MATEMÁTICA SUPERIOR PROBLEMAS RESUELTOS A.
K.
6 . P.
Boiarthuk Colovath
Ecuaciones diferenciales Estabilidad y temas...
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MATEMÁTICA SUPERIOR PROBLEMAS RESUELTOS A.
K.
6 . P.
Boiarthuk Colovath
Ecuaciones diferenciales Estabilidad y temas especiales
ATEMATI/1KA URSS
Métodos de aproximación de las soluciones de las ecuaciones diferenciales §1. Dependencia de la solución de las condiciones iniciales y de los parámetros '1.1. Estimación del error de la solución aproximada Supongamos que la función vectorial y — y(t) es una solución aproximada del problema de Cauchy para el sistema de ecuaciones diferenciales dx ~ = f(t,x), s| (=0 = ®(0), (1) at donde x = (xlrx2,..., xn), f = U\, h, • • •, /«)• De ahora en adelante consideraremos que la función vectorial / es continua respecto a las variables t, x y satisface la condición de Lipschitz respecto a la variable x: \\f(t,y)-f(t,x)\\^K\\y-~x\\,
K = const,
donde |j • || representa alguna de las normas
(2)
Dependencia de la solución d« Iíis•cOiiü'lclonPH' Irikiiile» y de los ymaiiuaitu»,. ~ T ~
,
;
,
i
^
Supongamos, además, que para la solución aproximada y(l) del problema (1) se cumplen las desigualdades dv dt
}{t,y)- 1
e,
MO) - ®(0)|f ^
(3)
Entonces se verifica la siguiente estimación del error: (4)
1.2. Búsqueda de las derivadas de las soluciones respecto a un parámetro. Supongamos que en el problema dxi ~dt
= fi(t, xx, x2,...,
(5)
xn, n),
aj¡(0) = diifi), i = 1, n, (6) {(i es un parámetro) las funciones a¡ son continuas y poseen derivadas continuas. Entonces, la solución (x\, Xj, •.., xn) tiene derivada continua respecto al parámetro /¿, y sus derivadas dxi parciales = i = 1 , n , son soluciones del problema dfi
,
dui _ ^ ^ dfí dx]Uj+ j=i
dfi "jj dfí'
(7)
«¿(0) — a'iifi),
i = 1,n. (8) dfi df¡ Señalemos que las derivadas parciales , se calculan oxj dfi para x¿ = x¡y ^ f I ^ 2' < y ^ )' igual 1 u e s u derivada respecto a y Of 2y dy (1 + j/2)2' Además, tiene lugar la relación df dy
2\y\
1 2|jr| sí < 1. i + \y\2 1 + M 2 1 + I2/I2 Por consiguiente, en calidad de constante K de Lipschitz podemos tomar la unidad. Conforme a las fórmulas (3), p. 1.1,
y
4
1
1
1+ f
2
4 ~ f-4x
+
x2(x - 2)
4
x
4(8 — 4a; + x2)
+ xz
x - 2 ^ — max 8 - 4x + x2 16 Mil
1
12. Para hallar la solución aproximada de la ecuación - ;^ S - s e n r - ' O , (Va fue sustituida por la ecuación Jr-,r—O.^j. Iislimar el error de la solución para 0 Ss f 2 si las con-/' ;r(0) ¿ 0 , , y se sabe que'itj
< Solución. Sea y(t) la solución del problema £ + seni/ = 0,
2/(0) = 0,25,
y(0) = 0,
(1)
y x{t) la solución del problema x + x = 0,
x(0) = 0,25,
¿(0) = 0.
(2)
Entonces, restando miembro a miembro las igualdades (1) y (2), para el error u(t) = x(t) — y{t) obtenemos el problema ü{t) + u(t) - sen y-
y,
u(0) = 0,
«(0) = 0, • "lyttMIHM
^¿todps^e'aproximación de las soluciones do las ecuaciones diferenciales
cuya solución tiene Ja forma b n{t) = jJ (sen y(r) y{r) - y(r)) sen(¿ sen(£ - t) r ) dr. dr.
(3)
o Multiplicando miembro a miembro la ecuación (1) por y e integrando, a partir de las condiciones iniciales obtendremos y = 2(cos y - eos 0,25). De aquí se deduce que |t/| ^ 0,25. Por tanto, ¡ sen y — y\ ^ 0,003, y a partir de (3) hallamos la estimación buscada: t l«(í)l < j
I sen y(r) - y{r)\\ sen(í - r)| dr
en forma de una serie de potencias de (x — :cu). A menudo, para hallar los coeficientes de la serie se utiliza la fórmula de Taylor,
2.2. Método del parámetro pequeño Si en el problema dx' (2) "TT - fi(t, xlt x2, • • •, Xn, n\ »i(í 0 ) = fl¿0¿), i~\,n dt las funciones /,, a¿ son analíticas respecto a las variables X],X2, ... ,xn,(i, entonces, para valores pequeños de p, (pequeños en comparación con la unidad, es decir, |/x| «)iiwwjn»ui.M
de las soluciones de las ecuaciones diferenciales
Continuemos: x'"(t) = ex+y{x'+y')2
+e
x+,J(x"+y"),
x"'(0) = e 2 ((e 2 + 1 + sen l) 2 + 1 + e 4 + e 2 + 2
m,,,
y (t)~ y'"{0)
2
\
+ e sen 1 + e eos 1 + eos 1 + eos 1 • sen 1); / ' , >\2 , / ii , i ' ' , ii\ ™ sen xy • (x y + xy ) -(- eos xy • (x y + Zx y + xy ),
= - sen 1 • (e 2 + 1 + sen \)2 4- eos 1 x x ( l + e 4 + e2 + e 2 sen 1 + 2e 2 (l + sen 1) + + eos 1 • (e 2 + 1 + sen 1)).
