine Struktur muss eine gewisse Mindeststeifigkeit nachgewiesen werden. Dies bedeutet eine zulässige Verformung darf nicht überschritten werden [1-2]. Insbesondere bei Druck- und Biegebelastung von Strukturen oder Teilstrukturen können Instabilitäten auftreten. Daher sind in diesen Fällen auch Stabilitätsnachweise gegen Knicken, Kippen und Beulen zu erbringen [1-2]. Bei Strukturen, deren Auflagerungen nur Druckkräfte aufnehmen können, besteht die Gefahr des Umkippens. Mit dem Standsicherheitsnachweis ist nachzuweisen, dass das Kippmoment stets kleiner als das Standmoment ist [1-1]. Treten in Bauteilen, Strukturen oder Materialien Fehler oder Risse auf, so ist zusätzlich zum Festigkeitsnachweis auch ein bruchmechanischer Nachweis zu erbringen. Hiermit können kritische Fehlergrößen oder kritische Spannungen und bei zyklischer Belastung auch Rissgeschwindigkeiten und die Restlebensdauer von Bauteilen und Strukturen ermittelt werden. Die bruchmechanischen Methoden werden in den folgenden Kapiteln ausführlich erläutert.

1.7 Grenzen der klassischen Bauteilauslegung Die Existenz von Fehlern und Rissen ändern das Festigkeitsverhalten bzw. das Dauerfestigkeitsverhalten von Bauteilen und Strukturen unter Umständen grundlegend. So kommt es vor, dass technische Produkte weit unterhalb der statischen Festigkeit oder auch der Dauerfestigkeit des Materials versagen. Im schlimmsten Fall tritt ein plötzlicher Bruch ohne Vorankündigung, d. h. ohne ein sichtbares äußeres Zeichen, ein. Dieses instabile Risswachstum führte in der Vergangenheit schon häufig zu katastrophalen Schadensfällen bei Druckbehältern, Gasleitungen, Tankern, Flugzeugen usw. (siehe z. B. Kapitel 2). Aber auch das stabile Risswachstum z. B. durch zyklische Belastung, das so genannte Ermüdungsrisswachstum, kann zu schwerwiegenden Schäden führen. Ermüdungsrissausbreitung

Literatur zu Kapitel 1

23

kann sich auch dann ereignen, wenn das Bauteil/die Struktur nach klassischen Methoden dauerfest ausgelegt ist. Zur Vermeidung von Schäden ist es daher erforderlich, sich mit dem Thema „Ermüdungsrisswachstum“ näher zu beschäftigen.

Literatur zu Kapitel 1 [1-1]

Richard, H.A., Sander, M.: Technische Mechanik. Statik. Vieweg Verlag, Wiesbaden, 2008

[1-2]

Richard, H.A., Sander, M.: Technische Mechanik. Festigkeitslehre. Verlag Vieweg+Teubner, Wiesbaden, 2008

[1-3]

Läpple, V.: Einführung in die Festigkeitslehre. Vieweg Verlag, Wiesbaden, 2006

[1-4]

Wellinger, K., Dietmann, H.: Festigkeitsberechnung. Kröner-Verlag, Stuttgart, 1982

[1-5]

Hahn, H.G.: Methode der finiten Elemente in der Festigkeitslehre. Akademische Verlagsgesellschaft, Frankfurt, 1975

[1-6]

Richard, H.A., Sander, M., Kullmer, G., Fulland, M.: Finite-Elemente-Simulation im Vergleich zur Realität. MP Materialprüfung 46 (2004) S. 441-448

[1-7]

Rohrbach, Chr.: Handbuch der experimentellen Spannungsanalyse. Springer-Verlag, Berlin, 1989

[1-8]

Richard, H.A.: Ermittlung von Spannungsintensitätsfaktoren aus spannungsoptisch bestimmten Kerbfaktoren und Kerbspannungsdiagrammen. Forsch. Ing. Wes. 45 (1979) S. 188-199

[1-9]

FKM-Richtlinie: Rechnerischer VDMA-Verlag, Frankfurt, 2003

[1-10]

Muhs, D., Wittel, H. u. a.: Roloff/Matek Maschinenelemente. Vieweg Verlag, Wiesbaden , 2007

[1-11]

Czichos, H., Hennecke, M. (Hrsg.): Hütte. Das Ingenieurwissen. Springer-Verlag, Berlin, 2008

[1-12]

Grote, K.H., Feldhausen, J. (Hrsg.): Dubbel. Taschenbuch für den Maschinenbau. Springer-Verlag, Berlin, 2007

[1-13]

Gudehus, H., Zenner, H.: Leitfaden für eine Betriebsfestigkeitsberechnung. Verlag Stahleisen, Düsseldorf, 2000

[1-14]

Haibach, E.: Betriebsfestigkeit. Springer-Verlag, Berlin, 2006

[1-15]

Radaj, D.: Ermüdungsfestigkeit. Springer-Verlag, Berlin, 2007

[1-16]

Sander, M.: Sicherheit und Betriebsfestigkeit von Maschinen und Anlagen. Springer-Verlag, Berlin, 2008

[1-17]

DIN 50100: Dauerschwingversuch. 1978

Festigkeitsnachweis

für

Maschinenbauteile.

24

2 Schäden durch Risswachstum Bis vor wenigen Jahrzehnten wurden Bauteile, Maschinen und Anlagen allein mit der klassischen Festigkeitsberechnung, d. h. mit Festigkeitskriterien, wie sie z. B. in Kapitel 1 beschrieben sind, ausgelegt. Trotz sorgfältiger Berechnung traten wiederholt an Brücken, Schiffen, Flugzeugen, Behältern, Reaktorkomponenten, Pipelines, Straßen- und Schienenfahrzeugen Schäden mit teilweise katastrophalen Folgen auf. Konkrete Beispiele für Schadensfälle in der Praxis sind der Traversenbruch einer hydraulischen Presse [2-1], der Torsionsbruch einer Antriebswelle [2-2], der Bruch eines Kurbelzapfens [2-3] sowie eine geborstene Druckgasflasche [2-4]. Spektakuläre frühere Schadensereignisse, wie die Explosionen von Dampfkesseln im 19. Jahrhundert, Einstürze von geschweißten Brücken in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts, die umfangreichen Schadensfälle an amerikanischen Schiffen in den Jahren von 1942 bis 1948 (mehrere Liberty-Schiffe sind vollständig auseinandergebrochen) sowie die Abstürze von Comet Flugzeugen in den Jahren 1953 und 1954 [2-5 bis 2-8] führten zu einer Intensivierung der Ursachenforschung. Doch zeigen auch Schadensfälle der jüngsten Vergangenheit wie z. B. das Flugzeugunglück der Aloha-Airlines 1988 (Bild 2-1a), der katastrophale ICE-Unfall 1998 in Eschede (Bild 2-1b) und die Tankerunfälle der Tanker Erika 1999 und Prestige 2002 (Bild 2-1c), dass es bezüglich der sicheren Auslegung von Maschinen, Bauteilen und Strukturen noch erheblichen Forschungsbedarf gibt. Ursache von derartigen Schäden und Brüchen sind i. Allg. kleine Fehlstellen oder Risse, die entweder im Bauteil bereits vorhanden sind (z. B. als Ungänzen im Material oder hervorgerufen durch den Fertigungsprozess) oder durch die Belastung der Bauteile und Strukturen erst entstehen. Infolge von Betriebsbelastungen (insbesondere durch zeitlich veränderliche mechanische oder thermische Belastungen) können diese Risse sich vergrößern. Erreichen sie eine kritische Größe, so breiten sie sich instabil, i. Allg. mit großer Geschwindigkeit, aus und führen damit zum Bruch einer Komponente oder zum Zusammenbruch der gesamten Struktur. Die Rissbildung bzw. Rissentstehung an einer glatten Oberfläche ist dabei i. Allg. ein lokales Ereignis in der Mikrostruktur, das z. B. durch Kristallbaufehler oder zyklische Belastungsvorgänge verursacht wird. Bei der Rissausbreitung handelt es sich dagegen um einen makroskopischen Vorgang, der durch die Betriebsbelastung gesteuert wird. Für den Rissausbreitungsvorgang, der bis zu einem plötzlichen Restbruch führen kann, sind die Gegebenheiten unmittelbar an der Rissspitze wesentlich. Die Bruchmechanik [2-5, 2-9 bis 2-14], die als fachübergreifende Disziplin zu verstehen ist, hat ausgehend von Spannungs- und Verschiebungsfeldern an der Rissspitze Konzepte zur Vorhersage des Ermüdungsrisswachstums bzw. zur Vermeidung von spröden und duktilen Brüchen entwickelt. Diese Konzepte werden in den Kapiteln 3 bis 6 ausführlich behandelt. Schadensfälle durch Risswachstum können nur verhindert werden, wenn die bruchmechanischen Konzepte bei der Auslegung von Bauteilen und Strukturen Berücksichtigung finden. Dieser erste Teil des Fachbuchs beschäftigt sich zunächst mit grundsätzlichen Fragen der Rissentstehung und des Risswachstums, den Grundlagen der Schadens- und Bruchflächenanalyse, den Rissverläufen und Rissformen, mit ausgewählten Schadensfällen sowie mit der Risserkennung.

25 a)

b)

c)

Bild 2-1

Schwerwiegende Schadensfälle in der jüngsten Vergangenheit a) Abriss des Kabinendaches infolge Materialermüdung während des Fluges eines Passagierflugzeugs der Aloha-Airlines im Jahr 1988 b) Katastrophaler Unfall eines ICE-Hochgeschwindigkeitszugs im Jahr 1998 infolge eines Ermüdungsbruches eines Radreifens c) Auseinanderbruch des Tankers Prestige vor der spanischen Atlantikküste im Jahr 2002 infolge stabilen und instabilen Risswachstums

26

2 Schäden durch Risswachstum

2.1 Rissentstehung und Risswachstum Risse sind lokale Materialtrennungen in einem Maschinenteil oder einer Struktur. Risse können vor Inbetriebnahme eines Maschinenbauteils als Material- und/oder Fertigungsfehler bereits vorhanden sein oder im Verlauf der Betriebsbelastung erst entstehen. Materialfehler sind z. B. Lunker oder Einschlüsse. Fertigungsfehler können beispielsweise durch mechanische Bearbeitung oder durch Wärmebehandlung, z. B. durch Härten, entstehen. Durch zeitlich veränderliche Belastungen können Ermüdungsrisse initiiert werden und/oder wachsen (Bild 2-2). a)

F(t)

F(t) Bild 2-2

b)

F(t)

F(t)

c)

F(t)

F(t)

Verschiedene Arten der Rissentstehung und des Risswachstums a) Rissbildung an glatter Oberfläche b) Rissbildung an Kerbe c) Rissbildung an Defekt

Bei der Rissentstehung an einer glatten Oberfläche handelt es sich zunächst um einen mikrostrukturellen Vorgang (siehe z. B. [2-5, 2-6, 2-10, 2-15]). Durch Gleitvorgänge, die durch die Hauptschubspannung (siehe z. B. Kapitel 1.2.3 oder [2-31]) gesteuert werden, entsteht i. Allg. bei einem zugbelasteten Bauteil zunächst ein Anriss unter 45° zur Belastungsrichtung. Nach einem gewissen Risswachstum (bis zu einer Anrisslänge von ca. 200 m – 250 m [2-34]) wächst der Riss dann normalspannungsgesteuert, d. h. senkrecht zur wirkenden Normalspannung, bzw. bei der im Bild 2-2a dargestellten Situation senkrecht zur zyklischen Kraft F(t). Eine in einem Bauteil vorliegende Kerbe, Bild 2-2b, begünstigt die Entstehung von Ermüdungsrissen. Der Riss entsteht im Gebiet der höchsten Kerbspannung und verläuft infolge der zyklischen Belastung normalspannungsgesteuert, d. h. senkrecht zur größten Normalspannung (Hauptnormalspannung, siehe z. B. Kapitel 1.2.3 oder [2-31]). Liegt bereits ein Defekt (Materialfehler, Fertigungsfehler, ...) im Bauteil vor, so kann dieser in vielen Fällen bereits als Anriss angesehen werden. Da die Rissentstehung somit aber abgekoppelt von der wirkenden Betriebsbelastung ist (der Riss ist ja bereits vorhanden), erfolgt das senkrecht zur Hauptnormalspannung verlaufende Ermüdungsrisswachstum nicht zwingend in Richtung des Defekts, Bild 2-2c. Die Gesamtlebensdauer eines Bauteils lässt sich einteilen in eine Rissbildungs- und eine Rissfortschrittsphase (Bild 2-3). Unter Rissbildung fasst man die eigentliche Rissentstehung und das einsetzende Mikrorisswachstum zusammen. Zum Rissfortschritt unter zeitlich veränderlicher Belastung zählt das stabile Makrorisswachstum und der im allgemeinen instabile Restbruch.

2.1 Rissentstehung und Risswachstum

27

Lebensdauer Rissbildung Rissbildung Rissentstehung Bild 2-3

Rissfortschritt Rissfortschritt Mikrorisswachstum

Makrorisswachstum

Restbruch

Unterschiedliche Phasen der Lebensdauer eines Bauteils

Die Gesamtlebensdauer Nf eines Bauteils kann durch Aufsummieren der beiden Lebensdauerwerte Ni und Np ermittelt werden: Nf = Ni + N p

(2.1).

Ni ist dabei die Rissbildungs- oder Initiierungslebensdauer bis zum Auftreten eines ersten Anrisses der Länge ai. Np bezeichnet die Lebensdauer für den Rissfortschritt (propagation) bis zum Bruch des Bauteils. Die Phasen der Rissbildung und des Rissfortschritts unterscheiden sich in ihrer zeitlichen Länge je nach Situation und Art der Rissentstehung sehr deutlich (Bild 2-4). Bei der Rissentstehung an glatten Oberflächen überwiegt dabei die Periode der Rissinitiierung gegenüber der Risswachstumsperiode. D. h. 80...90% der Gesamtlebensdauer eines Bauteils vergeht bis ein technischer Anriss entsteht. Das Risswachstum bis zum Bruch des Bauteils benötigt dann im Verhältnis zur Gesamtlebensdauer einen relativ kurzen Zeitraum. Bauteile mit glatten, polierten Oberflächen ohne Kerben bzw. konstruktiver oder fertigungstechnisch bedingter Spannungskonzentrationsstellen oder ohne Defekte sind in der technischen Praxis jedoch eher selten.

Bild 2-4

Gesamtlebensdauer und einzelne Lebensdauerphasen in Abhängigkeit von dem Ort der Rissentstehung

Bei der Rissentstehung an einer Kerbe ist die Rissentstehungsphase je nach Kerbschärfe bzw. Spannungskonzentration deutlich verkürzt. Die Gesamtlebensdauer ist dann i. Allg. aber auch

28

2 Schäden durch Risswachstum

kürzer als bei idealen Bauteilen mit glatter, polierter Oberfläche (Bild 2-4). Bauteile mit Defekten haben eine sehr kurze Rissentstehungsphase im Vergleich zur Risswachstumsphase bei einer deutlich verkürzten Gesamtlebensdauer.

2.2 Stabiles und instabiles Risswachstum Risswachstum ist die Ursache vieler Schadensfälle (siehe u. a. Bild 2-1). Die Bedingungen für das Eintreten eines plötzlichen Bruches oder eines schwerwiegenden Schadensausfalls sind i. Allg. nicht von vornherein gegeben, sondern werden häufig erst durch das allmähliche Wachstum feiner Anrisse in einem mehr oder weniger langen Zeitraum als Folge der Betriebsbelastung erreicht. In der Regel geht stabiles, kontrolliertes Risswachstum einem plötzlichen, unkontrollierten instabilen Risswachstum und damit einem plötzlichen Bruch von Maschinenteilen und Strukturen voraus. Stabiles Risswachstum tritt u. a. bei zeitlich veränderlicher Bauteilbelastung auf. Unter bestimmten Bedingungen wächst ein Riss je Belastungszyklus um einen kleinen Betrag. Mit der Zunahme der Belastungszyklen vergrößert sich der Riss. Erst bei Erreichen einer kritischen Rissgröße oder bei erheblicher Laststeigerung kann instabiles Risswachstum und somit plötzlicher Bruch des Bauteils oder der Struktur einsetzen. Während das stabile Risswachstum über einen sehr langen Zeitraum, z. B. mehrere Hunderttausend oder gar Millionen Lastwechsel erfolgen kann, verläuft das instabile Risswachstum sehr schnell ab. Es können dabei Rissgeschwindigkeiten bis zu 2000 m/s erreicht werden. Doch nicht jedes stabile Risswachstum muss zu instabilem Risswachstum und damit zum Bruch von Bauteilen und Strukturen führen. Ermüdungsrisswachstum kann z. B. auch zum teilweisen Durchtrennen von z. B. Behälterwandungen führen, ohne dass der Behälter zerbirst. In diesem Fall können durch das entstandene Leck jedoch flüssige oder gasförmige Substanzen austreten und unter Umständen Umweltschäden verursachen. Rissausbreitungsrichtung

Bruchfläche infolge stabilen Ermüdungsrisswachstums

Bild 2-5

Restgewaltbruchfläche durch instabiles Risswachstum

Bruchfläche eines Stahls mit Ermüdungs- und Gewaltbruchflächenanteilen

Die Phasen des stabilen und des instabilen Risswachstums lassen sich i. Allg. auch sehr deutlich auf den Bruchflächen von gebrochenen Maschinenteilen und Strukturen erkennen (siehe z. B. Bild 2-5 und Bild 2-9). Daher kommt der Schadensanalyse und insbesondere der Bruchflächenanalyse eine große Bedeutung zu.

2.3 Schadensanalyse / Bruchflächenanalyse

29

2.3 Schadensanalyse / Bruchflächenanalyse Ist ein Schaden eingetreten, so kann eine Schadensanalyse (siehe z. B. [2-16 bis 2-18]) insbesondere Aufschluss geben über die Schadensursache, den Schadensablauf, die Größe und Richtung der Belastung sowie die Möglichkeiten zur Schadensverhütung. Neben dem Schadensbild und dem Rissverlauf gibt insbesondere eine Bruchflächenuntersuchung Aufschluss über den eingetretenen Schaden. Diese kann sowohl makroskopisch durch in Augenscheinnahme und mikroskopisch z. B. mittels Licht- oder Rasterelektronenmikroskop erfolgen. In vielen Fällen reicht die makroskopische Bruchflächenanalyse vollkommen aus. Hierbei erkennt man z. B., ob es sich um einen Trennbruch oder Gleitbruch handelt, welche Beanspruchungen bzw. Beanspruchungsrichtungen im Bauteil vorlagen und ob es sich um einen Ermüdungsbruch oder einen Gewaltbruch handelt. Für einen Trennbruch ist i. Allg. die maximale Normalspannung (Hauptnormalspannung siehe z. B. Kapitel 1.2.3, Kapitel 1.3 oder [2-31]) im Bauteil entscheidend. Die Trennung des Bauteils erfolgt senkrecht zur Hauptnormalspannung (siehe z. B. Bild 2-6a), der Bruch verläuft in der Regel verformungsarm. Ein Gleitbruch wird durch die maximale Schubspannung (Hauptschubspannung, siehe z. B. Kapitel 1.2.3, Kapitel 1.3 oder [2-31]) im Bauteil hervorgerufen und erfolgt bei einer zugbeanspruchten Scheibe unter 45° zur Scheibenebene, Bild 2-6b. Dem Gleitbruch gehen in der Regel größere Bauteilverformungen voraus. Trennbruch- und Gleitbruchflächen unterscheiden sich meist sehr deutlich.

Bild 2-6

Unterscheidung zwischen Trenn- und Gleitbruch a) Trennbruch (verläuft senkrecht zur Hauptnormalspannung σ1) b) Gleitbruch (verläuft in Richtung der Hauptschubspannung τH) c) Mischbruch (Trennbruch mit Scherlippen)

Während bei spröden Materialien ein reiner Trennbruch entsteht, können bei zähen Materialien Gleitbrüche oder auch so genannte Mischbrüche, d. h. Trennbrüche mit seitlichen Scherlippen, entstehen, Bild 2-6c. Unter Scherlippen versteht man oberflächennahe Gleitzonen, die je nach

30

2 Schäden durch Risswachstum

Spannungszustand (siehe z. B. Kapitel 1.2 und insbesondere Kapitel 1.2.4) und Materialzähigkeit mehr oder weniger ausgeprägt sind. Ermüdungsbrüche werden durch zeitlich veränderliche Belastung mit einer hohen Anzahl an Belastungswechseln hervorgerufen. Ausgehend von einem Anriss (siehe Bild 2-2) wächst ein Ermüdungsriss normalspannungsgesteuert in einem Bauteil, bis es zu einem instabilen Risswachstum, d. h. einem Restgewaltbruch, kommt. Das Ermüdungsrisswachstum erfolgt auch bei zäheren Werkstoffen verformungsarm. Somit ist die Orientierung der Ermüdungsbruchfläche vergleichbar mit der Trennbruchfläche. Sie verläuft wie die Trennbruchfläche senkrecht zur Hauptnormalspannung im Bauteil. Wegen der verformungsarmen Schädigung ist ein Ermüdungsriss an der Oberfläche eines Bauteils oder einer Struktur oft nur als Haarriss zu erkennen (siehe z. B. Bild 2-15a). Erst bei größerer Risslänge öffnet sich der Riss bei Belastung wahrnehmbar. Der Restgewaltbruch kann je nach Zähigkeit des Materials als Trennbruch, Gleitbruch oder Mischbruch erfolgen, wobei sich bei sprödem Material ein Trennbruch, bei zähem Material ein Gleitbruch oder bei mittelzähem Material ein Trennbruch mit Scherlippen ergibt. Bei zähem Material geht dem Gewaltbruch i. Allg. eine größere plastische Verformung voraus. Diese ist um so ausgeprägter, je kleiner die Ermüdungsbruchfläche und je größer die Gewaltbruchfläche ist. Das Gleitversagen und die Ausbildung von Scherlippen hängt u. a. auch vom vorliegenden Spannungszustand (siehe z. B Kapitel 1.2.4) ab. Dickwandige Bauteile mit ebenem Verzerrungszustand neigen eher zum Trennbruch oder zum Mischbruch mit kleinen Scherlippen an der Oberfläche. Liegt ein Ermüdungsbruch vor, so kann man auf der Bruchfläche i. Allg. sehr gut die Ausgangsstelle des Ermüdungsrisses und den weiteren Rissverlauf erkennen (siehe z. B. Bild 2-13b und Bild 2-14a-c). Zudem ist der Übergang von stabilem Risswachstum zum instabilen Risswachstum zu sehen. Das bedeutet, die Ermüdungsrissfläche lässt sich sehr deutlich von der Restgewaltbruchfläche unterscheiden (siehe z. B. Bild 2-5 und Bild 2-13b). Rissausbreitungsrichtung

Scherlippen

Rastmarken

Bild 2-7

Restgewaltbruchfläche durch instabiles Risswachstum

Ermüdungsbruchfläche eines Stahls mit Rastmarken infolge von Überlasten, die in die zyklische Grundbelastung eingestreut wurden, und Restgewaltbruchfläche mit Scherlippen

Bei zeitlich veränderter Belastung sind auf der Ermüdungsbruchfläche zudem noch Rastmarken, Bild 2-7, und bei bestimmten Werkstoffen auch noch deutliche Farbunterschiede zu erkennen, Bild 2-8. Die Rastmarken in Bild 2-7 sind entstanden durch einzelne Überlasten, die in die zyklische Grundbelastung eingestreut wurden. Die Farbeffekte in der Bruchfläche eines Stahls, Bild 2-8, resultieren durch in der Höhe veränderte Belastungsblöcke.

2.3 Schadensanalyse / Bruchflächenanalyse

31

Rissausbreitungsrichtung

niedrige Belastung (geringe Rissgeschwindigkeit)

Bild 2-8

höhere Belastung (größere Rissgeschwindigkeit)

Ermüdungsbruchfläche eines Stahls mit deutlichen Farbeffekten infolge blockweiser, zeitlich veränderter Belastung

Die dunklere Färbung steht dabei für ein langsames Ermüdungsrisswachstum bei niedrigem Lastniveau, die helleren Farben deuten auf höhere Rissgeschwindigkeiten bei höheren Lastblöcken hin. Rissausbreitungsrichtung

Starterkerbe

Bild 2-9

Ermüdungsrisswachstum

Rastmarke Restgewaltinfolge einer Überlast bruch

Ermüdungsbruchfläche mit Rastmarken infolge einzelner Überlasten sowie Restgewaltbruchfläche einer Aluminiumknetlegierung

Auch bei Aluminiumlegierungen sind deutliche Unterschiede zwischen der Ermüdungsbruchfläche und der Restgewaltbruchfläche zu erkennen. Zudem sind in Bild 2-9 auch Rastmarken, hervorgerufen durch einzelne Überlasten, zu sehen. Die Ermüdungsbruchfläche unterscheidet sich hier klar von der Restgewaltbruchfläche. Der Übergang vom stabilen zum instabilen Risswachstum ist somit eindeutig zu erkennen. Rissausbreitungsrichtung

Ermüdungsbruchfläche mit unterschiedlichen Rissgeschwindigkeiten

Restgewaltbruchfläche

Bild 2-10 Ermüdungsbruchfläche einer Aluminiumlegierung mit blockweise veränderter Belastung

32

2 Schäden durch Risswachstum

Auch eine blockweise Veränderung der Belastungshöhe macht sich auf der Bruchfläche deutlich bemerkbar, Bild 2-10. Eine beliebig veränderliche zeitliche Belastung, z. B. durch eine Betriebslastfolge, führt dagegen zu einem gänzlich anderen Bruchflächenmuster, Bild 2-11. Rissausbreitungsrichtung

Starterkerbe

Ermüdungsrisswachstum infolge Betriebsbelastung

Bild 2-11 Ermüdungsbruchfläche einer Aluminiumknetlegierung infolge eines Betriebslastspektrums

Ermüdungsrisswachstum erfolgt gewöhnlich bei Belastungen weit unterhalb der statischen Festigkeitsgrenzen. Daher ist ein ausgedehntes Ermüdungsrisswachstum ein Zeichen für relativ niedrige Bauteilbelastung, Bild 2-12a. Erfolgt dagegen der Restgewaltbruch bereits nach kurzem Ermüdungsrisswachstum, so kann von einer relativ hohen Bauteilbelastung ausgegangen werden, Bild 2-12b. a)

Ermüdungsbruchfläche

b)

Ermüdungsbruchfläche

Rissausbreitungsrichtung

Restgewaltbruchfläche

Restgewaltbruchfläche

Bild 2-12 Vergleich der Ermüdungsrissfläche mit der Restgewaltbruchfläche bei einer Welle unter Zugbelastung oder einsinniger Biegung a) Ausgedehntes Ermüdungsrisswachstum bei relativ geringer Belastung weit unterhalb der statischen Festigkeitsgrenze b) Geringe Ausdehnung der Ermüdungsbruchfläche und große Ausdehnung der Restgewaltbruchfläche infolge hoher Bauteilbeanspruchung

Diese Beispiele zeigen, dass man anhand von Bruchflächen den Schadensablauf sehr gut verfolgen kann. Die nachfolgenden Schadensfälle, die sich in der technischen Praxis ereignet haben, sollen die gewonnenen Erkenntnisse vertiefen.

2.4 Ermüdungsrisswachstum beim ICE-Radreifen

33

2.4 Ermüdungsrisswachstum beim ICE-Radreifen Am 03.06.1998 verunglückte in Eschede der ICE Wilhelm-Conrad-Röntgen auf seiner Fahrt von München nach Hamburg mit den allseits bekannten schwerwiegenden Folgen. Mehrere Wagen des Zuges waren mit gummigefederten Rädern ausgestattet. Eines dieser Räder zerbrach vor einer Weiche. Daraufhin raste der Zug in eine Brücke, Bild 2-1b. Als Unfallursache wurde der gebrochene Radreifen eines gummigefederten Eisenbahnrades ausgemacht, Bild 2-13a. Ausgedehntes Ermüdungsrisswachstum führte zum Radreifenbruch, Bild 2-13b. Das Risswachstum beim ICE-Rad begann am Innenrand des Radreifens. Der Riss wuchs zunächst mehr in die Tiefe des Radreifens, um sich später in halbelliptischer Form auszubreiten. Erst als der Radreifenquerschnitt zu etwa 80% durch das Ermüdungsrisswachstum geschädigt war, trat der Restgewaltbruch des Radreifens ein. Die Bruchfläche weist Farbeffekte und Bruchflächenstrukturen auf, die auf ein sehr diskontinuierliches Risswachstum hindeuten. D. h. Phasen schnelleren bzw. langsameren Risswachstums oder Rissstillstand wechselten sich ab (vergleiche auch Bild 2-8). Weitere Details zum Radreifenbruch sind z. B. in [2-19 bis 2-22] und Kapitel 8.2 zu finden.

Bild 2-13 Bruch eines ICE-Radreifens a) Gebrochener Radreifen b) Bruchfläche des gebrochenen Radreifens mit ausgedehntem Ermüdungsrisswachstum und relativ kleiner Restgewaltbruchfläche

34

2 Schäden durch Risswachstum

2.5 Risswachstum in einem Pressenkörper Bei einem Pressenkörper einer hydraulischen Presse ist während des Betriebs ein Riss aufgetreten, der nach ca. 860.000 Pressvorgängen (Lastwechseln) zum Bruch der Pressenkomponente führte, Bild 2-14a. Der Rissbeginn lag in einer konstruktiven Kerbe. Nach ausgedehntem Ermüdungsrisswachstum, das sich über den gesamten mittleren Bereich des Pressenkörpers erstreckte, trat der Restbruch ein. Lediglich die seitlichen Ränder der Bruchfläche zeigen die für einen Gewaltbruch typische größere Rauhigkeit. Der im Kerbgrund vorhandene, nahezu halbelliptische Gussfehler, Bild 2-14b, mit einer Breite von ca. 28 mm und einer Tiefe von 10 mm war Ausgangspunkt für das Ermüdungsrisswachstum. Dieses verlief zunächst sehr diskontinuierlich, wie die Rastmarken und Verfärbungen auf der Bruchfläche zeigen, Bild 2-14c. a)

Restbruch

Ermüdungsrisswachstum b)

Rissbeginn c)

diskontinuierliches Ermüdungsrisswachstum mit Verfärbungen der Bruchfläche Gussfehler

Gussfehler

Bild 2-14 Risswachstum in einem Pressenkörper einer hydraulischen Presse a) Globale Ansicht der gebrochenen Komponente b) Materialfehler als Ausgangspunkt des Ermüdungsrisses c) Erste Phase des Ermüdungsrisswachstums mit Rastmarken und Verfärbungen der Bruchfläche

Weitere Details zum Schadensfall ergeben sich aus [2-23]. Das Zusammenwirken der Kerbwirkung und des von der Kerbe ausgehenden Materialfehlers war Ursache für den Ermüdungsbruch (räumliches Kerbrissproblem: Oberflächenriss ausgehend von einer Kerbe, siehe auch Bild 2-21b). Ausführliche bruchmechanische Untersuchungen des Ermüdungsrisswachstums sind auch in Kapitel 8.3 beschrieben.

2.6 Ermüdungsrisswachstum im Verschlusskörper einer Innenhochdruckumformmaschine

35

2.6 Ermüdungsrisswachstum im Verschlusskörper einer Innenhochdruckumformmaschine Bei einem Verschlusskörper einer Innenhochdruckumformmaschine ist im Kopfbereich ein Ermüdungsriss entstanden, der an der Oberfläche sichtbar war, Bild 2-15a. Der Riss wurde nach ca. 165.000 Pressvorgängen (Lastwechseln) entdeckt, wobei im Betrieb eine schwellende Belastung vorlag. Der Verschlusskörper wurde nicht bis zum endgültigen Bruch eingesetzt. a)

Ermüdungsriss

b)

Materialeinschlüsse c)

ausgedehntes Ermüdungsrisswachstum

Materialeinschluss

Rastmarken

Bild 2-15 Ermüdungsrisswachstum im Verschlusskörper einer Innenhochdruckumformmaschine a) An der Oberfläche des Gusskörpers sichtbarer Ermüdungsriss b) Bruchfläche infolge des Ermüdungsrisswachstums mit deutlich erkennbaren Materialeinschlüssen und Rastmarken c) Materialeinschluss als Ausgangspunkt des Ermüdungsrisswachstums

Da der Riss an der Oberfläche des Bauteils nicht genügend Aufschluss über die Schadensursache gab, wurde der Pressenkörper auseinandergebrochen und somit die Bruchfläche freigelegt. Auf der recht glatten Bruchfläche, Bild 2-15b, erkennt man ausgedehntes Ermüdungsrisswachstum, das von zwei Materialeinschlüssen (Gussfehlern) ausgeht. Die schwach erkennbaren Rastmarken auf der Bruchfläche zeigen, dass der Ermüdungsriss sich in viertelelliptischer Form ausgebreitet hat. Details eines Materialeinschlusses sind in Bild 2-15c zu sehen. Eine

36

2 Schäden durch Risswachstum

ausführlichere Beschreibung des gesamten Schadensfalls und weitere Details der Schadensanalyse sind in [2-23 und 2-24] zu finden.

2.7 Bruch der Antriebswelle eines Oldtimer-Autos Die Antriebswelle eines Oldtimer-Autos ist nach einer hohen Anzahl von Betriebsstunden komplett durchgebrochen, Bild 2-16a. Das Risswachstum begann an einem Querschnittsübergang (Steifigkeitssprung) der Welle. An mehreren Verzahnungsstellen bildeten sich Ermüdungsrisse die sich infolge von Umlaufbiegung vergrößerten und zu einem Gesamtriss vereinigten, Bild 2-16b. Nach ausgedehntem Ermüdungsrisswachstum trat ein Restgewaltbruch ein. Die Restgewaltbruchfläche ist relativ klein im Verhältnis zur Ermüdungsbruchfläche, was auf eine Beanspruchung weit unterhalb der statischen Festigkeitsgrenze hindeutet. a)

Bruchstelle b)

Restgewaltbruch Beginn des Risswachstums

Beginn des Risswachstums Bild 2-16 Bruch einer Antriebswelle a) Gebrochene Antriebswelle mit Bruch an einem Querschnittsübergang (Steifigkeitssprung) b) Bruchfläche mit mehreren Anrissen, ausgedehntem Ermüdungsrisswachstum und kleiner Restgewaltbruchfläche

2.8 Weitere Schadensereignisse Die in den vorangegangenen Kapiteln beschriebenen Schadensbeispiele wurden mit dem Ziel ausgewählt, grundlegende Kenntnisse über die Schadens- und Bruchflächenanalyse zu vermitteln und aufzuzeigen, welche Rissformen (Rissgeometrien) sich in realen Strukturen infolge der Betriebsbelastung einstellen. Weitere interessante Schadensfälle und Informationen zum prinzipiellen Vorgehen bei der Schadensanalyse sind z. B. in [2-6, 2-16 bis 2-18, 2-25 bis 2-28] zu finden.

2.8 Weitere Schadensereignisse

37

Weitere Beispiele für Risse in Bahnstrukturen sind z. B. in [2-29, 2-30, 2-32 und 2-33] beschrieben.

Beispiel 2-1 Die nebenstehende Abbildung zeigt einen Ausschnitt der Bruchfläche eines Zugankers. Bestimmen Sie die Stelle des Rissbeginns und die unterschiedlichen Phasen des Risswachstums auf der Bruchfläche.

Lösung: Der Ermüdungsriss beginnt an der Oberfläche des Zugankers und breitet sich in halbelliptischer Form aus (siehe Bild unten). Nach kurzfristigem instabilen Risswachstum kommt es erneut zu stabilem Ermüdungsrisswachstum bevor dann der Restgewaltbruch einsetzt. Im Vergleich zur Gesamtbruchfläche (kreisförmiger Querschnitt der Vollwelle) ist das Gebiet des Ermüdungsrisswachstums sehr klein, was auf eine hohe statische Beanspruchung des Zugankers schließen lässt. Beginn des Ermüdungsrisswachstums Ermüdungsrisswachstum kurzfristiges instabiles Risswachstum erneutes Ermüdungsrisswachstum Restgewaltbruch

38

2 Schäden durch Risswachstum

2.9 Prinzipielle Rissverläufe und Rissformen in Bauteilen und Strukturen Um in den nachfolgenden Kapiteln untersuchen und berechnen bzw. abschätzen zu können, •

welche lokalen Beanspruchungsgrößen am Riss für das Risswachstum verantwortlich sind,

•

inwieweit der Riss wachstumsfähig ist,

•

mit welcher Rissgeschwindigkeit er sich ausbreitet,

•

welche Restlebensdauer für das Bauteil vorliegt oder

•

welche Gefahren von einem instabilen Risswachstum ausgehen,

ist es von Bedeutung, prinzipielle Rissverläufe und Rissformen in Bauteilen und Strukturen zu kennen. Aus der praktischen Erfahrung heraus (siehe auch die Kapitel 2-1 bis 2-8) lassen sich in Abhängigkeit von der Belastung und der Bauteilgeometrie typische Rissverläufe und Rissformen (Rissgeometrien) definieren, die im Weiteren untersucht werden. Unter einem Rissverlauf versteht man den in Scheibenstrukturen oder an der Oberfläche von Bauteilen oder beliebigen dreidimensionalen Strukturen sichtbaren Rissweg. Der Begriff Rissform (Rissart, Rissgeometrie) bezieht sich i. Allg. auf das Risswachstum im Inneren der Struktur. D. h. die Rissform ist bei einem intakten Bauteil von Außen nicht zu erkennen. Sie wird in der Regel erst sichtbar, wenn das Bauteil infolge der Betriebsbelastung auseinander bricht oder die Bruchfläche durch Trennung des Bauteils in der Rissebene freigelegt wird.

2.9.1 Rissverläufe bei grundlegenden Spannungszuständen Rissverläufe, die sich bei grundlegenden Belastungen bzw. grundlegenden Spannungszuständen ergeben, sind in Bild 2-17 gezeigt. Ermüdungsrisse verlaufen, global betrachtet, stets senkrecht zur größten Normalspannung (Hauptnormalspannung, siehe Kapitel 1.2.3) im Bauteil. Somit ergeben sich für unterschiedliche Spannungszustände in scheibenartigen Strukturen oder auf der Oberfläche von dreidimensionalen Strukturen deutlich unterscheidbare Rissverläufe. Bei einachsiger Belastung (Kapitel 1.2, [2-31]) durch eine Normalspannung σ, Bild 2-17a, verläuft der Ermüdungsriss senkrecht zu dieser Normalspannung. Bei zweiachsiger Belastung [2-31], charakterisiert durch ein zweiachsiges Zugspannungsfeld mit den Hauptnormalspannungen σ1 und σ2 bei dem σ1 > σ2 ist, Bild 2-17b, wächst ein Ermüdungsriss senkrecht zur größten Hauptnormalspannung σ1. Bei reiner Schubbelastung (Kapitel 1.2, [2-31]) durch die Schubspannung τ, Bild 2-17c, verläuft der Riss ebenfalls senkrecht zur größten Hauptnormalspannung σ1. Da diese unter einem Winkel von α = 45° zur Horizontalen wirkt, stellt sich der Ermüdungsriss unter einem Winkel von β = 45° ein, d. h. auch 45° zu den Schubspannungsrichtungen. Liegt eine überlagerte Normal- und Schubbeanspruchung (siehe auch Kapitel 1.2.1 und [2-31]), charakterisiert durch die Normalspannung σ und die Schubspannung τ vor, so stellt sich je

2.9 Prinzipielle Rissverläufe und Rissformen in Bauteilen und Strukturen

39

nach Größe von σ und τ, d. h. je nach Richtung der Hauptnormalspannung σ1 ein Rissverlauf unter einem Winkel β ein, Bild 2-17d. a)

b)



1 > 2

2

2

Rissverlauf

1



c)



d) 

1



2 = -  = 45° 

2







Rissverlauf

1= 



Bild 2-17 Prinzipielle Rissverläufe in scheibenartigen Strukturen oder an Oberflächen von realen Bauteilen in Abhängigkeit von grundlegenden Spannungszuständen a) Einachsige Belastung (Normalspannung σ) b) Zweiachsige Belastung (mit den Hauptnormalspannungen σ1 und σ2) mit σ1 > σ2 c) Reine Schubbelastung (Schubspannung τ) d) Überlagerte Normal- und Schubbeanspruchung Zur Definition der Spannungszustände, der Normalspannung σ, der Schubspannung τ, der Hauptnormalspannungen σ1 und σ2 sowie des Hauptspannungswinkels α = αH siehe Kapitel 1.2 und [2-31]

40

2 Schäden durch Risswachstum

Für σ > 0 und τ = 0 (einachsige Belastung) ist β = 0° und für σ = 0 und τ > 0 (reine Schubbelastung) ist β = 45°.

2.9.2 Rissverläufe und Rissformen in Wellen In Wellen stellen sich je nach Belastungsart die in Bild 2-18 gezeigten globalen Rissverläufe ein. Steht die Welle (prismatische Struktur) unter einer zyklischen Zugbelastung F(t), so wächst der Ermüdungsriss senkrecht zur Hauptnormalspannung σ1 = σ, d. h. senkrecht zur Längsachse der Welle und der Kraft F(t), Bild 2-18a. Das Wachstum findet also im Wellenquerschnitt bei einem Winkel von β = 0° statt. a)

b)

F(t)

c)

MT(t)

M(t)

  1 =   = 0° 1

F(t)

1 = 

1 = 

Rissverlauf

 = 0° 1

1

 = 45°

Rissverlauf

M(t) MT(t)

Bild 2-18 Ermüdungsrisswachstum in Wellen unter verschiedenen Belastungsbedingungen a) Zugbelastung mit der zyklischen Kraft F(t) b) Biegebelastung mit dem Biegemoment M(t) c) Torsionsbelastung mit dem Torsionsmoment MT(t)

Bei Biegebelastung mit einem zeitlich veränderlichen Moment M(t), Bild 2-18b, ergibt sich an der Wellenoberfläche mit dem größten Abstand von der neutralen Schicht die maximale Normalspannung (Hauptnormalspannung) σ1 = σ = σmax [2-31]. An diesem hochbeanspruchten Wellenbereich beginnt das Ermüdungsrisswachstum, das senkrecht zur Hauptnormalspannung σ1 = σ, d. h. im Wellenquerschnitt (Winkel β = 0°) verläuft. Dagegen ergibt sich bei Torsionsbelastung durch das Torsionsmoment MT(t) ein Rissverlauf unter einem Winkel von β = 45° zum Wellenquerschnitt bzw. zur Längsachse der Welle, Bild 2-18c. Das Torsionsmoment ruft eine auf der gesamten Wellenoberfläche konstante Schubspannung τ hervor, [2-31]. Die Hauptnormalspannung σ1 = τ wirkt dann unter einem Winkel von 45° zur Längsachse. Da auch bei reiner Schubbeanspruchung der Ermüdungsriss senk-

2.9 Prinzipielle Rissverläufe und Rissformen in Bauteilen und Strukturen

41

recht zur Hauptnormalspannung σ1 verläuft, ergibt sich ein Rissverlauf unter einem Winkel von β = 45°.

Bild 2-19 Ermüdungsrisswachstum in einer Antriebswelle bei wechselnder Torsionsbelastung

Das in Bild 2-19 gezeigte Rissmuster ist bei wechselnder Torsionsbelastung in einer Antriebswelle entstanden. Die Risse verlaufen unter 45° zur Längsachse der Welle bzw. zum Wellenquerschnitt. Da das Torsionsmoment bei wechselnder Torsion die Drehrichtung ändert, wechselt auch die Schubspannung τ und die Hauptnormalspannung σ1 die Richtung, so dass damit durch alternierendes Risswachstum das gekreuzte Rissmuster entsteht. Ermüdungsrissflächen (Bruchflächen), wie sie sich in Wellen unter Zug- und Biegebelastung entwickeln, sind in Bild 2-20 dargestellt. Ein halbelliptischer Oberflächenriss, Bild 2-20a, entsteht z. B. bei Zug- und einsinniger Biegebelastung (siehe auch Bild 2-12 und das Bruchbild in Beispiel 2-1). Der umlaufende Ermüdungsriss, Bild 2-20b, entwickelt sich beispielsweise bei oberflächengehärteten Wellen unter Zugbelastung, in rotierenden Wellen unter Biegebelastung (vergleiche auch Bild 2-16) oder bei umlaufenden scharfen Kerben. Beidseitige Oberflächenrisse, Bild 2-20c, entstehen bei wechselnder Biegebelastung. a)

b)

c)

Bild 2-20 Typische Ermüdungsflächen (Bruchflächen) bei Zug- und Biegebelastung von Wellen a) Halbelliptischer Oberflächenriss infolge Zug- und einsinniger Biegebelastung b) Umlaufender Ermüdungsriss in oberflächengehärteten Wellen unter Zugbelastung oder in Wellen unter rotierender Biegebelastung c) Beidseitige Oberflächenrisse infolge wechselnder Biegebelastung

42

2 Schäden durch Risswachstum

2.9.3 Systematisierung der Rissarten in Bauteilen und Strukturen Typische Rissarten, wie sie sehr häufig in Bauteilen und Strukturen auftreten, sind in Bild 2-21 dargestellt. Im Wesentlichen unterscheidet man folgende Rissarten: •

durchgehende Risse,

•

Oberflächenrisse,

•

Innenrisse und

•

Eckenrisse.

a)

beidseitige Außenrisse

durchgehender Innenriss

Oberflächenriss im Bauteil

Oberflächenriss in Welle

Oberflächenriss, ausgehend von einer Bohrung

kreisförmiger Innenriss (”penny shaped crack”)

Innenriss in Welle

elliptischer Innenriss

viertelkreisförmiger Eckenriss

viertelelliptischer Eckenriss

Eckenriss, ausgehend von einer Bohrung

Außenriss

b)

c)

d)

Bild 2-21 Typische Rissarten (Bruchflächen) in Bauteilen und Strukturen a) durchgehende Risse b) Oberflächenrisse c) Eingeschlossene Innenrisse d) Eckenrisse

Die einfachsten Rissformen sind die durchgehenden Risse, Bild 2-21a, wie sie in meist dünnen und scheibenförmigen Bauteilen oder in Proben auftreten (vergleiche auch das Risswachstum in Bild 2-5 und Bild 2-7 bis Bild 2-10). Ein durchgehender Riss beansprucht die volle Dicke des Materials und verläuft, wenn man die Scheibenstruktur von der Seite betrachtet als Haarriss in der Struktur. Beobachtet man also nur die Scheibenebene oder die Oberfläche einer

2.9 Prinzipielle Rissverläufe und Rissformen in Bauteilen und Strukturen

43

dünnwandigen Struktur, so handelt es sich bei durchgehenden Rissen um ebene Rissprobleme (siehe Bild 2-22). Diese sind mathematisch sehr viel einfacher zu beschreiben als die Oberflächenrisse, Bild 2-21b, die Innenrisse, Bild 2-21c, und die Eckenrisse, Bild 2-21d. a)

b)

c)

Bild 2-22 Darstellung der durchgehenden Risse in Bild 2-21a als ebene Rissprobleme (Seitenansicht) a) Außenriss b) Beidseitige Außenrisse c) Durchgehender Innenriss

Oberflächenrisse (im Engl. auch “part-through crack“ oder „surface crack“ genannt) beginnen an der Oberfläche eines Bauteils und wachsen in halbelliptischer oder teilkreisförmiger Form in das Bauteil hinein, Bild 2-21b. Häufig beginnen solche Oberflächenrisse auch in Kerben oder in Bohrungen. Praktische Beispiele für Oberflächenrisse sind in Bild 2-13 und Bild 2-14 sowie in Beispiel 2-1 gezeigt. Unter eingeschlossenen Innenrissen, Bild 2-21c, versteht man innenliegende Risse im Bauteil oder in der Struktur, die nicht bis zu einer Oberfläche reichen. Somit können sie an der Bauteiloberfläche auch nicht beobachtet werden. Die Innenrisse breiten sich als Ermüdungsrisse in kreisförmiger oder elliptischer Form aus. Eckenrisse beginnen in der Regel an einer Ecke oder Kante eines Bauteils, Bild 2-21d. Sie wachsen als Ermüdungsrisse sowohl in die Tiefe des Bauteils als auch entlang der Oberflächen. Häufig treten Eckenrisse auch an Bohrungen auf. Nach ausgedehntem Risswachstum können sich die Eckenrisse zu durchgehenden Rissen entwickeln. Ein praktisches Beispiel für einen Eckenriss ist in Bild 2-15b gezeigt (zu erkennen an den entstandenen Rastmarken). In diesem Fall hat sich der Eckenriss aufgrund eines Materialfehlers in der Nähe der Innenbohrung des Verschlusskörpers entwickelt, Bild 2-15c. Die in Bild 2-21 und Bild 2-22 dargestellten Rissarten sind Basis für die weiteren Untersuchungen in den nachfolgenden Kapiteln dieses Buches. Während die durchgehenden Risse, Bild 2-21a, als ebene Rissprobleme betrachtet werden können (siehe Bild 2-22), handelt es sich bei Oberflächenrissen, Bild 2-21b, bei eingeschlossenen Innenrissen, Bild 2-21c, und bei Eckenrissen, Bild 2-21d, um räumliche (dreidimensionale) Rissprobleme.

44

2 Schäden durch Risswachstum

Beispiel 2-2 Oberflächenelement der Welle MT

MT

F

d

F

Das dargestellte Bauteil (Welle mit dem Durchmesser d) ist gleichzeitig durch eine Kraft F und ein Torsionsmoment MT belastet. Bestimmen Sie a) die an einem Oberflächenelement der Welle wirkende Normal- und Schubspannung, b) die Größe und Richtung der größten Hauptnormalspannung sowie c) die Richtung, in die ein Ermüdungsriss wachsen wird. geg.: F = 140 kN, MT = 400 Nm, d = 30 mm Lösung: a) Die an einem Oberflächenelement der Welle wirkende Normal- und Schubspannung Die Kraft F ruft eine Normalspannung σ hervor [2-31]:

σ=

140.000 N F F N = = = 198,1 2 2 A π ⋅d2 π ⋅ 30 mm mm 2 4 4

Das Torsionsmoment ruft eine Schubspannung τ hervor [2-31]:

τ=

MT MT 400.000 Nmm N = = = 75,5 3 3 3 WT π ⋅d π ⋅ 30 mm mm 2 16 16

An einem Oberflächenelement wirken somit die Normalspannung σ und die Schubspannung τ :  

 

y x

b) Größe und Richtung der Hauptnormalspannung Die Hauptnormalspannung σ1 ergibt sich aus der Normalspannung σ und der Schubspannung τ mit der Beziehung (siehe z. B. [2-31])

2.9 Prinzipielle Rissverläufe und Rissformen in Bauteilen und Strukturen

σ1 =

σ 2

+

45

1 σ 2 + 4τ 2 2

(siehe auch Gleichung (1.5) und Gleichung (1.7) in Kapitel 1.2). Die Richtung der Hauptnormalspannung σ ergibt sich durch den Winkel α = αH, der sich mit der Beziehung (siehe z. B. [2-31]) tan 2α H = −

2τ

σ berechnen lässt. Somit ergibt sich für

σ1 =

198,1 N/mm 2 1 + 2 2

§ N ¨¨198,1 mm 2 ©

2

· § N ¸¸ + 4¨¨ 75,5 mm 2 ¹ ©

2

· N ¸¸ = 223,6 mm 2 ¹

und 1 2

α = α H = arctan

2 ⋅ 75,5 N/mm 2 198,1 N/mm

2

=

37,3° = 18,6° 2

y x

c) Richtung, in die ein Ermüdungsriss wachsen wird Der Ermüdungsriss wächst senkrecht zur Hauptnormalspannung σ1, d. h. unter dem Winkel β zur Querschnittsfläche der Welle. Somit ist β = α = 18,6°. Das prinzipielle Risswachstum ist in der nachfolgenden Skizze dargestellt: Rissverlauf

F

MT

MT



Hauptnormalspannung

F

46

2 Schäden durch Risswachstum

2.10 Risse erkennen mit zerstörungsfreien Prüfverfahren Zur Detektion von Fehlern, Ungänzen oder Rissen werden beispielsweise unmittelbar nach der Fertigung als Qualitätssicherungsmaßnahme zerstörungsfreie Prüfverfahren eingesetzt, da sie eine Untersuchung ohne bleibende Veränderungen gestatten. Insbesondere bei sicherheitsrelevanten Bauteilen ist somit eine 100%-Prüfung zur Sicherung der Fehlerfreiheit möglich. Darüber hinaus werden zerstörungsfreie Prüfverfahren auch bei im Betrieb befindlichen Bauteilen und Strukturen zur Risserkennung im Rahmen von Inspektionen angewendet. Neben des grundsätzlichen Nachweises eines Fehlers ist die Aufgabe der zerstörungsfreien Prüfung auch die Ortung und Größenbestimmung [2-37]. Die zerstörungsfreien Prüfverfahren werden i. Allg. nach: •

dem physikalischen Grundprinzip,

•

der Werkstoffapplikation,

•

der detektierbaren Fehlerart oder

•

dem Anwendungsbereich

eingeteilt [2-35]. Als Grundprinzipien gelten u. a.: •

Optische Verfahren, wie z. B. Sichtprüfung (DIN EN 13018), Eindringprüfung (DIN EN 571) oder Laser-Extensometrie

•

Akustische Verfahren, wie z. B. Klangprüfung oder Ultraschallprüfung (DIN EN 583)

•

Elektrische und magnetische Verfahren, wie z. B. Wirbelstromprüfung (DIN EN 12084) oder Magnetpulverprüfung (DIN 54130)

•

Radiographie (DIN EN 444) und Computertomographie.

Bei einer Sichtprüfung wird unter Verwendung von Hilfsmitteln, wie z. B. Lichtquellen, Spiegeln, Vergrößerungslinsen oder Endoskopen, das Bauteil durch eine Person hinsichtlich äußerlicher Fehler oder Risse untersucht [2-38]. Risse an Oberflächen, die man i. Allg. nicht mit dem Auge entdecken kann, werden sehr häufig mittels einer Eindringprüfung nachgewiesen. Nach einer sorgfältigen Reinigung und Trocknung des Prüfstücks wird die Oberfläche mit einem geeigneten Eindringmittel versehen. Durch die Kapillarwirkung dringt die Flüssigkeit in die zur Oberfläche geöffneten Fehler ein. Nach einer gewissen Wartezeit wird das überflüssige Eindringmittel von der Oberfläche entfernt und ein Entwickler aufgebracht. Der Entwickler saugt die im Riss verbliebene Flüssigkeit auf, so dass sich dadurch eine klar sichtbare Anzeige des Fehlers ergibt. Teilweise ist das Eindringmittel fluoreszierend, so dass das Prüfstück mit ultraviolettem Licht betrachtet werden muss [2-37, 2-39]. Ein sehr einfaches akustisches Verfahren ist die Klangprüfung, bei der das Bauteil mit einem Hammer angeschlagen wird. Das Vorhandensein einer Fehlstelle oder eines Risses kann durch den veränderten Klang des Bauteils nachgewiesen werden, nicht jedoch deren Position [2-36]. Die gängigste Methode der zerstörungsfreien Prüfung ist die Ultraschallprüfung. Dabei werden ausgehend von einem Prüfkopf Ultraschallimpulse mit definierten Frequenzen in das Bauteil eingestrahlt. Neben der Geometrie wird das Signal auch durch Fehlstellen oder Risse reflek-

2.10 Risse erkennen mit zerstörungsfreien Prüfverfahren

47

tiert und mit demselben oder einem weiteren Prüfkopf empfangen, in ein elektrisches Signal umgewandelt und auf einem Bildschirm grafisch dargestellt [2-36]. Die elektrischen und magnetischen Prüfverfahren werden zum Nachweis von Fehlern und Rissen in Oberflächenbereichen eingesetzt [2-36]. Die Wirbelstromprüfung basiert auf der Induktion von elektrischem Strom in leitendem Material [2-40]. Dazu werden im zu prüfende Bauteil mittels einer Spule Wirbelströme induziert. Fehlstellen, wie z. B. Risse, Poren, Lunker oder Veränderungen im Gefüge, beeinflussen die Verteilung der Wirbelströme. Durch den Einsatz hochauflösender Spulensysteme und rechnergestützter Signalverarbeitung können somit auch komplexe Fehler bildlich dargestellt werden [2-36]. Durch das Magnetpulververfahren können Fehler nachgewiesen werden, indem das Prüfstück von außen magnetisiert wird. Nach DIN EN ISO 9934-1 [2-41] stehen dazu Stromdurchflutungsverfahren (wie z. B. axiale Stromdurchflutung oder Induktionsdurchflutung) sowie die Felddurchflutung (wie z. B. Innen- und Außenleiter, feste Spulen oder Handmagnete) zur Verfügung. Durch einen Fehler im Bauteil entsteht ein magnetischer Streufluss, der mit einer Suspension feiner Magnetpulverteilchen nachgewiesen werden kann. Die in der Suspension enthaltenen magnetischen Pulver werden durch den Streufluss angezogen, so dass sich eine gut sichtbare Anzeige ergibt. Bei Verwendung eines fluoreszierenden Prüfmittels ist die Fehleranzeige bei einer entsprechenden UV-A-Bestrahlung in einem abgedunkelten Prüfraum durchzuführen [2-36, 2-37, 2-41]. In Bild 2-23a ist die Anzeige zweier Risse mittels des Magnetpulververfahrens dargestellt. Zum Vergleich zeigt Bild 2-23b den Nachweis durch Aufbrechen des Bauteils im Bereich der Risse. Im Anschluss an die Prüfung sollte das Bauteil entmagnetisiert werden. a)

b)

1 cm

5 mm

Bild 2-23 Nachweis von Rissen mit der Magnetpulverprüfung [2-44] a) Anzeige der Magnetpulverprüfung b) Sichtbare Risse im aufgebrochenen Bauteil

Ähnlich wie in der Medizin werden zur Materialprüfung auch radiographische Verfahren eingesetzt. Das zu prüfende Bauteil wird beispielsweise mit Röntgenstrahlen durchleuchtet, wobei Strahlenintensität, Wellenlänge, Dicke des Prüfobjekts und Durchstrahlungszeit aufeinander abgestimmt sein müssen. Als Ergebnis ergibt sich ein Röntgenbild, bei dem die Dicken- und Dichteverteilung dargestellt ist. Somit können Fehler mit abweichender Dichte (z.B. Lunker oder Poren) oder Werkstoffinhomogenitäten (z. B. Fremdeinschlüsse oder Legierungen) nachgewiesen werden [2-36]. Mit der Computertomographie ist es möglich, das Bauteil durch zahlreiche Querschnittsbilder auf Fehlstellen zu untersuchen [2-36]. Die Verfahren der zerstörungsfreien Prüfung weisen unterschiedliche Grundempfindlichkeiten auf, die neben physikalischen Grundlagen des Prüfverfahrens von der Bauteilgeometrie, dem

48

2 Schäden durch Risswachstum

Entdeckungswahrscheinlichkeit POD

Oberflächenzustand, der Zugänglichkeit der Prüffläche und der gewählten Prüftechnologie abhängen [2-32, 2-42]. Der Nachweis eines Fehlers hängt zudem von der Fehlergröße ab. Bild 2-24 zeigt, dass die Entdeckungswahrscheinlichkeit POD (Probability of Detection) eines Risses mit zunehmender Risstiefe steigt. Insbesondere bei geringen Fehlergrößen spielt jedoch die Entscheidung über das zu verwendende Verfahren eine wesentliche Rolle.

1,0 0,8 0,6

Zerstörungsfreies Prüfverfahren: Magnetpulverprüfung Wirbelstromprüfung Ultraschallprüfung (großer Schallwinkel) Ultraschallprüfung (Endschall)

0,4 0,2 0

0

2

4

6

8 10 12 14 16 18 20 Risstiefe [mm]

Bild 2-24 Entdeckungswahrscheinlichkeit POD (Probability of Detection) in Abhängigkeit der Risstiefe und der unterschiedlichen Verfahren der zerstörungsfreien Prüfung [2-43]

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51

3 Grundlagen der Bruchmechanik Beim Festigkeitsnachweis (siehe z. B. Kapitel 1) geht man i. Allg. von fehlerfreien Bauteilen aus. Mögliche Ungänzen werden unter Umständen durch erhöhte Sicherheitsfaktoren berücksichtigt. Die Existenz von Fehlern und Rissen ändert aber das Festigkeitsverhalten von Bauteilen und Strukturen grundlegend. So kommt es vor, dass technische Produkte weit unterhalb der statischen Festigkeit oder der Dauerfestigkeit des Materials versagen (siehe z. B. die Schadensfälle in Kapitel 2). Die technische Bruchmechanik (siehe [3-1] bis [3-9], [3-15], [3-16]) als fachübergreifende Disziplin zwischen der Technischen Mechanik und der Werkstofftechnik geht grundsätzlich von der Existenz von Rissen in Bauteilen und Strukturen aus. Risse können sehr kleine Abmessungen im Mikrometerbereich oder aber auch größere Abmessungen im Millimeter- oder gar Meterbereich besitzen. Typische Rissarten, wie sie sehr häufig in Bauteilen und Strukturen auftreten, sind in Kapitel 2.9.3 dargestellt. Grundlage für bruchmechanische Konzepte und Methoden sind die Untersuchungen der Gegebenheiten in unmittelbarer Umgebung der Rissspitze. Durch die Betrachtungen der lokalen Beanspruchungen am Riss, der am Riss auftretenden Spannungs- und Verschiebungsfelder, der Spannungsintensitätsfaktoren und der für Risse bedeutsamen bruchmechanischen Werkstoffkennwerte werden Konzepte und Methoden erarbeitet, die eine Beurteilung und eine Vorhersage des stabilen und instabilen Risswachstums ermöglichen. Diese grundlegenden Gegebenheiten und Zusammenhänge werden im Folgenden beschrieben.

3.1 Risse und Rissbeanspruchungsarten Risse sind lokale Trennungen des Materials einer Struktur. Diese Materialtrennungen stören den Kraftfluss im Bauteil erheblich. Der Kraftfluss wird dadurch scharf umgelenkt und es entsteht ein lokales singuläres Spannungsfeld in der Umgebung der Rissspitze bzw. der Rissfront. Bild 3-1b und Bild 3-1c zeigen die Störung des Kraftflusses durch Risse im Vergleich mit einem Bauteil ohne Riss, Bild 3-1a. Unter Kraftfluss versteht man die Durchleitung der Kräfte bzw. Spannungen durch ein Bauteil. Kraftflusslinien können auch als Höhenlinien der Spannungen aufgefasst werden. Wo die Kraftflusslinien scharf umgelenkt werden und eng beieinander liegen, treten hohe lokale Spannungen auf. Bei einer zugbelasteten Scheibe ohne Fehler oder Riss ergibt sich ein völlig ungestörter Kraftfluss, Bild 3-1a. Bei einem Bauteil mit Randriss werden die Kraftflusslinien infolge der Materialtrennung scharf umgelenkt und in der Rissumgebung verdichtet, Bild 3-1b. Es entsteht eine Spannungskonzentration mit an der Rissspitze – rein theoretisch – unendlich hohen Spannungen. Bild 3-1c zeigt den Kraftflussverlauf für ein Bauteil mit schräg liegendem Innenriss. Auch hier wird die Kraftdurchleitung durch das Bauteil erheblich gestört. Der Kraftflussverlauf ist jetzt aber bezogen auf den Riss unsymmetrisch im Gegensatz zum Kraftfluss in Bild 3-1b. Offensichtlich ist also der Riss bzw. die unmittelbare Rissumgebung in Bild 3-1b anders beansprucht als in Bild 3-1c.

52

3 Grundlagen der Bruchmechanik a)

b)



c)





Kraftflusslinien







Bild 3-1 Störung des Kraftflussverlaufs durch Risse a) Kraftfluss bei einer Scheibe ohne Riss b) Scharfe Kraftflussumlenkung bei einem Bauteil mit Randriss c) Kraftflussverlauf bei einem Bauteil mit schräg liegendem Innenriss

Wegen der Einfachheit der Rissgeometrie – der Riss wird in der Bruchmechanik als mathematischer Schnitt betrachtet – existieren für alle in Bauteilen und Strukturen auftretenden Risse (eine Auswahl von Rissen ist in Kapitel 2 gezeigt) nur drei grundlegende Rissbeanspruchungsarten (Belastungsmoden), siehe z. B. Bild 3-2 oder [3-1 bis 3-10]. a)

b) y F

x z

c)

F

y

x

y

F

z

z

F

F

x

F Mode I

Mode II

Mode III

Bild 3-2 Die drei grundlegenden Rissbeanspruchungsarten der Bruchmechanik a) Mode I: Umfasst alle Normalbeanspruchungen, die ein Öffnen des Risses bewirken b) Mode II: Gilt für alle Schubbeanspruchungen, die ein entgegengesetztes Gleiten der Rissoberflächen in Rissrichtung hervorrufen c) Mode III: Entsteht bei nichtebenem Schubspannungszustand, der ein Gleiten der Rissoberfläche quer zur Rissrichtung bewirkt

3.1.1

Mode I

Mode I, Bild 3-2a, umfasst alle Normalbeanspruchungen, die ein Öffnen des Risses, d. h. ein symmetrisches Entfernen der Rissufer bezüglich der Rissebene bewirken. Eine reine Mode IBeanspruchung liegt somit immer dann vor, wenn sich bezüglich der Rissebene ein symmetrischer Kraftflussverlauf ergibt (siehe z. B. Bild 3-1b). Dies ist beispielsweise bei zug- und biegebelasteten Bauteilen der Fall, wenn der Riss senkrecht zur auftretenden Normalspannung verläuft. Da das ausgedehnte Ermüdungsrisswachstum normalspannungsgesteuert erfolgt, liegt

3.2 Spannungsverteilungen an Rissen

53

bei Ermüdungsrissen, die im Verlauf des Rissfortschritts keine Änderung der Belastungsrichtung erfahren, i. Allg. eine Mode I-Beanspruchung vor.

