Vjerojatnost i statistika - Slučajne varijable

Neven Elezović Redoviti profesor Fakulteta elektrotehnike i raˇcunarstva Zavod za primijenjenu matematiku VJEROJATNOST...

Author: Neven Elezović

97 downloads 1323 Views 2MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Neven Elezović Redoviti profesor Fakulteta elektrotehnike i raˇcunarstva Zavod za primijenjenu matematiku

VJEROJATNOST I STATISTIKA Sluˇcajne varijable

0. izdanje

Zagreb, 2007

c Prof. dr. sc. Neven Elezović, 2007.

Urednik Sandra Graˇcan, dipl. inˇz.

Nakladnik Element, Zagreb

Lektorica Dunja Vujec, prof.

Dizajn ovitka Edo Kadić

Tisak Element, Zagreb

Nijedan dio ove knjige ne smije se preslikavati niti umnaˇzati na bilo koji naˇcin, bez pismenog dopuˇstenja nakladnika

ˇ SADRZAJ

5. Neprekinute sluˇcajne varijable . . . . . . . . . . . . 5.1. Sluˇcajne varijable i razdiobe . . . . . . . . . 5.2. Funkcije neprekinutih sluˇcajnih varijabli 5.3. Rijeˇseni zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zadatci za vjeˇzbu . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

. . . . .

1 1 16 21 28

6. Primjeri neprekinutih razdioba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Eksponencijalna razdioba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Normalna razdioba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Raˇcunanje razdiobe i kvantila normalne sluˇcajne varijable . . 6.4. Rijeˇseni zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zadatci za vjeˇzbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. .. .. .. .. ..

. . . . . .

33 33 39 49 54 56

7. Sluˇcajni vektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1. Sluˇcajni vektori, razdiobe i gustoće . . . . 7.2. Uvjetne razdiobe. Uvjetno oˇcekivanje . . 7.3. Dvodimenzionalna normalna razdioba . . 7.3. Viˇsedimenzionalna normalna razdioba . . 7.4. Rijeˇseni zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zadatci za vjeˇzbu . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. .. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. .. .. ..

. . . . . . .

60 60 69 72 78 83 86

8. Funkcije sluˇcajnih vektora . . . . . . . . . . . . . . . 8.1. Funkcije neprekinutih sluˇcajnih vektora . 8.2. Razdiobe izvedene iz normalne . . . . . . . 8.3. Rijeˇseni zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zadatci za vjeˇzbu . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

. 91 . 91 . 100 . 108 . 114

9. Zakon velikih brojeva i centralni graniˇcni teorem . . . . . . . . 9.1. Zakoni velikih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Konvergencija po distribuciji i karakteristiˇcne funkcije 9.3. Centralni graniˇcni teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. Rijeˇseni zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zadatci za vjeˇzbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. .. ..

. . . . . .

119 119 126 129 132 134

Odgovori i rjeˇsenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Kazalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Tablica normalne razdiobe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5.

Neprekinute slucˇ ajne varijable 1. 2. 3. 4.

Sluˇcajne varijable i razdiobe . . . . . . . . Funkcije neprekinutih sluˇcajnih varijabli . Rijeˇseni zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . Zadatci za vjeˇzbu . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. 1 . 16 . 21 . 28

5.1. Slucˇ ajne varijable i razdiobe U ovom cémo poglavlju prouˇcavati sluˇcajne varijable kojima je skup vrijednosti interval (ograniˇcen ili ne) u skupu realnih brojeva. Takve sluˇcajne varijable mogu poprimiti svaku vrijednost unutar tog intervala. S obzirom da mogućih vrijednosti ima neprebrojivo mnogo, vjerojatnost realizacije svake od njih redovito cé biti jednaka nuli. Po tome se ovakve sluˇcajne varijable razlikuju od diskretnih, gdje je takva vjerojatnost bila pozitivan broj. Pri prouˇcavanju neprekinutih sluˇcajnih varijabli koristimo se aparatom matematiˇcke analize. Nizove brojeva koji zadaju razdiobu zamijenit cé realna funkcija, umjesto suma koristit cémo tehnike integralnog i diferencijalnog raˇcuna. Posebice, efikasno sredstvo u teorijskom i praktiˇcnom pogledu cˇinit cé Fourierova i Laplaceova transformacija.

Sluˇcajna varijabla

Zapoˇcnimo s definicijom, koja se minimalno razlikuje od definicije diskretne slucˇajne varijable, a u sebi ukljuˇcuje i tu vrstu sluˇcajnih varijabli. Sluˇcajne varijable i funkcija razdiobe

Neka je (Ω, F, P ) vjerojatnosni prostor. Preslikavanje X : Ω → R nazivamo sluˇcajna varijabla ako je za svaki x ∈ R skup Ax = {ω ∈ Ω : X(ω ) < x} - dakle element algebre F . dogadaj, Skup {ω ∈ Ω : X(ω ) < x} oznaˇcavat cémo kraće sa {X < x} . Funkcija razdiobe sluˇcajne varijable X je funkcija F : R → [0, 1] definirana formulom F(x) := P ({X < x}). (5.1) 1

2

ˇ 5. NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE

Funkcija razdiobe (i njezina derivacija) bit cé najvaˇzniji pojam vezan uz sluˇcajnu varijablu. Poznavanjem funkcije razdiobe, moˇzemo u potpunosti opisati pripadnu sluˇcajnu varijablu. Upoznajmo se odmah s osnovnim svojstvima funkcije razdiobe. Funkcija razdiobe Teorem 5.1. Neka je F funkcija razdiobe sluˇcajne varijable X . Ona posjeduje svojstva: 1◦ P ({x1 X < x2 }) = F(x2 ) − F(x1 ) , 2◦ F je neopadajuća: x1 < x2 =⇒ F(x1 ) F(x2 ) , 3◦ lim F(x) = 0 , lim F(x) = 1 , x→−∞

x→∞

4◦ F je neprekinuta slijeva: F(x − 0) := lim F(x − ε ) = F(x), ε ↓0

∀x ∈ R.

Dokaz. 1◦ Neka je x1 < x2 . Onda vrijedi F(x2 ) = P ({X < x2 }) = P ({X < x1 } ∪ {x1 X < x2 }) = P ({X < x1 }) + P ({x1 X < x2 }) = F(x1 ) + P ({x1 X < x2 }). 2◦ Neka je ponovo x1 < x2 . Kako vrijedi {X < x1 } ⊂ {X < x2 } , tvrdnja slijedi zbog monotonosti vjerojatnosti. 3◦ Neka je (xn ) po volji odabran padajući niz realnih brojeva, limn→∞ xn = −∞ . Oznaˇcimo An = {X < xn } . Onda su An padajući skupovi: A1 ⊃ A2 ⊃ . . . i vrijedi ∩∞ n=1 An = ∅ . Zato je, zbog svojstva neprekinutosti vjerojatnosti, lim F(x) = lim F(xn ) = lim P (An ) = 0.

x→−∞

n→∞

n→∞

Druga se tvrdnja dokazuje na isti naˇcin. 4◦ Tvrdnja ponovo slijedi iz neprekinutosti vjerojatnosti. Naime, ako je (εn ) niz pozitivnih brojeva koji opada prema nuli, onda je s An = {X < x − εn } definiran rastući niz skupova za koji vrijedi ∪∞ n=1 An = {X < x} pa tvrdnja slijedi zbog neprekinutosti vjerojatnosti: F(x − 0) = lim F(x − ε ) = lim F(x − εn ) ε ↓0

n→∞

= lim P (An ) = P (A) = F(x), n→∞

∀x ∈ R.

ˇ 5.1. SLU CAJNE VARIJABLE

3

I RAZDIOBE

F

F 1

F

1

1

x

x

x

Sl. 5.1. Graf funkcija razdioba nekih sluˇcajnih varijabli. Koja se svojstva tih varijabli mogu oˇcitati iz ovog grafa?

1 4

,

1 2

Primjer 5.1. Sluˇcajna varijabla X uzima vrijednosti −1 , 0 , 1 s vjerojatnostima

,

1 4

redom. Odredimo funkciju razdiobe varijable X i nacrtajmo njezin graf.

- {X < x} ima vjerojatnost 0 te je F(x) = 0 za Ako je x −1 , tada dogadaj takve x . Za −1 < x 0 vrijedi P (X < x) = P (X = −1) =

1 4

Za 0 < x 1 vrijedi P (X < x) = P (X = −1) + P (X = 0) =

1 4

+

1 2

=

3 4

itd. Tako dobivamo ⎧ 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 1, 4 F(x) = ⎪ 3, ⎪ ⎪ ⎩ 4 1,

6

b

b

r

y

x −1, −1 < x 0,

1

0 < x 1, 1 < x.

b

r

r

1

1

x

Sl. 5.2.

∗∗∗ Općenito, funkcija razdiobe diskretne sluˇcajne varijable sa zakonom x1 x2 x3 · · · X∼ p1 p2 p3 · · · je stepenasta funkcija sa skokovima u toˇckama x1 , x2 ,. . . . Iznosi skokova su vjerojatnosti p1 , p2 ,. . . .

4


Sl. 5.3. Graf funkcije razdiobe diskretne sluˇcajne varijable je stepenasta funkcija. U toˇckama prekida neprekinuta je slijeva. Iznos skokova jednak je vjerojatnosti s kojom sluˇcajna varijabla poprima vrijednost u toj toˇcki.

∗∗∗ Neprekinute sluˇcajne varijable

Upoznat cémo sada drugu vaˇznu klasu sluˇcajnih varijabli. Neprekinute sluˇcajne varijable. Gustoća razdiobe

Za sluˇcajnu varijablu X kaˇzemo da je neprekinuta (kontinuirana) ako postoji nenegativna funkcija f : R → R takva da vrijedi x F(x) = f (t)dt. (5.2) −∞

Funkcija f naziva se gustoća razdiobe vjerojatnosti sluˇcajne varijable X . Ona nije nuˇzno neprekinuta, no u toˇckama neprekinutosti od f vrijedi dF(x) f (x) = . (5.3) dx

Dakako, funkcija razdiobe neprekinute sluˇcajne varijable je i sama neprekinuta, jer je to funkcija gornje granice integrala. Zato vrijedi P (X = x) = F(x+0)−F(x) = 0 za - {x1 < X < x2 } , {x1 X < x2 } , {x1 < X x2 } , svaki x ∈ R . Stoga su i svi dogadaji {x1 X x2 } jednako vjerojatni. Njihova se vjerojatnost raˇcuna na naˇcin x2 f (t)dt. (5.4) P (x1 < X < x2 ) = F(x2 ) − F(x1 ) = x1

Funkcija gustoće pozitivna je funkcija s integralom ∞ f (x)dx = 1. −∞

Slika prikazuje neku funkciju razdiobe i pripadnu gustoću

(5.5)


5

I RAZDIOBE

F

F

1

1 F(b)-F(a) a

a

b

b

Sl. 5.4. Razlika vrijednosti funkcije razdiobe jednaka je vjerojatnosti da sluˇcajna varijabla X poprimi vrijednost u tom intervalu. Kod funkcije gustoće ta je vjerojatnost predoˇcena povrˇsinom ispod grafa funkcije.

Znamo da je funkcija razdiobe neopadajuća funkcija s vrijednostima unutar intervala [0, 1] . Stoga cémo neke formule zapisivati u skraćenom obliku. Tako npr. umjesto zapisa ⎧ x 0, ⎨ 0, F(x) = x, 0 < x < 1, ⎩ 1, 1 x, pisat cémo kratko F(x) = x,

0 < x < 1,

jer je tada nuˇzno F(x) = 0 za x 0 i F(x) = 1 za x 1 . - ako gustoću razdiobe definiramo nekom formulom za x ∈ [a, b] , tada Takoder, smatramo da je van tog intervala po definiciji jednaka nuli. Na koncu, ako je funkcija F ili f definirana nekom formulom bez naznake podruˇcja definicije, tada cé to redovito biti cˇitav R . Jednolika razdioba

Opiˇsimo sad jednostavnu, ali vrlo vaˇznu razdiobu. Prisjetimo se situacije koju smo imali kad je podruˇcje vrijednosti sluˇcajne varijable S = {x1 , . . . , xn } , bio diskretan skup. Sluˇcajna varijabla, koja je poprimala vrijednosti unutar S s jednakim vjerojatnostima, opisivala je pokus biranja na sreću elementa skupa S . Tad je vjerojatnost 1 njezine realizacije bila P (X = xk ) = , za svaki k = 1, . . . , n . n Jasno je da povećanjem broja elemenata u skupu S ove vjerojatnosti teˇze k nuli. Ako je na primjer S skup prirodnih brojeva, moˇzemo postaviti pitanje: postoji li algoritam kojim bi, s jednakom vjerojatnoˇscú, birali neki prirodni broj. Odgovor na ovo vaˇzno pitanje je negativan, takav algoritam ne postoji. Naime, jasno je da bi vjerojatnost izbora svakog prirodnog broja morala biti jednaka nuli, pa je zbog svojstva σ -aditivnosti vjerojatnosti P i vjerojatnost izbora bilo kojeg podskupa skupa prirodnih brojeva jednaka nuli.

Pretpostavimo sad da je skup S interval [a, b] . Toˇcaka unutar tog intervala ima beskonaˇcno (neprebrojivo) mnogo. Zamislimo postupak odabira na sreću nekog broja unutar tog intervala.

6


Na sreću odabrani broj. Jednolika razdioba

Kaˇzemo da biramo na sreću broj unutar intervala [a, b] ako je vjerojatnost da cé on biti izabran unutar nekog podintervala proporcionalna duljini tog podintervala. Za sluˇcajnu varijablu koja uzima vrijednost ovako izabranog broja kaˇzemo da ima jednoliku (uniformnu) razdiobu na intervalu [a, b] .

Neka X oznaˇcava tu sluˇcajnu varijablu. Odredimo njezinu funkciju razdiobe. Prema definiciji, mora biti F(x) − F(a) = P (a X < x) = K(x − a). X uzima vrijednost unutar intervala [a, b] . Zato je P {X < a} = 0 = F(a), 1 = P {a X < b} = F(b) − F(a) = K(b − a), i odavde je K =

1 . Tako dobivamo: b−a

Jednolika razdioba, alternativna definicija, razdioba i gustoća

Za sluˇcajnu varijablu X kaˇzemo da je jednoliko (uniformno) distribuirana na intervalu [a, b] , ako je zadana funkcijom razdiobe odnosno funkcijom gustoće: x−a F(x) = , a x b, b−a 1 , a x b. f (x) = b−a Piˇsemo X ∼ U(a, b) .

Grafovi funkcije gustoće i pripadne funkcije razdiobe izgledaju ovako:

6

6

f (x )

F (x )

1 1

b a

a

b

x

a

b

x

Sl. 5.5. Funkcija razdiobe jednolike razdiobe je afina na intervalu [a, b] . Gustoća jednolike razdiobe konstantna je na tom intervalu. Odatle i ime razdiobi.


7

I RAZDIOBE

Primjer 5.2. Dvije toˇcke odabrane su na sreću unutar duˇzine duljine 1 . Definiraj- njima. Odredi funkciju razdiobe varijable mo sluˇcajnu varijablu Z kao udaljenost medu Z.

Izbor dviju toˇcaka x i y unutar intervala [0, 1] ekvivalentan je izboru jedne toˇcke (x, y) unutar kvadrata [0, 1] × [0, 1] . Vrijednost koju sluˇcajna varijabla Z poprima, jednaka je Z = |x − y| . Varijabla Z uzima vrijednosti iz intervala [0, 1] . Pritom je |x − z| < z ⇐⇒ x − z < y < x + z. Zato cé nejednakost |x − y| < z biti ispunjena kad se odabere toˇcka (x, y) unutar podruˇcja Gz . Zato je F(z) = P {Z < z} = m(Gz ) = 2z − z2 ,

0 z 1.

6

y =x +z

y

. . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .z . . . .

G

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . .

y =x z

. . . . . . . .

z

1

x

Sl. 5.6.

Nezavisnost sluˇcajnih varijabli

Pojam nezavisnosti sluˇcajnih varijabli upoznali smo za varijable diskretnog tipa. Tako smo ukazali i na kriterij nezavisnosti koji se provjerava preko marginalnih razdioba sluˇcajnog vektora. Analogne definicije i tvrdnje vrijedit cé i za općenite sluˇcajne varijable. O tome cé biti viˇse rijeˇci u nastavku. Za sada, zadovoljit cémo se definicijom nezavisnosti, a kriterije i dodatna svojstva moramo odloˇziti do poglavlja o sluˇcajnim vektorima. Definicija nezavisnosti

Kaˇzemo da su sluˇcajne varijable X i Y nezavisne, ukoliko za sve intervale A , B iz skupa R vrijedi P(X ∈ A, Y ∈ B) = P(X ∈ A)P(Y ∈ B).

Oˇcekivanje i disperzija

Neka je X neprekinuta s gustoćom f . Njezino oˇcekivanje definira se na naˇcin ∞ E(X) = x f (x)dx (5.6) −∞

Ako ovaj nepravi integral ne konvergira, oˇcekivanje ne postoji. Oznaˇcimo x = E(X) . Disperzija D(X) sluˇcajne varijable X raˇcuna se uz pomoć formula: D(X) = E[(X − x)2 ] = E(X 2) − x2 . Dakle

∞

D(X) = −∞

2

(x − x) f (x)dx =

∞

−∞

x2 f (x)dx − x2 .

Od svojstava oˇcekivanja i disperzije izdvojit cémo samo najvaˇznija:

(5.7)

8


Svojstva oˇcekivanja i disperzije

Za sve sluˇcajne varijable X , Y i realne brojeve s , t vrijedi E(sX + tY) = sE(X) + tE(Y) (svojstvo linearnosti oˇcekivanja). Za disperziju pak vrijedi D(sX) = s2 D(X). Ako su X i Y nezavisne, onda vrijedi E(XY) = E(X)E(Y), D(X + Y) = D(X) + D(Y).

Ova cémo svojstva dokazati naknadno. ∗∗∗ Primjer 5.3. (Jednolika razdioba) Izraˇcunajmo oˇcekivanje i disperziju jednolike razdiobe. Promotrit cémo najprije, jednostavnosti radi, jednoliku razdiobu na intervalu [0, 1] . Za nju je gustoća f (x) = 1 , pa imamo 1 1 x2 1 E(X) = x dx = = , 2 0 2 0 1 1 1 1 x2 1 1 1 2 x dx − = − = − = . D(X) = 4 2 0 4 3 4 12 0

Ako Y ima jednoliku razdiobu na intervalu [a, b] , tada sluˇcajna varijabla Y −a X= b−a ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 1] . Obratno, ako X ima jednoliku razdiobu na [0, 1] , onda Y = (b − a)X + a ima jednoliku razdiobu na intervalu [a, b] . Oˇcekivanje ove sluˇcajne varijable je E(Y) = E[(b − a)X + a] = (b − a)E(X) + a 1 a+b = (b − a) · + a = , 2 2 a njezina disperzija D(Y) = D[(b − a)X + a] = (b − a)2 D(X) =

(b − a)2 . 12


9

I RAZDIOBE

Primjer 5.4. Na sreću odabiremo toˇcku T unutar kvadrata stranice 2. Neka je vrijednost sluˇcajne varijable X najmanja od udaljenosti te toˇcke do stranica kvadrata. Odredimo funkciju razdiobe i oˇcekivanje od X .

Odredimo najprije funkciju razdiobe: F(x) = P {X < x} = P {T ∈ Gx } =

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .x . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

-

4 − (2 − 2x)2 m(Gx ) = m(S) 4

= 2x − x2 , 0 x 1. Gustoća razdiobe je f (x) = 2 − 2x, 0x1 te oˇcekivanje iznosi 1 1 x(2 − 2x)dx = . E(X) = 3 0

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x . . . . . . . .

G

Sl. 5.7.

Primjer 5.5. Toˇcka se bira na sreću unutar polukruga polumjera r . Neka je X udaljenost toˇcke do promjera. Odredimo oˇcekivanje varijable X .

U ovom primjeru nećemo raˇcunati funkciju razdiobe, već cémo gustoću odrediti na temelju veze: F(x + Δx) − F(x) P (x < X < x + Δx) f (x) = F (x) = lim = lim . Δx→0 Δx→0 Δx Δx Za male Δx vrijedi stoga √ m(ΔS) . 2 r2 − x2 Δx . f (x)Δx = P (x < X < x + Δx) = . = 1 2 m(S) 2r π

ΔS

Sl. 5.8. Pri raˇcunanju povrˇsine ΔS , prugu debljine Δx moˇzemo aproksimirati pravokutnikom iste debljine. Pritom je uˇcinjena pogreˇska veliˇcine (Δx)2 , koja u limesu ne utjeˇce na funkciju f (x) .

x +Δx x

S

.. ..... ..... ..... ..... ..... . . . . . ..... ..... ..... r ..... ..... . . . . .... ..... @C

Odavde dobivamo funkciju gustoće: 4 2 r − x2 , 0 x r. f (x) = 2 r π Sad moˇzemo izraˇcunati oˇcekivanje: r

r 4x 2 2 4r 2 E(X) = r − x dx = − 2 r2 − x2 d(r2 − x2 ) = . 2 r π 0 3π 0 r π

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

10


Riemann-Stieltjesov integral

Neka je F : R → R monotono rastuća funkcija, neprekinuta slijeva. Neka je g : [a, b] → R ograniˇcena. Izaberimo bilo koju particiju P = {x0 , x1 , . . . , xn } intervala [a, b] , a = x0 < x1 < . . . < xn = b . Definirajmo integralnu sumu n g(˜xi )[F(xi ) − F(xi−1 )]. S(P, g, F) = i=1

Oznaˇcimo s Δ = max |xi − xi−1 | , Riemann-Stieltjesov integral, definicija

Kaˇzemo da je g Riemann-Stieltjes integrabilna u odnosu na F , ako postoji limes integralnih suma, neovisno o izboru particije i toˇcaka x˜i ∈ [xi−1 , xi ] . Taj limes nazivamo Riemann-Stieltjesov integral, a oznaˇcavamo na sljedeći naˇcin: b g(x)dF(x) := lim S(P, g, F) a

Δ→0

Primijetimo da za F(x) = x Riemann-Stieltjesov integral postaje Riemannov integral. ∗∗∗ Sad cémo dovesti u vezu Riemann-Stieltjesov i klasiˇcni Riemannov integral, za sˇ iroku klasu funkcija F vaˇznih u primjenama. Neka je F po dijelovima konstantna na intervalu [a, b] , sa skokom iznosa p u toˇcki c unutar tog intervala: r, xc F(x) = r + p, x > c

b Izraˇcunajmo a g(x)dF(x) , za neku funkciju g , neprekinutu na intervalu [a, b] .

Sl. 5.9.

Za bilo koju particiju vrijedi F(xi ) − F(xi−1 ) = 0 za svaki indeks i osim za onaj za koji je xi−1 c < xi , jer je funkcija F konstantna lijevo i desno od toˇcke c . Zato


11

I RAZDIOBE

u integralnoj sumi ostaje samo jedan cˇlan: S(P, g, F) = g(˜xi )[F(xi ) − F(xi−1 )] = g(˜xi ) · p U limesu, kad Δ → 0 , toˇcka x˜i teˇzi ka c . Zato je b g(x)dF(x) = g(c) · p. a

Općenito, ako F ima skokove iznosa pi u toˇckama ci , za njezin RiemannStieltjesov integral vrijedi b n g(x)dF(x) = g(ci ) · pi . a

i=1

∗∗∗ Neka je sad F neprekinuto diferencijabilna funkcija. Tad, po teoremu srednje vrijednosti imamo F(xi ) − F(xi−1 ) = F (ξi )(xi − xi−1 ) , za neku toˇcku ξi ∈ xi−1 , xi . Integralna suma glasi n g(˜xi )F (ξi )(xi − xi−1 ). i=1

Limes ove integralne sume oˇcito definira Riemannov integral b g(x)F (x)dx. a

Riemann-Stieltjesov integral, naˇcin raˇcunanja

Ako F ima skokove iznosa pi u toˇckama ci , za njezin Riemann-Stieltjesov integral vrijedi b n g(x)dF(x) = g(ci ) · pi . a

i=1

Ako je F neprekinuto diferencijabilna funkcija, onda vrijedi b b g(x)dF(x) = g(x)F (x)dx. a

a

Prema tome, koriˇstenjem Riemann-Stieltjesovog integrala mi cémo istovremeno pokrivati obje vaˇzne klase sluˇcajnih varijabli, diskretne i neprekinute sluˇcajne varijable. Tako, na primjer, oˇcekivanje neke sluˇcajne varijable moˇzemo izraziti formulom ∞ x dF(x), E(X) = −∞

a disperziju

∞

D(X) = −∞

Integrali su Riemann-Stieltjesovi.

x2 dF(x) − E(X)2.

12


Primjer 5.6. Izraˇcunaj oˇcekivanje sluˇcajne varijable cˇ ija je funkcija razdiobe zada-

na slikom:

6

F (x )

1

a

3 4

q

1 2

a

1 4

q

0

1

2

x

Sl. 5.10.

Funkcija razdiobe glasi

⎧ 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 1 x, 4 F(x) = 1 ⎪ x + 14 , ⎪ ⎪ ⎩ 4 1,

x 0, 0 < x 1, 1 < x 2, 2 x.

1 4

u toˇckama x = 1 i x = 2 . Zato je ∞ E(X) = xdF(x)

F ima skokove iznosa

−∞ 1

x F (x)dx + 1 ·

= 0

=

0

1

x 1 dx + + 4 4

2

1

1 + 4

1

2

x F (x)dx + 2 ·

1 4

x 2 5 dx + = . 4 4 4

Karakteristiˇcna funkcija

Svakoj sluˇcajnoj varijabli X moˇzemo pridruˇziti karakteristiˇcnu funkciju. To je funkcija realnog argumenta s kompleksnim vrijednostima, ϑ : R → C zadana formulom ∞ ϑ (t) := E(eitX ) = eitx dF(x). (5.8) −∞

Osnovna svojstva karakteristiˇcne funkcije su - razdiobu: dvije razliˇcite razdi1◦ Karakteristiˇcna funkcija jednoznaˇcno odreduje obe ne mogu imati istu karakteristiˇcnu funkciju. 2◦ Ako su X1 , . . . , Xn nezavisne, tada je

ϑX1 +...+Xn (t) = ϑX1 (t) · . . . · ϑXn (t).

(5.9)

◦

3 Vrijedi formula E(X r ) =

ϑ (r) (0) , ir

r = 1, 2, . . .

(5.10)


13

I RAZDIOBE

ukoliko oˇcekivanje postoji. Specijalno, E(X) = −iϑ (0),

(5.11) D(X) = −ϑ (0) + ϑ (0)2 . Ako je ϑX karakteristiˇcna funkcija varijable X , tada varijabla Y = a + bX ima karakteristiˇcnu funkciju eita ϑX (bt). Primjer 5.7. Odredimo karakteristiˇcnu funkciju sluˇcajne varijable jednoliko distribuirane na intervalu [a, b] .

1 Gustoća ove razdiobe je f (x) = , a x b . Stoga b−a ∞ b 1 eibt − e−iat ϑ (t) = eitx f (x)dx = eitx dx = . b−a (b − a)it −∞ a U sluˇcaju simetriˇcnog intervala [−a, a] , karakteristiˇcna funkcija postaje realna: eiat − e−iat sin at ϑ (t) = = . (a + a)it at ∗∗∗ Ako je X neprekinuta sluˇcajna varijabla, s gustoćom f , tada njezina karakteristiˇcna funkcija iznosi ∞ ϑ (t) = eitx f (x)dx. (5.12) −∞

To je upravo

∞ Fourierova transformacija funkcije f . Stoga cé, ukoliko ϑ zadovoljava uvjet −∞ |ϑ (t)|dt < ∞ , vrijediti formula inverzije ∞ 1 ϑ (t)e−itx dt. (5.13) f (x) = 2π −∞ jom

Primjer 5.8. Odredi funkciju gustoće razdiobe odredene karakteristiˇcnom funkci-

ϑ (t) = e−|t| ,

t ∈ R.

- formulom Ova je funkcija apsolutno integrabilna, stoga cé gustoća biti odredena inverzije (5.13) ∞ ∞ 1 1 −itx f (x) = e ϑ (t)dt = e−itx e−|t| dt 2π −∞ 2π −∞ 0 ∞ 1 = e−itx et dt + e−itx e−t dt 2π −∞ 0 (−ix+1)t 0 (−ix−1)t ∞ e 1 e + = 2π −ix + 1 −∞ −ix − 1 0 1 1 1 1 = + = . 2π −ix + 1 ix + 1 π (1 + x2 ) Razdioba s ovom gustoćom naziva se Cauchyjeva razdioba. Zbog jedinstvenosti, zakljuˇcujemo da je t → e−|t| karakteristiˇcna funkcija te razdiobe.

14


Laplaceova transformacija

Karakteristiˇcna je funkcija Fourierova transformacija gustoće. Pri izboru transformacije gustoća pozitivne sluˇcajne varijable, moˇzemo koristiti i Laplaceovu transformaciju. Ako je F funkcija razdiobe pozitivne sluˇcajne varijable X , onda je njezin Laplace-Stieltjesov transformat ∞ f ∗ (s) = E(e−sX ) = e−sx dF(x) (5.14) 0

Ako je X neprekinuta s gustoćom f , onda je f ∗ uobiˇcajeni Laplaceov transformat funkcije f : ∞ ∗ f (s) = e−sx f (x)dx. (5.15) 0

Ako je pak X diskretna sluˇcajna varijabla koja uzima vrijednosti u skupu {0, 1, 2, . . .} , tad Laplace-Stieltjesov transformat glasi ∞ f ∗ (s) = e−sk pk = ψX (e−s ). (5.16) k=0

Dakle, u ovom se sluˇcaju Laplaceov transformat podudara kojoj je argument z zamijenjen s e−s . Derivacijom integrala po parametru dobivamo ∞ d ∗ (−x)e−sx dF(x) f (s) = ds 0 ∞ d2 ∗ f (s) = (−x)2 e−sx dF(x) ds2 0 .. . ∞ n d ∗ f (s) = (−x)n e−sx dF(x) dsn 0 Odavde, stavljajući s = 0 , slijedi ∞ dn f ∗ (s) xn dF(x) = (−1)n E(X n) = dsn 0

s funkcijom izvodnice u

.

(5.17)

s=0

Singularne sluˇcajne varijable

Do sada smo promatrali diskretne i neprekinute sluˇcajne varijable. Spomenimo da uz njih postoji i treća klasa tzv. singularnih sluˇcajnih varijabli, cˇija je funkcija razdiobe neprekinuta, no nemaju gustoće. Takva se funkcija ne moˇze napisati u obliku

x f (t)dt . Klasu singularnih sluˇcajnih varijabli ne susrećemo u primjenama, jer se −∞ njihova funkcija razdiobe ne moˇze eksplicitno izraziti sluˇzeći se samo ograniˇcenim brojem elementarnih funkcija (iskljuˇcimo li graniˇcne procese). Definirajmo na intervalu [0, 1] funkciju F1 (x) F1 (x) =

1 2

za

1 3

x 23 . F1 (0) = 0. F1 (1) = 1.

F1 je neprekinuta i afina na intervalima (0, 13 ), ( 23 , 1).


15

I RAZDIOBE

Graf funkcije F1 nacrtan je na slici:

6

F1 (x )

1 1 2

0

1 3

1

2 3

-

x

Sl. 5.11.

U drugom koraku svaki od intervala [0, 13 ] , [ 23 , 1] podijelimo na tri dijela i definiramo neprekinutu funkciju F2 : ⎧ 1 x ∈ [ 19 , 29 ], ⎪ ⎨ 4, 1 F2 (0) = 0. F2 (1) = 1. F2 (x) = x ∈ [ 13 , 23 ], 2, ⎪ ⎩ 3 x ∈ [ 79 , 89 ]. 4, Na ostalim intervalima definiramo F2 da bude neprekinuta i afina:

6

F2 (x )

1 3 4 1 2 1 4

0

1 9

2 9

3 9

6 9

7 9

8 9

1

-

x

Sl. 5.12.

Nastavimo ovaj postupak. Niz funkcija {Fn } teˇzit cé ka funkciji F koja je neprekinuta, neopadajuća, s vrijednostima u [0, 1] . Pritom je F(0) = 0 , F(1) = 1 i F predstavlja funkciju razdiobe neke sluˇcajne varijable. Derivacija funkcije F jednaka je nuli svugdje gdje je F konstantna. Duljina takvih intervala se za svaku funkciju Fn povećava i iznosi 1 1 1 1 1 +2· +4· + ... = . = 1. 2 3 9 27 3 1− 3

x tj. F (x) = 0 skoro svuda i F se ne moˇze napisati u obliku −∞ f (t)dt . Stoga ne postoji gustoća ove razdiobe. ∗∗∗ Svaka se funkcija razdiobe F moˇze napisati u obliku F = p1 F1 + p2 F2 + p3 F3 , gdje je pk 0 , p1 + p2 + p3 = 1 , a F1 , F2 , F3 su redom funkcije razdioba diskretne, neprekinute i singularne sluˇcajne varijable.

16


5.2. Funkcije neprekinutih slucˇ ajnih varijabli Kompozicija sluˇcajne varijable X i realne funkcije ψ : R → R ponovo je sluˇcajna varijabla: Y = ψ (X) : Ω → R. - njezin zakon razdiobe za sluˇcaj kad je X diskretnog tipa. Nauˇcili smo kako se odreduje Neka je X neprekinuta sluˇcajna varijabla s gustoćom f i funkcijom razdiobe F . Traˇzimo gustoću g (ako postoji) i razdiobu G sluˇcajne varijable Y = ψ (X) . Imamo G(y) = P (Y < y) = P (ψ (X) < y) = P (X ∈ ψ −1 ( −∞, y )) = P (X ∈ Ay ). - {Y < y} ostvaruje se onda i samo onda kad se ostvaruje dogadaj Dakle, dogadaj −1 X ∈ Ay . Ovdje je ψ (A) oznaka za original skupa A :

ψ −1 (A) := {x ∈ R : ψ (x) ∈ A}.

6

y =ψ (x )

......... ........ .............. ..... .... .................. . . . . . . . y . . ... ..... . . .... . . ... . . . . . ...... ... .. ... . . . . . . . . . . . . .......................... ... .... ... . ... .. .. ... .. ... Ay .. .. . ψ 1 ((1 y ))=fx 2R:ψ (x ) x) = 1 − F(x), d d dx dx g(y) = G(y) = [1 − F(x)] = −f (x) . dy dx dy dy U oba sluˇcaja se rezultat moˇze napisati istom formulom: Transformacija funkcije gustoće

Neka je Y = ψ (X) . Ako je funkcija ψ rastuća ili padajuća funkcija, onda vrijedi dx y = ψ (x), g(y) = f (x) , (5.1) dy tj. g(y) = f (ψ

−1

−1 dψ (y) . (y)) dy

Općenitije, ova formula vrijedi za svaku injektivnu funkciju ψ . Ukoliko je potrebno odrediti samo oˇcekivanje ili momente funkcije sluˇcajne varijable, tada nam nije potrebno raˇcunati njezinu gustoću. Umjesto toga, jednostavnije je primijeniti formulu: ∞ k k E(Y ) = E(ψ (X) ) = ψ (x)k f (x)dx. (5.2) −∞

18


Primjer 5.10. (Cauchyjeva razdioba) Kroz toˇcku A(0, 1) povuˇcen je pravac koji sijeˇce os Ox u toˇcki B . Kut α sˇ to ga zatvara pravac s osi Oy je sluˇcajna varijabla s jednolikom razdiobom na intervalu − π2 , π2 . Neka je X apscisa toˇcke B . Odredi funkciju gustoće varijable X .

Gustoća varijable α je 1 α ∈ − π2 , π2 . f (α ) = , π Vrijedi X = tg α , a funkcija tangens je injektivna (rastuća) na intervalu − π2 , π2 . Zato je gustoća varijable X dana sa dα 1 d(arc tg x) 1 g(x) = f (α ) = · = . dx π dx π (1 + x2 )

6 @@ @ @@ 1

A α

X

0

@@ B

Za sluˇcajnu varijablu X kaˇzemo da ima Cauchyjevu razdiobu.

Sl. 5.16. Primjer 5.11. Sluˇcajna varijabla X ima Cauchyjevu razdiobu, s gustoćom

f (x) =

1 . π (1 + x2 )

Odredi gustoću i funkciju razdiobe sluˇcajne varijable A. Y = X 2 ; B. Y = 1/X . A. Funkcija razdiobe F varijable X je x 1 F(x) = du 2 −∞ π (1 + u ) 1 1 = + arc tg x. 2 π Zato imamo G(y) = P (Y < y) = P (X ∈ Ay ) √ √ = P (− y < X < y) √ √ 2 √ = F( y) − F(− y) = arc tg y, π 1 , y > 0. g(y) = √ π y(1 + y)

6

y =x 2

y

py 01

Ay

py-

Sl. 5.17.

y > 0,

I ovdje moˇzemo gustoću dobiti i na drugi naˇcin. Funkcija x → x2 je injektivna na intervalima −∞, 0 , 0, ∞ : dx 1 1 1 x < 0 : g1 (y) = f (x) = · √ = √ , y > 0, 2 dy π (1 + x ) 2 y 2π y(1 + y) dx 1 1 1 x > 0 : g2 (y) = f (x) = · √ = √ , y > 0, dy π (1 + x2 ) 2 y 2π y(1 + y) Funkcija g je zbroj ovih dviju funkcija 1 g(y) = g1 (y) + g2 (y) = √ , π y(1 + y)

y > 0.

5.2. FUNKCIJE

ˇ NEPREKINUTIH SLU CAJNIH VARIJABLI

1 b) Funkcija x → je injektivna, zato x dx 1 1 1 1 = · 2 = . g(y) = f (x) = 2 1 dy π (1 + x ) y π (1 + y2 ) π 1 + 2 y2 y 1 - Cauchyjevu razdiobu. ima takoder te i Y = X Primjer 5.12. Sluˇcajna varijabla X ima neprekinutu funkciju razdiobe F . Odredi funkciju razdiobe sluˇcajne varijable Y = F(X) . Y poprima vrijednosti unutar intervala [0, 1] . P (Y < y) = P (F(X) < y) = P (X < F −1 (y)) = F(F −1 (y)) = y. dakle, Y ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 1] . Modeliranje sluˇcajnih varijabli

Jedan od vaˇznijih naˇcina ispitivanja stohastiˇckih zakonitosti, naroˇcito u primjenama, jest njihovo modeliranje koje ostvarujemo generiranjem sluˇcajnih varijabli koje su ukljuˇcene u eksperiment. Pokazuje se da je u praksi dovoljno posjedovati generator sluˇcajnih brojeva, pomoću kojeg moˇzemo modelirati po volji odabranu razdiobu. Generator sluˇcajnih brojeva daje vrijednosti jednolike razdiobe na unaprijed odabranom intervalu (ili konacˇnom skupu). Postavlja se pitanje: kako cémo pomoću generatora jednolike razdiobe dobiti vrijednosti bilo koje sluˇcajne varijable s poznatom razdiobom F ? Ovaj je problem obrnut od onog koji je rijeˇsen u prethodnom primjeru. Tamo smo poˇsavˇsi od varijable X s razdiobom F dobili sluˇcajnu varijablu U s jednolikom razdiobom. Funkcionalna veza ovih dviju varijabli je U = F(X) . To nam ukazuje da se obrnuti problem moˇze rijeˇsiti koriˇstenjem inverzne funkcije. Ako U ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 1] , tada bi sluˇcajna varijabla X definirana formulom X = F −1 (U) trebala imati razdiobu opisanu funkcijom razdiobe F. Uvjerimo se u to, najprije u jednostavnijem sluˇcaju kad funkcija F posjeduje inverz F −1 . S obzirom da je F neopadajuća funkcija, njezin cé inverz postojati kad god sluˇcajna varijabla X nema atoma — toˇcaka s pozitivnom vjerojatnoˇscú. U tom je sluˇcaju P (X < x) = P (F −1 (U) < x) = P (U < F(x)) = F(x). Dakle, F je uistinu razdioba sluˇcajne varijable X . ∗∗∗

- opisati pomoću njezine Modeliranje diskretne sluˇcajne varijable moˇze se takoder funkcije razdiobe. Neka je x1 x2 . . . xn X∼ . p1 p2 . . . pn Pripadna funkcija raziobe ima sljedeći graf:

19

20


Sl. 5.18. Funkcija razdiobe diskretne sluˇcajne varijable.

Oblik ove funkcije govori na koji naˇcin treba generirati vrijednosti sluˇcajne varijable: interval [0, 1] treba podijeliti na dijelove I1 , I2 , . . . , In kojima su duljine proporcionalne vjerojatnostima p1 , p2 , . . . , pn . Ako jednolika razdioba poprimi vrijednost unutar intervala Ij , tada za vrijednost sluˇcajne varijable X uzimamo xj .

Sl. 5.19. Generiranje diskretne sluˇcajne varijable

Ovaj se postupak moˇze matematiˇcki opisati pomoću poopćene inverzne funkcije. Neka je G∗ (u) = inf{x | F(x) > u},

0 u < 1.