•
19. rMwi'.iii liit'eriurn'.enli- •*! i.ulin de M'iuvrf.i.-neia de l.i serie de potencias que representa la solución de ia ecuación ¡/ — /y" - x , con la condición inicia] !/(0) — 1. •4 Solución. A partir de la ecuación y de la condición inicial, hallamos sucesivamente y'(0) = 1,
y"(x) = 2yy' - 1, = 2 (yy'fn-2)
jf"(0) = 2j/(0)j/'{0) - 1 = 1/
= 2E
cl2yf-2-k) =
fc=0
fc=o n - 2 (n)
y (0) = 2 J 2 cl2y{k)( k=0
O-tíf-^HO),
n¿3.
Demostremos que ^ n!, n £ N. Utilicemos el método de inducción matemática. Tenemos que |j/"(0)|oo estimación requerida para el radio de convergencia R de la serie de potencias: R> 1. • Dadas las siguientes ecuaciones (20-25) hallar Jas soluciones linealmente independientes en forma de series de potencias:
Solución. Ya que las funciones p0 = po(x) = 1, pi = pi{x) ~ 0, Pi ~ p2Íx) = -x1 son analíticas V a 6 ( - o o , - f e o ) y poW ^ 0, según el p. 2.1, existe una solución analítica y = y(x), x 6 ( - o o , -foo). Busquemos esta solución en forma de una serie 00
y(x) = Y^a"x"-
n=0
0)
Sustituyendo y(x) en ta ecuación inicial, obtenemos la siguiente igualdad respecto a x: OO 00 n(n — l)anxn~2
- ^T^ anxn+2 = 0, n=2 n=0 Cambiando en la segunda suma el índice según la fórmula n = n' - 4 (ra' = 4 , 5 , . . . ) , obtenemos 00 oo n 2 2 n(n - l)anx ~ ~ = 0,
I m p r i m a c i ó n dtí Idt. soluciones de tas ecuaciones diferenciales
o bien
oo 2a 2 + 6a3af 4-
l) a n
-
« n - * ) » " - 2 = 0.
_
n=4
De aquí se deduce que a2 — 0,3 = 0, n(n - l)a n - a fí _ 4 = 0. De la fórmula de recurrencia a n = ——--— hallamos sucesivamente n{n -1)
«o 4-3 __ a4 _
aj 5-4
a4 = — - ,
a® _
a5 = — 7 ,
a 6 = 0,
a7 — 0,
_ ®5 __
ao
8^7 ~ 8 • 7 • 4 • 3 ' ®io — a n = 0
%
(2) ~ 9 - 8 - 5 - 4'
_
etc.
Como ao, ai son constantes arbitrarias, podemos admitir que ao = 1, ai = 0 , o bien a^ = 0, 01 = 1. Entonces, de las fórmulas (1) y (2) obtenemos dos soluciones particulares
t/i(a:} =1+ yu
4-3
w2{:c) — a; -i
x5
s
H
+
8-7-4-3
12
12•11•8•7•4•3
x9
!
-f ...,
x13
• j (-.... y w 5-4 9-8-5-4 13-12-9-8-5-4 Las series de potencias obtenidas convergen para todo x 6 (—00, +00). Las soluciones y\(x) e y2(x) son linealmente independientes, dado que la identidad y\{x) = ky2(x), k — const, no es posible (por ejemplo, i/i(0) = 0, lo cual contradice la definición de y{{x)). De esta manera, las soluciones y\(x), y2{x) forman un sistema fundamental, y la solución general de la ecuación dada tiene la forma y{x) = Cxyx{x) + C2y2(x),
21.
a - » V --W -
x € ( - 0 0 , +00).
•
=»
•4 Solución. Puesto que la función
,
1.
4 xy' + wy i- 2¿yy
l-x2
,
,n
es analítica respecto a todas las variables x, y, y1 (x / ±1), entonces existen soluciones analíticas de la ecuación dada para x ^ ± 1 .
MÍUHIO» anaUtlcoíS d e ^ a t ó l l
,
, > ¡i j
Hallemos estas soluciones inicialmente en un entorno del cero (x = 0), es decir, vamos a buscarías en la forma y(x) — ao -f ü\x + a2x2 -f . .. . Sustituyendo esta serie en la ecuación dada obtenemos la siguiente identidad respecto a x: n(n - 1 )anxn
1
n=2 -
n(n
_
l)°n® n
4 ^^ nanx" — 2 ^T^
n = 2
n = l
=
n = 0
Cambiando el índice n de la primera suma por n + 2, escribimos nuevamente la identidad en la forma 00
£ ( n + 2)(n + l)aB+2arB n=0
oo
oo - ~i)anx"
oo
- 4 ]¡P
» = 2
~
2
n = l
E
a
"x"
s
) í = 0
o bien 2a 2 + 6a¡x - 2a0 - 6a t x +
00
+ E
ri=2
(ín +
+ !)an-l-2 ~ n(n ~
_ 4nan
- 2an)x"
s 0.
De aquí, igualando los coeficientes de las potencias iguales de x, obtenemos a2 = ¿o, «3 = «1/ «n+2 = o,„, n — 2 , 3 , . . . . Sean ao = 1, ai — 0. Entonces 02* = 1, a2k+1 = 0, fc = 0,00; por consiguiente, y 1 ( a : ) - l + 3:2 + 3:4 + . . . =
1
|¡e| < 1.
1 - x¿ Análogamente, si a,-j = 0, « j = 1, obtenemos «2fc = 0, 026+1 = 1. Por tanto, y2{x)~x
+ x3+
x5+
. . . - — \¿ x \ < l . 1— x
No es difícil ver que para !:r| > 1 las funciones yi, y2 también son soluciones de la ecuación inicial. • , ÍíimMt
7m
"|i*í¿|S $'óíuciíone9 de las ecuaciones diferencíales l¡!lítl',(l« iii 'l Mi
H OW
•4 Solución. Como en el ejemplo anterior, primero buscamos las soluciones en un entorno del punto x — Ü, esto es, en la forma oo anx". Sustituyendo esta serie en la ecuación dada, obtenemos
n=0
la identidad respecto a x
co
n—2
oo
n(n - 1 )an
xn^2
- ^
n=2
ao
n(n + l)an
xn~l
- 2aa + ^
a„x" = 0.