3.1.2

Mode II

Mode II, Bild 3-2b, gilt für alle Schubbeanspruchungen, die ein entgegengesetztes Gleiten der Rissoberflächen in Rissrichtung hervorrufen. Dies ist beispielsweise bei Bauteilen der Fall, die entweder global oder lokal unter ebener Schubbeanspruchung stehen.

3.1.3

Mode III

Mode III, Bild 3-2c, entspricht dem nichtebenen Schubspannungszustand, der ein Gegeneinanderbewegen der Rissoberflächen quer zur Rissrichtung, d. h. in Richtung der Rissfront, bewirkt. Mode III-Belastung tritt beispielsweise bei torsionsbelasteten Wellen auf, wenn der Riss sich in einer Ebene senkrecht zur Wellenachse befindet.

3.1.4

Mixed Mode

Die beschriebenen grundlegenden Rissbeanspruchungsarten können auch in Kombination auftreten [3-7, 3-10, 3-11]. Man spricht dann von einer Mixed-Mode-Beanspruchung. Eine ebene Mixed-Mode-Situation liegt z. B. vor, wenn Mode I und Mode II überlagert vorkommen. Dies ist beispielsweise bei dem Bauteil mit schrägliegendem Innenriss der Fall (siehe Bild 3-1c und [3-10]). Die Mixed-Mode-Beanspruchung erkennt man unter anderem auch an der unsymmetrischen Kraftflussverteilung bezüglich des Risses, Bild 3-1c. Kommen alle drei Rissbeanspruchungsarten überlagert vor, so spricht man von einem allgemeinen oder räumlichen Mixed-Mode-Zustand [3-10, 3-11]. Dieser ergibt sich z. B. bei im Bauteil oder an der Oberfläche von Bauteilen schräg zur Belastungsrichtung liegenden Oberflächen-, Innen- oder Eckenrissen sowie bei Rissen in mehrachsig belasteten Bauteilen.

3.2 Spannungsverteilungen an Rissen Ausgangspunkt bruchmechanischer Betrachtungen ist das elastische Spannungsfeld in der Umgebung der Rissspitze. Die exakte Ermittlung der Spannungsverteilung an Rissen ist für einige Risskonfigurationen unter Zugrundelegung von Idealisierungen und geeigneten Rissmodellen mit den Verfahren der Kontinuumsmechanik möglich, siehe z. B. [3-1, 3-9].

3.2.1

Elastizitätstheoretische Lösungen für Rissprobleme

Ein grundlegendes Problem der Spannungskonzentration oder Kerbwirkung ist das elliptische Loch in einer ebenen, zugbelasteten Scheibe. Hierfür ergeben sich die in Bild 3-3a dargestellten Spannungsverteilungen σy(x) und σx(x) entlang der x-Achse sowie die Tangentialspannung σt entlang des Kerbrandes. Die Maximalspannung σmax tritt im Kerbgrund auf. Sie lässt sich aus der an der Scheibe angreifenden Spannung σ, den Längen der Halbachsen a und b oder der Halbachse a und dem Krümmungsradius ρ der Ellipse mit der Formel

54

3 Grundlagen der Bruchmechanik §

§

a· b¹

σ max = σ ⋅ ¨1 + 2 ⋅ ¸ = σ ⋅ ¨1 + 2 ⋅ ¨ ©

©

a ·¸ ρ ¸¹

(3.1)

bestimmen (siehe z. B. [3-1]). Für schmale Kerben bei denen die Halbachse b bzw. der Krümmungsradius ρ sehr klein ist, steigt die maximale Kerbspannung σmax deutlich an. Betrachtet man nun einen Riss, Bild 3-3b, idealisiert als mathematischen Schnitt oder Sonderfall einer Kerbe mit b → 0 bzw. ρ → 0, so ergibt sich nach Gl. (3.1) eine maximale Spannung, die über alle Grenzen anwächst: σmax, Riss → ∞. Bei diesem Innenriss in unendlich ausgedehnter Scheibe handelt es sich um ein sehr grundlegendes Rissmodell der Bruchmechanik, nämlich den sogenannten GRIFFITH-Riss (Bild 3-3b). Dieser Riss mit der Risslänge 2a kann somit als Grenzfall des elliptischen Loches, Bild 3-3a, angesehen werden. a)

b) 

 max

y t

x

y

y

y

-



a

b

x max



x = - 2a

x

x



Bild 3-3 Riss als Sonderfall einer Kerbe a) Spannungsverteilung an einer elliptischen Kerbe mit den Halbachsen a und b b) Unendlich ausgedehnte Scheibe mit Innenriss der Länge 2a: Rissmodell nach GRIFFITH

Die elastizitätstheoretische Behandlung eines derartigen Rissproblems ist sehr viel einfacher als die eines beliebigen elliptischen Loches. Für die zugbelastete Scheibe, Bild 3-3b, ergibt sich somit entlang der x-Achse die exakte Lösung für die Spannungsverteilung [3-1, 3-9]: ­ °° σx = ® σ ° °¯

−σ für x < a ª º x/a ⋅« − 1» für x > a « ( x / a) 2 − 1 » ¬ ¼

0 ­ ° x a / σ y = ®σ ⋅ ° ( x / a) 2 − 1 ¯

τ xy =

0

für x < a für x > a für alle x − Werte

(3.2).

3.2 Spannungsverteilungen an Rissen

55

Aus den Gleichungen (3.2) ist ersichtlich, dass die Spannungen σx und σy auf der x-Achse für x = ± a, d. h. an den Rissspitzen, rein theoretisch unendlich werden. Lösungen für andere Belastungen von GRIFFITH-Rissen und auch andere ebene Rissprobleme (siehe z. B. [3-1] und [3-9]) zeigen ähnliche Gegebenheiten. Ein grundlegendes räumliches Rissmodell stellt der kreisförmige Innenriss (penny shaped crack) in einem unendlich ausgedehnten Körper im einachsigen Zugspannungsfeld, Bild 3-4, dar. Dieses Rissproblem ergibt sich als Sonderfall eines rotationsellipsoidischen Hohlraums, bei dem der Kerbradius ρ → 0 tendiert. Auch zeigen die elastizitätstheoretischen Lösungen, dass an der Rissfront eine Spannungssingularität vorliegt [3-1]. 

a



Bild 3-4 Kreisförmiger Innenriss in unendlich ausgedehntem Körper als grundlegendes räumliches Rissmodell

Dies bedeutet, dass bei Rissen die klassischen Methoden der Festigkeitsbetrachtung, bei denen σmax mit einem zulässigen Wert σzul verglichen wird (siehe z. B. Kapitel 1.3), versagen.

3.2.2

Spannungsverteilungen bei ebenen Rissproblemen

Aus den elastizitätstheoretischen Lösungen für ebene und räumliche Rissprobleme können Näherungsausdrücke entwickelt werden, die nur in der unmittelbaren Umgebung der Rissspitze gelten. Durch Einführung von Polarkoordinaten r und ϕ an der Rissspitze, Bild 3-5, ergeben sich Reihenentwicklungen für die Rissspitzenspannungsfelder mit Reihengliedern, die abhängig von dem Faktor r(n/2)-1 mit n = 1, 2, 3, ... sind [3-1]. Berücksichtigt man nur das erste Reihenglied mit r-1/2 so ergibt sich für ebene Rissprobleme die Spannungsverteilung

σ ij = mit i, j = x, y.

1 2π ⋅ r

[K ⋅ f I

I ij

(ϕ ) + K II ⋅ f ijII (ϕ )]

(3.3)

56

3 Grundlagen der Bruchmechanik a)

b) y

y y 

xy x

r Riss

r r

r Riss





x

x

Bild 3-5 Koordinatensysteme und Spannungskomponenten an der Rissspitze a) Spannungen σx, σy und τxy in der Rissumgebung; x-y- und r-ϕ- Koordinatensystem beginnend an der Rissspitze b) Spannungen σr, σϕ und τrϕ im r-ϕ- Koordinatensystem

Gleichung (3.3) gibt die elastischen Spannungsfelder in der unmittelbaren Umgebung der Rissspitze, Bild 3-5, d. h. für r → 0 exakt wieder und kann als gute Näherung für Bereiche dienen, in denen r klein gegenüber einer charakteristischen Länge, z. B. der Risslänge a, ist. Diese Näherungslösung, Gleichung (3.3), gilt für alle linear-elastischen Lösungen von Rissproblemen in homogenen isotropen Körpern, bei denen ein ebener Spannungs- oder ebener Verzerrungszustand vorliegt. fijI(ϕ) und fijII(ϕ) sind dimensionslose Funktionen, die nur vom Winkel ϕ abhängen, siehe z. B. Gleichung (3.6). Die Parameter KI und KII sind die sogenannten Spannungsintensitätsfaktoren, die jeweils mit einer grundlegenden Rissbeanspruchungsart, Bild 3-2a und Bild 3-2b, verknüpft sind. Die Spannungsintensitätsfaktoren beschreiben die Intensität des Spannungsfeldes in Rissnähe (siehe Kapitel 3.4) und sind unabhängig von den Polarkoordinaten r und ϕ. Gleichung (3.3) beschreibt die Spannungsverteilung in der Umgebung der Rissspitze für den Fall, dass die Bruchmoden I und II überlagert auftreten (ebene Mixed-Mode-Belastung, [3-7, 3-10]).

3.2.2.1

Spannungsverteilung bei Mode I

Für reine Mode I-Belastung ( K I ≠ 0, K II = 0 und σxx = σx, σyy = σy und σxy = τxy) gelten die Beziehungen:

σx = σy = τ xy =

KI 2π ⋅ r KI 2π ⋅ r

KI 2π ⋅ r

⋅ cos

⋅ cos

⋅ sin

3ϕ · ϕ ⋅ ¨1 − sin ⋅ sin ¸ 2 ¹ 2 © 2

ϕ §

3ϕ · ϕ ⋅ ¨1 + sin ⋅ sin ¸ 2 ¹ 2 © 2

ϕ §

ϕ 2

⋅ cos

ϕ 2

⋅ cos

3ϕ 2

(3.4).

3.2 Spannungsverteilungen an Rissen

57

Entlang der x-Achse, d. h. für r = x und ϕ = 0 gilt somit

σx = σy =

KI 2π ⋅ x KI

(3.5),

2π ⋅ x

τ xy = 0 vergleiche auch σy in Bild 3-3b.

3.2.2.2

Spannungsverteilung bei ebener Mixed-Mode-Beanspruchung

Bei ebener Mixed-Mode-Beanspruchung am Riss ( K I ≠ 0, K II ≠ 0 ) ergibt sich in kartesischen Koordinaten das Spannungsfeld

σx = σy = τ xy =

KI 2π ⋅ r

KI 2π ⋅ r

KI 2π ⋅ r

⋅ cos

K II 3ϕ · 3ϕ · ϕ ϕ § ϕ ⋅ ¨1 − sin ⋅ sin ¸ − ⋅ sin ⋅ ¨ 2 + cos ⋅ cos ¸ 2 © 2 2 ¹ 2 © 2 2 ¹ 2π ⋅ r

ϕ §

3ϕ · 3ϕ ϕ ϕ ϕ K II ⋅ ¨1 + sin ⋅ sin ⋅ sin ⋅ cos ⋅ cos ¸+ 2 © 2 2 ¹ 2 2 2 2π ⋅ r

ϕ §

⋅ cos

⋅ sin

ϕ 2

⋅ cos

ϕ 2

⋅ cos

3ϕ + 2

K II 2π ⋅ r

⋅ cos

(3.6).

3ϕ · ϕ ⋅ ¨1 − sin ⋅ sin ¸ 2 © 2 2 ¹

ϕ §

In Polarkoordinaten lautet die Spannungsfeldgleichungen in der Umgebung der Rissspitze

σr = σ = τ r =

KI 2π ⋅ r

KI 2π ⋅ r

KI

⋅ cos

ϕ· ⋅ ¨1 + sin 2 ¸ + 2 © 2¹

ϕ §

⋅ cos 3

ϕ 2

−

K II 2π ⋅ r

⋅ cos

ϕ· ⋅ ¨ sin ϕ − 2 tan ¸ 2 ©2 2¹

ϕ §3

3 ϕ ⋅ sin ϕ ⋅ cos 2 2 2π ⋅ r

K II

1 ϕ ⋅ sin ϕ ⋅ cos + 2 2 2π ⋅ r

(3.7).

K II

1 ϕ ⋅ cos ⋅ (3 cos ϕ − 1) 2 2 2π ⋅ r

Aus diesen Beziehungen, Gleichung (3.6) und Gleichung (3.7), erhält man mit KII = 0 auch die Beziehungen für reine Mode I und für KI = 0 die Gleichungen für reine Mode II-Belastung.

58

3 Grundlagen der Bruchmechanik

Beispiel 3-1 

Für den Innenriss in unendlich ausgedehnter Scheibe unter Zugbelastung (GRIFFITH-Riss als Basis-Rissproblem der Bruchmechanik) ermittle man die Spannungsverteilung σy(x) für den Bereich 0 < x/a < 0,3 mit der exakten Lösung nach Gleichung (3.2) und der Näherungslösung nach Gleichung (3.4). Als Spannungsintensitätsfaktor für dieses Rissproblem kann K I = σ ⋅ π ⋅ a angenommen werden (siehe auch Kapitel 3.4.2.1).

y y x

2a

x



Lösung: Nach Gleichung (3.2) ergibt sich für x = x + a

σ y,exakt = σ

x/a 2

(x / a )

= −1

( x + a) / a 2

((x + a ) / a )

x / a +1

=

((x / a ) + 1)2 − 1

−1

Mit Gleichung (3.4) folgt für K I = σ ⋅ π ⋅ a , ϕ = 0 und r = x (siehe auch Gleichung (3.5)):

σ y, Näherung =

KI 2π ⋅ x

=

σ ⋅ π ⋅a 2π ⋅ x

und somit

σ y, Näherung 1 = σ 2

x a

1 2 ⋅ x/a

y,exakt y,Näherung   8

8

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,08 0,10 0,20 0,30

a = x

7,12 5,07 4,17 3,64 3,27 3,02 2,65 2,40 1,81 1,56

7,07 5,00 4,08 3,54 3,16 2,89 2,50 2,24 1,58 1,29

y  7 6 5 4 3

exakt

2 Näherung

1 0

0

0,1

0,2

0,3

x a

3.2 Spannungsverteilungen an Rissen

3.2.3

59

Spannungsverteilungen bei räumlichen Rissproblemen

Bei räumlichen Rissproblemen, z. B. bei Oberflächenrissen, Eckenrissen und im Inneren von Bauteilen liegenden Rissen (siehe Bild 2-21b bis Bild 2-21d) kann bei allgemeiner Belastung eine Überlagerung aller drei Rissbeanspruchungsarten (Bild 3-2) auftreten [3-10]. In diesem Fall lässt sich die Spannungsverteilung in der Rissumgebung in Tensorschreibweise wie folgt darstellen [3-1]:

σ ij =

[K ⋅ f 2π ⋅ r 1

I

I ij (ϕ ) +

K II ⋅ f ijII (ϕ ) + K III ⋅ f ijIII (ϕ )

]

(3.8)

mit i, j = x, y, z. Im Gegensatz zur ebenen Lösung, Gleichung (3.3), ergibt sich eine Erweiterung um den Spannungsintensitätsfaktor KIII, der mit der Rissbeanspruchungsart III korrespondiert, und um eine Funktion fijIII(ϕ). Die 1/ r -Singularität des Spannungsfeldes gilt auch bei räumlichen Rissproblemen (d. h. für r → 0 geht σij → ∞).

3.2.3.1

Spannungsverteilungen in kartesischen Koordinaten

In kartesischen Koordinaten erhält man für die Spannungen σx, σy, σz, τxy, τxz, τyz, Bild 3-6a, die Beziehungen

σx = σy = τ xy = τ xz = τ yz =

KI 2π ⋅ r KI 2π ⋅ r KI 2π ⋅ r K III 2π ⋅ r K III 2π ⋅ r

K II 3ϕ · 3ϕ · ϕ ϕ § ϕ ⋅ ¨1 − sin ⋅ sin ¸ − ⋅ sin ⋅ ¨ 2 + cos ⋅ cos ¸ 2 © 2 2 © 2 2 ¹ 2 ¹ 2π ⋅ r

ϕ §

⋅ cos ⋅ cos

ϕ 3ϕ · ⋅ ¨1 + sin ⋅ sin ¸ + 2 ¹ 2 © 2

ϕ § ϕ

⋅ sin ⋅ sin

2

ϕ 2

⋅ cos

3ϕ + 2

2π ⋅ r

K II 2π ⋅ r

⋅ cos

⋅ sin

ϕ 2

⋅ cos

ϕ 2

⋅ cos

⋅ cos

3ϕ 2

3ϕ · ϕ ⋅ ¨1 − sin ⋅ sin ¸ 2 © 2 2 ¹

ϕ §

ϕ

(3.9).

2

ϕ 2

σ z = ν ⋅ (σ x + σ y ) =

3.2.3.2

⋅ cos

K II

ϕ ϕ· § ⋅ ¨ K I ⋅ cos − K II ⋅ sin ¸ 2 2¹ 2π ⋅ r © 2ν

Spannungsverteilungen in Zylinderkoordinaten

Die Verwendung von Zylinderkoordinaten führt zu den Spannungen σr, σϕ, σz, τrϕ, τrz und τϕz, Bild 3-6b:

σr =

K II 3ϕ · 3ϕ · ϕ ϕ § § ⋅ ¨ 5 cos − cos ¸ − ⋅ ¨ 5 sin − 3 sin ¸ 2 2 2 ¹ 2 4 2π ⋅ r © ¹ 4 2π ⋅ r © KI

60

3 Grundlagen der Bruchmechanik

σ =

K II 3ϕ · 3ϕ · ϕ ϕ § § ⋅ ¨ 3 cos + cos ¸ − ⋅ ¨ 3 sin + 3 sin ¸ 2 2 2 ¹ 2 4 2π ⋅ r © ¹ 4 2π ⋅ r ©

τ r =

K II 3ϕ · 3ϕ · ϕ § ϕ § ⋅ ¨ sin + sin ⋅ ¨ cos + 3 cos ¸ ¸+ 2 2 2 ¹ 2 ¹ 4 2π ⋅ r © 4 2π ⋅ r ©

KI

τ rz = τ z =

KI

K III 2π ⋅ r K III 2π ⋅ r

⋅ sin

ϕ

(3.10).

2

⋅ cos

ϕ 2

σ z = ν ⋅ (σ r + σ  ) =

ϕ ϕ· § ⋅ ¨ K I ⋅ cos − K II ⋅ sin ¸ 2 2¹ 2π ⋅ r © 2ν

y a)

yz xy y

x xz z

r Riss

 x  z r

z

r

b) rz

y r Riss

z

 x z

Bild 3-6 Koordinatensysteme und Spannungskomponenten bei räumlichen Rissproblemen a) Spannungen σx, σy, σz, τxy, τxz, τyz in der Rissumgebung, Kartesische Koordinaten x, y, z; Polarkoordinaten r, ϕ b) Spannungen σr, σϕ, σz, τrϕ, τrz, τϕz; Zylinderkoordinaten r, ϕ, z

3.3 Verschiebungsfelder in der Rissumgebung

61

Bei Betrachtung von Gleichung (3.9) und Gleichung (3.10) wird wiederum die 1/ r Abhängigkeit der Spannungen deutlich, die für r → 0 (d. h. die Rissspitze bzw. die Rissfront) zu unendlich hohen Spannungen, einer Spannungssingularität, führt. Wichtigste Größen für die Rissbeanspruchung sind die Spannungsintensitätsfaktoren KI, KII und KIII, die in Kapitel 3.4 näher erläutert werden.

3.3 Verschiebungsfelder in der Rissumgebung Neben den Spannungsverteilungen an Rissen haben in der Bruchmechanik auch die Verschiebungen in der Rissumgebung und insbesondere am Rissrand oder der Rissoberfläche eine erhebliche Bedeutung. Elastizitätstheoretische Lösungen für die Verschiebungen u in xRichtung, v in y-Richtung und w in z-Richtung (siehe die Koordinatensysteme in Bild 3-5 und Bild 3-6) sind z. B. in [3-1] angegeben. Mit den Polarkoordinaten r und ϕ bzw. den Zylinderkoordinaten r, ϕ und z sowie den Spannungsintensitätsfaktoren KI, KII und KIII ergeben sich Näherungsbeziehungen für die Verschiebungsfelder. Für Mode I gilt: u=

K I ⋅ (1 + ν ) r ϕ § ϕ· ⋅ ⋅ cos ⋅ ¨ κ − 1 + 2 sin 2 ¸ E 2π 2 © 2¹

(3.11) K ⋅ (1 + ν ) r ϕ v= I ⋅ ⋅ sin E 2π 2

ϕ· § ⋅ ¨ κ + 1 − 2 cos 2 ¸ 2¹ ©

mit κ = (3−ν) / (1+ν) für den ebenen Spannungszustand (ESZ) und κ = 3 − 4ν für den ebenen Verzerrungszustand (EVZ, siehe Kapitel 1.2.4) sowie dem Elastizitätsmodul E und der Querdehnzahl ν [3-19]. Für Mode II ergeben sich die Verschiebungen u=

K II ⋅ (1 + ν ) r ϕ § ϕ· ⋅ ⋅ sin ⋅ ¨ κ + 1 + 2 cos 2 ¸ E 2π 2 © 2¹

(3.12). K ⋅ (1 + ν ) r ϕ § ϕ· v = − II ⋅ ⋅ cos ⋅ ¨ κ − 1 − 2 sin 2 ¸ E 2π 2 © 2¹

Bei Mode III ist u = v = 0. Für die Verschiebung w in z-Richtung gilt: w=

4 K III ⋅ (1 + ν ) r ϕ ⋅ ⋅ sin E 2π 2

(3.13).

Während die Spannungen für r → 0 singulär sind, verschwinden für die Rissspitze bzw. die Rissfront (r → 0) die Verschiebungen u, v und w. Die Verschiebungsverteilungen für beliebige Rissgeometrien werden je nach Belastung durch die Spannungsintensitätsfaktoren KI, KII und/oder KIII charakterisiert.

62

3 Grundlagen der Bruchmechanik

3.4 Spannungsintensitätsfaktoren Die elastischen Spannungsfelder, die in der Umgebung von Rissen auftreten, lassen sich für alle Bauteile und Strukturen und alle im Bauteil auftretenden Belastungen durch die in Kapitel 3.2 beschriebenen Näherungsgleichungen darstellen. Charakteristisch für diese Gleichungen sind die 1/ r -Singularität des Spannungsfeldes und die Spannungsintensitätsfaktoren KI, KII und KIII, die den grundlegenden Bruchmoden, Bild 3-2, zugeordnet sind. Die elastischen Verschiebungsfelder in der Rissumgebung können durch die Näherungsgleichungen in Kapitel 3.3 dargestellt werden. Diese werden durch die r -Abhängigkeit und ebenfalls durch die Spannungsintensitätsfaktoren KI, KII, KIII charakterisiert.

3.4.1

Spannungsintensitätsfaktoren für die Rissmoden I, II und III

Die Spannungsintensitätsfaktoren beschreiben die Intensität der singulären Spannungsfelder und sind gleichzeitig ein Maß für die Größe der Verschiebungen in der Rissumgebung, d. h. auch ein Maß für die Rissöffnung oder die Verschiebungen der Rissoberflächen gegeneinander. Die Spannungsintensitätsfaktoren sind abhängig von: •

der äußeren Belastung des Bauteils,

•

der Rissgeometrie oder der Risslänge bzw. der Risstiefe,

•

der Risslage, der Rissanordnung, der Geometrie des Bauteils sowie von der Art und der Stelle der Lasteinleitung.

Sie beschreiben also die Intensität, nicht aber die Verteilung der Spannungen und Verschiebungen in der Rissumgebung.

3.4.1.1

Definition der Spannungsintensitätsfaktoren KI, KII, KIII

Die oben beschriebene Abhängigkeit der Spannungsintensitätsfaktoren von der Belastung sowie der Riss- und Bauteilgeometrie kann formelmäßig wie folgt dargestellt werden:

K I = σ ⋅ π ⋅ a ⋅ YI

(3.14),

K II = τ ⋅ π ⋅ a ⋅ YII

(3.15),

K III = τ z ⋅ π ⋅ a ⋅ YIII

(3.16).

Der Spannungsintensitätsfaktor KI gilt für reine Mode I-Beanspruchung von ebenen und räumlichen Rissproblemen (siehe Bild 3-2a, Bild 3-3b und Bild 3-4). Die Spannung σ steht für die Belastung des Bauteils, kann aber z. B. auch je nach Belastung aus einer Kraft F oder einem Biegemoment M errechnet werden. Die Rissgeometrie wird insbesondere durch die Risslänge bzw. Risstiefe a repräsentiert. Im Allgemeinen wird die Risslänge bei Innenrissen mit 2a gekennzeichnet, bei Rand-, Oberflächen- oder Eckenrissen gilt die Länge oder die Tiefe a. Der Geometriefaktor YI berücksichtigt die Risslage, die Geometrie des Bauteils und die Art und Stelle der Lasteinleitung. Für den GRIFFITH-Riss in unendlich ausgedehnter Scheibe unter Zugbelastung, Bild 3-3b, ist YI = 1 (siehe auch Kapitel 3.4.2.1).

3.4 Spannungsintensitätsfaktoren

63

Der Spannungsintensitätsfaktor KII gilt für reine Mode II-Beanspruchung (siehe Bild 3-2b). Die Spannung τ oder τxy steht für die ebene Schubbelastung des Bauteils, kann aber auch durch eine Querkraft Q oder ein Torsionsmoment MT errechnet werden. Auch hier wird die Rissgeometrie durch die Risslänge a charakterisiert. YII stellt den Geometriefaktor bei reiner Mode II-Beanspruchung dar. Bei reiner Mode III-Beanspruchung (siehe Bild 3-2c) ist der Spannungsintensitätsfaktor KIII von Bedeutung. Die äußere Belastung wird durch die nichtebene Schubspannung τz oder τyz dargestellt, die aber auch z. B aus einem Torsionsmoment MT ermittelt werden kann. Die Risslänge wird durch a gekennzeichnet, YIII ist der Geometriefaktor für reine Mode III-Beanspruchung.

3.4.1.2

Dimension und Einheit der Spannungsintensitätsfaktoren

Durch Einsetzen der physikalischen Größen in die Gleichungen (3.14), (3.15) und (3.16) erhält man für die Spannungsintensitätsfaktoren KI, KII und KIII die Kraft / Länge3/2

Dimension:

bzw. die

3/2

Einheit:

N/mm oder MPa m ,

wobei 31,6 N/mm3/2 = 1 MPa m entsprechen.

3.4.2

Spannungsintensitätsfaktoren für grundlegende Rissprobleme

In diesem Kapitel werden Spannungsintensitätsfaktoren bzw. Geometriefaktoren für grundlegende Rissprobleme exemplarisch dargestellt. Es soll hiermit ein Gefühl für diese in technischer Praxis vielfach noch unbekannten bruchmechanischen Größen vermittelt werden. Umfangreiche Sammlungen von Spannungsintensitätsfaktoren sind z. B. in [3-6, 3-12 bis 3-14 und 3-17] zu finden.

3.4.2.1

GRIFFITH-Riss in unendlich ausgedehnter Scheibe

Der Innenriss in unendlich ausgedehnter Scheibe (GRIFFITH-Riss) stellt das grundlegende Rissmodell der Bruchmechanik dar. Für die Zugbelastung der Scheibe, Bild 3-3b, gilt der Spannungsintensitätsfaktor KI = σ ⋅ π ⋅ a

(3.17),

siehe z. B. [3-1]. Vergleicht man diesen Spannungsintensitätsfaktor mit der allgemeinen Beziehung nach Gl. (3.14) so erkennt man, dass für den GRIFFITH-Riss der Geometriefaktor YI = 1 ist. Der Geometriefaktor YI stellt somit auch einen dimensionslosen Spannungsintensitätsfaktor dar: YI =

KI

σ ⋅ π ⋅a

(3.18).

Dies bedeutet, die Spannungsintensitätsfaktoren für Mode I-Risse in beliebigen Bauteilen und Strukturen lassen sich auf den Spannungsintensitätsfaktor σ ⋅ π ⋅ a des GRIFFITH-Risses normieren.

64

3 Grundlagen der Bruchmechanik

Liegt in der Scheibe mit Innenriss eine reine Schubbelastung mit der Schubspannung τ = τxy vor, so gilt der Spannungsintensitätsfaktor (3.19).

K II = τ ⋅ π ⋅ a

Durch Vergleich mit Gleichung (3.15) ergibt sich für diesen grundlegenden Rissfall YII = 1.

3.4.2.2

Kreisförmiger Riss in unendlich ausgedehntem Körper unter Zugbelastung

Für den kreisförmigen Riss in unendlich ausgedehntem Körper unter Zugbelastung, Bild 3-4, ergibt sich der Mode I-Spannungsintensitätsfaktor KI =

2

π

(3.20),

⋅σ ⋅ π ⋅ a

siehe z. B [3-1]. Diese Rissform stellt eine Basislösung für alle räumlichen Rissprobleme dar. Nach Gleichung (3.14) ist der Geometriefaktor somit YI =

2

π

= 0,637 .

Vergleicht man diese Lösung, Gleichung (3.20), mit dem Spannungsintensitätsfaktor für den GRIFFITH-Riss, Gleichung (3.17), so erkennt man, dass der Spannungsintensitätsfaktor für den innenliegenden kreisförmigen Riss um den Faktor π/2 kleiner ist.

3.4.2.3

Innenriss in endlich breiter Scheibe

Die Geometrie der Scheibe beeinflusst den Geometriefaktor YI und somit den Spannungsintensitätsfaktor KI. Für die endlich breite Scheibe unter Zugbelastung, Bild 3-7a, steigt der YIFaktor mit zunehmendem a/d-Verhältnis, Bild 3-7b. Für a/d → 0 (kleiner Riss in endlich breiter Scheibe oder größerer Riss in unendlich breiter Scheibe) ergibt sich wiederum die YILösung nach Kapitel 3.4.2.1. a)



b)

2a 2d

 Bild 3-7 Innenriss in endlich breiter Scheibe unter Zugbelastung a) Scheibe mit Innenriss b) Werte für den Geometriefaktor YI

a d 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

YI 1,00 1,01 1,02 1,06 1,11 1,19 1,30

3.4 Spannungsintensitätsfaktoren

3.4.2.4

65

Randriss in halbunendlich und endlich breiter Scheibe unter Zugbelastung

Für den Randriss in halbunendlich ausgedehnten Scheiben unter Zugbelastung, Bild 3-8a, ist YI = 1,12 ,

d. h. es ergibt sich für den Randriss ein um 12% größerer YI-Wert im Vergleich zum innenliegenden Riss (GRIFFITH-Riss, Kapitel 3.4.2.1). Für den Randriss in endlich breiter Scheibe unter Zugbelastung, Bild 3-1b und Bild 3-8b, steigt der YI-Faktor mit zunehmendem a/dVerhältnis sehr stark an, Bild 3-8c. Dies ist damit begründet, dass beim Randrissproblem mit größerer Risslänge a im Restquerschnitt neben einer Normalkraft auch ein hoher Biegeanteil zur Wirkung kommt. Im Allgemeinen ist der YI-Wert bei Außenrissen (Randrissen) deutlich größer als bei Innenrissen. a)



a

b)



a d



c) a d 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

YI 1,12 1,20 1,37 1,67 2,11 2,83 4,04



Bild 3-8 Randriss in halbunendlich und endlich ausgedehnter Scheibe unter Zugbelastung a) Randriss in halbunendlich ausgedehnter Scheibe b) Randriss in endlich ausgedehnter Scheibe c) Werte für den Geometriefaktor YI in Abhängigkeit von dem Verhältnis a/d von Risstiefe zu Scheibenbreite

3.4.2.5

Schräger Innenriss in unendlich ausgedehnter Scheibe unter einachsiger Belastung

Liegt ein Riss im Bauteil schräg zur Belastungsrichtung (siehe z. B. Bild 3-1c), so tritt eine ebene Mixed-Mode-Beanspruchung auf. Bei dem schrägen Innenriss in unendlich ausgedehnter Scheibe unter Zugbelastung, Bild 3-9a, wird die Spannungsintensität an der Rissspitze durch die Spannungsintensitätsfaktoren KI und KII beschrieben. Diese errechnen sich mit den Beziehungen K I = σ ⋅ π ⋅ a ⋅ YI

(3.21)

K II = σ ⋅ π ⋅ a ⋅ YII

(3.22),

und

wobei die YI- und YII-Faktoren durch

66

3 Grundlagen der Bruchmechanik YI = sin 2 β

(3.23)

YII = sin β ⋅ cos β

(3.24)

und

gegeben sind. Zahlenangaben für YI und YII finden sich in Bild 3-9b. Für Scheiben mit endlichen Abmessungen sowie für zweiachsige Belastung gelten modifizierte YI- und YII-Faktoren [3-6, 3-7, 3-12, 3-13]. a)



 2a

b) 

YI

YII

0 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90°

0 0,07 0,25 0,50 0,75 0,93 1

0 0,25 0,43 0,50 0,43 0,25 0

 Bild 3-9 Schräger Innenriss in unendlich ausgedehnter Scheibe a) Risslage und Rissabmessungen b) Werte für die Geometriefaktoren YI (Mode I) und YII (Mode II) in Abhängigkeit vom Winkel β

3.4.2.6

Halbelliptischer Oberflächenriss in einem zugbelasteten Bauteil

Bei Oberflächenrissen in Bauteilen ist der Spannungsintensitätsfaktor und somit auch der Geometriefaktor sowohl von der Riss- als auch von der Bauteilgeometrie abhängig. Ist der Oberflächenriss senkrecht zur Zugbelastung orientiert, Bild 3-10a, so liegt eine Mode IBeanspruchung vor. Der Spannungsintensitätsfaktor KI ist dann entlang der Rissfront nicht konstant, d. h. er ändert sich u. a. in Abhängigkeit vom Winkel ϑ. Der Maximalwert KI = Kmax ist zudem sehr stark von dem a/c-Verhältnis des Risses und dem a/d-Verhältnis des Bauteils abhängig. Für die in Bild 3-10b verwendeten geschlossenen Symbole ist der Geometriefaktor YI an der Stelle A (d. h. der tiefsten Stelle des Oberflächenrisses) maximal, bei den offenen Symbolen ergibt sich das Maximum an der Stelle B (d. h. an der Oberfläche des Bauteils). a/c = 0 charakterisiert in Bild 3-10b den Randriss, siehe Kapitel 3.4.2.4, a/c = 1 stellt den halbkreisförmigen Oberflächenriss dar. Man erkennt, dass ein durchgehender Randriss weitaus gefährlicher ist als z. B. ein halbelliptischer oder halbkreisförmiger Oberflächenriss. Oberflächenrisse haben aber für die technische Praxis eine große Bedeutung, da Risse in Bauteilen und Strukturen sehr häufig diese Geometrie zeigen (siehe auch Kapitel 2).

YI-Werte für andere Bauteilbelastungen oder Bauteilgeometrien sind z. B. in [3-6, 3-12, 3-13] angegeben.

3.4 Spannungsintensitätsfaktoren

67 d

a)

2c

A





a

B

b)

a c =0

4,0 Maximaler Spannungsintensitätsfaktor bei A Maximaler Spannungsintensitätsfaktor bei B

3,5

YI =

KI Ra

3,0 2,5

0,2

2,0 1,5

0,4 0,5 0,6 1,0

1,0 0,5 0

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5 a d

0,6

0,7

0,8

Bild 3-10

Halbelliptischer Oberflächenriss in einer zugbelasteten Scheibe a) Risslage und Rissabmessungen b) Werte für die Spannungsintensitätsfaktoren bzw. Geometriefaktoren

3.4.2.7

Eckenriss in einem Bauteil

Eckenrisse beginnen in der Regel an einer Ecke oder einer Kante eines Bauteils oder wachsen ausgehend von einer Kerbe oder einer Bohrung, Bild 2-21d. Für einen halbkreisförmigen Eckenriss in einem zugbelasteten Bauteil, bei dem die Rissabmessungen sehr viel kleiner sind als die Bauteilabmessungen, Bild 3-11, errechnet sich der Spannungsintensitätsfaktor mit der Beziehung K I = σ ⋅ π ⋅ a ⋅ 0,76

(3.25).

68

3 Grundlagen der Bruchmechanik

Somit gilt hierbei der Geometriefaktor YI = 0,76. Spannungsintensitätsfaktoren für andere Riss- und Bauteilgeometrien sowie für andere Belastungen können z. B. in [3-6, 3-12, 3-13] nachgeschlagen werden. 

a)

 b)

a

Bild 3-11 Bauteil mit viertelkreisförmigem Eckenriss a) Vorderansicht b) Rissquerschnitt

a

Beispiel 3-2

1

Ø15

4

10

2

3 40

In einem großen Gussteil wurden verschiedene Gussfehler gefunden, die als Risse idealisiert werden können (siehe Skizze). In diesem Bereich des Gussteils herrscht eine Zugspannung σ senkrecht zu den Rissebenen. Man bestimme a) die Geometriefaktoren und b) die Spannungsintensitätsfaktoren für alle vorliegenden Risse. geg.: Rissabmessungen (siehe Skizze), σ = 50 N/mm2

3.4 Spannungsintensitätsfaktoren

69

Lösung: a) Geometriefaktoren Rissfall M (kreisförmiger Riss): YI = 2 / π = 0,637 Rissfall N (Eckenriss): YI = 0,76 Rissfall O (Oberflächenriss): a = 4mm, c = 20mm, a/c = 0,2, a/d = 0, YI ≈ 1,05 b) Spannungsintensitätsfaktoren Rissfall M:

K I = σ ⋅ π ⋅ a ⋅ YI = 50 N/mm 2 ⋅ π ⋅ 7,5 mm ⋅ 0,637 = 154,6 N/mm3/2 = 4,9 MPa m Rissfall N: K I = σ ⋅ π ⋅ a ⋅ YI = 50 N/mm 2 ⋅ π ⋅ 10 mm ⋅ 0,76 = 213,0 N/mm3/2 = 6,7 MPa m

Rissfall O: K I = σ ⋅ π ⋅ a ⋅ YI = 50 N/mm 2 ⋅ π ⋅ 4 mm ⋅ 1,05 = 186,1 N/mm3/2 = 5,9 MPa m

3.4.2.8

Kerbrissprobleme

In der technischen Praxis kommt es sehr häufig ausgehend von Bohrungen zur Rissbildung. Dies ist insbesondere auch bei Nietverbindungen z. B. in Flugzeugstrukturen der Fall. a)

b)



4 3,365

YI

R

3

2 a

a

R+a

R+a

1

0  Bild 3-12

0

0,2

0,4

0,6 a R+a

0,8

1,0

Risse ausgehend von einer Bohrung a) Kerb- und Rissgeometrie des Kerbrissproblems b) Abhängigkeit des Geometriefaktors YI von den Geometriedaten

Bild 3-12a zeigt beispielhaft ein solches Kerbrissproblem in einer zugbelasteten Scheibe, bei dem Risse ausgehend von einem Kreisloch senkrecht zur Zugspannung verlaufen. Auch für dieses Rissproblem ergibt sich der Spannungsintensitätsfaktor KI mit der Beziehung

70

3 Grundlagen der Bruchmechanik (3.26).

K I = σ ⋅ π ⋅ a ⋅ YI

Der YI-Faktor kann für diesen Fall aus dem Diagramm in Bild 3-12b abgelesen werden. Spannungsintensitätsfaktoren oder Geometriefaktoren für andere Kerbrissprobleme sind z. B. in [3-6, 3-12, 3-14] angegeben.

Beispiel 3-3 

1 10

3

20

6

6

2 18



In einem großen, scheibenartigen Bauteil, das unter einer Zugspannung steht, wurden drei Rissfälle (M bis O) gefunden. Bestimmen sie für alle Rissfälle den jeweils geltenden YIFaktor sowie den Spannungsintensitätsfaktor KI. geg.: σ = 120 N/mm2, Kerb- und Rissabmessungen (siehe Abbildung) Lösung: Rissfall M:

a = 10 mm,

YI = 1,12

K I = σ ⋅ π ⋅ a ⋅ YI = 120 N/mm 2 ⋅ π ⋅ 10 mm ⋅ 1,12 = 753,3 N/mm 2 = 23,8 MPa m

Rissfall N:

a = 9 mm

YI = 1,00

K I = σ ⋅ π ⋅ a ⋅ YI = 120 N/mm 2 ⋅ π ⋅ 9 mm ⋅ 1,00 = 638,1 N/mm 2 = 20,2 MPa m

Rissfall O:

a = 6 mm, R = 20mm,

6 a = = 0,23 , YI ≈ 2,2 R + a 20 + 6

K I = σ ⋅ π ⋅ a ⋅ YI = 120 N/mm 2 ⋅ π ⋅ 6 mm ⋅ 2,2 = 1146,2 N/mm 2 = 36,2 MPa m

Der größte Spannungsintensitätsfaktor ergibt sich für Rissfall O.

3.4.2.9

Interpolationsformel für Mode I-Spannungsintensitätsfaktoren

Die Spannungsintensitätsfaktoren KI bzw. die Geometriefaktoren YI können in der Regel Diagrammen oder Tabellen entnommen werden, siehe z. B. [3-12 bis 3-14]. Für einzelne Rissfälle lassen sich die Abhängigkeiten der Spannungsintensitätsfaktoren auch mit Formeln beschreiben, siehe u. a. [3-6, 3-12 bis 3-14].

3.4 Spannungsintensitätsfaktoren

71

Kreisförmiger Außenriss im 6 rotationssymmetrischen Biegestab

2a

d a F

∅2d

F

∅2d

a

d

Dicke t

M

d 2c

 Bild 3-13

a

Konstanten

Spannung

A = 1,00 B = 0,45 C = 2,46 D = 0,65



A = 1,26 B = 82,7 C = 76,7 D = - 36,2



A = 1,26 M B = 2,04 C = 6,33 D = - 1,37

F

F

M 

Halbelliptischer Oberflächen7 riss im Zugstab



∅2d

Kreisförmiger Außenriss im 5 rotationssymmetrischen Zugstab

M

∅2a

Kreisförmiger Innenriss im 4 rotationssymmetrischen Zugstab



a

Randriss im ebenen Biegestab

Dicke t



a

3

Randriss im ebenen Zugstab



a

2

Dicke t

a

1

Innenriss im ebenen Zugstab

2d

Rissart

0  da 0,9 1% 0  da 0,5 1%

 = 6M 2

d ⋅t

A = 0,41 B = - 0,04 C = 1,83 D = 2,66

=

A = 1,26 B = - 0,24 C = 5,35 D = 11,6

=

A = 1,26 B = - 0,25 C = 6,21 D = 21,1

=

a/c = 0,4: A = 0,94 B = - 0,34 C = 1,51 D = - 0,65 a/c = 1,0: A = 0,47 B = 0,00 C = 2,00 D = 1,00

Gültigkeitsbereich Genauigkeit

F ⋅(d 2-a 2 )

F ⋅(d-a)2

4M ⋅(d-a)3



0  da 0,6 1%

0  da 0,8 2%

0  da 0,7 1%

0  da 0,7 2%

0  da 0,7 2%

Mode I-Rissprobleme: Geometrie, Konstanten A, B, C und D für die Interpolationsformel der Geometriefaktoren YI sowie Bezugsspannung σ und Gültigkeitsbereich

72

3 Grundlagen der Bruchmechanik

Die Geometriefaktoren (dimensionslose Spannungsintensitätsfaktoren) YI für Mode IBelastung lassen sich für zahlreiche Rissfälle mit der Beziehung

YI =

KI

σ ⋅ π ⋅a

=

A+ B⋅

1 1−

a d

⋅

a d −a

a § a · 1+ C ⋅ + D ⋅¨ ¸ d −a ©d −a¹

(3.27)

2

berechnen [3-17, 3-18], wobei für das Abmessungsverhältnis a/(d – a) auch (a/d)/[1 – (a/d)] verwendet werden kann. Die Konstanten A, B, C und D folgen für die einzelne Rissart aus Bild 3-13. Weitere Rissfälle sind in [3-17] angegeben.

3.4.2.10 Interpolationsformeln für Mode II- und Mode III-Spannungsintensitätsfaktoren Auch für Mode II- und Mode III-Rissprobleme lassen sich die Geometriefaktoren durch einfache Interpolationsformeln beschreiben [3-12 bis 3-14].

Dicke t

Randriss im Bauteil unter 2 nichtebener Schubbeanspruchung

Dicke t

Bild 3-14

∅2d

a ∅2a

z

a

MT

Konstanten

Spannung

A = 1,00 B = 0,46 C = 2,45 D = 1,13

z

MT

MT

Gültigkeitsbereich Genauigkeit 0  da 0,9 1%

A = 1,00 B = 0,46 C = 2,45 D = 1,13

d

z

∅2d

4

Kreisförmiger Außenriss in Welle unter Torsionsbelastung

MT

a

3

Kreisförmiger Innenriss in Welle unter Torsionsbelastung

2a

Innenriss im Bauteil unter 1 nichtebener Schubbeanspruchung

2d

Rissart

z

0  da 0,9 1%

A = 0,18 B = - 0,02 z = 2MT⋅a ⋅(d 4-a 4 ) C = 1,61 D = 1,32

0  da 0,7

A = 1,00 B = - 0,20 C = 5,53 D = 16,2

0  da 0,7

z =

2MT ⋅(d-a)3

1%

1%

Mode III-Rissprobleme: Geometrie, Konstanten A, B, C und D der Interpolationsformel für die Geometriefaktoren YIII sowie Bezugsspannung τz

3.4 Spannungsintensitätsfaktoren

73

In Anlehnung an Gleichung (3.27) gilt für Mode II

YII =

K II

τ ⋅ π ⋅a

A+ B⋅

1

=

1−

a d

⋅

a d −a

a § a · 1+ C ⋅ + D ⋅¨ ¸ d −a ©d −a¹

2

(3.28)

und für Mode III

YIII =

K III

τz ⋅ π ⋅a

=

1 a 1− d

A+ B⋅ ⋅

a d −a

a § a · 1+ C ⋅ + D ⋅¨ ¸ d −a ©d −a¹

2

(3.29).

Die Geometrie, die Konstanten A, B, C und D sowie die Bezugsspannung τ kann für Mode IIRissfälle [3-17, 3-18] entnommen werden. Für Mode III-Rissprobleme folgen die Konstanten in Gleichung (3.29) aus Bild 3-14 oder [317, 3-18]. τz ist dabei eine nichtebene Schubspannung.

3.4.3

Überlagerung von Spannungsintensitätsfaktoren, Vergleichsspannungsintensitätsfaktoren

Bei vielen Rissfällen in der technischen Praxis treten infolge der Bauteilbelastung oder Bauteilgeometrie überlagerte Beanspruchungszustände in der Rissumgebung auf. Je nach Situation können dann die grundlegenden Spannungsintensitätsfaktoren superponiert werden oder es muss nach bestimmten Kriterien oder Hypothesen ein Vergleichsspannungsintensitätsfaktor ermittelt werden.

3.4.3.1

Superposition von Spannungsintensitätsfaktoren

Bei reiner Mode I-, reiner Mode II- bzw. reiner Mode III-Belastung dürfen die Spannungsintensitätsfaktoren superponiert werden, wenn gleiche Riss- und Bauteilgeometrie vorliegt. So setzt sich beispielsweise der Spannungsintensitätsfaktor KI,ges für ein durch eine Kraft F und gleichzeitig durch ein Biegemoment M belastetes Bauteil mit Randriss, Bild 3-15, aus dem Spannungsintensitätsfaktor KI,F für das kraftbelastete Bauteil und dem Spannungsintensitätsfaktor KI,M für das momentenbelastete Bauteil zusammen: K I,ges = K I, F + K I, M

(3.30).

Für den in Bild 3-15a dargestellten Überlagerungsfall errechnet man unter Zuhilfenahme der Interpolationsformel nach Kapitel 3.4.2.9 den Spannungsintensitätsfaktor KI,ges mit der Beziehung K I,ges = mit

F 6M ⋅ π ⋅ a ⋅ YI, F + 2 π ⋅ a ⋅ YI,M d ⋅t d ⋅t

(3.31)

74

3 Grundlagen der Bruchmechanik a d −a ⋅ YI, F = 2 a a § a · 1− 1 76 , 7 36 , 2 + ⋅ − ⋅ ¨ ¸ d d −a ©d −a¹ 1,26 + 82,7 ⋅

1

(3.32a)

und 1,26 + 2,04 ⋅

1

YI, M =

1−

a d

⋅

a d −a

a § a · 1 + 6,33 ⋅ − 1,37 ⋅ ¨ ¸ d −a ©d −a¹

(3.32b).

2

Während eine Superposition von Spannungsintensitätsfaktoren unter gewissen Bedingungen möglich ist, dürfen die Geometriefaktoren als bezogene Größen nicht oder nur gewichtet addiert werden. Dies wird auch aus Gleichung (3.31) deutlich. a)

b)

F

M

a

c)

F

M

a

a

d

F

d

M

F

d

M

Bild 3-15 Superposition von Spannungsintensitätsfaktoren a) Scheibe mit Randriss unter überlagerter Zug- und Biegebelastung b) Scheibe unter reiner Zugbelastung c) Scheibe unter reiner Biegebelastung

Die Addition von Spannungsintensitätsfaktoren unterschiedlicher Rissbeanspruchungsarten ist dagegen unzulässig. In diesen Fällen ist in Anlehnung an die Festigkeitshypothesen, siehe Kapitel 1.3, die Ermittlung von Vergleichsspannungsintensitätsfaktoren erforderlich.

3.4.3.2

Vergleichsspannungsintensitätsfaktor bei ebener Mixed-ModeBeanspruchung

Eine ebene Mixed-Mode-Beanspruchung (Überlagerung von Mode I und Mode II) liegt vor, wenn ein Bauteil z. B. gleichzeitig einer Normal- und einer Schubbeanspruchung ausgesetzt ist, Bild 3-16, bzw. ein Riss schräg zur Belastungsrichtung liegt, siehe z. B. Bild 3-9.

3.4 Spannungsintensitätsfaktoren

75

Die Beanspruchungssituation am Riss ist in diesen Fällen sowohl durch einen KI- als auch durch einen KII-Faktor gekennzeichnet. Bei ebener Mixed-Mode-Beanspruchung ist ähnlich der Vergleichsspannung bei der Festigkeitsberechnung eine Vergleichsgröße als resultierende Rissbeanspruchung zu bestimmen (siehe z. B. [3-7, 3-10, 3-23]). Bewährt hat sich in der Praxis die Berechnung des Vergleichsspannungsintensitätsfaktors nach der Beziehung KV =

KI 1 + ⋅ K I2 + 5,336 ⋅ K II2 2 2

(3.33),

siehe [3-7, 3-10]. 

2a  Bild 3-16 Bauteil mit Riss unter überlagerter Normal- und Schubbeanspruchung

Für ein unter Normal- und Schubbeanspruchung stehendes Bauteil mit Innenriss, Bild 3-16, ergibt sich dann mit K I = σ ⋅ π ⋅ a für die Normalbeanspruchung und K II = τ ⋅ π ⋅ a für die Schubbeanspruchung (siehe z. B. Kapitel 3.4.2.1) der Vergleichsspannungsintensitätsfaktor §σ 1 · K V = ¨ + ⋅ σ 2 + 5,336 τ 2 ¸ ⋅ π ⋅ a 2 2 © ¹

(3.34),

ª 2º 1 1 §τ · K V = σ ⋅ π ⋅ a ⋅ « + ⋅ 1 + 5,336 ¨ ¸ » «2 2 ©σ ¹ » ¬ ¼

(3.35),

bzw.

Es zeigt sich, dass der Klammerausdruck in Gleichung (3.34) annähernd der Vergleichsspannung σV nach der Normalspannungshypothese entspricht (siehe Gleichung (1.14)), der Klammerausdruck in Gleichung (3.35) kann dagegen als Geometrie- und Belastungsfaktor YV (dimensionsloser Vergleichsspannungsintensitätsfaktor) gedeutet werden.

3.4.3.3

Vergleichsspannungsintensitätsfaktor bei räumlicher Mixed-ModeBeanspruchung

Bei räumlicher Mixed-Mode-Beanspruchung ist der Spannungszustand am Riss durch das gleichzeitige Auftreten der Spannungsintensitätsfaktoren KI, KII und KIII gekennzeichnet. Auch

76

3 Grundlagen der Bruchmechanik

in diesem Fall ist ein Vergleichsspannungsintensitätsfaktor KV als resultierende Größe zu bestimmen. Dies kann mit der Beziehung KV =

KI 1 2 + K I2 + 5,336 K II2 + 4 K III 2 2

(3.36)

geschehen [3-10, 3-11, 3-20]. Vergleichbare Konzepte sind z. B. in [3-21, 3-22] zu finden.

a

Beispiel 3-4

∅2d

MT

F

MT

F

Eine Welle (Durchmesser 2d) mit einem umlaufenden Kratzer bzw. einem umlaufenden Riss der Tiefe a ist durch eine Zugkraft F und ein Torsionsmoment MT belastet. Man berechne die Vergleichsspannungsintensitätsfaktoren KV a) für eine Risstiefe von a = 0,6 mm bzw. b) eine Risstiefe von a = 3 mm. geg.: F = 300 kN, MT = 3000 Nm, a = 0,6 mm bzw. 3 mm, d = 30 mm Lösung: Die Zugkraftbelastung führt zu einer Mode I-Beanspruchung und die Torsionsmomentenbelastung führt zu einer Mode III-Beanspruchung am Riss. Somit ergibt sich in Anlehnung an Gleichung (3.36) der Vergleichsspannungsintensitätsfaktor KV =

KI 1 2 + K I2 + 4 K III . 2 2

KI lässt sich nach Kapitel 3.4.2.9, Bild 3-13 (Rissfall 5) berechnen

KI =

F

π ⋅ (d − a) 2

⋅ π ⋅a ⋅

1,26 − 0,24 ⋅

1 1−

a d

⋅ 1 + 5,35 ⋅

a d −a

2

a § a · + 11,6 ⋅ ¨ ¸ d −a ©d −a¹ ⋅

KIII ergibt sich nach Kapitel 3.4.2.10, Bild 3-14 (Rissfall 4):

K III =

2M T

π (d − a )3

⋅ π ⋅a ⋅

1,00 − 0,20 ⋅

1 1−

a d

⋅ 1 + 5,53 ⋅

a d −a

2

a § a · + 16,2 ⋅ ¨ ¸ d −a ©d −a¹ ⋅

3.5 Lokale Plastizität an der Rissspitze

77

a) Vergleichsspannungsintensitätsfaktor KV für a = 0,6 mm Mit a = 0,6 mm und a/d = 0,02 bzw. a/(d – a) = 0,0204 folgt: 300.000 N ⋅ π ⋅ 0,6mm

K I (a = 0,6 mm) =

2

π ⋅ (30 − 0,6) mm

2

⋅

1 1,26 − 0,24 ⋅ 0,0204 ⋅ 1 − 0,02 1 + 5,35 ⋅ 0,0204 + 11,6 ⋅ 0,0204 2

K I (a = 0,6 mm) = 109,5 N/mm3 / 2 = 3,5 MPa m K III ( a = 0,6 mm) =

2 ⋅ 3.000.000 Nmm 3

π ⋅ (30 − 0,6) mm

3

⋅

π ⋅ 0,6mm 1 − 0,02

⋅

1 − 0,20 ⋅ 0,0204 1 + 5,35 ⋅ 0,0204 + 16,2 ⋅ 0,0204 2

K III (a = 0,6 mm) = 99,3 N/mm3 / 2 = 3,1 MPa m K V ( a = 0,6 mm) =

3,5 MPa m 1 + ⋅ 3,5 2 (MPa m ) 2 + 4 ⋅ 3,12 (MPa m ) 2 2 2

K V ( a = 0,6 mm) = 6,7 MPa m

b) Vergleichsspannungsintensitätsfaktor KV für a = 3 mm Für a = 3 mm und a/d = 0,1 bzw. a/(d – a) = 0,111 ergibt sich: K I (a = 3 mm) =

300.000 N 2

π ⋅ (30 − 3) mm

2

⋅ π ⋅ 3mm ⋅

1 1,26 − 0,24 ⋅ 0,111 ⋅ 1 − 0,1 1 + 5,35 ⋅ 0,111 + 11,6 ⋅ 0,1112

K I (a = 3 mm) = 376,4 N/mm3 / 2 = 11,9 MPa m K III ( a = 3 mm) =

2 ⋅ 3.000.000 Nmm 3

π ⋅ (30 − 3) mm

3

⋅

π ⋅ 3mm 1 − 0,1

⋅

1 − 0,20 ⋅ 0,111 1 + 5,35 ⋅ 0,111 + 16,2 ⋅ 0,1112

K III (a = 3 mm) = 244,3 N/mm3 / 2 = 7,7 MPa m K V (a = 3mm) =

11,9 MPa m 1 + ⋅ 11,9 2 (MPa m ) 2 + 4 ⋅ 7,7 2 (MPa m ) 2 2 2

K V ( a = 3 mm) = 15,7 MPa m

3.5 Lokale Plastizität an der Rissspitze Die Spannungsfeldgleichungen für die Umgebung der Rissspitze, wie sie in den Kapitel 3.2.2, und Kapitel 3.2.3 angegeben sind, zeigen, dass in Rissspitzennähe eine singuläre Spannungsverteilung herrscht. Da aber die Fließgrenze des Werkstoffs eine natürliche Grenze darstellt, bildet sich an der Rissspitze ein plastisch deformiertes Gebiet aus. Dieses Gebiet wird als plastische Zone bezeichnet.

78

3.5.1

3 Grundlagen der Bruchmechanik

Abschätzung der plastischen Zone

Zur Abschätzung der plastischen Zone an der Rissspitze werden z. B. im elastischen Spannungsfeld in Abhängigkeit des Winkels ϕ die Orte r(ϕ) gesucht (siehe die Polarkoordinaten r und ϕ in Bild 3-5), ab denen die elastische Vergleichsspannung σV − ermittelt mit der Schubspannungshypothese oder der Gestaltänderungsenergiehypothese, (siehe z. B. Kapitel 1.3.1 oder [1-2 bis 1-4]) und den Nahfeldgleichungen in Kapitel 3.2.2 − die Fließgrenze (Fließspannung σF) des Materials erreicht, Bild 3-17. V

elastische Spannungsverteilung 1

F 2

elastisch - ideal plastische Spannungsverteilung

tatsächliche Rissspitze

x a

fiktive Rissspitze

a pl

= 2a pl

Bild 3-17

Elastische und elastisch-ideal-plastische Spannungsverteilung sowie Abmessung der plastischen Zone ω vor der Rissspitze σV: Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese σF: Fließspannung des Materials a: Risslänge ω: Abmessung der plastischen Zone apl: plastische Risslängenkorrektur

Bei Mode I-Belastung ergibt sich somit für den ebenen Spannungszustand (ESZ) entlang der x-Achse (ϕ = 0) eine Länge 1 apl, ESZ = 2π

§K · ⋅ ¨¨ I ¸¸ ©σF ¹

2

(3.37)

und für den ebenen Verzerrungszustand (EVZ) eine Länge (1 − 2ν ) 2 a pl, EVZ = 2π

§K ⋅ ¨¨ I ©σF

· ¸¸ ¹

2

(3.38).

Aufgrund der Spannungsumlagerung der elastisch-ideal-plastischen Spannungsverteilung (aus Gleichgewichtsgründen muss die elastisch berechnete Spannungskurve soweit nach rechts verschoben werden, dass die Flächen M und N gleich groß sind, Bild 3-17) ergibt sich bei Mode I-Belastung für den ebenen Spannungszustand (ESZ) die Größe der plastischen Zone

3.5 Lokale Plastizität an der Rissspitze 1 §K · ω ESZ = ⋅ ¨¨ I ¸¸ π ©σF ¹

79

2

(3.39)

und für den ebenen Verzerrungszustand (EVZ)

ωEVZ =

(1 − 2ν ) 2 § K I · ¸¸ ⋅ ¨¨ π ©σF ¹

2

(3.40),

[3-2]. In diesen Gleichungen sind KI der elastische Spannungsintensitätsfaktor für den tatsächlichen Riss (siehe z. B. Kapitel 3.4), σF die Fließspannung und ν die Querdehnzahl des Materials. Bei Metallen mit der Querdehnzahl ν = 0,3 folgt mit der vorstehenden Abschätzung für den EVZ eine um den Faktor 6,25 kleinere plastische Zone als für den ESZ. Die Ausbildung der plastischen Zone in der Rissumgebung bei einem dickwandigen Bauteil ist in Bild 3-18 dargestellt. Es zeigt sich, dass die plastische Zone an der Oberfläche des Bauteils (hier liegt ein ebener Spannungszustand, ESZ, vor) deutlich ausgeprägter ist als im Innern des Bauteils (ebener Verzerrungszustand, EVZ).

ESZ y x

EVZ

y

Riss

x y

ESZ x EVZ

ESZ

Bild 3-18

Ausbildung der plastischen Zone beim Kleinbereichsfließen in einem dickwandigen Bauteil mit ausgedehnter plastischer Zone an der Bauteiloberfläche (ebener Spannungszustand: ESZ) und deutlich kleinerer plastischer Zone im Bauteilinnern (ebener Verzerrungszustand: EVZ); „Hundeknochenmodell“ für Mode I-Belastung ωESZ: Abmessung der plastischen Zone in x-Richtung für den ESZ an der Bauteiloberfläche ωEVZ: Abmessung der plastischen Zone in x-Richtung für den EVZ im Bauteilinnern

80

3 Grundlagen der Bruchmechanik

Dies hat u. a. Bedeutung für das Bauteilversagen. An der Oberfläche (von scheibenartigen Bauteilen aus zähen Materialen treten beim Bruch u. U. deutlich ausgeprägte Scherlippen (siehe z. B. Kapitel 2.3) auf. In der Literatur existieren zahlreiche Modelle um die Abmessungen der plastischen Zone abzuschätzen (eine Zusammenstellung ist z. B. in [3-1, 3-2, 3-24] zu finden. Eines der bekanntesten Modelle ist das DUGDALE-Modell [3-1, 3-2], siehe Kapitel 6.3.3. Nach diesem Modell ergibt sich für den ebenen Spannungszustand (ESZ) die Größe der plastischen Zone

ω Dugd.

π §K · = ⋅ ¨¨ I ¸¸ 8 ©σF ¹

2

(3.41)

[3-1, 3-2]. Der Wert ωDugd. = 0,39 (KI/σF)2 unterscheidet sich nur unwesentlich von der Abschätzung nach Gleichung (3.39) mit einem Wert von ωESZ = 0,32 (KI/σF)2. Als Fließspannung σF wird im Allgemeinen Re oder Rp0,2 eingesetzt. Bei Werkstoffen mit Materialverfestigung kann für σF näherungsweise auch der Mittelwert von Rp0,2 und Rm verwendet werden.

Beispiel 3-5 Für zwei Konstruktionswerkstoffe mit einer Streckgrenze von Rp,02 und einer maximal ertragbaren Spannungsintensität KI,max bestimme man die Abmessungen der plastischen Zone für KI = 0,1KI,max, KI = 0,5KI,max und KI = KI,max für Risse in einer ebenen dünnwandigen Scheibe (ESZ) und in einer dickwandigen Scheibe (EVZ). geg.:

Konstruktionswerkstoff 1: Rp0,2 = 900 MPa, ν = 0,3 , KI,max = 100 MPa m Konstruktionswerkstoff 2: Rp0,2 = 500 MPa, ν = 0,34 , KI,max = 30 MPa m

Lösung: a) Konstruktionswerkstoff 1: Nach Gleichung (3.39) und Gleichung (3.40) folgt für KI = 0,1KI,max = 10 MPa m , ν = 0,3 und σF = Rp0,2 = 900 MPa 2

2

ωESZ =

1 § KI · 1 § 10 MPa m ·¸ ¸¸ = ⋅ ¨ ¨¨ = 0,039 mm π ©σF ¹ 𠨩 900 MPa ¸¹ 2

ωEVZ

(1 − 2ν ) 2 § K I · (1 − 2 ⋅ 0,3) 2 ¸¸ = = ⋅ ¨¨ π π ©σF ¹

Für KI = 0,5KI,max = 50 MPa m gilt: 2

ωESZ

1 § 50 MPa m ·¸ = 0,98 mm = ⋅¨ 𠨩 900 MPa ¸¹

2

§ 10 MPa m · ¸ = 0,006 mm ⋅¨ ¨ 900 MPa ¸ ¹ ©

3.5 Lokale Plastizität an der Rissspitze

ωEVZ =

(1 − 2 ⋅ 0,3) 2 §¨ 50 MPa m ⋅ ¨ 900 MPa π ©

81 2

· ¸ = 0,16 mm ¸ ¹

Für KI = KI,max ergibt sich: 2

ωESZ =

1 §¨ 100 MPa m ·¸ = 3,93 mm ⋅ 𠨩 900 MPa ¸¹

(1 − 2 ⋅ 0,3) 2 §¨ 100 MPa m ωEVZ = ⋅ ¨ 900 MPa π ©

2

· ¸ = 0,63 mm ¸ ¹

b) Konstruktionswerkstoff 2: KI = 0,1KI,max = 3 MPa m , ν = 0,34 und σF = Rp0,2 = 500 MPa 2

1 § 3 MPa m ·¸ ω ESZ = ⋅ ¨¨ = 0,036 mm π © 500 MPa ¸¹ 2

ωEVZ =

(1 − 2 ⋅ 0,34) 2 §¨ 3 MPa m ·¸ = 0,001 mm ⋅ ¨ 500 MPa ¸ π ¹ ©

Für KI = 0,5KI,max = 15 MPa m gilt: 1 § 15 MPa m ωESZ = ⋅ ¨¨ π © 500 MPa

2

· ¸ = 0,29 mm ¸ ¹ 2

ω EVZ =

(1 − 2 ⋅ 0,34) 2 §¨ 15 MPa m ·¸ = 0,03 mm ⋅ ¨ 500 MPa ¸ π ¹ ©

Für KI = KI,max = 30 MPa m ergibt sich: 2

1 § 30 MPa m ·¸ ωESZ = ⋅ ¨¨ = 1,15 mm π © 500 MPa ¸¹ 2

ω EVZ =

(1 − 2 ⋅ 0,34) 2 §¨ 30 MPa m ·¸ = 0,12 mm ⋅ ¨ 500 MPa ¸ π ¹ ©

82

3.5.2

3 Grundlagen der Bruchmechanik

Risslängenkorrektur

Zur Berücksichtigung der plastischen Zone bei der Berechnung des Spannungsintensitätsfaktors hat IRWIN [3-8] eine Risslängenkorrektur ∆a = apl vorgeschlagen (siehe Bild 3-17 und Gleichung (3.37) bzw. Gleichung (3.38)), um welche die tatsächliche Risslänge vergrößert werden kann. Mit der sogenannten fiktiven Risslänge afikt = a + apl wird dann der Spannungsintensitätsfaktor K I,fikt = σ ⋅ π ⋅ afikt ⋅ YI (afikt )

(3.42)

berechnet [3-1 bis 3-3].

