Gerd Fischer
Lehrbuch der Algebra
Aus dem Programm Vieweg Mathematik
Lineare Algebra von Gerd Fischer
0bungsbuch zur Linearen Algebra von Hannes Stoppel u n d Birgit Griese
Lineare Algebra von Albrecht Beutelspacher
Algebra for Einsteiger von ]6rg Bewersdorff
Algebra von Gisbert W f i s t h o k
Zahlen for Einsteiger von Ifirg Kramer
Elementare und algebraische Zahlentheorie von Stefan Mfiller-Stach u n d ]ens Piontkowski
~__ vieweg
Gerd Fischer
Lehrbuch der Algebra Mit l e b e n d i g e n Beispielen, a u s f i i h r l i c h e n Erl~iuterungen u n d z a h l r e i c h e n Bildern Unter Mitarbeit yon Florian Ouiring und Reinhard Sacher
v,eweg
Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet fiber abrufbar.
Prof. Dr. Gerd Fischer
TU Miinchen Zentrum Mathematik, M 10 BoltzmannstraBe 3 85748 Garching
[email protected] 1. Auflage 2008 Alle Rechte vorbehalten 9 Friedt: Vieweg & Sohn Verlag ] G'VWFachverlage GmbH, Wiesbaden 2008 Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch I Susanne Jahnel Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.vieweg.de
~i l.~'m-Z" \ \
Das Werk einschlieNich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschfitzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzul~ssig und strafloar. Das gilt insbesondere ffir Vervielf~ltigungen, {Jbersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Satz: Brigitte Singhof, D{isseldorf Druck und buchbinderische Verarbeitung: Wilhelm & Adam, Heusenstamm Gedruckt auf s~urefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978 3 8348 0226 2
Crau, teurer Fr'eund, ist alle Theorie, und 9riin des Lebens goldner Baum. MEPHISTOPHELES
zum SCHiJLER
Vorwort Der vorliegende Text ist ein einffihrendes, Lese- und Lernbuch" ffir Studierende, die sich nach dem Studium der Linearen Algebra erstmals mit grundlegenden Problemen, Methoden und Ergebnissen der ,~Sheren" Algebra vertraut machen m5chten. Der Titel steht beim Vieweg-Verlag in einer alten Tradition: ab 1896 erschien das dreib~hidige Werk ,,Lehrbuch der Algebra" yon H. WEBER, 1924 folgten zwei B~nde mit dem gleichen Titel yon R. FRICKE, aber mit einer ganz anderen Intention. In den beiden klassischen Werken wurde versucht, m5glichst umfassend den damaligen Stand der Algebra zu vermitteln. Die Daz'stellung der Algebra hat sich seit WEBER und FRICKE stark ver~hldert. Durch das Progra~nm yon HILBERT ist das axiomatische Gerfist ausgepr~gt worden; die grundlegenden Vorlesungen in diesem Stil yon EMIL AftTIN und EMMY NOETHER waren die Quellen ffir die 1931 erstmals verSffentlichte ,Moderne Algebra" von VAN DER TVVAERDEN, sie haben alle seither erschienenen Bficher fiber Algebra gepr~gt. Durch die Axiomatik wird die Darstellung idarer, Beweise werden einfacher und durchsichtiger. Abet ffir Studierende besteht die Gefahr, die zahllosen hinter dem klaz'en Gerfist verborgenen konkreten Situationen nicht genfigend kennen zu lernen. Dazu sei erinnert an die Arbeiten yon C.F. GAUSS: Hier gab es keinen der abstrakten Begriffe wie Gruppe, Ring oder KSrper; es wurden vide raffinierte Uberlegungen und Bereehnungen durehgeffihrt, deren Ergebnisse sp~ter elega~ite Formulierungen im abstrakten Rahmen gefunden haben. hi diesem Buch kann und soll die Zeit nicht zurfickgedreht werden. Abet es wird versucht, durch sehr vide konkrete Beispiele die Bodenhaftung der Studierenden zu erhalten. In dieser Absicht beschreiben wir ausffihrlich die Symmetrien der Platonisehen K#rper als Illustration der Beziehungen zwischen Gruppen und Geometrie, quadratische Zahlringe zur Erl~uterung der subtilen Teilbaxkeitseigenschaften in Pdngen und yon GAUSS gefundene Formeln zur Darstellung yon Einheitswurzeln aus der Sicht der K6rpererweiterungen. In einer einffihrenden Vorlesung verbleibt kaum Zeit zur Behandlung all dieser Themen; die Studierenden erhalten die M6glichkeit, solche zur Vertiefung des Verst~ndnisses wichtige Erg~nzungen hier nachzulesen. Auf~erdem enth~it dieser Text ffir ein Buch fiber Algebra ungew&hnlich vide Bilder. Dazu sei erinnert, dass die Algebra ein hervorragendes
VI Werkzeug ffir die Geometrie ist, und dass vor der Entwicklung einer guten Synibolik ffir die ,Buchstabenrechnung" viele algebraische Beweise geometrisch geffihrt wurden. Die zahlreichen Vergnderungen der letzten Jahre in den Studienggngen haben sich mittlerweile etwas stabilisiert; dieses Buch versucht, darauf Rficksicht zu nehmen. Der gesmnte Inhalt ist ffir eine zweisemestrige einffihrende Vorlesung ausgelegt, die nut Kenntnisse aus der Linearen Algebra voraussetzt und ab dem dritten Studiensemester besucht werden kmm. In vielen Studieng~hxgen ist nut eine einsemestrige Einffihrung in die Algebra vorgesehen. Daher sind einige Paragraphen und Abschnitte mit einem Sterw* versehen: man kann sie beim ersten Durchgang weglassen, und eventuell im zweiten Semester na~hholen. Insbesondere ist dadurch ein Minimalkmion ffir den B a c h e l o r vorgeschlagen. Ganz besonders Studierende ffir das L e h r a m t k/Snnen dutch geeignete Auswahl aus dem Inhalt eine solide und nicht zu abstrakte Grundlage ffir die spgtere TStigkeit erhalten und das Buch dann als Nachschlagewerk nutzen. In dieser Einffihrung soll nut die relativ ,~lassische" Algebra behandelt werden, HShepunkte sind die Ergebnisse fiber die LSsbarkeit yon Polynomgleiclmngen; dieset Teil der Algebra kam im 19. Jahrlmndert - abgesehen yon der Darstellung zu einem Abschluss. Einen sehr guten Eindruck yon dem langen Weg dorthin seit den Wurzeln in der Antike vermittelt der historische Text yon VAN DER WAERDEN [vdW2]. Die anschliel~ende Entwicklung der Algebra im 20. Jahrhundert war rasant, vor allem in Richtung der algebraischen Geometrie und der Zahlentheorie; zwischen beiden wurden innige ZusammenhSnge entdeckt, ein HShepunkt war die L6sung des Problems yon FERMAT im Jahr 1993. All das muss tbrtgeschrittenen Vorlesungen und weiterffihrenden Bfichern vorenthalten bleiben; einen knappen historischen Abriss fiber das vergangene Jatirtmndert findet maa bei [Mi]. Wie fiberall in der Mathematik setzt das Studium der neueren Entwicklungen eine solide Kenntnis der klassischen Methoden voraus. Die Glieder~ang des Inhalts folgt der fiblichen Systematik ,Gruppen, Ringe, KSrper", daxturch wird das logische Gerfist deutlich und die Darstellung vereinfacht. Zur Erh/5tmng der Motivation beim Lernen kaan man getrost davon abweichen: Maa kann gaaz hinten mifangen mit den geometrischen Konst,rul;tionen und die zunehmend komplexeren algebraischen Hilfsmittel nach Bedaz'f nachlesen. Wenn man mit dem Paragraphen fiber die LSsnngen yon Polynomgleichnngen anf'i~ngt, wird man feststellen, dass die wesentlichen zuvor entwickelten Techniken fiber Gruppen, Ringe und KSrper benStigt werden. In den zahlreichen Beispielen sind nicht immer alle Einzelheiten ausgeffihrt; da verbleiben viele kleinere und gT6~ere Ubungsaufgaben. An der Da~'stellung der gTundlegenden Ergebnisse der Algebra ist yon vielen Autoren gefeilt worden. Es gibt zahllose Tricks, deren Urheber kaum noch festzustellen sind; man kann sie schon als ,~Folklore" bezeichnen. Im I, iteraturverzeiehnis sind Bficher aufgeffihrt, aus denen ich gelernt habe, aul~erdem zahlreiche Texte ffir weiterffihrende Lektfire. Aus den Werken yon C.F. GAuss sind einige Stellen im Faksimile abgedruckt, in der Hoffnung, die Neugier des Lesers auf diese einmaligen
VII Texte zu wecken. Mein Dank gilt den Studierenden der TU-Miinchen fiir vMe kritische Bemerkungen und vor ailem Reinhard Sachet, dem Coautor unseres gemeinsamen Buches ,~Einffihrung in die Algebrd ' IF-S]; aus diesem alten Text ist vieles iibernommen worden. Sowie Floriaa Quiring, der vier Semester lang Ubungen zur Vorlesung betreut und viele wertvolle Details beigesteuert hat. Brigitte Singhof hat mit grot~er Pr~zision und persSnlichem Einsatz die druckfertige TEX-Vorlage erstellt, Ulrike Schmickler-IIirzebruch hat das Projekt vom Verlag begleitet und vorangetrieben. Trotz sorgf~ltiger Suche nach Dreckfuhlern und mathematischen Irrtfimern werden wohl einige verblieben sein. Daher m6chte ich alle Leser bitten~ mir Fundstellen mitzuteilen, am einfachsten an
[email protected] Wir haben unter
http :/ /www-ml O.ma.tum.de / twiki /bin /view /Lehrstuhl / GerdFischer eine Seite mit Kommentaz'en und Verbesserungen eingerichtet. Miinchen~ im November 2007
Gerd Fischer
Inhaltsverzeichnis
Gruppen w1
w2
w3
I.I 1.2 1.3
Gruppen und Untergruppfn .............. h m e r e Verkn/ipfungen u n d Halbgluppcn . . . . . . . . . . . Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definition ei~er G~ul~pe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4
Abschw~ichung
1.5
Translationen
1.6
Definition
Halbglul0pen,
der Gruppenaxiome und
..............
Kiirzungsregeln
ei~er Untergruppe
..............
.................
1.7 E r z e u g u n g yon U n t e r g r u p p e n . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 U n t e r g r u p p e n yon Z, K o n g r u e n z e n u n d Restklassen . . . . 1.9 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Homomcrphismcn und Normalteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1
Definition
2.2
Beispiele
eilles Homomorphismus
..............
2.3
Nebcnklassen
2.4
Ordnung
und
2.5
Beispiele
.............................
2.6
Definition
............................. .......................... Index
......................
eilles NormaJteilers
.................
2.7 Homomorphismen und Ncrmalteiler . . . . . . . . . . . . . 2.8 Faktorgruppen ......................... 2.9 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Isomorphies~tze u n d P m d u k t e yon G r u p p e n . . . . . . . . . . . . . 3.1 Isomorphies~tze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 J~uJ~cres direktes P r o d u k t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Inheres direktes P r o d u k t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4
AuJ~cres
3.5
hmeres
semidirektes
3.6
Beispiele*
3.7
Zyklische G 1 u p p ~ n
3.8
Teilbarkeit
3.9
Produkte
3.10
Untergruppcn
zyklischer
3.11
Die Eulersche
g-Funktion
3.12
Primrestklasse~
semidhektes
Produkt*
. ...............
Produkt*
. ...............
. ........................... ganzer zyklischer
....................... Zahlen
...................
Giupp 2 gibt es in beiden Mengen kein neugrales Element bezfiglieh der Multiplikation, in N~, gibt es nut flit m 0 ein neutrales Element beziiglich der Addition. Dagegen ist die Verkniipfung *:NxN-~N, mit 0 ~ :
(m,n)~-~m,n:
m ~,
1 weder assoziativ noch kommutativ.
Beispiel 2 Abbildungen
Ist M eine nicht leere Menge, so ist die Menge Abb(M, M) aller f:M--+M
mit der Hintereinanderschaltung als Verknfipfung eine Halbgruppe, mit der identischen Abbildung idM als neutralem Element. Hat M mehr als ein Element, so ist diese Verkniipfung nicht kommut~tiv. Beispiel 3 In der Menge M(n x n; R) der n-reihigen quadratischen M~trizen mit reellen Eintrigen ka~in man aus Addition und Multiplil~tion die neuen Ver!aiiipfungen (A,B) ~ A . B : AB + BA und (A,B)
~
A . B
:
AB-
BA
1.2 BEISPIELE
3
erkl~'en. Fiir ~ > 2 sind sie nicht assoziativ. Beispiel 4 Sei I [0, 1] c R das Einheitsintervall, X C R 2 wegzusammenh~ngend u n d p E X ein fester Punkt. Mit ~(X;p):
: fstetig,
{f:I--+X
f(0)
f(1)
p}
werde der S c h l e i S e n r a u m (d.h. die Menge der gesehlossenen Wege um p) bezeiehnet. Fiir f , g E ~ ( X ; p ) sei
(f*.q)(t) :
f(2t)
fiir
0,1, >,2 E C die beiden Nullstellen, so ist >,2
>,1
und
>,1+>,2
a+dEE.
Aus I?,I I?,I 1, A2 ~1 und A1 + A2 E E folgt, dass es fiir A1 + A2 nur die mSglichen Werte - 2 , - 1 , 0, l, 2 gibt. I m Bild sieht das so aus:
32
I GRUPPEN
1
!: (i
Es gibt also nur die %lgenden MSglichkeiten
fll
f12
PA(X)
1
1
X 2 -2X+
r
r
X2- X + 1
6
i
-i
X2
+ 1
4
r
~
x2+x+l
a
-1
-1
X 2 + 2X + 1
2
ordA 1
1
Diese werden durch die oben angegeben Matrizen realisiert.
2.6
Definition
eines Normalteilers
Ist ~ : G --, G' ein H o m o m o r p h i s m u s u n d H :
~(axa s)
~(a)~(x)~(a)
s
Ker ~, so gilt fiir x E H u n d a E G
e',
also
axa s E H ,
d.h. der Kern ist stabil unter alien Konjugationen. W i r untersuchen nun a11gelnein U n t e r g r u p p e n Init dieser besonderen Eigenscha1L
Definition
Eine U n t e r g r u p p e H < G), wenn fiir a11e a E G
H
aH
0 auch etwas anders beschreiben. Dazu verwendet man die primitive m-re Einheitswurzel (,,~:
2rri exP(7~-) EC
und den Homomorphismus
von der additiven Gruppe Z in die multiplikative Gruppe C. Offensichtlich ist Kerg~r~
mE
und
Img,~
C,,~:
{r162162
1} < C .
Einen Isomorphismus
erk'art man aus g ~ sofort mit Hilfe des in I a.1 bewiesenen Ersten Isomorphiesatzes. Z,,~ kann daher als Untergruppe der Kreislinie C angesehen werden, was den Nmnen ,#yklisch" erklgrt.
36
I GRUPPEN
Beispiel 3 In der symmetrischen Gruppe 8 . hat man A . < 8 . als Kern des Signum-Homomorphismus. Ffir n _> 2 sei T die Transposition, die 1 und 2 vertauscht; es ist sign T --1. Ist ~ 6 S. mit sign ~ --1, so ist T o ~ 6 A . , also T 2 0 O-
O- u n d
S.
A.
U
TA.
A.
U
A.T .
Daher gibt es einen Isomorphismus ---+ z / 2 z .
Die zu Z / 2 Z isomorphe Untergruppe H : malteiler (Beispiel 3 aus I 2.5). Beispiel 4
{id~T} < S. ist fiir n > 3 kein Nor-
Ist K ein beliebiger K6rper, so ist die spezielle lineare SL(n;K):
{A6GL(n;K)"
detA
Gruppe
1} 0} < G L ( n ; R ) ,
3.6 BEISPIELE* SO(n):
{AeO(n): detA
49
+I} 2. Ist m keine Primzahl, so ist m k 91 mit 1 < k, 1 < m. Daher sind Erz (a ~) und Erz ( d ) nieht triviale Untergruppen. [] Die additive Gruppe Z,,, Z / m Z kann als ,~Prototyp" einer endliehen zyklischen Gruppe angesehen werden. Bei dem oben verwendeten Isomorphismus "~ wird die additive Struktur von Z,,, mit der multiplikativen Struktur in G gekoppelt. Dabei ist
.,(1 Die Bildung yon Potenzen in G wird also besehrieben dureh die Multiplikation in Z, das wird systematisch in Kapitel II im Rahmen der Ringtheorie behandelt. Zur Untersuchung der Struktur yon zyklischen G r u p p e n ben5tigt m a n nur einige elementare Teilbarkeitseigenschaften ganzer Zahlen. A m schnellsten sieht man das mit Hilfe der Primfaktorzerlegung, die in Kapitel II bewiesen wird. I m folgenden Absehnitt zeigen wit, dass vieles auch ohne Primfaktoren geht.
3.8
Teilbarkeit ganzer Zahlen
Sind m, n E Z, so sagt m a n , m t e i l t n , in Zeichen m I n :r
es gibt x E E m i t n
x 9m .
Anders ausgedriickt bedeutet das, n i s t V i e l f a c h e s v o n m. Offenbar gilt m ln r
nZ < m Z
und falls m, n > 0 tblgt m < n. Die einzigen Teiler yon 1 sind +1 und - 1 . m heigt g e m e i n s a m e r
T e i l e r y o n h i , . . . , n~ E Z, wenn es x l , . . . , x~ E Z gibt
mit 7%1 u n d n heigt gemeinsames E Z gibt mit
XI~
9 9 9 ~
g~r
Vielfaches yon ~
371~i~
.
. . ~ ~
Xr~7~
ml, ..., m , E Z, w e n n es Xl, ..., x, 2Cr77~ r
.
56
I GRUPPEN
Um zu zeigen, dass es einen grSflten g e m e i n s a m e n Teiler ggT ( I t 1 , . . . , f t r ) und ein kleinstes gemeinsames Vielfaches kgV ( r r h , . . . , rrb) gibt, benutzen wir die in I 1.8 dutch Teilung mit Rest bewiesene Tatsazhe, class jede Untergruppe yon Z yon einem Element erzeugt wird. Zur Bestimmung eines gTSgten gemeinsaxnen Teilers yon r t l , . . . , rt r betrachten wir den Summen-Homomorphismus G : Z X ...
X Z ~
Z,
(371,...
, 3 7 r ) I ~ 3717%1 + . . .
+37r7% r
.
Nach Definition ist Im cr Erz ( r t l , . . . , r t r ) < 7/,; nach I 1.8 gibt es ein d E G mit Im a dE. D a ni E I m a, ist d gemeinsamer Teiler yon n l, ... n~, und d a d E I m gibt es x 1, . . . , x~ E 77, mit d
Xln I
+
+
...
Xrn
r
.
Ist m irgend ein gemeinsamer Teiler yon rtl, . . . , rtr, SO teilt er wegen der obigen Darstellung als Summe auch d. Da d his auf das Vorzeichen eindeutig bestimmt ist, ist ein d > 0 auch dem Betrag nach der grSgte gemeinsame Teller. Insgesamt haben wit gezeigt, dass es xl, . . . , x~ E 77, gibt, mit d
z z T (nl,... , n r )
3717%1 +
...
+
fern
r
.
Dieses Ergebnis wird manchmal Relation yon B];ZOUT genannt. Dabei ist zu bedenken, dass die Koeffizienten x l , . . . , x~ keineswegs eindeutig bestimmt sind. Man nennt n l , . . . , n~ teilerfremd, wenn ggT ( n l , . . . , n~) das gquivalent zur Existenz yon xl,..., x~ E Z mit 1
Xlft 1
+
. ..
+Xrft r
1. Offensidltlich ist
.
Diese Regel ist besonders nfitzlich. Ein kleinstes gemeinsames Vielfaches yon m l , . . . , m~ erhglt man mit Hilfe des ,,diagonalen" Homomorphismus (~ : Z 4
Ztl~l
X ...
X Z ......
~ I~
( X + f r ? d Z , . . . , X + fr?~rZ ) .
Offenbar ist Ker6
{m E Z : m E miZ, ...,m E re 0 auch ein dem Betrag nach kleinstes gemeinsames Vielfaches.
3.8 TEILBARKEIT GANZER ZAHLEN
57
Als erzeugende Elemente der Untergruppen yon 7, sind ggT und kgV nur bis auf das Vorzeichen (d.h. bis auf Einheiten in 7,) bestimmt. Man kann sie eindeutig machen, indem man immer den nicht negativen Wert wShlt. Sind m, n, r E 7, m i t ggT (m, n)
Bemerkung
Beweis
a) Wir wShlen x, y E 7, mit 1
1~ so silt:
x m + yn. Also ist
Wegen rn I r n folgt rn I r. b) Da n] r ist r
x n mit x E 7,. Aus m] r folgt nach a), dass m] x; also folgt ran] r. []
Als Folgerung erhalten wir eine Aussage fiber die simultane LSsbarkeit yon Kongruenzen, der Tradition folgend bezeichnet als Chinesiseher Restesatz
Sind m, n E 7, teilerffemd, so gibt es zu beliebig vorgegebenen a, b E 7, stets ein x E 7, m i t
-a(mod.~)
und
x-b(mod~).
FAn x ~ E 7, ist genau dann eine weitere LSsung der beiden Kongruenzen; wenn
z = z ' (rnod ran). Beweis
Wit betraehten den ,,diagonaleif' HolnOlnorphislnus 6 : 7, ~ Z,~ x Z,~ , z ~ ( x + mT,,z + nT`).
Die LSsbarkeit der beiden Kongruenzen ffir beliebige a, b E 7, bedeutet, dass sutjektiv ist. Um das zu zeigen, wShlen wir nach der Relation von BgZOUT k, 1 E 7, mit 1 k m + ln. Ist x:
aln+bkm,
sofolgt x - a
a(ln-1)+bkm
mk(b-a)
EmT,
und analog x - b E nT,. Dass x und x ~ LSsungen sind, ist gleichbedeutend mit x - x' E Ker 6
roT,AnT,.
Es bleibt also roT, n nT, (ran)7, zu beweisen. Die Inklusion (ran)7, C roT, n nT, ist klar. Die umgekehrte Inklusion folgt aus Tell b) der obigen Bemerkung. [] Korollar
Fiir m, n E N \ {0} gilt
58
I GRUPPEN
Beweis W i t setzen d : g g T (rn, n) und k : wit nach I 3.1 einen M o n o m o r p h i s m u s
kgV (rn, n). D a Ker 5
k g , erhalten
5 : Z / k Z ~ Z,~ x Z,~ . Ist d
1, so ist nach dent Chinesischen Restesatz k
Ist u m g e k e h r t k
rn 9n.
rn 9n vorausgesetzt, so ist 5 wegen rn.n
ordZ~
o r d ( Z , ~ x X,~)
ein Isomorphismus. D a h e r gibt es ein z E g m i t a(.)
1
mit rn, n E Z; daraus folgt 1
also.
1 -.
rrn + sn und g g T (rn, n)
1.
[]
Den Fall von m e h r als zwei simultmmn Kongruenzen behandeln wir in allgemeinerent R a h m e n in II 2.11.
3.9
Produkte zyklischer Gruppen
Mit den in 1 3.8 bereitgestellten Hilfsmitteln zur Teilbarkeit ganzer Zalflen kSnnen wit nun einfach kl/iren, wann ein P r o d u k t yon zwei zyklischen G r u p p e n wieder zyklisch ist. Zun/ichst zeigen wir, dass der Fall eines unendlichen zyklischen Faktors trivial ist. Allgemeiner gilt die
Bemerkung
Ist C ~ {c} eine beliebige Gruppe, so ist C x g nicht zyklisch.
Beweis A n g e n o m m e n (a, n) E C x Z ist erzeugendes Element. Dram muss a c E C u n d n ~ 0 E Z sein. D a (a, 0) E C x Z, muss es ein k E Z geben m i t (a,O)
(a,n) ~
(a ~ , k n ) , a l s o
k
0 und a
a~
e,
im W i d e r s p r u c h zu a / ~ e.
[]
Fiir P r o d u k t e endlicher zyklischer G r u p p e n b e n u t z e n wir das Lemma Seien C und H beliebige Gruppen, a E C und b E H. Dann gilt fiir (a, b) E C x I t ord (a, b) kgV (ord a, ord b).
Beweis
Sind e E C u n d e' E H die neutralen Elemente, so gilt nach d e m L e m m a
aus I 2.4
(a,b) ~
(a~,b ~)
(e,e')e:>a ~
e und b~
e ' < = > ( o r d a ) l k und ( o r d b ) l k ,
d.h. k muss gemeinsmnes Vielfaches yon ord a u n d ord b sein, die O r d n u n g ist das kleinste. [] Zentrales Ergebnis dieses Abschnitts ist der
Seien C ~md H endliche Satz fiber Produkte endlicher zyklischer Gruppen zyMische Gruppen mit rn : ord C und n : ord H. D a n n gilt:
59
3.10 U N T E R G R U P P E N Z Y K L I S C H E R G R U P P E N
1) G x H ist zyklisch eee m und n teilerfr'emd. 2) Iat G x H zyklisch und (a, b) E G x H , so gilt:
G • H
Erz (< b) ~* G
Erz(~)
~d
H
Er~ (b).
Beweis 1) Ist G x H zyklisch, so gibt es a E G u n d b E H m i t G x H also ord (a, b) ord (G x H ) ran. Nach dem obigen L e m m a ist
mn also g g T (m, n)
ord(a,b)
kgV(m,n),
1 nach d e m Korollav aus I 3.8.
Ist g g T (m, n) 1, so wghle m a n a E G und b E H mit G Erz (b). D a n n ist
ord (< b) also G x H
Erz (a, b),
kgV(.~,,~)
g r z (a) und H
.~,~,
Erz (a, b) zyklisch.
2) ,,_ 1 yon rn genan eine Untergrnppe H < G der Ordnnng k.
G e n a u e r gilt: I~t G
Erz (a) und rn
B e w e i s Wit definieren H : nach obigem Lemma
Erz (a'). D a r n ordH
Erz (a').
k n , so ist H
k n , folgt ggT (rn, n)
ord(a')
n, also ist
k
Zum Beweis der Eindeutigkeit betrachten wit H / < C mit ord H / k. Nach obiger Bemerkung ist H ' zyklisch, also H ' Erz (a l) fiir ein 1 E N. Ist d : ggT (rn, 1), so ist nach obigem Lemma ordH'
ord(d)
7Y~
d
]~ft
d '
also ordH' Da ord H '
3.11
Die
k
ke=~d
rt~rt II~H'_ 1 ist die Abbildung Aut (Z.~) --~ Z ~ , ~6 ~-~ ~6(1 + rnZ),
ein Iaomorphismus von abelschen Gruppen. Beweis Die Bijektivit~t ist schon gezeigt. Die Abbildung ist auch ein Homomorphismus, denn ist ~Pl(l+mZ)
KoroUar
k+mZ
und
~P2(l+mZ)
l+mZ,
sofolgt
Fiir teilerffemde m, n >_ 1 hat man Isomorphismen Aut (Z,,~} - Aut (Z,~} • Aut (Z,~} - Z ~ • Z,~ ~ Z~L~ .
I,nsbesondere ist o r d A u t (Z ..... )
~(m) 9~(n).
[]
Aus der in I 1.5 ffir jede endliche abelsche Gruppe G bewiesenen Aussage aord G
r
fiir alle a 6 G, angewandt auf Z~, folgt sofort Ms Verallgemeinerung des kleinen Fermatschen Satzes der
I GRUPPEN
64 S a t z v o n FERMAT-EULER
Fiir m ~ N mitm
> 2 und k ~ ~mit
ggT (k, m)
1
gilt
[]
k ~(~) -- 1 (rnod m) . Ist etwa m
16 und k
7, so ist p(m) 78
5 764 801
8 und 360 300 916 + 1.
3.13 Der euklidische A l g o r i t h m u s Zur Berechnung des grSfften gemeinsamen Tellers d yon zwei Zahlen m, n E N \ {0} und yon x, y E Z mit d x m + y n gibt es den e u k l i d i s c h e n Algorithmus, der ohne die Primfaktorzerlegung yon m und n auskommt (vgl. [Eu, 7. Buch w in der Ubersetzung steht gemeinsames ,,MaJg"). Wir verwenden die Rechenregel ggT (m, n)
ggT (m, n + kin)
fiir alle k E Z .
Dazu hat man nach der Definition des ggT zu zeigen, dass mZ+nZ
mZ+(n+km)Z.
Die Inklusion ,,D" folgt aus n + km n
E m E + hE, die Inklusion ,,C" aus
(n+km)-km.
[]
Zur Beschreibung des Algorithmus nehmen wir 0 < m < n an, und wir setzen no : n, nl : m. Nun wird wiederholt mit Rest dividiert (vgl. I 1.8): ~0
ql~tl + ~t2~
0 ~ ~2 ~ ~i~
~tl
q2~t2 + ~t3~
0 ~ ~3 ~ ~2~
nk
2
7tk 1
qk 17tk 1 ~ 7tk~
0 ~ ~k ~ ~k
qkTtk ~ 7tk+l~
0
~k~l
i~
~ ~k~
ggT (n~ 2, n~ 1) ggT (n~ 1, n~)
Da die Folge der Reste ni E N streng monoton k _> 1 mit nk+l 0.
ggT (n~ 1, n~) ggT (n~, 0)
abnimmt, gibt es in der Tat ein
Die Regeln fiir den ggT in der letzten Spalte folgen aus n i + l ni 1 - qini, also ist n~ ggT (n~, 0) ggT (no, nl) ggT (m, n) . Zur Berechnung einer Darstellung ggT(m,n)
xm+yn
mit x, y E Z
3.14 B E I S P I E L E
setzt
65
rekursiv ein:
man
rt/{
rt/{ 2 -
qk
lrt/{ 1
q~ lrt~ a + ( l + q ~
2q~
1)rt~
2
ftk
1
ftk
3 -- qk
2ftk
2
~tk
2
~tk
4 -- qk
3ftk
3
(...)7%1 + (...)7%2
ft2
ft0 -- qlftl
y 9 no + a: 9 nl
Die Koeffizienten m u n d y sind also aus ql, . . . , q~ 1 berechenbai". U m ein Beispiel mit vorhersehbai"em Ergebnis zu erhalten, benutzen wir die Primzahlen 17, 257 und 65537; und wir setzen no
17.65537
1114129, nl
17.257
4396
Die Rechnung kann m a n nacti folgendem Schema durchfiihren: r~o
"r~l
ql
+~
1114129 - 1 114095
-qlnl
nl
"rt2
q2
+~
4369 - 4 352 34: 17
-q2n2
n2 :n3
q3
Also ist n3
17
"4369
"34
128
2
+0
255
+...
+...
ggT (1 114 129, 4 369).
Schlieglich erhglt man 17 3.14
-128n0 + (1 + 128 9255)nl
-128n0 + 32 641nl .
Beispiele
1 Ob ein P r o d u k t Z,~ x Z,~ yon zyklischen G r u p p e n wieder zyklisch ist, hSx~gt davon ab, ob die diagonale Abbildung
Beisplel
Z~ZxZ,z~(z,z) eine surjektive Abbildung 6 : g ~ Z,~ x Z,~ induziert (vgl. I 3.8). Das kann m a n geometrisch beschreiben, indem m a n die Bildpunkte der Diagonalen in g x g mit Rest durch rn und n teilt. Wir betrachten zwei besonders einfache Fglle:
m =n =2,
m~,
n=3.
66
I GRUPPEN
hn ersten Fall rn n 2 treten nur die 2 Paare yon Resten (0, 0) und (i, i) auf, im zweiten Fall rn 2, n 3 alle 6 Paare yon Resten (a, b) mita 0, i uncl b 0, i, 2. Im Allgemeinen ist nach I 3.8 der Index yon 5(?7,) < Z,~ x Z,~ gleieh ggT (m, n).
Beispiel 2 Sind C1, C2 beliebige Gruppen mit Untergruppen H1 < C1, //2 < C2, so gibt es im direkten Produkt C1 x C2 die ,,trivialen" Untergruppen H1 x H2
1
und ein Teller yon ord C. Aus der allgemeinen Balmgleichung ergibt sich unmittelbar die
Ist C eine endliche Gruppe, und sind x l , . . . , :ca Vertr'eter der mehrelementigen Bahnen bei der Konjugation, so gilt
Klassengleichung
a
ordC
ordZ(C)+~ind(C"
Zenc(xi)) .
i=1
Diese Gleichung ist ein entscheidendes Werkzeug beim Beweis yon Sgtzen fiber die Struktur endlieher Gruppen in w 6. Hier nur ein kleiner Vorgesehmaek: Korollar
Ist p eine Primzahl und C eine Gruppe mit ord C
p2, so ist C
abelsch. Wir benutzen den folgenden Hilfssatz
Ist C / Z ( C ) zyklisch, so ist C abelsch, also Z(C)
C.
Z(C) und wghlen ein erzeugendes Element Beweis des Hilfssatzes Wir setzen Z x Z yon G/Z, wobei x E C. Zu a, b E C gibt es dann k, 1 E Z und z, w E Z 1nit aZ
:caZ, bZ
:clZ
und
a
:caz, b
:clw.
Daraus folgt ab
xazxlw
xa+lzw
xa+lwz
xlwxaz
ba .
Beweis des Korollars Ffir ord Z(C) komlnen die Werte 1, p und p2 in Frage; es genfigt, die F/ille 1 und p auszusehliegen. In den Terlnen der Klassengleiehung teilt p die Indizes und ord C, also ist p Teller yon ord Z(C). Dalier verbMben nur die FNle p und p2. Aus ordZ(C)
p
folgt
ordC/Z(C)
p,
also ist C / Z ( C ) zyklisch und C abelsch; das ist ein Widerspruch zur Annahme
z ( c ) r c.
[]
4.5 ZYKLENZERLEGUNG EINER PERMUTATION
4.5
Zyklenzerlegung
75
einer Permutation
Wit wenden nun die in I 4.3 erhaltene Zerlegung einer Menge in Ballnen auf eine Permutation ~ E S~ an. Damit wird die ,,Struktur" yon ~ klarer erkennbar und man kann dmul einfacher mit Permutationen rechnen. Zun/ichst erklSzen wir besonders einfache Permutationen. Ist M eine beliebige nicht leere Menge, so heigt ein { E 8(M) ein Z y k l u s der L~nge m (oder m - Z y k l u s ) , wenn es paarweise verschiedene x l , . . . , x ~ E X gibt, so dass {(xi) {(z)
fiir
xi+i
z
i
1,...,m-i,
fiir alle
Man schreibt dafiir { :
{(x~r~)
xl und
z E X \ {zl,...,z~r~}.
( x l , . . . , x ~ ) . Man beachte, dass
(-1,*~,...,*~)
(*~,*~,...,*~,-1)
(~1,~,...,~)
1
...
(~,~
Ein 1-Zyklus ist die Identit/it; ein 2-Zyklus r vertauseht Xl und x2.
( * ~ , - 1 , . . . , * ~ 1), 1,...,~1) .
(xl, xs) ist eine Transposition, er
Bemerkung
a) Sind { ( x l , . . . , x ~ ) und q ( y l , . . . , y~) elementfremde Z y k l e n (d.h. { z l , . . . , z ~ } n { y l , . . . , > ~ } 0), so ist
{orj
rjo{,
die Zyklen sind also vertauschbar. b) Jeder m-Zyklus ist Produkt yon m - 1 Transpositionen.
c) sign(~:l,...,~:.~)
(-1p
d) ord ( z l , . . . , Zm)
m
1
(vgl. I 2.4).
Beweis a) ist Mar, da die beiden Zyklen unabhgngig voneinmider wirken. b) f o l g t a u s ( x l , . . . , x , ~ ) ( x l , x , ~ ) o ( x l , x,~ 1) o . . . o ( x l , x s ) . c) folgt aus b) und sign (xl, acO) - 1 . (Bemerkung in Beispiel 6 aus I 2.2) d) Ist { ( x l , . . . , x ~ ) , so gilt offenbar {~ id, also o r d { _< m. Andererseits ist fiir k < m %_ 2 ist jedes cr E g~ Prvdukt elernentfi'ernder ZyMen und die Faktor'en sind his auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt.
Beweis
Wir betra~hten die Gruppe G:
Erzcr
{or< 9 r" E Z} < S~
76
I GRUPPEN
und ihre Operation auf M gung
{ 1 , . . . , n}. Nach 1 4.3 hat man eine disjunkte Zerle-
AJ
(~(il) U . . . U (~(im)
in m _< n Balmen, wobei ij E G(ij) flit" j 1 , . . . , m ein beliebiger Repr/isentmlt ist. Ist G(i) eine dieser endlichen Balmen, so gibt es dazu r, k E N \ {0} mit
~'(i)
~'+~(i), also i
~(i).
Ist k minimal gewghlt, so folgt
G(i)
{i,o-(i),...,0 -k 1 ( i ) } , ord(~(i)
~.
Zu dieser Balm geh6rt der k-Zyldus
(i,o_(i),...,o_k
1(i)) .
hlsgesamt erhglt man elementfremde Zyklen ~1, . . . , ~rn der LSxlgen hi + ... + Gr~ n und es ist nach Konstruktion
(:r
kl, 9 .., km
mit
{IO...O{~T~ .
Hat man umgekehrt eine solche Darstellung, so muss sie zu den Bahnen passen; dazaus tblgt die Eindeutigkeit. [] Korollar
Ist n >_ 3, so gilt:
a) Jede Permutation cr E G~ ist Prvdukt von Tr'anspositionen. b) Jede Permutation cr E A , ist P w d u k t yon 3-Zyklen. Beweis a) Nach dem Satz ist cr Produkt von Zyklen, nach der Bemerkung ist jeder Zyklus Produkt yon Transpositionen. b) Wegen signG +1 und s i g h t --1 fLir jede Transposition T, ist ~ Produkt einer geraden Zalfl yon Transpositionen. Also genLigt es jedes Produkt yon zwei Transpositionen als Produkt yon 3-Zyklen darzustellen. Hierbei muss man unterscheiden, ob die beiden Transpositionen elementfremd sind oder nicht: Sind i, j, k, 1 paarweise verschieden, so folgt
(k, 1) o (i,j)
(i, 1, k) o (i,j,k),
(i, k) o (i, j)
(i, j, k)
Besonders nLitzlich fLir den Umgang mit Permutationen sind die folgenden R e c h e n r e g e l n Ist kl, . . . , k ~ so gilt
a) sig]~]-O-
G
(__1)~1 1 . . . . .
~1 0 . . . 0 ~
(__l)k.~ 1
E 8 , mit elementfremden Zyklen der Liingen
4.6 BEISPIELE
77
b) o r d a k g V ( k l , . . . , k ~ , ) Beweis Regel a) gilt, da das Signum multiplikativ ist. Zum Beweis yon b) setzen wit k : orda. Da die & vertauschbar sind, iblgt klkgV ( h i , . . . , k~,) aus der Bemerkung in I 2.4. Aus a~ id iblgt in diesem Fall auch ~,~ id fiir alle i, da die Faktoren elementffemde Zylden sin& Das ergibt kilk und kgV (hi, ..., k~,)l k. [] Vorsicht! (~ber die Ordnung eines Produktes yon nicht elementfremden Zyklen kaan man keine brauchbare Vorhersage machen (Beispiel 3 in 1 4.6).
4.6
Beispiele
Wir geben einige Beispiele fiir das Rechnen mit Zyklen.
Beispiel 1
Sei (7
D a m ist ~
fl 9
2
3
4
4
8
10
5
6
7
1 2
7
8 3
9 5
10 ~ E g l o . 6 /
(1, 9, 5)(2, 4, 10, 6)(3, 8)(7), also sign ~r ord ~
(+i)(-i)(-i)(+i) kgV (3, 4, 2, 1)
und
+i
12.
Beispiel 2
Die Potenz eines Zyklus muss kein Zyklus sein, zerf~llt aber in ein Produkt yon Zyklen gleicher L~nge. Es ist etwa fiir ~ (1, 2, 3, 4, 5, 6)
~2 ~3 ~4 ~5
(1,3,5)(2,4,6) (1,4)(2,5)(3,6) (1,5,3)(2,6,4) (1,6,5,4,3,2)
~6
(1)(2)(3)(4)(5)(6)
id.
Allgemein zerf~llt fiireinen m-Zyklus ~ die Potenz ~ in ein Produkt yon ggT (m, n) elementfremden Zyklen gleicher LSnge m/ggT (m, n). Der Beweis davon mit Hilfe des Lemmas aus I 3.10 sei dem Leser fiberlassen.
Beispiel 3
Wir illustrieren m6gliche Ordnungen des Produkts yon zwei nicht vertauschbaren Permutationen.
Bei Transpositionen ist
(2, 3)(1, 2)
(1, 3, 2),
7S
I GRUPPEN
also hat das Produkt die Ordnung 3. Nun betrachten wir Transpositionen und 3-Zyklen. IstT
(1,2) u n d (
(2, 3, 4) ESn, s o i s t T ( ordT
Ist T1
(1, 5), T2
2, o r d (
(3, 2) , (
ord(T1T2)
3, ord(T()
4. (1, 2, 3, 4, 5), also
(1, 3, 4) E g5, SO ist TIT2( 2, o r d (
Ist T1 (1, 5) , T2 (3, 2) , (1 (1,2,3,4,5,6,7), alSO
3, ord((T1T2).()
(1, 3, 4) , (2
2, ord ((1(2)
ord (TIT2)
(1, 2, 3, 4), also ist
5 .
(5, 6, 7) E S7, SO iSt T1T2(l(2
3, ord ((TIT2)((1(2))
7.
Beispiel 4 Mit Hilfe der Zyklenzerlegung yon Permutationen erh/flt man wichtige Informationen fiber die Struktur der Gruppen g~. Wir ffihren das ffir 83 und g4 &IIS.
Elemente yon g3
Anzalfl
Ordnung
Signum
id
1
1
+
(1, 2), (1, 3), (2, 3)
3
2
-
(1,2,3), (3,2,1)
2
3
+
Summe
6
Elemente yon 84
Anzalfl
Ordnung
Signum
id
1
1
+
(1,2), (1,3), (1,4), (2,3),(2,4), (3,4)
6
2
-
8
3
+
6
4
-
(1,2).(3,4), (1,3).(2,4), (2,3).(1,4)
3
2
+
Summe
24
(1,2,3), (1,2,4), (1,3,4), (2,3,4) (3,2,1), (4,2,1), (4,3,1), (4,3,2) (1,2,3,4), (1,3,2,4), (1,4,2,3) (1,2,4,3), (1,3,4,2), (1,4,3,2)
4.6 BEISPIELE
Y9
Folgende Inibrmationen seien notiert: O r d n u n g e n y o n E l e m e n t e n In 83 gibt es Elemente der Ordnung 1~2 und 3, aber kein Element der Ordnung 6. hi 84 gibt es Elemente der Ordnung 1~2~ 3 und 4, aber keine der weiteren Teiler 6~ 8~ 12 und 24 yon 24. Ordnungen yon Untergruppen gen 2 und 3.
