Einfu¨hrung Supersymmetrie Katharina Mu ¨ller Universit¨at Zu ¨rich
[email protected] 28. Juni 2002
Kapitel 1 Beyond the Standard Model Das Standardmodell SU (3)c × SU (2)L × U (1)Y war bis heute extrem erfolgreich im Beschreiben aller Ph¨anomene der Teilchenphysik, die den heutigen Beschleunigern zug¨anglich sind (bis TeV). Trotzdem gibt es viele Theorien, die u ¨ber das Standardmodell hinausgehen, da erwartet wird, dass das Modell bei hohen Energien √ nicht mehr gelten kann. Denn bei Energien vergleichbar mit der Planckmasse MP = 1/ GN ' 1019 GeV , mit GN Wechselwirkungskonstante der Gravitation, wird die St¨arke der Gravitationswechselwirkung vergleichbar mit der elektromagnetischen Wechselwirkung zweier geladener Teilchen. Weitere Probleme des Standardmodells: • Hierarchie Problem: wieso ist
MZ MP
' 10−17 so klein
• Higgsmasse: die Strahlungskorrekturen zur skalaren quadrierten Higgsmasse sind von der Gr¨ossenordnung Λ2 (Skala), als nat¨ urliche Skala bietet sich die Planckmasse 2 2 2 an. Damit wird mH = mH,0 + O(Λ ). Das heisst die nat¨ urliche Masse eines skalaren Teilchens ist MP . F¨ ur die elektroschwache Theorie muss die Higgsmasse aber von der Gr¨ossenordnung der elektroschwachen Skala (MW ) sein. • Neutrinos mit Masse im SM nicht m¨oglich Es gibt viele theoretische Modelle, die u ¨ber das Standardmodell hinausgehen und versuchen ein paar der offenen Probleme zu l¨osen: • Grand Unified Theories (GUT): die drei Wechselwirkungen sind verschiedene niederenergetische Aspekte einer Wechselwirkung • Composite Models: Substruktur der Quarks und Leptonen (Preonen) Es gibt keinen Hinweis auf Substrukturen bis zu einer Energie von TeV
Katharina M¨ uller
1
Supersymmetrie
• Technicolor: neue starke Wechselwirkung • Contact Interactions: 4-Fermionen vertices durch Substruktur oder eine neue Wechselwirkung mit schweren Teilchen • Supersymmetrie: neue Symmetrie zwischen Bosonen und Fermionen • String Models es gibt aber bis jetzt keine klaren experimentelle Signaturen. Nach einer kurzen ph¨anomenologischen Betrachtung von GUT werden wir in gr¨osserem Detail Supersymmetrie betrachten, die als eine sehr elegante und gut verstandene Theorie ausserhalb des Standardmodells gilt.
1.1
Grand Unified Theories, GUT
Die Philosophie von GUT basiert auf der Hypothese, dass die starke, schwache und elektromagnetische Kraft verschiedene Zweige einer einzigen Wechselwirkung sind. Diese Vereinheitlichung der Kr¨afte passiert bei sehr hohen Energien. Die Kopplungskonstanten werden bei sehr hohen Energien (1014 GeV ) etwa gleich gross. Das heisst, bei diesen Energien gibt es eine grosse Symmetrie, wo alle Massen und Kopplungen gleich gross sind. Mit unseren heutigen Experimenten beobachten wir nur den niederenergetischen Teil, wo die Symmetrie gebrochen ist und die Kopplungen aufspalten. Die grundlegende Annahme in GUT lautet, dass es nur eine grosse Eichsymmetrie (nur eine Kopplung) gibt mit der Symmetriegruppe GGU T = SU (N ) (oder SO(N )) so dass SU (3)c × SU (2)L × U (1)Y ⊂ GGU T . Diese Gruppe definiert auch den Zusammenhang der drei Kopplungskonstanten. GGU T ist spontan durch ein Higgsfeld gebrochen, wodurch die X- Bosonen Masse kriegen. Erst durch die zweite Symmetriebrechung bei 100 GeV kriegen auch die Quarks, Leptonen und die Eichbosonen Masse. Da die Q-Abh¨angigkeit der Kopplungskonstanten durch die Eichgruppen beschrieben werden, kann die Unification Masse, bei der die drei Kopplungskonstanten gleich gross werden, abgesch¨atzt werden: MX ' 5 × 1014 GeV < MP = 1019 GeV . Die einfachste GUT ist SU (5) und hat 52 − 1 = 24 Eichbosonen, wovon wir 12 (Photon, Z, W ± , 8 Gluonen) schon kennen. Zus¨atzlich w¨ urde es noch 6 farbige, geladene Bosonen und ihre Antiteilchen geben (Y mit Ladung -1/3, Z mit -4/3). Diese Bosonen nennt man Leptoquarks, sie k¨onnen Quarks in Leptonen und umgekehrt a¨ndern. Dabei werden sowohl die Leptonzahl(L)- als auch die Baryonzahlerhaltung (B) (nicht aber B-L) verletzt. Eine unmittelbare Konsequenz davon ist der Protonzerfall duu → Xu → u¯e+ u → Π0 e+ Katharina M¨ uller
2
(1.1) Supersymmetrie
¯νe udu → Y → d¯
(1.2)
Die Voraussagen bewegen sich zwischen 1028 und 1030 Jahren, w¨ahrend die gemessene Lebensdauer bei u ¨ber 1031 liegt. Damit ist Standard-GUT experimentell ausgeschlossen. Weitere Voraussagen von GUT sind magnetische Monopole, die keine elektrische Ladung tragen. Bis heute wurden sie nicht beobachtet. F¨ ur Energien gr¨osser als 1015 GeV ist die Theorie symmetrisch gegen¨ uber SU (5) und es kommt nur eine Kopplungskonstante g5 vor, bei niedrigeren Energien ergeben sich unterschiedliche Kopplungen aufgrund von Symmetriebrechung. Man kann so verstehen, wieso die starke Wechselwirkung viel st¨arker als die elektroschwache ist: Nach der Symmetriebrechung gibt es unterschiedliche Eichgruppen und da SU (3) mehr Vektorbosonen hat, w¨achst die Kopplungskonstante mit kleiner werdenden Energien am st¨arksten an. Ein wichtiges Ergebnis von GUT ist, dass der Weinbergwinkel vorhergesagt wird. Da es 0 nur eine Kopplungskonstante gibt, sind g und g nicht mehr unabh¨angig. Aus gruppen¨ theoretischen Uberlegungen folgt: 0
sin θW 2 =
3 g2 = = 0.375 0 g2 + g 2 8
(1.3)
Dieser Wert gilt allerdings nur bei SU (5) Symmetrie, also bei sehr hohen Energien. Da 0 0 g von U (1) zu kleinen Energien abnimmt w¨ahrend g von SU (2) zunimmt, wird g /g = tan ΘW kleiner. Man erh¨alt mit den Korrekturen einen Wert von sin θW 2 = 0.22, was ganz gut mit dem experimentellen Wert sin θW 2 = 0.23117 ± 0.00007 zusammenpasst. Jede der drei Familien von Quarks und Leptonen hat total (mit Antiteilchen und Farben) 15 Teilchen, die man in SU (5) in den zwei niedrigsten Darstellungen mit den Dimensionen 5 und 10 darstellen kann (analog f¨ ur die rechtsh¨andige Komponente). Mit der Notation in SU (3)C , SU (2)L Zerlegung: ¯5 = (1, 2) + (¯3, 1) = (νe , e− , d¯g , d¯b , d¯r )L 10 = (1, 1) + (¯3, 1) + (3, 2) = (e+ , u¯, u, d)L
(1.4)
Einer der Erzeugenden Operatoren der Gruppe SU (5) ist der Ladungsoperator Q, der diagonal gew¨ahlt werden kann, so dass die Diagonalelemente der Ladung der Teilchen entsprechen. Da Q ein Erzeugender der Gruppe ist, muss seine Spur verschwinden. Das heisst, dass die Summe der Ladungen einer Darstellung verschwinden m¨ ussen. Aus der Anordnung der Leptonen und Quarks in einer Repr¨asentation folgt f¨ ur ihr Ladungsverh¨altnis: 1 Qd = Qe 3 Katharina M¨ uller
und Qu = −2Qd 3
(1.5) Supersymmetrie
und somit folgt automatisch Qp = −Qe . Die Drittelladungen ergeben sich offensichtlich als Konsequenz der drei Farbfreiheitsgrade. Eine Konsequenz von SU (5) ist auch, dass die d-Quarks im Symmetriebereich (1015 GEV ) dieselbe Masse haben, wie die Leptonen. Mit Hilfe der QCD lassen sich die Renormierungseffekte berechnen, die die Quarkmasse um einen Faktor 3 vergr¨ossern, wenn man zu den Laborenergien extrapoliert. Man erh¨alt so f¨ ur das Massenverh¨altnis schwerer Fermionen den Wert mb /mτ ' 3, was recht gut mit dem gemessenen Massenverh¨altnis von 2.6 u ¨bereinstimmt. Ein Problem von GUT als einzige Erweiterung des Standardmodells ist, dass sich die Kopplungskonstanten nicht wirklich treffen. Vereinheitlichung ist nur m¨oglich, wenn neue Physik zwischen der elektroschwachen und der Planckskala dazukommt. Mit einer supersymmetrischen Erweiterung des Standardmodells (MSSM) hingegen kann eine perfekte Vereinigung der Kopplungskonstanten erreicht werden. (Figur 1.1). Deutlich zu sehen ist in Figur 1.1 der Einfluss der neuen supersymmetrischen Teilchen bei Energien von etwa 1T eV . Die drei Steigungen sind nat¨ urlich stark korrelliert, so dass Vereinheitlichung nicht einfach nur durch Korrekturen durch neue Teilchen erreicht werden kann. Beispielsweise kann keine Vereinheitlichung erzielt werden durch mehr als drei Familien oder neue Higgs-Dubletts.
1/αi
1/αi
Unification of the Coupling Constants in the SM and the minimal MSSM 60
60
50
50
40
40
30
30
20
20
10
10
0
0
5
10
0
15
10
log Q
1/α1
MSSM 1/α2
1/α3
0
5
10
15
10
log Q
Abbildung 1.1: Extrapolation der Kopplungskonstanten in GUT und MSSM+GUT
Katharina M¨ uller
4
Supersymmetrie
Die Beziehung der Steigung der drei Kopplungskonstanten (b1 − b3 quantifiziert man u ¨ber den Parameter B, er h¨angt nur von den Anzahl Higgs-Dubletts (nh ab B=
b3 − b2 1 = + 3/110hh = 0.527(nh = Higgs) b2 − b1 2
(1.6)
im Widerspruch zum pr¨azise gemessenen Wert von B = 0.719 ± 0.008 ± 0.03.
