Recherche opérationnelle

Recherche Opérationnelle Paul Feautrier 20 mai 2004 2 Distribu´ e sous license Open-Content: http://opencontent.org/...

Author: Paul Feautrier

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Recherche Opérationnelle Paul Feautrier 20 mai 2004

2

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Table des mati` eres 1 Optimisation sans contraintes 1.1 Principaux concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Optimisation continue sans contrainte . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Programmation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 5 10 15

2 Optimisation sous contraintes 2.1 Conditions de Kuhn et Tucker . 2.2 Une méthode directe . . . . . . 2.3 Méthodes duales . . . . . . . . 2.4 Fonction de Lagrange, point-col 2.5 Optimisation combinatoire . . . 2.5.1 coque entière . . . . . . 2.5.2 Algorithme de Gomory 2.5.3 Techniques de codage .

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27 27 29 30 32 36 38 39 41

3 M´ eta-heuristiques 3.1 Séparation et évaluation ou Branch-and-Bound 3.1.1 Algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 3.1.2 Evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Stratégie et Tactiques . . . . . . . . . . 3.2 Programmation Dynamique . . . . . . . . . . . 3.3 Exploration aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Amélioration itérative . . . . . . . . . . 3.3.2 Recuit simulé . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 La méthode Tabou . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Algorithmes génétiques . . . . . . . . . 3.4 Conclusion générale . . . . . . . . . . . . . . .

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43 43 43 45 46 48 53 53 54 57 58 59

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Table des mati` eres

Chapitre 1

Optimisation sans contraintes Plan – Introduction et principaux concepts – Optimisation continue sans contrainte – Programmation linéaire – Optimisation continue sous contrainte – Optimisation combinatoire – Programmation linéaire en nombres entiers. – Exploration – Métaheuristiques – Programmation dynamique ´ ements de Complexité – El´

1.1

Principaux concepts

Qu’est ce que la recherche op´ erationnelle ? – Vocabulaire : Recherche opérationnelle = programmation mathématique = optimisation (mais pas optimisation de programme). – Recherche opérationnelle = modélisation mathématique des processus de prise de décision. – Inconnues : les variables de décision. ´ – Evaluation de la décision = fonction économique ou fonction «objectif». – Trouver les valeurs des variables de décision qui minimisent (ou maximisent) la fonction objectif. Recherche op´ erationnelle

modélisation

optimisation

action

6

Optimisation sans contraintes – La modélisation est un art, l’optimisation est une science. – Applications : planification du débarquement de Normandie, optimisation d’un programme de calcul intensif, investissement en bourse. – Investissement en bourse = optimisation avec information incomplète ou aléatoire. – Planification d’une opération militaire = il y a un adversaire = théorie des jeux. – Optimisation d’un programme = en principe, on a une information complète. – Le cours est essentiellement consacré à l’optimisation avec information complète.

Informatique ou math´ ematique ? Mathématique

Théorèmes d’existence Convergence

Informatique

Intelligence Artificielle

Recherche Opérationelle

Complexité

Vocabulaire


Algorithmes Preuves de terminaison

1.1 Principaux concepts

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Forme canonique : trouver x ∈ D qui minimise f .

x

courbes de niveau de la fonction objectif optimum

min f (x) ∈ D

contraintes

Optimum local, global – Minimum local : a est un minimum local de f s’il existe un voisinage V de a tel que : x ∈ V ⇒ f (x) > f (a). – Minimum global : a est un minimum global de f dans D si et seulement si : x ∈ D ⇒ f (x) > f (a).

local global

Convexit´ e Un ensemble S est convexe si, pour toute paire de points a, b de S, S contient aussi le segment ab. a, b ∈ S ⇒ (0 6 λ 6 1 ⇒ λa + (1 − λ)b ∈ S.


8

Optimisation sans contraintes

convexe

convexe

convexe

non convexe

Fonction convexe – f est convexe dans un ensemble convexe S si et seulement si : x, y ∈ S, 0 6 λ 6 1 ⇒ f (λx + (1 − λ)y) 6 λf (x) + (1 − λ)f (y)

f y x

S Int´ erˆ et de la convexit´ e Th´ eor` eme 1.1. Si f est convexe dans un ensemble convexe S, alors tout minimum local de f est un minimum global. Démonstration. Soit a un minimum local, et V l’ouvert contenant a dans lequel : x ∈ V ⇒ f (x) > f (a). Si on suppose qu’il existe un point b ∈ S tel que f (b) < f (a) alors on a : f (λa + (1 − λ)b) 6 λf (a) + (1 − λ)f (b). Il est possible de trouver un λ suffisamment proche de 1 pour que x = λa + (1 − λ)b soit dans V . Contradiction en ce point : f (x) 6 λf (a) + (1 − λ)f (b) 6 f (a), Classification – Selon la nature des variables de décision : – Optimisation continue. – Optimisation discrète ou optimisation combinatoire. – Selon la nature des contraintes : – Pas de contraintes ou contraintes faciles à satisfaire (un segment de la droite réelle) : optimisation sans contraintes. – Optimisation sous contraintes : il est difficile de trouver un point satisfaisant les contraintes. – Propriétés spéciales des éléments du problème : linéarité, convexité.


1.1 Principaux concepts

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Optimisation multicrit` ere – Forme canonique : trouver x ∈ D qui minimise f1 , f2 , . . . min f1 (x) min f2 (x) ... x ∈ D – Le problème est évidemment mal posé. Quel sens peut on lui donner ? – Exemple : on doit concevoir un équipement électronique qui doit exécuter un algorithme donné le plus vite possible et pour le moindre prix. – f1 est le temps d’exécution de l’algorithme. – f2 est le prix de l’équipement. Domination – On se place dans le cas n = 2. – La solution x domine la solution y si et seulement si f1 (x) 6 f1 (y), f2 (x) 6 f2 (y). – La relation de domination est un ordre partiel. On ne peut donc pas prouver l’unicité d’un minimum s’il existe. – L’optimum de Pareto (ou le Pareto) du problème est l’ensemble des solutions non dominées. Pareto prix

domination

latence

Que faire avec un Pareto ? Pond´ eration On attribue un poids ` a chaque objectif et on minimise l’objectif pondéré. Distribu´ e sous license Open-Content: http://opencontent.org/opl.shtml

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prix

optimum pondéré

latence Transformation objectif/contrainte On fixe la valeur de l’une des fonctions objectif et on optimise l’autre. Par exemple, le marketing décide du prix maximum de l’équipement.

prix

borne du prix optimum

latence

1.2

Optimisation continue sans contrainte

Optimisation continue sans contrainte On considère une seule variable min f (x) x ∈ R – Si on connaˆıt la dérivée f 0 de f , le problème se ramène à trouver les racines de f 0 , puis ` a les tester une par une pour savoir si elles sont un minimum, un maximum ou un point d’inflexion. Distribu´ e sous license Open-Content: http://opencontent.org/opl.shtml

1.2 Optimisation continue sans contrainte

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– On peut utiliser pour cela des méthodes classiques : itération de Newton (si on peut calculer la dérivée seconde), dichotomie, méthode de la sécante. – Si on ne connaˆıt pas la dérivée, la première chose à faire est de trouver un encadrement du minimum. Il n’y a pas de méthode générale, on utilise les renseignements que l’on peut avoir sur f . Fonctions unimodales – Une fonction f est unimodale dans l’intervalle [a, b] s’il existe un point a 6 c 6 b tel que si x 6 y 6 c alors f (x) > f (y) et si c 6 x 6 y alors f (x) 6 f (y). – Il est évident que si f est unimodale dans [a, b], alors c est un minimum global. Th´ eor` eme 1.2. Si f est continue convexe dans [a, b], alors f est unimodale. Démonstration. Soit c le minimum de f , et x et y qui violent la condition d’unimodalité, par exemple c 6 x 6 y et f (c) < f (y) < f (x). Soit 0 6 λ 6 1 tel que x = λc + (1 − λ)y. Par convexité on doit avoir f (x) 6 λf (c) + (1 − λ)f (y) mais aussi λf (c) + (1 − λ)f (y) 6 f (y) < f (x) une contradiction. M´ ethode par trichotomie

a

c

d

b

a

c

d

b

– On divise l’intervalle [a, b] en trois parties égales à l’aide des points a < c < d < b. On calcule f (c) et f (d). – On détermine le minimum de f parmi les 4 points a, c, b, d. – Le minimum continu appartient à l’intervalle encadrant le minimum discret. – L’intervalle est réduit au moins par un facteur 2/3. On poursuit jusqu’à la précision voulue. Am´ eliorations n/2 – Vitesse de convergence : la taille de l’intervalle est multipliée par 23 après n évaluations de la fonction. – La division en segment égaux n’est pas optimale. On a intérêt à agrandir les segments extrêmes. – On peut passer ` a un découpage en 4 parties égales. Il faut évaluer f trois fois ` a chaque étape, mais l’intervalle est au moins divisé par 2. La convern/3 gence est en 12 donc plus rapide. Distribu´ e sous license Open-Content: http://opencontent.org/opl.shtml

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M´ ethodes par exploration – Il est toujours indispensable de connaˆıtre une encadrement [a, b] du minimum. – On suppose toujours que f est unimodale. On choisit un pas d’exploration d. On calcule f aux points xk = a + k.d jusqu’à trouver soit une configuration f (xk ) 6 f (xk+1 ), soit jusqu’à atteindre le point b. – On fait a := xk−1 , b := xk+1 , d := ξd et on recommence. ξ < 1 est le facteur de convergence. – On s’arrête quand d est devenu suffisamment petit. – La méthode peut s’appliquer à une fonction non unimodale. On obtient alors un optimum local sans garantie qu’il soit global. L’algorithme converge ete en – Le nombre de pas d’exploration est au plus b−a b . L’exploration s’arrˆ un temps fini. – Soit [an , bn ] le ne intervalle d’exploration et dn le ne pas d’exploration. On a dn = dξ n et bn − an 6 2dn . – Les [an , bn ] forment une suite d’intervalles emboˆıtés dont la longueur tend vers 0. Ils convergent donc vers une limite c. Optimisation ` a plusieurs variables min f (x) – Forme du problème : x ∈ Rn – Les inconnues sont les n composantes du vecteur x. – La notion de fonction unimodale ne se généralise pas. Recherche directionnelle – On se ramène au cas à une seule variable. Pour cela on choisit un point de départ a et une direction d. – On minimise la fonction à une variable f (a + t.d) à l’aide de l’une des méthodes vues plus haut. – Si le déplacement t.d est suffisamment petit, on arrête. – Sinon, on change de direction et on recommence. – Le point important est le choix des directions. Recherche suivant les axes – On prend comme directions les vecteurs canoniques de la base. Ceci revient à fixer n−1 variables de la fonction f , et à optimiser suivant la ne . On passe ensuite à la variable suivante. – La méthode est très lente et peut même ne pas converger si les courbes de niveau sont à peu près parallèles aux diagonales. – On peut l’accélérer en effectuant N pas puis en utilisant la direction aN − a0 . Gradient – On suppose que la fonction f a une dérivée. Distribu´ e sous license Open-Content: http://opencontent.org/opl.shtml

1.2 Optimisation continue sans contrainte

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∂f ∂f (a), . . . , ∂x (a))T . On le – Le gradient de f au point a est le vecteur ( ∂x 1 n note ∇f (a). – On a le développement de Taylor :

f (a + h) = f (a) + h∇f (a) + . . . . Ceci montre que −∇f (a) est la direction dans laquelle f décroˆıt le plus rapidement (steepest descent). – D’o` u l’algorithme : 1. Calculer le gradient ∇f (a). 2. Minimiser la fonction ` a une variable f (a − x∇f (a)). 3. Si le critère de convergence n’est pas vérifié, recommencer en 1. Propri´ et´ e Th´ eor` eme 1.3. Dans l’algorithme ci-dessus, les directions de recherche successives sont orthogonales. Démonstration. Soit a le point de départ d’une recherche unidimensionnelle suivant la direction ∇f (a) et b son point d’arrivée. La dérivée de la fonction à minimiser est : df (a − x∇f (a)) = −∇f (a).∇f (x). dx

a

b

En b cette dérivée est nulle, d’o` u la propriété.