In 83 gibt es edite Untergruppen der Ordnun-
In 84 gibt es neben den yon Elementen erzeugten zyklischen Untergruppen der Ordnungen 2~ 3 und 4 auch Untergruppen der
Ordnung 6, etwa 83, Ordnung 8, etwa Dn erzeugt yon (1~ 2~ 3~ 4) und (2~ 3), Ordnung 12, n~mlich An. hi A4 gibt es keine zu 83 isomorphe Untergruppe: Beide enthalten 3 Elemente der Ordnung 2. Aber in J[4 bilden sie zusa~nmen mR id eine Untergruppe, isomorph zur Kleinschen Vierergruppe. Dagegen erzeugen die drei Transpositionen yon 83 die ganze Gruppe 83. Da nicht einmal 84 ein Element der Ordnung 6 enthglt, kann J[4 keine zyklische Untergruppe der Ordnung 6 enthalten. In Beispiel 1 aus I 6.13 werden wir sehen, dass jede Gruppe der Ordnung 6 entweder zyklisch oder isomorph zu 83 ist. Daraus folgt daan:
A4 cnthSlt kcinc Untcrgruppc tier Ordnung 6~ obwohl 6 ein Teller yon 12 ist. Also gibt es keine Umkehrung des Satzes yon LAGRANGE. W i r k u n g d e r K o n j u g a t i o n Die in I 4.4 untersuditen Bahnen bei der Konjugation nennt man auch Konjugationsklassen. Zwei Permutationen (T, (T' E S~, liegen in der gMchen Konjugationsklasse, wenn es ein ~- E G, gibt mit (T!
TO(TOT
1 .
Es ist einf~ch zu sehem dass dies gleichbedeutend damit ist, dass (T und (T' die
gleiche Zyklenstruktur besitzen, denn eine Konjugation bedeutet nicht mehr als eine Umverteilmig der Nummern. Da der allgemeine Fall nur mit einigem ibrmalen Aufwand beschrieben werden kanm geben wit ein typisches Beispiel in $5. Ist (T
(1~ 2~ 3) 9(4~ 5) und ~-
(1~ 4), so folgt
Das ist die gMche ,Zyklenstruktur', ns das Produkt yon einem 2-Zyklus mit einem 3-Zyklus. Umgekehrt erhSlt man zu (T und (T' ein % indem man (T und (T' fibereinanderschreibt:
80
I
~r: ~r':
(1,2,3)(4,5) (2,3,4)(1,5)
D a n n ist r 9~ 9r ist.
1
GRUPPEN
( 1 , 2
und r:
2 3
3 4
4 1
5 ]
5 /
(1,2,3,4)
~'. D a r a n sieht m a n auch, dass r nicht eindeutig b e s t i m m t
Die Klassengleictmngen in g3 u n d 84 kann m a n d a m i t aus den obigen Tabellen ablesen, wobei das Z e n t r u m nur aus dem neutralen Element besteht. 83:
6 24
g4 :
Beispiel 5 phismus
1+3+2, 1+6+8+6+3.
Zu j e d e m beliebigen K6rper K gibt es einen kaaonischen M o n o m o r -
"6:&~
> GL(n;K),
der wie folgt erklgrt ist. Bezeichnen el, 9 9 e~ E K ~ die kanonisehen Basisvektoren, so gibt es zu jedem cr E g~ eine eindeutig bestimmte Pervnutationsmatrix A~ mit A~.ei
A~ entsteht aus E~, indem
man
e~(i)
und
~6(~):
A~.
mit ~ die Spalten permutiert.
Da ~4 injektiv ist, kann g~ als Untergruppe yon GL (n; K) angesehen werden. Andrerseits ist nach dem Satz yon CAYLEY &US I 4.2 jede Gruppe G Untergruppe yon g(G). Daanit ist jede endliche Gruppe G der Ordnung n auch Untergruppe yon GL (n; K). Das zeigt, dass alle m6glichen Verkniipfungen in endlichen Gruppen durch die Multiplikation yon Matrizen beschrieben werden k6nnen. Allerdings geht das im Allgemeinen mit einem n, das wesentlich kleiner als die Gruppenordnung ist (vgl. etwa die Quaternionengruppe der Ordnung 8 als Untergruppe yon GL (2; C) in Beispiel 4 aus I 1.9). Die Eintrs in A~ sind nur 0 und i. Daher imam man sich auf den kleinsten K6rper K IF2 {0, i} beschrguken. Dass die Abbildmig ~4 hie surjektiv sein kann, Iblgt aus dem Hilfssatz
Ist Ir ein endlicher KSrper und n > 2~ so gilt o r d G L (n; K ) > o r d G L (n;]?2) > n!
Beweis Die erste U n g M c h u n g ist Mar; sie gilt aueh fiir n 1. Zum Nachweis der zweiten muss m a n die invertierbaren Matrizen mit Eintrggen {0, 1} abzghlen. In ]?~ gibt es T ~ Vektoren. In der ersten Spalte ist nur der Nullvektor ausgeschlossen; fiir 1 < k < n sind in der Spalte k alle L i n e a & o m b i n a t i o n e n der Spalten 1 , . . . , k - 1 ausgeschlossen. Also hat m a n T ~ - 2 ~ 1 MSglichkeiten u n d
ordGL (n;F2)
12[(T~ _ 2~ i). k
1
4.6
81
BEISPIELE
Nach der Formel f/ir die geometrische Reihe ist 2n __ 2k 1
n k 2k 1 E 2r ~ 2k l(rt -- k + 1) > rt -- k + 1,
2k 1(2n k+l __ 1)
r=0
dazaus folgt die zweite heftige Ungleichung. Schon flit n Matrizen.
2 gibt es 6 invertierbare []
Beispiel 6 Wir bestimmen das Zentrum ffir die Gruppen S,, A , und GL (n; K). Zungchst ist Z(g,) { g2 flit n 2, 81 {c} und 82 ist abelsch. Also bleibt der Fall n > 3 zu behandeln. Dazu zeigen wir, dass es zu jedem u E 8, mit u ~ e ein 7 E 8, gibt, so dass O-T 7g 7(7.
(i,j),soist
Esgibti, jE{1,...,n}mita(i)r162162
Welter ist
Z(A,)
J" A , {~}
fiir fiir
n_4.
Fib n _< 3 ist die Aussage Mar, da A , abelsch ist. Sei also n _> 4 und ~ G A4 mit ~ id. Wir kSnnen annehmen, dass ~(1) 2. D a n _> 4, gibt es ein i mit i ~ 2
und i ~ ~(2). Daher gilt
((1, z, i)
r
o
o
(1, z, i))(1).
Etwas schwieriger ist der Beweis yon Z(GL(n;K))
{AE," A E K •
f/it jeden KSrper K. Die Inklusion ,,D " ist Mar; zum Beweis yon , C " zeigen wir zuers% dass eine Matrix A (aij) aus dem Zentrum keinen Eintrag au]~erhalb der Diagonalen besitz% d.h. ffir i ~ j muss aij 0 sein. Dazu verwenden wir die aus der linem'en Algebra beka~mte Elementarmatrix Bji mit Einsen in der Diagonalen und an der Stelle (j, i), sonst Nullen. D a m ist fiir aij # 0 Bji.A#A.Bji,
denn a i i # a i i + a i j ,
das sind die Eintrgge an d e r / - t e n Stelle der Diagonalen der Produktmatrizen. Angenommen A ist eine Diagonalmatrix mit a i i # ajj fiir i # j. Ist Ptj die zur Transposition (i, j) gehSrende Permutationsmatrix, so ist P~5 A # A. P~5, well die Eintrgge in den Zeilen i und j der Produktmatrizen verschieden sind.
82
I GRUPPEN
w5 Symmetriegruppen* Mit den nun zur Verfiigung stehenden Techniken der Gruppentheorie kSnnen wir die Struktur der Symmetriegruppen einiger geometrischer Figuren aufkls Wir beginnen mit den regelms n-Ecken in der Ebene, dann folgen die Platonischen KSrper. Viele weitere Untersuchungen dazu finder man etwa bei [N-S-T] und [Kn].
5.1
Regelm~igige
n-Ecke
und
die Diedergruppe
Zur Beschreibung regelmiifliger n-Ecke P,~ C R 2 benutzen wir Kir n E N \ {0} die primitive komplexe n-te Einheitswurzel ~,~ : Ihre Potenzen C~
exp--
27ri Tb
EC
R2
1, G~, C~,..., C;: 1 bilden die n Ecken yon P , .
Unter einer Symmetrie yon P,~ versteht man eine Isometrie des R 2, die P,~ auf sich abbildet. Fiir n _> 2 muss sie den Ursprung lest lassen, wird also dutch eine orthogonale Matrix beschrieben. Um Fallunterscheidungen zu vermeiden, setzen wir das auch fiir n 1 beim armen ,~Eineck" voraus. Bei der Symmetrie ist noah zu beachten, ob die Orientierung erhalten wird. Nach diesen Vorbemerkungen erkl~h'en wit fiir n _> 1 die Symmetriegruppen Sym (P,~) :
{A E 0(2) 9 A(P,~)
P,~} < 0(2) und
Sym+(p,~) : {A ~ Sym(P,~)" d~t A
+1} < SO(2).
Zur Besehreibung der Struktur dieser Gruppen bezeiehnen wir zur Abkfirzung mit Z. Z / n Z die zyklische Gruppe der Ordnung n und mit
5.1 REGELMASSIGE N-ECKE UND DIE DIEDERGRUPPE
83
die in Beispiel 5 aus I 3.6 erkl/irte Diedergruppe der Ordnung 2n, wobei Z,~ ~ Z,~ x { 1 } < D ,
.
Satz Fiir ein r'egelrn&'fliges n - E c k P,~ C R 2 m i t n >_ 1 gibt es Isomor'phismen
Sym (P,,)
~,
Dr,
Sym+(P,~)
~>
Z~ .
u
u
Man beachte, dass Z,~ abelsch, aber D , fiir n _> 3 nicht abelsch ist. Beweis Wir behandeln zungchst den orientierbaren Fall und wir zeigen, dass alle orientierungserhaltenden Symmetrien Drehungen um ein ganzzallliges Vielfaches des Winkels 27r/n sind. Dazu erinnern wir, dass es zu jeder Matrix A E SO (2) einen Winkel p E [0, 27r[ gibt mit
sin ~ Ist nun A eine Symlnetrie, also A(P,~) 27rik
cos
P,~, so muss die Eeke 1 auf eine Eeke 9
k27r
abgebildet werden, also ist A A~. Da Ar o A~ A~+~r erh/ilt man einen Homomorphismus c~ 9 Sym+(P,~) ~ Z,~ , d ~ k + n g . Umgekehrt gehSrt zu jedem Winkel p k 2~ mit 0 < k < n - 1 genau eine Symmetrie A~, also ist a ein Isomorphismus. n
- -
- -
Fiir den allgemeinen Fall erinnern wir zun/ichst daran, dass SO (2) abelsch, aber 0(2) nicht abelsch ist. Die Matrix S :
(10) 0
-1
mit
det S
-1
beschreibt die Spiegelung an der z-Achse, komplex gesehen die Konjugation z ~ 3. Da r ist S(P,~) P,~,also S E S y m ( P , ~ ) ' . . $ y m + ( P , ~ ) . Der Norlnalteiler Syln+ (P,~)< Syln (P,~) (als Kern der Deterlninante) hat demnaeh den Index 2, also hat maai eine disjunkte Vereinigung Sym (P,~) Bezeichnet H :
Sym+ (P,~) u Sym+ (P,~) 9S .
{E, S} < Sym (P,~) die zu Z2 isomorphe Untergruppe, so folgt
Sym (P,~) Sym§
H.
84
I GRUPPEN
Da Sym+(P,~) A H {E}, ist Sym (P,~) Produkt der beiden Untergruppen. Um zu priifen, ob H ein Normalteiler ist, und um den geometrischen Hintergrund aufzuhellen, benutzen wir die Beziehung A~.S
S . A ~ 1 fiiralle ~ E R .
(*)
Offensichtlich sind die beiden Matrizen links und rechts gMch
sin ~
- cos
und diese Abbildung beschreibt eine Spiegelung an der Geraden mit dem Winkel
Aus (*) folgt sofort 27r mit ~ ~
A~SA~ 1 A2~S.Also ist H genau dann Normalteiler, wenn A2~
E gilt, d.h. n
1 oder 2 .
Daller ist ffir n > 3 Sym (P,~)
Sym+(P,~) ~ H
semidirektes Produkt. Die Isomorphie zur Diedergruppe erkennt man aa den typischen Relationen A~n
E, S 2
Ffir n 1 ist Z1 {E} und D1 abelsche Kleinsche Vierergruppe.
5.2
E
und
A~S
SA~ 1.
{E, S} ~ Z2, fiir n
2 ist D2 ~ Z2 x Z2 die []
Endliche U n t e r g r u p p e n yon 0(2)
Wie wit gerade gesehen haben, gibt es die endlichen Untergruppen Z,~ < SO(2)
und
D~ < O(2)
5.2 ENDLICHE UNTERGRUPPEN VON 0(2)
85
als Symmetriegruppen eines regulgren ~-Ecks. Wir wollen nun zeigen, dass dies in SO(2) alle und in 0(2) ,~m Wesentlichen" alle endlichen Untergruppen sin& Dies ist ein weiterer Hinweis auf die engen Beziehungen zwischen Gruppentheorie und Geometrie. Was bedeutet ,, im Wesentlichen"? Das regulgre ~-Eck P,, war so gewfihlt, dass (1, 0) ein Eckpunkt war, durch die spezielle Spiegelung S an der m-Achse bleibt er lest. Verwendet m a n ein um den Winkel ~ gedrehtes f~-Eck P~, As(P,,), so ist Sym (/v,)
A ~ . Sym (P~,) 9A ; 1 ,
also eine konjugierte Untergruppe. Da Sym+ (P,,) abelsch ist, hat die Konjugation im orientierbaren Fall keine Wirkung. Nach diesen Vorbemerkungen der
Satz fiber die endliehen U n t e r g r u p p e n yon 0(2) r~, so ist G Sym+ (P,,). I'r~sbesorder'e ist G a) Ist G < SO (2) e~dlich, ord G zyMisch ~a~td er'ze~agt volt einer" Dr'eh~ang. b) Ist G < 0(2) e~tdlich, G (Z SO (2), so ist G konjugiert zu ei~ter Gruppe Sym (P,,), d.h. es gibt ein A E SO(2) derart, dass G
A . Sym(P,,) 9A 1 .
Insbesondere ist G isomorph zur Diedergruppe Dr, und ord G
2ft.
Beweis a) Jedes A E SO (2) ist yon der Form
sin a
cos a
mit c~ E [0, 27r[. Ist G r {E}, so gibt es ein As E G mit c~ > 0; wit setzen :
rnin{c~ 90 < c~ < 27r, As E G} .
Da G endlieh ist, folgt 0 < ~ < 27r. Wir zeigen, dass es ein r~ E N mit r~ _> 2 und r ~ 27r gibt. Dazu nehmen wir das minimale r~ E N mit (r~ + 1)~ > 27r; insbesondere ist r ~ _< 27r. Angenommen es w/ire Dann ist ~ : yon ~.
(r~ + 1)~ - 27r < ~ und A r
G im Widerspruch zur Minimalit/it
Es folgt, dass die zu Z~, isomorphe Gruppe G'
Erz(A~)
{A~ 9
0,...,r~-
1}
in G enthalten ist. Angenommen G' / G: Dann gibt es ein Ar ~ ~ {/c~ 9 0 , . . . , r~ - 1}. Daher gibt es ein/c mit kW 4. Die drei Klassen yon Elementen der Ordnungen 2, 3 und 5 aus A5 entsprechen den drei Typen b, c, und a yon Symmetrien des Ikosaeders. Da sie jeweils die gMche Zyldenstruktur besitzen, sind sie unter der Wirkung yon 85 konjugiert (vgl. Beispiel 4 aus I 4.6). Es bleibt zu priifen, ob und wie sich die Bahnen verkleinern, wenn man nut noch mit Elementen aus A5 konjugiert. Wit benutzen den allgemeineren Hilfssatz
Gegeben sei die Operation einer endlichen Gruppe C auf einer Menge M und N ~ C. Dann gibt es zu jedem x E M einen Teller d yon ind (C 9 N)~ x l , . . . , xd E M und eine disjunkte Zerlegung
96
I GRUPPEN
in gleich gwfle Bahnen von N. Insbesonder'e muss d auch Teller yon ord G(x) sein. Genauer gilt ind (G : N) d. ind (StaG(x) : S t a x ( x ) ) .
In unserem Fall ist ind (Ss : As) ord O- 1 2, SO muss
2, also muss d
1 oder 2 sein. Ist ~i E As mit
J~S(G1), also ordAs(al)
gS(G1)
sein, da 15 ungerade ist. Ist ~r3 E As mit ordG3
15
5, so muss
ss(~a) xs(~a)uxs(~4) disjunkte Vereinigung mit G4 E As sein, da 24 kein Teller yon 60 ist. Ist schlieglich G2 (1, 2, 3) E A5 mit ord G2 3, so sieht man leicht, dass
Staxs(l, 2, 3) Aus dem Bahn-Lemma
{id, (i, 2, 3), (i, 3, 2)}.
folgt ord As (~r2)
~
20.
Insgesamt lautet also die K l a s s e n g l e i c h u n g der Ikosaederg~uppe As [60
Beweis des Hilfssatzes
1+15+20+12+12.]
Da N < G hat man eine disjunkte Zerlegung
G(X) wobei
X1
X und xi
N(Xl) U... U N(Xd) ,
.qi(x) mit .qi E G. Da N < G Normalteiler ist, folgt
N(g(.)) g(N(.)), ~asooraN(.d ordN(.). Daraus folgt oral G(x) und N, erhglt man
d. oral N(x). Aus dem Bahn-Lemma, angewandt auf G
ordG
o r d G ( x ) 9o r d S t a c ( x ) und
ord N
ord N(x) 9ord StaN(x) .
Durch Einsetzen ergibt sich schlieglich d. ord StaG(x) ord StaN (z) Daraus folgen die Behauptungen.
ordG ord N []
5.7 ENDLICHE UNTERGRUPPEN VON SO (3)
5.7
97
E n d l i c h e U n t e r g r u p p e n v o n SO (3)
Auf der Suche nach endlichen Untergruppen yon SO (3) sammeln wir zun/ichst die Beispiele aus den vorliegenden Abschnitten. 1) Ein regul~h'es n-Eck P,~ C R 2 kann auch als Teil von R 3 a~lgesehen werden. Also ist Z~ ~ Sym+(P,~) < SO (3) . 2) Die Spiegelung S E O (2) an der z-Achse im ]R2 kann im R 3 als Drehung S / E SO (3) um die z-Achse angesehen werden und wird dadurch orientierbar. Also ist D~ ~ Sym (P,~) < SO (3) . 3) Die Tetraedergruppe A4 ~ S y m + ( T ) < SO (3) . 4) Die WiirMgruppe g4 ~ S y m + ( W ) < SO (3) . 5) Die Ikosaedergruppe .45 ~ Sym+ (D) < SO (3) . Durch eine beliebige orthogonale Transformation im R 3 erhglt m a n aus jeder dieser G r u p p e n eine konjugierte und damit isomorphe Untergruppe. Dass die Suche damit beendet werden kann, zeigt das - Theorem Yede endliche Unteryruppe yon SO (3) ist konjugiert zu einer Untergruppe aus der obigen Liste.
Klassifikations
Der Beweis ist ziemlich umfaagreich, wir verweisen etwa auf [N-S-T, Ch. 15] oder [ARM, 5.9].
5.8
S y m m e t r i e n y o n Fugb~illen
,i)er Ball ist fund" wird oft gesag% trifft abet nut ann/fhernd zu. Die meisten B/ille sind aus mehreren verschiedenartigen Flecken zusammengesetzt, im Lauf der Zeit hat sich die Form ver/indert. Wir geben drei markante Beispiele ................... ...........
iiii iii!iiiii!i!iiiiiiiii!iii!i!i!iii f .............................. ,iiiiiiiiiiiiiiii
1 ,,Wunder yon Bern"
2 Telestar
3 Temngeist
98
I GRUPPEN
Der mit ,,Wunder von Bern" bezeichnete Ball ist der Klassiker; er wurde zur WM 1974 abgel6st vom ,,Telestar", zur WM 2006 folgte der ,,Teamgeist". Uber die unterschiedlichen Eigenschaften der Bglle wird viel spekuliert; wir wollen uns hier darauf beschr/inken, die Symmetrien zu bestimmen. Alle drei Arten yon Bgllen sind abgeleitet von Platonischen K6rpern: 1 und 3 vom WiirM und 2 vom Ikosaeder. Beim ,,Wunder yon Bern" werden die Quadrate des Wiirfels ersetzt durch drei 1/ingliche Flecken, dadurch wird die Symmetric des Quadrates reduziert yon 4 auf 2 Drehungen. Beim ,,Teamgeist" sitzt an der Stelle jedes Quadrates ein Fleck, dessen Form einer Schuhsohle/ihnlich ist; in den Positionen der 8 Ecken des WiirMs sitzen Flecken v o n d e r Form eines Propellers mit 3 Fliigeln. Beide B/ille haben also die Symmetrie eines modifizierten Wiirfels W', bei dem jedes der 6 Quadrate nur noch 2 orientierbare Symmetrien hat; also ist ord Sym+ (W')
6.2
12 .
Die Symmetrien yon W' sind genau die Symmetrien des Wiirfels W, die das in I 5.4 m0x'kierte Tetraeder im Wiirfel invariaat lassen. Also ist Sym+ (W') ~ Sym+ (T) ~ .44 9 Der ,,Telestar" hat deutlich mehr Symmetrien. Er entsteht durch Aufblasen eines gestutzten Ikosaeders I ' mit 20 Sechsecken und 12 Fiinfecken (siehe Anhang). Dabei bleibt die Symmetric des Ikosaeders I erhalten, also ist Sym+ (I')
Sym+ (I) ~ Sym+ (D) ~ .45 .
Dass o r d S y m + ( I ' ) 60 kaan man auch ganz element0x" sehen: Stellt man den Ball auf eine fiinfeckige Unterlage, so kann man dafiir 12 Fiinfecke aussuchen, bei jedem gibt es 5 M6glichkeiten, also ist ord Sym+ (I')
12 95
60.
Bei den 20 Sechsecken muss man bedenken, dass es wegen der Anordnung yon Fiint'ecken fiir jedes nur 3 M6glichkeiten gibt, also ist ord Sym+ (I')
20 93
60.
Ffir die 60 Ecken yon I' gibt es dagegen jeweils nur eine M6glichkeit. F a z i t Vom ,~Wunder yon Bern" zum Telestar wurde die Symmetric yon 12 ~uf 60 erh6ht, zum Teamgeist wieder auf 12 reduziert. Aber die Eigensch~ften des Balles sind nicht allein durch die Symmetrien bestimmt, sondern auch durch das Material und die Verarbeitung. Mehr zu diesem T h e m a finder man bei [Ho].
w6. STRUKTURSXTZE*
99
w 6 Strukturs/itze* Wie schon erw/ihnt, ist es ein hoffnungsloses Unterfax~gen, alle Klassen isomorpher Gruppen axxgeben zu wollen. In diesem Pazagraphen behaxxdeln wir einige wichtige Teilergebnisse. Die einfaehste Invaria~xte einer Isomorphieklasse ist die Ordnung: Zwei isomorphe Gruppen enthalten ,,gMch viele" Elemente; sind sie endlich, so ist das eine natfirliche Zahl n. Die ngchstliegende Frage ist also:
Wie viele nicht-isomorphe Gruppen des Ordnung n gibt es? Eine erste Antwort findet sich schon in I 3.7: Ist die Ordnung einer endlichen Gruppe eine Primzahl, so ist sie zyklisch. Ffir endliche abelsche Gruppen kann die obige Frage ffir beliebiges n beantwortet werden, allgemeiner l~sst sich ffir endlich-erzeugte abelsche Gruppen die Struktur als Produkt yon zyklischen Gruppen angeben. Damit beschMtigen sich die Abschnitte 6.1 his 6.10. Ffir nicht-abelsche endliche Gruppen gibt es nur Teilresultate, die wichtigsten Werkzeuge dabei sind die S~tze yon SYLOW aus 6.12. Es gibt ffir die Resultate fiber abelsche Gruppen elegantere Beweise als die hier dargestellten (etwa im Rahmen der Theorie yon Moduln fiber Hauptidealringen mR Hilfe yon Elementaz'teilern [Bo, 2.9]). Wit bevorzugen einen etwas direkteren ha~dwerklichen Weg. Dabei benutzen wit den klassischen Satz fiber die Primfaktorzerlegung natfirlicher Zahlen, der in II 3.4 im Rahmen der Ringtheorie beha~ldelt wird.
6.1 Summen zyklischer Gruppen Wir geben zun/ichst Beispiele ffir endliche abelsche Gruppen an; daxlaeh werden wir zeigen, dass es keine ax~deren gibt. Ist G eine abelsehe Gruppe, so sehreiben wir die Verknfipfung additiv, also ffir a, b E G und n E 7/. a +b, a-b,
na E G
und ffir abelsche Gruppen G1, ... G~ schreiben wir das in 1 3.2 eingeffihrte direkte Produkt als direkte Summe G1 @ ... @ G~ . Aus typographischen Grfinden wird in diesem Paragraphen die Notation
ffir die sonst 1nit Z.,~ bezeichnete zyklische Gruppe der Ordnung n verwendet. W/~hlt man nun n l , . . . , Gruppe
rtt r
N
\
{0}~ SO erh/~lt man daraus die endliche abelsche
100
I GRUPPEN
G:
Z(nl)@...@Z(nt)
mit
n:
ordG
nl.....nt.
(*)
Es wird sich zeigen, dass jede endliche abelsche Gruppe eine solche Darstellung (,) besitzt. Das ist jedoeh noeh nieht befriedigend, denn die Zahlen t u n d h i , . . . , nt sind dureh G keineswegs eindeutig festgelegt. Grund dafiir ist die Isomorphie Z(m) @ Z(n) ~ Z ( m . n)
falls
ggT (re, n)
1
@
aus I 3.9. Damit kaan man Darstellungen der Form (,) in zweierlei Weisen umformen: zusammenfassen oder aufspalten. Die Aufspaltung geht so: Aus der Primfaktorzerlegung n
Pl
]~1
" 999
"Pr
]~"
fol~D~
Z(T~)
Z(/~I~1 ) @ . . . @
Z(~)~),
(vgl. dazu den Chinesischen Restesatz in II 2.11) und die Summe rechts kasin nicht welter zerlegt werden. Die entsprechende Aufspaltung yon (,) ist etwas miihsam aufzusehreiben. Ist p eine Primzahl und
nl
p~1(p) n l, , . . . , n t
p~1(p) n t,
mit
p { n l *, . . . , p { n t ,
*
so verwenden wir diese Teiler yon h i , . . . , nt zur Definition der Untergruppe Gp :
G (1) @.. + G
wobei G~~) < Z(ni) fiir i Untergruppe ist. Ist
k(p):
_l und p ~ m .
Dann gilt 1) Es gibt mindestens eine p-Sylowgruppe S < G. 2) a) Ist H < G eine p-Gruppe, so gibt es eine p-Sylowgruppe S mit H<SM(nxn;K).
Der M a t r i z e n r i n g M ( n x n; K) hat als Einselement die Einheitsmatrix K,~, ffir n > 2 ist er nicht kommutativ und hat Nullteiler. Man kennt die Einheiten: x
K)) •
GL
K)
{A 9
x
K): det A r 0 }
Der Matrizenring ist sehr nfitzlich, weil man viele Ringe als Unterringe realisieren ka~m, das nennt man Matvixdarstellung (in Analogie zur Permutationsdarstellung yon Gruppen in 1 4.2). Wir wollen den Nutzen einer solchen Darstellung am Beispiel der Konstruktion der Quaternionen H yon HAMILTON vorffihren. Es ist nal~eliegend, die Konstruktion folgendermagen zu beginnen: Die Addition in H R 4 ist die Addition im Vektorraum. Zur Definition der Multiplikation betrachten wir z u n ~ h s t die kanonische Basis
Darauf wird die Multiplikation erkl/h% wie in der QuaternionengTuppe aus I 1.9) durch die Tafel e
i
j
k
C
e
i
j
k
i
i
-e
k
-j
J
j
-k
-e
i
k
k
j
-i
-e
(Beispiel 4
150
II RINGE
Das Produkt beliebiger Elemente aus H erhglt maai daraus, indem mini nach dem Distributivgesetz ausmultipliziert: ( ~ + bi + d + & ) . (~'~ + b'i + d j + d'k)
(,)
(aa' - bb' - c c ' - dd') e + (ab' + ba' + cd' - dc')i +(ac'
- bd' + c a ' +
d b ' ) j + (ad' + be' - c b ' + d a ' ) k .
Aber nun beginnt der J~rger mit dem Nachweis der Axiome. Schon um das Inverse zu finden, muss mini ein Gleichungssystem Rir die vier Unbelmanten a', b', c', d' 16sen. Der Leser m6ge das zur fJbung in Angriff nehmen. Wit kommen zuriick auf den Trick yon CAYLEY, der schon in Beispiel 4 aus 1 1.9 bei der Definition der Quaternionengruppe verwendet wurde, ngmlich die Benutzung des Rings M(2 x 2; C). Dazu betrachten wir die Abbildung ~>M(2x2;C),
CxC
(z,w)~-+ ( -wz w. z)
ist ein injektiver Homomorphismus yon C-Vektorr/iulnen, also ist ~':
~ ( c x c ) c M(2 x 2 ; c )
ein 2-dilnensionaler komplexer Untervektorrauln. C x C ist ein 4-dilnensionaler reeller Vektorraum, wir verwenden den R-Isomorphismus 1R4 ~ C x C ,
( a , b , c , d ) ~-+ ( a + b i , c + d i )
und seine Komposition mit 1R4 --+ M(2 x 2;C) , (a,b, c, d) ~-+ ( -ca+bi+ di
aC+dibi )
Das ergibt einen R-Vektorraum-Isomorphismus ~6 : R4 --+ H', als Bild der kanonischen Basis in R 4 erhglt man die R-Basis E
J
(10)
@(~1)
~(~3)
0
]
'
-1
0
'
(i 0) 0
t(
~(~4)
--i
i
0
yon H'. Damit ist gewonnen: Unsere ins Auge gefasste Multiplikation in R 4 wird realisiert durch die Multiplikation yon Matrizen. H' C M(2 x 2; C) ist ein Unterring, denn _@
2
_@l
~l
_(2@i + @z l)
221 _ @wl
151
1.5 P O L Y N O M R I N G E
In C x C ergibt das via p 1 die Multiplikation (z, w). (z', w')
(S
- ww', zw' + w z ' ) ,
in R 4 entsprieht das via ~4 1 der Formel (,) yon oben. hisbesondere ist die Multiplikation in H' assoziativ und auch das Distributivgesetz ist erfiillt, da diese Regeln fiir Matrizen in der Linearen Algebra bewiesen wurden. Welter ist fiir (z, w) E C x C det
zz+ww
-zv
> 0
und fiir (z, w)/~ (0, 0) ist z z + w w > 0, also (
z -zv
w) ~
1
1 z~ + wzv
2
-w )
zv
z
E
H'
.
Damit ist gezeigt, dass H' ein SchiefkSrper ist. Da ~ : R 4 ~ H' ein R-Vektorraum-Isomorphismus ist, iibertrSgZ sich die Struktur des SchiefkSrpers H' auf H ]R4, derart dass die Regel (.) gilt. Damit wird ~4 zu einem Ringisomorphismus. Man nemit H den S c h i e f k S r p e r d e r Q u a t e r n i o n e n . Die Quaternionengruppe Q ist eine Untergruppe der Ordnung 8 yon H • .
1.5
Polynomringe
Voai naiven Standpunkt ist ein P o l y n o m ein formaler Ausdruck f(X)
ar~Xrt @ art 1Xrt
1 @ . . . @ a l X + ao 9
Damit man wie gewohnt damit rechnen kmm, sollen die K o e f f i z i e n t e n n o , . . . , art Eleniente eines Ringes R sein; damit die M o n o m e X ~ Polynome sind, soll der Ring eine 1 besitzen. Wie wit spgter sehen werden, ist es niitzlich, wean R kommutativ ist. Von der U n b e s t i m m t e n X erwartet man, ihrem Namen entsprechend, dass mini daffir einsetzen kmm, was mini will - oder zunfindest alles was sinnvoll ist. Das ist yon eineni formalen Standpunkt keine befriedigende ErklSxung. Um es besser zu machen, nutzt man die Beobachtung, dass ein Polynom eindeutig festgelegt ist durch eine Verteilung einer endlichen Zahl yon Ringelementen auf vorgegebene ,~Positionen", n/imlich als Faktoren der Monome X ~ X 1 , . . . , X ~ , . . . . Damit sind wir staz%klar.
152
II R I N G E
Sei R e i n kommutativer Ring mit 1. Dram ist R[X] erld~rt als Menge aller Folgen (a0, a l , . . . , a ~ , . . . )
mit a~ E R
und a~
0 fiirfastalle
hEN.
Eine Addition in R[X] ist komponentenweise erklfit%, also (a0, a l , . . . , a ~ , . . . ) + ( b 0 , b l , . . . , G , . . . ) :
(a0+b0, a l + b l , . . . , a ~ + G , . . . ) .
Die komponentenweise Multiplil~tion ist nicht angemessen; dem iiblichen Rechnen mit Polynomen entspricht das C a u c h y - P r o d u k t (oder die F a l t u n g ) (a0, a l , . . . , a ~ , . . . ) 9(b0, b l , . . . , b ~ , . . . )
(c0, c l , . . . , c ~ , . . . )
mit
k
ck :
~ alDk 1 0
19
Der Name ,~Faltung" riihrt daller, dass bei einer Faltung der Zalflengeraden im Punkt 7 die Indizes 1 und k - 1 zusammentreffen. Mit Hilfe der Ringmxiome in R weist man ohne jede Miihe nach, dass R[X] mit der oben erklSzten Addition und Multiplikation ein kommutativer Ring mit Einselement 1 (1,0,...,0, .) ist. Durch den Monomorphismus R - ~ R [ X ] , a ~ ( a , 0, . . , 0 , . . . ) kann man R als Unterring yon R[X] auffassen. Nun kommt die Katze aus dem Sack: Wir erkl/iren
x:
(o, 1 , o , . . . , o , . . . ) 9 R[X].
Nach Definition der Multiplikation in R[X] folgt X~
(0,...,0,1,0,...)
fiir k E N ,
wobei die 1 an der (k + 1)-ten Stelle steht. Damit sind wir am Ausgangspunkt angelangt: Ist f
(a0, a l , . . . , a ~ , 0 , . . . ) ER[X] mit a~
0 fiir k > n ,
so folgt aus den Rechenregeln in R[X] f
ao + a l X + ... + a ~ X ~ .
Die F/ihigkeit der Unbestimmten X, alle mSgliehen Werte anzunehmen, kaan man so tbrmulieren:
Universelle Eigenschaft des Polynomrings Ist R tin kommutativcr Ring mit 1, so hat der P o l y n o m r i n g R[X] folgende Eigenschaft: Gegeben ein Ring S (kommutativ mit 1), ein Ringhomomorphismus ~ : R --~ S und x, ein x E S, so gibt es genau einen Homomorphismus if) : R[X] --~ S mit ~)(X)
1.5 P O L Y N O M R I N G E
153
so dass das Diagramm
R[x]. u R
. S
kommutiert, d.h. 9 eine Fortsetz'ang von ~ ist. Beweis Da ~) ein Homomorphismus sein soll, muss
|
k
(,/
k
sein. Also gibt es hSchstens ein solches ~). Verwendet m a n die GMchung (,) als Definition yon ~), so zeigen elementare Rechnungem dass ~) ein Homomorphismus ist. Man beactite, dass beim Nachweis yon r ~)(f) .~)(g) die K o m m u t a t i v i t s yon S benStigt wird. A m einfachsten sieht m a n das schon f[ir f
aX,
g
b, f . g
abX und
9 (f.g) []
Ist etwa R R, S C, p die hiklusion und x und X 2 + 1 E Ker ~).
i, so ist ~) : R[X] --* C surjektiv
Urspriinglich ist ein Polynom eine Funktion, dieser Zusammenhm~g l~sst sich schSn mit der universellen Eigenschaft beschreiben. Ist R e i n Ring (kommutativ mit 1), so ist auch die Menge Abb (R, R) der Abbildungen yon R in sich ein Ring (Beispiel 4 ~us II 1.4). Spezielle Elemente sind die konst~nten Abbildungen p~ : R ~ R mit p~(x)
a ffir alle x E R
und die identische Abbildung idR : R ~ R mit idR(x)
x fiir alle x E R .
Offensiditlidi ist die Abbildung ~ : R ~ Abb(R,R) , a ~ ein IIomomorphismus. Nach der universellen Eigensctmft yon R[X] gibt es genau einen Homomorphismus o~: R[X] ~ A b b ( R , R )
mit q)(a)
p~ und ~ ( X )
idR.
154
II R I N G E
Schreiben wir f
f
q)(f), so ist
a~X ~ + . . . + a l X + a o
und f(x)
a~x ~ + . . . + a l x + a o
fiir x E / ~ .
Aus dem abstrakten Polynom f entsteht also die reale P o l y n o m f u n k t i o n f. Wir fassen das Ergebnis zusa~nmen:
Ist R ein kommutativer Ring mit 1, so ist
S a t z f i b e r die P o l y n o m f u n k t i o n
die Abbildung R[X] --+ Abb (R, R ) , f ~-+ f , ein Homomorphismus. V o r s i e h t ! Die Unterscheidung yon f u n d f i s t wichtig, well die Abbildung f ~-+ f im Allgemeinen nicht injektiv ist. Als Beispiel nehme man den Ring R {0, 1} und f X 2 + X . Eine positive Antwort wird in der Bemerkung aus II 1.8 gegeben. Abbildungen eines Rings in sich kaan man hintereinandersehalten, bei Polynomfunktionen bedeutet das, dass man sie jneinaxxder einsetzt", d.h. man betrachtet die Funktion f(g(x)). Genauer bedeutet das Folgendes: Ist g E R[X] ein festes Polynom, so gibt es nach der universellen Eigensehaft des Polynomrings genau einen Homomorphismus ag : R[X] ~ R[X] mit ag(a)
a fiir a E R und ag(X)
Maa nemit crg den E i n s e t z u n g s h o m o m o r p h i s m u s morphismus) und schreibt f(g) : ag(f). Elsbesondere gilt f ( X )
f, d.h. wenn man g
g.
(oder Substitutionshomo-
X einsetzt, fiadert sich nichts.
Bei der Definition yon Polynomen wax vorausgesetzt worden, dass nur endlich viele der Koeffizienten a~ E R yon Null verschieden sind. L/isst man diese Bedingung fallen, so erh/ilt man formale unendliche Summen OO
f : ~
a~X~ ,
h=0
das ist eine f o r m a l e Potenzreihe. Maa kaxm solche Reihen addieren und multiplizieren wie Polynome, und erh/ilt damit eine neue Erweiterung OO
k=O
des Polynomrings zum Ring der f o r m a l e n Potenzreihen. En Gegensatz zu Polynomen ergibt eine formale Potenzreihe im Allgemeinen keine Abbildung yon R nach R; etwa ffir R ]R oder C kann man Konvergenzbereiche yon Potenzreihen studieren.
1.6 G R A D E I N E S P O L Y N O M S
1.6
155
Grad eines P o l y n o m s
Besondere Bedeutung in einem Polynom f a ~ X ~ + ... + ao rnit a~ ~ 0 hat der L e i t t e r r n a ~ X ~ und der L e i t k o e J f i z i e n t a~. Diese hSchste auftretende Potenz n yon X heist G r a d yon f . In Zeichen: Ist
f
a~X ~ + . . . + a l X + a o
rnit a ~ / ~ 0 ,
soist
degf:
n.
Demnach hat ein konstantes Polynom a0 ~ 0 den Grad 0. Das Nullpolynom soll noch kleineren Grad haben, wir setzen deg 0 : - c e . Gradformel
Ist 1~ kommutativ mit 1~ so gilt fiir alle f, g E/~[X] d e g ( f 9.q/ -< deg f + deg.q.
Ist der Leitkoeffizient yon f oder g Nichtnullteiler, so hat man Gleichheit. Beweis Ist f
0oderg
0, s o i s t f . g deg(f.q)
denn fiir a l l e n E N ist n - ce f
~a~X
0, also
-oe
deg f + deg g
- c e - ce
~ mit a ~ r
- c e . Gilt f / ~ 0 und g / ~ 0, also
und g
k=0
b~X ~ mit b ~ r k=0
so ist deg f m u n d deg g n. Der hSchstmSgliche Koeffizient yon f 9g ist c~+~ a~b~, also deg(fg) _< m + n. Ist a ~ oder b~ kein Nullteiler, so ist c ~ + ~ / ~ O. [] Man beachte, dass sich fiir die Summe nur die triviale Vorhersage
dea(f + g) _<m~x{dea L d~a g} machen 15sst (es kann g
- f sein!).
Besonders angenehm sind Polynome, bei denen der Leitkoeffizient a~ eine Einheit ist. Durch Multiplikation mit a~ 1 erh~ilt m a n
Ein solches Polynom mit dem Leitkoeffizienten 1 heii~t n o r m i e r t . Nullteiler und Einheiten im Polynomring R[X] sind dutch R bestimrnt: Bemerkung
I m Polynomring /~[X] gilt:
a) R[X] nullteileTfrei b) R nullteileTfmi
~
~=~
R nullteile~fmi.
(R[X]) •
R• .
Beweis a) , ~ " ist klas', da R c R[X]; , , ~ ' ' folgt aus der Gradformel.