Katharina M¨ uller
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Supersymmetrie
Kapitel 2 Supersymmetrie 2.1
Einleitung
1970 wurde die Theorie der Supersymmetrie entwickelt, um einige Probleme des Standardmodells zu l¨osen heute gilt sie als die am besten verstandene Theorie ausserhalb des Standardmodells. • Hierarchie Problem: wieso ist MW /MP ' 10−17 so klein. In GUT hat man zwei verschiedene Skalen V >> v, die f¨ ur die Symmetriebrechung ben¨otigt werden. mH ' v ' 102 GeV
mΣ ' V ' 1016 GeV
→ mH /mΣ ' 10−14 = |Boson >,
Q|Boson >= |Fermion >
(2.3)
Wenn wir symbolisch eine SUSY Transformation schreiben als: δB = f , mit B und f einem Boson-, rsp. Fermionfeld und einer infinitesimalen SUSY Transformation, so folgt aus den (Anti)Kommutationsregeln f¨ ur Fermionen und Bosonen: {f, f } = 0, [B, B] = 0 → {, } = 0
(2.4)
Dies bedeutet, dass die SUSY-Generatoren fermionisch sind. Q besitzt selbst Spin 1/2 und kann deshalb die Helizit¨at eines Boson- rsp. Fermionzustandes ¨andern. Die einfachste Wahl f¨ ur Q ist ein 2-komponentiger Spinor (Weyl-Spinor). Die supersymmetrische Algebra Katharina M¨ uller
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Supersymmetrie
verbindet Teilchen mit verschiedenem Spin und ist eine Erweiterung der Poincare RaumZeit-Symmetrie. ¯ α ) sowie die Poincare Die SUSY Algebra enth¨alt die Generatoren Qα (plus konjugiert Q Algebra mit folgenden Kommutationsregeln: [a, b] = ab − ba: Kommutator, {a, b} = ab + ba Antikommutator {Qα , Q¯β } [Qα , P µ ] {Qα , Qβ } [Qα , Eichgeneratoren]
= = = =
µ −2σαβ Pµ µ ¯ α, P ] = 0 [Q ¯ α, Q ¯β} = 0 {Q 0
(2.5)
wobei P µ der 4er-Impulsoperator ist. Das wichtigste Ergebnis hierbei ist die erste der obigen Relationen. Danach f¨ uhren n¨amlich zwei SUSY-Transformationen nacheinander durchgef¨ uhrt zu einer Translation in der Raum-Zeit oder das Quadrat des SUSY Generators Q ist der 4-er Impuls Pµ ! Somit ist also ein Zusammenhang zwischen der Supersymmetrie und der Allgemeinen Relativit¨atstheorie zu erwarten, da diese gerade die Poincar-Invarianz als Eichsymmetrie enth¨alt. Unmittelbare Konsequenzen f¨ ur zwei Superpartner |A > und |B > • |A > kann durch supersymmetrische Transformationen in |B > u uhrt werden: ¨berf¨ ¯ Q|A ¯ > |B >= QQ...Q • Superpartner haben die gleiche Masse: Bew. Massenoperator = −P 2 ¯ >= Q...QP ¯ 2 |A >= Q...Qm ¯ 2A |A >= m2A |B >→ m2B |B >= −P 2 |B >= −P 2 Q...Q|A m2B = m2A • Superpartner haben dieselben Eichquantenzahlen Bew. Da Q mit den Generatoren der Eichgruppen kommutieren, geht der Beweis analog Die Repr¨asentation der supersymmetrischen Algebra sind Supermultipletts: jedes Multiplet enth¨alt ein Fermion und ein Boson, die zueinander Superpartner sind. Alle Teilchen eines Supermultiplets m¨ ussen dieselben Quantenzahlen der Eichgruppe (Ladung, schwacher Isospin, Farbe) sowie dieselbe Masse haben. Bemerkungen: • wenn der virtuelle Austausch der Superpartner in die Berechnung der quadratischen Divergenzen hinzugef¨ ugt wird, heben sich die Beitr¨age exakt auf und es bleibt nur eine logarithmische Divergenz. Katharina M¨ uller
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Supersymmetrie
• Spartikel sind bis heute nicht nachgewiesen worden, das heisst ihre Massen m¨ ussen sehr viel h¨oher sein als die der SM Teilchen. Deshalb kann die Supersymmetrie keine exakte Symmetrie sein, sonst w¨aren die Massen gleich gross. • Das leichteste supersymmetrische Teilchen (LSP) ist, wenn es neutral ist und nicht zerf¨allt, ein guter Kandidat f¨ ur Dunkle Materie. • Die SUSY Algebra enth¨alt P µ , Raum-Zeit Translationen. Aus der Eichinvarianz unter dieser Transformation folgt die Einsteinsche Theorie der Gravitation. Das heisst SUSY beinhaltet Gravitation, sie ist in der Supergravitation (SUGRA) miteingebaut. Wir betrachten im folgenden den einfachsten Fall (nur ein SUSY Generator: N=1) mit zwei Typen von Supermultipletts: Chiral- Supermultiplet, das die beiden Zust¨ande (Φ, Ψ) mit Spin 0 und 1/2 enth¨alt und das Vektormultiplet (λ, A) mit Spin 1/2 und 1.
2.2
Minimale supersymmetrische Erweiterung des Standard Modells (MSSM)
MSSM enth¨alt die minimale Anzahl neuer Teilchen und Wechselwirkungen, die in Supermultipletts angeordnet sind. In jedem Supermultiplet befindet sich ein Boson und ein Fermion als Superpartner. Die Anzahl fermionischer oder bosonischer Freiheitsgrade m¨ ussen gleich sein. Das einfachste Supermultiplet enth¨alt ein Spin-1/2 Weyl-Fermion (2 Freiheitsgrade nf =2) sowie zwei Skalare (komplexes skalares Feld, nB =2). Dieses Supermultiplet nennt man normalerweise das Chirale (Matter, skalares) Supermultiplet. In dieser Anordnung mit zweidimensionalen Weyl-Fermionen, werden aus jedem Diracspinor (Quarks und geladene Leptonen) zwei zweidimensionale Weylspinoren mit Helizit¨at L oder R. Es ist Konvention, dass im Chiralen Supermultiplet nur linksh¨andige WeylSpinoren auftreten. Das n¨achsteinfache Supermultiplet enth¨alt ein Spin 1 Vektorboson (nB =2 ), damit die Theorie renormierbar bleibt, muss es vor der elektroschwachen Symmetriebrechung masselos sein. Sein Superpartner ist ein masseloses Spin 1/2 Weyl-Fermion (nF =2), das man Gaugino nennt. Diese Kombination aus Spin 1 Eichboson und Spin 1/2 Gaugino nennt man Eich- oder Vektorsupermultiplet. In einer supersymmetrische Erweiterung des Standardmodells muss nun jedes bekannte fundamentale Teilchen in einem Supermultiplet (Chiral oder Eich) vorkommen, sowie einem Superpartner zugeordnet werden, der sich im Spin um 1/2 unterscheidet. Es wichtig, Katharina M¨ uller
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Supersymmetrie
dass die Fermionen im Eichsupermultiplet so transformieren m¨ ussen wie die Eichbosonen, insbesondere also identisch f¨ ur links- und rechtsh¨andige Komponente. Nur das Chirale Supermultiplet kann Fermionen enthalten, die sich unterschiedlich transformieren f¨ ur linksund rechtsh¨andige Komponenten, also alle Quarks und Leptonen. Das Standardmodell ist offensichtlich in grossem Masse nicht supersymmetrisch: es gibt keine Fermionen mit den Quantenzahlen der Eichbosonen und wir z¨ahlen 28 bosonische und 90 fermionische Freiheitsgrade! Wir ordnen jetzt erstmal alle uns bekannten Fermionen und Eichbosonen in die beiden Supermultipletts ein und benennen deren Superpartner. • Das links- und das rechtsh¨andige Fermion haben unterschiedliche skalare Superpartner. • Den links- und rechtsh¨andigen Quarks und Leptonen werden die Superpartner Squark und Slepton zugeordnet (scalar quark, scalar lepton). Da sie Spin 0 Teilchen sind, bezieht sich die Bezeichnung L und R nur auf ihre Superpartner. • Die Eichbosonen mit Spin 1 sind im Eichmultiplet, ihre Superpartner heissen Gaugions (mit Gluinos, Winos und Binos). So wie im Standardmodell W 0 und B 0 zu Z 0 und γ mischen, mischen die Gauginos durch die elektroschwache Symmetriebrechung zu Zino Z˜ und Photino (˜ γ ). • Das Higgs ist ein skalares Teilchen und ist folglich im chiralen Supermultiplet. Im Unterschied zum Standardmodell braucht es zwei Higgsbosonen, die sich in der Hyperladung unterscheiden. Nur Hu hat Yukawa Kopplung an die Quarks mit 2/3 Ladung (up, charm, top) w¨ahrend Hd an die -1/3 koppelt (down, strange, bottom). Das Higgsboson aus dem Standardmodell ist eine Linearkombination von Hd und Hu . • Die Eichwechselwirkung der Squarks und Sleptonen sind die gleichen wie f¨ ur das betreffende Fermion im Standard Modell. Beispielsweise koppelt u˜L an das W Boson, nicht aber u˜R . • Hd hat dieselben Quantenzahlen wie L dies l¨asst die Frage zu, ob nicht das Sneutrino mit Higgs identifizieren kann. Dieser Versuch f¨ uhrt aber zu Lepton Zahl Verletzung und mindestens einer grossen Neutrinomasse. Folglich sind alle Superpartner wirklich neue Teilchen. • Im chiralen Supermultiplet herrscht die Konvention, dass nur linksh¨andig Teilchen auftreten, deshalb tauchen die konjuguierten der rechtsh¨andigen Fermionen auf.
Katharina M¨ uller
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Supersymmetrie
• F¨ ur die Vereinheitlichung mit Gravitation braucht es noch das Graviton (Spin 2) was im n¨achsth¨oheren Supermultiplet mit dem Gravitino (Spin 3/2) zusammen auftritt. Chirales Supermultiplet Superfeld Ladung SU (3)c SU (2)L U (1)Y Quark, Squark Qi 3 2 1/6 ¯ ¯ (3 Familien) Ui 3 1 -2/3 ¯ ¯ Di 3 1 1/3 Leptonen, Sleptonen Li 1 2 -1/2 (3 Familien) E¯i 1 1 1 Higgs, Higgsino Hd 1 2 -1/2 Hu 1 2 1/2
Fermion Ψ Spin 1/2 (uL , dL ) utR dtR (ν, eL ) etR ˜ d0 , H ˜ −) (H d ˜ +, H ˜ 0) (H u u
Skalar Φ Spin 0 (˜ uL , d˜L ) u˜C L d˜C L (˜ νL , e˜L e˜C L (Hd0 , Hd− ) (Hu+ , Hu0 )
Eich Supermultiplet Superfeld Ladung Boson Aµ Fermion λ SU (3)c SU (2)L U (1)Y Spin 1 Spin 1/2 Gluon, Gluino 8 1 0 g g˜ ± 0 ˜ ±W ˜0 W Bosonen, Winos 1 3 0 W W W ˜0 B Boson, Bino 1 1 0 B0 B Mit elektroschwacher Symmetriebrechung mischen W 0 , B 0 zu Z 0 und γ. ˜ und Photino (˜ Die analoge Gaugino Mischung ergibt die Eigenzust¨ande Zino (Z) γ)
Zusammenfassung: Minimales supersymmetrisches Modell: MSSM Wir haben die oben beschriebenen Supermultipletts, die jeweils ein Boson und ein Fermion mit identischen Quantenzahlen enthalten: Chirales Multiplet Eich Multiplet
Φ Ψ Aµ λ
! !
0 1/2
Spin Spin
!
1 1/2
!
Komplexer Skalar Weyl Fermion
(2.6)
Vektorfeld (Eichbosonen) (2.7) Weyl Fermion (Gaugino)
• SM Fermionen → SUSY Skalar sFermionen • SM Eichbosonen → SUSY Fermion • Die Mitglieder eines Supermultipletts haben dieselben Eichquantenzahlen. Katharina M¨ uller
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Supersymmetrie
• Das Eich Supermultiplet enth¨alt die Vektorbosonen und ihre Gaugino Partner (Fermionen) • Das chirale Supermultiplet enth¨alt die Fermionen und deren skalaren Partner. Chiral bedeutet, dass die links- und rechtsh¨andigen Komponenten unter SU (2)L × U (1)Y verschieden transformieren. • Bei ungebrochener Supersymmetrie gilt: die Massen der Superpartner sind gleich gross • Bis heute wurde kein Superteilchen entdeckt → Supersymmetrie muss gebrochen sein, aber nur ’weiche’ Symmetriebrechung, damit wir nicht wieder quadratische Divergenzen haben L = LSU SY + Lsof t . Dabei erh¨alt LSU SY die Supersymmetrie und Lsof t bricht sie, enth¨alt aber nur Masseterme und Kopplungen mit positiver Massendimension, damit sich die quadratischen Korrekturen aufheben. • Wieso sind die SUSY Massen soviel gr¨osser als die Massen der uns bekannten Teilchen? Die Massen f¨ ur die Teilchen im Standardmodell m¨ ussen durch den Higgsmechanismus erzeugt werden, w¨ahrend f¨ ur skalare Teilchen ein zus¨atzlicher Masseterm m2 |Φ|2 durch Eichinvarianz erlaubt ist. Damit wird allerdings die Supersymmetrie gebrochen.