Cambiando el índice n en la primera suma por n + 2, y en la segunda por n 4-1, tenemos oo + 2)(n + l)an+2xn n~ 0
00
00 1)("
- ^(n + + - 2oi + 2 a„xn = 0, fí=1 n=0 de donde, igualando los coeficientes de las potencias iguales, hallamos 2a2-2a1+a0=0,
2 ) a n+iX n
(n+2)(n+l)(a„+2-an+i)+a„=0,
(1)
Sean a\ = 0, «o — 1. Entonces, de las ecuaciones (1) resulta 1 1 11 a2-~-, a3 = - - , por consiguiente, x2
x3
11
4
Haciendo oq = 0, a\ = 1, análogamente obtenemos 5 3 «2 — 1/ a3 ~ 67/ fl4 — 47/ • • por tanto,
•í
y2(x) = x + x2 + -x5 + -x4 + .,. . 6 4 2y' - y Puesto que la función x »-• es analítica para x 5¿ 1, 1- x las series obtenidas convergen solamente para [x| < 1. Hallemos
Las soluciones particulares para valores arbitrarios de x 1. Realizando el cambio de variable x = ¿ + Xo, donde x0 ^ 1, buscamos las soluciones particulares en la forma oo Hit) =
t = X~X 0. n-0
Después de una serie de cálculos semejantes a los anteriores, llegamos a las soluciones particulares siguientes: (x-x0f (x-x0 f 11 + Xo 4 yx(x) = 1 - — - — -2 - — rgíar - x0) 2(1 - «o) 2(1 - s0) 24(1 - «0) y2(x) = (1 - x 0 )(x - s 0 ) + (x3 + Xo ,
4(1 -
2
5 + Xq
So) + — -(a 6(1 - a?0)
XO)
3
+
,4 ,
xo)2
Dado que el radio de convergencia R de las series obtenidas se determina mediante la distancia desde el punto t = 0 hasta Zy't - y(t) el punto singular de la función t i—• , tenemos que 1 —* £Cq " ¡t R = |1 - s0|. Por consiguiente, las funciones y¡, y2 están definidas para todas las x que satisfacen la desigualdad |ac — acó I < |1 ~ ®olDe esta desigualdad se deduce que las funciones y\ e y2 describen todas las soluciones particulares de la ecuación inicial para todo x £ 1. • Nota. En el ejemplo anterior logramos sumar las series de potencias y hallar las funciones analíticas que también son soluciones de la ecuación diferencial para litros valores posibles de a;.
23.
y" - xy' +
M Solución. Por cuanto po(x) ~ 1 0 y las funciones — Pi(x) = ~x, p2 -- p2(x) = x son analíticas, concluimos que la ecuación inicial tiene soluciones particulares que forman un sistema fundamental y son funciones analíticas para todos los
valores de x £ ( - o o , +00). La serie de potencias 00 n=0 en cuya forma buscaremos las soluciones particulares, converge para todo x . Sustituyendo esta serie en la ecuación inicial e igualando los coeficientes de las potencias iguales de x, obtenemos un sistema respecto a los números an: nan — = 0, fln+2 = — - r r , — — 7 7 , n = 1,00. (n + 2 )(n 4-1) De aquí, tomando ao = 1, ai = 0, hallamos a2
1
0)/ con lo que la ecuación inicial adopta la forma (t - x0)y" + j l n ( l + x 0 - í) = 0, o bien (t ~ %o)y" + Jí ln (1 -f Xo) + í/ ln [ 1 - - J — ) V Í + Xo/
=0.
Sustituyendo en la última ecuación los desarrollos
V
1 + XOJ
F^N(\ +
V(t) = 60 + M + b2tz + ht3 +
X0R'
...
e igualando los coeficientes de las potencias iguales de t, obtenemos 2&2X0 - 6 0 ln (1 + Xo) = 0, í>o
2 h - 663X0 + 61 ln (1 + ®o) - 7 - —
1 +
- 1264X0 + 663 + 6 2 l n ( l + x 0 ) -
1 + x0
2(1 + x 0 )
=0,
= 0,
(1)
'dp lá'Siíecuacionea diferenciales
HHKm.^ Sean i>o = 1, &i = 0. Entonces, partiendo del sistema anterior hallamos sucesivamente í»2 = —
»
2x0
1 f]n(l í»3 = 7 — b4 =
+ x0)
1 \ — — ,
x0¿0,
/ln(l + x0)
12« 0 \
ln2(l+x0) x 0 ( l + ®o)
2 (l+x0)V'
2a; o
Sean ahora b0 = 0, b¡ — 1. En este caso, del sistema (1) obtenemos h = 0,
ln (1 4- x 0 )
63
6x 0
J _ / l n ( l + x0) x0
12x 0
1 1 + ®0
x0
0, x0
0.