156
II RINGE
b) ,,D" ist klar. Zum Naehweis yon ,,C" s e i f E (R[X]) • . Doxin gibt es ein g E R[X] mit f .g 1, also folgt aus der Gradformel deg f + deg g
deg(fg)
0 und deg f
Somit sind f, g E R konstante Polynome, aus f g
deg g
0.
1 folgt f, g E R • .
[]
Wir kommen noch einmal zur[iek auf den Einsetzungshomomorphismus. Fiir Polynomfunktionen ist f ( g ) die Hintereinandersehaltung. Daz'aus kann man jedes f zuriiekerhalten, wenn g eine Umkehrung h besitzt: Ist g(h) idR, so ist die Komposition RAR~R2R gMch f: Wir zeigen nun, dass dies im Allgemeinen genau dann geht, wenn g linear ist. Lemma
Ist R Integritiitsr'ing und g E R[X], so ist der Einsetzungshomomorphis-
IT~U8
% :/~[X] --~/~[X], f ~-~ f(.q), genau dann ein Isomorphismus, wenn g Beweis Ist g
aX + bmit a E R • .
a X + b m i t a E R • , so definieren wir
h :
a l(X-b)
und offensichtlich ist %(Orb(X)) X Crh(%(X)). Na~ti der universellen Eigensehaft des Polynomrings ist ah Invers zu ag. Ist % sutjektiv, so gibt es ein f E /~[X] mit X gilt deg(f(g)) (deg f ) . (degg), also im Fall X (deg f ) . (deg.q) Dallerist f
c X + d, g f(g)
1.7
f ( 9 ) . D a / ~ Lxtegrit/tsring ist, f(g)
1 und deg f
deg g
1.
a X + b mit a, c E /~ \ {O} und caX+cb+cd
1.X,
also c, a E R • .
Division mit Rest
So wie ganze Zalllen kaan man auch Polynome mit Rest dividieren. Wir behandeln zun~chst den einfachsten Fall, dass die Koetfizienten aus einem KSrper stammen. S a t z f i b e r die D i v i s i o n m i t R e s t Sei K ein KSrper und seien f, g E K[X] gegeben~ wobei g ~ O. Dann gibt es eindeutig bestimmte q, r E K[X]~ derart dass f
qg+r
und
degr<degg.
(*)
1.7 DIVISION M I T R E S T
Im QuotientenkSrper K ( X ) hung (,) auch als
157
yon K [ X ] (Beispiel 2 in II 1.14) kann m a n die Bezie.q
q + -
.q
schreiben. Das P o l y n o m q ist der Anteil des Q u o t i e n t e n , als R e s t . Beweis
der ,~aufgeht", r verbleibt
W i r zeigen zun/~chst die Eindeutigkeit. Ist ~.q + ~ s o f o l ~
q.q + r"
r" - ~
( ~ - q).q .
N u n ist einerseits deg (r - ~) < deg .q, wenn deg r , deg ~ < deg g. Andererseits folgt aus dem G r a d s a t z
deg (,. Daskmmnurdanngehen,
-
~)
deg (0
wenn0-q
-
v)
+
d~g v.
0ist, also0
qund~
r.
U m die Existenz yon q u n d r zu zeigen, sei f
a,X"
+...
+ ao und g
Ist n < rn, so kann m a n q
+ bo mit n
b~X ~ +...
0 und r
deg f, rn
deg g _> 0 .
f setzen,
f
0 "g+f
ist eine L6sung. Ffir n k m konstruieren wir schrittweise q l , . . . , q~ E K [ X ] mit k _< n - rn + 1, so dass q ql + .. 9+ q~ eine L6sung wird. I m ersten Schritt setzen wir fo : ql:
a"~ X "
brn
f
~ .
W i r erhalten fl :
f0-ql.q
mit
degfl <degf0.
Ist deg fl < deg .q, so ist q ql und r fl eine LSsung. Andernfalls fahren wir mit fl fort wie oben mit f0 und erhalten aus q2 f2 :
fl-q2.q
mit
deg f2 < d e g f l .
Das Verfahren wird so linage ibrtgesetzt, bis f~ :
f~ 1 - q ~ . q
erreicht wird. Das ist spgtestens bei k
f
mit
degf~ <degg
n - rn + 1 der Fall. Insgesamt erhglt m a n
(ql+...+w)v+A,
158
II RINGE
man hat also eine L6sung q
ql + ... + q~, r"
f~.
[]
Als Beispiel ftir eine konkrete Rechnung setzen wir f ( x ~,
-X"
-1
+X"
).(X-l)
X " - 1 und g
X - 1:
x ~' ~ + x ~' 2 + . . . + x + 1
1
X n 1
-1
~176 X-1 -X+I 0 Alsoist q
X"
l+...+X+lundr.
0.
Sind Polynome f, g E R[X] gegeben und ist R kein KSrper, sondern nur ein Ring, so muss die Division mit Rest modifiziert werden. Betrachtet man den Beweis ftir K6rper, so sieht man, dass nur dutch den Leitkoeffizienten b b, yon g dividiert werden muss. Ist b E R • so geht alles analog. Im allgemeinen Fall wird in der Iteration start f,~ das Polynom bf~ bearbeitet. Das Ergebnis sieht so aus:
Dann ist mit f0
fl f2
bfo - q l g , bfl - q2g,
fa
bfa 1 - q a g
deg fl < deg f0 , deg f2 < deg fl ,
,
deg fa < d e g g .
f
bf b2f
f l + q19 bfl + bql.q
b~f
fa+(qa+bqa
f2 + (q2 + bql).q
l+...+ba
lql)g
:r+qg
Ixtsgesamt erhfilt man eine
Variante d e r D i v i s i o n m i t R e s t
Sei R ein Integritiitsring, seien f , g E R[X] m i t g r O, b E R sei der Leitkoeffizient yon g. D a n n gibt es q, r E R[X] und k E N, so dass b~ f
qg + r
und
degr<degg.
[]
Ahnlich wie bei KSrpern kann man sagen, dass q und r bis auf eine Potenz yon b eindeutig bestimmt sind.
1.8 NULLSTELLEN UND WERTE VON POLYNOMEN
1.8
Nullstellen
159
und Werte von Polynomen
Die Division mit Rest ergibt wichtige Konsequenzen fiir die Nullstellen yon Polynomen. Dabei bezeichnet f(a) ffir f E /~[X] und a E /~ den Wert ~ ( f ) .
Korollar Ist I~ ein Integritiitsring~ f E R[X] mit deg f > 1 und gilt f(a) fiir ein a E I~, so gibt es genau ein q E /~[X] mit f
(X-a).q
und
degq
0
degf-1.
Insbesondere hat ein Polynom vom Grad n >_ 1 hSchstens n Nullstellen in R. Beweis Wir dividieren f mit Rest durch g f Aus f(a)
0 folgt r(a)
q(X-a)+r 0, also r
X - a, das ergibt
mit
degr
C.,~ , r ~ r
exp ( ~, 27~- )r i r
*).
1.9 EINHEITSWURZELN IN C
161
einen Isomorphismus
r'+nZ~r
7,,, : Z / n Z ~ C , , , ,
yon get add,itiven zykl,ischen Grippe Z / n Z a~f die m~dtiplikative Grippe C,~. Beweis
Fiir jedes r. E 77, ist ~,~i E C,,, denn
( 1, denn Z,~ ist zyklisch.
p(d),
Sei also d so gewfihlt, dass ~6(d) _> 1 und a E Md(G). Dann ist H:
Erz(a) < G
und
H ~ Zd,
also o r d M d ( H )
g(d) .
Also genfigt es, Md(G) C Md(H) und dazu Md(G) C H zu zeigen. Jedes Element yon H ist Nullstelle yon X d - 1, also ist x d - 1
(x
- 1)(x
Ffir jedes b E Md(G) gilt bd
-
(x
-
1, also iblgt b E H.
1) i n I f IX]
DD
Die einfachsten Beispiele sind die zyklischen Gruppen C,,~ < C • (Beispiel 6 in
I 1.9).
1.12 EINBETTUNG EINER HALBGRUPPE IN EINE GRUPPE
167
1.12 E i n b e t t u n g einer H a l b g r u p p e in eine G r u p p e Die ganzen Zahlen G erh/~lt m a n aus den natfirlichen Zahlen N~ indem man ~Negative" dazu nimmt~ die rationalen Zahlen Q aus G~ indem man Brfiche bildet. Man muss sich nicht allzu sehr den Kopf zerbrechen~ was eine negative Zahl an sich ist, es geniigt zu wissen~ wie man damit rechnet. Der formale Hintergrund einer solchen E r ~ e i t e ~ n g e i n e s Z a h l b e r e i c h s ist die Ergs einer Halbgruppe H zu einer Gruppe G. Das geht nicht ohne Voraussetzungen an H. S a t z fiber die Einbettung von Halbgruppen folgende Bedingungen eTfiillt: 1) H ist kommutativ.
Sei ( H~ .) eine Halbgruppe, die
2) In H gilt die Kiirzungsregel a 9x b. x ~ a b~ falls a, b, x E H. Dann gibt es eine abelsche Gruppe (G, ,)~ so dass H C G und a 9 b a, b E H.
a 9b fiir
Man nennt H C G eine E i n b e t t u n g yon H in G.
Beweis Schulden entstehen dann~ wenn man ffir einen Betrag b einkauft, abet nur einen kleineren Betrag a auf dem Konto hat. Der gleiche Schuldenstand kann auch durch eine andere Kombination a'~ b' entstehen, n ~ l l i c h dann, wenn a - b a'-b', oder, ohne Minuszeichen ausgedrfickt, a + b' b + a'. Dem entsprechend definieren wir in H x H die Relation (~ b) - (~'~ b') :~, ~. b'
b.d.
Urn zu zeigen, dass es sich urn eine J~quivalenzrelation handelt~ benStigt man die angegebenen Voraussetzungen: (a~ b) - (a~b), denn ab ha.
( ~ b) ~ (~'~ b') ~ ~'b b~' ~b' b'~ ~ (~'~ b') ~ ( ~ b). ( ~ b) ~ (~'~ b') ~ (~"~ b") ~ ~b' b~' und ~'b" b'~" ~ ~b'~'b" ~b"(~'b') b~"(~'b') ~ ~b" b~" ~ ( ~ b) ~ (~"~ b').
b~'b'~"
Die J~quivalenzklasse yon (a~ b) bezeichnen wir mit [a~ b ], die Menge aller J~quivalenzklassen mit G. hi G wird eine Verhfiipfung erkl~'t durch
[a,b],[c,d]: Diese ist wohldefiniert~ denn aus [a~b]
ab'
ba' und cd'
dc'~ also acb'd'
[a.c,b.d]. [a'~b'] und [c~d]
[c'~d'] folgt
bda'c'~ d.h. [ac~bd]
[a'c'~b'd']~
da H kommutativ ist. Aui~erdem ist 9 assoziativ und kommutativ, da in H diese Regeln gelten. Ein neutrales Element e E G ist e [a,b],[b,a]
[a, a] fiir beliebiges a E H. Da
[ab, ba]
~, ist [a,b] 1
[b,a].
168
II R I N G E
Also ist (G, ,) eine abelsche Gruppe. Um H ais Teilmenge von G wiederzufinden, betrachten wir die Abbildung H---~G, a~--~[a.a,a]. Sie ist injektiv, denn aus [ aa, a ]
[bb, b ] tblgt aab
abb und a
b
nach der Kfirzungsregel in H. Welter ist
also kaxm man a E H mit [ aa, a ] E G identifizieren und es folgt a 9b a, b E H.
a 9 b ffir []
hn Fall einer multiplikativen oder additiven Verknfipfung kann man auch a
n(l
Ms formaien Quotienten oder tbrmaie Differenz schreiben. Als Beispiel im additiven Fall erh/ilt man die Einbettung N C Z. Den multiplikativen Fall werden wir im ngchsten Abschnitt bei Ringen welter vertblgen.
1.13 QuotientenkSrper Ein Integritgtsring R ist bezfiglich der Addition eine abelschen Gruppe un(l bezfiglich (ler Multiplikation ist R \ {0} eine kommutative Haibgruppe mit Kfirzungsregel. Also k~ln man R \ {0} nach dem Satz fiber die Einbettung yon Haibgruppen zu einer multiplikativen Gruppe erweitern. Wir zeigen nun, dass R auf diese Weise zu einem KSrper Q(R) wir(l. Es sei dacaa erinnert, (lass jeder nMlt triviaie Homomorphismus yon einem KSrper in einen Ring injektiv ist (Bemerkung f ) in U i.3). Satz fiber den QuotientenkSrper Ist I~ ein Integr'itiitsr'ing, so gibt es einen Kb'r'per Q(R) und einen Monomor'phismus ~ : R --~ Q(R) mit folgender universellen Eigenschaft: Ist Ir irgend ein Kb'rper zusammen mit einem Monomorphismus p : R --~ Ir so gibt es genau einen Monomorphismus ~) : Q(R) --~ K~ so dass das Diagramm
R komm~ttiert. K~trz gesagt: Bis a~f Isomorphie ist der Q u o t i e n t e n k 6 r p e r Q(R) der kleinste KSr'per; in den I~ als Unter'r'ing eingebettet werden kann.
1.13 QUOTIENTENKORPER
169
B e w e i s Wir iibernehmen die Konstruktion des vorhergehenden Abschnitts mit einer kleinen Modifikation: / / \ {0} ist mit der Multiplikation eine kommutative Halbgruppe mit Kiirzungsregel, aber in Q(R) muss auch die Null enthalten sein. Wie in II 1.12. gezeigt wurde, ist in (R \ {0}) x (R \ {0}) durch (a, b) ~ (a I, b') e=~ ab'
ba'
eine Aquivalenzrelation erklSrt. Sie kann durch die gleiche Regel erweitert werden auf R x (R \ {0}). Dram ist (o, b) ~ ( W , b ' ) ~
~'
o.
Die J~quivalenzklasse von (a, b) bezeichnen wit nun mit ~, das ist ein ,J'ormaler Quotient" mit Nenner b ~ 0. Naeh Definition gilt a
a /
b
b'
e=~ ab ~
bd .
Wie in II 1.12 zeigt man, dass die Multiplikation der ibrmalen Quotienten durch a
c
b'd
a.c
b.d
wohldefiniert ist. Die Addition wird (in Erinnerung an das Elend mit den Briichen) erklgrt durch a
c
~+ d
ad + cb
b~
Um zu zeigen, dass sie wohldefiniert ist, muss man etwas rechnen: Aus ab I und cd' dc' iblgt bd(a'd' + b'c')
bda'd' + bdb'c'
adb'd' + bcb'd'
ba ~
(ad + bc)b'd' .
Nun ist (Q(R), +) eine abelsche Gruppe: Die Rechnung fiir das Assoziativgesetz iiberlassen wir dem Leser, kommutativ ist Mar. Nullelement ist
0
0
T
und
~
-~
- ( )
Welter ist Q(/~) \ {0} eine abelsche Gruppe mit Einselement 1
T
und
(b)
b -a
1
Das Distributivgesetz folgt mit den Regeln der Bruchrechnung, damit ist der KSrper Q(/~) konstruiert. Die Abbildung ~ : / ? ~ C2(/?), a ~ -
a
1' ist nach der Definition yon Addition und Multiplikation in Q(/~) ein Homomorphislnus, und injektiv, da aus T Tb folgt, dass a b.
170
II RINGE
Ist nun p : /~ --* K ein beliebiger Monomorphismus, so zeigen wir zunichst, dass es hSchstens ein q) 9 Q(R) ~ K mit p q) o c gibt: Ffir jedes ~ E Q(R) muss
sein. Umgekehrt
ist q) durch 9
wohldefiniert, denn ist ab'
:
ba', so folgt also
Als nicht trivialer Homomorphismus von K6rpern ist (I) injektiv.
[]
1.14 Beispiele Wir beschreiben einige Beispiele ffir QuotientenkSrper. Beispiel 1 zcQ
Das Standardbeispiel ist Q(z)
{m n'm'nEZ'n/~0
}
~ mit m
m' ~/
r
~7~ /
~TJ
.
Wegen der Minimalit~t yon Q(Z) ist Q auch der ldeinste KSrper, der die additive Halbgruppe N enthglt. Beispiel 2
Ist K ein KSrper, so ist K(X):
Q(K[X])
K[X]
ein Integrits
{ gf ' f , gEK[X],gr
Man nennt
}
den K6rper der rationalen Funktionen. Ist die Abbildung f ~-* f auf die Polynomfunktionen injektiv, so bedeutet g ~ 0, dass die Funktion .q nicht identisch verschwindet; g k ~ m dennoch Nullstellen haben. Ist g(p) 0 ffir p E K, so nimmt die ,~Punktion" f/.q in p keinen Weft in K an! Ffir K
0 und R kann man mehr sagen: Es ist f f u n d .q g. Ist 9(P) f(~) bei AnnNmrung yon z an p gegen +ce. Ist f(p) g(p) O,
f(p) r O, so geht
so kann man fiber den Wert yon Lg bei Anngherung an p zun/ichst keine Aussage machen. Wir werden spgter sehen, wie man in diesem Fall einen gemeinsamen f* und f , mit g* in p keine Faktor von f und g wegkfirzen kann, so dass ~ g. gemeinsame Nullstelle mehr hat. Beispiel 3 Ist D C C ein Gebiet, so ist der Ring 0 ( D ) der in G holomorphen Funktionen ein Integritgtsring (Beispiel 4 in II 1.4). Man nennt ~V[(D) :
Q(O(D))
f { ~ 9 f,.g E O(D),g ~ O}
1.14 BEISPIELE
171
den K6rper der meromorphen Funktionen. Im Gegensatz zu Polynomen kann der Nenner g # 0 unendlidl vide Nullstellen besitzen, diese liegen allerdings isoliert. Beispiel 4 Der Ring Z[ i ] Z + Zi C C der Gautgschen Zahlen ist ein Integrit/Rsdng. Er ist Bild yon Z[X] unter der Abbildung 9 : Z[X] ~ C , ~(m)
m ffir m E Z, ~(X)
i.
Wir behaupten q(Z[i])
Q[i]:
{a+bi: a,b~ Q}.
,,C": Es gilt Z[i] C Q[i] und Q[i] ist ein KSrper, dem~ 1 a + bi
,,D": Ist a
~ und b
1 a2 + b2 (a - bi) E Q [ i ] .
~--~ mit m, m', n E Z, so folgt a + bl
m + rrfi
~ q(Z[i]) .
Man nennt Q[i] einen imagin/h'-quadraUschen ZahlkSrper. Mehr dadiber in II 3.11.
172
II R I N G E
w 2 Ideale und Restklassenringe In der Gruppentheorie haben wir gesehen, dass der Kern eines Homomorphismus ein Norlnalteiler ist, nach dem eine Faktorgruppe gebildet werden kann. Ein Analogon in der Ringtheorie sind ,!deale". Der Name entstand in der Zahlentheorie, wo man gew6hnliehe Zahlen dureh j d e a l e Zahleif' ersetzt hat, um die Teilbarkeitseigenschaften zu verbessern (vgl. II 3.16).
2.1
Definition
yon Idealen
Ist ~ :/~ --+/~' ein Ringhomomorphismus, so ist Ker ~ C / ~ ein Unterring, d.h. a, b E K e r ~
~
a-b,
a.bEKer~.
Der Kern hat abet noch die weitere Eigenschaft aEKerp, denn p ( x . a) fiir die
xER
p(x) 9p(a)
~
x.aEKerp
p(x) 90
und a . x E K e r p
0, analog p ( a . x)
0. Das ist Grundlage
Definition Ist R e i n Ring, so heist eine Teilmenge a c R e i n I d e a l , wenn Folgendes gilt: I 1 a c R ist bezfiglich der Addition eine Untergruppe. I2
IstaEaundxER,
sofolgtx.aEaunda.xEa.
Insbesondere ist jedes Ideal ein Unterring, aber nicht umgekehrt. Ist R kommutativ, so kann man die Bedingungen I 1 und 1 2 offensichtlich zusammenfassen zu I 0 E a und ffir jedes n E N, al, ..., a~ E a und ist xlal +... + x~a~ E a.
xl,...,x~
E /{
Ein Ideal ist also abgeschlossen unter der Bildung yon Linearkombinationen Koeffizienten aus/{. In jedem Ring gibt es die trivialen IdeMe {0} und/{. kommutativ und a E /{, so nennt man
(a):
Ra:
mit Ist/{
{xa:x~R}
das yon a erzeugte Hauptideal. Es ist tats/ichlich ein Ideal, denn fiir xa, y a E R a ist x a -- y a (x -- y ) a E t~a und fiir y E /~ ist y ( x a ) (yx)a. Zun/ichst zeigen wit, wie sich Ideale unter Homomorphismen verhalten. Genaueres dazu in II 2.4. Bemerkung
Ist p : R --+ R' ein Ringhomomorphismus, so gilt:
a) Ist a' C R' ein Ideal, so ist p l(a') C R e i n Ideal. b) Ist a C R ehi Ideal und p surjektiv, so ist p(a) C R' ehi Ideal.
2.2 IDEALE UND EINHEITEN
Beweis a) N a c h I 2 . 1 i s t so folgt aus ~(a) E a' p(xa)
173
p l(a') C R U n t e r g r u p p e . Ist a E p l(a') u n d x E
p ( x ) p ( a ) E a' und p(ax)
R,
p(a)p(x) E a',
also :ca E ~ l(a') und ax E ~ l(a'). b) Wieder nach I 2.1 ist p(a) Untergruppe. Ist b E p(a) und y E R', so gibt es aE aundxERmit b
p(a), y
p(x),
also yb
p(xa) E p(a) und by E p(a) []
2.2
Ideale und Einheiten
Das Verhs Satz
yon Idealen zu Einheiten ist sehr sensibel:
a) Ist R ein Ring mit l und a c R ein Ideal mit a A R • ~ 0, so ist a
R.
b) FAn KSrper I f hat n u t die trivialen Ideale {0} und If. c) Ist R e i n kommutativer Ring mit nicht trivialer Multiplikation (d.h. es ist nicht ab 0 fiir alle a, b E R)~ und hat R n u t die trivialen Ideale {0} und R, so ist R ein Kb'rper. Beweis a) Ist a E a A R • und damit a R. b) folgt sofort aus K •
R • mit ab
ba
1, a l s o i s t 1 E a
K \ {0}.
c) Wir zeigen zungchst, dass R e i n Einselement 1 r 0 enthfilt. Es gibt nach Voraussetzung a, b E R mit ab r O. Wir betrachten das Hauptideal Rb. Da OCabERb, folgtRb R. W e g e n b E R , m u s s e s e i n l E R g e b e n m i t lb b. Ist y E R beliebig, so gibt es ein x E R mit :cb y. Also ist ly
lxb
xlb
xb
y.
Also ist 1 ein Einselement, aus b ~ 0 folgt 1 ~ O. Es bleibt zu zeigen, dass R \ {0} R • . Ist c E R \ {0}, so ist Rc eseinxERmitxc lundesfolgt cER •
R, also gibt []
Ist die Multiplikation in R trivial, so sind die Ideale gleich den Untergruppen; eine Gruppe mit nur trivialen Untergruppen ist nach 1 3.7 isomorph zu einer zyklischen Gruppe von Primzatllordnung.
Die Menge R • C R der Einheiten ist der Durchschnitt aller R \ a, Korollar wobei a alle echten Ideale yon R durchliiuft. []
174
2.3
II RINGE Restklassenringe
Da die additive Gruppe eines Ringes R abelsch ist, ist jedes Ideal a C R als Untergruppe auch Normalteiler. Dalmr kmm man entsprechend I 2.8 die Faktorgruppe R/a: mit der Addition ( , + a) + (y + a)
{z+a:zER} (x + y) + a bilden, sie ist wieder abelsch. Mit
p:R--* R/a, x~x+a, wird der km~onische Gruppenhomomorphismus mit Ker p nun naheliegend, in R / a dutch (* + a) . (v + a) :
a bezeichnet. Es ist
(,)
(*.v)+a
eine Multiplikation zu erklgren; dass dies gut geht, zeigt der S a t z Sei R ein Ring~ a c R e i n Ideal und p : R --~ R / a der kanonische Gruppenepimorphismus. Dann gibt es genau eine Multiplikation 9 in R/a, so dass R / a zu einem Ring und p zu einem Ringepimorphismus wird. Es ist Ker p a. Ist R kommutativ, so auch R/a; hat R ein Einselement l, so ist 1 + a ein FAnselement yon R/a. Maai nennt R / a den R e s t k l a s s e n r i n g yon R modulo a (oder yon R nach a). Beweis
Soil p ein Ringhomomorphismus werden, so muss
(, + a) . (y + a)
p(,).p(y)
p(,.y)
(,.y)+a
sein, also gibt es ffir die Definition der Multiplikation nur die oben angegebene MSglichkeit (,). Es bleibt zu zeigen, dass sie wohldefiniert ist. Sei also x+a Da'aus folgt
x ' + a und y + a 9v -
y'+a,
*'v'
d.h. , - S E a
und y - - y ' E a .
(* - * ' ) v ' + * ( v - v') ~ a .
Das Assoziativgesetz und die Distributivgesetze tibertragen sich yon R auf R/a, also wird R / a auf diese Weise zu einem Ring. [] Nach diesem Satz kann man Ideale auch charakterisieren als Teilmengen, die als Kern eines Ringhomomorphismus auRreten. Die Rechenregeln im Restklassenring R / a kann man auch durch Kongr-uenzen modulo a in R ausdriicken (vgl. I 1.8): Fiir x, x' E R erklgrt man x=x'(rnoda)
:r
x+a
x'+a r
x - - x ' E a.
A u s , = x'(rnod a) und y = y'(rnod a) folgt dram x+y=x'+y'(rnoda)
und x . y = x ' . y ' ( r n o d a ) .
2.4 ISOMORPHIESATZE 2.4
175
Isomorphies~itze
Die in 1 3.1 bewiesenen Aussagen fiber G r u p p e n h o m o m o r p h i s m e n fibertragen sich mfihelos auf Pdnghomomorphismen, denn die kanonischen Abbildungen sind auch mit der Multiplikation vertr~glich. Wir notieren nur die wichtigsten Ergebnisse. Sei ~ : I~ --~ I~~ ein R i n g h o m o m o r p h i s m u s , a c I~ ein Faktorisierungssatz Ideal m i t a c Kerp und p : I~ --~ I~/a der kanonische Epimorphismus. D a n n gibt es genau einen R i n g h o m o m o r p h i s m u s ~ : I~/a --* I~'~ so dass das D i a g r u m m
P
/
/
R/a p ( R ) und Ker V
kommutiert. Es ist V ( R / a )
Erster Isomorphiesatz
(Ker p ) / a .
Ist ~ : R --~ R ~ ein Ringhomomorphismus, so ist die
Abbildung ein Isomorphismus. Ist ~ surjektiv, so folgt I~' ~ /~/Ker ~.
[]
Das Analogon zum sogenannten ,J)ritten Isomorphiesatz" der Gruppentheorie beschreiben wit etwas ausffihrlicher. Korrespondenzsatz : R --~ R ~ mit a :
ffir Ideale Ker~. Es sei
Gegeben sei
ein Ringepimorphismus
I die Menge aller Ideale b C R m i t a C b, F die Menge aller Ideale b ~ c R t D a n n sind die Abbildungen F : I--~ I '
und
G : F-~ I
bijektiv und zueinander invers. Welter ist fiir jedes b E I die Abbildung
r
(R/a)/(b/a) -~ R/b, (x + a) + b/a ~ x + b,
ein Ringisomorphismus. Beweis
Dass r ein Isomorphismus ist, zeigt man wie bei Gruppen in 1 3.1.
Zum Beweis der ersten Behauptung ist zu zeigen, dass FoG
idv,
d.h.
p(p l(b'))
b'
ffiralle
b'EI'
GoF
ida,
d.h.
p ~(p(b))
b
ffiralle
bEI.
und
176
II R I N G E
Die Inklusionen ~(~ l(b')) C b' und ~ l(~(b)) D b gelten gaaz allgemein fiir Abbildungen. Da ~ surjektiv ist, gilt aufferdem ~(~ l(b')) b'. Es bleibt zu zeigen, dass ~ l(~(b)) c b. Sei also x E R und x E ~ l(~(b)). Dann ist ~(x) E ~ ( b ) , Da~'aus folgt ~ ( x x (x-y)+yEb.
y)
also ~(x)
0, also x -
~(y) f i b e i n y E b.
y E Ker~
a C b. D a y
E b, iblgt []
V o r s i c h t ! Ist a C B C tt, aber B kein Ideal, so kann B C ~ l(~(B)) sein. In der folgenden sdmmatischen Skizze ist ~ die senkrechte Projektion:
R~
e(B) 0
2.5
Beispiele
B e i s p i e l 1 Die Restklassenringe yon Z haben wir schon weitgehend im Rahmen der Gruppentheorie behmldelt, ohne den Beg~'iff des Ringes explizit zu verwenden. Von dem neuen Standpunkt sei noch einmal daraa erinnert. Nach I 1.8 hat jede Unterg~'uppe yon Z die Form m E m i t m E N; diese Unterg~'uppen sind auch Ideale, also ist jedes Ideal yon der Form m E und es gibt nur die Restklassenringe Z.~ Z / m E fiir m E N . Sie sind kommutativ und mit den Argumenten aus I 1.8 folgt Z.~ nullteilerfrei
r
m
Primzahl,
falls m > 2
(*)
2.5 BEISPIELE
177
Ffir die Einheiten gilt Z,~
{h + ,~Z 6 Z,~ : ggT (h, " 0
1} C Z ....
denn zu k + rr~Z gibt es genau dann ein 1 + rr~Z mit (k + mE)(1 + mE)
1 + mE,
wenn 1
kl + :cm mit einem x 6 7,.
Die Gruppe Z,X~ist die Primrestklassengruppe der Ordnung p(m) aus I 3.12. Insbesondere tblgt, dass der Restklassenring ~p : Z/pZ
fiir jede Primzahl p ein K/Srper ist; in Kapitel III wird er ,~Primk6rper der Charakteristik p" genasmt. Aus II 1.11 tblgt, dass die Einheitengruppe I?~ Zpx der Ordnung p - 1 zykliseh ist. Es ist aber nieht gas~z offensiehtlich, welehe Restklassen die Gruppe erzeugen. Das kann man herausfinden, indem man die Ordnungen alller Elemente berechnet. Etwa fiir p 7 erhSlt man: ord (n + 7Z) 1
3 6
3 6
2 Also kaan man 3 + 7Z oder 5 + 7Z als Erzeuger yon Z~ wfihlen. B e i s p i e l 2 Wir betrachten den Homomorphismus ~ 9JR[X] --~ C , f ~-+ f(1) . ZunSchst zeigen wir, dass Ker ~ das yon X 2 + 1 erzeugte Hauptideal (X 2 + 1) in R[X] ist. Da i 2 + 1 0, folgt (X 2 + 1) C K e r ~ . Ist umgekehrt 0 # f 6 Kerw, so folgt zunSehst deg f _> 2. Es ist klar, dass deg f 0 unm6glieh ist, also genfigt es, den Fall deg f 1 auszuschliegen: Ist
f
a+bX,
was wegen i 2 durch X 2 + 1:
s o f o l g t a u s f(i)
a+bi
0,
dass i
-~ 6]R,
- 1 nicht sein kann. Ist nun deg f _> 2, so teilen wir f mit Rest f
(X 2 + l ) . g + h
mit
degh 1 > 0. Im Restklassenring R [ X ] / ( X 2 + 1) hat X 2 + 1 die Nullstelle x
X+(X 2+1),
denn x 2 + 1
X 2+l+(x
2+1)
0+(X 2+1),
in C ist das gerade i. Nun ist C nicht nur ein Ring, sondern sogar ein KSrper; um das im Restklassenring zu begriinden, b M b t die Frage, wieso jedes Element r 0 in R [ X ] / ( X 2 + 1) eine Einheit ist. In II 3.2 werden wir sehen, dass die ,J_rreduzibilitSt" des Polynoms X 2 + 1 dafiir entseheidend ist. B e i s p i e l 3 Im GauSschen Ring /~:
Z+Zi
{m+ni'm,
nEZ}cC
2.5 BEISPIELE
179
(Beispiel 2 aus II 1.4) betrachten wir das Hauptideal a:
/~. (1 + 2i) .
Als Untergruppe y o n / ~ ist a erzeugt durch 1 + 2i und i(1 + 2i)
- 2 + i.
/
oo~oo ti ! ooo o~ooo ooo . . . .
|
. |
-2§
9 . . | . . . . .
. . . .
| 0 . . . . .
|
. . . |
9 |
|
9
. . |
. . |
|
.
.
"
"
|
.
. "
5
.
.
"
I
.
. . . . .
"
| |
"
"
"
Um die Struktur des Restklassenrings I~/a aufzuklgren, bemerken dass modulo a folgende Kongruenzen gelten: i+2i-0
~
-i-2i
~
i-2
~
-i-4
~
wir zungchst,
5-0.
Dabei wird fiir die zweite Implikation mR -i multipliziert, fiir die dritte quadriert. Dutch Beschr/inkung der kauonischen Abbildung p :/~ --~/~/a auf den Unterring Z
{m+rfiEZ+Zi:r~
0}
erhgR man einen Homomorphismus p' : Z --~ R/a. Da 5 - 0( rood a) ist 5 E Kerp'. Ist k E Ker
p'
a A Z, so gibt es rn, r~ E Z mit
Also ist/c E 5 Z und es folgt Ker p'
5 Z.
Es ist einfach zu sehen, dass p' surjektiv ist: i=2
~ rr~+r~i= m + 2 r ~ E Z ,
also hat jede Aquivalenzklasse einen Repr/isentax~ten in g. Aus dem Isomorphiesatz folgt schlieglich das Endergebnis
R/a- z/sz.
180
2.6
II RINGE
Hauptidealringe und
noethersche
Ringe
U m eine beliebige Teilmenge eines Ringes zu einem Ideal auszubauen, benutzt man die
Ist R e i n
Bemerkung ai C R, so ist
Ring und (ai)ici eine beliebige Familie von Idealen
~
a , ~ C R
iCI
ein Ideal. Beweis
Sind a, b E ~ ai und ist x E R, so sind a, b E o4 fiir alle i E I, somit tblgt iCI
a-b,
xa , ax E ai fiiralle i t t n d a - b ,
xa,
axe
~]ai 9 icI []
Ist A C R Teilmenge eines Ringes, so wird das yon A e r z e u g t e Ideal (A) c R erklgrt als der Durchschnitt aller A umfassenden Ideale a c R, in Zeichen (A):
r~
a.
ACaCR
Ist R kommutativ,
(A)
so ist
{Xla I + . . . + z,~a,~ : n E N , a{ r A , z{ r R } ,
das ist die Menge aller endlichen Linearkombinationen yon Elementen Koeffizienten in R. Ist A {al,..., a~} endlich, so schreibt man
(A) und im Fall A
+
:
aus A mit
e R}
{a} ist
das yon a erzeugte Hauptideal. D e f i n i t i o n Ein Ring R heigt H a u p t i d e a l r i n g , wenn er ein Integritgtsring ist, und wenn jedes Ideal a c R Hauptideal ist. Ein Ring R heigt n o e t h e r s c h , wenn jedes Ideal a c R endlich erzeugt ist, d.h. wenn es a l , . . . , art E R gibt, so dass a ( a l , . . . , art). Iusbesondere f~r die Teilbm'keitstheorie sind alternative Chaxakterisierungen yon noetherschen Ringen wichtig. Satz*
Fiir einen Ring R sind folgende Bedingungen gleichwertig:
i) R ist noethersch.
2.7 EUKLIDISCHE RINGE
181
ii) Yede aufsteigende Kette yon Idealen ao
al
c
c
...
c
ak
c
...
]~
c
wird s t a t i o n i i r , d.h. es gibt ein n E N, so dass a~,
a~,+~ fiir alle k E N.
iii) Yede nicht leere Menge I v o n Idealen a c R besitzt ein maximales Element, d.h. es gibt ein b E I, so dass b ~ a fiir kein a E I gilt.
Beweis
i) ~ ii): D a die gegebene Kette aufsteigend ist, ist die Vereinigung a:
UakCR kCN
wieder ein Ideal. Da R noethersch ist, gibt es a l , . . . , a~, E R, so dass
a Z u j e d e m ai gibt es ein ni E N, sodass ai E a~,~.Ist n : m a x { n l , . . . , n ~ , } , folgt ai E a~, fiir alle i, also a a~,~ u n d a~,+~ a~,.
so
ii) ~ iii): Ggbe es eine nichtleere Menge I yon Idealen ohne mmdmales Element, so k6nnte mm~ d a m i t eine unendliche echt aufsteigende Kette
aoCalC~ . . . ~ ca
c
...
cR
yon Idealen in /~ aufbauen.
iii) ~ i): Sei a c Rein beliebiges Ideal und I:
{bCR'b
endlicherzeugtesIdealund
Da {0} E I, ist I # 0; sei c (al,..., a~,) C a maximal dann gibt es ein a E a \ c und
bca}. in I. Angenommen
c c a,
c C (al,...,a~r,,a) C a, im Widersprueh zur Mmximalitgt von c.
2.7
[]
Euklidische Ringe
Die wichtigsten Beispiele fiir Hauptidealringe sind der Ring Z der ganzen Zalllen und der Polynomring/([X] iiber einem Kbrper K. Das kann man in beiden Fgllen durdl eine Division mit Rest beweisen. Daller ist ein allgemeiner BegTiff nfitzlich. Definition dung
Ein Integritgtsring R heigt euklidischer
Ring, wenn es eine Abbil-
182
II RINGE
mR folgender EigenschaR gibt: Zu a, b E R \ {0} gibt es q, r E R, so dass a
qb+ r" und ~(r') < ~(b) falls r" r 0.
(*)
Im QuotientenkSrper @(R) lautet die Gleichung (,) q+~
und
~
< 1 falls r ' r
q steht ffir ,,Quotient", r ffir ,,Rest". Die beiden Sta~ldardbeispiele ffir euklidisehe Ringe sind 7/, mR ~(n) : I~1 (I 1.8) und der Polynomring K [X] fiber einem Kgrper K mit ~(f) : deg f (vgl. II 1.7). Man bea~hte einen wesentlichen Unterschied zwischen Betrag und Grad: [rn. n [
[rn 1. In 1, deg (f..q)
deg f + deg .q.
Ln Ring K[X] sind q und r eindeutig bestimmt (vgl. II 1.7), in 7/, ist das nieht ohne weReres der Fall, etwa 7
2.3+1
3.3-2.
Man kann q und r" in Z abet eindeutig mgchen, indem man r" _> 0 verlangt. Kompliziertere Beispiele ffir euklidische Ringe finden sich in II 3.14. Satz
Ein euklidischer Ring ist Hauptidealring,
Beweis In I 1.8 wurde gezeigt, dass jede Untergruppe von 7/, v o n d e r Form rnZ ist. Es genfigt, die dort verwendeten Argumente auf einem abstrakteren Niveau zu wiederholen.
Sei R euklidiseh und a C R e i n Ideal. a {0} ist Hauptideal, wir k6nnen also a r {0} mmehmen. Wir betraehten die Menge M:
{hEN"
esgibtein aEa\{0}
mit n
~(a)}.
Da a r {0}, ist M r O, also enthilt M ein kleinstes Element k a E a \ {0}. Wit behaupten a (a).
~(a) ffir ein
Angenommen es g/ibe ein b E a \ (a). Dann teilen wir b mR Rest dutch a: b
qa+r" mit ~(r') 0, al 9 sei der Leitkoetfizient yon fl, also fl
a l X ~1 + . . . .
Da a nieht endlieh erzeugt ist, folgt a \ (fl) r 0, wir wNflen in dieser Menge ein Polynom f2 mit minimalem Grad n2 und Leitkoefigzienten a2. Allgemein erhalten wir f~+l 9 a \
( f l , . . . , f~) , f~+l
a~+lX ~+1 +...
mit minimalem n~+l: Aus der Konstruktion folgt sofort r~l < r~2 < . . . < r~k < . . .
und
(al)
C
(al, a2)
C
...
C
(al,..,
ak)
C ...
C R
und es bleibt zu zeigen~ dass die Idealkette in jedem Schritt echt aufsteigt. Angenommen, es w~re
(al,...,a~) Dann g~be es/)1,..., b~ 9 Das Polynom
(al,...a~,a~+l) mit a~+l g :
~
fttr ein
/~ 9 N.
/hal + ... + b~a~. Nun kommt der Kniff: b~X ~+~ ~j~
1
hat den Grad n~+~, den Leitkoeffizienten a~+~ und liegt im Ideal ( f ~ , . . . , f~). Das ergibt den Widersprueh deg(f~+l-g) 1 ein Ideal a~ c C[X~, X2, }(3] mlgegeben, das nicht dutch k Polynome erzeugt werden kmm (vgl. [M], [Abl). Fiir konkrete Rechnungen mit einem Ideal ist eine sogenannte G r 6 b n e r b a s i s hilfreich (vgl. dazu etwa [C-L-O'SI). Der Hilbertsche Basissatz ist das Portal zur algebraischen Geometrie, in der die Nullstellenmengen in K ~ yon Polynomen aus K [ X 1 , . . . , X.,~] studiert werden. Im beinahe trivialen Fall n 1 und K C wird das in Beispiel 2 aus II 2.12 durchgespielt. F i i r n 2 studiert man ebene algebraische Kurven, eine Einfiihrung hierzu findet man in [Fi3]. HShere Dimensionen werden zum Beispiel bei [Hu] behm~delt.
MIT IDEALEN*
2.10 OPERATIONEN
187
2.10 O p e r a t i o n e n mit Idealen* Aus zwei Idealen a, b eines Ringes/~ kann m a n auf verschiedene Arten ein neues Ideal konstruieren. Neben dem Durchschnitt a A b hat m a n noah die S u m m e
a+b:
{a+bEt?:aEa, bEb}
(aub)
und das P r o d u k t n
/
1
Beispiele dazu findet man in II 2.12. Offensichtlich gelten die folgenden Reehenregeln
Fiir Ideale a, b, c eines Ringes/~ gilt:
1) a b c a n b .
2) a.(b+c)
s)(a.5).c
a . b + a . c , (b+c).a a
b.a+c.a.
(5.0.
Allgemein nennt m a n Ideale a, 5 C R c o p r i m , wenn a + 5
R.
Bemerkung Sind die Ideale a, 5 c I~ coprim, und ist I~ kommutativ mit 1, so ist a5 a N 5. Beweis
SeixEaNbund x
1 1.x
a+bmit
aEaundbE
(a+b)x
5. D a n n i s t
ax+bxEa.b.