Tada X = G∗ (U) ima razdiobu opisanu funkcijom F . Ako F ima inverznu funkciju, onda je G∗ = F −1 . Ako F ima skok u toˇcki xj , iznosa pj , tada je funkcija G konstantna na intervalu Ij duljine pj , a njezina vrijednost na tom intervalu iznosi xj . Na sljedećoj slici nacrtan je graf funkcije razdiobe sluˇcajne varijable X koja poprima tri diskretne vrijednosti, te graf funkcije G kojom se ta sluˇcajna varijabla moˇze generirati iz jednolike razdiobe.

ˇ 5.3. RIJE SENI ZADATCI

21

Sl. 5.20. Graf funkcije razdiobe F i njezinog poopćenog inverza G∗ .

5.3. Rijeˇseni zadatci Zadatak 5.1. Unutar kvadrata ABCD stranice a na sreću se bira toˇcka. Vrijednost sluˇcajne varijable X je udaljenost tako odabrane toˇcke od vrha A . Izraˇcunaj pripadnu funkciju razdiobe FX .

Oznaˇcimo zadani kvadrat sa S , m(S) = a2 . Vrijedi FX (x) = P (X < x) =

m(Gx ) m(Gx ) . = m(S) a2

Razlikujemo dva sluˇcaja. ....... 1) 0 x a . Tada je podruˇcje Gx cˇetvrtina kruga ...... ...... ..... ..... .... i vrijedi m(Gx ) = 14 x2 π . .... .... √ Gx ... ... ... 2) a x a 2 . Tada je podruˇcje Gx sastavljeno ... x ... . od dva trokuta i kruˇznog isjeˇcka. Neka je α kut tog x p isjeˇcka, α = π /2 − 2β (slika 5.21). Vrijedi x2 π a a β α =⇒ α = − 2 arc cos . cos β = β x 2 x a Zato Sl. 5.21.

1 π a − 2 arc cos . m(Gx ) = a x2 − a2 + x2 2 2 x

p

Tako dobivamo

⎧ π 2 ⎪ ⎪ ⎨ 4a2 x , FX (x) = x 2 π x2 a ⎪ ⎪ ⎩ − 1 + 2 x2 − 2 arc cos , a 4a a x

0 x a, √ a x a 2.

a2

22


Zadatak 5.2. Sluˇcajna varijabla X zadana je gustoćom razdiobe

−1 x 0, 0 x 1.

x + 1, 1 − x,

f (x) =

Napiˇsi funkciju razdiobe od X . Izraˇcunaj oˇcekivanje i disperziju varijable X . Funkciju razdiobe raˇcunamo po formuli x f (t)dt. F(x) = −∞

Ako je x 0 , integral glasi

x

F(x) = −1

Specijalno, F(0) =

(t + 1)dt = 12 (x + 1)2 .

1 2

. Za 0 x 1 imamo x F(x) = F(0) + (1 − t)dt = 1 − 12 (1 − x)2 . 0

∞

xf (x)dx =

E(X) = −∞

2

0 −1

0

2

x (x + 1)dx +

D(X) = E(X ) =

1

x(x + 1)dx +

−1

0

0 1

x(1 − x)dx = 0,

x2 (1 − x)dx =

1 . 6

Zadatak 5.3. Neprekinuta sluˇcajna varijabla zadana je gustoćom

π π <x< . 4 4 - {0 < X < π } . Odredi konstantu C, funkciju razdiobe F i vjerojatnost dogadaja 8 −

f (x) = C cos 2x,

Konstantu C odredujemo iz uvjeta π /4 ∞ π /4 1 1= f (x)dx = C cos 2x dx = C 2 sin 2x = C. −π /4

−∞

−π /4

Funkcija razdiobe jednaka je nuli za x < vrijedi x x F(x) = f (t)dt = −∞

− π4

−π /4

, jedinici za x >

π 4

. Za x ∈ − π4 , π4

cos 2t dt = 12 (sin 2x + 1).

Vjerojatnost dogadaja {0 < X < π8 } moˇzemo izraˇcunati pomoću funkcije razdiobe √ π π 2 = F( ) − F(0) = P 0<X< . 8 8 4


23

Zadatak 5.4. Unutar pravokutnika S = {(x, y) : 0 x 2, 0 y 1} na sreću je odabrana toˇcka s koordinatama (X, Y) . Definirajmo sluˇcajnu varijablu Z = max{X, Y} . Odredi i skiciraj funkciju razdiobe od Z te izraˇcunaj vjerojatnost - {Z 1 } . dogadaja 2

Vrijedi

m(G) P (X, Y) ∈ G = = 12 m(G) m(S)

jer se toˇcka (X, Y) bira na sreću u podruˇcju S . Zavisno od toga da li je z 1 ili 1 < z 2 skup G cé imati razliˇcite oblike. Stoga razlikujemo dva sluˇcaja ⎧ 2 ⎪ 1 ⎨ z , 0 z 1, 0 z 1, 2 m(G1 ), 2 F(z) = P (Z < z) = = 1 ⎪ 1 < z 2, ⎩ z, 2 m(G2 ), 1 < z 2. 2 Dakle, Z je neprekinuta sluˇcajna varijabla. Zato je 1 1 1 1 P (Z ) = P (Z < ) = F( ) = . 2 2 2 8 Na slici su nacrtana podruˇcja G1 i G2 te graf funkcije F .

6

6

F (x )

y

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .............. ............... ............... . . . . . . . .1. . . . . . ............... . . . . . . .

G

z

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .2 . . . . . . . .

G

1

. . . . . . .

. . . . . . .

z

-

1 x

,

1

2

x

Sl. 5.22. Zadatak 5.5. Na odresku [0, T] na sreću su odabrane dvije toˇcke koje ga dijele na - funkciju razdiobe za duljinu svakog od ta tri dijela. tri dijela. Nadi

Spojimo krajeve intervala i zamislimo umjesto njega kruˇznicu iste duljine. Izbor dviju toˇcaka unutar intervala ekvivalentan je izboru triju toˇcaka unutar kruˇznice, od - mjesto reza. Zbog simetrije je jasno da cé duljina kojih jedna, recimo prva, odreduje svakog dijela imati identiˇcnu razdiobu. Vratimo se na interval i oznaˇcimo sa X duljinu prvog dijela. Odredimo funkciju razdiobe varijable X : F(x) = P (X < x) = 1 − P (X x). Da bi se realizirao dogadaj {X x} obje toˇcke moraju pasti u interval [x, T] . Vjero 2 - je T − x . Dakle: jatnost tog dogadaja T T − x 2 , 0 x T. F(x) = 1 − T

24


Zadatak 5.6. Dokaˇzi da za svaku sluˇcajnu varijablu X s konaˇcnim oˇcekivanjem

vrijedi

lim x[1 − F(x)] = 0.

x→∞

∞ Neka je ε > 0 po volji mali. Kako oˇcekivanje −∞ x dF(x) postoji, slijedi da

∞ je M x dF(x) < ε za dovoljno veliki M . ∞ ∞ M(1 − F(M)) = M dF(x) x dF(x) < ε . M

M

Dakle, vrijedi M[1 − F(M)] < ε za dovoljno veliki M i zbog proizvoljnog odabira za ε slijedi lim x[1 − F(x)] = 0. x→∞

Zadatak 5.7. Neka je F funkcija razdiobe neprekinute pozitivne sluˇcajne varijable X . Pokaˇzi da vrijedi ∞ E(X) = [1 − F(x)]dx. 0

∞ x dF(x) = − x[1 − F(x)] dx 0 ∞ 0 ∞ [1 − F(x)]dx = −x[1 − F(x)] + 0 0 ∞ [1 − F(x)]dx = = − lim x[1 − F(x)] + ∞

E(X) =

x→∞

0

∞

0

[1 − F(x)]dx

jer je limes jednak nuli, prema rezultatu proˇslog zadatka. ∗∗∗ Zadatak 5.8. Gustoća razdiobe sluˇcajne varijable X zadana je slikom. Odredi gustoću razdiobe sluˇcajne varijable Y = X 2 .

a)

b)

6

6

f (x )

0

1

f (x )

2

3

4

5

x

3

1 0

Sl. 5.23.

a) U ovom je sluˇcaju funkcija x → x2 injektivna. Vrijedi f (x) = 13 ,

x ∈ [0, 1] ∪ [2, 3] ∪ [4, 5] √ dx 1 x = y, = √ . dy 2 y

1

2

x


25

Varijabla y poprima vrijednosti u skupu [0, 1] ∪ [4, 9] ∪ [16, 25] . dx 1 g(y) = f (x) = √ , y ∈ [0, 1] ∪ [4, 9] ∪ [16, 25]. dy 6 y b) x → x2 sada nije injektivna. Rastavljamo podruˇcje definicije na dva dijela: 1 x ∈ [−3, 1] : g1 (y) = √ , y ∈ [1, 9], 6 y 1 x ∈ [1, 2] : g2 (y) = √ , y ∈ [1, 4]. 6 y I sada je g(y) = g1 (y) + g2 (y) , medutim moramo pripaziti na razliˇcita podruˇcja definicije u ovim formulama: ⎧ ⎧ 1 1 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + , y ∈ [1, 4] y ∈ [1, 4], √ √ ⎨ 6 y 6 y ⎨ 3√y , g(y) = = 1 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ √ , ⎩ √ , y ∈ [4, 9] y ∈ [4, 9]. 6 y 6 y Zadatak 5.9. Sluˇcajna varijabla X ima gustoću razdiobe

f (x) = e−x ,

x > 0. 2

Odredi gustoću sluˇcajne varijable Y = (X − 1) . Funkcija razdiobe F sluˇcajne varijable X iznosi F(x) = 1 − e−x ,

6

x > 0.

Razlikujemo tri sluˇcaja: a) y 0 : G(y) = 0 , √ √ b) 0 < y 1√: G(y) =√F(1 + y) − F(1 − y) = e−1+ y − e−1− y , √ √ c) 1 < y : G(y) = F(1 + y) = 1 − e−1− y . Dakle: √ √ 1 y √ + e− y ), 2e y (e g(y) = √ 1√ − y , 2e y e

y 1 y

.. ...y (x 1)2 ... .... .. ... ... .... x 1 =1 y .. ... ... ... ... ... x 2 =1+ y ... ... . ... ... .... .... .... .... ..... .... . ....... . . . . . .................

=

p p

x1

0 < y 1,

1

Sl. 5.24.

1 < y.

Zadatak 5.10. Sluˇcajna varijabla X zadana je funkcijom gustoće

f (x) =

x2

1 . π (1 + x2 )

Odredi i skiciraj funkciju razdiobe sluˇcajne varijable Y = ψ (X) , gdje je x, x 1, ψ (x) = 1, x > 1.

-

26


6

y =ψ (x )

1

y y

-

1

6 G

a

..............q ................ .............. . . . . . . . . . . . . . . .................. ................................ 3 4

1

-

Sl. 5.25.

Funkcija razdiobe varijable X glasi 1 1 + arc tg x. 2 π Varijabla Y uzima vrijednosti unutar intervala −∞, 1] . Prema tome, za y > 1 je G(y) = 1 . Ako je y 1 , F(x) =

G(y) = P (Y < y) = P (X < y) = F(y). Dakle,

G(y) =

1 2

+

1,

1 π

Vidimo da G ima u toˇcki 1 skok iznosa

arc tg y, 1 4

y 1, y > 1.

.

Zadatak 5.11. Odredi oˇcekivanje duljine sekante koja spaja fiksnu toˇcku A kruzˇ nice polumjera R sa na sreću odabranom toˇckom B na kruˇznici.

Oznaˇcimo s α srediˇsnji kut nad manjim lukom AB . To je sluˇcajna varijabla s jednolikom razdiobom na intervalu [0, π ] . Vrijedi α X = 2R sin = ψ (α ), 2 gdje je X duljina sekante AB . Njezino oˇcekivanje iznosi

π

E(X) = 0 π 0

B

α

Sl. 5.26.

ψ (α )f (α )dα 2R sin

=

A

α 1 4R . · dα = 2 π π

Zadatak 5.12. Sluˇcajna varijabla X koja uzima samo pozitivne vrijednosti, zadana je gustoćom razdiobe f . Odredi zakon razdiobe sluˇcajnih varijabli A. Y = √ X2 , B. Y = X , C. Y = X (najveće cijelo od X ).


27

Funkcije x → x2 kao i x → Zato je

√

x su injektivne (monotono rastuće) na (0, ∞) .

A.

dx 1 √ g(y) = f (x) = f ( y) · √ . dy 2 y

B.

dx g(y) = f (x) = f (y2) · 2y. dy

C. U ovom je sluˇcaju Y diskretna sluˇcajna varijabla koja poprima vrijednosti 0, 1, 2, . . . s vjerojatnostima k+1 pk = P (Y = k) = P (k X < k + 1) = f (x)dx. k

Zadatak 5.13. Sluˇcajna varijabla X ima jednoliku razdiobu na intervalu (− π2 , π2 ) .

Odredi gustoću razdiobe sluˇcajne varijable Y = cos X .

Prvo rjeˇsenje. Varijabla Y poprima vrijednosti unutar intervala [0, 1] . Gustoća varijable X iznosi π π 1 − <x< . f (x) = , π 2 2 Zato je G(y) = P (Y < y) = P (X ∈ Ay ) π π = P (− X < x1 ) + P (x2 < X < ) 2 2 − arc cos y π /2 1 1 2 = dx + dx = 1 − arc cos y. π π π −π /2

Dakle, g(y) =

6

π =2

1 y

x1

Ay =( π2 x 1 ) (x 2 π2 ) x 1 = arc cos y x 2 =arc cos y

Sl. 5.27.

arc cos y

1 2 ·

, π 1 − y2

0 y < 1.

Drugo rjeˇsenje. Funkcija x → cos x nije injektivna na intervalu − π2 , π2 , medutim, taj interval moˇzemo podijeliti na dijelove (na dva dijela) na kojima cé ta funkcija biti injektivna i potom za svaki dio odrediti doprinos gustoći varijable Y : dx 1 y = cos x =⇒ x = arc cos y. . =

dy 1 − y2

π 1 1 , 0 y < 1. 1) x ∈ − , 0 , g1 (y) = ·

2 π 1 − y2 π 1 1 , 0 y < 1. 2) x ∈ 0, , g2 (y) = ·

2 π 1 − y2

-

x 2 π =2

28


Obje funkcije g1 i g2 imaju istu domenu. Stoga je gustoća g varijable Y dana sa 2 1 , 0 y < 1. g(y) = g(y1 ) + g(y2 ) = ·

π 1 − y2 § 5. Zadatci za vjeˇzbu

1. Moˇze li za neku vrijednost argumenta biti a) funkcija razdiobe veća od jedinice, b) gustoća razdiobe veća od jedinice, c) funkcija razdiobe negativna, d) gustoća razdiobe negativna, e) funkcija razdiobe prekidna, f) gustoća razdiobe prekidna? 2. Koje od ovih funkcija su funkcije razdiobe: a) 34 + 21π arc tg x ; b) 12 + π1 arc tg x ; x , x > 0; c) 1+x −x d) 2−e ; e) 1 − e−x , x > 1 ? 3. Pokaˇzi da su funkcije a) 1 − |1 − x| , 0 < x < 2 ; b) |x| , −1 < x < 1 ; ex c) , x ∈ R; (1 + ex )2 x e 2 · , x∈R d) π 1 + e2x gustoće neke razdiobe. 4. Odredi konstantu C tako da sljedeće funkcije budu gustoće razdioba: a) f (x) = C , x ∈ [a, b] ; b) f (x) = C|x − a| , x ∈ [c, d] . 5. Odredi konstantu C tako da sljedeće funkcije budu gustoće razdioba a) f (x) = Cx3 e−λ x , x > 0 ; 2 b) f (x) = Ceα (x−a) , x > 0 . 6. Sluˇcajna varijabla X zadana je gustoćom razdiC obe f (x) = 2 , x > 1 . Odredi konstantu C te x vjerojatnost dogadaja {1 < X < 2} . 7. Sluˇcajna varijabla X zadana je funkcijom gustocé f (x) = Cx2 e−ax , x > 0. Odredi konstantu C te vjerojatnost dogadaja {0 < 1 X < }. a

8. Odredi funkciju razdiobe sluˇcajne varijable X ako je njezina gustoća razdiobe a) sin x , 0 < x < π2 ; b) x − 12 , 1 < x < 2 ; c) 3 sin 3x , π6 < x < π3 . 9. Diskretna sluˇcajna varijabla X zadana je razdiobom “ ” −1 0 1 2 . X ∼ −2 0.1 0.2 0.2 0.3 0.2 Odredi funkciju razdiobe i nacrtaj njezin graf. Izracˇunaj vjerojatnost dogadaja {|X| 1} . 10. Gustoća razdiobe sluˇcajne varijable X iznosi 2 π π f (x) = cos2 x, x ∈ (− , ). π 2 2 Izraˇcunaj vjerojatnost da od tri realizacije varijable X , toˇcno dvije padnu unutar intervala (0, π4 ) . 11. Ako za sluˇcajne varijable X i Y vrijedi P (X < 1) = 0.9 , P (Y < 2) = 0.5 , pokaˇzi da je P (X + Y < 3) 0.4 . 12. Za sluˇcajnu varijablu X je P (0 < X < 1) = 0.3 , a za varijablu Y je P (−1 < Y < 0) = 0.9 . Dokaˇzi da je P (−1 < X + Y < 1) 0.2 . ∗∗∗ 13. Sluˇcajna varijabla X zadana je funkcijom gustoće a) f (x) = Cx , 0 < x < 1 ; b) f (x) = Cx , 0 < x < 2 ; c) f (x) = C(x2 + 2x) , 0 < x < 1 ; d) f (x) = Ce−|x| , x ∈ R . Odredi konstantu C . Izraˇcunaj E(X) i D(X) . 14. Sluˇcajna varijabla X zadana je funkcijom razdiobe a) F(x) = 14 x , 0 < x < 4 ; b) F(x) = 1 − e−λ x , x > 0 . Odredi oˇcekivanje od X . 15. Funkcija razdiobe sluˇcajne varijable X zadana je slikom. Odredi oˇcekivanje od X .

ˇ 5. ZADATCI ZA VJE ZBU

29 j

a)

6 F

1

1 2

1

b)

0

6

x

F

1

1 2

2

c)

1

6

0

x

F

1 1 2

1

0

1

2

x

16. Sluˇcajna varijabla ima jednoliku razdiobu na intervalu [a, b] . Odredi tu razdiobu ako je poznato E(X) = 4 i D(X) = 3 . 17. Sluˇcajna varijabla X zadana je gustoćom razdiobe 1 f (x) = xn e−x , x > 0. n! Odredi oˇcekivanje i disperziju od X . ∗∗∗ 18. Toˇcka pada na sreću unutar kruga polumjera R . Udaljenost te toˇcke do srediˇsta kruga je vrijednost sluˇcajne varijable X . Odredi njezinu funkciju razdiobe, oˇcekivanje i disperziju. 19. Zadan je trokut s osnovicom a i visinom v na osnovicu. Toˇcka se bira na sreću unutar trokuta. Za vrijednost sluˇcajne varijable X uzimamo udaljenost toˇcke do osnovice. Izraˇcunaj oˇcekivanje varijable X. 20. U prostoru su zadane dvije koncentriˇcne kugle s polumjerima r i R ( r < R ). Na sreću odabiremo toˇcku unutar manje kugle. Neka je X udaljenost te toˇcke do povrˇsine veće kugle. Odredi i skiciraj funkciju razdiobe varijable X , te izraˇcunaj oˇcekivanje sluˇcajne varijable X . 21. Duljine stranica pravokutnika ABCD su 3 cm i 4 cm. Biramo na sreću toˇcku T unutar pravokutnika. Sluˇcajna varijabla X je udaljenost toˇcke T do najbliˇze stranice pravokutnika. Izraˇcunaj matematiˇcko oˇcekivanje E(X) sluˇcajne varijable X . 22. Toˇcka T na sreću se bira unutar jednakostranicˇnog trokuta stranice a . Ako je X udaljenost toˇcke T do najbliˇze stranice trokuta, izraˇcunaj oˇcekivanu vrijednost te udaljenosti.

23. Toˇcka T bira se na sreću unutar pravilnog sˇ esterokuta stranice a . Vrijednost sluˇcajne varijable X je udaljenost toˇcke T do najbliˇze stranice sˇ esterokuta. Skiciraj funkciju gustoće i izraˇcunaj oˇcekivanje varijable X . 24. Unutar kvadrata {(x, y) : 0 x, y 1} izabrana je na sreću toˇcka i potom opisan krug maksimalne povrˇsine sa srediˇstem u toj toˇcki, a koji leˇzi unutar kvadrata. Odredi funkciju razdiobe povrˇsine tog kruga i izraˇcunaj vjerojatnost da je ona veća od π 16 . 25. U kocki duljine brida 1 bira se na sreću toˇcka S . Neka je X volumen najveće kugle koja se moˇze upisati u kocku, a srediˇste joj je toˇcka S . Odredi i skiciraj funkciju distribucije FX te izraˇcunaj oˇcekivanje E(X) . 26. U jednakostraniˇcnom trokutu sa stranicom duljine a , na sreću se odabire toˇcka. Vrijednost sluˇcajne varijable X je povrˇsina najvećeg kruga upisanog - i u trokut, sa srediˇstem u odabranoj toˇcki. Nadi skiciraj gustoću vjerojatnosti sluˇcajne varijable X . 27. Na kruˇznici polumjera R izabrane su dvije toˇcke A i B i zatim spojene sa srediˇstem kruˇznice S . Izraˇcunaj matematiˇcko oˇcekivanje povrˇsine trokuta ABS . Kolika je vjerojatnost da je ta povrˇsina veća od R2 /4 ? 28. Unutar jednakokraˇcnog trapeza, cˇija veća baza ima duljinu 2 a krakovi i kraća baza duljinu 1, odabire se na sreću toˇcka i opisuje krug cˇije je srediˇste u odabranoj toˇcki, a dodiruje najbliˇzu stranicu trapeza. Odredi i skiciraj funkciju razdiobe vjerojatnosti FX (x) duljine polumjera tako konstruiranog kruga. ∗∗∗ 29. Zadan je trapez prema slici. Toˇcka se bira na sreću unutar trapeza. Za vrijednost sluˇcajne varijable X uzimamo udaljenost toˇcke do veće osnovice. Odredi i skiciraj funkciju gustoće te izraˇcunaj E(X) . Provjeri rezultat ako je a = c ili c = 0 . j c

b

J a

J JJ

30. Duljine stranica pravokutnika ABCD su 3 cm i 4 cm. Biramo na sreću toˇcku T unutar pravokutnika. Neka je X sluˇcajna varijabla: udaljenost - i skiciraj funkciju toˇcke T do dijagonale AC . Nadi razdiobe varijable X . 31. Unutar kvadrata sa stranicom a = 4 cm bira se na sreću toˇcka. Vrijednost sluˇcajne varijable X je udaljenost te toˇcke do bliˇze dijagonale kvadrata. - oˇcekivanu vrijednost te udaljenosti. Nadi

30


32. Unutar kvadrata ABCD stranice duljine a , bira se na sreću toˇcka. Vrijednost sluˇcajne varijable X je udaljenost toˇcke do pravca koji prolazi poloviˇstima E , F stranica AB odnosno AD . Odredi i skiciraj gustoću vjerojatnosti sluˇcajne varijable X

43. Toˇcka T1 sluˇcajno se odabire na dijagonali AC , a toˇcka T2 na dijagonali BD kvadrata ABCD stranice 2. Vrijednost sluˇcajne varijable X jedna- gustoću ka je udaljenosti toˇcaka T1 i T2 . Nadi vjerojatnosti od X i skicirajte njezin graf.

33. Unutar kocke ABCDEF brida duljine a bira se na sreću toˇcka T . Sluˇcajna varijabla X je uda- E(X) . ljenost te toˇcke do brida AB . Nadi

44. Kroz srediˇste S kvadrata ABCD stranice a povlaˇcimo na sreću pravac. Ako su sjeciˇsta pravca sa - oˇcekivanu vrirubom kvadrata toˇcke T1 i T2 , nadi jednost duljine odsjeˇcka T1 T2 .

34. Toˇcka T odabire se na sreću unutar jednakokraˇcnog trokuta kome je duljina osnovice 6, a duljina krakova 5. Vrijednost sluˇcajne varijable X je udaljenost toˇcke T do visine spuˇstene na osnovicu trokuta. Skiciraj gustoću vjerojatnosti varijable X i izraˇcunaj njezino oˇcekivanje E(X) . ∗∗∗ 35. Unutar intervala [0, 1] na sreću su izabrane dvi- njima. Odreje toˇcke. Neka je X udaljenost medu di zakon razdiobe varijable X te izraˇcunaj E(X) , D(X) , E(X n ) . 36. Biramo na sreću tri broja unutar intervala [a, b] . - njima. Odredi i Neka je X drugi po veliˇcini medu skiciraj funkciju gustoće varijable X . 37. n toˇcaka izabrano je na sreću unutar intervala [0, 1] . Neka Xk oznaˇcava vrijednost koju poprima k -ta toˇcka slijeva. Odredi gustoću sluˇcajne varijable Xk . 38. Unutar intervala (0, 1) biraju se na sreću tri - njima. broja, a , b i c . Neka je X najveći medu Odredi i skiciraj funkciju gustoće od X te izraˇcunaj oˇcekivanje E(X) . 39. Na sreću odabrana toˇcka unutar intervala [0, 1] dijeli ga na dva dijela. Oznaˇcimo sa X duljinu vecég dijela. Odredi funkciju razdiobe i oˇcekivanje varijable X . 40. Na odresku [0, T] na sreću je odabrano n toˇcaka. Te toˇcke ga dijele na n+1 dio. Duljina svakog dijela je sluˇcajna varijabla. Pokaˇzi da sve te sluˇcajne varijable imaju iste funkciju razdiobe. Odredi tu funkciju. 41. Na sreću odabrana toˇcka T unutar duˇzine AB duljine l dijeli tu duˇzinu na dva dijela. Neka je X = | |AT| − |TB| | . Odredi i skiciraj funkciju gustoće varijable X te izraˇcunaj E(X) i D(X) .

45. U pravokutniku sa stranicama 3 i 4 na sreću odabiremo po jednu toˇcku na dvije nasuprotne kra- odabranim toˇckama cé stranice. Udaljenost medu - i skiciraj pripadnu je sluˇcajna varijabla X . Nadi gustoću razdiobe FX . 46. Toˇcka T na sreću se bira na obodu pravokutnika ABCD sa stranicama 3 i 4 . Sluˇcajna varijabla X je udaljenost toˇcke do vrha A . Odredi i skiciraj funkciju razdiobe FX (x) . 47. Toˇcka T bira se na sreću na osnovici AB jednakostraniˇcnog trokuta ABC stranice 2 cm. Sluˇcajna varijabla X predstavlja kvadrat udaljenosti toˇcke T do vrha C . Odredi razdiobu i oˇcekivanje od X . 48. Toˇcka T na sreću se bira na obodu kvadrata ABCD stranice a . Vrijednost sluˇcajne varijable X je udaljenost toˇcke T do poloviˇsta stranice AB . Odredi i skiciraj funkciju razdiobe FX (x) varijable X. 49. Toˇcka se bira na sreću unutar kvadrata stranice 2. Vrijednost sluˇcajne varijable X je udaljenost do najbliˇzeg vrha kvadrata. Odredi i skiciraj funkciju gustoće varijable X . 50. U jednakokraˇcnom trokutu ABC duljina kra- tim krakovima kova AC i BC je 20 cm, a kut medu γ = 120◦ . Toˇcka T odabire se na sreću unutar trokuta. Ako je sluˇcajna varijabla X definirana kao udaljenost toˇcke T do vrha C , odredi i skiciraj pripadnu funkciju razdiobe FX . ∗∗∗ 51. Unutar kvadrata stranice a bira se na sreću toˇcka T . Neka su X1 X2 X3 X4 udaljenosti toˇcke T do stranica kvadrata. Odredi funkciju razdiobe i oˇcekivanje sluˇcajne varijable X2 .

∗∗∗

52. Toˇcka se bira na sreću unutar jednakostraniˇcnog trokuta stranice a . Neka je X najveća od udaljenosti toˇcke do stranica trokuta. Odredi gustoću i oˇcekivanje varijable X .

42. Toˇcke A , B biraju se na sreću na dvije susjedne stranice kvadrata sa stranicom 1. Neka je sluˇcajna - njima. Odredi i skicivarijabla X udaljenost medu raj funkciju gustoće od X .

53. Zadana je kruˇznica k polumjera R i toˇcka A udaljena od srediˇsta kruˇznice za d , d > R . Na kruzˇ nici biramo na sreću toˇcku T . Vrijednost sluˇcajne - gustoću varijable X je udaljenost od T do A . Nadi f X varijable X .


31

54. Kruˇznica k podijeljena je promjerom na dvije polukruˇznice. Toˇcku T1 biramo na sreću na jednoj, a toˇcku T2 na drugoj polukruˇznici. Udaljenost toˇcaka T1 i T2 je sluˇcajna varijabla X . Odredi i skiciraj pripadnu funkciju razdiobe FX . 55. Toˇcka T sluˇcajno se odabire na cˇetvrtini luka AB kruˇznice polumjera R , sa srediˇstem u toˇcki S . Neka je X manja od udaljenosti toˇcke T do duˇzina AS odnosno BS . Odredi i skiciraj funkciju gustoće sluˇcajne varijable X i izraˇcunaj njezino oˇcekivanje. 56. U trapezu ABCD cˇiji krakovi iznose d a osnovice 2d i 3d , bira se na sreću toˇcka T . Vrijednost sluˇcajne varijable X je manja od udaljenosti toˇcke T do produˇzenih krakova trapeza. Odredi i skiciraj gustoću od X . ∗∗∗ 57. Neka je F funkcija razdiobe neprekidne sluˇcajne varijable X . Pokaˇzi da je Z ∞ 1 F(x)dF(x) = . 2 −∞ 58. Neka je X proizvoljna ograniˇcena sluˇcajna varijabla, s vrijednostima unutar intervala [a, b] . Dokaˇzi a) a E(X) b ; b) D(X) 14 (b − a)2 ; c) Veliˇcina E(X − m)2 poprima minimum za m = E(X) . 59. Koji uvjet moraju zadovoljavati nezavisne slucˇajne varijable X i Y da bi bilo D(XY) = D(X)D(Y)? 60. Neka je X diskretna sluˇcajna varijabla, koja poprima samo pozitivne vrijednosti i ima konaˇcno oˇcekivanje E(X) . Pokaˇzi da za svaki a ∈ R+ vrijedi E(X) . P{X > a} < a 61. Nezavisne sluˇcajne varijable X i Y imaju oˇcekivanja E(X) = a , E(Y) = b . Dokaˇzi da za disperziju sluˇcajne varijable XY vrijedi D(XY) = D(X) D(Y) + a2 D(Y) + b2 D(X). 62. Sluˇcajna varijabla X ima gustoću f koja je parna, po dijelovima neprekidna funkcija na intervalu [−π , π ] , jednaka nuli van tog intervala. Dokaˇzi da je ∞ X π3 an + 4π (−1)n 2 , D(X) = 3 n n=1

gdje su an koeficijenti Fourierovog reda funkcije f .

63. Nenegativna sluˇcajna varijabla X ima funkciju razdiobe F(x) . Dokaˇzi da za svaki realni α = 0 vrijedi Z ∞ xα −1 (1 − F(x))dx. E(X α ) = |α | 0

∗∗∗ 64. Sluˇcajna varijabla X ima jednoliku razdiobu na intervalu [−1, 2] . Odredi i skiciraj funkciju razdiobe varijable a) Y = X 2 ; b) Y = |X − 1| . 65. Sluˇcajna varijabla X ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 4π ] . Odredi funkciju razdiobe i gustocú razdiobe sluˇcajne varijable Y = sin X . 66. Sluˇcajna varijabla X ima jednoliku razdiobu na intervalu [−2, 2] . Odredi i skiciraj funkciju razdiobe FY sluˇcajne varijable Y = min{X 2 , −X + 2}. 67. Sluˇcajna varijabla X ima jednoliku razdiobu na intervalu [−1, 5] . Odredi i skiciraj gustoću razdiobe sluˇcajne varijable Y = |X − 1| . Izraˇcunaj E(Y) . 68. Sluˇcajna varijabla X ima jednoliku razdiobu na intervalu [−1, 1] . Odredi funkciju razdiobe slucˇajne varijable Y = 1/X 2 . Postoji li oˇcekivanje E(Y) ? ∗∗∗ 69. Sluˇcajna varijabla X poprima samo pozitivne vrijednosti. Neka je f X njezina funkcija gustoće. Odredi gustoću razdiobe sluˇcajne varijable a) Y = √ X3 ; b) Y = 1/X ; d) Y = eX ; c) Y = X ; −X f) Y = ln X . e) y = e ; 70. Sluˇcajna varijabla X ima gustoću f X . Odredi gustoće sluˇcajnih varijabli a) Y = arc tg X ; b) Y = tg X ; c) Y = |X| ; d) Y = X 2 ; 1 1 f) Y = ; e) Y = 2 ; X 1 + X2 √ 2 h) Y = e−X ; g) Y = R2 − X 2 ; i) Y = a sin ω X , ( a, ω > 0 ). 71. Neka je F funkcija razdiobe sluˇcajne varijable X . Odredi funkciju razdiobe sluˇcajne varijable Y = eX . 72. Sluˇcajna varijabla X ima gustoću f (x) . Odredi gustoću sluˇcajne varijable Y = |1 + X| . 73. Sluˇcajna varijabla X ima gustoću razdiobe f . Odredi gustoću sluˇcajne varijable Y = min{X, X 2 } .

32


74. Neka je F funkcija razdiobe sluˇcajne varija- funkciju razdiobe sluˇcajnih varijabli ble X . Nadi a) aX + b , b) X 2 , c) |X| , d) sin X , e) g(X) , g proizvoljna rastuća funkcija. ∗∗∗ 75. Sluˇcajna varijabla X zadana je funkcijom razdiobe F(x) = 1 − e−2x , x > 0. Napiˇsi funkciju razdiobe varijable Y = X 2 . 76. Sluˇcajna varijabla X zadana je gustoćom razdiobe f (x) = C| sin x| ,

|x| π .

Izraˇcunaj funkciju gustoće sluˇcajne varijable Y = X 2 i oˇcekivanje E(Y) . 77. Sluˇcajna varijabla X ima gustoću f (x) = e−x , x > 0. Odredi gustoću razdiobe i oˇcekivanje sluˇcajne varijable Y = |X − 1| . 78. Sluˇcajna varijabla X zadana je gustoćom f (x) = C e−2x ,

x 1.

Odredi konstantu C . Odredi gustoću razdiobe slu1 cˇajne varijable Y = . 1−X 79. Sluˇcajna varijabla X zadana je gustoćom −x

f (x) = e

,

x > 0.

1 . Odredi gustoću sluˇcajne varijable Y = 1+X 80. Neka je X Cauchyjeva sluˇcajna varijabla s gustoćom 1 f X (x) = , x ∈ R. π (1 + x2 ) - i skiciraj funkciju razdiobe GY sluˇcajne variNadi 1 jable Y = min{ , |X|} . X 81. Sluˇcajna varijabla X ima normalnu razdiobu N(2, 1) . Izraˇcunaj gustoću razdiobe vjerojatnosti varijable Y = |X| , te vjerojatnost dogadaja {Y < 1} .

82. Gustoća vjerojatnosti f X sluˇcajne varijable X iznosi 0xπ f X (x) = 12 sin x , Odredi i skiciraj gustoću vjerojatnosti sluˇcajne varijable Y = 12 sin X , te izraˇcunaj njezino oˇcekivanje. 83. Neka je X sluˇcajna varijabla zadana gustoćom ( 1 x ∈ [−4, −2], 4, f X (x) = 1 x ∈ [−1, 3]. 8, Odredi i skiciraj funkciju razdiobe sluˇcajne varijable Y = X2 . 84. Sluˇcajna varijabla X ima normalnu razdiobu N(1, 2) . Odredi funkciju gustoće sluˇcajne varijable Y = X 2 + 1 . Izraˇcunaj vjerojatnost dogadaja { | Y − E(Y)| < 1 } . 85. Sluˇcajna varijabla X ima eksponencijalnu razdiobu E(λ ) . Odredi zakon razdiobe i izraˇcunaj oˇcekivanje diskretne sluˇcajne varijable Y = X (najveće cijelo od X ). 86. Sluˇcajna varijabla X ima gustoću razdiobe j ff 1 1 1 f (x) = √ · 2 · exp − 2 . 2x 2π x Odredi gustoću razdiobe sluˇcajne varijable Y = 1/X . 87. Sluˇcajna varijabla X ima Cauchyjevu razdiobu. 2X 1 3X − X 3 Pokaˇzi da sluˇcajne varijable , , 2 X 1−X 1 − 3X 2 - Cauchyjevu razdiobu. imaju takoder ∗∗∗ 88. Promjer kruga d izmjeren je pribliˇzno, u granicama a d b . Ako d ima jednoliku razdiobu na intervalu [a, b] , izraˇcunaj oˇcekivanje i disperziju povrˇsine kruga. 89. U rombu stranice 10 cm oˇstri kut α je sluˇcajna varijabla s gustoćom razdiobe 8 3 π > < , 0α , π 4 f (α ) = π π > : C, α . 4 2 Izraˇcunaj konstantu C , funkciju razdiobe povrˇsine romba i vjerojatnost da je ta povrˇsina veća od 50 cm2 . 90. Unutar duˇzine duljine 2 na sreću je odabrana toˇcka koja ju dijeli na dva dijela. Neka je X povrˇsina pravokutnog trokuta cˇije su katete ti dijelovi. Odredi i skiciraj funkciju razdiobe FX (x) .

6.

Primjeri neprekinutih razdioba

1. Eksponencijalna razdioba . . . . . . . . . . . 2. Normalna razdioba . . . . . . . . . . . . . . . 3. Raˇcunanje razdiobe i kvantila normalne sluˇcajne varijable 4. Rijeˇseni zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Zadatci za vjeˇzbu . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . 33 . . . . . . . . . 39 . . . . . . . . . 49 . . . . . . . . . 54 . . . . . . . . . 56

Neke su razdiobe vaˇznije od drugih, jer su vaˇznije situacije u kojima se one pojavljuju. Medu svim neprekinutim razdiobama izdvojit cémo dvije koje se (uz jednoliku radiobu) najˇceˇscé pojavljuju.

6.1. Eksponencijalna razdioba Eksponencijalna razdioba javlja se u problemima vezanim za vrijeme ispravnog - cˇije se karakteristike ne mijenjaju u vremenu: vrijeme ispravnog rada zˇ arurada uredaja - dva uzastopna poziva) u telefonskoj centrali, lje, vrijeme do prvog poziva (pa i izmedu vrijeme do ulova prve ribe, do pojave neke nesreće i općenito vrijeme do pojave nekog - cˇija je vjerojatnost pojavljivanja u svakom kratkom intervalu jednake duljine dogadaja jednaka. Eksponencijalna razdioba, definicija

Kaˇzemo da sluˇcajna varijabla X ima eksponencijalnu razdiobu s parametrom λ > 0 ako ona poprima pozitivne vrijednosti s gustoćom f (x) = λ e−λ x , x > 0. Piˇsemo X ∼ E(λ ) . Njezina je funkcija razdiobe F(x) = 1 − e−λ x ,

(6.1)

x > 0.

33

34

6. PRIMJERI NEPREKINUTIH RAZDIOBA

f

F λ

1

x

x

Sl. 6.1. Funkcija razdiobe i gustoće eksponencijalne razdiobe

Fizikalni opis eksponencijalne razdiobe

Neka je X sluˇcajna varijabla, recimo vrijeme ispravnog rada nekog uredaja. Na tu se varijablu moˇze gledati i kao na proteklo vrijeme do pojave kvara. Model, u kojem se javlja eksponencijalna razdioba, mora ispunjavati sljedeće uvjete: Eksponencijalna razdioba, izvod iz modela pojavljivanja

- u Teorem 6.1. Pretpostavimo da je uvjetna vjerojatnost pojavljivanja dogadaja - nije pojavio nekom vrlo kratkom intervalu (x, x + Δx) , ako je poznato da se dogadaj do trenutka x , proporcionalna duljini tog podintervala i ne ovisi o vrijednosti x : r P (X < x + Δx | X > x) = λ Δx + r, → 0 kad Δx → 0. Δx Tada je X sluˇcajna varijabla distribuirana po eksponencijalnom zakonu E(λ ) .

Dokaz. Po formuli za uvjetnu vjerojatnost moˇzemo napisati P (X > x + Δx) = P (X > x) · P (X > x + Δx | X > x). Medutim, kako je P (X > x + Δx | X > x) = 1 − P (X < x + Δx | X > x) = 1 − λ Δx − r, dobivamo P (X > x + Δx) = P (X > x)(1 − λ Δx − r). Definirajmo funkciju

Q(x) := P (X > x) = 1 − F(x).