3.5.3

Bedeutung der plastischen Zone bei der Ermüdungsrissausbreitung

Die Ausbildung der plastischen Zone in der Rissumgebung spielt insbesondere auch beim Ermüdungsrisswachstum eine entscheidende Rolle (siehe beispielsweise Kapitel 6.2 und Kapitel 6.3). Insbesondere viele Rissfortschrittskonzepte bei Belastung mit variabler Amplitude kommen ohne Betrachtung der plastischen Zone und der sich dadurch ergebenden Spannungsumverteilung in der Rissumgebung nicht aus (siehe z. B. Kapitel 6.3).

3.6 Energiefreisetzungsrate und J-Integral In Kapitel 3.2 werden die Spannungsverteilungen an Rissen beschrieben. Charakteristisch für die Rissbeanspruchung sind dort die Spannungsintensitätsfaktoren KI, KII und KIII, siehe Kapitel 3.4. Neben der Beschreibung der Rissbeanspruchung durch die Spannungsintensitätsfaktoren lassen sich die Verhältnisse an der Rissfront auch durch eine Energiefreisetzungsrate oder den Wert eines wegunabhängigen Integrals um die Rissspitze darstellen.

3.6.1

Energiefreisetzungsrate

Erste Energiebetrachtungen wurden von GRIFFITH angestellt [3-1, 3-25]. Darauf aufbauend hat IRWIN [3-1, 3-8] die Energiefreisetzungsrate G, die auch Rissausbreitungskraft genannt wird, definiert. Die bei einer Rissverlängerung um da freigesetzte elastische Energie dU deckt dabei den Bedarf an erforderlicher Oberflächenenergie und außerdem an eventuell anfallender Verformungsenergie. Für G gilt somit G=−

dU da

(3.43).

Diese Beziehung ist gültig für Scheiben mit der Einheitsdicke 1, also für ebene Rissprobleme, bei denen sich die Rissausbreitung in Richtung des vorhandenen Risses vollzieht. Bei räumlichen Rissproblemen (siehe z. Β. Bild 2-21b bis Bild 2-21d) erweitert sich der Riss um eine Rissfläche dA. Somit errechnet sich dann die Energiefreisetzungsrate mit der Beziehung G=−

dU dA

(3.44).

3.6 Energiefreisetzungsrate und J-Integral

83

Zwischen der Energiefreisetzungsrate G und den Spannungsintensitätsfaktoren KI, KII und KIII bestehen feste Zusammenhänge [3-1 bis 3-3, 3-8, 3-15]. Für Mode I-Beanspruchung gilt für den ebenen Spannungszustand (ESZ) G = GI =

K I2 E

(3.45)

und für den ebenen Verzerrungszustand (EVZ) G = GI =

1 −ν 2 ⋅ K I2 E

(3.46).

Bei reiner Mode II-Beanspruchung ist G = GII =

1 −ν 2 ⋅ K II2 E

(3.47)

und für reine Mode III-Beanspruchung gilt G = GIII =

1 +ν 2 ⋅ K III E

(3.48).

Für den Fall, dass alle drei Beanspruchungsarten entlang der Rissfront auftreten, kann die Energiefreisetzungsrate mit nachfolgender Beziehung berechnet werden: G = GI + GII + GIII =

3.6.2

K2 1 −ν 2 ⋅ ( K I2 + K II2 + III ) E 1 −ν

(3.49).

J-Integral

Von RICE [3-1, 3-26] wurde das sogenannte J-Integral, ein Linienintegral mit geschlossenem Integrationsweg um die Rissspitze eingeführt: G G ∂u (3.50), J = ³ (U dy − σ ds) ∂x C

mit ε ij

U = ³ σ ijdε ij 0

als der elastischen Energiedichte ( U : Energie pro Volumeneinheit, σij: Spannungstensor, εij: G G Dehnungstensor), σ als Spannungsvektor und u als Verschiebungsvektor auf dem Integrationsweg C und ds als Wegkoordinate, Bild 3-19. RICE hat gezeigt, dass J vom Integrationsweg unabhängig ist, wobei dieser sowohl durch elastisch als auch durch plastisch verformtes Gebiet verlaufen darf.

84

3 Grundlagen der Bruchmechanik

 ds

Riss

u

y x C

Bild 3-19

Veranschaulichung des Integrationsweges und der Größen beim J-Integral C: Integrationsweg G σ : Spannungsvektor G u: Verschiebungsvektor ds: Wegkoordinate

Für den Fall einer kleinen plastischen Zone am Riss, gelten u. a. die Zusammenhänge J=

K I2 =G E

(3.51)

für den ESZ und J=

1 −ν 2 ⋅ K I2 = G E

(3.52)

für den EVZ.

3.7 Ermittlung der Spannungsintensitätsfaktoren und anderer bruchmechanischer Größen Spannungsintensitätsfaktoren für grundlegende Rissprobleme sind in verschiedenen Publikationen zusammengestellt (siehe z. B. [3-1, 3-6, 3-12 bis 3-14] und Kapitel 3.4). Mit diesen Formeln, Tabellen und Diagrammen lassen sich für viele Probleme in der Praxis die Spannungsintensitätsfaktoren ermitteln und somit die Gefährlichkeit von Rissen abschätzen. Da aber nicht alle Belastungssituationen und alle Riss- und Bauteilgeometrien erfasst sind, kann es erforderlich sein, Spannungsintensitätsfaktoren für den konkreten Rissfall zu bestimmen. Die Ermittlung der Spannungsintensitätsfaktoren kann mittels •

elastizitätstheoretischer Verfahren

•

numerischer Verfahren oder

•

experimenteller Methoden

erfolgen [3-1, 3-5, 3-9, 3-14, 3-18, 3-27 bis 3-32].

3.7 Ermittlung der Spannungsintensitätsfaktoren und anderer bruchmechanischer Größen

85

Dabei spielen je nach Verfahren z. B. •

das Spannungsfeld in der Rissumgebung,

•

das Verschiebungsfeld in der Rissumgebung und die Rissuferverschiebungen,

•

die Energiefreisetzungsrate

•

das Rissschließungsintegral und

•

das J-Integral

eine Rolle [3-1, 3-14, 3-26 bis 3-32].

3.7.1

Ermittlung von Spannungsintensitätsfaktoren aus dem Spannungsfeld in der Rissumgebung

Bei diesem Verfahren vergleicht man das tatsächlich vorliegende Spannungsfeld, das z. B. mit der Finite-Elemente-Methode ermittelt wurde, mit den Nahfeldlösungen nach Kapitel 3.2.2 und Kapitel 3.2.3. Für reine Mode I-Belastung ergibt sich entlang der x-Achse die Nahfeldlösung der Spannungsgleichung für σy mit

σy =

KI

(3.53).

2π ⋅ x

Bestimmt man nun numerisch auf der x-Achse z. B. mit der Finite-Elemente-Methode die Spannungswerte σy,FEM(x) so erhält man unter Berücksichtigung der Gültigkeit der Nahfeldgleichung für kleine x-Werte durch den Grenzübergang x → 0 den für das Rissspitzenspannungsfeld gültigen Spannungsintensitätsfaktor K I = lim

x →0

(3.54),

2π ⋅ x ⋅ σ y,FEM

siehe auch Bild 3-20. KI(x)

KI

KI(x)-Werte aus der FEM-Berechnung

Wertebereich für die Extrapolation

Extrapolationsgerade

x Bild 3-20

Prinzipielle Vorgehensweise bei der Ermittlung der Spannungsintensitätsfaktoren aus dem Spannungsfeld in der Rissumgebung für Mode I-Beanspruchung des Risses

Die Grenzwertbildung nach Gleichung (3.54) wird als Extrapolation für x → 0 durchgeführt. Dabei kann jedoch nur ein bestimmter Wertebereich herangezogen werden, da für x → 0 die mit der FEM berechneten Spannungen bei Verwendung von Standardelementen zu ungenau sind und für große x-Werte die Nahfeldgleichungen ihre Gültigkeit verlieren.

86

3.7.2

3 Grundlagen der Bruchmechanik

Ermittlung der Spannungsintensitätsfaktoren aus dem Verschiebungsfeld in der Rissumgebung

Ausgangspunkt dieses Verfahrens sind die Verschiebungsfelder in der Rissumgebung, siehe Kapitel 3.3. Die größten Verschiebungen treten an den Rissoberflächen (Rissrändern), d. h. für ϕ = ±180°, auf. Für Mode I-Beanspruchung ist dort die Verschiebung v in y-Richtung in Anlehnung an Gleichung (3.11) wie folgt definiert: v=

(κ + 1) ⋅ (1 + ν ) r ⋅ ⋅ KI 2π E

(3.55).

2v entspricht der Rissöffnung. Bestimmt man nun z. B. mit der Finite-Elemente-Methode entlang des Rissrandes die Verschiebungen vFEM, so ergibt sich der Spannungsintensitätsfaktor KI mit der Beziehung E 2π ⋅ ⋅ vFEM r r → 0 (κ + 1) ⋅ (1 + ν )

K I = lim

(3.56).

Auch bei dieser Methode ist eine Extrapolation der KI-Werte für r → 0 sinnvoll. In der Praxis hat sich gezeigt, dass die Ermittlung der Spannungsintensitätsfaktoren aus dem Verschiebungsfeld im Allg. genauer ist als die Ermittlung von KI aus dem Spannungsfeld.

3.7.3

Ermittlung bruchmechanischer Größen mit dem J-Integral

Auf einem Integrationsweg um die Rissspitze lässt sich z. B. mit der Finite-Elemente-Methode der Wert des J-Integrals, siehe Kapitel 3.6.2, bestimmen. Dabei ist der Integrationsweg so zu wählen, dass er weder zu nah an der Rissspitze (wegen der Ungenauigkeit der FEMErgebnisse unmittelbar an der Rissspitze) noch in einem zu weit entfernten Gebiet um die Rissspitze verläuft. Im Falle linear-elastischer Spannungs- und Verschiebungsberechnung oder auch für Kleinbereichsfließen an der Rissspitze ist nach Kapitel 3.6.2 der Wert des J-Integrals identisch der Energiefreisetzungsrate G. Für reine Mode I-Beanspruchung kann auch der Spannungsintensitätsfaktor KI aus dem Wert des J-Integrals ermittelt werden. Für den ESZ gilt dann nach Gleichung (3.51) (3.57)

KI = E ⋅ J

und für den EVZ nach Gleichung (3.52) KI =

3.7.4

E 1 −ν 2

⋅J

(3.58).

Ermittlung bruchmechanischer Größen mit dem Rissschließungsintegral

Nach IRWIN [3-8] deckt die bei der Rissausbreitung freigesetzte elastische Energie die zur Rissverlängerung um da erforderliche Energie. Die Rissausbreitungsenergie ist bei elastischer Verformung auch gleich der Arbeit um den Riss gedanklich wieder zu schließen. Die Arbeit dW um den Riss um ein Teilstück dx zu schließen lässt sich mit der Spannung σy(x) und der Rissverschiebung v(x), Bild 3-21, errechnen, wenn anstatt der Spannung σy(x) die Druckkraft

3.7 Ermittlung der Spannungsintensitätsfaktoren und anderer bruchmechanischer Größen

87

dFy = –σy(x) dx auf die Rissoberflächen wirken lässt. Für eine Scheibe der Dicke t = 1 ergibt sich dann 1 dW = 2 ⋅ ⋅ dFy ⋅ v( x) = −σ y ( x) ⋅ v( x) ⋅ dx 2

(3.59).

Um den Riss um die Risslänge da zu schließen ergibt sich dann die Arbeit da

³

W = − σ y ( x) ⋅ v( x) dx

(3.60).

0

y Scheibendicke t = 1

y

y y (x)

v

dFy = -y (x)dx

v(x)

v(x) x

dx da

a

Bild 3-21

x

dx a

da

Definition des Rissschließungsintegrals bei Mode I-Beanspruchung a) Spannungsverteilung σy(x) sowie Rissöffnungsverschiebung v(x) bei einer Rissverlängerung um da b) Arbeit zum Schließen des Risses errechnet sich bei einer Scheibe mit dFy und v(x)

Mit W = U erhält man nach Gleichung (3.43) die Energiefreisetzungsrate für Mode I da

GI =

1 dU dW σ y ( x) ⋅ v( x) dx = = da da da

³

(3.61)

0

und mit Gleichung (3.45) den Spannungsintensitätsfaktor (3.62)

K I = E ⋅ GI

für den ESZ sowie mit Gleichung (3.46) KI =

E 1 −ν 2

⋅ GI

für den EVZ. Für reine Mode II-Beanspruchung gilt

(3.63)

88

3 Grundlagen der Bruchmechanik da

GII =

1 1 −ν 2 ⋅ K II2 τ xy ( x) ⋅ u ( x) dx = da E

³

(3.64)

0

und für reine Mode III-Beanspruchung erhält man da

GIII =

1 1 +ν 2 2 ⋅ K III τ xz ( x) ⋅ w( x) dx = da E

³

(3.65).

0

Die Rissschließungsarbeit W lässt sich z. B. mit der Finite-Elemente-Methode berechnen, indem man unmittelbar die Knotenpunktkräfte und die Knotenpunktverschiebungen betrachtet [3-28 bis 3-32]. Die sogenannte modifizierte Rissschließungsintegralmethode (MVCCI, [3-30 bis 3-32]) ist sehr gut geeignet, um die Energiefreisetzungsraten und die Spannungsintensitätsfaktoren bei beliebiger Mixed-Mode-Beanspruchung an der Rissfront zu ermitteln. Mit Hilfe der FEM werden dann die Knotenpunktkräfte Fi und die Knotenpunktverschiebungen ui in den Koordinatenrichtungen x, y und z ermittelt und daraus die Energiefreisetzungsraten GI, GII und GIII bestimmt. Entsprechend den Bezeichnungen in Bild 3-22 gilt dann GI (a, ∆t k ) k =

1 ⋅W y ∆t k ⋅ ∆a k

(3.66)

mit Wky =

[

]

(3.67)

1 ⋅ Wkx ∆t k ⋅ ∆a

(3.68)

]

(3.69)

1 ⋅ Wkz ∆t k ⋅ ∆a

(3.70)

]

(3.71).

1 y F (a) ⋅ ∆uiy−1, k (a ) 2 i, k

sowie GII (a, ∆t k ) k =

mit Wkx =

[

1 x Fi, k (a) ⋅ ∆uix−1, k (a) 2

sowie GIII (a, ∆t k ) k =

mit Wkz =

[

1 z Fi, k (a ) ⋅ ∆uiz−1, k (a) 2

Die Ermittlung der Spannungsintensitätsfaktoren KI, KII und KIII folgt dann mit den Gleichungen (3.62) bis (3.65).

3.8 Konzepte zur Vorhersage des instabilen Risswachstums y i,k

89

y i+1,k k-1 t k,k-1 tk

k

xk t k+1,k k+1

a

a zi i-1 Bild 3-22

i

zi+1 i+1

Finite-Elemente-Konfiguration, Knotenpunktbezeichnungen und Koordinaten für die Ermittlung der Energiefreisetzungsraten GI, GII und GIII mit der MVCCI-Methode

3.8 Konzepte zur Vorhersage des instabilen Risswachstums Ausgehend von den charakteristischen Größen der Bruchmechanik •

den Spannungsintensitätsfaktoren KI, KII, KIII

•

der Energiefreisetzungsrate G bzw. GI, GII, GIII und dem

•

Wert des J-Integrals

können Konzepte entwickelt werden, mit denen sich die Gefährlichkeit eines Risses abschätzen lässt. Vergleicht man die Werte der bruchmechanischen Größen mit entsprechenden Werkstoffkennwerten so ergeben sich sogenannte Bruchkriterien, die es erlauben, das Eintreten einer instabilen Rissausbreitung, d. h. eines plötzlichen Bruch, vorherzusagen. Entsprechend den bereits dargestellten bruchmechanischen Größen lassen sich u. a •

das K-Konzept

•

das Kriterium der Energiefreisetzung und

•

das J-Kriterium

unterscheiden.

3.8.1

K-Konzept für Mode I

Maßgebend für die Beschreibung der Spannungs- und Verschiebungsfelder am Riss, siehe Kapitel 3.2 und Kapitel 3.3, sind die Spannungsintensitätsfaktoren, Kapitel 3.4. Sie sind ein Maß für die Gefährlichkeit des Risses und spielen in der linear-elastischen Bruchmechanik die bedeutendste Rolle. Die linear-elastische Bruchmechanik geht – abgesehen von kleinen plastischen Verformungen an der Rissspitze (siehe auch Kapitel 3.5) – von einem linear-elastischen Materialverhalten des Bauteils und der Struktur aus. Für eine Mode I-Beanspruchung an der Rissspitze ergibt sich das Bruchkriterium K I = K IC

(3.72),

90

3 Grundlagen der Bruchmechanik

d. h. ein kritischer Zustand (instabile Rissvergrößerung) tritt ein, wenn der Spannungsintensitätsfaktor KI einen werkstoffabhängigen kritischen Wert KIC annimmt. Die Risszähigkeit (oder der Risswiderstand) KIC ist wie fast alle Werkstoffkennwerte auch von der Temperatur und der Belastungsgeschwindigkeit abhängig. Die Ermittlung der KIC-Werte wird in Kapitel 5.1 beschrieben, Risszähigkeitswerte für einige Materialien sind in Tabelle 5-3 angegeben. Wird ein Mode I-Riss instabil, so breitet er sich mit großer Geschwindigkeit in Richtung des bisherigen Risses aus, siehe auch Bild 3-23a. a)

b) Ausgangsriss

Rissausbreitung

Rissausbreitung

Ausgangsriss 0

Mode I

c)

Rissausbreitung Ausgangsriss

Mode II

d)

Rissausbreitung Ausgangsriss

0

Mode III Bild 3-23

3.8.2

Mode I+II+III

Rissausbreitung bei unterschiedlichen Rissbeanspruchungen a) Rissausbreitung bei Mode I-Beanspruchung des Risses b) Abknicken des Risses bei Mode II-Beanspruchung c) Verdrehen des Risses bei Mode III-Beanspruchung d) Verschrauben des Risses bei Überlagerung von Mode I-, Mode II- und Mode IIIBeanspruchung

K-Konzept für Mode II-, Mode III- und Mixed-Mode-Beanspruchungen

Bei Mode II-, Mode III- und ebener oder räumlicher Mixed-Mode-Beanspruchung gelten als Beanspruchungsgrößen die KII- oder KIII-Faktoren oder die Vergleichsspannungsintensitätsfaktoren KV (siehe z. B Kapitel 3.4.1.1, Kapitel 3.4.3.2 und Kapitel 3.4.3.3).

3.8.2.1

K-Konzept für Mode II

Analog zur Mode I-Beanspruchung gilt für reine Mode II K II = K IIC

(3.73),

d. h. instabile Rissausbreitung tritt ein, wenn der Spannungsintensitätsfaktor KII einen kritischen Wert KIIC erreicht. Dieser lässt sich mit geeigneten Proben und Vorrichtungen experimentell bestimmen (siehe z. B. [3-7, 3-33, 3-34] und Kapitel 5.4.1), kann aber auch mit einer

3.8 Konzepte zur Vorhersage des instabilen Risswachstums

91

Bruchhypothese aus der Risszähigkeit KIC errechnet werden (siehe z. B. Kapitel 3.8.2.3). Demnach ist (3.74).

K IIC = 0,87 K IC

Tritt instabile Rissausbreitung ein, so erfolgt das Risswachstum in eine neue Richtung. Der Riss knickt dann um einen Winkel ϕ0 ≈ ± 70° ab, siehe Bild 3-23b und Bild 5-22.

3.8.2.2

K-Konzept für Mode III

Bei Mode III-Beanspruchung am Riss gilt als Bruchkriterium (3.75).

K III = K IIIC

Erreicht der Spannungsintensitätsfaktor KIII (siehe z. B. Kapitel 3.4.1 und Kapitel 3.4.2.10) die Risszähigkeit KIIIC, so tritt instabile Rissausbreitung und somit i. Allg. Bruch des Bauteils ein. Da die Ermittlung von KIIIC-Werten aufwändig ist, kann KIIIC auch entsprechend einer Bruchhypothese aus der Risszähigkeit KIC ermittelt werden. Nach Gleichung (3.84) gilt (3.78).

K IIIC = K IC

Auch bei Mode III-Beanspruchung ändert sich der Rissverlauf bei instabiler Rissausbreitung. Die Rissfläche ist dann z. B. um ψ0 = 45° gegenüber dem Ausgangsriss geneigt, siehe z. B. Bild 3-23c.

3.8.2.3

K-Konzept für ebene Mixed Mode

Bei ebener Mixed-Mode-Beanspruchung wird der Vergleichsspannungsintensitätsfaktor KV, siehe Gleichung (3.33), der Risszähigkeit KIC gegenübergestellt (siehe z. B. [3-7, 3-10, 3-11]). Demnach gilt das Bruchkriterium KV =

KI 1 + K I2 + 5,336 K II2 = K IC 2 2

(3.79).

Der Riss knickt je nach KII- und KI-Anteil um den Winkel ϕ0 ab. Dieser lässt sich z. B. mit der Beziehung ª

ϕ 0 = B «140° « ¬

K II K I + K II

§ K II − 70°¨ ¨K +K II © I

· ¸ ¸ ¹

2º

» » ¼

für KI  0 ermitteln [3-10]. Bei reiner Mode I-Beanspruchung (KI  0, KII = 0) ergibt sich K V = K I = K IC

und

ϕ 0 = 0° Für den Grenzfall der reinen Mode II-Beanspruchung (KI = 0, KII  0) gilt

(3.80)

92

3 Grundlagen der Bruchmechanik K V = 1,155K II = K IC

und somit K II = K IIC = 0,87 K IC .

Ein Beispiel für die unterschiedlichen Abknickwinkel bei instabiler Rissausbreitung infolge ebener Mixed-Mode-Beanspruchung am Riss ist in Bild 3-24 gezeigt. Rissausbreitung bei Mode IIBeanspruchung des Ausgangsrisses Rissausbreitung bei Mixed Mode bei negativer Schubbeanspruchung (negativem KII-Faktor) Ausgangsriss 0

Rissausbreitung bei Mode I

Rissausbreitung bei Mixed Mode bei positiver Schubbeanspruchung (positivem KII -Faktor)

Bild 3-24

Rissausbreitung infolge ebener Mixed-Mode-Beanspruchung

3.8.2.4

K-Konzept für räumliche Mixed Mode

Das K-Konzept bei räumlicher Mixed-Mode-Beanspruchung geht davon aus, dass instabile Rissausbreitung eintritt, wenn der Vergleichsspannungsintensitätsfaktor KV nach Gleichung (3.36) die Risszähigkeit KIC erreicht. Somit gilt [3-10, 3-11, 3-20 bis 3-22]: KV =

KI 1 2 + K I2 + 5,336 K II2 + 4 K III = K IC 2 2

(3.81).

Der Riss knickt je nach KII-Anteil um den Winkel ϕ0 ab bzw. verdreht sich je nach KIII-Anteil um den Winkel ψ0 [3-10, 3-20, 3-22]. Formelmäßig gilt ª § K II K II − 70°¨ ϕ 0 = B «140° ¨ « K I + K II + K III © K I + K II + K III ¬ ª

ψ 0 = B «78° « ¬

für KI  0.

K III K I + K II + K III

§ K III − 33°¨ ¨ K I + K II + K III ©

· ¸ ¸ ¹ · ¸ ¸ ¹

2º

» » ¼

(3.82)

2º

» » ¼

(3.83)

3.8 Konzepte zur Vorhersage des instabilen Risswachstums

93

Für reine Mode III-Beanspruchung (KI = KII = 0, KIII  0) gilt somit (3.84).

K V = K III = K IC

sowie

ϕ0 = 0

und

ψ0 = 45°.

Die Zusammenhänge bei räumlicher Mixed-Mode-Beanspruchung lassen sich mit einem KIKII-KIII-Diagramm verdeutlichen (siehe Bild 3-25). KII KIIC

Bruchgrenzfläche

Bruchgrenzkurve für die Überlagerung von Mode II und Mode III

Bruchgrenzkurve für die Überlagerung von Mode I und Mode II (Ebene Mixed Mode)

KIC

KIIIC KIII

KI

Bruchgrenzkurve für die Überlagerung von Mode I und Mode III

Bild 3-25 Darstellung des K-Konzepts für räumliche Mixed-Mode-Beanspruchung in einem KI-KII-KIIIRaum

Reine Mode I-Beanspruchung wird durch die KI-Achse repräsentiert. Für KI = KIC tritt instabile Rissausbreitung ein. Die KII-Achse stellt die reine Mode II-Belastung dar. Ein Riss wird instabil, wenn KII = KIIC erreicht. Bei Mode III gilt das Instabilitätskriterium KIII = KIIIC. Tritt an einem Riss in einem Bauteil eine räumliche Mixed-Mode-Beanspruchung auf, so setzt instabile Rissausbreitung ein, wenn die Rissbeanspruchung, charakterisiert durch KI, KII und KIII, die in Bild 3-25 gezeigte Bruchgrenzfläche erreicht. Diese Bruchgrenzfläche entspricht der formelmäßigen Darstellung in Gleichung (3.81).

94

3 Grundlagen der Bruchmechanik

Beispiel 3-6 

In einer zugbelasteten Glasscheibe befindet sich ein Riss der Länge 2a. Der Riss ist unter einem Winkel β zur Zugspannungsrichtung orientiert.



2a

Man bestimme die Spannung σ bei welcher sich der Riss instabil ausbreitet. geg.: a = 4 mm,  = 45°, KIC = 2 MPa m



Lösung: Bei dem vorliegenden Rissfall handelt es sich um ein ebenes Mixed-Mode-Problem mit K I = σ ⋅ π ⋅ a ⋅ sin 2 β und K II = σ ⋅ π ⋅ a ⋅ sin β ⋅ cos β

(siehe Kapitel 3.4.2.5).

Mit dem Bruchkriterium nach Gleichung (3.79) erhält man ª sin 2 β 1 º + sin 4 β + 5,336 ⋅ sin 2 β ⋅ cos 2 β » = K IC KV = σ ⋅ π ⋅ a ⋅ « 2 ¬« 2 ¼»

und somit

σ=

K IC ª sin 2 β 1 º + sin 4 β + 5,336 ⋅ sin 2 β ⋅ cos 2 β » π ⋅a ⋅« 2 ¬« 2 ¼» 63,2 N/mm3/2

=

ª sin 2 45°

π ⋅ 4 mm ⋅ « ¬«

2

+

º 1 sin 4 45° + 5,336 ⋅ sin 2 45° ⋅ cos 2 45° » 2 ¼»

= 20,3 N/mm 2 = 20,3 MPa

3.8.3

Kriterium der Energiefreisetzung

Neben dem K-Konzept hat das Kriterium der Energiefreisetzung in der Bruchmechanik eine besondere Bedeutung. Bei Mode I-Belastung tritt demnach ein instabiles Risswachstum und somit in der Regel Bruch des Bauteils ein, wenn die Energiefreisetzungsrate GI einen kritischen Wert GIC annimmt. Somit lautet das Bruchkriterium GI = GIC

GIC kann z. B. mit der Beziehung

(3.85).

3.9 Risszähigkeiten

GIC =

1 −ν 2 2 ⋅ K IC E

95

(3.86).

aus der Risszähigkeit KIC ermittelt werden.

3.8.4

J-Kriterium

Das K-Konzept und das Kriterium der Energiefreisetzungsrate ist nur anwendbar im Rahmen der linear-elastischen Bruchmechanik, d. h. wenn die Ausdehnung der plastischen Zone am Riss klein im Vergleich zur Risslänge oder zur Ausdehnung des Restquerschnitts ist. Bei umfangreichem plastischen Fließen ist der Spannungsintensitätsfaktor nicht mehr geeignet, den Spannungs- und Dehnungszustand an der Rissspitze zu beschreiben. Ein Bruchkriterium, das bei ausgedehntem elastisch-plastischen Materialverhalten angewendet werden kann, ist das J-Integral-Konzept. Grundlage ist das RICEsche Linienintegral (siehe Kapitel 3.6.2). Eine instabile Rissvergrößerung tritt demnach ein, wenn die Größe J einen kritischen Wert (Materialgrenzwert) JIC annimmt. Für Mode I ergibt sich somit das Bruchkriterium J = J IC

(3.87).

J kann analytisch oder auch numerisch, z. B. mit der Methode der finiten Elemente, berechnet werden (siehe auch Kapitel 3.7.3). JIC muss dagegen experimentell bestimmt werden, siehe z. B. [3-2, 3-3]. Im Bereich der linear-elastischen Bruchmechanik kann JIC auch mit der Risszähigkeit KIC ermittelt werden. Es gilt dann: J IC =

1 −ν 2 2 ⋅ K IC E

(3.88).

3.9 Risszähigkeiten Instabile Rissausbreitung und damit i. Allg. Bruch eines Bauteils oder einer Struktur tritt ein, wenn bei Mode I-Beanspruchung des Risses der Spannungsintensitätsfaktor KI einen Materialgrenzwert, die Risszähigkeit KIC, erreicht (siehe Kapitel 3.8.1). Will man also die Gefährlichkeit eines Risses abschätzen, so muss man neben dem Spannungsintensitätsfaktor KI (siehe z.B. Kapitel 3.4) auch die Risszähigkeit KIC kennen. Diese wird, wie in Kapitel 5.1 beschrieben, mit speziellen bruchmechanischen Proben, meist CT-Proben, bestimmt. Die Risszähigkeit ist wie fast alle Werkstoffkennwerte von der Temperatur abhängig, siehe z.B. Bild 5-18. KIC-Werte für verschiedene Materialien sind z. B. in Tabelle 5-3 angegeben. Bei reiner Mode II kann, für den Fall, dass keine entsprechenden Materialwerte vorliegen, der KIIC-Wert mit dem KIC-Wert abgeschätzt werden (siehe Kapitel 3.8.2.1); für reine Mode III kann angenommen werden, dass KIIIC = KIC ist (siehe Kapitel 3.8.2.2). Bei Mixed-Mode-Beanspruchung tritt instabile Rissausbreitung ein, wenn der Vergleichsspannungsintensitätsfaktor KV die Risszähigkeit KIC erreicht.

96

3 Grundlagen der Bruchmechanik

3.10 Bewertung von Bauteilen mit Rissen mit bruchmechanischen Methoden Mit den in Kapitel 3.1 bis 3.9 dargestellten Erkenntnissen lassen sich Bauteile und Strukturen mit Fehlern und Rissen bruchmechanisch bewerten. Dabei ist es möglich, eine kritische Belastung oder eine kritische Rissabmessung zu ermitteln, bei der ein vorhandener Riss instabil wird und somit z. B. das gesamte Bauteil zerbricht (siehe z. B. die Schadensfälle in Kapitel 2). Auch kann ein Werkstoff eingesetzt werden, der weniger rissempfindlich ist, d. h. höhere bruchmechanische Werkstoffkennwerte besitzt. Nicht zuletzt lässt sich auch abschätzen, welche Sicherheiten bzw. Sicherheitsfaktoren gegen das Eintreten instabiler Rissausbreitung vorliegt. Ähnlich wie beim klassischen Festigkeitsnachweis, siehe z. B. Kapitel 1.3.3, lässt sich auch ein bruchmechanischer Nachweis (teilweise auch bruchmechanischer Festigkeitsnachweis genannt, siehe z. B. [3-6, 3-10]) durchführen. Auch bei Bauteilen mit Rissen kann auf den klassischen Festigkeitsnachweis nicht verzichtet werden. Der bruchmechanische Nachweis stellt eine Ergänzung oder – genauer genommen – ein zweites bei Bauteilen mit Rissen unabdingbares Kriterium zur Abschätzung der Bruchgefahr dar (siehe auch Kapitel 3.11).

3.10.1 Ablauf eines bruchmechanischen Nachweises Beim bruchmechanischen Nachweis geht man von einem Bauteil mit Riss aus. Aus der Belastung des Bauteils und der Riss- und Bauteilgeometrie wird dann eine charakteristische Größe zur Rissbeurteilung ermittelt. Bauteil mit Riss

Bruchmechanikprobe

Belastung

Riss- und Bauteilgeometrie

bruchmechanischer Werkstoffkennwert

z. B. F, M, M T, , 

z. B. a, c, d, t, A, ...

z. B. KIC

charakteristische Größe zur Rissbeurteilung z. B. KI , KV, J, G

Sicherheitsfaktor gegen instabile Rissausbreitung z. B. S R

zulässiger bruchmechanischer Grenzwert z. B. KI,zul = KIC/SR

Bruchmechanischer Nachweis z.B. KI < KI,zul , KV < KI,zul

kritische Belastung

kritische Rissabmessung

erforderlicher Werkstoff

Bild 3-26 Schematischer Ablauf eines bruchmechanischen Nachweises

Sicherheit gegen instabile Rissausbreitung

3.10 Bewertung von Bauteilen mit Rissen mit bruchmechanischen Methoden

97

Im Rahmen der linear-elastischen Bruchmechanik, d. h. die plastische Zone am Riss ist klein gegen die Riss- und Bauteilabmessung, verwendet man im Allg. den Spannungsintensitätsfaktor z. B. KI oder einen Vergleichsspannungsintensitätsfaktor KV als charakteristische bruchmechanische Größe (siehe z. B. Kapitel 3.4). Bruchmechanische Werkstoffkennwerte müssen dagegen mit speziellen bruchmechanischen Proben ermittelt werden. Im Rahmen der linearelastischen Bruchmechanik ist dies i. Allg. die Risszähigkeit KIC, die als Werkstoffkennwert herangezogen wird (siehe z. B. Kapitel 3.9 und Kapitel 5.1). Ein Bruchkriterium ergibt sich, wenn die charakteristische Größe der Rissbeschreibung, z. B. KI, dem bruchmechanischen Werkstoffkennwert, z. B. der Risszähigkeit KIC, gleichgesetzt wird (siehe auch Kapitel 3.8). Damit lässt sich die kritische Belastung oder die kritische Rissabmessung bestimmen, bei der instabile Rissausbreitung einsetzt (siehe auch Kapitel 3.10.2). Führt man jedoch für ein Bauteil mit bereits entdecktem Riss oder ein Bauteil, in dem ein Riss möglicherweise entstehen oder wachsen kann, einen bruchmechanischen Nachweis durch, so muss eine entsprechende Sicherheit gegen instabile Rissausbreitung gegeben sein. In diesem Fall vergleicht man die charakteristische Größe der Rissbeanspruchung, z. B. KI oder KV, mit einem zulässigen bruchmechanischen Kennwert, z. B. KI,zul. Dieser bruchmechanische Grenzwert errechnet sich dann aus dem bruchmechanischen Werkstoffkennwert, z. B. KIC, und einem Sicherheitsfaktor, z. B. SR, gegen instabile Rissausbreitung. Mit dem bruchmechanischen Nachweis lassen sich dann zulässige Belastungen, zulässige Rissabmessungen, erforderliche Werkstoffe und Sicherheiten gegen Sprödbruch oder instabile Rissausbreitung ermitteln. Der schematische Ablauf eines bruchmechanischen Nachweises ist in Bild 3-26 zusammengefasst.

3.10.2 Anwendungen des Bruchkriteriums und des bruchmechanischen Nachweises auf Mode I-Rissprobleme Bei Mode I-Beanspruchung tritt instabile Rissausbreitung ein, wenn die am Riss vorhandene Spannungsintensität KI die Risszähigkeit KIC erreicht. Mit Gleichung (3.72) und Gleichung (3.14) folgt somit K I = σ ⋅ π ⋅ a ⋅ YI = K IC

(3.89).

Für eine bestimmte Risslänge a folgt daraus die kritische Spannung

σC =

K IC

π ⋅ a ⋅ YI

(3.90).

Für eine vorliegende Spannung σ ergibt sich aus Gleichung (3.89) die kritische Risslänge aC =

2 K IC

π ⋅ σ 2 ⋅ YI2

(3.91),

bei der instabile Rissausbreitung einsetzt. Die Zusammenhänge, wie sie in Gleichung (3.89), Gleichung (3.90) und Gleichung (3.91) beschrieben werden, lassen sich wie in Bild 3-27 dargestellt, grafisch verdeutlichen. Für eine bestimmte Risslänge a kann dementsprechend eine kritische Spannung σC ermittelt werden, bei der instabile Rissausbreitung einsetzt, Bild 3-27a. Kleine Risslängen erlauben

98

3 Grundlagen der Bruchmechanik

hohe kritische Bauteilspannungen. Bei großen Risslängen tritt demgegenüber schon bei relativ geringer Bauteilbelastung instabile Rissausbreitung und damit Bruch des Bauteils ein. a)

b) 



KIC,3 > KIC,2 KIC,2 > KIC,1 C





a aC Bild 3-27

a

KIC,1 aC,1 aC,2 aC,3

a

Zusammenhang zwischen Bauteilbelastung und kritischer Risslänge bzw. vorhandener Risslänge und Bauteilbelastung a) Bauteilspannung σ in Abhängigkeit von der Risslänge a im Falle instabiler Rissausbreitung b) Einfluss der Risszähigkeit auf die kritische Bauteilspannung bzw. die kritische Risslänge beim Eintritt der instabilen Rissausbreitung

Ist die Bauteilspannung σ bekannt, so kann man in Bild 3-27a auch die kritische Risslänge aC ablesen, bei der instabile Rissausbreitung eintritt. Die kritische Risslänge aC und die kritische Spannung σC sind zudem in besonderer Weise abhängig von der Risszähigkeit KIC, Bild 3-27b. Spröde Werkstoffe besitzen eine geringe Risszähigkeit und sind dementsprechend stärker gefährdet, durch instabile Rissausbreitung zu versagen als zähe Werkstoffe mit relativ hohem KIC-Wert. Auch bei hohen YI-Werten, siehe z. B. Gleichung (3.89), tritt eher instabile Rissausbreitung ein. Führt man einen bruchmechanischen Nachweis, so muss bei Mode I K I ≤ K I, zul

(3.92)

bzw. KI ≤

K IC SR

(3.93)

sein (siehe auch Bild 3-26). Mit Gleichung (3.93) lassen sich somit auch mindestens erforderliche Werkstoffkennwerte und Sicherheiten gegen instabile Rissausbreitung ermitteln.

3.10 Bewertung von Bauteilen mit Rissen mit bruchmechanischen Methoden

99

Beispiel 3-7

a

2c

In einem großen Gussteil befindet sich ein Oberflächenfehler der Tiefe a und der Breite 2c. Senkrecht zum Fehler wirkt eine Zugspannung σ, die Risszähigkeit KIC für diesen Guss ist in der Literatur angegeben. Man bestimme die Sicherheit gegen instabile Rissausbreitung für dieses Gussteil.

geg.: a = 10 mm, c = 25 mm, σ = 80 MPa, KIC = 25 MPa m Lösung: K I = σ ⋅ π ⋅ a ⋅ YI =

K IC SR

Mit a/c = 0,4 und a/d = 0 folgt aus Bild 3-10 oder nach Formel (3.27) YI = 0,97 und somit SR =

K IC K IC 25 MPa m = = = 1,8 KI σ ⋅ π ⋅ a ⋅ YI 80 MPa π ⋅ 10 mm ⋅ 0,97

3.10.3 Anwendungen des Bruchkriteriums und des bruchmechanischen Nachweises auf Mode II-, Mode III- und Mixed-Mode-Probleme Bei Mode II-Beanspruchung tritt instabile Rissausbreitung ein, wenn die am Riss vorhandene Spannungsintensität KII die Risszähigkeit KIIC erreicht. Mit Gleichung (3.73) und Gleichung (3.15) gilt somit K II = τ ⋅ π ⋅ a ⋅ YII = K IIC

(3.94)

Für eine bestimmte Risslänge a lässt sich daraus die kritische Schubspannung

τC =

K IIC

π ⋅ a ⋅ YII

(3.95)

und für eine vorliegende Schubspannung τ eine kritische Risslänge aC =

2 K IIC

π ⋅ τ 2 ⋅ YII2

(3.96)

ermitteln, bei der instabile Rissausbreitung einsetzt. Die instabile Rissausbreitung erfolgt dann unter einem Winkel von ϕ0 = B 70° in Bezug auf den Ausgangsriss, siehe Bild 3-23. Bei Mode III-Beanspruchung setzt instabile Rissausbreitung ein, wenn die am Riss vorliegende Spannungsintensität KIII die Risszähigkeit KIIIC erreicht. Dementsprechend ergibt sich mit Gleichung (3.75) und Gleichung (3.16) K III = τ z ⋅ π ⋅ a ⋅ YIII = K IIIC

(3.97)

100

3 Grundlagen der Bruchmechanik

und daraus

τ z, C =

K IIIC

π ⋅ a ⋅ YIII

(3.98)

oder aC =

2 K IIIC 2 π ⋅ τ z2 ⋅ YIII

(3.99).

Bei instabiler Rissausbreitung ist die Risserweiterungsfläche um einen Winkel von ψ0 = ± 45° zum Ausgangsriss geneigt. Liegt ein ebener Mixed-Mode-Fall vor, so gilt das Bruchkriterium nach Gleichung (3.79). Der Riss knickt bei instabiler Rissausbreitung um den Winkel ϕ0 nach Gleichung (3.80) ab. Bei räumlicher Mixed-Mode-Beanspruchung kann das Bruchkriterium nach Gleichung (3.81) herangezogen werden um instabile Rissausbreitung vorherzusagen. Die Rissausbreitung kann dann mit Gleichung (3.82) und Gleichung (3.83) durch die Winkel ϕ0 und ψ0, siehe auch Bild 3-23, beschrieben werden. Führt man einen bruchmechanischen Festigkeitsnachweis durch, so muss für Mode II K II ≤

K IIC 0,87 K IC = SR SR

(3.100),

K IIIC K IC = SR SR

(3.101)

für Mode III K III ≤

und für Mixed Mode KV ≤

K IC SR

(3.102),

gelten.

3.11 Zusammenwirken von Festigkeitsberechnung und Bruchmechanik Bei der sicheren festigkeitsgerechten und bruchsicheren Gestaltung von Bauteilen und Strukturen sind sowohl die Kriterien der Festigkeitsberechnung (siehe Kapitel 1.3) und der Bruchmechanik (siehe Kapitel 3.8) zu beachten. Das Zusammenwirken dieser Konzepte ist in Bild 3-28 gezeigt. Die Festigkeitsberechnung liefert Aussagen über erforderliche Bauteilabmessungen, zulässige Belastungen, erforderliche Werkstoffe und vorhandene Sicherheiten gegen Festigkeitsversagen. Die Bruchmechanik liefert ebenfalls Hinweise über eine zulässige oder kritische Bauteilbelastung, über den erforderlichen Werkstoff sowie eine vorhandene Sicherheit gegen instabile

3.11 Zusammenwirken von Festigkeitsberechnung und Bruchmechanik

101

Rissausbreitung und Bruch. Darüber hinaus erhält man mit der Bruchmechanik Aussagen über kritische Rissabmessungen. Bruchmechanik

Festigkeitsberechnung wirksame Spannung

Werkstoffkennwert

V, max, 

R p0,2 , R e , R m

wirksame Spannungsintensität KV, KI

Festigkeitsnachweis V ื zul , R p0,2 , R m

Werkstoffkennwert K IC

Bruchmechanischer Nachweis KV ื K I,zul

zulässige (kritische) Belastung erforderliche Bauteilabmessungen

erforderlicher Werkstoff

kritische Rissabmessung

vorhandene Sicherheit

Bild 3-28

Zusammenwirken von Festigkeitsberechnung und Bruchmechanik bei statischer Bauteilbelastung

Will man rissgefährdete Bauteile sicher bewerten, müssen sowohl die Festigkeitskriterien als auch die bruchmechanischen Kriterien zum Einsatz kommen (siehe Bild 3-28).

Beispiel 3-8 F Dicke t

Für eine gewichtsoptimierte Konstruktion einer Zuglasche stehen zwei Werkstoffe zur Verfügung, der Stahl 34CrNiMo6 und die Aluminiumlegierung 7075-T651.

l

Aufgrund von Fertigungsproblemen ist die Existenz von kleinen Rissen in Betracht zu ziehen. Es steht ein Messgerät zur Verfügung, mit dem Risse bis zu einer Länge von 2a = 3mm sicher gefunden werden können.

b

F

Unter Berücksichtigung von Festigkeitskriterien und bruchmechanischen Betrachtungen bestimme man den gewichtsoptimalen Werkstoff.

102

3 Grundlagen der Bruchmechanik

geg.: F = 500 kN, b = 200 mm, l = 500 mm, Sicherheit gegen Bruch/instabile Rissausbreitung: SB = SR = 2 Rm,Stahl = 1200 MPa, KIC,Stahl = 2500 N/mm3/2, ρStahl = 7,8 kg/dm3, Rm,Alu = 540 MPa, KIC,Alu = 860 N/mm3/2, ρAlu = 2,8kg/dm3 Lösung: a) Festigkeitsberechnung

σ ≤ σ zul

Ÿ

σ=

F R = m b ⋅ t SB

Dicke der Zuglasche: t=

F ⋅ SB b ⋅ Rm

Gewicht der Zuglasche: G = ρ ⋅V = ρ ⋅ b ⋅ l ⋅ t = ρ ⋅ b ⋅ l ⋅

F ⋅ SB b ⋅ Rm

Dicke und Gewicht der Zuglasche für den Stahl: tStahl =

500 kN ⋅ 2 200 mm ⋅ 1200 N/mm 2

= 4,17 mm

GStahl = 7,8 kg/dm 3 ⋅ 200 mm ⋅ 500 mm ⋅ 4,17 mm = 3,25 kg

Dicke und Gewicht der Zuglasche für die Aluminiumlegierung: t Alu =

500 kN ⋅ 2 200 mm ⋅ 540 N/mm 2

= 9,26 mm

GAlu = 2,8 kg/dm3 ⋅ 200 mm ⋅ 500 mm ⋅ 9,26 mm = 2,6 kg

b) Bruchmechanik KI ≤

K IC SR

K I = σ ⋅ π ⋅ a ⋅ YI =

K IC SR

σ=

F b⋅t

YI = 1

Dicke der Zuglasche K F ⋅ π ⋅ a = IC SR b ⋅t

Ÿ

t=

F ⋅ SR ⋅ π ⋅a b ⋅ K IC

Gewicht der Zuglasche G = ρ ⋅V = ρ ⋅ b ⋅ l ⋅ t = ρ ⋅ l ⋅

F ⋅ SR ⋅ π ⋅a K IC

Literatur zu Kapitel 3

103

Dicke und Gewicht für den Stahl tStahl =

500 kN ⋅ 2 200 mm ⋅ 2500 N/mm3 / 2

⋅ π ⋅ 1,5 mm = 4,34 mm

GStahl = 7,8 kg/dm 3 ⋅ 200 mm ⋅ 500 mm ⋅ 4,34 mm = 3,38 kg

Dicke und Gewicht für die Aluminiumlegierung tAlu =

500 kN ⋅ 2 200 mm ⋅ 860 N/mm3 / 2

⋅ π ⋅ 1,5 mm = 12,63 mm

GAlu = 2,8 kg/dm 3 ⋅ 200 mm ⋅ 500 mm ⋅ 12,62 mm = 3,53 kg

c) Fazit

•

Die Festigkeitsberechnung ergibt, dass die Zuglasche aus der Aluminiumlegierung mit 2,6 kg um 20 % leichter ist als die Zuglasche aus Stahl mit 3,25 kg sein kann.

•

Ausschlaggebend für das Gewicht ist jedoch die bruchmechanische Betrachtung. Demnach ergibt sich für Stahl ein Gewicht von 3,38 kg und für Aluminium ein Gewicht von 3,53 kg.

•

Daher ist Stahl der gewichtsoptimale Werkstoff für die Zuglasche. Die Zuglasche muss demnach so bemessen werden, dass sich ein Stahlgewicht von 3,38 kg ergibt. Die Stahlkonstruktion ist somit um 4,3 % leichter als eine Aluminiumkonstruktion.

•

Wäre die Zuglasche lediglich nach Festigkeitspunkten ausgelegt worden, hätte keine ausreichende Sicherheit gegen instabile Rissausbreitung (Sprödbruch) vorgelegen.

Literatur zu Kapitel 3 [3-1]

Hahn, H.G.: Bruchmechanik. Teubner-Verlag, Stuttgart, 1976

[3-2]

Schwalbe, K.H.: Bruchmechanik metallischer Werkstoffe. Hanser-Verlag, München, 1980

[3-3]

Blumenauer, H., Pusch, G.: Technische Bruchmechanik. Wiley-VCH Verlag, Weinheim, 1993

[3-4]

Richard, H.A.: Grundlagen und Anwendungen der Bruchmechanik. Technische Mechanik 11 (1990) S. 69-80

[3-5]

Gross, D.: Bruchmechanik. Springer-Verlag, Berlin, 1996

[3-6]

FKM-Richtlinie: Bruchmechanischer Festigkeitsnachweis für Maschinenbauteile. VDMA-Verlag, Frankfurt, 2006

[3-7]

Richard, H.A.: Bruchvorhersagen bei überlagerter Normal- und Schubbeanspruchung von Rissen, VDI Forschungsheft 631, VDI-Verlag, Düsseldorf, 1985

[3-8]

Irwin, G.R.: Fracture. In: Flügge, S.: Handbuch der Physik, Bd. 6, Springer-Verlag, Berlin, 1958, S. 551-590

[3-9]

Hahn, H.G.: Spannungsverteilung an Forschungsheft. 542, Düsseldorf, 1970

Rissen

in

festen

Körpern.

VDI-

104

3 Grundlagen der Bruchmechanik

[3-10]

Richard, H.A.: Bruchmechanischer Festigkeitsnachweis bei Bauteilen mit Rissen unter Mixed-Mode-Beanspruchung. Materialprüfung 45 (2003) S. 513-518

[3-11]

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106

4 Ermüdungsrisswachstum bei zyklischer Belastung mit konstanter Amplitude Bauteile und Strukturen sind vielfach zeitlich veränderlichen Belastungen ausgesetzt. Dabei können sich die Belastungsgrößen, z. B eine wirkende Kraft F, ein wirkendes Moment M, eine ins Bauteil eingeleitete Spannung σ, derart zeitlich ändern, dass eine Belastung mit konstanter Amplitude, Belastung mit variabler Amplitude oder eine einmalige Stoßbelastung vorliegt, siehe z. B. Kapitel 1.1. Wiederholte zeitliche Änderungen der Belastung führen unter bestimmten Bedingungen zum Ermüdungsrisswachstum. Stoßbelastungen können dagegen zum plötzlichen Bruch des Bauteils führen. Bei einer Schwingungsbelastung des Bauteils mit konstanter Amplitude, d. h. z. B. bei einer Schwellbelastung, Bild 1-2b, einer Wechselbelastung, Bild 1-2c, bzw. bei einer allgemein periodischen Belastung, Bild 1-3, kann ein im Bauteil befindlicher Riss kontinuierlich wachsen. Das Ermüdungsrisswachstum findet i. Allg. weit unterhalb der statischen bruchmechanischen Werkstoffkennwerte, wie z. B. KC oder KIC statt. Der Rissfortschritt pro Lastwechsel wird durch die Rissgeschwindigkeit da/dN, auch Rissfortschrittsrate genannt, definiert, wobei da die Risslängenänderung und dN die Änderung der Lastwechselzahl bedeuten. Dieses grundlegende Risswachstum, bei dem ein unmittelbarer Zusammenhang zwischen der Rissgeschwindigkeit und der Belastungsänderung gegeben ist, wird im Folgenden genauer beschrieben. Das Risswachstum bei einer Bauteilbelastung mit variabler Belastungsamplitude, siehe z. B. Bild 1-4, führt zu deutlich anderem Risswachstumsverhalten als eine Belastung mit konstanter Amplitude. Bei Betriebsbelastung mit variabler Amplitude hat neben der Belastungsänderung auch die Belastungsreihenfolge einen entscheidenden Einfluss auf das Ermüdungsrisswachstum. Diese Risswachstumsvorgänge, die eine sehr große praktische Bedeutung haben, werden insbesondere in Kapitel 6 behandelt. Darstellungen der Grundlagen des Ermüdungsrisswachstums sind auch in [4-1 bis 4-4] zu finden.

4.1 Zusammenhang zwischen Bauteilbelastung und zyklischer Spannungsintensität Bei einer zeitlich veränderlichen Bauteilbelastung mit konstanter Amplitude entsteht in der Rissumgebung ein zeitlich veränderliches Spannungsfeld, das dann durch eine zeitlich veränderliche Spannungsintensität charakterisiert werden kann, siehe z. B Bild 4-1. Diese zyklische Spannungsintensität ist eine entscheidende Größe für den Rissfortschritt bei Ermüdungsbelastung.

4.1.1 Spannungsfeld bei zeitlich veränderlicher Mode I-Beanspruchung Bei reiner Mode I-Beanspruchung ergibt sich in Anlehnung an Gleichung (3.3) für die zeitliche veränderliche Belastung das zeitlich veränderliche Spannungsfeld

4.1 Zusammenhang zwischen Bauteilbelastung und zyklischer Spannungsintensität

σ ij (t ) =

K I (t ) 2π ⋅ r

107

⋅ f ijI (ϕ )

(4.1),

mit i, j = x, y. Die dimensionslose Funktion fijI(ϕ) ist, abgesehen von schlagartiger Belastungsänderung, auch bei zeitlich veränderlichem Belastungsverlauf zeitunabhängig. b)

 max

a 

a)

(t)

y

min t

y 1

c) y (x,t)

y 1

x a

t d) (t)

KI KI,max KI KI,min 1 Lw

t

Bild 4-1 Zusammenhang zwischen Bauteilbelastung und zyklischem Spannungsintensitätsfaktor a) Bauteil mit Randriss der Länge a bei zeitlich veränderlicher Belastung σ(t) und dadurch hervorgerufener Spannung σy(x, t) in der Rissumgebung b) Belastung σ(t) mit konstanter Amplitude σa bzw. konstanter Schwingungsbreite ∆σ sowie σmax und σmin c) Spannung σyM(t) in der Nähe der Rissspitze d) Spannungsintensitätsfaktor KI(t) mit konstanter zyklischer Spannungsintensität ∆KI sowie dem maximalen Spannungsintensitätsfaktor KI,max und dem minimalen Spannungsintensitätsfaktor KI,min

Bezug nehmend auf die Gleichungen (3.4) gelten somit bei zyklischer Belastung σ(t), siehe Bild 4-1a und Bild 4-1b, folgende Spannungsfeldgleichungen für die reine Mode IBeanspruchung am Riss:

108

4 Ermüdungsrisswachstum bei zyklischer Belastung mit konstanter Amplitude

σ x (t ) = σ y (t ) = τ xy (t ) =

K I (t ) 2π ⋅ r K I (t ) 2π ⋅ r K I (t ) 2π ⋅ r

⋅ cos

⋅ cos

⋅ sin

ϕª

ϕ 3ϕ º 1 − sin ⋅ sin » 2 «¬ 2 2¼

ϕ 3ϕ º 1 + sin ⋅ sin » « 2¬ 2 2¼

ϕª

ϕ 2

⋅ cos

ϕ 2

⋅ cos

(4.2).

3ϕ 2

In Bild 4-1c ist die örtliche zyklische Spannung σy(t) beispielhaft für einen Punkt nahe der Rissspitze dargestellt. In den Gleichungen (4.2) stellt KI(t) den zeitlich veränderlichen Spannungsintensitätsfaktor dar, Bild 4-1d.

4.1.2 Zyklischer Spannungsintensitätsfaktor bei Mode I In Anlehnung an Kapitel 3.4.1.1 und insbesondere an Gleichung (3.14) lässt sich der zeitlich veränderliche Spannungsintensitätsfaktor KI(t) wie folgt berechnen: K I (t ) = σ (t ) ⋅ π ⋅ a ⋅ YI

(4.3).

In Gleichung (4.3) sind σ(t) die ins Bauteil eingeleitete zeitlich veränderliche Spannung, siehe z B. Bild 4-1a und Bild 4-1b, a die momentane Risslänge und YI die Korrekturfunktion der Geometrie, die mit dem entsprechenden Geometriefaktor bei statischer Belastung, siehe Kapitel 3.4.2, identisch ist. Der maximale und der minimale Wert von KI(t) ergeben sich mit den Beziehungen K I, max = σ max ⋅ π ⋅ a ⋅ YI

(4.4)

K I, min = σ min ⋅ π ⋅ a ⋅ YI

(4.5)

und

mit σmax als dem Maximalwert und σmin als dem Minimalwert der ins Bauteil eingeleiteten Spannung σ(t), siehe auch Bild 4-1a, Bild 4-1b und Bild 4-1d. Bei einer Schwingungsbelastung mit konstanter Lastamplitude, Bild 4-1b, ergibt sich dann für die Schwingbreite des Spannungsintensitätsfaktors ∆K I = K I, max − K I, min = (σ max − σ min ) ⋅ π ⋅ a ⋅ YI

(4.6),

Bild 4-1d. Führt man als Schwingbreite für die Spannung ∆σ = σ max − σ min = 2σ a

(4.7)

mit dem Spannungsausschlag σa, siehe Bild 4-1b, ein, so ergibt sich für Mode IBeanspruchung der zyklische Spannungsintensitätsfaktor ∆K I = ∆σ ⋅ π ⋅ a ⋅ YI

(4.8)

4.1 Zusammenhang zwischen Bauteilbelastung und zyklischer Spannungsintensität

109

als grundlegende Beanspruchungsgröße für das Ermüdungsrisswachstum in Bauteilen und Strukturen.

4.1.3 R-Verhältnis Außer von dem zyklischen Spannungsintensitätsfaktor ∆KI wird das Ermüdungsrisswachstum auch von dem R-Verhältnis der Belastung (siehe auch Kapitel 1.1) beeinflusst. Bei einer phasengleichen Belastungsänderung des Bauteils gilt unter Berücksichtigung der Gleichungen (1.2), (4.4) und (4.5) für das R-Verhältnis auch R=

σ min K I, min = σ max K I, max

(4.9).

Der zyklische Spannungsintensitätsfaktor kann mit dem R-Verhältnis auch wie folgt beschrieben werden (4.10).

∆K I = K I, max − K I, min = (1 − R ) ⋅ K I, max

4.1.4 Rissausbreitungsvorgang Beim Rissausbreitungsvorgang verlängert sich der Riss mit zunehmenden Lastwechselzahlen. Wegen der Risslängenzunahme vergrößert sich bei konstanter Belastungsamplitude und konstanter Mittelspannung auch der maximale Spannungsintensitätsfaktor KI,max, der minimale Spannungsintensitätsfaktor KI,min und der zyklische Spannungsintensitätsfaktor ∆KI, Bild 4-2. Bei Ermüdungsbelastung tritt instabile Rissausbreitung ein, wenn der maximale Spannungsintensitätsfaktor KI,max einen kritischen Wert KC bzw. KIC erreicht, siehe Kapitel 5.1.3. KI

KI,max

KC

KI

KI,min

a

Bild 4-2 Änderung von KI,max, KI,min und ∆KI mit zunehmender Risslänge

4.1.5 Spannungsfeld bei zeitlich veränderlicher Mode II-, Mode III- und MixedMode-Beanspruchung Infolge ebener Schubbelastung, nichtebener Schubbelastung oder allgemeiner Bauteilbelastung treten in der Umgebung der Rissspitze Mode II-, Mode III- sowie ebene und räumliche MixedMode-Beanspruchungen auf. Bei zyklischer Änderung der Bauteilbelastung ergeben sich in der Rissumgebung zeitlich veränderliche Spannungsfelder.

110

4 Ermüdungsrisswachstum bei zyklischer Belastung mit konstanter Amplitude

Bei ebener Mixed-Mode-Beanspruchung existiert dann in Anlehnung an Gleichung (3.3) das Spannungsfeld

σ ij (t ) =

[K (t) ⋅ f 2π ⋅ r 1

I

I ij (ϕ ) +

K II (t ) ⋅ f ijII (ϕ )

]

(4.11).

Bei räumlicher Mixed-Mode-Beanspruchung kann das Spannungsfeld σij(t) in Anlehnung an Gleichung (3.8) wie folgt beschrieben werden:

σ ij (t ) =

1 2π ⋅ r

[K (t ) ⋅ f I

I ij (ϕ ) +

K II (t ) ⋅ f ijII (ϕ ) + K III (t ) ⋅ f ijIII (ϕ )

]

(4.12).

In Gleichung (4.11) und Gleichung (4.12) sind KI(t), KII(t) und KIII(t) die zeitlich veränderlichen Spannungsintensitätsfaktoren infolge zeitlich veränderlicher Bauteilbelastung.

4.1.6 Zyklischer Spannungsintensitätsfaktor für Mode II Bei zeitlich veränderlicher Schubbelastung mit der Schubspannung τ(t), Bild 4-3a, und der konstanten Schwingbreite der Schubspannung ∆τ, Bild 4-3b, kann der zyklische Spannungsintensitätsfaktor ∆KII mit der Beziehung ∆K II = ∆τ ⋅ π ⋅ a ⋅ YII

(4.13)

berechnet werden, siehe Bild 4-3c und Gleichung (3.15). YII stellt dabei den Geometriefaktor bei reiner Mode II dar (siehe u. a. Kapitel 3.4.2.10). b) a)

(t)  max

(t)

  min

(t)

t c) KII(t) KIImax KII KIImin t

Bild 4-3 Zusammenhang zwischen zyklischer Schubspannung und zyklischem Spannungsintensitätsfaktor für Mode II-Beanspruchung a) Bauteil unter ebener Schubbeanspruchung b) Schubspannung τ(t) und zyklische Schubspannung ∆τ c) Spannungsintensitätsfaktor KII(t) und zyklischer Spannungsintensitätsfaktor ∆KII

4.1 Zusammenhang zwischen Bauteilbelastung und zyklischer Spannungsintensität

111

4.1.7 Zyklischer Spannungsintensitätsfaktor für Mode III Ist ein Bauteil z. B. durch eine zeitlich veränderliche Schubspannung τz(t) mit einer konstanten Schwingbreite ∆τz belastet, so tritt bei bestimmter Riss- und Bauteilgeometrie ein zeitlich veränderliches Rissspitzen-Spannungsfeld auf, das durch den zyklischen Spannungsintensitätsfaktor ∆K III = ∆τ z ⋅ π ⋅ a ⋅ YIII

(4.14)

charakterisiert wird (vergleiche auch Darstellung in Kapitel 3.4.1.1). In Gleichung (4.14) ist YIII der Geometriefaktor für reine Mode III, der z. B. nach Gleichung (3.29) ermittelt werden kann.

4.1.8 Ebene Mixed-Mode-Beanspruchung Bei ebener Mixed-Mode-Beanspruchung wird das zyklische Spannungsfeld in der Rissumgebung, siehe Gleichung (4.11), durch die Spannungsintensitätsfaktoren KI(t) und KII(t) charakterisiert. a)

(t)

b) (t)  max   min t

2a

c) KV(t) KV,max KV KV,min (t)

t

Bild 4-4 Zusammenhang zwischen zyklischer Normalspannung und zyklischem Vergleichsspannungsintensitätsfaktor bei ebener Mixed-Mode-Beanspruchung a) Zugbelastete Scheibe mit schrägem Innenriss b) Normalspannung σ(t) und zyklische Normalspannung ∆σ (Schwingbreite der Spannung) c) Vergleichsspannungsintensitätsfaktor KV(t) und zyklischer Vergleichsspannungsintensitätsfaktor ∆KV

Die zyklischen Spannungsintensitätsfaktoren ∆KI und ∆KII lassen sich dann z. B. mit Gleichung (4.8) und Gleichung (4.13) ermitteln. Bei phasengleicher Mode I- und Mode IIBeanspruchung lässt sich in Anlehnung an Gleichung (3.33) ein zyklischer Vergleichsspannungsintensitätsfaktor

112

4 Ermüdungsrisswachstum bei zyklischer Belastung mit konstanter Amplitude ∆K V =

∆K I 1 + ⋅ ∆K I2 + 5,336 ⋅ ∆K II2 2 2

(4.15)

bestimmen [4-5]. Mit ∆KV kann dann errechnet werden, ob der Riss unter der vorliegenden Beanspruchung wachsen kann (siehe Kapitel 4.4). Für den Zugstab mit schrägem Innenriss, Bild 4-4, ergibt sich somit der folgende Zusammenhang zwischen dem zyklischen Vergleichsspannungsintensitätsfaktor ∆KV und der zyklischen Belastung ∆σ : 1 ªY º ∆K V = ∆σ ⋅ π ⋅ a ⋅ « I + ⋅ YI2 + 5,336 ⋅ YII2 » ¬2 2 ¼

(4.15a)

mit YI, z. B. nach Gleichung (3.23), und YII, z. B. nach Gleichung (3.24).