Analog zur Gruppentheorie (I 3.5) gilt ein sogenannter Zweiter Isomorphiesatz
S,ind a, b Ideale eines kommutativen Ringes, so gilt:
1) aN b c a und a c a + b sind Ideale. 2) Durch
: a/an b ~ (a+b)/b,
~+(an
b) ~ ~ + b,
ist ein Ringisomor'phismus gegeben. Dies kann m a n wieder durch ein Diagramm illustrieren a
c
anb
C
u
a+b u b.
Zum Beweis geniigt es zu bemerken, dass der Isomorphismus ~ von G r u p p e n offensiehtlieh die Multiplikation respektiert und damit aueh Isomorphismus von Ringen ist.
188
II RINGE
2.11 D e r C h i n e s i s c h e R e s t e s a t z * In 1 3.8 h a b e n w i t d a s P r o b l e m yon zwei s i m u l t a n e n K o n g r u e n z e n in Z b e t r a c h t e t . A l l g e m e i n e r k a n n m a n folgende F r a g e stellen: M a n teilt eine Zalfl x E Z nache i n a n d e r d u r c h T~I, . . . , T~/~ E 7],, d a b e i b M b e n die R e s t e r l , 9 . . , r k . K a n n m a n x aus r l , . . . , r~ r e k o n s t r u i e r e n ? I m Fall k 2 w a r g e s a g t worden, dass d a s bis a u f Vielfache yon m l 9 rn2 mSglich ist, wenn m l u n d rn2 t e i l e r f r e m d sin& h n Fall k > 2 genfigt es nicht v o r a u s z u s e t z e n , dass m l , . . . , rn~ t e i l e r f r e m d sind; m a n muss v i e l m e h r verlangen, dass rni u n d rn o t e i l e r f r e m d sind, falls i ~ j . Das Wesentliche sieht m a n schon fiir k 3: Seien m l , rn2, m s p a a r w e i s e t e i l e r f r e m d u n d r l , r2, ra E 77, beliebig. G e s u c h t sind alle x E 77, m i t x = ri (rnod m i ) ffir i
1, 2, 3 .
M a n definiert n l : rn2rn3, n2 : rnlrn3 u n d n3 : rnlrn2 u n d i i b e r l e g t sich, dass rni u n d ni flit i 1, 2, 3 t e i l e r f f e m d sind. D a l m r g i b t es yi, y~ E g m i t
1 Ist x :
y~rni + yini 9
3
~ riyini, so sieht m a n sofort, (lass x eine LSsung ist: Ffir i
i
1
x
--
r I
r l ( Y l r t l -- 1) + r2Y2rt2 + r3Y3n3
--rly~rnl + r2Y2rnlrn3 + r3Y3rnlrn2 E a n a l o g fib- i
1 gilt
r~tl
Z ,
2, 3.
N a c h dieser V o r b e m e r k u n g b e h a n d e l n w i t den a l l g e m e i n e n Fall:
In einem Ring R (kommutativ mit 1) seien paarweise Restesatz coprime Ideale a l , . . . , a~ gegeben (d.h. ai + aj R fiir ~ j ) . Dann ist der Homomorphismus
Chinesischer
: ]:~ ~
]:~ / fl l X . . .
Xb--+ ( X + f l l , . .
surjektiv und K e r 6 Irtsbesondere gilt 5(x)
fl I " . . . "
X+flk),
fl k .
5(x') ~ [~/(flX
X ]:~ / fl k ,
"..."
Beweis W i r b e t r a c h t e n ffir i
x - x / E ax . . . . ak u n d Ilk) ~
[~/flX
X ...
1 , . . . , k die I d e a l e
b~:
f"]a d C R .
X
]:~/flk
189
2.12 BEISPIELE*
Zungchst zeigen wir ai + bi R. D a z u wNflen wir bei festem i fiir alle j /~ i / ! Elemente aj E a~ und aj E aj mit 1 aj + aj. Daraus folgt
j#i
i#j
j#i
also ist 1 E ai + bi und 1 ai + bi mit ai E ai u n d bi E hi. Daxnit k6nnen wit zeigen, dass 5 surjektiv ist: Sind r l , . . . , r~ E R beliebig, so ist k
i=1
dennbi-lEaiundbiE
bCaj
fiiri/~j.
Offbnsichtlich ist Ker5
alA...Aa~,
also a l . . . a ~
CKerS.
W i r zeigen durch I n d u k t i o n nach k, dass al A...ACtk
al
"...
Ctk .
Der Fall k 1 ist trivial, sei also b : al A . . . A a~ 1 al .. 999a~ 1. Wie wir oben gezeigt haben, sind b und a~ coprim, also folgt nach der B e m e r k u n g aus II 2.10
alN...Nak
Wieder daheim im Ring R
bNak
b.ak
al.
ak.
Z erhalten wir das
Korollar Sind paarweise teilerfi'cmde Zahlen ~ 7 ~ 1 , . . , ~7~k E Z und beliebige r'l, . . . , r'a E Z gegeben, so gibt es stets eine LSsung x E Z der s i m u l t a n e n Kongr~a CnZCIt
x = r i ( r n o d mi) fiir i
1,..., k ,
und ein x' E Z ist e b e @ l l s eine LSsung genau dann, w e n n
x = x ' ( r n o d m l . . . . . rn~) .
2.12 Beispiele* Beispiel 1 W i r wollen die Operationen S u m m e und P r o d u k t yon Idealen etwas erl/iutern und den Unterschied yon P r o d u k t und Durchschnitt aufkl/iren. a) Sind die Ideale a, b c R endlich erzeugt, etwa a
(al,...,a~r~),
b
(bl,...,b~),
soist a+b
(al,...,a~r~,bl,...,b~).
190
II RINGE
hlsbesondere ist flit Hauptideale a (a) und b (b) die Summe a + b (a, b). In einem Hauptidealring ist die Situation noch einfacher. Ist /~ 77,, so haben wir in I 3.8 gesehen, dass (m) + (n)
(d) mit d
ggT(m,n).
Wie wir in II 3.3 sehen werden, geht das analog in beliebigen HauptideaMngen. b) Zun/ichst bemerken wir, dass im Allgemeinen
a. b ~ { a . b ' a E a, bE b}. Die Menge auf der rechten Seite ist im Allgemeinen kein Ideal. Ist etwa I~ K [ X , Y ] , a (X) und b ( Y ) , s o i s t X2Y+XY
2 Ea.b,
aber X 2 Y + X Y
Ist R Hauptidealring und a
(a), b a. b
2r
mit f E a
und g E b.
(b), so ist (~.b).
c) Im Allgemeinen ist a.bCaAb.
Das sieht m a n einfachsten im Fall a b, denn dram ist a. b Ist etwa a (m) C Z, so ist (.~) C ( ' 0 far 1"4 -> 2. Im Fall/~
a 2 und a A b
a.
Z ist nach I 3.8
(m) n (n) ( - 0 . (~)
(k) mit k
kgV(m,n),
(-0 n (~) ~, ggT (,~,~)
also
1 ~, (-0 + (~)
7,.
Belspiel 2 Ist K ein K/Srper, so kann man auch im Polynomring K[X] die Operationen mit Idealen axmlog beschreiben wie oben im Ring 77,, denn K[X] hat die gMch guten Teilbarkeitseigenschaften wie Z (vgl. dazu II 3.3). Augerdem gibt es eine schSne geometrische Illustration der Operationen mit Idealen. Wit beschr/inken uns hier auf den einfa~hsten Fall K C und benutzen die in II 2.7 bewiesene Tatsache, dass K[X] ein Hauptidealring ist. Wit stellen eine Beziehung her zwischen folgenden beiden Mengen: J : Menge der Ideale a c C[X], Jr{ :
Menge der endlichen Teilmengen A C C, vereinigt mit A
O und A
Einerseits hat man die Abbildung J --~ JV[ , a ~-~ N(a) :
{x E C : f ( x )
N(a) heigt N u l l s t e l l e n m e n g e yon a; ist a N(a)
N(f) :
{z 9
0 fiiralle f E a } .
(f), so ist 0}.
C.
2.12 BEISPIELE*
191
In der umgekehrten Richtung hat man die Abbildung
:~ ~ J , A ~ I(A) :
{f 9
0}.
I(A) heit~t das Ideal yon A. Es w/ire zu optimistisch zu hoffen, diese beiden Abbildungen w/iren bijektiv und zueinander invers. Ein schSner VergMch sind zwei Sprachen und ein WSrterbuch: Ubersetzt man ein Wort yon einer Sprache in die andere und dann wieder zuriick, so kaml etwas anderes abet immerhin Ahnliches herauskommen. Dieser Eff'ekt wird umso deutlicher, je reichhaltiger die eine Sprache ist. In unserem Fall wird sich zeigen, dass die algebraische Sprache der Ideale subtiler ist als die plumpere Sprache der Teilmengen. Erst einmal schreiben wir eine gaaze Liste yon ~;bersetzungsregeln auf. Dabei sind jeweils a, b E J und A, B E ?v[.
1) ctc b ~ x(c0 > x ( b ) , 2) :v(ct + b) x(c0 n x ( b ) , 3) :v(ct n b) x(c0 u :v(b) 4) N(I(A)) A, 5) :v(ct. b) :v(ct n b ) ,
A c B ~ I(A) ~ I ( B ) , 1(An B) I(A) + I ( B ) , I(A u B) I(A) n I ( B ) , I(x(cO) ~ a, a.~, a n b ~ N ( a ) nN(b)
O.
Da der KSrper C zugrunde gelegt wurde, kasm man all diese Regeln nach folgendem Schema gaaz einfach beweisen: Ist {0}/~ a E J, so gibt es genau ein normiertes f E C[X] mit a f
(f). Aus
(X - xl) 9 ... 9 (X - x~)
folgt N(a) { z l , . . . , z~}; dabei k6nnen auch mehrfache Nullstellen vorkommen. Ist f 1, so folgt N(a) 0; fiir a {0} ist N(a) C. Ist A { z l , . . . , z ~ } mit paarweise verschiedenen zi, so hat f : (X - xi) . . . . . (X - x~) nur einfache Nullstellen. Ist g]A 0, so ist f ein Teiler yon g, also folgt I(A) (f). Ist a (f) und b (g), so ist a. b ( f . g). Erzeugende Polynome yon a + b und a A b sind etwas subtiler. Wit definieren h* :
(x - y~)~ .....
( x - y~r~)~-~ ,
wobei { y l , . . . , y~} N ( f ) A N(g) und die Exponenten hi die minimalen in f u n d g aut%retenden Ordnungen sind. Analog ist h, :
(x -
~)'~ . . . . . ( x - ~ ) ' , ,
wobei { z l , . . . , z~} N ( f ) U N(g) und die Exponenten lj die maximalen in f u n d g auftretenden Ordnungen sind. In Terminologie yon Teilbarkeit ist (vgl. II 3.6) h*
ggT(f,g)
und
h.
kgV(f,g) .
192
II RINGE
Nun ist einfach zu sehen, dass (h,) c a+b
(f..q) canb
a.b
(h*).
Damit kann man die l~bersetzungsregeln ganz explizit nachpr/ifen. Bemerkenswert ist die Regel a c l(N(a)), bei der im Allgemeinen keine Gleichheit gilt. Ist a (f) mit f (X -- X l ) ]~1 " . . . " ( X -- X?Tt) ]~"~ mit paax'weise verschiedenen xi, so ist N(a) { x l , . . . ,x~rt} und I(N(a)) mit f, : (X-xl).....(X-xm).
(f.)
Zur zweiten Beziehung in 5) bemerken wit
a.b
anb ~ f . g
h,~N(f)
0,
nN(g)
denn nur in diesem Fall kumuliert h. alle Nullstellen yon f u n d g. Am drastischsten sieht man den Unterschied zwischen Idealen und Mengen im Fall A {0}: F/it jedes n E N \ {0} ist N ( X ~) {0}. Was im Ring C[X] nur nach Spielerei aussieht, ist in Polynomringen yon mehreren VerSnderlichen Startpunkt der algebraischen Geometrie. B e i s p i e l 3 Eine Schulklasse mit 26 Sch/ilern ist auf Klassenausflug; da muss mehrmals am Tag nachgezs werden, ob noah alle da sind. Zur Vereinfadmng ka~m man die Sch/iler in Reihen der Zalfl m aufstellen und nut nachsehen, welcher Rest r bleibt. Bei ml
2, m2
3 und m3
5 m/issen Reste rl
0, r2
2 und r3
1 bleiben.
Stimmt die Probe mit 2 und 3, so ist die Zalfl nut modulo 6 gesichert; es kSnnten 6,12,... Sch/iler fehlen. Bei 3 und 5 kSnnten nut 15 fehlen, bei 2, 3 und 5 ist man modulo 30 also ganz sicher! Allgemeiner kann man aus den verbleibenden Resten rl, r2 und r3 die Gesamtzalfl modulo 30 mlm2rn3 bestimmen. Dazu berechnet man zungchst ~tl
~7~2~7~3
1 5 ~ ~t2
~7~1~7~3
1 0 ~ ~t3
~7~1~7~2
6.
Da ggT (rrN, hi) 1 ist 1 y~rrN+ yini. Die Faktoren y~, yi kann man allgemein mit HiKe des Euklidischen Algorithmus bestimmen (I 3.13), in diesem Fall sieht man die LSsungen sofort: 1 also ist zl
z2
-7.2+1.15 z3 3:
-3.3+1.10
-1.5+1.6,
i und r l f ~ 1 + r27% 2 + r37% 3
1 5 r l + 10r2 + 6r3
ist eine LSsung. Ist etwa rl i, r2 i, r3 0, so ist x 25. Das ist modulo die einzige realistische LSsung, also fehlt genau ein Sch/iler.
30
2.13 PRIMIDEALE UND MAXIMALE IDEALE
193
B e i s p i e l 4 Im ,,Handbuch der Arithmetik" des chinesischen Rechenmeisters Sun Tsu (etwa 400 n.Chr.) finder sich folgende Aufgabe: Wir haben eine Anzahl yon Dingen, wissen aber nicht genau wie vide. Wenn wir sie zu dreien ziihlen, bleiben zwei iibrig. Wenn wit sie zu fiinfen ziihlen~ bleiben drei iibrig. Wenn wit sie zu sieben ziihlen, bleiben zwei iibrig. Wie vide Dinge sind es?
2.13 Primideale
und maximale
Ideale
Beim l~bergang yon einem Ring R zu einem Restklassenring R / a bleiben einige Eigenschal'ten wie Kommutativitit erhalten, aadere wie Nullteiler oder Einheiten kSnnen sieh deutlieh verfiadern. Das kann man dureh Bedingungen an das Ideal a C R kontrollieren. D e f i n i t i o n 1 Ist R e i n Ring, so heilgt ein Ideal p c R P r i m i d e a l , wenn
a) p e r b) a, b E R und a . b E p =~ a E p o d e r b E p . Bedingung a) ist eine niitzliche Konvention; Bedingung b) bedeutet, dass R \ p multiplikativ abgeschlossen ist. Das Nullideal {0} ist genau dann ein Primideal, wenn R nullteilerfrei ist. Allgemeiner hat man Lemma 1
Ist der Ring R kommutativ mit 1 ~ 0 und p c R e i n Ideal, so gilt: p Primideal
Beweis
r
R / p Integritiitsring.
, , ~ " Ist a E R und a + p E R/p Nullteiler, so gibt es ein b E R \ p mit
(a + p) . (b + p) Da b ~ p, tblgt a E p, also a + p
p,
ab+p
also a b e p .
0+p.
, , ~ " Ist a . b E p, so tblgt (a + p)(b + p)
0 + p, also a E p oder b E p.
[]
Eine zun/ichst gaaz aaders aussehende Bedingung ist die folgende: D e f i n i t i o n 2 Ist R e i n Ring, so heilgt ein Ideal m c R m a x i m a l , wenn
a) mCR b) Es gibt kein Ideal a c R m i t m C a C R. V o r s i c h t ! Man beachte, (lass Bedingung b) nicht bedeutet, dass jedes echte Ideal yon R in m enthalten sein muss. Die Beziehung zu Primidealen wird sotbrt klarer dutch
194 Lemma 2
II RINGE Ist der Ring R kommutativ mit 1 ~ 0 und m c R e i n Ideal, so gilt: m maximal *:~ R i m KSrper.
Beweis m ist genau dann maximal, wenn ffir ein Ideal a c R m i t m C a C R folgt, dass a m oder a R. Nach dem Korrespondenzsatz in I I 2.4 ist das gleiehbedeutend damit, dass es in R / m nut die trivialen Ideale gibt; naeh dem Satz in II 2.2 ist das gleichwertig damit, dass R / m ein KSrper ist, denn aus 1 / 0 folgt, dass die Multiplikation in R nieht trivial ist. [] Korollar
Ist R kommutativ mit 1 ~ O, so ist jedes maximale Ideal Primideal. []
In II 3.2 werden wir sehen, dass in einem Hauptidealring auch die Umkehrung gilt.
2.14 Beispiele B e i s p i e l 1 I m Ring Z ist jedes Ideal yon der Form m Z und mGCnG
,:~ m
n k mit k E G
,:~ n teilt m .
Ffir m / 0 ist der Ring Z,, G/raG endlich; naeh dem L e m m a aus II 1.2 ist Z,, genau dann K6rper, wenn er Integrit/Rsring ist. Also gilt m E maximal e=~ m E Primideal e=~ I rn I Primzalfl. Ist p ein Primteiler yon m, so ist m Z enthalten im maximalen Ideal pZ. Ein Ideal aus 77, ist also stets in einem maximalen Ideal enthalten, im Allgemeinen in mehreren versehiedenen. B e i s p i e l 2 Wir betrachten den Polynomring K[X] fiber einem KSrper K , der nach II 2.7 ein Hauptidealring ist. Ffir jedes a r K ist die A u s w e r ' t u n g ~ : If[X] ~ I f , f ~ f ( a ) , ein Ringhomomorphismus. Nach dem Korollax" aus II 1.8 und dem Ersten Isomorphiesatz in II 2.4 folgt, dass
Ker
(X-
K[X]c K[X]
ein maximales Ideal ist. Ob es weitere maximale IdeMe gibt, h~ngt ganz vom KSrper ab. Ffir K betrachten wir den g o m o m o r p h i s m u s W: JR[X] --+ C , f ~ f(i) .
R
2.14 BEISPIELE
Da es kein f E R[X] mit deg f 1 und f(i) Division mit Rest durch X 2 + 1, dass
Ker
195
0 gibt, sieht man wieder dutch
(x + O R[x] c R[x],
(vgl. Beispiel 2 in II 2.5). Auch dieser Kern ist ein maximales Ideal. En Fall K C ist die Situation besonders fibersiehtlieh, denn nach dem Fundamentalsatz der Algebra (III 1.8 ) zerf'allt jedes Polynom f E C[X] mit deg f _> 1 in Linearfaktoren. Wir geben verschiedene Punkte a l , . . . , a~ E C vor und betrachten die Auswertungsabbildung C[X]
~>Cx...xC,
f~-~(/(al),...,f(a~)).
Sie ist ein Homomorphismus, und surjektiv nach der Interpolationsformel II 1.8. Durch wiederholte Division stellt man fest, dass Ker F das yon
f: erzeugte Hauptideal in C[X] ist. Nach dem Ersten Isomorphiesatz hat man Isomorphismus c[x]/(f)
einen
c x ... x c.
Der Produktring C x ... x C hat ffir ft _> 2 Nullteiler, ffir ft 1 ist er ein K6rper. Also gilt (f) maximal a
O.
b) a] b u n d b] c ~ a] c.
~) ~1 b ~nd
~1 d ~ ~1 bd.
d) a I b l , . . . , al b~ ~ a I (xlbl + . . . + x~b~) fiir alle x l , . . . ,
x~ E 1~.
e) al l c=~ a E l~ • f) a Ib ~
(ax)l b fiir jedes x E 1~• .
hn Ring G hat man nut die Einheiten -4-1, entsprechend sind die Teller yon + m E G gleichwertig. In beliebigen Integrititsringen wird das etwas komplizierter. Zwei Elemente a, b E R heii~en a s s o z i i e r t ,
in Zeichen
a ~ b : c=> a] b und b] a .
Bemerkung
Es gilt a - br
es gibt ein x E I~ •
mit b
x .a .
Kurz ausgedrfickt:Assoziiert bedeutet, bis auf eine Einheit gleich. ,~" , , ~ " Aus b Beweis
Ist x . y 1, soist a y.b. ca und a db folgt a db
d, c E 1~• .
(dc)a, also wegen der Kfirzungsregel []
In der Sprache der Hauptideale ist ofl'ensichtlich
-br
(b)
3.2 IRREDUZIBLE ELEMENTE UND PRIMELEMENTE
3.2
201
Irreduzible Elemente und Primelemente
Eiile Zahl p E N mit p > 2 ist Primzalll, wenn 1 uild p die eiilzigeil positiven Teiler siild. In A i i i o g i e zur Physik k ~ u i niall die Primzahleil als A t o m e im Bereich der ganzen Zahlen sehen. Allgemeiner h a t m a n die 1 Ein Element q E /~ heigt irreduzibel, weim gilt:
Definition a)
q/~0undq~R
x.
b)
Ist q
a, b E R ,
a.bmit
sofolgt aER • oderbER
•
q heitgt reduzibel, weim es ificht irreduzibel ist. D e n m a c h si~ld neben der Null und Einheiten Elemente reduzibel, wenn sie sich als P r o d u k t yon Nichteinheiten darstellen lassen. Es gibt wesemlich kompliziertere Integrititsriilge Ms deil Riilg Z, daher beil6tigt m a n fiir ein sorgfgltiges S t u d i u m der Teilbarkeit noch einen etwas einschrgnkenderen Begriff. D e f i n i t i o n 2 Eiil Element p E R heist P r i m e l e m e n t gilt: a)
p/~0undp~R•
b)
Aus p[ ( a . b) fiir a~ b E R iblgt p[ a oder p[ b.
(oder eiilfach p r i m ) , wenn
Ein Primelement ist irreduzibel.
Bemerkung
Beweis Ist p ab, so iblgt p[ (ab), also p[ a oder p[ b. Es geniigt dell Fall p[ a zu behandeln. D a n n ist a
cp~ also p
ab
(cp)b
(cb)p~ somit ist b E R • . []
I~ vielei~, aber ~ficht alle~ Fiille~ gilt die Umkehru~g, das ist eine wesentliche T[icke der Teilba~'keitslehre. Ein klassisches Gegei~beispiel ist der a m E~de yogi II 3.15 beschriebene , K u m m e r r i n ~ ~ (9 5. Der Unterschied zwischen beideil Begrifl'eil wird auch deutlich durch die (~bersetzung in die Idealtheorie:
Sei R ein I,ntegritiitsring und p E R mit p ~ 0 und p ~ R • . Dann gilt:
Lemma
1)
p irreduzibel r
2)
p Primelement r
Beweis
1)
(p) c R maximales Hauptideal. (p) c R Primideal.
(p) c R m a x i m a l e s H a u p t i d e a l bedeutet, dass es kein a E R gibt rnit
. ~ " Ist (p) c (a) ~/~, so gibt es ei~l c E /~ m i t p also (p)
ca. D a a ~ R • , ist c E R • ,
, ~ " Ist p ab, so ist (p) C (a), also (p) (a) oder (a) a E R • im Fall (p) (a) ist a cp f[ir ein c E R, also
p
ab
(cp)b
(cb)p~ Mso 1
R. I m Fall (a)
cb und b E R • .
R ist
II RINGE
202
2) , , ~ " Wegen p ~ R • folgt (p) C R. Ist ab E (p), so folgt Pl ab, also Pl a oder Pl b, d.h. a E (p) oder b E (p). ,,r
Pl ab bedeutet ab E (p), also a E (p) oder b E (p), d.h. Pl a oder Pl b.
[]
In einem Hauptidealring stimmen die Begriffe Primelement und irreduzibles Element, sowie Primideal und maximales Ideal iiberein.
Korollar 1
Beweis Dass Primelemente irreduzibel sin(t, wurde oben bemerkt; nach dem Korollar aus II 2.13 sind maximale Ideale auch Primideale. Nach dem obigen Lemma erzeugt ein irreduzibles Element p ein maximales Ideal, das ist auch Primideal, also ist p Primelement. Welter wird ein Primideal yon einem Primelement p erzeugt, das ist irreduzibel, also ist (p) maximal. []
M R Hilfe dieses Korollars sielltm a n sofoI%, (lass die Ringe Z[X] und einen KSrper K keine HaupUdealringe sin(l: (X) c Z [ X ]
und
K[X, Y] ffir
(Y) c K [ X , Y ]
sind nicht maximale Primideale. Etwa die Ideale (2, X) c Z [ X ]
und
(X,Y) cK[X,Y]
shid keine Hauptideale, was schon in Beispiel 1 aus II 2.8 gezeigt wurde. Ftir die Konstruktion yon KSrpererweiterungen in Kapitel III benutzt man die Hauptidealringe K[X] und die Restklassenringe K[X]/(f); dass sie ffir irreduzible Polynome f K6rper sind, folgt aus Korollar 2
I~t t~ Hauptideah'ing und a E t~ irreduzibel, so ist t~/(a) ein K6rper.
Da diese Folgerung so wichtig ist, geben wir als Extrakt aus den vorhergehenden Uberlegungen noch einen gaslz direkten Beweis Fiir b + ( a ) E I~/(a) mit b + ( a ) /~ 0 + ( a ) , d.h. b ~ a, m u s s e i n x E /~ gefunden werden, so dass (x+(a))(b+(a))
l+(a),
d.h. x b - l E ( a ) .
Da R Hauptidealring ist, gibt es ein c E R mit
(a) C(a,b)
(c) CR,
also a
d.c ffirein dER.
Da (a) /~ (c), ist d ~ R • , also muss c E R • sein. Somit ist (a, b) x, y E /~, so dass 1 y a + x b , d.h. x b - l E (a).
/~ und es gibt
3.3 T E I L E R K E T T E N
3.3
203
Teilerketten
Das wichtigste Ziel der Teilbaxkeitslehre ist es, beliebige Elemente eines Ringes mSglichst eindeutig als Produkt yon irreduziblen Elementen darzustellen. So wie man in der Physik ein Molekiil in Atome zerlegt. Die n/ichstliegende Methode dabei ist, ein Element schrittweise in kleinere Teile zu zerlegen, und zu hoffen, dass der Vorgmlg nach endlich vielen Schritten zum Ziel ffihrt. D e f i n i t i o n Eine T e i l e r k e t t e in einem Integrit/~tsring R ist eine Folge (a,),~N yon Elementen a , E R, so dass stets a , + l l a , . Man sagt, dass in R der T e i l e r k e t t e n s a t z gilt, wenn jede Teilerkette ( a , ) s t a t i o n g r wird, d.h. es gibt no E N, so dass a , + l ~ a , fiir alle n 2 no. Ein Ring, in dem der Teilerkettensatz nicht gilt, wird in Beispiel 3 aus II 2.8 beschrieben. U m festzustellen, ob eine Teilerkette station/~r wird, hilft eine ,,Kontrollfunktion", deren Wert bei echten Teilern abnimmt. Bei ganzen Zahlen ist das der Betrag, bei Polynomen der Grad. Damit erh51t m a n das
1) Der Teilerkettensatz gilt irn Ring Z.
Lemma
2) Gilt der Teilerkettensatz in R, so gilt er auch im Polynomring R[X]. Beweis
1) Ist ( a . ) eine Teilerkette in Z, so ist a.
b.a.+l,
also la~l > la.+ll und la~l
la.+l r
-4-1.
2) Ist (f,~) eine Teilerkette in R[X], so ist
fn
gnfn+l , also deg fi~ _> deg
~n+l
Nach dem Gradsatz aus I I 1.6 gibt es ein nl, so dass deg f,~+l n _> rh. F i b n _> rh sei a . E R der Leitkoetfizient von f,~, also
fn
an X d + . . .
,
fn+l
deg f,~
: d fiir
an+l X d + . . . .
(an)n>nl in R. Nadl Voraussetzung gibt es ein no > nl mit a . + l ~ a . ffir n > no, also ist insgesamt fi~+l ~ )%~ fiir n _> no. []
Da fi~+ll fi~ folgt a . + l I a . , wir erhalten also eine Teilerkette
Mit Hilfb yon Teilerketten hat schon EUKLm gezeigt, dass jede ganze Zahl einen irreduziblen Teller besitzt [Eu, VII w 31]. Allgemeiner ergibt diese Methode den
Gilt im Integritiitsring R der Teilerkettensatz~ s o g i b t es zu jedem a E R Satz m i t a ~ 0 und a ~ R • irr'eduzible Elernente q l , . . . , q~ E R, so dass a
q1"...'q~..
204
II RINGE
Man beachte, dass unter diesen Voraussetzungen keine Aussage fiber die Eindeutigkeit der Darstellung gemacht werden kannI Beweis Sei M C R die Menge der a E R mit a r 0 und a ~ R • , die sich nicht in der angegebenen Weise darstellen lassen. Wir zeigen, M 0. Angenommen, M r 0. Dann gibt es ein b E M, das in M keine echten Teiler hat, d.h. gilt a I b ffir ein a E M, so ist a ~ b. Andernfalls k6nnte m a n in M eine nicht station~re Teilerkette finden. Nun kaan b Ms Element yon M nicht irreduzibel sein; d a b r 0 und b ~ R • , muss es eine Darstellung b
al 9as
nfit ai E R \ R • geben. Nach Definition yon M und b gilt ai ~ M. Also haben die ai und somit auch beine Darstellung als P r o d u k t yon irreduziblen Elementen; das ist ein Widerspruch. [] Aus dem obigen L e m m a folgt insbesondere, dass in einem Polynomring fiber einem KSrper der Teilerkettensatz gilt. Das ergibt sich auch aus dem allgemeineren Satz Beweis Kette
In einem Hauptidealring gilt der Teilerkettensatz. Ist (a~)~cN eine Teilerkette in R, so erh~ilt m a n daraus eine aufsteigende c
c...
c
c...
c R
yon Hauptidealen. Offensichtlich ist OO
n
0
wieder ein Ideal und es gibt ein a E R mit a (a). Da a die Vereinigung ist, gibt es ein no mit a E (a~ o ). Daraus folgt (a~) (a~ o ) und a~ ~ a~ o ffir n > no. [] Etwas allgemeiner kann r e a l mit der gleichen Methode sehen, dass auch in einem noetherschen Ring der Teilerkettensatz gilt. Wir fassen noch einmal zusammen:
Teilbarkeit in Hauptidealringen
Ist R ein Hauptideal'ring, so gilt:
1) Jedes E l e m e n t a E R m i t a ~ 0 und a f~ R • ist endliches Produkt yon irreduziblen Elementen. 2) dedes irreduzible E l e m e n t von R ist auch P'rimelement. In II 3.5 werden wir einen Ring mit diesen Eigenschaften ,~'aktorielF' nennen.
[]
3.4 PRIMZAHLEN
3.4
205
Primzahlen
Der Ring Z der gaazen Zahlen war immer wieder aufgeffihrt worden Ms Beispiel, etwa ffir einen euklidischen Ring und einen Hauptidealring; da~'aus tblgen gute Eigenschaften ffir die Teilbarkeit ganzer Zahlen. In diesem Abschnitt wollen wir hierffir direktere elementare Beweise geben. Eine Zahl p E N heit~t P r i m z a h l , wenn sie als Teller nut 1 und p hat; aut~erdem hat man sich geeinigK p _> 2 vorauszusetzen. In der Terminologie yon II 3.2 bedeutet das, dass p in Z irreduzibel ist; dam~ ist natfirlich auch - p irreduzibel. Wie wit im vorhergehenden Abschnitt unter Verwendung des Absolutbetrages gesehen haben, gilt in Z der Teilerkettensatz. Daraus ergibt sich als Korollar 1
Jede natiirliche Zahl n > 2 ist Produkt yon Primzahlen.
Wie schon bemerkt, k a m noch keine Aussage fiber die Eindeutigkeit gemacht werden. Ein wichtiger Schritt dorthin ist der Beweis, dass Primzahlen die Eigenschaft yon Primelementen haben. Wit geben einen elementaren Beweis dieses Ergebnisses~ das man schon bei EITKLID findet [Eu~ VII w 30]. T e i l b a r k e i t s s a t z v o n EUKLID
I s t p E N eine P'rimzahl und gilt p] ( m 9 n) fiir
rn~ n E N, so folgt Pl m oder Pl n. A n d e r s ausgedr,iickt: I m R i n g 7, ist jedes irreduzible E l e m e n t auch P r i m e l e m e n t . B e w e i s Erster Schritt. Wit zeigen, dass es genfigt, den Fall 1 < rn, n < p zu betrachten.
Angenolnmen, es gibt eine PrilnZalfl p und dazu rn, n, so dass p { m und p { n. Dann gibt es auch eine kleinste Primzahl mit dieser Eigenschaft, sie wird wieder mit p bezeichnet. Wir teilen m u n d n mit Rest durch p (I 1.8): m
Daher ist
rnr~
Angenolnmen, m '
kp+m'~
n
/vp+n'
(O 1. Naeh Definition des kgV gibt es mindestens ein i mit ~p(b)
~p(bi)
k,
also b
p~b' und bi
p~b~ mit p { b ' , p{b~.
1 und p I bi. Der i-te Koetfizient yon bf ist
Welter gilt p ~ ai, da ggT(ai, bi)
bai bi
_ _
p~b' ai p~b~ _
b' bi
_
7 7 a i
er hat p nicht als Teiler. Also ist bf primitiv.
[]
Aus dem Lemma yon GAUSS ergibt sich das Korollar
Fiir f, g E K[X] ist his auf Einheiten in R inh(f..q)
Beweis Wegen f
i n h ( f ) f l und .q f ..q
i n h ( f ) , inh(.q) .
inh(.q).ql ist
i n h ( f ) , inh(.q) 9f l ".ql 9
Da f l 9gl wieder primitivist, folgt die Behauptung aus Teil a) des obigen tIilfssatzes.
[]
Nun stehen alle Hilfsmittel bereit, u m die Teilbarkeit in R[X] und K[X] zu vergMchen. Dabei gibt es triviale Probleme: Ist etwa R Q, so ist f
2X irreduzibel in Q[X], aber reduzibel in Z[X] . f
2 irreduzibel in Z[X], aber reduzibel in Q[X] .
Derartige Fglle werden im folgenden ausgeschlossen. Zungchst gilt die elementare Bemerkung
Ist f E R[X] C I f [ X ] primitiv, so gilt: f irr'eduzibel in If[X] ~
Beweis g E K[X] •
Angenommen f K • , also deg g
f irr'eduzibel in R [ X ] .
g . h mit g,h E R[X]. Dann ist o.B.d.A. 0. Da f primitivist, folgt g E R • . []
Fiir die umgekehrte Riehtung gilt der grundlegende I r r e d u z i b i l i t f i t s - S a t z Sei R ein faktor'ieller" Ring, K kSrper und f E R[X] mit deg f _> 1. Dann gilt:
f irr'eduzibel in R[X] ~
Q(R) sein Quotienten-
f irr'eduzibel in K[X].
II RINGE
214
Beweis Angenommen f ist reduzibel in K[X]. Wegen deg f g, h E K[X] mit deg g, deg h _> 1 und f
g. h
inh(g) 9inh(h) 9.ql 9 hi
Damit ist inh(g) 9inh(h)
>
1 gibt es
inh(f) 9.ql 9hi .
i n h ( f ) E R, also ist f reduzibel in R[X].
[]
Wir notieren noch zwei weitere spgter benStigte Aussagen fiber die Teilbarkeit in R[X] und K[X]. Zusatz 1
S e i f E R[X] primitiv nnd g E R[X] \ {0}. Dann gilt: f l.9 in K[X] ~
f l.9 in R [ X ] .
Beweis Sei g h. f mit h E K[X]. Dann ist nach dem Korollar zum Lemma yon GAUSS wegen i n h ( f ) E R • inh(h) ~ inh(g) E R ,
also h E R[X]
nach Teil b) des obigen Hili~satzes.
[]
Bei GAUSS [Ga3, w42] findet man im Fall R wichtigen Z u s a t z 2 Sei f E R[X] normiert und f Iol t g, h R[x].
Z den ffir die Kreisteilungstheorie g . h mit g, h E If[X]. Iat g normiert,
Beweis Da f und g normiert sind, ist auch h normiert. Wir benutzen Teil b) und c) des obigen Hilfssatzes. Es gilt 1
inh(/)
inh(g), inh(h)
1
1
-. c d
mit
c, d E R \ {0}
Also folgt c, d E R • und inh(g), inh(h) E R, also g, h E R[X].
[]
Nach all diesen Vorbereitungen ist der Beweis des Satzes yon GAUSS fiber faktorielle Ringe ganz einfach. Ln ersten Sehritt zeigen wit, dass jedes Polynoln f E R[X] mit f /~ 0 und f ~ R[X] • R • endliches Produkt yon irreduziblen Elementen ist. Dabei ffihren wir Induktion fiber n deg f . Ist n 0, so ist die Aussage klar, denn R ist faktoriell. Sei nun n _> 1 und die Aussage richtig ffir alle Polynome vom Grad _< n - 1. Wir zerlegen f inh(f) . f mit einem primitiven f . Da R faktoriell ist, ist i n h ( f ) entweder Einheit oder endliches Produkt irreduzibler Elemente aus R. Ist f irreduzibel in R[X], so ist man fertig; midernfalls ist f g. h mit g, h ~ R • Da f primitiv ist, folgt degg_ 1. Da
n und 1
n.
0, also h E/~ sein. Da f primitivist, folgt h E/~•
Nach dem Irreduzibilitgtssatz in II 3.7 folgt aus der Irreduzibilitgt yon f in/~[X] die Irreduzibilitgt in Q(/~)[X]. [] Um das Kriterium yon EISENSTEIN miwenden zu k6nnen, muss man ein passendes Primelement finden. Wenn das nicht gelingt, kann man versuchen, nach einem geeigneten Primelement zu reduzieren. Reduktions-Kriterium
Eel R e i n faktorieller Ring, a ~ X ~ + ... + a l X + a0 E R[X]
f :
ein primitives Polynom yore Grad n >_ 1 und p C R e i n a~ ~ p. Ist
Primideal der'art, dass
der kanonische Homomorphismus, so gilt irreduzibel in
~[X] ~
f
irreduzibel in
R[X]
und in
Q(R)[X].
Zun/ichst ein Hinweis zu den gemachten Voraussetzungen: /~ muss faktoriell sein, daanit primitive Polynome erklgrt sind. Da ein nicht primitives f in/~[X] reduzibel ist, muss man f als primitiv voraussetzen. Und schlieglich muss/~ ein Integrit/Rsring, also p Primideal sein. g / p g ein endlieher Kgrper und in Der wiehtigste Fall ist R Z, dann ist g Z[X] gibt es zu jedem Grad nur endlieh vide Polynome, also aueh nut endlieh vide Kandidaten Eir Faktoren yon 7. Beispiele folgen in II 3.9. Beweis
Ist das gegebene primitive f reduzibel in R[X], so gibt es eine Zerlegung f
g'h
mit
g, h E R [ X ]
und
d e g g , d e g h _ > 1.
Da g ein Homomorphismus ist, erh/ilt man durch Reduktion aller KoetIizienten modulo p die Zerlegung
7
in X[x].
(*)
Sind b, c die Lekkoeffizienten yon g, h, so ist a~ D~'aus folg~ d e g ~ reduzibel in/~[X].
b.c
und
0/~7~
b.7:,
d e g g _> 1 und d e g h
also
b,7:/~O.
d e g h _> 1, nach (,) ist also 7
Die Irreduzibilit/it yon f in Q(R)[X] folgt aus II 3.7.
[]
3.9 BEISPIELE
3.9
217
Beispiele
Wir geben einige F~lle a31, bei denen es gelingt, die Irreduzibilit~t eines vorgelegten Polynoms zu zeigen.
Beispiel 1 f
X" - p E 77,[X] und p prim.
Hier kann man sofort das gISENSTt~IN-Kriterium anwenden, also ist f in 77,[X] und auch in Q[X] irreduzibel. Daraus folgt insbesondere, dass flit n > 2 jede Wurzel r E C irrational ist. Analog kann m a n die Irreduzibilit/~t yon X " - p l " . . . "p~ mit paa~'weise verschiedenen Primzalfien p l , . . . , p~ beweisen.
Beispiel 2 f
2X 4 § 10X 3 § 25X § 30 E 77,[X]
ist nach EISENSTEIN mit p
Beispiel 3 f
5 irreduzibel.
X" + Y" - 1 E 77,[X, Y]
Als Polynom in Y ist f
(77,[X])[Y]mit n > 1.
Y" + ( X " - 1), also a ,
1 und
(x-o.(x Da X - 1 E Z[X] Primelement ist und (X - 1) 2 { a0, ist f nach EISENSTEIN irreduzibel. Die Nullstellenmenge yon f in C 2 nennt m a n Yer'matkur've (vgl. etwa [Fi31).
Beispiel4
f
X v S+X v 2+...+X+lEZ[X]mitpprim.
Dies ist ein spezielles ,,Kreisteilungspolynom" (vgl. I I I 5.6), es gilt Xp - 1
(X - 1). f .
(*)
In diesem Fall kann man nach der Substitution X ~-~ X § 1 das gISENSTEINKriterium anwenden. Am besten rechnet man nicht f ( X § 1) direkt aus, sondern man substituiert in (.): (X+l) p-1
X.f(X+l),
also
D a p l (f) fitr i 1,...,p - 1 und (p~l) p, ist g r 77,[X] irreduzibel, nach dem L e m m a aus II 1.6 ist daanit auch f irreduzibel.
Beispiel 5 Ist f E Z[X] und 2 { a , , so kaam m a n die Koefiqzienten modulo 2 reduzieren. U m festzustellen, ob f E F2[X] irreduzibel ist, kann m a n vielerlei Kniffe benutzen. Die sicherste Methode ist, sich die endlich vielen Polynome yon festem Grad aufzuschreiben und analog zur Siebmethode des ERATOSTHENES all die zu streichen, die Ms Produkte yon Polynomen kleineren Grades entstehen. Fiir
218
II RINGE
n < 4 wollen wit das ausffihren. Die i r r e d u z i b l e n P o l y n o m e sind fett gedruckt: n
1
X X+I
n
2
2 2
x 2+ 1
+x
( x + 1) 2
x ( x + l)
X2+X+I n
3
2 3
x X 3 +X
(x+l)(x X ( X 2 + 1)
X 3+ X 2
X 2 ( X + 1)
xa+x+l X 3 ~- X 2 ~- 1 X 3+ X 2+ X X 3 +X 2 +X n
4
X ( X 2 + X + 1) + 1
( X + 1) 3
W i r n o t i e r e n n u r noch das Ergebnis. xa+x+I
X 4 + X a+ 1 x a ~- x 3 ~- X 2 ~- X ~- 1 G e s t r i c h e n sind alle P o l y n o m e mR m i n d e s t e n s einer Nullstelle u n d ( X 2 + X + 1) 2
X4+ X2+ 1 .