Ona zadovoljava relaciju Q(x + Δx) − Q(x) = Q(x)[−λ Δx − r] te je Q(x + Δx) − Q(x) r dQ(x) = lim = lim Q(x)[−λ − ] = −λ Q(x). Δx→0 Δx→0 dx Δx Δx

6.1. EKSPONENCIJALNA RAZDIOBA

35

Rjeˇsenje ove diferencijalne jednadˇzbe je Q(x) = Ce−λ x . Konstantu C odredujemo iz poˇcetnog uvjeta: Q(0) = P {X > 0} = 1 . Odavde C = 1 i zato F(x) = 1 − Q(x) = 1 − e−λ x , te X zaista ima eksponencijalnu razdiobu E(λ ) . Veza s Poissonovom razdiobom

- u Neka Poissonova sluˇcajna varijabla Z mjeri broj pojavljivanja nekog dogadaja nekom jediniˇcnom vremenskom razdoblju. Oznaˇcimo parametar te razdiobe s λ . (Taj je parametar jednak oˇcekivanom broju realizacija varijable Z unutar tog jediniˇcnog intervala.) - u intervalu Općenitije, neka sluˇcajna varijabla Zx mjeri broj realizacija dogadaja - Poissonova varijabla, s oˇcekivanjem λ x . [0, x] . To je takoder Definirajmo sada sluˇcajnu varijablu X kao vrijeme do prvog pojavljivanja dogadaja. Pokaˇzimo da X ima eksponencijalnu razdiobu. Neka je x fiksno vrijeme nakon poˇcetnog trenutka, izraˇzeno u jedinicama vremena. Sluˇcajna varijabla X cé poprimiti vrijednost manju od x ukoliko se u intervalu [0, x] - tj. ako Zx poprimi vrijednost veću od nule: realizira barem jedan dogadaj, P (X < x) = P (Zx > 0) = 1 − P (Zx = 0) = 1 − e−λ x . Vidimo da X ima eksponencijalnu razdiobu s parametrom λ . Oˇcekivanje i disperzija eksponencijalne razdiobe

Odredimo Laplaceov transformat, karakteristiˇcnu funkciju, oˇcekivanje, disperziju i centralne momente eksponencijalne razdiobe. Laplaceov transformat eksponencijalne razdiobe E(λ ) iznosi ∞ ∞ f ∗ (s) = e−sx f (x)dx = e−sx λ e−λ x dx 0 0 x=∞ ∞ λ −(s+λ )x λ −(s+λ )x =λ e dx = − e = s+λ s+λ 0 x=0 (Pri uvrˇstavanju gornje granice uvaˇzavamo da je f ∗ definirana za s > 0 .) Karakteristiˇcnu funkciju eksponencijalne razdiobe moˇzemo napisati pomoću poznate veze: ϑ (t) = f ∗ (−it) :

λ . λ − it Oˇcekivanje eksponencijalne razdiobe izraˇcunat cémo iz veze momenata i Laplaceovog transformata> λ ∗ = 1. E(X) = −f (0) = − s+λ λ ϑ (t) =

s=0

36


Ishodiˇsni moment reda n raˇcunamo ovako: n

n ∗ (n)

E(X ) = (−1) f

(0) = (−1) n!λ = n! . = (s + λ )n+1 s=0 λ n

n

λ s+λ

(n)

s=0

Sad za disperziju vrijedi D(X) = E(X 2 ) − (EX)2 =

2 1 1 − = 2. λ2 λ2 λ

∗∗∗ Iz ovog izvoda vidimo da je oˇcekivanje eksponencijalne razdiobe reciproˇcna vrijednost njezinog parametra: sˇ to je parametar razdiobe veći, to je manje njezino oˇcekivanje. Interesantno je da vjerojatnost realizacije varijable prije oˇcekivanja ne ovisi o parametru razdiobe. Naime, vrijedi: 1 1 P (X < E(X)) = P (X < ) = F( ) = 1 − e−λ ·(1/λ ) = 1 − e−1 . λ λ - u godini dana bio 10 puta u kvaru. Kolika je vjerojatnost Primjer 6.1. Neki je uredaj da cé prvi mjesec sljedeće godine raditi ispravno? Neka je X sluˇcajna varijabla: vrijeme do prvog kvara. X ima eksponencijalnu razdiobu. Na temelju podataka, njezino oˇcekivanje je E(X) = 12 10 , pa je parametar 10 razdiobe λ = 12 . Sada vrijedi 10 P (X > 1) = 1 − P (X < 1) = 1 − 1 − e− 12 ·1 = e−5/6 = 0.435. - je sluˇcajna varijabla distribuPrimjer 6.2. Vrijeme ispravnog rada nekog uredaja irana po eksponencijalnom zakonu s oˇcekivanjem 2 mjeseca. Kolika je vjerojatnost da - pokvariti tijekom cé se uredaj A. prvog mjeseca, B. drugog mjeseca, C. drugog mjeseca, ako je poznato da se tijekom prvog mjeseca nije nalazio u kvaru. Po uvjetu zadatka je X ∼ E( 12 ) . 1 A. P (X < 1) = 1 − e− 2 = 0.393 , 1 1 1 B. P (1 < X < 2) = (1 − e− 2 ·2 ) − (1 − e− 2 ·1 ) = e− 2 − e−1 = 0.239 , P (1 < X < 2, X > 1) C. P (1 < X < 2 | X > 1) = P (X > 1) 1 1 P (1 < X < 2) e− 2 − e−1 = 1 − e− 2 = 0.393. = = 1 − P (X > 1) e 2 Primijeti da se prva i treća vjerojatnost podudaraju.

6.1. EKSPONENCIJALNA RAZDIOBA

37

Odsustvo pamćenja

Svojstvo iz prethodnog primjera moˇze se poopćiti. Za sve x, t > 0 vrijedi P (X < x + t | X > t) = P (X < x). sˇ to moˇzemo rijeˇcima iskazati na naˇcin: eksponencijalna razdioba nema pamćenja. Evo primjera: ako je oˇcekivano vrijeme do ulova prve ribe jedan sat, i ako je prvih 50 minuta proteklo bez ikakvog ulova, tada oˇcekivano vrijeme do ulova te ribe ostaje (na zˇ alost) i dalje jedan sat, bez obzira na proteklo vrijeme. Ovo svojstvo karakterizira eksponencijalnu razdiobu. Karakterizacija eksponencijalne razdiobe Teorem 6.2. Neka za sluˇcajnu varijablu X koja uzima samo pozitivne vrijednosti za sve pozitivne x i t vrijedi P (X < x + t | X > t) = P (X < x). (6.2) Tada X ima eksponencijalnu razdiobu.

DOKAZ. Oznaˇcimo Q(x) := P (X > x) = 1 − F(x) , gdje je F traˇzena funkcija razdi- vrijedi Q (x) = −f (x) < 0 obe. Po pretpostavci je Q(0) = P (X > 0) = 1 . Takoder, za x > 0 . Oznaˇcimo Q (0) =: −λ . Osnovnu relaciju (6.2) moˇzemo napisati na naˇcin 1 − P (X > x + t | X > t) = 1 − P (X > x) te je P (X > x + t, X > t) = P (X > x) P (X > t) ili P (X > x + t) = P (X > t)P (X > x). Tako dobivamo funkcionalnu jednadˇzbu Q(x + t) = Q(t)Q(x),

∀t, x > 0

(6.3)

Sluˇcajnu varijablu traˇzimo u klasi neprekinutih varijabli. Zato moˇzemo pretpostaviti da je Q diferencijabilna funkcija. Deriviranjem relacije (6.3) po varijabli t dobivamo Q (x + t) = Q (t)Q(x). Uvrˇstavanjem t = 0 slijedi Q (x) = Q (0)Q(x) = −λ Q(x) i odavde dobivamo Q(x) = Ce−λ x . Kako je Q(0) = 1 , dobivamo C = 1 . Zato je F(x) = 1 − Q(x) = 1 − e−λ x .

38

6. PRIMJERI NEPREKINUTIH RAZDIOBA Primjer 6.3. Vrijeme ispravnog rada elektroniˇckog elementa opisano je eksponencijalnom razdiobom s parametrom λ . U trenutku x = T , doˇslo je do strujnog udara. Vjerojatnost da element “ne preˇzivi” taj udar (ako je do tog trenutka joˇs uvijek bio ispravan) jednaka je p . Nakon toga, vrijeme daljnjeg ispravnog rada bit cé opet eksponencijalna razdioba, s moˇzda promijenjenim parametrom μ A. Odredi i nacrtaj funkciju razdiobe ove sluˇcajne varijable. B. Izraˇcunaj njezino oˇcekivanje.

Na intervalu 0 x < T vrijedi F(x) = 1 − e−λ x . Vrijednost ove funkcije u trenutku T iznosi 1 − e−λ T . Suprotna vjerojatnost, e−λ T je vjerojatnost da je element joˇs uvijek ispravan, neposredno prije strujnog udara. Vjerojatnost da cé on biti ispravan i nakon tog udara jednaka je umnoˇsku vjerojatnosti (1 − p) · e−λ T , - od preˇzivljavanja u normalnim uvjetima. jer je preˇzivljavanje udara nezavisan dogadaj Dakle, u toˇcki T vrijedi F(T) = 1 − (1 − p)e−λ T . Zato je P (X > T) = 1 − F(T) = (1 − p)e−λ T . Oznaˇcimo ovu vjerojatnost s r . Za x > T sad moˇzemo napisati 1 − F(x) = P (X > x) = P (X > x | X > T) · P (X > T). Zbog odsustva pamćenja (nakon trenutka T) uvjetnu vjerojatnost dobivamo ovako: P (X > x | X > T) = P (X > x − T) = e−μ (x−T) . Konaˇcno, imamo za x > T F(x) = 1 − e−μ (x−T) · (1 − p)e−λ T = 1 − (1 − p)e−λ T −μ (x−T) . Graf ove funkcije nacrtan je na slici:

Sl. 6.2.

Iznos skoka u toˇcki T iznosi pe−λ T .

6.2. NORMALNA RAZDIOBA

39

Sluˇcajna varijabla je mjeˇsovitog tipa. Zato cé njezina gustoća imati δ -udar u toˇcki ⎧ −λ x ⎪ 0 x < T, ⎨ λe , − λ T f (x) = pe δ (x − T), x = T, ⎪ ⎩ −λ T −μ (x−T) μ (1 − p)e e , x > T. Oˇcekivanje nalazimo integriranjem: e−λ T (1 − p)e−λ T 1 + . E(X) = − λ λ μ Ovo oˇcekivanje moˇzemo napisati i na sljedeći naˇcin: 1 −λ T 1 −λ T −λ T 1 E(X) = −e +T + pTe +T . + (1 − p)e λ λ μ Prvi je pribrojnik doprinos oˇcekivanju sluˇcajne varijable do trenutka T , drugi opisuje doprinos udara, a treći ponaˇsanje sluˇcajne varijable nakon trenutka T . Objasni, ne raˇcunanjući oˇcekivanja, kako se dobiva svaki od tih pribrojnika. T:

Modeliranje eksponencijalne razdiobe

Funkcija razdiobe eksponencijalne sluˇcajne varijable monotono je rastuća na intervalu [0, ∞ . Zato postoji njezin inverz: 1 F(x) = 1 − e−λ x = y =⇒ x = F −1 (y) = − ln(1 − y) λ Prema tome, ako je U sluˇcajna varijabla s jednolikom razdiobom na intervalu [0, 1] , 1 onda cé − ln(1 − U) imati eksponencijalnu razdiobu s parametrom λ . λ

6.2. Normalna razdioba Opis razdiobe

Normalna (govorimo joˇs i Gaussova) razdioba najvaˇznija je neprekinuta razdioba, ima li se u vidu uˇcestalost i vaˇznost modela u kojima se ona pojavljuje. Razlog tome je sˇ to se ta razdioba javlja kao graniˇcna u svim situacijama kad je sluˇcajna varijabla dobivena kao zbroj velikog broja medusobno nezavisnih pribrojnika. Normalna razdioba, definicija

Sluˇcajna varijabla X ima normalnu razdiobu s parametrima a ∈ R i σ 2 > 0 ako je X neprekinuta sluˇcajna varijabla s gustoćom (x − a)2 1 . (6.1) f (x) = √ exp − 2σ 2 σ 2π Piˇsemo X ∼ N (a, σ 2 ) . Graf ove funkcije zvonolika je krivulja koju nazivamo Gaussova krivulja.

40


0.4

0.3

σ=1

0.2

σ=2

0.1

-4

-2

2

4

Sl. 6.3. Graf gustoće normalne razdiobe, za vrijednost parametra a = 0 .

Jediniˇcna normalna razdioba

Izaberemo li parametre a = 0 i σ = 1 , dobivamo sluˇcajnu varijablu N (0, 1) koja se zove jediniˇcna normalna razdioba. Njezinu gustoću oznaˇcavamo sa 1 2 1 φ (u) = √ e− 2 u . (6.2) 2π Za pripadnu funkciju razdiobe Φ vrijedi u u 1 2 1 φ (t)dt = √ e− 2 t dt. (6.3) Φ(u) = 2π −∞ −∞ Ovaj integral nije elementaran, ne moˇze se eksplicitno izraziti pomoću elementarnih funkcija. Funkcija φ je parna, pa ima sljedeća svojstva: 0 1 ∞ 1 φ (t)dt = φ (t)dt = , 2 2 −∞ −∞ u u 1 φ (t)dt = φ (t)dt. 2 −u 0 Sad moˇzemo napisati u 0 u Φ(u) = φ (t)dt = φ (t)dt + φ (t)dt −∞ −∞ 0 1 1 u 1 = + φ (t)dt = 1 + Φ∗ (u) . 2 2 −u 2 Dakle, funkcija razdiobe Φ moˇze se prikazati pomoću funkcije u 1 2 1 ∗ e− 2 t dt. Φ (u) = √ 2π −u

(6.4)


Sl. 6.4. Vrijednost funkcije Φ∗ jednaka je povrˇsini ispod grafa funkcije, a nad ovim simetriˇcnim intervalom.

U ovoj cémo knjizi koristiti tabelirane vrijednosti funkcije Φ∗ . Ta je funkcija neparna, pa je dovoljno znati njezine vrijednosti za pozitivne vrijednosti od u . - jediniˇcne i općenite normalne razdiobe Veza izmedu

Neka je X jediniˇcna normalna radioba, a bilo koji realni i σ bilo koji pozitivni broj. Definirajmo sluˇcajnu varijablu Y = a + σ X. Odredimo njezinu razdiobu! Za pripadnu gustoću g vrijedi y−a x= , y = a + σ x, σ y−a dx 1 g(y) = φ (x) · . = φ dy σ σ Dobili smo: (y−a)2 1 g(y) = √ e 2σ 2 . σ 2π Prema tome, varijabla Y ima normalnu razdiobu s parametrima a i σ 2 . Na potpuno isti naˇcin dobili bismo i obrnutu vezu. Ako krenemo od normalne varijable X ∼ N (a, σ 2 ) , tada sluˇcajna varijabla X−a Y= σ ima jediniˇcnu normalnu razdiobu. Veza jediniˇcne i opće normalne razdiobe

Jediniˇcna i opća normalna razdioba mogu se dobiti jedna iz druge linearnom transformacijom: X ∼ N (0, 1) =⇒ a + σ X ∼ N (a, σ 2 ), X−a ∼ N (0, 1). X ∼ N (a, σ 2 ) =⇒ σ

41

42

6. PRIMJERI NEPREKINUTIH RAZDIOBA Karakteristiˇcna funkcija

Odredimo karakteristiˇcnu funkciju normalne razdiobe N (a, σ 2 ) . Najprije cémo odrediti karakteristiˇcnu funkciju jediniˇcne normalne razdiobe N (0, 1) . Vrijedi ∞ 1 1 2 √ e− 2 x eitx dx. ϑ (t) = 2π −∞ Deriviramo ovu funkciju i primijenimo parcijalnu integraciju ∞ 1 2 1 ϑ (t) = √ ixe− 2 x eitx dx 2π −∞ ∞ ∞ i itx − 12 x2 itx − 12 x2 + ite e dx −e e =√ 2π −∞ −∞ ∞ 1 1 2 = −t √ eitx e− 2 x dx = −tϑ (t). 2π −∞ Prema tome, ϑ zadovoljava diferencijalnu jednadˇzbu dϑ (t) = −tϑ (t) dt uz poˇcetni uvjet ϑ (0) = 1 , koji vrijedi za svaku karakteristiˇcnu funkciju. 1 2 1 2 dϑ (t) = −t dt =⇒ ϑ (t) = ϑ (0)e− 2 t = e− 2 t . ϑ (t)

Ako je X ∼ N (0, 1) , tada a + σ X ∼ N (a, σ 2 ) i dobivamo karakteristiˇcnu funkciju opće normalne razdiobe N (a, σ 2 ) :

ϑa+σ X (t) = eita ϑX (σ t) = eita e− 2 σ 1

2 2

t

2 2

= eita− 2 σ t . 1

Oˇcekivanje i disperzija: parametri normalne razdiobe

Izraˇcunat cémo oˇcekivanje i disperziju, koristeći karakteristiˇcnu funkciju. Neka je X ∼ N (a, σ 2 ) . Vrijedi

ϑ (t) = eita− 2 σ 1

2 2

t

2 2

ϑ (t) = (ia − σ 2 t)eita− 2 σ t , 1

ϑ (0) = ia 2 2

ϑ (t) = [−σ 2 + (ia − σ 2 t)2 ]eita− 2 σ t , 1

ϑ (0) = −σ 2 − a2 .

Zato je E(X) = −iϑ (0) = a, D(X) = −ϑ (0) + ϑ (0)2 = σ 2 . Time smo odredili znaˇcenje parametara normalne razdiobe: parametar a jednak je oˇcekivanju, a parametar σ 2 disperziji normalne razdiobe. Korijen iz disperzije je σ , koji se naziva standardno odstupanje ili standardna devijacija normalne razdiobe


43

Raˇcunanje vjerojatnosti za jediniˇcnu normalnu razdiobu

Neka je X jediniˇcna normalna razdioba. Pokaˇzimo kako se raˇcunaju temeljne vjerojatnosti, da sluˇcajna varijabla poprimi vrijednost unutar nekog intervala. Racˇ unanje vjerojatnosti za jediniˇcnu normalnu razdiobu

Za jediniˇcnu normalnu razdiobu X vrijedi: P (u1 < X < u2 ) = Φ(u2 ) − Φ(u1 ) =

1 ∗ Φ (u2 ) − Φ∗ (u1 ) . 2

Posebice, u sluˇcaju simetriˇcnog intervala 1 P (|X| < u) = Φ∗ (u) − Φ∗ (−u) = Φ∗ (u). 2

(6.5)

(6.6)

Primjer 6.4. Neka je X jediniˇcna normalna varijabla. Odredi vjerojatnost dogadaja B. −2 < X < 0 ; E. X < 1 ;

A. 0 < X < 1 ; D. 1 < X < 2 ;

C. −1 < X < 2 ; F. X > 1 .

P (0 < X < 1) = 12 [Φ∗ (1) − Φ∗ (0)] = 12 Φ∗ (1) = 0.341, P (−2 < X < 0) = 12 [Φ∗ (0) − Φ∗ (−2)] = 12 Φ∗ (2) = 0.477, P (−1 < X < 2) = 12 [Φ∗ (2) − Φ∗ (−1)] = 12 [Φ∗ (2) + Φ∗ (1)] = 0.819, P (1 < X < 2) = 12 [Φ∗ (2) − Φ∗ (1)] = 0.136, P (X < 1) = P (X > 1) =

1 2 1 2

+ 12 Φ∗ (1) = 0.841, − 12 Φ∗ (1) = 0.159.

Raˇcunanje vjerojatnosti općenite normalne razdiobe

X−a ∼ N (0, 1) i funkciju razdiobe F varijable σ X moˇzemo izraziti uz pomoć funkcije Φ : x−a F(x) = Φ(u) = 12 [1 + Φ∗ (u)], u= . σ Tako raˇcunamo x1 − a X−a x2 − a < < P (x1 < X < x2 ) = P σ σ σ x − a x − a 1 x − a 2 1 2 ∗ ∗ x1 − a =Φ Φ −Φ = −Φ . σ σ 2 σ σ Neka je X ∼ N (a, σ 2 ) . Tada je

44


Primjer 6.5. Neka je X ∼ N (2, 4) . Odredi vjerojatnost dogadaja A. 0 < X < 4 ;

B. 2 < X < 6 ;

C. X > 4 .

Ako X ima opću normalnu razdiobu, tada cémo sa X oznaˇcavati pripadnu X−a jediniˇcnu normalnu sluˇcajnu varijablu, X = . σ A.

0−2 X−2 4−2 < < 2 2 2 ∗ = P (−1 < X < 1) = Φ (1) = 0.683.

P (0 < X < 4) = P

B.

2−2 X−2 6−2 P (2 < X < 6) = P < < 2 2 2 ∗ 1 = P (0 < X < 2) = Φ (2) = 0.477. 2

C. Na isti naˇcin P (X > 4) = 12 (1 − Φ∗ (1)) = 0.158 .

Pravilo 3σ

Neka je X ∼ N (a, σ 2 ) Izraˇcunajmo P (|X − a| < kσ ),

k = 1, 2, 3.

Sl. 6.5.

Imamo P (|X − a| < kσ ) = P (−kσ < X − a < kσ ) = P (−k < X < k) = Φ∗ (k). Vrijedi Φ∗ (1) = 0.6827 , Φ∗ (2) = 0.9545 , Φ∗ (3) = 0.9973 . Dakle, s vjerojatnoˇscú 99.73% (odnosno, praktiˇcki sigurno) normalna varijabla uzima vrijednosti unutar intervala (a − 3σ, a + 3σ ) . Ta se cˇinjenica naziva pravilo tri sigma.


45

Zadatak 6.1. Sistematska greˇska odrˇzavanja zrakoplova na danoj visini je 100 m, a sluˇcajna greˇska je normalna varijabla s odstupanjem 200 m. Odredi vjerojatnost da A. zrakoplov leti kroz koridor sˇ irine 500 m B. zrakoplov leti iznad tog koridora ako je zrakoplov usmjeren da leti sredinom koridora.

Oznaˇcimo sa X sluˇcajnu varijablu: odstupanje zrakoplova od sredine koridora. Ta je varijabla zbroj sistematske i sluˇcajne pogreˇske. Stoga je X ∼ N (100, 2002 ) . −250 − 100 X − 100 250 − 100 P (−250 < X < 250) = P < < 200 200 200 ∗ 3 ∗ ∗ 1 7 1 = 2 [Φ ( 4 ) − Φ (− 4 )] = 2 [Φ (0.75) + Φ∗ (1.75)] = 0.733 250 − 100 X − 100 P (250 < X) = P < 200 200 = 12 [1 − Φ∗ (0.75)] = 0.5 − 0.273 = 0.227 Stabilnost normalne razdiobe

Već smo upoznali svojstvo stabilnosti pojedinih razdioba (recimo, kod binomne i Poissonove razdiobe), kad zbroj nezavisnih sluˇcajnih varijabli ima razdiobu istog tipa. Normalna razdioba je jedina koja ima pojaˇcano svojstvo stabilnosti. Stabilnost normalne razdiobe Teorem 6.3. Neka su X1 i X2 nezavisne sluˇcajne varijable s normalnim razdi-

obama

X1 ∼ N (a1 , σ12 ),

X2 ∼ N (a2 , σ22 )

i s1 , s2 bilo koji realni brojevi. Tada vrijedi s1 X1 + s2 X2 ∼ N (s1 a1 + s2 a2 , s21 σ12 + s22 σ22 ).

Dokaz. Karakteristiˇcne funkcije sluˇcajnih varijabli X1 i X2 su Zato je

ϑXk (t) = exp(ak t − 12 σk2 t2 ), ϑsk Xk (t) = exp(sk ak t − 12 s2k σk2 t2 ),

k = 1, 2. k = 1, 2.

pa dobivamo

ϑs1 X1 +s2 X2 (t) = exp((s1a1 + s2 a2 )t − 12 (s21 σ12 + s22 σ22 )t2), sˇ to je karakteristiˇcna funkcija normalne razdiobe N (s1 a1 + s2 a2 , s21 σ12 + s22 σ22 ) . ∗∗∗ Moˇze se dokazati, u sˇ to se ovdje ne moˇzemo upuˇstati, da ovo svojstvo karakterizira normalnu razdiobu. To znaˇci da je normalna razdioba jedina stabilna na uzimanje linearnih kombinacija nezavisnih pribrojnika.

46

6. PRIMJERI NEPREKINUTIH RAZDIOBA Primjer 6.6. Teˇzina proizvoda A podvrgava se normalnom zakonu s parametrima a1 = 40 p, σ1 = 5 p, a teˇzina proizvoda B normalnom zakonu s parametrima a2 = 100 p, σ2 = 10 p. U jedan omot pakiraju se po dva proizvoda A i dva proizvoda - 270 p i 300 p. B . Odredi vjerojatnost da se teˇzina tako naˇcinjenog paketa kreće izmedu (Teˇzinu omota zanemari.)

Neka su XA i XB sluˇcajne varijable koje opisuju teˇzinu proizvoda A , odnosno B . Prema uvjetima je XA ∼ N (40, 52 ), XB ∼ N (100, 102 ). Oznaˇcimo s Y teˇzinu paketa. On sadrˇzi dva proizvoda A i dva proizvoda B , pa bismo mogli napisati Y = 2XA + 2XB . No, taj zapis nije ispravan. Naime, mi ne raˇcunamo dvostruku teˇzinu proizvoda A , već zbroj dviju teˇzina koje su nezavisne jedna od druge, a imaju istu razdobu. Zato je ispravno napisati Y = XA + XA + XB + XB . ovdje su XA i XA nezavisne kopije sluˇcajne varijable XA , dakle, nezavisne sluˇcajne varijable koje imaju istu razdiobu kao i XA . Sliˇcno vrijedi za XB i XB . Prema teoremu 6.3, vrijedit cé Y ∼ N (40 + 40 + 100 + 100, 25 + 25 + 100 + 100) = N (280, 250). Trebamo izraˇcunati vjerojatnost P (270 < Y < 300) : 300 − 280 270 − 280 ∗ √ P 0 , ali je za x < 1 konvergencija spora. Isto tako, formula B vrijedi za svaki x 0 . Veriˇzni se razlomci mogu raˇcunati na dva razliˇcita naˇcina, prema naprijed — gdje se u svakoj iteraciji dodaje joˇs jedan razlomak u prikazu, ili unazad, kad se unaprijed odredi potreban broj iteracija i raˇcuna od posljednjeg razlomka prema prvom. Drugi je naˇcin numeriˇcki stabilniji. Algoritam izgleda ovako: 1. Odredi se broj n . 2A. Raˇcunaju se rekurzije: n zn = x + . x n−1 , z n −1 = x + zn n−2 z n −2 = x + , z n −1 .. . 2 z2 = x + , z3 2 z1 = x + , z2 1 h(x) = . z1 2B. Raˇcunaju se rekurzije: (−1)n · nx2 , 2n + 1 (−1)n−1(n − 1)x2 = (2n − 3) + , zn

zn = (2n − 1) + z n −1 .. . 2x2 , z3 −x2 , z1 = 1 + z2 x g(x) = . z1 z2 = 3 +

53

54


Potreban broj iteracija ovisi o broju x . Da bi se dobila toˇcnost od 10 znamenaka, dovoljno je uzeti sljedeći broj iteracija: x 10−10 10−5 0.01 0.1 0.2 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4 5 6 10 15 20

A − − − − − − 162 77 45 31 23 15 12 10 6 5 4

B 1 1 1 3 4 5 8 12 14 18 21 30 − − − − −

ercf(x) 0.4999999999 0.4999960105 0.4960106436 0.4601721627 0.4207402905 0.3085375387 0.1586552539 0.06680720126 0.02275013194 0.006209665325 0.001349898031 3.167124183 × 10−5 2.866515718 × 10−7 9.865876450 × 10−10 7.619853024 × 10−24 3.670966199 × 10−51 2.753624118 × 10−89

U prvom stupcu dana je vrijednost nepoznanice x , u drugom i trećem minimalni broj iteracija n za svaki od dvaju algoritama, a u cˇetvrtom vrijednost error funkcije.

6.4. Rijeˇseni zadatci

Zadatak 6.2. Bacamo kocku 80 puta. Koliki je najvjerojatniji broj pojavljivanja jedinice? S kojom vjerojatnoˇscú?

Broj pojavljivanja jedinice je sluˇcajna varijabla s razdiobom X ∼ B(80, 16 ) . Najvjerojatniji broj realizacija ove varijable je 13 (vidi poglavlje o binomnoj razdiobi). Po lokalnom teoremu, vrijednost P (X = 13) moˇzemo aproksimirati formulom P(13) ≈

1 2π · 80 ·

−

1 6

·

5 6

e

(13−80· 61 )2 2·80· 61 · 65

= 0.119085.

Toˇcna vrijednost iznosi 0.119506 , s vrlo dobrom aproksimacijom. Greˇska se povećava s odstupanjem od ove vrijednosti: vjerojatnost dogadaja {X = 7} iznosi 0.018823 dok gornja formula daje 0.019685 , s relativnom pogreˇskom 4.6% .


55

Zadatak 6.3. Test na razredbenom postupku na FER-u sadrˇzi 40 zadataka. Za svaki zadatak je ponudeno 5 odgovora od kojih je samo jedan toˇcan. Toˇcan odgovor donosi 15 bodova, a netoˇcan −4 boda. Izraˇcunaj vjerojatnost da pristupnik koji nasumce - prag upisa od 135 bodova. odgovori na sva postavljena pitanja 1 prijede

Oznaˇcimo sa X broj toˇcnih odgovora, a sa Z broj dobivenih bodova. Tada je Z = 15X − 4(40 − X) = 19X − 160. Traˇzimo vjerojatnost dogadaja (Z 135) tj. (19X − 160 135) , tj. (X 16) . X je binomna sluˇcajna varijabla s parametrima n = 40 i p = 15 . Aproksimirat cémo je normalnom razdiobom N (8, 6.4) : X−8 15.5 − 8 1 1 P (X 16) = P √ > √ = − Φ∗ (2.96) = 0.0016. 2 2 6.4 6.4 Zadatak 6.4. Koliki broj nezavisnih pokusa moramo izvesti da bi vjerojatnost po- A barem 15 puta bila 0.8 , ako je vjerojatnost pojavljivanja dogajavljivanja dogadaja daja A u jednom pokusu 0.2 ?

Neka je X sluˇcajna varijabla: broj pojavljivanja dogadaja A u n nezavisnih pokusa. Tada je X ∼ B(n, p) i moˇzemo aproksimirati X ≈ N (np, npq) . Tu je p = 0.2 , pq = 0.16 . 1 1 ∗ 14.5 − 0.2n √ P (15 X) = 2 − 2 Φ 0.16n 0.2n − 14.5 √ = 0.8 = 12 + 12 Φ∗ 0.4 n Dobivamo Φ

∗

0.2n − 14.5 √ 0.4 n

= 0.6.

U tablicama cˇitamo Φ∗ (0.841) = 0.59965 , Φ∗ (0.842) = 0.60021 . Interpolacijom zakljuˇcujemo Φ∗ (0.84164) = 0.6 . Dakle 0.2n − 14.5 √ = 0.84164 0.4 n sˇ to nakon sredivanja daje s rjeˇsenjem

√ 0.2n − 0.33666 n − 14.5 = 0 √ n = 9.40 =⇒ n = 88.31.

Pokus moramo ponoviti 89 puta. 1

Analiza testova (broja rjeˇsavanih zadataka i rezultata) pokazuje da uvijek postoje takvi.

56

6. PRIMJERI NEPREKINUTIH RAZDIOBA Zadatak 6.5. Sluˇcajna varijabla X distribuirana je po binomnom zakonu s parametrima n = 100 i nepoznatim p . Odredi p ako je poznato P (X 20) = 0.841 .

Binomnu razdiobu X ∼ B(100, p) moˇzemo aproksimirati normalnom, X ≈ N (100p, 100p(1 − p)) . X − 100p 19.5 − 100p P (X 20) = P > = 0.841. √ √ 10 pq 10 pq Vidimo da vrijedi 19.5 − 100p < 0 . Prema tome: 100p − 19.5 1 = 0.682 = Φ∗ (1) Φ∗ = 2 0.841 − √ 10 pq 2 i dobivamo

100p − 19.5 = 10 p(1 − p) =⇒ 101p2 − 40p + 3.8025 = 0, s rjeˇsenjima p1 = 0.2376, p2 = 0.1585 od kojih zadovoljava samo prvo. Zadatak 6.6. Igla, koju je 1901.g. Lazzarini bacio 3408 puta, u 1356 navrata presjekla je neki od paralelnih pravaca dobivˇsi za π aproksimaciju π ≈ 3, 1415929 . Kolika je vjerojatnost da cé netko, ponovivˇsi ovaj pokus, dobiti Lazzarinijev rezultat?

Broj pokusa u kojima cé igla presjeći neki od pravaca je binomna sluˇcajna varijabla 2l = 0.397887 . Traˇzimo vjerojatnost dogadaja X , s parametrima n = 3408 i p = aπ (X = 1356) , pomoću lokalnog teorema Moivre-Laplacea. 3408 1356 2052 P (X = 1356) = p q 1356 (1356 − 3408 · p)2 1 = 0.01396. exp − ≈√ 2 · 3408 · pq 2π · 3408 · pq § 6. Zadatci za vjeˇzbu

1. Odredi oˇcekivanje i disperziju sluˇcajne varijable zadane gustoćom razdiobe f (x) = 10e−10x ,

x > 0.

- je slu2. Duljina X ispravnog rada nekog uredaja cˇajna varijabla s eksponencijalnom razdiobom. Ako - raditi isje poznato da cé s vjerojatnoˇscú 0.4 uredaj pravno tijekom jedne godine, kolika je vjerojatnost - njih barem 40 ispravno da cé od 50 takvih uredaja raditi tijekom prvih sˇ est mjeseci?

3. Sluˇcajna varijabla X zadana je gustoćom razdiobe f (x) = 13 e−x/3 , x > 0. Izraˇcunaj vjerojatnost dogadaja A = (X > 3), B = (X > 6 | X > 3), C = (X > t+3 | X > t).


57

4. Vrijeme ispravnog rada sklopa A u nekom uredaju je sluˇcajna varijabla X s eksponencijalnom razdiobom i oˇcekivanjem E(X) = 6 mjeseci. Ako se sklop A pokvari, u rad se ukljuˇcuje rezervni sklop B s istim karakteristikama. Kolika je vjerojatnost - ispravno raditi tijekom jedne godine? da cé uredaj 5. Vrijeme (u danima) ispravnog rada nekog stroja je eksponencijalna sluˇcajna varijabla s parametrom 1 λ = 200 . Nakon godinu dana ispravnog rada, stroj se servisira (bez obzira na ispravan rad). Izraˇcunaj oˇcekivano vrijeme rada stroja do servisiranja. 6. Neka X ima eksponencijalnu razdiobu E(λ ) . Izraˇcunaj E(X k ) . 7. Neka je X sluˇcajna varijabla: vrijeme ispravnog rada nekog uredaja. Pretpostavimo da je uvjetna - prestati s radom unutar vjerojatnost da cé uredaj kratkog vremenskog intervala (x, x + Δx) , ako je poznato da je ispravno radio do trenutka x , jednaka P (X < x + Δx | X > x) = λ (x)Δx + r, r → 0 kad Δx → 0. Δx Pokaˇzi da funkcija razdiobe varijable X glasi „ Z x « F(x) = 1 − exp − λ (u)du . 0

8. Ako je u prethodnom zadatku λ (x) = λ (konstanta, nepromjenjiva u vremenu), dokaˇzi da X ima ˇ eksponencijalnu razdiobu. Cesto se vrijeme ispravnog rada elektroniˇckih uredaja ravna po Weibullovoj razdiobi, kod koje je λ (x) = Cα xα −1 , (α < 1) . Odredi pripadnu funkciju razdiobe i gustoće. 9. Sluˇcajna varijabla X ima Erlangovu distribuciju, s gustoćom xn e−x , x 0, n! a sluˇcajna varijabla Y ima Poissonovu razdiobu f (x) =

λ n −λ e . n! Pokaˇzi da vrijedi 1 − F(λ ) = G(n) , gdje su F , G redom funkcije razdioba varijabli X i Y . pn =

∗∗∗ 10. Odredi konstantu C tako da f (x) = Ce−x

2

+4x

, x∈R

bude gustoća (normalne) razdiobe. Izraˇcunaj oˇcekivanje i disperziju te razdiobe.

11. Neka je X jediniˇcna normalna sluˇcajna varijabla. Odredi vjerojatnost sljedećih dogadaja A. 0 < X < 1.42 ; B. −0.73 X < 0 ; C. −1.73 < X < 2.01 ; D. 0.65 X 1.26 ; E. −1.79 < X < −0.54 ; F. X > 1.13 ; G. |X| 0.5 . 12. Neka je X jediniˇcna normalna varijabla. Odredi broj t tako da bude A. P (0 < X < t) = 0.4236 , B. P (X < t) = 0.7967 , C. P (t < X < 2) = 0.1 . 13. Neka je X normalna varijabla s oˇcekivanjem 8 i odstupanjem 4 . Odredi A. P (5 < X < 10) , B. P (10 < X < 15) , C. P (X > 15) , D. P (X 5) . 14. Sluˇcajna varijabla X ima normalnu razdiobu N (2, 4) . Izraˇcunaj uvjetnu vjerojatnost P (−1 < X < 1 | 0 < X < 3). 15. Greˇska pri mjerenju je normalna varijabla s parametrima a = 0 i σ = 30 m. Odredi vjerojatnost da je greˇska po apsolutnoj vrijednosti manja od 42 m. 16. Sluˇcajna varijabla X ima normalnu razdiobu s oˇcekivanjem a = 3 , i vrijedi P (X < 5) = 0.6915 . Izraˇcunaj vjerojatnost dogadaja {−1 < X < 6} . 17. Sluˇcajna varijabla X distribuirana je po normalnom zakonu N (4, σ 2 ) . Odredi σ ako je poznato P (2 < X < 6) = 0.8664 . 18. Neka je sluˇcajna varijabla X distribuirana po normalnom zakonu N (0, σ 2 ) i neka su 0 < a < b zadani brojevi. Uz koje cé odstupanje σ vjerojatnost dogadaja (a < X < b) biti najveća? 19. Sluˇcajna varijabla X distribuirana je po normalnom zakonu N (a, σ 2 ) . Odredi E(|X − a|) . 20. p Sluˇcajna varijabla Y zadana je formulom Y = |X| . Odredi gustoću razdiobe varijable Y ako X ima jediniˇcnu normalnu razdiobu. 21. Duljina nekih detalja distribuirana je po zakonu normalne razdiobe. Srednja vrijednost duljine je 50 cm, a 10 % proizvoda ima duljinu veću od 52 cm. Odredi simetriˇcni interval oko srednje vrijednosti unutar kojeg se s vjerojatnoˇscú 99% nalaze duljine tih detalja. 22. Sluˇcajna varijabla X ima normalnu razdiobu N (a, σ 2 ) . Odredi gustoću i oˇcekivanje sluˇcajne varijable Y = (X − a)2 .

58


23. Teˇzina nekog proizvoda ravna se po normalnoj razdiobi. Srednja vrijednost je 1000 p, a 10% proizvoda ima teˇzinu veću od 1020 p. Odredi simetriˇcni interval oko srednje vrijednosti unutar kojeg se s vjerojatnoˇscú 99% nalazi teˇzina tog proizvoda? ∗∗∗ 24. Teˇzina serijski radenog gradevinskog elementa sluˇcajna je varijabla podvrgnuta normalnoj razdiobi s parametrima a = 0.5 tona, σ = 0.01 tona. Kolika je vjerojatnost da teˇzina 5 takvih elemenata premaˇsi 2.55 tona? 25. U paket stavljamo 3 proizvoda tipa A i 2 proizvoda tipa B . Ako je teˇzina proizvoda A normalna varijabla X ∼ N (aX = 200p, σX = 10p), - normalna varijabla a teˇzina proizvoda B takoder Y ∼ N (aY = 100p, σY = 20p), kolika je vjerojatnost da teˇzina paketa bude veća od 750 p? 26. Sluˇcajne varijable X1 , X2 , X3 su medusobno nezavisne, s normalnim razdiobama N (0, 1) , N (1, 1) , N (2, 4) redom. Izraˇcunaj vjerojatnost dogadaja (X1 < X3 − X2 ) . 27. Medusobno nezavisne sluˇcajne varijable X , Y , Z podvrgavaju se normalnim radiobama, redom X ∼ N (1, 1) , Y ∼ N (4, 4) , Z ∼ N (9, 9) . Izracˇunaj vjerojatnost dogadaja (X 3Y − 2Z) . 28. Nezavisne sluˇcajne varijable X i Y podvrgavaju se normalnim razdiobama sa sredinama aX = 2 , aY = 3 te disperzijom σX2 = σY2 = σ 2 . Odredi σ 2 - (X > Y) ima vjerojatnost 40%. ako dogadaj 29. Nezavisne sluˇcajne varijable X i Y imaju normalne razdiobe s parametrima aX = 1 , aY = 3 i nepoznatim σX , σY . Ako vrijedi P (0 < X < 1) = P (2 < Y < 4) = 0.4, kolika je vjerojatnost dogadaja (2 < X + Y < 6) ? 30. Neka su X1 i X2 medusobno nezavisne slucˇajne varijable s normalnim distribucijama: X1 ∼ N (5, 4) , X2 ∼ N (4, 9) , nadalje, neka je Z = 2X1 + X2 , W = X1 + 2X2 . Izraˇcunaj vjerojatnost dogadaja (Z > W) . 31. Teˇzina proizvoda A je normalna sluˇcajna varijabla s parametrima μA = 3 , σA = 0.7 , a teˇzina proizvoda B normalna sluˇcajna varijabla s parametrima μB = 4 , σB = 0.2 . Ako na prvi krak vage stavimo 6 proizvoda tipa A , a na drugi krak iste vage 5 proizvoda tipa B , kolika je vjerojatnost da cé drugi krak pretegnuti?