4.1.9 Räumliche Mixed-Mode-Beanspruchung Liegt eine räumliche Mixed-Mode-Beanspruchung am Riss vor, siehe z. B. Kapitel 3.2.3, Kapitel 4.2.3 und insbesondere Gleichung (4.12), so kann ein zyklischer Vergleichsspannungsintensitätsfaktor mit der Beziehung ∆K V =

∆K I 1 2 + ⋅ ∆K I2 + 5,336 ⋅ ∆K II2 + 4 ⋅ ∆K III 2 2

(4.16)

errechnet werden [4-5, 4-6].

4.2 Zusammenhang zwischen Rissgeschwindigkeit und zyklischem Spannungsintensitätsfaktor bei Mode I Bei Ermüdungsrissausbreitung verlängert sich ein Riss unter bestimmten Voraussetzungen mit zunehmenden Lastwechselzahlen. Liegt reine Mode I-Beanspruchung am Ausgangsriss vor, folgt die Rissausbreitung in Richtung des Ausgangsrisses (siehe Bild 3-23a). Die mittlere Rissgeschwindigkeit oder Risswachstumsrate ∆a/∆N in einem Zeitabschnitt ist entsprechend den physikalischen Gegebenheiten als Risslängenänderung ∆a pro Lastwechseländerung ∆N definiert. Für dN → 0 ergibt sich die Rissgeschwindigkeit als Steigung da/dN der RisslängenLastspielzahl-Kurve (a-N-Kurve, Bild 4-5a). Bei Belastungen mit konstanter Amplitude nimmt der Risslängenzuwachs und somit die Rissgeschwindigkeit mit steigender Lastwechselzahl zu. Darüber hinaus hat das Lastniveau einen Einfluss auf die a-N-Kurve und damit auf die Rissgeschwindigkeit. Bei höherer Bauteilbelastung σ3 > σ2 > σ1 ist die Rissgeschwindigkeit deutlich größer und das instabile Risswachstum tritt bei geringerer Risslänge ein (Bild 4-5b). Die Rissgeschwindigkeit ist u. a. materialabhängig und muss daher experimentell bestimmt werden. Wird die experimentell ermittelte Rissgeschwindigkeit da/dN in Abhängigkeit des zyklischen Spannungsintensitätsfaktors doppellogarithmisch aufgetragen, ergibt sich häufig der in Bild 4-6 dargestellte charakteristische Verlauf.

4.2 Rissgeschwindigkeit und zyklischer Spannungsintensitätsfaktor bei Mode I a)

1

b) a

a

113

2 3 da dN

3 > 2 >  1 N

N

Bild 4-5 Risslängen-Lastspielzahl-Kurven beim Ermüdungsrisswachstum a) Rissgeschwindigkeit als Ableitung der a-N-Kurve b) Einfluss des Lastniveaus auf das Ermüdungsrisswachstum a: Risslänge N: Lastspielzahl da/dN: Rissgeschwindigkeit, Rissfortschrittsrate σ1, σ2, σ3: unterschiedliche Lastniveaus (Bauteilspannungen)

4.2.1 Grenzen der Ermüdungsrissausbreitung bei Mode I Die Rissgeschwindigkeitskurve da/dN = f(∆KI) nähert sich asymptotisch zwei Grenzen. 10 -1 Bereich 3

10 -2

da/dN [mm/Lw]

10 -3 10 -4

Bereich 2 PARIS-Gerade

10 -5 10 -6 10 -7

Bereich 1

10 -8 KI,th

KIC

KI [MPam1/2] Bild 4-6 Darstellung des Zusammenhangs zwischen der Rissgeschwindigkeit und dem zyklischen Spannungsintensitätsfaktor mittels der da/dN-∆ΚΙ-Kurve [4-4]

114

4 Ermüdungsrisswachstum bei zyklischer Belastung mit konstanter Amplitude

Die eine Grenze stellt der Schwellenwert ∆KI,th der zyklischen Spannungsintensität, der auch Threshold-Wert genannt wird, dar. Befindet sich die zyklische Spannungsintensität ∆KI unterhalb des Threshold-Werts, so ist der Ermüdungsriss nach klassischen bruchmechanischen Gesichtspunkten nicht ausbreitungsfähig. Die zweite Grenze ∆KIC gibt die Rissbeanspruchung an, ab der die Rissausbreitung instabil wird. Als Bedingung gilt, dass KI,max = KIC bzw. in Anlehnung an Gleichung (4.10) (4.17)

∆K IC = (1 − R ) ⋅ K IC

ist. Bei einer reinen Mode I-Belastung wird sehr häufig auf die Indizierung des zyklischen Spannungsintensitätsfaktors verzichtet. Um eine Unterscheidung zur Mode II, Mode III und MixedMode-Beanspruchung zu ermöglichen, wird in diesem Buch beispielsweise ∆KI anstatt ∆K, KI,max anstatt Kmax, ∆KI,th anstatt ∆Kth verwendet. Jedoch ist von einer Mode I-Beanspruchung auszugehen, wenn keine Indizierung vorliegt.

4.2.2 Einflussfaktoren auf die Rissgeschwindigkeitskurve Der Verlauf der Rissfortschrittskurve wird durch zahlreiche Einflussfaktoren, wie z. B. das RVerhältnis, den Werkstoff, die Mikrostruktur, die Temperatur oder die umgebenden Medien, beeinflusst. Der Einfluss dieser Faktoren wirkt sich unterschiedlich stark auf die Bereiche mit niedriger (Bereich 1), mittlerer (Bereich 2) oder hoher (Bereich 3) Rissgeschwindigkeit aus. lg da/dN

R 4 > R 3 >R2 > R1 R4 R3 R2 R1 lg K I Bild 4-7 Einfluss des R-Verhältnisses auf die Rissfortschrittskurve

Bild 4-7 zeigt schematisch den Einfluss des R-Verhältnisses auf die Rissfortschrittskurve. Im Allgemeinen steigt die Rissgeschwindigkeit da/dN mit zunehmendem R-Verhältnis an. Jedoch ist der Einfluss im niedrigen und hohen Rissgeschwindigkeitsbereich deutlicher ausgeprägt. Abweichend von der in doppellogarithmischer Auftragung auftretenden S-förmigen Rissfortschrittskurve (Bild 4-6) ist insbesondere bei Aluminiumlegierungen ein doppel-S-förmiger Verlauf festzustellen. In Bild 4-8 ist dieser Effekt beispielhaft für die Aluminiumknetlegierung EN AW-7075-T651 für zwei R-Verhältnisse dargestellt.

4.2 Rissgeschwindigkeit und zyklischer Spannungsintensitätsfaktor bei Mode I

115

Ein Zusammenhang der Rissgeschwindigkeit oder des Schwellenwertes gegen Ermüdungsrissausbreitung mit anderen Werkstoffkennwerten, wie z. B. der Zugfestigkeit oder der Dehngrenze, ist im Allgemeinen nicht nachweisbar. Für unterschiedliche Metalllegierungen konnte ein Zusammenhang zwischen dem zyklischen Spannungsintensitätsfaktor ∆K und dem E-Modul hergestellt werden, der jedoch nur näherungsweise Gültigkeit besitzt und nicht verallgemeinerbar ist [4-2]. Darüber hinaus wurden für einige Werkstoffgruppen Näherungsgleichungen der Form da = A ⋅ 10 − B ⋅ ∆K I C dN

(4.18)

als obere Streubandgrenze der Rissgeschwindigkeit ermittelt. Allerdings können im Einzelfall deutliche Abweichungen zu der generalisierten Funktion auftreten. Zu berücksichtigen ist weiterhin, dass ähnliche chemische Zusammensetzungen nicht unmittelbar zu gleichen bruchmechanischen Eigenschaften führen. Die Rissgeschwindigkeiten können beispielsweise auch von der Wärmebehandlung, vom Herstellungsverfahren oder von der Vorzugsrichtung abhängen [4-1]. 10 -1 R = 0,1 R = 0,5

da/dN [mm/Lw]

10 -2 10 -3 10 -4 10 -5 10 -6 10 -7 10 -8

EN AW-7075-T651 1

10 KI [MPam1/2 ]

100

Bild 4-8 Rissfortschrittskurven für die Aluminiumlegierung EN AW-7075-T651 in Abhängigkeit des R-Verhältnisses [4-4]

Ferner ist festzustellen, dass die Rissfortschrittskurve und insbesondere der Bereich 1 der Rissfortschrittskurve für sogenannte lange Risse Gültigkeit besitzt (siehe auch Kapitel 4.2.5). Der Verlauf der Rissgeschwindigkeitskurve ist durch zahlreiche Mechanismen geprägt. Einen Mechanismus stellt das Rissschließen dar, das als erstes von ELBER [4-7] entdeckt wurde.

4.2.3 Rissschließverhalten beim Ermüdungsrisswachstum ELBER konnte zeigen, dass unter einer zyklischen Zugbelastung mit konstanter Amplitude der Ermüdungsriss sich beim Entlasten schon vor Erreichen der Minimallast schließt bzw. dass der Riss beim Belasten bis zu einem gewissen Lastniveau geschlossen bleibt. Somit ist aufgrund des Rissschließens nicht die komplette Rissbeanspruchung zur Ausbreitung des Risses wirksam, sondern lediglich eine effektive zyklische Spannungsintensität

116

4 Ermüdungsrisswachstum bei zyklischer Belastung mit konstanter Amplitude (4.18).

∆K I,eff = K I, max − K I,op

Der Rissöffnungsspannungsintensitätsfaktor KI,op entspricht dabei der Beanspruchung, ab der der Riss komplett geöffnet ist. K KI,max KI,eff

Rissschließen K I

K I,op KI,min

Rissöffnen t

Bild 4-9 Einfluss des Rissschließens auf die effektive Spannungsintensität

Die Beanspruchung, ab der Rissöffnen stattfindet, stimmt in der Regel mit der Beanspruchung, ab der Rissschließen eintritt, nicht exakt überein. Die Be- und Entlastungskurve bilden eine Hystereseschleife. In der praktischen Anwendung wird aber dennoch häufig davon ausgegangen, dass beide Werte übereinstimmen. Die Ursachen für das Rissschließen sind sehr vielfältig. Sie können im Wesentlichen in •

plastizitätsinduziertes Rissschließen

•

rauhigkeitsinduziertes Rissschließen,

•

oxidinduziertes Rissschließen und

•

fluidinduziertes Rissschließen.

unterteilt werden.

4.2.3.1

Plastizitätsinduziertes Rissschließen

Das plastizitätsinduzierte Rissschließen, der wichtigste Rissschließmechanismus, wird durch plastisch verformtes Material an den Rissflanken hervorgerufen (vgl. Kapitel 3.5). Der plastisch verformte Bereich entsteht dadurch, dass sich während des Ermüdungsrisswachstums ständig plastische Zonen ausbilden, die vom Riss durchlaufen werden müssen, Bild 4-10. Die Rissflanken sind somit von plastifiziertem Material umhüllt. Das führt dazu, dass die beiden Rissflanken nicht mehr kompatibel sind und so eine vollständige Rückverformung bei der Entlastung behindert wird.

4.2.3.2

Rauhigkeitsinduziertes Rissschließen

Das rauhigkeitsinduzierte Rissschließen ist vor allem im thresholdnahen Bereich von Bedeutung. Insbesondere beim Kurzrisswachstum (siehe auch Kapitel 4.2.5), das durch Rissablenkungen in der Mikrostruktur und eine Aufrauung der Bruchoberfläche gekennzeichnet ist,

4.2 Rissgeschwindigkeit und zyklischer Spannungsintensitätsfaktor bei Mode I

117

sowie bei möglicher Mixed-Mode- oder Mode II-Beanspruchung am Riss kommt es aufgrund der gezackten Form der Rissflanken zum vorzeitigen Berühren, Bild 4-11a. Ermüdungsriss plastische Zone

plastische Zone

Hüllkurve der vorherigen plastischen Zonen

plastisch verformtes Material an den Rissflanken des wachsenden Risses

Bild 4-10 Plastizitätsinduziertes Rissschließen beim Ermüdungsrisswachstum [4-17]

4.2.3.3

Oxidinduziertes Rissschließen

Das oxidinduzierte Rissschließen wird durch kleine Oxidausscheidungen zwischen den Rissflächen erzeugt, die wie Keile wirken, Bild 4-11b. Bei kleiner werdenden Spannungsintensitäten nähert sich das Verhältnis der Oxidschichtdicke zur Rissöffnung dem Wert eins, so dass insbesondere im Bereich des Thresholdwertes die Oxidschichten aufgrund von Reibungsmechanismen das Rissschließen beeinflussen. Begünstigt wird diese Art des Rissschließens durch oxidierende Umgebungsmedien, geringe R-Verhältnisse, raue Oberflächen, niedrige Fließgrenzen und Kontakt zwischen den Oberflächen [4-8]. a)

b)

Oxidschicht

Oxidausscheidungen Verschiebungen

Bild 4-11 Weitere Rissschließmechanismen [4-18] a) Rauhigkeitsinduziertes Rissschließen b) Oxidinduziertes Rissschließen c) Viskoses Fluid im Riss

c)

viskoses Fluid

118

4 Ermüdungsrisswachstum bei zyklischer Belastung mit konstanter Amplitude

4.2.3.4

Fluidinduziertes Rissschließen

Durch Eindringen eines viskosen Fluids in den Rissspalt übernimmt das Fluid teilweise eine tragende Funktion, so dass die Rissöffnungslast KI,op erhöht und ∆KI,eff vermindert wird, Bild 4-11c.

4.2.3.5

Ermittlung des Rissöffnungsspannungsintensitätsfaktors

Zur rechnerischen Ermittlung des Rissöffnungsspannungsintensitätsfaktors werden z. B. empirische Funktionen der Form

∆K I,eff = ( A + B ⋅ R ) ⋅ ∆K I

(4.19)

eingesetzt, wobei der Ausdruck A + B⋅R als Rissöffnungsfaktor bezeichnet wird. Für die Aluminiumlegierung 2024-T3 konnte ELBER folgenden funktionalen Zusammenhang nachweisen: ∆K I, eff = (0,5 + 0,4 ⋅ R ) ⋅ ∆K I

(4.20).

Da zum einen die von ELBER angegebene Funktion dazu führt, dass bei negativen RVerhältnissen KI,op zunimmt, und zum anderen eine Materialabhängigkeit besteht, sind zahlreiche weitere Funktionen dieser Art entwickelt worden. Ein zusammenfassender Überblick ist z. B. in [4-9] gegeben. NEWMAN bestimmt KI,op über folgende Rissöffnungsfunktion:

γ =

K I,op K I, max

(

­°max R, A0 + A1 ⋅ R + A2 ⋅ R 2 + A3 ⋅ R 3 =® °¯ A0 + A1 ⋅ R

)

für R ≥ 0 für -2 ≤ R < 0

(4.21),

wobei für die Koeffizienten A0 bis A3 gilt: A0

ª §π σ = (0,825 − 0,34 ⋅ α + 0,05 ⋅ α )⋅ «cos¨¨ ⋅ 2 σ «

A1 = (0,415 − 0,071 ⋅ α ) ⋅

2

max

¬

σ max σF

©

F

·º ¸¸» ¹¼»

1/ α

(4.22).

A2 = 1 − A0 − A1 − A3 A3 = 2 A0 + A1 − 1

Der Faktor α variiert zwischen 1 für den ebenen Spannungszustand und 3 für den ebenen Verzerrungszustand. Das Verhältnis von maximaler Spannung σmax zur Fließspannung σF wird für sehr viele Werkstoffe auf den konstanten Wert von 0,3 gesetzt [4-10]. Zur Bestimmung des Rissschließverhaltens kommen neben den analytischen Lösungen auch experimentelle Verfahren [4-31 bis 4-33] und numerische Simulationen, wie z. B. mittels einer Finite-Elemente-Analyse, zum Einsatz (siehe Kapitel 7.3 und [4-11 bis 4-14]). Wird die experimentell ermittelte Rissgeschwindigkeit über der effektiven zyklischen Spannungsintensität ∆KI,eff aufgetragen, entfällt bei einigen Werkstoffen die Variation der Rissgeschwindigkeit mit unterschiedlichen R-Verhältnissen und die Risswachstumskurven fallen zu einer da/dN-∆KI,eff-Kurve zusammen.

4.2 Rissgeschwindigkeit und zyklischer Spannungsintensitätsfaktor bei Mode I

119

4.2.4 Thresholdwert und Schwellenwertverhalten Die R-Abhängigkeit der Risswachstumskurven spiegelt sich auch im Thresholdwert der Ermüdungsrissausbreitung ∆KI,th wider. Mit zunehmendem Spannungsverhältnis wird der Thresholdwert geringer, wobei ∆Kth,0 den Schwellenwert der Ermüdungsrissausbreitung, der bei einem R-Verhältnis von null bestimmt worden ist, beschreibt. Dieses sogenannte Schwellenwertverhalten wird sehr häufig in einem ∆KI,th-R-Diagramm, Bild 4-12, dargestellt, in dem die für bestimmte R-Verhältnisse gemessenen Thresholdwerte eingetragen werden. Zur funktionalen Beschreibung dieses Zusammenhangs existieren zahlreiche Modelle. a) K I,th [MPam1/2 ]

16 14 12 10 8 6 4 2 0

b)

-2

K I,th [MPam1/2 ]

16 14

-1,5

IV

12

-1

-0,5 R

0

III

0,5

II

1

I

* Kmax,th

10 8 6 4 * Kth

2 0 -2

-1,5

-1

-0,5 R

0

0,5

1

Bild 4-12 Abhängigkeit des Schwellenwertes ∆KI,th vom R-Verhältnis a) nach NEWMAN und b) nach DÖKER

4.2.4.1

Schwellenwertverhalten auf Basis des Rissschließens

Auf der Basis, dass der Effekt der R-Abhängigkeit des Thresholdwertes durch das Rissschließen verursacht wird, werden sehr häufig Rissschließmodelle verwendet. Die NASA schlägt beispielsweise folgende empirische Funktion unter Berücksichtigung des Rissschließens vor [4-10]:

120

4 Ermüdungsrisswachstum bei zyklischer Belastung mit konstanter Amplitude

∆K th,0 ⋅ ∆K I, th =

a a + a0

ª º 1− γ « » ¬ (1 − A0 ) ⋅ (1 − R ) ¼

(4.23),

(1+ C th ⋅ R )

Mit dem Parameter a0 wird der Einfluss der Risslänge auf den Thresholdwert im Bereich des Kurzrisswachstums berücksichtigt [4-4]. Er entspricht einer intrinsischen Risslänge, die von der NASA auf den konstanten Wert von 0,0381 mm gesetzt wird. Der Parameter Cth ist eine + − für positive und C th für negative R-Verhältnisse empirische Konstante, bei der zwischen C th unterschieden wird. Die Rissöffnungsfunktion ist gemäß Gleichung (4.21) einzusetzen. Ab einem Spannungsverhältnis Rcl (= 0,6 ... 0,7) für positive R-Verhältnisse bzw. Rp für negative R-Verhältnisse wird davon ausgegangen, dass der Thresholdwert konstant bleibt, da oberhalb dieser Limits kein Rissschließen auftritt [4-4].

Beispiel 4-1 Bestimmen Sie den Thresholdwert ∆KI,th für die R-Verhältnisse R = 0,1 und 0,3 auf der Basis der empirischen Funktion nach NEWMAN. geg.: ∆Kth,0 = 10 MPam1/2, Cth+ = 2, α = 1,9 Lösung: Bestimmung der Koeffizienten A0 bis A3 der Rissöffnungsfunktion nach NEWMAN

(

A0 = 0,825 − 0,34 ⋅ α + 0,05 ⋅ α

2

)

ª §π σ ⋅ «cos¨¨ ⋅ max «¬ © 2 σ F

1/ α

·º ¸¸» ¹»¼

1 / 1,9

ª §π ·º = 0,825 − 0,34 ⋅ 1,9 + 0,05 ⋅ 1,9 2 ⋅ «cos¨ ⋅ 0,3 ¸» ¹¼ ¬ ©2

(

)

A1 = (0,415 − 0,071 ⋅ α ) ⋅

= 0,33831

σ max = (0,415 − 0,071 ⋅ 1,9) ⋅ 0,3 = 0,08403 σF

A3 = 2 A0 + A1 − 1 = −0,23934 A2 = 1 − A0 − A1 − A3 = 0,81610

Rissöffnungsfunktion nach NEWMAN

γ =

K I,op K I, max

(

(

= max R, A0 + A1 ⋅ R + A2 ⋅ R 2 + A3 ⋅ R 3

) )

= max 0,3; 0,33831 + 0,08403 ⋅ 0,3 + 0,81610 ⋅ 0,32 − 0,23934 ⋅ 0,33 = 0,43059

4.2 Rissgeschwindigkeit und zyklischer Spannungsintensitätsfaktor bei Mode I

121

Thresholdwert für R = 0,3 ∆K th,0 ⋅ ∆K I, th =

4.2.4.2

a a + a0

º ª 1−γ » « ¬ (1 − A0 ) ⋅ (1 − R) ¼

(1+ C th ⋅ R )

=

10 MPam1 / 2 ⋅ 1 ª º 1 − 0,43059 « » ¬ (1 − 0,33831) ⋅ (1 − 0,3) ¼

(1+ 2⋅0,3)

= 7,19 MPam1 / 2

Zwei-Kritierien-Ansatz des Schwellenwertverhaltens

Der Ansatz nach DÖKER [4-15] sowie VASUDEVAN und SADANANDA [4-16] geht davon aus, dass zusätzlich zum zyklischen Thresholdwert ∆KI.th der maximale Spannungsintensitätsfaktor KI,max,th zu berücksichtigen ist. Deshalb schlägt DÖKER die Verwendung eines Diagramms vor, in dem ∆KI.th über KI,max,th dargestellt ist, Bild 4-13. K I,th

K th* nicht-wachsende Risse * K max,th

Bild 4-13 Schematische Darstellung des zyklischen Thresholdwerts in Abhängigkeit von KI,max,th

KI,max,th

Nach diesem Ansatz ist ein Riss nur dann ausbreitungsfähig, wenn gleichzeitig folgende Bedingungen gelten: * ∆K I > ∆K th

(4.24)

und * K I, max > K max, th

(4.25),

* * und K max, wobei ∆K th th als intrinsische Thresholdwerte gelten, die Effekte wie z. B. des EModuls, der Mikrostruktur, der Temperatur oder der Umgebungsbedingungen erfassen.

Durch eine separate Beschreibung der beiden Thresholdwerte * ∆K I, th = ∆K th + α ⋅ K I, max

mit

α ≤0

(4.26)

* K I, max, th = K max, th + β ⋅ R

mit

β ≥0

(4.27)

und

122

4 Ermüdungsrisswachstum bei zyklischer Belastung mit konstanter Amplitude

ergibt sich eine funktionale Beschreibung des Thresholdwertes ∆KI,th in Abhängigkeit des Spannungsverhältnisses in vier Bereichen, Bild 4-12b. Für Bereich I (hohe R-Verhältnisse) und Bereich IV (kleine negative R-Verhältnisse) gilt: ∆K I, th =

1− R * ⋅ ∆K th 1− R −α

(4.28).

* . Diese Funktion schneidet die R-Achse bei R = 1 und nähert sich asymptotisch ∆K th

Im Bereich II (niedrige R-Verhältnisse) gilt: * ∆K I, th = ( K max, th + β ⋅ R ) ⋅ (1 − R )

(4.29).

Gleichung (4.29) beschreibt eine Parabel, die die R-Achse ebenfalls bei R = 1 und die ∆KI,th* Achse bei K max, th schneidet. Da bei negativen R-Verhältnissen gemäß ASTM E 647 lediglich der positive Teil der Beanspruchung berücksichtigt wird, gilt im Bereich III: * ∆K I, th = K max, th + β ⋅ R

(4.30).

Dies bedeutet, dass bei negativen Spannungsverhältnissen ∆KI,th linear mit R abnimmt und im Bereich IV in die Kurve aus Bereich I einmündet, Bild 4-12b.

Beispiel 4-2 Bestimmen Sie für den dargestellten Eckenriss in einem Bauteil, in dem senkrecht zur Rissebene eine zyklische Spannung ∆σ bei einem R-Verhältnis von 0,1 herrscht, diejenige Risslänge ath, bei der der Thresholdwert gegen Ermüdungsrissausbreitung gerade überschritten ist für den Fall, dass das Bauteil

a th

a) aus Stahl oder b) aus einer Aluminiumlegierung gefertigt ist. 1/2

geg.: ∆KI,th,Stahl(R = 0,1) = 10 MPam , ∆KI,th,Alu(R = 0,1) = 3 MPam1/2, ∆σ = 150 MPa Lösung: Geometriefunktion eines Eckenrisses unter der Annahme, dass die Rissabmessungen deutlich geringer sind als die des Bauteils (siehe Kapitel 3.4.2.7): YI = 0,76 a) ath,Stahl im Bauteil aus Stahl ∆K I, th,Stahl = ∆σ ⋅ π ⋅ a th,Stahl ⋅ YI Ÿ

1 § ∆K I, th,Stahl a th,Stahl = ⋅ ¨¨ π © ∆σ ⋅ YI

2

2 · 1 § 10 ⋅ 1000 N/mm 3/2 ·¸ ¸¸ = ⋅ ¨ = 2,45 mm 𠨩 150 N/mm 2 ⋅ 0,76 ¸¹ ¹

4.2 Rissgeschwindigkeit und zyklischer Spannungsintensitätsfaktor bei Mode I

123

b) ath,Alu im Bauteil aus einer Aluminiumlegierung ∆K I, th, Alu = ∆σ ⋅ π ⋅ a th, Alu ⋅ YI Ÿ

1 § ∆K I, th, Alu ath, Alul = ⋅ ¨¨ π © ∆σ ⋅ YI

2

2 · 1 § 3 ⋅ 1000 N/mm3/2 ·¸ ¸¸ = ⋅ ¨ = 0,22 mm 𠨩 150 N/mm 2 ⋅ 0,76 ¸¹ ¹

4.2.5 Kurzrisswachstum

Rissgeschwindigkeit da/dN (log)

Kurze Risse führen im thresholdnahen Bereich zum anomalen Kurzrissverhalten, d.h. im Allgemeinen wachsen kurze Risse bei gleicher zyklischer Belastung schneller als lange Risse. Obwohl die Beanspruchung unterhalb des Thresholdwertes der Ermüdungsrissausbreitung liegt, kann ein Riss sogar wachstumsfähig sein, Bild 4-14. Der Übergang von einem kurzen Riss zu einem langen Riss wird durch zahlreiche unterschiedliche Kriterien beschrieben, ist aber nicht eindeutig und allgemeingültig definierbar. Sehr häufig wird eine Einteilung nach Rissstadien vorgenommen. Im Rissstadium 1 sind mikrostrukturelle Gegebenheiten (Korngröße, Gleitbänder und Gleitebenen) entscheidend. Daran schließt sich dann das Rissstadium 2 an, bei dem sich der Riss unabhängig von der Gefügestruktur in der Ebene senkrecht zur maximalen Hauptnormalspannung ausbreitet, siehe auch Kapitel 2.1. In dieser Phase wird zwischen mechanisch kurzen Rissen und physikalisch kurzen Rissen unterschieden [4-4]. Die Länge eines mechanisch kurzen Risses entspricht ungefähr der Größe der plastischen Zone an der Rissspitze (siehe Kapitel 3.5). Der physikalisch kurze Riss besitzt in etwa die Fehlergröße, die durch zerstörungsfreie Prüfverfahren detektierbar ist. Zur Beschreibung der Rissinitiierung und des Kurzrisswachstums existieren zahlreiche Modelle und Ansätze. Eine zusammenfassende Beschreibung ist z. B. in [4-4] zu finden. > = = 
K max, th

(4.31b)

ist. D. h. der Riss wächst, wenn die zyklische Spannungsintensität ∆KI (siehe Kapitel 4.1.2) größer ist als der Schwellenwert ∆KI,th (siehe Kapitel 4.2.4) der Ermüdungsrissausbreitung und * ferner KI,max größer als der intrinsische Thresholdwert K max, th ist. Der Ermüdungsriss wird instabil, wenn der maximale Spannungsintensitätsfaktor KI,max die Risszähigkeit KIC bzw. der zyklische Spannungsintensitätsfaktor ∆KIC = (1-R)⋅KIC erreicht. Bleibt auch beim Rissausbreitungsvorgang der Mode I-Charakter der Rissbeanspruchung erhalten, so breitet sich der Riss in seiner Ursprungsrichtung, d. h. gerade aus (siehe Bild 3-23a). Um eine rechnerische Lebensauervorhersage durchführen zu können, ist die Beschreibung der Rissfortschrittskurve im Allgemeinen der Form da/dN = f(∆K, R) notwendig. Dazu sind zahlreiche Rissausbreitungskonzepte bei Mode I entwickelt worden.

4.3.1 PARIS – Gerade Eines der ersten Rissausbreitungskonzepte ist das sogenannte PARIS-Gesetz, das den mittleren Bereich 2, Bild 4-6, der Rissfortschrittskurve beschreibt [4-19]. Es lautet: da = CP ⋅ ∆K I m P dN

(4.32).

Sowohl der Vorfaktor CP als auch der Exponent mP sind werkstoffabhängige Größen. Der Faktor CP wird zusätzlich noch vom Spannungsverhältnis beeinflusst. Da dieses Gesetz nicht den Bereich des Thresholdwertes abbilden kann, ist es für eine Lebensdauerprognose nur bedingt geeignet, da es im Allg. zu sehr konservativen Abschätzungen der Restlebensdauer führt.

4.3.2 ERDOGAN/RATWANI-Gesetz Im Gegensatz zum PARIS-Gesetz beschreibt der Ansatz nach ERDOGAN und RATWANI [420] den gesamten Verlauf der Rissfortschrittskurve unter Berücksichtigung sowohl des Schwellenwertes der Ermüdungsrissausbreitung als auch der Risszähigkeit KIC. Das Gesetz nach ERDOGAN und RATWANI lautet: m da CE ⋅ (∆K I − ∆K I, th ) E = dN (1 − R) ⋅ K IC − ∆K I

(4.33),

4.3 Rissausbreitungskonzepte bei Mode I

125

wobei CE und mE werkstoffabhängig sind. Dieser Ansatz beschreibt Kurvenscharen in Abhängigkeit des R-Verhältnisses. D. h. wenn die Parameter angepasst wurden, sind auch Rissfortschrittskurven für R-Verhältnisse berechenbar, für die keine experimentellen Daten vorliegen.

4.3.3 FORMAN/METTU-Gleichung Ein weiterer Ansatz, der ebenfalls die gesamte Rissfortschrittskurve in Abhängigkeit des RVerhältnisses berücksichtigt, ist die von FORMAN, NEWMAN und DE KONING entwickelte und als erstes von FORMAN und METTU veröffentlichte und als „NASGRO-equation“ bekannte Funktion: p

§ ∆K I, th · ¨1 − ¸ ∆K I ¸¹ ª§ 1 − γ · º ¨© da = CFM ⋅ «¨ ¸ ⋅ ∆K I » ⋅ q dN ¬© 1 − R ¹ ¼ § K I, max · ¨¨1 − ¸¸ K IC ¹ © n

(4.34).

Im Gegensatz zur Rissfortschrittsgleichung nach ERDOGAN und RATWANI wird in dieser Funktion durch die Rissöffnungsfunktion γ nach Gleichung (4.21) zusätzlich Rissschließen berücksichtigt. Die Parameter CFM, n = nFM, p und q der FORMAN/METTU-Gleichung sind werkstoffabhängige Größe und an experimentelle Daten anzupassen. 10 -1 K IC

10 -2

q

da/dN [mm/Lw]

10 -3

nFM

10 -4 10 -5

C FM p

10 -6 10 -7

KI,th

10 -8 Kth,0 KI

KIC [MPam1/2]

Bild 4-15 Einfluss der Parameter der FORMAN/METTU-Gleichung auf die unterschiedlichen Bereiche der Rissfortschrittskurve

Bild 4-15 zeigt den Einfluss der unterschiedlichen Parameter auf die Risswachstumskurve. Der Faktor CFM und der Exponent nFM beschreiben die PARIS-Gerade im Bereich 2 der da/dN-∆KKurve. Mit zunehmendem Wert von CFM wird die Kurve zu größeren Risswachstumsraten verschoben, während nFM die Steigung des linearen Bereichs wiedergibt.

126

4 Ermüdungsrisswachstum bei zyklischer Belastung mit konstanter Amplitude

Die Exponenten p und q sind Konstanten, mit denen der Übergang vom Bereich 1 in den Bereich 2 bzw. vom Bereich 2 in den Bereich 3 angepasst werden kann. Der Thresholdwert ∆KI,th wird gemäß Gleichung (4.23) nach NEWMAN unter Berücksichtigung des plastizitätsinduzierten Rissschließens sowie des R-Verhältnisses berechnet. Mit zunehmendem Thresholdwert wird der Bereich 1 der Rissfortschrittskurve nach rechts verschoben. Der Materialkennwert KIC beschreibt die Risszähigkeit und beeinflusst somit den dritten Bereich der Kurve.

4.3.4 Vergleich der Rissfortschrittsgleichungen Bild 4-16 zeigt einen Vergleich der Rissfortschrittsgleichungen, die an experimentelle Daten angepasst wurden. Dabei zeigt sich, dass im PARIS-Bereich kein Unterschied festzustellen ist. Ein teilweise erheblicher Unterschied ist jedoch im Übergang von Bereich 1 zu Bereich 2, der lebensdauerbestimmend sein kann, sowie im Übergang von Bereich 2 zu Bereich 3 festzustellen (zur allgemeinen Einteilung der Bereiche siehe Bild 4-6). 10 -3

da/dN [mm/Lw]

10 -4

10 -5

Experimente FORMAN/METTU ERDOGAN/RATWANI PARIS PARIS, erweitert

10 -6

10 -7 5

10 ∆ K I [MPam1/2]

Bild 4-16 Vergleich der Rissfortschrittsgleichungen, die an experimentelle Daten eines Stahls angepasst wurden

Insbesondere bei der PARIS-Gleichung, die definitionsgemäß nur den 2. Bereich der da/dN∆K-Kurve beschreibt, wird im thresholdnahen Bereich sehr häufig unabhängig von der Risswachstumsrate der Thresholdwert bis zum Schnittpunkt mit der PARIS-Geraden eingesetzt. Für die Abbildung des dritten Bereichs wird in ähnlicher Weise, jedoch mit der Risszähigkeit vorgegangen. Aber auch bei dem Ansatz nach ERDOGAN und RATWANI tritt eine Abweichung zu den experimentellen Daten auf, da durch die Funktion und die enthaltenen Parameter lediglich eine Anpassung des Thresholdwertes, aber nicht des Übergangs von Bereich 1 zu Bereich 2, sowie der Risszähigkeit, aber nicht des Übergangs von Bereich 2 zu Bereich 3, möglich ist.

4.3 Rissausbreitungskonzepte bei Mode I

127

Um realistische Restlebensdauervorhersagen durchführen zu können, ist die optimale Anpassung der Rissfortschrittskurve von Bedeutung. Insbesondere im thresholdnahen Bereich führen kleine Abweichungen zu erheblichen Lebensdauerunterschieden. Deshalb ist die sehr häufig eingesetzte PARIS-Gleichung für eine Lebensabschätzung aufgrund der mangelnden Anpassung im Thresholdbereich nicht empfehlenswert.

80 PARIS-Gesetz, erweitert

a [mm]

60

FORMAN/ METTUGleichung

max

max

2c

∅2d

70

aA

Bild 4-17 zeigt exemplarisch den Vergleich der mittels numerischer Integration, siehe Kapitel 4.3.5, ermittelten Restlebensdauern ausgehend einerseits von der erweiterten Fassung der PARIS-Gleichung, siehe Bild 4-16, und andererseits vom Ansatz nach FORMAN und METTU für eine biegebelastete Stahlwelle mit einem Oberflächenriss der Anfangstiefe aA von 0,9 mm. Die Beanspruchung am Ausgangsriss ist so gewählt, dass der Thresholdwert gerade überschritten ist. Für diese konkrete Situation ergibt sich mittels der PARIS-Gleichung eine extrem konservative Abschätzung der Restlebensdauer. Im Gegensatz dazu wird für diesen Fall unter Verwendung der FORMAN/METTU-Gleichung etwa die doppelte Lebensdauer vorhergesagt. Dies wirkt sich dann auch entscheidend auf die Festlegung der Inspektionsintervalle aus (siehe Kapitel 4.5.5).

50 40 30

2d = 150 mm aA = 0,9 mm max = 300 MPa und R = 0,1

20 10 0 0

200000

400000

600000

800000

Lastwechselzahl Bild 4-17 Bestimmung der Restlebensdauer ausgehend von der PARIS-Gleichung sowie der FORMAN/METTU-Gleichung exemplarisch für eine biegebelastete Stahlwelle mit einem Oberflächenriss

4.3.5 Bestimmung der Restlebensdauer Ausgehend von einer Anfangsrisslänge aA kann die Restlebensdauer NB bis zum Bruch durch die Integration einer Rissgeschwindigkeitsgleichung erfolgen. Aus der Rissgeschwindigkeitskurvengleichung da = f (∆K I , R ) dN

erhält man durch Umformung dN =

da f (∆K I , R )

128

4 Ermüdungsrisswachstum bei zyklischer Belastung mit konstanter Amplitude

und durch Integration von der Anfangsrisslänge aA bis zur Risslänge aC, bei der instabile Rissausbreitung und somit Bruch eintritt, die Restlebensdauer NB aC

³

NB =

aA

da f (∆K I , R)

(4.35).

Für den Fall, dass ∆σ und Y konstant sind, kann die Integration des PARIS-Gesetzes wie folgt ausgeführt werden (mP  2): NB =

1 m · § mP − 1¸ ⋅ CP ⋅ ∆σ ⋅ π ⋅ Y P ¨ 2 ¹ ©

(

)

§ · 1 1 ⋅ ¨ m / 2 −1 − m / 2 −1 ¸ ¨a P ¸ aC P © A ¹

(4.36).

Für den Sonderfall mP = 2 ergibt sich die Restlebensdauer zu

NB =

1

(

CP ⋅ ∆σ ⋅ π ⋅ Y

)

2

⋅ ln

aC aA

(4.37).

Auf die gleiche Weise lässt sich auch die Inspektionsintervalllastspielzahl Ni durch Festlegung einer Inspektionsrisslänge aInspektion < aB bestimmen.

Beispiel 4-3 

In dem nebenstehend dargestellten Bauteil, das einer zyklischen Beanspruchung unterliegt, wurde mittels zerstörungsfreier Prüfverfahren ein Riss der Länge 2aA= 2 mm gefunden. Man bestimme a) die Risslänge, bei der Ermüdungsrisswachstum beginnt, 2aA

b) die kritische Risslänge, bei der instabile Rissausbreitung einsetzt,

d

c) die Restlebensdauer des Bauteils mit Hilfe des PARIS-Gesetzes und



d) die Restlebensdauer für den Fall, dass mittels des zerstörungsfreien Prüfverfahrens bereits eine Anfangsrisslänge 2aA = 1 mm detektiert werden kann.

Hinweis: Nehmen Sie vereinfachend an, dass sich der Geometriefaktor während des Risswachstums nicht verändert. geg.: d = 100 mm, CP = 4,5⋅10-11, mP = 2,2 (für da/dN in mm/Lw und ∆K in N/mm3/2), ∆σ = 300 MPa, R = 0,1, ∆KI,th = 350 N/mm3/2, KIC = 3900 N/mm3/2

4.3 Rissausbreitungskonzepte bei Mode I

129

Lösung: a) Risslänge ath, ab der Ermüdungsrisswachstum beginnt mit YI = 1,0 (siehe Kapitel 3.4.2.3)

∆K th = ∆σ ⋅ π ⋅ ath ⋅ YI Ÿ

a th =

1 § ∆K th ⋅¨ 𠨩 ∆σ ⋅ YI

2

2 · 1 § 350 N/mm3/2 ·¸ ¸¸ = ⋅ ¨ = 0,43 mm 𠨩 300 N/mm 2 ⋅ 1,0 ¸¹ ¹

b) Kritische Risslänge aC, bei der instabile Rissausbreitung eintritt K IC = σ max ⋅ π ⋅ aC ⋅ YI 2

· § ¸ ¨ 3/2 1 § K IC · 1 ¨ 3900 N/mm ¸ ¸ ¨ = ⋅¨ aC = ⋅ ¨ ¸ = 43,57 mm ¸ 2 π © σ max ⋅ YI ¹ π ¨ 300 N/mm ¸ ¨ 1 − 0,1 ⋅ 1,0 ¸ ¹ © 2

Ÿ

c) Restlebensdauer NB für einen Anriss 2aA = 2 mm

NB =

1 · § mP − 1¸ ⋅ CP ⋅ ∆σ ⋅ π ⋅ YI ¨ 2 ¹ ©

(

)m

P

· § ¸ ¨ 1 1 ¸ ¨ ⋅ m − m ¨ P −1 P −1 ¸ ¸ ¨a 2 aC2 ¹ © A

· § ¸ ¨ 1 1 ¸ NB = ⋅¨ − 2, 2 ¸ 2, 2 N § 2,2 · −11 2, 2 ¨ − − 1 1 − 1¸ ⋅ 4,5 ⋅ 10 ⋅ (300 ⋅ π ⋅ 1,0) ¨ ¸ ¨ (2 mm) 2 (43,6 mm) 2 ¹ © © 2 ¹ mm3 / 2 1

= 55423 Lw

d) Restlebensdauer NB für einen Anriss aA = 1 mm

NB =

=

§ mP ¨ © 2

§ 2,2 ¨ © 2

§ · ¨ ¸ 1 1 ¸ 1 ⋅¨ − mP ¨ mP ¸ m · −1 − 1¸ ⋅ CP ⋅ ∆σ ⋅ π ⋅ YI P ¨ 2 −1 ¸ 2 a a ¹ C © A ¹ § · ¨ ¸ 1 1 1 ¸ ⋅¨ − 2, 2 ¸ 2, 2 N · −11 2, 2 ¨ − − 1 1 ⋅ π ⋅ 1,0) − 1¸ ⋅ 4,5 ⋅ 10 ⋅ (300 ¨ (1 mm) 2 (43,6 mm) 2 ¸¹ © ¹ mm3 / 2

= 70424 Lw

(

)

130

4 Ermüdungsrisswachstum bei zyklischer Belastung mit konstanter Amplitude

lg da/dN

1/( da/dN)

In der Praxis ist die Annahme der Konstanz der Geometriefunktion allein durch das Wachstum des Risses und der Konstanz der zyklischen Spannung ∆σ nicht mehr gegeben, so dass die Rissgeschwindigkeitsgleichung nicht mehr geschlossen integrierbar ist.

Nt =

a t aA

a t (da/dN)t

a t aC

a

aA

aC

a

Bild 4-18 Bestimmung der Restlebensdauer mittels numerischer Integration [4-4]

In diesen Fällen wird die numerische Integration angewendet, Bild 4-18. Dabei wird der Risslängenbereich aA bis aC in mehrere Intervalle ∆at eingeteilt und für jedes Intervall die Rissgeschwindigkeit an der mittleren Risslänge des Intervalls mit einer Rissgeschwindigkeitsgleichung sowie die Teillebensdauer Nt berechnet und aufsummiert [4-2]: NB = ¦ Nt = ¦

∆a t (da/dN ) t

(4.38).

4.4 Risswachstum bei Mode II-, Mode III- und Mixed-ModeBeanspruchung Liegt an einem bereits vorhandenen Riss eine zyklische Mode II-, Mode III- oder eine MixedMode-Beanspruchung vor, so ergibt sich bei einer Rissausbreitung eine Richtungsänderung, siehe z. B. Bild 3-23b bis Bild 3-23d. Mit der Richtungsänderung verändern sich auch die Mode II-, Mode III- und Mixed-ModeAnteile am Riss. Dies bedeutet der Mode I-Anteil nimmt zu und die Mode II- und Mode IIIAnteile nehmen ab. Tritt während des Risswachstums beim Bauteil keine weitere Belastungsänderung ein, so stellt sich in einem gewissen Abstand vom Ausgangsriss eine überwiegende oder gar reine Mode I-Beanspruchung des Risses ein. Die Beanspruchungssituation des wachsenden Risses lässt sich mit einem zyklischen Vergleichsspannungsintensitätsfaktor ∆KV, siehe z. B. Kapitel 4.1.8 und Kapitel 4.1.9, beschreiben. ∆KV ändert sich mit der Risslänge und den momentanen ∆KI-, ∆KII- und ∆KIII-Anteilen am Riss.

4.4 Risswachstum bei Mode II-, Mode III- und Mixed-Mode-Beanspruchung

131

4.4.1 Risswachstum bei Mode II-Beanspruchung am Ausgangsriss Ein Riss, der einer reinen Mode II-Beanspruchung unterliegt, ist wachstumsfähig, wenn der zyklische Spannungsintensitätsfaktor ∆KII (siehe Kapitel 4.1.6) den Schwellenwert ∆KII,th überschreitet: ∆K II > ∆K II, th

(4.39).

Da ∆KII,th-Werte in der Regel nicht bekannt und auch nur sehr schwer zu bestimmen sind, kann für die Abschätzung des Risikos einer Ermüdungsrissausbreitung

(4.40)

∆K II,th = 0,87∆K I, th

gesetzt werden. Dieser Zusammenhang folgt aus der Mixed-Mode-Hypothese nach Gleichung (4.45). Bei der Rissausbreitung, siehe Bild 4-19, ändert sich, wie oben beschrieben, der Beanspruchungszustand. Das Risswachstum kann dann durch den zyklischen Vergleichsspannungsintensitätsfaktor ∆KV nach Gleichung (4.15) beschrieben werden. Der Ermüdungsriss wird instabil, wenn ∆K V = ∆K IC

(4.41)

K V, max = K IC

(4.42),

bzw.

siehe auch Gleichung (3.79), ist.

(t)

Riss wird instabil bei K V,max = K IC

Ermüdungsrisswachstum vorhandener Mode II-Riss

Riss ist wachstumsfähig bei KII > KII,th Abknickwinkel 0 ป 70° (t)

Bild 4-19 Ermüdungsrisswachstum bei Mode II-Beanspruchung am Ausgangsriss

Die genaue Beschreibung des Ermüdungsrisswachstums erfordert i. Allg. eine schrittweise Ermittlung der ∆KI- und ∆KII-Anteile sowie der ∆ΚV-Werte des wachsenden Risses, die beispielsweise mit numerischen Verfahren, z. B. der Finite-Elemente-Methode, erfolgen kann

132

4 Ermüdungsrisswachstum bei zyklischer Belastung mit konstanter Amplitude

(siehe Kapitel 7). Als Rissfortschrittsgesetze können z. B. die PARIS-Gleichung, das ERDOGAN/RATWANI-Gesetz oder die FORMAN-METTU-Gleichung (siehe Kapitel 4.3) herangezogen werden. In diesen Beziehungen ist in erster Näherung ∆KI durch ∆KV nach Gl. (4.15) zu ersetzen [4-5, 4-23].

4.4.2 Risswachstum bei Mode III-Beanspruchung am Ausgangsriss Ein Riss, der einer reinen Mode III-Beanspruchung unterliegt, ist wachstumsfähig, wenn der zyklische Spannungsintensitätsfaktor ∆KIII (siehe Kapitel 4.1.7) den Schwellenwert ∆KIII,th überschreitet: ∆K III > ∆K III,th

(4.43)

Nach der Hypothese in Kapitel 4.4.4, d. h. nach Gleichung (4.46), kann für reine Mode III mangels experimentellen Befunden (4.44)

∆K III,th = ∆K I, th

gesetzt werden. Die relativ komplizierte Ausbreitung eines Mode III-Risses (siehe auch Bild 3-23c) lässt sich z. B. experimentell untersuchen (siehe z. B. [4-27]) oder mit der Finite-Elemente-Methode simulieren (siehe Kapitel 7).

4.4.3 Risswachstum bei ebener Mixed-Mode-Beanspruchung Unterliegt ein vorhandener Riss einer ebenen Mixed-Mode-Beanspruchung, so ist er wachstumsfähig, wenn der zyklische Vergleichsspannungsintensitätsfaktor ∆KV, ermittelt aus ∆KI und ∆KII, siehe Kapitel 4.1.8, den Schwellenwert ∆KI,th überschreitet [4-5,4-24].  (t )

Mixed-Mode Ausgangsriss

Ermüdungsrisswachstum

Riss wird instabil bei KV,max = KIC

0 Riss ist ausbreitungsfähig bei KV > K I,th

 (t ) Bild 4-20 Ermüdungsrisswachstum bei ebener Mixed-Mode-Beanspruchung am Ausgangsriss

4.4 Risswachstum bei Mode II-, Mode III- und Mixed-Mode-Beanspruchung

133

Somit gilt ∆K V =

∆K I 1 + ∆K I2 + 5,336∆K II2 > ∆K I, th 2 2

(4.45).

Breitet sich der Riss aus, so knickt er um den Winkel ϕ0 ab, Bild 4-20. Dieser Abknickwinkel kann näherungsweise mit Gleichung (3.80) in Anlehnung an den statischen Rissfall ermittelt werden. Bei der Rissausbreitung ändert sich der Beanspruchungszustand am Riss. Mit zunehmendem Risswachstum wird der Mode II-Anteil kleiner und ∆KI sowie ∆KV wachsen an [4-28, 4-29]. Instabilität tritt ein, wenn der Vergleichsspannungsintensitätsfaktor KV,max die Risszähigkeit KIC erreicht (siehe Gleichung (3.79)). Zur Beschreibung der Ermüdungsrissausbreitung können wiederum die in Kapitel 4.3 beschriebenen Rissausbreitungskonzepte herangezogen werden, wobei ∆KI durch ∆KV zu ersetzen ist. Da sich ∆KI, ∆KII und ∆KV während des Rissausbreitungsvorgangs ändern, ist eine schrittweise Risswachstumssimulation, z. B. mit der Finite-Elemente-Methode (siehe Kapitel 7) sinnvoll.

4.4.4 Risswachstum bei räumlicher Mixed-Mode-Beanspruchung Ein Riss, der einer räumlichen Mixed-Mode-Beanspruchung unterliegt, ist wachstumsfähig, wenn ∆KV, ermittelt aus ∆KI, ∆KII und ∆KIII, siehe Kapitel 4.1.9, den Thresholdwert ∆KI,th erreicht oder überschreitet [4-5[: ∆K V =

∆K I 1 3 + ∆K I2 + 5,336∆K II2 + 4∆K III > ∆K I, th 2 2

(4.46).

KII KIIC

Bruchgrenzfläche KII,th

Threshholdwertfläche

KI,th

KIC

KI

KIII,th

KIIIC KIII

Bild 4-21 Darstellung der Grenzen des Ermüdungsrisswachstums bei räumlicher Mixed-ModeBeanspruchung Thresholdwertfläche: beschreibt die Schwelle der Ermüdungsrissausbreitung Bruchgrenzfläche: beschreibt das Einsetzen der instabilen Rissausbreitung

134

4 Ermüdungsrisswachstum bei zyklischer Belastung mit konstanter Amplitude

Breitet sich der Riss aus, so knickt er ab und verdreht sich, siehe z. B. Bild 3-23d. Infolge der Rissausbreitung ändert sich der Beanspruchungszustand am Riss. Der Mode II- und der Mode III-Anteil werden kleiner und ∆KI und ∆KV wachsen an. Instabilität des Risses tritt auf, wenn der maximale Vergleichsspannungsintensitätsfaktor KV,max die Risszähigkeit KIC erreicht (siehe Gleichung (3.81), sowie [4-5, 4-23, 4-25, 4-26]). Zur Beschreibung der Ermüdungsrissausbreitung können auch hier die in Kapitel 4.3 beschriebenen Konzepte herangezogen werden, wenn ∆KI durch ∆KV nach Gleichung (4.16) ersetzt wird [4-5]. Die Simulation der Ermüdungsrissausbreitung kann z. B. mit der Finite-Elemente-Methode (siehe Kapitel 7) erfolgen. Die Grenzen des Ermüdungsrisswachstums bei räumlicher Mixed-Mode-Beanspruchung sind in einem KI-KII-KIII-Diagramm, Bild 4-21, verdeutlicht. Reine Mode I-Beanspruchung wird durch die KI-Achse repräsentiert. Die Grenzen des Ermüdungsrisswachstums sind dann durch ∆KI,th und KIC gegeben. Die KII-Achse stellt die reine Mode II-Beanspruchung mit den Grenzwerten ∆KII,th und KIIC dar. Bei Mode III ist Ermüdungsrisswachstum zwischen ∆KIII,th und KIIIC möglich. Liegt an einem Riss eine räumliche Mixed-Mode-Beanspruchung vor, so kann Ermüdungsrisswachstum erfolgen, wenn die Rissbeanspruchung, charakterisiert durch ∆KI, ∆KII, ∆KIII oder ∆KV größer als die Thresholdwertfläche bzw. ∆KV > ∆KI,th ist. Instabile Rissausbreitung tritt ein, wenn die Rissbeanspruchung die Bruchgrenzfläche erreicht. Dies ist nach dem Bruchkriterium in Kapitel 3.8.2.4 der Fall, wenn KV,max = KIC.

4.5 Vorgehensweise bei der Bewertung des Ermüdungsrisswachstums Mit den in Kapitel 4.1 bis 4.4 dargestellten Erkenntnissen und Methoden ist es möglich, eine bruchmechanische Bewertung des Ermüdungsrisswachstums vorzunehmen, Bild 4-22. Die bruchmechanischen Konzepte gehen stets von einem Bauteil mit Riss (technischem Anriss) aus. Die Länge eines technischen Anrisses entspricht i. Allg. der Fehlergröße, die durch zerstörungsfreie Prüfverfahren detektierbar ist. Die Anomalie des Kurzrisswachstums ist in Kapitel 4.2.5 beschrieben.

4.5.1 Bruchmechanische Bewertung des Ermüdungsrisswachstums Mit der zeitlich veränderlichen oder zyklischen Bauteil-Belastung und der Riss- und Bauteilgeometrie wird eine charakteristische Größe zur Rissbeurteilung ermittelt. Da Ermüdungsrisswachstum im Allg. verformungsarm, d. h. ohne größere Plastifizierungen am Riss abläuft, lassen sich die Konzepte der linear-elastischen Bruchmechanik anwenden. Somit ergeben sich als charakteristische bruchmechanische Größen z. B. der zyklische Spannungsintensitätsfaktor ∆KI oder der zyklische Vergleichsspanungsintensitätsfaktor ∆KV und zudem der Spannungsintensitätsfaktor KI oder der Vergleichsspannungsintensitätsfaktor KV. Bruchmechanische Werkstoffkennwerte oder Werkstoffkurven müssen dagegen mit speziellen bruchmechanischen Proben ermittelt werden (siehe Kapitel 5). Als Werkstoffkennwert gelten bei Ermüdungsrissausbreitung der Schwellenwert ∆KI,th, aber auch die Risszähigkeit KIC. Eine

4.5 Vorgehensweise bei der Bewertung des Ermüdungsrisswachstums

135

Werkstoffkurve ist durch die Rissgeschwindigkeitskurve da/dN = f(∆K,R) gegeben. Mit den Sicherheitsfaktoren SE und SR für stabile und instabile Rissausbreitung erhält man z. B. die zulässigen bruchmechanischen Grenzen ∆KI,zul und KI,zul.

Bauteil mit Riss

Bruchmechanikprobe

zyklische Belastung

Riss- und Bauteilgeometrie

z. B. F(t), F, M(t), (t), ..., R

z. B. a, c, d, t, A, ...

bruchmechanische Werkstoffkennwerte und -kurven z. B. KI,th , da/dN = f(K, R)

Sicherheitsfaktoren gegen stabile und instabile Rissausbreitung z. B. SE , SR

charakteristische Größe zur Rissbeurteilung

zulässige bruchmechanische Grenzen

z. B. KI , KV, KI , KV

z. B. KI,zul = KI,th/SE, KI,zul = KIC/S R

Bewertung des Ermüdungsrisswachstums z.B. KI ื KI,zul , KV ื KI,zul , da/dN

zulässige Belastung

zulässige bzw. kritische Rissabmessung

geeigneter Werkstoff

Sicherheit gegen stabile und instabile Rissausbreitung

Rissgeschwindigkeit, Restlebensdauer

Inspektionsintervall

Bild 4-22 Vorgehensweise bei der Bewertung des Ermüdungsrisswachstums

Durch die Bewertung des Ermüdungsrisswachstums lässt sich eine zulässige Bauteilbelastung, eine zulässige bzw. kritische Rissabmessung bestimmen, ein Werkstoff auswählen, der weniger empfindlich gegen Ermüdungsrisswachstum ist, sowie Sicherheitsfaktoren gegen stabile und instabile Rissausbreitung ermitteln, Bild 4-22. Darüber hinaus ergibt sich aus der Rissbeanspruchung und der Rissgeschwindigkeitskurve die Rissausbreitungsgeschwindigkeit sowie die noch vorhandene Restlebensdauer. Die ermittelte Restlebensdauer, sowie eine RisslängenLastwechselzahl-Kurve (a-N-Kurve) ermöglicht zudem die Festlegung von Inspektionsintervallen.

4.5.2 Ermittlung der Risslänge, ab der Ermüdungsrisswachstum möglich ist Erreicht der zyklische Spannungsintensitätsfaktor den Schwellenwert ∆KI,th, so ist Ermüdungsrisswachstum in Bauteilen und Strukturen möglich. Für reine Mode I-Beanspruchung ergibt sich mit Gleichung (4.8)

136

4 Ermüdungsrisswachstum bei zyklischer Belastung mit konstanter Amplitude (4.47).

∆K I = ∆σ ⋅ π ⋅ a ⋅ YI = ∆K I, th

Für eine bestimmte Risslänge a folgt daraus die Spannung ∆σ th =

∆K I, th

(4.48).

π ⋅ a ⋅ YI

Für eine Bauteilspannung ∆σ ergibt sich aus Gleichung (3.89) die Risslänge a th =

∆K I,2 th

(4.49),

π ⋅ ∆σ 2 ⋅ YI2

ab der Ermüdungsrisswachstum nach bruchmechanischen Gesichtspunkten beginnt. Die Zusammenhänge, wie sie in Gleichung (4.47), Gleichung (4.48) und Gleichung (4.49) beschrieben werden, lassen sich – wie in Bild 4-23 dargestellt – grafisch verdeutlichen. Für eine bestimmte Risslänge a kann somit eine Spannung ∆σth ermittelt werden, bei der Ermüdungsrisswachstum beginnt, Bild 4-23a. Kleine Risslängen erlauben hohe zyklische Bauteilspannungen. Bei großen Risslängen tritt demgegenüber schon bei relativ geringen zyklischen Bauteilbelastungen Ermüdungsrisswachstum auf. Ist die zyklische Bauteilspannung ∆σ bekannt, so kann man in Bild 4-23a die Risslänge ath ablesen, bei der Ermüdungsrisswachstum beginnt. Die Risslänge ath ist besonders wichtig für die Planung von Inspektionen sowie die Festlegung der Inspektionsmethode. Die Risslänge ath ist zudem in besonderer Weise von dem Schwellenwert ∆KI,th abhängig, wie Bild 4-23b zeigt. Der Schwellenwert ∆KI,th hat daher für die technische Praxis eine besondere Bedeutung. Schwellenwerte für verschiedene Materialien sind in Kapitel 5.3 angegeben. a)

b)



 Kth,3 > Kth,2

Schwellenwert KI,th

Kth,2 > Kth,1 th



Kth,1



a ath

a

ath,1 ath,2 a th,3

a

Bild 4-23 Zusammenhang zwischen Bauteilbelastung und Risslänge, bei der Ermüdungsrisswachstum beginnt a) Bauteilbelastung ∆σ in Abhängigkeit von der Risslänge a für den Schwellwert der Ermüdungsrissausbreitung ∆KI,th b) Einfluss des Thresholdwertes auf die Risslänge ath, bei der Ermüdungsrisswachstum beginnt

4.5 Vorgehensweise bei der Bewertung des Ermüdungsrisswachstums

137

4.5.3 Sicherheit gegen das Auftreten des Ermüdungsrisswachstums Will man Ermüdungsrisswachstum sicher verhindern, so muss (4.50)

∆K I ≤ ∆K I, zul

bzw. ∆K I ≤

∆K I, th

(4.51)

SE

sein. Mit Gleichung (4.51) lässt sich somit eine Sicherheit SE gegen Ermüdungsrisswachstum ermitteln: SE =

∆K I, th

(4.52).

∆K I

4.5.4 Bereich des Ermüdungsrisswachstums Ermüdungsrisswachstum ist möglich, wenn der zyklische Spannungsintensitätsfaktor größer ist als der Schwellenwert gegen die Ermüdungsrissausbreitung und kleiner als die Risszähigkeit des verwendeten Materials. Bei reiner Mode I-Beanspruchung lässt sich dies mit Gleichung (4.31) beschreiben. Mit dem zyklischen Spannungsintensitätsfaktor KI nach Gleichung (4.8) kann das Gebiet des Risswachstums in einem ∆σ-a-Diagramm anschaulich dargestellt werden, Bild 4-24. 



KI,th

KIC

Gebiet des instabile ErmüdungsRissausbreitung risswachstums

kein Risswachstum ath

aC

a

Bild 4-24 Darstellung des Gebiets der Ermüdungsrissausbreitung mit den Risslängen ath und ac für eine bestimmte zyklische Spannung ∆σ

4.5.5 Festlegung von Inspektionsintervallen Die Festlegung von Inspektionsintervallen ist ausschließlich mittels bruchmechanischer Methoden möglich, die ausgehend von einem detektierbaren Fehler die Restlebensdauer bestimmen. Die Größe eines detektierbaren Fehlers und damit das Inspektionsintervall hängen entscheidend vom Verfahren der zerstörungsfreien Prüfung (siehe Kapitel 2.10) ab.

138

4 Ermüdungsrisswachstum bei zyklischer Belastung mit konstanter Amplitude

a

adet Nachweisgrenze ath N Inspektionszeitraum

Sicherheit gegen instabile Rissausbreitung

Bild 4-25 Bestimmung des Inspektionsintervalls anhand einer Risslängen-Lastwechselzahl-Kurve

Ausgehend von einer sicher nachweisbaren Fehlergröße wird die Restlebensdauer bis zum Versagen des Bauteils bestimmt, Bild 4-25. Die Restlebensdauer, reduziert um einen Sicherheitsabstand zur instabilen Rissausbreitung, stellt den Inspektionszeitraum dar. In diesem Inspektionszeitraum können dann Inspektionsintervalle definiert werden, wobei die Intervalle äquidistant oder variabel gewählt werden können. In jedem Fall ist jedoch zu gewährleisten, dass selbst wenn ein Fehler übersehen wird, dieser bei einer nächsten Inspektion sicher entdeckt wird. Deshalb gehen VASUDEVAN et al. [4-34] auch davon aus, dass die kleinste anzunehmende Risslänge nicht die kleinste Fehlergröße ist, die durch zerstörungsfreie Prüfverfahren detektiert werden kann, sondern der größte Fehler, der während der Inspektion übersehen wird. Wie aus Bild 4-25 ersichtlich, wird durch eine Reduktion der detektierbaren Fehlergröße, d. h. kleinere Fehler sind nachweisbar, eine deutliche Verlängerung der kostenintensiven Inspektionsintervalle bei gleicher Sicherheit möglich. Ein anderer Ansatz wird in der Luftfahrt verfolgt. Beim sogenannten „Equivalent Inital Flaw Size“-Konzept wird mittels bruchmechanischer Ansätze die a-N-Kurve ausgehend vom detektierbaren Fehler auf die Anfangsdefektgröße zu Beginn des Einsatzes extrapoliert und daraus die Restlebensdauer sowie die Inspektionsintervalle fest gelegt.

4.6 Zusammenwirken von Dauerfestigkeitsberechnung und Bruchmechanik Um Ermüdungsrisswachstum und Ermüdungsbruch zu vermeiden, sind sowohl die Konzepte der Festigkeitsberechnung (siehe Kapitel 1.4) und der Bruchmechanik (siehe Kapitel 4.1 bis 4.5) zu beachten. Das Zusammenwirken dieser Konzepte ist in Bild 4-26 verdeutlicht. Die Dauerfestigkeitsberechnung liefert Aussagen über erforderliche Bauteilabmessungen, zulässige Belastungen, geeignete Werkstoffe und die Sicherheit gegen Festigkeitsversagen. Die Bruchmechanik liefert ebenfalls Hinweise über eine zulässige Bauteilbelastung, geeignete Werkstoffe sowie die Sicherheit gegen stabile und instabile Rissausbreitung.

4.6 Zusammenwirken von Dauerfestigkeitsberechnung und Bruchmechanik Bruchmechanik

Dauerfestigkeitsberechnung wirksame Spannung

Werkstoffkennwert

a = /2, V,a , ...

139

A ,  D , ...

wirksame Spannungsintensität KV, KI

Festigkeitsbedingung V,a< a,zul

Werkstoffkennwert KI,th , da/dN, ...

