El Prodigioso Jardín de las Matemáticas, 4ª edición

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Author: Alexander Niklitschek

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He escaneado y revisado el documento

Por Free-edit fecha 17:11 , 28/02/2004

PRIMERA EDICIÓN: SEPTIEMBRE DE 1943 SEGUNDA EDICIÓN: SEPTIEMBRE DE 1944 TERCERA EDICIÓN: F E B R E R O D E 1953 CUARTA EDICIÓN: AGOSTO D E 1964

DEPÓSITO LEGAL, B. 22089 - 1964 NÚM. DE REGISTRO:10,415-42

COPYRIGHT BY EDITORIAL IBERIA, S. A. DERECHOS LITERARIOS Y ARTÍSTICOS RESERVADOS PARA TODOS LOS PAÍSES Casa P. de Caridad p Imprenta-Escuela - Montalegre, 5 - Barcelona

Prólogo

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PROLOGO También yo padecí, durante mucho tiempo, del mal que aqueja a la mayoría en cuestión de matemáticas. Mi comprensión era muy escasa, y la mente no lograba asimilar ni siquiera los principios o leyes fundamentales de esa ciencia, tan diáfana a despecho de las asperezas que la revisten. Llegué incluso a sentirme avergonzado a causa de mi innata torpeza para la concepción de ideas trascendentales, y hasta sufrí el amargo sentimiento de inferioridad. Pero vino un día en que, gracias a la sobresaliente habilidad expositiva de un apreciado amigo mío, maestro en la más hermosa de las ciencias, alcancé la necesaria comprensión y la satisfacción consiguiente. Mi angustia y depresión se trocaron en férvido entusiasmo, y fue entonces cuando descubrí con sorpresa todo el esplendor que irradia de esta magna obra de la inteligencia, de las tan deplorablemente aborrecidas matemáticas. Pues bien, el objetivo primordial de este libro no es otro que el de lograr influir en modo semejante sobre el lector; y esto sin que pretenda, en modo alguno, llegar a ser un método de cálculo, ni mucho menos lo que se llama un tratado en el sentido usual de la palabra. No. Su aspiración se reduce a exponer ante el lector las temidas matemáticas bajo su aspecto más atractivo, a familiarizarle del modo más ameno posible con la espléndida belleza de alguna de sus más importantes especulaciones. O, dicho en otras palabras: no pretendemos estudiar ni forzar la máquina. Nuestra empresa se reducirá a guiar al lector en un paseo por el maravilloso jardín encantado, que el arte de ordenar y coordinar lógicamente pensamientos con pensamientos e ideas con ideas ha ido creando al compás de la multimilenaria evolución de la humanidad.

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El prodigioso jardin de las matemáticas

Estimamos necesario hacer constar de antemano que, con sujeción a este plan, no nos será posible explicar hasta agotarlos - y menos demostrarlos con entero rigor- todos los conceptos que el itinerario nos vaya presentando. Será, por lo tanto, imprescindible que el lector amable contribuya a nuestro propósito con un poco de confianza y de fe, animado de la esperanza de que más tarde, por la consulta de un buen tratado de matemáticas, le será dable abarcar mejor, y completar, los conocimientos que aquí adquiera. Sentado esto, y saliendo al encuentro de una de las posibles objeciones que se concreta en el tópico de que la Matemática es espantosamente seca y árida, es preciso decir que semejante reparo pueden ponerlo solamente los que ignoran por completo la más excelsa de las ciencias, ya que, como se verá, su expresión ha de llevarnos de sorpresa en sorpresa. Estemos, pues, seguros de que no habrá de rendirnos el hastío y a ello contribuirán, a un tiempo, la especie de mántico dramatismo en que se moverán nuestros pasos, y el hecho de que cada operación, cada problema, cada cálculo, sin exclusión de la tabla de multiplicar (pese a su aparente sencillez), aparecerá desarrollándose en la proximidad de un mundo extraño y misterioso, un mundo quimérico cuya contextura no puede idear nuestro cerebro, ni puede hallar figura ante nuestros ojos, pero cuya existencia puede ser -y acaso debe ser precisamente- tan real como cualquiera de las relaciones matemáticas o cualquiera de las figuras geométricas que nos son familiares. Siempre que la ocasión sea propicia haremos sentir hasta qué punto nos hallamos envueltos por un mundo omnipotente, insospechadamente próximo y desconcertante, cuya existencia se ve confirmada por cada concepto matemático. Pero, aunque este mundo es hijo de nuestro propio intelecto, resulta tan irrepresentable para nosotros como lo es para las truchas, por ejemplo, el deslumbrante esplendor del valle por donde corre bullicioso el torrente que constituye su mundo de peces. Este será, por consiguiente, el sentido en que vamos a conocer las matemáticas, puesto que a nuestro modo de ver sólo así podremos conjurar los pretendidos espectros, y sólo de esta manera será posible tender un puente de inteligencia hacia este magnífico dominio del pensamiento humano, cuyo usufructo había ido convirtiénédose hasta aquí en especial privilegio de algunos elegidos, a causa de supuestas insuperables dificultades de concepción por parte de los demás. Al lector le toca juzgar en definitiva si se ha cumplido la tarea que nos hemos impuesto. Esto es, él dirá si nos ha acompañado la fortuna en esta empresa de vencer la repugnancia a las matemáticas valiéndonos de las be-

Prólogo

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llezas que encierran. Y que los matemáticos expertos no se nos quejen por esta especie de «profanación» de su ciencia y reconozcan, al contrario, la buena intención que nos guía. Para terminar, conste que, a nuestro parecer, no hay nada tan bochornoso como el hecho de que, a pesar del incesante avance triunfal de la ciencia y de la técnica alemanas, sean todavía numerosos los compatriotas que sienten horror ante el más espléndido monumento del pensamiento, erigido por el espíritu humano en el transcurso de milenios de incesante esfuerzo, y que por el sólo motivo del temor que les inspira se vean privados de utilizar un auxiliar tan poderoso en el estudio de la Naturaleza. Y basta ya, porque es hora de que emprendamos nuestro anunciado paseo.

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PRÓLOGO DE KURT WULLSCHLAEGER EN LA OCTAVA EDICION ALEMANA

Sucedió en la repleta sala de espera, en la estación de una gran ciudad. Tres jóvenes «ferroviarios» estaban sentados según todas las apariencias, después de terminado el trabajo-, ante un vaso de cerveza, mientras esperaban el tren que debía llevarlos a casa. Un cuadro vulgar, tal como puede verse en cualquier ciudad. Y, sin embargo, ¡cuánto de especial había en él!Era la conversación que sostenían esos tres hombres. ¿Cómo es posible obtener un resultado positivo -en esta conversación se trataba del cálculo logarítmico-, cuando hay que restar una cifra negativa? Lo notable de este simple incidente es que un problema matemático sea reconocido realmente como tal y no sea, sin más, aceptado. Este hecho podria demostrar cuán independiente es la receptividad para las elucubraciones matemáticas de las premisas educativas. La opinión, ampliamente extendida, de que las matemáticas son «demasiado elevadas» para la mayoría de las personas, no aparece muy comprensible en este respecto. Para encontrar placer en los problemas matemáticos no son precisas lecciones muy severas a modo de preparación. Tampoco los relatos de viajes son leídos y comprendidos únicamente por los geógrafos. Por desgracia, a la mayor parte de los «talentos latentes» se les acaba muy de prisa el material. Facilitarles nuevos estímulos fue uno de los motivos que incitaron a Alexander Niklitschek a escribir su Prodigioso Jardín de las Matemáticas. Aparte de ello, se proponía comunicar a sus lectores parte de aquel entusiasmo que le invadió cuando, según sus propias palabras, pudo reconocer, con asombro, el «radiante esplendor del maravilloso edificio de ideas de las matemáticas». Desgraciadamente, Niklitschek no ha podido ver la presente 8.a edición de su obra. Como nuevo revisor de la misma, he debido modificar, alguna que otra vez, el sitio desde el cual Alexander Niklitschek contemplaba su «Jardín Maravilloso», y es por ello que, en el marco -de la nueva

Prólogo

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ordenación del texto, he creído necesario atribuir otra importancia a algunos problemas. Sin embargo, no se ha modificado la hábil ordenación de conjunto. Me he esforzado por destacar, aún más acentuadamente, en primer plano, el bello concepto de la función tangencial, pasando por la tangente, hasta el cálculo diferencial. El tema «regla de cálculo» ha sido tratado algo más ampliamente, para que el lector no deba remitirse, necesariamente, a otros manuales. Las breves iniciaciones facilitadas al comprar una regla -de cálculo bastarán para entender perfectamente sus fundamentos, después de la lectura de la presente obra. A este respecto quisiera agradecer especialmente a la firma Dennert & Pape, de Hamburgo-Altona, por habernos cedido el impresionante material de grabados que se incluye en el capítulo «Regla de Cálculo». ¡Bueno!¡Y, ahora, vayamos de paseo... con Alexander Niklitschek !

Brunswick, septiembre de 1956. KTRT WULLSCHLAEGER

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En blanco en el libro original

El secreto de termómetro

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EL SECRETO DEL TERMOMETRO

Nada hay que merezca ser tan justamente meditado y aquilatado como la elección, del apropiado sendero o de la puerta a través de la cual conviene mejor penetrar en el recinto rutilante de la más noble y la más temida de las ciencias. Y opino que podríamos partir confiadamente de algo conocido y evidente, esto es, de aquellos conocimientos matemáticos que, por ser adquiridos en los primeros días de la escuela, no abandonan ya al hombre en todo el resto de su vida. Naturalmente, no queremos ni debemos permitir que los números se precipiten ante nosotros sin orden ni concierto. Establecer un orden es cosa bien sencilla. Como ejemplo del mismo podríamos tomar, desde luego, un metro con su escala, en la cual, muy bien ordenaditos conforme a su valor, se suceden los números en cantidad limitada..., por supuesto. Pero vamos a ser todavía más precisos, y en lugar de la regla preferimos elegir un termómetro. ¿Por qué? Muy pronto lo veremos. La escala del termómetro se distingue de la del metro -con la cual está, por lo demás, íntimamente emparentada - por la significación que el conocido grado cero tiene en el primero de ellos. El metro posee también, ciertamente, un cero inicial, por el cual se comienza a medir siempre. Pero desde este extremo cero del metro no puede avanzarse más que en un sentido único, es decir, en el sentido que nos hace pasar a 10, 20, 30, etc., hasta 100 150 cm. según la longitud de la regla. No ocurre así en el termómetro, cuyo cero corresponde a un punto que no es extremo de la escala. A partir de este punto cero, hacia arriba, se cuentan grados positivos (+), y, en cambio, des-

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de este mismo punto cero, hacia abajo, se cuentan grados negativos (-). Cuando la columna de mercurio desciende por debajo del cero, decimos que «hace frío», y si, por el contrario, sube por encima del cero, decimos que «hace calor». Aun sabiendo que estas expresiones no son estrictamente correctas desde el punto de vista de la Física, hemos preferido valernos de ellas, por tratarse de locuciones completamente usuales y comprensibles para todos. Y es precisamente en este desdoblamiento, o sea en la ordenación de los números en dos sentidos opuestos, donde reside el interés; pues en matemáticas, como es generalmente sabido, existen números positivos y números negativos, los cuales se comportan entre sí precisamente como los que llamamos grados de calor y grados de frío del termómetro. Sentado esto, precisaremos algo más la cuestión. La primera distinción fundamental que nos separa de las convenciones del lenguaje ordinario cotidiano, y que debemos conservar grabada en la memoria, es la de que los signos + y -, que por convención expresan en el cálculo los imperativos de las operaciones de sumar y restar, respectivamente (equivaliendo a «añádase» o a «substráigase»), aparecen ahora como vinculados al número en sí. Es decir, más precisamente, que matemáticamente existe un - 9 (léase «menos nueve»), que se distingue del + 9 (léase «más nueve»), tan fundamentalmente como los 9 grados bajo cero del termómetro se distinguen de los 9 grados sobre cero. Y es el momento de hacer notar la costumbre hondamente arraigada, no sólo en el lenguaje corriente, sino también en el matemático, de que al escribir 9 sin ningún signo se entiende sencillamente +9; de la misma manera al decir 12 grados, entendemos precisamente +12 grados, o sea 12 grados sobre cero. Pero no dejemos todavía nuestra escala termométrica y fijémonos un poco en las leyes que rigen el cálculo de los números positivos y negativos en esa doble sucesión de números, para la cual se ha ideado expresamente el nombre arbitrario de «alineación numérica». Imaginemos que el termómetro señala 10 grados de calor. Si sobreviene un aumento de temperatura de 9 grados, el mercurio señalará 19 grados de calor. Ahora bien, si suponemos que cuando el termómetro marca los 10 grados


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sobre cero la temperatura experimenta un descenso de 18 grados, el mercurio bajará lógicamente hasta los 8 grados de frío (bajo cero). Y exactamente igual que con los grados de calor ocurre con la substracción y la adición de los números positivos y negativos 10 - 23 = -13, mientras que – 20+40= -20, etcétera. Convengamos en considerar, a todos los efectos, como positivo, el dinero que poseemos o que nos pertenece, y como «negativo», el correspondiente a pagos que hemos de efectuar o que adeudamos, y obtendremos así una idea tangible (y comprensible para todos) del balance resultante de operar con números positivos y negativos. Si

tengo 100 pesetas y gasto 99, no me quedará finalmente en el bolsillo más que 1 peseta, mientras que si uno sale de casa con 10 pesetas y gasta por valor de 25 ha tenido irremisiblemente que quedar a deber 15 pesetas en alguna parte. Son verdades sin vuelta de hoja, casi perogrulladas, ¿no es cierto? Pero, ¡calma! Conviene ya desde ahora poner un poco de atención, preparándonos para contemplar, en visión, mezcla de grandiosidad y de pavor, las más profundas simas de la representación matemática. Antes de ocuparnos de nuevos problemas es preciso introducir una forma de escritura que resulte adecuada. A este fin colocaremos los números, con sus signos «más» o «menos», entre paréntesis, para poder distinguir los signos de los números de los correspondientes a la adición y substracción. Así, por ejemplo, para el número positivo 9 escribiremos (+9), y para el número negativo -7, de manera correspondiente, (-7) . Por así decirlo - para servirnos de una imagen comprensible-, hemos guardado en cajas los números con sus correspondientes signos. Si queremos, por tanto, resolver el problema (- 13) + (+ 23) será preciso, naturalmente, liberar de nuevo los números. Expresado matemáticamente, esto significa que debemos quitar los paréntesis. La manera de hacerlo se comprende, si expresamos este problema con palabras y lo resolvemos como hasta ahora: el número positivo + 23 debe ser sumado al número negativo - 13. El resultado es + 10. Así, pues, (-13) + (+23) = - 13 + 23 = + 10

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+ (+) = + Tomemos nota: del signo matemático «más» delante del paréntesis y del signo «más» en el interior del paréntesis resulta el signo matemático «más». Si del número positivo + 36 substraemos el número positivo + 16 obtendremos entonces + 20. (+36) - (+16) = +36 – 16 = +20 - (+) = - El signo «menos» delante del paréntesis y el signo «más» en el interior del paréntesis dan como resultado el signo matemático «menos». Para el lector impaciente hemos de anticipar aquí que no hemos introducido los paréntesis con el simple objeto de expresar de manera complicada una cosa sencilla. La solución del problema «sumar al número positivo + 36 el número negativo - 16, por ejemplo, no resulta ya tan lógica. Planteemos, sin embargo, este problema de la manera más comprensible posible: alguien tiene 36 pesetas en el bolsillo, y además tiene deudas por un total de 16 pesetas. Nuestro amigo tiene, por consiguiente, sólo 20 pesetas (+ 36) + (- 16) = + 36 - 16 = + 20 + (-) = -1 El signo matemático «más» delante del paréntesis y el signo «menos» en el interior del paréntesis dan como resultado el signo matemático «menos». Ejemplos

(+ 17 ) + (+ 16) = + 17 + 16 = +33 (− 12) − (+ 35) = −12 + 35 = −47 (− 25) + (− 25) = −25 − 25 = −50

El último ejemplo hace inmediata la pregunta: ¿Qué representa (- 25) (- 25)? A primera vista esto parece muy difícil; pero si nos representamos los paréntesis como cajas, todo aparece de nuevo muy sencillo. Tenemos dos cajas con el mismo contenido. Si restamos el contenido de una caja del contenido de la otra caja no nos quedará nada. Así, pues, (-25)-(-25)=0


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De la misma manera, - 25 + 25 = 0. En consecuencia, podemos resolver, por ejemplo, también este problema, restando del número negativo - 36 el número negativo - 23. (- 36) - (- 23) = - 36 + 23 = -13 Una imagen más fácil de comprender: alguien tiene 36 pesetas de deudas. Si se le perdonan 23 pesetas de deudas no tendrá ya más que 13 pesetas de deudas. -(-) = + El signo matemático «menos» delante del paréntesis y el signo «menos» en el interior del paréntesis dan el signo matemático «más». Esto seguirá siendo válido, también, al restar números negativos de positivos, por ejemplo (+25) - ( -15) = +25 +15 = 40 Sin embargo, esto no se deduce necesariamente de nuestras anteriores consideraciones, aun cuando el lector acepte esta solución casi como algo natural. Pero, ¡tan natural no es la cosa!Por ejemplo, en, este caso falla el planteo del problema con ayuda de las deudas. Si alguien tiene 25 pesetas en el bolsillo y le son perdonadas 15 pesetas de deudas, seguirá teniendo, como antes, solamente 25 pesetas. Y, de la misma manera, falla también el termómetro. Si de 25º de «calor» restamos I5º de «frío», no se ve por ninguna parte cómo la temperatura puede subir en 15º. El lector no debe dejarse confundir. Una imagen no corresponde nunca exactamente a la realidad, y, por este motivo, no hay que pretender nunca encontrar, en una imagen más de lo que ésta puede mostrar. Y ahora viene una pequeña sorpresa; estas reglas de cálculo, expuestas de manera tan lógica, no pueden demostrarse, en modo alguno, matemáticamente. Para poder entender esto, en cierto modo, nos ocuparemos algo más a fondo del concepto general de «número». En su sentido original, los números designan cantidades.

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Objetos iguales (por ejemplo: libros, páginas, sillas, gallinas, etcétera), se cuentan con el fin de determinar su número. Éste es el empleo natural de los números. Así, contamos I, 2, 3, 4, 5, 6, ... Con estos «números naturales» es posible resolver cualquier problema de suma, por ejemplo 3+4=7

47+32=79

2+1=3.

El resultado es siempre otro número natural (7; 79; 3). En la substracción podemos comprobar, para sorpresa nuestra, que no podemos restar cantidades cualesquiera. Hay problemas que no pueden resolverse simplemente con nuestros números naturales. ¿Qué significa, por ejemplo, 3 - 3, 1 - 2, 13 - 24? Naturalmente, sabemos cuál es el resultado, pero si le preguntamos a un alumno de las primeras clases, nos contemplará sin entender, y dirá: « ¡Esto no es posible!» ¡Y tiene razón!Es preciso introducir el número cero y los números negativos, si queremos representar los correspondientes resultados: 3-3=0

1- 2 = -1

13 - 24 = -11

Estas «invenciones» pueden definirse matemáticamente, pero no demostrarse, y, sin embargo, la introducción de estos números no es, en modo alguno, arbitraria; es preciso poder contar con ellos de una manera lógica. Estos nuevos números no se presentan solos, sino también juntamente con los números naturales, y en el cálculo no deben presentarse contradicciones. Por tanto, es preciso incluirlos en las reglas de cálculo de los números naturales. Si se cumplen estas premisas, puede hablarse entonces de una ampliación del concepto de número. Esto significa: los nuevos números (0, - 1, -2, -3, ...) han sido aceptados, en igualdad de derechos, en la «familia de los números». Dentro de esta familia distinguiremos ahora, por tanto, los números positivos, el número cero, y los números negativos. Todos ellos, en conjunto, reciben el nombre de «números relativos». Todavía tendremos ocasión de conocer otras ampliaciones del concepto de número. Es siempre el mismo principio el que nos encontramos en la introducción de nuevos números las leyes de cálculo de los números ya co-


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nocidos deben ser válidas, también, conjuntamente, con los nuevos números. Este principio recibe el nombre de «Principio de permanencia»1. Mencionaremos sólo brevemente una segunda ampliación. La introducción de los números quebrados o fracciones, como se designan en general. $u introducción se deriva del hecho de que, en la división, se plantean muchos problemas que no «salen». Así, por ejemplo, el problema 2: 3 no tiene, en un principio, ningún sentido, pues no hay ningún número oue rueda indicarse como solución. En el planteamiento

2:3 =

2 3

se introduce la fracción 2/3 como nuevo número. Esto parece tan comprensible, que no es precisa ya ninguna distinción entre el signo «: » y la raya de quebrado. El conjunto de todos los números enteros y quebrados positivos y negativos recibe el nombre de «números racionales». Un pequeño descanso nos vendrá ahora muy bien. Nuestro paseo por el prodigioso jardín de las matemáticas, iniciado de una manera tan inocente, nos ha demostrado, después de los primeros pasos, que no es preciso buscar mucho para descubrir las bellezas del jardín. Cada flor que se encuentra junto al camino puede llenarnos de alegría. Y ya no es tan importante examinar exactamente todos los detalles. Sucede como en un rosal: nos encanta el esplendor de las flores, sin que se nos ocurra preguntarnos cómo serán sus raíces. Esto lo dejamos para el jardinero. También los rótulos, cuidadosamente pintados por el jardinero, con los nombres casi. siempre latinos, nos interesan sólo de pasada. Por otra parte, no tardamos en olvidarnos de ellos. Pero , sigamos ahora adelante ! Será necesario, ante todo, enterarnos bien del mecanismo de la multiplicación y división de los números positivos y negativos. Las cosas ya no se presentan ahora con aquella sencillez tan absoluta. Claro está, y aquí huelga toda demostración, que, por ejemplo: 25:5 = 5, en palabras (¡y sin lugar a duda!), más veinticinco partido entre más cinco es igual a más cinco. 1

Nombre designado por Hermann Hankel (1539-1373), matemático de Erlangen; permanere (lat.): permanecer.