∗∗∗ - vjerojatnost da se broj devetki medu - 10 000 32. Nadi - 940 i na sreću odabranih znamenki nalazi izmedu 1060. 33. Kocka je baˇcena 1200 puta, pritom se broj 1 pojavio 140 puta. Moˇze li se prihvatiti hipoteza o ispravnosti ove kocke? 34. Sluˇcajna varijabla X zadana je funkcijom razdiobe F(x) = x2 , 0 < x < 1 . Izraˇcunaj vjerojatnost da u 50 nezavisnih pokusa varijabla X poprimi - 0.25 i 0.5 barem 10 puta. vrijednost izmedu 35. Vjerojatnost rodenja djeˇcaka pribliˇzno je jed- 100 naka 0.515 . Kolika je vjerojatnost da medu novorodene djece bude od 50 do 55 djeˇcaka? 36. Koliko puta treba baciti kocku da vjerojatnost dogadaja ˛ « „˛ ˛ ˛m ˛ − 1 ˛ 0.01 ˛n 6˛ bude barem 0.5 , gdje je m broj pojavljivanja jedinice u n bacanja. 37. Neprekidna sluˇcajna varijabla X zadana je funkcijom razdiobe F(x) = ax2 , 0 x 3. Odredi konstantu a . Izraˇcunaj vjerojatnost da u 100 nezavisnih pokusa sluˇcajna varijabla X popri- 1 i 2 barem 30 puta. mi vrijednost izmedu 38. Neki stroj proizvodi 60 % proizvoda prve kva- 75 proizvoda litete. Izraˇcunaj vjerojatnost da medu barem 40 bude prve kvalitete. 39. Vjerojatnost realizacije dogadaja A u jednom pokusu je 0.1 . Koliko nezavisnih pokusa mora- A mo uˇciniti da bi se s vjerojatnoˇscú 0.8 dogadaj realizirao barem 5 puta? 40. Neki stroj proizvodi 40% proizvoda prve kvalitete. Koliko je proizvoda u svakoj seriji potrebno proizvesti, da bi s vjerojatnoˇscú 70% u svakoj seriji imali barem 30 proizvoda prve kvalitete? 41. Bacamo par kocaka. Neka je A = { zbroj brojeva na obje kocke je barem 10 } . Izraˇcunaj P (A) . Odredi potreban broj bacanja tako da vjerojatnost pojavljivanja dogadaja A barem jednom, bude vecá od 0.8 . Izraˇcunaj oˇcekivanje broja bacanja do pojavljivanja dogadaja A. 42. Vjerojatnost pojavljivanja dogadaja A u svakom od nezavisnih pokusa je 0.8 . Koliko pokusa treba napraviti da bi s vjerojatnoˇscú 0.9 broj pojavljivanja dogadaja A bio veći od 75? 43. Toˇcka se bira na sreću unutar kvadrata stranice 1. Kolika je vjerojatnost da cé od 50 izabranih toˇcaka barem 40 pasti unutar kruga upisanog tom kvadratu?


∗∗∗ 44. Sluˇcajna varijabla X distribuirana je po Laplaceovom zakonu ako je njezina gustoća „ « 1 |x − a| f (x) = exp − 2α α gdje je a ∈ R proizvoljan te α > 0 . Odredi oˇcekivanje i disperziju od X . 45. Sluˇcajna varijabla X ima lognormalnu razdiobu ako je njezina gustoća „ « (ln x − a)2 1 √ exp − , x>0 f (x) = 2σ 2 xσ 2π gdje je a ∈ R proizvoljan te σ > 0 . ( X opisuje razdiobu veliˇcine cˇestica pri mrvljenju, npr. veliˇcinu - i distribuciju veliˇcine cˇestica zrnca pijeska, takoder plaća.) Odredi oˇcekivanje i disperziju od X .

59 46. Sluˇcajna varijabla X ima Rayleighovu razdiobu, s gustoćom 2 2

f (x) = 2h2 xe−h

x

,

x > 0.

Odredi oˇcekivanje i disperziju od X . 47. Sluˇcajna varijabla X ima gama razdiobu s parametrima (α , β ) , ako je njezina gustoća f (x) =

β α α −1 −β x e , x > 0. x Γ(α )

Izraˇcunaj a) E(X) , b) D(X) , c) E(X n ) . 48. Izraˇcunaj mod, oˇcekivanje i disperziju sluˇcajne varijable s gustoćom f (x) =

γ m−1 −m −γ /x x e , x > 0. (m − 2)!

(Piersonov zakon prvog tipa.)

7.

Sluˇcajni vektori

1. 2. 3. 3. 4. 5.

Sluˇcajni vektori, razdiobe i gustoće . . Uvjetne razdiobe. Uvjetno oˇcekivanje Dvodimenzionalna normalna razdioba Viˇsedimenzionalna normalna razdioba Rijeˇseni zadatci . . . . . . . . . . . . . . Zadatci za vjeˇzbu . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

60 69 72 78 83 86

7.1. Slucˇ ajni vektori, razdiobe i gustoće U nekom stohastiˇckom eksperimentu moˇzemo promatrati viˇse od jedne sluˇcajne varijable. Na primjer, pri sluˇcajnom odabiru neke osobe iz velike populacije, sluˇcajne varijable mogu biti njezina dob, visina, teˇzina, broj cipela. . . . Svaka od tih varijabli ima odredenu razdiobu. Poznavanje tih razdioba ne donosi punu informaciju o obiljeˇzjima te osobe. Naime, varijable koje su ovdje ukljuˇcene su medusobno ovisne, znajući jednu od njih, s većom ili manjom sigurnoˇscú moˇzemo neˇsto kazati i - tim sluˇcajnim varijablama. o vrijednosti drugih. Zbog toga je nuˇzno poznavati i veze medu Da bismo obuhvatili meduovisnost dviju ili viˇse sluˇcajnih varijabli, moramo razviti matematiˇcki aparat kojim moˇzemo prouˇcavati viˇsedimenzionalne sluˇcajne varijable — sluˇcajne vektore.

Razdioba sluˇcajnih vektora

n -dimenzionalni sluˇcajni vektor jest uredena n -torka sluˇcajnih varijabli X = n (X1 , X2 , . . . , Xn ) : Ω → R . Funkcija razdiobe sluˇcajnog vektora definira se na analogan naˇcin kao i u jednodimenzionalnom sluˇcaju: (7.1) F(x1 , . . . , xn ) := P (X1 < x1 , . . . , Xn < xn ), (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn . U dvodimenzionalnom sluˇcaju koristit cémo jednostavnije oznake. Vektor cémo uglavnom oznaˇcavati sa (X, Y) . Funkcija razdiobe u ovom sluˇcaju je definirana formulom F(x, y) := P (X < x, Y < y). 60

ˇ 7.1. SLU CAJNI VEKTORI, RAZDIOBE

61

´ I GUSTO CE

Sl. 7.1. Vrijednost funkcije razdiobe u toˇcki (x, y) jednaka je vjerojatnosti da sluˇcajan vektor poprimi vrijednost u kvadrantu s gornjim vrhom u toˇcki (x, y) .

∗∗∗ Odredivanje funkcije razdiobe nije toliko jednostavno kao u jednodimenzionalnom sluˇcaju: Primjer 7.1. Toˇcka se bira na sreću unutar trokuta ((x, y) : x > 0, y > 0, x + y < 1) . Neka su (X, Y) kartezijeve koordinate te toˇcke. Odredi funkciju razdiobe i gustoće tog vektora.

Ravninu moramo rastaviti na sˇ est podruˇcja (slika 7.2). Na dijelu 1 je 2

F(x, y) = P (X < x, Y < y) = 0.

y

Unutar trokuta, na dijelu 2 vrijedi

y

F(x, y) = xy. Na dijelu 3 imamo F(x, y) = 1 − (1 − x)2 − (1 − y)2 Poviˇse trokuta, na dijelu 4 vrijedi F(x, y) = 1 − (1 − x)2 .

1

6 @

4

6

@@ 3 @@ 5 2 @ q

q

x

x 1

Sl. 7.2.

Ovu vrijednost moˇzemo dobiti iz prethodne uvrˇstavajući y = 1 . Naime, na ovom podruˇcju vrijedi P (X < x, Y < y) = P (X < x, Y < 1) . Sliˇcno, na podruˇcju 5 dobivamo F(x, y) = 1 − (1 − y)2 dok je na podruˇcju 6 F(x, y) = 1 . Prema tome, dobili smo ⎧ 0, x 0 ili y 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ xy, 0 x 1, 0 y 1, x + y 1, ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 1 − (1 − x)2 − (1 − y)2 , 0 x 1, 0 y 1, x + y 1, F(x, y) = 2 ⎪ , 0 x 1, y 1, 1 − (1 − x) ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ 0 y 1, x 1, 1 − (1 − y) , ⎪ ⎪ ⎩ 1, x 1, y 1

62

ˇ 7. SLU CAJNI VEKTORI

∗∗∗ Treba naglasiti joˇs jednu bitnu razliku prema jednodimenzionalnom sluˇcaju. Poz- i ovdje sluˇcajan vektor u potpunosti, ali pomoću navanje funkcije razdiobe odreduje vrijednosti te funkcije ne moˇzemo na jednostavan naˇcin odgovoriti na temeljno pitanje: kolika je vjerojatnost da sluˇcajan vektor poprimi vrijednost unutar nekog podruˇcja G ?. Direktan odgovor na to pitanje moguć je samo za podruˇcja koja su oblika kvadranta, ili neka koja se mogu lako prikazati unijom ili presjekom takvih kvadranata. Medutim, interesantna podruˇcja u ravnini uglavnom nemaju takve oblike. Tako na primjer, pomoću funkcije razdiobe ne moˇzemo odgovoriti na to pitanje za podruˇcja koja su oblika kruga ili na primjer, trokuta. Tako cé pri prouˇcavanju sluˇcajnih vektora glavnu ulogu imati gustoća razdiobe sluˇcajnog vektora. Gustoća razdiobe. Neprekinuti sluˇcajni vektori

Za sluˇcajan vektor (X1 , . . . , Xn ) kaˇzemo da je neprekinut ako postoji funkcija f : Rn → [0, ∞ takva da za sve x1 , x2 , . . . , xn vrijedi x1 xn F(x1 , . . . , xn ) = ··· f (u1 , . . . , un )du1 . . . dun . (7.2) −∞

−∞

Funkciju f nazivamo gustoća razdiobe sluˇcajnog vektora. Tamo gdje je F diferencijabilna, vrijedi ∂ n F(x1 , . . . , xn ) (7.3) f (x1, . . . , xn ) := ∂x1 · · · ∂xn

∗∗∗ Prema (7.2) i definiciji funkcije razdiobe, moˇzemo napisati x y f (u, v) du dv P (X < x, Y < y) = −∞ −∞

Odavde lako slijedi sljedeća formula x2 y2 P (x1 < X < x2 , y1 < Y < y2 ) =

f (x, y) dx dy. x1 y1

Prema tome, za pravokutnik G = {(x, y) : x1 < x < x2 , y1 < y < y2 } vrijedi formula f (x, y) dx dy. P ((X, Y) ∈ G) = G


63

´ I GUSTO CE

Svako se dovoljno dobro podruˇcje moˇze rastaviti na, prema potrebi beskonaˇcnu, uniju pravokutnika. Koristeći svojstva aditivnosti i neprekinutosti integrala, moˇzemo stoga prihvatiti sljedeću temeljnu formulu: Racˇ unanje vjerojatnosti realizacije slucˇ ajnog vektora

Za svaki izmjerivi skup G ⊂ Rn vrijedi P ((X1 , . . . , Xn ) ∈ G) = ··· f (x1 , . . . , xn )dx1 · · · dxn .

(7.4)

G

Primjer 7.2. Sluˇcajan vektor (X, Y) ima gustoću razdiobe f . Izrazimo vjerojat- a) X > Y ; b) X > |Y| ; c) |X| < Y ; d) Y − X > 1 . nosti dogadaja

Vrijedi P ((X, Y) ∈ G) =

6 y

a)

. . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

G

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

b)

-

6 y

. . . . . .

@

x

f (x, y)dx dy.

G

. . . .

.

. .

. G . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . .

@@

x

c)

6 y

@@G @ . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . . . .

x

Sl. 7.3.

x dx f (x, y)dy, −∞ −∞ ∞ y c) dy f (x, y)dx,

a)

∞

−y

0

∞

b) d)

0

∞

−∞

dx dx

6 G y

d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . .

. . . .

. . .

. . . . . . . . .

1

x

x

f (x, y)dy, −x ∞

f (x, y)dy

x+1

Marginalne razdiobe

Ako nam je poznata razdioba vektora (X1 , X2 , . . . , Xn ) , tada moˇzemo odrediti razdiobu svake njegove komponente Xi . Takve se razdiobe nazivaju marginalne razdiobe sluˇcajnog vektora. Vrijedi P(Xi < xi ) = P(X1 < ∞, . . . , Xi < xi , . . . , Xn < ∞) To znaˇci da se vrijednost marginalne funkcije razdiobe moˇze dobiti tako da se izracˇuna limes u beskonaˇcnosti po svim varijablama, osim one s indeksom i . To kratko zapisujemo na naˇcin: Fi (xi ) := F(∞, . . . , xi , . . . , ∞).

64


U praksi, cˇeˇscé baratamo s gustoćama. Zbog veze funkcije razdiobe i gustoće za marginalnu gustoću varijable Xi vrijedi ∂Fi (xi ) = ··· f (x1 , . . . , xn )dx1 · · · dxi−1 dxi+1 · · · dxn . f i (xi ) := ∂xi Rn−1

Za dvodimenzionalni sluˇcajni vektor (X, Y) koristit cémo jednostavnije oznake. Za gustoću vrijedi ∂ 2 F(x, y) , ∂x ∂y

f (x, y) := marginalne razdiobe:

FX (x) := F(x, ∞) = FY (y) := F(∞, y) = marginalne gustoće: f X (x) := f Y (y) :=

∞

−∞ ∞

x

dx −∞ y

dy −∞

∞

−∞ ∞

x

f (x, y)dy = −∞ y

f (x, y)dx =

−∞

−∞

f X (x)dx, f Y (y)dy,

f (x, y)dy, f (x, y)dx.

−∞

Nezavisnost

Komponente X1 , . . . , Xn sluˇcajnog vektora (X1 , . . . , Xn ) su sluˇcajne varijable. One mogu ali ne moraju biti medusobno nezavisne. Prisjetimo se, sluˇcajne varijable X1 , . . . , Xn su nezavisne ako vrijedi P (X1 ∈ A1 , . . . , Xn ∈ An ) = P (X1 ∈ A1 ) · . . . · P (Xn ∈ An ) za sve izmjerive skupove A1 , . . . , An ⊂ R . Izaberimo skupove Ai = −∞, xi . Onda je P (Xi ∈ Ai ) = P (Xi < xi ) = Fi (xi ) . Ako su X1 , . . . , Xn nezavisne, onda zakljuˇcujemo da vrijedi F(x1 , . . . , xn ) = F1 (x1 ) · . . . · Fn (xn ),

∀(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn

(7.5)

Preko funkcija gustoća kriterij za nezavisnost moˇzemo iskazati ovako: Kriterij nezavisnosti za neprekinute slucˇ ajne vektore Teorem 7.1. Komponente X1 , . . . , Xn neprekinutog sluˇcajnog vektora (X1 , . . . , Xn ) su nezavisne onda i samo onda ako vrijedi f (x1 , . . . , xn ) = f 1 (x1 ) · . . . · f n (xn ), ∀(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn .

(7.6)


65

´ I GUSTO CE

Dokaz. Jedan smjer slijedi iz (7.5), deriviranjem te jednakosti po varijablama x1 , . . . , xn . Obrat cémo, zbog jednostavnosti zapisivanja, dokazati za dvodimenzionalan vektor. Neka su A i B intervali u R i G = A × B pravokutnik. Onda vrijedi P (X ∈ A, Y ∈ B) = P ((X, Y) ∈ G) = f (x, y)dx dy G

Prema (7.6), vrijedi f (x, y) = f X (x)f Y (y) , pa je ovaj integral jednak f X (x)f Y (y) dx dy = f X (x)dx · f Y (y)dy = P (X ∈ A) · P (Y ∈ B). A

G

B

Dakle, X i Y su nezavisne.

6 @ S @ @@ @@ y

1

Primjer 7.3. Sluˇcajan vektor (X, Y) ima gustoću

f (x, y) =

1 2,

0,

1 x

(x, y) ∈ S, (x, y) ∈ / S,

Sl. 7.4.

gdje je S kvadrat na slici. Odredimo marginalne gustoće slucˇajnih varijabli X i Y . Jesu li te varijable nezavisne?

ˇ je gustoća razliˇcita od nule na podruˇcju koje nema oblik pravokutnika sa Cim stranicama paralelnim koordinatnim osima, komponente vektora moraju biti zavisne. Izraˇcunajmo marginalne gustoće. ⎧

∞ x −1 : ⎪ −∞ 0 · dy = 0, ⎪ ⎪ ⎪

⎪ x+1 1 ∞ ⎨ −1 x 0 : dy = 1 + x, −x−1 2 f X (x) = f (x, y)dy =

1 − x 1 ⎪ −∞ ⎪ dy = 1 − x, 0x1: ⎪ x−1 2 ⎪ ⎪

∞ ⎩ 1<x: −∞ 0 · dy = 0. Dakle,

1 + x, 1 − x,

−1 x 0, 0 x 1.

Na isti naˇcin dobivamo 1 + y, f Y (x) = 1 − y,

−1 y 0, 0 y 1.

f X (x) =

Vidimo da je f (x, y) = f X (x)f Y (y) te su X i Y zaista zavisne.

6= @@ @ fX fY

1

1

0

Sl. 7.5.

1

x

66


Primjer 7.4. Sluˇcajna varijabla X ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 2] , a sluˇcajna varijabla Y funkciju gustoće f Y (y) = 2y , 0 y 1 . Uz pretpostavku da su X i Y nezavisne, izraˇcunaj vjerojatnost da Y poprimi vrijednost manju nego X .

Zbog nezavisnosti varijabli X i Y vrije- (Y X) , cˇidi f (x, y) = f X (x)f Y (y) . Dogadaj ju vjerojatnost traˇzimo, moˇzemo napisati u obliku ((X, Y) ∈ G) , gdje je G podruˇcje skicirano na slici. Dakle, P (Y X) = P ((X, Y) ∈ G) = f (x, y)dx dy G

= G

1 · 2y dx dy = 2

6

y =x

y

1

................ .................. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . . . . . . . . . . . ........................ .......................... . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ...............................

G

-

2 x

Sl. 7.6.

1

ydy 0

2

dx = y

2 . 3

∗∗∗ Ako toˇcku biramo na sreću unutar nekog podruˇcja, je li funkcija gustoće uvijek konstantna? Da, ako su kartezijeve koordinate u pitanju. No, ponekad je povoljnije uzeti drugi, recimo polarni sustav. Kakva je tad gustoća? Primjer 7.5. Toˇcka se bira na sreću unutar jediniˇcnog kruga. Neka su (R, Φ) polarne koordinate te toˇcke. Odredi funkciju gustoće sluˇcajnog vektora (R, Φ) . Jesu li komponente R i Φ nezavisne?

6

............................... ............. ....... ....... . .... ........................................... ........ . . . .. ... .... .... . . . . . . . . . .......... ...... ... . . . . ..... . . . . . .G .. . . . . . .. . . . r ......... . .. . .. . .. . .. . .. . .. ...... .... ... .... . . . . . . .. .. ... ... . . .ϕ. . . . . . . . . ... .. . . . ... . .. ... .. ... . . ... . S ... ... .... ... ..... .... . . . ...... . ..... ........... ........................................

-

Sl. 7.7. Polarne koordinate znaju biti povoljnije od kartezijevih u podruˇcjima ovakvih oblika. Iako je kod kartezijevih koordinata funkcija gustoće konstantna, jednadˇzbe tog podruˇcja u tom su sustavu nepriliˇcne. Stoga je prijelaz u polarni sustav opravdan. Tu gustoća neće biti konstantna, ali c´ e komponente biti — za razlliku od kartezijevih — nezavisne!

Neka je S jediniˇcni krug, T na sreću odabrana toˇcka te G podruˇcje iscrtkano na slici. Po definiciji funkcije razdiobe, imamo F(r, ϕ ) = P (R < r, Φ < ϕ ) = P (T ∈ G) = Deriviranjem, dobivamo f (r, ϕ ) =

∂ 2 F(r, ϕ ) r = . ∂r ∂ ϕ π

m(G) r2 ϕ . = m(S) 2π


67

´ I GUSTO CE

Ova se gustoća moˇze faktorizirati. Kako R uzima vrijednosti unutar intervala [0, 1] , a Φ unutar intervala [0, 2π ] , (umjesto da raˇcunamo marginalne razdiobe) napisat cémo f (r, ϕ ) = 2r ·

1 , 2π

0 < r < 1,

0 < ϕ < 2π .

Prema tome, R i Φ su nezavisne. R ima razdiobu f R (r) = 2r , 0 < r < 1 , dok Φ ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 2π ] . b Nezavisnost varijabli, oˇcekivanje i karakteristiˇcna funkcija

Sad cémo dokazati neka svojstva oˇcekivanja i disperzije koja smo koristili u prethodnim poglavljima. Svojstva oˇcekivanja Teorem 7.2. Za svake dvije sluˇcajne varijable X, Y : Ω → R vrijedi

E(X + Y) = E(X) + E(Y). Ako su X i Y nezavisne, onda je E(XY) = E(X) · E(Y).

(7.7) (7.8)

Tvrdnju smo dokazali za diskretne sluˇcajne varijable. Dokaz cémo sad proˇsiriti i za neprekinute sluˇcajne varijable. Dokaz za varijable općeg tipa zahtjeva matematiˇcki aparat koji prelazi okvire ovog kursa. Dokaz. Neka je f (x, y) gustoća sluˇcajnog vektora (X, Y) . Tada vrijedi ∞ ∞ E(X + Y) = (x + y)f (x, y)dx dy −∞ −∞ ∞ ∞ ∞ ∞ x dx f (x, y)dy + y dy f (x, y)dx = −∞ −∞ −∞ −∞ ∞ ∞ = x f X (x)dx + y f Y (y)dy −∞

−∞

= E(X) + E(Y). Pretpostavimo sad da su X i Y nezavisne. Tad se funkcija gustoće moze faktorizitati: f (x, y) = f X (x)f Y (y) pa vrijedi ∞ ∞ ∞ ∞ E(XY) = xyf (x, y)dx dy = xyf X (x)f Y (y)dx dy −∞ −∞ −∞ −∞ ∞ ∞ = x f X (x)dx · y f Y (y)dy = E(X) · E(Y). −∞

−∞

68


∗∗∗ Svojstvo oˇcekivanja (7.8) vrijedi i za bilo koje dvije funkcije sluˇcajnih varijabli: E(ψ (X)χ (Y)) = E(ψ (X)) · E(χ (Y)). Dokaz je identiˇcan ovom u teoremu. Posebno je vaˇzan primjer funkcija ψ (x) = eitx . Tada je E(ψ (X)) karakteristiˇcna funkcija varijable X ! Svojstvo karakteristiˇcne funkcije Teorem 7.3. Ako su X i Y nezavisne sluˇcajne varijable, za karakteristiˇcnu funkciju zbroja vrijedi ϑX+Y (t) = ϑX (t) · ϑY (t).

Korelacijska i kovarijacijska matrica, disperzija zbroja

Za sluˇcajan vektor (X1 , . . . , Xn ) definiramo kovarijacijsku i korelacijsku matricu ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ k11 . . . k1n r11 . . . r1n ⎠, ⎠ K = ⎝ ... R = ⎝ ... kn1 . . . knn rn1 . . . rnn s elementima kij = cov(Xi , Xj ) = E(Xi Xj ) − E(Xi )E(Xj ), cov(Xi , Xj ) rij =

. D(Xi )D(Xj ) Ukoliko su komponente sluˇcajnog vektora nekorelirane, kovarijacijska je matrica dijagonalna. ∗∗∗ Disperzija zbroja nezavisnih varijabli jednaka je zbroju disperzija pribrojnika: D(X + Y) = D(X) + D(Y). Uvjet nezavisnosti u ovom je sluˇcaju prejak. Naime, dokaz aditivnosti disperzije, koji smo naˇcinili za diskretne sluˇcajne vektore, zahtijevao je samo svojstvo (7.8), a to svojstvo vrijedi za nekorelirane sluˇcajne varijable. Dokaˇzimo općenitije: Disperzija zbroja

di

Teorem 7.4. Ako su X1 , X2 , . . . , Xn nekorelirane sluˇcajne varijable, tada vrije-

D(X1 + X2 + . . . + Xn ) = D(X1 ) + D(X2 ) + . . . + D(Xn ).

ˇ 7.2. UVJETNE RAZDIOBE . UVJETNO O CEKIVANJE

69

Dokaz. Lijeva i desna strana se ne mijenjaju ako od varijabli oduzmemo oˇcekivanje, zato moˇzemo pretpostaviti da je E(Xk ) = 0 . Sad imamo 2 n n n n Xk = E Xk = E Xj Xk D k=1

j=1 k=1

k=1

=

=

n n

E(Xj Xk ) =

j=1 k=1 n k=1

=

E(Xk2) +

E(Xk2) =

k=1

j =k n

E(Xj Xk )

j =k

k=1

E(Xk2) +

n

n

E(Xj )E(Xk )

D(Xk ).

k=1

Primjer 7.6. Unutar intervala [0, 1] fiksirana je toˇcka a . Sluˇcajna varijabla X ima - varijable jednoliku razdiobu na intervalu [0, 1] . Odredi kovarijacijski moment izmedu X i varijable Y = |X − a| : udaljenosti toˇcke X do a . Za koju vrijednost broja a su X i Y nekorelirane?

1

x · dx =

E(X) = 0

1 , 2

1

|x − a|dx =

E(Y) = 0

E(XY) = E(X|X − a|) = = 0

a

(a − x)dx +

0

x(a − x)dx + 3

a

(x − a)dx = a2 − a + 12 ,

1

x|x − a|dx

0

a

1

a

1

x(x − a)dx =

a3 a 1 − + . 3 2 3

2

a 1 a − + i samo za a = 12 je cov(X, Y) = 0 . To nipoˇsto ne 3 2 12 znaˇci da su X i Y = X − 12 nezavisne, dapaˇce, te su varijable vezane funkcionalnom zavisnoˇscú. Dakle, cov(X, Y) =

7.2. Uvjetne razdiobe. Uvjetno ocˇ ekivanje Toˇcka T bira se na sreću unutar jediniˇcnog kruga {(x, y) : x2 +y2 1} . Razdioba vektora (X, Y) je konstantna na tom podruˇcju. Ako je poznato da je varijabla Y poprimila vrijednost 12 , sˇ to se moˇze reći o varijabli X ? Koje vrijednosti ona moˇze poprimiti u ovom sluˇcaju? S kojim vjerojatnostima? Odgovor na ovo pitanje vodi nas do novog pojma uvjetnih razdioba.

70


∗∗∗ Uvjetna gustoća

Neka je f (x, y) gustoća razdiobe sluˇcajnog vektora (X, Y) . Ako je poznata realizacija Y = y varijable Y , tada se uvjetna gustoća varijable X uz uvjet Y = y definira formulom f (x, y) f (x, y) f X |Y=y (x) := . (7.1) = ∞ f Y (y) −∞ f (x, y)dy Uglavnom piˇsemo jednostavnije f (x | y) , umjesto f X |Y=y (x) . Raˇcun s uvjetnim vjerojatnostima omogućava nam lakˇse raˇcunanje vjerojatnosti, - ili neke sluˇcajne varijable ovisi gustoća i oˇcekivanja u sluˇcaju kad realizacija dogadaja o nekoj drugoj sluˇcajnoj varijabli. Tu uvjetne gustoće igraju sliˇcnu ulogu kao i uvjetne vjerojatnosti i hipoteze u formuli potpune vjerojatnosti. Tako dobivamo i analogne formule. Najprije, iz definicijske formule moˇzemo zapisati f (x, y) = f (x | y)f Y (y), f (x, y) = f (y | x)f X (x). Marginalne gustoće dobivamo integriranjem lijeve strane ovih jednakosti: Marginalne i uvjetne gustoće

Marginalne gustoće moˇzemo raˇcunati formulama ∞ f X (x) = f (x | y)f Y (y)dy, −∞ ∞ f Y (y) = f (y | x)f X (x)dx. −∞

- efikasno sredstvo u raˇcunanju oˇcekivanja, pa i vjeroUvjetne gustoće su takoder jatnosti dogadaja (koji ovisi o mogućim realizacijama sluˇcajne varijable: Uvjetna oˇcekivanja i vjerojatnosti

Oˇcekivanje varijable X koja ovisi o realizacijama varijable Y : ∞ E(X | Y=y)f Y (y)dy. E(X) =

(7.2)

- koji ovisi o realizacijama sluˇcajne varijable X : Vjerojatnost dogadaja ∞ P (A | X=x)f X (x)dx. P (A) =

(7.3)

−∞

−∞

ˇ 7.2. UVJETNE RAZDIOBE . UVJETNO O CEKIVANJE

71

Primjer 7.7. Biramo na sreću broj Y ∈ [0, 1] , zatim na sreću broj X ∈ [0, Y] . Izraˇcunaj gustoću razdiobe i oˇcekivanje varijable X .

Koristit cémo formulu f X (x) =

∞

−∞

f X |Y=y (x)f Y (y)dy.

Tu je f Y gustoća jednolike razdiobe U(0, 1) : 0 y 1. f Y (y) = 1, f X |Y=y je gustoća jednolike razdiobe na intervalu [0, y] : 1 f X |Y=y (x) = , 0 x y. y Zato je 1 1 1 f X (x) = f X |Y=y (x)dy = dy = − ln x, 0 < x 1, 0 x y 1 1 x2 1 x2 x(− ln x)dx = − ln x + = . E(X) = 2 4 4 0

0

Samo oˇcekivanje moˇzemo lakˇse dobiti formulom ∞ E(X | Y=y)f Y (y)dy. E(X) = −∞

Tu je E(X | Y=y) uvjetno oˇcekivanje varijable X uz uvjet Y = y : ∞ y 1 y E(X | Y=y) = x · f X |Y=y (x)dx = x · dx = y 2 −∞ 0 te je 1 y 1 E(X) = dy = . 2 4 0 Primjer 7.8. Zadan je polukrug s promjerom AB , polumjera R . Neka je C toˇcka na sreću odabrana na luku polukruˇznice. Kolika je vjerojatnost da na sreću odabrana toˇcka T unutar polukruga leˇzi unutar trokuta ABC ?

Neka je S srediˇste polukruga. Oznaˇcimo s ϕ kut < )CSB . Izbor kuta ϕ odreduje jednoznaˇcno toˇcku C i obratno. Reći da je C izabrana na sreću na luku polukruˇznice znaˇci zapravo da ϕ ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, π ] . C

Z

.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ϕ ..

Z

ZZ Z

@C

A

S

Sl. 7.8.

ZZ ZB

72


Neka je D dogadaj D = {Toˇcka T leˇzi unutar trokuta ABC }. Povrˇsina trokuta ABC je · R2 sin ϕ + 12 R2 sin(π − ϕ ) = R2 sin ϕ . - D je Za fiksnu vrijednost od ϕ vjerojatnost traˇzenog dogadaja m(ABC) =

1 2

P(D | ϕ ) =

m(ABC) R2 sin ϕ 2 = = sin ϕ . 1 2 1 2 π 2R π 2R π

Kako je gustoća varijable ϕ dana sa f (ϕ ) =

1 , π

to po formuli (7.3) dobivamo π P(D) = P(D | ϕ )f (ϕ )dϕ = 0

0

0 < ϕ < π, π

π 2 1 2 cos ϕ 4 sin ϕ · · dϕ = − = . π π π 2 0 π 2

7.3. Dvodimenzionalna normalna razdioba Vektor (X, Y) ima dvodimenzionalnu normalnu razdiobu ako je njegova gustoća dana sa (x−a1 )2 1 1 (x−a1 )(y−a2 ) (y−a2 )2 √ f (x, y) = exp − −2r + . 2(1−r2 ) σ1 σ2 σ12 σ22 2πσ1 σ2 1−r2 (7.1) Piˇsemo (X, Y) ∼ N (a1 , a2 , σ12 , σ22 , r) . Provjerimo najprije da je definicija dobra, tj. da funkcija f ima svojstva gustoće sluˇcajne varijable. Funkcija f je pozitivna, potrebno je provjeriti da je njezin integral jednak jedinici. Uvedimo pritom supstituciju x − a1 y − a2 = u, =v σ1 σ2 pri cˇemu je dx dy = σ1 σ2 du dv . Dobivamo ∞ ∞ I := f (x, y)dx dy −∞ −∞ ∞ ∞ 1 1 2 2

= exp − − 2 ρ uv + v ) du dv (u 2(1 − ρ2 ) 1 − ρ2 −∞ −∞ 2π ∞ ∞ 1 1

exp − = [(u − ρv)2 + (1 − ρ2 )v2 ] du dv. 2 2(1 − ρ ) 2π 1 − ρ2 −∞ −∞

7.3. DVODIMENZIONALNA NORMALNA RAZDIOBA

u − ρv Slijedi joˇs jedna supstitucija, w =

, z = v , s jakobijanom 1 − ρ2

1 − ρ2 ρ

∂(u, v) = 1 − ρ2 . J= = 0 1 ∂(w, z) Tako dobivamo ∞ ∞ 2 2 1 I= e−w /2 dw e−z /2 dz = 1. 2π −∞ −∞ Marginalne razdiobe

Neka vektor (X, Y) ima normalnu razdiobu N (a1 , a2 , σ12 , σ22 , r) . Uvjerimo se da tada varijable X i Y imaju normalnu razdiobu N (a1 , σ12 ) , odnosno N (a2 , σ22 ) . Funkcija gustoće vektora (X, Y) moˇze se napisati na naˇcin (x−a1 )2 1 (x−a1 )(y−a2 ) (y−a2 )2 1 √ exp − − 2r + f (x, y) = 2(1−r2 ) σ1 σ2 σ12 σ22 2πσ1 σ2 1−r2 2 y − a2 1 1 x − a1 √ =√ exp − −r × 2 2 2(1 − r ) σ2 σ1 2πσ2 1 − r 2 (x − a1 )2 1 1 2 (x − a1 ) √ exp − −r × 2(1 − r2 ) σ12 σ12 2πσ1 1 (x − a1 )2 = f 1 (x, y) · √ exp − . 2σ12 2πσ1 Zamjenom varijabli y − a2 1 x − a1 √ −r =z σ2 σ1 1 − r2

∞ vidimo da je −∞ f 1 (x, y)dy = 1 za svaki x , jer je podintegralna funkcija gustoća normalne razdiobe. Zato ∞ ∞ 1 (x − a1 )2 f (x, y)dy = √ exp − f 1 (x, y)dy f X (x) = 2σ12 σ1 2π −∞ −∞ 1 (x − a1 )2 = √ exp − 2σ12 σ1 2π tj. X ima normalnu razdiobu N (a1 , σ12 ) . Zbog simetrije zakljuˇcujemo da vrijedi - Y ∼ N (a2 , σ 2 ) . takoder 2 Znaˇcenje koeficijenta r

Neka je (X, Y) ∼ N (a1 , a2 , σ12 , σ22 , r) . Dokaˇzimo da je r koeficijent korelacije varijabli X i Y . Izraˇcunajmo najprije kovarijacijski moment cov(X, Y) = E(X − a1 )(Y − a2 ) 1 1 √ (x − a1 )(y − a2 )e− 2 Q(x,y) dx dy = 2 2πσ1 σ2 1 − r R2

73

74


gdje je

x − a1 2 1 (x − a1 )(y − a2 ) y − a2 2 Q(x, y) = − 2r + . 1 − r2 σ1 σ1 σ2 σ2

Uvedimo supstituciju x − a1 , u= √ σ1 1 − r2

v=

Tada slijedi cov(X, Y) =

(1 − r2 )3/2σ1 σ2 2π

(1 − r ) σ1 σ2 √ = 2π 2 3/2

y − a2 √ , σ2 1 − r2

1

dx dy = σ1 σ2 (1 − r2 )du dv

2

R2

2

uv e− 2 (u −2ruv+v ) du dv

∞

− 12 v2 (1−r2 )

ve

−∞

∞

−∞

u − 1 (u−rv)2 2 √ e du dv. 2π

Integral u zagradi moˇzemo shvatiti kao oˇcekivanje normalne varijable N (rv, 1) i on iznosi rv . Dakle ∞ √ 1 − r2 − 1 v2 (1−r2 ) 2 cov(X, Y) = r(1 − r )σ1 σ2 v2 √ e 2 dv. 2π −∞ Ovaj je pak integral disperzija normalne varijable N (0, 1−1r2 ) i iznosi je

1 . Stoga 1 − r2

cov(X, Y) = rσ1 σ2 i zato r=

cov(X, Y) cov(X, Y) =

= r(X, Y), σ1 σ2 D(X)D(Y)

sˇ to je i trebalo pokazati. Nezavisnost i nekoreliranost normalnih varijabli

Normalan sluˇcajan vektor posjeduje svojstvo koje nije uobiˇcajeno za druge razdiobe: njegove komponente X i Y su nezavisne ako i samo ako su nekorelirane. Ako su X i Y nezavisne, tada su i nekorelirane, poˇsto ta tvrdnja vrijedi za sluˇcajne varijable s bilo kojom razdiobom. Ako su pak X i Y nekorelirane, tada je r = r(X, Y) = 0 i gustoća razdiobe vektora (X, Y) 1 (x − a1 )2 (y − a2 )2 f (x, y) = exp − − 2πσ1 σ2 2σ12 2σ22 moˇze se faktorizirati u produkt f X (x)f Y (y) , te su X i Y nezavisne sluˇcajne varijable.


75

Primjer 7.9. Neka je (X, Y) normalan sluˇcajan vektor uz a1 = a2 = 0 te (ρ, ϕ ) - gustoću razdiobe vektora (R, Φ) te marginalnu polarne koordinate toˇcka (x, y) . Nadi gustoću varijable Φ .

Vrijedi

cos ϕ −ρ sin ϕ x = ρ cos ϕ ∂(x, y) = ρ. = =⇒ sin ϕ ρ cos ϕ y = ρ sin ϕ ∂(ρ, ϕ )

Ovim preslikavanjem se ravnina R2 preslikava u pravokutnik [0, ∞) × [0, 2π ) . Jakobijan ne mijenja znak, zato je g(ρ, ϕ ) = f (x, y) · ρ = f (ρ cos ϕ , ρ sin ϕ ) · ρ 2 cos ϕ ρ ρ2 cos ϕ sin ϕ sin2 ϕ √ = exp − − 2r + . 2(1−r2 ) σ1 σ2 σ12 σ22 2πσ1 σ2 1−r2 Kako je ∞ 2 1 1 ρe− 2 Cρ dρ = , C 0 dobivamo marginalnu gustoću varijable ϕ : √ ∞ 1 − r2 1 gΦ (ϕ ) = g(ρ, ϕ )dρ = · . 2 2πσ1 σ2 cos ϕ cos ϕ sin ϕ sin2 ϕ 0 − 2r + σ1 σ2 σ12 σ22 Ako je σ1 = σ2 (= σ ) i r = 0 , tj. ako vrijedi (X, Y) ∼ N (0, 0, σ 2 , σ 2 , 0) , tada se gustoća vektora (R, Φ) moˇze faktorizirati: ρ2 ρ g(ρ, ϕ ) = exp − 2 = gΦ (ϕ ) · gR (ρ). 2πσ 2 2σ U tom su sluˇcaju R i Φ nezavisne, R ima Rayleighovu razdiobu s gustoćom ρ2 ρ ρ → 2 exp − 2 , ρ 0, σ 2σ a Φ jednoliku razdiobu na intervalu [0, 2π ) . Primjer 7.10. X i Y su nezavisne sluˇcajne varijable, distribuirane po normalnom - a) |Y| < X ; b) Y < X ; c) Y < |X| . zakonu N (0, σ 2 ) . Odredi vjerojatnost dogadaja

a)

6 y

. . . . . .

@

. . . .

. . . . . . . . . . .

. .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

G . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

@@ @

6 y

b)

x

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

Sl. 7.9.