Bruchmechanische Bewertung KV ื K I,zul, da/dN = f(K, R)

zulässige Belastung erforderliche Bauteilabmessungen

erforderlicher Werkstoff vorhandene Sicherheit

zulässige Rissabmessung

Restlebensdauer, Inspektionsintervall

Bild 4-26 Zusammenwirken von Dauerfestigkeitsberechnung und Bruchmechanik bei zyklischer Belastung

Zudem erhält man mit der Bruchmechanik Aussagen über zulässige Rissabmessungen sowie die vorhandene Restlebensdauer. Darüber hinaus ist es mit der Bruchmechanik möglich Inspektionsverfahren auszuwählen und Inspektionsintervalle festzulegen. Das Zusammenwirken von Dauerfestigkeitsberechnung und Bruchmechanik (Zweikriterienkonzept) lässt sich auch anhand eines ∆σ-a-Diagramms verdeutlichen, Bild 4-27.  Dauerfestigkeitsberechnung  = D D Bruchmechanik KI = KI,th kein Risswachstum a0

a

Bild 4-27 Verdeutlichung des Zweikriterienkonzepts anhand eines ∆σ-a-Diagramms

Dabei wird deutlich, dass bei sehr geringen Risslängen die Festigkeitskonzepte und bei größeren Risslängen die bruchmechanischen Konzepte zum Tragen kommen. Der Grenzwert a0 ergibt sich dann mit der Beziehung

140

4 Ermüdungsrisswachstum bei zyklischer Belastung mit konstanter Amplitude 1 § ∆K I, th a0 = ⋅ ¨¨ π © ∆σ D

· ¸¸ ¹

2

(4.53).

Die Darstellung in Bild 4-27 wird, wenn die Achsen logarithmisch aufgetragen werden, auch als KITAGAWA-TAKAHASHI-Diagramm [4-4, 4-30] bezeichnet.

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4 Ermüdungsrisswachstum bei zyklischer Belastung mit konstanter Amplitude

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143

5 Experimentelle Ermittlung bruchmechanischer Werkstoffkennwerte Für die Auslegung bzw. für die Bestimmung der Lebensdauer eines Bauteils oder einer Struktur ist die Kenntnis der Beanspruchbarkeit eines Werkstoffs, die der Beanspruchung gegenübergestellt werden kann, von besonderem Interesse. In diesem Kapitel soll deshalb die Ermittlung derjenigen bruchmechanischen Werkstoffkennwerte dargestellt werden, die für das Ermüdungsrisswachstum von Bedeutung sind. An dieser Stelle kann nur eine zusammenfassende Darstellung der Sachverhalte gegeben werden. Für eine detaillierte Beschreibung sei auf die Originalquellen verwiesen.

5.1 Kritischer Spannungsintensitätsfaktor und Risszähigkeit Der kritische Spannungsintensitätsfaktor beschreibt den Grenzwert, dessen Überschreitung zur instabilen Rissausbreitung führt. In der Norm E 399-06 [5-2] der American Society of Testing and Materials (ASTM) wird der Risszähigkeitswert KIC metallischer Werkstoffe für den ebenen Verzerrungszustand (EVZ) bestimmt, da KIC den unteren Grenzwert darstellt, Bild 5-1. Im ebenen Spannungszustand (ESZ) bzw. in einem Mischzustand aus ESZ und EVZ ist der kritische Spannungsintensitätsfaktor von der Bauteil- bzw. Probendicke abhängig, Bild 5-1. KQ Kmax

ESZ

Mischzustand

EVZ

KQ , K C KIC

KIC Bauteildicke

Bild 5-1 Abhängigkeit des kritischen Spannungsintensitätsfaktors von der Bauteildicke (nach [5-1])

Wird der kritische Spannungsintensitätsfaktor entgegen der Kriterien der ASTM E 399-06 für dünne Bauteile bestimmt, so ist dies z. B. durch den Index Q zu kennzeichnen. Im Unterschied zur Risszähigkeit KIC im EVZ wird der dickenabhängige kritische Spannungsintensitätsfaktor auch sehr häufig mit KC bezeichnet. In den folgenden Kapiteln wird die Bestimmung der Risszähigkeit KIC metallischer Werkstoffe für den ebenen Verzerrungszustand gemäß ASTM E 399-06 dargestellt. In dieser Norm sind sowohl die zu verwendenden Probentypen, die Belastungen, die Versuchsdurchführung als auch die Auswertung der Versuchsergebnisse festgelegt.

144

5 Experimentelle Ermittlung bruchmechanischer Werkstoffkennwerte

5.1.1 Ermittlung der Risszähigkeit nach ASTM E 399 Die folgenden Ausführungen bezüglich der Bestimmung des Risszähigkeitswertes beziehen sich auf die aktuellste Fassung der ASTM-Norm E 399 [5-2] aus dem Jahr 2006, welches durch die Bezeichnung hinter der Norm deutlich wird.

5.1.1.1

Proben und Probenentnahme

Zur Risszähigkeitsbestimmung können gemäß ASTM E 399-06 folgende Probentypen verwendet werden: •

Dreipunkt-Biegeprobe (SEB-Probe)

•

Kompaktzugprobe (CT-Probe)

•

C-förmige Probe (AT-Probe)

•

Scheibenförmige Kompaktzugprobe (DCT-Probe).

2,1w

2,1w

t = 0,5w 0,275w 0,275w

0,6w

0,6w

t = 0,5w a

w

0,25w

b)

a)

a c)

w 1,25w

d)

0,675w 0,675w

0,25w

a

r1 r2

t = 0,5w

0,275w

0,275w

0,25w

a w

0,25w

t = 0,5w

Bild 5-2 Probentypen zur Bestimmung der Risszähigkeit KIC nach ASTM E 399-06 a) SEB-Probe b) CT-Probe c) AT-Probe d) DCT-Probe

5.1 Kritischer Spannungsintensitätsfaktor und Risszähigkeit

145

Bei der Entnahme der Proben ist darauf zu achten, dass diese vorzugsweise im endgültigen Zustand bezüglich der Wärmebehandlung, der mechanischen Bearbeitung und der Umgebungsbedingungen gefertigt werden. Ferner ist zu berücksichtigen, dass die Risszähigkeit KIC von der Orientierung und der Richtung des Risswachstums im Verhältnis zur Hauptrichtung der mechanischen Bearbeitung oder zur Kornvorzugsrichtung, d.h. zur Anisotropie des Materials, abhängt. Aus diesem Grund ist in der Norm ASTM E 399-06 eine Kennzeichnung der Rissebene definiert worden. a)

Länge Walzrichtung Extrusionsrichtung Schmiederichtung

L

T-S L-S T-L

S-T

L-T T

b)

S

S-L

c)

C-R

S

R-L

R-C

LT-S L-TS TS-L

L T

L

C-L L-C

L-R

Bild 5-3 Kennzeichnung der Rissorientierung für die Probenentnahme a) Probenentnahme bei Blechen und Platten b) Proben, die schräg zur Achsrichtung T, L und S liegen c) Probenentnahme aus zylindrischem Grundmaterial

Bild 5-3a zeigt beispielhaft anhand eines gewalzten Bleches die Kennzeichnung für Proben, die aus Materialien mit rechteckigem Querschnitt entnommen werden, wobei folgende Regelung für die Bezeichnung der Richtungen gilt: L

Richtung der Hauptverformung,

T

Richtung der geringsten Verformung und

S

Senkrechte Richtung.

146

5 Experimentelle Ermittlung bruchmechanischer Werkstoffkennwerte

Der erste Buchstabe der Kennzeichnung gibt die Richtung senkrecht zur Rissebene, d.h. die Belastungsrichtung, an, während der zweite Buchstabe für die Rissausbreitungsrichtung steht. Analog wird dieses System auch bei Blechen, Strangpress- oder Schmiedeerzeugnissen mit unsymmetrischer Kornorientierung angewendet. Bei Proben, die nicht zu einer der Achsen ausgerichtet sind, werden drei Buchstaben zur Kennzeichnung verwendet, Bild 5-2b. Die Bezeichnung L-TS beispielsweise bildet die Rissebene ab, die senkrecht zur Hauptverformungsrichtung L ist. Der Riss wird sich zwischen den Ebenen T und S ausbreiten. Bei einer Probe der Lage TS-L liegt die Rissebene senkrecht zur Richtung zwischen T und S, wobei die Rissausbreitung in L-Richtung zu erwarten ist. Bei zylindrischem Grundmaterial werden die Richtungen wie folgt bezeichnet: L

Längsrichtung,

R

Radialrichtung und

C

Umfangs- oder Tangentialrichtung,

wobei die Hauptverformungsrichtung parallel zur Längsachse des Zylinders ist. Bild 5-2c zeigt exemplarisch die Kennzeichnung für einen gezogenen Stab.

5.1.1.2

Mindestabmessungen der Probe

Um Prüfungen gemäß ASTM E 399-06 durchzuführen, sind die Abmessungen der Probe so zu wählen, dass folgende Bedingung gewährleistet ist: § K · ( w − a ) ≥ 2,5 ⋅ ¨ IC ¸ ¨ Rp0,2 ¸ © ¹

2

(5.1),

wobei Rp0,2 der 0,2%-Dehngrenze des Materials bei den untersuchten Umgebungsbedingungen, bei den Orientierungen und bei der Temperatur entspricht. Tabelle 5-1: Minimal empfohlenes Restligament für KIC-Versuche [5-2] Rp0,2/E

(w-a)min [mm]

0,0050 – 0,0057

76

0,0057 – 0,0062

64

0,0062 – 0,0065

51

0,0065 – 0,0068

44

0,0068 – 0,0071

38

0,0071 – 0,0075

32

0,0075 – 0,0080

25

0,0080 – 0,0085

19

0,0085 – 0,0100

13

0,01 und größer

6,4

5.1 Kritischer Spannungsintensitätsfaktor und Risszähigkeit

147

Darüber hinaus sollten die Abmessungen der Proben so gewählt sein, dass das Verhältnis w/t von Probenbreite w zu Probendicke t zwei beträgt. In einigen Fällen ist es sinnvoll, für die Abmessungen der Proben mit Ausnahme der Biegeprobe ein Verhältnis 2 ≤ w/t ≤ 4 zu wählen. Das Verhältnis w/t der Biegeprobe sollte zwischen 1 ≤ w/t ≤ 4 liegen. Für die Abmessung der Probe kann entweder die Risszähigkeit geschätzt oder aber für zähes Material mittels des Verhältnisses aus Fließgrenze zum E-Modul (Tabelle 5-1) ermittelt werden. Im Anschluss an einen KIC-Test ist jedoch die Risslänge zu überprüfen und gegebenenfalls der Versuch mit einer angepassten Probe erneut durchzuführen.

5.1.1.3

Starterkerbe und Ermüdungsanriss

Als Starterkerbe stehen in der ASTM E 399 mit der Chevron-Kerbe (Bild 5-4a), der Spitzkerbe (Bild 5-4b) und der in Bild 5-4c gezeigten Geometrie drei unterschiedliche Kerbformen zur Verfügung. Der Kerbradius einer V-Kerbe sollte 0,08 mm oder weniger betragen. Für die Chevron-Kerbe ist ein Kerbradius von 0,25 mm zu verwenden. a)

b)

< 0,1w

c)

< 0,1w

D < 0,1w

< 90°

t



0,45w ... 0,55w

0,45w ... 0,55w

0,45w ... 0,55w

t

t

 < 120°

Bild 5-4 Mögliche Kerbformen für die Starterkerbe in Seitenansicht und im Schnitt a) Chevron-Kerbe b) V-Kerbe c) Schlüssellochkerbe

Die Risslänge a (siehe Bild 5-2) der unterschiedlichen Proben sollte zwischen 0,45w ≤ a ≤ 0,55w liegen, Bild 5-4. Dabei ist darauf zu achten, dass der einzubringende Ermüdungsriss an beiden Probenoberflächen nicht geringer als das Maximum der beiden Bedingungen 0,025w oder 1,3 mm bei einer V-Kerbe ist. Im Fall der Schlüssellochkerbe sollte der Ermüdungsriss mindestens das Maximum aus 0,5D bzw. 1,3 mm betragen.

5.1.2 Versuchsdurchführung bei der Risszähigkeitsbestimmung Vor jedem Versuch sind zunächst die Proben hinsichtlich der Probendicke und der Probenbreite zu vermessen, wobei gewisse Genauigkeitsgrenzen einzuhalten sind. Die Abmessungen der Probe sind im Protokoll festzuhalten. Vor dem KIC-Versuch ist ein Ermüdungsanriss mit einer zyklischen Belastung bei einem Spannungsverhältnis R zwischen –1 und 0,1 zu erzeugen. Dabei sollte die maximale Spannungsin-

148

5 Experimentelle Ermittlung bruchmechanischer Werkstoffkennwerte

tensität KI,max 80% der Risszähigkeit nicht übersteigen. Sind 97,5% der geplanten Ermüdungsrisslänge erreicht, sollte KI,max nicht größer als 60% der Risszähigkeit sein. Nach der Anrisserzeugung wird die Probe in einem quasi-statischen Versuch bis zum Bruch belastet. Die Belastungsrate beträgt dabei zwischen 0,55 und 2,75 MPam1/2/s. Während des Versuchs sind die Kraft sowie die relative Verschiebung, die mittels eines Wegaufnehmers über die Kerbaufweitung aufgenommen wird, zu registrieren. Für einen gültigen KIC-Wert sind neben weiteren restriktiven Bedingungen mindestens drei Versuche durchzuführen.

5.1.3 KIC oder KQ? – Auswertung der Versuche Bild 5-1 beschreibt die Abhängigkeit des kritischen Spannungsintensitätsfaktors von der Bauteil- bzw. Probendicke. Die Risszähigkeit KIC kann demnach nur mit Proben, die die Mindestabmessungen nach Kapitel 5.1.1.2 einhalten, ermittelt werden. Kritische Spannungsintensitätsfaktoren, die mit Proben bestimmt wurden, welche die Mindestabmessungen nicht einhalten, werden als KQ- bzw. KC-Werte bezeichnet.

5.1.3.1

Ermittlung von KQ- und KIC-Werten aus Kraft-Verschiebungs-Diagrammen

Um die Validität eines KIC-Wertes nachzuweisen, ist zunächst die Bestimmung des Hilfswerts KQ erforderlich. Dazu wird im Kraft-Verschiebungs-Diagramm eine durch den Ursprung gehende Sekante eingezeichnet, deren Steigung 95% der Steigung des anfänglichen linearen Bereichs beträgt. Die Kraft, die sich im Schnittpunkt der Sekante und der KraftVerschiebungs-Kurve ergibt, wird als F5 bezeichnet.

Kraft F

Die zum Hilfswert KQ gehörende Kraft FQ folgt aus der entsprechenden Auswertung der aufgezeichneten Kraft- und Verschiebungsdaten in Abhängigkeit der in Bild 5-5 dargestellten grundsätzlichen Formen der Kraft-Verschiebungs-Diagramme.

A Fmax

A FQ

F5 = FQ

F5

A

Fmax

Fmax = FQ F5

95%-Gerade Typ I

Typ II

Typ III

Verschiebung v

Bild 5-5 Generelle Formen der Kraft-Verschiebungs-Diagramme

5.1 Kritischer Spannungsintensitätsfaktor und Risszähigkeit

149

FQ

a

w

t = 0,5w

s

KQ =

FQ ⋅ s t ⋅ w3 / 2

§a· ⋅Y ¨ ¸ © w¹

2 a· ª a §a· § §a· º 1,99 − ¨ ¸ ⋅ ¨1 − ¸ ⋅ «2,15 − 3,93 + 2,7¨ ¸ » w¹ « w © w¹ © © w ¹ »¼ a ¬ ⋅ Y =3 3 / 2 w a· § a· § 2¨1 + 2 ¸ ⋅ ¨1 − ¸ w w © ¹ © ¹

mit

FQ

KQ =

t = 0,5w

FQ

§a· ⋅Y¨ ¸ t⋅ w © w¹

mit

FQ

§a· Y¨ ¸ = ©w¹

a w

2+

a w

2 3 4 ª a §a· §a· º §a· «0,886 + 4,64 − 13,32¨ ¸ + 14,72¨ ¸ − 5,6¨ ¸ » ⋅ 3 w « © w¹ © w ¹ »¼ © w¹ a ·2 ¬ § 1 − ¸ ¨ © w¹

FQ

KQ =

t = 0,5w

FQ

a

FQ t⋅ w

§a· ⋅Y¨ ¸ © w¹

mit §a· Y¨ ¸ = ©w¹

w

2+

a w

2 3 4 ª a §a· º §a· §a· «0,76 + 4,8 − 11,58¨ ¸ + 11,43¨ ¸ − 4,08¨ ¸ » ⋅ 3 w « © w ¹ »¼ © w¹ © w¹ a ·2 ¬ § ¨1 − ¸ © w¹

FQ

t = 0,5w

KQ =

2 r ·º § a · a· ª a· § § X § ⋅ ¨ 3 + 1,9 + 1,1 ¸ ⋅ «1 + 0,25¨1 − ¸ ⋅ ¨¨1 − 1 ¸¸» ⋅ Y ¨ ¸ w¹ « © w ¹ © r2 ¹»¼ © w ¹ t⋅ w © w ¬

FQ

a

r1

mit

r2

Y=

a w

2 3 ª a §a· §a· º «3,74 − 6,3 + 6,32¨ ¸ − 2,43¨ ¸ » ⋅ 3 w « © w¹ © w ¹ »¼ a ·2 ¬ § ¨1 − ¸ © w¹

FQ

Bild 5-6 Spannungsintensitätsfaktorlösungen für Proben zur Risszähigkeitsbestimmung

150

5 Experimentelle Ermittlung bruchmechanischer Werkstoffkennwerte

Im Falle eines Typ I-Verlaufs, d.h. die der Kraft F5 vorangegangenen Kraftpunkte der KraftVerschiebung-Kurve sind alle kleiner als F5, gilt FQ = F5, Bild 5-5. Beim Typ II-Verlauf ist eine Unstetigkeitsstelle zu verzeichnen, bei der es aufgrund kurzfristigen instabilen Risswachstums zu einer Absenkung der Kraft kommt. Damit existieren Punkte vor der Kraft F5 auf der Kurve, die eine größere Kraft als F5 aufweisen. Die zur Auswertung erforderliche Kraft entspricht dann dem lokalen Maximum FQ, Bild 5-5. Die Typ III-Kraft-Verschiebungs-Kurve ist durch einen nahezu linear-elastischen Verlauf gekennzeichnet. Auch hier ist die zuvor genannte Bedingung der größeren Kräfte vor der Kraft F5 erfüllt, so dass FQ = Fmax gilt, Bild 5-5. Unabhängig vom Verlauf der Kraft-Verschiebungs-Diagramme ist zu überprüfen, ob folgende Bedingung erfüllt ist: Fmax < 1,1 FQ

(5.2),

wobei Fmax die maximal auftretende Kraft ist. Ist diese Bedingung erfüllt, kann aus der Kraft FQ die entsprechende Spannungsintensität mit den in Bild 5-6 aufgelisteten Funktionen bestimmt werden.

5.1.3.2

Risslängenvermessung

Die zugehörige Risslänge ist im Anschluss an den Versuch an der gebrochenen Probe zu ermitteln. Da die Risslänge jedoch im Allgemeinen eine gekrümmte Rissfront aufweist, wird gemäß ASTM-Norm E 399 eine mittlere Risslänge verwendet, die sich aus Messungen an drei Punkten mit jeweils einem Abstand von t/4 über der Probendicke ergibt. Dabei ist zu beachten, dass die Differenz jeder der drei Einzelmessungen maximal 10% von der mittleren Risslänge abweichen darf. Zusätzlich ist die Risslänge an den Oberflächen der Bruchfläche zu vermessen. Die an den Oberflächen gemessenen Risslängen dürfen sich maximal um 15% von der mittleren Risslänge unterscheiden und die Differenz zwischen den Oberflächen darf maximal 10% der mittleren Risslänge betragen.

t/4

a1

t/4

a2

t/4

a3

Restgewaltbruch

t

Starterkerbe Ermüdungsanriss

Rissfront beim Einsetzen der instabilen Rissausbreitung

t/4 Bild 5-7 Ermittlung der Risslänge, bei der instabile Rissausbreitung einsetzt

5.2 Thresholdwerte und Rissgeschwindigkeitskurven

5.1.3.3

151

Gültigkeit des KIC-Versuchs

Abschließend sind nochmals die Bedingungen eines gültigen KIC-Versuchs zu prüfen. Falls alle Mindestabmessungen nach Kapitel 5.1.1.2 und die Kriterien zur Erzeugung und Symmetrie des Ermüdungsrisses eingehalten sind, so wurde ein gültiger KIC-Wert ermittelt. Sind die Bedingungen nach Gleichung (5.1) nicht erfüllt, so wird der gemessene Wert als KQ oder KC bezeichnet und der Versuch ist mit anderen Abmessungen zu wiederholen.

5.2 Thresholdwerte und Rissgeschwindigkeitskurven Für die Charakterisierung des Ermüdungsrisswachstums haben der Schwellenwert KI,th und die Rissgeschwindigkeitskurve da/dN = f(K, R) eine wesentliche Bedeutung. Neben den klassischen Festigkeitskennwerten kann mittels des Thresholdwertes und der Rissgeschwindigkeitskurve eine optimale Werkstoffauswahl getroffen werden. Insbesondere ist aber durch die Kenntnis dieses bruchmechanischen Kennwerts bzw. der Kennwertfunktion die Vorhersage der Restlebensdauer möglich, aus der dann beispielsweise Inspektionsintervalle abgeleitet werden können.

5.2.1 Ermittlung der Thresholdwerte und Rissgeschwindigkeitskurven nach ASTM E 647 Die Bestimmung des Thresholdwertes und der Rissgeschwindigkeitskurve in Form der Probentypen, der Versuchsdurchführung und -auswertung ist in der Norm E 647-08 [5-3] der ASTM standardisiert. In den folgenden Kapiteln wird zusammenfassend die Vorgehensweise gemäß der ASTM-Norm beschrieben und um aktuelle Forschungsergebnisse ergänzt. Für eine detaillierte Darstellung sei auf die Originalquellen verwiesen.

5.2.1.1

Proben und Probenabmessungen

In der Norm ASTM E 647-08 [5-3] werden die in Bild 5-8 dargestellten Proben für die Ermittlung des Thresholdwertes bzw. der Rissgeschwindigkeitskurve vorgeschlagen. Im Gegensatz zur Norm E 399-06 [5-2] (siehe Kapitel 5.1.1.2) ist die Gültigkeit der Probengröße in dieser Norm nicht durch die Dicke bzw. die Festigkeit des Werkstoffs limitiert. Bei der Festlegung der Probengröße bzw. –breite ist zu gewährleisten, dass Beulen ausgeschlossen ist und sich die Probe bei allen aufgebrachten Kräften überwiegend elastisch verhält. Um die Werkstoffeigenschaften genau zu charakterisieren, ist es erforderlich, die Proben möglichst aus dem fertigen Bauteil zu entnehmen. Aufgrund geometrischer und/oder werkstofflicher Restriktionen bezüglich der Probenentnahme ist es häufig nicht möglich, die in der Norm E 647-08 standardisierten Proben zu verwenden. Deshalb ist neben den in Bild 5-8 dargestellten Probentypen ebenfalls der Einsatz von anderen Probentypen möglich. Die Verwendung von anderen Probentypen setzt voraus, dass die Spannungsintensitätsfaktorlösung in Abhängigkeit der Risslänge entweder bekannt ist oder ermittelt werden kann (siehe Kapitel 3.4.2 und Kapitel 3.7). Zur Ermittlung der Spannungsintensitätsfaktoren werden sehr häufig numerische Risswachstumssimulationen (siehe Kapitel 7.2) eingesetzt.

152

5 Experimentelle Ermittlung bruchmechanischer Werkstoffkennwerte

a)

b)

2a

1,85w

1,5w

an

w/2

1,5w

1,5w

a 1,85w

2a n

1,5w

w/2

∅w/3

w

t

c)

w

t

0,275w 0,275w

0,6w

0,6w

0,25w

t

an a w 1,25w

Bild 5-8 Probentypen zur Bestimmung des Thresholdwertes und der Rissgeschwindigkeitskurve gemäß ASTM E 647-08 a) MT-Probe b) Exzentrische SEN-Probe c) CT-Probe

5.2.1.2

Starterkerbe und Anrisserzeugung

Als Kerbgeometrien können die V-Kerbe, Bild 5-4b, die Chevron-Kerbe, Bild 5-4a, ein Sägeschnitt oder eine Kerbe ausgehend aus einer Bohrung, Bild 5-4c, verwendet werden. Um die Anrisserzeugung zu erleichtern, werden in der Norm in Abhängigkeit der Festigkeit für die Erstellung der Kerbe das mechanische Bearbeitungsverfahren (wie z. B. Erodieren, Reiben, Sägen oder Walzen) sowie die Kerbradien definiert. Bei hochfesten Stählen (σF ≥ 1175 MPa), Titan- oder Aluminiumlegierungen wird Erodieren mit einem Kerbradius kleiner als 0,25 mm vorgeschlagen. Walzen, Reiben oder Schleifen wird dagegen für Stähle mit einer Fließgrenze

5.2 Thresholdwerte und Rissgeschwindigkeitskurven

153

unterhalb von 1175 MPa und für Aluminiumlegierungen empfohlen, wobei die Kerbradien bis auf das Reiben kleiner als 0,25 mm ausgeführt werden sollten. Beim Reiben ist ein Radius kleiner als 0,075 mm zu realisieren. Das Sägen einer Kerbe wird lediglich für Aluminiumlegierungen vorgesehen. Um keine Einflüsse von der Kerbe auf die Ergebnisse des Ermüdungsrisswachstumsversuchs zu erhalten, ist vor dem eigentlichen Versuch ein Ermüdungsanriss zu erzeugen. Der Anriss sollte mindestens eine Länge von 0,1t, die Kerbhöhe h oder 1 mm aufweisen, wobei das Maximum der genannten Größen anzuwenden ist. Die Beanspruchung ist so zu wählen, dass die maximale Spannungsintensität während der Anrisserzeugung nicht größer ist als der Anfangswert des eigentlichen Versuchs. Generell sollte die kleinst mögliche Beanspruchung zur Anrisserzeugung gewählt werden. Falls es notwendig ist, mit einer höheren Beanspruchung zu starten, ist die Beanspruchung schrittweise zu reduzieren. Die Lastreduktion sollte nicht größer ′ / σ F ) 2 sein, wobei K max ′ die als 20% in einem Rissinkrement von mindestens (3 / π ) ⋅ ( K max maximale Beanspruchung des vorangegangen Belastungsschritts ist. Ferner ist zu empfehlen, das R-Verhältnis des Versuchs auch bei der Anrisserzeugung zu verwenden, um Reihenfolgeeffekte (siehe Kapitel 6) zu vermeiden. Alternativ zur Anrisserzeugung unter Zugbeanspruchung ist die Rissinitiierung auch unter Druckbelastung möglich. Zur Vermeidung ungültiger Versuchsergebnisse ist sicherzustellen, dass ein symmetrischer Anriss erzeugt wurde. Weichen die Risslänge an der Vorder- und Rückseite der Probe mehr als 0,25t voneinander ab, ist die Probe für die anschließende Untersuchung nicht verwendbar. Darüber hinaus muss die Kerbe und der eingebrachte Anriss in der in Bild 5-9a dargestellten Hüllkurve liegen. Bild 5-9b zeigt exemplarisch einen Anriss, der aus einer V-Kerbe erzeugt wurde, mit der entsprechenden Hüllkurve um die Kerbe und den Ermüdungsanriss. a)

maximal h = w/16 30°

a0

b)

h an a0

Ermüdungsanriss

Bild 5-9 Anrisserzeugung aus einer Kerbe (nach [5-3]) a) Hüllkurve um die gefertigte Kerbe und den Ermüdungsanriss b) Anrisserzeugung und Hüllkurve am Beispiel einer V-Kerbe

5.2.1.3

Versuchsdurchführung zur Ermittlung der Rissgeschwindigkeitskurve

Um den gesamten Bereich einer Rissfortschrittskurve aufnehmen zu können, sind i. Allg. zwei Versuchstypen erforderlich. Beim ersten Versuchstyp wird nach der Anrisserzeugung die maximale und minimale Kraft konstant gehalten (Bild 5-10a). Da bei konstanter Kraftschwingbreite die Spannungsintensität mit zunehmender Risslänge steigt (siehe Gleichung (4.8)), erhält man somit den mittleren und oberen Bereich der Rissfortschrittskurve (Bild 5-10c). In einem zweiten Versuchstyp wird nach der Anrisserzeugung die Spannungsintensität so gewählt, dass der Riss mit mittlerer Geschwindigkeit zu wachsen beginnt. Mit zunehmender Risslänge wird zumeist die zyklische Spannungsintensität reduziert (Bild 5-10b), bis das Riss-

154

5 Experimentelle Ermittlung bruchmechanischer Werkstoffkennwerte

wachstum zum Stillstand kommt und der Schwellenwert ∆KI,th der Ermüdungsrissausbreitung erreicht ist (Bild 5-10c). Neben der Reduktion der zyklischen Spannungsintensität gemäß ASTM E 647 ist auch eine zunehmende zyklische Spannungsintensität möglich (siehe Kapitel 5.2.2.3). Durch den zweiten Versuchstyp wird der mittlere und untere Bereich der Rissfortschrittskurve bestimmt. Bei der Wahl der Anfangswerte der Versuche des ersten und zweiten Typs ist immer darauf zu achten, dass sich ein überlappender Bereich in der Rissfortschrittskurve ergibt.

c) Fmax = konst.

a [mm]

Rissstillstand

KIC = KIC·(1-R)

10-3 10-4 10-5 10-6 10-7

KI,max,th a0

10-1 10-2

Bruch da/dN [mm/Lw]

b)

KI,max [MPam1/2]

a)

KI,max [MPam1/2]

Da die Rissfortschrittskurven vom R-Verhältnis abhängen, sind zur vollständigen Charakterisierung des Werkstoffs die entsprechenden Versuche für jeweils unterschiedliche RVerhältnisse durchzuführen.

a [mm]

a th

KI,th

10-8 1

10

100 K I [MPam1/2]

1000

Bild 5-10 Experimentelle Ermittlung der Rissforschrittskurve [5-4] a) Versuchstyp 1: Fmax = konst. b) Versuchstyp 2: Abnehmende Spannungsintensität c) Ermittelte Rissfortschrittskurve mit den Bereichen nach Versuchstyp 1 und 2

Zur statistischen Absicherung der Versuchsergebnisse sind die Versuche mit einer angemessenen Anzahl zu wiederholen. Darüber hinaus kann zur Auswertung der Versuche die Methode der Quantilkurven angewendet werden, bei der Rissfortschrittskurven einer bestimmten Ausfallwahrscheinlichkeit ermittelt werden [5-9].

5.2.2 Methoden der Thresholdwertbestimmung Für die Durchführung des Versuchs zur Bestimmung des Thresholdwertes sowie des mittleren und unteren Bereichs der Rissgeschwindigkeitskurve werden in der Literatur sowohl Versuche mit abnehmender als auch mit zunehmender Spannungsintensität vorgeschlagen, Bild 5-11. Eine zusammenfassende Darstellung der Methoden ist z. B. in [5-4] zu finden.

5.2 Thresholdwerte und Rissgeschwindigkeitskurven

155

Methoden zur Thresholdbestimmung

abnehmende Spannungsintensität

R = konstant

zunehmende Spannungsintensität

KI,max = konstant

Bild 5-11 Methoden der Thresholdwertbestimmung [5-4]

Nach ASTM E 647-08 sind die Versuche mit abnehmender Spannungsintensität durchzuführen, wobei zwischen Versuchen mit konstantem R-Verhältnis (Bild 5-12a) oder aber konstanter maximaler Spannungsintensität KI,max (Bild 5-12b) unterschieden wird. a)

b)

KI

KI

KI,max,0

K I,max K I,th

K I,0 KI,max K I,min KI,min

K I,th a

a

Bild 5-12 Verfahren mit abnehmender zyklischer Spannungsintensität [5-4] a) bei konstantem Spannungs- bzw. Spannungsintensitätsfaktorverhältnis b) bei konstantem maximalen Spannungsintensitätsfaktor

5.2.2.1

Versuche mit konstantem Spannungsverhältnis

Bei einer Reduktion der zyklischen Spannungsintensität mit konstantem R-Verhältnis sind sowohl die maximale Spannungsintensität als auch die minimale Spannungsintensität innerhalb gewisser Risslängeninkremente zu reduzieren, bis das Risswachstum zum Stillstand kommt. Die Absenkraten sind so zu wählen, dass keine Reihenfolgeeffekte (siehe Kapitel 6) auftreten und dass genügend Datenpunkte pro Dekade verfügbar sind. Um dies zu gewährleisten, ist die zyklische Spannungsintensität gemäß E 647-08 mittels folgender exponentieller Beziehung zu reduzieren: ∆K I = ∆K I,0 ⋅ e C ⋅( a − a0 )

(5.3),

wobei ∆KI,0 der initialen zyklischen Spannungsintensität zu Beginn des Versuchs entspricht und die Steigung C folgender Beziehung genügen muss:

156

5 Experimentelle Ermittlung bruchmechanischer Werkstoffkennwerte C=

1 dK I ⋅ > −0,08 mm −1 K I da

(5.4).

Bei einer stufenweisen Verminderung der Belastung ist darauf zu achten, dass die Reduktion der aktuellen maximalen Kraft Fmax,2 10% des vorangegangenen Niveaus Fmax,1 nicht überschreiten sollte. Die entsprechende Lastreduktion ist gemäß Norm frühestens nach einem Risslängeninkrement von 0,5 mm durchzuführen. Eine kontinuierliche Verminderung ist gegeben, wenn (Fmax,1 – Fmax,2)/Fmax,1 ≤ 0,02 gilt. Untersuchungen haben jedoch gezeigt, dass eine Abhängigkeit des ermittelten Thresholdwertes von der Absenkrate C bestehen kann. Mit zunehmender Absenkrate werden tendenziell höhere Thresholdwerte gemessen [5-4]. Dieser Effekt ist zudem vom gewählten R-Verhältnis oder vom Werkstoff abhängig. Verstärkt wird der Einfluss der Absenkrate durch die initiale Spannungsintensität. Hohe Lastabsenkraten können bei gleichzeitig hohen initialen maximalen Spannungsintensitätsfaktoren zu höheren Thresholdwerten als bei niedrigen KI,max,0-Werten führen [5-5]. Begründet werden kann dies durch anfänglich große Plastifizierungen, durch die der Riss zunächst sehr stark beeinflusst wird und es zu plastizitätsinduziertem Rissschließen kommt ( siehe Kapitel 4.2.3.1 und [5-4 bis 5-7]). Bei einer geringeren Absenkrate bzw. geringeren KI,max,0-Werten wird der Thresholdwert weniger durch Plastifizierungen beeinflusst. Darüber hinaus haben Untersuchungen [5-4, 5-5 und 5-8] gezeigt, dass durch die exponentielle Absenkung bei geringen Spannungsverhältnissen deutliche Streuungen der Schwellenwerte auftreten. Dagegen treten geringere Abhängigkeiten von der Absenkrate und der anfänglichen Spannungsintensität sowie geringere Streuungen bei einer linearen Absenkung der zyklischen Spannungsintensität auf [5-4, 5-9].

5.2.2.2

Versuche mit konstanter maximaler Spannungsintensität

Neben der Absenkung der Spannungsintensität bei konstantem R-Verhältnis ist gemäß ASTM E 647 ebenfalls das Lastabsenkverfahren mit konstantem maximalen Spannungsintensitätsfaktor (Bild 5-12b) zulässig. Bei dieser Methode wird zur Reduktion der zyklischen Spannungsintensität der minimale Spannungsintensitätsfaktor KI,min kontinuierlich angehoben, bis der Thresholdwert erreicht ist. Mit der Anhebung von KI,min ändert sich stets das R-Verhältnis, so dass vor Versuchsbeginn das Spannungsverhältnis, bei dem sich der Thresholdwert ergibt, nicht feststeht. Für die Bestimmung des Schwellenwertes ist ferner der maximale Spannungsintensitätsfaktor von entscheidender Bedeutung. Mit zunehmenden KI,max-Werten stellen sich kleinere Thresholdwerte und damit andere finale R-Verhältnisse ein [5-10]. Auch bei dieser Lastabsenkmethode ist darauf zu achten, dass eine zu starke Anhebung der minimalen Spannungsintensität zu Reihenfolgeeffekten führen kann. Dieses Verfahren ist insbesondere für die Ermittlung von Thresholdwerten bei hohen RVerhältnissen zu empfehlen [5-11].

5.2.2.3

Versuche mit zunehmender zyklischer Spannungsintensität

In der Literatur [5-12] wird alternativ zu den Lastabsenkverfahren die Schwellenwertermittlung mit steigender Belastung vorgeschlagen, um den Einfluss der Druckeigenspannungen sowie des plastizitätsinduzierten Rissschließens, siehe Kapitel 4.2.3.1, auf den Thresholdwert zu vermeiden. Dazu wird zunächst ein Anriss bei einer zyklischen Druckbelastung erzeugt.

5.2 Thresholdwerte und Rissgeschwindigkeitskurven

157

Daran schließt sich eine Belastung im Zugbereich an, die stufenweise solange erhöht wird, bis der Riss zu wachsen beginnt, Bild 5-13. Fmax

F

Fmin

Anrisserzeugung (Druck)

N KI< KI,eff,th KI,eff,th < KI < KI,th KI > KI,th

da dN

a KI

N

Bild 5-13 Ermittlung des Thresholdwertes durch Laststeigerung (nach [5-12])

Dabei unterscheiden TABERNIG und PIPPAN [5-12] zwischen dem effektiven Thresholdwert ∆KI,eff,th und dem Thresholdwert ∆KI,th für das Langrisswachstum. Bei Belastungsschritten, bei denen ∆KI,eff,th < ∆KI < ∆KI,th gilt, wächst der Riss zunächst, stoppt dann aber nach einem gewissen Rissinkrement wieder. Der Thresholdwert ∆KI,th ist überschritten, wenn der Riss kontinuierlich wächst. Der Versuch wird mit diesem Lastniveau fortgesetzt, um die gesamte Rissgeschwindigkeitskurve zu ermitteln. NEWMAN et al. [5-13, 5-14] nutzen ebenfalls die Anrisserzeugung im Druckbereich, setzen dann aber die Belastung im Zugbereich mit konstanter Spannungsamplitude fort. Um Risswachstumsraten im thresholdnahen Bereich für eine bestimmtes R-Verhältnis messen zu können, ist die Zugbelastung durch eine vorherige Abschätzung bzw. durch Trial-and-Error zu ermitteln. Nach einer Anrisserzeugung im Druckbereich ist zu berücksichtigen, dass die anfänglichen Risswachstumsraten im Zugbereich durch eine zugumkehrplastische Zone beeinflusst sind, d. h. es werden höhere da/dN-Werte messbar sein. Deshalb muss die Risslänge zur Vermeidung derartiger Reihenfolgeeffekte mindestens das 2- bis 3,5-fache der zugumkehrplastischen Zone betragen [5-13]. FORTH et al. [5-14] geben aus diesem Grund unmittelbar nach dem Wechsel von der Druck- zur Zugbelastung eine kleine zyklische Zugbelastung (KI,max ≈ 0,45 MPam1/2 und KI,min ≈ 0,05 MPam1/2) auf, bis Rissstillstand einsetzt. Erst danach wird der reguläre Versuch mit einer konstanten Spannungsamplitude gestartet.

5.2.3 Methoden der Risslängenmessung Bei der Ermittlung der Thresholdwerte bzw. der Rissfortschrittskurve ist auf eine kontinuierliche Risslängenmessung während des Versuchs zu achten. Sollten Unterbrechungen des Versuchs zwecks der Risslängenbestimmung erforderlich sein, ist zur Vermeidung von Spitzenlasten besonderes Augenmerk auf die Steuerung der Kraft zu legen. Darüber hinaus sollten die Zeiten der Unterbrechung weniger als zehn Minuten betragen.

158

5 Experimentelle Ermittlung bruchmechanischer Werkstoffkennwerte

Die Risslängenmessung ist möglichst so durchzuführen, dass die Risswachstumsraten gleichmäßig in Bezug auf die zyklische Spannungsintensität verteilt sind. Die Norm ASTM E 647 gibt dazu entsprechende Vorschläge in Abhängigkeit der Probentypen sowie des a/wVerhältnisses, Tabelle 5-2. Tabelle 5-2: Intervalle der Risslängenmessung nach ASTM E 647-08 [5-3] Probentyp

Intervall der Risslängenmessung

CT-Probe

MT-Probe

∆a ≤ 0,04 w

für

0,25 ≤ a / w ≤ 0,40

∆a ≤ 0,02w

für

0,40 ≤ a / w ≤ 0,60

∆a ≤ 0,01w

für

a / w ≥ 0,60

∆a ≤ 0,03w

für

2a / w < 0,60

∆a ≤ 0,02w

für

2a / w > 0,60

Als Verfahren zur Risslängenmessung stehen beispielsweise optische Methoden, die Elektropotentialmethode oder die Compliance-Methode zur Verfügung. Grundsätzlich sollte das verwendete Verfahren eine Auflösung des Risslängenzuwachses von 0,1 mm oder 0,002w besitzen [5-3].

5.2.3.1

Optische Methoden

Im Falle einer visuellen Risslängenmessung ist die Probe vor dem Versuch entsprechend zu präparieren, d. h. der Oberflächenbereich, in dem der Riss wachsen wird, ist zu polieren und gegebenenfalls mit Abstandsmarkierungen zu versehen. Die Risslänge kann dann über ein Messmikroskop aufgezeichnet werden. Da es während der Versuche zu unsymmetrischen Rissfrontentwicklungen in der Probe kommen kann, ist bei einer visuellen Messung unbedingt die Vermessung der Risslänge auf beiden Seiten der Probe durchzuführen. Bei einer CT-Probe sind somit zwei und bei einer MT-Probe vier Messpositionen (je zwei Rissspitzen auf Vorderund Rückseite der Probe) zu berücksichtigen. Als Risslänge ergibt sich dann der Mittelwert aus zwei bzw. vier Risslängen [5-3]. Anstelle eines Messmikroskops ist eine Erfassung der Risslänge sowie der Risskoordinaten auch mittels digitaler Kameras und anschließender Bildverarbeitungssoftware möglich [5-15]. Dies erlaubt trotz einer visuellen Prüfung einen automatisierten Versuchsablauf ohne verfälschende Unterbrechungen.

5.2.3.2

Elektropotentialmethode

Eine alternative Methode, die ebenfalls eine Automatisierung zulässt, ist das Elektropotentialverfahren. Bei diesem Verfahren wird in die Probe ein Strom eingeleitet und an definierten Punkten die Potentialdifferenz abgegriffen. Das Prinzip dieses Verfahrens ist, dass sich durch das Risswachstum der Ohmsche Widerstand infolge der Querschnittsminderung erhöht. Mittels einer Kalibrierkurve kann aus der Veränderung des Potentials die zugehörige Risslänge bestimmt werden. Grundsätzlich kann zwischen der Gleichstrom- und der Wechselstrompotentialmethode unterschieden werden.

5.2 Thresholdwerte und Rissgeschwindigkeitskurven

159

Bei der häufig verwendeten Gleichstrompotentialmethode wird in die Probe ein konstanter Gleichstrom eingeleitet, der zu einem zweidimensionalen elektrischen Feld führt, das über die Dicke konstant ist. Die Höhe des Stroms liegt zwischen 5 und 50 A, die jedoch von der Probengröße und dem Werkstoff abhängt. Bild 5-14 zeigt exemplarisch den Versuchsaufbau unter Verwendung der Gleichstrompotentialmethode und einer CT-Probe. Um einen Stromfluss um die Kerbe bzw. den Riss zu gewährleisten, wird an der Ober- bzw. Unterseite der Probe ein konstanter Strom eingespeist und ober- und unterhalb der Kerbe die Potentialdifferenz abgegriffen. Zur Verarbeitung der Potentialdifferenz wird ein Vorverstärker und ein modulares Interface-System (MIS), das aus einem A/D- und einem D/A-Wandler besteht, genutzt. Die Auswertung des Signals erfolgt mittels eines Personalcomputers [5-17]. Um Fehlströme zu vermeiden, werden die Probe an den Lasteinleitungsstellen und die Innenseiten der Einspannung isoliert. Da es aufgrund langer Versuchszeiten zu einem Potentialdrift kommen kann, sollte nach jeder Potentialdifferenzmessung die Stromrichtung mittels des dargestellten Umschalters gewechselt werden. Dies bedeutet, dass sich sowohl positive als auch negative Potentialdifferenzen ergeben, die zu einem Potentialwert zusammengefasst werden müssen [5-3, 5-16]. Um die Änderung des spezifischen Widerstands des Materials und damit die Änderung der Potentialdifferenz durch eine mögliche Erwärmung der Probe, z. B. aufgrund des Hydraulikaggregats oder des hohen eingeleiteten Stroms, zu berücksichtigen, ist beispielsweise die aktuelle Temperatur in der Probe mittels eines Thermoelements zu erfassen und die gemessene Potentialdifferenz zu korrigieren. Alternativ können aber auch zusätzliche Messungen an Vergleichspositionen der Probe oder einer weiteren Probe, die den gleichen Bedingungen ausgesetzt ist, erfolgen. MIS-Gerät

Umschalter

Vorverstärker

Probe Computer

Stromquelle I = konst.

Bild 5-14 Schematische Darstellung der Risslängenmessung mittels der Gleichstrompotentialmethode

Im Gegensatz zur Gleichstrompotentialmethode wird bei der Wechselstrommethode keine gleichförmige Stromverteilung über der Dicke erreicht, so dass in Abhängigkeit der Frequenz der sogenannte „Skin-Effekt“ eintritt, d. h. der Strom wird hauptsächlich in oberflächennahe Bereiche eingeleitet, aus dem sich dann auch die Potentialdifferenz und die Oberflächenrisslänge ergibt. In der Norm ASTM E 647-08 ist die Risslängenmessung zur Vermeidung möglicher Kontakte der Rissflanken bei Erreichen der maximalen Kraft durchzuführen. Durch Plastifizierungen kann es dennoch zu einem partiellen Rissschließen kommen (siehe Kapitel 6). Deshalb ist im Nachgang zum Versuch die Risslänge an der gebrochenen Probe zu kontrollieren und die Po-

160

5 Experimentelle Ermittlung bruchmechanischer Werkstoffkennwerte

tentialmessung gegebenenfalls zu korrigieren. Eine Korrektur ist jedoch nicht bei Versuchen mit einer konstanten zyklischen Spannungsintensität möglich. 0,8 0,7 0,6 a/ w

0,5 0,4 0,3

CT mod. CT Sonderprobe

0,2 0,1 0 1

2

3 U/U0

4

5

Bild 5-15 Experimentell bestimmte Kalibrierkurven

Der Zusammenhang aus gemessener Potentialdifferenz und der entsprechenden Risslänge wird aus einer sogenannten Kalibrierkurve abgeleitet, in der die Risslänge bezogen auf das Ligament über der normierten Potentialdifferenz dargestellt ist. Für ausgewählte Probentypen wie z. B. MT-Proben sind entsprechende Funktionen in der Norm ASTM E 647 angegeben. Falls alternative Probentypen eingesetzt werden, können die Kalibrierkurven entweder numerisch oder experimentell bestimmt werden. Für eine experimentelle Bestimmung einer Kalibrierkurve werden während einer Ermüdungsbelastung beispielsweise durch einzelne eingestreute Überlasten oder Blockbelastungen mit angepasster minimaler Kraft Rastmarken (siehe Bild 2-9 und Bild 2-10) auf der Bruchfläche der Probe erzeugt. Durch optisches Vermessen der Rastmarken nach dem Versuch mittels eines Messmikroskops an der gebrochenen Probe (siehe Kapitel 5.2.3.4) kann der eindeutige Zusammenhang zwischen einer mittleren Risslänge und der entsprechenden Potentialdifferenz, die sich zum Zeitpunkt der Überlast oder Blocklast eingestellt hat, hergestellt werden [5-17]. Dieses Verfahren ist selbst bei Vorliegen einer Kalibrierkurve vor jeder Versuchsreihe zur Überprüfung der Risslängenmessung durchzuführen. Im Gegensatz zur direkten Potentialmessung wird bei der indirekten Potentialmethode beispielsweise eine Rissmessfolie auf der Probe appliziert durch die der Riss wächst. Durch Messung des Potentials ist dann eine Aussage über die Oberflächenrisslänge möglich. Dieses Verfahren ist auch anwendbar bei Probenwerkstoffen, die nicht elektrisch leitend sind. Bei dieser Methode muss jedoch gewährleistet sein, dass eine simultane Rissausbreitung sowohl in der Probe als auch in der Rissmessfolie erfolgt.

5.2.3.3

Compliance-Methode

Als Compliance ist der dimensionslose Wert des Produkts aus E-Modul, Verformung v (z. B. Rissöffnungsverschiebung) und Probendicke t bezogen auf die eingeleitete Kraft F definiert. Für die Risslängenmessung wird der Compliance-Wert ins Verhältnis zur Risslänge gesetzt. Neben der Messung beispielsweise der Rissöffnungsverschiebung sind auch Dehnungsmessungen an unterschiedlichen Positionen der Probe z. B. mittels DMS möglich. Zu berücksich-

5.2 Thresholdwerte und Rissgeschwindigkeitskurven

161

tigen ist jedoch, dass die Compliance-Kurve nur für die verwendete Messposition anwendbar ist. Die Messmethode und die Messpunkte sind je nach Versuchsbedingungen wie beispielsweise Frequenz, R-Verhältnis oder Temperatur zu wählen. Nähere Details sind in [5-3] zu finden.

5.2.3.4

Risslängenvermessung an der gebrochenen Proben

Zur Risslängenvermessung nach Ermüdungsrissausbreitungsversuchen wird die mittlere Risslänge mit a=

A t

(5.5)

angenommen, wobei A die jeweilige Ermüdungsbruchfläche und t die Probendicke ist. x·t

Starterkerbe

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Stabiles Risswachstum

Restgewaltbruch

x·t

t

a5

Rissfront am Ende des Versuches

Bild 5-16 Schematische Darstellung der Vorgehensweise zum Ausmessen der Bruchfläche

Um die Bruchfläche zu bestimmen, werden mindestens m  9 äquidistante Messstellen über die Probendicke verteilt. Aus dieser Betrachtungsweise folgt für die mittlere Risslänge:

a=

1 − 2 x ª a1 + am m −1 º ai » + x ⋅ (a1 + am ) ⋅« + m − 1 ¬« 2 i =1 ¼»

¦

(5.6),

Die Risslängen ai in Gleichung (5.6) sind die Risslängen, die sich an den m Messstellen ergeben. Die Verteilung der Messpunkte über der Probendicke ist in Bild 5-16 dargestellt, wobei die Variable x den prozentualen Abstand des ersten und letzten Messwerts vom Probenrand kennzeichnet. Dieser Abstand ist einzuhalten, da direkt am Probenrand der Übergang von Ermüdungsbruchfläche und Gewaltbruchfläche ungenau ist.

5.2.4 Rissgeschwindigkeitsermittlung Die ASTM-Norm E 647-08 schlägt zur Datenreduktion und Auswertung der Rissgeschwindigkeit die Sekantenmethode (Secant Method) und die Polynomapproximation (Incremental Polynomial Method) vor [5-3].

162

5 Experimentelle Ermittlung bruchmechanischer Werkstoffkennwerte

5.2.4.1

Sekantenmethode

Die Sekantenmethode oder Punkt-zu-Punkt Technik (point-to-point technique) ermittelt die Steigung einer Geraden, die zwei benachbarte Messpunkte der a-N-Kurve miteinander verbindet. Die Rissgeschwindigkeit ist danach wie folgt definiert [5-3]:

(a − ai ) § da · ¨ ¸ = i +1 © dN ¹ a (N i +1 − N i )

(5.7).

Da die berechnete Risswachstumsrate da/dN einen mittleren Wert über dem Risslängeninkrement (ai+1 – ai) widerspiegelt, wird für die Berechnung der zyklischen Spannungsintensität i. Allg. eine mittlere Risslänge a = 0,5(ai +1 + ai ) verwendet.

5.2.4.2

Polynomapproximation

Bei der Polynomapproximation wird unter Vorgabe einer Stützstellenzahl 2n + 1 durch die Versuchsdaten im Bereich ai-n  a  ai+n eine Ausgleichsparabel nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate gelegt. Der Koeffizient n ist im Allgemeinen eine natürliche Zahl aus dem Intervall von 1 bis 4. Aus den ermittelten Regressionsparametern kann die Risslänge âi an der Stelle Ni folgendermaßen interpoliert werden: aˆi = b0 + b1 ⋅

§ N − C1 · N i − C1 ¸¸ + b2 ⋅ ¨¨ i C2 © C2 ¹

2

(5.8).

Die Parameter C1 und C2 werden dazu benutzt, um numerische Schwierigkeiten bei der Bestimmung der Regressionsparameter b0, b1 und b2 zu vermeiden. Sie sind wie folgt definiert: C1 =

1 (N i − n + N i + n ) 2

(5.9)

C2 =

1 (N i + n − N i − n ) 2

(5.10).

Durch die Ableitung der Risslängengleichung (5.8) ergibt sich die Rissgeschwindigkeit zu: b N −C § da · ¨ ¸ = 1 + 2b2 ⋅ i 2 1 © dN ¹ aˆ i C 2 C2

(5.11).

Der zugehörige Wert der zyklischen Spannungsintensität wird mittels der Risslänge âi bestimmt.

5.2.5 Auswertung der Thresholdwert- und der Rissfortschrittskurvenversuche Für die Versuchsauswertung eines Ermüdungsversuchs sind aus den Messpunkten der Risslänge und der Lastwechselzahl gemäß der Verfahren aus Kapitel 5.2.4 die Rissgeschwindigkeiten zu bestimmen. Die den Risswachstumsraten zugeordneten zyklischen Spannungsintensitätsfaktoren sind aus der Risslänge und der zugehörigen Schwingbreite der Kraft zu bestimmen. Zyklische Span-

5.2 Thresholdwerte und Rissgeschwindigkeitskurven

163

nungsintensitätsfaktorlösungen für Proben der Norm ASTM E 647-08 sind in Bild 5-17 angegeben. F(t)

∆K =

§a· ⋅Y ¨ ¸ t⋅ w © w¹ ∆F

mit

F(t)

§a· Y¨ ¸ = © w¹

a w

a 2+ w

2 3 4 ª a §a· §a· §a· º «0,886 + 4,64 − 13,32¨ ¸ + 14,72¨ ¸ − 5,6¨ ¸ » ⋅ 3 w « © w¹ © w¹ © w ¹ »¼ a ·2 ¬ § ¨1 − ¸ © w¹

F(t)

∆K =

π ⋅a π ⋅a ∆F ⋅ sec t w w2 mit

2a

∆F = Fmax − Fmin für R > 0

w

∆F = Fmax für R ≤ 0

F(t) F(t) ∆K =

§a· ⋅Y ¨ ¸ t⋅ w © w¹ ∆F

mit §a· Y¨ ¸ = © w¹

a

a § a· § a· ⋅ ¨1,4 + ¸ ⋅ ¨1 − ¸ w © w¹ © w¹

w

−

3 2

⋅G

mit 2

G = 3,97 − 10,88

3

4

a §a· §a· §a· §a· + 26,25¨ ¸ − 38,9¨ ¸ + 30,15¨ ¸ − 9,27¨ ¸ w © w¹ © w¹ © w¹ © w¹

5

F(t)

Bild 5-17

Spannungsintensitätsfaktorlösungen der in der Norm ASTM E 647-08 vorgeschlagenen Probentypen

Trägt man die Risswachstumsraten da/dN über den zugehörigen zyklischen Spannungsintensitätsfaktoren KI in einem Diagramm mit doppellogarithmischen Achsen auf, so ergibt sich die Risswachstumskurve (siehe z. B. Bild 4-6 und Bild 4-8).

164

5 Experimentelle Ermittlung bruchmechanischer Werkstoffkennwerte

Der Schwellenwert der Ermüdungsrissausbreitung ∆KI,th ist derjenige Wert, bei dem sich die Rissgeschwindigkeit da/dN asymptotisch dem Wert Null nähert. Dazu wird in der ASTM E 647-08 die Auswertung mittels einer Ausgleichsgeraden durch mindestens fünf da/dN-∆KWerte im Diagramm mit doppellogarithmischen Achsen vorgeschlagen. Der Thresholdwert ergibt sich dann durch Extrapolation der Ausgleichsgerade auf einen Rissgeschwindigkeitswert von z. B. 10-7 mm/Lastwechsel. Dieser Rissgeschwindigkeitswert ist bei einer derartigen Bestimmung stets anzugeben. Häufig liegt der „wahre“ Thresholdwert jedoch bei deutlich niedrigeren Rissfortschrittsraten [5-18], so dass sich eine andere Methode bewährt hat. Dabei werden die da/dN-Werte in Abhängigkeit der ∆K-Werte in einem Diagramm mit linearen Achsen aufgetragen. Somit ist es problemlos möglich, die Ausgleichsgerade auf den Wert Null zu extrapolieren [5-19]. Ein Vergleich der beiden Auswertemethoden ist in [5-18] zu finden.

5.3 Werkstoffkennwerte für das Mode I-Risswachstum Die Anwendung der in den Kapiteln 3 und 4 beschriebenen Konzepte setzt die Verfügbarkeit bruchmechanischer Kennwerte und Kennfunktionen voraus. Daher werden in diesem Kapitel Risszähigkeitswerte, Schwellenwerte gegen Ermüdungsrisswachstum und Rissgeschwindigkeitskurven angegeben. Hierbei handelt es sich um eine kleine Auswahl, die insbesondere [5-1], [5-19] und [5-31] entnommen wurde. Weitere Materialdaten sind in diesen Publikationen sowie in [5-20] zu finden.

5.3.1 Risszähigkeitswerte Erreicht die Spannungsintensität am Riss, gekennzeichnet durch den Spannungsintensitätsfaktor KI oder den zyklischen Vergleichsspannungsintensitätsfaktor KV, den Risszähigkeitswert KIC (siehe Kapitel 3.8.1 und Kapitel 3.8.2), so tritt in einem dickwandigen Bauteil instabile Rissausbreitung ein. Daher sind die Risszähigkeitswerte maßgebliche bruchmechanische Kennwerte, die außer vom Material von zahlreichen Parametern abhängen. Kritische Spannungsintensitätsfaktoren, die mit Proben ermittelt werden, welche die Mindestabmessungen der Norm ASTM E 399-06 unterschreiten, werden mit KC bezeichnet. Nach Bild 5-1 sind die KC-Werte höher als die Risszähigkeit KIC.

5.3.1.1

Prinzipielle Abhängigkeiten der Risszähigkeiten

Die Risszähigkeiten sind außer vom verwendeten Werkstoff auch abhängig von

•

der Temperatur im Betrieb

•

der Mikrostruktur des Werkstoffs,

•

der Werkstoffanisotropie

•

dem Wärmebehandlungszustand des Materials und u. a. von

•

der Belastungsgeschwindigkeit.

Bei Stählen sinkt die Risszähigkeit bei fallender Temperatur stark ab, siehe Bild 5-18. Demgegenüber zeigen Aluminiumlegierungen nur eine geringe Temperaturabhängigkeit [5-1, 5-31].

KIC [MPam 1/2]

5.3 Werkstoffkennwerte für das Mode I-Risswachstum

165

Stahl

Aluminiumlegierung

-200

-100

0 RT

100

T [°C]

Bild 5-18 Prinzipielle Abhängigkeit der KIC-Werte von der Temperatur

5.3.1.2

Übersicht über die Risszähigkeiten verschiedener Werkstoffklassen

In Bild 5-19 sind Wertebereiche für Risszähigkeiten verschiedener Werkstoffe bei Raumtemperatur angegeben. Es zeigt sich, dass Stähle i. Allg. sehr hohe KIC-Werte aufweisen. Aluminiumlegierungen und Gusseisen besitzen demgegenüber deutlich geringere Risszähigkeiten. Extrem niedrige KIC-Werte weisen Keramik und Glas auf. KIC [MPam1/2 ] 100 Titanlegierungen 80

60 Stähle Allegierungen

40 Sinterstahl

Gusseisen 20

Glas

Holz

Keramik

0

Bild 5-19 Wertebereiche für Risszähigkeiten verschiedener Werkstoffe bei Raumtemperatur

166

5.3.1.3

5 Experimentelle Ermittlung bruchmechanischer Werkstoffkennwerte

Risszähigkeitskennwerte für ausgewählte Materialien

KIC-Werte für einzelne Materialien sind in Tabelle 5-3 zusammengestellt. Auch hier zeigen sich deutliche Unterschiede in Abhängigkeit von den einzelnen Materialien und den Legierungsbestandteilen. Während keramische Werkstoffe Risszähigkeiten zwischen 2 und 5 MPam1/2 haben, liegen die KIC-Werte für Stähle zwischen 40 und ca. 180 MPam1/2. Man erkennt auch, dass Materialien mit gleichen oder annähernd gleich großen Rp0,2-Werten deutliche Unterschiede in den Risszähigkeiten aufweisen können. Tabelle 5-3: KIC-Werte für verschiedene Werkstoffe

Werkstoff

Rp0,2

Temperatur

KIC 1/2

[MPa]

[MPam ]

[° C]

235

80

-80

110

-40

Stähle S235

S355

355

174

-40

34CrMo4

450

65

RT

35CrMo13.5

450

40

RT

C45

650

47

RT

30CrNiMo8

1060

108

RT

42CrMo4

1050

63

RT

39CrMoV13.9

1500

65

RT

X2NiCoMo18.8.5

1700

90

RT

EN-GJL-150

100

10

RT

EN-GJL-300

190

17

RT

EN-GJS-600-3

400

32

RT

EN AW-2024-T3

310

35

RT

EN AW-7075-T651

470

30

RT

Aluminiumoxid

—

3 ... 5

RT

Siliciumnitrid

—

2 ... 5

RT

Gusseisen

Aluminiumlegierungen

Keramische Werkstoffe

5.3 Werkstoffkennwerte für das Mode I-Risswachstum

167

5.3.2 Schwellenwerte des Ermüdungsrisswachstums Ebenso wie die KIC- Werte sind auch die Schwellenwerte ∆KI,th gegen Ermüdungsrisswachstum sehr deutlich von den verwendeten Materialien abhängig. Tabelle 5-4 zeigt darüber hinaus eine deutliche Abhängigkeit der Schwellenwerte vom R-Verhältnis auf. Demnach sind die ∆KI,th-Werte bei höheren R-Verhältnissen z. B. R = 0,5 deutlich geringer als bei R = -1 oder R = 0,1. Tabelle 5-4:

KI,th-Werte und Parameter der PARIS-Gleichung für ausgewählte Werkstoffe (K in MPam1/2 und da/dN in mm/Lw)

Werkstoff

Rp0,2 [MPa]

R

KI,th [MPam1/2]

CP

mP

Stähle S235

S355

235

355

0,1

10,2

1,25·10-9

3,38

0,3

7,9

2,90·10-9

3,17

0,5

5,6

9,71·10-9

2,71

-9

3,07

0,1

10,4

3,15·10

0,5

5,1

1,24·10-8

2,66

26CrNiMo4

365

0,1

6,5

2,51·10-9

3,92

26CrNiMoV6 11

660

0,1

10,0

3,27·10-9

3,18

-9

C45

42CrMo4

650

1050

0

5,8

1,16·10

3,50

-1

6,5

3,41·10-10

3,50

0

5,7

5,41·10-9

3,05

-1

7,0

1,35·10-9

3,05

0,1

7,5

2,20·10-10

4,50

0,5

4,5

1,30·10-9

4,20

0,1

8,1

3,50·10-9

3,67

0,5

4,8

7,40·10-10

4,93

Gusseisen EN-GJS-600-3

EN-GJL-300

400

260

Aluminiumlegierungen EN AW-2024-T3

310

0,1

2,5

7,13·10-6

2,7

EN AW-7075-T651

470

0,1

2,5

1,88·10-6

2,05

168

5 Experimentelle Ermittlung bruchmechanischer Werkstoffkennwerte

5.3.3 Rissgeschwindigkeitskurven In Kapitel 4.2 ist der Zusammenhang zwischen Rissgeschwindigkeit und zyklischer Spannungsintensität aufgezeigt. Die sogenannten Rissgeschwindigkeitskurven sind von zahlreichen Einflussfaktoren wie z. B. dem R-Verhältnis, dem Werkstoff, der Mikrostruktur, der Temperatur und den umgebenden Medien beeinflusst. Die Rissgeschwindigkeitskurven müssen experimentell ermittelt werden. Die Versuchsdurchführung ist in Kapitel 5.2 beschrieben.

5.3.3.1

Prinzipieller Verlauf der Rissgeschwindigkeitskurven für einige ausgewählte Materialien

Bild 5-20 zeigt gemessene Rissgeschwindigkeitskurven für einige ausgewählte Materialien. Zu sehen sind u. a. drei Rissgeschwindigkeitskurven für Stähle. Man erkennt deutlich unterschiedliche Kurvenverläufe. Stahl 1 hat den niedrigsten Thresholdwert ∆KI,th, die Kurve verläuft weniger steil als bei dem Stahl 2. Zudem ist die Risszähigkeit KC größer als beim Stahl 2. Als wenig rissempfindlich stellt sich Stahl 3 heraus. Der Thresholdwert ist extrem hoch und die gesamte Rissgeschwindigkeitskurve verläuft sehr viel weiter rechts als die für die Stahlsorten 1 und 2. 1

da/dN [mm/Lw]

10 -1 10 -2 10 -3 10 -4

Aluminiumlegierung

10 -5

Stahl 1 Stahl 2

10 -6 10

Stahl 3

-7

1

10

100

1000

KI [MPam1/2 ] Bild 5-20 Rissgeschwindigkeitskurven verschiedener Werkstoffe für R = 0,1

Die Aluminiumlegierung zeigt eine typische doppel-S-förmige Rissgeschwindigkeitskurve, bei der bei deutlich kleineren ∆KI-Werten bereits hohe Rissgeschwindigkeiten erreicht werden. Auch der ∆KI,th-Wert ist für diese Legierung erheblich kleiner als für die dargestellten Stähle.