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Pero el problema, aparentemente inofensivo, de saber cuántos son 10 x (-4) resulta un hueso duro de roer para los no matemáticos. No obstante, he aquí que el ejemplo de las deudas e ingresos a que aludimos antes va a sacarnos de apuros. Consideremos sencillamente los números negativos como deudas o gastos. Así, si yo en diez ocasiones he quedado a deber a razón de 4 pesetas cada vez, adeudo simplemente 40 pesetas en total. Mediante el estudio de nuestra escala termométrica llegamos al mismo resultado. Todo aumento de temperatura ha de considerarse evidentemente como «positivo», y todo descenso de la misma como «negativo». De suerte que si en el termómetro tienen efecto lo descensos sucesivos bajando 4 grados cada vez, es evidente que tendremos un enfriamiento total de 40 grados. Con eso hemos hallado la ley aplicable a nuestro caso, y que dice: Todo número positivo multiplicado por otro negativo da un producto negativo. Y puesto que la división representa el concepto inverso de la multiplicación, la misma ley debe imperar también en ella, es decir que: Todo número negativo dividido por otro positivo -y viceversa- dará un cociente2 negativo. Si adeudo un total de 100 pesetas y descompongo el débito en 20 partidas aisladas, tendré entonces justamente 20 veces 5 pesetas de deuda; ¡pero jamás conseguiré con esta operación dinero contante, «positivo»! Y es una verdad que comprenderá perfectamente el lector sin más explicaciones. Mas ahora llega su turno a un problema más serio, cuya solución no se nos presentará tan clara y abierta. He aquí la pregunta: ¿Cuál es el producto que resulta de multiplicar dos números negativos,? Sabemos que 2 x 2 = 4, que 2 x (-2), como acabamos de ver, es igual a -4; pero ¿qué obtenemos si multiplicamos (- 2) x (- 2)? La dificultad capital que encierra esta cuestión reside, por decirlo así, en traducir al lenguaje vulgar la operación matemática planteada. Pero esto no tiene por qué sorprendernos, pues también en la substracción de números negativos nos hemos encontrado con la misma dificultad. En realidad, existe aquí una relación. Así, por ejemplo, (+ 3) · (+ 4) = (+ 4) + (+ 4) + (+ 4) = ± 12 (3).

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Así se designa el resultado de la división. Para el signo de multiplicación utilizamos el punto. Anteriormente era usual también la x


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Por consiguiente, la multiplicación puede ser concebida como una adición con números siempre iguales. Tres veces más cuatro significa, por consiguiente: sumar tres veces el número + 4. En consecuencia, también (+3) · (-4) = (-4) + (-4) + (- 4) = -12 Vemos, por tanto, que las reglas de cálculo conocidas de la adición y la substracción de los números relativos son válidas. también, enteramente, para la multiplicación

En consecuencia, convenimos nosotros que también debe ser

Y también (- 3) · (+ 4) = -12

(- 3) · (- 4) = + 12

Y comprobamos, en especial, la sorprendente realidad Dos números negativos, multiplicados entre sí, dan un producto positivo ! Para aquellos que estimen increíbles todas estas historias voy a reproducir aquí un sencillo ejemplo que nos proporciona el estudio de las lenguas. Muchísimos idiomas - ¡no todos, por supuesto! - se atienen estrictamente, por así decirlo, a las leyes matemáticas. La lengua latina, estructurada le modo rigurosamente lógico, conceptúa dos negaciones sucesivas como una afirmación, y, por cierto, como afirmación reforzada: dos expresiones negativas equivalen, pues, a una positiva reforzada. Basta con mencionar la irónica inscripción lapidaria Sit tibi terra levis mollisque tegaris harena, Ne tua non p.ossint eruere ossa canes ! Que traducido literalmente dice: «Que la tierra te sea leve, y blanda la capa de arena que te cubre, que no puedan os perros no desenterrar tus huesos.» Traducido a su verdadero sentido, el segundo verso dice así: «que los

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perros den con tus huesos», de donde el piadoso deseo funeral llega a adquirir un amargo sabor de sarcasmo. Pues los romanos - expertos lingüistas que sabían, con rigurosa lógica, sacar partido a sus modismos-, consecuentes con su principio: «Duplex negatio est afirmatio», convertían en afirmación reforzada la doble negación que en nuestro verso reside en las palabras «ne» (no) y «non» (no). También nosotros significamos con «no está mal» algo que está mejor que bien; decir «no poca velocidad» equivale a un ritmo rápido, y explicar que «fulano no es un descamisado» da a entender que es todo lo contrario de un andrajoso. Vemos, pues, que es válido en filología el enunciado de que dos negaciones, o dos expresiones negativas, juntas, componen una afirmación; ¡y he aquí un notable paralelismo entre la ciencia del lenguaje y la ciencia de los números ! Pero ¡volvamos a nuestras matemáticas!Porque a lo dicho tenemos todavía algo que añadir. Ante todo, valga afirmar de nuevo que también en la división de dos números negativos ocurre exactamente igual que en la multiplicación el cociente resulta siempre positivo. ¿Por qué? La cosa se nos aparece aquí con singular sencillez. Se deduce del hecho de que un número negativo multiplicado por otro positivo ha de dar forzosamente un producto negativo. Por consiguiente, (- 35): (- 5) = + 7 En efecto, es (- 5) · (+ 7) = - 35. La multiplicación del resultado de la división con el número, por el que ha sido dividido (divisor), es siempre una prueba muy útil. Bueno, y ahora, para repetir una vez más todo esto, y resumir todo lo dicho, escribiremos, de forma ampliada matemáticamente, nuestra ya conocida tabla de multiplicar


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Y ahora vamos a evocar en nuestra memoria las correspondientes relaciones relativas al «más» y «menos» para la división

Hasta aquí, el cálculo con números relativos. ¡Los paréntesis, que nos han sido tan útiles para la derivación de las reglas de cálculo, han cumplido ya con su deber!De ahora en adelante nos serviremos de ellos solamente cuando esté clara la relación entre ellos.

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En blanco en el libro original

De un número que vive solamente en la imaginación

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DE UN NUMERO QUE VIVE SOLAMENTE EN LA IMAGINACION

Durante los primeros años de colegio a todos les habrá llamado la atención aquellos peculiares cálculos en los que un mismo número se multiplica por sí mismo, como, por ejemplo, 3 · 3 = 9, 6 · 6 = 36, etc. ¡Realmente, se trata de unas multiplicaciones maravillosas! Estos curiosos productos reciben el nombre de potencias. Así, se dice 3·3=9 3 · 3 · 3 = 27 3·3·3·3=8 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243

es la segunda potencia de 3 (4) es la tercera potencia de 3 es la cuarta potencia de 3 es la quinta potencia de 3

y el juego se continúa alegremente. Naturalmente, si uno encuentra la cosa divertida, o es necesario para algún cálculo en particular, es posible, también, calcular la 38ª potencia de algún número. Para resumir, con estos cálculos es posible llegar, alegre y despreocupadamente, hasta lo desmesurado y lo ilimitado, a voluntad ¡Esto parecerá algo espantoso al lector! 4

Para la expresión «segunda potencia» se utilizaba, a menudo, también el nombre de «cuadrado».

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¿La 38ª potencia de 7? ¿Cómo se escribe esto? Esta es una cosa muy complicada. Paciencia, querido lector, la cosa no es tan terrible como parece. La 38ª potencia de 7 se escribe, simplemente, 738 (léase: 7 elevado a 38). El pequeño número en lo alto, el exponente, nos indica, por consiguiente, cuántas veces hay que multiplicar por sí mismo el número base 7 para obtener la potencia. En consecuencia, por ejemplo,

23 = 2 · 2 · 2 = 8 54= 5 - 5 - 5 - 5 = 625,

y así sucesivamente. Tampoco será objeto de seria preocupación la cuestión de los signos «más» y «menos» en estas operaciones, pues toda multiplicación de un número por sí mismo, es decir, toda potenciación, puede ser considerada como una multiplicación normal repetida. Ocurre aquí, no obstante, algo ligeramente desconcertante. Estemos, pues, atentos para ver lo que sucede al ir multiplicando sucesivamente por sí mismo un número tal como, por ejemplo, el - 2

Con sorpresa observamos en estos resultados que las potencias formadas por un número par de factores son siempre positivas, mientras que las de número impar de factores salen en cambio negativas. De suerte que - 2 multiplicado tres veces por sí mismo da - 8, ¡pero multiplicado cuatro veces por sí mismo da + 16! La explicación resulta obvia después de pensar un poco. Realícense las multiplicaciones de la serie, y al ir haciéndolo se reconocerá la causa de que las cosas hayan de ser así: comencemos por multiplicar un «dos» negativo por otro también negativo, que da por resultado, como es lógico, un producto positivo; pero si este producto positivo se multiplica luego a su vez por un «dos» negativo, es natural que se obtenga por producto un nuevo número negativo, y así sucesivamente. Hasta aquí todo resulta muy comprensible, y no demasiado difícil. Sin embargo, no resulta ya tan fácil de contestar la pregunta de cuál es la base que corresponde a un valor dado de la potencia.


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Para estos cálculos se ha introducido el signo matemático de la «raíz». Si, por ejemplo, se trata de encontrar la base que, multiplicada cuatro veces por sí misma, da 625, la manera correcta de expresar este problema es: «¿Cuál es la raíz cuarta de 625?» La manera abreviada de expresarlo es 4

625 = ?; donde

es el signo de " raíz de"

El lector se dirá: esto es muy sencillo, pues el número que multiplicado cuatro veces por sí mismo da 625, es precisamente 5, 54 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625 Esto es lo que hemos calculado anteriormente. De la misma manera, tenemos también (5) 2

9 = 3, pues 3 2 = 9;

3

27 = 3, pues 33 = 27;

4 5

81 = 3, pues 3 4 = 81; 243 = 3, pues 35 = 243

Todo esto es muy bonito, pero con ello no hemos ganado todavía mucho. Por el momento, lo único que sabemos es que pueden calcularse las raíces de algunos números bien determinados. De «extraer raíces» entendemos tan poco, como de multiplicar el alumno, que acaba, justamente, de aprenderse la tabla. ¿Qué significa, por ejemplo, la raíz cuadrada de 2? ¡En buen lío nos hemos metido! Naturalmente, esto lo hemos aprendido ya en la escuela, pero, quién se acuerda todavía de ello? Este cálculo –logaritmo de la raíz es su nombre- es sumamente complicado, como puede deducirse del siguiente ejemplo

5

“Raíz segunda de” se denomina, también, «raíz cuadrada». El 2 se omite. No se es-

cribe, pues,

2

9 , sino simplemente 9

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Pero, ¡basta de este cruel juego!Esto es muy poco satisfactorio. Por ello no vamos a meternos ahora en detalles. Y si al lector le parece esto muy complicado, que no se preocupe, ya aprenderemos otros métodos más sencillos, no tan exactos, es cierto, pero del todo suficientes para los cálculos en la práctica. Y ésta es también la razón de que el logaritmo de la raíz no tenga ya una mayor importancia. En el maravilloso jardín de las matemáticas se encuentra, por decirlo así, bajo protección. Otra conclusión, aún más excitante: como se deduce de la potenciación de bases positivas y negativas, a la pregunta de cuál es el número que multiplicado por sí mismo da 36, no existe una, sino dos respuestas, y ello porque existen dos números capaces de hacerlo, a saber, + 6 y - 6. Por lo tanto, 36 = + 6, y también - 6, de la misma manera que, 25 = + 5 y -5, y 1 = + 1 y - 1, etc. ¡Un mismo problema tiene, por tanto, dos soluciones! Pero hagamos la cosa aún más emocionante. De acuerdo con lo expuesto hasta ahora, podemos plantear la pregunta, realmente lógica y justificada: ¿cuál es el número que multiplicado por sí mismo da, por ejemplo, -4? Después de una breve reflexión se deduce que nos encontramos ante una nueva complicación, surgida de manera inesperada. ¿Qué número podrá ser este? Tratamos de descubrirlo con nuestro práctico sistema de deudas y cálculo con dinero. Pero la conclusión primera es realmente desoladora: «¿Cuántas veces debo contraer, o no contraer, deudas, para acabar debiendo cuatro pesetas, pidiendo prestado dinero tantas veces, como indica la suma parcial?» Y ahí nos quedamos atascados, como en una trampa sin remisión. ¡Ése es, precisamente, el abismo adonde da la puerta!, y al contemplarlo debemos confesar, simplemente, en medio de un escalofrío, que: ¡No existe ningún número que multiplicado por sí mismo produzca -4! Sentimos, sin embargo, picado nuestro amor propio y reaccionando ante semejante derrota, probamos fortuna partiendo de otro valor distinto, tal como el -36, y preguntamos: ¿Cuál es la raíz cuadrada de - 36? Pero tampoco nos


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acompaña el éxito y, no obstante, como si fuéramos víctimas de una burla, al ir más allá, hallamos que existe, en cambio, una raíz cúbica de - 27, y es - 3, puesto que (- 3) · (- 3) · (- 3) = - 27. Nada nos excusa; estamos abochornados y corridos por el hecho de vernos incapaces de contestar a una pregunta de aparente sencillez infantil, y no acertamos a encontrar un número del cual sólo se exige que llene un requisito que se nos antoja casi natural. La cuestión, en conjunto, es mucho más sencilla y, al mismo tiempo, sin embargo, bastante más compleja de lo que a primera vista podía parecernos. Trataremos, antes de seguir más adelante, de la simplificación en matemáticas, y puesto que con ello adquiriremos una nueva «costumbre», permítaseme, también en este caso, que para llegar a mi objeto me valga de imágenes tomadas de la vida real. En el lenguaje usual no es indiferente el modo en que se expresa una opinión determinada. «El decir gracias y escribir donaires es de grandes ingenios», dice Cervantes. Si se me ocurre dirigirme a mi jefe para elogiar las elevadas cualidades espirituales que reconozco en él y le digo: «Le felicito, señor, por su amplitud de miras», es algo muy distinto que decirle: «Bien sabe Dios, señor director, que no es usted ningún cretino.» Aun cuando ambas frases expresan; lógicamente, conceptos parecidos, el justo parabién me será seguramente agradecido en el primer caso, pero si adopto la segunda modalidad me veré sin duda obligado a salir «por pies» del despacho de la persona alabada. En el reino de las frías matemáticas, tan rigurosamente objetivas, no se tienen en cuenta esta clase de sutilezas. Aquí todo está sencillamente permitido, y puedo, pues, servirme de cualquier determinada expresión, perífrasis o modismo, por muy estrafalarios que sean, siempre que, sin alterar un valor dado, su empleo me proporcione una ventaja cualquiera. Lo único absolutamente necesario es atenerse a la verdad. Todo lo demás, es decir, lo que sólo atañe al «modo», nos está plenamente permitido. Permitámonos ahora un ardid semejante. He aquí la nuez dura como el acero: ¿ − 4 ? En este caso empezaremos por descomponer el número que figura bajo el signo de raíz (signo radical), de este sencillo modo: -4 = 4 · (-1)

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lo cual es enteramente lícito. Pongamos el producto resultante debajo del signo mencionado, y tendremos: 4·(−1) -¿Podemos hacer esto? ¡Sí, podemos!Para hacer ver que sí, partamos de otro ejemplo: En vez de 36 , que nos da 6, podemos escribir 4 ⋅ 9 , ó también 4 ⋅ 9 ; pues si extraemos las raíces y multiplicamos obtendremos: 2 • 3 = 6, lo cual es enteramente exacto. Así, pues, la escisión de − 4 en 4 ⋅ (− 1) debe ser también lícita. Ahora podemos dar un nuevo paso, extrayendo la raíz de 4. El malhadado (-1), al cual no hemos llegado todavía, lo dejamos sencillamente donde está, es decir, debajo del signo radical, mientras esperamos que llegue para él la orden de « ¡extráigase la raíz!» Tenemos, pues, que: − 4 = 2 ⋅ − 1 . Así, pues, habiendo llegado a esta conclusión lícitamente, hemos demostrado que, al fin y al cabo, todos estos números enigmáticos cuya raíz no es posible extraer, se descomponen fácilmente, dando lugar a un producto formado de dos números: uno de ellos «posible» y el otro (o sea el − 1 ) «imposible». Gracias a ese procedimiento, el problema se ha simplificado, puesto que por una disección análoga nos será posible aislar en otros números, tales como los - 16, - 64, - 25, etc., la parte que podríamos llamar misteriosa, cargándola toda sobre el raro y desagradable -1. Así nos habremos ido acercando al fatal «menos uno» y a su raíz, y podremos estar en posición de sorprender mejor su secreto. Pero ¡aquí te quiero, escopeta ! A la raíz de -1 se le ha dado el nombre de i. Tomemos nota, por tanto: ¡En lugar de − 1 , diremos, en adelante, i! El lector querrá saber, sin duda, qué es lo que sucede con este notable¡. ¿Es realmente un número? ¿Es posible calcular con este número, como con los números hasta ahora conocidos? Solamente en este caso estaremos autorizados - recordemos, en este lugar, el principio de permanencia- para hablar de un «número i». Con la adición y la substracción no tendremos, en principio, mayores dificultades. Podemos ver, sin dificultad, que i ± i.= 2i. Esto nos parece muy natural, aun cuando no sepamos nada de este i, de la raíz de - 1. Es tan irreal, y, sin embargo, vive en nuestra imaginación. Y nosotros calculamos con esta «irrealidad», como si fuera algo completamente natural. 8i - 5i = 3i;

3i + 5i = 8i;

- 4i - i = - 5i, etc.


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Todo esto se ordena tan fácilmente en la estructura de nuestros cálculos, que no permite se presente duda. Estos enigmáticos números i, 3i; 8i; 5i, etc., son designados por el matemático con el nombre de «números imaginarios», en oposición a los «números reales», los verdaderos, de los que nos habíamos ocupado hasta ahora. Pero ¿pueden compaginarse, realmente, los números imaginarios con los reales? En un principio, parece ser así, en efecto, como si esto fuera; lo más natural del mundo. Esta i se alinea pacíficamente con un factor numérico real. Sin embargo, tan pronto se le añade un número real, se presentan dificultades. ¿Qué significa, por ejemplo, 4 3i? ¡Es algo tan absurdo como, por ejemplo, querer sumar 4 arenques y 3 limones! ¡Imposible!. Y, sin embargo, con estas criaturas imposibles 4 + 3i; 6 - 2i, etc., empieza uno de los capítulos más importantes de la moderna matemática. Fue preciso que transcurrieran siglos y siglos en la historia de las matemáticas, antes de que el espíritu humano pudiera concebir esta «imposibilidad». Muy tímidamente fue imponiéndose la certeza de que estas formaciones -los números complejos- ocupaban un lugar.muy destacado en el conjunto de las matemáticas. Los trabajos de C. F. Gauss, en la primera mitad del siglo XIX, fueron los que aportaron una total claridad sobre este problema. A su extraordinario genio debemos también un método para representar gráficamente todas las magnitudes complejas e imaginarias. El haz de números, pensemos aquí en el modelo adecuado, en nuestro termómetro, no basta, evidentemente, para representar los números complejos. En el «ascenso y descenso» de las temperaturas, los -4 grados, 5 grados, - 1 grado, cero grados, etc., pueden leerse siempre con una sola representación numérica. Todos estos números tienen siempre sólo una dimensión, es decir, los números pueden moverse siempre sólo en una dirección, y no tienen, por tanto, ninguna posibilidad de movimiento. Por lo contrario, los números complejos vienen dados siempre por dos referencias numéricas. Por ello se habla también de pares de números y se abrevia, por ejemplo, como sigue 4 + 3i = (4;3) El par de números (- 2; 6) corresponde, por tanto, al número complejo - 2+ 6i. Naturalmente, esto es solamente una forma de representación, pero nos permite comprender de lo que se trata. Estos pares de números, cada uno de los cuales representa siempre sólo un número complejo, no pueden ser llevados unos junto a otros en un haz de números. Después de Gauss podemos representarnos los números complejos como situados fuera de las rectas de los números. Tienen, por tanto, una

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«doble dimensión» y se los representa en el llamado «plano numérico de Gauss».

¿Te arde ya un poco la cabeza, mi querido lector? ¡No te inquietes por eso! Has de saber que todas las cantidades e interpretaciones matemáticas, sólo una parte ínfima se halla a nuestro alcance. Fuera de nuestra esfera habitual (que con criterio equivocado se considera como lo único realmente existente) residen infinidad de maravillas y rarezas intangibles, verdaderamente incompatibles con las leyes de nuestra inteligencia. Ocurre con nosotros algo análogo a lo que sucede, por ejemplo, con los peces de río. Todo el mundo, para los peces, se encierra en los límites del angosto y cristalino arroyo. Los prados y alamedas, los sembrados, las aldeas y el bosque son sin duda para las truchas algo que no son capaces de representarse, algo «imaginario», y esto por la sola razón de formar parte integrante de un mundo que en realidad existe, pero que ellos desconocen. Y es, simplemente, que toda la estructura corporal de los peces, y la conformación de sus órganos sensoriales ¡no hablemos de su constitución psíquica! - los hace ineptos para captar las cosas de este mundo que existe fuera de sus aguas. Nuestra conducta ante la verdad realmente existente, o tan sólo sospechada, no resulta más atinada que la de las truchas. De igual modo que los ágiles peces huyen despavoridos al chocar de la piedra que un zagal arroja


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en el torrente, nosotros nos _ sentimos también presa de pánico ante los números imaginarios que llegan a nuestra esfera vulgar, procedentes de otros mundos en los cuales -en consonancia con nuestra naturaleza - no podemos penetrar ni siquiera con el pensamiento.

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La magia de la tabla de multiplicar

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UN POCO DE FANTASMAGORIA NUMÉRICA Descubrir, presentar y barajar en ingeniosos malabarismos las mil y una propiedades curiosas que en sí encierran los números, constituye de antiguo un dilecto esparcimiento, y se han publicado volúmenes enteros dedicados a semejantes pasatiempos. Así, por ejemplo, el número 37 ofrece la rara propiedad de que muchos de sus múltiplos están formados por la repetición de una misma cifra: 3 · 37 = 111; 12 · 37 = 444; 27 · 37= 999. Más extraordinario es todavía en esta particularidad el número 3367, pues si se multiplica por ciertos múltiplos de 33 da lugar a productos que también constan de una cifra repetida, y ésta es, precisamente, el multiplicador que se ha tomado para formar el múltiplo 33; así: 33 · 3367 = 111 111; 165.3367 = 555 555, etc. Como «número final» presentaremos el refinado 11, con la gracia de que multiplicado por sí mismo (o sea, 11) da 121, es decir, un número en el cual el valor de sus cifras asciende primero, para descender luego simétricamente. En este caso parece simple casualidad. Sin embargo, también en más altas esferas permanece fiel a esta curiosa propiedad.

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¡Bien empiezan las cosas!Estas cifras son imposible., de enunciar 12 345 678 987 654 321 ¿Un número de 17 cifras? Son 12 mil millones, 345 billones, 678 millardas, 987 millones, 654 mil y 321. 1 billarda es un uno seguido de 15 ceros 1 billarda = 1 000 000 000 000 000 Naturalmente, no hay nadie que escriba un número así. Es preferible servirnos de las prácticas potencias ya conocidas de todos nosotros 1 billarda = 1015 Pero esto es secundario. Más tarde hablaremos de ello con más detalle. ¿Podemos imaginarnos un tal número? - 1015 Su aspecto es tan inofensivo! ¿Cuánto tiempo se necesitaría para contar de 1hasta 1billarda? ¿1 año o 100 años? ¿O, quizás, incluso 1000 años? Las estimaciones están aquí fuera de lugar; será preferible calcularlo. Supongamos que para cada cifra se requiere un segundo. Ya para ello se precisa una técnica especial de conteo, no tan fácil de conseguir. ¡Démosla por conseguida! Además, es necesario contar ininterrumpidamente, día y noche. Varias personas pueden relevarse en esta tarea. En este caso, se contarán en 1 minuto 1 hora 24 horas 1 año

6o cifras 3. 6oo cifras 86 400 cifras 31 536 000 cifras

En un año no hemos llegado, por tanto, muy lejos. Y también en 1000 años estaremos aún muy lejos de la meta; sólo después de 30 millones de años estaremos ya algo más cerca de la cifra de 1 billarda. Tardaremos, exactamente 31.709.791 años, 359 días, 1 hora, 46 minutos y 40 segundos ¡Quien no lo crea, puede calcularlo!