Directions conjugu´ ees – Une matrice A de dimension n × n est définie positive si et seulement si : ∀x : xT Ax > 0. Une matrice définie positive définit un produit scalaire. – Deux vecteurs u, v sont conjugués par rapport à A si et seulement si : uT Av = 0. C’est une généralisation de la notion d’orthogonalité. – Soit n vecteurs d1 , . . . , dn mutuellement conjugués : i 6= j ⇒ dTi .A.dj = 0. – Soit la fonction f (x) = 1/2xT Ax + bT x + c. Si on la minimise successivement suivant les directions d1 , . . . , dn , on atteint le minimum exact en n étapes. Notations – Soit x(k) , k = 0, . . . les minima successifs. – x(k+1) = x(k) + λk dk . – Le gradient de f en x est Ax + b. – D’après la propriété ci-dessus et la conjugaison des dk , on a : λk = −

dTk (Ax(0) + b) . dTk Adk


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Optimisation sans contraintes – Les coordonnées de x(k) sont données par la formule : x(k) = x(0) +

k X

λi di .

i=1

Preuve Lemme 1.4. En tout point x(k) le gradient de f est orthogonal au sous-espace engendré par d1 , . . . , dk . Pk−1 Démonstration. Le gradient en x(k) est Ax(k) + b = Ax(0) + i=1 λi ADi + b. Si on multiplie par di et qu’on remplace λi par sa valeur il vient : di Ax(0) −

dTi (Ax(0) + b) T .(di Adi ) + b = 0. dTi Adi

Th´ eor` eme 1.5. Le point x(n) est le minimum de f . Démonstration. En effet, le gradient en x(n) doit être conjugué de n vecteurs linéairement indépendants, et donc doit être nul. Gradient conjugu´ e – C’est la transposition de la méthode ci-dessus au cas o` u la fonction f est quelconque, mais o` u on sait calculer son gradient. – On part d’un point a0 et on pose d0 = −∇f (a0 ). – Supposons que l’on soit parvenu en un point ak avec la direction dk . On minimise f (ak + λ.dk ). Soit λk la solution obtenue. – On pose : ak+1 βk dk+1

= ak + λk .dk , ||∇f (ak+1 )||2 = , ||∇f (ak )||2 = −∇f (ak+1 ) + βk dk .

– On montre que si f est quadratique définie positive, la méthode est identique ` a celle des directions conjugués et converge en n étapes. Recherche al´ eatoire – Au lieu de calculer la direction de recherche optimale pour une approximation quadratique de f , on peut la choisir aléatoirement en tirant n nombres au hasard dans l’intervalle [0, 1]. – La méthode ne nécessite pas le calcul du gradient. Elle fonctionne même si f n’est pas dérivable. – Mais en général, sa convergence est beaucoup plus lente.


1.3 Programmation lin´ eaire

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Test d’arrˆ et – Le choix d’un test d’arrêt est difficile. – Si f est dérivable, son gradient doit être nul à l’optimum. On peut donc utiliser ||∇f (ak )|| < ε comme test d’arrêt. – Sinon, on peut arrêter les itérations quand la solution ne change plus : ||ak+1 − ak || < ε. – ε doit refléter la précision requise. Il ne doit pas être plus petit que la précision des calculs sous peine de blocage. – Il est prudent d’attendre que le test ait été satisfait plusieurs fois avant d’arrêter. – En général, la valeur du minimum est mieux définie que sa position.

1.3

Programmation lin´ eaire

Programmation lin´ eaire

min Ax + b – – – –

c.x > 0

x est le vecteur des inconnues, de dimension n. A est la matrice des contraintes, de dimension m × n. b est le terme constant, de dimension m. c de dimension n est le gradient de la fonction objectif.

Autres formes d’un programme lin´ eaire – Un programme linéaire peut se mettre sous de multiples formes, toutes équivalentes. – On peut changer le sens de l’inégalité, ou passer le terme constant de gauche ` a droite. – On peut remplacer les inégalités par des égalités en introduisant des variables d’écart toutes positives : Ax + b > 0 ≡ Ax + b − y = 0, y > 0 – On peut imposer que toutes les variables soient positives, en posant x := x+ − x− , x+ , x− > 0 – On peut enfin transposer le programme : Ax + b > 0 ≡ xT At + bt > 0 Poly` edre Convexe – L’ensemble P = {x | Ax + b > 0 } est convexe. On l’appelle un polyèdre convexe ou simplement un polyèdre. – La fonction c.x est trivialement convexe. – Donc, si un programme linéaire a un minimum local, c’est un minimum global. Test de faisabilit´ e – Pour trouver un minimum, il faut que le polyèdre : P = {x | ax = b > 0 } Distribu´ e sous license Open-Content: http://opencontent.org/opl.shtml

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– – – –

soit non vide, ou encore qu’il existe au moins un point x0 qui satisfasse toute les inégalités Ax + b > 0. On peut vérifier cette condition à l’aide du test de Fourier-Motzkin. On élimine successivement toutes les inconnues de x jusqu’à trouver un système sans inconnues, dont la faisabilité se teste par inspection. Notations : x(n) le vecteur x amputé de ses n premières composantes. x(0) = x. A(n) x(n) + b(n) > 0 le système obtenu après l’élimination de n variables.

Test de Fourier-Motzkin – Soit a ` éliminer x1 . On réparti les contraintes en trois classes : – k ∈ I0 ssi ak1 = 0. – k ∈ I+ ssi ak1 > 0. – k ∈ I− ssi ak1 < 0. – Dans une contrainte de I0 , l’inconnue x1 est déjà éliminée. – Une contrainte k ∈ I+ donne une borne inférieure de x1 : x1 > −

bk + ak,2 x2 + . . . ; ak1

– Une contrainte k ∈ I− donne une borne supérieure de x1 : x1 6

bk + ak,2 x2 + . . . ; −ak1

– Pour éliminer x1 , il suffit d’écrire que chaque borne inférieure est inférieure a chaque borne supérieure. ` – On poursuit jusqu’à élimination de toutes les variables. Au bout de n étapes, le système est de la forme : b(n) > 0, qu’il suffit d’inspecter. Correction On dit que le test réussit si b(n) > 0, et qu’il échoue dans le cas contraire. Th´ eor` eme 1.6. Si le test échoue, alors le système initial est infaisable. Démonstration. Supposons a contrario que le système initial a une solution u. Les transformations effectuées sur les contraintes sont de simples manipulations algébriques valides ; on en conclu que les intervalles obtenus en comparant une borne inférieure et une borne supérieure sont non vides, et donc que le système A(1) x(1) + b(1) > 0 est faisable. En poursuivant l’élimination, on en arrive au système d’ordre n − 1, qui n’a plus qu’une seule inconnue xn et qui est également faisable. Mais le fait que l’un des b(n) < 0 indique que l’un des intervalles de variation de xn est vide, une contradiction. Compl´ etude Th´ eor` eme 1.7. Si le test réussit, le système initial est faisable. Démonstration. On exhibe une solution du système initial en la construisant de proche en proche ` a partir de sa dernière composante. On part du système A(n−1) x(n−1) + b(n−1) > 0. Distribu´ e sous license Open-Content: http://opencontent.org/opl.shtml


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Le fait que les b(n) > 0 garantit que l’intervalle des valeurs possibles de xn est non vide. On en choisit une arbitrairement et on la reporte dans le système d’ordre n − 2. Ce système n’a plus qu’une inconnue, xn−1 , dont l’intervalle des valeurs possibles est non vide. On poursuit ainsi jusqu’à avoir donné une valeur à toutes les composantes de x. Remarques – Si on s’astreint ` a choisir ` a chaque pas la solution la plus petite, i.e. la borne inférieure de l’intervalle de variation, on obtient le minimum lexicographique de P, les inconnues étant prises dans l’ordre xn , . . . , x1 . – Il n’est pas obligatoire de poursuive l’élimination jusqu’à la fin. Si on s’arrête ` a l’étape p, les variables de x(p) deviennent des paramètres. Les conditions b(p) > 0 délimitent les valeurs des paramètres pour lesquelles le système est faisable. Enfin, le procédé de sélection ci-dessus donne la valeur paramétrique de la solution. – L’algorithme peut s’exécuter sans division. La combinaison de la contrainte j ∈ I+ et de la contrainte k ∈ I− se fait en multipliant la première par −ak1 > 0 et l’autre par aj1 > 0 et en additionnant. Complexit´ e – On évalue d’abord une borne du nombre de contraintes à l’étape p, mp , soit mp = x0 + x+ × x+ . – Comme x0 + x+ + x− = mp−1 , mp prend sa valeur maximum pour x0 = 0 et x+ = x− = mp−1 , ` a condition que mp−1 > 4. m 2 – Pour le cas le pire, on a donc la récurrence mp = ( p−1 2 ) dont la solution n m 2 est mn = ( 2 ) . C’est aussi une borne du travail à effectuer. – La complexité est donc énorme sauf pour les petits systèmes. Mais la redondance est également énorme, surtout si le système est creux (a beaucoup de coefficients nuls). – Enfin, il est possible que l’algorithme se termine prématurément. – L’algorithme de Fourier-Motzkin est très simple à programmer, mais il doit être réservé ` a de petits problèmes. Un exemple – Soit le code : for(j=i+1; j > > > > >

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.

+ k−i−1 − n−k−1 − i−k 0 n−i−2 0 −1

> > > > >

0, 0, 0, 0, 0.

Algorithme de Fourier-Motzkin ´ etendu – On peut au cours de l’exécution du test, garder la trace des combinaisons effectuées. On voit alors que chaque contrainte du système d’ordre p est une combinaison linéaire à coefficients positifs d’au plus deux contraintes du système d’ordre p − 1. – En généralisant, toute contrainte figurant dans l’algorithme est combinaison linéaire positive de lignes de Ax + b. Soit y > 0 le vecteur des coefficients. – Comme dans le système d’ordre n toutes les variables ont été éliminées, on en déduit yA = 0. Lemme de Farkas Th´ eor` eme 1.8. (∃x : Ax + b > 0) ⇔ (∀y : y > 0, yA = 0 ⇒ yb > 0). Démonstration. De gauche à droite soit u tel que Au + b > 0 . Soit un y quelconque tel que y > 0 et yA = 0. On a y(Ax + b) > 0. Mais y(Ax + b) = yAx + yb = yb. De droite ` a gauche, on exécute l’algorithme de Fourier-Motzkin étendu. On en tire un y > 0 tel que yA = 0. On en déduit que yb > 0, ce qui veut dire que le test a réussi et qu’il est possible de construire un u tel que Au + b > 0. Programmation lin´ eaire – On adjoint au système Ax + b > 0 la contrainte z > c.x, o` u z est une nouvelle variable. – On exécute l’algorithme de Fourier-Motzkin en prenant soin d’éliminer z en dernier. – Si l’algorithme échoue, le problème n’est pas faisable. – Sinon, la valeur de z dans la solution donne la valeur minimum de c.x. – Le reste de la solution caractérise un point ou ce minimum est atteint. Lemme de Farkas affine Th´ eor` eme 1.9. Si le système Ax + b > 0 est faisable, alors : (∀x : Ax + b > 0 ⇒ cx + d > 0) ⇔ (∃λ0 , λ > 0 : (∀x : cx + d = λ0 + λ(Ax + b))).



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Démonstration. L’implication de droite à gauche est évidente. De gauche à droite, l’hypothèse revient ` a dire que le système Ax + b > 0, cx + d < 0 n’a pas de solution. D’après le lemme de Farkas, ceci implique l’existence de y0 , λ > 0 tel que λA − y0 c = 0 et λb − y0 d < 0. De plus, y0 ne peut être nul car cela impliquerait que Ax + b > 0 n’a pas de solution. On peut donc prendre y0 = 1. On pose λb − d = −λ0 , λ0 > 0 et il vient : λ(Ax + b) − cx − d = λb − d = −λ0 , d’o` u la conclusion du théorème.

Cˆ ones – Un cˆ one C est un polyèdre convexe dont les contraintes sont de la forme Ax > 0. – Propriété fondamentale : u, v ∈ C, λ, µ > 0 ⇒ λu + µv ∈ C. P Th´ eor` eme 1.10. L’objet { i λi ui | λi > 0 } est un cˆ one. Démonstration. Il suffit de considérer le système : X x− λi ui = 0, i

λi

> 0.

et d’utiliser la méthode de Fourier-Motzkin pour éliminer les λi . Ce qui reste est un système de contraintes linéaires en x, qui définissent bien un polyèdre. R´ eciproque Th´ eor` eme 1.11. Tout cˆ one C = {x | Ax > 0 } est engendré par un système fini de rayons u1 , . . . , up . Démonstration. On considère l’objet C ∗ = {yA | y > 0 }. C ∗ est un cône dont on peut déterminer les contraintes comme ci-dessus : C ∗ = {c | cB > 0 } . Quelque soit y > 0, yA appartient à C ∗ , donc yAB > 0. Comme on peut prendre pour y les m vecteurs unitaires, on en déduit AB > 0 ce qui signifie que les vecteurs colonnes de B appartiennent à C. Soit maintenant x un vecteur quelconque de C. Pour tout y > 0 on a yA.x = y.Ax > 0. En d’autre termes, pour tout c tel que cB > 0, on a cx > 0. On peut donc appliquer le lemme de Farkas affine : il existe λ > 0 tel que x = λB. C est donc engendré par les vecteurs colonnes de B. Th´ eor` eme de Minkovsky Th´ eor` eme 1.12. Tout polyèdre P peut être mis sous la forme : P = Q ⊕ C ⊕ H, o` u Q est un polytope (polyèdre borné), C est un cˆ one et H un sous espace linéaire. Démonstration. Soit P = {x | Ax + b > 0 }. On considère le cône D = {x, z | Ax + zb > 0 } o` u z est une nouvelle variable. Il est clair que P est l’ intersection de D avec l’hyperplan {z = 1}. On construit les rayons de D. Ceux dont la coordonnées z n’est pas nulle engendrent Q. Les rayons dont l’opposé est également un rayon engendrent H. Enfin, ceux qui restent engendrent C. Distribu´ e sous license Open-Content: http://opencontent.org/opl.shtml