5.3.3.2

Parameter für die PARIS-Gleichung

Der mittlere Bereich der Rissgeschwindigkeitskurve lässt sich bei doppellogarithmischer Auftragung von da/dN und ∆K für viele Werkstoffe als Gerade darstellen. Die sogenannte PARISGerade wird durch Gleichung (4.32) beschrieben. Werkstoffabhängig sind dann der Vorfaktor

5.3 Werkstoffkennwerte für das Mode I-Risswachstum

169

CP und der Exponent mP, wobei beide auch vom R-Verhältnis abhängen. Werte für CP und mP für unterschiedliche Materialien sind in Tabelle 5-4 angegeben. Bei der Anwendung der PARIS-Gleichung (Gleichung 4.32) ist darauf zu achten, dass bei Verwendung der in Tabelle 5-4 angegebenen Parameter ∆K in MPam1/2 einzusetzen ist und damit sich die Rissgeschwindigkeit da/dN in mm/LW ergibt. Parameter für andere Werkstoffe sind z. B. in [5-1, 5-19, 5-31] zu finden.

5.3.3.3

Parameter für die FORMAN/METTU-Gleichung

Eine umfassende Beschreibung der Rissgeschwindigkeit gelingt mit der FORMAN/METTUGleichung oder „NASGRO-equation“, siehe Kapitel 4.3.3. Diese Beziehung erlaubt auch, die Berücksichtigung des R-Verhältnisses. Die zahlreichen Parameter von Gleichung (4.34) sind werkstoffabhängige Größen und durch Anpassung an experimentelle Daten zu ermitteln. Tabelle 5-5: Parameter für die FORMAN/METTU-Gleichung

Werkstoff

Rm

Rp0,2

[MPa]

[MPa]

CFM

nFM

p

q

K0

KIC

[N/mm3/2]

[N/mm3/2]



+ C th

− C th

Edelstähle X10CrNi 18-81

620,5 275,7 3,63·10-13

3,0

0,25

0,25 121,62

6949,7

2,5

1,0

0,1

X20Cr131

406,8 234,4 1,24·10-15

3,8

0,5

0,25

486,5

2779,9

2,5

3,0

0,1

Eisenkohlenstoff-Gusswerkstoffe

2

EN-GJS-400-18LT3

400

240

3,8·10-9

3,8

0,2

0,1

246,7

1011,9

—

2,6

—

EN-GJS-600-33

600

370

6,0·10-9

3,5

0,3

0,25

246,7

1138,4

—

1,9

—

-8

2,7

0,25

0,25

205,5

1834,1

—

1,0

—

2,7

0,25

0,25

158,1

1454,6

—

1,0

—

2024-T351, T-L1 468,8 358,5 1,60·10-12 3,35

0,5

1,0

90,4

1007,7

1,5

1,5

0,1

3

EN-GJS-800-10

800

—

3,5·10

EN-GJS-1000-53

1000

700

5,0·10-8

Aluminiumlegierungen

1

2024-T81, L-T

517,1 434,4 1,13·10

-10

2,76

0,5

1,0

97,3

764,5

1,5

1,5

0,1

5083-O, T-L1

296,5 137,9 6,53·10-9

1,94

0,5

1,0

173,7

1563,7

1,5

2,0

0,1

6061-T6, T-L1

310,3 282,7 6,53·10-10

2,3

0,5

0,5

121,6

903,5

2,0

1,5

0,1

7005-T6, T-L1

365,4 330,9 5,81·10-10 2,31

0,5

1,0

118,14

1389,9

1,8

1,5

0,1

0,8

0,4

104,2

800

1,9

2,0

—

7075-T651, T-L 1

540

470

2,1·10-11

2,89

[5-20] Parameter gültig für K in MPam1/2 und da/dN in mm/Lw 3 [5-21]

2

170

5 Experimentelle Ermittlung bruchmechanischer Werkstoffkennwerte

Eine Auswahl von Parametern für die FORMAN/METTU-Gleichung ist in Tabelle 5-5 angegeben. Dabei ist in Gleichung (4.34) bis auf die Eisenkohlenstoff-Gusswerkstoffe ∆K in N/mm3/2 einzusetzen, um die Rissgeschwindigkeit da/dN in mm/LW zu erhalten. Bei den Eisenkohlenstoff-Gusswerkstoffen ist ∆K in MPam1/2 zu verwenden. Parameter für weitere Materialien sind u. a. in [5-20, 5-21] angegeben.

5.4 Werkstoffkennwerte bei Mode II- und Mixed ModeBeanspruchung Für die Ermittlung bruchmechanischer Werkstoffkennwerte bzw. bruchmechanischer Kennfunktionen bei Mode I-Beanspruchung existieren genormte Proben und genormte Prüfverfahren (siehe z. B. Kapitel 5.1 und Kapitel 5.2). Für Mode II-Beanspruchung, Mode IIIBeanspruchung sowie ebene und räumliche Mixed-Mode-Beanspruchung wurden verschiedene Proben vorgeschlagen und auch Empfehlungen für die Durchführung von Versuchen gegeben. Sowohl die Proben als auch die Verfahren sind noch nicht genormt. Trotzdem werden hier einige Proben und Konzepte vorgestellt, um dem Ingenieur Hilfestellungen bei der Lösung praktischer Fragestellungen zu geben und gleichzeitig die Forschung auf diesem Gebiet anzuregen.

5.4.1 Mode II-Beanspruchung Reine Mode II-Beanspruchung existiert u. a., wenn ein Riss sich in einem ebenen Schubspannungsfeld befindet (siehe Kapitel 3.4.2.1). Dies ist z. B. bei einem Riss in einer Rohrleitung der Fall, der in Längs- oder in Umfangsrichtung orientiert ist und das Rohr einer Torsionsbelastung unterliegt. b

b)

b c

F

c N a

N

f

a)

w

Q Q D

N

Dicke t

f

N

a = 0,5 ... 0,7w b = 0,85w c = 0,6w

D = 0,15w f = 0,2w

N=F Q=F

Bild 5-21 Probe und Vorrichtung für Mode II-Versuche a) Probe mit Abmessungsvorschlägen b) Vorrichtung für die Lasteinleitung

F

5.4 Werkstoffkennwerte bei Mode II- und Mixed Mode-Beanspruchung

171

Für die Untersuchung der Mode II-Beanspruchung am Riss wurden verschiedene Proben vorgeschlagen, die in [5-22] vergleichend gegenübergestellt sind. In der Praxis hat sich u. a. die in Bild 5-21a dargestellte Probe bewährt, mit der sich in Verbindung mit der zugehörigen Vorrichtung, Bild 5-21b, reine Mode II-Beanspruchung am Riss erzeugen lässt (siehe auch [5-23, 5-24]). Mit dieser Kompaktschubprobe (CS-Probe) lassen sich KIIC-Werte ermitteln, Ermüdungsversuche durchführen sowie Risspfade bestimmen.

0

Bild 5-22 Probe aus Plexiglas, die bei einem KIIC-Versuch zerbrochen ist

Bild 5-22 zeigt eine bei einem KIIC-Versuch gebrochene Probe aus Plexiglas. Der Rissablenkungswinkel kann mit ϕ0 ≈ 70° ausgemessen werden, was dem theoretischen Wert (siehe Kapitel 3.8.2.1) entspricht.

5.4.2 Ebene Mixed-Mode-Beanspruchung Ebene Mixed-Mode-Beanspruchung liegt vor, wenn am Riss sowohl eine Mode I- als auch eine Mode II-Beanspruchung auftritt. Einfache Beispiele dafür stellen der schräge Riss in einem zugbelasteten Bauteil, siehe Bild 3−9, und der Riss in einem Bauteil unter überlagerter Normal- und Schubbeanspruchung, siehe Bild 3−16, dar. Zahlreiche praktische Beispiele, bei denen ebene Mixed-Mode-Beanspruchung auftritt, sind in [5-25] angegeben. Für die experimentelle Untersuchung ebener Mixed-Mode-Probleme wurden zahlreiche Proben vorgeschlagen. Verschiedene davon sind in [5-26] beschrieben und vergleichend gegenübergestellt. Für ebene Mixed-Mode-Versuche hat sich u. a. die CTS-Probe bewährt [5-25]. Bild 5-23a zeigt eine CTS-Probe mit zugehöriger Belastungsvorrichtung, Bild 5-23b . Durch Drehung von Belastungsvorrichtung und Probe um den Winkel α lassen sich im einachsigen Zugversuch reine Mode I (α = 0°), reine Mode II (α = 90°) und verschiedene Mixed-ModeBeanspruchungen (0° < α < 90°) am Riss erzeugen. Die CTS-Probe ist geeignet, Mixed-Mode-Bruchversuche und -Ermüdungsrissausbreitungsversuche durchzuführen. Bild 5-24 zeigt Ergebnisse von Bruchversuchen zur Ermittlung der Bruchgrenzkurve für ebene Mixed-Mode-Beanspruchung (vergleiche auch Bild 3-25). Die Experimente (siehe auch [5-25, 5-27]) bestätigen das Bruchkriterium nach Gleichung (3.79) und die Beziehung für den Abknickwinkel ϕ0, Gleichung (3.80).

172

5 Experimentelle Ermittlung bruchmechanischer Werkstoffkennwerte w = 90 27 27

a) 18

b) 10

F

145

54



42,5 a 0°

∅17

15°

60°

30°

90° 75°

F

Bild 5-23 Probe und Belastungsvorrichtung für ebene Mixed-Mode-Versuche a) Abmessungen einer CTS-Probe b) Belastungsvorrichtung mit Lasteinleitungswinkel α

Neben Bruchversuchen lassen sich mit der CTS-Probe auch Ermüdungsversuche durchführen. Bild 5-25 zeigt verschiedene Proben mit Ermüdungsverläufen bei unterschiedlicher MixedMode-Situation am Ausgangsriss. 1 AlCuMg1

KII /KIC

0,8

Plexiglas

0,6 0,4 0,2 0 0

0,2

0,4

0,6 KI /KIC

0,8

1

1,2

Bild 5-24 Experimentell ermittelte Bruchgrenzen für ebene Mixed-Mode-Beanspruchung

Im Falle reiner Mode I-Beanspruchung breitet sich der Riss in seiner Ursprungsrichtung aus. Bei Mixed-Mode-Beanspruchung knickt der Riss mit steigendem KII-Anteil stärker ab. Bei reiner Mode II-Beanspruchung ergibt sich ein Winkel von ϕ0 ≈ 70°. Welche Rissgeschwindigkeiten sich beim Wechsel der Belastungsrichtung einstellen ist in Kapitel 6.4.1 beschrieben.

5.4 Werkstoffkennwerte bei Mode II- und Mixed Mode-Beanspruchung Ermüdungsriss

173

Restgewaltbruch Į = 90° (reine Mode II)

Mode I

Anriss

Į = 75° Į = 60° Į = 45° Į = 30° Į = 15° e I) Mo d e n i ° (re Į=0

Bild 5-25 Ermüdungsrissverläufe in verschiedenen Proben, bei denen eine unterschiedliche Mixed-Mode-Beanspruchung am Ausgangsriss vorlag

5.4.3 Räumliche Mixed-Mode-Beanspruchung In der technischen Praxis kommt es häufig vor, dass am Riss alle drei Bruchmoden überlagert auftreten. Daher wurden auch vereinzelt Versuche für derartige Beanspruchungen durchgeführt. a)

z y

MT

Q

MQ

T

N T

N Q

MQ

MT

z

b)

x

y

F

a ß

F

x

Bild 5-26 Probe und Belastungsvorrichtung für räumliche MixedMode-Beanspruchung a) AFM-Probe b) Belastungsvorrichtung mit den Lasteinleitungswinkeln α und β

174

5 Experimentelle Ermittlung bruchmechanischer Werkstoffkennwerte

Eine Probe, mit der es möglich ist, alle drei Moden und alle Überlagerungen davon zu erzeugen, ist die AFM-Probe (All-Fracture-Mode-Probe) [5-28, 5-29, 5-30]. Die AFM-Probe, Bild 5-26a, wird dazu in einer entsprechenden Belastungsvorrichtung befestigt, die z. B. aus zwei Achtelkugeln besteht, Bild 5-26b. Durch Veränderung der Winkel α und β lässt sich somit Mode I-, Mode II-, Mode III-, ebene Mixed-Mode- und räumliche Mixed-Mode-Beanspruchung erzeugen. D. h. mit der AFM-Probe gelingt es, alle in Bild 3−25 dargestellten Belastungssituationen abzubilden.

Literatur zu Kapitel 5 [5-1]

Blumenauer, H.; Pusch, G.: Technische Bruchmechanik. Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, Leipzig, 1993

[5-2]

ASTM: Annual book of ASTM Standards 2006. Section 3: Metals Test Methods and Analytical Procedures, Vol. 03.01, Metals – Mechanical Testing; Elevated and Low-Temperature Tests; Metallography, E 399-06

[5-3]

ASTM: Annual book of ASTM Standards 2008. Section 3: Metals Test Methods and Analytical Procedures, Vol. 03.01, Metals – Mechanical Testing; Elevated and Low-Temperature Tests; Metallography, E 647-08

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[5-6]

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Literatur zu Kapitel 5

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[5-11]

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[5-13]

Newman, J.C. Jr., Schneider, J., Daniel, A., McKnight, D.: Compression precracking to generate near threshold fatigue-crack-growth rates in two behaviour alloys. International Journal of Fatigue 27 (2005) S. 1432-1440

[5-14]

Forth, S.C., Newman, J.C. Jr., Forman, R.G.: On generating fatigue crack growth thresholds. International Journal of Fatigue 25 (2003) S. 9-15

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[5-19]

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[5-22]

Richard, H.A., Tenhaeff, D., Hahn, H.G.: Critical survey of Mode II fracture specimens. Int. Conf. and Exposition on Fatigue, Corrosion Cracking, Fracture Mechanics and Failure Analysis. Salt Lake City, 1985

[5-23]

Richard, H.A.: Eine neue KIIC-Probe. Vorträge der 12. Sitzung des Arbeitskreises Bruchvorgänge. Deutscher Verband für Materialprüfung, Berlin 1980, S. 61-69

[5-24]

Richard, H.A.: A new compact sheer specimen. Int. J. Fracture 17 (1981) S. R105R107

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Richard, H.A.: Bruchvorhersagen bei überlagerter Normal- und Schubbeanspruchung von Rissen. VDI-Forschungsheft 631, VDI-Verlag, Düsseldorf, 1985

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[5-27]

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176

5 Experimentelle Ermittlung bruchmechanischer Werkstoffkennwerte

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Richard, H.A.: Praxisgerechte Simulation des Werkstoff- und Bauteilverhaltens durch überlagerte Zug-, ebene Schub- und nichtebene Schubbelastung von Proben. Vorträge zur Jahrestagung ’83 „Werkstoff-Bauteil-Schaden“, VDI-Gesellschaft Werkstofftechnik, Düsseldorf, 1983, S. 269-274

[5-29]

Richard, H.A., Kuna, M.: Theoretical and experimental study of superimposed fracture modes I, II and III. Engineering Fracture Mechanics 35 (1990) S. 949-960

[5-30]

Buchholz, F.-G., Richard, H.A.: From compact tension shear (CTS) to all fracture modes (AFM) specimen and loading devices. Proceedings of International Conference an Advances in Structural Integrity. Indian Institute of Science, Bangalore, 2004

[5-31]

Schwalbe, K.H.: Bruchmechanik metallischer Werkstoffe. Hanser-Verlag, München, 1980

177

6 Ermüdungsrisswachstum bei Betriebsbelastung Risswachstumssimulationen und Lebensdauervorhersagen berücksichtigen häufig nur einstufige Belastungen, wie es im Kapitel 4 beschrieben ist. Während der Einsatzzeit ist ein Bauteil jedoch einer Betriebsbelastung ausgesetzt, die sich aus unterschiedlichen Belastungswechseln, wie z. B. Über- und Unterlasten, Blocklasten oder Änderungen der Belastungsrichtungen, zusammensetzt. Im Allgemeinen treten diese nicht regelmäßig auf, sondern entstehen zufällig aus der gesamten Nutzungssituation. Durch diese Betriebsbelastung kommt es zu so genannten Reihenfolgeeffekten, die sowohl zu einer Lebensdauerverlängerung als auch zu einer Lebensdauerverminderung führen können. Das heißt, dass die Lebensdauervorhersagen auf der Grundlage einer konstanten Amplitudenbelastung ein hohes Potential an Unsicherheit beinhalten. Da die Vorhersage des Ermüdungsrisswachstums jedoch so genau wie möglich sein sollte, ergibt sich daraus – insbesondere vor dem Hintergrund der sicherheitstechnischen und ökonomischen Konsequenzen – eine komplexe Fragestellung. Aus ökonomischen Gesichtspunkten ist eine optimale Ausnutzung des Werkstoffs anzustreben, so dass zu konservative Vorhersagen vermieden werden müssen. Wesentlicher ist jedoch die Frage hinsichtlich der Ausfallsicherheit eines Bauteils oder einer Struktur. Um weder Mensch noch Umwelt zu gefährden, dürfen die Prognosen in keinem Fall nicht-konservativ sein, d. h. das Bauteil darf nicht bereits vor der prognostizierten Lebensdauer versagen. Aus diesem Grund sind entsprechende Konzepte unter Berücksichtigung der Betriebsbelastung erforderlich.

6.1 Lastspektren und -kollektive Für eine sichere Vorhersage der Lebensdauer eines Bauteils, einer Maschine oder Anlage, ist die Kenntnis der Belastung bzw. der Beanspruchung von Bedeutung. Bei einer Betriebsbelastung, die durch eine Belastungs- bzw. Beanspruchungs-Zeit-Funktion beschrieben werden kann, ist die Kenntnis einerseits der Amplituden und zugehörigen Mittelspannungen sowie andererseits die zeitliche Abfolge der Belastung unbedingt erforderlich.

6.1.1 Bestimmung von Betriebsbelastungen Die Ableitung und Generierung von Belastungs-Zeit-Funktionen für die Berechnung oder die experimentelle Ermittlung der Lebensdauer von Bauteilen und Strukturen basiert im Allgemeinen auf einer quantitativen und einer qualitativen Analyse [6-1, 6-2]. Durch die quantitative Analyse wird zunächst das Einsatzprofil eines Bauteils oder einer Struktur definiert, durch das die voraussichtliche Nutzung der betreffenden Konstruktion sowie die Häufigkeit, Verteilung und Reihenfolge der einzelnen Lastfälle festgeschrieben wird. Beispielsweise muss für einen PKW festgelegt werden, welche Fahrstrecke, wie oft und wie lange durchschnittlich befahren wird, oder welchen Einfluss der Fahrer auf die Belastung hat [6-1]. Bei der quantitativen Analyse werden die Bauteilbelastungen unter realen Belastungsbedingungen in Abhängigkeit der entsprechenden Lastfälle ermittelt. Die Möglichkeiten der Ermittlung der Bauteilbelastungen im Rahmen einer quantitativen Analyse sind sehr vielfältig. Grundsätzlich stehen die Betriebslastmessung, die rechnerische Simulation, die analytische Simulation oder die Abschätzung zur Verfügung, die je nach Entwicklungs- und Konstruktionsphase Anwendung finden. Neben der sehr häufig eingesetzten Betriebslastmessung, bei der die Aufzeichnung mit Messelementen,

178

6 Ermüdungsrisswachstum bei Betriebsbelastung

wie z. B. Dehnungsmessstreifen, erfolgt, findet auch immer mehr die rechnerische bzw. numerische Simulation Anwendung. Dies führt beispielsweise dazu, dass die Straßenfahrt eines Gesamtfahrzeugs unter Verwendung entsprechender Reifenmodelle, der numerischen Abbildung eines Straßenprofils und eines Fahrermodells virtuell simuliert werden kann [6-3]. Wegen des großen Messaufwands und der Simulationsmöglichkeiten können die Betriebsbelastungen der gesamten Lebensdauer einer Komponente im Allgemeinen nicht komplett erfasst werden. Deshalb werden die ermittelten Daten auf eine längere Zeitspanne extrapoliert [6-4]. Eine sehr häufig angewendete Methode ist, die gemessene Last-Zeit-Funktion mehrfach zu wiederholen, d. h. die Häufigkeiten mit einem Faktor zu skalieren. Dieses Vorgehen ist zulässig, wenn die Extremwerte der gemessenen Belastungs-Zeit-Funktion entsprechend definiert und repräsentativ für die Lebensdauer sind [6-5]. Andere Ansätze wiederholen zwar ebenfalls die gemessenen Daten, jedoch werden die Amplituden mittels statistischer Ansätze modifiziert (siehe z. B. [6-6, 6-7]. Daneben sind unterschiedliche statistische Verfahren zur Extrapolation von Last-Zeit-Funktionen ausgehend von Rainflow-Matrizen (siehe Kapitel 6.1.2) entwickelt worden (siehe z. B. [6-8, 6-9]).

6.1.2 Klassier- und Zählverfahren Im Rahmen einer Betriebsfestigkeitsberechnung werden die ermittelten Last-Zeit-Funktionen sehr häufig mittels sogenannter Klassier- oder Zählverfahren in ihre Einzelschwingungen zerlegt. Das Ergebnis einer Zählung ist eine Häufigkeitsverteilung bzw. eine Häufigkeitsmatrix. Durch die Anwendung der Klassier- und Zählverfahren ist es ferner möglich, beliebig komplizierte Last-Zeit-Funktionen zu vereinfachen, zu reduzieren, zu vergleichen oder zusammenzufassen. Bevor eine Zählung durchgeführt werden kann, wird der Messbereich klassiert, d. h. in äquidistante Klassen eingeteilt, wobei der Zählnullpunkt unterhalb des niedrigsten Messwerts liegen muss. Die Anzahl der Klassen variiert im Allgemeinen zwischen 32 und 256 Klassen.

Spannung [MPa]

oberer Ast

2a

unterer Ast Häufigkeit

Bild 6-1

H0

Ergebnis einer Klassengrenzenüberschreitungszählung des Standardlastspektrums FELIX/28 in Form eines Kollektivs (64 Klassen)

Die Klassier- und Zählverfahren können in einparametrische und zweiparametrische Verfahren unterteilt werden [6-10, 6-11]. Während bei den einparametrischen Methoden lediglich ein Merkmal, wie z. B. Extremwerte, gezählt wird, werden bei den zweiparametrischen Methoden zwei zusammengehörende Merkmale, wie z. B. Amplitude und Mittelwert, registriert.

6.1 Lastspektren und -kollektive

179

Zu den einparametrischen Verfahren zählen die Extremwertzählung (Peak-Counting), die Klassengrenzenüberschreitungszählung (Level Crossing Counting) und die Bereichspaarzählung (Range Pair Counting). Das Ergebnis einer einparametrischen Zählung ist eine Häufigkeitsverteilung, deren Kennfunktion als Kollektiv bezeichnet wird. Bild 6-1 zeigt exemplarisch das Kollektiv aus der Klassengrenzenüberschreitungszählung des Standardlastspektrums FELIX/28, das der Rotorbelastung eines Helikopters entspricht (siehe Kapitel 6.1.3). Bei den zweiparametrischen Verfahren unterscheidet man im Allgemeinen zwischen der VonBis-Zählung, der Bereichspaar-Mittelwert-Zählung (Range Pair Mean Counting) sowie der Rainflow-Zählung. Die Rainflow-Methode ist das am häufigsten eingesetzte Zählverfahren, bei dem sich geschlossene Hystereseschleifen durch Betrachtung des Spannungs-Dehnungspfads einer Beanspruchungs-Zeit-Funktion ergeben. Zur Rainflow-Zählung stehen seit der ursprünglichen Variante nach MATSUISHI und ENDO zahlreiche Varianten und Modifikationen zur Verfügung (siehe z. B. [6-12, 6-13]). Das Ergebnis kann sowohl in Voll- als auch Halbmatrizen gespeichert werden. Bild 6-2 zeigt die Ergebnisdarstellung einer Rainflow-Zählung am Beispiel des Standardlastspektrums FELIX/28 in Form einer Vollmatrix. Im Gegensatz dazu werden bei Halbmatrizen nur die Extrema ohne Richtungsangabe des Zyklus gespeichert.

Bild 6-2

Ergebnis einer Rainflow-Zählung des Standardlastspektrums FELIX/28 in Form einer Vollmatrix (32 Klassen)

Unabhängig vom angewendeten Verfahren gehen durch die Zählung wichtige Informationen, wie z. B. die Reihenfolge der Einzelschwingungen, verloren. Insbesondere die Belastungsgeschichte ist jedoch für die Beurteilung und die Vorhersage des Ermüdungsrisswachstums von entscheidender Bedeutung.

6.1.3 Standardlastspektren Um beispielsweise den Einfluss verschiedener Werkstoffe, Herstellungs- und Fertigungsverfahren, Oberflächenbehandlungen, Konstruktionsvarianten oder aber die Zuverlässigkeit von Rissfortschrittsmodellen zu überprüfen, sind standardisierte Lastfolgen entwickelt worden [614]. Dadurch wird es möglich, eine Vergleichbarkeit der Ergebnisse herzustellen. Im Laufe der Zeit sind für verschiedene Anwendungsgebiete zahlreiche standardisierte Lastspektren entwickelt worden, welche generelle Lastfolgen der entsprechenden Bauteil- und Maschinenstrukturen repräsentieren. In Tabelle 6-1 sind einige standardisierte Lastfolgen zusammengestellt.

180

6 Ermüdungsrisswachstum bei Betriebsbelastung

Tabelle 6-1: Zusammenstellung standardisierter Lastfolgen [6-35] Name

Beschreibung

Datum

TWIST

Transport Wing Standard

1973

MINITWIST

Gekürzte Version von TWIST

1979

GAUSSIAN

Gauss Sequenz

1974

FALSTAFF

Fatigue loading standard for fighters

1975

Short FALSTAFF

Gekürzte Version von FALSTAFF

1980

EUROCYCLE

Loading standard for motorcar wheels

1981

FELIX und HELIX

Helicopter loading standard for fixed (FELIX) and hinged (HELIX) rotors

1984

FELIX/28 und HELIX/32

Gekürzte Version von FELIX bzw. HELIX

1984

ENSTAFF

Environmental FALSTAFF

1987

WISPER

Wind turbine reference spectrum

1988

WISPERX

Gekürzte Version von WISPER

WAWESTA

Steel-mill drive loading standard

1990

COLD TURBISTAN Cold compressor disk loading standard

1985

HOT TURBISTAN

Hot compressor and turbine disk loading standard

1989

WASH

Offshore structures loading standard

1989

CARLOS

Car loading standard (uniaxial)

1990

CARLOS multi

Car loading standard (multiaxial)

1994

CARLOS PTM

Car power train (manual shift)

1997

CARLOS PTA

Car power train (automatic transmissions)

2001

6.2 Reihenfolgeeffekte und ihre Wirkung Der Fall der Ermüdungsrissausbreitung bei einer Belastung mit konstanter Amplitude und Mittelspannung ist in der technischen Praxis nur selten vorzufinden, da Maschinen oder Verkehrsmittel während der Montage, dem Transport oder dem Einsatz häufig einer zeitlich veränderlichen Belastung ausgesetzt sind. Im Gegensatz zum Risswachstum bei zyklischer Belastung mit konstanter Amplitude treten bei Belastungen mit variabler Amplitude sogenannte Reihenfolgeeffekte auf, die sich sowohl lebensdauerverlängernd als auch lebensdauerverkürzend auswirken können. D.h. der Rissfortschritt ist nicht mehr nur von der aktuellen Belastung ∆KI und R abhängig, sondern von der Belastungsvorgeschichte bzw. der Abfolge der Belastungen. Um die Wirkung unterschiedlicher Lastsequenzen aufzeigen zu können, wird die Belastung i. Allg. in vier Kategorien eingeteilt: •

Über-/Unterlasten,

6.2 Reihenfolgeeffekte und ihre Wirkung •

Über-/Unterlastsequenzen,

•

Blocklasten sowie

•

Betriebsbelastungen.

181

Die ersten drei Kategorien zählen zu den einfachen Belastungsfolgen, während die vierte Kategorie der Belastungs-Zeit-Funktion, vgl. Kapitel 6.1.1, entspricht. Zusätzlich zur zeitlich veränderlichen Belastungshöhe können sich während des Einsatzes eines Bauteils auch Änderungen in der Belastungsrichtung ergeben so dass entweder kurzfristig oder dauerhaft eine Überlagerung von Normal- und Schubbeanspruchung auftritt. Aus diesem Grund sind die oben genannten Kategorien auch hinsichtlich ihrer Rissbeanspruchung nach Mode I, Mode II, Mode III oder Mixed Mode Belastungen zu untergliedern. Da sich die Wirkungen unterschiedlicher Belastungswechsel gegenseitig beeinflussen, ist die Beschreibung der Gesamtwirkung einer Betriebsbelastung auf das Ermüdungsrisswachstum sehr komplex. Deshalb werden im Folgenden zunächst systematisch die Einzelwirkungen von Über-/Unterlasten, Über-/Unterlastsequenzen und Blockbelastungen sowie den entsprechenden Mixed Mode Überlagerungen auf das Risswachstum vorgestellt.

6.2.1 Überlasten Treten beispielsweise aufgrund eines Sonderereignisses oder eines Bedienungsfehlers einzelne Lastwechsel mit höheren Belastungen auf, so spricht man von Überlasten, deren Höhe durch das sogenannte Überlastverhältnis definiert ist: Rol =

K I, ol σ ol = σ Bl, max K I, Bl, max

(6.1),

wobei σol bzw. KI,ol der maximalen Belastung der Überlast und σBl,max bzw. KI,Bl,max der mehr oder weniger konstanten maximalen Belastung der Grundbelastung entspricht. Bild 6-3 zeigt exemplarisch den Fall einer Mode I-Überlast, die in eine konstante Grundschwingung ∆KI,Bl eingestreut wird. KI KI,ol

KI,Bl,max KI,Bl KI,Bl,min Zeit

Bild 6-3 Definition einer Mode I-Überlast, die in eine konstante Grundschwingung ∆KI,Bl eingestreut wird.

Durch derartige Überlasten treten unterschiedliche Verzögerungsverhalten des Ermüdungsrisswachstums auf.

182

6 Ermüdungsrisswachstum bei Betriebsbelastung

6.2.1.1

Wirkung von Überlasten beim Ermüdungsrisswachstum

Überlasten mit geringen Überlastverhältnissen haben im Allgemeinen keine oder nur eine geringe Wirkung auf den Rissfortschritt, so dass keine wesentliche Verzögerung des Risswachstums eintritt, Bild 6-4a. Tritt eine Verzögerungswirkung ein, so kann sie unmittelbar nach der Überlastaufbringung, Bild 6-4b, oder aber verspätet, Bild 6-4c, eintreten. Eine verspätete Verzögerung (delayed retardation) bedeutet, dass nach der Überlast entweder die Ausgangsrissgeschwindigkeit beibehalten oder aber beschleunigt wird, bevor es zu einer Verzögerung kommt. Als verlorene Verzögerung (lost retardation) wird diejenige Verzögerung bezeichnet, bei der im Anschluss an eine Verzögerungsphase eine Beschleunigung ansetzt, Bild 6-4d, in der die Rissgeschwindigkeit der Grundbelastung übertroffen wird. Die in [6-15] beschriebene verlorene Verzögerung konnte bei zahlreichen Untersuchungen jedoch nicht nachgewiesen werden. Überschreitet das Überlastverhältnis einen gewissen Wert, so stellt sich Rissstillstand ein, d. h. es tritt kein messbarer Rissfortschritt auch nach z. B. 107 Lastwechseln auf, Bild 6-4e. a)

Risslänge

c)

Risslänge

Risslänge

b)

Lastwechselzahl

d)

e)

Risslänge

Risslänge

Lastwechselzahl

Lastwechselzahl

Bild 6-4

Lastwechselzahl

Überlast

Lastwechselzahl

Verschiedene Typen des Rissverzögerungsverhaltens bei Versuchen mit konstantem Spannungsintensitätsfaktor und einer einzelnen Überlast (nach [6-15] und [6-16]) a) Keine Verzögerung b) Sofortige Verzögerung c) Verspätete Verzögerung (delayed retardation) d) Verlorene Verzögerung (lost retardation) e) Rissstillstand (arrest)

6.2 Reihenfolgeeffekte und ihre Wirkung

6.2.1.2

183

Quantifizierung des Verzögerungsverhaltens

Das Verzögerungsverhalten nach einer Überlast kann im Allgemeinen in zwei Phasen eingeteilt werden, Bild 6-5a. In der ersten Phase, dem Plateaubereich, ist die Rissgeschwindigkeit auf ein Minimum abgesunken, Bild 6-5b, d. h. es tritt Rissstillstand ein bzw. der Riss wächst nur marginal, Bild 6-5a. An den Plateaubereich schließt sich die Beschleunigungsphase an, in der die Rissgeschwindigkeit kontinuierlich gesteigert wird, Bild 6-5b, bis die Ausgangsrissgeschwindigkeit (da/dN)Bl vor der Überlast wieder erreicht ist.

Risslänge a

a) Risswachstum mit gleichem oder größerem da/dN

Verzögerungsbereich Beschleunigung

Plateaubereich

Überlast

da/dN nach Überlast = da/dN vor Überlast Lastwechselzahl N

b)

da/dN vor Überlast da/dN

Überlast

da/dN nach Überlast ND

(da/dN)Bl

(da/dN)min N ol

Bild 6-5

N ol, end

N

Rissverzögerungsphasen nach einer einzelnen Überlast a) Darstellung in einem a-N-Diagramm b) Veränderung der Rissgeschwindigkeit durch eine Überlast

Zur Quantifizierung des Verzögerungsverhaltens wird sehr häufig die Verzögerungslastwechselzahl ND bzw. die korrigierte Verzögerungslastwechselzahl NDI herangezogen. Die Verzögerungslastwechselzahl ND ist diejenige Lastwechselzahldifferenz, die notwendig ist, bis die Rissgeschwindigkeit (da/dN)Bl der Grundbelastung nach einer Überlast wieder erreicht ist, Bild 6-5b, wobei ein durch Verzögerung beeinflusstes Risslängeninkrement ∆ainf,D überwunden werden muss. Für die Bestimmung der korrigierten Verzögerungslastwechselzahl NDI wird ND um die Lastwechselzahl korrigiert, die bei einer konstanten Amplitudenbelastung, d. h. ohne

184

6 Ermüdungsrisswachstum bei Betriebsbelastung

Einleitung einer Überlast, für ein Risslängeninkrement ∆ainf,D notwendig gewesen wäre [6-16, 6-17].

6.2.1.3

Einflussfaktoren auf die Verzögerungswirkung

Bild 6-6 zeigt die korrigierten Verzögerungslastwechselzahlen NDI sowohl in Abhängigkeit des Überlastverhältnisses Rol als auch der Grundbelastung ∆KI,Bl bei einem Spannungsverhältnis R = 0,1 für die Aluminiumlegierung EN AW-7075-T651. Im Allgemeinen nimmt mit zunehmendem Überlastverhältnis und konstantem Grundlastniveau die Verzögerungswirkung einer Überlast deutlich zu, was gleichbedeutend mit einer Lebensdauerverlängerung ist. Bei den in Bild 6-6 dargestellten Experimenten an der Aluminiumlegierung EN AW-7075-T651 ist ein exponentieller Anstieg der Verzögerungslastwechselzahlen zu verzeichnen. Ab einer gewissen Kombination aus Grundbelastung und Überlastverhältnis tritt sogar Rissstillstand ein, wie es beispielsweise bei der Aluminiumlegierung bei einer 2,5-fachen Überlast und einer Grundbelastung von 4 MPam1/2 der Fall ist. 10 7

EN AW-7075-T651 R = 0,1

10 6 10 5 N DI 10 4 10 3

K I,Bl = 4 MPam1/2 10 2

1/2 K I,Bl = 7 MPam 1/2 K I,Bl = 10 MPam

10

Bild 6-6

1

1,5

2 R ol

2,5

3

Verzögerungslastwechselzahlen NDI in Abhängigkeit des Überlastverhältnisses Rol und der Grundbelastung ∆KI,Bl am Beispiel der Aluminiumlegierung EN AW-7075-T651 [6-17]

Neben dem Überlastverhältnis hat auch die Grundbelastung einen entscheidenden Einfluss auf den Verzögerungseffekt. Mit zunehmender Grundbelastung nimmt in der Regel die Verzögerungswirkung bei konstantem Überlastverhältnis ab. Ausschlaggebend für den Verzögerungseffekt ist die sich durch das Grundlastniveau ergebende Rissgeschwindigkeit. Bei einigen Werkstoffen ist zu beobachten, dass es nach Erreichen extrem hoher Grundbelastungen erneut zu einem Anstieg der Verzögerungswirkung kommt [6-18, 6-19]. Einen weiteren wesentlichen Einflussfaktor auf das Verzögerungsverhalten des Ermüdungsrisses stellt neben der Schwingbreite auch das Spannungsverhältnis R der Grundbelastung dar. Mit steigendem R-Verhältnis nimmt die Verzögerungswirkung ab.

6.2 Reihenfolgeeffekte und ihre Wirkung

185

Bild 6-7 zeigt eine zusammenfassende Darstellung der Wirkung des Überlastverhältnisses, der Grundbelastung und des Spannungsverhältnisses. In diesen Diagrammen sind unterschiedliche Bereiche erkennbar, die durch Grenzkurven eingeteilt werden. Der mittlere Bereich dieser Kurven wird eingegrenzt durch die Grenzkurven der Ermüdungsrissausbreitung, die durch den Thresholdwert ∆KI,th (kein Risswachstum) und den Risszähigkeitswert (Bruch durch Überlast) gegeben sind. Dazwischen liegt der Bereich des Ermüdungsrisswachstums, bei dem durch eine Überlast entweder eine Verzögerungswirkung oder aber Rissstillstand erzeugt wird. b)

7

R = 0,1

5 R ol

4 3

Bruch durch Überlast

5 R ol

Rissstillstand

4 3

Verzögerungswirkung durch Überlast

2 1

2 1

0

K I,th 5 KI,Bl [MPam1/2]

Bild 6-7

R = 0,5

6 kein Risswachstum

6

7

10

kein Risswachstum

a)

Bruch durch Überlast Rissstillstand

Verzögerungswirkung durch Überlast 0 KI,th

5

10

KI,Bl [MPam1/2]

Einfluss einzelner Überlasten in Abhängigkeit der Schwingbreite der Grundbelastung für die Spannungsverhältnisse R = 0,1 und R = 0,5 für die Aluminiumlegierung EN AW-7075-T651 [6-16, 6-17]

Infolge der Überlast sind auf der Bruchfläche unmittelbar an den Stellen, an denen die Überlast eingeleitet wurde, im Allgemeinen Markierungen, sogenannte Rastmarken, zu erkennen (siehe auch Bild 2-7 und Bild 2-9). Die Deutlichkeit der Rastmarken steigt mit zunehmendem Überlastverhältnis. Zusätzlich entstehen bei einigen Werkstoffen vor der Rastmarke Bereiche, die eine dunklere Färbung gegenüber der restlichen Bruchfläche aufweisen. Sehr hohe Überlastverhältnisse führen sogar zu extremen Verformungen an der Stelle der Überlast.

6.2.2 Unterlasten Als Unterlasten werden Lastwechsel bezeichnet, deren minimale Spannung bzw. minimale Spannungsintensität geringer ist als die minimale Beanspruchung der Grundbelastung, Bild 6-8. Dabei kann die Spannungsintensität KI,ul der Unterlast sowohl im Zug- als auch im Druckbereich sein. Die Wirkung einer einzelnen Unterlast ist grundsätzlich verschieden von der einer Überlast. Eine einzelne Druckunterlast, Bild 6-8, führt im Allgemeinen zu einer Beschleunigung des Risswachstums oder aber zu einem vernachlässigbaren Effekt [6-20].

186

6 Ermüdungsrisswachstum bei Betriebsbelastung

KI KI,Bl,max KI,Bl K I,Bl,min Zeit KI,ul

Bild 6-8 Definition einer Mode I-Unterlast, die in eine konstante Grundschwingung ∆KI,Bl eingestreut wird

6.2.3 Kombinationen aus Über- und Unterlasten Die Reihenfolgeeffekte der Kombination aus Über- und Unterlast hängen sehr stark von den Belastungsparametern und dem Werkstoff ab. Während in Aluminiumlegierungen sehr häufig davon ausgegangen wird, dass eine Unterlast, die unmittelbar einer Überlast folgt, den Verzögerungseffekt deutlicher reduziert als eine Unterlast direkt vor einer Überlast. Daneben wird in der Literatur aber auch von der umgekehrten Wirkung bei anderen Werkstoffen berichtet [6-20].

6.2.4 Überlastsequenzen Die Variationsmöglichkeit von Überlastsequenzen sind extrem vielfältig. Eine Überlastsequenz ist z. B. dadurch gegeben, dass in ein konstantes Grundlastniveau einzelne Überlasten eingestreut werden, die durch eine gewisse Lastwechselzahl NBl der Grundbelastung voneinander getrennt sind, Bild 6-9. KI KI,ol

KI,Bl,max KI,Bl KI,Bl,min

NBl Bild 6-9

Zeit

Definition einer einfachen Überlastsequenz, bei der einzelne Überlasten durch NBl der Grundbelastung voneinander eingestreut werden

6.2 Reihenfolgeeffekte und ihre Wirkung

187

Derartige Überlastsequenzen können sowohl zu beschleunigtem als auch verzögertem Risswachstum führen. Ein Beschleunigungseffekt tritt in der Regel dann auf, wenn die Anzahl der Grundbelastungszyklen zwischen den Überlasten gering ist. Ist die Lastwechselzahl zwischen den einzelnen Überlasten so groß, dass die Wirkung der vorangegangen Überlast abgeklungen ist, ist die Verzögerungswirkung die Summe der einzelnen Verzögerungslastwechsel. Wird die Wirkung der nachfolgenden Überlast jedoch noch durch die Verzögerung der vorangegangen Überlast beeinflusst, ergibt sich im Allgemeinen eine höhere Verzögerungswirkung. Sowohl der Übergang als auch die Höhe von Beschleunigungs- und Verzögerungswirkung ist von der Höhe einerseits der Überlast und andererseits der Grundbelastung, aber auch vom Werkstoff abhängig. In Bild 6-10 ist das Risswachstumsverhalten aufgrund von Überlastsequenzen am Beispiel einer Aluminiumknetlegierung dargestellt. Die zweifachen Überlasten, die in ein Grundlastniveau mit Fmax = 5 kN und einem R-Verhältnis von 0,1 periodisch eingestreut werden, führen zu einer deutlichen Beschleunigung, wenn die Überlasten nur durch einen einzelnen Lastwechsel der Grundbelastung voneinander getrennt werden. Bei NBl = 100 tritt dagegen eine deutliche Verzögerung auf, die ihr Maximum bei NBl = 1000 hat und danach geringer wird [6-16, 6-17]. NBl = 1

29

10

27 a[mm]

Grundbelastung 50.000

10.000

25 23

100

21 19 17

1.000 0

150.000

300.000

450.000

Lastwechselzahl Bild 6-10 Reihenfolgeeffekte in Abhängigkeit der Lastwechselzahlen NBl zwischen einzelnen Überlasten am Beispiel eines Überlastverhältnisses Rol von 2,0 für die Aluminiumlegierung EN AW7075-T651

Eine weitere Form einer Überlastsequenz besteht darin, dass mehrere Überlasten direkt aufeinander folgen. In Bild 6-11 sind die Verzögerungslastwechselzahlen ND in Abhängigkeit der Überlastanzahl nol für die Überlastverhältnisse 1,8 und 2,0 sowie 2,5 beispielhaft für die Aluminiumlegierung EN AW-7075-T651 dargestellt. Mit steigender Überlastanzahl nimmt ND zu, bis sich eine Sättigung eingestellt hat, d.h. ein Grenzwert erreicht ist, ab dem die Verzögerungslastwechselzahl gegen einen konstanten Wert konvergiert. Sowohl die Überlastanzahl, ab der eine konstante Verzögerungswirkung eintritt, als auch der Grenzwert der Verzögerungslastwechselzahl sind von zahlreichen Faktoren, wie z.B. Überlastverhältnis oder Grundbelastung, abhängig. Je größer beispielsweise das Überlastverhältnis ist, desto weniger Überlasten müssen eingebracht werden, um eine größere konstante Verzögerung zu erhalten.

188

6 Ermüdungsrisswachstum bei Betriebsbelastung 10 8 Durchläufer

R ol = 1,8

R ol = 2,0

R ol = 2,5

ND

10 7

10 6 10 5

10 4

1

10

100

1000

10000

100000

n ol

Bild 6-11 Verzögerungslastwechselzahlen ND in Abhängigkeit der Anzahl nol der eingestreuten Überlasten und des Überlastverhältnisses Rol für die Aluminiumlegierung EN AW-7075-T651 bei einem Grundlastniveau von 7 MPam1/2 und R = 0,1

Zusätzlich zur Verzögerungswirkung im Anschluss an die Aneinanderreihung von Überlasten entsteht jedoch durch die höhere Belastung zusätzlich eine Beschleunigung des Risswachstums, d. h. zur vollständigen Lebensdauervorhersage müssen beide Effekte berücksichtigt werden.

6.2.5 Blocklasten Überlastsequenzen, bei denen mehrere Überlasten hintereinander folgen, werden auch als lowhigh-low Blocklastfolge bezeichnet. Darüber hinaus können Blocklasten aber auch in der Form high-low oder low-high angeordnet sein. Bei einer high-low-Lastfolge wird die Belastung ausgehend von einem hohen auf ein niedriges Lastniveau abgesenkt. Im Gegensatz dazu ist die Belastungsfolge low-high durch den Wechsel von einer niedrigen auf eine höhere Belastung gekennzeichnet. In Analogie zur Definition des Überlastverhältnisses ist die Höhe einer Blocklast durch das sogenannte Blocklastverhältnis Rblock =

K I, block σ block = σ Bl, max K I, Bl, max

(6.2)

definiert. Zusätzlich ist bei einer allgemeinen Blockbelastung auch das R-Verhältnis bzw. die minimale Spannungsintensität innerhalb des Blocks entscheidend. Bild 6-12a zeigt eine typische a-N-Kurve eines low-high-low-Blocklastversuchs. Durch die low-high-Lastfolge tritt zunächst eine Beschleunigung auf. D. h. die Rissgeschwindigkeit steigt kurzfristig über das Niveau der korrespondierenden Rissgeschwindigkeit der höheren zyklischen Spannungsintensität an, Bild 6-12b. Eine high-low Lastfolge führt zu einem Verzögerungseffekt, der je nach Anzahl der Blocklastwechsel und je nach Höhe der Blockbelastung unterschiedlich stark ausgeprägt sein kann.

6.2 Reihenfolgeeffekte und ihre Wirkung

189

Risslänge a

a) Blocklast

Beschleunigung

da/dN nach Blocklast = da/dN vor Blocklast Verzögerungsbereich Lastwechselzahl N

b)

1,0E-02 da/dN

Beschleunigung

1,0E-03 (da/dN)block 1,0E-04 (da/dN)

high-low Lastfolge

Bl

1,0E-05 1,0E-06

low high Lastfolge

1,0E-07 130000

Lastwechselzahl N

Bild 6-12 Rissverzögerungs- und Beschleunigungsphasen bei einer Blocklast a) Darstellung in einem a-N-Diagramm b) Veränderung der Rissgeschwindigkeit durch eine low-high-low-Blocklast

Untersuchungen an einer Aluminiumknetlegierung haben gezeigt, dass die Verzögerungslastwechselzahl mit zunehmendem Blocklastverhältnis zunimmt [6-16]. Bei kleinen Blocklastverhältnissen ist nur ein unwesentlicher Unterschied zwischen den drei Blocklastkategorien KI,min = konst., R = konst. und ∆KI = konst. hinsichtlich der Verzögerungswirkung festzustellen. Ab einem gewissen Blocklastverhältnis sind die Verzögerungslastwechselzahlen der Versuche durch das R-Verhältnis innerhalb des Blocks beeinflusst. Im Vergleich zur Verzögerungslastwechelzahl durch die high-low-Lastfolge ist die Beschleunigungslastwechselzahl aufgrund der low-high-Lastfolge i. Allg. kleiner. Bei einer Betrachtung der globalen Wirkung fällt jedoch auf, dass es bis zu einem gewissen Blocklastverhältnis zu einer Beschleunigung des Risswachstums kommt. Bei höheren Blocklastverhältnissen gleicht sich die beschleunigende und die verzögernde Wirkung gerade aus und danach überwiegt der Verzögerungseffekt [6-16]. Wird die low-high-low-Lastfolge periodisch wiederholt, kann es zu deutlicheren globalen Beschleunigungs- oder Verzögerungseffekten kommen [6-20].

190

6 Ermüdungsrisswachstum bei Betriebsbelastung 10 7 K I,min = konst.

NDI [Lw]

10

6

R = konst. KI = konst.

10 5 10 4

K I,Bl = 7 MPam 1/2 RBl = 0,1 EN AW 7075-T651

10 3 10 2 1

1,5

2

2,5

R block Bild 6-13 Verzögerungslastwechselzahlen NDI in Abhängigkeit des Blocklastverhältnisses und des RVerhältnisses innerhalb des Blocks am Beispiel einer Aluminiumknetlegierung

6.2.6 Betriebsbelastungen Die Wirkungsweise einer Betriebsbelastung ist sehr komplex, da sie sowohl zu Beschleunigungs- als auch zu Verzögerungseffekten führt, die sich zudem gegenseitig beeinflussen.

6.2.6.1

Wirkung von Betriebsbelastungen

Die Reihenfolgeeffekte werden insbesondere auch bei der Betrachtung der Bruchflächen deutlich. Bild 6-14 zeigt exemplarisch Bruchflächen, die sich während der Ermüdungsbelastung mit den Standardlastspektren CARLOS vertikal, Bild 6-14a, FELIX/28, Bild 6-14b, und WISPER, Bild 6-14c, ergeben. a)

Anriss CA

Betriebslast CARLOS/v

c)

Restgewaltbruch

Anriss CA

b)

Betriebslast WISPER

Anriss CA

Betriebslast FELIX/28

Restgewaltbruch

Bild 6-14 Bruchflächen nach einer Ermüdungsbelastung mit den Standardlastspektren a) CARLOS vertikal b) FELIX/28 c) WISPER

Restgewaltbruch

6.2 Reihenfolgeeffekte und ihre Wirkung

191

Aufgrund der unterschiedlichen Last-Zeit-Folgen der Lastspektren sind deutlich andere Strukturen auf der Bruchfläche erkennbar. Während bei der Belastung mit CARLOS vertikal, aber auch mit WISPER, insbesondere bei zunehmender Risslänge in einem bestimmten Abstand aufeinanderfolgende Rastmarken zu erkennen sind, weist die Bruchfläche nach einer Belastung mit FELIX/28 weniger Rastmarken auf. Deutlich werden die Überlagerungen der Verzögerungs- und Beschleunigungseffekte auch bei der Betrachtung des Rissfortschritts in Abhängigkeit der Lastwechselzahl. Bild 6-15 zeigt das Risswachstum am Beispiel des Spektrums WISPER. Hier folgen beschleunigte Bereiche auf verzögertes Risswachstum und umgekehrt. 20,0 19,5

a [mm]

19,0 18,5 18,0 17,5 17,0 0

6.2.6.2

50.000 100.000 N [Lw]

150.000

Bild 6-15 Rissfortschritt in Abhängigkeit der Lastwechselzahl bei einer Belastung mit dem Standardlastspektrum WISPER

Auswirkungen einer Rekonstruktion von Last-Zeit-Funktionen

Problematisch erweist sich dieses Verhalten, wenn nach einer Klassierung ausgehend von einem Kollektiv eine Belastungs-Zeit-Funktion rekonstruiert werden soll. Durch die Anwendung der Zähl- oder Klassierverfahren, Kapitel 6.1.2, geht jegliche Information über die Reihenfolge der Belastungs-Zeit-Sequenz verloren. Wie beispielsweise aus Bild 6-15 deutlich wird, ist aber gerade das Risswachstum durch die Reihenfolge geprägt. Die Rekonstruktion einer Belastungs-Zeit-Funktion im Anschluss an eine Klassengrenzenüberschreitungszählung ist nicht eindeutig definiert. Gemäß ASTM E 1049 [6-10] kann die Rekonstruktion in jeder beliebigen Abfolge der Lastwechsel erfolgen. Die beiden Grenzfälle stellen eine Sortierung der Lastwechsel entsprechend ihrer Amplitudengröße dar, wobei zwischen Lastfolgen mit abnehmenden und zunehmenden Amplituden unterschieden werden kann. In Bild 6-16 ist der Vergleich des Risswachstums entsprechend nach Amplitudengröße sortierter Rekonstruktionen im Anschluss an eine Klassengrenzenüberschreitungszählung dargestellt, wobei die Last-Zeit-Funktion genau einmal angewendet wurde. Es zeigt sich, dass durch eine derartige Rekonstruktion die Rissgeschwindigkeiten deutlich über- und unterschätzt werden können [6-17]. Verstärkt wird dieser Effekt, wenn die Abstufung zwischen zwei aufeinanderfolgenden Stufen zu groß gewählt wird, da zusätzliche Beschleunigungs- und Verzögerungseffekte wirken.

192

6 Ermüdungsrisswachstum bei Betriebsbelastung 29 abnehmende Amplitudenfolge

27

a [mm]

25 23 zunehmende Amplitudenfolge

21 19

Originallastfolge WISPER

17 15 0

50.000

100.000

150.000

N [Lw]

Bild 6-16 Vergleich des Risswachstums bei einer Belastung mit den nach einer Klassengrenzenüberschreitungszählung rekonstruierten Lastspektren und dem Rissfortschritt aufgrund der Originalfolge des Standardlastspektrums WISPER

Zur Rekonstruktion einer Lastfolge nach einer Rainflow-Zählung, siehe Kapitel 6.1.2, stehen unterschiedliche Algorithmen zur Verfügung (siehe z. B. [6-4, 6-12]), die bei erneuter Zählung zu der gleichen Matrix führen. Grundsätzlich erfolgt eine Rekonstruktion in der Form, dass in das vorhandene Residuum Zyklen aus der Matrix entsprechend der verwendeten stochastischen Algorithmen eingefügt werden. Aufgrund des Zufallsprinzips können sich ausgehend von der gleichen Rainflowmatrix bei wiederholter Rekonstruktion verschiedene Last-Zeit-Funktionen ergeben. Die Qualität der Lebensdauervorhersage ausgehend von derartigen Rekonstruktionen hängen einerseits vom Lastspektrum selbst und von der Belastungshöhe ab [6-17]. a)

b) max

max

t c)

t d) max

max

t

Bild 6-17 Reihung aufeinanderfolgender rekonstruierter Last-Zeit-Funktionen a) Mit zunehmender Amplitudengröße b) Mit abnehmender Amplitudengröße c) Kombination aus zunehmender und abnehmender Amplitude d) Bei beliebiger Durchmischung der Amplituden

t

6.3 Rissfortschrittskonzepte bei Belastung mit variabler Amplitude

6.2.6.3

193

Auswirkungen einer Extrapolation von Last-Zeit-Funktionen

Eine Möglichkeit der Extrapolation einer Belastungs-Zeit-Funktion im Rahmen der experimentellen Ermittlung der Restlebensdauer besteht darin, die gemessenen Lastspektren mehrfach zu wiederholen. Bei einer Aneinanderreihung der rekonstruierten Belastungs-ZeitFunktionen entsprechend der Amplitudengröße tritt im Fall zunehmender Amplituden eine starke Absenkung der Last von einer Lastfolge zur nächsten auf, Bild 6-17a, das zu deutlichen Verzögerungen führen kann, Bild 6-18.

Zunehmende Amplitude (Bild 6-17a)

Risslänge a

Durchmischung (Bild 6-17d) tatsächliche Kombination aus zunehmender Belastungs-Zeitund abnehmender Amplitude Funktion (Bild 6-17c)

Lastwechselzahl N Bild 6-18 Risswachstum infolge unterschiedlicher Extrapolationen einer Belastungs-Zeit-Funktion im Vergleich zur Original-Last-Zeit-Funktion

Bei abnehmenden Amplituden tritt zwischen den Spektren eine deutliche Lastzunahme auf, Bild 6-17b, die beschleunigend wirken kann. Eine insgesamt erhöhte Risswachstumsrate ergibt sich durch die Anwendung sowohl der zunehmenden als auch der abnehmenden Amplitudengröße in zwei aufeinanderfolgenden Lastspektren, Bild 6-17c. Bild 6-18 zeigt für diesen Fall, dass die Lebensdauer im Anschluss an eine Rekonstruktion im Vergleich zur tatsächlichen Belastungs-Zeit-Funktion deutlich geringer ist. Dagegen gibt eine durchmischte Variante der einzelnen Stufen, Bild 6-17d, die Lebensdauer im Mittel besser wieder.

6.3 Rissfortschrittskonzepte bei Belastung mit variabler Amplitude Bei den Modellen zur Beschreibung der Rissausbreitung bei variabler Belastung wird zwischen den Modellen mit einer globalen Analyse und einer Cycle-by-cycle-Analyse unterschieden. Während die globalen Modelle versuchen, durch die Betrachtung der Gesamtbelastung Vorhersagen über das Risswachstum und die Lebensdauer zu machen, beurteilen die Modelle mit einer Cycleby-cycle-Analyse jeden Lastwechsel separat und durch Summation der Einzelauswertungen entsteht die Gesamtvorhersage. Einerseits kann eine Cycle-by-cycle-Analyse ohne Berücksichtigung

194

6 Ermüdungsrisswachstum bei Betriebsbelastung

der auftretenden Reihenfolgeeffekte (lineare Schadensakkumulation) und andererseits unter Berücksichtigung der Reihenfolgeeffekte durchgeführt werden. Im Gegensatz zur linearen Schadensakkumulation gehen die Konzepte unter Berücksichtigung der Reihenfolgeeffekte davon aus, dass das Risswachstum nicht allein durch die Belastungen im aktuellen Lastwechsel bestimmt ist, sondern von der Belastungsgeschichte abhängt. Die Modelle, die Reihenfolgeeffekte berücksichtigen, teilt SCHIJVE [6-21] entsprechend ihres Erklärungsmusters bezüglich der Verzögerungs/Beschleunigungsphänomene in die folgenden drei Kategorien ein: •

Fließzonenmodelle,

•

Rissschließmodelle und

•

Fließstreifenmodelle.

6.3.1 Globale Analysen Die globale Analyse basiert auf der statistischen Beschreibung eines Lastspektrums. Ziel dabei ist, einen einzigen zyklischen Spannungsintensitätsfaktorwert aus einem Lastspektrum mit variabler Amplitude zu ermitteln, der dazu verwendet werden kann, um das Risswachstum adäquat zu beschreiben. D. h. die Anwendung des einen mittleren zyklischen Spannungsintensitätsfaktors soll zu gleichen mittleren Risswachstumsraten wie bei der Anwendung des Lastspektrums mit variabler Amplitude führen. Einer der ersten Ansätze wurde von BARSOM [6-22] entwickelt. In seinem Modell berechnet Barsom einen Effektivwert 1 N ⋅ ∆K I,2i N i =1

¦

∆K I, rms =

(6.3)

mit KI,rms,min = 0, der dann in eine Rissfortschrittsgleichung (vgl. Kapitel 4.3), wie z. B. die PARIS-Gleichung da = CP ⋅ ∆K I, rms m P dN

(

)

(6.4)

eingesetzt wird. In Anlehnung an das Modell von BARSOM entwickelte HUDSON [6-23] eine weitere Variante, um die Lastsequenz besser abzubilden. In diesem Modell werden zur Ermittlung des Effektivwerts ∆KI,rms die minimalen und maximalen Spannungsintensitätsfaktorwerte separat betrachtet, d. h. es gilt: ∆K I, rms = K I, rms, max − K I, rms, max =

2 N /2 2 ⋅ ¦ ∆K I, max − N i =1

2 N /2 2 ⋅ ¦ ∆K I, min N i =1

(6.5).

Weitere Modelle sind z. B. von BIGONNET et al. [6-24] oder KAM und DOVER [6-25] entwickelt worden. In diesen Modellen wird die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der zyklischen Spannung verwendet, um eine gewichtete Spannungsbreite in das Risswachstumsgesetz einzusetzen. Ein Überblick über weitere globale Rissfortschrittsmodelle ist auch in [6-26] gegeben. Ein großer Nachteil der globalen Modelle ist, dass das Risswachstum nur von Lastfolgen mit einer nahezu gleichmäßigen stochastischen Verteilung der Spannung, wie es z. B. bei einer

6.3 Rissfortschrittskonzepte bei Belastung mit variabler Amplitude

195

Gauss-Lastfolge der Fall ist, gut vorhergesagt werden kann. Führen beispielsweise Überlasten zu starken Verzögerungen, so können diese durch die globalen Modelle nicht berücksichtigt werden.

6.3.2 Lineare Schadensakkumulation Die lineare Schadensakkumulation baut auf der funktionellen Beschreibung der Rissfortschrittskurve der Form da = f (∆K I , R,...) dN

(6.6)

auf, wobei Lastwechsel für Lastwechsel (Cycle-by-cycle) betrachtet und durch Integration der Rissfortschrittsfunktion für jeden Lastwechsel separat beispielsweise ein ∆ai berechnet wird. Um für die Gesamtheit der Belastung eine Aussage treffen zu können, werden die für jeden Lastwechsel berechneten Werte linear aufsummiert:

ai = a0 + ¦ ∆a j

(6.7).

j

Bei der Anwendung der linearen Schadensakkumulation wird davon ausgegangen, dass die Belastungswechsel voneinander unabhängig sind und sich nicht gegenseitig beeinflussen. Deshalb ist die Reihenfolge der Belastungswechsel irrelevant, so dass diese auch nach der Anwendung von Zählverfahren zu gleichen Ergebnissen wie die Originalsequenz führt. Durch die Einfachheit der Implementierung dieser Methode in Computerprogramme wird die lineare Schadensakkumulation häufig angewendet. Dieses führt jedoch nur dann zu Prognosen mit geringen Fehlern, wenn sich die Verzögerungs- und Beschleunigungseffekte innerhalb einer Belastungs-Zeit-Funktion gegenseitig aufheben. Ist dies nicht der Fall, so kann diese Methode sowohl zu extrem konservativen als auch zu extrem nicht-konservativen Lebensdauerprognosen führen.

6.3.3 Fließzonenmodelle In der Kategorie der Fließzonenmodelle sind alle Ansätze zusammengefasst, welche die Reihenfolgeeffekte und insbesondere die Verzögerungseffekte über die Gegebenheiten vor der Rissspitze, wie z. B. der plastischen Zone oder den Eigenspannungen, erklären. Die linear-elastische Bruchmechanik zeigt, dass in Rissspitzennähe eine singuläre Spannungsverteilung herrscht. Da aber die Fließgrenze des Werkstoffs eine natürliche Grenze darstellt, bildet sich an der Rissspitze ein plastisch deformiertes Gebiet aus, siehe Kapitel 3.5.1. Dieses Gebiet wird als plastische Zone bezeichnet. Grundsätzlich wird beim Ermüdungsrisswachstum zwischen der primär, sekundär und umkehrplastischen Zone unterschieden [6-27, 6-28]. Zur Abschätzung der primär plastischen Zone an der Rissspitze werden z. B. im elastischen Spannungsfeld in Abhängigkeit des Winkels ϕ die Orte r(ϕ) gesucht, ab denen Fließen eintritt. Sowohl Größe als auch Form der plastischen Zone werden durch unterschiedliche Theorien beschrieben. Die bekanntesten Modelle zur Beschreibung der primär plastischen Zone sind von IRWIN (siehe Kapitel 3.5.1) und DUGDALE entwickelt worden.

196

6 Ermüdungsrisswachstum bei Betriebsbelastung

Nach IRWIN ist die Größe der primär plastischen Zone für den ebenen Spannungszustand (ESZ)

ω pl =

K I2

(6.8),

π ⋅ σ F2

wobei σF der Fließspannung entspricht. DUGDALE geht in seinem Modell davon aus, dass sich unter ESZ-Bedingungen die primär plastische Zone auf einen schmalen Streifen vor dem Riss beschränkt. Um das Problem auf eine elastische Berechnung zurückführen zu können, wird im Modell nach DUGDALE der Riss der Länge a fiktiv um die Länge der plastischen Zone ω verlängert (Bild 6-19a). b)

a) 

 plastische Zone



a

F

F

F

F



 d)

c) 

F

F

F

F



Bild 6-19 Dugdalesches Rissmodell

Das Werkstoffverhalten innerhalb der plastischen Zonen wird als ideal-plastisch angesehen, so dass der Werkstoff in diesem Bereich einer gleichmäßigen Spannung σF ausgesetzt ist (Bild 6-19b). Der fiktive Riss der Länge a + ω ist völlig von einem elastischen Spannungsfeld umgeben. Die Größe der plastischen Zone wird durch die Annahme definiert, dass am Ende des fiktiven Risses keine Spannungssingularitäten auftreten dürfen, da die elastische Spannung die Fließgrenze nicht überschreiten kann. Die beiden Teillösungen lastfreier Riss im einachsigen Zugspannungsfeld (Bild 6-19c) und ein an den Enden durch innere Zugspannungen teilbelasteter Riss ((Bild 6-19d) werden derart überlagert, dass sich die entsprechenden Spannungssingu-

6.3 Rissfortschrittskonzepte bei Belastung mit variabler Amplitude

197

laritäten an den Rissspitzen aufheben [6-29]. Mittels Approximation und Vernachlässigung der Terme höherer Ordnung gilt für die Größe der plastischen Zone folgende Beziehung:

ω pl =

π K I2 ⋅ 8 σ F2

(6.9).