2.3 2.3.1
Supersymmetrische Lagrangedichte Fu ¨ r chirales Supermultiplet
Wir konstruieren erst eine allgemeine Lagrangedichte, deren Bewegungsgleichungen ∂ ∂xµ
!
∂L ∂L − =0 ∂(∂Φ/∂xµ ) ∂Φ
(2.8)
unter einer supersymmetrischen Transformation invariant bleiben. Wir gehen folgendermassen vor: • Nur kinematische Terme • Einf¨ uhrung eines Hilfsfeldes F • Wechselwirkungen und Masseterme mit Hilfe eines Superpotentials Katharina M¨ uller
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Supersymmetrie
Die einfachste supersymmetrische Lagrangedichte f¨ ur ein chirales Multiplet enth¨alt die kinetische Energie der Fermion- und Bosonfelder: Lchiral = Lskalar + LF ermion = −∂ µ Φ∗ ∂µ Φ − iΨt σ ¯ µ ∂µ Ψ
(2.9)
In der Formel taucht σ µ statt γ µ auf, da Ψ ein 2-komponentiges Weyl-Fermion und kein 4-komponentiger Dirac-Spinor ist. µ
γ =
0 σµ σ ¯µ 0
!
(2.10)
Die Supersymmetrietransformation e ¨andert das Boson in ein Fermion und umgekehrt. δΦ = eΨ δΦ∗ = et Ψt
(2.11)
e ist eine infinitesimale Transformation , die die SUSY Transformation parametrisiert. e ist fermionisch (antikommutierend) und soll konstant sein (∂ µ e = 0). Damit die Lagrangedichte bis auf eine totale Ableitung invariant bleibt, muss Ψ sich wie folgt transformieren. δΨα = i(σ µ ∂µ )α Φet
δΨtα = −i(σ µ ∂µ )α Φ∗ e
(2.12)
Es kann einfach u uft werden (siehe Anhang), dass unter der obigen Transformation ¨berpr¨ die Bewegungsgleichungen invariant bleiben: δLSkalar = −e∂µ Ψ∂ µ Φ∗ + konj. δLF ermion = +e∂µ Ψ∂ µ Φ∗ + konj. + totale Ableitung
(2.13) (2.14)
Dies ist das einfachste supersymmetrische Modell (Wess-Zumino Modell). Es beschreibt ein nicht wechselwirkendes, masseloses chirales Supermultiplet. Um diese einfache Theorie zu verallgemeinern wird ein Hilfsfeld F (komplexes Spin-0) eingef¨ uhrt, was mit den anderen Feldern koppelt. Dieses Feld hat keine eigene Dynamik und ist nur algebraisch mit den anderen Feldern verbunden. Die Lagrangedichte f¨ ur das Hilfsfeld ist sehr einfach: LHilf sf eld = F ∗ F
(2.15)
sie hat insbesonders keinen kinematischen Term. Die Bewegungsgleichung ist F = 0 und F hat offenbar die Dimension [E 2 ]. Das Hilfsfeld wird gebraucht, damit die SUSY Algebra auch f¨ ur virtuelle Teilchen erf¨ ullt werden kann. Die Lagrangedichte lautet nun Lchiral = −∂ µ Φ∗ ∂µ Φ − iΨt σ ¯ µ ∂µ Ψ + F ∗ F Katharina M¨ uller
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(2.16) Supersymmetrie
mit der SUSY Transformation: δΦ∗ = et Ψt δΨtα = −i(σ µ ∂µ )α Φ∗ e + etα F ∗ δF ∗ = i∂µ Ψt σ ¯µe
δΦ = eΨ µ δΨα = i(σ ∂µ )α Φet + eα F δF = iet σ ¯ µ ∂µ Ψ
(2.17)
Nun bauen wir die Wechselwirkung zwischen den fermionischen und den bosonischen Feldern ein. Wir m¨ochten Yukawa-Kopplung zwischen den skalaren und Fermionfeldern und Masseterme, aber keine neue fermionische Wechselwirkung. Es kann gezeigt werden, dass die allgemeinste renormierbare Form der Wechselwirkung wie folgt geschrieben werden kann: 1 LW W = − W ij Ψi Ψj + W i Fi + cc 2
(2.18)
Dabei sind W ij und W i Funktionen der Bosonfelder mit Dimension m, respektive m2 . Da LW W auch invariant unter SUSY-Transformation sein muss, folgt f¨ ur die Form des Superpotentials 1 ij 1 M Φi Φj + y ijk Φi Φj Φk 2 6 ∂2 1 1 = W = |M ij + y ijk Φk ∂Φi ∂Φj 2 6 1 1 ∂W = M ij Φj + y ijk Φj Φk = ∂Φi 2 6
W = W ij Wi
(2.19)
• Das Superpotential enth¨alt nur trilineare und bilineare Terme der skalaren Felder, es tauchen keine fermionischen und keine Hilfsfelder auf. • M ij ist eine symmetrische Massenmatrix f¨ ur die Fermionfelder und y ijk die Yukawakopplung von zwei Fermionfelder und einem Skalar: 1 1 W ij Ψi Ψj = M ij Ψi Ψj + y ijk Φk Ψi Ψj 2 6
(2.20)
• Der zweite Term in der obigen Lagrangedichte enth¨alt nur Terme proportional zum Hilfsfeld F : W i Fi . 1 1 W i Fi = M ij Φj Fi + y ijk Φj Φk Fi (2.21) 2 6 Das Hilfsfeld Fi kann noch eliminiert werden, da Fi F i∗ + W i Fi + Wi∗ F i∗ zu den Bewegungsgleichungen Fi = −Wi∗ und F i∗ = −W i f¨ uhrt. Katharina M¨ uller
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Supersymmetrie
Somit kann man den zweiten Term zusammen mit dem Hilfsfeld zu einem skalaren Potential zusammenfassen: 1 1 ∗ V (Φ, Φ∗ ) = W i Wi∗ = Mij2 Φi∗ Φj + M in yjkn Φi Φj∗ Φk∗ + M ∗in y jkn Φi∗ Φj Φk + 2 2 1 ijn ∗ y ykln Φi Φj Φk∗ Φl∗ (2.22) 4 • Das skalare Potential enth¨alt die Massenterme f¨ ur die Skalare mit derselben Massenmatrix wie f¨ ur die Fermionen, sowie Wechselwirkungen mit drei, bzw. vier Skalaren (kubische und di-quadratische Kopplung). • Das Superpotential W bestimmt die skalare Wechselwirkung und die Yukawa Kopplung • Die Form des Superpotentials ist bestimmt durch die Forderung nach Eichinvarianz, wobei nur wenige Terme M ij und y ijk ungleich Null sind. • F¨ ur ein gegebenes y ijk kriegt man Skalar-Fermion-Fermion und (Skalar)4 Kopplung, mit genau den Kopplungsst¨arken y ijk , resp (y ijk )2 , die gebraucht werden, damit sich die quadratischen Korrekturen bei der Higgsmasse aufheben. j
i
k
k
j
l
i
(a)
(b)
Abbildung 2.3: Fermion-Skalar-Skalar mit Kopplung y ijk und (Skalar)4 ((y ijk )2 )Kopplung
2.3.2
Lagrangedichte fu ¨ r Eich Supermultiplet
Im Eichsupermultiplet haben wir die Vektorbosonen und die fermionischen Gauginos: Aaµ λa
!
a: Index u ur SU (3)C , 1,2,3 f¨ ur SU (2)L und 1 f¨ ur U (1)Y ) ¨ber Gruppenrepr¨asentation(a=1-8 f¨ (2.23)
Katharina M¨ uller
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Supersymmetrie
Die Lagrangedichte f¨ ur das Eich Supermultiplet lautet: 1 a µνa 1 LEich = − Fµν F −iλta σ ¯ µ Dµ λa + Da Da {z } | 2 {z } | 4 {z }| Gauginos D-Term Eichfelder
(2.24)
• Der erste Term ist die bekannte Form f¨ ur die kinetische Energie der Eichfelder mit a Fµν = ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ − gf abc Abµ Acν
(2.25)
• Der zweite Term enth¨alt die kinetische Energie der Gauginos plus u ¨ber die kovariante Ableitung des Gauginofeldes ihre Wechselwirkung mit den Eichfeldern Dµ λa = ∂µ λa − gf abc Abµ λc
(2.26)
• Wieder muss ein Hilfsfeld D ohne kinematischen Term eingef¨ uhrt werden, damit die SUSY Algebra erf¨ ullt werden kann. Es transformiert wie λ und erf¨ ullt Da∗ = Da . Man nennt den dritten Term normal den D-Term Damit man eine eichinvariante Lagrangedichte erh¨alt, muss nat¨ urlich im chiralen Teil u ¨berall die Ableitung durch die kovariante Ableitung ersetzt werden. ∂µ Ψ → Dµ Ψ = ∂µ Ψ + igAaµ T a Ψ ∂µ Φ → Dµ Φ = ∂µ Φ + igAaµ T a Φ
(2.27)
(T a sind die Erzeugenden der Gruppe) Dies gibt uns automatisch die Kopplung der Eichbosonen an die Skalare und Fermionen des chiralen Supermultipletts. Man muss aber auch noch m¨ogliche Kopplungen der Gauginos und der D-Hilfsfelder untersuchen. Renormierbare Kopplungen sind: √ − 2g((Φ∗ T a Ψ)λa + λat (Ψt T a Φ)) und g(Φ∗ T a Φ)Da
(2.28)
Die Kopplungskonstanten ergeben sich aus der Bedingung, dass die Lagrangedichte bei einer supersymmetrischen Transformation invariant bleibt. Der zweite Term wird normalerweise zusammen mit dem Da Da Term zusammengefasst. Er h¨angt nur von den skalaren Feldern ab. Deshalb wird er in das skalare Potential gesteckt: 1 2 ∗ 2 i∗ i V (Φ, Φ∗ ) = W | {zW } + 2 g (Φ T Φ) {z } F -Term | D-Term Katharina M¨ uller
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(2.29)
Supersymmetrie
2.3.3
Zusammenfassung SUSY Lagrangedichte
LSU SY
1 − (W ij Ψi Ψj + W ij∗ Ψit Ψjt ) | {z } | {z } | 2 {z } Fermionen Skalare Yukawa Kopplung und Fermionmasseterme 1 1 1 a µνa − W i Wi∗ + ga2 (Φ∗ T a Φ)2 − Fµν F −iλta σ ¯ µ Dµ λa | {z } 2 2 4 | {z }| {z } Gauginos Potential Eichfelder √ skalares ∗ a a at t a − 2g((Φ T Ψ)λ + λ (Ψ T Φ)) +Lsof t (2.30)
¯ σ µ Dµ Ψ −Dµ Φ∗ Dµ Φ = − iΨ¯
|
{z
zus¨atzliche Kopplungen
}
• kinetische Energie plus Eichwechselwirkung der Fermionfelder: ¯ σ µ Dµ Ψ LF ermion = −iΨ¯ • kinetische Energie plus Eichwechselwirkung der skalaren Felder (wie bei Higgs) LSkalar = −Dµ Φ∗ Dµ Φ • kinetische Energie der Eichfelder: Fµν F µν Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ − gf abc Abµ Acν ,
[T a , T b ] = if abc T c
• kinetische Energie und Eichwechselwirkung der Gauginos ( wie f¨ ur die Fermionfelder) −iλta σ ¯ µ Dµ λa • Yukawa Wechselwirkung der Skalare und der Fermionen im Superpotential • Masse der Fermionen im Superpotential • Skalares Potential (wie das Higgspotential im SM) enth¨alt Masseterme f¨ ur Skalare und skalare Wechselwirkungen. Das skalare Potential wird komplett durch die anderen Wechselwirkungen der Theorie bestimmt. Der F Term ist bestimmt durch die Yukawa Kopplung und die Massen der Fermionen, der D Term durch die Eichwechselwirkung. • Lsof t schwache Supersymmetriebrechung, diesen Term werden wir sp¨ater besprechen.