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

G

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x

@ 6 @@ @ y

.

c) .. .. .. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

G

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

x

76


Kako vektor (X, Y) ima normalnu razdiobu N (0, 0, σ 2 , σ 2 , 0) , to su, po prethodnom primjeru, varijable R i Φ nezavisne. U sluˇcaju a) imamo 1 P ((X, Y) ∈ G) = P (R ∈ [0, ∞), Φ ∈ [0, π4 ]) = P (Φ ∈ [0, π4 ]) = . 4 U druga dva sluˇcaja ta vjerojatnost iznosi 12 odnosno 34 . Primjer 7.11. Neka je (X1 , X2 ) normalan sluˇcajan vektor s oˇcekivanjem a1 =

a2 = 0 i neka je

y1 = x1 cos α + x2 sin α y2 = −x1 sin α + x2 cos α rotacija koordinatnog sustava za kut α . Dokaˇzi da je sluˇcajan vektor (Y1 , Y2 ) takoder normalan i izraˇcunaj mu gustoću. Da li se kut α moˇze izabrati tako da Y1 i Y2 budu nezavisne? - varijablama (x1 , x2 ) i (y1 , y2 ) dana je sa Inverzna veza medu x1 = y1 cos α − y2 sin α x2 = y1 sin α + y2 cos α i zato jakobijan preslikavanja glasi ∂(x1 , x2 ) cos α − sin α = 1. = ∂(y1 , y2 ) sin α cos α On ne mijenja predznak i prema tome gustoća vektora (Y1 , Y2 ) iznosi g(y1 , y2 ) = f (x1, x2 ) = f (y1 cos α − y2 sin α , y1 sin α + y2 cos α ). Nakon uvrˇstavanja i sredivanja dobivamo ovakav izraz 1 1 2 2 √ exp − (Ay1 − 2By1 y2 + Cy2 ) g(y1 , y2 ) = 2(1 − r2 ) 2πσ1 σ2 1 − r2 gdje je A=

cos2 α cos α sin α sin2 α − 2r + 2 σ1 σ2 σ1 σ22

B=

cos α sin α sin2 α − cos2 α sin α cos α − r − 2 σ1 σ2 σ1 σ22

sin2 α cos α sin α cos2 α − 2r + . 2 σ1 σ2 σ1 σ22 - normalnu razdiobu. Njegove cé Time je pokazano da vektor (Y1 , Y2 ) ima takoder komponente biti nezavisne ako su nekorelirane, tj. ako je koeficijent B jednak nuli: C=

sin2 α − cos2 α σ2 − σ2 r = cos α sin α 2 2 2 1 σ1 σ2 σ1 σ2 tj.

2rσ1 σ2 2 sin α cos α sin 2α = = = tg 2α 2 2 2 2 cos α − sin α cos 2α σ1 − σ2


i mora biti 1 2

α=

arc tg

77

2rσ1 σ2 . σ12 − σ22

∗∗∗ Pretpostavimo da normalan vektor (X1 , X2 ) ima razdiobu N (0, 0, σ 2 , σ 2 , 0) . Tada su X1 , X2 nezavisne sluˇcajne varijable s razdiobama X1 ∼ N (0, σ 2 ) , X2 ∼ N (0, σ 2 ) . Prema ovom primjeru, vektor (Y1 , Y2 ) definiran sa y1 = x1 cos α + x2 sin α , y2 = −x1 sin α + x2 cos α , ima gustoću g(y1 , y2 ) =

y2 1 y22 1 , exp − − 2πσ 2 σ2 σ2

i zato Y1 ∼ N (0, σ 2 ) , Y2 ∼ N (0, σ 2 ) i Y1 , Y2 su nezavisne. Drugim rijeˇcima, varijable Y1 , Y2 dobivene rotacijom koordinatnog sustava imaju istu razdiobu. To svojstvo invarijantnosti prema rotaciji koristimo kod odredivanja vjerojatnosti da normalan vektor (X1 , X2 ) poprimi vrijednost unutar nekog podruˇcja u ravnini. Evo primjera. Primjer 7.12. X i Y su nezavisne jediniˇcne normalne sluˇcajne varijable. Izraˇcunaj - (|X| + |Y| 1) . vjerojatnost dogadaja

Skup G = ((x, y) ∈ R2 : |x|+|y| 1) je kvadrat s vrhovima u toˇckama (1, 0) , (0, 1) , (−1, 0) , (0, −1) (slika 7.10.) a) . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 @@ G @ @-

. . . . . . . . . . . . .

@@ @@

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

1

Sl. 7.10.

b) . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

6

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .0 . . . . . . . . . . . . . . . . .

G

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

-

p

2

Rotirati cémo koordinatni sustav za kut α = π4 . Pritom podruˇcje G prelazi u G : kvadrat cˇije su stranice paralelne s koordinatnim osima. Razdioba vektora (X, Y) ostaje nepromijenjena i u novom sustavu: √ √ 2 2 P ((X, Y) ∈ G) = P ((X, Y) ∈ G ) = P |X| , |Y| 2 2 √ √ 2 2 · P |Y| = P |X| 2 2 √2 √2 ∗ ∗ =Φ ·Φ = 0.271. 2 2

78


Uvjetne gustoće normalnog sluˇcajnog vektora

Neka je (X, Y) normalan sluˇcajni vektor s razdiobom N (a1 , a2 , σ12 , σ22 , r) . Poka- normalna, zˇ imo da je uvjetna razdioba varijable Y uz poznatu realizaciju X = x takoder te da vrijedi σ2 Y | X = x ∼ N a2 + r (x − a1 ), σ22 (1 − r2 ) . σ1 Marginalna razdioba varijable X je normalna, X ∼ N (a1 , σ12 ) . Zato uvjetna gustoća glasi f (x, y) 1 1 f (y|x) = × =√ · √ f X (x) 2π σ2 1 − r2 2 2 y−a2 x−a1 1 (x−a1 )(y−a2 ) (x−a1 )2 × exp − − 2r + − . 2(1−r2 ) σ1 σ1 σ2 σ2 2σ12 Izraz u eksponentu je potpuni kvadrat: 2 y − a2 1 x − a1 1 √ exp − −r f (y|x) = √ 2(1 − r2 ) σ2 σ1 2π σ2 1 − r2 2 1 σ2 1 √ . =√ y − a exp − 2 − r (x − a ) 2 1 σ1 2σ2 (1 − r2 ) 2π σ2 1 − r2 Time je tvrdnja dokazana. Zbog razloga simetrije, uvjetna razdioba varijable X uz poznatu realizaciju Y = y - normalna: je takoder σ1 X | Y = y ∼ N a1 + r (y − a2 ), σ12 (1 − r2 ) . σ2

7.4. Viˇsedimenzionalna normalna razdioba Element prostora Rn je uredena n -torka (x1 , x2 , . . . , xn ) koju moˇzemo oznaˇciti jednostavnije s x . Skalarni produkt dvaju elemenata ovog prostora raˇcuna se formulom (x | y) = x1 y1 + x2 y2 + . . . + xn yn a norma (duljina) elementa

x = (x |x) = x21 + x22 + . . . + x2n . Neka su Xi ∼ N (0, 1) (i = 1, 2, . . . , n) nezavisne jediniˇcne normalne sluˇcajne varijable. Onda je gustoća sluˇcajnog vektora (X1 , X2 , . . . , Xn ) dana s f (x1 , x2 , . . . , xn ) = f X1 (x1 ) · f X2 (x2 ) · · · f Xn (xn ) 2

2

x1 xn 1 1 = √ e− 2 · . . . · √ e− 2 2π 2π 1 2 2 1 = e− 2 (x1 + . . . + xn ) n/2 (2π )

ˇ 7.4. VISEDIMENZIONALNA NORMALNA RAZDIOBA

Jediniˇcna n -dimenzionalna normalna razdioba

zadan funkcijom gustoće Za sluˇcajan vektor X 1 2 1 e− 2 x f (x) = n/2 (2π ) ∼ N (0, I) . kaˇzemo da ima jediniˇcnu normalnu razdiobu u Rn i piˇsemo X

Neka je R = (rij ) kvadratna matrica reda n . Za nju kaˇzemo da je simetriˇcna ako za nju vrijedi R = R , odnosno, rij = rji za sve i, j . Kazat cémo da je matrica R pozitivno definitna, ako je simetriˇcna i ako za svaki vektor x vrijedi ⎤⎡ ⎤ ⎡ x1 r11 · · · r1n n ⎦ ⎣ .. ⎦ = (x | Rx) = x Rx = [x1 , . . . , xn ] ⎣ ... rij xi xj 0. . i,j=1 rn1 · · · rnn xn Ako je k tome matrica R regularna (tj. postoji R−1 , odnosno, determinanta |R| matrice R je razliˇcita od nule), tada je za x = 0 ispunjeno x Rx > 0 . Matrica je pozitivno definitna ako su joj sve glavne minore nenegativne: r11 · · · r1n r11 r12 . 0, . . . , . 0. r11 0, . r21 r22 r ··· r n1 nn Opća n -dimenzionalna normalna razdioba

Neka je R regularna pozitivno definitna matrica i a = (a1 , . . . , an ) zada = (X1 , . . . , Xn ) ima n -dimenzionalnu ni vektor. Kazat cémo da vektor X normalnu razdiobu s oˇcekivanjem a i kovarijacijskom matricom R ako je njegova gustoća definirana sa 1 1

exp − (x − a) R−1 (x − a) . f (x) = 2 (2π )n/2 |R| Piˇsemo X ∼ N (a, R) .

Provjerimo da oznaka nije pretenciozna, da je R uistinu kovarijacijska matrica vektora (X1 , . . . , Xn ) . Raˇcunajmo za n = 2 . Gustoća vektora (X1 , X2 ) dana je sa x1 − a1 2 1 1 √ exp − − f (x1 , x2 ) = 2(1 − r2 ) σ1 2πσ1 σ2 1 − r2 (x1 − a1 )(x2 − a2 ) x2 − a2 2 + − 2r σ1 σ2 σ2 1 1 = exp − (x − a) R−1 (x − a) . 2 2π |R|

79

80


Usporedivanjem ovih izraza vidimo da R−1 ima elemente: 1 1 r r11 = , r22 = , r12 = a21 = − . 2 2 2 2 (1 − r2 )σ1 σ2 (1 − r )σ1 (1 − r )σ2 Determinanta ove matrice je |R−1 | = r11 r22 − r12 r21 =

1 (1 − r2 )σ12 σ22

i moˇzemo izraˇcunati matricu R : R = (R−1 )−1 =

σ 2 rσ1 σ2 1 r22 −r12 1 . = |R−1 | −r21 r11 rσ1 σ2 σ22

Dakle, elementi matrice R su upravo kovarijacijski momenti vektora (X1 , X2 ) . Primjer 7.13. Sluˇcajan vektor (X, Y, Z) ima normalnu razdiobu s gustoćom

√

1 3 2 2 2 exp − + 4y + z − 2yz + 10z − 10y + 25] [2x 8 16π 3/2 Odredimo njegovu kovarijacijsku matricu. f (x, y, z) =

Izraz u eksponentu moramo dovesti na oblik − 12 (x − a) A−1 (x − a) : 1 − [2x2 + 4y2 + z2 − 2yz + 10z − 10y + 25] 8 1 = − [2x2 + 4y2 + (z + 5)2 − 2y(z + 5)] 8 1 x2 y2 (z + 5)2 2y(z + 5) =− + + − 2 2 1 4 4 ⎤% ⎡1 & 0 0 x 2 1 1 = − (x, y, z + 5) ⎣ 0 1 − 4 ⎦ . y 2 1 1 z + 5 0 −4 4 Dakle,

⎤ ⎤ ⎡ 0 0 2 0 0 4 4 = ⎣ 0 1 − 14 ⎦ =⇒ A = ⎣ 0 3 3 ⎦ . 0 43 16 0 − 14 41 3 ⎡1

A −1

2

Nezavisnost komponenti

Ako je matrica R dijagonalna (s elementima rii = E(Xi − ai )(Xi − ai ) = σi2 , tada je i R−1 dijagonalna: ⎡ 2 ⎡ ⎤ ⎤ 1/σ12 0 . . . 0 σ1 0 . . . 0 ⎢ 0 σ22 ⎢ 0 1/σ22 0 ⎥ 0 ⎥ ⎥ =⇒ R−1 = ⎢ ⎥. R=⎢ . . ⎣ .. ⎣ ⎦ . . . .. . . . ... ⎦ .. . 0 0 . . . σn2 0 0 . . . 1/σn2

ˇ 7.4. VISEDIMENZIONALNA NORMALNA RAZDIOBA

Gustoća normalnog vektora (X1 , . . . , Xn ) tada iznosi x − a 2 1 1 x1 − a1 2 n n f (x1 , . . . , xn ) = exp − + . . . + . 2 σ1 σn (2π )n/2 σ1 · · · σn Sluˇcajne varijable X1 , . . . , Xn su u tom sluˇcaju nezavisne, s gustoćama 1 1 xi − ai 2 f Xi = √ exp − . 2 σi 2πσi Specijalno, za a1 = . . . = an = 0 i σ1 = . . . = σn = 1 (tj. ako je a = 0 , R = I ), dobivamo jediniˇcnu normalnu razdiobu N (0, I) s gustoćom 1 f (x1 , . . . , xn ) = exp(− 12 (x21 + . . . + x2n )), (2π )n/2 ili, kraće zapisano, 1 f (x) = exp(− 12 x x). (2π )n/2 Veza jediniˇcne i opće razdiobe

Ako je R pozitivno definitna matrica, onda se moˇze pokazati da postoji matrica A sa svojstvom R = A · A . (Matricu A nazivamo drugi korijen matrice R .) ima jediniˇcnu normalnu razdiobu. Transformirajmo taj sluˇcajni vektor Neka X . Odredimo gustoću vektora Y . djelovanjem matrice A , Y = AX Gustoća vektora Y = (Y1 , . . . , Yn ) dana je s ∂(x1 , . . . , xn ) . f Y (y) = f X (x) · ∂(y1 , . . . , yn ) Kako je x = A−1y , vrijedi ∂(x1 , . . . , xn ) 1 = |A−1 | = . ∂(y1 , . . . , yn ) |A| Zato je f Y (y) = f X (A−1y)

1 |A|

1 1 −1 2 y exp − A 2 (2π )n/2 | det(A)| 1 1

−1 y y exp − = (AA ) 2 (2π )n/2 | det(B)| 1 1

= exp − y R−1y . 2 (2π )n/2 det(R) =

Dakle, vektor Y ima normalnu razdiobu N (0, R) . , dobit cémo vektor s razdiobom N (a, R) . Stavimo li Y = a + AX Dakle, svaki se normalni vektor moˇze dobiti iz jediniˇcne normalne razdiobe tran. sformacijom oblika Y = a + AX

81

82


∗∗∗ Osim pomoću funkcija gustoća, normalna se razdioba moˇze ( cˇak jednostavnije) opisati i koriˇstenjem karakteristiˇcnih funkcija. Taj je pristup tim vaˇzniji jer nam omogućava da opiˇsemo i sluˇcajeve degeneracije kad kovarijacijska matrica R nije regularna i formula za gustoću gubi smisao, jer ne postoji R−1 . Karakteristiˇcna funkcija jediniˇcne normalne razdiobe dana je s ∞ u2 ϑX (u) = E[eiXu ] = eixu f X (x)dx = e− 2 . −∞

Općenito se karakteristiˇcna funkcijua n -dimenzionalnog vektora X raˇcuna formulom |u) i(X ϑX (u1 , . . . , un ) = E[e ]= · · · ei(x|u) f (x)dx1 · · · dxn . R

R

Odredimo tu karakteristiˇcnu funkciju za normalnu razdiobu. Ako je X ∼ N (0, I) , jednaka umnoˇsku funkcija gustoće pojedinih onda je funkcijua gustoće vektora X komponenti, pa vrijedi hX (u) = · · · ei(x1 u1 +...xn un ) f X1 (x1 ) · · · f Xn (xn )dx1 · · · dxn R ∞ R ∞ ix1 u1 ixn un = e f X1 (u1 )dx1 · · · e f Xn (un )dxn =

−∞ 1 2 2 e− 2 (u1 +...+un )

−∞

=

1 2 e− 2 u .

(Ova se formula moˇze izvesti i direktno jer je karakteristiˇcna funkcija vektora, cˇ ije su komponente nezavisne, jednaka umnoˇsku karakteristiˇcnih funkcija pojedinih komponenti.) . Karakteristiˇcna funkcija ovog vektora je Neka je sada Y = AX

ϑY (u) = E[ei(Y |u) ] = E[ei(AX |u) ] = E[ei(X|A

u)

] = ϑX (A u)

Nadalje, vrijedi A u2 = (A u) A u = u AA u = u Ru i zato je 1

ϑY (u) = e− 2 (Ru|u) Općenito, za X ∼ N (a, R) vrijedi 1

ϑX (u) = ei(a|u)− 2 (Ru|u) .


83

7.5. Rijeˇseni zadatci Zadatak 7.1. Zadana je funkcija gustoće sluˇcajnog vektora (X, Y)

0 < x < 1, 0 < y < 1. f (x, y) = 6x2 y, Jesu li X i Y nezavisne? Odredi vjerojatnost dogadaja 1 1 (0 < X < , < Y < 2). 2 2 Funkcija gustoće f (x, y) moˇze se faktorizirati: f (x, y) = f X (x)f Y (y),

∀(x, y) ∈ R2 ,

gdje su 0 < x < 1, f X (x) = 3x2 , 0 < y < 1, f Y (y) = 2y, marginalne funkcije gustoća varijabli X i Y . Zato su X i Y nezavisne. 12 1 1 1 f (x, y)dx dy P (0 < X < , < Y < 2) = 1 2 2 0 2 12 1 3 6x2 y dx dy = = . 1 32 0 2 Zadatak 7.2. Funkcija f (x, y) = 18 (6 − x − y) , 0 < x < 2 , 2 < y < 4 je funkcija

gustoće sluˇcajnog vektora (X, Y) . Odredi funkciju razdiobe i marginalne gustoće. Jesu li komponente vektora (X, Y) nezavisne? Vrijedi

x

63

y

y

f (x, y)dx dy.

F(x, y) = −∞

−∞

5

4

Medutim, u sluˇcajevima kad je gustoća jednaka nuli na 2 4 nekim dijelovima ravnine, raˇcunanje funkcije razdiobe se 2 komplicira. Ovdje moramo rastaviti ravninu na pet podrucˇja, kao na slici. Na svakom od njih cé funkcija razdiobe 1 imati razliˇcitu formulu 0 2 Na podruˇcju 1 je f (x, y) = 0 pa je i F(x, y) = 0 Na podruˇcju 2: Sl. 7.11. 1 x y 1 F(x, y) = (6 − x − y)dx dy = x(y − 2)(10 − x − y). 8 0 2 16 Na podruˇcju 3: 1 F(x, y) = 8

x 0

2

4

(6 − x − y)dx dy =

1 x(6 − x). 8

x

84


Na podruˇcju 4: 1 F(x, y) = 8

0

2

2

y

(6 − x − y)dx dy =

Na podruˇcju 5 je F(x, y) = 1 . Dakle, ⎧ 0, ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎨ 16 x(y − 2)(10 − x − y), 1 F(x, y) = 8 x(6 − x), ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎩ 8 (8 − y)(y − 2), 1,

1 (8 − y)(y − 2). 8

x 0 ili y 2, 0 < x 2, 2 < y 4, 0 < x 2, 4 < y, 2 < x, 2 < y 4, 2 < x, 4 < y.

Primijetimo ipak da je ‘najvaˇznija’ formula na podruˇcju 2. Iz nje se uvrˇstavanjem rubne vrijednosti y = 4 , odnosno x = 2 , mogu dobiti formule na podruˇcjima 3, 4 pa i 5. Marginalne gustoće su: ∞ 1 4 1 f X (x) = f (x, y)dy = (6 − x − y)dy = (3 − x), 0 < x < 2, 8 2 4 −∞ 2 ∞ 1 1 f (x, y)dx = (6 − x − y)dx = (5 − y), 2 < y < 4. f Y (y) = 8 0 4 −∞ kako je f (x, y) = f X (x)f Y (y) , varijable X i Y su zavisne. Zadatak 7.3. Dvodimenzionalan sluˇcajan vektor (X, Y) zadan je gustoćom

0 < x < π2 , 0 < y < π2 .

f (x, y) = C sin(x + y),

Izraˇcunaj konstantu C . Odredi marginalne razdiobe komponenti X i Y . Konstantu C odredujemo iz uvjeta da je integral ispod funkcije gustoće jednak jedinici: π /2 π /2 π /2 1= C sin(x + y)dx dy = C (sin x + cos x)dx = 2C =⇒ C = 12 . 0

0

0

Odredimo funkciju razdiobe vektora (X, Y) : 1 x y 1 x F(x, y) = sin(x + y)dx dy = − [cos(x + y) − cos x]dx 2 0 0 2 0 1 = [sin x + sin y − sin(x + y)], 0 < x < π2 , 0 < y < π2 . 2 Marginalne razdobe su FX (x) = F(x, π2 ) = 12 (1 + sin x − cos x),

FY (y) = F( π2 , y) = 12 (1 + sin y − cos y),

f X (x) = 12 (sin x + cos x), f Y (y) = 12 (sin y + cos y).


85

Zadatak 7.4. Zadana je funkcija razdiobe F(x, y) neprekinutog sluˇcajnog vektora (X, Y) . Odredi vjerojatnost da vektor poprimi vrijednost u podruˇcju G na slici.

Odredimo najprije vjerojatnost za pravokutnik oblika [a, b] × [c, d] .

3 2 1

0

6 y

..................... ..................... ..................... ..................... ..................... . .. . .. . .. . .. . .. .......... .......... .......... ..........

G

1

2

-

3 x

P (a<X 0, β > 0. Odredi oˇcekivanje i korelacijsku matricu tog vektora. Jesu li njegove komponente zavisne ili nezavisne? 31. Toˇcka (X, Y) ima jednoliku razdiobu unutar trokuta s vrhovima (0, 0) , (1, 0) , (0, 1) . Odre- X i Y. di koeficijent korelacije izmedu 32. Sluˇcajna varijabla X ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 2π ] . Neka je Y1 = cos X , Y2 = sin X . Izraˇcunaj cov(Y1 , Y2 ) . Jesu li Y1 i Y2 nezavisne? 33. Sluˇcajna varijabla Y je zbroj triju sluˇcajnih varijabli, Y = X1 + X2 + X3 . Poznato je E(X1 ) = 1 , E(X2 ) = 2 , E(X3 ) = 0 , D(X1 ) = 0, 01 , D(X2 ) = 4 , D(X3 ) = 0, 36 , r12 = 0, 2 , r13 = 0, 3 , r23 = −0, 1 . Izraˇcunaj E(Y) i D(Y) . 34. Sluˇcajna varijabla X ima jednoliku razdiobu na intervalu [−1, 1] . Odredi koeficijent korelacije za sljedeće parove sluˇcajnih varijabli: a) X i X 2 b) X i X3 35. Sluˇcajna varijabla X ima jednoliku razdiobu na intervalu (−1, 1) . Neka je Y = X 2n−1 , n ∈ N . Odredi korelacijsku matricu vektora (X, Y) . 36. Neka su X1 i X2 nezavisne identiˇcki distribuirane sluˇcajne varijable i Y1 = X1 + X2 , Y2 = X1 − X2 . Pokaˇzi da je r(Y1 , Y2 ) = 0 . 37. Odredi kovarijacijsku matricu vektora (X, Y) cˇija je gustoća razdiobe 2 . f (x, y) = π (x2 + y2 + 1)3

38. Odredi gustoću razdiobe te kovarijacijsku matricu vektora (X, Y) zadanog funkcijom razdiobe π F(x, y) = sin x sin y, 0 < x, y < . 2 39. Sluˇcajna varijabla X ima jednoliku razdiobu na intervalu [−1, 1] . Izraˇcunaj koeficijent korelacije r(Y1 , Y2 ) para sluˇcajnih varijabli Y1 = X 2 i Y2 = X 4 . 40. Sluˇcajna varijabla X ima jednoliku razdiobu na intervalu [−1, 2] . Izraˇcunaj koeficijent korelacije r(Y1 , Y2 ) para sluˇcajnih varijabli Y1 = X 2 i Y2 = X 3 . 41. Sluˇcajna varijabla X ima eksponencijalnu razdiobu, a sluˇcajna varijabla Y normalnu razdiobu s pripadnim gustoćama f X (x) = 3 e−3x , x > 0 2 1 f Y (y) = √ e−(y+4) /8 , y ∈ R. 2 2π Ako su X i Y medusobno korelirane sluˇcajne varijable s koeficijentom korelacije r(X, Y) = −0.5 , izraˇcunaj oˇcekivanje sluˇcajne varijable Z = X 2 − 3XY + 2Y 2 . 42. Neka su f 1 , f 2 gustoće, a F1 , F2 funkcije razdiobe nekih sluˇcajnih varijabli. Dokaˇzi da je za svaki a , |a| < 1 , funkcija f (x, y) = f 1 (x)f 2 (y)(1+ + a[2F1 (x) − 1][2F2 (y) − 1]) gustoća nekog sluˇcajnog vektora (X, Y) . Dokaˇzi da su gustoće sluˇcajnih varijabli X i Y upravo funkcije f1 i f2 . 43. Sluˇcajne varijable X1 i X2 imaju oˇcekivanja E(X1 ) = a1 , E(X2 ) = a2 ; disperzije D(X1 ) = σ12 , D(X2 ) = σ22 i koeficijent korelacije r . Odredi numeriˇcke karakteristike sluˇcajne varijable Y = α X1 + β X2 + γ . 44. Zadan je sluˇcajan vektor (X, Y) s numeriˇckim karakteristikama E(X) = E(Y) = 0 , D(X) = 100 , D(Y) = 25 , E(XY) = 16 . Odredi linearnu transformaciju oblika X = U,

Y = aU + V

tako da komponente vektora (U, V) budu nekorelirane. Odredi numeriˇcke karakteristike za U i V . 45. Nezavisne sluˇcajne varijable X1 , . . . , Xn imaju jednoliku razdiobu na intervalu [−1, 1] . Neka je X = X1 + . . . + Xn . Izraˇcunaj E(X 2 ) .


46. Neka su X1 , . . . , Xn pozitivne, jednako distribuirane sluˇcajne varijable. Odredi „ « X1 + . . . + Xk E (1 k n). X1 + . . . + Xn ∗∗∗ 47. Neka je X nenegativna sluˇcajna varijabla s gustoćom f X . Neka Y ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, X] , te Z = X − Y . Pokaˇzi da su Y i Z nezavisne ako i samo ako je f X (x) = λ 2 x e−λ x , x > 0. 48. Sluˇcajne varijable X i Y su nezavisne i imaju istovjetnu distribuciju. Izraˇcunaj uvjetnu gustoću f X|X+Y=z (x) varijable X uz uvjet X + Y = z , ako a) X i Y imaju eksponencijalnu razdiobu E(λ ) , b) X i Y imaju jednoliku razdiobu na [0, 1] . 49. Sluˇcajna varijabla X1 ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 1] , X2 jednoliku razdiobu na [x1 , x1 + 1] , gdje je x1 realizacija varijable X1 . Analogno se definiraju sluˇcajne varijable X3 ,. . . , Xn . Izraˇcunaj E(Xn ) . 50. Toˇcke A1 , . . . , An biraju se na sreću na kruˇznici - ( Toˇcka S sa srediˇstem u O . Neka je Bn dogadaj O leˇzi unutar konveksnog mnogokuta s vrhovima A1 , . . . , An ) . a) Kolika je vjerojatnost dogadaja Bn ? b) Neka sluˇcajna varijabla ν poprima vrijednost - Bn . najmanjeg broja n za kojeg je ispunjen dogadaj Odredi E(ν ) i D(ν ) . ∗∗∗ 51. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima jednoliku razdiobu na krugu polumjera r , sa srediˇstem u ishodiˇstu. Izraˇcunaj marginalnu gustoću f X (x) i uvjetnu gustoću f (x|y) . Jesu li komponente X i Y nezavisne? Jesu li nekorelirane? 52. X, Y, Z su nezavisne sluˇcajne varijable s jednolikom razdiobom na intervalu [0, 1] . Izraˇcunaj vjerojatnost dogadaja (Z < X + Y) . 53. Neka su X1 , X2 , X3 nezavisne sluˇcajne varijable s jednolikom razdiobom na intervalu [0, 1] . Odredi funkciju gustoće vjerojatnosti sluˇcajne varijable Y = X1 + X2 + X3 . 54. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima jednoliku razdiobu vjerojatnosti na podruˇcju G = ((x, y) : x > 0, y > 0, x + 2y < 2). Nadi uvjetnu gustoću f X|Y=y (x) = f (x|y) i prikaˇzi je grafiˇcki. Izraˇcunaj koeficijent korelacije r(X, Y) .

89 55. Prodavaonica radi od 8 do 20 sati. Vrijeme ulaska kupca u nju je sluˇcajna varijabla s jednolikom razdiobom. Vrijeme boravka kupca u prodavaonici ima eksponencijalnu razdiobu, s oˇcekivanjem 1/ 2 sata i neovisno je o trenutku ulaska (u 20 sati kupac mora izići van). Kolika je vjerojatnost da kupac boravi u prodavaonici duˇze od 1 sata? Ako je izaˇsao u 12 sati, kolika je vjerojatnost da je uˇsao prije 11 sati? 56. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima jednoliku razdiobu vjerojatnosti nad podruˇcjem G = ((x, y) : 0 < x < 2, y > 0, 2x > y). Nadi uvjetnu gustoću f (x | Y = y) i prikaˇzi je grafiˇcki. Izraˇcunaj koeficijent korelacije r(X, Y) . 57. Unutar duˇzine AB odabrana je na sreću toˇcka C . Zatim je na većem od dijelova AC , CB odabrana na sreću toˇcka P . Kolika je vjerojatnost da se od dobivenih dijelova moˇze sastaviti trokut? 58. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima jednoliku razdiobu vjerojatnosti na podruˇcju G = ((x, y) : x < 2, y > 0, x − 2y > 0). - uvjetnu gustoću f Nadi X|Y=y (x) = f (x|y) i prikaˇzi je grafiˇcki. 59. Polumjer R kruga sluˇcajna je varijabla jednoliko distribuirana na [r1 , r2 ] . Toˇcka T bira se na sreću unutar kruga. Kolika je vjerojatnost da udaljenost toˇcke T do srediˇsta kruga poprimi vrijednost manju od r1 ? 60. Polumjer kruga je sluˇcajna varijabla s jednolikom razdiobom na intervalu [0, 1] . Srediˇste kruga bira se na sreću unutar kvadrata stranice 2. Kolika je vjerojatnost da krug neće sijeći stranicu kvadrata? 61. U jednakostraniˇcnom trokutu ABC duljina stranice je sluˇcajna varijabla jednoliko distribuirana na intervalu [10, 30] . Toˇcka T bira se na sreću unutar trokuta. Kolika je vjerojatnost da je udaljenost od T do stranice AB manja od 15 ? 62. Sluˇcajna varijabla R ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 1] i predstavlja polumjer kruga sa srediˇstem u ishodiˇstu. Ako je T toˇcka na sreću izabrana unutar tog kruga, izraˇcunaj oˇcekivanje udaljenosti toˇcke T do srediˇsta kruga. ∗∗∗ 63. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima normalnu razdiobu s gustoćom #! " 1 1 x2 y2 f (x, y) = exp − + . σ1 σ2 2π 2 σ12 σ22 Odredi zakon razdiobe sluˇcajne varijable Z = X − Y.

90


64. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima normalnu razdiobu N (0, 0, σ 2 , σ 2 , r) . Odredi zakon razdiobe sluˇcajne varijable Z = X + Y . 65. Sluˇcajni vektor (X, Y, Z) ima normalnu razdiobu s gustoćom 1 √ × 2π 6π « „ × exp −(x2 + 16 y2 + 12 z2 − 14 xz) .

f (x, y, z) =

Odredi kovarijacijsku matricu vektora (X, Y, Z) . 66. Neka je (1, −1, 0) oˇcekivanje i ! 1 0 −1 0 2 1 1 1 3 kovarijacijska matrica vektora (X, Y, Z) koji ima normalnu razdiobu. Napiˇsi njegovu gustoću. 67. Neka je f (x, y) =

√

„ « 3 exp − 12 [x2 + y2 − xy] 4π

gustoća razdiobe normalnog vektora (X, Y) . Odredi uvjetnu gustoću varijable X uz uvjet Y = 1 . 68. Neka je (X, Y) sluˇcajan vektor s normalnom razdiobom N (3, 1, 16, 25, 0.6) . Odredi vjerojatnost dogadaja (3 < Y < 8 | X = 7) , (−3 < X < 3 | Y = −4) . 69. Neka su X1 , X2 , X3 nezavisne jediniˇcne normalne sluˇcajne varijable. Neka je 1 Y1 = √ (X1 − X2 ), 2 1 Y2 = √ (X1 + X2 − 2X3 ), 6 1 Y3 = √ (X1 + X2 + X3 ). 3 Pokaˇzi da su i Y1 , Y2 , Y3 nezavisne jediniˇcne normalne sluˇcajne varijable.

70. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima normalnu razdiobu s gustoćom 1 f (x, y) = √ exp(− 23 (x2 − xy + y2 )). π 3 X Odredi zakon razdiobe varijable Z = . Y 71. Zadana je gustoća razdiobe normalnog vektora (X, Y) : „ « 1 f (x, y) = exp − 21 (x2 + 2xy + 5y2 ) . π a) Odredi gustoće varijabli X i Y , b) Odredi gustoću varijable Z = X + Y , c) Odredi gustoću vektora (U, V) gdje je U = X + Y, V = X − Y. 72. Neka je

„ « 3 exp −(x21 − 14 x1 x2 + 52 x22 ) . 2π = (X1 , X2 ) . gustoća razdiobe sluˇcajnog vektora X Odredi matricu B reda 2 tako da vektor Y = BX ima jediniˇcnu normalnu razdiobu. f (x, y) =

73. Neka je (X, Y) ∼ N (0, 0, σ12 , σ22 , r) . Dokaˇzi da je gustoća razdiobe sluˇcajne varijable Z = X/Y jednaka √ σ12 σ22 1 − r2 . f Z (z) = π (σ22 z2 − 2rσ1 σ2 z + σ12 ) 74. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima normalnu razdiobu N (0, 0, 1, 1, r) . Odredi gustoću, te oˇcekivanje varijable Z = max(X, Y) . 75. Dokaˇzi da postoji samo jedna razdioba sluˇcajnog vektora (X, Y) u ravnini sa svojstvima a) X i Y su nezavisne i jednako distribuirane, b) razdioba vektora (X, Y) je sferno simetriˇcna, tj. funkcija gustoće u toˇcki (x, y) ovisi samo o udaljenosti te toˇcke od ishodiˇsta: q f (x, y) = h(t), r = x2 + y2 za neku funkciju h . To je dvodimenzionalna normalna razdioba N (0, 0, σ 2 , σ 2 , 0) .

8.

Funkcije sluˇcajnih vektora

1. 2. 3. 4.

Funkcije neprekinutih sluˇcajnih vektora Razdiobe izvedene iz normalne . . . . . Rijeˇseni zadatci . . . . . . . . . . . . . . . Zadatci za vjeˇzbu . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. 91 100 108 114

U ovom cémo poglavlju nauˇciti tehnike raˇcunanja razdioba funkcija neprekinutih sluˇcajnih vektora. Nakon toga cémo upoznati razdiobe izvedene iz normalne razdiobe, koje se koriste u metematiˇckoj statistici.

8.1. Funkcije neprekinutih slucˇ ajnih vektora Neka je X = (X1 , . . . , Xn ) zadani n -dimenzionalni sluˇcajni vektor i Ψ : Rn → Rn obostrano jednoznaˇcno preslikavanje (bijekcija). Slika sluˇcajnog vektora X pri preslikavanju Ψ je sluˇcajni vektor Y = Ψ(X) . Neka je f (x1, . . . , xn ) gustoća razdiobe vektora (X1 , . . . , Xn ) , a g(x1 , . . . , xn ) gustoća razdiobe vektora (Y1 , . . . , Yn ) . Postavlja - ovih dviju funkcija? se pitanje: koja je veza izmedu Prikaˇzimo preslikavanje Ψ u komponentama: y1 = ψ1 (x1 , . . . , xn ), .. (8.1) . yn = ψ1 (x1 , . . . , xn ), Pretpostavili smo da je ovo preslikavanje bijekcija, pa stoga postoje inverzna preslikavanja: x1 = χ1 (y1 , . . . , yn ), .. (8.2) . xn = χn (y1 , . . . , yn ). 91

92

8. FUNKCIJE

ˇ SLU CAJNIH VEKTORA

Jakobijan inverznog preslikavanja definira se formulom gdje je ∂x1 1 ∂y · · · ∂x ∂yn 1 ∂(x1 , . . . , xn ) . = . J= ∂(y1 , . . . , yn ) ∂x. n ∂xn ∂y1 · · · ∂yn Neka je G podruˇcje u Rn i G slika tog podruˇcja pri preslikavanju Ψ . Onda vrijedi

P ((X1, . . . , Xn ) ∈ G) = P ((Y1 , . . . , Yn ) ∈ G ), ··· f (x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn = ··· g(y1 , . . . , yn )dy1 . . . dyn . G

G

Sad cémo iskoristiti poznatu formulu zamjene varijabli u viˇsestrukom integralu: ··· f (x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn = ··· f (x1 , . . . , xn )|J|dy1 . . . dyn . G

G

- funkcija gustoća: Odavde moˇzemo zakljuˇciti da postoji veza izmedu Transformacija gustoća pri bijektivnom preslikavanju

∂(x1 , . . . , xn ) g(y1 , . . . , yn ) = f (x1 , . . . , xn ) · ∂(y1 , . . . , yn )

(8.3)

Kartezijeve i polarne koordinate

Ilustrirajmo izvedenu formulu na primjeru transformacija kartezijevih u polarne koordinate. Neka je f gustoća razdiobe vektora (X, Y) i (R, Φ) polarne koordinate toˇcke (X, Y) . Izvedimo formulu za gustoću razdiobe vektora (R, Φ) . - koordinatama je Veza medu x = r cos ϕ , y = r sin ϕ i jakobijan preslikavanja iznosi

cos ϕ −r sin ϕ ∂(x, y) = r. = J= ∂(r, ϕ ) sin ϕ r cos ϕ

Zato je traˇzena gustoća jednaka g(r, ϕ ) = f (x, y) · |J| = f (r cos ϕ , r sin ϕ ) · r.

8.1. FUNKCIJE

ˇ NEPREKINUTIH SLU CAJNIH VEKTORA

Primjer 8.1. Gustoća razdiobe sluˇcajnog vektora (X, Y) je

+ x2 + y2 , 1 . exp − 2πσ 2 2σ 2 Neka su (R, Φ) polarne koordinate toˇcke (X, Y) . Izraˇcunajmo gustoću razdiobe vektora (R, Φ) te marginalne gustoće varijabli R i Φ . Jesu li one nezavisne? f (x, y) =

Vektor (R, Φ) uzima vrijednosti u podruˇcju [0, ∞) × [0, 2π ) . Po prethodnoj formuli je + r2 , 1 g(r, ϕ ) = f (r cos ϕ , r sin ϕ ) · r = exp − 2 ·r 2πσ 2 2σ i g(r, ϕ ) se moˇze faktorizirati u produkt gR (r)gΦ (ϕ ) . Varijable R i Φ su stoga nezavisne. R ima Rayleighovu razdiobu s gustoćom + r2 , r gR (r) = 2 exp − 2 , r 0, σ 2σ a ϕ jednoliku razdiobu na intervalu [0, 2π ] .

= (X1 , . . . , Xn ) zadan je funkcijom gustoće f . Primjer 8.2. Sluˇcajan vektor X

Neka je A regularna matrica reda n . Odredi gustoću razdiobe sluˇcajnog vektora Y = AX . Matrica A je regularna, stoga je preslikavanje y = Ax bijektivno. Odredimo njegov jakobijan. Za i -tu komponentu vektora Y vrijedi yi = aij xj j

i zato je ∂yi = aij . ∂xj Prema tome, jakobijan preslikavanja y = Ax glasi a11 . . . a1n ∂(y1 , . . . , yn ) . = |A| = .. ∂(x1 , . . . , xn ) an1 . . . ann dakle, upravo determinanta matrice A . Jakobijan inverznog preslikavanja x = A−1y je 1 J= . Gustoća vektora Y glasi |A| 1 g(y1 , . . . , yn ) = f (x1, . . . , xn ) · |J| = f (x1, . . . , xn ) · . |A|

93

94

8. FUNKCIJE


Funkcija sluˇcajnog vektora

Dosadaˇsnje cémo razmatranje pojednostavniti tako sˇ to cémo promatrati preslikavanje ψ : Rn → R i sluˇcajnu varijablu Z = ψ (X1 , X2 , . . . , Xn ) dobivenu ovakvim preslikavanjem. Pitamo se: kako moˇzemo odrediti razdiobu varijable Z ? Radi jednostavnosti zapisivanja, promatrat cémo sluˇcaj n = 2 i preslikavanje oblika Z = ψ (X, Y). Pretpostavit cémo da nam je poznata gustoća vektora (X, Y) . Pokazat cémo kako se - gustoća varijable Z . odreduje Preslikavanje ψ : R2 → R cémo nadopuniti do preslikavanja iz R2 u R2 , kako - gustoća sluˇcajnih vektora. Najjednostavbismo mogli iskoristiti poznate veze izmedu nije je to uˇciniti tako da prvu komponentu vektora ostavimo nepromijenjenu. Tako dobivamo sustav: x = x, z = ψ (x, y), Oznaˇcimo preslikavanje inverzno ovome: x = x, y = χ (x, z). Jakobijan inverznog preslikavanja glasi ∂x 1 0 ∂y ∂(x, y) ∂x ∂x ∂z = ∂y ∂y = ∂y ∂y = . ∂(x, z) ∂x ∂z ∂x ∂z ∂z Prema tome, po formuli (8.3), gustoća vektora (X, Z) je ∂y g(x, z) = f (x, y) , ∂z Gustoću gZ sluˇcajne varijable Z moˇzemo dobiti preko marginalne gustoće ovog vektora. Gustoća funkcije sluˇcajnog vektora

Gustoća sluˇcajne varijable Z = ψ (X, Y) dobiva se formulom ∞ ∂y gZ (z) = f (x, y) dx, ∂z −∞ gdje je f gustoća vektora (X, Y) .