Nótese que mediante el paso al límite cuando x 0 —• + 0 , a partir de las expresiones de blr i — 1 , 2 , 3 , 4 , se pueden obtener los valores correspondientes de a¡, i — 1 , 2 , 3 , 4 , calculados para x0 = 0. Finalmente, para xo > 0 podemos escribir las soluciones particulares en la forma , x „ (x+xo) 2 l n ( l + x 0 ) ( x + x 0 ) 3 / l n ( l + x 0 ) Í/I(X) = 1H —H 1 2 x0 6x 0 V ®o |
(x+xp) 4 / l n ( l + x 0 ) 12x 0
V
x\
_ ln2(l+x0)
x0(l+x0)
2x 0
~2(l+x0)2)+"" , , , y2{x)=x+x0
, ( z + a 0 ) 3 ln(l+Xo) , + + Xo
+x ) + ( x12x 0
0
4
/ln(l+x0) \
x0
\ ) + 1+x0J
1
1 \ 1+Xo/
1
4 Solución. Dado que p0(x)~1^0 y las funciones pi=pi(x)—~x, Pi — Pi(x) — x — 2, p3 — p${x) = 1 son analíticas V x G ( - 0 0 , +00), el sistema fundamental está formado por funciones analíticas en todo el eje numérico. Por consiguiente, las series de potencias correspondientes convergen para todo x. Sustituyendo en la ecua-
00
ción inicial la serie ^ ^ a„xn, 1C f f
e igualando los coeficientes de
n=0
. . . . . obtenemos
603 - 2a-¡ + ao = 0, {n + 3)(n + 2)a, i + 3 - (n + 2)an+a + a„ = 0,
n = 1,2,...
.
Sean üq = 1, a\ = a 2 = 0. Entonces, de las últimas ecuaciones hallamos fl3 =
4'
a4 = 0'
a5 =
~b
fl6
x3
x5
x6
=
¿o
+
.
Por consiguiente, Í/I(x)=l- — - — + —
Sean, ahora, a 0 = a 2 = 0, a\ — 1. Partiendo de las mismas ecuaciones obtenemos
1 tt3~3'
_
1
1
12'
"""ÍS
Por tanto, la segunda solución particular es yy2(x) ; =xH
X3 3
X4 1 2
X5
11 5
1-. • • •
Finalmente, haciendo a 0 = ü\ = 0, a 2 — 1, hallamos a 3 = 0,
a4=
1
1
° 5 = ~2o'
Así pues, ")
De este modo, las soluciones particulares son
+ 1 ++ 2»
V
x 4(1 + 2*)(1 + i) X,3
0*4
12(1 + 2»)(1 + »)(3 + 2») X,2 X -
1 - 2i
+ y la solución general
+ 4(1 -
2i)(l - i)
x 12(1 - 2»)(1 - »)(3 - 2i)
+
+
4
y — C\yiix) + C2y2(x) — C\{u + iv) + C2{u - iv) — au + bv, donde a = C\ + C2, b ~ i(Ci - C2). Utilizando las fórmulas de Euler, las funciones u,v se obtienen a partir de la expresión
de y\ (x). Tenemos: t/i(») = u(x) + iv(x) —
£C ¿i? = (eos (ln X) + i sen(in x)) I 1 + - _ - (
=
x
(1
+
+
3x2
v t - «
+
/
2x
x2
x3
+
s
3x3
+
+
"J
- ; J ,
¡H" 2x y
3x2
+
~40 " 520
v +
sen(ln x) +
x2 — + •• 1040 40 X3
=
c o s ( l n x )
2x 3x 2 x^ T - ++ — - — + - . . T 40" " 520
+ i( (! + "
+ ...
\\
\
? - « - i 0 4 5
3*C —
sén(ln x) -
+ . . . ^ eos (ln x) ];
por consiguiente, u(x) — a(x) eos (ln x) + ¡3(x) sen(ln x), v{x) = a(x) sen(ln x) - fl{x) eos (ln x),
íE
3!
33?
a(x) = í + (-..., • 5 40 1040 . 2 3a;2 a;3 8{x) = - x -jf-... . tX 5 40 520
31.
x-y
[V
•
Ity
Solución. Busquemos la solución particular en la forma
00
y (ar) = E
a«{x
- xo)".
Empleando el mismo método del ej. 15, para los coeficientes a n obtendremos tt
-
(1 ~ 3XQ)Q,I -
ap
2*2>Q
a 3 = g^í ( « i ( l - 8x 0 + ll®o) - aod ~ 5x 0 )) ,
....
Los coeficientes ao, a j son arbitrarios (xq ^ 0). Si xy ~ 0, entonces buscamos la solución en forma de una serie de potencias generalizada y{x) = (oo 4- ffljx + a2x2 -I-.. .)x". Luego de sustituir la serie en la ecuación inicial e igualar los coeficientes de las potencias iguales de x, hallamos aao = 0, + a + 2) + l 0) — a n (n = 0 , 1 , 2 , . . . ) . a + n+ 1 Estamos buscando una solución no trivial; por tanto, debemos tomar a = 0- Sea Oo = 1. Entonces, a partir de (1) determinamos sucesivamente ai = 1, a2 = 21, a 3 — 3!, . . . , a„ = n!, .... De este modo, y(x) = 1 + 1!® + 2!x 2 + . . . + nlx" + ... . Se puede comprobar que esta serie converge sólo en el punto x = 0. • a„+1 =
(n+a)(n
Hallar las soluciones periódicas de las ecuaciones de los problemas siguientes en forma de series trigonométricas: 32.
í / - 3 y ^ f ( x ) , /(3!)=tsrl para
/(je+2«)s/(j-).
-4 Solución. Por cuanto la función / es continua para |x| ^ tt y diferenciable para 0 < |x| < ir, /(tt) — /(-tt), ella se puede desarrollar en una serie trigonométrica de Fourier que converge uniformemente a dicha función en todo punto x 6 [ - t t , tt]: ít
4 ^ v eos (2n - l)x
2 ~ tt
(2n - l) 2
En virtud de la igualdad f{x + 2z) = f{x) 00 ak eos kx 4- bk sen kx.
Z
*=1
Sustituyendo esta serie en la ecuación inicial e igualando los coeficientes que multiplican las funciones x sen kx, x 1-+ eos kx, obtenemos « o - " -*,
« 2 W_-
ít
y
i'i
, - y - y
1
_
= h = o,
por consiguiente,
5 óó.