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¡Probemos, ahora, en el mundo de los átomos! Un electrón tiene un diámetro de 0,000 000 000 005 mm. Esta «pequeñez» no podemos, tampoco, apenas concebirla, pero, de todos modos, sabemos que un tal electrón es muy, muy pequeño. Si alineamos ahora, uno al lado del otro, una billarda de estos electrones, ¿qué longitud tendrá esta cadena? Exactamente, 5636mm. = 5 m., 63 cm. y 6 mm. Prestemos ahora atención a la siguiente clasificación 1 millar 1 millón 1 millarda 1 billón 1 billarda 1 trillón 1 trillarda 1 cuatrillón

= 1000 unidades = 1000 millares = 1000 millones = 1000 millardas = 1000 billones = 1000 billardas = 1000 trillones = 1000 trillardas

Todo esto, a fin de cuentas, no son más que historias verdaderamente entretenidas y no vamos a malgastar tiempo en tales superfluidades; antes bien, nos es preciso excavar un poco más profundamente y empezar ante todo por el desarrollo de una cuestión que al lector se le habrá ocurrido ya, sin duda, al final del capítulo anterior. Vimos allí, para sorpresa nuestra, que, al lado de los números que nos son ya de antiguo familiares, existe, además, un extraño mundo de ficción poblado de nociones completamente distintas de la noción vulgar de número: es el reino ideal de los números susceptibles sólo de interpretación figurada, de los números que dimos en llamar «imaginarios» o «complejos». Pero ahora, sólidamente apoyados en nuestros leales «números guías», vamos a tratar básicamente la inmediata cuestión de si existe todavía otra clase de números. ¡Esta pregunta ha de contestarse afirmativamente! Partamos, para nuestro examen, de los conocimientos que ya nos son familiares, y veamos, en primer lugar, los números enteros. Nos es bien conocida la clasificación que se acostumbra hacer de los mismos: números pares y números impares, llamando par a todo número divisible por 2. Nada hay de interesante o singular en esta vulgar subclasificación. Un poco más curiosa, empero, resulta ya la cuestión referente a los

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números denominados primos. Son éstos aquellos caprichosos números (impares casi sin excepción), que además de ser divisibles por sí mismos (naturalmente) lo son tan sólo por 1. ¿Por qué decimos «casi sin excepción»? No debe olvidarse que existe un único número Par, el 2 precisamente, que a pesar de ser par es también primo. Tras los números primos -y es ésta una maravilla que vamos a conocer bien como de paso en nuestro paseo- se esconde uno de los más grandes enigmas que las matemáticas encierran. Lo más desconcertante en la distribución de los números primos consiste ciertamente en su irregular distribución. No se someten a ninguna ley. Así, su sucesión empieza (prescindiendo de i), con dos números primos, que son el 2 y el 3, seguidos de 5 y 7, 11 y 13, 17 Y 19, etc. Como se ve, estos números gustan a menudo de aparecer en pareja, como apoyándose mutuamente. Sin embargo, las lagunas que se extienden entre ellos son bien visiblemente desiguales, unas mayores, otras más pequeñas. Lo notable es la evidencia que se tiene de la absoluta imposibilidad de hallar una ley para la distribución y extensión de esas lagunas y, por lo tanto, la imposibilidad de saber determinar «a priori» los números primos. Así, pues, a pesar del gigantesco instrumento del razonamiento matemático, cuando nos proponemos averiguar si un número determinado es primo o no lo es, nos vemos forzados a perder nuestro tiempo en fatigosas pruebas. Así ocurre que sólo a costa de largas y pesadas divisiones podemos llegar al conocimiento de que el 589 no es primo, por ser el producto de 19 por 31. Como decimos, no hay ley. Inversamente, podrá sospecharse que los números primos se hacen más raros, sucediéndose a intervalos cada vez mayores a medida que se aproximan a las esferas del millón, del trillón, etc. Podría deducirse de esto que ha de alcanzarse un instante en que los números primos dejan de existir y que, por consiguiente, debe haber uno de dichos números como punto final, mayor que todos los restantes, y «tras el cual» no existe ninguno más. Pero, ya alrededor del año 300 antes de J. C., sabía el genial Euclides que la serie de los números primos no se agota nunca. Ocurre tan sólo que los mayores de ellos no nos son, naturalmente, conocidos. A partir de cierta altura en esta serie hay campo para una especie de deporte matemático: la «caza de los números primos». Durante muchos años el número 261 - 1 = 2 305 843 009 213 693 951


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pudo ser considerado como el más elevado trofeo del que un cazador de números primos había podido vanagloriarse, una «sexagésima primera» potencia que conservó, durante largo tiempo, el «campeonato» del mayor número primo conocido de la humanidad. Pero entre tanto surgió un nuevo matemático, más afortunado todavía, que logró destacar al primer plano el nuevo número primo. 2127 - 1 = 170 141 183 460 469 231731687 303 715 884 105 727 Para saber, pues, cómo es este «fenómeno» bastará multiplicar el número 2 ciento veintisiete veces por sí mismo y restar 1 al producto. Esto nos dará un número primo que, hasta hace todavía poco tiempo, podía vanagloriarse de ser el rey entre los números primos. ¡Pero también éste ha sido ya destronado!Hoy día se sabe ya que 22281 - 1 es un número primo. Nuestra capacidad de representación queda con ello prácticamente agotada. Para poder representar este número, que consta de 687 cifras, necesitaríamos 14 líneas, muy comprimidas, de este libro. Hasta aquí lo referente a los números primos. Fuera de ellos no encontraremos en nuestra alineación numérica nada que, en apariencia, ofrezca interés inquietante, siempre que nos atengamos a los números enteros. Pero hemos de considerar que éstos no están solos, ni mucho menos, en el mundo real. A su lado se encuentran las famosas fracciones: las fracciones decimales, algo más modernas, que se nos presentan por doquier en la vida práctica corriente, y los quebrados o fracciones comunes, relegados hoy día_ a un plano notablemente secundario. ¿Qué es en suma un quebrado? La respuesta no deja de ser interesante. Los quebrados proceden, en cierto modo, de la división. La raya del quebrado constituía originariamente el signo más usado para indicar dicha operación aritmética. Fue Leibniz el primero en adoptar los dos puntos (: ), hoy día comúnmente empleados como signo de la operación «divídase por». El quebrado es, pues, en realidad, una división planteada, pero no efectuada todavía. Si escribo 14: 9 propongo la operación tan correctamente como si

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escribo 14/9. Conocida nos es, por lo demás, la clasificación en quebrados propios (por ejemplo, 1/2) e impropios (por ejemplo, 4/3), etc. Con la introducción del sistema decimal, los quebrados o fracciones comunes han desaparecido de tal manera en la vida práctica, que hoy ya son pocas las personas familiarizadas con las sencillas reglas para su operación. ¡Y esto es una lástima, pues los quebrados comunes son altamente instructivos! Se ha podido comprobar que determinados valores que, mediante un número quebrado, podían escribirse sencilla y exactamente, quedaban, en cambio, incompletamente expresados al serlo mediante fracciones decimales. Así, 1/3 = 0,3333... 2/3 = o,666666..., lo cual resulta todavía más desconcertante al saber que hay otros quebrados, por ejemplo, 3/4, que se pueden expresar, también, completamente en decimales (0,75 en este caso). Los puntos tras una fracción decimal indican que ésta es infinitamente larga, y que puede ser, por tanto, eternamente prolongada hasta lo infinito, ya que contiene un sinfín de lugares decimales. Se debe, pues, tener presente que algunos sencillos quebrados comunes son tan sólo susceptibles de ser traducidos a la forma decimal mediante fracciones decimales prolongadas hasta lo infinito, o sea que prácticamente -puesto que hemos de permanecer siempre en lo finito- no pueden ser representados con exactitud, mediante fracciones decimales. Y para hacernos cargo del tipo de expresiones a que, en determinadas circunstancias, hemos de vernos conducidos, daremos como muestra la transformación, mediante una sencilla división, del quebrado 10/7 , en una fracción decimal. Procédase a realizar la operación y se verá que es cuento de nunca acabar; pues obtendremos el divertido resultado siguiente: 10: 7 = 1,42 857 142 857 142 857... ¡y así indefinidamente ! Semejantes expresiones reciben el nombre de fracciones decimales periódicas (infinitas) y se escriben abreviadamente poniendo para 0,666666... sencillamente 0,6, así como para 1,42 857 142... sencillamente 1,42857. Tras todo esto no parece que se escondan grandes hechos, aun cuando debamos hacer la revelación de que incluso los números enteros pueden ser expresados en forma de semejantes decimales periódicos. Así, por ejemplo, 1 = 0,9 999 999..., o sea igual a 0,9, y 17 = 16,9999999...,= 16,9, etc.


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He aquí, para distracción y recreo, dos acertijos matemáticos: ¿Cómo se escribe 100 con seis nueves? Pues -así reza la respuesta en diversos libros de pasatiempos- sencillamente: 99 + 99/99. Igualmente gracioso, pero más ingenioso todavía sería preguntar, ¿cómo se escribe 10 con dos nueves? Así: 10 = 9,9, lo cual es rigurosamente justo desde el punto de vista matemático. No deja de ser también interesante la traducción inversa y se demuestra de manera fehaciente que toda fracción decimal exacta (finita o infinita periódica) puede ser transformada en un quebrado común. Así, 0,013 equivale a 13/1000; 24,05 = 2405/100; 1,32 es igual a 132/100 etcétera. En las fracciones decimales infinitas no podemos seguir, naturalmente, así adelante. Un ejemplo: ¿existe un quebrado común para

2 = 1,41421... ? Podemos formar el múltiplo por mil, el múltiplo por cien mil o un múltiplo todavía mayor: la coma no desaparece, es imposible eliminarla. Probemos ahora con las fracciones decimales periódicas más sencillas. Aquí sabemos, por lo menos, qué aspecto tienen las infinitas cifras detrás de la coma 2,6666...; 1,42857142857... Los llamados «períodos» 6, respectivamente, 142 857 se repiten hasta el infinito. Merced a un pequeño juego de manos podemos eliminar la coma. El décuplo del número 2,6666... tiene las mismas cifras, detrás de la coma, que el número sencillo 10 • 2,6666... = 26,6666... 1 • 2,6666... = 2,6666... Si del décuplo quitamos el número sencillo obtenemos, sencillamente, 24. Esto es, por tanto, nueve veces el número. Exactamente de la misma manera como 10 limones menos 1 limón son 9 limones. Así, pues, 9 ·2,6666... = 24 El número sencillo es, en este caso, la novena parte. Con ello hemos resuelto nuestro problema 2,6666... = 24/9 = 8/3

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El quebrado lo hemos podido «acortar», todavía, con 3, es decir, hemos dividido numerador y denominador del quebrado por el mismo número. Como es sabido, el valor del quebrado permanece, con ello, invariado. Tanto si dividimos 12 manzanas por 4, o 6 manzanas por 2, el resultado es el mismo: 3. De la misma manera, todas las fracciones decimales periódicas pueden transformarse en quebrados comunes. Probémoslo, ahora, todavía con el número algo «más difícil» 1,42 857 142 857... obtenido por la división 10: 7. En esta fracción decimal, sólo el múltiplo millón del número tiene las mismas cifras. detrás de la coma. como el número sencillo

1.000.000 · 1.42857142857... = 1428571,42857142857.. 1 · 1.42857142857... = 1.42857142857... 999.999 · 1.42857142857. = 1428571 De este modo se deduce el número simple como la 999 999 ava parte 1,42857142857 = 1 428 570 /999 999 Con ello hemos terminado ya, realmente, pues hemos obtenido un quebrado común. De todos modos, este quebrado parece todavía muy complicado. Por ello vamos a ver si podemos abreviarlo. Y, en efecto, podemos dividirlo, sucesivamente, por 9, 3, 37, 13 y 11. Así tenemos

1.4285070 158.730 52.910 1.430 110 10 = = = = = 999.999 111.111 37.037 1.001 77 7 Hemos obtenido, por tanto, el siguiente resultado 1,428571428 = 10/7 ¡Llegar hasta aquí no ha sido, en realidad, nada sencillo!


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Hasta aquí vamos bien; pero la siguiente pregunta, lógica, nos abre otra vez la puerta a un nuevo misterio de los números, realmente profundo: ,Qué ocurre con las fracciones decimales infinitas, pero nol periódicas? ¿Cómo se reducen a quebrados comunes? Hemos de suplicar al lector que crea simplemente el enunciadorespuesta que vamos a dar a esta pregunta. Pues la demostración matemática, que no puede ser más sencilla, nos resultaría, sin embargo, en extremo difícil a causa sobre todo de nuestro poquísimo dominio del «lenguaje matemático». La respuesta dice sencillamente: ¡Las fracciones decimales infinitas no periódicas no son susceptibles de ser transformadas en quebrados comunesl A primera vista esto no parece en verdad nada fuera de razón. Habremos de ir, pues, más adentro para mostrar al lector la insondable y sobrecogedora profundidad de este misterio. Para ello volveremos de nuevo a los quebrados comunes, que están íntimamente emparentados con los números enteros y a base de los cuales se estructuran directamente, pues el numerador y el denominador, que son los términos de que constan, son números enteros. Estos términos pueden elegirse pequeños o grandes, a discreción. Sin más, por lo tanto, puedo escribir, sea encima o sea debajo de la raya dei quebrado, trillones, cuatrillones, hasta los números gigantes más descomunales, en la forma que mejor me parezca. De todo esto se deduce inmediatamente que a la vista de un quebrado común dado no puedo declarar cuál es su inmediato mayor ni cuál su inmediato menor. ¿Cuál es el quebrado que siendo mayor que 1/2 difiere menos de éste? ¡Pregunta sin respuesta posible, pues en seguida me pierdo aquí entre cúmulos de números de magnitud rayana en lo infinito. Y puedo sin cesar ir construyendo quebrados cada vez más próximos al ½ . Así 51/100 es contiguo al ½, pero 50.000.001 /100.000.000 se le acerca añun mas, y si recurro a los números gigantescos, la diferencia con ½ será cada vez más pequeña, sin que, de todos modos, llegue a desaparecer nunca por completo. Como consecuencia inmediata de esta prueba parece desprenderse la posibilidad de que cualquier valor fraccionario, por finamente aquilatado que sea, admita ser representado, o transcrito, mediante un quebrado común; porque digo siendo así que tengo á mi disposición, en caso necesario, cantidades enormes de números, bien podré -para expresarme en términos completamente populares - «atrapar», en la tupida red de los quebrados comunes, cualquier valor fraccionario que se presente.

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Dándose la mano con lo expuesto - y si retrocedemos de nuevo a la alineación numérica - se nos ocurre la idea de que también en ella podrían los quebrados comunes, sucediéndose ininterrumpidamente en un escalonamiento escrupuloso, llenar todo el espacio comprendido entre un número entero y su inmediata superior, y -lo que es más importante- llenar, por tanto, en toda su extensión longitudinal, la alineación numérica. Pero resulta que ambas conclusiones son sorprendentemente, y casi increíblemente, falsas; y es que, si bien es cierto que entre dos números enteros se alinean, sucesivamente, un sinfín de quebrados propios, no lo es menos que, por muy «apretadas» que sean las filas de los quebrados, han de persistir, sin embargo, entre ellos determinados espacios. Pues, por añadidura, no todos los valores fraccionados pueden representarse mediante quebrados comunes, y los únicos números de que disponemos para intercalar entre los quebrados comunes finísimamente escalonados y probar de llenar, en cierta medida, las lagunas de la alineación son las fracciones decimales no periódicas, cada una de las cuales se prolonga, de forma inacabable, hasta lo infinito. Ahora bien, esta conclusión se les antojará ilógica y contradictoria creo yo- a algunos lectores. Y lo es si se mira lo fundamental. Ya los antiguos griegos -de tan antiguo arranca la consideración de este hecho, hoy solamente conocido por muy pocos de entre los iniciados - se habían quebrado la cabeza con semejante problema, y este resultado recibía de ellos, desde Pitágoras, la denominación de «alogos», que significa algo así como «ilógico o carente de sentido». Por lo demás, el punto de vista de las matemáticas es hoy, a este respecto, exactamente el mismo; y a estos nuevos números -las fracciones decimales no periódicas- que se hallan en contradicción con la razón -con la «ratio» - se los denomina «números irracionales». Con esto hemos trabado, pues, conocimiento con una nueva especie de números. De suerte que los números «reales», que ya conocíamos, se clasifican, pues, en: racionales (conformes con la razón) e irracionales (contrarios a la razón). Como aclaración a lo dicho conviene presentar aquí una imagen de la cual hay que decir, ya desde ahora, que, como toda comparación, resulta coja, y más en este caso, en que pretendemos demostrar algo infinitamente delicado mediante un ejemplo de lo más basto. Comenzaremos por ampliar nuestra alineación numérica, representándola como un trayecto de ferrocarril de algunos centenares de kilómetros de longitud. También ésta resulta una alineación numérica excelente, por


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cuanto en su trayecto aparece señalado, comenzando por la estación de partida, el llamado «kilometraje». A derecha e izquierda de la vía se yerguen en tamaño grande los hitos indicadores de kilómetros, y entre ellos, otros más pequeños que indican la subdivisión en hectómetros. Desde la ventanilla del coche pueden verse unos y otros en todas las líneas de ferrocarril, y su combinación nos da indicaciones tales como 27,8, 27,9; 40 Km., 40,1, 40,2, etc. Esta grosera división llena su objeto plenamente desde el punto de vista de la técnica ferroviaria y prácticamente basta para todos los efectos. Cualquier ocurrencia en algún punto del trayecto se localiza de modo suficiente mediante la indicación: «en el Km. 44,7» o «entre los 56,6 y los 56,7 Km.». Estas marcas itinerarias podemos compararlas con nuestros quebrados comunes y considerarlas, por tanto, como los indicadores «racionales» o «razonables» del trayecto. Pero al mismo tiempo es innegable que en el imaginado trayecto ha de haber, por ejemplo, un punto cuya distancia al de partida sea exactamente 4,427448 Km. Sucede únicamente que no podemos determinarlo con exactitud por ninguno de los medios técnicos que nos son conocidos; y ello a causa, precisamente, de que no existe ninguna medida de longitud que, tratandose de tan grandes distancias, permita afinar a la perfección un punto en décimas de milímetro. Este punto - y una infinidad de puntos semejantes - existe, pues, de hecho en el trayecto mencionado, sin que nos sea posible determinarlo ni siquiera mediante los instrumentos de medición más delicados. Un tal punto es, pues, verdaderamente irracional, es decir, absurdo. Resultaría en gran manera ridículo que un ferroviario transmitiese un parte del tenor siguiente: «A causa de una avería en la locomotora, el tren D 76 se halla detenido a mitad del trayecto y el primer par de ruedas de la máquina se halla exactamente a la altura del kilómetro 429,7758.» Lo mismo ocurre con los números irracionales. Así como nos es imposible determinar con toda exactitud un punto del trayecto en décimas o centésimas de milímetro, nos lo es igualmente al escribir en cifras un número irracional; pues los quebrados comunes, muy manejables, pero demasiado bastos y de insuficiente afinación, no se prestan a ello; y si recurrimos a los decimales quedaremos en seguida «defraudados», puesto que no ya toda una vida, ni siquiera las eras irrepresentables transcurridas desde la aurora de los tiempos, serían suficientes para trasladar al papel un quebrado decimal no periódico de una extensión realmente infinita... ¡Lástima que la bonita y luminosa idea que sobre esto teníamos resulte enteramente falsa, pues en ella nada hay de irracional o irrazonable !

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Más justo hubiera sido representar los hitos itinerarios - es decir, los símbolos de los quebrados comunes - infinitamente más estrechos en el sentido del camino y sucediédose ininterrumpidamente, de forma que la más insignificante variación de distancia imaginable viniese al momento señalada por su hito correspondiente. Estos hitos, entre los cuales nada se interpondría, ni siquiera el más leve resquicio, formarían, pues, una pequeña e ininterrumpida valla paralela a la vía. Y sin embargo, aun así habrían de existir intervalos suficientes entre los hitos en cuestión para que en su espacio pudieran intercalarse, en cierto modo, una inmensa cantidad de fracciones decimales infinitas no periódicas. Esta incompatibilidad entre las sucesiones herméticas y los incontables intersticios que manifiestamente han de coexistir con el hermetismo, es lo irrazonable, lo irracional, en este misterio de los quebrados, que desde hace casi dos mil años importuna a la humanidad y que en la actualidad no ha logrado todavía penetrar en nuestra mente. Convengamos en que este asunto de los números irracionales resulta, por demás, enfadoso y enrevesado. Y ahora nos encontramos con un hecho que nos parece casi absurdo, después de todo lo visto hasta ahora: los números irracionales pueden «dibujarse». Veamos, a este respecto, un bonito ejemplo. Una de las relaciones de cantidad más importantes y más frecuentemente utilizadas es la existente entre la longitud de uno de los lados iguales de un cuadrado cualquiera y la longitud de la diagonal de éste. Propongamos, por ejemplo, inscribir una figura (o sea un ornamento de envolvente cuadrada) en un círculo de determinado tamaño. ¿Cuál será la longitud del lado del cuadrado, dada la longitud del diámetro del círculo? A poco que se reflexione se verá que la cuestión se reduce a la consideración de un triángulo rectángulo e isósceles al que puede aplicarse el viejo teorema de Pitágoras y llegar por él a la conclusión de que la diagonal de un cuadrado (que en este caso es el diámetro del círculo) es igual a la longitud de uno de los lados multiplicada por un número en extremo sencillo, el expresado por que como es natural se halla de antiguo calculado y vale 1,414214..., que resulta ser un número fraccionario infinito y no periódico, es decir irracional. Si dibujamos, por tanto, en un cuadrado cuyo lado es 1, la diagonal, la longitud de ésta será 2 = 1,4142 ...


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De este modo hemos representado gráficamente el número irracional

2 sin muchos problemas.