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Optimisation sans contraintes On peut écrire : X nX o X X P= λ.u + µ.v + ν.w λ = 1, λ > 0, µ > 0

Les u sont les sommets, les v les rayons et les w les lignes. Programmation lin´ eaire, bis – Le minimum de c.x sous la contrainte x ∈ P = Q + C + H est atteint en l’un des sommets de Q à condition que H soit vide et que c ∈ C. – En effet on peut écrire : X X X c.x = λc.u + µc.v + νc.w. Puisque ν n’est pas contraint, on peut faire décroˆıtre c.x a volonté s’il existe un w. Il en est de même s’il existe un v tel que c.v < 0, puisque µ > 0. Si H est vide, le dernier terme n’existe pas, et si c ∈ C, on minimise c.x en prenant µ = 0. Soit u0 un sommet o` u c.x est minimum, et u1 un sommet o` u c.u1 > c.u0 . Supposons que dans l’expression de x, u1 ait un coefficient λ1 non nul. Le point x − λ1 (u1 − u0 ) est dans P et sa fonction objectif a diminué. On en déduit que la solution d’un programme linéaire est l’un quelconque des sommets de Q o` u c.x atteint son minimum. Critique – La méthode ci-dessus est inefficace car il faut utiliser Fourier-Motzkin pour trouver la décomposition de P, et aussi parce que le nombre de sommets n , le coefficient du binôme). peut être très grand (de l’ordre de Cm – Il existe un algorithme plus efficaces que Fourier-Motzkin pour décomposer un polyèdre, l’algorithme de Chernikova, mais le nombre de sommets ne change pas. Dualit´ e Th´ eor` eme 1.13. Si les deux ensembles {x | Ax 6 b } et {y | y > 0, yA = c } sont non vides, on a : ` = max {cx | Ax 6 b } = min {yb | y > 0, yA = c } = r. Soit par exemple x∗ (resp. y ∗ ) un point de l’ensemble de gauche (resp. de droite). On a : c.x∗ = y ∗ Ax∗ 6 y ∗ .b. Il en résulte que ` et r existent et que ` 6 r. On peut supposer que x∗ (resp. y ∗ ) est le point o` u le maximum (resp. le minimum) est atteint. En tout point x tel que b−Ax > 0 on sait que c.x∗ −c.x > 0, on peut donc appliquer le lemme de Farkas affine : ∃λ0 , λ > 0 : ∀x : c.x∗ − c.x = λ0 + λ(b − Ax). On en déduit c.x∗ = λ0 + λb et c = λA. Il en résulte que λ fait partie de l’ensemble de droite : r 6 λb = c.x∗ − λ0 6 `. On en déduit ` = r. Distribu´ e sous license Open-Content: http://opencontent.org/opl.shtml


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Analyse de sensibilit´ e – Variation de ω(b) = max {cx | Ax 6 b } avec b ? – Par dualité, ω(b) = min {yb | y > 0, yA = c }. Or ce polyèdre ne dépend pas de b. Interprétation géométrique : aussi longtemps que b reste dans le cˆ one des directions admissibles, l’optimum y ∗ ne change pas. Donc : ω(b) = y ∗ .b.

optimum

cone des directions admissibles

– Pour en savoir plus, il faut faire de la programmation linéaire paramétrique.

Compl´ ementarit´ e Th´ eor` eme 1.14. ∀j : yj .(bj − A•j .x) = 0. Démonstration. y ∗ .(b − A.x∗ ) = y ∗ .b − y ∗ .A.x∗ = = c.x∗ − y ∗ .A.x∗ = (c − y ∗ A).x∗ = 0. Mais chaque terme du produit scalaire y ∗ .(b−A.x∗ ) est positif, donc si la somme est nulle chaque terme est nul. Dualit´ e g´ en´ eralis´ ee Il existe une très grande variété de théorèmes de dualité, suivant la nature des contraintes et le signe des variables. En première approximation, on peut utiliser le tableau suivant : Primal objectif (Min) second membre A Contrainte i : > Contrainte i : = Variable xj > 0 Variable xj non contrainte en signe

Dual second membre objectif (Max) AT variable ui > 0 variable non contrainte en signe contrainte j : 6 contrainte j : =

On trouvera dans Schrijver une formulation plus précise. Algorithme du Simplexe


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Optimisation sans contraintes – «Trouver le point le plus bas d’un vase». Fourier, 1828. – Formalisation par Danzig, 1950.

c

M´ ethodes externes, m´ ethodes internes

c c

optimum

– Méthodes internes : il faut connaˆıtre un point faisable. On peut arrêter la recherche avant l’optimum. – Méthodes externes : il n’y a pas besoin de connaˆıtre un point faisable.

Ordre lexicographique – Définition : x y = ∃k : x1,··· ,k−1 = y1,··· ,k−1 , xk < yk . est un ordre total. L’ordre par composantes n’est pas total. c.x < c.y n’est pas un ordre. D’o` u l’intérêt de remplacer min c.x par min . On peut toujours ajouter une nouvelle variable u et la contrainte u > c.x a condition que u soit la première inconnue. ` – Cette technique évite les problèmes bien connus de dégénérescence. – – – – –

Algorithme du simplexe externe ou dual Distribu´ e sous license Open-Content: http://opencontent.org/opl.shtml


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Résoudre :

Généralisation : min

x

min

x

y = Sz + t z

> 0 > 0

x > 0 Ax + b > 0 Tailles : x : n, A : m × n, b : m. Au commencement, z = x, S =

I A

, t=

0 b

.

Invariants – Les vecteurs colonnes de S sont lexicopositifs au démarrage et le restent tout au long de l’algorithme. – z est un sous-ensemble de x, y. La condition z > 0 est donc toujours vérifiée. – D’une étape ` a l’autre, t croˆıt dans l’ordre lexicographique. – Ces invariants sont vérifiés au début de l’algorithme. Cas de base – Si t > 0, on a trouvé la solution. Il suffit de faire z = 0, ce qui satisfait les contraintes. On a x = t1,··· ,n . – De plus, c’est le minimum lexicographique : toute autre valeur positive de z ajoute ` a x un vecteur lexicopositif. – Soit ti < 0. Si ∀j : Sij 6 0, le problème n’a pas de solution. Changement de variable – Soit ti < 0 et Sij > 0 (le pivot). On élimine zj en faveur de yi : X zj = yi /Sij − Si` /Sij z` − ti /Si` . `6=j

yk =

X

(Sk` − Skj Si` /Sij )z` + Skj /Sij zj + tk − Skj ti /Sij .

`6=j

– Remarquer que −ti /Sij est positif, et que Skj est lexicopositif. Donc, t croˆıt selon l’ordre lexicographique. – Comme Sij > 0, le vecteur colonne j reste lexicopositif. – Il reste ` a garantir que le vecteur colonne ` reste lexicopositif. Choix du pivot – Si Si` est négatif, il n’y a pas de problème. – Sinon le nouveau vecteur colonne est égal, à un coefficient positif près, à : S•` /Si` − S•j /Sij . – Il faut donc choisir j pour que Sij > 0 et que le «vecteur réduit» S•j /Sij soit le plus petit possible. – Un tel choix est toujours possible sauf si on est dans le cas d’un système infaisable. Distribu´ e sous license Open-Content: http://opencontent.org/opl.shtml

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Convergence – Observer que l’état de l’algorithme est entièrement déterminé quand on sait quelles sont les composantes de y qui sont dans z (les variables en base). n – Or y est de taille m+n et z de taille n, il n’y a donc que Cm+n combinaisons possibles. – L’algorithme ne peut pas boucler, car t croˆıt dans l’ordre lexicographique. n – Comme Cm+n n’est pas un polynôme en n et m, l’algorithme n’est pas polynomial. – On peut construire des cas pathologiques qui demandent un temps exponentiel. – Mais en pratique (et en probabilité) le nombre d’opérations est en O(n2 (n+ m)). Questions num´ eriques – Du point de vue numérique, l’algorithme du Simplexe est analogue à la méthode de Gauss, avec une règle particulière pour le choix du pivot. – Si l’on connaˆıt la matrice des inconnues de base, l’algorithme ne fait qu’inverser celle-ci, tout en appliquant les mêmes transformations aux inconnues hors base. – Les résultats sont donc donnés par des formules de Cramer. – On peut faire les calculs en virgule flottante. Il y a alors accumulation d’erreurs d’arrondi, qui peuvent faire que la solution finale n’est pas faisable (en particulier pour les contraintes saturées). – Il faut alors développer des méthodes de correction. En général la solution est faisable, mais l’optimalité n’est pas garantie. – On peut rendre la matrice des contraintes entières, et essayer de mener les calculs exactement (algorithmes «tout entiers»). – Les nombres ` a manipuler sont des déterminants de Cramer. On peut donc les borner ` a l’aide de l’inégalité de Hadamard : |det(A)| 6 |A1 | . . . |An |, o` u les Ai sont les vecteurs colonnes (ou les vecteurs lignes) de A. – Il en résulte que la taille des nombres à manipuler est bornée par n fois la taille du plus grand élément de A. Cette borne est rarement atteinte. – Il faut utiliser des arithmétiques en précision arbitraire, telle la librairie GMP. Algorithme primal – On prend le problème sous la forme équivalente suivante : min f (x) = c.x Ax = b x > 0 – On peut supposer que les lignes de la matrice des contraintes A sont linéairement indépendantes : on peut éliminer les lignes redondantes. – A est de dimension m × n avec nécessairement m < n. Dans le cas contraire, le système Ax = b aurait au plus une solution et le problème serait trivial.



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Base – Une «base» est une matrice carrée n × n extraite de A inversible. On partitionne A en deux blocs B, la base, et N le reste de la matrice. On partitionne de même x en xB , xN et c en cB , cN . – La solution associée ` a une base B est le vecteur (B −1 b, 0)T . Il satisfait évidemment ` a la contrainte Ax = b. – La base B est réalisable si et seulement si la solution correspondante satisfait également ` a la contrainte x > 0, c’est-à-dire si x = B −1 b > 0. – A une base réalisable correspond une valeur de l’objectif, cB .B −1 b. – Est-il possible d’améliorer cet objectif en faisant varier xN ? Recherche de l’optimum – Si xN n’est plus nul, on a : xB = B −1 (b − N xn ) f (x) = cB .B −1 b + (cN − cB .B −1 N )xn

–

– – –

– – – – – –

Le vecteur c = cN − cB .B −1 N est le vecteur des coˆ uts réduits. Si xi fait partie de xn , comme il est nul on ne peut que l’augmenter pour que la solution reste faisable. Ceci fait décroˆıtre f (x) à condition que ci < 0. Si tous les coˆ uts réduits sont positifs, on a trouvé l’optimum. Sinon, on choisit un xi dont le coˆ ut réduit est négatif (par exemple celui dont le coˆ ut réduit est minimum). Puisque on fait croˆıtre xi et que les autres composantes de xN restent nulles, la seule contrainte sur la valeur de xi est B −1 (b − N xn ) > 0. Il y a deux cas possibles : Toutes les composantes de la colonne i de B = B −1 N sont négatives. Alors xi n’est pas borné, et le minimum est −∞. Sinon, ` a chaque composante B ik > 0 correspond la borne xi 6 xk /B ik . Soit j l’indice de la plus petite de ces bornes. Le point correspondant ` a xk = 0 sauf pour k = j : xj = xj /B ij est faisable et la valeur de f (x) est inférieure à celle du point de départ. La base qui correspond au nouveau point courant s’obtient en rempla¸cant dans b le colonne i par la colonne j. On poursuit l’algorithme en inversant la nouvelle base et en calculant la nouvelle solution et les nouveaux coˆ uts réduits. L’algorithme se termine si ` a chaque pas la valeur de l’objectif décroˆıt strictement. En effet il n’y a que Cnm bases possibles et la condition de décroissance stricte empêche tout bouclage.

– Cependant l’algorithme peut boucler en cas de dégénérescence (il semble que ce soit très rare). – Comme pour l’algorithme dual, on peut mener les calculs de fa¸con incrémentale (il suffit d’un seul pivot de Gauss pour inverser la nouvelle base). Recherche du point faisable initial – Il s’agit de trouver un point dans le polyèdre P = {x | x > 0, Ax > b }. Soit 1 le vecteur dont tous les éléments sont égaux à 1, et soit y un nouveau Distribu´ e sous license Open-Content: http://opencontent.org/opl.shtml

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Optimisation sans contraintes vecteur de même taille que x. On considère le problème : min x > y > Ax + y >

1.y 0 0 b

– Il est facile de voir que le point x = 0, y = max(b, 0) est faisable. On peut donc appliquer l’algorithme précédent. – Si y ∗ = 0, il est facile de voir que le point x∗ ∈ P . – Réciproquement, si x∗ ∈ P , alors (0, x∗ ) est faisable pour le problème augmenté, donc le minimum est nul. Si inversement le minimum n’est pas nul, P est vide.