Mit HiKe dieser Liste k m m m a n n u n sofort P o l y n o m e vom G r a d _< 4 m~geben, die in Z[X] u n d d a m i t in Q[X] irreduzibel sin& 3 X 2 - 5 X + 17 9X 3 + 2X 2 - 7X + 5 X 3 + 3 X 2 - 4 X + 11 7X 4 + 6X 3 - X + 9 X 4 + 3X 3 - 2X + 1 3 X 4 + 5 X 3 + 7 X 2 + 9 X + 11 Beispiel6
f
X 4+6X 3+7X 2-5X-2
ergibt bei R e d u k t i o n m o d u l o 2 das reduzible P o l y n o m X 4 +X 2 +X
E I72[X],
3.10 RINGE HOLOMORPHERFUNKTIONEN* aber bei Reduktion modulo 3 mit F3 7
219
{0~ 1~-1} ist
X4+X 2+X+IEF3[X]
Da 7(0) 1, 7(1) 1 und 7(-1) -1, hat 7 keine Nullstelle und damit keinen Linearfaktor. Die einzigen irreduziblen normierten Polynome yore Grad 2 in F3 [X] sind (wie man sich leicht iiberlegt) X 2 + l ~ X2 + X - 1
und X2 - X - 1 .
Indem man Produkte dieser Polynome bildet, oder durch diese Polynome teilt, oder Werte in Fa ausrechnet, sieht man, dass f kein Produkt yon diesen quadratischen Polynolnen ist, also ist f u n d somit auch f irreduzibel. Beispiel 7 Eine niitzliche kleine Anwendung der Methode aus II 3.8 ist die folgende Aussage: Hat ein norrniertes f E Z[X] eine N,allatelle x E Q, so folgt x E Z. Insbesondere 3 eine Nullstelle hat jedea in Q[X] r'eduzible norrnierte f E Z[ X ] mit deg f a~EZ. Denn: Ist f(x)
0 fiir x E Q, so gibt es ein h E Q[X] mit
f
(x-.).
h.
Nach dem Zusatz 2 aus II 3.7 liegen (X - x) und h in Z[X], also folgt x E Z. Ist insbesondere deg f 3 und f reduzibel in Q[ X], so hat f eine Nullstelle in Q und die muss ganz sein. Der Leser mache sich Mar, dass die Voraussetzung ,~ormiert" an f entscheidend ist.
3.10 Ringe holomorpher Funktionen* In den letzten Abschnitten dieses Paragraphen behandeln wit noch einige wichtige Beispiele yon Ringen mit Teilbarkeitseigenschaften, die sich yon faktoriellen Ringen unterscheiden. Wir beginnen mit einem Ring, der in der Analysis aui%ritt. Wie wir in Beispiel 1 aus II 2.8 gesehen haben, ist der Ring C[ [X]] der ibrmalen Potenzreihen mit komplexen Koeitqzienten ein Hauptidealring, damit ist er nach II 3.5 auch faktodell. Der Ring O(C) der auf C holomorphen Funktionen ist ein Unterring yon C[ [X] ]; wit zeigen, dass 0(C) nicht faktoriell ist. Dabei benutzen wit einige bekannte Tatsachen aus der komplexen Funktionentheorie. Einheiten in O(C) sind die Funktionen f ohne Nullstelle, denn dann ist ~ holomorph. f E O(C) ist genau dann irreduzibel, wenn f genau eine Nullstelle a E C der Ordnung 1 hat. Denn hat f eine mehrfache Nullstelle in a oder eine weitere Nullstelle
220
II R I N G E
in b E C, drain ist z - a oder z - b ein echter Teiler von f . Umgekehrt muss jeder echte Teiler mindestens eine Nullstelle besitzen. Ein irreduzibles Element f i s t auch prim: Ist f ein Teiler yon g . h, und hat f genau eine einfache Nullstelle a E C, so muss g(a) 0 oder h(a) 0 sein. Also ist f Teller yon g oder von h.
In (9(C) gilt der Teilerkettensatz nicht. Die Funktion oo
Z2r~ § l
sin
+ 1)! Yt=0
hat unendlich viele Nullstellen, genauer einfache Nullstellen in 7rn fiir n E Z. Also kann sie nicht endliches P r o d u k t yon irreduziblen Elementen sein.
Ist DR~ : {z C : Izl < R} eine offene Kreisseheibe vom Radius R > 0 und 0(DR.) der Ring der auf DR~ holomorphen Funktionen, so ist O(C) C O(DR.) C C [ [ X ] ] .
Mit Hilfe des Weierstrai~schen Produktsatzes [F-L, Kap. VIII] erhiiltman eine in DR~ ho]omorphe Funktion mit abziili]barunend]ich vielen einfachen Nu]iste]len. Wie oben fo]gt daraus, dass 0(DR.) nicht faktoriel]ist. Betrachtet man dagegen den Ring
c(x):
U o(DR.) c c[[x]] R,>O
aller Potenzreihen mit positivem Konvergenzradius, so kann m a n wie in Seispiel 2 aus II 2.8 mit einer zusgtzlichen Konvergenziiberlegung zeigen, dass C ( X } Hauptidealring und damit faktoriell ist. Mehr dazu findet man etwa in [Fi3, Chap. 6]. Die Primfaktorzerlegung in C[ [X]] ist ganz einfaeh. Jedes Primelement ist assoziiert zu X. Ist f E C[ [X] ] und ord f n, so ist f
g" X~
mit einer Einheit g. Das ist die gesuehte Zerlegung!
3.11 Quadratische Zahlkgrper* Die KSrpererweiterung Q C C hat sehr vide ZwischenkSrper, wir betrachten hier eine ganz spezielle Klasse. Zur Vorbereitung eine einfache Sei d E N, d >_ 2, q u a d r a t f r e i (d.h. es gibt keinen Teller a 2 yon Bemerkung d m i t a E N und a >_ 2). D a n n ist , ~ t irrational. ~n mit teilerfremden rn, n E N \ {0}; dann ist Beweis Angenommen , / d rn 2 d . n 2. In den Primfaktorzerlegungen yon rn 2 und n 2 (II 3.4) treten nur
3.11 QUADRATISCHE ZAHLKORPER*
221
gerade Potenzen auf, die Primfaktoren yon d sind nur einfach; das passt nicht zu rn 2 d. n 2. [] Wir nennen eine Zalil d E Z \ {0} zul~ssig, wenn je nach dem Vorzeichen folgende Bedingmigen erffillt sind: Ist d > 0, so muss d _> 2 und quadratfrei sein, ist d < 0, so muss
Idl
ffir d _< - 2 quadratfrei sein.
Folgende Werte yon d sind also zul/issig: - 1 , -t-2, -t-3, -t-5, -t-6, -t-7, -4-10, i l l , -t-13,... C ist ein Q-Vektorraum, ffir jedes zulfissige d sind 1 und , ~ fiber Q linear unabh/i~lgig, bilden also eine Basis des Q-Vektorraums
Q ( , ~ ) c C ist sogar ein UnterkSrper, denn (a+bx~t)(a' + b R S t ) 1 a + b~t
(aa' + b b ' d ) + ( a b ' + b a ' ) x ~ t E Q + Q x S t
a-bxFt (a + bx/d)(a - b ~ t )
und
a _ b "~/E Q+Q'~/ a 2 - b2d a 2 - b2d
falls a + b , ~ r 0, d.h. (a, b) r (0, 0). Mast nennt Q(xfd) einen q u a d r a t i s c h e n Z a h l k 6 r ~ e r ; er heigt r e e l l - q u a d r a t i s c h , wenn d > 0 und i m a g i n i i r - q u a d r a t i s c h , wenn d < 0. hn Fall d > 0 ist Q(x/d) c R, im Fall d < 0 ist xfd
iN
rein imaginSr.
Die geometrische Beschreibung im Fall d < 0 ist klar: Q(xfd) c C ist ein Teil der komplexen Zalllenebene. Jedes a E Q(x/d) hat eine eindeutige Darstellung a a
re a ist der R e a l t e i l und b ~
a+ibx/~,[, im a ist der Imaginiir~eil yon a.
hn Fall d > 0 ist eine asialoge geometrisehe Besehreibung zun/iehst ungewohnt, aber nfitzlich. Mast stellt jede Zalil a a + bx/d als Punkt (a, bx/d) E ]R2 dar und nennt ra c~ : a den Rationalteil, ir c~ : bx/d den Irrationalteil yon c~. HSchst bemerkenswert dabei ist, dass die in ]R gegebenen Abst~nde der Zahlen aus @(x/d) C ]R durch die Darstellung in der Ebene vSllig ver~ndert werden. Von Vorteil ist dagegen die gemeinsame geometrische Besehreibung des KSrperautomorphismus
II R I N G E
222
der im Fall d < 0 die komplexe Konjugation ist. Auch im Fall d > 0 nennen wit diese Abbildung K o n j u g a t i o n . Offensichtlich ist c~+c~
2rac~
und
c~-c~
2irc~
c~+c~
2rec~
und
c~-c~
2i(imc~)
Welter hat man fiir c~ N(a):
for d > 0 , fiir d < 0 .
a + b , ~ eine N o r ~ a.c~
(a+bx/d).(a-bx/d)
a2-db 2 EQ
und eine S p u r
s(~): Bemerkung
a) s(~ + ~)
b) ?r c) ~(~)
~+~
(~+b~)+(~-b~)
2~Q.
Fiir N o r m "and S p u r gilt fiir alle a, fl E Q(x/d):
s(~) + s(~). N(~).N(~). o.~
o.
Beweis a) und b) sind klar. Zum Beweis yon c) unterscheiden wir zwei Fglle.
Fiir d_< - 1 ist N(c~)
a 2 + Idlb 2 _> 0, also N(c~)
0r
a
b
0. a 2
Sei d _> 2 und a 2 - db 2 0. Ist b 0, so folgt a 0. Andernfalls wgre d ;7 mit a, b E Q. Indem m a n ZShler und Nenner von a und b in Primfaktoren zerleg~ und a 2 bedenkt, dass d quadratfrei ist, sieht man, dass d ;7 nicht mSglich ist. [] V o r s i e h t ! I m Fall d > 0 nimmt die Norm positive und negative Werte mr, sie ist eine indefinite quadratische Form. Man kann sich den Verlauf der ,,Normfunktion" (z, y) ~ (z 2 - y 2 ) geometrisch veranschaulichen:
i ' ~ N(cc) > 1
,0
I
~N(e)
=i
N(~) >
d i
N(~) < - 1 d>0
, k~] = 0
Dabei ist zu bedenken, dass im Fall d > 0 die beiden Geraden mit N(c~) 0 den KSrper Q ( , ~ ) nut im P u n k t c~ 0 treffen. Die Punkte c~ mit N(c~) +1 bzw. N(c~) - 1 liegen jeweils auf den zwei Asten einer Hyperbel.
3.12 QUADRATISCHE ZAHLRINGE* 3.12
Quadratische
223
Zahlringe*
So wie m a n im KSrper Q der rationalen Zahlen den Unterring Z C Q ganzer Zahlen hat, erklgrt man nun im quadratischen ZahlkSrper Q ( , ~ ) einen Unterring yon Zahlen, die ganz genannt werden. Der ngchstliegende Kandidat ist der Unterring
Man kann ihn abet noch etwas vergrSgern. Ist c~ E Q(Qd), so sind c~ und c~ Nullstellen des ,,Minimalpolynoms" (III 1.5)
A: Ist c~
(x-~)(x-~)
a + bQd, so ist ~
x 2-(~+~)x+~ 9
a 2 - db 2
N(c~) die Norm yon c~.
ist die Spur yon c~. Offensichtlich ist fiir c~ 9 Z + Z , ~ N(a) 9
und S(a) 9
also f ~ 9
Definition Ein a a + b , ~ 9 Q ( , ~ ) heigt g a n z , wenn Norm und Spur ganzrational sind, in Zeichen N(a) 9
hei]gt q u a d r a t i s c h e r
und S ( a ) 9
Zahlring
d.h. f ~ 9
(oder G a n z h e i t s r i n g
in Q(Qd)).
Diese Verg~'Sgerung yon Z + Z , ~ zu 0d entspricht einem g a n z e n A b s c h l u s s i m QuotientenkSrper Q ( , ~ ) , d.h. man nimmt alle Elemente yon Q ( , ~ ) dazu, die Nullstellen eines normierten Polynoms mit ganzen Koetlizienten sind. Die Bezeichnung Ganzheitsring ist gerechtfertigt dutch den Satz I s t d 9 Z zuliissig, so gilt a) (g d C Q ( ~ ) b) (gd (gd
ist Unter'ring, insbesonder'e Integritiitsring.
Z+ZQd
{m+nQd:m,n 9
{
9 m , n 9 Z, m -- n gerude } f~gr d = 1 (rood4).
2
c) I s t d = l ( m o d 4 ) under:
d) OdnQ
f//r d = 2 , 3 ( m o d 4 ) .
51 ( 1 + Q d ) , so ist Od
Z + Zc~.
z.
Entsprechend Aussage d) nennt man ein c~ E Od g a n z in Q ( , ~ ) ganzrational.
und ein c~ E Z
224
II RINGE
Beweis
Zum Nachweis yon a) ist zu zeigen, dass
c~,3 E (gd ~ c ~ - 3 , c~.3 E (gd. Ist S(c~), S(/3), N(c~), N(/3) E Z, so folgt S(c~ - / 3 ) , N(c~. /3) E Z, da die Spur additiv und die Norm multiplikativ ist. Beim Nachweis yon S (c~. ~), N(c~ - ~) E Z verursacht der Faktor 2 aus S(c~) 2a eine Teilbarkeitsbedingung an die Zahl d. Da sie bei b) wieder auftritt, beginnen wir mit diesem Tell. Zum Nachweis yon b) zeigen wir zun/ichst, dass alle rechts yon den GMchheitszeichen stehenden Zahlen ganz sind. Fiir a l l e d gilt offensichtlich Z + Z , ~ C (gd. Fiir d = 1 (rood4) gibt es zus/itzliche ganze Zahlen, denn fiir beliebiges (auch ungerades) m E Z folgt m + n E 2 Z aus m n E 2Z, also rn 2 - n 2 Ist ~ Um
und
(m+n)(m-n)E4Z
~i(m + nx/d), so folgt N(~)
88
rn 2 - d n 2 E 4 Z .
2 - dn 2) E Z und S(~)
m E Z.
zu zeigen, dass es keine aslderen gaslzen Zahlen gibt, nehlnen wir an a + bx/d
OZ
E (gd, wobei a, b E Q .
~1 ( m 2 - d b 2) E Z, also m 2 - db 2 E 4 Z , Dann ist S(a) a E Z und N ( a ) insbesondere db 2 E Z. Daraus folgt b E Z; denn h/itte b2 einen echten Nenner, so wiirden alle Primfaktoren mit gerader Potenz auRreten, diese ka~m d nicht herausheben. Somit ergibt sich
c~
a + b~/d - 2
mit a, b E Z
und
a2-db
2 E4Z.
Fiir d = k (rood4) gilt a2-db
2 E4Ze=~a 2-kb
2 E4Z.
Durch einfache Rechnungen sieht man, dass diese Bedingung gleichwertig ist mit a-bE2Z Der Fall k
fiir k
1
und
0 kann nicht auftreten, da 4
a, b E 2 Z
fiir k
2, 3.
2 2 kein Teiler yon d sein darf.
Zum Beweis yon c) illustrieren wir zun/ichst den einfachsten Fall d -3. Der Ring (9 3 C C besteht aus den ,,Gitterpunkten" Z + Z 9 ix/3 und den zusS~tzlichen Mittelpunkten der Rechtecke in diesem Gitter:
3.12 QUADRATISCHE
X
X
X
X
0 •
X
225
ZAHLRINGE*
1 •
X
Es ist zu zeigen, dass m~nE77, m - n
2 Die Bedingung k + l~ m
gerade}.
89(m + nx/d) ergibt
2k+l
und
n
l~ d.h. 1
n
und
k
1 (.~ _
E
~)~
daxaus iblgt die behauptete Gleichheit. Nun ist a) einfach zu zeigen. Dass Od unter der Addition abgeschlossen ist, sieht man sofort aus b). Ftir die Multiplikation folgt die Abgeschlossenheit aus (m + nx~/)(m' + n'x~/)
(ram' + nn'd) + (ran' + nm')x~/
und
~2
~1,( ~d ++x /1d )
fiir
ffir
d -- 2~ 3 (rood4)
d=l(mod4).
Auch d) folgt sofort aus b): Fiir d = 2, 3 (rood4) ist a
m+n~/E
Q n
0~=>a
mEG
und ffir d - 1 (rood4) ist c~
2
EQ~n
0~=~c~
-2
undmgerade.
II R I N G E
226
3.13 Einheiten in quadratischen Zahlringen* Der wesentliche Unterschied zwischen dem imaginSx-quadratischen Fall d < 0 und dem reell-quadratischen Fall d > 0 besteht darin, dass die Norm N im ersten Fall eine positiv definite, im zweiten Fall eine indefinite quadratische Form ist. Daher haben die beiden F/ille deutliche Unterschiede, der reell-quadratische wird sich als wesentlich komplizierter erweisen. Zun/ichst einmal bezeichnen wit fiir ein beliebiges zul/issiges d mit (9~ :
{c~E(gd" e s g i b t e i n /3E(gd mit c~/3
1}
die Menge der Einheiten; nach II 1.2 ist (9~ mit der Multiplikation eine abelsche Gruppe. Bemerkung
Fiir alle zuliissigen d gilt
o~ ~ (9•
Beweis
,,3"
~
N(oO ~ Z •
{1,-1}
Entscheidend ist die Multiplikativitgt der Norm (Bemerkung aus II 3.11). Aus c~/3 1 folgt N(c~/3) N(c~)N(/3) 1, also N(c~) +1.
,,~ "
-4-1
N(c~)
c~c~, also c~fl
1 mit fl
-t-c~.
[]
Die angegebene Bedingung an die Norm kmm man nun iibersetzen in d i o p h a n t i s c h e G l e i c h u n g e n , d.h. Gleiehungen, fiir die ganzzahlige LSsungen gesucht sind. Lemma
Fiir d = 2, 3 (rood4) u n d m , n E Z gilt m + n , ~ t E (9d• r
m 2 -- dn2
-t-1 ,
(*)
-t-4.
(**)
fiir d -- 1 (rood4) u n d m , n E Z gilt
m + r~/d
E (9x d e=~ m2 - dn 2
Der Tradition folgend nennt man die Bedingungen (,) und (**) P e l l s c h e
Glei-
chungen.
Fiir d = 2, 3 (rood4) tblgt die Behauptung sofort aus obiger Bemerkung. Fiir d - 1 (rood4) folgt ebenso ,,~". Ist umgekehrt d - 1 (rood4), so gilt Beweis
m2-tin 2
-t-4~m 2-n 2 E4Z~m--nE
2Z.
Also ergibt jede LSsung der Pellschen Gleichung auch ein Element aus 0~.
[]
Die Suche na~:h Einheiten in Od kann somit Ms geometrische Aufgabe angesehen werden. Fiir d < 0 besteht O~ aus den Zalflen c~ E Od, die auf dem Kreis N(c~) 1 in C gelegen sind. Ist c~
m+n,~
fiir d = 2 , 3 ( m o d 4 )
oder
c~
m+n,~ 2
fiir d = l ( m o d 4 ) ,
3.13 EINHEITEN IN QUADRATISCHEN ZAHLRINGEN*
227
so miissen die Koeffizienten m, r~ gasizzalilige P u n k t e p a a r e (m, r~) auf der dutch die Pellsche Gleichung beschriebenen Ellipse im R 2 sein. Fiir d > 0 sind Kreis und Ellipsen dutch jeweils zwei Hyperbeln zu ersetzen. Wit bleiben zungchst beim Fall d < 0.
RxR
d 84 1
m2+n 2= 1
d='2
m 2 2=i
m2+3~ 4
C
228
II R I N G E
in2~ 5n2= 1
Durch elementace Rechnungen mihand der obigen Bilder erhgR nian den S a t z Ist d
0 in dem unbeschrfiakten Bereich zwischen vier Hyperbel/isten. Ob (gd euklidisch ist, entscheidet sich im Fall d < 0 dadurch, ob die Kreisscheiben vom Radius 1 u m alle P u n k t e yon (gd die E b e n e iiberdecken, das wax" leicht zu iiberpriifen. Ob die Hyperbelbereiche die E b e n e iiberdecken, ist sehr viel miihsamer zu entscheiden. U m wenigstens eine einfach zu iiberpriifende hinreichende Bedingung zu erhalten, verkleinern wir den Hyperbelbereich zu einem Einheitsquadrat: D a Ix 2 - y2] < 1 fiir Ix] < 1 u n d ]y] < 1, ist IN(a)] < 1
fiir
a
a+b~t
mita
2< 1
.//"
und
db 2 < 1 .
s/
//
/ij/
/i
/~ /
z/
\
/
X
'\,
\
Od ist sicher euldidisch, wenn die offenen Einheitsquadrate um die Punkte yon Od die Ebene iiberdecken. Ffir d - 2, 3 (rood4) ist das genau dann der Fail, wenn ,/d 0 , so hat man einen Isomorphismus
In diesem Fall ist ]F; C K als kleinster Unterk6rper der Primk3rper yon K. Ffir sp~itere Verwendung notieren wit noch die
Bemerkung Der einzige Autommphismus eines PrimkSrpers ist die Identitiit.
242
III KORPERERWEITERUNGEN
Beweis Ist K gleieh Q oder ]Fp und ~ ein Automorphismus yon K , so gilt ( ~m~_. ) r n .11
rn.__ 1
falls n 9 1/~ 0
.
also ~(a)
a ffir alle a E K.
[]
Wie sieh zeigen wird, bestehen in der KSrpertheorie zwisehen Charakteristik 0 und p grundlegende Untersehiede. Offensiehtlich ist jeder KSrper der Chaz'akteristik Null unendlich. Dass es in Charakteristik p auch echte OberkSrper yon Fp (sogar unendliche) gibt, ist klan etwa den KSrper Fp(X) der rationalen Funktionen. Andere Beispiele geben wir in III 3.4.
1.2
Grad einer KSrpererweiterung
Ist k c
K ein UnterkSrper, so spricht man aus der Sicht yon k yon einer
KSrpereraoeiterung, wir schreiben daffir meist KDk.
Ein Zwischenk6r"per L hat die Eigenschaften
kcLcK, d.h. k C K und L C K sind UnterkSrper. Ein Standaz'dbeispiel daffir ist
QcRcC. Ziel dieses ganzen Kapitels ist es, solche K6rpererweiterungen mit Zwischenk6rpern zu konstruieren und ihre Eigenschaften zu studieren. Zungchst einmal ist ein Mag ffir die ,,GrSge" einer KSrpererweiterung K D k nStig. Dazu benutzen wir die Tatsache, dass K als Vektorraum fiber k angesehen werden ka~ln, wobei die Multiplil~tion mit Skalaren kxK-~
K
die gew6hnliehe Multiplikation in K ist, in der ersten Komponente auf k. Dann ist der K6rpergrad yon K D k [K:k]:
eingeschrgnkt
dim~(K)
erkl~bt als die Vektorraum-Dimension. Die einfachsten Beispiele sind
[R:q]
[C:R]
2.
Man benutzt dabei, dass 19 fiberabzShlbar ist. Eine entscheidende Eigenschaft ffir den K6rpergrad ist die
243
1.2 GRAD EINER K O R P E R E R W E I T E R U N G
Gradformel
Ist k C L C If ein ZwischenkSrper; so gilt [ I f . k]
[ I f ' L ] . [L" k] .
Beweis Ist einer der beiden Faktoren rechts gleich oc, so ist auch [If 9 k] also ist die Formel in diesem Fall richtig. Andernfalls sei [L : k] (zl,...,z~)
m < oc und [If : L]
yon L fiber k
und
n < oc. Wir wNllen Basen ( y l , . . . , y ~ ) yon I f fiber L ;
dann genfigt es zu zeigen, dass die Familie
(xi'yj)i
1........
j
1 ......
der Produkte xiyj E If eine Basis yon I f fiber k ist. Zun/ichst hat jedes y E I f eine eindeutige Darstellung
y
blyl+...+b,~y,~
mit
bl,...,b,~EL
und jedes bj E L eine eindeutige Darstellung bj
aljXl
~ .. 9~
mit
arnjXm
aij E k .
Daraus folgt, dass I f fiber k yon (xiyj) erzeugt wird, denn
Y
~
aijxiYJ
9
i,j
Die Familie (xiyy) ist auch linear unabhfingig, denn aus
~ aijxiyj i,j ~
aij x i
0
0
folgt
zj
i
ffir jedes j und damit
aij
0
i
ffir alle i, j. Als unmittelbare Folgerung aus der Gradformel erhglt man das Korollar
Ist k C L C If ein ZwischenkSrper und [If : hi < oc, so gilt
a) Aus [If: L]
[If: k] folgt k
L.
b) Ist [If : k] eine Primzahl; so folgt k
L oder L
If.
I_nsbesondere gibt es keinen echten ZwischenkSrper yon C D JR.
oc,
244 1.3
III KORPERERWEITERUNGEN
Adjunktion von Elementen
Ist K D k eine KSrpererweiterung, so kann man einen kleinsten ZwischenkSrper finden, der eine gegebene Teilmenge A C K enthglt, ngmlich k(A) :
~
L,
wobei L C K UnterkSrper ist.
kUAcLcK
Man nennt k(A) den yon A fiber k erzeugten Unterki~rper yon K. Analog kann nlan
k[A] :
~
R,
wobei R C K
Unterring ist,
kuACRCK
als den yon A fiber k erzeugten Unterringvon If erklgren. Man sag~c auch, dass k(A) bzw. k[A] (lurch A d j u n k t i o n yon A an k entstehen. Dabei ist entscheidend, dass die Menge A in einem gegebenen OberkSrper I f enthalten ist. Falls A { a l , . . . , a~) endlich ist, schreibt man
]g[al,... ,an]
lind
]g(al,... ,an)
,
im Fall A {a} hat man k[ a ] und k(a). Der Zusammenhang mit dem Polynomring k[X] mid dem K6rper k(X) der rationalen Fmiktionen (Beispiel 2 in II 1.14) ist ziemlich offensichtlich: Bemerkung
Iat If > k eine K&'pererweiterung, so gilt
a) Fiirjedes a E If ist k[a] { / ( a ) E I f : f E k [ X ] } . b) Fiir jede Teilmenge A C If ist k( A ) Q(k[A]) der Quotientenkb'rper. Beweis
a) S :
{f(a)
E
If
: f
E
k[X]} ist das Bild des Einsetzungs-
Homomorphismus cr~ : k [ X ] --* I f , f ~-~ f ( a ) , also ist S C I f Unterring. Offensichtlich ist S in jedem Unterring /~ c I f mit a E /~ enthalten.
b) Jeder K0rper ist ein Ring und der QuotientenkSrper ist nach II 1.13 minimal, also ist k c k[A] c q(k[A]) c KA) c I f . Nach Definition yon k(A) folgt die Behauptung.
[]
Besonders ,,einfactf' sind KSrpererweiterungen, die von einem einzigen Element erzeugt werden. Deln entspreehend nennt lnmi eine KOrpererweiterung I f D /c einfach, wenn es ein a E I f gibt mit If h~ diesem Fall heigt a E I f ein primitives Element. h~ III 3.4 und III 3.7 werden wir die erstaunliehen Ergebnisse beweisen, dass es sehr oft primitive Elemente gibt (vgl. dazu auch Beispiel 4 in III 1.6).
1.4 ALGEBRAISCHE UND TRANSZENDENTE ELEMENTE
1.4
245
Algebraische und t r a n s z e n d e n t e E l e m e n t e
Wir kornrnen nun zu einer wichtigen Unterscheidung yon Elernenten aus einer K6rpererweiterung K D k. Ein Elernent a E K heitgt a l g e b r a i s c h iiber k, wenn es ein Polynorn f E k [ X ] \ {0} gibt, so dass f ( a ) O. Dagegen heist a E K t r a n s z e n d e n t iiber k, wenn es nicht algebraisch fiber k ist, d.h. wenn es nicht Nullstelle eines Polynorns vorn Grad _> 0 rnit Koeffizienten in k ist. Als Nullstelle yon X - a E k [ X ] ist dernnach jedes a E k algebraisch fiber k. Lteressantere Beispiele folgen in I I I 1.6. Der Prototyp eines transzendenten Elements ist die Unbestimrnte X irn KSrper der rationalen Funktionen K k(X) D k [ibex" einern beliebigen K6rper. In der Tat ist X r k ( X ) tra~xszendent [ibex" k: Ffir jedes Polynorn f E k [ X ] \ {0} ist f ( X ) f , denn wenn man X ffir X einsetzt, fi~ldert sich f nicht. Also ist f ( X ) 7L O. Das ist eine reine Forrnalit/it. Ein viel kornplizierteres Beispiel erh~lt m a n rnit
Nach klassischen S~tzen, yon H~,RMIT~, [Her] ffir c und LINDEMANN [Li] ffir 7r, sind c und ~r transzendent fiber Q. Mit der Brille der Algebra, yon Q aus gesehen, sind also c und ~r ,,gleichwertig~' rnit einer Unbestimrnten X. Diese gewShnungsbedfirftige Tatsache wird anschliet~end nfiher ausgeffihrt. Einen etwas abstrakteren Blick auf den Unterschied zwischen algebraischen und transzendenten Elernenten erhfilt rnan dutch Betrachtung des E i n s e t z u n g s -
Homomo~i~hismus
cr~ : k [ X ] --~ K ,
f ~-* f ( a ) ,
Offensichtlich gilt a transzendent iiber k a algebraisch iiber k
e=~ K e r ~ e=~ K e r ~
{0} ~ {0} .
e=~ ~
injektiv,
ZunSchst zurn formal einfacheren Fall eines transzendenten Elernentes. Dass es gleichwertig zu einer Unbestirnnrnten ist, folgt aus der
Bemerkung
Ist a E K D k transzendent iiber k, so gilt:
a) Der Homomo~l~hismus ~
k[x]
ergibt Isomo~l~hismen
k(X)
b) [k(.) 9 k] c) a 2 E K ist transzendent iiber k und k(a 2) C k(a).
246
III KORPERERWEITERUNGEN
hisbesondere tblgt aus c), dass es eine echt absteigende unendliche Kette 2)
n)
... 2 k
von ZwischenkSrpern gibt, falls a traxiszendent fiber k ist.
Beweis a) folgt sotbrt aus k[a]
cr~(k[X]) und der Injektivitgt yon cry.
b) folgt aus a), da 1, X, X 2 , . . . , X ' , . . . in k[ X ] linear unabh/ngig fiber k sind. c) WSxe a 2 algebraisch fiber k, so g/be es ein Polynom f E k[X] \ {0} mit f(a 2) 0. Daxin wSze a aber Nullstelle yon g : f ( X 2) r 0 (vgl. II 1.6). W / r e a E k(a2), so g / b e es nach Teil b) der Bemerkung aus III 1.3 Polynome f,g E k[X ] ".. {0} mit f ( a 2) 9 a Dann w/re a Nullstelle yon h : X.9(X 2) - f ( X 2 ) . Da f ( X 2) geraden und X.9(X 2) ungeraden Grad hat, ist h ~ 0; also w/re a algebraisch fiber k. [] Wit vermerken noch eine besondere EigenschM% des KSrpers rationaler Funktionen, die Aussage c) der obigen Bemerkung verallgemeinert. Satz
Ist k ein KSrper und x E k(X) \ k, so ist x transzendent iiber k.
Beweis In der Darstellung x ~ mit g, h E k[ X ] \ {0} kSnnen wir annehmen, dass ggT (g, h) 1 (Korollar aus II 3.6). Angenommen x w/re algebraisch fiber k. Dann g/be es ein f
ao+alX+...+a,X'Ek[X] g
f(x) Der Fall deg g
mit n _ > 2 ; a 0 / ~ 0 und a , /~0, sodass
a0 + al ~ + . . . + a ,
deg h
0.
(,)
0 ist ausgeschlossen, sei also deg g _> 1. Aus (,) folgt
.q(a,.q" l + . . . + a l h ,
l)
-aoh'.
Also wgre g Teller yon - a 0 h" und damit yon h. Analog behandelt man den Fall deg h _> 1. []
1.5
Das M i n i m a l p o l y n o m
Ist a E K D k und [k(a) : k] < oc, so muss a nach der Bemerkung aus III 1.4 algebraisch fiber k sein. Dieser Fall ist subtiler als der trmiszendente Fall; insbesondere braucht man ein effizientes Hilfsmittel, um den KSrpergrad zu berechnen. Der Polynomring k[ X ] ist na~ti II 2.7 ein Hauptidealring. Falls a algebraisch fiber k ist, ist daller Ker~ { f E k [ X ] : f(a) 0} C k[X]
1.5 DAS MINIMALPOLYNOM
247
von einem eindeutig bestimmten normierten Polynom f~ E k [ X ] mit deg f~ _> 1 erzeugt, in Zeichen (f~) Kera~ . Man nmmt f~ E k[ X ] alas M i n i m a l p o l y n o m
y o n a iiber k.
Weitere charakteristische Eigenschaften des Minimalpolynoms - insbesondere die hTeduzibilit/it - ergeben sich aus der
Sei K D k eine KSrpererweiterung, a E K und f E Ker a~ normiert. Dann sind folgende Aussagen iiquivalent:
Bemerkung
i) f
f~, d.h. f ist das Minimalpolynom yon a.
ii) Fiir alle g E Ker cr~ \ {0} gilt deg f _< deg g. iii) f i s t irr'eduzibel in k[ X ].
Beweis
i) ~ ii)
Zu g gibt es ein h E k[X] \ {0} mit g
h . f~. Also ist
deg g _> deg f~.
ii) ~ i i i )
Ausf
.q.hmit.q, hEk[X]folgt
0
f(a)
.q(a). h ( a ) ,
also g E Ker ~ oder h E Ker ~ . Wegen ii) folgt h E k • oder g E k •
iii) ~ 0 Zu f gibt es ein h E k[ X ] \ {O} mit f 1.
h . f~, nach iii) ist h E k•
f~ und f normiert sind, folgt h
Da []
Nun kommen wir zu den entscheidenden Eigenschaften des Minimalpolynoms.
Eel K D k eine K&'pererweiterung, a E K algebr'aisch iiber" k und f~ E k[ X ] das Minimalpolynom von a iiber k. Dann gilt:
Satz
a) k[a]
k(a) ~ k[X]/(f~).
b)
deg
c) I a t n : deg f ~ , s o i s t ( 1 , a, a 2 , . . . , a ~
Beweis
s) eineBasisdesk-Vel~torraumsk(a).
a) Fiir den Einsetzungs-Homomorphismus a~ gilt Imcr~
k[a]
und
Kercr~
(f~), also k[a] ~ k [ X ] / ( f ~ )
nach deln Isomorphiesatz in II 2.4. Nach der obigen Belnerkung ist das Minimalpolynoln f~ irreduzibel; nach II a.2 ist daher k[a] ein KSrper, also k[a] k(a).
b) und c) Wir zeigen zun/ichst, dass
III KORPERERWEITERUNGEN
248
k[a]
Zu b E k[a] gibt es ein g E k [ X ] mit b Dann ist .q Da f~(a)
(,)
{h(a) E K " h E k [ X ] , deg h < deg f ~ } .
qf~ + h
mit
0, folgt .q(a)
g(a). Wir teilen g mit Rest durch f~.
deg h < deg f~
und
.q(a)
q(a)f~(a) + h(a) .
h(a).
Aus (*) folgt, dass 1, a , . . . , a ~ 1 den k-Vektorraum k[a] erzeugen. Wgren 1, a, . . . , a ~ 1 linear abhgngig, so ggbe es Ao,..., A~ 1 E k, nicht alle gleich Null, so dass Ao+Ala+...+A~ la ~ 1 0 . Dannwgx'e f : A o + A 1 X + . . . + A ~ 1X ~ 1 ~ 0 u n d Minimalit/it des Grades rt yon f~ nicht mgglich ist.
f(a)
0, w a s w e g e n d e r []
Die eben bewiesene Tatsache, dass der Ring k[a] gMch seinem QuotientenkSrper ist, folgt aus der Irreduzibilit/it des Minimalpolynoms. Es ist sicher hilfreich, das noch etwas direkter zu beleuchten. Entscheidend ist, ffir jedes
0r
~o+A~+...+~
1~~ 1 E k [ ~ ]
ein hiverses b 1 E k[ a] zu finden. Da dirn~ k[ a] Ao + Alb + ... + A~b~
rt, gibt es eine Relation 0
mit Ao,..., A~ E k, nicht alle gleich Null. Also ist b algebraisch fiber k, fb :
co + c l X + . . . + X ~
mit rn > 1 sei das Minimalpolynom yon b. Wegen der Minimalit/it yon rnist co ~ 0. Aus fv(b) 0 folgt 1
1
b
co
(cl+c2b+...+b,~
1) E k [ a ] .
Diese Forlnel ffir die B e r e c h n u n g des I n v e r s e n setzt voraus, dass maa das Minilnalpolynom kennt. Eine einfaehere Methode benutzt den euklidisehen Algorithmus und die Relation yon BgZOUT (vgl. I 3.8 und I 3.13). Gegeben sei b
g(a) E k[a] mit deg g < deg f~. Gesucht ist ein h E k [ X ] mit
h(,~).g(,~)
1,
Da f~ irreduzibel ist, folgt ggT (g, f~) mit
1 denn f~(a)
h . . g + 7~. A ,
also 1
atso
b 1
h(,~).
1. Nach BI~ZOUT findet m a n h, t~ E k[ X ]
h(~)..g(~) + ~ ( ~ ) . A ( ~ )
0 (vgl. Beispiel 3 in III 1.6).
h(~)..g(~),
1.6 BEISPIELE
1.6
249
Beispiele
B e i s p i e l 1 Das wichtigste Beispiel ffir eine einfache KSrpererweiterung ist
R(i) D R .
C
Da i s
- 1 , ist X s + 1 das Minimalpolynom von i fiber R, also ist [C 9R]
dirnR C
2 .
Das ist die Grundlage ffir die Darstellung komplexer Zahlen durch die Zahlenebene R 2 yon GAUSS [Ga4, w 30 - 32], denn nach dem Satz aus III 1.5 ist
C
{a+bi'a, bER}.
In Beispiel 1 aus III 2.4 werden wit sehen, wie diese Erweiterung in allgemeinerem Rahmen besehrieben werden kann. B e i s p i e l 2 Wit Mjungieren eine QuMratwurzel an Q, d.h. wir wShlen ein a E C, so dass b : a s E Q und das Polynom
XS-bEQ[X] Dann ist f~ :
irreduzibelist, d.h.
a~Q.
X s - b das Minimalpolynom yon a fiber Q, deg [Q(a) 9 Q]
2 und
Die Addition in Q(a) gesehieht im Vektorraum, ffir die MuRiplil~tion hat man
(~+/3~)(~,+/3,~) ~,+(~/3,+/3~,)~+/3/3,~s (~'+/3/3'v)+(~/3'+/3~')~ Zur Berechnung des Inversen muss man die Wurzel a entfernen: 1 +/3~
c~ - / 3 a
(~ + / 3 ~ ) ( ~ _/3~)
c~ - / 3 a
~s _/3s~
x/b aus dem Nenner
c~
~s
-/3
_/3s~ + ~s _/3s~
~ '
B e i s p i e l 3 Wir betrachten die primitive dritte Einheitswurzel C:
(27ri) exp,~EC
und die Erweiterung
Q(C) D Q.
Das Minimalpolynom yon C fiber Q ist (vgl. Beispiel 4 aus II 3.9) f
X2+X+I
(X-~)(X-~2)EQ[X],
also ist [Q(C) : Q] 2 und Q(C) {c~ + / 3 C : c~,/3 E Q}. Die Addition in Q(C) erfolgt im Vektorraum. Zur Multiplikation berechnet man
(~ +/3.r
+/3'.r
~' + (~/3' +/3~').r +/3/3'0 (~, _/3/3') + (~/3' +/3~' _/3/3') .r
250 denn C2
III KORPERERWEITERUNGEN - 1 - C. Ein kleines Problem ist die Bereehnung des Inversen. Aus
C2+C+1
1
0 tblgt
C
-1-C.
Allgemein kann m a n Inverse (lurch geeignete Erweiterung des Bruches berechnen. Ffir b ~ 0 ist 1
x + yff
+~C wobei
x + yff
(~+ZC)(x+yC) - ~
x
- -/32 ,
y
x + yff
U+C+~
/3 1 und
7
~-1
'
~(Z - ~) /32
Die Buehstaben x und y weisen darauf hin, dass man die Werte dutch LSsen eines Gleiehungssystems erhalten kmm. So ist zum Beispiel 1 1-C
-2 - C (1-C)(-2-C)
-2 - C U+C-2
1 (2 + C) 3
Man kann diese Berechnung auch nach dem allgemeinen Rezept mit Hilfe der Koeffizienten der Relation yon BgZOUT ausffihren. Dazu verwendet m a n den euklidischen Algorithmus mit f0
Da f4 und
X 2+ X + 1
und
fo
qlfl + f2
X2 + X + 1
fl
q2f2 + f3
-X + 1
0, folgt 1 [3
fl
-X + 1 .
( - X - 2 ) ( - X + 1) + 3 - 5 12 93 + 1
ggT (f0, f l ) , WaS wegen der IrreduzibilitSt yon f0 klar ist, [1 - q2([o - ql/1)
[1 - q2[2
- q 2 [ o + (1 + qlq2)[1
Das Inverse yon 1 - C ist nach I I I 1.5 bestimmt durch 1 + qlq2 alsoist ( l - C )
1
(x2 + 2 x + 3 / -
+ 2/rood
+ x + 1/,
89
B e i s p l e l 4 Wir betrachten die K6rperkette
@ c @(45) c @(45, 45) c R Zunichst zeigen wir, dass
[@(45):@]
2 und
[@(45,45):@(45)]
2.