Irracionales son, además, casi todas las raíces; por ejemplo, las raíces cuadradas de 5, de 8, la raíz cúbica de 36, de 49 6 112, etc. Una excepción la constituyen todas las raíces que se «abren»; por ejemplo

También el infinito ejército de los logaritmos -ya tendremos ocasión de conocerlos más a fondo- son, casi todos, números irracionales. Con los logaritmos llegamos, sin embargo, todavía, a otro grupo de números -al que esperamos tener ocasión de conocer durante nuestro paseolos «números trascendentes». También éstos pertenecen a los números irracionales, pero se caracterizan por el hecho de que no pueden representarse ya como «raíces» (6). Mientras que los números irracionales ya provocaron el despecho de los antiguos griegos, el descubrimiento de los números trascendentes es producto de tiempos más modernos. El propio C. F. Gauss, «rey de las matemáticas», nada preciso sabía acerca de ellos, pues hasta el cuarto decenio del pasado siglo se ignoraban del todo estas curiosas particularidades. El lector, si es que no ha perdido ya la cabeza, opinará tal vez que nos hemos elevado en exceso. Cálmese, pues ha de saber que uno de los números más importantes en el orden práctico, sin el cual toda la técnica actual resultaría inconcebible, pertenece a este grupo de trascendentes. Se trata del 6

(') Más exactamente «raíces de una ecuación algebraica»; pero esto no lo entendemos, y no es, tampoco, importante para nosotros.

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llamado número de Ludolf, más o menos conocido desde hace milenios, y que nos dice las veces que la longitud de una circunferencia contiene la longitud de su diámetro; se trata, en fin, del célebre número π, usado a diario millones y millones de veces. Es, desde luego, un número, naturalmente, irracional, o sea que sólo puede expresarse -mediante una fracción decimal infinita no periódica. Helo aquí, incompleto 3,14159265358979323846.. Lindemann demostró por primera vez, en 1882, que este número es trascendente. Con anterioridad, en 1873, había hecho ya Hermite el gran descubrimiento de que el «número entre todos los números», acaso el más importante de todos, la verdadera piedra fundamental y angular de toda la Matemática, el número e, célebre base del llamado sistema de logaritmos naturales y cuyo valor incompleto es 2,718281828459045... es también un número trascendente. No nos reproches, lector amigo, el que hayamos abusado un poco de tu facultad imaginativa. Pues cabe preguntar ¿No son verdaderamente grandiosos y espectaculares los misterios que durante este ligero paseo por los dominios de los números han aparecido a nuestros ojos? Y qué mísero resulta, sin embargo, nuestro poder, que no alcanza siquiera a expresar mediante cifras un número tan simple como habría de ser el que multiplicado por sí mismo diese por producto 2 Y ¡qué gigantescamente grande y noble es el trabajo de la inteligencia que ha sabido proporcionarnos toda esta serio de conocimientos ! He aquí una exposición que en los que reflexionan seria mente habrá de despertar un presentimiento de la augusta belleza del mundo de la concepción matemática.


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LA MAGIA DE LA TABLA DE MULTIPLICAR

Las primeras impresiones del prodigioso jardín de las matemáticas han hecho cambiar fundamentalmente el mundo de nuestras representaciones. ¡Cuán interesantes son, sin embargo, todas las relaciones que unen entre sí aun los cálculos más sencillos! Antes de ocuparnos más a fondo de la «teoría», que no nos parece ya tan «gris», estudiaremos primero algunos problemas prácticos. Procuraremos, como medida de precaución, callar prudentemente de lo que se trata, para evitar que el lector, asaltado otra vez por el temor a una supuesta nueva dificultad de concepción, cierre el libro, en la creencia de que no logrará desentrañar jamás tan intrincadas materias. En realidad, la cosa es, también en este caso, tan sencilla, que - como está comprobado - hasta los alumnos algo listos de las escuelas elementales se ocupan de ella. Siempre ha gozado el número 10 de una especial y plena popularidad, y el motivo es fácil de comprender. El 10 es el número básico que, en cierto modo, se repite desde un principio en toda la numeración. Y es por esa característica sistemática que esta práctica decena nos permite contar del modo mejor y más sencillo; es el número más «grato» por ser el que menos quebraderos de cabeza nos ocasiona al practicar la_ adición, multiplicación, división y substracción. Así, pues, vamos a entretenernos un poco con este número, calificado como el «más sencillo».

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¡Empecemos, pues, a contar con nuestro «sencillo número»! En cierto modo curiosa es la multiplicación de diez por sí mismo, es decir, la llamada potenciación. Para ello nos serviremos, naturalmente, de los pequeños y conocidos números plantados en lo alto las potencias. Recordamos todavía cómo debe leerse esta forma de anotación. 10 • 10 = 102 equivale á «cuadrado de diez» o «segunda potencia de diez», o -con expresión acertadísima, que utilizaremos las más veces- «diez elevado a dos». En consecuencia, «diez elevado a tres» 103, es decir, mil, y así sucesivamente.

Esta notación nos lleva a considerar algo que al lector acaso pueda antojársele disparatado. Se trata del símbolo 101, es decir, «diez elevado a uno». Pero si lo consideramos más a fondo podremos darnos cuenta de que 101 se incluye de manera perfectamente armónica. Significa, simplemente en comparación con las otras potencias-, que el diez debe escribirse sólo una vez. Era necesario detenernos en esta aclaración porque a partir de ella podemos establecer inmediatamente una estrecha relación entre los números pequeños que figuran en la parte superior derecha del diez, y el valor relativo del producto, o sea el número de ceros que lleva. El producto tiene exactamente -vulgarmente hablando- tantos ceros detrás del uno como indica el numerito colocado arriba. Según esto, 1.000.000 es =106, y se escribe, pues, con seis ceros; del mismo modo que: 102, o sea l00, se escribe tan sólo con dos ceros. De aquí resulta una comodidad extraordinariamente grande, y es que ahora podemos expresar los monstruosos números gigantes mediante combinaciones de números sencillísimas, claras y de fácil interpretación al primer golpe de vista. Así, por ejemplo 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 equivale sencillamente a 1030.


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Incluso los números descomunales cuyos primeros lugares no se hallan ocupados por «uno» y ceros podrán ser traducidos por nuestro cómodo y recién hallado procedimiento. Así: 29 000 000 000 es sencillamente 29 • 109, o 29 000 millones. Ahora bien, estas pequeñas cifras colocadas en la parte superior derecha, llamadas «exponentes», nos permitirán además ampliar útilmente nuestra técnica relativa a la multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces. Procediendo por partes y sin prisas, fijémonos en que 100 • 1000 da 1.000.000, y esto, en nuestra nueva escritura, equivale a: 102 · 103 = 105; del mismo modo que, por ejemplo: 1.000.000 • 1.000 = 1.000.000.000 = 106 · 103 = 109. Con natural sorpresa nos damos así cuenta de que la multiplicación de los números reales se convierte en una adición de los consabidos números de la derecha, es decir, de los exponentes, y es fácil ver que esto no sólo es aplicable al caso de la unidad seguida de ceros, sino que también lo es cuando se trata de otros números cualesquiera. Así 3 · 9= 27 equivale a 31 · 33 = 33. Y este caso nos hace comprender al mismo tiempo la oportunidad de haber anteriormente colocado un pequeño uno en la parte superior derecha de un simple diez. Lo mismo ocurre con la división, pero a la inversa. Veámoslo también prácticamente: 1.000: 10 = 100, equivaldrá, según el nuevo modo de expresión, a 103: 101 = 102 Así, pues, ¡a división de los números reales se ha convertido en una substracción de los exponentes! Una vez aquí nos falta muy poco para poder contestar a la pregunta siguiente: ¿De qué modo puedo escribir por este procedimiento las fracciones decimales? Primero, una pregunta: ¿Qué es 10l: 103? Si, de acuerdo con la regla establecida, restamos los exponentes, obtendremos 10-2. Ésta es una cosa casi absurda, con la que poco podemos empezar, a primera vista. ¿10-2? ¿Diez no escrito dos veces y luego multiplicado entre sí? Nuestra comprensión, evidentemente, ha terminado. Pero en este caso no resulta tan difícil descubrir el meollo de este misterio. Como ya sabemos, 10: 103 equivale también a

101 10 = 3 100 10

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Este quebrado podemos, empero, dividirlo, también, por 10, obteniendo de este modo 1/100 La «potencia» 10-2 se revela como el quebrado 1 / 100 ¡Y lo mismo puede hacerse con cualquier número!Así, por ejemplo, de 22: 25 se deduce que 2-3 no es otro que el quebrado 1/23 = 1/8 -. Quien no vea esto con claridad, puede hacer los cálculos correspondientes, sin utilizar las potencias. Otros ejemplos, todavía

Los quebrados pueden representarse, también, como fracciones decimales. La cosa es particularmente sencilla ron los quebrados de 10:


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La potencia negativa indica, por consiguiente, cuántos ceros debe tener la fracción decimal. Sin necesidad de ningún cálculo especial, podemos convertir una potencia de diez, de exponentes negativos, inmediatamente en una fracción decimal. Así, por ejemplo, en el caso de 10-8 se añaden simplemente 8 ceros, se añade un 1 y se añade, finalmente, todavía la coma. ¡Todo ello es muy sencillo! No hay que indicar siquiera que las potencias con exponente negativo están muy indicadas para la representación de números muy pequeños. Recordaremos, todavía, un ejemplo: el diámetro de un electrón, al que dimos como 0,000 000 000 005 636 mm. Si tenemos en cuenta que 5636•0,00000000000001 = 0,000000000005636 podremos escribir esta formación numérica, tan poco manejable, de una manera mucho más sencilla Diámetro del electrón = 5636 . 10-15 mm. ¡Y así se representa, también, en todas las obras científicas ! Algunos de nuestros lectores habrán observado ya que en la introducción de los exponentes negativos estaba, también, en juego el principio de la permanencia: hemos ampliado el concepto de potencia a las potencias con exponente negativo, consiguiendo, con ello, que nuestras reglas de potenciación sigan siendo válidas para un campo mucho mayor de tareas. Lo importante es aquí que no se deriven cualesquiera contradicciones. Probemos, de momento, con la multiplicación: 10 · 0,01 = 0,1, o expresado en palabras: diez veces una centésima es igual a una décima. De acuerdo con nuestra anotación, significa esto: 101 • 10-2 = 101. ¡Por consiguiente, da resultado ! Conviene, sin embargo, prestar ahora un poco de atención, pues del desarrollo ulterior de nuestro problema resulta algo que a primera vista parece estar en franca contradicción con toda lógica usual. No nos apartemos de nuestro diez tan fácilmente manejable. Sabemos ya que 102 = 100, y que, por el contrario: 10-2 es igual a 1/100, etc. Entre los valores 102 y 10-2 debe existir, sin duda, también el valor 10°, y aquí se nos presenta una delicada cuestión: ¿qué significa entonces realmente «diez elevado a cero»? Si le atribuyéramos la significación del imperativo: ¡no escribas para nada el 10, ni lo multipliques tampoco por sí mismo!, ¿no sería un patente disparate? Concedamos que la tal pregunta planteada en esta forma suena en cierto modo a necedad. Pero la práctica, me-

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diante un sencillo ejemplo, nos da una contestación enteramente clara y significativa. Así tenemos que: 103 • 10° debe equivaler simplemente a 103, pues la suma de los exponentes 3 + 0 no puede dar más que 3. Si a un número cualquiera no le añado nada (ni nada le resto) dicho número permanece simplemente invariable. Nuestro ejemplo nos dice, por lo tanto, que podemos multiplicar 103 por un cierto número (desconocido todavía y que no se oculta tras el disfraz de 10°) sin que el 103, o sea 1.000, sufra variación alguna. Una cosa igual ocurre en la división de 103 por este mismo misterioso número. ¿Qué clase de número puede ser éste, que cuando multiplica o divide a otros no los hace variar en lo más mínimo? No necesitamos investigar mucho, pues el curioso prodigio, tras el cual andamos, ha de ser forzosamente el único posible y ¡precisamente el uno! Y así llegamos al hecho sorprendente, pero innegable, de que «diez elevado a cero» es igual a 1. Por tanto, hemos «inventado» un nuevo símbolo numérico. «¿Para qué?», se preguntará el lector. Para contestar esta inmediata pregunta; ahí va un ejemplo 102: 102 = 10 2 – 2 = 100 = 1 Sin la definición de un nuevo símbolo 100 = 1 fallaría, en este caso, la regla de la potenciación. De la misma manera, sería imposible de resolver, por este sistema, el problema 34: 34 = 34-4 = 30. Naturalmente, sabemos perfectamente, cuál ha de ser el resultado

3 4 3·3·3·3 = =1 3 4 3·3·3·3 Y así nos encontramos con la sorpresa de que también 30 = 1. Esta curiosa relación es válida, sencillamente, para cualquier número. Como hemos mencionado ya, repetidamente, es lógico que todas las operaciones numéricas encontradas y su básica simplificación, mediante los «números pequeños», son válidas también para todos los otros números. Así, por ejemplo, 152.154 = 156, de la misma manera que 2112 · 2114 = 2126 Esta profundización no habría de prestarnos ya ningún valioso servicio, pues las operaciones semejantes a las de estos dos últimos ejemplos


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son en cierto modo raras y los conocimientos' que hemos adquirido acerca de esto no nos servirían más que como interesantes y entretenidas piezas del arte de calcular en casos determinados y especiales, si no fuera que habrán de permitirnos utilizar y aplicar el truco de nuestros numeritos a otros números fundamentalmente distintos. La solución del problema 4261 . 33448 =? quedaría en efecto muy simplificada si pudiésemos resolverlo jugando con nuestros numeritos como en el caso, por ejemplo, de la multiplicación de 10 • l00 El camino que conduce a este fin, y algunos se habrán ya percatado de ello, nos va a resultar poco largo. Sabemos que 100 = 10 • 10 = 102 y 1.000= 10 • 10 • 10= l03. Y ahora viene la cuestión que a primera vista parece sin sentido y absurda: ¿Cuántas veces necesito multiplicar el 10 por sí mismo para obtener, por ejemplo, 500? La pregunta nos choca de pronto porque en nuestro lenguaje vulgar y corriente nos dice de algo enteramente fuera de lógica. En realidad, es decir, concebida de modo puramente matemático, la cosa varía por completo, pues puedo hallar en seguida una respuesta aproximada a nuestra pregunta. Así: 500 se halla entre 100 y 1.000, es decir, entre 102 y 103. Para obtener 500 necesito, pues, indudablemente, multiplicar 10 por sí mismo algo más de dos veces y algo menos de tres. ¡Reflexiona un poco por favor, lector amigo, depón los prejuicios que empañan la visión justa de las cosas y procura abarcar con la mirada enteramente despejada la clara evidencia de este desconcertante aserto! Después de haberlo calculado realmente a fuerza de tiempo, se sabe hoy con absoluta precisión que para obtener 500 es necesario multiplicar 1o por sí mismo 2,698970... veces (este número acaba en una fracción decimal infinita no periódica). A la pregunta de: ¿cuántas veces habrá que multiplicar 10 por sí mismo para obtener, por ejemplo, 7?, se puede contestar de modo análogo. También en este caso salta claramente a la vista que este último número será menor que 1 y mayor que 0; pues l00 da 1, mientras que 101 da l0. El número buscado es realmente 0,845098...; y ahora, para poner un par de instructivos ejemplos, vamos a escribir el valor de los «numeritos» que habrán de indicarnos las veces que debe multiplicarse el 10 por sí mismo para obtener algunos «números vulgares». Así, por ejemplo 100,47712... = 3 101,30103... = 20 101,69897... = 50 102,17609... = 150, etc

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Más adelante averiguaremos de dónde salen estos números. Ahora vamos a hacer, en primer lugar, un experimento de la mayor importancia. Puesto que 102 • 105 es igual a 107, la ley de simplificación que aparece aquí de manifiesto debe conservar su validez aun cuando los numeritos que hacen de exponente de 10 no sean números enteros, sino fracciones decimales. ¡Veámoslo! 20 • 50, por ejemplo, equivale a 1.000, o sea l03. Pero si yo escribo 101,30103 en lugar de 20, y l01,69897 en lugar de 50, habrá de resultar, para que dicha ley se cumpla, que el exponente del producto sea precisamente 3; y, para alegría nuestra, podemos ver que realmente estos excelentes numeritos cumplen fielmente su palabra; así: 101,30103 · 101,69897 = 101,30103 – 1,69897 =103 = 1.000 Una segunda prueba nos proporcionará un resultado idénticamente brillante con 3 = 100,47712 y 50 = 101,69897. Así, pues, la suma de estos pequeños números habrá de darnos aquel pequeño número que nos indica cuántas veces hemos de multiplicar 10 por sí mismo para obtener 150. ¡Y, en efecto, es correcto! 3 · 50 = 100,47712 · 101,69897 = 100,47712 + 1, 69897 = 102,17609 Como podemos deducir de los ejemplos numéricos arriba mencionados, tenemos 102,17609 = 150, lo que quería demostrarse. ¡Una historia realmente fantástica ! No queremos ocultar ya, por más tiempo, al lector, el nombre de estos exponentes quebrados. ¡Todos aquellos pe-, queños números que indican cuántas veces debe multiplicarse 10 por sí mismo para obtener un número determinado se llaman logaritmos! Antes de seguir adelante en nuestro empeño de dar a conocer en toda su amplitud la curiosa magia de la tabla de multiplicar, descubriremos el secreto de la procedencia de estos logaritmos. Su obtención en las tablas logarítmicas es cosa bien sencilla, porque en éstas figuran asentados en disciplinadas columnas los logaritmos pertenecientes a todos y cada uno de los números imaginables... El lector dirá « ¡Alto ahí!¡sto es un disparate! ¿Cómo es posible colocar todos estos números en un breve manual? ¡Esto es imposible! » ¡Pero se equivoca el amigo lector !Pues lo maravilloso de los logaritmos es que con un modesto montoncito de estos «peones del arte de calcular» basta ya para dominar todo el panorama de los números que nos


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son accesibles. Cosa, aunque maravillosa, fácilmente comprensible, ya que lo que se ha procurado en primer término ha sido establecer un modo de escribir simplificado. Como hemos afirmado anteriormente, 3, por ejemplo, es igual a 100,477121.... Según eso, el número 0,47712 es el logaritmo de 3. No hemos de olvidar, ni por un instante, que este logaritmo es el exponente de 10. Por consiguiente, se escribe: 10 log 3 = 0,47712... donde «log» es, simplemente, la abreviatura para «logaritmo». Esto no significa sino que 0,47712... es el exponente de 10, equivale a 100,47712... = 3 De la misma manera, 10 log 2 = 0,30103... significa que 100,30103... = 2, y así sucesivamente. Los logaritmos que hemos tenido ocasión de conocer hasta ahora están todos ellos referidos a nuestros «aplicados' dieces». Existen, también, sistemas de logaritmos edificados sobre otros números, es decir, tienen una «base» distinta de Io. Sin embargo, para facilitar las operaciones de multiplicar, dividir, etc., están indicados solamente los logaritmos decimales. Así, pues, en nuestros cálculos nos las tendremos que ver siempre con estos logaritmos. Por consiguiente, no es siquiera necesario que hagamos alusión cada vez al:ro. Además, prescindiremos también de los puntos, que significan simplemente que se trata de una fracción decimal infinita. ¡Esto lo sabemos ya, de una vez para siempre! Así, pues, los logaritmos decimales los expresaremos sencillamente log 2 = 0,30103 log 3 = 0,47712 lo que debe enunciarse diciendo: «El logaritmo de 3 es igual a 0,47712», y así sucesivamente. Naturalmente, también es posible una inversión de este «método», a saber, cuando se trata de buscar el número que corresponde a un logaritmo determinado. Esto se escribe como sigue antilog 0,47712 = 3

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Planteemos inmediatamente la siguiente pregunta: ¿Cuáles son los logaritmos de 0,3, 3, 30, 300 y 3000? Basándonos en los conocimientos adquiridos, podemos averiguarlo enseguida, aunque sea de modo aproximado. Estos números podemos representarlos como productos, es decir: 0,3=3 · 10-1; 3 =3 · 100, 30 = 3 · 101, 300=3 . 102, etc. Tenemos, por consiguiente 0,003 = 3 · 10-3 = 100,47712 · 10-3 = 100,47712 - 3 0,03 = 3 · 10-2 = 100,47712 · 10-2 = 100,47712 - 2 0,3 = 3 · 10-1 = 100,47712 · 10-1 = 100,47712 - 1 3 = 3 · 10-0 = 100,47712 · 10-0 = 100,47712 + 0 30 = 3 · 10+1 = 100,47712 · 10+1 = 100,47712 + 1 300 = 3 · 10+2 = 100,47712 · 10+2 = 100,47712 + 2 3000 = 3 · 10+3 = 100,47712 · 10+3 = 100,47712 + 3 30.000 = 3 · 10+4 = 100,47712 · 10+4 = 100,47712 + 4 Y este examen nos ofrece algunas comprobaciones del mayor interés y el más elevado valor. En primer lugar, es vano el temor, antes enunciado, especto al desmesurado número de logaritmos que necesitaríamos tener dispuestos para poder calcular con ellos, pues las partes de los logaritmos que no pueden saberse sin consultar las tablas, es decir, que no trascienden al exterior y que pudiéramos denominar «numéricamente íntimas» vuelven a figurar de nuevo. log 0,003 log 0,03 log 0,3 log 3 log 30 log 300 log 3000 log 30000 log 300000

= 0,47741 – 3 = 0,47741 - 2 = 0,47741 - 1 = 0,47741 = 0,47741 + 1 = 1,47741 = 0,47741 + 2 = 2,47741 = 0,47741 + 3 = 3,47741 = 0,47741 + 4 = 4,47741 = 0,47741 + 5 = 5,47741

El logaritmo de 1,11 es de tal modo semejante a los de 11,1, de 111, de 11.100, etc., que con un solo logaritmo podemos arreglárnoslas para todos


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esos números. La parte interesante del logaritmo dependiente del valor relativo del número, o sea del lugar que ocupa el grupo de sus cifras, podemos calcularla mentalmente al instante. Resumiendo, resulta 1. El logaritmo es, prescindiendo de excepciones, una fracción decimal. Por ejemplo, log 20 = 1,30103. Consta de la característica (en nuestro ejemplo el 1), como se denomina la cifra delante de la coma, y de la mantisa (30103), es decir, las cifras después de la coma. 2. Los logaritmos de todos los números con la misma sucesión numérica (por ejemplo, 173; 1,73; 0,0173) tienen la misma mantisa. 3. Del valor posicional del número se deduce la característica. 4. La característica del logaritmo a) de un número es cuando la cifra delante de la coma tiene

0 1 2 3; ..., 1 2 3 4 lugares

b) de fracciones decimales, que tiene la forma 0,... 0,0... 0,00... 0,000... es 0,...-1 0,...- 2 0,...- 3 0,...-4 (Así, por ejemplo, el logaritmo de 0,002 es igual a 0,30103 - 3) Así, si busco el logaritmo de un número cualquiera, por ejemplo, de 123, lo haré en dos actos. El primer acto del cometido queda resuelto al instante, por así decirlo, y consiste en determinar la característica. Esta será, sin duda, dos, puesto que 123 es mayor que 100, y así, dejando, por el momento, espacio para la mantisa en averiguación, escribo: log 123 = 2,.... Luego viene el segundo acto, y para efectuarlo consulto sencillamente una tabla de logaritmos, en la que para el valor numérico 123 hallo las siguientes cifras: 08991. En ella no encuentro nada más, aparte las cinco (según las tablas pueden ser 4, 5, 7 o hasta 11) mencionadas cifras. Éstas me

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dan la mantisa correspondiente al logaritmo del valor numérico 123, que faltaba poner en la igualdad establecida. Y así obtengo finalmente log 123 = 2,08991 con lo cual queda resuelto el ejercicio. Pongamos otro ejemplo más, para aprender a buscar los logaritmos de las fracciones. Ya sabemos que, por ejemplo log 3,243 log 0,3243 log 0,03243 log 0,003243

= 0.51095 = 0,51095 - 1 = 0,51095 - 2 = 0,51095 - 3

y así sucesivamente. Para evitar la incómoda notación de las cifras negativas, tal como 0,51095 - 1, se encuentra, a menudo, en las tablas una simplificación. Para evitar totalmente la cifra negativa, se completa la cifra delante de la coma hasta 10, de modo que, en lugar de 0,64532 - 2, se tiene entonces 10,64532 - 2 = 8,64532 (7). Igualmente sencillo resulta el procedimiento cuando se trata de averiguar el número correspondiente a un logaritmo determinado. Tenemos, por ejemplo, el logaritmo 4,43136. También aquí dividiremos en dos partes nuestro ejercicio, que se plantea así antilog 4,43136 =?