Chapitre 2

Optimisation sous contraintes Optimisation sous contraintes – Résoudre : courbes de niveau de la fonction objectif optimum

contraintes

gi (x) x

min f (x), 6 0, i = 1, . . . , n ∈ Rn

– L’ensemble des points faisables est {x ∈ Rn | gi (x) 6 0, i = 1, . . . n }. Les fonctions g sont les contraintes. – La programmation linéaire est le cas particulier o` u f et les gi sont linéaires. On obtient des problèmes plus ou moins difficiles suivant que l’un ou l’autre ou les deux de ces éléments sont non linéaires (resp. non convexes).

G´ en´ eralisation – Certaines contraintes peuvent être difficiles à mettre sous la forme gi (x) 6 0. – Exemple : on veut que x soit entier (i.e. à coordonnées entières). – On remplace la dernière contrainte par : x ∈ S ⊆ Rn .

2.1

Conditions de Kuhn et Tucker

Caract´ erisation de l’optimum – On suppose les fonctions f et gi continues et à dérivées continues. – L’optimum x∗ peut être ` a l’intérieur de F . Dans ce cas ∇f (x∗ ) = 0 . – L’optimum peut être sur les frontières de F . Dans ce cas gi (x∗ ) = 0 pour un certain nombres de contraintes (les contraintes saturées) et ∇f (x∗ ) n’est pas nécessairement nul. On note I ⊆ {1, . . . , n} l’ensemble des indices des contraintes saturées.

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Optimisation sous contraintes – En particulier, si les contraintes sont toutes des contraintes d’égalité, l’intérieur de F est vide et l’on est toujours dans le dernier cas (dit de Lagrange). – En programmation linéaire, f (x) = c.x, ∇f = c n’est jamais nul (ou bien le problème est trivial), donc l’optimum est sur la frontière de F . – Une direction d est admissible en un point x∗ ∈ F si il existe η > 0 tel que λ < η ⇒ x∗ + λd ∈ F . – x∗ est un minimum si, pour toute direction admissible d, λ < η ⇒ f (x∗ + λd) > f (x∗ ). – La condition d’admissibilité peut s’écrire : gi (x∗ + λd) = gi (x∗ ) + λd.∇gi (x∗ ) 6 0, i ∈ I, soit encore d.∇gi (x∗ ) 6 0, i ∈ I. – Les directions admissibles en x∗ appartiennent au cône C = {d | d.∇gi (x∗ ) 6 0, i ∈ I } , avec I = {i | gi (x∗ ) = 0 }. – La réciproque est fausse, sauf dans quelques cas particuliers : – Les fonctions gi sont linéaires ou convexes ; – Les gradients sont linéairement indépendants. – Si C est l’ensemble des directions admissibles, alors une condition nécessaire d’optimalité est : d ∈ C ⇒ f (x∗ + λd) − f (x∗ ) > 0, d ∈ C ⇒ d.∇f (x∗ ) > 0.

Conditions de Kuhn et Tucker – D’après le lemme de Farkas, il existe des λi > 0, i ∈ I tels que : X ∀d : −d. λi .∇gi (x) = d.∇f (x∗ ), i∈I ∗

∇f (x ) −

X

λi ∇gi (x)

= 0.

i∈I

– Si on pose λi = 0 pour les contraintes non saturées, on peut étendre la sommation ` a toutes les valeurs de i. Une condition nécessaire pour que x∗ soit un minimum est donc : ∃λi > 0

,

i = 1, . . . , n n X ∇f (x∗ ) − ∇gi (x∗ ) = 0, i=1

λi .gi (x∗ )

= 0.

– Les λi sont les multiplicateurs de Kuhn-Tucker.


2.2 Une m´ ethode directe

29

Conditions de Lagrange – Un contrainte d’égalité gi = 0 peut se représenter par deux contraintes d’inégalité gi > 0 et gi 6 0. − – Il lui correspond deux multiplicateurs de Kuhn-Tucker, λ+ i et λi positifs. ` une – On peut les regrouper en un seul dont le signe est quelconque. A contrainte d’égalité correspond un multiplicateur non contraint en signe. – Si toutes les contraintes sont des égalités, les multiplicateurs peuvent être de signe arbitraire. Ils prennent le nom de multiplicateurs de Lagrange. – Dans ce cas particulier, toutes les contraintes doivent être saturées.

2.2

Une m´ ethode directe

M´ ethode des plans s´ ecants – Soit ` a calculer : min f (x), gi (x) 6 0, i = 1, . . . , n x ∈ Rn o` u on suppose que les fonctions f et gi sont convexes. – On remarque que l’on peut supposer f linéaire. Sinon, on peut remplacer le problème ci-dessus par le problème équivalent : min z − f (x) > gi (x) 6 x ∈

z, 0, 0, i = 1, . . . , n Rn

– On procède de fa¸con itérative. A l’étape k, on suppose que l’on connaˆıt un polyèdre convexe Q(k) tel que : Q(k) ⊆ F = {x | g(x) 6 0 } . – On résout le programme linéaire : min f (x), x ∈ Q(k) . Soit x(k) le point obtenu. – Si x(k) ∈ F , c’est le minimum cherché. Sinon, il existe i tel que gi (x(k) ) < 0. On forme : o \ n Q(k+1) = Q(k) x gi (x(k) ) + ∇gi (x(k) )T .(x − x(k) ) 6 0 , et on recommence. Lemme 2.1. Si f est convexe, alors f (x) > f (a) + ∇f (a)T .(x − a). Démonstration. Pour simplifier on va supposer que x est un scalaire. Soit par (a) exemple b > a. Par définition, f (x)−f (a) 6 (x−a) f (b)−f . En faisant tendre x b−a (a) vers a on en déduit f 0 (a) 6 f (b)−f , ce qui n’est autre que le résultat cherché. b−a La démonstration est analogue pour b < a.


30

Optimisation sous contraintes

Lemme 2.2. Q(k+1) ⊆ F . Démonstration. Soit en effet x un point de F . Puisque gi est convexe, on a gi (x) > gi (x(k) ) + ∇gi (x(k) )T .(x − x(k) ). Or gi (x) 6 0, donc x ∈ Q(k+1) . 0

Lemme 2.3. x(k) 6∈ Q(k ) , k 0 > k Démonstration. Il suffit d’observer que x(k) ne satisfait pas la contrainte gi (x(k) )+ ∇gi (x(k) )T .(x − x(k) ) 6 0. Lemme 2.4. Si x(k) ∈ F , c’est le minimum cherché. Démonstration. En effet, d’une part x(k) ∈ F , et d’autre part, x ∈ F ⇒ x ∈ Q(k) ⇒ f (x) > f (x(k) ). Th´ eor` eme 2.5. Si F est borné, tout point d’accumulation de la suite x(k) est un optimum. Démonstration. Soit y ∗ un point d’accumulation, et soit y (k) une suite extraite de x∗ et convergeant vers y ∗ . Montrons d’abord que y ∗ ∈ F . On supposera pour fixer les idées que ` a chaque pas, la contrainte utilisée pour construire une coupe est celle qui est la moins satisfaite, c’est à dire celle pour laquelle gi (x( k)) > 0 est maximum. Supposons que y ∗ ne soit pas dans F , et soit gi la contrainte la moins satisfaite. Puisque y (k) converge vers y il existe un k ∗ suffisamment grand pour que gi soit la contrainte la moins satisfaite en y (k) . On ajoute la contrainte : gi (y (k) ) + ∇gi (y (k) )T .(x − y (k) ) 6 0. 0

Démonstration. Il est facile de voir que la distance ||y [k ) − y (k) ||, k 0 > k ne peut [k)

|gi (y | ∗ être inférieure ` a |∇g est limite des y (k) . [k) | , ce qui contredit le fait que y i (y Supposons maintenant qu’il existe dans F un autre point y 0 tel que f (y 0 ) < f (y ∗ ). Comme y 0 ∈ Q(k) ∀k, il s’en suit que l’algorithme de programmation linéaire devrait toujours construire un point x(k) tel que f (x(k) ) 6 f (y 0 ). Par suite de la continuité de f , toute limite x∗ de la suite x(k) doit être telle que f (x∗ ) 6 f (y 0 ) ce qui est contradictoire.

2.3

M´ ethodes duales

M´ ethodes de p´ enalit´ es – Principe : au lieu d’exclure les points qui violent les contraintes, ajouter à la fonction économique une pénalité d’autant plus élevée que la contrainte est moins respectée. Si la fonction de pénalité est régulière, on peut utiliser les méthodes d’optimisation sans contrainte. – En général, la pénalité dépend d’un paramètre qui permet de régler son importance. Quand la pénalité devient très grande devant la fonction objectif, on tend vers l’optimum sous contrainte. Mais la fonction à optimiser devient de plus en plus mal conditionnée. Distribu´ e sous license Open-Content: http://opencontent.org/opl.shtml

2.3 M´ ethodes duales

31

– Deux variétés : – La fonction de pénalité est nulle dans le domaine faisable. L’optimum pénalisé n’est pas faisable. C’est une méthode extérieure. – La fonction de pénalité devient infinie quand on sort du domaine faisable. L’optimum est faisable, mais la méthode a besoin d’un point faisable initial. M´ ethodes ext´ erieures – On considère la fonction h(x) égale à 0 si x 6 0 et à x2 sinon. Il est facile de voir qu’elle est continue et à dérivé continue. – On remplace le problème : P : min f (x), gi (x) 6 0, i = 1, . . . , n x ∈ Rn par la suite de problèmes : Pk : min f (x) + Sk

n X

h(gi (x)).

i=1

o` u les Sk formentP une suite croissante tendant vers l’infini. n – On note H(x) = i=1 h(gi (x)) et xk la solution de Pk . Convergence Th´ eor` eme 2.6. Si f est continue, si l’ensemble des points faisables est fermé et si soit f (x) soit H(x) tend vers l’infini quand x tend vers l’infini, alors tout point d’accumulation de la suite xk est une solution de P . On note ϕk = f (xk ) + Sk H(xk ), et x∗ une solution de P . Lemme 2.7. Les ϕk forment une suite décroissante. Démonstration. On a f (xk+1 ) + Sk+1 H(xk+1 ) > f (xk+1 ) + Sk H(xk+1 ) parce que Sk+1 > Sk et f (xk+1 ) + Sk H(xk+1 ) > f (xk ) + Sk H(xk ) puisque xk est la solution de Pk . De plus, ϕk 6 f (x∗ ) + Sk H(x∗ ). Mais comme x∗ est faisable, la pénalité est nulle. On a donc l’encadrement f (xk ) 6 ϕk 6 f (x∗ ). Lemme 2.8. Les H(xk ) forment une suite décroissante. Démonstration. Comme chaque xk est la solution d’un problème de minimum, on a : f (xk ) + Sk H(xk ) 6 f (xk+1 ) + Sk H(xk+1 ), f (xk+1 ) + Sk+1 6 f (xk ) + Sk+1 H(xk ). En additionnant et simplifiant : (Sk − Sk+1 )(H(xk+1 ) − H(xk )) > 0. Comme le premier terme est négatif, l’autre l’est aussi. Distribu´ e sous license Open-Content: http://opencontent.org/opl.shtml

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Optimisation sous contraintes – Les xk appartiennent à un ensemble borné, soit parce que f (xk ) 6 f (x∗ ) et que f tend vers l’infini à l’infini, soit parce que H(xk ) 6 H(1) et que H tend vers l’infini à l’infini. On peut donc extraire de xk une sous-suite x` , ` ∈ L qui converge vers x ˆ. – Par continuité, f (x` ) tend vers f (ˆ x), et comme f (xk ) 6 f (x∗ ), f (ˆ x) 6 f (x). – Comme ϕk 6 f (x∗ ), ϕk a une limite phi∗ 6 f (x∗ ). – lim S` H(x` ) = ϕ∗ −f (ˆ x). Donc H(x` ) tend vers 0, et par continuité H(ˆ x) = 0. – Donc x ˆ est un point faisable, donc f (ˆ x) > f (x∗ ), donc f (ˆ x) = f (x∗ ) et x ˆ est un optimum.

M´ ethodes int´ erieures – On prend comme fonction de pénalité une fonction qui tend vers l’infini au voisinage de 0, par exemple h(x) = −1/x. Pn – On minimise f (x) + R i=1 h(gi (x)). – Dans les mêmes conditions que ci-dessus, on montre que l’optimum du problème PR tend vers l’optimum de P quand R tend vers 0. – Toutes les solutions intermédiaires sont faisables, mais il faut disposer d’un point faisable pour commencer les calculs. Exemple – Le problème du cas le pire de Fourier-Motzkin :

x+y+z

max xy + z, = n

– On élimine z ` a l’aide de la dernière contrainte et on applique la méthode des pénalités : max xy + n − x − y + S(n − x − y)2 . – On utilise un système de calcul algébrique pour achever les calculs.

2.4

Fonction de Lagrange, point-col

Fonction de Lagrange, point-col – Soit ` a résoudre : min f (x), gi (x) 6 0, i = 1, . . . , n x ∈ S ⊆ Rn – La fonction de Lagrange associée est : L(x, λ) = f (x) + λ.g(x), λ > 0. – g est le vecteur dont les composantes sont les gi .