Katharina M¨ uller
18
Supersymmetrie
2.4
Supersymmetrische Wechselwirkungen
Aus der oben konstuierten Lagrangedichte lassen sich die SUSY Kopplungen direkt ablesen. Wir betrachten zuerst die Kopplungen der Eichwechselwirkung. 1 a µνa ¯ σ µ Dµ Ψ − Dµ Φ∗ Dµ Φ − iλta σ LSU SY −EichW W = − Fµν F − iΨ¯ ¯ µ Dµ λa 4
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(2.31)
Abbildung 2.4: SUSY Eichwechselwirkungen • a) und b) : Selbstwechselwirkung der Eichfelder wie im SM Fµν F µν
F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ − gf abc Aµ Aν
(2.32)
elektroschwache (starke) Eichboson Vertizes wie im Standardmodell • e) : Eichboson-Fermion Kopplung wie im Standardmodell Ψt σ ¯ µ Dµ Ψ Dµ Ψ = ∂ µ Ψ + igAµ T a Ψ
(2.33)
• c) : Die Gaugino-Eichboson Kopplung erh¨alt man analog aus der kovarianten Ableitung des Gaugino Feldes (λt Aλ-Kopplung) iλt σ ¯ µ Dµ λ Dµ λa = ∂ µ λa − gf abc Abµ λc
(2.34)
• d) und f): Kopplung der Skalare an die Eichbosonen Dµ Φ∗ Dµ Φ Dµ Φ = ∂ µ Φ + igAµ T Φ
(2.35)
ergibt die Kopplung Φ∗ Aµ Aµ Φ und ∂ µ Φ∗ Aµ Φ Katharina M¨ uller
19
Supersymmetrie
• g) : Gaugino Kopplung an Skalar und Fermion Φ∗ T a Ψλ
(2.36)
zus¨atzliche Kopplungen, die in SUSY erlaubt werden. • h) : Skalare di-quadratische Wechselwirkung 1 2 ∗ a 2 g (Φ T Φ) 2 a Aus dem D-Term des skalaren Potentials
(2.37)
Nun kommen wir zu den Kopplungen vom Superpotential: 1 1 1 Lint = W ij Ψi Ψj + cc − W i Wi∗ = M ij Ψi Ψj + y ijk Φk Ψi Ψj − W i Wi∗ 2 2 6 j
i
k
k
j
l
(2.38)
i
(a)
(b)
j i
i
j
i
j
k (a)
(b)
(c)
Abbildung 2.5: SUSY Wechselwirkungen vom Superpotential • a): Yukawa Kopplung y ijk Φk Ψi Ψj Da y ijk symmetrisch ist, m¨ ussen f¨ ur jede Kopplung Φk Ψi Ψj auch die Kopplungen Φj Ψi Ψk und Φi Ψk Ψj existieren und gleich stark sein. • b) Skalare Kopplungen aus dem skalaren Potential: 14 y ijk y ilm Φi Φj Φ∗k Φ∗l ∗ • c) kubische Kopplung 12 M in yjkn Φi Φ∗j Φ∗k
• d) Fermionmasseterm 12 M ij Ψi Ψj • e) Skalarer Masseterm (M ik )2 Φ∗i Φj Dies war der technische Teil, nun kennen wir die SUSY Wechselwirkungen, sowie die Teilchen des MSSM. Wir betrachten nun die Wechselwirkung des MSSM genauer. Katharina M¨ uller
20
Supersymmetrie
2.5
MSSM Wechselwirkungen
Im MSSM enth¨alt das Superpotential die minimale Anzahl von Kopplungen, die n¨otig sind um ph¨anomenologisch sinnvolle Resultate zu liefern, beispielsweise Massen f¨ ur alle Quarks und Leptonen. Aus dem allgemeinen Superpotential 1 ij 1 M Φi Φj + y ijk Φi Φj Φk wird in MSSM 2 6 ¯ ¯ ¯ = yu U QHu − yd DQH d − ye ELHd + µHu Hd
W = WM SSM
(2.39)
˜ L, ˜ H ˜ u etc. denken. Dabei muss man sich jeweils nur die skalaren Felder Q, Der letzte Term (µ Term) ist die supersymmetrische Version der Higgs Boson Masse. Die Yukawa Kopplungskonstanten sind 3×3 Matrizen f¨ ur die 3 Familien, sie bestimmen die Massen und CKM Mischungswinkel der Quarks und Leptonen, nachdem die Higgsbosonen um ihren Vakuumserwartungswert herum entwickelt wurden. Wir betrachten nun einige SUSY Wechselwirkungen in MSSM 1) Yukawa Kopplung Beispiel: Wir machen die Annahme, dass in den Kopplungskonstanten nur die schwersten Fermionen beitragen:
0 0 0 yu ' 0 0 0 , 0 0 yt
0 0 0 yd ' 0 0 0 , 0 0 yb
0 0 0 ye ' 0 0 0 0 0 yτ
(2.40)
In dieser N¨aherung tragen nur die dritten Familien zum Yukawa Potential bei. Mit ¯ 3 = ¯b, E¯3 = τ¯ und Hu = (Hu+ Hu0 ), Hd = (Hd0 H − ) wird Q3 = (tb), L3 = (ντ τ ), U¯3 = t¯, D d WM SSM = yt (t¯tHu0 − t¯bHu+ ) − yb (¯btHd− − ¯bbHd0 ) − yτ (¯ τ ντ Hd− − τ¯τ Hd0 ) + µ(Hu+ Hd− − Hu0 Hd0 ) (2.41) Die Yukawa Kopplung ist y ijk Φk Ψi Ψj mit allen Permutationen, da y ijk ja symmetrisch ist. Wir betrachten als Beispiel den ersten Term in WM SSM mit Kopplungsst¨arke yt :
Katharina M¨ uller
21
Supersymmetrie
†
tR
H0u
†
tR
H0u
tL (a)
*
tR
H0u
tL (a)
tL (c)
Abbildung 2.6: Yukawa Kopplung an Top Quark und supersymmetrische Kopplungen, alle mit der gleichen Kopplungsst¨arke yt Der erste Term yt t¯tHu0 beschreibt also die Kopplung des linksh¨andigen Top Quarks an das neutrale skalare Higgs Boson und ein rechtsh¨andiges Top (a), oder die Kopplung von einem linksh¨andigen Top-Squark an ein neutrales Higgsino Feld und ein rechtsh¨andiges Top (b) respektive rechtsh¨andiges Top-Squark an ein Higgsino und tL . Wegen Supersymmetrie haben alle diese Wechselwirkungen die gleiche Gr¨osse yt (ebenso wie t → bHu0 → Hu+ ). Man erh¨alt also die supersymmetrischen Kopplungen aus der SM Kopplung (a), indem man zwei Teilchen mit ihren Superpartnern vertauscht. Skalare Kopplungen Die Yukawa Kopplung im Superpotential enth¨alt auch Kopplungen mit vier Skalaren 1 ijk ilm i j ∗ ∗ y y Φ Φ Φk Φl aus Wi Wi . 4
Katharina M¨ uller
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Supersymmetrie
tL
t*L
tL
t*L
t*R
tR
t*R
tR
H0u
H0* u
H0u
H0* u
(a)
(b)
(c)
Abbildung 2.7: Beispiel f¨ ur Kopplung von vier Skalaren Katharina M¨ uller
23
Supersymmetrie
Wenn wir zum Beispiel Kopplungen der St¨arke (yt )2 betrachten, kriegen wir aus dem MSSM Superpotential oben ( nur dritte Familien) W = yt (t¯tHu0 − t¯bHu+ ) − yb (¯btHd− − ¯bbHd0 ) − yτ (¯ τ ντ Hd− − τ¯τ Hd0 ) + µ(Hu+ Hd− − Hu0 Hd0 ) Wi = yt (t¯t + t¯Hu0 + tHu0 − t¯b − t¯Hu+ − bHu+ ) − yb (..) − yτ (..) + µ(..) Wi Wi = t¯tt¯t + t¯Hu0 t¯Hu0 + t¯Hu+ t¯Hu+ + ...( 6 KopplungenHu0 → Hu+ tL → bL (2.42) Insgesamt also 9 Kopplungen mit derselben St¨arke Wir haben also (Squark)4 , (Sleptonen)4 , (Squark)2 (Sleptonen)2 ,(Squark)2 (Higgs)2 und (Sleptonen)2 (Higgs)2 Kopplungen, die alle proportional zu derselben Yukawakopplungskonstanten sind. Die Yukawa Kopplung ist aber ausser f¨ ur die dritte Familie sehr klein, Produktion und Zerfall von SUSY Teilchen wird dominiert durch die Kopplung an Eichbosonen oder Gaugino Kopplung an Skalare und Fermionen. Gaugino Kopplung an Skalare und Fermionen Gaugino Kopplung an ein Skalar und ein Fermion ist eine der zus¨atzlich erlaubten renormierbaren Kopplungen in SUSY: √ 2gΦ∗ T a Ψλ (2.43) qL, lL, Hu, Hd
q qL, lL, Hu, Hd
q
q, l, Hu, Hd
g (a)
q, l, Hu, Hd
B
W (b)
(c)
Abbildung 2.8: Gaugino Kopplung an Skalar und Fermion mit Kopplungskonstanten gs , g 0 und g .
Gluinos, Winos und Binos koppeln nur an die Teilchen, an die auch ihre supersymmetischen Partner koppeln: Gluinos also nur an Quarks und s-Quarks, Winos nur an die linksh¨andigen (s)Quarks und (s)Leptonen, sowie an Higgs und die Binos an alle Teilchen mit Hyperladung. a) beschreibt die Kopplung von einem Gluino an Quark und Squark mit der Kopplungsst¨arke g, die Kopplung ist analog zur SM Kopplung q q¯g. b) die Kopplung der Winos an die linksh¨andigen (s)Quarks und (s)Leptonen, sowie an Katharina M¨ uller
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Supersymmetrie
Higgs mit Kopplungsst¨arke gs c) die Kopplung von Bino an Quarks, Leptonen und Higgs ist proportional zur schwachen Hyperladung Y . ˜ q oder q˜ → Bq ˜ Durch diese Kopplungen sind also beispielsweise Zerf¨alle q˜ → q˜ g , q˜ → W m¨oglich.