Offensichtlich ist f X 2 - 2 E Q [ X ] Minimalpolynom yon 4 5 fiber Q, wegen deg f 2 gilt die erste Gleichung. Weiter ist
g:
x ~-3~[x]
cQ(45)[x]
1.6 BEISPIELE
251
nicht nur in Q [ X ], sondem auch in Q(~/2)[X] irreduzibel. Andemfalls g~be es ein
y
a+b~/2EQ(~/2)
mit
a, b E Q
und
.9@)
0.
Eine einfache Rechnung zeigt, dass dann b # 0 wegen ~/3 ~ Q sein muss und somit ~/2 E Q folgen wfirde. Aus der Gradformel in III 1.2 ergibt sieh [@(x/2, ~,/3) : @]
4.
Wir behaupten nun, dass x/2 + x/3 ein primitives Element dieser Erweiterung ist, d.h.
Q(~, ~)
Q(~+
,/5)
Die Inklusion ,D" ist trivial, es genfigt , C " zu zeigen. Eine einfache Rechnung ergibt (~+~)3
2~+9(~+~), ,/2
also
89((,/2 + x/'3)3 - 9(,/2 + x/'3)) r Q(,/2 + x/'3) und
(~ + ,/5) - ~
9 q(~
+ ~)
Um das Minimalpolynom yon z : x/2 + x/3 zu bestimmen, muss man im Prinzip nach einer linearen Relation zwischen den Vektoren 1, 3:, 3:2 , 3:3
suehen. In diesem Fall geht das einfacher, denn x2
Somit ist h : fiber Q.
5+2x/6,
(X 2 - 5) 2 - 24
also (x 2-5) 2
24
X 4 - 10X 2 + 1 das Minimalpolynom yon x/2+ x/3
Beispiel 5 Ist p eine Primzalfl, so ist nach Beispiel 4 aus II 3.9 das Kreisteilungspolynom f: X p I+Xp 2+...+X+I 9 irreduzibel und es gilt X p - 1
(X - 1) 9f . Die primitive p-te Einheitswurzel 27ri
r
~xp (5;-) 9 c
ist Nullstelle yon f , also ist f das Minimalpolynom von @/ibex" Q und
[Q(r
: Q]
p - 1.
Die Elemente der zu Zp isomorphen zyklischen Gruppe
c~
{1,r162162 ~ 1 } < c
252
III KORPERERWEITERUNGEN
(vgl.II 1.9) sind Nullstellen yon X p - 1, also ist x~ - 1
(x - 1). (x - r
(x -
r ~).
D~r~us folgt, dass f auch Minimalpolynom fiber Q yon C~,..., C~ 1 ist. Ist p keine Primzalfl, dann sind die Minimalpolynome der p-ten Einheitswurzeln sehwieriger zu bereehnen. Damit besehgftigt sieh die Kreisteilungstheorie in III 5.6. B e i s p i e l 6 Wir betraehten die K6rpererweiterung
q c q(~/5) o R . Ist b : ,Y2 1.2599... 6 R, so ist f : yon b tiber Q, also [Q(b):Q]
3
und
f
(X-b).g
X 3 - 2 6 Q [ X ] das Minimalpolynom mit
g
X 2+bX+b 2 6Q(b)[X].
g i s t irreduzibel in Q(b)[X ], denn es hat die nicht reellen komplexen Nullstellen bG und bC~ 6 C.
~ b~3
\-.\
ob
b.G~
Um f in Linearfaktoren zu zerspalten, muss man noch eine K6rpererweiterung vornehmen:
q c q(~) c q(~, ~43) Da deg .9
q(~, 43) 9
2, fblgt naeh der Gradfbrmel [Q(b, C3) : Q]
6.
1.7 Algebraische KSrpererweiterungen In einer KSrpererweiterung/( D k h~ben wir bisher nur einzelne Elemente a 6 / ( und den ZwischenkSrper k C k(a) C K untersucht. Nun betra~hten wir die ges~mte Erweiterung K D k; sie heifft algebraisch, wenn jedes a 6 K Mgebraisch fiber k ist, andernfalls transzendent.
1.7 ALGEBRAISCHE KORPERERWEITERUNGEN
253
Man beachte, dass es bei einer trm~szendenten Erweiterung auch Elemente in K \ k geben kann, die fiber k algebraisch sind. Schon in der Bemerkung aus III 1.4 haben wir gesehen, dass eine transzendente Erweiterung unendlich sein muss, da~'aus iblgt sofort die Bemerkung
Yede endliche KSrpererweiterung ist algebraisch.
[]
Diese einfache Bemerkung hat wichtige Konsequenzen, daher noch eine Erl~uterung. Ist [K : k] n, so mfissen die n + 1 Vektoren 1 , x , . . . , S ~ fiber k linear abh~h~gig sein, also gibt es eine nicht triviale Relation 0 mit a 0 , . . . , a ,
ao+alx+...+a,x"
E k und f :
ao+alX+...+a,X'~O.
Dadurch hat man die Existenz eines f E k [ X ] mit f # 0 und f ( x ) 0 gezeigt, ohne das Polynom mlgeben zu mfissen (vgl. dazu Beispiel 2 in III 3.11). Eine erste Anwendung ist das Lemma Ist I f D k eine Kb'rpererweiterung und sind al, . . . , a, E I f algebraisch iiber k~ so ist ]~(al,...,an) D k eine endliche und damit algebraische Erweiterung. Beweis Wir ffihren Induktion fiber n. Ffir n Satz aus III 1.5.
1 folgt die Behauptung nach dem
Das Element a , E K ist algebraisch fiber k, also auch algebraisch fiber k ( a l , . . . , a , 1)- Da nach der Gradformel aus III 1.2
[k(~1,...,~) : k] folgt die Behauptung
[k(~1,...,~ i)(~): k(~1,...,~ aus dem
Fall n
i)]. [k(~1,...,~ i): k],
1 und der Induktionsannahme.
Wie wir in III 1.8 sehen werden, muss eine algebraische KSpererweiterung endlich sein. Trotzdem folgt mit Hilfe der Gradformel das
Korollar
[] nicht
Ist k C L C K ein Zwischenkb'rper, so gilt: If D k
algebraisch
~=~
I f D L und L D k
algebraisch.
Beweis ,,~" ist offensichtlich. Zum Nachweis yon ,,~" ist zu beachten, dass die Erweiterungen K D Lund L D k unendlich sein kSnnen. Ein Element a E K ist aber fiber eine ,,endliche Leiter" k C L' C L'(a) yon k aus erreichbar: Da a algebraisch fiber L i s t , gibt es b0, . . . , b, 1 E L mit a'+b,
la" l + . . . + b l a + b o
O.
Da L D k algebraisch ist, sind bo, ... b, 1 E L algebraisch fiber k. Ffir
L':
k(bo,...,b~
1) c L gilt [L': k]
1 gestattet eine bis auf die Reihenfolge eindeut,ige Darstellung f
m+2r
(X-xl).....(X-x~)..ql......q~,
n,
wobei x l , . . . , x~r~ E R die r'eellen Nullstellen yon f , und gl, . . . , .9, E R[X] irreduzible quadr'atische P o l y n o m e sin&
Zum Beweis nehmen wit an, dass f normiert ist, dann gilt nach dem obigen Fund&mentalsatz f
(X-xl).....(X-xm).(X-zl).....(X-z2~)
in C [ X ] ,
wobei z l , . . . , z2~ E C die nicht reellen Nullstellen yon f sind. Da f E R[X ], gilt (vgl. III 2.2) f(z) 0 ffir z E C :=> f(~) f(z) 0 O. Daller kann man die Nummerierung der zi so w/~hlen, dass z~+i
~i
ffir
i
1,...,r.
Jedes solches Paar zi, ~ + i ergibt einen quadratischen Faktor
ohne reelle Nullstelle, also sind die gi in R[X] irreduzibel.
[]
Andere Beweise des Fund&mentals&tzes geben wit in III 4.7. Eine KSrpererweiterung k D k heigt a l g e b r a i s c h e r A b s c h l u s s , wenn folgendes gilt 1) Die Erweiterung k D k ist algebr~isch. 2) k ist algebraisch ~bgeschlossen. Aus 2) iblgt sofort, dass k D k eine maximale algebraische Erweiterung ist. In III 2.5 werden wir die sehr allgemeine Aussage beweisen, dass es zu jedem KSrper einen his auf Isomorphie eindeutig bestimmten algebraischen Abschluss gibt. Aus dem Fundamentalsatz der Algebra erhalten wir sofort das Korollar
Ist k C C ein U'nterkSrper, so ist k:
{a E C : a algebraisch iiber k}
ein algebraischer Abschluss yon k.
1.8 ALGEBRAISCH ABGESCHLOSSENE KORPER
257
Beweis Nach dem Satz in III 1.7 ist k D k eine algebraische Erweiterung. Jedes nicht konstante f E k[ X ] hat in C mindestens eine Nullstelle a. Da a algebraisch fiber k und somit fiber k ist, folgt a E k. [] hmbesondere ist m
Q
{a E C 9a algebraisch fiber Q} D Q
ein algebraischer Abschluss. Da es in Q[ X ] irreduzible Polynome beliebigen Grades gibt (etwa X ~ - 2 nach Beispiel 1 aus II 3.9), folgt [Q 9 Q] oe.
Nun kSnnen wir auch die in Beispiel 3 aus II 1.4 aufgeworfene Frage beantworten, warum die K6rpererweiterung ]R C C ]R2 nicht auf h6herdimensionale Vektorr/iume R ~ mit n > 2 ibrtgesetzt werden kann. Angenommen, es ggbe eine KSrpererweiterung R2 C C K R~ . Dann ist K ein C-Vektorraum und [K 9C] < oc, also K D C algebraisch. Aus dem Fundamentalsatz folgt K C, also n 2.
258
w2
III KORPERERWEITERUNGEN
Konstruktion
von KSrpererweiterungen
hn vorhergehenden Parag~'aphen haben wir uns mit den Eigenschaften yon vorgegebenen KSrpererweiterungen besch~iiZigt. Interessante Beispiele daffir liefern die ZwischenkSrper Q C L C C im Fall der Charakteristik Null. Von den endlichen KSrpern der Charakteristik p haben wir bisher nur die PrimkSrper Fp beschrieben; hier gibt es - wie in allen endlichen KSrpern (vgl. Bemerkung in III 1.8) - Polynome ohne Nullstellen in Fp. In diesem Paragraphen wollen wir ganz allgemein algebraische KSrpererweiterungen konstruieren, mit dem Ziel, mSglichst vielen Polynomen zu Nullstellen zu verhelfen.
2.1
Symbolische Adjunktion yon Nullstellen
Hat man einen beliebigen KSrper k und ein Polynom f E k IX] ohne Nullstelle in k, so kann man mit einem klassischen Trick einen ErweiterungskSrper K ~ k angeben, in dem f mindestens eine Nullstelle hat: K wird als Restklassenring des Polynomrings k[X] erkl~'t. Genauer gilt: Satz fiber die symbolische Adjunktion yon NullsteUen und f E k[ X ] ein irreduzibles Polynom. Dann gilt:
a) Der Restklassenring K :
Sei k ein KSrper
k[ X ]/(f) ist ein K&per.
b) Die kanonische Abbildung k--+ K
k[X]/(f),
a ~-* a + ( f ) ,
ist injektiv, man kann also K ~ k als KSrpererweiterung ansehen. c) Das Polynom f E k[ X ] C K [ X ] hat in K die Nullstelle x : X + (f), das ist die Restklasse der Unbestimmten X . d) Ist f normiert~ so ist es das Minimalpolynom yon x. Beweis a) iblgt sofort aus den in II 3.2 bewiesenen Aussagen: k IX] ist Hauptidealring und das Ideal (f) c k IX] ist maximal, denn f i s t irreduzibel. In Korollar 2 aus II 3.2 wird das noch einmal ganz direkt bewiesen. Wie man im Restklassenring die Inversen berechnen kann, wird am Ende yon III 1.5 ausgefiihrt. b) Ist a + (f)
b + (f), so iblgt b - a E (f). Da deg f > 1, iblgt b
a.
c) Dieser Teil erscheint auf den ersten Blick wie Hokuspokus (daher der Name ,~symbolische" Adjunktion): Nach den Rechenregeln im Restklassenring gilt f(x)
f ( X + (f))
f ( X ) + (f)
d) iblgt aus der Bemerkung in III 1.5.
f + (f)
0 + (f) . []
Wenn man nur eine Nullstelle yon f finden will, ist die Voraussetzung der Irreduzibilit~t fiberfliissig:
2.2 FORTSETZUNG VON KORPERISOMORPHISMEN
259
K o r o l l a r Ist k ein KSr'per und f E k[ X ] ein Polynom mit deg f _> 1, so gibt es eine Kb'rpererweiternng K D k und ein z E K mit f ( z ) O. Beweis Man nehme einen irreduziblen Faktor g yon f u n d K : k [ X ] / ( g ) . In K hat g eine Nullstelle z, also auch f . Anders ausgedriickt gibt es ein maximales Ideal m, etwa m (g), mit (f) C m C k [ X ]
und
x:
X+mEk[X]/m
ist Nullstelle yon f , denn f(x)
f ( X + m)
f(X) +m
f +m
0 + m,
dafEm.
2.2
[]
Fortsetzung
yon KSrperisomorphismen
Ein durch symbolische Adjunktion einer Nullstelle entstandener ErweiterungskSrper ist immer nur bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Um dieses Verfahren mit einem bis auf Isomorphie eindeutig bestimmten Ergebnis iterieren zu kSnnen, muss man sich iiberlegen, wie KOrperisomorphismen ibrtgesetzt werden kOm~en. Diese Ergebnisse werden in w auch Grundlage der Galoistheorie sein. Im Folgenden benutzen wit immer wieder die aus der universellen Eigenschaft des Polynornrings (II 1.5) folgende Tatsache, dass es zu jedem KSrperisomorphismus : k --~ k genau einen Ringisomorphismus O~:k[X]--~/~[X]
mit
~)[k
p
und
~)(X)
X
gibt. Ganz explizit ist ffir a0, . . . , a~, E k
9 (~0+~lx+
...+~,x
~)
~(~0) + ~ ( ~ l ) x +
...+~(~)x
~ ~/~[x]
Unter Benutzung dieser Fortsetzung auf die Polynomringe beweisen wit nun den S a t z fiber die Fortsetzung yon KSrperisomorphismen Gegeben seien ein Kb'rperisomorphismus ~ : k --~ [% KSrpemrweiterungen K D k, K D k und x E K Ist f E k[ X ] das Minimalpolynom yon x iiber k und 2 E I~ eine Nullstelle von f: O~(f) E k[ X ], so gibt es genau einen K&'perisomorphismus
Man kann ~ explizit beschreiben durch
Ct~o + ~ hn Fall k
+... + ~S
/~ und ~
~)
~t~o) + ~ t ~ ) ~ + . . . + ~ t ~ ) ~ ~ ~ ~I~).
id~ erhfilt man unmittelboa" das
260
III KORPERERWEITERUNGEN
Korollar Ist I f D k eine KSrl)er'er~veiterung und sind x, y E I f zwei beliebige Nullstellen eines irreduziblen Polynoms f E k[ X ]~ so gibt es genau einen Isomorphismus
Beweis des Satzes
Im Grunde geniigt es, sich folgendes Diagramm anzusehen:
u k[X]/(f)
u
k(x)
k[x] ---@-~ ]c[~]
IEk[X]
U
]c(~)
]c[X]/(f)
. k[X] ~ f U D
Dabei sind cr und ~ die Einsetzungshomomorphismen, erklgrt durch or(g): g(x) und ~(h) : h(2); da f u n d f Minimalpolynome yon x und 2 sind, iblgt Ker cr (f) und Ker ~ (]). Ist r : ~ o q), so ist ~#(f)
~(1)
1(2)
0,
also folgt Ker cr C Ker ~ und na~h dem Faktorisierungssatz aus II 2.4 gibt es genau einen Homomorphismus ~ mit ~ ~ o or. Also ist
a(x) Da k[x] ein KSrper ist, muss @ Ms nicht trivialer suIjektiver Homomorphismus auch injektiv sein (Bemerkung f in II 1.3). []
Umgekehrt ist es leicht zu sehen, dass jede Fortsetzung eines KSrperisomorphismus die Nullstellen zusammengehSriger Polynome respektiert. Bemerkung Gcgeben scion KSrpcr'erweiterungen I f D k und I< D k, tin Isomorphismus • : k --~ k und eine Fortsetzung ~ : I f --~ I< von p. Ist dann f E k[ X ] ein beliebiges Polynom und f : ~)(f) E k [ X ], so giltfiirjedes x E I f mit f ( x ) 0 Ist insbesondere I f D k eine Kb'rpererweiterung, ~ 9 I f --~ I f
Automorphismus mit
~lk
und f E k [ X ] , so permutiert ~ die Nullstellen von f in K .
id~ ,
2.3 Z E R F A L L U N G S K O R P E R
EINES P O L Y N O M S
261
Beweis Es gilt f(~(x)) ~(f(x)), da ~4 eine Fortsetzung yon p ist. Sieherheitshalber schreiben wir das ausffihrlich auf: f
ao+alX+...+a~X
~ ~ f
F ( a o ) + F ( a l ) X + . . . + F ( a ~ , ) X ~, also
+
+... +
@(a0) @ @(a122) @... @ r
xn)
@(f(x)).
Ein wohlbekanntes Beispiel ist die komplexe Konjugation: Ist f E R [ X ] , so ist ffir z E C
f(~) Also folgt f(~)
2.3
ao + a l ~ + . . . + an ~n
0 aus f(z)
O, da 0
ao + a l ~ + . . .
+ a,n ~n
f(z)
.
O.
Zerf'dllungskSrper eines Polynoms
Nach den Vorbereitungen in den vorhergehenden Abschnitten kommen wir nun zu dem zentralen Ergebnis, dass man einem Polynom durch eine geeignete KSrpererweiterung zu so vielen Nullstellen verhelfen kaolin wie sein Grad vorgibt. D e f i n i t i o n Ist k ein K6rper und f E k[X] ein Polynom mit n : deg f _> 1, so heist eine K6rpererweiterung K D k ein Zerfiillungsk6rper yon f fiber k, wenn Folgendes gilt: 1) f zerffillt fiber K in Lineaz'faktorem d.h. es gibt a, x l , . . . , x~, E K, so dass f
2) K ist minimal bezfiglich Eigenschaft 1), d.h. es gibt keinen ZwischenkSrper k C / < C K, so dass f fiber K zerffillt. Anders ausgedrfickt: 2') Zerfgllt f fiber K , so ist K
k(zl,...,z~).
Man beachte, dass nicht yon ,,dem" sondern nur yon ,,einem" Zerf'gllungskSrper die Rede ist. Ganz einfaeh erh/ilt man einen Zerfgllungsk6rper, wenn ein algebraiseher Absehluss D k verffigbar ist. Drain zerffillt ein f E k[X] ".. {0} fiber k,
f und offensiehtlieh ist K :
a(X-xl).....(X-x~)Ek[X], k(xl, ..., :c~) C k ein Zerfgllungsk0rper von f fiber k.
Hat man keinen algebraischen Abschluss zur Hand, so kann man einen ZerfgllungskSrper schrittweise durch ,,symbolische" Adjunktion yon Nullstellen aufbauen. Satz fiber ZerfillungskSrper n : deg f 2 1. Dann gilt:
Sei k ein KSrper und f
E k[X ] mit
262
III KORPERERWEITERUNGEN
a) Es gibt einen Zeffiill'angskSr'per K D k yon f iiber k, dabei ist [ K : k] 0 geht nach - x / 2 < 0. Beispiel 3 Ein Zerf'allungsk6rper yon f:
X4-5X2+6
(X2-2)(X2-3)EQ[X]
ist
L:
Q(x/2, x/3) c R .
Dabei sind x/2, x/3 E ]E die reellen positiven Wurzeln; L ist als Unterk6rper yon ]E ein ,~onkreter" Zerfgllungsk6rper. Mit der Konstruktion aus III 2.a kasm maal ohne Benutzung yon ]E einen ,abstrakten" Zerffillungsk6rper K yon f fiber Q konstruieren. Wir starten mR dem irreduziblen Faktor .91
lVl Q[X]/(X 2-2)
und
X 2 - 2 yon f , dasm ist
-1:
X + ( X 2 - 2 ) E/{1
eine Nullstelle yon .91 und damit yon f. Es ist f
(X - a:l)(X + a:l)(X 2 - 3), denn (-a:l) 2
Also kann man g2 :
(X + a:l) und a:2 ~2
I m ngchsten Schritt ist f3
Q(Xl,X2)
a:~
2.
-a:l wShlem d.h. Q(Xl)
X 2 - 3 E kl[X].
~1 9
Wie w i r in Beispiel 4 aus I I I 1.6
gesehen haben, ist f3 wegen x/2 ~ Q und x/3 ~ Q in/gl [ X ] irreduzibel. Mit .93 erhglt man lea Ic2[X]/(ga), und a:a: X+(ga) Elca
f3
ist Nullstelle yon ga und damit yon f. Schliefflich ist
f
(X-,y:l)(X-,y:2)(X-,y:3)(X+,y:3)
, ~180 224
-22 3 l i n d K :
ist ein ZerfgllungskSrper yon f fiber Q. Nun zu den m6glichen Isomorphismen yon K und L. F fir
gibt es entsprechend der Konstruktion aus I I I 2.3 zwei MSglichkeiten:
Q(221,223)
268
III KORPERERWEITERUNGEN
Analog hat man fiir die Fortsetzungen
3:k3
kl(x )
Q(,/5, 45)
unabhfi~gig yon der Auswahl fiir pl wieder zwei MSglichkeiten ~(x~)
4 5 und ~ ( x 4 )
-45
oder ~3(x~)
- 4 5 und ~ ( x 4 )
45.
h~sgesamt gibt es also vier MSglichkeiten, einen Isomorphismus r
L
aufzubauen. Dementsprechend gibt es vier Automorphismen yon K (und analog yon L) mit iblgenden Bildern, wobei die erste SpaIte die identische Abbildung yon K bedeutet: Xl
X2
Xl
X2
X2
Xl
X2
Xl
X3
X3
X4
X4
X4
X4
X3
X3
Andere Automorphismen yon K gibt es nicht, da jeder Automorphismus die Nullstellen permutieren muss und "~(xl)
x3
wegen
.~(xl) 2
2r 3
x~
unmSglich ist. Die Gruppe der Automorphismen yon K ist Mso isomorph zu Z2 x Z2, der Kleinschen Vierergruppe. Beispiel 4 Wir betrachten f : X a - 2 E Q[X] und seinen ZerfgllungskSrper K:
Q(b, bC) c C
mit
b
~fJER
und
.27ri. exp(~-) EC
C
(Beispiel 6 aus III 1.6). Um die Automorphismen von K zu bestimmen, verwenden wir wieder die Methode aus III 2.3. Um die Symmetrien besser deutlich zu machen, setzen wir xl
b, x2
bC, x3
bC2 , also f
(X - X l ) ( X - x 2 ) ( X - x 3 ) E K [ X ] .
Wir zeigen Folgendes: Zu jeder Permutation ~ E ga gibt es genau einen Automorphismus r : I f --, I f mit r
x~(~) f42r i
1,2,3.
2.4 BEISPIELE
269
Da jeder Automorphismus yon K die Nullstellen yon f permutieren muss, folgt daraus Aut (K) ~ $3.
Beweis Im ersten Schritt nutzen wir aus, dass xl mid x~(1) Nullstellen des irreduziblen Polynoms f sind. Daher gibt es einen Isomorphismus ~1 : Q(3;'1)
~
Q(3;'o-(1))
9
Nun hat man ffir f die Zerlegmigen f f
(X-xl).f2
mit
(X-x~(1)).f2
mit
f2 f2
X2+xlX+x~EQ(xl)[X] und X2+x~(1)X+x~(1)EQ(x~(1))[X].
Da Q@I) c R und f2 die nicht reellen Nullstellen x2, x3 E C hat, ist f2 und somit auch f2 irreduzibel, f2 hat in K die Nullstellen x2, x3, die Nullstellen yon f2 sind z~(2), z~(3). Im zweiten Schritt mit g2 f2 konstruiert man eine Fortsetzmlg
9~2 : Q(xl, x2) --+ Q(x~(1),x~(2)) yon ~i. Da /( Automorphismus.
Q(xl, x2) iblgt ~2(x3)
mit
9~2(x2)
x~(3) und "~
Von den sechs m0glichen Automorphismen
x~(2) ~2 ist der gesuchte
:
wollen wir zwei nfiher ansehen.
Ist ~6(xl) xl(6(x2) x3 und ~6(x3) x2, so ist ~6 die Einschr/hikung der komplexen Konjugation, also stetig nach C fortsetzbar. Ist dagegen @(221)
X2, ~(x2)
Dieser Automorphismus
x3 und ~(x3)
Xl, so folgt
hat keine stetige Fortsetzung nach C.
[]
Beispiel 5 Sei p eine Primzahl, f:
Xp I+Xp
2+...+X+IEQ[X]
und
2rri. exp(~-)EC.
4:
Nach Beispiel 5 aus III 1.6 ist f Minimalpolynom yon 4 fiber Q. Da f
(X-4).(X-42)....
. ( X - 4 p 1) E Q ( 4 ) [ X ] ,
ist Q(4) ZerfgllungskSrper yon f fiber Q, es gilt [Q(4) : Q]
deg f
p- 1
In diesem Fall ist also der Turmbau aus III 2.3 zur Konstruktion des Zerf'allungskOrpers schon naeh dem ersten Sehritt vollendet. Dutch diesen einen Sehritt sind auch die Automorphismen yon Q(4) festgelegt: Zu jeder Potenz r E {1,... ,p - 1} gibt es genau einen Automorphismus :
mit
4
,
270
III KORPERERWEITERUNGEN
und jeder Automorphismus yon Q(r muss die Nullstellen yon f permutieren. Also ist ordAut (Q(r p - 1. Genauer gilt: Ist p eine Primzahl und ff der Ordnung p - 1.
exp (2~i ] so ist die Gruppe Aut (@(if)) zyklisch yon
Zum Beweis betrachten wir den Gruppenhomomorphismus p" (Z~+) --+ (C•
mit
p(r)
2~ir exp ( ~ - )
.
Es ist Im~
{1~r162
l}
:CpcC
und
Kerp
pS.
Also ergibt ~ einen Isomorphismus yon zyklischen Gruppen
C.
7:zp
Da p eine Primzahl ist, ist Zp Fp ein KSrper mit der Einheitengruppe F~ Fp \ {0} und nach II 1.11 ist F~ zyklisch yon der Ordnung p - 1. Es geniigt also zu bemerkem dass durch x
ein Gruppenisomorphismus gegeben ist. Diese Abbildung ist wie oben erkl~'t bijektiv, sie ist auch ein Homomorphismus, da (r
9
[]
Man beachte dabei, dass die Teilmenge Cp C C ein KSrper, abet kein UnterkSrper yon C ist!
2.5
Der algebraische Abschluss*
Nach III 1.8 hat jeder UnterkSrper k C C einen algebraischen Abschluss c C. Fiir einen endlichen KSrper konstruieren wir in III 3.6 einen (unendlichen) algebraischen Abschluss. Fiir manche theoretische Uberlegungen ist es nfitzlich, oder zumindest bequem, die Existenz eines algebraischen Abschlusses fiir jeden beliebigen KSrper, etwa einen FunktionenkSrper k(X), benutzen zu kSnnen. Das Problem beim Beweis ist die Allgemeinheit der Situation, er muss flit alle nut denkbaren K5rper giiltig sein; die Menge aller KSrpererweiterungen ist uniibersctmubar, isomorphe Erweiterungen mfissen identifiziert werden. Der erste Existenzbeweis ffir einen algebraischen Abschluss stammt yon STEINITZ [St, w er benutzt eine ,transfinite" Induktion, d.h. den Bau eines KSrperturms yon unermesslicher HShe. Wit reproduzieren hier einen formal sehr viel einfacheren Beweis von E. ARTIN. T h e o r e m Jeder Kgrper k besitzt einen his auf Isomorphie eindeutig bestimmten algebraischen Abschluss k D k.
2.5 DER ALGEBRAISCHE ABSCHLUSS*
271
Der Trick yon ARTIN besteht darin, jedem nicht konstanten Polynom f 6 k [ X ] eine eigene Unbestimmte X f zuzuordnen. Dazu muss zun/ichst der in II 1.10 eingefiihrte Polynomring in endlich vielen Unbestimmten verallgemeinert werden. Wit starten mit einem Ring R (kommutativ mit 1), einer beliebigen Indexmenge I und verallgemeinern die in II 1.10 im Spezialfall I { 1 , . . . , n} beschriebene Konstruktion. Zungchst erklgren wir die Menge 32 :
{ x 9I --+ N 9 x ( i )
0 fiir fast alle i 6 I}
der p r i m i t i v e n M o n o m e . Mit der Addition yon Abbildungen wird 32 zu einer abelschen Halbgruppe. Wie iiblich stellt man ein Monom multiplikativ dar Ms II
x;:
..
9"" x i~ , wenn rj
x(ij)
iCI
die endlich vielen yon Null verschiedenen Werte yon x sind. Um die primitiven Monome mit Koemzienten aus / / z u versehen, bildet man den Halbgruppenring //[32] :
{ f "32 --~//" f ( x )
0 fiir fast alle x 9 32}.
Dann heitk a~ 1...... 9 f ( x ) Koeffizient des primitiven Monoms x der Term f ( x ) 9x heifft M o n o m .
X~
. . . . 9X i , ~'~,
Zu jedem f 9 //[32] gibt es daher eine endliche Teilmenge { i l , . . . , i ~ } c I u n d eine Dax'stellung S
Z
(r~,...,r,~)6H'~
......
wobei nur endlieh viele der Koeffizienten a~ ...... 9
.
,
Null versehieden sind.
Fiir ein weiteres Polynom g 9 //[32] hat man eine Teilmenge { j l , . . . , j ~ , } C I, fiir f + g und f 9g benStigt man die wieder endliche Teilmenge { i l , . . . , i~} U c 1.
Suggestiver ist die Notation //[I]: fiir den P o l y n o m r i n g
//[32]
i n I i i b e r JR.
Selbstverst/i~xdlich gehSren zu zwei Polynomen f, g im Allgemeinen verschiedene endliche Teilmengen I1 und I2 yon I. Zur Darstellung yon f + g und f 9g benutzt man I~ u I2. Fiir jedes i 9 I ist das primitive Monom Xi X~ i n / / [ 1 ] enthalten, also kann man I c //[1] als Teilmenge betrachten. Wie im Fall einer Vergnderlichen hat man eine universelle Eigenschat%:
272
III KORPERERWEITERUNGEN
Gegeben seien ein l;ommutativer Ring S mit 1, ein Homomorl)hisrnus ~ : R --~ S und fiir jedes i E I ein Element si E S. Dann gibt es genau einen Homomorphismus O~ : R[I] --+ S mit O~ [ R
~ und O~(Xi)
si fiir alle i E I .
Nach diesen Vorbereitungen sind wir startbereit zum Beweis des Theorems. hn e r s t e n S c h r l t t zeigen wir, dass es einen algebraischen Erweitemngsk6rper K D k gibt, in dem jedes Polynom f E k[X] eine Nullstelle besitzt. Nun kann man jedem nicht konstanten Polynom zun/ichst seine individuelle Unbestimmte und daan durch symbolische Adjunktion seine Nullstelle zu verschatt'en. FormM verwendet man die Indexmenge
I : { f E k[X] : deg f > 1}
der nieht konstanten Polynome
und im Polynomring k[I] betrachtet man die Polynome f ( X / ) . Man be~chte, dass jedes solche f ( X / ) nur yon der einen Unbestimmten X / abh/ingt. Das yon allen erzeugte Ideal ist
c k[I].
a:
Ist a /~ k [ I ] , was wir anschliet~end zeigen werden, so gibt es nach II 2.15 ein maximales Ideal m C k[I] mit aCmCR[I] Dam A k
und
K:
k[I]/m
isteinK6rper.
{0}, ka~m man k C K als Unterk6rper mlsehen. Ist nun f E I, so ist
f(X/)Em,
also f ( X / + m )
Also hat f in K die Nullstelle z / : III 2.1.
f(X/)+m
O+m.
X / + m , wie bei der symbolischen Adjunktion in
Da K yon den fiber k algebraischen Elementen x / erzeugt wird, kmm man mit Hilfe des Lemmas aus III 1.7 sehen, dass K D k algebraisch ist. Angenommen, es w~re a
k[I]. Dann g~be es eine Darstellung
?Tt
1
~.gj.fj(X/5 j
)
mit .ql,...,.q~tEk[I]
und
fl,...,f~EI.
1
Nach III 2.1 gibt es einen ErweiterungskSrper L D k in dem jedes fj eine Nullstelle xj hat. Wit betrachten den IIomomorphismus
,blk q~'k[I]--~L
mit
q)(X/5 ) 9 (X/)
id~ , xj fiir j 0
ffir
1,...,rn,
f~{fl,...,f,,}.
2.5 D E R A L G E B R A I S C H E ABSCHLUSS*
273
Dann wSze aber in L ?Tt
1
j 1
(gs)fs(xs)
0
Da wit die mit Hilfe des Lemmas yon ZORN bewiesene Existenz eines maximalen Ideals benutzt haben, ist hinter diesem ersten und entscheidenden Schritt eine ,,transfinite" Induktion verborgen. hn z w e i t e n S c h r i t t muss eine Erweiterung k D K konstruiert werden, derart dass nicht nur jedes f E k [ X ], sondern sogar jedes f E k [ X ] eine Nullstelle hat. Dazu geniigt eine abz/ihlbare K5rperkette
kCKiCK2C...Ck:
OK,~. i
1
Dabei ist K1 K und als Ergebnis des ersten Schrittes und /r D /s naeh der Methode des ersten Schrittes so konstruiert, dass jedes f E K,i[X] in K,i+l eine Nullstelle hat. Offensichtlich ist k ein KSrper; die Erweiterung k D k ist algebraisch, da K,i D k fiir jedes i algebraisch ist. Ist nun f E k [ X ] , so gibt es ein i derart, dass die endlich vielen Koetfizienten in K,i liegen, also ist sogar f E K,i[X]. Da f in K,i+l c k eine Nullstelle hat, folgt dass k D K ein algebraischer Abschluss ist. Zum Beweis der Eindeutigkeit yon k bis auf Isomorphie benutzen wir folgenden
I~t k D k ein algebraischer Abschluss und K D k eine algebraische Erweiterung, so gibt es einen Monomorphismus
Einbettungssatz
9K - - * k
mit
~lk
ida.
Man kann also j ede algebraische Erweiterung als Tell des algebraischen Abschlusses ax~sehen. Ist K D k ein weiterer algebraischer Abschluss, so gibt es nach dem ginbettungssatz einen Monomorphismus ~ 9K ~ k. Wir betrachten den ZwischenkSrper
Als isomorphes Bild yon K ist p ( K ) algebraisch abgeschlossen, die Erweiterung D p ( K ) ist algebraisch; also muss p ( K ) k sein. Damit ist das Theorem bewiesen. [] Zum Beweis des Einbettungssatzes kSnnte man versuchen, wie in III 2.3 yon k ausgehend, schrittweise den gesuchten Monomorphismus p aufzubauen. Da aber die Zahl der Schritte nicht abzusehen ist, geht es wieder eleganter mit dem Lemma yon ZORN. Es wird sich zeigen, dass damit eine einzige Fortsetzung ausreicht.
III KORPERERWEITERUNGEN
274
Wir verwenden die Menge yon Paaren k C L C K M :
(L, ~) 9 ~ . L --* k
ist Zwisehenk6rper und
]
ist Monomorphismus mit ~ I k
id~
In M i s t eine Halbordnung gegeben durch
(L,~) 1. Ob f und f ' in k[X] einen echten gemeinsamen Teller haben, kann man mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des grSgten gemeinsamen Tellers entscheiden. Eine Alternative dazu ist die Berechnung der Diskriminante (III 3.10).
Beweis des Satzes i) ~ ii) Ist x E K lnehrfaehe Nullstelle yon f , so ist f(:c) if(z) 0. Also ist das Minilnalpolynom f , E k[X] yon z gelneinsmner Teller yon f u n d f'. ii) ~ i) g hat in einem Erweiterungsk6rper K D k eine Nullstelle x E K. Daher ist f(x) if(x) O, also x mehrfache Nullstelle yon f . [] Fiir zwei Polynome f, g E k[ X] kann man den norlnierten gr6gten gelneinsamen Teiler d g g T ( f , g ) E k[X] mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus berechnen (vgl.I 3.13). Mit Hilfe eines
Zerfgllungsk6rpers K D k yon f 9g kmm man d aueh etwas aaders beschreiben. Zun/ichst setzen wir voraus, dass f u n d g normiert sind. In K [ X ] zerfallen f und g in Linearfaktoren. Wir betrachten die paarweise verschiedenen gemeinsamen Nullstellen x l , . . . , x~ yon f und g und definieren
#i : m i n { # ( f ; x i ) , # ( g ; x i ) } >_1, ~l:
(X-xl)lq....
.(X-xm)
~'~ E I f [ X ] .
In K [ X ] ist dann f d. f u n d g d..0, f u n d .0 haben keine gemeinsaanen Nullstellen lnehr. Solnit ist d ein norlnierter gr6gter gelneinsmner Teller yon f u n d g in K [ X ]. Wir behaupten nun
d
d, insbesondere d E k [ X ] .
Diese auf den ersten Blick/iberraschende Gleichheit folgt aus der allgemeinen R e g e l Gegeben seien Polynome f, g E k[ X ] und eine K&'per'erweiterun9 k D k. Es seien d ggW(f,g) in k[X] und it ggW(f,g) in /c[X]
normierte grb'flte gemeinsame Teiler. Dann gilt d ~t~ insbesondere ~t E k[ X ]. Beweis D a d auch in /c[X] gemeinsamer Teller yon f u n d g i s t , tblgt d I el. Andererseits gibt es nach der Relation yon B~ZOUT (II 3.6) Polynome p, q E k [ X ], so dass d p f + qg. Diese Relation hat man auch in k[X], dort gilt ct I f u n d ct I g, also ct I d. D a d und ct normiert sind, folgt d el. [] Diese Regel wird in Beispiel 1 aus III 3.5 angewandt.
278
III KORPERERWEITERUNGEN
3.2
Separabilit~it
Mit den im vorhergehenden Abschnitt bereitgestellten Hilfsmitteln kSnnen wir nun die kritische Frage
,,Kann ein irreduzibles Polynom in einem ErweiterungskSrper mehrfache Nullstellen haben ?" nfiher beleuchten. Die Antwort wird sein:
,,Ja, abet selten!" Zur Vereinfachung der Formulierungen nennt man ein Polynom f E k [ X ] separabel, wenn jeder irreduzible Faktor g E k[X] yon f in seinem Zerf'~llungskSrper nur einfache Nullstellen hat. (Diese Terminologie ist nicht ganz einheitlich. Matichmal wird verlatigt, dass das ganze Polynom f nur einfache Nullstellen hat.) Eine erste Antwort auf die oben formulierte Frage ist das Lemma
Ist k ein KSrper und f E k [ X ] irreduzibel, so gilt: f
separabel
e=~
f' ~ 0 .
Die Voraussetzung ,,irreduzibel" ist wichtig, wie etwa die Beispiele f und f g 9h mit g, h irreduzibel, g' 0 und h' ~ 0 zeigen.
Beweis
X p E Fp [ X ]
Wir benutzen die Ergebnisse des vorhergehenden Abschnitts III 3.1.
, , ~ " Ist f ' sepat'abel.
0, so ist auch if(x)
0 fiir jede Nullstelle yon f , also ist f nicht
, , ~ " Wgre f ' ~ 0 und f nicht separabel, so g/ibe es einen gemeinsatnen Teiler g yon f u n d f ' mit deg g _> 1. Da f irreduzibel ist und deg f ' < deg f , ist das nicht mSglich. [] Korollar
Ist chat" (k)
0, so ist jedes nicht konstante f E k[ X ] separ'abeL
Beweis Sei g ein irreduzibler Faktor yon f . Da deg g _> l, ist deg g' (deg .q) - 1 _> 0, also .q'/~ 0. [] hn Fall Chat'akteristik Null ist also der Begdff der Sepat'abilit/it iibet~iiissig. Anders in Chat'akteristik p: Ist etwa chat" (k) p und
f : X p-aEk[X],
soist f'
pX p i
O.
Wir werden sehen, dass es Beispiele fiir a E k gibt, so dass f irreduzibel ist. Datm ist f nach dem obigen Lemma nicht sepat-abel.
279
3.3 D E R F R O B E N I U S - H O M O M O R P H I S M U S
3.3
Der F r o b e n i u s - H o m o m o r p h i s m u s
In diesem Abschnitt beschii%igen wir uns mit der Frage der Sepa~'abilitit in Charakteristik p > 0. Dazu eine erste
Bemerkung Ist k ein Kb'rper mit char (k) f'
Beweis f'
p > 0~ so gilt fiir jedes f E k[ X l:
0 ~=~ e s g i b t e i n g E k [ X ]
mit f
.q(X p).
ao + a l X + ... + a~X ~. Dann ist
Seif
0 ~=~ p l i falls ai ~ 0 ~=~ f
ao + apX p + a2pX 2p + . .. + arr~pXrap. []
Ein irreduzibles insepaz'ables Polynom muss also yon der Form f ( X ) g ( X p) sein. Bleibt die Frage, ob es derartige Polynome gibt, die irreduzibel sind. Dazu betrachten wir die binomische Formel in Charakteristik p > 0:
(x + y)P
~
(I~)xP iyp
xp + yp , denn p [ (I~) f/it i
1,...,p-1.
i=O
Diese Rechenregel (x + y); ,Traum aller Anf~hlger".
x p + y; nennt man
Von einem abstrakteren Standpunkt Lemma
yon
FROBENIUS
auch ,freshmens dream", den
hat man das
In einem KSrper k der Charakteristik p > 0 ist die
Abbildung ]~ --+ ]~ ~ x
~-+ x P
~
ein Monomorphismus. Man nemlt ihn den F r o b e n i u s - H o m o m o r p h i s m u s
yon k.
Beweis Neben (x + y); x p + y; in Charakteristik p > 0, gilt (xy) p xPy p in jedem Karper. Der Homomorphismus ist nicht trivial, da 1p 1, also ist er injektiv (Bemerkung f) in II 1.3). [] Ist k r endlicher KS~l)er der Charakteristik p > O, so ist der Frobenius-Homomorphismus r Isomo~phismus. Insbesondere hat jedes Element yon k genau eine p-re Wurzel in k.