(8.4)

8.1. FUNKCIJE

95


Primjer 8.3. Neka je f (x, y) gustoća sluˇcajnog vektora (X, Y) . Odredi gustoću sluˇcajne varijable Z ako je A. Z = X + Y ,

B. Z = Y − X ,

Koristimo formulu (8.4): A.

y = z − x,

B.

y = z + x,

C.

y=

D.

y = zx ,

z , x

gZ (z) =

∞

−∞ ∞

C. Z = XY ,

D. Z = Y/X .

f (x, z − x)dx .

gZ (z) = f (x, z + x)dx . ∞ −∞ z 1 f (x, ) dx . gZ (z) = x x −∞ ∞ gZ (z) = f (x, zx)|x|dx . −∞

Razdioba zbroja nezavisnih varijabli

Zbroj nezavisnih varijabli iznimno je vaˇzan primjer funkcije sluˇcajnog vektora. Pokazali smo da cé za neke vaˇzne razdiobe poput binomne, Poissonove ili normalne, zbroj nezavisnih varijabli imati razdiobu istog tipa. To općenito nije sluˇcaj. Izvest cémo općenitu vezu gustoća nezavisnih sluˇcajnih varijabli i gustoća njihovog zbroja. Ako su X i Y nezavisne, i f (x, y) gustoća vektora (X, Y) , onda se ta funkcija moˇze faktorizirati u umnoˇzak marginalnih gustoća: f (x, y) = f X (x)f Y (y). Za gustoću zbroja Z = X + Y ovih sluˇcajnih varijabli vrijedi, prema prethodnom primjeru ∞ ∞ gZ (z) = f (x, z − x)dx = f X (x)f Y (z − x)dx. −∞

−∞

U integralu zdesna prepoznajemo konvoluciju gustoća f X i f Y . Uzastopnom primjenom ovog zakljuˇcka, dobivamo sljedeće: Gustoća zbroja nezavisnih varijabli Teorem 8.1. Ako su sluˇcajne varijable X1 , X2 , . . . , Xn nezavisne, onda je gustoća njihovog zbroja Z = X1 + X2 + . . . + Xn dana konvolucijom gZ (z) = f X1 ∗ f X2 ∗ . . . ∗ f Xn .

96

8. FUNKCIJE


Primjer 8.4. Sluˇcajne varijable X1 , X2 i X3 nezavisne su i imaju jednoliku razdiobu na intervalu [0, 1] . Odredimo gustoću gZ sluˇcajne varijable A. Y = X1 + X2 , B. Z = X1 + X2 + X3 .

Gustoća varijabli Xi je f (x) = 1 , 0 < x < 1 .

A. Gustoća varijable Y dana je konvolucijom:

gY (x) =

∞

−∞

f (u)f (x − u)du

Daljnje raˇcunanje ovisi o vrijednosti argumenta. Funkcija gustoće razliˇcita je od nule za 0 < x < 2 . Podruˇcje integracije svodi se na ono na kojem je argument funkcija u granicama od 0 do 1, jer je van toga funkcija gustoće jednaka nuli. Prema tome, mora biti 0 < u < 1 i 0 < x − u < 1 . Zato u mora zadovoljavati sustav 0 < u < 1, x − 1 < u < x. a) Za 0 < x 1 oba su uvjeta zadovoljena ako je 0 < u < x : x x gY (x) = f (u)f (x − u)du = du = x. 0

0

b) Za 1 < x < 2 mora biti x − 1 < u < 1 : 1 f (u)f (x − u)du = gY (x) = x−1

1 x−1

du = 2 − x.

1 0.8 0.6 0.4 0.2

0.5

1

1.5

2

Sl. 8.1. Graf gustoće zbroja dviju uniformnih razdioba. B. Raˇcunanje poput prijaˇsnjeg postaje nespretno za veći broj pribrojnika. Moˇzemo napisati f (x) = u(x) − u(x − 1),

tu je u jediniˇcna step funkcija. Laplaceova transformacija gustoće je 1 1 f ∗ (s) = − e−s s s Konvoluciji u donjem podruˇcju odgovara umnoˇzak. Odatle je 3 1 1 −s 1 ∗ −s −2s −3s gZ (s) = = 3 1 − 3e + 3e −e . − e s s s

8.1. FUNKCIJE

97


Original ove funkcije je traˇzena gustoća: gZ (x) = 12 x2 − 32 (x − 1)2 u(x − 1) + 32 (x − 2)2 u(x − 2) − 12 (x − 3)2 u(x − 3) Zapiˇsimo tu funkciju i na sljedeći naˇcin: ⎧ 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 x2 , ⎪ ⎨ 2 gZ (x) = −x2 + 3x − 32 , ⎪ ⎪ ⎪ 1 2 ⎪ x − 3x + 92 , ⎪ ⎩ 2 0, 1

x < 0, 0 x 1, 1 x 2, 2x3 3 < x.

n=2

0.8 n=4

0.6

n=6

n=8 n = 10

0.4 0.2 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Sl. 8.2. Graf gustoće zbroja n uniformnih razdioba. Primjetite da za veliki n ovaj graf (koji je polinom stupnja n − 1 ) nalikuje na graf gustoće normalne razdiobe.

Primjer 8.5. X i Y su nezavisne sluˇcajne varijable, distribuirane po jediniˇcnom normalnom zakonu. Odredi gustoću razdiobe sluˇcajne varijable Z = Y/X .

Po rezultatu Primjera 8.3, gustoća varijable Z iznosi ∞ g(z) = f (x, zx)|x|dx. −∞

Zbog nezavisnosti od X i Y je f (x, y) = f X (x)f Y (y) . 0 ∞ g(z) = − xf X (x)f Y (zx)dx + xf X (x)f Y (zx)dx, −∞

0

gdje je 1 2 1 f X (x) = f Y (x) = √ e− 2 x . 2π

98

8. FUNKCIJE

Dakle


∞ 1 − 1 x2 (1+z2 ) 1 − 1 x2 (1+z2 ) 2 g(z) = − x· e dx + x· e 2 dx 2π 2π −∞ 0 ∞ 1 1 ∞ − 1 x2 (1+z2 ) − 12 x2 (1+z2 ) e 2 x dx = − e = 2 π 0 π (1 + z ) 0 1 = . π (1 + z2 ) 0

Prema tome, kvocijent dviju nezavisnih jediniˇcnih normalnih varijabli ima Cauchyjevu razdiobu. Ako je N ∼ N (0, σ12 ) , Y ∼ N (0, σ22 ) , provjeri da je σ1 1 . · g(z) = σ2 π 1 + ( σ1 z)2 σ2

∗∗∗ U sluˇcaju kad preslikavanja (8.1) nisu injektivna, ali i onda kad je nepraktiˇcno koristiti formulu (8.4) (obiˇcno zbog toga sˇ to gustoća f nije razliˇcita od nule na cˇitavom R2 , sˇ to oteˇzava odredivanje granica u integralu (8.4)), funkciju gustoće varijable Z nalazimo pomoću funkcije razdiobe: f (x, y)dx dy, FZ (z) = P{ψ (X, Y) < z} = Gz

gdje je

Gz = {(x, y) : ψ (x, y) < z}.

Primjer 8.6. Sluˇcajan vektor (X, Y) ima gustoću razdiobe

f (x, y) = x + y, 0 x 1, 0 y 1. Odredi gustoću razdiobe sluˇcajne varijable Z = X + Y . Z poprima vrijednosti unutar intervala [0, 2] . FZ (z) = P{Z < z} = P{(X, Y) ∈ Gz } = f (x, y)dx dy

Gz = {(x, y) : x + y < z}

podruˇcje iscrtkano na slici. Razlikujemo dva sluˇcaja: 1)

0 z 1,

2)

1 z 2,

y

1

@@ @ z 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .z ......... . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .z. . . . . . ............... . . . . . . . .

@@ @@ G @ G @ @@=-+ @@ @= +

Gz

gdje je

6

. . . . . . . .

. . . . . . .

z

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . .

y

1

y

z −x z3 dx (x + y)dy = . Sl. 8.3. 3 0 0 1 1 dx (x + y)dx = 13 (−z3 + 3z2 − 1). FZ (z) = 1 − z

FZ (z) =

z −1

z −x

x z

x

x z

8.1. FUNKCIJE

99


Dakle,

gZ (z) =

z2 , 2z − z2 ,

0 z 1, 1 z 2.

Dobijmo ovaj rezultat uz pomoć formule iz Primjera 8.3: ∞ f (x, z − x)dx. gZ (z) = −∞

Varijabla x (prvi argument funkcije f ) uzima vrijednosti unutar [0, 1] (za x ∈ / [0, 1] , f (x, y) jednaka je nuli). Dakle 1 gZ (z) = f (x, z − x)dx. 0

I drugi argument funkcije f mora biti unutar intervala [0, 1] . Razlikujemo dva sluˇcaja: 1) 0 z 1 . Tada je uvijek z − x 1 i biramo x da bude z − x 0 , tj. x z : z z gZ (z) = f (z, z − x)dx = (x + z − x)dx = z2 . 0

0

2) 1 z 2 . Sada je uvijek z − x 0 no, moramo osigurati da bude z − x 1 , tj. x z − 1 . 1 1 gZ (z) = f (x, z − x)dx = (x + z − x)dx = 2z − z2 . z −1

z −1

Primjer 8.7. Nezavisne sluˇcajne varijable X1 , . . . , Xn imaju eksponencijalnu razdiobu s parametrima λ1 , . . . , λn . Pokaˇzi da sluˇcajna varijabla Y = min{X1 , . . . , Xn } - eksponencijalnu razdiobu, s parametrom λ = λ1 + . . . + λn . ima takoder

Vrijedi FY (y) = P{Y < y} = 1 − P{Y x} = 1 − P{min{X1 , . . . , Xn } x} = 1 − P{X1 x, . . . , Xn x}. Zbog nezavisnosti varijabli X1 , . . . , Xn dobivamo FY (x) = 1 − P{X1 x} · . . . · P{Xn x} = 1 − e−λ1 x · . . . · e−λn x = 1 − e−(λ1 +...+λn )x , te je Y ∼ E(λ1 + . . . + λn ) . Ovaj rezultat ima sljedeću interpretaciju: u sustavu od n serijski vezanih nezavisnih komponenti, od kojih svaka ima oˇcekivano vrijeme ispravnog rada a1 , . . . , an , oˇcekivano vrijeme ispravnog rada cijelog sustava a je odredeno sa 1 1 1 + ... + . = a a1 an

100

8. FUNKCIJE


8.2. Razdiobe izvedene iz normalne razdiobe Gama funkcija

Eulerov integral druge vrste ili gama funkcija definirana je nepravim integralom ∞ xα −1 e−x dx, (α > 0). Γ(α ) := 0

Ovaj se integral moˇze definirati i za sve kompleksne brojeve α za koje je Re α > 0 . Osnovna svojstva gama funkcije Teorem 8.2. Vrijede sljedeće formule

Γ(α + 1) = α Γ(α ), Γ(n + 1) = n!, ∀n ∈ N, √ 1 Γ( 2 ) = π , 2n + 1 √π = n (2n − 1)(2n − 3) · · · 3 · 1. Γ 2 2

DOKAZ. Parcijalnom integracijom dobivamo ∞ 1 Γ(α ) = xα −1 e−x dx = xα e−x α 0 1 = Γ(α + 1) α i odavde slijedi Γ(α + 1) = α Γ(α ) . Prema dokazanoj relaciji vrijedi

∞ ∞ +1 xα e−x dx α 0 0

Γ(n + 1) = nΓ(n) = n(n − 1)Γ(n − 1) = . . . = n!Γ(1). Kako je

Γ(1) =

∞

e−x dx = 1,

0

dobivamo Γ(n + 1) = n! . U dokazivanju trećeg svojstva iskoristit c´ emo svojstvo gustoće jediniˇcne normalne razdiobe: ∞ √ − 12 −x − 12 1 1 2 Γ( 2 ) = x e dx = x = 2 t , x dx = 2dt 0 ∞ ∞ √ √ √ 1 2 2 − 12 t2 = e 2dt = π · √ e− 2 t dt = π . 2π 0 0

8.2. RAZDIOBE

101

IZVEDENE IZ NORMALNE RAZDIOBE

Koristeći prvo i treće svojstvo, dobivamo 2n + 1 2n − 1 2n − 1 2n − 1 2n − 3 3 1 1 Γ = Γ = ... = · ··· · · Γ 2 2 2 2 2 2 2 2 √ 1 = n (2n − 1)(2n − 3) · · · 3 · 1 · π . 2 Centralni momenti normalne varijable

Pomoću gama funkcije moˇzemo iskazati centralne momente normalne sluˇcajne varijable. S obzirom da vrijedi E(X n) = 0 za svaki neparni prirodni broj n , izvest cémo općenitiju formulu za momente sluˇcajne varijable |X| . Neka je X ∼ N (0, σ 2 ) . Onda imamo ∞ 1 x 2 1 |x|n e− 2 ( σ ) dx E(|X|n) = √ σ 2π −∞ & % ∞ 2 2 t = 2xσ 2 n − 12 ( σx )2 x e dx = = √ dx = √σ2t dt σ 2π 0 ∞ 1 1 σ 2 = √ (2σ 2 ) 2 n t 2 n √ e−t dt σ 2π 0 2t 1 σ n 12 n ∞ n−1 2 2 nσ n n + 1 . (8.1) t 2 e−t dt = √ Γ =√ 2 2 π π 0 Tako na primjer, vrijedi

5 2 2 2 σ5 5 E(|X| ) = √ Γ(3) = 8σ , π π 6 2 2 σ 6 7 8σ 6 5 3 1 6 √ = √ · · ·Γ = 30σ 6 . Γ E(|X| ) = 2 2 π π 2 2 5

Gama razdioba

Sluˇcajna varijabla X ima gama razdiobu s parametrima α i λ , ako je njezina gustoća razdiobe definirana sa f (x) =

λ α α −1 −λ x e , x Γ(α )

x > 0,

(α , λ > 0).

Piˇsemo X ∼ G(α , λ ) . Odredimo karakteristiˇcnu funkciju gama razdiobe. ∞ λ α α −1 −λ x ϑ (t) = eitx e dx x Γ(α ) 0 ∞ λα xα −1 e−x(λ −it) dx. = Γ(α ) 0

102

8. FUNKCIJE


Uvedimo supstituciju x(λ − it) = z α −1 ∞ z λα dz ϑ (t) = e−z Γ(α ) 0 λ − it λ − it α α ∞ λ 1 λ = zα −1e−z dz = . λ − it Γ(α ) 0 λ − it - oˇcekivanje i disperzija gama razdiobe Odavde se sad lako odreduju E(X) =

α , λ

D(X) =

α . λ2

(8.2)

Stabilnost gama razdiobe. Erlangova razdioba

Dokaˇzimo sad stabilnost gama razdiobe na zbrajanje: ako nezavisne varijable X1 i X2 imaju gama razdiobu s parametrima (α1 , λ ) , (α2 , λ ) , tada zbroj X1 + X2 ima gama razdiobu s parametrima α1 + α2 i λ . Karakteristiˇcna funkcija zbroja X1 + X2 jednaka je produktu karakteristiˇcnih funkcija pribrojnika i iznosi α1 α2 α1 +α2 λ λ λ ϑX1 +X2 (t) = = . λ − it λ − it λ − it Ova je funkcija karakteristiˇcna funkcija gama razdiobe s parametrima α1 + α2 i λ , sˇ to je i trebalo dokazati. Eksponencijalna razdioba je ujedno i gama razdioba s parametrom α = 1 . Zato zbroj n nezavisnih eksponencijalnih sluˇcajnih varijabli X1 , . . . , Xn ima gama razdiobu s parametrima λ i n . Tu razdiobu nazivamo joˇs i Erlangova razdioba. Njezina je gustoća λ n xn−1 −λ x f (x) = e , x > 0. (n − 1)!

0.35

n=2

0.3 0.25 0.2

n=4 n=6

0.15

n=8

0.1

n = 10

0.05 5

10

15

20

Sl. 8.4. Grafovi funkcija gustoća Erlangove razdiobe, za prvih nekoliko vrijednosti indeksa n .

8.2. RAZDIOBE

103


Veza normalne i eksponencijalne razdiobe

Ako X ima jediniˇcnu normalnu razdiobu, onda varijabla Y = X 2 ima gama razdiobu s parametrima ( 12 , 12 ) . Za x 0 je FY (y) = 0 . Za x > 0 vrijedi √ √ FY (y) = P{X 2 < y} = P{− y < X < y} √y √y 1 2 2 1 − 12 x2 e dx = √ e− 2 x dx. =√ √ 2π − y 2π 0 Zato je

1 1 1 1 2 1 f Y (y) = FY (y) = √ e− 2 y √ = √ y− 2 e− 2 y 2 y 2π 2π

a to je gustoća gama razdiobe G( 12 , 12 ) . χ2 -razdioba χ2 -razdioba

Neka su X1 , . . . , Xn nezavisne sluˇcajne varijable s jediniˇcnom normalnom razdiobom. Tada kaˇzemo da sluˇcajna varijabla χn2 definirana sa

χn2 := X12 + X22 + . . . + Xn2 ima χ 2 -razdiobu (hi kvadrat razdiobu) sa n stupnjeva slobode. Gustoća ove razdiobe je 1 1 1 f χn2 (x) = n/2 1 x 2 n−1 e− 2 x , 2 Γ( 2 n) a oˇcekivanje i disperzija E(χn2 ) = n,

D(χn2 ) = 2n.

Dokaˇzimo ove tvrdnje. Pokazali smo da varijabla Xk2 ima gama razdiobu s parametrima ( 12 , 12 ) . Zbog nezavisnosti sluˇcajnih varijabli, zbroj X12 + . . . + Xn2 ima gama razdiobu s parametrima ( 12 n, 12 ) . Prema tome, gustoća χn2 -razdiobe dana je sa f χn2 (x) =

1 1 1 x 2 n−1 e− 2 x . 2n/2 Γ( 12 n)

Prema formuli (8.2) znamo odrediti oˇcekivanje i disperziju: E(χn2 ) =

1 2n 1 2

= n,

D(χn2 ) =

1 2n 1 4

= 2n.

104

8. FUNKCIJE

n. √


Nacrtat cémo funkciju gustoće χn2 razdiobe za prvih nekoliko vrijednosti indeksa

Odredimo gustoće tih razdioba. Koristimo pritom svojstva gama funkcije: Γ( 12 ) = √ π , Γ(1) = 1 , Γ( 32 ) = 12 π , Γ(2) = 1 . f 1 (x) = √

n=1:

1 1 e− 2 x , 2π x

x>0

1 − 12 x e , x>0 2 1 √ − 12 x xe , x > 0 f 3 (x) = √ 2π 1 1 f 4 (x) = xe− 2 x , x > 0 4

n=2:

f 2 (x) =

n=3: n=4: Vrijedi

lim f k (x) = 0, k 1 ⎧ k = 1, ⎨ ∞, 1 lim f k (x) = , k = 2, x→0 ⎩ 2 0, k 3. Odredimo ekstreme. Vrijedi 1 1 1 1 1 1 x 2 n−1 e− 2 x = x 2 n−2 e− 2 x ( n − 1 − x) = 0 2 2 za x = n − 2 . Zato f n poprima maksimum u x = n − 2 . x→∞

y 6

... n=1 ... . y=χ2n (x) 0.5 .... .... .... .. ....... . n=2........ ......... ... ........ . . . . . . . . 0.24 n=3 . . . . . ........................................................................ . . . . 0.18 . ......................... .................................................................................................. .............. ................... ........................... ... .....n=4 ........ .......................... ........................... ......... ...................... . × 1

2

Sl. 8.5. Graf funkcija gustoća prvih nekoliko χ 2 razdioba.

x

8.2. RAZDIOBE

105


χ -razdioba

χ -razdiobom zovemo sluˇcajnu varijablu

χ = χ 2 = X12 + . . . + Xn2 , gdje su Xi nezavisne jediniˇcne normalne varijable. Odredimo funkciju gustoće varijable χ. χ 2 -razdioba dana je gustoćom 1 1 1 f χ 2 (x) = n/2 1 x 2 n−1 e− 2 x , x > 0. 2 Γ( 2 n)

Stoga je gustoća varijable χ = χ 2 dana sa f χ (x) = f χ 2 (x2 ) · 2x =

2xn−1 2

1 n 2

Γ( 12 n)

1 2

e− 2 x .

Skicirajmo grafove funkcija gustoće χn -razdiobe, za n = 1, 2, 3 . Napiˇsimo najprije jednadˇzbe pripadnih gustoća: n=1: n=2: n=3: Vrijedi

pa f χn

1 2 2 f 1 (x) = √ e− 2 x , 2π

x > 0,

1 2

f 2 (x) = xe− 2 x , x > 0, 1 2 2 f 3 (x) = √ x2 e− 2 x , x > 0, 2π

(Rayleighova razdioba) (Maxwellova razdioba)

1 2 1 2 xn−1 e− 2 x = e− 2 x xn−2 (n − 1 − x2 ), √ ima maksimum u x = n − 1 . y

6

y=χn (x) ....n=1 .......... ...... ..... n=2 n=3 .................... .......... ....... ........... ......... . . ... .. ............. ......... ......... .. .. ....... ......... ........ ..... . .. . .... ..... ......... ......... ... .... ...... ...... ..... ........ ....... ....... . . ............ ........................ ... ....... .................................................. . . . . . . . . . . × √ x 1 2

Sl. 8.6. Graf funkcija gustoća prvih nekoliko χ -razdioba.

106

8. FUNKCIJE


Studentova razdioba

Neka su X, X1 , . . . , Xn nezavisne jediniˇcne normalne varijable. Tada kaˇzemo da sluˇcajna varijabla X t := (X12 + . . . + Xn2 )/n ima studentovu razdiobu sa n stupnjeva slobode. Piˇsemo cˇesto tn umjesto t . Sama razdioba zove se i t -razdioba. Odredimo funkciju gustoće studentove razdiobe. Varijabla X12 + . . . + Xn2 ima χ -razdiobu, stoga je gustoća varijable Z = (X12 + . . . + Xn2 )/n dana sa √ 2( nx)n−1 − 1 nx2 f Z (x) = n/2 1 e 2 . 2 Γ( 2 n) X Po Primjeru 8.3, gustoća studentove razdiobe t = dana je sa Z ∞ f X (xy)f Z (y)|y|dy f t (x) = −∞ √ √ n −1 ∞ 2 1 1 2 2 2 n( ny) 1 √ e− 2 x y = e− 2 ny y dy 1 n/2 2 Γ( n) 2π 0 2 √ n ∞√ 2( n) n + x2 n − 1 y2 (n+x2 ) √ √ = y e 2 dy. 2π 2n/2 Γ( 12 n) n + x2 0 1 Ovaj integral jednak je E(|Y|n) , gdje je Y ∼ N (0, n+x 2 ) i po formuli (8.1) iznosi 1 1 2n/2 n + 1 · . Dakle, · √ ·Γ 2 2 (n + x2 )n/2 π n + 1 n/2 √ n Γ 2 1 2( n) 2 n √ · ·√ f (x) = 2 )n/2 2 π (n + x n/2 2 2 Γ n+x 2 n + 1 − n+1 Γ 2 x2 2 n 1 + =√ . n nπ Γ 2

∗∗∗ Odredimo oˇcekivanje i disperziju tn -razdiobe. Za n = 1 gustoća glasi f (x) = 1 (Cauchyjeva razdioba) i ona nema niti oˇcekivanje, niti disperziju. π (1 + x2 )

8.2. RAZDIOBE

107


Neka je n > 1 . Gustoća tn -razdiobe je parna funkcija i zato je E(tn ) = 0 . Izraˇcunajmo disperziju: − n+1 ∞ Γ n+1 2 x2 2 2 2 D(tn ) = E(tn ) = dx. 1 + x √ n n −∞ nπ Γ 2 Γ( n+1 ) Oznaˇcimo, zbog kratkoće zapisa, Cn = √ 2 n . Tada vrijedi nπ Γ( 2 ) − n+1 ∞ 2 x2 2 D(tn ) = Cn x 1+ dx n −∞ * ∞ − n+1 − n+1 ∞ 2 2 x2 x2 x2 dx − n dx = Cn n 1+ 1+ 1+ n n n −∞ −∞ − n−1 − n+1 ∞ ∞ 2 2 x2 x2 = nCn dx − n Cn 1 + dx. 1+ n n −∞ −∞ Drugi je integral jednak jedinici, poˇsto je podintegralna funkcija gustoća tn razdiobe. Da bismo prvi integral sveli na integral po gustoći tn−2 -razdiobe, uvedimo supstituciju n x2 u2 = =⇒ dx = du. n n−2 n−2 Dobivamo

n 1 · n − 2 C n −2

∞

C n −2 1 +

u2 n−2

− n−1 2

du − n D(tn ) = nCn −∞ n Cn =n −n · n − 2 C n −2 n − 2 n + 1

√ (n − 2) π Γ Γ n n 2 · 2 −n =√ · n − 1 n − 2 √nπ Γ n Γ 2 2 n−1 n· 2 −n= n = n−2 n−2 2

108

8. FUNKCIJE


8.3. Rijeˇseni zadatci Zadatak 8.1. Neka su X i Y nezavisne sluˇcajne varijable, obje s istom eksponen-

X . X+Y

cijalnom razdiobom E(λ ) . Odredi funkciju razdiobe sluˇcajne varijable Z =

Kako su X i Y pozitivne, slijedi da je 0 < Z < 1 . Gustoća razdiobe vektora (X, Y) je x, y > 0. f (x, y) = λ 2 e−λ (x+y) , Tako imamo FZ (z) = P{

X 1−z < z} = P{Y > X} X+Y z

= P{(X, Y) ∈ Gz } =

∞

= 0

= λ2 =λ

∞

1 −z z x

∞

λ 2 e−λ (x+y) dy

e−λ x dx

0

∞

∞

1 −z z x

6 . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .z . . . . . . . . . . . . . . .

G

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

y

Sl. 8.7.

e−λ x/z dx = z.

0

Prema tome, Z ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 1] . Zadatak 8.2. Nezavisne varijable X i Y zadane su svojim gustoćama

x > 0, f X (x) = e−x , f Y (y) = 1, 1 y 2. Odredi gustoću razdiobe sluˇcajne varijable Z = Y/X . Zbog nezavisnosti varijabli X i Y vrijedi

6 y

2

y =zx . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . . . . . z. . . . . . . . . . . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. .

G

1

-

f X (x)f Y (y)dx dy

= Gz

2

dy

= 1

∞

x

Sl. 8.8. −x

e dx

y/z

= −z(e−2/z − e−1/z ),

z > 0.

. . . . . .

. . . . . .

1 z z x x

e−λ y dy

f (x, y) = f X (x)f Y (y) = e−x na podruˇcju x > 0 , 1 y 2 . Zato Y FZ (z) = P{ < z} = P{(X, Y) ∈ Gz } X

. . . . . .

=

f (x, y)dx dy Gz

dx

y


109

Dobili smo 1 2 gZ (z) = FZ (z) = e−1/z − e−2/z + e−1/z − e−2/z , z z

z > 0.

Izvedi ovaj rezultat pomoću formule ∞ gZ (z) = f (x, zx)|x|dx. −∞

Zadatak 8.3. Na sferi polumjera R izabrane su na sreću dvije toˇcke A i B . Nadi - njima. funkciju razdiobe i izraˇcunaj oˇcekivanje udaljenosti medu Fiksirajmo toˇcku A (nakon izbora!) u sjevernom polu sfere. Toˇcka B ima jednoliku razdiobu na sferi. Oznaˇcimo sa (R, Φ, Ψ) njezine koordinate u sfernom sustavu. Kako je prva koordinata konstantna, dovoljno je odrediti zakon razdiobe za vektor (Φ, Ψ) . Neka je dS element povrˇsine sfere. Toˇcka se bira na sreću, stoga je P{B ∈ dS} =

dS R2 sin ψ dψ dϕ = 4π R2 4π R2

i dalje je

A

................................................. ......... ....... .... ...... .... .. ...... . . . . X ......... ........... ... ... ... .. B . ... . .. .. . . . . . . . . . . . . . . ..... . . . . . .. . . . . ..... ..... ... ... . . . . . . . ... ... . .... . . . . . . ... . ψ... . .... .... ... ... ..... ..... . . ... ... . .. .. .. ..ϕ ...... ... .. .... .... ... . .... .. ... . .. . .... ... . .. . .. ... ... ... ... ... ... ... .... . . .. ..... ..... ...... ..... ....... ........... ....... ................................... yz|}

Sl. 8.9.

1 sin ψ , f (ψ , ϕ ) = 4π

0 ϕ < 2π , 0 ψ π

- toˇckama A i B vrijedi gustoća razdiobe vektora (Ψ, Φ) . Za udaljenost X medu ψ X = 2R sin 2 . Odredimo funkciju razdiobe sluˇcajne varijable X . ψ x F(x) = P{2R sin < x} = P{ψ < 2 arc sin } 2 2R x 2 arc sin 2R 2π 1 sin ψ dψ = dϕ 4π 0 0 x 1 1 = 2 − 2 cos 2 arc sin 2R x 2 x = sin2 arc sin . = 2R 2R Dakle, x f (x) = , 0 x 2R, 2R2 i odavde

E(X) = 0

2R

x·

x dx = 43 R. 2R2

110

8. FUNKCIJE


Zadatak 8.4. Sluˇcajan vektor (X, Y) ima gustoću f (x, y) = 4xy , 0 x 1 , 0 y 1 . Odredi gustoću razdiobe sluˇcajne varijable Z = XY te njezino oˇcekivanje.

Z uzima vrijednosti u intervalu [0, 1] FZ (z) = P{Z < z} = P{XY < z} = f (x, y)dx dy

z

dx

= 0 2

1

0 2

1

z/x

4xy dy 0

z

Oˇcekivanje moˇzemo izraˇcunati na viˇse naˇcina: a) Pomoću izraˇcunate gustoće varijable Z : 1 E(Z) = − 2z2 ln z2 dz = −4 0

∞ ∞

1

z2 ln zdz =

0

1 zf (x, y)dx dy =

−∞ −∞

1

x

Sl. 8.10.

0 z 1.

E(Z) = E(XY) =

xy =z

.. (z 1) . .. . .. . .. . .. ..... . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . ....... . . . . . . . . . . . . . . . . ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... (1 z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... ........... ....................... . . .G . .z . . . . . . . . . ..................... .......................

0 z 1.

gZ (z) = −2z ln z2 ,

b) Direktno,

y

Gz

dx z

= z − 2z ln z, Dakle,

1

4xy dy +

6 .........

0

0

4 . 9

1

4xy · xy dx dy =

c) X i Y su nezavisne jer je f (x, y) = 4xy = 2x · 2y = f X (x)f Y (y) 1 2 2x2 dx = . E(Z) = E(X)E(Y) = E(X) = E(Y) = 3 0

4 . 9

te vrijedi 4 . 9

Zadatak 8.5. Zadan je sluˇcajan vektor (X, Y) . Odredi gustoću razdiobe g sluˇcajne varijable Z = max{X, Y} ako je poznato a) gustoća razdiobe f vektora (X, Y) , b) gustoće f X i f Y ako su X i Y nezavisne varijable, c) gustoća x → f (x) ako su X i Y nezavisne i identiˇcno distribuirane.

Neka je F funkcija razdiobe vektora (X, Y) . FZ (z) = P{Z < z} = P{max{X, Y} < z} = P{X < z, Y < z} z z f (x, y)dx dy = F(z, z) = −∞

−∞

a) U ovom je sluˇcaju

* z z d gZ (z) = FZ (z) = f (x, y)dx dy dz −∞ −∞ z z = f (z, y)dy + f (x, z)dx. −∞

−∞


111

b) Zbog nezavisnosti od X i Y je f (x, y) = f X (x)f Y (y) . Uvrstimo to u upravo dobivenu formulu: z z gZ (z) = f X (z)f Y (y)dy + f X (x)f Y (z)dx −∞ −∞ z z f Y (y)dy + f Y (z) f X (x)dx = f X (z) −∞

−∞

= f X (x)FY (z) + f Y (z)FX (z). c) Sada je f X = f Y =: f , FX = FY =: F i dobivamo gZ (z) = 2f (z)F(z).

Zadatak 8.6. Neka su X1 , . . . , Xn nezavisne sluˇcajne varijable distribuirane po - funkciju razdiobe sluˇcajne varijable eksponencijalnom zakonu s parametrom λ . Nadi

Y = max{X1 , . . . , Xn }. FY (x) = P{max{X1 , . . . , Xn } < x} = P{X1 < x, . . . , Xn < x} = P{X1 < x} · · · P{Xn < x} = (1 − e−λ x )n .

Zadatak 8.7. Gustoća razdiobe sluˇcajnog vektora (X, Y) je

2 (1 − x2 − y2 ), x2 + y2 1. π Odredi gustoću razdiobe sluˇcajnog vektora (R, Φ) , polarnih koordinata toˇcke (X, Y) . f (x, y) =

Formulama

⎧

⎨ x2 + y2 r = x = r cos ϕ ⇐⇒ x ⎩ ϕ = arc tg y = r sin ϕ y

definirano je obostrano jednoznaˇcno preslikavanje kruga {(x, y) : x2 + y2 1} na pravokutnik {(r, ϕ ) : 0 r 1, 0 ϕ 2π } . Zato je ∂(x, y) = f (r cos ϕ , r sin ϕ ) · r g(r, ϕ ) = f (x, y) · ∂(r, ϕ ) 2 0 r 1, 0 ϕ < 2π . = (1 − r2 )r, π

112

8. FUNKCIJE


Zadatak 8.8. Sluˇcajan vektor (X, Y, Z) ima gustoću razdiobe

f (x, y, z) = (y − z)e−x , 0 x, 0 y x, 0 z y. Odredi zakon razdiobe varijable W = X − Y + Z . Nadopunimo do sustava ⎧ ⎧ ⎨ u = x, ⎨ x = u, v = y, y = v, ⇐⇒ ⎩ ⎩ w = x − y + z, z = −u + v + w. Jakobijan ovog preslikavanja glasi 1 0 0 ∂(x, y, z) = 0 1 0 = 1 ∂(u, v, w) 1 1 1 i gustoća vektora (U, V, W) dana je sa g(u, v, w) = f (x, y, z) · 1 = f (u, v, −u + v + w) = (u − v)e−w . Medutim, moramo odrediti podruˇcje na kojem je g definirana ovom formulom: 0x 0u 0w 0 y x ⇐⇒ 0vu wu ⇐⇒ 0zy u−vwu u−wvu Sada je ∞ ∞ ∞ u du g(u, v, w)dv = du (u − w)e−w dv gW (w) = −∞ −∞ w u −w ∞ = w(u − w)e−u du = we−w , w 0. w

Zadatak 8.9. Neka su X1 , X2 , . . . nezavisne sluˇcajne varijable, jednoliko distribuirane na intervalu [0, 1] . Definirajmo diskretnu sluˇcajnu varijablu ν : ν := min{n : X1 + . . . + Xn > 1}. Pokaˇzi da je E(ν ) = e .

Oznaˇcimo Sn = X1 + . . . + Xn . Izraˇcunajmo Fn (x) = P{Sn x} , ali samo za x 1. Za n = 1 vrijedi F1 (x) = P{X1 x} = x. Za n = 2 ,

F2 (x) = P{X1 + X2 x} = = 0

x

dx2

0

dx1 dx2

{x1 +x2 x}

x−x2

dx1 =

0

x

(x − x2 )dx2 =

x2 . 2


113

xn . Dokazujemo indukcijom: n! Fn+1 (x) = P{X1 + . . . + Xn + Xn+1 x} x dxn+1 dx1 · · · dxn =

Tvrdimo da je Fn (x) =

0

{x1 +...+xn x−xn+1 }

x

= 0

Fn (x − xn+1 )dxn+1 =

x

0

(x − xn+1 )n xn+1 dxn+1 = . n! (n + 1)!

Sada je 1 , n 2. n! 1 1 1 − = . P{ν = n} = P{ν > n − 1} − P{ν > n} = (n − 1)! n! n(n − 2)! P{ν > n} = P{X1 + . . . + Xn 1} = Fn (1) =

Dakle, E(ν ) =

∞

n=2

∞

n·

1 1 = = e. n(n − 2)! m! m=0

Zadatak 8.10. Odredi funkciju razdiobe zbroja dviju nezavisnih sluˇcajnih varijabli, od kojih je jedna jednoliko distribuirana na intervalu [−a, a] , a druga zadana funkcijom razdiobe F .

Oznaˇcimo prvu varijablu sa X , drugu sa Y , te Z = X + Y .Tada je FZ (z) = P{X + Y < z} = P{(X, Y) ∈ Gz } a P{Y < z − x}f X (x)dx = −a

1 = 2a

a

1 FY (z − x)dx = 2a −a

@@ 6 @@ @@ G @ @ y

. . .

a

z+a

F(t)dt. z −a

. . . . . .

. . .

. .

x. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

a x

. . . . .

. .

z . . .

. . . .

y =x z

Sl. 8.11.iz interZadatak 8.11. Biramo tri duˇzine cˇ ije su duljine na sreću odabrani brojevi vala [0, a] . Izraˇcunaj vjerojatnost da se od tri duˇzine moˇze sastaviti trokut.

Neka su X , Y , Z duljine izabranih duˇzina. Od njih cé se moći sastaviti trokut ako vrijedi X + Y Z , X + Z Y , Y + Z X . Stoga se zadatak moˇze rjeˇsavati preko geometrijske definicije vjerojatnosti. Izbor trojke (X, Y, Z) odgovara izboru na sreću odabrane toˇcke unutar kocke sa stranicom a postavljene u prvi oktant. Gornji uvjeti - Jedini je problem sˇ to je teˇsko od nje odsijecaju dio koji je povoljan za traˇzeni dogadaj. uoˇciti o kojem se dijelu kocke radi. Stoga cémo pozvati u pomoć uvjetne vjerojatnosti. Traˇzimo vjerojatnost dogadaja A = {X + Y Z, Z + X Y, Y + Z X}.

114

8. FUNKCIJE


Fiksirati cémo vrijednost varijable Z . Tada gornji uvjeti prelaze u {A | Z=z} = {X + Y z, X − Y −z, X − Y z} = {|X − Y| z, X + Y z} =: Az . Skup Az , podskup kvadrata sa stranicom a u xOy ravnini nacrtan je na slici. y y =x +z

6

y = x +z

@ @@

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . .z . . . .

A

@ z

. . . . . . .

@

. . . . . .

. . . . . .

. . . . .

. . . . .

y =x z

. . . . . . . .

-

a

x

Sl. 8.12.

Njegova je vjerojatnost P(Az ) =

2az − 32 z2 . a2

1 Gustoća varijable z je f Z (z) = , 0 < z < a . Zato, po formuli a a a 1 3 1 1 P(A | Z=z)f Z (z)dz = (2az − z2 ) · dz = . P(A) = 2 a 2 a 2 0 0

§ 8. Zadatci za vjeˇzbu

1. Sluˇcajne varijable X i Y su nezavisne, s jednolikom razdiobom na intervalu [0, a] . Odredi gustoće sljedećih sluˇcajnih varijabli a) X + Y , b) X − Y , c) XY , d) X/Y . 2. Neka su X i Y nezavisne, jednoliko distribuirane na intervalu [0, 1] . Odredi gustoću varijable X Z= . X+Y 3. Nezavisne sluˇcajne varijable X i Y imaju funkcije gustoće vjerojatnosti f (x) = 1 za 0 x 1, 2y za 0 y 3. g(y) = 9 Odredi funkciju √ gustoće vjerojatnosti sluˇcajne varijable Z = X 2 + Y 2 .