í ( 2 i
1 ) 2 ( i 2
ke
N;
1 ^ ^ eos (2fe -
l)x
2 sen J -5 - 4 eos a:
Solución. El período de la función , 2sen» x f(x) 5 - 4 eos x es igual a 2?r; por tanto, buscaremos la solución periódica particular de la ecuación en la forma 00 V ' > y(x) = — 4- > Cfc eosfea;+ sen fe®. Sustituyendo esta serie en la ecuación inicial y teniendo en cuenta que la función / es impar, obtenemos ao = 0,
ak 4- h(k3
00
E
+ fe) = 0, _
l sen x
ck sen kx = -— , 5 - 4 eos x ck - (fe3 4- k)ak - bkl fce N. K=1
(1)
f|j$lQ^es dé las ecuaciones diferenciales
Multipliquemos la tercera expresión de (1) por (5 - 4 eos x), y escribámosla en la forma oo
oo
oo
Ck sen kx - 2 ^ ^ ck-1 sen kx — 2 ^ ^
5 fc=l
j sen kx = 2 sen x.
A—0
k-2
Igualando los coeficientes de las funciones iguales, hallamos 5cj - 2c2 = 2,
5c¡t - 2c fc _! - lcM
=0,
k = 2,3,...
(2)
.
De la segunda ecuación de (2) se deduce que ck = a2
+
(3)
donde a,/3 son constantes arbitrarias. De la primera ecuación de (2) obtenemos que a + (3 — 1. Resolviendo el sistema de ecuaciones (1), (3), hallamos «3 L M « 2 * + { l - a ) 2 ttfc = (fc + fe)
-k h
=
a2k + {1 1+
{fc3
a)2 + kf
'
Dado que ak -+ 0, bk —* 0, cuando k —• +oo, en las últimas expresiones debemos tomar a = 0. De esta manera, O-k
k3 + k
=
__
h =
-
2 fe (l + (P + k)2)' • (fe3 + fe) eos kx - sen kx
2*(1 + (fe3 + A;)2)'
2 k (l + (A;3 -f k) 2 )
„
,
si'n 2kx
cos , n •••¡•••••i I
»
Solución. Los segundos miembros de las ecuaciones son funciones periódicas de período tt; por tanto, buscaremos las soluciones
periódicas y{x), z(x) de igual período en la forma 00 ®0 \—\ ak eos 2kx + b sen 2 k x , y(x) = — 4k k=i 00 Cq v—^ ck eos 2kx + dk sen 2kx. z(x) = — + 2
¡fc=l
Sustituyendo estas series ert las ecuaciones dadas e igualando los coeficientes de los términos semejantes, obtenemos (4k 3 + 3)a k + 5c k = O, (8 - 4k 2 )c k + 6ak =
- ( 4 * 2 + 3)b k - 5d k =
(8 - 4k 2 )d k + 6b k = 0,
k¿
a 0 = Co = O,
de donde hallamos 5 ak
2fc2(8fc4
~
Ck
~ ~ 2k2{8ki
_ 10ft2
+ 3)' 3 + 4fc2
k
- 10fe2 4- 3)''
dk
~ _
4 - 2 k2 k2(Sk4
- 10fc2 + 3)' 3
~ ~ fe2(8fc4 - lOfc2 + 3)'
entonces, A
5 eos 2 +
hí'
4(2 - k2) sen 2kx
2Jfc2(8¿4 - lOfc2 + 3)
- A (3 4- 4k 2 ) eos 2kx + 6 sen 2kx z(x>
- ~
2k2(8kA - 10k 2 + 3)
'
*
En los problemas 35-38 hallar dos o tres términos del desarrollo de la solución en potencias del parámetro pequeño fi.
35.
y' ~ 4fiX - jí2, #(1) =51
Solución. Como el segundo miembro de la ecuación es una función analítica respecto a y y ¡i, entonces, conforme al p. 2.2, buscamos la solución en la forma y(x, fi) = y0(x) + ftyi(x) 4- fJ>2yi(x) + ... .
('Soí-dciortes1 de las ecuaciones diferenciales i" i Sustituyendo la serie en la ecuación inicial e igualando los coeficientes que multiplican las potencias iguales de fj,, obtenemos y'o - -vi, y[=kx-2yüy\> y'i = -y\ -lym, Utilizando la condición inicial, hallamos 3,o(l) = l,
Jfi(l) = 0,
y2( 1) = 0,
....
• • ••
(i) (2)
Ahora, teniendo presente las condiciones iniciales (2), resolvemos sucesivamente el sistema recurrente (1): 1 1 2 yofr) = - / yi{%) = ¡b - - r£ , X x X5 2x 1 32 Por tanto, la solución del problema es ,
|'36.
1
/
xii'
1 \
2
2Í
X5
2x
32
1 \
- /íj" - \n¡i Í/Í 1 1 — 1.
4 Solución. Considerando la analiticidad del segundo miembro, visto como una función de variables y, fi {y > 0), y empleando el método del parámetro pequeño, buscamos la solución del problema en la forma y(x, ¡i) = y0(x) + pyx{x) + fi2yz{x) + ... . Teniendo en cuenta las expresiones y(x, 0) = yo(x)>
dy{x, ti) —~— dfi 0=0
d2y{x, ¡i) 8n z
,
y'xix, o) = y[{x), 92
=yi(x)f.
= 2 y2{x), n=o -Q^y'Ax, /O = jt=0 2 y'2(x), n=0
y[{x),
(1)
y diferenciando la ecuación inicial respecto al parámetro ¡t, hallamos xy0I = ,ln yQl
xyl> = x 2 H, Vi , í/o
xy2I = VI Vo
Vi 2 y*
....
(2)
Recurriendo a la condición inicial y(l) = 1, a partir de la expresión (1) obtenemos las condiciones iniciales para las funciones yir i = ÜToo: jfe( 1) = 1,
jfi(l) = ife(l) = . . . = 0.
(3)
Integrando sucesivamente las ecuaciones (2) y utilizando las condiciones (3), obtenemos yo = 1/
2/1 =
x 2/2 = 7 ( 1 6
- x,
X
(4)
X) ,
Finalmente, sustituyendo (4) en (1), llegamos a la solución del problema planteado: y(x,n)~l
37.