2.6
MSSM Wechselwirkungen Zusammenfassung
Ein einfaches Rezept f¨ uhrt zu supersymmetrischen Wechselwirkungen: In einer Wechselwirkung werden zwei Teilchen aus dem Standardmodell durch ihre Superpartnern ausgetauscht. ¯ • Eichwechselwirkungen g ΨAΨ eine trilineare Kopplung, die abgek¨ urzt (AΨΨ) geschrieben wird. In MSSM sind dann also auch folgende Kopplungen m¨oglich: (AΨΨ) → (AΦΦ), (λΦΨ)
(2.44)
Also zum Beispiel f¨ ur die cc-Wechselwirkung: ˜ ± e˜L ν) und (W ˜ ± eL ν˜) (W ± eL ν) → (W ± e˜L ν˜), (W
(2.45)
Die Eichbosonen selbst haben auch trilineare Selbstwechselwirkungsterme (nicht abelsche Gruppen): (AAA) → (Aλλ) (2.46) ˜W ˜ Beispiel: W W W → W W • Yukawa-Kopplung Kopplung der links- und rechtsh¨andigen Fermionen an das Higgsfeld, damit die Fermionen Masse erhalten 0 LY ukawa = (cΨ¯L HΨR + cc) oder formal (ceL eC L Hd ) 0 ˜0 ˜0 (ceL eC eL eC ˜C L Hd ) → (c˜ L Hd ), (ceL e L Hd )
(2.47)
Diese drei Yukawa Kopplungen haben alle dieselbe Kopplungskonstante c. 0 (c˜ eL e˜C L Hd ) hat die falsche Dimension und muss noch mit einer Masse multipliziert 0 werden:(µc˜ eL e˜C L Hd )
Katharina M¨ uller
25
Supersymmetrie
2.7
R Parit¨ at
Das minimale Superpotential hatten wir oben aus dem allgemeinen Superpotential wie folgt angesetzt: 1 ij 1 M Φi Φj + y ijk Φi Φj Φk 2 6 ¯ ¯ ¯ = yu U QHu − yd DQH d − ye ELHd + µHu Hd
Wallg = WM SSM
(2.48)
Das allgemeine Superpotential kann aber auch Terme enthalten, die die Barionzahl und/oder die Leptonzahl verletzen. Das allgemeine eichinvariante und renormierbare Superpotential m¨ usste auch folgende Terme enthalten: 0 ¯ k + µ0 i L i H u W∆L=1 = 1/2λijk Li Lj E¯k + λ ijk Li Qj D 00 ¯jD ¯k W∆B=1 = 1/2λ ijk U¯i D
B L
(2.49) (2.50)
Barion- und Leptonzahlerhaltung ¯ Q U¯ D L E¯ H B +1/3 -1/3 -1/3 0 0 0 L 0 0 0 1 -1 0 ¯ ¯ ¯ ¯ U QHu DQHd ELHd Hu Hd LLE¯ LQD Li H d -1/3+1/3 -1/3+1/3 0 0 0 -1/3+1/3 0 0 0 -1+1 0 2-1 1 1
¯D ¯ U¯ D -1 0
Lepton oder barionzahlverletzende Prozesse sind allerdings noch nie beobachtet worden. Insbesonders w¨are der Protonzerfall m¨oglich:(Protonlebensdauer > 1032 Jahre) u ¨ber den 00 ijk ˜ ¯ ¯ ¯ Term λ Ui Dj Dk koppeln die u und d Quarks zu b oder s˜, die wiederum zerfallen u ¨ber 0 ¯ k zu einem Quark und einem Lepton. λ ijk Li Qj D Der Prozess in dem untenstehenden Diagramm kann also zu folgenden Zerf¨allen f¨ uhren: p+ → e+ Π0 , e+ K 0 , µ+ Π0 , µ+ K 0 , νΠ+
u
oder νK +
q ˜
λ´´
q
d
λ´ l
¯D ¯ und LQD ¯ Abbildung 2.9: Proton Zerfall u ¨ber U¯ D Katharina M¨ uller
26
Supersymmetrie
Im Standardmodell gibt es keine Terme, die Lepton oder Barionenzahl verletzen. In MSSM wird eine neue Symmetrie eingef¨ uhrt, die diese Terme im Superpotential nicht erlaubt. Diese neue Symmetrie wird R-Parit¨at (oder Matter Parity) genannt. PR = (−1)3(B−L)+2S
(2.51)
mit B und L Baryon und Lepton Nummer und S Spin. R-Parit¨at ist eine multiplikative Quantenzahl. Alle Standardmodell Teilchen und die Higgs Bosonen haben R-Parit¨at =1, alle Squarks, Sleptonen, Gauginos oder Higgsinos (Sparticles) R-Parit¨at =-1. R-Parit¨at Erhaltung bedeutet also: • Keine Mischung zwischen PR = 1 und PR = −1 Teilchen • Supersymmetrische Teilchen k¨onnen nur paarweise erzeugt werden: • Jeder Wechselwirkungsvertex muss eine gerade Anzahl (normal 0 oder 2) PR =-1 Sparticles haben. • Ein schweres supersymmetrisches Teilchen kann in ein leichteres zerfallen: • Das leichteste Sparticle (LSP: lightest supersymmetric particle) muss stabil sein: ˜ B(-1) → A(+1) + B(+1) verletzt die R-Parit¨atserhaltung. Wenn es neutral ist, kann es nur schwach wechselwirken und ist deshalb ein guter Kandidat f¨ ur die dunkle Materie. • Jedes Sparticle ausser das leichteste zerf¨allt in einen Zustand mit einer ungeraden Anzahl LSP (normal 1) • Supersymmetrische Teilchen sollte man daran erkennen k¨onnen, dass viel Enerie fehlt, die vom LSP weggetragen wird. Beispiel: e+ + e− → e˜+ + e˜− mit e˜+ → e+ + γ˜ und e˜− → e− + γ˜ .
e− e−
R @ R @ @ @_^_^_^ @ 0 γ/Z @
e+
Katharina M¨ uller
Neutralino (LSP)
@
e˜− e˜− LSP
@ @ R @ @
27
e+ Supersymmetrie
Supersymmetrischer Zerfall in LSP Die beiden Photinos (Annahme γ˜ =LSP) k¨onnen nicht beobachtet werden, also fehlt viel Energie im Detektor.
Katharina M¨ uller
28
Supersymmetrie
Kapitel 3 SUSY Brechung 3.1
Soft SUSY Breaking
Da bis heute keine SUSY Teilchen beobachtet werden konnten, m¨ ussen ihre Massen deutlich h¨oher sein als die Massen der uns bekannten Teilchen. Das bedeutet aber, dass die Supersymmetrie gebrochen sein muss, so wie die elektroschwache Symmetrie im SM. Dabei muss aber der gew¨ unschte Effekt, dass sich die quadratischen Divergenzen der Fermionen und Bosonen aufheben, erhalten bleiben, die Brechung darf nur schwach sein. Weiter soll die Theorie renormierbar bleiben, das heisst, der SUSY-brechende Term darf nur Terme mit Felddimension kleiner als 4 haben.(Quantenfelddimensionen: Boson: 1, Skalar: 1, Fermion: 3/2 Ableitung(Impuls): 1, Hilfsfeld:2) Die schwache SUSY Brechung wird normalerweise parametrisiert als: Lsof t =
1 (Mλ λa λa + cc) − (mij )2 Φj∗ Φi 2 1 1 −( bij Φi Φj + aijk Φi Φj Φk + cc) 2 6
(3.1)
Dies ist ein(renormierbarer Ansatz), der das Unwissen u ¨ber den Mechanismus, der zur SUSY-Brechung f¨ uhrt parametrisiert. Die Lagrangedichte enth¨alt • Skalare Massenterme • Gaugino Massenterme f¨ ur jede Eichgruppe • und kubische skalare Kopplungen
Katharina M¨ uller
29
Supersymmetrie
da Lsof t nur Skalare und Gauginos enth¨alt, bricht dieser Term offensichtlich die Supersymmetrie und gibt die Massen f¨ ur alle Skalare und die Gauginos. In MSSM wird Lsof t zu Lsof t =
1 ˜W ˜ + M1 B ˜B ˜ + cc) (M3 g˜g˜ + M2 W 2 1 ¯ ¯ + (au U¯ QHu − ad DQH d − ae ELHd ) 6 ¯D ¯ t − m2 E¯ E¯ t −m2 Qt Q − m2 Lt L − m2 U¯ U¯ t − m2 D
Q 2 −mHu Hu∗ Hu
L
−
U 2 ∗ mHd Hd Hd −
D
e
(bHu Hd + cc)
(3.2)
Wieder muss man sich nur die skalare Komponente der Supermultipletts denken. Die erste Zeile gibt die Massen f¨ ur die Gauginos, die dritte die Massen f¨ ur die Skalare, wobei die m2Q etc. 3 ×3 Matrizen sind. Durch die Symmetriebrechung mussten aber viele neue Parameter eingef¨ uhrt werden (M1 , M2 , M3 , au , ad , ae , mq , mL , mu , md , me , mHu , mHd , b), das sind total 105 Massen, Phasen und Mischungswinkel! Gl¨ ucklicherweise weiss man, dass viele Parameter zueiander in Beziehung stehen. Wir zeigen zwei Beispiele, die Flavour verletzen w¨ urden und f¨ ur die es gute experimentelle Limiten gibt:
γ
µ
s
s
d
g
µ B
e
e
d
d g
d
s
s
(b)
(a)
Abbildung 3.1: Diagramme von Prozessen, die Flavour verletzen a) µ → eγ b) zus¨atzliche s-d-Mischung 1) Leptonen: der Prozess µ → eγ, der durch den Prozess in Figur 3.1 a) mit soft SUSY Breaking erlaubt w¨are: −(m2e )21 e˜R µ ˜∗R . Daraus folgt, dass me diagonal sein muss (in Basis e˜R µ ˜R τ˜R ), analoge Argumente gibt es f¨ ur die linksh¨andige SFermion-Massen Matrix. Die experimentelle Limite 5 × 10−11 ist 5-6 Ordnungen gr¨osser, als vom Zerfall erwartet. 2) Quarks: Der Prozess in Figur 3.1 b) mischt down Squarks und strange Squarks und ¯ Mischung, die nicht vertr¨aglich ist mit Messungen von ∆mK f¨ uhrt zu K − K Katharina M¨ uller
30
Supersymmetrie
Deswegen nimmt man an, dass die Squark und Slepton-Massen-Matrizen flavour-blind sind, das heisst, nur Diagonalelemente hat, die auch alle gleich gross sind und dass die Matrizen au , ad , ae proportional zu den entsprechenden Yukawamatrizen sind. Damit bleiben nur noch 14 freie Parameter. Mit diesem Modell treffen sich die 3 Kopplungskonstanten bei MU ' 2 × 1016 GeV (Figur 3.2) 60 −1
α1
50 40 −1
α
30 −1
α2 20 10 0
−1
α3 2
4
6
8 10 12 14 Log10(Q/1 GeV)
16
18
Abbildung 3.2: Entwicklung der Kopplungskonstanten in MSSM [1]
Ein Problem von GUT als einzige Erweiterung des Standardmodells war ja, dass sich die Kopplungskonstanten nicht wirklich treffen. Mit einer supersymmetrischen Erweiterung des Standardmodells (MSSM) hingegen kann eine perfekte Vereinigung der Kopplungskonstanten erreicht werden (Figur 1.1). Deutlich zu sehen ist in Figur 1.1 der Einfluss der neuen supersymmetrischen Teilchen bei Energien von etwa 1 TeV. Von dem Fit, bei dem man verlangt, dass sich die Kopplungskonstanten treffen folgen Voraussagen f¨ ur die Skalen MGU T und MSU SY sowie die Kopplungskonstante αGU T : MSU SY = 103.4±0.9±0.4 GeV MGU T = 1015.8±0.3±0.1 GeV −1 αGU T = 126.3 ± 1.9 ± 1.0
(3.3)
Der erste Fehler kommt von Unsicherheiten der Kopplungskonstanten, der zweite von dem Massensplitting in MSSM. Katharina M¨ uller
31
Supersymmetrie
Dass sich die drei Kopplungskonstanten in MSSM wirklich treffen, ist ein bemerkenswertes Resultat von SUSY. F¨ ur die beziehung der Steigung der drei Kopplungskonstanten, die in Standard-GUT nicht mit der Messung u ¨bereinstimmte, folgt B=
b3 − b2 = 0.714(f¨ ur zwei Higgsdubletts), gemessen:0.719 ± 0.008 ± 0.03 b2 − b1
In den meisten Modellen wird zus¨atzlich noch angenommen, dass die Massen bei hohen Energien (GUT) universell sind (keine gute experimentelle Grundlage): • m0 : skalare Masse • m1/2 Gaugino Masse •
q
m20 + µ2 Higgs-Masse, µ kommt aus dem Superpotential
• erst bei kleinen Energien unterscheiden sich dann die Massen
mass [GeV]
Die folgende Grafik zeigt die Entwicklung der Massen mit Q, wenn man von universellen Massen ausgeht. Die Squarkmassen steigen zu kleinen Q sehr schnell an, da die Entwicklung mit α3 geht, die Sleptonmassen weniger schnell an. Die Gluinos zeigen ein tan βsteigen = 1.65 Verhalten wie die Squarks. Interessant sind die Massen f¨ ur die Higgs, die starke YukaYb = Yτ wa Kopplung von Hu an das Top Quark bewirkt, dass m2Hu negativ wird, so dass wir automatisch elektroschwache Symmetriebrechung haben. 700
600
500
~ qL
Gluino
~ tL ~ tR √(µ02+m02)
400
300
200
100
m1
m1/2
~ lL Wino ~ lR Bino
m0
m2 0
2
4
6
8
10
12
14
16
log10 Q
Abbildung 3.3: Massen Entwicklung in MSSM (W. de Boer)aus [7] Katharina M¨ uller
32
