R'

Алгебра и логика, 40, N 3 (2001), 251-261

УДК 512.5

О П О Р О Ж Д А Ю Щ И Х ЭЛЕМЕНТАХ ВИДА

ГРУПП

Р/Я'

Ч . К, Г У П Т А , Е* И. Т И М О Ш Е Н К О * )

В настоящей работе через Рт будет обозначаться свободная группа с базой {а?х,... , хт} и через Р — свободное произведение Ах * . . . * А п неко­ торых нетривиальных групп Ах,... ,А„. Бирман [1] нашла необходимые и достаточные условия для того, чтобы элементы 51?»— ч9т группы Рт порождали ее. Красников [2] расширил это утверждение на порождающие элементы групп вида Рт/В\

где В является произвольной нормальной

подгруппой из Рт1 а В' = [Я) В] — ее коммутантом. Здесь будут указаны необходимые и достаточные условия для того, чтобы данное множество элементов группы вида Р/В\

где В — такая нормальная подгруппа из Р,

что ВП А( = 1 (I = 1 , . . . , в), порождало эту группу. Затем для случая, когда множители Ах,... , Ап являются свободными абелевыми группами конечных рангов и т — суммой этих рангов, указываются необходимые и достаточные условия для того, чтобы данная система из г (г < га) элемен­ тов группы Р/В\

где В — декартова подгруппа свободного произведения

Р) дополнялась до системы из т элементов, порождающих всю группу. Последнее обобщает критерий примитивности систем элементов свобод­ ной метабелевой группы, найденный в [3—5]. *' Исследования второго автора выполнены при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект N 99-01-00567, а также научной про­ граммы Министерства образования Российской Федерации "Фундаментальные исследо­ вания высшей школы. Университеты России", проект N 015.09.01.005.

Ч. К. Гупта, Е. И, Тимошенко

252

Через di обозначим г-ю правую производную Фокса (г = 1 , . . . , т ) , которая однозначно определена на кольце ZFm условиями: diXj = 0 при г ф j , diXi = 1,

di(uv) — diu • v + e(u)divy di(u + v) = d{U + d{V, где w, v E Z F m , e : ZFm -> Z — операция тривиализации. Легко видеть, что при n ^ 1 имеют место равенства dihn = dih-(l

+ h + ...+ hn-1)

(1)

для любого /г Е F m . Следуя Романовскому [6], обозначим через D\ дифференцирования группового кольца ZF. Для / = 1 , . . . , п они однозначно определены усло­ виями В\сц = а/ — 1, если сц Е А/; Д а г = 0 при / ф г, D/(w + v) == D/г* + D/v; Di(uv) — D\u • v + e(u)Dtv, где w, и € ZF. Пусть г? = v ( # i , . . . , xm) — некоторый элемент из Z F m , a # i , . . . , gm E E ZF. Так как дифференцирования di и Dj определены на разных кольцах, то Div(gi)...

,# m ) обозначает производную от элемента v ( # i , . . . , #m) из

кольца Z F , a djv(gi,...

, # m ) — результат подстановки gi вместо Xi в слово

djv. В дальнейшем, говоря о значении элемента д в группе Hi в случа­ ях, когда не возникает двусмысленность, будем обозначать одной и той же буквой как элемент д из некоторой группы Я , так и его гомоморфный образ при гомоморфизме Н —> Н\. В частности, будем говорить о значе­ ниях производных dih и D\f в кольцах, которые являются гомоморфными образами колец ZF m и ZF, соответственно. Индукцией по длине слова v может быть доказана Л Е М М А . Для любого v(x±,...

, xm) E Fm u любых j i , . . , , j m

имеет место т

Div(gu...

,gm) = Y^Di9idiv(gu...

,дт).

£ f

О порождающих элементах групп вида FJR!

253

Будем использовать обозначения из [6]. Пусть R — нормальная под­ группа из F , причем для г = 1 , . . . , п выполняется R П А; = 1. Через А обозначается группа F/R, через Т — свободный правый ZA-модуль с базой {*ь • • • > ^п}- Рассмотрим группу матриц М таких, что М Отображение (

0

^

»

г

А

\ и{щ - 1) 1 задает вложение каждой группы А, в М. Это отображение определяет го­ моморфизм a : F ~» М, причем ядро последнего совпадает с [Д,Я]. Полу­ ченное вложение группы F/R

в группу М называют вложением Шмель-

кина. Матрица a

О

hui + ... + tnun

1

из М лежит в (T(F) тогда и только тогда, когда щ Е A;ZA,

щ + . . . + u n = a - 1,

(2)

где Аг — разностный идеал группового кольца ZA t . Как показано в [6], для любого / 6 F имеет место

\ hD^+^.

+ inDnf

1

причем в матрице вместо элемента / и производных D / / , согласно нашей договоренности, берем значения этих элементов в кольце ZA. Напомним, что для любого элемента g 6 ZFm выполняется равенство m

X > . - - l ) 3 t f = 0-e(ff).

(3)

f= l

Дальнейшие сведения о вложении Шмелькина можно найти в [6—8].

254

Ч. К. Гупта, Е. И. Тимошенко Т Е О Р Е М А 1. Пусть д\,... , 0,mq

< 0 для некоторых

Рассмотрим первый случай. Пусть для определенности р = 1. 1.1. Пусть |mi| > 1. В качестве сУ возьмем Л™1 + Ш2^2 + • • • + ^«^и? полученный из и заменой mihi на h™1. Действительно, используя (1), по­ лучаем в ЪА dthmi(gu... и, следовательно, дцл(дх,...

,дт) = di{mihi){gu... ,д го ) = <W(#i, ...

,дт)

,дт).

1.2. Пусть |rai| = 1, Ш2 > 0. Рассмотрим о;' = /12^Г1 + ( m 2 - 1)^2 + m3h3 + . . . + rnuhu. Длина элемента и/ меньше, чем длина элемента и, В то же время diJ{gu...

,дт) = (di(mihi) + .. .+di(muhu))(gu

... ,дт) = ф Ц ^ х , . . . , # w ) .

256

Ч. К. Гупта, Е. И. Тимошенко 1.3. Пусть |mi| = 1, Ш2 < 0. В качестве ц/ можно взять элемент сУ = -h2h~[Tni + (га2 + 1)^2 + т 3 Лз + - •. + rnuhu. Рассмотрим второй случай. Пусть для определенности

h\(gi,...

• • • i9m) — ^2(51* • • • )9m)i ™>i < О, Ш2 > 0. В ZFm рассмотрим элемент с/ = h^lh2 + (mi + l)hi + (m 2 - l)/i2 + m 3 /i 3 + • • • + rnuhu. Его длина меньше, чем длина элемента и. Вычислим производные: ($1,... ,gm). Таким образом, u> E Fm или — a; E Fm. Если — u; E Fm, то из (5) полу­ чаем, что u;(