+ ti(x2-x)
¡iy
+ fi2~(l-xf ó
jHil
+ ... .
- f1
I Solución. Al igual que en el ejemplo anterior, y{x, p) = y0(x) + fiy^x) + p y2(x) +
...,
donde y0(x) = y(x,Q),
dy(x, ¡i)
yi(x) =
dfi
fi=o
1 d2y ¡i=0 y'o(x) - y'Ax, 0), y'iix)
y[(x) -
d —yx{x, fy
1 eP 2 fJii2
Vx /i=0
1 n)\ Uo
•
Utilizando estas expresiones, a partir de la ecuación inicial hallamos y'0 = e^x, y'2
= e«°-xy2 +
yi
y[ =
e»°-*y1+yaí
+ \e«°~xyl
...,
(1)
y las condiciones iniciales tienen la forma 3/o(0) = 3/2(0) = . . . = 0, ^ ( 0 ) = - 1 . (2) De la primera ecuación de (1) se deduce que e~ya = e~x -f Ci. En virtud de la primera condición inicial de (2) tenemos que Cx = 0, por tanto, yo = x. De la segunda ecuación de (1) no es difícil hallar 2/1 = C2ex - x ~ 1. La constante C2 — 0 se determina mediante la segunda condición de (2). Por consiguiente, y\ = —x — 1. De un modo análogo resolvemos el problema
,
+1)2
yi = yi - x -1 + — — , Finalmente,
2/2(0) = o.
2
y{x, fi) = x - fi(x + 1) + ^-(e* - xz - 2x - 1) + ... .
J .
,, i 6 N, son las constantes por determinar. En este caso obtenemos la ecuación d2x i \1 — (^1 + hn + b2fi + . . . J + x =
~ (ID
(i)
Busquemos la solución aproximada de la ecuación (1) en la forma X(T, FI) = a?o(R) + JTFXITR) + / I 2 X 2 ( T ) + . . .
.
(2)
Luego de sustituir (2) en (1) e igualar los coeficientes de las potencias iguales de fi, obtenemos DJO + ^O-0,
x2+x2
XX +XI
=±0-XL~2BI
XQ,
— bixQ -261 Sj +±1 -36|áro -3x%±i - 62x0 - 2b2xQ,...
. (3) La solución de la primera ecuación es X0(T) — A eos ( r -f ip) (A y ¡p son constantes arbitrarias). Sustituyendo esta expresión en la segunda ecuación de (3), hallamos £ 1 + x 1 = - J 4sen(r+y)(l-.A 2 sen 2 (T+i l £>))+2b 1 J 4cos(T+y>)= /3 , \ = [ -A-Aj$en(T+ 0), entonces la m>lación trivial es inestable.
1.3. Análisis de la estabilidad mediante las funciones de Liapunov: segundo teorema de Liapunov Teorema (segundo teorema de Liapunov). Si existe una función diferenciable V = v(t,Xi,X2,. .., X„), denominada función de Liapunov, la cual en un entorno del punto x = 0 milis face las condiciones I) v(t, x-i, x2,..., xn) W{x\,x2r... ,xn) ^ 0 para t >- f0, donde la función continua W tiene un mínimo estricto en el punto x — 0; además, v{t,0,... ,0) = W(0,..., 0) = 0, '?) la derivada total dv dv ^^ — = — +
dv forJ'V'•
entonces la solución trivial x =
• • /®») < o
x2, • •., x„) = 0 es estable.
Si en lugar de la condición 2) se cumple la dv
dv
(í ^ t0),
desigualdad
dv ¡=i
pura t ^ t\ > t 0 y 0 < < |jx|| < ó2, donde Si,62,¡3 son ftiionces la solución trivial es asintóticamente estable. Teorema (de inestabilidad de Chetáev). Supongamos siguientes condiciones: 1) el sistema (1) tiene solución
trivial;
constantes,
que se cumplen
las
icláítf y trayectorias de fase a*
ii* i, >
2) en cierta región F c l » v = v(xux2,...,xn);
existe una función
diferenciable
3) el punto x — (x\, x2,.. •, ®n) = 0 pertenece a la frontera de la región V; 4) 3 £o > 0 tal que v ~ Q en la parte de la frontera de la región V donde IMi < e 0 ; 5) en la región V se cumple la desigualdad cumple la desigualdad dv 9v -77 = V, dt 7—' dxi
v > 0, y si t > f 0 también se
> w{x) >0,
x € V,
donde w es una función continua en V. Entonces la solución trivial (punto de reposo) del sistema (1) es inestable.
1.4. Condición de negatividad de las partes reales de todas las raíces de la ecuación con coeficientes reales a0Xn
+ axA"-1
+ . . . + an-tÁ
+ an
= 0 , a0
>
0
La condición necesaria para que todas las partes reales de las raíces de la ecuación a 0 A" + ai A"
1
+ . . . + a„ iA + a n = 0
sean negativas son las desigualdades a¿ > 0 (i La matriz de la forma / a i a0 0 0 0 0 ... a 3 a2 ai a 0 0 0 ... a5 a 4 0,3 a2 üi üq ... \ 0
o
0
0
o
o
(a 0 > 0)
(9)
= 0, n). 0 \ 0 0
(10)
/
la cual se obtiene al cambiar por ceros los números a¡ con índices i > n ó i < 0, se denomina matriz de Hurwitz. Teorema (criterio de Routh—Hurwitz). Para que todas las partes reales de las raíces de la ecuación (9) sean negativas, es necesario y suficiente que sean
in>-,¡lióos todos ¡os menores principales Ai = au
diagonales de la matriz de Huriuitz: «i 0, A n _3 > 0 , A n—5 > 0
Teorema (criterio de Mijáilov). Para que todas las partes reales de ¡as raíces tic la ecuación (9) sean negativas, es necesario y suficiente que anan-¡ > 0 y que tas raíces de los polinomios PÍO = an ~ o„_2f + a„_4Í2 q(q) = a„_i satisfagan las
...,
+ an^5r¡2
desigualdades 0 < fi < m < 6 < V2
j t C 0 8 l i j e f e ' e l t ¿ f i * ¡ ( 0 j # ' 1 / ( 0 ) a » 0. " '
0, entonces X\ ü, yx 0. Por consiguiente, el punto de reposo es estable, pues a cualesquiera perturbaciones tan pequeñas como se quiera les corresponden trayectorias cerradas contenidas totalmente en círculos de radios tan pequeños como se desee. •
6.