Korollar
Im Primk5rper F; ist der Frobenius-Homomorphismus die Identitiit. Beweis Die erste Aussage ist klar, da in einer endlichen Menge eine injektive Abbildung auch surjektiv ist. Die zweite Aussage folgt aus der Bemerkung in III 1.1. Sie ergibt sich auch daraus, dass die multiplikative Gruppe F~ nach II 1.11 zyklisch ist. Daher folgt fiir jedes x E F~, dass xp 1 1; also x p x for alle x E Fp. []
280
III KORPERERWEITERUNGEN
hisgesaait erhalten wit den Satz
Iatk ein endlicher KSrper, so ist jedes Polynom aus k IX] separabel.
Beweis Es ist zu zeigen, dass jedes irreduzible f E k[X] in seinem Zerf~illungskSrper K D k nut einfache Nullstellen hat. Ggbe es eine mehrfache Nullstelle, so wgre f ' 0 n~ch dem L e m m a in I I I 3.2, nach der obigen Bemerkung also f(X)
.g(X p)
ao + a l X p + a2X 2p + . . . + a ~ X ~p .
Nach dem obigen L e m m a gibt es zu jedem ai ein bi mit ai f
+
+... +
+
bP Z ' also ist
+... +
im Widerspruch zur Irreduzibilitgt yon f .
[]
Ffir Liebhaber schSner Worte noch ein weiterer Begdff: Ein KSrper k heit~t rollk o m m e n , wenn jedes Polynom aus k[ X ] separabel ist, d.h. wenn jedes irreduzible Polynom aus k[X] in seinem Zerfs K D k nut einf~che Nullstellen hat. Damit kann m a n die Ergebnisse der letzten beiden Abschnitte so zusammenfassen: Satz fiber vollkommene KSrper
Endliche KSrper und KSrper der Charakte-
ristik Null sind vollkommen. U m ein Beispiel ffir ein nicht separables Polynom zu finden, benStigt m a n also einen unendlichen KSrper der Cha~'akteristik p. Wir w~hlen
Nach EIS]~NSTEIN ist f irreduzibel in (Fp[X])/[Y], denn X ist irreduzibel in F p [ X ] . Also ist f nach II 3.7 irreduzibel in k[Y]. I m Zerfs K D k yon f gibt es ein y mit yP X , also ist f
YP - X
YP - yP
(Y - y)P
d.h. y ist eine p-fache Nullstelle yon f .
3.4
Endliche KSrper
Nach den etwas mfihsamen Vorfiberlegungen zu mehrfachen Nullstellen ist nun die Bahn frei zum Beweis interessanter Ergebnisse. Wie wir in I I I 1.1 gesehen haben, enth~ilt jeder endliche KSrper k den PrimkSrper Fp mit p char (k), nach I I I 1.2 ist er ein Vektorraum fiber Fp: Also hat k genau p~ Elemente, wenn n [k : Fp]. Aber es ist bisher gar nicht klar, ob es zu jedem p und n einen solchen KSrper mit p~ Elementen gibt. Eine optimale Antwort auf diese Fragen gibt der ffir e n d l i c h e K S r p e r Sei p eine Primzahl, Fp Z/pZ der PrimkSrper der Charakteristik p, n E N \ {0} und q : /~. Dann gilt:
Struktursatz
a.4 ENDLICHE KORPER
281
a) Ein Zer'fiillungskSr'per Fq D F v yon X q - X E Fv[X ] hat q Elemente, er ist gleich der Menge der Nnllstellen yon X q - X in Fq. b) I~t L D Fp eine KSr'per'erweiterung m i t q Elernenten, so ist L ~ Fq. n, so ist Fq ~ F p [ X ] / ( f ) . Jede c) Ist f E Fp[X] irreduzibel mit deg f Nullstelle x von f in Fq ist primitives E l e m e n t der E,rweiterung Fq D Fp, Fp(x). d.h. Fq d) Sind m, n E N \ {0}, so ist Fv,~ C Fv,~ Unter'kSrper genau dann, w e n n m Teiler yon n ist.
Man kann also fiir gegebenes p und n yon d e m KSrper F>,~ sprechen. Beweis yon a)
Wit betrachten die Teilmenge K:
{xEFq:,q
*}CFq
und zeigen im ersten Schritt, dass K c F v ein Unterk6rper ist. Sind x, y E K, so ist nach den allgemeinen Rechenregeln fiir Potenzen
(*v) q
*qv
*v
und
(.
*
.
*,
also x 9 y, x 1 E K. Fiir die Summe brauchen wir die Regel yon FROBENIUS ( m 3.3): (,+y)v ,v+yv ,+y. Im zweiten Schritt zeigen wit, dass K genau q Elemente enthglt; dann folgt K Fv und die Behauptung. Der KSrper K besteht aus den Nullstellen des Polynoms X v - X in Fv, er enth/iR also h6chstens q Elemente. Da
(xq-x)'
-1,
sind nach dem Lemma aus III 3.1 alle Nullstellen einfach, also enthglt K genau q Elemente. Es sei noch eimnal ausdriicklich darauf hingewiesen: Bei unendlichen K6rpern ist es unm6glich, dass alle Elemente Nullstellen eines einzigen Polynoms f # 0 sind
1 und n > 1 die R e s u l t a n t e yon f u n d n
rn+l
arr~
99 9
det
1
a0
"..
res(f,.q) :
g durch
".. arn
b. . . . .
9 99
ao
b0
"..
".. 7%
999
bo
In dieser (m + n) x (m + n)-Matrix stehen an den nicht markierten Stellen Nullen. Der Weft der Determinante ist ein Element yon R. Die entseheidende Eigenschat% der Resultante ist: Satz Ist R ein faktor'ieller" Ring, so sind fiir" nicht konstante Polynome f, g E R [ X ] folgende Aussagen 5quivalent:
i) res (f, .g)
0.
ii) Es gibt ~ , ~ E R[ X ] mit 0 1.
Beweis
i) r
ii) Wir verwenden den QuotientenkSrper K
Q(R) und den
Vektorraum
V
{hEK[X]:degh_ 1 und in R [ X ] seien
(X-X1)'.. "(X-Xm) (X-3ffl)'...(X-~t)
Xm+A1X m Xn @]~1x n
1+...+Am,
1@...@]~ n
gegeben. Dann hat man in R die Gleichung
(n C)
H
- Ys).
l 1 notwendig und hinreichend ist. Das kann abet die zustgndige Resultante res (f, f ' ) entscheiden: dis(f) : res(f,f') Ck nennt man die D i s k r i m i n a n t e man sofort das
yon f . Aus dem Satz fiber die Resultants erh~lt
Sei k sin KSrper~ f E k[ X ] und g ~ k der Zerfiillungsk5rper yon f .
KoroUar
Dann gilt f hat mindsstsns sine mshTfachs Nullstslls in K *:~ dis (f)
0 in k.
[]
Man kann sich also die Berechnung des grSt~ten gemeinsamen Tellers yon f u n d f ' erspa~'en, wem~ man nur wissen will, ob er den Grad 0 hat oder nicht. Dazu reicht die Berechnung einer Determinalte, n ~ f l i c h res (f~ f'), die durch die Koeffizienten yon f bestimmt ist. Im Fall dis (f) 0 erhSlt man jedoch keinen Hinweis auf die Werte mehrfacher Nullstellen. Ebenso wie das Geheimnis der Resultants kann ma~ das der Diskriminante im Zerfillungsk6rper lfii%en:
Istf
Lemma
(X-xl).....(X-x~,)EK[X]mitn>_l, f'(xl)....,
dis (f)
f'(x~,)
[ I ( x i - xj)
i#j
sogilt
(-1)(~) [ I ( x i - xj) 2 . i<j
Beweis Die erste Gleichung folgt sofort aus dem Korollar in III 3.9. Zur zweiten Gleichung differenzieren wir nach der Produktregel aus III 3.1: n
f'
~(x
- xl).....
( x - x5 1). ( x - ~5+1) 9
(x - ~,),
also
j=l
f'(xi)
(xi -- X l ) ' . . . "
(xi -- xi
1)(xi
-- Xi+l)
9 (xi -- Xn)
9
Multipliziert man diese n Produkte mit jeweils n - 1 Faktoren, so erhSlt man das in der zweiten Gleichung angegebene Produkt mit n ( n - l) Faktoren. Dabei ist ffir
i<j (~5 - ~ ) ( ~
Durch (~)
- ~5)
-(~
- ~5) 2
~(~2 1) Vorzeichenwechsel erh~lt man die dritte Gleichung.
In manchen FSllen ist es yon Vorteil, das Vorzeichen anders zu wShlen und A(f) :
I I ( x i - xj) 2 i<j
Ms D i s k r i m i n a n t e zu betrachten.
(-1)(~)dis(f)
Init
n:
deg f
[]
3.10 DISKRIMINANTEN*
297
Zur Bestimmung der Diskriminante muss m a n eine n ( n - 1)-reihige Determinante ausrechnen. Das ist umso einfacher, je mehr Koeffizienten des gegebenen Polynoms verschwinden. Zu diesem (und nicht nut diesem) Zweck ist es nfitzlich, eine lineare Transformation anzuwenden (benannt nach Walther G r a f yon TSCHIRNHAUS, der schon um 1700 versuchte, auch Mle anderen Koeffizienten aut~er a~, und a0 wegzutransformieren). Lemma
Sei k ein KSrper mit char (k) f:
X~+a~
Setzt man Y : X + Ta ~~ g(y) :
f(y
1
0 und
1X ~ l + . . . + a o E k [ X
].
so ist a~ l) n
Y~+b~
2Y ~ 2+...+blY+bo.
Insbesondere ist g genau dann irreduzibel, wenn f irreduzibel ist. Die Substitution X
Y - ~'~n 1 hei]~t T S C H I R N H A U S - T r a n s f o r m a t i o n .
hn ZerfgllungskSrper yon f und damit auch g hat m a n die Nullstellen X l , . . . , x ~ , yon f u n d y l , . . . , y ~ yon g mit a~ 1 - ( X l + . . . + x~) und b~ 1 - ( Y l + . . . + Y ~ , ) 0 (vgl. I I I 4.1). Dutch die TSCHmNHACS-Transformation Y X + ~'~n 1 wird also der Mittelwert an -
1
-
1
(Xl+...+x,~)
der Nullstellen yon f in den Nullpunkt verschoben. Will man durch weitere Transformationen noch andere Koeffizienten verschwinden lassen, so muss man dazu Gleichungen yon h6herem Grad 16sen (vgl. etwa [We 1, Band I].
Beweis
Es geniigt die einfache Rechnung
.g(Y/ y~,
na~, 1y~, l + . . + a ~
Y~+b~
1Y ~ l + . . .
Nach dem L e m m a aus II 1.6 ist die Abbildung k[X] ~ k[Y], f ~ f(Y-
a~),
ein Isomorphismus. Also bleibt die Irreduzibilit/it unberiihrt.
2Y ~ 2+ ....
III KORPERERWEITERUNGEN
298
3.11 Beispiele* Beispiel 1 Ftir f
X - a und g
b , X " + . . . + b l X + bo kann m a n die Gleichung
res (X - ,~, g)
g(,~)
aus dent Korollar in I I I 3.9 ganz einfach durch Entwicklung der D e t e r m i n a n t e nach
der letzten Zeile nachrechnen: 1
-a m
1
res (X - a, g)
a
".. b. . . . .
1
--a
bl
bo
(-1)-+~b.(-~)- + (-1)-+~b. b,a" + b, la" l + .. . + bo
1(-~)" 1 + . . . + (_17.+~bo g(a) .
Beispiel 2 In I I I 1.7 h a b e n wir gezeigt, dass f/Jr zwei Elemente a, b E K D k, die fiber k algebraisch sind, auch a + b E K algebraisch fiber K ist, ohne ein Polynom h E k[X] mit h(a + b) 0 angegeben zu haben. Wir behaupten nun Folgendes: Sind f, g E k [ X ] mit f ( a ) g( b ) O, und ist mit einer weiteren Unbestimmten Y h: res(f(Y),g(X-Y)) Ek[X],
so h o t h(~ + b)
o.
M a n beachte dabei, dass die Resultante im P o l y n o m r i n g R [ Y ] mit R gebildet wird.
k[X]
W i r kSnnen im Zerf'~llungskSrper K ' yon f 9g rechnen. Sind f u n d g normiert, so ist f (X-al).....(X-a~) und g (X-bl).....(X-b,) mit a
a l , . . . , a~, b
b l , . . . , b, E K ' . N u n ist n
g(X - Y)
[I(x
n
- Y - bj)
j 1
res(f(Y),g(X-Y)) Setzt m a n X
(-1)" I](Y j 1
( - 1 ) ..... 1 ] ( a i - ( X - b y ) )
i,j
a + b, so folgt h(a + b)
O.
- (X - b j ) ) , also
1](X-(ai+by)). i,j
3.11
Ist etwa k
Q, a
x/2, b g(X-
h
BEISPIELE*
x/3, f Y)
299
X 2 - 2 und g
X 2 - 3, so wird und
y2 _ 2XY + (X 2-3),
1
0
-2
0
0
1
0
-2
1
-2X
X 2- 3
0
0
1
-2X
ist das Minimalpolynom von , ~ + ~
X 4 - lOX 2 + 1
X 2- 3
(vgl. Beispiel 4 in III 1.6).
B e i s p i e l 3 Fiir das allgemeine quadratische Polynom f 6 R[ X ] mit f
und
X 2+pX+q
dis (f)
f'
2X+p
P p
res (f, f ' )
q 0
ist
4q - p2,
2 p also A ( f )
( _ l ) l d i s (f)
p2 _ 4q. Nach der guten alten ,,(p, q)-Formel"
321'2
- p 4- ~
2
- 4q
hat f zwei verschiedene reelle Nullstellen eine doppelte reelle Nullstelle keine reelle Nullstelle Mit der TSCHIftNHAUS-Transformation Y f(X)
f ( Y - p~)
y2 - ~
0 , ~ A(f) 0, ** A ( f ) < 0 .
X + ~ erhglt man
q, also Yl,2
1
4-~
2 --4q
Betrachtet man die Koemzienten (p, q) als Punkte der Ebene ]R2, so liegen die Nullstellen von f in der Flgche
F
{(p,q,y)~R3.y2
p2
-5-+q
0}
daziiber. F i s t offensich@ch ein hyperbolisches Paraboloid.
300
III KORPERERWEITERUNGEN
F
I l
m
=0
B e i s p i e l 4 Aus dem allgemeinen kubischen Polynom f .q
und
X 3+aX 2+bX+c
mit
Y3+pX+q
X
p
b-~
und
g'
3X 2 + P 9
Y-~ q
wird
~a3-~ab+c,
Die Berechnung der Diskriminaxite ergibt
dis (g)
1
0
p
q
0
1
0
p
q
0
0
1
0
p
q
0
1
0
p
q
3
0
p
0
0
0
0
-2p
-3q
o
0
3
0
p
0
0
0
o
-2p
-3q
0
0
3
0
P
0
0
3
0
p
4p 3 + 2 7 q 2, also A(g)
- ( 4 p 3 + 2 7 q 2).
In III 5.2 werden wir die Formeln yon CARDANO zur Berechnung der Nullstellen m~geben. Dm~ach hat g drei verschiedene reelle Nullstellen eine einzige reelle Nullstelle eine einf~che und eine doppelte reelle Nullstelle eine dreifache Nullstelle
.~ A(g) > o, ** A(g) < o .~ A(g) ~H ~
r
~ o ~6 1.
Za >~Z2 .
B e i s p i e l 3 Wir bereehnen das Minimalpolynom h von , ~ + i fiber Q naeh der Methode des Lemmas aus III 4.3. Dazu sei G : Gal ((X 2 - 2)(X 2 + 1); Q) (vgl. Beispiel 1) G ( , / 2 + i) h
Aut (Q(x/ff, i); Q). Datm ist die Balm
{,/2 + i, ,/2 - i, - , / 2 + i, - , / 2 - i } ,
also
(X-x/2-1)(X-x/2+i)(X+x/2-i)(X+x/2+i) ( ( X - x/2) 2 + 1 ) . ( ( X + x/2) 2 + 1)
X 4 - 2X 2 + 9.
Eine andere Methode liefert Beispiel 2 aus III 3.11:x/2 ist Nullstelle yon f i ist Nullstelle yon g X 2 + 1, also ist , ~ + i Nullstelle von h
res(Y 2-2,(X-Y)2+1)
1 -2X 1
Da deg h
4, h ( , ~ + i )
X2+ 1 -2X
X 2- 2 ,
res(Y 2 - 2 , Y 2 - 2 X Y + ( X 2 + 1 ) )
-
O X 2+
0 und Q ( , ~ + i )
X 4 - 2X 2 + 9
Q ( , ~ , i), ist h das Minimalpolynom.
B e i s p i e l 4 Ffir das Standardbeispiel f X a - 2 wollen wir die Aussage des IIauptsatzes der Galoistheorie explizit ausffihren. Dazu bezeichnen wir die Nullstellen yon f m i t zl: b, z 2 : r und z a : r
318
III KORPERERWEITERUNGEN
wobei b :
, ~ E R+ und r
g3
27ri exp T " Daan ist ein Isomorphismus
>Aut(Q(xl, x2,x3);Q),
durch cr(xi)
x~(i)
gegeben. Die Korrespondenz zwischen Untergruppen und Zwischenk6rpern kann man an folgendem Diagramm ablesen:
{id}
{id, (1, 2)} {id, (1, 3)} {
/ g3 ~
~(~,~,~)
~(r
/
Da es keine mideren Unterg~'uppen von 83 gibt, sind das in dem unteren Diag~'a~nm alle mSglichen ZwischenkSrper (was nicht gaxiz trivial ist).
4.7
Der Fundamentalsatz der Algebra*
Dass der K6rper C der komplexen Zahlen algebraisch abgeschlossen ist, hatten wit in III 1.8 mit Hili~mittehi der komplexen Funktionentheorie bewiesen. Es gibt unz/ihlige andere Beweise dieses Satzes, allein GAuss hat beginnend mit seiner Dissertation aus dem Jahr 1799 his 1849 insgesamt vier verschiedene Beweise gegeben (vgl. [vdW2, Ch.5]). Wit reproduzieren hier die ersten beiden Abschnitte aus der Dissertation in der etwas pathetischen deutschen Ubersetzung.
4.7 DER FUNDAMENTALSATZ D E R ALGEBRA*
319
2.
lteu0r ~0wr ~ ~m~, dass jefle Mfobmissho ~at~oa~le g ~ e ~ o a eiuer Voe;m0*rli~a ia r~ello Faeto~n/ha onle~ odor ~weit~m
tt~t~ zeflegtwonleakaaa
1.
I~1~ b9
algebrrJsehr ( ] l ~ u ~ g ~ a ~ a~f 6ie For~
~i~eb~aehtWet4~, W0t~i m oiar ~ e i~aitir t~t. Wenn wit dio Bnlro ~Mt~ dt~e~ ~ 4 e l e h ~ mtt ~ b e ~ h a ~ ~d ei~n~er veraehie4~o Wetth~ you a~ g ~
g e i ~ t ~ w~rde
9 ~ei|bar ages. Wt~a ~mgekcMt 41e Y a a ~ a X du~ch ~t~ Product meh~ee~r l ~ r ~ r ~ h ~ e ~ x - - a, x - - ~ x - - y ~ 9 ~ht$11m~i~. claim wi~ed d ~ Itl~tolm~ 2( ~ 0 g ~ f ~ g ~ iadam mma~ eiaer je4en G ~ o o~ ~, 7 , . . , ~ i e h ~ot~t. We~u eedUet~X ~em P~O~.~ au~ m ~Atl~~ ~ Fa~tot~tt gl~ieh ls~ ( m ~ a a|~e n ~ ~ m N ~ h sv~v Nas(ler ~,ea~ehiMen o ~ milg~n ~Ige ~er~ellum eil~de~ gl~ieh ~)~), daan kava X ala m W v ~ bahen, ~ u l ~ h ~ber ~ f f l es klar~ 4a~ ~ee G h i ~ g miea l / ~ d ~ w enlge~ W~r~l~ babes ~a~aa, w~t~g l ~ k X la m l ~ F~l~ ~rl~ar i~; d~n w~a a~e d ~ r F e ~ r e ~ eie~e~er gte~r ~ ~ann ia~ di~ A~*tM do~ v~lulese~ Art~1~, rl~ ~lelehanff ZU hetNe~]tffell~ ~lothw~m~]g ger~ager sis m. Dannoeh hahon ea d~e Mathcmatlker av# form*dea 0rtt~den vorge~g~m za ~ffen, flas6 ~aoh in diesem Falle die Gleiehu~g m Wtir~el~ babe, ua{l dass Rat eialge der~ihen einunder gle~cI~werde~ diodeAlle~Iracksweisediuq~en sicsleh /~helml I gesiatiem
DaS b h h e 4 " B e s p r o d t o ~ wir~ in d e s Le]lrbfle, h e r n d e r Algohr~ at, f aum'eJohe~de A r t b e w ~ o ~ : ~ vots~s~t such l~irge~d ge~ea dis ma~emati~ehs 8treage. Doehseh~i~t es~ sis ob di~ ~ y t l k e r e t w ~ s a flber~i|~ " ~ d o h i o voraw~gr gt~ndlid~ea Beweis decjeuigen L o h r s a t z a t f f ~ a o m m e n hii~to~ a u f weleh~m d e ~ fazt die gesammt~ Lohtr yon d~n Gteielmngen aufhaut, dass altmlieh oiaejede seioheFRs ~ t i o n wie X s~ets i a m l i s e a r a VaCtolron z e r l o l g ~ werden kgane~ o d e r was hlermit vNlig ~bereinsflmmt. d a s s j e ~ s t ~ l o i o h u a g r o t e s t i r a d e s wi~kli~h fa Wurzeln bvsitze. D~t men bsreits boi dmt G h [ c h u n g e n zweit~n Grat~s sohr hitufig a u f sol~ho F~tlIe ~ e s a ~ e l e h e ~tie~m 8at~e widorsI~rsehon, so waren die A l g o b r ~ e r ~e~w~ngcm~ v:m je~m~t'~lls dl~aem Tkeorvm ulliero~dn(m Ks k o n hen, einr g e ~ s ~ i m ~ n ~ t r e (l~dlsse g~ e~h~uea, d~rcn Q~adrat - - 1 is~ darm erkautRca ~i~, d ~ s , w e a n GNiss~n y o n dot Fevra a %" 5 u e b ~ a m wie r ~ l l a z u g ~ l ~ n ~ e r d e n , tier L~hrsatz nieht sll~ia fflr Gleichuagen zweit~n {~ras w a h r gel, sondma~ aueh flit eubisei~e u u d b i q ~ q d r a ~ h e , Eslioss g e h j s d o c h h i e ~ a u s a,af keine Weise f o ~ e r a , dass du~ck dio gul~stmg yon Gr~ssen d e r F ~ r m a + 5 l / - 1 j e d o r (ttelchueg ~ n f l e n o~er hOterea G r a dog g,~l~tlg~werdell k~lal~e, otle,r, wio m a n aioh m eist~ns ausdraekt, [ohglei~i~ ]eh ~liossu b~d~aklidae~ A u s d m e k aloht guthei~sen kana) ~aa~ d l e W u r ~ e l a j ~ d e r S l e l e h ~ a g a a f d i ~ F o r m g ~ b r ~ h ~ ~ e r d e n k 0 n n ~ . Dieaer 8~i~z a~ter~ckeide~ sigh down Wo~oa der g a e h e ~ae& i~ afohi~ yon dem ia tier Uebe~vhrlft a~g~g~beaea: o~ hild~t das Ziel ~ r vorliegende:a Abhan~.iaag. einen neaen, s~rengen Bowels daaseiben zu g~gm~. Uebrifens wu~dea ~ei~je~er gei~ iu w d ~ e r ~ o Aualyfiker m'kaaa~en e~ ggb~ tme~dlieh via]e Glelohu~gen, die ilbsrhsmpl n n r W ~ s r ~ n bc,~i{gen~ wean (~rS~l~ d e r Form a - - b l / ~ ~u~ g e l a ~ e ~ worsen, der~r~i$ er/tnehie O r B ~ a ~ oine ganz bosundere O r ~ a ~ e n ~ , we|ehe m a c zttm Unter~ehied vrm d~n r e e l l e n Griissea [ m a g i ~ r e ~emaca. betraeh~et ~nd in (ti~ ge~amtate Analysis emgefl~l~rt, g i t weleh~m Reeh/r d ~ g ge~che]lr ~ei - - Meloen Bowels we~fle ich ohao will ieh h~er nieh~ e r ~ r n . jede B e ~ u ~ u ~ g imagined'or G ~ s ~ e a d m ' e h ~ h r e n : ob~ehon s u c h ic~ ~ r die~elbe Freihei~ ge~tatie~ ~(iinnt~, de22ea ~ieh c u e ~ re~ Ar~aly6ker bedie~t hahe~.
In den folgenden Abschnitten der Einleitung zerleg~ GAUSS erst einmal die Arbeiten zum Fundamentalsatz yon D~ALEMBERT~EULER~ FONCENEX u n d LAGRANGE. Die Einleitung schliegt mit dem Absatz: Nechdem wir ~ ordentlich und genau d e s b]sher Ve~SffentlleMe erwogen habe~, hoffe ]r das~ c/hi neaer auf vNllg anderen G~zea ~ruhe~derBeweis unseres fib~aus vdch~igea S~tze~ den K u n d i ~ a eFwilmcht s e n werde. Ich schrei~e zur Dar~e~ gang desseIbe~L
h~ III 1.8 hatten wir den wohl kiirzesten Beweis mit Hilfe des Satzes von LIOUVILLE m~gegeben. Es gibt auch Beweise mit topologischen Argumenten, die zeigen, dass jedes komplexe Polynom eine surjektive Abbildung yon C auf sich ergibt. Jedes Urbild des Ursprungs ist eine Nullstelle. Als Kontrast reproduzieren wir noch zwei Beweise, die mit einem Minimum an Analysis auskommen. Fundamentalsatz f(z) O.
Ist f E C[X] mit deg f > 1, so gibt es ein z E C mit
Dabei benutzen wit t'olgende Hilfsaussagen: 1.
Es gen@t zu zeigen, dass es fiirjedes f E R [ X ]
einzEC
2.
I~t f E R[ X ] mit ungerudem Grad, so gibt es ein :c E R mit f (:c)
3.
IstfEC[X]mitdegf
2, s o g i b t e s e i n z E C m i t f ( z )
gibtmit f(z)
O.
O.
O.
320
III K ( ) R P E R E R W E I T E R U N G E N
Zungchst beweisen wir die Hilfsaussagen. 1. Sei g E C[ X ] mit deg g > 1. Um eine Nullstelle yon g in C zu finden, betrachten wir das Polynom ?j E C [ X ], bei dem alle Koetfizienten komplex konjugiert sind. Fiir f g . ? j gilt f g.g g.g f , also f E ] R [ X ] . Ist z E C mit f ( z )
O, so tblgt g(z) 9~j(z)
v(~)
0 folgt
0
O, also g(z)
0
v(~)
0 oder ~(z)
0. Aus
g(~).
Also ist z oder g Nullstelle yon g. 2. Das folgt aus dem Zwischenwertsatz der rellen Analysis; denn ist f normiert, so folgt
lira f(x)
+~
und
lira f(x)
-~.
3. Wit benutzen die Charakterisierung der Anordnung in R dutch a>0
r
esgibtein
xER
mit
a
Daraus folgt, (lass es fiir jedes z E C ein w E C gibt mit z Ist z a + ib mit a, b E R, so ist w Gleichungen z2_y2
a
und
x 2. w2:
x + iy mit x, y E R gesucht. Das ergibt die
2.my
b,
also
z 4-am 2
52
O.
4
Wir betrachten die LSsungen x2
a
1
2
y2
a
1
b2
)
bei denen die Wurzeln positiv gewghlt, also die rechten Seiten nicht negativ sind. Daher gibt es auch LSsungen x, y E R, wobei die Vorzeichen yon x und y passend zur Bedingung 2xy b gewghlt sein mfissen. Ein allgemeines f
X 2 + c~X + / 3 E C [ X ] hat eine Nullstelle z
2 +
-4fl,
wobei eine komplexe Wurzel aus c~2 - 4/3 wie oben beschrieben berechnet werden ka~m. [] Allgemeiner ka~m man n-te Wurzeln aus einer komplexen Zahl z E C mit Hilfe der Darstellung z Izl. exp(ig) Izl(sin ~ + icos W) berechnen. Man verwendet ~ 7 ] E R+ und setzt
4.7 DER FUNDAMENTALSATZ DER ALGEBRA*
321
Dann ist w ~ z. Weitere Wurzeln finder m a n durch Multiplikation von w mit Potenzen der primitiven n-ten Einheitswurzel 27ri
(7-) F[irn 2 muss nach der weiter oben beschriebenen Methode nur Quadratwurzeln aus reellen Zahlen gezogen werden. Bei der Rechnung in Polarkoordinaten benStigt man Werte yon trigonometrischen Funktionen. Er'ater Beweis des F'tmdarnenmlsa~zes (nach E. ART~N) Wir benutzen den Hauptsatz der Galois-Theorie und den ersten Tell der Sgtze yon SYLOW. Sei also f E R[ X ] mit deg f _> 1. Wir werden folgendes K6rpergebgude auf'stellen: K 0
0
C O
C
L' O
R
C
L
Zun/ichst sei K D ]R Zerf'~llungskSrper yon (X 2 + 1) 9f ; zu zeigen ist K
C.
Offensichtlich ist C C K , und K D ]R ist galoissch. Fiir G: Da [C 9]R]
Aut(K;]R)
ist
ordG
[K']R]
2, ist ord G gerade. Nun kSnnen wir nach I 6.12 eine 2-Sylowgruppe Sl.
Nun ist auch K D C galoissch, es sei H:
Aut(K;C) 2; dann gibt es nach dem L e m m a aus I 6.11 eine Untergruppe H' 0 und K D C D R der Zerf'~llungskSrper yon (X 2 + 1) 9f E R [ X ] . Dann ist K D R galoissch und
f Der Kniff besteht darin, einen quadratischen Faktor g E C[ X ] yon f auf'zuspfiren. Dazu setzt m a n ffir beliebiges % E R Y~5(%) :
x~ + x 5 +%x~x5 e K
u~d
.g~:
[I
(X-
y~5(%)).
l,~,
wenn n
m.s.
326
III KORPERERWEITERUNGEN
Zusmnmen mit dem obigen Satz ergibt sich der
Hauptsatz der G a l o i s - T h e o r i e ffir e n d l i c h e K S r p e r
Sei p eine P'rimzahl und n E N \ {0}. Es gibt eine eineindeutige Beziehung zwischen i)
D e n Teilern m yon n; es ist n
ii)
D e n Untergruppen G yon Z,~; es ist ord G
iii)
m 9 s.
D e n ZwischenkSrpern Fp c L C Fp,~; es ist L
m. Fp,~.
Ist ~ E Aut (Fp,~ ;Fp) der Frobenius-Automorphismus~ so gilt
w
LOSUNG VON POLYNOMGLEICHUNGEN*
327
w5 LSsung von Polynomgleichungen* Dieser Paragraph ist der H6hepunkt der klassischen Algebra, die Ergebnisse haben eine Gesehichte yon mehreren Jahrtausenden. Quadratisehe Gleiehungen konnte man schon sehr lange 15sen: mit geometrischen Methoden, die auf 1700 v.Chr. datiert werden und beschrieben in den um 800 n.Chr, entstandenen Biichern yon al-KHWARIZMI, der beim Kaiifen yon Bagdad arbeitete. Eine intensive Besch/iftigung mit Gleiehungen vom Grad 3 und 4 begann zur Zeit der Renaissance in Italien. H6hepunkt war die 1545 erschienene ,,Ars magna" von CARDANO [Ca]. Alle L6sungsversuehe fiir allgemeine Gleiehungen vom Grad 5 sehlugen fehl; um nachweisen zu kSnnen, dass es nicht gehen kann, benStigt man fortgeschrittene Techniken der Algebra. Das gelang na~h Vorarbeiten yon RUFFINI erst 1826 dem norwegischen Mathematiker NIELS HENRIK ABEL. Eine genauere Antwort auf die Frage, waan eine Gleiehung hSheren Grades ,,dureh Radikale 15sbar" ist, gab 1832 der franz6sisehe Mathematiker I~VARISTE GALOIS. Mehr zu dieser spaanenden Gesehichte finder man etwa bei [Be] oder [vdW2]. In der Praxis haben Formeln fiir die Berechnung der Nullstellen aus Koeffizienten mit fest vorgegebenen Werten keine Bedeutung mehr; hier gibt es sehr sctmelle numerisehe Verfahren. Abet in der Theorie k6nnen sie hilfreieh sein: Etwa daan, wenn die Koeffizienten variabel sind, und die AbhSx~gigkeit der LSsung davon untersueht wird. Abet in erster Linie haben die Anstrengungen zur L6sung der klassisehen Probleme die Entwicklung aigebraischer Methoden befliigelt und neue, ganz andersartige Anwendungen gefunden.
5.1
Quadratische Gleichungen
Das ist aitbekannt und wird nur der Vollst/indigkeit haiber wiederholt. Gegeben sei f aX2+bX+cEk[X], mit a / 0 , wobei es geniigt, chat" (k) ~ 2 vorauszusetzen. Um die Nullstellen yon f zu finden, macht man q u a d r a t i s c h e E r g i i n z u n g : X~ + V_X + ( ~ ) ~
xl,2
- ~~ + ( ~ )
also
- ~ 7b -4- )2~x / ~ - 4ac.
Dabei ist A(f)
b2 - 4ac
a2
(zl - z2) 2
die Diskriminante yon f (vgl. Beispiel 3 in III 3.11). Ist A ( f ) ein Quadrat in k, so liegen die Nullstellen xl, x2 in k.
III KORPERERWEITERUNGEN
328
5.2
Kubische Gleichungen
Wir wollen hier die klassischen LSsungsformeln beschreiben und anschlie~end ihre Beziehmig zu den Gaiois-Gruppen untersuchen. Sei also k ein KSrper mit char k 0 (genau genommen genfigt auch char k/~ 2, 3) und f X 3+pX+qEk[X] nach Anwendung der Tschirnh~us-Transformation (III 3.10). Fiir die Diskrimin~nte gilt nacti Beispiel 4 aus III 3.11 A(f)
- ( 4 v 3 + 27q 2) ,
sie wird (lurch die Tschirnhaus-Transforlnation nicht vergndert. Weiter ist A ( f ) /~ 0, falls f irreduzibel ist. Falls f reduzibel ist, gibt es bereits eine Nullstelle in k. Fiir das Problem der Berechnung yon Nullstellen wird dieser Fall nicht ausgeschlossen. Der Trick, der wohl auf S. DAL FERRO und N. TARTAGLIA darin, fiir die gesuehte LSsung x den Ansatz X
zuriickgeht, besteht
U~V
mit ebenfails mibekamiten u, v zu lnachen. Dadurch erscheint das Problem zungchst schwieriger zu werden, da zwei GrS~en u und v mit f ( u + v) 0 gesucht sind. Abet die binomische Formel (u+v) 3
(~ + f(x)
u 3 + 3u2v + 3uv 2 + v 3
~)3 _ 3~(~
+ ~) - (~3 + ~3)
f ( u + v)
O, wenn - 3 u v
ergibt o,
also
p und - ( u a + v a)
q.
Nun hilft es, wenn man zungchst nach LSsungen fiir u a und v a sucht, denn (r_
3).(r_v3)
r ~-(u ~+v~)r+u~v~
r ~+qr-(~)3
Aus dem ursprfinglichen kubischen Polynom f hat sich also ein quadratisches Polynoln .q: r + q r e k[r] ergeben. Dieses ,Milfspolynom" wird auch Nach Beispiel 3 aus III 3.11 ist
ixIg) Man beachte, dass der Faktor - ~ l~bergang yon f zu g heftig vers ais
+
q u a d r a t i s c h e R e s o l v e n t e genannt.
1
-~A(f).
die Eigenschaft ein Quadrat in k zu sein beim Aber LSsungen yon g kann man berechnen
5.2 KUBISCHE GLEICHUNGEN Lbsungen Eir u und v erhglt man, indem man Wahl die Nebenbedingung beachtet:
u Fiir k
~,v
~,
329
dritte Wurzeln
sodass
3uv
zieht und bei deren
-p
~9 ergibt sich dutch das Vorzeichen yon A ( f ) eine Fallunterscheidung.
A ( f ) < 0 : Dann ist A(g) > 0, w : ~ E ~9+ und da jede reelle Zahl genau eine reelle dritte Wurzel hat, gibt es LSsungen Ul:
+w) ER,
Vl:
-w) ER.
Weitere LSsungen fiir u und v erhSlt man durch Multiplikation mit einer dritten Einheitswurzel, d.h. mit Potenzen yon
r
e x p(2M) ,7-,
r
Wegen der Nebenbedingung r nur die LSsungen 371
Ul + Vl
9r
2
+ r Vl
wobei Xl E R, x2, x3 E C \ R mit ~-
A(f)
2
r Ul + r
, X3
x3 und Xl + x2 + x3
Explizit aufgeschrieben lautet die Formel 371
- p E ]R gibt es insgesant
r
r
, X2
~1 ( - 1 + ix/3)
CARDANO
yon
5+
--
,
0. fiir die reelle L6sung:
__
---- 0 : Als L6sungen der quadratisehen Resolvente g erhglt man
Yl
Y2
q 2 '9 sei
u
~
ER
Da~m ergeben sich als Nullstellen yon f 37 1
U+ u
2u
und
x2
~u + ~2u
~2u + ~u
x3 9
Ist q ~ 0, so ist Xl ~ x2 und Xl ist einfache, x2 doppelte Nullstelle yon f . Fiir q 0 ist auch p 0, also xl x2 x3 0 eine dreifache Nullstelle. A ( f ) > 0 : Dann ist A(g) < 0 und g hat keine reelle Nullstelle. Daher nennt man dies in der ldassischen Literatur den c a s u s i r r e d u c i b i l i s . Sind al, a2 E C aI a 2 die Wurzeln berechnen kmm, so sind
mit
Yl
i
yon A(.q) E JR, die man
G(--q+61)
und
Y2
i
nach Hilfsaussage 3 aus III 4.7
~(-q+62)
mit ~
Y2
330
III K O R P E R E R W E I T E R U N C E N
die nicht reellen komplexen Nullstellen yon g. Nun 8tbigt mail auf das Problem, aus komplexen Zahlen dritte Wurzeln ziehen zu mfissen. Das geht nicht mehr wie in III 4.7 bei Quadratwurzeln komplexer Zahlen mit Hilfe yon Quadratwurzeln reeller Zahlen. Am einfachsten benutzt man Polarkoordinaten:
y
lyl.exp(i~)
w
~
y
,~3
lyl.(cos~+isin~)
9exp(!~)
(r
~.
und
(cos ~ + i s i n ~ ) ,
soist
(r
In den klassischen Verfahren hat man daffir Tabellen ffir die trigonometrischen Funktionen verwendet. Durch geeignete Auswahl der mSglichen Werte erhglt man ui,vi E C mit u i3
Yl, vi3
Y2, ~
P 3
vi und uivi
Das ergibt schliet~lich die drei reellen LSsungen xi
ui + vi E ]R der Gleichung f ( x )
0
Zun/~ahst fassen wir das grgebnis fiber die Lage der Nullstellen noah einmal zusammen (vgl. Beispiel 4 aus III 3.11). Satz
Self:
X 3 + a X 2 + b X + c E ]R[ X ] und
A(f)
a2b 2 - 4a3c - 4b3 + 18abc - 27c 2
die Diskriminante. D a n n gilt: Iat A ( f ) > O, so hat f drei verschiedene reelle Nullstellen. Iat A ( f )
O, so hat f drei reelle Nullatellen, mindestens eine davon mehrfach.
Ist A ( f ) < 0~ so hat f Nullstellen.
eine reelle und zwei verschiedene komplex-konjugierte []
Es mag auf den ersten Blick verwunderlich erscheinen, dass man im Fall A ( f ) > 0 zur Berechnung der drei reellen Nullstellen xi yon f m i t komplexen Zahlen rechnen muss. Der Grund daffir ist die Umkehr des Vorzeichens in A(f)
- 2 7 A (.q) .
Zur Betrachtung der LSsungen aus der Sicht der Galois-Theorie ist es interessanter f E @[X] vorauszusetzen; dann liegen die Nullstellen xl, x2, x3 yon f im Zerf'~llungskSrper K ~ @ yon f. Hier ist nur der Fall interessant, in dem f irreduzibel ist. Dazm ist
[K'Q]
6
a
oder
und
Gal (f; Q)
{ g3
~a
oder
Naah III 4.8 ist Gal (f; Q) ~ A3 genau dann, wenn A ( f ) E Q in Q ein Quadrat ist, d.h. wenn 5 ( f ) : (Xl - x2). (Xl - x3). (x2 - x3) E q .
5.3 BEISPIELE
331
Bei der oben durchgefiihrten Berechnung der Nullstellen xi haben wir die dritten Einheitswurzeln benStigt, das sind die Nullstellen yon X 3 - 1, und die brauchen keine Nullstellen yon f zu sein. Will man die Formeln yon CARDANO aus der Sicht der Galois-Theorie beleuchten, so ist es angemessen den Zerfs K ' yon f 9 (X 2 + X + 1) zu betrachten. Dann hat man folgendes Diagramm: K(()
K' u
D
L u
q(xl,x2,~3)
K
D q.
Q(3(f), ()
Ftir die KSrpergrade gilt nach dem Gradsatz aus III 1.2
[ K " K ] teilt 2, [ L Q ]
teilt 4 und [ K " L ]
3.
Zur Berechnung der xi benutzt man
Da C 6 L, ist auch ix/3 6 L, Mso ~(.q)
- ~ x / 3 . d(f) 6 L
und
L
q(6(.g), r
Um die Nullstellen xi mit Hilfe yon 6(g) und C zu erhalten, benStigt man noch Z3, folgt aus III 5.9, die Erweiterung K ' D L yore Grad 3. Da Aut (K'; L) dass K ' yon einer dritten Wurzel eines Elements aus L erzeugt wird. Das ist der theoretische Hintergrund der konkreten Formel yon CARDANO.