2.4 Fonction de Lagrange, point-col

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Point-col – (x∗ , λ∗ ) est un point-col si et seulement si : x∗ ∈ S, λ∗ > 0. ∀x ∈ S : L(x∗ , λ∗ ) 6 L(x, λ∗ ), ∀λ > 0 : L(x∗ , λ∗ ) 6 L(x∗ , λ). – Caractérisation d’un point-col : L(x∗ , λ∗ )

=

min L(x, λ∗ ), x∈S

g(x∗ ) > 0, λ∗ .g(x) = 0. Preuve Soit (x∗ , λ∗ ) un point-col. La première propriété est une conséquence directe de la définition. La deuxième propriété entraˆıne : f (x∗ ) + λ∗ .g(x∗ ) > f (x∗ ) + λ.g(x∗ ), (λ − λ∗ ).g(x∗ ) 6 0. S’il existait un gi (x∗ ) positif, il suffirait de prendre le λi correspondant suffisamment grand pour violer cette inégalité. Donc ∀i : gi (x∗ ) 6 0. Pour λ = 0 on trouve : −λ∗ .g(x∗ ) 6 0. Mais les deux termes du produit sont non négatifs, donc le produit est nul. Preuve, r´ eciproque La première caractéristique entraˆıne directement la première propriété du point-col. On déduit de la troisième caractéristique que L(x∗ , λ∗ ) = f (x∗ ). Enfin : L(x∗ , λ) = f (x∗ ) + λ.g(x∗ ) 6 f (x∗ ) = L(x∗ , λ∗ ), puisque g(x∗ ) 6 0. Int´ erˆ et Th´ eor` eme 2.9. Si (x∗ , λ∗ ) est un point-col, alors x∗ est un minimum global. Démonstration. D’après la définition, x∗ ∈ S et g(x∗ ) 6 0, donc x∗ est faisable. D’autre part : ∀x ∈ S, g(x) > 0 : f (x∗ ) = L(x∗ , λ∗ ) 6 L(x, λ∗ ) = f (x) + λ∗ g(x) 6 f (x). puisque λ∗ > 0 et g(x) 6 0. x∗ est donc bien minimum global. Mais il existe des problèmes qui n’ont pas de point-col. Distribu´ e sous license Open-Content: http://opencontent.org/opl.shtml

34


Fonction de Lagrange et p´ enalit´ es – La fonction de Lagrange est une fonction de pénalité. L(x, λ) = f (x) + λ.g(x), λ > 0. – En effet, dans la région infaisable, g(x) > 0, donc le second terme augmente la valeur de L, alors qu’on recherche un minimum. – Toutefois, ce terme est négatif dans la région faisable, ce qui diminuerai artificiellement la valeur du minimum, si l’on n’avait pas la contrainte ∀i : λi .gi (x∗ ) = 0. – Comme les méthodes de pénalité, l’emploi de la fonction de Lagrange permet de remplacer un problème avec contraintes par un problème sans contrainte. Une mauvaise id´ ee – Maximiser L(x, λ) par rapport à λ > 0 pour x fixé. Soit g(x) le résultat. Minimiser ensuite g(x) sans contraintes. – Il est facile de trouver le maximum. – Si gi (x) > 0, il suffit de faire tendre λi → ∞ pour obtenir un maximum infini. – Sinon, le maximum est égal à f (x). – Ceci revient donc ` a étendre f en une fonction discontinue non dérivable, ce qui ne se prête pas à l’optimisation. Une bonne id´ ee – Minimiser w(λ) = min L(x, λ) sans contrainte. Maximiser w(λ) sous la contrainte λ > 0. Lemme 2.10. w(λ) est une fonction concave. Démonstration. Soit λ1 , λ2 deux valeurs de λ, α et β deux nombres positifs tels que α + β = 1, et x un point arbitraire. Par définition des minima : f (x) + λ1 g(x) > w(λ1 ), f (x) + λ2 g(x) > w(λ2 ), f (x) + (αλ1 + βλ2 )g(x) > αw(λ1 ) + βw(λ2 ). et cette propriété vraie partout s’étend au minimum w(αλ1 + βλ2 ).

Application ` a la programmation lin´ eaire – Il ne faut cependant pas croire que l’optimisation de w est toujours sans contrainte. Soit par exemple le programme linéaire : min c.x, Ax − b > 0, x > 0. – La fonction de Lagrange associée est : L(x, λ) = c.x − λ(Ax − b) − µx =


(c − λA − µ).x + λb.

2.4 Fonction de Lagrange, point-col

35

– Il est facile de voir que si c−λA−µ n’est pas nul, la valeur du minimum est −∞. Sinon, c’est λb. Comme c − λA − µ = 0 est équivalent à c − λA > 0, on voit que l’on est amené ` a résoudre :

c − λA λ

max λ.b, > 0, > 0.

C’est le dual du problème original! Et s’il n’y a pas de point col ? Th´ eor` eme 2.11. Soit x∗ la solution du problème avec contraintes. On a : maxλ>0 w(λ) 6 f (x∗ ). Démonstration. Comme x∗ est faisable, g(x∗ ) 6 0. Donc L(x∗ , λ) = f (x∗ ) + λg(x∗ ) 6 f (x∗ ), w(λ) = min L(x, λ) 6 L(x∗ , λ) 6 f (x∗ ). x

Cette propriété vraie pour tout λ s’étend au maximum.

– La solution du problème dual fournit une borne inférieure de la solution du primal. – Il y a «saut de dualité» quand les deux solutions ne sont pas égales. – w est dérivable ` a l’optimum, si et seulement si le saut de dualité est nul. G´ en´ eration de colonnes – Si l’ensemble S = {x1 , . . . , xn } est fini, le problème s’écrit : n

max min f (xi ) + λg(xi ) λ>0 i=1

se ramène ` a un problème de programmation linéaire : P (n) : max z z 6 f (xi ) + λg(xi ), i = 1, . . . , n λ > 0. – – – –

Soit xn , λn la solution de P (n). Si S est infini, on suppose que l’on a déjà construit les points {x1 , . . . , xn }. On résout le problème linéaire ci-dessus. On détermine le point xn+1 comme solution de : min L(x, λn ) = f (x) + λn g(x) x∈S

par une méthode d’optimisation sans contraintes. – Soit w(λn ) le minimum obtenu. – On recommence avec n + 1 points, jusqu’à convergence. Lemme 2.12. Soit x∗ la solution du problème avec contrainte : w(λn ) 6 f (x∗ ).


36


Démonstration. Puisque x∗ ∈ S, w(λn ) 6 f (x∗ ) + λg(x∗ ) 6 f (x∗ ) puisque que x∗ est faisable. Lemme 2.13. f (x∗ ) 6 z n . Démonstration. Il est évident que hf (x∗ ), λn i est un point faisable pour P (n). Lemme 2.14. z n+1 6 z n . Démonstration. Tout point faisable pour P (n + 1) est faisable pour P (n).

Convergence – On a l’encadrement w(λn ) 6 f (x∗ ) 6 z n . – Comme la suite z n est décroissante, elle converge. – Mais la convergence de w(λn ) vers f (x∗ ) impliquerait que le saut de dualité est nul, ce qui n’est pas toujours le cas.

2.5

Optimisation combinatoire

Optimisation combinatoire – Problème d’optimisation sous contraintes o` u l’ensemble des points faisables est non pas continu mais discret. – Forme du problème : min f (x) x ∈ S – Les inconnues sont les n composantes du vecteur x. S est l’ensemble discret des points faisables. – En général, S est produit cartésien d’ensembles plus petits, et sa taille est le produit des tailles de ces petits ensembles (d’o` u le nom : optimisation combinatoire). – Chaque composant de S correspond à un choix ; il faut trouver la bonne suite de choix, sachant que ceux-ci ne sont pas indépendants en général. Exemple – On considère un ordinateur sur lequel on doit exécuter t algorithmes enchaˆınés Ai , i = 1, . . . , t. Chaque algorithme a pour données les résultats de l’algorithme précédent. – Pour implémenter chaque algorithme, on doit choisir une structure pour ses données. On suppose qu’il y a s structures possibles, Sk , k = 1, . . . , s et que le temps d’exécution de l’algorithme dépend de la structure choisie. Par exemple, une matrice peut être rangée par ligne ou par colonne, et, par suite des effets de cache, le temps d’exécution du produit matriciel varie suivant la structure choisie. On supposera qu’un algorithme ne modifie pas la structure des ses données. On note Tik le temps d’exécution de l’algorithme i quand les données on la structure Sk . – On suppose qu’il est possible de modifier les structure de données (par exemple, de transposer une matrice). On note θk` le temps nécessaire pour passer de la structure Sk à la structure S` . Remarquer que θkk = 0. Distribu´ e sous license Open-Content: http://opencontent.org/opl.shtml

2.5 Optimisation combinatoire

37

– La structure du programme est alors : Sk0 R0 Sk1 A1 Sk1 . . . At Skt Rt Skt+1 – On suppose que k0 et kt+1 sont fixés par le cahier des charges. – Trouver la séquence de restructurations donnant le temps total minimum. Quelques m´ ethodes de solution – Une heuristique gloutonne. – On remarque que souvent θkl Tik . Pour l’exemple matriciel, le temps de transposition est O(n2 ) alors que le temps du produit est O(n3 ). – On choisit donc Skj de fa¸con que Tikj soit minimum, et on rajoute des redistributions si nécessaire. – Programmation dynamique. On remarque que le problème a une structure analogue ` a celle d’un problème de plus court chemin. – On note Pn (k) le problème d’optimiser le programme analogue au programme initial, mais ou on s’arrête juste après la redistribution Rn avec une structure de données Sk . Le problème initial est Pt (kt+1 ). Soit Ωn (k) le meilleur temps d’exécution de Pn (k). On a la relation de récurrence : Ωn (k)

=

min Ωn−1 (`) + Tn` + θ`k ,

Ω0 (k)

= θ k0 k .

`

– On peut calculer toutes les valeurs de Ωnk à l’aide de cette récurrence, lire la valeur de Ωt (kt+1 ) et reconstituer le chemin à suivre par retour arrière. – Codage en variables 0-1. On pose Xik = 1 si la distribution des données à l’étape i est la distribution Sk , et 0 sinon. – A chaque étape, il y a une et une seule distribution : s X

Xik = 1.

(2.1)

k=1

Pt Ps – Le temps de calcul total est : Tc = i=1 k=1 Tik Xik . – Le temps de redistribution de l’étape i à i + 1 est donné par θk` tel que Xik = 1 et X(i+1)` = 1, ce qui peut s’écrire : Tr

=

t X s X s X

Xik X(i+1)` θk` .

i=0 k=1 `=1

– Il s’agit de minimiser la somme Tc + Tr sous les contraintes (2.1) et Xik ∈ {0, 1}. C’est un problème de programmation quadratique en nombres entiers. Programmation lin´ eaire en entiers – Définition. min x, Ax + b > 0, x ∈ N.


38

Optimisation sous contraintes – Noter que x ∈ N implique x > 0. Il s’agit donc de l’analogue exact du problème résolu par l’algorithme dual, à ceci près qu’il y a une contrainte d’intégrité en plus. – On suppose en général que A et b ont des coefficients entiers.

2.5.1

coque enti` ere

Coque enti` ere – Soit S un ensemble de Rn . La coque entière de S, notée Sˆ est la coque convexe de l’ensemble des points entiers de S. ˆ x ∈ Zn ∩ S ⇒ x ∈ S, ˆ ˆ x, y ∈ S, λ, µ > 0, λ + µ = 1 ⇒ λx + µy ∈ S. Propri´ et´ es de la coque enti` ere Lemme 2.15. Si A est convexe, Aˆ ⊆ A. ˆ Lemme 2.16. A ⊆ B ⇒ Aˆ ⊆ B. Lemme 2.17. Si Zn ∩ P ⊆ S convexe, alors Pˆ ⊆ S. Démonstration. Un point de Pˆ est combinaison convexe d’un certains nombres de points de Zn ∩ P , qui appartiennent par hypothèse à S. Or S contient toutes les combinaisons convexes de ses points. Caract´ erisation de la solution enti` ere Th´ eor` eme 2.18. La coque entière d’un polyèdre défini par Ax + b > 0, avec A entière, est un polyèdre. Démonstration. Soit P = Q + C un polyèdre, o` u Q est borné et C un cône. On peut supposer que les vecteurs générateurs vi de C sont entiers, et il est facile de voir que Cˆ = PC. Soit B = { i µi vi | 0 6 µi 6 1 }. Il est clair que B est un polyèdre borné \ inclus dans C. Admettons que Pˆ = Q + B + C (ce sera montré par les deux lemmes suivants). Or Q + B est borné, et pour un polyèdre borné le théorème est évident, puisque la conque entière est enveloppe convexe de ses points entiers qui sont en nombre finis. \ Lemme 2.19. Pˆ ⊆ Q + B + C. Démonstration. D’après un lemme ci-dessus, il suffit de considérerP un point x entier de PP . On peut l’écrire x = q+c, q ∈ Q, c ∈ C. Il en résulte c = i µi vi . On pose c0 = i bµi c vi et b = c − c0 . Il est clair que b ∈ B, donc que q + b ∈ Q + B, \ que c0 ∈ C est entier, et que q +b = x−c0 est entier, donc que q +b ∈ Q + B. \ + B + C ⊆ Pˆ . Lemme 2.20. Q \ Démonstration. Puisque Q + B ⊆ P , Q + B + C ⊆ Pˆ + C = Pˆ + Cˆ = P\ +C = ˆ P. Distribu´ e sous license Open-Content: http://opencontent.org/opl.shtml


39

Minimum entier Lemme 2.21. Le minimum entier d’un polyèdre est le minimum rationnel de sa coque entière. Démonstration. Le minimum entier x∗ appartient à la coque entière. Supposons qu’il existe dans la coque entière un point x0 x∗ . Ce point est nécessairement à coordonnées non entières (puisque la coque entière est contenue dans le polyèdre). x0 est donc combinaison convexe de points entiers qui lui sont tous supérieurs dans l’ordre lexicographique, ce qui est impossible. – Le problème sera résolu si on sait construire la coque entière. – Mais la complexité de la coque entière peut être énorme (Chvatal). – Heureusement, on peut se contenter de construire quelques coupes (et non toute la coque) : des contraintes affines qui excluent une partie de P mais aucun point de Pˆ .