I.!« tidvi-i liiri.ii del sistema t-oo? ¿Será la solución nula asintóticamente estable? ¿Será estable según Liapunov?
6
Fig.l •4 Solución. Como vemos en la figura 1, todas las soluciones tienden a cero cuando t —* +00, ya que todas las trayectorias llegan al origen de coordenadas. Supongamos que se cumple la desigualdad \y(t(])\ < 6 (en el caso analizado 0 es un número tan pequeño como se quiera. Entonces, para el instante t = ti tenemos MÍ2)¡ > l!/(*i)l = fo > o, donde e 0 no se puede reducir más. Por consiguiente, la solución nula no es estable según Liapunov y, por tanto, no se puede considerar asintóticamente estable, a pesar de que üm x(t) = 0. • 0 cierto número dado, y fo un instante arbitrario. A partir de este valor de e hallaremos un 5(e) > 0 tal Man
^trayectorias de fase B S W ? ' / que de la desigualdad M í o ) - pftOll = >/(®l(ío) - 0 tal que para un valor de e > 0 dado se cumple la desigualdad 2\ (Cx - C 2 í a ) V 2 f l +
+ C2
)
)
Por tanto, según la definición, la solución nula es inestable.
>
•
y. Demostrar que si una solución cualquiera de .uiY ,1513-.' tema lineal de ecuaciones diferenciales es estable segúnLja;' pmii'V. entoiiiTi'-; -«iri i'-mMi^ tudas las ^iliu imv» de dicK5¡
I Solución. Sea ip(¿) = ( re-ik- d.' n
p u n í " -K- :v|»nni f
ü
x2 — 0, Xj = 0 del sistema x1 ~ ast -- x2, x2 = ax¿ x% ~ fiXT, — X\ es estable' M Solución. De la ecuación característica a-A
-1
0
0
a - A
-1
-1
0
a- A
= (a - A) - 1 = 0
, 1 .y/5 A3 = a H 1-1—. 2 1 2 2 Partiendo de la condición .a - 1 < 0 A a + - < 0 hallamos los
obtenemos Ai = a — j , X2 = a-]
1
1—,
2
valores de a para los cuales la solución nula es asintóticamente 1 1 estable: a < — - . Si a > — , entonces ReA2,3 > 0, y la solución 2 1 mi la es inestable. Finalmente, si a = - - , entonces tenemos que milis
3 =
\/3 A2j3 = ±i~,
y la solución general del sistema dado se
expresa linealmente mediante las funciones a/3 V3 11-> e 2 eos — f , sen — í .
2
2
Así, tenemos estabilidad no asintótica {concretamente, en cierto entorno del punto de reposo se observa un proceso oscilatorio). • En los problemas 18-20, investigar para cuáles valores de los parámetros a y b la solución nula es asintóticamente estable.
18.
Jt ~ aj-j - Zr2 + a;2, Jc2 = Ji
¿2 ^ a-ix2.
< Solución. Como x\ ^ xl + x\ = ai{x\, ar2)||X||, \X]X2\ íí -(xl ai(xv
+ xl)
=a2(x1/x2)\\X\\/
x2) = 2ct2(a:i, x 2 ) = y x f + x f - ||X|j
0
cuando a:2 + x\ —> 0, entonces hacemos uso del primer teorema de Liapunov (v. p. 1.2). Según este teorema, para que la estabilidad sea asintótica es necesario que Re A < 0, donde A satisface la ecuación característica del sistema lineal correspondiente: a - A —2 1 1 - A = A - A(o + 1) + a + 2 = 0. De aquí vemos que Re A < 0 sólo cuando se cumple la condición < 0 A D ^ 0j V
A VD +
donde D Por tanto, - 2 < a < —1.
(a + 1)2
- a - 2.
- c *'i¡|t i¡u-i mj,' l f ií. r,| * ;> • • -
á¡2
ssi»xjl-f3»a
- '
1
, ,
-"a*},
1«, 1 ni» 1
< Solución. No es difícil ver que el análisis de la estabilidad asintótica de ¡a solución nula del sistema se reduce a la búsqueda de las condiciones para las cuales Re A < 0, donde A son las raíces de la ecuación característica 1- A b
a = A 2 + 2A - 3 - ab = 0 =» A1j2 = - 1 ± v ^ + ab. -3-A
Para ab + 4 ^ 0, o bien para ai»+4 > 0, Vab f 4 < 1, tenemos que Re Aj < 0 y Re A2 < 0. Resolviendo las dos últimas desigualdades, hallamos que ab < - 3 . •
20.
¿1 - ln (r + ax O - e*1, x2 = 6a; 1 H tg
< Solución. Primero desarrollamos en series de Maclaurin los segundos miembros de las ecuaciones dadas y despreciamos los términos no lineales. Después investigamos la estabilidad asintótica del sistema lineal a Xi = -Xi - 352/ x2 — bx 1 + ®2e Las raíces de la ecuación característica de este sistema son
De aquí se deduce que las desigualdades Re A] < 0 y ReA 2 < 0 se cumplen, si A ( i
l í a V ,
2 U
\ + 1
)
+
l ) < 0 A
1/a +
r A e
+ l
t
> l ( Í
\2 )
l
_ "
Í
a < —e A b > Q.