Supersymmetrie
Mit der Annahme von universellen Massen und unserem Wissen u ¨ber elektroschwache Wechselwirkung , kann man die f¨ ur die Symmetriebrechung notwendigen 105 Parameter auf f¨ unf freie Parameter reduzieren. Normalerweise nimmt man : m1/2 , m20 , mA , tan β, Phase von µ < Hu > / < Hd >= tan β, mA Masse des CP-odd Higgs-Bosons
(3.4)
• Eine zus¨atzliche h¨aufige Annahme ist, dass µ reell ist, sonst w¨aren grosse CP verletzende Terme m¨oglich. • Eine h¨aufige Erweiterung des 5-Parameter Modells erlaubt unabh¨angige Massen f¨ ur Binos, Winos und Gluinos mit den Massen M1 , M2 , M3 statt der universellen Masse m1/2
3.2
Ursprung von SUSY Brechung
Im letzten Abschnitt haben wir einen Ansatz f¨ ur den SUSY-brechenden Term gemacht, in diesem Kapitel schauen wir uns m¨ogliche Ursachen genauer an. Wir haben gesehen, dass aus Messungen folgt, dass die SUSY-brechenden Terme flavour blind sind. Dies legt folgendes Modell nahe: die Supersymmetriebrechung geschieht in einem versteckten Sektor (hidden sector). Die Teilchen in dem versteckten Bereich haben keine oder nur eine sehr schwache Kopplung zu den Teilchen im sichtbaren Bereich. Es gibt aber eine (flavour-blinde) Wechselwirkung zwischen den beiden Sektoren, die verantwortlich ist f¨ ur die Supersymmetriebrechung • Visible Sector: enth¨alt SM Teilchen und ihre Superpartner • Hidden Sector: mit Supersymmetriebrechung, er ist nicht direkt oder nur sehr schwach gekoppelt mit den Teilchen im visible Sector. • flavour-blinde Wechselwirkung zwischen den Sektoren
Katharina M¨ uller
33
Supersymmetrie
Supersymmetry breaking origin (Hidden sector)
Flavor-blind
interactions
MSSM (Visible sector)
Abbildung 3.4: Schematische Struktur f¨ ur SUSY Brechung) F¨ ur diese Wechselwirkung gibt es zwei gute Modelle • MSUGRA: gravity-mediated SUSY breaking, minimal supergravity • GMSB: Eichwechselwirkung SU (3) × SU (2) × U (1), Gauge mediated SUSY ˜ das seine Masse durch das In diesem Modell gibt es ein sehr leichtes Gravitino G, Goldstino kriegt. Das Gravitino ist LSP. Das bedeutet, dass in jeder S-Teilchen Zerfallsreihe am Ende ein Zerfall vom zweitleichtesten SUSY Teilchen (NLSP: normal das Neutralino) in LSP stattfindet: NLSP → Standard-Modell-Teilchen + Gravitino Katharina M¨ uller
34
Supersymmetrie
3.2.1
Gravity mediated SUSY Breaking
Dieses Modell nimmt an, dass die SUSY brechenden Terme durch Gravitation oder andere Physik, die bei der Planckskala dazukommt, hervorgerufen wird. Man nennt die Modelle auch ’Minimal Supergravity’ oder mSUGRA. SUSY wird im versteckten Sektor gebrochen und hat einen Vakuumserwartungswert < F >. F¨ ur die gr¨ossten Massenterme msof t in Lsof t l¨asst sich eine grobe Absch¨atzung machen. Da msof t verschwinden muss f¨ ur < F >→ 0 (keine SUSY Brechung) und MP → ∞ (keine Gravitation), ist msof t ∼ (3.5) MP Das bedeutet, dass f¨ ur msof t typischerweise ur die Supersym√ 100GeV − T eV die Skala f¨ metriebrechung im hidden Sektor etwa < F > ' 1010 − 1011 ist. Das Gravitino w¨are dann ein sehr schweres Teilchen. Bemerkung: die Kopplungsst¨arke λSU SY breaking ∼
' 10−15 MP2
(3.6)
ist sehr klein, die Wechselwirkungen k¨onnen also vernachl¨assigt werden. Das Gravitino spielt keine Rolle in der Ph¨anomenologie.
3.2.2
Gauge mediated SUSY Breaking, GMSB
Die SUSY brechenden Terme werden durch elektroschwache und starke Eichwechselwirkungen (SU (3)×SU (2)×U (1)) hervorgerufen. Die Eichbosonen koppeln in diesem Modell an sogenannte Messenger Teilchen, die einen Vakuumserwartungswert < F > haben. Da die SUSY brechenden Terme verschwinden m¨ ussen, wenn die Messenger sehr schwer sind (Mmess → ∞, SUSY ungebrochen ist (< F >→ 0) und α4πa der Loop Faktor ist, gilt f¨ ur msof t : αa < F > msof t ∼ (3.7) 4π Mmess √ Wenn < F > und Mmess ungef¨ahr vergleichbar sind, w¨are < F > ∼ 104 − 105 GeV . Allgemein erwartet man in in GMSB Modellen √ 104 < < F > < 109 GeV (3.8) also viel kleiner als in den Gravity Modellen. Man erwartet also ein leichtes Gravitino, das normal mit dem LSP identifiziert wird. Das leichteste Neutralino kann in das Gravitino zerfallen. Katharina M¨ uller
35
Supersymmetrie
3.2.3
Goldstino, Gravitino
Wir wissen, dass bei Symmetriebrechung immer auch ein masseloses Goldstone Boson erzeugt wird. Bei der Brechung von Supersymmetrie wird analog ein masseloses neutrales ˜ Das Goldstino ist die fermionische Komponente des Fermion erzeugt, das Goldstino G. Supermultipletts, dessen Hilfsfeld einen Vakuumserwartungswert ungleich Null hat. Das Goldstino hat Wechselwirkung mit den Teilchen und ihren Superpartnern:
ψ
φ
A
λ
G
G
(a)
(b)
Abbildung 3.5: Goldstino Wechselwirkungen Die Wechselwirkung sind proportional zu 1/ < F >. Sie k¨onnen vernachl¨assigt werde f¨ ur 11 Supergravitation (< F >> 10 GeV ), w¨ahrend sie f¨ ur GMSB Modelle vielleicht beobachtbar werden. Wenn man aus der Supersymmetrie eine lokale Symmetrie macht, kann man analog wie bei der elektroschwachen Wechselwirkung vorgehen. Die SUSY Transformation e ist jetzt nicht mehr konstant: e(x). Die daraus entstehende Theorie heisst Supergravitation. Sie muss ein weiteres fermionisches Eichfeld enthalten, was mit dem Feld vom Gravitino (Spin=3/2) identifiziert wird. Sein Superpartner ist ein Spin-2 Boson, das Graviton, beide das Graviton und das Gravitino sind masselos. Wenn SUSY gebrochen wird, kann das Gravitino das Goldstino absorbieren, wodurch es Masse kriegt, dies ist analog zum Higgs Mechanismus im Standardmodell. Die je zwei Polarisationszust¨ande des masselosen Eichfeldes und das masselosen Goldstino ergeben zusammen die vier Polarisationszust¨ande ˜ Man nennt dies auch Super-Higgs-Mechanismus. eines massiven Spin-3/2 Teilchens G. Da die Masse des Gravitons immer noch Null ist, ist damit die Supersymmetrie gebrochen. Die Masse des Gravitino (m3/2 ) kann abgesch¨atzt werden zu m3/2 '
msof t MSUGRA ' 4π msof t Mmess GMSB Mp αa Mp
(3.9)
In MSUGRA Modellen ist die Masse des Gravitinos von der Gr¨ossenordnung msof t also etwa so gross (> 100GeV ) wie die Massen der anderen SUSY Teilchen. Da es mit der Kopplungsst¨arke der Gravitation wechselwirkt, wird es keine Rolle f¨ ur Colliderphysik Katharina M¨ uller
36
Supersymmetrie
spielen. In der Kosmologie hingegen kann es sehr wichtig sein, insbesonders, wenn das Gravitino das LSP ist. In GMSB Modellen ist das Gravitino viel leichter als die anderen supersymmetrischen Teilchen, solange Mmess 2 + < Hd >2 = 2MZ2 /(g 2 + g 2 ) = (174 GeV )2 ist durch Messungen bestimmt. Das Verh¨altnis < Hu > / < Hd > ist ein neuer Parameter (4.1)
< Hu > / < Hd >= tan β Aus dem skalaren Potential folgt f¨ ur die Massen: 2 m2H ± = MW + m2A 1 2 1q 2 m2H,h = (mA + MZ2 ) ± (mA + MZ2 )2 − 4m2A MZ2 cos2 2β 2 2
Katharina M¨ uller
38
(4.2)
Supersymmetrie
In der folgenden Figur 4.1 ist die Masse des leichtesten MSSM Higgsbosons dargestellt f¨ ur Werte von tan β zwischen 1.6 und 15
Abbildung 4.1: Masse f¨ ur das leichteste MSSM Higgs f¨ ur verschiedene Werte von mA und tan β (M. Carena et. al.) aus [7] Die Massen der Higgs h¨angen also von zwei Parametern tan β und mA ab: • tan β → 1 : • tan β → ∞ :
mh = 0,
m2H = MZ2 + m2A
mh = min(MZ , mA ),
mH = max(MZ , mA )
• Die Massen f¨ ur Ao , H o und H ± k¨onnen sehr gross werden • f¨ ur grosse mA : mA ' mH ' mH ± • Die Masse von ho ist beschr¨ankt 0 < mh < | cos 2β|MZ mh < m A < mH mH > M Z , m H ± > M W
(4.3)
• Radiative Korrekturen f¨ ur mh sind sehr wichtig und erh¨ohen die Masse f¨ ur das leichteste Higgs. • mh (top-stop-Loops) beschr¨anken die Masse des leichtesten Higgs auf etwa 150 GeV • Falls die Masse von ho deutlich gr¨osser ist als 150 GeV , muss es mehr Teilchen geben als in MSSM. Damit SUSY erf¨ ullt ist, muss aber gelten mh < 190 GeV . Katharina M¨ uller
39
Supersymmetrie
4.1.1
Higgsnachweis
Bei e+ e− sind die dominanten Produktionskan¨ale f¨ ur ho Higgsstrahlung und die Produko o tion von h A : 1) e+ e− → Z 0 → ho Z , 2) e+ e− → Z 0 → ho Ao ,
∝ sin2 (β − α) ∝ cos2 (β − α)
(4.4)
Dabei ist α der Mischungswinkel zwischen ho und H o . m2A − MZ2 cos 2α = −2 cos 2β 2 mH − m2h
(4.5)
• mA gross, tan β ' 1 → mH ' mA , β − α = π/2 ho Z Produktion dominiert, ho ist wie im SM
tanβ
tanβ
• tan β gross → mh ' mA , mH ' MZ β − α ' π ho Ao Produktion dominiert f¨ ur mh < 100 GeV mA (GeV/c2)
mtop = 175 GeV/c2 MSUSY = 1 TeV/c2 Maximal mixing
mtop = 175 GeV/c2 MSUSY = 1 TeV/c2 Maximal mixing
sin2(β-α) 0.01
10
10
0
20
40
60
80
0.10
100 200
0.50 0.90 0.99
1
1
0
20
40
60
80
100
120
0
140
20
40
60
80
100
120
140 2
mh (GeV/c )
2
mh (GeV/c )
Abbildung 4.2: Higgsmasse vs tan β aus [7] Wie im Standardmodell auch, zerf¨allt das leichteste Higgs vorwiegend in f f¯ vor allem in b¯b(85%) und τ τ¯(8%). Die ho Z Signatur ist gleich wie im SM. • 4 Jetevents (BR. 64%) ho → b¯b,
Z → q q¯
• 2 Jets und missing Energy (BR. 18%) ho → b¯b,
Z → ν ν¯
• 2 Leptonen und zwei Jets (BR. 9.3%) ho → b¯b,
Z → l+ l−
Katharina M¨ uller
40
Supersymmetrie
Die ho Ao Topologie hingegen, die bei grossen tan β dominiert hat eine komplett andere Signatur: Ao zerf¨allt so wie ho , f¨ ur sehr grosse Massen f¨ ur Ao wird auch noch der Zerfall o A → tt¯ wichtig. Wir erwarten also Endzust¨ande mit b¯bb¯b, b¯bτ τ¯ und mit vier τ und wenn die Masse von Ao gross genug ist, auch b¯btt¯ und tt¯τ τ¯. Die gegenw¨artigen Limiten sind mh ≥ 82.6 GeV
mA ≥ 84.1 GeV
und mH ≥ 69 GeV
MSSM Higgs parameter space coverage 5 σ signifiance contours for SUSY Higgses 60
on pt le
20
µ e+
+
on dr ha
ha dr on +
τν
30
ha dr on
tH ± ,H ± →
tanβ
40
h → γγ
50
A, H →
µµ
CMS, 105pb-1
no stop mixing mstop = 1 TeV
A, H → ττ, 3 x 104pb-1
10 Excluded by LEP
0
200
400 600 mA (GeV)
800
1000 DD_3027
Abbildung 4.3: Limiten f¨ ur die Masse von ho und Ao von LHC aus [7]
Der Massenbereich f¨ ur MSSM Higgs, den LHC abdecken wird, ist in Figur 4.3 gezeigt.