5.3
Beispiele
Beispiel
1 Das Polynom
f
X 3 - 8X - 3
332
III KORPERERWEITERUNGEN
hat schon CARDANO als Beispiel behandelt. Wie man schnell sieht, ist 3 eine Nullstelle und
f
(x-3)(x ~+3X+1).
Wit wollen abet, CARDANO folgend, die Nullstellen n~ch seiner Methode berechhen. Zun/ichst ist A ( f ) 1 805 > 0, also hat f drei reelle Nullstellen. Die quadratische Resolvente ist Y2-3Y+(~-)3
.q(Y)
Yl,2
3+i. ~
Das Besondere mlgeben l~in:
mit A(.q)
1805 27 < 0 und den Nullstellen
19 / ~ T V ~ "
aa diesem
u:
Beispiel ist, dass m a n dritte komplexe
~1 3 - i .
, v:
3+i.
' u.v
Wurzeln
-3 .
Etwa mit HiKe der binomischen Formel kontrolliert man, dass u 3 Also ist x
u+v
leicht
yl und v 3
y2.
3
als Nullstelle yon f neu berechnet. Die beiden aaderen Nullstellen sind 8 9
4-x/5).
B e i s p i e l 2 Wir wollen die Nullstellen yon f
X 3+X 2-2X-1
mit
A(f)
49>0
nach der Methode von CARDANO bestimmen; das Ergebnis ist entscheidend bei der Berechnung der 7-ten Einheitswurzeln (Beispiel 2 in I I I 5.14). Zun~chst ergibt die Tschirnhaus-Transformation /
23
72 _ 7 - 3 ~
mit
3[
X+~,
3
f
1
7 -3'
also p
i
/
q
7 27
5.4 GLEICHUNGEN VIERTEN GRADES Als quadratische Resolvente erhs
333
man
.g r ~ - ~ Y + ( 7 ) 3
u,,d A(g)
~27, also
Aus diesen komplexen Zalilen muss m a n dritte Wurzeln ziehen, jeweils eine LSsung ist ~ 0.790 -4- i 90.392, also 7 p 9 3 Da~'aus e r h ~ t man schlie~lich die grS~te Nullstelle yon f , n ~ J i c h 21
ul + vl ~ 1.580, ul .vl
0.777...
1 21 - g ~ 1.247.
3:1
Mit Hilfe yon r erhglt m a n die beiden anderen Nullstellen yon f . B e i s p l e l 3 U m auch ein gmiz einfaches Beispiel mit negativer Diskriminmite auszuffihren, w~llen wir f
X3-1
mit
A(f)
-27.
Die quadratische Resolvente ergibt
g Dalier ist u
y2_y
~
Y(Y-1),
0, ffir v vl
1
r
x l , v2
also Yl
0 , Y2
1.
e r h ~ t man die drei Werte r
x2 und v3
r2
x3,
das sind in der Tat die Nullstellen yon f .
5.4
Gleichungen vierten Grades
Gegeben ist ein Polynom
f
X4+a3X3+a2X2+alX+aoEk[X]~
wobei k ein KSrper der Ch~rakteristik Null sei. Gesucht sind Hilfsmittel zur Berectmung der Nullstellen und Aussagen fiber die Struktur der Galois-Gruppe. Ist f reduzibel, so unterscheiden wir zwei F~ille:
1. f
(X-a).gmitaEkundgEk[X].Dannistdegg
3, das ffihrt zurfick
zu kubischen Polynomen. 2. f g. h mit g, h E k[ X l, deg g deg h 2. Falls die Zerf~lungskSrper yon g mid h gleich sind, ffihrt das zurfick zu einem quadratischen Polynom. Andernfalls ist der Zerfs yon f gleich K
k(x,y)
mit
.q(x)
h(y)
O, g(y) ~ 0 mid
It(x)/~ 0 ,
334
III KORPERERWEITERUNGEN
also [ K : k] genannt.
4. Eine derartige Erweiterung K D k wird oft biquadratisch
Wenn man die Zerlegung f
g 9h kennt, kann man nach III 5.1 die Nullstellen
xl,x2 yon g
und
yl,y2 yon h
und
~9(yl)
berechnen. Ist ~ E Gal (f; k), so ist
~9(371)
371 oder x2
Yl oder y2.
Dax'aus folgt wie in Beispiel 3 aus III 2.4 die
Ist K D k eine biquadratische Erweiterung, so ist Aut (K; k) eine Kleinsche Vierergruppe. []
Bemerkung
Nun setzen wir voraus, dass f irreduzibel ist; nach einer Tschirnhaus-Transforlnation ist dann
f
X4+pX2+qX+rEk[X].
Wegen char (k) 0 ist A ( f ) r 0, aber wir haben noch keine explizite Formel fiir A ( f ) , falls p r 0 (vgl. Beispiel g in III 3.11). Zur Berechnung der Nullstellen yon f hilft nun ein Trick, der auf L. F>,RRAaI, einem Schiller yon CARDANO, zuriickgeht. Aus
X4
-pX2-qX
-r
folgt dutch ginfiihrung einer neuen Unbestimmten Y und quadratische grg/inzung
X 4+X2Y+ 88
-pX 2-qX-r+X2Y+ 88
1 2 (X 2 + ~Y)
(Y - p ) X 2 - qX + (88
Die rechte SeRe ist gleich ( x / Y - p X - q
+ ~y2 9
also
_ r)
(*)
f.)2 wenn
--
,
-
und dax'aus folgt durch Quadrieren
ya _ py2 _ 4 r Y + (4rp - q2)
0.
Diese Bedingung ist nach den formal nicht gmiz begriindeten Operationen mit Wurzeln ein kubisches Polynom. Man nennt g:
ya_py2_4rY+(4rp_q2)
Ek[y]
eine kubische Resolvente yon f . Entscheidend dabei ist, dass der Grad yon 4 auf 3 reduziert wurde.
5.4 G L E I C H U N G E N
VIERTEN
GRADES
335
Der weitere Lbsungsweg ist ziemlich klar. Ist y eine Nullstelle yon g, die man etwa mit der Formel yon CARDANO berechnet hat, so folgen aus (,) die GMchungen x
X 2• y-x/:~ X•
y2_r+~y
0.
Jede hat zwei LSsungen, das ergibt insgesamt vier L6sungen
x3,4 der GMchung f(3:)
89Y x / v d ~ P • 1 8 9 0.
Man kann die kubische Resolvente auch etwas anders w~hlen, dann werden die Formeln einfacher. Die bier getroffene Wahl ist giinstig zur Beleuchtung des theoretischen Hintergrundes. Im Zerf~llungskSrper K yon f hat man die Nullstellen 3:1,3:2,3:3, 3:4 mit 3:1+3:2+3:3+3:4
0;
da f irreduzibel ist, sind sie alle verschieden. Nun betrachtet man in K die Elemente Yl :
3:13:2 ~ 3:33:4 , Y2 :
3:13:3 ~ 3:23:4 , Y3 :
3:13:4 ~ 3:23:3
und das Polynom .q(Y) :
(Y-YO'(Y-Y2)'(Y-Y3)
6 t 2 und seien A1,..., A~, E K , so dass
a~(~)
+ a~(~)
+... + a~,~,(~)
o
ffir alle z E N • . Da die FI,... F~, verschieden sind, k6nnen ein
aEK •
gibtrnit
(*) wir annehrnen,
dass es
~l(a)/~,(a).
Nun kann man einerseits in (.) az ffir z einsetzen, asidererseits rnit ~ , ( a ) rnultiplizieren. Des ergibt
xl~l(a)~l(~) + . . . + x~, 1~, ~(a)~, ~(~) + x ~ , ~ , ( a ) ~ , ( ~ ) a~,(a)~(~)
+ . . . + a~, l ~ , ( a ) ~ ,
~(~) + a~,~,(a)~,(~)
0 ~nd 0.
5.9 ZYKLISCHE ERWEITERUNGEN
353
Durch Subtraktion erh/ilt m a n ~1(~1(~)
~(~))~1(*) +... + ~ ~(~ ~(~) - ~ ( ~ ) ) ~ ~(*)
-
0
fiir alle z E g • Nach Induktionsannahrne folgt insbesondere
~(~1(~)-~(~))
o,
also ~
o.
Trggt m a n das in (,) ein, so folgt wieder aus der Induktionsmmalirne A2
...
A~
0 . []
Ein Blick auf den Beweis zeigt, dass man Halbgruppe und
ilm genauso fiihren kann, wenn
Heine
~i : H--~ K • fiir i 1 , . . . , n IIomomorphismen yon IIalbgruppen sind, d.h. ~ ( a . b) ~ ( a ) . ~(b) fiir a, b E H. Solehe Abbildungen von H nach K • nennt man Uharaktere.
Beweis des Satzes iiber" zyklische Er'weiterungen Aut (K; k)
Nach Voraussetzung ist
{idK, p, p 2 , . . . , p~ 1}.
Ist ( E k eine primitive n-te Einheitswurzel, so betrachte man die Linearkornbination ~0: 1 . i d / < + r 1 6 2 1 6 2 1~ 1EAbb(K x,K). Nach dem L e m m a yon ARTIN ist ~6 r 0, also gibt es ein z E K • , so dass
b: ~(~) ~ + r 1 6 2
~
~(~)r
in
K.
Diese Funktion von z nennt m a n eine I, agrangesche R e s o l v e n t e . Nun ist p(b)
p(z)+r162
Daraus folgt p(b ~)
l,, p(b) ~
r ~b ~
also r
b
b~ und p 5 na~h 1 7.6 nicht auflSsbar ist, folgt na~h III 5.10 das
5.12 GLEICHUNGEN F U N F T E N GRADES UND DAS IKOSAEDER
359
K o r o l l a r Die Gleichung n-ten Grades mit allgemeinen Koej~zienten ist fiir n >_ 5 nicht durch Radikale 15sbar. Dieses Ergebnis geht zuriick auf Arbeiten yon RUFFINI (1799), ABEL (1824) und schlie~lich GALOIS (1831, ver6ffentlicht 1846, siehe [G]).
5.12 Gleichungen ffinften Grades und das Ikosaeder Obwohl die ,allgemeine" Gleichung yore Grad 5 nicht durch Radikale 15sbar ist, k6nnte man zun~chst noch hoffen, dass die Polynome in verschiedene Klassen zerfallen, fiir die sich jeweils ein spezielles LSsungsverfahren dutch Radikale finden liet~e. Dass auch dieser Ausweg verbaut ist, zeigen spezielle Polynome yore Grad 5 fEZ[X]
mit
Gal(f;Q)~Ss.
S a t z Sei f E Q [ X ] irr'eduzibel mit deg f 5. Hat f in seinem ZeffiillungskSr'per genau dr'ei r'eelle Nullstellen, so ist Gal (f; Q) ~ 85. Beispiel Das Polynom
g: x(x~-2)(x~+2) hat die drei reellen Nullstellen 0, -r Die Nullstellen yon g'
5X 4 - 4 sind + ~
x~-4x~z[x]
und die zwei komplexen Nullstellen -r
m +0.946, g(+0,946) m T3.026.
Also hat auch f:
g+2
XS-4X+2EZ[X]
genau drei Nullstellen; augerdem ist f nach Eisenstein irreduzibel.
/ .q(x)
x 5 - 4x
f(x)
x 5 - 4x + 2
360
III
KORPERERWEITERUNGEN
Beweis des Satzes Da f irreduzibel ist, folgt nach Tell b) des Lemmas aus III 4.2, dass ordGal (f; Q) durch 5 teilbar ist. Fiir den ZerfgllungskSrper K D Q yon f gilt K
Q(ecl, ec2,eca,:c4,:cs) mit
:cl,:c2,:ca 9
x4,xs 9
und da f 9 Q[ X ] ist 74 ms. Also ist K invariasit unter der komplexen Konjugation T, die xl, x2, xa fest lfisst. In 85 ist r eine Transposition. Daanit folgt der Satz aus dem Lemma
Sei p eine Primzahl und G < gp eine Untergruppe mit folgenden Eigen-
schaften:
1) p teilt ord G. 2) G enthiilt eine Transposition. Dann ist G
gp.
Beweis Nach dem Satz yon CAUCHY aus I 6.11 gibt es ein a 9 G mit o r d a Nach dem Balm-Lemma aus I 4.3 muss
p.
sein, also ist cr ein p-Zyklus und man kann die Nummerierung so wghlen, dass cr ( 1 , . . . ,p). Welter kSnnen wir asmehmen, dass 7 (1, i) mit i 9 { 2 , . . . ,p}. Da p Primzahl ist, kSnnen wit cr durch cH 1 ersetzen und wegen cH 1(1) i geniigt es den Fall a ( 1 , . . . ,p) und 7 (1, 2) zu betrachten. Damit kann sich die Transposition ausbreiten: (2,3)
(1,...,p). (1,2). (1,...p) 1 9 G,
(3,4)
( 1 , . . . , p ) . (2,3). (1,...p)
(1,3)
(1, 2). (2, 3). (1, 2) 9 G
(1,4)
(1, 3) 9 (3, 4) 9 (1, 3) 9 G , u.s.w, und sehlie~lieh
(t J)
(1, i) . (1, j) . (1, i) 9
1 9 G, u.s.w.
Kir i , j 9
Damit enthglt G alle Trasispositionen und G I 4.5.
mit i / ~ j . 8p tblgt nach dem Korollas" aus []
Das Ergebnis, wonach Polynomgleichungen vom Grad fiinf und hSher nicht durch Radikale 15sbar sind, ist zun//chst negativ. Es entsteht aber daaach die Frage naeh asideren Hilfsmitteln zur LSsung. Damit haben sieh im 19. Jalirhundert vide Mathematiker beschSftigt, besonders FELIX KLEIN. ZunSchst einmal ist nach III 4.8 Mar, dass man fiir ein f E k [ X ] nach Adjunktion yon 5(f) zu k annehmen kann, dass Gal (f; k) < A~ . Fiir n 5 hat man die Ikosaedergruppe As. Mit Hilfe einer Operation yon A5 auf der Riemaamsehen Zahlenkugel P C u {oc} konstruiert KLEIN eine Ikosaedergleichung
5.12 GLEICHUNGEN FUNFTEN GRADES UND DAS IKOSAEDER
g~
361
((y2O + 1) - 228(Y 15 - y S ) + 494ylO)3
+ 1728aYS(Y l~ + l l Y 5 - 1) 5 E k [ Y ] . Das ist ein P o l y n o m yore G r a d 60 ord A5 mit einem P a r a m e t e r a E k. E r beweist damn, dass nach eventuellen quadratischen Erweiterungen die Nullstellen yon f mit Gal (f; k) ~ A5 durch A d j u n k t i o n yon Nullstellen y yon g~ fiir geeignetes a E k erhalten werden kSnnen. Das P o l y n o m g~ ist eine Art yon R e s o l v e n t e , allerdings yore G r a d 60, aber yon einer sehr speziellen Form u n d mit nur einem yon f abhih~gigen P a r a m e t e r a. U n d schliet~lich kann m a n die Nullstellen y yon g~ durch h y p e r g e o m e t v i s c h e R e i h e n erhalten, das sind Potenzreihen der Form
1+ ~
oo
~(~+ 1 ) . . . . . ( ~ + ~ - 1) ~(~ + 1 ) . . . . . ( ~ + ~ - 1 ) ~
Yt=l
mit Parametern
a, b, c E C, wobei -c E N.
Diese Untersuchungen yon KLEIN sind zusammengefasst in [K11 ]; eine sehr sch6ne Einffihrung findet man in [Sl]. Um die Neugier der Leser zu steigern, reproduzieren wir eine Abbildung aus [Kii], die das Bild eines Ikosaeders unter der stereographischen Projektion yon der Zahlenkugel auf die komplexe Ebene zeigt.
Eine H~li%e der Dreiecke ist schraffiert, daalit man die Wirkung der orientierungserhaltenden Symmetrien des Ikosaeders aus .45 besser verlblgen kann (siehe 1 5.5).
362
III KORPERERWEITERUNGEN
5.13 Darstellung
yon Einheitswurzeln
Das einfa~hste Beispiel eines reinen Polynoms ist X ~ - 1, sein Zerfs ist Q ( ~ ) D Q. Daher ist nach der in I I I 5.10 gegebenen Definition das Kreisteilungspolynom ~ durch Radikale 15sbar, demi ~;~ 1 E Q. Die Darstellung
sagt aber nichts aus fiber die mgglichen Werte yon 4,~, denn die n-te Wurzel ist eine mehrdeutige Funktion. Um mit 4,~ zu rectmen, kann m a n die Darstellung 27ri.
exp (77)
27r
27r
cos (77) + is n (77)
mit HiKe yon trigonometrischen Funktionen, also yon Potenzreihen verwenden. In der klassischen Literatur gibt es schSrfere Definitionen yon Radikalerweiterungen (vgl. etwa [vdW~, w dutch die das Wurzelziehen eingesehr/inkt wird. Aber sehon bei der L6sung kubiseher Gleiehungen mit HiKe der Formeln yon CARDANO muss man im ,,casus irredueibilis" dritte Wurzeln aus komplexen Zalllen ziehen, was im Allgemeinen nur mit HiKe yon Polarkoordinaten geht. Das Ziehen soldier Wurzeln wird eine irrationale R e s o l v e n t e genannt. Vom praktischen Standpunkt ist das auch nicht aufwgndiger als das Ziehen der Wurzel aus einer reellen Zalfl. Beides erfordert ,#tmlytische" Methoden, d.h. in diesem Pall Grenzwerte. Wir wollen nieht tiefer in diese Fragen des Purismus einsteigen, sondern etwas zu dem speziellen Problem ausffihren, ob und wie m a n ~,~ dutch Wurzelausdrfieke beschreiben kann. Denn diese Frage steht in engem Zusammenhang mit dem Problem der Konstruierbarkeit des regelmggigen n-Ecks und wurde yon GAUSS in Sektion VII seiner ,Disquisitiones Arithmeticae" behandelt. Dass es solche Formeln gibt, weig man ffir spezielle Werte von n aus der elementaren Trigonometrie:
C3 r r Cs Ci2
Etwa ffir n 1 und 2).
5 oder n
cos~+i.sin2~3
cos 7 + i . sin cos ~ + i . s i n cos ~ + i . s i n cos g + i . s i n
7~ ~ ~~ g~
2+il~ ,
i , 1 i_~_~ 2+ , "/2 2 + i@ , ~"/a - +i 89 .
7 ist die Darstellung schwieriger (vgl. I I I 5.14, Beispiele
Wir beschrSxiken uns zun/chst auf den Fall einer Primzalfl p. Ist r E C eine primitive p-te Einheitswurzel, so ist nach I I I 5.6 C :
Aut(Q(r
9 Q)
{pl,p2,...,pp
i}
mit
pi(r
r .
Da G nach II 1.11 zyklisch ist, gibt es mindestens ein 1 E {2,... ,p -- 1}, so dass
C
{id,~r162
2} ffir ~r
p~.
363
5.13 D A R S T E L L U N G V O N E I N H E I T S W U R Z E L N
Ein solches 1 nemit m a n in der klassischen Literatur eine P r i m i t i v z a h l rood p. Da G nach dem L e m m a aus I I I 4.2 auf den primitiven Einheitswurzeln einfach transitiv operiert, kann m a n sie durch ~6 in folgende Reihenfolge bringen:
~0: C,~l:
r
C1,~2: r
Cl~,...,~ 2: r
2(0
Cl ~ .
Durch diese Notation ist die Wirkung yon ~6 einfach in den Indizes auszudriicken: ~(~i)
~'/+1 und
~6 N1 t>... t> N,
{idK }
derart, dass ord ( N i / N i 1) 2 Nr i 1 , . . . , r. Nach dem Hauptsatz der GaloisTheorie in III 4.5 gehSrt dazu eine KSrperkette
L mit [Li : Li 1]
L o c L ~ c...cL~
K
2. Nach dem Satz aus III 6.3 folgt z E Kon (M).
[]
Da [Q(r : Q] ~(n), folgt aus dem Korollaz in III 6.3 und dem obigen Lemma alas auf GAESS [Gaa, w 365] zuriickgehende
Theorem
Das regelma'flige n - E c k ist genau dann m i t Zirkel und Lineal konstruierbar~ w e n n die Eulersche Zahl ~ ( n ) eine P o t e n z von 2 ist. []
Da p(5) 4, p(7) 6 und p(17) 16, tblgt sofort, dass ein 7-Eek nicht konstruierbaz, abet ein 5-Eek und ein 17-Eek konstruierbaz ist. Wegen p(9) 6 ist auch das 9-Eek nieht konstruierbar; das hatten wit bei der Dreiteilung des Winkels schon fiir 40 ~ gesehen. Es erseheint bemerkenswert, dass GAUSS in seinen ,,Disquisitiones" die sehwierigere positive Antwort genau ausfiihrt, abet die mit den elementaren - daanals noeh nieht verfiigbazen - Methoden der KSrpertheorie leieht zu beweisenden negativen Antworten nicht ngher begriindet. Am Ende yon w 365 schreibt er (&Shere" Gleichungen bedeutet Grad grSger als 2):
usd wit kSnnen mit aller 8trenge beweise~, dass dies~ h~heren Gleichungen dur~aus mcht v ~ e d e n oder auf Gl~eJauagen yon ltle. d ~ g ~ r ~ Grade z ~ g e ~ werden kS~en; o b w ~ die Grenzen dleses Werkes nieht gestat~en, ~esen Beweis bier mitzut~iien, glaubten wir doch darauf hinweisen zu mfissen, dam/~ nicht einer noch ~dere Teflu~gen a~ser den yon unserer Theo~e g~eferten, z.B. dis Teilungen in 7, 11~ i3, 19~.... Teiie a ~ geome~sehe Gons~ctionen zarfickzuffihren hoffe und seine ~i~ unntttz vergeade.
Es bleibt die zahlentheoretische Frage zu klgren, wann p(n) eine Potenz yon 2 ist. Zun~chst betrachten wir den Fail, dass n p eine Primzahl ist, dann folgt p-
Hilfssatz
i.
I s t p eine P r i m z a h l m i t p > 2 und p - 1 eine P o t e n z von 2, so ist
p
2T~+]
mit h E N .
384
III
KORPERERWEITERUNGEN
Beweis Ist p T r' + 1, so h a b e n wit zu zeigen, dass m yon der Form T ~ ist. Hgtte m einen ungeraden Teiler k _> 3, so w/ire m k 91 mit 1 E N und es w/ire p
2~l+l
(21+1)(2(~
1)1_2(~ 2 ) 1 + . . . + 2 2 1 _ 2
l+l).
D a 1 < 21 + 1 < 2 ~l + 1, wSre p nieht prim. Die Suehe naeh P r i m z a h l e n in der Folge
ist ein klassisches Problem, m a n nennt sie FERMATsche P r i m z a h l e n . F i i r n < 5 hat m a n Tb
0
3
1
5
2
17
3
257
4
65537
5
4 294 967 297
641 96 700 417
Den P r i m f a k t o r 641 von E5 h a t t e schon EULER gefunden. Ffir n _< 4 erhfilt m a n in der Tat Primzalflen, ab n _> 5 sind bisher keine weiteren bekannt. Die Konstruierbaz'keit des regelm/igigen n-Eeks wird nun weitgehend geklSrt dureh den Satz
~(n) ist genau dann eine Potenz yon 2, wenn rt
2m
" Pl
" . . .
" Pr
,
wobei m E N und p l , . . . ,p~ paarweise verschiedene Fermatsche Primzahlen sind. D a bisher nur fiinf Fermatsche P r i m z a h l e n bekannt sind, kann m a n r _< 5 annehmen. Das ergibt 31 mSgliche P r o d u k t e solcher Primzahlen. Beweis
Ist n
p]l . . . . . p ~ " die Primfaktorzerlegung, so ist nazh I 3.11
~(~)
~..11 1
~J1
.....p,
1,- 1
.(p1-1).....(p,-1).
Also ist p ( n ) genau d a n n eine P o t e n z yon 2, wenn fiir alle p j r lj
1
und
(pj-1)
istPotenzvon
2 Folgendes gilt:
2.
D a m i t folgt die B e h a u p t u n g aus dem Hilfssatz.
[]
N a c h d e m die Existenz yon Konstruktionsverfahren fiir die in obigem Satz angegebenen Werte yon n nachgewiesen ist, stellt sich die Frage nach der Ausf~hrung. D a z u betrachtet m a a zungchst die Fermatschen PrimzMflen. p = 3
Die Konstruktion eines gleichseitigen Dreiecks ist aus der Schule b e k a m t .
p = 5
Hier hilft der g o l d e n e S c h n i t t (vgl. Beispiel 1 aus I I I 5.14).
6.5 KONSTRUKTION VON REGELMJkSSIGEN N-ECKEN*
0 Ist
x
i so tolgt x
x
355
1
89 (-i + r
Die Einzelheiten iiberlassen wir dem Leser. p ---- 17 Hier kann man die yon GAuss gefundene Formel flit cos (2~/17) aus Beispiel 3 in III 5.14 als Grundlage fiir eine geometrische Konstruktion verwenden. Das wird etwa in [KI2, Tell I, Kapitel 4] ausgefiihrt. p ----257
Hier gab erstmals RICHELOT
[Ri] im Jalire 1832 eine Konstruktion an.
p ----65 537 An dieser Konstruktion arbeitete J. HERMES zehn Jahre lang. Sein 1889 beendetes ,~Diaxium" befindet sich in der mathematischen $atnmlung in GSttingen. Eine kurze Note dazu erschien 1894 (siehe [He]). Aus den fiinf angegebenen Konstruktionsverfahren fiir die Fermatschen Primzahlen k~m man alle anderen ableiten. Sind ~r~ und n teilerfremd und kann man sowohl ~r~-Eck und n-Eck konstruieren, so nutzt man aus, dass es nach der Relation yon B~ZOUT (I 3.8) r, s E Z gibt, so dass i rn + s~r~. Daraus folgt 2~
2~ 2~ T--~S--~
und daher ist auch das ~r~.n-Eck konstruierbar. Die Potenz yon 2 k+/m m a n dutch wiederholte Winkelhalbierung realisieren. Ganz an/Ende seiner ,~Disquisitiones" [Ga3] gibt GAUSS an, fiir die das regelm~gige N-Eck konstruierbar ist:
all die Zal~len N
+ m + +'++t+ ~'++prodt+.,+~m e+~u+fi~u+ ~ + m ~ i ++um+~s primi++, m~/ pt+ due|ram ~ mm,o~+i ~ m o mu+pl~b++ +~ m mint+ m + m ~ + m m ipmm m; + + b++i+i++ +~uirit+++, u+ N :meqa+ m{Ittm s ~mmm i m ~ qm nml e++~ +rmm + ~ + L :impl~m++m~mm e ~ ~um ~em p+mm +ram P+ +
85+~ +~, I+~+ +20+ 128., l+++ l+O+ 170+ 19+, ~+4+ +40+ +++++,~5++ +$?+ ~+~+
_~ 300
386
6.6
III KORPERERWEITERUNGEN
A n d e r e R e g e l n ffir Konstruktionsverfahren
Welche geometrischen Konstruktionsaufgaben 15sbar sind, hs ganz entscheidead yon den vorgegebenen Spielregeln ab; die in III 6.1 beschriebenen Regeln sind die Klassiker. Abet es gibt zahlreiche Varianten, etwa: 1) Mit dem Lineal allein 2) Mit dem Zirkel allein 3) Mit dem Lineal und einem lest vorgegebenen Kreis 4) Mit dem Lineal und einer lest vorgegebenen Parabel 5) Mit Zirkel, Lineal und einer lest vorgegebenen Parabel Es erscheint bemerkenswert, dass mit den Regeln 5) eine Winkeldreiteilung mSglich ist. Das liegt daz'aa, dass ein Kreis mit einer Paz-abel vier Schnittpunkte haben l{&Illl. Noch weit mehr Verfahren findet man in dem Bucli yon BIEBERBACH [Bil.Weiter gibt es vide Nilierungsverfaliren; besonders bekannt geworden ist die sehr genaue Winkeldreiteilung des Schneidermeisters K o P F (siehe [Pe]).
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Chinesischer Restesatz, 57, 188 Delisches Problem, 372 Diedergruppe, 50, 124 Diskriminante, 296, 323 Distributivgesetze, 141 Division mit Rest, 9, 156, 158, 181 Divisionsalgebra, 147 Dodekaeder, 389 Don Giovanni Gruppen, 130 Dreher, 18 Dualitgt, 390
Einbettung yon Halbgruppen, 167 Einbettungssatz, 273 Einheit, 143, 155, 173, 177, 226 Einheitengruppe, 143 Einheitswurzel, 15, 160, 346 primitive, 15, 342 Einselement, 142 Einsetzungshomomorphismus, 154, 156, 245 Eisenstein-Kriterium, 215 Element algebraisches, 245 irreduzibles, 201 linksinverses, 5 linksneutrales, 2, 4 maximales, 199 neutrales, 2, 4 primitives, 244 rechtsneutrales, 2 reduzibles, 201 transzendentes, 245 Elementarmatrix, 81 Elementarteiler, 108 Endomorphismenring, 148
398 Endomorphismus, 20, 145 Epimorphismus, 20, 145 Erg/inzung quadratische, 327 Erweiterung eines Zahlbereichs, 167 Euklidiseher Algorithmus, 64, 210 Eulersche ~-Funktion, 60 Eulersche Identitgt, 62, 166 Exponent einer Gruppe, 109 eines Primfaktors, 209 Faktor, 137 Faktorgruppe, 34 Faktorisierungssatz, 38, 175 Faltung, 152 fast alle, 113 Fehlstand, 23 Fermatkurve, 217 FixkSrper, 309 Formel yon Cardano, 329 Fortsetzung yon Kgrperisomorphismen, 259 Frobenius-Homomorphismus, 279 Fundamentalgruppe, 3 Fundamentalsatz der Algebra, 255 Galois-Erweiterung, 311 Galoisgruppe, 308 Ganzheitsring, 223 Gaugsehe Zahlen ganze, 14 Gaugsche Zahlenebene, 178 Gauss'sche Periode, 363 Gebiet, 148 Gleiehung allgemeine, 357, 358 diophantische, 226 Pellsche, 226 Gr6bnerbasis, 186 Grad, 155, 162 gewichteter, 305 homogen vom, 165 totaler, 164 Gradforlnel fiir Polynome, 155
INDEX fiir K~firper, 243 Gruppe, 4 abelsehe, 4 allgemeine lineare, 13 alternierende, 24 auflSsbare, 138 der invertierbaren Matrizen, 13 der relativen Automorphismen, 307 einfache, 133 endlich erzeugte, 8, 111 endlich erzeugte abelsehe, 117 freie abelsehe, 114 kommutative, 1, 4, 142 orthogonale, 13 p-, 104, 120 spezielle lineare, 36 spezielle orthogonale, 23 symmetrische, 12, 48 torsionsfreie, 112, 118 triviale, II zyklische, 12, 35, 54, 166, 351 Halbgruppe, 2 Halbgruppenring, 163 Halbordnung, 198 Hauptideal, 172, 180 Hauptidealring, 180, 182, 204 Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie, 206 der Galoistheorie, 313, 326 fiber symmetrisehe Polynome, 304 Hilbertscher Nullstellensatz, 197 Homomorphismus yon Gruppen, 20 von Ringen, 145 Ideal, 172, 191 coprimes, 187 erzeugtes, 180 maxhnales, 193, 197, 199 prhnes, 193 triviales, 172 Ikosaeder, 388 gestutztes, 391 Ikosaedergleichung, 361 Ikosaedergruppe, 91
INDEX
hnaginSxteil, 221 hidex, 28 induktiv geordnet, 199 Inhalt eines Polynoms, 212 Inklusion, 25 Integritgtsring, 142 hiterpolationsformel von Lagrange, 159 hiterpolationspolynom, 160 Inverses, 4 Inversion, 26 h'rationalteil, 221 h'reduzibilit/it s- Satz, 213 ISBN-Priifziffern, 17 Isomorphiesatz Erster, 39, 175 Zweiter, 47, 187 Dritter, 39 Isomorphismus, 20, 145 Isotropiegruppe, 72 Kern, 20 Kette, 198 Klassengleichung, 74 der Ikosaedergruppe, 96 Klassifikation yon Gruppen, 38 yon endlichen Gruppen, 54 Kleinsche Vierergruppe, 12, 22, 48 Koeffizient, 151, 162 KSrper, 143 algebraisch abgeschlossener, 254 der meromorphen Funktionen, 171 der rationalen Funktionen, 170 Platonischer, 387 vollkommener, 280 KSrpererweiterung, 144, 242, 351 algebraische, 252 biquadratische, 334 einfache, 244 galoissche, 311 normale, 265 transzendente, 252 KSrpergrad, 242 Kommutator, 135 Kommutatorgruppe, 135
h6here, 137 Kongruenz, 9, 27, 174 Konjugation, 25, 222 Konjugationsklasse, 79 konstruierbar, 374 Konstruktionssehritte eleuientare, 373 Korrespondezsatz fiir Ideale, 175 Kreisteilungspolynom, 343, 346 Kiirzungsregeln, 6 Kummerring, 208, 237 Lagrangesche Resolvente, 353 Leitkoemzient, 155 Leitterm, 155 Lemma yon Artin, 352 yon Gauss, 211 yon Zorn, 199 Linkstranslation, 5
Matrixdarstellung, 149 Matrizenring, 149 Minimalpolynom, 247 Monom, 151, 162, 163, 271 primitives, 162, 271 Monomorphismus, 20, 145 Multiindex, 162 Multiplikation, 4 n-Eek regelmfigiges, 82, 372 Nebenklasse, 26 Negatives, 4 Neilsche Parabel, 301 Norm, 146, 222 Normalisator, 45 Normalreihe, 137 Normalteiler, 32 trivialer, 33 Nullelement, 4, 141 Nullring, 142 Nullstelle, 159 allgemeine, 357 einfache, 275 mehrfache, 275 Nullstellenmenge, 190
399
400
INDEX
Nullteiler, 142, 155 OberkSrper, 144 Oktaeder, 88, 388 Oktaven, 147 Operation, 70 effektive, 71 einfach transitive, 71 transitive, 71 Ordnung, 27, 28, 183, 198 Partition, 104, 108 Pentagramm, 15 Permutation gerade, 23 ungerade, 23 Permutationsg~'uppe, 12 Permutationsmatrix, 80 Polyeder konvexes, 392 regul/h'es, 387 Polyederformel, 390 Polynom, 151, 162, 163 allgemeines, 357, 358 dureh Radikale 15sbares, 354 elementarsymmetrisches, 303 normiertes, 155 primitives, 211 reines, 350 separables, 278 symmetrisches, 304 Polynomfunktion, 154 Polynomring, 152, 271 Potenzreihe formale, 154, 162, 183 Priifziffer, 17 Prim/irkomponente, 103 Prim/irzerlegung, 103 Primelement, 201 Primitivzahl, 363 Primk6rper, 177, 241 Primrestklassengruppe, 63, 177, 345, 347, 348 Primzahl, 205 Fermatsehe, 384 Mersennesehe, 284
Produkt, 187 /iugeres direktes, 40 /iugeres semidirektes, 44 inneres direktes, 42, 43 inneres semidirektes, 47 Produktring, 147 Progression, arithmetisehe, 370 Punktgitter, 14 Quadratur des Kreises, 372 Quaternionen, 149 Quaternioneng~'uppe, 13, 37, 151 Quersumme, 15 Quotient, 157 Quotientenk&rper, 168 Quotientenvekt orraum, 35 Radikal, 350 Radikalerweiterung, 354 Rang, 114 Rationalteil, 221 Realteil, 221 Rechteck goldenes, 388 Rechtstranslation, 5 Reduktions-Kriterium, 216 Reihe, hypergeometrische, 361 Relation, 114 yon B~zout, 56, 210 Resolvente, 361 irrationale, 362 kubische, 334 Lagrangesche, 353 quadratische, 328 Rest, 9, 157 Restklassen, 9 Restklassenring, 174 Resulta~ite, 291 Ring, 141 der formalen Potenzreihen, 154 der stetigen Funktionen, 185 euklidiseher, 181, 229 faktorieller, 208, 211 noetherscher, 180, 185 nullteilerfreier, 142
INDEX Satz von Cayley, 71 von Cauchy, 102, 119 yon Dirichlet, 370 yon Fermat, kMner, 16 yon Fermat und Euler, 64, 235 von Gauss, 211 von Lagrange, 28, 79 yon Sylow, 121 Schiefk6rper, 143 der Quaternionen, 151 Schleifenraum, 3 Schnitt goldener, 384, 388 Schranke obere, 198 Sieb des Eratosthenes, 207 Signuln, 23 Spaltungslemlna, 115 Sphgre, 387 Spur, 222 Stabilisator, 72 Stabilit/k, 264 Standgruppe, 72 station/ir, 181,203 Struktursatz fiir endliche abelsche Gruppen, 108 fiir endlich erzeug~e abelsche Gruppen, 117 fiir endliche K6rper, 280 Substitutionshomomorphismus, 154 Summe, 187 (innere) direkte, 42 Sylowgruppe, 121 Symmetrie, 12, 82 Symmetriegruppe, 82 Teiler, 55, 200 gemeinsamer, 55 g~'6lgter gemeinsamer, 56, 210, 277 Teilerkette, 203 Teilerkettensatz, 203 Tetraeder, 86, 387 Tetraedergruppe, 86 Torsionsgruppe, 119 Torsionsuntergruppe, 111, 112
Translation, 25 Transposition, 24 Tschirnhaus-Transformation,
401
297
Unbestimmte, 151 Unendlichkeitssatz yon Euklid, 206 Untergruppe, 6 erzeug~e, 7 p-, 121 triviale, 7 UnterkSrper, 144 erzeug~er, 244 Unterring, 144 erzeugter, 244 Verkniipfung assoziagive, I, 4 innere, 1 Verkniipfungstafel, 1 Vertretersystem, 73, 209 Vielfaches, 55, 200 gemeinsames, 55 kleinstes gemeinsames, 56, 210 Vielfachheit, 275 Winkeldreiteilung, 372 wohldefiniert, 9, 22 Wiirfel, 88, 388 Wiirfelgruppe, 88 Wurzel, 350 Wurzelsatz von Vieta, 303 Zahl ganze, 8, 223 ganze Gaugsc/le, 146 ganzrationale, 8, 223 ideale, 238 komplex konjugierte, 146 komplexe, 146 quadratfreie, 220 teilerfremde, 56 Zahlenebene, 146, 249 ZahlkSrper imagin/ir-quadratischer, 171, 221 quadratischer, 221 reell-quadratischer, 221
402 Zahlring quadratischer, 223 Zentralisator, 73 Zentrum, 73, 81 Zerfgllungseigenschaft, 264 Zerfgllungsk6rper, 261 Zwischenk6rper, 146, 242 Zyklenstruktur, 79 Zyklenzerlegung, 75 Zyldus, 75 elementfremder, 75
INDEX
INDEX N natfirliche Zalilen, 2 Z ganze Zahlen, 8 Q rationale Zahlen, 14 ]g reelle Zahlen, 3, 14 C komplexe Zahlen, 14 H Quaternionen, 149 Fq K6rper mit q p~ Elementen, 177, 281 A~ alternierende Gruppe, 24 C.,~ n-te Einheitswurzeln, 14, 160 D~ Diedergruppe, 51
9 ~, ~(~) Kreisteilungspolynome, 343 G; Prim/Lrkomponente yon G, 103 i imagin/ire Einheit, 146 K • K6rper ohne Null, 14 K algebraischer Abschluss yon K, 256 (gd quadratischer Zahlring, 223 P,~ regul/ires n-EeL 82 Q Quaternionengruppe, 13 R • Einheitengruppe von R, 143 g~ symmetrische Gruppe, 48 s; Anzahl der p-Sylowgruppen, 122 @ p-Sylowgruppe, 122 Z,~ zyklisehe Gruppe, 35 X,~ Primrestklassengruppe, 62 r primitive n-re Einheitswurzel, 14, 160
403
GL(n; K) allgemeine lineat'eGruppe, 13 Im~ Bild yon ~, 20, 145 ind (G 9 H) Index yon H in G, 28 inh(f) Inhalt eines Polynoms, 212 K(a) K6rperadjunktion, 244 K(X) Funktionenk6rper, IT0 Ker~ Kern yon ~, 20, 145 kgV ideinstes gemeinsames Vielfaches, 56, 210 Kom (G) Kommutatorgq'uppe, 135 Kon (M) konstruierbat'e Punkte, 374 ~Y[(D) meromorphe Funktionen, 170 M(n x n; K) Matrizenring, 149 #(f; z) Vielfachheit einer Nullstelle, 275 Norc Normalisator, 45 ~p(a) Exponent yon p in a, 209 (9(D) holomorphe Funktionen, 148 O(n) orthogonale Gruppe, 13 ord (M) Anzahl der Elemente, 27 Q(/~) Quotientenk6rper yon/~, 168 /~/a Restklassenring, 174 R[ a] Ringadjunktion, 244 /~[X] Polynomring, 152 res (f, g) Resultante, 291 R[[X]] Potenzreihenring, 154 S(M) symmetrische Gruppe, 12 signer Signum einer Permutation, 23 SO(n) spezielle orthogonale Gruppe, 23 StaG(z) Standgq'uppe, 72 T(G) Torsionsuntergruppe, III Z(G) Zentrum, 73 Zenc(z) Zentralisator, 73
Aut (G), Aut (K) Automorphismengruppen, 21,307 Aut (K; k) relative Automorphismen, 307 r R) stetige Funktionen, 147 (A) erzeugtes Ideal, 180 chat" (R) Chat'akteristik, 241 ( z l , . . . , z ~ ) n-Zyklus, 75 deg (f) Grad eines Polynoms, 155, 164 [a, b] Kommutator, 135 dis (f), A(f) Diskriminante, 296 [K" k] KSrpergrad, 242 Erz (M) erzeugte Untergruppe, ? I teilt, 55, 200 exp(G) Exponent einer Gruppe, 109 { teilt nieht, Fix (K; G) FixkSrper, 309 assoziiert, 200 p(n) Eulersehe Funktion, 61 = kongruent, 9 G/H linke Nebenklassen, 27 < Untergruppe, 6 H\G reehte Nebenklassen, 27 < Normalteiler, 32 G/N Faktorgruppe, 34 x direktes Produkt, 40 G(z) Bahn yon z, 72 9 direkte Summe, 42 Gal (f, k) Galoisgruppe, 307 >~, x~ semidirektes Produkt, 44, 47 ggT grSgter gemeinsatne Teiler, 56, 210