Ausgehend von der rein statischen Betrachtungsweise entwickelte RICE ein Modell für die Abschätzung der plastischen Zonen unter Ermüdungsbelastung. In diesem Modell geht RICE von einem elastisch-ideal plastischen Materialverhalten aus, für das sowohl im Zug- als auch im Druckbereich der Betrag der Fließgrenze gleich groß ist. Durch die erstmalige Belastung durch KI,max wird eine primär plastische Zone der Größe ωmax erzeugt. Bei einer Entlastung um ∆KI auf KI,min geht RICE unter Vernachlässigung des Rissfortschritts davon aus, dass dieses als Belastung in negative Richtung angesehen werden kann. Werden in der Lösung der primär plastischen Zone die Belastungsparameter durch -∆KI und die Fließgrenze durch den zweifachen Wert ersetzt, so kann durch Superposition der statischen Lösungen für KI,max und -∆KI der in Bild 6-20 gezeigte Spannungsverlauf für KI,min ermittelt werden. Die Fließgrenze im Druckbereich wird deshalb auf den zweifachen Wert gesetzt, um nach der Superposition der beiden statischen Lösungen den exakten Wert der Fließgrenze im Druckbereich zu erhalten. 

b) a)

umkehrplastische Zone

KI

K I,max 1 K I,min

F primär plastische Zone

2

1 1

KI

2 1

max

2 r

- F

2

t -2  F

min

Bild 6-20 Entstehung einer umkehrplastischen Zone vor der Rissspitze a) Beanspruchungssituation bei Ermüdungsbelastung b) Spannungsverteilung und plastische Zonen vor dem Riss

Bei der Betrachtung des Spannungsverlaufs wird deutlich, dass obwohl KI,min nicht im Druckbereich liegt, im Bereich ωmin druckplastische Deformationen auftreten. Dieser durch ωmin gekennzeichnete Bereich wird als umkehrplastische oder zyklisch plastische Zone bezeichnet. Das Verhältnis von umkehrplastischer Zone und primär plastischer Zone kann dabei unter Berücksichtigung des R-Verhältnisses wie folgt abgeschätzt werden:

ω min 1 = ⋅ (1 − R) 2 ω max 4

(6.10).

198

6 Ermüdungsrisswachstum bei Betriebsbelastung

Als sekundär plastische Zone wird diejenige plastische Zone bezeichnet, die während der Maximallast eines Belastungswechsels entsteht, deren Grenze aber innerhalb einer bereits vorher gebildeten größeren primär plastischen Zone bleibt. a1

max,1 min,1

Umkehrplastische Zonen

Primär plastische Zone

Sekundär plastische Zone min,2 a2

max,2

Bild 6-21 Definition der plastischen Zonen während einer Ermüdungsbelastung mit variabler Amplitude

Bild 6-21 zeigt schematisch die Unterschiede zwischen den verschiedenen plastischen Zonen bei einer Risslänge von a1 sowie nach einem gewissen Risswachstum bei einer Risslänge a2. Dabei wird deutlich, dass sich die sekundär plastische Zone innerhalb des zuvor plastisch deformierten Bereichs befindet.

6.3.3.1

WHEELER Modell

Einer der ersten Ansätze zur Berücksichtigung der Verzögerung nach einer Überlast ist das Fließzonenmodell nach WHEELER. Das Modell nach WHEELER besagt, dass eine Verzögerung auftritt, solange sich die sekundär plastische Zone (dunkelgrau) innerhalb der primär plastischen Zone (hellgrau) befindet, die durch die Überlast entstanden ist, Bild 6-22. Um die Verzögerung zu berücksichtigen, erweitert WHEELER die Berechnung des Rissfortschritts nach der linearen Schadensakkumulation (Gleichung 6.7) um einen Verzögerungsparameter Cp: a = a0 +

¦ CP ⋅ f (∆K I,i , Ri )

(6.11),

i

wobei der Verzögerungsparameter CP wie folgt definiert ist: § ω C p = ¨¨ max © a P − ai Cp = 1

· ¸¸ ¹

W

für ai + ω max < a p

(6.12),

für ai + ω max ≥ a p

(6.13).

Wenn die sekundär plastische Zone die Grenze der umgebenden primär plastischen Zone erreicht, wird der Verzögerungsfaktor 1 gesetzt, so dass das Risswachstum ungestört mit der

6.3 Rissfortschrittskonzepte bei Belastung mit variabler Amplitude

199

Rissgeschwindigkeit der konstanten Belastung fortgesetzt wird. Der sogenannte WHEELERExponent W ist ein materialabhängiger Parameter, der empirisch zu bestimmen ist. ol

a0

p max

∆a ai ap Bild 6-22 Fließzonenmodell

Die Abschätzung der Größe der plastischen Zone erfolgt mit der Gleichung nach WILLIAMS für den EVZ

ω max =

§ KI ¨¨ 4 ⋅ 2π © σ F 1

· ¸¸ ¹

(6.14).

Das Modell nach WHEELER ist für die Vorhersage des Verzögerungsverhaltens im Anschluss an eine Überlast entwickelt worden. D. h. um eine Aussage bezüglich des Risswachstums bei einer Belastung mit variabler Amplitude machen zu können, werden in Anlehnung an die lineare Schadensakkumulation die Vorhersage der einzelnen Überlasten summiert. Dies führt jedoch dazu, dass die Wechselwirkung hintereinander geschalteter Belastungswechsel nicht berücksichtigt werden kann.

6.3.3.2

GRAY/GALLAGHER Modell

Eine Weiterentwicklung des WHEELER-Konzepts stellt das Modell nach GRAY und GALLAGHER [6-30] dar. Dies geht ebenfalls davon aus, dass das Risswachstum solange verzögert wird, bis die sekundär plastische Zone die primär plastische Zone, die durch die Überlast entstanden ist, verlässt. GRAY und GALLAGHER ersetzen in der Definition des Verzögerungsfaktors Cp die Größe der plastischen Zonen durch Spannungsintensitätsfaktoren, so dass gilt: § K I, max Cp = ¨ * ¨K © I, max

· ¸ ¸ ¹

W

für K I, max < K I,* max

(6.15),

200

6 Ermüdungsrisswachstum bei Betriebsbelastung für K I, max ≥ K I,* max

Cp = 1

(6.16),

wobei K I,* max diejenige Spannungsintensität ist, die notwendig wäre, um die plastische Zone der Größe (6.17)

ω p = ωol − ∆a zu erzeugen, Bild 6-22. Durch Einsetzen der allgemeinen Definition der plastischen Zone §K ω = α ⋅ ¨¨ I, max © σF

· ¸¸ ¹

2

(6.18)

in Gleichung (6.17) kann der Spannungsintensitätsfaktor K I,* max wie folgt berechnet werden: K I,* max = K I, ol ⋅ 1 −

∆a

(6.19).

ωol

Unter den vereinfachenden Annahmen, dass der Thresholdwert KI,th nicht vom R-Verhältnis abhängt und dass das PARIS-Gesetz gilt, definieren GRAY und GALLAGHER den Exponenten W wie folgt: ∆K I § ¨ log ∆K I, th m ¨ W = P ⋅¨ 2 log RSO ¨¨ ©

· ¸ ¸ ¸ ¸¸ ¹

(6.20).

In dieser Definition ist neben dem Exponent mP des PARIS-Gesetzes auch das sogenannte Shut-off-Verhältnis RSO berücksichtigt. Ist dieses konstante Verhältnis RSO größer als das aktuelle Überlastverhältnis Rol, so tritt Rissstillstand ein [6-30]. Dies ist der Fall, wenn der effektive zyklische Spannungsintensitätsfaktor KI,eff kleiner wird als der Schwellenwert KI,th der Ermüdungsrissausbreitung. In gleicher Weise wie beim Ansatz nach WHEELER können die Reihenfolgeeffekte bei einer beliebigen Belastungsreihenfolge nicht berücksichtigt werden.

6.3.3.3

WILLENBORG Modell

Im Modell von WILLENBORG [6-26, 6-28] wird davon ausgegangen, dass durch die Aufbringung einer Überlast Eigenspannungen σES auftreten, die von der aktuellen Belastung und dem Risswachstum innerhalb der plastischen Zone der Überlast abhängen. Zur Berücksichtigung der Eigenspannungen wird ein virtueller Spannungsintensitätsfaktor K I, max, req = K I,ol ⋅ 1 −

∆a

ωol

eingeführt, der notwendig ist, um eine plastische Zone der Größe

(6.21)

6.3 Rissfortschrittskonzepte bei Belastung mit variabler Amplitude

π § K I, max,req ·¸ ωp = ¨¨ 8 © α ⋅ σ F ¸¹

201

2

(6.22)

zu erzeugen, die die Grenze der plastischen Zone ol erreicht (Bild 6-22). Der sogenannte Constraint-Faktor  berücksichtigt den Spannungszustand (ESZ oder EVZ) und liegt für zweidimensionale Fälle zwischen 1,15 für den ebenen Spannungszustand und 2,55 für den ebenen Verzerrungszustand. Die Differenz aus dem virtuellen Spannungsintensitätsfaktor KI,max,req und dem aktuellen maximalen Spannungsintensitätsfaktor KI,max,i eines folgenden Lastwechsels i ist definiert als Eigenspannungsintensitätsfaktor (6.23),

K I, R = K I, max, req − K I, max,i

Bild 6-23. Die Verzögerung wird rechnerisch dadurch erfasst, dass die Spannungsintensitätsfaktoren KI,max,i und KI,min,i der Überlast folgenden Lastwechsel i um den Eigenspannungsintensitätsfaktor KR reduziert werden: K I, max, eff,i = K I, max,i − K I, R = 2 K I, max,i − K I, max, req

(6.24),

K I, min, eff,i = K I, min, i − K I, R = K I, min, i + K I, max,i − K I, max, req

(6.25).

Somit ergeben sich die effektiven Schwingbreiten KI,eff,i zu: ­ ∆K I,i ° ∆K I, eff,i = ® K I, max,eff,i ° 0 ¯

für für für

K I, max,eff,i > 0 und K I, min, eff,i > 0 K I, min, eff,i ≤ 0 K I, max,eff,i ≤ 0

(6.26)

mit ∆K I,i = K I, max,eff ,i − K I, min, eff,i = K I, max,i − K I, min,i

(6.27),

Bild 6-23. Für den Lastwechsel i wird die Rissgeschwindigkeit durch Einsetzen der effektiven Schwingbreiten KI,eff,i sowie des effektiven Spannungsverhältnisses Reff,i =

K I, min, eff , i K I, max,eff,i

(6.28)

in eine Rissfortschrittskurve (siehe Kapitel 4.3) errechnet. In der Originalform des WILLENBORG Modells wird die FORMAN-Gleichung (∆K I,eff,i ) m F da = CF ⋅ (1 − Reff,i ) ⋅ K IC − ∆K I, eff,i dN

(6.29)

zur Bestimmung des Risswachstumsrate verwendet. Dieser iterative Prozess wird solange fortgesetzt, bis ai + ωi ≥ ap ist, so dass die Eigenspannungen null und der Verzögerungseffekt aufgehoben wird [6-26].

202

6 Ermüdungsrisswachstum bei Betriebsbelastung ol

K p K I,ol K I,max,req KI,R

KI,max ∆KI KI,min

K I,max,eff KI,R

∆K I,eff K I,min,eff Zeit

Bild 6-23 Berechnung des effektiven zyklischen Spannungsintensitätsfaktors nach dem WILLENBORG-Modell

Wie aus Bild 6-23 ersichtlich ist, handelt es sich bei der Berechnung des effektiven zyklischen Spannungsintensitätsfaktors nach WILLENBORG nur um eine Verschiebung des RVerhältnisses. Die Schwingbreite wird nicht verändert, solange die minimale Spannungsintensität Kmin,i positiv bleibt. Vorteil des WILLENBORG-Konzepts gegenüber dem WHEELER-Modell ist, dass keine Parameter an experimentelle Daten anzupassen sind [6-26]. Nachteilig ist jedoch, dass schon bei einem Überlastverhältnis von 2,0 Rissstillstand vorhergesagt wird. Durch Einsetzen von Gleichung (6.21) in Gleichung (6.26) ergeben sich für a 0 für Überlastverhältnisse größer als zwei rein theoretisch negative maximale Spannungsintensitätsfaktoren KI,max,eff,i und damit nach Gleichung (6.26) Schwingbreiten von null bzw. Rissstillstand. Da das Shut-offVerhältnis, das Überlastverhältnis, ab dem Rissstillstand eintritt, jedoch vom Werkstoff und der Belastung abhängt, kann dieses Konzept zu unrealistischen Ergebnissen führen. Aus diesem Grund entwickelte GALLAGHER auf der Grundlage des Originalkonzepts von WILLENBORG das verallgemeinerte WILLENBORG Modell [6-31]. Im verallgemeinerten Ansatz wird der Eigenspannungsintensitätsfaktor KI,R um einen Vorfaktor 1−

φ=

∆K I, th

∆K I RSO − 1

(6.30)

wie folgt erweitert:

K I,VW R = φ ⋅ K I, R

(6.31),

so dass das wahre Shutt-off-Verhältnis RSO sowie das Verhältnis des Thresholdwertes KI,th zur zyklischen Spannungsintensität KI Berücksichtigung findet. Wird RSO überschritten, so gilt

6.3 Rissfortschrittskonzepte bei Belastung mit variabler Amplitude

K I, max,eff,i =

203

∆K I, th

(6.32)

1− R

und es tritt rein rechnerisch Rissstillstand ein. Das WILLENBORG-Konzept ist in zahlreichen Modellen weiterentwickelt und modifiziert worden (siehe z. B. [6-31, 6-32]).

6.3.4 Rissschließmodelle Basierend auf den Erkenntnissen von ELBER bezüglich des plastizitätsinduzierten Rissschließens sind die Rissschließmodelle entwickelt worden. Zu den bekanntesten Rissschließmodellen zählen das PREFAS-Modell [6-33], das ONERA-Modell [6-34] und das CORPUS-Modell [6-35]. In allen Modellen wird Lastwechsel für Lastwechsel mittels empirischer Funktionen (vgl. Gleichungen (4.19) und (4.20)) eine Rissöffnungsspannungsintensität KI,op ermittelt, die in einer effektiven zyklischen Spannungsintensität KI,eff gemäß Gleichung (4.18) resultiert. Aufgrund ihrer begrenzten Anwendung auf Fluglastspektren haben sich die Rissschließmodelle nicht durchgesetzt.

6.3.5 Fließstreifenmodelle Grundlage der Fließstreifenmodelle, auch Strip-Yield-Modelle genannt, ist die Überlegung, dass das Verzögerungsverhalten sowohl durch plastisch verformtes Material entlang der Rissflanken eines wachsenden Risses als auch durch die plastische Zone vor der Rissspitze entsteht. Die bekanntesten Fließstreifenmodelle wurden von NEWMAN [6-36] und DE KONING [6-37] entwickelt. Darüber hinaus existiert eine Vielzahl an Varianten dieser Modelle (siehe z. B. [6-38 bis 6-40]. 

a fikt a



xi

1 j

Stabelemente

Lj

i

3

fiktive Rissoberfläche

Vj

2

2wj

x

Kontaktspannungen geöffneter Riss Lj ื Vj

geschlossener Riss

plastische Zone

L j = Vj

Bild 6-24 Schematische Darstellung der oberen Hälfte des Fließstreifenmodells auf der Basis des DUGDALE-Modells

204

6 Ermüdungsrisswachstum bei Betriebsbelastung

Als Grundlage der Fließstreifenmodelle dient ein modifiziertes DUGDALE-Modell. Im Gegensatz zum DUGDALE-Modell, Bild 6-19, bei dem sich unter ESZ-Bedingungen die Plastifizierungen auf einen schmalen Streifen vor dem Riss (primär plastische Zone) beschränken, werden in der modifizierten Form auch Plastifizierungen entlang der Rissflanken auf einem infinitisimal dünnen Streifen (Strip) zugelassen. Bild 6-24 zeigt eine schematische Darstellung des Fließstreifenmodells. Es besteht aus:

•

dem linear-elastischen Gebiet, das einen fiktiven Riss der Länge a + enthält (Gebiet 1),

•

der plastischen Zone (Gebiet 2) und

•

dem bleibend plastisch verformten Gebieten entlang der Rissflanken (Gebiet 3).

Die Gebiete 2 und 3 bestehen aus starren ideal-plastischen Stabelemente, wobei die Elemente im Gebiet 2 intakt und im Gebiet 3 gebrochen sind. Somit können in der plastischen Zone sowohl Zug- als auch Druckspannungen übertragen werden, während entlang der Rissflanken in den gebrochenen Stabelementen im Fall des Kontakts lediglich Druckspannungen wirken können. Kontakt tritt genau dann ein, wenn die berechnete Stabelementlänge Lj die fiktive Rissöffnungsverschiebung Vj erreicht bzw. übersteigt. Um in diesem Fall die Kompatibilitätsbedingung Lj = Vj herzustellen, wird eine Kontaktspannung j auf das entsprechende Element j aufgebracht, Bild 6-25. 

y

j Lj

Vj x j

Bild 6-25 Schematische Darstellung zur Bestimmung der Kontaktspannung j an einem gebrochenen Stabelement j, bei dem die Stabelementlänge Lj größer ist als die fiktive Rissöffnungsverschiebung Vj

Die Bestimmung der Kontaktspannung j erfolgt mittels iterativer Lösungsverfahren, die zwei Randbedingungen unterliegen. Eine Randbedingung ist durch die Fließgrenze der Stabelemente im Zug- und Druckbereich und die andere durch die Elementtrennung (Vj  Lj) entlang der Rissflanken gegeben. Für die Kontaktspannungen gilt im Ansatz nach NEWMAN für die Elemente entlang der Rissoberfläche (xi  a):

σj =0

für σ j > 0

σ j = −σ F

für σ j ≤ −σ F

(6.33)

sowie für die Elemente innerhalb der plastischen Zone (xi > a):

σ j = α ⋅σ F

für σ j > α ⋅ σ F

σ j = −σ F

für σ j ≤ σ F

(6.34).

Zur Berücksichtigung eines möglichen Verfestigungsverhaltens des Werkstoffs ist die Fließgrenze F als Mittelwert aus der Zugfestigkeit und der Streckgrenze definiert. Da es sich um ein zweidimensionales Modell handelt, wird zur Berücksichtigung des Spannungszustands der

6.3 Rissfortschrittskonzepte bei Belastung mit variabler Amplitude

205

Faktor  (Constraint-Faktor) verwendet, der zwischen 1 für den ebenen Spannungszustand und 3 für den ebenen Verzerrungszustand variiert. Der wesentliche Unterschied zwischen den verschiedenartigen Fließstreifenmodellen liegt in der Definition und Verwendung des Constraint-Faktors [6-40]. NEWMAN definiert einen einzigen Constraint-Faktor. Unter der Annahme, dass bei niedrigen Rissgeschwindigkeiten eher EVZ-Bedingungen und bei hohen Risswachstumsraten eher ESZBedingungen vorliegen, wird ausgehend von einem Übergangsspannungsintensitätsfaktor in Abhängigkeit der Fließgrenze und der Dicke der Probe sowie der zugehörigen Rissgeschwindigkeit über den Wert des Faktors entschieden. Liegt die aktuelle Rissgeschwindigkeit oberhalb der Übergangsrissgeschwindigkeit, wird der Constraint-Faktor gleich dem Wert für den ebenen Spannungszustand gesetzt. Im anderen Fall wird der Wert des ebenen Spannungszustands angenommen. Da zwischen reinem EVZ und ESZ ein Übergangsbereich vorzufinden ist, wird ebenso um die Übergangsrissgeschwindigkeit ein Bereich von etwa 1,5Zehnerpotenzen der Rissgeschwindigkeit abgeschätzt. Befindet sich die aktuelle Rissgeschwindigkeit innerhalb des Übergangsbereichs, variiert der Wert für den Constraint-Faktor zwischen 1 und 3. DE KONING et al. [6-37] und BERETTA et al. [6-38] hingegen gehen davon aus, dass drei Faktoren zur Beschreibung des Spannungszustands notwendig sind. Sie definieren die Constraint-Faktoren für die monotone plastische Zone, die umkehrplastische Zone und die Plastifizierungen entlang der Rissflanken. Ferner nimmt DE KONING an, dass der -Faktor in der monotonen plastischen Zone unter Zugbeanspruchungen eine parabolische Funktion entlang der Elemente der plastischen Zone besitzt, wobei am Ende der plastischen Zone ein Wert von 1,15 (ESZ) erreicht wird. Der Wert an der Rissspitze wird aus dem Verhältnis der Größe der plastischen Zone zur Probendicke berechnet. Im Druckbereich ist der Constraint-Faktor hingegen konstant. Darauf aufbauend wird eine Rissöffnungsspannung op berechnet, ab der der Riss komplett geöffnet ist, d. h. es existieren keine Oberflächenkontakte und die Spannung j an der Rissspitze wechselt von Druck- in Zugspannungen. Dies ist genau dann erreicht, wenn der Spannungsintensitätsfaktor, der durch eine aufgebrachte Spannung entsteht, gleich dem Spannungsintensitätsfaktor ist, der durch die Kontaktspannung ermittelt wird. Diese so ermittelte Rissöffnungsspannung wird dazu genutzt, um den effektiven zyklischen Spannungsintensitätsfaktor ∆K I,eff = (σ max − σ op ) ⋅ π ⋅ a ⋅ YI

(6.35)

zu berechnen. Unter Verwendung einer Rissfortschrittsgleichung, in die der effektive zyklische Spannungsintensitätsfaktor eingesetzt wird, kann durch Integration die Lebensdauer bestimmt werden. Im Simulationsprogramm NASGRO (siehe Kapitel 7.1.1) wird zur Rechenzeitverkürzung die Rissöffnungsspannung nur nach Erreichen eines festgelegten Rissinkrements oder aber einer Lastwechselzahldifferenz bestimmt. D. h. die Rissöffnungsspannung ist während der zyklischen Belastung über diesen Bereich konstant.

206

6 Ermüdungsrisswachstum bei Betriebsbelastung

6.4 Mixed-Mode-Beanspruchung Alle bisher in diesem Kapitel beschriebenen Konzepte beschäftigen sich mit dem Mode IRisswachstum. D. h., während des Ermüdungsrisswachstums ändert sich die Belastungshöhe in regelmäßigen Abständen (z. B. durch einzelne Überlasten bzw. Blocklasten) oder völlig unregelmäßig (z. B. durch nicht periodisch ablaufende Belastungsvorgänge bzw. allgemeine Betriebsbelastung). In der technischen Praxis kann es aber neben der Änderung der Belastungshöhe auch zu einer Änderung der grundlegenden Bauteilbelastung (neben einer Normalspannung tritt z. B. auch eine Schubspannung auf) oder zu einer Änderung der Belastungsrichtung kommen. In diesen Fällen wechselt die lokale Beanspruchung am Riss. Liegt also zunächst eine Mode IBeanspruchung vor, so kann sich infolge der Belastungsänderung eine ebene oder räumliche Mixed-Mode-Situation ergeben. In Sonderfällen tritt auch eine reine Mode II- oder reine Mode III-Beanspruchung am Riss auf. Diese Fälle sind in Bezug auf das Ermüdungsrisswachstum noch wenig untersucht. Die nachfolgenden Darstellungen sollen daher einen Einblick in die Problematik geben. Beschrieben wird das Risswachstum bei einem Wechsel der Belastungsrichtung bzw. einem Wechsel der Mixed-Mode-Situation am Riss und die Auswirkung von Mixed-Mode-Überlasten im Vergleich zu Mode I-Überlasten. a)

Mixed-ModeBelastungswechsel KI

KI

KI

KI,Bw t b)

Mixed-ModeBelastungswechsel KII

KII,Bw

KII = 0 t

Bild 6-26 Veränderung der Spannungsintensitätsfaktoren KI(t) und KII(t) nach einem Wechsel der Beanspruchung von Mode I nach Mixed Mode und anschließendem Risswachstum a) Veränderung des Spannungsintensitätsfaktors KI b) Veränderung des Spannungsintensitätsfaktors KII

6.4 Mixed-Mode-Beanspruchung

6.4.1

207

Risswachstum beim Wechsel der Belastungsrichtung bzw. der lokalen Beanspruchung am Riss

Kommt es beim Ermüdungsrisswachstum zu einem Wechsel der Belastungsrichtung oder durch einen Wechsel der äußeren Belastung zu einer Veränderung der lokalen Beanspruchungssituation am Riss, so ergibt sich im Allgemeinen eine Mixed-Mode-Beanspruchung am Riss. Hält dieser Belastungszustand an, so verläuft der Ermüdungsriss vom Zeitpunkt des Belastungswechsels an in eine neue Richtung. Der sich einstellende Rissverlauf hängt dabei im Wesentlichen von den nach dem Belastungswechsel am Riss vorliegenden Spannungsintensitätsfaktoren KI, KII und/oder KIII ab (siehe Kapitel 3.8.2 und Kapitel 4.4). Sobald der Riss in die neue Richtung wächst, ändern sich auch die Mixed-ModeBeanspruchungszustände am Riss. Dies wird für einen Wechsel von einer Mode I- zu einer ebenen Mixed-Mode-Beanspruchung deutlich, Bild 6-26. Zunächst liegt am Riss eine Mode I-Beanspruchung (mit KI  0 und KII = 0) vor. Durch den Belastungswechsel von Mode I nach Mixed Mode, bei dem der zyklische Vergleichsintensitätsfaktor konstant gehalten wird, sinkt der Mode I-Anteil am Riss ab und der Mode II-Anteil steigt schlagartig an (KI  0 und KII  0). Wächst der Ermüdungsriss nun in eine neue Richtung (siehe Kapitel 4.4 bzw. Kapitel 3.8.2), so vermindert sich der KIIAnteil und der KI-Anteil steigt wieder an. 10-3

Mixed-ModeBelastungswechsel

da/dN [mm/Lw]

10-4

10-5 KV = 7 MPam1/2 R = 0,1 KII/KI = 1,49

10-6

10-7

48

52 a [mm]

56

Bild 6-27 Rissgeschwindigkeitsverläufe vor und nach einem Mixed-Mode-Belastungswechsel

Ein Belastungswechsel, wie er in Bild 6-26 verdeutlicht ist, hat aber nicht nur eine Änderung der Ausbreitungsrichtung des Risses zur Folge. Zudem ändert sich durch den Belastungswechsel auch die Rissgeschwindigkeit da/dN, wie Bild 6-27 zeigt. Wie man erkennt, kommt es bei dem beschriebenen Fall zu einer Verzögerung des Risswachstums. Weitere Informationen zu diesem Thema finden sich u. a. in [6-42, 6-43].

6.4.2

Einfluss von Mixed-Mode-Überlasten auf das Ermüdungsrisswachstum

Wie in Kapitel 6.2.1 beschrieben, führen einzelne Überlasten, die in ein Mode IGrundlastniveau eingestreut werden, zu deutlichen Verzögerungen beim Ermüdungsrisswachstum. Treten in Bauteilen und Strukturen infolge von Thermoschock oder anderen kurzzeitigen Belastungswechseln Mode II- oder Mixed-Mode-Überlasten auf, so ändert sich auch das Riss-

208

6 Ermüdungsrisswachstum bei Betriebsbelastung

wachstum. Auch bei Mixed-Mode-Überlasten kommt es zu Verzögerungseffekten, diese fallen aber deutlich geringer aus als bei gleich hoher Mode I-Überlastung (KV,ol = KI,ol), siehe Bild 6-28. Bei hohem KII-Anteil der Überlast oder bei reiner Mode II-Überlast ist die Verzögerungswirkung sehr gering oder überhaupt nicht vorhanden (siehe auch [6-16, 6-43, 6-44]). Durch die kurzzeitige Mixed-Mode-Überlastung tritt im Allgemeinen auch keine oder nur eine geringe Richtungsänderung im Rissverlauf auf. Mode II

56

Mixed-Mode

90° 45°

Mode I

15°

0°

55

a [mm]

54 53

F



52 51 50 49 48 40.000

F 180.000

110.000

250.000

N [Lw] Bild 6-28 Verzögerungseffekte nach einer 2,5-fachen Mixed-Mode-Überlast in Abhängigkeit des Lasteinleitungswinkels  = 0° (Mode I) bis 90° (Mode II), die in ein konstantes Grundlastniveau von KI = 7 MPam1/2 eingestreut wurden

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212

7 Simulationen des Ermüdungsrisswachstums Das Ermüdungsrisswachstum in Bauteilen und Strukturen wird insbesondere durch die Rissgeschwindigkeitskurve da/dN für den vorliegenden Werkstoff als Funktion von der zyklischen Spannungsintensität ∆KI und vom R-Verhältnis charakterisiert (siehe Kapitel 4.2). Diese Rissgeschwindigkeitskurve ist − wie in Kapitel 5.2 beschrieben − experimentell zu ermitteln und kann z. B. durch die Rissfortschrittsgesetze in Kapitel 4.3 angenähert bzw. beschrieben werden. Will man den Rissfortschritt für eine bestimmte Lastwechselperiode oder z. B. die Restlebensdauer bis zur instabilen Rissausbreitung bzw. bis zum Bruch ermitteln, so ist eine Integration der Rissgeschwindigkeitskurve bzw. der Rissfortschrittsgesetze erforderlich. Eine solche Integration ist aber geschlossen nur für einfache Rissfortschrittgleichungen und vereinfachende Annahmen für die Belastung des Bauteils und den Geometriefaktor Y des Risses möglich (siehe z. B. Kapitel 4.3.5). Im Allgemeinen müssen der Rissfortschritt oder die Lebensdauer iterativ ermittelt werden. Dabei stehen einerseits Programme zur Verfügung, bei denen analytische Lösungen für bestimmte Rissfälle hinterlegt sind, andererseits existieren Programme, mit denen die Rissausbreitung numerisch simuliert werden kann.

7.1 Analytische Risswachstumssimulationen Da bei Mode I-Beanspruchung der Ermüdungsriss sich stets in Ursprungsrichtung ausbreitet, d. h. keiner plötzlichen Richtungsänderung unterliegt, lässt sich das Risswachstum anhand der KI-Faktoren bzw. der für den Rissfall geltenden YI-Faktor-Lösungen (siehe z. B. Kapitel 3.4.2) analytisch ermitteln. Hierfür existieren Programme bei denen für zahlreiche Rissfälle die KIFaktor- bzw. YI-Faktor-Lösungen, die insbesondere von der Belastungssituation sowie von den Riss- und Bauteilabmessungen abhängen, implementiert sind. Zur Simulation des Risswachstums stehen beispielsweise die Programme •

NASGRO [7-1],

•

ESACRACK [7-2],

•

AFGROW [7-3] und

•

ViDa£ [7-4]

zur Verfügung. Mit diesen Programmen lässt sich in der Regel nicht nur das Ermüdungsrisswachstum bei zyklischer Belastung mit konstanter Amplitude (siehe Kapitel 4), sondern auch das Mode I-Ermüdungsrisswachstum bei Betriebsbelastung (siehe Kapitel 6) simulieren.

7.1.1 NASGRO und ESACRACK Das Programm NASGRO 5.2, das ursprünglich von der NASA (National Aeronautics and Space Administration) entwickelt wurde, besitzt insbesondere in der Luft- und Raumfahrt einen hohen Stellenwert. Verstärkt wird es aber auch in anderen Bereichen, wie z. B. der Eisenbahntechnik, eingesetzt.

7.1 Analytische Risswachstumssimulationen

213

Das Programm NASGRO besteht aus den vier Modulen [7-1]: •

NASFLA,

•

NASMAT,

•

NASBEM und

•

NASFORM,

Bild 7-1. Im Hauptmodul NASFLA werden Rissfortschrittsuntersuchungen und die Bestimmung der kritischen Risslänge in einfachen Bauteilen und Strukturen unter zyklischer und statischer Belastung ermöglicht. Es besteht aus einer Bibliothek von Geometrien und Risskonfigurationen mit den entsprechenden Spannungsintensitätsfaktorlösungen. In der Version 5.2 sind über 60 unterschiedliche Konfigurationen für durchgehende Risse sowie Oberflächen-, Ecken- und Innenrisse z. B. in Blechen, Wellen, Standardproben oder anderen Geometrien implementiert. Aufbauend auf diesen Risskonfigurationen kann eine Simulation des Ermüdungsrisswachstums sowohl für konstante als auch variable Amplitudenbelastung durchgeführt werden. Bei einer Simulation einer Betriebsbelastung hat der Nutzer die Wahl zwischen unterschiedlichen Konzepten, wie z. B. lineare Schadensakkumulation, Fließstreifenmodell, modifizierte WILLENBORG-Modelle oder das BOING-NORTHROP Rissschließmodell (siehe Kapitel 6.3 und [7-1]). Das Ergebnis einer Risswachstumssimulation mit NASGRO für eine Welle ist exemplarisch in Bild 4-17 dargestellt. ESACRACK

ESALOAD

ESAFATIG

NASGRO

Generierung eines Lastspektrums

NASFLA

Rissfortschrittsuntersuchungen NASMAT

NASBEM NASFORM

Materialdatenbank

Analyse mittels der Boundary Element Methode

Berechnung der kritischen Risslänge Spannungsintensitätsfaktorberechnung

Analyse mittels der Boundary Element Methode

Ermittlung der Schadensparameter

Bild 7-1 Programmmodule des Programms NASGRO und ESACRACK

Die zur Simulation notwendigen bruchmechanischen Werkstoffdaten sind in der umfangreichen Materialdatenbank NASMAT angegeben. In dieser Datenbank sind mehr als 3000 Datensätze z. B. in Form der Parameter der FORMAN/METTU- als auch der WALKER-Gleichung für unterschiedliche Werkstoffgruppen, wie z. B. Stähle, Aluminium-. Titan- oder Magnesiumlegierungen, hinterlegt. Darüber hinaus können benutzerdefinierte Datensätze angelegt und verwaltet werden.

214

7 Simulationen des Ermüdungsrisswachstums

Das Modul NASBEM (NASA Boundary Element Method) ist ein Boundary-ElementProgramm zur Berechnung von Spannungsintensitätsfaktoren für zweidimensionale Geometrien. Dies kann beispielsweise dazu genutzt werden, um für eine Ermüdungsrissausbreitungssimulation in NASFLA Spannungsintensitätsfaktoren in Abhängigkeit der Risslänge zu bestimmen. Zur Beurteilung der Rissinitiierung steht das Modul NASFORM (Fatigue Crack Formation Analysis) zur Verfügung. Darin sind sowohl ein Nennspannungskonzept als auch vier unterschiedliche örtliche Konzepte implementiert. Informationen zu Rissinitiierungskonzepten sind z. B. in [7-22] zu finden. NASGRO ist auch als ein Modul des von der ESA (European Space Agency) entwickelten Programms ESACRACK enthalten [7-2], Bild 7-1. Mit dem Modul ESAFATIG, das gleichzeitig auch Inhalt des Moduls NASFORM ist, kann die Rissinitiierung mittels örtlicher Konzepte abgeschätzt werden. Zusätzlich kommt das Modul ESALOAD zur Generierung von Lastdaten hinzu.

7.1.2 AFGROW Das von der US AIR FORCE entwickelte Programm AFGROW 4.0 dient ebenfalls der analytischen Simulation des Risswachstums [7-3]. In ähnlicher Weise wie bei NASGRO sind Risskonfigurationen mit den entsprechenden Spannungsintensitätsfaktorlösungen in einer Datenbank hinterlegt. Der Nutzer hat für die Simulation die Wahl zwischen den Gleichungen nach WALKER, FORMAN und FORMAN/METTU sowie der HARTER-T-Methode, für die in einer sehr umfangreichen Datenbank die entsprechenden Materialdaten hinterlegt sind. Bei der Simulation des Ermüdungsrisswachstums bei Betriebsbelastung stehen dem Nutzer die lineare Schadensakkumulation, das WILLENBORG-, ein Rissschließ- und das WHEELER-Modell zur Verfügung (siehe Kapitel 6.3). Im Gegensatz zum Programm NASGRO ist bei AFGROW eine Überlagerung der Belastung mit Eigenspannungen möglich, indem die vom Nutzer definierten Eigenspannungen in Eigenspannungsintensitätsfaktoren umgerechnet werden. Darüber hinaus besteht mit AFGROW ferner die Möglichkeit für gekerbte Bauteile mittels des Schädigungsparameters nach SMITH, WATSON und TOPPER aufbauend auf der NEUBERRegel die Rissinitiierungslebensdauer bis zur angegebenen Anfangsrisslänge zu bestimmen und zur ermittelten Restlebensdauer zu addieren [7-3].

7.2 Numerische Risswachstumssimulationen Bei allgemeiner Bauteilbelastung tritt beim Rissfortschritt nicht nur eine Risslängen-, sondern auch eine Richtungsänderung auf. Dies ist u. a. immer dann der Fall, wenn eine Mode II-, Mode III- bzw. ebene oder räumliche Mixed-Mode-Beanspruchung vorliegt (siehe Bild 3-23b bis Bild 3-23d). Insbesondere bei diesen sehr komplizierten Rissausbreitungsvorgängen ist eine numerische Simulation erforderlich. Dabei sind für beliebiges 3D-Risswachstum in beliebigen dreidimensionalen Strukturen auch 3D-Simulationsprogramme erforderlich, bei denen die geometrische Komplexität während des Risswachstums erhalten bleibt. In einigen Fällen reichen aber auch zweidimensionale Rissmodelle und 2D-Risswachstumssimulationen aus.

7.2 Numerische Risswachstumssimulationen

215

Für 2D-Risswachstumssimulationen stehen u. a. die Programme •

FRANC2D [7-6],

•

FRANC/FAM [7-6] und

•

PCCS-2D [7-5]

zur Verfügung. 3D-Simulationen lassen sich u. a. durchführen mit den Programmsystemen •

FRANC3D [7-8],

•

ADAPCRACK3D [7-9, 7-10],

•

CRACKTRACER [7-12] und

•

BEASY [7-13].

7.2.1 Grundlegende Vorgehensweise mittels der Finite-Elemente-Methode Als weitreichendes numerischen Verfahren hat sich die Finite-Elemente-Methode [7-9, 7-11, 7-15] durchgesetzt. Anwendung findet bei Riss-Problemen aber auch die Boundary-ElementeMethode [7-16]. a)

Rissausbreitung bei Mode I

Ausgangsriss a b)

c)

a Bild 7-2 Simulation der Ermüdungsrissausbreitung mit der Finite-Elemente-Methode bei Mode IBeanspruchung am Riss a) Ermüdungsrissausbreitung bei Mode I-Beanspruchung am Ausgangsriss (Riss breitet sich in Richtung des Ausgangsrisses aus) b) Finite-Elemente-Vernetzung des Ausgangsrisses (Ausschnitt) c) Inkrementelle Risserweiterung um ∆a mit der Debonding-Technik

Bei der Finite-Elemente-Methode wird das Bauteil komplett vernetzt, d. h. in endliche (finite) Elemente eingeteilt. Bei Rissproblemen müssen dabei den beiden Rissufern (bei ebenen Prob-

216

7 Simulationen des Ermüdungsrisswachstums

lemen) oder den beiden Rissoberflächen (bei räumlichen Rissproblemen) getrennte Knoten zugewiesen werden. Aufgrund der singulären Spannungsfelder am Riss ist i. Allg. eine sehr feine Vernetzung in der Rissumgebung erforderlich. Dies gilt insbesondere, wenn die Spannungsintensitätsfaktoren aus dem Spannungs- und Verschiebungsfeld in der Rissumgebung bestimmt werden (siehe Kapitel 3.7.1 und Kapitel 3.7.2). Eine deutlich gröbere Netzeinteilung ist möglich bei Ermittlung der bruchmechanischen Größen mit dem Rissschließungsintegral (siehe Kapitel 3.7.4). Bei der Ermüdungsrissausbreitung muss der Riss schrittweise (inkrementell) verlängert werden. Dies erfordert u. U. eine Neuvernetzung in der Rissumgebung. Liegt eine Mode I-Rissbeanspruchung vor, so ist bei ebenen Rissproblemen der sich ergebende Risspfad bekannt. In diesem Fall kann die Debonding-Technik angewendet werden, d. h. bereits bei der Vernetzung der Rissumgebung werden entlang des zukünftigen Risspfades doppelte Rissknoten vorgesehen. Das Risswachstum ergibt sich durch ein Aufknüpfen (Debonding) der Knoten, Bild 7-2. Um einerseits die Spannungsverteilung in der Rissumgebung gut abzubilden und andererseits möglichst kleine Rissinkremente zu realisieren, wird das gesamte Rissausbreitungsgebiet von vornherein sehr fein vernetzt. Bei ebener Mixed-Mode-Beanspruchung am Ausgangsriss knickt der Riss um einen Winkel ϕ0 ab (siehe Kapitel 3.8.2.3). D. h. der Riss muss in diese Richtung erweitert werden, so dass eine Neuvernetzung in der Rissumgebung erforderlich wird. Dazu müssen Elemente in der Rissumgebung herausgelöscht werden und der gewachsene Riss neu vernetzt werden. Diese Vorgehensweise führt häufig zu einer schlechten Netzqualität in der Umgebung der Rissspitze und somit zu ungenauen Werten für die Spannungsintensitätsfaktoren KI und KII. a)

b)

Bild 7-3 Finite-Elemente-Simulation der Ermüdungsrissausbreitung bei Mixed-Mode-Beanspruchung a) Finite-Elemente-Netz mit Ausgangsriss b) Risserweiterung mit Neuvernetzung der Rissumgebung

Einen Ausweg stellt ein sogenanntes mitbewegtes Spezialnetz dar, Bild 7-4. Durch ein Spezialnetz um die Rissspitze kann eine hohe Qualität bei der Ermittlung der Spannungsintensitätsfaktoren oder anderer bruchmechanischer Größen gesichert werden. Bei der Risserweiterung wird das Spezialnetz mit der Rissspitze mitbewegt und sichert somit gute Netzeigenschaften in der unmittelbaren Rissumgebung auch für den wachsenden Riss. Allerdings muss das grundlegende Finite-Elemente-Netz stets an die neue Lage des Spezialnetzes angepasst werden. Dies ist aber bei der Behandlung von dreidimensionalen Rissproblemen extrem schwierig.

7.2 Numerische Risswachstumssimulationen a)

217 b)

Spezialnetz um die Rissspitze

Bild 7-4 Simulation des Ermüdungsrisswachstums mit mitbewegtem Spezialnetz a) Finite-Elemente-Netz mit Ausgangsriss und Spezialnetz um die Rissspitze b) Risserweiterung mit mitbewegtem Spezialnetz

Daher wird z. B. im Programmsystem ADAPCRACK3D, Kapitel 7.2.3, die sogenannte Submodelltechnik angewandt. D. h. das verwendete Spezialnetz muss nicht mehr geometrisch mit dem Grundnetz verbunden werden. Die kinematischen Randbedingungen (in der Regel aufgeprägte Verschiebungen) für das Spezialnetz werden dann unmittelbar aus dem Grundnetz ermittelt. Diese Vorgehensweise erlaubt die Simulation von beliebigem Risswachstum in beliebigen dreidimensionalen Bauteilen und Strukturen [7-9, 7-10, 7-15]. Geometriedaten Ausgangsnetz Rissabmessung

Materialdaten E, , Rp02 , KIC , KI,th, C, m

Belastungsdaten

Randbedingungen

Steuerdaten

Fmax , , R

vx , vy

a Inkr.

FRANC/FAM Preprocessing Simulationssteuerung automatische Netzanpassung

FE-Analyse

bruchmechanische Auswertung

Postprocessing

Spannungen und Verschiebungen ij , V, ux , uy

Bruchmechanische Ergebnisse J, KI , KII, KV , 0

Geometriedaten Koordinaten der Risspfade

Bild 7-5 Prinzipieller Aufbau des Programmsystems FRANC/FAM

Ermüdungsdaten KV(a), da/dN = f(KV), a(N), aC , NB

218

7 Simulationen des Ermüdungsrisswachstums

7.2.2 Programmsystem FRANC/FAM für ebene Rissausbreitungssimulationen Das Programmsystem FRANC/FAM, Bild 7-5, ist in der Lage beliebiges 2D-Risswachstum zu simulieren. Das Programm arbeitet mit einem mitbewegten Spezialnetz, siehe Bild 7-4. N(t)

a) Ausgangsriss

M(t)

Q(t)

1

2

Q(t) M(t)

N(t)

b)

Rissverlauf

c) da/dN [mm/Lw]

6·10 -4 5·10 -4 4·10 -4 Risspfad links Risspfad rechts

3·10 -4 2·10 -4 10 -4 0

5

7

9

11 13 15 17 19 21 23 a [mm]

Bild 7-6 Simulation des Risswachstums in einer Lochscheibe mit dem Programm FRANC/FAM a) Finite-Elemente-Netz mit Ausgangsriss b) Simulierter Rissverlauf in der Lochscheibe und Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese für die Belastung der Scheibe mit Nmax, Qmax und Mmax c) Entwicklung der Rissgeschwindigkeit für den linken und rechten Risspfad

7.2 Numerische Risswachstumssimulationen

219

Die Spannungsintensitätsfaktoren KI und KII werden i. Allg. über das J-Integral (siehe Kapitel 3.7.3) oder die MVCCI-Methode (siehe Kapitel 3.7.4) ermittelt. Mit FRANC/FAM kann man zudem bei ungerissenen Bauteilen und Strukturen die Stelle der Rissentstehung und die zur Rissbildung erforderliche Rissinitiierungslebensdauer ermitteln. Daran schließt sich eine vollautomatische Risswachstumssimulation an, wobei die Simulation eines vorhandenen Risses startet, wenn ∆KV > ∆KI,th ist (siehe z. B. Kapitel 4.3 und Kapitel 4.4). Die Simulation endet i. Allg., wenn ∆KV = ∆KIC erreicht. Aus den KI- und KII-Faktoren wird bei Mixed-Mode-Beanspruchung für jeden Simulationsschritt der Abknickwinkel ϕ0 bestimmt (siehe Kapitel 4.4.3 und Kapitel 3.8.2.3) und der Riss um das Inkrement ∆a in Richtung von ϕ0 erweitert. Bild 7-6 zeigt die Simulation des Risswachstums in einer Lochscheibe mit dem Programmsystem FRANC/FAM. Am Ausgangsriss liegt infolge der Belastung, Bild 7-6a, eine MixedMode-Beanspruchung vor. Aufgrund der unsymmetrischen Lochanordnung ist die rechte Rissspitze am höchsten belastet, so dass das Risswachstum dort startet. Der Riss knickt entsprechend dem Mode II- und Mode I-Anteil ab. Nach dem ersten Simulationsschritt startet auch die linke Rissspitze. Beide Risse wachsen dann entsprechend der jeweils vorliegenden lokalen Beanspruchung. Der Riss wächst rechts deutlich schneller, kommt aber im Schatten einer Bohrung zum Stillstand (siehe Bild 7-6b und Bild 7-6c). Der linke Riss wächst nun immer schneller und wird letztlich instabil, Bild 7-6c.

7.2.3 Programmsystem ADAPCRACK3D für räumliche Rissausbreitungssimulationen Für Risswachstumssimulationen in dreidimensionalen Strukturen hat sich das Programmsystem ADAPCRACK3D [7-9,7-10,7-15] bewährt. Das Programm besteht aus drei Funktionsmodulen, die gemeinsam eine automatische Rissfortschrittssimulation ausführen, Bild 7-7. Als Eingabe werden im Wesentlichen eine Beschreibung des ungerissenen Bauteils in Form eines 3D-Finite-Elemente-Netzes, eine Anrissbeschreibung sowie Materialdaten zur Definition des Rissausbreitungsverhaltens benötigt. Das Modul NETADAPT3D leistet alle notwendigen Netzanpassungen, die sich durch die Rissausbreitung ergeben. Entlang der Rissfront wird ein Spezialnetz in Form eines geometrisch nicht mit dem globalen Netz des Bauteils verbundenen Submodells generiert. Die Geometrieänderung durch den Rissfortschritt im globalen Netz wird durch Netzanpassung mit anschließendem Debonding realisiert. D. h. die hinzukommende Risserweiterungsfläche wird durch Elementteilungen, Knotenverschiebungen usw. zunächst durch einfache FE-Flächen abgebildet und dann durch Flächenverdopplung und Aufknüpfung geometrisch korrekt wiedergegeben. Für jeden Iterationsschritt erfolgt eine Finite-Elemente-Berechnung mit einem Standard-FiniteElemente-Programm (z. B. mit ABAQUS). Dabei ergeben sich für alle Knoten Verschiebungen und Kräfte sowie Spannungen und Dehnungen. Das Modul NETCRACK3D berechnet aus Knotenpunktkräften und den Knotenpunktverschiebungen nach der Rissschließungsintegralmethode (siehe Kapitel 3.7.4) die Energiefreisetzungsraten GI, GII und GIII sowie die Spannungsintensitätsfaktoren KI, KII und KIII entlang der Rissfront. Diese dienen im Zusammenwirken mit den im Programm implementierten Rissfortschrittsgesetzen (siehe z. B. Kapitel 4.3) einerseits zum Berechnen neuer Rissfrontkoordinaten und andererseits zum Bestimmen der für ein definiertes Rissinkrement benötigten Lastwechselzahl.

220

7 Simulationen des Ermüdungsrisswachstums

3D-FE-Netz Bauteil

3D-FE-Netz(e) Riss(e)

Simulationsparameter

Materialdaten

3D-Netzanpassung: NETADAPT3D

Finite-Elemente-Programm

neue Rissfrontkoordinaten

3D-Rissberechnung: NETCRACK3D

bruchmechanische Materialdaten

A D A P C R A C K 3 D

Abbruchkriterium

Bild 7-7 Prinzipieller Aufbau des Programmsystems ADAPCRACK3D

Die automatische Rissfortschrittssimulation wird so lange fortgesetzt, bis beispielsweise die Risszähigkeit des Materials erreicht wird und somit instabiles Risswachstum eintritt. Nähere Details zu dem Programmsystem ADAPCRACK3D kann man [7-17, 7-18] entnehmen. Beispiele für Risssimulationen in dreidimensionalen Strukturen sind in [7-10, 7-15 und 7-19] sowie in Kapitel 8.2 und Kapitel 8.3 zu finden.

7.3 Bestimmung der Wirkung von Belastungswechseln mittels Finite-Elemente-Analysen Neben der Simulation des Risswachstums unter Verwendung linear-elastischer Materialgesetze dienen Risswachstumssimulationen mit elastisch-plastischem Materialverhalten im Allgemeinen der Erklärung des Rissschließverhaltens oder der Reihenfolgeeffekte durch Betriebsbelastung (siehe Kapitel 6), [7-21, 7-24 bis 7-27]. Hierzu ist es erforderlich, das elastisch-plastische Materialverhalten sowie das Verfestigungsverhalten durch geeignete Modelle, wie z. B. nach CHABOCHE [7-20], abzubilden [7-21]. Bild 7-8 zeigt exemplarisch das Finite-Elemente-Netz einer CTS-Probe (siehe Kapitel 5.4.2), das zur Simulation einer Überlast, die in ein konstantes Grundlastniveau KI,Bl eingestreut wird, verwendet wurde. Das FE-Modell der CTS-Probe besteht aus drei Bereichen: In Bereich 1 und 3 wurde linear-elastisches Materialverhalten angenommen, während im Bereich 2 elastisch-plastisches Werkstoffverhalten mittels der zyklischen Spannungs-Dehnungskurve abgebildet wurde. Nichtlineare kinematische Verfestigungen werden durch das CHABOCHEModell berücksichtigt. Zur Abbildung des Rissschließens und einer Kraftübertragung über die Rissflächen werden die Rissflanken als Kontaktflächen definiert. Im mittleren Bereich, in dem Risswachstum stattfinden soll, ist ein rechteckiges Gebiet mit quadratischen 4-Knotenelementen mit einer Elementkantenlänge von 25 μm gewählt worden. Eine derartige Feinheit des Netzes ist deshalb notwendig, um die Spannungskonzentration und

7.3 Bestimmung der Wirkung von Belastungswechseln mittels Finite-Elemente-Analysen 221 die daraus entstehende plastische Zone an der Rissspitze genau abzubilden. Zum anderen wird bei der Anwendung der Debonding-Technik durch die Elementkantenlänge das Risswachstumsinkrement bestimmt. Da insbesondere die Wahl der Elementkantenlänge einen großen Einfluss auf die Simulation hat, sind dazu zahlreiche Untersuchungen durchgeführt worden. Eine zusammenfassende Darstellung ist in [7-21] gegeben. F1

F3

1

2 y x

3

F4

F6

Bild 7-8 Finite-Elemente-Netz einer CTS-Probe mit Ausschnittsvergrößerungen der Netzfeinheit

Die Knoten entlang der Rissfläche sind zu Beginn der Simulation teilweise miteinander verbunden, so dass eine Rissspitze identifiziert werden kann. Während der Simulation werden mittels der Debonding-Technik, siehe Bild 7-2, sukzessive die Knoten vor der Rissspitze getrennt. KI KI,ol

Belastungswechsel Risswachstum bei Anrisserzeugung bei ∆K I,Bl = konst. ∆K I,Bl = konst. Risswachstum (Debonding)

KI,Bl,max

Risswachstum (Debonding)

…

… ∆K I,Bl

KI,Bl,min Steps Bild 7-9 Ablauf einer Risswachstumssimulation mit Überlast [7-23]

Bild 7-9 zeigt beispielhaft die Belastungsfolge in Abhängigkeit der Belastungsschritte. In der Literatur sind zahlreiche Risserweiterungskonzepte beschrieben, die entweder bei minimaler

222

7 Simulationen des Ermüdungsrisswachstums

oder maximaler Belastung sowie bei aufsteigender als auch absteigender Belastungsflanke eine Risserweiterung vorschlagen [7-21, 7-24, 7-25]. Um einen stationären Zustand zwischen jedem Risserweiterungsschritt zu erhalten, wird zwischen dem Debonding jeweils eine gewisse Lastwechselanzahl simuliert. Zur Abbildung der Eigenspannungen entlang der Rissflanken und im Ligament ist es erforderlich, dass vor der Simulation des Belastungswechsels, wie z. B. einer Überlast in Bild 7-9, ein Ermüdungsanriss erzeugt wird [7-21, 7-28]. Als Ergebnis einer elastisch-plastischen Simulation ergeben sich z. B. die Spannungs- und Eigenspannungsverteilungen entlang der Rissflanken bzw. im Ligament sowie das Rissschließbzw. Rissöffnungsverhalten. b)

4 0

Rissspitze

-4 -8 49,5

c)

Grundbelastung Überlast

d)

y-Verschiebung [μm]:

0 -4

Rissspitze

50

50,5

51

4 0

-8 49,5

52

ohne Überlast nach Überlast

4

ohne Überlast nach Überlast

Rissspitze

-4

50 50,5 51 51,5 x-Koordinate [mm]

8

-8 49,5

8 y-Verschiebung [μm] .

y-Verschiebung [μm]

8

51,5

x-Koordinate [mm]

52

50 50,5 51 51,5 x-Koordinate [mm]

8 y-Verschiebung [μm].

a)

52

ohne Überlast nach Überlast

4 0

Rissspitze

-4 -8 49,5

50

50,5

51

51,5

52

x-Koordinate [mm]

Bild 7-10 Vergleich der Rissöffnungen bei einer Ermüdungsbelastung ohne und mit einer 2,5-fachen Überlast, die bei einer Risslänge von 50 mm eingestreut wurde [7-23] a) maximale Belastung KI,Bl,max bzw. Kol b) minimale Belastung KI,Bl,min c) maximale Belastung KI,Bl,max bei a = 51 mm d) minimale Belastung KI,Bl,min bei a = 51 mm

Bild 7-10 zeigt den Vergleich der Rissöffnungen anhand der y-Verschiebungen bei einer Ermüdungsbelastung ohne und mit einer 2,5-fachen Überlast, die bei einer Risslänge von 50 mm eingestreut wurde, in Abhängigkeit des Rissfortschritts [7-23]. Während der Einleitung der Überlast ist der Riss weit geöffnet, Bild 7-10a. Auch bei der anschließenden Entlastung auf

7.3 Bestimmung der Wirkung von Belastungswechseln mittels Finite-Elemente-Analysen 223 KI,Bl,min ist der Riss im Gegensatz zur Einstufenbelastung komplett geöffnet, Bild 7-10b. Während des weiteren Rissfortschritts wird sehr deutlich, dass sich infolge der primär plastischen Zone ein stark plastisch verformter Bereich ergibt, Bild 7-10c. Im Vergleich zur Einstufenbelastung ragt dieser plastisch verformte Bereich, der so genannte Hump, in die Rissöffnung hinein, so dass bis zu einer gewissen Risslänge selbst bei maximaler Belastung es zu einem kompletten bzw. partiellen Rissschließen kommt. Bei der minimalen Grundbelastung KI,Bl,min führt der Hump auch nach 1 mm Risswachstum im Anschluss an die Überlast zum partiellen Rissschließen. Im Anschluss an den durch die Überlast plastifizierten Bereich ist der Riss durch die Verformungen weit geöffnet, so dass im Gegensatz zur Belastung mit konstanter Amplitude auch die Rissspitze geöffnet ist [7-23].

KI,op [N/mm 3/2 ]

300 Rol = 2,5

250

Rol = 2,0

200 150 100

Überlast

50 0 49,6

49,8

50

50,2 50,4

50,6

50,8

51

a [mm]

Bild 7-11 Einfluss des Überlastverhältnisses Rol auf die Rissöffnungsspannungsintensität

Durch Auswertung des Rissöffnungsverhaltens kann dann auch eine Aussage über den Rissöffnungsspannungsintensitätsfaktor KI,op getroffen werden, Bild 7-11. Durch die anfängliche starke Rissaufweitung sowohl bei maximaler, Bild 7-10a, als auch bei minimaler Belastung, Bild 7-10b, kommt es zunächst zu einer Reduktion der Rissöffnungsspannungsintensität und damit zu einer Zunahme der effektiven zyklischen Spannungsintensität. D. h. unmittelbar nach der Überlast kommt es zu einem kurzfristigen Anstieg der Rissgeschwindigkeit (siehe auch Kapitel 6.2.1.1). Darauf folgend steigt KI,op stark an, so dass es zu einer Verzögerung des Risswachstums kommt, bis ab einer gewissen Risslänge der stationäre Zustand der Rissöffnungsspannungsintensität wieder erreicht ist. Beeinflusst wird dieser Effekt durch die Höhe der Überlast. Je geringer das Überlastverhältnis, desto weniger stark ist der stationäre Zustand von KI,op gestört. Jedoch nicht nur das Rissschließverhalten ist durch eine Überlast gestört, sondern auch die Spannungsverteilung. Bei einer vollständigen Entlastung der CTS-Probe ergeben sich entlang der Symmetrielinie die in Bild 7-12 gezeigten Eigenspannungsverläufe. Deutlich zu erkennen sind die erheblichen Druckeigenspannungen an der Stelle der Überlast bei a = 50 mm. Durch eine Reduzierung des Überlastverhältnisses nimmt das Maximum der Druckeigenspannungen deutlich ab. Aber auch im Ligamentbereich sind deutliche Eigenspannungen entstanden, die vom Überlastverhältnis beeinflusst sind [7-23]. Durch derartige Simulationen lässt sich nachweisen, dass solange die Spannungsverteilung vor der Rissspitze im Ligament durch die Überlast gestört ist, es zum Rissschließen kommt [7-21].

224

7 Simulationen des Ermüdungsrisswachstums

Weitere Details zu elastisch-plastischen Risswachstumssimulationen nach Belastungswechseln, wie z. B. Mode I-, Mode II- und Mixed-Mode-Überlasten oder Blockbelastungen, sowie des Kurzrisswachstums sind [7-21 bis 7-23, 7-29] zu entnehmen. Eigenspannungen  ES [MPa]

700 500 300

Rol = 2,5 Rol = 2,0

Rol = 3,0

100 -100

Rissspitze -300 -500 -700 49,5

Rol = 1,5 50 50,5 51 x-Koordinate [mm]

51,5

Bild 7-12 Eigenspannungen ES in Abhängigkeit des Überlastverhältnisses Rol nach 0,5 mm Risswachstum im Anschluss an eine Überlast, die bei a = 50 mm eingestreut wurde.

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226

7 Simulationen des Ermüdungsrisswachstums

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227

8 Praxisbeispiele In den bisherigen Kapiteln wurden mehrere Beispiele eingefügt, um ein vertieftes Verständnis der Grundlagen zu fördern. Dabei stand bereits die Praxisrelevanz im Mittelpunkt. Einen zusammenfassenden Einblick in die Anwendung der in diesem Buch dargestellten Methoden und Konzepte sollen auch die nachfolgenden Praxisbeispiele liefern. Zudem werden in Kapitel 8.4 Maßnahmen zur Verlängerung der Lebensdauer von Maschinen, Anlagen und Strukturen vorgestellt.

8.1 Leck in einer Rohrleitung

t

In einer Rohrleitung mit einem Durchmesser d = 500 mm und einer Dicke t = 5 mm wurde ein rissförmiges Leck mit einer Länge 2a = 60 mm entdeckt, durch das in geringen Mengen das durch das Rohr strömende Medium entweicht. Im Rohr herrscht ein Innendruck von p = 20 bar = 2,0 N/mm2; zudem unterliegt das in einer Halle um mehrere Ecken geführte Rohr einer Torsionsbelastung mit einem Torsionsmoment MT = 40.000 Nm. Als Rohrwerkstoff wurde ein Stahl verwendet, der eine Streckgrenze von Rp0,2 = 500 MPa und eine Risszähigkeit von KIC = 80 MPam1/2 besitzt.

p

MT 2a

d

MT

Bild 8-1 Rohr unter Innendruck und Torsionsbelastung mit einem rissartigen Leck der Länge 2a

Da das in geringen Mengen ausströmende Medium völlig harmlos ist, gilt es zunächst abzuschätzen, ob das Rohr infolge des entdeckten Leckes bersten kann. Es ist somit zu ermitteln, welche Sicherheit SR gegen instabile Rissausbreitung vorliegt bzw. bei welcher Risslänge aC das Rohr platzen würde.

8.1.1 Spannungen im Rohr Die Innendruckbelastung des Rohrs führt nach der 1. Kesselformel (siehe z. B. [8-1]) zu einer Umfangsspannung

σ=

N p ⋅ d 2,0 N/mm 2 ⋅ 500 mm = 100 = 100 MPa = 2t 2 ⋅ 5 mm mm 2

Die Schubspannung im Rohr infolge der Torsionsbelastung errechnet sich mit

(8.1)

228

8 Praxisbeispiele 2M T MT 2 ⋅ 40000000 Nmm = = WT π ⋅ (d − t ) 2 ⋅ t π ⋅ (500 mm − 5 mm) 2 ⋅ 5 mm N = 20,8 = 20,8 MPa mm 2

τ=

(8.2).





Bild 8-2 Normalspannung σ (Umfangsspannung) und Schubspannung τ im Rohr infolge des Innendrucks p und des Torsionsmomentes MT



Als Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese (GEH) ergibt sich entsprechend Gleichung (1.16) bzw. Gleichung (1.17):

σ V, GEH = σ 2 + 3τ 2 = (100 MPa ) 2 + 3 ⋅ (20,8 MPa ) 2 = 106,3 MPa

(8.3).

Nach der Normalspannungshypothese (NH), Gleichung (1.13) bzw. Gleichung (1.14), ergibt sich

σ V, NH =

σ 2

+

100 MPa 1 1 σ 2 + 4τ 2 = + ⋅ (100 MPa ) 2 + 4 ⋅ (20,8 MPa ) 2 2 2 2

(8.4).

= 104,2 MPa

Somit liegt eine Sicherheit gegen plastische Verformung von SF =

Rp0,2

σ V, GEH

=

500 MPa = 4,7 106,3 MPa

(8.5)

und eine Sicherheit gegen Bruch (Festigkeitsversagen) SB =

Rm

σ V, NH

=

700 MPa = 6,7 104,2 MPa

(8.6)

vor (siehe auch Kapitel 1.3).

8.1.2 Spannungsintensitätsfaktoren für den vorliegenden Riss Die Normalspannung σ ruft einen Mode I-Spannungsintensitätsfaktor K I = σ ⋅ π ⋅ a ⋅ YI = 100 N/mm 2 ⋅ π ⋅ 30 mm ⋅ 1 = 970 N/mm3/2 = 30,72 MPa m

mit Y 1 hervor (siehe auch Kapitel 3.4.2.1 und Gleichung (3.14)).

(8.7)

8.1 Leck in einer Rohrleitung

229

Die Schubspannung τ führt zu einem Mode II-Spannungsintensitätsfaktor (siehe Gleichung (3.15) und Gleichung (3.19)): K II = τ ⋅ π ⋅ a ⋅ YII = 20,8 N/mm 2 ⋅ π ⋅ 30 mm ⋅ 1 = 201,9 N/mm3/2

(8.8).

= 6,39 MPa m

Der Vergleichsspannungsintensitätsfaktor ergibt sich nach Gleichung (3.33) mit KV = =

KI 1 + K I2 + 5,336 ⋅ K II2 2 2 30,72 MPa m 1 + ⋅ (30,72 MPa m ) 2 + 5,336 ⋅ (6,39 MPa m ) 2 2 2

(8.9).

= 32,40 MPa m

8.1.3 Sicherheit gegen instabile Rissausbreitung Nach Gleichung (3.102) erhält man die Sicherheit gegen instabile Rissausbreitung SR =

K IC 80 MPa m = = 2,47 K V 32,40 MPa m

(8.10).