4.2
Neutralino und Chargino
Da sie dieselben Quantenzahlen haben, k¨onnen die neutralen fermionischen Partner der ˜ 0 und B ˜ 0 mit den neutralen fermionischen Partnern vom Higgs neutralen Eichbosonen W ˜ 0 mischen. Die vier Neutralinos χ˜0 i sind die Masseneigenzust¨ande, die sich aus Boson H 1,2 dem Diagonalisieren der Massenmatrix ergeben. Dabei gilt die Konvention Mχ˜0 0 < Mχ˜0 1 < M ˜0 < M ˜0 . Man nimmt generell an, dass das leichteste Neutralino (χ˜0 ) das leichteste χ
2
χ
0
3
Katharina M¨ uller
41
Supersymmetrie
supersymmetrische Teilchen ist (LSP), ausser wenn das Gravitino noch leichter sein sollte oder die R Parit¨at verletzt ist. M1 0 −MZ cos β sin θW MZ sin β sin θW 0 M2 MZ cos β cos θW −MZ sin β cos θW Mχ˜0i = −MZ cos β sin θW MZ cos β cos θW 0 −µ MZ sin β sin θW −MZ sin β cos θW −µ 0 (4.6) ˜ −, H ˜ u+ ) und die Winos (W ˜ +, W ˜ − ) mischen zu 2 MasseneigenDie geladenen Higgsinos (H d zust¨anden, den Charginos χ˜± mit Ladung ±1. ! √ M 2M sin β 2 W Mχ˜0i = √ (4.7) 2MW sin β µ
• M1 und M2 sind die Wino und Bino Massenterme in Lsof t sie k¨onnen reell und positiv gew¨ahlt werden • µ der Higgs Masseterm, er wird meistens auch positiv gew¨ahlt (damit vermeidet man grosse CP Verletzungsterme). • Die Terme proportional zu MZ beschreiben die Higgs-Higgsino-Gaugino Kopplung • tan β = vu /vd das Verh¨altnis des Vakuumerwartungswertes der beiden Higgsfelder. • In den meisten SUSY Modellen wird noch eine Beziehung aus GUT benutzt, die die beiden Gaugino Massen in Beziehung setzt: M1 =
5 tan θW 2 M2 3
(4.8)
und somit h¨angen die Neutralino Massen und Mischungswinkel nur noch von drei Parametern (M1 , tan β, sin θW ) ab.
4.3
Squarks und Sleptonen
Da alle Skalare mit der selben Ladung , R Parit¨at und Farbquantenzahlen mit einander mischen k¨onnen, gibt es im Prinzip viele Mischterme (Beispiel Mischung von (˜ uL , c˜L , t˜L , u˜R , c˜R , t˜R ) oder (˜ eL , µ ˜L , τ˜L , e˜R , µ ˜R , τ˜R ) oder (˜ νe , ν˜µ , ν˜τ ). Die meisten dieser Mischterme sind allerdings sehr klein. Nur die dritte Familie hat signifikante Beitr¨age von der Yukawa Kopplung, so dass die ersten beiden Familien in nahezu ungemischten Katharina M¨ uller
42
Supersymmetrie
Paaren vorkommen. Durch die Kopplung der Squarks an die Gluonen, sind die Squark Massen gr¨osser als die der Slaptonen. F¨ ur die dritte Familie m¨ ussen die Mischungsterme ber¨ ucksichtigt werden. Man findet, dass die Massen tiefer sind als die entsprechende Masse in den ersten beiden Familien.
4.4
MSSM: unentdeckte Teilchen und Massenspektrum
Die folgende Tabelle fasst die Teilchen zusammen, die zu MSSM geh¨oren, aber bis jetzt nicht nachgewiesen werden konnten: Name Spin PR Massen-Eigenzust¨ande Higgs Boson 0 +1 ho H o Ao H + H − u˜L u˜R d˜L d˜R Squarks 0 -1 s˜L s˜R c˜L c˜R t˜L t˜R˜bL˜bR e˜L e˜R nu ˜e SLeptones 0 -1 µ ˜L µ ˜R ν˜µ τ˜L τ˜R ν˜τ 0 ˜ Neutralinos 1/2 -1 χ 1 χ˜0 2 χ˜0 3 χ˜0 4 Chargino 1/2 -1 χ˜± 1 χ˜± 2 Gluino 1/2 -1 g˜ ˜ Gravitino 3/2 -1 G
Das sind total 32 verschiedene Masseneigenzust¨ande (plus Gravitino)
Katharina M¨ uller
43
Supersymmetrie
Mass uL, dL
cL, sL
dR, uR
sR, cR
b2, t2
g b1 t1 N3, N4
C2
N2
C1
νe, eL
νµ, µL
τ2, ντ
eR
µR
τ1
A0, H0, H+
h0
N1
Abbildung 4.4: Beispiel f¨ ur ein MSSM Massenspektrum (S. Martin p75) aus [1] • Wenn die R Parit¨at erhalten ist, ist das LSP das leichteste Neutralino, ausser ev. das Gravitino. • Das Gluino ist viel schwerer als die Neutralinos oder Charginos und w¨achst sehr schnell, da die QCD Kopplung gr¨osser ist als die elektroschwache. • Die Squarks sind schwerer als die Sleptonen . • Durch Mischungseffekte sind Stop und Sbottom leichter als die anderen Squarks • Das leichteste Slepton ist Stau1 • Die Linksh¨andigen geladenen Leptonen sind schwerer als die rechtsh¨andigen • Das leichteste neutrale Higgs Boson sollte leichter sein als 150 GeV
4.5
Nachweis von SUSY Teilchen
In diesem Abschnitt werden ein paar Zerf¨alle besprochen, die f¨ ur den Nachweis von SUSY Teilchen wichtig sind. In jedem R-Parit¨at erhaltenden SUSY Zerfall verschwindet das LSP undetektiert. Wir haben also fehlende (transverse) Energie. • Trilepton: drei Leptonen (+ Jets) + Etmiss • Multijet Ereignisse: 4 Jets + Etmiss Katharina M¨ uller
44
Supersymmetrie
• Dilepton Ereignisse: 2 leptonen mit gleicher Ladung (+Jets) + Etmiss • Typische Signatur f¨ ur Gauge mediated SUSY Brechung • Signatur bei Verletzung der R-Parit¨at
4.5.1
Trilepton Zerfall
Der Trilepton-Zerfall mit drei Leptonen, fehlender transversalen Energie und m¨oglicherweise noch Jets, hat den Vorteil, dass der Untergrund von Standardmodell- Prozessen sehr klein ist. Die Produktion geschieht u ¨ber die Kopplung der Eichbosonen an Fermionen (AΨΨ) rsp. Gauginos (Aλλ) • Chargino, Neutralino Produktion: p¯ p → c˜± ˜2 1n
± c˜± ˜1 1 → l νn
,
n ˜ 2 → l+ l− n ˜1
,
jet + c˜± ˜2 1n
• Gluino, Squark Produktion p¯ p → g˜g˜, g˜q˜, q˜q˜ ,
Abbildung 4.5: typischer Trilepton Zerfall p¯ p → c˜± ˜ 2 → µ+ µ− e+ + Etmiss [1].Etmiss von 1n Neutralinos und Neutrino
4.5.2
Multijets
Dieser Kanal zeichnet sich aus durch mehrere Jets, fehlende transversale Energie und keine Leptonen. • Chargino, Neutralino Produktion: p¯ p → c˜± ˜ 2 , c˜+ ˜− 1n 1c 1 Katharina M¨ uller
45
,
c˜± ˜1 1 → jj n
,
n ˜ 2 → jj n ˜1
Supersymmetrie
• Gluino, Squark Produktion p¯ p → g˜g˜, g˜q˜, q˜q˜ ,
g˜ → jj n ˜ (˜ c) ,
q˜ → j n ˜ (˜ c)
• Lepton Veto gegen Untergrund von W → lν
Abbildung 4.6: Typischer Multi-Jet Zerfall p¯ p → g˜g˜ → jjjj + Etmiss [1]
4.5.3
Dilepton Zerfall
Der Dilepton-Zerfall hat im Endzustand zwei Leptonen mit gleicher Ladung fehlende transversale Energie und ev. Jets. • Chargino, Neutralino Produktion (wie Trilepton Zerfall) p¯ p → c˜± ˜2 1n ± + − l νn ˜1 , n ˜2 → l l n ˜1 • Gluino, Squark Produktion p¯ p → g˜g˜ , unabh¨angig)
Katharina M¨ uller
46
,
c˜± 1 →
± g˜ → jj˜ c± ˜ 1 (Ladungen sind 1 → jjl n
Supersymmetrie
Abbildung 4.7: Typischer Dilepton Zerfall p¯ p → g˜g˜ → l+ l+ + jjjj + Etmiss [1]
4.5.4
Typische Signatur fu ¨ r Gauge mediated SUSY Brechung:
In diesem Modell ist das Gravitino das LSP. Alle supersymmetrischen Teilchen zerfallen am Ende in das zweitleichteste SUSY Teilchen (NLSP). Dieses zerf¨allt dann in das Gravitino und ein SM Teilchen. M¨ogliche Kandidaten f¨ ur das NLSP sind : Neutralino n ˜ 1 , sTau τ˜1 oder Sleptonen e˜R , µ ˜R .