B6
+
V'|V
1 A
K
•
4 U
v 2 +
11
1
•"
' • .•'J-
/ -!:.".'rsSi:Vr^v'T^^S^v^&aHvraaBUBfiaK
21. Inves tigar si es estable Ja solución j ^ c o s í , del-sistema • " ' " ' - i , 'L " v •-
» • r^í/j^í
f i l W i, =lr
(xi~2scn - J - y ,
= (4 - x?) eos f - 2a¡a sen 2 1 - eos 3 i. • -
^ *
j¡f|
Solución. Efectuemos los cambios de variable x\ ~ eos t + £\(t), x2 = 2 sen t + £2(t). Ahora investiguemos la estabilidad de la solución nula del sistema 1 2 él = ln (1 + £i) ~ ~£ 2 , é2 — -l£\ - £\ eos t. (1) Teniendo en cuenta el primer teorema de Liapunov, pasamos del sistema (1) al sistema lineal correspondiente 1 ¿1 — C\ — ~£2/
¿2 — —2£I.
Debido a que una de las raíces de la ecuación característica de / 1±V5\ este sistema es positiva I A1;2 = — - — j , según el teorema de Liapunov podemos afirmar que la solución nula del sistema (1) es inestable. Por consiguiente, también son inestables las soluciones indicadas en el ejercicio. • ® Dados los siguientes sistemas (22-27), hallar todas las posiciones de equilibrio e investigar su estabilidad. 22.
í t = j-3 - xy - xlf
x2 = 3rx - x\ - x2.
< Solución. Primero hallamos en el plano Oxxx2 todos los puntos en los cuales x\ = x2 = 0 (puntos de reposo o posiciones de equilibrio), es decir, resolvemos el sistema de ecuaciones 2 2 x2 - X\- xx -- 0, 3xi - xx - x2 = 0. Tenemos dos puntos de equilibrio: (0,0) y (1,2). Para investigar su estabilidad aplicaremos el primer teorema de Liapunov (v. p. 1.2). En el caso del punto (0,0), despreciamos los términos no lineales en los segundos miembros de las ecuaciones iniciales, y para el
^trayectorias de fase M>'i*
.' '
a ¡Th r, i t t t ,,t*H-i u, i
~~
'" "
sistema lineal obtenido construimos la ecuación característica y hallamos sus raíces: Aj = - 1 - V5, A2 = — 1 + y/3. Vemos que el punto de equilibrio (0,0) es inestable. Para analizar la estabilidad del segundo punto de equilibrio (1,2), realizamos los cambios de variable xx — 1 + x 2 = 2 + e2. De esta manera, obtenemos el sistema 2
é\ — £ 2 ~ 3¿1 ~ t\,
¿2 —
— el
2
~ £"2'
Conservando solamente los términos lineales £] y el sistema lineal correspondiente é\ = e2 ~ 3£i, é2 ecuación característica de este sistema A2 + 4A + 2 raíces a A]j2 — - 2 ± \/2, las cuales demuestran asintótica del punto de equilibrio (1,2). •
23.
e?, obtenemos — ex - e 2 . La — 0, tiene por la estabilidad
Xj = x2l x2 ~ sen(¿3 + a^).
4 Solución. Del sistema de ecuaciones x2 — 0, sen(«x + x2) — 0 hallamos los puntos de equilibrio: {hit, 0), k G Z. Haciendo X\ = kit 4- £\, x2 ~ £2, obtenemos el sistema ¿i = £2,
¿2 = ( - 1 ) * sen{£j + e2),
al cual hacemos corresponder el sistema lineal ¿i = e 2 ,
é 2 = (-l) f c (£i + e 2 ).
La ecuación característica de este sistema es A 2 - ( - l ) * A + (~l)* + 1 = 0 . Las raíces de esta ecuación son i
^
2
/I y 4
,
De aquí, en virtud del primer teorema de Liapunov, p. 1.2, se deduce que si k = 2n + 1, la posición de equilibrio es asintóticamente estable, mientras que si k ~ 2n, la posición de equilibrio es inestable. •
. 24.
«
,
» > H r $ t S » f i f l
< Solución. Resolviendo el sistema de ecuaciones 3 - y j l + x ¡ + x 2 - 0,
ln(s? - 3) = 0,
hallamos los puntos de equilibrio: ( - 2 , 1 ) y (2,1). Medíante los cambios de variable x\ = 2{-lf + e\, x2 = 1 + e2 (k — 1,2), obtenemos un sistema respecto a las perturbaciones pequeñas
¿ 1 = 3 - i y 9 + £2 + 4 - ( - l ) f c £ 1
+4,
é2 = ln ( l + 4 ( - l ) A e i 4- e 2 ) . Determinando mediante la fórmula de Taylor los términos lineales en los segundos miembros de estas ecuaciones, obtenemos el sistema lineal éi =
- -U, ó o cuya ecuación característica es
¿2 = 4 ( ~ l ) * £ l ,
Las raíces de la ecuación característica son
De aquí se deduce que para k = 2 se tiene Re Ai|2 < 0; para k = 1 una de las raíces es positiva. Por tanto, el punto de equilibrio (2,1) es estable, mientras que el punto ( - 2 , 1 ) no lo es. •
25.
J-1 = ln (1
4- sen a^), x : - 2 + (3 sen
- 8)1 ' V
^
•4 Solución. El sistema de ecuaciones l n ( i + X2 + senah) = 0,
2 + ( 3 s e n » ! - 8) V 3 = 0
tiene los siguientes pares de raíces reales: (kn, 0), donde k £ Z. Al igual que en los ejemplos anteriores, hacemos los cambios de variable íci = kir +£\, x2 = s2, y por el método ya
Ijííad y trayectorias de fase i rf.1
i
conocido obtenemos un sistema de ecuaciones lineales respecto a las perturbaciones pequeñas £\,£ 2 : É]
= e2 + (-1)%,
&