∗∗∗ 4. Duljine stranica pravokutnika su nezavisne slucˇajne varijable, s jednolikom razdiobom na intervalu [0, a] . Odredi gustoću razdiobe povrˇsine tog pravokutnika. 5. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima jednoliku razdiobu na trokutu s vrhovima O(0, 0) , A(1, 0) , B(1, 1) . Odredi funkciju razdiobe varijable Z = X − Y . 6. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima jednoliku razdiobu na podruˇcju D = {(x, y) : 0 y x 1}. Odredi funkciju razdiobe varijable Z = X − Y . Izraˇcunaj P{Z < 12 } .


115

7. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima jednoliku razdiobu na kvadratu {|x| 1 , 0 y 2} . Odredi i skiciraj funkciju gustoće vjerojatnosti sluˇcajne varijable Z = XY . 8. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima jednoliku razdiobu vjerojatnosti unutar kruga polumjera 1 . Odredi i skiciraj funkciju gustoće vjerojatnosti sluˇcajne varijable Z = X/Y . 9. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima jednoliku razdiobu vjerojatnosti na podruˇcju D = {(x, y) 0 x a , - i skiciraj funkciju gustoće vjero0 y b} . Nadi jatnosti sluˇcajne varijable X−a Z= . Y−b 10. Sluˇcajni vektor (X, Y) jednoliko je distribuiran na podruˇcju S = {(x, y) : y > 2, x < 3, y − x < 1}. - i skiciraj gustoću sluˇcajne varijable Z = X + Nadi 2Y . 11. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima jednoliku razdiobu vjerojatnosti na podruˇcju G = {(x, y) : x > 0, y > 0, 1 − x − y > 0}. Odredi funkciju razdiobe FZ sluˇcajne varijable Z = Y . Kolika je vjerojatnost da Z poprimi neku 1+X ” “ vrijednost iz intervala 14 , 34 ?

16. Odredi i skiciraj funkciju razdiobe vjerojatnosti sluˇcajne varijable Z = X − Y , ako su X i Y nezavisne sluˇcajne varijable s gustoćama razdioba: 1 , −1 < x < 1, 2 −y f Y (y) = e , y > 0.

f X (x) =

17. Sluˇcajni vektor (X, Y) ima gustoću razdiobe f (x, y) = ax + y, 0<x 0.

Pokaˇzi da sluˇcajna varijabla Z = XY ima eksponencijalnu razdiobu E(1) . 30. Sluˇcajne varijable X i Y su nezavisne, s eksponencijalnim zakonom E(λ ) . Odredi gustoće sljedećih funkcija a) X + Y , b) X − Y , c) |X − Y| , d) X/Y . 31. Neka su X i Y nezavisne sluˇcajne varijable s eksponencijalnim zakonom E(λ ) . Odredi zakon X+Y . razdiobe sluˇcajne varijable Z = X


32. Nezavisne sluˇcajne varijable X i Y imaju eksponencijalnu razdiobu s parametrom λ . Dokaˇzi da sluˇcajne varijable W = X + 12 Y

Z = max {X, Y} ,

imaju jednaku razdiobu. Izraˇcunaj tu razdiobu. 33. Sluˇcajne varijable X1 i X2 su nezavisne s eksponencijalnom razdiobom s parametrima λ1 i λ2 . Odredi funkciju razdiobe sluˇcajne varijable X1 . Y= X1 + X2 34. Sluˇcajne varijable X1 , . . . , Xn su nezavisne s eksponencijalnim zakonom E(λ ) . Odredi gustoću varijable X1 X= . X1 + . . . + Xn 35. Sistem koji se sastoji od n jedinica prestaje s radom cˇim bilo koji dio prestane s radom. Vremena ispravnog rada pojedinih dijelova su nezavisne slucˇajne varijable distribuirane po eksponencijalnom zakonu s parametrima λ1 , . . . , λn . Izraˇcunaj oˇcekivano vrijeme ispravnog rada sustava. ∗∗∗ 36. Neka su X1 , . . . , Xn nezavisne, identiˇcno distribuirane sluˇcajne varijable sa funkcijom razdiobe F . Odredi razdiobe sluˇcajnih varijabli Y = min{X1 , . . . , Xn }, Z = max{X1 , . . . , Xn }. 37. Sluˇcajne varijable X i Y su nezavisne, X poprima vrijednosti 0 , 1 s vjerojatnostima 12 , Y ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 1] . Odredi razdiobu varijable X + Y . 38. Sluˇcajne varijable X1 , . . . , Xn su nezavisne, jednoliko distribuirane na intervalu [0, 1] . Neka je Sn = X1 + . . . + Xn , te ϕn gustoća od Sn . Dokaˇzi da je Z x ϕn+1 (x) = ϕn (z)dz. x−1

39. Neka su X1 , . . . , Xn , Y nezavisne sluˇcajne varijable, pri cˇemu je „ « 0 1 Xi ∼ 1 1 , i = 1, . . . , n, 2

2

a Y ima jednoliku razdiobu na [0, 1] . Dokaˇzi da sluˇcajna varijabla n X Xk Y + 2n 2k k=1

ima jednoliku razdiobu na [0, 1] .


40. Sluˇcajne varijable X i Y su nezavisne, poprimaju vrijednosti unutar intervala [−π , π ] , a njihove gustoće su zadane Fourierovim redom ! ∞ X 1 an cos(x − αn )n , 1+ f X (x) = 2π n=1 ! ∞ X 1 bn cos(x − βn )n . 1+ f Y (y) = 2π n=1

Odredi gustoću zbroja Z = X + Y . - uzorci. Neka su X1 , X2 , . . . , Xn neza41. Uredeni visne identiˇcno distribuirane sluˇcajne varijable. Njihovu funkciju razdiobe oznaˇcimo sa F , a gustoću sa f . Te varijable moˇzemo shvatiti kao rezultate neke sluˇcajne varijable X pri n -terostrukom ponavljanju pokusa. Za svaki ω ∈ Ω dobivamo realizacije, niz brojeva X1 (ω ), X2 (ω ), . . . , Xn (ω ) kojeg cémo poredati u rastućem poretku.. Neka X(1) (ω ) oznaˇcava najmanji, X(2) (ω ) sljedeći po redu, itd. Tako dobivamo uredenu rastuću n -torku sluˇcajnih varijabli X(1) X(2) . . . X(n) koju nazivamo uredeni uzorak. Specijalno, vrijedi X(1) = min{X1 , . . . , Xn }, X(n) = max{X1 , . . . , Xn }.

117 b) Odredi marginalne gustoće varijabli X i Y . c) Odredi gustoću vektora (R, Φ) , polarnih koordinata od (X, Y) . 45. Neka je 1 f (x, y, z) = 2 . π (1 + x2 + y2 + z2 )2 a) Pokaˇzi da je f gustoća razdiobe nekog vektora (X, Y, Z) . b) Odredi marginalne gustoće varijabli X , Y i Z. c) Odredi gustoću sfernih koordinata (R, Θ, Φ) toˇcke (X, Y, Z) . 46. Zadan je sluˇcajan vektor (X, Y) s gustoćom (x, y) → f (x, y) . Odredi gustoću vektora (U, V) , ako je a) U = X + Y , V = X − Y ; b) U = X cos α + Y sin α , V = −X sin α + X cos α . 47. Neka su X i Y nezavisne, sa zakonom N (0, σ 2 ) . Odredi gustoću vektora (U, V) , gdje je X V= . U = X2 + Y 2, Y Da li su U i V nezavisne? 48. X1 i X2 su nezavisne varijable, jednoliko distribuirane na intervalu [0, 1] . Definirajmo Y1 = min { X1 , X2 },

Odredi a) funkciju razdiobe varijable X(1) ; b) funkciju razdiobe varijable X(n) ; c) razdiobu vektora (X(1) , X(n) ) ; d) gustoću varijable X(k) , 1 k n ; e) gustoću vektora (X(k) , X(m) ) , 1 k m n ; f) gustoću uredenog uzorka (X(1) , . . . , X(n) ) .

Odredi funkciju razdiobe i gustoće sluˇcajnog vektora (Y1 , Y2 ) te potom marginalne razdiobe za Y1 i Y2 .

∗∗∗

49. Sluˇcajna varijabla X ima gama razdiobu G(α , λ ) . Izraˇcunaj E(X k ) .

42. Neka su X , Y , Z nezavisne sluˇcajne varijable s normalnim zakonom N (0, σ 2 ) . Odredi gustoću vektora (R, Θ, Φ) , polarnih koordinata toˇcke (X, Y, Z) . 43. Neka vektor (X, Y, Z) ima funkciju gustoće f koja p je izotropna (ovisi samo o udaljenosti r = x2 + y2 + z2 toˇcke do ishodiˇsta), oblika f (x, y, z) = h(r). Neka su (R, Θ, Φ) polarne koordinate toˇcke (X, Y, Z) . Odredi gustoću vektora (R, Θ, Φ) te marginalne razdiobe komponenti. Da li su one nezavisne? 1 p . 44. Neka je f (x, y) = 2π (1+x2 +y2 )3 a) Pokaˇzi da je f gustoća razdiobe nekog vektora (X, Y) .

Y2 = max { X1 , X2 }

∗∗∗

50. X ima χn2 -razdiobu. Izraˇcunaj E(X k ) . 51. X ima χn razdiobu. Izraˇcunaj E(X k ) . 52. Neka su X1 , . . . , Xn nezavisne sluˇcajne varijable distribuirane po normalnom zakonu N (a, σ 2 ) . P Oznaˇcimo X = 1n nk=1 Xk . Dokaˇzi da: n 1 X (Xk − a)2 ima χn2 -razdiobu. a) Sn∗ = 2 σ k=1

n 1 X 2 b) Sn = 2 (Xk − X)2 ima χn−1 -razdiobu. σ k=1

53. Neka su X1 , . . . , Xn nezavisne sluˇcajne varijable, jednoliko distribuirane na [0, 1] . Pokaˇzi da 2 varijabla X = 2 ln(X1 · · · Xn ) ima χ2n -razdiobu.

118

8. FUNKCIJE

54. Sluˇcajna varijabla X ima beta razdiobu s parametrima (α , β ) , (α , β > 0) , ako je njezina gustoća razdiobe Γ(α + β ) α −1 x (1 − x)β −1 , f (x) = Γ(α )Γ(β ) (0 < x < 1) . Izraˇcunaj njezino oˇcekivanje i disperziju. 55. Neka su X1 , . . . , Xm , Y1 , . . . , Yn nezavisne jediniˇcne normalne sluˇcajne varijable. Pokaˇzi da je gustoća razdiobe varijable X=

2 X12 + . . . + Xm Y12 + . . . + Yn2


jednaka „ « m+n Γ m+n m 2 „ « „ « x 2 −1 (1 + x)− 2 , n m Γ Γ 2 2

(x > 0).

56. Neka su X11 , X12 , X21 , X22 nezavisne sluˇcajne varijable sa zakonom N (0, 1) . Odredi razdiobu varijable ˛ ˛ ˛X X ˛ Δ = ˛ X11 X12 ˛ . 21

22

57. Sluˇcajne varijable X1 i X2 su nezavisne s eksponencijalnom razdiobom s parametrima λ1 i λ2 . Odredi funkciju razdiobe sluˇcajne varijable X1 . Y= X1 + X2

9.

Zakon velikih brojeva i centralni graniˇcni teorem

1. Zakoni velikih brojeva . . . . . . . . . . . . 2. Konvergencija po distribuciji i karakteristiˇcne funkcije 3. Centralni graniˇcni teorem . . . . . . . . . . 4. Rijeˇseni zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Zadatci za vjeˇzbu . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . 119 . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

126 129 132 134

Dva su najvaˇznija zakona teorije vjerojatnosti, zakon velikih brojeva i centralni graniˇcni teorem. I jedan i drugi zakon objaˇsnjavaju graniˇcno ponaˇsanje niza sluˇcajnih varijabli. U ovom cémo poglavlju objasniti o cˇemu ti zakoni govore i dokazati te zakone uz najjednostavnije pretpostavke o sluˇcajnim varijablama.

9.1. Zakoni velikih brojeva U poˇcetcima teorije vjerojatnosti, ona je smatrana dijelom fizike. Ako se neki pokus moˇze u nepromijenjenim uvjetima ponoviti neograniˇcen broj puta, vjerojatnost - definira se kao m , njegova relativna frekvencija pojavljivanja. dogadaja n Danas se na ovu fizikalnu definiciju vjerojatnosti gleda kao na jednostavnu primjenu zakona velikih brojeva. Opiˇsimo detaljnije pokus koji vodi prema ovoj definiciji. On cé nam pomoći da lakˇse shvatimo razliˇcite definicije konvergencije. 119

120

9. ZAKON VELIKIH

ˇ BROJEVA I CENTRALNI GRANICNI TEOREM

Od indikatorske varijable prema binomnoj razdiobi

- koji promatramo, i neka je p = P (A) vjerojatnost njegove Neka je A dogadaj realizacije. Indikatorska sluˇcajna varijabla poprima vrijednost 1 ako se taj dogadaj ostvario, 0 ako nije. Neka je Ik indikatorska varijabla koja prati realizaciju u k -tom ponavljanju pokusa. Onda sve varijable I1 , I2 , . . . imaju identiˇcnu razdiobu, a medusobno su nezavisne: 0 1 . Ik ∼ q p Oˇcekivanje ovih varijabli je p , a disperzija pq . Ako se pokus ponavlja n puta, onda je broj realizacija dogadaja A dan zbrojem I1 + I2 + . . . + In . Time je definirana sluˇcajna varijable Xn = I1 + I2 + . . . + In . Za nju znamo da ima binomnu razdiobu s parametrima n i p . Pogledamo li bolje na definiciju indikatorske varijable, uoˇcit cémo da je njezina razdioba B(1, p) . Zbroj nezavisnih kopija ove varijable, prema svojstvu stabilnosti - binomnu razdiobu s parametrima n i p . binomne razdiobe, ima takoder - A u n ponavljana pokusa iznosi Relativna frekvencija pojavljivanja dogadaja I1 + . . . + In Xn = . n n Da bismo opravdali fizikalnu definiciju vjerojatnosti, moramo pokazati da je razlika Xn − p n po volji malena. Ova je razlika sluˇcajna varijabla, tako da najprije moramo utvrditi naˇcin na koji cémo mjeriti njezinu veliˇcinu. U graniˇcnom sluˇcaju, pisat cémo Xn lim = p. n→∞ n s tim da najprije moramo utvrditi sˇ to je to limes sluˇcajnih varijabli. Konvergencija po vjerojatnosti

Konvergencija niza sluˇcajnih varijabli nije jednoznaˇcan pojam, jer postoji viˇse razliˇcitih definicija te konvergencije. Konvergencija po vjerojatnosti

Niz (Xn ) konvergira po vjerojatnosti ka sluˇcajnoj varijabli Y ako za svaki ε > 0 vrijedi lim P (|Xn − Y| > ε ) = 0. (9.1) n→∞

P

Piˇsemo Xn −→ Y . U ovoj definiciji konvergencije, vjerojatnost odstupanja sluˇzi kao mjera za bliskost dviju sluˇcajnih varijabli. Formula (9.1) moˇze se napisati i na sljedeći naˇcin: lim P (|Xn − Y| < ε ) = 1 n→∞

9.1. ZAKONI VELIKIH

121

BROJEVA

Izvedimo sad ocjenu za ovo odstupanje. ˇ Nejednakosti Markova i Cebiˇ seva Teorem 9.1. ( Nejednakost Markova ) Ako X poprima nenegativne vrijednosti, onda za svaki ε > 0 vrijedi E(X) P (X ε ) . ε ( Lp nejednakost ) Za svaku sluˇcajnu varijablu X s oˇcekivanjem mX vrijedi

E(|X − mX |p . εp ˇ seva) Posebice, za p = 2 , vrijedi (Nejednakost Cebiˇ D(X) P (|X − mX | ε ) . ε2 P (|X − mX | ε )

Dokaz. Nejednakost Markova slijedi iz ocjene integrala: x 1 1 ∞ dF(x) x dF(x) = E(X). P (X a) = dF(x) a 0 a xa xa a Primjenimo tu ocjenu na pozitivnu sluˇcajnu varijablu |X − mx | . Imamo, za svaki p > 0: E(|X − mX |p ) . P (|X − mX | ε ) = P (|X − mX |p ε p ) εp ˇ seva. Za p = 2 dobivamo nejednakost Cebiˇ Slabi zakon velikih brojeva

Sad smo u mogućnosti formulirati i dokazati prvi vaˇzni zakon teorije vjerojatnosti. Slabi zakon velikih brojeva, definicija

Kaˇzemo da niz X1 , X2 , . . . sluˇcajnih varijabli zadovoljava slabi zakon velikih brojeva ako n 1 (Xk − EXk ) −→ 0, kad n → ∞ (9.2) n k=1

po vjerojatnosti, tj. ako za svaki ε > 0 vrijedi n , + 1 (Xk − EXk ) > ε = 0. lim P n→∞ n k=1

(9.3)

122

9. ZAKON VELIKIH


Od interesa je pronaći najslabije uvjete na niz (Xk ) , uz koji cé vrijediti ovaj zakon velikih brojeva. Dovoljni uvjeti za slabi zakon velikih brojeva Teorem 9.2. Ako varijable X1 , X2 , . . . zadovoljavaju uvjet

1 Xk = 0, lim 2 D n→∞ n n

k=1

tada on zadovoljava zakon velikih brojeva. Taj c´ e uvjet biti ispunjen ako su na primjer 1) X1 , X2 , . . . nekorelirane, s ograniˇcenim varijancama. 2) X1 , X2 , . . . nezavisne s istom varijancom σ 3) X1 , X2 , . . . nezavisne s istom distribucijom i konaˇcnom varijancom.

ˇ seva, vrijedi: Dokaz. Neka je ε > 0 po volji. Po nejednakosti Cebiˇ 1 ) n D X n k + 1 , n k=1 P (Xk − EXk ) > ε n ε2 k=1

1 1 D Xk −→ 0 ε 2 n2 n

=

kad n → ∞

k=1

sˇ to je i trebalo pokazati. Pretpostavimo sad da vrijedi 1) . Disperzija zbroja nekoreliranih sluˇcajnih varijabli jednaka je zbroju njihovih disperzija. Ako su sve one ograniˇcene brojem M , onda vrijedi n n 1 1 M 1 D X D(Xk ) 2 · n · M = −→ 0. = k n2 n2 n n k=1

k=1

Uvjet 2) poseban je sluˇcaj od 1) , a uvjet 3) poseban sluˇcaj od 2) . ∗∗∗ Spomenimo na koncu da niz indikatorskih sluˇcajnih varijabli Ik zadovoljava uvjet 3) ovog teorema. Zato taj niz zadovoljava slabi zakon velikih brojeva. Pri tom je E(Ik ) = p , pa vrijedi I1 + . . . + Ik lim = p. n→∞ n Interpretacija slabog zakona velikih brojeva

Zakon cémo interpretirati u najjednostavnijoj situaciji, kad je rijeˇc o indikatorskim sluˇcajnim varijablama. Neka je Xn = I1 +I2 +. . .+In njihov zbroj. Tada Xn mjeri broj

9.1. ZAKONI VELIKIH

123

BROJEVA

- u n ponavljanja pokusa. Prema slabom zakonu velikih brojeva, pojavljivanja dogadaja vrijedi Xn p(1 − p) P − p < ε > 1 − n nε 2 Izaberimo ε = 0.1 . Vrijedi p(1 − p) 14 , pa dobivamo Xn 1 P − p < 0.1 > 1 − n 0.04n ˇ Zelimo ponavljanjem pokusa odrediti vjerojatnost p . Prema ovoj ocjeni, ako okus ponovimo n = 1000 puta, vjerojatnost da je relativna pogreˇska manja od 0.1 iznosi X1000 − p < 0.1 > 0.975 P 1000 Kako treba tumaˇciti ovaj rezultat? Recimo da se pokus sastoji od bacanja novˇcića 1000 puta. U stotinu takvih pokusa barem 97 puta odstupanje vjerojatnosti od relativne frekvencije bit c´ e manje od 0.1 . Ova je ocjena vrlo gruba. Vidjet cémo u nastavku, da je u stvarnosti to odstupanje neusporedivo manje. Joˇs je jednu stvar bitno naglasiti. Slabi zakon velikih brojeva niˇsta ne govori o rezultatima jednog pokusa. U svakom pojedinaˇcnom ponavljanju bacanja novˇcića, na temelju ovog zakona, nemamo garanciju da cé relativna frekvencija u tim bacanjima teˇziti ka vjerojatnosti. Slabi zakon velikih brojeva je statistiˇcke naravi. On se moˇze interpretirati samo na temelju velikog broja ponavljanja cjelokupnog pokusa. Iz iskustva znamo da se priroda ponaˇsa drukˇcije. Kad bacamo novˇcić u svakom pokusu relativna frekvencija teˇzi ka 12 . O tome govori jaki zakon velikih brojeva. Jaki zakon velikih brojeva

Iskaz i interpretacija jakog zakona velikih brojeva vezana je uz drugi tip konvergencije sluˇcajnih varijabli. - niz Neka je (Xn ) niz sluˇcajnih varijabli. Za svaki ω ∈ Ω , time je nizom odreden realnih brojeva (Xn (ω )) . Tako moˇzemo postaviti potanje: ima li taj niz limes? Ako limes postoji, on se mijenja izborom elementarnog dogadaja ω , pa i sam predstavlja sluˇcajnu varijablu. Kako moˇzemo opisati konvergenciju niza sluˇcajnih varijabli (Xn ) prema varijaboi Y ? Oznaˇcimo: K := {ω ∈ Ω : lim Xn (ω ) = Y(ω )} n→∞

Ovaj skup K predstavlja sve elementarne dogadaje za koje cé niz realnih brojeva (Xn (ω )) konvergirati prema broju Y(ω ) . Nije jasno da skup K mora pripadati algebri dogadaja, i to se općenito ne mora dogoditi. To znaˇci da on ne mora imati vjerojatnost. Medutim, nama cé biti interesantni sluˇcajevi kad taj skup ima vjerojatnost i kad je ona jednaka 1.

124

9. ZAKON VELIKIH


Konvergencija gotovo sigurno

Niz (Xn) konvergira gotovo sigurno ka sluˇcajnoj varijabli Y ako vrijedi P ( lim Xn = Y) = 1. n→∞

g.s.

Piˇsemo Xn −→ Y , ili Xn −→ Y g.s. Koja je veza konvergencije gotovo sigurno i konvergencije po vjerojatnosti? Usporedba konvergencija Teorem 9.3. Ako niz sluˇcajnih varijabli (Xn ) konvergira gotovo sigurno prema sluˇcajnoj varijabli Y , tada on konvergira prema istoj sluˇcajnoj varijabli i po vjerojatnosti.

Dokaz. Oznaˇcimo Ak (ε ) := {ω : |Xk (ω ) − Y| > ε } - kod kojih se varijabla Xk znaˇcajno razlikuje Ovaj skup obuhvaća elementarne dogadaje od limesa. Bn (ε ) := Ak (ε ). k n

- kod kojih se to dogada - za barem jednu Skup Bn (ε ) obuhvaća elementarne dogadaje varijablu Xk , s indeksom većim od n . Primjetimo da je Bn (ε ) padajući niz dogadaja. Njegov limes oznaˇcimo s: ∞ . A(ε ) := Bn (ε ). n=1

Elementarni dogadaj ω pripadat cé ovom skupu ako se uvijek moˇze pronaći dovoljno veliki k za koji cé biti |Xk (ω ) − Y(ω )| > ε . Za takve ε niz (Xk (ω )) sigurno neće konvergirati prema Y(ω ) . Sad zakljuˇcujemo da za konvergenciju skoro sigurno mora biti ispunjeno P A(ε ) = 0. ε >0

U tom sluˇcaju mora biti P (A(ε )) = 0 , za svaki ε . Zbog neprekinutosti vjerojatnosti, tada vrijedi lim P (Bn (ε )) = 0 n→∞

S obzirom da je An (ε ) ⊂ Bn (ε ) , zakljuˇcujemo da je lim P (An (ε )) = 0 n→∞

to jest

lim P (|Xn − Y| > ε ) = 0.

n→∞

No, to znaˇci da (Xn ) konvergira prema Y po vjerojatnosti.

9.1. ZAKONI VELIKIH

125

BROJEVA

∗∗∗ Sad moˇzemo iskazati jaku varijantu zakona velikih brojeva. Jaki zakon velikih brojeva Teorem 9.4. Neka su X1 , X2 , . . . nezavisne identiˇcki distribuirane sluˇcajne varijable s konaˇcnim oˇcekivanjem m . Onda vrijedi n 1 Xk −→ m s.s. n k=1

Dokaz ovog teorema nije jednostavan i ne moˇzemo ga napraviti na ovom mjestu. Interpretacija jakog zakona i veza sa slabim

Zakon cémo interpretirati u situaciji kad su X1 , X2 , dots indikatorske sluˇcajne varijable. Tad je oˇcekivanje m jednako vjerojatnosti p realizacije dogadaja. Jaki zakon tvrdi da cé pri skoro svakom ponavljanju dogadaja relativna frekvencija teˇziti ka vjerojatnosti, i to je cˇinjenica koju iskustveno poznajemo. Teorijski, to se pri nekim ponavljanjima pokusa ne mora dogoditi, ali vjerojatnost iznimke jednaka je nuli. Konvergencija skoro sigurno povlaˇci konvergenciju o vjerojatnosti. Zati jaki zakon velikih brojeva povlaˇci i slabi zakon. Primjetimo ipak, da su ovdje pretpostavke na slucˇajne varijable pojaˇcane, jer se zahtijeva da one budu nezavisne i identiˇcki distribuirane. Primjetimo jos da se u ovom zakonu ne mora pretpostaviti ograniˇcenost varijance, već samo postojanje oˇcekivanja. Usporedba konvergencija Teorem 9.5. Ako niz (Xn ) sluˇcajnih varijabli konvergira prema sluˇcajnoj varijabli X po vjerojatnosti, tada on konvergira i po distribuciji.

Dokaz. Neka je x toˇcka neprekinutosti za funkciju FX . Za svaki ε > 0 vrijedi FXn (x) = P (Xn < x) = P (Xn < x, X < x + ε ) + P (Xn < x, X x + ε ) P (X < x + ε ) + P (X − Xn > ε ) FX (x + ε ) + P (|Xn − X| > ε ) Pustimo da n teˇzi u beskonaˇcnost i iskoristimo pretpostavku. Drugi pribrojnik zdesna teˇzi u nulu, pa vrijedi lim sup FXn (x) FX (x + ε ).

126

9. ZAKON VELIKIH


Na sliˇcan naˇcin dobivamo FX (x − ε ) = P (X < x − ε ) = P (X < x − ε , Xn < x) + P (X < x − ε , Xn x) P (Xn < x) + P (Xn − X > ε ) FXn (x) + P (|Xn − X| > ε ) Odavde slijedi FX (x − ε ) lim inf FXn (x). Limes inferior uvijek je manji od limesa superiora, pa imamo FX (x − ε ) lim inf FXn (x) lim sup FXn (x) FX (x + ε ). Funkcija FX prema pretpostavci je neprekinuta u toˇcki x . Pustimo da ε teˇzi u nulu. U graniˇcnom sluˇcaju, nejednakosti prelaze u jednakosti. Zato limn→∞ FXn (x) postoji i jednak je FX (x) .

9.2. Konvergencija po distribuciji i karakteristiˇcne funkcije Joˇs je jedan vid konvergencije sluˇcajnih varijabli koristan u primjenama. ˇ Cesto se raˇcunanje vjerojatnosti dogadaja {X ∈ A} odvija tako da se raˇcun provede za neku drugu sluˇcajnu varijablu Y koja je po nekom kriteriju bliska s X . Tada oˇcekujuemo da cé vrijediti P (X ∈ A) ≈ P (Y ∈ A) . Izaberemo li za A interval −∞, x , ove se vjerojatnosti izraˇzavaju preko funkcija razdioba tih varijabli. Konvergencija po distribuciji

Niz (Xn ) konvergira po distribuciji ka sluˇcajnoj varijabli X ako za odgovarajući niz funkcija razdiobe vrijedi lim FXn (x) = FX (x), n→∞

D u svakoj toˇcki x gdje je FX neprekinuta. Piˇsemo Xn −→ X .

i , n 1 i = 1, . . . , n s vjerojatnoˇscú . Dokaˇzimo da ona teˇzi po distribuciji ka sluˇcajnoj n varijabli X koja ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 1] . Primjer 9.1. Neka je Xn diskretna sluˇcajna varijabla koja poprima vrijednosti

Za svaki x ∈ [0, 1] vrijedi FX (x) = x . Za sluˇcajnu varijablu Xn vrijedi pak 1 FXn (x) = P (X < x) = . n i/n<x

9.2. KONVERGENCIJA PO DISTRIBUCIJI

ˇ I KARAKTERISTICNE FUNKCIJE

Suma se zbraja po svim prirodnim brojevima i = 1, 2, . . . koji su manji od nx . Zato je 1 ona veća ili jednaka x − , a manja od x . Dakle vrijedi n 1 x − FXn (x) < x = FX (x). n Odavde slijedi lim FX (x) = FX (x). n→∞

∗∗∗ - konvergencije sluˇcajnih varijabli i analiSljedeći teorem uspostavlja vezu izmedu tiˇckog aparata karakteristiˇcnih funkcija. Teorem ne moˇzemo na ovom mjestu dokazati, jer je za to potrebno detaljno israˇziti svojstva karakteristiˇcnih funkcija. Pri tom se koristi aparat matematiˇcke analize koji nadmaˇsuje onaj koji se uˇci na studiju tehnike. Konvergencija po distribuciji i karakteristiˇcne funkcije Teorem 9.6. (P. Levy) Niz (Xn ) sluˇcajnih varijabli konvergira po distribuciji k varijabli X ako i samo ako niz karakteristiˇcnih funkcija (ϑn ) varijabli Xn konvergira (po toˇckama) prema karakteristiˇcnoj funkciji ϑ varijable X .

Ovaj cémo teorem ilustrirati na nekim intresantnim primjerima. Aproksimacija binomne razdiobe Poissonovom

Neka je Xn,p sluˇcajna varijabla distribuirana po binomnom zakonu B(n, p) . Ako p → 0 i n → ∞ , tako da np → λ , dokaˇzimo da (Xn,p) konvergira po distribuciji k Poissonovoj razdiobi s parametrom λ . Koristit cémo Levyjev teorem. Moramo pokazati da karakteristiˇcna funkcija slucˇajne varijable B(n, p) teˇzi, uz gornje uvjete, ka karakteristiˇcnoj funkciji Poissonove razdiobe P(λ ) . Imamo 1 ·pn n p ϑXn,p (t) = q + peit = 1 + p(eit − 1) . 1/p it teˇzi k ee −1 kad p → 0 , a kako pn → λ , to vrijedi Izraz 1 + p(eit − 1) it

lim ϑXn,p (t) = eλ (e

−1)

p →0 np→λ

a to je upravo karakteristiˇcna funkcija razdiobe P(λ ) .

127

128

9. ZAKON VELIKIH


Aproksimacija Poissonove razdiobe normalnom

Neka je X distribuirana po Poissonovom zakonu s parametrom λ . Dokaˇzimo da se za veliki λ razdioba P(λ ) moˇze aproksimirati normalnom razdiobom N (λ , λ ) , tj. da vrijedi X−λ √ −→ N (0, 1), kad λ → ∞ λ po distribuciji. Pokazat cémo da karakteristiˇcne funkcije ϑλ varijabli prema karakteristiˇcnoj funkciji

X−λ √ teˇze, kad λ → ∞ , λ

1 2

ϑ (t) = e− 2 t

jediniˇcne normalne razdiobe. Karakteristiˇcna funkcija Poissonove razdiobe je it

ϑX (t) = eλ (e

−1)

.

Kako vrijedi ϑa+bX (t) = eiat ϑX (bt) , to je karakteristiˇcna funkcija od √ 1 − λ + √ X dana sa λ

ϑ (t) = e−

√

λ t λ (eit/

e

√ λ

X−λ √ = λ

−1)

√ √ * it/ λ = exp λ (e − 1) − i λ t √ * i2 t 2 i3 t3 it √ + . . . − 1 − i λt = exp λ 1 + √ + + 2λ λ 6λ λ 2 * + t2 , 3 t it = exp − − + . . . −→ exp − kad λ → ∞, 2 6λ 2 a to je i trebalo pokazati. Od novˇcića do jednolike razdobe

Neka je X1 , X2 , . . . niz nezavisnih sluˇcajnih varijabli koje mogu poprimiti vrijednosti ±1 s vjerojatnoˇscú 12 . Definirajmo Yn =

n 1 Xk . 2k k=1

Pokaˇzimo da niz (Yn ) teˇzi po distribuciji k sluˇcajnoj varijabli Y koja ima jednoliku razdiobu na [−1, 1] . Odredimo karakteristiˇcne funkcije varijabli Xk :

ϑXk (t) = 12 e−it + 12 eit = cos t, 1 ϑ 1k Xk (t) = cos( k t). 2 2

ˇ 9.3. CENTRALNI GRANICNI TEOREM

129

Zbog nezavisnosti sluˇcajnih varijabli X1 , X2 , . . . , karakteristiˇcna funkcija varijable Yn jednaka je produktu karakteristiˇcnih funkcija:

ϑYn (t) =

n / k=1

cos

t 2k

t t t sin 2n t t = cos cos · · · cos n−1 cos n · 2 4 2 2 sin t 2n t sin n−1 t t t 2 = cos cos · · · cos n−1 · t = ... 2 4 2 2 sin n 2 sin t sin t = t −→ t = ϑY (t) 2n sin n 2

sin t karakteristiˇcna je funkcija jednolike razdiobe na intervalu [−1, 1] . Dakt D le, ϑYn (t) → ϑY (t) i zato Yn −→ Y . Funkcija

9.3. Centralni graniˇcni teorem Centralni graniˇcni teorem govori o tome da se zbroj sluˇcajnih varijabli, uz neke uvjete na njihove distribucije, asimptotski ponaˇsa kao normalna (Gaussova) razdioba. Ne postoje nuˇzni i dovoljni uvjeti za opis razdioba slucajnih varijabli uz koje cé vrijediti centralni graniˇcni teorem. Neki od dovoljnih uvjeta ukljuˇcuju i sluˇcajeve slabe - varijablama. zavisnosti medu Varijanta teorema koju cémo mi dokazati jest jednostavna i zahtjeva jake uvjete na pribrojnike. Centralni graniˇcni teorem Teorem 9.7. Neka je (Xn ) niz identiˇcki distribuiranih nezavisnih sluˇcajnih va-

rijabli s oˇcekivanjem m i disperzijom σ 2 . Onda za normirani zbroj vrijedi )n k=1 (Xk − m) D √ −→ N (0, 1). σ n

Da je zbroj normiran znaˇci da je oˇcekivanje sluˇcajnih varijabli sijeva jednako nuli, a disperzija jedinici.

130

9. ZAKON VELIKIH


Dokaz. Bez smanjenja općenitosti moˇzemo pretpostaviti da je m = 0 . Inaˇce, varijable Xn moˇzemo zamijeniti s centriranim, Xn − m koje imaju istu disperziju. Sve varijable imaju istu razdiobu, pa im je i karakteristiˇcna funkcija jednaka. Neka je ϑ karakteristiˇcna funkcija tih varijabli. Zbog nezavisnosti pribrojnika, karakteristiˇcna funkcija zbroja jednaka je umnoˇsku karakteristiˇcnih funkcija: ϑX1 +...+Xn (t) = ϑ (t)n . n 1 Oznaˇcimo Zn = √ Xk . Karakteristiˇcna funkcija te varijable jednaka je σ n k=1 n t √ ϑZn (t) = ϑ . σ n Prikaˇzimo funkciju ϑ Taylorovim redom:

ϑ (t) = c0 + c2 t + c2 t2 + R2 Ostatak R2 teˇzi u nulu brˇzne nego t2 . Za svaku karakteristiˇcnu funkciju je c0 = ϑ (0) = 1 . Druga dva koeficijenta su c1 = ϑ (0) = iE(X1) = im = 0, 1 1 1 c2 = ϑ (0) = − E(X12 ) = − σ 2 . 2 2 2 Tako dobivamo:

1 t2 ϑZn (t) = 1 − σ 2 · 2 + R2 2 σ ·n

n

t2 = 1− + R2 2n

n

−→ e−t

2

/2

.

∗∗∗ Sad moˇzemo dokazati već prije koriˇsteni teorem aproksimacije binomne razdiobe normalnom: Teorem Moivre-Laplacea Teorem 9.8. Normirana binomna razdioba teˇzi po distribuciji k jediniˇcnoj nor-

malnoj razdiobi:

B(n, p) − np D −→ N (0, 1) √ npq

Dokaz. Dovoljno je primjeniti centralni graniˇcni teorem na niz (Ik ) indikatorskih sluˇcajnih varijabli. Oˇcekivanje ovih varoijabli je p , a disperzija pq . Onda je n (Ik − p) = X − np k=1

pri cˇemu X ima binomnu razdiobu B(n, p) . Tvrdnja sad slijedi iz prethodnog teorema.

ˇ 9.3. CENTRALNI GRANICNI TEOREM

131

Primjer 9.2. Zbrajamo 10 000 brojeva koje smo zaokruˇzili na m decimala. Izraˇcunaj interval unutar kojeg se s vjerojatnoˇscú 0.99 nalazi pogreˇska uˇcinjena zbog zaokruˇzivanja. Pretpostavljamo da su greˇske zaokruˇzivanja pojedinih brojeva nezavisne sluˇcajne varijable, jednoliko distribuirane na intervalu − 12 10−m , 12 10m .

Oznaˇcimo n = 10 000 . Neka su X1 , . . . , Xn greˇske zaokruˇzivanja pojedinih brojeva. To su identiˇcki distribuirane nezavisne varijable s oˇcekivanjem E(Xk ) = 0 i disperzijom ( 1 · 10−m + 12 · 10−m )2 1 D(Xk ) = 2 = · 10−2m . 12 2 ) Tada je X = nk=1 Xk greˇska nastala zbog zaokruˇzivanja tih brojeva. Po centralnom graniˇcnom teoremu vrijedi )n Xk D k=1 −→ N (0, 1) −2m 10 12 n 10−2m n 1 tj. X ≈ N 0, · 10−2m+4 ) . Traˇzimo takav t za kojeg je = N (0, 12 12 P{|X| < t} 0.99 . * X t P {|X| < t} = P 10−m+2 < 10−m+2 = 0.99 = Φ∗ (2.577) √ √ 12

i odavde je

12

2.577 t= √ · 10−m+2 = 74.4 · 10−m . 12

Prema tome, greˇska zaokruˇzivanja se s vjerojatnoˇscú 0.99 nalazi unutar intervala −74.4 · 10−m , 74.4 · 10−m , dok teorijski najveća moguća greˇska iznosi cˇak 5000 · 10−m . Primjer 9.3. U prosjeku je svaki treći proizvod (recimo — jabuka!) prve kvalitete. - 100 primjeraka prve Neka je Sn broj proizvoda koje treba pregledati dok se ne pronade - {S100 > 400} . kvalitete. Odredi razdiobu te varijable. Izraˇcunaj vjerojatnost dogadaja

Neka je Xk broj jabuka koje je potrebno pregledati da bi se pronaˇsla prvoklasna jabuka, a nakon sˇ to je već pronadena k − 1 takva. Tada je oˇcito Sn = X1 + X2 + . . . + Xn . Sluˇcajne varijable X1 , . . . , Xn su nezavisne, jednako distribuirane. One imaju geometrijsku razdiobu: j−1 2 1 pj = P(Xk = j) = . 3 3 Vrijedi E(Xk ) = 3 , σ 2 (Xk ) = 9 . Iako nam je poznata razdioba svih varijabli Xk , razdiobu njihove sume ne moˇzemo lako odrediti. Stoga koristimo centralni graniˇcni teorem. Sn − 3n √ −→ N (0, 1) 9n

132

9. ZAKON VELIKIH


te je Sn ≈ N (3n, 9n) . Traˇzena vjerojatnost iznosi −300 + 350 √ P (S > 350) = P N > = P (N > 1.666) = 0.097. 900

9.4. Rijeˇseni zadatci Zadatak 9.1. Neka je {Xn } niz nezavisnih sluˇcajnih varijabli, identiˇcki distribuiranih s jednolikom razdiobom na intervalu [0, 1] i f : [0, 1] → R neprekinuta funkcija. Pokaˇzi da vrijedi 1 n 1 f (Xk ) −→ f (u)du, kad n → ∞. n 0 k=1

Sluˇcajne varijable f (Xk ) su identiˇcki distribuirane s oˇcekivanjem 1 a = E f (Xk = f (u)du. 0

Stoga, po jakom zakonu velikih brojeva 1 n 1 f (Xk ) −→ f (u)du, n 0

kad n → ∞

k=1

skoro sigurno. Zadatak 9.2. Neka je {Xn } niz nezavisnih identiˇcki distribuiranih sluˇcajnih varijabli, s jednolikom razdiobom na intervalu [0, 1] . Pokaˇzi da √ 1 n X1 · X2 · · · Xn −→ , kad n → ∞ e skoro sigurno.