8.1.4 Risslänge, bei der instabile Rissausbreitung eintritt Mit Gleichung (3.34) und Gleichung (3.79) erhält man §σ 1 · K V = ¨ + ⋅ σ 2 + 5,336 ⋅ τ 2 ¸ ⋅ π ⋅ a = K IC 2 2 © ¹

(8.11)

und daraus aC =

2 K IC

§σ 1 · + σ 2 + 5,336 ⋅ τ 2 ¸ ©2 2 ¹

2

π ⋅¨ =

(80 MPa m ) 2

§ 100 MPa 1 · + π ⋅¨ (100 MPa ) 2 + 5,336 ⋅ (20,8 MPa) 2 ¸ 2 2 © ¹

2

= 0,183m = 183mm

D. h. bei einer Risslänge von 2aC = 366 mm tritt instabile Rissausbreitung ein.

(8.12).

230

8 Praxisbeispiele

8.2 Untersuchung des Ermüdungsrisswachstums im ICERadreifen Nach dem ICE-Unfall 1998 in Eschede (siehe auch Kapitel 2.4), fanden zahlreiche Untersuchungen zur Festigkeit bzw. Dauer- und Betriebsfestigkeit des gebrochenen Eisenbahnrades statt. Aufgabe einer Studie war es, eine dreidimensionale Spannungsanalyse des gummigefederten Rades zu erstellen und eine bruchmechanische Untersuchung des Ermüdungsrisswachstums im Radreifen durchzuführen. Da die bruchmechanischen Aspekte des Bruchs zahlreiche in diesem Buch angesprochene Themen tangieren, sollen sie hier zusammenfassend dargestellt werden.

8.2.1 Aufbau und Belastung gummigefederter Räder Gummigefederte Räder werden seit Jahrzehnten weltweit bei Fahrzeugen des Straßen-, Stadtund U-Bahnverkehrs verwendet, um beispielsweise Verschleiß und Geräuschentwicklungen, bedingt durch enge Gleisbögen und andere Besonderheiten dieser Schienennetze, in Grenzen zu halten. Aufgrund von Schwingungen und Geräuschen in ICE-Zügen wurden gummigefederte Räder weiterentwickelt und 1992 für den Hochgeschwindigkeitsverkehr der Deutschen Bahn zugelassen. Seit dem Unfall im Jahr 1998 werden diese Räder im Hochgeschwindigkeitsbereich nicht mehr eingesetzt. Ein gummigefedertes Rad, wie es beim ICE zum Einsatz kam, bestand aus einem Radreifen, 34 Gummikörpern, einem Radkörper (Felge) und einer Vollwelle, Bild 8-3. b)

Gummielement

d)

∅862

Radreifen

∅920

a)

Felgenring

Teilung der Felge

c) Felgenkörper

Bild 8-3 Aufbau eines gummigefederten Eisenbahnrades a) CAD-Modell einer Radhälfte im Gebrauchszustand b) Querschnitt des Radreifens im Neuzustand (∅ 920mm) und beim Unfall (∅ 862mm) c) Gummielement d) Felgenquerschnitt mit geteilter Felge

Zum Zwecke der Montage war die Felge zweigeteilt und bestand aus einem Felgenkörper und einem Felgenring, Bild 8-3d. Bei der Montage wurden zunächst die Gummikörper, Bild 8-3c, in gleichmäßigem Abstand in den Spalt zwischen Radreifen und Radkörper eingebracht, Bild 8-3a. Durch Verschrauben von Felgenring und Felgenkörper wurden die Gummikörper verspannt, d. h. sie wurden in axialer und radialer Richtung gestaucht und konnten sich in Umfangsrichtung in die bestehenden Freiräume ausdehnen.

8.2 Untersuchung des Ermüdungsrisswachstums im ICE-Radreifen

231

Im Neuzustand hatte das Rad einen Messkreisdurchmesser von 920 mm, Bild 8-3b. Durch Verschleiß und Reprofilierung verringerte sich der Durchmesser erheblich. Beim Unfallrad lag der Messkreisdurchmesser bei 862 mm, d. h. die Dicke des Radreifens hatte sich von 60 mm auf 31 mm reduziert. Alle nachfolgend beschriebenen Untersuchungen wurden daher für die Abmessungen des Unfallrades durchgeführt. Das montierte, gummigefederte Rad stellt eine Gesamtstruktur dar. Durch die Montage ist der Radreifen vorgespannt, was zu einer weitgehend konstanten Umfangsspannung am Innenrand des Radreifens führt. Beim Betrieb findet dagegen die wesentliche Kraftübertragung zwischen Radaufstandspunkt und Radsatzwelle statt, Bild 8-4. 

F Kraftfluss zwischen Radsatzwelle und Radaufstandspunkt

Q

Bild 8-4 Kraftübertragung bei der Geradeausfahrt des Eisenbahnrades mit der Radaufstandskraft Q

Die Radaufstandskraft Q errechnet sich nach UIC-Entwurf 510-5 [8-2] bzw. nach DIN-EN 13979-1 [8-3] mit der Beziehung (8.13),

Q = 1,25Q0

wobei Q0 die statische Radlast darstellt, die sich aus dem Wagengewicht ergibt. Für Q0 = 78 kN errechnet sich somit eine Radaufstandskraft von Q = 98 kN. Bei Geradeausfahrt des Zuges bzw. des Rades wirkt diese Aufstandskraft − wie in Bild 8-5 gezeigt − auf den Radreifen. Dieser Lastfall bewirkt die für die Rissausbreitung entscheidende höchste Umfangsspannung am Innenrand des abgefahrenen Radreifens. Bei den weiteren Untersuchungen wird daher lediglich der Lastfall Geradeausfahrt betrachtet und die Lastfälle Kurvenfahrt (Bogenfahrt) und Weichenfahrt außer Acht gelassen.

Q = 98kN 70

Bild 8-5 Radaufstandskraft Q beim Lastfall „Geradeausfahrt“

8.2.2 Rechnerische Spannungsanalyse Für eine genaue rechnerische Spannungsanalyse des gummigefederten Rades ist eine dreidimensionale Finite-Elemente-Analyse erforderlich, siehe auch [8-4]. Bild 8-6 zeigt das FiniteElemente-Netz für das ICE-Rad mit den Abmessungen beim Unfall.

232

8 Praxisbeispiele

Bild 8-6 Finite-Elemente-Netz für das ICE-Rad mit einem Durchmesser von 862 mm

Aus Symmetriegründen genügt es, nur das halbe Rad zu betrachten. Die Symmetriebedingungen in der Schnittfläche und die Lagerungen werden durch entsprechende kinematische Randbedingungen erfüllt. Die Radaufstandskraft wirkt in der vertikalen Symmetrieebene und muss halbiert werden, da nur das halbe Rad gerechnet wird. Näheres zur Durchführung der rechnerischen Spannungsanalyse ist in [8-4] und [8-10] zu finden.

Umfangsspannung [MPa]

Die Analyse des Lastfalls „Geradeausfahrt“ ergibt am Innenrand des Radreifens positive Umfangsspannungen, die sich in Umfangsrichtung stark ändern. Bild 8-7 zeigt die Umfangsspannungen am Innenrand des Radreifens bei zwei Radumdrehungen. Bei jeder Radumdrehung wird ein Belastungszyklus durchlaufen mit einer maximalen Spannung σmax = 220 MPa, einer minimalen Spannung σmin = 6 MPa, einer Spannungsamplitude σa = 107 MPa und einem RVerhältnis von R = 0,03. 360°

 max

a m

0 -90

min 0

90

180 270 360 450 Umfangswinkel  [°]

540

630

Bild 8-7 Umfangsspannung auf dem Innenrand des Radreifens bei zwei Radumdrehungen (Umfangswinkel ϕ, siehe Bild 8-4)

Diese zyklische Belastung war verantwortlich für das Risswachstum im Radreifen.

8.2 Untersuchung des Ermüdungsrisswachstums im ICE-Radreifen

233

8.2.3 Schadensanalyse des Radreifenbruches Wie in Kapitel 2 beschrieben, geben Bruchflächen Auskunft über die Entwicklung des Risswachstums in Bauteilen und Strukturen. Bild 2-13 zeigt die Bruchfläche des gebrochenen ICERadreifens. Sofort erkennt man das ausgedehnte Ermüdungsrisswachstum und die relativ kleine Restgewaltbruchfläche. Das Ermüdungsrisswachstum begann in der Nähe des Dachfirstes, wo die maximale Umfangsspannung im Radreifen vorlag. Im Verlaufe des Ermüdungsrisswachstums sind deutliche Farbeffekte und Rastmarken zu entdecken, die auf ein sehr diskontinuierliches Risswachstum hindeuten. Erst als der Reifenquerschnitt zu ca. 80% durch das Ermüdungsrisswachstum geschädigt war, trat der Restgewaltbruch (instabile Rissausbreitung) ein (siehe auch [8-4]). Anhand numerischer und experimenteller Simulationen soll nun das Ermüdungsrisswachstum im ICE-Radreifen näher untersucht werden.

8.2.4 Bruchmechanische Charakterisierung des Radreifenwerkstoffs Die bruchmechanischen Kennwerte ∆KI,th und ∆KC bzw. KC sowie die Rissfortschrittskurve da/dN = f(∆K) werden wie in Kapitel 5 beschrieben durch entsprechende Versuche bestimmt. Für den Radreifenwerkstoff wurden folgende Materialkennwerte ermittelt: •

Schwellenwert: ∆KI,th = 8,2 MPa m

•

Risszähigkeit:

KC = 86,8 MPa m .

Die Rissgeschwindigkeitskurve da/dN = f(∆KI und R = 0,1) ist in Bild 8-8 dargestellt. 10 -2 K C = 86,8 MPam1/2

da/dN [mm/Lw]

10 -3 10 -4 10 -5 10 -6 10 -7 10

KI,th = 8,2 MPam1/2

-8

1

10

100

1000

1/2

KI [MPam ]

Bild 8-8 Rissgeschwindigkeitskurve für den Radreifenwerkstoff

Diese Materialdaten sind neben den Spannungen im Radreifen Basis für die nachfolgenden numerischen Simulationen des Ermüdungsrisswachstums.

8.2.5 Numerische Simulation des Ermüdungsrisswachstums Die numerische Simulation des Ermüdungsrisswachstums im ICE-Radreifen wurde anhand des Programms ADAPCRACK3D (siehe Kapitel 7.2.3 und [8-6]) durchgeführt. Dabei wurde von

234

8 Praxisbeispiele

einem halbkreisförmigen Anriss mit dem Radius r = 1,5 mm ausgegangen, bei dem entlang der gesamten Rissfront die ermittelten Spannungsintensitäten den Schwellenwert ∆KI,th des Radreifenmaterials überschreiten. Entsprechend dem tatsächlichen Rissbeginn wurde der Anriss um 13 mm versetzt gegenüber dem „Dachfirst“ angebracht, Bild 8-9a. a)

b)

r=

31,7mm

mm 1,5

13mm

71,1mm

Bild 8-9 Numerische Simulation des Ermüdungsrisswachstums für den ICE-Radreifen mit 862 mm Durchmesser (Unfallrad) und einer Q-Last von 98 kN a) Anrisslage und Anrissabmessung bei Simulationsbeginn b) Simulierte Rissfronten mit den Rissabmessungen unmittelbar vor Eintritt der Instabilität

Die Simulation erfolgte für eine konstante Radlast von Q = 98 kN. Dabei ergab sich entsprechend der zyklischen Spannung (siehe Bild 8-7) je Radumdrehung ein gewisser Rissfortschritt. Die gesamte Rissfortschrittssimulation umfasste 26 Simulationsschritte und endete erst als die Risszähigkeit KC = 86,8 MPa m erreicht wurde. Die sich je Simulationsschritt ergebenden Rissfronten sind in Bild 8-9b dargestellt.

Der Riss wuchs zunächst eher halbkreisförmig, um sich später deutlich schneller in die Breite auszubreiten (halbelliptischer Oberflächenriss). Unmittelbar vor Eintritt der Instabilität hat der Riss eine Tiefe von 31,7 mm und ein maximales Risswachstum an der Radinnenseite von 71,1 mm.

Bild 8-10 Vergleich des numerisch simulierten Risswachstums mit dem tatsächlichen Risswachstum beim Radreifenbruch

8.2 Untersuchung des Ermüdungsrisswachstums im ICE-Radreifen

235

Ein Vergleich zwischen dem numerisch simulierten Risswachstum und dem tatsächlich eingetretenen Risswachstum beim Radreifenbruch ist in Bild 8-10 gezeigt. Es wird deutlich, dass die numerische Simulation sehr gut geeignet ist, derartige Schadensereignisse vorherzusagen. Auch zeigt die Simulation, dass der Bruch des ICE-Radreifens erst nach erheblichem Ermüdungsrisswachstum (stabilem Risswachstum) bei nur sehr kleiner Restgewaltbruchfläche erfolgt ist. Aufgrund der hohen Q-Last (verwendet wurde der Grenzwert von Q = 98 kN, siehe Kapitel 8.2.1) endete bei der Simulation das Ermüdungsrisswachstum etwas eher als beim ICERadreifenbruch.

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

DK KI (aRissgrund ) Rissgrund DK KI (cOberfläche ) Oberfläche

a

KI [MPam1/2 ]

Während der Simulation stieg die Spannungsintensität infolge des Risswachstums an, Bild 8-11. Dabei wird deutlich, dass der Spannungsintensitätsfaktor KI an der inneren Oberfläche des Radreifens (Rissbreite c) deutlich stärker ansteigt, als in Tiefenrichtung (Risstiefe a), was sich auch im Ermüdungsrisswachstum zeigt.

c 0

50 a, c [mm]

100

Bild 8-11 Entwicklung der Spannungsintensitätsfaktoren KI(a) und KI(c) beim Ermüdungsrisswachstum im ICE-Radreifen in Abhängigkeit von der Risstiefe a und der Rissbreite c

8.2.6 Experimentelle Simulation des Risswachstums Bei den Versuchen zur bruchmechanischen Charakterisierung des Radreifenwerkstoffes (siehe Kapitel 8.2.4) hat sich herausgestellt, dass die Bruchfläche bei hohen Rissgeschwindigkeiten hellere und bei niedrigen Rissgeschwindigkeiten dunklere Einfärbungen zeigt (siehe z. B. [8-4, 8-7]). Hellere und dunklere Bruchflächenbereiche ergeben sich auch bei zyklischer Belastung mit variabler Amplitude (siehe Kapitel 2.3). Von häufig sich ändernden Belastungshöhen kann auch beim ICE-Radreifenbruch ausgegangen werden, wie sich aus der Bruchfläche, Bild 2-13, ablesen lässt. Auf der Basis der unterschiedlichen Einfärbungen der Bruchfläche des Radreifens wurden anhand der Bruchflächen der CT-Proben, die für die Ermittlung der da/dN-K-Kurven zum Einsatz kamen, die Rissgeschwindigkeiten und die Spannungsintensitätsfaktoren zugeordnet. Diese Erkenntnisse sind in Nachfahrversuchen mit CT-Proben eingeflossen, mit denen der Rissverlauf im ICE-Radreifen im Labor nachgebildet werden sollte. Bild 8-12 zeigt den so ermittelten Zusammenhang zwischen der sich verändernden Belastung (Spannungsintensität) und den Einfärbungen der Bruchfläche. Man erkennt, dass jeder Wechsel in der Belastungshöhe (Spannungsintensität) sich auf der Bruchfläche bemerkbar macht. Bild 8-14 zeigt die Rissbelastung (Spannungsintensitätsfaktoren), die Rissgeschwindigkeit und die Lebensdauer für den Nachfahrversuch mit einer CT-Probe. Man erkennt die deutlichen

236

8 Praxisbeispiele

Veränderungen der Rissgeschwindigkeit und die Reihenfolgeeffekte (Bild 8-14b), die bei Belastungswechseln (Bild 8-14a) auftreten (siehe auch Kapitel 6.2). a) KI [MPam1/2 ]

50 40 30 20 10 0 15

20

25

30 35 a [mm]

40

45

50

b)

Bild 8-12 Zusammenhang zwischen Rissbelastung (Spannungsintensität) und den Bruchflächeneinfärbungen a) Spannungsintensität über der Risslänge b) Bruchflächenmarkierungen infolge zeitlich veränderlicher Belastung

Das diskontinuierliche Risswachstum wird auch mit der Lastwechselzahl-Risslängen-Kurve (N-a-Kurve) deutlich, Bild 8-14c. Phasen schnellen und langsamen Risswachstums wechseln sich dabei ab. Für ein Risswachstum von 30 mm ergibt sich dabei eine Lebensdauer von mehr als 35 Millionen Lastwechsel. Dies entspricht einer Fahrstrecke von etwa 95000 km für den ICE.

35 Millionen Lastwechsel, mindestens 95000 km Bild 8-13 Vergleich der Bruchfläche für den Radreifen mit der Bruchfläche für die CT-Probe

8.3 Simulation des Ermüdungsrisswachstums in einem Pressenkörper

237

Bild 8-13 stellt einen Vergleich der Bruchflächen für den Radreifen und für den Nachfahrversuch mit der CT-Probe dar. Die relativ gute Übereinstimmung deutet darauf hin, dass beim Radreifenbruch ein diskontinuierliches Risswachstum stattgefunden hat. a) KI [MPam1/2 ]

50 40 30 20 10 0

b)

10

15 20 25 30 35 40 45 a [mm]

-2

da/dN [mm/Lw]

-3

N

c)

10 -4 10 -5 10 -6

10 -7 10 -8 10 -9 10

15 20 25 30 35 40 45 a [mm]

4,0·10 7 3,5·10 7 3,0·10 7 2,5·10 7 2,0·10 7 1,5·10 7 1,0·10 7 5,0·10 6 0 15 20 25 30 35 40 45 a [mm]

Bild 8-14 Belastung (Spannungsintensität), Rissgeschwindigkeit und Lebensdauer für den Nachfahrversuch mit der CT-Probe a) Änderung der maximalen Spannungsintensität (KI-Faktor) im Verlauf des Risswachstums b) Rissgeschwindigkeit in Abhängigkeit der Belastungswechsel c) Lastwechselzahl N in Abhängigkeit von der Risslänge a

8.3 Simulation des Ermüdungsrisswachstums in einem Pressenkörper Während des Betriebs ist in einem Pressenkörper einer Innenhochdruckumformmaschine im Kopfbereich ein Riss aufgetreten, der nach ausgedehntem Ermüdungsrisswachstum nach ca. 860.000 Pressvorgängen zum Bruch der Pressenkomponente führte (siehe Kapitel 2.5). Wegen

238

8 Praxisbeispiele

des ungewöhnlichen Bruchverlaufs und aus Produkt- und Schadenshaftungsgründen fand eine umfassende Nachuntersuchung statt, über die hier in Auszügen berichtet wird. Im Betrieb wurde der Pressenkörper bei jedem Arbeitszyklus durch eine Öldruckmembran auf Innendruck belastet. Die vertikal wirkende resultierende Nennkraft von 60 MN wurde im Betrieb nicht ganz erreicht. Um Aufschluss über die Spannungsverhältnisse im Pressenkörper zu erhalten, wurden umfangreiche Finite-Elemente-Untersuchungen durchgeführt. Bild 8-15a zeigt das CAD-Modell eines Viertels der Gesamtgeometrie des Körpers. Das Finite-ElementeModell bestand aus Tetraederelementen mit 10 Knoten und quadratischem Verschiebungsansatz. Bei der Netzeinteilung wurde darauf geachtet, dass insbesondere die Kerbbereiche, die als Ausgangsstellen für die Rissausbreitung in Frage kamen, ausreichend fein vernetzt waren. Bild 8-15b zeigt die mit der Finite-Elemente-Methode ermittelte Hauptnormalspannungsverteilung im Pressenkörper und den Rissverlauf. a)

b)

Zahndruckflächen

Rissverlauf

y

x z

Symmetrieflächen

Membrandruckfläche

maximale Kerbspannung

Bild 8-15 CAD-Modell und Spannungsverteilung des Pressenkörpers a) CAD-Modell eines Viertels der Gesamtgeometrie als Basis für die Finite-ElementeMethode b) Hauptnormalspannungsverteilung im Pressenkörper mit Rissverlauf

Die FE-Ergebnisse zeigen, dass eine hohe Spannungskonzentration im Bereich der Kerbe, bei welcher der Riss zu wachsen begann, auftrat. Die Hauptnormalspannung σmax erreichte hier bei schwellender Betriebslast einen Wert von 304 MPa und eine Spannungsamplitude σa von 152 MPa. Die Dauerfestigkeitsbewertung für den Pressenkörper aus dem Guss GS NiCrMo10 6 hat gezeigt, dass die wirksame Spannungsamplitude σa kleiner ist als die ertragbare Spannungsamplitude σAK von 162 MPa. Obwohl die Sicherheit gegen Dauerbruch gering ist, kann allein mit den Methoden der Dauerfestigkeitsberechnung der Schadensfall nicht erklärt werden. Daher war eine bruchmechanische Bewertung des Pressenkörpers erforderlich. Im Mittelpunkt der Bewertung stand der in Bild 2-14 gezeigte Materialfehler (Anmerkung: der Pressenkörper hängt in diesem Bild kopfüber am Kranhaken), der eindeutig den Ausgangspunkt für den Ermüdungsriss darstellt. Dieser Gussfehler, Bild 2-14b, kann als Oberflächenriss betrachtet werden. Mit den Abmessungen 2c = 28 mm und a = 10 mm erhält man mit der Maximalspannung von σmax = 304 MPa nach Kapitel 3.4.2.6 einen maximalen Spannungsintensitätsfaktor

8.3 Simulation des Ermüdungsrisswachstums in einem Pressenkörper

239

K I, max = σ max ⋅ π ⋅ a ⋅ Y (a/c) = 304 N/mm 2 ⋅ π ⋅ 10 mm ⋅ 0,75 = 1278,0 N/mm3 / 2 = 40,4 MPa m

(8.14).

Für die im Bauteil vorliegende schwellende Belastung mit einem R-Verhältnis von R = 0 ergibt sich die maximale zyklische Spannungsintensität (8.15).

∆K I = K I, max = 40,4 MPa m

Dieser Wert liegt deutlich höher als der Schwellenwert ∆KI,th = 5,7 MPa m des Materials. Anhand einer Rissgeschwindigkeitskurve für ein vergleichbares Material [8-8], kann somit eine Rissgeschwindigkeit von 4 ⋅ 10 −4 mm/Lastwechsel zu Beginn des Risswachstums abgeschätzt werden. Diese hohe Rissgeschwindigkeit ist eine erste Erklärung für das extrem ausgedehnte Ermüdungsrisswachstum im Pressenkörper. Zusätzlich zu diesen bruchmechanischen Abschätzungen, wurde das Ermüdungsrisswachstum auch mittels Finite-Elemente-Berechnungen simuliert. Dazu wurde das Programm ADAPCRACK3D, siehe Kapitel 7.2.3, benutzt. Die Abmessungen des Ausgangsrisses entsprachen dem Gussfehler in Bild 2-14b. Es zeigte sich, dass die Spannungsintensitätsfaktoren mit zunehmender Risslänge nur geringfügig ansteigen. In Bild 8-16 ist ein Vergleich zwischen simuliertem und realem Risswachstum dargestellt. Dabei wird deutlich, dass das tatsächliche Risswachstum mit der Finite-Elemente-Berechnung gut nachvollzogen werden kann. Die numerische Simulation ergab eine Restlebensdauer von ca. 400000 Lastwechseln. Bedenkt man, dass bei der Simulation keine Verzögerungen durch Reihenfolgeeffekte berücksichtigt wurden, diese aber beim realen Rissverlauf, wie die Farbeffekte auf der Bruchfläche zeigen, vorlagen, so liefert die Berechnung eine recht gute Abschätzung der Restlebensdauer. Weitergehende Informationen zu dieser Thematik sind in [8-8, 8-9] zu finden. tatsächliches Risswachstum

numerisch simuliertes Risswachstum

Gussfehler

Bild 8-16 Vergleich der Risswachstumssimulation mit der tatsächlichen Bruchfläche im frühen Stadium des Risswachstums

240

8 Praxisbeispiele

8.4 Maßnahmen zur Verlängerung der Lebensdauer von Maschinen, Anlagen und Strukturen In der technischen Praxis kommt es vor, dass durch Zufall oder durch regelmäßige Inspektionen Risse in Maschinen, Anlagen und Strukturen entdeckt werden. Dann gilt es zu entscheiden, ob die Maschine oder Anlage sofort stillgelegt werden muss oder noch kontrolliert bis zum Austausch der geschädigten Komponente oder der Neubeschaffung der Maschine weiterbetrieben werden kann. Um einen großen wirtschaftlichen Schaden durch Produktionsausfall zu vermeiden, ist in der Regel ein gezielter Weiterbetrieb unter sicheren Bedingungen sinnvoll. Dieser ist aber nur möglich, wenn ein noch größerer Schaden z. B. durch instabile Rissausbreitung oder Bruch vermieden werden kann. Um dies entscheiden zu können, sind bruchmechanische Untersuchungen, wie sie in diesem Buch beschrieben werden, notwendig. Kommt es zur Entscheidung, dass ein kontrollierter Weiterbetrieb möglich ist, so gilt es zu überlegen, durch welche Maßnahmen die Lebensdauer der Maschine oder Anlage verlängert werden kann (siehe z. B. Kapitel 8.4.1). In der Regel werden bei auftretenden Schäden auch Konsequenzen gezogen im Hinblick auf Optimierungsmaßnahmen bei einer Neukonstruktion. Einige Anregungen dazu enthält Kapitel 8.4.2.

8.4.1 Weiterbetrieb einer Maschine oder Anlage nach einer Rissdetektion Wird ein Riss entdeckt, so ist zu überlegen, durch welche Maßnahmen der i. Allg. befristete Weiterbetrieb der Maschine oder Anlage gesichert werden kann. Dabei gilt es anhand der bisherigen Betriebsdaten die Gefährlichkeit des Risses abzuschätzen. Unter anderem müssen folgende Fragen beantwortet werden: •

Seit wann ist die Maschine oder Anlage in Betrieb?

•

Welche Belastung und welche Lastwechsel hat sie in dieser Zeit erfahren?

•

Gab es Stillstandszeiten oder Überbelastungen der Maschine?

•

Wann wurde der Riss entdeckt? Ist der Riss seitdem gewachsen?

•

Wie groß sind die Abmessungen des Risses? Anmerkung: Diese Frage ist nicht leicht zu beantworten, da der Riss meist nur an der Oberfläche sichtbar ist.

•

Aus welchem Werkstoff ist die geschädigte Komponente gefertigt?

•

Gibt es dazu Materialdaten? Anmerkung: Meist sind in den Unternehmen keine bruchmechanischen Materialdaten vorhanden.

•

Kann der entdeckte Riss instabil werden und somit zum plötzlichen Bruch der Komponente oder zum Zusammenbruch der Anlage führen?

•

Wie groß ist die Restlebensdauer der geschädigten Komponente oder Anlage?

•

Welche Gefahren gehen vom Weiterbetrieb der geschädigten Maschine oder Anlage aus?

8.4 Verlängerung der Lebensdauer von Maschinen, Anlagen und Strukturen

241

•

Kann man es unter den gegebenen Umständen verantworten, die Maschine bis zum Austausch einer Komponente oder einer Grundsanierung der Maschine oder Anlage weiterzubetreiben?

•

Welche Kontrollmaßnahmen können eingeleitet werden und welche Kontrollmethoden stehen zur Verfügung?

8.4.1.1

Weiterbetrieb mit regelmäßiger Kontrolle

Nach Abschätzung bzw. konkreter Ermittlung der Restlebensdauer ist zu entschieden, ob ein befristeter Weiterbetrieb der Anlage zu verantworten ist. Dabei sind abhängig von der Restlebensdauer geeignete Inspektionsmethoden und Inspektionsintervalle festzulegen, um einen sicheren Weiterbetrieb zu gewährleisten. Außerdem erlauben diese Inspektionen die Überprüfung der getroffenen Annahmen bezüglich der Rissgeschwindigkeit und der Restlebensdauer.

8.4.1.2

Weiterbetrieb bei verminderter Belastung

Häufig ist es möglich, eine Maschine oder Anlage nach entdecktem Riss (u. U. vorübergehend) bei geringerer Last als Volllast zu betreiben, ohne dass erhebliche Einschränkungen beim Betrieb der Maschine oder bei der Fertigung von Produkten entstehen. Die Verminderung der Belastung führt aber i. Allg. zu einer deutlichen Verlängerung der Lebensdauer. Dies wird an den Darstellungen in Bild 8-17a deutlich. Weiterbetrieb bei reduzierter Belastung

a)

b)

a Weiterbetrieb ohne Reduzierung der Belastung

da dN

Rissgeschwindigkeit bei der Entdeckung des Risses

Riss wurde entdeckt Rissgeschwindigkeit nach Lastreduzierung Restlebensdauer beim Weiterbetrieb

N

K

Restlebensdauer nach reduzierter Belastung

Bild 8-17 Lebensdauerverlängerung durch Reduzierung der Betriebsbelastung a) Darstellung der Wirkung der Lastreduzierung anhand einer a-N-Kurve b) Einfluss der Lastreduzierung auf die Rissgeschwindigkeit (Risswachstumsrate in mm/Lastwechsel)

Welche Wirkung die Lastreduzierung auf die Rissgeschwindigkeit, d. h. die Risswachstumsrate in mm/Lastwechsel, hat, ist in Bild 8-17b gezeigt.

242

8.4.1.3

8 Praxisbeispiele

Verlängerung der Lebensdauer durch gezielte Sanierungsmaßnahmen

Die Lebensdauer von geschädigten Bauteilen kann auch durch gezielte Sanierungsmaßnahmen gesteigert werden. Dazu zählt z. B. das Ausschleifen des Risses und/oder das Anbringen einer Auftragsschweißung. Bei Bauteilen mit ausgedehntem Ermüdungsrisswachstum kann auch ein Überbrücken des Risses mit Spannschrauben zu einer Verminderung der lokalen Beanspruchungen und der Verformungen am Riss und somit zu einer Verlangsamung des Risswachstums führen. Bei einem großen Gussteil ist es so gelungen, einen sehr großen Riss so zu stabilisieren, dass die geschädigte Komponente erst in den nächsten Betriebsferien und damit ohne erheblichen Betriebsausfall der Anlage ausgetauscht werden konnte.

8.4.1.4

Austausch der geschädigten Komponente

Ziel aller Maßnahmen muss es sein, die geschädigte Komponente durch ein neues Teil zu ersetzen. Dabei sind (soweit die Zeit dazu ausreicht) an der neuen Komponente Optimierungsmaßnahmen hinsichtlich der lokalen Beanspruchung (Vermeidung oder Verminderung von Kerbwirkung), Sicherstellung einer fehlerfreien Fertigung oder des Einsatzes eines neuen, weniger rissempfindlichen Werkstoffs vorzunehmen.

8.4.2 Optimierungsmaßnahmen bei einer Neukonstruktion Fällt im Schadensfall die Entscheidung, eine Komponente oder eine Maschine sofort oder nach einem kontrollierten Weiterbetrieb der geschädigten Komponente zu ersetzen, sind die nachfolgenden Empfehlungen zu bedenken und zu beachten.

8.4.2.1

Begrenzung oder Verminderung der Bauteilbelastung

Eine Begrenzung oder eine Verminderung der Belastung kritischer Bauteile kann durch gezielte Maßnahmen erfolgen, wie z. B. Leistungsbegrenzung, Überlastschutz, Einbau von Sollbruchstellen, Stoßdämpfung, aktive Federung oder Optimierung der Kraftübertragung in der Struktur. Wie bereits in Kapitel 8.4.1.2 gezeigt, hat eine verminderte Belastung eine Lebensdauersteigerung zur Folge.

8.4.2.2

Verminderung der lokalen Beanspruchung im Bauteil

Risswachstum beginnt häufig an Unstetigkeiten der Geometrie oder des Materials. Daher gilt es, Kerben, Fügestellen oder Gussfehler zu vermeiden oder zu reduzieren. Spannungsspitzen können u. a. abgebaut werden durch einen verbesserten globalen und lokalen Kraftfluss mit lediglich geringen Kraftflussumlenkungen. D. h. durch eine optimale Formgebung des Bauteils, eine gezielte Anordnung und eine verbesserte Geometrie von Kerben lassen sich die lokalen Spannungen reduzieren und somit die Rissentstehung vermeiden oder das Risswachstum verzögern.

8.4.2.3

Auswahl eines weniger rissempfindlichen Werkstoffs

Wie unterschiedlich die bruchmechanischen Werkstoffkennwerte sein können, zeigen die Zusammenstellungen in Kapitel 5.3.

Literatur zu Kapitel 8

243

Sollten alle anderen Maßnahmen nicht hilfreich sein, so bleibt die Auswahl eines weniger rissempfindlichen Werkstoffs. Im Hinblick auf die Vermeidung oder Reduzierung des Ermüdungsrisswachstums ist dabei ein Hauptaugenmerk auf den Schwellenwert ∆KI,th und den unteren Bereich der Rissgeschwindigkeitskurve (da/dN-∆K-Kurve) zu legen. Es muss aber nicht immer der Werkstoff gewechselt werden. Unter Umständen reicht es auch aus, den Werkstoff durch eine andere Wärmebehandlung rissunempfindlicher zu machen.

8.4.2.4

Vermeidung von Fertigungsfehlern

Neben lokalen Spannungskonzentrationen führen häufig Fertigungsfehler zum Ermüdungsrisswachstum. Daher gilt es, Fertigungsfehler, wie z. B. Oberflächenkratzer, tiefe Riefen und Härterisse zu vermeiden. Dies trifft auch für Fehler beim Fügen von Bauteilen zu.

8.4.2.5

Optimierungspotential

Beachtet man die vorstehenden Empfehlungen, so existiert bei vielen Bauteilen und Strukturen ein erhebliches Optimierungspotential. Dieses gilt es zu nutzen. Dem Anwender wünschen die Autoren viel Erfolg dabei.

Literatur zu Kapitel 8 [8-1]

Richard, H., Sander, M.: Technische Mechanik. Festigkeitslehre. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2008

[8-2]

UIC-Merkblatt 510-5- Technische Zulassung von Vollrändern, 14. Entwurf, Dezember 2001

[8-3]

DIN-EN 13979-1: Bahnanwendungen, Radsätze und Drehgestelle, Räder, Technische Zulassungsverfahren – Teil 1: geschmiedete und gewalzte Räder. BeuthVerlag, Berlin, 2001

[8-4]

Richard, H.A., Sander, M., Kullmer, G., Fulland, M.: Finite-Elemente-Simulation im Vergleich zur Realität. MP Materialprüfung 46 (2004) S. 441-448

[8-5]

Richard, H.A., Fulland, M., Sander, M., Kullmer, G.: Fracture in a rubber sprung railway wheel. Engineering Failure Analysis 12 (2005) S. 986-999

[8-6]

Richard, H.A., Fulland, M., Schöllmann, M., Sander, M.: Simulation of fatigue crack growth using ADAPCRACK3D. In: Blom, A. F. (ed.): Fatigue 2002. Proc. of the 8th Intern. Fatigue Congress, Stockholm, Sweden, 2002, S. 1405-1412

[8-7]

Sander, M., Richard, H.A.: Lebensdauervorhersage unter bruchmechanischen Gesichtspunkten. MP Materialprüfung 46 (2004) S.495-500

[8-8]

Kullmer, G., Sander, M., Richard, H.A.: Ermittlung der Versagensursache von Verschlusskörpern einer Innenhochdruckumformmaschine. MP Materialprüfung 48 (2006) S. 513-519

[8-9]

Fulland, M., Sander, M., Kullmer, G., Richard, H.A.: Analysis of fatigue crack propagation in the frame of a hydraulic press. Engineering Fracture Mechanics 75 (2008) S. 892-900

244 [8-10]

8 Praxisbeispiele Richard, H.A., Kullmer, G.: 3D-Finite-Elemente-Spannungsanalysen für gummigefederte Räder. Der Eisenbahningenieur 10 (2005) S. 37-41

245

9 Wichtige Formelzeichen A Amin A0 - A4 A–D C CFM CP CP CE Cth D E F Fa Fm Fmax, Fmin Fo, Fu ∆F G G GI, GII, GIII GIC H H0 I J JIC K KC KI, KII, KIII KI,Bl,max, KI,Bl,min KI,block KIC, KIIC, KIIIC KI,max, KI,min

Fläche minimale Fläche Koeffizienten in der Rissöffnungsfunktion nach NEWMAN Konstanten der Interpolationsformel nach RICHARD Absenkrate gemäß ASTM (American Society for Testing and Material) werkstoffabhängiger Koeffizient der NASGRO Gleichung Verzögerungsfaktor werkstoffabhängiger Koeffizient im PARIS-Gesetz werkstoffabhängiger Faktor im ERDOGAN-RATWANI-Gesetz Parameter in der empirischen Funktion nach NEWMAN zur Beschreibung der R-Abhängigkeit des Thresholdwertes Durchmesser Elastizitätsmodul Kraft Kraftamplitude Kraftmittelwert maximale bzw. minimale Kraft maximale bzw. minimale Kraft Schwingbreite der Kraft Gewicht Energiefreisetzungsrate Energiefreisetzungsrate für Mode I, Mode II bzw. Mode III kritische Energiefreisetzungsrate Summen- bzw. Überschreitungshäufigkeit Kollektivumfang Flächenträgheitsmoment Wert des J-Integrals kritischer Wert des J-Integrals Spannungsintensitätsfaktor kritischer Spannungsintensitätsfaktor Spannungsintensitätsfaktor für Mode I, Mode II bzw. Mode III maximaler bzw. minimaler Spannungsintensitätsfaktor der Grundbelastung (Baseline) maximaler Spannungsintensitätsfaktor der Blockbelastung Risszähigkeit für Mode I, Mode II bzw. Mode III Spannungsintensitätsfaktoren für Mode I bei maximaler bzw. minimaler Belastung

246 KII,max, KII,min KI.max,eff, KI,min,eff KI,max,req KI,max,th * K max, th KI,ol KI,op KI,R KI,ul KI,zul KQ KV KV,max, KV,min ∆K ∆KI, ∆KII, ∆KIII ∆KI,0 ∆KI,Bl ∆KIC ∆KI,eff ∆KI,eff,th ∆KI,rms ∆KI,th ∆KII,th, ∆KIII,th ∆KI,zul * ∆K th ∆Kth,0 ∆KV M MB MT Lj N N NB

9 Wichtige Formelzeichen Spannungsintensitätsfaktoren für Mode II bei maximaler bzw. minimaler Belastung effektiver maximaler bzw. minimaler Spannungsintensitätsfaktor virtueller Spannungsintensitätsfaktor zur Berücksichtigung der Eigenspannung im WILLENBORG Modell maximaler Spannungsintensitätsfaktor des Thresholdwertes Schwellenwert des maximalen Spannungsintensitätsfaktors des ZweiKriterien-Konzepts Spannungsintensitätsfaktor einer Überlast Rissöffnungsspannungsintensitätsfaktor Eigenspannungsintensitätsfaktor Spannungsintensitätsfaktor einer Unterlast zulässiger Spannungsintensitätsfaktor kritischer Spannungsintensitätsfaktor Vergleichsspannungsintensitätsfaktor maximaler bzw. minimaler Vergleichsspannungsintensitätsfaktor Schwingbreite des Spannungsintensitätsfaktors Schwingbreite des Spannungsintensitätsfaktors für Mode I, Mode II bzw. Mode III initialer zyklischer Spannungsintensitätsfaktor zyklischer Spannungsintensitätsfaktor der Grundbelastung (Baseline) Schwingbreite der Spannungsintensität, bei der instabile Rissausbreitung einsetzt: ∆KIC = KIC·(1 – R) effektiver zyklischer Spannungsintensitätsfaktor effektiver Thresholdwert Mittelwert der zyklischen Spannungsintensität eines Lastspektrums Threshold-Wert für Mode I (Schwellenwert für die Schwingbreite des Spannungsintensitätsfaktors für Mode I) Threshold-Wert für Mode II bzw. Mode III (Schwellenwert für die Schwingbreite des Spannungsintensitätsfaktors für Mode II bzw. Mode III) zulässiger zyklischer Spannungsintensitätsfaktor Threshold-Wert des Zwei-Kriterien-Konzeptes Threshold-Wert ∆Kth für R = 0 zyklischer Vergleichsspannungsintensitätsfaktor Moment Biegemoment Torsionsmoment Stabelementlänge (Fließstreifenmodell) Lastspielzahl Normalkraft Restlebensdauer

9 Wichtige Formelzeichen NBl ND ND, NDI Ni Nf Q R Rblock Rcl, Rp Re Reff Rm Rol Rp0,2 RSO Rt SB SD SE SF SR T U U U0 U V Vj W W W WB Wmin WP WT YI, YII, YIII

247

Lastwechselzahl der Grundbelastung (Baseline) Eckschwingspielzahl Verzögerungslastwechselzahl bzw. korrigierte Verzögerungslastwechselzahl Initiierungslebensdauer Gesamtlebensdauer Querkraft Verhältnis von minimaler zu maximaler Spannung bzw. von minimaler zu maximaler Spannungsintensität: R = σmin / σmax = Kmin / Kmax Blocklastverhältnis Spannungsverhältnis, ab dem für positive bzw. negative R-Verhältnisse ∆Kth = konst. gilt Streckgrenze effektives Spannungsverhältnis Reff = Kmin,eff / Kmax,eff Zugfestigkeit Überlastverhältnis 0,2%-Dehngrenze Shutt-off-Verhältnis Rautiefe Sicherheit gegen Bruch Sicherheit gegen Dauerbruch Sicherheit gegen Ermüdungsrisswachstum Sicherheit gegen Fließen Sicherheit gegen instabile Rissausbreitung Temperatur elektrische Potentialdifferenz elastische Energie initiale elektrische Potentialdifferenz elastische Energiedichte Volumen fiktive Rissöffnungsverschiebung (Fließstreifenmodelle) Arbeit der äußeren Kräfte Widerstandsmoment WHEELER Exponent Widerstandsmoment gegen Biegung minimales Widerstandsmoment polares Flächenträgheitsmoment Widerstandsmoment gegen Torsion Geometriefaktor, normierter Spannungsintensitätsfaktor für Mode I, Mode II bzw. Mode III

248

9 Wichtige Formelzeichen

a a0 aA aC adet

∆a b b1 b2 c d da/dN (da/dN)th f fijI , fijII , f ijIII mP mE nol nFM, p, q p r, ϕ t t u, v, w w x, y, z

Risstiefe, Risslänge EL HADDAD-Parameter Anfangsrisslänge kritische Risstiefe, Risslänge Detektionsgrenze: Risslänge, die mittels zerstörungsfreier Prüfverfahren entdeckt werden kann plastische Risslängenkorrektur Risslänge, bei der der Thresholdwert des Ermüdungsrisswachtums überschritten wird Rissinkrement Halbachse einer Ellipse Oberflächenbeiwert Größenbeiwert Risslänge Durchmesser, Breite Rissgeschwindigkeit Rissgeschwindigkeit im Bereich des Thresholdwertes Frequenz dimensionslose Funktionen werkstoffabhängiger Exponent im PARIS-Gesetz werkstoffabhängiger Exponent im ERDOGAN-RATWANI-Gesetz Anzahl der eingestreuten Überlasten werkstoffabhängige Exponenten der NASGRO Gleichung Innendruck Polarkoordinaten Zeit Dicke, Probendicke Verschiebungen Probenbreite kartesische Koordinaten

α α αH αK β ε εij εm

Winkel Constraint Faktor Hauptschubspannungswinkel Kerbfaktor Winkel Dehnung Dehnungstensor Mitteldehnung

apl ath

9 Wichtige Formelzeichen

εmax, εmin γ

ν ρ ρ σ σ1, σ2, σ3 σa σa σa,zul σA σC σD σF σij σj σm σmax, σmin σN σop σr, σ, σz σSch σV σV,a σV,max σW σx, σy, σz σzul ∆σ ∆σth τ τa τC τH τmax τr, τrz, τz, τxy, τyz, τzx τz

maximale bzw. minimale Dehnung Rissöffnungsfunktion: Verhältnis von KI,op zu KI,max (3 – ν)/(1 + ν) für den ebenen Spannungszustand (ESZ); 3 – 4ν für den ebenen Verzerrungszustand (EVZ) Querdehnzahl Kerbradius Dichte Normalspannung Hauptnormalspannungen Spannungsamplitude Höchstwert des Amplitudenkollektivs zulässige Spannungsamplitude Dauerfestigkeitswert für ein bestimmtes R-Verhältnis kritische Spannung Dauerfestigkeit Fließspannung Spannungstensor Kontaktspannung im Fließstreifenmodell Mittelspannung maximale bzw. minimale Normalspannung Nennspannung Rissöffnungsspannung Normalspannungen in Zylinderkoordinaten Schwellfestigkeit Vergleichsspannung Vergleichsspannungsamplitude maximale Vergleichsspannung Wechselfestigkeit Normalspannung in x-, y- bzw. z-Richtung zulässige Spannung Schwingbreite der Normalspannung Spannung, bei der Ermüdungsrisswachstum beginnt Schubspannung Schubspannungsamplitude kritische Schubspannung Hauptschubspannung maximale Schubspannung Schubspannungen in Zylinderkoordinaten Schubspannungen in kartesischen Koordinaten nichtebene Schubspannung

249

250 ∆τ 0

0 ω, ωpl ωmax, ωol

ωmin

9 Wichtige Formelzeichen Schwingbreite der Schubspannung Abknickwinkel Verdrehwinkel Größe der plastischen Zone Größe der primär plastischen Zone Größe der umkehrplastischen Zone

251

Sachwortverzeichnis Abknickwinkel 91, 131, 171 ADAPCRACK3D 219, 239 AFGROW 214 AFM-Probe 174 Amplitude 3 ASTM E 399 144 ASTM E 647 155 AT-Probe siehe C-förmige Probe Ausschlagsspannung 16 Beispiel - , Antriebswelle 36 - , Eckenriss 122 - , Glasscheibe 94 - , Gussteil 20, 68, 99 - , ICE-Radreifen 33, 230 - , Innenriss 58 - , Konstruktionswerkstoffe 80 - , Pressenkörper 34, 237 - , Restlebensdauer 128 - , Rohrleitung 227 - , scheibenartiges Bauteil 70 - , Thresholdwert 120 - , Verschlusskörper 35 - , Vollwelle 15 - , Welle 44 - , Welle mit Kratzer 76 - , Zuganker 37 - , Zuglasche 101 Belastung 1 - , allgemein periodische 2 - , Belastungsart 2 - , Betriebslast 1, 177 - , Eigenlast 1 - , Einzelkraft 2 - , Flächenlast 2 - , Gewicht 1 - , Hauptlast 1 - , Linienlast 2 - , Moment 2 - , Nutzlast 1

- , Prüflast 2 - , Schwellbelastung 2 - , Sonderlast 1 - , statische 2 - , Stoßbelastung 2 - , variable Amplitude 2 - , Volumenlast 2 - , Wechselbelastung 2 - , Windlast 1 - , Zusatzlast 1 Belastungsart 2 Belastungsmode 51 Belastungsrichtung 206 Belastungsvorgeschichte 180 Belastungs-Zeit-Funktion 3, 177 - , Extrapolation 178, 193 - , Rekonstruktion 191 Bereichspaar-MittelwertZählung 179 Bereichspaarzählung 179 Betriebsbelastung 177, 220 - , Abschätzung 177 - , analytische Simulation 177 - , Bestimmung 177 - , rechnerische Simulation 177 - , Wirkung 190 Betriebsfestigkeitsnachweis 21 - , Nennspannungskonzept 22 - , örtliches Konzept 22 - , Strukturspannungskonzept 22 Betriebslast 1 Betriebslastmessung 177 Blocklast 31, 188 - , Beschleunigung 188 - , Blocklastverhältnis 188 - , Verzögerung 188 Blocklastverhältnis 188

Bruchfläche 41, 233, 239 Bruchflächenanalyse 29 Bruchgrenzfläche 93, 133 Bruchhypothese 91 Bruchkriterium 89 Bruchmechanik 24, 51, 138 bruchmechanische Werkstoffkennwerte 143 bruchmechanischer Nachweis 22, 96 - , kritische Risslänge 97, 99 - , kritische Schubspannung 99 - , kritische Spannung 97 - , Mixed Mode 99 - , Mode II 99 - , Mode III 99 C-förmige Probe 144 Chevron-Kerbe 147, 152 Compliance-Methode 160 Computertomographie 47 Constraint-Faktor 201, 205 CS-Probe siehe Kompaktschubprobe CT-Probe siehe Kompaktzugprobe CTS-Probe 171, 220 Dauerbruch 16 Dauerfestigkeit 16, 138 Dauerfestigkeitsnachweis 16 - bei gekerbten Bauteilen 21 Dauerfestigkeitsschaubild 18 DCT-Probe siehe scheibenförmige Kompaktzugprobe Debonding-Technik 216, 221 detektierbarer Fehler 137 Dreipunkt-Biegeprobe 144

252 DUGDALE Modell 80, 196 - , modifiziertes 204 durchgehender Riss 42 Ebener Riss 43 ebener Spannungszustand 5, 8, 78, 143 ebener Verzerrungszustand 8, 78, 143 Eckenriss 42 effektive zyklische Spannungsintensität 115 effektiver Thresholdwert 157 effektiver zyklischer Spannungsintensitätsfaktor 200, 205 effektives R-Verhältnis 201 Eigenlast 1 Eigenspannung 195, 200, 214, 222, 223 Eigenspannungsintensitätsfaktor 201, 214 Eindringprüfung 46 Einsatzprofil 177 Einzelkraft 2 Elektropotentialmethode 158 Energiefreisetzung 94 Energiefreisetzungsrate 82, 87 Entdeckungswahrscheinlichkeit 48 ERDOGAN/RATWANIGesetz 124 Ermüdungsanriss 147, 152, 234 - , Druckbelastung 153, 157 Ermüdungsbruch 29 Ermüdungsbruchfläche 28, 30, 41 - , Betriebslast 32 - , Rastmarke 30 - , Überlast 30 - , variable Amplitude 31 Ermüdungsrisswachstum 28, 106, 135, 177 - , Bereich 137

Sachwortverzeichnis - , Beschleunigung 185, 187 - , Bewertung 134 - , Finite-Elemente-Methode 215 - , Grenzen 113 - , ICE-Radreifen 33, 230 - , Mode II 131 - , Risslängenmessung 157 - , Rissschließen 115, 222 - , Simulation 212 - , Verzögerung 182, 187 - mit konstanter Amplitude 106 - mit variabler Amplitude 177 ESACRACK 212 ESZ siehe ebener Spannungszustand EVZ siehe ebener Verzerrungszustand Extrapolation 193 Extremwertzählung 179 Fertigungsfehler 26 Festigkeitskriterium 1 Festigkeitsnachweis 1 - , Ablauf 9 - , Grenzen 22 Finite-Elemente-Methode 215 Flächenlast 2 Fließspannung 80 Fließstreifenmodell 203 Fließzonenmodell 195 fluidinduziertes Rissschließen 118 FORMAN/METTUGleichung 125, 169 FORMAN-Gleichung 201 FRANC/FAM 218 Geometriefaktor 62, 72, 108 Gesamtlebensdauer 26 Gestaltänderungsenergiehypothese 9 Gewaltbruch 29 Gewaltbruchfläche 28 Gewicht 1

Gleitbruch 29 globale Analyse 194 GRAY/GALLAGHER Modell 199 GRIFFITH-Riss 54, 62, 63 Größenbeiwert 19 Grundbelastung 181 Gussfehler 35 Hauptlast 1 Hauptnormalspannung 6 Hauptschubspannung 7 Hauptspannung 6 Hauptspannungswinkel 6 Hump 223 Hundeknochenmodell 79 Initiierungslebensdauer 27 Innenriss 42, 55 Inspektion 46 Inspektionsintervall 241 - , Festlegung 137 instabiles Risswachstum 28 J-Integral 83 J-Kriterium 95 Kalibrierkurve 160 Kerbfaktor 11 Kerbfaktordiagramm 12 Kerbrissproblem 69 Kerbwirkung 11 KITAGAWA-TAKAHASHI-Diagramm 140 K-Konzept - , ebene Mixed Mode 91 - , Mode I 89 - , Mode II 90 - , Mode III 91 - , räumliche Mixed Mode 92 Klangprüfung 46 Klassengrenzenüberschreitungszählung 179 Klassierverfahren 178 Kleinbereichsfließen 79 Kollektiv 177, 179 Kompaktschubprobe 171

Sachwortverzeichnis Kompaktzugprobe 144, 152 Kraftfluss 51 Kraftflusslinie 51 kritische Risslänge 97, 229 kritische Schubspannung 99 kritische Spannung 97 kritischer Spannungsintensitätsfaktor 143 Kurzrisswachstum 123 Lastfall 177 Lastkollektiv 177 Lastspektrum 177 Lebensdauer 236 - , numerische Integration 130 - , Phasen 27 - , Restlebensdauer 127, 137 - , Verlängerung 240 - , Vorhersage 177 Lebensdauerverlängerung 241 lineare Schadensakkumulation 195 linear-elastische Bruchmechanik 97, 124 Linienintegral 83 Linienlast 2 Materialfehler 26, 238 Materialkennwert 14 Maximalspannung 3 mechanisch kurzer Riss 123 mehrachsiger Spannungszustand 6 Minimalspannung 3 mitbewegtes Spezialnetz 216 Mittelspannung 17 Mixed Mode 53, 111, 132, 206, 216 - , Bruchgrenze 172 - , Probe 171, 173 Mixed-Mode-Beanspruchung 65 Mode I 52, 108, 124 Mode II 53, 110, 131

253 - , Probe 170 Mode III 53, 111, 132 modifizierte Rissschließungsintegralmethode 88 modifiziertes DUGDALE Modell 204 MOHRscher Spannungskreis 7 Moment 2 MT-Probe 152 Nachfahrversuch 235 Nachweis - , Betriebsfestigkeit 21 - , bruchmechanischer 22, 96 - , Dauerfestigkeit 16 - , Stabilität 22 - , Standsicherheit 22 - , statische Festigkeit 8 - , Verformung 22 Nachweisgrenze 138 NASGRO 212 NASGRO-equation siehe FORMAN-METTUGleichung Nennspannung 11 Normalspannung 2 Normalspannungshypothese 8 numerische Integration 130 Nutzlast 1 Oberflächenbeiwert 19 Oberflächenriss 41, 42 oxidinduziertes Rissschließen 117 PARIS-Gesetz 124, 168 physikalisch kurzer Riss 123 plastische Zone 77, 195 - , Abschätzung 78, 196, 199 - , DUGDALE 196 - , ESZ 78, 196 - , EVZ 79

- , IRWIN 195 - , primär 195 - , RICE 197 - , sekundär 198 - , umkehrplastische 197 - , WILLIAMS 199 plastizitätsinduziertes Rissschließen 116 POD Siehe Entdeckungswahrscheinlichkeit primär plastische Zone 195 Probe 151 - , AFM-Probe 174 - , C-förmige 144 - , CTS-Probe 171 - , Dreipunkt-Biegeprobe 144 - , Entnahme 145 - , Ermüdungsanriss 147, 152 - , Kompaktschubprobe 171 - , Kompaktzugprobe 144, 152 - , Mindestabmessung 146 - , Mixed Mode 171 - , MT-Probe 152 - , Orientierung 145 - , scheibenförmige Kompaktzugprobe 144 - , SEN-Probe 152 - , Spannungsintensitätsfaktor 149, 163 - , Starterkerbe 147, 152 Probenentnahme 145 Prüflast 2 Rainflow-Zählung 179 Rastmarke 30, 160, 185 rauhigkeitsinduziertes Rissschließen 116 räumlicher Spannungszustand 6 Reihenfolgeeffekt 177, 180, 190, 236 Rekonstruktion 191 Restgewaltbruch 30 Restgewaltbruchfläche 235

254 Restlebensdauer 127, 137, 212, 239 - , numerische Integration 130 RICEsches Modell 197 Riss 26, 51 - - Polarkoordinaten 55 - - Spannungskomponenten 56 - , elastizitätstheoretische Lösung 53 - , kurzer 123 - , langer 123 - , Verschiebungsfeld 61 Rissart - , durchgehender Riss 42 - , Eckenriss 42 - , Innenriss 42 - , Oberflächenriss 42 Rissausbreitung 24, 109, 112 Rissausbreitungsenergie 86 Rissausbreitungskonzept - , ERDOGAN/RATWANI 124 - , Fließstreifenmodell 203 - , Fließzonenmodell 195 - , FORMAN/METTU 125, 169 - , FORMAN-Gleichung 201 - , globale Analyse 194 - , GRAY/GALLAGHER Modell 199 - , lineare Schadensakkumulation 195 - , Mode I 124 - , PARIS 124, 168 - , Rissschließmodell 203 - , variable Amplitude 193 - , Vergleich 126 - , WHEELER Modell 198 - , WILLENBORG Modell 200 Rissausbreitungskraft 82 Rissbeanspruchungsart 51 - , Mixed Mode 53 - , Mode I 52

Sachwortverzeichnis - , Mode II 53 - , Mode III 53 Rissbildung 24 - an Defekt 26 - an glatter Oberfläche 26 - an Kerbe 26 Rissdetektion 240 Rissentstehung 24, 26 Risserkennung 46 Risserweiterung - , inkrementelle 215 Rissform 38, 42 Rissfortschrittskurve siehe Rissgeschwindigkeitskurve Rissfortschrittslebensdauer 27 Rissfortschrittsrate 106 Rissgeschwindigkeit 106, 112 - , Ermittlung 161 - , Polynomapproximation 162 - , Sekantenmethode 162 Rissgeschwindigkeitskurve 113, 151 - , Einflussfaktoren 114 - , Ermittlung 153 - , Quantilkurve 154 - , R-Abhängigkeit 114 - , Versuche 162 - , Versuchsdurchführung 153 - für verschiedene Werkstoffe 168 Rissinitiierungslebensdauer 219 Rissinkrement 219 Risslänge 62, 136 - , detektierbare 138 - , kritische 229 - , zulässige 139 Risslängenkorrektur 82 Risslängenmessung 157 - , Compliance-Methode 160 - , Elektropotentialmethode 158

- , Kalibrierkurve 160 - , optische Methode 158 - , Rissmessfolie 160 Risslängenvermessung 150, 161 Rissmessfolie 160 Rissöffnungsfunktion 118 Rissöffnungsspannungsintensitätsfaktor 116, 118, 203, 205, 223 Rissöffnungsverschiebung 204 Rissschließen 115, 222 - , fluidinduziertes 118 - , oxidinduziertes 117 - , plastizitätsinduziertes 116, 203 - , rauhigkeitsinduziertes 116 Rissschließmodell 203 Rissschließungsarbeit 88 Rissschließungsintegral 86, 216, 219 - , modifiziertes 88 Rissspitzenspannungsfeld 55 Rissstillstand 182 Risstiefe 62 Rissverlauf 38, 40 Risswachstum 24, 26 - , ebene Mixed Mode 132 - , instabiles 28, 89 - , Mode II 131 - , Mode III 132 - , räumliche Mixed Mode 133 - , Richtungsänderung 130 - , stabiles 28 Risswachstumsrate 112 Risswachstumssimulation - , analytische 212 - , elastisch-plastische 220 - , experimentelle 235 - , numerische 214, 233, 237 Risswiderstand 90 Risszähigkeit 90, 95, 143 - , Einflussfaktoren 164

Sachwortverzeichnis - , Ermittlung 144 - , Kennwert 164 - , Versuchsdurchführung 147 - für verschiedene Werkstoffe 165 Risszähigkeitsversuch 144, 147 - , Anrisserzeugung 147, 148 - , Auswertung 148 - , Belastungsrate 148 - , Gültigkeit 151 - , Kraft-VerschiebungsDiagramm 148 - , Proben 144 - , Risslängenvermessung 150 - , Spannungsintensitätsfaktor 149 - , Starterkerbe 147 Röntgen 47 R-Verhältnis 3, 109 - , effektives 201 Sanierungsmaßnahme 242 Schadensablauf 29 Schadensanalyse 29, 233 Schadensfall 24, 36 - , Aloha-Airlines 25 - , ICE-Radreifen 25, 33 - , Tanker Prestige 25 Schadensursache 29 scheibenförmige Kompaktzugprobe 144 Scherlippe 29, 80 Schubspannung 2 Schubspannungszustand 5 Schwellbelastung 2 Schwellenwert 114, 119, 154 Schwellenwertverhalten 119 - , Rissschließen 119 - , Zwei-Kriterien-Ansatz 121 SEB-Probe siehe DreipunktBiegeprobe sekundär plastische Zone 198

255 SEN-Probe 152 Shut-off-Verhältnis 200 Sicherheitsfaktor 14 - gegen Bruch 9, 228 - gegen Dauerbruch 18 - gegen Ermüdungsrisswachstum 135 - gegen Fließen 9, 228 - gegen instabile Rissausbreitung 97, 229 Sichtprüfung 46 singuläres Spannungsfeld 51 Sonderlast 1 Spannung 2, 4 - , Hauptnormalspannung 6 - , Hauptschubspannung 7 - , Komponenten 6 - , maximale 11 - , Mittelspannung 17 - , Mittelwert 3 - , Normalspannung 2 - , Schubspannung 2 - , Spannungsausschlag 17 - , Vergleichsspannung 8 - , wirksame 16 - , zulässige 16 Spannungsausschlag 17 Spannungsintensitätsfaktor 56, 62 - , aus Spannungsfeld 85 - , aus Verschiebungsfeld 86 - , Dimension 63 - , dimensionsloser 63 - , Eckenriss 67 - , effektiver zyklischer 115, 200, 205 - , Eigenspannungsintensitätsfaktor 201 - , Ermittlung 84 - , GRIFFITH-Riss 63 - , halbelliptischer Oberflächenriss 66 - , Innenriss 64 - , Interpolationsformel 70, 72

-

, Kerbrissproblem 69 , kreisförmiger Riss 64 , kritischer 143 , mit J-Integral 86 , mit Rissschließungsintegral 86 - , Mode I 70 - , Mode II 72 - , Mode III 72 - , Randriss 65 - , Rissschließen 116 - , schräger Innenriss 65 - , Schwingbreite 108 - , Superposition 73 - , Überlagerung 73 - , virtueller 200 - , zyklischer 108 - für grundlegende Rissprobleme 63 Spannungskomponenten 6 Spannungssingularität 55 Spannungsumlagerung 78 Spannungsverteilung 53 - , ebene Mixed Mode 57 - , ebenes Rissproblem 55 - , Mode I 56, 106 - , räumliches Rissproblem 59 - , zeitlich veränderlich 106, 109 - in kartesischen Koordinaten 59 - in Zylinderkoordinaten 59 Spannungszustand 4 - , ebener 5, 8 - , einachsiger 4 - , mehrachsiger 6 - , räumlicher 6 Spezialnetz 216 Spitzkerbe 147 stabiles Risswachstum 28 Stabilitätsnachweis 22 Standardlastspektrum 179, 190 Standsicherheitsnachweis 22 Starterkerbe 147, 152 statische Belastung 2

256 statischer Festigkeitsnachweis 8 Stoßbelastung 2 Strip-Yield-Modell siehe Fließstreifenmodell Submodell 219 Submodelltechnik 217 technischer Anriss 134 Thresholdwert 114, 119, 151, 154 - , effektiver 157 - , intrinsischer 121 - , Mode II 131 - , Mode III 132 - , R-Abhängigkeit 119 - für verschiedene Werkstoffe 167 Thresholdwertbestimmung 151 - , Auswertung 162 - , Ermüdungsanriss 152 - , Lastabsenkverfahren 155 - , Laststeigerungsverfahren 156 - , Methoden 154 - , Probe 151 - , Spannungsintensitätsfaktorlösungen 163 - , Starterkerbe 152 Thresholdwertfläche 133 Trennbruch 29 Überlast 30, 181, 221 - , Einflussfaktoren 184 - , Mixed Mode 207 - , Mode I 181 - , Rastmarke 185 - , Überlastverhältnis 181 -, Verzögerungslastwechselzahl 183

Sachwortverzeichnis - , Wirkung 182 Überlastsequenz 186 Überlastverhältnis 181 Ultraschallprüfung 46 umkehrplastische Zone 197 Unterlast 185 Verdrehwinkel 92 Verformungsnachweis 22 Vergleichsspannung 8 Vergleichsspannungsintensitätsfaktor 91, 92 - , zyklischer 132 - bei ebener Mixed-ModeBeanspruchung 74 - bei räumlicher MixedMode-Beanspruchung 75 Vergleichsspannungsintensitätsfaktoren 73 Verschiebungsfeld 61 Verzerrungszustand - , ebener 8 Verzögerung 182 Verzögerungslastwechselzahl 183 V-Kerbe 147, 152 Volumenlast 2 Von-Bis-Zählung 179 Wechselbelastung 2 Wechselfestigkeitswert 19 WHEELER Modell 198 WILLENBORG Modell 200 Windlast 1 Wirbelstromprüfung 47 wirksame Spannung 16 Wöhlerkurve 17 Zählverfahren 178 - , Bereichspaar-MittelwertZählung 179

-

, Bereichspaarzählung 179 , Extremwertzählung 179 , Häufigkeitsmatrix 178 , Häufigkeitsverteilung 178 - , Klassengrenzenüberschreitungszählung 179 - , Kollektiv 179 - , Rainflow-Zählung 179 - , Von-Bis-Zählung 179 zerstörungsfreie Prüfung 46, 137 - , Computertomographie 47 - , Eindringprüfung 46 - , Klangprüfung 46 - , Magnetpulververfahren 47 - , Röntgen 47 - , Sichtprüfung 46 - , Ultraschallprüfung 46 - , Wirbelstromprüfung 47 zulässige Beanspruchung 9 zulässige Spannung 16 Zusatzlast 1 Zweikriterienkonzept 139 zyklisch plastische Zone siehe umkehrplastische Zone zyklischer Spannungsintensitätsfaktor 106 - , ebene Mixed Mode 111 - , Mode I 108 - , Mode II 110 - , Mode III 111 - , räumliche Mixed-Mode 112 zyklischer Vergleichsspannungsintensitätsfaktor 112, 132