Abbildung 4.8: Zerfall vom NLSP a) NLSP= Neutralino b) NLSP = Slepton
Das schwere Neutralino, bzw Slepton zerf¨allt in das fast masselose Gravitino und entweder das masselose Photon oder das leichte Slepton. Deshalb m¨ ussen die beiden Zerfallsprodukte grosses pt haben. F¨ ur die Signatur im Detektor ist es wichtig, wie das NLSP zerf¨allt. Katharina M¨ uller
47
Supersymmetrie
NLSP ist Neutralino Photon mit grossem pt
Zerfall Prompt Langsam
Photon mit grossem pt nicht vom Vertex wie in MSUGRA grosses Etmiss
Ausserhalb des Detektors
4.5.5
Slepton Lepton mit grossem pt Multilepton (Multitau) Ereignisse Lepton mit grossem pt Zerfallsvertex ’stabiles Slepton’, Track langsam, falsche µ
Signatur bei Verletzung der R-Parit¨ at
Im allgemeinen Superpotential k¨onnen Terme auftreten, die die Lepton- oder Barionzahl verletzen, dies wird in MSSM durch die Einf¨ uhrung der R-Parit¨at einer multiplikativen Quantenzahl, verhindert. (Rp =1 f¨ ur SM Teilchen, -1 f¨ ur Sparticles). HERA eignet sich besonders gut f¨ ur die Suche nach Rp - verletzenden Prozessen, da damit durch die Kopplung von Squarks an ein Quark-Lepton Paar Squarks resonant erzeugt werden k¨onnen. Die zugeh¨orige Lagrangedichte lautet 0
LLi Qj D¯ k = λijk [−˜ eiL ujL d¯kR −eiL u˜jL d¯kR −(¯ eiL )c ujL d˜kR +Neutrinos + cc] i, j, k : Gererationsindex (4.9) 0 Die Kopplungen λ1jk erlauben die resonante Produktion von Squarks durch eq Fusion. Es dominiert dabei die Produktion von u˜jL Quarks, da daf¨ ur die Dichte der d-Quarks relevant ¯ j ist (f¨ ur d˜R ist u¯ relevant). +
+
e
e
λ’ 1j1
~ uLj
d
– e+, ν e
e+
λ’ 1j1
λ’ 1j1
d
– ~ dR
– – u j, d j
–j u
(a)
λ’ 1j1
(c)
Abbildung 4.9: Rp verletzende Produktion von Squarks mit Rp verletzendem Zerfall
Katharina M¨ uller
48
Supersymmetrie
10
3
(a)
10
events
events
Die Signatur ist dieselbe wie f¨ ur Leptoquarks: ein Jet und entweder ein Positron mit grossem Transversalimpuls oder fehlendes pt vom Neutrino. Man erwartet ein Signal in der invarianten Positron-Jet Masse. Dies ist f¨ ur eine Messung von H1 in Figur 4.10 gezeigt. 4.10 a) zeigt die invariante Masse des Positrons und des Jets 4.10 b) die Veteilung f¨ ur Ereignisse mit fehlendem pt . Das Histogramm zeigt das nicht normierte Signal, das man f¨ ur ein Squark mit Masse 200 GeV erwarten w¨ urde. H1 data, ye > ycut
10
(b)
2
NC DIS, ye > ycut (with uncertainty)
2
H1 data
SUSY signal M squark = 200 GeV (arbitrary norm.)
10
CC DIS (with uncertainty)
10 SUSY signal M squark = 200 GeV (arbitrary norm.)
1 1
H1
H1
-1
10
-1
100
150
200
10
250
100
150
Me (GeV)
200
250
Mh (GeV)
Abbildung 4.10: Massenspektrum f¨ ur q˜ → e+ q a) und q˜ → ν¯q b) aus Referenz[8] Rp erhaltender Squark Zerfall Die Squarks machen einen sogenannten Eichzerfall und zerfallen in ein Quark und ein Chargino, Gluino oder ein Neutralino. Diese wiederum zerfallen normalerweise in leichtere Neutralinos und zwei SM Teilchen. Die Zerfallskette endet mit einem Rp verletzenden Zerfall des LSP (χ0 ). Rp verletzende Zerf¨alle des Neutralinos sind: 0
χ0 → e± q q¯ undχ0 → νq q¯
(4.10)
Welcher der beiden Zerf¨alle dominiert h¨angt davon ab, ob das Neutralino durch das Photino oder das Zino dominiert wird. Beachtenswert ist, dass die Zerf¨alle in e+ und e− gleich h¨aufig vorkommen, dabei ist der Zerfall mit s− und Multijets im Endzustand f¨ ur einen Positronstrahl praktisch untergrundfrei ist. Zwei typische Zerfallsketten sind in Figur4.11 gezeigt.
Katharina M¨ uller
49
Supersymmetrie
e+
u, d
λ’ 1j1
– e q q’ – ( νe q q )
~ uLj ~ χα0, g, χ+β
λ’ 1j1
χ+1
(b)
– ~ dR ~ χα0, g
e–
–j u
χ01
d
– d
e+
χ01
q’, l +
uj ~+ e
W+ – q, ν l
(d)
λ’ 1j1
– d
Abbildung 4.11: Rp verletzende Produktion von Squarks mit Rp erhaltendem Zerfall. Beispiel f¨ ur Rp erhaltenden (a) bzw. verletzenden (b) Zerfall des Neutralinos
Man sucht nach Multijet Ereignissen mit isolierten Leptonen und/oder fehlendem Transversalimpuls. Anzahl beobachtete Ereignisse (94-97) und Anzahl Ereignisse, die im SM erwartet werden, sind f¨ ur die verschiedenen Kan¨ale in der folgenden Tabelle zusammengestellt. Kanal e+ q e+ ν e+ M J e− M J νM J elM J νlM J
Signatur e+ , grosses pt + 1 Jet fehlendes pt + 1 Jet e+ + Multijets e− + Multijets fehlendes pt + Multijets e + e+ Multijets e + µ+ Multijets fehlendes pt + e Multijets fehlendes pt + µ Multijets
Katharina M¨ uller
Effizienz % 40-70 30-80 35-50 30 20-60 30 35-50 30 40
50
beobachtet 310 213 159 0 21 0 2 1 0
SM erwartet 301± 23 199 ± 12 151 ± 17 1.3 ± 0.5 23 ± 4 0.7±0.4 ± 3.2±1.2 0.5±0.2
Supersymmetrie
4.6
Direkte Suche
Die folgende Tabelle gibt die Limiten f¨ ur die SUSY Massen (Review of particle porperties 2001: http://pdg.lbl.gov)
χ˜0 1
Bedingung χ˜0 1 =LSP, all tan β χ˜0 1 =LSP unstable ,GMSB RPV
χ˜± 1
e˜R µ ˜R τ˜R ν˜ ˜l q˜ t˜ ˜b g˜ g˜
M 2 < 1T eV /c2 GMSB RPV (m(˜ e) − m(χ˜0 )) > 5GeV (m(˜ e) − m(χ˜0 )) > 3GeV (m(˜ e) − m(χ˜0 )) > 8GeV stabil (m(t˜) − m(χ˜0 )) > 5GeV (m(˜b) − m(χ˜0 )) > 8GeV
m(˜ q ) = m(˜ g) m(˜ q ) = m(˜ g)
4.7
Limite (GeV /c2 ) 32.3 46 83 23 45 89 150 87 87 82 81 43 80 250 86.4 91 190 154 260 240
Experiment LEP 2 Kosmologie D0 +LEP LEP 2 Z width LEP2 D0 LEP2 LEP2: 2 e, Etmiss LEP2: 2 µ, Etmiss LEP2: 2 τ , Etmiss LEP Z width D0 > 2 jets, Etmiss LEP, D0, CDF Aleph: b-tagged Dijets D0, > 2 Jets, Etmiss (MSUGRA) CDF, 2 Leptonen,2 Jets, Etmiss D0 CDF
Indirekte Suche: Anomales magnetisches Moment
Das anomale magnetische Moment des Muons eignet sich f¨ ur die Suche nach Supersymmetrie, weil es sehr pr¨azise gemessen werden kann. In der Dirac Theorie ist das magnetische Mument gegeben durch: µ = gµB s, g = 2, s = 1/2 undµB =
Katharina M¨ uller
51
eh 2mc
(4.11)
Supersymmetrie
Strahlungskorrekturen (Abstrahlung von γ, Z 0 , H) ergeben Korrekturen zu g: Muon(g-2) Collaboration, Brookhaven: Precise measurement of the positive muon anomalous magnetic moment H.N. Brown, et.al., Phys. Rev. Lett. 86, 2227 Messung: g−2 αµ (exp) = = 11659203(15) × 10−10 g
αµ (SM ) = = = αµ (QED) = αµ (schwach) = αµ (hadronisch) =
0.5(α/π) − 0.32848(α/pi)2 + ... (11659159.6 ± 6.7)10−10 11658470.56(0.29) × 10−10 15.1(0.4) × 10−10 673.9(6.7) × 10−10
Die Abweichung zwischen Experiment und der Erwartung aus dem Standarsmodell ist also: αµ (exp) − αµ (SM ) = 43(16) × 10−10 Die Differenz ist 2.6 mal gr¨osser als der Fehler. Diese Abweichung kann durch SUSY erkl¨art werden, da zus¨atzliche Korrekturen, haupts¨achlich durch Smuon-Neutralino und Sneutrino-Chargino-Loops dazukommen. In einem SUSY Modell mit degenerierten Massen (mS ) wird die Korrektur zum anomalen magnetischen Moment: αµ (SU SY ) ' 140 × 10−11 (
100GeV 2 ) tan β mS
Damit kriegt man f¨ ur mS 120 − 400GeV f¨ ur tan β zwischen 4 und 40 Das Problem bei der Messung sind die hadronischen Korrekturen im Standardmodell, deren Fehler vermutlich untersch¨atzt wurde.
Katharina M¨ uller
52
Supersymmetrie
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Katharina M¨ uller
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Supersymmetrie
[8] H1 Collaboration, Searches at HERA for Squarks in R-Parity Violating Supersymmetry, DESY-01-21, hep-ex/0102050 [9] H1 Collaboration, A Search for Leptoquark Bosons in ep Collisions at HERA, contributed paper to EPS 2001, Budapest http://www-h1.desy.de/psfiles/confpap/EPS2001/H1prelim-01-161.ps [10] H1 Collaboration, A Search for Excited Fermions in e+ p Collisions at HERA , hepex/0007035 http://www-h1.desy.de/h1/www/publications/htmlsplit/H1prelim-00-060.long.html [11] Lectures on technicolor and compositness By R.Sekhar Chivukula (Boston U.). BUHEP-00-24, Jun 2000. hep-ph/0011264
Katharina M¨ uller
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Supersymmetrie
Index Bosonen, 10
Ladung, 5 Lagrangedichte, 15, 18, 19 Leptoquarks, 4 Limiten, Higgs, 40 LSP, 11, 40
Chargino, 40 Chirales Supermultiplet, 14 chirales Supermultiplet, 12 Composite Model, 3, 52 Contact Interaction, 52
Masse, Slepton, 41 Masse, Squark, 41 Masseneigenzustand, 40, 41 Massenevolution, 32 Massenspektrum, 42 Masseterme, 17, 19, 58 MSSM, 8, 12 MSSM Wechselwirkung, 22, 25 MSUGRA, 11, 33, 34 Multijets, 44 Multiplett, 5
Dilepton, 45 Eich Supermultiplet, 14 Eichtransformation, 18 Eichwechselwirkung, 19, 26 Fermionen, 10 Gauge mediated, 46 Gaugino, 13 Gaugino Kopplung, 25 Gluino, 13 GMSB, 33, 34 Goldstino, 35 Gravitation, 33 Gravitino, 35 GUT, 3, 4
Nat¨ urlichkeitsproblem, 8 Neutralino, 40 Photino, 13 Protonzerfall, 4, 26 Quantenkorrekturen Higgsmasse, 9
Hierarchie Problem, 8 Higgs, 37, 38 Higgsino, 13 Higgsmasse, 8, 37 Higgsnachweis, 38 Hilfsfeld D, 18 Hilfsfeld F, 16
R-Parit¨at, 26, 47 σ-Matrizen, 59 Skalare Kopplung, 24 Slepton, 13, 41 Squark, 13, 41 Standardmodell, 3 String, 3 Substruktur, 52
Kopplungskonstanten, 31 Katharina M¨ uller
55
Supersymmetrie
Supergravitation, 11 Superpotential, 17, 58 Supersymmetrie, 8 SUSY Brechung, 11, 29, 33 SUSY Wechselwirkung, 20 Technicolor, 3 Trilepton, 44 Unification, 31 Weinbergwinkel, 5 Wess-Zumino, 16 Weyl-Fermion, 12 Yukawa Kopplung, 26 Yukawa Kopplung an Top, 23 Yukawa Wechselwirkung, 17, 19, 58 Zerfall, Zerfall, Zerfall, Zerfall, Zerfall,
Dilepton, 45 Gauge mediated, 46 Multijets, 44 R-Parit¨at, 47 Trilepton, 44
Katharina M¨ uller
56
Supersymmetrie