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Esta forma de notación es solamente usual en las tablas, en las que, por razones de conveniencia, es preciso dar una indicación sobre la característica (por ejemplo, en las funciones trigonométricas). El lector no debe romperse por ello la cabeza, pues no habrá de vérselas apenas con tales cálculos. De todos modos, estaremos informados cuando nos llamen la atención tales anotaciones en las tablas.


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La primera, consiste en determinar dónde habremos de poner la coma. Se resuelve al instante, pues sabemos que un número cuyo logaritmo comienza por 4 debe ser mayor que 104 y menor que 105, es decir, debe encontrarse comprendido entre 10 000 y 100 000. Con esto podemos ya indicar, aproximadamente, el valor relativo del número, mientras ponemos unos puntos antes y después de la coma decimal. .. ...,.. En la tabla hallamos que al resto, es decir, a la mantisa, le corresponde el valor numérico 2700. Este valor se escribe debidamente en la pauta antes preparada, y encontramos el número 27 000,000 Del mismo modo hallaríamos inmediatamente, dado el logaritmo 0,89448, que el número correspondiente está entre 10 y 1, es decir, que tiene sólo una cifra entera. De modo que apuntamos .,.... En la tabla hallamos para 894.48 el valor numérico 78.43 y por lo tanto diremos antilog 0,89448 = 7,843 Antes de pasar a exponer, a continuación, en algunos ejemplos, las ventajas de este método de cálculo, trabaremos una más íntima amistad con las tablas mismas. Examinemos una parte de una tabla de logaritmos (8).

8

De «Sohloemilch Logarithmen», 5i. Edición r9S6, Vieweg & $ohn Braunschweig.

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Lo mejor será empezar con un ejemplo. ¿Cuál es el logaritmo de 70,16? La característica es, por tanto log 70,16 = 1, . . . . Para escribir esto no se necesita, naturalmente, todavía ninguna tabla. En las tablas de logaritmos se encuentran, por tanto, solamente las mantisas, es decir, las cifras poi las que hemos de sustituir los puntos. Para la tabla carece también de importancia si buscamos el logaritmo del número 70,16, del 7016 o del 70160. También aquí es la sucesión numérica la única que importa. Un pequeño obstáculo, todavía, en el que podríamos tropezar: las cifras que se repiten son omitidas en diversas tablas.


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No pierdas la paciencia, querido lector: todo esto debe decirse una vez, para que sepamos manejar también las tablas. ¿De qué nos servirían todas las hermosas teorías, si no supiéramos manejar nuestras herramientas? 1.° La multiplicación. Diremos: Puesto que 102 · 103 = 105, podrá aplicarse en general la ley que dice: el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. Si tengo, pues, que multiplicar tres números entre sí, buscaré los logaritmos que les corresponden. Sumados éstos obtendré el logaritmo del producto. De aquí se deduce, por añadidura, que la multiplicación de valores numéricos corresponde a la adición de sus valores logarlitmicos. ¡Bueno! Supongamos ahora que hemos de resolver el siguiente problema: 84,734 · 2001,2 · 0,0414. ¿Cómo lo haremos? ¡Muy sencillo! Determinemos en primer lugar los logaritmos. Estos son

log 84,734 = 1,92806 log 2001,2 = 3,30129 log 0,0414 = 0,61700 − 2 log producto = 5,84635 − 2 = 3,84635

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Ha llegado ahora el momento de determinar el número de cifras enteras. Del valor de la característica deducimos que el número debe ser mayor que 1 000 y menor que 10 000, o sea que ha de tener cuatro cifras enteras. La plantilla será: ....,... Ahora entramos con 846.35 en la tabla de logaritmos. Allí encontramos el valor numérico 702.02 que debidamente colocado en nuestro esquema de puntos da el siguiente resultado antilog 3,84635 = 7020,2 Con lo cual ha quedado resuelta nuestra multiplicación: 84,734. 2001,2 · 0,0414 = 7020,2 Está indicada en este lugar una observación sobre la «interpolación», es decir, la determinación de valores intermedios, no consignados en la tabla. En nuestro ejemplo debíamos buscar el antilogaritmo de 3,84635. La mantisa 84635 no se encuentra en la tabla (véase la tabla de la pág. 61), sino tan sólo los valores contiguos 84634 y 84640. Las cifras del antilogaritmo buscado deben encontrarse, por tanto, entre 7020 y 7021. Esto es posible solamente si tomamos una quinta cifra. Para ello se divide el intervalo 70200 a 70210 -diferencia 10- y 84634 hasta 84640 -diferencia 6 - cada vez en 10 partes iguales. Si el antilogaritmo aumenta en 1 unidad, la mantisa aumentará, entonces, en la décima parte de la diferencia 6, es decir, en 0,6. Éste es todo el secreto de la interpolación. Para la mejor comprensión vamos a resumir todo esto en una tabla. Si se busca la mantisa correspondiente a un antilogaritmo se procede entonces de la 1ª a la 4ª columna log 70,206 = 1,84638


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Inversamente, se procede de la 3ª columna cuando se busca la sucesión numérica del antilogaritmo en la 1ª columna antilog 3.84635 = 7020,2 Naturalmente, no hay nadie que escriba esto tan extensamente. Con un poco de práctica se puede calcular, inmediatamente, mentalmente. Algunas tablas evitan incluso este trabajo y contienen «tablillas de proporcionalidad» adicionales (P. P.), las cuales contienen las divisiones decimales de la diferencia tabular dada. 2.° La división. Como sabemos ya, es la inversa de la multiplicación y, por lo tanto, 10 000:100 = l00, o sea, 104: 102 = 102. En presencia de dos números que es preciso dividir entre sí operaremos restando del logaritmo del dividendo el logaritmo del divisor. He aquí un ejemplo 3884:5287=? Recurrimos una vez más a los logaritmos:

log 3884 = 4,58928 − 1 − log 5287 = 3,72321 log cociente = 0,86607 − 1 ¡Atención!El log 3884 es, en realidad, 3,58928 y, en consecuencia, hubiéramos debido calcular 3,58928 – 3,72321. Este logaritmo negativo es,

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sin embargo, muy incómodo para el ulterior cálculo. Por ello se escribe para 3,58928, preferiblemente 4,58928-1, lo que viene a ser lo mismo. Por lo referente al número de cifras vemos que, como nos lo delata -1, el número debe ser menor que 1, pero mayor que 1/10. De ello se deduce el siguiente esquema de número de cifras: 0, . . . . . En la tabla encontramos, para 86 607, el valor 73 463; así, en nuestra división se deduce 0,73463. Y nosotros escribiremos 3884: 5287 = 0,73463. 3.° Elevación a Potencias. ¿Cuánto es 2,363, es decir, la tercera potencia de 2,36? Hace ya tiempo que sabemos hacer este cálculo. La elevación a potencias no es más que la repetida multiplicación por el mismo número. Así, pues 2,36 · 2,36 · 2,36, y sucesivamente

log 2,36 = 0,37291 + log 2,36 = 0,37291 + log 2,36 = 0,37291 log 2,36 3 = 1,11873 ¡Alto! Todo esto puede hacerse de manera mucho más sencilla. 0,37291+0,37291+0,3729 no es más que 3 ·0,37291 Con ello podemos reconocer ya una regla de cálculo muy cómoda para la elevación a potencias log 2,363 = 3 · 0,37291 = 3 • log 2,36 Antes de que, a la vista de esta sorprendente deducción, nos olvidemos de seguir calculando, veamos rápidamente el resultado 1og 2,363 = 1,11873 Ù 2,363 = 13,114


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¡Pero volvamos ahora a nuestra regla de cálculo! Si nuestras reflexiones fueran correctas, y la casualidad no nos ha jugado ninguna treta, en este caso, por ejemplo, 45=4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 1024 logarítmicamente puede calcularse muy sencillamente log 45 = 5 · 1og 4 = 5 · 0,60206 = 3,01030 De la tabla de logaritmos deducimos nosotros antilogaritmo 3,01030 = 1024, y éste es, realmente, el valor correcto, incluso completamente exacto. Así, pues, nuestra regla es correcta, y con ayuda de los logaritmos podemos elevar a potencias, sin fatiga y como nos guste. ¿Cuál es, por ejemplo, la quinta potencia de 4,742, es decir, el número que se obtiene cuando se multiplica 4,742 cinco veces por sí mismo? Rápidamente se encuentra el logaritmo, que resulta ser 0,67596. Y con la misma rapidez se obtiene 5 . 067596 = 337980. Si se busca el número correspondiente, resulta ser: 2397,7. Es, pues, 4,7425 = 2397,7 4.0 Extracción de raíces. En tanto que las operaciones aritméticas hasta aquí estudiadas pueden ser resueltas también, aunque más trabajosamente, mediante los procedimientos directos de la multiplicación y la división, ocurre que la extracción de raíces es, en cambio, un proceso en el cual el auxilio de los logaritmos resulta insubstituible. Aclararemos esto, ante todo, en muy pocas palabras. La raíz cuadrada, por ejemplo, de 13,64 significa buscar el número que multiplicado por sí mismo dé 13,64. Ya sabemos que no es tan fácil tratar con raíces. En un principio, éste es para nosotros un gran interrogante. Por el momento vamos a dar un nombre a este interrogante. Y un nombre muy corto. Vamos a llamarle «x». En nuestro ejemplo; x es la raíz cuadrada de 13,64. De esta x sabemos solamente que su cuadrado es 13,64. x2 = 13,64

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Detrás de, por ejemplo, 32 = 9 no se esconde realmente nada más. A ambos lados (de la ecuación, según se llama) hay exactamente lo mismo, sólo que escrito de manera distinta. Así, también 9 • 9 = 32 • 32 y log 9 = log 32, etc. Después de estos preparativos teóricos, la logaritmación de x2 13,64 no nos procura ya ninguna dificultad, y también la siguiente ecuación nos resulta sumamente comprensible log x2 = log 13,64 = 1,13481 Ù 2 · log x = 1,13481 De esta manera sabemos finalmente cuál es el valor de dos veces log x, a saber, 1,13481. Una vez log x es, sencillamente, la mitad de este valor log x = ½ log 13,64 = 0,56741 Con 0,56741 buscamos en las tablas de logaritmos, y descubrimos que el antilog de 0,56741 = 3,6933. Así, pues,

x = 13,64 = 3,6933 De la potencia de la raíz, y sirviéndonos de la conocida y cómoda regla de la elevación a potencia logarítmica, hemos llegado a la raíz misma. De la misma manera podemos proceder con cualquier raíz. Vamos a probarlo con la raíz tercera de 125. Si planteamos 3 125 = x , x, multiplicado tres veces por sí mismo, deberá ser 125 log x3 = 3 • log x = log 125 = 2,09691 Se calcula, por tanto, primero, 3 por el log x, y la tercera parte nos dará el log x. log x = 1/3 log 125 = 0,69897 x = antilog 0,69897 = 5


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La extracción de raíces se convierte en un cálculo muy sencillo. Nos llama la atención aquí, todavía, otra relación. En los ejemplos anteriores, log x = ½ log 13,64 y log x = 1/3 log 125. Por consiguiente, podemos escribir también

log 13,46 = 1 log 13,46 2

y log 3 125 = 1 log 125 3

¡Éste sí que es un resultado sorprendente!De lo que se trata en nuestra extracción de raíces: se divide, simplemente, el logaritmo del número por el «grado» de la raíz buscada, y un problema que sería por lo común muy complicado, se resuelve ahora en un abrir y cerrar de ojos. ¿Cuál es, por ejemplo, la raíz séptima de 90?; o sea, ¿cuál es el número que multiplicado siete veces por sí mismo da 90? ¡Aquí del logaritmo de 90!Hallamos en las tablas que es 1,954243. Hay que dividirlo ahora por 7, con lo que obtendremos 1,954243: 7 = 0,279177 Busquemos el número correspondiente al logaritmo 0,279177 y encontraremos que es 1,902... Pero algo hay en esta mágica tabla de multiplicar logarítmica que no habrá pasado inadvertido para el atento lector, y es una cierta imprecisión en todo el procedimiento. De hecho, cuando la cantidad de cifras enteras de un número es relativamente grande no nos es posible mediante logaritmos realizar, de un modo verdaderamente preciso, ni siquiera una multiplicación. No podemos, por ejemplo, expresar exactamente, valiéndonos de los logaritmos usuales, el logaritmo del número 947 332 482,7441. En nuestra tabla pueden ser consideradas solamente las 5 primeras cifras. Del número desaparecen, pues, de buenas a primeras, 24827441. Y para hacer cálculos real y verdaderamente exactos es necesario acudir a medios totalmente distintos, tales como -en primer lugar- las máquinas calculadoras. Mas no por esto vamos a juzgar como insuficiente la exactitud de las operaciones logarítmicas, pues en la gran mayoría de los casos basta su exactitud.

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Pero aún hay algo más. Hasta este momento hemos partido siempre del número 10 y hemos planteado la pregunta siguiente: ¿Cuántas veces he de multiplicar 10 por sí mismo?, etc. Pero podríamos preguntar igualmente ¿Cuántas veces he de multiplicar por sí mismo el número 8 o el 15 o el 341 para obtener cualquier otro número dado, por ejemplo, el iio? Sin embargo, en la práctica se ha introducido casi exclusivamente la base 10. Estos logaritmos erigidos sobre 10 como número básico reciben el nombre de logaritmos vulgares o de Briggs. Al lado de éste, sólo otro sistema ha adquirido significación, a saber, el llamado sistema natural de logaritmos. La base de estos logaritmos es el importante número 2,71828182845904... que termina en una fracción decimal de infinito número de cifras y es trascendente. Lamentamos tener que suplicar al lector que crea, sencillamente, lo que le decimos, pues una digresión sobre el conjunto de pruebas referentes a la asombrosa posición e importancia de este número es algo tan difícil que no halla cabida en este libro, cuyo programa no traspasa los límites de lo elemental. Bastarán unos modestos intentos, en averiguación de algo más acerca de este número, para que tengamos idea de la extraordinaria dificultad de toda ulterior discusión a este respecto. El mencionado número, base del sistema natural de logaritmos, y que desde Euler se representa comúnmente por la letra e, puede expresarse también de otra manera, es decir, mediante una suma, de infinito número de sumandos que se alinean en una representación de las llamadas series. Nos contentaremos con transcribirla sin entrar en las complicadísimas teorías relativas a esta clase de representaciones matemáticas. Bastará el solo aspecto de esta serie para que el lector llegue a hacerse una idea de las profundas raigambres y vínculos que ligan este extraño valor 2,718... a los restantes números

1 1 1 1 1 1 e = 1+ + + + + + + 1 1⋅ 2 1⋅ 2 ⋅ 3 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 1 1 + + + ..... 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8


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y téngase por entendido que esta igualdad no será cierta hasta que se sume el conjunto de todos los términos, que, como dijimos, son en número infinito. Para terminar diremos que nuestro importante y misterioso e se alía y coopera con otras dos cantidades, de no menor importancia en verdad. Tenemos, por una parte, la fantasmagórica i, raíz de -1, que no aparece en nuestra incondicional alineación numérica, pero que, en cierto modo, nos es conocida; y, finalmente, el tercer número que se asocia a estos dos es el no menos singular número π, o sea 3,1415926..., que, como es sabido, nos indica cuántas veces el perímetro de la circunferencia contiene a la longitud de su diámetro. Junto a esas especiales cantidades, tan misteriosas y fuera de lo común, nuestro ecuánime uno causa una pobre impresión de cortedad, sensatez y prosaísmo. Pero, ¡qué parentesco más cercano ofrece con tal «terceto» de números!Así es que, como Euler reconoció en 1748, no es mucha la distancia que media entre, el más sencillo de nuestros números y aquel tenebroso trío. Valgan como ejemplo de lo dicho las siguientes relaciones características, verdaderamente asombrosas e2 i π=1

y

ei π =-1

Que, traducidas al lenguaje vulgar y corriente, nos dicen: si multiplicas 2,7182818... por sí mismo tantas veces como indica el producto de 2 por i y por 3,1415926..., el resultado será 1; y si multiplicas 2,7182818... por sí; mismo tantas veces como indica el producto de i por 3,1415926... el resultado será -1. Ya sé que la mayoría de mis lectores no alcanzarán a «comprender» esto, pues la escasez de conocimientos que hasta aquí hemos podido proporcionarles no lo permite. Es, pues, conveniente que estas dos expresiones -por lo demás bien fáciles de recordar - sean miradas algo así como si fueran arcaicas piedras misteriosas cubiertas de indescifrables caracteres rúnicos. Las dos mencionadas igualdades, que constituyen «la cabeza de puente» en los dominios de lo irrepresentable, merecen el realce que les hemos dado; pues aun cuando apenas pueda sospecharse lo que significan estos extraños monolitos, bien vale, sin embargo, la pena de saber lo que en realidad demarcan y adónde conduce ese camino ante cuya entrada se yerguen, imponentes, tan singulares expresiones.

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Una varita mágica

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UNA VARITA MÁGICA

Sería una omisión imperdonable si, después de trabar conocimiento con los admirables logaritmos, ignorásemos un descubrimiento que descansa en la aplicación práctica de los mismos, y que constituye una de las adquisiciones más geniales del espíritu humano; sobre todo, cuando el objeto al que vamos ahora a referirnos es útil para toda persona que desempeñe alguna actividad. ¡Atención, pues, que a todos interesa! Como tantos otros descubrimientos básicos, la varita mágica en que vamos a ocuparnos ahora surge de la conexión entre dos espléndidas ideas halladas por la humanidad en el transcurso de su desarrollo; la primera de ellas es, a pesar de su maravillosa sencillez, poco menos que desconocida. Por esto hablaremos primeramente de ella. A Andrés, el labrador, no le «entran» las cuentas. Y es que en la escuela ya le salían rematadamente mal; y aun ahora, después que los años han hecho de él un venerable abuelo, encanecido tras una vida honrada de penosa labor, no puede ocultar su pésimo humor cada vez que, por «pega», sus asuntos le ponen frente a un problema aritmético, por sencillo que sea. En esas ocasiones, nuestro buen Andrés, amargado y fuera de tino, suelta palabras feas - ¡a pesar de no haber sido nunca blasfemo! - mientras se esfuerza en hallar, aunque a veces en vano, algún posible recurso que esté a su alcance y le permita llegar a la deseada solución. Hemos de confesar, no

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obstante, que puesto a buscar revela una genialidad digna de mención. Así, por ejemplo, no hace mucho tiempo tuvo que llevar huevos al mercado, y la vispera había reunido un montoncillo de 36 piezas. Cuando por la mañana del día señalado recorrió el gallinero encontró todavía 17 huevos más, con lo que se le planteó a nuestro buen Andrés el difícil problema matemático siguiente «¿Cuántos huevos he reunido en total? ¿Cuántos serán 36 y 17?» Problema sencillamente insoluble para él, pues nuestro labrador, en medio de las fatigas del recio trabajo cotidiano, ha olvidado hace tiempo la difícil tabla de sumar tan a duras penas aprendida en su infancia; mas, de pronto, le asalta una idea genial y, gracias a su astucia, se pone Andrés en condiciones de practicar la suma sin necesidad de sumar. Abandona, por decirlo así, el camino recto y busca un rodeo que le conduce igualmente al fin deseado. El rodeo consiste en contar: empieza por juntar todos los huevos en un solo montón y comienza en seguida a contarlos. ¡Estupendo! El resultado ha de ser forzosamente justo y, efectivamente, Andrés cuenta de este modo 53 huevos. La invención de Andrés tiene mucha más importancia y trascendencia de lo que a primera vista parece. Y, cosa curiosa, es precisamente en la ocurrencia de reunir los huevos en «un solo montón» donde salta el chispazo de ingenio. Daremos un paso más y desarrollaremos la idea fundamental que de aquí se desprende. Quedamos por el momento en que Andrés calculaba con huevos, es decir, con piezas sueltas. Avancemos ese paso, en sí insignificante, y pongamos distancias, o sea centímetros, en lugar de huevos, con lo que habremos hallado una auténtica máquina de calcular, que nos permitirá resolver rapidísimamente, en una determinada zona de números, adiciones y substracciones. Pasemos ya a la práctica. No necesitamos, a tal fin, grandes preparativos: no necesitamos más que dos reglas divididas en centímetros. No tenemos más que colocar una regla sobre la otra y... ¡el invento está listo !

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Queremos saber, por ejemplo, cuántos son 36 + 47. Para ello no hay más que hacer coincidir los bordes de las dos reglas y hacer deslizar una de ellas hasta que su origen, o sea la raya cero, venga a coincidir con la raya 36 de la otra. Más exactamente deberíamos decir «en la raya de 36 mm», de la misma manera que, por ejemplo, 5 es la división- que marca los 5o mm. Seguimos ahora con la mirada la graduación de la primera regla hasta llegar al punto 47, Y veremos que coincide exactamente con la raya 83 de la regla inferior. Y he aquí que el resultado se obtiene, o mejor dicho se lee, de un simple vistazo, sin necesidad de recurrir a ningún cálculo mental o escrito. En realidad, hemos logrado más de lo que pretendíamos saber en un principio, pues sin variar la colocación de las reglas podemos ir leyendo una serie de adiciones hechas al sumando 36; de suerte que las reglas nos indican, con igual precisión, los resultados de sumas tales como, por ejemplo, 36 + 20, 36 + 6o, y así sucesivamente. Nuestros cálculos no hallan aquí límite, si no es en la longitud de la regla; pero hay más todavía: nuestro sencillo instrumento, cuando a causa de la longitud de las reglas no alcanza a dar resultados directos, hace lo posible para proporcionarnos indirectamente todas las indicaciones posibles. Esto es que, si muevo una regla a lo largo de la otra a fin de obtener una suma, como por ejemplo: 80'+ 140, no podré leer directamente el resultado si las divisiones no llegan más que hasta 200; pero en todo caso nuestro par de reglas nos indican por lo menos, con entera claridad, al leer el sumando mayor en la regla móvil, que para obtener el resultado justo faltan veinte divisiones -es decir, el número de divisiones de la regla móvil que sobrepasan de la división límite de la regla fija.