2.5.2

Algorithme de Gomory

Coupe de Gomory – Construction d’une coupe : soit a/D.x + b/D > 0 une des contraintes du problème. D est le dénominateur commun des coefficients de x et du terme constant. – Par construction de l’algorithme dual, la valeur de cette contrainte est l’une des variables d’écart du problème initial, qui doit être entière. Comme les x sont entiers : ax + b mod D = 0, (a mod D)x ≡ (−b mod D)(modD), (a mod D)x = (−b mod D) + kD, – k est nécessairement positif, d’o` u: (a mod D)x − (−b mod D) > 0. Algorithme de Gomory – On a mis le problème sous la forme : min x y = Sz + t > 0 z > 0 o` u la matrice S et le vecteur t sont entiers, ainsi que les variables y et z. z est un extrait de y, et les n premières composantes de y sont les variables originales. – On procède comme dans l’algorithme du Simplexe jusqu’à obtenir t > 0. Si l’algorithme échoue, il n’y a pas de solution entière. – Si les composantes 1 ` a n de t sont entières, c’est la solution. – Sinon, on choisit le premier ti non entier, on construit une coupe comme ci-dessus ` a l’aide de la contrainte Si z + ti > 0, et on l’ajoute au tableau. – Le nouveau tableau n’est pas faisable : le terme constant de la coupe est négatif. On reprend l’algorithme jusqu’à terminaison.


40


Preuve Th´ eor` eme 2.22. Si l’algorithme se termine, ou bien on a trouvé la solution entière, ou bien le problème n’a pas de solution. Démonstration. Soit Pn le polyèdre obtenu après la ne coupe. Par construction, tous les points entiers de P = P0 sont dans Pn . Si donc Pn est vide, P ne contient aucun point entier. Sinon, soit x∗ le minimum lexicographique de Pn , et supposons qu’il est entier. Si P contenait un point entier plus petit, il serait dans Pn ce qui serait une contradiction. Lemme 2.23. On peut toujours supposer qu’il existe une solution. Démonstration. On considère le problème étendu min u + Ax + b > u > x >

u, x 0, 0, 0

Il est clair que ce problème a toujours une solution : il suffit de prendre x nul et u très grand. Si le problème initial a un minimum x∗ , alors 0, x∗ est le minimum du problème étendu. Inversement, si le problème initial n’a pas de solution, alors u ne peut être nul dans la solution du problème étendu. Les deux problèmes sont donc équivalents. Lemme 2.24. Les minima successifs xn forment une suite croissante dans l’ordre lexicographique. ´ puisque Pn+1 ⊆ Pn . Démonstration. Evident,

sj j D xj

+ Dt > 0 la ligne qui – A une certaine étape de l’algorithme, soit va fournir la coupe. – A l’étape qui suit, l’algorithme du Simplexe exécute un pivot. Soit xj la variable ee. Pélimin´ s0 t0 – Soit : j Dj xj + D > 0 la ligne après l’exécution du pivot. P

Lemme 2.25. Il existe un nombre entier Q tel que Dt < Q 6 P s mod D D Démonstration. La coupe est : j j D xj − −t mod >0 D Les formules de changement de base donnent :

t0 D.

t0 t sj −t mod D D t −t mod D = + 6 + . D D D D sj mod D D D Soit q le quotient entier par défaut de t par D : t = qD + t mod D. t0 t mod D + (−t mod D) >q+ . D D Le deuxième terme est égal à 1, il suffit donc de prendre Q = q + 1. D’autre part t/D = (q + 1) − (D − t mod D)/D < q + 1. L’inégalité est stricte puisque t n’est pas entier. Distribu´ e sous license Open-Content: http://opencontent.org/opl.shtml


41

– A un instant donné du déroulement de l’algorithme, on dit qu’une ligne est active si lors d’une opération ultérieure, la valeur de son second membre changera. Lemme 2.26. La première ligne ne peut être active qu’un nombre fini de fois. Démonstration. Soit τ1 = dt1 e. On a l’encadrement τ1 −1 < t1 6 τ1 . Considérons l’évolution de τ1 après une coupe. Si la source de la coupe est la ligne 1, après le changement de base qui suit, τ1 augmente au moins d’une unité. Si la source est une autre ligne, c’est que t1 est entier. Une autre ligne est source de la coupe, et si la première ligne est active, c’est que S1j est non nul. La valeur de t1 augmente. Qu’elle prenne une valeur entière ou fractionnaire, la valeur de τ1 augmente au moins d’une unité. Or t1 donc τ1 sont bornés par la solution optimale x∗1 . Th´ eor` eme 2.27. L’algorithme des coupes de Gomory converge. Démonstration. Nous avons vu que la première ligne ne peut être active qu’un nombre fini de fois. Après la dernière modification, tout se passe comme si le problème ` a résoudre avait une contrainte et une inconnue de moins (méthode de déflation). On peut donc prouver que la deuxième ligne n’est active qu’un nombre fini de fois. De proche en proche, on voit que l’algorithme se termine. Complexit´ e – Comme il faut pouvoir distinguer entre nombres entiers et nombres fractionnaires, les calculs doivent être menés en arithmétique exacte. – Les nombres ` a manipuler sont des déterminants de sous-matrices n × n de la matrice des contraintes. Leur taille (nombre de bits) est donc bornée par n fois le nombre de bits du plus grand coefficient. – Le nombre maximum de coupes est borné par le nombre de coupes nécessaires pour caractériser la coque entière de l’ensemble des solutions. Résultat de Chvatal.

2.5.3

Techniques de codage

Variables bool´ eennes – On peut coder un choix entre n possibilités à l’aide de n variables 0-1, X1 , . . . , Xn . – Chaque variable entière nePpeut prendre que les valeurs 0 ou 1 : 0 6 x 6 1. n – Les choix sont exclusifs : i=1 Xi = 1. – Si ` a chaque choixPest associé une quantité ai , la quantité associée à un jeu n de variables est i=1 Xi ti . – On peut considérer les Xi comme des booléens et coder les opérateurs : Z Z Z

≡ X ∨ Y :: Z > X, Z > Y, Z 6 X + Y, ≡ X ∧ Y :: Z 6 X, Z 6 Y, Z > X + Y − 1, ≡ ¬X :: Z = 1 − X.


42


Probl` emes de graphe – On peut représenter un graphe de nombreuses fa¸cons : matrice d’incidence, matrice de connexion, Zij = 1 si et seulement si il existe un arc i → j. – Chemin : Xij = 1 si et seulement si le chemin emprunte l’arc i → j. Contrainte : Xij 6 PZij . P – Loi de Kirchoff : i Xij = k Xjk , pour tout j excepté le début et la fin du chemin. P – Chemin simple P : ne passe qu’une fois par chaque sommet. i Xij 6 1. P – Pour le début, j XijP = 1, et pour la fin i Xij = 1. – Minimiser la somme ij Xij assure que le chemin n’a pas de boucles isolées. Techniques de grands nombres – Soit P = {x | Ax + b > 0 } et Q = {x | Cx + d > 0 } deux polyèdres dont on doit explorer les points entiers. Soit z une nouvelle variable 0-1. – Si P et Q sont bornés, alors pour M suffisamment grand, le polyèdre : P ⊕ Q = {z, x | Ax + b + M z > 0, Cx + d + M (1 − z) > 0 } est l’«union disjointe» de P et Q. – On peut mener l’exploration sur P ⊕ Q en une seule fois. – M doit être choisi de telle fa¸con que x ∈ P entraˆıne Cx + d + M > 0 et réciproquement.


Chapitre 3

M´ eta-heuristiques 3.1 3.1.1

S´ eparation et ´ evaluation ou Branch-and-Bound Algorithme

S´ eparation et ´ evaluation – Plus communément appelée branch and bound. Soit un problème de la forme : min f (x) gi (x) 6 0, i = 1, . . . , n – Principe. On construit une arbre de problèmes. Le problème initial est la racine. – On s’arrange pour diviser le problème en deux (ou plus) sous-problèmes, par exemple en introduisant une contrainte supplémentaire, qui peut être satisfaite ou non. – Le minimum peut appartenir ` a l’un quelconque des sous-problèmes. – Si l’on peut prouver que l’un des sous problèmes est infaisable, on l’élimine. – Si l’un des sous-problèmes est tellement contraint que sa solution est évidente, on note la valeur de sa solution. – On cherche ` a obtenir une borne inférieure de la solution d’un sous-problème. Si elle est supérieure ` a la meilleure solution déjà obtenue, on élimine le sous-problème. – Dans le cas restant, on subdivise de nouveau le sous-problème. Variables bivalentes – La méthode est particulièrement bien adaptée à la résolution de problèmes linéaires en variables bivalentes : les inconnues ne peuvent prendre que les valeurs 0 ou 1. – Pour séparer un problème en deux, on choisit l’une des inconnues, par exemple x1 , et on impose les contraintes x1 = 0 ou x1 = 1. – Pour obtenir une borne supérieure, on résout le problème en continu. – Un sous-problèmes est résolu si toutes les variables sont fixées ou si la solution continue est entière.

44

M´ eta-heuristiques

Exemple : le sac ` a dos

max x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 4x1 + 3x2 + 3x3 + x4 x1 , x2 , x3 , x4

6 5 ∈ {0, 1}

– On veut emporter dans un sac à dos de contenance 5 une sélection de 4 objets de volumes respectifs 4, 3, 3, 1. – Les utilités de ces objets sont respectivement de 1, 2, 3 et 4. – Trouver la combinaison d’utilité maximum. R´ esolution On value les inconnues dans l’ordre x1 , . . . , x4 .

x4=1

x4=0

13/3 x1=1

x3=1

x1=0

x3=0

x2=1 23/3

x3=1

7

x3=0

x3=1

x2=1

25/4

x2=0

x2=1

x2=0

x2=0

7

x3=0

x1=1

6 x4=1

5

x1=0

x4=0

1

7

Si on value les inconnues dans l’ordre x4 , . . . , x1 , la résolution est plus rapide.

M´ eta-algorithme On doit d’abord définir une représentation des problèmes à résoudre. Par exemple, dans le cas du sac-à-dos, on notera le tableau du problème et celles des inconnues qui sont déjà valuées, dans une variable de type pb. Fonctions de spécialisation : – is_trivial : pb → bool permet de savoir si le problème peut être résolu facilement (i.e. si toutes les inconnues, ou toutes les inconnues sauf une sont valuées). – trivial_solve : pb → int résout un problème trivial. Doit rendre +∞ si le problème trivial n’est pas faisable. – bound : pb → int donne une borne inférieure de la solution. – branch : pb → (pb, pb) découpe un problème en deux sous-problèmes. Distribu´ e sous license Open-Content: http://opencontent.org/opl.shtml

3.1 S´ eparation et ´ evaluation ou Branch-and-Bound

45

best pb:= . . . best:= MAXINT Algorithme : BandB(pb0 ) if is_trivial (pb0 ) then local best := trivial_solve(pb0 ) if local best < best then best = local best best pb = pb0 else local best := bound(pb0 ) if local best < best then (pb1, pb2 ) := best pb(pb0) BandB(pb1 ) BandB(pb2 )

– On utilise deux variables globales, best et best pb. – Dans cette version, l’arbre des problèmes n’est pas représenté explicitement. Il est codé dans la suite des appels récursifs. – La recherche se fait en profondeur d’abord. L’objectif est de trouver une solution le plus vite possible, pour pouvoir ensuite élaguer l’arbre. – Dans le cas du sac-` a-dos, on donne la priorité à la valeur x = 1 pour éviter la solution triviale xi = 0. – La mémoire utilisée par l’algorithme est proportionnelle à la hauteur de l’arbre, i.e. au nombres de variables, n. D’autres versions utiliseraient une mémoire de taille O(2n ).

Construction de l’arbre des probl` emes – Que faire si les variables ne sont pas bivalentes ? – Borner chaque variable, a 6 x 6 b, puis écrire en binaire la valeur de x−a, avec log2 (b − a) bits. Engendre log2 (b − a) variables équivalentes. – De fa¸con équivalente, partitionner à l’aide de contraintes x < (b + a)/2 et x > (b + a)/2. Méthode plus générale, car on peut écrire des contraintes portant sur plusieurs variables. – Il est possible de partitionner en plus de deux sous-problèmes. S’applique en particulier au cas o` u les variables ne sont pas numérisées.