Varijable ln X1 , ln X2 ,. . . su nezavisne, identiˇcki distribuirane s oˇcekivanjem 1 1 E(ln Xk ) = ln x dx = (x ln x − x) = −1 0

0

i konaˇcnom varijancom, stoga zadovoljavaju jaki zakon velikih brojeva: n 1 ln Xk −→ −1, skoro sigurno n k=1

tj. odnosno

1 ln(X1 · X2 · · · Xn ) −→ −1, n √ n

X1 · X2 · · · Xn −→ e−1 =

1 , e

skoro sigurno skoro sigurno.


Zadatak 9.3. Vrijeme ispravnog rada nekog potroˇsnog dijela sloˇzenoga stroja je sluˇcajna varijabla, s oˇcekivanjem T0 = 100 sati i odstupanjem σ = 60 sati. Koliko takvih dijelova treba osigurati da bi s vjerojatnoˇscú 0.95 stroj radio u toku t = 8000 ˇ se moˇze kazati ako ta sluˇcajna varijabla ima eksponencijalnu razdiobu? sati? Sto

Oznaˇcimo s Xt sluˇcajnu varijablu: broj dijelova koji cé biti upotrebljeni do trenutka t . Ta se varijabla moˇze povezati s vremenima Tk ispravnog rada pojedinog potroˇsnog dijela. Naime, vrijedi {Xt n} = {T1 + T2 + . . . + Tn t}. Ova jednakost moˇze se ispriˇcati rijeˇcima: do trenutka t bit cé dovoljno n dijelova ako i samo ako je ukupno vrijeme ispravnog rada prvih n potroˇsnih dijelova veće od t ! Varijable T1 , . . . , Tn , . . . su nezavisne i imaju jednaku (nama nepoznatu!) razdiobu. Po centralnom graniˇcnom teoremu vrijedi T1 + . . . + Tn ≈ N (na, nσ 2 ) ≈ N (100n, 3600n). Oznaˇcimo ovu normalnu razdiobu s Y . Iz uvjeta P{Y t} = 0.95 raˇcunamo dalje ovako: * t − 100n 1 ∗ 100n − t ˜ √ √ P Y = 0.95 =⇒ 2 Φ = 0.45 60 n 60 n 100n − t √ = 1.65 te slijedi n = 89 . 60 n Primjetimo da je oˇcekivani broj rezervnih dijelova 80, te da s 10% većom koliˇcinom imamo 95%-tnu sigurnost ispravnoga rada! Ukoliko nam nije poznata disperzija σ , moˇzemo postupiti ovako. Pretpostavimo da varijable Tk imaju eksponencijalnu razdiobu s parametrom λ , 1/λ = ETk = 100 , tada sluˇcajna varijabla Xt ima toˇcno Poissonovu razdiobu, Xt ∼ P(λ t) ∼ P(80) . Tako moramo odrediti n iz uvjeta P{Xt n} 0.05 Medutim, cˇak je i sada opravdano zamjeniti varijablu Xt normalnom, poˇsto je njezin parametar dovoljno velik. Vrijedi P(80) ≈ N (80, 80) = Z . Naˇs uvjet sada postaje n − 80 P{Z n} 0.05 =⇒ P{Z˜ √ } 0.05 80 √ n − 80 Odavde Φ∗ √ 0.9 te je n−80 80·1.645 = 14.7 . Odavde n 95 . Ve80 cú vrijednost od gornje dobili smo stoga sˇ to je u ovom sluˇcaju pretpostavljena disperzija veća od gore zadane. Odavde je

Zadatak 9.4. Sluˇcajna varijabla X aritmetiˇcka je sredina n nezavisnih identiˇcki distribuiranih sluˇcajnih varijabli s matematiˇckim oˇcekivanjem 20 i disperzijom 4 . Izraˇcunaj vjerojatnost da X uzima vrijednosti iz intervala (19.9, 20.1) .

Oznaˇcimo sluˇcajne )nvarijable iz zadatka sa Xk , k = 1, . . . , n . Vrijedi E(Xk ) = 1 20 , D(Xk ) = 4 , X = n k=1 Xk . Po centralnom graniˇcnom teoremu je )n k=1 Xk − n · 20 D √ −→ N (0, 1) kad n → ∞ 2 n

133

134

9. ZAKON VELIKIH

i zato vrijedi

4 tj. X ≈ N (20, ) . Zato n


X − 20 √ ≈ N (0, 1), 2/ n

X − 20 20.1 − 20 19.9 − 20 √ √ < √ < P (19.9 < X < 20.1) = P 2/ n 2/ n 2/ n Za n > 3600 ta je vjerojatnost praktiˇcki jednaka jedinici.

√n =Φ . 20 ∗

Zadatak 9.5. Pokaˇzi da se za veliki n varijabla χn2 moˇze aproksimirati normalnom varijablom N (n, 2n) , preciznije, vrijedi

χn2 − n D √ −→ N (0, 1). 2n Po definiciji varijable χn2 vrijedi χn2 = X12 + . . . + Xn2 , gdje su Xk identiˇcki distribuirane nezavisne jediniˇcne normalne varijable. No, tada Xk2 imaju gama razdiobu s parametrima ( 12 , 12 ) . Njihovo oˇcekivanje je 1 , a disperzija 2 . Ispunjeni su svi uvjeti centralnog graniˇcnog teorema i zato )n 2 χn2 − n D k=1 Xk − n · 1 √ √ = √ → N (0, 1). 2n 2 n

§ 9. Zadatci za vjeˇzbu

1. Sluˇcajna varijabla X ima matematiˇcko oˇcekivanje E(X) = 1 i standardnu devijaciju σ (X) = 0.2 . Ocijeni vjerojatnost dogadaja A = {0.5 < X < 1.5} . 2. Broj sunˇcanih dana u nekom gradu u toku jedne godine je sluˇcajna varijabla sa matematiˇckim oˇcekivanjem 75 dana. Pokaˇzi da je vjerojatnost da u toku jedne godine u tom gradu ne bude viˇse od 200 sunˇcanih dana veća od 58 . 3. Nenegativna sluˇcajna varijabla X ima matematiˇcko oˇcekivanje E(X) = 1 i standardnu devijaciju - A = {0 < X < 3} ima σ (X) = 0.4 . Da li dogadaj vjerojatnost veću od 90 % ? 4. Matematiˇcko oˇcekivanje i standardna devijacija brzine vjetra na nekoj visini su jednaki: E(X) = 25 km/ h, σ (X) = 4.5 km/ h. Kolika se brzina vje-

tra moˇze oˇcekivati na toj visini sa vjerojatnoˇscú ne manjom od 0.9 ? 5. Nenegativna sluˇcajna varijabla X ima matematiˇcko oˇcekivanje E(X) = 1 i standardnu devijaciju σ (X) = 0.4 . Pokaˇzi da je vjerojatnost dogadaja A = {X < 3} veća od 95% ! 6. Ocijeni vjerojatnost da odstupanje proizvoljne sluˇcajne varijable od njezinog oˇcekivanja nije veće od 3σ , gdje je σ devijacija te varijable. Kolika je ta vjerojatnost ako sluˇcajna varijabla ima normalnu razdiobu? 7. Neka su X1 , X2 ,. . . nezavisne identiˇcki distribuirane sluˇcajne varijable s konaˇcnim oˇcekivanjem a = E(X1 ) i disperzijom σ 2 = D(X1 ) . Dokaˇzi


15. Odredi karakteristiˇcnu funkciju sluˇcajne varijable X zadane gustoćom

da tada vrijedi X= S2 =

1 n 1 n

n X k=1 n X

135

Xk → a, (Xk − X)2 → σ 2 ,

k=1

kad n → ∞ . ∗∗∗

f (x) = e−x ,

x>0

Izraˇcunaj E(X n ) . 16. Neka X ima jediniˇcnu normalnu razdiobu, X ∼ N (0, 1) . Koristeći karakteristiˇcnu funkciju, izraˇcunaj E(X n ) , n ∈ N . 17. Odredi karakteristiˇcnu funkciju ϕX (t) sluˇcajne varijable X zadane gustoćom f (x) =

1 −|x−1| 2e

,

x∈R

8. Pokaˇzi da binomna razdioba B(n, p) u graniˇcnom prelazu n → ∞ , p → 0 , np = a (konstanta) prelazi u Poissonovu P(a) .

te izraˇcunaj njezino oˇcekivanje. 18. Zadana je karakteristiˇcna funkcija

9. Neka je X1 , X2 , . . . niz nezavisnih identiˇcki distribuiranih sluˇcajnih varijabli koje uzimaju vrijednosti 0 ili 1 s vjerojatnostima 12 . Neka je X = 0, X1 X2 . . . binarni prikaz broja X . Dokaˇzi da X ima jednoliku razdiobu na intervalu [0, 1] .

ϑ (t) = eiat−b|t| . Odredi gustoću razdiobe pripadne sluˇcajne varijable. 19. Pokaˇzi da funkcija j √ 1 − t2 , |t| 1, ϑ (t) = 0, |t| > 1. nije karakteristiˇcna funkcija niti jedne razdiobe. 20. Pokaˇzi da je ∞ X ϑ (t) = ak cos kt,

10. Neka su X1 , X2 , . . . nezavisne sluˇcajne varijable s jednolikom razdiobom na intervalu [−1, 1] . Dokaˇzi, s pomoću Levyjevog teorema Pn k=1 Xk D √ −→ N (0, 1). 3n ∗∗∗

k=0

∗∗∗

P ( ak > 0, ak = 1 ) karakteristiˇcna funkcija i odredi pripadnu razdiobu. - A = {X + Y > 21. Izraˇcunaj vjerojatnost dogadaja 0} , ako su X i Y nezavisne sluˇcajne varijable zadane svojim karakteristiˇcnim funkcijama 1 ϑX (t) = (1 + cos t), 2 1 ϑY (t) = (3 + cos t). 4

12. Sluˇcajna varijabla X zadana je gustoćom razdiobe f (x) = 1 − |x|, |x| < 1.

22. Neka je ϑX (t) = cos2 t karakteristiˇcna funkcija sluˇcajne varijable X . Ako je Y = X + X 2 , odredi karakteristiˇcnu funkciju ϑY (t) varijable Y .

11. Neka su X1 , X2 , . . . nezavisne sluˇcajne varijable,Ps Poissonovom razdiobom, Xk ∼ P(λk ) . Ako je ∞ k=1 λk = ∞ , dokaˇzi da P Pn Xk − nk=1 λk D k=1 qP −→ N (0, 1). n k=1 λk

∗∗∗

Odredi njezinu karakteristiˇcnu funkciju.

23. Bochnerov teorem. ϑ R → C je karakteristiˇcna funkcija neke sluˇcajne varijable ako i samo ako zadovoljava uvjete: 1 − cos x a) ϑ (0) = 1 , . f (x) = π x2 b) ϑ je neprekinuta, c) ϑ je pozitivno definitna, tj. za svaki n ∈ N , 14. Sluˇcajna varijabla X ima funkciju gustoće f (x) = sve brojeve z1 , . . . , zn ∈ C , t1 , . . . , tn ∈ R vrijedi a· sin x , 0 x π . Odredi karakteristiˇcnu funkn X ciju i pomoću nje oˇcekivanje i disperziju sluˇcajne zj zk ϑ (tj − tk ) 0. varijable X . 13. Odredi karakteristiˇcnu funkciju sluˇcajne varijable X cˇija je gustoća razdiobe

j,k=1

136

9. ZAKON VELIKIH

Provjeri nuˇznost ovih uvjeta: karakteristiˇcna funkcija varijable X zadovoljava gornje uvjete. (Dokaz dovoljnosti vrlo je sloˇzen.) 24. P Neka su {ϑk } karakteristiˇcne funkcije te ak > P 0, ak = 1 . Pokaˇzi da je i ϑ = ak ϑk karakteristiˇcna funkcija. 25. Neka je ϑ karakteristiˇcna funkcija. Dokaˇzi da su funkcije t → eϑ (t)−1 , 1 t → 2 − ϑ (t) - karakteristiˇcne funkcije. takoder


26. Neka je ϑ karakteristiˇcna funkcija. Pokaˇzi da je i Z 1 t ϑ (u)du t → t 0 - karakteristiˇcna funkcija. takoder 27. Dokaˇzi sljedeće svojstvo karakteristiˇcnih funkcija: p |ϑ (t + h) − ϑ (t)| 2(1 − Re ϑ (h)). 28. Ako za neki T > 0 karakteristiˇcna funkcija ϑ ima svojstvo ϑ (T) = 1 , dokaˇzi da je tada ϑ periodiˇcka funkcija, te da je T njezin period.

ˇ ODGOVORI I RJE SENJA

137

Odgovori i rjeˇsenja

§ 5. Neprekinute sluˇcajne varijable

20. FX (x) = 1 − E(X) = R − 34 r .

1. Ne, da, ne, ne, da , da. 2. Ne, da, da, da, da. 3. Funkcije su pozitivne i integral po R jednak im je jedinici.

λ4 1 5. . , √ 6 2 −απ 6. 1 , 0.5 . 5 a3 , 1− . 2 2e 8. Funkcije su definirane formulama na istim intervalima, i iznose: a) 1 − cos x , b) 12 (x2 − x) , c) − cos 3x . 8 0, x −2, > > > > 0.1, −1 < x −1, > > < 0.3, −1 < x 0, 9. F(x) = > 0.5, 0 < x 1, > > > > > : 0.8, 1 < x 2, 1, 2 < x. P {|X| 1} = 0.7 . „ «2 π + 2 3π − 2 10. 3 . 4π 4π 11. Uputa: {X + Y < 3} ⊃ {X < 1, Y < 2} . 12. Uputa: Ako je AB ⊂ C , tada vrijedi P (C) P (A) + P (B) − P (A + B) P (A) + P (B) − 1 13. a) 2 , 2 , 1 ; b) 1 , 4 , 2 ; 3 18 2 3 9 c) 3 , 11 , 0.052 ; d) 1 , 0 , 2 . 4 16 2 14. 2 , 1/λ . 15. − 1 , − 5 , 1 . 2 4 2 1 x 7, 16. f (x) = 16 , 1 x 7. F(x) = 16 x − 16 , 17. n + 1 , n + 1 . 7.

18. (x/R)2 , 0 < x < R , 19. v/3

2 1 2 3 R , 18 R .

(R − x)3 , R−r x R; r3

9 . 16 √ a 3 22. . 18

21.

„ « √ 4 2x 23. f X (x) = √ 1 − √ , x ∈ [0, a 3/2] ; a 3 √ a 3 a 3 E(X) = . 6 p 24. 1 − (1 − 2 x/π )2 , 0 x π4 ; 0.25 . p 25. F(x) = 1 − (1 − 2 3 3x/4π )3 , 0 x π /6 . r 2 1 12 12 · √ − 2 , x ∈ [0, a12π ] . 26. f X (x) = 2 a π x a π 4 R2 √ , 0x ; 4 2 2 π R − 4x 2 2 2 R R }= . ; P {X > E(X) = π 4 3 √ √ 2 28. FX (x) = 209 3 x − 32 x ∈ [0, 3/4] . 9 x , 27. f X (x) =

30. F(x) = √ a 2 31. . 12

5 144 (24x

− 5x2 ) , x ∈ [0,

12 5 ]

8 √ √ 2 > > , x ∈ [0, 42 a] < a 32. f (x) = √ √ √ > 3 2 2 > : x ∈ [ 42 a, 3 4 2 a] − 2 x, 2a a 8 π > x, x ∈ [0, a], < 2a2 33. f X (x)= √ > : π x − 2x arc cos a , x ∈ [a, a 2]. 2 2 x 2a a 3π a √ E(X) = [ 2 + ln tg( )] 3 8 34. f X (x) = 23 − 29 x , x ∈ [0, 3] ; E(X) = 1 . 35. F(x) = 2x − x2 , x ∈ [0, 1] ; E(X) = 2 1 ; D(X) = 18 . E(X n ) = (n + 1)(n + 2)

1 3

;

138


6(x − a)(b − x) , x ∈ [a, b] (b − a)3 „ «„ « n − 1 xk−1 (1 − x)n−k . 37. f k (x) = n 1 k−1 36. f X (x) =

3 . 4 < x < 1 ; E(X) = 0.75 .

38. f X (x) = 3x2 , E(X) = 39. F(x) = 2x − 1 ,

1 2

(T − x)n , 0xT. Tn 1 41. f X (x) = , x ∈ [0, l] ; E(X) = 12 l ; l 1 2 D(X) = 12 l 8 < π2 x, x ∈ [0, 1], √ 42. f X (x) = 1 π : 2 x − 2x arc cos , x ∈ [1, 2]. x 8 √ π > x, x ∈ [0, 2], < 4 √ 43. f X (x) = √ 2 > : π4 x − x arc cos , x ∈ [ 2, 2]. x „ « 3π 4a ln tg 44. . π 8 √ 2 1 2 2 45. FX (x) = 16 9 + 3 x − 16 − 9 x , x ∈ [4, 5] . 40. 1 −

46. FX (x) = 17 x, x ∈ [0, 3] ; √ 1 + x2 − 9) , x ∈ [3, 4] ; 14 (x + 3 √ √ 1 2 2 14 (7 + x − 9 + x − 16) , x ∈ [4, 5] . √ 47. F(x) = x − 3 , x ∈ [3, 4] ; E(X) = 10 3 . x 48. FX (x) = , x ∈ [0, a/2] ; 2a 1√ 2 1 4x − a2 , x ∈ [a/2, a] ; + 4 4a √ 1√ 2 1√ 2 1 + 4x − a2 + x − a2 , x ∈ [a, a 25 ] . 4 4a 2a 8 πx > , x ∈ [0, 1], < 2 49. f X (x) = √ > : π x − 2x arc cos 1 , x ∈ [1, 2]. 2 x π π x2 √ x2 , 0x10 ; √ + 50. FX (x) = 300 3 300 3 √ 2 2 x arc cos 10/x x − 100 √ √ − ; 10x20 . 10 3 100 3 4x2 51. FX2 (x2 ) = 22 , x2 ∈ [0, a2 ] ; E(X2 ) = 13 a a √ 5 3a . 52. E(X) = 18 2x 53. f X (x) = p . 2 2 π 4R d − (d2 + R2 − x2 )2

„ « x 4 2 arc sin , 0 x 2R . 2R π2 4 R , x ∈ [0, √ ] ; 55. f X (x) = √ 2 π R2 − x2 √ 2 E(X) = (2 − 2)R . π 8 √ 8 > > x ∈ [0, d 2 3 ], < √ , 5 3d 56. f X (x) = √ √ > 12 16x d 3 3d 3 > : √ − , x ∈ [ , 2 4 ]. 15d2 5 3d 59. E(X) = E(Y) = 0 . √ y+1 2y 64. a) , 0 y 1; , 1 y < 4; 3 3 1 y 2y , 0 y < 1; + , 1 y 2. b) 3 3 3 1 1 65. FY (x) = 2 + π arc sin x , −1 < x < 1 ; 1 , −1 < x < 1 . f Y (x) = √ π 1 − x2 ( 1 1√ 0 y 1, 4 y + 2 y, 66. FY (y) = 1 1√ 1 y 4. 2 + 4 y, ( 1 y ∈ [0, 2], 3, E(Y) = 53 . 67. gY (y) = 1 y ∈ [2, 4]. 6, 54. FX (x) =

1 68. FY (y) = 1 − √ , y 1 . y 1 √ p f ( 3 y) , 0 < y < ∞ ; 3 3 y2 1 1 b) 2 f ( ) , 0 < y < ∞ ; y y c) 2yf (y2 ) , 0 < y < ∞ ; 1 d) f (ln y) , 1 < y < ∞ ; y 1 1 e) f (ln ) , 0 < y < 1 ; y y f) ey f (ey ) , −∞ < y < ∞ . 71. F(ln x) , x > 0 . 72. g(y) = f (y−1) + f (−y−1) , y 0 1 √ 73. f (y) , y ∈ / (0, 1) ; f ( y) √ , y ∈ (0, 1) . 2 y “x − b” 74. a) F , a > 0; “ x − ba ” 1−F + 0 , a < 0; √ √ a b) F( x) − F(− x + 0) , x 0 ; c) F(x) − F(−x + 0) , x 0 ; e) F(g−1 (x)) . 69. a)

ˇ ODGOVORI I RJE SENJA √

75. 1 − e−2 y , y > 0 . √ sin y 76. g(y) = √ , 0 y π 2 ; E(Y) = 1 . 4 y 8 < 2 ch y, y ∈ [0, 1], e 77. gY (y) = : −y−1 e , y ∈ [1, ∞). 2 E(Y) = . e 2 2 78. C = 2e2 , gY (y) = 2 exp( ) , y < 0 . y y e 1 79. gY (y) = 2 exp(− ) , 0 < y < 1 . y y 8 1 1 > > y < 0, < − arc tg , π y 80. GY (y) = > 2 > : 1 + arc tg y, y > 0. 2 π 1 81. gY (y) = √ 2π 4y 82. gY (y) = p , 0 y 12 ; 1 − 4y2 π E(Y) = . 8 8 1√ > 0 y 1, > 4 y, > > > < 1 √y + 1 , 1 y 4, 8 8 83. FY (y) = 3√ 3 > y − 4 y 9, > > 8 8, > > 1√ : 9 y 16. 4 y, » “ √ ( y−1+1)2 ” 1 exp − 84. gY (y)= p 4 4 π (y−1) “ (√y−1−1)2 ” , y 1 ; 0.1193 . + exp − 4 eλ − 1 −kλ 1 85. P {Y = k} = . e , E(Y) = λ eλ e −1 86. Y ∼ N(0, 1) . 87. Uputa: Ako X ima Cauchyjevu razdiobu, tada je X = tg α i α ima jednoliku razdiobu. 88.

π a2 + ab + b2 · , 4 3

π2 (b − a)2 (4b2 + 7ab + 4a2 ) . 720 1 3 y , 0 y 89. C = ; F(y) = arc sin π π 100 √ √ 1 y 1 50 2 ; + arc sin , 50 2 y 100 ; 2 π 100 0.5 . √ 90. FX (x) = 1 − 1 − 2x , 0 < x < 0.5 .

139

§ 6. Primjeri neprekinutih razdioba 1. 0.1 ; 0.01 . 2. Y ∼ B(50,

√

0.4) ; P (Y 40) = 0.00705

1 3. u sva tri sluˇcaja. e 1 4. FZ (z) = 1 − e−λ z − λ ze−λ z , λ = ; 6 3 P (Z > 12) = 2 . e 5. 168 dana k! 6. k λ Z 1 ∞ n −x 9. F(λ ) = 1−P (X > λ ) = 1− x e dx . n! λ Parcijalnom integracijom dobivamo F(λ ) = 1 − e−λ

n X λi = 1 − G(n). i! i=0

10.

1 1 √ , 2; . 2 e4 π

A. 0.422 ; B. 0.2673 ; C. 0.9359 ; D. 0.1540 ; 0.2579 ; F. 0.1292 ; G. 0.3830 . A. 1.43 ; B. 0.83 ; C. 1.16 . A. 0.4649 ; B. 0.2684 ; C. 0.0401 ; D. 0.2266 . 0.281 . 0.839 . 0.6147 . 17. 4 . 3 s b2 − a2 . 18. 2(ln b − ln a) p 19. σ 2/π .

11. E. 12. 13. 14. 15. 16.

4y 20. √ exp(− 21 y4 ) , y > 0 . 2π 21. (45.825 , 54.175) 22. f Y (y) =

y 1 √ exp(− 2 ) , y > 0 ; 2σ σ 2π y

E(Y) = σ 2 . 23. (960 p , 1040 p) 24. 0.0128 . 25. 0.934 .

140


26. 0.658 .

§ 7. Sluˇcajni vektori

28. 7.75 .

1. Ne. 2. F(x,y)= 8 0 > > > > < xy x > > > y > : 1

√ 27. P (A) = 12 [1 − Φ (7/ 73)] = 0.2063 . 29. 0.6681 . 30. 0.60924 . 31.

1 2

„ « 2 + 12 Φ∗ √ = 0.87 . 3.14

32. 0.95 33. Ne, vjerojatnost da se broj 1 pojavi 140 puta je 1 − Φ∗ (4.65) = 0 . 34. 0.483 . 35. 0.443 . 36. n 632 . 37. a = 1 ; 0.792 . 9

√ 38. 0.5 + 0.5Φ (5/ 18) = 0.8806 . 39. 71. 40. 81 . 41. P (A) = E(Y) = 6 .

log 5 1 , n 6 log 1.2

n = 9,

=⇒

42. 101 pokus. 43. 0.398 . 44. E(X) = α , D(X) = 2α 2 . 2

2

45. E(X) = ea+σ /2 , E(X 2 ) = e2a+2σ , 2 2 D(X) = e2a (eσ − 1)eσ . √ 4−π π , D(X) = 46. E(X) = . 2h 4h2„ « 4 1 3 2 − . 47. E(X) = √ , D(X) = 2 π h 2 h π 48. a) α /β ; b) α /β 2 ; c) α (α + 1) · · · (α + n − 1)/β n .

γ γ , E(X) = , m m−2 2 γ D(X) = . (m − 2)2 (m − 3)

49. xm =

, x 0 ili y 0, , 0 < x 1, 0 < y 1, , 0 x < 1, 1 < y, , 1 < x, 0 y < 1, , 1 < x, 1 < y.

4xy p , 0 y x R. x2 − y2 1 1 ; b) , |x| 1 . 4. a) √ 2 2 π 1−x 3 5. . 4 6. 0.245 . 7. 0.190 . 2 2y 8. f (x, y) = √ e−x , 0 y 1 ; π p = 0.0198 ; E(XY) = 0 . 3 9. k = 6 ; 2 . 5e 10. X i Y su nezavisne, P (A) = 13 , P (B) = 0 .

3. f (x, y) =

R2 π

11. F(x, y) = 1 − e−x , ako je x2 < y ; √ − y 1−e , ako je y < x2 . 12. 0.275 . 13. 11 40 14. f X (x) = 4x3 , x ∈ [0, 1] ; f Y (y) = 4y − 4y3 , y ∈ [0, 1] ; X i Y su zavisne; 18 19 123 15. P (A | B) = . 160 17. 1 − (λ + 1)e−λ . 18. C = 24 ; f X (x) = 12x(1 − x)2 , x ∈ [0, 1] ; p= 8 . 11 19. f X (x) = 1 , 0 < x < 1 , f Y (y) = 1 + 2y − 3y2 , 0 < y < 1 . 20. f X (x) = f Y (x) = e−x , x > 0 . 21. f X (x) = e−x , x > 0 ; 1 , y > 0. f Y (y) = (1 + y)2


141

8 1 > x ∈ [0, 4], < , 6 22. f X (x) = > : 8 − x , x ∈ [4, 8], 24 8−y f Y (y) = , y ∈ [0, 4] . 24 2 √ 2 23. f X (x) = f Y (x) = R − x2 , π R2 1 |x| < R ; f Z (z) = , −H < z < H . 2H Zavisne su. x2 4 , 0 < x < 2 ; E(X) = . 4 3 26. f X (x) = 12 (1 − x) = f Y (x) . 25. FX (x) =

; E(X) = 14 ; 3 f Y (y) = 2 , 12 y 1 ; E(Y) = ; 4 1 X i Y su zavisne, E(XY) = . 6 1 28. A = 0.5 ; FX (x) = 2 (1 + sin x − cos x) ; FY (y) = 12 (1 + sin y − cos y) ; 0.2071 .

27. f X (x) = 2 , 0 x

1 2

29. f X (x) = 34 x2 + 32 x , x ∈ [0, 1] ; E(X) = 11 . 16 30. F(x, y) = FX (x) · FY (y) , FX (x) = 1 − e−α x , 1 1 FY (y) = 1 − e−β y ; E(X) = , E(Y) = , α β 1 1 D(X) = 2 , D(Y) = 2 . Nezavisne su. α β 1 31. − . 2 32. cov(Y1 , Y2 ) = 0 . Zavisne su. 33. E(Y) = 3 , D(Y) = 4.246 . √ 21 34. 0 , . 5 1 1 , 35. D(X) = , D(Y) = 2 4n − 1 p 3(4n − 1) rxy = . 2n + 1 ! 1 2 0 37. 0 12 ” “ 0 38. cos x cos y , π −3 0 π −3 . √ 3 5 39. . 7 40. 0.9597 . 41. 407 . 9

43. E(Y) = α a1 + β a2 + γ , D(Y) = α 2 σ12 + β 2 σ22 + 2αβ rσ1 σ2 44. E(XY) = aE(U 2 )+E(UV) . Ako je E(UV) = 0 , tada slijedi a = 0.16 , D(Y) = a2 E(U 2 ) + E(V 2 ) = a2 D(X) + D(V) , tj. D(V) = 22.44 . 45. n/3 . 46. k/n . 1 1 48. a) , 0 x z , b) , 0 x z na inz z 1 , z − 1 x 1 , na tervalu 0 < z 1 , 2−z intervalu 1 z 2 . 49. n/2 . 50. a) 1 − n · 21−n . Toˇcka O neće leˇzati unutar takvog mnogokuta samo ako neki od lukova izmedu dva susjedna vrha bude dulji od Rπ . b) E(ν ) = 5 , D(ν ) = 4 . Naime, vrijedi Bn = (ν n) i moˇzemo koristiti formule X P(ν n), E(ν ) = X E[ν (ν − 1)] = 2 n(n − 1)P(ν > n). 2 √ 2 r − x2 , x ∈ [−r, r] ; r2 π 1 , f (x | y) = konst. = p 2 − y2 2 r p p x ∈ [− r2 − y2 , r2 − y2 ] ; X i Y su zavisne ali nisu korelirane 52. 5 . 6 8 1 2 > y , y ∈ [0, 1], > < 2 53. f Y (y) = −y2 + 3y − 32 , y ∈ [1, 2], > > : 1 2 y ∈ [2, 3]. 2 (y − 3) ,

51. f X (x) =

54. f (x | y) =

1 , x ∈ [0, 2−2y] ; 2 − 2y

r(X, Y) = − 1 . 2 55. 0.135 ; 0.25 . 56. f (x | y) = r(X, Y) = 0.5 . 57. 2 ln 2 − 1 . 58. f (x | y) = 59. r1 /r2 . 60. 1 3 √ 3 ln 3 61. 2

2 , x ∈ [y/2, 2] ; 4−y 1 , x ∈ [2y, 2] . 2 − 2y

142


62. E(X) =

1 . 3

63. N (0, σ12 + σ22 ) . 2

64. N (0, 2σ (1 + r)) . ! 1 0 1 0 3 0 . 65. 1 0 2 1 √ exp(− 61 (5x2 +2y2 +2z2 −2xy+4xz− 66. 2π 6π 2yz − 12x + 6y − 6z + 5)) . 67. N ( 12 , 1) . 68. 0.44 , 0.642 . 2 . 70. √ 1 π 3[ 3 (2z − 1)2 + 1] r r 2 2 71. exp(− 25 x2 ) , exp(−2y2 ) , 5π π 1 √ exp(− 12 z2 ) , 2π 1 exp(− 12 (u2 − 2uv + 2v2 )) , 2π “ ” 1 2 72. 1 1 . Z z 1 u2 −2ruz+z2 exp(− )du , 74. f Z (z) = √ 2 2(1 − r2 ) p π 1 − r −∞ E(Z) = (1 − r2 )/π

§ 8. Funkcije sluˇcajnih vektora

1. b) c) d) 2.

3.

˛ ˛« ˛x ˛ 1 1 − ˛˛ − 1˛˛ , 0 x 2a ; a) a „a ˛ ˛« ˛x˛ 1 ˛ ˛ 1 − ˛ ˛ , |x| a ; a a a2 1 ln , 0 < x < a2 ; x a2 1 1 , 0 x 1. 2 , x 1 . 2 2x j ff 1 1 1 min 2 , , 0 x 1. 2 x (1 − x)2 8 2 2 > z , z ∈ [0, 1], > < 9 2 f Z (z) = z ∈ [1, 3], 9 z, > √ √ > : 2 2 z ∈ [3, 10]. 9 z(1 − z − 9), „

4. f (x) =

1 a2 ln , 0 < x < a2 . x a2

5. 2z − z2 , 0 < z < 1 . 6. FZ (z) = 2z − z2 , z ∈ [0, 1] ; 3 4 1 2 7. f Z (z) = ln , z ∈ [−2, 2] . 4 |z| 1 , z ∈ R. π (1 + z2 ) 8 a b > < , 0 : a , a < z < ∞. b 2bz2 ( 1 5 z 7, 6 (z − 5), 10. gZ (z) = 1 7 z 11. 12 (11 − z), 8. f Z (z) =

11. FZ (z) = 12. f Z (z) = 13. f Z (z) =

z(3 − z) , 0 < z < 1 ; 0.4143 . 1+z 8z2 − 2z − 1 , z ∈ [ 21 , ∞) . 4z2 (z + 1)2 ( 1 1 z ∈ [1, 2), 2z − 4, 1 2,

z ∈ (2, 3].

14. 12z(1 − z)2 , 0 < z < 1 . 15. 4z(z2 − 2 ln z − 1) , 8 z > < sh(1)e , 1 z 16. e, 1 + 12 z − 2e > : 1, ( 17. a = 1 ; f Z (z) = ( 18. FZ (z) =

0 < z < 1. z −1, −1 < z 1, z > 1. z2 ,

0 z 1,

2z − z2 ,

1 z 2.

sh 1 · ez ,

z −1,

1 + 12 z + 12 ez−1 , −1 z 1. √ 20. f Z (z) = 6 + 6z − 12 z , 0 z 1 . ( 1 3z z < 0, 2e , 21. FZ (z) = 1 −3z 1 − 2 e , z > 0. 22. f X (x) = 3x2 , x ∈ [0, 1] ; f Z (z) = 2 − 2z , z ∈ [0, 1] ; E(Z) = 2

1 3

.

23. f X (x) = −3x + 2x + 1 , 0 < x < 1 ; 1 f Z (z) = 2 − 2z , z ∈ [0, 1] , E(Z) = . 3


143

24. Vrijedi FZ (x) = FX (x)2 . Zato Z ∞ xFX (x)dFX (x) E(Z) = 2 −∞

1 = πσ 2

Z

∞

−∞

σ =a+ √ . π

„Z x

x

−

−∞

e

43. g(r, ϑ , ϕ ) = h(r)r2 sin ϑ , 0 < r < ∞ , 0 < ϑ < π , 0 < ϕ < 2π . Zato su R , Θ , Φ nezavisne, s gustoćama (z−a)2 2σ 2

28. Normalna razdioba N (0, 1) . 30. a) λ 2 xe−λ x , x > 0 ; λ b) e−λ |x| , −∞ < x < ∞ ; 2 c) λ e−λ x , x > 0 ; 1 d) , x 0. (1 + x)2 1 31. F(z) = 1 − , z > 1 . z

λ1 x , 0 < x 1. (λ1 − λ2 )x + λ2 n−2

, 0 < x < 1. 34. (n − 1)(1 − x) 1 . 35. λ1 + λ2 + . . . + λn 36. FY (x) = 1 − [1 − F(x)]n ; FZ (x) = F(x)n . 37. Jednolika na [0, 2] . 39. Dokaˇzi najprije sluˇcaj n = 1 . Nakon toga primjeni indukciju, koristeći relaciju „ n+1 « n+1 X 1 X Xk Y X1 Y Xk + . + = + 2 2 2n 2k 2n+1 2k−1 k=1

40. f Z (z) =

1 , π (1 + x2 ) r p . g(r, ϕ ) = 2π (1 + r2 )3 44. f X (x) = f Y (x) =

1 . π (1 + x2 ) 2 1 1 c) g(r, θ , ϕ ) = 4π f 1 (r)r · 2 sin ϑ · 2π , 1 . gdje je f 1 (r) = 2 π (1 + r2 )2 1 “x + y x − y” ; 46. a) g(x, y) = f , 2 2 2 b) g(x, y) = f (x cos α − y sin α , x sin α + y cos α ) . 45. b) f X (x) = f Y (x) = f Z (x) =

32. FZ (t) = FW (t) = (1 − e−λ t )2 , t > 0 . 33. FY (y) =

gR (r) = 4π h(r)r2 , 1 gΘ (ϑ ) = sin ϑ , 2 1 . gΦ (ϕ ) = 2π

« dz dx

k=2

” ∞ 1 “ 1 P 1+ an bn cos n(x−αn −βn ) . 2π 2 n=1 n

41. a) F(1) (x) = 1 − (1 − F(x)) ; b) F(n) (x) = F(x)n ; c) F(1,n) (x, y) = F(y)n − (F(y) − F(x))n , x y; n! d) F(x)k−1 [1 − F(x)]n−k f (x) ; (k − 1)!(n − k)! n! F(x)k−1 × e) (k − 1)!(m − k − 1)!(n − m)! ×[F(y) − F(x)]m−k−1 [1 − F(y)]n−m f (x)f (y) ; f) n!f (x1 )f (x2 ) · · · f (xn ) , x1 x2 ...xn . !3 2 1 − r √ e 2σ 2 r2 sin ϑ . 42. g(r, ϑ , ϕ ) = σ 2π

−

u

e 2σ 2 1 = gU (u)gV (v) . · 47. g(u, v) = π (1 + v2 ) 2σ 2 Nezavisne su. 48. F(y1 , y2 ) = 2y1 y2 − y21 , y1 y2 , f (y1 , y2 ) = 2 , y1 y2 , f 1 (y1 ) = 2 − 2y1 , 0 y1 1 , f 2 (y2 ) = 2y2 , 0 y2 1 . 49.

Γ(k + α ) . λ k Γ(α )

50. n(n + 2) · · · (n + 2k − 2) . „ « „ « k+n n 51. 2k/2 Γ /Γ . 2 2

α αβ , . α + β (α + β )2 (α + β + 1) 56. Stavimo

54.

1 1 (X11 + X12 ),Y22 = (X11 − X22 ), 2 2 1 1 Y12 = (X12 + X21 , Y21 = (X12 − X21 ). 2 2 Ove sluˇcajne varijable imaju normalnu razdiobu N (0, 12 ) . Jer su nekorelirane, zakljuˇcujemo da su 2 2 2 2 + Y21 i Y22 + Y12 imai nezavisne. Zato Y11 2 ju eksponencijalnu razdiobu E(1) ( χ -razdiobu s dva stupnja slobode). Vrijedi pritom Y11 =

2 2 2 2 Δ = (Y11 + Y21 ) − (Y22 − Y12 ).

144 Odavde se dobiva razdioba od Δ : gΔ (x) = 12 e−|x| . λ1 x 57. FY (y) = , 0 < x 1. (λ1 − λ2 )x + λ2

§ 9. Konvergencija nizova sluˇcajnih varijabli


eitπ + 1 π , E(X) = , 2 2(1−t2 ) π2 − 8 . D(X) = 4 1 , E(X n ) = n! . 15. ϑX (t) = 1 − it 16. 0 , za neparni n ; 1 · 3 · · · (n − 1) za parni n . 14. ϑ (t) =

eit , E(X) = 1 . 1 + t2 b 18. . π [b2 + (x − a)2 ] 17. ϑX (t) =

1. P(A) > 0.84 . E(X) , nejednakost Markova. a 3. P(A) = P{|X − E(X)| < 2} 0.96 . 4. 10.8 – 39.2 km/ h. ˇ sevljevu nejednakost, P(A) 0.96 . 5. Primjeni Cebiˇ 6. 0.889 , 0.997 . 2(1 − cos t) . 12. t2 j 0, |t| > 1 . 13. ϑ (t) = 1 − |t|, |t| 1 2. P{X > a}

Vjerojatnost i statistika - Slučajne varijable

Vjerojatnost i statistika - Diskretna vjerojatnost

Vjerojatnost i statistika - Statistika i procesi

Funkcije kompleksne varijable

I

I Miserabili - I

Algebra I: Pt. I

А.Насибов. I-W-I

Algebra I: Pt. I

I Think I Love You

I Think I Love You

Europe: I Struggle, I Overcome

I Do But I Don't

I Capuleti e i Montecchi

I Did Tell, I Did

I Do (But I Don't)

I Rant, Therefore I Am

Europe: I Struggle, I Overcome

I Think I Love You

Pars I: Exercitia Latina I

I Think, Therefore I Laugh

I Think I Love You

I Vecchi E I Giovani

I Write What I Like

I vecchi e i giovani

I Am What I Am

I Sommersi E I Salvati

Otvoreno društvo i njegovi neprijatelji (tom I i II)

I, Jedi

I Kill

Lalka I

Vjerojatnost i statistika - Slučajne varijable

Vjerojatnost i statistika - Diskretna vjerojatnost

Vjerojatnost i statistika - Statistika i procesi

Funkcije kompleksne varijable

I

I Miserabili - I

Algebra I: Pt. I

А.Насибов. I-W-I

Algebra I: Pt. I

I Think I Love You

I Think I Love You

Europe: I Struggle, I Overcome

I Do But I Don't

I Capuleti e i Montecchi

I Did Tell, I Did

I Do (But I Don't)

I Rant, Therefore I Am

Europe: I Struggle, I Overcome

I Think I Love You

Pars I: Exercitia Latina I

I Think, Therefore I Laugh

I Think I Love You

I Vecchi E I Giovani

I Write What I Like

I vecchi e i giovani

I Am What I Am

I Sommersi E I Salvati

Otvoreno društvo i njegovi neprijatelji (tom I i II)

I, Jedi

I Kill

Lalka I

Recommend Documents