Nuestra regla, verdadera máquina calculadora, nos sirve, con igual rapidez y eficacia, al practicar una substracción. En este caso es necesario únicamente tener de antemano bien presente que se trata de una resta entre dos trayectos. Mientras que durante la adición corremos la vista de izquierda a derecha, en la substracción ocurre todo lo contrario. Así, pues, si que-

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remos restar, por ejemplo, 22 de 148, no debemos -¡atiendan bien!- no debemos llevar a coincidencia la raya cero de la graduación. Lo que haremos será colocar las reglas de tal modo que las rayas correspondientes a los dos números dados coincidan entre sí, y en seguida miraremos con qué raya de una de las reglas coincide la raya cero de la otra. Basta con dirigir una mirada a nuestro grabado para darse en seguida perfecta cuenta de ello. En la resta, sin embargo, fracasa nuestra sencilla máquina de calcular cuando la longitud de las reglas es insuficiente. Toda la dificultad estriba, por consiguiente, en que las reglas son demasiado cortas. Para poder seguir calculando debemos, por tanto, alargar las reglas. Esto puede conseguirse de una manera sorprendentemente sencilla, sin necesidad de acudir a ningún recurso especial. Pero no hay necesidad de perder muchas palabras, pues la figura permite reconocerlo claramente para el problema 30+90.

Así, pues, no colocamos, como en el caso anterior, el cero de la regla superior sobre la marca de los 30 mm. de la inferior, sino sobre los io. Éste es todo el truco. ¡Naturalmente, esto no tiene nada que ver con la brujería!Si la regla inferior fuera realmente -y no solamente en nuestra imaginación, tal como pretende representar la parte punteada de la figura - el doble de largo, el cero coincidiría, efectivamente, sobre el 30, y todo sería igual que antes. 30,+ 9o son, pues, los 20 más zoo, es decir, 120, tal como puede leerse en la «prolongación». Repetiremos una vez más esta importante conclusión: si la regla superior se hace retroceder en toda su longitud (io cm.), la regla inferior o de «lectura» se «alarga» en toda esta misma longitud. Resumiendo, tenemos que para la adición mediante la regla calculadora ponemos un trayecto a continuación de otro, mientras que, contrariamente, en la substracción des. contamos un trayecto de otro. Esto da por resultado una extraordinaria rapidez en el cálculo; pero fácil es también de comprender la causa de que semejante «invento» no alcance a proporcionarnos en la práctica ningún provecho, pues por lo que se refiere a la adición esta-

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mos ya más que suficientemente ejercitados en el cálculo mental para que una máquina de calcular de tal naturaleza pueda aportarnos ninguna ventaja esencial. Ahora bien, la cuestión toma de pronto otro cariz si a esta idea, que en sí ya es genial, le asociamos los logaritmos, aquel tan eficaz recurso de cálculo. Del acertado enlace de estos dos inventos nace la varita mágica: la llamada regla logarítmica de cálculo, de la cual vamos a ocuparnos seguidamente. Para ello necesitamos tan sólo reglas provistas de graduación logaritmica. Lo que de esto puede resultar es cosa que se adivina con facilidad, pues siendo así que los logaritmos permiten convertir la multiplicación en adición y la división en substracción, bastará combinar convenientemente dos reglas graduadas de la antedicha manera para poder hallar productos y cocientes con tanta precisión y sencillez como hicimos antes sumas y restas mediante las reglillas normales. Falta sólo explicar el aspecto que ofrece una regla graduada logarítmicamente. En primer lugar, de lo que se trata es de representar los logaritmos como intervalos. A este fin ordenamos los logaritmos de los números de i a io, correspondiendo a cada uno un intervalo cuya longitud corresponde al valor numérico del logaritmo. Si se indican las longitudes en milímetros, centímetros, decímetros o como sea, carece en sí de importancia, y depende solamente de si resulta práctico o no, respectivamente, de la longitud que quiera darse a la división.

En nuestro gráfico hemos elegido como unidad de longitud 1 decímetro. El log 2 está representado, por consiguiente, por la distancia 0,301 dm. (log 2 = 0,30103); el log 3, por la distancia 0,477 dm. (log 3= 0,47712), etc. ¡Téngase en cuenta que log 1 = 0 y log 10 = 1 ¿Qué hemos conseguido con ello? Una comparación nos permitirá comprobarlo en seguida. Para determinar, por ejemplo, el log 2 buscaremos en la tabla de logaritmos, primero, el antilog 2 (es decir, sucesión numérica 2000), y encontramos, finalmente,

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el valor numérico del logaritmo. Con la división numérica sucede de manera enteramente análoga. Se parte, también, del antilog 2 y se encuentra directamente la distancia del log 2. Dado, sin embargo, que es posible sumar y restar las distancias exactamente igual que con los valores numéricos conocidos hasta ahora, los valores numéricos de los logaritmos mismos se han hecho innecesarios, y no se indican ya en nuestra división. Las que hasta aquí fueron engorrosas operaciones de hallar el logaritmo de un número y el número correspondiente a un logaritmo, indispensables en los cálculos logarítmicos, resultan enormemente simplificadas por la adopción de este tipo de graduación, efectuado una vez para siempre y reproducido en serie. En una palabra: la regla nos ofrece todas las ventajas del cálculo logarítmico, sin el más insignificante inconveniente. De suerte que con una graduación semejante pueden realizar cálculos sin esfuerzo incluso aquellos que sienten invencible antipatía por los logaritmos y por todas las leyes del cálculo; y si nuestro antes citado Andrés quisiera ponerse a tono con los tiempos que vivimos debería haber comprado en la ciudad, con el producto de los huevos tan penosamente reunidos, una regla de cálculo, varita mágica gracias a la cual le sería fácil, al llegar a casa, dejar admirada a su buena esposa, e incluso al maestro y al párroco, al verificar de golpe verdaderas multiplicaciones, divisiones, elevaciones a potencias, extracción rápida, y sin dolor, de raíces cuadradas, y sabe Dios qué otras maravillas. ¡Él, que jamás había sabido hacer una suma cabal... ! Pero nos hemos salido un poco al margen. ¡Volvamos a nuestra regla logarítmica!Con una sola no hay nada que hacer. Necesitamos también en este caso dos de ellas, que dispondremos convenientemente, de idéntico modo que lo hemos hecho en el caso anterior con las dos reglas simples. Si queremos, por ejemplo, multiplicar o dividir dos números necesitamos solamente sumar o restar los correspondientes intervalos. ¡Pero esto hace ya tiempo que sabemos hacerlo!Debemos solamente prestar atención al hecho de que las escalas logarítmicas (como se designan también muchas veces las divisiones) no empiezan con 0, como los centímetros, sino con 1.

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Las modernas reglas de cálculo, tal como se encuentran en el comercio, constan de dos pares de escalas adaptables, llevando el par superior doble número de divisiones que el par inferior. En las dos divisiones superiores A y B están marcadas las distancias, siempre con la mitad de la distancia que en las escalas inferiores C y D, las llamadas escalas básicas. Por el momento no debemos preocuparnos de las demás escalas presentes; por su principio están concebidas igual que nuestras escalas básicas. Después de este «prólogo», empecemos de una vez con los cálculos. i. Multiplicación (se suman dos intervalos). 12 • 20 = 2400

Superposición 10 • 20 = 200

¡Pero, alto!¡Ya hemos resuelto el problema 1,2 • 2!Al escéptico lector debemos confesarle que, en realidad, hemos obtenido solamente 2,4. Sin embargo, las cifras siguen siendo exactamente las mismas, tanto si hemos de calcular 12 • 2, 12 • 20 o, incluso, 12 • 2000. No hay que extrañarse, pues los logaritmos, por ejemplo, de 20 y de 2000 se diferencian tan sólo por la característica. Y si. a alguien le viene en gusto puede prescindir también de la característica. Para comprobar, por ejemplo, que el resultado 3,433 · 12,71 no tiene, con seguridad, más de dos lugares antes de la coma no es precisa más que la simple conversión 3 · 13 = 39. ¡Así, pues, a deslizar las reglas; la coma y el número de cifras se obtienen al final de todo ! Es posible que el lector se sienta un poco incómodo al principio. Pero no es preciso más que un poco de práctica, y todo nos parecerá natural.

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También en la regla de cálculo logarítmica sucede que la división es demasiado corta para poder leer el resultado, por ejemplo, en el problema 8 • 7. Sin embargo, el «alargamiento» no nos causa ninguna dificultad una vez aprendida la simple suma de distancias (véase pág. 72). La escala móvil debe situarse no en el 1, sino en el 10. Para nuestro ejemplo esto significa colocar el 10 encima del 8, y el resultado se lee, como antes, en el 7.

Algo hemos de añadir aquí todavía: en la regla de cálculo está montada una fina lámina de vidrio móvil, el llamado «cursor». Lo más importante en ella es una fina raya grabada, que permite leer con exactitud. La figura en la página 74, en la que se ha representado esta raya, nos permite darnos cuenta de su aplicación.

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2. División (se restan dos intervalos). 240: 20 = 12 Superposición: 200: 20 = 10

El resultado se lee debajo del 1, o, si esto no es posible, debajo del 10 (recordemos el deslizamiento en la multiplicación). No es preciso meditar mucho sobre cuál de las marcas entra aquí en consideración. En este lugar puede ser oportuna una interrupción en nuestros cálculos. ¡Resumamos, una vez más, todo lo aprendido hasta ahora para evitar las confusiones ! Para calcular rápida y seguramente se requiere una cierta práctica al principio, especialmente la colocación y lectura de los valores indicados en la escala. En lo esencial existen tres representaciones, siempre repetidas, de las escalas I) Lectura como en una división milimétrica, cada división representa una subunidad. Puede apreciarse la décima parte del intervalo.

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Axioma: ¡Primero dividir!Encima de 21 colocamos, primero, 14 (¡compárense las dos flechas!). Del «intervalo 21» se resta, por tanto, el «intervalo 14». El, resultado se encuentra debajo de 1, a saber: 1,5. Si se

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quiere sumar ahora el «intervalo 2» (multiplicación por 2), se coloca entonces el 1 encima de 1,5 y se lee el resultado final 3, debajo de 2. Ahora una pequeña sorpresa: la lectura del resultado intermedio 1,5 es completamente superflua. El resultado de la división se encuentra en cada caso debajo del 1 o del 10. De este modo, se tiene ya la posición de partida para la subsiguiente multiplicación. Por tanto, no necesitamos ya desplazar la «lengua» (como se denomina también la parte móvil de la regla) después de la división, sino que leemos inmediatamente debajo de 2 el resultado final. ¡Fijarse en ello y practicar !

4. Cuadrados y extracción de raíces. Como ya hemos mencionado brevemente, las escalas A y B (es decir, el segundo par en nuestra regla), se encuentran frente a las escalas básicas C y D a media escala (r: 2). La escala superior «divide por la mitad», por así decirlo, la inferior. Esta «división por la mitad» es, empero, justamente -recordemos la extracción logarítmica de raíces en el capitulo anterior- lo que necesitamos para extraer las raíces. Exactamente debajo de cada número de la escala A se encuentra, en la escala D, la raíz cuadrada. Naturalmente, esto puede, también, invertirse. Si se procede de abajo arriba, se lee entonces en A, inmediatamente, los cuadrados de D. Hay muchas reglas de cálculo que llevan, además -esto queremos mencionarlo todavía para los lectores particularmente interesados-, otra escala, con un número de divisiones tres veces mayor (escala 1: 3). En ella pueden leerse, con igual sencillez, los cubos o terceras potencias, y, por lo tanto, también las raíces cúbicas. En nuestros gráficos esta escala se representa por K. La posición de la coma se obtiene más fácilmente mediante un cálculo de superposición. En la extracción de raíces es conveniente descomponer las potencias de diez para obtener valores numéricos, cuya solución sea fácil de determinar. Por ejemplo 3200 = 32 ⋅ 100 = 10 32 ;

Superposición : 10 25 = 50

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Y si a lo dicho añadimos aún que al dorso de la «reglilla» corredera se encuentra, en la mayoría de las reglas de cálculo, una escala para el cálculo trigonométrico, y que existen reglas de cálculo especiales para electrotecnia, geodesia, etc., así como también para los cambios de divisas, el lector podrá hacerse una idea de la increíble multiplicidad de facetas de este sencillo instrumento auxiliar.

Hay algo que no debe silenciarse: toda regla de cálculo puede tener, como es natural, una longitud sumamente limitada, al objeto de que no resulte poco manejable. Esta limitación, sin embargo, tendrá como tope, hasta cierto punto, la excesiva finura de la división de la escala. Toda regla de cálculo es por ello más o menos imprecisa, dado que la lectura de decimales se haría muy pronto imposible. No obstante, su exactitud es tan grande, que su empleo en la mayoría de las operaciones de cálculo, tales como, por ejemplo, las que resuelve el constructor de maquinaria, resulta completamente satisfactorio. En resumen, la regla de cálculo es un instrumento auxiliar de un valor inimaginable; sobre todo porque, si bien no posee la exacta precisión de una máquina de calcular, es incomparablemente de más recursos que ésta.

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Presenta además otra ventaja no menos importante, y es que es suficiente conocer los trucos y maneras de manejarla, sin necesidad de dominar su «teoría». Quien no tema hacer el pequeño gasto que su adquisición requiere, ni le asuste «practicar» un par de días con la regla de cálculo, habrá encontrado en ella un auxiliar para todo el resto de su vida, auxiliar tan eficaz para la solución de los temas de la escuela primaria como para el trabajo en los dominios de la ciencia. Poseer una regla de cálculo y saber utilizarla, es llevar en el bolsillo la parte práctica, que, en cierto modo, es la más difícil del arte de calcular. ¡A decidirse y a adquirirla, pues ! Con el título «magia de la tabla de multiplicar» pusimos al paciente lector en primer contacto con los logaritmos. Para algunos, es posible que este cartel no responda al contenido. Y, sin embargo, aquel reino irreal de lo imaginario tuvo también entonces intervención. Los logaritmos de que nos valemos para nuestros cálculos, y que tenemos grabados en las escalas de la regla de cálculo, no son más, por decirlo así, que una partes de sí mismos: la parte numérica real y verdaderamente tangible. De suerte que queda sencillamente omitido el apéndice, constituido por los números fantasmas. Pero esta omisión es tan sólo permisible mientras nos limitamos a la consideración de los logaritmos correspondientes a números positivos, y la cosa empieza a resultar difícil cuando tratamos de averiguar el logaritmo de un número negativo, pues se halla incluido de pleno en lo imaginario y pertenece, por tanto, a unos dominios que son para nosotros intangibles... Es preciso que insistamos una vez más en la tan repetida verdad- acerca de la lamentable deficiencia de nuestra capacidad de imaginación. Extiende, querido lector, un hilo finísimo a través de tu habitación; e imagínatelo infinitamente delgado. Sobre semejante nonada, sobre este angosto camino, que ha de ser precisamente de delgadez infinita, irrepresentable (y que es, sin embargo, la alineación numérica en que nos hemos basado) se mueve todo nuestro ejército de números reales, ¡toda nuestra ciencia matemática real!Y a su alrededor, en la amplitud infinita del espacio, mora, escapando a toda representación, el inmenso mundo obscuro de los complejos. Naturalmente, esta imagen sigue siendo válida incluso cuando admitimos que nuestro hilo -la alineación numérica- se extiende por ambos lados hasta el infinito.

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Un hilo de araña tendido a través de los espacios infinitos del Universo. He aquí la parte que nos alcanza del inmenso ejército de los números. Es casi imposible dar una imagen que mejor nos ilustre acerca de la exasperante y deplorable insuficiencia de nuestras facultades representativas, tanto más cuanto que tal imagen no es producto de la fantasía de una_ mente soñadora y romántica, sino la pintura veraz de la más sobria y rigurosa de todas las ciencias...

Presentación del señor coseno

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PRESENTACION DEL SEÑOR COSENO

Como hemos advertido ya al principio, no nos será posible, ni mucho menos, estudiar siquiera las más importantes maravillas del inmenso jardín en el que nos vamos internando. Nos vemos obligados a guardar la moderación más estricta para ilustrar al lector de modo agradable, evitándole excesivas complicaciones y sorteando aquello que habría de repugnarle demasiado. Esta limitación que nos imponemos implica tener que realizar extraños saltos, y por tal motivo en la presente ocasión vamos a saltar por encima de toda una serie de fenómenos para pasar a unos dominios, que aun siendo de los mirados con temor y antipatía (por cuya razón no han sido nunca comprendidos como es debido por la mayoría de la gente), no pueden quedar totalmente ignorados dada la fundamental importancia que encierran para la vida práctica. Se trata sencillamente de la Geometría, y en ella vamos a ocuparnos ahora. El nombre, por sí solo, ya atemoriza un poco, por rememorar malos ratos pasados, pues el estudiante, desde el momento en que intenta entrar en este fructífero y maravilloso distrito de las matemáticas, se encuentra ya de lleno en un áspero matorral de líneas entrecruzadas y tropieza a cada paso con desusados y difíciles modos de expresión, todo lo cual tiene por consecuencia que, a pesar de la mayor aplicación y celo, no logre alcanzar la deseada meta en tanto no llegue a una comprensión básica y clara que le guíe.

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Es por ello necesario que, también en este caso, comencemos por algo práctico y perfectamente asequible. Como todo el mundo sabe, la Geometría gira esencialmente en torno del triángulo, con el cual nos encontramos de continuo; de tal modo que quien desconozca la anatomía de esta figura, tan simple en sí, hallará cerrado el paso que conduce a la comprensión de las más sutiles artes geométricas. ¿Por que? Esta pregunta resulta fácil de contestar. El triángulo es la más sencilla de las figuras geométricas planas, y por esto es- la base, el fundamento, de toda representación geométrica, la más simple imagen a la cual pueden referirse las demás figuras de complicada estructura. Todo problema geométrico podrá ser tenido por verdaderamente resuelto tan pronto como logremos llevarlo al campo de los triángulos. No tenemos manera de representar un «monoángulo». Tampoco es concebible en la geometría plana corriente, llamada euclidiana, la representación de un «biángulo», y sólo le hallaremos formado por curvas, como, por ejemplo, en la superficie esférica, etc. Todo el mundo sabe perfectamente le que es un triángulo; es la figura que tiene tres lados, perímetro, área y -aquí comienza la dificultad de comprensión- tiene también tres ángulos. De momento dejaremos de considerar los tres ángulos. Repasemos lo que acerca de las relaciones del triángulo sabemos ya o debiéramos saber. Al empezar tropezamos en primer lugar con una tesis, establecida por la humanidad desde hace milenios, y que resulte precisamente indispensable para nuestros conocimientos geo. metricomatemáticos. Se trata del popular teorema de Pita, goras, conocido en el lenguaje escolar medieval con el nombre de «pons asinorum», o sea puente de los asnos. Procedamos pues, a resucitar en nuestra memoria ese fundamenta: enunciado Un triángulo especialmente «simpático» es, sin duda alguna, aquel que tiene sus tres lados iguales, lo cual -dicho sea de paso- lleva como consecuencia que los tres ángulos sean forzosamente de igual magnitud. Pero, innegablemente, resulta todavía más «simpático» el llamado triángulo rectángulo, cuya característica principal consiste en que dos de sus lados se articulan formando un ángulo recto, es decir, un ángulo de exactamente 9o grados.


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En esta clase de triángulos descansa todo el resto de la geometría. Su «popularidad» se funda en algo fácilmente comprensible; porque, sabiendo de antemano que tiene un ángulo que vale 9o grados, no habremos de ocuparnos más que de los dos restantes. Eso simplifica extraordinariamente toda la cuestión, e impone además la de que los tres lados estén relacionados entre sí por una ley determinada. Y es precisamente el citado teorema de Pitágoras el encargado de enunciarnos el hecho, tan digno de ser tenido en cuenta, de que la medida del lado más largo, multiplicada por sí misma, es exactamente igual al resultado de sumar las medidas de los dos otros lados. Designemos, como es costumbre, el lado más largo mediante la letra c y los dos más cortos mediante a y b, y obtendremos la fórmula, tan amenudo repetida, c2 =a2 + b2; o, para hacerlo más com prensible todavía (Lado más largo)2 = (un lado corto)2 + (otro lado corto)2 Lo curioso y útil a la vez, es que haya triángulos rectángulos en los que los números correspondientes a la medida de los lados vengan representados por «simples» números enteros, sin que por ello deje de ser aplicable el teorema de Pitágoras. Si tenemos, por ejemplo, un triángulo rectángulo cuyos lados son 5, 4 Y 3, respectivamente, veremos que se cumple el enunciado, pues tendremos: 52 = 42:+ 32, osea, 25:= 16 + 9.

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A pesar de su origen milenario, estos triángulos no han perdido actualidad ni importancia. Se puede, además, invertir esta relación, haciendo derivar de la ley pitagórica el «arte» de construir exactamente ángulos rectos. Tomemos al efecto un cordel fuerte de exactamente 40 cm. de largo, y con tinta, u otro medio cualquiera, hágase una marca a 8 cm. de distancia de un extremo y a 15 cm. del otro. Se unen luego los dos extremos del cordón, y se tensa luego, mediante alfileres, formando un triángulo, de modo que en cada alfiler quede formado un ángulo. De este modo habremos formado, con gran exactitud, un triángulo rectángulo de lados 8 cm., 15 cm. y 17 cm.