3.1.2

´ Evaluation

– La qualité de la fonction d’évaluation conditionne directement l’efficacité de la méthode. – Exemple du sac ` a dos. On prend comme borne supérieure y1 + 2y2 + 3y3 + 4y4 o` u yi = xi si xi est valuée et yi = 1 sinon. Il est clair que cette fonction donne bien une borne supérieure de l’utilité.


46


x4=1

x4=0

9 x3=1

x3=0

x2=1

x3=1

x2=1

x1=1

x2=0

7 x1=1

x1=0

3

6

7

x2=0

x3=0

6 x2=0 6

7

Relaxation continue – Si le problème est linéaire et en nombres entiers, on obtient une borne (inférieure ou supérieure) à partir de la solution continue. La méthode fournit une alternative ` a la méthode des coupes, à condition que le problème soit borné. – Relaxation Lagrangienne. On a vu plus haut que si on sait calculer : w(λ) f

∗

= min L(x, λ), x

= max w(λ) λ>0

alors f ∗ est une borne inférieure du minimum cherché. – Exploitation des propriétés de la fonction objectif, quand il est possible de calculer facilement son minimum en ne tenant compte que d’une partie des contraintes. Lin´ earisation de la fonction objectif – Si les contraintes sont linéaires, on peut remplacer f par une minorante linéaire. – Soit ` a minimiser une fonction contenant le produit de deux inconnues x et y dans un polyèdre (affectation quadratique). – Si on sait d’après les contraintes que x > 0 et y > b, on en déduit xy > bx. La solution du problème dont la fonction objectif est bx est un minorant de la solution du problème initial. Lin´ earisation des contraintes – On suppose la fonction objectif linéaire. On détermine un polyèdre qui contient l’ensemble des points entiers faisables. Si le domaine des points faisables est convexe, cette représentation peut être aussi précise qu’on le veut. – La solution dans le polyèdre est un minorant de la solution du problème original. – Exemple : Minimiser une fonction linéaire dans un disque.

3.1.3

Strat´ egie et Tactiques

– L’efficacité de la recherche dépend fortement : Distribu´ e sous license Open-Content: http://opencontent.org/opl.shtml

3.1 S´ eparation et ´ evaluation ou Branch-and-Bound

–

– –

–

47

– De la qualité de la fonction d’évaluation. – De la disponibilité d’une première bonne solution. Noter qu’aucun élagage ne se produit tant qu’une solution n’est disponible. – De l’ordre de traitement des nœuds. Dans le méta-algorithme ci-dessus : – La fonction d’évaluation est implantée dans la fonction bound. – L’ordre de valuation des variables est implanté dans la fonction branch. – L’ordre de traitement des nœuds est implanté dans l’algorithme. C’est l’ordre en profondeur d’abord et de gauche à droite. Est-ce la meilleure stratégie ? La stratégie en profondeur d’abord fournit très vite (en n étapes) une solution, et utilise peu de mémoire. Mais elle peut s’égarer dans une région peu intéressante de l’arbre. Dans la stratégie en largeur d’abord, on construit l’arbre niveau par niveau. 23/3 x1=1

x1=0

5

23/3 x2=0

x2=1

7

x3=1

7

x3=0

6

M´ eta-algorithme (largeur d’abord) – Dans la stratégie «meilleur d’abord», on se base sur l’idée que la valeur de la borne inférieure est une estimation de l’optimum dans le sous-arbre. – On a donc intérêt ` a développer d’abord le nœud qui a la meilleure borne. – Dans l’exemple du sac-` a-dos, les deux stratégies co¨ıncident. – Au niveau de l’implémentation, il suffit que les problèmes soient ordonnés par valeur (borne) croissante. On modifie les procédures insert et pop. – On peut utiliser une structure de données plus adaptée, un tas par exemple. Impl´ ementation parall` ele – L’algorithme par séparation et évaluation se prête bien à une implémentation parallèle, parce que le développement de chaque problème est indépendant des autres problèmes. – La seule dépendance est celle sur la meilleure solution, best. Mais on peut accepter que cette valeur soit ajustée avec retard, la seule incidence étant un élagage moins efficace. – Paradoxe : l’élagage peut être plus efficace si le parallélisme permet d’atteindre plus vite la région de l’arbre o` u se trouve le minimum.


48


best pb := . . . ; best := MAXINT queue := ∅; insert(queue, pb0 ) while queue 6= ∅ do pbcurrent := pop(queue) if is_trivial(pbcurrent ) then local best := trivial_solve(pbcurrent ) if local best < best then best := local best best pb := pbcurrent else local best := bound(pbcurrent ) if local best < best then (pblef t , pbright ) := branch(pbcurrent ) insert(queue, pblef t ) ; insert(queue, pbright )

3.2

Programmation Dynamique

Programmation dynamique – Méthode inventée par R. Bellman en 1956. – Con¸cue sur le modèle de l’algorithme du plus court chemin dans un graphe. – On remplace la résolution d’un problème de taille n par celle d’un certain nombre de problèmes de taille n − 1, dont on combine les résultats. – Exemple : calcul du plus court chemin entre deux points d’un DAG, i et j. – Si i = j, alors la longueur du plus court chemin est 0. Sinon, ce chemin passe nécessairement par l’un des successeurs de i. – Soit lij la longueur du plus court chemin, et dij la distance de deux sommets adjacents. On a la récurrence : lij =

min k∈Succ(i)

dik + lkj =

min k∈P red(j)

lik + dkj .

Exemple du sac-` a-dos Soit ` a résoudre :

min

n X

ci xi ,

i=1 n X

wi xi

6

W,

xi

∈

{0, 1}

i=1

– On suppose les wi entiers. – On considère la famille de problèmes obtenue en faisant varier W et en ne prenant en compte que les variables xi , i = k, . . . , n. Soit Vk (W ) la valeur d’un tel problème.


3.2 Programmation Dynamique

49

´ Equations de r´ ecurrence – Soit ` a calculer V1 (W ). Il y a deux choix possibles : x1 = 0, x1 = 1. – Un fois la valeur de x1 fixée, on doit résoudre un autre problème de sacà-dos. – Si x1 = 0, la capacité disponible est toujours W , on doit calculer V2 (W ). – Si x1 = 1, il ne reste plus que W − w1 unités de capacité, mais on a déjà obtenu c1 unités de valeur. – Dans le cas général, on a la récurrence : Vk (W ) = max{Vk+1 (W ), Vk+1 (W − wk ) + ck }. Conditions aux limites – Que vaut Vn (W ) ? – On ne peut fixer que la valeur de xn , et on doit avoir wn 6 W si on veut pouvoir faire xn = 1. On a donc : ( cn si W > wn Vn (W ) = 0 sinon – De plus, Vk (W ) = 0 si W 6 0. Pn – Méthode de résolutions. On remarque que 0 6 W 6 B = i=1 wi . – Il suffit donc de calculer Vk (W ) pour les B valeurs [1, . . . B] et pour k = n, . . . 1. Algorithme #define N ... #define B ... int w[N+1]; int c[N+1]; void main(void){ int V[N+1][B+1]; int W, k, c1, c2; for(W=1; W c2 ? c1 : c2;}}

Remarques – On lit directement la valeur du problème original dans V1W . – Noter que l’on a résolu non seulement le problème original, mais le problème pour toutes les valeurs possibles de W . En effet, Vk (W ) = Vk (B) si W > B. Distribu´ e sous license Open-Content: http://opencontent.org/opl.shtml

50

M´ eta-heuristiques – Dans ce cas particulier, comme Vk (W ) ne dépend que de Vk+1 (W 0 ) pour W 0 6 W , on peut ne calculer les valeurs que pour les valeurs de W au plus égale ` a la contrainte du problème original.

Exemple HH k 1 W HH 11 10 10 9 9 9 8 9 7 9 6 7 5 7 4 7 3 4 2 4 1 4 0 0

H

max x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 4x1 + 3x2 + 3x3 + x4 6 5 x1 , x2 , x3 , x4 ∈ {0, 1}

2

3

4

9 9 9 9 9 7 7 7 4 4 4 0

7 7 7 7 7 7 7 7 4 4 4 0

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 0

Complexit´ e – Il est facile de voir que la complexité est O(n.B). – On dit que le problème est pseudo-polynomial. En effet, n.B est bien un polynˆ ome, mais B est exponentiel en la taille des wk (nombre de bits). – L’ensemble [0, B] est «l’ensemble des états» de l’algorithme. Il peut être a plusieurs dimensions. Dans ce cas, la complexité devient prohibitive. ` Reconstituer la solution – Il suffit d’introduire un nouveau tableau x[N][B+1]. – On modifie l’algorithme comme suit : if(W - w[k] > 0){ c2 = V[k+1][W - w[k]] + c[k]; else c2 = 0; if(c1 > c2){ V[k][W] = c1; X[k][W] = 1; } else { V[k][W] = c2; X[k][W] = 0; } – On reconstitue la valeur des xi par la règle : W = W_0; for(k=1; k 0 ∂y Th´ eor` eme 3.1. min fn (x)

=

gn (x)60

min hn (xhd ,

xhd ∈Ω

min gn (xhd ,xtl )60

fn−1 (xtl ))

Démonstration. Soit x∗ la solution du problème de droite, et soit y ∗ (xhd ) le point o` u fn−1 (y) atteint son minimum sous la contrainte gn (xhd , xtl ) 6 0. Par construction, hx∗ , y ∗ (x∗ )i satisfait la contrainte, donc fn (x∗ , y ∗ ) > minx∈Ωn fn (x). Réciproquement, soit x la solution du problème de gauche. On a ming(xhd ,xtl )60 fn−1 (xtl ) 6 fn−1 (xtl ), donc, par la monotonie de hn hn (xhd ,

min g(xhd ,xtl )60

fn−1 (xtl )) > hn (xhd , fn−1 (xtl )),

et cette propriété s’étend au minimum.

– Cette propriété ne suffit pas. Si la décomposition de fn peut être poursuivie, elle fournit une récurrence permettant de calculer le minimum, mais sa complexité est du même ordre que celle d’une recherche exhaustive. – Pour aller plus loin, il faut plonger le problème initial dans une famille de problèmes o` u les contraintes dépendent d’une variable d’état S ∈ S. Pn (S) : min fn (x), gn (x, S) 6 0, o` u gn a les deux propriétés : – ∃Tn gn (x, S) = gn−1 (xtl , tn (xhd , S)) – ∀x ∈ Ω, S ∈ S : tn (x, S) ∈ S.


52


Algorithme – On suppose que l’ensemble des valeurs possibles de x, Ω et celui des valeurs possible de S, S sont finis. for S ∈ S do Vn (S) = mingn (x,S)60 fn (x) for k = n − 1 downto 1 do for S ∈ S do Vk (S) = min hk (x, Vk+1 (tk (x, S)) x∈Ω

– L’efficacité de la méthode est entièrement conditionnée par la taille de S qui doit être énuméré. – Les problèmes d’optimisation à une dimension sur Ω peuvent être résolus par énumération (si |Ω| est petit) ou par toute autre méthode. Application au sac-` a-dos – La fonction objectif se met bien sous la forme : n X

ci xi = c1 x1 +

n X

ci xi .

i=2

i=1

– La fonction h est l’addition, qui est bien monotone croissante en son deuxième argument. – La contrainte se met sous la forme : n X

wi xi − W 6 0,

i=1

Pn et on peut écrire : i=2 wi xi − (W − w1 x1 ) 6 0. – La fonction de transition est tk (x, W ) = W − k x. Pw n – L’espace des états est S = [0, B] avec B = i=1 wi , l’espace des valeurs est Ω = [0, 1]. Autres exemples – On peut envisager d’autres formes de la fonction objectif, comme : n Y

xci i .

i=1

– Ici la fonction de combinaison est la multiplication, qui est bien non décroissante en son deuxième argument à condition que le premier argument soit non négatif. Le voyageur de commerce – On se donne n villes et une matrice des «distances» {dij | 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 n }. Certaines distances peuvent être infinies. – On demande de trouver une tournée de longueur minimale. Distribu´ e sous license Open-Content: http://opencontent.org/opl.shtml

3.3 Exploration al´ eatoire

53

– Une tournée est un circuit hamiltonien, i.e. qui passe une fois et une seule par chaque ville. – Le problème est très difficile, parce que le nombre de circuits (hamiltoniens) est très élevé. ´ Equation de r´ ecurrence – On peut choisir une ville arbitraire, par exemple la ville 1, comme point de départ de la tournée. – Soit S un sous ensemble de [1, n] contenant 1. On considère les chemins hamiltoniens de S, c’est-` a-dire les chemins partant de 1 et passant une fois et une seule par chaque ville de S. – On note P red(k) l’ensemble des prédécesseurs de k, c’est-à-dire l’ensemble : {i ∈ [1, n] | dik < ∞ } . – On note F (S, k) la longueur du plus court chemin de 1 à k qui passe une et une seule fois par toutes les villes de S. – Considérons la ville k 0 qui précède k dans le plus court chemin cherché. Cette ville fait évidemment partie de P red(k) ∩ S. – D’autre part, le chemin de 1 ` a k 0 passe par toute les villes de S − {k}. Si sa longueur est supérieure ` a F (S − {k}, k 0 ), il est possible de l’améliorer. On a donc la récurrence : F (S, k) =

min

k0 ∈P red(k)∩S

F (S − {k}, k 0 ) + dk0 k .