Éste es un procedimiento primitivo del que se valieron, ya en el antiguo Egipto, los sacerdotes conocidos por el nombre de «harpedonaptas», para obtener directamente ángulos rectos cuando trataban de asentar los cimientos de templos o de edificios profanos. También los indios se valieron en la Antigüedad de igual procedimiento, pero utilizando números distintos, a saber: 15> 36, 39. De aquí que hoy dia se denomine «egipcio» el triángulo 3-4-5, y reciben, en cambio, el nombre de «índicos» aquellos cuyos lados guardan la relación de 5: 12: 13 ó 15: 36: 39. Séanos permitida aquí una ligera digresión. Junto a estas sobrias y tangibles verdades milenarias se nos ofrece un profundísimo misterio matemá-


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tico, que no ha podido ser descifrado todavía hasta la fecha. Se trata del célebre problema de Fermat. Existe un sinfín de grupos de tres números que, al ser elevados al cuadrado, puedan relacionarse de igual modo que los 3, 4, 5 antes citados. Pero, y he aquí lo extraordinario, no hay números enteros que puedan relacionarse de la misma manera al ser elevados al cubo, es decir, al tomar terceras potencias. Se posee hoy la prueba de que, hasta potencias de centésimo grado, no existen números que cumplan esta relación. Lo que actualmente se ignora todavía' es si para más elevadas potencias será posible hallar algún número que cumpla con esta relación. Volvamos a nuestro triángulo rectángulo, al que vamos a examinar ahora con un poco más de detención desde el punto de vista «anatómico». Llevemos, en efecto, las pinzas de nuestra exploración precisamente allí donde se toca el punto neurálgico, por ser donde la cuestión se hace más difícil y menos transparente, es decir, a los ángulos, en cuyos dominios es de extraordinaria importancia práctica entrar con paso seguro; pues, como lo demuestra ya una superficial observación de los más corrientes fenómenos vulgares, los ángulos desempeñan en el mundo que nos rodea un papel directamente predominante. Basta con recordar, por ejemplo, el siguiente hecho evidente: cuanto mayor sea el ángulo de abertura de una puerta, tanto mayor será la anchura del paso libre que deja. Y ejemplos como éste, demostrativos de la influencia de los ángulos, se presentan a centenares y a millares en nuestra habitación y en la oficina. Por otra parte sabemos todos que existe un sistema de medida para expresar la magnitud de un ángulo, sistema por cierto práctico y acreditado: se basa en la conocida división de la circunferencia en grados, minutos y segundos. Según ese modo de contar, un ángulo de 4 rectos -es decir, el formado todo «alrededor» de un punto- mide 36o grados, la medida de un ángulo recto es de 9o grados, etc. Pero semejante evaluación en grados ofrece, sin embargo, la desventaja de no ser suficiente para todos los cálculos o, mejor dicho, sólo nos permite calcular dentro de estrechos límites. Efectivamente, si bien el sistema nos permite, por ejemplo, restar un ángulo de 45 grados de otro de 68 grados, esta medición en grados no basta por sí sola para lograr deducir la variación de longitud de los lados de un triángulo como consecuencia de la variación de magnitud de uno de sus ángulos. Por eso cuando pretendemos realizar cálculos a base de las magnitudes angulares es necesario seguir distinto procedimiento y hacer intervenir otras propiedades de los ángulos. Tales «propiedades» han sido ya debidamente aquilatadas por las matemáticas, y a su conjunto se le ha dado el nombre genérico de «funciones angulares»,

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nombre que, como otros que hemos oído, suena a cosa difícil y complicada. No debe asustarnos, sin embargo, pues en realidad únicamente es ofuscador el nombre, ya que la cosa en sí es bastante sencilla e innocua. Pero antes de seguir adelante es necesario que trabemos conocimiento con uno de los más grandes descubrimientos que la humanidad ha realizado. Se trata, por una parte, del arte de representar gráficamente las relaciones matemáticas y, por otra, del arte de traducir las relaciones geométricas al lenguaje de las matemáticas. Una vez más tropezamos con una extraña designación presuntuosa, es decir, con el llamado sistema de coordenadas, y también en este caso lo más importante de esta cuestión es... el nombre. Imaginémonos un acuario exactamente rectangular con su fondo, que puede estar recubierto de arena y ocupado por plantas, en el cual nada cómodamente un pececillo. Planteemos ahora la siguiente cuestión, tal vez inesperada, pero en todo caso oportuna dentro de nuestro plan: ¿Dónde se halla realmente el pez en este instante? Con arreglo al lenguaje vulgar, la situación del más o menos vivaz animal, vagabundeando en su acuario, se expresaría en una de las siguientes formas: (El pez está justamente en el centro», «ahora se ha corrido un poco hacia el ángulo posterior derecho», o «ahora está casi pegado al fondo», etc. Todo esto es expresivo y está bien, pero, sin embargo, resulta impreciso y difuso. Si queremos ser exactos y determinar la posición real del pez en su recipiente, hemos de llenar en primer lugar un requisito cuya necesidad sienten indudablemente con evidencia la mayor parte de los hombres, pero de modo casi inconsciente. Es menester, ante todo, escoger y fijar un punto al que pueda referirse la posición


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del animal. Puntos nos sobran en nuestro acuario. Partamos, por ejemplo, del ángulo inferoanterior izquierdo de nuestro recipiente. Ahora nos será fácil enunciar dónde se encuentra el pez, o, si queremos ser todavía más exactos, dónde se halla la punta de su boca. Podemos, verbigracia, decir: el pez se encuentra ahora 4,5 cm. a la derecha de la arista vertical del ángulo; desde la pared anterior del recipiente hasta la punta de la boca median 6 cm., y desde la boca hasta la base 4 cm. Como se ve de pronto con toda claridad, la posición del pez se determina de ese modo neta e irrebatiblemente, y con ello no hemos hecho más que establecer un «sistema de coordenadas en el espacio». Medimos las distancias, bien sobre los ejes, bien sobre paralelas a ellos. Y aparece claro como la luz del día que los tres ejes son, partiendo del vértice inferior izquierdo: la arista anteroinferior, la vertical izquierda y la arista que desde el citado vértice corre horizontalmente hacia atrás. Hemos elegido en primer término este ejemplo porque se puede representar más cómodamente la cuestión en el espacio. Pero para nuestro estudio de los ángulos no nos será necesario trabajar en el espacio, sino que podemos limitarnos sencillamente a trabajar sobre un plano. Con lo que se simplifica la cuestión por bastarnos ahora sólo dos ejes: es decir, direcciones y medidas, que volveremos a construir, de manera adecuada. Repitamos, a este objeto, una imagen que servirá para la mejor comprensión del sistema de coordenadas en el plano. Supongamos que, de pronto, nos vemos obligados a emprender un viaje inesperado, y que, durante nuestra ausencia, el electricista tiene que instalar una lámpara en el techo de nuestra habitación. Como quiera que no podemos hablar con el operario, debido a la premura del tiempo, tenemos dos maneras para señalar el lugar del cual ha de pender la lámpara, a saber: hacer de momento una señal con lápiz o carbón en el techo, o bien, lo que es más cómodo, escribir en un papel: «La lámpara ha de instalarse a 4 m. del rincón donde está la chimenea, contados hacia la ventana, y a 2 m. desde la pared de ésta hacia dentro.» Todo error es ahora imposible. Y lo cierto es que también aquí hemos establecido un sistema de coordenadas, cuyo «punto de origen» es precisamente el vértice del ángulo del techo por cuyo rincón pasa la chimenea. Las dos aristas del techo, a las que hemos referido nuestros datos, reciben el nombre de ejes de coordenadas o del sistema. Por lo tanto, un sistema de coordenadas plano consta, en lo esencial, de dos rectas que se cortan en ángulo recto (¡por lo general!) y del punto de intersección de ambas.

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Además de esto hay, naturalmente, algo que hacer notar. Para ello volvamos con nuestro conocimiento de las coordenadas en un plano, a la superficie de dos dimensiones; extendamos sobre un tablero de dibujo un papel blanco, elijamos hacia el centro de éste un punto y tracemos por él, mediante escuadras y tiralíneas, una recta vertical y otra horizontal. Tenemos, pues, de nuevo aquí un «punto de origen de coordenadas» y dos ejes, también de coordenadas. La superficie del papel queda así dividida en cuatro partes de igual modo como la esfera de un reloj queda dividida en cuatro sectores por las cuatro posiciones que toma la aguja mayor cuando señala los cuartos de hora. Cada una de estas cuatro partes recibe en el sistema de coordenadas el nombre de «cuadrante». Nos quedan todavía por bautizar los dos ejes mencionados. También aquí topamos con nombres de extraña sonoridad para denominar objetos inocentes: el eje horizontal se llama eje de las abscisas o eje de las x el eje vertical toma el nombre de eje de las ordenadas, o eje de las y. Reflexionemos un momento y todo este asunto de las ordenadas nos recordará algo ya, en cierto modo, sabido. Pues este sistema ya nos es conocido, «a medias» (por así decirlo): basta recordar nuestro fiel termómetro, imagen de las alineaciones numéricas. Y, efectivamente, imaginemos dos escalas termométricas cortándose en ángulo recto, de tal modo que, por superposición, las divisiones cero de ambas formen el punto de intersección de los ejes de coordenadas; con lo cual habremos logrado construir al vivo un sistema -de coordenadas. La cosa parece a primera vista artificiosa y hasta tal vez infantil. No obstante, esta intersección de dos termómetros, considerada como un sistema de coordenadas, nos aclara de golpe algo que de otra forma habría presentado serias dificultades para el lector, por obligarle a un ejercicio nemotécnico que la mente podría incorporar, pero no asimilar; se trata de los sentidos en que han de contarse, sobre los ejes, los signos más (+) o menos (-).


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Un vistazo a nuestro sistema de termómetros aclara mejor la comprensión real del tema que las más extensas descripciones

Consideremos, primeramente, el primer cuadrante y comprobamos: tanto en el eje horizontal de la x como en el vertical de las y, para todos los puntos de dicho cuadrante, leeremos exclusivamente números positivos. En el segundo cuadrante - y conste que en la ordenación de los cuadrantes vamos en sentido contrario al de las saetas del reloj -, la numeración correspondiente al eje vertical de las y es también positiva, pero los números co-

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rrespondientes al eje de las x son ahora negativos. En el tercer cuadrante todo está «bajo cero» y es, por tanto, negativo. En el cuarto cuadrante las cosas cambian de nuevo; ahora el eje de las x resulta positivo y el de las y, negativo.

Ten la bondad, lector amigo, de dibujar y escribir todo esto. Es de extraordinaria importancia comprenderlo con entera claridad, pues, en lo sucesivo, necesitaremos recurrir a cada paso al sistema de coordenadas y a sus tan sencillos misterios. ¡Y estudia, en la figura, la excursión de la mosca matemática! Tenemos dibujado un verdadero sistema de coordenadas, con sus dos ejes provistos de graduaciones numéricas en ambos sentidos. Una mosca indiscreta viene a describir un vuelo en torno a nuestro dibujo matemático y


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se posa precisamente en el primer cuadrante, sobre un punto que corresponde, por ejemplo, a una x de + 2,5 y a una y de + 3,3. Desde aquí avanza en dirección al eje de las y, al que atraviesa a la altura de una y de + 2,6. Siguiendo un trayecto irregular, va andando entonces por la región del segundo cuadrante, atraviesa el eje de las x por un punto correspondiente a i,g, entra en el tercer cuadrante, que abandona pasando a través del eje de las y, por y - 3,2; una vez en el cuarto cuadrante llega, finalmente, al punto correspondiente a las coordenadas: x = + 3/4; y = -4,4. Al parecer, el insecto está de matemáticas hasta la coronilla, pues, desde el mencionado punto, se decide por reemprender su vuelo. Pero en su paseo, y del modo más sencillo, la entrometida mosca nos ha ido señalando diversas posiciones de puntos en el sistema de coordenadas. Por fin nos hallamos ya en condiciones de poder abordar la espinosa cuestión de los ángulos en el triángulo, para lo cual, por cierto, no necesitamos más que una parte de los conocimientos adquiridos. En el centro del papel recién extendido sobre nuestro tablero de dibujo marcamos un punto. ¿Lo tienes ya, amigo lector? ¡Bueno, pues! Toma ahora un compás cuyas puntas se hallen separadas 10 cm. -medidos con auxilio de una regla-. Apoya ahora la punta seca del compás en el punto anteriormente elegido y traza un círculo. ¡Con lo cual queda ya ultimada toda la cuestión! El resultado de esta operación no puede ser más claro: hemos dibujado un círculo cuyo radio vale un decímetro, o sea una unidad. En nada variaría la cosa si en lugar de este valor tomáramos como radio del círculo un centímetro, una pulgada, una vara o un metro. La longitud absoluta nada importa; lo único importante es que el radio del círculo corresponda a la unidad que escojamos para nuestras mediciones ulteriores. Para nuestro objeto resulta sencillamente más cómodo el decímetro, y designaremos este círculo con el nombre de circulo de radia unidad o, más abreviadamente: círculo unidad. Pasemos ahora a estudiar nuestra cuestión. Principiaremos, al efecto, trazando, a partir del mencionado punto, o sea del centro del círculo, una línea horizontal y otra vertical, es decir, un eje x y otro eje y. El origen cero del sistema de coordenadas así trazado es, pues, a la vez, el centro del círculo unidad. ¡Bueno! Y ahora se acerca, de nuevo, nuestra mosca, de tan clara «orientación matemática», y empieza a trazar círculos sobre nuestro dibujo. ¡La punta del lápiz con el que hemos trazado el círculo parece haber estado en las proximidades de un tarro de miel!La mosca sube hacia arriba, partiendo del eje horizontal x. La distancia del eje vertical y es, al principio,

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igual a la unidad 1 (más exactamente, 1 dm.); pero, conforme va subiendo, se aproxima, cada vez más, al eje y. Cuando alcanza el punto más elevado, la separación es, naturalmente, igual a o. Para cada punto situado en el círculo -es decir, la «situación» en cada momento dado de la mosca-, puede indicarse de nuevo una x o una y. Juntamente con el radio, estos puntos forman un triángulo rectángulo. De este modo se forma un número infinito de triángulos que tienen dos cosas en común: los lados más largos son siempre iguales. Y en cada triángulo uno de sus ángulos es recto, es decir, tiene exactamente 90 grados; cada punto y se encuentra, lo mismo que el propio eje y, verticalmente sobre el eje x horizontal. Por el contrario, los dos lados más pequeños y los otros dos ángulos de los triángulos varían continuamente. De tales triángulos sólo nos interesa, de momento, el lado horizontal, que descansa sobre el eje de las x. Alguna de sus particularidades nos es ya conocida, pues sabemos que para un ángulo de o grados, o sea, con el brazo giratorio en posición horizontal -y esto es para nosotros decisivo-, el lado horizontal del triángulo tiene exactamente la misma longitud que el radio de círculo unidad, o sea 1 y para los 90 grados el lado horizontal vale sencillamente cero.


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¡La cosa continúa siendo clara!Y con ello hemos comprendido la parte verdaderamente más difícil: nos hallamos en medio del tan temido reino de la Trigonometría. Y en nuestro modesto círculo unidad podemos leer todo lo posible acerca del coseno. El círculo unidad es, por así decirlo, la «morada del señor Coseno». Y si tenemos alguna dificultad, lo mejor será «buscarle» en su propia casa.

Algunos de los triángulos mencionados están representados en la figura que sigue. El valor del coseno para el ángulo 10 es, por ejemplo, 0,985. Para el ángulo 60 es exactamente 1/2.

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¿Qué es, pues, el coseno? Tomemos buena nota: es un número puro, llamado «adimensional» (9), que importa 1 cuando el ángulo es o, y disminuye al hacerse mayor el ángulo, hasta convertirse en 0, valor que alcanza en un ángulo de 90 grados. Como se ve claramente, el coseno de 0 grados es igual a 1; el de 10 grados, igual a 0,985...; después va disminuyendo continuamente y, por último, a los 90 grados, resulta igual a cero. Todavía un ejemplo para facilitar la comprensión del coseno: tomemos un libro cuya rígida cubierta tenga exactamente las mismas dimensiones que las páginas. Coloquémoslo, cerrado, bajo una lámpara tan elevada como sea posible. Si levantamos ahora la cubierta con toda lentitud, la anchura de la sombra nos mostrará el valor del coseno de cada uno de los ángulos formados por la cubierta y la primera página del libro. Este ejemplo será exactamente ajustado a la verdad tan sólo en el caso de que supongamos la lámpara colgada a una altura infinita. Por revelador que pueda ser este ejemplo, nos encontramos ahora con una pequeña dificultad. El libro no tiene, en realidad, nada que ver con el círculo unidad; tiene, por ejemplo, una anchura perfectamente real. Habrá llamado ya la atención al lector que con el radio 1 las cosas no son tan malas. La longitud de este radio es arbitraria; los valores del coseno se presentan siempre como partes de 1

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Como, por ejemplo, 3, 1/4, l0; para diferenciación de, por ejemplo, 5 cm., 18 1., 36 t.


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cos 0º = 1 cos 30º = 0,8660 cos 60º = 0,5 cos 90º = 0 En el círculo unidad, las longitudes no tienen ninguna importancia; se trata de una figura matemática adimensional. Sin embargo, no nos dejemos confundir, y determinemos solamente hasta qué punto deben mantenerse separadas las formulaciones que utilizamos en la matemática. ¿De dónde se toma el valor exacto del coseno, cuando lo necesitamos? Pues bien, de sus propias tablas, que se encuentran en todo libro de logaritmos. Para que podamos calcular también valores numéricos, ofrecemos (páginas 98-99) una de tales tablas de cosenos. Si queremos estudiar ahora más exactamente las relaciones del señor Coseno con los triángulos rectángulos, deberemos entonces incluir de nuevo las longitudes en nuestras consideraciones. Empecemos con el cálculo de las dimensiones de la «moradas del señor Coseno, es decir, del círculo unidad. Para mantener la coincidencia con nuestras anteriores consideraciones debemos elegir como unidad de longitud para nuestras mediciones la longitud del radio. De este modo se deduce la sencilla definición del coseno: si en un triángulo rectángulo, el lado más largo - la hipotenusa - es igual a la unidad de longitud, la longitud del lado adyacente está en relación con el valor del coseno del ángulo comprendido. Si la hipotenusa tiene, por ejemplo, la longitud de 1 dm. y forma un ángulo de 60° con el lado adyacente, la longitud del lado adyacente será igual a cos 60 • 1 dm = 0,5 • 1 dm. = 0,5 dm. Naturalmente, nada puede impedirnos escribir para 1 dm., por ejemplo, 10 cm. La hipotenusa tiene, en este caso, justamente la longitud de 10 cm. y el lado adyacente es cos 60° • 10 cm. = 5 cm. de longitud. Nada cambia en este principio si damos el paso hacia un triángulo rectángulo de la longitud de lado deseada. Debemos sustituir, simplemente, «unidad de longitud» por «longitud de la hipotenusa». Vamos a plantear ahora mismo un problema

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Una carretera rectilínea, que mide 11 kilómetros, presenta un desnivel de un grado; ¿a qué distancia horizontal desde el punto de partida del trayecto se hallará un camión después de haberlo recorrido totalmente? Tampoco en este caso resulta difícil la respuesta. Dice así: 11 kilómetros multiplicados por el coseno de un grado, o lo que es lo mismo, 11 • 0,9998 es igual a 10,9978 Km. Con la misma sencillez se alcanza la solución del siguiente problema. Bajo un foco de luz que pende de una altura infinita está puesto un libro de 8,5 cm. de ancho. ¿Cuál es la anchura de la sombra que arroja la cubierta del libro cuando ésta se halla abierta formando un ángulo de 45 grados? De nuevo tenemos aquí que la anchura de la cubierta del libro, multiplicada por el coseno de 45 grados, dará: 8,5 cm. • 0,7071 = 6,0104 cm. De estos dos cálculos podemos deducir que: Hipotenusa por coseno = cateto adyacente Para el «coseno del ángulo» existe también una abreviatura; se escribe, sencillamente, «cos». Si designamos como a el ángulo formado por la hipotenusa y el lado adyacente, y los lados del triángulo con pequeñas letras, a saber, la hipotenusa por c y los dos más cortos por a y b, podemos escribir también: c · cos a = b. Y de ello se deduce: cos a = b / c. O, en lenguaje vulgar: El coseno es la relación (el cociente) entre el lado adyacente y la hipotenusa en un triángulo rectángulo. Una vez aquí, lector amigo, mira a tu alrededor, fija tu atención en los objetos que te rodean y allí donde halles un triángulo rectángulo procura «descubrir» el coseno. Ten, sin embargo, en cuenta lo siguiente: 10) el coseno es siempre un cociente, el resultado de la división del cateto adyacente por la hipotenusa; 2º) a consecuencia de esto: sólo cuando la hipotenusa sea 1, el valor del coseno corresponderá a la longitud del propio cateto adyacente al ángulo.


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A decir verdad, no resulta muy interesante, a lo menos aparentemente, lo que hasta ahora hemos averiguado acerca de nuestro buen coseno. Cierto es que no hay triángulo rectángulo en el que él no desempeñe su papel, pero al lado de aquellos números que hemos visto destacarse como gigantes y con los cuales tan a menudo triunfa la ciencia matemática, no aparece en realidad más que como un mozuelo del todo insignificante que empieza valiendo cero y que a lo sumo alcanza a valer uno. Antes de intentar aclarar por medio de algunos ejemplos lo que este recién conocido nuestro tiene, no obstante, de verdadero gigante y soberano, vamos a iniciar un conocimiento sucinto con el señor Seno, hermano del señor Coseno. Los hermanos suelen ofrecer un mutuo parecido. Tal ocurre también en este caso. Sin embargo, el señor Seno es, en cierto modo, un contradictor del Coseno. Por lo demás, también la morada del señor Seno se encuentra en el círculo unidad. Consideremos, por ello, primero de nuevo los conocidos triángulos rectángulos. No debemos preocuparnos ya de los lados adyacentes; el señor Seno no siente el menor interés por ellos. Sen = c / a

Nuestro propósito es claro: estudiar cómo varía la longitud del tercer lado del triángulo en correspondencia con la variación del ángulo. Y después de una corta observación habremos dado en el clavo, pues vemos que: dicho lado es igual a cero cuando el brazo está completamente horizontal y el ángulo es, por lo tanto, también nulo; que dicho lado crece al crecer el ángulo, para alcanzar finalmente el máximo valor, o sea 1, cuando el ángulo es de 90 grados. Entre estos dos valores (0 y 1) adquiere la longitud del referido lado toda una serie de valores intermedios; ocurre, en una palabra,

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lo mismo exactamente que ocurría con el coseno, con la sola diferencia de que se trata del otro lado y referido al mismo ángulo a. De manera enteramente similar llegamos a los valores del seno del ángulo - abreviadamente, «seno a» -, los cuales podemos leer también en el círculo unidad. También para el seno encontramos todos los valores en las tablas de logaritmos, varias veces mencionadas. Si se estudian con atención estos valores, no tarda en presentarse una sorpresa: el seno y el coseno varían metódicamente en sentido opuesto. El seno de 0° es 0, y el coseno de 0° es 1. En cambio, el seno de 90° es igual a 1 y el coseno de 90° es igual a 0. Es decir, exactamente opuestos. Esto nos permite sospechar que a mitad del camino, es decir, en una magnitud angular de 45°, los dos son iguales. Pues tanto el seno como el coseno de 45° es 0,7071 (lo que, en el fondo, no significa más que

1 / 2 2 ). El seno de 30° es 1/2,; el coseno de 60° es, asimismo, ½. Exac-

tamente igual es, por ejemplo, seno 8° = cos (90° - 8°) = cos 82°; además, el seno de 49 grados es igual al coseno de 41 grados, y así sucesivamente. Teniendo en cuenta las consideraciones hechas ya a propósito del coseno, no nos ha de ser difícil definir el seno: 1. Por lo general, el seno es siempre un cociente, el resultado de una división, la del cateto opuesto por la hipotenusa.

senα =

c a

2. Sólo cuando la hipotenusa es igual a 1, el valor del seno corresponde a la longitud del lado opuesto al ángulo. Con lo que, naturalmente, no debemos olvidar que esto es válido solamente en el triángulo rectángulo. Por el momento nos daremos por contentos con este conocimiento. En total, son cuatro hermanos de tipo semejante dos a dos: seno y coseno, tangente y cotangente, acerca de los cuales habremos de informarnos después con más detenimiento. Averigüemos ahora lo que son capaces de realizar por el mundo estos dos mozuelos que llevan los nombres de Seno y Coseno. ¡Su poder espanta ! Tenemos, por ejemplo, un tren que conduce al extraradio. El trayecto es recto y exactamente horizontal. Los hermanos Seno y Coseno no tendrán


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mucho que aportar aquí, pues si es horizontal quiere decir que el ángulo del declive del trayecto es cero, y entonces el señor Coseno equivale a 1 y el señor Seno a 0. Y si el tren se para habrá llegado simplemente allí donde lo han llevado la fuerza de la locomotora y la energía cinética acumulada en el peso del tren. Pero ahora viene una rampa. Supongamos que la cuesta sube formando un ángulo de 1/2 grado. Al instante interviene nuestro par de hermanos. El señor Coseno se encarga de ejecutar algo fantástico, pues logrará aligerar el peso del tren. Mientras corría por el llano, todo el peso del convoy (supongámoslo de 300 Tm.) cargaba sobre las ruedas. Sin embargo, en la rampa ya no ocurre lo mismo, pues el peso que descansa ahora sobre las ruedas resulta ser de sólo 300 Tm. · cos ½ grado, lo cual equivale a 300 . 0,999962= 299.9886 Tm. (10). El tren se ha aligerado en 11,4 kilos - ¡no es mucho, verdaderamente!-; es decir, la presión ejercida por mediación de las ruedas sobre los raíles ha disminuido en 11,4 kilos. Naturalmente, este peso no puede desaparecer. El señor Coseno se lo traspasa, en cierto modo, a su hermano Seno. Eso hace que del gancho de tracción de la locomotora «cuelgue» real y efectivamente, en sentido de la pendiente abajo, una fuerza igual a una fracción del peso de 300 Tm. del tren. Esta fracción es la que corresponde a 300 Tm. · sen 1/2 grado, y por lo tanto, a 300 . 0,008727 = 2,6189 Tm., o sea 2.618,1 Kg. El maquinista se ve obligado a dar más vapor para vencer la pertinaz fuerza retentiva, que vale más de 2.500 Kg., que es debida al ángulo de la pendiente -al seno- y dirigida hacia el fondo del valle. Si el tren se parase en la pendiente habría que poner inmediatamente en acción los frenos, pues de no hacerlo así el señor Seno arrastraría inexorablemente el tren cuesta abajo. Puede uno imaginarse lo costoso que este maldito doble juego de los dos hermanos resulta en trabajo y dinero para las explotaciones de ferrocarriles del mundo entero, así como para todos los camiones, ciclistas y peatones: en trabajo por la sobrecarga exigida a la máquina en las cuestas arriba, y en dinero por el desgaste del material a causa de los frenos en las cuestas abajo, etc. Y ambos son de una tiranía inexorable no aceptan la más mínima «exención» ni consienten la más insignificante excepción a los duros tributos que imponen. Y con esto habrá vislumbrado ya el lector algo acerca del papel todopoderoso que en la sobria e insípida Geometría desempeñan nuestras recientes amistades.

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El cos ½ , se diferencia sólo muy poco de 1, de modo que podemos considerar ya seis lugares detrás de la coma

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¡Pero volvamos a nuestro don Coseno! He aquí un ejemplo que demuestra hasta qué punto hace sentir su influencia en todas partes, y que sorprenderá seguramente tanto a los felices terratenientes como a aquellos que sueñan con poseer aunque sólo sea una modesta parcela de jardín. He aquí que nos ofrecen en venta, pongamos por caso, dos parcelas de terreno, a elegir. Supongamos que ambas tengan una misma longitud y anchura; digamos, por ejemplo, 100 metros justos de lado. Pero una de ellas se extiende sobre el llano; la otra, en una pendiente bastante empinada y orientada al Sur. Ahora cabe la pregunta: ¿qué parcela nos conviene mejor? También en esta ocasión decide el importante y definitivo señor Coseno, de la siguiente manera: en la parcela llana, el coseno es igual a 1, puesto que no hay allí rampa alguna, ningún ángulo de inclinación o, con otras palabras, no «pinta» nada el coseno, pues es evidente por doquier que cualquier número multiplicado o dividido por 1 no sufre variación. En lo que respecta al terreno en pendiente orientada hacia el Sur, la cosa ya es distinta. Éste se extiende sobre un ángulo de inclinación de -supongamos- 15 grados. Es terreno abonado para la intervención inflexible e inexorable de tal coseno, cuyo valor para el ángulo citado es de 0,9659. Y no hay en el orbe poder alguno que nos libre de este importante factor, del valor del coseno, que actúa de muy curioso modo y va a inclinar la balanza para decidir la compra, haciendo entrar en juego una consideración de peso; pues como en ningún registro ni en ningún catastro se toma en consideración la longitud real de una parcela, sino la llamada longitud proyectada, o sea reducida a la horizontal, ¡vamos a adquirir en realidad un trozo de terreno mucho mayor! ¡Si compramos y pagamos 100o metros, longitud del mismo en sentido horizontal, la intervención del señor Coseno hace que obtengamos de hecho 100: 0,9659, o sea 103,5 m., medidos a lo largo de nuestra parcela! Pero hay más: es por el señor Coseno por quien actúa con «mayor vigor» la energía del Sol en esta ladera orientada al Mediodía. Gracias a su influencia hemos salido incuestionablemente más favorecidos afincándonos en la vertiente Sur que si lo hubiéramos hecho en la llanura o en la ladera que da al Norte, pues aun cuando en esta última el amigo Coseno habría aumentado también la extensión, habría en cambio debilitado la energía solar. ¡A comprar, pues! Pero el inflexible soberano Coseno nos exige en seguida su tributo, que pagamos tan pronto como comenzamos a andar o a hacer acarreos en la parcela de nuestra propiedad; porque si bien empieza por aligerar traicioneramente nuestro peso, ocurre que el señor Seno, que acecha en todas partes, acude simultáneamente en auxilio de su hermano Coseno y


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nos obliga a realizar mayor trabajo cuesta arriba, para fustigarnos, en cambio, las corvas al bajar. Si tenemos en cuenta el papel que desempeñan en la marcha del mundo y reconocemos la fuerza de su terrible y despiadado puño, mediante el cual mantienen a raya al orbe entero, no podremos por menos que admirarnos ante el poder omnímodo de nuestros recién conocidos personajes geomé, tricos. ¿Quién azota el desierto del Sahara con los ardientes y mortíferos rayos; mantiene en las mágicas selvas del trópico, palpitantes de calor y humedad, la incesante canícula; procura el suave clima propio de las zonas templadas, y sepulta la zona polar de la Tierra bajo eternas corazas de hielo y desiertos de nieve? ¿Quién nos trae el calor estival, el encanto de la primavera, el bello y declinante morir del otoño, y el frío y la escarcha invernales? ¡Nadie más que el señor Coseno!Y la cosa se explica, una vez más, por consideraciones tan sencillas como fundamentales e irrevocables expongamos a la luz directa del Sol una hoja de papel blanco. Indudablemente éste lucirá más intensa y claramente; es decir, su brillo será de máxima potencia cuando los rayos del Sol caigan perpendicularmente sobre su superficie, o sea, por tanto, cuando el ángulo formado por los rayos solares con la perpendicular levantada en un punto de la hoja de papel sea de o grados. Pero a medida que vayamos inclinando el papel su iluminación será más y más débil; y si se consideran las cosas desde el punto de vista estrictamente teórico, puede llegar a no ser batido por los rayos solares, sino simplemente rozado por ellos, y esto sucederá en el instante en que dispongamos el papel exactamente en dirección paralela a dichos rayos; y el hecho de que en esta posición no quede completamente a «obscuras» se debe a la acción de la luz reflejada por los demás objetos circundantes y por el firmamento. Como ya adivinamos, el señor Coseno hace sentir también en este caso su influencia. Hay una sola posición del papel en la que no se modifica la acción de los rayos solares (la normal a éstos); en los demás casos el coseno, debido a su valor decreciente, reduce la actividad de los mismos hasta llegar a anularla por completo. Y exactamente igual que con la hoja de papel procede el despiadado Coseno con la totalidad del globo terráqueo. En el trópico posee el valor de «uno», ya que el Sol brilla siempre casi en el cenit, y por eso en aquella latitud el señor Coseno deja llegar la energía solar con poca merma. En nuestras latitudes es ya mayor la reducción, debido a recibir la luz solar bajo mayor ángulo con la normal. Y en aquella región del globo donde el Sol puede elevarse muy poco en el horizonte, es decir, en el círculo polar, el coseno es todavía de menor valor, hasta el punto que, por la gran reduc-

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ción que impone la acción del Sol, el calor recibido de este astro en las regiones gélidas resulta insignificante para poder compensar el descenso de temperatura determinante de los terribles fríos que cubren aquellas tierras y mares de un perpetuo caparazón de nieve y hielo, fenómeno que la sucesión de las estaciones, debida también exclusivamente al señor Coseno, tiende a compensar. ¡Y aún habrá quien se atreva a afirmar que la Trigonometría, campo de acción del tal señor Coseno, es un árido desfile -de fórmulas y números!Mucho habría que buscar para hallar un tirano tan singular, romántico y desconsiderado como el señor Coseno, que, a pesar de todo, sólo alcanza a valer 1. Después de las sorpresas que nos ha reportado el más intimo conocimiento del par de hermanos llamados Seno y Coseno, no sería perdonable que nos echáramos a dormir sobre nuestros «laureles trigonométricos». Y es tiempo ya de que trabemos conocimiento con la «tangente», imprescindible para la comprensión de las matemáticas superiores. ¡La cosa seguirá siendo aquí también muy sencilla ! Ya sabemos que los lados del triángulo rectángulo están en una firme relación de dependencia con el ángulo α - naturalmente, en concordancia también con el ángulo β; pero esto no nos interesa ahora tanto- y esta relación es

senα =

a c

y cos α =

b c

En matemáticas no se habla de «dependencia», sino que se sirve para ello del concepto de «función». Un «algo» depende de otro «algo», y todo el conjunto recibe el nombre de «función». Todo esto suena muy sencillo, pero en realidad puede procurarnos muchos dolores de cabeza cuando se trata de estudiar funciones complicadas. Es aquí donde empiezan en realidad las matemáticas; en su parte principal debe ocuparse de tales estudios (análisis). ¡Pero no tengamos miedo! Ocurre aquí como en la vida comercial: el comerciante Juan ha contraído deudas con sus proveedores. El asunto «funciona» perfectamente; de acuerdo con sus ingresos, va amortizando sus deudas. Sus preocupaciones no son muy grandes... ¡Juan entiende de su negocio!Muy distintos son los «compromisos» de una gran empresa indus-


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trial; en este caso se requiere ya un hábil experto en finanzas, capaz de dominarlo todo. Con estos claros ejemplos de «funciones» pueden quedar trazados los límites de nuestra ambición. Pero ¡volvamos ahora a nuestras funciones angulares ! El señor Coseno es responsable para la relación de lados entre el lado adyacente y la hipotenusa, en tanto el señor Seno se ocupa de la relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa. Es, sin embargo, también evidente que la relación entre los dos catetos depende asimismo del ángulo α, es decir, es una función angular. Recibe el nombre de «tangente» (abreviado «tg»).

tgα =

a b

Las relaciones de parentesco son fáciles de determinar. : Puesto que a = c • sen a, y b = c • cos a, resulta, muy sencillamente

Con ello podemos reconocer ya algunas características de esta nueva función. Si, por ejemplo, a = 0°, la tg 0° = 0 (sen 0 : cos 0° = 0 : 1 = 0). Si sen a = cos a, es decir, pues, a 45°, la tangente será igual a 1. Y ahora empieza la cosa a hacerse interesante, pues este personaje sale muy distinto de los demás, es capaz de hacerse mayor que 1. Así, tg 60 = 1,7321 (esto equivale a 3 ). Pero la señora Tangente es capaz aún de mayores cosas. La tangente de 80° es ya 5,3713 a 85° sube hasta 11,430, y a 89° alcanza hasta 57,290. De 89' a 90° parece perder los estribos. Conforme va acercándose a los 90°, tanto más escapa a todos los límites conocidos. Tampoco nuestra fórmula nos permite comprender lo que sucede

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Esto es un completo absurdo, pues nosotros no podemos, ni debemos, dividir por el cero. Nada cambia en la situación si se dice que la tangente del ángulo de 90° es «infinita». ¿Qué significa este «infinito»? Nadie sabe cuál es su aspecto. No puede decirse siquiera que sea un número. Tomaremos nota, por tanto, de que para el ángulo de 90º no puede definirse ningún valor para la tangente. La usual denominación, no demasiado afortunada, de tg 90º = ∞ («igual a infinito») no tiene, por consiguiente, más que un carácter simbólico. ¡Pero volvamos de nuevo a nuestro círculo unidad ! También los valores tangenciales pueden determinarse en el círculo unidad. Sin embargo, no queremos aburrir demasiado al lector con largas explicaciones. Lo que debe decirse sobre este particular puede deducirse del gráfico adjunto. Lo importante es aquí leer los valores de la tangente en la tangente al círculo unidad. De ahí ha recibido su nombre la tangente. No debe, pues, sorprendernos el que siempre que se habla de tangentes entre también en juego la tangente. La importancia de la señora Tangente es, por lo menos, tan considerable como la de sus hermanos. Veamos ahora un ejemplo: El desnivel de un trozo de vía férrea ha sido calculado de tal modo que por cada kilómetro se eleva 5 m. ¿Cuánto mide el ángulo de la pendiente? La contestación es muy sencilla: la tangente del ángulo buscado será, llanamente, igual al cateto opuesto dividido por el cateto adyacente; o escrito en otra forma

tan gente del angulo de desnivel =

5m 5 = = 0,005 1Km 1000


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En vista de esto podemos decir también: el desnivel de la vía en aquel trozo es de 5/1000 (léase «cinco por mil»). Mas si quiero expresar el ángulo en grados buscaré en las tablas la magnitud del ángulo cuya tangente es igual a 0,005 y encontraré allí que es de 0 grados, 17 minutos, 49 segundos. Hagamos hincapié en el hecho importantísimo de que al querer valorar una pendiente, y tanto si la indicamos de palabra como por escrito, habremos de hacerlo expresándolo por la tangente del ángulo. Una inclinación o desnivel de 1 : 7 corresponde simplemente a un ángulo de desnivel cuya tangente es 1/7 o, expresado en forma de fracción decimal: 0,142857. Si se busca en una tabla de tangentes, hallaremos que le corresponde un ángulo de 8 grados, 7 minutos y 30 segundos. Así, pues, en nuestra tangente reconocemos una antigua expresión, desde hace mucho tiempo conocida y empleada en la vida corriente. Más adelante insistiremos de nuevo sobre la extraordinaria importancia que tiene la exacta comprensión de esta magnitud. La señora Tangente, como es natural, no quiere ser menos que la pareja fraterna formada por Seno y Coseno. Por tanto, también ella tiene una hermana, una hermana gemela a la cual se halla más vinculada aún que los hermanos Seno y Coseno entre sí. Esta hermana gemela se llama Cotangente (abreviatura: «cotg»). La cotangente - indica la dependencia del ángulo a, de la relación entre los dos catetos entre sí. Si examinamos a las dos hermanas comprobaremos que son casi gemelas

De ello deducimos inmediatamente las relaciones de parentesco

¡Cada una de ellas representa el valor recíproco, el valor inverso, de la otra! Divídase 1 por la tangente de un ángulo y se obtendrá la cotangente del mismo, y viceversa. Poco es lo que debemos añadir aquí todavía para borrar fantasmas que pudieran asustar al temeroso lector.

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Como ya hemos visto, las funciones angulares están muy próximamente emparentadas entre sí. A partir de estos parentescos funcionales, y a los fines prácticos del cálculo, se han llenado -¡calculando por bajo!- cuatro o cinco páginas con otras fórmulas que, a primera vista, atemorizarían al novato, inspirándole un horror incurable hacia toda la Trigonometría. ¡Bien mirado, en el fondo es siempre el mismo «juego»!; pues la cosa no pasa de mover y remover, mirar y remirar, ya de un lado, ya de otro, nuestro dichoso triángulo de lado unidad, para sacar a relucir esta o aquella relación de parentesco entre las funciones angulares. No puede ser objeto de este libro penetrar - dentro de semejante matorral, aparentemente tan espinoso, y si alguien debe entrar forzosamente en él, ¡anímese!, pues las espinas en apariencia tan peligrosas se quiebran por sí solas siempre que uno no se deje aturdir. Un importante ejemplo puede subrayar esto. Si nos acercamos con el «teorema de Pitágoras» al triángulo rectángulo, tendremos a2 + b2 = c2, o si dividimos todos los miembros por c2

Ahí tenemos, justamente, los cuadrados de las relacion entre los lados, para los que son responsables los señores secno y coseno. De modo que es válido simplemente

Léase: «seno al cuadrado de alfa más coseno al cuadrado de alfa igual a uno». Sen α no es más que sen α . sen α = (sen α)2; es decir, simplemente, una forma más adecuada de notación que «seno de alfa al cuadrado». Pero no acaba aquí la cosa. Si alguien encuentra alguna dificultad en la Trigonometría, debido tal vez a que no lo ha visto todo sencillo y claro, siempre le quedará un último recurso: «¡Volver al círculo unidad!» Sería lástima que hoy día, en el siglo del incontenible avance triunfal de la técnica, haya alguien que, queriendo colaborar, no se ponga al corriente en estos importantes dominios de la más poderosa de las ciencias auxiliares de aquélla.


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Casi tememos haber cansado un poco la atención del lector, al introducirle en este extraordinario mundo geometricomatemático. Y para aliviarle, le anunciamos que arrojaremos simplemente por la borda mucho de lo que nos queda por decir y que, por otra parte, ofrece escasa importancia en orden a la aplicación práctica de las matemáticas. Digamos solamente que existen además algunas curiosas inversiones de nuestras consecuentes funciones angulares, tales como las llamadas funciones ciclométricas en las cuales el arco, es decir, ángulo, constituye el punto de partida; así como también las denominadas funciones hiperbólicas, que no corresponden al círculo, sino a la elegante curva hiperbólica. Pero todo esto serviría más para intimidar que para instruir y nos llevaría indudablemente a un zarzal de representaciones realmente espinosas. Hablando de esto viene a punto una pregunta que merece ser contestada: ¿Qué relación puede existir entre nuestros modestos ángulos y aquel pavoroso y extraño «imperio imaginario» de los complejos? ¿No estamos a distancia considerable de él? Debería ser así, porque hasta ahora no hemos hecho más que practicar sencillos trabajos manuales y movernos pacíficamente dentro del círculo de radio unidad, tal como Schiller hace decir al soldado de Wallenstein, con ironía: «Necio e indolente, como el jamelgo en torno de la noria, se mueve el paisano siempre alrededor del círculo.» Y no obstante -por lo que se refiere a nuestras funciones angulares, simples relaciones numéricas entre los lados de an triángulo rectángulo-, hemos de confesar que nos hallamos próximos a_ aquel reino fantástico; una vez más pisamos in cierto modo sus fronteras. Y una vez más disponemos de una «cabeza de puente», una piedra miliar esculpida con -aracteres rúnicos, cuya inscripción misteriosa pudo ya reconocer e interpretar el célebre Euler mediante la famosa ecuacion de su nombre. La ecuación de Euler se expresa así (léase: «e elevada a la potencia i alfa es igual a..., etc.»). Pero como esta ecuación está basada en un modo de expresión de los ángulos completamente nueva (esta fórmula es válida cuando los ángulos se miden mediante unidades de arco más adecuadas al cálculo analítico), no vamos ni a intentar siquiera traducirla al lenguaje vulgar.

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Abandonamos, pues, la cuestión en este punto, no sin hacer observar que además de las misteriosas e e i que desempeñan marcado papel en este caso, interviene también (y no podía faltar), el número π, aunque «emboscado» en la formación de la unidad de arco utilizada. La e, la i y π, que, como hemos visto en repetidas ocasiones, gobiernan toda la ciencia matemática, y con ella al mundo entero, siguen pesando sobre nosotros...

El lenguaje de las matemáticas

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EL LENGUAJE DE LAS MATEMATICA.S

Ya desde el principio hemos dado a nuestro avance por el ámbito de las matemáticas el aire de un paseo por un jardín botánico. Pero hay gentes que, a pesar de ser cultas e ilustradas, sienten cierta prevención contra los jardines botánicos, motivada casi siempre por causa de las denominaciones «exclusivamente latinas» empleadas en la mayoría de estos jardines. La verdad es que el placer de contemplar plantas tan hermosas e interesantes se minora considerablemente cuando nos las presentan con la etiqueta de un nombre latino incomprensible, que habremos de olvidar al instante. ¿No resulta_ chocante ver que, por ejemplo, una simple coliflor viene designada con el nombre de Brassica oleracea forma botrytis, y que un vulgar rábano se denomina Raphanus sativus forma radicula2 No estimo del todo injustificados tales recelos, dado que el latín no está al alcance de todo el mundo. Por desgracia, las matemáticas poseen también un lenguaje propio, sus propios signos, oraciones, imperativos, etc., y su propia sintaxis. De suerte que, aun cuando se asemeja a la escritura corriente, este modo desusado de expresión sorprende, no obstante, a los no versados en ellas, haciendo que, de antemano, ya sean presa de sensible desconfianza y no poca repulsión. Y de aquí nacen un sinfín de equívocos, y el desaliento y la angustia, dignos de compasión, que acosan al novato puesto enfrente de una fórmula y que se renuevan cada vez que se halla en presenca de semejantes instrumentos de tortura.

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Intentemos, pues, explicar las características fundamentales de esta lengua y conjurar de tal suerte en gran parte los temores que suelen asaltar al profano ante cada signo, fórmula o enunciado matemáticos, para evitar que sucumba al deprimente sentimiento de inferioridad. Partamos del lenguaje vulgar. Una ligera reflexión hace evidente que el núcleo de toda oración está constituido por el verbo, mejor dicho, el verbo que afirma el predicado. Si faltase éste la oración resultaría incompleta e incomprensible, y solamente tendría sentido en el caso de que el verbo ausente pudiera sobreentenderse sin esfuerzo, como, por ejemplo, en la siguiente afirmación: (¡Oh, estos niños!», o en «¡Horrible accidente ferroviario!» Algo idéntico ocurre en las matemáticas, sólo que con una importante diferencia, favorable e inmensamente simplificadora. Mientras que en el lenguaje vulgar disponemos de un número grandísimo de verbos atributivos, de predicados verbales, en las matemáticas no hay, en realidad, más que uno solo: es éste el comúnmente conocido «signo de igualdad», es decir, «=», que traducido en palabras expresa «es igual a». Y si es verdad que al lado de este capital y fundamental verbo matemático hay otros, tales como los signos (>) «mayor que» y su inverso (

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