– On a d’autre part la condition initiale F ({1}, 1) = 0. – On peut donc résoudre le problème en tabulant la fonction F pour tous les ensembles ne contenant qu’une ville, puis pour tous les sous-ensembles de villes ` a 2, 3, ... éléments. – On lit le résultat en F ([1, n], 1). – Mais la méthode n’est pas très efficace car il y a en tout 2n−1 sousensembles. Relaxation – On peut simplifier le problème en demandant que le chemin passe par |S| villes sans exiger qu’il soit hamiltonien. – On peut alors traiter en une seule fois tous les sous-ensembles de même cardinal. – On obtient une borne inférieure de la longueur de la tournée, qui peut être utilisée, par exemple, dans un algorithme branch and bound.

3.3 3.3.1

Exploration al´ eatoire Am´ elioration it´ erative

Position du probl` eme Soit ` a résoudre : max f (x). x∈S


54

M´ eta-heuristiques – L’ensemble S est l’ensemble des configurations, ou ensemble des états. On suppose qu’il est trop grand pour être énuméré, mais qu’il existe un procédé efficace pour tirer une configuration au hasard dans S. – f est la fonction objectif. ´ – On suppose que tout point x de S a un ensemble fini de voisins, V (x). Etant donné x, il existe un procédé efficace pour énumérer V (x). Enfin, l’espace des configurations est connexe, i.e. on peut aller de x à y quelconque par des déplacements de voisin à voisin. – Un maximum global de f est un point x∗ de S tel que ∀x ∈ S : f (x) 6 f (x∗ ). – Un maximum local est un point x tel que ∀x ∈ V (x) : f (x) 6 f (x).

Am´ elioration it´ erative Algorithme : Hill-Climbing x best := random(S) best := f (x best) for i = 1 to n do x := random(S) repeat z := x foreach y ∈ V (x) do if f (y) > f (x) then x := y break until z = x if f (x) > best then best := f (x) x best := x

Bassin d’attraction – Autour de chaque maximum local a il existe un bassin d’attraction A défini par : a ∈ A, (∀y ∈ V (x) : f (y) > f (x) ⇒ y ∈ A) ⇒ x ∈ A. – Si le point initial est dans le bassin d’attraction du maximum global, l’algorithme Hill-Climbing trouve le maximum global. – La probabilité d’atteindre le minimum global tend donc vers 1 quand n → ∞. – Mais il est impossible d’avoir une certitude.

3.3.2

Recuit simul´ e

– Algorithme de Métropolis, 1953. Distribu´ e sous license Open-Content: http://opencontent.org/opl.shtml


55

– Voir aussi P. J. M. van Larrhoven ans E.H. Aarts, Simulated Annealing, Theory and Applications, Kluwer, 1987. – Analogie avec la physique statistique. Lorsqu’un objet physique pouvant exister dans plusieurs états atteint l’équilibre thermodynamique, la population d’un état d’énergie E est donnée par la loi de Boltzmann : p(E) =

–

– – – –

1 −E e kT , Z

o` u k est la constante de Boltzmann, T la température, et Z un facteur de normalisation, la fonction de partition. Cet équilibre est dynamique. Il résulte de multiples transitions qui se compensent. Une transition faisant varier l’énergie de ∆E a une probabilité ∆E proportionnelle ` a e− kT . On modélise un problème d’optimisation par un système thermodynamique dont on simule l’évolution. Les éléments de S sont les divers états possibles du système. L’«énergie» de l’état x est f (x). Si le système est dans l’état x, il peut passer aléatoirement dans l’un des états de V (x). La probabilité pour le système de passer dans l’état y ∈ V (x) est : – Z1 si f (y) > f (x) ; f (y)−f (x)

– – – – – –

si f (y) < f (x). – Z1 e T Z est le facteur de normalisation. T est une pseudo-température. Si le problème a des contraintes qui ne sont pas intégrées dans la définition de S, il suffit de faire f (x) = −∞ quand x n’est pas faisable. Au bout d’un certain temps, le système se stabilise. On réduit la valeur de la «température» et on continue. La motivation est de permettre au système simulé de s’échapper du bassin d’attraction d’un minimum local pour atteindre le minimum global.

Algorithme : Simulated-Annealing T := . . . x := xbest := random(S) best = f (x) for i := 1 to n do for j := 1 to m do y := random(V (x)) if f(y) > f(x) then x := y if f(x) > best then best := f(x) xbest := x else v = random([0, 1]) f (y)−f (x) then x := y if v < e T T := 0.99T


56


Analyse du recuit simul´ e – Quand doit-on baisser la température (i.e., quel est la valeur de m) ? – Combien de fois doit on baisser la température (i.e. quelle est la valeur de n) ? – A quelle vitesse faire baisser la température (la valeur 0.99 est elle la bonne) ? Chaˆıne de Markov – Une chaˆıne de Markov uniforme, discrète et à temps discret est un système qui peut exister dans plusieurs états formant un ensemble S. Soit xn l’état du système ` a l’état n. La chaˆıne ne change d’état qu’aux instants de valeur entière. – La probabilité de transition de l’état x à l’état y ne dépend que de x et de y. Elle ne dépend ni du temps, ni des états antérieurs occupés par le système. Soit PP e de transition de l’état x à l’état y. xy la probabilit´ – On doit avoir y∈S Pxy = 1. La matrice pxy est une «matrice stochastique». – Il est clair qu’un algorithme de recuit simulé fonctionne comme une chaˆıne de Markov. Calcul des probabilit´ es de transition – Chaque tirage peut avoir trois résultats : – On tire un point y tel que f (y) > f (x). – On tire un point y tel que f (y) < f (x) et un nombre v tel que v < f (y)−f (x) e T . – Dans le cas restant, on recommence le tirage. P P f (y)−f (x) . – Fonction de partition : Z = f (y)>f (x 1 + f (y) f (x) ; –

(x) 1 f (y)−f T Ze

sinon.

Graphe d’une chaˆıne de Markov – Le graphe d’une chaˆıne de Markov a pour sommets les états de la chaˆıne. Il y a un arc de x vers y si et seulement si la transition x → y est de probabilité non nulle. – On peut construire les composantes fortement connexes (cfc) de ce graphe et le graphe réduit. – En vertu du principe que tout évènement de probabilité non nulle finit par se produire au bout d’un temps suffisamment long, l’état de la chaˆıne finit toujours par parvenir dans l’une des cfcs terminale. – On dit que la chaˆıne est simple s’il n’y a qu’une seule cfc terminale. – Une chaˆıne simple finit par atteindre sa cfc terminale. A partir du moment o` u elle entre dans la cfc terminale, elle passe une infinité de fois par chaque sommet de celle-ci. Distribution limite Distribu´ e sous license Open-Content: http://opencontent.org/opl.shtml


57

– Si p0x est la distribution de probabilité initiale sur la cfc terminale, la distribution après n étapes est égale à : pn = pn−1 .P – Le comportement de pn dépend donc des valeurs propres de P T . On montre : – Que 1 est valeur propre de P T . – Que les composantes de pn sont positives, que leur somme est égale à 1, et par conséquent, qu’elles sont comprises entre 0 et 1. – En conséquence, P T ne peut avoir de valeur propre de module > 1. – On est dans le cas régulier quand 1 est valeur propre simple de P T . Une condition suffisante est que tous les coefficients de P soient non nuls. – Dans ce cas, la distribution de probabilité converge vers le vecteur propre de P T associé ` a 1. Application au recuit simul´ e – Dans le cas du recuit simulé, aucune probabilité de transition n’est nulle. On est donc toujours dans le cas régulier. – Quand la température décroˆıt, certaines probabilités de transition tendent vers 0. A la limite, chaque cfc est un ensemble contigu de minimum locaux. La ou les cfcs terminales sont associées à l’extremum global. – Pour arrêter la recherche, on peut attendre que la distribution de probabilité soit stable (par exemple en estimant l’espérance mathématique de x, si cela ` a un sens, ou celle de f (x).) Exemple, Sac-` a-dos – L’ensemble des états est celui des suites binaires de taille n qui vérifient la contrainte. – Voisinage : deux suites qui diffèrent par un seul bit. – Sur un petit exemple, le résultat n’est pas très satisfaisant. Exemple, Voyageur de Commerce – On suppose que la matrice des distances est symétrique. – Ensemble des états : ensemble des circuits hamiltoniens du graphe. – Voisinage. – On choisit deux villes a et b visitées dans l’ordre a → b. Soit a0 la ville qui précède a et b0 celle qui suit b. – On construit le circuit a0 → b → a → b0 → a0 . – Les résultats expérimentaux sont excellents.

3.3.3

La m´ ethode Tabou

– On conserve les notions d’espace de configuration et de voisinage. – Pour éviter de rester bloqué autour d’un optimum local, on conserve la liste des derniers points visités, la liste tabou. – Quand on explore un voisinage, on choisit le meilleur voisin à l’exclusion des points de la liste tabou. – La liste tabou est gérée comme une FIFO. Distribu´ e sous license Open-Content: http://opencontent.org/opl.shtml

58

M´ eta-heuristiques – Sa longueur est un paramètre crucial. Folklore : la valeur L = 7 est presque toujours suffisante ! Algorithme : Tabou essais := ∅ for i := 1 to n do tabou := ∅ ; x := . . . continue:= true while continue do add_FIFO(tabou, x) if V (x) r tabou 6= ∅ then x := argmin {f (y) | y ∈ V (x) r tabou } else continue:= f alse essais ∪= x return best(essais)

´ Evaluation – Contrairement au recuit simulé, il n’y a pas de théorie de la méthode Tabou. – Elle est cependant réputée plus efficace et fiable que le recuit simulé. – Le choix de la longueur de la liste Tabou (NB- qui est cachée dans la fonction add_FIFO) est le plus important. – L’autre paramètre est le nombre d’essais (n ci-dessus) qui ne peut guère être choisi que de fa¸con expérimentale.

3.3.4

Algorithmes g´ en´ etiques

– Principe : on cherche à imiter ce que l’ont sait du fonctionnement de l’évolution biologique. – Chaque configuration doit pouvoir être codée par une chaˆıne de caractères. – Pour le sac-` a-dos, on prend la chaˆıne 0-1 des valeurs des variables. – Pour le voyageur de commerce, on prend la liste des villes dans l’ordre de la tournée. – On travaille non pas sur une configuration, mais sur une population de configurations, que l’on tire au hasard au début. – On évalue f pour tous les individus de la population (parallélisme) on classe et on retient les meilleurs 20% (par exemple). – On complète la population à l’aide de 2 mécanismes : – Mutation : on choisit un individu au hasard et on modifie (avec une probabilité très faible) l’une de ses lettres. – Croisement : On choisit deux individus x et y, on sélectionne un point de croisement x = a.b, y = c.d, et on forme les individus a.d et c.b (la longueur de a et celle de c doivent être égales). – On itère jusqu’` a stabilisation de la population. Evaluation Distribu´ e sous license Open-Content: http://opencontent.org/opl.shtml

3.4 Conclusion g´ en´ erale

59

Algorithme : Genetic(P, N, L, Q) for i := 1 to P do x[i] := random(S) for k := 1 to N do sort(x, P, f ) l := m := p/5 for q = 1 to Q do i := random(J1, mK) x[l + 1] := mutate(x[i]); l += 1 while l < P do i = random(J1, mK) j = random(J1, mK) if i 6= j then cut := random(J2, L − 1K]) (u, v) := crossover(x[i], x[j], cut) x[l] := u; x[l + 1] := v; l := l + 2

– L’originalité essentielle est de travailler sur une population et non sur un individu unique. Similaire ` a l’idée du redémarrage aléatoire, mais permet une évaluation parallèle si c’est possible. – L’idée des mutations est similaire à l’exploration aléatoire d’un voisinage. – L’idée de recombinaison peut avoir du sens ou non. – Elle repose sur l’idée que les gènes ont un effet cumulatif et non positionnel. – C’est faux pour le sac-` a-dos, pour le voyageur de commerce, et peut-être aussi dans la nature. – La méthode ne s’applique donc efficacement que dans des cas particuliers.

3.4

Conclusion g´ en´ erale

– Tout un ensemble de méthodes, des plus particulières (la programmation linéaire et les méthodes de gradient) aux plus générales (les métaheuristiques). – Les méthodes particulières sont plus difficiles à programmer, mais plus efficaces. – Les méthodes générales sont faciles à programmer et d’un champ d’application plus vaste. – Donc choisir toujours la méthode la plus spécialisée compatible avec la définition du problème (il existe beaucoup de logiciels tout faits, libres et commerciaux). – La méthode Branch and Bound demande une étude préliminaire du problème. Elle est très générale et pas trop difficile à programmer. Elle justifie à elle seule le principe de Minoux : «En optimisation combinatoire, la linéarité n’est pas importante».


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